Kvant 1987, số 1 · Trang

ISSN 0130—2221
QUANTUM
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
87

Cu Fe B S Li

Trong phòng:

2 Chúc mừng năm mới!
3 S. R. Filonovich. Về sự va chạm của các quả bóng và vật lý “serbez”
10 S. M. Voronin, A. G. Kulyazin. O bài toán Pythagoras

Vấn đề «Kvant»
15 Bài toán M1021—M1025; F1033—F1037
17 Lời giải bài toán M1001, M1003—M1005; F1013—F1016

«Kvant» cho học sinh nhỏ
23 Bài toán
24 A. P. Savin. Trở lại bình thường

Lịch của chúng tôi

Trường học ở «Kvant»
29 Vật Lý 8, 9, 10

vòng tròn toán học
37 V. L. Gutenmacher, J. M. Rabbog. Lựa chọn phương án tốt nhất

Nghệ thuật lập trình
43 LF Sternberg. Chu kỳ, chu kỳ, chu kỳ…

Xưởng của người nộp đơn
47 Yu. I. Ionin, V. V. Nekrasov. Tính khoảng cách và góc

Các lựa chọn thi tuyển sinh

Thông tin
55 Mới tuyển sinh vào Trường Toán học Liên hiệp
56 Mới được tuyển vào bộ phận thư từ của Cơ khí nhỏ
57 Trường Đại học Vật lý và Công nghệ tại MISiS

Đáp số, gợi ý, lời giải
58 Pha trộn (36)
Trang cờ vua
Máy tính phân tích tàn cuộc (trang thứ 3 bìa)

Chiếc đĩa của chúng tôi

Ba thế kỷ sẽ tách biệt bài toán của cơ học cổ điển về sự va chạm dai dẳng của các quả bóng và khám phá đáng chú ý của thế kỷ 20 - hiệu ứng Compton.
Những hiện tượng này có điểm gì chung? Chúng được kết nối như thế nào?
Đọc về điều này trong bài viết trên p. 3.

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1987

2

CHÚC MỪNG NĂM MỚI!

Năm 1987 đã đến - năm thứ hai của Kế hoạch 5 năm lần thứ XII, năm kỷ niệm 70 năm Cách mạng Tháng Mười vĩ đại. Đây sẽ là một năm làm việc căng thẳng trong điều kiện perestroika không ngừng đi sâu, bắt nguồn từ sự phát triển kinh tế xã hội của nước ta. Cần củng cố những thắng lợi đạt được sau Hội nghị Trung ương Đảng tháng 4 (1985) và Đại hội Đảng XXVII, tự tin tiến lên trên con đường tăng cường tăng cường nền kinh tế đất nước. Những chuyển biến mang tính cách mạng của lực lượng sản xuất, sự hoàn thiện quan hệ sản xuất và toàn bộ đời sống xã hội của xã hội đang diễn ra. Hệ thống giáo dục và đào tạo hiện đại sẽ phải thay đổi nhiều. Chủ nghĩa xã hội có lượng dự trữ khổng lồ trong mọi lĩnh vực của xã hội, và những khoản dự trữ này cần được đưa vào hoạt động càng nhanh càng tốt.

Đại hội XX của Komsomol đang ở phía trước. Ông sẽ thảo luận về những vấn đề mà cuộc sống đặt ra cho Komsomol và tuổi trẻ ở giai đoạn tái cơ cấu căn bản nền kinh tế của chúng ta. Trong chương trình nghị sự là việc mở rộng quyền của Komsomol (bao gồm cả pháo binh trị giá hàng triệu đô la), phát triển sáng kiến, tính độc lập và tăng cường trách nhiệm đối với đất nước. Điều này giúp có thể thu hút thanh niên một cách tích cực hơn nữa - bộ phận năng động nhất, dẫn đầu trong xã hội - đến với lời giải quốc gia bài toán.

Độc giả thân mến của chúng tôi! Bạn sẽ được trải nghiệm một cuộc sống thú vị nhất trong điều kiện cuộc cách mạng khoa học công nghệ không ngừng phát triển. Với tư cách là Tổng Bí thư Ban Chấp hành Trung ương CPSU M.S. Gorbachev cho rằng, kế hoạch 5 năm hiện nay là kế hoạch 5 năm khó khăn, phức tạp nhất nhưng cũng thú vị nhất. Hãy nghĩ về những lời này - xét cho cùng, chúng là tương lai trước mắt của bạn. Nó sẽ đòi hỏi kiến ​​​​thức và kỹ năng đáng kể từ bạn. Một trong những yêu cầu quan trọng nhất của cuộc sống là khả năng học tập độc lập. Đất nước cần những người lao động có trình độ học vấn cao tận tâm với quá trình tiếp thu kiến ​​thức mới và kiến ​​thức kỹ thuật tốt về quá trình này. Và tạp chí của chúng tôi sẽ cố gắng giúp bạn phát triển những kỹ năng quan trọng này.

Chúng tôi chúc bạn thành công trong năm mới!

GIỚI THIỆU VỀ SỰ ĐAM MÊ
BÓNG
VÀ VẬT LÝ “Nghiêm túc”

(Hiệu ứng Compton có phức tạp không?)
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. R. FILONOVICH

Người ta từng nói rằng mọi ý tưởng khoa học đều trải qua ba giai đoạn trong lịch sử của nó: lúc mới xuất hiện nó có vẻ điên rồ, sau đó nó được chấp nhận rộng rãi và cuối cùng, nó bị coi là tầm thường. (Chúng tôi muốn nói thêm rằng trong trường hợp cuối cùng, ý tưởng có thể sai lầm.) Nếu bạn không chú ý đến sự khắc nghiệt của công thức vốn có trong bất kỳ câu cách ngôn nào, thì bạn không thể đồng ý với cách trình bày chung như vậy về số phận của nhiều ý tưởng và lý thuyết vật lý. Người ta có thể đưa ra nhiều ví dụ về cách các điều khoản và công thức từng bị “bẻ gãy giáo” một cách quyết liệt, giờ đây lại được tìm thấy trên các trang sách giáo khoa của trường. Có lẽ một trong những ví dụ gần đây nhất của loại này là cái gọi là hiệu ứng Compton, được đưa vào chương trình giảng dạy vật lý phổ thông mới. Nhưng chỉ sáu mươi năm trước, niềm đam mê đã bùng lên xung quanh chính hiệu ứng này, và những lời buộc tội gay gắt, không đáng có đã được đưa ra đối với người quảng bá đầu tiên cho nó. Bây giờ… Tuy nhiên, trước khi nói về tác dụng, chúng ta cần thảo luận về một vấn đề vốn chưa quen thuộc với nhiều độc giả.

Về một tác phẩm kinh điển bài toán

Bạn đã bao giờ nghĩ tại sao bài toán sự va chạm của các quả bóng lại phổ biến trong các bài toán vật lý chưa? Có nhiều lý do cho việc này. Trước hết, tác động xảy ra khi các quả bóng va chạm với vị trí của cơ học là một trong những loại tương tác đơn giản nhất, các định luật của nó có thể được nghiên cứu tương đối dễ dàng bằng thực nghiệm. Đó là lý do tại sao trong quá trình hình thành cơ học cổ điển thế kỷ 17, việc thiết lập các định luật va chạm được coi là nhiệm vụ quan trọng nhất. Vào thời điểm đó, người thành công nhất trong nghiên cứu về bài toán này là nhà vật lý và toán học nổi tiếng người Hà Lan X. Heugens, người đã viết bài tiểu luận “Về chuyển động của các vật thể dưới tác động của va chạm”, trong đó nhiều tác động của sự va chạm của các quả bóng đã được xem xét.

Ý nghĩa của bài toán về va chạm là ở chỗ ở chúng, ở dạng đơn giản và khác biệt nhất, người ta có thể theo dõi hoạt động của các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng. Chúng ta sẽ sử dụng các định luật này cho lời giải một bài toán rất đơn giản: một quả bóng có khối lượng $m_1$ chạm vào một quả bóng có khối lượng đứng yên $m_2$ với tốc độ $v_1$. Tìm độ biến thiên tương đối về động năng của quả bóng thứ nhất sau va chạm, biết rằng va chạm là đàn hồi tuyệt đối và chuyển động quay của các quả bóng có thể bỏ qua.

Vì các điều kiện không quy định rằng cú đánh là trọng tâm nên chúng ta phải giả định rằng sau

Hình 1. Sơ đồ xung va chạm của các quả bóng.

4

Các quả bóng tác động được tách ra ở các góc nhất định $\theta$ và $\beta$ theo hướng của hướng bóng đầu tiên $m_1$. Trên hình 1, tam giác $ABC$ được hình thành bởi các vectơ động lượng $\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1$, $\vec{p}'_1 = m_1 \vec{v}'_1$ và $\vec{p}'_2 = m_2 \vec{v}'_2$ ($\vec{p}_2 = 0$) - một biểu diễn hình học như vậy của định luật bảo toàn động lượng trong bài toán của chúng ta. Áp dụng định lý cosine cho tam giác $ABC$, ta có:

$$(m_1 v_1)^2 = (m_2 v_2)^2 - (m_1 v_1)^2 + 2 m_1^2 v_1 v_1 \cos \theta.$$

(1)

Định luật bảo toàn năng lượng trong trường hợp này rõ ràng có thể được viết dưới dạng

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 (v_1')^2}{2} + \frac{m_2 (v_2')^2}{2}.$$

(2).

Hệ hai phương trình (1)–(2) gồm ba đại lượng chưa biết: $v_1', v_2'$ và $\theta$ nên không thể biểu diễn chúng độc lập với nhau. Tuy nhiên, nếu nó được cho bởi một giá trị cụ thể của góc $\theta$ - nó được gọi là góc tán xạ - thì thông qua các phép biến đổi đơn giản, có thể biểu thị tốc độ $v_1'$ như một hàm của góc này:

$$v_1' = v_1 \frac{m_1 \cos \theta - \sqrt{m_2^2 - m_1^2 \sin^2 \theta}}{m_1 + m_2}.$$

Từ đây không khó tìm được độ biến thiên tương đối của động năng của quả bóng $m_1$:

$$\frac{|\Delta T|}{T_1} = \frac{m_1 v_1^2 - m_1 (v_1')^2}{m_1 v_1^2} = \frac{2}{\left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)^2} \left(\frac{m_2}{m_1} + \sin^2 \theta + \cos \theta \sqrt{\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 - \sin^2 \theta}\right).$$

(3)

Hãy để chúng tôi phân tích kết quả lời giải cho trường hợp đơn giản nhất là bất kỳ va chạm nào của các quả bóng ($\theta = 0$ hoặc $\theta = \pi$). Tại $m_1 \ll m_2 \Delta T \rightarrow 0$; điều này có nghĩa là quả bóng $m_1$ bật ra khỏi quả bóng $m_2$ theo hướng ngược lại với hướng ban đầu ($\theta = \pi$) nên tốc độ bằng $v_1$. Với $m_1 \gg m_2$ cũng $\Delta T \rightarrow 0$; trong trường hợp này, va chạm với quả bóng $m_2$ hầu như không ảnh hưởng đến chuyển động của quả bóng $m_1$ ($\theta = 0$). Trong tất cả các trường hợp trung gian $\Delta T \neq 0$. Do đó, đối với một số tỷ lệ $m_2/m_1$, giá trị $\Delta T$ đạt mức tối đa. Một phép tính đơn giản cho thấy mức tối đa $\Delta T$ tương ứng với các điều kiện $m_2/m_1 = 1$.

hình 2 cho thấy độ cong của sự thay đổi tương đối về động năng của quả bóng thứ nhất so với giá trị $m_2/m_1$ đối với một số góc tán xạ. Có thể thấy rằng đối với các $\theta$ khác nhau, các đường cong có phần khác nhau nhưng chúng đều có

Hình 3. Sơ đồ lắp đặt của A. Compton.
Một chùm tia X phát ra từ ống T bị tán xạ trên vật R. Để tách phần tán xạ ở một góc θ cho trước khỏi bức xạ tán xạ, người ta sử dụng một hệ khe (hình tương ứng với θ=90°). Bức xạ đi qua khe được phân tích bằng điện kế cắt. Phần quan trọng nhất của máy quang phổ là tinh thể, tạo thành cách tử nhiễu xạ không gian cho bức xạ tia X. Do sự nhiễu xạ trên cách tử này, các tia phản xạ từ tinh thể truyền theo các hướng tùy thuộc vào bước sóng của bức xạ phản xạ. Buồng hình nón được sử dụng để phân tích sự phân bố không gian của tia. Khi đi vào nó, lượng tử tia X gây ra sự hình nón của khí lấp đầy buồng. Kết quả là dòng điện chạy qua chất khí tăng lên. Bằng cách thay đổi hướng của máy ảnh so với tinh thể và theo dõi dòng điện, có thể xác định cường độ tương đối của tia X có bước sóng khác nhau tới bức xạ tán xạ.

Hình 4. Kết quả thí nghiệm của A. Compton.
a) là sự phụ thuộc của độ dịch chuyển Compton vào góc tán xạ θ; A là phổ của bức xạ trên; B, C, D - phổ của bức xạ tán xạ ở các góc lần lượt là θ = 45°, 90° và 135°.
Sự pha trộn tăng khi tăng góc tán xạ.
b) - kết quả nghiên cứu về ảnh hưởng của các thiết bị tán xạ khác nhau; A là phổ của bức xạ hiện tại.
Các nguyên tử của phần tử tán xạ càng lớn thì cường độ của thành phần bị dịch chuyển càng thấp và cường độ của thành phần không bị dịch chuyển càng cao. Lượng dịch chuyển không đổi.

tion") phụ thuộc vào góc tán xạ: khi θ tăng thì Δλ cũng tăng (hình 4, a). Đối với một góc θ cho trước, giá trị của Δλ không phụ thuộc vào bản chất của bộ tán xạ, nghĩa là khi bị tán xạ bởi các chất khác nhau, Δλ hóa ra giống nhau. Khi thay đổi bộ tán xạ, mối quan hệ giữa cường độ của các thành phần hỗn hợp (với bước sóng λ′) và không dịch chuyển (λ) thay đổi: khi số lượng nguyên tố trong bảng tuần hoàn tương ứng với vật liệu tán xạ tăng lên thì cường độ của thành phần không dịch chuyển sẽ tán xạ và thành phần hỗn hợp sẽ giảm đi (hình 4, b).

Sau khi tự thuyết phục mình về tính đúng đắn của dữ liệu thực nghiệm, Comptor, bất chấp sự phản đối của một số đồng nghiệp, đã công bố kết quả của mình. Tuy nhiên, ý nghĩ về sự cần thiết phải cung cấp cho họ một cách giải thích vật lý chưa bao giờ rời bỏ nhà khoa học. Và ngay sau đó Comptor xuất bản một tác phẩm mới, trong đó ông đưa ra lý thuyết về hiệu ứng. Một nhà vật lý thực nghiệm đề xuất một lý thuyết dựa trên những khái niệm hiện đại nhất thời bấy giờ! Lắng nghe là điều cực kỳ hiếm trong lịch sử vật lý.

“Sự tán xạ của tia RENten dưới dạng hạt”

Đây là cách Comptor đặt tiêu đề cho cuốn hồi ký của mình, kể về những sự kiện liên quan đến việc phát hiện ra hiệu ứng mang tên ông. Tiêu đề này phản ánh lời giải thích chủ quan của Comptor về hiệu ứng này.

Comptor nhận được một nền giáo dục tốt ở quê nhà, và sau đó được gửi đi thực tập ở Anh, tại phòng thí nghiệm Cavendish nổi tiếng, nơi ông làm quen với những vấn đề vật lý quan trọng nhất trong thế kỷ 20. Đặc biệt, ông biết đến lý thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein, dựa trên ý tưởng coi ánh sáng là một dòng hạt đặc trưng bởi tần số v và năng lượng hv (h = 6,63·10⁻³⁴ J s - hằng số Planck). Ông cũng biết về sự bổ sung cho lý thuyết này do chính Einstein đưa ra, theo đó một lượng tử ánh sáng không chỉ có năng lượng mà còn có động lượng p=hv/c, trong đó c là tốc độ ánh sáng. Ý tưởng về động lượng của photon đã được đề xuất vào năm 1916, nhưng nó không nhận được sự xác nhận thực nghiệm cho đến đầu những năm 1920.

Comptor quyết định sử dụng các khái niệm học lượng tử để giải thích hiệu ứng mà ông phát hiện ra. Ông đề xuất rằng sự tán xạ lượng tử RENTen xảy ra trên các electron tự do của vật rắn ở trạng thái nghỉ và sự va chạm của lượng tử với electron tương tự như sự va chạm đàn hồi của các quả bóng, do đó giá trị năng lượng và động lượng của cả lượng tử và electron đều thay đổi. Trên thực tế, biểu đồ động lượng (hình 5), tương ứng với hiện tượng tán xạ cơ bản, trông giống như trong trường hợp các quả bóng va chạm, vì ở dạng vectơ, phương trình phản ánh định luật bảo toàn động lượng cũng được viết dưới dạng $\vec{p}_1 = \vec{p}'_1 + \vec{p}'_2$ ($\vec{p}_2 = 0$). Chỉ cần xét rằng động lượng của lượng tử trước và sau khi tán xạ tương ứng với p₁=hv/c và p’₁=hv’/c, và động lượng mà electron thu được là $p'_2 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} v$,

trong đó $m_0$ là khối lượng nghỉ của electron (do năng lượng cao của RENTSau đó, lượng tử, một electron trong quá trình va chạm có thể đạt tốc độ tương đương với tốc độ ánh sáng; do đó, khi viết phương trình nên sử dụng các công thức tương đối tính). Dựa vào sơ đồ, ta viết được phương trình phản ánh định luật bảo toàn động lượng:

$$\frac{hv}{c}^2 = \left( \frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right)^2 - \left( \frac{hv'}{c} \right)^2 + 2 \left( \frac{h}{c} \right)^2 vv' \cos \theta.$$ (4)

Phương trình tương đối tính của định luật bảo toàn năng lượng của lượng tử RENTen có dạng sau:

$$hv + m_0 c^2 = hv' + \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (5)

Hình 5. Sơ đồ xung tán xạ photon bởi electron đứng yên.

8

(ở vế trái của phương trình phản ánh trạng thái của hệ photon-electron trước khi tương tác, xét rằng electron có năng lượng nghỉ $m_0 c^2$). Các phương trình này cho phép chúng ta tìm các giá trị của độ dịch chuyển Compton $\Delta \lambda$ đối với một góc tán xạ cho trước $\theta$. Xét rằng $v = c / \lambda$, $v' = c / \lambda' = c / (\lambda + \Delta \lambda)$, từ (4) và (5) ta thu được:

$$\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \theta).$$

(6)

Kết quả này có ý nghĩa gì? Trước hết, giá trị $\Delta \lambda$ hóa ra không phụ thuộc vào $\lambda$ và chỉ được xác định bởi góc tán xạ $\theta$ và các hằng số cơ bản $m_0$, $c$ và $h$). Từ công thức (6), cũng rõ ràng tại sao hiệu ứng Compton trên thực tế không được quan sát thấy đối với các photon của ánh sáng khả kiến. Nếu đối với vùng RENTen, tỷ lệ $\Delta \lambda_{\max} / \lambda$ ($\Delta \lambda_{\max} = 2h / m_0 c$) khi phân tán ở một góc $\theta = \pi$ là vài phần trăm (đối với $\lambda = 10^{-10} \text{m}$ $\Delta \lambda_{\max} / \lambda = 5 \cdot 10^{-2}$), thì đối với ánh sáng khả kiến ​​$\Delta \lambda_{\max} / \lambda$ là rất nhỏ (ví dụ: đối với $\lambda = 5 \cdot 10^{-7} \text{m}$, $\Delta \lambda_{\max} / \lambda \approx 10^{-5}$). Mặt khác, từ công thức (6), suy ra rằng $\Delta \lambda / \lambda$ sẽ tăng trong quá trình chuyển đổi từ bức xạ RENTEN sang bức xạ $\gamma$. Điều này được xác nhận bởi các quan sát:

*) Đại lượng $\Lambda = h / (m_0 c)$, bằng $2,42 \cdot 10^{-12} \text{m}$ đối với electron, được gọi là bước sóng Compton. Nó đóng một vai trò quan trọng trong vật lý lý thuyết hiện đại.

γ-dynaband $\Delta \lambda_{\max} / \lambda > 1$. Công thức của $\Delta \lambda$ cũng cho thấy một thực tế là sự trộn Compton không phụ thuộc vào bản chất của chất tán xạ: sự tán xạ xảy ra trên các electron - các hạt là một phần của mọi chất.

Người ta cũng có thể hiểu được sự thay đổi cường độ tương đối của các thành phần hỗn hợp và không thiên vị khi bộ phân tán được trộn lẫn. Sự không dịch chuyển ban đầu của thành phần là do sự tán xạ của sự thay đổi không phải bởi các electron tự do mà bởi các electron liên kết mạnh với hạt nhân nguyên tử. Trong trường hợp này, sự tán xạ xảy ra như thể photon va chạm không phải với một electron mà với một hạt khí có khối lượng lớn hơn, bằng độ lớn với khối lượng của hạt nhân. Theo đó $\Delta \lambda$ không có gì là nhỏ (xem (6)). Số nguyên tử của một nguyên tố càng cao thì tỷ lệ trong tổng số electron được tạo thành từ các electron “khối lượng” càng lớn, tổng hiệu ứng của nó tăng theo cường độ tương đối của thành phần không thiên vị.

Vì vậy, lý thuyết của Compton rất phù hợp với những đặc điểm chính của hiệu ứng được phát hiện. Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng nó đã được sự đồng thuận nhất trí. Các nhà khoa học trong hồi ký của họ đã nói về một tình tiết phản ánh rõ ràng thái độ của thế giới khoa học đối với việc khám phá ra giới trẻ.

9

người Mỹ. Năm 1924, tại cuộc họp thường niên của các nhà khoa học đến từ các nước Anh, nơi các nhà vật lý nổi tiếng như Rutherford, Bragg và những người khác có mặt, một cuộc thảo luận chuyên đề đã nổ ra xung quanh công trình của Compton mà những người Anh đúng giờ thậm chí đã từng hy sinh giờ nghỉ trưa của mình để tiếp tục nó. Chưa hết, sau cuộc gặp, nhà vật lý nổi tiếng người Ấn Độ Ch. Raman đến gần Compton và nói: “Compton, anh là một nhà tranh luận xuất sắc, nhưng sự thật không đứng về phía anh”. Trớ trêu thay, ba năm sau, Raman hóa ra lại là một trong những tác giả của việc phát hiện ra một loại tán xạ khác, trong đó một phần bức xạ thay đổi - cái gọi là tán xạ Raman của ánh sáng *).

Chỉ theo thời gian, lý thuyết của Compton, được xác nhận bằng kết quả của nhiều thí nghiệm, mới được công nhận.

Hiệu ứng Compton đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của lý thuyết lượng tử về bức xạ. Công lao khám phá của ông đã được trao giải Nobel Vật lý năm 1927. Sau đó, các nhà khoa học nhận thấy rằng thực tế này rất quan trọng đối với vật lý thiên văn. Người ta phát hiện ra rằng trong không gian không chỉ có hiệu ứng Compton như đã được thảo luận ở trên mà còn có hiện tượng tán xạ ngược. Có rất nhiều electron chuyển động rất nhanh trong Vũ trụ đơn giản vô tận, có thể va chạm với các photon. Sơ đồ xung của những viên đá như vậy có thể trông giống như trong Hình 5, nhưng hướng của tất cả các xung phải đảo ngược. Kết quả của sự va chạm là electron dừng lại (hoặc gần như dừng lại), động lượng và do đó năng lượng của photon tăng lên. Do đó, với tán xạ Compton nghịch đảo, bước sóng photon giảm chứ không tăng như trong hiệu ứng trực tiếp.

Sự khác biệt là gì?

Trước khi kết thúc cuộc trò chuyện về hiệu ứng Compton bằng một câu hỏi:
*) Không phụ thuộc vào Raman, tán xạ Raman được phát hiện và giải thích bởi các nhà vật lý Liên Xô G. S. Landsberg và L. I. Mandelst.

Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét bài toán về cách tìm phương trình lời giải

$$a^2 + b^2 = c^2$$

(1)

bằng số tự nhiên. Thương số lời giải của bài toán này đã được tìm thấy từ rất lâu trước khi toán học xuất hiện như một môn khoa học. Do đó, việc khai thác kiến ​​thức cổ xưa lời giải $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ và một số phương trình lời giải khác (1), bao gồm cả những phương trình phức tạp như (105, 36, 111) hoặc (12709, 13500, 18541).

Mặc dù có nhiều quan điểm khác nhau về toán học trong thời kỳ Hiệp ước, nhưng không có lý do gì để quy việc khai thác trong trường bách khoa hiện đại là phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong phương pháp toán học bách khoa hiện đại. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối những sản phẩm đầu tiên của toán học bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học xuất hiện vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại. Truyền thống kết nối các công thức toán học đầu tiên bài toán trong trường bách khoa hiện đại với phương pháp toán học. Toán học như một môn khoa học giáo dục trong trường phái Pythogoreans.

Do đó, và có lẽ cũng vì có những mối liên hệ rất phức tạp với định lý hình học của Pythagoras nên phương trình (1) được gọi là bài toán Pythagore, và các điểm của các số tự nhiên thỏa mãn phương trình này được gọi là vết Pythagore. Từ định lý Pythagore, nó suy ra rằng với mọi tam giác vuông có hai chân nguyên $a, b$ và cạnh huyền $c$ thì tương ứng với một bộ ba Pythagore nhất định sao cho $0 < a < b < c$ và ngược lại. Do đó, bài toán Pythagoras có ý nghĩa hình học tùy ý (hình 1).

Phương pháp số học lời giải bài toán Pythagoras

Rõ ràng là nếu bộ ba số tự nhiên $(a, b, c)$ là một số pythagore, thì đối với một số nguyên dương $k$ thì bộ ba số $(ka, kb, kc)$ cũng sẽ là một số pythagore. Do đó, đối với lời giải bài toán Pythagoras, không cần phải liệt kê tất cả các dấu vết Pythagore $(a, b, c)$ - chỉ cần liệt kê các dấu vết nguyên thủy là đủ, tức là các dấu vết Pythagore $(a, b, c)$ không có một số nguyên duy nhất $k > 1$ chia cả ba số $a, b, c$ mà không có phần dư.

Và việc xử lý các dấu vết Pythagore nguyên thủy diễn ra dễ dàng. Để làm được điều này, có một cái rây đơn giản, được những người theo trường phái Pythogorean biết đến; dựa trên tuyên bố sau:

nếu $p = q$ là số nguyên tố nghịch đảo của các số chẵn lẻ khác nhau, $p > q$, thì bộ ba số

$$a = p^2 - q^2, b = 2pq, c = p^2 + q^2$$ (*)

sẽ là bộ ba Pythagore nguyên thủy.

Ví dụ: nếu lấy $q = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$, $p = 163$, chúng ta sẽ nhận được bộ ba Pythagore (24805, 13692, 28333).

Bằng chứng của tuyên bố được nêu trong khuôn khổ là rõ ràng. Thật vậy, do (*)

$$a^2 + b^2 = (p^2 - q^2)^2 + 4p^2q^2 = (p^2 + q^2)^2 = c^2,$$

tức là bộ ba $(a, b, c)$ là số Pythogorian. Nó cũng nguyên thủy: có rất nhiều điểm chung

13

trông giống như
$$y = k(x + 1),$$
trong đó $k$ là độ dốc của đường thẳng.
Như vậy tọa độ của điểm $(x_2; y_2)$ sẽ thỏa mãn hệ phương trình
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = k(x + 1). \end{cases}$$
Chúng ta hãy giải hệ này cho $x$ và $y$. Thay giá trị $y = k(x + 1)$ từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ, ta thu được
$$x^2 + k^2(x + 1)^2 = 1,$$
hoặc
$$(1 + k^2) \cdot x^2 + 2k^2 \cdot x + k^2 - 1 = 0.$$
Nếu $x$ thỏa mãn phương trình cuối thì $x$ là hoành độ của giao điểm của đường $y = k(x + 1)$ với đường tròn $K$, tức là $x = x_1 = -1$ hoặc $x = x_2$. Từ định lý Vieta suy ra rằng
$$x_1 + x_2 = -\frac{2k^2}{1 + k^2},$$
Ở đâu
$$x_2 = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}.$$
Vì điểm $(x_2; y_2)$ nằm trên đường thẳng $y = k(x + 1)$ nên
$$y_2 = \frac{2k}{1 + k^2}.$$
Hai công thức cuối tương ứng với mỗi số $k$ có dấu chấm
$$(x_2; y_2) = \left(\frac{1 - k^2}{1 + k^2}; \frac{2k}{1 + k^2}\right),$$
nằm trên đường tròn $x^2 + y^2 = 1$. Ngược lại, mỗi điểm $(x; y) \neq (-1; 0)$ nằm trên đường tròn $K$ ứng với một và chỉ một giá trị của hệ số góc $k$:

$$k = \frac{y}{x + 1}.$$

Ở đây lưu ý rằng nếu $k$ là số hữu tỉ thì điểm $(x_2; y_2)$ được xác định theo công thức (6) và có tọa độ hữu tỉ, và ngược lại, nếu $x_2$ và $y_2$ là số hữu tỉ thì theo công thức (7) $k$ là số hữu tỉ. Như vậy,

sự tương ứng một-một được thiết lập giữa các điểm có tọa độ hữu tỉ của đường tròn bán kính đều (trừ điểm $(-1; 0)$) và các điểm hữu tỉ của đường thẳng thực.

Bằng cách buộc các đại lượng $k$ chạy qua tất cả các giá trị hữu tỉ của khoảng từ $-\infty$ đến $+\infty$, chúng ta sẽ liệt kê tất cả các điểm có tọa độ hữu tỉ trên đường tròn $K$ của một bán kính (ngoại trừ điểm $(-1; 0)$) và từ đó tìm ra tất cả các Pythagoras lời giải bài toán nguyên thủy.

Hãy trình bày các công thức tương ứng. Đặt $k = p/q, q > 0$, GCD $(p, q) = 1$. Khi đó từ công thức (6) suy ra rằng

$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{q^2 - p^2}{q^2 + p^2}; \frac{2pq}{q^2 + p^2}\right).$$

Về cơ bản chúng ta đã thu được công thức (*) một lần nữa! Để có được kết quả tương tự một cách chính xác, tất cả những gì bạn phải làm là mày mò một chút với bốn.

Trong trường hợp có các chẵn lẻ $p$ và $q$ khác nhau, công thức () tương ứng với bộ ba Pythagore nguyên thủy $(a, b, c) = (q^2 - p^2, 2pq, q^2 + p^2)$. Nếu $p$ và $q$ đều là số lẻ thì khi chuyển sang các biến mới $q_1 = (q + p)/2, p_1 = (q - p)/2$, GCD $(p, q) = 1$, chúng ta thu được $q^2 + p^2 = 2(q^2 + p^2), q^2 - p^2 = 4p_1q_1, 2pq = 2(q^2 - p^2)$. Sau khi giảm đi 2 in () ta được

$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{2q_1p_1}{q_1^2 + p_1^2}; \frac{q_1^2 - p_1^2}{q_1^2 + p_1^2}\right).$$

Lưu ý rằng công thức (8) khác với công thức () ở chỗ hoán vị của $x_2$ và $y_2$. Nếu hóa ra $p_1$ và $q_1$ đều là số lẻ thì chúng ta chuyển sang các biến $q_2 = (p_1 + q_1)/2, p_2 = (q_1 - q_1)/2$, GCD $(q_2, p_2) = 1$, v.v. Kết quả là chúng ta thu được công thức loại () hoặc công thức loại (8), trong đó $p_1$ và $q_1$ có số chẵn lẻ khác nhau, GCD $(p_2, q_2) = 1$. Do đó, lời giải nguyên thủy tương ứng với điểm hữu tỉ $(x_2; y_2) \neq (-1; 0)$ được cho bằng công thức loại () hoặc công thức loại (8), trong đó $p_1$ và $q_1$ là sự tương ứng một-một giữa nghiệm nguyên thủy của phương trình Pythagore và các điểm hữu tỉ của đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ (không bao gồm điểm $(-1; 0)$) từ công thức () và (8) được theo sau bởi câu lệnh (*).

14

Tham số hóa hợp lý của các phần hữu hạn

Để tìm điểm hữu tỉ nằm trên đường tròn có phương trình $x^2 + y^2 - 1 = 0$, ta rút ra công thức (6). Nó thiết lập sự tương ứng một-một giữa tham số $k$, tham số này nhận tất cả các giá trị thực có thể có và các điểm của đường tròn (ngoại trừ điểm $(-1; 0)$) và tọa độ $(x; y)$ của các điểm nằm trên đường tròn là các hàm hữu tỷ của $k$. Câu hỏi đặt ra là: liệu có thể xác định tương tự các điểm nằm trên các đường cong khác, ví dụ như trên một hình elip, parabol hay hyperbol không? (Elip, parabol và hyperbol là các phần hữu hạn; do đó có tên của phần này.)

Đối với đáp số câu hỏi này, hãy xem xét đường cong trong mặt phẳng được cho bởi phương trình $K(x, y) = 0$, trong đó $K(x, y)$ là đa thức bậc hai trong $x$ và trong $y$. Các điểm nằm trên một parabol, elip và hyperbol thỏa mãn kiểu tương ứng này. Đặt $(x_1; y_1)$ là một điểm cố định nào đó của đường cong như vậy. Chúng ta vẽ một đường thẳng đi qua điểm này với hệ số góc bằng $k$ (hình 3). Chúng ta sẽ tìm các điểm $(x; y)$ giao điểm của đường cong và đường thẳng. tọa độ $(x; y)$ của các điểm này thỏa mãn hệ phương trình
$$\begin{cases} K(x, y) = 0, \\ y - y_1 = k(x - x_1). \end{cases}$$

Giải hệ này cho $(x; y)$ theo cách tương tự như đã làm trước đó cho đường tròn, ta biểu thị tọa độ $(x_2; y_2)$ của giao điểm thứ hai

đường thẳng $y = y_1 + k(x - x_1)$ với đường cong $K$ thông qua tham số $k$. Thật dễ dàng để kiểm tra xem bạn có nhận được một biểu thức như
$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{A(k)}{C(k)}; \frac{B(k)}{C(k)}\right),$$
trong đó $A(k), B(k), C(k)$ là các đa thức bậc không lớn hơn 2 trong tham số $k$. Công thức này chỉ định tham số hóa hợp lý của đường cong $K$, tức là nó biểu thị tọa độ của một điểm trên đường cong thông qua các hàm hữu tỷ của một tham số $k$.

Công thức (*), giống như công thức (), cho phép bạn tìm toàn bộ điểm trên đường cong $K$. Tuy nhiên, bây giờ chúng tôi quan tâm đến một ứng dụng khác - hoàn toàn bất ngờ - của công thức này mà chúng tôi sẽ tiếp tục.

Ứng dụng vào tính tích phân

Hóa ra những tích phân dường như vô vọng như
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}},$$
được thực hiện nếu chúng ta sử dụng tham số hóa hợp lý phù hợp với đường cong đã chọn. Cụ thể là, nếu trong trường hợp này chúng ta lấy đường cong
$$K(x, y) = y^2 - (x^2 + 3x - 4),$$
chú ý rằng điểm $(x_1; y_1) = (-4; 0)$ nằm trên đường cong
$$y(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$$
và xét tất cả các đường thẳng có thể
$$y = k(x + 4),$$
sau đó bạn nhận được tham số hóa sau (tự thực hiện các phép tính!):
$$\left(x; y\right) = \left(\frac{1 + 4k^2}{1 - k^2}; \frac{5k}{1 - k^2}\right).$$

Sau đó $dx = \frac{10k}{(1 - k^2)^2} dk$, và do đó (sau khi giảm) chúng ta nhận được
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}} = \int \frac{dx}{y(x)} = \int \frac{2dk}{1 - k^2}.$$

Tích phân cuối cùng dễ tính:
$$\int \frac{2dk}{1 - k^2} = \int \frac{dk}{1 - k} + \int \frac{dk}{1 + k} = \ln |1 + k| - \ln |1 - k| + C = \ln \left| \frac{1 + k}{1 - k} \right| + C.$$

15

Bài toán

M1021. Một người leo núi muốn leo lên một tảng đá cao 1000 m. Sau khi cắm trại dưới chân tảng đá, anh ta có thể leo lên bằng dây thừng với tốc độ 40 mét một giờ và sau một sợi dây lạnh trên tảng đá - 30 mét một giờ. Anh ta leo lên sợi dây đã hoàn thành với tốc độ 400 mét một giờ. Hỏi anh ta có thể lên đến đỉnh trong bao nhiêu ngày nếu làm việc trên tảng đá (bao gồm cả việc leo dây) 6 giờ một ngày? (Thời gian hạ cánh và các hoạt động khác đang chờ xử lý.)
M1022. 8 số tự nhiên đầu tiên có thể xếp thành hai hàng sao cho tổng các số ở hàng trên bằng tổng các số ở hàng dưới, tổng các số ở các cột cũng bằng nhau. Có thể sắp xếp theo cách tương tự để vượt quá a) mười, 6) mười hai số tự nhiên không?

| 1 | 4 | 6 | 7 |
| :— | :— | :— | :— |
| 8 | 5 | 3 | 2 |

c) Với những số tự nhiên $n$ nào thì các số từ 1 đến $2n$ có thể sắp xếp được như sau?

M1023. Trong 100 hình tam giác, có phải luôn có ít nhất một hình có thể bao phủ hoàn toàn 99 hình còn lại không?

G. A. Gurevich

M1024*. Chứng minh rằng với hai tam giác bất kỳ có các góc $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ và $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ thì bất đẳng thức
$$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} \leq \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma.$$
R. P. Ushakov

M1025*. Hai đường thẳng đi qua một và giao điểm kia của các phần kéo dài của các cạnh đối diện của một tứ giác lồi cắt tứ giác đó thành bốn tứ giác nhỏ hơn. Chứng minh rằng nếu viết được các đường tròn thành hai không có cạnh chung thì đường tròn đó có thể viết thành tứ giác ban đầu.

I. F. Sharyzin

F1033. Một khối có bán kính $R$ sẽ được cắt ngang bằng một sợi dây mềm đồng nhất có khối lượng $m$ và chiều dài $l$, gắn vào hai tiếng hét trên trần nhà nằm ở khoảng cách $2R$ (hình 1). Trên trục của khối có tải trọng, khối lượng của tải trọng đó cùng với khối là $M$. Không có lực căng giữa dây và khối. Tìm lực căng nhỏ nhất của dây.

V. I. Chuvilev

F1034. Một mol khí lý tưởng từ trạng thái ban đầu 1 có nhiệt độ $T_1=100$ K, giãn nở qua tuabin thành một bình rỗng, thực hiện một số công và chuyển sang trạng thái 2 (hình 2). Quá trình chuyển đổi này xảy ra mà không cần cung cấp hoặc loại bỏ nhiệt. Sau đó, khí được nén trong quá trình $2 \rightarrow 3$, trong đó áp suất là hàm tuyến tính của thể tích, và cuối cùng, trong quá trình đẳng tích $3 \rightarrow 1$, khí trở về trạng thái ban đầu. Tìm công mà khí thực hiện trong quá trình giãn nở qua tuabin trong quá trình chuyển tiếp $1 \rightarrow 2$, nếu trong quá trình $2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ khí cuối cùng được cung cấp nhiệt $Q = 72$ J. Từ-

16

hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Vui lòng viết họ và tên của bạn bằng chữ in hoa.

Diagram of a pulley system

Hình 1. Hình 2.
Hình 3.

Chúng tôi đã xuất bản các bài toán về cuộc thi của Kvant hàng tháng kể từ số đầu tiên của tạp chí của chúng tôi. Đây là những vấn đề không chuẩn, nhưng cách giải của chúng không đòi hỏi thông tin nào nằm ngoài phạm vi giáo trình trung học của Liên Xô. Những bài toán khó hơn được đánh dấu sao (*). Sau khi trình bày vấn đề, chúng ta thường chỉ ra ai đã đề xuất vấn đề đó cho chúng ta. Không cần phải nói cũng biết rằng không phải tất cả những vấn đề này đều là những ấn phẩm đầu tiên. Giải pháp cho vấn đề này (bằng tiếng Nga hoặc tiếng Anh) có thể được đăng không muộn hơn ngày 15 tháng 3 năm 1987, tới địa chỉ sau: Liên Xô, Moscow, 103006. Moscow K-6, st. Gorky, 31/1, Kvant. Vui lòng gửi lời giải của các bài toán vật lý và toán học, cũng như các bài toán từ các bài toán khác nhau, dưới bìa riêng; trên phong bì ghi dòng chữ: “VẤN ĐỀ CỦA KWANT” và số của tất cả các bài toán đã giải được; trong thư của bạn bao gồm mọi thứ $T_2=T_3$, $V_2=3V_1$; hằng số khí $R=8,31$ J/(mol K).

A. A. Sheropov

F1035. Một lưỡng cực điện gồm hai điện tích điểm ghép cứng $+q$ và $-q$, nằm cách nhau một khoảng $l$, quét một tụ điện phẳng, các bản tụ của tụ điện này được nối với nguồn có suất điện động $\epsilon$ (hình 3). Xác định tốc độ của lưỡng cực tại tâm tụ điện nếu biết tốc độ của nó ra xa tụ điện là $v_0$. Khoảng cách giữa các bản của tụ điện là $d$, khối lượng của lưỡng cực là $m$. Bỏ qua lực hấp dẫn.

A. V. Shelazin

F1036. Hai sợi dây đàn hồi giống nhau có độ cứng $k=10^4$ N/m được gắn vào một vật có khối lượng $m=20$ g nằm trên sàn nhẵn nằm ngang. Một sợi dây được gắn vào tường, đầu tự do của sợi thứ hai bắt đầu bị kéo theo phương ngang với tốc độ $v=10$ m/s. Sợi nào sẽ đứt nếu mỗi sợi chỉ đứt ở độ giãn dài tuyệt đối $\Delta l_{\text{np}}=5$ cm? Giả sử rằng định luật Hooke đúng cho đến khi chúng đứt; không có đào tạo.

E. P. Sokolov

F1037. Một lỗ nhỏ được tạo ra trong một quả cầu rỗng, qua đó xuất hiện một lỗ bên trong có độ giãn dài tuyệt đối là $\Delta l_{\text{np}}=5$ cm? Giả sử rằng định luật Hooke đúng cho đến khi chúng đứt; không có đào tạo.

Problems
M1021—M1025; P1033—P1037

M1021. A mountain climber intends to go up a sheer rock wall of 1000 m. After spending a warm night in camp near the wall’s base, he climbs up, hanging up ropes, with vertical velocity 40 m per hour. After a cold night on the wall itself, his velocity decreases to 30 m per hour. When the ropes are already hanging, he climbs 400 m per hour. How many days will he take to reach the top if he is able to work 6 hours a day on the wall. (The time for climbing down and other operations is negligible).

M1022. The first 8 natural numbers may be written in two rows (see the table on p. 15) so that the sum of numbers in the upper row equals that in the lower one, and the column sums are also equal to each other. Can the first a) ten, b) twelve natural numbers be arranged in this way?

c) For what natural $n$ can the numbers 1 to 2n be arranged this way?

M. I. Shterenberg

M1023. Is it always possible to find one triangle among any 100 which can be covered entirely by the other 99?

G. A. Gurevich

M1024*. Prove that for any two triangles with angles $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ and $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ the following inequality holds

$$\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta_1}{\sin \beta} + \frac{\cos \gamma_1}{\sin \gamma} \leq \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma.$$

R. P. Ushakov

M1025*. Two straight lines, passing each through one of two different intersection points of the extended sides of a convex quadrilateral, divide it into four lesser quadrilaterals. Show that if circles can be inscribed into two of them (not having a common

18

thao tác tương tự được lặp lại với một trong ba đống kết quả và cứ như vậy cho đến khi tất cả các đống đều chứa một viên đá. Tổng số 1000 tác phẩm được ghi lại là bao nhiêu?

M1003. Cho tam giác ABC có ba đường cao AH, BK, CL. Chứng minh đẳng thức AK·BL·CH = A·L·BH·CK = HK·KL·LH.

Gọi các góc tại các đỉnh A, B, C của tam giác này lần lượt bằng α, β, γ. Khi đó AK=AB|cos α|, AL=AC|cos α| (dấu mô đun cho biết góc ngẫu nhiên α; xem hình 1, 2), do đó, tam giác AKL đồng dạng với tam giác ABC với hệ số |cos α| và KL=BC|cos α|. Thay các biểu thức và phân tích này vào các đẳng thức từ điều kiện bài toán), 6) Xét ba trường hợp vị trí của đường thẳng l đi qua A.

1. Đường thẳng l chứa đỉnh B hoặc C. Trong trường hợp này, rõ ràng các điểm cần tìm không nằm trên đường thẳng đó (∠ABM chỉ có thể bằng ∠ACM khi M=A).

2. Điểm B và C nằm cùng phía với l (hình 1). Khi đó từ đẳng thức ∠ABM=∠ACM suy ra các điểm A, B, C, M cùng thuộc một đường tròn, nghĩa là M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng l, khác A. Điểm l không tồn tại nếu đường thẳng l tiếp xúc với đường tròn ABC. Đối với tất cả các đường thẳng khác được xét ở đây có một điểm M duy nhất.

3. Điểm B và C nằm ở hai phía đối diện của l. Cho B₁ là một điểm đối xứng với B đối với l. Nếu nó không nằm trên đường thẳng AC (hình 2), thì tam giác ABC có thể được thay thế bằng AB₁C (∠ABM=∠AB₁M cho tất cả các điểm M của đường thẳng l), và B₁ và C đã nằm cùng phía với l. Bây giờ, từ những gì đã nói ở trường hợp 2), suy ra rằng trên bất kỳ đường thẳng l nào cũng có nhiều nhất một điểm bắt buộc, và hơn nữa, những điểm này không chỉ tồn tại khi l chạm vào đường tròn ngoại tiếp tam giác AB₁C. Hãy để tôi là một dòng như vậy (hình 3).

20

Theo sizhal, vận động viên A bắt đầu di chuyển về phía đông với tốc độ $v_0=1\text{m}/\text{c}$, và vận động viên B bắt đầu di chuyển về phía nam với gia tốc không đổi. Xác định gia tốc này nếu biết nút B buộc trên dây đi qua điểm Γ trong quá trình chuyển động (thang đo được biểu thị ở hình).

Diagram

F1014. Máy granito mots, có tác dụng giải phóng tín hiệu, được cố định trên bệ báo động, được thổi bằng không khí, nhiệt độ của nó là 30 °C. hình hiển thị sự phân bố nhiệt độ tại địa điểm. Xác định công suất tiêu tán. Được biết, một tấm được làm nóng đồng đều đến 70 °C sẽ tiêu tán năng lượng $P=10\text{Bt}$ ở nhiệt độ không khí 20 °C. Đầu ra Telo tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa tấm và không khí.

Chia đĩa thành các phần nhỏ giống hệt nhau (có 130 phần như vậy trong hình). Rõ ràng là công suất $P$ tiêu tán bởi tấm bằng tổng công suất $\sum p_i$ tiêu tán trên từng phần riêng lẻ.

Công suất được mang đi từ mỗi phần bằng

$$p_i = p_0 \cdot \Delta t_i,$$

trong đó $\Delta t_i$ là chênh lệch nhiệt độ giữa khu vực và không khí, $p_0$ là hệ số tỷ lệ. Được biết, ở nhiệt độ không khí $t_{B1}=20\text{°C}$, năng lượng $P=10\text{Bt}$ được mang ra khỏi tấm, được làm nóng đồng đều đến $t_1=70\text{°C}$. Trong trường hợp này, cùng một công suất được mang đi từ mỗi phần

$$p = \frac{P}{130} = p_0(t_1 - t_{B1}).$$

Từ đây xuất hiện $p_0$:

$$p_0 = \frac{P}{130(t_1 - t_{B1})} = \frac{10}{130 \cdot 50} \text{Bt/град} = 1,54 \cdot 10^{-3} \text{Bt/град}.$$

21

chúng ta sẽ giả sử rằng nhiệt độ của các khu vực nằm giữa các đường đẳng nhiệt 60 °C và 70 °C bằng 65 °C (đối với các khu vực này Δt = 35 °C), giữa các đường đẳng nhiệt 60 °C và 50 °C - 55 °C (Δt = 25 °C), v.v. Khi đó, tổng công suất tiêu tán của tấm có thể được tính như sau:
$$P_1 \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (45 \cdot 4 + 35 \cdot 17 + 25 \cdot 30 + 15 \cdot 60) + 5 \cdot 20) Bt = 1,54 \cdot 10^{-3} \cdot 2525 Bt \approx 3,9 Bt.$$
Để đánh giá độ chính xác của kết quả này, bạn có thể xem kết quả bị ảnh hưởng như thế nào khi không xóa các ước tính nhiệt độ của các “thùy” của tấm. Hãy lấy nhau 65 °C - 67,5 °C, cùng 55 °C - 57,5 ​​°C, v.v. Sau đó
$$P_{\text{верх}} \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (47,5 \cdot 4 + 37,5 \cdot 17 + 27,5 \cdot 30 + 17,5 \cdot 60 + 7,5 \cdot 20) \approx 4,4 Bt.$$
Chúng ta có thể ước tính ngay lập tức bằng cách lấy nhiệt độ được ghi lại:
$$P_{\text{низж}} \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (42,5 \cdot 4 + 32,5 \cdot 17 + 22,5 \cdot 30 + 12,5 \cdot 60 + 2,5 \cdot 20) \approx 3,4 Bt.$$
Vì thế,
$$P_1 = (3,9 \pm 0,5) Bt.$$
Tất nhiên, chúng tôi đã đánh giá quá cao khả năng không xóa được các định nghĩa về nhiệt độ. Tuy nhiên, bạn cần hiểu rằng tạp chất này không phải là nguyên nhân duy nhất (và không phải là quan trọng nhất) dẫn đến sai sót trong tính toán của chúng ta. Điều kiện bài toán được lý tưởng hóa; nó không tính đến sự đối lưu không khí, điều này làm thay đổi kết quả rất nhiều.

A. R. Zilberman

F1015. Mạch điện ở hình hình chứa 50 ampe khác nhau và 50 vôn kế giống hệt nhau. Số chỉ của vôn kế thứ nhất là $U_1=9,6$ V, ampe thứ nhất là $I_1=9,5$ mA, ampe thứ hai là $I_2=9,2$ mA. Sử dụng những dữ liệu này, xác định tổng số đọc của tất cả các vôn kế.

Dòng điện chạy qua ampe $A_1$ bằng tổng dòng điện chạy qua vôn kế $V_1$ và ampe $A_2$, tức là.
$$I_1 = I_{V1} + I_2;$$
do đó, dòng điện chạy qua vôn kế $V_1$ là
$$I_{V1} = I_1 - I_2 = 0,3 \text{ мА},$$
và điện trở của vôn kế -
$$R = \frac{U_1}{I_{V1}} = \frac{9,6}{0,3 - 10^{-3}} \text{ Ом} = 32 \text{ кОм}.$$
Theo điều kiện bài toán, tất cả các vôn kế đều giống nhau, tức là điện trở của mỗi vôn kế là 32 kOhm.

Hãy viết tổng điện áp được hiển thị bởi tất cả các vôn kế:
$$\sum_{i=1}^{50} U_{Vi} = \sum_{i=1}^{50} I_{Vi} R = R \sum_{i=1}^{50} I_{Vi}.$$
Nhưng $\sum_{i=1}^{50} I_{Vi} = \text{это ток, текущий через амператор } A_1$, tức là
$$\sum_{i=1}^{50} I_{Vi} = I_1.$$ Pozotomu
$$\sum_{i=1}^{50} U_{Vi} = RI_1 = 304 \text{ В}.$$
A. R. Zilberman

F1016. Một lõi sắt từ có khối lượng $M=0,01$ kk có thể được hút tự do vào cuộn dây. Katush-

Khi lõi sắt từ được hút vào cuộn dây thì độ chỉ thị của cuộn dây sẽ thay đổi. Trong trường hợp này, định luật cảm ứng điện từ được viết như sau:

22

Ku được nối với nguồn có điện áp $U = 100$ V và có dòng điện chạy qua nó, được hiển thị trên biểu đồ ở hình. Tính độ tự cảm ban đầu của cuộn dây. Bỏ qua tổn hao, tìm vận tốc của lõi tại thời điểm $\tau = 10^{-3}$ s.

$$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d(LI)}{dt} = U.$$

Ở đây $L$ là độ tự cảm của cuộn dây, tùy theo thời gian, $I$ là dòng điện trong cuộn dây, cũng phụ thuộc vào thời gian. Đó là lý do tại sao

$$\frac{d(LI)}{dt} = I \frac{dL}{dt} + L \frac{dI}{dt} = U.$$

Trong khoảng thời gian đầu, khi lõi chưa chuyển động, ta có thể coi độ tự cảm không thay đổi. Khi đó $\frac{dL}{dt} = 0$ và phương trình (*) có dạng

$$L_0 \frac{dI}{dt} = U,$$

trong đó $L_0$ là độ tự cảm ban đầu của cuộn dây. Từ biểu đồ, chúng ta thấy rằng trong khoảng thời gian này $\frac{dI}{dt} = 10^6 \frac{A}{c}$. Kể từ đây,

$$L_0 = \frac{100 \text{ B}}{10^6 \text{ A/c}} = 10^{-4} \text{ Гн.}$$

Giá trị $L_0$ đủ nhỏ để có thể bỏ qua trong tương lai (đặc biệt là vì hiện tại, như có thể thấy từ biểu đồ, thay đổi rất ít trong tương lai). Do đó, đối với $t > 10^{-5}$ с, phương trình (*) có dạng sau:

$$I \frac{dL}{dt} = U.$$

Điều này cho thấy $L$ sẽ kéo dài theo thời gian, vì $U = 100 \text{ B} = \text{const}$ và $I = 10 \text{ A} = \text{const}$:

$$L = \frac{U}{I} t.$$

Hiện tại $t = \tau = 10^{-3}$ s

$$L_\tau = \frac{100}{10} \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн.}$$

Hãy tìm tốc độ của lõi tại thời điểm này. Bỏ qua tổn thất, ta viết định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{mv^2}{2} + L_\tau \frac{I^2}{2} = IU\tau,$$

trong đó $IU\tau$ là công của nguồn trong thời gian $\tau = 10^{-3}$ s, $L_\tau I^2/2$ là năng lượng điện từ của cuộn dây, $mv^2/2$ là động năng của lõi sắt từ. Từ đây chúng ta tìm thấy $v$:

$$v = \sqrt{\frac{2IU\tau - L_\tau I^2}{m}} = 10 \text{ м/c.}$$

Về lời giải cái bài toán này cần phải đưa ra một vài nhận xét. bài toán này đề cập đến cái gọi là bài toán “ước tính”, trong đó, theo quy luật, một số đại lượng được chỉ định gần đúng hoặc phải được tìm thấy từ biểu đồ, những đại lượng khác phải được tìm thấy gần đúng, bỏ qua một số đại lượng nhỏ. Trong bài toán này, chúng tôi đã không tính đến điện trở hoạt động của nguồn, tổn thất trong lõi do dòng điện Foucault; họ đã không tính đến rằng dòng điện trong lõi sau lần nhảy đầu tiên sẽ không đổi theo thời gian mà sẽ ít hơn một chút; và tất nhiên, chúng ta chưa xét đến quá trình chuyển từ độ tự cảm nhỏ sang độ tự cảm lớn. Chính xác lời giải trong số bài toán này là khó đạt được; tuy nhiên, ước tính của chúng tôi gần với giá trị thực.

V.E. Nồi chiên

23

Nhiệm vụ

1. Vua Arthur đã ra lệnh cho nghệ sĩ hình chiếc khiên có hình bốn vòng tròn, với yêu cầu sơn nó bằng ba màu: vàng - màu của lòng tốt, đỏ - lòng dũng cảm và xanh lam - trí tuệ. Khi họa sĩ mang hình đến, người cận vệ nói rằng trong bức vẽ có nhiều lòng dũng cảm hơn là trí thông minh. Tuy nhiên, nghệ sĩ đã có thể chứng minh rằng có số lượng bằng nhau của cả hai. Làm sao?
2. Giải câu đố số viết trong hình. Cùng một chữ cái ứng với cùng một số, các số khác nhau ứng với các số khác nhau.
3. Một hôm tôi bị lạc trong rừng. Tôi vừa định dừng lại để nhóm lửa và nghỉ qua đêm thì vấp phải một ống nước. Rõ ràng là bạn cần phải đi dọc theo đường ống, nhưng đi theo hướng nào? Nước chảy về đâu, vì nước chảy đến người. Làm thế nào bạn có thể xác định nơi nước đang chảy?
4. Vụ thu hoạch trái cây năm nay thật tuyệt vời. Chúng tôi đã làm được 19 lọ mứt. Tôi sắp xếp chúng trên ba kệ trong hầm sao cho mỗi kệ chứa cùng một số lít mứt. Trên kệ đầu tiên, tôi đặt một lon lớn và 4 lon vừa, trên kệ thứ hai - hai lon lớn và 6 lít, và trên kệ thứ ba - một lon lớn, ba lon vừa và 3 lít. Chúng ta đã làm được bao nhiêu lít mứt?
5. Hai quý ông cực kỳ khó khăn trong việc tiêm chủng và dường như không thể chịu đựng được nhau. Một ngày nọ, khi đang đi dọc phố, họ nhìn thấy nhau và đồng thời rẽ vào công viên: một ở cổng A (xem hình), thứ hai ở cổng B. Mọi người quyết định đi một vòng quanh công viên nổi tiếng này, đi bộ đúng một lần dọc theo mỗi con đường. Chứng tỏ rằng nếu họ luôn bất ngờ với tốc độ như nhau thì chắc chắn họ sẽ gặp nhau.
   Những nhiệm vụ này được đề xuất cho chúng tôi bởi A.P. Savin, một học sinh lớp 9 tại trường trung học cơ sở Karmelavsky Lit. SSR Đức Safin, M. I. Lobak, V. D. Vyon, V. V. Proizvolov.

24

TRỞ LẠI CHÍNH MÌNH
Điều gì sẽ xảy ra nếu…

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. SAVIN

Khi còn nhỏ, tôi thực sự yêu thích kính vạn hoa.
Bạn nhìn vào chiếc ống thần kỳ và thấy một bộ não tuyệt đẹp. Một ngã rẽ nhỏ - và một khuôn mẫu mới, một ngã rẽ khác - và lại là một khuôn mẫu mới và mới.

Khi lần đầu tiên chạm tay vào khối Rubik, ban đầu tôi chỉ thích quay nó, giống như trước đây tôi đã quay một chiếc kính vạn hoa, chiêm ngưỡng sự chơi đùa của màu sắc trên các mặt của nó. Tuy nhiên, tôi nhanh chóng cảm thấy nhàm chán với việc quay ngẫu nhiên. Sau vài giờ cố gắng tự mình mở “máy cắt” giải khối lập phương, tôi lấy ra số «Kvant» *) và sau khi dành khoảng một giờ nữa, khối lập phương đã được giải.

Bây giờ tôi bắt đầu xử lý khối lập phương cẩn thận hơn để có thể dễ dàng đưa nó trở lại vị trí “đã lắp ráp”. Tôi vặn một bên một lần (hình 1), hết lần này đến lần khác - khối lập phương lại được giải.

Điều gì xảy ra nếu bạn lần lượt xoay hai mặt liền kề theo cùng một hướng? Lần đầu tiên giây, giây đầu tiên hai, giây đầu tiên ba… (hình 2). Lúc này tôi đã biết rằng sau một vài cặp xoay, khối lập phương sẽ “lắp ráp” lại. Các ngón tay của tôi bắt đầu đặt lại, tôi không đếm được, nhưng khối lập phương vẫn không “lắp ráp được”.

Chỉ sau 105 cặp lần quay, khối lập phương mới thu được màu sắc trên các mặt.

Nhưng làm sao tôi biết được khoảnh khắc đó sẽ đến? Trước đó tôi chỉ suy nghĩ một chút thôi. Mặc dù khối lập phương có nhiều vị trí khác nhau nhưng vẫn có một số lượng hữu hạn. Nếu vậy thì không thể lúc nào nó cũng ở một vị trí mới; sớm hay muộn một vị trí mà khối lập phương đã có sẽ xuất hiện. Chúng ta hãy biểu thị vị trí này bằng chữ A và vị trí “được lắp ráp” bằng chữ E (hình 3, trang 27). Sau một vài lần quay, khối lập phương chuyển từ trạng thái A sang trạng thái B, rồi từ trạng thái B sang trạng thái C, v.v., cho đến khi nó lại ở vị trí A và mọi thứ bắt đầu lặp lại. Như các nhà toán học nói, vị trí của khối lập phương sẽ được lặp lại theo chu kỳ.

Hãy xây dựng kết quả thu được bằng cách trừu tượng hóa từ khối lập phương - đối tượng mà nó thu được.

Nếu một đối tượng có thể ở một số trạng thái hữu hạn và có một thao tác nhất định biến đổi rõ ràng trạng thái đó sang trạng thái mới, thì bằng cách áp dụng nhất quán thao tác này, chúng ta thu được một chuỗi lặp lại định kỳ về trạng thái của đối tượng.

*) Xem «Kvant», 1983, số 9, tr. 33-36.

25

Tuyên bố này nghe có vẻ giống như một quy luật tự nhiên hoặc một định lý toán học. Trên thực tế, nó là như vậy. Hơn nữa, với tuyên bố này, chúng ta có thể nhận được kết quả rất thú vị.

Nhưng trước tiên, tôi sẽ thảo luận về định luật khối Rubik. Chúng ta hãy lưu ý thêm một đặc điểm nữa trong hoạt động của chúng ta: đối với bất kỳ trạng thái nào có định nghĩa rõ ràng, trạng thái “trước đó”. Cụ thể, bạn nên quay theo hướng khác, đầu tiên là mặt thứ hai, sau đó là mặt thứ nhất của khối lập phương. Hãy xem hình 4 (tr. 27). Di chuyển từ vị trí A “ngược lại”, bắt đầu từ vị trí đầu tiên A, sau vài bước chúng ta sẽ đến vị trí E; Điều này có nghĩa là từ vị trí thứ hai A với cùng số bước chúng ta sẽ đến vị trí E. Như vậy, giữa vị trí thứ nhất và thứ hai của khối A, chúng ta phải tìm vị trí E - khối của chính chúng ta.

Đây là những suy nghĩ lóe lên trong đầu tôi trước khi tôi bắt đầu xoay khối lập phương theo quy tắc được mô tả. Tất nhiên, số cặp phép quay có thể rất lớn, vì khối Rubik có số phần tử cực kỳ lớn - 43.252.003.274.489.856.000. Tôi đã cố gắng xoay các mặt theo các hướng khác nhau - mặt thứ nhất theo chiều kim đồng hồ và mặt thứ hai ngược chiều kim đồng hồ. Trong trường hợp này, quá trình quay lại xảy ra sau 63 cặp di chuyển và nếu bạn lần lượt xoay ba mặt liền kề theo một hướng, chu kỳ sẽ kết thúc sau 80 lượt.

Bất cứ ai có khối Rubik đều có thể làm quen với các lượt chơi khác. Chà, đối với những người chưa có, hãy lấy giấy, bút chì và chúng ta sẽ bắt đầu thử nghiệm các con số. Tất nhiên, nó sẽ không phù hợp với máy tính vi mô hoặc máy tính cá nhân, nhưng bạn có thể làm mà không cần chúng.

Hãy chia 136 cho 11. Nhân tiện, bạn có biết phép thử chia hết cho 11 không? KHÔNG? Hãy nhớ rằng, điều này rất hữu ích. Một số chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn chia hết cho 11. Do đó, trong trường hợp của chúng ta (1+6)-3=4, 136 không chia hết cho 11.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta bắt đầu chia sẻ một góc? Hãy xem hình 5 (tr. 26). Dễ dàng nhận thấy các số sau dấu thập phân được lặp lại theo chu kỳ. Phân số thập phân như vậy sẽ là vô hạn và được gọi là phân số thập phân tuần hoàn. Nó được viết như thế này: 12, (36) - một tập hợp các số lặp lại được đặt trong ngoặc đơn.

Khi chia những số nguyên nào khác thì phân số thập phân tuần hoàn xuất hiện? Bất kỳ, miễn là số chia khác 0 và chúng ta sẽ coi phân số thập phân cuối cùng là vô hạn, tiếp tục nó sau chữ số cuối cùng bằng số 0. Tại sao? Để chứng minh điều này, sẽ rất thuận tiện cho chúng ta sử dụng mệnh đề tổng quát đã được xây dựng trước đó. Là đối tượng đang được xem xét, hãy lấy sự khác biệt bên dưới dòng. Trong ví dụ của chúng tôi, đầu tiên nó sẽ là 2, sau đó là 4, rồi 7, lại là 4, lại là 7, v.v. Hãy xem xét thao tác chúng tôi đang thực hiện

26

với đối tượng này. Đầu tiên, bạn nên cộng thêm một chữ số, sau đó trừ đi bội số lớn nhất của số chia từ số kết quả, nhưng không vượt quá số này, viết ra hiệu - đây sẽ là số được chuyển đổi.

Lúc đầu, phép toán phụ thuộc vào số bị chia, vì chúng ta gán số phụ thuộc vào số bị chia, nhưng sau một vài bước (trong trường hợp của chúng ta là từ bước thứ hai), chỉ có số 0 được gán ở bên phải. Sau đó, chúng ta thấy mình đang ở trong những điều kiện vận hành của định luật mà chúng ta đã xây dựng. Một đối tượng là một số, nó có thể ở một số trạng thái hữu hạn: các giá trị nguyên không âm được chấp nhận, nhỏ hơn số chia. Hoạt động được xác định; nó chuyển đổi rõ ràng số này sang số khác. Điều này có nghĩa là dãy số thu được sẽ được lặp lại định kỳ. Theo đó, các số trong phần sẽ bắt đầu lặp lại theo định kỳ. Tuyên bố của chúng tôi đã được chứng minh.

Điều gì xảy ra nếu bạn lấy tổng các chữ số của nó từ một số, lấy lại tổng các chữ số của nó từ số kết quả, v.v.? Hãy cộng nó lại, với con số 1987 thì mọi thứ đều rõ ràng:
1987→25→7→7→7→…

Còn những con số khác thì sao? Dễ dàng nhận thấy mọi số đều lớn hơn tổng các chữ số của nó (ngoại lệ duy nhất là số có một chữ số), do đó, sau khi áp dụng thao tác lấy tổng các chữ số, số đó sẽ giảm dần cho đến khi trở thành một chữ số và số có một chữ số với thao tác của chúng ta sẽ trở thành một số bằng nhau. Như vậy, chúng ta đã nhận được bằng chứng về tính tuần hoàn (với chu kỳ 1), chúng ta thu được các chuỗi bắt đầu từ một vị trí nhất định.

Số nào sẽ được lặp lại? Câu hỏi này rất dễ trả lời mà không cần viết ra trình tự. Đây sẽ là số dư của số đầu tiên chia cho 9 nếu số đó không chia hết cho 9 và 9 nếu chia hết cho 9. Tại sao? Dựa trên khả năng chia hết cho 9. Đúng, bạn biết nó ở dạng “cắt ngắn”: “để một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9”. Tuy nhiên, có một phát biểu mạnh mẽ hơn: bản thân số đó và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9.

Bây giờ rõ ràng là mỗi số tiếp theo sẽ có cùng số dư khi chia cho 9 như số đầu tiên. Trong số các số có một chữ số, tất cả đều có số dư khác nhau khi chia cho 9, ngoại trừ 0 và 9, nhưng một số khác 0 thì có tổng các chữ số cũng khác 0. Đây là nơi tuyên bố của chúng tôi theo sau. Dãy số tuần hoàn có chu kỳ 1 được gọi là dãy điểm cố định.

Điều gì xảy ra nếu một số không có tổng các chữ số mà có tổng bình phương các chữ số? Hãy thử lại với số 1987 (hình 7). Chúng tôi thấy rằng chuỗi 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89 sẽ được lặp lại định kỳ.

Hãy lấy số 133 (hình 8). Ở đây “điểm cố định” là 1 (chu kì của dãy là 1).

Nhưng có cần thiết phải xuất hiện các chuỗi tuần hoàn khi tính tổng bình phương các chữ số không? Và nếu vậy, cái nào?

29

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú cuốn sách đã xuất bản “Định luật Archimedes” dự định sẽ được sử dụng bởi “Giáo trình về tương tác phân tử” - tác phẩm kinh điển thứ chín và thứ mười, “Phân cực ánh sáng” - tác phẩm kinh điển thứ mười.

Định luật Archimedes

“…Tác động của không khí cuộn vào các đường ống, nước trong hệ thống bắt đầu chảy róc rách, và máy đo độ sâu bò lên trên. Con thuyền nổi lên trên một sống tàu bằng phẳng, và máy đo độ sâu cho thấy buồng lái đã rời khỏi mặt nước,” đây là cách mô tả quá trình đi lên của tàu ngầm trong cuốn sách “Linh hồn của biển cả” của L. Sobolev.

Lý do cho sự đi lên là lực Archimedes, còn được gọi là lực nổi, lực này sau khi không khí di chuyển cùng với nước sẽ vượt quá độ lớn của trọng lượng của con thuyền. Khi nào và trong trường hợp nào sức mạnh của Archimedes sẽ trỗi dậy? Nó hành động về phía nào? Nó được áp dụng ở đâu, được chỉ đạo như thế nào và nó có giá trị như thế nào?

Lực nổi là tổng của tất cả các lực áp suất tác dụng lên mặt chất lỏng hoặc chất khí trên bề mặt của vật chìm trong đó (hình 1). Lý do thực sự của lực nổi chìm là sự hiện diện của áp suất thủy tĩnh khác nhau ở các mức chất lỏng khác nhau.

Để tìm lực Archimedes, chúng ta hãy đo nhẩm vật thể lỏng ngâm trong thể tích của vật thể này (hình 2). Lực nổi tương tự sẽ tác dụng lên nó từ chất lỏng xung quanh cũng như tác dụng lên vật chìm trong nước. Theo định luật thứ ba của Newton, chất lỏng giải phóng trong thể tích của cơ thể (chất lỏng dịch chuyển) sẽ tác dụng lên chất lỏng xung quanh với cùng độ lớn nhưng lực có hướng ngược nhau. Đây là toàn bộ thể tích chất lỏng bị dịch chuyển. Chúng ta hãy nhớ rằng trọng lượng của một vật thể đứng yên trong một số hệ thống báo cáo (không nhất thiết là quán tính) được gọi là lực mà vật thể đó, tác dụng của lực hút của nó lên Trái đất, tác dụng lên giá đỡ hoặc hệ thống treo. Trong trường hợp của chúng tôi, vai trò là phụ

30

Cài đặt cho thể tích chất lỏng được phân bổ sẽ được thực hiện bởi chất lỏng xung quanh.

Vì vậy, lực nổi tác dụng lên một vật ngâm trong chất lỏng có độ lớn bằng nhau và ngược chiều với trọng lượng của chất lỏng bị dịch chuyển. Đây là định luật Archimedes. Lưu ý rằng trong công thức định luật nói cụ thể về toàn bộ chất lỏng bị dịch chuyển chứ không phải về lực hấp dẫn. Và điều này rất có ý nghĩa, vì trọng lượng của cơ thể (tính theo giá trị tuyệt đối) không phải lúc nào cũng trùng với lực hấp dẫn. Ví dụ, một hộp có khối lượng $m$ trong cabin thang máy $a$ nâng lên nghiêng sẽ chạm sàn với một lực $m(g+a)$. Điều này có nghĩa là trọng lượng của hộp là $P=m(g+a)$, trong khi lực hấp dẫn tác dụng lên hộp là $mg$. Khi cabin thang máy đi xuống với cùng gia tốc thì trọng lượng của hộp bằng $P=m(g-a)$.

Từ biểu thức cuối cùng, rõ ràng lực nổi xuất hiện khi không có trạng thái không trọng lượng, nghĩa là bất kỳ vật thể nào (kể cả chất lỏng) đều có trọng lượng. Nếu một bình chứa chất lỏng rơi tự do thì chất lỏng đó thực sự ở trạng thái không trọng lượng và không ảnh hưởng đến phần thân của lớp Archimedes được ngâm trong đó. Lực này không hoạt động khi tàu vũ trụ đang di chuyển khi động cơ đã tắt.

Khi chứng minh định luật Archimedes, chúng ta giả sử rằng vật được ngâm hoàn toàn trong chất lỏng và toàn bộ bề mặt của nó tiếp xúc với chất lỏng. Nếu một phần bề mặt của vật liền kề với thành hoặc đáy bình, đến mức không có lớp chất lỏng giữa chúng thì định luật Archimedes không được áp dụng. Một minh họa rõ ràng cho điều này là thí nghiệm khi mặt dưới nhẵn của một khối gỗ được cọ xát bằng parafin và đặt chặt vào đáy bình. Sau đó cẩn thận đổ nước. Bru-
Hình 3. Hình 4.

nước trái cây không nổi lên, vì một lực tác dụng lên nó từ phía mặt nước, không đẩy nó lên mà ấn nó xuống đáy (hình 3).

Công thức trên của định luật Archimedes vẫn có giá trị trong trường hợp vật chỉ được ngâm một phần trong chất lỏng, nhưng không tiếp xúc với thành bình. (Chứng minh trường hợp tương tự về một vật ngâm hoàn toàn trong chất lỏng.)

Chúng ta chỉ cần học cách tìm trọng lượng của chất lỏng bị dịch chuyển và tác dụng riêng của lực nổi. Trong trường hợp chung (ví dụ, khi một vật được ngâm trong một chất lỏng quay cùng với bình), điều này không dễ thực hiện.

Hãy xem xét trường hợp đơn giản và phổ biến nhất trong thực tế. Cho một bình chứa chất lỏng đứng yên trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó. Khi đó, như đã biết, trọng lượng của bất kỳ vật bất động nào đều bằng lực hấp dẫn tác dụng lên vật đó. Do đó, lớp nổi có mô đun bằng trọng lực tác dụng lên chất lỏng bị dịch chuyển và hướng ngược lại với nó. Đường tác dụng của lực nổi sẽ đi qua trọng tâm của chất lỏng bị dịch chuyển. Hãy thể hiện nó.

Hai lực tác dụng lên thể tích dịch chuyển của chất lỏng có khối lượng $m$ (hình 4) - lực hấp dẫn $mg$, tác dụng tại trọng tâm của thể tích này và lớp nổi $F_B$. Vì chất lỏng ở trạng thái cân bằng nên theo quy luật của đòn bẩy (xem § 62 của “Vật lý 6-7” hoặc § 47 của “Vật lý 8”), các lực tác dụng lên nó tỉ lệ nghịch với cánh tay của các lực này. Vai trọng lực đối với trục đi qua trọng tâm bằng 0. Điều này có nghĩa là vai của lực nổi cũng bằng 0, tức là đường tác dụng của lực nổi đi qua trọng tâm của thể tích chất lỏng “bị dịch chuyển”.

Vì điểm tác dụng của lực có thể được truyền dọc theo đường tác dụng của nó nên thông thường chất lỏng đẩy được đặt ở trọng tâm của chất lỏng dịch chuyển và điểm này được gọi là tâm áp suất.

31

Lực phân tử

Một trong những nhà vật lý hiện đại vĩ đại nhất, Richard Feynman, tin rằng nếu cần phải truyền đạt trong một pha duy nhất điều quan trọng nhất mà chúng ta biết về thế giới ngày nay, thì pha này sẽ như thế này: “… mọi vật thể đều bao gồm các nguyên tử - những vật thể nhỏ chuyển động liên tục, bị hút ở một khoảng cách ngắn, nhưng bị đẩy lùi nếu một trong số chúng bị ép chặt hơn vào vật thể kia” (Bài giảng Vật lý của Feynman, tập 1).

Đằng sau mỗi tuyên bố của giai đoạn “chìa khoá” này là một khoa học chuyên môn riêng. Nguyên tử là gì? Chúng có cấu trúc như thế nào và chúng tương tác với nhau như thế nào? Việc tìm kiếm đáp số những câu hỏi này dẫn đến vật lý lượng tử và thông qua đó dẫn đến sự hiểu biết về thế giới vi mô. Vai trò của sự chuyển động của các nguyên tử và sự tương tác của chúng trong việc hình thành các tính chất của vật chất là gì? Trong đáp số câu hỏi này được trả lời bởi tất cả vật lý chuyên ngành vĩ mô và các phương pháp tiếp cận liên quan đến hóa học, sinh học và các ngành khoa học khác.

Chúng ta cũng hãy đi dọc theo con đường này một chút và thử dựa trên cấu trúc của từng nguyên tử để thử bản chất của sự tương tác giữa các nguyên tử hoặc phân tử khác nhau.

Bạn biết đấy (Vật lý 10, Chương 11) rằng các nguyên tử bao gồm một hạt nhân tích điện dương và các điện tích âm - các electron - chuyển động xung quanh nó một cách khá phức tạp. Trụ cột của ý tưởng về nguyên tử, ngày nay đã trở nên phổ biến, đã dẫn đến thời điểm xuất hiện của nó (vào đầu thế kỷ 20) đến một thảm họa thực sự trong vật lý cổ điển. Thực tế là, theo các khái niệm cổ điển, một electron, trong bất kỳ chuyển động không đều nào và đặc biệt là khi quay quanh hạt nhân, nhất thiết phải nghiên cứu sóng điện từ. Đồng thời, năng lượng của nó giảm dần và cuối cùng chắc chắn nó phải rơi vào lõi. Điều này có nghĩa là trong khuôn khổ vật lý cổ điển, nguyên tử hoàn toàn không thể tồn tại.

Cần phải có một sự thay đổi căn bản trong tất cả các ý tưởng của chúng ta về thế giới để thoát khỏi tình trạng bế tắc đã tạo ra nó. Kết quả là, cơ học lượng tử đã được tạo ra, đặc biệt, cơ học này chứng tỏ rằng một electron trong nguyên tử chỉ có thể có các giá trị năng lượng rời rạc. Ở trạng thái có bất kỳ giá trị năng lượng nào từ tập hợp “được phép” này, electron không phát ra sóng điện từ. Năng lượng chỉ được phát ra (hoặc hấp thụ) trong quá trình chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác. Tất cả những điều trên áp dụng cho các phân tử.

Đây là cách mà sự tồn tại của các nguyên tử và phân tử được “hợp lý hóa”.

Bây giờ việc hỏi một câu hỏi như vậy là điều đương nhiên. Nếu nguyên tử và phân tử trung hòa thì chúng tương tác với nhau như thế nào?

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về phân tử. Nếu tâm phân bố điện tích dương và âm bên trong nó không trùng với nhau, thì phân tử đó có thể được biểu diễn dưới dạng một quả tạ nhỏ (“Vật lý 9”, § 46). Có một điện tích dương ở một đầu và một điện tích âm ở đầu kia. Những quả tạ điện như vậy được gọi là lưỡng cực.*)

Khi hai phân tử lưỡng cực được đặt cạnh nhau, mỗi phân tử có xu hướng tự sắp xếp sao cho đầu dương của nửa này hướng về đầu âm của nửa kia và ngược lại. Kết quả là, mặc dù thực tế là mỗi phân tử đều trung tính, lực hút khá rõ rệt sẽ nảy sinh giữa các phân tử. Tương tác này được gọi là lưỡng cực. Như chúng ta đã thấy, điều đó là do thực tế là trong các phân tử lưỡng cực, khoảng cách trung bình giữa các điện tích khác nhau nhỏ hơn một chút so với giữa các điện tích giống nhau. Rõ ràng, khi các phân tử di chuyển ra xa nhau, sự khác biệt về khoảng cách này sẽ giảm đi. Đến một lúc nào đó, nó trở nên không đáng kể và lực tương tác giữa các phân tử trở nên bằng không.

Chà, còn trong những trường hợp khi các phân tử “đối xứng”, tức là tâm phân bố điện tích dương và âm bên trong chúng trùng nhau thì sao?

32

THÁNG 12
Srpichbaza
RAMANUJAN
(được sinh ra
ngày 22 tháng 12 năm 1887)

BƯỚC ĐỀU
Jean Baptiste Joseph
FOURIER
(được sinh ra
21 tháng 3 năm 1768)

Đa diện -
lịch
(xem trang 28)

THÁNG GIÊNG
Nikolai Egorovich
ZHUKOVSKY
(được sinh ra
ngày 17 tháng 1 năm 1847).

THÁNG TƯ
Karl Friedrich
GAUSS
(được sinh ra
30 tháng 4 năm 1777)

THÁNG 2
Mstislav Vsevolodovits
KELDYSH
(được sinh ra
ngày 10 tháng 2 năm 1911).

CÓ THỂ
Pavel Sergeevich
ALEXANDROV
(được sinh ra
ngày 4 tháng 5 năm 1896)

32

33

THÁNG SÁU
Alexander Mikhailovich
LYAPUNOV
(được sinh ra
ngày 6 tháng 6 năm 1857)

THÁNG 9
Mikhail Vasilyevich
OSTROGRADSKY
(được sinh ra
ngày 24 tháng 9 năm 1801)

THÁNG BẢY
Friedrich Wilhelm
BESSEL
(được sinh ra
ngày 22 tháng 6 năm 1784)

THÁNG 10
Evariste
GALOOIS
(được sinh ra
ngày 26 tháng 10 năm 1811)

THÁNG TÁM
Nils Henrik
Abel
(được sinh ra
ngày 5 tháng 8 năm 1802)

THÁNG MƯỜI MỘT
Mikhail Alekseevich
LAVRENTIEV
(được sinh ra
19 tháng 11 năm 1900)

33

34

Ở đây trước tiên chúng ta phải làm rõ “sự trùng hợp” nghĩa là gì. Rốt cuộc, các electron liên tục chuyển động xung quanh hạt nhân. Đôi khi họ thậm chí còn nói rằng chúng bị “bôi nhọ” xung quanh lõi, tạo thành một đám mây. Và trung tâm của đám mây dấu ấn này chỉ trùng khớp với trung tâm của lõi dương và tại mỗi thời điểm riêng lẻ, chúng hơi lệch nhau một chút. Chỉ là tại một thời điểm, tâm của đám mây nằm ở một bên của tâm điện tích dương, còn tại thời điểm khác nó lại ở bên kia. Chúng ta có thể nói rằng trong trường hợp này, phân tử (hoặc nguyên tử) xuất hiện dưới dạng lưỡng cực liên tục xuất hiện và biến mất.

Nếu hai phân tử như vậy đến gần nhau ở một khoảng cách đủ nhỏ thì các lưỡng cực “nhấp nháy” này sẽ bắt đầu tác dụng lên nhau sao cho tại mỗi thời điểm, các điện tích trái dấu trong các phân tử khác nhau sẽ gần nhau hơn so với các phân tử giống hệt nhau. Lực hấp dẫn xuất hiện, ngày nay được gọi là lực van der Waals. Những lực này hóa ra yếu hơn đáng kể so với lực lưỡng cực.

Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng khi các nguyên tử hoặc phân tử đến với nhau, hiện tượng silipgeny xảy ra giữa chúng.

Điều gì xảy ra nếu các nguyên tử hoặc phân tử bị nén ngày càng nhiều? Người ta hiểu rằng sẽ luôn có một thời điểm khi lớp vỏ electron của các nguyên tử khác nhau bắt đầu chồng lên nhau. Kết quả là hiện tượng silipgenia sẽ phát sinh giữa các nguyên tử do “sự biến dạng” của chúng. Silipgenia của thành phố lớn hơn lưỡng cực-lưỡng cực và thậm chí còn lớn hơn cả Silipgenia Van der Waals, nên các nguyên tử luôn xuất hiện ở khoảng cách ngắn.

Lực hút ở khoảng cách lớn và lực đẩy ở khoảng cách nhỏ, tại đó lực hút và lực đẩy được bù đắp. Kích thước đặc trưng này xác định khoảng cách trung bình giữa các phân tử trong chất lỏng và chất rắn (trong chất khí, các phân tử thực tế không tương tác với nhau).

Sự tồn tại của các trạng thái tổng hợp khác nhau của vật chất (khí, lỏng và rắn) gắn liền với sự tương tác được mô tả ở đây. Đúng vậy, để mô tả các đặc tính của một hệ gồm một số lượng lớn các hạt (vật chất là gì), tốt hơn là sử dụng các năng lượng tương tác dễ hiểu chứ không phải lực. Do đó, nếu động năng của một phân tử lớn hơn nhiều so với năng lượng tương tác của nó với môi trường thì chúng ta có chất khí; nếu ít hơn nhiều thì đó là một vật rắn. Trong chất lỏng, các năng lượng này gần như bằng nhau.

E. E. Gorodetsky

Sự phân cực của ánh sáng

Các thủy thủ trở về từ Tây Ban Nha thường mang theo những viên đá khác thường - tinh thể của loại đá nổi tiếng. Những viên đá này, sau này được gọi là thạch anh, rất đáng chú ý về hình dạng và các đặc tính khác, nhưng chủ yếu là về đặc tính khúc xạ ánh sáng. Vì vậy, ví dụ, nếu một mảnh xà ngang được đặt trên một dòng chữ nào đó, thì qua đó bạn có thể thấy dòng chữ bị chia cắt (hình 1).

Năm 1669, nhà khoa học người Đan Mạch E. Bartholin đã báo cáo những kết quả thú vị từ thí nghiệm của ông với những tinh thể này. Hóa ra khi đi qua một tinh thể như vậy, một tia sáng được phân thành hai - bây giờ chúng được gọi là tia thường và tia bất thường. Các tia nói trên là hợp lý: tia thường hành xử theo cách tương ứng với các định luật khúc xạ ánh sáng đã biết, và tia bất thường dường như vi phạm các định luật này. Cụ thể, khi tia tới vuông góc với bề mặt tinh thể, tia thứ nhất đi qua tinh thể mà không bị khúc xạ, còn tia thứ hai bị khúc xạ (hình 2).

Vartolin đã tiến hành một nghiên cứu về hiện tượng khúc xạ kép mà ông đã phát hiện ra, đồng thời phát hiện ra rằng trong tinh thể có một hướng không đồng nhất mà chùm tia tới không tách rời.

35

tăng gấp đôi. Tuy nhiên, anh không thể tìm ra lời giải thích nào cho sự thật này.

Vài năm sau, phát hiện của Bartholin đã thu hút sự chú ý của nhà khoa học Inland H. Huygen. Sau khi lặp lại các thí nghiệm của Bartholin, anh ta còn tiến xa hơn, truyền cả hai tia phát ra từ một tinh thể thạch anh Inderland qua điểm thứ hai của cùng một tinh thể. Để xác nhận kết quả của các thí nghiệm, Huygens đã đưa ra khái niệm trục quang học của tinh thể (trên thực tế, trục này đã được Bartholin phát hiện trước đó). Ông gọi đó là hướng đã chọn trong tinh thể, dọc theo đó các tia cần thiết và tia bất thường truyền đi mà không bị phân tách.

Các thí nghiệm của Huygen cho thấy rằng trong trường hợp khi trục quang học của cả hai tinh thể song song và một tia sáng rơi vuông góc với mặt trước của tinh thể thứ nhất, thì khi đi vào tinh thể thứ hai, tia cần thiết và tia bất thường không bị tách thành hai (hình 3). Trong các trường hợp khác, cả hai chùm tia phát ra từ tinh thể thứ nhất lại có thể phân tách ở tinh thể thứ hai. Trong trường hợp này, cường độ của mỗi tia trong số bốn tia phụ thuộc nhiều vào góc giữa trục quang của tinh thể.

Phân tích kết quả thí nghiệm, Huygens, người tuân thủ lý thuyết sóng ánh sáng, đã đi đến kết luận rằng tia cần thiết và tia bất thường tương ứng với tốc độ truyền khác nhau trong tinh thể đang nghiên cứu. Tuy nhiên, Huygens đã bắt đầu từ sự tương tự giữa sóng âm thanh và sóng ánh sáng và coi sóng âm thanh, giống như sóng ánh sáng, là liên tục. Sự ảo tưởng này không cho phép anh ta giải thích một đặc điểm nào đó của thí nghiệm dây.

Hơn nhiều năm sau, vào năm 1808, nhà vật lý người Pháp E. Ma-

Người ta phát hiện ra hiện tượng khúc xạ kép khi ánh sáng bị phản xạ. Nhìn qua một tinh thể thạch anh Tây Ban Nha trong sự phản chiếu của mặt trời lặn trên cửa sổ của Cung điện Luxembourg ở Paris, Malos ngạc nhiên nhận thấy rằng hai hình ảnh tạo ra từ khúc xạ kép có độ sáng khác nhau. Đặc biệt, với một số tinh thể chỉ có thể nhìn thấy một hình ảnh.

Dựa trên thí nghiệm này và các thí nghiệm khác và dựa vào lý thuyết hạt ánh sáng của Newton, Malos đề xuất rằng các hạt, mà theo Newton, có bề ngoài giống với nam châm có cực, được định hướng ngẫu nhiên trong ánh sáng mặt trời, nhưng sau khi phản xạ từ bất kỳ bề mặt nào hoặc sau khi đi qua một tinh thể, chúng thu được một hướng nhất định. Ông gọi ánh sáng “có trật tự” như vậy là bị phân cực.

Chúng ta biết rõ rằng ánh sáng nhìn thấy là sóng điện từ ngang. Khi một sóng điện từ lan truyền trong không gian, vectơ hướng điện trường $\vec{E}$ và vectơ cảm ứng từ trường $\vec{B}$ dao động trong đó. Các vectơ này luôn vuông góc với nhau và nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Ánh sáng trong đó các hướng dao động được sắp xếp theo một cách nào đó được gọi là ánh sáng phân cực. Nếu sự dao động của vectơ $\vec{E}$ luôn xảy ra trong một mặt phẳng, thì ánh sáng được cho là phân cực phẳng (hoặc phân cực tuyến tính), và bản thân mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng phân cực.

Ánh sáng phát ra từ một nguyên tử bị phân cực toàn bộ. Tuy nhiên, bức xạ của một vật thể liên tục tối đa (Mặt trời, bóng đèn, v.v.) là tổng bức xạ của một số lượng lớn nguyên tử. Mỗi trong số chúng phát ra một sóng ánh sáng trong khoảng $10^{-8}$ s, và nếu tất cả các nguyên tử đều phát ra ánh sáng có độ phân cực khác nhau thì độ phân cực của toàn bộ chùm tia sẽ ít hơn trong cùng khoảng thời gian. Do đó, trong ánh sáng tự nhiên, các hệ số liên quan đến độ phân cực được lấy trung bình, và ánh sáng đó

36

gọi là không phân cực. Để tách “phần” ánh sáng không phân cực có độ phân cực mong muốn, người ta sử dụng cái gọi là bộ phân cực. Vai trò của chúng có thể được thực hiện bởi cùng một tinh thể thạch anh Tây Ban Nha, từ đó các tia thông thường và bất thường xuất hiện phân cực phẳng trong các mặt phẳng vuông góc lẫn nhau, cũng như các bản phân cực nhân tạo.

Chúng ta hãy phân tích nguyên lý hoạt động của thiết bị này bằng cách sử dụng ví dụ về bộ phân cực mà bạn biết đối với sóng điện từ trong phạm vi centimet (xem “Vật lý 10”, § 47). Nó được chế tạo dưới dạng một loạt các thanh kim loại song song được làm bằng chất dẫn điện tốt. Khi một sóng điện từ (có chiều dài tương đương với khoảng cách giữa các thanh) được chia thành một mạng, thành phần điện trường song song với các thanh bị suy giảm rất nhiều, vì dưới tác động của nó, một dòng điện xuất hiện trong các thanh, dẫn đến tổn thất năng lượng trên cơ thể Joule. Ngoài ra còn xảy ra sự phản xạ một phần sóng từ cách tử. Kết quả là thành phần song song của sóng không thực sự đi qua cách tử. Thành phần điện vuông góc với thanh

Một số bài toán cho một ví dụ

Chúng tôi cung cấp cho bạn một số bài toán để xây dựng bằng cách sử dụng các phép biến đổi mặt phẳng - phép quay, phép dịch song song, đối xứng trục, phép đồng nhất. Phương pháp áp dụng phép biến đổi trong tất cả bài toán đều giống nhau. Chúng tôi sẽ minh họa nó bằng một ví dụ.

Cho hai đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ và một điểm $A$. Cần phải xây dựng một đoạn có các đầu trên một đường tròn nhất định, đoạn này sẽ được chia đôi cho điểm $A$.

Lời giải. Đặt $X$ và $Y$ là phần cuối của đoạn được yêu cầu, lần lượt thuộc về $\omega_1$ và $\omega_2$. Với đối xứng tâm có tâm $A$, điểm $Y$ phải tiến đến $X$, tức là rơi trên vòng tròn $\omega_1$. Đồng thời, nó phải nằm trên đường tròn $\omega_2$, đối xứng $\omega_2$ so với $A$ (kể từ $Y \in \omega_2$). Do đó, $X$ là giao điểm của đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$. Một nhiệm vụ có thể có hai, một hoặc không có lời giải.

Hãy suy nghĩ về những biến đổi cần được áp dụng trong các nhiệm vụ sau:

1. Cho một đường thẳng và hai đường tròn ở hai phía đối diện của nó. Vẽ một hình vuông có đường chéo nằm trên một đường thẳng và các đầu của đường chéo kia nằm trên một đường tròn.

2. Ba đường thẳng song song được đưa ra. Xây dựng một tam giác đều có các đỉnh nằm (lần lượt) trên các đường thẳng này.

3. Cho một đường tròn và một điểm $A$ bên ngoài đường tròn đó. Dựng một tia có gốc tại $A$, cắt đường tròn lần lượt tại các điểm $B$ và $C$ sao cho $AB=BC$.

4. Cho một điểm $A$, một đường tròn và một đường thẳng. Xây dựng một hình vuông $ABCD$ sao cho đỉnh $B$ của nó nằm trên đường tròn và trên đường thẳng a) đỉnh $D$, 6) đỉnh $C$.

5. Cho hai đường thẳng cắt nhau và hai điểm $A$ và $B$. Xây dựng một hình bình hành $ABCD$ có ​​các đỉnh $C$ và $D$ nằm (lần lượt) trên các đường thẳng đã cho.

6. Cho hai đường tròn đồng tâm. Vẽ các dây trong vòng tròn lớn hơn, vòng tròn nhỏ hơn sẽ chia thành ba phần bằng nhau.

D.V.

37

Lựa chọn phương án tốt nhất

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. L. GUTENMACHER,
.J.K. M. RABBOT

Ở các lớp trung học cơ sở, cũng như trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, người ta thường đưa ra bài toán để soạn phương trình. Trong trường hợp này, trước tiên, cần phải dịch các điều kiện từ ngôn ngữ chung sang ngôn ngữ toán học, và thứ hai là giải các phương trình và bất đẳng thức thu được.
Trong văn bản bài toán một số tình huống được mô tả và cần phải xác định các tình huống khác dựa trên một dữ liệu cụ thể. Ví dụ: đây là cụm từ đầu tiên và cuối cùng của điều kiện bài toán trong sách giáo khoa đại số lớp 7:
“Hai người đánh máy nhận được một bản thảo để đánh lại… Mỗi người đánh máy có thể đánh lại bản thảo trong bao nhiêu giờ?”
“Chiếc thuyền khởi hành từ bến sông về phía hạ lưu… Người đi xe đạp mất bao nhiêu thời gian trên đường từ thành phố đến địa điểm cắm trại?”
“Một hợp kim đồng-kẽm chứa 5 kg kẽm được tạo hợp kim với 15 kg kẽm… Khối lượng ban đầu của hợp kim là bao nhiêu?”
Điều quan trọng là có thể giải quyết được bài toán đó, vì trong thực tiễn kinh tế và tùy tiện, người ta thường phải tóm tắt, đọc lại và tóm tắt các chỉ số khác nhau, phân tích công việc của doanh nghiệp.

tiy, v.v. Kết quả của hoạt động này là sự hiểu biết về tình hình hiện tại. Sau đó, điều tự nhiên là phải thực hiện bước tiếp theo - lập kế hoạch-chương trình cho các hành động tiếp theo. Tất nhiên, ở đây có rất nhiều lựa chọn và bạn muốn chọn cái thuận tiện nhất.

Việc thiết lập và lời giải như vậy bài toán là chủ đề của lập trình toán học. Tuy nhiên, một trong những người đầu tiên sử dụng toán học trong những vấn đề như vậy là nhà toán học, viện sĩ Liên Xô L. V. Kantorovich (1912-1986). Năm 1939, cuốn sách “Các phương pháp toán học tổ chức và lập kế hoạch tùy tiện” của ông được xuất bản. Trong lời giới thiệu cuốn sách này ông viết:

“Có hai cách để tăng hiệu quả của một xưởng, một doanh nghiệp và toàn bộ ngành. Tuy nhiên, con đường đó là những cải tiến khác nhau về công nghệ, tức là sử dụng các thiết bị mới trong một máy riêng biệt, thay đổi quy trình công nghệ, tìm ra các loại nguyên liệu thô mới, tốt hơn. Một cách khác, để sử dụng ít hơn hiện nay, là cải thiện việc tổ chức tính tùy tiện và lập kế hoạch. Điều này bao gồm, ví dụ, các vấn đề như phân bổ công việc giữa các máy riêng lẻ của một doanh nghiệp hoặc các cơ chế, phân bổ hợp lý các đơn đặt hàng giữa các doanh nghiệp, phân bổ hợp lý các loại nguyên liệu thô, nhiên liệu, v.v.”

Đã nhiều năm trôi qua kể từ đó, và lập trình toán học đã trở thành một ngành khoa học hoàn chỉnh dựa trên kinh tế sinh thái.

38

phương pháp toán học và việc sử dụng rộng rãi máy tính.

Kết quả là, việc lập kế hoạch và quản lý bài toán phải giải quyết đồng thời một số lượng rất lớn các biến số. Chúng tôi sẽ phát triển một số ví dụ giáo dục đơn giản với một số lượng nhỏ các biến mà bạn có thể nhận được lời giải bằng cách sử dụng toán học mà học sinh lớp 6-7 đã biết - tỷ lệ, tính chất của hàm tuyến tính của một biến, một tìm kiếm nhỏ các lựa chọn và tất nhiên là sự khéo léo.

Xây nhà tắm ở đâu? Làng Mochalkino có 100 cư dân và làng Veniki có 50 cư dân. Tại điểm nào trên đường cao tốc nối các ngôi làng này nên xây dựng một nhà tắm sao cho tổng khoảng cách mà tất cả 150 cư dân sẽ phải di chuyển dọc theo đường cao tốc đến nhà tắm là nhỏ nhất?

Hãy để chúng tôi dịch điều kiện bài toán sang ngôn ngữ toán học. Giả sử khoảng cách dọc theo đường cao tốc giữa các làng là một km và nhà tắm nằm giữa các làng x km tính từ Mochalkino, do đó 0<x<a. Sau đó, tất cả 100 cư dân của ngôi làng này sẽ đi quãng đường 100x km đến nhà tắm, và tất cả 50 cư dân của làng Veniki sẽ đi quãng đường 50(a-x) km. Tổng cộng, S=100x+50(a-x) km sẽ được đọc.

Vì vậy, chúng ta có được công thức toán học sau bài toán: tìm giá trị nhỏ nhất của đại lượng S=50x+50a, với điều kiện 0≤x<a, trong đó a là một số cố định.

Việc giải bài toán rất dễ dàng: chỉ cần thay thế giá trị của S giảm khi x giảm là đủ, do đó giá trị nhỏ nhất của S sẽ bằng giá trị nhỏ nhất có thể có của x, tức là tại x = 0, và do đó bạn cần xây một nhà tắm ở làng Mochalkino.

Hãy thảo luận về kết quả thu được. Hầu như tất cả những người mà chúng tôi hỏi câu hỏi xây nhà tắm ở đâu đều trả lời ngay rằng nó nên được xây ở một nơi mà khoảng cách đến làng Mochalkino bằng một nửa khoảng cách đến làng Veniki. Có lẽ họ đã nghĩ ra mô hình vật lý sau: họ tưởng tượng ra một chiếc xích đu, với một người ngồi ở một đầu tấm ván, nặng gấp đôi người ngồi ở đầu kia.

Nếu nhà tắm nằm cách Mochalkino 1/3 thì tất cả cư dân sẽ cùng nhau đi theo con đường đến nhà tắm giống như cư dân của Venikov:

100·a/3=50·2a/3. Có lẽ, sẽ công bằng hơn nếu nó không có nghĩa là tất cả cư dân, mà đối chiếu ngôi làng này với ngôi làng khác và tìm kiếm một “điểm cân bằng”. Nhưng đây sẽ là lời giải một toán học hoàn toàn khác bài toán: tại giá trị nào của x, trong đó 0≤x≤a, giá trị f=|100x-50(a-x)| sẽ là nhỏ nhất?

Tất nhiên, từ “lựa chọn tốt nhất” có thể được hiểu theo những cách hoàn toàn khác nhau. Để hiểu chính xác chúng, chúng ta soạn một hàm mục tiêu. Trong bài toán của chúng tôi, đó là hàm S=50x+50a và trong một phiên bản khác, đó là hàm f=|150x-50a|. Sau khi tìm thấy x tại đó hàm mục tiêu có giá trị nhỏ nhất, chúng ta đã thu được phương án tốt nhất (theo một quan điểm nhất định).

Rõ ràng là cư dân của làng Veniki có thể không hài lòng với một trong hai lựa chọn này và có thể sẽ sớm đưa ra lập luận chống lại chúng. Hãy cộng lại rằng họ có nhiều người già và trẻ em hơn, nhưng ít ô tô hơn ở Mochalkino, họ có nước máy, nhưng ở Mochalkino thì không, v.v. Nhưng nếu tính đến tất cả những điều này, chúng ta sẽ có một toán học hoàn toàn khác bài toán - một mô hình toán học khác.

Chúng tôi mong rằng cách xây dựng có phần nhẹ nhàng của cây đa sẽ không gây ấn tượng sai lầm cho độc giả. Tệ hơn một chút, nhưng các máy chủ đã được hoàn thành bài toán: nơi nào trên lãnh thổ của một nhà máy lớn với nhiều xưởng để đặt căng tin? Cách tốt nhất để lập kế hoạch công việc bảo trì trong đó là gì?

Ở đây, việc lựa chọn hàm mục tiêu về nguyên tắc là rõ ràng (tiêu tốn ít thời gian nhất), nhưng lời giải tối ưu không chỉ phụ thuộc vào số lượng công nhân trong các phân xưởng khác nhau mà còn phụ thuộc vào đặc điểm

39

hiệu quả sản xuất và các yếu tố khác.

Cách tốt nhất để đến nhà ga. Petra Petrovich cần phải đến nhà ga gấp. Anh ta có thể gọi một chiếc taxi, mất 24 phút và lái xe với tốc độ 30 km/h, hoặc anh ta có thể đi bộ với tốc độ 6 km/h. Điều tốt nhất anh ta nên làm là gì nếu khoảng cách từ nhà đến ga là: a) 2 km; b) 3 km; c) 5 km?

Để so sánh rõ hơn chuyển động của người đi bộ và xe số tự động, chúng tôi đang tuyển thêm một nhân viên - vợ của Peter Petrovich.

Hãy tưởng tượng rằng Pyotr Petrovich đi bộ đến ga, nhưng vừa ra khỏi nhà, vợ anh ta nhận thấy anh ta đã nhét vé tàu ở nhà, ngay lập tức gọi taxi, lấy và đi trả tiền cho chồng.

Hãy tính thời gian để cô ấy kết liễu được anh ta. Sau thời gian $t$ sau khi rời khỏi nhà, Pyotr Petrovich sẽ ở cách nhà 6t km, và lúc $t > 24$ phút=2/5 giờ xe taxi sẽ đi được 30(t—2/5) km.

Chiếc taxi có thể đuổi kịp Pyotr Petrovich vào lúc này khi

$$6t = 30(t - 2/5),$$

tức là vào lúc $t = 1/2$ giờ. Nếu quãng đường đến ga chưa đến 1/2 tiếng thì người vợ sẽ không kịp đuổi kịp chồng, nhưng nếu quá 1/2 tiếng thì cô ấy sẽ đón và cho chồng chở đến ga. Trong $t = 1/2$ giờ Pyotr Petrovich có thể di chuyển cách nhà mình 3 km. Do những khác biệt này, chúng tôi đi đến kết luận sau.

Nếu khoảng cách đến nhà ga nhỏ hơn 3 km, như trong trường hợp $a$), tốt hơn hết Petro Petrovich nên đi bộ; nếu là 3 km thì không thành vấn đề - đi bộ hoặc taxi; và nếu xa hơn 3 km, như trường hợp $b$) - tốt nhất bạn nên gọi taxi.

Để hiểu rõ hơn về lời giải, việc trình bày bằng đồ họa là rất hữu ích; một số giả định được đưa ra một cách âm thầm: người đi bộ và taxi di chuyển giống nhau, taxi được gọi và khởi hành ngay lập tức (trong thực tế điều này không xảy ra), v.v. Ngoài ra, theo điều kiện của chúng tôi, thời gian là thứ quý giá nhất đối với Pyotr Petrovich. Nhưng trong trường hợp $b$), chúng tôi phải đối mặt với thực tế là có hai lựa chọn tương đương nhau theo quan điểm này. Để chọn một trong số đó, bạn cần một thông báo khác: chi phí của chuyến đi (khi đó rất có thể anh ấy sẽ đi bộ) hoặc sự thuận tiện (khi đó anh ấy sẽ bắt taxi).

Một chiếc xe đạp cho hai người. Hai anh em Kolya và Seryozha đang cố gắng đến gặp bà của họ, người sống cách họ 40 km. Họ có một chiếc xe đạp và họ đã thêm một số thứ vào. Kolya đi bộ với tốc độ 6 km/h và đi xe đạp với tốc độ 20 km/h; Tốc độ của Serezha lần lượt là 4 km/h và 30 km/h. Xe đạp có thể được để trên đường mà không cần phanh. Cách nhanh nhất để họ đến được với bà là gì?

Giả sử rằng anh trai đến nhà bà ngoại cùng lúc và chúng ta sẽ tìm ra thời điểm mà họ có thể làm điều này. Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng trong thời gian ngắn hơn, một trong số họ sẽ không thể liên lạc được với bà ngoại.

Để Kolya đi xe đạp $x$ km và đi bộ $(40-x)$ km, còn Seryozha thì ngược lại, đạp xe $x$ km và lái xe $(40-x)$ km.

Sau đó Kolya dành $(x/20+(40-x)/6)$ giờ trên đường và Seryozha - $(x/4+(40-x)/30)$ giờ.

Nếu họ đến gần cùng một lúc,

$$\frac{x}{20} + \frac{40-x}{6} = \frac{x}{4} + \frac{40-x}{30}.$$

41

$$m = \frac{2}{15} + \frac{7}{15} y,$$

nhận giá trị nhỏ nhất ở giá trị nhỏ nhất có thể là $y = 0$. Nếu chúng ta biểu thị $m$ không phải thông qua $y$ mà thông qua $x$ hoặc thông qua $z$, thì sẽ khó khăn hơn để tìm ra khoảng nào chúng ta nên tìm giá trị nhỏ nhất của nó. Cách tốt nhất để chọn biến nào để gán hàm cũng là một bài toán quan trọng.

Có thể thực hiện được mà không cần những tính toán này nếu chúng ta lưu ý các trường hợp sau. Để hợp kim mới chứa 40% coban và càng ít đồng càng tốt thì hợp kim đó phải chứa càng nhiều niken càng tốt. Do đó, hợp kim thứ hai, có vẻ tốt vì nó đã chứa 40% coban, tốt hơn hết là bạn không nên chạm vào nó, vì nó hoàn toàn không chứa niken - xem bảng. Điều này có nghĩa là chúng ta cần trộn hợp kim thứ nhất và thứ ba. Chúng ta lấy $a$ kg hợp kim thứ nhất, sau đó chúng ta cần lấy $(1-a)$ kg hợp kim thứ ba. Hợp kim mới sẽ chứa 0,6(1-a) kg coban. Theo điều kiện, 0,6(1-a)=0,4, do đó $a=1/3$, dẫn đến đáp số.

Năm mới bài toán*). Với giá 100 rúp. lời giải buy.elochny cerrushek. Ngược lại, cerrushkas trên cây Giáng sinh được bán theo cách khác. Một bộ 20 chiếc cerrush có giá 4 rúp, một bộ 35 chiếc cerrush có giá 6 rúp, một bộ 50 chiếc cerrush có giá 9 rúp. Bạn nên mua bao nhiêu và bộ nào để mua được ít hoa hồng nhất?

Một cerrushka trong bộ đầu tiên có giá 1/5 chà, trong bộ thứ hai - 6/35 chà, trong bộ thứ ba - 9/50 chà. Hãy sắp xếp các số sau: 6/35<9/50<1/5. Vì vậy, những đồ chơi rẻ nhất nằm ở bộ thứ hai, và những đồ chơi đắt nhất nằm ở bộ thứ nhất.

Để mua với giá 100 rúp. Tất nhiên, càng nhiều cây cerrush càng tốt, bạn cần phải mua những cây cerrush lớn. Nhiều nhất chúng ta có thể mua 16 bộ với giá 6 rúp. và chi 96 rúp cho nó.

Còn lại 4 rúp, bạn có thể dùng số tiền này để mua bộ đầu tiên. Tất cả chúng ta sẽ mua 16·35+20=580 zerrushki theo cách này.

Đây rất có thể là lựa chọn tốt nhất. Tuy nhiên, hãy kiểm tra điều này: nếu bạn mua 15 bộ sáu hộp thì bạn còn lại 10 rúp. Sau đó chúng ta có thể mua một bộ guble thứ chín khác hoặc hai bộ bốn guble. Trong cả hai trường hợp, số lượng cerrush ít hơn trong tùy chọn đầu tiên.

Vì vậy, bạn cần mua 16 bộ với giá 6 rúp. và 1 bộ có giá 4 rúp. Trong trường hợp này, 580 cerrush sẽ được mua.

Chúng tôi đã đạt được điều này đáp số với sự trợ giúp của một thông điệp tự nhiên như vậy: bạn có thể mua những chiếc cerrush lớn hơn thì càng rẻ.

Lý do của chúng tôi là hợp lý, nhưng nói chung, chúng tôi chưa xem xét tất cả các lựa chọn có thể. Vì vậy, chúng tôi đưa ra quy định lời giải nghiêm ngặt hơn.

Gọi $x$ là số bộ loại I, $y$ - loại II, $z$ - loại III. Chúng ta cần tìm số không âm như vậy

42

các số $x$, $y$ và $z$ sao cho các điều kiện $4x+6y+9z \leq 100$ được thỏa mãn và các giá trị $S=20x+35y+50z$ là lớn nhất.

Bởi vì

$$4x+6y+9z = \frac{6}{35}S + \frac{4}{7}x + \frac{3}{7}z \geq \frac{6}{35}S,$$

hóa ra là $\frac{6}{35}S \leq 100$, do đó $S \leq 583\frac{1}{3}$.

Vì $S=20x+35y+50z$ là số nguyên chia hết cho 5 nên ta có $S \leq 580$. Tại $x=1$, $y=16$, $z=0$ mọi điều kiện đều được thỏa mãn và $S=580$.

bài toán này đề cập đến lập trình số nguyên, một trong những nhánh khó nhất của lập trình toán học.

Nhiệm vụ

1. Ba nhân viên bán hàng trẻ - Yury, Ykov và Lev - được phân công làm việc trong một cửa hàng bách hóa. Giám đốc một cửa hàng bách hóa cần phân công một người trong số họ vào bộ phận hàng hóa phát thanh, một người khác vào bộ phận nhạc cụ và một người thứ ba vào bộ phận hàng ảnh. Giám đốc đã nhờ nhà tâm lý học giúp ông xác minh cuộc hẹn này. Chuyên gia tâm lý đã trò chuyện với họ và đánh giá kiến ​​thức của mọi người

| RADIO | HÌNH ẢNH | ÂM NHẠC |
| :— | :— | :— |
| yuri | 5 | 4 | 7 |
| Yakova | 6 | 7 | 3 |
| Loeb | 8 | 11 | 2 |

trong cả ba lĩnh vực trong điểm. Sau đó anh ta lập một bảng và trình cho giám đốc cửa hàng bách hóa. Giám đốc có thể phân bổ người mới như thế nào để tổng số điểm tương ứng là nhiều nhất? (Ví dụ: nếu Yury được phân vào khoa phát thanh, Ykov vào khoa âm nhạc và Lev vào khoa nhiếp ảnh thì tổng điểm sẽ bằng $5+3+11=19$).

2. Trong chảo rán, đặt hai miếng cốt lết lại với nhau, bạn có thể chiên cả hai mặt trong 10 phút. Cách nhanh nhất để chiên 3 miếng cốt lết trong chảo rán này là gì?

3. Cho hai điểm $A$ và $B$, nằm ở một phía của một đường thẳng cho trước. Làm cách nào để đặt đoạn MK có độ dài cho trước $a$ trên đường thẳng này sao cho đoạn thẳng AMKB có độ dài ngắn nhất?

4. Ba anh em đã đầu tư một cái, cần bổ sung thêm vào căn nhà cách cửa hàng 30km. Mỗi anh em đi bộ với vận tốc 4 km/h và đạp xe với vận tốc 20 km/h. Trong thời gian ngắn nhất họ có thể được thêm vào nhà? (Có thể để tệp đính kèm trên đường mà không cần lăng kính.)

5*) Một bé có thể ăn một chiếc bánh trong 10 phút, một lọ mứt trong 8 phút và uống một hộp sữa trong 4 phút. Carlson có thể làm điều này nhanh hơn gấp 2 lần. Trong thời gian ngắn nhất họ có thể cùng nhau ăn xong bữa sáng gồm một chiếc bánh, một lọ mứt và một hộp sữa?

6. Mỗi trong số bốn chứa 1 lít hỗn hợp axit và nước. Tỷ lệ axit trong chúng tương ứng là 10%, 30%, 60%, 80%. Phòng thí nghiệm cần thu được hỗn hợp 50% axit và nước. Lượng hỗn hợp nhỏ nhất mà anh ta có thể thu được bằng cách đổ hỗn hợp từ các bình này là bao nhiêu?

7. Cần phải chế tạo một hợp kim chứa 40% thiếc. Có 3 hợp kim trong kho với hàm lượng thiếc 60%, 10% và 40%. Giá 1 kg mỗi hợp kim là 4,3 rúp, 5,8 rúp. và 5,5 chà. tương ứng. Nên lấy những hợp kim nào và theo tỷ lệ nào từ kho để 1 kg hợp kim mới rẻ nhất có thể?

8. (Bài toán thi tuyển sinh khoa kế hoạch kinh tế và kinh tế, thư viện Khoa Kinh tế của Đại học quốc gia Mátxcơva, 1984). Ba loại nhà có thể được lắp ráp từ hai loại bộ phận của tòa nhà. Để lắp ráp một tòa nhà 12 căn hộ, bạn cần 70 phần thuộc loại thứ nhất và 100 phần thuộc loại thứ hai. Để lắp ráp một tòa nhà 16 căn hộ, cần có 110 và 150 căn hộ, còn đối với một ngôi nhà có 21 căn hộ thì cần 150 và 200 bộ phận của loại thứ nhất và thứ hai của loại tương ứng. Có 900 phần thuộc loại thứ nhất và 1300 phần thuộc loại thứ hai. Cần phải lắp ráp bao nhiêu và loại nhà nào để tổng số căn hộ trong đó là lớn nhất?

9. Trên vành đai đường cao tốc có ba nhà kho và ba cửa hàng; khoảng cách giữa hai điểm lân cận là 1km. hình thể hiện tình trạng sẵn có của hàng hóa trong kho (tính bằng tấn) bằng dấu “+” và nhu cầu hàng hóa của cửa hàng (tính bằng tấn) bằng dấu “-”. Cần lập phương án vận chuyển ít kinh tế nhất để chuyển toàn bộ hàng hóa từ kho đến kho sao cho khối lượng vận chuyển tấn/km là nhỏ nhất. (Trích dẫn các phương án di chuyển có sẵn, theo quan điểm của bạn và nêu rõ những thông điệp đã đưa bạn đến đáp số này.)

43

Chu kỳ, chu kỳ, chu kỳ…

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
L. F. STERNBERG

Việc lập trình sẽ mất rất nhiều nếu không có khái niệm phân nhánh hoặc thuật toán trợ giúp, nhưng cốt lõi của chương trình vẫn là các vòng lặp. Tuy nhiên, vì một lệnh được viết bên trong một vòng lặp sẽ được thực thi nhiều lần, điều này mang lại ý nghĩa cho công việc biên dịch chương trình.

Bài toán lệnh thua được trả lời 3 trang trong SGK lớp 9 và giải được rất nhiều câu bài toán. 2 trang lý thuyết khác được giải đáp trong SGK “Informatικά-10” *); một công trình bổ sung được giới thiệu - một chu trình thuận tiện nhưng có thể được thực hiện mà không cần. Vậy chúng ta có thể nói gì về chu kỳ? Komy là một cụm từ không được giải thích trong tiếng Nga

trong khi điều kiện là mất hành động kts, từ đó nhận được lệnh

*) Đây là cách tác giả gọi ngắn gọn cuốn sách giáo khoa “Cơ bản về Tin học và Khoa học Máy tính,” Lưu ý. biên tập.)

số lần lặp lại (nếu thay từ “repeat” bằng từ “ncc”)? Chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng từ “lặp lại” khi viết các lệnh chu trình - chu trình được viết theo cách này dễ đọc và dễ hiểu hơn. Tuy nhiên, các chu kỳ là khác nhau.

Hãy bắt đầu với bài toán đơn giản nhất: sử dụng những gì được mô tả trên trang. 78-81 của sách giáo khoa “Informatικά-9” nghệ sĩ đồ họa vẽ một cây trượng có chiều dài dòng là 50 và khoảng cách giữa các dòng là 3. Điều này có thể được thực hiện bằng chương trình sau (sau đây chúng tôi sẽ chỉ viết các chương trình, không có tiêu đề và không có mô tả):

k:=1;
cho đến khi k<5 lặp lại
phải (90); vẽ tranh; chuyển tiếp(50);
đừng vẽ; trở lại (50);
trái (90); tiến (3);
k:=k+1
kts

Nếu người biểu diễn của chúng tôi được chỉ huy bởi một người không quen với lập trình, thì anh ấy sẽ nói thế này: “làm như sau 5 lần: sang phải (90); kéo… về phía trước (3).” Và thực sự: chúng ta chỉ cần biến k để đếm số lần tổn thất vòng lặp; chúng ta không cần nó trong phần thân của vòng lặp; nhưng người biểu diễn không biết về điều này, và anh ta sẽ thành thật điền biến k và viết giá trị hiện tại của k vào đó: nếu nó được sử dụng trong tương lai thì sao?

45

i:=0; y:=a[0];
cho đến khi tôi lặp lại
i:=i+1; y:=y·x+a[i]
kts

Hãy xem biến i: tại mỗi bước của vòng lặp, nó thay đổi thành cùng một giá trị (trong trường hợp này là 1) và chính biến này sẽ xác định thời điểm kết thúc vòng lặp. Đọc qua sách giáo khoa - trên hầu hết các trang, bạn sẽ tìm thấy một vòng lặp trong đó một số biến mỗi lần được thay đổi thành cùng một giá trị và chính giá trị của nó sẽ xác định mức độ hoàn thành của vòng lặp. Tình huống này xảy ra rất thường xuyên, vì vậy những vòng lặp như vậy được đặt một tên đặc biệt - những vòng lặp có tham số.

Tham số vòng lặp là cùng một biến thay đổi theo cùng một cách và dùng để xác định điểm kết thúc của vòng lặp. Ngoài ra còn có một mẫu ghi âm đặc biệt dành cho họ:

thay đổi tham số từ giá trị 1 trong các bước thành giá trị 2
lên tới giá trị 3 bước lặp lại kts

Ý nghĩa của cách xây dựng này, như mọi khi, tương ứng với ý nghĩa của cụm từ trong tiếng Nga. Với sự trợ giúp của nó, thuật toán sơ đồ Horner có thể được viết
y:=a[0];
thay đổi i từ 1 bước 1 thành n lặp lại
y:=y·x+a[i]
kts

Như bạn có thể thấy, ở đây tiêu đề vòng lặp quay về chính nó và đặt giá trị ban đầu của tham số, đồng thời thay đổi nó và kiểm tra phần cuối của vòng lặp. Trong trường hợp này, bước nếu bằng 1 thì không cần phải chỉ định. Vì vậy, trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có thể viết

thay đổi i từ 1 thành n lặp lại

Vòng lặp như vậy thực tế tồn tại trong tất cả các ngôn ngữ lập trình, nhưng theo truyền thống, nó có dạng ký hiệu hơi khác:

for… from… step… to… Cycle và còn được gọi là “chu trình for”. Ở dạng này, nó được tìm thấy trong các ngôn ngữ Panipa, PL/1, Allol-60, Allol-68, v.v. Ngoài ra, trong một số ngôn ngữ (ví dụ: Fortran hoặc ngôn ngữ thuật toán trường học), giá trị cuối cùng trước tiên được chỉ định, sau đó là bước và trong một số (PL/1), bạn có thể viết cả hai cách.

Tại sao thiết kế chu trình này lại xuất hiện trong sách giáo khoa Thông tin-10? Thoạt nhìn, chu kỳ này, giống như chu kỳ lặp lại… lần, không mang lại cho chúng ta điều gì mới - chỉ có bản ghi đã trở nên giống nhau hơn: cùng nhau
x:=a;
cho đến khi x<b lặp lại
… x:=x+h;
kts

chúng tôi viết

thay đổi x từ bước h thành b lặp lại… kts thế là xong. Nhưng điều này không hoàn toàn đúng: ví dụ: nếu a=0, b=1, a h=0,1, thì cả hai chu kỳ sẽ diễn ra như nhau, nhưng nếu h=-0,1, thì chu trình sẽ xuất hiện (giá trị của a sẽ không bao giờ lớn hơn b) và chu trình với tham số chỉ đơn giản là không được thực hiện dù chỉ một lần: thực tế là trong chu trình này, điều kiện “x≤b” không chỉ được kiểm tra mà giá trị tham số được kiểm soát nằm trong khoảng từ a đến b; khi cố gắng rời khỏi phạm vi theo bất kỳ hướng nào, đặc biệt, nếu bước này không hướng tới b mà theo hướng ngược lại, chu trình sẽ không thực hiện. Vì vậy, một vòng lặp có tham số giống như một vòng lặp lặp lại…
thời gian là một công trình phòng thủ: những chu kỳ như vậy không bao giờ được bảo vệ.

Bài tập sử dụng chu trình cho (thay đổi chu trình) thuật toán KHAI THÁC và ĐẶT HÀNG (A7, A8 trên trang 93, “Thông tin-9”).

Nhưng ngay cả trong một vòng lặp có một tham số, một tình huống có thể phát sinh là không rõ trước phải thực hiện bao nhiêu bước để thay đổi tham số. Ví dụ: giả sử trong một bảng gồm M phần tử, chúng ta cần tìm vị trí mà phần tử bằng i xuất hiện. Để tìm kiếm một phần tử, bạn cần xem qua từng phần tử trong bảng, thay đổi chỉ số thành 1, nhưng không biết trước cần thực hiện bao nhiêu bước. Một cây nấm từ chu kỳ thay đổi và chu kỳ đồng thời sẽ giúp chúng ta đối phó với nhiệm vụ này:

thay đổi i từ 1 bước 1 cho đến a[i]≠x lặp lại kts Xin lưu ý: phần thân của vòng lặp trống - mọi thứ cần thiết đều được thực thi bởi tiêu đề vòng lặp; Vòng lặp thoát khi a[i]=x, trong khi i sẽ chứa số phần tử bảng nơi vòng lặp kết thúc.

Một chu trình như vậy tồn tại trong ngôn ngữ PL/1.

Rõ ràng là một giống lai cũng có thể được hình thành

tôi… từ… bước… lặp lại… cho đến khi… trong đó tham số được thay đổi và quá trình kiểm tra diễn ra ở cuối. Phương pháp tìm phần tử mong muốn trong bảng trên sẽ chỉ có tác dụng khi chúng ta chắc chắn về

46

rằng phần tử bạn đang tìm kiếm có trong bảng. Nếu nó không có ở đó thì sau $M$ bước, giá trị $i$ sẽ vượt ra ngoài ranh giới của bảng và chúng ta sẽ nhận được thông báo lỗi hoặc máy tính sẽ bắt đầu làm điều gì đó không thể đoán trước. Hãy thay đổi thuật toán của chúng tôi để nếu thiếu phần tử bắt buộc, chẳng hạn, nó sẽ cung cấp cho chúng tôi một giá trị số 0. Có vẻ như bạn có thể làm điều đó như thế này:

thay đổi $i$ từ 1 bước 1 hiển thị $i \leqslant M$ và $a[i] \neq x$ lặp lại kts;
nếu $i > M$ thì $i := 0$; Tất cả;

nhưng điều này không thể thực hiện được: nếu không cần phần tử nào, thì ở bước $(M+1)$, ngay cả khi đã đảm bảo rằng $i > M$, máy tính vẫn sẽ cố gắng so sánh phần tử không tồn tại $a[M+1]$ với $x$ - và có thể đưa ra thông báo lỗi. Nhìn vào sách giáo khoa trên trang. 57, chúng tôi sẽ tìm cách thoát khỏi tình trạng này với cái giá phải trả là đưa ra một biến bổ sung và các so sánh bổ sung (số lượng so sánh cho ra không ít hơn gấp đôi), và sau khi nghiên cứu nó, chúng tôi thừa nhận rằng không phải ai cũng có thể tự mình nghĩ ra được. Bây giờ, nếu chúng ta có thể buộc máy tính so sánh $i$ với $M$ lần đầu tiên và chỉ thực hiện phép so sánh thứ hai nếu kết quả của lần so sánh đầu tiên là dương…

Nhưng người đọc có lẽ đã hiểu ý chính của chúng tôi: nếu chúng tôi không thoải mái khi làm việc, điều đó có nghĩa là chúng tôi đang thiếu một thứ gì đó và “cái gì đó” này cần được duy trì. Điều chúng tôi thiếu là khả năng thực hiện hai lần kiểm tra riêng biệt và hai lần thoát khỏi vòng lặp: khi phát hiện một phần tử và khi bảng hết. Xét rằng tìm kiếm bài toán là một bài toán rất phổ biến thì việc ra đời các công cụ tìm kiếm tiện lợi không phải là chuyện nhỏ. Nhưng nhận ra rằng có thể có nhiều hơn một lý do để thoát khỏi một chu kỳ là điều không đáng để giới hạn và suy nghĩ. Và giờ đây, cấu trúc vòng lặp mạnh mẽ và tiện lợi đã xuất hiện trong ngôn ngữ thuật toán của chúng tôi, bao gồm hầu hết tất cả các trường hợp cần thiết:

thay đổi…từ…bước…sang…
tạm biệt…lặp lại…lần
cơ thể chu kỳ
đến … kts,

trong đó bất kỳ phần được gạch chân nào có thể vắng mặt và không nên có mặt cùng lúc -

47

Nâng cao khoảng cách và góc độ

Ứng viên khoa học sư phạm
Yu. I. IONIN,
V. V. NEKRASOV

Bài viết này thảo luận về một số bài toán hình học, cho lời giải mà cần phải tính khoảng cách hoặc góc nhất định trong không gian (những bài toán này được trình bày trong kỳ thi tuyển sinh vào chương trình phát triển đại học). Các bài toán thuộc loại này có thể được giải thuận tiện bằng cách sử dụng tích vô hướng của vectơ. Phương pháp chính lời giải là chọn một cơ sở phù hợp trong không gian và biên soạn một bảng nhân - một bảng tích vô hướng của các vectơ của cơ sở này. Có một bảng như vậy và biết cách phân rã các vectơ trong cơ sở đã chọn, người ta dễ dàng tính được độ dài của các vectơ này và góc giữa chúng. Chúng ta sẽ bắt đầu với một bài toán đơn giản, trong đó phương pháp tự hướng dẫn và sau đó chuyển sang các vấn đề phức tạp hơn, trình bày tất cả các trường hợp cơ bản ở đó.

Nhiệm vụ 1 (MAI, 1981). Trong tam giác ABCD, tất cả các cạnh đều có cùng độ dài. Điểm M là trung điểm cạnh AD, điểm O là tâm tam giác ABC, điểm N là trung điểm cạnh AB, điểm K là trung điểm cạnh CD. Tìm góc giữa hai đường thẳng MO và KN.

Lời giải e. Chúng ta hãy lấy độ dài cạnh của tứ diện là một và chọn vectơ $\overrightarrow{DA} = \vec{a}, \overrightarrow{DB} = \vec{b}, \overrightarrow{DC} = \vec{c}$ làm cơ sở. Hãy tạo một bảng nhân cho cơ sở này (Bảng 1, trang 48). Chúng ta hãy mở rộng các vectơ $\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{KN}$ thành các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

$$\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{DO} - \overrightarrow{DM} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{1}{6} (-\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}),$$

$$\overrightarrow{KN} = \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{DK} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{2} \vec{c} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}).$$

Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng MO và KN được tính theo công thức

$$\cos \varphi = \frac{|\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{KN}|}{|\overrightarrow{MO}| \cdot |\overrightarrow{KN}|}.$$

Hãy tìm $\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{KN}$, $|\overrightarrow{MO}|$ và $|\overrightarrow{KN}|$, được bảng 1:

48

$$\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{KN} = \frac{1}{12} (-\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}) (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{12};$$
$$|\overrightarrow{MO}| = \frac{1}{6} \sqrt{(-\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c})^2} = \frac{1}{2};$$
$$|\overrightarrow{KN}| = \frac{1}{2} \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Do đó $\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{6}$, $\varphi = \arccos \frac{\sqrt{2}}{6}$.

Tuy nhiên, điều kiện bài toán không phải lúc nào cũng cho phép chọn cơ sở với bảng nhân được xác định đầy đủ. Trong trường hợp này, bạn cần cố gắng tạo phương trình cho phần tử không đủ.

Bài toán 2 (MIPT, 1974). Cạnh đáy của lăng trụ tam giác vuông $ABCA_1B_1C_1$ bằng $a$, các điểm $O$ và $O_1$ lần lượt là tâm của các đáy $ABC$ và $A_1B_1C_1$. Độ dài hình chiếu trực giao của đoạn $AO_1$ lên đường thẳng $B_1O$ bằng $\frac{5a}{6}$. Xác định chiều cao của lăng kính.

Đã giải quyết và e. Chúng ta hãy chọn các vectơ $\overrightarrow{AA_1} = \vec{m}, \overrightarrow{AB} = \vec{n}, \overrightarrow{AC} = \vec{p}$ (hình 1) làm cơ sở. Hãy để $h = |\vec{m}|$. Bảng 2 là bảng nhân của cơ số $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$.

Hình chiếu trực giao của đoạn $AO_1$ lên đường thẳng $B_1O$ bằng độ dài của đoạn này nhân với cosin của góc

Hình 1.

f giữa các dòng $AO_1$ và $B_1O$. Để tính $|\overrightarrow{AO_1}|$ và cos $\varphi$, chúng ta mở rộng vectơ $\overrightarrow{AO_1}$ và $\overrightarrow{B_1O}$ thành cơ sở $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$:

$$\overrightarrow{AO_1} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AC_1}) =$$
$$= \frac{1}{3} (\vec{m} + \vec{m} + \vec{n} + \vec{p}) =$$
$$= \frac{1}{3} (3\vec{m} + \vec{n} + \vec{p});$$
$$\overrightarrow{B_1O} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AB_1} = \frac{1}{3} (\vec{n} + \vec{p}) - (\vec{m} + \vec{n}) =$$
$$= \frac{1}{3} (-3\vec{m} - 2\vec{n} + \vec{p}).$$

Qua bảng 2, chúng tôi thấy:

$$|\overrightarrow{AO_1}| = |\overrightarrow{B_1O}| = \frac{1}{3} \sqrt{9h^2 + 3a^2},$$
$$\overrightarrow{AO_1} \cdot \overrightarrow{B_1O} = -\frac{1}{6} (6h^2 + a^2),$$
$$\cos \varphi = \frac{6h^2 + a^2}{2(3h^2 + a^2)}.$$

Vì $|\overrightarrow{AO_1}| \cdot \cos \varphi = \frac{5a}{6}$ nên ta có phương trình
$$\frac{\sqrt{9h^2 + 3a^2}(6h^2 + a^2)}{6(3h^2 + a^2)} = \frac{5a}{6}.$$
Do đó $h = \frac{a \sqrt{6}}{3}$.

Có bốn loại bài toán chính để tính khoảng cách và góc:

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho trước: điểm $M$; đường $l$ có vectơ chỉ hướng $\vec{a}$, điểm $A$ thuộc đường $l$; $\overrightarrow{AM} = \vec{m}$.

Tìm: khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $l$.

(Các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{m}$ trong điều kiện khai triển của chúng theo một cơ sở nhất định với một bảng nhân cho trước.)

Hãy để chúng tôi trình bày sơ đồ lời giải của bài toán này.

Gọi $N$ là hình chiếu trực giao của điểm $M$ lên đường thẳng $l$ (hình 2). Sau đó $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = x\vec{a} - \vec{m}$. Nezvest-

50

$\vec{A} = 60^\circ$. Tất cả các cạnh của lăng kính có chiều dài $a$. Điểm $K$ là hình chiếu trực giao của điểm $B_1$ lên mặt phẳng $DA_1C_1$, còn điểm $L$ là hình chiếu trực giao của điểm $K$ lên mặt phẳng $DD_1C_1C$. Tìm thể tích của kim tự tháp $DCLK$.

Lời giải. Lấy đáy của hình gốc $DCLK$ làm hình tam giác $CDL$, nằm trong mặt phẳng $DD_1C_1C$. thì đoạn $KL$ là chiều cao của đoạn gốc (hình 5). Do đó, $V_{KCDL} = \frac{1}{3} S_{CDL} \cdot KL = \frac{1}{6} DC \cdot LM \cdot KL$, trong đó $M$ là hình chiếu trực giao của điểm $L$ lên đường thẳng $DC$.

Hãy chọn các vectơ $\vec{C}_1\vec{B}_1 = \vec{m}, \vec{C}_1\vec{D}_1 = \vec{n}, \vec{C}_1\vec{C} = \vec{p}$ làm cơ sở và điền vào Bảng 4 - bảng nhân cho cơ sở này.

Kế tiếp,
$$\vec{B}_1\vec{K} = \vec{C}_1\vec{K} - \vec{C}_1\vec{B}_1 = x\vec{C}_1\vec{A}_1 + y\vec{C}_1\vec{D} - \vec{C}_1\vec{B}_1 = x(\vec{m} + \vec{n}) + y(\vec{n} + \vec{p}) - \vec{m} = (x - 1)\vec{m} + (x + y)\vec{n} + y\vec{p}.$$

Vì vectơ $\vec{B}_1\vec{K}$ vuông góc với vectơ $\vec{C}_1\vec{A}_1$ và $\vec{C}_1\vec{D}$ nên ta thu được hệ
$$\vec{B}_1\vec{K} \cdot (\vec{m} + \vec{n}) = 0, \quad \vec{B}_1\vec{K} \cdot (\vec{n} + \vec{p}) = 0.$$

Thay thế vectơ $\vec{B}_1\vec{K}$ bằng sự phân rã của nó thành cơ sở $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$ và sử dụng Bảng 4, quy trình được đơn giản hóa cho hệ thống điều khiển $2x + y = 1$, $3x + 4y = 1$, chúng ta mở $\vec{KL} = \frac{3}{5}(\vec{m} + \vec{n}) - \frac{1}{5}(\vec{n} + \vec{p}) = \frac{1}{5}(3\vec{m} + 2\vec{n} - \vec{p})$. Tương tự như $\vec{KL} = \vec{C}_1\vec{L} - \vec{C}_1\vec{K} = z\vec{C}_1\vec{D}_1 + t\vec{C}_1\vec{C} - \vec{C}_1\vec{K} = z\vec{n} + t\vec{p} - \frac{1}{5}(3\vec{m} + 2\vec{n} - \vec{p}) = \frac{1}{5}(-3\vec{m} + (5z - 2)\vec{n} + (5t + 1)\vec{p})$. Vì $\vec{KL} \cdot \vec{n} = 0$, rồi $-\frac{3}{2} + 5z - 2 = 0$, mở $z = \frac{7}{10}$ và $5t + 1 = 0$, mở $t = -\frac{1}{5}$. Kể từ đây,
$$\vec{KL} = \frac{1}{5}(-3\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}) = \frac{3}{10}(-2\vec{m} + \vec{n}).$$

Bây giờ bạn có thể tìm thấy chiều cao của prima $KCDL$:
$$KL = \frac{3}{10}\sqrt{(-2\vec{m} + \vec{n})^2} = \frac{3a\sqrt{3}}{10}.$$

Tất cả những gì còn lại là tìm $\vec{LM}$:
$$\vec{LM} = \vec{CM} - \vec{CL} = u\vec{CD} - (\vec{C}_1\vec{L} - \vec{C}_1\vec{C}) = u\vec{n} - z\vec{n} - t\vec{p} + \vec{p} = (u - \frac{7}{10})\vec{n} + \frac{6}{5}\vec{p}.$$

Vì $\vec{LM} \cdot \vec{n} = 0$, nên $u = \frac{7}{10}$, mở $\vec{LM} = \frac{6}{5}\vec{p}$, $|\vec{LM}| = \frac{6a}{5}$. Như vậy,
$$V_{KCDL} = \frac{1}{6} \cdot a \cdot \frac{6a}{5} \cdot \frac{3a\sqrt{3}}{10} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{50}.$$

3. Khoảng cách và góc giữa các đường giao nhau

Cho: đường thẳng $l_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{a}_1$, điểm $A_1$ thuộc đường thẳng $l_1$; đường $l_2$ có vectơ chỉ hướng $\vec{a}_2$, điểm $A_2$ thuộc đường $l_2$; $\vec{A}_1\vec{A}_2 = \vec{m}$.

Tìm: khoảng cách $u$ góc giữa các đường thẳng $l_1$ và $l_2$.