Kvant 1988, số 3 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Đám rối
đường giao nhau

1988

Imre Kudnyi
No. 1132

Trong phòng:

2 Nhân kỷ niệm 80 năm ngày sinh của Isaac Konstantinovich Kikon:
Khi bắt đầu cuộc hành trình
Trước ngưỡng cửa khoa học vĩ đại
Giải nhất Nhà nước
12 O. Ya. Viro, Yu. V. Drobogukhina. Đám rối của các đường giao nhau

Bài toán Kvant
20 người chiến thắng cuộc thi “Bài toán Kvant
21 Bài toán M1091 — M1095, F1103 — F1107
22 Problems M1091 — M1095, P1103 — P1107
24 Lời giải bài toán M1070, M1072 — M1075, F1084 — F1087
30 Danh sách độc giả viết đúng lời giải

«Kvant» cho học sinh nhỏ
31 Bài toán
34 A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Chúng ta nhìn thấy cái gì và như thế nào

32 Kính Vạn Hoa «Kvant»
Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10:
Khối tâm là gì
Dòng điện chạy trong kim loại như thế nào?
Về cỗ máy thời gian và thuyết tương đối

câu lạc bộ toán học
46 D. K. Faddeev, M. S. Nikulin, I. F. Sokolovsky.
Nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân.
Phần 1: Hàm tuyến tính

Nghệ thuật lập trình
51 V. V. Romdestensky, S. G. Khlebutin.
Cách tiếp cận cấu trúc và ngôn ngữ lập trình BASIC

Các lựa chọn thi tuyển sinh
60 Đáp số, được chỉ định, lời giải
Pha trộn (tr. 38)

bìa của chúng tôi
1 Minh họa bài “Mang đường giao nhau”.
2 Bản in thạch bản của nghệ sĩ người Hà Lan M. Escher (1898-1972)
“Up and Views” là một minh họa rõ ràng về các điều kiện nhận thức thị giác của chúng ta: chỉ khi nhìn vào nó, chúng ta mới hiểu rằng đó là một “vật thể không thể có được”. Điều gì ngăn cản chúng ta nhìn thấy ngay sự “không thể” của nó? Điều gì gây ra ấn tượng sai lầm về thực tế của nó?
“Chúng ta nhìn thấy gì và như thế nào” sẽ giúp bạn làm rõ những câu hỏi này.
3 trang cờ vua.
4 Câu đố “Ba thanh”.

© Nhà xuất bản Nuka.
Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1988

2

Isaac Konstantinovich Kikonn
(nhân dịp sinh nhật lần thứ 80 của ông)

Ngày 28 tháng 3 năm 1988 đánh dấu kỷ niệm 80 năm ngày sinh của người sáng lập tạp chí Lượng tử, Viện sĩ hàn lâm Isaac Konstantinovich Kikon (mất ngày 28 tháng 12 năm 1984). Ông là nhà vật lý kiệt xuất của Liên Xô, hai lần là Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, đoạt giải thưởng Lênin và Nhà nước. Ông đã có đóng góp lớn cho lời giải một số vấn đề quan trọng của chính phủ và trên hết là việc xóa bỏ sự độc quyền của Mỹ về vũ khí nguyên tử. I. K. Kikonn là chủ đất thân cận nhất của người đứng đầu các công trình này, Viện sĩ I. V. Kurchatov, một trong những người sáng lập Viện Năng lượng nguyên tử và là phó giám đốc thường trực của viện này.

I. K. Kikonn thuộc trường phái vật lý đáng chú ý do viện sĩ A. F. Ioffe thành lập. Những nhà vật lý vĩ đại nhất của Liên Xô đã ra đời từ đó - các học giả A. P. Aleksadrov, A. I. Alikhanov, L. A. Artsimovich, P. L. Kapitsa, I. V. Kurchatov, G. V. Kurdyumov, N. N. Semenov, Yu. V. Khariton và các nhà khoa học khác. Từ những năm sinh viên, sinh viên của Ioffe đã tích cực tham gia vào công việc khoa học độc lập. Đây là trường hợp của Isaac Konstantinovich - ông bắt đầu công việc khoa học vào năm thứ hai, và ngay sau khi tốt nghiệp viện, ông đã hoàn thành một loạt công trình trong lĩnh vực vật lý chất rắn được quốc tế công nhận. Chúng tôi sẽ không cố gắng nói về các công trình khoa học của ông ở đây - có rất nhiều và chúng rất đa dạng. Chúng ta hãy chỉ tập trung vào sự đóng góp của ông cho nền giáo dục trách nhiệm giải trình.

Hai vấn đề rất quan trọng đã chiếm giữ tâm trí ông trong nhiều năm. Cuộc cách mạng khoa học công nghệ không ngừng nâng cao yêu cầu đối với người lao động. Tự động hóa sản xuất, sự ra đời của công nghệ mới, sự xâm nhập của máy tính vào nhiều lĩnh vực công việc khác nhau - đó là sự vĩ đại của thời đại. Chỉ người được đào tạo tốt về thể chất và toán học mới có thể sử dụng một cây cột kỹ thuật phức tạp một cách đáng tin cậy. Và trình độ giảng dạy các môn khoa học này ở trường trung học chắc chắn vẫn còn thiếu trong một thời gian. Trong nỗ lực cải thiện nó, I. K. Kikonn đã lãnh đạo công việc cải tiến chương trình và sách giáo khoa vật lý - một nhiệm vụ khó khăn mà các nhà khoa học lớn ngày nay vô cùng lưỡng lự khi thực hiện.

Một vấn đề khác khiến I. K. Kikonna quan tâm là việc tìm kiếm những tài năng trẻ, những người mà tương lai khoa học của chúng ta phụ thuộc trực tiếp vào. Anh ấy tin chắc rằng con người của chúng tôi rất tài năng và chúng tôi có nhiều cốm như M.V. Lomonosov. Nhưng làm thế nào chúng ta có thể giải quyết kịp thời và không bỏ lỡ những Lomonosov, Mendleyevs và Lobachevskys mới này? Cần phải tạo ra một cơ chế liên minh thống nhất nào đó để giúp thu hút các tài năng trẻ. Olympic học đường đã trở thành một cơ chế như vậy và Isaac Konstantinovich là Chủ tịch Ban tổ chức trung ương các kỳ thi Olympic Vật lý, Toán và Hóa học toàn Liên minh dành cho học sinh.

I. K. Kikonn, cùng với học giả A. N. Kolmogorov, đã tổ chức một trong những trường nội trú vật lý và toán học đầu tiên trong nước tại Đại học quốc gia Moscow. Họ cũng đặt nền móng cho tạp chí toán học và vật lý khoa học phổ biến đầu tiên trên thế giới dành cho học sinh trung học, “Quant” và “Bibliography”.

3

TECHEKE «Kvant» và dẫn dắt họ cho đến những ngày cuối đời.

I.K. Kikoin yêu thích tạp chí của chúng tôi và mặc dù rất bận rộn nhưng anh luôn dành thời gian để phát triển chủ đề, tìm kiếm tác giả và thảo luận các bài báo. Anh ấy yêu những người trẻ tuổi - bạn phải thấy đôi mắt anh ấy sáng lên như thế nào khi gặp những học sinh tài năng. Ông yêu vật lý vô cùng; việc học của ông là ý nghĩa chính của cả cuộc đời ông. Không lâu trước khi qua đời, khi nói chuyện với các học sinh, ông nói: “… trong cuộc đời dài của mình, tôi đã không có thời gian để tận hưởng môn vật lý yêu quý của mình, tôi không có đủ thời gian, bây giờ tôi thấy rõ rằng mình không có đủ. Nhưng không có một ngày nào trong đời, không một ngày nghỉ, không một kỳ nghỉ, không một kỳ nghỉ nào mà tôi không làm điều đó. Tôi thường mơ về vật lý.” Đây là cách chúng ta tưởng nhớ người đàn ông và nhà khoa học tuyệt vời này.

Trong số này, chúng tôi xuất bản một số tài liệu dành riêng để tưởng nhớ I.K. Kikoin.

KHI BẮT ĐẦU CUỘC HÀNH TRÌNH

Isak Konstantinovich Kikoin tốt nghiệp trường trung học số 1 mang tên L. M. Pozemsky ở Pskov năm 1923. Ông luôn nhớ lại những năm tháng làm nhà khoa học của mình với lòng biết ơn. Ngôi trường đã giúp anh tìm thấy tiếng gọi của mình và truyền cho anh tình yêu dành cho vật lý, môn khoa học mà anh đã cống hiến cả cuộc đời mình.

Vào tháng 2 năm 1983, các học sinh lớp 6 trường Pskov số 1 đã viết cho Isak Konstantinovich một lá thư yêu cầu cậu kể về những điều cậu đã học được ở trường, về bản thân, về công việc của mình. Isak Konstantinovich sẵn sàng đáp ứng yêu cầu. Vào những thời điểm khác nhau, ông đã viết bốn bức thư cho học sinh.

Chúng tôi trình bày những đoạn trích từ những bài thơ này để bạn chú ý.

…Tôi sinh ngày 28 tháng 3 năm 1908 tại thành phố Žagre (thuộc Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Litva).

…Gia đình tuân thủ quy tắc sáng tạo - dạy trẻ làm càng nhiều công việc quanh nhà càng tốt, chăm sóc mọi thành viên trong gia đình; lòng yêu nghề và tinh thần trách nhiệm với công việc được giao.

Trong suốt quãng đời còn lại của mình, tôi vẫn biết ơn bố mẹ vì điều này. Trong cuộc sống tôi thường gặp khó khăn và nhớ đến lời dặn của cha.

Trong gia đình chúng tôi, trẻ em được dạy viết và đọc từ rất sớm. Lúc ba tuổi tôi đã biết đọc và viết. Mỗi ngày tôi nhận được một nhiệm vụ từ cha tôi và tôi phải báo cáo với ông. Bố tôi còn nhắn tin cho tôi và tôi phải trả lời ông thuộc lòng. Bây giờ tôi hiểu rằng những bài tập nói này đã góp phần hình thành nên ký ức tốt đẹp trong tôi mà tôi đã lưu giữ suốt đời.

…Năm 1916, chúng tôi chuyển đến Opochka, tỉnh Pskov (nay là vùng), nơi tôi đi học.

Nghĩ rằng điều đó không khó đối với tôi, đến nỗi sau khi “trượt” lớp hai lần, vào năm 1921, tôi thấy mình đang học lớp cuối cùng. Nhưng cũng trong năm đó, bố tôi được chuyển sang làm giáo viên toán ở trường các bạn, lúc đó gọi là học sinh cấp 1 và cấp 2 của trường.

Đương nhiên là tôi cũng vào học cùng trường. Vì vậy, tôi đã trải qua hai năm học cuối cùng ở trường của chúng tôi… Tôi có những kỷ niệm tươi sáng và dễ chịu nhất trong những năm tháng mạnh mẽ này.

Từ rất sớm, khi còn học tiểu học, tôi đã chăm chỉ học toán, vật lý; Có lẽ ảnh hưởng của người cha bị ảnh hưởng.

Ngôi trường nơi bạn đang theo học đã tạo điều kiện đặc biệt thuận lợi cho việc học chuyên sâu nhiều môn học này.

Chúng tôi được dạy toán bởi giáo viên hạng nhất, Dmitry Mikhailovich Lyapunov, người mà tôi rất biết ơn về những kiến ​​thức tôi nhận được từ ông.

Tôi cũng rất may mắn với vật lý.

Tôi được giao nhiệm vụ quản lý phòng vật lý của trường và cùng với người bạn cùng trường quản lý thư viện của trường (cả hai đều là công tác xã hội của tôi).

…Phòng vật lý được trang bị đầy đủ dụng cụ và tôi đã có cơ hội thực hiện nhiều thí nghiệm. Đúng là nhiều thiết bị cần được sửa chữa và tôi đã có được kinh nghiệm trong việc sản xuất các bộ phận cần thiết cho việc này.

Thư viện của trường vô cùng phong phú, chứa hàng nghìn cuốn sách. Có rất nhiều sách về vật lý và toán học.

… Hầu như ngày nào tôi cũng vui vẻ dành thời gian học tập trong thư viện.

4

phòng kỹ thuật vật lý từ sáng đến tối muộn. Kết quả là tôi đã có được vị trí khá vững chắc ở cả hai môn, toàn diện hơn nhiều so với yêu cầu trong chương trình học ở trường.

…Tôi tốt nghiệp ra trường năm mười lăm tuổi. Đến thời điểm này, tôi đã quyết định chính xác mình sẽ tiếp tục học ở cơ sở giáo dục đại học nào. Sự thật là ngay trước đó, một bài báo của nhà vật lý xuất sắc Viện sĩ Abram Fedorovich Ioffe đã xuất hiện trên một trong những tờ báo trung ương về khoa vật lý và cơ học chính của ông tại Viện Bách khoa Leningrad. M.I. Kalinina. Sau khi đọc bài viết này, tôi kiên quyết quyết định chỉ đăng ký vào khoa này. Nhưng… thanh niên đã được nhận vào các trường dạy nghề bắt đầu từ năm mười bảy tuổi. Vì vậy, tôi quyết định thi vào Trường đào Pskov - một trong những trường thứ năm tồn tại trên cả nước. Đó là cơ sở kỹ thuật thứ cấp tốt nhất ở Pskov. Thật không may, môi trường tuyệt vời nơi trường tọa lạc đã không còn nữa. Tôi dễ dàng vượt qua các kỳ thi và được nhận vào học năm thứ 3 (sau này trường được gọi là Trường Kỹ thuật Quản lý Đất đai). Tuy nhiên, lý do tại sao tôi chọn trường này là vì tình trạng thất nghiệp tương đối đáng kể khi đó trong nước và không có đủ người khảo sát đất đai.

Tôi sẽ không tập trung vào những năm học ở ngôi trường này mà sẽ hạn chế chỉ ra rằng việc đào tạo tốt về vật lý và toán học đã giúp tôi tốt nghiệp với điểm cao nhất.

…Khi đó tôi đã 17 tuổi và tôi có quyền vào Học viện Bách khoa mà tôi đã chọn, Khoa Vật lý và Cơ học. …Có lẽ bạn sẽ muốn biết kỳ thi đầu vào khoa này của tôi diễn ra như thế nào. Vào thời đó, các quy định về thi đậu vào các trường đại học thường xuyên thay đổi. Đặc biệt, vào năm 1925, đối với những người vào các trường đại học Moscow và Leningrad, quy định rằng những người tốt nghiệp trung học cơ sở hoặc cơ sở giáo dục kỹ thuật cấp hai năm đó và muốn vào đại học cùng năm phải thi tại khu vực hoặc thành phố thuộc tỉnh của họ. Những người tốt nghiệp các cơ sở giáo dục trung học trước năm 1925 đều được thi vào hội đồng tuyển sinh của các trường cao đẳng theo cách thức như hiện nay).

Vì vậy, tôi phải làm bài kiểm tra tại nhà ở Pskov. Đối với tỉnh Pskov, hai suất được phân bổ cho Khoa Vật lý và Cơ học mà tôi đã chọn.

5

Có vài chục người ở tỉnh Pskov muốn đăng ký vào khoa này. …Ủy ban tuyển chọn bao gồm một giáo viên Pskov. Các kỳ thi về vật lý, toán học, hóa học, tiếng Nga và khoa học chính trị (đài truyền hình về các vấn đề công cộng là “rất thỏa đáng”, tức là, theo thuật ngữ của TV, là năm. Họ thông báo với tôi rằng tôi đã được ghi danh là sinh viên Khoa Vật lý và Cơ học của Viện Bách khoa Leningrad. Chủ tịch ủy ban chúc mừng: “Mọi thứ đều ổn. Bạn có thể đến Leningrad. Bạn đã được ghi danh.” Viện Bách khoa Leningrad.

Một chi tiết nhỏ: vào thời điểm tôi thi đỗ (tháng 7), giấy chứng nhận tốt nghiệp trường Đo đạc đất đai vẫn đang được in ở nhà in nên trước khi thi, để trình cho hội đồng tuyển sinh, họ đưa cho tôi một bản sao bằng tốt nghiệp, đánh trên máy đánh chữ sang trọng, nội dung giống hệt, có chữ ký gốc và đóng dấu chính thức.

…Đầu năm học tôi đến Leningrad. Tôi đến khoa của mình và đọc danh sách những sinh viên dễ chịu. Họ của tôi không có ở đó!

…Sáng hôm sau (tức là ngày 28 tháng 8) tôi đến cơ quan để tìm hiểu nguyên nhân của sự hiểu lầm hiển nhiên này. Khi tôi nói họ của mình với người đứng đầu cơ quan, ông ta ra lệnh… mang hồ sơ cá nhân của tôi đến. Anh ấy bắt đầu lướt qua nó và nói: “Bạn không được chấp nhận vì bạn không xuất hiện trong kỳ thi.” Đáp lại lời giải thích của tôi rằng tôi đã thi ở Pskov trước ủy ban tuyển chọn cấp tỉnh, đáp số như sau: “Bạn tốt nghiệp ra trường năm 1923 chứ không phải năm nay, 1925, và theo quy định hiện hành, bạn phải thi ở đây - tại viện.” Vào đáp số Tôi đã nói với điều này rằng tôi đã tốt nghiệp Trường Khảo sát Đất đai Pskov năm nay. Tiếp theo là đáp số, người đã làm tôi ngạc nhiên: “Chúng tôi không biết gì về điều này.” Tôi bắt đầu tranh luận rằng hồ sơ cá nhân của tôi phải bao gồm chứng chỉ hoàn thành Trường Đo đạc Đất đai ở Pskov. Xem lại hồ sơ cá nhân và tìm thấy chứng chỉ này, anh ta dứt khoát tuyên bố: “Vì chứng chỉ của bạn không có ở nhà in nên nó không thể dùng làm tài liệu chính thức cho chúng tôi”. Tôi giải thích cho anh ấy lý do… và đưa cho nhà in xem giấy chứng nhận đã cấp cho tôi, nhấn mạnh rằng các dòng chữ, con dấu và chữ ký trong cả hai tài liệu đều khớp hoàn toàn với nhau.

Tất cả điều này không ảnh hưởng gì đến anh ta

Cha mẹ của I.K. Kikoshna là Bunya Israelna và Konstantin Isaakovich.

Ngôi nhà ở Pskov, nơi gia đình Kikoshny sinh sống. Từ đây, vào năm 1925, I.K. Kikoshn rời đi học ở Leningrad.

I. K. Kikoshn của chị Elena (1925).

ấn tượng, và anh ấy nói rằng bây giờ đã quá muộn và vị trí của tôi đã bị chiếm giữ.

…Một cô gái xinh đẹp, thư ký kỹ thuật của hội đồng tuyển sinh, đã giúp đỡ tôi. Sau khi xem xét kỹ hồ sơ của tôi, cô ấy nhận ra rằng người đứng đầu cơ quan đã mắc sai lầm, không muốn thừa nhận và sửa chữa. May mắn thay, viện vẫn tổ chức

6

Kỳ thi tuyển sinh bổ sung, kết thúc vào ngày 29 tháng 8… Cô gái khuyên tôi viết đơn không phải để đăng ký làm sinh viên mà để được phép thi lại. Tôi cũng đã viết một tuyên bố. Bản thân cô ấy đã phản hồi đề xuất của anh ấy với hội đồng tuyển chọn và sau một thời gian đã đưa đơn đăng ký của tôi ra giải quyết tích cực. Nhìn tôi, cô ấy nghi ngờ hỏi liệu tôi có thực sự có thể vượt qua tất cả các bài kiểm tra trong vài giờ còn lại hay không - có năm bài kiểm tra!

…Tôi hướng tới nhóm khán giả đầu tiên được chỉ định. Có một kỳ thi toán đang diễn ra. Một người đàn ông đáng kính mặc quân phục hải quân ngồi vào bàn. Sau này tôi mới biết đây chính là giáo sư nổi tiếng R. O. Kuzmin, người giảng dạy môn toán cao cấp tại Khoa Karabakh (ông mặc đồng phục hải quân). Trên bàn trước mặt anh là cuốn sách giải các bài toán của Bychkov. Giáo sư mở sách giải các bài toán khoa học và đề nghị giải hai phương trình bậc hai với hai ẩn số. Tôi nhìn vào bài toán và ngay lập tức, không cần quyết định, nói với anh ấy đáp số. Anh ấy nhìn đáp số và hỏi làm thế nào tôi giải được bài toán nhanh như vậy. Tôi nói với anh ấy rằng bài toán rất đơn giản và có thể giải được trong ume. Tôi phải thừa nhận với bạn rằng điều này không đúng. Sự việc được giải thích là do tôi có trí nhớ tốt, tôi đã đọc hết bài toán của cuốn sách này… và ghi nhớ đáp số.

Sau đó, Giáo sư Kuzmin đưa cho tôi một bài toán khác - ba phương trình bậc hai với ba ẩn số. Tôi lại đưa cho anh ấy đáp số, không cần giải hệ này, tôi đã nói rằng bài toán như vậy có thể giải dễ dàng trong ume. Tất nhiên, điều này cũng không đúng sự thật. Sau đó, anh ấy đóng cuốn sách giải và yêu cầu tôi tính logarit của một số, tôi đã làm thành công theo cách thông thường. Sau khi hỏi tôi một số câu hỏi miệng về hình học mà tôi trả lời đúng đáp số, anh ấy hỏi tôi học ở đâu và cho tôi điểm “V” (tất cả đều đạt yêu cầu)… Bài kiểm tra toán kéo dài khoảng mười lăm phút. Từ đó tôi chạy đến lớp học nơi đang diễn ra kỳ thi vật lý. Bài kiểm tra này kéo dài 15-20 phút và tôi cũng nhận được điểm “V”.

Các kỳ thi môn hóa học và giáo dục chính trị cũng thành công tốt đẹp.

Kỳ thi cuối cùng trong văn học vẫn còn. Đối với kỳ thi này, chúng tôi tập hợp tất cả những người tham gia kỳ thi vào một khán phòng. Bài thi do hai giáo viên của trường thực hiện (ở Học viện Bách khoa không có môn này). Các em viết lên bảng các chủ đề để các em chọn bài luận cho kỳ thi. Khi họ viết tiêu đề các chủ đề, tâm trạng của tôi bắt đầu xấu đi. Chủ đề là về các tác phẩm văn học mà tôi chưa đọc hoặc đặt… Cảm ơn bạn, hóa ra là mới

7

Chủ đề cuối cùng là chủ đề thứ bảy liên tiếp. Chủ đề có tên là “Các loại nông dân theo “Những linh hồn chết” của N.V. Gogol.

…Tôi yêu thích các tác phẩm của N.V. Gogol, đọc lại chúng nhiều lần và thích thú mọi thứ đã viết về bản thân Gogol và tác phẩm của ông. Tôi đã chọn chủ đề này. Khi tôi đã viết được khoảng chục trang và như người ta nói, tôi vừa “ký”, chia sẻ giọng nói của thầy, hết giờ, đến giờ nộp bài. Khi tôi nói rằng tôi vẫn chưa viết xong bài luận, cô ấy hỏi: “Em đã viết được bao nhiêu rồi?” Nghe tôi viết khoảng 12 trang, cô ấy nói như vậy là khá đủ rồi và nói thêm: “Đối với chúng tôi, điều quan trọng không phải là bạn viết gì mà là bạn viết nó như thế nào”. Theo như sau này tôi hiểu, họ quan tâm đến trình độ đọc viết của người nộp đơn.

Ngày hôm sau tôi được ghi danh là sinh viên khoa Vật lý và Cơ học của Học viện Bách khoa.

Nhiều năm sau, giáo viên của tôi, Viện sĩ A.F. Ioffe, khi đến thăm nhà tôi ở Moscow, đã nói với gia đình tôi rằng có lần ông, với tư cách là trưởng khoa, “mọi người đều kể” rằng có một sinh viên xuất hiện tại khoa của ông, trong vòng một ngày đã vượt qua kỳ thi tuyển sinh vào học viện và đồng thời “rất đạt yêu cầu”.

Thế là những ngày hạnh phúc của tuổi trẻ tôi bắt đầu.

TRÊN NGƯỢC KHOA HỌC LỚN

Năm 1977, trên trang «Kvant», Viện sĩ N.K. Kioin đã nói về những giai đoạn chính trong quá trình hình thành nền vật lý Xô Viết. Trong câu chuyện này, rất nhiều không gian được dành cho Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad (LPTI), vào cuối những năm hai mươi đã trở thành một trong những trung tâm khoa học vật lý chính ở Liên Xô.

Khi còn là sinh viên năm thứ hai tại Học viện Bách khoa Leningrad, Isaac Konstantinovich bắt đầu làm việc tại LFTN. Chúng tôi cung cấp cho độc giả bài viết của N.K. Kioin “Vật lý Liên Xô được tạo ra như thế nào” («Kvant», 1977, số 10-12), trong đó ông chia sẻ những kỷ niệm thời sinh viên, gắn bó mật thiết với LFTN.

…Đối diện viện của chúng tôi, bên kia con đường có tên “Con đường đến Sosnovka”, có Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad (khi đó được gọi là Viện Vật lý và Công nghệ RENTENOVSKY). Giám đốc của nó là viện sĩ A.F. Ioffe… Phần lớn nhân viên là những người trẻ tuổi bắt đầu làm việc với tư cách là sinh viên Khoa Vật lý và Cơ học.

…Sinh viên được chọn làm việc tại viện theo cách này. Các giáo viên trong khoa - nhân viên của viện, bao gồm cả những sinh viên năm cuối giám sát công việc thí nghiệm của sinh viên, đã có gợi ý A.F. Ioffe chăm sóc những sinh viên tỏ ra yêu thích và có năng lực về vật lý thực nghiệm và mời họ về làm việc tại Viện Vật lý và Công nghệ. Năm 1927, khi đang là sinh viên năm thứ hai, tôi được mời về làm việc tại Viện Vật lý và Công nghệ. Ở đó, giới trẻ ngay lập tức tiếp cận với khoa học hiện đại. Chúng tôi không thân thiện lắm và không tính đến việc chúng tôi vẫn chưa “vượt qua được điều gì đó” ở khoa của mình. Tại các hội thảo khoa học diễn ra đều đặn vào các ngày thứ Sáu, từ 5 đến 7 giờ chiều, những công trình khoa học vừa được cán bộ của viện hoàn thành hoặc đăng trên tạp chí nước ngoài đều được đem ra thảo luận. Chúng tôi tham gia hội thảo, chúng tôi phải lắng nghe và hiểu những gì người ta nói, nếu không hiểu thì chúng tôi có thể đương đầu. Lúc đầu chúng tôi thậm chí còn không dám hỏi vì không hiểu gì cả. Nhưng khá nhanh chóng khái niệm về một con người thực sự, rõ ràng là do chúng tôi đã bị dẫn đến một phong cách trình bày và tự đọc rất nhiều.

…Khi tôi bắt đầu làm việc tại Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad, dưới ảnh hưởng của các bài giảng và hội thảo của Ya. I. Frenkel, người đã nói với chúng tôi về những ý tưởng hiện đại trong vật lý kim loại, tôi quyết định nghiên cứu các vấn đề của lĩnh vực vật lý cụ thể này và trên hết là hiệu ứng Hall. Tôi quyết định kiểm tra xem hiệu ứng Hall có xuất hiện trong kim loại lỏng hay không. Trước đó, vào đầu thế kỷ này, vấn đề này đã được giải quyết bởi các nhà khoa học nổi tiếng như Nernst và Drude. Sau khi xem xét tài liệu về vấn đề này, tôi đi đến kết luận rằng việc lựa chọn kim loại lỏng trong các thí nghiệm trước đó đã không thành công. Trước hết

8

Trong các thí nghiệm, rue được chọn làm mẫu vì ở nhiệt độ phòng nó luôn ở trạng thái lỏng. Hiệu ứng Hall không được tìm thấy trong đó. Sau này hóa ra, ngay cả trong ruthium rắn, hiệu ứng này rất nhỏ và khó đo lường. Các thí nghiệm cũng được thực hiện với còi. Bismuth có vẻ rất thích hợp, vì trong chiều cao rắn, lực điện trường Hall lớn hơn nhiều bậc so với các kim loại khác: trong kim loại “thông thường” nó được đo bằng microvolt, và trong chiều cao nó được đo bằng milivolt. Tuy nhiên, không có tác dụng nào được tìm thấy ở độ cao chất lỏng. Ngày nay người ta biết rằng hiệu ứng Hall lớn hơn một cách bất thường ở độ cao đặc là do đặc điểm cấu trúc tinh thể của nó. Ở trạng thái lỏng, cấu trúc này biến mất. Và những người thực nghiệm đang đo lường một hiệu ứng lớn hơn, thấy rằng nó nhỏ hơn 1000 lần so với mong đợi, đã đi đến kết luận rằng đơn giản là không có hiệu ứng nào cả.

Tôi quyết định lấy kim loại làm mẫu, đây là cách đơn giản nhất. Đây là kim loại lụa. Kim loại tơ là tốt vì trên thực tế tất cả các dự đoán lý thuyết liên quan đến tính chất của chúng đều được xác định rõ ràng trong các thí nghiệm. Đối với thí nghiệm, tôi đã chọn một hợp kim của natri và kali, ở nồng độ đã biết, thành phần này sẽ trở thành chất lỏng ở nhiệt độ phòng.

Đối với tôi, dường như ở nhiệt độ phòng trong các thí nghiệm trước đây, mối liên hệ không chỉ là do việc lựa chọn mẫu kém mà còn do việc thiết lập thí nghiệm không đủ chính xác. Thực tế là khi một dòng điện chạy qua kim loại lỏng nằm trong từ trường, các lực bắt đầu tác dụng lên kim loại từ phía của từ trường, dẫn đến sự trộn lẫn của các lớp kim loại lỏng riêng lẻ với nhau. (Tất nhiên, trong kim loại rắn, sự chuyển động của các lớp này không xảy ra.) Kết quả là, dòng điện đầu ra sẽ xuất hiện để “bôi trơn” hiệu ứng Hall trong kim loại lỏng. Vì vậy cần thiết, nếu không muốn loại bỏ thì phải giảm thiểu những dòng điện “ký sinh” này. Để làm điều này, chúng tôi lấy một mẫu ở dạng một lớp kim loại lỏng mỏng. Các phép đo cẩn thận cho thấy sự hiện diện của hiệu ứng Hall. Một năm rưỡi sau, công trình của Sommerfeld được xuất bản, mô tả các thí nghiệm và xác nhận lý thuyết hiện đại về kim loại. Sommerfeld cũng đề cập đến kinh nghiệm của chúng tôi. Thành thật mà nói, tôi đã rất phi thường trong một năm - một người có thẩm quyền như Sommerfeld đã đánh giá cao công việc của tôi.

…Năm 1930, khi tôi vừa tốt nghiệp đại học và nhận chức danh kỹ sư, theo sự giới thiệu của A.F. Ioffe, tôi được cử đi công tác ở Đức để làm quen với các phòng thí nghiệm vật lý của phương Tây. Tôi đã gặp khoảng ba người dân địa phương ở Đức và có thể làm quen với công việc của các phòng thí nghiệm vật lý ở Leipzig, Monchen và Hamburg. Và tôi phải nói rằng tôi rất ngạc nhiên khi tin rằng trình độ của các nhà vật lý của chúng ta, đặc biệt là trình độ của tôi, không hề thấp hơn trình độ của các nhà vật lý tôi gặp ở các phòng thí nghiệm ở nước ngoài.

Tôi đang đi công tác, tôi ở gần nơi làm việc tại phòng thí nghiệm ở Monchen, trong phòng thí nghiệm cũ của Roentgen. Có những công trình và những tiến sĩ đại học (đó là cách gọi của những sinh viên tốt nghiệp đại học đang chuẩn bị làm luận án). Tuy nhiên, tôi nhận thấy rằng các sinh viên tiến sĩ đang chuẩn bị cho kỳ thi cuối kỳ đã đọc Ya. Cuốn sách “Khóa học về Điện động lực học” của Frenkel được xuất bản bằng tiếng Đức. Tôi hỏi: “Thầy sẽ giao bài thi cho ai?” Họ trả lời: “Sommerfeld.” Cũng chính Sommerfeld đó, nhà lý thuyết vĩ đại nhất thế giới mà khi chúng tôi còn là sinh viên đã có câu nói “không có Bohr ngoại trừ

9

Bora, và Sommerfeld là phó của anh ấy." Tôi biết có một khóa học vật lý gồm 5 tập của chính Sommerfeld, và tôi hỏi tại sao các nghiên cứu sinh tiến sĩ lại học điện động lực học không phải theo Sommerfeld mà theo Frenkel. Vì vậy, họ trả lời, Sommerfeld nói rằng anh ấy sẽ chỉ chấp nhận các kỳ thi trong khóa học của Frenkel, vì hiện nay trên thế giới không có khóa học nào tốt hơn. Khi tôi nói rằng cá nhân tôi biết Frenkel, tôi cảm thấy quyền lực của mình trong mắt họ tăng lên mạnh mẽ. Và tôi cảm thấy một cảm giác tự hào thực sự về các nhà vật lý Liên Xô của chúng ta, những người đã được các nhà lý thuyết hàng đầu thế giới công nhận rộng rãi.

GIẢI THƯỞNG TIỂU BANG ĐẦU TIÊN

Isak Konstantinovich Kikopin đã được trao một số Giải thưởng Nhà nước. Một số tác phẩm mà ông được trao giải không được xuất bản vì lý do bí mật. Việc trao giải thực tế không phải lúc nào cũng được báo cáo. Trong nhiều năm - đó là những năm làm việc tập trung nhất - ngay cả cái tên N.K. Kikopin không được nhắc đến trên báo chí, các bài báo của ông cũng không xuất hiện trên các tạp chí khoa học.
Tuy nhiên, N. K. Kikopin và các nhân viên của ông S.V. Gubar và V.S. Obukhov đã nhận được Giải thưởng Nhà nước đầu tiên cho tác phẩm được xuất bản và giải thưởng được công bố trên báo chí và đài phát thanh. Giáo sư A.K. Kikopin nói về công việc này.

Điều này xảy ra sau đó vào năm 1942, vào thời điểm cao điểm của Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại.

Công trình đã được công bố trên tạp chí “Bản tin Công nghiệp Điện” với tiêu đề “Hệ thống thiết bị đo điện mới để đo dòng điện một chiều công suất cao”. Hệ thống mới này là gì? Tại sao cô ấy lại cần thiết?
Và tại sao các dụng cụ đo lường của hệ thống này lại trở nên quan trọng đến mức công trình đó đã được trao Giải thưởng Nhà nước trong chiến tranh? Suy cho cùng, dụng cụ đo lường không phải là xe tăng, không phải súng, cũng không phải mìn hay bom!

Tại sao chúng ta cần dòng điện cao?

Trong công nghệ hiện đại, dòng điện xoay chiều thường được sử dụng nhiều nhất và hơn nữa, có cường độ tương đối thấp - thường là một vài ampe, cắt - mười ampe, thậm chí cắt - hàng trăm ampe. Tuy nhiên, có những ngành kỹ thuật yêu cầu dòng điện không đổi và công suất rất cao. Đây chủ yếu là luyện kim kim loại màu. Một kim loại quan trọng như nhôm chỉ thu được bằng điện phân, đồng thời dòng điện trực tiếp gồm nhiều ampe thập phân (hiện lên tới 150 kA) đi qua hỗn hợp nóng chảy của alumina (Al₂O₃) và cryolit (Na₃[AlF₆]). Hơn nữa, tại thời điểm liên quan đến công việc được mô tả, dòng điện lên tới 70 kA được sử dụng trong quá trình điện phân nhôm.

Ngay trước chiến tranh, Nhà máy Nhôm Ural, nhà máy lớn nhất cả nước, đã được xây dựng và đưa vào hoạt động ở Urals. Có hai nhà máy khác - một ở vùng Leningrad và thứ hai ở Ukraine. Chính tại nhà máy Ural, bể điện phân đã được thiết kế cho dòng điện lên tới 75 kA. Đương nhiên, để kiểm soát quá trình sản xuất nhôm cần phải có khả năng đo được các dòng điện này.

Dòng điện lớn thay đổi như thế nào?

Mọi người đều biết các đại lượng đặc trưng cho dòng điện thay đổi như thế nào (cường độ dòng điện, điện áp, công suất, năng lượng). Vào thời đó, người ta chủ yếu sử dụng các thiết bị của hệ thống điện từ; Ngoài ra còn có các thiết bị sử dụng hệ thống dây điện có dòng điện thay đổi đi qua (thiết bị điện thoại). Trong mọi trường hợp, sự không tồn tại của các bộ phận của thiết bị được làm bằng vật liệu mỏng

10

dây mỏng qua đó không được phép đi qua các điểm quá lớn. Và nếu cần thay đổi điểm mạnh thì các thiết bị sẽ được nối song song - một điện trở (shunt) được mắc song song với bộ phận mang dòng điện của thiết bị thay đổi, nhỏ hơn một số lần nhất định so với điện trở của bộ phận mang dòng điện của thiết bị. Ví dụ: nếu có dòng điện 100 A chạy trong mạch và thiết bị được thiết kế để thay đổi dòng điện không quá 1 A, thì điện trở shunt phải nhỏ hơn 99 lần so với điện trở của cuộn dây trong thiết bị. Sau đó, dòng điện 1 A sẽ chạy qua thiết bị và qua shunt - 99 A. Dòng điện thay đổi càng lớn thì điện trở shunt càng nhỏ. Điều này được bổ sung bằng việc tăng diện tích mặt cắt ngang của dây dẫn shunt.

Miễn là chúng ta đang nói về việc thay đổi descats và thậm chí một vài ampe soten, thì các vấn đề với shuntimi sẽ không phát sinh. Tuy nhiên, khi cần thay đổi điểm hàng nghìn ampe thì shunt trở thành bộ phận nặng nề và nặng nề của thiết bị. Như vậy, shunt dẫn đến thiết bị thay đổi dòng điện 10.000 A có khối lượng 35 kg. Trong thực tế, khi dòng điện thay đổi tăng thì khối lượng shunt tăng tỷ lệ với bình phương dòng điện. Điều này có nghĩa là nếu bạn cần thay đổi dòng điện 50 kA thì khối lượng của shunt phải là 875 kg, và nếu nó cũng là 100 kA - 3,5 tấn!

Hãy nói thêm rằng thiết bị thay thế bằng shuntimi cho các nhà máy điện phân không được sản xuất ở nước ta. Chúng tôi đã mua chúng ở Đức. Nhưng ngay cả ở nước ngoài cũng không thể mua được 75 kA km mét cần thiết cho nhà máy Ural. Tình hình trở nên đặc biệt trầm trọng hơn khi chiến tranh bùng nổ. Hai nhà máy nhôm ở khu vực châu Âu của Liên Xô nằm trong lãnh thổ bị chiếm đóng. Chỉ còn lại một nhà máy nhôm ở Urals, không thể khởi động nếu không thay đổi thiết bị.

Điều này đã thúc đẩy I. Kikon giải quyết vấn đề quan trọng này. lời giải của nó không chỉ bao gồm Ural mà còn bao gồm các nhà máy điện phân khác, chẳng hạn như Nhà máy Potash Solina Kama. Tác giả của những dòng này có thư từ trao đổi với nhà máy này, từ đó có thể thấy rõ tầm quan trọng của việc phát triển và sản xuất nhanh chóng các thiết bị mới đối với ông.

Những thiết bị nào được đề xuất để thay thế các thiết bị shunt?

Ampe không có dòng điện chạy qua

Ý tưởng về sự thay đổi dòng điện một chiều rất lớn do I.K. Kikonan, cực kỳ đơn giản. Xung quanh bất kỳ dòng điện không đổi nào đều có một từ trường không đổi tại một điểm nằm cách dây dẫn có dòng điện một khoảng nhất định, chỉ phụ thuộc vào cường độ dòng điện. Sự phụ thuộc này được biết rõ với từ trường xung quanh một dây dẫn hình trụ. Trong trường hợp này, cảm ứng trường tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ dây dẫn và tỷ lệ thuận với cường độ dòng điện.

Ở các nhà máy điện phân, dây dẫn dòng điện là những thanh đồng có tiết diện thẳng, thậm chí có thể gấp lại với nhau. Và trong trường hợp này, cảm ứng từ trường được xác định bởi dòng điện trong lốp xe, nhưng sự phụ thuộc của nó vào cường độ dòng điện có phần phức tạp hơn - nó hơi lệch so với tuyến tính. Tuy nhiên, điều này không ngăn cản người ta ước tính cường độ dòng điện do cảm ứng từ trường. Người ta đề xuất đánh giá bản thân cảm ứng theo cách đơn giản nhất - bằng độ lệch của kim nam châm.

Như đã biết, một kim từ (thanh từ tính) trong từ trường đều chịu tác dụng của một cặp lực, mômen quay của lực này khác với cường độ của kim và cuối cùng được thiết lập dọc theo đường cảm ứng của từ trường. Nhưng bạn có thể chắc chắn rằng kim không được lắp dọc theo đường cảm ứng mà được quay một góc tỷ lệ với dòng điện. Để làm được điều này, một lực phải tác dụng lên mũi tên, thời điểm mũi tên “mở ra”.

11

lkу theo hướng ngược lại và tăng khi tăng góc quay. Ví dụ, một mômen phản tác dụng như vậy có thể được tạo ra bằng một lò xo thích hợp.

Sơ đồ của thiết bị được xây dựng bởi I.K. Kikoin và đồng nghiệp của anh ấy được hiển thị ở hình.

Trên trục 1, được gắn trên các ổ trục mã não (để giảm ma sát), một thanh từ hóa 2 được cố định. Mômen phản tác dụng được tạo ra bởi các lò xo xoắn ốc 3. Trục có gắn một thanh cung cấp một mũi tên trượt dọc theo mặt số, trên đó đánh dấu 100 vạch chia. Thiết bị này có thể mang theo được và có thể được lắp đặt đơn giản trên thanh cái mang dòng điện ở bất cứ đâu. Khoảng cách từ bus đến thanh từ hóa luôn bằng nhau (vài cm) nên góc quay của mũi tên chỉ phụ thuộc vào cường độ dòng điện. Kinh nghiệm cho thấy rằng có một chút thiếu chính xác phụ thuộc vào cường độ dòng điện, chỉ quan sát thấy ở cường độ dòng điện cao nhất (bắt đầu từ thang chia thứ 84). Một khó khăn đặc biệt là việc hiệu chuẩn thiết bị. Rốt cuộc, không thể so sánh số đọc của nó với một thiết bị tham chiếu, như thường lệ - những thiết bị như vậy đơn giản là không tồn tại. Vì vậy, một phương pháp hiệu chuẩn dựa trên hiện tượng cảm ứng điện từ đã được phát triển đặc biệt.

Ngoài kilôgam kế cầm tay, một thiết bị cố định đã được phát triển để đo dòng điện trong các bể điện riêng lẻ nhằm đo dòng điện trong mạch chính và truyền số đọc của nó đến bảng điều khiển. Để làm được điều này, cần phải “chuyển đổi” góc quay thành tín hiệu điện, tín hiệu này được truyền đến điều khiển từ xa.

Mặc dù sai số khi đo cường độ dòng điện khá lớn - 3% nhưng đối với các phép đo kỹ thuật thì khá chấp nhận được và làm hài lòng khách hàng.

Ngoài km, I.K. Kikoin và các đồng nghiệp của ông đã phát triển các dụng cụ đo công suất (oát kế), máy đo năng lượng và máy đo ampe (điện tích), cũng cần thiết cho các nhà máy điện phân - tất cả đều được thiết kế cho dòng điện khoảng 70 kA. Cần lưu ý rằng không chỉ ý tưởng về các thiết bị được đề xuất và thiết kế của chúng được phát triển mà tất cả các thiết bị này đều được sản xuất trong xưởng của Viện Vật lý Kim loại ở Sverdlovsk, nơi I.K. Kikoin làm việc vào thời điểm đó và cung cấp số lượng cần thiết cho các nhà máy điện phân ở Urals và các khu vực lân cận. Điều này cho phép Nhà máy Nhôm Ural bắt đầu sản xuất các sản phẩm - kim loại quan trọng nhất đối với ngành công nghiệp ô tô.

Vì vậy, công việc bắt đầu từ năm 1939 hóa ra vào năm 1942 chỉ là xương sống của một ngành quan trọng của ngành công nghiệp quốc phòng. Vào ngày kỷ niệm 25 năm Cách mạng xã hội chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại, có thông báo rằng I. K. Kikoin, S. V. Gubar và V. S. Obukhov đã được trao Giải thưởng Nhà nước. Đây là Giải thưởng Nhà nước đầu tiên được trao cho một nhà vật lý đến từ Urals.

12

PLEXUS
ĐI QUA
TRỰC TIẾP

O. Y. VIRO,
Y. V. DROVOTUKHINA

Tiêu đề của bài viết này có vẻ hơi xa lạ phải không? Dệt một cái gì đó linh hoạt. Và đây - thẳng! Tuy nhiên, tiêu đề không nói về quá trình dệt mà nói về kết quả. Nhưng liệu chúng có thể đan xen, móc nối với nhau, sắp xếp khéo léo trong mối quan hệ với nhau theo một đường thẳng cắt nhau? Thoạt nhìn, có vẻ như họ không thể. Tuy nhiên, chúng ta lấy ấn tượng này ở đâu? Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta không bao giờ giải quyết bất cứ điều gì, hãy nói thẳng: không có gì quan trọng đến mức không có vật thể mỏng vô hạn - chúng ta sẵn sàng bỏ qua độ dày - sự vắng mặt thiết yếu của những vật thể mở rộng vô hạn. Hơn nữa, tốt hơn ánh sáng - những ví dụ về độ thẳng này - tiêu tan và yếu ớt, trở nên không thể nhận thấy ở khoảng cách rất xa. Trong thực tế, bạn chỉ phải xử lý các đoạn thẳng. Bất kỳ tập hợp các phân đoạn nào không giao nhau đều có thể được sắp xếp ngẫu nhiên bằng cách chia các phân đoạn sao cho chúng luôn rời rạc. Kinh nghiệm thuyết phục chúng ta về điều này và không khó để chứng minh điều đó. Chúng tôi mô tả chúng dưới dạng các đường thẳng như các đoạn. Đó là lý do vì sao chúng ta nghĩ rằng các đường thẳng không thể đan xen vào nhau. Ờ, thực ra nó thế nào nhỉ?

Trước hết, hãy xây dựng chính xác hơn những câu hỏi mà chúng ta quan tâm. Câu hỏi đầu tiên là: một số đường thẳng không giao nhau có thể được định vị khác nhau không? “Được định vị khác biệt” nghĩa là gì? Bây giờ chúng ta không quan tâm đến góc hay khoảng cách giữa các đường thẳng. Chúng ta giả sử rằng khi di chuyển các đường thẳng, trong thời gian chúng không cắt nhau, vị trí tương đối của chúng không thay đổi. Nếu một tập hợp đường thẳng không thể thu được từ một tập hợp đường thẳng khác bằng chuyển động như vậy thì các điều kiện sẽ giả sử rằng các đường thẳng trong các tập hợp này nằm ở vị trí khác nhau.

Điều dễ dàng nhất đối với trí tưởng tượng không gian của chúng ta là các tập hợp các đường thẳng song song. Rõ ràng là bất kỳ hai tập hợp nào có cùng số dòng đều có cùng cấu trúc. Thật vậy, bằng cách xoay toàn bộ không gian với các đường thẳng của một tập hợp “đóng băng” vào đó, bạn có thể làm cho chúng song song với các đường thẳng của tập hợp khác, sau đó, bằng cách di chuyển lần lượt các đường thẳng của tập hợp thứ nhất sao cho chúng không trùng nhau và vẫn song song, bạn có thể dễ dàng kết hợp chúng với các đường thẳng của tập hợp thứ hai.

Bây giờ chúng ta chuyển sang tập hợp các dòng tùy ý. Có thể biến một tập hợp các đường rời rạc tùy ý thành một tập hợp các đường thẳng song song để “chải” nó lại không? bài toán này có một lời giải đơn giản và bất ngờ. Cố gắng trả lời mà không cần nhìn vào văn bản tiếp theo. Bạn đã nghĩ về nó chưa? Vâng, sau đó đọc tiếp. Đáp số - bạn luôn có thể. Hãy chứng minh điều đó.

Chúng ta hãy lấy một tập hợp các đường rời rạc tùy ý. Chúng ta hãy chọn hai mặt phẳng song song với nhau, không song song với bất kỳ đường thẳng nào trong tập hợp của chúng ta. Chúng ta hãy cố định các điểm giao nhau của mặt phẳng đầu tiên bằng các đường thẳng: chúng ta sẽ đặt bản lề ở đó. Chúng ta cũng sẽ cố định các giao điểm của mặt phẳng thứ hai bằng các đường thẳng, nhưng sao cho chúng không chỉ di chuyển được trên mặt phẳng mà còn có thể trượt dọc theo các đường thẳng. Nói cách khác, chúng ta sẽ hạn chế việc khoan ở phần thứ hai.

14

vuông góc với mặt phẳng đi qua đường phân giác và đường thẳng thứ nhất. Vì vậy, không phải ngẫu nhiên mà khi chứng minh tính đồng vị của hai cặp góc vuông cắt nhau bất kỳ, các góc đó bằng 90°. Đối với bất kỳ góc độ nào khác, cách xây dựng này không cung cấp bằng chứng. Hơn nữa, đó không phải là vấn đề về thiết kế. Hóa ra là hai cặp đường thẳng giao nhau có khoảng cách và góc giống hệt nhau, không được kết hợp bằng cách sử dụng cấu trúc của chúng ta, không thể được kết hợp bởi bất kỳ đồng vị nào, trong quá trình xây dựng khoảng cách và góc. Điều này là do hiện tượng thay thế mà chúng ta sẽ gặp phải nhiều lần. Đó là giá trị thảo luận chi tiết hơn.

Định hướng và bán định hướng

Đường định hướng là đường thẳng có hướng được đánh dấu trên đó. Hướng thường được hiển thị bằng một mũi tên. Số nguyên tố có thể được định hướng theo hai cách, hai đường thẳng - bốn, một tập hợp $n$ thẳng - $2^n$ cách. Nửa hướng của một tập hợp các đường thẳng là một cặp hướng ngược nhau của tập hợp này. Nói cách khác, bán định hướng của một tập hợp các đường là hướng của nó hướng tới sự đảo ngược đồng thời của tất cả các mũi tên (“lên tới đảo ngược”). TRÊN hình Hình 2 cho thấy hai hướng của một cặp đường thẳng, tạo thành một trong các nửa hướng của nó.

Mỗi cặp đường thẳng không vuông góc trước tiên có thể được cung cấp một nửa góc chính tắc (tức là một nửa góc được xác định bởi chính cặp đó hoặc chính xác hơn là bởi vị trí tương đối của các đường có trong nó).

Để làm điều này, bằng cách nào đó chúng ta định hướng một trong các đường của một cặp như vậy và xoay đường này sao cho nó song song với đường kia. Việc xoay này có thể được thực hiện theo hai cách (hình 3); Hãy chọn phương pháp tiết kiệm nhất - phương pháp có góc quay nhỏ nhất (đó là phương pháp duy nhất, vì các đường thẳng không trực giao). Kết quả là một đường thẳng có định hướng, nó song song với đường thẳng thứ hai trong cặp của chúng ta, do đó có được hướng (hình 4). Do đó, việc chọn hướng của một trong các đường sẽ cho hướng của cặp. Nếu chúng ta chọn hướng ngược lại của đường này, chúng ta sẽ có được hướng ngược lại của cặp. Bắt đầu với một đường thẳng khác, chúng ta có được hai hướng đối diện giống nhau của cặp. Hai hướng này tạo thành nửa diễn đạt kinh điển được truyền đạt.

Đồng vị, trong đó góc giữa các đường thẳng không thay đổi, biến đổi nửa linh cảm chính tắc thành nửa linh cảm chính tắc. Điều này gợi ý rằng chúng ta nên xem xét một loại đồng vị khác - đồng vị của các cặp bán định hướng: chúng ta cho phép thay đổi góc và khoảng cách giữa các đường thẳng, nhưng yêu cầu rằng bán định hướng không thay đổi trong quá trình đồng vị (bán định hướng có thể

15

không chuẩn). Đồng vị này chiếm vị trí trung gian giữa sự có mặt của một đồng vị tùy ý và sự có mặt của một đồng vị, trong đó khoảng cách và góc (≠90°) không thay đổi. Nếu không có đồng vị như vậy giữa các cặp đường thẳng thu được mà chúng ta quan tâm thì không thể có đồng vị trong đó khoảng cách và góc không thay đổi. Điều gì có thể biến đổi các đồng vị của các cặp thẳng thu được?

Hệ số tương tác đường dây

Mỗi cặp đường thẳng thu được có một đặc tính, có thể nhận các giá trị +1 và -1. Đặc tính này được gọi là hệ số truyền động. Nó bảo toàn dưới dạng đồng vị, và do đó nếu hai cặp đường thẳng thu được có hệ số ghép khác nhau thì chúng không đồng vị. Đây là cách xác định hệ số tương tác. Cách tiết kiệm nhất để kết hợp một đường thẳng này với một đường thẳng khác cắt nhau là di chuyển đường thẳng đó dọc theo một đường vuông góc chung và xoay nó một góc nhỏ nhất cần thiết để khớp với các hướng. Trong trường hợp này, đường thẳng sẽ di chuyển giống như tay cầm của mũi khoan bên phải hoặc giống như tay cầm của mũi khoan bên trái (hình 5); thì loại gimlet không phụ thuộc vào đường thẳng nào trong hai đường thẳng mà chúng ta đã di chuyển. Trong trường hợp đầu tiên, hệ số truyền là -1, trong trường hợp thứ hai - +1.

Rõ ràng là việc định hướng lại một trong các đường thẳng của cặp dẫn đến sự thay đổi hệ số truyền.

Khi hướng của cặp được thay thế bằng hướng đối diện, hệ số tương tác không thay đổi; do đó, nó là đặc tính của cặp thu được và chỉ phụ thuộc vào hướng thu được. Khi phản chiếu trong gương, hệ số ăn khớp của một cặp đường thẳng định hướng thay đổi (hình 6).

Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại sự cố mà chúng ta gặp phải khi tìm kiếm đồng vị giữa hai cặp đường xiên bảo toàn khoảng cách và góc giữa các đường thẳng (hình 7). Khi đó, chúng ta không thể trả lời câu hỏi về tính đồng vị của các tập hợp được hiển thị trong hình 8. Nhưng bây giờ chúng ta biết rằng các cặp như vậy (với các ma trận kết quả chính tắc của chúng) thu được từ nhau bằng cách phản xạ trong gương và do đó có các hệ số ghép khác nhau. Điều này có nghĩa là các cặp như vậy không thể được kết nối bằng đồng vị, trong đó khoảng cách và góc giữa các cặp không thay đổi. Và nếu hai cặp có cùng khoảng cách, góc và hệ số tương tác thì các cặp này có thể được kết nối bằng một đồng vị như vậy.

Ba thẳng

Khi chúng tôi làm việc theo cặp, đường vuông góc chung của một cặp đường giao nhau đóng một vai trò tối. Về mặt cấu trúc, người ta có thể làm mà không cần nó, nhưng nó được kết nối một cách tự nhiên với các đường thẳng, kết nối chúng thành một thứ gì đó tổng thể và hữu hình một cách đáng tin cậy đến mức sẽ thật kỳ lạ nếu không sử dụng nó. Bây giờ sẽ thật tuyệt nếu tìm thấy một vật cũng vốn có trong bộ ba đường thẳng giao nhau. Chúng ta sẽ không làm điều này với bộ ba có đường thẳng nằm

16

trong ba mặt phẳng song song.
Thực tế là sự sắp xếp này không ổn định: xoay nhẹ bất kỳ đường thẳng nào, chúng ta có được ba đường được mô tả mà thiết kế của chúng ta được áp dụng.

Vì vậy, hãy xem xét một bộ ba đường xiên theo cặp tùy ý không chứa các mặt phẳng song song trong ba. Qua mỗi đường thẳng này ta vẽ hai mặt phẳng song song với hai đường thẳng còn lại. Điều này tạo ra sáu mặt phẳng. Rõ ràng là chúng chia thành ba cặp đường thẳng song song (mỗi cặp đường xiên nằm trong hai mặt phẳng song song). Giao nhau, các mặt phẳng tạo thành một hình bình hành. Các đường thẳng của chúng ta là sự tiếp nối của ba cạnh giao nhau theo cặp của nó (hình 9). Do đó, ba đường thẳng giao nhau theo cặp bất kỳ không nằm trong ba mặt phẳng song song đều là sự tiếp nối các cạnh của một hình bình hành nhất định. Đường song song này là đối tượng đã hứa ở trên, gắn liền với bộ ba đường thẳng. Nó được thay thế bằng gì? Trước hết, anh ấy là người duy nhất.

Trên thực tế, một mặt phẳng đi qua một đường thẳng, song song với một đường thẳng khác cắt ngang nó và nếu những đường thẳng này là phần tiếp theo của các cạnh của hình bình hành thì một trong các mặt của nó nằm trong mặt phẳng này. Do đó, sáu mặt phẳng mà chúng ta đã xây dựng được xác định duy nhất bởi ba đường thẳng ban đầu và bất kỳ hình bình hành nào có các cạnh nằm trên các đường thẳng này đều được giới hạn bởi các mặt phẳng này và do đó cũng được xác định duy nhất.

Chúng ta thấy rằng các đường thẳng song song chịu tải kết nối các đường thẳng không tệ hơn các đường thẳng vuông góc thông thường được kết nối trong một cung điện. Ở đây, như trong trường hợp đường vuông góc tổng quát và trong trường hợp cặp đường thẳng không vuông góc thu được, một cái gì đó bổ sung cho nó sẽ tự nhiên phát sinh từ cấu hình hình học ban đầu, nhưng được kết nối chính tắc với nó và do đó đáng được chú ý khi nghiên cứu đối tượng ban đầu.

Bí ẩn. Trên hình 10, phù hợp với những gì đã được chứng minh ở trên, có hai hình bình hành có các cạnh nằm trên ba đường thẳng cắt nhau theo từng cặp. Có chuyện gì vậy? Sự lừa dối được giấu ở đâu - trong bằng chứng hay trong hình?

Sẽ tham gia vào việc phân loại các bộ ba thành đồng vị. Như đã chỉ ra, cho dù chúng ta chọn ba đường thẳng giao nhau theo cặp nào, bằng cách di chuyển nó một chút, chúng ta có thể đảm bảo rằng các đường thẳng của nó hóa ra là phần tiếp theo của các cạnh của một hình bình hành nhất định. Một hình bình hành được xác định (tùy theo chuyển động) bởi độ dài các cạnh của nó và các góc giữa chúng. Bằng cách biến dạng liên tục, trước tiên chúng ta có thể tạo tất cả các góc vuông (chúng ta có một hình bình hành hình chữ nhật), sau đó làm cho tất cả các cạnh có cùng độ dài, ví dụ: chiều dài đơn vị (chúng ta có một khối lập phương; hình 11). Sự biến dạng này đi kèm với các đồng vị của bộ ba đường thẳng, là sự tiếp nối của các cạnh của hình bình hành. Vì vậy, chúng ta đã có được các đường của bộ ba trên các cạnh giao nhau theo cặp của khối lập phương đơn vị. Đây là một thành tích đáng chú ý. Thật vậy, bây giờ chúng ta biết rằng không có quá nhiều bộ ba đường thẳng cắt nhau không đồng vị - không quá ba cặp đường thẳng cắt nhau của một hình lập phương. Có bao nhiêu? TRÊN

17

Thoạt nhìn, có tám người trong số họ. Thật vậy, chúng ta sửa chữa một số mặt của khối lập phương; như chúng ta đã thấy, nó chứa chính xác một cạnh từ mỗi bộ ba cạnh giao nhau theo cặp và nó có thể là bất kỳ cạnh nào trong bốn cạnh của mặt này và có chính xác hai bộ ba chứa một cạnh cố định (hình 12). Tuy nhiên, tám là quá nhiều. Bằng cách xoay khối lập phương, chúng ta có thể biến đổi bất kỳ cạnh nào của nó thành bất kỳ cạnh nào khác. Cho nên khả năng là không nhiều hơn hai; chúng được thể hiện ở hình 12. Thành công này mang lại hy vọng rằng, bằng cách hành động theo cách này, chúng ta cũng có thể loại bỏ tính đồng đẳng của bộ ba đường thẳng được hiển thị trong hình này, và do đó, nói chung, của tất cả các bộ ba của các cặp đường chéo. Hãy thử nó!

Không hoạt động? Đừng buồn bã, và nó sẽ không thành công. Giống như các cặp đường định hướng, bộ ba đường thẳng (không định hướng!) Có một đặc tính gọi là hệ số ghép, có thể lấy các giá trị ±1 và được bảo toàn trong điều kiện đẳng quang và thay đổi khi bộ ba đường thẳng được phản chiếu trong gương. Đây là định nghĩa của nó. Trong một tập hợp tùy ý gồm ba đường giao nhau theo cặp, chúng ta định hướng tất cả các đường một cách ngẫu nhiên. Các cặp dòng chứa hệ số liên kết sử dụng ba lần của chúng tôi (bằng ±1). Nhân chúng, chúng ta nhận được một số nhất định (cùng +1 hoặc -1), được gọi là hệ số liên kết của bộ ba dòng ban đầu. Nó không phụ thuộc vào hướng của các đường: bất kỳ đường nào được định hướng lại, chúng tôi đặt một dấu hiệu trên hai trong ba thành phần, điều này sẽ không làm thay đổi sản phẩm. Việc bảo toàn hệ số liên kết của bộ ba đường trong điều kiện cận thị và sự thay đổi của nó khi bộ ba được phản chiếu trong gương tuân theo các tính chất tương ứng của hệ số liên kết của một cặp đường định hướng. Vì bộ ba đường thẳng trên hình 12 là ảnh phản chiếu của nhau nên hệ số liên kết của chúng khác nhau và những bộ ba này thực sự không đẳng quang.

Vì mỗi bộ ba đường xiên theo cặp đều đẳng hướng với một trong hai bộ ba được hiển thị trong hình 12, nên hai bộ ba là đẳng hướng khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số liên kết.

Vì vậy, bộ ba đường giao nhau theo cặp có thể được sắp xếp khác nhau. Điều này biện minh cho tiêu đề của bài viết, cũng như thực tế là trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ đơn giản gọi các tập hợp các đường thẳng giao nhau theo cặp là dệt.

Bài tập

1. Tìm các hệ số liên kết của mỗi bộ ba dòng trên hình 12.
2. Các đường thẳng chứa các cạnh của tứ giác không gian ABCD hướng “trong một đường tròn” (từ A đến B, từ B đến C, từ C đến D, từ D đến A). So sánh hệ số liên kết của các cặp đường thẳng nằm trên các cạnh đối diện.
3. Chứng minh rằng mọi bộ ba đều có cặp

Hình 12.

20

Người chiến thắng cuộc thi “Vấn đề «Kvant»

Hàng năm tạp chí của chúng tôi tổ chức một cuộc thi dành cho học sinh để giành lời giải bài toán từ Sách Vấn Đề «Kvant». Chúng tôi công bố người chiến thắng trong cuộc thi “Vấn đề «Kvant» 1987”.

Họ được trao Dillom và huy hiệu tạp chí «Kvant» và nhận được quyền tham gia ngay vào vòng thứ tư (không công khai) của Olympic Thế giới 1988:

Trong toán học

Yu. Velikina - Dnepropetrovsk, s. w. Số 45, 8 ô.
K. Verbitsky - Mátxcơva, tr. w. Số 607, 10 ô.
A. Vityaev - Novosibirsk, tr. w. Số 166, 10 ô.
V. Volchkov - Shakhtersk, vùng Donetsk, làng. w. Số 5, 10 ô.
M. Vybornov - Kyiv, tr. w. Số 145, 9 ô.
Yu. Gnatok - Kamenets-Podolsky, làng. w. Số 16, 10 ô.
M. Goldsheid - Chelyabinsk, tr. w. Số 31, 10 ô.
N. Dokholyan - Tbilisi, Trường Vật lý số 42, lớp 11.
N. Zverev - Mátxcơva, tr. w. Số 57, 9 ô.
V. Kaloshin - Kharkov, Trường Vật lý số 24, lớp 9.
O. Kirinasovsky - Vinnitsa, tr. w. Số 15, 10 ô.
G. Kolesnitsky - Tbilisi, Trường Vật lý và Âm nhạc được đặt theo tên. V. M. Komarova, lớp 10.
D. Kosonaya - Beloretsk, làng. w. Số 14, 10 ô.
S. Lausyan - Kohtla-Jarve, tr. w. Số 13, 9 ô.
A. Losev - Leningrad, tr. w. Số 239, 10 ô.
T. Martirosova - Tashkent, tr. w. Số 89, 10 ô.
A. Melnik - Gaivoron, tr. w. Số 2, 9 ô.
Yu. Morozov - Tbilisi, Trường Vật lý và Âm nhạc được đặt theo tên. V. M. Komarova, lớp 10.
A. Nazaryan - Tbilisi, Trường Vật lý số 42, lớp 11.
V. Pavlunin - Frunze, tr. w. Số 61, 10 ô.
V. Politsuk - Kiev, tr. w. Số 145, 9 ô.
V. Rotkin - Baku, tr. w. Số 47, 10 ô.
R. Sadreev - Alima-Ata, RFMS, lớp 9.
D. Sinitsky - Leningrad, tr. w. Số 239, 10 ô.
S. Sinikova - Mátxcơva, tr. w. Số 463, 10 ô.
I. Soltan - Pavlodar, tr. w. Số 3, 10 ô.
D. Feldman - Làng Chernogolovka, vùng Mátxcơva, tr. w. Số 82, 9 ô.
V. Feldsherov - Alima-Ata, RFMS, lớp 9.
Y. Efendiyev - Baku, tr. w. Số 82, 10 ô.
A. Yavryan - Yerevan, tr. w. Số 8, 10 ô.

Trong vật lý

N. Adigezalov - Baku, tr. w. Số 20, 10 ô.
A. Babkin - Kyiv, tr. w. Số 206, 9 ô.
S. Bobrovnik - Chernivtsi, s. w. Số 24, 9 ô.
I. Veliyev - Baku, tr. w. Số 56, 10 ô.
S. Verdiyan - Yerevan, Trường Vật lý và Âm nhạc tại Đại học Bang Yerevan, lớp 10.
V. Gurevich - Saratov, tr. w. Số 13, 10 ô.
E. Demler - Novosibirsk, tr. w. Số 130, 10 ô.
A. Ezersky - Minsk, tr. w. Số 50, 10 ô.
V. Zavadsky - Minsk, tr. w. Số 50, 9 ô.
V. Zavrazhny - Frunze, tr. w. Số 61, 10 ô.
F. Zanin - Stary Oskol, tr. w. Số 16, 8 ô.
E. Zeltser - Kyiv, tr. w. Số 145, 10 ô.
A. Kapustin - Mátxcơva, tr. w. Số 114, 10 ô.
K. Krasnov - Kiev, tr. w. Số 206, 9 ô.
A. Maikov - Stary Oskol, tr. w. Số 16, 10 ô.
R. Malkov - Saratov, tr. w. Số 13, 9 ô.
K. Nikolaev - Làng Chernogolovka, vùng Mátxcơva, tr. w. Số 82, 10 ô.
D. Nogotkov - Alima-Ata, RFMS, lớp 10.
Z. Dừng lại - Tbilisi, FMS số 42, 10 lớp.
V. Pavlunin - Frunze, tr. w. Số 61, 10 ô.
L. Petko - Minsk, tr. w. Số 50, 10 ô.
A. Podtelezhnikov - Kharkov, tr. w. Số 27, 10 ô.
S. Sazonov - Klimovsk, tr. w. Số 5, 10 ô.
M. Sergazin - Alima-Ata, RFMS, lớp 10.
A. Sibirykov - Tomsk, tr. w. Số 30, 10 ô.
Z. Tavartiladze - Tbilisi, Trường Vật lý và Âm nhạc được đặt theo tên. V. M. Komarova, lớp 11.
A. Usinsky - Vùng Rivne, làng Verbskaya. trường nội trú, lớp 8.
I. Himoni - Dnepropetrovsk, tr. w. Số 53, 9 ô.
I. Chaika - Kuznetsovsk, tr. w. Số 1, lớp 10.

(Cuối cùng xem trang 29)

21

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. Các dấu hoa thị bài toán khó nhất sẽ bị loại bỏ. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 6 năm 1988 đến địa chỉ: 103006 Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant».
Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 3—88” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M1091” hoặc “F1103”.
Ở cột “…địa chỉ người gửi”, vui lòng ghi riêng họ và tên của bạn. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải trong phong bì này).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường và lớp bạn đang theo học.

Bài toán

M1091—M1095, F1103—F1107

M1091. Gọi một số tự nhiên là số may mắn nếu các chữ số trong ký hiệu thập phân của nó có thể chia thành hai nhóm sao cho tổng các chữ số trong các nhóm này bằng nhau a) Tìm số a nhỏ nhất sao cho các số a và a+1 là số may mắn.
6) Có tồn tại các số a, a+1 và a+2 là may mắn không?

N. I. Zilberer

M1092. Một hình đa giác cắt từ giấy lồi được gấp 10 lần (uốn cong theo một số đường thẳng) rồi cắt thành một đường thẳng. Số mảnh lớn nhất anh ta có thể nhận được là bao nhiêu?

S. V. Kazakov

M1093. Trên đường tròn các số 0, 1, 2 được đặt tại n điểm. Sau đó, đồng thời tại tất cả các điểm, thực hiện phép biến đổi sau: mỗi số 2 được thay thế bằng 0, sau đó thêm 1 vào số theo sau nó theo chiều kim đồng hồ. Đầu tiên, cho số hai bằng k ≥ 1.
a) Sau khi thực hiện bao nhiêu phép biến đổi, không còn lại một phép biến đổi nào?
b) Ngoài ra, tại n−k điểm còn lại có những điểm ban đầu. Chứng minh rằng cuối cùng có k số nguyên và n−k số 0 (hình 1).
H. Alexandru (Romania)

M1094. Cho a, b, c là các số không âm.
a) Chứng minh từ bất đẳng thức
$$a^4 + b^4 + c^4 \leq 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$$
(1)
bất bình đẳng sau
$$a^2 + b^2 + c^2 \leq 2(ab + bc + ca).$$
(2)
6) Điều ngược lại có đúng không: bất đẳng thức (2) hàm ý bất đẳng thức (1)?

B. A. Senderov

M1095*. Trên mặt phẳng, cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B (khác O) sao cho đường thẳng AB đi qua điểm O. Vẽ dây MN của đường tròn này, nhìn từ điểm A một góc α cho trước và
a) song song với đường thẳng AB;
b) đi qua điểm B. (Nếu B nằm ngoài đường tròn thì đoạn dài của dây MN phải đi qua B.)

P. O. Burdin

Hình 1. Điểm chứa số 2 là đỏ, 1 là xanh, 0 là trắng; ở đây k=4, n−k=3.

22

F1103. Một tấm toán học có chiều dài $l$ được tích lũy tại điểm $A$ trên một hình nón có góc khoảng cách là 2β (hình 2). Tấm matnik sẽ đi được bao xa trước khi nó tách ra khỏi bề mặt hình nón nếu tấm matnik bị dịch chuyển nhẹ khỏi vị trí cân bằng của nó? Góc nghiêng của hình nón so với mặt đất là $\alpha$ thì bề mặt của hình nón được coi là nhẵn.

L. G. Markovich

F1104. Hai đầu của hai thanh đồng nhất được buộc vào nhau bằng những sợi chỉ không trọng lượng và không thể giãn được. Một trong những thanh được buộc ở giữa vào shitatvu. Chứng minh rằng tứ giác tạo thành từ các sợi và thanh như vậy là hình thang.

V. T. Karpetyan

F1105. Một đĩa kim loại có bán kính $r=10$ cm quay trong mặt phẳng nằm ngang với tốc độ $v=60$ vòng/phút. Một khối phẳng có khối lượng nhỏ hơn nhiều so với cái đĩa, rơi từ độ cao $H=10$ cm xuống nó. Cạnh dưới của khối luôn song song với mặt phẳng của đĩa, hệ số ma sát giữa kim loại và nhựa là $\mu=0,1$. Khối này phải rơi cách trục một khoảng bằng bao nhiêu để khi rơi lần nữa nó sẽ rơi ra ngoài đĩa? Giả sử rằng sau khi bật lại khối sẽ tăng lên độ cao trước đó; bỏ qua kích thước của khối.

L. A. Zakrevsky

F1106. Một vài lời về chất siêu dẫn. Chất siêu dẫn có đặc tính đẩy ra một từ trường (còn gọi là hiệu ứng Meissner), nhờ đó chúng có thể nổi phía trên nam châm. Tính năng này của chất siêu dẫn được cho là sẽ được sử dụng để tạo ra tàu bay từ trường tốc độ cực cao, nguyên mẫu của chúng đã được thử nghiệm. Và bây giờ là bài toán chính cô ấy. Một tải có cùng khối lượng được đặt lên một mẫu siêu dẫn có khối lượng $m$ nổi phía trên một nam châm vĩnh cửu. Phải tăng cảm ứng từ của từ trường do nam châm tạo ra bao nhiêu lần để chất siêu dẫn mang tải có thể nổi ở cùng một khoảng cách so với nam châm?

A. I. Buzdin

F1107. Tuyết mịn mới rơi lấp lánh dưới ánh mặt trời. Ước tính khoảng cách đặc trưng giữa các “tia lửa” riêng lẻ.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

Problems

M1091—M1095, P1103—P1107

M1091. A natural number is called successful, if its digits can be split up into two groups with equal sums.
a) Find the least $a$ such that both $a$ and $a+1$ are successful.
b) Is there an $a$ such that $a, a+1, a+2$ are all successful?

N. I. Zilberberg

M1092. A convex paper polygon is folded 10 times (along straight lines) and then cut along a straight line. Find the maximum number of pieces.

S. V. Kazakow

24

Lời giải bài toán
M1070, M1072—M1075,*) F1084—F1087

Chúng ta sẽ xem xét một số hình chiếu trực giao của tegradra và lợi dụng thực tế là hình chiếu của một tam giác dọc theo một cạnh hoặc dọc theo đường trung tuyến và hình chiếu của hình bình hành dọc theo một cạnh hoặc đường chéo là các đoạn thẳng, độ dài của chúng được biểu thị bằng diện tích của hình tương ứng và chiều dài của cạnh, đường trung tuyến hoặc đường chéo (hình 1).

Cho ABCD (hình 2). Mỗi mặt phẳng cát tuyến đi qua trung điểm của 4 cạnh của nó và do đó cắt nó dọc theo hình bình hành giới hạn bởi các đường giữa của các mặt. Diện tích các mặt cắt song song với các cạnh DA, DB, DC sẽ được ký hiệu là $s_a$, $s_b$, $s_c$, còn diện tích các mặt ABC, BCD, CDA, DAB sẽ được ký hiệu là $S_D$, $S_A$, $S_B$, $S_C$. Chúng ta hãy chiếu tegradr dọc theo cạnh CD (hình 3). Kết quả là một tam giác ABC (chúng tôi giữ nguyên ký hiệu cho các dự án điểm cũng như cho chính các điểm). Chúng ta hãy vẽ trong đó đường trung tuyến KL, song song với AB (đây là hình chiếu của phần $s_c$) và đường trung tuyến CM (đây là hình chiếu của hình tam giác CDM của tegradr của chúng ta; M là điểm giữa của cạnh AB). Trong hình bình hành CLMK (hình 3) các cạnh và đường chéo bằng nhau

$$CL = KM = CB / 2 = S_A / l,$$
$$CK = LM = CA / 2 = S_B / l,$$
$$KL = 2s_c / l, \quad CM = 2S_1 / l,$$

trong đó $l = CD$, $S_1$ là diện tích của $\triangle CDM$. Viết “bình đẳng hình bình hành” cho CLMK (tổng bình phương các đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh), ta được

$$2(S_A^2 + S_B^2) = 4s_c^2 + 4S_1^2.$$

Đẳng thức được chứng minh tương tự

$$2(S_C^2 + S_D^2) = 4s_c^2 + 4S_2^2,$$

trong đó $S_2$ là diện tích phần tam giác ABN đi qua điểm N ở giữa của cạnh CD. Cuối cùng, chúng tôi chiếu trực giao tegradr dọc theo “đường giữa” MN (hình4) của nó. Kết quả là hình bình hành ACBD (các đường chéo AB và CD cắt nhau, được chia làm đôi). Các đường chéo của hình bình hành này là hình chiếu của các phần tam giác $S_1$ và $S_2$, tức là $AB = 2S_2 / m$, $CD = 2S_1 / m$, trong đó $m = MN$, và các đường ở giữa là hình chiếu của các phần $s_a$ và $s_b$, và vì các cạnh là đường giữa, $AD = 2s_a / m$, $AC = 2s_b / m$. Hãy sử dụng lại đẳng thức hình bình hành:

$$2(4s_a^2 + 4s_b^2) = 4S_1^2 + 4S_2^2.$$

Tuyên bố bài toán theo sau từ (1), (2) và (3):

$$S_A^2 + S_B^2 + S_C^2 + S_D^2 = 4(s_a^2 + s_b^2 + s_c^2).$$

Lưu ý rằng bài toán này ở một công thức khác

25

Hình 3.

Hình 4.

xuất hiện trong cuốn sách giải toán rất nhiều thông tin được xuất bản gần đây “Tối ưu hóa toán học nước ngoài” (M., 1987, trang 49, bài toán 15.17).

M1072. Phân tích số 989·1001·1007+320 thành thừa số nguyên tố.

Đáp số: 1009·997·991. Bạn có thể đoán phần mở rộng này bằng cách sử dụng thông báo sau: nếu $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ thì $f(x)+f(-x)=-2(a+b+c)x^2+2f(0)$, tức là với $a+b+c=0$ tổng $f(x)+f(-x)$ là không đổi. Trong trường hợp của chúng ta, chúng ta có thể lấy $f(x)=(x-10)\times(x+2)(x+8)$, thì số đã cho là $f(999)-2f(0)=-f(-999)=1009\cdot997\cdot991$. Dễ dàng kiểm tra được cả ba thừa số ở đây đều là số nguyên tố.

S. V. Fomin

M1073. Trong hình lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ Tôi tìm thấy một điểm O, từ đó có thể nhìn thấy tất cả các cạnh một góc 60°. Chứng minh rằng nếu $OA_1>OA_3>OA_5$ và $OA_2>OA_4>OA_6$ thì $A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6<A_2A_3+A_4A_5+A_6A_1$.

Chúng ta hãy vẽ trên các cạnh của góc độ lớn $60^\circ$ từ đỉnh $P$ của nó các đoạn $PB_i=OA_i$, $i=1, 2, ..., 6$, như thể hiện trong hình. Vì các phân số $B_1B_2, B_2B_3, ..., B_6B_1$ lần lượt bằng các phân số $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_6A_1$ nên chỉ cần chứng minh rằng

$$B_1B_2+B_3B_4+B_5B_6<B_2B_3+B_4B_5+B_6B_1.$$

Bất đẳng thức này có được bằng cách cộng 4 bất đẳng thức tam giác (xem hìnhok):

$$B_1B_2<B_1C_1+C_1B_2,$$
$$B_3C_2<B_3C_1+C_1C_2,$$
$$C_2B_4<C_2C_3+C_3B_4,$$
$$B_5B_6<B_5C_3+C_3B_6,$$

trong đó $C_1, C_2, C_3$ là giao điểm của đoạn $B_1B_6$ với các đoạn $B_2B_3, B_3B_4$ và $B_4B_5$. (Các đoạn được chỉ ra giao nhau do các bất đẳng thức cho trước trong các điều kiện. Ví dụ: từ các bất đẳng thức $PB_3<PB_1$ và $PB_6<PB_2$, suy ra rằng các điểm $B_3$ và $P$ nằm cùng một phía của $B_1B_6$, và $B_2$ và $P$ nằm ở các phía khác nhau, do đó $B_3$ và $B_2$ nằm đối diện với $B_1B_6$, tức là đường $B_1B_6$ cắt đoạn $B_2B_3$; tương tự, người ta chứng minh rằng đường $B_2B_3$ cắt đoạn $B_1B_6$ và do đó, các đoạn $B_2B_3$ và $B_1B_6$ cắt nhau.)

A. S. Merkuryev

M1074. Cho một chồng thẻ $2n+1$, được phép thực hiện hai thao tác trong đó: (A) một phần bị loại bỏ ở trên

Số hóa các thẻ từ trên xuống dưới với các số 0, 1, …, $2n$ và xếp chúng tuần tự tại các đỉnh của đa giác đều $A_0A_1...A_{2n}$ (hình 1). Sau đó, thao tác (A) được trả lời bằng cách xoay toàn bộ bộ thẻ xung quanh tâm đa giác theo một góc là bội số của $360^\circ/(2n+1)$,

26

thẻ và sắp xếp lại để duy trì trật tự;
(B) n thẻ trên cùng, giữ nguyên thứ tự khoảng trống giữa n+1 thẻ dưới cùng.
Chứng minh rằng bằng cách sử dụng các phép toán đã chỉ ra, không thể thu được nhiều hơn 2n(2n+1) cách sắp xếp quân bài khác nhau từ cách sắp xếp quân bài ban đầu trong ngăn xếp.

Hình 1.

Bài tập, lượng tử

và trong quá trình hoạt động (B), các thẻ từ các đỉnh $A_0, A_1, \dots, A_{n-1}$ lần lượt được chuyển sang các đỉnh $A_1, A_3, \dots, A_{2n-1}$ và từ các đỉnh $A_n, A_{n+1}, \dots, A_{2n}$ - sang các đỉnh $A_2, A_4, \dots, A_{2n}$ (hình 2). Như vậy, sau thao tác (B), các quân bài liền kề ban đầu sẽ lần lượt nối tiếp nhau. Nếu có k cạnh của đa giác giữa hai quân bài (chúng ta luôn có thể giả sử k<n), thì kết quả của phép toán (B) là có 2k cạnh giữa chúng. Đặc biệt, khoảng cách giữa các quân bài 0 và 1, 1 và 2,…, 2n và 0 sẽ giữ nguyên bằng nhau khi thực hiện thao tác

Hình 2. Hình 3.

radio (A) và (B) với số lượng và thứ tự bất kỳ. Do đó, việc sắp xếp tất cả các quân bài hoàn toàn được xác định bởi vị trí của quân bài 0 và 1: nếu 0 ở đỉnh $A_i$ và 1 ở đỉnh $A_j$ thì 2 ở đỉnh $A_k$ sao cho $A_jA_k=A_iA_j$, 3 ở đỉnh $A_l$ sao cho $A_kA_l=A_iA_j$, v.v. (hình 3). Vị trí của thẻ 0 có thể được chọn theo 2n+1 cách, đối với thẻ 1 còn lại 2n vị trí. Do đó, số cách sắp xếp có thể không vượt quá 2n(2n+1).

Để có được số vị trí chính xác, tập 2n ở đây phải được thay thế bằng số phần dư khác nhau bằng cách chia lũy thừa của hai cho 2n+1. (Bất cứ khi nào thao tác (B) được áp dụng, số cạnh của đa giác giữa các thẻ 0 và 1 bị thiếu theo một hướng nhất định phải được loại bỏ và phần còn lại được lấy khi chia cho 2n+1.)

D. V. Fomin, V. N. Dubrovsky

M1075. Tìm số tự nhiên nhất có ký hiệu thập phân mỗi chữ số (trừ các chữ số bên ngoài) nhỏ hơn hai chữ số liền kề của nó.

Đáp số: 96433469. Gọi $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các chữ số liên tiếp của số $N$ thỏa mãn điều kiện bài toán. Hãy xem xét sự khác biệt giữa các số lân cận $d_i=a_{i+1}-a_i$, $i=1, \dots, n-1$. Điều kiện $a_i<(a_{i-1}+a_{i+1})/2$ có thể được viết lại thành $a_i-a_{i-1}<a_{i+1}-a_i$ hoặc $d_{i-1}≤d_i-1$. Gọi $a_m$ là chữ số nhỏ nhất của $N$. Chúng ta có thể giả sử rằng $a_{m-1}>a_m$, $a_m≤a_{m+1}$, tức là $d_{m-1}≤-1$, $d_m≥0$. Sau đó $d_{m-2}≤d_{m-1}-1≤-2$, $d_{m-3}≤-3,..., a d_{m+1}≥d_m+1≥1$, $d_{m+2}≥2$, $d_{m+3}≥3,...$.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $n≤m+4$. Giả sử trường hợp này không phải như vậy thì $a_{m+5}=a_{m+4}+d_{m+4}≥a_{m+4}+4≥a_{m+3}+3+4≥...≥a_{m+1}+1+2+3+4≥10$, mà là $a_{m+5}≤9$. Tương tự, người ta chứng minh rằng $m≤4$ (ngược lại $a_{m-4}≥a_{m-3}-a_{m-4}≥a_{m-3}+4≥...≥a_m+10$). Vì vậy, $n≤8$ và nếu $n=8$ thì $m=4$. Thay thế $m=4$ vào ước tính

27

Với $d_i$ và cho $a_1 \leqslant 9, a_8 \leqslant 9$ đó, chúng ta nhận được:
$$a_2 = a_1 + d_1 \leqslant 9 - 3 = 6, \quad a_3 \leqslant a_2 - 2 \leqslant 4, \quad a_4 \leqslant a_3 - 1 \leqslant 3;$$
$$a_7 = a_8 - d_7 \leqslant 9 - 3 = 6, \quad a_6 \leqslant a_7 - 2 \leqslant 4, \quad a_5 \leqslant a_6 - 1 \leqslant 3.$$
Vì vậy, $N \leqslant 96433469$.

S. E. Rukishin

F1084. Nếu bạn ấn một chiếc niken vào tấm kính đã đông cứng trong một thời gian ngắn, một vòng tròn sẽ tan chảy trên tấm kính dọc theo mép của tấm niken. Tại sao?

Khi chúng ta ấn một đồng xu vào kính, nó sẽ nóng lên từ tay chúng ta. Nó nóng lên và làm tan băng giá. Đồng xu chạm chủ yếu vào các cạnh, nơi có độ dày. Có một khoảng trống giữa phần còn lại của đồng xu và sương giá. Độ dẫn nhiệt của không khí kém hơn nhiều so với độ dẫn nhiệt của kim loại. Do đó, đầu tiên nó “ấm lên” và tan băng dọc theo chiếc nhẫn, dọc theo mép của đồng xu. Sau đó, đồng xu “nằm” trên toàn bộ bề mặt của nó và sự tan chảy xảy ra trên toàn bộ diện tích của đồng xu.

L. A. Ashkinazi

F1085. hình 1 mô tả quá trình thực hiện trên một chất khí lý tưởng và chuyển nó từ trạng thái B. Tìm trên đồ thị các phần của quá trình trong đó nhiệt độ của khí tăng (giảm).

Chúng ta hãy xem xét hai điểm khá gần nhau của quá trình $C$ và $D$ trên đường cong và viết biểu thức biểu thị sự thay đổi nhiệt độ của khí trong quá trình chuyển từ điểm $C$ sang điểm $D$:

$$\Delta T_{CD} = T_C - T_D = \frac{M}{mR}((p + \Delta p)(V + \Delta V) - pV) \approx \frac{M}{mR}(p \cdot \Delta V + V \cdot \Delta p).$$

Đặt $\Delta T_{CD} \approx 0$ (điều này có nghĩa là các điểm $C$ và $D$ nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt hoặc trong quá trình chuyển đổi $C \rightarrow D$ nhiệt độ khí đi qua một giá trị cực trị (tối đa hoặc tối thiểu)). Sau đó

$$\frac{p}{V} = -\frac{\Delta p}{\Delta V}.$$

(*)

Từ hình 1 rõ ràng là $\frac{p}{V} = \text{ctg } \alpha$, và tại các điểm đủ gần $C$ và $D$

$$\frac{\Delta p}{\Delta V} = \text{tg } \beta' \approx \text{tg } \beta'' \approx \text{tg } \beta = -\text{ctg } \gamma.$$

Do đó từ (*) suy ra

$$\text{ctg } \alpha = \text{ctg } \gamma, \text{ или } \alpha = \gamma.$$

Bây giờ chúng ta giả sử rằng tại một điểm nào đó trên đường cong $AB$ $\alpha < \gamma$. Sau đó $\text{ctg } \alpha > \text{ctg } \gamma$ và lặp lại lý luận trên theo thứ tự ngược lại, chúng ta thu được $\Delta T_{CD} > 0$ đó. Do đó, nhiệt độ của khí tăng lên khi đi qua điểm này. Và ngược lại: nếu tại một thời điểm nào đó $\alpha > \gamma$, thì $\Delta T_{CD} < 0$, và nhiệt độ khí trong trường hợp này giảm.

Sau khi tìm thấy các điểm $M_1$, $M_2$ và $M_3$ trên biểu đồ, trong đó $\alpha = \gamma$ (xem hình 2), chúng tôi phát hiện ra rằng trong các phần quy trình $AM_1$ và $M_2M_3$, trong đó $\alpha < \gamma$, nhiệt độ khí tăng và trong các phần $M_1M_2$ và $M_3B$ ($\alpha > \gamma$) - giảm.

Tôi. Yu. Poteryayko

29

$$\alpha_{0A} \leqslant \alpha_0 \leqslant \frac{\pi}{2},$$
thì gia tốc $a$ đạt giá trị tối thiểu tại $\alpha_1 = \arccos \left( \frac{4}{3} \cos \alpha_0 \right)$ (xem hình 2).

$$\Delta = f(1) - f(\cos \alpha_0) = 5 \cos^2 \alpha_0 - 8 \cos \alpha_0 + 3.$$

Giá trị tối đa của $f(\cos \alpha)$ (và do đó gia tốc của $a$) là $\cos \alpha = \cos \alpha_0$ hoặc $\cos \alpha = 1$. Chênh lệch khoảng cách

$$\Delta = f(1) - f(\cos \alpha_0) = 5 \cos^2 \alpha_0 - 8 \cos \alpha_0 + 3.$$

Chúng tôi thấy điều đó

$$\Delta \leqslant 0 \text{ при } \cos \alpha_0 \geqslant 3/5,$$
$$\Delta > 0 \text{ при } \cos \alpha_0 < 3/5.$$

Điều này có nghĩa là gia tốc $a$ đạt giá trị lớn nhất (xem hình 2)

tại $\alpha_2 = \alpha_0$, nếu $\alpha_0 \leqslant \alpha_{0B} = \arccos \frac{3}{5}$,

tại $\alpha_2 = 0$, nếu $\alpha_{0B} < \alpha_0 \leqslant \frac{\pi}{2}$.

O. A. Sedletsky

Người chiến thắng cuộc thi “Vấn đề «Kvant»”

(Để bắt đầu, xem trang 20)

Họ được trao Dillom và huy hiệu zhurpal «Kvant» và sách trong bộ “Thư viện «Kvant»” vì đã tích cực tham gia cuộc thi:

Trong toán học

V. Vologodsky - Omsk, tr. ii. Số 91, 10 ô.
D. Voller - Omsk, tr. ii. Số 66, 10 ô.
A. Gorokhovsky - Kyiv, tr. ii. Số 79, 10 ô.
R. Hryniv - Lviv, tr. ii. Số 62, 10 ô.
I. Zefirov - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 10.
I. Kokorev - Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad, lớp 10.
A. Kulik - Kyiv, tr. ii. Số 145, 9 ô.
V. Matveev - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 10.
Y. Mustafev - Baku, tr. ii. Số 20, 10 ô.
D. Prokofiev - Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad, lớp 10.
V. Ragulin - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 9.
V. Slitinsky - Kyiv, tr. ii. Số 206, 10 ô.
D. Tulykov - Zhdanov, tr. ii. Số 7, 10 ô.
F. Fot - Voronezh, tr. ii. Số 58, 10 ô.
O. Khristenko - Karaganda, tr. ii. Số 63, 10 ô.

Trong vật lý

A. Beletsky - Kanev, tr. ii. Số 4, 10 ô.
S. Belusov - Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad, lớp 10.

A. Bilibin - Borovich, tr. ii. Số 1, lớp 10.
D. Vitkup - Kiev, tr. ii. Số 145, 10 ô.
P. Wolfbein - Kiev, tr. ii. Số 145, 10 ô.
A. Goncharov - Novosibirsk, tr. ii. Số 130, 10 ô.
P. Gorkov - P. Chernogolovka, vùng Mátxcơva, tr. ii. Số 82, 10 ô.
S. Dronov - Pushino, tr. ii. Số 3, 10 ô.
A. Elyashevich - Minsk, tr. ii. Số 16, 10 ô.
D. Zelensky - Semipalatinsk, tr. ii. Số 3, 10 ô.
S. Zelensky - Semipalatinsk, tr. ii. Số 3, 10 ô.
A. Ziskind - Vinnitsa, tr. ii. Số 17, 10 ô.
V. Kamenkovich - Kharkov, tr. ii. Số 27, 10 ô.
V. Kamchatny - Kiev, tr. ii. Số 206, 9 ô.
A. Komnik - Stary Oskol, tr. ii. Số 16, 9 ô.
A. Korshkov - Mozyr, tr. ii. Số 8, 9 ô.
Yu. Kravchenko - Mátxcơva, tr. ii. Số 820, 10 lớp.
V. Người cho vay - Kiev, tr. ii. Số 208, 10 ô.
A. Mazurenko - Minsk, tr. ii. Số 50, 10 ô.
A. Mamaev - Vùng xuyên Volga, tr. ii. Số 17, 10 ô.
A. Matsko - Kyiv, tr. ii. Số 206, 10 ô.
N. Mikhailovsky - Krasnoyarsk, tr. ii. Số 20, 10 ô.
V. Moroz - Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad, lớp 10.
K. Penanen - Odeska, tr. ii. Số 63, 10 ô.
O. Pokramovich - Brest, tr. ii. Số 1, lớp 10.
R. Sagaidak - tr. Matusov, vùng Cherkasy, làng. ii. Số 1, lớp 10.
D. Simonyan - Riga, tr. ii. Số 79, 10 ô.
V. Sinenko - Kanev, tr. ii. Số 4, 10 ô.
M. Sokolov - Odintsovo, tr. ii. Số 11, 10 ô.
D. Tilga - Almaty, RFMS, lớp 10.
I. Todoshenko - Perma, tr. ii. Số 16, 10 ô.
G. Feigin - Tula, tr. ii. Số 36, 10 ô.
S. Shtovba - Vinnitsa, s. ii. Số 33, 10 ô.
I. Yasnikov - Tolyatti, tr. ii. Số 59, 10 ô.

30

Danh sách độc giả đã gửi lời giải bài toán M1045—M1060, F1058—F1072, tham chiếu có bài toán M1045, M1046, M1051, M1053, M1056—M1060, F1058, F1062, F1063, F1065, F1068, F1071. Dưới đây chúng tôi công bố họ của những người xác định đúng lời giải những người khác bài toán (các số sau họ là chữ số cuối cùng của các số đã giải bài toán).

Toán học
Yu. Velikina (Dnepropetrovsk) 49, 50, 52, 55;
K. Verbitsky (Moscow) 49, 50, 52, 54;
A. Vintsukiy (Kaluga) 50, 55; A. Vintsuk (Kyiv) 49, 50; A. Vityaev (Novosibirsk) 49, 50, 54; V. Vologodsky (Omsk) 49, 50, 52, 54; V. Volkov (Shakhtersk) 48—50, 52, 54, 55; D. Volper (Omsk) 49, 50, 52, 54, 55; Vâng. Vorobets (Lviv) 49, 50, 52; M. Vyurnov (Kyiv) 48—50, 52, 55; Yu. Gnatok (Kamenets-Podolsky) 49, 50, 52, 54; M. Goldsheid (Chelyabinsk) 48—50, 52, 54, 55; A. Gorokhovsky (Kyiv) 48—50, 52, 54, 55; V. Gravit (Severodinsk) 49, 50, 52, 54, 55; R. Hryniv (Lviv) 49, 50, 52, 54, 55; A. Davydov (làng Elfimovo, vùng Gorky) 49; R. Dadashov (làng Boradygakh của AzSSR) 50; N. Dokholyan (Tbilis) 49; S. Dronov (Pushino) 49, 50, 52, 54; K. Dyshleva (Cherkasy) 52, 54; I. Zharkov (Sverdlovsk) 48—50, 52, 54, 55; I. Zhiltsov (Sverdlovsk) 52; Yu. Zhukov (Tula) 50; Yu. Zhuravel (Kyiv) 49; N. Zverev (Moscow) 49, 50, 52, 54, 55; S. Zelik (Kramatorsk) 49, 54; I. Zefirov (Khimki) 48—50, 52, 54, 55; E. Ivanov (Moscow) 52, 54, 55; A. Kalinin (Saratov) 49, 50, 52, 55; V. Kaloshin (Kharkov) 49, 50, 52, 54; S. Kirillov (Odeska) 49, 52, 54; O. Kirisovsky (Vinnitsa) 49, 50, 52, 54, 55; S. Kovatsenko (Vinnitsa) 50, 52; O. Kovrizhin (Maikop) 49, 52, 54; A. Kozachko (Vinnitsa) 50, 52; I. Kokorev (Leningrad) 49, 50, 52, 54, 55; G. Kolesitsky (Tbilis) 49, 50, 55; A. Korshkov (Mozyr) 49, 50, 52; D. Kosolya (Beloretsk) 48—50, 52, 54, 55; V. Krepet (Novosibirsk) 48—50, 52; G. Kroin (Leningrad) 52; V. Krushian (Novosibirsk) 48—50, 52, 54; A. Kulik (Kyiv) 48—50, 52, 54, 55; K. Kurabaeva (Alma-Ata) 50; A. Kurilo (Tselinograd) 52; K. Levin (Kyiv) 49, 50; S. Lesik (Donetsk) 49, 50; A. Loeev (Leningrad) 48—50, 55; V. Lysenkov (Beloretsk) 48—50, 52, 54, 55; A. Maltsev (làng Medvedka, vùng Kursk) 49, 50, 52, 54; I. Markov (Kyiv) 48, 49, 52; T. Martirosova (TASHKENT) 48—50, 52, 54; V. Matveev (Moscow) 48—50, 52, 54, 55; A. Melnik (Gayvoron) 50; A. Melnikov (Krasnodar) 49, 52, 55; O. Melnikov (Krasnodarsk) 49, 50; M. Meltser (Vinnitsa) 48—50, 52, 54, 55; S. Morozov (vùng Volga) 49, 52; Yu. Morozov (Tbilis) 49; Y. Mustafeev (Baku) 48—50, 52, 54; I. Nazaryan (Tbilis) 48-50, 52, 54; A. Natalin (Leningrad) 52; O. Numov (Zavolzhye) 52; I. Onulsky (Kyiv) 52, 55; O. Pavlov (Novosibirsk) 49, 50, 52, 54, 55; A. Pavlunin (Frunze) 49; V. Pavlunin (Frunze) 52; A. Plachko (làng Velikaya Russava, vùng Vinnytsia) 49; V. Ba Lan

Nhiệm vụ

1. Làm thế nào để chuyển một con dê, một bắp cải, hai con sói và một con chó trên thuyền từ bầy này sang con khác, nếu biết rằng không thể bỏ mặc sói với dê và chó, chó “cãi nhau” với dê, dê “không thờ ơ” với bắp cải? Thuyền chỉ có ba chỗ ngồi nên bạn không thể mang theo quá hai con vật hoặc một con vật và bắp cải cùng một lúc.

2. 30 người đã tham gia các sự kiện bắn súng hiện đại. Người bắn đầu tiên ghi được 80 điểm, lần bắn thứ hai là 60 điểm, lần bắn thứ ba là trung bình số học của hai điểm đầu tiên, lần thứ tư - trung bình số học của số điểm mà những người bắn trước đó ghi được. Người bắn súng cuối cùng đã ghi được bao nhiêu điểm?

3. Giải câu đố số học hiển thị trên hình bằng cách thay bốn chữ số cùng với chữ H và số lẻ bằng chữ H.

4. Tại sao các vận động viên trượt băng và trượt băng tốc độ lại đắp áo khoác hoặc chăn lên người sau khi về đích, mặc dù họ rất nóng trong suốt cuộc đua?

5. Mặt phẳng được chia thành các hình vuông có diện tích 100 cm2. Làm thế nào bạn có thể sử dụng một thước đo (không có vạch chia) để có được hình vuông có diện tích 80 cm²?

Những nhiệm vụ này được đề xuất cho chúng tôi bởi: E. V. Chernyshov, N. Ya. Antonovich, A. P. Savin, V. V. Proizvolov.

32

Những con số tuyệt vời.
dãy số Fibonacci

Số Fibonacci là các phần tử của dãy số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, trong đó mỗi số bắt đầu từ số thứ ba là tổng của hai số trước đó: $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

Những con số này được nhà toán học Taliban Leonardo xứ Pisa (Fibonacci) giới thiệu trong “Sách bàn tính” (1202). Anh ta lấy chúng theo số lượng họ máy cắt giảm dần từ một cặp, với điều kiện là mỗi cặp máy cắt sẽ tạo ra một cặp mới mỗi tháng.

Hóa ra số Fibonacci xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Ví dụ: nếu bạn đi dọc theo một con đường được chia thành $n$ hình vuông, mỗi lần di chuyển đến hình vuông tiếp theo hoặc qua một hình vuông, thì số cách để đi qua con đường đó là $f_n$.

Các số Fibonacci xuất hiện theo hình xoắn ốc và số lượng các đường xoắn ốc đi theo hướng này và hướng kia là khác nhau - chúng là các số Fibonacci liên tiếp (ví dụ: có thể có 34 và 55 đường xoắn ốc). Điều tương tự cũng được quan sát thấy ở quả dứa, thường có 8 và 14 vòng xoắn.

AE: $AB = AB:BC = AD:AC = \tau$

Các số Fibonacci xuất hiện theo hình xoắn ốc và số lượng các đường xoắn ốc đi theo hướng này và hướng kia là khác nhau - chúng là các số Fibonacci liên tiếp (ví dụ: có thể có 34 và 55 đường xoắn ốc). Điều tương tự cũng được quan sát thấy ở quả dứa, thường có 8 và 14 vòng xoắn.

33

8×8

Yêu thích các tỷ lệ:

$$f_1 + f_2 + \dots + f_n = f_{n+2} - 1;$$
$$f_1 + f_2 + \dots + f_n^2 = f_n f_{n+1};$$
$$f_1 - f_2 + \dots + (-1)^{n+1} f_n^2 = 1 + (-1)^n f_{n+1} = f_n + 2 f_{n-1} - f_n f_{n-1} = (-1)^n;$$
$$f_n + m = f_{n-1} f_m + f_n f_{m+1};$$

$$f_1 x + f_2 x^2 + \dots + f_n x^n + \dots = \frac{x}{1-x-x^2},$$
$$\frac{f_1}{2} + \frac{f_2}{4} + \dots + \frac{f_n}{2^n} = 2;$$

$$1 = 1, 1 + \frac{1}{1} = \frac{2}{1}, 1 + \frac{1}{1+1} = \frac{3}{2},$$
$$1 + \frac{1}{1+1} = \frac{5}{3}, \dots,$$
$$1 + \frac{1}{1+1} = \tau.$$

Người ta đã phát hiện ra rằng các phân số có dạng $a/b$, tương ứng với sự sắp xếp xoắn ốc của các tấm trên thân khoảng cách, thường là tỷ lệ của các số Fibonacci liên tiếp. Đối với gỗ sồi và cây phỉ, tỷ lệ này là 2/3, đối với gỗ sồi và quả mơ là 3/5, đối với cây dương và quả lê là 5/8, đối với hạnh nhân và hạnh nhân là 8/13, v.v.

34

CHÚNG TÔI THẤY GÌ VÀ NHƯ THẾ NÀO

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. BUZDIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. S. KROTV

Một nhà sinh lý học đang thể hiện hành động
điểm mù, trở thành
được hai người yêu mến
vua Pháp;
tẻ nhạt
các cuộc họp
vậy với phiên tòa trước của họ
nhà vua đã ly hôn
“cắt vàng của họ”:
anh ấy nhìn
trên một trong số chúng
và xem thế nào
vào lúc này
“biến mất”
đầu của người khác.

(Trích từ Feynman
bài giảng vật lý”)

34

36

phát ra một “chất lỏng” đặc biệt từ mắt. Võng mạc đại diện cho các nhánh của dây thần kinh thị giác, và đầu cuối đầu tiên có hai loại - hình que và hình nón (những tên này liên quan đến hình dạng). Trong điều kiện ánh sáng yếu, tầm nhìn chủ yếu là nhờ các que, nhưng đáng tiếc là chúng không có khả năng cung cấp khả năng nhìn màu. Các tế bào hình nón chịu trách nhiệm về tầm nhìn màu sắc và chúng chỉ bắt đầu “bật” khi có ánh sáng. Nhân tiện, đây là nguồn gốc của thành ngữ “tất cả mèo đều có màu xám vào ban đêm” - trong điều kiện ánh sáng rất yếu, mọi vật thể đều có vẻ màu xám.

Ánh sáng yếu từ các ngôi sao tới Trái đất cho phép chúng ta xác định màu sắc của chỉ những ngôi sao sáng nhất trong số chúng; Trong khi đó, những hình ảnh màu của bầu trời đầy sao được tạo ra bằng kính viễn vọng lại gây ngạc nhiên với sự phong phú và vẻ đẹp của màu sắc - thật không may, mắt chúng không thể tiếp cận được. Tuy nhiên, khái niệm về tầm nhìn “không màu” của chúng ta thật đáng ngạc nhiên: về nguyên tắc, mắt có thể ghi nhận ngay cả những photon đơn lẻ. Photon là một lượng tử dao động điện từ, giống như phần năng lượng nhỏ nhất của bức xạ. (Ở đây chúng ta phải đối mặt với một thực tế là, theo lý thuyết lượng tử, ánh sáng một mặt là sóng điện từ, mặt khác là một dòng hạt - lượng tử hoặc photon.)

Như chúng tôi đã nói, sự hình thành cảm giác màu sắc là một quá trình phức tạp. Các tế bào nhạy cảm với ánh sáng trong mắt không chỉ được kết nối với não mà còn với nhau. Bản thân mắt thực hiện quá trình xử lý cơ bản thông tin ánh sáng. Không phải ngẫu nhiên mà trong quá trình phát triển của phôi thai, đôi mắt được hình thành do sự phát triển của các sợi trực tiếp từ não và thực chất nó là một phần của não.

Nhân tiện, vị trí đó trên võng mạc, khi dây thần kinh thị giác mở ra và phân nhánh, không có màu sáng - không có hình que và hình nón ở đó; nó được gọi là “rắn”. Nếu ảnh của một vật trên võng mạc rơi vào vật rắn thì không nhìn thấy vật đó. Nhà vật lý nổi tiếng Mariotte đã phát hiện ra điểm mù; ông đã báo cáo về hiện tượng này tại một cuộc họp của Học viện Paris năm 1666. Ông là “nhà sinh lý học” (từ επιgraph đến bài báo), người đã dạy cho vua Pháp một cách nhân đạo để “chặt đầu” các cận thần của mình.

Vai trò quan trọng của não trong việc nhận thức hình ảnh bên ngoài được minh họa bằng ví dụ này. Nếu một người đeo kính làm cho hình ảnh bị lộn ngược thì lúc đầu người đó sẽ nhìn thấy mọi thứ “đảo ngược”. Tuy nhiên, sau một thời gian, nhận thức về hình ảnh bên ngoài sẽ thấm nhuần. Nhưng sau khi tháo kính ra, các đồ vật sẽ như bị lộn ngược và sẽ mất một thời gian để mọi thứ vào đúng vị trí.

Bây giờ hãy nhìn vào hình 2, nơi mô tả ba hàm. Mọi người hoàn toàn biết rằng phần dưới nhỏ hơn phần trên rất nhiều. Tuy nhiên, cây thước sẽ chứng minh cho bạn thấy rằng tất cả các hàm đều có cùng chiều cao. Tất cả đều là về các đường xuyên tâm tạo ra cảm giác phối cảnh. Thật khó để tin rằng những đường thẳng trên hình

37

Hình 3.

ke 3 song song. Hiệu quả của loại này đã gây ra vấn đề cho các kiến ​​trúc sư ngay cả trong thời cổ đại: để hằng số tiếp theo có vẻ thẳng, cấu trúc của chúng phải cong. Có lẽ ấn tượng sống động nhất được tạo ra bởi những bức tranh của họa sĩ người Hà Lan Escher, minh họa rõ ràng điều kiện nhận thức của chúng ta (bản sao bức tranh của Escher được đặt trên trang thứ hai của trang bìa số này).

Tại sao bạn nghĩ rằng những vòng tròn màu sẽ xuất hiện trước mắt bạn nếu bạn đập đầu vào khung cửa trong bóng tối hoàn toàn? nếu đó là về một chiếc đèn lồng thì sao?

Mắt của chúng ta kém phù hợp để phân tích nghiêm ngặt trạng thái màu sắc của ánh sáng. Với mục đích này, tốt hơn là sử dụng các thiết bị vật lý (đơn giản nhất là lăng kính). Nhưng chỉ bằng cách trộn ba màu theo một tỷ lệ nhất định, chẳng hạn như đỏ, vàng và xanh, bạn có thể có được hầu hết mọi màu (ít nhất là hỗn hợp các màu). Nhân tiện, điều này được sử dụng rộng rãi trong truyền hình màu. Tất cả các màu trên màn hình TV màu là kết quả của sự chồng chất thích hợp của ba màu cơ bản. Tương tự, chỉ có ba loại mực được sử dụng để in màu. Vì vậy, bằng cách trộn sơn màu vàng và xanh lam, chúng ta sẽ có được màu xanh lục; bằng cách chiếu tia màu vàng và màu xanh lên màn hình, chúng ta sẽ thấy một điểm màu xanh lá cây. Hoàn toàn rõ ràng rằng màu xanh lục thu được theo cách này hoàn toàn không phải là màu xanh lục “thuần khiết”, nó là một phần của cầu vồng và tương ứng với một sóng điện từ có độ dài nhất định. Rất đơn giản, trong hai trường hợp này, nhiễu màu giống nhau được tạo ra. Bất chấp những gì đã nói, sự phong phú của màu sắc mà mắt người cảm nhận được là rất lớn - các nghệ sĩ rất giỏi phân biệt tới ba trăm sắc thái.

Và tùy vào điều này, còn có một câu chuyện “màu sắc” khác, đến từ lĩnh vực vật lý hạt cơ bản. Được phát minh bởi nhà vật lý lý thuyết vĩ đại nhất của thời đại chúng ta, Gell-Mann, các hạt vật chất kỳ lạ - quark - không chỉ nhận được quyền tồn tại bất thường (chúng không thể tồn tại ở trạng thái tự do) mà còn có được “màu sắc”. Chúng có ba “màu” - đỏ, xanh lá cây và xanh lam. Theo lý thuyết này, một proton thông thường bao gồm ba quark “nhiều màu” sẽ có màu “trắng”, tức là “không màu”. Bằng cách trộn ba màu này theo những cách kết hợp khác nhau, bạn có thể thu được bất kỳ màu nào khác trong quang phổ khả kiến, vốn được sử dụng trong truyền hình màu.

Do đó, khoa học vật lý hiện đại ngày càng có thể nói về màu sắc của những vật thể đó, khả năng quan sát ngay lập tức mà nó trả lời với độ tin cậy không kém. Thực ra trí tưởng tượng của con người là không có giới hạn…

Và trước khi bạn chấm dứt nó, chúng tôi khuyên bạn nên suy nghĩ về những câu hỏi này.

1. Được biết, nếu tắm nắng vào buổi trưa, bạn có thể “kiệt sức”. Nhưng nguy cơ tiếp xúc với ánh nắng mặt trời vào buổi sáng và buổi tối thực tế là bằng không. Tại sao?

2. Nếu bạn nhìn vào chùm tia máy chiếu từ bên cạnh, nó có vẻ cong. Tại sao?

38

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

(Để bắt đầu, xem trang 30)

F. Zanin (Stary Oskol) 70, 72; D. Zvonov (Chelyabinsk) 61, 70; D. Zelensky (Semipalatinsk) 61, 69; S. Zelensky (Semipalatinsk) 69; E. Zeltser (Kyiv) 60, 61, 64, 66, 70; A. Ziskind (Vinnitsa) 60, 69, 70; Vâng. Zubkov (Alma-Ata) 72; K. Zuev (Vologda) 61, 70; I. Iltsev (Pleven, NRV) 60; A. Iskov (Kalinerrad) 59, 61; M. Ifeev (Moscow) 69, 70, 72; S. Kazenas (Almaty) 69, 70; E. Kazmiruk (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 60, 70; A. Kapinov (Alma-Ata) 72; V. Kamenkovich (Kharkov) 60, 64, 69; M. Kamtseva (Stary Oskol) 70; V. Kamchatny (Kyiv) 72; A. Kapustin (Moscow) 59—61, 70, 72; A. Klyuchanov (Alma-Ata) 61, 70; M. Kovaleev (Gubkin) 72; A. Kolesnik (Stary Oskol) 61; A. Komnik (Stary Oskol) 60, 70; A. Konovalov (Mytnits) 61; I. Konovalov (Kyiv) 72; E. Korsunsky (Kharkov) 59-61, 72; A. Korsunsky (Mozyr) 64, 70, 72; A. Korytko (Kyiv) 60; M. Kravchenenko (Kazan) 70; Yu. Kravchenenko (Moscow) 59—61, 67, 70, 72; V. Kukleev (Leningrad) 60, 67; Yu. Kumnan (Moscow) 70; O. Kushinr (Dublyany) 60, 70; S. Lapin (Saratov) 72; Yu. Lepin (Kharkov) 64; V. Lenderman (Kyiv) 60, 70; A. Losev (Leningrad) 70; I. Lokhtin (Moscow) 60, 70; O. Luguev (Makhachkala) 60, 61; A. Luguevin (Michurinsk) 70; A. Lvovsky (Moscow) 61; A. Mazurenko (Minsk) 59—61, 64, 67, 69, 70, 72; A. Maikov (Stary Oskol) 60, 61, 70; A. Malivanchik (Kyiv) 60, 61, 70, 72; R. Malkov (Saratov) 59—61, 64, 66, 69, 70, 72; A. Malsheev (làng Medvyanka, vùng Kursk) 59-61; A. Mamaev (Zavolzhe) 64; A. Makots (Kyiv) 60, 61, 72; I. Mezhuev (Kolomna) 59; A. Melekhovets (Brest) 72; V. Merker (Stary Oskol) 70, 72; A. Mina (Kyiv) 72; I. Mikhailovsky (Krasnoyarsk) 59-61; Vâng. Mikheev (Kyiv) 72; E. Moseev (Zaporozhe) 72; V. Moroz (Leningrad) 59—61, 64, 67; K. Nedbaev (Brest) 72; A. Nikitin (Leningrad) 60, 61, 64; K. Nikolaev (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 70, 72; A. Nikonok (Rivne) 70; A. Novik (Mozyr) 61, 69, 70, 72; D. Nogotkov (Alma-Ata) 70; S. Nochevny (Zaporozhe) 60, 72; A. Okunev (Grodno) 61, 72; V. Olkhovets (Kyiv) 70, 72; Z. Dừng lại (Tbilisi) 61; V. Pavlinn (Frunze) 70; D. Pastukhov

Sách mới của nhà xuất bản Nuka

Sẵn sàng để in:
Bogatyrev G.I., Bokovnev O.A. Sách hướng dẫn toán ôn luyện môn kỹ thuật lớp 8 trung học cơ sở.

Hướng dẫn học tập. Ed. Lần thứ 2, sửa đổi 23 l. 80k.

Bài toán trong vật lý. Hướng dẫn học tập. Ed. Ồ, vâng. Savchenko. Ed. Lần thứ 2, sửa đổi 26 l. 1 chà. 10k.

Zeldovich Ya. B., Khlopov M. Yu. Kịch tính của các ý tưởng trong kiến ​​thức về tự nhiên (hạt, trường, điện tích). (Viblotechka «Kvant»). 10 lít. 40k.

Cẩm nang toán học dành cho người đăng ký vào to.by.

Hướng dẫn học tập. Ed. G. N. Ykovleva. Ed. Lần thứ 3, sửa đổi 41 l. 1 chà. 50k.

Tuyển tập bài toán và các câu hỏi vật lý dành cho người có trình độ trung cấp. Hướng dẫn học tập. Ed. R. A. Gladkova. Ed. Thứ 7, sửa đổi 22 l. 1 chà.

Stasenko A. L. Vật lý vào mùa hè. (Viblotechka «Kvant»). 10 lít. 40k.

(Cuối cùng xem trang 59)

39

Vật lý 8, 9, 10

Sách đã xuất bản “Tâm khối là gì” dành cho học sinh lớp 8, ghi chú “Dòng điện chạy trong kim loại như thế nào?” — dành cho học sinh lớp chín, “Trên cỗ máy thời gian và Thuyết tương đối” - dành cho học sinh lớp mười.

Khối tâm là gì

Nếu bạn ném một hòn đá theo một góc so với đường chân trời, nó sẽ chuyển động theo đường parabol. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn ném một cây gậy dài và vặn nó đúng cách? Tất nhiên, các điểm khác nhau của cây gậy di chuyển theo những cách khác nhau, mô tả những quỹ đạo khá phức tạp, nhưng chuyển động của cây gậy nói chung có phần giống với chuyển động của một hòn đá: đi lên, vị trí trên cùng, đi xuống. Hơn nữa, nếu bỏ qua lực cản của không khí thì chuyển động của một điểm cụ thể của cây gậy sẽ không khác gì chuyển động của một hòn đá bay tự do dọc theo một hình parabol. Điểm này là trọng tâm của thanh.

Hơn nữa, khối tâm tồn tại đối với bất kỳ vật thể nào, hơn nữa, đối với bất kỳ hệ thống vật thể nào. Nó có những đặc tính đáng chú ý mà bài viết này sẽ giới thiệu cho bạn một số đặc tính đó.

Hãy bắt đầu bằng việc xác định vị trí của khối tâm. Chúng ta hãy xem xét một hệ thống các điểm vật chất có khối lượng $m_1, ..., m_n$. Làm thế nào khi biết tọa độ của chúng, tìm được tọa độ của “điểm quan trọng nhất” này? Các câu trả lời trông như thế này:

$$x_{\mu m} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + ... + m_n x_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n},$$

tương tự cho tọa độ $y_{\mu m}$ và $z_{\mu m}$. Tại sao khối tâm được xác định theo cách này sẽ trở nên rõ ràng sau này khi chúng ta xem xét các đặc tính đường kính của nó. Bây giờ, hãy làm quen với biểu thức (1) bằng cách thảo luận một số vấn đề liên quan.

a) Trong trường hợp hai điểm có khối lượng $m_1$ và $m_2$, biểu thức cho $x_{\mu m}$ có ​​ý nghĩa rõ ràng: khối tâm nằm

40

giữa các điểm, gần điểm có khối lượng lớn nhất (hình 1); tỷ lệ khoảng cách đến các điểm tỷ lệ nghịch với tỷ lệ khối lượng của chúng (bạn hãy tự kiểm tra điều này). Rõ ràng là trong trường hợp tổng quát khối tâm nằm ở đâu đó giữa các điểm của hệ, phản ánh sự phân bố khối lượng trong không gian.

6. Mọi vật chất của điểm đều “tham gia” vào một vị trí nhất định của khối tâm một cách tuyệt đối như nhau. Điều này có nghĩa là nếu vị trí của các khối lượng đối xứng với một điểm nào đó thì điểm này sẽ là tâm khối lượng. Ví dụ, khối tâm của một quả bóng đồng nhất trùng với tâm của nó (tương tự đối với hình trụ, hình lập phương, v.v.).

c) Và một điều nữa. Hóa ra (cố gắng chứng minh điều này), vị trí của khối tâm sẽ không thay đổi nếu chúng ta, sau khi cô lập một phần khoảng cách của hệ, tập trung toàn bộ khối lượng của phần này vào một điểm - khối tâm của nó. Ví dụ, khối tâm của một tam giác dây trùng với khối tâm của hệ gồm ba điểm nằm ở giữa cạnh (khối lượng của các điểm bằng khối lượng của các cạnh tương ứng).

Bây giờ chúng ta chuyển sang phần quan trọng nhất - nghiên cứu các tính chất vật lý của khối tâm.

Để các điểm di chuyển đến $s_1$, …, $s_n$ trong thời gian ngắn $\Delta t$. Khi đó, như có thể thấy từ (1), độ dịch chuyển của khối tâm sẽ bằng

$$\vec{s}_{\mu M} = \frac{m_1 s_1 + m_2 s_2 + \ldots + m_n s_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$$

(nhớ lại rằng hình chiếu của vectơ dịch chuyển trên trục bằng độ biến thiên của tọa độ tương ứng). Chia độ dịch chuyển cho $\Delta t$, ta tìm được vận tốc của khối tâm:

$$\vec{v}_{\mu M} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \ldots + m_n \vec{v}_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$$

(2)

Xin lưu ý - trong số lete

Рис. 1.

nó không tốn gì nhiều hơn xung lực đầy đủ của hệ thống $\vec{P}$. Do đó, biểu thức (2) có thể viết dưới dạng

$$\vec{P} = (m_1 + m_2 + \ldots + m_n) \vec{v}_{\mu M}.$$

Vì vậy, tính chất thứ nhất: nếu toàn bộ khối lượng của hệ tập trung vào khối tâm, thì động lượng của điểm ảo này sẽ bằng tổng động lượng của hệ. Điều gì tiếp theo từ điều này? Ví dụ, chúng ta biết rằng động lượng của một hệ kín được bảo toàn. Điều này có nghĩa là nếu hệ đóng thì tốc độ khối tâm $\vec{v}_{\mu M}$ của nó không đổi.

Hãy xem một ví dụ. Một thanh mỏng đồng đều có chiều dài $l$ đứng thẳng đứng trên sàn nhẵn (hình 2). Cô ấy được thả ra, sau đó cô ấy ngã xuống. Làm thế nào để biết đầu dưới của cây gậy sẽ co lại bao nhiêu khi nó rơi xuống? Một cây gậy trong trường hấp dẫn không phải là một hệ kín; nhưng, vì chỉ có lực thẳng đứng tác dụng lên nó nên hình chiếu động lượng của nó theo phương ngang không thay đổi, trong trường hợp của chúng ta nó vẫn bằng 0. Điều này có nghĩa là khối tâm sẽ không trộn lẫn theo phương nằm ngang, tức là tâm của thanh sẽ rơi xuống nơi nó đứng và đầu dưới của nó sẽ dịch chuyển một khoảng $l/2$.

Chúng ta hãy tiếp tục thảo luận về các tính chất của khối tâm. Chúng ta hãy xem xét một hệ gồm hai vật liệu điểm có khối lượng $m_1$ và $m_2$. Hãy để hệ thống này không bị đóng kín, nghĩa là mỗi vật đều chịu tác dụng của cả nội lực và ngoại lực. Dựa trên định luật thứ hai của Newton, chúng ta viết ra sự thay đổi động lượng của từng điểm theo thời gian $\Delta t$:

$$m_1 \Delta \vec{v}_1 = (\vec{F}_1 + \vec{F}_{12}) \Delta t,$$

$$m_2 \Delta \vec{v}_2 = (\vec{F}_2 + \vec{F}_{21}) \Delta t,$$

trong đó $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ là ngoại lực, $\vec{F}_{12}$ là lực tác dụng lên điểm thứ nhất

41

từ phía thứ hai, $\vec{F}_{21}$ - tương ứng, ngược lại. Theo định luật thứ ba của Newton $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$, do đó độ biến thiên động lượng của toàn hệ bằng

$$\Delta \vec{P} = m_1 \Delta \vec{v}_1 + m_2 \Delta \vec{v}_2 = (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \Delta t$$

• Động lượng của hệ chỉ thay đổi dưới tác dụng của ngoại lực. Mặt khác, từ biểu thức (3) suy ra rằng

$$\Delta \vec{P} = (m_1 + m_2) \Delta \vec{v}_{\mu M}$$.

Do đó, đối với khối tâm, chúng ta thu được sự tương ứng tương tự như định luật thứ hai của Newton:

$$(m_1 + m_2) \Delta \vec{v}_{\mu M} = (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \Delta t,$$

có thể được viết lại dưới dạng cá nhân hơn:

$$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (m_1 + m_2) \vec{a}_{\mu M}.$$

(4)

Đây là điều quan trọng nhất: khối tâm chuyển động như thể nó chứa toàn bộ khối lượng của hệ và mọi ngoại lực đều tác dụng lên nó. Xin lưu ý - đây là những lực lượng bên ngoài. Nội lực của hệ hoàn toàn không ảnh hưởng đến chuyển động của khối tâm. Đó là lý do tại sao sự chuyển động của điểm này trong nhiều trường hợp lại khá đơn giản.

Tính chất khối tâm này có rất nhiều ứng dụng. Ví dụ, bây giờ có lẽ bạn đã hiểu tại sao phần giữa của một cây gậy được ném nghiêng một góc so với đường chân trời (đã được thảo luận ở phần đầu của nốt nhạc) lại chuyển động giống như một hòn đá theo một hình parabol. Trong trường hợp không có ma sát va chạm, ngoại lực bằng $m\vec{g}$, và do đó gia tốc của khối tâm, giống như gia tốc của hòn đá, bằng $\vec{g}$, bất kể thanh có quay hay không.

Hãy xem ví dụ này. Một cần cẩu nâng sẽ đưa tấm sàn nặng lên giàn giàn. Để mở tấm này ra, hai công nhân đẩy nó vào các điểm $A$ và $B$ với lực bằng nhau (hình 3). Tấm bắt đầu quay so với điểm nào? Chúng tôi đảm bảo rằng nhiều bạn sẽ trả lời ngay theo cách này: tất nhiên là về điểm $C$, nằm giữa điểm $A$ và $B$.

Hãy dành thời gian của bạn! Đúng đáp số: so với điểm $O$—tâm khối của tấm. Xét phương trình (4). Vì tổng các lực bên ngoài bằng

Hình 3.

bằng 0, nghĩa là gia tốc của khối tâm bằng 0 - nó sẽ đứng yên.

Để kết luận, chúng ta hãy nói về một “sự tiện lợi” nữa của khối tâm. Như sau từ phương trình (3), trong hệ quy chiếu gắn liền với khối tâm, tổng động lượng của hệ vật bằng không. Rõ ràng là trong một hệ thống như vậy, chuyển động sẽ trông đơn giản hơn - xét cho cùng, toàn bộ hệ thống sẽ tích lũy. Việc sử dụng ví dụ này đặc biệt thuận tiện nếu hệ thống đóng. Rốt cuộc, gia tốc của khối tâm bằng 0 (xem phương trình (4)) và hệ quy chiếu liên quan đến nó là quán tính. Ví dụ, tác động trung tâm của hai quả bóng đàn hồi trong một hệ như vậy trông đơn giản đến mức bạn có thể đoán ngay đáp số: sau khi va chạm, các quả bóng phân tán với cùng tốc độ mà chúng hội tụ ban đầu. Hãy tự suy nghĩ tại sao lại như vậy.

A. I. Chernochan

Dòng điện chạy trong kim loại như thế nào?

Câu hỏi này thường không gây khó khăn cho học sinh. Mọi chuyện thế nào rồi? Vâng, rất đơn giản. Nếu duy trì hiệu điện thế giữa hai đầu dây, ví dụ như dây kim loại, thì điện trường sẽ xuất hiện trong dây đó. Tác dụng lên các electron tự do có trong kim loại, trường này mang lại cho chúng gia tốc theo hướng của đầu dây có điện thế cao hơn (điện tích của các electron là âm). Hướng chuyển động của điện tích xuất hiện, đó là dòng điện.

42

Không thể nói đáp số như vậy là sai. Tất cả những lời trong đó là sự thật. Tuy nhiên, đáp số dường như đầy đủ này ngay lập tức đặt ra một số câu hỏi và trả lời khác. Chúng ta hãy cố gắng tìm ra chúng.

Các electron chuyển động như thế nào khi tạo ra hiệu điện thế giữa hai đầu vật dẫn? Nó dường như được tăng tốc, bởi vì lực $\vec{F}=e\vec{E}$ ($\vec{E}$ là hướng của điện trường trong dây dẫn) luôn tác dụng lên chúng. Nhưng mặt khác, nếu trường hợp này thực sự xảy ra thì cường độ dòng điện trong bất kỳ phần nào của dây dẫn sẽ tăng theo thời gian, điều này mâu thuẫn với định luật Ohm - với hướng không đổi, cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn không đổi: $I=U/R$. Cuộc sống thế nào? Hãy nhớ cấu trúc bên trong của kim loại.

Các electron hóa trị của nguyên tử kim loại liên kết rất yếu với nguyên tử. Do đó, khi mạng tinh thể quay, chúng dễ dàng tách ra khỏi nguyên tử và tạo thành khí điện tử khá đậm đặc (khi đó chỉ có một electron thoát ra khỏi mỗi nguyên tử, khi đó nồng độ của chúng trong chất khí đó sẽ ở mức $n \sim 10^{29}$ $1/\text{m}^3$, mà chúng ta có thể tự xác minh). Lý giải ở trên về dòng điện chạy qua kim loại, chúng ta coi những electron này là tự do. Ở một khía cạnh nào đó, điều này đúng, nhưng chúng ta không nên quên môi trường của chúng - mạng tinh thể ion.

Được tạo ra vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, lý thuyết điện tử cổ điển về điện trở kim loại cho rằng trong quá trình chuyển động dưới tác dụng của điện trường, các electron va chạm với các ion của mạng tinh thể. Giá trị trung bình của những va chạm này cũng là những va chạm trong đó các electron truyền toàn bộ năng lượng thu được trong quá trình gia tốc trong điện trường sang mạng. Đó cũng là những phản ứng, chúng được gọi là hiệu quả và chịu trách nhiệm tạo ra điện trở của kim loại. Các va chạm còn lại có thể được bỏ qua để hiểu cơ chế của dòng điện (sau chúng, chỉ có hướng của vận tốc electron thay đổi chứ không phải độ lớn của nó).

Gọi thời gian trung bình giữa các lần va chạm là $\tau$. Khi đó chúng ta có thể tưởng tượng mô hình sau đây về chuyển động của một electron trong kim loại trong đó tạo ra điện trường. Trong khoảng thời gian từ 0 đến $\tau$, electron chuyển động với gia tốc $a=e\vec{E}/m$, và do đó, hình chiếu tốc độ chuyển động ngược chiều có hướng của nó. Sau đó, nó lại được tăng tốc bởi điện trường và quá trình lặp lại. Đồ thị hình chiếu vận tốc chuyển động có thứ tự theo thời gian được thể hiện ở hình.

Chuyển động được gia tốc đều từng phần như vậy có thể được hình dung như một sự trôi dạt đều của một electron theo hướng ngược lại với trường, với tốc độ $v_{\text{cp}}=eE\tau/(2m)$. Hãy để chúng tôi tính toán cường độ hiện tại liên quan đến chuyển động này.

Số electron đi qua tiết diện $S$ của dây dẫn trong thời gian $\Delta t$ là $\Delta N=nSv_{\text{cp}}\Delta t$. Trong trường hợp này, điện tích $\Delta q=e\Delta N=neSv_{\text{cp}}\Delta t$ được chuyển. Vì vậy dòng điện chạy trong dây dẫn

$$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=nev_{\text{cp}}S=\frac{ne^2\tau}{2m}SE.$$

Kích cỡ

$$j=\frac{I}{S}=\frac{ne^2\tau}{2m}E$$

gọi là mật độ dòng điện.

Hóa ra hệ số chúng ta thu được cho hướng trường $E$, chỉ bao gồm các đặc tính vi mô của kim loại, không gì khác hơn là các giá trị nghịch đảo

43

biết điện trở suất của kim loại $\rho$.

Vâng, một cái gì đó bắt đầu hỏi. Tuy nhiên, những câu hỏi vẫn còn đó. Ví dụ, hãy ước tính tốc độ chuyển động có hướng trung bình của các electron. Giả sử một dây dẫn đồng có tiết diện $10\text{ mm}^2$ và nồng độ electron $n=1,67 \cdot 10^{29} \text{ 1/m}^3$ mang dòng điện $I=10$ A. Khi đó tốc độ trung bình

$$v_{\text{cp}} = \frac{I}{neS} \approx 0,04 \text{ mm/c}.$$

Nếu chúng ta xác định thời gian giữa các va chạm hiệu quả bằng cách sử dụng giá trị đã biết bằng thực nghiệm $\rho$, thì hóa ra là $\tau \sim 10^{-14}$ s. Do đó, nếu giả sử rằng đường đi giữa các va chạm hiệu quả xảy ra với tốc độ trung bình là $v_{\text{cp}} \sim 0,1 \text{ mm/c}$, thì chúng ta đi đến một phát biểu vô lý: khoảng cách giữa hai va chạm electron là $l = v_{\text{cp}} \tau \sim 10^{-18}$ m, nhỏ hơn nhiều bậc độ lớn so với khoảng cách giữa các ion gần nhất trong mạng. Vì vậy, chúng tôi lại không dạy điều gì đó. Nhưng chúng ta đã không dạy rằng các hạt khí điện tử trong kim loại, giống như các phân tử khí lý tưởng trong bình, luôn chuyển động hỗn loạn. Tuy nhiên, nếu chúng ta sử dụng phép loại suy này và thay thế $v_{\text{cp}}$ vào biểu thức của $l$ cho tốc độ nhiệt $v_{\tau} = \sqrt{3kT/m}$ (xem § 11 của Vật lý 9), thì tất cả những điều này hóa ra là không đủ để phù hợp với dữ liệu thực nghiệm (bạn hãy xem phần này).

Chúng ta đã cạn kiệt những khả năng của vật lý cổ điển. Trên thực tế, một lý thuyết mạch lạc về điện trở kim loại chỉ được xây dựng vào giữa thế kỷ 20 bằng cách sử dụng các khái niệm vật lý lượng tử. Hóa ra các electron trong kim loại chuyển động với tốc độ khổng lồ $v_e \sim 0,01c$ (c là tốc độ ánh sáng trong chân không). Chuyển động hỗn loạn này của một phần khí điện tử có nguồn gốc lượng tử thuần túy, không phải nhiệt - nó không dừng lại ngay cả ở nhiệt độ không tuyệt đối. Nhưng ngay cả ở tốc độ cột chuyển động hỗn loạn của electron khi không có điện trường, điện tích trung bình truyền qua tiết diện mở rộng của dây dẫn vẫn bằng không. Khi điện trường được bật, chuyển động hỗn loạn này được chồng lên bởi sự trôi dạt có trật tự của các electron so với trường - như đã mô tả ở trên. Khoảng cách giữa hai lần va chạm liên tiếp được xác định chính xác bởi tốc độ cao của chuyển động hỗn loạn và đối với dây dẫn đồng cụ thể mà chúng tôi đã lấy là vài chục (và thậm chí có thể hàng trăm) khoảng cách quốc tế, điều này khá hợp lý.

Và cuối cùng, sự cần thiết cuối cùng. Theo định luật lượng tử, một electron trong mạng tinh thể tuần hoàn lý tưởng sẽ chuyển động sao cho nó… không bao giờ va chạm với các cầu não hình thành nên nó. Khi đó điều gì sẽ xảy ra với tất cả những công trình suy đoán trước đây của chúng ta? Vậy làm thế nào các electron khi chuyển động trong tinh thể sẽ truyền năng lượng của chúng vào mạng?

Hóa ra là ở nhiệt độ thấp, các electron va chạm với các nguyên tử tạp chất và các khuyết tật khác luôn tồn tại trong mạng tinh thể thực. Bằng cách loại bỏ chúng, điện trở của kim loại kết tinh có thể ngày càng giảm đi. Ở nhiệt độ phòng, các electron chủ yếu nằm rải rác trên… bình mạng. Nếu trong một mạng không chuyển động, chúng vẫn có thể “xây dựng” hành vi của mình theo cách “bỏ qua” tất cả những cái không lặp lại định kỳ, thì khi cái sau được thực hiện bởi những dao động nhiệt, các electron không còn có thể “theo dõi” chuyển động hỗn loạn của chúng và chắc chắn sẽ va chạm với cái này hoặc cái kia.

Ở đây, hãy bao gồm những “cạm bẫy” mà chúng tôi đã gặp phải khi xem xét cẩn thận một câu hỏi có vẻ rõ ràng như vậy.

A. A. Varlamov

44

Về cỗ máy thời gian và thuyết tương đối

Trong chương 8 chương trình vật lý lớp 10, các em đã được làm quen với cách xây dựng Thuyết tương đối đặc biệt (SRT) và các hệ quả chính từ chúng. Tuy nhiên, từ các quy định của SRT, nó nêu rõ rằng tính đồng thời của các sự kiện tách biệt về mặt không gian là tương đối, tức là nó phụ thuộc vào hệ thống báo cáo trong đó việc quan sát được thực hiện. Tuyên bố này, giống như nhiều tuyên bố khác, đề cập đến thuyết tương đối, có vẻ như đối với các quốc gia, thậm chí là nghịch lý, và trong mọi trường hợp đều trái ngược với lẽ thường. Tại sao?

Ngay từ những bước đầu tiên của khoa học viễn tưởng, một trong những kỹ thuật đã nêu của thể loại này là “du hành thời gian”. Nhiều tác giả sử dụng nó để tạo ra một “nghịch lý thời gian” màu đỏ, một sự kết thúc vô lý của một chuỗi sự kiện. Vì vậy, anh hùng của một câu chuyện tuyệt vời đã bị trộn lẫn vào trạng thái trước đó và gặp một concha đẹp trai, người mà cô ấy biết sẽ trở thành tác giả của những khám phá thay thế. Đây chính xác là những gì sẽ xảy ra, nhưng chỉ do bản thân nữ chính, có trí nhớ tốt, đã nhanh chóng giải thích cho anh ta tất cả các chi tiết của khám phá tiếp theo mà cô biết từ sách giáo khoa và chuyên khảo “tương lai”. Như bạn hiểu, không ai mở bất cứ điều gì. Đơn giản vì sự dịch chuyển của thời gian nên hệ quả (nhân vật chính trong câu chuyện biết chi tiết về phát hiện) sinh ra những nguyên nhân ngang nhau (chính phát hiện đó) dẫn đến nghịch lý.

Để ngăn chặn những nghịch lý như vậy nảy sinh, như lẽ thường cho thấy, không thể hoán đổi quá khứ và tương lai.

• Dừng lại! - bạn nói. - Trong trường hợp đó, có điều gì đó không ổn với thuyết tương đối. Rốt cuộc, liên quan đến tính đồng thời, tôi biết rằng đối với những người quan sát khác nhau, thứ tự của các sự kiện theo thời gian có thể khác nhau.

Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ cụ thể. Xét một sân ga rất dài A đứng bất động trên đường ray, ở hai đầu của sân ga có hai bộ thu ánh sáng và hai đoàn tàu B và C lần lượt di chuyển về bên phải và bên trái. Tại một thời điểm nào đó, một tia sáng tức thời được tạo ra tại một điểm nằm chính xác giữa các máy thu. Hãy gọi sự kiện này là số 1. Sau đó, sự kiện số 2 - tia sáng được máy thu bên trái phát hiện và sự kiện số 3 - tia sáng được máy thu bên phải phát hiện. Rõ ràng là trong hệ thống báo cáo được liên kết với nền tảng A, sự kiện số 2 và số 3 xảy ra đồng thời. Tuy nhiên, trong hệ thống báo cáo liên quan đến đoàn tàu B đang di chuyển sang bên phải, sự kiện số 3 sẽ xảy ra nhiều hơn sự kiện số 2, vì bộ thu bên phải trong hệ thống này di chuyển về phía chùm sáng và bộ thu bên trái chạy xa khỏi chùm sáng. Trong hệ thống báo cáo liên quan đến chuyến tàu C đi bên phải, sự kiện số 3 sẽ xảy ra muộn hơn sự kiện số 2. Tất nhiên, toàn bộ vấn đề ở đây là đối với cả ba người quan sát, ánh sáng sẽ truyền với tốc độ như nhau (theo bước thứ hai của SRT).

Hóa ra với sự ra đời của SRT, chính khái niệm “sớm-sau” đã trở nên tương đối. Những gì “trước đó” trong một hệ thống báo cáo có thể là “muộn hơn” trong một hệ thống khác.

“Tất cả điều này trông rất kỳ lạ,” bạn nói. “Như chúng ta đã thấy, việc thay đổi các sự kiện ở những nơi và thời điểm thông qua các dịch vụ sẽ gây ra những hậu quả.”

Hóa ra mọi thứ không quá xa lạ. Tước bỏ ý nghĩa tuyệt đối của các khái niệm “sớm-sau” và “đồng thời”, STR không bao giờ dẫn đến vi phạm nguyên tắc-hậu quả của mối liên hệ giữa các sự kiện. Nếu một sự kiện là hệ quả của một sự kiện khác thì trong bất kỳ hệ thống báo cáo nào, nó sẽ được đưa ra sau. Xin lưu ý - trong tất cả các hệ thống báo cáo (A, B và C), sự kiện Số 1 (phát xạ ánh sáng) sẽ tạo ra kết quả bằng nhau

45

Sơ đồ phân loại sự kiện tuyệt đối (độc lập với hệ thống báo cáo). Để đơn giản, chỉ còn lại một cấp độ không gian ngoài sự kiện số 2 và số 3 (sự xuất hiện của ánh sáng này tại máy thu). Nó xảy ra như nhau theo quan điểm của bất kỳ ai được quan sát - không có hệ thống báo cáo nào có thể ánh sáng đến máy thu trước rồi mới được phát ra bởi nguồn. Kết luận rất rõ ràng: sẽ sai lầm khi nói rằng bất kỳ hai sự kiện nào cũng có thể hoán đổi kịp thời bằng cách thay đổi hệ thống báo cáo.

Khi nào điều này có thể và khi nào thì không? Hãy bắt đầu từ đầu bên kia - chúng tôi sẽ cố gắng xác định khi nào mối liên hệ về nguyên tắc và kết quả có thể tồn tại giữa hai sự kiện.

Trong vật lý cổ điển (thời tiền Einstein), câu trả lời cho câu hỏi này đơn giản như sau: đáp số: nếu một sự kiện xảy ra muộn hơn sự kiện khác, thì đó có thể là hệ quả của nó, bất kể những sự kiện này xảy ra ở đâu. Thực tế là không có lý do gì để tin rằng tốc độ truyền thông tin (tín hiệu) bị hạn chế dưới bất kỳ hình thức nào. Sau đó, ngay cả khi sự kiện $B$ xảy ra rất xa sự kiện $A$ và không lâu sau đó, vẫn có thể sử dụng tín hiệu có tốc độ đủ cao để truyền thông tin về sự kiện $A$ tới điểm $B$ ngay cả trước khi sự kiện $B$ bắt đầu. Hóa ra, bất kỳ sự vi phạm nào về trình tự thời gian của các sự kiện “sớm hơn” đều có thể dẫn đến vi phạm các mối quan hệ nguyên tắc-hiệu quả. Do đó, điều tự nhiên là các khái niệm “sớm-sau” và “đồng thời” trong vật lý cổ điển là tuyệt đối, tức là tọa độ không thể, tức là mỗi sự kiện tương ứng với một điểm trên mặt phẳng “không gian (x) - thời gian (t).

có phụ thuộc vào hệ thống báo cáo hay không (xem hình).

Theo lý thuyết nikostics tương đối, tín hiệu không thể truyền ở tốc độ lớn hơn tốc độ ánh sáng trong chân không $c$. Dựa trên điều này, các điều kiện hình thành mối liên hệ cơ bản giữa các sự kiện cũng thay đổi. Nếu một tia sáng từ điểm $A$ đến điểm $B$ trước khi một sự kiện xảy ra ở đó thì sự kiện $A$ có thể ảnh hưởng đến sự kiện $B$. Trong trường hợp này, sự kiện $B$ được coi là có liên quan cơ bản đến sự kiện $A$. Hãy viết những điều kiện như thế này:

$$t_B - t_A \geq \frac{r_{AB}}{c},$$

trong đó $r_{AB}$ là khoảng cách giữa các điểm xảy ra sự kiện $A$ và $B$. Tình trạng

$$t_A - t_D \geq \frac{r_{AD}}{c}$$

có nghĩa là sự kiện $A$ có thể là hệ quả của sự kiện $D$, tức là sự kiện $D$ về cơ bản có liên quan đến sự kiện $A$, mặc dù theo thứ tự ngược lại. Nếu như

$$|t_A - t_K| < \frac{r_{AK}}{c},$$

khi đó các sự kiện, dù không xảy ra đồng thời, cũng hoàn toàn độc lập với nhau; không có thông tin nào về sự kiện này có thể đến được thời điểm hiện tại của sự kiện kia.

Tất cả những điều kiện này được mô tả trên hình. Ví dụ: nếu sự kiện $B$ được kết nối với sự kiện tương ứng $A$, tức là tọa độ không thể, tức là mỗi sự kiện tương ứng với một điểm trên mặt phẳng “không gian (x) - thời gian (t)”

46

Nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân

Phần I:
hàm tuyến tính

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
D. K. FADDEYEV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
M. S. NIKULIN,
I. F. SOKOLOVSKY

Trong bài viết này, tác giả muốn xác nhận quan điểm rằng toán học ở phần cơ bản của nó là môn khoa học đơn giản nhất, vì nó nghiên cứu những khía cạnh thô sơ nhất của thực tế. Điều này hoàn toàn áp dụng cho các yếu tố của phân tích toán học, những ý tưởng chính rất đơn giản và rõ ràng nếu chúng được thể hiện ở cấp độ trực quan mà chúng thực sự nảy sinh. Thật không may, rất

Nhiều kết quả phân tích toán học, ý nghĩa hình học và vật lý rõ ràng của chúng thường bị hy sinh ngay từ lần đầu làm quen với các vấn đề chứng minh và cái gọi là cấu trúc toán học.

Về cơ bản, ý tưởng cơ bản của “toán học cao hơn” là quá trình giao tiếp sau đây, mà chúng tôi gọi là nguyên tắc cơ bản của phép tính vi phân:

Trong một phần nhỏ của bất kỳ đường cong đủ “tốt” nào, nó có thể uốn cong một chút và phần được đề cập càng nhỏ thì càng ít. Do đó, một phần nhỏ của đường cong tuyến tính trùng với một đoạn của một số đường thẳng và độ gần nhau của chúng ngày càng trở nên hoàn hảo hơn khi phần đường cong co lại đến một điểm nhất định. Đường thẳng chặt hơn đường thẳng kia ép vào đường cong gần một điểm cho trước được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm đó. Một phần là đồ thị hàm số khá “tốt” trên

47

trong một phần nhỏ gần như tuyến tính, và một thay đổi nhỏ trong hàm gần như bằng một thay đổi nhỏ trong tori của hàm tuyến tính. Nói cách khác, một hàm “tốt” gần như tuyến tính cục bộ, nghĩa là, trong một lân cận rút gọn vô hạn của bất kỳ giá trị nào của đối số. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số được gọi là giá trị của hàm số tùy ý tại điểm đang xét.

“Nguyên tắc cơ bản” không phải là một định lý và không có định nghĩa rõ ràng. Đường cong đủ “tốt” và hàm số “tốt” là những khái niệm chỉ có thể được định nghĩa chính xác hơn sau khi khái niệm tùy ý đã được dạy và hình thức hóa. Tuy nhiên, các hàm hữu tỷ, lũy thừa, hàm mũ và logarit, cũng như hàm lượng giác đều “tốt”. Hơn nữa, chức năng phát sinh từ việc nghiên cứu các quá trình tự nhiên và kỹ thuật thường là “tốt”. Hàm $|x|$ trong vùng lân cận số 0 có thể được gọi là “plop”.

Trong bài viết này, bỏ qua vấn đề biện minh, chúng ta sẽ thu được kết quả chính của môn giải tích toán ở trường, dựa trên “nguyên lý cơ bản” của phép tính vi phân. Nhưng trước khi chuyển sang lời giải bài toán này, là chủ đề của phần thứ hai của bài viết này, chúng ta sẽ xem xét kỹ hơn về hàm tuyến tính. Điều này phải được thực hiện theo hai nguyên tắc. Đầu tiên là hàm tuyến tính trong khóa học ở trường được nghiên cứu từ rất sớm và do đó, nó được đơn giản hóa phần nào và tách khỏi các ứng dụng quan trọng nhất của nó. Nguyên nhân thứ hai mang tính cơ bản, nó gắn liền với vai trò đặc biệt của khái niệm hàm tuyến tính trong các khái niệm cơ bản của giải tích toán học.

Định nghĩa hàm tuyến tính

Hàm tuyến tính là hàm có dạng $y=kx+b$, trong đó $k$ và $b$ là hằng số. Tại $k=0$ hàm nhận giá trị không đổi $y=b$. Đối với $b=0$, hàm $y=kx$ được gọi là tỷ lệ thuận và tham số $k$ được gọi là hệ số tỷ lệ.

Tính chất đặc trưng của hàm tuyến tính

Thuộc tính này như sau: mức tăng của hàm tuyến tính tỷ lệ thuận với mức tăng của đối số.

Thật vậy, $y=kx+b$ trống là hàm đã cho và đối số trống thay đổi từ $x_1$ thành $x_2$. Chúng ta hãy biểu thị mức tăng của hàm $\Delta y=y(x_2)-y(x_1)$ thông qua mức tăng của đối số $\Delta x=x_2-x_1$:

$$y(x_2)-y(x_1)=kx_2+b-(kx_1+b)=k(x_2-x_1).$$

Do đó, $\Delta y=k\cdot \Delta x$, tức là, thực sự, mức tăng $\Delta y$ của hàm $y=kx+b$ tỷ lệ thuận với mức tăng $\Delta x$ của đối số có hệ số tỷ lệ bằng $k$.

Câu lệnh ngược lại đúng, cụ thể là: nếu mức tăng của hàm $f(x)$ tỷ lệ thuận với mức tăng của đối số thì $f(x)$ là hàm tuyến tính.

Thật vậy, chúng ta hãy chọn (sửa) một số giá trị $x_0$. Sau đó với bất kỳ $x$ nào, do điều kiện, đẳng thức

$$f(x)-f(x_0)=k(x-x_0),$$

Ở đâu

$$f(x)=kx-kx_0+f(x_0),$$

tức là chức năng trông giống như:

$$f(x)=kx+b,$$ trong đó $b=f(x_0)-kx_0$ có nghĩa là $f(x)$ là hàm tuyến tính.

Vì vậy, chúng tôi đi đến kết luận rằng thuộc tính dịch chuyển được sở hữu bởi một hàm tuyến tính và chỉ tuyến tính, đó là lý do tại sao chúng tôi gọi nó là thuộc tính đặc trưng của hàm tuyến tính.

Tính đơn điệu của hàm tuyến tính

Tại $k>0$ hàm $y=kx+b$ có khả năng xảy ra, tại $k<0$ hàm số này giảm dần.

Hãy chứng minh điều này cho $k>0$; nếu $x_2>x_1$ trống thì $y(x_2)-y(x_1)=kx_2+b-(kx_1+b)=k(x_2-x_1)>0$, tức là $y(x_2)>y(x_1)$, đó là điều cần phải chứng minh.

Thành phần của hàm tuyến tính

Một hàm phức, là thành phần của các hàm tuyến tính, cũng

48

Một hàm tuyến tính có hệ số tỷ lệ bằng tích các hệ số tỷ lệ của các hàm thành phần của nó.

Thật vậy, hãy
$$F(x) = f(g(x)) \text{ и } f(x) = k_1 x + b_1, \quad g(x) = k_2 x + b_2.$$
Sau đó
$$F(x) = k_1 (k_2 x + b_2) + b_1 = k_1 k_2 x + k_1 b_2 + b_1 = kx + b,$$
ở đâu $k = k_1 k_2, b = k_1 b_2 + b_1$.

Rõ ràng, phát biểu này đúng với một hàm phức bao gồm một số hàm tuyến tính bất kỳ.

Đồ thị của hàm tuyến tính

Định lý. Đồ thị của hàm tuyến tính $y = kx + b$ là một đường thẳng.

Người đọc có thể dễ dàng chứng minh định lý này bằng cách sử dụng tam giác vuông tương tự. Tuy nhiên, không khó để xây dựng một chứng minh mà không sử dụng lý thuyết chia nhỏ, dựa vào tính đơn điệu của hàm tuyến tính.

Đặt $y = kx + b$ và chúng ta sẽ xem xét các điểm trên biểu đồ có hoành độ $0, x_1, 2x_1, 3x_1, \dots$. Hãy chứng minh rằng những điểm này nằm trên cùng một đường thẳng. Ý tưởng của bằng chứng rõ ràng từ hình 1. Tất cả các tam giác màu hồng đều bằng nhau và tổng các góc tại bất kỳ điểm nào của chuỗi đang xem xét là $180^\circ$, vì tổng các góc nhọn của một tam giác vuông là $90^\circ$ và góc thứ ba tại mỗi điểm của đường thẳng. Do đó, các cạnh huyền của các tam giác tiếp nối nhau và tạo thành một đường thẳng. Vì lý do tương tự, các điểm của đồ thị có hoành độ $0, x_1/n, 2x_1/n, \dots, nx_1/n$ nằm trên một đường thẳng và trùng với điểm trước đó hoặc chứa một điểm có hoành độ $x_1 = nx_1/n$. Số tự nhiên $n$ có thể được lấy càng lớn càng tốt, sao cho đường thẳng tìm được $L$ chứa các điểm trên đồ thị có các hoành độ cách đều nhau nhất có thể.

Hãy chứng minh rằng tất cả các điểm của đồ thị đều nằm trên một đường thẳng $L$. Giả sử điểm $(x_0, y_0)$ của đồ thị nằm phía trên đường thẳng $L$. (Nếu điểm nằm bên dưới thì lý luận tương tự.) Sau đó, như trước, chúng ta sẽ đảm bảo rằng trên đường thẳng $L'$ nối điểm $(0, b)$ với điểm $(x_0, y_0)$, các điểm đồ thị có hoành độ $0, x_0/m, 2x_0/m$, … nằm càng dày đặc càng tốt. Do đó, theo giả định này, các điểm trên đồ thị của hàm $y = kx + b$ sẽ “liên hợp” tốt nhất có thể phần từ đường $L$ đến đường $L'$, điều này là không thể do tính đơn điệu của hàm tuyến tính. Vì vậy, bất kỳ điểm nào trên biểu đồ đều nằm trên đường được xây dựng trước đó.

Ngược lại, bất kỳ điểm $(x_2, y_2)$ nào của đường thẳng này đều thuộc đồ thị $y = kx + b$. Thật vậy, điểm $(x_2, kx_2 + b)$ là một điểm trên đồ thị và theo những gì đã được chứng minh, thuộc một đường thẳng, và vì trên một đường thẳng không song song với trục tọa độ nên chỉ có một điểm có hoành độ $x_2$, sau đó là $y_2 = kx_2 + b$.

Từ định lý chứng minh ở trên suy ra đồ thị tỉ lệ thuận ($b=0$) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Khi lời giải bài toán người ta thường phải dùng đến nghịch đảo định lý về đồ thị của một hàm tuyến tính: bất kỳ đường thẳng nào không song song với trục tọa độ đều là đồ thị của một hàm tuyến tính nào đó.

Hãy chứng minh điều đó.

Để đường thẳng này đi qua các điểm $(x_0, y_0)$ và $(x_1, y_1)$, trong đó $x_0 \neq x_1$ (hình 2). Bạn luôn có thể chọn một phương trình có dạng $y = kx + b$, trong đó các cặp số $(x_0, y_0)$ và $(x_1, y_1)$ sẽ được giải:

$$\begin{cases} y_0 = kx_0 + b, \\ y_1 = kx_1 + b. \end{cases}$$

Để làm điều này, chỉ cần đặt
$$k = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1}, \quad b = y_0 - \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x_0.$$
Đường thẳng - đồ thị của hàm tuyến tính
$$y = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x + y_0 - \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x_0 -$$
đi qua các điểm $(x_0, y_0)$ và $(x_1, y_1)$; đây là đường thẳng duy nhất đi qua hai điểm này, nghĩa là nó trùng với đường thẳng này, điều này chứng tỏ nhận định của chúng ta.

Ứng dụng tính chất đặc trưng của hàm tuyến tính

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng $a)$ có độ dốc $k = 3$ đi qua điểm $(-7, 2)$, $b)$ đi qua điểm $(-8, -10)$ và $(2, 4)$.

49

Lời giải. a) Đặt $M(x, y)$ là một điểm tùy ý của đường thẳng mong muốn; thì $\Delta y = y - 2$ và mức tăng tương ứng của đối số là $\Delta x = x + 7$. Phương trình của đường thẳng là: $y - 2 = 3(x + 7)$.

6. Hãy tính độ dốc $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 + 10}{2 + 8} = 1,4$.

Chúng tôi đã đạt đến bài toán trước đó, nhưng chúng tôi có một điểm “thêm”. Chúng tôi chọn bất kỳ một trong hai và soạn phương trình của đường thẳng, ví dụ: $y - 4 = 1,4(x - 2)$; bạn cũng có thể viết $y + 10 = 1,4(x + 8)$.

Ví dụ 2. Ta nghiên cứu sự phụ thuộc được mô tả bởi hàm tuyến tính $y = kx + b$; các giá trị của đại lượng $x$ thu được do sự thay đổi. Phải thực hiện những thay đổi về số lượng $x$ với độ chính xác như thế nào để tính các giá trị của số lượng $y$ với độ chính xác $\varepsilon$?

Lời giải. Sai số khi đo giá trị $x$ có thể được coi là sự gia tăng trong đối số $x$, tức là được lấy là $\Delta x$. Khi đó, do tính chất đặc trưng của hàm tuyến tính nên sai số khi xác định giá trị $y$ sẽ bằng $\Delta y = k \cdot \Delta x$. Yêu cầu $|\Delta y| \leq \varepsilon$, do đó $|\Delta x| \leq \varepsilon/|k|$.

Đây là một kết quả cơ bản, nhưng nó được sử dụng trong các tình huống rất tổng quát và không hề cơ bản.

Ý nghĩa hình học và vật lý của các tham số $k$ và $b$ trong phương trình đường thẳng $y = kx + b$

Ý nghĩa hình học của tham số $k$ là $k$ bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng với trục hoành (có tính đến hướng của góc). Mô-đun $k$ đề cập đến độ tròn (gần với đường thẳng đứng) mà một đường đi qua, do đó $k$ được gọi là hệ số phương trình của đường thẳng. Zakkkat $k$ hiển thị hướng đi của đường (hàm tuyến tính tăng hoặc giảm).

Chúng ta hãy tìm hiểu chi tiết hơn về ý nghĩa vật lý của các tham số $k$ và $b$. Hãy lấy đồ thị của hai hàm tuyến tính (hình 3 a, b) và gán tên khác nhau cho các biến (dọc theo trục tọa độ) sao cho mỗi lần đường thẳng này mô tả một quá trình có thể xảy ra nhất định.

1. Hãy để đồ thị mô tả quá trình thay đổi nhiệt độ của một cơ thể vật lý nhất định. Trục hoành biểu thị nhiệt độ $(y = T)$ tính bằng độ C và trục hoành biểu thị thời gian $(x = t)$ tính bằng giây. Sau đó

$$k = \frac{\Delta T}{\Delta t} \frac{\text{град}}{c}$$

• tốc độ thay đổi nhiệt độ. Trong trường hợp a) $|k|$ là tốc độ gia nhiệt, trong trường hợp b) $|k|$ là tốc độ làm mát, $b = T(0)$ là nhiệt độ ban đầu.

2. Gọi $y = m$ là khối lượng nhiên liệu tính bằng gam, $x = t$ là thời gian tính bằng giây. Sau đó

$$k = \frac{\Delta m}{\Delta t} \frac{\text{г}}{c}$$

— tốc độ thay đổi của công — công suất, $b = A(0)$ — công được thực hiện ở đầu báo cáo.

52

một chương trình viết bằng BASIC cho phép bạn thấy ngay rằng nó không có cấu trúc: mỗi dòng bắt đầu bằng một số (nhãn) và thường gặp các lệnh như GOTO 90 hoặc GOSUB 210 (chuyển quyền điều khiển theo nhãn).

Có thể kết nối cách tiếp cận cấu trúc được triển khai bằng ngôn ngữ thuật toán của trường với việc viết chương trình bằng ngôn ngữ phi cấu trúc BASIC không? Hóa ra là có thể. Mục đích của bài viết này là để chỉ ra chính xác cách nó thực hiện điều này. Chính xác hơn, chúng tôi chỉ đơn giản là phát triển một kỹ thuật cho phép chúng tôi “tự động” dịch các chương trình được viết bằng ngôn ngữ thuật toán trường học sang ngôn ngữ BASIC.

Đồng thời, chúng tôi sẽ không cố gắng viết chương trình tốt nhất (chẳng hạn như ngắn nhất) trong BASIC tương ứng với một thuật toán được viết bằng ngôn ngữ thuật toán trường học. Ví dụ: chúng tôi sẽ nhập một số dòng bổ sung (bắt đầu bằng từ REM) không cần thiết cho người thực thi (máy tính), nhưng đảm bảo cấu trúc của chương trình kết quả và khả năng đọc của nó.

Chúng tôi giả định rằng người đọc đã quen thuộc - ít nhất là về mặt chung - với ngôn ngữ thuật toán trường học và ngôn ngữ BASIC. Chúng tôi tin rằng chúng tôi đã được cung cấp một chương trình làm sẵn bằng ngôn ngữ thuật toán; mục tiêu của chúng tôi là dịch nó sang BASIC. Chương trình này có thể chứa các cấu trúc cơ bản sau của ngôn ngữ thuật toán trường học: 1) các loại biến và CONSTANT; 2) bảng; 3) toán tử gán; 4) người điều hành chi nhánh; 5) toán tử vòng lặp; 6) các toán tử đầu vào và đầu ra; 7) tiêu đề thuật toán; 8) phương pháp xuất chương trình con, truyền tham số.

Hãy để chúng tôi chỉ ra theo thứ tự cách dịch từng công trình này.

1. Các loại biến và CONSTANT trong ngôn ngữ thuật toán của trường như sau: tự nhiên, số nguyên, số thực và chữ. Trong BASIC, loại biến không được mô tả mà được biểu thị bằng ký hiệu sau tên biến: % - số nguyên, - chữ, không có ký hiệu - thực. các biến tự nhiên ở Bay-

Không có sike, thay vào đó chúng tôi sẽ sử dụng toàn bộ. Khi dịch, chúng ta sẽ để lại mô tả kiểu trong phần nhận xét (bắt đầu bằng từ REM) và trong chương trình, sau tên các biến số nguyên và hằng, chúng ta sẽ đặt % và tương ứng. Ví dụ: nếu chương trình chứa

nat i, toàn bộ k, điều a, lit t
sau đó chúng ta viết (chúng ta biểu thị số dòng bằng chữ n)

n REM NAT I, MỤC TIÊU K, TRỌNG LƯỢNG A, LIT T
và trong chương trình chúng ta sử dụng các biến I %, N %, A, T ↵.

2. Bàn cũng có ba loại. Giá trị tối thiểu của các chỉ mục trong BASIC là 0. Nếu chương trình chứa các bảng

tab int x [0:10], tab int k [0:3, 0:5]
chúng tôi viết (số dòng bị bỏ qua)

THẺ TRỌNG LƯỢNG REM X [0:10]
ĐỐI TƯỢNG TAB K [0:3, 0:5]
DIM X (10), K % (3,5)

Lưu ý dòng bắt đầu bằng từ REM sẽ không ảnh hưởng đến việc sử dụng thuật toán (mặc dù nó được nhập vào máy tính và xuất hiện trong bản in chương trình). Chúng tôi viết nó để cung cấp một mô tả chi tiết và rõ ràng hơn về các biến so với mô tả ở dòng dịch tiếp theo.

3. Toán tử gán (ký hiệu :=) của ngôn ngữ thuật toán được dịch sang BASIC bằng dấu bằng (=). Ví dụ: chuỗi x:=x+1 được dịch là X=X+1.

4. Đề xuất dịch toán tử nhánh như sau:

nếu điều kiện IF (KHÔNG điều kiện) THÌ n1
rồi tập 1 GOTO n2
nếu không thì n1 REM ELSE
tập 2
tất cả n2 REM TẤT CẢ
hoặc ở dạng viết tắt (không có inchae)
if điều kiện IF (NOT điều kiện) THEN n
sau đó là loạt n REM ALL
ở đây cond là điều kiện, n1, n2, n là số dòng.

5. Toán tử vòng lặp (vòng lặp while) được đề xuất dịch theo sơ đồ sau:

trong khi chuyển đổi n1 IF (KHÔNG chuyển đổi) THEN n2
không khí GOTO n1
Dòng GOTO n1
ki n2 REM KẾT THÚC CHU KỲ

53

Trong vòng lặp for trong quá trình dịch, bạn có thể sử dụng toán tử FOR:
cho tôi từ tối thiểu đến tối đa
bước h CHO I=min TO max BƯỚC H
không
TIẾP THEO Tôi loạt
kc REM KẾT THÚC CHU KỲ
(bước h có thể được bỏ qua và bước này được đặt thành 1).

6. Nói đúng ra, các toán tử đầu vào và đầu ra không có trong ngôn ngữ thuật toán. Tuy nhiên, nếu chúng được thêm vào ngôn ngữ (ví dụ: như trong «Kvant», 1986, Số 11, trang 40 hoặc như trong “E - workshop” *), thì chúng sẽ được dịch lần lượt bằng các từ INPUT và PRINT. Ngược lại, ở cuối chương trình BASIC bạn nên viết IN X, trong đó X là tên biến (hoặc danh sách tên biến) xuất hiện sau từ REM. Từ con được thay thế bằng RETURN (hoặc bằng END trong chương trình chính), từ bắt đầu bị bỏ qua.

7. Tiêu đề của thuật toán (thủ tục, hàm hoặc chương trình chính) được viết trong phần nhận xét, tức là viết lại sau từ REM. Từ con được thay thế bằng RETURN (hoặc bằng END trong chương trình chính), từ bắt đầu bị bỏ qua.

Để tổ chức một chương trình con trong BASIC, có các toán tử GOSUB và RETURN. Ví dụ: để xuất chương trình con KBUR (a, b, c, x₁, x₂) (bắt đầu từ dòng 170 và tính nghiệm x₁ và x₂ của phương trình bậc hai ax²+bx+c=0), để giải phương trình x²+(P+2)x+4Q, bạn sẽ viết:
REM KBUR (1, P+2, Q4, X, y)
A=1
B=P+2
C=Q4
GOSUB 170
X=X1
Y=X2
NHỚ KẾT THÚC CUỘC GỌI KBUR

Nếu một thủ tục luôn được gọi với cùng các đối số, thì nên viết nó sao cho chúng là các tham số hình thức của nó và đầu ra sẽ chỉ bao gồm GOSUB n. Nếu không, một tối ưu hóa tương tự sẽ được mô tả: hóa ra một số biến được gọi bởi các thủ tục

*) Trình mô phỏng nền tảng ngôn ngữ thuật toán trên máy Yamaha.

có thể bị hỏng khi được gọi.
Ví dụ: chúng tôi trình bày chương trình cho phương trình lời giải gần đúng F(X)=0 với độ chính xác E cho trước bằng phương pháp chia một đoạn [A, B] cho trước làm đôi. Để cụ thể, một phương trình rất đơn giản đã được chọn (X²=4); tuy nhiên, bằng cách chỉ thay thế đúng một lệnh (được đánh số 1020), bạn có thể sử dụng chương trình này cho lời giải bất kỳ phương trình nào khác. Chúng tôi mời người đọc đọc chương trình và phân tích hoạt động của thuật toán. Chúng tôi tin tưởng rằng cấu trúc chương trình và kiến ​​thức về ngôn ngữ thuật toán của trường cho phép em dễ dàng hoàn thành nhiệm vụ này.

54

Đại học bang Novosibirsk được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ, Toán và Kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$\frac{3 - 5 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 6 \cos 2x}{5} = x - \frac{\pi}{3}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{\log_2 \frac{4}{x}} > \frac{1}{\log_2 \frac{x}{2}} - 1.$$

3. Từ điểm $A$ đến đường tròn bán kính $R$ vẽ một tiếp tuyến $AM$ ($M$ là điểm tiếp tuyến). Một cát tuyến đi qua điểm $A$ cắt đường tròn tại các điểm $K$ và $L$, đồng thời $L$ là trung điểm của đoạn $AK$, góc $AMK$ bằng $60^\circ$. Tìm diện tích tam giác $AMK$.

4. Tại giá trị nào của tham số $a$ thì hệ bất phương trình có thể giải được
   $$x^2 + (a+4)x + 4a \leq y,$$
   $$3x + y - (2a+4) \leq 0$$
   chứa đoạn $[-2; -1]$ của trục $Ox$?

5. Điểm $M$ là giữa cạnh $AD$ của một khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$. Một mặt phẳng được vẽ qua giữa đoạn $B'M$ được phân phối lại cho nó. Tìm khoảng cách từ tâm khối lập phương đến mặt phẳng này.
   Tùy chọn 2
   (Khoa Vật lý)

6. Tìm tất cả các phương trình lời giải $\sin x + \cos 3x = 0$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} > 0.$$

7. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{\log_2 \left(x^2 - x + 1\right)} + 1 \geq \frac{\log_2 \left(x + 3\right)}{\log_2 \left(x^2 - x + 1\right)}.$$

8. Hai đường tròn có bán kính 3 và 4, khoảng cách giữa tâm là 5, cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$. Qua điểm $B$ vẽ một đường thẳng cắt các đường tròn tại các điểm $C$ và $D$ sao cho $CD = 8$ và $B$ nằm giữa $C$ và $D$. Tìm diện tích tam giác $ACD$.

9. Prinayaka chạm vào các parabol $y = -x^2 + 2x + 2$ tại điểm $A$ và cắt trục $Ox$ tại $B$ và trục $Oy$ tại $C$. Được biết, điểm $A$ nằm ở 1/4 mặt phẳng tọa độ và $2AB = AC$. Tìm phương trình tiếp tuyến.

10. Trong paramid tam giác $SABC$, các cạnh $AB, BC$ và $BS$ có ​​độ dài bằng 2 và vuông góc với nhau. Một mặt phẳng được vẽ qua trung điểm của các cạnh $AC$ và $SB$, giao nhau với cạnh $AB$ và tạo thành các góc bằng nhau với các mặt phẳng của các mặt $ABS$ và $ABC$. Tìm giá trị của các góc này.

Tùy chọn 3
(Khoa Khoa học Tự nhiên và Khoa Địa chất-Địa vật lý)

1. Giải phương trình
   $$(13x^2 + 2x - 14) \cdot \arccos x = 0.$$
2. Giải phương trình
   $$2^2 \sin 2x - 2 \cos 2x + 3 - \left(\frac{1}{6}\right) \cos 2x - \sin 2x - \log_6 14 + 3^2 \sin 2x - 2 \cos 2x + 1 = 0.$$
3. Ở giá trị nào của chiều cao của một đường thẳng thì hình thang có góc nhọn $30^\circ$ và chu vi 6 có mặt phẳng lớn nhất?
4. Có ba miếng hợp kim đồng với nhôm thấp hơn theo tỷ lệ 2:1, 3:1 và 5:1 theo trọng lượng. Trong số này, một mảnh nặng 12 kg được nung chảy với tỷ lệ đồng là 4:1. Tìm khối lượng của mỗi mảnh ban đầu nếu khối lượng của mảnh thứ nhất gấp đôi khối lượng của mảnh thứ hai.
5. Paramida $ABCD$ được ban cho. Cạnh $DC$ được phân bố lại trên mặt phẳng của đáy $ABC, AB = 3\sqrt{3}, BC = 3$, góc $ACB$ bằng $\pi/3, DC = \sqrt{13}$. Vẽ một hình cầu có bán kính 5 có tâm tại đỉnh $D$. Tìm độ dài giao tuyến của hình cầu với đáy $ABC$.

Vật lý
Bài thi viết
Khoa Vật lý
Mỗi biến thể là một trạng thái gồm năm bài toán ba loại.
Ba bài toán đầu tiên được tính toán, có độ khó khác nhau: từ tiêu chuẩn đến tương đối phức tạp, đòi hỏi sự khéo léo, kiến ​​thức sâu sắc và khả năng hiểu một tình huống vật lý bất thường hoặc thông thường.
bài toán thứ tư là điểm bài toán. Đối với lời giải của nó, cần phải có được hiện tượng vật lý đang được xem xét, xây dựng một mô hình vật lý đơn giản (vì chỉ cần ước tính) của hiện tượng này, chọn các giá trị số hợp lý của các đại lượng vật lý và cuối cùng, thu được kết quả bằng số ít nhiều tương ứng với thực tế. Văn bản bài toán hỗ trợ rằng người nộp đơn có thể chọn số lượng cần thiết cho lời giải bài toán và các giá trị số của chúng.
bài toán thứ năm là phần trình diễn bài toán trong đó hiện tượng vật lý được thể hiện trong lớp học phải được giải thích. Ở đây điều quan trọng là phải hiểu các hiện tượng và môi trường thiết yếu của các yếu tố khác nhau để làm nổi bật yếu tố chính.
Vào lúc lời giải bài toán năm giờ đã được đưa ra, bắt đầu từ khi kết thúc cuộc biểu tình.
Sau nội dung của mỗi bài toán phần trăm những người giải được nó được ghi trong ngoặc đơn.