Kvant 1988, số 5 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

độ cứng
khối đa diện lồi

1988

Trong phòng:

2 Cuộc trò chuyện với Viện sĩ V.P. Maslov
6 N. P. Dolbin. Độ cứng của khối đa diện lồi
16 A. L. Stasenko. Hành lang vào
26 A. S. Steinberg. Sự ra đời của hợp kim

Bài toán Kvant
29 Bài toán M1101 — M1105, F1113 — F1117
30 Problems M1101 — M1105, P1113 — P1117
34 Lời giải bài toán M1081 — M1085, F1093 — F1096

Kính vạn hoa «Kvant»
32 Cyclopda

«Kvant» cho học sinh nhỏ
34 Bài toán
41 S. A. Tikhomirova. Quyền lực của Archimedes trong tác phẩm văn học

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10:
45 Định luật bảo toàn năng lượng
47 Quy tắc Lenz
49 Về lực neo, lực ma sát và công thức Euler

Nghệ thuật lập trình
51 A. G. Shezolev. Vẽ máy tính trường học

Các lựa chọn thi tuyển sinh

62 Đáp số, gợi ý, lời giải
Trộn (16-23, 28, 44)

bìa của chúng tôi
1.4 Khối đa diện phản xạ do Clauss Steffen đề xuất.

2 Tranh của họa sĩ người Pháp J. Seurat (1859-1891)
“Hải cảng Gonfleur” là một minh họa điển hình cho bài viết “Về neo đậu, ma sát và công thức Euler” mà bạn có thể đọc trong số tạp chí này.

3 trang cờ vua.

© Nhà xuất bản Nuka.
Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1988

2

TRÒ CHUYỆN VỚI MỘT HỌC VIÊN
V. P. MASLOV

Victor Pavlovich, ông bắt đầu quan tâm đến vật lý và toán học từ khi nào và như thế nào? Điều gì sẽ có tác động lớn nhất - trường học, câu lạc bộ, gia đình?

Tôi không tham gia krupki; Tôi không đặc biệt quan tâm đến toán học hay vật lý ở trường. Ngược lại, tôi khá yếu các môn này, đặc biệt là môn vật lý. Và đây là thời điểm mà nhiều người bạn của tôi quan tâm đến vật lý, khi đó có mốt thời thượng dành cho vật lý. Có lẽ sự lạc hậu về vật lý của tôi đã đóng một vai trò nào đó: tôi quyết định rằng mình không có đủ trình độ học vấn, rằng tôi cần phải đến khoa vật lý để tận dụng nó.

Có lẽ bạn đã không tham gia Thế vận hội?

Có lần tôi tham gia một cuộc thi Olympic toán. Tôi đến đó ít nhiều là tình cờ, bạn bè tôi cũng chỉ đến đó thôi. Đó là vòng thứ hai, tôi chỉ giải được một bài toán, rồi bỏ đi. Tôi đã nhận được giấy chứng nhận cho việc này.

Sau khi tốt nghiệp ra trường, bạn vào học tại Khoa Vật lý của Đại học quốc gia Moscow. Bạn có những lựa chọn khác để lựa chọn con đường cuộc sống của mình không?

Vâng, nhìn chung tôi quan tâm nhiều hơn đến nhân văn. Nhưng cha dượng của tôi, một nhà sử học nổi tiếng, Giáo sư Boris Fedorovich Porshnev, đã mạnh mẽ can ngăn tôi đi theo con đường nhân đạo. Thực tế là anh ấy đã thuyết phục tôi vào khoa vật lý.

Bạn coi ai là giáo viên của mình? Đồng nghiệp nào ảnh hưởng đến bạn nhiều nhất?

Giáo viên của tôi là Sergei Vasilievich Fomin. Ông làm việc vào những năm 50 tại Khoa Toán, Khoa Vật lý, Đại học quốc gia Moscow. Vào năm thứ hai, tôi bắt đầu quan tâm đến các tần số nhất định của toán học bài toán, đặc biệt là các tần số đại số. Sau đó tôi quay sang nhà đại số nổi tiếng Igor Rostislavovich Shafarvich. Tôi đã học với anh ấy một thời gian và thậm chí còn quyết định chuyển sang ngành cơ khí. Nhưng khi tôi muốn làm điều này, Giáo sư Anatoly Alekseevich Blasov, người đứng đầu khoa tôi theo học, đã không làm tôi thất vọng. Để kiểm tra xem tôi có thực sự là một nhà toán học hay không, anh ấy đã cho tôi một bài toán bài toán. Tôi giải quyết nó khá nhanh chóng. Nhưng Blasov không muốn hiểu bằng chứng này, vì nó không trực tiếp như anh ta muốn mà là gián tiếp. Cuối cùng tôi cũng thuyết phục được anh ấy, anh ấy đồng ý để tôi đi. Nhưng sau đó Sergei Vasilievich Fomin bắt đầu làm việc với tôi. Anh ta

3

và khuyên tôi không nên chuyển sang Cơ học và Toán học. Sau đó tôi cùng anh vào khoa Toán của Khoa Vật lý.

— Bạn gặp khó khăn gì trên con đường trở thành nhà khoa học?

— Tôi cảm thấy rất khó khăn vì không được học toán đầy đủ. Tôi biết rất ít văn học đặc biệt. Sau khi tốt nghiệp Khoa Vật lý, tôi bị cuốn hút bởi ngôn ngữ toán học từ khá lâu. Vì vậy, tôi không được các nhà toán học ngay lập tức coi là một nhà toán học mà đúng hơn là một nhà vật lý, vì ngôn ngữ của tôi có phần mơ hồ đối với họ. Lúc đầu, một số câu hỏi của tôi trên các bài toán được các nhà toán học viết lại, thậm chí có khi không có tài liệu tham khảo. Trong số các nhà toán học, tôi nhận ra rõ ràng rằng công việc của tôi không hề nghiêm ngặt. Tôi đã phải thừa nhận quan điểm này. Thật kỳ lạ, tôi đã thành công trong việc này khi tôi chứng tỏ được năng lực của mình trong các lĩnh vực toán học hiện đại khác, chứ không phải trong những lĩnh vực mà tôi chủ yếu tham gia vào thời điểm đó.

— Sự hấp dẫn như vậy được tạo ra đến mức bạn luôn đi theo con đường khó khăn nhất: bạn đến khoa vật lý, vì vật lý là môn tệ nhất đối với bạn, và sau đó bạn bắt đầu học toán vì bạn không có đủ ngôn ngữ toán học. Đây là gì - một đặc điểm tính cách?

— Không, rõ ràng là tôi bắt đầu quan tâm đến toán học ở Khoa Vật lý vì đơn giản là tôi có thiên hướng toán học lớn. Như tôi đã nói, sở thích này xảy ra vào năm thứ hai của tôi. Tuy nhiên, sau đó tôi bắt đầu quan tâm đến cơ học lượng tử và vật lý lượng tử. Làm ơn, bạn có thể nói rằng, nói chung, tôi đã đi theo con đường sở thích của mình, con đường ít trở ngại nhất trong cuộc đời tôi. Và có lẽ tôi thực sự đã vào được khoa vật lý nhờ một thủ thuật nào đó: tôi thậm chí còn đạt điểm C môn vật lý trong chứng chỉ ở trường của mình.

— Các tác phẩm đầu tiên của bạn (cũng như nhiều tác phẩm bên ngoài) liên quan đến nghiên cứu cơ bản và được các nhà toán học lý thuyết quan tâm chủ yếu. Mặt khác, bạn là một nhà toán học ứng dụng nổi tiếng. Làm thế nào để bạn dung hòa toán học “thuần túy” với vật lý và các vấn đề ứng dụng?

• Tôi nghĩ thật may mắn khi được vào khoa vật lý.

Tôi có thiên hướng khái quát hóa, về các công thức toán học và tổng quát. Lớp vật lý của tôi là nguồn bài toán toán học đối với tôi; điều này đã có tác động tích cực tổng thể đến công việc của tôi. Trong những năm sinh viên, tôi đã tự đặt ra cho mình một số vấn đề liên quan đến vật lý lý thuyết. Cho đến bây giờ, tôi vẫn chưa thể giải quyết được tất cả các vấn đề. Tôi nghĩ rằng cách tìm kiếm toán học bài toán gần ranh giới với vật lý lý thuyết này là một cách hay. Mặt khác, nó có thể đánh giá các kết quả cuối cùng về mặt ứng dụng của chúng vào vật lý hoặc một số lĩnh vực ứng dụng khác. Trong đại số, và đặc biệt là lý thuyết số, có những tiêu chí để đánh giá bài tập nói chung. Ví dụ: bài toán được đặt cách đây bao lâu, ai giải được và không giải được, yếu tố thể thao hoặc thứ gì đó. Nếu bạn cũng có thể giải quyết được nó, điều đó có nghĩa là bạn đã có sự tiến bộ nghiêm trọng. Nhưng trong toán học liên quan đến ứng dụng, tiêu chí đó, ở một mức độ nhất định, chính xác là ứng dụng, độ rộng của các ứng dụng có thể. Ở đây, trực giác phải được xác định, người ta phải cảm thấy bài toán nào, được giải bởi một nhà toán học nhất định, có thể hữu ích. Vâng, trong trường hợp này, kiến ​​thức về vật lý và các vấn đề vật lý là điều cần thiết. Tôi sẽ đưa ra một ví dụ về một nhà toán học như Ludwig Dmitrievich Faddeev. Ông cũng tốt nghiệp Khoa Vật lý. Bài toán, thứ mà anh ấy bắt đầu đọc hoặc không đọc trước, sau đó nhận được tiếng vang rộng rãi nhờ các tác phẩm của anh ấy chứ không chỉ của anh ấy. Faddeev thường là một trong những người đầu tiên giải được các bài toán cấp bách trong toán học. Đây là những bài toán như phương trình Kortever-Defries*) hoặc lý thuyết tán xạ nghịch đảo bài toán. Faddeev bằng cách nào đó cảm nhận được chính xác những vấn đề nào sẽ phát triển trong tương lai. Và điều này phần lớn là do hình ảnh bên ngoài của anh ấy.

*) Phương trình vi phân mô tả sóng trên vùng nước nông, lời giải trong đó (được gọi là soliton) có tính chất toán học rất thấp.

4

— Gần đây, với tư cách là một chuyên gia toán học, bạn đã tham gia xây dựng một dự án xử lý bộ phận khẩn cấp của Nhà máy điện hạt nhân Chernovl. Bạn có thể nói gì với chúng tôi về điều này?

— Rõ ràng, con người có một số khả năng tiềm ẩn mà khoa học vẫn chưa thể giải thích được. Nhà ảo thuật đưa ra giả thuyết về một người đàn ông, và anh ta treo chắc chắn bằng ngón tay và ngón chân giữa hai chiếc ghế. Điều này cho thấy tiềm năng hoàn toàn phi thường vốn có ở một con người. Tôi luôn ngạc nhiên về tiềm năng to lớn của con người và các nhà khoa học của chúng tôi trong chiến tranh. Bất chấp những mất mát to lớn, đất nước sau chiến tranh tỏ ra hùng mạnh hơn trước. Rõ ràng, ở đây cũng đang diễn ra một khoảnh khắc thôi miên hàng loạt: sự căng thẳng khổng lồ đã tiếp thêm sức mạnh cho con người.

Chúng tôi gặp phải tình huống tương tự khi đang giải quyết vấn đề Nhà máy điện hạt nhân Chernovl sau vụ nổ. Đó thực sự là một công việc căng thẳng và hiệu quả, điều mà tôi vẫn tin - công việc đó có thể được thực hiện trong hai, ba năm, nhưng không phải trong hai tháng mà chúng tôi đã hoàn thành nó. Hơn nữa, không chỉ chúng tôi, những nhà toán học, mà còn tất cả những người có liên quan đến việc này, tất cả các nhà khoa học thuộc các chuyên ngành khác đã đến, đều bị cuốn vào làn sóng bùng nổ lớn này. Sức mạnh đến từ đâu - công việc diễn ra cực kỳ nhanh chóng. Không có rào cản sinh học nào đòi hỏi sức mạnh chính của nhà khoa học để vượt qua trong cuộc sống hàng ngày. Chẳng hạn, khi chúng tôi suy nghĩ kỹ và đề xuất bất kỳ thử nghiệm nào, chẳng hạn như vào buổi sáng, tôi đã liên hệ với các tổ chức và cùng ngày, thử nghiệm đã được thực hiện tại Nhà máy điện hạt nhân Chernovl. Tất nhiên, chúng tôi biết rất rõ mỗi thí nghiệm tốn kém như thế nào, mỗi người dành bao nhiêu giờ chụp X-quang cho thử nghiệm này hay thử nghiệm kia. Điều này tạo ra sự căng thẳng phi thường. Một ví dụ khác là đồng nghiệp của tôi V.P. Myasnikov gọi cho tôi lúc ba giờ sáng để thông báo rằng “lỗ hổng” trong bằng chứng mà tôi phát hiện đã được đưa ra - tùy chọn “giữ”. Hoặc những nhân viên trẻ của tôi đã nán lại với tôi vào những buổi tối sau lần lắp đặt thực sự cuối cùng, rằng họ không thể làm việc được nữa, họ đi nghỉ (đó là thời gian nghỉ phép và tôi đã giam giữ tất cả), họ bị thay thế bởi những người khác. Chưa bao giờ trong đời tôi trải qua sự căng thẳng dữ dội như vậy. Khi các vấn đề dịch vụ liên quan đến carcophagus đang được giải quyết và cần phải chịu trách nhiệm lời giải, mọi người đều tưởng tượng hậu quả của một lựa chọn sai lầm có thể nghiêm trọng như thế nào. Thời hạn rất gấp rút vì carcophagus được tạo ra với tốc độ cực nhanh và đôi khi mô hình toán học của chúng tôi không thể theo kịp. Và khi thiên nhiên dạy dỗ và buộc bạn phải làm lại thì đó là một trải nghiệm cay đắng và đắt giá. Vì vậy, công việc hoàn toàn phi thường, căng thẳng và căng thẳng. Và trong trường hợp cuối cùng, không chỉ các phép tính liên quan trực tiếp đến trạm này được thu được, mặc dù chúng tôi chỉ thực hiện các phép tính cho nó. Tuy nhiên, nhờ kết quả của mô hình toán học, chúng tôi đã thu được những mô tả về những hiệu ứng bất ngờ đối với cơ học, đôi khi mâu thuẫn với những giả định của các đồng nghiệp vật lý của chúng tôi.

— Trong các nhiệm vụ ứng dụng, chẳng hạn như mô hình hóa hoạt động của một hệ thống phức tạp (chẳng hạn như nhà máy điện hạt nhân mất kiểm soát), thí nghiệm trên máy tính được sử dụng. Những kỹ thuật này đã được sử dụng chưa?

— Đáng lẽ thí nghiệm trên máy tính đáng lẽ phải được áp dụng trước khi sự kiện đáng buồn này xảy ra. Như người ta nói, một người Nga có nhận thức sâu sắc - một thí nghiệm máy tính như vậy vừa được thực hiện; anh ta trực tiếp chỉ ra rằng một vụ nổ sắp xảy ra. Sau khi vụ nổ xảy ra, một thí nghiệm trên máy tính hiển thị một trong những biến thể có thể có của hoạt động của lò phản ứng sẽ không còn thực hiện được nữa, vì vậy chúng tôi phải xem xét tất cả các phương án. Rốt cuộc, mục tiêu của chúng tôi là đưa ra những khuyến nghị nhất định. Ví dụ, tính toán của chúng tôi cho thấy rằng không cần thiết phải đặt một khối bê tông (gối) bên dưới carcophagus. Một số tiền khổng lồ đã được chi ra, lúc đầu nó có vẻ là lớn nhất

7

nhau theo cùng một thứ tự.
Cauchy đã chứng minh rằng trường hợp như vậy là không thể xảy ra nếu chúng ta đang nói về hai khối đa diện lồi.
Định lý Cauchy. Hai khối đa diện lồi có các cặp cạnh bằng nhau, được sắp xếp theo cùng một thứ tự, bằng nhau.
Để chứng minh định lý này (được nêu dưới đây) về ngựa, Cauchy đã đề xuất một phương pháp mới, mà theo Viện sĩ A. D. Aleksadrov, “là một trong những lập luận hay nhất mà hình học biết đến”. Để ca ngợi điều này, lập luận thực sự xuất sắc này đã trở thành một trong những phương pháp tiêu chuẩn trong lý thuyết khối đa diện để chứng minh các định lý duy nhất tương tự khác.

Giả thuyết Euler
Câu hỏi liệu hình dạng của một bề mặt đa diện có được xác định duy nhất bởi các cạnh của nó hay không, hay liệu bề mặt đó có thể thay đổi bằng cách nào đó, bất chấp sự bất biến của các mặt của nó, đã được các nhà toán học quan tâm từ lâu trước Cauchy.
Euler vĩ đại cũng cân nhắc câu hỏi về tính duy nhất. Năm 1766, ông đưa ra giả thuyết: “Một hình không gian khép kín không cho phép thay đổi cho đến khi nó bị phá vỡ”. Euler coi “hình không gian đóng” là cái mà ngày nay thường được gọi là bề mặt đóng. Vì vậy, giả định của Euler không chỉ áp dụng cho các bề mặt đa diện. Nhưng liên quan đến khối đa diện, niềm tin vào tính đúng đắn của giả thuyết này là vững chắc nhất. Sự tự tin này dựa trên kinh nghiệm hàng thế kỷ trong việc giải quyết các khối đa diện và, theo cách riêng của nó, đã đạt được niềm tin vào một tiên đề.

khối đa diện đơn giản
Câu hỏi về tính bất biến của một bề mặt đa diện đã được chứng minh là một vấn đề khó giải quyết, nhưng trước khi chúng ta có thể hiểu nó, cần phải làm rõ một số khái niệm. Các điều kiện ở đây của một khối đa diện không được hiểu là một vật thể được giới hạn bởi các đa giác như đã được thực hiện ở trường, mà là một bề mặt bao gồm các đa giác này; trong trường hợp này, chúng ta sẽ đề xuất rằng khối đa diện của chúng ta được dán lại với nhau từ một số hữu hạn các đa giác hữu hạn sao cho mỗi cạnh của bất kỳ mặt nào của nó chỉ có một và được dán một mặt*). Một khối đa diện với những điều kiện như vậy được gọi là khối đóng. Điều kiện đóng cửa là điều kiện tự nhiên. Bất kỳ khối đa diện nào được học trong khóa học ở trường đều được công nhận; paramids và chất rắn Platonic được đóng lại. Một hộp đựng bưu kiện bằng gỗ dán thông thường nhưng không có nắp thì không thể coi là một khối đa diện khép kín. Nhưng một khi bạn đóng nắp vào nó, bạn sẽ có một khối đa diện khép kín.

Chúng ta cũng sẽ đề xuất rằng khối đa diện của chúng ta, như các nhà toán học nói, là một hình cầu tôpô. Một hình cầu tôpô là một bề mặt khác với hình cầu “tròn” thông thường hiện nay, giống như lỗ cong của một quả bóng xì hơi khác với một quả cầu phồng lên. Nói cách khác, chúng tôi đề xuất rằng khối đa diện của chúng tôi, nếu được làm bằng cao su, có thể phát triển mà không bị rách hoặc dính vào một quả cầu tròn thông thường. Các điều kiện gọi một khối đa diện như vậy là đơn giản. Tất cả các khối đa diện lồi, kể cả các khối đa diện “trường học”, đều đơn giản, giống như cả hai khối đa diện trong Hình 1, 2. Trên hình 3 có một ví dụ về một khối đa diện không đơn giản mà là một khối đa diện ba mặt.

Một khối đa diện có thể rất “xoắn”, điều này đôi khi gây khó khăn cho việc nhận biết liệu nó có đơn giản hay không. Điều đáng chú ý hơn nữa là bạn có thể nói về một khối đa diện dù nó đơn giản hay không mà không cần nhìn vào nó. Hãy tưởng tượng rằng ai đó cho chúng ta biết số tất cả các đỉnh B, số tất cả các cạnh P và số tất cả các mặt Γ của một khối đa diện X chưa biết. Sau đó, trừ đi số φ(X), được gọi là đặc tính Euler của khối đa diện,

*) Thật không dễ dàng để đưa ra một định nghĩa toán học chặt chẽ về khối đa diện, bao gồm cả các khối đa diện nhỏ, và chúng ta sẽ không làm điều này ở đây.

8

đường viền $X$, theo công thức
$$\varphi(X) = B - P + \Gamma,$$
chúng ta có thể tự tin nói liệu khối đa diện $X$ có đơn giản hay không. Một khối đa diện sẽ đơn khi và chỉ khi đặc tính Euler của nó bằng 2. Đối với các khối đa diện không đơn giản, đặc tính Euler không vượt quá 0. Đặc biệt, đối với khối đa diện giao dịch (xem hình 3), đặc tính Euler bằng 0.

Tính linh hoạt của khối đa diện

Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng rằng chúng ta đã dán một khối đa diện từ các đa giác bằng bìa cứng lại với nhau bằng băng dính (tất nhiên là hữu hạn, khép kín, đơn giản). Rõ ràng là do sự kết nối linh hoạt ở mỗi cạnh, nên bất kỳ hai mặt kết nối nào cũng có thể được xoay tương đối với nhau xung quanh một cạnh chung, giống như các trang sách, chúng có thể… nếu chúng không được kết nối với các cạnh khác.

Khi các mặt được dán lại với nhau thành một khối đa diện, câu hỏi đặt ra: liệu có thể thay đổi và biến dạng khối đa diện một cách không liên tục để trong quá trình biến dạng, tất cả các mặt của nó không thay đổi và chỉ các góc khác thay đổi? Nếu một biến dạng như vậy xảy ra đối với một khối đa diện nhất định thì chúng ta gọi khối đa diện đó là linh hoạt, còn nếu không, chúng ta gọi nó là không linh hoạt.

Do đó, sự uốn cong của một khối đa diện, nếu có thể, gắn liền với sự thay đổi ở các góc khác. Và, mặc dù bản thân mỗi cặp cạnh liền kề với cạnh được tự do lựa chọn góc khác nhau của riêng mình, nhưng rất có thể sự tự do này bị lãng phí khi kết hợp với các cạnh khác. Có thể loại “lý luận hợp lý” này đóng vai trò là sự hỗ trợ của Euler cho giả thuyết rằng các khối đa diện khép kín là không linh hoạt.

Câu hỏi về khả năng uốn cong của các khối đa diện đơn giản đã được giải quyết chỉ hai thế kỷ sau Euler. Ở thời đại của chúng ta, chỉ mười năm trước, người ta đã phát hiện ra rằng về khối đa diện Euler đã đúng trong giả định của mình… và sai. Đúng bởi vì, như đã được thành lập vào năm 1975, “hầu hết” các khối đa diện đơn giản đều không linh hoạt. Tuy nhiên, “gần như tất cả” không có nghĩa là tất cả các khối đa diện, nhưng theo một nghĩa nào đó, chúng là “một tổ chức lớn áp đảo”. Hai năm sau, vào năm 1977, nhà hình học người Mỹ R. Connelly đã xây dựng những ví dụ đầu tiên về khối đa diện linh hoạt và từ đó bác bỏ giả thuyết của Euler (xem «Kvant», 1978, số 9, trang 14, cũng như trang đầu tiên và trang thứ tư của trang bìa số này).

Có thể việc phát hiện ra các khối đa diện có thể uốn cong dường như không gây ngạc nhiên cho ai đó, đặc biệt nếu anh ta nhớ lại cơ chế hoạt động của các nhạc cụ, chẳng hạn như đàn accordion có nút. Nhưng sự liên kết này không giảm đi ở đây. Thực tế là các cơ chế “hoạt động” nhờ vào sự tạo nếp của vật liệu tạo ra chúng. Nếu chúng ta mehani được lắp ráp từ các tấm rắn nối với nhau bằng bản lề cửa nhỏ thì sẽ không thể chơi nhạc cụ. Những cơ chế như vậy, rất dễ hiểu, không thể bị nén hay mở rộng.

Tuy nhiên, một khối đa diện uốn cong được cũng không phù hợp với cơ học, mặc dù vì một lý do khác. Thực tế là bộ sưu tập các khối đa diện có thể uốn cong được biết đến hiện nay có một đặc tính hơi bất ngờ: thể tích chứa trong khối đa diện không đổi trong quá trình uốn, tức là khối đa diện “không thở”. Một giả thuyết nảy sinh rằng điều này luôn đúng - thể tích này không thay đổi khi khối đa diện bị uốn cong.

Lưu ý thêm rằng, do định lý Cauchy, một khối đa diện linh hoạt không thể lồi.

Thật vậy, khả năng uốn cong của một khối đa diện nhất định có nghĩa là có những khối đa diện khác được dán lại với nhau từ cùng một mặt theo cùng một thứ tự, nhưng không bằng khối đa diện này do các góc khác hơi khác nhau một chút. Hơn nữa, nếu khối đa diện ban đầu là lồi thì khối đa diện khác chỉ có các góc khác nhau cũng phải lồi. Và cái này

9

mâu thuẫn với định lý Cauchy, theo đó hai đa giác lồi như vậy phải bằng nhau.

Bổ đề Cauchy về đa giác lồi

Để chứng minh định lý Cauchy, sẽ rất hữu ích khi xem xét cẩn thận cách mọi thứ hoạt động với đa giác. Không phải ngẫu nhiên mà tựa đề công trình của Cauchy về định lý đa giác lại có từ “đa giác”. Hãy tưởng tượng một đa giác phẳng được tạo thành từ các thanh có khớp nối bản lề ở hai đầu. Trong trường hợp hình tam giác, độ dài của các thanh xác định các góc giữa chúng (đặc điểm thứ ba của hình tam giác) và cấu trúc cứng nhắc. Chúng ta bắt gặp ứng dụng thực tế của thực tế hình học hiển nhiên này ở mọi bước: trong các kết cấu thanh chịu tải trọng đáng kể (đặt giàn, cần cẩu, sàn kết cấu, v.v.), các phần tử hình tam giác có mặt để đảm bảo độ cứng.

Trong trường hợp đa giác có số cạnh lớn, độ dài các cạnh không xác định các góc của nó và do đó, bản thân đa giác đó không xác định. Tuy nhiên, Cauchy đã thu hút sự chú ý đến một thực tế hóa ra lại rất cần thiết trong việc chứng minh định lý của ông.

Đặt $A = A_1A_2...A_n$ và $B = B_1B_2...B_n$ là $n$-giác lồi và đặt $A_1A_2 = B_1B_2, ..., A_{n-1}A_n = B_{n-1}B_n, A_nA_1 = B_nB_1$ là. Chúng ta hãy gán dấu “+” hoặc “-” cho mỗi đỉnh $A_i$ của đa giác đầu tiên, tùy thuộc vào đó là $\angle A_i > \angle B_i$ hay $\angle A_i < \angle B_i$. Nếu $\angle A_i = \angle B_i$ thì đỉnh $A_i$ vẫn không được đánh dấu. Trước khi chuyển sang bổ đề Cauchy, chúng ta lưu ý rằng các đa giác không bằng nhau có ít nhất bốn đỉnh được đánh dấu, mặt khác (rất dễ chứng minh) các đa giác $A$ và $B$ bằng nhau và không có đỉnh nào không được đánh dấu.

Bổ đề 1. Cho hai đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau.

Có các cặp góc không bằng nhau. Sau đó, khi đi qua các đỉnh của đa giác, hiệu các góc tương ứng đổi dấu ít nhất bốn lần.

Rõ ràng là số lần đổi dấu khi đi qua các đỉnh của đa giác phải là số chẵn và không bằng 0. Vì vậy, để chứng minh bổ đề cần chứng minh số lần đổi dấu không bằng hai. Hãy để chúng tôi trình bày ý tưởng của bằng chứng.

Giả sử số lần đổi dấu là hai. Sau đó, đa giác $A$ được chia thành hai đường đứt nét: một đường gãy $A_iA_{i+1}...A_j$ có các đỉnh được bù bằng dấu “+” và không có đỉnh nào được bù bằng dấu trừ; đường gãy còn lại - $A_jA_{j+1}...A_i$, ngược lại, có các đỉnh được bù bằng dấu “-” và không có đỉnh nào được bù bằng dấu “+” (hình 4).

Do đó, đường gãy $A_iA_{i+1}...A_j$ có thể được lấy từ đường đứt nét $B_iB_{i+1}...B_j$ tương ứng của đa giác $B$, làm tăng các góc của đa giác sau. Tiếp theo, mỗi cái đều hoàn hảo, do sự biến dạng của đường gãy như vậy nên hợp âm kết thúc phải tăng lên, tức là $A_iA_j > B_iB_j$. (Tôi không xây dựng một bằng chứng về thực tế này

10

thật tẻ nhạt và chúng ta bỏ qua nó.)

Mặt khác, đường gãy thứ hai $A_jA_{j+1}$ của đa giác $A$ được lấy từ đường gãy tương ứng $B_jB_{j+1}$ của đa giác $B$ do giảm các góc. Trong trường hợp này, hợp âm cuối sẽ giảm. Vì vậy, mặt khác, $A_iA_j < B_iB_j$. Hai bất đẳng thức trái ngược nhau cho thấy giả định đúng hai lần đổi dấu là không đúng. Do đó, có ít nhất bốn lần đổi dấu, đó là điều cần chứng minh.

Bổ đề 1, vừa được thảo luận, sẽ được yêu cầu để chứng minh định lý Cauchy, nhưng theo một phiên bản khác - đối với trường hợp đa giác lồi trên một hình cầu. Nó được xây dựng và chứng minh theo cách tương tự như trên: bạn chỉ cần làm rõ các khái niệm liên quan.

Định nghĩa đa giác cầu cũng tương tự như định nghĩa đa giác phẳng. Cần phải nhớ rằng, trước hết, cạnh của đa giác cầu là góc giữa các tiếp tuyến vẽ với hai cạnh tại điểm giao nhau của chúng, tức là tại đỉnh của đa giác. Rõ ràng, góc giữa các cạnh bằng góc tuyến tính của góc nhị diện tạo bởi các mặt phẳng của các đường tròn lớn tương ứng (hình 5). Thứ ba, đa giác cầu lồi là đa giác nằm trên mặt cầu ở một cạnh của mỗi đường tròn lớn chứa cạnh đối diện của đa giác của chúng ta.

Bổ đề cơ bản Cauchy

Giả sử hai đa giác thỏa mãn các điều kiện của định lý Cauchy thì không bằng nhau. Khi đó trong số các góc nhị diện tương ứng phải là các cặp không bằng nhau. Hãy đánh dấu cạnh của một trong các đa giác của chúng ta bằng dấu “+” hoặc dấu “—”, tùy thuộc vào góc nhị diện của cạnh này lớn hơn hay nhỏ hơn góc nhị diện tương ứng DF của đa giác. Tất nhiên, không phải tất cả các cạnh đều phải được đánh dấu, vì trong số các góc nhị diện tương ứng cũng có thể có các cặp góc bằng nhau.

Chúng ta hãy chọn một số đỉnh O của đa giác mà các cạnh được đánh dấu bằng dấu này hoặc cách tiếp cận khác và mô tả từ nó, cũng như từ tâm,

11

quả cầu $S$. Trong trường hợp này, chúng ta lấy bán kính nhỏ sao cho hình cầu $S$, đi qua các cạnh và mặt của khối đa diện tiến đến đỉnh trung tâm $O$, không chạm vào bất kỳ cạnh và mặt nào khác của khối đa diện. Rõ ràng là các mặt của khối đa diện tạo thành một góc đa diện có đỉnh $O$ được cắt trên mặt cầu $S$ một đa giác lồi (hình cầu) $M$ có các góc bằng các góc nhị diện của khối đa diện. Nếu bạn vẽ một hình cầu $S'$ có cùng bán kính tại đỉnh tương ứng $O'$ của một khối đa diện khác, thì một đa giác $M'$ sẽ được cắt trên đó, các cạnh của nó bằng các cạnh tương ứng của đa giác $M$. Sự bằng nhau của các cạnh tuân theo các điều kiện của định lý Cauchy: các mặt bằng nhau theo cặp phải hội tụ tại các đỉnh tương ứng của khối đa diện.

Đây là lúc Bổ đề 1 phát huy tác dụng. Chúng ta đã giả định rằng định lý duy nhất Cauchy là sai; điều này có nghĩa là ít nhất một cạnh được bù bằng dấu “+” hoặc “-”, và theo Bổ đề 1, nếu các cạnh lệch tiếp cận một đỉnh nào đó thì số lượng dấu thay đổi đối với các cạnh khi đi quanh đỉnh này ít nhất là 4.

Có vẻ như vẫn còn một chặng đường dài để đi từ nhận xét đơn giản này đến việc chứng minh định lý. Nhưng ở đây Cauchy tìm ra một động thái dí dỏm bất ngờ, sau đó việc chứng minh trở thành vấn đề kỹ thuật. Hóa ra tuyên bố sau đây là đúng.

Bổ đề 2. Cho một số cạnh của một khối đa diện lồi kín được bù bằng dấu + hoặc -. Chúng ta hãy chọn tất cả các đỉnh của khối đa diện mà ít nhất một cạnh lệch tiếp cận. Sau đó, trong số các đỉnh đã chọn, một đỉnh như vậy sẽ luôn được tìm thấy khi đi ngang qua đỉnh mà một cặp cạnh lân cận gặp và khi đi ngang qua mặt tương ứng và ngược lại (hình 7).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\Gamma_n$ số mặt $n$-giác giác của khối đa diện, $n \geqslant 3$. Sau đó

$$\Gamma = \Gamma_3 + \Gamma_4 + \Gamma_5 + \Gamma_6 + \dots$$

(1)

Rõ ràng là khi đi qua $n$-giác, số lần đổi dấu không quá $n$, và nếu $n$ lẻ thì không quá $n-1$. Đó là lý do tại sao

$$N \leqslant 2\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 4\Gamma_5 + 6\Gamma_6 + 6\Gamma_7 + \dots$$

(2)

Vì mỗi cạnh thuộc hai mặt nên

$$2P = 3\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 5\Gamma_5 + 6\Gamma_6 + \dots$$

(3)

Chúng ta hãy viết lại công thức Euler dưới dạng

$$4B - 8 = 4P - 4\Gamma.$$

(4)

Chúng ta hãy thay thế các tương ứng (3) và (1) thành (4):

$$4B - 8 = 2(3\Gamma_3 + 5\Gamma_5 + \dots) - 2(2\Gamma_3 + 2\Gamma_4 + 2\Gamma_5 + \dots) = 2\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 6\Gamma_5 + \dots$$

(5)

Theo (5), hệ số $\Gamma_n$ bằng $2(n-2)$ và do đó,

12

Teorema Aleksandrova
về sự đầy đủ

Khi công trình của Cauchy được xuất bản, mối quan tâm khoa học của các tác giả đã ở rất xa lĩnh vực này. Sau đó, các kết quả toàn cầu về lý thuyết đa giác đã thu được bằng cách biểu diễn thang hình học của Viện sĩ A. D. Aleksandrov. Năm 1939, A.D. Aleksandrov đã chứng minh một định lý về các điều kiện để một đa giác lồi có thể được dán lại với nhau từ một sự phát triển nhất định.

Chúng ta hãy nhìn vào hình 8, trên đó có thể dễ dàng nhận ra sự phát triển nổi tiếng của khối lập phương. Khó hơn nhiều khi thấy rằng sự phát triển được trình bày trên hình 9 cũng là sự phát triển của một khối lập phương - các đỉnh được đánh dấu giống hệt nhau trên hình xác định sự lắng đọng của các đỉnh và các cặp cạnh được dán (hình 9, 6). Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là các đa giác quét không nhất thiết phải trùng với các mặt của đa giác thu được từ nó. Trong trường hợp này, mặt của đa giác có thể được tạo thành từ một hoặc nhiều phần của đa giác phát triển khác nhau. Cũng lưu ý rằng không phải mọi đỉnh của đa giác được quét đều phải là đỉnh của đa giác; nó có thể được “ẩn” bên trong một cạnh hoặc bên trong một mặt của đa giác.

Chúng ta hãy thực hiện một sự phát triển tùy ý, nghĩa là lấy một số đa giác lồi được cắt ra khỏi giấy và cho biết chúng ta sẽ dán cạnh nào của mỗi đa giác đó vào cạnh nào của đa giác kia. Tất nhiên, các mặt được dán phải

13

có cùng độ dài. Chúng ta sẽ dán các đa giác theo hướng dẫn về thứ tự dán (trong trường hợp này được phép gộp các đa giác quét). Câu hỏi đặt ra: từ sự phát triển nào mà đa giác lồi có thể thu được theo cách này? Để làm điều này, phải đáp ứng hai điều kiện:

(I) đối với sự phát triển, công thức Euler đúng (B-P+G=2);
(II) tổng các góc phẳng được tạo thành trong quá trình dán ở một đỉnh không vượt quá 360°.

Ý nghĩa của định lý Aleksaidrov sẽ làm bạn ngạc nhiên vì sự đơn giản của nó: điều kiện (I) và (II) là cần và đủ để có thể dán một đa giác lồi từ các đa giác phát triển (có thể là cả đa giác phát triển).

Phát triển những ý tưởng làm cơ sở cho định lý này, A. D. Aleksaidrov đã xây dựng hình học bên trong của các bề mặt lồi - một trong những lý thuyết quan trọng nhất trong hình học hiện đại.

Hãy quay lại quá trình quét ở hình 9,a. Hơn nữa, không cần nhìn vào hình 9,b, sau khi kiểm tra sự thỏa mãn điều kiện của Aleksaidrov đối với nó, chúng ta có thể khẳng định rằng một số đa giác lồi có thể được dán lại với nhau từ quá trình phát triển này. Có bao nhiêu đa giác lồi khác nhau có thể được dán lại với nhau từ một mạng? Vì các mặt của đa giác không cố định nên định lý Cauchy không trả lời được câu hỏi này đáp số. A.D. Aleksaidrov chứng minh một định lý, một mặt, kế thừa định lý Cauchy, mặt khác, bổ sung hoàn hảo cho định lý về tính đủ của chính ông: nếu một đa giác lồi có thể được dán lại từ một sự phát triển thì chỉ có một.

Hơn nữa, từ sự phát triển này, không thể có được bất kỳ bề mặt lồi nào khác, không chỉ bề mặt đa giác mà còn cả bề mặt cong. Định lý thành công này của Aleksaidrov đã được sinh viên trẻ S.P. Olovyanshinkov* của ông thu được vào năm 1941.

*) Sergei Olovyanshinkov - người đoạt giải Olympic toán học đầu tiên (1934). Tệp đính kèm

A. D. Aleksaidrov.

Để khái quát hóa đầy đủ nhất định lý Cauchy cho trường hợp các bề mặt tùy ý, chứ không chỉ các bề mặt đa giác, câu hỏi này phải còn chưa được giải quyết trong một thời gian. Giả sử một bề mặt lồi kín tùy ý được làm bằng một vật liệu mỏng, dẻo nhưng không linh hoạt. Có thể, trong khi vẫn duy trì tính lồi, có thể thu được từ nó một bề mặt có hình dạng hình học khác không? Nếu bề mặt ban đầu là một đa giác lồi thì điều này là không thể - đây là trường hợp của định lý duy nhất Cauchy-Aleksaidrov-Olovyanshinkov.

Sự khái quát hóa cuối cùng của định lý Cauchy cho trường hợp các bề mặt tùy ý cũng được đưa ra vào năm 1949 bởi đại diện của trường Aleksaidrov, nhà hình học Liên Xô, viện sĩ A.V. Pogorelov. A.V. Pogorelov đã chứng minh rằng mọi bề mặt lồi kín đều không thể thoát được

Năm tháng đã để lại dấu ấn trên số phận khó khăn của chàng trai tài năng. Năm 1941, ông tốt nghiệp Đại học Leningrad và vào học cao học dưới sự hướng dẫn của A.D. Aleksaidrov. Nhưng ông sớm ra mặt trận và bị thương vào mùa thu năm 1941. Trong bệnh viện, ông viết một bài báo tổng quát hóa định lý Cauchy. Trở lại mặt trận, S.P. Olovyanshinkov định cư vào tháng 12 năm 1941 trên “Nevsky Piglet” - đầu cầu nổi tiếng với những trận chiến đẫm máu.

15

Hành lang lối vào

Tiến sĩ khoa học kỹ thuật
A. L. STASENKO

• Hoan hô!! - người dân Le Havre hét lên, lấp đầy tất cả các bờ kè của Dava… Khối đen… văng xuống vịnh… Ba người đang lúng túng giữa vịnh.
  “Chúng tôi đã không ăn gì suốt năm mươi bảy ngày rồi!” - Ông Lund gầy như một nghệ sĩ, lẩm bẩm và giải thích có chuyện gì.
  A.P. Chekhov. Quần đảo bay

Nhưng sự thật là việc trở về Trái đất không hề đơn giản hơn việc bay vào vũ trụ. Trên thực tế, cần bao nhiêu năng lượng để nâng trọng lượng của một người (ví dụ như chính anh ta) lên độ cao h? Mọi học sinh biết chữ sẽ nói: mgh. Và nếu bạn giấu nó từ độ cao h, thì năng lượng (thế năng) này sẽ chuyển thành động năng, rồi biến thành Tello. Nhưng ai sẽ được hưởng lợi từ nó, đặc biệt nếu h bằng chiều cao của một tòa nhà mười tầng. Rốt cuộc, người ta mong muốn tiếp đất nhẹ nhàng, với tốc độ gần như bằng 0, và điều này có nghĩa là toàn bộ động năng, mà thế năng được chuyển hóa thành, cần phải được đặt ở đâu đó - ví dụ, để tiêu hao lực ma sát của một sợi dây được ném từ tầng mười.

Tương tự như vậy, một chiếc máy bay khi hạ cánh xuống Mặt trăng hoặc các hành tinh gần như không có bầu khí quyển (Sao Thủy, Sao Hỏa) sẽ phải giảm tốc độ và động năng tương ứng bằng lực kéo của động cơ tên lửa, hướng theo hướng ngược lại.

Tuy nhiên, những lời giải thích này là đúng nếu chúng tôi muốn nói đến khuyến nghị tiêu chuẩn của trường học bài toán: “bỏ bê bầu không khí thể thao”. Nhưng một chiếc dù, một chiếc tàu lượn, một chiếc máy bay đã tắt động cơ (đã trở thành một chiếc tàu lượn) thì được nhận ra mà không lãng phí năng lượng. Tốc độ của chúng bị giảm bớt bởi lực khí động học - lực tác động từ không khí. Có thể sử dụng bầu khí quyển của Trái đất để lập kế hoạch nhận dạng “miễn phí” từ không gian không? Câu hỏi này không hề tầm thường như vẻ ngoài của nó, nếu chúng ta nhớ đến số phận đáng buồn của phần lớn các thiên thạch không bao giờ chạm tới bề mặt Trái đất, và nếu chúng được thêm vào thì ở dạng đáng thương. Nhưng chúng ta muốn hạ cánh “hoàn toàn” mà không tiêu tốn khối lượng hay năng lượng của mình.

Vậy có thể được không?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy lập một Kế hoạch. Khi tác giả của bài viết này còn đi học, nhất thiết phải có một Kế hoạch để bộc lộ đầy đủ hình ảnh của Tatyana Larina hay thậm chí là Baba Yaga. Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành theo kế hoạch: đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại ngắn gọn cấu trúc của bầu khí quyển, lực mà một vật chuyển động trong nó bị ảnh hưởng như thế nào - lực khí động học - phụ thuộc vào mật độ của khí quyển và tốc độ của vật thể, vật thể này nóng lên và nguội đi như thế nào khi chuyển động trong khí quyển, và cuối cùng, chúng ta sẽ chuyển sang Kết luận.

Mật độ khí quyển

Vì vậy, trước hết hãy quyết định về bầu khí quyển của Trái đất. Đúng vậy, chẳng ích gì khi hy vọng kể tất cả những gì có thể có về bầu khí quyển của Trái đất - về tất cả những cơn gió, giông bão, bão, mây - điều này không thể thực hiện được ngay cả trong một cuốn sách rất dày. Nhưng bạn có thể làm những gì các nhà vật lý làm mỗi khi mọi thứ rất phức tạp (và hầu như luôn khó khăn) - bạn có thể xây dựng một mô hình khí quyển. Một mô hình tốt phải hiểu được những đặc điểm có ý nghĩa của đối tượng hoặc hiện tượng mà chúng ta dự định sử dụng để làm việc. Và điều gì là rắc rối nhất đối với chúng ta trong bầu khí quyển? Chà, ví dụ, mật độ của nó - xét cho cùng, chúng ta sẽ chuyển động trong khí quyển, và nhanh chóng, và bằng trực giác rõ ràng rằng lực cản chuyển động sẽ phụ thuộc vào mật độ của môi trường (xét cho cùng thì

16

Di chuyển bàn tay của bạn trong bồn nước sẽ khó hơn so với trong không khí với cùng tốc độ).

Rõ ràng là mật độ của khí quyển sẽ giảm theo độ cao. Sự phụ thuộc của mật độ khí quyển Trái đất vào độ cao so với mực nước biển có thể được biểu thị gần đúng bằng cái gọi là công thức khí áp Bolytsman

$$\rho \approx \rho_0 e^{-\frac{h}{h^*}}$$

phù hợp lên tới $h \approx 80 \div 100$ km. Trong công thức này, $\rho_0 = 1,3$ kg/m$^3$ là giá trị mật độ ở mực nước biển và đại lượng $h^* = 7,16$ km trong mẫu số của số mũ được gọi là hệ số thang mật độ. Rõ ràng là ở độ cao $h^*$ mật độ của khí quyển nhỏ hơn $e = 2,72$ lần so với mực nước biển.

Lực khí động học

Một lực tác dụng lên một vật đang chuyển động trong không khí. Để xác minh điều này, chẳng hạn, chỉ cần đặt lòng bàn tay của bạn theo chiều ngang ở cửa sổ của một chiếc xe buýt hoặc toa tàu đang di chuyển là đủ (tất nhiên là cẩn thận!). Khi xoay lòng bàn tay quanh trục ngang, các lực từ không khí sẽ tác động lên bàn tay hướng lên trên khi gió chạm vào lòng bàn tay hoặc hướng xuống khi chạm vào mặt sau của lòng bàn tay. Trong trường hợp đầu tiên, góc tấn công $\alpha$ (giữa mặt phẳng của lòng bàn tay và vectơ vận tốc $\vec{v}$ của dòng chảy tới) được coi là dương, trong trường hợp thứ hai - âm (hình 1).

Sức mạnh này phụ thuộc vào điều gì?

Đối với đáp số chúng tôi sử dụng lý thuyết thứ nguyên cho câu hỏi này. Đầu tiên, chúng tôi viết ra những đặc điểm của quá trình mà từ đó, như chúng tôi mong đợi, lực nói trên sẽ được tạo ra.

Tất nhiên, nó phụ thuộc vào tốc độ $v$ (các lực hoàn toàn khác nhau tác dụng lên một bàn tay dang ra khi bạn đang đi trên thang cuốn của tàu điện ngầm và khi bạn lau khô tay từ cửa sổ của một chiếc ô tô tự động đang chạy quá tốc độ). Hơn nữa, ví dụ, nếu một lòng bàn tay được giữ trong không khí và trong nước, thì (với cùng tốc độ chuyển động) trong trường hợp thứ hai lực cản sẽ lớn hơn trong trường hợp thứ nhất. Điều này có nghĩa là điều quan trọng là chuyển động xảy ra trong môi trường nào - lực của lòng bàn tay phụ thuộc vào mật độ của môi trường $\rho$. Và từ cái gì nữa? Tất nhiên, nó phụ thuộc vào kích thước chuyển động của cơ thể: cố gắng vẫy lòng bàn tay của bạn trong không khí mà không hướng lên và hướng lên với cùng tốc độ - bạn sẽ thấy ngay rằng việc đi lên sẽ khó khăn hơn. Vì vậy, lực khí động học cũng phụ thuộc vào đặc tính cơ thể $L$.

Đã có rất nhiều tranh luận về hình dáng tương lai của “phương Đông”. Họ đề xuất một hình nón, một hình bán cầu, một hình trụ và cuối cùng là một hình cầu và một quả bóng. S.P. Korolev ngay lập tức bình phục. Thật dễ dàng để tính toán các đặc tính khí động học cho nó, nó có độ ổn định tốt và tổng lượng nhiệt truyền trong quá trình phanh trong bầu khí quyển Trái đất thấp nhất. Trong giai đoạn hạ cánh, tốc độ của phương tiện hạ cánh (CA) được điều chỉnh bởi hệ thống dù.

17

Chúng tôi liệt kê các số lượng này cùng với kích thước của chúng:

$$[v] = \frac{M}{c}, [\rho] = \frac{\kappa \Gamma}{M^3}, [L] = m.$$

Làm thế nào để tạo ra sự kết hợp giữa chúng có thứ nguyên của lực, tức là newton: $[F] = H = \kappa \cdot m/c^2$? Rõ ràng ngay rằng thứ nguyên kg chỉ được bao gồm trong ba tham số của chúng ta ở $\rho$, và thứ nguyên thứ hai chỉ được bao gồm trong thứ nguyên của tốc độ, và nó nằm trong mẫu số của lũy thừa thứ nhất, nhưng chúng ta cần nó ở thứ hai. Do đó, lực chắc chắn sẽ tỷ lệ thuận với tích $\rho v^2$. Nhưng thứ nguyên của đại lượng này là $\kappa \cdot (c^2 \cdot m)$, và chúng ta cần thước đo gian hàng làm tử số - do đó, chúng ta cần nhân nó với bình phương của trao đổi $[L]^2$ (và $L^2$ có thứ nguyên diện tích). Vì vậy, tổ hợp duy nhất của các tham số $v$, $\rho$, $L$ có thứ nguyên lực là $\rho v^2 L^2$, vì vậy $F \sim \rho v^2 L^2$. Lý thuyết về các thứ nguyên không thể cho chúng ta biết bất cứ điều gì về các hệ số tỷ lệ (không thứ nguyên!).

“Không cho phép! - người đọc chu đáo sẽ kêu lên. “Rốt cuộc, ít nhất, lực cản cũng có thể phụ thuộc vào độ nhớt của không khí, nhưng chúng ta đã hoàn toàn quên mất độ nhớt ?!” Điều đó đúng. Hơn nữa, trong một số trường hợp, chính độ nhớt quyết định lực cản: ví dụ, một dobinka rơi xuống đáy lọ mật ong chịu tác dụng của cái gọi là lực Stokes, lực này không tỉ lệ với diện tích mà tỉ lệ với bán kính của quả bóng và không tỉ lệ với bậc thứ hai mà với bậc tốc độ thứ nhất. Trong ví dụ này, luồng phương tiện xung quanh quả bóng chậm đến mức nó thậm chí còn được gọi là leo dốc. Nhưng chuyển động này dày đặc, chúng ta hãy từ từ đặt nó xuống. Nhưng chuyển động này tác động dày đặc, chậm rõ rệt lên ống kính lướt qua do tác động của một chiếc máy bay lớn đang di chuyển với tốc độ siêu thanh. (Ảnh hưởng như vậy của kích thước cơ thể đến bản chất của chuyển động (hiệu ứng tỷ lệ) tồn tại trong các trường hợp khác: ví dụ, nó ổn định hoặc có thể được tìm thấy nổi trên mặt nước trong bồn tắm, và một bộ ngắt ổn định, rất giống với một cây kim lớn, khó có thể tự mình thử. Trong trường hợp chơi, lực hỗ trợ cơ bản của bề mặt bề mặt, tỷ lệ với lũy thừa thứ nhất của kích thước, và trong trường hợp xà beng, lực hấp dẫn, tỷ lệ với lập phương của kích thước, chiếm ưu thế, và lực này không còn có thể bị “khắc phục” bởi sức căng bề mặt hoặc lực Archimedean nữa.)

Chúng ta hãy phân tích tổng lực khí động học $\vec{F}$, tác dụng lên thân thấu kính từ không khí, thành hai thành phần: $F_y$ - vuông góc với vectơ vận tốc $v$ và $F_x$ - hướng dọc theo vectơ này (hình 2). Lực đầu tiên - $F_y$ - được gọi là lực nâng, lực thứ hai - lực kéo. Rõ ràng cả hai thành phần này đều có cùng chiều - H; điều đó có nghĩa là cả $F_y \sim \rho v^2 L^2$ và $F_x \sim \rho v^2 L^2$. Trong các công thức cho $F_y$ và $F_x$ phải có một số hệ số (không thứ nguyên), ít nhất tùy thuộc vào góc tấn công (xét cho cùng, nếu cánh hoặc lòng bàn tay được đặt trước -

18

vuông góc với vận tốc $v$ thì lực cản và lực nâng sẽ thấp). Một trong các hệ số này (trong trường hợp lực nâng) được gọi là hệ số lực nâng $C_y$, và hệ số còn lại (trong trường hợp lực cản) được gọi là hệ số lực cản $C_x$.

Bây giờ hãy viết:

$$F_y = C_y \rho v^2 L^2, \quad F_x = C_x \rho v^2 L^2.$$ (2)

Chúng ta đã nói rằng $C_y$ và $C_x$ (hãy gọi chúng là hệ số khí động học) phụ thuộc vào góc tấn công. Còn việc công khai những sự phụ thuộc này thì sao? Trong một số trường hợp chúng có thể được tính toán. Ví dụ, phép tính như vậy có thể được thực hiện trong trường hợp thiết bị bay rất cao, trong đó đã có ít phân tử và chúng không va chạm với nhau khi đến gần thiết bị mà chỉ va chạm với thiết bị; điều này làm cho khoảng cách trở nên rất dễ dàng.

Chúng ta hãy xem xét chuyển động trong hệ quy chiếu gắn liền với thiết bị, chuyển động trong khí quyển với tốc độ $\vec{u}$. Trong hệ thống này, bộ máy sẽ kết thúc và các phân tử không khí sẽ không bay về phía nó. Chúng ta sẽ giả sử rằng $u$ lớn hơn nhiều so với vận tốc nhiệt của các phân tử; thì chúng ta có thể bỏ qua tốc độ chuyển động tĩnh của các phân tử và cho rằng tất cả chúng đều bay vào thiết bị với tốc độ $\vec{v} = -\vec{u}$.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét tác động của một phân tử lên bề mặt cứng của thiết bị, nghiêng so với vectơ vận tốc một góc $a$ (góc tấn công). Giả sử va chạm đàn hồi tuyệt đối, sau khi các phân tử va chạm nhau, $v$ sẽ không thay đổi nhưng vectơ $\vec{v}$ sẽ quay một góc $2a$ (hình 3). Không khó để nhận ra sự thay đổi tốc độ của một phân tử do va chạm (xem hình 3):

$$\Delta v = 2v_n = 2v \sin a.$$

Và độ biến thiên động lượng của phân tử này, nếu khối lượng của nó là $m$, thì bằng

$$\Delta p_m = 2mv \sin a.$$

Theo định luật bảo toàn động lượng và định luật thứ ba của Newton, vật có cùng độ lớn tuyệt đối mà phân tử này chạm vào sẽ nhận được. Và bao nhiêu phân tử va vào

20

đã cho ta nhiều điều kiện: không cần thiết phải chứng minh rằng lực tỉ lệ với mật độ của môi trường, diện tích bề mặt của bộ máy, bình phương tốc độ chuyển động.

Sốc sốc

Lưu ý rằng trong khi xem xét, chúng tôi thực sự biểu diễn thiết bị dưới dạng một tấm có diện tích $S$, nghiêng một góc $\alpha$ so với dòng chảy của các phân tử và tốc độ của các phân tử được coi là giống hệt nhau về độ lớn và hướng - thiết bị chuyển động nhanh hơn nhiều so với chuyển động nhiệt của chính các phân tử. Những gì xảy ra ở mặt sau phía khuất gió của tấm không khiến chúng tôi quan tâm: các phân tử không đến đó, vì vậy không gian này có thể được lấp đầy, chẳng hạn, bằng sức nóng của một cái nêm có cùng góc $\alpha$ ở đỉnh. Bây giờ hãy để cái nêm này đi xuống các lớp dày đặc của khí quyển và di chuyển ngày càng chậm hơn, nhưng vẫn nhanh hơn tốc độ nhiệt trung bình của các phân tử và do đó, nhanh hơn âm thanh. (Rõ ràng là một quá trình có tổ chức như hiệu ứng âm thanh không thể lan truyền nhanh hơn bản thân các phân tử, chuyển động ở tốc độ nhiệt.) Để giảm tốc độ càng nhiều càng tốt, chúng ta hãy bắt đầu nghiêng mặt phẳng nêm ở một góc ngày càng lớn hơn so với dòng chảy (xét cho cùng, lực cản là $F_x \sim \sin^3 \alpha$). Sau đó, các phân tử sẽ bật ra khỏi nửa mặt phẳng đón gió theo một góc ngày càng vuông góc và một lớp dốc sẽ bắt đầu hình thành phía trước bề mặt hình nêm. Khi mặt phẳng được đặt vuông góc với dòng chảy, các phân tử chạm vào cái nêm ở xa mép của nó sẽ không có thời gian để thoát ra khỏi nó và một lực đẩy thực sự sẽ bắt đầu; và các phân tử đang lao tới (chúng không biết gì về chướng ngại vật - xét cho cùng, tốc độ lớn hơn tốc độ âm thanh) sẽ đâm vào độ dày phân tử này một cách lớn. Một lớp dốc sẽ xuất hiện gần mặt phẳng $S$, được ngăn cách với khí không bị xáo trộn bởi cái gọi là sóng xung kích trực tiếp (hình 6). Trong bước nhảy này, tốc độ dòng chảy giảm mạnh (đó là lý do tại sao đó là bước nhảy) - từ siêu âm đến cận âm chậm.

Điều gì đang xảy ra với nhiệt độ? Hãy ước tính độ lớn của nó. Hãy để cơ thể chuyển động thật nhanh, chẳng hạn, tốc độ của nó $v$ (chính xác hơn là $u=v$) gấp hai mươi lần tốc độ âm thanh $c$. Nói cách khác, tỷ lệ giữa tốc độ dòng $v$ với tốc độ âm thanh $c$ bằng $M=20$ (tỷ lệ này được gọi là số Mach) và mỗi phân tử trong dòng không bị xáo trộn sắp tới có động năng xấp xỉ bằng $\frac{mv^2}{2} = \frac{mc^2}{2} M^2$.

Bên trong lớp dốc, các phân tử gần như bất động so với cơ thể; Điều này có nghĩa là động năng của chúng đã chuyển hóa gần như hoàn toàn thành năng lượng ấm, và để ước tính nhiệt độ $T_1$ ở lớp dốc chúng ta có thể đặt xấp xỉ (đối với các phân tử không khí hai nguyên tử)

$$\frac{mc^2}{2} M^2 \approx \frac{5}{2} kT_1,$$

Cuộc hạ cánh nhẹ nhàng đầu tiên lên Mặt trăng được thực hiện bởi tàu vũ trụ Luna-9. Ở độ cao khoảng 75 km, chuyển động phanh được bật và tàu vũ trụ bắt đầu hạ xuống. Gần bề mặt, một tải trọng hình cầu tách ra khỏi khoang phanh. Khi chạm đất và lăn như một quả bóng thông thường, tải trọng bị đóng băng. Sau đó, 4 thùy ăng-ten mở ra ở bán cầu trên của nó.

21

nitơ:

$$E = \frac{m_N c^2}{2} M^2 = \frac{1}{2} \cdot 4,7 \cdot 10^{-26} \cdot (300)^2 \times (20)^2 \approx 0,85 \cdot 10^{-18} \text{Дж.}$$

Có thể thấy rằng $E$ và $\varphi$ tương đương nhau về độ lớn, nghĩa là chúng ta có thể mong đợi sự xuất hiện của các electron tự do trong các ion.

Tất nhiên, một phần động năng ban đầu của các phân tử sẽ được dùng cho quá trình phân ly và ion hóa, do đó nhiệt độ ở lớp dốc trở nên cao hơn trên bề mặt Mặt trời! Điều này có nghĩa là các phân tử không khí sẽ “phân rã” (phân ly) thành từng nguyên tử riêng lẻ. Còn gì nữa? Chúng ta hãy so sánh động năng của các phân tử với năng lượng khởi đầu. Trong các bảng, bạn có thể thấy rằng năng lượng khởi đầu (trên mỗi phân tử), chẳng hạn như đối với nitơ (thành phần chính của tầng nguyên tử) bằng $\varphi = 2,5 \cdot 10^{-18}$ J. Bây giờ chúng ta hãy ước tính theo Joyles động năng của phân tử tới

Và mặc dù chúng ta đã thảo luận về sự hình thành của một lớp dốc bằng ví dụ về một mặt phẳng mà chúng ta dần dần chuyển qua một dòng chảy siêu âm, tất cả điều này đều đúng với bất kỳ vật thể nào có thể vẽ một mặt phẳng tiếp tuyến vuông góc với dòng chảy. Trong khí động học, những vật thể như vậy được gọi là cùn. Nhưng sự tồn tại của một mặt phẳng như vậy vẫn chưa đủ: để sóng xung kích giống với mặt phẳng mà chúng ta đã nghiên cứu, cơ số của vật thể dọc theo mặt phẳng tiếp tuyến này cũng phải đủ lớn - lớn hơn độ dày của lớp dốc; thì bước nhảy này ở một khoảng cách nào đó (qua dòng chảy) sẽ tương tự như một đường thẳng. Ví dụ, hình 7 cho thấy một quả bóng đang chảy xung quanh một dòng siêu âm. Có thể thấy rằng ở vùng lân cận điểm phía trước

22

bóng (điểm phanh), cả lớp và giảm xóc thực gần như bằng phẳng - nơi này được bao quanh bởi một hình chữ nhật có chấm. Những cơ thể như vậy được gọi là khá xúc phạm - ngu ngốc. (Theo nghĩa này, từ quan điểm của khí động học siêu âm, bất kỳ người nào, thậm chí là một người rất hóm hỉnh, đều là một cơ thể ngu ngốc.)

Vì vậy, trước mỗi lần vật thể bị cùn lại trong dòng chảy siêu âm, một lớp khí dốc và có nhiệt độ cao sẽ được hình thành.

Hành lang vào hoặc đóng cửa

Ở phần đầu của bài viết, chúng ta đã thảo luận về thực tế rằng nếu một hành tinh không có hoặc có một bầu khí quyển, nhưng nó rất hiếm, thì để hạ cánh nhẹ nhàng, cần phải phanh, sẽ cần phải tiêu tốn gần như nhiều năng lượng để thoát khỏi trường hấp dẫn của nó. Nhưng nếu có bầu không khí có mật độ đủ thì bạn có thể tiết kiệm năng lượng này (và do đó là khối lượng liên quan của nhiên liệu được lưu trữ ban đầu) bằng cách sử dụng lực kéo $F_x$ để phanh và lực nâng $F_y$ để duy trì nó trong khí quyển.

“Mật độ vừa đủ” của khí quyển có nghĩa là gì? Và có phải chỉ mật độ của bầu khí quyển mới là điều chúng ta cần cân nhắc? Còn kích thước của hành tinh, khối lượng của nó (phụ thuộc vào gia tốc trọng trường trên bề mặt), độ dày của khí quyển, thành phần của nó thì sao? Còn đặc điểm của chính thiết bị thì sao?

Đây là những gì chúng ta sẽ nói về bây giờ.

Vì vậy, hãy để một thiết bị có khối lượng $M$, có diện tích cánh $S$, di chuyển với tốc độ $v$ trong bầu khí quyển Trái đất ở độ cao $h$, nơi mật độ của khí quyển là $\rho$. Lực nâng sẽ là $F_y = C_y \rho v^2 S$. Bao quanh hành tinh, thiết bị di chuyển theo quỹ đạo gián đoạn tìm kiếm. Để đơn giản, hãy cho quỹ đạo này gần bằng một hình tròn có bán kính $R + h$ (R là bán kính Trái đất); thì gia tốc hướng tâm của thiết bị sẽ bằng $v^2/(R + h)$. Gia tốc này được xác định bởi trọng lực và lực nâng $F_y$:

$$Mg - F_y = \frac{Mv^2}{R + h}.$$

Xét rằng “độ dày” của khí quyển nhỏ so với bán kính Trái đất, chúng ta viết lại phương trình cuối cùng dưới dạng

$$C_y \rho v^2 S \approx M \left( g - \frac{v^2}{R} \right).$$

Từ đây, trước hết, theo sau, nơi hầu như không có bầu khí quyển, nghĩa là mật độ và do đó, sự gia tăng

23

lực bằng 0 và vế phải của biểu thức cũng bằng 0. Sau đó, tốc độ thu được giá trị $v_I = \sqrt{Rg} = 7,8$ km/s - tốc độ vũ trụ đầu tiên. Điều gì xảy ra khi thiết bị hạ xuống? Tốc độ của thiết bị sẽ giảm dưới tác dụng của lực cản $F_x$. Nhưng khi nó giảm đi, mật độ của khí quyển tăng lên nhanh chóng (xem công thức (1)). Và, mặc dù tốc độ giảm, lực nâng $F_y$ vẫn quay trở lại. Và lực nâng này có thể dùng để trì hoãn quá trình “rơi” của thiết bị. Trong trường hợp này, máy bay thực sự trở thành một tàu lượn và lực hấp dẫn tác dụng lên nó có thể được cân bằng bởi lực nâng:

$$Mg = C_y\rho v^2 S.$$

Để sử dụng khả năng này của phương tiện có cánh, bạn cần bay ở những độ cao có mật độ khí quyển không nhỏ hơn $\rho_{\min} \approx \frac{Mg/S}{C_y v^2}$ (tử số của phân số này - lực hấp dẫn trên một đơn vị diện tích của cánh - được gọi là tải trọng tác dụng lên cánh, vì vậy chúng tôi đã đánh dấu nó). Và bằng cách sử dụng công thức (1), bạn có thể xác định độ cao tối đa, không thấp hơn độ cao mà bạn có thể “trên cánh” ở tốc độ bay nhất định $v$:

$$\frac{Mg/S}{C_y v^2} \approx \rho_0 e^{-\frac{h_{\max}}{h^*}} \Rightarrow \frac{h_{\max}}{h^*} \approx \ln \frac{\rho_0 C_y v^2}{Mg/S},$$

Ở đâu

$$h_{\max}(v) \approx h^* \ln \frac{\rho_0 C_y v^2}{Mg/S}.$$

Nói cách khác, nếu chúng ta muốn thiết bị “không bị hỏng” ở độ cao nhất định $h$ thì tốc độ của nó phải không nhỏ hơn

$$v_{\min}(h) \approx \sqrt{\frac{Mg/S}{C_y \rho_0}} e^{\frac{h}{h^*}}.$$

hình 8 hiển thị đường cong BADC tương ứng với việc máy bay đi vào bầu khí quyển Trái đất có vận tốc thoát ban đầu là $v_{\Pi} = 11,2$ km/s. Vùng CD nằm ở các tầng thấp hơn của khí quyển và được mô tả bằng công thức vừa đưa ra.

Vì vậy, chúng ta đã thu được một đường cong mà trên đó thiết bị không thể duy trì bầu khí quyển: ở bất kỳ tốc độ nào cho trước (nhỏ hơn tốc độ vũ trụ đầu tiên), lực nâng sẽ không đủ nếu chúng ta leo lên tốc độ cao hơn

24

chiều cao hơn đường cong này chỉ ra. Phạm vi giá trị “bị cấm” được tô bóng ở trên cùng.

Nào, chúng ta hãy bay nhanh nhé? Dừng lại! Giới thiệu, chúng tôi biết rằng ở tốc độ cao, sóng xung kích sẽ “ngồi” trên các cạnh cùn của bộ máy của chúng tôi, sau đó tác động (hoặc thậm chí không phải là tác động mà là hỗn hợp các mảnh phân tử của nó) sẽ nóng lên đến mức bộ máy có thể đóng băng. Đây là vấn đề khó khăn nhất khi quay lại - rào cản nhiệt. Làm thế nào để trả lời câu hỏi này? Bạn có thể sử dụng mọi thứ: độ dẫn nhiệt của chính thiết bị, cho phép nhiệt truyền “từ mũi đến đuôi”, khả năng nóng chảy của nó (và do đó, thay đổi hình dạng của nó, khiến thiết bị thậm chí còn “ngốc hơn”), bức xạ ấm của các bộ phận “được thêm nóng” của thiết bị, v.v.

Chúng ta sẽ không thảo luận tổng thể vấn đề này ở đây, nhưng để ước tính tốc độ cho phép, chúng ta sẽ xét trường hợp “xấu nhất”, khi toàn bộ vật thể được đưa đến thiết bị bằng không khí chỉ bị loại bỏ khỏi bề mặt của nó bằng bức xạ.

Có một định luật như vậy - định luật Stefan-Bolshman - theo đó công suất bức xạ mang đi từ mỗi mét vuông diện tích tỷ lệ với lũy thừa bậc 4 của nhiệt độ: $q = \sigma T^4 \frac{\Delta J}{\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{c}}$. Hệ số tỉ lệ $\sigma$ được gọi là hằng số Stefan-Bolshman; nó có thể được viết ra từ một cuốn sách tham khảo vật lý: $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8}$ J/(m$^2$·s·K$^4$). Đây là một sự phụ thuộc rất rõ ràng: ví dụ: nếu nhiệt độ tăng lên $3^4=81$ lần - gần một trăm lần! Theo định luật này, hóa ra để làm mát hiệu quả bằng bức xạ thì cần phải “nóng hơn nữa”.

Vì vậy, hãy ước tính tốc độ tối đa mà thiết bị có thể di chuyển mà không cần bơi. Khối lượng không khí tới trong một đơn vị thời gian trên một đơn vị diện tích bề mặt của thiết bị bằng $\rho v$. Năng lượng do không khí này mang lại là $\rho v \frac{v^2}{2}$. Hầu như toàn bộ năng lượng này biến thành nhiệt. Và theo đề xuất, toàn bộ lượng nhiệt này thoát ra khỏi thiết bị do bức xạ, mang đi năng lượng $\sigma T^4$ trên một đơn vị diện tích trên một đơn vị thời gian. Vì vậy, chúng tôi yêu cầu nhiệt độ bề mặt không vượt quá nhiệt độ nóng chảy $T_{\pi \pi}$. Sau đó chúng ta sẽ có

$$\frac{v^2}{2} \rho v \leq \sigma T_{\pi \pi}^4.$$

Do đó, tốc độ của xe không thể lớn hơn giá trị $v_{\max}$ được xác định cho từng độ cao:

$$v \leq v_{\max}(h) = \left[ \frac{2 \sigma T_{\pi \pi}^4}{\rho(h)} \right]^{1/3}.$$

Đồ thị của $v_{\max}(h)$ trên hình 8 là đường cong EF.

Vì vậy, nếu chúng ta muốn sử dụng các đặc tính “mang và phanh” của khí quyển, tức là hạ cánh xuống hành tinh trên một phương tiện có cánh mà không tiêu tốn nhiên liệu để phanh, thì trong mặt phẳng tọa độ độ cao-vận tốc của chúng ta, “quỹ đạo” của chúng ta không thể vượt qua trên đường cong CDAB (các cánh sẽ không hỗ trợ phương tiện) và bên dưới đường cong EF (câu chuyện!). Cả hai đường cong này đều được vẽ cho các điều kiện hạ cánh trên Trái đất. Có thể thấy rằng với tốc độ ngày càng tăng, khoảng cách giữa các đường cong này—chiều rộng của “hành lang vào”—đạt giá trị tối thiểu (có nghĩa là, đặc biệt ở độ cao này, bạn cần phải cẩn thận!), nhưng may mắn thay, những đường cong này bị bỏ qua! Wise Nature đã tạo cơ hội cho sự phát triển của các sinh vật quay trở lại Trái đất trên các phương tiện có cánh.

25

Sự ra đời của hợp kim

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. S. STEINBERG

Cạnh kết nối lộ ra,
Phá hủy lồng đất
Và đất sét giận dữ
Những bí mật sủi bọt của đồng.

O. E. Mandelstam

Ngày nay, đồng đã quá quen thuộc nhưng khó có thể tưởng tượng nó là một kim loại có “bí mật sủi bọt”. Mặc dù đằng sau cô ấy có một lịch sử yếu kém. Đồng là kim loại đầu tiên được con người sử dụng. Nhưng vì sự mềm mại của nó nên các công cụ của các vật thể ở xa của chúng ta nhanh chóng trở nên buồn tẻ. Đồng đã được thay thế bằng đồng thau cứng hơn và bền hơn - hợp kim của đồng với thiếc, asen và các nguyên tố khác. Và đồng nguyên chất đã ẩn mình trong bóng tối một thời gian dài.

Một làn sóng quan tâm mới đến kim loại cổ có liên quan đến tính dẫn điện cao của nó. Về chỉ số này, đồng chỉ kém hơn bạc một chút, nhưng đừng quên giá của nó. Pozny, nhiều bộ phận dẫn điện được làm từ đồng. Nhưng thường chỉ độ dẫn điện cao thôi là chưa đủ…

Các tiếp điểm điện nên được làm bằng kim loại gì? Rõ ràng là chúng phải dẫn dòng điện tốt, nhưng ngoài ra, chúng còn phải đảm bảo khả năng chống xói mòn. Từ “xói mòn” có thể không quen thuộc với mọi người, nhưng ý nghĩa của nó rất đơn giản: đây là tên gọi sự phá hủy bề mặt của một bộ phận. Nếu vật liệu không đủ bền thì do đóng mở liên tục, các tiếp điểm sẽ mất hình dạng và hỏng.

Sự kết hợp tương tự của các đặc tính cường độ cao (trong phạm vi nhiệt độ hoạt động rộng) và độ dẫn điện là cần thiết cho các điện cực hàn, dây dẫn nhiệt độ cao, v.v.

Có thể xử lý đồng sao cho điện trở suất của nó hầu như không tăng nhưng cường độ của không khí lại đáng kể?

Sức mạnh là gì?

Dưới tác dụng của ngoại lực, vật liệu có thể bị biến dạng - biến dạng. Nhưng điều này có thể xảy ra theo những cách khác nhau. Nếu bạn kéo căng sợi dây thun và thả nó ra, nó sẽ lại co lại. Đây là một ví dụ về biến dạng đàn hồi. Nhưng ngược lại, plasticine hoàn toàn “không thể nhớ” và ngoan ngoãn nhận bất kỳ đường nét nào vào tay nó. Biến dạng này được gọi là dẻo.

Kim loại hoạt động dưới tải giống chất dẻo hơn là cao su. Tất nhiên, mặc dù việc làm biến dạng chúng khó khăn hơn nhiều. Rõ ràng, ở nhiệt độ nóng chảy, kim loại có cấu trúc tinh thể. Một phần sơ đồ của tinh thể được hiển thị trong hình 1. Nó cũng cho thấy dưới tác dụng của ngoại lực, hai phần của tinh thể có thể trở nên gần nhau hơn như thế nào. Nếu tải được loại bỏ, tinh thể vẫn ở trạng thái biến dạng.

Đồng là kim loại mềm vì nó dễ bị biến dạng dẻo. Nhưng trước đó

Hình 1. Tinh thể đồng dễ bị biến dạng bởi các điều kiện bên ngoài tác động lên nó.

Hình 2. Môi trường lãnh thổ đi qua phần lãnh thổ. Tinh thể được đơn giản hóa.

27

Một hợp kim đồng và nhôm rất dễ sản xuất. Để làm điều này, bạn cần lấy cả hai thành phần theo tỷ lệ cần thiết, làm tan chảy chúng lại với nhau, trộn chất lỏng và để nguội và kết tinh.

Kết quả sẽ xấp xỉ những gì được hiển thị trong hình 3, b. Làm thế nào để bổ sung oxy bây giờ?

Hãy đặt một hợp kim đồng-nhôm trong môi trường khí có chứa oxy. Ít nhất là chỉ vào không khí. Khi chúng khuếch tán, các phân tử khí sẽ lấp đầy khoảng trống giữa các nguyên tử kim loại.

Vâng, tốt. Chúng ta có thể điều chế một hợp kim đồng với nhôm và oxy. Tôi nên làm gì? Bây giờ là lúc tiết lộ ý tưởng đằng sau kế hoạch của chúng tôi. Theo các nhà hóa học, nhôm có ái lực với oxy lớn hơn đồng. Nói cách khác, nó bị oxy hóa dễ dàng hơn. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể cố gắng tạo điều kiện khi nhôm bị oxy hóa, còn đồng thì không. Sau đó, các hạt oxit nhôm sẽ hình thành bên trong đồng và mục tiêu của chúng tôi sẽ đạt được. Nhân tiện, hoàn toàn không cần thiết phải sử dụng nhôm cho những mục đích này. Bạn có thể chọn bất kỳ kim loại nào khác có ái lực với oxy lớn hơn đồng. Titan, hafni, zirconi, niken, thiếc, v.v. đều phù hợp.

Rất có thể bạn đã từng thấy ngọn lửa của một khách du lịch kém năng lực tắt như thế nào ngay cả khi thời tiết khô ráo. Nếu củi được chất bừa bãi, oxy sẽ khó tiếp cận với chất cháy và phản ứng có thể dừng lại. Điều này không có nghĩa là hoàn toàn không có oxy bên trong ngọn lửa được xây dựng kém. Tất nhiên, nó xuyên qua đó qua nhiều vết nứt. Nhưng nó có thể không đủ.

Chúng ta đang đi đến một kết luận rất quan trọng. Phản ứng hóa học là một hiện tượng “ngưỡng”. Để điều đó xảy ra, cần phải tạo ra một nồng độ tối thiểu nhất định (trên “ngưỡng”) của các chất phản ứng. Nếu không phản ứng sẽ không hoạt động.

Chúng ta gặp phải những biểu hiện của giá trị này hàng ngày. Phân tích hóa học cẩn thận cho thấy hầu hết tất cả các nguyên tố trong bảng tuần hoàn đều có mặt xung quanh chúng ta và trong chính chúng ta. May mắn thay, theo quy luật, nồng độ của chúng nằm dưới “ngưỡng” và chúng không phản ứng với nhau. Nếu không, cuộc sống của chúng ta sẽ khó tưởng tượng…

Hãy quay trở lại với kim loại. Phản ứng oxy hóa của nhôm dễ dàng hơn phản ứng oxy hóa của đồng vì “ngưỡng” nồng độ oxy đối với nó thấp hơn. Điều này có nghĩa là có thể chọn nồng độ oxy trong khí quyển sao cho nhôm vẫn bị oxy hóa, nhưng đồng thì không.

Cuối cùng, bây giờ chúng ta hãy xem xét toàn bộ quá trình oxy hóa bên trong. Mẫu ban đầu là hợp kim nhôm trộn với đồng, trong đó tỷ trọng nhôm không vượt quá 30%. Đây là hình dạng của các mẫu hợp kim làm từ đồng sau quá trình oxy hóa bên trong. Các hạt tăng cường là SiO₂, đường kính hạt d≈1000 A (ảnh a, độ phóng đại 100.000) và Al₂O₃, d≈150 A (ảnh b, độ phóng đại 200.000) và d≈50 A (ảnh c, độ phóng đại 200.000). Các hạt càng nhỏ thì vật liệu càng khác nhau.

28

Theo quy định, nó là một tỷ lệ phần trăm. Mẫu này được đặt trong một buồng nơi nó được giữ ở nồng độ oxy được lựa chọn đặc biệt, tại đó chỉ nhôm mới có thể oxy hóa. Các nguyên tử oxy bắt đầu khuếch tán vào mẫu. Ở rìa của nó, một hợp kim gồm ba nguyên tố được hình thành - đồng, nhôm và oxy. Sự bắt đầu của quá trình được thể hiện dưới dạng sơ đồ ở hình 4.

Trong vùng hợp kim bậc ba, phản ứng oxy hóa nhôm xảy ra. Trong trường hợp này, các nguyên tử nhôm và oxy rời khỏi mạng tinh thể đồng và “tổ chức” pha độc lập của riêng chúng - oxit Al₂O₃. Các kẽ hở của lưới đồng được giải phóng và các phần oxy mới sẽ đi vào chúng từ bên ngoài. Nhưng nguồn cung nhôm ở rìa mẫu sẽ sớm cạn kiệt. Toàn bộ vùng bên ngoài trở nên đơn giản hóa bằng oxit và các quá trình oxy hóa sẽ tiến xa hơn - vào sâu trong mẫu, nơi oxy sẽ liên tục được “bơm lên” từ bề mặt. Khi vùng phản ứng đi qua toàn bộ mẫu, quá trình kết thúc: toàn bộ nhôm được chuyển hóa hoàn toàn thành oxit*).

Oxit bên trong đồng được hình thành dưới dạng các hạt rất nhỏ có kích thước hàng trăm angstrom (1Å=10⁻⁸ cm). Chúng có thể nhìn thấy rõ ràng dưới kính hiển vi điện tử.

Cũng cần nói thêm rằng toàn bộ quá trình thực hiện đều có ý nghĩa

*) Chính xác hơn là còn lại rất ít nhôm, nồng độ của nó trở thành “bột”.

Xin độc giả chú ý!

Cửa hàng Akademika ở Chisinau gửi sách trả tiền mặt từ nhà xuất bản Nauka:

Vasiliev N.V., Gutenmacher V.L., Rabbot Zh.M., Toom A.L. Mô tả toán học tương ứng. — 1986. — 30k.

Klimshin I. A. Thiên văn học thời đại chúng ta. - Tái bản lần thứ 3, có sửa đổi và mở rộng. - 1986. - 2 r. 30k.

Mayer V.V. Sự phản xạ toàn phần của ánh sáng trong các thí nghiệm đơn giản. — 1986. — 25k.

Sikoruk L. L., Shpolsky M. R. Chụp ảnh thiên văn nghiệp dư. — (Thư viện của người đam mê thiên văn học). — 1986. — 30k.

Silin A. A. Trenz và chúng tôi. - (Thư viện)

ở nhiệt độ cao. Như đã biết, nhiệt độ là thước đo động năng trung bình của các phân tử hoặc nguyên tử. Khi nhiệt độ tăng lên, oxy trở nên linh động hơn và toàn bộ quá trình tăng tốc đáng kể theo thời gian.

Thay vì một kết luận

Bây giờ chúng ta hãy tự trang bị cho mình những con số: thí nghiệm cho thấy độ dẫn điện của vật liệu không chứa oxit là 80-90% độ dẫn điện của đồng nguyên chất, điều này làm tăng tuổi thọ của sản phẩm lên hàng chục lần. Và trong đồng “xưa” vẫn còn rất nhiều “bí mật sôi sục”!

Hợp kim mà chúng tôi mô tả đã trải qua một chặng đường dài từ nghiên cứu cơ sở vật lý của quy trình và tạo ra các mô hình toán học cho đến sản xuất công nghiệp. Một vật liệu tương tự dựa trên bạch kim hiện đang được tạo ra. Nhưng nó sẽ mạnh hơn đáng kể so với bạch kim nguyên chất. Sự ra đời của nó cho phép tiết kiệm rất nhiều kim loại quý.

Nhìn bề ngoài, đồng nội không oxit không khác gì đồng nguyên chất, còn bạch kim nội không oxit không khác gì bạch kim nguyên chất. Và nhìn vào lớp kim loại mịn trên người anh ta, đôi khi chúng ta không nghi ngờ anh ta giữ bí mật như thế nào, “đường đời” của anh ta phức tạp đến mức nào, có bao nhiêu người chung tay giúp anh ta tồn tại và thực sự, không phải toàn bộ sự nghiệp của anh ta.

Xin độc giả chú ý tại địa chỉ: 227012 Chisinau, Lenin Ave., 148, cửa hàng Akademika.

29

Bài toán

M1101—M1105, F1113—F1117

M1101. Trên các cạnh AB và AC của tam giác đều ABC còn có các điểm D và E tương ứng sao cho AD=BC=EC và tam giác ADE là đều. Góc ở đỉnh A có thể là bao nhiêu?

V. Chiriac (Romania)

M1102. Chứng minh rằng có n số tự nhiên khác nhau có tổng các lập phương bằng lập phương của một số tự nhiên nếu a) n=3, 6) n=4, c) n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2.

L. D. Kurlyandchik

M1103. a) Trên một mặt phẳng vô hạn được chia thành các ô vuông, có một số lượng nhất định - có lẽ là vô hạn - các hình chữ nhật cỡ 1x2 được tô màu đen sao cho không có hai hình chữ nhật màu đen nào có điểm chung (sau đây gọi là các đỉnh). Chứng minh rằng phần còn lại của mặt phẳng có thể được thay thế bằng các hình chữ nhật này.

6)* Cho có một số hình chữ nhật khép kín có kích thước m×n trên mặt phẳng ca rô không có điểm chung. Chứng minh rằng nếu mn là số chẵn thì phần còn lại của mặt phẳng có thể được thay thế bằng các hình chữ nhật có kích thước 1x2, nhưng nếu mn là số lẻ thì điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được.

M. Khovanov, học sinh lớp 10

M1104. Trong tứ diện ABCD, các mặt ABC và BCD vuông góc với nhau, ∠BAC=90°. Chứng minh rằng từ các đoạn có độ dài bằng tích độ dài các cạnh đối diện của tứ diện có thể tạo thành một tam giác vuông.

V. N. Dubrovsky

M1105. Sau vài lần cắt hình chữ nhật, các bề mặt của đa giác lồi đã được biến thành một mặt phẳng. Kết quả là một đa giác mà người ta biết điểm nào trên ranh giới của nó được “dán lại với nhau”, nghĩa là chúng tương ứng với cùng một điểm trên bề mặt của đa giác. Đa giác ban đầu trông như thế nào nếu khi cắt, kết quả là a) một hình chữ nhật có cạnh 1 và √3,
6) một tam giác đều có một góc 120° và các điểm trên mỗi cạnh đối xứng qua điểm giữa của nó được dán lại với nhau.

N. P. Dolbili, M. I. Shtogrin

F1113. Một quả cầu bán kính R có thể quay tự do trên một trục nằm ngang cố định OO′. Dưới quả bóng, ấn vào nó, một cuộn băng cứng thô chuyển động, uốn cong dưới dạng nửa hình trụ có bán kính R (hình 1). Tốc độ vành đai v hướng theo phương ngang và vuông góc với trục OO′. Tốc độ quay được đặt của quả bóng là bao nhiêu?

L. G. Markovich

30

F1114. Diễn viên đóng thế rơi từ độ cao $H=50$ m. Một sợi dây cao su được gắn vào người anh ta, đầu thứ hai của dây được cố định ở điểm xuất phát. Chiều dài và độ cứng của shura được chọn sao cho tốc độ ở gần mặt đất giảm xuống bằng 0. Sau khi hết rung động, diễn viên đóng thế bị treo ở độ cao $h=10$ m so với mặt đất. Tốc độ tối đa của diễn viên đóng thế khi rơi là bao nhiêu? Bỏ qua sự tuân thủ không khí.

D. V. Pavlov

F1115. Một bình kín chứa đầy khí được chia thành hai phần bằng một piston nằm ngang không thể xuyên thủng; khối lượng của bình $m$, khối lượng của piston $M$. Đầu tiên, tàu sẽ kết thúc trên giá đỡ. Sau đó giá đỡ chỉ bị đánh bật ra khỏi gầm tàu. Tàu bắt đầu chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu? Ma sát giữa thành bình và pít-tông.

S. F. Kim, A. I. Latinin

F1116. Hai pipet hóa học giống hệt nhau chứa đầy nước ở cùng mức: một - lạnh, một - nóng. Các pipet được làm trống và các giọt được đếm. Pipet nào sẽ tạo ra nhiều giọt nhất?

A. I. Buzdin

F1117. Ánh sáng từ một nguồn chính xác $A$ được chiếu qua bức tường mờ bằng đèn - một que mỏng trong suốt có bán kính tiết diện $R$ (hình 2); phần bên trong của thanh có bán kính $r(R-r\ll r)$ được làm bằng vật liệu có chiết suất $n_1$, và lớp vỏ bên ngoài được làm bằng vật liệu có chiết suất $n_2$ ($n_2<n_1$). Xác định đường kính của điểm sáng trên màn hình nằm cách đầu bên phải của đèn một khoảng $L$. Nguồn sáng nằm ở trung tâm của đầu bên trái của đèn.

Kích thước của điểm sẽ thay đổi như thế nào nếu nguồn bị loại bỏ dọc theo trục ánh sáng ở khoảng cách $l$ tính từ điểm cuối?

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

Problems

M1101—M1105, P1113—P1117

M1101. There are points $D$ and $E$ on the equal sides $AB$ and $AC$ (respectively) of the isoceles triangle $ABC$ such that $AD=BC=EC$ and the triangle $ADE$ is isosceles. What can be said about $\angle A$?

V. Chiriac (Rumania)

M1102. Prove that there exist $n$ distinct natural numbers whose sum of cubes is the cube of a natural number, if a) $n=3$, b) $n=4$, c) $n$ is any natural number greater than 2.

L. D. Kurlyandchik

M1103. In the infinite plane, divided into equal little squares, there is a certain quantity (perhaps infinite) of black $1\times 2$ rectangles without common sides or vertices.

34

The water is dripped out of the pipettes and the drops counted. Which pipetie will yield the most drops?

A. I. Buzdin

P1117. Light from a point source $A$ is carried through a non-transparent wall by means of a light conductor: a thin transparent stick with circular section of radius $R$ (figure Pisc.); the inner part of the stick of radius $r(R-r \ll r)$ is made of a material of refraction index $n_1$, the outer envelope — of material with refraction index $n_2$ ($n_2 < n_1$). Determine the diameter of the light spot obtained on a screen placed at the distance $L$ from the right end of the light conductor. The source $A$ is placed next to its left end, near the latter’s middle. How will the size of the spot change, if the source is moved away from the conductor along its axis to the distance $l$?

E. N. Yunosov, I. V. Yaminski

Lời giải bài toán

M1081—1085, F1093—1097

Chúng ta sẽ giả sử rằng “chữ số áp chót” của số có một chữ số là 0.

Nếu số $N$ kết thúc bằng các chữ số $ab$ thì hiển nhiên hai chữ số cuối của số $3N$ trùng với hai chữ số cuối của số $3(10a+b)=30a+3b$. Do đó, nếu $a$ là số chẵn thì các chữ số áp chót của các số $3N$ và $3b$ sẽ có cùng tính chẵn lẻ. Hãy viết ra vài mức độ đức tin 3:

$$3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81.$$

IX số cuối - 3, 9, 7, 1; sau đó họ sẽ lặp lại định kỳ. Các chữ số áp chót của các số $3 \cdot 3=9, 3 \cdot 9=27, 3 \cdot 7=21, 3 \cdot 1=3$ là số chẵn, do đó, nếu câu bài toán đúng với $3^n$ thì nó cũng đúng với $3^{n+1}$. Và vì nó đúng với $3^3=27$ nên chúng ta kết luận bằng quy nạp rằng nó cũng đúng với mọi $n>2$ tự nhiên.

V. I. Plachko

M1082. Trong một tứ giác lồi $ABCD$ các đường chéo cắt nhau tại điểm O. Chứng minh rằng đẳng thức $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2)$ giữ và chia đôi tại điểm O.

Chúng ta hãy viết định lý cosin cho tam giác $AOB, BOC, COD$ và $DOA$, giả sử $\angle AOB=\alpha$ (và do đó $\angle BOC=\pi-\alpha$; xem hình):

$$AB^2=AO^2+BO^2-2AO \cdot BO \cos \alpha,$$
$$BC^2=BO^2+CO^2+2BO \cdot CO \cos \alpha,$$
$$CD^2=CO^2+DO^2-2CO \cdot DO \cos \alpha,$$
$$DA^2=DO^2+AO^2+2DO \cdot AO \cos \alpha.$$

Hãy cộng các đẳng thức này và cắt các bình phương của các đoạn đường chéo về phía bên trái:

$$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2)=2 \cos \alpha(-AO \cdot BO+BO \cdot CO-CO \cdot DO+DO \cdot AO)=2 \cos \alpha(BO-DO)(CO-AO).$$

Sự đẳng thức từ điều kiện tương đương với thực tế là điều kiện sau

35

Bài tập, Quanta

biểu thức kết quả bằng 0, vì vậy hoặc
сς α=0 nên hai đường chéo AC và BD vuông góc
cular, hoặc BO=DO, hoặc CO=AO, tức là một trong các đường chéo
đổ được chia cho điểm O làm đôi.

A. P. Savin

M1083. Điều vĩ đại nhất của không
số âm $a_1$, $a_2, \dots, a_n$ bằng a.
a) Chứng minh bất đẳng thức
$$\frac{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}{n} \leqslant \left(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\right)^2 + \frac{a^2}{4}.$$
b) Khi đạt tới
bình đẳng?

a), b) Đặt $(a_1+a_2+\dots+a_n)/n=m$ thì
$$\frac{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}{n} - m^2 \leqslant am - m^2 = \frac{a^2}{4} - \left(\frac{a}{2} - m\right)^2 \leqslant \frac{a^2}{4},$$
kể từ $a_i^2 \leqslant a \cdot a_i$ ($i=1, 2, \dots, n$). Điều này chứng tỏ
bất đẳng thức a).

Sự bình đẳng đạt được trong đó khi và chỉ khi,
thứ nhất, $a_i^2=a \cdot a_i$, tức là với mọi $i$ $a_i=0$ hoặc $a_i=a$, và thứ hai, $m=a/2$. Và điều này chỉ có thể xảy ra trong hai trường hợp: 1) tất cả $a_i$ đều bằng 0; 2) $n$ là số chẵn và $n/2$ trong số các số $a_i$ bằng 0 và $n/2$ còn lại bằng $a$ ($a>0$).

Theo cách tương tự, chúng ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau - tổng quát hơn: $p_1a_1^\alpha + p_2a_2^\alpha + \dots + p_na_n^\alpha \leqslant \left(p_1a_1+\dots+p_na_n\right)^\alpha + (\alpha-1)\alpha^{\frac{1}{1-\alpha}}a^\alpha$ cho $p_i \geqslant 0$ ($i=1, \dots, n$), $p_1+p_2+\dots+p_n=1$, $\alpha>1$, $0 \leqslant a_i \leqslant a$.

L. G. Khanin

M1084. Hai đường tròn trên một mặt phẳng cắt nhau tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng có thể chọn điểm C sao cho đường tròn bất kỳ có dây AC sẽ cắt các đường tròn này (lần thứ hai) tại các điểm cách đều C.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $O_1$ và $O_2$ tâm của các vòng tròn này. Chúng ta hãy mở rộng tam giác $O_1BO_2$ thành hình bình hành (hình 1) và chứng minh rằng đỉnh thứ tư $C(O_1C=BO_2)$ của nó là điểm cần tìm.

Đặt $O$ là tâm của một đường tròn tùy ý đi qua $A$ và $C$, $M$ và $N$ các giao điểm của nó với các đường tròn $O_1$ và $O_2$. Đẳng thức $CM=CN$ tương đương với đẳng thức của CM và CN của đường tròn O, do đó, tương đương với việc đường thẳng AC tạo thành các góc bằng đường thẳng AM và AN (tức là $\angle CAM=\angle CAN$ - hình 1 hoặc $\angle CAM+\angle CAN=180^\circ$ - hình 2). Dây chung AM của các đường tròn O và $O_1$ vuông góc với đường tâm $OO_1$; tương tự, dây AN vuông góc

36

ấu trùng $OO_2$. Do đó, chỉ cần chứng minh đường thẳng $AC$ tạo thành các góc bằng $OO_1$ và $OO_2$ là đủ. Lưu ý rằng $ACO_1O_2$ là hình thang cân bằng (vì $O_1C=O_2B=O_2A$, $O_2C=O_1B=O_1A$, tức là $\triangle O_1O_2C=\triangle O_2O_1A$). Do đó, đường thẳng $AC$ song song với $O_1O_2$. Cần lưu ý rằng $\angle OO_1O_2=\angle OO_2O_1$ hoặc điểm $O$ nằm trên đường phân giác vuông góc của đoạn $AC$ ($OA=OC$), và do đó nằm trên đoạn $O_1O_2$.

V. Yu. Progasov

M1085*. Một số đường thẳng cắt nhau theo cặp nằm trong không gian được chiếu trên mặt phẳng nằm ngang. Các hình chiếu của chúng được mô tả sao cho tại các điểm giao nhau có thể thấy rõ điểm nào nằm ở trên và điểm nào ở dưới. có thể thu được phép chiếu như trong hình 1a, 6, 8 không?

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

37

F1093. Một ô tô có trọng lượng m=1200 kg, không phanh, chuyển động với tốc độ không đổi dọc theo một đoạn đường nghiêng với góc nghiêng α (sin α = $\frac{1}{14}$). Mỗi trong số bốn bánh xe tự động có bán kính ngoài R và được gắn chặt vào trống phanh có bán kính r = $\frac{5}{12}$ R, mà má phanh A và A’ được ép với lực bằng nhau N (xem hình). Bắt đầu N nếu hệ số ma sát trượt giữa trống và miếng đệm là k=0,4. Không có hiện tượng trượt giữa lốp xe và đường cao tốc.

F1094. Một ống hẹp có tiết diện không đổi tạo thành canadrate ở phía l,

c) Đáp số: có. Nếu chúng ta xây dựng được một cấu hình, thiết kế của cấu hình này được hiển thị ở hình 5, sau đó bằng cách nâng nhẹ (bằng cách dịch song song) đường thẳng 6, hạ thấp đường thẳng 5 và đằng sau nó là các đường thẳng 1 và 2, chúng ta nhận được hình 1, lấy các đường thẳng 1, 2, 3 và 4 là các đường chéo của các mặt bên của hình lập phương (hình 6), thẳng 5 Hãy vẽ qua trung điểm của đường chéo 1 và 2 rồi kẻ đường thẳng 6 đi qua các điểm trên đường chéo 3 và 4 nằm ngay dưới trung điểm của chúng. Hình chiếu của những đường này lên đáy hình lập phương cho hình 5.

Chúng tôi mời người đọc, nếu có thể, đưa ra các điều kiện tổng quát hơn cho sự tồn tại cấu hình của các đường giao nhau do hình chiếu của chúng cho trước. Đây là một điều thú vị nhưng có vẻ khá khó khăn bài toán cho nghiên cứu.

S. L. Tabachnikov

Nếu má phanh không tác dụng lên các bánh xe của số tự động, thì trong trường hợp không có vết thủng giữa lốp và đường cao tốc, số tự động sẽ lao xuống dốc với khả năng tăng tốc. Trong trường hợp này, dọc theo đường S, nó sẽ “thu được” động năng ΔK, và theo định luật bảo toàn năng lượng

$$\Delta K = mgS \sin \alpha,$$

trong đó mgS sin α là độ biến thiên của thế năng.

Theo điều kiện bài toán mật độ tự động không thay đổi. Điều này có nghĩa là công A của lực ma sát (giữa trống phanh và má phanh) dọc theo đường S đúng bằng mgS sin α. Hãy tìm một công việc A.

Nếu xe số tự động đi qua quãng đường S thì mỗi khối đã đi dọc theo bề mặt trống một quãng đường S₁ = Sr/R, và lực ma sát giữa mỗi khối và trống đã thực hiện công

$$A_1 = kNS_1 = kNS \frac{r}{R}.$$

Tổng công của lực ma sát là

$$A = 8A_1 = 8kNS \frac{r}{R}$$

(mỗi bánh trong số bốn bánh có hai miếng đệm).

Như vậy, theo định luật bảo toàn năng lượng

$$8kNS \frac{r}{R} = mgS \sin \alpha.$$

Từ đây đến N:

$$N = \frac{mgR \sin \alpha}{8kr} = 630 \text{ Н.}$$

V. I. Chivilev

Khi bắt đầu chuyển động, chất lỏng sẽ có xu hướng chiếm vị trí tại đó thế năng của hệ Π sẽ nhỏ nhất. Giá trị của Π sẽ là tối thiểu,

38

cố định trong mặt phẳng thẳng đứng. Ống chứa đầy thể tích bằng nhau của hai chất lỏng không propicat có mật độ $Q_1$ và $Q_2$ (xem hìnhok). Ban đầu, một chất lỏng đậm đặc hơn lấp đầy phần trên của ống. Tại một thời điểm nào đó chất lỏng bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ tối đa của họ. Cái thứ ba thì không. Gia tốc trọng trường là g.

F1095. Người thợ cạo tóc lơ đãng không để ý rằng mình đã vô tình tông vào một bức tường thẳng đứng. Ước tính tốc độ tối thiểu mà lốp biến dạng thành vành kim loại khi va chạm. Giả định rằng bạn, khi hiểu rõ về hiện tượng này, có thể tự mình đặt các đại lượng cần thiết cho lời giải, chọn các giá trị số đủ chính xác của chúng và thu được kết quả bằng số.

Khi chất lỏng đậm đặc hơn ở nửa dưới của ống và chất lỏng nhẹ hơn ở nửa trên (vị trí cân bằng ổn định). Theo định luật bảo toàn năng lượng, tại thời điểm này động năng của chất lỏng $K=(m_1+m_2)v^2/2$ (và do đó tốc độ của nó) sẽ cực đại và $K=\Delta\Pi$ (ΔП là độ biến thiên thế năng của hệ). Hãy tìm ∆Π.

Trọng tâm của chất lỏng chiếm lớp lót (trên hoặc dưới) của ống nằm cách mặt ngang gần nhất một khoảng $y=l/8$. Độ dịch chuyển trọng tâm của chất lỏng khi chuyển sang vị trí cân bằng ổn định bằng

$$\Delta y=l-2y=l-2 \frac{l}{8}=\frac{3}{4} l.$$

Do đó, độ biến thiên thế năng của tất cả các hệ là

$$\Delta\Pi=(m_1-m_2)g \cdot \frac{3}{4} l=\frac{3}{2}(Q_1-Q_2)gSl^2$$

(S là diện tích mặt cắt ngang của ống).

Giá trị động năng tối đa -

$$K_{\max}=(m_1+m_2)\frac{v^2_{\max}}{2}=(Q_1+Q_2)Slv^2_{\max}.$$

Do đó, từ định luật bảo toàn năng lượng -

$$(Q_1+Q_2)Slv^2_{\max}=\frac{3}{2}(Q_1-Q_2)gSl^2$$

• tìm $v_{\max}$:

$$v_{\max}=\sqrt{\frac{3}{2}gl \frac{Q_1-Q_2}{Q_1+Q_2}}.$$

G. V. Meledin

Khi bánh xe đạp va vào một bức tường thẳng đứng, khí trong buồng bị nén. Đồng thời công việc được thực hiện

$$A \sim p \cdot \Delta V,$$

trong đó $p$ là áp suất không khí dư thừa trong buồng, $\Delta V$ là sự thay đổi thể tích buồng. Động năng của xe đạp sẽ có sẵn để thực hiện công việc này, vì vậy

$$p \cdot \Delta V \sim \frac{mu^2}{2}.$$

Từ đây ta tính được vận tốc của xe đạp

$$u \sim \sqrt{\frac{2p \cdot \Delta V}{m}}.$$

Áp suất dư thừa trong buồng có thể được ước tính từ sự tương ứng

$$p \cdot 2S \sim mg,$$

trong đó $S$ là diện tích tiếp xúc của mỗi bánh xe với mặt đường. Kể từ đây,

$$u \sim \sqrt{\frac{g \cdot \Delta V}{S}}.$$

Âm lượng của $\Delta V$, như được thấy từ hình, có thể được ước tính là

39

$$\Delta V \sim \frac{\pi d^2}{4} \cdot \frac{L}{2}, \quad \text{где} \quad \frac{L}{2} = \sqrt{2dR - d^2} \approx \sqrt{2dR}.$$

Chúng ta hãy ước tính bằng số: tại $d \sim 4$ cm, $S \sim 3 \cdot 10$ cm$^2$, $R \sim 40$ cm chúng ta thu được

$$u \sim 4 \text{ km/ч}.$$

G. V. Fedotovich

F1096. Một cọc dây có bán kính $R$ có một dây dẫn điện nằm dọc theo đường kính. Hình bán nguyệt bên trái và bên phải bao gồm các tụ điện $C_1$ và $C_2$ (xem hìnhok). Chiếc nhẫn được đặt trong một tổ hợp từ trường tuyến tính theo thời gian có cảm ứng $B(t) = B_0 t/T$, một biến số của mặt phẳng của nó. Tại một thời điểm nào đó, jumper bị loại bỏ và sau đó trường sẽ ngừng thay đổi. Bắt đầu tích điện vào các tụ điện.

Một vòng có dây nhảy dẫn điện có thể được biểu diễn dưới dạng hai mạch - $AC_1B$ và $BC_2A$ - mỗi mạch có diện tích $\pi R^2/2$. Từ thông tùy ý trong mỗi mạch thay đổi theo thời gian như

$$\Phi(t) = \frac{\pi R^2}{2} B_0 \frac{t}{T}.$$

Trong trường hợp này, suất điện động cảm ứng được duy trì trong mỗi mạch

$$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{\pi R^2 B_0}{2T}.$$

Đây là hiệu điện thế giữa các bản của mỗi tụ điện (xem hìnhok). Do đó, điện tích trên các bản tụ khi từ trường thay đổi sẽ lần lượt không đổi và bằng nhau,

$$Q_1 = \mathcal{E} C_1, \quad Q_2 = -\mathcal{E} C_2.$$

Sau khi dây nối được tháo ra và trường ngừng thay đổi, điện tích $Q_1$ và $Q_2$ sẽ được phân phối lại giữa $C_1$ và $C_2$ cho đến khi hiệu điện thế giữa các tấm kết nối của tụ điện bằng 0, tức là cho đến khi điện áp trên các tụ điện bằng nhau. Điện tích được thiết lập trên các tấm sẽ được xác định bởi các điều kiện

$$\frac{Q'_1}{C_1} = \frac{Q'_2}{C_2},$$

$$Q'_1 + Q'_2 = Q_1 + Q_2$$

(sự đẳng thức cuối cùng tuân theo định luật bảo toàn điện tích). Giải (2) và (3) cùng nhau, sử dụng biểu thức (1) cho $\mathcal{E}$, chúng ta tìm thấy $Q'_1$ và $Q'_2$:

$$Q'_1 = \mathcal{E} C_1 \frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2} = \frac{\pi R^2 B_0 C_1}{2T} \frac{C_1 - C_1}{C_1 + C_2},$$

$$Q'_2 = \mathcal{E} C_2 \frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2} = \frac{\pi R^2 B_0 C_2}{2T} \frac{C_2 - C_1}{C_1 + C_2}.$$

G. V. Fedotovich

41

SỨC MẠNH ARCHIMEDEAN
TRONG TÁC PHẨM VĂN HỌC

Ứng viên khoa học sư phạm
S. A. TIKHOMIROV

Vật lý bao quanh chúng ta ở khắp mọi nơi - ở nhà, trên đường phố, trên cánh đồng, trong rừng, bên bờ sông. Các nhà văn, ghi nhận chính xác một cách đáng kinh ngạc tất cả nguồn gốc xung quanh họ, đưa ra những mô tả tươi sáng, đầy màu sắc về các hiện tượng tự nhiên khác nhau. Đọc sách, theo dõi kỹ tình tiết, đôi khi chúng ta bỏ qua những phần mô tả này vì cho rằng chúng chưa đủ thú vị. Trong khi đó, chúng dường như là tài liệu rất có giá trị và hữu ích không chỉ đối với các “nhà viết lời”, mà còn đối với các “nhà vật lý”. Họ thường học cách chú ý và dạy chúng cách quan sát, chú ý và nhìn thấy những biểu hiện của vật lý trong cuộc sống xung quanh.

Chúng tôi mời bạn xem một số trang của tác phẩm văn học từ quan điểm vật lý này. Hãy bắt đầu bằng một đoạn trích trong truyện “Stel” của A. P. Chekhov:

“Yegorushka… chạy và bay từ một chiếc xe buýt dài một nửa. Sau khi mô tả một vòng cung trên không, anh ta rơi xuống nước, chìm sâu, nhưng không đến được ngày; một lực nào đó, lạnh và cay khi chạm vào, đã nhấc anh ta lên và mang anh ta trở lại.”

Rõ ràng là ở đây chúng ta đang nói về sức mạnh của Archimedes, “lạnh và cay khi chạm vào”. Chúng ta hãy cố gắng giải thích những biểu hiện khác nhau của sức mạnh Archimedean được tìm thấy trên các trang tiểu thuyết. Đọc chúng và trả lời các câu hỏi đặt ra.

Trích đoạn truyện “Dưới nước” của B.V. Zhitkov. Viên trung úy chỉ huy tàu ngầm khi vào cảng đã chấp nhận một cách phù phiếm lời giải đào dưới nồi hấp, đứng cùng hướng với thuyền. “…Nhưng lúc này, tốc độ của thuyền lập tức chậm lại, mọi người loạng choạng tiến về phía trước, viên trung úy rùng mình, người thợ mỏ nhìn anh ta dò hỏi.

• Bị mắc cạn à? Phải? - anh hỏi trung úy.

Bánh lái đã được điều chỉnh nâng lên, vitrat đang hoạt động, các thiết bị cho thấy con thuyền đang ở độ sâu tương tự. Thiếu úy nhớ ra có một người Bồ Đào Nha, đáy dính, và nhận ra bụng thuyền bị mắc kẹt trong tiếng bùn kêu này…”

Tại sao thuyền không thể nổi? Có phải một vật nhúng trong chất lỏng luôn chịu một lực nổi không?

K. G. Paustovsky, tình tiết trong câu chuyện “Kara-Vugaz”. “…Đầu bếp của chúng tôi xin đi bơi, nhưng vịnh không chấp nhận. Anh ta giơ chân cao, và dù đã cố gắng hết sức nhưng người đầu bếp không thể lao xuống nước. Điều này khiến cả đội thích thú và xoa dịu phần nào tâm trạng tồi tệ của họ. Đến tối, người đầu bếp đầy vết loét và khẳng định rằng nước đổ vào là nước cường toan loãng, nếu không thì đó là axit sulfuric.”

Tại sao người đầu bếp không thể bơi ở Vịnh Kara-Vugaz?

L.N. Tolstoy, những dòng trong câu chuyện “Băng, hơi nước và nước”. “…Bơi trong nước lạnh dễ hơn trong nước ấm. Và trong nước nóng, ngay cả một cái cây cũng chết đuối.”

Tại sao cây chết đuối trong nước nóng?

Bây giờ hãy tính lực Archimedean. Để đặt bài toán, hãy sử dụng đoạn trích từ dòng “Cỏ” của V. A. Soloukhin, trong đó anh ấy đưa ra mô tả về loài thực vật “Victoria Kruchina”.

“… Trên mặt nước có những chiếc lá xanh tươi, tươi tốt, có kích thước bằng một chiếc bàn ăn tròn thông thường… mỗi chiếc lá dài khoảng

42

đường kính hai mét. Mỗi tấm có một cạnh vuông góc dọc theo mép, cao khoảng bảy cm…”
Một nhân viên của Vườn Bách thảo sẽ lấn tới: “… chiếc lá có thể chịu được bảy mươi kilôgam, thậm chí nhiều hơn… Nhưng chỉ khi tải trọng được phân bố đều trên toàn bộ bề mặt, chẳng hạn như rắc một lớp cát đều. Hoặc đặt một vòng tròn gỗ dán như thế này, và tải trọng lên nó. Nếu bạn đi trên một chiếc lá bằng chân, thì bạn hiểu đấy, nó sẽ chùng xuống, chùng xuống, lắc lư, hất nước và rất có thể bị rách. Nó chắc chắn, bền và sức nổi của nó rất lớn, nhưng vẫn là nó mô của một chiếc lá sống chứ không phải một loại cây nào đó.”
Ước tính dưới tải trọng nào, tấm sẽ được ngâm trong nước đến độ sâu bằng một nửa chiều cao của hàng rào mà nó được “bao bọc” dọc theo mép. Và hãy nghĩ xem: tại sao tấm vải lại chịu được tải trọng lớn hơn nếu nó được phân bổ đều?
Một bài toán khác. Chúng tôi đọc “Những năm thơ ấu của cháu trai Bagrov” của S. T. Akskov. Băng trôi bắt đầu trên sông Belaya. Cậu bé “tham lam tận mắt nhìn một dải băng dài màu xanh, đen, đôi khi màu vàng đi giữa hai bờ bất động… một con bò đen bất hạnh nào đó chạy dọc theo nó (tảng băng - S.T.) như điên”.
Hãy ước tính kích thước tối thiểu của một tảng băng mà con bò có thể nổi trên đó. Hãy tự mình tìm ra khối lượng của con bò và độ dày của băng.
Và bây giờ - về cách bạn có thể “điều khiển” lực nổi.

Một đoạn trích từ V. D. Cuốn tiểu thuyết “Primordial Rus” của Ivanov kể về việc chiến binh trinh sát Ratibor sẽ băng qua bên kia sông như thế nào. Để làm được điều này, anh ta lấy một chiếc gậy dài và dày “để thở dưới nước. Người bơi bịt lỗ mũi và tai bằng vải màu vàng”.

42

43

sáp… Dùng môi giữ đầu cây sậy, anh ta biến mất dưới nước và dùng cả hai tay nhấc một hòn đá to bằng đầu con bò. Sau khi buộc vật nặng bằng một sợi dây mỏng, Ratibor đã làm một chiếc vòng cho tay mình.”
Tại sao Ratibor lại cầm hòn đá nặng trên tay?
Thiên nhiên đã cung cấp nhiều sự thích nghi khác nhau cho phép động vật sống trong nước và bơi lội. Và “báo cáo-

Động vật “tấn công” sử dụng nhiều đồ vật khác nhau để tạo điều kiện thuận lợi cho việc bơi lội. Chúng tôi đọc những dòng từ tác phẩm hư cấu.
N. A. Nekrasov, “Ông nội Mazai và đàn thỏ”:
“Một khúc gỗ xương xẩu trôi qua, Ngồi, đứng và nằm thẳng, hàng chục Zaitsev đang tự cứu mình trên đó.

“Nếu tôi bắt được bạn, hãy đánh chìm thuyền!” Tuy nhiên, thật đáng tiếc cho họ và cũng thật đáng tiếc cho phát hiện này - tôi mắc phải một cái móc trên cành cây và kéo khúc gỗ ra phía sau mình…”

Hãy ước tính thể tích tối thiểu của khúc gỗ mà thỏ rừng có thể bơi trên đó. Hãy tự ước tính khối lượng của một con thỏ rừng là bao nhiêu.
K. G. Paustovsky, “Meshcherskaya Side”:
“Bên bờ những con sông này, chuột nước sống trong các hố sâu. Có những con chuột hoàn toàn xám xịt theo tuổi tác. Nếu để ý đến cái hố, bạn có thể thấy một con chuột bắt được một con cá như thế nào… Để dễ bơi hơn, chuột nước cắn đứt một thân dài của kuri và bơi, ngậm nó trong răng… Nó hoàn toàn giữ được trên mặt nước ngay cả thứ không nặng bằng chuột.”
Tại sao thân kuri có khả năng nổi tốt?
Lực Archimedes tác dụng lên các vật thể ở cả chất lỏng và chất khí. Để lại

44

Ở dưới nước, người ta sử dụng tàu ngầm, tàu tắm và các loại tàu khác nhau. Việc khám phá bầu khí quyển bắt đầu với các địa điểm khinh khí cầu.

Đây là một đoạn trích từ “Câu chuyện về một chiếc Aeropaste” của L. N. Tolstoy. “…Tôi nhìn vào phong vũ biểu. Bây giờ tôi đã ở cách mặt đất năm dặm và cảm thấy không có đủ không khí cho mình, và tôi bắt đầu thở thường xuyên. Tôi kéo sợi dây để nhả ga và đi xuống, nhưng tôi đã trở nên yếu đi, hoặc có thứ gì đó bị gãy? Clan sẽ không mở… “Nếu tôi không dừng quả bóng lại,” tôi nghĩ, “thì nó sẽ nổ tung, và tôi sẽ lạc lối”… Tôi dùng hết sức nắm lấy sợi dây và kéo. Vinh quang giàu có, bang hội đã mở ra…”

Tại sao bong bóng có thể nổ khi bay lên cao?

Vào giữa thế kỷ trước, chuyến bay đầu tiên được thực hiện trên một máy điều hòa không khí có điều khiển - một chiếc khinh khí cầu. Vào đầu thế kỷ này, khí cầu được sử dụng rộng rãi. Sau đó, bằng cách nào đó, họ đã bị lãng quên, nhưng ngày nay họ lại được nhớ đến. Chúng được cho là sẽ được sử dụng khi phát triển những vùng đất khó tiếp cận, làm phương tiện vận chuyển.

Chuyến tham quan của chúng ta qua những trang tiểu thuyết dựa trên những dòng trong cuốn tiểu thuyết “Hyperbolide của kỹ sư Garin” của A. N. Tolstoy: “… một chiếc khinh khí cầu khổng lồ được chở qua bãi đất trống, được neo với mũi tàu vào cột buồm. Cột buồm cong và nứt. Thân hình điếu xì gà lắc lư, và dường như sức nặng của một sà lan sắt đang lơ lửng trong không trung…”

Khí cầu có lợi thế gì so với các phương tiện hàng không khác?

Tại sao toán học lại cần thiết?

Bây giờ câu hỏi này rất dễ trả lời. Toán học đóng vai trò là nền tảng của khoa học tự nhiên và kỹ thuật, không có bất kỳ suy nghĩ nào về công nghệ hiện đại. Ngoài ra, toán học còn hoạt động tích cực trong kinh tế, khoa học xã hội và thậm chí cả lịch sử. Làm thế nào bạn có thể tưởng tượng đáp số trả lời câu hỏi này vào “ngày xưa tốt đẹp”, chẳng hạn, bảy trăm năm trước? Chúng ta hãy xem qua các chuyên luận khoa học thời đó. Làm ơn đi, nhà khoa học hiểu biết nhất thế kỷ 13 là Roger Bacon. Ông sinh năm 1214 gần Ilchest, thuộc quận Somerset, và xuất thân từ một gia đình quý tộc lâu đời. Đầu tiên Bacon học ở Oxford, sau đó ở Paris, nghiên cứu tất cả các ngành khoa học vào thời đó, ngoài ra còn biết tiếng Hy Lạp, tiếng Latinh, tiếng Ả Rập và tiếng Do Thái. Tiếp thu khoa học thực nghiệm

Mi, Bacon đã đặt nền móng cho một số nhánh theo đuổi tự nhiên mới. Những trải nghiệm đáng kinh ngạc của anh đã khiến anh bị buộc tội giao cấu với ma quỷ. Ông đã hai lần bị đưa đi buôn bán và lần cuối cùng vào năm 1278, ông bị giam 10 năm. Bacon mất năm 1292. Tác phẩm chính của Roger Bacon có tên là “Opus majus” (“Tác phẩm chính”). Gần một nửa trong số đó được dành cho toán học. Một số ý tưởng về các lập luận chính của Roger Bacon có thể được thu thập từ bảng nội dung dài dòng trong tác phẩm của ông, vốn rất phổ biến vào thời điểm đó.

Phần I. Về bốn nguyên tắc của con người: quyền lực, tính tổng quát, giá trị công cộng và thành phố có giá trị tối thiểu.

Phần II. Về nguồn gốc của sự khôn ngoan hoàn hảo trong Kinh Thánh.

Phần III. Về nỗ lực học ngữ pháp.

Phần IV. Về việc thử toán:

1. Sự cần thiết của toán học ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở con người ở vật chất.

2. Sự cần thiết của toán học trong hầu hết các nội dung: a) Nghiên cứu này được thực hiện bằng tàu nhẹ; b) địa lý; c) niên đại; d) chu kỳ; e) tỷ lệ vàng; f) các hiện tượng tự nhiên như cầu vồng; g) lập luận; h) âm nhạc.

3. Sự cần thiết của toán học trong các vấn đề của nhà thờ: a) chứng nhận đức tin; b) Chỉnh sửa lịch. 4) Sự cần thiết của toán học ở bang: a) về khí hậu; b) thủy văn; c) địa lý; d) hành động học.

Phần V. Về góc nhìn:

1. Cơ quan thị giác.
2. Xem theo đường thẳng.
3. Tầm nhìn, phản xạ và khúc xạ.
4. Về sự lan truyền của những ấn tượng về ánh sáng, sự ấm áp, v.v.

Phần VI. Về khoa học thực nghiệm.

45

Vật lý 8, 9, 10:

Cuốn sách đã xuất bản, ghi chú “Định luật bảo toàn năng lượng” dành cho tất cả sinh viên học cổ điển, ghi chú “Quy tắc Lenz” dành cho sinh viên học cổ điển thứ chín, và “Về Schwartzweck, Greening và Công thức Euler” dành cho sinh viên học cổ điển thứ mười.

Định luật bảo toàn năng lượng

Các định luật bảo toàn trong vật lý và trong tự nhiên nói chung đóng một vai trò rất đặc biệt, nó như một định luật phổ quát cho mọi hiện tượng tự nhiên. Hơn nữa, nó là luật tuyệt đối: mọi thứ phù hợp với nó (tức là với các định luật bảo toàn) có thể có hoặc không có nguồn gốc, nhưng nó không còn nhất quán nữa - nó hoàn toàn bị cấm.

Vật lý thường được gọi là một môn khoa học chính xác. Điều này không hoàn toàn đúng. Vật lý chỉ chính xác ở chỗ nó biết chính xác các định luật của nó gần đến mức nào. Do đó, ngay cả một định luật cơ bản của tự nhiên như định luật vạn vật hấp dẫn cũng có một định nghĩa đầy đủ về các giới hạn của khả năng áp dụng. Ở khoảng cách rất nhỏ, nó không tính đến bản chất lượng tử của hiện tượng, và ở khoảng cách rất lớn, nó không tính đến thực tế là không thể vượt qua khoảng cách giữa hai khối lượng tương tác ngay lập tức.

Ngoại lệ duy nhất theo nghĩa này là các định luật bảo toàn - chúng hoàn toàn phổ quát và ở mức độ hiểu biết hiện tại, chúng hoàn toàn chính xác. Ví dụ, định luật bảo toàn năng lượng có thể được coi là một thực tế thực nghiệm được thiết lập đáng tin cậy đến mức việc xác minh thêm nó (một lần nữa ở mức độ hiểu biết hiện tại) rõ ràng là vô nghĩa.

Một câu hỏi tự nhiên và cực kỳ quan trọng được đặt ra: đâu là nguyên nhân dẫn đến định luật bảo toàn độc đáo như vậy? Hóa ra toàn bộ vấn đề là

46

các định luật bảo toàn là hệ quả của một số tính chất ban đầu của thế giới xung quanh chúng ta, cụ thể là tính đối xứng của nó. Đặc biệt, định luật bảo toàn năng lượng gắn liền với một tính chất gần như rất quan trọng của thời gian (cho dù mối liên hệ này có vẻ bất ngờ đến đâu) - với tính đồng nhất của nó. Việc giải thích bản thân thuộc tính đó khá đơn giản; về việc rút ra định luật bảo toàn năng lượng từ nó, thì bạn sẽ phải tin lời chúng tôi.

Có vẻ khá phổ biến là bất kỳ thí nghiệm nào nghiên cứu một số hiện tượng vật lý, cho dù nó được thực hiện hôm qua, hôm nay hay trong một nghìn năm nữa, đều sẽ cho kết quả như nhau (nếu chỉ được thực hiện theo cách tương tự). Hay nói cách khác, các định luật vật lý không thay đổi theo thời gian. Các nhà vật lý phát biểu nó theo cách này: thời gian có đặc tính đồng nhất. Chính từ tính chất gần như tiếp theo này (“gần như”, vì khi suy nghĩ kỹ hơn, nhiều câu hỏi có thể nảy sinh và nói chung, chúng ta có một ý tưởng khá mơ hồ về thời gian là gì) dẫn đến thực tế là trong một hệ kín, tổng năng lượng không đổi. Và đây là định luật bảo toàn năng lượng.

Trước khoảng thời gian như vậy, có nhiều báo cáo cho thấy ở đâu đó có người đã quan sát thấy những sai lệch so với định luật bảo toàn năng lượng. Tất nhiên, không có định luật vật lý nào được đảm bảo trước thực tế là trong một số thí nghiệm, chúng ta có thể bỏ qua phạm vi áp dụng của định luật này. Nhưng khi nói về định luật bảo toàn năng lượng, chúng ta phải hiểu rõ ràng rằng phát biểu về sự vi phạm định luật này cũng tương đương với phát biểu về sự vi phạm tính đồng nhất của thời gian. (Đây rõ ràng là một phần còn thiếu của bài viết giả tưởng về cái gọi là cỗ máy thời gian. Suy cho cùng, việc tạo ra một cỗ máy như vậy đồng thời đồng nghĩa với việc bãi bỏ định luật bảo toàn năng lượng. Và thậm chí sau đó, bất kỳ phép lạ nào cũng nảy sinh, bắt đầu từ cỗ máy chuyển động vĩnh viễn và kết thúc bằng sự bất tử.)

Rõ ràng, chính vì mối liên hệ sâu sắc của năng lượng với thời gian mà năng lượng đóng một vai trò ma thuật hoàn toàn độc đáo, người ta có thể nói. Bạn có nhớ Archimedes: “Hãy cho tôi một điểm hỗ trợ…”? Vì vậy, năng lượng là điểm tựa với sự trợ giúp của nó, ít nhất về nguyên tắc, trên thực tế tất cả các bài toán vật lý đều được giải quyết. Tuy nhiên, trong tất cả các định luật bảo toàn năng lượng, đây có lẽ là định luật phức tạp nhất. Điều này chủ yếu là do năng lượng tồn tại ở nhiều dạng khác nhau: cơ học (động năng và thế năng), bên trong (đôi khi được gọi là năng lượng nói), điện, v.v. Và kể từ thời Einstein, người đưa ra nguyên lý tương đương giữa năng lượng và khối lượng, người ta thấy rõ rằng khi chuyển đổi năng lượng, cũng phải tính đến khả năng thay đổi khối lượng. Đó là lý do tại sao thường rất khó để theo dõi sự chuyển đổi năng lượng từ dạng này sang dạng khác và hoàn toàn không thể viết ra định luật bảo toàn năng lượng ở dạng tổng quát. Tuy nhiên, đối với năng lượng cơ học của hệ thống tế bào vĩ mô thì điều này tương đối dễ thực hiện. Không chỉ ở dạng định luật bảo toàn mà còn ở dạng định luật biến đổi cơ năng.

Vì vậy, hãy xem xét một số hệ thống (nó có thể là một vật thể hoặc một số vật thể tương tác). Đặc biệt, một hệ thống nhất định có thể đóng, nhưng điều này là không cần thiết, tức là về nguyên tắc, các ngoại lực có thể tác dụng lên nó. Trong trường hợp này, một số quá trình bên trong có thể xảy ra trong hệ sóng, dẫn đến sự chuyển cơ năng sang một số loại khác hoặc ngược lại. Nhưng chúng tôi vẫn sẽ đưa ra một giả định quan trọng - chúng tôi sẽ cho rằng chúng tôi sẽ trích xuất thông tin trong hệ thống.

Chúng ta hãy biểu thị năng lượng cơ học của hệ thống bằng $W$ và tất cả các loại năng lượng khác, ngoại trừ cơ học, sẽ được ký hiệu là $Q$, tương tự với năng lượng nói và được chỉ định là lượng điện báo. Từ định luật bảo toàn năng lượng, có thể thấy rất rõ ràng rằng độ biến thiên cơ năng của hệ bằng công thực hiện ($A$) trừ đi số vật được giải phóng

47

rất nhiều: $W_{\text{кон}} - W_{\text{нач}} = A - Q$.
Nói đúng ra, các đại lượng $A$ và $Q$ có thể vừa dương vừa âm:
$A > 0$, nếu các vật thể bên ngoài hoạt động trên hệ thống và $A < 0$, nếu bản thân hệ thống hoạt động trên các vật thể bên ngoài;
$Q > 0$ nếu năng lượng cơ học được chuyển đổi thành một số dạng khác và $Q < 0$ nếu quá trình chuyển đổi từ dạng năng lượng phi cơ học sang dạng năng lượng cơ học.
Phương trình trên hóa ra cực kỳ hiệu quả đối với lời giải nhiều loại vật lý bài toán.

E. E. Gorodetsky

Quy tắc Lenz

Trong vật lý, một tình huống thường xảy ra khi có tác động từ bên ngoài lên một vật thể dẫn đến xuất hiện phản lực đối với tác động này. Hãy đưa ra ví dụ cụ thể.

Chúng ta đặt khí trong một xi lanh dẫn nhiệt, được đóng lại bằng một pít-tông nhẹ, có thể trộn tự do trong đó. Ở trạng thái cân bằng, piston sẽ đến vị trí mà tại đó áp suất khí trong xi lanh bằng áp suất bên ngoài. Bằng cách trộn piston, chúng ta giảm thể tích khí trong xi lanh. Đồng thời, áp suất khí sẽ tăng lên và điều này sẽ đóng vai trò chuyển đổi để tiếp tục trộn piston. Khi thể tích khí tăng lên, áp suất trong xi lanh sẽ giảm xuống và một lần nữa xuất hiện một lực làm cho piston chuyển động.

Đặt một ấm nước vào lửa. Do nhiệt độ đáy ấm trong hệ thống ấm - nước tăng lên, các quá trình truyền nhiệt sẽ phát sinh có xu hướng làm giảm nhiệt độ hiệu dụng - nhiệt sẽ được truyền từ ấm sang nước.

Hãy giới thiệu một dây dẫn vào lĩnh vực nhà máy điện. Dưới tác dụng của trường, các điện tích của dây dẫn được phân phối lại theo cách để loại bỏ nguyên nhân gây ra sự phân phối lại của chúng, tức là trường bên trong dây dẫn.

Chúng ta sẽ di chuyển nam châm vĩnh cửu ra khỏi bóng đèn dẫn điện. Một dòng điện cảm ứng sẽ xuất hiện trong bóng đèn và nó sẽ bắt đầu bám vào nam châm, cố gắng tiêu diệt nguyên nhân (tháo nam châm ra khỏi bóng đèn) dẫn đến xuất hiện dòng điện.

Tất cả những ví dụ này cho thấy rằng một tác động bên ngoài, do hệ thống gây ra từ trạng thái cân bằng ổn định, sẽ kích thích các quá trình trong hệ thống nhằm tìm cách làm suy yếu kết quả của ảnh hưởng này. Đây là công thức của thị giác do nhà khoa học người Pháp Le Chatelier thiết lập vào năm 1884 và được nhà vật lý người Đức Braun hoàn thiện vào năm 1887. Thị giác này cho phép bạn dự đoán hướng nào các quá trình sẽ diễn ra trong một hệ thống mất cân bằng. Nó được sử dụng rộng rãi trong vật lý và hóa học.

Mục đích lịch sử của Le Chatelier - Braun được xây dựng dưới dạng khái quát hóa các quy tắc Lenz, trong đó nêu rõ: dòng điện cảm ứng sinh ra từ cảm ứng điện từ luôn có chiều sao cho nó cố gắng ngăn chặn nguyên nhân gây ra nó. Quy tắc này được nhà vật lý người Nga Lenz đưa ra vào năm 1833. Bản chất của các quy tắc Lenz được minh họa bằng một số ví dụ.

Ví dụ 1. Cực nam của nam châm vĩnh cửu dịch chuyển ra xa bóng đèn dẫn điện (hình 1). Xác định chiều dòng điện cảm ứng trong bóng đèn. Lực tác dụng lên bình hướng về đâu?

Đối với đáp số đối với câu hỏi đầu tiên, nguyên nhân gây ra lực điện động cảm ứng trong bình được coi là do từ thông qua bình giảm đi. Theo định luật Lenz, từ trường riêng do dòng điện cảm ứng tạo ra phải được ngăn chặn khỏi sự giảm sút này. Do đó, các đường sức từ của riêng nó đi qua bình cùng hướng với các đường sức từ của nam châm vĩnh cửu, tức là về bên trái. Theo quy luật của gimlet, dòng điện cảm ứng trong bình

48

Hình 1.

Điều này được hướng theo chiều kim đồng hồ khi nhìn vào cọc bên phải.

Đối với đáp số đối với câu hỏi thứ hai, có thể coi việc tăng khoảng cách giữa nam châm và chiếc cọc là nguyên nhân gây ra lực điện động cảm ứng. Sau đó, theo quy tắc của Lenz, một phản lực đối với prinina này sẽ xuất hiện, tức là, một lực hấp dẫn sẽ xuất hiện giữa chiếc cọc và nam châm, tác dụng lên chiếc cọc ở bên trái.

Ví dụ 2. Dải phía nam của nam châm được cắt ra khỏi vòng dẫn điện bằng một vết cắt. Có thể nói gì về dòng điện cảm ứng trong vòng và lực tác dụng lên cọc trong trường hợp này?

Do đó, trước khi trả lời những câu hỏi này, công thức nêu trên của quy tắc Lenz nêu rõ rằng dòng điện cảm ứng luôn có hướng nhằm cố gắng thu hút hoàng tử xuất hiện của nó, chứ không nói rằng lực hút (phản ứng) này nhất thiết sẽ thu hút. Phản lực của hoàng tử, gây ra emf cảm ứng, xuất hiện và chỉ có thể được phát hiện khi có cơ hội cho dòng điện cảm ứng chạy qua. Khả năng này được hiện thực hóa, ví dụ, nếu mục tiêu trong đó xảy ra suất điện động cảm ứng bị đóng lại. Và điện trở của mạch này càng thấp thì dòng điện chạy qua nó càng nhiều và sự phản đối của hoàng tử sẽ càng bị thu hút mạnh mẽ hơn.

Rõ ràng là trong một vòng bị cắt, lực điện cảm ứng không thể tạo ra dòng điện và sẽ không có lực nào tác dụng lên vòng.

Ví dụ 3. Một thí nghiệm về khoảng cách thể hiện một cách hiệu quả quy tắc Lenz (hình 2). Một nam châm lơ lửng giữa một nam châm điện,

Hình 2.

phần dưới chỉ tượng trưng cho một tấm đồng và nâng nó lên khỏi vị trí cân bằng. Bạn sẽ làm gì tiếp theo với nam châm?

Khi một nam châm như vậy di chuyển, dòng điện cảm ứng đóng sẽ xuất hiện trong tấm đồng (đường màu đỏ trên hình 2), hướng của dòng điện này sẽ thay đổi. Theo quy tắc Lenz, sự tương tác của các dòng điện này với từ trường bên ngoài sẽ thu hút hoàng tử, gây ra dòng điện, tức là chuyển động của nam châm. Như vậy, sự rung động của nam châm sẽ mờ dần, giống như sự rung động trong một cuộc đời vô cùng quan trọng.

Dòng điện cảm ứng kín phát sinh trong các vật dẫn rắn chuyển động trong từ trường hoặc đặt trong từ trường biến thiên được gọi là dòng điện ra, hay dòng điện Foucault - theo tên của nhà khoa học người Pháp đã phát hiện ra chúng. Tùy thuộc vào điều kiện, dòng điện xoáy có thể có hại hoặc có lợi.

Dòng điện foucault trong lõi máy biến áp và các bộ phận quay của máy phát điện, động cơ điện gây ra sự nóng lên và lãng phí năng lượng không cần thiết. Để làm suy yếu dòng điện đầu ra, các bộ phận như vậy được làm bằng các tấm thép mỏng, ngăn cách bởi các lớp điện môi mỏng sao cho các lớp cách điện cắt nhau khả năng của dòng điện đầu ra.

Một ví dụ về việc sử dụng dòng điện Foucault một cách hữu ích là trong lò cảm ứng để nấu chảy kim loại hoặc nấu thức ăn nhanh. Nguyên lý hoạt động của lò nung cảm ứng là thân dẫn điện (kim loại)

50

Lực căng dây giảm khi góc bao phủ tăng tỷ lệ thuận với độ lớn của lực căng:

$$\Delta T / \Delta \alpha \sim T,$$

hoặc $$\Delta T / \Delta \alpha = -\mu T.$$

Dấu trừ ở đây có nghĩa là khi góc bao phủ tăng thì độ căng của dây giảm.

Trong vật lý, các tình huống thường xảy ra khi tốc độ biến thiên của một đại lượng tỷ lệ thuận với chính đại lượng đó. Ví dụ, có một sự phân rã phóng xạ tự nhiên (“Vật lý 10”, § 92): sự giảm số lượng hạt nhân phóng xạ chưa phân rã trên một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với số lượng của chúng. Một ví dụ khác là sự phóng điện của một tụ điện qua một điện trở: sự giảm điện tích trên tụ điện tỷ lệ với dòng điện qua điện trở, do đó, tỷ lệ thuận với điện tích trên tụ điện. Trong tất cả các trường hợp này có sự thay đổi rất nhanh về giá trị tương ứng. Thật vậy, chẳng hạn, nếu tốc độ thay đổi tốc độ (gia tốc) chuyển động của vật thể là không đổi, thì độ lớn của tốc độ được tính tuyến tính theo thời gian. Nếu gia tốc tỷ lệ thuận với tốc độ thì nó luôn tăng và việc tính toán tốc độ nhanh hơn nhiều - theo cái gọi là định luật hàm mũ.

Sự phụ thuộc tương tự thu được trong trường hợp của chúng ta đối với sự thay đổi lực căng của dây. (Chúng tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng chúng ta đang nói về độ chênh lệch nhỏ nhất có thể có của lực căng của sợi dây - khi nó sắp bắt đầu trượt dọc theo giá đỡ.) Vấn đề này lần đầu tiên được xem xét bởi nhà toán học, cơ khí, vật lý học và thiên văn học Leonhard Euler (1707-1783). Ông chỉ ra rằng độ căng của dây $T$, tùy thuộc vào góc bao phủ của giá đỡ bởi dây (góc điều hướng) $\alpha$, thay đổi theo quy luật

$$T = T_0 e^{-\mu \alpha},$$

trong đó $e=2,72...$ là cơ số của logarit tự nhiên, $T_0$ là lực căng ban đầu của dây (chưa đặt trên giá đỡ).

Góc $\alpha$ (tính bằng radian) liên quan đến số vòng $n$ của sợi dây

xung quanh bollard với tỷ lệ đơn giản: $\alpha=2\pi n$. Sau đó, nếu trong một vòng quay, độ căng của dây giảm $k$ lần, tức là.

$$\frac{T_0}{T_1} = e^{2\pi \mu n} = k,$$

sau $n$ vòng quay, lực căng yếu đi $k^n$ lần:

$$\frac{T_0}{T_n} = \frac{T_0}{T_1} \frac{T_1}{T_2} \dots \frac{T_{n-1}}{T_n} = k^n = c^{2\pi \mu n}.$$

Ví dụ, với hệ số ba $\mu=0,3$, một vòng dây bao gồm lực căng của nó gần 7 lần, và nếu bạn thực hiện hai vòng, lực căng sẽ yếu đi khoảng 40 lần! Khi số vòng quay tăng lên, lực căng trong dây (do ma sát) ngày càng giảm đi và dần biến mất.

Quay trở lại với anh hùng Mathif của Jules Verne, bây giờ chúng ta có thể nói rằng bằng cách quấn một sợi dây quanh một ống sắt, anh ấy đã cảm thấy nhẹ nhõm hơn rất nhiều bài toán. Vâng. I. Perelman, sử dụng dữ liệu về “Trabokolo” có trong cuốn tiểu thuyết và thực hiện các phép tính thích hợp, đã phát hiện ra rằng nếu Matifu có thể quấn sợi dây quanh đường ống trong một lần, thì có thể có một đứa trẻ ở vị trí của anh ta. Tương tự như vậy, khi neo tàu, thủy thủ không cần nhiều sức - họ chỉ cần thể hiện ngoại hình đẹp, sức khỏe và nhanh chóng cuốn dây vào cột kịp thời.

Hãy để chúng tôi lưu ý rằng mỗi bạn đều gặp phải hiện tượng này hầu như hàng ngày khi buộc một thứ gì đó - có thể là dây, khăn quàng cổ hoặc dây thừng. Xét cho cùng, bất kỳ nút thắt nào về cơ bản cũng là một sợi dây quấn quanh một “giá đỡ” (cùng một sợi dây).

A. I. Buzdin

51

Vẽ máy tính trường học

A. G. SHEGOLEV

Bạn có thể tương tác với máy tính của trường được trang bị màn hình ở chế độ tương tác theo một kịch bản đặt trước (ví dụ: xem các bài viết của V. A. Kaimin trong «Kvant», 1986, số 10, 11). Trong trường hợp này, máy tính và người dùng trao đổi các đoạn văn bản và dữ liệu số. Trong khi đó, hầu hết các máy vi tính của trường học không chỉ cho phép “in” mà còn cho phép “vẽ” trên màn hình, tức là chúng có khả năng đồ họa.

Để hình ảnh xuất hiện trên màn hình, chúng ta phải cho người biểu diễn (máy tính của trường) biết vị trí và nội dung cần vẽ. Vì vậy, trước hết cần phải thống nhất về hệ tọa độ.

Hệ tọa độ được sử dụng trong máy vi tính khác với hệ tọa độ bạn biết từ khóa học toán ở trường. Gốc tọa độ (điểm O) được đặt ở góc trên bên trái, trục hoành và trục tọa độ có hướng như hình hình 1. Trường màn hình là một tập hợp các điểm, mỗi điểm có một màu cụ thể và tọa độ của bất kỳ điểm nào là các số nguyên x, y bên trong (đối với màn hình máy tính Yamaha) 0≤x≤255, 0≤y≤191.

Giống như một ngôi nhà được làm bằng gạch, chúng ta sẽ “xây dựng” bất kỳ hình ảnh phức tạp nào từ những yếu tố đơn giản nhất. Để thực hiện điều này, hãy bổ sung ngôn ngữ thuật toán quen thuộc của trường học bằng các lệnh đồ họa sau:

1. điểm (x, y), màu - hiển thị một điểm màu có tọa độ (x, y);
2. đoạn từ (x1, y1) đến (x2, y2),

52

màu sắc - vẽ một đoạn nối các điểm có tọa độ (x1, y1) và (x2, y2) bằng màu màu;
3) Circle(x, y), r, color — vẽ một đường tròn có bán kính r với tâm tại điểm (x, y) màu màu;
4) Buse (x, y), r, om α đến β, color — vẽ các cung của đường tròn (x, y), r, tô màu từ góc α đến góc β (hình 2);
5) tô màu lên (x, y), color — tô màu lên điểm (x, y) cùng với hình tròn nằm trong đường khép kín cùng màu được bao quanh bởi điểm này (viền màn hình có thể được sử dụng như một phần của đường này); nếu không có đường viền như vậy thì toàn bộ màn hình sẽ bị sơn đè lên.
Hóa ra các lệnh được liệt kê là hoàn toàn đủ để mô tả các số liệu khá phức tạp. Ví dụ: hình ảnh của một chiếc đàn violin klion có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các đoạn và cung có bán kính khác nhau, biến đổi trơn tru với nhau (hình 3).
Để tạo điều kiện thuận lợi cho việc xây dựng các phần tử thường xuyên lặp lại, chúng tôi giới thiệu thêm hai lệnh:
6) khung từ (x1, y1) đến (x2, y2), màu sắc — vẽ khung hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh của màn hình, màu sắc; hình chữ nhật được xác định bởi tọa độ của hai đỉnh chéo (x1, y1), (x2, y2) (hình 4);
7) khung - tô từ (x1, y1) đến (x2, y2), màu - sơn khung 6) và khu vực bên trong của nó bằng màu sắc.
Các thuật toán được viết bằng lệnh đồ họa có thể được dịch sang bất kỳ ngôn ngữ lập trình nào có các công cụ thích hợp. Đây là giao diện của bản ghi của người vận hành 1) - 7) bằng ngôn ngữ MSX-BASIC được sử dụng trên máy tính Yamaha.

1. N PSET (X, Y), C (dấu chấm)
2. N LINE (X1, Y1) - (X2, Y2), C (đoạn)
3. N VÒNG TRÒN (X, Y), R, C (vòng tròn)
4. N VÒNG TRÒN (X, Y), R, C, A, B (cung; góc A và B - tính bằng bán kính)
5. N SƠN (X, Y), C (sơn)
6. N LINE(X1, Y1) - (X2, Y2), C, B (khung)
7. N LINE(X1, Y1) - (X2, Y2), C, BF (khung đầy).
   Những phần màu xanh lam làm nổi bật các phần tử thay đổi, có thể là số (hằng số) cũng như tên biến. N - số (bắt buộc phải đánh số toán tử trong BASIC), C - một số nguyên từ 1 đến 15, biểu thị màu cần sơn lên đối tượng này:
   1 - đen, 6 - đỏ sẫm,
   2 - xanh vừa, 7 - xanh lam,
   3 - xám nhạt, 8 - đỏ vừa,
   4 - xanh đậm, 9 - đỏ nhạt,
   5 - xanh nhạt, 10 - vàng đậm,
   11 - màu vàng nhạt,
   12 - xanh đậm,
   13 - hồng,
   14 - xám,
   15 - trắng.
   Ví dụ: toán tử BASIC 20 PSET(50, 100), 6 sẽ tạo ra một chấm màu đỏ sẫm xuất hiện trên màn hình với tọa độ x=50, y=100.
   Ngoài ra, máy tính được chuyển sang chế độ đồ họa bằng lệnh đồ họa, trong BASIC sẽ được ghi là SCREEN 2.
   Lúc này sẽ lấy hình ảnh được đặt ở đầu stat. Kịch bản trong trường hợp này là hình được thực hiện trên giấy. Nói chung, tập lệnh đồ họa là một chuỗi hình (cảnh) và mô tả logic của chúng thông qua

54

sự khởi đầu
vòng tròn (220, 90), 10, 2
ăn trộm (221, 91), 2
vòng tròn (235, 90), 2
ăn trộm (236, 91), 2
điền khung từ (210, 90) đến (250, 110), 2
lừa đảo

Lưu ý rằng thuật toán biển xanh cơ bản là một sơ đồ hình ảnh. Thuật toán phụ trợ tương ứng “chịu trách nhiệm” vẽ các đối tượng riêng lẻ. Trong ngôn ngữ BASIC, việc truy cập vào thuật toán phụ trợ (chương trình con) được thực hiện bởi người vận hành
N số bắt đầu GOSUB,
trong đó số bắt đầu là số câu lệnh mà chương trình con bắt đầu.
Toán tử BASIC N RETURN được sử dụng làm toán tử cuối của thuật toán phụ trợ (con)

(trong chương trình chính sử dụng câu lệnh N END).

Bài toán

1. Dịch thuật toán biển xanh sang MSX-BASIC.
2. Chọn một số hình và xây dựng một thuật toán và chương trình hiển thị nó trên màn hình máy tính.

Bạn đã nhận thấy rằng công việc không tự chủ nhất (và nhàm chán nhất) khi xây dựng các thuật toán đồ họa là việc lựa chọn tọa độ để xác định vị trí của các phần tử đơn giản nhất. Để tạo hình ảnh, họ thường sử dụng một chương trình đặc biệt - trình chỉnh sửa đồ họa - cho phép bạn vẽ trên màn hình bằng cách điều khiển “bút chì đồ họa” bằng bàn phím. Trình chỉnh sửa đồ họa “dịch” hình ảnh sang các toán tử BASIC và văn bản chương trình thu được sẽ được sử dụng để tái tạo hình ảnh này.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$x^2 + 2x + 5 \leq x + 8.$$
2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases}$$
3. Giải phương trình
   $$2 \sin 11x + \cos 3x + \sqrt{3} \sin 3x = 0.$$
4. Xác định khoảng đơn điệu của hàm số
   $$y = \frac{(x - 2)(x - 4)}{x + 1}.$$
5. Độ cao của một tam giác vuông chia nó thành các tam giác có chu vi $p_1$ và $p_2$. Tìm chu vi của tam giác ban đầu.

Tùy chọn 3

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2x + 5y = 14, \\ 3x - 2y = 2. \end{cases}$$
2. Giải phương trình
   $$x^2 \lg^3 x - 1, 5 \lg x = \sqrt{10}.$$
3. Số hạng thứ ba của chương trình số học lớn gấp ba lần số hạng thứ hai

56

2. Giải phương trình
   $$2\cos x + \sin x = 1 + \sin 2x.$$
3. Giải phương trình
   $$81^x - 16^x = \frac{5}{6} \cdot 36^x.$$
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số $p$ mà phương trình
   $$(p-1) \cdot 4^x - 4 \cdot 2^x + (p+2) = 0$$
   có ít nhất một lời giải.
5. Một paramid hình tam giác đều tính từ cạnh đáy $a$ được nội tiếp trong một hình cầu, trong khi tâm của hình cầu chia chiều cao của paramid theo tỷ lệ $\sqrt{5}:1$, tính từ đỉnh. Đáy trên của lăng trụ tứ giác bên phải nằm trong mặt phẳng của đáy paramid và các đỉnh của đáy dưới thuộc hình cầu. Chiều cao của lăng kính phải là bao nhiêu để thể tích của nó lớn nhất và bằng 1080.
6. Giải phương trình
   $$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0.$$
7. Giải phương trình
   $$\frac{1 - \log_3(x^2 + 3)}{1 - \log_3(x + 3)} = 2.$$
8. Giải bất đẳng thức
   $$2 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 5 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 2 < 0.$$
9. Chiều cao $H$ của hình lăng trụ tứ giác bên phải bằng cạnh đáy. Bên dưới, đáy của lăng trụ tứ giác bên phải thuộc về đáy của paramid và các đỉnh của đáy dưới thuộc về hình cầu. Chiều cao của lăng kính phải là bao nhiêu để thể tích của nó lớn nhất và bằng 1080.
10. Tìm giá trị âm lượng này.

Tùy chọn 2

1. Tìm số hạng đầu tiên và ký hiệu của một cấp số nhân trong đó tổng của bốn số hạng đầu tiên là 40 và tổng của các số hạng bắt đầu từ số hạng thứ tư đến số hạng thứ bảy là 1080.
2. Giải phương trình
   $$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0.$$
3. Giải phương trình
   $$\frac{1 - \log_3(x^2 + 3)}{1 - \log_3(x + 3)} = 2.$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$2 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 5 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 2 < 0.$$
5. Chiều cao $H$ của hình lăng trụ tứ giác bên phải bằng cạnh đáy. Bên dưới, đáy của lăng trụ tứ giác bên phải thuộc về đáy của paramid và các đỉnh của đáy dưới thuộc về hình cầu. Chiều cao của lăng kính phải là bao nhiêu để bao gồm thể tích của nó.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Một quả bóng được ném với tốc độ $v_0 = 10$ m/s theo góc $\alpha = 45^\circ$ so với phương ngang chạm vào một bức tường thẳng đứng cách điểm ném $s = 3$ m. Xác định mô hình và hướng của tốc độ của quả bóng sau khi va chạm. Tác động được coi là đàn hồi trục hoành và góc tới và góc phản xạ bằng nhau.
2. Khối lượng cơ thể $m = 1$ kg được ném nghiêng một góc so với phương ngang. Trong quá trình bay, động lượng của nó thay đổi theo $\Delta P = 10$ kg·m/s. Xác định độ cao cao nhất mà bạn có thể nâng được cơ thể.
3. Dọc theo một thanh dài có khối lượng $M$, được treo từ bên ngoài với hệ số độ cứng $k$, một khối lượng bên ngoài $m$ trượt với gia tốc $a$ (hình 1). Xác định năng lượng biến dạng của lò xo. Khối lượng vũ khí sẽ được áp dụng.
4. Một lượng hydro nhất định đựng trong một bình kín ở nhiệt độ $T_1$ và áp suất $p_1 = 400$ Pa. Khí được nung nóng đến nhiệt độ $T_2$, tại đó các phân tử hydro gần như hòa tan hoàn toàn thành nguyên tử. Đồng thời, áp suất khí trở thành $p_2 = 40$ kPa. Xác định vận tốc bình phương trung bình gốc của các phân tử khí đã tăng lên bao nhiêu lần.
5. Điện trường được hình thành bởi một nhà máy điện đồng nhất bên ngoài -

57

trường và trường của một tấm kim loại tích điện, chứa đầy tấm kim loại cũng có thể coi là đồng đều. Điện áp của điện trường thu được ở bên phải của tấm là $E_1=3 \cdot 10^4$ V/m, và tiếp theo là $E_2=5 \cdot 10^4$ V/m (hình 2). Xác định điện tích của tấm nếu lực tác dụng lên tấm từ điện trường ngoài là $F=0,7$ N.

6. Khối lượng bóng $m=2$ g mang điện tích dương $q$, bắt đầu trượt không vận tốc ban đầu tính từ điểm $A$ trên một mặt cầu có bán kính $R=10$ cm (hình 3). Thế năng tương tác điện tích $q$ và điện tích âm đứng yên $Q$ tại thời điểm ban đầu $W_A=-2 \cdot 10^{-3}$ J. Xác định thế năng tương tác của các điện tích khi điện tích $q$ đang ở điểm $B$, nếu trong trường hợp này là kết quả của phản lực từ bề mặt hình cầu và tương tác Kulov tác dụng lên quả bóng, $F=0,1$ N. Trennem khẳng định giữa một quả bóng và một bề mặt hình cầu.

7. Các nguồn dòng điện có cùng điện trở trong $r=0,5$ Ohm được nối với các điện trở, mỗi nguồn có điện trở $R$ (hình 4). Emf của các nguồn dòng điện bằng $\delta_1=12$ V và $\delta_2=6$ V. Xác định giá trị điện trở $R$ tại đó dòng điện trong mạch $ABCD$ không chạy qua.

8. Bán kính quỹ đạo electron trong mô hình nguyên tử Bohr là $r=5,3$ nm. Phải thực hiện bao nhiêu công để ion hóa nguyên tử này?

9. Khi hạt nhân alominium $^{27}_{13}$Al tương tác với hạt X, hạt nhân đồng vị magie $^{27}_{12}$Mg và hạt $^{1}_{1}$Y được hình thành. Khi hạt $^{1}_{1}$Y tương tác với hạt nhân alominium $^{27}_{13}$Al, hạt nhân đồng vị magie $^{27}_{12}$Mg và hạt $^{1}_{1}$Y được hình thành. Những hạt thường được biết đến $X$, $Y$ và $Z$ có liên quan đến các phản ứng hạt nhân này?

10. Trong phản ứng nhiệt hạch của phản ứng tổng hợp deuterium $^2$H và tritium $^3$H, một neutron và một hạt chưa xác định được hình thành và năng lượng $E_0=17,6$ MeV được giải phóng. Xác định hạt chưa biết và tổng năng lượng sẽ được giải phóng nếu $m=1$ g deuterium phản ứng.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi L. P. Parshev, Yu. A. Strukov

Viện máy công cụ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình $1+\lg(1+2x+x^2)-\lg(x^2+6)=2\lg(x+1)$.

2. Giải phương trình $x^2+px+21=0$, biết rằng tổng bình phương của các nghiệm của nó là 58.

3. Đoàn tàu phải đi được quãng đường 840 km trong một thời gian nhất định. Đi được nửa chặng đường, con tàu bị hoãn ở semaphore trong $\frac{1}{2}$ giờ và để đến đích đúng giờ, nó đã tăng tốc độ thêm 2 km/h. Tàu đi được bao lâu?

4. Giải phương trình $\sin 3x-\sin x\cos 2x=0$.

5. Tại đáy của một đường thẳng có một hình tam giác. Hai góc tương ứng của nó là $\alpha$ và $\beta$, và diện tích của nó là $S$. Đường thẳng nối đỉnh của đáy trên với tâm của đường tròn mô tả gần đáy dưới tạo một góc bằng $\varphi$ với mặt phẳng đáy. Tìm thể tích của lăng kính.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình

58

$$5^{1+\log_4 x} + 5^{-\log_4 x} - 1 = \frac{26}{5}$$

2. Tìm các giá trị nguyên của $k$ mà phương trình
   $$(k - 12)x^2 + 2(k - 12)x + 2 = 0$$
   không có rễ.

3. Thuyền rời bến cùng lúc với bè và đi được 40/3 km xuôi dòng. Không dừng lại, anh quay người và đi ngược dòng sông. Đi được 28/3 km thì gặp một chiếc bè. Tốc độ của Qatar là bao nhiêu nếu tốc độ của dòng sông đang chảy là 4 km/h?

4. Giải phương trình
   $$\cos 2x + \sin^2 x + \sin x = 0,25$$.

5. Xác định cạnh của hình lập phương nội tiếp trong hình nón có đường sinh bằng $l$ và nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$.

Vật lý
Bài thi vấn đáp

1. Một vật tích tụ trên một bề mặt nằm ngang và tác dụng một lực $\vec{F}$ (hình 1). Ở giá trị nào của góc $\alpha$ thì vật sẽ đứng yên bất chấp độ lớn của lực? Hệ số ma sát $\mu = 0,15$.

2. Một vệ tinh được gọi là đồng bộ nếu khi chuyển động theo quỹ đạo tròn xích đạo, nó vẫn ở trên cùng một điểm trên bề mặt Trái đất. Tìm bán kính quỹ đạo của một vệ tinh như vậy.

3. Một viên đạn có khối lượng $m$ đập vào tâm một quả bóng có khối lượng $M$ nằm trên mép bàn và bị kẹt trong đó. Xác định vận tốc của quả bóng tại thời điểm chạm sàn nếu viên đạn bay theo phương nằm ngang với vận tốc $v_0$ và độ cao của bàn là $H$. Bỏ qua sức cản của không khí.

4. Trong tinh thể muối NaCl bề mặt, các nguyên tử Na và Cl (onnas) tạo thành mạng tinh thể lập phương (hình 2). Xác định khoảng cách trung bình giữa các trung tâm của lân cận. Mật độ bề mặt của muối là $\rho = 2,2 \cdot 10^3$ kg/m$^3$, khối lượng mol của natri là $M_{\text{Na}} = 23$ g/mol, clo $-M_{\text{Cl}} = 35,5$ g/mol.

5. $m = 80$ g nước được bơm vào bình sơ tán có thể tích $V = 40$ l.

6. Trong một bình hình trụ đặt dưới một piston chuyển động dễ dàng có $v = 1,5$ mol khí đơn nguyên tử lý tưởng ở nhiệt độ $t = 27^\circ\text{C}$. Hỏi khối khí phải cung cấp nhiệt lượng bao nhiêu để thể tích của khí tăng gấp 3 lần?

7. Khi dòng điện một chiều chạy qua phần $AB$ (hình 3), nhiệt năng $P_2$ được giải phóng trên một điện trở có điện trở $R_2$. Nhiệt lượng nào được giải phóng trên mỗi điện trở có điện trở $R_1$ và $R_3$?

8. Tụ điện được nối với mạch điện như hình hình 4. Tìm điện tích trên tụ điện và xác định số chỉ vôn kế, coi đó là lý tưởng.

9. Một cuộn dây có diện tích $S$ và điện trở $R$ nằm trong từ trường đều bên ngoài có cảm ứng $B$, thay đổi theo thời gian theo định luật $B = B_0 \sin \omega t$ (đã biết $B_0$ và $\omega$). Xác định giá trị dòng điện cực đại và nhiệt lượng phát ra trong vòng dây. Các đường cảm ứng từ trường vuông góc với mặt phẳng quay.

10. Một tia sáng rơi xuống mặt nước bị khúc xạ và bị phản xạ một phần. Xác định góc tới của cung nếu tia phản xạ

59

Viện Công nghệ Điện tử Moscow

Vật lý
Bài toán thi viết

1. Một viên đạn bay ngang trúng một quả cầu treo trên một thanh cứng nhẹ và mắc kẹt trong đó. Khối lượng của viên đạn là $m=5$ g, khối lượng của quả bóng là $M=0,5$ kg. Tốc độ đạn $v=500$ m/s. Với chiều dài tối đa của thanh (khoảng cách từ điểm treo đến tâm quả bóng) quả bóng sẽ bay lên đến điểm trên cùng của vòng tròn khi bị một viên đạn bắn trúng?
2. Công thực hiện để nâng một sợi xích, bị giữ bởi một đầu và nằm trên một mặt phẳng, đến độ cao mà đầu dưới di chuyển ra khỏi mặt phẳng một khoảng bằng chiều dài của sợi xích là bao nhiêu? Chiều dài dây xích $l=2$ m, trọng lượng $m=5$ kg.
3. Một phần khối lượng $m$ của khí lý tưởng có khối lượng mol $M$ được nung nóng dưới một pít-tông sao cho nhiệt độ thay đổi tỉ lệ với bình phương áp suất từ ​​giá trị đầu tiên $T_1$ đến $T_2$. Xác định công mà khí thực hiện.
4. Xác định khối lượng riêng của hỗn hợp chứa $m_1=4$ g hydro và $m_2=32$ g oxy ở nhiệt độ $t=7$ °C và thể tích áp suất $p=10^5$ Pa.
5. Hai electron ở cách nhau một khoảng vô cùng lớn, trong đó electron thứ nhất thoát ra trước và electron thứ hai có vận tốc $v_0$ hướng về phía electron thứ nhất. Xác định khoảng cách ngắn nhất mà chúng hợp nhất.
6. Bao nhiêu nhiệt sẽ tỏa ra trong mạch khi chuyển phím $K$ từ vị trí 1 sang vị trí 2 (hình 1)?
7. Điện trở ở mạch ngoài của pin giải phóng nhiệt năng $P=10$ W. Khi nào hết

Hình 1.
Điện trở này được kết nối với cùng một pin thứ hai, năng lượng được giải phóng tăng gấp đôi. Năng lượng được giải phóng sẽ là bao nhiêu nếu viên pin thứ ba cùng tên được kết nối với những viên pin có cùng dải?

8. Đặc tính dòng điện-điện áp của một phần tử không trung tính nhất định là đến điện áp $U_0=100$ thì không có dòng điện chạy qua phần tử đó, và sau đó tăng tuyến tính khi điện áp tăng (hình 2). Khi một phần tử được kết nối với pin có điện trở trong $r=2,5$ kOhm, dòng điện $I_1=2$ mA chạy qua phần tử đó và khi nó được kết nối với cùng một pin thông qua điện trở có điện trở $R=25$ kOhm, dòng điện $I_2=1$ mA sẽ chạy qua. Xác định emf của ghazars.

Hình 2.
9. Một chùm tia sáng phân kỳ một góc $α$ rơi từ nguồn sáng lên một gương phẳng. Xác định góc giữa các tia sáng sau khi phản xạ khỏi gương.
10. Hệ thống quang học bao gồm một thấu kính thu có tiêu cự $F=30$ cm và một gương phẳng đặt cách thấu kính $l=15$ cm. Xác định vị trí của ảnh được cho trong hệ này nếu vật cách thấu kính $d=15$ cm.

Ấn phẩm được biên soạn bởi A. T. Berestov, G. M. Guskov

60

Viện Mátxcơva
dầu khí
họ. I. M. Gubkina

Vật lý
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Người đi bộ băng qua đường với tốc độ $v=4,2$ km/h theo đường thẳng tạo góc $\alpha=30^\circ$ với hướng đường trong một phút. Xác định chiều rộng của đường.

2. Một người có khối lượng $M=60$ kg, đứng trên giày trượt, ném một vật nằm ngang có khối lượng $m=2$ kg về phía trước với tốc độ $v=3$ m/s rồi lăn trở lại. Sau khi ném bao nhiêu giây người đó sẽ dừng lại nếu hệ số ma sát của giày trượt là $\mu=0,01$? Lấy gia tốc trọng trường bằng $g=10$ m/s$^2$.

3. Hỏi chu kỳ quay của vệ tinh chuyển động ở khoảng cách $h_1=21$ 600 km tính từ bề mặt Trái đất lớn hơn bao nhiêu lần chu kỳ quay của vệ tinh chuyển động ở khoảng cách $h_2=600$ km tính từ bề mặt Trái đất, lấy bằng $R=6400$ km.

4. Hai quả bóng có đường kính $d=60$ cm mỗi quả được gắn chặt tại điểm tiếp xúc với bề mặt của chúng. Khối lượng của hệ cách điểm tiếp xúc bao nhiêu nếu khối lượng của một quả bóng gấp 3 lần khối lượng của quả kia?

5. Nhiệt độ tuyệt đối của khí chứa trong xi lanh dưới piston tăng lên 3 lần. Để pít-tông duy trì ở chế độ vị trí, người ta phải đặt một tải trọng có khối lượng $m=10$ kg lên nó. Diện tích pít-tông $S=0,001$ m$^2$. Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s$^2$. Tìm áp suất khí ban đầu.

6. Áp suất nào sẽ xảy ra đối với các cặp rutin trong một ống trụ của đèn rutin có thể tích $V=3 \cdot 10^{-5}$ m$^3$ ở $T=300$ K, nếu nó chứa $N=10^{18}$ phân tử rutin? Hằng số Bigman $k=1,38 \cdot 10^{-23}$ J/K.

7. Điện áp trường điện tử của tụ điện tác động phẳng có công suất $C=4$ µF bằng $E=1000$ V/m. Khoảng cách giữa các bản tụ là $d=1$ mm. Xác định năng lượng của trường electron của tụ điện.

8. Một vôn kế có thang đo $U=100$ V có điện trở trong $r=10$ kOhm. Thiết bị này có thể thay đổi sự khác biệt tiềm năng nào nếu một loạt điện trở bổ sung $R=90$ kOhm được kết nối với nó?

9. Trong một từ trường đều có một cuộn dây phẳng có diện tích $S=10$ cm$^2$, nằm vuông góc với từ trường tuyến tính. Lượng dòng điện sẽ tiêu thụ mỗi lượt nếu chỉ báo trường giảm với tốc độ không đổi $\Delta B/\Delta t'=0,01$ T/s? Điện trở quay $R=1$ Ohm.

10. Ánh sáng đơn sắc rơi vuông góc với mặt phẳng của cách tử nhiễu xạ trong suốt. Ở góc nào sẽ quan sát được cực đại chính đầu tiên của vạch màu lục trong quang phổ của đèn truyền thống (có bước sóng $\lambda=546$ nm) nếu chu kỳ của cách tử nhiễu xạ là $d=10,92 \times 10^{-7}$ m?

Tùy chọn 2

1. Quãng đường vật rơi tự do trong giây trước lớn hơn quãng đường vật rơi tự do trong giây trước đó bao nhiêu mét? Vận tốc ban đầu của vật bằng không. Lấy gia tốc trọng trường bằng $g=10$ m/s$^2$.

2. Hai mảnh $m=4$ kg giống hệt nhau trở thành thép và bắt đầu chuyển động cùng nhau. Bao nhiêu nhiệt được giải phóng khi các quả bóng va vào nhau, nếu một trong số chúng có tốc độ $v=5$ m/s trước khi va chạm và quả thứ hai đứng yên?

3. Một hòn đá có khối lượng $m=0,5$ kg, được ném vào một đường dây có chiều dài $l=50$ cm, quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Lực căng của sợi dây ở điểm cuối của vòng tròn, hòn đá có nâng lên không nếu sợi dây bị cắt vào thời điểm vận tốc của hòn đá hướng thẳng đứng lên trên? Tăng tốc lực