Kvant 1989, số 2 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

153
tạp chí vật lý và toán học
khoa học đại chúng

$S_l \cdot R_o^a \cdot T_a$

1989

1

Trong phòng:

2 Bàn tròn của chúng tôi
6 A. V. Sosinsky. Bím tóc và nút thắt
16 P. V. Vlioh. Cộng hưởng toàn cầu
23 A. S. Steinberg. Quy tắc pha Gibs
30 I. F. Akulich. giải trí Bursat

Bài toán Kvant
34 Bài toán M1146—M1150, F1153—F1157
35 Lời giải bài toán M1121—M1124, F1133—F1136

Kính vạn hoa «Kvant»

R là tên lửa
45 Soyuz mở Turipr

«Kvant» cho học sinh nhỏ
46 Bài toán
47 S. V. Dvoryaninov, A. P. Savin. Số học đồng hồ cát

Trường học ở «Kvant»
Matematika 8—10:
50 E. G. Gotman. Các phép biến đổi hình học.
Phần I: Chuyển động
54 trường học yêu thích bài toán

Phòng thí nghiệm «Kvant»
55 Vâng. E. Amstislavsky. Khúc xạ kế cho phòng thí nghiệm tại nhà
60 D. D. Christozov. Máy đo khúc xạ laser

Xưởng của người nộp đơn
62 A. R. Zilberman. Tĩnh học

Các lựa chọn thi tuyển sinh

Đáp số, gợi ý, lời giải
Họ viết thư cho chúng tôi (14, 72)
Thông tin (29, 80)

bìa của chúng tôi
1 Che «Kvant» sau khi áp dụng bố cục chuyển động (xem bài viết “Biến đổi hình học”).
2 Tái hiện bức tranh “Bàn nắng” của họa sĩ người Tây Ban Nha S. Dali (1936). Đây là gì - một ảo ảnh? một trò chơi tưởng tượng? hiệp hội in dấu? Đây là bí mật của nghệ sĩ. Và từ quan điểm vật lý, các yếu tố riêng lẻ của bức tranh có thể được coi là sự tẩy chay các định luật quang học, đặc biệt là định luật khúc xạ ánh sáng (đọc các bài viết trong phần “Phòng thí nghiệm «Kvant»”).
3 trang cờ vua.
4 Câu đố từ bộ sưu tập của nhà sưu tập câu đố nổi tiếng J. Slocum và J. Boterman.

© Nhà xuất bản Nuka.
Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1989

2

BÀN TRÒN CỦA CHÚNG TÔI

25 năm trước, theo sáng kiến ​​​​của các nhà khoa học, học giả hàng đầu đất nước A. N. Kolmogorov, I. G. Petrovsky, P. S. Aleksandrov, I. K. Kikon và M. A. Lavrentiev, các trường nội trú chuyên ngành vật lý và toán học đã được thành lập ở Moscow, Leningrad, Kyiv và Novosibirsk. Bài toán đây là cách trường được thành lập: nhằm cung cấp cho học sinh sống xa các trung tâm khoa học cơ hội học tập khoa học giống như sinh viên ở các thành phố đại học.

Gần đây, tòa soạn của chúng tôi đã tổ chức một cuộc họp nhân kỷ niệm 20 năm thành lập trường nội trú vật lý và toán học tại Đại học quốc gia Moscow. Chúng tôi giới thiệu những người tham gia: D. L. Abarov - hiệu trưởng trường, V. V. Vasilov - phó giáo sư Đại học quốc gia Moscow, thành viên biên tập «Kvant», V. N. Dubrovsky - giáo viên trường nội trú tại Đại học quốc gia Moscow, thành viên biên tập «Kvant», A. A. Egorov - nhà nghiên cứu tại Học viện Khoa học sư phạm Liên Xô, giáo viên tại trường nội trú tại Đại học quốc gia Moscow, O. N. Naida - trường khoa học nhanh trí, hiện là nhà nghiên cứu, ứng cử viên khoa học vật lý và toán học, A. V. Sosinsky - phó giáo sư tại MIEM, thành viên ban biên tập tại «Kvant», G. Sh. Fridman - phó giáo sư tại Đại học bang Omsk, tốt nghiệp Trường Vật lý và Cơ học tại NSU.

D. L. Abarov. Kết quả chính của bất kỳ trường nào là sinh viên tốt nghiệp của nó. Trải qua 25 năm tồn tại, trường nội trú của chúng tôi đã tốt nghiệp hơn 4.000 người. Hầu hết họ đều đỗ vào các trường đại học (chủ yếu là Đại học Quốc gia Mátxcơva và Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva); nhiều nghiên cứu sau đại học và hoàn thành luận án của họ.

Trong số sinh viên tốt nghiệp của chúng tôi có hơn 400 ứng cử viên và 20 bác sĩ khoa học, có người đoạt giải thưởng Lênin và Nhà nước, giải thưởng của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô và Giải thưởng Lenin Komsomol.

Yu tốt nghiệp của chúng tôi. A. Matiyasevich giải được bài toán thứ 10 của Hilbert; công việc xuất sắc đã được thực hiện bởi A. N. Varchenko, E. V. Shepin, I. M. Krichever, V. V. Nikulin, v.v. Hiện nay, độ tuổi tối đa của sinh viên tốt nghiệp là 43 tuổi, họ đã làm việc thành công ở nhiều viện khoa học, trung tâm máy tính và cơ sở giáo dục.

Trong số giáo viên trường nội trú có 25 thí sinh và 3 tiến sĩ khoa học. Điều này cho phép bạn thực hiện các khóa học giáo dục theo cách không chuẩn mực, phát triển và duy trì niềm yêu thích với khoa học. Chúng tôi hài lòng với sự thành công của sinh viên trong việc tối ưu hóa ở mọi cấp độ - từ Moscow đến quốc tế.

Trở lại những năm 60, một truyền thống đã xuất hiện: những sinh viên tốt nghiệp trường nội trú, trở thành học sinh, trở lại trường với tư cách là một giáo viên. Không thể liệt kê tất cả. Tôi sẽ chỉ kể tên A.P. Veselov, V.N. Dubrovsky, A.N. Dr Biếnnikov, B.M. Ivlev, T.N. Trushanina, E.V. Shepina - đây là một giáo viên hàng đầu đã công tác ở trường nội trú lâu năm và đầy sáng tạo.

O. N. Naida. Vào năm 1962-63, thay mặt ủy ban Komsomol, một nhà vật lý tại Đại học quốc gia Moscow, tôi đã giúp I.K. Kikon trong công việc của mình với học sinh. Theo nghĩa đen trước mắt tôi, vào mùa xuân năm 1963, I.K. Kikon đã viết một lá thư cho chính phủ với đề xuất mở một trường nội trú ở Moscow, tương tự như trường ở Novosibirsk, trường đã hoạt động vào thời điểm đó, nhờ sáng kiến ​​​​của M.A. Lavrentiev. Bức thư được ký bởi hiệu trưởng Đại học quốc gia Moscow I. G. Petrovsky, cư dân của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô M. V. Keldysh, cũng như người đứng đầu các trường sau đại học, giáo dục và đại diện đầu ngành. Kết quả tính xác thực của chúng là nghị quyết của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về việc tổ chức các trường nội trú tại các trường đại học Kiev, Leningrad, Moscow và Novosibirsk.

Sau đó, có một khối lượng công việc khổng lồ để thực hiện đợt tuyển sinh đầu tiên vào trường. 19 học sinh đầu tiên (lớp 11) được tuyển chọn trong số những học sinh đoạt giải Olympic Toán toàn Nga lần III. Họ được mời đến Letnyushka ở Krasnovidovo gần Mozhaisk,

3

nơi A. N. Kolmogorov và các trợ lý của ông có liên quan trực tiếp đến ông. Ở trường cuối cùng họ đều đăng ký vào một trường nội trú:

Tôi vẫn còn giữ bài kiểm tra của Gena Arkhipov. Hiện ông là Tiến sĩ Vật lý và Toán học, một chuyên gia nổi tiếng về lý thuyết số. Anh ấy luôn yêu thích toán học và đã thể hiện rất nhiều sự sáng tạo và hóm hỉnh khi giải bài kiểm tra vật lý này!

Trường nội trú của chúng tôi bắt đầu hoạt động vào tháng 12 năm 1963. Bạn hẳn đã thấy sự quan tâm của các chàng trai khi thực hiện công việc trong phòng thí nghiệm, chế tạo máy đếm tia vũ trụ - tất nhiên - khi bộ phận này được thực hiện, các bóng đèn sẽ sáng lên. Các khóa học vật lý lý thuyết đã đạt được thành công to lớn. Tôi xin chúc các thầy cô và các em học sinh ngày nay công việc vui vẻ như những năm đầu.

A. B. Sosinsky. Tôi bắt đầu làm việc tại trường nội trú vào năm 1964 cùng lúc với những nhà toán học tuyệt vời như V. M. Alekseev, V. I. Arnold, V. M. Tikhomirov, D. B. Fuks và những người khác - chỉ sự hiện diện của họ tại trường đã đặt ra một trình độ giảng dạy cực kỳ cao. Cả học sinh và giáo viên đều yêu mến một trong những giáo viên dạy toán giỏi nhất ở Moscow, A. A. Shershevsky. Các nhà toán học trẻ hơn làm việc ở đó trong những năm đầu tiên tồn tại cũng đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành trường nội trú: E. V. Gaidukov, D. I. Gordeev, A. A. Egorov, Yu. A. Ilyashenko, I. G. Zhurbenko, A. S. Mishenko, V. A. Skvortsov. Vật lý được trình bày một cách vô cùng thú vị và sinh động. Các lớp học được giảng dạy bởi các giáo viên trẻ, nghiên cứu sinh và sinh viên vật lý từ Đại học quốc gia Moscow và Viện Vật lý và Công nghệ Moscow. Hiệu trưởng đầu tiên của trường nội trú, P. A. Kuznetsov, đã làm được rất nhiều việc trong thời gian làm giám đốc ngắn hạn của mình (hơn một năm sau, ông chuyển sang làm giám đốc ở một trường khác). Ông được thay thế bởi R. A. Ostraya, một người lính tiền tuyến, một nhà sử học chuyên nghiệp (Ransa Arkadyevna tốt nghiệp Viện Vật lý, Văn học và Nghệ thuật), một người có học thức xuất sắc, thông minh theo nghĩa cao nhất của từ này. Cô ngay lập tức yêu thích và chấp nhận ý tưởng của những người tạo ra trường học: ở một trường nội trú, người ta không chỉ phải tiếp thu các môn khoa học chính xác mà còn cả các giá trị văn hóa.

Khi tuyển dụng các nhà tài trợ, Andrei Nikolaevich Kolmogorov coi điều quan trọng không chỉ là kiến ​​​​thức về toán học hay vật lý mà còn cả kiến ​​​​thức, hiểu biết về âm nhạc, lịch sử và một số môn khoa học thể thao. Không phải vô cớ mà FMS đôi khi là viết tắt của “trường toán-bóng đá” - điều này đề cập đến những trận đấu nảy lửa giữa các đội học sinh và giáo viên trong các môn bóng đá, bóng rổ, bóng chuyền và các cuộc thi khác.

Đội ngũ giáo viên năm thứ nhất - những người không lớn hơn học sinh của họ nhiều - đã lôi kéo các em vào một đời sống trí tuệ thú vị và mãnh liệt. Các buổi tối âm nhạc và các buổi đọc sách tập thể của Pasternak, Bulgkov, Khlebnikov, Zaboltsky và Akhmatova đã được tổ chức.

Thời kỳ nội trú này có thể được mô tả từ bài thơ tuyệt vời “19 tháng 10” của hậu thi sĩ nổi tiếng hiện nay Yu. Kim, người dạy văn và lịch sử ở trường nội trú. Có những dòng này:

Dưới cái bóng vô tâm của bạn
Tôi ước gì tôi có thể học cách vẫy tay
Tôi mừng cho người may mắn,
Tôi tin tưởng cái vescous,
Chiều sâu suy nghĩ tự do…

Tuy nhiên, nhiều người không thích “sự vui vẻ liều lĩnh”, “sự tin tưởng không tiếc nuối” gây mất lòng tin, và “chiều sâu suy nghĩ tự do” dường như hoàn toàn độc hại. Vào những năm 70, sự phát triển của trường nội trú đã đi sai hướng. Nó ngày càng trở thành một thứ giống như một khóa học dự bị cho học sinh các tỉnh, và nguồn gốc xã hội ngày càng đóng vai trò quan trọng trong việc vào trường nội trú hơn là khả năng thực sự về khoa học, do đó từ những năm 70, cường độ khoa học trong đời sống nội trú đã giảm sút.

Giờ đây, những người mới đến trường nội trú đã đến và người ta tin rằng trường nội trú là một hiện tượng tuyệt vời trong nền văn hóa của chúng ta.

4

A. N. Kolmogorov giảng bài.

ry - sẽ trở lại với hoạt động giáo dục thực sự của mình.

A. A. Egorov. Tôi công tác ở trường nội trú từ cuối năm 1963 - từ lúc mới mở cửa nên toàn bộ lịch sử của trường đều in sâu trong ký ức của tôi.

Trường nội trú đã và đang thực hiện ý tưởng của người sáng tạo ra nó là A. N. Kolmogov: tạo cơ hội cho học sinh năng khiếu tham gia vào công việc khoa học càng sớm càng tốt (bắt đầu từ năm cuối đại học). Vì vậy, bài toán chính của việc giảng dạy là phát triển mối quan tâm bền vững, thậm chí là nhu cầu nghiên cứu và sáng tạo độc lập. Chúng tôi chỉ cho học sinh những cách tiếp cận khác nhau để giải quyết vấn đề, dạy họ nhìn vấn đề từ những góc độ khác nhau. Thật không may, toán học thường được dạy ở trường theo cách họ dạy “Quy tắc” trong quân đội, và đôi khi trẻ em đến với chúng tôi, tuy có năng lực nhưng đã bị giáo viên ở trường ngăn cản. Không ngăn cản họ, khiến bộ não của họ hoạt động, dạy họ học và khơi dậy niềm đam mê học tập - đó là những gì chúng tôi cố gắng làm.

D. L. Abrarov. Tôi từ một sinh viên (tốt nghiệp trường nội trú năm 1977) trở thành giám đốc trường học. Những năm tháng ở trường nội trú sẽ được tôi ghi nhớ suốt đời bởi việc học và cuộc sống thú vị. Tôi biết ơn các giáo viên đã hỗ trợ và phát triển niềm yêu thích của chúng tôi đối với toán học và vật lý. Lớp mình đã giải được bài toán do Hội Khoa học Sinh viên đề xuất. Rất khó khăn, nghiên cứu bài toán, đôi khi có vấn đề. Mỗi học sinh có thể cố gắng giải quyết chúng. Tôi rất muốn trả lời cuốn sách và đi ngủ, nhưng chẳng bao lâu sau, cuốn sách đã nằm trong tay tôi và tôi dành nhiều ngày để nghiên cứu độc lập. Những cuốn sách khó như cuốn sách “Các yếu tố của lý thuyết hàm số và chức năng phân tích” của Kolmogorov và Fomin cũng làm tăng thêm sự quan tâm vì tính khó hiểu của chúng. Buổi thi chính thức được diễn ra một cách nhiệt tình (đôi khi chúng tôi bị giảng viên đuổi đi khi đang giải bài toán, rúc vào một góc vắng nào đó). Tuy nhiên, điều này vẫn tồn tại.

V.V. Vavilov. Dmitry Leonardovich Abrarov đã đề cập đến một môn học tuyệt vời - thực hành toán học. Trong căn phòng nơi chúng ta đang nói chuyện, có một quầy với tất cả các con số «Kvant» được tung ra trước giữa ngày. Vì vậy, tôi thấy ít nhất 7 trang bìa mô tả những bức tranh do học sinh thực hiện trong khi chuẩn bị bài tập thực hành. Nó là gì? Khoảng mỗi tháng một lần có các bài giảng ở trường nội trú, sau đó các bài tập cho hội thảo sẽ được đăng. Khi làm bài, học sinh phải nắm vững lý thuyết, tính toán và hoàn thành phần đồ họa của bài. Những nhiệm vụ này là duy nhất, chúng đòi hỏi khả năng điều hướng trong một tình huống xa lạ, tính độc lập và khả năng tiếp thu sâu của tài liệu - về cơ bản đây là công việc nghiên cứu. Tuy nhiên, từ chủ đề: “Đĩa nằm”.

(Cuối cùng xem trang 15)

7

BỆNH VÀ NÚT NÚT

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. V. SOSINSKY

Bện tóc và thắt nút - đây có thực sự là toán học?

Một học sinh nghiêm túc rõ ràng sẽ rút ra khỏi trường học quan điểm sau: toán học liên quan đến các khái niệm trừu tượng, và các đồ vật hàng ngày, như bím tóc và nút thắt, không liên quan gì đến toán học.

Nhưng điều đó không đúng. Các nhà toán học trong thời đại chúng ta không chỉ giải quyết các vấn đề mới nổi - lý thuyết số, tính toán các chuyến bay vào vũ trụ, nghiên cứu các mét thơ - mà còn giải quyết các vấn đề trần thế hàng ngày: tính toán kinh tế và thậm chí cả… lý thuyết về hàng đợi.

Và các lý thuyết bện. Đây là một khoa học hiện thực và sống động phát sinh từ những năm 20 của thế kỷ chúng ta; vẫn chưa được hoàn thiện và chưa cạn kiệt các ứng dụng của nó. Và về vẻ đẹp, lý thuyết về bím tóc không thua kém gì lý thuyết cổ điển, nhưng đã bị đóng băng về tầm quan trọng của nó, toán học của thời cổ đại và thế kỷ 17, vốn chỉ được học ở trường.

Câu chuyện của chúng ta bắt đầu với những ví dụ về bím tóc (hình 1). Bạn có thể tưởng tượng một bím tóc như thế này: n chiếc đinh được đóng vào các cạnh trên và dưới của một tấm ván thẳng đứng (n có thể bằng 1, 2, 3,…) - mỗi chiếc đinh ở đế trên được nối bằng một sợi chỉ với một trong những chiếc đinh ở phía dưới; các sợi chỉ không giao nhau theo cặp và phải luôn đi xuống (sợi chỉ không có quyền quay lại hoặc bắt đầu đi lên: ví dụ: các số trên hình 2 không phải là bím tóc).

Hai bím tóc được coi là tương đương (tức là giống nhau) nếu một bím tóc có thể được biến thành bản sao chính xác của sợi kia bằng cách di chuyển các sợi chỉ (không làm đứt hoặc dán) sao cho mỗi điểm của mỗi sợi chỉ di chuyển trong mặt phẳng nằm ngang. Chuyển động như vậy được thể hiện ở hình 3.

Ở hình 1 ở đầu mỗi sợi, nghệ sĩ đã chỉ ra số sê-ri của nó. Bên dưới một lần nữa, số lượng của mỗi sợi được chỉ định - nhưng ở đây các số không bắt buộc và phải theo thứ tự: mỗi bím tóc tương ứng với một hoán vị số lượng các sợi của nó. Như vậy, các bím tóc $K_1$, $K_4$, $K_5$ và hình 1 tương ứng với các hoán vị

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.$$

Hình 1. Ví dụ về bím tóc ba và bốn sợi: $K_1$ - “bím tóc thời con gái”; $K_2$ - bím tóc ba lần; $K_3$ — ?; $K_4$ - bím tóc nhuộm; $K_5$ - tết theo chu kỳ.

8

Hình 2. Những số liệu này không phải là hệ số niga của chúng và có số phận tăng dần.

Hình 3. Bằng chứng hình học về tính tầm thường của bím tóc $K_3=1$: chuyển động “phân chia” của bím tóc biến thành một bím tóc gồm bốn bím tóc dọc.

Trong số các bím tóc ở hình 1, bím tóc sơn $K_4$ nổi bật; Nó được gọi như vậy hoàn toàn không phải vì người nghệ sĩ đã sơn chân của nó bằng nhiều màu sắc khác nhau: bất kỳ bím tóc nào tương ứng với một hoán vị giống hệt nhau đều được gọi là nhuộm

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{pmatrix},$$

tức là, một bím tóc giữ nguyên thứ tự số sợi. Một bím tóc tầm thường, tất cả các sợi đều thẳng đứng, là trường hợp đặc biệt của bím tóc nhuộm.

Nhân tiện, hình 1 không chỉ hiển thị một mà là hai bím tóc tầm thường. Hai? — Có, chính xác là hai: bím tóc $K_3$ là chuyện nhỏ, hoặc nó dễ dàng biến (xem hình 3) ​​​​thành bím tóc gồm bốn sợi dọc.

Trong số tất cả các bím tóc, ngoại trừ những bím tóc được nhuộm, cần làm nổi bật những bím tóc theo chu kỳ có ý nghĩa đối lập với chúng: đây là những bím tóc sắp xếp lại tất cả các số sợi trong một chu kỳ duy nhất, giống như bím tóc $K_5$:

$$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 1.$$

Bím tóc là một trong những vật thể hình học đơn giản nhất có thể dễ dàng được “đại số hóa”: các bím tóc có cùng số sợi có thể được nhân lên. Việc này được thực hiện khá đơn giản (xem hình 4): bạn cần gắn một vòng tròn, dán các sợi chỉ tương ứng và loại bỏ các đinh tán không cần thiết (các đinh tán phía dưới của bím tóc đầu tiên và các đinh tán phía trên của bím tóc thứ hai). Phép nhân như vậy có một số tính chất của phép nhân tổng quát các số: thoả mãn định luật kết hợp

$$K_1(K_2K_3)=(K_1K_2)K_3,$$

est tương tự nhau - bím tóc tầm thường $K_2=1$, trong đó

$$1 \cdot K=K \cdot 1=K.$$

Ngoài ra còn có một cách phân chia tương tự: mỗi bím tóc $K$ có một bím tóc ngược $K^{-1}$; cho cô ấy

$$K^{-1} \cdot K=K \cdot K^{-1}=1.$$

Thực tế cuối cùng không rõ ràng lắm và chúng tôi mời người đọc tìm ra cách tạo một bím tóc ngược với điều này. Chà, nếu nó không thành công, bạn có thể xem đáp số ở trang tiếp theo (hình 5). Tuy nhiên, phép nhân bện không có tính giao hoán: $K \cdot L$ không nhất thiết phải bằng $L \cdot K$ (một ví dụ được đưa ra bên dưới).

Đối tượng đại số thu được—nó được gọi là nhóm bện gồm các sợi $n$ và được ký hiệu là $B_n$—không đơn giản lắm nhưng nó đã được nghiên cứu kỹ lưỡng. Hãy bắt đầu nghiên cứu nhóm bím tóc. Để làm điều này, bạn sẽ cần các bím tóc cơ bản $S_1, S_2, \dots, S_{n-1}$ trong số $n$ sợi (hình 6).

9

Hình 4. Nhân các bím tóc: phần trên của bím tóc thứ hai áp vào phần dưới của bím tóc thứ nhất và các sợi tương ứng được dán lại với nhau.

Hóa ra là bất kỳ bím tóc nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các bím cơ bản $S_1$, $S_2$, … và nghịch đảo của chúng. Ví dụ, rõ ràng là

$$K_1 = S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1}.$$

Kế tiếp

$$K_3 = S_2 S_1 S_3^{-1} S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1 S_3 S_1^{-1} S_3^{-1};$$

điều này trở nên rõ ràng nếu bằng cách di chuyển các sợi chỉ một cách hợp lý, chúng ta hạ thấp một chút 4 điểm đôi nằm ở phía bên phải của bím tóc $K_3$ (hình 7).

Bài tập 1. Hãy tưởng tượng các bím tóc $K_4$, $K_5$ (xem hình 1) là sản phẩm của các bím tóc cơ bản $S_1$, $S_2$, $S_3$ và nghịch đảo của chúng.

Trong lý thuyết bện, cũng như trong hình học giải tích, ký hiệu đại số cho phép lý luận hình học thay thế sự hoàn hảo bằng các phép tính cơ học dựa trên các điểm sau:

I. Quan hệ tay ba

$$S_i S_i^{-1} = S_i^{-1} S_i = 1,$$

$$S_i \cdot 1 = 1 \cdot S_i = S_i (i=1, 2,..., n-1).$$

II. Đi lại đường dài

$$S_i S_j = S_j S_i$$ tại $|i-j| \geq 2$

($i, j=1, 2,..., n-1$).

III. Mối quan hệ đám rối

$$S_i S_{i+1} S_i = S_{i+1} S_i S_{i+1}$$ ($i=1, 2,..., n-2$).

Những điểm này nằm ngay tiếp theo (hình 8). Từ họ chúng tôi suy ra

Hình 5. Nghịch đảo của bím tóc: hình ảnh phản chiếu của bím tóc $K$ (so với mặt phẳng ngang đi qua đế dưới của nó) là nghịch đảo của bím tóc $K$ $K^{-1}$.

Thật vậy, các cặp điểm bện đôi $KK^{-1}$ đối xứng với mặt phẳng này có thể bị phá hủy theo cặp bằng cách di chuyển liên tiếp từ tâm của bện đến các cạnh của nó.

Hình 6. Bím tóc cơ bản: Bím tóc cơ bản thứ $i$ $S_i$ ($i=1, 2,..., n-1$) bao gồm các sợi dọc $(n-2)$ và sợi thứ $i$ của nó được đổi chỗ với sợi thứ $c$ ($i+1$)th (vượt qua nó).

10

Ngoài ra còn có các mối quan hệ khác, ví dụ như dạng tổng quát hơn của tính giao hoán ở xa:

Bài tập 2. Chứng minh rằng $S_i^e S_j^\delta = S_j^e S_i^\delta$ với $\varepsilon$, $\delta \in \{1, -1\}$, $|i - j| \geq 2$.

Hãy xem thêm một ví dụ khác: chúng ta chứng minh mối quan hệ $K_3 = 1$ (được thiết lập về mặt hình học trên hình 3) bằng phép tính trực tiếp. Chúng tôi có:

$$K_3 = S_2(S_1 S_3^{-1}) S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1(S_3 S_1^{-1}) S_3^{-1} = S_2 S_3^{-1}(S_1 S_1^{-1}) S_3 S_2^{-1}(S_1 S_1^{-1})(S_3 S_3^{-1}) = S_2 S_3^{-1} \cdot 1 \cdot S_3 S_2^{-1} \cdot 1 \cdot 1 = S_2(S_3^{-1} S_3) S_2^{-1} = S_2 S_2^{-1} = 1.$$

Ở đây, trước tiên chúng ta tận dụng lợi thế của khả năng giao hoán xa, và sau đó mọi thứ “tự” thu gọn lại (do quan hệ tầm thường).

Bài tập
3. Chứng minh sự thật

Hình 7. Biểu diễn kosci $K_3$ thông qua kosci cơ bản $S_1, S_2, S_3$ và nghịch đảo của chúng. Để làm điều này, với một chuyển động nhỏ của các sợi, tất cả các điểm kép sẽ được đặt ở các cấp độ khác nhau, sau đó ký hiệu đại số $K_3$ có thể được đọc một cách đơn giản từ hình: $K_3 = S_2 S_1 S_3^{-1} \times S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1 S_3 S_3^{-1}$.

Hình 8. Chứng minh các quan hệ chính của lý thuyết kosci: (I) quan hệ ba lần (đối với các bím tóc của hai sợi); (II) tính giao hoán xa (đối với bím tóc bốn sợi); (III) tỷ lệ đám rối (đối với bốn sợi). Đối với trường hợp có số lượng lớn các luồng, mọi thứ đều được chứng minh theo cách tương tự.

11

hãy đổ vào. Chúng tôi chỉ lưu ý rằng với sự giúp đỡ của họ, lý thuyết hình học của các bím tóc sẽ trở thành một môn khoa học tính toán, trong đó về nguyên tắc, tất cả các câu hỏi cụ thể đều có thể được giải quyết bằng máy tính.

Một độc giả hoài nghi sẽ hỏi: vậy thì sao? Tại sao bạn cần có khả năng giải quyết những “vấn đề cụ thể” này?

Tôi sẽ cố gắng trả lời. Thực tế là lý thuyết bện, như đã đề cập, có nhiều ứng dụng cả trong toán học và hơn thế nữa. Ở đây tôi chỉ tập trung vào một ứng dụng đặc biệt có giá trị - ứng dụng vào lý thuyết nút thắt.

Trước tiên chúng ta hãy xem một số ví dụ về nút (hình 9). Nút thắt là một đường khép kín trong không gian, nhẵn hoặc đứt, có thể xoắn, đan xen theo ý muốn. Sẽ rất hữu ích khi tưởng tượng rằng nút thắt được làm bằng một sợi chỉ mỏng, mềm và có thể kéo dài ra; chúng ta coi hai nút thắt là giống nhau (tương đương) nếu một nút thắt có thể biến thành bản sao chính xác của nút thắt kia bằng cách di chuyển, uốn cong, kéo căng và lướt qua sợi chỉ này trong không gian mà không làm đứt nó. Trong số các nút thắt, nổi bật nhất là một nút thắt tầm thường (thực ra, hoàn toàn không phải là một nút thắt) - một vòng tròn thông thường, không đáng kể: $Y_0$ trên hình 9. Tuy nhiên, hình này cho thấy hai hình ảnh của một nút thắt tầm thường: nút thắt $Y_7$ cũng tầm thường - rất dễ gỡ rối, biến nó thành một vòng tròn lớn (làm điều này trong đầu hoặc bằng bút chì và cục tẩy!). Hơn nữa, tại hình 9, ngoài $Y_0$ và $Y_7$, còn có một cặp nút tương đương khác.

Bài tập 5. Tìm hai nút tương đương không tầm thường trên hình 9.

Sẽ thuận tiện hơn cho các nhà toán học khi có một định nghĩa chính xác về sự tương đương của các nút, thay vì một mô tả trực quan như mô tả mà chúng tôi đã đưa ra ở trên. Hãy đưa ra định nghĩa này. Để làm điều này, chúng tôi giả định rằng nút không phải là một đường cong uốn cong trơn tru mà là một đường cong bị gãy. Sau đó, một thao tác cơ bản là thay thế một liên kết của một đường gãy - chẳng hạn như đường đứt nét $AB$ trên hình 10 - bằng một đường gãy hai đường $ACB$ (và chuyển đổi ngược lại từ $ACB$ sang $AB$), với điều kiện là nút đó không chứa các điểm bên trong của tam giác $ABC$. Hai nút sẽ tương đương nếu một nút có thể di chuyển từ nút này sang nút khác bằng cách sử dụng chuỗi hữu hạn các phần tử thao tác (hình 10). Sau khi nhìn vào hình này, bạn có thể dễ dàng hiểu rằng định nghĩa về sự tương đương này thực sự đã được mô tả trực quan ở trên.

Đối với các nút, cũng như đối với các bím tóc, bạn có thể chỉ định phân loại cho không gian: chỉ ra danh sách các nút (không giới hạn) (không lặp lại) và thuật toán gán cho bất kỳ nút nào số của nó trong này

12

Hình 10. Các phép toán cơ bản trên một nút: đoạn AB được thay thế bằng đoạn thẳng ACB đứt quãng với điều kiện nút đó không cắt tam giác ABC; việc áp dụng tuần tự các hoạt động như vậy cho phép các nút bị biến dạng.

danh sách. Mặc dù ngày nay vấn đề này đã được giải quyết về mặt nguyên tắc, nhưng lời giải nó cồng kềnh đến mức không có ứng dụng thực tế. Có thể giảm vấn đề này thành vấn đề (đã được giải quyết) là phân loại các bím tóc không? Đây là nơi mà bước đi tiếp theo sẽ diễn ra.

Hãy lấy một bím tóc, uốn nó theo hình vòng cung và dán phần cuối vào phần đầu (hình 11). Bạn sẽ nhận được một nút thắt. Tuy nhiên, việc tết bím tóc như thế này có phải lúc nào cũng tạo thành nút thắt không?

Hình 11. Thắt bím tóc: chúng ta nối phần đầu và phần cuối của bím tóc đơn giản nhất, chúng ta sẽ có một nút thắt (“trefoil”).

Hình 12. Tháo nút thắt dương thành bím tóc. Nửa mặt phẳng thẳng đứng a được phân bố, mở ra như một cuốn sách và nút thắt phát triển thành một bím tóc. Thao tác này ngược lại với thao tác đóng bím tóc (hình 11).

Sự quản lý

6. Vẽ phần đóng của bím tóc $K_1, K_4$ (hình 1). Khi nào bạn có một đường cong và khi nào bạn có nhiều đường cong? Mô tả các bím tóc có phần đóng là một đường cong, tức là một nút thắt.

7. Tìm một bím tóc có phần đóng là một nút thắt: a) $Y_1, 6)$ $Y_3, b)$ $Y_4, r)$* $Y_2$ (xem hình 9).

Vì vậy, một số bím tóc cổ điển, như độc giả đã thấy, tiếp tục bài tập 6) khi khép lại, họ sẽ thắt nút. Có thể lấy được tất cả các nút theo cách này không? Hóa ra - thế thôi!

Nhà toán học nổi tiếng người Mỹ J. Alexander đã chứng minh vào năm 1925 rằng bất kỳ nút thắt nào cũng là sự đóng lại của một bím tóc nào đó. Chúng tôi sẽ không chứng minh định lý này một cách chi tiết nhưng chúng tôi chỉ ra hai kỹ thuật chính được sử dụng trong chứng minh định lý này.

Ví dụ đầu tiên (“tháo cuộn”). Hãy vẽ một nút, chọn hướng trên nút đó và lấy một điểm tùy ý $O$ bên ngoài nút đó. Chúng tôi gọi một liên kết nút là dương (so với điểm $O$), nếu hướng chuyển động dọc theo nó có thể nhìn thấy được từ điểm $O$ từ trái sang phải; vì vậy tất cả các liên kết của nút ngoại trừ $AB$ và $FG$ trên hình 13 đều dương. Chúng ta sẽ gọi một nút là dương (so với điểm $O$) nếu tất cả các liên kết của nó đều dương. Đối với các mối quan hệ tích cực

13

Rất dễ dàng để tìm thấy một bím tóc có độ đóng kín: bạn cần cắt và tháo nút thắt như trong hình 12.

Hãy lấy cái thứ hai (“Bộ ba Alexander”). Các liên kết phủ định của nút (hình 13, b, c) được thay thế bằng các đường gãy dương hai liên kết bao quanh điểm O. Sau khi tính đến tất cả các liên kết phủ định, bước đầu tiên sẽ được áp dụng.*)

Điều này chứng tỏ rằng mỗi nút là phần đóng của một bím tóc nhất định và các bím tóc có thể được phân loại. Chúng ta không thể sử dụng điều này để phân loại các nút sao? Than ôi, không. Vấn đề là việc thắt các bím tóc khác nhau không phải lúc nào cũng dẫn đến các nút thắt khác nhau. Ví dụ: bím tóc (của ba sợi) hiển thị ở hình 14 không giống với bím tóc (của hai sợi) ở hình 11, nhưng cũng tạo ra hình shamrock khi đóng lại (kiểm tra!).

Vì vậy, không thể quy giản một cách mơ hồ việc phân loại các nút thắt thành phân loại các bím tóc. Tuy nhiên, định lý của Alexander chỉ là bước đầu tiên trong một chuỗi suy nghĩ phức tạp, kết nối

*) Người đọc kén chọn có thể phản đối rằng ngoài mặt tích cực và tiêu cực, một nút thắt còn có thể có những mắt xích không thể gán được dấu hiệu. Nếu xảy ra hiện tượng “nghịch ngợm” như vậy, bạn cần di chuyển nhẹ các liên kết này.

gọi những cư dân đẹp nhất của không gian ba chiều - bím tóc và nút thắt.

---

Tóm lại, đối với những độc giả không cho rằng vẻ đẹp là cơ sở đủ để nghiên cứu môn học, chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi: “Tại sao tất cả những điều này lại cần thiết?” Một phần, đáp số chứa đựng chính lịch sử xuất hiện của lý thuyết về bím tóc và nút thắt.

Lý thuyết về bím tóc được tạo ra vào những năm 20 của thế kỷ chúng ta bởi nhà đại số người Đức vẫn còn trẻ E. Artin theo yêu cầu của… một nhà máy dệt: ông ấy đã thực hiện, như chúng ta thường nói ngày nay, công việc quản lý cho doanh nghiệp này.

Nguồn gốc của lý thuyết nút thắt còn cổ xưa hơn, và hoàn cảnh thú vị về sự xuất hiện ngay lập tức của nó gần như bị lãng quên. Và nó là như thế này.

Hình 14. Cách thắt bím tóc này cũng là nút thắt hình cây ba lá (so sánh với hình 11). Kiểm tra nó ra!

14

Nghiên cứu có hệ thống về lý thuyết nút được khởi xướng bởi nhà vật lý vĩ đại người Anh J. Maxwell. Ông đi đến kết luận rằng sóng thực hiện các tương tác điện từ, và rồi một ý tưởng thậm chí còn táo bạo hơn nảy ra trong đầu ông: bản thân các hạt tương tác cũng là sóng; nhưng vì các hạt (nguyên tử) rất nhỏ và sóng dài nên các nguyên tử sóng phải khép lại trong một vùng không gian nhỏ: đây là những nút thắt trong ký ức của chúng, tất cả thông tin vật lý cụ thể về nguyên tử được lưu trữ, được mã hóa theo đúng bản chất của nút thắt của nguyên tử. Maxwell và các học trò của ông bắt đầu nghiên cứu các nút thắt và bắt đầu phân loại một cách có hệ thống dưới dạng bảng.

Các nhà toán học, đã ở trường của chúng tôi, bắt đầu nghiên cứu về các nút thắt, và khá thẳng thắn: họ bị thu hút bởi chính vẻ đẹp của chủ đề này. Các bất biến tinh tế do IMMI tạo ra (và bài viết “Nút thắt, bảo vệ và đa thức của chúng” trong số thứ 4 «Kvant» sẽ được dành cho chúng) đã giúp có thể tiến bộ đáng kể trong nghiên cứu về nút thắt,

tính bốc đồng

F. P. Grosu từ Chisinau nghiên cứu lời giải về số tự nhiên của phương trình $x^n + y^m = z^k$. Hóa ra nếu $k \geq n > m$, $x \geq y$ và $k/n = p$ là số tự nhiên thì không có nghiệm nào cả. Bằng chứng. Bởi vì $x \geq y$, $x^m \geq y^m$ và $x^n + x^m \geq z^k$. Kể từ $(x+1)^n > x^n + x^m$, $(x+1)^n > z^k$. Vì vậy, $x > z^p - 1$. Mặt khác, $x = \sqrt[n]{z^k - y^m} < z^p$. Vậy $z^p > x > z^p - 1$, vậy $x$ không thể là số nguyên.

Mệnh đề sau được chứng minh tương tự:

nếu hệ phương trình

$$\begin{cases} x^n + y^m = a \\ x^m + y^n = b \end{cases}$$

vì $n > m \geq 1$, $a > b$ có lời giải tự nhiên, nên lời giải này có dạng

$$x = \sqrt[n]{a}, y = \sqrt[m]{a - \sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{b - \sqrt[n]{a}}^m,$$

trong đó dấu ngoặc vuông biểu thị phần nguyên của số. Ví dụ,

$$\begin{cases} x^3 + y^2 = 134 \\ x^2 + y^3 = 52 \end{cases}$$

Nhà kinh điển học mười I. Grigoriev từ Aktyubinsk thay thế điều đó để nhân bốn số với 6, bạn có thể sử dụng công thức $ab...xy \cdot 6 = ky$, trong đó $k = ab...x + 1/2ab...xy$.

Phương pháp thổi này thường đơn giản hơn so với cách thổi thông thường “theo cột”.

V. E. Koshakov đến từ Leningrad đưa ra trò chơi sau đây với các con số. Hãy lấy một số tự nhiên lẻ $N$ và biểu diễn nó dưới dạng tổng của hai số hạng. Đối với mỗi phân vùng $N$ thành tổng có dạng $p+q$, trong đó $p < q$, chúng ta tạo một phân vùng mới có dạng $(2p) + (q-p)$. Điều gì xảy ra nếu bạn tiếp tục quá trình này? Ví dụ: chia số $17 = 1 + 16$ sẽ ra số nguyên

$$1 + 16 \rightarrow 2 + 15 \rightarrow 4 + 13 \rightarrow 8 + 9 \rightarrow 16 + 1.$$

Sau khi việc chia tách này được lặp lại. Tác giả gọi những chuỗi như vậy là lưới. Đây là một vòng lặp số 17 khác:

$$3 + 14 \rightarrow 6 + 11 \rightarrow 5 + 12 \rightarrow 7 + 10 \rightarrow 3 + 14.$$

Các vòng lặp được viết ra chứa tất cả các phân số của số 17 thành tổng của hai số hạng. Xin lưu ý rằng cả hai vòng đều có cùng độ dài. Đây không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên: tất cả các vòng lặp của số nguyên tố đều có độ dài bằng nhau. Hãy cố gắng tự mình chứng minh tuyên bố này.

V. E. Koshakov tiếp tục thực hiện một số lượng lớn các phép tính và phát hiện ra những con số có nhiều vòng lặp. Ví dụ: số 65537 có 2048 vòng. Hãy nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra nếu bạn thay thế số đó bằng số đó trong một vòng lặp nhất định.

15

Bàn tròn của chúng tôi

(Xem phần đầu ở trang 2)

Ở đây chúng ta đang nói về cách tính toán chuyến bay của món đồ chơi “đĩa bay” phổ biến.

D. L. Abarov. Bây giờ thực tập sinh trở thành một bộ phận của trường Đại học *, thực hiện ý tưởng của Lomonosov: “Trường đại học nên có thôi miên.” Tất nhiên, sự hỗ trợ vật chất sẽ tốt hơn so với trường học bình thường. Thật không may, cho đến nay trình độ vật chất và kỹ thuật của chúng tôi không tương ứng với trình độ giảng dạy. Ví dụ, hiện nay chúng tôi có 2 lớp học công nghệ máy tính nhưng cần 4-5 lớp. Trở thành một phần của Đại học Tổng hợp Moscow cho phép chúng tôi tận dụng tối đa tiềm năng to lớn của Trường. Một sân tập đang được thành lập để thực hành các khóa đào tạo, viết sách, xuất bản văn học - đủ loại đồ dùng dạy học, sách giải toán. Rốt cuộc, thành thật mà nói, nhiều khám phá về phương pháp luận đã biến mất.

A. A. Egorov. Người ta nói thêm rằng những năm đầu tiên trường nội trú tồn tại là thời điểm, dưới sự lãnh đạo của A. N. Kolmogorov, quá trình hiện đại hóa các chương trình toán học ở trường đã diễn ra. Và chính tại trường nội trú, những ý tưởng của Andrei Nikolaevich đã được thực hiện. Anh ấy thực sự muốn viết một cuốn sách giáo khoa cho trường nội trú. Thật không may, anh ấy không còn có thể làm được điều này nữa.

G. Sh. Friedman. Tôi là học viên của trường đầu tiên ở Novosibirsk. Nó diễn ra vào mùa hè năm 1962. Hơn 600 học sinh từ khắp nơi trên đất nước đã tập trung tại Akademgorodok. Ý tưởng về một ngôi trường như vậy đã ra đời từ những năm 30, nhưng không phải ngẫu nhiên mà nó chỉ được thực hiện vào đầu những năm 60 (thời điểm băng tan) - và ở Siberia (xa Moscow). Trường học kéo dài 45 ngày! Giáo viên - nhân viên trẻ của Chi nhánh Siberia của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, nghiên cứu sinh,

*) Vào tháng 10 năm 1988, một nghị định của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô đã được ban hành về việc tổ chức các chuyên ngành của các trung tâm giáo dục tiểu học của các trường đại học quốc gia Moscow và Novosibirsk, trong đó bao gồm các chuyên ngành tương ứng của các trường nội trú.

Sinh viên NSU - tập hợp người thay thế. Các bài giảng được trình bày bởi ban tổ chức của trường, các học giả M. A. Lavrentyev, G. I. Budker, và thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A. A. Lyapunov. Bọn trẻ chuyển đi, tan học… Chúng tôi nghĩ: có nên đưa chúng về không? M.A. Lavrentiev đã chấp nhận ý tưởng này và tán thành nó. Chúng tôi đã tìm thấy giá trị và cách thức tài trợ. Và thế là, vào tháng 1 năm 1963, chúng tôi bắt đầu theo học tại Trường Vật lý và Toán học của NSU.

Giám đốc khoa học đầu tiên của trường là A. A. Lyapunov. Chúng tôi dạy xuất sắc không chỉ toán và vật lý mà còn cả sinh học (ngôi trường duy nhất trong cả nước nghiên cứu về di truyền học!). Một tạp chí về lãnh đạo được xuất bản và một câu lạc bộ tạo dáng được vận hành. A. A. Lyapunov, ngoài các khóa học toán, còn dạy một khóa học thú vị, “Khoa học Trái đất”, do chính ông phát minh ra. Tại nhà, ông tổ chức các lớp học theo vòng tròn về lý thuyết tập hợp, sau giờ học, trong bữa trà, có những cuộc trò chuyện về mọi thứ: khoa học, âm nhạc, hội họa, văn học.

V. N. Dubrovsky. Tôi học ở trường nội trú vào năm 1965-67, và vào năm 1969, khi còn là sinh viên, tôi bắt đầu đi dạy. Tinh thần của những năm đầu tiên đến trường được ghi nhớ một cách vô cùng hài lòng. Giảng viên và giáo viên yêu thích của chúng tôi A.V. Sosinsky dạy chúng tôi không chỉ toán mà còn cả tiếng Anh. Hầu hết các bài học toán đều được dạy bằng tiếng Anh. Tôi nhớ những buổi tối “Đèn xanh”: tại họ Yu. A. Kim và E. V. Gaidukov đọc những bài thơ của những người theo chủ nghĩa Tượng trưng, ​​“The Master and Margarita,” Gumilyov, Balmont. Và những bài học văn của N.I. Gerasimov - dưới ảnh hưởng của ông, chúng tôi đọc rất say mê, bất chấp các lớp học toán rất chuyên sâu. Những bài học lịch sử của R. A. Ostroy thực sự hấp dẫn. Kiến thức khổng lồ của cô ấy, cách tiếp cận tiêu chuẩn, phần giới thiệu về văn học lịch sử (ví dụ, “Napoléon” của E.V. Tarle) đã mang lại cho chúng tôi rất nhiều điều: chúng tôi biết lịch sử tốt hơn nhiều so với những sinh viên tốt nghiệp các trường đào tạo.

17

“Đá bông”
và các bộ phận riêng của bộ cộng hưởng

Ở vùng lân cận Baku, nơi bắt đầu sa mạc đá Kobystan - “Đất nước của khe núi” - có một hòn đá đáng kinh ngạc. Anh ấy trở nên nổi tiếng đến mức thậm chí còn có tên riêng của mình - Nagaradash, tức là “Stone tambourine” (nagara là một loại nhạc cụ gõ của Azerbaijan, dash là một hòn đá). Khối đá này có đặc tính âm học vượt trội. Nếu bạn dùng một hòn đá đập vào nó (và tất cả những người ở gần đó tiếp tục việc này một cách vô cùng vui vẻ), thì một âm thanh to và rõ ràng sẽ phát ra đến mức dường như họ đã chạm vào một chiếc chuông hay…

Chúng ta hãy thử mô tả các đặc tính âm thanh của đá pyosh đá bằng ngôn ngữ vật lý. Rõ ràng là còn quá sớm trong trường hợp này để nói về tần số mà hòn đá phát ra. Chúng ta hãy xem một phần dao động của âm thanh $f$ có liên quan như thế nào đến kích thước của “tambourine” $l$.

Khi va chạm, đá sẽ bị biến dạng trong thời gian ngắn và sóng âm sẽ lan truyền theo mọi hướng kể từ điểm va chạm. Chúng chạy với tốc độ nhất định $v$, không phụ thuộc vào kích thước của viên đá. Nhưng sóng chỉ lan truyền liên tục trong một môi trường đồng nhất vô biên và tất cả các vật thể đều có ranh giới nơi chất này tiếp xúc với chất khác (trong trường hợp của chúng ta là một hòn đá bị va chạm). Khi đạt đến ranh giới, sóng thâm nhập một phần vào môi trường khác (âm thanh từ đá xuyên qua tác động, sau đó đến tai chúng ta) và bị phản xạ một phần trở lại. Sự khác biệt về tốc độ âm thanh ở hai môi trường càng lớn thì khả năng phản xạ của nó càng hiệu quả. Ở đá granite là $v \approx 4 \cdot 10^3$ m/s, khi va chạm là $v \approx 3,3 \cdot 10^2$ m/s nên chỉ một phần nhỏ năng lượng âm thanh phát ra khi va chạm, còn phần chính của nó phải bị “cấm” bên trong đá. (Âm thanh cũng có thể phát ra từ đất đá, nhưng một “hòn đá cồng kềnh” nằm trên những tảng đá khác có “kết nối âm thanh” yếu với đất - nó chỉ tiếp xúc với đất ở một vài điểm.)

Những vật thể như vậy, trong đó năng lượng rung động được sử dụng nhanh chóng, được gọi là bộ cộng hưởng (từ tiếng Latin resonо - tôi phát âm là đáp số, tôi đáp lại). Nếu các dao động trong bộ cộng hưởng bị tắt dần yếu thì bộ cộng hưởng được cho là có hệ số chất lượng cao.

Tuy nhiên, chúng ta hãy quay lại những gì xảy ra bên trong “viên đá puosh” sau cú va chạm. Các sóng âm thanh được phản xạ nhiều lần từ các bức tường và giao thoa với nhau, bị hấp thụ hoặc bị suy yếu lẫn nhau. Sự gia tăng dao động xảy ra khi một sóng sau khi trải qua một hoặc nhiều phản xạ, quay trở lại một điểm nhất định trong cùng pha mà đường đi của nó bắt đầu. Xét rằng thời gian để sóng truyền qua lại dọc theo vật truyền âm là khoảng $2l/v$, ta thu được điều kiện khuếch đại dao động: $2l/v \approx nT=n/f$ ($n=1, 2, 3, ...$ là số nguyên). Từ đó tuân theo công thức tính tần số, được gọi là tần số tự nhiên của bộ cộng hưởng:

$$f_n \approx \frac{v}{2l} n.$$

Với $n=1$, chúng ta nhận được phần đóng đinh, hoặc như chúng ta nói, phần chính $f_1 \approx v/2l$.

Câu hỏi có thể nảy sinh: tại sao đẳng thức trong công thức (1) lại gần đúng mà không chính xác? Điều này thật dễ hiểu nếu chúng ta nhớ rằng chúng ta đã biểu thị “kích thước” của bộ cộng hưởng bằng chữ cái $l$.

18

Điều này có ý nghĩa gì đối với một “viên đá mịn” không rõ ràng lắm - chiều dài hoặc chiều cao. Để viết được công thức chính xác cho phần thích hợp của chất cộng hưởng, bạn cần biết công thức của nó.

Ví dụ, chúng ta hãy xem xét bộ cộng hưởng “một chiều” đơn giản nhất - một sợi dây mỏng được kéo căng. Ở đây, câu hỏi $l$ là gì không nảy sinh - đó là độ dài của sợi dây giữa các đầu cố định của nó. Do đó, đẳng thức gần đúng (1) trong trường hợp chuỗi trở nên chính xác.*)

Trong tương lai, chúng ta cũng sẽ cần một công thức tính tần số tự nhiên của bộ cộng hưởng “hai chiều” - một lớp vỏ hình cầu mỏng có bán kính $R$:

$$f_n = \frac{v}{2\pi R} \sqrt{n(n+1)}.$$

Công thức này tương tự như công thức trước: đường đi đầy đủ của sóng trong chuỗi từ đầu này đến đầu kia và ngược lại, bằng $2l$, được thay thế trong trường hợp hình cầu bằng chiều dài của màn hình $2\pi R$. Với cộng hưởng ba chiều (thể tích), tình huống phức tạp hơn một chút và ở đây chúng tôi sẽ chỉ trình bày biểu thức cho phần chính của dao động âm thanh tự nhiên của một quả bóng có bán kính $R$:

$$f_1 \approx 0.33 \frac{v}{R}.$$

Rõ ràng là trong trường hợp này, $f_1$ khác rất ít so với giá trị gần đúng của giá trị gần đúng này (1), nếu chúng ta tính $l=R$ và $n=1$ trong giá trị sau.

Bộ cộng hưởng có thể phát ra âm thanh ở các tần số khác nhau

Trong các công thức được viết ở trên, số nguyên $n$ xuất hiện. Mặc dù người ta không biết nó bằng bao nhiêu, nhưng không thể nói các dao động sẽ được tạo ra ở tần số nào (hoặc ở tần số nào). Nó phụ thuộc vào nguồn cung cấp năng lượng cho bộ cộng hưởng. Trong quá trình kích thích ngắn hạn (tác động), năng lượng âm thanh được phân phối giữa các tần số của chính nó,

*) Tất nhiên, giá trị của $f_n$ phụ thuộc vào đường kính của dây, tính chất của vật liệu và lực căng. Nhưng tất cả các phần phụ thuộc này đều được bao gồm trong $v$, vì vậy chúng tôi đang xem xét các chuỗi có độ dài khác nhau.

hoặc các hòa âm sẽ phát ra đồng thời (toàn bộ $n$ xuất hiện trong công thức (1). Hòa âm nào mạnh hơn và hòa âm nào yếu hơn tùy thuộc vào vị trí tác động. Do đó, bằng cách nhấn “đá đẩy” ở những vị trí khác nhau, bạn có thể trích xuất một giai điệu nhất định từ đó, tức là Nagaradash “hoạt động” giống như một nhạc cụ thực sự!

Tình huống hoàn toàn khác nếu bộ cộng hưởng bị kích thích không phải bởi một cú sốc ngắn hạn mà bởi một máy rung điều hòa hoạt động liên tục (một nguồn sóng hình sin). Trong trường hợp này, các dao động sẽ xảy ra ở tần số kích thích $f$, tần số này có thể khác với tất cả $f_n$. Tuy nhiên, khi $f$ trùng với một trong các tần số tự nhiên thì biên độ dao động tăng mạnh. Đây là bản chất của hiện tượng cộng hưởng.

Trái đất “rung chuông” ở tần số nào?

Từ một “hòn đá bông xốp” có kích thước vài mét, người ta có thể dễ dàng chuyển suy nghĩ của mình đến một tảng đá khổng lồ và thậm chí xa hơn - đến toàn bộ Trái đất nói chung. Thật thú vị khi tìm hiểu xem bộ cộng hưởng có thể “phát ra âm thanh” ở tần số nào trên toàn cầu, tức là bao phủ toàn bộ hành tinh và những nguồn nào có khả năng tạo ra nó.

Quả địa cầu, có cấu trúc bên trong phức tạp, cũng được bao quanh bởi bầu khí quyển, các lớp trên của nó (không phải tầng) có độ dẫn điện cao. Khi tính đến tất cả những điều này, chúng ta có thể mong đợi sự xuất hiện của ba loại cộng hưởng toàn cầu. Hai trong số chúng liên quan đến các rung động cơ học bên trong Trái đất và trong bầu khí quyển của nó, và thứ ba là với sóng điện từ trong khoảng trống giữa bề mặt Trái đất và tầng điện ly. Sự tương ứng Có ba chuỗi tần số tự nhiên của cộng hưởng toàn cầu, có thể được ước tính bằng các công thức trên.

Hãy bắt đầu với những rung động cơ học bên trong Trái đất. Theo số liệu hiện nay, tốc độ của âm thanh (sóng địa chấn) trong lòng trái đất là

19

Mỗi trận động đất được đặc trưng bởi dấu hiệu riêng trên địa chấn đồ, nhưng ở các tần số nhất định, giống nhau đối với tất cả các trận động đất, các đỉnh cộng hưởng được quan sát thấy. cho thấy sự kích thích của sự rung động của Trái đất.

sẽ tan chảy với độ sâu từ 4-8 km/s ở bề mặt Trái đất đến 7-13 km/s ở ranh giới dưới của lớp phủ.*) Tại địa chỉ, tốc độ âm thanh lại giảm. Để ước tính tần số dao động địa chấn tự nhiên chính (thấp nhất) của Trái đất, chúng ta sẽ sử dụng công thức (3), đặt vào đó $v \approx 6$ km/s và $R = 6400$ km. Do đó, chúng tôi tìm thấy $f_1 \approx \frac{0,33 \cdot 6}{6,4 \cdot 10^3} \approx 3 \cdot 10^{-4}$ Hz và khoảng thời gian tương ứng là $T_1 \approx 55$ phút.

Tất nhiên, không thể nghe thấy “tiếng nói của Trái đất” do tần số rất thấp, nhưng nó sẽ tự biểu hiện trên băng ghi địa chấn nếu chỉ tìm thấy nguồn kích thích đủ mạnh. Vì thế có động đất và nổ. Mỗi trận động đất được đặc trưng bởi “chữ viết tay” riêng trên địa chấn đồ, nhưng vào đầu những năm 60 của thế kỷ chúng ta, người ta phát hiện ra rằng ở một số tần số (giống nhau đối với tất cả các trận động đất!) Các đỉnh cộng hưởng được quan sát thấy, cho thấy sự kích thích các dao động của Trái đất. Các khoảng thời gian tương ứng là 54; 35,5; 25,8; … phút, không mâu thuẫn với các ước tính về tần số cơ bản $f_1$ theo công thức (3) (mặc dù công thức sau, có tính đến cấu trúc phức tạp của Trái đất).

Có thể lấy thứ tự ước tính cường độ của tốc độ lan truyền IGW từ các báo cáo thứ nguyên.

*) Sóng âm (địa chấn) gồm hai loại (dọc và ngang) có thể truyền trong lòng Trái đất với tốc độ khác nhau.

Lee, rất gần đúng). Sự rung động của Trái đất phân rã tương đối chậm. Chỉ cần nói rằng việc ghi lại lâu dài trên địa chấn đồ sau trận động đất có thể kéo dài vài phút và mười phút, mặc dù bản thân sự kiện - một trận động đất, một vụ nổ - kéo dài vài giây hoặc thậm chí một phần giây. Việc phát hiện các dao động của Trái đất là một trong những thành tựu lớn nhất của địa vật lý hiện đại. Với sự trợ giúp của cộng hưởng toàn cầu, dữ liệu thực nghiệm và tính toán có thể so sánh, tính chính xác của một số mô hình cấu trúc bên trong hành tinh của chúng ta đã được xác minh.

Bầu khí quyển của Trái đất cũng là một thiết bị cộng hưởng

Phần lớn toàn bộ khối lượng không khí trong khí quyển được chứa trong một lớp có độ dày ~6 km và nếu bạn tăng lên độ cao 30 km thì ~99% toàn bộ bầu khí quyển vẫn có thể nhìn thấy được. Vì vậy, chúng ta có thể nói một cách có điều kiện về “biên giới” của khí quyển. Hãy tưởng tượng rằng ở một nơi nào đó, “biên giới”, dưới tác động của một số lực nhất định, tăng lên một chút, sau đó lực đó không còn tác dụng nữa. Lực hấp dẫn sẽ đẩy “cái bướu” đã nhô lên trở lại, nhưng cái đã nhô lên, di chuyển theo quán tính, sẽ chìm xuống thấp hơn nữa, và một “cái rỗng” sẽ xuất hiện ở vị trí của “cái bướu”. Sự dao động về độ dày của khí quyển lan truyền theo mọi hướng từ vị trí nhiễu loạn ở dạng sóng tương tự như sóng quan sát được trên bề mặt đại dương. Nhưng vì không có ranh giới rõ ràng của khí quyển nên các rung động giống như sóng bao phủ toàn bộ độ dày của nó, chúng được gọi là sóng granit bên trong (IGW)*.

Có thể lấy thứ tự ước tính cường độ của tốc độ lan truyền IGW từ các báo cáo thứ nguyên.

*) Từ “hấp dẫn” trong trường hợp này chỉ ra rằng các sóng này chỉ có thể lan truyền trong trường hấp dẫn (không giống như sóng âm). Trong vật lý, thuật ngữ tương tự được sử dụng theo một nghĩa hoàn toàn khác: đây là tên của sóng granit truyền đi với tốc độ ánh sáng thông qua những thay đổi của trường hấp dẫn trong chân không.

20

Công thức mong muốn phải bao gồm gia tốc trọng trường $g$ ($\text{m/c}^2$) và mô tả thang đo $H$ ($\text{m}$) của sự thay đổi mật độ không khí theo chiều cao. Từ hai đại lượng này, số ba được tạo thành duy nhất, có thứ nguyên là tốc độ $v$ ($\text{m/c}$): $v \sim \sqrt{gH}$. Vì $g \approx 10 \text{ m/c}^2$ và $H \approx 10 \text{ km}=10^4 \text{ m}$, chúng ta nhận được $v \sim 300 \text{ m/c}$. IGW suy giảm rất yếu và không giống như sóng âm thanh, chúng có thể bay vòng quanh địa cầu nhiều lần. Sóng chu vi trong khí quyển (chúng được ghi lại bằng phong vũ biểu) lần đầu tiên được phát hiện vào năm 1883 sau vụ nổ núi lửa mạnh trên đảo Krakatay ở Indonesia. Vụ thiên thạch Tunguska rơi vào năm 1908 cũng kéo theo những hiện tượng tương tự.

Độ dày của khí quyển rất nhỏ so với bán kính Trái đất nên có thể sử dụng công thức (2) để ước tính tần số tự nhiên của cộng hưởng khí quyển toàn cầu. Với giá trị trên $v$ ta tìm được tần số $f_1 \sim 10^{-5}$ Hz và chu kỳ tương ứng $T_1 \sim 30$ h. Tất nhiên, đây chỉ là một mức độ ước tính độ lớn, nhưng theo đó, để xảy ra sự cộng hưởng, cần có một nguồn có thể làm rung động toàn bộ độ dày của khí quyển với khoảng thời gian khoảng mười giờ. Lực thủy triều tác động lên bầu khí quyển ở các bang Lunya và Mặt trời bị chi phối theo cách này.*) Mọi người đều biết về thủy triều ở biển và đại dương, nhưng điều này không chỉ được quan sát thấy ở những vùng nước rộng lớn. Có những thăng trầm cả trong quả bóng vỏ rắn, mặc dù độ cao của sóng thủy triều ở đây rất nhỏ (ở vĩ độ Moscow là ~ 40 cm) và trong vỏ không khí, ngược lại, biên độ của trọng lượng là đáng kể.

Trước tiên hãy nhìn vào thủy triều mặt trời. Tác động của lực hấp dẫn của Mặt trời lên khí quyển (cũng như trên nước và trên lớp vỏ rắn) dẫn đến thực tế là dọc theo đường nối

*) Bạn có thể đọc về sự lên xuống của thủy triều trong bài viết “Lunar Hormosis” của L. G. Aslamazov trên tạp chí “Kvat” số 8 năm 1987.

tâm Trái Đất và Mặt Trời xuất hiện hai bướu thủy triều, theo phương ngang có hai vùng trũng (thủy triều thấp). Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu chúng ta đang ở nơi thủy triều cực đại - tại điểm 1 (xem hình). Sau 6 giờ, do Trái đất tự quay hàng ngày, điểm 1 sẽ chuyển sang điểm 2 và người ta sẽ quan sát thấy điểm suy thoái mạnh nhất ở đó, do các bướu thủy triều không thay đổi trên đường Mặt trời-Trái đất. Sau 6 giờ nữa, điểm 2 sẽ chuyển sang điểm 3, nơi thủy triều lại đạt mức tối đa. Do đó, sự biến dạng thủy triều của bầu khí quyển liên quan đến Mặt trời có chu kỳ $T_\odot=12$ giờ. Mặt trăng cũng tác động lên bầu khí quyển theo cách tương tự, nhưng do nó tự quay quanh Trái đất, nên sẽ phát sinh một khoảng thời gian biến dạng thủy triều hơi khác - $T_2 \approx 12,4$ giờ. Vì Mặt trăng ở gần Trái đất hơn Mặt trời rất nhiều nên lực thủy triều liên quan đến nó, theo tính toán, phải mạnh hơn 2,5 lần so với lực thủy triều của Mặt trời.

Đối với thủy triều, kết luận này được khẳng định rõ ràng trong thực tế. Tuy nhiên, các thủy triều quan sát được trong khí quyển (đặc biệt, chúng biểu hiện dưới dạng dao động định kỳ đều đặn của áp suất khí quyển ở vùng nhiệt đới với biên độ ~ 2 mm Hg) cho thấy biên độ của thủy triều “mặt trời” (với chu kỳ 12 giờ) lớn hơn khoảng 16 lần so với thủy triều “mặt trăng”. Do đó, tỷ lệ biên độ quan sát được của hai nhiễu loạn thủy triều trong khí quyển (mặt trời và mặt trăng) khác với tỷ lệ tính toán tới 40 lần! Sự khác biệt lớn như vậy cho thấy thiếu một điều gì đó thiết yếu trong lý luận lý thuyết.

Giả thuyết giải thích sự chiếm ưu thế của thủy triều trong khí quyển mặt trời lần đầu tiên được đưa ra vào cuối thế kỷ trước bởi nhà vật lý người Anh W. Thomson (sau này ông nhận được danh hiệu Lord Kelvin). Bản chất của nó là như sau. Nếu chu kỳ dao động của khí quyển chính xác là 12 giờ thì tác dụng của lực thủy triều mặt trời (với chu kỳ 12 giờ) sẽ dẫn đến

21

cộng hưởng - biên độ dao động của khí quyển tăng mạnh. Những ước tính rất sơ bộ của chúng tôi về $T_1$ không phù hợp để kiểm tra giả thuyết cộng hưởng, vì vậy chúng tôi nên chuyển sang dữ liệu thực nghiệm. Chu kỳ dao động của khí quyển tự nhiên được xác định dựa trên các quan sát về các sóng áp suất trên toàn thế giới phát sinh sau vụ nổ của núi lửa Krakatoo và sự sụp đổ của thiên thạch Tunguska mà chúng tôi đã đề cập. Khoảng thời gian $T_1$ tìm được theo cách này hóa ra bằng 10,5 giờ. Giá trị này không mâu thuẫn với ước tính sơ bộ của chúng tôi $T_1$ về bậc độ lớn, nhưng hoàn toàn không mâu thuẫn với giả định về cộng hưởng. Có vẻ như giả thuyết cộng hưởng nên bị loại bỏ. Nhưng vào cuối những năm 30 của thế kỷ chúng ta, nó lại được hồi sinh, trong một phiên bản phức tạp hơn.

Đặc điểm chính của lý thuyết mới là giả định hai chu kỳ dao động tự nhiên của khí quyển: $T_{1\text{н}}=10,5$ h đối với các lớp bên dưới và $T_{1\text{в}}=12$ h đối với các lớp trên (trên ~50 km). Nếu điều này thực sự đúng thì người ta có thể tưởng tượng rằng các vụ nổ trên bề mặt Trái đất là do dao động khí quyển trong thời gian ngắn gây ra, và thủy triều bao phủ toàn bộ độ dày của khí quyển là do dao động trong thời gian dài gây ra. Tuy nhiên, các giám mục cấp dưới và cấp trên cách ly nhau như thế nào? Vai trò của rào cản giữa chúng có thể được thực hiện bởi một lớp không khí có nhiệt độ cao, lớp này truyền IGW lên trên một cách yếu ớt và không truyền các sóng bắt nguồn từ phía trên.

Các tính toán cho thấy chu kỳ dao động kéo dài 12 giờ ở tầng trên của khí quyển có thể xảy ra nếu nhiệt độ không khí ở độ cao 50-60 km đạt 320-340 K. Sau mức tối đa này, nhiệt độ giảm xuống và bắt đầu từ độ cao 80-100 km, nhiệt độ lại tăng lên. Những thay đổi được chấp nhận bắt đầu nảy sinh cùng với sự ra đời của các gói khí tượng đã xác nhận sự hiện diện của mức tối đa được dự đoán! Tuy nhiên, sự tăng nhiệt độ hóa ra không đáng kể ($T_{\text{макс}} \approx 270—280$ K) như lý thuyết cộng hưởng cho thấy.

Như vậy, lý thuyết được quan sát định kỳ do sự thay đổi của các thông số khí quyển cho đến khi hoàn thiện hoàn toàn.

Cộng hưởng điện từ toàn cầu

Dưới tác động của bức xạ mặt trời ở các tầng trên của khí quyển, các nguyên tử và phân tử bị ion hóa, xuất hiện các điện tích tự do và độ dẫn điện của không khí, bắt đầu từ độ cao 50-60 km, tăng lên rất nhiều. Đây là nơi tầng điện ly bắt đầu, ở khoảng cách lớn so với Trái đất, “đóng lại” với không gian liên hành tinh. Các tầng thấp hơn của khí quyển, dày vài chục km, có sóng điện từ (sóng vô tuyến) rất thấp. Tần số tự nhiên của cộng hưởng hình cầu này là gì? Đáp số được biểu thị bằng công thức (2), nhưng với tốc độ âm thanh $v$ được thay thế bằng tốc độ ánh sáng $c=3 \cdot 10^8$ m/s. Kết quả là tập hợp tần số tự nhiên của cộng hưởng điện từ toàn cầu sau đây:

$$f_n = \frac{3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{n(n+1)}}{2 \cdot 3,14 \cdot 6,4 \cdot 10^6} \approx 10,6; 18,3; 25,9; \dots$$

Nguồn phản hồi cộng hưởng chính là sét. Trên mọi thứ

22

Trên phổ nhiễu điện từ không có cực đại nhìn thấy được tương ứng với tần số tự nhiên của tầng điện ly cộng hưởng điện từ toàn cầu.

Hàng nghìn cơn giông đang hoành hành trên toàn cầu vào bất kỳ thời điểm nào, với trung bình khoảng 100 tia sét mỗi giây. Sau mỗi lần phóng điện, bộ cộng hưởng tầng điện ly Trái đất “rung” như một chiếc chuông ở tần số riêng của nó. Nhưng trước khi tiếng chuông này có thời gian lắng xuống, lần phóng điện tiếp theo xảy ra và các rung động lại xuất hiện. Do tia sét xảy ra ngẫu nhiên nên chuỗi liên tục của chúng kích thích nhiễu điện từ trong bộ cộng hưởng, có thể dễ dàng phát hiện bằng thiết bị thu đơn giản bao gồm ăng-ten, bộ khuếch đại (không có máy dò) và thiết bị ghi âm. Sau này, một máy phân tích phổ được sử dụng, cho phép người ta xác định biên độ của dao động điện từ ở các tần số khác nhau (từ đơn vị đến hàng chục Hz). Trong phổ nhiễu điện từ thu được theo cách này (xem hình), không có cực đại nhìn thấy được ở tần số tự nhiên gần với tần số được tính toán ở trên. Việc quan sát có thể được thực hiện ở bất cứ đâu trên thế giới (cộng hưởng mang tính toàn cầu), tốt nhất là

22

23

Thật ngạc nhiên là có bao nhiêu câu hỏi thú vị có thể nảy sinh khi quan sát những hiện tượng phổ biến nhất. Chà, ví dụ như… Tại sao băng và nước, không biến đổi lẫn nhau, chỉ tồn tại ở 0 °C? Nhiệt độ thay đổi một chút và băng bắt đầu tan hoặc nước bắt đầu đóng băng. Đối với chúng tôi, tất nhiên đây là một tình huống vui vẻ, bởi vì nếu không thì tuyết và băng sẽ xảy ra thường xuyên hơn nhiều. Chưa hết: tại sao lại như vậy? Tất nhiên, anh ấy sẽ không trả lời ngay, nhưng câu hỏi đầu tiên gây ra nhiều nhầm lẫn cho người khác. Phục vụ trí nhớ cho thấy nước còn có “đội lốt” thứ ba - hơi nước. Vậy liệu nước, hơi nước và băng có thể tồn tại ở một trạng thái cùng lúc mà không biến thành nhau hay không? Rất có thể, bạn biết đáp số cho câu hỏi này. Nhưng bất kỳ yếu tố nào trong bảng tuần hoàn đều có thể xảy ra. Hầu hết mọi người đều có thể tồn tại ở trạng thái lỏng, rắn và khí. Và đồng thời, trong cùng một trạng thái?

Như bạn có thể đoán, trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác. Để làm được điều này, chúng ta hãy thử lần theo vùng nhiệt đới hẹp của những kết luận đáng kinh ngạc đã được nhà vật lý vĩ đại người Mỹ Josiah Willard Gibbs phát hiện hơn 100 năm trước.

Một giai đoạn là gì?

Từ “giai đoạn” có nhiều nghĩa. Chúng tôi quan tâm đến việc thực hành của Gibbs. Để hiểu giai đoạn Gibbs là gì, hãy dạy bằng các ví dụ.

Bài báo này xuất hiện khi tác giả đang thực hiện cuốn sách “Báo cáo từ thế giới hợp kim”, sẽ được nhà xuất bản Nauka xuất bản trong năm nay trong bộ truyện “Viblotechka «Kvant»”. Chúng tôi khuyên bạn không nên bỏ lỡ cuốn sách này. Từ đó, bạn sẽ tìm hiểu về cách khoa học kim loại phát triển, các vật thể ở xa của chúng ta tạo ra hợp kim như thế nào và điều này được thực hiện ngày nay như thế nào, về những biến đổi bí ẩn của hợp kim và tương lai của chúng.

Ở 0°C, những mảnh băng xuất hiện trong chùm tia. Một hệ thống đồng nhất ban đầu—nước lỏng—chia thành hai phần. Chúng được gọi là hai pha khác nhau của hợp chất hóa học H₂O. Hợp chất tương tự cũng có thể tồn tại ở dạng pha thứ ba - hơi nước.

Chất lỏng, tinh thể và hơi là những ví dụ phổ biến nhất về các pha khác nhau của một chất. Tuy nhiên, các pha không nhất thiết phải khác nhau một cách chính xác về trạng thái kết hợp của chúng. Hai pha rắn của carbon được biết đến nhiều: than chì và kim cương. Chúng có các mạng tinh thể khác nhau và điều này dẫn đến sự khác biệt rất lớn về tính chất của chúng. Các pha có thể khác nhau về thành phần hóa học, đặc tính từ tính (từ tính và không từ tính), độ dẫn điện (bình thường và siêu dẫn) và các tính chất khác.

Bây giờ chúng tôi sẽ cố gắng giới thiệu khái niệm pha một cách chặt chẽ hơn. Cơ sở là một định nghĩa ngắn gọn của Viện sĩ M.A. Leontovich: “Trong nhiệt động lực học, một pha là bất kỳ hệ thống đồng nhất nào, nghĩa là một vật thể có các tính chất vật lý giống nhau ở mọi điểm”. Có một vài sự tinh tế cần lưu ý ở đây.

Đầu tiên, khi nói về một “cơ thể”, chúng ta luôn muốn nói rằng nó bao gồm một số lượng lớn các yếu tố vi mô thiết yếu - nguyên tử hoặc phân tử. Theo quy định, thước đo “số lượng lớn” là số Avogadro - 6·10²³.

“Tính đồng nhất”, xuất hiện trong định nghĩa, cũng phải được hiểu ở cấp độ “số lượng lớn” các hạt chứ không phải các nguyên tử hoặc phân tử riêng lẻ. Không khí đồng nhất và là một hệ thống rõ ràng, mặc dù nó bao gồm các phân tử khác nhau.

Trong hệ thống nhiều pha, tính đồng nhất bị mất, như trường hợp của nước đá và nước. Giữa các giai đoạn khác nhau

24

Một hệ thống thường có giao diện được xác định rõ ràng. Hãy đưa ra một ví dụ khác ở đây. Lấy một hộp đựng dầu hướng dương và thêm nước vào đó. Các chất lỏng sẽ không trộn lẫn. Nước trong dầu tạo thành pha riêng biệt. Giao diện giữa hai giai đoạn sẽ không được hiển thị.

Tính không đồng nhất của hệ thống và giao diện không phải lúc nào cũng được nhìn thấy theo cách không có công cụ và chỉ với sự trợ giúp của kính hiển vi, chúng ta mới có thể bị thuyết phục về bản chất đa pha của nó.

Khi các điều kiện bên ngoài thay đổi (nhiệt độ, áp suất, điện trường hoặc từ trường), các pha có thể biến đổi lẫn nhau (điều này khá rõ ràng qua ví dụ về nước, hơi nước và băng). Các quá trình này được gọi là biến đổi pha.

Giới thiệu về sơ đồ pha

Hãy bắt đầu nghiên cứu các biến đổi pha với cùng một loại nước tinh khiết. Để làm điều này, chúng ta hãy đặt nó trong một bình kín có pít-tông, ở đó trạng thái của nó có thể được kiểm soát dễ dàng bằng cách thay đổi áp suất bên ngoài lên pít-tông và làm nóng hoặc làm mát bình. Điều quan trọng là phải hiểu rằng chúng ta không có cách nào khác để tác động đến trạng thái pha của nước trong một bình mà không cần mở nó.*) Do đó, tất cả các “sự kiện” liên quan đến sự biến đổi pha trong một bình kín chỉ là hàm của p và T.

Chúng ta hãy chú ý đến một trường hợp: nếu nhiệt độ T không đổi được duy trì ở môi trường bên ngoài, thì sau một thời gian, nhiệt độ tương tự được thiết lập ở tất cả các pha của hệ. Vị trí này được xác nhận bởi kinh nghiệm hàng ngày của chúng ta - khi có sự tiếp xúc, nhiệt độ của các vật thể khác nhau sẽ cân bằng.

Điều này cũng đúng đối với áp suất, nhưng có một lưu ý: áp suất ở các pha khác nhau là như nhau và bằng áp suất bên ngoài nếu tất cả các bề mặt tiếp xúc giữa các pha đều phẳng.*) Khi đó, đẳng thức áp suất xuất phát từ trạng thái cân bằng cơ học của bề mặt tiếp xúc. Nếu bề mặt tiếp xúc có bán kính cong hữu hạn thì lực căng bề mặt cũng phải được tính đến. Tuy nhiên, trong

*) Bình có thể đặt trong điện trường hoặc từ trường, nhưng những trường hợp này sẽ không được xét thêm.
**) Trong pha lỏng (và cả pha khí) có áp suất thủy tĩnh, nhưng chúng ta sẽ nói về tình huống khi nó nhỏ hơn nhiều so với áp suất tổng p của hệ.

25

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng ranh giới pha luôn bằng phẳng. Khi tính đến những nhận xét này, trạng thái của hệ thống được đặc trưng bởi các giá trị áp suất và nhiệt độ chung cho tất cả các pha.

Trước hết, cần tìm hiểu xem sự biến đổi pha xảy ra trong những điều kiện bên ngoài nào. Để xác định điều này, hãy tập trung vào sự bay hơi của nước. Nếu chúng ta cố định áp suất khí quyển bình thường thì nước ở trạng thái của chúng ta bắt đầu bay hơi ở 100 °C. Ở nhiệt độ thấp hơn, piston trong bình sẽ “nằm” trên mặt nước và sẽ không có hơi nước trong hệ thống.

Bằng cách thay đổi áp suất, chúng ta cũng sẽ thay đổi nhiệt độ bay hơi. Bạn có thể tóm tắt tất cả dữ liệu về quá trình chuyển pha thành một bảng gồm hai cột: một cột biểu thị áp suất và cột kia biểu thị nhiệt độ bay hơi. Nhưng thậm chí còn thuận tiện hơn khi hiển thị dữ liệu bảng dưới dạng đồ họa dưới dạng sự phụ thuộc của nhiệt độ vào áp suất (hình 1). Theo cách tương tự, có thể biểu diễn dưới dạng đồ thị dữ liệu về hai phép biến đổi pha khác có thể xảy ra trong hệ - phép biến đổi nước ← băng và băng ← hơi nước. Kết quả là chúng ta có được sơ đồ giống như trong hình 2.

Hãy để tôi nhấn mạnh một điểm quan trọng. Các đường trên sơ đồ phân tách các khu vực tồn tại ổn định của các pha tương ứng với nhau. Điều này không có nghĩa là mỗi giai đoạn chỉ “sống” trong khu vực riêng của mình và không thể “hòa nhập” vào khu vực của người khác. Tất nhiên là có thể. Chúng tôi thường xuyên quan sát điều này, chẳng hạn như vào mùa xuân, khi các con sông vẫn còn đầy băng ngay cả ở nhiệt độ dương. Nhưng trạng thái này không ổn định - băng trên sông đang tan. Quá trình này không xảy ra ngay lập tức mà ở một tốc độ hữu hạn nào đó. Sau một vài ngày (nếu sương giá không xuất hiện trở lại), băng bắt đầu tăng trọng lượng cho đến hết. Nhưng trong cùng điều kiện, nước sẽ không bao giờ trở thành băng nữa.

Nếu trạng thái của một hệ thống dừng lại theo thời gian, nó được cho là đã đạt đến trạng thái cân bằng. Biểu đồ ở hình 2 chỉ thể hiện trạng thái cân bằng của hệ.

Sơ đồ như vậy được gọi là sơ đồ pha. Chúng rất thuận tiện khi sử dụng: biết nhiệt độ và áp suất, chúng ta có thể xác định ngay pha nào của hệ sẽ ở trạng thái cân bằng. Hãy xác định giá trị áp suất và nhiệt độ trên giản đồ tương ứng với điểm đó. Nếu rơi vào vùng tồn tại ổn định của hơi nước, nước đá hoặc chất lỏng thì hệ sẽ ở trạng thái cân bằng với trạng thái một pha tương ứng. Nếu điểm nằm trên đường thẳng của sơ đồ thì hệ ở trạng thái cân bằng sẽ là trạng thái gồm hai pha. Những cái nào chính xác? Điều này hoàn toàn hiển nhiên: ví dụ, nếu đây là đường phân chia giữa vùng “nước” và vùng “băng”, thì nó được tạo thành từ băng và nước. Cuối cùng, chỉ với một sự kết hợp giữa áp suất và nhiệt độ, cả ba pha sẽ ở trạng thái cân bằng.

Quy tắc pha trong hệ thống một thành phần

Bạn không cảm thấy từ sơ đồ nước rằng có một số luật quy định “điều kiện sống”

26

giai đoạn? Hãy tự đánh giá: ở trạng thái một pha, một hệ thống có thể tồn tại ở một phạm vi áp suất và nhiệt độ rộng, ở trạng thái hai pha - chỉ với một số kết hợp nhất định của chúng và vùng ba pha trong sơ đồ thường co lại thành một điểm. Thật dễ dàng để hình dung các giai đoạn trong vai trò của mồi sống trong một căn hộ chung: càng nhiều mồi sống, mỗi người trong số họ càng có ít tự do. Tuy nhiên, người ta không thể đưa ra kết luận dựa trên sơ đồ của một chất duy nhất. Điều gì sẽ xảy ra nếu mọi thứ đều khác ở người khác?

Thế nhưng vẫn có một quy luật cùng tồn tại của các giai đoạn của hiện thực. Nó được gọi là quy tắc pha Gibbs theo tên người phát hiện ra nó.

Tất cả các tiểu sử của nhà vật lý lý thuyết người Mỹ J. Gibbs (1839-1903) đều nhấn mạnh rằng cuộc sống của người đàn ông này bề ngoài rất nghèo nàn. Mọi nỗ lực của ông đều tập trung vào việc đạt được những kết quả khoa học, sự sáng chói của nó vẫn không hề giảm bớt cho đến ngày nay. Đã hơn 80 năm trôi qua kể từ khi công trình cuối cùng của Gibbs được xuất bản và kết quả nghiên cứu của ông vẫn tiếp tục được sử dụng trên thực tế không thay đổi.

Quy tắc pha luôn được coi là một trong những thành tựu quan trọng nhất của Gibbs. Đạo hàm chặt chẽ của quy tắc này khá phức tạp. Chúng tôi sẽ trình bày nó ở dạng cơ bản được tha thứ.

Hãy bắt đầu xem xét với cùng một loại nước trong nước sốt đóng kín.*) Chúng ta hãy giả sử rằng với các giá trị đã cho của $p$ và $T$, pha lỏng và hơi ở trạng thái cân bằng. Các phân tử $H_2O$ ở dạng hơi và ở dạng lỏng chuyển động không ngừng. Kết quả là, một số người trong số họ rời khỏi giai đoạn “bản địa” của mình và chuyển sang giai đoạn lân cận. Số lượng phân tử trung bình bay đi trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích từ chất lỏng được biểu thị bằng $q_{ж}$. Con số này có thể phụ thuộc vào điều gì? Như đã lưu ý, trạng thái của nước sốt đóng kín chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ cân bằng đã đặt là 100 °C.

Bây giờ chúng ta cần giới thiệu một khái niệm mới - số bậc tự do. Đây là cách nhiệt động lực học thường đề cập đến mức độ của các tham số bên ngoài, trong những giới hạn nhất định, có thể thay đổi độc lập với nhau mà không làm thay đổi trạng thái pha của hệ thống. Trong trường hợp chúng ta đang nghiên cứu, chỉ có hai thông số bên ngoài - áp suất và

27

nhiệt độ. Bây giờ hãy nhìn lại sơ đồ pha của nước (hình 2). Mỗi trạng thái một pha tương ứng với một khu vực nhất định, trong đó cả hai tham số có thể được thay đổi tự do. Ví dụ, nước như vậy (chất lỏng) có thể được làm nóng hoặc áp suất bên ngoài tác dụng lên nó hoặc cả hai cùng một lúc (tất nhiên, tất cả điều này, trong những giới hạn nhất định) và trong trường hợp này, trạng thái pha của hệ thống ở trạng thái sẽ không thay đổi - nước vẫn là nước. Điều tương tự cũng đúng trong trường hợp nước đá hoặc hơi nước. Có thể kết luận rằng hệ một pha có hai bậc tự do.

Tình hình hoàn toàn khác ở trạng thái cân bằng hai pha. Có một phương trình kết nối cả hai tham số bên ngoài. Trong trường hợp cân bằng lỏng-hơi, chúng ta đã viết nó ra: $q_\pi(p, T) = q_\pi(p, T)$. Do đó, bạn chỉ có thể tự do thay đổi một tham số và tham số còn lại phải được “điều chỉnh” cho phù hợp với phương trình. Nếu chúng ta bắt đầu thay đổi cả hai tham số độc lập với nhau, chúng ta sẽ “nhảy” khỏi trạng thái cân bằng pha tuyến tính và một trong các pha sẽ biến mất - trạng thái pha của hệ sẽ thay đổi. Do đó, trạng thái cân bằng hai pha chỉ có một bậc tự do.

Bây giờ chúng ta chuyển sang trạng thái cân bằng ba pha bằng cách thêm đá vào nước và hơi nước. Giả sử rằng các pha trong bình được định vị như trong hình 3. Chúng ta tính đến số lượng phân tử rời khỏi băng trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích cũng sẽ là một hàm của áp suất và nhiệt độ - $q_\pi = q_\pi(p, T)$, và chúng ta viết ra điều kiện pha:

$$C = 3 - \Phi (C > 0).$$

Hãy xem sơ đồ ba trạng thái của hệ thống một thành phần được hiển thị trong hình 4. Nếu không xem xét các chất cụ thể mà chúng được tạo ra, chúng ta có thể khẳng định ngay rằng chúng sai. Trong sơ đồ đầu tiên có điểm cân bằng bốn pha. Ở trạng thái cân bằng thứ hai, ba pha có hai bậc tự do. Ở cấp độ thứ ba, có hai bậc tự do ở trạng thái cân bằng hai pha. Theo lời của một trong những nhân vật của A.P. Chekhov, “điều này không thể xảy ra, bởi vì điều này không thể xảy ra theo bất kỳ cách nào.” Quy tắc giai đoạn danh mục cũng được viết dưới dạng tình huống.

Hình 3.

28

Bây giờ chúng ta hãy xem hình 5, biểu đồ pha của bismuth. Chữ số La Mã đại diện cho năm giai đoạn tinh thể khác nhau của nó. Bạn có thể đảm bảo rằng mặc dù biểu đồ có vẻ ngoài khá phức tạp nhưng không có phần nào của nó trái với quy tắc pha.

Quy tắc pha cho hệ thống nhiều thành phần

Nước tinh khiết, bismuth nguyên chất hoặc bất kỳ chất tinh khiết nào khác đều tương đối hiếm. Giá trị đáng kể phụ thuộc chính xác vào các hệ thống đa thành phần khác nhau. Ví dụ, với raster. Ví dụ đơn giản nhất về dung dịch là nước, bao gồm hai thành phần - đường và nước, mỗi thành phần là một loại phân tử.

Để mô tả trạng thái của dung dịch, ngoài nhiệt độ và áp suất, cần phải chỉ ra hàm lượng tương đối của tất cả các thành phần, tức là nồng độ của chúng. Rõ ràng là trong một hệ thống bao gồm các thành phần K, cần chỉ ra giá trị (K - 1) của nồng độ.

Đối với các pha ở trạng thái cân bằng, nhiệt độ và áp suất là các thông số chung (giống hệt nhau). Nhưng sự bình đẳng về sự tập trung không tuân theo. Hơn nữa, thật dễ dàng để đưa ra một ví dụ về ý nghĩa ngược lại. Nếu bạn cho quá nhiều đường vào trà, nó sẽ không đọng lại ngay cả khi dùng thìa làm việc lâu dài và chuyên sâu. Trạng thái cân bằng hai pha sẽ được thiết lập giữa trà dạng lỏng và đường rắn nằm ở đáy. Rõ ràng là nồng độ của các thành phần trong mỗi pha là hoàn toàn khác nhau.

Khi tính đến tình huống này, chúng ta hãy thử mô tả tình huống bằng toán học.

Giả sử rằng trong một hệ gồm K thành phần, các pha ở trạng thái cân bằng. Bây giờ các điều kiện cân bằng nên được viết ra cho từng thành phần:

$$q^{(1)}_I = q^{(1)}_{II} = q^{(1)}_{III} = \dots = q^{(1)}_{\Phi},$$

$$q^{(2)}_I = q^{(2)}_{II} = q^{(2)}_{III} = \dots = q^{(2)}_{\Phi},$$

$$q^{(K)}_I = q^{(K)}_{II} = q^{(K)}_{III} = \dots = q^{(K)}_{\Phi}$$

(chỉ số dưới cho biết số pha và chỉ số trên cho biết số thành phần). Hệ thống bình đẳng này là sự khái quát hóa không mang tính biểu diễn của các điều kiện cân bằng trong hệ thống một thành phần.

Mỗi giá trị của $q$ phải phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ chung - trên $p$ và $T$ - và vào nồng độ (K-1) trong pha của nó. Do đó, tổng số tham số phải được chỉ định để mô tả trạng thái cân bằng là $2 + (K-1)\Phi$. Bây giờ chúng ta hãy làm sạch tổng số phương trình trong hệ thống cuối cùng. Đối với mỗi thành phần, nó bằng (Ф - 1) và đối với tổng các thành phần K. Vì vậy, chúng ta nhận được K(Ф - 1).

Mỗi phương trình được liên kết bổ sung với nhau bằng các tham số,

29

mô tả trạng thái của hệ thống và từ đó hiểu được số bậc tự do. Vì vậy, trong một hệ thống nhiều thành phần, số bậc tự do bằng tổng số tham số trừ đi số phương trình:
$$C = 2 + (K - 1)\Phi - K(\Phi - 1) = 2 - \Phi + K.$$
(Đối với $K = 1$ (hệ một thành phần), chúng ta thu được đẳng thức đã biết $C = 3 - \Phi$).

Vì số bậc tự do về mặt ý nghĩa phải không âm, nên ngay lập tức tuân theo quy tắc pha rằng số pha tối đa có thể ở trạng thái cân bằng trong hệ thống thành phần K là 2+K.

Quy tắc pha được rút ra cho một hệ thống khép kín. Nhưng, nói đúng ra, điều này gần như không bao giờ xảy ra. Hệ thống thường tiếp xúc với môi trường bên ngoài, trong đó có thể xảy ra sự trao đổi nguyên tử hoặc phân tử. Đôi khi điều này phải được tính đến. Tuy nhiên, trong phần lớn các trường hợp, hoàn cảnh này có thể được thử thách một cách dễ dàng.

Rất nhiều kết luận thú vị rút ra từ các quy tắc pha. Bây giờ bạn có thể dễ dàng giải thích tại sao nhiệt độ cân bằng nước-nước đá lại cố định. Nhưng nếu chúng ta không xử lý nước tinh khiết mà với một loại dung dịch nước nào đó, thì trạng thái cân bằng nước-băng (không phải tinh khiết!) Ở một áp suất bên ngoài cố định sẽ “thu giữ” toàn bộ phạm vi nhiệt độ. Tại sao điều này lại như vậy sẽ được giải thích trên cơ sở quy tắc pha.

ZFMSH tại Đại học Kalinin

Trên cơ sở Khoa Vật lý của Đại học bang Kalinin non trẻ, một Trường Vật lý Liên minh Động vật học dành cho học sinh trung học đang được thành lập.

Những người thiếu trang sách giáo khoa và muốn hiểu sâu hơn về các vấn đề vật lý và toán học sẽ được sinh viên trường đại học của chúng tôi sẵn lòng giúp đỡ dưới sự hướng dẫn của các giáo viên giàu kinh nghiệm. Tất cả những gì bạn cần là mong muốn của bạn về điều này. Trong đơn đăng ký của bạn, hãy cung cấp các thông tin sau về bản thân bạn:

1. Họ, tên, bảo trợ.

2. Năm sinh.

3. Thành phố, trường học và lớp bạn dạy.

4. Địa chỉ nhà của bạn. Chúng tôi đã giao cho tất cả những người đã liên hệ với chúng tôi nhiệm vụ đầu tiên mà họ sẽ phải đối mặt. Zhelaykova, 33 tuổi, Khoa Vật lý, KSU, ZFMSH.

31

Hãy mở nguồn…

…đó là cuốn sách “Những bài luận về Bursa” của N. G. Pomyalovsky. Chúng ta sẽ nói về một vấn đề tưởng chừng đơn giản nảy sinh khi đọc một cuốn sách.

Trong bài tiểu luận đầu tiên, có tựa đề “Buổi tối mùa đông ở trường đại học”, một trong những học sinh tên là Tsapley, trong một giờ học nhàm chán, đã thực hiện các hành động sau (trích dẫn): “Heron viết một cái gì đó bằng tất cả sức lực của mình; Nhìn từ bên ngoài, anh ấy là một học sinh siêng năng nhất, nhưng trong khi đó anh ấy làm điều này: anh ấy viết một số, rồi một số khác bên dưới nó, rồi nhân chúng, dưới kết quả, anh ấy viết lại số đầu tiên, nhân các số lại, v.v.; làm việc, muốn biết điều gì sẽ xảy ra nó.”

Vì vậy, hãy tự hỏi mình một câu hỏi đơn giản: “Vậy điều gì sẽ xảy ra?” Câu hỏi này nối tiếp câu hỏi khác: “Chính xác thì học sinh đã làm gì, làm thế nào để theo dõi hành động của mình?” Tác giả đã nhờ bạn bè giải thích công việc của Tsaplya. Mỗi người được phỏng vấn đều nói rằng mọi thứ đều rõ ràng đối với anh ta và đưa ra lời giải thích khác với những lời giải thích của những người khác. Tuy nhiên, sau một loạt bài tập, tác giả đã cố gắng giảm bớt tất cả các bài hát thành những bài tập gây chú ý cho từng cá nhân.

Giải thích đầu tiên, không thú vị nhất

Nhân tiện, phần lớn số người được hỏi đã chọn nó. Dãy số $x_n$ được xây dựng theo quy tắc sau: $x_0$ và $x_1$ được chỉ định trước và $x_n=x_{n-1}x_0$ với $n\geq 2$.

Không có vấn đề gì với cách giải thích này. Vì mỗi số hạng tiếp theo thu được bằng cách nhân số hạng trước đó với cùng một số, nên cấp số nhân thông thường sẽ xuất hiện: $x_n=x_1x_0^{n-1}$. Các chuỗi thuộc loại này được nghiên cứu kỹ lưỡng đến mức đơn giản là không có gì để thêm vào đây: mọi người có thể dễ dàng xác định không chỉ các giá trị của một số hạng tùy ý mà còn dễ dàng tính toán, chẳng hạn như tổng của các số hạng $n$ đầu tiên hoặc thậm chí toàn bộ dãy (nếu $x_0<1$).

Cách giải thích giống nhau và thật không may, thú vị nhất

Cách giải thích này chỉ được đưa ra bởi một người - thật không may, không phải là tác giả của bài viết này. Bản chất của nó là thế này. Mỗi lần, dưới một tác phẩm, học sinh viết số đầu tiên của tác phẩm đó và thực hiện cách sắp xếp tiếp theo. Ví dụ:

$$9.8=72; 72.7=504; 504.5=2520$$

vân vân.

Nghĩa là, giá trị $x_0$ được coi là đã biết

*) Ví dụ: Xem “Kính vạn hoa «Kvant» ở số 3 năm 1988.

33

= 6x₃ = 1296x₀ và 3888 ≤ x₄ < 4200. Điều này cho phép chúng ta kết luận về độ ổn định, vì người ta đã biết các số đó từ các khoảng [3 1/3; 4) và [4; 5) ổn định và giới hạn của các giá trị x₄, chia cho 1000, nằm hoàn toàn trong khoảng [3 1/3; 5).

2. x₀ ∈ [3 13/54; 3 1/3). Khi đó x₃ = 216x₀ và 700 ≤ x₃ < 720. Do đó, x₄ = 7x₃ = 1512x₀ và 4900 ≤ x₄ < 5040. Chia cho 1000 và tính đến các khoảng không ổn định được tìm thấy trước đó, chúng ta thu được: những x₀ mà 4900 ≤ x₄ < 5000 là ổn định và những x₀ có 5000 ≤ x₄ < 5040 là không ổn định. Giá trị “ranh giới” x₀ có thể được tìm thấy từ điều kiện x₄ = 1512x₀ = 5000, từ đó x₀ = 3 58/189.

Vì vậy, sau một thời gian dài dằn vặt, anh ta sẽ nhận được khoảng thời gian bất ổn thứ ba: [3 58/189; 3 1/3).

Chúng ta hãy đi xa hơn, có tính đến các khoảng [4; 5) và [5; 6) đã được xem xét.

6 ≤ x₀ < 7. Khi đó x₁ = 6x₀ và 36 ≤ x₁ < 42. Nhưng chúng ta đã xác định được rằng khoảng [3,6; 4.2) là ổn định và do đó khoảng [6; 7) - cũng ổn định.

7 ≤ x₀ < 8. Khi đó x₁ = 7x₀ và 49 ≤ x₁ < 56. Ở đây, giá trị “ranh giới” của x₀ sao cho x₁ = 7x₀ = 50, tức là x = 7 1/7. Vì vậy, khoảng bất ổn thứ tư xuất hiện: [7 1/7; 8).

8 ≤ x₀ < 9. Khi đó x₁ = 8x₀ và 64 ≤ x₁ < 72. Ở đây, giá trị “ranh” của x₀ được xác định từ điều kiện x₁ = 8x₀ = 7 1/7 · 10, tức là x₀ = 8 13/14. Khoảng bất ổn thứ năm xuất hiện: [8 13/14; 9); và khoảng [8; 8 13/14) - ổn định.

9 ≤ x₀ < 10. Khi đó x₁ = 9x₀ và 81 ≤ ≤ x₁ < 90. Chia cho 10, ta tìm được giá trị “ranh giới”: x₁ = 9x₀ = 8 13/14 10, tức là x₀ = 9 58/63. Khoảng thời gian mất ổn định cuối cùng: [9 58/63; 10) và khoảng [9; 9 58/63) - ổn định.

Như vậy, có tổng cộng 6 khoảng chứa các số không ổn định (các khoảng này được khắc trên băng đô của bức tượng). Tổng “chiều dài” của chúng xấp xỉ 2,53, tức là khoảng 28% “chiều dài” của toàn bộ khoảng [1; 10). Như bạn có thể thấy, xác suất để con số được lấy một cách khoa học trở nên không ổn định là không quá nhỏ, mặc dù thoạt nhìn có vẻ như nó sẽ ít hơn nhiều.

Bây giờ “số phận” của mỗi số ban đầu đã rõ ràng đối với chúng ta và chúng ta có thể nói ngay rằng chuỗi bắt đầu, chẳng hạn như với số x₀ = 71428571, sẽ “đóng băng” ở một bước nào đó; nếu x₀ tăng thêm 1 (tức là lấy x₀ = 71428572), thì chuỗi sẽ được kéo dài vô tận. Kết luận tương tự có thể được rút ra cho các số vô tỷ. Ví dụ: số π = 3,141… là ổn định và e = 2,718… là không ổn định.

Sẽ rất thú vị khi thử các số không ổn định trong các hệ thống số khác. Nhưng không phải ở dạng kép - xét cho cùng, không có số nào không ổn định ở đó cả (tất cả các số kép khác 0 đều có giá trị đầu tiên là số một!) Tác giả không biết gì về các hệ thống số khác.

Tại sao tất cả điều này?

Và thực sự - tại sao? Tác giả muốn dạy điều gì, nêu ra vấn đề gì?

Tôi chỉ có thể trả lời hai Nozdryov: những chi tiết rất thú vị đã được tiết lộ! Và có thực sự cần thiết phải liên tục dạy điều gì đó không? Rốt cuộc, bạn chỉ cần “thể dục tinh thần”, và nếu nó có thể giải trí một chút thì càng tốt!

34

Nhiệm vụ

M1146—M1150, F1153—F1157

M1146. Điểm $K$ là trung điểm của cạnh $AB$ của tam giác đều $ABC$. Ở các cạnh $AC$ và $BC$, các điểm $M$ và $N$ được lấy sao cho $\angle MKN=60^\circ$. Chứng minh rằng chu vi tam giác $MCN$ bằng nửa chu vi tam giác $ABC$.

E. G. Gotman

M1147. Một số điểm được đưa ra, được kết nối bằng các đoạn của hai chuỗi: một số cặp điểm - bằng đoạn đầu, một số điểm khác - bằng sơn. Biết rằng trong một đường đi khép kín gồm nhiều đoạn thì số đoạn đẹp là chẵn. Chứng minh rằng tất cả các điểm có thể được chia thành hai tập hợp sao cho mỗi đoạn màu kết nối các điểm từ các tập hợp khác nhau và mỗi đoạn màu xanh kết nối các điểm từ cùng một tập hợp.

M1148. Chứng minh rằng với số không nguyên $a>1$ (và $a\neq \sqrt[p]{q}$, trong đó $p$ và $q$ là số tự nhiên) và số tự nhiên $n$ thì đẳng thức đúng

$$[\log_a 2]+[\log_a 3]+...+[\log_a n]+[a]+[a^2]+...+[a^k]=nk,$$

trong đó $k=[\log_a n]$ ([x] là phần nguyên của số $x$).

R. V. Alekseev, L. D. Kurlyandchik

M1149. Hai vòng $p, q$ được cho trên mặt phẳng với các đỉnh lần lượt tại các điểm $P$ và $Q$. Hai vòng tròn—một đường tròn có tâm ở mặt trăng $p$, đi qua điểm $P$ và đường còn lại có tâm ở mặt trăng $q$, đi qua $Q$—chạm vào nhau từ bên ngoài tại điểm $M$. Tìm tập hợp điểm $M$.

V. V. Shabunin

M1150. Chứng minh rằng với mọi số dương $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{2(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)} \leq \frac{a_1}{a_2+a_3} + \frac{a_2}{a_3+a_4} +...+\frac{a_n}{a_1+a_2}.$$

E. G. Moiseev, học sinh lớp 10

F1153. Dung dịch betan lỏng được đổ vào thùng xe ben lên trên. Ước tính tỷ lệ dung môi sẽ còn lại trong cơ thể sau khi phanh gấp. Giả sử rằng bạn hiểu rõ về hiện tượng này, có thể đặt các đại lượng cần thiết cho lời giải, chọn các giá trị số đủ hợp lý của chúng và thu được kết quả bằng số.

G. V. Meledin

F1154. Hai khối lập phương giống nhau có khối lượng $m$ mỗi khối nằm trên một mặt bàn nằm ngang nhẵn. Một trong những chiếc cốc được dán vào bàn (hình 1). Một khối lập phương được nhấc lên khỏi bàn nếu tác dụng một lực ngang $F$ vào nó. Giữa các cốc có một lò xo chống trượt có độ cứng $k$. Chiếc cốc lỏng có tốc độ $v$. Các khối sẽ bay ra xa nhau với tốc độ bao nhiêu sau va chạm?

G. V. Fedogovich

35

F1155. Một piston nặng có khối lượng $M$ có thể chuyển động tự do bên trong một xi lanh dẫn nhiệt thẳng đứng có tiết diện $S$, đầu trên đóng và đầu dưới mở ra khí quyển (hình 2). Bên trong hình trụ có một vách ngăn nằm ngang có một lỗ nhỏ cắt một mol không khí ra khỏi khí quyển, chiếm thể tích $V$ và có áp suất khí quyển là $p_a$. Pít-tông ban đầu ép lực vào vách ngăn được thả ra. Giả sử nội năng của khí là $cT$, hãy tìm xem piston sẽ hạ xuống bao nhiêu.

G. L. Kotkin

F1156. Hai nam châm điện giống hệt nhau $L_1$ và $L_2$ được mắc nối tiếp vào một mạch điện một chiều (hình 3). Sử dụng phím $K_1$, một diode $D$ có thể được kết nối song song với một trong số chúng theo hướng không dẫn điện. Khi chìa khóa $K_2$ đóng lại sẽ có một tấm sắt đẹp để gắn nam châm điện. Nếu phím $K_1$ mở thì khi $K_2$ mở ra, tấm đồng thời tách ra khỏi nam châm thông thường và rơi xuống, giữ nguyên vị trí nằm ngang. Nếu phím $K_1$ đóng, thì khi $K_2$ được mở, tấm đầu tiên sẽ tách ra khỏi nam châm $L_1$, sau đó là từ $L_2$, dẫn đến sự quay của nó. Giải thích sự khác biệt trong hành vi của tấm trong trường hợp thứ nhất và thứ hai.

V. V. Golubev

F1157. Có hai tấm gương mờ, mỗi gương khi đo được sẽ truyền khoảng 1/5 luồng ánh sáng và phản chiếu phần còn lại của ánh sáng. Nếu cả hai gương được lắp đặt trên đường đi của một chùm ánh sáng song song sao cho mặt phẳng của chúng vuông góc với chùm tia thì có vẻ như chúng sẽ truyền đi 1/25 quang thông tới, trong khi trên thực tế, ánh sáng bị suy giảm không phải 25 lần mà là ít hơn đáng kể (khoảng 10 lần). Giải thích hiện tượng đó.

V. V. Golubev

Lời giải bài toán

M1121—M1124, F1133—F1136

I. Một trong những lời giải không có thảm họa nhất là dựa trên việc hạ thấp từ điểm $B$ các đường vuông góc $BH$, $BA_1$, $BC_1$ xuống các đường thẳng $AC$, $AK$, $CK$ (chúng bằng nhau theo thông điệp đối xứng) và xem xét các góc tạo ra với đỉnh $B$. Các tam giác $KA_1B$ và $KC_1B$ bằng nhau và $\angle A_1BK = \angle KBC_1$ (tổng của chúng là $2\angle B$, vì $\angle A_1BA = \angle ABH$, $\angle HBC = \angle CBC_1$). Mặt khác, bán kính $OB$ của đường tròn ngoại tiếp trong bất kỳ tam giác $ABC$ nào cũng tạo các góc tương tự ở cạnh $AB$ và $BC$ tương ứng với chiều cao $BH$ ở cạnh $BC$ và $AC$:

$$\angle ABO = |90^\circ - \angle AOB/2| = |90^\circ - \angle C| = \angle HBC,$$
$$\angle CBO = |90^\circ - \angle COB/2| = |90^\circ - \angle A| = \angle HBA.$$

Do đó, $\angle A_1BO = \angle OBC_1 = \angle B$, tức là $OB$ và $KB$ nằm trên cùng một đường thẳng - biserrp của góc $A_1BC_1$.

36

Khó khăn trong việc thiết kế lời giải này bài toán là cần phải tính đến các khả năng khác nhau của trường hợp: 1) $\triangle ABC$ là cấp tính; 2) một trong các góc $A$ hoặc $C$ không nhỏ hơn $90^\circ$; 3) $\angle B > 90^\circ$ (xem hình 1-3; vì trường hợp $\angle B = 90^\circ$ là không thể: trong trường hợp này các đường được dựng là song song). Tuy nhiên, lý do thì giống nhau trong mọi trường hợp.

Hãy phác thảo thêm hai lời giải.

II. Góc giữa các đường $AK$ và $KC$ bổ sung cho $2\angle B$ đến $180^\circ$, chính xác hơn

$$\angle A_1KC_1 = 180^\circ - \angle A_1BC_1 = |180^\circ - 2\angle B| = 180^\circ - \angle AOC,$$

Theo định nghĩa, tâm $O$ nằm trên đường tròn đi qua $K$, $A$ và $C$, và (vì $AO=OC$) chia đôi các cung $AC$. Do đó, $KO$, giống như $KB$, là ma trận nhị phân của góc $A_1KC_1$.

lời giải này cũng cần phân tích bên ngoài về trường hợp 1-3. Như thường lệ, thoát khỏi khó khăn này lời giải với các phép biến đổi hình học.

III. Thành phần của các đường tương đối đối xứng $AB$ và $BC$, tức là xoay một góc $2\angle B$ với tâm $B$, biến đường $AK$ thành đường $KC$. Một phép quay có cùng góc $2\angle B$ với tâm $O$ sẽ dịch bán kính $OA$ thành bán kính $OC$ nên phải biến đường thẳng $AK$ thành đường thẳng đi qua $C$ và có cùng hướng với $KC$, tức là thành đường thẳng $KC$. Theo đó, điểm $O$, cũng như $B$, cách đều các đường thẳng $AK$ và $AC$, và cả hai đều nằm trên ma trận nhị phân của góc giữa $AK$ và $KC$.

N. V. Vasiliev, V. N. Dubrovsky

M1122. Giải hệ phương trình:

$$(x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,$$
$$(x_4+x_5+x_1)^5=3x_2,$$
$$(x_5+x_1+x_2)^5=3x_3,$$
$$(x_1+x_2+x_3)^5=3x_4,$$
$$(x_2+x_3+x_4)^5=3x_5.$$

Đáp số: Hệ thống có ba lời giải: $x_2=x_3=x_4=x_5=x_1$, trong đó $x_1=0$, $x_1=1/3$ hoặc $x_1=-1/3$.

Cùng với mỗi bộ số $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ thỏa mãn hệ phương trình này, nó còn thỏa mãn các tập hợp thu được bằng phép hoán vị tuần hoàn: $(x_2, x_3, x_4, x_5, x_1), (x_3, x_4, x_5, x_1, x_2)$, v.v. Do đó, ta có thể giả sử rằng $x_1 \geqslant x_i$ ($i=2, 3, 4, 5$).

Hãy tận dụng thực tế là hàm $f(x)=x^5/3$ được trả về. Theo giả định của chúng tôi

$$3x_2=(x_4+x_5+x_1)^5 \geqslant (x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,$$

từ đâu $x_2 \geqslant x_1$, tức là $x_2=x_1$. Sau đó, tương tự, từ đó được thừa kế

$$3x_3=(x_5+x_1+x_2)^5 \geqslant (x_4+x_5+x_1)^5=3x_2$$

suy ra rằng $x_3=x_2=x_1$; từ nó

$$3x_4=(x_1+x_2+x_3)^5 \geqslant (x_5+x_1+x_2)^5=3x_3$$

nó theo sau $x_4=x_3$ và cuối cùng, từ sự thừa kế

$$3x_5=(x_2+x_3+x_4)^5=(x_1+x_2+x_3)^5=3x_4$$

chúng tôi nhận được $x_5=x_4$.

(Lưu ý rằng chúng ta có thể lý luận ngắn gọn hơn: đã từ bất đẳng thức (1) - biết rằng nó chuyển thành đẳng thức - chúng ta có thể kết luận rằng $x_3=x_1$, và sau đó từ (3) - rằng $x_5=x_1$.)

37

Vậy tất cả $x_i$ ($i=1, 2, 3, 4, 5$) đều bằng cùng một số $x_1$; đối với nó, chúng ta thu được phương trình $(3x_1)^5=3x_1$, từ đó $x_1=0$ hoặc $x_1=1/3^4$, tức là $x_1=\pm 1/3$.

L. Tugescu

M1123. Góc vuông được chia thành vô số ô vuông ở cạnh đơn vị. Chúng ta sẽ xem xét các hàng ô, các cạnh song song của lô (hàng “dọc” và “ngang”). Có thể viết một số tự nhiên vào mỗi ô sao cho mỗi hàng dọc và mỗi hàng ngang chứa tất cả các số tự nhiên một lần không?

Đáp số là câu trả lời cho câu hỏi này. Tuy nhiên, từ những cách sắp xếp có thể có, nó được xây dựng bằng biểu thị lũy thừa 2 (hình 1). Đặt một hình vuông $A_n$ có ​​kích thước $2^n \times 2^n$ (tại giao điểm của $2^n$ hàng và $2^n$ cột đầu tiên) chứa các số từ 1 đến $2^n$ sao cho mỗi số xuất hiện một lần trong mỗi hàng và mỗi cột. hình 2 cho biết cách tạo từ $A_n$ một hình vuông $A_{n+1}$ có kích thước $2^{n+1} \times 2^{n+1}$, trong đó các số từ 1 đến $2^{n+1}$ được đặt và thỏa mãn điều kiện tương tự; ký hiệu $A_n+2^n$ ở đây có nghĩa là $2^n$ được thêm vào tất cả các số của hình vuông $A_n$.

Hình 1.

Hình 2.

bài toán này có liên quan đến một câu hỏi thú vị. Đặt các ô của bàn cờ vô hạn chiếm một góc vuông xếp thành các số 0, 1, 2, … như sau: 0 đặt ở ô góc đầu tiên, sau đó mỗi ô được gán một số nhỏ nhất chưa dùng để đánh số các ô trước đó nằm bên trái ô đó theo cùng một chiều ngang hoặc thấp hơn - trên cùng một chiều dọc. Ô ở giao điểm của đường ngang $i$ và đường dọc $j$ sẽ nhận được số nào? (Các số được gán cho các ô theo thứ tự tăng dần của tổng $i+j$; xem bài toán 127 trong cuốn sách của A. M. và I. M. Yaglomov “Không tiểu học bài toán trong bài thuyết trình tiểu học”, M.: 1954, Gostekhteorizdat.)

N.V. Vasiliev, V.S. Shevelev

M1124. Các cạnh, đường chéo và phần mở rộng của các đáy của hình thang giao nhau với đường l tại sáu điểm, tức là năm đoạn được cắt trên đường l. a) Chứng minh rằng nếu đoạn cực trị (thứ 1 và thứ 5) bằng nhau thì các đoạn liền kề

Cho đường thẳng l cắt các cạnh AB và CD của hình thang tại các điểm K và N, các đường chéo AC và BD tại các điểm L và M, các điểm nối tiếp của các đáy AD=a và BC=b tại các điểm P và Q; PA=x, CQ=y (xem hình). Khi đó, xét các cặp tam giác đồng dạng có đáy nằm trên các đường thẳng AD và BC và có đỉnh chung là một trong các điểm K, L, M hoặc N, ta thu được:

$$\frac{PK}{KQ} = \frac{x}{b+y}, \frac{PN}{NQ} = \frac{x+a}{y}, \frac{PL}{LQ} = \frac{x}{y}, \frac{PM}{MQ} = \frac{x+a}{y+b}.$$

38

(thứ 2 và thứ 4) cũng bằng nhau.
6) Có thể vẽ đường thẳng l bằng bao nhiêu so với đáy của hình thang sao cho cả năm đoạn đều bằng nhau?

F1133. Trong nhiệt lượng kế, chất hòa tan đang nghiên cứu nguội dần. Nhiệt dung riêng của phản ứng tổng hợp của chất này (được xác định trong các thí nghiệm trước đó) là $L = 200$ kJ/kg. Dùng đồ thị nhiệt độ của một chất theo thời gian (hình 1), xác định nhiệt dung riêng của chất đó ở trạng thái rắn và lỏng. Bỏ qua nhiệt dung của nhiệt lượng kế.

Hình 1.

a) Nếu tích của hai tỉ số (*) bằng 1 thì
$$\frac{PL}{LQ} \cdot \frac{PM}{MQ} = \frac{x(x+a)}{y(y+b)} = 1, \frac{PL}{LQ} = \frac{MQ}{PM},$$
Ở đâu
$$\frac{PL}{PQ} = \frac{MQ}{PQ}, \quad PL = MQ, \quad KL = MN.$$

6. Bốn tỉ số (*) lần lượt bằng 1/4, 4, 2/3 và 3/2 nếu (và chỉ khi) khi
   $$4x = b + y, \quad 4y = a + x, \quad 2y = 3x, \quad 2(x+a) = 3(y+b).$$
   Nếu $x = 2d$ và ba đẳng thức đầu tiên trong số này được thỏa mãn thì $y = 3d$, $a = 10d$, $b = 5d$. Trong trường hợp này, đẳng thức thứ tư cũng được thỏa mãn.

Vì vậy, nhu cầu chấp nhận tồn tại khi và chỉ khi một trong các đáy của hình thang lớn gấp đôi đáy kia.

E. G. Gotman

Như có thể thấy từ hình, đầu tiên chất ở trạng thái lỏng được làm lạnh đến điểm nóng chảy, sau đó trong vòng 5 phút nó kết tinh mà không thay đổi nhiệt độ, sau đó nó nguội lại ở trạng thái rắn.

Rõ ràng, nếu nhiệt độ không thay đổi theo thời gian (trong quá trình kết tinh) thì nhiệt năng do chất đó giải phóng là không đổi. Nó có thể được thể hiện bằng cách sử dụng phần ngang của biểu đồ:

$$P = \frac{Q}{\tau_{\text{кр}}} = \frac{mL}{\tau_{\text{кр}}}.$$

Bằng cách tiếp tục phần đồ thị tương ứng với trạng thái lỏng (bằng cách vẽ tiếp tuyến với đồ thị), chúng ta có thể viết (hình 2):

$$c_{\text{ж}} m \Delta t_{\text{ж}} = P \tau_{\text{ж}},$$
Ở đâu
$$c_{\text{ж}} = \frac{\tau_{\text{ж}}}{\Delta t_{\text{ж}}} \frac{L}{\tau_{\text{кр}}} \approx 8 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}.$$

Tương tự đối với chất rắn ta tìm được:

39

$$c_{\text{TB}} = \frac{\tau_{\text{TB}}}{\Delta t_{\text{TB}}} \frac{L}{\tau_{\text{kp}}} \approx 15 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}.$$

Lưu ý rằng chúng tôi đã vẽ các tiếp tuyến để có độ chính xác cao hơn; có thể thực hiện mà không cần chúng bằng cách sử dụng các đường cong nhỏ liền kề với đường chân trời của đồ thị.

A. R. Zilberman

F1134. Khám phá hành tinh mới được phát hiện có hình cầu với bán kính $R=6400$ km và được bao phủ toàn bộ bề mặt bởi một đại dương có độ sâu $H=10$ km nước thông thường, các nhà khoa học đã chứng minh rằng gia tốc trọng trường không thay đổi với độ chính xác cao khi ngâm mình trong đại dương ở các độ sâu khác nhau. Sử dụng những dữ liệu này, hãy xác định gia tốc rơi tự do trên hành tinh. Hằng số hấp dẫn $G=6,67 \times 10^{-11} \text{H} \cdot \text{m}^2/\text{кг}^2$.

Bên trong một quả cầu đồng nhất, lực hấp dẫn bằng 0, nhưng quả cầu hút các vật thể bên ngoài như thể toàn bộ khối lượng đều tập trung ở tâm. Hãy tính gia tốc trọng trường ở độ sâu $x$ trong đại dương bao phủ hành tinh.

Xét một lớp hình cầu có độ dày $x$ gồm có nước. Nó có thể được coi là bao gồm các lớp vỏ hình cầu mỏng đồng nhất, mỗi lớp vỏ không tạo ra lực hấp dẫn bên trong chính nó. Do đó, lực hấp dẫn tự do chịu tác dụng lên bề mặt của một quả bóng có bán kính $R-x$. Khối lượng của quả bóng này

$$m = M - \frac{4\pi\rho}{3} (R^3 - (R-x)^3),$$

trong đó $M$ là khối lượng của toàn bộ hành tinh, $\rho=10^3 \text{kg/m}^3$ là mật độ của nước. Khi đó gia tốc rơi tự do

$$g = \frac{Gm}{(R-x)^2} = G \frac{M-4\pi\rho(R^3-(R-x)^3)/3}{(R-x)^2}.$$

Lưu ý rằng biểu thức này chỉ đúng với những biểu thức nhỏ, so với $R$, $x$ - xét cho cùng, không phải toàn bộ hành tinh đều bao gồm nước. Do đó, trên các biểu đồ mô tả sự phụ thuộc của $g$ vào $x$ (xem hình), chỉ các phần ban đầu trong dải bao quanh được mô tả bằng công thức thu được. Hãy phân tích biểu thức kết quả. Khi hành tinh đạt khối lượng lớn hơn $M$, gia tốc $g$ trong quá trình ngâm sẽ tăng lên. Khi đạt khối lượng thấp, gia tốc ngay lập tức bắt đầu giảm. Có một khối lượng biên, trên đó gia tốc tăng và dưới đó gia tốc giảm. Giá trị của khối lượng biên này tương ứng với trường hợp khi ở gần bề mặt đại dương, $g$ thay đổi ít nhất, tức là gần như không đổi.

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện các phép tính. Gia tốc $g_0=GM/R^2$ trên bề mặt đại dương trong trường hợp khối lượng hấp dẫn “gần như” bằng gia tốc $g$ ở độ sâu nông $x$, và tỷ số của chúng “gần như” bằng 1:

$$\frac{g}{g_0} = \frac{1-4\pi\rho R^3(1-(1-x/R)^3)}{(1-x/R)^2} \approx 1.$$

Ý nghĩa của từ “gần như” này là chúng ta cần xét lũy thừa bậc nhất của đại lượng nhỏ $x/R$ và bỏ qua lũy thừa bậc hai và bậc ba. Sau đó biểu thức trước giảm về đẳng thức

(Tiếp theo trang 42)

40

…chúng tôi có cơ sở máy chủ
hoàn thành công việc
nhưng bản thân ánh sáng…
nhiễu loạn và dạng sóng…
J.K. Maxelli

Câu hỏi và bài toán

Chúng ta có thực sự quen thuộc đến thế không?
SÓNG ÁNH SÁNG

?

Lịch sử của lý thuyết sóng đếm rất ấn tượng và hấp dẫn. Lý thuyết hạt được áp dụng cho đến cuối thế kỷ 18 hóa ra không có khả năng giải thích hiện tượng các đường tích phân hiển nhiên, làm thay đổi toàn bộ giá trị bất ngờ của đa thức đối với sóng thành sự truyền lan của các sóng khác.

Thế kỷ XIX. Lượng tuyết rơi khi quan sát sóng là rất lớn; họ đã giúp đạt được sự hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của việc đếm, điều này làm tăng sự kết hợp giữa lý thuyết đếm và lý thuyết điện tử.

Lý thuyết sóng không bao hàm toàn bộ các biểu hiện khác nhau của phép đếm.
Tuy nhiên, khi nói đến nhiễu xạ và tích phân, tán sắc và phân cực thì chúng ta không thể tránh khỏi nó.

42

$$\frac{1 - 4\pi\rho R^2 x/M}{1 - 2x/R} = 1,$$

hoặc

$$1 - \frac{4\pi\rho R^2}{M} x = 1 - \frac{2x}{R}.$$

Do đó, đánh đồng các hệ số của $x$, ta có

$$M = 2\pi R^3\rho = 1,6 \cdot 10^{24} \text{ кг},$$

$$g_0 = \frac{GM}{R^2} = 2,6 \text{ м/c}^2.$$

Tóm lại, hãy tự suy nghĩ xem gia tốc trọng trường sẽ tăng hay giảm khi ngâm mình trong đại dương trên Trái đất.

I. I. Vorobiev

F1135. Một bệ nằm ngang với một đồng xu nằm trên đó thực hiện chuyển động tịnh tiến tròn trong mặt phẳng nằm ngang sao cho tất cả các điểm của nó mô tả các đường tròn có bán kính $R$ với vận tốc góc $\omega$. Hệ số ma sát giữa đồng xu và miếng đệm là $\mu$. Chuyển động ở trạng thái ổn định của đồng tiền sẽ như thế nào? Cô ấy “vẽ” dấu vết gì trên trang web?

Bản chất chung của chuyển động đã được thiết lập của đồng xu được hiểu rõ nhất từ ​​thông điệp về tính đối xứng. Với chuyển động tịnh tiến tròn của một bệ nằm ngang, tất cả các điểm và mọi phương của nó trong mặt phẳng nằm ngang đều tương đương về mặt vật lý. Do đó, bất kể các điều kiện ban đầu ở trạng thái ổn định trong hệ thống báo cáo quán tính đứng yên (trong phòng thí nghiệm), đồng xu sẽ chuyển động tịnh tiến dọc theo vòng tròn (không quay) và với cùng vận tốc góc $\omega$ như bệ. Chỉ có vị trí tâm của đường tròn này phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Bất kỳ quỹ đạo tinh thần nào khác đều không có đặc tính này - sự vắng mặt của các phương hướng xác định.

Thông báo đối xứng cho phép chúng tôi đưa ra một kết luận khác: liên quan đến nền tảng (tức là hệ thống báo cáo phi cá nhân đang chuyển động), nếu đồng xu trượt, nó cũng sẽ di chuyển theo một vòng tròn.

Bây giờ chúng ta tưởng tượng bản chất chuyển động của đồng xu, tất cả những gì còn lại là tìm bán kính của các vòng tròn được đồng xu vẽ trong hệ thống báo cáo này và hệ thống báo cáo khác.

Trong mặt phẳng ngang, lực duy nhất tác dụng lên đồng xu là lực ma sát từ bệ. Trước tiên hãy xem xét một nền tảng, tức là nó không bị trượt. Trong trường hợp này, trong hệ thống báo cáo quán tính, đồng xu di chuyển dọc theo một vòng tròn bán kính $R$ với gia tốc $\omega^2 R$, hướng về tâm của vòng tròn này. Vì gia tốc này được truyền vào đồng xu bằng ma sát đứng yên, mô hình của nó không thể vượt quá giá trị $\mu m$, nên chuyển động cùng với bệ (không bị trượt) sẽ xảy ra trong điều kiện $\omega^2 R \leq \mu g$, tức là ở $\omega^2 R / (\mu g) \leq 1$.

Đối với các giá trị của tham số không thứ nguyên $\omega^2 R / (\mu g)$ vượt quá đơn vị (nghĩa là đối với vận tốc góc đủ lớn $\omega$ hoặc bán kính lớn $R$ hoặc nhỏ

44

Hệ thống báo cáo chuyển động (vòng tròn có bán kính $r$) và dấu vết đồng xu vẽ ra trên bệ chuyển động (vòng tròn có bán kính $\rho$). Nếu trong một hệ thống báo cáo cố định, một đồng xu di chuyển ngược chiều kim đồng hồ (như nền tảng), thì so với nền tảng, chuyển động của nó sẽ xảy ra theo chiều kim đồng hồ. Với chuyển động “nhanh” của nền tảng, khi $\omega^2 R/(\mu g) \gg 1$, đồng xu trong hệ thống báo cáo cố định thực tế đứng ở vị trí $(r \ll R)$ và nền tảng bên dưới nó mô tả các vòng tròn có bán kính $R$, sao cho $\rho \approx R$. Với chuyển động “chậm” của nền tảng, khi $\omega^2 R/(\mu g) \gtrsim 1$, đồng xu gần như theo kịp nền tảng, mô tả các vòng tròn có bán kính gần như giống nhau trong hệ thống báo cáo cố định: $r \approx R$, vì vậy $\rho \rightarrow 0$.

E. I. Butikov

F1136. Trong mạch hiển thị ở hình 1, ampe hiển thị các điểm 0,2 A và 0,3 A. Sau khi đặt hai điện trở trong mạch vào đúng vị trí, số đo ampe không thay đổi. Dòng điện chạy qua pin là bao nhiêu? Giả sử điện áp pin không đổi. Điện trở của các ampe kế rất nhỏ.

Trong mạch ban đầu, điện áp trên mỗi điện trở là như nhau. Vì sau khi sắp xếp lại các điện trở, số chỉ ampe không thay đổi, nghĩa là điện trở của các điện trở được sắp xếp lại là như nhau.

Hãy xem xét hai phương án khả thi để sắp xếp lại điện trở giữa và một trong những phương án cực trị (hình 2):

$$R_1 = R_2 \text{ и } R_2 = R_3.$$

Tùy chọn $R_1 = R_3$, tức là sắp xếp lại các điện trở cực trị, là không thể, vì nếu không thì các ampe kế ban đầu sẽ phải hiển thị các điểm giống nhau.

Vì vậy (xem hình 2):

Hình 1. Hình 2.

1. $R_1 = R_2 \Rightarrow I_1 = I_2 = \frac{I_1 + I_2}{2} = 0,1 \text{ A},$
   $$I_{6ат1} = I_1 + (I_2 + I_3) = 0,1 \text{ A} + 0,3 \text{ A} = 0,4 \text{ A}.$$

2. $R_2 = R_3 \Rightarrow I_2 = I_3 = \frac{I_2 + I_3}{2} = 0,15 \text{ A},$
   $$I_{6ат2} = I_3 + (I_1 + I_2) = 0,15 \text{ A} + 0,2 \text{ A} = 0,35 \text{ A}.$$

A. R. Zilberman

45

“Liên minh” khai mạc Giải đấu

Mỗi nhà thám hiểm vũ trụ đều đi theo con đường riêng của mình tới các vì sao. Hiệp hội hàng không vũ trụ toàn diện Soyuz đề xuất bắt đầu cuộc hành trình này với sự tham gia của một số nhà thám hiểm không gian ở Touripra. Các chuyến tham quan tương tự (về vật lý) đã được Đại học Moscow thực hiện trong hơn mười năm. Và chúng luôn khác thường và thú vị. Chà, Turip bắt đầu…

Bài tập cho cuộc thi tập thể thư tín
Điều kiện bài toán được hình thành càng ngắn gọn càng tốt. Bản thân bạn nên đưa ra các giả định cần thiết và quy trình hợp lý, chọn mô hình để mô tả hiện tượng này và thuật toán lời giải bài toán, đồng thời kiểm tra kết quả thu được.

1. Đồng hồ. Bạn đã đến thăm một hành tinh neculo và đang có kế hoạch quay trở lại hành tinh đó sau mười nghìn hoặc thậm chí một triệu năm nữa. Bạn sẽ để lại chiếc đồng hồ nào trên hành tinh này để thay đổi chính xác thời điểm bạn vắng mặt trên hành tinh này?

2. Hiệu chỉnh quỹ đạo. Một vệ tinh nặng 50 tấn chuyển động theo quỹ đạo tròn ở độ cao 200 km so với bề mặt Trái đất. Các thông số quỹ đạo của nó thay đổi như thế nào nếu các divgel của vệ tinh cung cấp cho nó một xung bổ sung $10^4$ kg m/s

a) dọc theo đường bay?

b) vuông góc với quỹ đạo trong mặt phẳng quỹ đạo?

b) vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo?

3. Chi phí sửa chữa. Công tối thiểu phải được thực hiện bởi các divgel của vệ tinh để quay mặt phẳng quỹ đạo một góc (và?

4. Các vệ tinh liên quan Điều cần thiết là hai vệ tinh có khối lượng 10 và 50 tấn phải nằm trên cùng một đường thẳng với tâm Trái đất. Đề xuất cách tiết kiệm chi phí nhất để duy trì định hướng vệ tinh này nếu khoảng cách giữa các vệ tinh

a) 100 mét,
b) 10 km.

5. Câu cá từ vệ tinh. Có thể hạ thấp tàu thăm dò từ vệ tinh đứng yên trên cáp xuống bề mặt Trái đất hoặc ít nhất là xuống các lớp dày đặc của khí quyển không?

6. Bảo vệ Metoritic. Phát triển hệ thống bảo vệ tàu vũ trụ khỏi micromet và thiên thạch cỡ trung bình. Nếu hệ thống của bạn không tắt, thì phi hành gia có bao nhiêu thời gian để phát hiện và ứng phó với một lỗ có đường kính 1 mm do thiên thạch xuyên qua trên thân tàu?

7. Lỗ đen. Làm thế nào để tưởng tượng rằng tàu vũ trụ của bạn đang tiếp cận một lỗ đen và làm thế nào để tránh một cuộc chạm trán khó chịu như vậy?

8. Sao chổi. Hãy tưởng tượng rằng một sao chổi băng giá có khối lượng $10^{15}$ kg có thể đến Trái đất sau vài năm nữa. Xây dựng dự án phòng chống thiên tai.

9. Phi hành gia. Khoảng cách di chuyển tối đa mà một phi hành gia có thể mong đợi là bao nhiêu?

a) ở trình độ phát triển công nghệ hiện nay?

6. trong tương lai xa, khi gần như mọi khó khăn kỹ thuật sẽ được khắc phục?

10. Thí nghiệm không gian. Hãy để chuyến thám hiểm tới sao Hỏa gồm có tám người. Bạn sẽ phân bổ trách nhiệm như thế nào trong một nhóm như vậy? Làm thế nào để tránh tình huống xung đột trong chuyến bay Trái đất-Sao Hỏa-Trái đất?

11. Băng hình. Đề xuất kịch bản cho một bộ phim khoa học hoặc giáo dục dài 5-10 phút sẽ không có trong phòng thí nghiệm vũ trụ.

12. Cuộc đối đầu vĩ đại. Được trang bị kính viễn vọng và các dụng cụ vật lý khác, bạn có thể thiết lập các quan sát có hệ thống về Sao Hỏa. Chia sẻ quan sát của bạn với chúng tôi.

13. Gia tốc trọng trường. Chứng minh phương pháp sử dụng trường đá granit của các hành tinh để tăng tốc tàu vũ trụ. Bạn sẽ đề xuất bắt đầu chuyến bay của tàu thăm dò đến rìa của Hệ Mặt trời vào năm nào và vào ngày nào, nếu Sao Hỏa được sử dụng để tăng tốc lời giải? Tốc độ khởi đầu của tàu thăm dò là 15 km/s.

14. Khí quyển của Mặt Trăng. Hãy tưởng tượng rằng bạn đã tạo ra được bầu khí quyển của Trái đất trên Mặt trăng. Mô tả các thông số và tính chất của nó. Cô ấy sẽ “giảm cân” nhanh như thế nào và làm thế nào để duy trì được bầu không khí như vậy?

15. Bóng đá trên mặt trăng. Có lẽ trong tương lai Mặt trăng, trái đất sẽ trở thành một nơi an nghỉ tồi tệ. Thật không may, người hâm mộ bóng đá sẽ phải thất vọng. Cung cấp một trò chơi tích cực cho các cá nhân trên Mặt trăng thú vị như bóng đá.

(Về phần kết xem trang 61)

46

Nhiệm vụ

1. Đôi khi người bán khi nhận phấn còn cân cả. Tuy nhiên, người bán với giá 50 rúp bằng đồng xu 15 và 20 kopecks. Tổng khối lượng của chúng hóa ra là 800 g. Có bao nhiêu đồng xu? (Đồng xu mười lăm kopeck (đồng xu thứ mười lăm) nặng 2,5 g và đồng xu hai mươi kopeck (đồng xu hai kopeck) nặng 3 g.)
2. Đặt các số từ 1 đến 8 vào các vòng tròn của hình minh họa ở hình, sao cho tổng các số trên mỗi vòng tròn bằng nhau.
3. Tôi và con trai đi thuyền trên hồ. Mặt nước phản chiếu rừng ven biển. Người con trai nói: “Hãy đặt nó lên tấm gương phản chiếu, con muốn nó ở dưới chân con”. Chúng tôi đã cố gắng làm điều này, nhưng hình ảnh phản chiếu đã “bỏ chạy” khỏi chúng tôi. Tại sao?
4. Báo Thể thao Xô Viết (3.V.1987) đăng bảng tạm thời của một giải bóng đá:

| | Trò chơi | Chiến thắng | Nichnyh | Hư hại | Bóng khác nhau. | Kính |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Hungary | 2 | 2 | 0 | 0 | 4—1 | 4 |
| Thụy Điển | 2 | 1 | 1 | 0 | 1—1 | 3 |
| Tây ban nha | 2 | 0 | 2 | 0 | 3—3 | 2 |
| Ireland | 3 | 0 | 1 | 2 | 3—5 | 1 |
| Pháp | 1 | 0 | 0 | 1 | 0—2 | 0 |

Chứng minh rằng có một lỗi trong bảng và biết rằng chỉ có một lỗi, hãy sửa nó và cho biết kết quả của các trận đấu đã diễn ra.

5. Giao điểm của các đường trung bình của một tứ giác lồi nối với các đỉnh của nó (xem hình). Chứng minh rằng tổng diện tích các tam giác màu đỏ bằng tổng diện tích các tam giác màu xanh.

Những nhiệm vụ này đã được đề xuất cho chúng tôi bởi A.V. Bogomolnaya, N.I. Abilov, G.A. Galperin, A.F. Kolan, V.V. Proizvolov.

47

số học
đồng hồ cát

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. DVORYANINOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. SAVIN

Trong suốt lịch sử, con người đã phát minh ra nhiều loại đồng hồ: đồng hồ mặt trời, đồng hồ lửa, đồng hồ nước, cát, đồng hồ cơ, điện, điện tử, nguyên tử…

Đồng hồ mặt trời bây giờ có thể được tìm thấy trong các nhiệm vụ như một vật trang trí. Những ngọn nến trên cây năm mới gợi cho chúng ta nhớ về những giờ phút rực lửa.
Chiếc cốc thủy tinh và chiếc đồng hồ cát tự thông báo bằng câu cảm thán: thời gian của bạn đã hết! Đúng vậy, ở một số nơi trong phòng khám vẫn còn có đồng hồ cát trong 3, 5 và 10 phút. Nhưng ngay cả ở đó, họ cũng không thể cạnh tranh với những chiếc đồng hồ điện và điện tử đang thay thế những phát minh hàng nghìn năm tuổi này, cũng như máy tính và máy tính vi mô đang thay thế bàn tính và máy đo số học văn phòng.

Tuy nhiên, chúng ta hãy nghĩ một chút về đồng hồ cát - một hộp thủy tinh có cần cẩu buộc quanh eo (hình 1), qua đó cát nung mịn được đổ từ nửa đồng hồ này sang nửa kia của đồng hồ.

Nếu là đồng hồ ba phút thì cát sẽ đổ hết trong ba phút. Nếu bạn lật chúng ngay lập tức, bạn có thể đo được 6 phút. Nếu bạn lật chúng một lần khi cát đã đổ hoàn toàn, bạn có thể đợi cho đến khi kết thúc khoảng thời gian chín phút. Rõ ràng là bằng cách này bạn có thể đo bất kỳ số nguyên phút nào là bội số của trem.

Chà, nếu chúng ta có một cặp đồng hồ cát - ba phút và năm phút - thì chúng ta cũng có thể đo thời gian theo bội số của 5 phút. Như vậy, ta có thể đo được 3, 5, 6, 10 phút… Ngoài ra, ta có thể đo được 8 phút: lần đếm đầu tiên-

tan chảy trong 5 phút trên một đồng hồ, và sau đó là 3 phút trên đồng hồ kia. Và 11 phút? Điều này cũng có thể xảy ra vì 11=2·3+5. Và bạn có thể đo được 12 phút, vì 12=4·3. Kiểm tra xem bạn có thể đo được 13, 14 và 15 phút không.

Hoặc có lẽ chúng ta có thể đo bất kỳ số nguyên phút nào lớn hơn 7? Tất nhiên rồi! Nếu chúng ta giảm số đo xuống còn 8, 9 và 10 phút thì cộng 3 phút chúng ta sẽ có 11, 12 và 13 phút, cộng thêm 3 phút nữa chúng ta sẽ có 14, 15 và 16 phút, v.v.

Hãy lưu ý rằng đồng thời chúng tôi đã chỉ ra rằng bất kỳ số lượng nguyên rúp nào, lớn hơn bảy rúp, đều có thể được thanh toán bằng mệnh giá 3 và 5 rúp. Vào thời điểm trên giấy tờ, việc chứng minh cũng có thể được thực hiện trong đời thực.

Chúng ta hãy trả một số rúp nhất định, nhiều hơn bảy; Chúng tôi sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này chúng tôi có thể trả số tiền thêm 1 rúp. Từ đây - như người ta nói, bằng quy nạp - tuyên bố của chúng tôi sẽ tuân theo.

Hình 1.

48

Thật vậy, nếu số tiền hiện có chứa kupora 5 rúp, thì bằng cách thay thế nó bằng hai “ba rúp”, chúng tôi sẽ tăng số tiền thêm 1 rúp. Nếu tổng số không có một “năm” thì có ít nhất ba “ba rúp” (tổng số lớn hơn bảy). Bằng cách thay thế ba “ba rúp” bằng hai “năm”, trong trường hợp này, chúng tôi sẽ tăng số tiền thêm 1 rúp. Bằng chứng đã kết thúc.

Nhưng hãy quay trở lại với chiếc đồng hồ cát. Nếu chúng ta chỉ có đồng hồ năm phút và mười phút trên tay, thì cũng dễ hiểu thôi, với sự trợ giúp của chúng, chúng ta chỉ có thể đo được những khoảng thời gian là bội số của 5 phút. Và nói chung, nếu chúng ta có đồng hồ cát $k$ phút và $m$ phút, thì thời gian được đo với sự trợ giúp của họ sẽ là bội số của gcd $(k, m)$ - ước số chung nhất của các số $k$ và $m$. Các số 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau, ước số chung nhất của chúng là 1; số 3 và 10 cũng là số nguyên tố cùng nhau. Hóa ra với sự trợ giúp của đồng hồ cát ba phút và mười phút, bạn có thể đo được bất kỳ số phút nào, nhiều hơn mười bảy. Thật vậy, $18=6 \cdot 3, 19=10+3 \cdot 3, 20=2 \cdot 10$. Và sau đó, như trước đây, chúng tôi thêm số khoảng thời gian ba phút cần thiết.

Vâng, trong trường hợp chung? Hóa ra là nếu các số $k$ và $m$ là số nguyên tố cùng nhau thì khi sử dụng đồng hồ $k$ phút và $m$ phút, bạn có thể đo bất kỳ số phút nào lớn hơn $km-k-m$. Nhân tiện, chúng ta hãy lưu ý rằng $3 \cdot 5-3-5=7$ và $3 \cdot 10-3-10=17$, tức là đồng hồ ba phút và năm phút có thể đo bất kỳ khoảng thời gian số nguyên nào, lớn hơn mười bảy phút; và đồng hồ ba phút và mười phút là bất kỳ khoảng thời gian nguyên nào lớn hơn mười bảy phút, đó là những gì chúng ta đã thấy trước đây.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng không thể đo chính xác $km-k-m$ phút bằng cách sử dụng đồng hồ $k$ phút và $m$ phút với các số nguyên tố cùng nhau $k$ và $m$. Trên thực tế, chúng tôi có thể thực hiện điều này bằng cách “chạy” đồng hồ $k$ phút $x$ lần và đồng hồ $m$ phút $y$ lần. Sau đó $km-k-m=xk+ym$ hoặc $k(x+1)=m(k-1-y)$. Vì $k$ và $m$ là số nguyên tố cùng nhau nên số $k-1-y$ phải chia hết cho $k$ (và $k-1-y>0$). Nhưng $k-1-y<k$. Chúng tôi có một sự mâu thuẫn.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng, bằng cách sử dụng đồng hồ cát ba phút và năm phút, cần phải đo được khoảng thời gian là 7 phút. Bây giờ hãy làm điều cần thiết - đo 7 phút bằng đồng hồ này! Còn bằng chứng của chúng tôi thì sao? Bằng chứng là đúng, nhưng chỉ với giả định rằng lần khởi động tiếp theo của đồng hồ sẽ xảy ra sau khi cát đã đổ hết ra khỏi đồng hồ đang hoạt động trước đó. Giả định này là tự nhiên đối với một chiếc đồng hồ, vì với sự trợ giúp của chúng, chúng ta không thể đánh dấu những khoảng thời gian nhỏ hơn khoảng thời gian mà chiếc đồng hồ này được thiết kế. Nhưng việc có hai chiếc đồng hồ mang đến cho chúng ta những cơ hội mới.

Hãy chạy đồng thời đồng hồ ba phút và năm phút. Vào thời điểm hạt cát cuối cùng rơi xuống đồng hồ ba phút, chúng ta sẽ dừng đồng hồ năm phút. Cách thực hiện rất đơn giản - có đáng để thử chúng theo chiều ngang không (hình 2). Đồng hồ năm phút của Teler được “điều chỉnh” thành 2 phút, nghĩa là với sự trợ giúp của nó, chúng ta có thể đo được hai phút và do đó là 7 phút: $7=2+5$.

Vì vậy, với sự trợ giúp của đồng hồ ba phút và năm phút, chúng ta có thể đo các khoảng thời gian 2, 3, 5, 6, 7, 8 và bất kỳ số phút nào nữa. Phần còn lại cách nhau 1 và 4 phút. Có lẽ chúng cũng có thể được đo lường? Chắc chắn. Hãy “bắt đầu” đồng hồ của chúng ta cùng một lúc. Vào thời điểm khi hết cát trên đồng hồ ba phút, chúng ta lật nó lại và do đó bắt đầu một khoảng thời gian ba phút mới, nhưng chúng ta sẽ kết thúc nó vào thời điểm đồng hồ thứ hai đếm được 5 phút. Đồng hồ ba phút đã dừng sẽ được “đặt” thành 1 phút $(2 \cdot 3-5=1)$. Bây giờ không khó để có được 4 phút, vì $4=1+3$.

Bây giờ hãy tự mình thử sử dụng đồng hồ ba phút và mười phút để có được toàn bộ

49

Khoảng thời gian từ 1 đến 17 phút.
Tại sao chúng tôi tự tin rằng điều này có thể thực hiện được? Thực tế là định lý sau đây đúng:
Nếu k và m là các số nguyên tố cùng nhau thì với bất kỳ số nguyên n nào, chúng ta cũng có thể chọn các số nguyên x và y sao cho xk+ym=n. Định lý này có liên quan gì đến đồng hồ cát? Trực tiếp nhất. Từ đó, nếu bạn có đồng hồ k-phút và m-phút, bạn có thể đo bất kỳ số nguyên phút nào nếu các số k và m là số nguyên tố cùng nhau. Thật vậy, nếu muốn đo n phút thì sẽ tìm được các số x và y thỏa mãn phương trình này. Bây giờ, trong trường hợp cả hai số này đều dương, đầu tiên chúng ta đo xk phút bằng đồng hồ k phút, sau đó đo ym phút khác bằng đồng hồ m phút. Nếu một trong số chúng, chẳng hạn y, âm, thì chúng ta khởi động cả hai đồng hồ cùng lúc, đảo ngược thời gian của đồng hồ mà cát đổ ra, và tại thời điểm đồng hồ m-phút đếm (-ym) phút (y<0!), chúng ta dừng đồng hồ k-phút. Bây giờ, để đếm n phút, bạn nên khởi động đồng hồ k phút và tiếp tục chạy cho đến khi đếm xong xk phút.

Do đó, đồng hồ k-phút bắt đầu sau khi dừng sẽ tính xk-(−y)m=xk+ym=n phút.

Không làm cách nào để tìm lời giải của phương trình xk+ym=n? Hóa ra chỉ cần học cách giải phương trình xk+ym=1 là đủ: nếu x=a, y=b là lời giải của phương trình này, thì x=na, y=nb là lời giải của phương trình xk+ym=n.

Có, nhưng làm thế nào để tìm một số phương trình lời giải xk+ym=1? Có khá nhiều cách, chúng tôi sẽ mô tả cách đơn giản nhất nhưng có lẽ không phải là cách ngắn nhất.

Hãy viết phương trình này dưới dạng y=(1−xk):m và cho số x các giá trị 0, 1, 2, …, m−1. Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng nếu k và m là nguyên tố cùng nhau thì với một trong các giá trị này, số (1−xk):m sẽ là một số nguyên. Hãy tìm cách chia thành m số 1−0·k, 1−1·k, …, 1−(m−1)·k. Chúng khác nhau theo từng cặp, nếu không thì số (1−x1k)−(1−x2k)=(x2−x1)k sẽ chia hết cho m, có nghĩa là x2−x1 sẽ chia hết cho m (k và m là nguyên tố cùng nhau!), điều này là không thể, vì x2−x1<m. Vì vậy, đối với một số giá trị của x thì phần còn lại bằng 0; do đó, số y=(1−kx):m là số nguyên. Những x và y này tạo thành phương trình lời giải cần thiết xk+ym=1.

Người đăng ký chú ý!

Hiện tại, số trang trên tạp chí của chúng tôi đang tăng 25%, điều này cho phép chúng tôi mở một số chuyên mục mới.

Để bù đắp chi phí thông báo số tạp chí

Giá mỗi phòng tăng thêm 5 kopecks. Giá mới của tạp chí là 45 kopecks. Thật không may, thông báo lời giải về số lượng và giá của tạp chí đã được phê duyệt sau khi phát hành danh mục Soyuzpechat và bắt đầu đăng ký vào năm 1989. Nếu bạn đã đăng ký, theo chi nhánh Soyuzpechat, chúng tôi yêu cầu bạn

tính thêm phí 5 kopecks cho mỗi phòng.

Đối với những người chưa có thời gian đăng ký «Kvant» kể từ đầu năm, chúng tôi xin nhắc bạn rằng đăng ký này được chấp nhận mà không bị hạn chế tại các đại lý Soyuzpechat, bưu điện và bưu điện. Chỉ số tạp chí «Kvant» trong danh mục Soyuzpechat 70465.

50

Toán 8-10

Các phép biến đổi hình học

Phần I: Chuyển động

Ghi chú được xuất bản được gửi đến các học sinh lớp tám, nhưng chắc chắn nó sẽ hữu ích cho những học sinh lớp chín và mười đã sẵn sàng thi đấu tại Thế vận hội hoặc lên xe buýt.

E.G.GOTMAN

Các phép biến đổi của mặt phẳng - chuyển động và độ tương tự - trong nhiều trường hợp cho phép bạn giải quyết hình học bài toán một cách kinh tế và tinh tế. Trong hai năm qua, «Kvant» đã đề cập đến chủ đề này hai lần (xem số 12 năm 1986 và số 8 năm 1987). Tất nhiên, chúng tôi không cho rằng người đọc đã quen thuộc với những bài viết này và trước tiên sẽ trình bày thông tin lý thuyết cần thiết cho lời giải bài toán.

Chúng ta hãy nhớ lại các định nghĩa cơ bản.

Chuyển động là một phép biến đổi của mặt phẳng trong đó khoảng cách giữa ảnh của hai điểm bất kỳ bằng khoảng cách giữa hai điểm đó. Chúng ta hãy nêu bật ba loại chuyển động đặc biệt.

Phép quay quanh một điểm O với một góc α là một phép biến đổi trong đó điểm O biến thành chính nó và một điểm A tùy ý, khác với O, biến thành một điểm A’ sao cho OA’=OA và góc giữa OA và tia OA’ không theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bằng α. Bằng cách nhấn mạnh rằng lượt của chúng ta luôn là lượt ngược chiều kim đồng hồ; Giả sử vòng quay 30° theo chiều kim đồng hồ đối với chúng ta là vòng quay 330°.

Truyền song song sang vectơ α là một phép biến đổi trong đó một điểm A tùy ý đi vào

51

điểm $A'$ sao cho vectơ $\overline{AA'}$ bằng $\bar{a}$.

Đối xứng cơ bản với trục $l$ là một phép biến đổi trong đó điểm tùy ý $A$ đi đến điểm $A'$, đối xứng $A$ so với đường thẳng $l$. Các điểm của đường thẳng $l$ không chuyển động trong quá trình biến đổi này.

Rõ ràng, phép quay quanh một điểm, sự tịnh tiến song song và tính đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa các điểm và do đó là chuyển động. Chúng ta không coi đối xứng trung tâm là một loại chuyển động riêng biệt: đó là trường hợp đặc biệt của phép quay - phép quay quanh đối xứng một góc $180^\circ$.

Chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau: $R_O^a$ - xoay quanh điểm $O$ theo một góc $\alpha$, $T_a$ - dịch song song sang vectơ $a$, $S_l$ - đối xứng trục với trục $l$. Bằng $E$ chúng ta biểu thị một phép biến đổi điểm (trong đó tất cả các điểm được biến đổi thành chính nó). Ví dụ: dịch song song sang vectơ 0 là phép biến đổi hành động điểm: $T_0 = E$. Tương tự như vậy, xoay (xung quanh bất kỳ điểm nào) theo $360^\circ$ sẽ trả tất cả các điểm về vị trí ban đầu: $R_O^{360^\circ} = E$. Hãy nói thêm rằng nó luôn là $R_O^{a+360^\circ} = R_O^a$, vì vậy nên đặt các góc quay với độ chính xác là $360^\circ$. Thông thường, ký hiệu $R_O^a$ giả định $0 \leqslant \alpha < 360^\circ$.

Rõ ràng là với bất kỳ chuyển động đối xứng nào, các tia thẳng hàng sẽ biến thành các tia đồng thời. Cũng rõ ràng rằng đối với bất kỳ sự truyền song song nào, một tia tùy ý sẽ biến đổi thành một tia đồng thời với nó. Tình hình sẽ khác khi rẽ.

Định lý 1. Khi quay, góc tạo bởi một tia bất kỳ và ảnh của nó bằng góc quay.

Bằng chứng. Trong trường hợp cụ thể khi điểm bắt đầu của một tia cho trước trùng với tâm $O$ của phép quay, phát biểu này là hiển nhiên. Nếu điểm bắt đầu của một tia cho trước $k$ khác với $O$ thì từ điểm $O$ chúng ta vẽ một tia $h$, đồng thời với tia $k$ (hình 1). Vì bất kỳ chuyển động nào cũng biến đổi các tia đồng thời thành các tia đồng thời nên hình ảnh của các tia $k'$ và $h'$ $k$ và $h$ cũng là

Hình 1.

đồng đạo diễn. Do đó, góc giữa $k$ và $k'$ bằng góc giữa $h$ và $h'$, tức là bằng góc quay.

Định lý đơn giản này có thể được sử dụng một cách hiệu quả cho lời giải bài toán.

Bài tập

1. Trên các cạnh $AC$ và $BC$ của tam giác $ABC$ tất cả các tam giác đều $ACB_1$ và $BCA_1$ đều được dựng. Chứng minh rằng các đoạn $AA_1$ và $BB_1$ bằng nhau. Tìm góc giữa các đường thẳng $AA_1$ và $BB_1$.

Gợi ý. Đảm bảo rằng bằng cách xoay vectơ điểm $C$ theo $60^\circ$ đoạn $B_1B$ có thể được kết hợp với đoạn $AA_1$ (tam giác $ABC$ được coi là hướng dương *).

2. Trên các cạnh $AC$ và $BC$ của tam giác $ABC$, tất cả các hình vuông $ACA_1A_2$ và $BCB_1B_2$ của nó đều được dựng. Chứng minh rằng a) các đoạn $AB_1$ và $A_1B$ bằng nhau và vuông góc; b) tâm của các hình vuông dựng được và trung điểm của các đoạn $AB$ và $A_1B_1$ là các đỉnh của tam giác $A'B'C'$. Nếu không thì

*) Về mặt danh nghĩa, tam giác $ABC$ được coi là có hướng dương nếu đường truyền các đỉnh của nó theo thứ tự $A, B, C$ xảy ra ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại có hướng âm. (Điều đáng chú ý là các hình tam giác $ABC$ và $ACB$, không khác nhau về mặt hình học, được định hướng theo hướng ngược lại.)