Kvant 1989, số 3 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nhiệm vụ, mô hình và máy tính

1989

Trong phòng:

2 M. I. Kadanov. Nhìn vào nhiệt kế…
8 G. A. Galperin, A. M. Stepin. Chuyển động định kỳ của quả bóng bida
16 N. Ya. Vilenkin. Từ số không đến đề can
22 I. F. Akulich. Làm sao thoát khỏi cơn mưa?

Bài toán Kvant
Người chiến thắng cuộc thi “Bài toán Kvant
Bài toán M1151—M1155, F1158—F1162
Lời giải bài toán M1125—M1130, F1137—F1142

Kính vạn hoa «Kvant»

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
S. A. Tikhomirova. Về áp lực

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10:
Lực Lorentz và hiệu ứng Hall
Hạt alpha và thí nghiệm của Rutherford
Matematika 8, 9, 10:
Các phép biến đổi hình học.
Phần II: Các phép biến đổi tương tự

vòng tròn toán học
L. D. Kurlyandchik. Tam giác vuông

Thông tin và lập trình
A. G. Geyin, A. K. Kovaldzhi, M. V. Sapir. Bài toán, mô hình và máy tính

Các lựa chọn thi tuyển sinh
Đáp số, gợi ý, lời giải
Họ viết thư cho chúng tôi (55, 58)
Hồ sơ của chúng tôi (79)
Pha trộn (45)
bìa của chúng tôi
Bài toán xây dựng công thức toán học rõ ràng của số thực bài toán là rất phức tạp. Cách tiếp cận nó sẽ được thảo luận trong bài viết “Bài toán, mô hình và máy tính” bằng cách sử dụng ví dụ về bài toán đơn giản về việc cắt móng ngựa thành số phần tối đa.

Archimedes là một trong những nhà toán học Hy Lạp cổ đại vĩ đại nhất, người cũng có những đóng góp quan trọng cho cơ học, vật lý và thiên văn học. Bài báo “Từ số 0 đến Decallion” kể về việc ông nảy ra ý tưởng viết những con số rất lớn như thế nào. Tất nhiên, không có một bức chân dung nào đáng tin cậy về Archimedes. Đây là cách họa sĩ người Altayan Domeniko Fetti (khoảng 1588-1623) tưởng tượng ra nó.

Trang cờ vua.
Bicu.

2

Năm ngoái, độc giả của chúng ta đã được làm quen với các bài viết của nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng, chuyên về vật lý chất rắn, Giáo sư M.I. Casanova, được gọi là “Nhiều hay ít? Lý luận của nhà vật lý lý thuyết về các con số” (xem «Kvant» số 1, 1988). Hôm nay chúng tôi cung cấp cho độc giả một bài viết của M. I. Casanova, theo một nghĩa nào đó, có thể được coi là phần tiếp theo của bài trước và có thể được gọi là “Những phản ánh của một nhà vật lý lý thuyết về ý nghĩa của các con số trong vật lý”. Giống như bài đầu tiên, bài viết này được viết bằng hệ thống edincc SGSE (centimet - gram - giây và E - từ “điện”). Các nhà vật lý chuyên nghiệp thường sử dụng nó (và không phải SN quen thuộc với học sinh). Trong hệ thống này, một số công thức trông không giống hệt như trong CH được trích dẫn cho độc giả của chúng tôi.

NHÌN VÀO NHIỆT KẾ…

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
M. I. KAGANOV

Một buổi sáng, tôi cảm thấy tứ phân lạnh hơn bình thường. Nhìn vào nhiệt kế, tôi thấy: trên thực tế, thay vì 20°C như thường lệ, nó là 19°C. Sau khi phàn nàn về sự bất ổn của các dịch vụ công, anh ấy đã sẵn sàng và đi làm. Trên tàu điện ngầm, tâm trí tôi quay sang việc đọc nhiệt kế, và nảy sinh một lỗi là có gì đó không ổn ở đây…

Nhiệt độ là thước đo chuyển động nhiệt của các phân tử. Năng lượng trung bình của chuyển động nhiệt của các phân tử (giả sử, một chất khí trong không khí lấp đầy một căn phòng) bằng $\frac{3}{2} kT$, trong đó $k \approx 1,4 \times 10^{-16}$ erg/deg là hằng số Boltzmann, và tuy nhiên, nhiệt độ phải thay đổi không phải theo độ C mà ở thang đo tuyệt đối - thang Kelvin, chênh lệch so với thang đo C là $-273,16^\circ$. Nói cách khác, nhiệt độ trong phần tư của tôi là khoảng 300 K. Và tôi cảm thấy nhiệt độ thay đổi $\Delta T$ theo thứ tự $\frac{1}{300} T$, tức là tôi đã nhầm rằng năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử thay đổi 0,3%! Hơn nữa, không cần bất kỳ dụng cụ phức tạp nào, sử dụng một nhiệt kế thực đơn giản, tôi đã kiểm tra lỗi của mình - tôi đã đo được sự thay đổi 0,3% năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử… Tôi thậm chí còn có một suy nghĩ đáng tự hào về sự tiến hóa, tạo ra sự va chạm của các cơ chế cảm giác về lỗi nhiệt độ. Người ta biết rằng nhiệt độ là một thông số quan trọng đối với các sinh vật sống: nhiệt độ cơ thể con người thay đổi 1 độ là dấu hiệu của bệnh tật và phạm vi thay đổi nhiệt độ cơ thể cho phép là dưới 10 độ. Đương nhiên, một sinh vật sống cần phải hiểu sai nhiệt độ rất chính xác… Nhưng bằng cách nào?

Chiếc nhiệt kế thực sự đó chính là manh mối cho tôi. Vì vậy, hãy giải quyết nó trước. Làm thế nào để chúng ta có thể thay đổi nhiệt độ thay đổi thêm 1 độ? và bằng nhiệt kế y tế - 0,1 độ? Đồng hồ đo đóng vai trò thay đổi thể tích chất lỏng (để xác định - thủy ngân). Khi nhiệt độ tăng hoặc giảm, thể tích $V$ của nó thay đổi thành $\Delta V$ và

$$\frac{\Delta V}{V} = \alpha \cdot \Delta T.$$

Hệ số $\alpha$ được gọi là hệ số giãn nở nhiệt. Theo thứ tự độ lớn thì nó là $10^{-3} - 10^{-4} K^{-1}$. Bạn chỉ có thể “nhìn thấy” $\Delta V/V \sim 10^{-4}$ với sự trợ giúp của một kỹ thuật đơn giản - “đẩy” thủy ngân vào một mao quản mỏng. Khi đó $\Delta V = s \cdot \Delta l$, trong đó $s$ là diện tích giây của mao quản và $\Delta l = \frac{V}{s} \alpha \cdot \Delta T$ là sự thay đổi độ cao của cột thủy ngân. Bằng cách làm cho $s$ đủ nhỏ, bạn có thể đạt được độ phân giải cần thiết. Các mao mạch đóng vai trò như một bộ khuếch đại. Nếu $V \sim 1$ cm$^3$, thì để đạt được $\Delta l \sim 1$ mm=0,1 cm tại $\alpha \cdot \Delta T \sim 10^{-4}$, bạn phải có một mao quản phẳng

3

phần $s=10^{-3}$ cm$^2$. Một thành công rất đơn giản!

Sau khi xử lý nhiệt kế, hãy chuyển sang một sinh vật sống. Điều gì khiến anh ấy thành công? Vai trò quyết định của nhiệt độ đối với thời gian tồn tại của các quá trình quan trọng là do tốc độ $W$ của hầu hết các phản ứng hóa học (nếu không có tốc độ này thì không thể tồn tại) phụ thuộc rất mạnh vào nhiệt độ - theo định luật hàm mũ:

$$W \sim e^{-U/kT}.$$

Giá trị $U$, được gọi là năng lượng kích hoạt, khác nhau đối với mỗi phản ứng, nhưng theo quy luật, $U$ vượt quá đáng kể $kT$. Không đi sâu và không nhìn vào sách tham khảo, tôi lý luận như thế này. Phản ứng hóa học luôn là sự sắp xếp lại các trạng thái điện tử. Ví dụ, sự kết hợp giữa các nguyên tử Na và Cl thành phân tử NaCl xảy ra như sau: nguyên tử Na tách một electron khỏi nguyên tử Cl. Các ion Na$^+$ và Cl$^-$ hút nhau và tạo ra phân tử NaCl, nhưng các electron trong phân tử NaCl được phân bố xung quanh hạt nhân khác với phân tử Na và Cl. Để thay đổi năng lượng của các electron trong nguyên tử, một thang năng lượng đặc biệt đã được tạo ra - electron-volt và 1 eV = 1,6·10$^{-12}$ erg. Vì vậy, giá trị đặc trưng của năng lượng kích hoạt $U$ là khoảng 1 eV.

Sự thay đổi tương đối về tốc độ phản ứng hóa học $\Delta W/W$ khi nhiệt độ $T$ thay đổi theo giá trị $\Delta T$ là$^*$):

$$\frac{\Delta W}{W} \approx \frac{U}{kT} \frac{\Delta T}{T}.$$

Ở $\Delta T/T \approx 1/300$ sự thay đổi tương đối về tốc độ của phản ứng hóa học là $\Delta W/W \approx 1/10$, tức là khá đáng chú ý.

*) $W(T+\Delta T)$ tỷ lệ thuận

$$e^{-\frac{U}{k(T+\Delta T)}} = e^{-\frac{U}{kT(1+\Delta T/T)}} \approx e^{-\frac{U}{kT}} \left(1-\frac{\Delta T}{T}\right),$$

tư thế

$$W(T+\Delta T) = W(T) \cdot e^{\frac{U}{kT} \Delta T/T} \approx W(T) \left(1+\frac{U}{kT} \frac{\Delta T}{T}\right),$$

nếu $U \cdot \Delta T/kT^2 \ll 1$. Bằng cách viết ra các đẳng thức gần đúng, tôi cho rằng giáo viên có khả năng xử lý các số lượng nhỏ.

1*

4

1 độ trong phòng cách nhiệt tốt có kích thước 4 m×5 m×5 m = 100 m³. Việc tính toán gần đúng rất đơn giản. năng lượng khí

$$E = \frac{3}{2} NkT,$$

trong đó $N$ là số lượng hạt khí và độ biến thiên năng lượng là

$$\Delta E = \frac{3}{2} Nk \cdot \Delta T.$$

Số lượng hạt khí trong phòng được xác định bởi một số yếu tố. Mỗi mol khí ở điều kiện thường chiếm thể tích $V_0 = 22,4$ l = 22,4×10⁻³ m³; điều này có nghĩa là căn phòng chứa 100/(22,4·10⁻³)≈5×10³ nốt ruồi. Và số lượng phân tử trong mỗi mol (số Avogadro) là $N_A \approx 6 \cdot 10^{23}$ mol⁻¹. Điều này có nghĩa là có $N \approx 3 \cdot 10^{27}$ phân tử trong phòng và $\Delta E \approx 6 \times 10^{11}$ erg. Bây giờ hãy tính khối lượng cần thiết bằng công thức $\Delta E = Mgh:M \approx 6 \times 10^6$ g hoặc 6 tấn(!). Đáp số khiến tôi phải kiểm tra lại phép tính. Tin vào sự đúng đắn của đáp số, tôi nhớ đến lời giải thích không ảnh hưởng đến ý thức về việc nhận biết việc chăm sóc cơ thể từ màn hình tivi, và tuyên bố gần đây được nghe trong bộ phim khoa học nổi tiếng “Sự sống trên Trái đất” rằng động vật máu nóng dành phần lớn thức ăn chúng tiêu thụ để duy trì nhiệt độ ổn định trong cơ thể. Sự ấm áp là một sự tiện lợi đắt tiền!

Ghi chú

Những gì bạn đã đọc đến thời điểm này có thể coi là dòng ý thức sau đây khi viết: Tôi đã nghĩ, tôi hình dung, hầu như mọi tính toán đều do Vume thực hiện. Sau khi viết đi đọc lại, tôi nghĩ: đối với tôi, có vẻ như học sinh thường sợ hãi vật lý bởi cảm giác rằng nó (vật lý) là một tập hợp nhiều sự kiện, đại lượng và sự tương ứng khác nhau, thoạt nhìn, không liên quan đến nhau. Và tôi đã “đổ” thêm một ít vào chúng. Và theo tôi, tôi muốn mang đến cho người đọc một ý tưởng quan trọng khác.

Vật lý hiện đại đã thâm nhập sâu vào bản chất của sự vật đến mức nó có thể ước tính, và trong nhiều trường hợp tính toán chính xác, về cơ bản là vô số các thông số, hằng số khác nhau của mọi thứ được đưa vào khoa học ở các giai đoạn phát triển khác nhau của nó (thường ở dạng số lượng được thêm vào từ kinh nghiệm). Trong trường hợp này, để tính toán là đủ

5

chỉ sử dụng một vài giá trị của đại lượng vật lý, mang danh cao cấp là các hằng số thế giới. Đây là đơn vị điện tích $e \approx 1,6 \cdot 10^{-10}$. điện tích của SGSE, khối lượng của electron và proton $m_e \approx 10^{-27}$ g và $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-24}$ g, hằng số Planck $h \approx 6,6 \times 10^{-27}$ erg·s (các nhà vật lý, theo quy luật, gọi hằng số Planck là các giá trị ​​$\hbar = h/2\pi \approx 10^{-27}$ erg·s), tốc độ ánh sáng $c \approx 3 \cdot 10^{10}$ cm/s. Hãy nghĩ mà xem: tất cả các đại lượng có thể đo được trong khi thực hiện vật lý vĩ mô*), về nguyên tắc, có thể được biểu thị dưới dạng năm hằng số thế giới! Những phép tính như vậy thậm chí còn nhận được một cái tên đặc biệt - tính toán từ những nguyên tắc đầu tiên. Tất nhiên, lý thuyết không phải lúc nào cũng nằm trong cột, và lý thuyết không phải lúc nào cũng nằm trong cột.

*) Sự hạn chế bởi vật lý macrosopper không phải là ngẫu nhiên. Ví dụ, chúng ta vẫn chưa biết cách tính khối lượng của các hạt elematrine - nhiều phương pháp khác nhau, hadron, v.v. (xem cuốn sách của L.V. Okun “αβγ…Z”, do nhà xuất bản “Nauka” xuất bản năm 1985 trong bộ truyện “Viblotechka «Kvant»”).

6

Nó đã được phát triển chi tiết rằng việc tính toán như vậy có thể được hoàn thành với độ chính xác cần thiết (chúng tôi nói là “về nguyên tắc”). Nhưng hoàn toàn rõ ràng rằng việc tính toán là có thể thực hiện được và không có lý do gì để mong đợi rằng chúng ta đang phải đối mặt với một vấn đề về cơ bản là không thể giải quyết được.

Tất cả các đại lượng vật lý được đề cập trong ghi chú này, các giá trị mà tác giả sao chép hoặc lấy từ sách tham khảo, có thể thu được bằng cách tính toán từ các nguyên tắc đầu tiên. Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra điều này bằng ví dụ về hai đại lượng: năng lượng kích hoạt $U$ và hệ số giãn nở nhiệt $a$. Đồng thời, chúng ta sẽ không đi đến những điều cơ bản, vì kích thước của nguyên tử $a$ phụ thuộc có thể được biểu thị thông qua các hằng số thế giới được liệt kê ở trên. Ví dụ: kích thước của nguyên tử hydro là $-a_H = \hbar^2/m_e e^2$. Bạn có thể đọc về điều này trong bất kỳ cuốn sách phổ biến nào mô tả cơ học lượng tử.

Hãy bắt đầu với năng lượng kích hoạt $U$. Vì chúng tôi không có ý định xây dựng lý thuyết về tốc độ phản ứng hóa học mà chỉ muốn chứng minh mức độ mà chúng tôi quan tâm được biểu thị như thế nào thông qua các hằng số thế giới, nên chúng tôi sẽ hạn chế tính năng lượng cảm ứng của một nguyên tử hydro $U_{нон}$, tức là chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi phải tiêu tốn bao nhiêu năng lượng để xé một electron ra khỏi một proton.

Năng lượng electron trong nguyên tử hydro -

$$E = m_e v^2 / 2 - e^2 / a,$$

Nhưng

$$m_e v^2 / a = e^2 / a^2,$$

và do đó

$$E = -e^2 / 2a$$

(Tôi hy vọng những sự bình đẳng này là rõ ràng?). Thay giá trị $a = a_H$, ta được:

$$U_{нон} = \frac{m_e e^4}{2\hbar^2} \approx 13,6 \text{ эВ.}$$

Theo quy luật, năng lượng phải tiêu tốn để sắp xếp lại các trạng thái điện tử nhỏ hơn $U_{нон}$. Do đó, khi đánh giá sự thay đổi tương đối về tốc độ phản ứng hóa học $U \sim 1$ eV.

Việc tính hệ số giãn nở nhiệt khó khăn hơn. Nó đòi hỏi kiến ​​thức về cấu trúc của cơ thể đang trải qua quá trình giãn nở. Chúng ta sẽ phải giới hạn mình ở cách tiếp cận đơn giản nhất, có tính đến điều chính - sự giãn nở ấm là kết quả của sự phụ thuộc của khoảng cách cân bằng trung bình giữa các hạt vào nhiệt độ.

Vì vậy, hai hạt trong một vật thể nằm cách nhau một khoảng $d + x(t)$ và $d$ là khoảng cách giữa chúng khi các hạt này đứng yên (ở nhiệt độ không tuyệt đối) và $x(t)$ là độ lệch tức thời (tại thời điểm $t$) của hạt so với vị trí cân bằng. Lực $F$ tác dụng lên hạt giống như lực đàn hồi tác dụng lên một vật nặng gắn vào một vòng tròn - nó tỉ lệ với độ lệch của hạt so với vị trí cân bằng: $F = -\chi \cdot x(t)$. Nhưng lực trung bình $F$ (trong một khoảng thời gian đủ lớn) phải bằng 0 $^*$). Và điều này có nghĩa là $x(t) = 0$, tức là khoảng cách trung bình giữa các hạt là $d$ và không phụ thuộc vào số lượng nguyên tử và do đó, phụ thuộc vào nhiệt độ. Kết quả này trong thuật ngữ khoa học nghe có vẻ như thế này: sự gần đúng điều hòa không thể mô tả sự giãn nở ấm áp của các vật thể.

Chúng tôi đã đưa cấu trúc này đi phê duyệt về mặt khoa học để từ “xấp xỉ” xuất hiện. Thực tế là biểu thức lực mà chúng ta sử dụng chỉ là gần đúng. Chúng ta hãy cố gắng làm rõ nó - tính đến các thuật ngữ phi tuyến tính khi trộn $x(t)$:

$$F = -\chi \cdot x(t) + \beta \cdot x^2(t) + \dots$$

Lý thuyết dựa trên công thức này hoặc các công thức tương tự được gọi là anharmonic, và hệ số $\beta$ được gọi là hệ số anharmonic. Từ công thức này suy ra $\bar{x} = \frac{\beta}{\chi} \bar{x}^2$, tức là

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{(d + \bar{x})^3 - d^3}{d^3} \approx \frac{3\bar{x}}{d} = \frac{3\beta}{d\chi} \bar{x}^2$$

*) Nếu lực trung bình $F$ khác 0, thì các hạt của vật thể sẽ phải trộn lẫn ở đâu đó dưới tác động của nó.

7

(hệ số 3 xuất hiện do vật thể có thể giãn nở theo các hướng đó). Trong công thức này, $V$ là thể tích của vật ở $T=0$ K. Vì vậy, để hoàn thành phép tính, chúng ta phải tính được các đại lượng $\beta$, $x$ và $x^2(t)$. Hãy bắt đầu với cái cuối cùng. Vì số hạng anharmonic $\beta x^2$ là một hiệu chỉnh nhỏ (nó phải được đưa vào biểu thức của lực chỉ vì nếu không có nó đáp số hóa ra bằng 0), chúng ta có thể giả sử rằng thế năng của chuyển động là $x \cdot x^2(t)/2$, và tổng năng lượng bằng

$$E = \frac{M(x')^2}{2} + \frac{xx^2}{2}.$$

Nhưng trung bình, động năng $(M(x')^2/2)$ và thế năng $(xx^2/2)$ bằng nhau. Đó là lý do tại sao

$$\bar{x}^2 = \frac{1}{\alpha} \bar{E}.$$

Và năng lượng trung bình của chuyển động cộng tác là $kT^*$). Vì thế,

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3\beta}{dx^2} kT.$$

Tất cả những gì còn lại là học cách tính tập hợp $3\beta/x^2$. Tất nhiên, đây là phần khó nhất của bài toán. Nhưng chúng tôi sẽ đơn giản hóa nó một cách cực kỳ (mặc dù ngay cả với phương pháp trình bày này, bạn sẽ phải tin tác giả ở một điểm nào đó).

Chúng ta hãy giải quyết các pon có điện tích là $+e$ và $-e$ và khoảng cách giữa chúng là $r$. Giữa các cầu có một lực hút điện bằng $e^2/r^2$. Nhưng lực này không thể là lực duy nhất - dưới tác dụng của lực như vậy, các ion sẽ rơi vào nhau. Khi chúng đến quá gần nhau, chúng vang vọng và định luật về tiếng vang có thể được làm rõ bằng phương trình cơ học lượng tử.

Và ở đây chúng ta đến chỗ mà người đọc sẽ phải tin tưởng vào tác giả về năng lượng $^3/2kT$ đối với một hạt trong chất khí: hạt đó là tự do, tức là thế năng của nó bằng 0, do đó, đối với mỗi bậc tự do thì có “tính đến” $^4/2kT$ chứ không phải $kT$. Có ba bậc tự do. Nhưng chúng ta đã tính đến ba bậc tự do.

$$F = \frac{e^2}{r^2} - \frac{A}{r^{10}}.$$

Tại $r=d$ lực phải bằng không. Do đó $A=d^8e^2$, và cuối cùng

$$F = \frac{e^2}{r^2} - \frac{e^2d^8}{r^{10}}.$$

Thay thế $r=d+x$ ở đây, chúng tôi mở rộng $F$ theo lũy thừa của $x$, giới hạn bản thân trong hai số hạng đầu tiên. Hệ số tại $x$ cho chúng ta giá trị $x$ và tại $x^2$ giá trị $\beta$. Hãy tự mình thực hiện những tính toán này và bạn sẽ bị thuyết phục rằng

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3 \cdot 52}{64} \frac{kdT}{e^2},$$

tức là $\alpha = \frac{3 \cdot 52}{64} \frac{kd}{e^2}$.

Khoảng cách giữa các nguyên tử $d$ xấp xỉ bằng kích thước của nguyên tử—a $d \approx a \approx 3 \cdot 10^{-8}$ cm = 3 Å—và thay thế các giá trị $k$, $e$ và $d$, ta được

$$\alpha \approx 5 \cdot 10^{-5} \text{ град}^{-1}.$$

Sau khi giảm bớt, bạn sẽ tin chắc rằng đánh giá mà chúng tôi nhận được (theo cách xem xét đơn giản hóa) không tệ chút nào.

Thôi, làm ơn chỉ vậy thôi. Chúng tôi chỉ lưu ý rằng chúng tôi có thể đoán được bậc độ lớn của hệ số giãn nở nhiệt $a$. Hãy xem công thức cuối cùng cho $\Delta V/V$. Nó cho thấy tỷ lệ không thứ nguyên $\Delta V/V$ xấp xỉ bằng tỷ lệ năng lượng nhiệt (trên mỗi hạt) $kT$ với năng lượng liên kết giữa các hạt (ở đây $\sim e^2/d$). Do đó kết luận: các phân tử trong cơ thể càng liên kết chặt chẽ thì hệ số giãn nở nhiệt của chúng càng thấp. Mẫu này có thể dễ hiểu từ bảng, biểu thị nhiệt độ nóng chảy của chất rắn hoặc nhiệt độ sôi của chất lỏng có giá trị $a$. Nhưng tất nhiên, tuyên bố như vậy không phải là quy luật tự nhiên. Có thể có những ngoại lệ cho điều này…

8

CHUYỂN ĐỘNG ĐỊNH KỲ
BÓNG BILLI

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
G. A. GALYPERIN,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. M. STEPIN

Người đọc có vẻ đã rất quen thuộc với trò chơi bida. Trò chơi này có quê hương là Trung Quốc, có lịch sử hàng thế kỷ. Tin tức đầu tiên về sự xuất hiện của bida ở châu Âu có từ thế kỷ 16. Có bằng chứng cho thấy vua Pháp Charles IX đang chơi bi-a vào Đêm Thánh Bartholomew vào ngày 24 tháng 8 năm 1572, khi tiếng chuông truyền thống vang lên từ Nhà thờ Saint-Germain d’Axelery ở Paris, công nhận những người Công giáo đã tiêu diệt người Huguenot. Khoảng 5 năm sau, W. Shaksir trong vở bi kịch “Antony và Cleopatra” buộc phải
Phần giới thiệu bài viết sử dụng hình của A. Oberlander.

Hãy để nữ hoàng Ai Cập Cleopatra chơi bi-a với cận thần của bà. Năm 1760, vua George II của Anh ban hành sắc lệnh cấm chơi bida ở nơi công cộng với hình phạt phạt 10 foot. Bi-a đã được biết đến ở Nga từ thời Peter I.

Giống như trò chơi xúc xắc mang lại “phép tính xác suất”, trò chơi bi-a đóng vai trò là nguồn nghiên cứu khoa học nghiêm túc về cơ học và toán học.

Trong nghiên cứu toán học, bida thật được thay thế bằng mô hình gọi là “bi-a toán học” - hình 1. Nếu ranh giới của bàn bida có điểm góc thì chỉ

10

Hình 4. Quỹ đạo bida ba mắt trong tam giác nhọn là tam giác nội tiếp có chu vi nhỏ nhất.

Hình 5. Phương pháp làm thẳng. Quỹ đạo “làm thẳng” cắt các cạnh của góc không quá $\pi/\alpha$ lần, trong đó $\Gamma$ biểu thị số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$.

thori. Lý do này “đạt” với bất kỳ số lượng liên kết nào; $n$-gon có chu vi nhỏ nhất trong số những cái được ghi ở $Q$ $n$-gons là một quỹ đạo bi-a định kỳ.

Bài tập 1. Chứng minh rằng trong các $n$-giác nội tiếp đường tròn thì chu vi nhỏ nhất bằng nhau.

Giảm thiểu chu vi

Nếu ranh giới của bàn bi-a có điểm ngắt, thì phương pháp của Birkhoff vượt qua “công việc” - các đỉnh của đa giác nội tiếp có chu vi nhỏ nhất có thể rơi vào các điểm góc của ranh giới. Ví dụ, trong số các hình tam giác nội tiếp trong một tam giác $ABC$, bản thân $\triangle ABC$ có chu vi nhỏ nhất. Làm thế nào để tìm quỹ đạo bida định kỳ trong một hình tam giác?

Đối với một tam giác nhọn, giải pháp là thay chu vi lớn nhất bằng chu vi nhỏ nhất. Chúng ta hãy nội tiếp tam giác này $ABC$ tam giác $XYZ$ có chu vi nhỏ nhất với các đỉnh ở hai cạnh $AB, BC$ và $CA$ (hình 4). Chúng ta khẳng định rằng $XYZX$ là quỹ đạo bi-a. Tuy nhiên, từ bằng chứng của thực tế này, bạn có thể đọc phần bên dưới trong phần “Giải thích cơ học”, và phần khác là chủ đề của phần đầu tiên trong số phần sau bài toán.

Bài tập 2. Sử dụng suy luận kèm theo hình 3, chứng minh rằng $\angle AYZ = \angle CYX$.

3. Chứng minh rằng tam giác có các đỉnh là đáy các đường cao của tam giác $ABC$ đã cho là một quỹ đạo bi-a trong $\triangle ABC$.

Nhiệm vụ 3 cho thấy cách xây dựng quỹ đạo bida ba mắt trong một tam giác nhọn. Quỹ đạo duy nhất như vậy sẽ được chứng minh dưới đây.

Ý tưởng xem xét một tam giác nội tiếp có chu vi nhỏ nhất cũng có thể áp dụng cho các hình được giới hạn bởi một số đường cong trơn. Thật không may, phương pháp này không hiệu quả đối với các tam giác tù - đối với chúng, tam giác nội tiếp có chu vi nhỏ nhất suy biến theo chiều cao hạ xuống so với đỉnh của góc tù. Hơn nữa, bàn bida trong một tam giác tù không có quỹ đạo tuần hoàn ba khâu (hãy thử chứng minh điều này). Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là ý tưởng giảm thiểu chu vi là vô ích trong việc xây dựng quỹ đạo bi-a định kỳ trong các hình tam giác tù; nó chỉ cần được kết hợp với phương pháp làm thẳng, được trình bày trong phần tiếp theo.

Và một lưu ý chung nữa. Cho đến nay, chúng ta đang tìm kiếm quỹ đạo bi-a giữa các đa giác nội tiếp có số độ dài tối thiểu lớn nhất. Điều này phản ánh những điều sau đây

12

Hình 8. Một loạt các quỹ đạo song song. Một quỹ đạo được thiết kế gọn gàng XYZ là một quỹ đạo bi-a tuần hoàn. Đối với điểm đóng $X_1$, thu được quỹ đạo XYZ song song $X_1Y_1Z_1X_2Y_2Z_2X_1$.

Tọa độ đầu tiên gắn với đa giác $Q$ tương ứng với lớp phủ của một hành lang (rất hữu ích để biểu thị đa giác) trên hình ban đầu $Q$; trong trường hợp này, trục $Oy$ đi vào quỹ đạo bi-a đang xét trong $Q$.

Trên hình 6 có bằng chứng cho thấy quỹ đạo tuần hoàn gồm ba vân trong quỹ đạo góc nhọn ABC là duy nhất.

Nhiệm vụ 4. a) Xây dựng một quỹ đạo tuần hoàn trong một bàn bida vuông có số mắt xích lớn hơn bất kỳ hướng đơn nào.

6. Giải bài toán tương tự cho bi-a theo quỹ đạo đều. (Gợi ý - hình 7.)

Theo định lý Birkhoff, trong một hình lồi có hình chính tồn tại các quỹ đạo tuần hoàn với số lượng liên kết bất kỳ. Nhưng đối với traekolnik, tình huống này có ý nghĩa hiện đại: không có quỹ đạo định kỳ hai liên kết nào trong traekolnik, và quỹ đạo bốn liên kết chỉ tồn tại trong các quỹ đạo được điều chỉnh bằng nhau. Hơn nữa, với bất kỳ số tự nhiên $n$ nào, người ta có thể xây dựng một quỹ đạo trong đó mỗi quỹ đạo tuần hoàn có nhiều hơn $n$ liên kết. Để làm được điều này, trong traekolnik $ABC$ chỉ cần lấy các góc $\alpha$ và $\beta$ ở đáy $AC$ là rất nhỏ và không tương xứng với $\pi$ (tức là $k\alpha+l\beta \neq m\pi$ đối với mọi số nguyên $k, l, m$). Đối với một quỹ đạo tuần hoàn trong một quỹ đạo như vậy, cần phải tìm giá trị từ bên này sang bên kia (chúng tôi để lại chứng minh thực tế này bằng cách sử dụng bất đẳng thức $k\alpha+l\beta \neq m\pi$ cho độc giả hiện tại). Do các góc nhỏ nên liên kết này gần như song song với đáy $AC$ và do đó số phản xạ của quỹ đạo tuần hoàn của chúng ta từ phía $\triangle ABC$ lớn hơn số nhỏ nhất $\left[\frac{\pi}{\alpha}\right], \left[\frac{\pi}{\beta}\right]$. Và những con số này, với mức đủ nhỏ $\alpha$ và $\beta$, sẽ lớn hơn bất kỳ hướng nào được đưa ra $n$.

Nếu các đỉnh của quỹ đạo thẳng hàng thì trong hình thu được (theo định lý Birkhoff) có một quỹ đạo tuần hoàn “liên kết thấp”. Tuy nhiên, khi độ mịn giảm đi, quỹ đạo này sẽ có xu hướng trở thành một đường đứt đoạn, đi qua đỉnh của quỹ đạo, tức là trong giới hạn hoán vị, quỹ đạo tuần hoàn.

Giải thích cơ học

Chúng ta hãy đặt một chiếc vòng nhỏ ở mỗi bên của traekolnik góc nhọn $ABC$ và luồn một sợi dây cao su đã căng $XYZX$ qua chúng (xem hình 4). Dây cao su có xu hướng bị tuột ra nên các vòng sẽ chiếm vị trí tại các đỉnh của chu vi nhỏ nhất của traekolnik $XYZ$ ghi trong $ABC$. Chúng ta hãy nhìn vào chiếc nhẫn ở phía $AB$. Vì nó không chuyển động dọc theo cạnh của traekolnik nên các lực căng cân bằng $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ vuông góc với cạnh này. Ngoài ra, các vectơ $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ có cùng độ dài, vì lực căng dọc theo dây thun là không đổi. Do đó, các vectơ $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ tạo thành các góc bổ sung lẫn nhau với đoạn $AB$. Điều này có nghĩa là $XYZX$ là quỹ đạo bi-a. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng quỹ đạo nội tiếp là quỹ đạo tuần hoàn nhỏ nhất trong $\triangle ABC$.

Nhóm quỹ đạo tuần hoàn “song song” được mô tả trong hình 8 có thể liên kết với quỹ đạo $XYZX$. Nếu traekolnik $ABC$ được coi là một tấm phẳng thì mỗi quỹ đạo của chùm tia được xây dựng có thể được hình dung như một sợi dây đàn hồi khép kín quấn vào nhau

13

khâu tấm này và luân phiên di chuyển từ bên này sang bên kia 6 lần.

Nhưng nếu $\triangle ABC$ là góc tù, thì việc xây dựng quỹ đạo tuần hoàn này không cân bằng - sợi dây đàn hồi sẽ nhảy ra khỏi tấm qua đỉnh của góc tù. Vì vậy việc tìm ra quỹ đạo bi-a tuần hoàn trong các tam giác tù không phải là điều dễ dàng chút nào.

Hai thiết kế cho hình tam giác tù

Nếu bạn quấn chỉ trên tấm theo cách như ở hình 9 thì nhựa sẽ không xuất hiện. Việc xem xét cẩn thận hình này gợi ý một ý tưởng về cách xây dựng các quỹ đạo định kỳ phức tạp hơn cho các lớp tam giác tù đặc biệt. Những công trình này được mô tả trong Hình 10 và 11.

Quỹ đạo ổn định

Các quỹ đạo tuần hoàn mới được xây dựng có một nhược điểm đáng kể - cho dù các góc của tam giác thay đổi nhỏ đến đâu, chúng vẫn bị phá hủy (theo nghĩa là không có quỹ đạo tuần hoàn nào trong tam giác bị biến dạng gần quỹ đạo ban đầu). Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng một quỹ đạo tuần hoàn trong một tam giác tù, không có khuyết tật này.

Cho các góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ của một tam giác tù $ABC$ liên hệ với nhau bởi các bất đẳng thức

$$\frac{\pi-\beta}{2} < k\alpha < \frac{\pi}{2} \leqslant (k+1)\alpha,$$

$$\frac{\pi-\alpha}{2} < l\beta < \frac{\pi}{2} \leqslant (l+1)\beta,$$

trong đó $k$ và $l$ là một số số tự nhiên. Như trong hình 10, $a$, chúng ta sẽ tạo $k-1$ phản xạ gương của tam giác $ABC$ xung quanh đỉnh $A$ ngược chiều kim đồng hồ và $l-1$ phản xạ xung quanh đỉnh $C$ theo chiều kim đồng hồ - Hình 12, $a$. Các tia cực trị $AN$ và $CN$ tạo thành các góc nhọn $k\alpha$ và $l\beta$ với đáy $AC$. Làm thế nào chúng ta

14

Hình 11. Quỹ đạo tuần hoàn trong một hình tù
tam giác có góc nhọn α và β,
thỏa mãn điều kiện α+kβ=π/2 và 2α+β>π/2 (k là số tự nhiên).

chúng ta biết, trong một tam giác nhọn
ANC có một quỹ đạo tuần hoàn gồm ba đường gân $H_1H_2H_3H_1$ nối các đáy của độ cao của nó. Có thể kiểm tra (chúng tôi để lại điều này cho người đọc) rằng đoạn $H_2H_3$ sẽ đi qua phía dưới đỉnh $B$. Sau đó, khi áp dụng một “accordion” lên tam giác $ABC$ của một hành lang bao gồm $\triangle ABC$ và $k+l-2$ các tam giác phản xạ (như trong phần trước), quỹ đạo của chúng ta sẽ biến thành quỹ đạo định kỳ liên kết $2(k+l)-1$ trong $\triangle ABC$, được mô tả trong hình 12.6. Quỹ đạo này ổn định: trong một tam giác đủ gần $\triangle ABC$, tồn tại một quỹ đạo tuần hoàn gần nó. Đây là hệ quả của sự ổn định của quỹ đạo tuần hoàn ba đường gân trong một tam giác nhọn.

Bài 5. Chứng minh đoạn $H_2H_3$ đi dưới đỉnh $B$ (hình 12, a) khi và chỉ khi $(1-\text{ctg} k\alpha \cdot \text{tg} \alpha)(1-\text{ctg} l\beta \cdot \text{tg} \beta)>1-\text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta$.

Trong trường hợp đơn giản nhất, khi $k=l=2$, quỹ đạo có 7 liên kết.

Bài toán 6. Chứng minh rằng trong một tam giác tù không có quỹ đạo tuần hoàn ổn định nào có ít hơn 7 mắt xích.

Kết quả

Hãy tóm tắt một số kết quả nghiên cứu quỹ đạo tuần hoàn trong bida tam giác.

Hoàn toàn giống hình tam giác

15

số, có những quỹ đạo tuần hoàn. Như nhà toán học người Mỹ G. Mazur gần đây đã chứng minh, mối liên hệ của các quỹ đạo tuần hoàn trong những tam giác như vậy thậm chí có thể tạo thành một góc, dù nhỏ đến đâu, với bất kỳ đường thẳng có hướng nào.

Ngoài ra, trong một tam giác vuông tùy ý có các quỹ đạo định kỳ với số lượng liên kết lớn một cách góc cạnh. Điều này chưa được biết đối với các tam giác có góc nhọn, mặc dù người ta đã chứng minh rằng với mọi số có hướng $N$ đều tồn tại một tam giác nhọn trong đó có các quỹ đạo tuần hoàn có nhiều hơn $N$ liên kết.

Để kết luận, chúng tôi nhắc lại rằng các quỹ đạo tuần hoàn trong bida tam giác luôn tồn tại dưới dạng hình tam giác. Nguyên nhân dẫn đến sự phá hủy hoặc tách rời quỹ đạo tuần hoàn trong quá trình biến dạng của tam giác là do việc đi qua điểm góc của đường biên. Sự cản trở này giải thích tính chất phức tạp của hình màu vàng ở hình 13.6.

Mời độc giả đã nghiên cứu lý thuyết toán học bida hãy suy nghĩ về bài toán M1155 (xem trang 27), cũng như tìm một số tam giác điển hình khác có quỹ đạo tuần hoàn ổn định. Về vấn đề này, chúng tôi cung cấp cho bạn điều này bài toán:

Bài toán 7. Xây dựng quỹ đạo tuần hoàn gồm 15 mắt xích trong một tam giác chữ có các góc $\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn điều kiện:

$$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{1000} < \alpha < \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3} < \beta < 3\alpha.$$

Ngoài ra, chúng tôi khuyên bạn nên đọc § 9.4 trong cuốn sách “Hình học” của M. Berger và cuốn sách được xuất bản trong bộ “Thư viện «Kvant»” của G. A. Galperin và A. N. Zemlykov “Bida toán học”, cũng như các bài báo sau được xuất bản vào các thời điểm khác nhau trên «Kvant»: 1. A. Zemlykov. Toán học bida (1976, số 5); 2. A. Zemlyakov. Số học và hình học va chạm (1978, số 4); 3. A. Zemlyakov. Bi-a và bề mặt (1979, số 9); 4. G. Galperin. Bi-a (1981, số 4).

Hình 13. Tập hợp các hình tam giác xây dựng các quỹ đạo tuần hoàn. Tam giác nhọn được biểu thị bằng vùng màu xanh lam $\alpha + \beta > \pi/2$, hình tam giác hình chữ nhật được biểu thị bằng đường chéo màu đỏ $\alpha + \beta = \pi/2$. Hình tam giác từ phần “hai thiết kế”: a) - tiếng bíp màu xanh lá cây; b) - đoạn màu đỏ. Các hình tam giác từ phần “quỹ đạo ổn định” - vùng màu vàng trên hình b).

17

ký hiệu là số 10.000, gọi là Mirda. Mirda được biểu hiện. Người Hy Lạp có thể tiết lộ vô số và thậm chí là vô số vô số (tức là số $10^{12}$), nhưng họ không thể viết ra con số này. Tuy nhiên, người Hy Lạp không phải đối mặt với số lượng lớn như vậy. Tuy nhiên, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của Hy Lạp, Archimedes, vẫn tự hỏi nên gọi những số rất lớn là gì?

Trong bài luận “Tính toán các hạt cát” (“Psammit”), ông đặt cho mình mục tiêu chứng tỏ rằng có “những con số lớn hơn số hạt cát có thể kết hợp lại… trong một không gian bằng thể tích… của cả thế giới.” Ý nghĩa của tuyên bố này là nếu chúng ta tính đến việc Archimedes, liên quan đến cấu trúc của thế giới, tuân thủ quan điểm của nhà thiên văn học xuất sắc người Hy Lạp cùng thời với ông, Archistarchus của Samos. Theo Archstarchus, thế giới là một hình cầu, ở trung tâm là Mặt trời (!), và ranh giới của nó là “quả cầu của các ngôi sao cố định”. Trái đất quay quanh Mặt trời theo một quỹ đạo tròn, đường kính của nó liên quan đến đường kính của Trái đất giống như đường kính hình cầu của các ngôi sao cố định có liên quan đến đường kính quỹ đạo của Trái đất. Bắt đầu từ những giả thuyết của các nhà thiên văn học đương đại (theo quan điểm ngày nay,

Thiên Bình có vẻ ngây thơ), Archimedes tin rằng đường kính của quả cầu của các ngôi sao cố định không vượt quá một trăm vô số vô số giai đoạn (xấp xỉ một năm rưỡi ánh sáng). Archimedes đếm rất ít hạt cát: một hạt anh túc, theo giả định của ông, chứa vô số hạt cát.

Archimedes đã gọi số rất lớn là gì? Ông gọi đơn vị thông thường là “đơn vị của số thứ nhất” và vô số đơn vị như vậy, tức là số 10.000.000, “đơn vị của số thứ hai”. Ông gọi vô số vô số số thứ hai là “đơn vị của số thứ ba”, và do đó ông đếm đến vô số vô số “vần số”. Đây là một con số khổng lồ. Chỉ cần nói rằng chúng ta sẽ viết nó dưới dạng số đơn vị theo sau là 800.000.000 số không! Nhưng nhà khoa học vĩ đại cũng không dừng lại ở đây. Ông tuyên bố tất cả các số mà ông đặt tên là “các số của thời kỳ thứ nhất”, và vô số trong vô số vô số các số - một “đơn vị của thời kỳ thứ hai”. Vì vậy, anh ta phải có thời kỳ Myridomirid. Tất nhiên, anh ấy có thể đi xa hơn, gọi số theo số mà anh ấy đặt tên cho đơn vị của kỷ nguyên hoặc thời đại đầu tiên - ngôn ngữ Hy Lạp vang dội đã mang lại cho anh ấy những cơ hội tuyệt vời. Nhưng dù vậy số lượng Archimedes vẫn rất lớn. Rốt cuộc, nó được viết dưới dạng một

18

một số, theo sau là một đuôi số 0 không thể tưởng tượng được - để viết ra có bao nhiêu số 0 trong đó, bạn cần viết số 8 và đặt 16 số 0 sau nó. Nhưng bản thân đây không phải là số Archimedes mà chỉ là số lượng số 0 trong đó!

Những con số này có đủ cho lời giải bài toán do Archimedes đặt ra không? Hóa ra tất cả những gì cần thiết cho việc này là những con số từ giai đoạn đầu tiên. Bây giờ chúng ta biết rằng Vũ trụ lớn hơn rất nhiều so với suy nghĩ của Archimedes và có những hạt (chẳng hạn như neutrino) có kích thước lớn hơn con chuột nhảy nhỏ nhất mà nhà khoa học Hy Lạp cổ đại có thể tưởng tượng. Chưa hết, nếu bạn cố tính xem có bao nhiêu neutrino có thể chứa trong một quả bóng, tâm của nó trùng với tâm Mặt trời và bán kính bằng khoảng cách đến tinh vân xa nhất, thì hóa ra số lượng của chu kỳ đầu tiên cũng là quá đủ ở đây.

Nhưng mặc dù Archimedes đã đặt tên cho những con số khổng lồ nhưng ông vẫn không biết cách gọi tên chúng. Điều ông bỏ lỡ là điều nhỏ nhặt nhất, đến nỗi không thể thay đổi được: Archimedes, một trong những nhà toán học lỗi lạc nhất trong toàn bộ lịch sử loài người, đã không chạm tới tận cùng của… số không! Ngày nay, học sinh được làm quen với số 0 ở lớp một và tất nhiên đều nhận thức được rằng đây là một trong những phát minh quan trọng nhất trong toán học. Chỉ sau khi người ta học cách chỉ ra các chữ số còn thiếu trong cách ghi số, chỉ ra rằng việc đếm không được thực hiện theo đơn vị mà theo hàng triệu hoặc hàng trăm nghìn, họ mới chạm tay vào trật tự mạnh mẽ của tự nhiên - hệ thống số vị trí. Không có số 0, toàn bộ toán học hiện đại sẽ không tồn tại; sẽ không có những thành tựu của trí óc con người như tàu vũ trụ, máy tính điện tử hay năng lượng nguyên tử.

Điều đáng ngạc nhiên nhất là, mặc dù tầm quan trọng của phát hiện này nhưng người phát hiện lại không hề biết tác giả của nó. Trong hơn ba nghìn năm, Babylonia đã sử dụng hệ thống số vị trí mà không sử dụng số 0. Vì điều này, họ không thể nói chắc chắn rằng họ sẽ đọc mục ▼▼▼▼ - đó là số 60 + 24, tức là 84, hay là 60 60 + 24, tức là 3624, hay đó là 60 60 + 24 60, tức là 5040. Và nếu bạn cho rằng họ cũng đã sử dụng hệ lục thập phân phân số thì cùng một mục nhập có thể biểu thị một số phân số, ví dụ 84/60 hoặc 3624/3600.

Tất nhiên, cách viết đa nghĩa như vậy là rất bất tiện, và cuối cùng các nhà khoa học Babylon

20

nia. Họ gọi một triệu là “koti”, một trăm triệu là “vrnda”, và những truyền thuyết về Đức Phật kể rằng ngài đã đặt những cái tên với số lượng thậm chí còn lớn hơn - cho đến số được viết là một theo sau là năm mươi số không.

Nhưng ở châu Âu, sau sự sụp đổ của khoa học cổ đại, các chữ số được đặt tên theo sau một nghìn không được điền vào. Các nhà toán học châu Âu vẫn có thể đọc được số 999.999, nhưng họ không thể đếm xa hơn. Vào năm 1271-1275, thương gia người Venice Marco Polo đã thực hiện một chuyến hành trình chưa từng có vào thời điểm đó. Đi qua bờ biển phía bắc của Biển Đen, anh băng qua sông Volga, thảo nguyên châu Á vô tận và đến Trung Quốc dọc theo Con đường tơ lụa vĩ đại. Ông đã sống ở đây nhiều năm, quan sát những điều mà người châu Âu thời đó chưa hề biết đến: sự bay của tên lửa thuốc súng, in sách, chế tạo đồ sứ.

Khi anh trở lại Venice, những câu chuyện không có hồi kết. Và thường xuyên nhất trong các câu chuyện của Marco Polo, từ “triệu” được lặp lại - một nghìn lớn. Đó là cái mà ông gọi là ngàn ngàn. Những người Venice không tin tưởng đã đến thăm Marco Millione và cho rằng anh ta đang lừa dối họ. Chỉ vài trăm năm sau, khi người Venice trở nên quen thuộc hơn với Trung Quốc, họ mới biết rằng những câu chuyện của Polo là có thật.

Vào thế kỷ 15, nhà toán học người Pháp Nicolas Chuquet đã đặt ra từ “tỷ”, có nghĩa là một triệu triệu. Để viết một tỷ, bạn cần đặt 12 số 0 sau số một. Tiền tố “bi” trong tiếng Latin có nghĩa là “thứ hai” (trong rạp người ta hét “encore” khi muốn lặp lại). Do đó, “tỷ” cũng có thể được đọc như sau: “triệu giây”. Một triệu tỷ được gọi là một nghìn tỷ, và một triệu nghìn tỷ được gọi là một triệu tỷ (từ tiếng Latin quart, có nghĩa là bốn).

Ở Mỹ, Anh và Đức, một hệ thống số được đặt tên khác đã được áp dụng. Theo hệ thống này, một nghìn tỷ được gọi là một tỷ hoặc một tỷ, một nghìn tỷ được gọi là một nghìn tỷ và một nghìn tỷ được gọi là một triệu tỷ. Những hệ thống này cũng được sử dụng ở nước ta. Dưới đây là tên của một số số khổng lồ có số 0 đứng sau một trong hai hệ:

| | Pháp | Liên Xô, Mỹ, Đức, Anh |
| :— | :— | :— |
| Triệu | 6 | 6 |
| tỷ | 12 | 9 |
| nghìn tỷ | 18 | 12 |
| Một triệu triệu | 24 | 15 |
| Ngũ tỷ | 30 | 18 |
| Sextillion | 36 | 21 |
| Bảy tỷ | 42 | 24 |
| bát phân | 48 | 27 |
| Nonakallion | 54 | 30 |
| đề can | 60 | 33 |

Họ không học những thứ này ở trường và chúng không thực sự cần thiết. Chúng ta thường đọc trên báo chí rằng nhà máy này hay nhà máy kia đã sản xuất hàng triệu mét vải hoặc chất khử trùng bằng nước tương tự cho hàng tỷ kilowatt giờ ngũ cốc điện. Hàng nghìn tỷ được tìm thấy trên các tờ báo khi họ viết về ngân sách của các bang lớn nhất. Nhưng cái tên “tỷ tỷ” không xuất hiện trên báo chí - hầu như không có thứ gì trên thế giới được tính bằng triệu tỷ.

Chỉ trong khoa học mới cần số lượng lớn. 16 gam không khí chứa khoảng centin-

21

các hạt vật chất sư tử mà các nhà khoa học gọi là phân tử. Hãy lấy một quả bóng có tâm ở tâm Trái đất và bán kính bằng khoảng cách đến tinh vân xa nhất trên bầu trời (một tia sáng truyền đi khoảng cách này trong hàng chục tỷ năm và nó truyền đi với tốc độ 300.000 km mỗi giây). Nếu bạn lấp đầy quả bóng này bằng những hạt nhỏ nhất mà các nhà vật lý ngày nay đã biết, thì thậm chí khi đó bạn sẽ nhận được một con số không vượt quá một với một trăm số không. Chỉ có một lĩnh vực khoa học vẫn còn số lượng lớn. Đây là khoa học về số lượng các tổ hợp khác nhau - tổ hợp. Ví dụ, người ta đã tính toán rằng số ván cờ khác nhau có thể được biểu thị bằng một theo sau là 120 số 0!

Nhưng những cái tên đáng sợ cho những con số khổng lồ không còn cần thiết vì một lý do nữa. Chúng có thể được biểu thị đơn giản hơn bằng cách sử dụng khái niệm mức độ. Ví dụ: ký hiệu $10^8$ có nghĩa là tích của tất cả mười quãng tám, tức là bằng hàng triệu. Sử dụng mức decallion, bạn có thể viết nó như thế này: $10^{33}$. Và số lượng hạt nhỏ nhất trong quả bóng khổng lồ được đề cập trước đó không nhiều hơn $10^{100}$.

Toán học là một điều kỳ lạ! Ngay khi một nhà toán học bắt tay vào viết một cái gì đó một cách ngắn gọn, anh ta sẽ ngay lập tức sử dụng phương pháp này.

để có được một cái gì đó hoàn toàn không thể tưởng tượng được. Có vẻ như sau khi nhận được hồ sơ có dạng $10^{100}$, người ta có thể bình tĩnh lại. Nhưng không, nhà toán học nghĩ ngay điều gì sẽ xảy ra nếu bạn sử dụng dấu mũ hai lần và viết số sau:

$$10^{100}$$

Mục này có nghĩa là trước tiên bạn cần tăng 10 lên lũy thừa mười. Kết quả sẽ không hơn không kém mà là mười tỷ. Chà, bây giờ chúng ta cần nâng lũy ​​thừa 10 lên 10 tỷ. Để làm điều này, hãy viết 1 và sau đó là mười tỷ số không. Nếu ghi là một số, phân bổ 5 mm cho mỗi chữ số thì bạn sẽ nhận được một cuộn băng giấy dài 50.000 km. Một dải ruy băng như vậy có thể bao quanh toàn bộ địa cầu dọc theo đường xích đạo và sẽ vẫn còn một mảnh để kéo nó đến Bắc Cực. Nhưng nếu chúng ta cố gắng viết ra số Archimedes của thời kỳ vạn vạn, thì chúng ta sẽ thấy một cuộn băng dài hơn 8 triệu lần. Khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời sẽ gấp 2600 lần! Những con số lớn như vậy không bao giờ xảy ra không chỉ trong thực tế mà còn trong các câu hỏi khoa học, mà các nhà toán học còn biết cách chỉ định chúng, thậm chí cả những con số lớn, chẳng hạn như $10^{10100}$.

22

LÀM THẾ NÀO ĐỂ TRÁNH MƯA?
(Một nghiên cứu rất nghiêm túc)
I. F. AKULICH

Giới thiệu
Hãy tưởng tượng rằng bạn đang đi bộ trên đường trong thời tiết nhiều mây, không có ô, áo mưa hay áo choàng… Đột nhiên, bất ngờ, một trận mưa lớn ập đến với bạn và kèm theo gió.
Phải làm gì?
Phần lớn các công cụ (bao gồm cả tác giả) sẽ trả lời theo cách này: chạy ngay lập tức theo ukracy gần nhất và càng nhanh thì càng tốt. Sự thật dường như không thể phủ nhận. Tuy nhiên, cũng có người lại lý luận như sau: “Tất nhiên là phải theo ukracy, nhưng không cần thiết phải chạy càng nhanh càng tốt”.

22

23

Hình 1.

nghĩa là: nếu tôi chạy nhanh, tất nhiên, tôi sẽ thay đổi thời gian tôi ở trong tình trạng kẹt xe, và do đó, sẽ có ít giọt rơi vào tôi từ trên cao hơn. Nhưng chính tôi sẽ dùng thân mình đánh đổ những giọt nước lớn hơn đang ở trước mặt mình. Nếu tôi bị ướt ở phần trên thì tôi sẽ bị ướt nhiều hơn ở phía trước. Vậy làm cách nào để hưởng lợi từ phiên bản beta nhanh? Không." Và những người như vậy bình tĩnh đi đến ùn tắc, không gây ngạc nhiên cho những người xung quanh.

Làm thế nào để giải thích lý luận như vậy? Ảo tưởng là như thế nào? Vui lòng. Nhưng… điều gì sẽ xảy ra nếu đây không phải là ảo tưởng mà ngược lại, trực giác và những người lý luận theo cách này đều đúng?

Đây là một thông điệp có lợi cho họ. Hãy tưởng tượng rằng gió đang thổi theo hướng từ bạn đến nơi trú ẩn và mạnh đến mức djed nằm ngang thực tế hơn. Sau đó, tốt nhất là chạy khỏi jedya với tốc độ gió: tất cả các giọt sẽ di chuyển song song với bạn và không một giọt nào rơi vào bạn. Di chuyển chậm hơn không có lợi nhưng di chuyển nhanh hơn cũng bất lợi: bạn sẽ bị ướt nhiều hơn! Tất nhiên, không dễ để di chuyển với tốc độ gió mạnh (sau đây gọi là đuôi), nhưng lý do này vẫn khuyến khích chúng ta đi sâu vào bài toán.

Sản xuất bài toán
và sự đơn giản hóa cần thiết

Chúng ta hãy xây dựng các điều kiện bài toán:

Một người đàn ông đang đứng trên đường phố. Đột nhiên trời bắt đầu mưa. Người đó đi đến nơi trú ẩn gần nhất, cách anh ta một khoảng l. Anh ta nên đánh ở tốc độ nào để bị ướt ít nhất có thể?

Hình 2.

Nhiệm vụ đã được đặt ra nhưng ở dạng này xin mời chúng tôi không thể giải quyết được. Quả thực, con người là một sinh vật có hình dạng phức tạp, khi di chuyển cũng liên tục thay đổi hình dạng (sắp xếp lại chân, vẫy tay…). Vì vậy, việc tính toán chính xác là bài toán vô cùng khó khăn. Do đó, không còn gì ngoài việc giải quyết phép tính gần đúng của nó và do đó chúng tôi định dạng lại bài toán:

Một vật thể song song phù hợp có diện tích mặt là $S_B$, $S_B$ và $S_J$ (từ các từ “bên”, “trên cùng” và “phía trước”) di chuyển với tốc độ và vuông góc với mặt $S_J$. Cùng lúc đó trời đang mưa, mỗi giọt mưa có vận tốc v (hình 1) (vectơ v không nhất thiết hướng thẳng đứng xuống dưới - mưa cũng có thể xiên). Số hạt mưa trên một đơn vị thể tích là k. Câu hỏi đặt ra là: có bao nhiêu giọt N rơi xuống vật song song trong thời gian nó di chuyển một quãng đường l, và với giá trị nào của tốc độ i thì giá trị N này sẽ nhỏ nhất?

Hãy đến lời giải

Hãy giới thiệu hệ tọa độ $Oxyz$ trong không gian: trục $Oz$ hướng thẳng đứng xuống dưới, trục $Ox$ hướng theo vectơ $\bar{u}$ và trục $Oy$ vuông góc với mặt phẳng $Oxz$ nên hình chiếu của vectơ vận tốc của hạt mưa rơi v lên trục $Oy$ là không âm (hình 2). Vì vectơ v đã cho nên chúng ta có thể giả sử rằng hình chiếu của vectơ v trên các trục tọa độ đã biết. Hãy gọi chúng là $v_x$, $v_y$ và $v_z$. Có thể nói gì về những dự đoán này? Tất nhiên là $v_y \geq 0$ (đây là cách tôi chọn

24

tới trục $Oy$). Ngoài ra, $v_z > 0$ (chỉ nên đi từ trên xuống dưới). Nhưng giá trị $v_x$ có ​​thể là dương (thu nhập vượt qua) hoặc âm (thu nhập đối ứng) hoặc thậm chí bằng 0.

Chúng ta sẽ giải bài toán trong hệ quy chiếu liên kết với song song, tức là chúng ta sẽ coi song song là bất động: khi đó chúng ta phải 计 trên hệ quy chiếu này chúng sẽ nhận được tốc độ $\bar{w} = \bar{v} - \bar{u}$. Hình chiếu của vectơ vận tốc $\bar{w}$ lên các trục tọa độ sẽ là $w_x = v_x - u, w_y = v_y, w_z = v_z$ (u là độ dài của vectơ $\bar{u}$). Cần phải xác định xem có bao nhiêu giọt $N$ sẽ rơi trên song song trong thời gian $\tau = l/u$ và ở mức nào $u$ thì giá trị $N$ sẽ là tối thiểu.

Rõ ràng là theo thời gian $\tau$ tất cả các giọt sẽ rơi xuống hình bình hành, từ đây tính từ các cạnh của hình bình hành đến một khoảng cách không lớn hơn $\tau \cdot |\bar{w}|$, theo hướng ngược lại với vectơ $\bar{w}$, tức là tất cả các giọt nằm bên trong thể tích của vật được vạch ra bằng các đường màu đỏ trên hình 3. Làm thế nào để tìm thể tích của vật này? Dễ dàng nhận thấy rằng vật thể này bao gồm ba lăng kính, diện tích các đáy lần lượt là $S_\pi, S_B$ và $S_B$, còn chiều cao lần lượt là giá trị abscille của hình chiếu của vectơ $\tau \cdot \bar{w}$ trên trục $Ox, Oy$ và $Oz$. Do đó thể tích của vật này bằng

$$\tau(|w_x|S_\pi + |w_y|S_B + |w_z|S_B) = \tau(|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B),$$

Hình 3.

Hình 4.

và số giọt yêu cầu $N$ bằng $\tau k(|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B)$.

Xét rằng $\tau = l/u$, chúng ta thu được sự phụ thuộc của $N$ vào $u$:

$$N = kl \frac{|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm $u > 0$ mà $N$ là tối thiểu.

Hãy tiếp tục lời giải

Vì đại lượng $k$ và $l$ không đổi nên để thuận tiện, chúng ta sẽ tính toán với các đại lượng

$$\psi = \frac{N}{kl} = \frac{|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Hãy xem xét hai trường hợp:

1. $v_x \leq 0$ (cái chết sắp xảy ra).

Trong trường hợp này, $v_x - u < 0$ và hàm $\psi$ có dạng:

$$\psi = \frac{(u - v_x)S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u} = S_\pi + \frac{-v_x S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Vì $v_x \leq 0$, tử số của phân số là dương và hàm $\psi(u)$ sẽ kết thúc trong khoảng $(0; +\infty)$. Biểu đồ của hàm $\psi$ so với $u$ được hiển thị trong hình 4. Chúng ta thấy rằng mặc dù $\psi$ tiêu diệt khi $u$ tăng, nhưng nó vẫn luôn là $\psi > S_\pi$ và $\psi \rightarrow S_\pi$ ở $u \rightarrow \infty$. Vì vậy, trong trường hợp có một cú đánh sắp xảy ra, những người ủng hộ lý thuyết “không do dự” dường như đã nhầm lẫn: bạn chạy càng nhanh thì bạn càng ít bị ướt. Odana-

25

Nhưng sau đó, một sự thật khác, thoạt nhìn khá bất ngờ, được tiết lộ: vì $\psi > S_{\pi}$ với mọi $u$, $N = kl\psi$ luôn lớn hơn $klS_{\pi}$. Điều này có nghĩa là dù bạn có chạy nhanh đến đâu (thậm chí bay với tốc độ của một viên đạn), “liều tối thiểu” vẫn phải bằng $klS_{\pi}$, được đảm bảo. Vì vậy, dường như có logic nào đó trong cách lập luận của những người không thích vội vàng.

2. $v_x > 0$ (mưa đi qua).

Có hai khoảng thời gian cần xem xét ở đây:

1. $0 < u \leq v_x$. Sau đó $|v_x - u| = v_x - u$ và

$$\psi = \frac{v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B}{u} - S_{\pi}.$$

Hàm này tắt trong khoảng $(0; v_x]$ và đạt mức tối thiểu ở $u = v_x$:

$$\psi |_{u = v_x} = \frac{v_y S_B + v_z S_B}{v_x}.$$

2. $u > v_x$. Sau đó $|v_x - u| = u - v_x$ và

$$\psi = \frac{-v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B}{u} + S_{\pi}.$$

Ở đây không còn có thể nói ngay $\psi$ hoạt động như thế nào khi $u$ tăng lên. Nó phụ thuộc vào tử số của phân số $A = -v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B$. Nếu $A > 0$ thì $\psi(u)$ là hàm tiêu diệt trên đoạn $(v_x; +\infty)$, nếu $A < 0$ tăng trong khoảng này và nếu $A = 0$ thì $\psi = S_{\pi}$ là const trên khoảng này.

Đồ thị phụ thuộc $\psi(u)$ cho tất cả $u \in (0; +\infty)$ được hiển thị trên hình 5. Có thể thấy rằng trong phần từ 0 đến $v_x$ các đường cong có hình dạng giống nhau cho cả ba trường hợp $(A > 0, A = 0$ và $A < 0)$, và sau khi ngắt ở $u = v_x$ chúng sẽ khác nhau.

Điều gì tiếp theo từ điều này? Và thực tế là lập luận của những người ủng hộ lý thuyết được coi là không đúng sự thật về việc “đi chậm” với một tấm bảng chuyền bóng hóa ra lại mạnh mẽ và có ý nghĩa đến không ngờ trong một số trường hợp, nhưng hãy nói thêm về điều này bên dưới.

Kết luận

Sau khi phân tích kết quả tính toán và đồ thị ở Hình 4 và 5, chúng ta có thể trả lời cặn kẽ câu hỏi làm thế nào để chạy khỏi bảng.

Vì vậy, nếu bảng là phản, thì bạn cần phải chạy đến cướp càng nhanh càng tốt. Nếu bảng hướng gió, thì trước tiên bạn cần ước tính trong đầu các giá trị của $A = -v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B$. Nếu thành ra $A > 0$, thì trong trường hợp này bạn nên nhanh lên. Nếu $A = 0$, bạn có thể di chuyển với tốc độ bất kỳ vượt quá $v_x$, bạn cũng sẽ bị ướt như nhau. Chà, nếu $A < 0$ - bạn cần chạy đúng tốc độ bằng $v_x$ - thì bạn sẽ ít bị ướt nhất.

Ví dụ, nếu $v_y = 0$ (trường hợp gió thuận), thì bất đẳng thức $A < 0$ tương đương với bất đẳng thức $v_x S_{\pi} > v_z S_B$. Vì đối với một người cao, gầy $S_{\pi}$ lớn hơn đáng kể so với $S_B$, sự bất bình đẳng này có thể đúng đối với “người đi bộ” tương đối nhỏ $v_x$. Một người như vậy, nếu anh ta chuyển sang hành vi trộm cắp sao cho quỹ đạo của những giọt nước đối với anh ta có vẻ thẳng đứng, thì nhìn chung có cơ hội giữ được khô ráo. Điều này được gọi là “trượt giữa các giọt nước”.

Ban biên tập, tập biên tập và ban biên tập «Kvant» với sự chuyển thể sâu sắc thông báo với độc giả rằng ngày 3/1/1989, thọ 81 tuổi, một thành viên ban biên tập, viện sĩ Sergei Lvovich Sobolev, đã qua đời.

26

Người chiến thắng cuộc thi
“Vấn đề” Quaita "

Hàng năm tạp chí của chúng tôi tổ chức một cuộc thi dành cho học sinh để giành lời giải bài toán từ “Vấn đề Quaita”. Chúng tôi tuyên bố anh ấy là người chiến thắng trong cuộc thi “Vấn đề Quaita” năm 1988.
Họ được trao giải Dillom và biển hiệu của tạp chí Quiet và nhận được quyền tham gia ngay vào vòng thứ tư (trước công chúng) của Olympic Thế giới 1989:

Trong toán học
A. Akimov - Evpatoria, tr. w. Số 6, 9 ô.
A. Akopyan - Người Do Thái, Trường Vật lý và Toán học tại Đại học Bang Yerevan, lớp 9.
Yu. Velikina - Dnepropetrovsk, s. w. Số 45, 9 ô.
P. Grigoriev - Riga, tr. w. Số 13, 10 ô.
Yu. Grinifeld - Mátxcơva, tr. w. Số 57, 10 ô.
Kh. Jafarov - p. Turkoba AzSSR, lớp 9.
V. Dubrov - Minsk, tr. w. Số 107, 9 ô.
V. Zhilinskaite - Vilnius, tr. w. Số 43, 11 ô.
I. Zelenko - Saratov, tr. w. Số 13, 10 ô.
I. Iople - Mátxcơva, tr. w. Số 57, 10 ô.
V. Kaloshin - Kharkov, Trường Vật lý số 24, lớp 10.
L. Kaminshtein - Kyiv, tr. w. Số 145, 9 ô.
N. Kaputkina - Mátxcơva, tr. w. Số 648, 10 ô.
S. Kovatsenko - Vinnitsa, s. w. Số 6, 8 ô.
G. Kroinn - Leningrad, tr. w. Số 30, 9 ô.
S. Lesik - Donetsk, s. w. Số 17, 10 ô.
E. Lomovtseva - Beloretsk, tr. w. Số 14, 10 ô.
V. Marchenko - Minsk, tr. w. Số 50, 10 ô.
A. Morozova - Odessa, tr. w. Số 100, 9 ô.
I. Opulsky - Kiev, tr. w. Số 145, 10 ô.
I. Polyak - Leningrad, tr. w. Số 239, 10 ô.
N. Putinaite - Taurage, tr. w. Số 1, 11 ô
G. Ter-Saakova - Baku, tr. w. Số 200, 10 ô.
S. Ter-Saakova - Baku, tr. w. Số 200, 10 ô.
S. Tikhonov - Voronezh, tr. w. Số 58, 9 ô.
D. Tursunov - Karaganda, tr. w. Số 3, 10 ô.
V. Feldsherov - Alima-Ata, FMS, lớp 10.
M. Khasidovsky - Tashkent, tr. w. Số 110, 10 ô.
A. Tsinker - Tashkent, tr. w. Số 110, 10 ô.

Trong vật lý
A. Akhmadzhanov - tr. Alimbek, vùng Andjan, lớp 10.
N. Ballonas - Vilnius, tr. w. Số 45, 10 ô.
O. Bụng - Baku, tr. w. Số 56, 10 ô.
S. Bobrovnik - Chernivtsi, s. w. Số 24, 10 ô.
E. Byazrova - Tbilisi, tr. w. Số 128, 11 ô.
V. Gavensky - Baku, tr. w. Số 46, 10 ô.
G. Gershanok - Riga, tr. w. Số 52, 10 ô.
V. Golovko - Stary Oskol, tr. w. Số 16, 8 ô.
O. Guar - Kanev, tr. w. Số 4, 8 ô.
V. Deich - Kharkov, Trường Vật lý số 24, lớp 10.

M. Dorokhova - Làng Chernogolovka, vùng Mátxcơva, tr. w. Số 82, 9 ô.
V. Dyadechko - Vinnitsa, s. w. Số 17, 10 ô.
V. Zavadsky - Minsk, tr. w. Số 50, 10 ô.
S. Kazenas - Alima-Ata, FMS, lớp 10.
M. Kapustin - Lvov, tr. w. Số 50, 9 ô.
S. Karapetyan - Sevan, tr. w. Số 3, 10 ô.
S. Kasamanyan - Yerevan, Trường Vật lý và Âm nhạc tại Đại học Bang Yerevan, lớp 10.
M. Kovalev - Gubkin, tr. w. Số 2, 9 ô.
A. Kozhevnikov - Kaluga, tr. w. Số 24, 10 ô.
G. Kolesnitsky - Tbilisi, Trường Vật lý và Âm nhạc được đặt theo tên. V. M. Komarova, lớp 11.
M. Kolpkov - Khu định cư Pochet, Lãnh thổ Krasnoyirsk, lớp 8.
A. Komnik - Stary Oskol, tr. w. Số 16, 10 ô.
O. Kondratiev - Brest, tr. w. Số 1, lớp 10.
A. Kraisky - Mátxcơva, tr. w. Số 2, 10 ô.
M. Lysyansky - Novosibirsk, tr. w. Số 130, 10 ô.
R. Mizok - Rivne, s. w. Số 13, 9 ô.
S. Mikhailov - Namangan, tr. w. Số 1, lớp 10.
Sh. Nurmatov - Namangan, tr. w. Số 31, 10 ô.
E. Pivovarov - Leningrad, tr. w. Số 566, 9 ô.
S. Polshin - Kharkov, tr. w. Số 27, 8 ô.
V. Rosenblit - Riga, tr. w. Số 79, 10 ô.
N. Ryabova - Kharkov, Trường Vật lý số 24, lớp 9.
A. Serebrykov - Mátxcơva, tr. w. Số 57, 10 ô.
M. Subbotin - Stary Oskol, tr. w. Số 16, 9 ô.
V. Tamoshonas - Vilnius, tr. w. Số 45, 10 ô.
S. Timashov - Alima-Ata, FMS, lớp 9.
M. Turlakov - Frunze, tr. w. Số 61, 10 ô.
S. Khrapov - Kolomna, tr. w. Số 30, 10 ô.
D. Chokin - Alima-Ata, FMS, lớp 9.
O. Shvedov - Mátxcơva, tr. w. Số 7, 10 ô.
A. Shvorob - Baranovich, tr. w. Số 11, 10 ô.

Nhiệm vụ

M1151 — M1155, F1158 — F1162

M1151. a) Chứng minh đẳng thức (trong đó $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$):

$$\frac{1 \cdot 2!}{2} + \frac{2 \cdot 3!}{2^2} + \dots + \frac{n(n+1)!}{2^n} = \frac{(n+2)!}{2^n} - 2.$$

6. Tìm số tiền

$$\frac{1 \cdot 3!}{3} + \frac{2 \cdot 4!}{3^2} + \dots + \frac{n(n+2)!}{3^n}.$$

V. N. Zhokha

M1152. Gọi $h$ và $l$ là chiều cao và khía được vẽ từ một đỉnh của tam giác, $R$ và $r$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của nó. Chứng minh sự bình đẳng của cô ấy $h/l \geq \sqrt{2r/R}$.

Cornel Berceanu, Istvan Varda (Romania)

M1153. Số lượt tối đa có thể có trong một tuyến xe kín đi vòng quanh tất cả $8 \times 8$ ô của bàn cờ một lần là bao nhiêu?

M. V. Khovanov

M1154*. Chứng minh rằng nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và ngoại tiếp bởi một đường tròn khác thì đường thẳng đi qua tâm của các đường tròn này sẽ đi qua giao điểm các đường chéo của tứ giác.

V. Yu. Protasov

M1155. Một điểm chuyển động theo một tam giác, phản xạ từ các cạnh của nó theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”. Định kỳ cũng là tên đặt cho quỹ đạo của điểm này, là một đường đứt nét khép kín và không đi qua các đỉnh của tam giác. (Ví dụ về quỹ đạo tuần hoàn với 3 và 6 mắt xích trong một tam giác được cho ở hình 8 trên trang 12. a) Chứng minh rằng không có tam giác nào có các cạnh khác nhau chứa quỹ đạo tuần hoàn bốn mắt xích.

Có tam giác nhọn nào có quỹ đạo tuần hoàn 6) gồm 5 khâu không? c) từ 7 liên kết?

G. A. Galperin, A. M. Stgenin

F1158. Xe địa hình có thể sử dụng bánh trước hoặc bánh sau làm bánh dẫn động. Người lái xe muốn kéo tải ba làn. Lực kéo lớn nhất $T$ (không bị giật) mà ô tô có thể tác dụng là bao nhiêu nếu hệ số ma sát của bánh xe trên đường là $\mu=0,4$, khối lượng của ô tô là $M=2$ t, khoảng cách giữa tâm các bánh xe là $l=4$ m, bán kính bánh xe là $R=0,3$ m? Trục trước và trục sau nằm trong cùng một mặt phẳng nằm ngang; khối tâm của ô tô nằm trong mặt phẳng này và cách các trục một khoảng bằng nhau; cáp nằm trong cùng một mặt phẳng. Nên lái bánh xe nào? $T$ có phụ thuộc vào điều này không?

A. I. Buzdin

28

F1159. Hãy tưởng tượng rằng bạn đang ở trong một đoàn tàu đang tăng tốc và đi bộ với tốc độ không đổi so với toa xe chạy dọc theo đoàn tàu. Một lực rất đáng kể đang đẩy bạn trở lại, và bạn chắc chắn đang thực hiện công chống lại lực này. Công việc của bạn dành cho việc gì? Rõ ràng, cô ấy không thể tăng thêm tốc độ cho đoàn tàu - xét cho cùng, bạn đang đẩy cô ấy về phía sau. Có chuyện gì thế này? Định luật bảo toàn năng lượng có bị vi phạm không?

A. N. Korotkov

F1160. Một hình trụ có bán kính $R$ và chiều cao $H$ chứa $N$ electron. Một từ trường cảm ứng không đổi $B$ được đặt song song với trục hình trụ. Người ta cho rằng tất cả các electron có cùng tốc độ $v$, nằm trong mặt phẳng vuông góc với từ trường và tác động của các electron lên thành hình trụ là đàn hồi tuyệt đối. Hãy ước tính giá trị bằng nhau và áp suất lên thành xi lanh, tạo ra “khí điện tử” như vậy, phụ thuộc vào từ trường như thế nào (áp suất có thể được tính đến một hệ số không đổi, không phụ thuộc vào từ trường). Điện tích $e$, khối lượng $m$. Hãy xem xét trường $(mv/eB) \ll R$ đó (trường “mạnh” $B$). Bỏ qua tương tác giữa các electron với nhau.

D. A. Kuptsov

F1161. Trong âm học kiến ​​trúc, ai cũng biết rằng các phòng trưng bày rất “thưa thớt”. Trong các thánh đường lớn (ví dụ, ở Nhà thờ Thánh Peter ở Rome), một khu vực có hàng rào (phòng trưng bày) được xây dựng xung quanh chu vi của chân mái vòm, nơi mà việc tiếp cận của khách du lịch bị hạn chế. Nó đã được thay thế từ lâu nên tiếng đập nhẹ ở điểm $A$ (hình 1) có thể nghe rõ ở điểm $B$ nếu người nói đang nhìn dọc theo bức tường phòng trưng bày. Nhưng nếu người nói nhìn về hướng điểm $B$ thì với cùng âm lượng giọng nói tại điểm $B$ sẽ không nghe thấy gì. Tại sao điều này lại xảy ra?

Tại điểm $A$, một nguồn âm không định hướng phát ra một xung khá lớn có thời lượng $\tau_1$. Khoảng thời gian của xung sẽ là bao nhiêu, được thực hiện tại điểm $B$? Đường kính thư viện $d$.

V. I. Klyachin

F1162. Dưới nước ở độ sâu $h$ có nguồn sáng chính xác. Hình ảnh của nguồn này ở đâu đối với người quan sát nhìn dọc theo mặt nước (hình 2)? Chiết suất của nước là $n$.

S. S. Krotov

29

Lời giải bài toán
M1125 — M1130, F1137 — F1142

Chúng ta hãy biểu thị từ thứ $k$ bằng $w_k$. Theo quy tắc quy định trong điều kiện, từ $w_{k+1}$ được lấy từ từ $w_k$. Bằng cách sử dụng điều này, chúng ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng đối với $k > 1$ từ $w_{k+1}$ bao gồm các từ $w_k$ và $w_{k-1}$ được lặp lại hai lần (đối với $k = 2$ và $k = 3$ điều này được hiển thị ở lề):

$$w_{k+1} = w_k w_{k-1}.$$

Trên thực tế, khi áp dụng quy tắc của chúng ta cho sự tương ứng (*), chúng ta thu được $w_{k+1}$ từ $w_k$ và $w_k$ từ $w_{k-1}$, vì vậy nếu sự tương ứng này đúng với một số $k$, thì sự tương ứng tương tự cũng đúng với $k+1$:

$$w_{k+2} = w_{k+1} w_{k+1} w_k.$$

Như vậy, sự tương ứng (*) được chứng minh với mọi $k > 1$.

Cụ thể từ đây, theo câu a): mỗi từ $w_k$ là phần đầu của từ $w_{k+1}$; do đó tất cả $w_k$ đều là các đoạn đầu của từ vô hạn $w = AABAABAAAB$…

Gọi $a_k$ và $b_k$ là số chữ cái $A$ và $B$ trong các từ $w_k$, $s_k = a_k + b_k$ là số tất cả các chữ cái trong các từ $w_k$. Quy tắc chuyển tiếp và đẳng thức (*) hàm ý sự tương ứng

$$b_{k+1} = a_k, a_{k+1} = 2a_k + b_k,$$

(1)

$$a_{k+1} = 2a_k + a_{k-1} (a_1 = 1, a_2 = 2),$$

(2)

$$s_{k+1} = 2s_k + s_{k-1} (s_1 = 1, s_k = 3).$$

Chúng giúp bạn có thể tìm thấy các số hạng đầu tiên của chuỗi $a_k$, $b_k = a_{k-1}$ và $s_k$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) - xem bảng.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $N_A(m)$ số nơi xuất hiện chữ cái thứ $m$ $A$. Nếu $a_n \leq m < a_{n+1}$, thì lần đầu tiên chữ cái thứ $m$ $A$ xuất hiện trong các từ $w_{n+1}$, và có thể dễ dàng nhận thấy từ (*),

$$N_A(m) = \begin{cases} s_n + N_A(m - a_n), & \text{ если } m \leq 2a_n; \\ 2s_n + N_A(m - 2a_n), & \text{ если } 2a_n < m \leq a_{n+1}. \end{cases}$$

Sử dụng các quy tắc đẳng thức này, chúng ta tìm thấy đáp số cho câu hỏi 6):

$$N_A(1988) = 2 \cdot 1393 + N_A(1988 - 2 \cdot 985) = 2786 + N_A(18) = 2786 + 17 + N_A(18 - 12) = 2803 + 7 + N_A(1) = 2811.$$

(Các giá trị được sử dụng ở đây là $a_9 = 985$, $s_9 = 1393$; $a_4 = 12$, $s_4 = 17$; $a_3 = 5$, $s_3 = 7$; $N_A(1) = 1$.)

Chứng minh rằng $w$ là không tuần hoàn bằng cách sử dụng biểu diễn hình học của dãy này (xem hình trên trang 30). Trên giấy ca rô, chúng ta xây một đường đứt quãng, các liên kết của chúng tương ứng với ký tự thứ tự $w$; chữ $A$ là đoạn hướng lên trên, chữ $B$ là đoạn hướng về bên phải. Có thể thấy, các điểm $(b_k; a_k)$ nằm trên đường đứt nét này và tương ứng với các chữ $w_k$ - các đoạn đầu $w$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) - nằm gần một đường thẳng đi qua điểm ban đầu. Hãy chứng minh điều này và tìm độ dốc $\tau$ (độ dốc) của đường này.

Chúng ta đặt $t_k = a_k/b_k = a_k/a_{k-1}$ (độ dốc của $\tau$ sẽ bằng giới hạn của chuỗi $t_k$). Từ công thức (2) suy ra

30

thổi nó ở $k > 1$
$$t_{k+1} = \frac{a_{k+1}}{a_k} = 2 + \frac{a_{k-1}}{a_k} = 2 + \frac{1}{t_k}.$$
(4)

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\tau$ nghiệm dương của phương trình
$$\tau = 2 + \frac{1}{\tau} \Leftrightarrow \tau^2 - 2\tau - 1 = 0,$$
tức là $\tau = \sqrt{2} + 1$. Sau đó
$$t_{k+1} - \tau = t_{k+1} - 1 - \sqrt{2} = \frac{1}{t_k} + 1 - \sqrt{2} = \frac{1}{t_k} - \frac{1}{\tau} = \frac{\tau - t_k}{t_k\tau},$$
Ở đâu
$$a_{k+1} - \tau b_{k+1} = (t_{k+1} - \tau) a_k = \frac{(\tau - t_k) a_k}{t_k\tau} = \frac{\tau b_k - a_k}{\tau} = \frac{\tau b_k - a_k}{\sqrt{2} + 1},$$
Vì vậy
$$|a_{k+1} - \tau b_{k+1}| < |\tau b_k - a_k|/2.$$

Do đó, khoảng cách theo chiều dọc từ điểm $(b_k; a_k)$ đến đường thẳng $y = \tau x$ tăng hơn gấp đôi khi di chuyển từ $k$ đến $k+1$ (và ký hiệu độ lớn $a_k - \tau b_k$ tính bằng inch). Nếu chuỗi $w$ là (ít nhất là bắt đầu từ một vị trí nhất định) tuần hoàn và trong khoảng thời gian đó sẽ có $p$ chữ cái $A$ và $q$ chữ cái $B$, thì toàn bộ đường đứt đoạn được xây dựng sẽ được chứa trong một dải nhất định, các cạnh của dải này sẽ có độ dốc $p/q$. Nhưng đường thẳng $y = \tau x$ hoàn toàn rời khỏi dải này và di chuyển ra xa nó, vì số $\tau = 1 + \sqrt{2}$ là số vô tỉ và không bằng $p/q$. Do đó, các điểm $(b_k; a_k)$ của đường đứt nét, bắt đầu từ một số $k$, không hoàn toàn nằm trong một dải như vậy. Theo đó, chuỗi $w$ không có dấu chấm.

Bằng chứng này có thể được trình bày mà không cần sự trợ giúp của giấy ca rô và giấy vụn. Nói tóm lại, nếu trong số $n$ chữ cái đầu tiên $w$ có $\alpha(n)$ chữ cái $A$ và $\beta(n)$ chữ cái $B$, thì đối với dãy tuần hoàn $w$ giới hạn $\lim \frac{\alpha(n)}{\beta(n)}$ phải bằng một số hữu tỉ; mặt khác, đối với dãy $t_k = \alpha(s_k)/\beta(s_k) = a_k/b_k$ của nó thì theo công thức (4) giới hạn chỉ có thể bằng $\sqrt{2} + 1$ (từ (5) dễ dàng thấy rằng giới hạn này tồn tại).

Lưu ý rằng chúng ta có thể nhận ra mối liên hệ sâu sắc hơn giữa số $\sqrt{2} + 1$ và dãy $w$ (và các từ $w_k$) từ các chữ cái $A$ và $B$. Sự thật là do (4)

$$t_k = \frac{a_k}{b_k} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots + \frac{1}{2}}},$$

tức là $t_k$ là cái gọi là “phân số phù hợp” của một phân số liên tục vô hạn

$$\tau = 1 + \sqrt{2} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}};$$

do đó, các điểm $(b_k; a_k)$ tương ứng với các nút mạng liền kề với đường $y = \tau x$ gần hơn các nút có tọa độ nhỏ hơn (xem «Kvant», 1983, Số 5; 1971,

31

số 11). Hơn nữa, các ô mà tia $y=\tau x$ đi qua (chúng được tô bóng ở hình 3) tạo thành các chuỗi lặp lại cấu hình của đường đứt nét màu đỏ. Điều này cho phép chúng ta khám phá các thuộc tính mới của đường đứt nét và dãy $w$; ví dụ: nó “gần như đồng nhất”: trong số bất kỳ chữ cái $N$ nào liên tiếp, số lượng chữ cái $A$ có thể khác nhau không quá một (đối với mỗi chữ cái $N$), tức là bằng $[\tau N]$ hoặc $[\tau N+1]$.

N. V. Vasiliev

M1126. Cho hình thang ABCD có đáy BC và AD trên các cạnh AB và CD chọn các điểm K và M. Chứng minh rằng nếu $\angle BAM=\angle CDK$ thì $\angle BMA=\angle CKD$.

Gọi $O$ là giao điểm của phần kéo dài của các cạnh bên $AB$ và $CD$ của hình thang đã cho (xem hình). Chúng ta hãy thực hiện phép đối xứng tuần tự $S$ đối với phân giác của góc $AOD$ và việc chuẩn bị $H$ với tâm $O$ và hệ số $OD/OA$. Trong trường hợp này, điểm $A$ sẽ chuyển sang $D$ (xem hình) và điểm $B$ - đến $C$ (vì $OC/OB=OD/OA$), góc $OAM$ - đến góc $ODK$, bằng với góc đó theo điều kiện. Do đó, điểm $M$, nằm ở giao điểm của các đường $AM$ và $OD$, sẽ tiến tới giao điểm hình ảnh của các đường này - $DK$ và $OA$, tức là đến điểm $K$. Vì vậy, các điểm $A$, $M$, $B$ lần lượt đi đến $D$, $K$, $C$ và do đó $\angle AMB=\angle DKC$.

lời giải còn lại dựa trên thực tế là một đường tròn có thể ngoại tiếp xung quanh tứ giác $AKMD$, và do đó cũng xung quanh $BKMC$.

V. N. Dubrovsky, A. S. Merkuryev

M1127. Máy tính vi mô “Cheburashka” có thể cộng, trừ và tìm số nghịch đảo $1/X$ từ một số cho trước $X$. Có thể sử dụng máy tính vi mô này để thu được một đơn vị, cho số ban đầu $a)$ $\sqrt{19}+88$; b) $\sqrt{19}+88$; c) $\sqrt{19}+88$? (Cấm nhập các số vào máy tính vi mô khác với số ban đầu hoặc số thu được từ các phép tính trên đó.)

a) Đáp số: bạn có thể. Đầu tiên hãy tính toán

$$a = \frac{1}{\sqrt{19}+88} = \frac{88-\sqrt{19}}{88^2-19},$$

thì chúng ta thu được các số tuần tự $88-\sqrt{19}$ (dưới dạng tổng của $88^2-19$ số hạng $a$), $176=(88+\sqrt{19})+(88-\sqrt{19})$, $1/176$ và $1$ (tổng của $176$ số hạng $1/176$).

b) Đáp số: có thể. Chúng ta hãy sử dụng danh tính

$$\frac{1}{x} - \frac{2}{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1/x-y}} = xy^2.$$

Phía bên trái của nó có thể được tính là “Cheburashka”. Do đó, từ số $x$ người ta có thể thu được $x^3$ (với $y=x$), $x^5=x^3 \cdot x^2$, $x^7=x^5 \cdot x^2$, …, $x^{19}$, tức là từ $\sqrt{19}88$ người ta có thể thu được $88$, sau đó là $1/88$ và $1$.

b) Đáp số: không thể được. Áp dụng các phép toán được phép cho các số có dạng $a\sqrt{19}+b\sqrt{88}$ với các số không đồng nhất $a$ và $b$, chúng ta sẽ lại thu được các số cùng loại (cụ thể là $1/(a\sqrt{19}+b\sqrt{88})=(a\sqrt{19}-b\sqrt{88})/(19a^2-88b^2))$. Do đó, không thể lấy một số từ số $\sqrt{19}+88$.

Có thể chứng minh rằng 1 thu được từ số $a$ khi và chỉ khi $a$ là nghiệm của đa thức

33

Bây giờ hãy xem xét một khu rừng $M_1$, bao gồm một cây linh sam và mười cây bạch dương ở khoảng cách 1 km từ nó. Đối với anh ta mối quan hệ là $n/k=0,1$. Chúng ta hãy xây dựng rừng $M_2$ từ $M_1$ theo cách được mô tả, từ rừng $M_2$ - rừng $M_3$, v.v. Đối với rừng $M_{11}$ tỷ lệ này sẽ bằng 0,1+10·0,1=1,1>1 và điều kiện Monkhgagusen được thỏa mãn. Đúng vậy, khu rừng này bao gồm $10^{11}$ bạch dương và $11\cdot 10^{10}$ cây linh sam, rất nhiều ngay cả đối với nam tước huyền thoại. Tuy nhiên, có một ví dụ khác khẳng định nam tước không bao giờ nói dối.

Giả sử khu rừng $F_1$ gồm có hai cây linh sam và hai cây bạch dương nằm ở các đỉnh đối xứng đường kính của hình vuông. Khoảng cách là một dãy $F_1$, $F_2$, …, trong đó rừng $F_{k+1}$ là sự kết hợp của rừng $F_k$ và rừng $F'_k$, thu được từ $F_k$ bằng cách chuyển sang một vectơ $\vec{v}_k$ nào đó của “vị trí chung” (giao điểm độc quyền) dài 1 km và thay thế cây linh sam bằng bạch dương và ngược lại (hình2). Rõ ràng, một khu rừng $F_9$, bao gồm $2^9=512$ cây linh sam và số lượng bạch dương như nhau, thỏa mãn điều kiện Monkhgagusen. Áp dụng cấu trúc được mô tả ở đầu lời giải, chúng ta có được một khu rừng hoàn toàn thực gồm $21\cdot 512=10752$ cây, cũng thỏa mãn điều kiện này, trong đó tỷ lệ giữa số lượng cây linh sam với số lượng bạch dương là 1,1>1.

F. L. Nazarov

M1130. Cho một n-giác lồi trên mặt phẳng, độ dài cạnh thứ k bằng $a_k$ và độ dài hình chiếu của đa giác lên đường thẳng chứa cạnh này bằng $d_k$ (k=1,2,…,n). Chứng minh bất đẳng thức
$$2 < \frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} \leq 4.$$

Hình 1.

Rõ ràng, độ dài hình chiếu của một đa giác lồi lên bất kỳ đường thẳng nào đều nhỏ hơn hai tổng chiều dài các hình chiếu của cạnh của nó lên đường thẳng này (hình 1), và do đó nhỏ hơn một nửa chu vi của nó $p$. Đó là lý do tại sao
$$\frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} > \frac{2a_1}{p} + \dots + \frac{2a_n}{p} = 2 \cdot \frac{a_1 + \dots + a_n}{p} = 2.$$

Ước tính này không thể cải thiện được, như ví dụ về đa giác “phẳng” cho thấy, có $d_i=p/2$ cho tất cả $i$.

Để chứng minh giới hạn trên, chúng ta xây dựng một số đa giác phụ. Chúng ta hãy vẽ từ một điểm $n$ các cặp vectơ đối diện, mỗi vectơ có chiều dài bằng nhau và song song với một trong các cạnh của $n$-gon $M$ đã cho và đánh số các vectơ này theo chiều kim đồng hồ: $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_{2n}$ (hình 2); được xếp hạng bởiindo, $\vec{v}_i = -\vec{v}_{i+n}, i=1, 2, \dots, n$. Từ đầu $B_1$ của vectơ $\vec{v}_1$, chúng ta ngắt kết nối vectơ $\overrightarrow{B_1}B_2 = \vec{v}_2$, từ đầu $B_2$ của nó, chúng ta ngắt kết nối vectơ $\overrightarrow{B_2}B_3 = \vec{v}_3$, v.v. (hình 3). Điểm cuối cùng $B_{2n}$ trùng với điểm bắt đầu của $\vec{v}_1$. Dễ dàng nhận thấy rằng kết quả $2n$-gon $N=B_1B_2...B_{2n}$ là lồi, có tâm đối xứng $O$ và hai cạnh đối diện của nó bằng nhau và song song với một trong các cạnh của đa giác $M$. Theo phát biểu ở đầu lời giải, độ dài của hình chiếu $N$ lên bất kỳ đường thẳng nào bằng tổng độ dài hình chiếu của vectơ $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ lên đường thẳng này, tức là hai lần