Kvant 1989, số 5 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fractal

1989

2

Serge
Alekseevich
CHAPLYGIN

Yu. V. SUNGURTSEV

Được khuyến khích bởi những người mới
Chúng tôi muốn cho bạn thấy,
Platonov có thể sở hữu những gì
Và những Newton nhanh trí
Đất Nga để lục lọi.

M. V. Lomonosov

khúc dạo đầu

Có một thành phố ở vùng Ryazan mang tên nhà khoa học vĩ đại người Nga. Chaplygin là tên của thành phố này.

Ngày xửa ngày xưa, Sa hoàng Peter I đã trao ngôi làng Slobodskoye cho Hoàng tử Menshikov yêu thích của ông. Menshikov đã xây dựng một pháo đài nhỏ ở đây và đổi tên làng Oranenburg. Con đường từ Mátxcơva đến Voronezh lúc bấy giờ đang được xây dựng đi qua thị trấn nhỏ có pháo đài đồ chơi này. Sau đó, con đường đến Orenburg được xây dựng xuyên qua pháo đài và thị trấn Menshikov bắt đầu viết “Ranenburg” trên giấy tờ.

Sergei Chaplygin sinh ra ở thành phố này vào ngày 5 tháng 4 năm 1869 (24 tháng 3, kiểu cũ).

Cha Sergei - Alexey Timofeevich Chaplygin, xuất thân từ một gia đình thương gia, làm nhân viên bán hàng trong một cửa hàng. Anh ấy chỉ có trình độ tiểu học, nhưng anh ấy đọc rất nhiều và có trí nhớ tuyệt vời. Mẹ, Anna Petrovna Chaplygina, cũng thuộc tầng lớp thương gia. Cuộc hôn nhân của Anna Petrovna với Alexei Timofeevich rất hạnh phúc, nhưng hạnh phúc này chỉ tồn tại trong thời gian ngắn. Khi Sergei mới hai tuổi, gia đình Chaplygin càng phải chịu đau buồn lớn hơn: cha Sergei qua đời ở tuổi 24 vì bệnh tả. Sau đó, Anna Petrovna kết hôn lần nữa và gia đình chuyển từ Ranenburg đến Voronezh.

Sergeraros đã bị một cậu bé bắt đi. Anna Petrovna mơ ước cho con trai mình được học hành và khi Sergei đã đủ tuổi, bà đã thuê cậu làm gia sư chủng sinh. Vào mùa thu, Sergei đã vượt qua thành công kỳ thi vào lớp dự bị và trở thành sinh viên của nhà thi đấu.

Các giáo viên thể dục rất nhanh chóng nhận thấy khả năng khác thường của Sergei Chaplygin. Hội đồng sư phạm miễn học phí cho anh. Khi cha mẹ của phòng tập thể dục Chaplygin biết về khả năng toán học

3

Sau khi xác định được các bạn học của anh, họ bắt đầu mời anh làm gia sư cho con trai họ. Sergei tốt nghiệp trung học với thành tích xuất sắc - với huy chương vàng. Nhà toán học nổi tiếng sống ở Voronezh và là tác giả của nhiều sách giáo khoa phổ thông, A.P. Kiselev, ngưỡng mộ khả năng của Chaplygin và dự đoán về một tương lai tuyệt vời cho ông. Năm 17 tuổi, mang theo 200 rúp tích lũy được nhờ dạy kèm và một chiếc thuyền nhỏ chở đồ đạc, Sergei định cư ở Moscow.

Ý chí và lao động của con người
Ghế sofa ăn kiêng tạo ra.
N. A. Nekrasov

sắp đến tuổi

Chaplygin được ghi danh vào Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Moscow.

Cuộc đời sinh viên của anh trải qua trong một môi trường khắc nghiệt; không cần sự giúp đỡ từ gia đình anh ấy. Ngược lại, như những năm trung học, Sergei tiếp tục giúp đỡ gia đình về mặt tài chính. Để làm được điều này, anh phải học rất nhiều bài. Tuy nhiên, anh ấy chưa bao giờ bỏ lỡ một bài giảng nào ở trường đại học.

Ở Moscow, Sergei sống cùng những người bạn Voronezh của mình. Bảy người chúng tôi đã sống. Ông là nhà toán học duy nhất trong phòng. Cả hai cuộc thi đều luôn cố hữu ở công ty này. Một lần, một người bạn của anh phàn nàn về sự phức tạp của khóa học hóa học vô cơ, và Sergei đề nghị đặt cược rằng trong vòng ba ngày anh sẽ đọc toàn bộ sách giáo khoa về chủ đề này. Anh ta đã thắng cược. Vụ cá cược khác của anh ấy cũng kết thúc với chiến thắng tương tự: anh ấy đã hoàn thành khóa học tiếng Anh của mình sau hai tuần.

Nói chung, ngoại ngữ rất dễ dàng đối với Sergei. Tuy nhiên, trong những ngày nghỉ, Chaplygin làm gia sư cho một gia đình người Ba Lan. Trong thời gian ngắn nhất có thể, anh học tiếng Ba Lan và trước sự ngạc nhiên của tất cả các thành viên trong gia đình này, anh bắt đầu đọc nguyên bản của các nhà văn Ba Lan. Cùng mùa hè năm đó, Chaplygin học một ngôn ngữ khác - tiếng Ý. Khả năng học ngoại ngữ của Chaplygin thật đáng kinh ngạc. Có một khoảnh khắc trong cuộc đời anh đã chọn ngôn ngữ quốc tế và phương Đông.

Trở thành sinh viên của Đại học Moscow, Chaplygin đề xuất chuyên về toán học thuần túy. Nhưng bắt đầu từ năm thứ ba, sở thích của anh bắt đầu nghiêng về cơ khí. Các bài giảng của Giáo sư N. E. Zhukovsky, trong đó hàng loạt vấn đề khoa học được khám phá, đã thực sự khiến Chaplygin say mê, và ông trở thành một trong những học trò đầu tiên của Zhukovsky. Vào năm thứ tư cuối cùng tại trường đại học, Chaplygin, dưới sự lãnh đạo của ông, đã thực hiện nghiên cứu khoa học đầu tiên về cơ học thủy văn. Luận văn tốt nghiệp của Chaplygin “Về chuyển động của vật nặng trong chất lỏng không nén được” đã được Hội đồng Đại học trao huy chương vàng. Vào ngày 1 tháng 1 năm 1891, theo gợi ý của Zhukovsky, sinh viên tốt nghiệp S. Chaplygin được giữ lại trường đại học với tư cách là một ứng cử viên để chuẩn bị cho chức giáo sư.

Lấy ví dụ về Avatsia của chúng tôi. Cô ấy nợ nghề của mình những gì?
Mang theo các tác phẩm của Zhukovsky, Chaplygin và trường phái của họ, tất nhiên, cô không thể phát triển…

P. L. Kapsha

Vào cuối thế kỷ 19, ông bắt đầu bước những bước đầu tiên trong lĩnh vực hàng không thực tế. Tại Nga vào năm 1881, sĩ quan hải quân A.F. Mozhaisky đã nhận được bằng sáng chế cho một chiếc máy bay có động cơ hơi nước mà ông gọi là đạn trên không. Máy bay của Mozhaisky được chế tạo vào năm 1885 nhưng bị rơi khi cất cánh. Ở Anh và Pháp trong cùng những năm đó, người ta cũng đã nỗ lực chế tạo máy bay nhưng đều không thành công. Trong giai đoạn từ 1891 đến 1896, nhà khoa học người Đức O. Lilienthal đã chế tạo thành công một số mô hình tàu lượn. Những tàu lượn này đã được chế tạo và thử nghiệm thành công.

4

Hàng không thế giới bước những bước đầu tiên một cách ngẫu nhiên vào vũ trụ. Máy bay chỉ được chế tạo trên cơ sở các giả định trực quan. Tôi chưa bao giờ thực hiện bất kỳ tính toán hoặc thử nghiệm sơ bộ nào. Việc thiếu cơ sở khoa học cho việc chế tạo máy bay và hậu quả là thiết kế không hoàn hảo là nguyên nhân gây ra một số lượng lớn các vụ tai nạn hàng không. Trong thời kỳ này, các nhà khoa học ở nhiều nước bắt đầu tiến hành những nghiên cứu lý thuyết đầu tiên trong lĩnh vực khí động học. Đóng góp lớn cho họ là các tác phẩm của N. E. Zhukovsky và học trò của ông, viện sĩ tương lai S. A. Chaplygin.

Vào tháng 8 năm 1893, S. A. Chaplygina bắt đầu giảng dạy với tư cách là giáo viên vật lý tại Viện Catherine ở Moscow *). Từ tháng 9 năm 1895, ông dạy toán tại Đại học Mátxcơva và sau đó tại Đại học Kỹ thuật Mátxcơva.

Đồng thời, anh bắt đầu nghiên cứu sự chuyển động của dòng khí. Như bạn đã biết, chất lỏng thực tế không thể nén được. Ngược lại, các chất khí, chẳng hạn như không khí bão hòa, rất dễ bị lăn. Trong khí động học, thật hay khi gọi bất kỳ môi trường chất lỏng không nén được nào chỉ đơn giản là chất lỏng và chất lỏng bị nén - khí. Hóa ra là ở tốc độ thấp, luồng không khí hoạt động giống như một môi trường không thể nén được và do đó, ở một mức độ gần đúng nhất định, có thể được gọi là chất lỏng. Khi tốc độ dòng chảy tăng lên, phép tính gần đúng này trở nên quá thô. Ngoài ra, chúng ta sẽ xem xét một mô hình toán học phức tạp hơn của lý thuyết. Chaplygina bắt đầu nghiên cứu một mô hình như vậy trong những năm này.

Nhìn chung, mối quan tâm khoa học của S. A. Chaplygin rất đa dạng. Điều này có thể được đánh giá qua chủ đề của các báo cáo và tác phẩm đã xuất bản. Anh ấy phát biểu tại Hiệp hội những người yêu thiên nhiên bằng một bài tóm tắt

*) Cơ sở giáo dục trung học dành cho thiếu nữ quý tộc.

“Về chuyển động của chất khí với các bề mặt không liên tục” (1896), với báo cáo “Về chuyển động của một vật rắn dọc theo mặt phẳng nằm ngang” (1897). Năm 1898, ông bảo vệ luận văn thạc sĩ “Về một số trường hợp chuyển động của vật rắn trong chất lỏng”, được trao Huy chương Vàng Lớn của Viện Hàn lâm Khoa học và phát biểu tại Hội Toán học Moscow với báo cáo “Những thông điệp cơ bản cho cách giải thích mới về chuyển động quay của Coln”… Cho đến đầu thế kỷ 20, Chaplygin đã xuất bản thêm một số công trình về cơ học chất lỏng và cơ học lý thuyết.

S. A. Chaplygina đã viết luận án tiến sĩ “Về máy bay phản lực khí đốt” trong kỳ nghỉ ở Crimea. Bạn có thể tưởng tượng đó là một “kỳ nghỉ” như thế nào! Trong tháng ở viện điều dưỡng, Sergei Alekseevich đã giảm cân rõ rệt, và các bác sĩ giàu có khuyên anh nên nghỉ ngơi, ít nhất hãy để anh trong thời gian làm việc. Nhưng ý thức mục đích hiếm có của Chaplygin không cho phép anh bỏ dở công việc.

Trong luận án của mình, Chaplygin xem xét một mô hình toán học phức tạp hơn của lý thuyết. Chaplygina bắt đầu nghiên cứu một mô hình như vậy trong những năm này.

Năm 1903, ở tuổi 34, Sergei Alekseevich trở thành giáo sư tại Đại học Moscow. Trong những năm này, ông đã được coi là một nhà khoa học trẻ xuất sắc. Ông được mời giảng dạy tại Khóa học dành cho phụ nữ cao cấp ở Moscow. Vài năm sau, hội đồng giáo sư của các khóa học dành cho phụ nữ cao hơn bầu S. A. Chaplygin làm giám đốc. Khi đảm nhiệm vị trí này, Sergei Alekseevich đã tổ chức xây dựng các công trình giáo dục tráng lệ vào thời đó.

6

FRACTAL

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
I. M. SOKOLOV

Những đối tượng mà ngày nay chúng ta gọi là sự kiện lần đầu tiên xuất hiện trong trí tưởng tượng của các nhà toán học ở những thế kỷ đầu. Và khi đó chúng ta khó có thể nghĩ rằng trong thiên nhiên xung quanh chúng ta có thể tìm thấy bất cứ thứ gì tương tự với những đường cong kỳ lạ và tinh tế này. Và mặc dù trong bài viết này chúng ta chủ yếu nói về các hệ vật lý, chúng ta sẽ phải bắt đầu bằng một phần giới thiệu toán học nhỏ và không chặt chẽ.

Các đối tượng hình học tương tự

Chúng ta sẽ gọi một hình hình học (vật thể) tự tương tự là một hình có thể được cắt thành một số hữu hạn các hình giống hệt nhau tương tự như chính nó. Ví dụ - trên hình 1: đoạn thẳng, tam giác đều, hình vuông, hình lập phương.

Đối tượng tự tương tự ở hình 2 trông phức tạp hơn một chút. Nhưng nó khá đơn giản để xây dựng. Bắt đầu với một tam giác đều ở cạnh $l_0$, chúng ta sẽ lặp lại (ad infinitum) quy trình sau: chúng ta sẽ chia mỗi đoạn nối các đỉnh của đường đứt nét thành ba phần và thay thế phần giữa bằng hai đoạn có chiều dài $l/3$, trong đó $l$ là độ dài của đoạn ban đầu. Một số giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng một đường cong như vậy được hiển thị ở hình 2. Ở giai đoạn xây dựng thứ $n$, đường cong được biểu thị bằng một đường gãy có $N = 3N = 3 \cdot 4^n$ các đoạn có độ dài $l_0/3^n$ mỗi đoạn, chiều dài đầy đủ của nó

$$L = 3l_0(4/3)^n.$$

Đường gãy này được gọi là đường cong Triditch Koch (được đặt theo tên của nhà toán học Thụy Điển đã phát minh ra vật thể này).

Mỗi đoạn ban đầu của đường cong Triditch Koch bao gồm bốn

7

thủ tục ném ra giữa hình vuông được chia thành 9 phần.

Hãy quay trở lại đường cong Koch. Ví dụ, hãy thử xác định độ dài của nó bằng la bàn. Sau khi đặt phép tính của la bàn bằng $\lambda$, chúng ta sẽ sắp xếp lại la bàn dọc theo đường cong, đếm số hoán vị của nó $n$. Độ dài của đường cong sẽ xấp xỉ bằng $L \approx \lambda n$. Chúng ta sẽ gọi đại lượng $\lambda$ là thang đo lường.

Chẳng hạn, đo chiều dài của một vòng tròn có bán kính $R = 1$ m, chúng ta thu được rằng chiều dài đo được $L = \lambda n$ tại $\lambda = 1$ m là 3,0 m, tại $\lambda = 0,1$ m $L = 6,2$ mm, tại $\lambda = 0,01$ m $L = 6,28$ m và tại $\lambda \rightarrow 0$ chiều dài $L$ có xu hướng giới hạn $2\pi R = 6,28318\dots$ m.

Sau khi thử thực hiện quy trình tương tự với đường cong Koch, chúng ta sẽ tin chắc rằng không có giới hạn nào có thể được coi là độ dài của đường cong này. Bằng cách chọn thang đo $\lambda = l_0/3^n$, chúng ta thu được rằng chiều dài đo được của đường cong sẽ bằng chiều dài của đường đứt nét tương ứng với giai đoạn xây dựng thứ $n$ của nó - $L = 3l_0(4/3)^n$.

Nỗ lực đo độ dài của các đường cong tự tương tự khác sẽ dẫn đến một kết quả tương tự - khi thang đo giảm, độ dài của đường cong tăng vô hạn.

Chúng ta hãy lưu ý một yếu tố rất quan trọng giúp phân biệt một đối tượng thực sự giống với một đối tượng toán học lý tưởng: các đối tượng thực có thang đo tối thiểu $\lambda_{\min}$.

Ví dụ, hãy xem xét quá trình thực tế xây dựng đường cong Koch bằng bút chì và giấy. Chúng ta hãy dựng một đường cong có chiều dài cạnh ban đầu là $l_0 = 1$ m bằng bút chì để lại một đường có độ dày $a_0 = 0,1$ mm = $10^{-4}$ m. Từ quan điểm toán học, quy trình xây dựng đường cong có thể tiếp tục vô thời hạn. Quy trình thực sự sẽ dừng ngay khi độ dài của đoạn giữa hai điểm ngắt liền kề bằng độ dày của đường thẳng. Dễ dàng tính được đây là quá trình ở bước số $n = \ln(l_0/a_0)/\ln 3 \approx 9$. Chiều dài đường dây của chúng tôi sẽ là $L \approx 40$ m. Vì vậy, việc nhận ra một đường cong tự đồng dạng có độ dài hữu hạn.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại với các đối tượng toán học lý tưởng. Công thức tính độ dài đường cong Koch có thể được viết như sau:

$$L = A\lambda^{-\alpha}, \text{ где } A = 3l_0^{\ln 4/\ln 3}, \alpha = \frac{\ln 4}{\ln 3} - 1.$$

(Chúng tôi hy vọng rằng chính bạn, khi biết các quy tắc xử lý logarit, sẽ có thể xác minh rằng mục này tương đương với công thức $L = 3l_0(4/3)^n$.) Số mũ a xuất hiện trong công thức có liên quan đến kích thước của đường cong.

Kích thước là gì?

Có nhiều định nghĩa về chiều, tương ứng với các khái niệm khác nhau. Chúng ta hãy cố gắng có được một ý tưởng về một số trong số họ.

Hình 3.

8

Định nghĩa đầu tiên liên quan đến số tọa độ tối thiểu cần thiết để xác định rõ ràng vị trí của một điểm. Trong không gian của chúng ta, con số này bằng trem, trên một mặt phẳng có hai tọa độ là đủ, trên một đường thẳng - chỉ một tọa độ. Theo nghĩa này, không gian là ba chiều, mặt phẳng là hai chiều và đường thẳng là một chiều. Đương nhiên, trong định nghĩa này, thứ nguyên luôn là số nguyên.

Định nghĩa thứ hai liên quan đến điều cản trở sau đây. Để cắt một hình chữ nhật thành hai phần, chỉ cần loại bỏ một điểm. Một tập hợp bao gồm một số điểm hữu hạn (có thể đếm được) sẽ được coi là không chiều. Kích thước của bất kỳ bộ nào sẽ được coi là lớn hơn một kích thước so với kích thước của vết cắt chia nó thành hai phần rời nhau. Với định nghĩa về kích thước này, một đường thẳng là một chiều, một mặt phẳng (để cắt cần phải cắt dọc theo một đường nhất định) là hai chiều và một vật thể hình học ba chiều là ba chiều. Chiều này - nó được gọi là tôpô - cũng chỉ có thể là số nguyên.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa thứ ba, thú vị nhất đối với chúng ta, hay chính xác hơn là định nghĩa về cả một nhóm các chiều có thể hiểu được và có ý nghĩa gần gũi. Đơn giản nhất trong số đó là chiều tự tương tự.

Chiều tự tương tự $D$ có thể được xác định bằng công thức

$$D = \frac{\ln N}{\ln n},$$

trong đó $N$ là số phần giống hệt nhau mà một đối tượng giống nhau nhất định được chia thành, có kích thước không gian có thể trao đổi là $n$. Nhìn vào hình 1. Bằng cách thực hiện các vết cắt như trong hình, chúng ta sẽ chia hình vuông thành $N = 4$ các hình vuông có cạnh nhỏ hơn $n = 2$ lần so với ban đầu. Khối lập phương ở cạnh 1 bao gồm $N = 8$ cốc ở cạnh $1/2 (n = 2)$. Vậy kích thước tự tương tự của hình vuông là $\ln 4/\ln 2 = 2$, đối với hình lập phương - $\ln 8/\ln 2 = 3$; rất/không rằng kích thước của phân khúc là 1.

Sự phát triển của “bông tuyết” trên màn hình máy tính trong các điều kiện khác nhau.

Tính kích thước của các vật thể ở Hình 2 và Hình 3 theo cách tương tự, ta sẽ thấy kích thước của từng đoạn đường cong Koch (và kích thước của toàn bộ đường cong)

9

đúng $D=\ln 4/\ln 3=1,2618$, đường cong tam giác Sierpiski là $\ln 3/\ln 2=1,5849$, “thảm Sierpiski” là $\ln 8/\ln 3=1,8727$. Các đường cong trang này có kích thước không nguyên.

Bây giờ chúng ta quay lại công thức tính độ dài đường cong Koch. Sử dụng định nghĩa của thứ nguyên $D$ vừa cho, chúng ta có thể viết lại công thức này thành

$$L=3l_0^D\lambda^{1-D}.$$

Sự gia tăng thay đổi về độ dài của đường cong tự tương tự khi thang đo giảm là một chỉ báo về thứ nguyên không nguyên của nó:

$$D=1+\alpha.$$

Làm thế nào để thay đổi kích thước?

Chiều của sự tự tương tự chỉ có thể được xác định đối với các đối tượng rất thông thường, được xây dựng theo các quy tắc được xác định chặt chẽ. Nếu độ lệch so với tính đều đặn không lớn thì đối tượng có thể được coi là gần giống với chính nó. Nếu chúng lớn thì sao?

Chúng ta hãy sử dụng một định nghĩa khác về thứ nguyên, thường là

Hình 4.

cắt thành các ô có kích thước $\lambda$ (ví dụ: đặt một lưới vuông trên ảnh phẳng của một vật thể từ phía $\lambda$). Đếm số ô mà đối tượng trỏ tới. Phép chia được lặp lại, thang đo được sử dụng là $\lambda'<\lambda$, v.v. (hình 4). Sự phụ thuộc của số lượng ô mà đối tượng trỏ vào kích thước của ô được đưa ra theo định luật $N=A\lambda^{-D}$, trong đó $D$ là kích thước bắt buộc. Xét diện tích phẳng của mặt phẳng $S$ (tam giác trên hình 4), dễ dàng chứng minh rằng $N \approx S/\lambda^2$ nên $D=2$. Đối với đoạn $N=BL/\lambda$, trong đó $L$ là độ dài của đoạn và $B$ là hệ số, tùy thuộc vào hướng của đoạn đó. Kích thước của đoạn này là $D=1$. Nếu chúng ta thực hiện quy trình tương tự với các đối tượng được hiển thị trong Hình 2 và 3, chúng ta sẽ thu được các giá trị $D$ trùng với thứ nguyên tự tương tự của chúng. Để xác định kích thước của vật thật, hình phụ thuộc từ $\ln N$ vào -$\ln \lambda$. Biểu đồ này được vẽ dưới dạng một đường thẳng, độ dốc của nó cho chúng ta giá trị $D$.

“Hình học Fractal của tự nhiên”

Năm 1961, công trình của nhà nghiên cứu người Anh L. Richardson (1881-1953) được xuất bản nhằm mục đích đo chiều dài của các đường bạch dương. Tác giả nhận thấy chiều dài bờ biển đo được tăng khi giảm thang đo theo quy luật

2 Lượng tử số 5

10

Một trình phân loại fractal xuất hiện trong quá trình mô phỏng máy tính về tập hợp được kiểm soát khuếch tán.

$$L = A \lambda^{-\alpha}$$ (định luật Richardson), trong đó chỉ số $\alpha$, ví dụ: 0,24 đối với bờ biển phía tây nước Anh và 0,13 đối với bờ biển Australia. Và mặc dù định luật này cung cấp nhiều thông tin hữu ích cho các công thức tính độ dài của các đường cong tự đồng dạng, bản thân công trình của Richardson đã có ý nghĩa quan trọng. Có một số ví dụ vật lý khác đã “đạt tới” những vật thể tương tự. Nhưng mọi thứ đã bị phân tán…

Một sự thay đổi đáng kể sẽ xảy ra với sự xuất hiện của cuốn sách của nhà toán học người Pháp Benya Mandelbort (hiện đang làm việc tại Mỹ), xuất bản năm 1975 bằng tiếng Pháp và năm 1977 bằng tiếng Anh. Cuốn sách tập hợp nhiều ví dụ toán học và vật lý này, giúp chúng có thể sử dụng được trong khoa học. Nhưng công lao chính của Mandelbort là ông đã nghĩ ra cái tên cho tất cả những thứ này.

Người đọc có thể sẽ nhớ rằng đóng góp chính của Atoc cho các sự kiện được mô tả trong tiểu thuyết Hai mươi năm sau của Dumas là việc phát minh ra hệ thống định vị cho Chiến dịch Gia đình. Khoản đóng góp này được coi là tương đương với thanh kiếm của d’Artanne và số tiền của Portoc. Có được khả năng điều hướng tốt là một thành tựu lớn.

Đối với các đối tượng có chiều phân số, hay chính xác hơn, đối với các đối tượng có chiều Pháp lớn hơn chiều tôpô của chúng, Mandelbrot đã nghĩ ra cách điều hướng “fractal”. Từ này xuất phát từ tiếng Latin fractus - phân số, cắt. Một người rất hóm hỉnh đã chuyển điều hướng của mình sang tiếng Nga với từ “drobnik”.

Cuốn sách đầu tiên của Mandelbort có tên là Fractals: Form, Chance, Dimension. Cuốn thứ hai, xuất bản năm 1982, đã được gọi là: “Hình học Fractal của Tự nhiên”. Cái tên này phản ánh hoàn hảo tình hình thực tế.

Các đối tượng đa địa lý có đặc tính fractal - bờ biển và đại dương, sông, núi và hẻm núi. Biên giới của các quốc gia, nếu chỉ tuân theo các mốc tự nhiên và không được vẽ bằng thước trên bản đồ mà chỉ sau đó được xác định trên thực địa (chẳng hạn như biên giới giữa Ai Cập và Sudan), cũng là các đường phân dạng. Chiều dài biên giới giữa Bồ Đào Nha và Tây Ban Nha (được nêu trong sách tham khảo tiếng Bồ Đào Nha) và chiều dài biên giới giữa Tây Ban Nha và Bồ Đào Nha (được nêu trong thông tin chính thức của Tây Ban Nha) khác nhau 20% vì chúng được sửa đổi bằng các thang đo khác nhau. Điều này một lần nữa khẳng định khái niệm độ dài đối với đường cong Pháp không có nhiều ý nghĩa.

11

Hóa ra những đường cong như đường cong Koch là quy luật chứ không phải là ngoại lệ trong tự nhiên. Rõ ràng là tính tự che khuất của các vật thể tự nhiên, có thật bị vi phạm bởi những sai lệch ngẫu nhiên khỏi cấu trúc đều đặn. Ví dụ, các phần khác nhau của bờ biển không giống nhau mà chỉ tương tự nhau. Và tất cả các hệ thống thực tế đều có thang đo lường tối thiểu. Những trường hợp này phải được tính đến khi phân tích tình hình vật lý.

Để có thể nói về các đặc tính thực tế của hệ thống, điều cần thiết là sự khác biệt giữa thang đo tối thiểu và tối đa phải đủ lớn. Nếu chúng ta đang nói về bờ biển hoặc đại dương, thì tỷ lệ tối đa $l_0$ sẽ vào khoảng $1000$ km $= 10^6$ m, và tỷ lệ tối thiểu, được xác định trực tiếp bởi các ranh giới do sóng tới, thủy triều, v.v., sẽ vào khoảng $1 - 10$ m. Những thang đo này khác nhau một triệu (!) Lần.

Một ví dụ khác về đường cong thực tế là ranh giới nhìn thấy được của các đám mây. Sự khác biệt giữa tỷ lệ tối thiểu và tối đa ở đây thậm chí còn lớn hơn so với trường hợp bờ biển: có dữ liệu về các khu vực có kích thước từ hàng trăm mét với các chi tiết có thể nhìn thấy được từ một mét đến kích thước của Trái đất (các vùng xoáy cực). Kích thước của ranh giới đám mây là $D = 1,35$.

Cho đến nay chúng ta chủ yếu chỉ xem xét những đường cong thực tế - những đường có độ phức tạp cao tương tự như đường cong Koch, và các ví dụ địa lý của chúng ta có tính chất hình tròn. Có nhiều quá trình vật lý làm phát sinh các cấu trúc thực tế phức tạp và quan trọng hơn.

Nhiều người trong số các bạn có thể đã trồng tinh thể từ dung dịch bão hòa. Nếu dung dịch không quá bão hòa và được trộn vừa đủ thì một tinh thể màu đỏ có hình dạng đều sẽ mọc ra từ hạt lơ lửng trên một sợi. Tinh thể phát triển do trong chuyển động của nó, các phân tử bằng cách nào đó tiếp cận những vị trí trên bề mặt của nó, nơi chúng có thể “dính”, chiếm vị trí thuận lợi nhất theo quan điểm năng lượng. Tất nhiên, hầu hết các phân tử đều kết thúc ở những nơi không hoàn toàn phù hợp, nhưng sớm hay muộn chúng lại trở nên hòa tan hoặc tan chảy do không đủ kết nối với phần còn lại của tinh thể. Kết quả của sự tăng trưởng cân bằng như vậy là thu được một tinh thể không có khoảng trống bên trong, với các cạnh phẳng nhẵn lý tưởng.

Trong trường hợp không có sự cân bằng giữa quá trình kết tinh và hòa tan (tức là trong quá trình kết tinh nhanh từ dung dịch siêu bão hòa cao hoặc trong quá trình kết tinh từ pha khí), các tinh thể thuộc loại hoàn toàn khác sẽ xuất hiện. Tất nhiên, bạn đã từng nhìn thấy một lớp tuyết phủ trên ngăn đá của tủ lạnh hoặc những hình đóng băng trên cửa sổ. Những thành tạo khá tanh này là do sự kết tủa của nước trong không khí. Đầu tiên, các cụm phân tử riêng biệt được hình thành - cái gọi là các lớp phân tử; Dần dần phát triển và kết nối, các lớp hình thành các khuôn mẫu. Các điều kiện tương tự như những điều kiện xảy ra trong quá trình phát triển của các loài phân lớp cũng tồn tại trong quá trình phát triển của các bông tuyết trong khu vực.

Quá trình tăng trưởng này, được gọi là sự kết tụ được kiểm soát khuếch tán, dẫn đến sự hình thành các tinh thể có hình dạng thực tế - endrite. Kích thước thực tế của tinh thể hendrite được xác định bởi cơ chế phát triển cụ thể của chúng. Tùy thuộc vào sự tương tác của các phân tử tạo thành tinh thể và kích thước của chính tinh thể, hendrite có thể có hình dạng ngẫu nhiên, không đều hoặc ngược lại, có vẻ là một hình hoàn toàn đều đặn, giống như những bông tuyết mà mọi người đều biết đến. Trên thực tế, chúng ta chỉ có thể nói về hình dạng chính xác của những bông tuyết ở quy mô khá lớn (kích thước của chính bông tuyết) và ở quy mô nhỏ thì không có sự đều đặn - điều này phản ánh các quá trình ngẫu nhiên dẫn đến sự hình thành của chúng.

Sự tồn tại của một thang đo tối thiểu (trong trường hợp này có thể

12

Một lớp thực sự tạo thành Nb Ge₂ khi ngưng tụ trên nền lạnh.

có kích thước phân tử bằng hoặc lớn hơn nhiều) dẫn đến tổng số phân tử trong tinh thể (hoặc khối lượng của tinh thể) phụ thuộc vào kích thước của nó theo định luật $N_{molекул} \sim M \sim l^D$. Dựa trên sự phụ thuộc của khối lượng tinh thể đuôi gai vào kích thước của chúng, kích thước của chúng có thể được xác định.

Những hình ảnh rất giống với tinh thể đuôi gai xuất hiện trong quá trình thử nghiệm điện của chất điện môi. Nếu một tia lửa điện mạnh chạm vào một tấm điện môi, trên bề mặt của nó sẽ có một hình vẽ rõ ràng - cái gọi là hình Lichtenberg (được đặt theo tên của nhà vật lý thực nghiệm người Đức G. Lichtenberg (1742-1799), người đã phát hiện ra những hình này). Sự giống nhau giữa hình Lichtenberg và tinh thể đuôi gai không phải là ngẫu nhiên - sự xuất hiện của chúng trên lý thuyết được mô tả bằng các phương trình tương tự.

Kích thước mong manh là một đặc tính rất quan trọng và có thể đo lường được của một hệ thống vật lý. Giá trị này cũng có thể được tính bằng các mô hình lý thuyết khác nhau. So sánh các giá trị được đo và tính toán cho phép bạn quyết định mô hình nào tốt hơn. Ngoài ra, khi tính toán các tính chất vật lý của các hệ mảnh (ví dụ: độ đàn hồi của lưới và các vật liệu rời khác), bạn có thể sử dụng một công cụ toán học được phát triển đặc biệt cho trường hợp này.

Các thuộc tính phân mảnh của khu vực cung cấp nhiều hệ thống từ lâu đã được sử dụng cho các mục đích rất thực tế. Ví dụ, bề mặt của than hoạt tính được sử dụng làm chất hấp thụ (chất hấp thụ) trong mặt nạ phòng độc rất dễ vỡ. Kích thước của bề mặt này lớn hơn 2: nó có hình dạng cực lớn - vô hạn, theo nghĩa tương tự trong đó chiều dài của đường cong Koch là vô hạn) diện tích và các hốc ở mọi tỷ lệ, có khả năng xuất hiện và giữ một cách đáng tin cậy một hạt có kích thước bất kỳ - từ bụi đến phân tử lớn. Bề mặt của nhiều chất xúc tác rắn dùng trong hóa học cũng có tính phân mảnh. Hoạt tính xúc tác của chúng phụ thuộc vào tính chất dễ vỡ của bề mặt, được xác định bằng phương pháp chuẩn bị và chế biến.

Chúng tôi đã làm quen với một số lượng lớn các đối tượng không có chiều. Tôi muốn đặt câu hỏi: chính không gian mà chúng ta đang sống có phải là ba chiều không? Câu hỏi này có thể được trả lời bằng đáp số rất cụ thể. Thực tế là chiều phân mảnh của không gian quyết định hình thức của nhiều định luật vật lý thu hút chúng ta. Ví dụ: số mũ 2 trong mẫu số của định luật Coulomb $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ trên thực tế là.

Hình Lichtenberg.

13

D - 1, trong đó D là kích thước thực của không gian. Phân tích dữ liệu kiểm tra các định luật vật lý, hình thức của nó phụ thuộc vào chiều của không gian, cho thấy chiều của nó khác với 3 không quá $10^{-10}$. Không gian của chúng ta thực ra là “rất ba chiều”.

Thay vì một kết luận

Lịch sử nghiên cứu các hệ thống thực tế khá ấn tượng. Xuất hiện ban đầu như một trò chơi trí tuệ của các nhà toán học thuần túy, những đồ vật này ít được các nhà khoa học tự nhiên quan tâm. Đồng thời, có một số yếu tố ít được hiểu rõ.

Sergey Alekseevich Chaplygin

(Để bắt đầu, xem trang 2)

Sau đó, khi diễn giả kiểm tra cẩn thận các tính toán của mình, họ phát hiện ra rằng Sergei Alekseevich thực sự đã đúng. Có rất nhiều truyền thuyết như vậy.

Vào mùa thu năm 1941, chính phủ lời giải chuyển giao TsAGI cho Kazan và Novosibirsk. Chaplygin bắt đầu đứng đầu chi nhánh Novosibirsk của TsAGI. Trong thời gian ngắn nhất có thể, anh ấy đã cố gắng thực hiện công việc có mục tiêu ở một địa điểm mới. Các dự án lại được phát triển và các phòng thí nghiệm khí động học được xây dựng, đồng thời các công trình khoa học chuyên sâu cũng được thực hiện. Nhưng năm tháng và những gì đã chịu đựng khiến bản thân họ ngày càng cảm thấy nhiều hơn. Ngày 8 tháng 10 năm 1942, Sergei Alekseevich qua đời.

Tên tuổi của Sergei Alekseevich Chaplygin tiếp tục sống trong tác phẩm của các học trò của ông, trong tác phẩm của tất cả các nhà khoa học phát triển và khái quát hóa các ý tưởng của ông.

15

GIỚI THIỆU VỀ ĐỘ CÒN

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. L. TAVACHNIKOV

Bất cứ ai đã từng nghiên cứu các hình kéo dài từ dây hoặc vẽ các đường cong trên một tờ giấy đều quen thuộc với khái niệm độ cong của đường cong phẳng - hình 1.
Độ cong bề mặt là gì?
Bề mặt nào trong hai bề mặt - hình trụ hoặc hình cầu - có độ cong lớn hơn? Những câu hỏi tương tự được giải quyết bằng hình học vi phân, một nhánh của toán học được ra đời vào thế kỷ 18 và 19 nhờ nỗ lực của nhiều nhà khoa học, và trước hết là L. Euler, K.-F. Gauss và W. Riemann.

Đa giác phẳng và đường cong.
Chúng tôi sẽ dạy bạn về độ cong của một bề mặt có… đa giác phẳng. Bạn nhớ rằng tổng các góc ngoài của một đa giác lồi là 2π (hình 2). Độ cong của góc α là số π - α, tức là độ lớn của góc ngoài của nó (góc càng nhọn thì độ cong càng lớn). Khi đó tổng độ cong các góc của một đa giác lồi bằng 2π.
Trên thực tế, nhận định này không chỉ đúng với các đa giác lồi mà còn đúng với các đa giác không tự giao nhau. Trường hợp đa giác tự giao nhau phức tạp hơn.

Làm thế nào bạn có thể xác định độ cong của một đường cong chính không có góc? Hãy vẽ một đường cong và đi vòng quanh nó với tốc độ đơn vị. Chúng ta sẽ vẽ vectơ vận tốc từ một điểm cố định O. Khi đó đầu của nó sẽ di chuyển dọc theo một đường tròn đơn vị tâm O. Chúng ta gọi độ cong của đường cong tại một điểm tức thời cho trước là tốc độ chuyển động của đầu vectơ dọc theo đường tròn đơn vị. Đường cong quay càng nhanh thì độ cong của nó càng lớn.

Bài tập 2. Tìm độ cong của đường thẳng và đường tròn bán kính R.

Nhân tiện, đường thẳng và đường tròn là những đường cong duy nhất có độ cong giống nhau ở mọi điểm.

Khi di chuyển dọc theo một đường cong với tốc độ đơn vị, chỉ có hướng của tốc độ thay đổi. Lấy nhỏ hình 1. Độ cong của đường màu xanh lớn hơn đường màu đỏ.

Hình 2. Từ các góc ngoài của đa giác, bạn có thể thêm một góc hoàn chỉnh. Do đó, tổng các góc ngoài là 2π.

Hình 3. Tìm tổng các góc của các ngôi sao này.

Hình 4. Gia tốc là giới hạn của tỷ số |v-u|/l khi l→0. Độ dài của vectơ v-u có xu hướng bằng độ dài của cung XY, bằng α. Do đó, gia tốc bằng lim α/l, tức là bằng độ cong.

16

một phần của đường cong có chiều dài $l$ và biểu thị bằng $\alpha$ góc giữa các tiếp tuyến với đường cong ở hai đầu của nó. Độ cong là giới hạn của tỷ lệ $\alpha/l$ tại $l \to 0$. Hình 4 cho thấy độ cong là độ lớn của gia tốc khi chuyển động dọc theo một đường cong với tốc độ đơn vị. Độ cong có thể được gán một dấu hiệu (tùy theo đường cong quay theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ (hình5)).

Hãy đi vòng quanh đường cong khép kín với tốc độ đơn vị và quay trở lại điểm xuất phát. Điểm cuối của vectơ vận tốc sẽ quay một vòng tròn đơn vị và bao phủ một đường đi bằng 2π. Nếu tốc độ chuyển động của điểm cuối vectơ không đổi thì đường đi sẽ bằng tích của tốc độ và thời gian của nó. Trong trường hợp tổng quát, quãng đường bằng khoảng tốc độ theo thời gian. Tốc độ di chuyển của phần cuối của vectơ là độ cong của đường cong. Vì vậy, tích phân của độ cong trên một đường cong khép kín không tự cắt nhau bằng 2π.

Định lý này tương tự với phát biểu rằng tổng các góc ngoài của một đa giác là 2π. Đối với các đường cong có điểm tự giao nhau, tích phân độ cong có thể lấy các giá trị khác (hình 6).

Đa giác cầu*). Chúng tôi vẽ trên một hình cầu có bán kính đơn vị

Hình 5. Độ cong là dương nếu đường cong quay theo chiều kim đồng hồ và âm nếu nó quay ngược chiều kim đồng hồ. Với một sự dịch chuyển nhỏ của đường cong bleibt dọc theo pháp tuyến, chiều dài của nó càng tăng thì độ cong càng lớn. Khi dịch chuyển, độ dài của đường cong màu đỏ tăng lên và độ dài của đường cong màu xanh giảm đi.

Hình 6. Tìm tích phân độ cong trên các đường cong này. Gợi ý: Các đầu của vectơ vận tốc đi quanh đường tròn đơn vị bao nhiêu lần?

một hình tam giác có các góc $\alpha, \beta, \gamma$, các cạnh của nó là các cung của đường tròn lớn. Diện tích của nó là gì? Hình 7 cho thấy diện tích này được cho bởi một công thức đơn giản:

$$S = \alpha + \beta + \gamma - \pi.$$

Một hệ quả quan trọng: tổng các góc của một tam giác cầu luôn lớn hơn $\pi$ và diện tích của nó càng lớn thì càng lớn.

Làm thế nào để tìm diện tích hình cầu $n$-giác có góc $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$? Giống như trên một mặt phẳng: chia nó thành các hình tam giác theo các đường chéo (tất nhiên bạn hiểu rằng cả hai cạnh và các đường chéo đều là các cung của đường tròn lớn). Bạn cũng sẽ nhận được công thức:

$$S = (\beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_n) - (n - 2)\pi.$$

Một hệ quả không ngờ tới: diện tích của một đa giác hình cầu phụ thuộc vào kích thước các góc của nó chứ không phụ thuộc vào độ dài cạnh của nó.

Hãy biểu thị bằng $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ các góc ngoài của đa giác cầu bằng $\pi - \beta_1, \pi - \beta_2, \dots, \pi - \beta_n$. Công thức tính diện tích có thể được viết lại như sau:

$$S = 2\pi - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n).$$

*) Những gì đã nói trong đoạn này và dưới đây, trong đoạn “Tổng các đường cong của các góc của một đa giác,” đã được trình bày một phần trong bài viết của N.V. Vasilyev và V.L. Gutenmacher “Tổng các góc” («Kvant», 1988, số 2).

18

Tổng độ cong các góc của một khối đa diện. Chúng ta hãy dựng một góc kép ở mỗi đỉnh của một khối đa diện lồi. Hình 10 cho thấy tổng độ cong của các góc của một khối đa diện lồi bằng 4π.

Tuyên bố này tương tự về mặt không gian với thực tế là tổng các góc ngoài của một đa giác là 2π. hình 2 và 10 có giống nhau không?

Chúng ta hãy ký hiệu B là số đỉnh của khối đa diện, P là số cạnh của nó và Γ là số mặt. Hãy tính tổng các góc phẳng theo hai cách. Tổng các góc phẳng tại đỉnh thứ i bằng 2π-Ki, trong đó Ki là độ cong của đỉnh này. Do đó, tổng tất cả các góc phẳng bằng 2πB—ΣKi=2πB—4π. Mặt khác, tổng các góc của một n-giác là π(n-2). Điều này có nghĩa là tổng các góc phẳng của mặt thứ j bằng π(nj-2), trong đó nj là số cạnh của mặt này. Do đó, tổng tất cả các góc phẳng cũng bằng πΣnj—2πΓ. Mỗi cạnh thuộc đúng hai mặt nên Σnj=2P. Điều này có nghĩa là tổng tất cả các góc phẳng bằng 2πP - 2πΓ. Vì vậy, 2πB—4π=2πP—2πΓ hoặc

B—P+Γ=2.

Công thức này được gọi là công thức Euler và số B - P+Γ được gọi là đặc số Euler của khối đa diện. Đặc tính Euler của khối đa diện lồi là 2,

Hình 10. Các “mũ” được tạo ở các đỉnh của khối đa diện cùng nhau bao phủ toàn bộ hình cầu đơn vị. Tổng diện tích của chúng, bằng tổng độ cong của các đỉnh, bằng diện tích của hình cầu đơn vị 4π.

và đối với các khối đa diện khác (không tự giao nhau), nó có thể lấy các giá trị 0 (hình 11), -2, -4, -6, …

Độ cong của bề mặt nhẵn. Đối với trường hợp mặt phẳng, chúng ta có hai lý thuyết song song: một lý thuyết về độ cong của đa giác, lý thuyết kia về độ cong của các đường cong trơn. Chúng tôi muốn chuyển những lý thuyết này vào không gian và chúng tôi đã hoàn thành nhiệm vụ đầu tiên - chúng tôi xác định độ cong của các góc đa diện. Còn bề mặt nhẵn thì sao? Chúng ta sẽ thảo luận về vấn đề này mà không cần bằng chứng (chúng có thể được xác minh bằng cách phóng to trên một bề mặt đa diện nhẵn).

Hãy nhớ cách xác định độ cong của một đường cong: các vectơ tiếp tuyến được đưa về một điểm và… Câu hỏi đầu tiên đặt ra khi cố gắng suy luận tương tự trong không gian là làm thế nào để thay thế các vectơ tiếp tuyến thành một bề mặt (xét cho cùng, tại mỗi điểm có quá nhiều vectơ tiếp tuyến - cả một mặt phẳng)? May mắn thay, chúng ta đã gặp phải khó khăn này khi xác định góc “ngoài” của một góc đa diện. Hãy làm tương tự, thay thế các vectơ tiếp tuyến bằng các vectơ pháp tuyến.

Vì vậy, hãy chọn điểm A trên bề mặt và bao quanh nó bằng một diện tích nhỏ có diện tích s. Tại mỗi điểm của khu vực chúng tôi sáp lên bề mặt

Hình 11. Đặc tính Euler của khối đa diện này bằng 0. Hãy chứng minh điều đó!

Hình 12. Pháp tuyến đơn vị của bề mặt s được chuyển đến một điểm. Đầu của chúng nằm trên mặt cầu đơn vị và chiếm diện tích t. Giới hạn của tỷ số t/s tại s→0 được gọi là độ cong của chất khí.

21

độ cong của các đỉnh bên trong đường cong. Tình huống tương tự đối với các bề mặt:
góc quay của một mặt phẳng tiếp tuyến khi giao nhau song song dọc theo một đường cong khép kín bằng tích phân của độ cong của bề mặt trên diện tích giới hạn bởi đường cong này.
Đây là hình học Gauss-Bonnet có ý nghĩa - một trong những định lý cơ bản của hình học vi phân.
Như bạn có thể thấy, sự truyền song song trên một bề mặt khác với sự truyền song song trên một mặt phẳng: kết quả của nó phụ thuộc vào đường dẫn mà quá trình truyền xảy ra và nếu đường dẫn này bị đóng thì kết quả của sự truyền song song sẽ là một phép quay. Sự vận chuyển song song có những đặc tính bất thường này là do độ cong của bề mặt. Nếu độ cong bằng 0, nghĩa là bề mặt có thể phát triển được, thì việc truyền song song được “sắp xếp” chính xác như trên một mặt phẳng.

Bài tập 5. Mặt phẳng tiếp tuyến của hình cầu sẽ quay một góc bằng bao nhiêu khi dịch chuyển song song dọc theo đường song song với vĩ độ φ của nó?

Đường trắc địa. Có định nghĩa về sự tịnh tiến song song, chúng ta có thể xác định được độ cong của đường cong trên bề mặt. Định nghĩa này rất giống với định nghĩa về độ cong của đường cong phẳng. Chúng ta lấy trên bề mặt một đoạn nhỏ của đường cong AB có chiều dài l và truyền song song dọc theo nó vectơ tiếp tuyến của đường cong từ điểm A đến điểm B. Vectơ này sẽ không nhất thiết phải chạm vào đường cong tại điểm B; chúng ta hãy biểu thị bằng α góc giữa nó và tiếp tuyến tại điểm B. Giới hạn của tỷ số α/l là l→0 được gọi là độ cong trắc địa của đường cong trên bề mặt.

Bài tập 6*. Xét một đường cong khép kín trên một bề mặt. Chứng minh rằng tích phân của độ cong trắc địa của nó bù với 2n tích phân của độ cong của bề mặt trên vùng giới hạn bởi đường cong này.

Trong số các đường vẽ trên bề mặt, các đường có độ cong tại mỗi điểm bằng 0 đóng một vai trò đặc biệt. Những đường này được gọi là trắc địa. Chúng có hướng cao nhất (theo nghĩa là con đường dẫn thẳng lên đỉnh đồi là thẳng, trái ngược với con đường quanh co ngoằn ngoèo đi lên núi). Các đường trắc địa trên mặt phẳng tất nhiên là đường thẳng; trắc địa trên một mặt cầu là những cung tròn lớn. Một đường trắc địa xuất hiện từ mỗi điểm trên bề mặt theo mỗi hướng - giống như các kinh tuyến của trái đất xuất hiện từ cực. Đường trắc địa cũng có thể được mô tả là những đường cong mà bạn cần phải uốn dọc theo để đi từ điểm này đến điểm khác trên bề mặt càng nhanh càng tốt (điều này không có gì đáng ngạc nhiên - để thực hiện nhanh hơn, bạn cần phải đi bộ mà không rẽ).

Bài tập 7. Vẽ một số đường trắc địa trên một hình nón và một hình trụ. Gợi ý: hãy làm phẳng các bề mặt này.

Hãy nhớ lại rằng sự dịch chuyển song song dọc theo một đường cong trên bề mặt cong là chất lượng của mặt phẳng tiếp tuyến dọc theo đường cong đó. Chúng ta hãy đi đến hệ thống báo cáo liên quan đến mặt phẳng tiếp tuyến. Khi đó chúng ta sẽ thấy bề mặt đang lăn dọc theo một mặt phẳng đứng yên. Do quá trình lăn xảy ra không bị trượt nên độ cong trắc địa của đường cong trên bề mặt nơi xảy ra hiện tượng lăn bằng với độ cong của vết còn lại trên mặt phẳng. Đặc biệt, nếu lăn bề mặt dọc theo đường trắc địa thì vết trên mặt phẳng sẽ là một đường thẳng.

Hãy tưởng tượng rằng một đường thẳng trên mặt phẳng được vẽ bằng sơn dính. Khi cuộn lại, dải sơn thẳng (hay đúng hơn là dải sơn hẹp) này sẽ bám vào bề mặt và nằm dọc theo đường trắc địa. Một phương pháp thực tế để xây dựng đường trắc địa dựa trên điều này: bạn cần cắt một hình chữ nhật hẹp từ giấy và ấn chặt nó vào bề mặt - bạn sẽ có được một đường trắc địa. Thử nghiệm với các bề mặt khác nhau (ví dụ: quả bóng bay hoặc vòng bơm hơi).

(Về phần kết xem trang 42)

23

Nó là gì?

Vào giữa những năm sáu mươi, một nhóm các nhà vật lý thực nghiệm đã cố gắng thực hiện các thí nghiệm sau: ion hóa một nguyên tử bị cô lập (nghĩa là “tách” một electron ra khỏi nó) bằng cách chiếu xạ nó bằng ánh sáng khả kiến. Thoạt nhìn, ý tưởng về một trải nghiệm như vậy có vẻ vô lý.

Thật vậy, để ion hóa một nguyên tử, cần phải hấp thụ một lượng tử (photon) có năng lượng $h\nu$, lớn hơn năng lượng ion hóa $E_n$:

$$h\nu > E_n.$$

Đối với các nguyên tử khác nhau, các giá trị của $E_n$ nằm trong khoảng 4–24 eV (gọi lại: $1\,\text{эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19}\,\text{Дж}$); vì vậy tần số của bức xạ, lượng tử của nó có thể dẫn đến sự ion hóa, ít nhất phải là $\sim 1 \cdot 10^{15}\,\text{c}^{-1}$. Và dải tần của ánh sáng khả kiến ​​là từ $\sim 0,4 \cdot 10^{15}\,\text{c}^{-1}$ (ánh sáng đỏ) đến $\sim 0,8 \cdot 10^{15}\,\text{c}^{-1}$ (ánh sáng tím). Vì vậy, để ion hóa các nguyên tử, cần có lượng tử bức xạ không nhìn thấy được ($\sim 2\,\text{эВ}$), nhưng có tần số cao hơn (bước sóng ngắn hơn), ví dụ như tia cực tím.

Xin lưu ý: bất đẳng thức $h\nu > E_n$ tương tự như viết định luật Einstein có ý nghĩa cho hiệu ứng quang điện - $h\nu > A$, trong đó $A$ là công của một electron rời khỏi bề mặt kim loại. Định luật này đã đặt nền móng cho lý thuyết lượng tử của ánh sáng vào năm 1905. Sự tương tự nêu trên dựa trên bản chất vật lý thống nhất của các quá trình tách electron khỏi nguyên tử và bề mặt kim loại.

Vì vậy, việc ion hóa một nguyên tử bằng lượng tử ánh sáng khả kiến ​​là không thể. Nếu năng lượng của lượng tử đó bằng hiệu giữa năng lượng của trạng thái cơ bản ($E_n$) và trạng thái kích thích ($E_m$) của electron trong ATO-me, tức là $h\nu = E_m - E_n$, thì nguyên tử có thể hấp thụ lượng tử đó và chuyển sang trạng thái kích thích. Và quá trình chuyển đổi ngược (trở về trạng thái cơ bản) sẽ kéo theo sự phát xạ của một photon có tần số $v$. Tình trạng

$$E_n + h\nu = E_m$$

Đây không gì khác hơn là định đề thứ hai của Bohr. Do đó, sự hấp thụ lượng tử ánh sáng khả kiến ​​chỉ có thể dẫn đến sự kích thích của nguyên tử chứ không dẫn đến sự ion hóa nó (hình 1).

Bất đẳng thức $h\nu > E_n$ phản ánh một thực tế thực nghiệm nổi tiếng rằng có cái gọi là “giới hạn đỏ” ​​đối với quá trình ion hóa các nguyên tử bằng bức xạ: ở tần số bức xạ $v$, nhỏ hơn

24

tần số ngưỡng $v_{kp} = E_n/h$ (tức là ở bước sóng lớn hơn ngưỡng, với bức xạ “đỏ hơn”), sự khởi đầu sẽ không xảy ra. Và trong trường hợp này, có sự tương đồng hoàn toàn với cạnh màu đỏ đối với hiệu ứng ảnh: $v_{kp} = A/h$.

Sau tất cả những gì đã nói, một số nhầm lẫn có thể nảy sinh: phải chăng những nhà thí nghiệm cố gắng tạo ra nguyên tử bằng ánh sáng khả kiến ​​không biết những điều cơ bản của vật lý lượng tử? Không, đây là những nhà vật lý giàu kinh nghiệm đã đạt được danh tiếng nhờ nghiên cứu của mình. Và họ đã tiến hành thí nghiệm trong phòng thí nghiệm của Viện Vật lý P. N. Lebedev thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, một trong những trung tâm nghiên cứu vật lý hàng đầu thế giới. Đồng thời, các thí nghiệm tương tự cũng được thực hiện trong các phòng thí nghiệm vật lý ở các quốc gia khác - Mỹ, Pháp, Canada. Có chuyện gì vậy?

Tất nhiên, thí nghiệm này có cơ sở khoa học. Ví dụ, ông đang khám phá các quá trình đa lượng tử và đặc biệt là khái niệm đa lượng tử về nguyên tử. Khả năng cơ bản để thực hiện các quá trình đa lượng tử không tuân theo trực tiếp định luật Einstein về hiệu ứng quang điện và tác dụng của Bohr; nó đã được chứng minh trong quá trình phát triển hơn nữa của lý thuyết lượng tử.

Sự tương ứng được nêu bởi Borum $E_n + hv = E_m$, thể hiện định luật bảo toàn năng lượng trong quá trình tương tác của bức xạ với một nguyên tử, tất nhiên vẫn có giá trị theo quan điểm của lý thuyết lượng tử hiện đại. Tuy nhiên, nó chỉ đại diện cho một trường hợp đặc biệt của một định luật tổng quát hơn, có dạng

$$E_n + E = E_m.$$

Trong định luật độ lớn tổng quát này, $E$ là năng lượng mà một electron nguyên tử đã nhận được. Đây có thể là năng lượng của một lượng tử bức xạ, tức là $E = hv$ (theo cách xây dựng thứ hai của Bohr). Đây có thể là năng lượng mà một electron nguyên tử nhận được trong quá trình va chạm của nguyên tử với bất kỳ hạt nào có động năng đủ lớn, chẳng hạn như với một electron tự do. Cuối cùng, nó có thể là năng lượng của một số lượng tử bức xạ, tức là $E = Khv$. Trong trường hợp này, định luật bảo toàn năng lượng có dạng

$$E_n + Khv = E_m,$$

và sự chuyển đổi của một electron nguyên tử từ trạng thái cơ bản (từ năng lượng $E_n$) sang trạng thái kích thích (từ năng lượng $E_m$) được gọi là sự chuyển đổi đa lượng tử. Kết quả của sự chuyển đổi đa lượng tử như vậy là quá trình kích thích đa lượng tử của nguyên tử (hình 2) được thực hiện.

Nếu năng lượng $Khv$ của một số lượng tử bức xạ lớn hơn nguyên tử năng lượng ban đầu $E_n$, tức là.

$$Khv > E_n,$$

sau đó electron có thể được sắp xếp thẳng hàng với nguyên tử. Đây là quá trình khởi đầu đa lượng tử của nguyên tử (hình 3).

Sự kích thích đa lượng tử và sự khởi đầu đa lượng tử của các nguyên tử là những ví dụ đơn giản nhất về các quá trình đa lượng tử phát sinh tùy thuộc vào trạng thái của nguyên tử, phân tử và các môi trường khác nhau. Sự xuất hiện của thuật ngữ “các quá trình đa lượng tử” dẫn đến sự xuất hiện của một tên mới “các quá trình lượng tử đơn” cho các quá trình, quy trình lâu đời và nổi tiếng.

Hình 2. Sơ đồ năng lượng của quá trình kích thích đa lượng tử:

$$E_n + Khv = E_m, K = 5.$$

25

do sự hấp thụ một lượng tử bức xạ (ví dụ, quá trình đốt cháy và quang hóa của các nguyên tử).

Như vậy, lý thuyết lượng tử hiện đại mở rộng nội dung của định đề thứ hai của Bohr, cho phép khả năng chuyển đổi đa lượng tử của một electron giữa các trạng thái đứng yên trong nguyên tử, và mở rộng định luật Einstein, cho phép khả năng xảy ra đa lượng tử. Thí nghiệm được thảo luận ở trên nhắm tới chính xác việc khám phá ra hiện tượng đa lượng tử.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: tại sao chỉ đến những năm sáu mươi các nhà vật lý mới bắt đầu cố gắng phát hiện các quá trình đa lượng tử? Tại sao cho đến thời điểm này, các quá trình đa lượng tử vẫn chưa được tính đến trong quang học hay quang phổ và không chỉ được đề cập trong sách giáo khoa ở trường mà còn trong khóa học vật lý ở trường đại học? Thực tế là để thực hiện các quá trình đa lượng tử, cần phải có cường độ bức xạ đặc biệt cao - chỉ trong điều kiện này, một nguyên tử mới có thể hấp thụ đồng thời nhiều lượng tử. Không có nguồn sáng nào tồn tại trước những năm sáu mươi của thế kỷ chúng ta có thể cung cấp cường độ bức xạ cần thiết cho việc thực hiện các quá trình đa lượng tử. Tình hình đã thay đổi hoàn toàn sau khi tạo ra tia laser.

Các tính chất đặc biệt của bức xạ laser đã được biết đến rộng rãi. Một góc phân kỳ nhỏ (các chùm tia laser gần như song song) giúp có thể tập trung bức xạ vào một khu vực rất nhỏ; khả năng thay đổi liên tục tần số bức xạ, công suất bức xạ cao - tất cả những điều này mang lại cường độ cao hơn nhiều bậc so với cường độ bức xạ của các nguồn sáng cũ. Do đó, ngay khi các tia laser mạnh đến tay các nhà vật lý vào đầu những năm sáu mươi, các nhà thực nghiệm đã bắt đầu cố gắng phát hiện các quá trình đa lượng tử.

Trước khi chuyển sang phần mô tả chi tiết về trải nghiệm mà chúng tôi đã đề cập ở đầu bài viết, hãy có một cái nhìn thú vị và đáng trân trọng về lịch sử vật lý.

Ai và khi nào lần đầu tiên hiểu và chứng minh khả năng thực hiện các quá trình đa lượng tử?

Hình 3. Sơ đồ năng lượng của quá trình chuyển hóa đa lượng tử của nguyên tử:
$$E_n + Khv > E_n, K = 6.$$

26

Tóm tắt trước đó

Một thực tế đáng chú ý là Einstein là người đầu tiên chỉ ra khả năng thực hiện các chuyển đổi đa quy mô vào năm 1905, rất lâu trước khi cơ học lượng tử ra đời. Thảo luận về định luật Stokes về hậu cần trong một bài báo của ông (với sự phát quang, bước sóng của ánh sáng phát ra lớn hơn bước sóng của ánh sáng bị hấp thụ), Einstein lưu ý rằng nếu “số lượng tử tương tác đồng thời với một đơn vị thể tích lớn, thì lượng tử năng lượng của ánh sáng phát ra có thể nhận năng lượng của nó từ một số lượng tử tới”. Đồng thời thảo luận trong một công trình khác về hiện tượng huỳnh quang phát sinh dưới tác dụng của tia âm cực (electron), Einstein lưu ý rằng động năng của một electron có thể biến đổi thành nhiều lượng tử ánh sáng. Cuối cùng, trong cùng công trình đó, Einstein cũng đưa ra công thức tương ứng cơ bản cho xác suất của các chuyển dịch đa lượng tử, lập luận rằng cường độ bức xạ sinh ra từ sự hấp thụ của hai lượng tử phải tỷ lệ với bình phương cường độ của bức xạ tới.

Do đó, vào năm 1905, Einstein đã công nhận sự tồn tại của các quá trình hấp thụ và bức xạ đa bước sóng và đưa ra công thức tương ứng cơ bản cho xác suất của các quá trình đa bước sóng. Những tuyên bố này của Einstein phản ánh một cách định tính và hoàn toàn chính xác bản chất của các quá trình đa quy mô. (Một sự xác nhận khác về trực giác đặc biệt vốn là đặc trưng của công trình khoa học đen của Einstein.)

Trong gần hai thập kỷ sau nhận xét của Einstein, ông đã không đề cập đến các quy trình đa quy mô theo bất kỳ cách nào. Cuối cùng, vào năm 1927, P. Dirac, một trong những người sáng tạo ra cơ học lượng tử, trong một công trình lớn liên quan đến lý thuyết lượng tử về sự tán sắc ánh sáng, đã tính đến khả năng xảy ra bức xạ hai lượng tử khi tính xác suất của quá trình tán xạ. Tất nhiên, Dirac đã sử dụng khái niệm và ngôn ngữ toán học của cơ học lượng tử. Bước tiếp theo được thực hiện bởi Marney Geppert-Mayer, người đã cống hiến hai công trình vào năm 1929 và 1931 để tính toán định lượng xác suất của một sự chuyển dịch hai lượng tử của nguyên tử hydro bị kích thích sang trạng thái cơ bản. Các công trình của Dirac và Goeppert-Mayer đã đặt nền móng cho cách mô tả hiện đại về các quy trình đa quy mô. (Tuy nhiên, thật là một nhóm các nhà khoa học vĩ đại đã tạo ra nền tảng vật lý của các quá trình đa quy mô - ba người đoạt giải Nobel: A. Einstein, P. Dirac và M. Goeppert-Mayer!)

Phần trình bày có hệ thống đầu tiên về các định luật vật lý cơ bản của các quá trình đa sóng được trình bày trong cuốn sách “Cơ học sóng” của nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng Liên Xô Ya. I. Frenkel, xuất bản năm 1933. Trong tập thứ hai, Ya. I. Frenkel, từ một mô tả toán học chi tiết về các quá trình đa bước sóng, đã đưa ra kết luận sau: “Trong trường hợp ánh sáng, những chuyển đổi (đa bước sóng - N.D.) như vậy về cơ bản là có thể xảy ra, xác suất của chúng tỷ lệ không phải với mức cường độ thứ nhất mà tỷ lệ với mức cường độ thứ hai và thậm chí cao hơn (ánh sáng kích thích - N.D.). thí nghiệm… Do đó, chúng tôi buộc phải đi đến kết luận rằng những chuyển tiếp kép gây ra chỉ bởi ảnh hưởng của ánh sáng không có chỗ đứng thực tế…"

Kết luận này vẫn không thể phủ nhận cho đến khi tạo ra được các tia laser mạnh. Trong thời kỳ tiền laser, nhiều chuyên gia nhãn khoa đã tham gia vào việc tìm kiếm cặn lắng từ sự hấp thụ tuyến tính của ánh sáng trong các môi trường khác nhau. Việc phát hiện các sai lệch do sự hấp thụ không bị giam giữ sẽ quen thuộc, tùy theo ngày xảy ra vụ việc, việc phát hiện các quy trình đa quy mô. Nhà vật lý nổi tiếng Liên Xô Viện sĩ S.I. Vavilov đã nhận được một thí nghiệm

28

quá trình ion hóa, nằm ở trung tâm của một tụ điện phẳng (xem hình 4), giữa các bản có điện áp không đổi vài trăm volt được đặt vào. Dưới tác dụng của điện áp này, các ion xenon Xe⁺ và electron e⁻, tăng tốc, di chuyển về phía các bản tương ứng của tụ điện. Các ion Xe⁺ đi qua một lỗ trên tấm tụ điện và đến máy dò. Máy dò được gọi là cốc Faraday - một điện cực kim loại được tách ra khỏi thân máy ảnh. Sự xuất hiện của các ion tích điện ở điện cực này đã làm thay đổi điện thế của nó và sự thay đổi này được ghi lại trên màn hình máy hiện sóng. Việc các ion xenon chứ không phải nguyên tố nào khác đi tới cốc Faraday có thể được xác định bằng thời gian bay của các ion này kể từ thời điểm hình thành của chúng (trong vùng tập trung sự thay đổi) đến máy dò (gia tốc của ion phụ thuộc vào khối lượng của nó).

Như vậy, chính việc quan sát trên màn hình máy hiện sóng một tín hiệu do xung thay đổi laser gây ra và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung này là bằng chứng cho thấy sự thay đổi trên màn hình máy hiện sóng của tín hiệu do xung thay đổi laser gây ra và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung này là bằng chứng cho thấy sự thay đổi trên màn hình máy hiện sóng của tín hiệu do xung thay đổi laser gây ra và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung này là bằng chứng về sự thay đổi trên màn hình máy hiện sóng của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một số nhất định. Thời gian sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời điểm nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng về sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng về sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng cho thấy sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu do xung thay đổi laser gây ra và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng cho thấy sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu do thay đổi xung laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung này là bằng chứng cho thấy sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu do xung laser gây ra sự thay đổi và xuất hiện sau xung này một thời gian nhất định là bằng chứng cho sự thay đổi trên màn hình máy hiện sóng của tín hiệu do xung gây ra của sự thay đổi tia laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của một Tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu do xung thay đổi laser gây ra và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của một tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung đó là bằng chứng bởi sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung này là bằng chứng của sự thay đổi trên màn hình dao động của tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi của tia laser và xenon trong vùng thay đổi tiêu cự. Nhưng đây là thí nghiệm đầu tiên về sự hình thành đa lượng tử của các nguyên tử và người thực nghiệm phải đưa các ion này kể từ thời điểm hình thành chúng (trong vùng tập trung sự thay đổi) cho máy dò (gia tốc của ion phụ thuộc vào khối lượng của nó).

Vì vậy, việc quan sát trên màn hình máy hiện sóng một tín hiệu gây ra bởi xung thay đổi tia laser và xuất hiện một thời gian nhất định sau xung này là bằng chứng về sự thay đổi trên màn hình máy hiện sóng của tín hiệu do xung thay đổi laser và xenon trong vùng tiêu điểm của sự thay đổi. Nhưng đây là thí nghiệm đầu tiên về sự hình thành đa lượng tử của các nguyên tử và người thí nghiệm phải đề nghị đưa các ion này từ thời điểm hình thành của chúng (trong vùng tập trung sự thay đổi) cho máy dò (gia tốc ion phụ thuộc vào khối lượng của vật thể). Hãy liệt kê một số trong số họ:

1. xenon được bơm ra khỏi buồng - không có tín hiệu;
2. áp suất xenon trong buồng thay đổi (số lượng nguyên tử Xe thay đổi) - tín hiệu xuất hiện khi áp suất tăng và giảm khi giảm;
3. điện áp vào tụ điện bị tắt - không có tín hiệu;
4. điện áp trên tụ điện thay đổi - nó thay đổi trong khoảng thời gian giữa xung laser và tín hiệu trên máy hiện sóng, và khi điện áp giảm, độ trễ tín hiệu tăng lên (gia tốc được báo cáo bởi ionam giảm);
5. Cường độ bức xạ laser giảm đáng kể - không có tín hiệu.

Tất cả điều này chỉ ra một cách thuyết phục rằng sự ion hóa các nguyên tử Xe xảy ra dưới tác dụng của bức xạ laser. Tuy nhiên, các nhà thí nghiệm muốn thu được bằng chứng không thể chối cãi rằng đây là một quá trình thay đổi bảy lượng tử. Những loại thử nghiệm thuyết phục có thể được tổ chức?

Trải nghiệm như vậy ngay lập tức hiện lên trong đầu nếu chúng ta nhớ lại sự tương ứng mô tả sự phụ thuộc của xác suất của một chuyển đổi đa lượng tử vào cường độ bức xạ. Sự phụ thuộc này phải là một định luật lũy thừa, với số mũ bằng số lượng tử bị hấp thụ. Việc phát hiện ra sự phụ thuộc như vậy là bằng chứng không thể chối cãi, sẽ làm hài lòng những nhà phê bình khắt khe và khắt khe nhất!

Thí nghiệm đã được thực hiện. Cường độ bức xạ laser thay đổi dần dần theo một chuỗi liên tiếp.

29

xung và đồng thời biên độ của tín hiệu khác trên màn hình máy hiện sóng thay đổi. Kết quả thể hiện trên hình 5 dưới dạng sự phụ thuộc logarit thập phân của biên độ $A$ của tín hiệu vào logarit thập phân của cường độ $I$ của bức xạ. Có thể dễ dàng nói rằng trong các tọa độ như vậy, định luật lũy thừa được biểu diễn bằng một đường thẳng có độ dốc xác định số mũ. Trong thí nghiệm, quan sát thấy độ dốc tương ứng với $K=7$. Điều này có nghĩa là xác suất khởi tạo kết nối với cường độ bức xạ là sự tương ứng định luật lũy thừa có dạng $w \sim A_i \sim I^7$ và quá trình khởi tạo bảy lượng tử đã được chứng minh một cách không thể chối cãi.

Do đó, vào năm 1965, quá trình khởi tạo nguyên tử đa lượng tử lần đầu tiên được quan sát bằng thực nghiệm. Cùng khoảng thời gian đó, lần đầu tiên người ta quan sát thấy các quá trình đa lượng tử khác - hiệu ứng hai lượng tử của nguyên tử, sự chuyển tiếp hai lượng tử trong tinh thể, sự biến đổi hai lượng tử thành một lượng tử có tần số kép. Cuối cùng, sau một vài năm nữa, người ta có thể quan sát thấy hiệu ứng quang học đa lượng tử bên ngoài từ bề mặt kim loại.

Các thí nghiệm được liệt kê đã bắt đầu một loạt công việc quan sát, nghiên cứu và ứng dụng các quá trình đa lượng tử trong các môi trường khác nhau - trong khí nguyên tử và phân tử, trong chất lỏng, trong tinh thể.

Phần kết luận

Thực tế là quá trình khởi tạo đa lượng tử được thực hiện bằng sự hấp thụ không dẻo của ánh sáng khả kiến ​​có tính chất Cơ bản và đóng một vai trò lớn trong thực tế. Sự xuất hiện của sự hấp thụ không dẻo đối với những thay đổi về chất là ý tưởng của chúng tôi về những môi trường tùy ý tổng quát nhất - tác động của việc hấp thụ những thay đổi đó. Do đó, sự hấp thụ không dẻo xác định rằng

30

Bài toán
M1161—M1165, F1168—F1172

M1161. Một tam giác thư viện chứa 10 quả bóng (hình 1) gần nhau. Chứng minh rằng nếu bạn đặt 9 quả bóng vào đó thì chắc chắn sẽ còn chỗ cho quả thứ mười (tức là tâm của 9 quả bóng sẽ nằm trong một lưới tam giác).

H. P. Dolbilin

M1162. Tìm tất cả lời giải trong các số nguyên (x, y) của phương trình
$$x^3 - 13xy + y^3 = 13.$$
D. V. Fomin

M1163. Cherezha rời điểm A và đến điểm B, di chuyển theo một quỹ đạo tùy ý với tốc độ tùy ý. Theo sau nó, con rùa thứ hai rời khỏi điểm A, tại mỗi thời điểm điểm này di chuyển theo hướng của con rùa thứ nhất (với tốc độ tùy ý) và cuối cùng cũng đến điểm B. Chứng minh rằng đường đi của con rùa thứ hai (tại thời điểm cả hai cùng đến B) không vượt quá đường đi của con rùa thứ nhất.

A. H. Thần

M1164. Một số tự nhiên n được gọi là số hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó nhỏ hơn n (ví dụ: 28=1+2+4+7+14). Chứng minh rằng một số hoàn hảo lẻ (nếu tồn tại) không thể chia hết cho 3, 5 và 7 cùng một lúc.

V. V. Shabunin

M1165. Chứng minh rằng một hình vuông có cạnh n (n là số tự nhiên), được đặt ngẫu nhiên trên một tờ giấy ca rô có kích thước 1x1 ô, bao phủ nhiều nhất (n+1)2 nút lưới.

V. D. Kotlyar

M1168. Ước tính tốc độ tối đa của Lunovodia, phương tiện tự hành hoạt động trên Mặt Trăng, được điều khiển từ Trái Đất.

V. I. Shelest

M1169. Cần tay của bàn xoay là một thanh thẳng nhẹ có chiều dài L (hình 2), một đầu (tại điểm B) cố định loa âm thanh với bút cảm ứng, đầu còn lại cố định bằng bản lề, có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng A, đi qua trục quay O của đĩa xoay một khoảng R (R>L). Kim được đặt trên mặt nước phẳng của một đĩa quay đều. Tìm góc α ở trạng thái ổn định giữa cần tay và AO tuyến tính.

S. F. Kim, A. I. Latynin

M1170. Ước tính khối lượng của Thiên hà thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau cho kết quả khác nhau. Vì vậy, theo ước tính trực quan, trong khoảng cách

31

$R = 3 \cdot 10^9 R_0$ ($R_0$ là bán kính quỹ đạo Trái Đất) khối lượng $M_1 = 1,5 \cdot 10^{11} M_0$ ($M_0$ là khối lượng của Mặt Trời) tập trung từ tâm Thiên Hà. Trong khi đó, chu kỳ quỹ đạo của các ngôi sao nằm ở khoảng cách được chỉ định so với trung tâm Thiên hà là $T = 3,75 \cdot 10^8$ năm. Xác định “khối lượng ẩn” của Thiên hà, tức là khối lượng của các vật thể vô hình bên trong một quả cầu có bán kính $R$. Khi tính toán chuyển động của các ngôi sao, khối lượng của Thiên hà có thể coi là tập trung ở trung tâm của nó.

V. E. Belonuchkin

F1171. Lưỡng cực điện - hai hạt có khối lượng giống nhau $m$ và điện tích $+q$ và $-q$, được bao bọc ở hai đầu của một thanh cứng không trọng lượng có chiều dài $l$, quay với tốc độ góc $\omega$ trong mặt phẳng nằm ngang quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm $O$ của lưỡng cực (hình 3). Tại một số điểm, một từ trường không đổi có cảm ứng $B$ hướng thẳng đứng được bật lên. Mô tả chuyển động được thiết lập của lưỡng cực.

S. Edrakovic (SFRY)

F1172. Bề mặt bên trong của quả cầu được phủ một tấm phản xạ khuếch tán có hệ số phản xạ $r = 0,9$. Sự phân bố góc của ánh sáng phản xạ bởi gương phản xạ khuếch tán được mô tả bởi định luật Lambert:

$$\Delta N = \frac{N}{\pi} \cdot \cos \theta \cdot \Delta \Omega,$$

trong đó $N$ là tổng số photon phản xạ, $\Delta N$ là số photon phản xạ theo một góc đặc nhỏ $\Delta \Omega$, tạo một góc $\theta$ với pháp tuyến của vùng phản xạ. Một nguồn sáng chính xác sẽ nhấp nháy ở trung tâm quả cầu. Bao nhiêu phần tử photon sẽ thoát ra khỏi sự từ chối rất nhỏ có trong quả cầu?

S. A. Khorozov

Lời giải bài toán
M1136—M1140, F1148—F1152

M1136 *. Chứng minh bất đẳng thức cho các số không âm $A$, $M$, $S$
$$3 + (A + M + S) + \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{M} + \frac{1}{S} \right) + \left( \frac{A}{M} + \frac{M}{S} + \frac{S}{A} \right) \geq \frac{3(A + 1)(M + 1)(S + 1)}{AMS + 1}.$$

Bằng chứng về tính chất của phép biến đổi nhân tạo (nhưng cũng khéo léo!) đối với trọng lượng. Nhân hiệu giữa vế trái và vế phải của bất đẳng thức với mẫu số chung $AMS(AMS + 1)$ và tích của sự sắp xếp lại các số hạng, ta thu được
$$A^2M^2S^2(A + M + S) - 2AMS(AM + MS + SA) + (AM^2 + MS^2 + SA^2) + AMS(AM^2 + MS^2 + SA^2) - 2AMS(A + M + S) + (AM + MA + AS) = AM(M + 1)(SA - 1)^2 + MS(S + 1)(AM - 1)^2 + SA(A + 1)(MS - 1)^2 \geq 0,$$
Hơn nữa, sự bình đẳng rõ ràng chỉ đạt được với $A = M = S = 1$. lời giải này đã được báo cáo cho tác giả bài toán bởi một chuyên gia nổi tiếng về bất đẳng thức tuần hoàn, Giáo sư P. H. Dinanada đến từ Singapore.

32

M1137. Trong một vùng đệm rỗng lồi, tất cả các góc đều bằng nhau và từ một điểm nhất định nằm bên trong vùng đệm rỗng, tất cả các cạnh của nó đều có thể nhìn thấy được ở các góc bằng nhau. Chứng minh rằng null này là đúng.

Giả sử trong $n$-gon $A_1A_2...A_n$ (xem hình) tất cả các góc đều bằng nhau, tức là mỗi góc bằng $180^\circ(n-2)/n$ và điểm $M$ sao cho $\angle A_1MA_2=\angle A_2MA_3=\dots=\angle A_nMA_1=360^\circ/n$.

Khi đó tất cả các tam giác $A_1MA_2, A_2MA_3, \dots, A_nMA_1$ đều đồng dạng: nếu $\angle MA_1A_2=\alpha, \angle A_1A_2M=\beta=180^\circ-360^\circ/n-\alpha, \angle MA_2A_3=180^\circ(n-2)/n-\beta=\alpha, \angle A_2A_3M=180^\circ-360^\circ/n-\alpha=\beta$, v.v., thì $\frac{MA_1}{MA_2}=\frac{MA_2}{MA_3}=\dots=\frac{MA_{n-1}}{MA_n}=\frac{MA_n}{MA_1}=k$.

Thay đổi các mối quan hệ này, chúng ta thu được $k^n=1$, tức là $k=1$. (Bạn cũng có thể tranh luận “bằng mâu thuẫn”: nếu $k<1$, thì $MA_1<MA_2<\dots<MA_n<MA_1$; nếu $k>1$, thì $MA_1>MA_2>\dots>MA_n>MA_1$—một mâu thuẫn.) Suy ra rằng $\alpha=\beta$ và $M$ là tâm của $n$-gon $A_1A_2...A_n$ thông thường.

K. P. Kokhas

M1138*. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ nằm giữa các số $n^2$ và $n^2+n+3\sqrt{n}$ luôn tồn tại ba số tự nhiên sao cho tích của hai số đó chia hết cho số thứ ba.

Đối với $n=1$: từ 1 đến 5 - số 2, 3, 4;
Đối với $n=2$: từ 4 đến 6+3$\sqrt{2}$ - số 6, 8, 9 (hoặc 5, 8, 10);
Đối với $n=10$: $x=2$ và $a=8\cdot13=104,$ $b=9\cdot12=108,$ $c=9\cdot13=117$.

Để đánh giá cao bản chất không tầm thường của bài toán này, chúng ta hãy lấy $n=10$: cố gắng tìm nhanh ba số từ 100 đến $[110+3\sqrt{10}]=119$, một trong số đó chia tích của hai số còn lại! (Odana một bộ ba như vậy được chỉ định ở lề.) Lưu ý rằng đối với $n=1$ và $n=2$, câu lệnh bài toán đánh giá indo. Với mỗi số nguyên $n>2$ chúng ta sẽ tìm ba số cần tìm có dạng

$$a=(n-x)(n+x+1)=n^2+n-x^2-x,$$
$$b=(n-x+1)(n+x)=n^2+n-x^2+x,$$
$$c=(n-x+1)(n+x+1)=n^2+2n+1-x^2,$$

trong đó $x$ là số nguyên; rõ ràng là trong trường hợp này $ab$ sẽ chia hết cho $c$. Đặt $x$ là số nguyên lớn nhất mà $x^2+x<n$. Sau đó $n^2<a<b<c$, và còn lại phải chứng minh rằng $c<n^2+n+3\sqrt{n}$, tức là $n+1-x^2<3\sqrt{n}$. Ví dụ: giả sử rằng $x^2\leq n-3\sqrt{n}+1$. Sau đó $x<\sqrt{n-3/2}$ (bắt đầu bằng $x^2\geq n-3\sqrt{n}+9/4$), và do đó $x+1<\sqrt{n-1/2}$. Nhưng trong trường hợp này $(x+1)^2+(x+1)<(n-\sqrt{n+1/4})+(\sqrt{n-1/2})<n$, điều này mâu thuẫn với lựa chọn $x$.

L. D. Kurlyandchik

M1139. a) Bề mặt của khối đa diện lồi có thể cắt thành nhiều hình vuông. Chứng minh rằng khối đa diện này có nhiều nhất 8 đỉnh.

Lý luận của chúng tôi dựa trên khái niệm độ cong của một góc đa diện - đây là tên được đặt cho các đại lượng $2\pi-\sigma$, trong đó $\sigma$ là tổng các góc phẳng của nó. Độ cong được thảo luận chi tiết trong bài báo của S. L. Tabachnikov trên tạp chí này, một phần, “công thức Descartes” đã được chứng minh ở đó - tổng độ cong của tất cả các góc đa diện của một khối đa diện lồi bằng $4\pi$.

33

6. Số đỉnh tối đa mà một khối đa diện lồi có thể có là bao nhiêu, bề mặt của nó có thể cắt thành các hình tam giác đều?

a) Tổng các góc phẳng tại một đỉnh bất kỳ của một khối đa diện cho trước chỉ có thể bằng π/2, π hoặc 3π/2. Trên thực tế, nó nhỏ hơn 2π, vì góc đa diện ở bất kỳ đỉnh nào đều lồi. Đồng thời, góc này được hình thành bằng cách uốn cong và dán một số góc vuông (các góc của hình vuông) và có thể mở rộng góc (nếu xem xét đỉnh của một cạnh của một hình vuông). Do đó, tổng các góc phẳng của nó là bội số của π/2. Như vậy, độ cong của một góc đa diện ở một đỉnh bất kỳ không nhỏ hơn π/2, và theo công thức Descartes, số đỉnh không vượt quá 4π:(π/2)=8. Một ví dụ về hình 8 đỉnh là hình lập phương.

6. Đáp số: 12. Tương tự như phần a), chứng minh độ cong của một góc đa diện tại một đỉnh bất kỳ không nhỏ hơn π/3, nghĩa là số đỉnh không vượt quá 4π:(π/3)=12. Một ví dụ về ikasdr 12 đỉnh là chính xác.

V. E. Matizen

M1140. Hãy vẽ một số đường cong giao nhau trên mặt phẳng (các đường cong có thể có các điểm tự giao nhau, hình 1). Tại mỗi điểm giao nhau, có hai cách để thực hiện “xây dựng lại” (hình 2). Nếu bạn thực hiện tái cấu trúc tại tất cả các điểm giao nhau, bạn sẽ nhận được một số đường cong giao nhau (hình 3).
a) Chứng minh rằng số đường cong giao nhau thu được không lớn hơn số vùng mà các đường cong ban đầu chia mặt phẳng (có 7 vùng như vậy trong hình 1).

a) Giả sử ban đầu các đường cong này chia mặt phẳng thành các diện tích V₁, V₂,…,Vₙ. Mỗi đường cong mới được xây dựng lại giới hạn một vùng bao gồm một số vùng Vᵢ. Chúng ta hãy chọn những đường cong mới không có đường cong mới nào khác bên trong chúng và đánh dấu bên trong mỗi đường cong đó một trong các vùng Vᵢ (hình 5). Bây giờ chúng ta sẽ trăm đường cong này, trong số các từ còn lại, chúng ta sẽ chọn “tối thiểu” (trong đó không có đường cong nào khác) và trong mỗi đường cong đó, chúng ta sẽ đánh dấu một trong những vùng Vᵢ không được bù trong bước đầu tiên. (Rõ ràng là nó sẽ tìm ra những diện tích như vậy.) Tiếp tục với tinh thần tương tự, chúng ta liên kết với mỗi đường cong mới các diện tích Vᵢ bên trong nó, bù ở bước thích hợp và các diện tích khác nhau sẽ được liên kết với các đường cong khác nhau. Điều này có nghĩa là số lượng đường cong không lớn hơn số lượng vùng.

6. Tô màu bản đồ gốc theo mẫu bàn cờ, tức là sao cho vùng bên ngoài có màu trắng và màu của vùng thay đổi khi vượt qua đường viền (hình 6, a). (Sự tồn tại của cách tô màu như vậy dễ dàng được chứng minh bằng quy nạp. Bằng cách thêm một mạch kín không tự giao nhau vào bản đồ đã được tô màu,

34

6. Có phải luôn luôn có thể sắp xếp lại để kết quả là một đường cong?
   c) Chúng ta chọn hướng truyền trên mỗi đường cong và thực hiện thay đổi theo hướng này sao cho các mũi tên “đẩy” nhau (hình 4). kết quả có thể là một đường cong?

đường cong đó, tất cả các khu vực nằm trong đó hoặc những phần bị đường cong này cắt khỏi khu vực cũ đều được sơn lại bằng màu khác; màu bên ngoài được bảo tồn. Trong trường hợp này, thứ tự màu sắc của bàn cờ sẽ không bị xáo trộn. Và bất kỳ đường cong khép kín nào cũng có thể được chia thành các phần đóng không tự giao nhau.) Chúng ta hãy xây dựng một biểu đồ (hình 6, 6) bằng cách sử dụng “tô màu bàn cờ”, gán một điểm cho mỗi vùng màu đen - đây sẽ là các đỉnh của đồ thị và với mỗi điểm giao nhau của đường cong - một cạnh: nó nối các đỉnh tương ứng

Hình 6.

Hình 7.

Hình 8.

các vùng màu đen tiếp giáp với điểm này. Hai phương pháp tái thiết được mô tả trên biểu đồ bằng hai thao tác: tước một cạnh và thu gọn cạnh thành một điểm (hình 7).

Rõ ràng là trên đồ thị của bức ảnh gốc, có thể mở rộng một phần của các cạnh để nó biến thành một “cây”, tức là một đồ thị không có các chuỗi cạnh khép kín. Các cạnh còn lại có thể được thu gọn tuần tự thành một điểm. Trình tự sắp xếp lại tương ứng dẫn đến một vùng màu đen duy nhất. Ranh giới của nó là đường cong mong muốn (hình 8).

Điều thú vị là từ biểu đồ có thể xây dựng lại tập hợp các đường cong tương ứng. Ví dụ: hãy nghĩ xem những đường cong nào tương ứng với đồ thị được hiển thị trong hình 9.

c) Mỗi ​​sự sắp xếp lại biến đổi một tập hợp các đường cong định hướng thành một tập hợp các đường cong định hướng. Giả sử có một chuỗi sắp xếp lại, kết quả của nó sẽ là một đường cong duy nhất. Sau đó, trước khi thực hiện lần sắp xếp lại cuối cùng, chúng ta sắp xếp một tập hợp các đường cong định hướng với một điểm giao nhau duy nhất. Một bộ như vậy có thể bao gồm một đường cong duy nhất, “hình số tám” được hiển thị trong hình 10. Tuy nhiên, việc sắp xếp lại nó sẽ dẫn đến hai đường cong thay vì một đường cong.

S. L. Tabachnikov

F1148. Hình trụ, nhờ một sợi ren, đầu thứ hai được cố định, được đặt trên mặt phẳng nghiêng chính tạo một góc α với Zo-

Hãy xem xét thời điểm khi sợi dây thẳng đứng. Do ren không giãn nên điểm dưới của tiết diện thẳng đứng của nó và điểm của hình trụ A tiếp xúc với nó có cùng tốc độ hướng theo chiều ngang $\vec{v}_A$. Chúng ta hãy tưởng tượng chuyển động của hình trụ là tổng của chuyển động tịnh tiến với

35

đường chân trời, như thể hiện ở hình 1. Tại thời điểm sợi dây thẳng đứng, vận tốc góc của hình trụ brauchen bằng $\omega$. Xác định giá trị bằng nhau ở thời điểm này: a) vận tốc của trục hình trụ; b) tốc độ của một điểm trên hình trụ chạm vào mặt phẳng nghiêng. Bán kính của hình trụ là $R$.

Hình 1.

Hình 2.

F1149. Những dây dẫn đồng dài mỏng được ném ngẫu nhiên vào đường ray dẫn điện của tuyến đường sắt Tserrusch, đóng đường ray. Ước tính điện trở giữa các thanh ray nếu khoảng cách giữa chúng là $l=5$ cm, đường kính của dây dẫn là $d=0,2$ mm, chiều dài của nó là $h=30$ cm, dây dẫn bị ném $N=100$.

Tốc độ trục của nó $\vec{v}_0$, hướng song song với mặt phẳng nghiêng (nghiêng một góc $\alpha$ với đường chân trời) và quay theo chiều kim đồng hồ quanh trục với vận tốc góc $\omega$. Trong trường hợp này, tốc độ của điểm là $A$ (hình 2, a)

$$\vec{v}_A = \vec{v}_0 + \vec{v}'_{\text{bp}}.$$

Như dễ thấy, $v'_{\text{bp}} = \omega R$, $\vec{v}_A \perp \vec{v}'_{\text{bp}}$, từ đâu chúng tôi có được

$$v_0 = \frac{\omega R}{\sin \alpha}.$$

Sự tương ứng tương tự có thể được viết cho điểm $C$ tiếp xúc của hình trụ với mặt phẳng nghiêng (hình 2, b):

$$\vec{v}_C = \vec{v}_0 + \vec{v}'_{\text{bp}},$$

hoặc trong các hình chiếu lên phương dọc theo mặt phẳng nghiêng:

$$v_C = v_0 - \omega R,$$

Ở đâu

$$v_C = \frac{\omega R}{\sin \alpha} - \omega R = \omega R \frac{1 - \sin \alpha}{\sin \alpha}.$$

Là một câu hỏi bổ sung, chúng tôi khuyên bạn nên tìm độc lập các giá trị vận tốc của điểm $A$ của hình trụ.

Điện trở bước của một dây dẫn tạo một góc $\alpha (0 < \alpha < \pi)$ với đường ray bằng

$$r_i = \rho \frac{l_i}{S} = \rho \frac{l/\sin \alpha_i}{\pi d^2/4}.$$

Đối với tổng điện trở giữa các thanh ray, sự tương ứng được thực hiện

$$\frac{1}{R_{\text{o6ш}}} = \sum \frac{1}{r_i} = \sum \frac{\pi d^2 \sin \alpha_i}{4\rho l} = \frac{\pi d^2}{4\rho l} N(\sin \alpha_i)_{\text{cp}}.$$

Giá trị trung bình của $\sin \alpha_i$ có thể được tìm thấy như sau:

$$\left(\sin \alpha_i\right)_{\text{cp}} = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin \alpha \cdot d\alpha = \frac{2}{\pi}.$$

Sau đó

$$\frac{1}{R_{\text{o6ш}}} = \frac{\pi d^2}{4\rho l} N \frac{2}{\pi} = \frac{d^2 N}{2\rho l},$$

và cuối cùng

$$R_{\text{o6ш}} = \frac{2\rho l}{d^2 N} \approx 4 \cdot 10^{-4} \text{ Ом.}$$

36

Bình luận. Chúng tôi đã tính giá trị trung bình của tổng điện trở. Tùy thuộc vào cách dây dẫn rơi vào đường ray, các giá trị điện trở có thể khác ít nhiều so với giá trị tìm được. Hãy thử mô phỏng hiện tượng này bằng máy tính cá nhân, sử dụng cảm biến số ngẫu nhiên và đánh giá khả năng xảy ra kết quả.

A. R. Zilberman

F1150. Một vật được cung cấp một loại khí đơn nguyên tử lý tưởng được bao bọc bên trong một bong bóng dầu. Tìm trạng thái ấm của khí (trên 1 mol) trong quá trình này nếu có thể xác định được áp suất bên ngoài bong bóng.

Công suất nhiệt $C$ của một hệ vật lý là tỷ lệ giữa lượng nhiệt $\Delta Q$ phải được cung cấp cho nó để tăng nhiệt độ lên $\Delta T$ với sự thay đổi nhiệt độ này:

$$C = \frac{\Delta Q}{\Delta T}.$$

Công suất nhiệt có thể là một hàm của quá trình truyền nhiệt, tức là nó phụ thuộc vào thể tích $V$ của hệ thống hoặc vào nhiệt độ của nó $T$. Do đó, dưới $\Delta Q$ và $\Delta T$ các giá trị khá nhỏ (vô cùng nhỏ về mặt toán học) của lượng nhiệt và sự thay đổi nhiệt độ sẽ được hiểu.

Đối với một mol khí lý tưởng bị khóa dưới màng trong bong bóng, lượng nhiệt cung cấp $\Delta Q$ sẽ làm thay đổi nội năng $\Delta U$ và thực hiện công $\Delta A$ chống lại lực căng bề mặt:

$$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3}{2} R \Delta T + p \Delta V.$$

Ở đây $R$ là hằng số phổ quát, $p$ là áp suất khí bằng áp suất tạo ra dưới màng căng bề mặt, $\Delta V$ là sự thay đổi thể tích của bong bóng khi khí trong đó được nung nóng.

Áp suất $p$ được xác định bởi hệ số sức căng bề mặt $\sigma$ và bán kính bong bóng $r$:

$$p = \frac{4\sigma}{r}.$$

Công thức này có thể thu được như sau. Chúng ta hãy chia bong bóng thành hai nửa bằng nhau và xem xét các điều kiện cân bằng cơ học. Lực áp suất của khí làm quả bóng xé làm đôi là $p \cdot \pi r^2$. Lực căng bề mặt giữ chúng lại với nhau là $2\sigma \cdot 2\pi r$. Đánh đồng các lực này, chúng ta thu được công thức tính áp suất đã cho.

Bây giờ chúng ta hãy kết nối công của chất khí $p\Delta V$ với sự thay đổi nhiệt độ của nó $\Delta T$. Vì thể tích của bong bóng và áp suất trong nó phụ thuộc vào bán kính nên cần tìm mối liên hệ giữa sự thay đổi bán kính của bong bóng $\Delta r$ và sự thay đổi nhiệt độ $\Delta T$. Từ phương trình trạng thái khí lý tưởng $pV = RT$ ta có

$$p\Delta V + V\Delta p = R\Delta T.$$

37

Sự thay đổi về thể tích $\Delta V$ và áp suất $\Delta p$ có liên quan đến sự thay đổi về bán kính $\Delta r$ theo các công thức sau:

$$\Delta V = 4\pi r^2 \Delta r, \quad \Delta p = -\frac{4\sigma}{r^2} \Delta r.$$

Phương trình tư thế của trạng thái cho

$$\frac{2}{3} \cdot 16\pi r \Delta r = R \Delta T.$$

Vì vậy, khí hoạt động

$$\Delta A = p \Delta V = R \Delta T - V \Delta p = R \Delta T + \frac{R \Delta T}{2} = \frac{3}{2} R \Delta T.$$

Cuối cùng chúng tôi nhận được

$$C = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U + \Delta A}{\Delta T} = \frac{3}{2} R + \frac{3}{2} R = 3R.$$

Như có thể thấy từ tính toán, một nửa lượng nhiệt cung cấp sẽ làm tăng nhiệt độ khí và nửa còn lại được chuyển thành năng lượng bề mặt của màng.

A. A. Sheropov

F1151*. Vôn kế tĩnh điện là một tụ điện phẳng, một trong hai bản của nó được cố định cố định, còn bản kia có thể di chuyển, nằm trên một bề mặt song song. Tấm di động sử dụng lò xo có độ cứng $k = 10$ N/m. Khoảng cách ban đầu giữa các tấm là $d = 3$ cm, diện tích mỗi tấm là $S = 0,5$ m$^2$. Tính thang đo vôn kế. Điện áp tối đa có thể đo được với nó là bao nhiêu? Hãy xem xét riêng trường hợp nhiệt độ cao rất nhỏ và khá lớn.

Giả sử tấm di động đã dịch chuyển $x$ và khoảng cách giữa các tấm trở thành $d - x$. Ở vị trí này, có hai lực tác dụng lên tấm. Đây là lực điện

$$F_{\text{эл}} = q \frac{E}{2} = \frac{\varepsilon_0 SU}{d - x} \frac{U}{2(d - x)} = \frac{\varepsilon_0 SU^2}{2(d - x)^2}$$

(ở đây $q$ là điện tích của tấm, $E$ là điện áp kích từ trong tụ điện, $U$ là điện áp giữa các bản) và lực đàn hồi

$$F_{\text{упр}} = kx.$$

Hãy viết điều kiện để cân bằng tấm:

$$F_{\text{эл}} = F_{\text{упр}},$$ hoặc $$\frac{\varepsilon_0 SU^2}{2(d - x)^2} = kx.$$

Từ đây ta có phương trình cho thang đo vôn kế tĩnh điện:

$$U = \sqrt{\frac{2k}{\varepsilon_0 S}} x(d - x)^2,$$ ở đâu $0 \leq U < U_{\text{max}}$.

Hãy tìm $U_{\text{max}}$. Để làm điều này, chúng tôi kiểm tra biểu thức $U^2 = 2kx(d - x)^2 / (\varepsilon_0 S)$ ở mức tối đa:

$$(U^2)' = \left(\frac{2k}{\varepsilon_0 S}\right)((d - x)^2 - 2(d - x)x) = 0,$$ và $x_{\text{max}} = \frac{d}{3}$.

Sau đó

$$U_{\text{max}} = U(x_{\text{max}}) = \sqrt{\frac{8}{27} \frac{kd^3}{\varepsilon_0 S}} \approx 4,3 \cdot 10^3 \text{ B}.$$

38

Rõ ràng, ở độ ma sát cao $U_{\text{max}}$ có điện áp thay đổi tối đa.

Ở mức ma sát thấp, phép tính được thỏa mãn. Thật vậy, từ điều kiện cân bằng của tấm di động, ta suy ra rằng có hai vị trí cân bằng - trên hình 1 là $x_1$ và $x_2$, và $x_1$ tương ứng với trạng thái ổn định và $x_2$ tương ứng với trạng thái cân bằng không ổn định. Nếu tấm bị rò rỉ $x_2$ thì nó sẽ tiếp tục chảy xa hơn cho đến khi tiếp xúc với tấm cố định. Đây chính xác là điều hạn chế khả năng có dải điện áp thay đổi $U_1 < U_{\text{max}}$. Hãy tìm cô ấy.

Đặt điện áp trên tụ điện là $U_1$. Tấm chuyển động bắt đầu tăng tốc và được để di chuyển một quãng đường $x_2$. Năng lượng ban đầu của tụ điện

$$W_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{2d} U_1^2.$$

Điện tích truyền qua nguồn (hình 2)

$$\Delta q = \frac{\varepsilon_0 S}{d - x_2} U_1 - \frac{\varepsilon_0 S}{d} U_1,$$

và nguồn công việc

$$A = \Delta q U_1 = \left( \frac{\varepsilon_0 S}{d - x_2} - \frac{\varepsilon_0 S}{d} \right) U_1^2.$$

Ở vị trí $x_2$ năng lượng của tụ điện

$$W_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{2(d - x_2)} U_1^2$$

và năng lượng mùa xuân

$$W_{\text{np}} = \frac{k x_2^2}{2}.$$

Hãy viết ra sự cân bằng năng lượng: $W_0 + A = W_1 + W_{\text{np}}$, từ đâu, sau cái đơn giản hóa, chúng ta điền vào

$$\frac{\varepsilon_0 S}{d(d - x_2)} U_1^2 = k x_2.$$

Nhưng $x_2$ là vị trí cân bằng, tức là.

$$k x_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{2(d - x_2)^2} U_1^2.$$

Từ đây

$$x_2 = \frac{d}{2}.$$

Giá trị $x_2$ này tương ứng với ứng suất $U_1$, là ứng suất tối đa trong trường hợp ma sát rất thấp:

$$U_1 = U(x_2) = \sqrt{\frac{1}{4} \varepsilon_0 S} \approx 3,9 \cdot 10^3 \text{ B}.$$

A. R. Zilberman

39

F1152. Phía sau thấu kính ở khoảng cách $L=4$ cm (tiêu cự lớn) có một gương phẳng nằm gần trục quang chính. Phía trước ống kính, cũng vuông góc với trục quang chính, có một tờ giấy ca rô (hình 1). Trên trang tính này, hình ảnh các ô của nó thu được ở hai vị trí của trang tính so với đường thẳng. Các vị trí này khác nhau $l=9$ cm. Xác định tiêu cự của đường thẳng.

Một trong những vị trí của tờ giấy, khi các ô của nó - hãy gọi chúng là một vật thể - được hiển thị bởi hệ thống quang học trên đó, là khá rõ ràng. Thật vậy, nếu ảnh đầu tiên do thấu kính tạo ra nằm chính xác trong mặt phẳng của gương, thì trong quá trình truyền thứ cấp của các tia qua thấu kính (sau khi phản xạ từ gương), chúng sẽ hội tụ chính xác trong mặt phẳng của tấm gương. Như vậy, trong trường hợp này khoảng cách từ đường thẳng tới ảnh của vật được tạo bằng

$$f_1 = L.$$

(1)

Vị trí thứ hai của tờ giấy cũng không quá khó tìm. Dễ dàng xác minh rằng nếu trang tính nằm trong mặt phẳng tiêu điểm của đường thẳng thì điều kiện bài toán được thỏa mãn. Thật vậy, các tia tới từ mỗi đường của mặt phẳng tiêu cự sẽ bị biến đổi thành chùm tia song song sau khi đi qua thấu kính. Phản chiếu từ gương -

Hình 1.

Hình 2.

Đúng, các tia này sẽ song song và khi đi qua thấu kính sẽ hội tụ trong mặt phẳng tiêu cự của nó. Như vậy vị trí thứ hai của trang tính được xác định bởi điều kiện

$$d_2 = F.$$

(2)

Mối quan hệ (1) và (2) có thể được thu được chặt chẽ hơn. Theo điều kiện bài toán, tia sáng từ tờ giấy đi qua thấu kính, bị phản xạ khỏi gương, lại đi qua thấu kính và chạm vào tờ giấy đó. Hệ thống như vậy tương đương với hệ thống quang học được hiển thị trong hình 2, trong đó cả hai đường thẳng đều giống nhau.

Ảnh do thấu kính thứ nhất tạo ra có thể nằm giữa các thấu kính hoặc ở bên phải thấu kính $J_2$. Trong trường hợp đầu tiên, hình ảnh này là đối tượng hợp lệ cho thấu kính thứ hai. Và chúng ta có thể viết phương trình:

$$\frac{1}{d'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}, \quad \frac{1}{d''} + \frac{1}{f''} = \frac{1}{2L - f'} + \frac{1}{d'} = \frac{1}{F},$$

từ đâu theo sau

$$\frac{1}{d'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{2L - f'} + \frac{1}{d'},$$ và $f' = L$.

Trong trường hợp thứ hai, ảnh do thấu kính thứ nhất tạo ra là vật tối thiểu đối với thấu kính thứ hai,

(Về phần kết xem trang 42)

40

Quảng trường

Hình vuông có lẽ là hình hình học hoàn hảo nhất. Nó được tìm thấy trong rất nhiều tác phẩm nghệ thuật: từ chân kim tự tháp Ai Cập đến “Quảng trường đen” của Malevich. Trong toán học, hình vuông xuất hiện lần đầu tiên trong định lý Pythagore. Chứng minh định lý Pythagore được trình bày trong Hình 1 và Hình 2.

Không trẻ hơn nhiều và bài toán “hình tròn bình phương”: dựng một hình vuông bằng compa và thước kẻ, có kích thước bằng hình tròn đã cho. Những nỗ lực của nhiều nhà toán học xuất sắc trong hai nghìn người cuối cùng đều nhằm mục đích chứng minh tính không thể giải quyết được của bài toán này. Tại hình 3, một “hình tròn cầu phương” gần đúng lời giải bài toán được đưa ra.

Để đo diện tích của một hình ở Hy Lạp cổ đại, người ta quen xây dựng một hình vuông có diện tích bằng hình này. Kể từ đó, việc tính diện tích được gọi là cầu phương. Với sự ra đời của phép tính khoảng, diện tích bắt đầu được tính bằng cách sử dụng các khoảng (hình 4). Do đó, một biểu thức là sự kết hợp của các khoảng bắt đầu được gọi là ký hiệu trong hình cầu phương.

Chia hình vuông cho hình 5 có thể dùng làm bằng chứng cho thấy tổng các số lẻ từ 1 đến 2n - 1 bằng $n^2$.

Hình vuông có thể được chia thành các hình vuông nhỏ hơn - ví dụ: bằng các đường ở giữa. Trên hình 6, một phép chia hình vuông phức tạp hơn thành các hình vuông có cạnh nguyên được đưa ra. Tìm kích thước của chúng nếu biết độ dài cạnh của hình vuông được bảo vệ là 2. Lưu ý rằng những hình vuông này không hoàn toàn khác nhau. Trong một thời gian dài (ông đã viết về điều này trong ấn bản đầu tiên của cuốn sách “Toán học Kaleidocope”). Ý kiến ​​​​này được ủng hộ bởi thực tế là không khó để chứng minh sự không thể chia một khối thành các khối khác nhau. Tuy nhiên, vào năm 1939, việc chia quảng trường thành 55 ô vuông khác nhau đã được xây dựng. Năm 1940, người ta tìm ra hai cách chia hình vuông

41

thành 28 ô vuông khác nhau, sau đó thành 26 ô vuông, và vào năm 1948, người ta đã chia thành 24 ô vuông khác nhau. Năm 1978, người ta phát hiện ra sự phân chia hình vuông.

Nếu bạn cắt hình vuông như trong hình 7, bạn sẽ nhận được câu đố bay phổ biến “Tangram” (nó được thảo luận chi tiết ở trang 4 của trang bìa).

Điều tò mò là trong cờ vua có một “quy tắc hình vuông”: nếu quân vua ở trong một hình vuông, một cạnh là ranh giới bàn cờ mà quân tốt của đối phương đang phấn đấu trở thành hậu, còn mặt kia là đường đi tương ứng của quân tốt (hình 9), thì nếu không có sự trợ giúp của các quân khác thì quân tốt sẽ không trở thành “quân hậu”. Trong tỷ lệ cực đoan có 21 ô vuông khác nhau. Sự cố này có thể được tìm thấy vào giây thứ 4. bìa của «Kvant» Số 11, 1979. Việc chia một hình vuông thành ít hơn 21 hình vuông khác nhau là không thể nữa.

hình 8 hiển thị mạng lưới đường ngắn nhất nối bốn thành phố ở các ô vuông phía trên. Góc tại các điểm giao nhau của đường là 120°. Thoạt nhìn, mạng lưới đường như vậy bao gồm các đường chéo của một hình vuông.

Trong trường hợp này, quân tốt được thăng cấp sẽ bị vua “ăn” ngay lập tức. Tốt ở hình 9 không di chuyển về phía hậu, bất kể nước đi đó là của ai - trắng hay đen.

42

và các phương trình có dạng hơi khác một chút:

$$\frac{1}{d'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F},$$
$$-\frac{1}{d''} + \frac{1}{f''} = -\frac{1}{f'-2L} + \frac{1}{d'} = \frac{1}{F}.$$

Từ đây chúng ta có được

$$-\frac{1}{f'-2L} = \frac{1}{f'},$$

điều đó chỉ có thể nếu

$$f' \rightarrow \infty,$$ hoặc $d' = F$.

Vì vậy, đối với hai trường hợp được xem xét, chúng ta có thể viết:

1. $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{L} = \frac{1}{F}$, mở $d_1 = \frac{LF}{L-F}$,
2. $d_2 = F$.

Theo điều kiện, phương trình bậc hai

$$d_1 - d_2 = l,$$ tức là $l = \frac{LF}{L-F} - F,$

và chúng ta có được một phương trình bậc hai

$$F^2 + lF - lL = 0.$$

Đó là lời giải (liza dương tính theo điều kiện) -

$$F = 3$$ xem

E. P. Kuznetsov

Về độ cong

(Xem phần đầu ở trang 14)

Hãy lăn bóng. Lấy một quả bóng tennis. Một rãnh có hình dạng hẹp được tạo ra trên bề mặt của nó. Đánh dấu một số điểm trên rãnh và đặt quả bóng lên bàn sao cho điểm này nằm trên bàn. Bây giờ hãy cẩn thận lăn quả bóng dọc theo bàn mà không trượt dọc theo rãnh cho đến khi điểm đã đặt lại nằm trên bàn. Kết quả của việc lăn này là quả bóng sẽ quay quanh trục của nó một góc nhất định. Cái nào?

Chuyển động quay của một quả bóng khi lăn dọc theo một đường cong khép kín bằng chuyển động quay của mặt phẳng tiếp tuyến của nó khi nó cắt song song dọc theo đường cong này. Theo định lý Gauss-Bonnet, nó cũng bằng tích phân của độ cong trên vùng giới hạn bởi rãnh. Hãy nhìn vào một quả bóng tennis: hai khu vực mà rãnh phân chia nó hoàn toàn giống nhau. Như chúng ta đã biết, tích phân của độ cong trên diện tích giới hạn bởi rãnh có độ lớn bằng một nửa, tức là bằng 2n. Vì vậy, do lăn, quả bóng sẽ quay một góc hoàn toàn, hoặc tương tự, nó sẽ không quay chút nào. Hãy thử kiểm tra kết quả này bằng thực nghiệm.

Bài tập

8. Vẽ rãnh của quả bóng tennis trên mặt phẳng. Nó sẽ là một đường cong khép kín?

9*. Một đường cong khép kín không tự cắt được vẽ trên mặt phẳng màu đỏ. Một vật lồi được đặt trên một mặt phẳng tại một điểm nhất định của đường cong và lăn dọc theo nó mà không bị trượt. Một dấu vết vẫn còn trên bề mặt. Chứng minh rằng đường này không thể là đường cong khép kín không tự cắt. Gợi ý: sử dụng bài tập 6 - cho đường cong trên một bề mặt và trên một mặt phẳng.

43

Nhiệm vụ

1. Antosha được đưa cho một chiếc cân, và anh ấy…
   Tôi bắt đầu cân đồ chơi của mình. Mashi-
   Vâng, chúng tôi đã cân bằng quả bóng và hai khối lập phương,
   và một chiếc máy có khối lập phương - hai quả bóng.
   Họ cân bằng được bao nhiêu cốc?
   xe hơi? (Alyosha có tất cả những quả bóng giống nhau -
   làm bằng thép, hình khối nữa.)

2. Khi nhân với 4 bốn
   số có chữ số, trong đó có tất cả các chữ số
   khác nhau thì số kết quả được viết
   được mô tả bằng những con số giống nhau, nhưng nói chung
   theo trật tự quân sự. Đây là số mấy?

3. Thêm vào số 1989
   số trái và số phải sao cho
   số có sáu chữ số được chia
   TÌNH YÊU ở tuổi 88.

4. Khi một vòng tròn đi qua
   một điểm (xem hình). Tìm thấy
   tổng các góc của tam giác đỏ.

5. Bộ gồm 30 quả tạ có khối lượng
   tự 1g, 2g, 3g,…, 30g. Từ bộ
   bỏ 10 quả cân, tổng khối lượng của chúng
   bằng một phần ba tổng khối lượng của tất cả các vật nặng.
   Có thể chia những quả cân còn lại thành hai chiếc cân, mỗi chiếc 10 miếng không?
   cho mỗi cốc để cân
   Bạn có cân bằng không?

Những nhiệm vụ này đã được đề xuất cho chúng tôi bởi N.K. Antonovich, M.A. Rollova, A.I. Demi-
Dov, N. L. Tabachnikova, V. V. Proiz-
con bò

NEUTRO TÌM KIẾM Kẻ giết người,
hoặc Bản ghi phân tích kích hoạt

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. S. STEINBERG

Tiêu đề của bài viết này được gợi ý bởi một cốt truyện trinh thám mà người đọc kiên nhẫn sẽ làm quen ở phần cuối. Trong lúc này, chúng ta hãy xem xét những thứ khác xa với pháp y và hãy nói về cách bạn có thể xác định thành phần hóa học của một chất, nghĩa là tìm ra những nguyên tố nào và tỷ lệ nào có trong một mẫu.

Từ khóa học hóa học của mình, bạn biết rằng điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phản ứng hóa học đặc trưng của các chất và nguyên tố, sử dụng các phương pháp được gọi là “hóa học ướt”. Tuy nhiên, trong một số trường hợp việc áp dụng các phương pháp này gặp khó khăn nghiêm trọng. Ví dụ, khi cần thực hiện phân tích hóa học đối với một mẫu rất nhỏ; khi cần độ chính xác cực cao của việc phân tích nhiều nguyên tố cùng lúc. Ví dụ, nó có thể yêu cầu xác định một nguyên tử “ngoại lai” trong số một triệu hoặc 100 triệu nguyên tử khác và xác định nó thuộc loại gì.

Và tình hình không có nghĩa là suy đoán. Đặc biệt, chúng phát sinh trong công nghệ bán dẫn hiện đại. Càng ngày họ càng nói rằng sau thời kỳ đồ đá, thời kỳ đồ đồng và thời kỳ đồ sắt đã xuất hiện

45

silicon Silicon tạo thành nền tảng của các mạch liên tiếp thu nhỏ, ngày nay không thể thiếu các mạch điện tử này. Và đặc tính của chúng phụ thuộc rất nhiều ngay cả vào hàm lượng tạp chất cực kỳ thấp. Nếu không có khả năng xác định thành phần của các mẫu silicon nhỏ với độ chính xác rất cao thì tiến trình phát triển các thế hệ máy tính mới là không thể.

Bạn làm gì trong những trường hợp như vậy?

Người ta đã biết khoảng 100 năm nay rằng các phương pháp phân tích hóa học hiệu quả nhất thường là phương pháp vật lý. Và trong số đó, nhà vô địch thực sự về độ nhạy là phân tích kích hoạt neutron (NAA). Để giải thích các nguyên lý của nó, trước tiên chúng ta nhớ lại cấu trúc của hạt nhân nguyên tử.

Hạt nhân nguyên tử bao gồm các proton tích điện dương và neutron điện. Số lượng proton xác định điện tích của hạt nhân và đóng vai trò là đặc tính chính của nó. Một số nguyên tố khác với những nguyên tố khác chủ yếu ở số lượng proton trong hạt nhân. Nguyên tố đầu tiên của bảng tuần hoàn - hydro (H) - có một proton trong hạt nhân, nguyên tố thứ hai - helium (He) - hai, v.v. Chà, có bao nhiêu neutron trong hạt nhân? Hóa ra hạt nhân của cùng một nguyên tố có thể chứa số nơtron khác nhau. Những hạt nhân có cùng số proton nhưng khác nhau về số nơtron gọi là đồng vị.

Hãy để chúng tôi giải thích điều này bằng một ví dụ. Luôn có hai proton trong hạt nhân helium. Và neutron có thể là 1, 2, 4 hoặc 6, tức là có 4 đồng vị của He - $^3$He, $^4$He, $^6$He, $^8$He (chỉ số biểu thị tổng số proton và neutron). Thiếc có số lượng đồng vị kỷ lục - 10, xenon có 9 đồng vị, cadmium và Tellurium có 8, v.v. Các đồng vị tự nhiên phân bố không đều. Theo quy định, phần lớn nhất (90% hoặc hơn) trong tổng trữ lượng tự nhiên của một nguyên tố là cùng một đồng vị.

Tính chất hóa học của các đồng vị là như nhau. Nhưng những cái vật lý có thể khác nhau và rất đáng chú ý. Ví dụ, do có thêm neutron “thêm”, trọng lượng nguyên tử của các đồng vị khác nhau của một nguyên tố là khác nhau. Nhưng đây là điều chính đối với chúng tôi. Một nhóm lớn các đồng vị có một đặc tính đáng kinh ngạc - tính phóng xạ. Chúng là những nguồn bức xạ không thể nhìn thấy hoặc cảm nhận được nhưng có thể được ghi lại bằng các thiết bị đặc biệt - máy dò bức xạ. Đơn giản nhất trong số đó là bộ đếm quang nhựa và Geiger. Chúng ta sẽ không đi sâu vào câu hỏi về bản chất của bức xạ. Nó phức tạp và nằm ngoài phạm vi của bài viết này. Nhưng để cho rõ ràng, bạn có thể hình dung bức xạ như một dòng hạt vô hình.

Sự phát xạ của mỗi đồng vị phóng xạ có tính đặc hiệu cao. Đây là chân dung cá nhân của anh ấy, độc nhất vô nhị, giống như dấu vân tay của con người. Đặc điểm đặc trưng nhất trong bức chân dung này là năng lượng bức xạ (đối với chúng ta - năng lượng của các hạt) và chu kỳ bán rã.

Chu kỳ bán rã là gì, có tương đối ít lời giải thích. Sử dụng máy dò, bạn không chỉ có thể ghi lại bức xạ mà còn có thể đo cường độ của nó, tức là xác định có bao nhiêu hạt rơi trên một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian. Cường độ càng lớn thì mức độ tăng năng lượng vật lý càng cao. Bộ đếm Geiger nhấp chuột càng thường xuyên, v.v.

46

Pis. 1.
Chu kỳ bán rã của một đồng vị (ký hiệu $T_{1/2}$) là thời gian mà cường độ bức xạ của nó giảm đi một nửa. Trong thời gian này, một nửa số hạt nhân phóng xạ ban đầu chuyển sang trạng thái không phóng xạ (như người ta nói, ổn định). Chu kỳ bán rã của các đồng vị khác nhau là khác nhau - từ một phần giây đến hàng triệu năm. Các máy dò đặc biệt không chỉ đo cường độ bức xạ mà còn đo quang phổ của nó - biểu đồ biểu thị sự phụ thuộc của cường độ bức xạ vào năng lượng của nó. Một ví dụ về phổ như vậy được hiển thị trong hình 1. Các “gai” cường độ sắc nét được gọi là các vạch phổ - chúng tương ứng với bức xạ từ các đồng vị khác nhau. Bằng cách sử dụng các bảng được biên dịch trước, mỗi dòng có thể dễ dàng được liên kết với đồng vị “riêng” của nó (đây là cách các đồng vị được chỉ ra trong hình được “công nhận”).

Do đó, cấu trúc của phổ phát xạ quyết định chất lượng phân tích hóa học bài toán của mẫu, tức là, nó cho phép chúng ta xác định nó bao gồm những nguyên tố phóng xạ nào.

Những gì chúng tôi đã nói cho đến nay hẳn đã thuyết phục bạn, những độc giả thân mến, về một điều: nếu các mẫu trạng thái là từ các đồng vị phóng xạ, thì việc xác định thành phần định tính của chúng từ quang phổ sẽ tương đối dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây là: các mẫu “bình thường” được tạo ra từ các đồng vị không phóng xạ tự nhiên. Do đó, để tiến hành phân tích, chúng phải được kích hoạt, nghĩa là tạo ra chất phóng xạ. Có nhiều cách khác nhau để kích hoạt. Cách dễ nhất là “bắn phá” mẫu trong lò phản ứng bằng neutron. Chúng là những chất trung hòa về điện, có thể cho phép hạt nhân tích điện dương và không có tính phóng xạ.

Hình 2.

47

(ổn định) đồng vị có thể trở thành chất phóng xạ.

Bằng cách sử dụng phổ phát xạ, bạn không chỉ có thể thực hiện phân tích định tính mà còn có thể thực hiện phân tích định lượng để tìm ra có bao nhiêu nguyên tử của một đồng vị cụ thể có trong một mẫu. Thực tế là cường độ bức xạ của đồng vị tỷ lệ thuận với số lượng hạt nhân của nó. Có các tiêu chuẩn (tức là các mẫu có hàm lượng đã biết trước của phần tử được phân tích), bằng cách kích hoạt chúng, có thể xây dựng biểu đồ về sự phụ thuộc này. Và bằng cách đo cường độ phát xạ của một đồng vị nhất định trong mẫu thử nghiệm đã được kích hoạt cùng với chất chuẩn, người ta dễ dàng xác định hàm lượng của đồng vị này từ biểu đồ. (Sau những gì chúng tôi đã nói về chu kỳ bán rã, bạn nên hiểu tại sao việc kích hoạt mẫu và chất chuẩn cũng như sự thay đổi quang phổ của chúng lại được thực hiện đồng thời. Nếu điều kiện này không được đáp ứng, thì để xác định lượng đồng vị từ đồ thị chuẩn, cần phải hiệu chỉnh chu kỳ bán rã.)

Phương pháp phân tích định tính và định lượng mà chúng tôi mô tả được gọi là phân tích kích hoạt neutron - HAA.

Bảng hiển thị danh sách các nguyên tố có hàm lượng silicon rất quan trọng cần biết. Nó liệt kê các đồng vị tự nhiên (ổn định), các đồng vị phóng xạ có thể phát hiện được với đặc tính chu kỳ bán rã và độ nhạy HAA đối với chúng (tức là nồng độ tối thiểu mà nguyên tố đó có thể được phát hiện). 1 cm³ silicon chứa khoảng 102³ nguyên tử, vì vậy bạn có thể tự mình chứng kiến ​​khả năng phá kỷ lục của HAA.

hình 2 hiển thị dữ liệu thu được bằng phương pháp HAA về hàm lượng tạp chất trong silicon từ ba công ty khác nhau của Mỹ cung cấp vật liệu này cho ngành công nghiệp điện tử. Nồng độ tương đối cao của một số nguyên tố, đặc biệt là sắt và crom, đòi hỏi phải tinh chế thêm silicon trước khi chuẩn bị các mạch tích hợp.

Nếu không… chiếc máy tính sẽ không xứng đáng với sự tin tưởng của bạn.

Và kết luận - âm mưu dò tìm đã hứa.

Ngày 13/5/1958, tại thị trấn Edmundstone của Canada, nằm gần biên giới Canada-Mỹ, người ta phát hiện ra chuyến đi của cô gái 16 tuổi Gaztanna Bouchard. Những nghi ngờ dựa trên bằng chứng gián tiếp đổ dồn vào John Vollman người Mỹ, người thường thừa nhận kinh doanh ở Edmundston. Tuy nhiên, anh ấy đã dứt khoát phủ nhận việc tham gia vào buổi biểu diễn. Cuộc điều tra đang rất cần bằng chứng trực tiếp.

Một cuộc kiểm tra kỹ lưỡng tác phẩm của Bouchard cho thấy một sợi tóc vẫn còn được kẹp trong tay cô gái. Anh ta

49

lời khuyên
tới giám khảo

1. Trước hết, hãy giải thích cho thí sinh rằng toàn bộ sự nghiệp chuyên nghiệp của anh ta có thể sụp đổ do đáp số không thành công. Nhấn mạnh với anh ấy tầm quan trọng của tình hình. Đặt nó vào vị trí ngay từ đầu.

2. Hãy hỏi ngay những câu hỏi khó nhất. Nếu câu hỏi đầu tiên quá khó hoặc đủ khó hiểu, thí sinh sẽ trở nên quá thoải mái để đáp số sang câu hỏi tiếp theo, cho dù chúng có đơn giản đến đâu.

3. Khi nói chuyện với thí sinh, hãy duy trì những điều kiện khô khan sau đây và phải thật vui vẻ với giám khảo. Thỉnh thoảng xưng hô với các giám khảo khác một cách hiệu quả bằng những lời chế nhạo thay thế

quan tâm đến đáp số thí sinh, phớt lờ anh ta, như thể anh ta không có trong phòng.

4. Yêu cầu thí sinh giải bài toán bằng phương pháp của bạn, đặc biệt nếu phương pháp đó không bình thường. Giới hạn người dự thi bằng cách đưa nhiều gợi ý và trình độ vào mỗi câu hỏi. Ý tưởng ở đây là điều kiện bài toán, nếu không có điều kiện này thì sẽ là một lò xo đơn giản.

5. Buộc thí sinh mắc một lỗi nhỏ và để anh ta suy nghĩ về nó càng lâu càng tốt. Ngay sau khi anh ta nhận ra sai lầm, nhưng ngay trước khi anh ta biết cách sửa chữa, hãy tự mình sửa chữa một cách khinh thường. Điều này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc và độ chính xác cao của việc lựa chọn

khoảnh khắc mà chỉ có thể đạt được khi luyện tập nhiều hơn.

6. Khi thí sinh bắt đầu chết đuối, đừng giúp anh ta thoát ra ngoài bằng mọi cách. Ngáp… và chuyển sang câu hỏi tiếp theo.

7. Thỉnh thoảng hãy hỏi thí sinh những câu hỏi: “Bạn chưa trải qua điều này ở trường tiểu học à?”

(Tiếp theo trang 62)

50

R-biết Rahem

EFFIGIES TYCHONIS BRÄHE O.F.
ADIFICII ET INSTRUMENTCVRVM
ASTRONOMICORVM STRUCTORIS
A° DOMINI 1587 ALTATUS SVK. 40

Đài quan sát Tycho Brahe và các dụng cụ thiên văn.

50

51

Người khổng lồ

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. E. BELONUCHKIN
Thiên tài giống như một ngọn đồi,
cao chót vót
trên mặt bằng bình đẳng.

Kozma Prutkov

Người ta thường chấp nhận rằng Isaac Newton là một trong những thiên tài vĩ đại nhất trong lịch sử khoa học. Và vì vậy anh ấy hoàn toàn không đồng ý với K. Prutkov. Newton viết: “Nếu tôi nhìn xa hơn những người khác một chút, thì chỉ có điều tôi đã đứng trên vai những người khổng lồ”. Những gã khổng lồ này là ai? Tất nhiên, Kepler, tất nhiên, Galileo, Copernicus. Chà, còn gì bằng nữa?

Nhà khoa học đầu tiên được chúng ta biết đến với cái tên là Thales of Miletus, người có hoạt động khoa học bắt đầu vào đầu thế kỷ thứ 7 và thứ 6 trước Công nguyên. e., đã đóng góp cho lịch sử thiên văn học. Theo truyền thuyết, ông đã dự đoán nhật thực vào ngày 28 tháng 5 năm 584 trước Công nguyên. đ. Tuy nhiên, có lý do để tin rằng ông đã sử dụng một phương pháp được phát triển ở Babylon cổ đại. Phương pháp của người Vyvilonians hoàn toàn mang tính thực nghiệm: những quan sát dài hạn cho phép họ nắm bắt được các mô hình lặp lại của các hiện tượng thiên văn. Thực tế đầu tiên được xác lập “về mặt lý thuyết”, với sự công nhận về việc bắt đầu xây dựng sơ đồ của Vũ trụ, rõ ràng nên được coi là tính hình cầu của Trái đất.

Hai khái niệm đặt nền tảng cho các hệ thống khoa học đầu tiên xây dựng thế giới: sự bất động hiển nhiên của Trái đất và sự chuyển động đều trong một vòng tròn quanh Trái đất của Mặt trời, Lunya và các hành tinh. Sự bất công của dotma thứ hai đã được thay thế bởi các nhà thiên văn học cổ đại, nhưng chính điều này vẫn không thể lay chuyển trong suốt hai nghìn năm - cho đến tận Kepler.

Ngay cả khi có vẻ như ngôi sao đang chuyển động không đều và không theo đường tròn, thì nó vẫn chuyển động đều theo một vòng tròn, tâm của nó chuyển động đều theo một vòng tròn quanh một điểm chuyển động đều theo một vòng tròn… v.v., cho đến khi, chẳng hạn, cho đến khi một điểm bắt đầu chuyển động đều theo một vòng tròn với tâm là Trái đất. Kiểu sơ đồ này lần đầu tiên được xây dựng bởi nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại Eudoxus vào năm

Bình luận lịch sử

Thales of Miletus (khoảng 625 - khoảng 547 trước Công nguyên) - triết gia Hy Lạp cổ đại, người sáng lập triết học cổ đại.

Bằng chứng về tính hình cầu của Trái Đất. (Từ sách hướng dẫn sử dụng đồng hồ mặt trời, 1531) Dòng chữ ở trên cùng: “Biểu đồ này cho thấy Trái đất có dạng hình cầu.” Hơn nữa: “Nếu Trái đất có hình vuông, hình tam giác hoặc hình lục giác, chúng ta sẽ thấy các vị thần có hình dạng tương ứng dưới bóng râm.”

52

Eudoxus của Cyd (c. 406 - c. 355 TCN) - nhà toán học và thiên văn học Hy Lạp cổ đại. Ông tưởng tượng sự chuyển động của các hành tinh là sự kết hợp của 27 quả cầu đồng tâm quay đều quanh Trái đất.

Aristotle (384-322 TCN) - triết gia và nhà khoa học Hy Lạp cổ đại. Cuộc thảo luận của Aristotle bao gồm tất cả các nhánh kiến ​​thức vào thời đó. Trong lĩnh vực thiên văn học, mối quan tâm của Aristotle chủ yếu tập trung vào các câu hỏi về sự hình thành thế giới. Ông cũng thực hiện các quan sát về các hiện tượng thiên thể, sao chổi và sao rơi.

Ginnapkh (khoảng 180-190-125 trước Công nguyên) - nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại, một trong những người sáng lập thiên văn học. Ông xác định khoảng cách tới Mặt trăng, độ dài của năm và biên soạn một danh mục gồm 850 ngôi sao, trong đó ông chia chúng thành 6 loại theo độ sáng.

Claudius Ptolemy (khoảng 90 - c. 160) - nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại, người tạo ra hệ địa tâm của thế giới. Ông đã phát triển một lý thuyết toán học về chuyển động của các hành tinh quanh Trái đất, giúp tính toán trước vị trí của chúng trên bầu trời.

Nikolai Konernik (1473-1543) - nhà thiên văn học người dùng, người tạo ra hệ địa tâm của thế giới. Ông đã làm nên một cuộc cách mạng trong khoa học tự nhiên, từ bỏ học thuyết về vị trí trung tâm của Trái đất vốn đã được chấp nhận trong nhiều thế kỷ. Ông giải thích sự chuyển động biểu kiến ​​của các thiên thể bằng sự quay của Trái đất quanh trục của nó và sự chuyển động quay của các hành tinh (bao gồm cả Trái đất) quanh Mặt trời.

Juodani Kepler (1571-1630) - Nhà thiên văn học người Đức, một trong những người tạo ra thiên văn học hiện đại. Ông đã khám phá ra các định luật về chuyển động của hành tinh (lý thuyết của Kepler), trên cơ sở đó ông biên soạn các bảng hành tinh.

Một nhà thiên văn học thời Trung cổ xác định khoảng cách tới một con tàu trên biển bằng phương pháp tam giác do Thales đề xuất.

đầu thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên e. Sơ đồ của Eudoxus bao gồm 27 vòng tròn (hình cầu) và giải thích đủ chính xác vào thời điểm đó chuyển động của Mặt trời, Mặt trăng và gót chân của các hành tinh được biết đến vào thời điểm đó.

Theo thời gian, độ chính xác của việc quan sát tăng lên và số lượng quả cầu cũng tăng theo. Học trò của Eudoxus Kalippou đánh được 33 vòng tròn LOBJS. Aristotle đã đưa số của họ lên 56. Hệ thống các vòng tròn (hình cầu), được cải tiến nhờ các công trình của polychastron, chủ yếu là Hipparchus, được Ptolemy phát minh, người mà nó được đặt tên và được quyền lực của Aristotle phong thánh, là hệ thống duy nhất được chấp nhận trên thế giới ngay cả đối với nhà cách mạng vĩ đại trong khoa học Copernicus, người cuối cùng “chỉ” chuyển trung tâm của Vũ trụ từ Trái đất sang Mặt trời. Và cuối cùng chỉ có Kepler mới có thể từ bỏ ý tưởng về chuyển động đều của các hành tinh theo vòng tròn.

Như bạn có thể biết, Kepler đã phản ứng lại điều này bằng cách tính toán độ lệch tám phút của Sao Hỏa so với vị trí quy định của nó. Tycho Brahe, người có kết quả quan sát mà Kepler sử dụng, đã đạt được độ chính xác mà tại đó tám phút này không còn có thể được cho là do sai số đo lường. Đúng vậy, một thế kỷ rưỡi trước Brahe, Ulugbek vĩ đại đã đạt được độ chính xác tương tự, hoặc thậm chí cao hơn một chút. Nhưng Samarkand ở xa châu Âu, và nhà thờ Hồi giáo, nạn nhân của Ulugbek đã thất thủ, đã quyết tâm xóa bỏ ngay cả ký ức về người vô thần, mặc dù anh ta là người cai trị nhà nước Trung Tây vĩ đại.

Độ chính xác trong phép đo của Eudoxus là khoảng 0,5°, của Tycho Brahe là khoảng 2′, của Ulugbek là khoảng 1′. Với hình ảnh của kính thiên văn, độ chính xác của các phép đo đã tăng lên đáng kể. Nhưng phải chăng điều này có nghĩa là kết quả của các nhà thiên văn học cổ đại và trung cổ đã mất hết giá trị đối với chúng ta? Tất nhiên là không. K. Prutkov lập luận: “Và với đường sắt, cách tốt nhất để tồn tại là đi hai chiều. Ghi chép của người xưa - người Hy Lạp, Ai Cập, Tu viện, Trung Quốc, Inca - giúp thiết lập các mô hình chuyển động lâu dài của các hành tinh, Trái đất và các ngôi sao “vô hình”. Đây là một minh họa.

Bài 1. Kính thiên văn phản xạ lớn nhất thế giới (VTA của Liên Xô) có một gương có đường kính D = 6 m làm thấu kính. Một ngôi sao phải được quan sát bằng VTA trong khoảng thời gian nào để tốc độ của nó có thể được xác định chính xác hơn so với sử dụng dữ liệu Eudoxus? Điều gì sẽ xảy ra nếu dữ liệu từ Tycho Brahe và Ulugbek được sử dụng?

53

Để tính tốc độ của một ngôi sao, ít nhất bạn phải xác định vị trí của nó hai lần. Độ chính xác mà tọa độ của các ngôi sao có thể đo được bằng kính thiên văn được xác định bởi độ phân giải của nó và về cơ bản nó bị hạn chế bởi hiện tượng nhiễu xạ. Góc tối thiểu có thể đo được, áp dụng bởi đường kính D, là xấp xỉ λ/D, trong đó λ là bước sóng của bức xạ tại đó thực hiện quan sát. Ví dụ: đối với ánh sáng vàng, λ≈6·10⁻⁷ m, nghĩa là độ chính xác tối đa của phép đo trên VTA là khoảng 10⁻⁷ radian. Mời độc giả tự mình tính toán thêm (đáp số xem trang 75).

Cuộc chiến chống lại hiệp ước, làm bất động Trái đất, bắt đầu từ thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. đ. Tên của đô vật đầu tiên là Aristarchus xứ Samos. Mặc dù cả Pythagoras và Heraclitus đều tin rằng Mặt trời là trung tâm của Vũ trụ, nhưng chính Aristarchus mới là người đầu tiên cố gắng tranh luận về điều này. So sánh kích thước tương đối của Trái đất và Mặt trời mà ông tính toán, ông đi đến kết luận rằng Mặt trời, có kích thước lớn hơn đáng kể so với Trái đất, phải là trung tâm mà các hành tinh, bao gồm cả Trái đất, quay xung quanh. Và đây là mười tám thế kỷ trước Copernicus!

Hãy thử làm theo các tính toán của Aristarchus bằng ví dụ này.

Bài toán 2. Mặt trời ở xa Trái đất hơn Mặt trăng. Kích thước tương đối của Mặt trăng và Mặt trời thực tế là giống nhau, điều đó có nghĩa là bóng của Mặt trăng trên Trái đất là một điểm. Bóng của Trái đất trên quỹ đạo của Mặt trăng có đường kính gấp đôi Mặt trăng (con số đúng là 2,67 lần). Trái đất lớn hơn Mặt trăng bao nhiêu lần? Tính toán sự tương ứng tương tự từ sự tương ứng bằng cách sử dụng dữ liệu hiện đại.

Để xác định kích thước của Mặt trời, Aristarchus đã đo giữa hướng tới Mặt trời và Mặt trăng trong quý đầu tiên và quý cuối cùng của nó, tức là khi chính xác một nửa đĩa Mặt trăng được chiếu sáng. Và ở đây anh ấy đã phạm một sai lầm lớn: theo số đo của anh ấy, góc này chênh với góc vuông 3°, và

Đài thiên văn Tycho Brahe ở Uraniborg. Từ graira 1598

Ulugebek Muhammad Taragai (1394-1449) - Chính khách, nhà khoa học, nhà giáo dục miền Trung Azat. Xây dựng một trong những đài quan sát quan trọng nhất thời Trung cổ. Ông đã biên soạn một danh mục vị trí của 1018 ngôi sao, được xác định với độ chính xác cao.

Pythagoras của Samos (thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên) - nhà toán học và triết học Hy Lạp cổ đại.
Heraclitus xứ Ephesus (cuối thế kỷ thứ 6 - đầu thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên) - nhà triết học biện chứng Hy Lạp cổ đại.

Aristarchus của Samos (khoảng 320 - khoảng 250 trước Công nguyên) - nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại. Ông là người đầu tiên bày tỏ ý tưởng về thuyết nhật tâm: ông cho rằng Trái đất chuyển động quanh trái đất nằm ở tâm quả cầu của các ngôi sao cố định.

54

Giovanini Domeniko Cassilii (1625-1712) - giám đốc đầu tiên của Tổng cục Hành chính Paris. Ông đã phát hiện ra chuyển động quay của Sao Mộc và Sao Hỏa, 4 vệ tinh của Sao Thổ và một khoảng tối trên người đồng nghiệp của mình.

Eratosthenes của Cyrene (khoảng 276-194 trước Công nguyên) - nhà khoa học Hy Lạp cổ đại. Làm việc trong nhiều lĩnh vực khoa học. Ví dụ, trong toán học, ông đã đưa ra một phương pháp nổi tiếng để tìm số nguyên tố. Ông nghiên cứu niên đại và thiên văn học (mô tả các chòm sao).

Posidonius (khoảng 135-51 TCN) - triết gia Hy Lạp cổ đại. Các bài luận bao gồm tất cả các lĩnh vực kiến ​​thức và hoàn thiện hình thức tự nhiên cổ xưa.

Nicholas of Cusa (1401-1464) - triết gia, nhà thần học, nhà khoa học. Một trong những người đi trước của vũ trụ học Copernicus và có kinh nghiệm về thiên nhiên.

Galileo Galilei (1564-1642) - Nhà khoa học người Ý, một trong những người sáng lập ra kiến ​​​​thức tự nhiên chính xác cho chiến thắng của hệ thống nhật tâm của thế giới.

“Skentik hay Người hành hương ở nơi tận cùng Trái đất” là một biểu đồ trên gỗ, được làm vào thế kỷ 19. Camille Flammartion.

số đúng là 8,6′. Thực tế là đại lượng này nhìn chung rất khó đo, đặc biệt là do hiện tượng “ánh sáng tro” - Mặt trăng phản chiếu lại Trái đất ánh sáng mặt trời bị Trái đất tán xạ về phía nó. Đó là lý do tại sao đáp số Aristarcha và của chúng tôi sẽ khác nhau rất nhiều khi chúng tôi quyết định bài toán tiếp theo.

Nhiệm vụ 3. Xác định tỷ lệ kích thước của Mặt trời và Mặt trăng, sử dụng dữ liệu của Aristarchus. Bạn nhận được gì nếu cắm những con số hiện đại?

Gợi ý: Aristarchus coi góc giữa các đường thẳng Trái đất - Mặt trăng và Mặt trăng - Mặt trời là thẳng hoàn toàn.

Kết quả mà Aristarchus thu được về kích thước của Trái đất và Mặt trời đã không còn nghi ngờ gì trong hơn hai nghìn năm. Chỉ đến giữa thế kỷ 17, người sáng lập Đại hội đồng Cassilia ở Paris mới thực hiện các phép đo trực tiếp khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời và “tăng” kích thước của Mặt trời.

Và ông đã đo kích thước Trái đất với độ chính xác cao vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. đ. Eratosthenes của Cyrene (bạn có nhớ “sàng Eratosthenes” để làm nổi bật các số nguyên tố không?). Eratosthenes học được rằng ở Syene (nay là Aswan) mỗi năm một lần các vật thể không đổ bóng. Anh ấy đã đến Siena và xác minh sự thật này. Vì vậy, Eratosthenes tin chắc rằng vào ngày có ánh nắng mùa hè ở Syene, Mặt trời đã ở đỉnh cao. Ở Alexandria, nơi Eratosthenes sống, vào một ngày Mặt trời, Mặt trời không đạt tới thiên đỉnh ở 1/50 chu vi của nó. Từ Alexandria đến Siena có 5000 stade (đơn vị đo chiều dài của Hy Lạp) và các thành phố gần như nằm trên cùng một kinh tuyến. Eratosthenes phải đối mặt với bài toán dễ dàng, cũng được cung cấp cho bạn.

Nhiệm vụ 4. Sử dụng dữ liệu trên, hãy xác định chu vi của quả địa cầu.

Ở giai đoạn đáp số hóa ra ngay lập tức - 250.000. Và nó trông như thế nào tính bằng km tích lũy? Một số người muốn sử dụng Eratosthenes và chọn con số 157 m cho kích thước của sân khấu. Sau đó, họ nhận được độ chính xác “thiên văn” - lỗi của Eratos.

55

tocphene ít hơn 2%. Đúng, có hai trường hợp khiến tôi bối rối.
Thứ nhất, Siena không nằm chính xác ở vùng nhiệt đới, và thứ hai, điều kỳ lạ là sau một độ rưỡi, Posidonius đã nhầm nhiều hơn - anh ta nhận được 240.000 bước, tức là ở một độ rưỡi, độ chính xác cao hơn gấp ba lần. Tuy nhiên, giá trị có thể xảy ra nhất của sân khấu là khoảng 190 mét.

Tuy nhiên, chúng ta hãy quay lại với Aristarchus. Ông là người đầu tiên bày tỏ ý tưởng về thuyết nhật tâm, nhưng ông đã thất bại trong việc bác bỏ bằng chứng của thỏa thuận đầu tiên, và trong gần hai nghìn năm, Trái đất đã không chuyển động. Nhưng độ chính xác của các phép đo ngày càng tăng và việc dung hòa chuyển động của các hành tinh với sơ đồ của Ptolemy ngày càng trở nên khó khăn hơn.

Không thể không ghi nhận sự đóng góp của Hồng y Giáo hội Công giáo, Nicholas xứ Cusa trong việc vạch trần hệ thống địa tâm của thế giới. Lập luận của ông là một làn sóng thần học: vì Chúa là một vedesus, nên bất kỳ điểm nào trong Vũ trụ đều ở gần Ngài như nhau (hoặc cách xa Ngài như nhau), và do đó đều có thể đòi quyền được coi là trung tâm của Thế giới như nhau. Nhưng người ta không nên nghĩ rằng đặc tính khoa học này chỉ liên quan đến cụm từ này.

Roger Bacon vào thế kỷ 13, Nicholas xứ Cusa vào thế kỷ 15, Francis Bacon vào đầu thế kỷ 17 đã đặt nền móng cho phương pháp luận khoa học hiện đại, luận điểm chính của nó có thể được diễn đạt bằng câu “kinh nghiệm là tiêu chí của sự thật”.
Một số người có thể hỏi: bốn thế kỷ mới có một luận án vẫn chưa đủ sao? Chúng ta hãy nhớ rằng trong hơn một nghìn năm, Kinh thánh và Aristotle đã được coi là tiêu chí của sự thật. Rốt cuộc, trở lại thế kỷ 17, không khó để rơi vào nanh vuốt của Tòa án dị giáo chỉ bằng cách đọc lại chân của một con nhện. Aristotle đã viết rằng một con nhện có sáu chân, nhưng hãy thử đếm - bạn chắc chắn sẽ có được tám chân (tất nhiên trừ khi con nhện bị tàn tật), và đây sẽ là một tội lỗi lớn. Nhưng đòn chí mạng vào hệ địa tâm chỉ do Nicolaus Copernicus giáng xuống.

Vào đầu thế kỷ 17, chiếc điện thoại đầu tiên do Roger Bacon dự đoán và Leonardo da Vinci thiết kế đã được tạo ra. Vào ngày 7 tháng 1 năm 1610, Galileo gửi nó tới Sao Mộc và ngay lập tức phát hiện ra rằng hành tinh lớn nhất có bốn vệ tinh. Giờ đây, những vệ tinh này được biết đến nhiều hơn người nhận, nhưng bốn vệ tinh lớn nhất được gọi theo tên của người tiết lộ đầu tiên - các vệ tinh Galileo của Sao Mộc. Đến năm 1670, Cassini đã có ước tính thực tế về bán kính quỹ đạo Trái đất. 5 năm sau, Roemer, sử dụng dữ liệu của các vệ tinh Sao Mộc và Cassini, đã thực hiện được ước mơ của Galileo - ông đã đo được tốc độ ánh sáng. Hãy thử làm điều tương tự, nhưng theo một cách hơi khác.

Bài 5. Khoảng thời gian giữa hai vệ tinh liên tiếp của Sao Mộc trong năm thay đổi từ giá trị tối thiểu là 42 và 28 phút 21 giây đến giá trị tối đa là 42 và 28 phút 51 giây. Xác định tốc độ ánh sáng từ những dữ liệu này.

Vì quỹ đạo của Sao Mộc lớn hơn quỹ đạo Trái đất và tốc độ của Sao Mộc nhỏ hơn nhiều so với tốc độ của Trái đất, nên chúng ta có thể giả định rằng trong năm, vị trí tương đối của Trái đất và Sao Mộc thực tế không thay đổi. Mỗi lần khoảng thời gian của chu kỳ quỹ đạo của Yupizana chỉ thay đổi khi có sự thay đổi về hướng của tốc độ Trái đất. Tốc độ này có độ lớn không đổi và bằng 29,8 km/s.

Dữ liệu được tích lũy, độ chính xác tăng lên và các quy luật thực nghiệm được rút ra. Đã đến lúc phải giải thích tất cả điều này. Nhưng điều này nằm ngoài phạm vi của chương này.

56

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú được xuất bản bên dưới “Tại sao túi không trượt?” dành cho học sinh lớp tám, ghi chú “Cực quang” - dành cho học sinh lớp chín, “Về các định luật Newton và “ý chí tự do” - dành cho học sinh lớp mười.

Tại sao túi không trượt?

Trong một buổi học, giáo viên đặt hộp diêm lên bàn và đặt một cốc nước lên hộp (hình 1).
– Làm thế nào để lấy hộp ra mà không chạm vào kính? Sự lôi kéo? Không, kính sẽ đi theo hộp. Bây giờ hãy nhìn xem.
Giáo viên nhấc một cây thước nặng lên, đẩy nó sang một bên và

Mahu đánh vào hộp. Que diêm bay vào góc xa, zagostan đứng trên bàn, gần như bất động trước cú đánh!
Tại sao kính không di chuyển? Để tránh hiểu lầm, chúng tôi xin nhắc bạn rằng giáo viên không đánh vào kính mà vào hộp.
Trên tấm kính nằm ngang chỉ có lực ma sát từ thành hộp $F_{\text{тр}} = \mu m_{\text{ст}} g$ tác dụng.
Tất nhiên, với sự trợ giúp của một lực như vậy, bạn có thể truyền một tốc độ đáng chú ý đến tấm kính bằng cách di chuyển hộp qua bàn với một gia tốc nhẹ (hãy nghĩ về các giới hạn mà điều này sẽ nằm trong đó)

Hình 1.

57

tăng tốc để kính không bị trượt). Vấn đề không nằm ở độ lớn của lực mà ở chỗ khi va chạm mạnh hộp tuyến tính sẽ bay ra ngoài ngay lập tức và lực của khay tác động rất ngắn. Ngắn đến mức lực này không có thời gian để truyền bất kỳ xung lực đáng chú ý nào $\Delta P_x = F_{\text{tp}} \Delta t$ tới kính.

Ví dụ này cho thấy khi phân tích các lực tác dụng lên một vật hoặc lên một hệ vật cũng cần tính đến thời gian tác dụng của chúng. Ví dụ, khi có một vết đứt từ bên ngoài, một ngoại lực tác dụng lên nó - lực hấp dẫn. Mặc dù vậy, chúng ta có thể giả sử rằng động lượng của hệ được bảo toàn (động lượng bên ngoài bằng tổng động lượng của các mảnh), vì sự thay đổi động lượng của hệ trong một thời gian nổ rất ngắn là không nhỏ.

“Không,” một học sinh tinh ý có thể phản đối, “rõ ràng có điều gì đó không ổn ở đây!” Hãy nhìn quả bóng cứng bật ra khỏi sàn (hình 2). Thời gian tác động ngắn và sự thay đổi động lượng khá dễ nhận thấy:

$$\Delta P_y = mv - (-mv) = 2mv.$$

Có chuyện gì vậy?

Học sinh này chắc chắn đúng. Không phải lúc nào tác dụng của một lực cũng trở nên không đáng kể trong một thời gian ngắn tác dụng của nó.*) Điều này chỉ đúng trong trường hợp khi độ lớn của lực là cố định, chẳng hạn như trong lực hấp dẫn. Tình hình hoàn toàn khác với lực phản lực của mặt đất,

*) Tác dụng của lực có thể được thay đổi bởi xung lực mà nó truyền đến cơ thể, tác động đồng thời. Trong trường hợp lực không đổi, đại lượng này (được gọi là xung lực) bằng $\vec{F} \Delta t$, trong trường hợp lực thay đổi - $\sum \vec{F}_i \Delta t_i$. Lực trung bình được nhìn nhận theo cách khác, được xác định bằng đẳng thức $\vec{F}_{\text{cp}} \Delta t = \sum \vec{F}_i \Delta t_i$.

Tác động lên quả bóng khi nó chạm vào mặt phẳng. Ví dụ: nếu chúng ta cộng thêm thời gian va chạm giảm theo hệ số 10 (do độ cứng của vật liệu của quả bóng và mặt phẳng), thì giá trị trung bình của phản lực sẽ tăng gấp 10 lần và độ biến thiên động lượng của quả bóng vẫn sẽ bằng $2mv$. Chúng ta sẽ gọi những lực đó là điều kiện sốc. Hành động của họ có thể có ý nghĩa quan trọng trong bất kỳ tương tác nào, dù ngắn đến đâu.

Ví dụ, hãy xem xét một khẩu pháo tạo ra một phần nhô ra tại thời điểm nó trượt khỏi mặt phẳng nghiêng chính (hình 3). Có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng để xác định vận tốc của khẩu pháo sau khi bắn được không? Có thể, nhưng trước tiên bạn cần tìm hướng trong hình chiếu sao cho trọng lượng của lực bằng 0, và chỉ sau đó mới viết định luật bảo toàn động lượng. Nhưng không có hướng như vậy trong trường hợp của chúng tôi! Hệ thống chịu tác dụng của trọng lực $\vec{m g}$ và phản lực hỗ trợ $\vec{N}$. Bằng cách chọn trục ngang, chúng ta loại bỏ lực hấp dẫn (hình chiếu của nó bằng 0), nhưng lực $\vec{N}$ vẫn còn. Nếu chúng ta chọn một trục hướng dọc theo mặt phẳng thì ngược lại lực hấp dẫn vẫn giữ nguyên. Ưu tiên trước là gì? Tất nhiên là chúng ta cần phải loại bỏ lực phản ứng. Đối với chúng ta, lực hấp dẫn không phải là STRAsha - tác dụng cân của nó rất nhỏ. Ví dụ, phản lực là lực sốc; hành động của nó có thể dẫn đến một sự thay đổi đáng kể về động lượng. Nhưng vì nó thay đổi theo mặt phẳng nghiêng nên xung lực của hệ đạn pháo theo hình chiếu lên hướng chuyển động của súng đối với hệ thống treo sẽ không tồn tại.

58

Vì vậy, trong các quá trình ngắn hạn (va chạm, nổ), chỉ có các lực tác động bên ngoài mới làm thay đổi động lượng của một vật thể hoặc hệ thống các vật thể, còn tác dụng của các lực có độ lớn cố định có thể bị bỏ qua.

• Rõ ràng chưa? - giáo viên hỏi. - Vậy thì hãy xem ví dụ này. Để túi trượt xuống máng nghiêng và rơi xuống sàn (hình 4). Điều gì sẽ xảy ra với anh ta? Nó sẽ dừng lại ngay lập tức hay nó sẽ trượt trước một chút do quán tính?

“Chà, mọi thứ đều rõ ràng ở đây,” học sinh nói, “theo phương nằm ngang, lực ma sát tác dụng lên nó, thời gian va chạm ngắn, và giống như trong ví dụ với tấm kính, xung lực nằm ngang của cái túi sẽ thay đổi khi va chạm.” Xung lực thẳng đứng sẽ biến thành một trường do lực tác dụng của phản lực. Kết luận: sau khi va chạm, trước tiên túi chắc chắn sẽ chuyển động và chỉ sau đó nó mới dừng lại.

Không, lý do này không chính xác và tất cả những ai nhìn thấy chiếc túi rơi xuống sàn đều cảm nhận được điều đó. Thực tế là lực ma sát trượt $\vec{F}_{\text{tr}}$, bằng $\mu N$, tác động có cùng mức độ với chính phản lực $\vec{N}$. Trong ví dụ với tấm kính, phản lực có giá trị cố định bằng $m_{\text{ct}} g$, và do đó tác dụng của lực ma sát là không đáng kể. Trong trường hợp một chiếc túi rơi từ mặt phẳng nghiêng, các lực $\vec{N}$ và $\vec{F}_{\text{tr}}$ là tác động và không thể bỏ qua sự thay đổi của xung lực nằm ngang trong quá trình va chạm. Túi có dừng lại hay không phụ thuộc vào giá trị của hệ số ma sát $\mu$ - nếu giá trị của nó đủ lớn, tốc độ của túi có thể biến mất hoàn toàn trong quá trình va chạm (bạn hãy thử tự tính hệ số ma sát cần thiết cho việc này).

Lý luận tương tự cho phép chúng ta hiểu, chẳng hạn, tại sao một nhà thôi miên, khi nhảy từ một thiết bị, có thể tiếp đất bằng chân của mình và đóng băng tại chỗ (lớp thể thao cao nhất!). Hãy nghĩ cách giải thích rằng khi cú nhảy chạm vào sân gồ ghề, độ dốc có thể bật lại ở một góc khác với góc mà miếng đệm chạm vào, cơ chế tác động “xoắn” là gì. Nhưng điều quan trọng là quyết định chú ý và đưa ra các ví dụ mới và bài toán cho lực tác động và lực không tác động.

A. I. Chernochan

Lực cực

Đây là tên được đặt cho những “ánh sáng” nhiều màu, dường như dễ nhận biết, có thể được quan sát ở cực bắc - ở các khu vực tiếp giáp với Bắc Cực và ở cực nam - ở Nam Cực.

Thế lực phương Bắc (tên này phổ biến hơn trong văn học) đã được biết đến từ rất lâu. Các tác giả cổ đại đã đề cập đến chúng, và các nhà biên niên sử thời Trung cổ đã đưa ra một số mô tả về cực quang. Cực quang phương Bắc được quan sát ở Anh năm 1716 và được Halley mô tả. Lomonosov, người đã trải qua thời thơ ấu và tuổi trẻ ở phía bắc và thường quan sát cực quang (người Pomors ở Nga gọi chúng là chớp sáng, sự ô nhục), là một trong những người đầu tiên đề xuất bản chất điện của hiện tượng này.

Người quan sát nhìn thấy gì? Các lực ở vùng cực (cả phía bắc và phía nam) rất đa dạng. Đây có thể là các sọc hoặc hình vòng cung màu vàng lục đồng nhất với đường viền dưới sắc nét và đường viền trên mờ. Độ cao của ranh giới dưới thường khoảng 100 km, ranh giới trên - khoảng 1000 km. Đây có thể là các vòng cung hoặc sọc được tạo thành từ các tia đặc biệt vuông góc với bề mặt trái đất. Bạn cũng có thể thấy các sọc hoặc vòng cung rung động. Các ngoại lực mạnh được tạo ra bởi cái gọi là lực cực, có dạng sóng sáng di chuyển lên trên. Nó giống như hình ảnh một ngọn lửa sắp tàn bị gió thổi mạnh.

Màu xanh lá cây phối với màu vàng là màu chủ đạo. Biết-

59

Màu đỏ cũng đóng một vai trò quan trọng, còn màu xanh lam và tím ở các mức độ khác nhau.

Cực quang có thể nhìn thấy ở đâu? Đèn cực, đặc biệt là đèn phía bắc, có thể được quan sát không chỉ ở gần cực. Chúng có thể được nhìn thấy trên bờ Biển Đen và thậm chí ở Rome. Nhưng khi chúng ta đến gần các cực, tần số cực quang tăng mạnh.

Các quan sát dài hạn đã giúp lập bản đồ các đường nối các địa điểm có cùng tần số cực quang (các đường như vậy được gọi là isochase). Ví dụ, họ cho thấy rằng trên bờ Biển Đen, cực quang có thể được quan sát một lần (một đêm) cứ sau 10 năm, ở phía bắc nước Anh hoặc trên Bán đảo Kola - 100 đêm một năm và trên hầu hết bờ biển Bắc Băng Dương - hầu như mỗi đêm. Ở đây chúng tôi biểu thị tần suất cực quang bằng số đêm mỗi năm. Điều này không có nghĩa là cực quang chỉ được quan sát vào ban đêm. Chúng cũng xuất hiện vào ban ngày, nhưng trên nền bầu trời sáng, ánh sáng tương đối yếu của cực quang khó quan sát hơn nhiều.

Làm thế nào và tại sao cực quang xảy ra? Lomonosov đã không đúng khi gán bản chất điện cho cực quang. Tuy nhiên, như chúng ta đã phát hiện, trong các quá trình phức tạp dẫn đến cực quang, hiện tượng từ tính cũng đóng một vai trò quan trọng không kém. Và đây không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên.

Đèn phía Bắc (so sánh trên cây, cuối ngày 19).

Quả địa cầu là một nam châm tự nhiên khổng lồ và do đó Trái đất của chúng ta được bao quanh bởi một từ trường. Trường này tương tự như từ trường được tạo ra bởi một thanh từ hóa hoặc nút điện từ mà dòng điện một chiều chạy qua. hình 1 hiển thị hình ảnh các đường biểu thị từ trường của Trái đất. Tất nhiên, điện từ và nguồn dòng điện của nó được hiển thị trong hình không nằm bên trong Trái đất, mà là dòng điện, “thủ phạm” của từ trường Trái đất, thực sự tồn tại trong nó (trong phần chất lỏng của lõi Trái đất). Từ hình, rõ ràng là các cực từ bắc và nam không trùng với các cực địa lý mà lệch khỏi chúng khoảng 11°. Từ trường Trái đất sẽ mở rộng đến khoảng cách xấp xỉ ba bán kính Trái đất (tính từ tâm của nó). Giá trị của chỉ báo từ trường nhỏ - chỉ khoảng 5·10⁻⁵ T.

“Tác nhân” thứ hai, không kém phần quan trọng trong quá trình chúng ta đang xem xét là Mặt trời. Ngoài ánh sáng nhìn thấy và vô hình, Mặt trời (vầng hào quang của nó) còn phát ra plasma, trạng thái dư thừa proton và electron. Một dòng hạt như vậy—gió mặt trời—“thổi” vào Trái đất.

Hai sự thật này đủ để hiểu hiện tượng cực quang.

Gió mặt trời và từ trường của Trái đất. Từ trường Trái đất không ở dưới bề mặt: các sọc có ý nghĩa

61

nhiệm vụ: trong một bài, giải các phương trình động học và tìm gia tốc của một vật; trong một nhiệm vụ phụ động học khác, gia tốc và các điều kiện ban đầu được sử dụng để tính toán chuyển động của vật tại bất kỳ thời điểm nào.*) Trong những trường hợp phức tạp hơn, chẳng hạn, khi gia tốc của vật thay đổi theo thời gian, hai nhiệm vụ phụ này sẽ được di chuyển và việc tính toán được giao cho máy tính (mặc dù phần lớn bài toán nằm ngoài khả năng của các máy tính cực kỳ hiện đại). Nhưng đó không phải là vấn đề. Điều quan trọng là về nguyên tắc, cơ học bài toán cơ bản có thể giải được nếu gia tốc của các vật tương tác tại một thời điểm nào đó phụ thuộc duy nhất vào tọa độ và tốc độ của chúng tại cùng một thời điểm (tức là không phụ thuộc vào “lịch sử” của hệ thống - vào những gì đã xảy ra với các vật thể trước đó).

Vì vậy, chúng ta thấy rằng các định luật Newton là một công cụ nghiên cứu mạnh mẽ và khá phổ quát. Sau khi phát hiện ra định luật Newton, phạm vi ứng dụng của chúng không ngừng được mở rộng. Quá trình ban đầu của cơ học cổ điển kéo dài rất lâu, gần 150 năm. Đến đầu thế kỷ 19, các nhà vật lý gần như tin vào tính không thể sai lầm của nó. Và không chỉ ở sự không thể sai lầm, mà còn ở sự toàn năng. Niềm tin nảy sinh rằng cơ học có khả năng giải thích hoàn toàn cấu trúc của thế giới, rằng mọi thứ trên thế giới cuối cùng đều có thể quy giản thành chuyển động của các hạt tương tác; cũng là quan điểm của cơ khí hải quân.

Niềm hy vọng về một lời giải thích thuần túy khoa học về thế giới đã truyền cảm hứng rất lớn cho các nhà tư tưởng duy vật, đặc biệt là các nhà khai sáng người Pháp. Tuy nhiên, nhiều người trong số họ bị ám ảnh bởi vấn đề triết học nảy sinh cùng với cơ chế nhưng vẫn còn được thảo luận cho đến ngày nay. Ý chính của nó là thế này. Nếu thế giới là một hệ thống cơ học, thì bài toán cơ bản của cơ học có thể được giải quyết cho nó. Nói cách khác, mọi thứ về thế giới tại một thời điểm nào đó

*) Bạn có thể đọc thêm về điều này trong phần ghi chú “Cách giải cơ học bài toán cơ bản” («Kvant», 1984, Số 2, trang 24) và “Động học bài toán cơ bản” («Kvant», 1988, Số 9, trang 58).

về nguyên tắc, có thể mở rộng diễn biến tiếp theo của các sự kiện, cũng như khôi phục tất cả các sự kiện trong quá khứ. Nhà tư tưởng người Pháp Laplace cho biết, cách tính toán như vậy không nằm trong khả năng của con người - cách thực hiện điều này tồn tại trong tưởng tượng “từ trên cao”; điều quan trọng là mọi thứ trên thế giới đều hoàn toàn được định trước và không thể thay đổi dưới bất kỳ hình thức nào. Đối với chúng ta, dường như chúng ta chỉ có ý chí tự do và quyền tự do lựa chọn. Trên thực tế, mọi suy nghĩ và hành động của chúng ta đều hoàn toàn được định trước và “từ trên cao” biết điều gì sẽ xảy ra với chúng ta, con cái chúng ta và cả thế giới vào bất kỳ thời điểm nào. Học thuyết triết học này về mối liên hệ và tương tác giữa các hiện tượng của thế giới vật chất và tinh thần được gọi là thuyết tất định Laplace.

Tất nhiên, tâm trí con người không thể chấp nhận được sự thiếu tự do và đang tìm cách thoát khỏi bế tắc. Trước hết, các lực hấp dẫn phổ quát hay lực Coulomb đáng kể hơn nữa bị nghi ngờ. Trên thực tế, trong những trường hợp như vậy, có một điều gì đó siêu nhiên - chúng ta dịch chuyển một hạt một chút, và hạt kia, cách đó hàng trăm km, đã biết về điều này và tăng tốc hơi khác một chút! Tuy nhiên, không thể phát hiện ra bất kỳ sự sai lệch nào so với quy luật này, và các nhà vật lý, gặm nhấm trái tim mình, đã chấp nhận những lực này như hiện tại. Điều này tiếp tục cho đến khi phát hiện ra Maxwell và Einstein.

Vào những năm 60 của thế kỷ 19, Maxwell đã xây dựng lý thuyết về trường điện từ - một chất vật chất mới mà qua đó xảy ra tương tác điện và từ. Trong tác phẩm của Maxwell, việc sử dụng ở dạng sóng điện từ (ở dạng sóng vô tuyến, ánh sáng, bức xạ RENT, v.v.) sẽ rất hữu ích. Tốc độ của những sóng này trong chân không rất cao - 300.000 km/s. Ở tốc độ này (và không phải ngay lập tức!) thông tin về sự trộn lẫn của một trong các điện tích tương tác với điện tích khác được truyền đi. Bạn có cảm thấy việc “chìm” này sẽ trở nên quen thuộc không? Sức mạnh,

62

tác động lên một điện tích tại một thời điểm nào đó bây giờ được xác định không phải bởi vị trí của nó và các điện tích khác đang chuyển động như thế nào tại cùng một thời điểm, mà bởi những gì xảy ra với nó tại thời điểm trước đó. Trong tình huống như vậy, chúng ta sẽ không thể giải “cơ chế bài toán cơ bản” như trước nữa.

Năm 1905, Einstein chứng tỏ rằng mọi tương tác đều phải có những tính chất giống nhau, vì không có tín hiệu nào có thể truyền nhanh hơn tốc độ ánh sáng. (Điều đáng chú ý là các định luật Newton không hề mất đi ý nghĩa của chúng. Chúng hoạt động hoàn hảo khi tốc độ của các hạt nhỏ hơn tốc độ ánh sáng - trong trường hợp này, độ trễ hiệu dụng là không đáng kể.) Vì vậy, các câu hỏi về quan điểm cơ học, thế giới hóa ra không chỉ chứa đầy các hạt chuyển động mà còn cả các trường sóng của vật liệu. Bức tranh thế giới đã trở nên rất phức tạp, sự phát triển của nó không còn được mô tả bằng giải pháp cơ học bài toán cơ bản,

nhưng… ý chí tự do vẫn chưa lắng xuống. Tương tự, mọi thứ đều có thể dự đoán được - chỉ bây giờ cần phải đưa vào “tâm trí hàng đầu” thông tin ban đầu không chỉ về các hạt, mà còn về các trường (và buộc “tâm trí hàng đầu” phải giải các phương trình phức tạp hơn nhiều mà các trường này tuân theo). Cuộc sống thế nào?

Sự trợ giúp đến từ phía bên kia - từ các nhà vật lý đang nghiên cứu thiết bị nguyên tử. Hóa ra trong cuộc sống của các nguyên tử có những định luật hoàn toàn khác với các định luật vật lý cổ điển. Để mô tả các đặc tính của thế giới vi mô, một ngành khoa học đặc biệt đã được tạo ra - cơ học lượng tử. Chúng ta chỉ lưu ý một đặc điểm quan trọng của các quá trình lượng tử - không có sự xác định trước trong chúng! Trong nhiều trường hợp, về cơ bản là không thể dự đoán được phương án nào nên thực hiện; người ta chỉ có thể tính xác suất của chúng. Tuy nhiên, ngay cả cơ học lượng tử cũng không dẫn đến câu hỏi lời giải cuối cùng về ý chí tự do.

A. I. Cherpotsan

Lời khuyên dành cho giám khảo
(Để bắt đầu, xem trang 49)

9. Không cho phép thí sinh đặt câu hỏi làm rõ và không lặp lại lời giải thích và nhận định của chính mình dưới bất kỳ hình thức nào.

10. Đeo kính đen. Sự không thể xuyên thủng là đáng kinh ngạc.

11. Khi thi xong, nói với thí sinh: “Đợi ngoài cửa, chúng tôi sẽ gọi cho bạn.”

Từ cuốn sách “Các nhà vật lý tiếp tục nói đùa” (M.: Mir, 1968)

63

khối đa diện lăn

V.E.MATIZEN

Bất chấp cảnh báo nghiêm ngặt (xem trình bảo vệ màn hình), bạn có thể đã phải lật các hộp, tức là cuộn chúng qua các cạnh. Hoạt động đơn giản này không hữu ích đối với một nhà toán học vì nó dẫn đến điều thú vị bài toán sau đây. Chúng ta hãy đặt một khối đa diện lồi lên trên mặt của nó (không chú ý đến trạng thái của nó có ổn định hay không). Hãy cuộn khối đa diện qua một số cạnh của nó để cuối cùng nó trở lại mặt ban đầu. Kết quả là một bề mặt đa diện ở một góc nào đó. Độ lớn của góc này là bao nhiêu?

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, khi khối đa diện cuộn theo chiều kim đồng hồ qua tất cả các cạnh nổi lên từ một số đỉnh của nó O. hình 1 hiển thị vết của khối đa diện trên mặt phẳng. Từ hình rõ ràng là khối đa diện bề mặt theo hướng dương (tức là ngược chiều kim đồng hồ) một góc bằng hiệu 2π và tổng các góc phẳng ở đỉnh. Sự khác biệt này có một cái tên đặc biệt - độ cong của đỉnh (tại sao lại gọi như vậy?

Hình 1.

63

64

Hình 2.

bạn có thể học từ bài viết “Về độ cong” của S. L. Tabachnikov, đăng trên tạp chí số này). Vì vậy, trong trường hợp đơn giản nhất, góc quay bằng độ cong của đỉnh. Có lẽ, trong trường hợp chung, độ lớn của phép quay có liên quan đến độ cong của các đỉnh của khối đa diện?

Hãy chuyển sang trường hợp tổng quát. Để khối đa diện được mô tả ở hình 2 lăn qua các cạnh $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ (chúng ta đang nhìn khối đa diện từ bên ngoài). Bằng cách nối điểm giữa của các cạnh này, chúng ta có được một đường viền khép kín - mũi tên màu xanh lam trên hình 2.

Điều kiểm 1. Chứng minh rằng góc quay của khối đa diện chỉ phụ thuộc vào đường viền chứ không phụ thuộc vào mũi tên nào của đường viền được xét trước.

Chúng ta sẽ giả sử rằng các mũi tên đường viền biểu thị các góc giữa các cạnh có điểm giữa mà chúng nối với nhau. Các góc này được coi là dương nếu mũi tên thể hiện chuyển động quay quanh điểm giao nhau của các cạnh (hoặc phần mở rộng của chúng) theo hướng dương, tức là ngược chiều kim đồng hồ và âm nếu theo hướng âm. Góc giữa các cạnh $P_i$ và $P_j$ được ký hiệu là $\hat{P}_i\hat{P}_j$. Khi đó các góc $\hat{P}_2\hat{P}_3, \hat{P}_3\hat{P}_4, \hat{P}_4\hat{P}_5$ và $\hat{P}_5\hat{P}_1$ trên hình 2 là dương và góc $\hat{P}_1\hat{P}_2$ là âm.

Chúng ta hãy xây dựng một tuyên bố sơ bộ:

Độ lặp lại của khối đa diện khi nó được cuộn qua các cạnh $P_1, P_2, ..., P_k$ bằng $-(\hat{P}_1\hat{P}_2 + \hat{P}_2\hat{P}_3 + ... + \hat{P}_{k-1}\hat{P}_k + \hat{P}_k\hat{P}_1)$.

(1)

Để chứng minh điều này, chúng ta hãy vẽ một vết của khối đa diện trên mặt phẳng khi lăn - hình 3. Hãy lưu ý rằng khi in dấu trên mặt phẳng, các mũi tên màu xanh đặt hướng. Chúng ta hãy nhìn vào điều này hình. Góc quay của khối đa diện bằng góc giữa các đường thẳng $P_1$ và $P'_1$. Việc chuyển đổi từ $P_1$ sang $P'_1$ là kết quả của phép biến đổi số nguyên

$$P_1 \rightarrow P_2 \rightarrow P_3 \rightarrow P_4 \rightarrow P_5 \rightarrow P'_1.$$

Mỗi phép biến đổi trong một số nguyên là một phép quay quanh giao điểm của các cạnh liền kề $P_i$ và $P_{i+1}$ một góc bằng $-\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$ (dấu trừ là do trong quá trình in hướng quay bị đảo ngược). Vì vậy, quá trình chuyển đổi từ $P_1$ sang $P'_1$ là sự kết hợp của các lượt rẽ ở các góc $-\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$.

Chúng ta hãy lợi dụng thực tế rằng thành phần của các phép quay theo góc $\alpha_1, ..., \alpha_k$ là một phép quay theo tổng góc $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_k$, nếu $\alpha_1 + ... + \alpha_k \neq 2\pi n$, hoặc một bản dịch song song, nếu $\alpha_1 + ... + \alpha_k = 2\pi n$. Nếu bạn không quen với tính chất phép quay này, hãy thử chứng minh nó hoặc đọc cách chứng minh trong bài viết của E. G. Gottman “Biến đổi hình học” («Kvant», 1989, số 2). Theo tính chất này, góc giữa đường thẳng $P_1$ và $P'_1$ bằng $-(\hat{P}_1\hat{P}_2 + \hat{P}_2\hat{P}_3 + ... + \hat{P}_k\hat{P}_1)$, điều này chứng tỏ khẳng định (1).

Bây giờ chúng ta hãy thử tính tổng các góc $\hat{P}_i\hat{P}_{i+1}$ với độ cong của các đỉnh của khối đa diện. Chúng ta cắt bề mặt của khối đa diện thành hình 2 dọc theo đường viền màu xanh, rồi lần lượt cắt vùng bên trong của đường viền dọc theo các cạnh nằm bên trong

65

đường viền. Một số phần kết quả được hiển thị trên hình 4. Chúng tôi phác thảo từng đỉnh của khối đa diện bên trong đường viền trên hình 2 theo hướng âm bằng các mũi tên màu đỏ; những mũi tên này cũng được hiển thị trên hình 4.

Chúng ta hãy nhìn vào một trong những phần. Tổng giá trị của góc đồng bộ và góc đỏ là bao nhiêu? Chúng ta hãy biểu thị bằng $m$ số cạnh, tức là số đoạn thẳng trên ranh giới của mảnh này. Khi đó tổng của góc đồng và góc đỏ bằng $\pi(2-m)$.

Bài tập 2. Chứng minh khẳng định này. Gợi ý: Tổng các góc của $m$-giác là $\pi(m-2)$.

Do đó, góc xanh của mỗi quân bằng $\pi(2-m)$—a, trong đó $a$ là tổng các góc màu đỏ của quân này. Tóm tắt tất cả các phần, chúng ta thấy rằng tổng của tất cả các góc đồng bộ bằng $\pi(2-m)+\pi(2-m)+\dots-(a_1+a_2+\dots)$.

Ở đây $m_1, m_2, \dots$ là số cạnh của các quân cờ tương ứng, và $a_1, a_2, \dots$ là tổng các góc màu đỏ của các quân cờ này. Lưu ý rằng tổng $a_1+a_2+\dots$ bao gồm tất cả các góc màu đỏ ở các đỉnh của khối đa diện bên trong đường viền xoay một lần.

Tổng các góc đỏ ở một đỉnh bằng độ cong của nó trừ 2π (bạn có nhớ rằng không có góc đỏ nào theo hướng âm không?). Do đó, tổng $a_1+a_2+\dots$ bằng tổng độ cong của các đỉnh bên trong đường viền không có bội số của 2π. Con số này không ảnh hưởng đến số lần quay nên chúng tôi loại bỏ nó. Vì vậy, $a_1+a_2+\dots$ là tổng độ cong của các đỉnh của khối đa diện nằm bên trong đường viền trên hình 2.

Bây giờ chúng ta sẽ xử lý các số hạng $\pi(2-m)+\pi(2-m)+\dots$ trong biểu thức (2). Mỗi cạnh được tính hai lần trong tổng này, vì sau khi cắt bề mặt của khối đa diện, mỗi cạnh xuất hiện hai lần như một ranh giới của các mảnh trên hình4.

Do đó, tất cả các tổng này đều là bội số của 2π và không ảnh hưởng đến độ lớn của phép quay mà chúng ta quan tâm. Do đó, công thức (2) có nghĩa là tổng các góc đồng bộ đối diện với tổng độ cong của các đỉnh của khối đa diện bên trong đường cong quay.

Vẫn còn phải nhớ lại phát biểu (1) rằng góc của bề mặt của khối đa diện mà chúng ta quan tâm đối diện với tổng các góc đồng bộ. Chúng tôi đã đi đến kết luận cuối cùng:

hãy nhắc lại rằng nó lăn dọc theo một đường bao khép kín bằng tổng độ cong của các đỉnh của nó nằm bên trong đường bao.

Bài tập 3. Xét hai đỉnh liền kề của khối đa diện được mô tả ở hình 5. Chứng minh rằng việc lăn qua các cạnh $P_1, P_2, P_3$, sau đó qua các cạnh $P_1, P_4, P_5$, rồi qua các cạnh $P_3, P_2, P_1$, và cuối cùng qua các cạnh $P_5, P_4, P_1$ dẫn đến sự mở rộng lại song song của khối đa diện.

Thật thú vị khi nghiên cứu tập hợp các khối đa diện hoàn hảo khi nó được lăn ra khỏi một số vị trí ban đầu có thể có. Tập hợp này có tính đối xứng phong phú và có thể có cấu trúc khác - đối với một số khối đa diện, nó là rời rạc, nhưng đối với những khối đa diện khác, nó là liên tục. Người ta có thể liệt kê tất cả các khối đa diện, giống như một khối lập phương hoặc một khối tứ diện đều, “in” một mẫu trên một mặt phẳng đều. Nhưng đây là chủ đề cho một cuộc trò chuyện khác…

66

Xác định tổng các chữ số của một số trên máy tính

E. H. ALARCON,
A. N. VILENKIN

Tại khoa dự bị thuộc một loại, những người nộp đơn trong tương lai được cung cấp bài toán sau.

Tổng các chữ số của các trang chính là 3684. Tìm số trang của cuốn sách này.

Làm thế nào để giải quyết điều này bài toán? Và làm thế nào để dạy máy tính hoặc máy tính vi mô giải quyết bài toán này? Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là dạy từ trang 1 và cộng với tổng S (ban đầu bằng 0) các chữ số mà số trang tiếp theo được viết ra cho đến khi chúng ta đạt đến 3684. Để làm được điều này, trước tiên chúng ta phải dạy máy tính trích xuất từ ​​số trang các chữ số mà số này được viết ra. Ví dụ: từ số n=128, bạn cần lấy ba số: 1, 2, 8 (chúng tôi sẽ giới hạn ở các số có ba chữ số). Hãy sử dụng hàm [x] - “phần nguyên của x”. Nó có sẵn trên máy tính và MK-61; trên các máy tính vi mô (có thể lập trình) khác, nó có thể được thực hiện bằng chương trình con sau.

Dòng số. Mã lệnh
80 1 01
81 + 10
82 X→Π 43
83 KΠ→X Γ3
84 Π→X 63
85 B/O 52

Hoạt động của chương trình con này dựa trên thực tế là lệnh chỉ báo gián tiếp từ thanh ghi RG3 không chỉ giảm nội dung của RG3 đi 1 mà còn giảm nội dung của RG3 xuống một số nguyên, trừ khi nội dung của RG3 lớn hơn 1 và được hiển thị ở vị trí dấu phẩy tự nhiên. Tất nhiên, không nên sử dụng thanh ghi RG3 trong chương trình chính. Khi truy cập một chương trình con, số gốc phải nằm trong thanh ghi X và kết quả cũng sẽ thu được ở đó. (Nếu không thì phải cung cấp lệnh 79 V↑ 52.)

Để có được số hàng trăm của số n có ba chữ số, lấy [n/100]. Đây sẽ chính xác là số nguyên hàng trăm chứa trong số n. Hãy biểu thị nó bằng R2:

R2=[n/100].

Tiếp theo, hãy xóa hàng trăm khỏi số n mà không chạm vào hàng chục và hàng đơn vị, và để làm điều này, hãy trừ [n/100]·100 khỏi số n, gọi đây là số m. Nó có hai chữ số và chứa hàng chục và hàng đơn vị của số n. (Vì vậy, nếu n=128, thì m=28.) Việc cần làm với nó đã rõ ràng:

R1=[m/10]

sẽ là số hàng chục và

R0=m-[m/10]·10

• số lượng đơn vị. Bây giờ chúng ta viết một chương trình con để tính tổng các chữ số của số n, tức là tổng R0+R1+R2 và chương trình chính để tính tổng (lặp qua k từ 1 đến n) của các chữ số của số trang từ 1 đến n. Hãy chạy nó để tính tổng các chữ số của số

67

Hãy bỏ qua các trang “Kwan” (n=80) và xem điều gì sẽ xảy ra.

Nếu chương trình được cài đặt trên máy tính thì đáp số sẽ xuất hiện nhanh chóng. Nhưng rõ ràng là thời gian hoạt động của máy tính phụ thuộc vào n - n càng lớn thì máy tính sẽ hoạt động càng nhiều. Bạn có thể thử mọi thứ trong chương trình, in kết quả và dừng khi nhận được số 3684 (hoặc hơn), chạy chương trình này với n đủ lớn và nhận được đáp số bản gốc bài toán.

Nếu chương trình được cài đặt trên máy tính vi mô thì thời gian hoạt động sẽ là 10-13 phút, vì chu trình xử lý một số trang mất 7-10 giây và có 80 trang.

Nhưng trong 10 phút, chúng ta đã có thể tìm được số tiền ban đầu mà không cần cộng tất cả các số của tất cả các số trang. Đầu tiên chúng ta hãy tìm tổng các đơn vị. Ở đây chúng ta cần cộng các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 và lại 1, 2, …, các tổng như vậy sẽ được sử dụng từ 01 đến 80). 1+2+…+9=45, 45×8=360. Với hàng chục thì thậm chí còn dễ dàng hơn: một sẽ xuất hiện 10 lần (từ 10 đến 19), cũng như hai, và ba… bao gồm cả bảy. Chỉ có 8 chục sẽ chỉ xuất hiện một lần. Ta được tổng của số chục có dạng (1+2+…+7)·10+8=288. Tổng cộng: 288+360=648 - số tiền ban đầu. Máy tính vi mô sẽ sớm cung cấp cho nó.

Bây giờ rõ ràng là phương pháp cộng các số của máy vi tính sẽ cộng số 3684 trong khoảng một giờ. Chuyện này quá dài. Có thể đặt trên máy tính vi mô phép tính tổng các chữ số của các trang từ 1 đến n giống như cách chúng ta tìm tổng các chữ số của các trang của “Kwan” không? Số lượng phép tính sử dụng phương pháp này hầu như không phụ thuộc vào n nên thời gian thực hiện sẽ ngắn.

Hãy thử. Gọi số trang là n và viết bằng số i, j, k. Điều này được ký hiệu như sau: n=ijk. Đầu tiên đặt i=0, j=0 (n là số có một chữ số). Khi đó tổng ban đầu bằng k(k+1)/2 - đây là tổng của cấp số cộng 1, 2, …, k. Hãy biểu thị tổng này là f1(k): f1(k)=k(k+1)/2. Cụ thể, f1(9)=45.

Bây giờ đặt n=jk và j≠0 (n là số có hai chữ số). Chúng ta sẽ chia tổng cần tìm thành hai phần: từ 01 đến (j−1)9 và từ j0 đến jk. Chúng ta tính tổng đầu tiên giống như cách chúng ta tính tổng các chữ số của số trang Kwan: ​​đơn vị - 45j, hàng chục - 10(j−1)j/2. Trong tổng thứ hai, k+1 là một số, tổng của số chục là j(k+1), tổng đơn vị là f1(k), ngoại trừ tổng f2(jk) có dạng

f2(jk)=45j+5j(j−1)+j(k+1)+f1(k)=j(5j+41+k)+f1(k).

Cụ thể, f2(99)=900 (điều này sẽ hữu ích sau này), công thức “có tác dụng” với các số có một chữ số (j=0).

Bây giờ đặt n=ijk và i≠0. Một lần nữa, chúng ta chia tổng thành hai phần: từ 001 đến (i−1)99 và từ i00 đến ijk. Chúng tôi đếm số tiền đầu tiên. Hàng chục và hàng đơn vị (cùng nhau) cho i·f2(99)=900i (có rõ tại sao không?). Hàng trăm cho 100(i−1)i/2 (mỗi chữ số hàng trăm được dùng 100 lần). Chúng tôi đếm số tiền thứ hai. Hàng trăm cho i(10j+k+1), hàng chục và hàng đơn vị cho f2(jk). Tổng cần tìm f3(ijk) có dạng

f3(ijk)=900i+50i(i−1)+i(10j+k+1)+f2(jk)=i(50i+10j+k+851)+f2(jk).

Công thức này “hoạt động” cho cả số có hai chữ số (i=0) và số có một chữ số (i=j=0).

Vì vậy, các công thức thu được. Chúng có thể dễ dàng cài đặt ngay cả trên máy vi tính có thể lập trình và sau khi nhập số n vào đó, nó sẽ tính số tiền ban đầu sau 15 giây, ví dụ: f3(96)=849, f3(200)=1902, v.v.

Đạt được tốc độ, chúng tôi đã đánh mất một cái gì đó. Bây giờ chúng ta không thể chạy chương trình được nữa và đợi cho đến khi nó đạt đến số 3684. Việc cần làm là sử dụng phương pháp thử và sai (đôi khi được gọi là “phương pháp chọc”). Hãy chỉ vào con số 200 - chưa đủ. Hãy thử f3(400)=4204 - rất nhiều. Hãy thử f3(300)=3003 - không đủ. Và cứ như vậy cho đến khi đạt được bản gốc.

(Cuối cùng xem trang 70)

68

lượng giác
giúp đại số

P. I. GORNSTEIN

Thông thường, đối với lời giải đại số bài toán, sẽ thuận tiện hơn khi thay thế một biến (hoặc các biến, nếu có nhiều biến trong số chúng) bằng một hàm lượng giác và do đó giảm đại số bài toán thành một lượng giác. Những phép thay thế như vậy—các phép thay thế lượng giác—đôi khi đơn giản hóa đáng kể lời giải. Việc lựa chọn hàm này hay hàm khác phụ thuộc vào loại phương trình, hệ phương trình hoặc biểu thức đại số cần đơn giản hóa. Ví dụ: nếu tuân theo điều kiện là các giá trị được chấp nhận của biến $x$ được xác định bởi bất đẳng thức $|x| \leq 1$, thì việc thay thế $x=\sin \alpha$, $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ hoặc $x=\cos \alpha$, $\alpha \in [0; \pi]$ là thuận tiện và việc chọn cái nào tùy thuộc vào bài toán cụ thể.

Trong trường hợp một biến có thể nhận bất kỳ giá trị nào, các thay thế $x=\mathrm{tg} \alpha$, $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ và $x=\mathrm{ctg} \alpha$, $\alpha \in (0; \pi)$ sẽ được sử dụng.

Hãy xem xét một vài ví dụ.

Nhiệm vụ 1 (LPI, 1976). Giải phương trình

$$\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x.$$

Lời giải. Trong trường hợp này $|x| \leq 1$. Đặt $x=\cos \alpha$, $\alpha \in [0; \pi]$, chúng ta thu được phương trình $$\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha$$ hoặc $|\sin \alpha|=\cos 3\alpha$, nhưng trong trường hợp của chúng ta $\sin \alpha \geq 0$, vì vậy $\sin \alpha=\cos 3\alpha$, hoặc

$$\cos 3\alpha-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=0.$$

Giải phương trình cuối cùng, ta được

$$\alpha=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z$$

69

hoặc

$$\alpha = \frac{3}{4} \pi + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}.$$

Điều kiện $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi$ được thỏa mãn bởi ba giá trị

$$\alpha_1 = \frac{\pi}{8}, \ \alpha_2 = \frac{5\pi}{8} \text{ и } \alpha_3 = \frac{3\pi}{4},$$

Vì vậy

$$x_1 = \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}} =$$

$$= \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}};$$

$$x_2 = \cos \frac{5\pi}{8} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \frac{5\pi}{4}}{2}} =$$

$$= -\sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = -\frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}};$$

$$x_3 = \cos \frac{3\pi}{4} = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Đáp số: $\left\{ -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}; \right.$

$\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Hãy xem xét bài toán phức tạp hơn một chút.

Bài toán 2 (LPI, 1976). Giải phương trình

$$\sqrt{1 - x} = 2x^2 - 1 + 2x\sqrt{1 - x^2}.$$

Lời giải. Và đây là phương trình $|x| \leqslant 1$. Giả sử, như trong ví dụ trước, $x = \cos \alpha$, trong đó $\alpha \in [0; \pi]$. Thực hiện phép thay thế và cho rằng $\sin \frac{\alpha}{2} \geqslant 0$, $\sin \alpha \geqslant 0$, ta thu được phương trình

$$\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} = \cos 2\alpha + \sin 2\alpha,$$

được chuyển đổi sang dạng

$$\sin \left( \frac{3\alpha}{4} + \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{5\alpha}{4} + \frac{\pi}{8} \right) = 0,$$

từ đâu $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$ hoặc $\alpha = \frac{3\pi}{10} + \frac{4\pi n}{5}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Trong số các giá trị thu được $\alpha$, chỉ có một $\alpha = \frac{3\pi}{10}$ nằm trong khoảng (0; $\pi$). Vì vậy, $x = \cos \frac{3\pi}{10}$.

Đáp số có thể được để lại ở dạng lượng giác, nhưng cũng có thể được biểu thị dưới dạng căn thức bằng công thức $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$, được suy ra từ đẳng thức tiếp theo: $\sin 36^\circ = \cos 54^\circ$.

Đáp số: $\left\{ \cos \frac{3\pi}{10} = \frac{1}{4} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} \right\}$.

Một tình huống thậm chí còn phức tạp hơn sẽ xảy ra trong bài toán tiếp theo.

Bài toán 3 (MSU, Khoa Sinh học, 1985). Có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0; 1] có phương trình

$$8x(1 - 2x^2)(8x^4 - 8x^2 + 1) = 1?$$

Lời giải. Đây là phương trình bậc bảy nên mọi cố gắng giải nó bằng phương pháp đại số là vô vọng. Tuy nhiên, sự hiện diện của thừa số $1 - 2x^2$ gợi ý ý tưởng thực hiện phép thay thế lượng giác $x = \cos \varphi$, $\varphi \in (0; \pi/2)$ (rõ ràng là $x \neq 0$, $x \neq 1$).

Thay thế $x$ bằng $\cos \varphi$ ở vế trái của phương trình này, chúng ta nhận được

$$8 \cos \varphi(1 - 2 \cos^2 \varphi) \times$$

$$\times (8 \cos^4 \varphi - 8 \cos^2 \varphi + 1) =$$

$$= 8 \cos \varphi(-\cos 2\varphi) \times$$

$$\times (8 \cos^2 \varphi(\cos^2 \varphi - 1) + 1) =$$

$$= -8 \cos \varphi \cos 2\varphi(-2 \sin^2 2\varphi + 1),$$

Ở đâu

$$-8 \cos \varphi \cos 2\varphi \cos 4\varphi = 1.$$

Bây giờ nhân cả hai vế (*) với $\sin \varphi(\varphi \neq 0!)$:

$$-8 \sin \varphi \cos \varphi \cos 2\varphi \cos 4\varphi = \sin \varphi,$$

hoặc

$$-\sin 8\varphi = \sin \varphi,$$

$$\sin 8\varphi + \sin \varphi = 0,$$

$$2 \sin \frac{9}{2} \varphi \cdot \cos \frac{7}{2} \varphi = 0,$$

từ đâu $\varphi = \frac{2}{9} \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ hoặc $\varphi = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}$, $n \in \mathbb{Z}$. Từ chuỗi đầu tiên, khoảng $(0; \frac{\pi}{2})$ chứa hai