Kvant 2010, số 2 · Trang

1

2010

©

BƯỚC ĐỀU

NHẬT BẢN

KHOA HỌC PHỔ BIẾN

№2

VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TẠP CHÍ

XUẤT BẢN TỪ THÁNG 1 NĂM 1970

Trong phòng:

Người sáng lập - Viện Hàn lâm Khoa học Nga, Quỹ Hỗ trợ Khoa học và Giáo dục Cơ bản (Quỹ Osipyan), Nhà xuất bản ISTT RAS - LLC NPP OO “Cục Lượng tử”

2 10 14

Delaunay nhiều mặt (cuối). N. Dolbilin Tĩnh điện có thể làm được những gì. K. Bogdanov Hình học của bầu trời đầy sao. V.Protasov

23

CÔNG NGHỆ NANO Cách kiểm tra vật thể nano qua kính hiển vi quang học. A. Ezhov

26 27

VẤN ĐỀ LƯỢNG TỬ Bài toán M2169–M2175, F2175–F2182 Lời giải bài toán M2146–M2152, F2160–F2167

32

KALEIDOSCOPE “QUANTA” Các phân số tiếp tục xung quanh chúng ta

TỔNG BIÊN TẬP

S.S. Krotov

BAN BIÊN TẬP

A.Ya.Belov, Yu.M.Bruk, A.A.Varlamov, A.N.Vilenkin, V.I.Golubev, S.A.Gordyunin, N.P.Dolbilin (phó tổng biên tập), V.N.Dubrovsky, A.A.Egorov, A.V.Zhukov, A.R.Zilberman, V.V.Kveder (phó chủ tịch ban biên tập), P.A. Kozhevnikov, V.V. Kozlov (phó chủ tịch ban biên tập), S.P. Konovalov, A.A. Leonovich, Yu.P. Lysov, V.V. Proizvolov, N.H. Rozov, A.B. Sosinsky, A.L. Stasenko, V.G. Surdin, V.M. Tikhomirov, V.A. Tikhomirova, V.M. Uroev, A.I. Chernoutsan (phó giám đốc

K M Sh

36 37 40

Bài toán Bong bóng xà phòng và hợp âm. A. Hiện tượng thần nhiệt qua con mắt của một hành khách đi xe buýt. V.Kotov

42

VẬT LÝ TÙY CHỌN Các nhà vật lý trong sương mù. S. Varlamov

44

QUAN SÁT CỦA CHÚNG TÔI Vú và… vật lý

45

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC Về một người bị lãng quên bài toán. A.Tolpygo

49

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA” Dòng chảy xung quanh các vật thể quay. Biên tập viên S. Betyaev)

BAN BIÊN TẬP

A.V.Andzhans, V.I.Arnold, M.I.Bashmkov, V.I.Bernik, V.G.Boltyansky, A.A.Borovoy, N.N.Konstantinov, G.L.Kotkin, S.P.Novikov, L.D.Faddeev

BAN BIÊN TẬP 1970

51

ỨNG DỤNG THỰC HÀNH Bài toán cơ học trong các hệ quy chiếu phi quán tính. V. Shutov

TỔNG BIÊN TẬP

58

OLYMPIADS Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XXXVI dành cho học sinh toán học Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIV dành cho học sinh vật lý Olympic học sinh toàn Nga về vật lý

60 60

THÔNG TIN Cuộc thi toàn Nga về các công trình khoa học dành cho học sinh Trường Truyền thông “Thiếu niên” MEPhI

61

Đáp số, gợi ý, lời giải

I II III IV

Hình Yu.A.Vashchenko Bộ sưu tập câu đố Trang cờ vua Đi bộ cùng vật lý

I.K.Kikoin

PHÓ TỔNG BIÊN TẬP THỨ NHẤT

MỘT. Kolmogorov

L.A. Artsimovich, M.I. Bashmkov, V.G. Boltyansky, I.N. Bronshtein, N.B. Vasiliev, I.F. Ginzburg, V.G. Zubov, P.L. Kapitsa, V.A. Kirillin, G.I. Kosourov, V.A. Leshkovtsev, V.P. Lishevsky, A.I. Markushevich, MD Millionshchikov, N.A. Patrikeeva, N.H. Rozov, A.P. Savin, I.Sh. Slobodetsky, M.L. Smolyansky, Ya.A. Smorodinsky, V.A. Nhà chế tạo, Ya.E. Schneider

Nhãn hiệu “Tạp chí «Kvant»” là tài sản của LLC NPP OO “Cục Lượng tử” © 2010, RAS, Osipyan Foundation, tạp chí «Kvant»

01-.p65

54

55

TRÊN BÌA

2

KVANT 2010/№2

Delaunay nhiều mặt

N. DOLBILIN

Phương pháp hình cầu rỗng và tam giác Delaunay

Boris Nikolaevich Delaunay là một nhà phổ biến khoa học đáng chú ý. Đồng thời, ông tuân thủ nguyên tắc: mọi bài báo phổ biến về toán học phải có bằng chứng của ít nhất một tuyên bố. Chúng tôi sẽ tuân theo nguyên tắc này và trình bày bằng chứng những ý tưởng chính của một lý thuyết hình học rất hữu ích - lý thuyết về ốp lát Delaunay. Lý thuyết này được ông nêu ra vào đầu những năm 20 trong tác phẩm “Trên quả cầu trống”. Trong một số trường hợp đặc biệt, ý tưởng về một phân vùng như vậy đã từng được đề cập đến, chẳng hạn như trong các tác phẩm của Voronoi. Công lao của Boris Nikolaevich là ông, với sự rõ ràng và minh bạch đặc trưng của mình, đã mô tả cách xây dựng hình học đơn giản này cho một lớp tập hợp rất tổng quát. Bây giờ chúng tôi sẽ giải thích những ý tưởng chính của khoa học này - để đơn giản, chỉ trên một mặt phẳng, mặc dù lý thuyết này có thể dễ dàng được chuyển sang không gian ở bất kỳ chiều nào. Chúng ta hãy xem xét một tập hợp điểm X nhất định trên mặt phẳng. Các điểm của tập X để phân biệt chúng với các điểm khác trên mặt phẳng không thuộc X sẽ được gọi là các nút. Giả sử rằng tập X của các nút thỏa mãn hai điều kiện sau. Có hai số dương r và R sao cho (1) bất kỳ đường tròn bán kính r nào chứa bên trong nó nhiều nhất một nút từ X; (2) bất kỳ đường tròn nào có bán kính R chứa bên trong chính nó hoặc trên ranh giới của nó ít nhất một nút từ X. Delaunay gọi tập hợp đó là hệ thống X (r, R). Nhân tiện, điều này không thành công lắm, tên đã được đổi thành tập Delaunay (với tham số r và R). Rõ ràng là các điều kiện (1) và (2) tương đương với các điều kiện $( 1 ' )$ khoảng cách giữa các nút ít nhất là 2r và $( 2 ' )$ khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng đến nút gần nhất trong X không vượt quá R. Thông thường, một định nghĩa tương đương khác về tập Delaunay hóa ra lại hữu ích. Chúng ta sẽ xem xét các đường tròn chỉ có tâm tại các nút từ X. Sau đó, các điều kiện (1) và (2) có thể được định dạng lại: $( 1 '' )$ các đường tròn có bán kính r với tâm tại các nút từ X không trùng nhau theo cặp, tức là tạo thành một gói (hình 1); $( 2 '' )$ các vòng tròn bán kính R có tâm tại các nút từ X bao phủ toàn bộ mặt phẳng, tức là tạo thành một lớp phủ. Nói cách khác, mọi điểm trên mặt phẳng đều thuộc ít nhất một trong các đường tròn này. Dễ dàng thấy rằng, do điều kiện (2) nên số lượng tất cả các nút trong tập Delaunay là vô hạn.

Kết thúc. Để bắt đầu, hãy xem «Kvant» Số 1.

01-.p65

Lưu ý rằng các tham số r và R được chỉ định một cách mơ hồ: từ điều kiện (1) và (2) rõ ràng là tập X thỏa mãn cùng điều kiện (1) và (2) cho mọi giá trị của $r '$ và $R '$, nếu $0 < r ' \le r$ và $R ' \ge R$. Bây giờ, theo Boris Nikolaevich, chúng ta hãy tiến hành $по-^{Рис.} 1$ việc dựng một số phân chia đặc biệt của mặt phẳng thành các đa giác, liên kết duy nhất với tập X. Phân chia mặt phẳng là một thuật ngữ hơi mới, mặc dù ý nghĩa của thuật ngữ này giống với ý nghĩa của một sự kiện đã biết từ thời thơ ấu: làm vỡ kính. Toàn bộ tấm kính được vỡ thành các mảnh mà từ đó có thể tạo ra tổng thể, trong khi các mảnh riêng lẻ không chồng lên nhau $друга.^{1}$ Việc chia một mặt phẳng thành đa giác là một tập hợp các đa giác $M_{1}, M_{2}$, v.v., do đó nằm trên mặt phẳng sao cho (a) không có hai đa giác nào chồng lên nhau (điều kiện đóng gói) và (b) các đa giác ghép lại với nhau bao phủ toàn bộ mặt phẳng (lớp phủ có điều kiện). Sàn gỗ, gạch trên tường, khảm Penrose (hình2) - tất cả đều là những mảnh vỡ giới hạn của phân vùng của mặt phẳng (vô hạn). Bây giờ chúng ta hãy trình bày ý tưởng về “quả cầu trống”, thuộc về Boris $Ни-^{Рис.} 2$ Kolaevich Delaunay. Bước thứ 0. Chúng ta hãy xét mặt phẳng nơi tập hợp X tọa lạc một đường tròn nhỏ, chẳng hạn có bán kính nhỏ hơn r, không nằm trong cũng như không nằm trên biên

1 Sự so sánh này, giống như bất kỳ sự so sánh nào nói chung, còn lâu mới hoàn hảo.

3

ĐA NĂNG

chứa các nút từ X. Một vòng tròn như vậy tồn tại vì khoảng cách giữa các nút ít nhất là 2r. Bước 1. Để tâm $O_{1}$ của hình tròn bất động, chúng ta tăng bán kính của nó, để trống các nút bên trong, cho đến khi ranh giới của hình tròn phồng gặp một số nút x từ X. Một khoảnh khắc như vậy chắc chắn sẽ xảy ra, vì theo điều kiện (2) bán kính của hình tròn trống không vượt quá R (hình3).

DELAUNAIS

Lưu ý rằng sau bước thứ ba, một số k nút nhất định, $k \ge 3$, nằm trên đường tròn ranh giới của vòng tròn. Hãy xây dựng một k-giác có các đỉnh tại k nút đã cho (hình6). Rõ ràng là đa giác này

Hình 6

Hình 3

Bước thứ 2. Bây giờ, không xóa vòng tròn khỏi nút x, chúng ta di chuyển tâm của vòng tròn mở rộng ra khỏi nút x dọc theo một đường thẳng $xO_{1}$ cho đến khi nó chạm vào nút y khác (hình4). Một khoảnh khắc như vậy chắc chắn sẽ đến do điều kiện (2). Chúng ta hãy biểu thị tâm của vòng tròn này bằng $O_{2}$.

Hình 4

Bước thứ 3. Không xóa đường tròn khỏi các nút x và y, chúng ta sẽ xóa tâm của nó khỏi các nút x và y dọc theo đường trung tuyến vuông góc với đoạn xy cho đến khi vòng tròn mở rộng gặp một nút z khác (hình5).

Hình 5

Điều này hoàn thành quá trình mở rộng vòng tròn. Chúng ta hãy biểu thị đường tròn cuối cùng là K và tâm của nó là O.

01-.p65

được nội tiếp trong một đường tròn không có nút nào khác từ X cả bên trong hoặc trên đường biên $содержит.^{2}$ Đa giác M được gọi là đa giác Delaunay cho tập X gồm các nút cho trước nếu các đỉnh của nó là các nút từ X và nó được nội tiếp trong một đường tròn K nào đó không chứa bất kỳ nút nào khác ngoại trừ các đỉnh bên trong hoặc trên đường biên. K-giác thu được nhờ “bốn nước đi” được mô tả ở trên là đa giác Delaunay. Như vậy, tập đa giác Delaunay không rỗng. Hơn nữa, dễ dàng nhận thấy rằng bằng cách áp dụng “bốn bước di chuyển” cho các đường tròn nhỏ được lấy ở các phần khác nhau của mặt phẳng, người ta có thể thu được vô số đa giác Delaunay. Lưu ý rằng bất kỳ nút nào trong X đều là đỉnh của ít nhất một trong các đa giác Delaunay. Một đa giác như vậy có thể được xây dựng bằng cách di chuyển bốn bước áp dụng cho một vòng tròn nhỏ khá gần với nút đã cho. Boris Nikolaevich đã chứng minh một định lý không phức tạp lắm nhưng quan trọng: Định lý. Tập hợp tất cả các đa giác Delaunay cho một tập hợp nút X cho trước tạo thành một phân vùng của mặt phẳng. Bằng chứng. Hãy nhớ lại rằng tập hợp các nút X thỏa mãn điều kiện (1) và (2). Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng không có hai đa giác Delaunay $M_{1}$ và $M_{2}$ trùng nhau, tức là không có điểm chung bên trong. Lấy các vòng tròn “trống” $K_{1}$ và $K_{2}$, được mô tả tương ứng xung quanh $M_{1}$ và $M_{2}$. Không có vòng tròn nào trong số này được chứa trong vòng tròn kia, vì mỗi vòng tròn trong số chúng đều trống các nút từ X bên trong và mỗi vòng tròn chứa một số lượng nút nhất định trên đường biên. Nếu các vòng tròn $K_{1}$ và $K_{2}$ không trùng nhau thì các đa giác $M_{1}$ và $M_{2}$ chứa trong chúng không trùng nhau. Để các vòng tròn chồng lên nhau dọc theo một số “thấu kính” (hình7), bao gồm cung $a_{1}$ của vòng tròn thứ nhất đi vào bên trong vòng tròn thứ hai

2 Một độc giả chú ý có thể đã nhận thấy rằng ngay ở bước đầu tiên, vòng tròn mở rộng có thể đã gặp không phải một mà là hai hoặc thậm chí nhiều nút. Lưu ý rằng trong trường hợp này, chúng ta có thể chuyển trực tiếp từ bước 1 sang bước 3 hoặc thậm chí lấy vòng tròn cuối cùng K.

6

KVANT 2010/№2

mo, trong đó, theo chính Delaunay, ông đã báo cáo rằng ông đã nghiên cứu những vách ngăn này từ những năm 1920. Năm 1924, Delaunay yêu cầu học giả $В.А.Стеклова^{4}$, người đang tham dự Đại hội các nhà toán học quốc tế ở Toronto, báo cáo về công trình của mình. Sau đó, vào năm 1928, tác phẩm này đã được công bố trong kỷ yếu của Quốc hội. Đồng thời, trong thư của mình, Boris Nikolaevich cũng không quên đề cập đến việc đại hội được tổ chức tại Toronto, quê hương của Coxeter. Đáp số Coxetera đã rất đúng. Ông tìm thấy đề cập đến công việc của Delaunay trong các tài liệu của đại hội toán học năm 1924. Trong một lá thư, Coxeter yêu cầu Delaunay tha thứ cho anh ta, đặc biệt là vì vào năm 1924, Coxeter, anh ta còn trẻ đến mức, theo Boris Nikolayevich, anh ta “đi dưới gầm bàn trong chiếc quần ngắn”. Cùng lúc đó, Coxeter viết thư cho Giáo sư K. A. Rogers ở Cambridge, người đang hoàn thiện cuốn sách “Đắp và sơn”, cuốn sách đã trở thành một loại sách bán chạy nhất về toán học. Rogers đã đưa vào cuốn sách một tham chiếu đến phân vùng Delaunay. Rất có thể, thuật ngữ - phân vùng Delaunay (trong hình học tính toán - tam giác Delaunay) - lần đầu tiên xuất hiện trong cuốn sách này. Vào những năm 1980, nó trở nên phổ biến ở phương Tây, từ đó nó đến Nga vào cuối thế kỷ trước. Vào những năm 1990, tôi có cơ hội gặp Giáo sư Coxeter và phát biểu tại hội thảo của ông tại Đại học Toronto. Tôi xin Thầy kể lại câu chuyện này. Coxeter thường xác nhận câu chuyện do Boris Nikolaevich kể, ngoại trừ việc “đi dưới gầm bàn trong chiếc quần ngắn”. Năm 1924, Coxeter (1907–2003) đã 17 tuổi. Và cụm từ “đi dưới gầm bàn” là biểu hiện của lối diễn đạt và sự hài hước đặc trưng của Boris Nikolayevich - những phẩm chất mà Delaunay sở hữu đầy đủ.

4 Vladimir Andreevich Steklov (1864–1926) - nhà toán học, học giả nổi tiếng người Nga. Vào những năm 1920, ông đã tổ chức Viện Vật lý và Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học và là giám đốc đầu tiên của nó. Sau đó, vào năm 1934, viện này được chia thành hai viện hàn lâm: V.A. Viện Toán học Steklov và V.A. Viện Vật lý Steklov. P.N. Lebedeva.

Thời kỳ Leningrad (1922–1934) Nghiên cứu về các phân vùng không gian đánh dấu một sự thay đổi trong nghiên cứu theo hướng hình học. Nó diễn ra từ từ và tự nhiên. Ở đây, sự tiếp xúc trong nghiên cứu các phương trình bất định với công trình của Voronoi đã đóng một vai trò nhất định. Nhưng lý do chính cho việc hình học hóa nghiên cứu của Boris Nikolaevich nằm ở bản thân ông, ở nhận thức nghệ thuật, tượng hình độc quyền của ông về thế giới. Đặc điểm là Boris Nikolaevich đã không tiếc công sức và thời gian để đưa sự hiểu biết về một kết quả toán học đã hoàn thành đến mức mà kết quả đó sẽ được hình thức hóa dưới dạng hình học. “Điều này đơn giản có nghĩa là gì?” - một câu hỏi yêu thích mà anh ấy tự hỏi mình và các đồng nghiệp mỗi khi thảo luận về một công việc khác. Sự công nhận thành tích khoa học không mất nhiều thời gian để đến: năm 1929, B.N. Delone được bầu làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học. Tính đến thời điểm này, ông đã là giáo sư tại Đại học Leningrad được 7 năm. Những bài giảng cực kỳ rõ ràng và chu đáo của ông khơi dậy sự quan tâm lớn của sinh viên. Sự nổi tiếng của ông lớn đến mức những bài giảng đầu tiên trong các khóa học đặc biệt (tự chọn) của ông đã thu hút hàng trăm sinh viên muốn gặp vị giảng viên huyền thoại. Phải nói rằng Delaunay chưa bao giờ bỏ lỡ cơ hội nói với học sinh về một bài toán khó chưa giải được. Boris Nikolaevich được hướng dẫn bởi một nguyên tắc nổi tiếng, dường như của Plutarch: “Học sinh không phải là một chiếc bình cần được lấp đầy, mà là một ngọn đuốc cần được thắp sáng”. Và người tự thiêu có thể thắp lửa. Thẩm quyền khoa học cao, thái độ cống hiến và đồng thời có tính thẩm mỹ đối với khoa học, sự quyến rũ cá nhân - tất cả những điều này đã thu hút giới trẻ đến với anh. Không có gì đáng ngạc nhiên khi ông có nhiều học trò, trong đó có một số nhà toán học xuất sắc: học giả Alexander Danilovich Alexandrov (1912–1999) và Igor Rostislavovich Shafarevich (sinh năm 1923), thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Dmitry Konstantinovich Faddeev (1907–1989).

B.N. Delaunay giảng bài

01-.p65

7

ĐA NĂNG

Vào mùa xuân năm 1934, tại Leningrad, Boris Nikolaevich đã tổ chức Olympic toán học cấp trường đầu tiên, mở đầu cho các Olympic toán học ở nước ta. Những người tham gia Olympic Leningrad đầu tiên đã nhớ lại rất lâu ấn tượng sâu sắc về cuộc gặp gỡ của họ với B.N. Delaunay đã thực hiện chúng (ví dụ, xem «Kvant» Số 9 cho năm 1984, trang 52).

A.D.Alexandrov

B.N.Delone và I.R.Shafarevich (cuối thập niên 1940)

Thời kỳ Mátxcơva (1934–1980)

Năm 1934, V.A. Viện Toán học Steklov được thành lập tại Leningrad, nơi Boris Nikolaevich làm việc kể từ thời điểm thành lập. Cho đến năm 1960, ông đứng đầu bộ môn đại số, rồi hình học cho đến cuối đời. Ngay sau khi thành lập, Viện Toán học (hay đúng hơn là phần lớn nó) đã được chuyển cùng với các tổ chức khoa học hàng đầu khác của Viện Hàn lâm Khoa học đến Moscow. Từ năm 1935, Delaunay làm giáo sư tại Đại học Mátxcơva, nhiều năm ông giữ chức vụ trưởng khoa hình học, nay là khoa hình học cao cấp và cấu trúc liên kết tại Khoa Cơ học và Toán học. Tại Đại học quốc gia Moscow, ông đã tạo ra một khóa học rất độc đáo về hình học giải tích, nổi bật vì sự phong phú đặc biệt của các ý tưởng hình học. Không khó để xác minh điều này bằng cách mở cuốn sách hai tập về hình học giải tích do ông cộng tác với D.E. Raikov. Những sinh viên có may mắn được nghe các bài giảng của ông hầu như không nghi ngờ rằng đằng sau vẻ đẹp lộng lẫy của chúng ẩn chứa sự chuẩn bị kỹ lưỡng nhất. Anh ấy phải mất trọn hai ngày để chuẩn bị một bài giảng dài hai giờ, sau đó là một ngày. Anh ấy đánh bóng mọi ý tưởng, mọi hình. Và kết quả là, trong

01-.p65

DELAUNAIS

Trong bài giảng, các khối mười hai mặt và hai mươi mặt rõ ràng, các paraboloid và hyperbol thanh lịch, những “mèo affine” dễ thương, mà ông đã đưa vào khóa học hình học giải tích của mình để minh họa những gì xảy ra với một hình trong quá trình biến đổi affine, xuất hiện nhanh chóng và dễ dàng trên bảng đen. Có một thời, sinh viên Khoa Cơ và Toán tại Đại học Tổng hợp Mátxcơva rất chuộng một loạt giai thoại rất dí dỏm về các giáo sư của họ về chủ đề: “Ai (trong số các giáo sư) nấu súp bằng cái gì?” Theo phiên bản của sinh viên, không phải là không có sự mỉa mai, Boris Nikolaevich đã nấu súp theo n chiều $решетке^{5}$: tuy nhiên, súp đã chảy ra nhưng vẫn giữ được độ rõ hình học. Boris Nikolaevich hoàn toàn không có bất kỳ lý luận hay sự tẻ nhạt nào. Tôi sẽ trích dẫn một tình tiết mà N.Ya. Vilenkin, người học cùng Delaunay, đã kể cho tôi nghe. Một ngày nọ, Boris Nikolaevich xuất hiện tại một bài giảng với vẻ mặt tức giận và bắt đầu nhăn nhó khó chịu và thậm chí là gầm gừ. Các sinh viên, đã quen với việc Delaunay luôn mỉm cười hơi ranh mãnh, đã sửng sốt: chuyện gì đã xảy ra với Boris Nikolaevich? Việc này kéo dài khoảng mười đến mười lăm giây, rồi cái nhăn mặt biến mất, mọi người nhìn thấy một nụ cười quen thuộc và nghe thấy lời giải thích về chuyện đã xảy ra: “Trên đường đến chỗ bạn, tôi gặp người phụ trách của bạn. Cô ấy phàn nàn với tôi rất nhiều về bạn, bạn trốn học, nhiều người không vượt qua các hội thảo chuyên đề, v.v., và thực sự yêu cầu dọa bạn…” Về công việc khoa học thời kỳ Moscow, tôi sẽ chỉ kể tên một số hướng chính mà Boris Nikolaevich đã làm việc chăm chỉ và thu được những kết quả quan trọng. Trước hết, đây là hình học của các dạng bậc hai dương và các ứng dụng của nó vào lý thuyết về cái gọi là lớp phủ mạng và sự đóng gói của không gian. Về cơ bản, các kết quả mới đã thu được trong lý thuyết phân chia đều đặn và phân chia tinh thể của không gian đa chiều, cũng như trong hình học của các con số. Một số kết quả từ những năm 1960–70 đã thu được nhờ sự cộng tác của các đồng nghiệp và sinh viên. B.N. Delaunay là nhà phổ biến toán học và khoa học nói chung một cách xuất sắc. Những bài giảng phổ biến của ông, dành cho nhiều đối tượng, đã thu hút hàng trăm người nghe. Anh ấy đã chuẩn bị trước những kỹ thuật “ngẫu hứng” - những kỹ thuật mà anh ấy sử dụng để làm cho bài giảng trở nên sinh động, thú vị và khó quên. Ví dụ, vào những năm 1940, ông đã nhiều lần giảng về chủ đề “Định lý N.E. Zhukovsky về lực đỡ cánh máy bay”. Boris Nikolayevich bắt đầu bài giảng của mình tại Thính phòng lớn nổi tiếng của Bảo tàng Bách khoa ở Moscow trước hàng trăm người tụ tập như thế này. B.N.: “Chắc bạn biết nhà toán học nổi tiếng Viện sĩ Pavel Sergeevich $Александрова^{6}$?” Giọng nói cá nhân: “Vâng, tất nhiên rồi.”

5 Lưới ở đây có nghĩa là tập hợp các điểm có tọa độ nguyên. 6 giờ chiều Aleksandrov (1896–1982) - một nhà toán học xuất sắc, một trong những người sáng lập trường tôpô quốc gia, viện sĩ, giáo sư cơ học và toán học tại Đại học quốc gia Moscow.

8

KVANT 2010/№2

B.N.: “Bạn có biết rằng nhà toán học nổi tiếng Viện sĩ Alexandrov không bao giờ đi máy bay không?” Một tiếng vo ve nhẹ, khán giả bối rối. B.N.: “Bạn có biết tại sao Viện sĩ Alexandrov lại sợ đi máy bay không?” Tiếng ồn ngày càng lớn. B.N. (với nụ cười ranh mãnh) kết luận: “Viện sĩ Alexandrov không bao giờ bay bằng máy bay vì ông ấy không biết định lý Zhukovsky. Nhưng tôi biết và bay rất nhiều. Hôm nay tôi sẽ giới thiệu với các bạn định lý này, và các bạn sẽ không bao giờ sợ bay.” Đến lúc này, khán giả đã “ấm lên” và sẵn sàng lắng nghe câu chuyện về một định lý quan trọng như vậy.

Không chỉ khoa học

01-.p65

Đỉnh Belukha và Đỉnh Delone

Trong số nhiều sở thích phi toán học của Boris Nikolaevich, leo núi chiếm một vị trí đặc biệt. Chắc chắn đây là niềm đam mê mạnh mẽ nhất đã tồn tại trong suốt cuộc đời tôi. Nó bắt nguồn, như đã đề cập, từ thời thơ ấu trong chuyến đi mùa hè của gia đình tới Thụy Sĩ. Trong hoạt động leo núi, anh đặc biệt bị thu hút bởi vẻ đẹp của những bức ảnh toàn cảnh mở rộng, những hình bóng biểu cảm về mặt hình học của các rặng núi và đỉnh núi. Và tất nhiên là niềm đam mê chinh phục đỉnh cao bằng bất cứ giá nào. Anh tham gia leo núi khá chuyên nghiệp. Trên dãy Alps, vào năm 1910, ông đã leo lên đỉnh cao thứ hai sau Mont Blanc, nhưng về mặt kỹ thuật không khó là Monte Rosa. Sau đó là vùng Kavkaz với vô số chặng leo núi khó khăn, kể cả những chặng leo núi đầu tiên. Nhưng Boris Nikolaevich đặc biệt yêu thích Altai. Năm 1926, ông cũng đến thăm ngọn núi mang tên ông. Đỉnh Delone nằm trên vai dẫn lên đỉnh cao nhất Altai - Belukha. Cùng nhau đi du lịch qua Altai $И.Е.Таммом^{7}$, họ phát hiện ra một địa điểm đẹp đến kinh ngạc: Hồ Shavlo, trong làn nước trong vắt có hình ảnh phản chiếu của hai đỉnh núi hùng vĩ phủ đầy tuyết. Delaunay gọi một trong số đó là Người đẹp, Tamm gọi là Truyện cổ tích còn lại. Theo Delaunay, vẻ đẹp của nơi này vượt qua tất cả những địa điểm nổi tiếng trên dãy Alps. Ngày nay, con đường đến Người đẹp và Truyện cổ tích là một trong những con đường hấp dẫn nhất ở Altai. Trong những năm 30 và 40 của thế kỷ trước, Boris Nikolaevich đã tích cực tham gia tổ chức các hoạt động leo núi đại chúng ở nước ta. Vào mùa hè năm 1931, ông tổ chức trại leo núi đầu tiên của đất nước ở Caucasus cho

công nhân của nhà máy Leningrad Putilov và tổ chức các lớp học về kỹ thuật leo núi ở đó, đồng thời phân tích các đường đi lên cùng với những người hướng dẫn. Năm 1934, ông được trao danh hiệu bậc thầy leo núi. Vào thời điểm này, leo núi đang trở thành một môn thể thao đại chúng và việc tạo ra một hệ thống phân loại là cần thiết.

7 Igor Evgenievich Tamm (1895–1971) - nhà vật lý lý thuyết kiệt xuất, đoạt giải Nobel (1958).

Hạ hồ Shavlinskoye và các đỉnh núi trắng như tuyết Skazka và Krasavitsa

9

ĐA NĂNG

xác định thành tích thể thao. Delaunay đã phát triển các nguyên tắc để phân loại các đường leo núi (năm giai đoạn) và theo đó, đã phân loại hơn 200 tuyến đường đến các đỉnh Caucasus, Trung Á và Altai. Năm 1938, ông viết cuốn hướng dẫn đầu tiên dành cho những người leo núi, “Đỉnh núi phía Tây Caucasus” (một phần của dãy Caucasus nằm ở phía tây Elbrus). Nó mô tả hàng chục đỉnh núi chính của khu vực này và các tuyến đường để leo lên chúng. Mô tả được kèm theo hình của mỗi đỉnh cùng với các tuyến đường để leo lên đỉnh đó. Trong cuốn sách, trên một phụ trang có một bức tranh toàn cảnh về toàn bộ sườn núi Tây Caucasian, do Boris Nikolaevich thực hiện, di chuyển từ đỉnh này sang đỉnh khác trên một sườn núi song song. Với tuổi tác, leo núi đã được thay thế bằng đi bộ đường dài. Không phải đi bộ 5–10 km mà là đi bộ đường dài 30–40 km thực sự, đôi khi rất khó khăn, luôn diễn ra ở những nơi đẹp nhất trong khu vực Moscow. Boris Nikolaevich là một người đàn ông có thể chất đặc biệt rắn chắc. Và vẫn không khỏi bàng hoàng khi chứng kiến ​​một cụ già khỏa thân đến thắt lưng bước đi vội vã với chiếc ba lô vào cuối mùa đông. Tuyết rơi tan chảy và chảy xuống mái tóc xám của anh ta, đóng băng dưới dạng những cột băng lớn. Boris Nikolaevich rất yêu thiên nhiên và luôn âm thầm ngưỡng mộ vẻ đẹp của nó, như thể đang cố gắng hấp thụ mọi thứ và mọi người. Sự ngưỡng mộ của anh vô tình được truyền sang những người bạn đồng hành. Giao tiếp với thiên nhiên giống như một bí tích, và anh ấy cảm thấy khó chịu, mặc dù anh ấy không thể hiện ra ngoài, khi bí tích này vô tình bị làm phiền bởi cuộc trò chuyện của ai đó. Nhưng xung quanh đống lửa hay trên tàu, những người bạn đồng hành của anh đã trở thành người nghe vô số câu chuyện, câu chuyện này thú vị hơn câu chuyện kia. B.N. Delaunay là một người kể chuyện tuyệt vời… “Tất nhiên, bạn không biết rằng em gái tôi là một vị thánh (tạm dừng, cái nhìn ranh mãnh của người kể chuyện, sự hoang mang của người nghe). Vâng, vâng, khá nghiêm túc đấy, thánh nhân…” …Rồi bắt đầu một câu chuyện thú vị về người anh họ và người bạn thời thơ ấu Elizaveta Pilenko (đã kết hôn với Kuzmina-Karavaev), một nữ thi sĩ (những bài thơ của cô ấy được Alexander Blok đánh giá cao). Sau cuộc cách mạng năm 1917, Mẹ di cư sang Pháp và trở thành nữ tu (Mẹ Maria là tên tu viện; đó cũng là tên bộ phim chúng tôi đề tặng Mẹ). Trong thời kỳ Đức Quốc xã chiếm đóng nước Pháp, Mẹ Maria gia nhập hàng ngũ kháng chiến, bị bắt và chết trong trại tập trung của Đức. Sau chiến tranh, bà chính thức được Giáo hội Công giáo phong thánh.

“Buổi tối của cuộc sống”

Trong bài phát biểu chào mừng nhân dịp kỷ niệm 80 năm, Học viện các nhà tự nhiên học Đức “Leopoldina” chúc B. N. Delaunay, một thành viên của học viện này, một “buổi tối vui vẻ trong cuộc sống”. “Buổi tối của cuộc đời” kéo dài mười năm. Trong những năm này, ông cùng với các học trò của mình đã thu được những kết quả quan trọng về lý thuyết che phủ không gian tối ưu bằng các quả bóng, về lý thuyết địa phương của cái gọi là

01-.p65

DELAUNAIS

hình thành các cấu trúc đều đặn, là một loại mô hình toán học của tinh thể. Boris Nikolaevich là người đứng đầu và hỗ trợ của một gia đình lớn. Ông rất yêu quý các cháu của mình, chúng rất yêu quý ông nội. Boris Nikolaevich đã chăm sóc họ, nhưng ông đặc biệt lo lắng cho số phận của cháu trai cả của mình, Vadik. Vadim Delone (xem http://vadim-delaunay.org), nhà thơ tài năng, đẹp trai, có trái tim dịu dàng và tâm hồn đồng cảm. Năm 18 tuổi, ông trở thành một nhà bất đồng chính kiến và hoạt động nhân quyền. Năm 19 tuổi, ông bị kết tội tổ chức một cuộc biểu tình chính trị ở Mátxcơva. Một năm sau khi được trả tự do, vào ngày 25 tháng 8 năm 1968, ông đi ra ngoài cùng nhóm “bảy” nổi tiếng đến Quảng trường Đỏ để phản đối việc đưa quân đội Liên Xô vào Tiệp Khắc. Với khẩu hiệu “Vì sự tự do của bạn và của chúng tôi", mà anh ta giữ trong vài giây, Vadim đã nhận được 3 năm “không tự do”. Boris Nikolaevich đã làm mọi cách để xoa dịu số phận của cháu trai mình. Ông đã thu thập chữ ký từ những người nổi tiếng để bảo vệ Vadim, và với những bức thư này, ông đã đến thăm các văn phòng “cao nhất” ở Lubyanka. Sau phiên tòa, ngay khi nhận được sự cho phép, ông đã đến thăm anh ta trong một trại ở phía bắc vùng Tyumen. Một đối tượng khác được chăm sóc đặc biệt là vợ anh ta đang bị bệnh và cần được chăm sóc. Sau đó Vadim ra nước ngoài và cái chết của vợ, ông, đã 86 tuổi, “lao vào mọi thứ”: công việc, bài giảng, chuyến đi, hai chuyến đi bộ mỗi tuần, mỗi lần 20–40 km. Vào một trong những ngày năng động nhất, ông bị đột quỵ: đột quỵ, mất khả năng nói gần như hoàn toàn, trí nhớ, khả năng vận động hạn chế, tính đến tuổi tác của ông, các bác sĩ cực kỳ keo kiệt trong việc đánh giá triển vọng của ông về một cuộc sống trọn vẹn và giành được chiến thắng cuối cùng, nhưng có lẽ là quan trọng nhất trong cuộc đời (không phải nếu không có sự giúp đỡ của ông). những người thân yêu, học sinh và đồng nghiệp) Những chức năng đã mất của anh ấy được phục hồi và anh ấy trở lại cuộc sống thực. Tất nhiên, những chuyến đi bộ đường dài “chỉ” khoảng 10–15 km, không phải xuyên qua những khu rừng rậm rạp mà là qua những nơi có “cảnh quan công nghiệp”, không phải hai lần mà chỉ một lần một tuần. Tôi sẽ không bao giờ quên một ngày tháng Ba xám xịt (tức là khoảng bốn tháng trước khi kết thúc) Boris Nikolaevich lấy một cuốn sách ra khỏi tủ sách và đọc một đoạn văn đáng chú ý của Poincaré. Hơi thở của anh bị gián đoạn bởi sự phấn khích, giọng anh run rẩy: “… cuộc đời chỉ là một đoạn thoáng qua giữa hai cõi vĩnh hằng của cái chết và… trong đoạn này, thời gian quá khứ và tương lai của ý nghĩ có ý thức không quá một khoảnh khắc. Một ý nghĩ chỉ là một tia sáng lóe lên giữa đêm dài. Nhưng tia sáng này là tất cả. "

10

KVANT 2010/№2

Tĩnh điện có thể làm được những gì?

K. BOGDANOV

…Mọi dự đoán về tĩnh điện đều tuân theo hai định luật của nó. Nhưng diễn đạt những điều này một cách toán học là một chuyện, áp dụng chúng một cách dễ dàng và đúng mức lại là chuyện khác. Richard Feynman

TĨNH ĐIỆN NGHIÊN CỨU SỰ TƯƠNG TÁC giữa các điện tích đứng yên. Các thí nghiệm quan trọng về tĩnh điện được thực hiện vào thế kỷ 17 và 18. Với việc phát hiện ra các hiện tượng điện từ và cuộc cách mạng về công nghệ mà chúng tạo ra, sự quan tâm đến tĩnh điện đã mất đi trong một thời gian. Tuy nhiên, nghiên cứu khoa học hiện đại cho thấy tầm quan trọng to lớn của tĩnh điện trong việc tìm hiểu nhiều quá trình của thiên nhiên sống và không sống.

Tĩnh điện và cuộc sống

Năm 1953, các nhà khoa học Mỹ S. Miller và G. Ury đã chỉ ra rằng một trong những “khối xây dựng của sự sống” - axit amin - có thể thu được bằng cách truyền một dòng điện qua một loại khí có thành phần tương tự như bầu khí quyển nguyên thủy của Trái đất, bao gồm metan, amoniac, hydro và hơi nước. Trong 50 năm tiếp theo, các nhà nghiên cứu khác đã lặp lại những thí nghiệm này và thu được kết quả tương tự. Khi các xung dòng điện ngắn truyền qua vi khuẩn, các lỗ chân lông xuất hiện trên vỏ (màng) của chúng, qua đó các đoạn DNA của vi khuẩn khác có thể đi vào, kích hoạt một trong các cơ chế tiến hóa. Do đó, năng lượng cần thiết cho nguồn gốc sự sống trên Trái đất và sự tiến hóa của nó thực sự có thể là năng lượng tĩnh điện của quá trình phóng điện sét (hình1).

Hình 1. Sét đánh

01-.p65

Tĩnh điện gây ra sét như thế nào

Tại bất kỳ thời điểm nào, có khoảng 2.000 tia sét ở các điểm khác nhau trên Trái đất, khoảng 50 tia sét đánh vào Trái đất mỗi giây và mỗi km vuông bề mặt Trái đất bị sét đánh trung bình sáu lần một năm. Trở lại thế kỷ 18, Benjamin Franklin đã chứng minh rằng sét đánh từ đám mây giông là sự phóng điện truyền điện tích âm xuống Trái đất. Hơn nữa, mỗi lần phóng điện cung cấp cho Trái đất vài chục coulomb điện và biên độ dòng điện khi bị sét đánh dao động từ 20 đến 100 kiloamper. Chụp ảnh tốc độ cao cho thấy một tia sét chỉ kéo dài một phần mười giây và mỗi tia sét gồm nhiều tia sét ngắn hơn. Sử dụng các thiết bị đo lắp đặt trên tàu thăm dò khí quyển, vào đầu thế kỷ 20, người ta đã đo điện trường Trái đất, cường độ của nó ở bề mặt xấp xỉ 100 V/m, tương ứng với tổng điện tích của hành tinh khoảng 400.000 C. Chất mang điện trong khí quyển Trái đất là các ion, nồng độ của chúng tăng theo độ cao và đạt cực đại ở độ cao 50 km, trong đó dưới tác động của bức xạ vũ trụ, chất dẫn điện là chất dẫn điện. lớp đã hình thành - tầng điện ly. Vì vậy, có thể nói điện trường của Trái đất là điện trường của một tụ điện hình cầu có điện áp đặt vào khoảng 400 kV. Dưới tác động của điện áp này, một dòng điện 2–4 kA luôn chạy từ lớp trên xuống lớp dưới, mật độ của nó là (1 - 2) ◊ $10^{-} 12$ A $м^{2}$ và năng lượng được giải phóng lên tới 1,5 GW. Và nếu không có sét thì điện trường này sẽ biến mất! Hóa ra khi thời tiết tốt, tụ điện của Trái đất sẽ phóng điện và khi có giông bão, nó sẽ được tích điện. Đám mây giông là một lượng hơi nước khổng lồ, một số trong đó đã ngưng tụ thành những giọt nhỏ hoặc những tảng băng. Đỉnh của đám mây giông có thể ở độ cao 6–7 km và phía dưới có thể lơ lửng trên mặt đất ở độ cao 0,5–1 km. Trên 3–4 km, các đám mây bao gồm các tảng băng có kích thước khác nhau, vì nhiệt độ ở đó luôn dưới 0. Những mảnh băng này chuyển động liên tục, gây ra bởi dòng không khí ấm áp bốc lên từ bên dưới từ bề mặt nóng lên của trái đất. Những mảnh băng nhỏ nhẹ hơn những mảnh băng lớn và chúng bị cuốn đi bởi các luồng không khí dâng cao và va chạm với những mảnh băng lớn trên đường đi. Với mỗi va chạm như vậy, quá trình điện hóa xảy ra, trong đó những mảnh băng lớn tích điện âm và những mảnh nhỏ tích điện dương. Theo thời gian, những mảnh băng nhỏ tích điện dương tích tụ lại -

12

KVANT 2010/№2

nguồn gốc tự nhiên. Luật sư trẻ lập luận rằng mọi thứ giúp cứu mạng đều là vì lợi ích. Anh ta đã thắng kiện và đạt được danh tiếng lớn. Tên luật sư là… Maximilian Robespierre. Chà, hiện nay bức chân dung của người phát minh ra cột thu lôi là bản sao được thèm muốn nhất trên thế giới, bởi vì nó tô điểm cho tờ một trăm đô la nổi tiếng.

Tĩnh điện mang lại sự sống

Năng lượng từ việc phóng điện của tụ điện không chỉ dẫn đến sự xuất hiện của sự sống trên Trái đất mà còn có thể khôi phục sự sống cho những người có tế bào tim đã ngừng co bóp đồng bộ. Sự co bóp không đồng bộ (hỗn loạn) của các tế bào tim được gọi là rung tim. Rung tim có thể được dừng lại bằng cách truyền một xung điện ngắn qua tất cả các tế bào của nó. Để làm điều này, hai điện cực được đặt vào ngực bệnh nhân, qua đó một xung được truyền với thời lượng khoảng 10 mili giây và biên độ lên tới vài chục ampe. Trong trường hợp này, năng lượng phóng điện qua ngực có thể đạt tới 400 J (bằng thế năng của một trọng lượng pound được nâng lên độ cao 2,5 m). Một thiết bị tạo ra cú sốc điện làm ngừng rung tim được gọi là máy khử rung tim. Máy khử rung tim đơn giản nhất là một mạch dao động bao gồm một tụ điện có công suất 20 μF và một cuộn dây có độ tự cảm 0,4 H. Bằng cách sạc tụ điện đến điện áp 1–6 kV và phóng điện qua cuộn dây và bệnh nhân, có điện trở khoảng 50 Ohms, bạn có thể thu được xung dòng điện cần thiết để đưa bệnh nhân sống lại.

Tĩnh điện cho ánh sáng

Đèn huỳnh quang có thể đóng vai trò là dụng cụ đo cường độ điện trường thuận tiện. Để xác minh điều này, ở trong phòng tối,

Hình 5. Ánh sáng rực rỡ của đèn huỳnh quang bám xuống đất dưới đường dây điện cao thế

01-.p65

Đầu tiên, chà đèn bằng khăn hoặc khăn quàng cổ - kết quả là bề mặt bên ngoài của kính đèn sẽ tích điện dương và vải - âm. Ngay khi điều này xảy ra, chúng ta sẽ thấy những tia sáng xuất hiện ở những chỗ của đèn mà chúng ta chạm vào một miếng vải tích điện. Các phép đo cho thấy cường độ điện trường bên trong đèn huỳnh quang đang hoạt động là khoảng 10 V/m. Ở cường độ này, các electron tự do có năng lượng cần thiết để ion hóa các nguyên tử thủy ngân bên trong đèn huỳnh quang. Điện trường dưới đường dây điện cao thế - đường dây điện - có thể đạt giá trị rất cao. Vì vậy, nếu ban đêm đèn huỳnh quang cắm xuống đất dưới đường dây điện sẽ sáng và khá sáng (hình5). Vì vậy, bằng cách sử dụng năng lượng của trường tĩnh điện, bạn có thể chiếu sáng không gian dưới đường dây điện.

Cách tĩnh điện cảnh báo cháy và làm sạch khói

Trong hầu hết các trường hợp, khi chọn loại đầu báo cháy, người ta ưu tiên sử dụng đầu báo khói, vì đám cháy thường đi kèm với việc giải phóng một lượng lớn khói và chính loại đầu báo này có thể cảnh báo những người trong tòa nhà về mối nguy hiểm. Đầu báo khói sử dụng nguyên lý ion hóa hoặc quang điện để phát hiện khói trong không khí. Đầu báo khói ion hóa chứa nguồn bức xạ $\alpha$ (thường là americium-241) làm ion hóa không khí giữa các tấm điện cực kim loại, điện trở giữa chúng được đo liên tục bằng một mạch đặc biệt. Các ion được hình thành do bức xạ $\alpha$ cung cấp độ dẫn điện giữa các điện cực và các vi hạt khói xuất hiện ở đó liên kết với các ion, trung hòa điện tích của chúng và do đó làm tăng điện trở giữa các điện cực, khiến mạch điện phản ứng bằng cách phát ra âm thanh báo động. Các cảm biến dựa trên nguyên tắc này thể hiện độ nhạy rất ấn tượng, phản ứng ngay cả trước khi sinh vật sống phát hiện ra dấu hiệu khói đầu tiên. Cần lưu ý rằng nguồn bức xạ được sử dụng trong cảm biến không gây nguy hiểm cho con người, vì tia alpha thậm chí không thể xuyên qua một tờ giấy và bị hấp thụ hoàn toàn bởi một lớp không khí dày vài cm. Khả năng nhiễm điện của các hạt bụi được sử dụng rộng rãi trong các máy hút bụi tĩnh điện công nghiệp. Ví dụ, một loại khí chứa các hạt bồ hóng bay lên trên đi qua lưới kim loại tích điện âm, do đó các hạt này mang điện tích âm. Tiếp tục bay lên trên, các hạt nằm trong điện trường của các tấm tích điện dương, chúng bị hút vào đó, sau đó các hạt rơi vào các thùng chứa đặc biệt, từ đó chúng được loại bỏ định kỳ.

14

KVANT 2010/№2

Hình học của bầu trời đầy sao

V.PROTASOV

BẦU TRỜI TRÊN ĐẦU BẠN LÀ Sách giáo khoa Hình học CỔ ĐẠI NHẤT. Những khái niệm đầu tiên như điểm và đường tròn đều xuất phát từ đó. Nhiều khả năng không phải là sách giáo khoa mà là sách vấn đề. Trong đó không có trang nào có câu trả lời. Hai vòng tròn có cùng kích thước - Mặt trời và Mặt trăng - di chuyển trên bầu trời, mỗi vòng tròn có tốc độ riêng. Các vật thể còn lại - các điểm sáng - chuyển động cùng nhau, như thể chúng được gắn vào một quả cầu quay với tốc độ 1 vòng trong 24 giờ. Đúng, trong số đó có những trường hợp ngoại lệ - 5 điểm di chuyển tùy ý. Một từ đặc biệt đã được chọn cho họ - “hành tinh”, trong tiếng Hy Lạp - “kẻ lang thang”. Chừng nào nhân loại còn tồn tại, nó đã cố gắng làm sáng tỏ các quy luật của chuyển động không ngừng này. Bước đột phá đầu tiên xảy ra vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, khi các nhà khoa học Hy Lạp, sử dụng nền khoa học hình học non trẻ, đã có thể thu được những kết quả đầu tiên về cấu trúc của Vũ trụ. Đây là những gì chúng ta sẽ nói về. Để biết một số ý tưởng về độ phức tạp của bài toán, hãy xem xét ví dụ này. Hãy tưởng tượng một quả bóng phát sáng có đường kính 10 cm, treo bất động trong không gian. Hãy gọi nó là S. Một quả bóng nhỏ Z có đường kính 1 mm quay quanh nó ở khoảng cách hơn 10 mét một chút, và một quả bóng rất nhỏ quay quanh Z ở khoảng cách 6 cm.

E.N.Koneva, M.V.Perepukhov. Qua gai đến các vì sao

01-.p65

L, đường kính của nó là một phần tư milimét. Những sinh vật cực nhỏ sống trên bề mặt của quả bóng Z ở giữa. Họ có trí thông minh nhất định, nhưng họ không thể rời khỏi giới hạn của quả bóng của mình. Tất cả những gì họ có thể làm là nhìn vào hai quả bóng khác - S và L. Câu hỏi đặt ra là liệu họ có thể tìm ra đường kính của những quả bóng này và đo khoảng cách tới chúng không? Dù bạn có nghĩ thế nào thì vấn đề dường như vẫn vô vọng. Chúng tôi đã vẽ một mô hình thu gọn rất nhiều của Hệ Mặt trời (S – Mặt trời, Z – Trái đất, L – Mặt trăng). Đây là bài toán đã đứng trước các nhà thiên văn học cổ đại. Và họ đã giải quyết nó! Hơn 22 thế kỷ trước, không sử dụng gì ngoài hình học cơ bản - ở cấp lớp 8 (các tính chất của đường thẳng và đường tròn, các tam giác đồng dạng và định lý Pythagore). Và tất nhiên là ngắm Mặt Trăng và Mặt Trời. Một số nhà khoa học đã làm việc để tìm ra giải pháp. Chúng tôi sẽ nhấn mạnh hai. Đây là nhà toán học Eratosthenes, người đã đo bán kính địa cầu và nhà thiên văn học Aristarchus, người đã tính toán kích thước của Mặt trăng, Mặt trời và khoảng cách tới chúng. Họ đã làm điều đó như thế nào?

Quả địa cầu được đo như thế nào

Từ lâu con người đã biết rằng Trái đất không phẳng. Các nhà hàng hải cổ đại đã quan sát thấy bức tranh bầu trời đầy sao dần dần thay đổi như thế nào: các chòm sao mới xuất hiện, trong khi những chòm sao khác thì ngược lại, vượt ra ngoài đường chân trời. Tàu thuyền ra khơi “đi dưới nước”; đỉnh cột buồm của họ là nơi cuối cùng biến mất khỏi tầm nhìn. Không rõ ai là người đầu tiên bày tỏ ý tưởng rằng Trái đất có hình cầu. Rất có thể - những người theo Pythagore, những người coi quả bóng là hình tượng hoàn hảo nhất. Một thế kỷ rưỡi sau, Aristotle đưa ra một số bằng chứng cho thấy Trái đất có hình cầu. Vấn đề chính: khi nguyệt thực, bóng của Trái đất hiện rõ trên bề mặt Mặt trăng và bóng này có hình tròn! Kể từ đó, những nỗ lực liên tục đã được thực hiện để đo bán kính của địa cầu. Hai phương pháp đơn giản được trình bày trong bài tập 1 và 2. Tuy nhiên, các phép đo hóa ra lại không chính xác. Ví dụ, Aristotle đã bị nhầm lẫn hơn một lần rưỡi. Người ta tin rằng người đầu tiên làm được điều này với độ chính xác cao là nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes xứ Cyrene (276–194 TCN). Tên tuổi của anh giờ đây đã được mọi người biết đến nhờ sàng lọc của Era-

36

KMS

KVANT 2010/№2

Bài toán

Số CUBE là một khối lập phương. Chứng minh rằng số SHAR không phải là số lập phương. (Như thường lệ, các chữ in hoa khác nhau biểu thị các số khác nhau.) A. Khachaturian

Các hình tròn có bán kính 1 (và do đó có diện tích $\pi )$ được xếp chồng lên nhau sao cho ranh giới của chúng tạo thành một chiếc khăn ăn bằng ren (xem hình). Tìm diện tích của hình là giao của các hình tròn này. N. Avilov

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Từ lâu, con người đã có thể đạt được nhiệt độ thấp cần thiết để bảo quản thực phẩm mà không cần tủ lạnh. Để làm điều này, họ cho đá vào hầm vào mùa đông, và vào mùa hè họ trộn đá nghiền với muối. Khi trộn đá với muối, nhiệt độ của hỗn hợp có thể giảm xuống $-^{21} \infty^{C}$ (kiểm tra điều này bằng thực nghiệm), như trong tủ đông hiện đại. Tại sao cần gạt nước rắc muối vào mùa đông? Họ có muốn giảm nhiệt độ bên ngoài không? E. Sokolov

Vị Lạt ma thông thái có hai học trò lười biếng. Một ngày nọ, Lạt ma quyết định dạy cho họ một bài học và đề nghị chơi một trò chơi cổ xưa. Họ ngồi xuống một chiếc bàn tròn có 999 que diêm được đổ ra. Học sinh ngồi bên tay trái của Lạt ma được phép đánh 1, 3 hoặc 5 que diêm mỗi lượt. Học sinh ngồi bên tay phải của Lạt ma đánh 2, 4 hoặc 6 que diêm mỗi lượt. Lama do trí tuệ nên luôn thắng đúng 1 trận. Nước đi đầu tiên được thực hiện bởi lạc đà không bướu, sau đó các nước đi được thực hiện lần lượt theo chiều kim đồng hồ. Bất cứ ai không thể thực hiện một động thái sẽ bỏ lỡ nó. Người nào thực hiện trận đấu cuối cùng sẽ thắng. Ai sẽ thắng? Văn hóa dân gian

Minh họa của D. Grishukova

Sasha cầm một cây bút có ngòi mỏng và viết chữ (hình1) vào các ô một cách đẹp đẽ, như được dạy. Artem lấy một chiếc bút dạ dày và viết một từ khác rất đẹp (hình2). Và Masha lấy một cây bút áp phích rộng và viết từ thứ ba (hình3). Masha đã viết từ gì? E. Sokolov

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

39

ĐẾN

M

Sh

Hình 14

Hình 17

Sử dụng định lý tương tự, nhưng đối với vòng tròn 3, đẳng thức có thể tiếp tục:

$AO \cdot OB = CO \cdot OD$ và hơn thế nữa (khoanh tròn 1)

$CO \cdot OD = EO \cdot OF '$.

Hình 15

Đo phẳng lời giải

Hãy quay lại bài toán ban đầu và xem xét ba vòng tròn giao nhau (1, 2 và 3 trên hình 16). Chúng ta hãy vẽ hai dây cung chung: một cho vòng tròn 1 và 3 và dây thứ hai cho vòng tròn 2 và 3. Như chúng ta đã thấy, các điểm trên dây thứ nhất có cùng bậc so với vòng tròn 1 và 3, và các điểm trên dây thứ hai có cùng bậc so với đường tròn.

Hình 16

điểm 2 và 3. Điều này có nghĩa là điểm chung của hai dây này có cùng bậc đối với cả ba đường tròn. Do đó, nó cũng nằm trên dây chung của đường tròn 1 và 2. Đây là điều cần chứng minh. lời giải này có thể được diễn đạt lại để nó trở thành hoàn toàn “trường học” và không sử dụng khái niệm mức độ (hình17). Vẽ hai dây chung AB (vòng 2 và 3) và CD (vòng 1 và 3). Gọi O là giao điểm của chúng. Hãy vẽ một đường thẳng đi qua điểm O và một trong hai điểm giao nhau của đường tròn 1 và 2 (giả sử là điểm trên của hình) - điểm E. Nếu câu bài toán sai thì đường thẳng này sẽ cắt đường tròn 2 và 1 tại các điểm khác nhau. Hãy gọi chúng là F và $F '$. Bây giờ chúng tôi lưu ý rằng

So sánh điểm đầu và điểm cuối của chuỗi đẳng thức này, ta có

$EO \cdot OF = EO \cdot OF '$, tức là F và $F '$ là cùng một điểm, cần phải chứng minh.

Câu hỏi và bài toán

1. Hãy chú ý đến cách định vị màng để tách các bong bóng xà phòng. Nó bị uốn cong theo hướng nào? Bong bóng nào có áp suất lớn hơn? (Phim này khó nhìn thấy trong ảnh của chúng tôi, vì vậy rất đáng để xem xét các bong bóng thật.) 2. Độ của một điểm nằm ở khoảng cách d tính từ tâm của một đường tròn bán kính r so với đường tròn này là bao nhiêu? 3. Chúng ta đã xác định được bậc của các điểm bên trong đường tròn. Đưa ra định nghĩa hình học cho các điểm bên ngoài đường tròn sao cho công thức bài toán 2 vẫn đúng. 4. Xét hai đường tròn (có giao nhau hay không). Tìm quỹ tích các điểm có cùng bậc (theo nghĩa bài toán trước đó) so với hai đường tròn này. Đáp số: đây là một đường thẳng; nó được gọi là trục đẳng phương của một cặp đường tròn. 5. Tìm trục đẳng phương của một cặp đường tròn tiếp tuyến. 6. Có ba đường tròn tiếp tuyến theo cặp. Qua mỗi điểm tiếp tuyến, một tiếp tuyến chung được vẽ đến cặp tương ứng. Chứng minh rằng ba đường thẳng này đi qua một điểm. 7. Trong mọi lập luận của mình, chúng ta đã ngầm giả định rằng các đường tròn không chỉ giao nhau theo từng cặp mà cả ba đường tròn đều chồng lên nhau (có một điểm nằm bên trong cả ba). Nếu không có điểm đó thì lý luận của chúng ta không còn hiệu quả nữa. Tuy nhiên, hãy chứng minh rằng trong trường hợp này ba hợp âm chung (chính xác hơn là phần mở rộng của chúng) giao nhau.

$EO \cdot OF = AO \cdot OB$

bằng định lý về đoạn hai cát tuyến (ở vòng tròn 2).

41

ĐẾN

M

Sh

Họa tiết băng trên kính

Đá trên kính. Vào mùa đông, cửa sổ xe buýt thường bị phủ sương hoặc sơn hoa văn băng giá ở bên trong. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào nhiệt độ và độ ẩm trong cabin. Ở độ ẩm thấp và làm mát dần dần từ 0 đến –6 $\infty^{C}$, một lớp băng lỏng mờ đục đồng nhất lắng đọng trên bề mặt kính. Trong trường hợp này, toàn bộ kính ở dưới điểm sương và hơi ẩm từ không khí đồng thời ngưng tụ trên toàn bộ bề mặt kính, phủ lên từng lớp và tạo thành trạng thái băng vô định hình, mờ đục. Nếu kính được làm mát ở độ ẩm không khí cao và trong quá trình làm mát, điểm sương được vượt qua, khi đó nước ngưng tụ trên kính sẽ kết tinh dưới dạng các hình dạng băng giá, tương tự như bàn chân hoặc cành cây lạ, đồng thời lấy đi nhiệt từ các khu vực lân cận của kính. Những mô hình này được gọi là đuôi gai. Khi kính được làm mát thêm, một lớp sương mỏng sẽ lắng đọng giữa các sợi nhánh, sau đó trên chính các sợi nhánh. Đôi khi nhiệt độ và độ ẩm cao đến mức kính đã lau đóng băng ngay trước mắt bạn, bị bao phủ bởi các tinh thể băng. Bằng cách nào đó, sau khi tan băng, trời đột nhiên trở nên lạnh hơn và các mẫu đuôi gai lớn hơn bao phủ phần dưới của kính cửa sổ, trong khi ở phía trên các tinh thể nhỏ hơn đáng kể. Tại sao? Nó không khó để giải thích. Tinh thể được hình thành từ nước ngưng tụ trên thủy tinh và do trọng lực, nó chảy và tích tụ bên dưới. Vào mùa đông, không khí lạnh có thể xâm nhập vào bên trong xe buýt qua các vết nứt khung và cửa sổ mở. Không khí ấm áp và ẩm ướt của cabin tiếp xúc với nó, đồng thời nguội đi, mất đi độ ẩm dư thừa. Tại sao cửa sổ không bị sương mù và đóng băng khi không khí bên ngoài lọt vào? Trong trường hợp này, hai quá trình xảy ra bên trong cabin: không chỉ không khí ấm được làm mát mà cả không khí lạnh đi vào cabin sẽ nóng lên và hấp thụ nước khi khả năng giữ ẩm của nó tăng lên. Điều này dễ dàng được xác nhận bằng thực nghiệm.

Nếu bạn đeo kính, bạn biết (mặc dù mọi người đều biết điều này) rằng vào mùa đông, khi bạn từ ngoài đường bước vào một căn phòng ấm áp, sương mù sẽ bay lên. Nhưng ít người chú ý đến điều sau: ngay khi bạn ra ngoài trời lạnh mà không lau kính, hơi ẩm sẽ bốc hơi hoàn toàn khỏi kính. Thực hiện thí nghiệm này với một mảnh thủy tinh, tốt nhất bạn không nên cầm nó trên tay mà bằng một loại khung nào đó. Hãy để tôi cung cấp cho bạn một vài quan sát thêm. Có lần tôi hít vào một khu vực được lau trên cửa sổ đóng băng, và nó nhanh chóng bị bao phủ bởi sương mịn, với những chiếc kim dài hơn phần còn lại của kính. Một lần khác, ở nhiệt độ bên ngoài -25 $\infty^{C}$, một lớp sương dày hơn xuất hiện trên khu vực được lau trong 5–7 phút so với trên kính chưa được lau, và lần này không cần phải thở trên kính. Rõ ràng, quá trình hình thành một lớp sương trên kính phụ thuộc vào sự kết hợp của một số điều kiện nhất định: nhiệt độ và độ ẩm trong cabin và bên ngoài cửa sổ. Các tinh thể băng xuất hiện trên kính, lớn dần trước mắt chúng ta, dưới dạng sợi băng (trichites) hoặc các mẫu băng ở dạng chân vân sam (đuôi gai). Điều thú vị là trong quá trình sinh trưởng, chúng được bao quanh bởi một vùng kính nhỏ không có sương giá. Đúng như dự đoán trước đó, năng lượng giải phóng của nước kết tinh ảnh hưởng đến các điều kiện trong không gian xung quanh dendrite, ngăn cản sự hình thành các tinh thể khác ở gần và xung quanh các tinh thể đang phát triển. Theo phép đo của các nhà khoa học, sự lắng đọng của băng trên bề mặt đi kèm với sự dao động nhiệt độ gần nó lên tới +5 $\infty^{C}$, ảnh hưởng đến sự tồn tại trong khu vực này sự giải phóng nhiệt đáng chú ý và sự truyền nhiệt của nó bằng sự đối lưu. Điều này được xác nhận qua quan sát sau đây về một đoàn tàu điện đang đỗ trong kho. Kính cửa sổ tàu gấp đôi, nhiệt độ không khí bên ngoài khoảng –12 $\infty^{C}$. Trên bề mặt bên ngoài của tấm kính bên ngoài có những hạt băng - từ những giọt nước hiếm đóng băng. Kính bên trong phía hành khách được phủ một lớp sương trắng với những đốm kính sạch hình tròn, tâm của chúng trùng với vị trí của những giọt nước đóng băng bên ngoài.

43

THUỘC VẬT CHẤT

tiến hành một thí nghiệm đơn giản trong đó các bức ảnh kỹ thuật số có cùng kích thước hình học được hình thành bởi số lượng điểm sáng và điểm tối khác nhau, tức là “kích thước pixel” (hoặc kích thước hình nón) của chúng tăng dần (hình2). Bắt đầu với một số điểm nhất định,

Hình 2

Với một chút trí tưởng tượng, có thể “nhận ra” người được miêu tả (quen thuộc với chúng ta qua các bức chân dung). Trên nền sương mù sáng, toàn bộ hình người và khuôn mặt của người đó trông tối tăm một cách tự nhiên. Độ sáng tương đối tối đa của các điểm trên mặt được xác định bởi hệ số phản xạ ánh sáng và khoảng 0,5. Ngoài ra còn có các vùng tối hơn của hình ảnh khuôn mặt trên võng mạc - độ tương phản lên tới 1,0, được định nghĩa là tỷ lệ chênh lệch giữa độ sáng tối đa và tối thiểu của các điểm với độ sáng tối đa. Bạn có thể biểu thị giá trị này dưới dạng phần trăm, khi đó độ tương phản tối đa sẽ là 100%. Phạm vi độ sáng từ 0,5 đến 0,1 (hoặc tương phản từ 0 đến 80%) có thể được chia thành nhiều phần. Hơn nữa, để nhận dạng chi tiết một cách đáng tin cậy, điều cần thiết là ở ranh giới của các điểm, độ sáng phải thay đổi đột ngột ở mức đáng chú ý. Nếu mức thay đổi độ sáng là 20% thì chỉ có bốn mức là đủ để “lấp đầy” toàn bộ phạm vi (80/20 = 4 = 2 bit). Do đó, lượng thông tin tối thiểu (tính bằng bit) cần thiết để nhận dạng khuôn mặt của một người là khoảng $30 \times 30 \times 2 = 1,8 \times 10^{3}$. Sau đó, trong trường hợp không có sương mù và trong điều kiện ánh sáng bình thường, một người có kích thước đầu đặc trưng là 20 cm có thể nhận ra khuôn mặt của người đó từ khoảng cách bằng 0,3 m $\times ( 20$ cm 4 cm $) \times \times ( 800 30 ) = 40$ m. Ở đây 0,3 m là khoảng cách có tầm nhìn tốt nhất, hệ số nhân (20 cm/4 cm) đảm bảo “vị trí” hình ảnh khuôn mặt của người đó trên hố mắt trung tâm và hệ số nhân (800/30) “điều chỉnh” kích thước hình ảnh hình nón lên tới độ lớn $30 \times 30$. Trong điều kiện bài toán khoảng cách được chỉ định – 10 bước hoặc 7 m – nhỏ hơn 40 m, tức là. Không phải trường hợp này (giảm kích thước hình ảnh trên võng mạc) khiến bạn không thể nhận ra một người trong sương mù. Nếu có sương mù “được chiếu sáng” giữa mắt người quan sát và vật đang được xem xét thì độ tương phản của ảnh sẽ

KHÔNG BẮT BUỘC

Tổn thương trên võng mạc giảm dần theo khoảng cách từ đối tượng quan sát, giảm dần về 0. Điều này là do hai quá trình xảy ra đồng thời. Đầu tiên, khi bạn di chuyển ra xa nguồn sáng, ánh sáng dần tiêu tan nhưng đây không phải là điều quan trọng nhất. Và điều chính là (thứ hai) khi độ dày của lớp sương mù giữa nguồn sáng và mắt tăng lên, cái gọi là đèn nền cũng tăng lên. Tỷ lệ ánh sáng đi thẳng vào mắt người quan sát từ nguồn sáng (ảnh) giảm và tỷ lệ ánh sáng từ các nguồn khác, bị phân tán bởi những giọt sương mù và rơi vào mắt, tăng lên. Trong loạt ảnh (hình3) được đưa ra để minh họa hiện tượng này (ngược sáng), có thể thấy rõ rằng độ sáng của môi trường xung quanh không thay đổi, các điểm sáng trong ảnh càng trở nên sáng hơn và các điểm tối dần sáng lên cho đến khi cả hai đều có độ sáng tương đương với môi trường xung quanh. Quá trình chuyển đổi từ cặp ảnh đầu tiên (ở bên trái) sang ảnh thứ hai, v.v. (ở bên phải) tương ứng với sự gia tăng “mật độ” của sương mù lên một số lần nhất định. Dần dần, các bức ảnh trở nên mờ nhạt đến mức khó có thể nhận ra ai bằng khuôn mặt, nhưng chú thích trên ảnh vẫn có thể đọc được. Điều này cho thấy các đường nét tối, sắc nét rất quan trọng để nhận dạng hình ảnh, đặc biệt là khuôn mặt người. Những đường như vậy đặc trưng cho hình dạng của mắt, lông mày, miệng và mũi. Chính nhờ những đường nét này mà chúng ta nhận ra những người được mô tả trong hình hoặc trong bức ảnh. Hãy quay lại bài toán của chúng ta. Khi nói về khả năng nhận dạng từ xa, họ thường cho rằng “một cái nhìn thoáng qua” là đủ cho thao tác này. Do đó, chúng tôi sẽ làm cho bài toán dễ dàng hơn bằng cách chỉ định 20% ​​làm độ tương phản tối thiểu. Các giọt sương mù có đường kính 10 micron lớn hơn đáng kể so với chiều dài của tất cả các sóng ánh sáng mà mắt có thể nhìn thấy được, vì vậy chúng ta có thể cho rằng sự tán xạ ánh sáng không phụ thuộc vào bước sóng, tức là Ánh sáng của tất cả các màu bị phân tán như nhau bởi những quả bóng như vậy và thực tế không bị hấp thụ. Vì ánh sáng chiếu vào các giọt nước giữa hai người từ mọi hướng nên mỗi giọt nước là một nguồn sáng hình cầu có độ sáng hoặc cường độ sáng nhất định. Bức tường sương mù trắng là một bức tường vững chắc của những quả bóng như vậy, vì dù chúng ta nhìn theo hướng nào, đường ngắm ở một khoảng cách nào đó chắc chắn sẽ “đánh trúng” một trong những quả bóng. Nếu trên đường tới đối tượng quan sát, 80% diện tích hình ảnh được bao phủ bởi các quả bóng thì trong trường hợp này độ tương phản của hình ảnh nhìn thấy được sẽ không vượt quá 20%. Do đó, có thể tìm thấy mối liên hệ giữa kích thước của các quả bóng nhỏ $D_{к}$, nồng độ của chúng trong không khí $n_{к}$ và khoảng cách L mà tại đó không thể nhận ra một người trong sương mù. Xét một lớp sương mù có diện tích S và độ dày x nhỏ. Tập Sx chứa $n_{к} Sx$ giọt. Họ chiếm $\pi D_{к}^{2} n_{к} \times x 4$ phần của khu vực,

(

) tức là chỉ còn chưa được khám phá

$( 1 - \pi D n \times x 4 )$ -phần diện tích thứ-

2 đến để đi. Nếu có nhiều lớp như vậy thì khi số lượng lớp tăng lên, tỷ lệ diện tích không được che chắn sẽ ngày càng nhỏ hơn. Với tổng độ dày lớp

Hình 3

45

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Về một người bị lãng quên bài toán

A. TOLPYGO

Và đôi khi điều đó cũng xảy ra: bạn đang vật lộn với một vấn đề nào đó, nhưng nó không giải quyết được, và rồi bạn nghĩ ra một số cách mới, rất xảo quyệt để giải quyết nó. Và hãy tưởng tượng, nó sẽ không còn hiệu quả với bạn nữa! Công việc tưởng chừng như hoàn toàn vô ích này lại thường mang lại những lợi ích không ngờ…

S. Bobrov. bicorn ma thuật

Để bắt đầu, hãy xây dựng hai bài toán. Bài toán A. Chứng minh rằng từ n số nguyên bất kỳ bạn có thể chọn được một số số có tổng chia hết cho n. Bài toán B. Chứng minh rằng từ (2n – 1) số nguyên bất kỳ có thể chọn được n số có tổng chia hết cho n. Bài toán A được biết đến rộng rãi và có thể giải bằng nguyên lý Dirichlet (“nếu (n + 1) con thỏ cần được xếp vào n ô thì ít nhất một ô sẽ chứa ít nhất hai con thỏ”). Cụ thể, chúng ta cần xét các số $S_{0} = 0, S_{1} = a_{1}, S_{2} = a_{1} + a_{2}, S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$, …, $S_{n} = a_{1} +^{…} + a_{n}$. Vai trò của các “ô” mà những “con thỏ” này cần ngồi được đảm nhận bởi số dư khi chia số cho n. Theo nguyên lý Dirichlet, một số “con thỏ” cuối cùng sẽ ở trong cùng một “cái lồng”, tức là có cùng số dư khi chia cho n. Do đó, hiệu của chúng được chia cho n và đây là điều cần thiết. Ngược lại, bài toán B (từng được xuất bản trên tạp chí «Kvant» vào năm 1970 với số hiệu M45) giờ đây đã bị lãng quên một cách đáng kể. Trong khi đó, không chỉ có một thực tế toán học tuyệt vời mà còn có một số ý tưởng hay xung quanh lời giải của nó. Đúng, như sẽ thấy sau, một số dẫn đến bằng chứng, số khác thì không. Tuy nhiên, cả hai đều hữu ích: nếu một số trong số chúng không đủ cho lời giải bài toán này – chúng sẽ có ích vào lúc khác. Dưới đây chúng ta sẽ thảo luận cụ thể về bài toán B. Nhưng trước tiên, chúng ta sẽ xem xét thêm một vài bài toán cùng loại.

1. Hai cái nữa bài toán

Bài toán C. Cho N – 1 số tự nhiên $a_{1},^{…}, a_{N} -_{1}$. Tất cả chúng đều lớn hơn 0 và nhỏ hơn N. Biết rằng nếu bất kỳ k, 0 < k < N và bất kỳ k số nào từ tập hợp này được chọn thì tổng của chúng không chia hết cho N. Chứng minh rằng tất cả các số trong tập hợp đều bằng nhau. Bài toán D. Cho 100 số, mỗi số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 94. Chứng minh rằng từ chúng có thể chọn ra nhiều số mà tổng của chúng khi chia cho 101 sẽ có số dư là 95. Lời giải bài toán C. Giả sử rằng $a_{1} \ne a_{2}$. Xét các tổng $S_{0} = a_{1}, S_{1} = a_{2}, S_{2} = a_{1} + a_{2}, S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3},...$

…, $S_{N} -_{1} = a_{1} + a_{2} +$ … $+ a_{N} -_{1}$. (Hai tổng đầu bằng hai số hạng đầu, còn lại là tổng từ số hạng đầu đến số hạng tương ứng). Theo giả định, không có tổng nào trong số này có số dư bằng 0 khi chia cho N. Do đó, hai trong số chúng có số dư bằng nhau và nó không phải là số thứ nhất và số thứ hai. Nhưng khi đó hiệu của hai tổng tương ứng được chia cho N và điều này mâu thuẫn với điều kiện. Lời giải bài toán D. Hãy thừa nhận ngay rằng chúng tôi giới hạn ở con số 101, một phần để diễn đạt dễ dàng hơn, phần khác để “làm đục nước” một chút và che đậy ý tưởng một chút. Trên thực tế, thực tế này đúng trong một tình huống khá chung chung. Cụ thể, chúng ta thay số 101 bằng bất kỳ số nguyên tố p nào, và số 95 bằng bất kỳ số nào từ 0 đến p và chứng minh rằng từ (p – 1) các số cho phần dư khác 0 khi chia cho p, chúng ta có thể tạo một tổng có số dư khác 0 xác định trước khi chia cho p. Hãy sắp xếp các số này một cách tùy ý. Hãy chọn bất kỳ $k, 0 \le k \le ( p - 1 )$ nào và lấy k số đầu tiên của chúng ta. Hãy tạo tất cả các tổng có thể có từ chúng (một số hoặc không có số nào cũng là tổng; tổng của một tập hợp số trống được giả sử bằng 0) và viết ra tất cả các số dư khác nhau khi chia các tổng này cho p. Cụ thể, ở bước đầu tiên (nếu k = 0) có một tổng duy nhất và bằng 0. Đối với một k tùy ý, chúng ta thu được một số số $M_{1}$, … $, M_{n}$. Nếu trong số họ đã có tất cả những gì có thể còn sót lại thì không có gì để chứng minh. Đừng để nó như vậy. Hãy thêm vào số (k + 1) đã chọn (để nó bằng r) và viết lại tất cả các tổng và tất cả số dư. Kết quả đầu tiên sẽ là các số $M_{1}$, … $, M_{n}$ (dù sao thì số cuối cùng cũng có thể không được lấy), và thứ hai là phần dư từ việc chia các số $M_{1} + r$, … $, M_{n} + r$ cho p. Bây giờ chúng ta khẳng định rằng có ít nhất một số trong nhóm thứ hai không xuất hiện trong nhóm thứ nhất. Trên thực tế, hãy giả sử điều ngược lại. Khi đó hóa ra nếu số dư N trùng với một trong $M_{i}$, thì số dư N + r cũng trùng với một số khác trong tập ${ M_{i} }$. Nhưng khi đó phần còn lại N + 2r = (N + r) + r cũng trùng với một số khác trong tập ${ M_{i} }$, điều này cũng đúng với N + + 3r = (N + 2r) + r, v.v. Từ đó dễ dàng suy ra rằng trong số ${ M_{i} }$ tất cả số dư có thể có của phép chia cho p đã xảy ra và chúng tôi giả định rằng trường hợp này không phải như vậy. Vì vậy, cho đến khi không viết hết tất cả số dư, số lượng các số khác nhau sẽ tăng lên ở mỗi bước. Vì số bước bằng p nên không muộn hơn bước cuối cùng số lượng dư lượng khác nhau ít nhất sẽ bằng p, đây là điều bắt buộc. Vì tổng bằng 0 xuất hiện ở bước đầu tiên (khi không có số nào cả), không có gì đảm bảo rằng có thể nhận được tổng có phần dư bằng 0. Và thực sự, nếu chúng ta lấy tất cả các số bằng nhau thì phần dư của 0 sẽ không tính ra (và điều này, theo bài toán C, là trường hợp duy nhất khi số dư này không tính ra). Tất cả số tiền khác có được bằng cách này hay cách khác.

2. Bài toán B. Hợp số

Bây giờ chúng ta quay lại bài toán B. Để thuận tiện, chúng ta ký hiệu phát biểu của nó là BC(n) (“lựa chọn tổng”); Do đó, ký hiệu BC(21) là sự rút gọn của phát biểu “đúng là từ 41 số nguyên bất kỳ chúng ta có thể chọn 21 có tổng chia hết cho 21”.

46

KVANT 2010/№2

Trước hết, hãy lưu ý rằng ước tính này không thể được cải thiện. Trên thực tế, nếu chúng ta chỉ lấy 2p – 2 số thì có thể dễ dàng xây dựng một phản ví dụ: chỉ cần lấy p – 1 số 0 và p – 1 số một. Bạn cũng có thể thay thế số 0 và số 1 bằng các số khác (nếu n là số nguyên tố - bằng bất kỳ hai số nào khác nhau, chúng tôi để trường hợp hợp số n cho người đọc phân loại). Để ngắn gọn, dưới đây chúng ta sẽ gọi tập hợp số đã cho (2p – 1) là một “tập hợp” và một “nhóm” là tập hợp con của một số số, tổng của chúng chia hết cho p. Ta cần chứng minh tồn tại một nhóm gồm p phần tử. Chúng tôi sẽ đưa ra mệnh đề lời giải bài toán đầy đủ (nói cách khác là mệnh đề BC ( n ) cho bất kỳ n nào) ở cuối bài viết, nhưng chúng tôi sẽ bắt đầu bằng cách chứng minh một mệnh đề đơn giản: nếu BC ( p ) và BC ( q ), thì BC ( pq ). Bằng chứng. Cho n = pq và cho 2n – 1 số ${ a_{k} }$; theo BC(p), từ đó người ta có thể chọn được một nhóm p số có tổng chia hết cho p. Hãy đặt nhóm này sang một bên và nhìn vào những con số còn lại. Vì có nhiều hơn (2p – 1) số chưa được sử dụng nên có thể chọn thêm một nhóm từ chúng, tổng của chúng cũng chia hết cho p. Tiếp tục theo cách này, chúng ta sẽ nhận được nhiều nhóm số p, tổng của mỗi nhóm chia hết cho p; Dễ dàng nhận thấy có thể có (2q – 1) nhóm. Đặt $S_{1} = p \cdot r_{1}, S_{2} = p \cdot r_{2}$, … $S_{2} q_{-} 1 = p \cdot r_{2} q_{-} 1$ là tổng của chúng. Vì ${ r_{k} }$ là số nguyên nên từ chúng, theo BC ( q ), ta có thể chọn q số có tổng chia hết cho q. Sau đó, tổng của ${ S_{k} }$ tương ứng được chia cho pq và tổng này chứa chính xác số ${ a_{k} }$ theo yêu cầu. Điều quan trọng cần lưu ý là trong chứng minh này, việc các số p và q có nguyên tố cùng nhau hay không không quan trọng. Vì vậy, chỉ cần chứng minh BC ( n ) cho trường hợp n = p là số nguyên tố là đủ. Đây là trường hợp duy nhất chúng tôi sẽ giải quyết trong tương lai. Bây giờ chúng ta chứng minh mệnh đề BC(p) với một số giá trị của p. Lưu ý rằng mặc dù chúng ta sẽ trình bày bằng chứng cho một số cụ thể nhưng thực tế sẽ đúng với các số khác nhau. Do đó, người đọc nên đánh giá mỗi lần: liệu lý do này chỉ áp dụng cho một p nhất định hay liệu nó có thể được khái quát hóa hay không.

3. Chứng minh cho p = 7

3.1. Tăng bội số của số 0. Nếu tìm được tất cả 7 số dư có thể có trong số đã cho thì không có gì phải chứng minh, vì 0 + 1 + 2 + … + 6 chia hết cho 7. Do đó, ta có thể giả sử rằng trong 13 số của chúng ta có không quá 6 số dư khác nhau. Nhưng sau đó một trong số chúng xảy ra ít nhất ba lần. Số lần một số dư cụ thể xuất hiện trong tập hợp của chúng ta, chúng ta sẽ gọi nó là bội số. Chúng ta sẽ giả sử rằng bội số của ba (hoặc nhiều hơn) có số dư bằng 0. (Trong Phần 3.3, chúng ta sẽ chỉ ra cách rút gọn trường hợp tổng quát thành trường hợp này). Nếu bội số của 0 không nhỏ hơn 7 thì cũng không có gì phải chứng minh. Mặt khác, có ít nhất 7 số dư khác 0, và theo bài toán A, người ta có thể chọn một số (giả sử k) từ chúng, tổng của chúng chia hết cho 7. Đúng, không có lý do gì để nghĩ rằng k = 7. Đặt k < 7; Hãy xem xét hai trường hợp. a) Nếu k > 3 thì chúng ta có thể lấy những số này và cộng thêm một số số 0 vào chúng (từ một đến ba); bạn nhận được một nhóm gồm 7 số và khẳng định đã được chứng minh. b) Bây giờ hãy $k \le 3$. Ở đây chúng ta cần phải làm những việc khác nhau. Chúng tôi sẽ thay thế bộ này bằng một bộ mới. Nó chứa k số, tổng của chúng

bằng 0, tất cả được thay thế bằng số 0, như trong bảng:

Bộ gốc

0 0 0 2 2 3 1 …

Đã thay đổi bộ

0 0 0 0 0 0 1 …

(Vì 2 + 2 + 3 chia hết cho 7 nên chúng ta đã thay thế các số này bằng số 0 và giữ nguyên các số còn lại.) Giả sử rằng đối với tập hợp mới, câu lệnh bài toán đã xác minh: nó có một nhóm gồm 7 số có tổng chia hết cho 7. Điều tương tự cũng đúng với tập hợp cũ. Thật vậy, giả sử có một vài số 0 trong nhóm này (chẳng hạn r số 0, $r \ge 0 ).$ Nếu như $r \le 3$, thì chúng ta lấy các số tương tự từ tập hợp cũ (xét cho cùng, ở đó có ba số 0); nếu r > 3, thì thay vì ba số 0, chúng ta có thể lấy ba số của tập hợp cũ, được thay thế bằng các số 0 (tổng sẽ không thay đổi so với số này) và các số khác giống như trong tập hợp mới. Vì vậy, chúng tôi đã giảm vấn đề thành một tập hợp mới, trong đó có nhiều số 0 hơn trước (hãy gọi nó theo cách này: “kỹ thuật tăng bội số của 0”). Vậy thì đã rõ: hoặc chúng ta đã có 7 số 0 hoặc chúng ta có thể lặp lại lý luận tương tự. Chúng ta sẽ có được bộ mong muốn ngay lập tức hoặc tăng lại số lượng số 0, v.v. Tuy nhiên, đối với bảy người, rõ ràng là họ sẽ không phải vượt qua bước thứ hai. Có thể áp dụng lý luận tương tự cho p tùy ý không? Đáp số rõ ràng: có thể, nhưng chỉ khi có nhiều số 0: không nhỏ hơn (p – 1)/2. Tất nhiên, với p lớn, chúng ta không thể tin tưởng vào điều này nên chúng ta sẽ phải tìm những cách khác. Tuy nhiên, “kỹ ​​thuật tăng bội số” sẽ tiếp tục hữu ích cho chúng ta; chỉ ở đó thôi thì chưa đủ. Bây giờ chúng ta hoàn thành chứng minh cho trường hợp p = 7. 3.2. Cảm ứng? Rõ ràng, lý luận được đưa ra trong phần 3.1 sẽ tự nhiên hơn khi được xây dựng bằng phương pháp quy nạp. Những gì nên được lấy làm tham số của nó? Thuận tiện nhất là coi n (tham số quy nạp) bằng (p + 1 – k), trong đó k là bội số của 0 (hoặc số dư xảy ra thường xuyên nhất): “nếu $n \le 1$, thì một trong các dư lượng xảy ra ít nhất p lần, và phát biểu là hiển nhiên; do đó, nếu có thể chứng minh rằng bội số cao nhất có thể tăng lên (như chúng tôi đã làm trong phần 3.1), thì mọi thứ đều đã được chứng minh.” Tuy nhiên, thật bất tiện cho chúng ta khi sử dụng quy nạp và đây là lý do. Thật không may, đối với một p tùy ý, quy nạp không hoạt động: nếu có thể chứng minh rằng bội số cao nhất có thể tăng lên thì mọi thứ sẽ ổn, nhưng chúng ta không thể chứng minh điều này. Và trong trường hợp p = 7, việc sử dụng quy nạp là khá đúng, nhưng… sẽ là “bắn đại bác vào chim sẻ”: sẽ có loại quy nạp nào nếu mọi thứ kết thúc trong tối đa hai bước? 3.3. Rút gọn trường hợp tổng quát thành trường hợp cụ thể: tính bắc cầu. Lý luận của chúng tôi từ phần 3.1. giả sử số 0 còn lại có bội số cao nhất. Bây giờ, ví dụ, 2 phần còn lại xảy ra thường xuyên nhất. Sau đó trừ 2 từ tất cả 13 số đã cho; bây giờ 0 là phổ biến nhất. Đồng thời, ý nghĩa của chúng tôi bài toán không thay đổi: nếu một nhóm 7 số nào đó có tổng chia hết cho 7, thì sau khi trừ hai số, tổng đó bị trừ 14, tức là nó vẫn chia hết cho 7. Do đó, giả định rằng số dư đó và số dư đó có bội số cao nhất (thật tiện lợi cho chúng ta khi giả sử rằng đây là số dư 0) không vi phạm tính tổng quát của đối số: trừ đi cùng một thứ từ tất cả các số đã cho, chúng ta