Kvant 2015, số 3 · Trang

4

KVANT 2015/№3

lực hút, ở khoảng cách ngắn lực đẩy chiếm ưu thế. Trên hình 3 đã đề cập, và đường màu đỏ hiển thị biểu đồ thế năng của sự tương tác của hai

các phân tử rắn, hay tương tự là sự thay đổi (sự khử) trên bề mặt của chất này. Về mặt toán học, ý tưởng này có thể được viết như sau: $\Delta U \sim \Delta S$. Để chuyển từ tỷ lệ sang bình đẳng, chúng tôi đưa ra một hệ số số phản ánh mối quan hệ giữa các đại lượng:

$\Delta U = -\sigma \Delta S$.

Hình 3

phân tử - thế năng tối thiểu chỉ tương ứng với điểm cân bằng. Và tại hình 3,b, đồ thị lực và năng lượng tương tự được xây dựng trên máy tính. Hãy nhấn mạnh rằng chúng ta quan tâm đến khoảng cách mà lực hấp dẫn tác dụng. Ở đây thế năng là âm và được xác định chủ yếu bởi tương tác tĩnh điện. Bên trong chất lỏng, thế năng của một phân tử có thể được ước tính bằng tổng năng lượng tương tác của tất cả các phân tử lân cận nó. Trên bề mặt sẽ có số lượng lân cận ít hơn gần hai lần, do đó, năng lượng thu được của phân tử bề mặt sẽ lớn gần gấp đôi (đừng quên rằng năng lượng tương tác ở đây là âm). Kết quả là, các phân tử bề mặt trở nên hoạt động mạnh hơn các phân tử bên trong - hành vi tiếp theo của chúng nhằm mục đích giảm năng lượng theo bất kỳ cách nào: đi sâu hơn vào chất hoặc gắn một phân tử chất lạ vào chúng một cách thuận lợi. Bề mặt của chất lỏng càng lớn thì hoạt động của nó càng lớn. Áp dụng lý luận tương tự cho một chất rắn, giả sử: với cùng một thể tích, chất đó sẽ hoạt động mạnh hơn với tỷ lệ phân tử bề mặt trong đó lớn hơn - tức là với mức độ nghiền lớn hơn. Vì vậy, nếu một chất được nghiền thành các khối chứa 27 phân tử, thì nó sẽ chỉ chứa một phân tử bên trong và chẳng hạn, có thể hòa tan chỉ trong một giai đoạn - đủ để lớp trên gồm 26 phân tử hoạt động hòa tan (phản ứng). Thật dễ dàng để tính toán theo cách tương tự bao lâu nữa một khối lập phương gồm 1000 phân tử sẽ hòa tan. Vì vậy, chúng ta đang bắt đầu hiểu một trong những ý tưởng chính của công nghệ nano - ngay cả việc nghiền một chất đơn giản cũng làm thay đổi hoạt động của nó. Bây giờ chúng ta có thể viết ra công thức chính mô tả hiện tượng căng bề mặt. Thật vậy, khi không có phản ứng hóa học thì sự thay đổi năng lượng tương tác của một thể tích nhất định của một chất tỷ lệ thuận với sự thay đổi số lượng bề mặt

Hệ số $\sigma$ này được gọi là hệ số căng bề mặt. Tính toán của nó thể hiện một lý thuyết phức tạp bài toán, trong đó lời giải yêu cầu thông tin về hình dạng của các phân tử. Trong các ứng dụng thực tế, nó được xác định bằng thực nghiệm, đặc biệt là khi nói đến chất lỏng. Đối với một số chất lỏng, giá trị gần đúng của nó có thể được tìm thấy trong bảng. Do đó, đối với thủy ngân $\sigma = 470$ mJ $м^{2} = 470$ mN · m; đối với nước $\sigma = 71$ mN·m; đối với glycerol $\sigma = 64$ mN·m; cho dầu hỏa $\sigma = 29$ mN·m. Sử dụng các cân nhắc về thứ nguyên, công thức cơ bản có thể được viết lại như sau: $F = \sigma L$, trong đó L là chiều dài của ranh giới chất lỏng-rắn và F là lực tác dụng lên ranh giới này vuông góc với đường biên trong mỗi phần. Ở đây, việc giảm độ rộng của diện tích thay đổi được thực hiện đơn giản trong ký hiệu cho công của lực thế năng và trong biểu thức giảm diện tích. Tại sao sách tham khảo chỉ liệt kê hệ số căng bề mặt đối với chất lỏng? Chủ yếu là vì đối với tinh thể, giá trị của nó sẽ phụ thuộc vào vị trí của mặt phẳng phân cắt - bằng cách tách tinh thể theo các hướng khác nhau, chúng ta tạo ra số lượng phân tử hoặc nguyên tử khác nhau trên một đơn vị bề mặt của nó. Như chúng ta thấy, lực căng bề mặt khác với lực đàn hồi ở chỗ nó luôn được xác định chỉ bởi tính chất của chất, lực tương tác của các phân tử của nó với nhau và không phụ thuộc vào mức độ giãn nở của bề mặt hay diện tích và độ dày của lớp chất lỏng.

Thí nghiệm với quả bóng

Có khá nhiều ví dụ về việc sử dụng công thức tính lực căng bề mặt. Đặc biệt là trong những cuốn sách có vấn đề cũ. Chúng ta sẽ xem xét một thí nghiệm ít được biết đến với người nổi trên nước $шариками.^{1}$ Trải nghiệm như sau. Nếu một quả bóng nổi trong ly có chất lỏng không đầy đến miệng, thì nó có xu hướng tiến lại gần hơn và “dính” vào thành ly. Nếu bạn đổ nước lên trên mép ly, quả bóng sẽ ngay lập tức di chuyển từ mép vào giữa ly. Rõ ràng ở đây ngoài lực Archimedes và trọng lực, quả bóng còn chịu tác dụng của các lực của bề mặt

1 Tôi thấy trải nghiệm này trên trang web của người bạn Konstantin Yuryevich Bogdanov của tôi. Mô tả, hình ảnh và tính toán do tôi thực hiện - A.K.

6

KVANT 2015/№3

K.Yu. Bogdanov, chúng tôi đã gặp một nỗ lực khác nhằm giải thích hiệu ứng bằng các hạt nhỏ. Đã có một cuộc thảo luận về việc rót trà từ từ từ bình có vòi (hình7). Hai dòng điện ngược chiều hình thành ở trung tâm và dọc theo các cạnh (mũi tên đen). Những dòng hải âu di chuyển trong đó có thể nhìn thấy những dòng chảy này. Và đây là $там^{1}$ lời giải thích được đưa ra: “Lá trà mate khá dễ nổi ngược dòng khi đổ nước sạch từ độ cao nhỏ vào. Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng bất thường là do toàn bộ chất lỏng (mate + tia + nước ở cốc trên) muốn giảm năng lượng bề mặt của nó. Sức căng bề mặt của mate thấp hơn so với nước tinh khiết. Do đó, các chất hoạt động bề mặt từ mate sẽ chảy ngược lên dòng, mang theo lá trà. Rõ ràng, điều tương tự sẽ xảy ra nếu bạn lấy thay vì mate bạn lấy dung dịch xà phòng với lá trà.” Giá trị của hệ số sức căng bề mặt của loại trà này không được ước tính và không được đưa ra.

1 Địa chỉ: http://www.sciencenews.org/view/generic/id/

351383/description Particles_defy_gravity_float_upstream

Trong khi đó, hành vi tương tự có thể được quan sát không chỉ với trà mate, mà còn với cà phê, trà thông thường và đơn giản là với nước đục. Rõ ràng, tác giả đã thu hút sự chú ý đến hành vi đó một cách chính xác trong những trường hợp này. Theo chúng tôi, hiện tượng này có thể giải thích bằng cách quan sát chuyển động của lá trà. Mũi tên của chúng tôi, hiển thị chuyển động của lá trà (không phải nước!), được đánh dấu màu đỏ trên hình 7. Lý do chính giống như hiện tượng chúng tôi mô tả. Thật vậy, trong dòng chảy này, có thể phân biệt hai hướng vuông góc với nhau: dọc theo dòng chảy và xuyên qua nó. Bên kia dòng chảy, mặt khum được tạo ra do tính thấm ướt của chất lỏng và do đó lá trà di chuyển ra mép bình. Theo phương dọc, lá trà bị dòng nước cuốn đi nhưng mặt khum ở mép lại lồi lên. Lá trà mặc dù cản trở dòng chảy nhưng có xu hướng di chuyển về phía sau - tránh xa chỗ phồng lên. Do đó, khi chất lỏng được xả cẩn thận, người ta quan sát thấy dòng chảy ngược. Bạn có thể đưa ra lời giải thích nào, độc giả thân mến?

Vladimir Alekseevich Leshkovtsev (16/08/1922–25/05/2015)

Vào ngày 25 tháng 5 năm 2015, nhân viên lớn tuổi nhất của tạp chí chúng tôi, Vladimir Alekseevich Leshkovtsev, đã qua đời. Ý tưởng thành lập tạp chí «Kvant» đã có hơn nửa thế kỷ nhưng nó chỉ được xuất bản sau vài năm chuẩn bị kỹ càng và tuyển chọn kỹ lưỡng ban biên tập và nhân viên biên tập. Để «Kvant» được “phát hành” đều đặn, tháng này qua tháng khác, không chỉ cần đến nỗ lực sáng tạo của các tác giả và các thành viên ban biên tập mà còn phải có khả năng của đội ngũ biên tập trong việc đảm bảo quá trình xuất bản không bị gián đoạn. Một trong những người chịu trách nhiệm xuất bản từ số đầu tiên của tạp chí trong hai mươi năm là Vladimir Alekseevich Leshkovtsev, phó tổng biên tập toàn thời gian. Thật khó để nói Vladimir Alekseevich không biết ai ở Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô, những người sáng lập tạp chí. Những mối quan hệ cá nhân gần gũi, theo đúng nghĩa đen của ông với một số lượng lớn các nhà khoa học và giáo viên đã giúp ích rất nhiều trong lời giải những vấn đề phức tạp khi xuất bản tạp chí. Tuy nhiên, Vladimir Alekseevich không chỉ tham gia vào “công việc thường ngày” - các bài viết của ông về lịch sử vật lý Liên Xô, các bài phê bình và phê bình các cuốn sách khoa học phổ thông, các bài xã luận liên quan đến những ngày tháng đáng nhớ liên tục xuất hiện trên các trang «Kvant». Chuyên môn của Vladimir Alekseevich là phần “Góc của nhà sưu tập tem”, nơi trưng bày toàn bộ bộ sưu tập tem về các chủ đề khoa học và kỹ thuật. Người ta không thể không nhắc đến công việc tích cực của ông với tư cách là một trong những giảng viên giỏi nhất của Hiệp hội toàn Liên minh “Znanie”; các nhân viên của «Kvant» đã có may mắn khi liên tục bị thuyết phục về kỹ năng hùng biện của anh ấy mà không cần rời khỏi nơi làm việc của họ. Những người mà số phận đã gắn bó với Vladimir Alekseevich Leshkovtsev sẽ không quên công việc chung, sự giao tiếp bí mật với ông, những bài học khôn ngoan của ông, giá trị của chúng chỉ tăng lên theo thời gian.

12

KVANT 2015/№3

trong đó $\alpha, \beta$ và $\gamma$ là một số hằng số. Công thức này mô tả khá rõ đường cong thực nghiệm về sự phụ thuộc của năng lượng liên kết riêng vào số khối, mặc dù chúng ta đã bỏ qua việc xem xét một số đóng góp khác, ít quan trọng hơn, cho năng lượng này. Đường cong này cho thấy rõ rằng ban đầu, khi số khối A tăng thì năng lượng liên kết tăng nhanh. Ở đâu đó ở phần giữa của bảng tuần hoàn, nó đạt mức tối đa và sau đó bắt đầu giảm dần.

Đồ thị năng lượng liên kết riêng (mỗi nucleon) theo số khối

Bây giờ chúng ta hãy xem xét quá trình phân hạch hạt nhân. Để hạt nhân “thả”, sau khi hấp thụ neutron đi vào nó từ bên ngoài, bắt đầu dao động và đến một lúc nào đó giãn ra. Một giọt hình cầu có diện tích bề mặt tối thiểu đối với một thể tích nhất định. Đối với một giọt kéo dài, năng lượng bề mặt tăng lên và năng lượng liên kết lõi giảm tương ứng. Mặt khác, khi hạt nhân bị kéo căng, khoảng cách trung bình giữa các nucleon tăng lên và năng lượng lực đẩy tĩnh điện của chúng giảm, do đó năng lượng liên kết sẽ tăng lên. Nếu tương tác tĩnh điện thắng trong cuộc đấu tranh này thì hạt nhân sẽ vỡ ra; nếu có sức căng bề mặt thì lõi sẽ trở về trạng thái ban đầu.

Sự phân hạch của hạt nhân nặng do bị neutron bắn phá

Từ biểu thức thu được cho $E_{св}$, rõ ràng số phận của hạt nhân phụ thuộc phần lớn vào số lượng proton Z và tổng số nucleon A. Khi số nguyên tử của một nguyên tố tăng, năng lượng lực đẩy tĩnh điện tăng nhanh hơn năng lượng bề mặt, do đó chỉ những hạt nhân nặng mới có thể phân hạch. Hơn nữa, sự phân hạch của hạt nhân nặng có thể tự phát hoặc dưới tác động của sự bắn phá neutron. Sự phân hạch tự phát trong quá trình tồn tại

Trái đất đã dẫn đến thực tế là không còn nguyên tố siêu urani nào trong tự nhiên; bây giờ chúng chỉ có thể có được một cách giả tạo. Nhưng trong quá trình phân hạch hạt nhân, do bị bắn phá bởi neutron, luôn có thêm một số neutron được phát ra (đối với uranium, thường là 2-3). Ngược lại, những neutron này có thể gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân sâu hơn, thậm chí sẽ xuất hiện nhiều neutron tự do hơn, v.v. - một phản ứng dây chuyền ngày càng tăng sẽ xảy ra. Chính việc triển khai thực tế một phản ứng dây chuyền phân hạch hạt nhân như vậy, kèm theo việc giải phóng một lượng nhiệt năng khổng lồ, đã bác bỏ dự đoán bi quan của Rutherford. Tuy nhiên, quá trình tự duy trì này chỉ xảy ra nếu khối lượng của mẫu uranium vượt quá một giá trị “ tới hạn” nhất định. Thật vậy, nếu khối lượng của mẫu được chọn nhỏ thì mỗi neutron phát ra trong quá trình phân hạch hạt nhân có khả năng cao sẽ rời khỏi thể tích của nó trước khi va chạm với hạt nhân khác và gây ra phản ứng phân hạch mới. Nếu khối lượng của mẫu vượt quá giá trị tới hạn thì phản ứng dây chuyền sẽ “tăng tốc”: trên một đơn vị thời gian, ngày càng có nhiều phản ứng phân hạch hạt nhân xảy ra, dẫn đến giải phóng nhiệt ngày càng nhiều. Nếu không kiểm soát được nhiệt độ thì chắc chắn sẽ xảy ra vụ nổ. Việc ước tính khối lượng tới hạn của uranium-235 cần thiết để bắt đầu một phản ứng dây chuyền đã trở thành một thách thức quan trọng đối với các nhà vật lý ở cả hai phía mặt trận trong Thế chiến thứ hai. Có vẻ như người Đức, bao gồm cả Werner Heisenberg vĩ đại, đã đánh giá quá cao giá trị này - quả bom tạo ra đối với họ dường như quá nặng để có thể chuyển tới mục tiêu bằng máy bay. Có lẽ đó là lý do tại sao dự án nguyên tử của họ hóa ra chỉ là một trong nhiều hướng tạo ra “vũ khí kỳ diệu” (wunder waffe). Ở bên kia eo biển Manche, nhà vật lý gốc Đức Rudolf Peierls, người di cư từ Đức sang Anh khi Hitler lên nắm quyền vào năm 1933, đã đưa ra những kết luận lạc quan hơn nhiều khi đánh giá độ lớn của khối lượng tới hạn. Ông thậm chí còn công bố các tính toán của mình, nhưng không có gợi ý khả năng áp dụng những kết quả này vào quân sự. Điều thứ hai, trong khi đọc tác phẩm của Peierls, đã xảy đến với Otto Frisch, một nhà vật lý người Áo cũng đã di cư sang Anh. Năm 1940, Frisch và Peierls viết một bản ghi nhớ, lần này được giữ bí mật tuyệt đối, được trình lên chính quyền Anh. Trong tài liệu này, các tác giả đã mô tả các giai đoạn chính của quá trình chế tạo bom nguyên tử và đánh giá sức công phá của nó. Chẳng bao lâu sau, quân Đồng minh bắt tay vào kinh doanh một cách nghiêm túc và một chương trình nghiên cứu hạt nhân hoành tráng đã được phát triển - Dự án Manhattan. Nó bắt đầu ở Hoa Kỳ vào năm 1942 và được thực hiện trong vòng ba năm nhờ nỗ lực của một nhóm lớn các nhà khoa học, trong đó, ngoài Frisch và Peierls, còn có những bộ óc xuất chúng như Enrico Fermi, Robert Oppenheimer, Richard Feynman và nhiều người khác. Vụ nổ hai quả bom nguyên tử ở Hiroshima và Nagasaki vào tháng 8 năm 1945 đã kết thúc Chiến tranh thế giới thứ hai và bắt đầu kỷ nguyên nguyên tử trong lịch sử loài người. Hiện nay, phản ứng phân hạch hạt nhân đang tìm được ứng dụng hòa bình trong lĩnh vực năng lượng của nhiều quốc gia. Quá trình chuyển đổi năng lượng hạt nhân thành năng lượng điện dễ sử dụng xảy ra theo quy luật như sau. Trong lò phản ứng, nhiên liệu hạt nhân, thường là uranium, bị phân hủy thành hạt nhân của các nguyên tố nhẹ hơn trong bảng tuần hoàn khi bị neutron bắn phá. Với mỗi hành động phân chia như vậy, năng lượng đáng kể sẽ được giải phóng - và đây là bản chất của quá trình.

15

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

F2389. Hai đầu của một sợi dây đồng nhất có chiều dài L và khối lượng M được cố định và sợi dây gồm nhiều mắt xích được treo tự do trong không khí. Các tiếp tuyến của chuỗi tại các điểm gắn các đầu tạo thành các góc $\alpha$ và $\beta ( \alpha > \beta ).$ với đường chân trời. Lực căng của dây ở điểm thấp nhất là bao nhiêu? Sự khác biệt về cấp độ (theo chiều dọc) của các điểm mà tại đó có các mắt xích cao nhất và thấp nhất trong chuỗi là gì? Ts.Pochkin

F2390. Một mặt phẳng nằm ngang được chia thành hai phần bằng một đường thẳng. Một mặt của đường thẳng có bề mặt tuyệt đối nhẵn, mặt kia gồ ghề và hệ số ma sát $\mu$ tại mỗi điểm tỷ lệ thuận với khoảng cách từ điểm này đến đường thẳng phân chia. Hai vòng đệm nhỏ giống hệt nhau chuyển động tịnh tiến dọc theo phần nhẵn của bề mặt vuông góc với đường phân chia và đồng thời cắt nhau. Quả bóng nào sẽ dừng lại trước nếu tốc độ của quả bóng thứ nhất lớn hơn tốc độ của quả bóng thứ hai 10 lần? I. Akulich

F2391. Hai đĩa dẫn điện tích điện q và –q có thể chuyển động không ma sát trong một hình trụ dài không dẫn điện đặt nằm ngang (xem hình). Có một lượng khí heli nhất định giữa các đĩa, nhưng không có khí đằng sau các đĩa. Điện tích trên các đĩa ngay lập tức giảm đi một nửa, sau đó hệ thống được mong đợi sẽ trở lại trạng thái cân bằng. Bỏ qua sự truyền nhiệt, tìm xem nhiệt độ của khí và khoảng cách giữa các đĩa sẽ thay đổi bao nhiêu lần. A. Chernoutsan

F2392. Một quả cầu nhỏ mang điện tích Q được đặt cố định trên bàn trên một giá cao không dẫn điện. Một bản lề được cố định trên một giá đỡ khác có cùng độ cao, đặt ở khoảng cách L so với giá đỡ đầu tiên. Một thanh không trọng lượng, có chiều dài nhỏ hơn L nhiều, được lắp vào bản lề và có thể quay tự do. Hai quả cầu nhỏ có khối lượng m, mỗi quả có điện tích +q và –q được gắn vào hai đầu của thanh này. Khoảng cách từ các quả bóng đến trục quay là như nhau. Lưỡng cực - hai quả bóng có điện tích khác dấu trên thanh - không bị xoắn và nó bắt đầu quay nhanh. Chu kỳ quay của lưỡng cực là T. Điện tích Q và các điện tích +q và –q luôn nằm trong cùng một mặt phẳng nằm ngang. Trong thời gian bao nhiêu lực trung bình mà điện tích điểm và lưỡng cực tương tác? S. Varlamov

F2393. Vasya được giao nhiệm vụ sau: quấn một sợi dây mỏng có chiều dài cố định vào một hình trụ điện môi dài có bán kính ngoài R sao cho tại một trong các điểm trên trục đối xứng của hình trụ có thể tạo ra cảm ứng từ trường cực đại khi truyền một dòng điện một chiều cố định qua dây. Khi nhiệm vụ đã hoàn thành,

“QUANTA”

Hóa ra độ dày tối đa h của tất cả các lớp dây trên hình trụ đều bằng R. Khoảng cách tối đa giữa các vòng dây quấn dọc theo trục của hình trụ là bao nhiêu? V. Maksimov

F2394. Một thấu kính hội tụ mỏng đối xứng có công suất quang D = 1 diop được làm bằng thủy tinh có chiết suất n = 3/2. Thấu kính đặt trên một giá đỡ ở giữa một băng ghế quang học có chiều dài L = 4 m. Một nguồn sáng rất nhỏ đặt trên bàn cách thấu kính một khoảng tối đa bằng bao nhiêu để một trong những ảnh thật của nó rơi vào một trong các tiêu điểm của thấu kính? Manh mối. Sự phản xạ một phần của ánh sáng xảy ra ở mặt phân cách thủy tinh-không khí. V. Sergeev

Lời giải bài toán M2366–M2373, F2373–F2379

M2366. Kể từ đầu năm học, Andrei đã ghi điểm môn toán. Khi anh ấy nhận được một xếp hạng khác (2, 3, 4 hoặc 5), anh ấy gọi đó là điều bất ngờ nếu cho đến thời điểm đó nó xảy ra ít thường xuyên hơn mỗi xếp hạng có thể có khác. (Ví dụ: nếu ngay từ đầu năm anh ấy đã nhận được các điểm liên tiếp là 3,4,2,5,5,5,2,3,4,3, thì năm điểm đầu tiên và bốn điểm thứ hai sẽ là điều bất ngờ.) Trong cả năm học, Andrei nhận được 40 điểm - 10 điểm cho mỗi năm, bốn, ba và hai (không biết theo thứ tự nào). Có thể nói chính xác có bao nhiêu xếp hạng bất ngờ đối với anh ấy?

Lời giải xem bài viết của E. Bakaev “Con trai, con gái, bảng, đồ thị …” trên tạp chí số này. M2367. Chứng minh rằng trong mọi đa giác ngoại tiếp một đường tròn đều có ba cạnh để tạo thành một tam giác.

Cho cạnh AB dài nhất của đa giác tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tại điểm K và đặt BC và AD là các cạnh kề nhau (xem hình), để chúng tiếp xúc với đường tròn tại các điểm L và M tương ứng. Khi đó BC > > BL = BK, AD > > AM = AK, tức là BC + AD > BK + + AK = AB. Hóa ra phần lớn nhất của các đoạn AB, AC và BC nhỏ hơn tổng của hai đoạn còn lại, và do đó, một tam giác có thể được hình thành từ các đoạn AB, AC và BC. T. Kazitsyna, B. Frenkin

M2368. Bên trong một tam giác vuông, hai đường tròn bằng nhau được dựng sao cho đường tròn đầu tiên chạm vào một trong hai chân và cạnh huyền, đường tròn thứ hai chạm vào

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

Có ba loại cá trong bể cá: vàng, bạc và đỏ. Nếu con mèo ăn hết số cá vàng thì sẽ có ít hơn 1 con cá so với 2/3 số ban đầu. Nếu mèo ăn hết số cá đỏ thì số cá nhiều hơn 2/3 số ban đầu là 4 con. Cá nào – vàng hay bạc – có nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu? I. Vysotsky, I. Raskina

Hãy cố gắng giải quyết ba câu đố này, chúng không có mối liên hệ nào với nhau. Nhưng tất cả chúng đều nằm cùng nhau, vì mỗi từ bên trái đều “ẩn” từ bên phải. Các chữ cái phải được thay thế bằng số tương ứng, khác số 0. Lưu ý rằng mỗi câu đố này có một lời giải. 1) TRÒ CHƠI: 17 = VỊT 2) DƯA HẤU: 17 = BÒ BISON 3) BÒ: 17 = CÂU LẠC BỘ L. Shteingarts

Trong sân có bốn lối đi giao nhau, có một cây táo (như hình hình). Trồng thêm ba cây táo nữa sao cho số cây táo ở hai bên mỗi lối đi bằng nhau. E. Bakaev

Minh họa của D. Grishukova

Volodya chạy dọc theo một quãng đường tròn với tốc độ không đổi. Có một nhiếp ảnh gia ở hai điểm dọc theo khoảng cách. Sau khi bắt đầu, Volodya lần đầu tiên ở gần nhiếp ảnh gia đầu tiên hơn một thời gian, sau đó trong 3 phút - gần hơn với nhiếp ảnh gia thứ hai, và sau đó lại gần hơn với nhiếp ảnh gia thứ nhất. Volodya mất bao lâu để chạy hết vòng tròn? V. Kovaldzhi

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8. Bài toán 1, 2, 5 đã được đưa ra tại Lễ hội Toán học XXVI và biến thể bài toán 3 – tại Olympic Toán học LXXVIII Moscow.

Smeshariki sống bên bờ ao có hình tam giác đều có cạnh 600 m. Krosh và Barash sống trên cùng một bờ sông, cách nhau 300 m. Vào mùa hè, Losyash đi bộ 900 m đến Krosh và Barash đi bộ 900 m đến Nyusha. Chứng minh rằng vào mùa đông, khi ao đóng băng và bạn có thể đi thẳng trên băng, Losyash sẽ lại đi bộ cùng quãng đường đến Krosh như Barash đi bộ đến Nyusha. E. Bakaev, A. Khachaturyan

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Thí nghiệm thất bại

I.AKULICH

NĂM TRƯỚC, MỘT LYCEUM TỔ CHỨC một buổi tối TOÁN, trong đó tất cả học sinh được yêu cầu làm thí nghiệm sau: “Lấy năm sinh của bạn, viết các số theo thứ tự ngược lại rồi cộng với số ban đầu. Đồng thời viết các chữ số của số thu được theo thứ tự ngược lại và lấy số lớn trừ đi số nhỏ hơn. Kết quả phải chia hết cho 99.” Petya, một học sinh hạng C, đã làm đúng như vậy, nhưng đã xáo trộn thứ tự các hành động và đầu tiên tìm ra sự khác biệt, sau đó mới đến tổng. Vì thế thí nghiệm đã thất bại. Anh ta đã nhận được kết quả gì?

• • • Hãy bắt đầu với một ví dụ. Giả sử Petya sinh năm 1999. Nếu anh ta thực hiện các hành động theo đúng thứ tự thì trước tiên anh ta sẽ nhận được tổng 1999 + 9991 = = 11990. Con số này theo thứ tự ngược lại sẽ là 09911, tức là 9911, và chênh lệch mong muốn – 11990 – $9911 = 2079 = 99 \cdot 21$ – thực sự chia hết cho 99. Và nếu các hành động được trộn lẫn, Petya đầu tiên sẽ nhận được số 9991 – 1999 = 7992, sau đó là số 7992 + 2997 = 10989. Nhưng con số này bằng $99 \cdot 111$, tức là cũng chia hết cho 99. Vẫn chưa rõ tại sao thí nghiệm lại thành công với thứ tự đúng hoặc tại sao nó có thể không hiệu quả với Petya khi anh ta trộn lẫn các bước.

Chúng tôi mời những người muốn tự trả lời các câu hỏi và sau đó kiểm tra phần giải thích của chúng tôi.

• • • Lời giải bài toán (giống như hành tinh Trái đất) nằm trên ba trụ cột - các định lý phụ trợ. Họ đây rồi. Con cá voi thứ nhất Nếu viết các chữ số của số có bốn chữ số theo thứ tự ngược lại và cộng với số ban đầu thì kết quả sẽ chia hết cho 11. Chứng minh như sau. Hãy biểu thị các chữ số của một số có bốn chữ số (từ trái sang phải) bằng các chữ cái a, b, c và d. Khi đó nó bằng 1000a + 100b +10c + d, số “đảo ngược” là 1000d + 100c +10b + a và tổng của chúng là 1001a + 110b +110c + 1001d, rõ ràng chia hết cho 11 (vì mỗi số hạng đều chia hết cho 11). (Nói chung, phát biểu này đúng với bất kỳ số nào có số chữ số chẵn, nhưng chúng ta không cần số chữ số khác.) Trụ cột thứ 2. Nếu các chữ số của một số chia hết cho 11 được viết theo thứ tự ngược lại thì kết quả cũng sẽ chia hết cho 11. Bằng chứng của con cá voi này dựa trên phép thử sau đây về tính chia hết cho 11: một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó ở vị trí chẵn và lẻ là bội số của 11 (chúng tôi sẽ không chứng minh thử nghiệm này ở đây - nó được biết đến rộng rãi và thường được tìm thấy trong tài liệu). Rõ ràng, tổng của các chữ số ở vị trí chẵn và lẻ sẽ không thay đổi khi viết các chữ số theo thứ tự ngược lại, và do đó sự khác biệt giữa chúng, vì nó là bội số của 11, sẽ vẫn như vậy. Con cá voi thứ 3 Nếu bạn viết lại các chữ số của một số theo bất kỳ thứ tự nào khác và trừ nó khỏi số ban đầu thì kết quả sẽ chia hết cho 9. Định lý này ngay sau bài kiểm tra tính chia hết cho 9, vì vậy chúng ta cũng sẽ không dừng lại ở đây. Vì vậy, trước tiên, hãy tìm hiểu lý do tại sao chắc chắn sẽ đạt được kết quả cần thiết nếu tất cả các hành động được thực hiện như mong đợi. Trên thực tế, năm sinh của bất kỳ học sinh nào cũng là một số có bốn chữ số, vì vậy sau khi cộng nó với năm “đảo ngược”, kết quả là một số chia hết cho 11 (cá voi thứ nhất!). Hơn nữa, nếu các chữ số của số này được viết theo thứ tự ngược lại thì kết quả cũng sẽ chia cho 11 (trụ cột thứ 2!). Do đó, sau khi lấy số lớn trừ số nhỏ thì hiệu cũng sẽ chia cho 11. Ngoài ra sẽ chia cho 9 (trụ cột thứ 3!). Do đó, kết quả cuối cùng thực sự phải chia hết cho $11 \cdot 9 = 99$.

Các tầng khối đa diện đều

Các khối đa diện đều (hình 1) đã thu hút sự chú ý của các nhà khoa học, nhà xây dựng, kiến ​​trúc sư và nhiều người khác từ thời cổ đại. Họ ngạc nhiên trước vẻ đẹp, sự hoàn hảo và hài hòa của những khối đa diện này.

Hình 4

Hình 5

Một tứ diện có thể nội tiếp thành một khối lập phương và các đỉnh của tứ diện sẽ nằm ở các đỉnh của khối lập phương (hình 6). Ngược lại, khối lập phương có thể nội tiếp vào khối mười hai mặt sao cho các đỉnh của khối nằm ở các đỉnh của khối mười hai mặt (hình 7).

Hình 1

Ở đây chúng tôi sẽ cho bạn biết các khối đa diện đều có thể khớp với nhau như thế nào. Bằng cách nội tiếp khối đa diện này vào khối đa diện khác, khối khác vào khối thứ ba, v.v., bạn có thể có được những “thác” tuyệt đẹp của các khối đa diện thông thường. Một khối bát diện (hình 2) có thể nội tiếp trong hình lập phương. Tâm của các mặt của hình lập phương tạo thành các đỉnh của khối bát diện nội tiếp trong đó.

Hình 2

Hình 6

Hình 7

Khi một khối đa diện đều nội tiếp vào một khối đa diện khác, các đỉnh của khối đa diện thứ nhất có thể nằm ở trung điểm của các cạnh của khối đa diện đều. Do đó, một bát diện đều (hình 8) có thể nội tiếp thành một tứ diện đều.

Hình 3

Lần lượt, tâm của các mặt của hình bát diện tạo thành các đỉnh của khối lập phương nội tiếp trong đó (hình 3). Khối đa diện có tính chất này được gọi là đối ngẫu lẫn nhau. Một ví dụ khác về khối đa diện đều kép là khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt (hình 4, 5).

Hình 8

Hình 9

Nói một cách phức tạp hơn, khối hai mươi mặt vừa khít với khối lập phương: trung điểm của các cạnh của khối hai mươi mặt nằm ở tâm các mặt của khối lập phương (hình 9). Hãy thử tính toán tương đối

khâu các cạnh của khối lập phương và khối 20 mặt trong cấu hình này. Tương tự, một khối mười hai mặt (hình 10) có thể nội tiếp thành một khối lập phương.

Hình 11

Hình 12

Hình 10

Hóa ra là bằng cách kết hợp các trường hợp đã xét, tất cả các khối đa diện đều có thể nội tiếp được vào bất kỳ khối đa diện đều nào. Giả sử, từ hình 11 và 12, bạn có thể thấy cách ghép một khối tứ diện và một khối bát diện thành một khối mười hai mặt. Điều này có nghĩa là các “thác” có thể được tạo ra từ các khối đa diện thông thường bằng cách ghép chúng lại với nhau

Hình 14

Hình 17

Hình 15

Hình 18

Hình 13

theo bất kỳ thứ tự nào. Ví dụ: trên hình 13, tầng “tứ diện - bát diện - khối mười hai mặt - khối lập phương” được mô tả. Một số tầng khác được hiển thị trong Hình 14–19.

Hình 16

Hình 19

Tài liệu được chuẩn bị bởi I. Smirnova, V. Smirnov

36

KVANT 2015/№3

cuộn dây vuông góc với mặt phẳng của nó. hình 9 cho thấy hai họ đường sức từ của hệ thống này. Các đường của một họ quấn quanh một sợi dây thẳng và các đường của họ thứ hai quấn quanh một cuộn dây tròn. Có thể thấy các đường sức từ có cấu trúc xoắn ốc. Chúng ta hãy cố gắng hiểu tại sao điều này là như vậy.

các dây không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung. Trong trường hợp này, có ba họ đường dây từ (hình10): đường dây đi qua dây thứ nhất, đi qua dây thứ hai và đi qua cả hai dây. Tất cả các đường sức từ đều không đóng và điểm cuối của chúng đi đến vô cùng. Bây giờ chúng ta có các hệ dòng điện không phẳng có kích thước hữu hạn, ví dụ như hai vòng quay vuông góc lẫn nhau với dòng điện (hình11). Ở đây hình ảnh đường sức từ thay đổi hoàn toàn: nó mất đi

Hình 9. Đường sức từ trong hệ dòng điện tròn và một chiều

Đầu tiên chúng ta xét một đường sức từ gần một vòng quay. Nếu dòng điện trong dây thẳng bằng 0 thì từ trường chỉ được tạo ra bởi dòng điện tròn. Các đường sức từ của từ trường này là những vòng đơn giản quấn theo một vòng tròn và đóng lại một vòng. Trong trường hợp giới hạn khác, khi dòng điện trong cuộn dây tròn bằng 0 thì nguồn sinh ra từ trường là dòng điện trong dây thẳng. Các đường sức từ của từ trường này là những đường tròn vuông góc với một dây thẳng. Bây giờ rõ ràng là nếu cả hai dòng điện khác 0 thì các đường sức từ gần cuộn dây tròn sẽ xoắn ốc và mỗi đường sức sẽ đi quanh cuộn dây tròn nhiều lần (xem hình9). Điều thú vị là chỉ trong một số trường hợp hiếm hoi, chuỗi xoắn mới đóng lại; thông thường, nó lấp đầy một cách dày đặc một số bề mặt hình xuyến (“bánh rán”), không có điểm bắt đầu cũng như điểm kết thúc. Vì vậy, nếu chúng ta bắt đầu vẽ một đường dây từ xoắn ốc từ một điểm nhất định, thì nó sau khi thực hiện một vòng hoàn toàn xung quanh dây thẳng sẽ không kết thúc ở điểm bắt đầu. Điều tương tự sẽ xảy ra ở mọi cuộc cách mạng tiếp theo. Kết quả là chúng ta thu được một đường xoắn ốc bán vô hạn xuất phát từ một điểm cho trước. Nhưng theo cách tương tự, chúng ta có thể hoàn thành đường sức từ này, bắt đầu từ điểm xuất phát theo hướng ngược lại. Vì vậy, chúng ta có một đường không có đầu cũng không có cuối và lấp đầy bề mặt của hình xuyến. Bây giờ chúng ta hãy xem xét từ trường của hai dây dẫn thẳng dài cắt nhau một góc $90^\circ$ với dòng điện - chúng

Hình 11. Đường sức từ hỗn loạn

bất kỳ cấu trúc nào và “bị nhầm lẫn”. Vì vậy, nếu bạn bắt đầu xây dựng hai đường sức từ từ hai điểm nằm gần nhau, thì chỉ trong phần đầu tiên, các đường sức này mới đi gần nhau và sau đó chúng phân kỳ trên một khoảng cách lớn. Sự quá mẫn cảm với các điều kiện ban đầu như vậy là đặc điểm của các quá trình hỗn loạn: những khác biệt nhỏ ở các điều kiện ban đầu sẽ dẫn đến những khác biệt lớn ở trạng thái cuối cùng. Dự đoán lý thuyết trong trường hợp này trở nên không thể. Điều đáng ngạc nhiên là hành vi hỗn loạn của đường dây từ xảy ra trong các điều kiện bên ngoài được xác định (xác định) chặt chẽ, được xác định bởi cấu hình của dây dẫn và dòng điện. Những hiện tượng như vậy thuộc về cái gọi là sự hỗn loạn mang tính quyết định, hay năng động. Bản chất hỗn loạn của đường sức từ không phải là một ngoại lệ, mà là điển hình cho hầu hết các hệ thống hiện nay, và chỉ trong một số trường hợp đơn giản nhất, đường sức từ là những đường cong khép kín đơn giản. Nhưng ngay cả trong trường hợp các hệ thống đơn giản nhất, chẳng hạn như một vòng tròn có dòng điện, mô hình đường sức từ thay đổi đáng kể có tính đến từ trường yếu, gần như đều của Trái đất.

Kết luận Kết thúc bài viết, chúng ta hãy nêu điểm chính mà chúng ta muốn ghi nhớ về đường sức từ: i Đường sức từ không có nguồn và cống, nhưng điều này không có nghĩa là đường sức từ luôn là những đường cong khép kín. i Gần dây dẫn, đường sức từ gần với hình tròn nhưng không nhất thiết phải đóng chính xác về mặt hình học. i Ở vùng xa, cách xa các dây dẫn mang dòng điện, đường sức từ có hình dáng đơn giản. i Ở vùng trung gian, ở khoảng cách vừa phải so với các dây dẫn mang dòng điện, các đường dây từ thường có dạng rối, hỗn loạn và hiếm khi khép lại. Trong trường hợp này, một sự vi phạm nhỏ đối với tính đối xứng ban đầu cũng đủ để các đường trở nên hở và “rối”.

Hình 10. Đường sức từ của hai dòng điện giống nhau trong dây dẫn chéo nhau

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Con trai, con gái, bảng biểu, đồ thị…

tương ứng là đồng bạc và vàng), tương ứng với vị trí có thể có trên bàn (số lượng đồng bạc và vàng) (hình1). Với mỗi hành động, một điểm tương ứng với

E.BAKAEV

TRONG BÀI VIẾT NÀY CHÚNG TÔI SẼ CỐ GẮNG KẾT HỢP một số bài toán tổ hợp đẹp mắt thành MỘT cốt truyện. Hãy bắt đầu với điều này: Bài toán 1. Có m chàng trai và d cô gái xếp thành một hàng theo thứ tự nào đó. Mỗi chàng trai được hỏi có bao nhiêu cô gái ở bên phải mình, và mỗi cô gái được hỏi có bao nhiêu chàng trai ở bên trái. Chứng minh rằng tổng các số mà con trai nêu tên bằng tổng các số mà con gái đặt tên. Lời giải. Hãy để tất cả các chàng trai nhìn về bên phải và tất cả các cô gái nhìn về bên trái. Sau đó, nếu một chàng trai nhìn thấy một cô gái, thì cô gái này sẽ nhìn thấy anh ta. Như vậy, tổng tất cả các số do con trai đặt tên và tổng tất cả các số do con gái đặt tên đều bằng một đại lượng: số cặp trai gái nhìn thấy nhau. Chúng ta sẽ gặp bài toán này ở trung tâm của một số phần tiếp theo. Bài toán 2 (Giải đấu các thành phố XXXVI, 2014). Trên bàn có một đống tiền bạc. Mỗi hành động hoặc thêm một đồng vàng và ghi số đồng bạc lên tờ giấy đầu tiên, hoặc lấy đi một đồng bạc và ghi số đồng tiền vàng lên tờ giấy thứ hai. Kết quả là chỉ còn lại những đồng tiền vàng trên bàn. Chứng minh rằng tại thời điểm này tổng các số ở tờ thứ nhất bằng tổng các số ở tờ thứ hai. Đầu tiên là lời giải. Song song với các thao tác với đồng xu, chúng ta sẽ viết ra dãy chữ C và Z: khi thêm đồng tiền vàng sẽ viết chữ Z, khi bỏ đồng bạc ra sẽ viết chữ C. Bây giờ, thay vì đếm đồng tiền, chúng ta có thể đếm các chữ cái ở dòng kết quả. Khi viết chữ C tiếp theo, chúng tôi viết ra một tờ giấy số đồng tiền vàng đã có trên bàn, tức là số chữ Z ở bên trái chữ S này. Và khi họ viết chữ Z tiếp theo, họ viết ra một tờ giấy số đồng bạc vẫn còn nằm trên bàn và phải bỏ đi - tức là số chữ C ở bên phải chữ Z này ở dòng cuối cùng. Bây giờ chúng ta thay chuỗi chữ cái C và Z bằng một hàng nam và nữ - và chúng ta nhận được chính xác bài toán 1. Vẫn diễn giải nó lời giải: nếu một đồng bạc được tính khi một đồng vàng được thêm vào, thì đồng vàng này được tính khi loại bỏ đồng bạc này, tức là đồng bạc được loại bỏ sau khi đồng vàng được thêm vào. Như vậy, tổng các số trên cả hai tờ giấy là số cặp “đồng bạc - đồng vàng” đó đều có trên bàn tại một thời điểm nào đó. Thứ hai lời giải. Hãy xem xét một mặt phẳng tọa độ trong đó trục tung tương ứng với số lượng đồng bạc và trục hoành tương ứng với số lượng đồng tiền vàng. Mỗi điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật S ¥ G (trong đó S và G là số lớn nhất có thể

Hình 1

tương ứng với vị trí hiện tại được dịch chuyển xuống một đoạn đơn vị (khi chúng ta loại bỏ một đồng bạc) hoặc một đoạn đơn vị sang phải (khi chúng ta thêm một đồng tiền vàng), vị trí ban đầu tương ứng với điểm (0, S) trên trục tung và vị trí cuối cùng – (G, 0) trên trục ngang (hình2).

Hình 2

Khi chúng ta đi từ điểm (x, y) sang phải dọc theo đoạn, tọa độ đầu tiên sẽ tăng lên và chúng ta viết y trên trang đầu tiên, tức là số ô trong đoạn này. Tương tự, khi đi từ (x, y) trở xuống, ta viết x vào tờ thứ hai - số ô ở bên trái của đoạn. Hóa ra là chúng ta sẽ đếm mỗi ô bên dưới đa tuyến hai lần: một lần trên trang tính đầu tiên khi chúng ta vượt qua nó và một lần trên trang tính thứ hai khi chúng ta vượt qua bên phải của nó (hình3). Điều này có nghĩa là tổng các số trên các tờ giấy sẽ bằng nhau và bằng số ô dưới đường nét đứt.

Hình 3

Ý tưởng chính của lời giải thứ hai là xem xét tập hợp tất cả các vị trí có thể có của hệ thống; trong bài viết này chúng tôi sẽ sử dụng kỹ thuật này nhiều lần. Trong toán học, tập hợp như vậy được gọi là không gian pha của hệ. (Nhưng thông thường thuật ngữ này được sử dụng trong một bối cảnh khác.) Bài toán 3. Có m chàng trai và d cô gái xếp thành một hàng theo thứ tự nào đó. Mỗi đứa trẻ được hỏi có bao nhiêu đứa trẻ khác giới đứng bên trái mình. Tổng các số mà trẻ đặt tên là bao nhiêu? Đáp số: md.

52

KVANT 2015/№3

Ở góc nào $\alpha$ giữa thanh và tường thì thanh sẽ tách ra khỏi bức tường thẳng đứng và vận tốc của hai đầu thanh dọc theo tường và dọc theo sàn lúc này là bao nhiêu? 2. Từ một hình trụ có bán kính r = 2 cm, một chất lỏng (hình6) được ép ra bằng pít-tông. Nó lan rộng khắp bề mặt

Hình 6

lớp h = 2 mm dày, tạo thành vết tròn. Tốc độ của piston là u = 6 cm/s. Tốc độ v giãn nở của ranh giới điểm đối với bán kính điểm R = 30 cm là bao nhiêu? 3. Trong phòng có âm lượng $V = 75 м^{3}$, nhiệt độ không khí giống như bên ngoài, tức là $t_{1} = - 20 ^\circ C$. Lò sưởi điện được bật và nó từ từ làm ấm không khí trong phòng lên $t_{2} = + 23 ^\circ C$. Một phần không khí thoát ra ngoài qua cửa sổ đóng chặt. Tìm sự thay đổi nội năng của không khí trong phòng và công do không khí thực hiện khi nó giãn nở ra bên ngoài. Lấy áp suất khí quyển bằng $p_{a} = 10^{5}$ Pa. 4. Vẽ đồ thị điện trở của mạch điện ở hình 7 so với điện trở r của mỗi cặp điện trở. Điện trở của một cặp điện trở khác

Hình 7

tori không thay đổi và bằng R = 50 Ohm cho mỗi tori. Hãy xem xét diode lý tưởng, tức là điện trở của nó theo hướng thuận là không đáng kể và theo hướng ngược lại là rất cao. 5. Một vật nặng treo trên một sợi dây có chiều dài L = 1,1 m buộc vào một chiếc đinh, bị đẩy cho nổi lên rồi đập vào chiếc đinh. Vận tốc của nó lúc chạm vào chiếc đinh là bao nhiêu? Gia tốc trọng trường g. 6. Vào buổi trưa, qua một cửa sổ nhỏ trên bức tường phía Nam của một căn phòng tối, một tia nắng chiếu vào, song song với các bức tường phía Tây và phía Đông. Sau khi phản xạ từ một tấm gương phẳng đặt trên bàn nằm ngang, chùm sáng chiếu vào bức tường phía bắc. Diện tích bóng nào sẽ được tạo ra trên bức tường phía bắc bởi một vòng tròn mờ có bán kính r = 10 cm đứng thẳng đứng trên gương, nếu mặt phẳng của gương song song với bức tường phía nam? 7. Một proton, được gia tốc bởi hiệu điện thế U = 500 kV, bay trong một từ trường đều ngang có cảm ứng B = 0,51 T (hình8). Độ dày của vùng có trường là d = 10 cm. Tìm độ dịch chuyển và góc lệch của vận tốc proton so với hướng ban đầu tại lối ra khỏi vùng này.

Hình 8

Lịch sử của những ý tưởng và khám phá khoa học

Toán học

1. Câu thứ hai mươi trong Quyển IX của Cơ sở Euclide nêu rõ: “Có nhiều số đầu tiên hơn bất kỳ số nào được đề xuất trong số đó”. Hãy hình thành phát biểu này theo thuật ngữ hiện đại và chứng minh nó. 2. Archimedes, Euclid, Apollonius xứ Perga và các nhà toán học vĩ đại khác thời cổ đại gọi parabol là quỹ tích hình học của các điểm cách đều một điểm và một đường cho trước. Đảm bảo rằng đồ thị của hàm $y = x^{2}$ là một parabol. 3. Vào năm 1202, Leonardo xứ Pisa (Fibonacci) trong “Sách bàn tính” của ông đã xem xét một dãy, mỗi phần tử của nó bằng tổng của hai dãy trước, tức là dãy $\phi_{1} = \phi_{2} = 1, \phi_{n} +_{2} = \phi_{n} +_{1} + \phi_{n}$ tại $n \ge 1$. Sau đó, số Fibonacci thường xuất hiện trong nhiều ngành toán học khác nhau - lý thuyết số, đại số, tổ hợp, logic toán học, v.v. Nhiều tính chất đáng chú ý của những con số này đã được phát hiện. Ví dụ, người ta có thể chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m đều có số Fibonacci chia hết cho m. Tìm hiểu xem có bất kỳ số Fibonacci nào có thể là lũy thừa của 7. 4. Một trong những nhà toán học nổi tiếng thế giới vĩ đại nhất, L. Euler, vào năm 1752 đã chứng minh một định lý được coi là định lý đầu tiên trong lịch sử của một trong những nhánh sâu sắc nhất của toán học - cấu trúc liên kết. Định lý Euler phát biểu rằng số đỉnh B, số cạnh P và số mặt G của một khối đa diện lồi tùy ý thỏa mãn đẳng thức B - P + + G = 2. Sử dụng định lý này, hãy tìm hiểu xem có tồn tại một khối đa diện lồi có tất cả các mặt là hình lục giác hay không. 5. Một nhà toán học lỗi lạc khác K.F. Gauss đã chứng minh “định lý chỉ số” đáng chú ý: nếu p là số nguyên tố thì tồn tại một số tự nhiên g sao cho lũy thừa của nó $g, g^{2}$, …, $g^{p} -^{1}$ cho các số dư khác nhau khi chia cho p, và $g^{p} -^{1} - 1$ chia hết cho p (định lý nhỏ Fermat); và do đó, trong dãy lũy thừa có các số cho biết tất cả các số dư có thể có khi chia cho p. Ví dụ, với p = 17, chúng ta có thể lấy g = 3, vì khi viết tuần tự phần dư của lũy thừa ba khi chia cho 17, chúng ta có

3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, 1

– tất cả các dư lượng đều khác nhau. Sử dụng định lý Gauss, chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p đều tồn tại một số tự nhiên x sao cho tích $x^{2} - 2 x^{2} - 3 x^{2} - 6$ chia hết cho p.

(

)(

)(

)

Vật lý

1. Giải Nobel năm 1904 đã được trao “cho những nghiên cứu của ông về mật độ của các loại khí phổ biến nhất và cho việc phát hiện ra argon trong quá trình nghiên cứu này.” Nhà khoa học nhận được giải thưởng này là một quý tộc người Anh. Ông học tại trường Cao đẳng Trinity. Sau cái chết của J.C. Maxwell, ông trở thành Giáo sư Cavendish thứ hai và giám đốc Phòng thí nghiệm Cavendish. Ông là Thư ký của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn và Chủ tịch Đại học Cambridge. Công trình chính của ông liên quan đến lý thuyết dao động mà ông là một trong những người sáng lập. Ông nghiên cứu sự rung động của dây, thanh, tấm và vỏ. Năm 1873 ông đã đưa ra một số định lý cơ bản

53

Thế Vận Hội

lý thuyết tuyến tính về dao động, cho phép người ta đưa ra kết luận định tính về tần số tự nhiên của hệ dao động. Trong tác phẩm cơ bản “Lý thuyết âm thanh”, lần đầu tiên một cách tiếp cận thống nhất để nghiên cứu các quá trình dao động và sóng có bản chất vật lý khác nhau đã được tiết lộ rõ ​​ràng. Ông đã xem xét việc bổ sung các dao động với các pha ngẫu nhiên và thu được hàm phân bố tần số cho biên độ thu được. Chức năng phân phối này lấy tên của ông. Hóa ra sự phân bố mật độ năng lượng của một vật thể hoàn toàn đen trên các bước sóng cũng được mô tả bởi hàm này (sự phân bố này mang cả tên của nhà khoa học này và đồng nghiệp của ông D. Jeans, người đã độc lập thu được kết quả này vào năm 1905). Khám phá quan trọng nhất của ông là lý thuyết về sóng đàn hồi bề mặt (được đặt tên theo tên ông) - các nhiễu loạn đàn hồi lan truyền trong một vật rắn dọc theo ranh giới tự do của nó và tắt dần theo độ sâu. Ông giải thích sự khác biệt giữa vận tốc nhóm và vận tốc pha, thiết lập mối quan hệ giữa chúng, đặt nền móng cho lý thuyết tán xạ ánh sáng phân tử (đồng thời giải thích màu xanh của bầu trời) và tạo ra lý thuyết về khả năng phân giải của các dụng cụ quang học. Trong tất cả các ngành vật lý này đều có các công thức, quy trình và lý thuyết được đặt theo tên ông. a) Nhà khoa học này là ai? b) Kể tên các dụng cụ vật lý khác, số model và tiêu chí không nêu trong văn bản, mang tên nhà khoa học này. 2. Vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên. Một thí nghiệm nổi bật đã được thực hiện - lần đầu tiên trong lịch sử loài người, bán kính Trái đất được đo. Trong các thước đo chiều dài được áp dụng vào thời điểm đó, nó lên tới 252 nghìn sân vận động. Thật không may, tác giả của nghiên cứu đã không cho biết liệu ông sử dụng giai đoạn Hy Lạp hay giai đoạn được áp dụng cho các phép đo ở quốc gia nơi ông sinh ra và làm việc. Tùy thuộc vào điều này, sai số đo, theo ước tính hiện đại, là 1,5% hoặc 10% (giá trị sai số nhỏ hơn thu được với giả định rằng nhà khoa học đã sử dụng giai đoạn “bản địa” cho anh ta). a) Kể tên nhà khoa học đầu tiên trong lịch sử loài người đo được bán kính Trái đất. b) Nhà khoa học này sống và làm việc ở nước nào? c) Nhà khoa học đã thực hiện các phép đo ở những thành phố nào và đặc điểm nào về vị trí địa lý của những thành phố này đã giúp nhà khoa học có thể tiến hành thí nghiệm tao nhã này? 3. Vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên. một định luật thủy tĩnh rất quan trọng đã được phát hiện. Việc phát hiện ra luật này đã phải thực hiện rất nhiều công việc để tìm hiểu xem vương miện hoàng gia được làm hoàn toàn bằng vàng hay những người thợ kim hoàn đã trộn bạc vào vương miện. Lịch sử đã lưu giữ tên tuổi của không chỉ tác giả của phát hiện mà còn cả khách hàng của tác phẩm - nhà vua (hay nói chính xác trong danh hiệu là một bạo chúa, khi đó từ này không mang hàm ý tiêu cực) Hiero. Không có dữ liệu chính xác về việc bạc có được tìm thấy trên vương miện hay không. Và đối với lịch sử khoa học thì điều này không quá quan trọng. a) Đặt tên cho nhà khoa học và xây dựng định luật mang tên ông. b) Kể tên thành phố và vùng lãnh thổ nơi diễn ra các sự kiện được mô tả. c) Ước lượng sai số tuyệt đối của phép đo. Liệu một nhà khoa học sử dụng các dụng cụ đo lường thời đó có thể thu được kết quả đáng tin cậy không? 4. Có một câu chuyện nổi tiếng kể rằng một nhà khoa học người Ý sống và làm việc ở thế kỷ 16-17 đã ném những quả bóng từ Tháp nghiêng Pisa để chứng minh giả thuyết rằng tốc độ của một vật rơi tự do không phụ thuộc vào khối lượng của nó. Tuy nhiên, cả anh ấy và chúng tôi đều hiểu rằng thí nghiệm này có độ chính xác hạn chế. Nhà khoa học đã thực hiện một loạt thí nghiệm phức tạp hơn và thu được kết quả thực nghiệm

bằng chứng của giả thuyết này. Ông cũng đã xây dựng nguyên tắc làm cơ sở cho mọi cơ học cổ điển. a) Nhà khoa học này là ai? b) Người ta đã làm những thí nghiệm gì để chứng minh giả thuyết? c) Xây dựng nguyên tắc quy định tại điều kiện. 5. Năm 1818, tại một trong những cuộc họp của Viện Hàn lâm Pháp, công việc nghiên cứu về nhiễu xạ ánh sáng đã được xem xét. Một trong những thành viên của Viện Hàn lâm, một nhà khoa học nổi tiếng, nghi ngờ tính hợp pháp của việc coi ánh sáng là một quá trình sóng. Người chủ trì cuộc họp đề xuất tiến hành một thí nghiệm và dự đoán một kết quả nghịch lý, điều này chứng tỏ rõ ràng có lợi cho lý thuyết sóng của ánh sáng. Thí nghiệm đã được thực hiện. Đã thu được mẫu nhiễu xạ dự đoán, được đặt theo tên của đối thủ còn nghi ngờ. a) Tác giả của tác phẩm là ai? b) Thu được kết quả gì? c) Kết quả được đặt theo tên của ai? d) Ai chủ trì cuộc họp của Viện?

Giải Toán Quốc tế III mang tên M.V. Lomonosov dành cho học sinh lớp 5–8

Vòng thi đồng đội miệng

lớp 5–6

1. Có bao nhiêu số có bốn chữ số viết là 1 và 2? 2. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành góc bao nhiêu ở vị trí 10 giờ 12 phút? 3. Có 10.000 đồng xu một xu trong con heo đất. Hàng tháng, 30% nội dung trong heo đất được chi tiêu. Hỏi sau bốn tháng còn lại bao nhiêu đồng xu trong heo đất? 4. Cho hình vuông ABCD, điểm K là trung điểm cạnh AB, điểm L là trung điểm cạnh AD, hai đoạn thẳng CL và DK cắt nhau tại điểm M. Chứng minh tam giác BCM cân.

Đá phạt bài toán

Ш1. Thêm hai chữ số vào bên phải số 987 để số có năm chữ số chia hết cho 5, 6, 7. Ш2. Tìm hai số tự nhiên có hiệu chính phương là 37. Ш3. Một du khách phải mất 6 giờ để leo lên dốc với tốc độ không đổi và 2 giờ để xuống dốc với tốc độ không đổi. Bao lâu sau khi bắt đầu leo ​​núi, du khách sẽ quay trở lại chân núi nếu anh ta bắt đầu xuống núi sau 4 giờ kể từ khi bắt đầu leo ​​núi? Ш4. Tìm diện tích của $фигуры,_{Рис.} 9$ như trong hình 9.

lớp 7–8

1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n sao cho tích ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 ) chia hết cho 1000. 2. Một hình vuông nội tiếp trong một tam giác vuông có hai cạnh a và b, một đỉnh trùng với đỉnh góc vuông của tam giác, đỉnh đối diện của hình vuông nằm trên cạnh huyền của tam giác. Tìm diện tích hình vuông. 3. Một số có bốn chữ số có dạng aabb có thể là bình phương của một số nguyên không?