Kvant 2017, số 11 · Trang

9

CHÚNG TA

theo góc $90\infty$ nên B = ( - y, x ). Khi đó vectơ vận tốc của con kiến ​​( x ¢, y ¢ ) tỷ lệ với vectơ AB ( - y - x, x - y ). Ta thu được hệ phương trình vi phân x ¢ = k ( - y - x ),

VIẾT

Chúng ta sẽ không giải được hệ này (nó không dễ lắm), nhưng hệ ở Bài tập 7 có thể giải được.

Mọi thứ trở nên đơn giản biết bao khi bạn biết cách giải phương trình vi phân! Tôi đã tìm thấy lời giải, chèn dữ liệu cần thiết vào đó và trả lời tất cả các câu hỏi. Vậy thì tại sao chúng ta lại làm mọi thứ trở nên khó khăn như vậy trong bốn phần đầu tiên? Có thực sự là vô ích? Không, không vô ích! Trong thực tế, nhiều bài toán dẫn đến các phương trình vi phân rất phức tạp không thể giải được một cách rõ ràng. Tuy nhiên, cần phải biết các thuộc tính của lời giải. Trong trường hợp này, các nhà khoa học buộc phải phân tích tính chất của lời giải mà không có công thức chính xác. Khoa học này được gọi là lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Chính nhờ điều này mà chúng tôi đã vượt qua được các ranh giới.

Bài tập 10. Lấy hệ phương trình vi phân về quỹ đạo của con kiến ​​từ Bài tập 7 và thử giải.

Các tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban biên tập, đặc biệt là V.M. Tikhomirov, vì cuộc thảo luận đầy cảm hứng về nội dung bài viết.

y¢ = k(x - y), trong đó k = v

(

$2 x^{2} + y^{2}$

)

.

HỌ VIẾT CHO CHÚNG TÔI

Về chứng minh cơ bản của định lý Feuerbach

I. KUSHNIR, O. CHERKASSKY

Hãy nhớ rằng trong bất kỳ tam giác nào, trung điểm của các cạnh, đáy của các đường cao, cũng như trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh đều nằm trên cùng một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn chín điểm hoặc đường tròn Euler (ví dụ, xem bài viết của I. Sharygin và A. Yagubyants “Vòng tròn chín điểm và đường Euler” trong «Kvant» Số 8, 1981). Một trong những kết quả đẹp nhất của hình học cổ điển được coi là định lý Feuerbach, trong đó phát biểu rằng một đường tròn chín điểm tiếp xúc với một đường tròn nội tiếp một tam giác và ba đường tròn ngoại tiếp (Hình 1). Hầu hết các cách chứng minh định lý Feyebrach đã biết đều phức tạp và không cơ bản (sử dụng phép nghịch đảo, v.v.). Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một bằng chứng cơ bản rất ngắn gọn dựa trên các công thức nổi tiếng và các phép tính đơn giản. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu sau cho các phần tử của tam giác ABC này: a, b,

Hình 1

c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB, R và r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp, I là tâm nội tiếp (tức là tâm của đường tròn nội tiếp), O là tâm của đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm (tức là giao điểm của các đường cao). Như đã biết, bán kính của đường tròn Euler bằng R 2 và tâm E của nó là trung điểm của đoạn OH. Phát biểu của định lý Feuerbach về sự tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp và đường tròn chín điểm sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh rằng IE = R 2 - r. Đẳng thức này tương ứng với tiếp tuyến trong của các đường tròn đang xét (trên thực tế có thể chứng minh rằng R 2 luôn không nhỏ hơn r).

10

KVANT 2017/№11

Xét tam giác OHI (hình 2). Đoạn IE là đường trung bình của tam giác này

Hình 2

à. Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có

$4 IE^{2} 2 OI^{2}$

$2 IH^{2}$

$OH^{2}$.

Hãy sử dụng các công thức nổi tiếng:

$OI^{2} R^{2}$

$IH^{2} 4 R^{2}$

2 Rr,

1 2 a 2

$2 r^{2}$

$OH^{2} 9 R^{2}$ a

2

$b^{2}$

$b^{2}$

$c^{2}$,

$c^{2}$.

Kết hợp cả 4 công thức, ta được

$4 IE^{2} 2 R^{2}$

8 R

2

4 Rr

$4 r^{2}$

$4 IE^{2} R^{2}$ a

2

$b^{2}$

$c^{2}$

2

2

9R a

4 Rr

$b^{2}$

$c^{2}$

,

$4 r^{2}$, từ

2 IE R, đó là những gì được yêu cầu!

2 r,

Xin độc giả chú ý!

Nhà xuất bản của Trung tâm Giáo dục Toán học Thường xuyên Moscow (MCCME) đã xuất bản hai cuốn sách trong bộ “Thư viện «Kvant». Cuốn sách “Những câu chuyện về Cực đại và Tối thiểu” của V.M. Tikhomirov (số 56, ấn bản thứ ba) kể về lịch sử các phương pháp tìm số lượng lớn nhất và nhỏ nhất; lời giải trong số nhiều bài toán đáng chú ý ở mức tối đa và tối thiểu, thuộc về các nhà toán học vĩ đại của các thời đại trước, là phác thảo; nói về nguồn gốc của nhiều ý tưởng đặt nền móng cho phân tích hiện đại; giải thích mối liên hệ giữa cực trị bài toán và các vấn đề của tự nhiên;

Người đọc có thể, bằng cách sử dụng các công thức tương tự cho tâm của đường tròn ngoại tiếp, chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc chín điểm với các đường tròn ngoại tiếp bằng cách sử dụng cùng một sơ đồ.

Từ người biên tập, định lý Feuerbach với vẻ đẹp của nó đã thu hút sự chú ý của nhiều người yêu thích hình học và do đó có nhiều cách chứng minh khác nhau. Tạp chí «Kvant» cũng đã đề cập đến định lý này nhiều lần. Ví dụ, trong các bài viết của V. Dubrovsky “Momen quán tính trong hình học” (số 7, 1984), V. Protasov “Xung quanh định lý Feuerbach” (số 9, 1992), V. Dubrovsky và V. Senderov “Bẫy cho một tam giác” (số 3, 1999), V. Protasov “Các vòng tròn tang: từ Tebo đến Feuerbach” (số 1). 4, 2008). Không giống như nhiều bằng chứng nổi tiếng, lý do do I. Kushnir và O. Cherkassky đưa ra thực sự có vẻ minh bạch và dễ tiếp cận. Tất nhiên, một khó khăn đáng kể - việc chứng minh các công thức được sử dụng - vẫn còn ẩn giấu ở đây. Tuy nhiên, những công thức này đã được biết đến và có trong nhiều nguồn. Công thức cho $OI^{2}$ thường được sử dụng và được gọi là công thức Euler, công thức tính độ dài đoạn IH có sẵn, ví dụ, trong bài viết đã đề cập của V. Dubrovsky, và trong bài viết của A. Zaslavsky, D. Kosov và M. Muzafarov “Quỹ đạo của các điểm đáng chú ý của tam giác Poncelet” (Số 2, 2003) có một công thức chung để thu được công thức cho độ dài IX và OX cho các điểm X tùy ý.

tri thức, công nghệ và kinh tế. Cuốn sách dành cho học sinh trung học, giáo viên, học sinh, giáo sư. Từ V.B. Cuốn sách “Định lý Abel trong các bài toán và lời giải” của Alekseev (số 137), người đọc sẽ học cách giải các phương trình đại số bậc ba và bậc bốn với một ẩn số, đồng thời sẽ làm quen với hai nhánh quan trọng của toán học hiện đại - lý thuyết nhóm và lý thuyết hàm biến phức. Cuốn sách được nhiều độc giả quan tâm đến toán học nghiêm túc quan tâm và có thể dùng làm cẩm nang cho công việc của vòng tròn toán học.

Người chạy nước rút và người ở lại

A. MINEEV

Dù bạn là vận động viên chạy nước rút, dù bạn là người ở lại, Ba lần vô địch, Chúng tôi sẽ không trượt, chúng tôi sẽ không tụt lại phía sau, Chúng tôi vẫn sẽ đuổi kịp. Bài hát

HÃY HỎI CÂU HỎI NÀY: Tốc độ và sức mạnh tối đa mà vận động viên điền kinh phát triển khi chạy là bao nhiêu? Hãy sử dụng dữ liệu từ các kỷ lục thế giới hiện tại (phần - điền kinh, chạy) và xây dựng biểu đồ về sự phụ thuộc tốc độ của những vận động viên chạy giỏi nhất thế giới vào quãng đường chạy. Ở đó chúng ta cũng sẽ vẽ đồ thị thời gian đua trên trục x. hình 1 hiển thị kỷ lục chạy của nam và nữ ở các cự ly 100 m, 200 m, 400 m, 800 m, 1609 m (1 dặm), 2 km, 3 km, 5 km, 10 km, 20 km, 25 km, 30 km và 100 km. Dữ liệu chạy marathon được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Nhìn vào những đường cong này, bạn có thể nhận thấy một số đặc điểm quan trọng: i dành cho người chạy nước rút (khoảng cách 100–200 mét), tốc độ chạy đạt 10 m/s; Vì thế

Hình 1. Sự phụ thuộc của tốc độ tối đa và thời gian chạy vào khoảng cách của nam (M) và nữ (W)

tốc độ cao có thể được duy trì trong 20–30 giây; i đối với người ở lại (1–10 km), tốc độ chạy trung bình là khoảng 6–7 m/s; với tốc độ này họ có thể chạy trong nửa giờ; tôi là vận động viên chạy cự ly siêu dài

14

KVANT 2017/№11

tốc độ 7 m/s: 3 MJ = 1500 s = 25 phút. 2 kW

Người ở lại và người chạy marathon. Vai trò của quá trình oxy hóa chất béo

Tổng năng lượng dự trữ trong mô mỡ của một vận động viên nặng 75 kg là hơn 300 MJ và còn rất lâu nữa mới bị cạn kiệt. Nhưng phải mất rất nhiều thời gian để làm cạn kiệt đáng kể lượng mỡ dự trữ của bạn. Bất cứ ai đang cố gắng giảm cân đều có thể xác nhận điều này. Trong khoảng cách của người ở lại, công suất tiêu thụ là 1–1,5 kW và mức tiêu thụ năng lượng là 4–5 MW cho mỗi giờ chạy. Người giữ kỷ lục tiêu thụ khoảng 5000 kcal năng lượng (ª 20 MJ) mỗi ngày. Nếu chúng ta giả sử rằng một nửa năng lượng này có thể bị tiêu hao trong quá trình chạy thì chỉ còn lại 10 MJ năng lượng. Như có thể thấy từ ước tính của chúng tôi, năng lượng này được tiêu tốn trong khoảng hai giờ chạy nhanh. Ở hình 1, giá trị này tương ứng với thời gian của một cuộc đua marathon. Thật vậy, những vận động viên chạy marathon, chưa kể những vận động viên chạy cự ly dài hơn, buộc phải bổ sung năng lượng dự trữ trong quá trình chạy bằng hỗn hợp giàu carbohydrate. Người chạy marathon có phải uống nước không? Chắc chắn. Vì cần 2,3 MJ để làm bay hơi một lít nước nên một giờ chạy tương ứng với sự bay hơi của khoảng 2 lít nước. Nhưng có cần thiết phải thay thế hoàn toàn lượng nước thất thoát hay không? Không, nó nguy hiểm. Nước có thể không có thời gian để cơ thể người chạy hấp thụ trong quá trình chạy và việc bổ sung bài toán lượng nước bị mất sẽ được quyết định sau khi về đích. Các nhà vô địch chạy bộ của con người so sánh với tốc độ di chuyển của các loài động vật có vú khác như thế nào? Hãy đối mặt với nó - rất tầm thường. Theo nhiều cách, đây là cái giá phải trả cho việc đi thẳng và chạy bằng hai chân. Bốn chân chạy nhanh hơn. Nhà vô địch trong số đó là báo gêpa, loài có tốc độ chạy tối đa được ghi nhận là 35 m/s trong 10 giây. Rất có thể, anh ta không cần nhiều hơn để đi săn thành công. Thời gian còn lại anh ta nghỉ ngơi hoặc di chuyển với tốc độ “bay” thấp hơn đáng kể và tiết kiệm hơn.

tăng tốc tìm kiếm nạn nhân tiếp theo. Và cấu trúc cơ thể của báo gêpa phù hợp hơn để chạy nhanh và khối lượng cơ tương đối cao hơn. Những kẻ chạy nước rút nhanh nhất là những kẻ săn mồi (chẳng hạn như mèo) và động vật móng guốc. Hình dáng của một người so với nền của họ được hiển thị trong hình 3. Và trong hình 4 được hiển thị

Hình 3. Vận động viên chạy nước rút: sự phụ thuộc của tốc độ chạy tối đa của động vật có vú vào trọng lượng cơ thể

Hình 4. Người ở lại: sự phụ thuộc của tốc độ chạy dài hạn tối đa của động vật có vú vào trọng lượng cơ thể

thông tin liên quan dành cho người ở lại - những người có khả năng chạy nhanh và lâu dài. Từ hình này người ta có thể thấy con người thua kém động vật đến mức nào, đặc biệt là ở khả năng chạy nước rút.

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2486–M2489 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXXIX. Bài toán F2493–F2496 đã được đưa ra tại Olympic “Các bước kiến ​​thức về Vật lý” (Penza). Tác giả của bài toán này là A. Seitov.

Bài toán M2486–M2489, F2493–F2496

M2486. Nhà phân tích đưa ra dự báo về những thay đổi của tỷ giá hối đoái đối với đồng đô la trong 12 tháng tới: tỷ lệ phần trăm (một con số lớn hơn 0% và nhỏ hơn 100%) sẽ thay đổi trong tháng 10, bao nhiêu trong tháng 11,…, bao nhiêu trong tháng 9. Hóa ra là cứ mỗi tháng anh ta dự đoán chính xác tỷ giá hối đoái sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm, nhưng lại sai về hướng thay đổi (tức là nếu anh ta dự đoán tỷ giá hối đoái sẽ tăng x% thì tỷ giá hối đoái sẽ giảm x% và ngược lại). Hơn nữa, sau 12 tháng, khóa học trùng với dự báo. Cuối cùng thì lộ trình đã thay đổi theo hướng nào? A. Zaslavsky

M2487. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh AB, BC và AC của tam giác ABC lần lượt tại các điểm N, K và M (hình1).

Các đường thẳng MN và MK cắt tia phân giác của góc ngoài B lần lượt tại các điểm R và S. Chứng minh rằng các đường thẳng RK và SN cắt nhau trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC. M. Evdokimov

M2488. Thành phố là một hình chữ nhật ca rô, mỗi ô có một tòa nhà năm tầng. Luật cải tạo cho phép bạn chọn hai ô liền kề ở phía có nhà và phá bỏ ngôi nhà có ít tầng hơn (hoặc cùng số). Đồng thời, số tầng được xây trên ngôi nhà thứ hai cũng giống như ngôi nhà bị phá bỏ. Số lượng nhà nhỏ nhất có thể để lại trong thành phố theo luật cải tạo là bao nhiêu nếu thành phố có kích thước: a) 20 s 20 ô; b) 50 giây 90 ô? M. Murashkin

M2489. Chứng minh rằng với dãy số bất kỳ $a_{0}, a_{1}$, … $, a_{n}$, …, gồm số một và số trừ thì luôn có n và k sao cho $a_{0}$ $a_{1}$ … $a_{k} a_{1}$ $a_{2}$ … $a_{k} 1$ …

$... + a_{n}$ $a_{n} 1$ … $a_{n} k 2017$. I. Mitrofanov

Hình 1

F2493. Trên một bề mặt nằm ngang nhẵn trải dài dọc theo phương thẳng đứng

16

KVANT 2017/№11

một quả bóng nhỏ đàn hồi tuyệt đối đang nhảy dọc theo trục. Tốc độ tối đa của nó là v. Trên cùng một bề mặt nằm ngang, ở khoảng cách tính từ điểm va chạm của quả bóng này, bằng độ cao tối đa mà nó bay được, có một quả bóng tương tự thứ hai. Anh ta được cho một vận tốc nằm ngang v theo hướng thứ nhất. Các quả bóng va chạm sao cho tại thời điểm va chạm, đường đi qua tâm của chúng nằm ngang và trùng hướng với vận tốc của quả bóng thứ hai trước khi va chạm. 1) Tìm độ cao bay tối đa của quả bóng đầu tiên. 2) Tìm chu kỳ chuyển động của quả bóng thứ nhất trước khi chạm vào quả bóng thứ hai. 3) Quả bóng đầu tiên ở độ cao bao nhiêu vào thời điểm quả bóng thứ hai bắt đầu? 4) Tìm vận tốc của quả bóng thứ nhất ngay sau khi chạm vào quả bóng thứ hai. 5) Có thể đặt một bức tường thẳng đứng cách điểm va chạm một khoảng bằng bao nhiêu để sau khi phản xạ từ nó, quả bóng đầu tiên lại chạm vào quả bóng thứ hai? Thời gian tác động có thể được bỏ qua.

F2494. Trong hệ ở hình 2, không có ma sát, lò xo đàn hồi và

Hình 2

những quả bóng nhỏ, không trọng lượng giống hệt nhau và đàn hồi. Phía bên phải của thanh chuyển tiếp trơn tru thành một cung tròn bán kính R nằm trong mặt phẳng thẳng đứng, tại điểm chuyển tiếp có một quả cầu bên phải. Khoảng cách giữa các quả bóng bằng R. Nếu không lấy các quả bóng ra hoặc giữ chúng bằng ngoại lực, hệ được đặt sao cho phần thẳng của thanh ở vị trí thẳng đứng thì ở trạng thái cân bằng, lò xo sẽ ​​nén một lượng R. Từ vị trí như hình hình, quả cầu bên phải bị lệch sao cho góc dịch chuyển dọc theo cung nhỏ và bằng B ( B ≪ 1).

1. Tìm thời gian để quả bóng bên phải lần đầu tiên quay trở lại vị trí ban đầu được ghi trên hình. 2) Tìm độ lớn vận tốc của quả cầu bên phải trên mặt cắt ngang. 3) Tìm độ nén tối đa của lò xo sau khi hai quả bóng chạm vào nhau. 4) Tìm thời gian chuyển động của quả bóng bên trái giữa hai lần chạm bóng đầu tiên. 5) Tìm chu kì dao động của hệ này.

F2495. Trong một ống nằm ngang có chiều dài L, tiết diện không đổi S, bịt kín một đầu, một cột không khí ở nhiệt độ tuyệt đối $T_{0}$ (hình3) bị nhốt trong một chất lỏng có mật độ R. Nếu không khí ở trong

Hình 3

Đun nóng ống đến nhiệt độ tuyệt đối T thì toàn bộ chất lỏng sẽ chảy ra khỏi ống. Ống được vặn về $90\infty$ với đầu mở hướng lên trên, chất lỏng không chảy xuống và nhiệt độ được duy trì không đổi. Áp suất khí quyển $p = R gH_{0}$, trong đó $H_{0} > L$. 1) Tìm chiều dài cột không khí trong ống nằm ngang. 2) Trong ống có bao nhiêu phân tử khí? 3) Tìm áp suất không khí trong ống ở vị trí thẳng đứng. 4) Tìm chiều dài cột không khí trong ống thẳng đứng. 5) Tìm chiều dài tối đa của cột chất lỏng có thể thu được sau khi thêm chất lỏng vào ống thẳng đứng. Bỏ qua hiệu ứng mao dẫn.

F2496. Trong một từ trường đều có cảm ứng bằng B và hướng ra xa chúng ta (hình4), một mạch điện thẳng đứng có hai

Hình 4

24

KVANT 2017/№11

Câu chuyện về Pinocchio và quả địa cầu

I. BOYARINOV

Chiếc bàn nơi Buratino đang làm bài tập ở cạnh cửa sổ. Đó là một chiếc bàn tự chế mà Papa Carlo đã làm. Nó rất lớn - nó trải dài từ bức tường này sang bức tường khác. Và mọi thứ đều phù hợp với nó. Một cạnh có bình, ống nghiệm và thuốc thử dùng cho các thí nghiệm hóa học, mặt kia có kính hiển vi để quan sát sinh học. Có một quả địa cầu ở giữa bàn; Pinocchio thích nhìn nó. Đôi khi anh tưởng tượng mình là một du khách: đây là quê hương Ý của anh, và anh đang đi trên một con tàu từ bờ biển của nó, đầu tiên đến Biển Địa Trung Hải, sau đó qua Gibraltar đến đại dương… Một lần khác, anh tưởng tượng mình đang bay trên một khinh khí cầu - anh hơi nheo mắt, từ từ xoay quả địa cầu và bản đồ đối với anh giống như một Trái đất thực sự đang lơ lửng ở đâu đó xa bên dưới. Và bây giờ anh ấy đang nhìn quả địa cầu quay tròn trước mặt mình. - Tại sao quả địa cầu của bạn lại quay sai hướng? - Papa Carlo nói. - Tại sao không phải cái đó? Quả địa cầu nằm trên một trục và có thể quay tới lui, giống như một cánh gió thời tiết. Khi lên dây cót cho đồng hồ lò xo, chúng ta chỉ xoay tay cầm theo một hướng.

Nếu quả địa cầu chỉ được quay theo một hướng thì có lẽ một bộ giới hạn tương ứng đã được chế tạo tại nhà máy. Và thế là anh ấy không có ở đó. Quả địa cầu có thể xoay theo bất kỳ cách nào bạn muốn," Buratino phản đối. - Quả địa cầu - vâng. Nhưng quả địa cầu là một mô hình của hành tinh chúng ta, và Trái đất quay theo một hướng nhất định! – Có hướng nào để quay không? Hiện tại, một con ruồi đang bò quanh chu vi của kính cửa sổ. Đối với chúng ta, có vẻ như nó đang chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Nhưng đối với một người qua đường, con ruồi di chuyển ngược chiều kim đồng hồ. - Đúng vậy. Do đó, một điểm được chọn trên trục quay, tương đối với hướng quay đó. Mọi người từ lâu đã nhận thấy rằng nếu bạn tiếp tục trục của Trái đất từ Bắc Cực trở lên, thì đường thẳng này sẽ chạm tới Sao Bắc Đẩu. Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng có một người quan sát trên ngôi sao này và nhìn vào Trái đất, hành tinh của chúng ta sẽ chuyển động như thế nào đối với người quan sát này - theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ? Papa Carlo hỏi một câu. Buratino không vội hỏi. đáp số, và cắt một hình tròn từ giấy, đặt chữ N vào giữa - đây là Bắc Cực và mô tả nước Ý với một chiếc ủng nhỏ. Và rồi Pinocchio nghĩ. Vòng tròn nằm trên bàn, chúng ta nhìn nó từ trên cao, từ phía sao Bắc Đẩu. Nó thực sự quay như thế nào? Ý đang hướng tới đâu? Theo chiều kim đồng hồ, tức là từ đông sang tây, hay ngược lại - từ tây sang đông? – những suy nghĩ này thậm chí còn khiến Buratino hơi choáng váng. “Hãy cải thiện mô hình của bạn,” Papa Carlo gợi ý khi nhận thấy những khó khăn mà Buratino đang gặp phải. Với những lời này, anh ấy cắt ra một tờ giấy nhỏ khác.

25

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

vẽ một vòng tròn, tô màu bằng bút chì màu vàng và đặt lên bàn. - Đây là Mặt Trời của chúng ta. – Hóa ra Mặt trời nhỏ hơn Trái đất? Điều này không đúng! - Pinocchio phản đối. “Nhưng điều này không quan trọng đối với mô hình của chúng tôi,” Papa Carlo phản đối và đặt một người lính thiếc trên Bán đảo Apennine, quay mặt về phía đông. – Bây giờ ở Ý là ban đêm. Bây giờ, hãy từ từ xoay vòng tròn của bạn để người lính không bị ngã và để khi mặt trời mọc, Mặt trời chiếu vào mắt người lính chứ không chiếu vào lưng anh ta. Buratino bắt đầu thí nghiệm sai lầm này. Bạn cũng có thể làm điều đó. – Để Mặt Trời mọc ở hướng Đông, mình phải quay vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ, tức là theo hướng từ Tây sang Đông. Nhưng nếu tôi đang ngồi trên một chiếc ghế và một quả cầu quay ở trên bàn trước mặt tôi, thì đối với tôi, có vẻ như các thành phố đang di chuyển từ trái sang phải. Mọi thứ đều rõ ràng! - Buratino vui mừng kêu lên. – Nhưng dường như quả địa cầu của tôi đã bị khiếm khuyết trong một thời gian dài. Trục của nó nghiêng như một cái cây cổ thụ,” Buratino buồn bã nói. – Không, không, quả địa cầu đang hoạt động bình thường, và độ nghiêng của trục nó nhắc nhở chúng ta rằng trục quay của Trái đất nghiêng với mặt phẳng quay (hình1). Góc nghiêng xấp xỉ 24 độ. - Rõ ràng rồi. Trong quá trình quay, Trái đất dường như cúi đầu trước Mặt trời, như thế này, tôi sẽ vẽ

TRẺ EM HỌC SINH

để cho rõ ràng, - và Buratino đã mô tả trục Trái đất tại bốn điểm trên quỹ đạo Trái đất (hình2). - Không, điều này sai. Tại hình trục của bạn thay đổi hướng, nhưng Hình 2 không đổi. Bạn có nhớ món đồ chơi của mình - áo trẻ em không? Mở nó ra và đặt nó lên bìa cứng. Bạn có thể nghiêng tấm bìa cứng một chút, cố gắng làm lệch trục của mặt trên, nhưng trục sẽ luôn giữ nguyên hướng ban đầu. Vậy Trái đất là một đỉnh khổng lồ. Do đó, nếu bạn muốn sử dụng một quả địa cầu để mô tả chuyển động quay của Trái đất quanh Mặt trời, thì sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một quả địa cầu không có giá đỡ tròn mà có hình chữ nhật. Giá đỡ như vậy phải được di chuyển theo hình tròn sao cho các cạnh của đế luôn song song với các cạnh của bàn (hình3). Trong trường hợp này

Hình 3

Trục của quả địa cầu, được nối chặt với giá đỡ, duy trì hướng của nó trong không gian. Nếu không có giá đỡ như vậy, bạn có thể dán một hình chữ nhật bằng bìa cứng vào giá đỡ tròn. - Bây giờ tôi đã hiểu mọi chuyện. Quả địa cầu, tức là Trái đất quay quanh trục của nó từ tây sang đông, trong khi trục vẫn giữ nguyên hướng của nó”, Buratino nói với vẻ thành tựu – Bạn có nhớ câu nói của Kozma Prutkov: “Khi ném sỏi xuống nước, hãy nhìn vào những vòng tròn mà chúng tạo thành; nếu không ném như vậy sẽ chỉ là trò vui trống rỗng”? Vì vậy, khi bạn xoay quả địa cầu, hãy nghĩ đến chuyển động quay của Trái đất quanh Mặt trời, nếu không việc quay như vậy sẽ rất lãng phí thời gian! – Papa Carlo mỉm cười.

Hình 1

TRƯỜNG KVANT

Cách chuyển thuốc khẩn cấp lên khinh khí cầu

Sau một thời gian ngắn, anh ta bắt đầu hắt hơi, ho, đổ mồ hôi… Và không có gì lạ: nhiệt độ không khí ở độ cao như vậy chưa đến 50 o C, và lượng acetaminophen (có những viên như vậy) đã hết sạch. Phải làm gì? Đừng đi xuống, vì trong trường hợp này bạn sẽ không thắng được cuộc tranh cãi, chuyến bay sẽ bị gián đoạn. Và Học sinh Xuất sắc đã quyết định chuyển (tất nhiên là trên điện thoại di động của mình) cho Old Buddy: làm thế nào anh ta có thể chuyển ngay ít nhất một vài gói Theraflu đến khinh khí cầu? Old Buddy bắt đầu suy nghĩ và bắt đầu nhẩm tính toán các phương trình động lực học và giải chúng bằng phương pháp phân tích và số học.

V. VYSHINSKY

1. Có thể sử dụng vũ khí tầm xa

Nửa giờ sau, ông William Bolvanius, John Lund và Scot Tom Snipe đã bay về phía những điểm bí ẩn trên mười tám quả bóng bay. Họ ngồi trong một khối lập phương kín… Các quý ông khoác áo choàng và hút xì gà. Nhiệt kế hiển thị dưới 0… Vào ngày thứ ba, John Lund bị bệnh bạch hầu, còn Tom Snipe thì bị bệnh lá lách. A.P.Chekhov, Quần đảo bay

Hãy giới thiệu hệ tọa độ chữ nhật x, y, z (hình1); chúng ta hãy biểu thị u, v, w các thành phần tương ứng của tốc độ ngủ -

Một ngày nọ, một sinh viên Xuất sắc nào đó quyết định đặt cược rằng mình sẽ dành kỳ nghỉ của mình trên khinh khí cầu, ở độ cao 22 km, nơi khinh khí cầu từ các quốc gia thân thiện thường bay. Đồng thời - giải tất cả bài toán vật lý trong sách giáo khoa ở trường. Nhưng xui xẻo - một tuần trước khi hết hạn hợp đồng -

Hình 1

chuỗi, vì vậy $u^{2} v^{2} w^{2} V^{2}$ là bình phương mô đun vận tốc của nó. Tất nhiên, trước hết, thật hợp lý khi xem xét trường hợp đơn giản nhất của chuyển động một chiều (dọc), khi súng nằm chính xác dưới quả bóng bay. Trong trường hợp này u = w = 0, V = v. Khi đó phương trình chuyển động của một vật có khối lượng không đổi m trong trường hấp dẫn có gia tốc trọng trường không đổi (với cường độ trường không đổi) g và có tính đến lực cản khí động học có dạng m dv mg dt

F.

Nhưng ngay cả trong trường hợp này, việc giải phương trình cũng không đơn giản như vậy, vì lực cản khí động học của viên đạn F tỉ lệ với hệ số cản C, tốc độ

áp lực

1 2 R v và diện tích ngang 2

28

KVANT 2017/№11

Hình 4

Hình 5

350 m/s khi lực cản bằng trọng lực. Tốc độ là trên kệ. Khi mật độ tăng khi độ cao giảm, vận tốc cân bằng giảm nhẹ.

năng lượng

2. Chúng tôi sử dụng một khẩu pháo máy bay

Hãy lắp pháo cỡ nòng 23 mm trên máy bay có trần bay tĩnh 15,5 km, tốc độ bay tối đa 1050 km/h, khối lượng đạn pháo 0,174 kg và tốc độ cất cánh 700 m/s. Và ở đây có hai kịch bản có thể xảy ra. • Máy bay bắt đầu khai hỏa sau khi cạn kiệt tốc độ khi lên cao. Kết quả mô phỏng được hiển thị ở hình 5. Việc chụp ảnh hướng lên được thực hiện từ độ cao 15,5 km. Đường đứt nét thể hiện kết quả tính toán mà không tính đến lực cản khí động học. Như bạn có thể thấy, để đạn tiếp cận mục tiêu với tốc độ bằng 0, bạn có thể bắt đầu bắn từ khoảng cách 12 km. • Máy bay tiếp cận mục tiêu, tăng tốc đạt tốc độ tối đa 300 m/s ở độ cao 15 km và thực hiện bắn nửa vòng (hình6). Giả sử bán kính của vòng dây là 500 m thì tuân theo định luật bảo toàn

$mv^{2} 2$ mg y const, ở độ cao 15,5 km, máy bay sẽ có tốc độ 140 m/s, tốc độ này sẽ được cộng vào tốc độ của đạn. Kết quả mô phỏng được trình bày tương tự hình 6.

3. Tên lửa phòng không cũng có thể được sử dụng…

Nhưng ở đây bài toán trở nên phức tạp hơn một chút: lực đẩy động cơ và sự thay đổi khối lượng xuất hiện. Phương trình chuyển động của một vật có khối lượng m thay đổi trong trường hấp dẫn không đổi g, có xét đến lực cản khí động học và lực đẩy của động cơ, có dạng d m tv dt m t g f t

F.

Ở hình 7, sự thay đổi lực đẩy của động cơ theo thời gian f t và sự thay đổi tương ứng của khối lượng tên lửa m t được trình bày một cách định tính. Đồng thời, một khái niệm quan trọng khác được đưa ra: lực đẩy cụ thể. Đây là đặc tính của động cơ phản lực, bằng tỉ số lực đẩy mà nó tạo ra

29

TRƯỜNG HỌC

TRONG

“QUANTE”

Các thông số sau được sử dụng để tính toán: tổng thời gian hoạt động của động cơ đẩy rắn 15 giây, tốc độ bay tối đa 1000 m/s, lực đẩy của động cơ 52360 N, đường kính tên lửa 400 mm, khối lượng 685 kg, lực đẩy riêng 2500 N s kg, mức tiêu thụ nhiên liệu 21 kg/s, khối lượng nhiên liệu 315 kg. Giá trị của hệ số cản khí động học được lấy theo hình 2. Kết quả mô phỏng được trình bày ở hình 8. Độ cao đạt được

Hình 6

Hình 8

quá đủ, bạn thậm chí sẽ phải giảm tốc độ. Kết quả thật ấn tượng!

Hình 7

(N) đến mức tiêu thụ nhiên liệu khối lượng (kg/s), có nghĩa là một động cơ nhất định có thể tạo ra lực đẩy 1 N sau khi tiêu thụ 1 kg nhiên liệu trong bao nhiêu giây. Một nhà vật lý sẽ gọi đại lượng này là xung lực cụ thể. Lực đẩy riêng của động cơ tên lửa đẩy nhiên liệu rắn là 2500–3000 N·s kg.

• • • Nhưng đây là cái gì vậy?! Biết được suy nghĩ của Old Buddy (tất nhiên là trên điện thoại di động của ông ấy), Học sinh Bóng bay Xuất sắc bỗng nhiên bình phục!

36

KVANT 2017/№11

Thí nghiệm của chúng tôi với hạt

$Нам^{1}$ đã chọn được hai chuỗi hạt nhựa phù hợp có đường kính 3 mm và 5 mm - để trang trí cây Tết. Chiều dài của dây xích là 8 m và 15 m. Độ cao rơi của chúng khỏi tấm kính là 2 m, mật độ tuyến tính của cả hai dây chuyền là L z 5 g/m. 1) Đầu tiên, chúng tôi tiến hành thử nghiệm như mô tả trên Internet. Đài phun hạt không bay lên khỏi kính ngay lập tức - lực tăng lên khi động lượng của phần đã rơi tăng lên. Chúng tôi có đài phun nước gần như giống hệt nhau cho cả hai chuỗi. Chiều cao của đài phun nước quan sát được dao động từ 10 đến 20 cm. Đây là khoảng 10% chiều cao mà dây xích rơi xuống. Tổng chiều dài của chuỗi chỉ ảnh hưởng đến thời gian quan sát. Trong thí nghiệm ở Cambridge, chiều cao của đài phun nước là khoảng 40 cm. Chiều cao của đài phun nước bị ảnh hưởng đáng kể bởi thực tế là các phần tử của dây xích đặt trong bình bám vào nhau và còn ức chế trượt. Chất lượng các gói hàng của chúng tôi không quan trọng; các hạt phải được đặt cẩn thận mỗi lần. 2) Sau đó chúng tôi sửa đổi thí nghiệm. Ở phiên bản mới, các hạt không bay ra khỏi kính mà trượt khỏi tấm gần như phẳng

(hình4). Và sau một lúc, đài phun nước đã nhô lên - cao hơn và hơi lệch sang một bên. Điều này có nghĩa là điểm không cần thành phần thẳng đứng của tốc độ ban đầu, mà là sự thay đổi mạnh về hướng của tốc độ - chính xác hơn là sự thay đổi hướng (lật) của xung, khi xảy ra thành phần bình thường của gia tốc, hoặc theo cách hiểu khác - khi xuất hiện lực ly tâm (tương tự như các ví dụ đã xem xét). Sự phát triển của đài phun nước theo hướng ngang gắn liền với chuyển động nhanh về phía trước của các hạt sang một bên - trước khi rơi, chúng bay một khoảng cách nhất định. Việc bỏ qua tình huống này trong các vấn đề ở trường về việc một sợi dây (dây xích) tuột khỏi mép bàn thường bị chỉ trích một cách đúng đắn. Để ước tính khoảng cách này, chúng tôi đã giải gần đúng phương trình hai chiều của chuyển động cong có khối lượng thay đổi - bài toán, điều không bình thường đối với học sinh. Sự dịch chuyển ngang hóa ra là khoảng 15 cm. Điều này rất phù hợp với thí nghiệm, nhưng kết quả này không cung cấp bất cứ điều gì có ý nghĩa để hiểu bản chất của hiện tượng. Do đó, ở đây chúng tôi sẽ không làm phức tạp việc tính toán mà chỉ giới hạn ở việc mô tả chuyển động đi lên. 3) Sự phức tạp tiếp theo của thí nghiệm là cần thiết để loại bỏ những cân nhắc nảy sinh ban đầu về ảnh hưởng của sóng ngược khi va chạm với mặt đất. Hiệu ứng này chắc chắn xảy ra, nhưng không phải trong trường hợp của chúng tôi. Chúng tôi đã tiến hành các đánh giá và đo lường thích hợp về độ đàn hồi của một số chuỗi và tiến hành các thí nghiệm bổ sung. Nó bao gồm việc ném dây chuyền từ độ cao lớn (lên đến 5 m) lên các bề mặt bên dưới khác nhau. Tuy nhiên, hóa ra đài phun nước có thể xuất hiện trước khi đầu dây xích chạm vào bề mặt trái đất. Ở đây, với sự kết nối mềm giữa các mắt xích, động lượng giật bị mất do tác động không đàn hồi giữa các quả bóng riêng lẻ.

Mô hình và ước tính

Hình 4

1 Thí nghiệm được thực hiện với sự tham gia của

Alexander Krylov, học sinh lớp 11 trường Vật lý-Kỹ thuật 1 thành phố Saratov.

Khi xích trượt đã được tăng tốc, tốc độ của nó tại thời điểm đó với độ chính xác tốt có thể lấy bằng v 2 ax, trong đó x là độ cao rơi của phần rơi, a là gia tốc rơi, khác với gia tốc rơi tự do g. Tính gia tốc a này không khó lắm.

CUỘC THI

TÊN

Hình 6

Đó là tất cả lời giải thích cho hiện tượng phun trào. Hóa ra là trong chuyến bay, một chuỗi không bị gián đoạn nhưng không thể nén và không thể kéo dài thêm

A.P SAVINA

Nó được kéo ra để “tích lũy” chiều dài dư thừa do trọng lượng của đầu kéo dài của dây xích thấp (phải). Tất nhiên, mô hình chúng tôi sử dụng khá đơn giản và có một số nhược điểm. Như vậy, tổn thất năng lượng do công uốn xích không được tính đến. Lực cản của không khí cần tính đến gia tốc rơi của sợi xích cũng không được tính đến. Trong các tính toán, khối lượng tuyến tính của chuỗi cuối cùng đã bị loại khỏi kết quả của chúng tôi, nhưng nó vẫn xuất hiện ở đâu đó. Ví dụ, một sợi dây xích (sợi) quá nhẹ sẽ bắt đầu lơ lửng trong không trung và bị rối, giống như dây câu của cần quay yếu bị vướng vào. Nhưng… chúng ta phải dừng lại ở đây.

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Chúng chủ yếu nhắm đến học sinh từ lớp 7 đến lớp 9, nhưng chúng tôi hoan nghênh học sinh ở mọi lứa tuổi tham gia. Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant». Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: [email protected] hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi lại. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Chúng tôi chúc bạn thành công!

9. Một số chàng trai vào rừng hái dâu. Hóa ra mọi người đều hái số lượng quả mọng như nhau. Alyosha đã tìm thấy 1/9 tổng số quả việt quất thu thập được và 1/11 tổng số quả nam việt quất thu thập được. Các bạn không hái các loại quả khác. Chứng minh rằng Alyosha hái được số quả nam việt quất bằng số quả việt quất. E. Bakaev

10. Có hai đa giác lồi. Đa giác thứ nhất có số góc nhọn gấp đôi so với đa giác thứ hai có góc tù và đa giác thứ hai có số góc nhọn gấp ba lần đa giác thứ nhất có góc tù. Người ta cũng biết rằng mỗi đa giác đều có ít nhất một góc nhọn và các đa giác này (một hoặc cả hai) cũng có góc vuông. a) Hãy cho một ví dụ về trường hợp này có thể xảy ra.

b) Mỗi ​​đa giác có bao nhiêu góc vuông? (Bạn cần tìm tất cả các phương án và chứng minh rằng không có phương án nào khác.) I. Akulich

11. Hóa ra trong một nhóm học tiếng Pháp có hai cô gái bất kỳ, có đúng một chàng trai mà cả hai đều thích, và mỗi chàng trai được ít nhất ba cô gái thích. Cho ví dụ về một nhóm có nhiều hơn một bạn nam. F.Nilov

12. Tấm bảng 12¥12 được cắt thành ba góc vuông. Có thể nói có một hàng ô ngang hoặc dọc giao nhau ít nhất là: a) 8 góc; b) có 9 góc; c) có 10 góc? S. Kostin

Thế Vận Hội

Olympic Vật lý Quốc tế XLVIII

Từ ngày 16/7 đến ngày 24/7/2017, Kỳ thi Olympic Vật lý Quốc tế XLVIII (IPO) dành cho học sinh đã được tổ chức tại Yogyakarta (Cộng hòa Indonesia). 390 học sinh từ 85 quốc gia đã tham gia Olympic. Đội Nga năm nay có đại diện bởi: Sergey Vlasenko (Voronezh), Stanislav Krymsky (St. Petersburg), Kirill Parshukov (Cộng hòa Komi), Dmitry Plotnikov (Moscow), Vasily Yugov (Perm). Thật vui khi biết rằng tất cả những người tham gia của chúng tôi đều nhận được huy chương vàng. Dưới đây là điều kiện bài toán của vòng thi lý thuyết Olympic.

TOUR LÝ THUYẾT

Bài toán 1. Vật chất tối

Fritz Zwicky là người đầu tiên chỉ ra sự tồn tại của vật chất tối. Ông đi đến kết luận này bằng cách phân tích động lực học của cụm thiên hà Coma. Cụm (cụm) chứa khoảng một nghìn thiên hà. Sử dụng định lý virus, Zwicky ước tính tổng khối lượng của cụm. Đối với các hệ thống như hệ mặt trời, trong đó các hành tinh quay

đều có quỹ đạo tròn quanh Mặt trời, định lý vi rút phát biểu rằng động năng của các hành tinh được xác định bởi thế năng của tương tác hấp dẫn. Nói chung, đối với một hệ gồm các hạt tương tác, định lý virial liên hệ tổng động năng trung bình theo thời gian của hệ và tổng thế năng trung bình theo thời gian của hệ. Bằng cách nghiên cứu vận tốc của các thiên hà ở ngoại vi của cụm Coma, Zwicky đi đến kết luận rằng tổng khối lượng của cụm vượt quá khối lượng của các thiên hà được quan sát bằng mắt có trong đó. Để giải thích vận tốc của các thiên hà ở ngoại vi của cụm, việc chỉ tính đến tương tác hấp dẫn với vật chất có thể quan sát được (tức là các thiên hà nhìn thấy được) là chưa đủ. Điều này có nghĩa là cụm này chứa một số vật chất vô hình khác. Nếu tính đến tương tác hấp dẫn với nó, chúng ta có thể giải thích các giá trị cao hơn của vận tốc quan sát được. Vật chất vô hình này là “vật chất tối”. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng khối lượng của mỗi thiên hà bằng tổng khối lượng của vật chất nhìn thấy và vật chất tối của thiên hà này. Cả hai loại vật chất đều chuyển động cùng nhau. Hãy xem xét rằng vật chất tối chỉ tương tác với vật chất nhìn thấy được bằng lực hấp dẫn.

Đội tuyển quốc gia Nga và các nhà lãnh đạo của nó. Từ trái sang phải: M.N. Osin, V.A. Shevchenko, S. Vlasenko, V. Yugov, S. Krymsky, D. Plotnikov, K. Parshukov, F. M. Tsybrov, A. A. Voronov

A. Cụm thiên hà Giả sử một cụm (cụm) bao gồm một số lượng lớn N thiên hà và vật chất tối phân bố đồng đều trong một quả cầu có bán kính R. Tổng khối lượng của cụm (tức là cả thiên hà tới và vật chất tối) là M, và khối lượng trung bình của thiên hà (bao gồm vật chất nhìn thấy và vật chất tối) m. A1. Hãy để vật chất được phân bố đồng đều trong cụm. Tìm tổng năng lượng hấp dẫn của cụm. Đáp số thể hiện theo M và R. (1 điểm)

50

KVANT 2017/№11

lớp 11

1. Tiến sĩ Watson tiễn Henry Baskerville trên sân ga ở ga Paddington. Đứng ở đầu toa thứ 4 (việc đánh số toa xe bắt đầu từ đầu máy), bác sĩ xác định ô tô bắt đầu chuyển động đã vượt qua anh ta trong $t_{1} = 4,7$ s, và toàn bộ đoàn tàu trong $t_{2} = 18,2$ s. Tàu đi Plymouth (Devonshire) có bao nhiêu toa? Chuyển động của đoàn tàu được coi là có gia tốc đều. 2. Một bình chứa hình song song kín (hình3) trôi nổi trong một chất lỏng nhất định ở trạng thái cân bằng không đổi. Kích thước hình học của nó

nhiệt độ của quả bóng vượt quá áp suất khí quyển 1,3 lần. Piston sẽ di chuyển bao xa nếu quả bóng vỡ? 5. Trong mạch điện ở hình 5, các tụ điện được tích điện như sau: đầu tiên Hình 4 chìa khóa $K_{1}$ đóng và sau một thời gian nó mở ra. Sau đó, phím $K_{2}$ được đóng lại. Xác định điện áp thiết lập

Hình 5

Hình 3

a = 0,8 m, b = 0,5 m, c = 1,9 m. Lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt bên có diện tích $S_{верх} a s b$ bằng $F_{1} = 5$ kN, và lên mặt bên có diện tích $S_{бок} b s c$ bằng $F_{2} = 40$ kN. Tìm khối lượng của thùng chứa. 3. Một lượng nước nhất định được đổ vào ấm điện từ một thùng nước lớn. Nước sôi $t_{1} = 15$ phút sau khi bật ấm. Ngay sau khi bắt đầu sôi, một phần nước bổ sung từ cùng một thùng được thêm vào ấm, sau đó nhiệt độ của nước trong ấm giảm T 38 o C. $t_{2} = 18$ phút sau, nước bắt đầu sôi trở lại. Xác định nhiệt độ của nước trong thùng. 4. Một hình trụ thẳng đứng có thành dẫn nhiệt được đóng lại bằng một piston không trọng lượng có diện tích $S 375 см^{2}$, có thể chuyển động không ma sát (hình4). Bên trong hình trụ có không khí và một quả bóng có thể tích $V 1436 см^{3}$. Áp suất được tạo ra trên bình ngưng đầu tiên. Thông số của các phần tử mạch có các giá trị sau: điện dung $C_{1} = 74$ µF, $C_{2} = = 62$ µF, EMF của nguồn điện áp $E_{1} = 7,8$ V và $E_{2} = 19,2$ V. 6. Sinh viên bách khoa đã phát minh ra món súp tự nấu từ điện thoại thông minh chống nước. Công thức của nó rất đơn giản: một ít nước ấm, t 26 o C, được đổ vào phích và một chiếc điện thoại thông minh đã sạc đầy nặng $m_{см} = 126$ g được hạ xuống đó, trên đó đang chạy phim. Nhiệt lượng tỏa ra trong trường hợp này làm nóng nước và pin điện thoại có điện áp U = 3,7 V, công suất q 1900 mA h đã cạn kiệt hoàn toàn. Lượng nước tối đa có thể uống là bao nhiêu để súp vẫn “nấu chín” (nước sôi) và học sinh nhận được giải Ig Nobel? Nhiệt dung riêng trung bình của vật liệu điện thoại thông minh là $c_{см} 0,6$ kJ kg K, nhiệt dung riêng của nước là $c_{в} 4,2$ kJ kg K. Chú ý! Đừng lặp lại - có thể xảy ra vụ nổ! 7. Trong bộ chuyển đổi wi-fi MaxWi-MaxFi-2019, khi chuyển từ kênh 38 (tần số 5095 MHz) sang kênh 12 (tần số 2467 MHz), điện dung của mạch dao động của đài của nó

51

BÀI KIỂM TRA

máy phát thay đổi 2,9 pF. Độ tự cảm của mạch này là gì? 8. Trong khi những người bạn đồng hành bịt tai bằng sáp, hướng con tàu song song với bờ đảo thì Odysseus, bị trói vào cột buồm, lắng nghe tiếng còi báo động hát. Ông phát hiện ra trong tiếng hát của họ những rung động mạnh mẽ ở tần số f = 21 Hz, ảnh hưởng đến nhịp beta của não và ức chế khả năng suy nghĩ của các thủy thủ. Odysseus cảm thấy nỗi đau khổ của mình là tối thiểu khi con tàu ở ngay đối diện với một trong những còi báo động, và trở nên không thể chịu đựng được khi con tàu đi được d = 108 m và ở cùng một khoảng cách với cả hai còi báo động. Nhưng rồi nỗi đau lại biến mất khi con tàu vượt qua tiếng còi thứ hai. Con tàu của Odysseus đã đi xa bờ với còi báo động bao xa? Vận tốc âm thanh tối hôm đó là v = 338 m/s.

Vòng chung kết

lớp 9–10

1. Một quả bóng cao su nhỏ di chuyển giữa hai bức tường thẳng đứng khổng lồ và va chạm vào chúng. Một bức tường đứng yên, bức tường kia chuyển động ra xa nó với vận tốc không đổi u = 100 cm/s. Giả sử chuyển động của quả bóng luôn nằm ngang và các va chạm là đàn hồi tuyệt đối, hãy tìm tốc độ cuối cùng của nó nếu tốc độ ban đầu của quả bóng là $v_{0} = 2017$ cm/s. (15 điểm) 2. Một vệ tinh được phóng vào cực Trái đất theo phương thẳng đứng với vận tốc thoát thứ nhất. Khoảng cách tối đa từ bề mặt Trái đất mà vệ tinh sẽ di chuyển ra xa là bao nhiêu? (Gia tốc trọng trường tại bề mặt Trái đất g 10 m $с^{2}$, Bán kính Trái đất R = 6400 km.) (15 điểm) 3. Xác định khối lượng m heli cần bơm đầy một quả bóng rỗng có khối lượng $m_{1} = 10$ g để quả bóng bay lên. Giả sử nhiệt độ và áp suất của chất khí trong quả cầu bằng nhiệt độ và áp suất của không khí. Khối lượng mol của heli là $-_{г} 4$ g mol, khối lượng mol của không khí là $-_{в} 29$ g mol. (15 điểm) 4. Nước đã được lọc kỹ lưỡng có thể được làm lạnh siêu tốc đến nhiệt độ dưới 0 o C. Tuy nhiên, nếu bạn ném một tinh thể băng vào đó, nước sẽ ngay lập tức đóng băng. Phần nào của nước làm nguội đến 10 o C,

NGUYÊN VẬT LIỆU

trong một cái phích nước, nó có bị đóng băng nếu bạn ném một viên đá nhỏ vào đó không? Nhiệt dung riêng của nước là c 4200 J kg K, nhiệt dung riêng của nước đá đang tan chảy là L 330 kJ kg. (15 điểm) 5. Sáu điện trở có điện trở $R_{1} = 1$ Ohm, $R_{2} = 2$ Ohm, $R_{3} = 3$ Ohm, $R_{4} = = 4$ Ohm, $R_{5} = 5$ Ohm và $R_{6} = 6$ Ohm được mắc nối tiếp và đóng thành vòng. Một nguồn điện áp không đổi được nối với mạch kết quả sao cho điện trở mạch giữa các cực của nó là tối đa. Nguồn điện áp U = 12 V. Tìm công suất tỏa ra từ điện trở có điện trở $R_{3}$. (25 điểm) 6. Từ bờ suối nhìn xuống, Vovochka quyết định rằng độ cao của đôi ủng cao su của mình đủ để vượt qua dòng suối. Tuy nhiên, khi vượt qua, Vovochka bị ướt chân tới đầu gối (H = 52 cm). Hãy ước tính độ cao của đôi giày Vovochka. Độ sâu của dòng suối được coi là không đổi, chiết suất của nước là n = 1,33. (15 điểm)

lớp 11

1. Tàu điện Sapsan tiến đến ga với vận tốc v = 216 km/h, nửa km trước khi phát ra âm thanh cảnh báo với thời gian t = 5 s. Khoảng thời gian của tín hiệu $T từ góc nhìn của hành khách đứng trên sân ga sẽ là bao nhiêu? Vận tốc truyền âm trong không khí là c = 340 m/s. (10 điểm) 2. Một khối gỗ có cạnh l = 30 cm nổi trên mặt hồ. Mật độ gỗ R 750 kg $м^{3}$, mật độ nước $R_{0} 1000$ kg $м^{3}$. Cần phải thực hiện công ít nhất là bao nhiêu để đưa khối lập phương đó ra khỏi nước hoàn toàn? (15 điểm) 3. Sơ đồ (hình6) thể hiện quá trình đốt nóng một khối lượng không đổi của khí lý tưởng đơn nguyên tử. Xác định hiệu suất của quá trình này. (20 điểm)

Hình 6

52

KVANT 2017/№11

4. Tại các đỉnh của hình vuông cạnh a có bốn điện tích: q, q, q, –q. Cường độ E và thế năng J của điện trường ở giữa cạnh hình vuông nối hai điện tích dương và âm là bao nhiêu? (q = = 2nC, a = 20cm). (15 điểm) 5. Một vôn kế nối với các cực của nguồn dòng điện có EMF bằng 12 V hiển thị điện áp $U_{1} = 9$ V. Một vôn kế tương tự khác được nối với các cực của nguồn. Xác định số chỉ của vôn kế. (Điện trở của nguồn khác 0, điện trở của vôn kế là hữu hạn.) (20 điểm) 6. Thấu kính phân kỳ tạo ra ảnh của một chiếc đinh, giảm đi 4 lần. Chiếc đinh nằm trên trục quang chính của thấu kính với đầu quay về phía thấu kính. Chiều dài đinh l = 20 cm, công suất quang của thấu kính D = -5 diop. Tìm khoảng cách từ quang tâm của thấu kính đến đầu đinh. (20 điểm)

tương đương với A. NOT (A AND B) B. (NOT A) XOR (NOT B) C. A AND NOT A AND B D. (AB) OR (A XOR B) 3. Cho một mạch logic (hình7). Chọn các bộ giá trị đó (một hoặc nhiều) sao cho khi áp vào đầu vào của mạch thì đầu ra sẽ là 1.

THÔNG TIN

Vòng loại

lớp 9–10

Giai đoạn 1

1. Thử nghiệm mã hóa thông tin văn bản, cậu học sinh Sidor đã thực hiện các hành động sau: 1. Ở dòng đầu tiên cậu viết tên quê hương mình bằng chữ in hoa của bảng chữ cái Cyrillic. 2. Dưới mỗi chữ cái (ở dòng thứ hai) tôi viết mã ASCII của nó. 3. Trừ mỗi mã giá trị của số nhỏ nhất được viết ở dòng thứ 2 và viết kết quả bên dưới nó. Kết quả là dòng thứ ba chứa các số 3 20 0 20 4. Sidor sinh ra ở thành phố nào? Đáp số – tên thành phố trong trường hợp chỉ định. 2. Sắp xếp các biểu thức logic theo thứ tự tăng dần về số lượng biểu thức trong bảng chân trị. Ký hiệu: KHÔNG – phủ định VÀ – kết hợp HOẶC – phân tách XOR – loại trừ HOẶC Æ – hàm ý

Hình 7

A. X1=0; X2=0; X3=1; X4=0 B. X1=1; X2=1; X3=0; X4=1 V. X1=0; X2=0; X3=0; X4=1 G. X1=1; X2=0; X3=1; X4=1 4. Xác định số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Trong hệ đếm 20 và hệ 7, số đó có hai chữ số. 2) Trong hệ đếm có 3 chữ số, số có 4 chữ số. 3) Trong ký hiệu nhị phân, số có ít nhất bốn đơn vị. 5. Trên hình 8 có năm hình. Chúng có cùng kích thước (200 x 200 pixel) và có dạng chấm 24 bit hình. Hình biến đổi-

Hình 8

đặt nó ở định dạng .JPG. Sắp xếp các tệp theo thứ tự tăng dần về kích thước của tệp jpg thu được.

53

BÀI KIỂM TRA

Giai đoạn 2

1. Trước Tết, Delft Apple-Eater (một sinh vật ảo, nhân vật thường trực của Olympic Bách khoa, sống trong các mảng ngăn xếp một chiều và hai chiều) được dạy cách di chuyển xung quanh ngăn xếp bằng thuật toán Garland. Trong phần mô tả thuật toán bên dưới (hình9), các lệnh DOWN, RIGHT, LEFT có nghĩa là di chuyển đến ô liền kề trong ô đã chỉ định

Hình 9

hướng, các lệnh còn lại tương ứng với quy tắc của ngôn ngữ thuật toán được sử dụng trong Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi Thống nhất. Vì vậy, người ăn táo được đặt trong một ô tùy ý của giá mảng hai chiều và nó bắt đầu di chuyển. Trong mỗi tế bào được viếng thăm, anh ta ăn một quả táo một cách tự nhiên. Nếu trong quá trình di chuyển, người ăn táo cố gắng di chuyển vào một ô không tồn tại thì sẽ xảy ra “sự gián đoạn”: trợ lý phòng thí nghiệm ăn táo bắt người ăn táo rơi khỏi giá và mang nó vào lồng (cùng với tất cả những quả táo trong đó). Bây giờ đây là một câu hỏi. Dưới đây là những con số. Cái nào trong số chúng, bất kể kích thước của mảng và không có vị trí ban đầu của người ăn táo, có thể là số lượng táo có trong người ăn táo tại thời điểm táo bị gián đoạn? 1 5 9 14 2. Truyện cổ tích. Khá buồn. Một cậu bé lười biếng, sau đây gọi là L-R, được thừa kế từ dì của mình một khu vườn trồng những bụi hoa hồng. Mỗi ngày một bông hồng nở trên mỗi bụi cây. Mỗi ngày L-R cắt tất cả những bông hồng đang nở và cũng đào lên một bụi hoa hồng. Anh ta mang tất cả những thứ này đến một cửa hàng bán buôn hoa gần đó.

NGUYÊN VẬT LIỆU

đến một công ty thương mại và bán: hoa hồng với giá 10 rúp. mỗi mảnh và một bụi cây với giá 100 rúp. Những bụi cây ngày càng ít đi, rồi một ngày L-R mang bông hồng cuối cùng và bụi cuối cùng đi bán. Đương nhiên, anh ấy rất buồn và không hề an ủi chút nào trước tin nhắn từ một nhân viên công ty rằng trong quá trình buôn bán hoa, anh ấy đã kiếm được 57.230 rúp. Công việc kinh doanh của L-R kéo dài bao nhiêu ngày? 3. Bên dưới (hình10) hiển thị thuật toán được mô tả bằng mã giả. Phép toán mod có nghĩa là tính số dư khi chia toán hạng thứ nhất cho toán hạng thứ hai (tức là K mod L là số dư khi chia K cho L). Bằng cách nhập giá trị L = 11 và một số giá trị tự nhiên của K, các số 7, 5 và 0 được xuất ra trong quá trình thực hiện thuật toán. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của K. 4. Cách đây rất lâu, vào thời của những người tiên phong, tại một trong những trường học, người ta đã phải bố trí lính canh ở biển hiệu vào một ngày rất long trọng nào đó. Hình 10 người đàn ông. Người bảo vệ phải là một cặp tiên phong và luôn có cùng chiều cao. Có thể hình thành bao nhiêu cặp lính gác từ N người tiên phong? Cái này bài toán Giám đốc trường đặt Misha trước mặt người lãnh đạo tiên phong. Rõ ràng là không ai trong số những người tiên phong phải làm nhiệm vụ nhiều hơn một lần và sẽ có những người thua cuộc mà không tìm thấy cặp nào… Misha quyết định sử dụng dữ liệu về chiều cao của những người tiên phong có sẵn trong văn phòng y tế để tính toán số lượng cặp “lính canh” có thể có. Y tá Klavdia Petrovna vui lòng đồng ý sắp xếp hồ sơ bệnh án theo thứ tự chiều cao không giảm và ghi dữ liệu chiều cao ra một tờ giấy. Đáng lẽ Misha có thể dừng lại ở đây… nhưng anh quyết định tận dụng công nghệ máy tính tiên tiến thời bấy giờ và viết một chương trình hoạt động với mảng R (được sắp xếp tương tự

54

KVANT 2017/№11

sự tăng trưởng không giảm của những người tiên phong), các phần tử được đánh số từ 1 đến N. Để thuận tiện cho bạn, chúng tôi đã dịch chương trình của Misha từ ngôn ngữ cổ Algol sang mã giả (hình11). Bạn không cần phải xây dựng một pio-

lái xe qua Đỉnh Chính (GDETOTAM - GDETOTA - GDETOTA - GDETOTA - GDETOTUTA). Nhưng để đi từ ĐÂY đến ĐÂY, bạn phải làm vậy. Bây giờ bài toán: sắp xếp các cặp đỉnh này theo thứ tự tăng dần về số đỉnh “chuyển tiếp” trên đường đi từ đỉnh đầu tiên đến đỉnh thứ hai. Ví dụ: để đi từ KEKS đến PUPS, bạn cần vượt qua 7 đỉnh “chuyển tuyến”. A. GHOST – DẤU HIỆU B. VÒNG TRÒN – VƯƠNG MIỆN C. SINE – COSINE D. ROCKET – UNG THƯ D. UNG THƯ – BÓNG ĐỐI E. LATE – CỘNG ĐỒNG

lớp 11

Giai đoạn 1

Hình 11

thô và bảo vệ biểu ngữ. bài toán của bạn là để xác định dòng nào trong chương trình của Misha có lỗi, ký tự nào trong đó cần được thay thế và ký tự nào. Đáp số là một dòng chứa đáp số dành cho những câu hỏi này, cách nhau bằng dấu cách (ví dụ: nếu bạn cho rằng ở dòng 13 bạn nên thay A bằng 1 thì viết “13 A 1”). 5. Ở một đất nước nhỏ bé xinh đẹp có một mạng lưới đường quốc lộ tuyệt vời dẫn từ thủ đô đến nhiều điểm khác nhau của đất nước. Cô ấy trông giống như một bông tuyết. Không rõ ràng? Vậy thì nó trông giống như một tế bào thần kinh. Vẫn chưa rõ ràng? Hãy giải thích cho những cô gái tóc vàng: đây là một đồ thị liên thông vô hướng không có chu trình. Các đỉnh của biểu đồ này được biểu thị bằng các chuỗi ký hiệu, biểu thị một chuỗi các con trỏ phải tuân theo để đến đỉnh này từ đỉnh Chính (nó nằm ở Bến xe Trung tâm và tất nhiên là không có chỉ định). Để đi từ Đỉnh chính đến đỉnh GDETOTAM, bạn cần rẽ vào đường đến đỉnh G, đã đến G, rẽ vào GD, từ GD đi đến GDE, v.v. Và để đi từ GDETOTA đến đỉnh Chính, bạn cần đi tuần tự GDETO-TA, GDETO, GDETO, v.v. Đương nhiên, bạn có thể đi dọc theo các tuyến đường này từ bất kỳ đỉnh nào đến bất kỳ đỉnh nào và để đi từ GDETOTA đến GDETOTU thì bạn không cần

1. Anh em Yoksel và Pixel đã nghĩ ra một trò chơi mang tính trí tuệ cao. Đầu tiên, trình tạo số ngẫu nhiên tạo ra hai giá trị số nguyên trong khoảng từ 0 đến 255, hãy gọi chúng là byte A và B. Tiếp theo, Yoksel chọn một trong ba phép toán theo bit - AND, OR, XOR - và thực hiện nó trên các số A và B. Kết quả là số C. Sau đó, Pixel lấy số C và sắp xếp lại các bit trong đó khi anh thấy phù hợp. Kết quả của phép toán này là số D. Và sau đó hai anh em thực hiện phép toán OR độc quyền theo bit trên các số C và D, hãy gọi kết quả của hành động này là số Z. Và Pixel đã tự viết ra cho mình số điểm bằng số điểm trong số Z và Yoksel - nhiều nhất là số 0. Do hai anh em có trí thông minh cao nên cả hai luôn chơi tối ưu. Và ngay sau đó, vừa nhìn vào những con số rơi ra, họ lập tức ghi điểm lên bàn. Yoksel sẽ viết cho mình bao nhiêu điểm nếu các số là 129 và 188? 2. Một số tự nhiên được hình thành trong khoảng từ 1 đến N. Có 3 câu lệnh. A = {Số dự định là bội số của 5} B = {Số dự định chứa chữ số 5} C = {Số dự định chứa chữ số 1} Được biết, thông báo “Câu lệnh (B chứ không phải C) m A cho số dự định là sai” chứa chính xác 4 bit thông tin về số này. Tìm giá trị nhỏ nhất của N để điều này có thể xảy ra.

55

BÀI KIỂM TRA

Giải thích: m – hàm ý, và – kết hợp, không phải – đảo ngược. 3. Xem bài toán 4 (giai đoạn đầu tiên) dành cho lớp 9–10. 4. Xem bài toán 5 (giai đoạn đầu tiên) dành cho lớp 9–10. 5. Borya ghép một từ từ những tấm thẻ có các chữ cái. Sau đó, anh ta lật các lá bài lại và xáo trộn chúng. Sau đó, anh ấy lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ ra, nhìn vào nó và nói với con mèo Basic của mình: “Đây là chữ O!” Basic, người trước đó đã nhìn thấy từ được gấp lại, nhận ra rằng Borya đã cung cấp cho anh ta khoảng 1,32 bit thông tin. Từ nào sau đây đã được thêm vào? SỮA BELL CLONE EYE BELL

Giai đoạn 2

1. Xem bài toán 1 (giai đoạn thứ hai) dành cho lớp 9–10, nhưng các giá trị có thể như sau: 1 5 9 14 30 39 60 90. 2. Có bao nhiêu số trong khoảng từ 100 đến 10000 (trong hệ thống số thập phân) là palindrome trong cả hệ thống số thứ 3 và thứ 7? (Bảng màu là một số được đọc giống nhau từ trái sang phải cũng như từ phải sang trái; ví dụ: 12110, 1012, D16.) 3. Xem bài toán 5 (giai đoạn thứ hai) dành cho lớp 9–10. 4. Đây là thuật toán được mô tả bằng mã giả (hình12). Hàm RanNumberBetween trả về một số nguyên ngẫu nhiên từ khoảng

Hình 12

NGUYÊN VẬT LIỆU

[MIN, MAX] (tất cả các số trong khoảng, bao gồm cả ranh giới, đều có xác suất như nhau). Như bạn có thể thấy, chúng tôi không biết giá trị của biến MAX (nhưng nó chắc chắn đúng: 1 < MAX < 50). Tuy nhiên, người ta biết rằng trong quá trình thực hiện lặp lại thuật toán, phần tử C[11] đã đạt được giá trị tối đa. Xác định số phần tử nhỏ nhất có thể có của mảng C có giá trị 0 sau khi thực hiện thuật toán. 5. Đây là công thức làm món salad phô mai. 1. Luộc chín 3 quả trứng. 2. Nghiền tất cả phô mai trong nhà (kể cả những miếng phô mai khô cũ) trên máy xay mịn. 3. Cắt nhỏ trứng và cho vào phô mai bào. 4. Bóc vỏ và băm nhuyễn 3 tép tỏi lớn, cho vào hỗn hợp phô mai-trứng. 5. Thêm 300 g sốt mayonnaise, khuấy đều, để yên trong 1 giờ. 6. Salad đã sẵn sàng để ăn. Như bạn đã biết, công thức nấu ăn là một thuật toán để chế biến một món ăn. Nhưng thuật toán này không có một trong những thuộc tính cần thiết cho thuật toán. Chính xác thì cái nào? A. Chủ nghĩa quyết định. B. Tính rõ ràng. B. Chi. G. Tính chất đại chúng. D. Sự kín đáo.

Vòng chung kết

9–10 lớp 1 (15 điểm). Có một thuật toán con (hình13) nhận được 2 giá trị tự nhiên

Hình 13

57

BÀI KIỂM TRA

Hình 17

NGUYÊN VẬT LIỆU

tương ứng. Dựa trên những dữ liệu này, hãy xác định chiều dài trung bình của con tàu. 6 (25 điểm). Delft Apple Eater (DJ), một chuyên gia về mảng đa chiều, đã phải đối mặt với vấn đề sau. Có một tập dữ liệu là mảng N chiều. Kích thước của mảng được xác định theo từng kích thước $M_{i}$, i=0…N – 1 (vì những dữ liệu này là một mảng nên việc đánh số chúng từ 0 sẽ hợp lý hơn). Nhưng thật không may, nội dung của mảng nhiều chiều lại được biểu diễn trong bộ nhớ dưới dạng mảng một chiều. Thứ tự các phần tử là truyền thống, theo thứ tự tăng dần của các chỉ số, bắt đầu từ bên trái (ví dụ: với N=2 và M={2,3} các phần tử của mảng ban đầu sẽ được sắp xếp theo thứ tự sau: [0,0], [0,1],[0,2], [1,0], [1,1], [1,2]). Cần phải xác định chỉ mục trong mảng một chiều này sẽ là gì đối với một phần tử trong mảng nhiều chiều có các chỉ số $T_{i}$, i=1…N. DY nhanh chóng phát triển thuật toán đếm số trong mảng một chiều (hình19;

Hình 18

5 (20 điểm). Sân dành cho trò chơi “Great Sea Battle” là một hình vuông có $2^{N}$ x $2^{N}$ ô. Các con tàu được bố trí trên sân chơi theo luật của “Sea Battle” thông thường: theo chiều dọc hoặc chiều ngang, không chạm vào hai bên hoặc các góc. Có 4 lựa chọn chiều dài tàu. Ba phương pháp đã được đề xuất để mã hóa dữ liệu về vị trí của tàu. 1. Mảng hiển thị trạng thái từng ô của sân thi đấu (còn trống hoặc có tàu chiếm giữ). 2. Danh sách tàu: Đối với mỗi tàu, tọa độ (X, Y) của góc trên bên trái, hướng (ngang hoặc dọc) và số biến thể chiều dài được lưu trữ. 3. Danh sách các ô đã chiếm của trường: đối với mỗi ô đã chiếm thì tọa độ của nó (X,Y) được lưu trữ. Tất cả các thành phần dữ liệu trong tất cả các biến thể đều được mã hóa với số bit nhỏ nhất có thể. Được biết, khối lượng dữ liệu khi mã hóa theo phương án 1, 2 và 3 sẽ là 128 kbytes, 23000 bit, 462500 byte

Hình 19

Để thuận tiện, các dòng được đánh số). Tuy nhiên, thử nghiệm cho thấy thuật toán có lỗi. Bạn phải tìm nó và mô tả cách thay đổi thuật toán. Hơn nữa, bạn càng thực hiện ít thay đổi đối với thuật toán thì lời giải của bạn sẽ được xếp hạng càng cao (tất nhiên là nếu nó đúng).

Ấn phẩm về toán học được biên soạn bởi I. Komarchev, A. Moiseev, S. Preobrazhensky, G. Shestakova;

trong vật lý - T. Andreeva, M. Korobkov, S. Starovoytov;

trong khoa học máy tính - N. Ivanova, E. Krylova, A. Shchukin