Kvant 2018, số 5 · Trang

3

Lồi

PHÂN TÍCH

Chúng ta sẽ dựa vào tính chất của điểm và đường thẳng để làm rõ các định đề Euclid. 1) Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm A và B khác nhau của mặt phẳng $E^{2}$; và nếu |AB| = |AC| + |CB| thì điểm C nằm trên đường thẳng này. Trong trường hợp này chúng tôi cũng sẽ nói rằng

Hình 1. Điểm C nằm trên đoạn [AB ], |AB | = = |AC | + |CB |, và các điểm C c và C cc không nằm vì AB AC c C c B và AB AC cc C cc B

điểm C nằm giữa A và B. Tập hợp các điểm nằm giữa A và B, cùng với chính các điểm A và B, sẽ được gọi là đoạn có các điểm biên A và B. Chúng ta sẽ ký hiệu đoạn đó [AB] (Hình 1). Khái niệm phân đoạn cho phép chúng ta đưa ra định nghĩa cơ bản cho mình - một tập lồi. Tập C được gọi là lồi nếu cùng với hai điểm A và B bất kỳ thuộc C, toàn bộ đoạn [AB] thuộc về C. Ta đã định nghĩa một hình hình học - một đoạn thẳng. Hãy xác định thêm hai hình dạng hình học. Đường tròn có tâm tại một điểm O bán kính r > 0 là tập hợp tất cả các điểm cách O một khoảng r. Đường tròn B O, r bao gồm tất cả các điểm cách O không quá r (ký hiệu B từ Ball). Theo định nghĩa, một đoạn là lồi. Đường tròn cũng lồi (chứng minh đi!), nhưng đường tròn thì không lồi: nếu bạn nối bất kỳ hai điểm phân biệt nào trên đường tròn với một đoạn thẳng thì tất cả các điểm của đoạn này, ngoại trừ hai đầu, đều không thuộc đường tròn. Ở đây thật hợp lý để hiểu ranh giới của một tập hợp (bao gồm cả tập hợp lồi) là gì. Các điểm bên trong, không biên giới của một tập hợp có đặc tính là bất kỳ điểm nào như vậy đều có thể được coi là tâm của một đường tròn, mặc dù là một điểm rất nhỏ nhưng nằm hoàn toàn trong tập hợp đó. Ngược lại, một điểm biên không có tính chất này: bất kỳ đường tròn nào có tâm

TRÊN

MÁY BAY

tại một điểm biên nó có các điểm chung với tập hợp và các điểm không thuộc tập hợp đó. Biên của một tập hợp lồi (tức là tập hợp các điểm biên của nó) giống như một hàng rào vững chắc ngăn cách tập hợp đó với phần còn lại của mặt phẳng. Trong phần tiếp theo, chúng ta chỉ xem xét các tập lồi bao gồm biên của chúng. Những tập hợp như vậy được gọi là tập lồi đóng trên mặt phẳng $E^{2}$. Hãy xem xét một ví dụ đơn giản. Các điểm trong của đường tròn B O, r đều là các điểm của nó không thuộc đường tròn tương ứng. Thật vậy, nếu khoảng cách từ điểm A đến O nhỏ hơn r, |OA| < r thì A là điểm trong của $круга^{B} O,^{r}$ theo bất đẳng thức tam giác. Bằng chứng cho thấy đường tròn là ranh giới của đường tròn không hiển nhiên như thoạt nhìn. Hãy thử chứng minh rằng các điểm của đường tròn không phải là các điểm bên trong của đường tròn. Chúng ta hãy chọn một điểm A trên đường tròn, |OA| = r và lấy bất kỳ đường tròn nhỏ nào có tâm A. Làm thế nào chúng ta có thể chứng minh rằng nó chứa các điểm không thuộc $B^{O},^{r}$? Ví dụ như thế này: hãy vẽ tia OA. Có vẻ như nó sẽ “xuyên thủng” đường tròn tại điểm A, tức là với bất kỳ số x > r nào trên tia OA thì phải có những điểm chúng ta cần cách O một khoảng x. Việc xem xét này dẫn chúng ta đến tính chất thứ hai về điểm và đường thẳng trên mặt phẳng mà chúng ta sẽ cần trong chứng minh. Nó làm rõ các tiên đề thứ hai và thứ ba của Euclid. 2) Một điểm O trên một đường thẳng chia các điểm của đường thẳng này thành hai tập lồi, gọi là các tia có đỉnh tại O. Hơn nữa, (a) nếu A và B thuộc hai tia khác nhau thì O nằm trong đoạn [AB] và (b) mỗi tia không thể phân biệt được với một tập hợp các số thực không âm nếu mỗi điểm trên tia gắn với khoảng cách từ nó đến đỉnh của tia O (Hình 2).

Hình 2. Điểm A và B nằm trên các tia khác nhau so với điểm O

5

Lồi

PHÂN TÍCH

R còn được gọi là đường thực. Chúng ta vẫn còn phải thảo luận thêm một tính chất nữa của mặt phẳng Euclid mà Euclid không có, nhưng ông đã sử dụng nó nhiều lần trong cuốn sách của mình. Như chúng ta đã nói, một điểm trên một đường thẳng chia đường thẳng đó thành hai tập hợp lồi gọi là các tia. Tương tự như vậy, chúng ta giả sử như sau. 3) Một đường thẳng trên mặt phẳng, ký hiệu là l, chia các điểm trong mặt phẳng thành hai tập lồi, gọi là các nửa mặt phẳng có giới hạn l, đồng thời nếu A và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau thì đoạn [AB] cắt l (Hình 3). Mỗi nửa mặt phẳng được xác định

Hình 3. Điểm A và B nằm trên các nửa mặt phẳng khác nhau so với đường thẳng l, điểm A và D nằm trên một nửa mặt phẳng

bất kỳ điểm nào của nó không nằm trên l (trong Hình 3 - điểm A (hoặc D) và điểm B). Vào cuối thế kỷ 19, nhà toán học người Đức Moritz Pash, khi nghiên cứu các tiên đề của Euclid, đã phát hiện ra rằng Euclid liên tục sử dụng một mệnh đề, nhưng không chứng minh được điều đó bằng bất kỳ cách nào. Đây là tuyên bố Tuyên bố. Nếu một đường thẳng trên mặt phẳng $E^{2}$ cắt một cạnh của tam giác tại một điểm bên trong và không đi qua đỉnh đối diện với cạnh đó thì nó cắt cạnh kia của tam giác tại một điểm bên trong (Hình 4). Năm 1882 Pash đã chứng minh được rằng tuyên bố này không thể nào

Hình 4. Minh họa tiên đề Pasha

TRÊN

MÁY BAY

bắt nguồn từ các tiên đề Euclid. Kể từ đó, tuyên bố này được gọi là tiên đề Pasha. Nếu không có tiên đề Pash thì không thể định nghĩa khái niệm nửa mặt phẳng, vì không thể chứng minh rằng nếu điểm A và B nằm cùng một phía của l và điểm B và C nằm cùng một phía của l thì điểm A và C cũng nằm cùng một phía của l. Sau đó, vào thế kỷ 20, V. Shmeleva (Wanda Szmielew) và L. Shterba (Leslaw Szczerba) đã đưa ra một câu trả lời hoàn chỉnh đáp số cho câu hỏi hình học trên một mặt phẳng sẽ được cấu trúc như thế nào nếu tiên đề Pash bị loại bỏ [4]. Tiên đề Pasha liên quan trực tiếp đến tính lồi. Do đó, trong bài viết này, chúng tôi sẽ sử dụng ba tiên đề được xây dựng và tiên đề Pash dễ dàng suy ra từ tiên đề thứ ba. Và bây giờ chúng ta đã làm rõ các định đề Euclid, được hình thành vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên, chúng ta sẽ chuyển sang thế kỷ 19 và 20 của thời đại chúng ta và chứng minh tất cả các định lý cơ bản của hình học lồi. Nền tảng của lý thuyết lồi (không chỉ trên mặt phẳng hay không gian ba chiều, mà còn trong không gian có số chiều lớn hơn) được đặt ra bởi nhà toán học xuất sắc cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, Herman Minkowski (1864–1909). Lý thuyết lồi dựa trên định lý phân tách. Để xây dựng các định lý này, cần phải xác định chính khái niệm về khả năng phân tách. Đường thẳng l được gọi là tách tập $C_{1}$ khỏi tập $C_{2}$ nếu $C_{1}$ nằm trong một nửa mặt phẳng với ranh giới l và $C_{2}$ trong một nửa mặt phẳng khác. Chúng ta nói rằng đường thẳng l tách biệt hoàn toàn tập hợp C khỏi điểm A nếu nó tách C khỏi A và A không thuộc đường phân cách l và tập C không giao nhau với nó. Định lý 1 (định lý tách rời). Một tập con lồi đóng khác rỗng của mặt phẳng Euclide $E^{2}$ có thể được tách biệt hoàn toàn khỏi một điểm không thuộc về nó. Khi chứng minh định lý này, ta sẽ sử dụng tính chất sau của tập đóng: nếu D là tập đóng

6

KVAN T 2018/Số 5

tập hợp và điểm A không thuộc D thì trong D có (ít nhất một) điểm B gần nó nhất. Đối với các tập đóng lồi, một thực tế mạnh hơn cũng đúng (tuy nhiên, điều này chúng ta không cần): nếu tập C không chỉ đóng mà còn lồi thì điểm gần A nhất trong C là duy nhất.

Các nhà toán học liên tục gặp phải loại kết quả này về sự tồn tại của các điểm và hình hình học khác nhau. Nhiều trong số chúng dựa trên định lý Weierstrass về sự tồn tại cực tiểu và cực đại của hàm liên tục trên một tập compact. Nó thuộc về một nhánh toán học phát sinh vào thế kỷ 20. Cho đến giữa thế kỷ 19, sự tồn tại của những điểm như điểm B được coi là hiển nhiên và chưa được chứng minh.

Chứng minh định lý tách (Định lý 1). Vì vậy, có một điểm B - điểm từ C gần A nhất. Hãy vẽ một đường thẳng l đi qua bất kỳ điểm C bên trong nào của đoạn [AB], vuông góc với đoạn này (Hình 5). Hãy chứng minh

Hình 5. Minh họa chứng minh định lý tách

rằng đường thẳng l phân biệt hoàn toàn điểm A với tập hợp C. Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh, như người ta nói, “bằng phản chứng”. Bằng cách xây dựng, các điểm A và B thuộc về các nửa mặt phẳng khác nhau đối với $l и^{B}$ C. Giả sử rằng phát biểu trong định lý của chúng ta là sai và có một điểm (giả thuyết) X C từ cùng một nửa mặt phẳng với A, và chúng ta sẽ chỉ ra cách đi đến mâu thuẫn. Nếu tồn tại một điểm giả định X như vậy trong tập C thì theo tính chất thứ ba của mặt phẳng về độ lồi của các nửa mặt phẳng trên đoạn [BX] sẽ có một điểm Y thuộc l. Theo quan điểm của

Vì điểm B và X thuộc về C nên điểm Y thuộc tập hợp này theo định nghĩa về độ lồi. Điểm Y không thể trùng với điểm C - nếu điểm Y trùng với C thì nó sẽ gần A hơn B, điều này mâu thuẫn với tính chất của điểm B. Do đó, các điểm B, C và Y tạo thành tam giác vuông BCY và [BY] là cạnh huyền của nó. Gọi [CZ] là chiều cao $'^{BCY}$ hạ từ C xuống cạnh huyền. Rõ ràng là Z C. Vì vậy, nếu điểm X C giả định tồn tại thì các điểm Y và Z được xác định ở trên cũng tồn tại. Ở đây chúng ta đi đến mâu thuẫn: do chiều cao vẽ từ góc vuông nhỏ hơn chân nên ta thu được |ZC| < |BC|. Từ bất đẳng thức tam giác ta có |AZ| < < |AC| + |CZ| < |AC| + |BC| = |AB|, tức là điểm Z gần A hơn điểm B. Nhưng Z C. Điều mâu thuẫn chứng minh định lý. Một trong những tính chất quan trọng nhất của vật thể lồi là khả năng mô tả kép của chúng. Khái niệm đối ngẫu trong toán học thường gắn liền với một số phép biến đổi các tập hợp (hoặc hàm) thành một đối tượng “kép” khác. Đối tượng đối ngẫu của một tập lồi là cực của tập đó. Hãy để chúng tôi giới thiệu hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng. Khi đó cực của tập C là tập điểm mới

C q

^p; q | px qy d 1 với mọi x; y C`.

Lưu ý rằng với mọi cặp số p; q z 0;0 là tập hợp tất cả các điểm x như vậy; y trên mặt phẳng thỏa mãn bất đẳng thức px qy d 1 tạo thành nửa mặt phẳng đối với đường thẳng px + qy = = 1 chứa gốc tọa độ. Do đó, cực của một tập hợp mô tả tất cả các nửa mặt phẳng chứa C. Bổ đề. Cực D q của bất kỳ tập D nào (không nhất thiết là lồi hoặc đóng) là tập lồi đóng chứa gốc tọa độ. Bằng chứng. Hãy sửa điểm x; y và xét một nửa mặt phẳng kín

8

KVAN T 2018/Số 5

(1905–1988), tóm tắt lý thuyết đang phát triển nhanh chóng. Các câu lạc bộ trường học trở nên phổ biến ở đây vào những năm ba mươi. Văn học phổ thông dành cho học sinh xuất hiện. Hãy kể tên những nhà khoa học xuất sắc - Lazar Aronovich Lyusternik (1899-1981) và Lev Genrikhovich Shnirelman (1905-1938), những người đã cống hiến nhiều bài báo và tài liệu quảng cáo phổ biến về hình học lồi, đồng thời chúng tôi cũng muốn nêu tên sinh viên cơ khí và toán học David Shklyarsky, người đã tạo ra một cuộc cách mạng trong hoạt động vòng tròn. Anh ấy xây dựng vòng tròn của mình không phải dựa trên các báo cáo mà dựa trên các giải pháp bài toán, nhiều trong số đó là từ hình học lồi. Động cơ thúc đẩy Minkowski tạo ra lý thuyết về tập lồi, tuy có vẻ kỳ lạ, lại là lý thuyết về số. Người đọc có thể đọc bài viết [6] trong «Kvant», trong đó khẳng định rằng một số nguyên tố chỉ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai bình phương nếu khi chia cho 4, nó có dư 1 (một trong những định lý đáng chú ý đầu tiên của lý thuyết số) được chứng minh bởi Minkowski bằng cách sử dụng tính chất lồi.

Việc chứng minh định lý lưỡng cực về cơ bản chứa đựng ý tưởng chứa trong định lý Minkowski. Chứng minh định lý lưỡng cực (Định lý 2). Theo định lý Minkowski, một tập lồi đóng C trùng với giao của các nửa mặt phẳng chứa nó. Do đó, nếu C chứa gốc tọa độ và nửa mặt phẳng chứa C thì nửa mặt phẳng cũng phải chứa gốc tọa độ. Tất cả các nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ được chia thành hai loại quan trọng. 1. Nửa mặt phẳng không chứa điểm gốc trên đường biên. Trong trường hợp này, đường biên có thể được cho bởi đẳng thức px + qy = 1 (với cách chọn p và q phù hợp), và bản thân nửa mặt phẳng được cho bởi bất đẳng thức px qy d 1. 2. Các nửa mặt phẳng chứa gốc trên đường biên. Trong trường hợp này, đường biên có thể được cho bởi đẳng thức px + qy = 0 (với lựa chọn p và q phù hợp), và bản thân nửa mặt phẳng được cho bởi bất đẳng thức px qy d 0. Do đó, cực C q chính xác là tập hợp tất cả các nửa mặt phẳng loại thứ nhất chứa C. Theo định nghĩa,

lưỡng cực là tập C qq ^ x; y: px qy d 1 với mọi p; q C q `. Như vậy, C qq lưỡng cực chứa các điểm x như vậy; y, nằm trong mỗi nửa mặt phẳng thuộc loại thứ nhất từ ​​C. Mỗi nửa mặt phẳng như vậy chứa C. Do đó, C C qq. Tuy nhiên, về mặt hình thức, đẳng thức C = C qq vẫn chưa được chứng minh, vì theo định lý Minkowski, tập C trùng với giao của tất cả các nửa mặt phẳng chứa nó, và C qq lưỡng cực là giao của chỉ các nửa mặt phẳng loại thứ nhất. Tuy nhiên, nếu không sử dụng nửa mặt phẳng loại thứ hai, chúng ta sẽ không thu được một điểm mới nào. Thật vậy, nếu điểm x; y không nằm trong C thì nó có thể tách biệt hoàn toàn khỏi C và đường phân chia không thể chứa gốc tọa độ vì nó nằm trong C. Do đó, C = C qq. Mệnh đề ngược lại - nếu C = C qq thì tập C lồi và đóng - có thể được chứng minh rất đơn giản. Thật vậy, một lưỡng cực là một cực của tập D = C q, và do đó là lồi và đóng.

Văn học 1. Các yếu tố của Euclid. Sách I–VI. – M.-L.: GITTL, 1948 (“Kinh điển về khoa học tự nhiên”). 2. T. Bonesen, W. Fenchel. Theorie der Konvexen Körper. – Teubner, Leipzig, 1934. 3. G.G. Magaril-Ilyaev, V.M. Tikhomirov. Giải tích lồi và ứng dụng của nó – M.: Librokom, 2016. 4. L.W.Szczerba và W.Szmielew. Về hình học Euclide không có tiên đề Pasch. – Bò. Học viện. Polon. Khoa học. Ser. Khoa học. Toán học. Vật lý thiên văn học. 18 (1970), 659–666. 5. N. Vasiliev. Bổ sung các số liệu. – «Kvant», 1976, số 4. 6. V. Tikhomirov. Định lý Fermat–Euler về hai hình vuông. – «Kvant», 1991, số 10.

(Kết thúc để theo dõi)

11

TƯƠNG TÁC TĨNH ĐIỆN TRONG MÔI TRƯỜNG ĐIỆN D

chia độ lớn của lực kéo chất điện môi rắn (a) và chất lỏng (b) thành một vùng có trường mạnh hơn. Trong trường hợp chất điện môi lỏng, cường độ của hiệu ứng có thể được đánh giá bằng mức độ vi phạm mức độ bằng nhau được thiết lập ban đầu trong hai bình giao tiếp. Nếu các sự kiện diễn ra không phải trong không khí mà trong một môi trường có độ thấm lớn hơn độ thấm của vật đặt trong đó, thì chất điện môi sẽ bị đẩy vào vùng của trường yếu. Hình 6 cho thấy

Hình 7

Hình 6

sơ đồ của một thí nghiệm minh họa sự trục xuất như vậy. Sự nổi thẳng đứng của bọt khí hướng lên trên trong nước cất (H = 81) khi có trường được thay thế bằng sự lệch của chúng ra khỏi quả cầu tích điện. Lưu ý rằng dấu điện tích của quả bóng tạo ra một trường không đồng nhất không đóng vai trò gì. Sự thay đổi hướng của lực tác dụng lên một vật điện môi, tùy thuộc vào tỷ lệ độ thấm $( H_{1} )$ của nó và độ thấm của môi trường $( H_{2} ),$ mà nó được đặt, được thể hiện rõ bằng thí nghiệm với một quả bóng parafin $( H_{1} = 2 )$. Khi quả bóng ở trong không khí $( H_{1} > H_{2} ª 1 )$ các lực tại các điểm khác nhau trên bề mặt của nó luôn hướng ra ngoài và có giá trị lớn nhất ở những phần bề mặt gần quả bóng kim loại tích điện nhất. Kết quả là xảy ra hiệu ứng hút của chất điện môi đối với các điện tích tạo ra trường (Hình 7, a). Nếu bạn đặt cả hai quả bóng vào axeton $( H_{1} < H_{2} ª 21 ),$, thì lực hút sẽ được thay thế bằng lực đẩy (Hình 7, b). Phân tích được thực hiện trong ví dụ 4 cho phép chúng ta hiểu hành vi đặc biệt này của quả bóng - các lực tác dụng lên nó được xác định bởi điện tích phân cực của cả bản thân quả bóng và môi trường. Và sự thay đổi hướng của lực sinh ra gắn liền với sự thay đổi dấu của tổng điện tích phân cực tại ranh giới của vật với môi trường. Khi quả bóng ở trong một trường đều (ví dụ, một tụ điện phẳng), các lực tại các điểm khác nhau trên bề mặt của nó cân bằng và sẽ không quan sát thấy sự dịch chuyển của quả bóng trong cả hai trường hợp. Trong trường hợp tổng quát, trong một môi trường không đồng nhất (hoặc với sự có mặt của từng mảnh điện môi đồng nhất), không thể thiết lập bất kỳ biểu thức đơn giản nào cho các lực tác dụng ngay cả lên các điện tích điểm. Hơn nữa, sự hiện diện của các vật điện môi gần các vật tích điện không nhất thiết dẫn đến sự suy yếu các lực tác dụng lên các vật đó (đặc biệt là H lần), mà thậm chí có thể góp phần làm tăng lực của chúng. Hãy xem một ví dụ chứng minh điều này. Ví dụ 5. Lực tương tác giữa hai điện tích điểm trong không khí sẽ thay đổi như thế nào nếu đặt một quả cầu điện môi giữa chúng? Chúng ta đã biết rằng lực tương tác tĩnh điện giữa các điện tích sẽ không thay đổi chút nào mà vẫn bằng lực Coulomb. Nhưng các lực tác dụng lên các điện tích sẽ thay đổi - đây là ý nghĩa thường thấy khi đặt câu hỏi trong điều kiện. Ngay cả trong trường hợp đơn giản hóa tối đa điều kiện bài toán, khi các điện tích có độ lớn bằng nhau và nằm đối xứng với

16

KVAN T 2018/Số 5

KLMN và ABC, nghĩa là X nằm trên đường thẳng KL. Tương tự, X nằm trên đường thẳng MN, mâu thuẫn với tính song song của KL và MN. Điều này có nghĩa là mặt phẳng KLMN song song với đường thẳng AC, từ đó KL P AC P MN. Bây giờ hãy chứng minh bổ đề này. Bổ đề. Cho tứ diện ABCD có AB < BC và CD < AD. Khi đó nó không thể có tiết diện là hình thang cân và song song với cạnh AC (hoặc BD). Bằng chứng. Giả sử điều ngược lại - giả sử có đoạn KLMN sao cho các đỉnh K, L, M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA và KLMN là hình thang cân, KL P MN P AC. Tiếp theo, chúng ta ký hiệu P, Q, R lần lượt là trung điểm của các đoạn KL, AC, MN (xem hình) và gọi B c, P c, D c, R c lần lượt là hình chiếu của các điểm B, P, D, R lên đường thẳng AC. Vì AB < BC nên AB c B c C nên điểm B c nằm trên tia QA. Vì điểm P nằm trên đoạn QB nên điểm P c nằm trên đoạn QB c và do đó P c nằm trên tia QA. Tương tự, từ điều kiện CD < AD suy ra R c nằm trên tia QC. Cụ thể từ đây ta thấy các điểm P c và R c không thể trùng nhau. Đường thẳng PR là trục đối xứng của hình thang cân KLMN, do đó PR A KL và do đó PR A AC. Nhưng trong trường hợp này, hình chiếu của P c và R c lên đường thẳng AC phải trùng nhau. Sự mâu thuẫn. Bổ đề đã được chứng minh. Trong tứ diện ABCD, chúng ta sẽ gọi một cách có điều kiện cặp cạnh cắt AB và CD là cặp thứ nhất, cặp AC và BD là cặp thứ hai, và

cặp AD và BC là cặp thứ ba. Giả sử chúng ta có một tứ diện trong đó bất kỳ cạnh nào của cặp thứ nhất đều ngắn hơn bất kỳ cạnh nào của cặp thứ hai và bất kỳ cạnh nào của cặp thứ hai cũng ngắn hơn bất kỳ cạnh nào của cặp thứ ba. Khi đó, bổ đề suy ra rằng trong một tứ diện như vậy không có tiết diện nào cho bất kỳ cạnh nào là hình thang cân và song song với cạnh này. Các khối tứ diện chúng ta cần tồn tại. Ví dụ, tứ diện ABCD đẳng diện (nội tiếp trong hình bình hành hình chữ nhật) là phù hợp, trong đó AB = CD < AC = BD < AD = BC. Chúng ta có thể khái quát hóa bổ đề và chứng minh các điều kiện cần và đủ sau đây để tồn tại một phần là hình thang cân và song song với cạnh AC. Mặt cắt như vậy tồn tại chính xác trong các trường hợp sau: 1) AB = BC và AD = DC; 2) AB < BC, AD < < DC và BD không vuông góc với AC; 3) AB > BC, AD > DC và BD không vuông góc với AC. (Trong trường hợp AC A BD, có các phần hình chữ nhật song song với AC.) Bằng cách sử dụng điều này, chúng ta có thể chỉ ra các loại tứ diện khác không có phần có dạng hình thang cân. Ví dụ: hình chóp ABCD, ở đáy là tam giác đều ABC, các cạnh AD, BD, CD không bằng nhau; tứ diện trực tâm ABCD (trong đó AB A CD, AC A BD, AD A BC) không có các cạnh bằng nhau. V. Letsko, P. Kozhevnikov

$M2500^{*}$. Lời giải trong số bài toán này sẽ được xuất bản sau.

M2501. Cho các số tự nhiên $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$, thỏa mãn điều kiện: với mọi 1 £ i < j £ n, số j – i chia hết cho gcd $a_{i}, a_{j}$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương N sao cho N + i chia hết cho $a_{i}$ với mọi i = 1, 2, …, n.

(

)

Hãy ký hiệu P là tập hợp các số nguyên tố chia hết cho ít nhất một trong các số $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$. Xét một số số nguyên tố p P. Trong số các số $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ ta chọn số chia hết

TRƯỜNG KVANT

Đó là nơi chúng ta đang đứng!

L.ASHKINAZI

“Anh biết đấy, Adam, tin tức là mọi người dân đều đang bị ép bởi một cột không khí có lực hai trăm mười bốn kg!” “Không,” Kozlevich nói, “cái gì cơ?” - Cái gì! Đây là một thực tế khoa học và y tế. Và điều này gần đây đã trở nên khó khăn với tôi. Chỉ cần suy nghĩ! Hai trăm mười bốn cân! Họ ép suốt ngày đêm, đặc biệt là vào ban đêm. Ilf và Petrov. Bê vàng

CÓ NHỮNG CÂU HỎI ĐÓ LUÔN LUÔN lạ lùng khi hỏi HỌ. Ví dụ, tại sao phản lực hỗ trợ N lại bằng lực hấp dẫn mg. Nếu một người tham gia các lớp vật lý và nghiên cứu vật lý trong đó chứ không giao tiếp trên mạng xã hội, thì ít nhất anh ta sẽ trả lời - theo định luật thứ ba của Newton. Và anh ta sẽ mắc sai lầm, và một sai lầm như vậy, ngay cả khi bản thân phương trình được viết đúng, sẽ khiến anh ta mất một điểm kiểm tra trong Kỳ thi Thống nhất, tức là hai, và thậm chí có thể là ba, trong số những điểm mà trên thực tế, anh ta đang đấu tranh. Anh ta sẽ nhầm vì định luật thứ ba nói về các lực tác dụng lên các vật khác nhau, nhưng N và mg lại tác dụng lên một vật. Một học sinh chú ý hơn sẽ trả lời đúng hơn - theo định luật thứ hai và thứ ba của Newton, và thậm chí đưa ra kết luận phù hợp. Một học sinh tỉ mỉ hơn nữa sẽ có thể thu được mối liên hệ giữa N và mg nếu bản thân vật đỡ có gia tốc a. Tuy nhiên, người ta cũng có thể khiến anh ta bối rối khi hỏi điều gì sẽ xảy ra nếu gia tốc tại điểm tựa hướng xuống dưới và lớn hơn g. Lợi dụng sự nhầm lẫn của anh ta, chúng tôi sẽ thông báo cho bạn rằng vật lý khác với toán học ở chỗ không một bài toán nào có thể giải được hoàn toàn. Bởi vì vật lý là một trong những ngành được gọi là khoa học tự nhiên, tức là một ngành khoa học liên quan trực tiếp đến tự nhiên, nghiên cứu các quá trình xảy ra hoặc được cho là xảy ra trong tự nhiên. Nhân tiện, toán học cũng một phần liên quan đến tự nhiên, nhưng gián tiếp, thông qua khoa học tự nhiên. Nhưng bài toán vật lý thực tế chỉ có thể được giải với những điều kiện nhất định và với độ chính xác nhất định. Nếu ban đầu chúng ta

Chúng ta hãy quy định những định luật nào mà chúng ta coi là tuân thủ và đồng ý bỏ qua mọi thứ khác, nói cách khác, chúng ta quy vật lý thành một số mô hình giới hạn, sau đó lời giải chính xác và cuối cùng sẽ trở nên khả thi. Đây chính xác là những gì chúng ta luôn làm ở trường với vật lý và hóa học, tạo ra một ý tưởng không hoàn toàn chính xác về những ngành khoa học này. Hãy chuyển sang bài toán cụ thể của chúng tôi về N và về mg. Đây là một câu hỏi nên đặt ra: tại sao, khi rút ra đẳng thức khét tiếng N = mg, chúng ta không tính đến áp suất không khí p? Và thậm chí đừng nghĩ đến việc nói bất cứ điều gì về “nhỏ” và “bỏ bê” - lực mà không khí trên mặt đất, nếu bạn không leo núi, ép lên bề mặt là khoảng 10 N trên mỗi cm vuông, hoặc khoảng 2000 N theo phương thẳng đứng đối với một người đang đứng và 20.000 N đối với một người nằm ngang. (Ostap Bender rõ ràng biết rõ về vật lý học đường.) Chúng ta hãy nhớ lại rằng 2000 và 20000 N lần lượt là trọng lượng của một vật nặng 200 và 2000 kg. Hóa ra khi bạn ngủ, bạn có khoảng nửa con voi hoặc hai con gấu đứng trên người - tùy bạn thích. Một cuốn sách giáo khoa ở trường thảo luận về ứng suất cơ học trong chất rắn, chất lỏng và chất khí, và một cuốn sách giáo khoa hay thậm chí còn giải thích tại sao ứng suất trong chất khí và chất lỏng được gọi là áp suất. Tất nhiên, điều này lẽ ra phải được làm rõ hơn bằng cách thảo luận về khả năng áp dụng khái niệm “áp suất” cho các trường hợp khác nhau, nhưng bây giờ chúng ta không nói về điều đó mà nói về lý do tại sao chúng ta không tính đến lực Archimedes khi suy ra công thức N = mg. Đáp số câu trả lời cho câu hỏi đã được biết: bởi vì không khí nhẹ hơn nước khoảng ba bậc độ lớn và kim loại nhẹ hơn khoảng bốn bậc độ lớn. Ở đây bạn vẫn có thể nhớ lại câu chuyện cười cũ về cái nào nặng hơn: một kg đinh hay một kg bông gòn và yêu cầu ước tính bằng số. Nhân tiện, khi cố gắng làm điều này, họ thường quên rằng “thể tích thực” của bông gòn - thứ sẽ chịu lực của Archimedes - rất khác với thể tích hình học, thể tích bên ngoài, có thể nói là thể tích của chiếc gối. Đề cập đến định luật Archimedes đối với cơ thể “ngủ yên”, tức là nằm trên bàn, có thể - và nên làm như vậy! – chỉ ra điểm mấu chốt cho người đọc.

27

TRƯỜNG HỌC

Tuy nhiên, cuộc phiêu lưu của chúng tôi chỉ mới bắt đầu. Trước hết, cần hỏi liệu khoảng trống có sâu và rộng hay không - khoảng trống tồn tại dưới cơ thể đang ngủ yên trên bàn. Điều này phụ thuộc vào tính chất cơ học và địa hình bề mặt của các vật tiếp xúc. Khi chúng ta đặt một cơ thể thô thực sự, đầu tiên nó chạm vào cơ thể khác bằng một điểm, sau đó xoay một chút, điểm thứ hai, sau đó xoay thêm một chút, điểm thứ ba, rồi hạ xuống thêm một chút, mở rộng các vùng của cái gọi là tiếp xúc thực sự xung quanh các điểm này và tổng diện tích cuối cùng của tất cả các vùng tiếp xúc phải sao cho vật liệu có thể chịu được trọng lượng của phần thân trên. Lưu ý rằng khi tiếp xúc, các vùng tiếp xúc khác ngoài ba vùng đầu tiên có thể phát sinh. Và cả hai vật thể đều bị biến dạng, và sự phân bố của các biến dạng phụ thuộc vào đặc điểm độ nhám và độ cứng của cả hai bề mặt. Ví dụ: nếu chúng ta đặt một khối thép có cạnh 10 cm, khối lượng xấp xỉ 8 kg và trọng lượng 80 N, trên một bề mặt thép, thì diện tích tiếp xúc thực sự với cường độ vật liệu là 5 $10^{8}$ N $м^{2}$ sẽ dễ dàng tính toán là $0,16 мм^{2}$. Đây là một phần không đáng kể - 16 phần triệu! – từ diện tích tiếp xúc hình học, là $10000 мм^{2}$. Tình huống khi diện tích tiếp xúc thực sự là một phần nhỏ của diện tích hình học là không đổi và có mặt khắp nơi đối với công nghệ. Và nó kéo theo nhiều vấn đề khác nhau. Vì vậy, nếu nhiệt hoặc dòng điện cần truyền qua một tiếp điểm, chúng phải ép qua những điểm nhỏ này. Khi truyền nhiệt, điều này kéo theo sự gia tăng chênh lệch nhiệt độ giữa các bộ phận hoặc với chênh lệch nhiệt độ cố định, giảm dòng nhiệt. Khi dòng điện chạy qua, các miếng tiếp xúc nhỏ sẽ bị nóng lên do mật độ dòng điện cao và các tiếp điểm có thể bị hàn, nóng chảy hoặc thậm chí bay hơi. Và đây mới chỉ là khởi đầu của các vấn đề. Ví dụ, chính hoạt động của các tiếp xúc sẽ xác định ma sát khô và các quá trình hóa học xảy ra khi tiếp xúc với chất rắn. Nhưng bây giờ chúng ta quan tâm đến khoảng trống bên dưới cơ thể, nằm trên bề mặt. Đối với vật liệu rắn, khoảng trống này, như chúng ta đã hiểu, chiếm gần như toàn bộ không gian bên dưới

TRONG

“QUANTE”

thân hình. Chúng ta sẽ nói về vật thể mềm sau, nhưng bây giờ câu hỏi là: khoảng trống này hoạt động như thế nào với độ dày của nó, liệu một phân tử có lọt qua đó không? Bề mặt quang học có bề mặt lý tưởng với độ chính xác 0,1 0,01 O, tức là từ 1/10 đến 1/100 bước sóng của ánh sáng khả kiến ​​- từ 50 đến 5 nm. Điều này cực kỳ nhỏ: nếu chúng ta coi rằng ở áp suất bình thường, khoảng cách giữa các phân tử trong chất khí là khoảng 3 nm, và để các bề mặt đó tiếp xúc với nhau, thì chiều rộng của khoảng trống có thể chứa từ 20 đến 2 phân tử. Tuy nhiên, điều này là khá đủ đối với áp suất - các phân tử lao xung quanh như điên, va chạm với các bức tường từ 6 đến 60 tỷ lần mỗi giây và truyền động lượng cho chúng một cách an toàn. Nhân tiện, chúng tôi lưu ý rằng theo một nghĩa nào đó (ví dụ, khi di chuyển dọc theo một khe), chúng hoạt động giống như trong “chân không cao” - chúng chủ yếu va chạm với các bức tường chứ không phải với nhau. Nhân tiện, khi các cuốn sách bắt đầu nói về sự khuếch tán trong chất rắn, câu chuyện bắt đầu với việc các nhà nghiên cứu trước tiên ép chì vào vàng trong một thời gian dài, sau đó nghiên cứu xem liệu các nguyên tử vàng có xuyên qua chì hay không và ngược lại. Nhưng tại sao họ lại lấy những kim loại đặc biệt này? Số lượng nguyên tử xuyên qua kim loại phụ thuộc vào tính chất nào? Đặc biệt, những vùng phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc thực sự, diện tích của các “điểm”. Và càng lớn thì kim loại càng nặng, nếu nó chỉ nằm đó và không bị ép bởi lực bổ sung, và càng mềm - kim loại mềm bị ép chặt hơn, trên một diện tích lớn hơn. Điều gì xảy ra nếu một trong các chất mềm đến mức diện tích tiếp xúc thực sự có thể so sánh được với diện tích hình học? Sau đó, các vật thể bị ép vào nhau bởi lực áp suất khí quyển rất lớn và rất khó để tách chúng ra. Tại sao chúng ta có thể dễ dàng tách dây cao su ép vào bàn ra khỏi bàn? Đáp số - Vì nó mềm nên khi ấn vào nó biến dạng hoàn toàn, dẹt một phần, ta tách ra từng chút một, giảm dần diện tích tiếp xúc hình học chứ không phải toàn bộ cùng một lúc. Bây giờ, nếu chúng ta tạo ra một bộ phận cứng bằng một lớp phủ mềm mỏng và ép lớp phủ này lên một bề mặt cứng thì việc tách nó ra khỏi bề mặt này sẽ trở nên khó khăn hơn. Ví dụ, họ nói rằng một chiếc tàu ngầm có thể được “lấy đi

28

KVAN T 2018/Số 5

hút" xuống đáy. Đây là mô tả mang tính biểu tượng về hiệu ứng xảy ra khi các đặc tính của đất sao cho vật thể vừa khít với nó, nước bị dịch chuyển khỏi khe hở và áp suất từ phía trên vẫn giữ nguyên (trong nước ở độ sâu 100 m, áp suất này đã là 10 atm). Bây giờ chúng ta được đưa về quá khứ xa xôi, đến cuối thế kỷ trước. Ngày xửa ngày xưa, có một kỹ sư, Carl Edward Johansson, sống ở Thụy Điển, và vào năm 1896, ông đã nghĩ ra một cách mới để hút" Ông đã nảy ra ý tưởng sau đây - tạo ra các bộ tấm có chiều dài rất chính xác và được xử lý sao cho hai tấm, nếu được ép chặt vào nhau và di chuyển nhẹ lên nhau, “cọ xát”, như người ta nói trong công nghệ, sẽ dính vào nhau.

Hình 1

trên, ở kích thước 30 và 40 mm mà tác giả bài viết này nắm giữ. Bạn có thể dễ dàng tìm thấy thông tin về người tạo ra những ô này và lịch sử tạo ra chúng trên Internet. Chỉ cần hỏi Google “Gạch Johansson” hoặc tốt hơn là “đo Johansson”. Karl Edward hoàn toàn hiểu rõ điều tuyệt vời mà ông đã phát minh, được cấp bằng sáng chế và phát hành - chỉ cần nhìn vào biểu tượng của công ty ông, mô tả quả địa cầu ở phía dưới (ảnh trong Hình 2). Tất nhiên, anh ấy đã làm chúng từ thép. Ngày nay họ sản xuất thép, cacbua vonfram và gốm sứ. Tất cả các vật liệu đều có ưu điểm: thép rẻ hơn, cacbua vonfram ít bị mài mòn hơn

thay đổi trong quá trình sử dụng, trong khi đồ gốm có độ giãn nở nhiệt ít hơn. Điều buồn cười là suốt ngần ấy năm không ai tìm ra lý do tại sao những viên gạch này lại dính vào nhau. Hầu hết các từ được nói về lực van der Waals và sức căng bề mặt. Sức căng bề mặt có thể giữ nước trên mặt nước - Hình 2 một mảnh nhỏ và một cây kim, nhưng không phải là một miếng sắt nặng hàng trăm gram lơ lửng trong không khí, và để lực hút liên phân tử (lực van der Waals) “hoạt động”, các bề mặt phải đến gần hơn khoảng cách tương tác nguyên tử và trên toàn bộ khu vực. Tuy nhiên, các nguồn nước ngoài đề cập đến áp suất khí quyển, nhưng chỉ là một trong những yếu tố chứ không phải là yếu tố chính. Gạch của Johanson (chúng còn được gọi là “đồng hồ đo cuối”) được ép lại với nhau bằng áp suất khí quyển và lượng hơi ẩm rất nhỏ (và có thể cả dầu) luôn hiện diện trên bề mặt đủ để giữ không khí lọt vào khe hở. Và nếu chất lượng của các bề mặt kém hơn một chút, bạn phải thở vào chúng - có rõ tại sao không? Nhưng mọi chuyện không kết thúc ở đó, đây chỉ là lớp đầu tiên bài toán. Áp suất khí quyển tác động theo chiều ngang trên các bề mặt thẳng đứng, và trọng lực tác dụng, như thường lệ, theo chiều dọc. Vì vậy, để gạch không bị rơi, bạn cần… ma sát khô. Tuy nhiên, trong một mô hình đơn giản của thế giới, ma sát chỉ có thể là chất bôi trơn khô hoặc chất lỏng. Tình hình thực tế có thể phức tạp hơn. Ví dụ, khi ô tô chạy trên mặt đường ướt, ma sát hỗn hợp sẽ xảy ra - nước có thời gian (à, nếu có thời gian) để vắt ra khỏi vùng tiếp xúc (và tiếp cận người qua đường). Và khi chúng tôi “nghiền” gạch, chúng tôi chỉ ép nước ra khỏi một số khu vực nơi gạch tiếp xúc trực tiếp và tạo ra ma sát khô tương tự. Do đó, nước một mặt không cho không khí lọt vào khe hở, mặt khác không loại trừ ma sát khô ở một số khu vực. Tuy nhiên, đó không phải là tất cả. Nước hoặc chất lỏng khác lấp đầy khoảng trống tiếp xúc

36

KVAN T 2018/Số 5

cắt $AC_{1}$ tại điểm Q. Vì $A_{1} A P C_{1} C$, nên theo định lý đẳng giác, đường đẳng giác thứ hai với BQ phải song song với $A_{1} A$. Nhưng phân giác của góc ABC vuông góc với các phân giác ngoài nên song song với các đường thẳng $A_{1} A$ và $C_{1} C$ và là đường đẳng giác thứ hai với BQ. Khi đó BQ đẳng giác cũng phải trùng với phân giác của góc ABC, tức là điểm Q nằm trên phân giác của góc ABC. bài toán sau đây đã được đề xuất cho Olympic Quốc tế 2007 (Danh sách ngắn), nhưng không được đưa vào danh sách chính. Bài toán 11. Các đường chéo của hình thang ABCD cắt nhau tại điểm P (Hình 16). điểm Q

Hình 17

Phép cộng

Hình 16

nằm giữa hai đường thẳng BC và AD sao cho AQD CQB và đường thẳng CD phân biệt hai điểm P và Q. Chứng minh rằng BQP DAQ. Lời giải. Theo định lý đẳng giác cho góc CQD thì QT đẳng giác của tia QP phải song song với AD. Nhưng sau đó là BQP AQT DAQ, đó là điều cần phải chứng minh. bài toán tiếp theo là vào năm học 2011/12 ở giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga ở lớp 10 dưới hạng 8, tức là được coi là khó nhất. Bài toán 12. Trong hình thang ABCD, cạnh bên CD vuông góc với hai đáy, O là giao điểm của hai đường chéo (Hình 17, a). Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD lấy điểm S đối diện với điểm O. Chứng minh rằng BSC ASD. Lời giải. Giả sử các góc BSC và ASD không bằng nhau. Xét điểm E trên cạnh AD sao cho BSC ESD (Hình 17b). Giả sử AD cắt CE tại điểm $O_{1}$. Khi đó, theo định lý đẳng giác, $SO_{1}$ và SH là hai đẳng giác. Chúng ta hãy nhớ rằng chiều cao SH và đường kính SO của đường tròn ngoại tiếp tam giác CSD cũng là các đường đẳng giác của góc CSD. Do đó, điểm $O_{1}$ trùng với điểm O, điểm E trùng với A và BSC ASD.

Chúng ta hãy trình bày một cách khái quát hóa khác của định lý chính - từ cuốn sách của A.V. Akopyan và A.A. Zaslavsky “Tính chất hình học của đường cong bậc hai” [6]. Định lý. Cho tam giác ABC có hai cặp điểm liên hợp đẳng giác X, X c và Y, Y c (Hình 18). Sau đó các điểm

Hình 18

các giao điểm của XY với X c Y c và XY c với X c Y cũng là liên hợp đẳng giác. Bằng chứng. Xét góc XBX c, Y và Y c là các điểm nằm trên các đường đẳng giác của góc XBX c ( ABX CBX c và ABY CBY c, do đó BY và BY c là các điểm đẳng giác trong XBX c ), còn X và X c là các điểm trên các cạnh của góc XBX c. Điểm Z và Z c là giao điểm của các đường X c Y và Y c X, Y c X c và XY. Theo định lý đẳng giác, BZ và BZ c là hai góc đẳng giác của góc XBX c và góc ABC. Tương tự, AZ, AZ c và CZ, CZ c lần lượt được đẳng giác ở các góc BAC và BCA. Do đó, các điểm Z và Z c liên hợp đẳng giác.

37

LA B O R A T O R I A

Có những ý tưởng khác để chứng minh định lý chính. Ví dụ, trong báo cáo của A. Kulikova tại MMKS [1], mối quan hệ kép giữa điểm và tính chất của phép chiếu tâm đã được sử dụng, điều này giúp giảm đáng kể việc chứng minh. I. Frolov cho chúng ta biết rằng sau phép biến đổi cực với tâm O, định lý về các đường đẳng giác trở thành khẳng định sau: Giả sử trong tứ giác KLMN, các đường phân giác của các góc giữa các cặp đường thẳng KL và MN, KM và LN song song (điều kiện này tương đương với tính nội tiếp của tứ giác). Khi đó phân giác của góc giữa hai đường thẳng KN và ML song song với chúng. Chúng ta đã học được từ P. Kozhevnikov rằng với phép chiếu tâm phù hợp trong không gian, điểm O sẽ tiến đến vô cùng và các cặp đường thẳng OA và OD, OB và OC, OP và OQ (Hình 19) sẽ trở thành các đường thẳng song song, đối xứng với một đường thẳng cố định (đường thẳng Gaussian), đi qua trung điểm của các đoạn AD, BC, PQ.

“QUANTA”

Hình 19

Tài liệu tham khảo

1. Hội nghị Toán học dành cho học sinh Moscow (MMKSH). (https://www.mccme.ru /circles/oim/mmks/notes.htm) 2. P. Kozhevnikov. Điểm liên hợp đẳng giác. – «Kvant», 2016, số 1. 3. D. Prokopenko. Chia động từ đẳng giác và tam giác đạp. – «Kvant», 2017, Số 9. 4. Trang web của I.F. Olympic hình học Sharygin: hình học.ru. 5. A.V. Akopyan. Hình học trong hình ảnh. – M., 2017. 6. A.V. Akopyan, A.A. Zaslavsky. Tính chất hình học của đường cong bậc hai. – M.: MTsNMO, 2007.

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”

con lắc Kapitza

S. DVORYANINOV

Sự ngạc nhiên là mẹ của tri thức. Thuộc về Aristotle

BÂY GIỜ CHÚNG TÔI SẼ NÓI VỀ MỘT hiện tượng vật lý THÚ VỊ. Hơn nữa, nó thật đáng kinh ngạc, và trên cơ sở đó nó đã được đưa vào V.I. Cuốn sách của Arnold “Hiểu biết toán học về tự nhiên. Các bài tiểu luận về các hiện tượng vật lý đáng kinh ngạc và sự hiểu biết của các nhà toán học về chúng (có hình vẽ của tác giả).” Chúng ta sẽ nói về một con lắc. Thông thường người ta vẽ một con lắc như trên Hình 1. Một vật nhỏ được treo bằng một sợi dây dài và dao động. Một con lắc như vậy được gọi là toán học. Vị trí cân bằng dưới của con lắc ổn định. Thay vì một sợi chỉ, bạn có thể lấy một cây gậy - chúng ta sẽ có một con lắc như vậy. Bây giờ chúng ta hãy lật ngược con lắc - Biệt danh của Hình 1, hãy để anh ta đứng, như Arnold viết, “lộn ngược” (Hình 2). Trong một con lắc như vậy, điểm treo trước đó biến thành điểm tựa, nhưng theo truyền thống chúng ta sẽ gọi đó là điểm treo. Người ta biết rằng không thể đặt một con lắc như vậy theo phương thẳng đứng - sang trái hoặc sang phải - Hình 2 chắc chắn nó sẽ rơi. Nếu bạn vẫn cố gắng cố định nó ở vị trí thẳng đứng thì một cú sốc nhỏ nhất sẽ

38

KVAN T 2018/Số 5

Mất sự hỗ trợ hoặc thổi không khí sẽ làm cho con lắc bị lật. Đây là hệ quả và biểu hiện của sự mất ổn định vị trí cân bằng trên của con lắc ngược. Viện sĩ và người đoạt giải Nobel tương lai Pyotr Leonidovich Kapitsa (năm 2019 sẽ đánh dấu sinh nhật lần thứ 125 của ông) đã tiến hành một thí nghiệm như vậy. Anh buộc điểm treo dao động nhanh theo phương thẳng đứng. Điều gì có thể là nguồn gốc của những biến động như vậy? Thời đó là thời hậu chiến, chưa giàu có nhưng gia đình Kapitsa có một chiếc máy may chạy điện, tức là có động cơ điện. Điểm treo phải thực hiện chuyển động tịnh tiến lên xuống và động cơ điện tạo ra chuyển động quay. Làm thế nào để biến thứ này thành thứ khác đã được nhiều người biết đến từ lâu. Ví dụ, ở đầu máy hơi nước, chuyển động tịnh tiến của piston trong xi lanh được cơ cấu tay quay chuyển thành chuyển động quay của các bánh xe. Sơ đồ thiết kế của con lắc Kapitsa được thể hiện trên hình 3. Trên trục của động cơ điện

Hình 3

1, ổ bi 2 được lắp lệch tâm, thanh 3 được gắn vào lồng của nó làm cho đòn bẩy 4 dao động. Một đầu của đòn bẩy quay tương đối với một trục cố định, còn đầu kia của con lắc 5 được treo để nó có thể dao động tự do. Con lắc có điểm treo dao động đứng lộn ngược ổn định. Nỗ lực nghiêng nó sang một bên khiến nó bắt đầu xoay quanh hướng thẳng đứng sang trái và phải, nhưng không rơi xuống. Bài toán Việc xem xét một con lắc như vậy nảy sinh liên quan đến lý thuyết về máy gia tốc. Khi phát triển một dự án mới, cần phải xác định xem liệu chuyển động của một hạt được gia tốc dọc theo một vòng có đường kính lớn có ổn định hay không. Hóa ra chuyển động tròn của một hạt trong máy gia tốc được mô tả bằng cùng một phương trình vi phân, đó là

Bầy tương ứng với chuyển động của một con lắc ngược. P.L. Kapitsa đề xuất thử nghiệm thực nghiệm độ ổn định bằng cách xem xét một thiết kế có con lắc ngược. Rõ ràng là một thí nghiệm với một con lắc có chi phí thấp hơn rất nhiều lần so với việc chế tạo một máy gia tốc. Bạn có thể xem bản ghi âm của V.I. Câu chuyện của Arnold về con lắc này trên trang web “Toán học Etudes” (http:// etudes.ru). Anh ta không có máy may điện, và do đó Vladimir Igorevich đã sử dụng dao cạo điện rung “Neva” làm nguồn dao động thẳng đứng của con lắc. Con lắc được gắn vào lưỡi dao cạo điện bằng kẹp kẹp bút chì. Người ta biết rằng thà nhìn một lần còn hơn nghe hàng trăm lần. Tốt hơn hết, hãy cầm nó trong tay. Đáng ngạc nhiên là, bằng kinh nghiệm, bạn có thể xác minh khả năng ổn định cơ bản của một con lắc ngược với dao động tương ứng của điểm treo gần như ngay lập tức mà không cần đứng dậy khỏi bàn làm việc. Bạn có mọi thứ bạn cần để thực hiện thí nghiệm trong tầm tay. Lấy một chiếc thước gỗ (hoặc nhựa) có lỗ ở đầu và đặt nó lên một chiếc bàn nhẵn, bóng. Đặt một cây bút chì chưa gọt vào lỗ và nhanh chóng, giống như một nghệ sĩ vĩ cầm cầm cung, di chuyển cây bút chì qua lại theo hướng không trùng với hướng của thước (Hình 4). Bạn sẽ thấy ngay người cai trị như thế nào

Hình 4

sẽ bắt đầu quay và định vị trên một đường thẳng mà điểm treo của con lắc của chúng ta dao động. Bạn có thể thử nghiệm bằng cách thay đổi khối lượng và chiều dài của một con lắc như vậy, cũng như biên độ và tần số dao động của điểm treo của nó.

40

KV A NT 2018/№5

LỰA CHỌN PHỨC HỢP

lớp 8–9

1. (4) Dòng chứa 39 số không bằng 0. Tổng của hai số liền kề bất kỳ là dương và tổng của tất cả các số là âm. Dấu hiệu của tích của tất cả các số là gì? B.Frenkin

2. (5) Aladdin có một số thỏi vàng giống hệt nhau, và đôi khi anh ấy yêu cầu thần đèn tăng số lượng của chúng lên. Thần đèn thêm vào một nghìn thanh giống nhau, nhưng sau đó ông ta lấy đúng một nửa tổng khối lượng vàng thu được cho dịch vụ. Liệu Aladdin có thể giành chiến thắng sau mười yêu cầu như vậy nếu không phải cưa một thỏi nào? A.Perepechko

3. (6) Xem bài toán M2511 “Bài toán Kvant”.

4. (6) Xem bài toán M2510 “Bài toán Kvant”.

5. (8) Trên đường phố có những ngôi nhà nằm đối diện nhau, tổng cộng có 50 cặp. Bên phải đường có những ngôi nhà có số tự nhiên chẵn, bên trái có số tự nhiên lẻ, các số tăng dần từ đầu phố đến cuối mỗi bên nhưng không nhất thiết phải xếp thành một hàng (có thể có khoảng trống). Đối với mỗi ngôi nhà ở bên phải đường, họ tìm thấy sự khác biệt giữa số nhà của nó và số nhà đối diện, và hóa ra tất cả các con số tìm thấy đều khác nhau. Số nhà lớn nhất trên phố là n. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của n. M. Didin

6. (10) Ở đất nước của những hiệp sĩ (họ luôn nói sự thật) và những kẻ nói dối (họ luôn nói dối), 10 người, trong số đó có những kẻ nói dối, ngồi vào một chiếc bàn tròn ở các đỉnh của một hình thập giác đều. Một du khách có thể đứng ở đâu đó và hỏi những người đang ngồi: “Khoảng cách từ tôi đến người nói dối gần nhất trong số các bạn là bao nhiêu?” Sau đó mọi người đều trả lời anh ấy. Số lượng câu hỏi tối thiểu mà một khách du lịch phải hỏi để đảm bảo biết ai là người nói dối tại bàn ăn? (Không có người lạ ở gần, bạn không thể đứng trên bàn.

Hãy coi mọi người như những dấu chấm. Mọi người, kể cả khách du lịch, đều có thể đo chính xác mọi khoảng cách.) M. Didin

7. (12) Xem bài toán M2513 “Bài toán Kvant”.

lớp 10–11

1. (4) Xem bài toán 2 phương án khó dành cho lớp 8–9.

2. (5) Xem bài toán M2511 “Bài toán Kvant”.

3. (6) Bảng 10 u 10 chứa 100 số khác nhau. Trong khi di chuyển, bạn có thể chọn bất kỳ hình chữ nhật nào được tạo thành từ các ô và sắp xếp lại tất cả các số trong đó một cách đối xứng so với tâm của nó (“xoay hình chữ nhật một góc 180q”). Có phải sau 99 lần di chuyển các số sẽ tăng dần theo từng hàng từ trái qua phải và theo từng cột từ dưới lên trên không? A. Shapovalov

4. Một tam giác đều nằm trong mặt phẳng D được chiếu trực giao lên một mặt phẳng không song song E, tam giác thu được được chiếu trực giao lên mặt phẳng J và thu được một tam giác đều. Chứng minh rằng: a) (4) góc giữa hai mặt phẳng D và E bằng góc giữa hai mặt phẳng E và J; b) (4) Mặt phẳng E cắt các mặt phẳng D và J dọc theo các đường thẳng vuông góc với nhau. L. Emelyanov

5. (10) Xem bài toán M2513 “Bài toán Kvant.

6. (10) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tia BA và CD cắt nhau tại điểm P. Một đường thẳng đi qua P và song song với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm D cắt nhau tại các điểm U và V các tiếp tuyến với đường tròn tại các điểm A và B. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác CUV và tứ giác ABCD là tiếp tuyến. A. Zaslavsky

7. (12) Nhà vua quyết định ban thưởng cho một nhóm n nhà thông thái. Chúng sẽ lần lượt được xếp thành hàng (để mọi người cùng nhìn về một hướng).

41

Thế Vận Hội

leniya), mọi người sẽ đội mũ đen hoặc trắng. Mọi người sẽ nhìn thấy mũ của mọi người ở phía trước. Các nhà hiền triết lần lượt (từ cuối đến đầu) gọi tên màu (trắng hoặc đen) và số tự nhiên mà mình chọn. Cuối cùng, số nhà thông thái gọi tên màu phù hợp với màu mũ của mình được tính: đúng số ngày đó cả nhóm sẽ được tăng lương. Các nhà hiền triết được phép thỏa thuận trước về cách trả lời. Hơn nữa, các nhà hiền triết biết rằng chính xác k trong số họ bị điên (họ không biết chính xác là ai). Thánh nhân điên gọi màu và số màu trắng hoặc đen, bất chấp sự đồng ý. Số ngày được thưởng tối đa mà các nhà thông thái có thể đảm bảo cho nhóm là bao nhiêu, bất kể vị trí của những người điên trong hàng đợi là bao nhiêu? I. Mitrofanov

Vòng miệng lớp 11

1. Bà nội trợ nướng một chiếc bánh hình vuông và cắt ra nhiều miếng. Vết cắt đầu tiên được thực hiện song song với cạnh của hình vuông ban đầu từ mép này sang mép kia. Vết cắt tiếp theo được thực hiện ở phần còn lại từ mép này sang mép kia vuông góc với vết cắt trước đó, sau đó - tương tự (vài lần). Tất cả các mảnh cắt có diện tích bằng nhau. Phần còn lại của chiếc bánh có thể là hình vuông không? B.Frenkin

2. Cho X là một điểm cố định trên cạnh AC của tam giác ABC (X khác A và C). Tùy ý vây quanh

Đường thẳng đi qua X và B cắt đoạn AC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm P và Q khác X và B. Chứng minh rằng mọi đường thẳng PQ đều có thể đi qua một điểm. M.Panov

3. 16 thẻ có số nguyên từ 1 đến 16 được xếp úp xuống dưới dạng bàn 4 u 4 sao cho các thẻ ghi số liền kề nằm cạnh nhau (chạm vào một bên). Số lượng thẻ nhỏ nhất phải được lật cùng lúc để xác định chính xác vị trí của tất cả các số (bất kể thẻ được xếp như thế nào) là bao nhiêu? M. Evdokimov

4. Có một số tự nhiên A có 1001 chữ số và số Z có 1001 chữ số cũng chính là số A, viết từ đầu đến cuối (ví dụ: đối với số có 4 chữ số thì có thể là 7432 và 2347). Biết rằng A > Z. Tại A nào thì thương A/Z sẽ nhỏ nhất (nhưng lớn hơn 1)? A.Tolpygo

5. Có thể sắp xếp năm hình cầu trong không gian sao cho mỗi hình cầu có thể vẽ một mặt phẳng tiếp tuyến qua tâm của nó với bốn hình cầu còn lại không? Các quả cầu có thể giao nhau và không nhất thiết phải có cùng bán kính. M. Murashkin

6. Xem bài toán M2512 “Bài toán Kvant”. Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. Dorichenko, L. Mednikov

Olympic thể chất học sinh Moscow 2018

Vòng lý thuyết thứ hai

lớp 7

1. Người hưu trí đang hoạt động Nikolai Vasilyevich đã mua một cuộn băng dính (băng dính) không có nhãn xuất xưởng trong một cửa hàng. Ông quan tâm đến các câu hỏi: chiều dài L của băng này là bao nhiêu và độ dày d của màng mà băng được tạo ra là bao nhiêu? Nikolai Vasilyevich đã chụp ảnh một cuộn băng dính cùng với một cây thước được gắn ở điểm rộng nhất của cuộn dây (Hình 1). Sau đó, anh ấy đưa bức ảnh cho bạn bè xem, hỏi họ những câu hỏi của mình và sau một thời gian, anh ấy nhận được đáp số - chúng được hiển thị trong bảng. Đồng thời, một người bạn cũng thành thật thừa nhận rằng anh ta đã tìm ra độ dài của đoạn băng.

42

KV A NT 2018/№5

thời gian giữa các khung liền kề W = 16 ms. Tính vận tốc đầu nòng của quả bóng gôn. Quả bóng di chuyển vuông góc với hướng bạn đang nhìn. Chiều cao của người chơi golf là 1,8 m. A. Bychkov

Hình 1

từ nhân viên cửa hàng, sau đó tính toán độ dày bằng cách sử dụng một bức ảnh. Người bạn nào của Nikolai Vasilyevich đã trả lời đúng câu hỏi? Chiều dài của băng và độ dày của màng là bao nhiêu? Lưu ý: µm là micron, tức là một phần triệu mét. P. Kryukov

2. Chụp ảnh thời gian là một loại nhiếp ảnh cho phép bạn ghi lại chuyển động của một vật thể bằng cách chụp từng giai đoạn chuyển động riêng lẻ. Trong trường hợp này, các khung hình được lấy tuần tự ở những khoảng thời gian ngắn bằng nhau. Trước mặt bạn (Hình 2) là một bức ảnh chụp đồng hồ của một người chơi gôn đang đánh bóng. Khoảng thời gian

3. Hai chiếc hộp giống hệt nhau được chất đầy các khối lập phương màu đỏ và trắng có cùng kích thước ở trên cùng. Hộp đầu tiên chứa nhiều hơn 26 khối màu đỏ so với khối màu trắng và mật độ trung bình của chất bên trong hộp là 6,6 g $см^{3}$. Mật độ trung bình của nội dung trong hộp thứ hai là 7,5 g $см^{3}$. Thể tích của hộp là 1 lít, khối lượng khối lập phương màu đỏ là 52 g, khối lượng khối màu trắng là 127 g. Trong hộp thứ hai có nhiều hình khối màu gì hơn và bao nhiêu? A. Bychkov

4. Bến B nằm ở phía hạ lưu Bến A. Giữa A và B có một chiếc thuyền và một chiếc tàu cao tốc. Thuyền xuất phát từ A cùng lúc với thuyền xuất phát từ B. Khi đến gần bến B, thuyền quay đầu, thời gian rẽ không đáng kể rồi quay trở lại, đến bến A, quay đầu lại, v.v. Con thuyền di chuyển theo cách tương tự. Cuộc gặp gỡ đầu tiên của thuyền và thuyền xảy ra 1 giờ sau khi bắt đầu di chuyển. Khi thuyền đến gần bến A sau lần gặp đầu tiên, thuyền đi được 3 5 quãng đường giữa A và B. Lần gặp nhau thứ hai của thuyền và thuyền diễn ra tại bến B, họ đến cùng một lúc. 1) Sau bao lâu kể từ khi thuyền bắt đầu di chuyển thì nó đến được bến A? 2) Sau lần gặp thứ nhất bao lâu thì lần gặp thứ hai diễn ra? 3) Sau lần gặp thứ hai bao lâu thì gặp lần thứ ba? P. Kryukov

lớp 8

Hình 2

1. Trong phòng thí nghiệm của một nhà hóa học trẻ, hai chất lỏng có thể tích khác nhau được đựng trong hai ly: một màu xanh lam và một màu đỏ. Một ngày nọ, một nhà hóa học trộn nửa chất lỏng màu xanh lam và nửa chất lỏng màu đỏ vào bình, thu được hỗn hợp có mật độ $U_{1}$. Anh ta trộn phần chất lỏng còn lại từ cốc vào bình thứ hai và bình thứ ba, trong khi mật độ của hỗn hợp trong bình thứ hai hóa ra bằng $U_{2}$, và trong

43

Thế Vận Hội

thứ ba – $U_{3}$. Tìm tỉ số thể tích của ba hỗn hợp thu được và viết điều kiện để mật độ của các hỗn hợp này phải thỏa mãn. Hãy xem xét rằng khi chất lỏng được trộn lẫn, thể tích của chúng tăng lên. A. Bychkov

2. Trong những năm gần đây, các cuộc triển lãm đã trở nên phổ biến khi trưng bày các cơ chế đơn giản được cho là được chế tạo theo bản vẽ của Leonardo da Vinci. Các bức ảnh (Hình 3) cho thấy một cuộc triển lãm của một trong những

Hình 3

những cuộc triển lãm như vậy: nó được gọi là bánh răng sâu. Thiết bị này mang lại lực tăng bao nhiêu (không bao gồm ma sát)? Giả sử chiều dài của vòng đai (từ tay cầm đến trục nằm ngang) gấp đôi đường kính của tang trống nơi quấn dây. P. Kryukov

3. Trong một cái khay rộng có thành thẳng đứng, chứa một phần nước, có một chiếc cốc chứa đầy nước ở trên cùng. Hai vật nặng hình trụ được giữ cân bằng nhờ hệ ròng rọc và dây như hình 4.

Hình 4

tải phù hợp có giá trị bằng một tải trọng nhỏ có khối lượng ’m. Trong trường hợp này, trọng lượng bên trái chạm vào mặt nước với cạnh dưới và trọng lượng bên phải chạm vào cạnh trên. Diện tích mặt cắt ngang của tải bên trái là S, bên phải là 2S. Quá tải được loại bỏ rất chậm khỏi vật nặng bên phải, sau đó vật nặng bên trái chìm một phần trong nước. 1) Chiều cao của mực nước trong chảo sẽ thay đổi bao nhiêu? 2) Khối lượng nước sẽ đổ từ cốc vào chảo là bao nhiêu? 3) Độ sâu ngâm của tải bên trái trong nước phụ thuộc vào khối lượng quá tải như thế nào? Các khối không trọng lượng, sợi chỉ không trọng lượng và không thể giãn ra, không có ma sát. Nước không đổ ra khỏi chảo. A. Bychkov

4. Một lớp băng rất dày có nhiệt độ 0 q C. Nhà thám hiểm vùng cực quyết định tiến hành một thí nghiệm. Để làm được điều này, anh ta tạo một lỗ nhỏ trên băng và phủ nó bằng một lớp chất cách nhiệt rồi nhét một ống mỏng vào đó. Qua ống này, nhà thám hiểm vùng cực đổ rất chậm một chất lỏng nóng không xác định có nhiệt dung riêng c và mật độ U vào lỗ. Chất lỏng làm tan băng và độ sâu của lỗ tăng lên. Nhà thám hiểm vùng cực phát hiện ra rằng có một giá trị tối thiểu nhất định của nhiệt độ ban đầu của chất lỏng $t_{0}$, tại đó một lượng chất lỏng lớn tùy ý có thể được đổ vào lỗ và băng sẽ tiếp tục tan chảy. Trong trường hợp này, bề mặt của nước thu được sẽ không bao giờ dâng lên mép trên của lỗ. Tìm giá trị nhỏ nhất này $t_{0}$. Nhiệt dung riêng của sự nóng chảy của băng O, cũng như mật độ của nước và băng $U_{в}$ và $U_{л}$ đã được biết. M.Romashka lớp 9

5. Điểm vật chất bắt đầu di chuyển thẳng dọc theo trục x. Thiết lập thử nghiệm tự động sẽ đo rất chính xác tọa độ của một điểm trong mỗi mili giây và truyền dữ liệu này đến máy tính để xử lý. Máy tính tính toán tốc độ mặt đất trung bình $v_{cp}$ của điểm mỗi mili giây trong toàn bộ thời gian trôi qua từ khi bắt đầu chuyển động đến hiện tại

44

KV A NT 2018/№5

khoảnh khắc và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của $v_{cp}$ vào thời gian t (Hình 5). Tuy nhiên, tại thời điểm $t_{0} = 10$ giây cài đặt thử nghiệm

Hình 5

Thiết bị mới bị hỏng và ngừng truyền dữ liệu về máy tính nhưng điểm vật chất vẫn tiếp tục di chuyển. Xác định giá trị lớn nhất có thể có của thời gian t, cho đến khi phần giảm dần của đồ thị sau 8 s (đường đứt nét trong hình) có thể thẳng. M.Romashka

2. Ông, bà, cháu gái, Bug, Murka và con chuột nhỏ muốn nhổ một củ cải. Củ cải là một quả bóng đồng nhất có bán kính R, trên đỉnh có nhiều lá dài chắc chắn, không trọng lượng để có thể kéo củ cải. Củ cải được ngâm một nửa trong đất. Được biết, ông nội có thể kéo với lực tối đa F, bà có thể kéo yếu gấp đôi, cháu gái có thể kéo yếu gấp đôi bà, Zhuchka có thể kéo yếu gấp đôi cháu gái, Murka có thể kéo yếu gấp đôi Zhuchka, và con chuột nhỏ có thể kéo yếu gấp đôi Murka. Khối lượng tối đa có thể có của một củ cải là bao nhiêu nếu biết rằng nó đã được nhổ ra? Làm thế nào mà các anh hùng trong truyện cổ tích lại phải nhổ một củ cải như vậy để cuối cùng nhổ được nó? Hãy xem xét rằng củ cải đã chín, rễ của nó đã khô và nó chỉ được giữ trong đất được nén chặt do trọng lượng của chính nó. Khi kéo, củ cải không thể quay quanh trục đối xứng của nó. N.Trushnikov

3. Điện trở của từng điện trở trong mạch, có sơ đồ như trong Hình 6, bằng nhau và bằng 3 Ohm. Hiệu điện thế giữa các cực của một nguồn lý tưởng là 6 V. Tất cả các ampe kế đều lý tưởng, ở tâm hình lục giác tiếp xúc giữa các dây dẫn

Không. Tìm số đọc của tất cả các ampe kế. A. Bychkov

4. Đang đi dọc phố vào một ngày nắng đẹp, một cậu học sinh nhìn thấy một cái bục phẳng nằm ngang, trên đó có nhiều cột trụ thẳng đứng $ци-_{Рис.} 6$ có cùng chiều cao nhưng có đường kính khác nhau. Học sinh này nhận thấy rằng các cột có đường kính khác nhau tạo ra bóng “đầy đủ” có độ dài khác nhau, mặc dù thực tế là chúng đều có cùng chiều cao. Ông nhận ra: điều này là do mặt trời không phải là nguồn sáng điểm mà có kích thước góc D | 0,5q | 0,01 rad. Trở nên thích thú, học sinh bắt đầu đo đường kính của các cột d và độ dài L của bóng của chúng, sau đó xây dựng đồ thị phụ thuộc L d - đây là

Hình 7

đồ thị được thể hiện trong Hình 7. Sử dụng đồ thị này, hãy xác định chiều cao của các cột. M.Romashka lớp 10

1. Bức ảnh (Hình 8), chụp bằng camera của điện thoại di động, cho thấy một cánh quạt máy bay đang quay. Hiệu ứng “làm mờ” quan sát được của hình ảnh là do cách ma trận camera xử lý luồng ánh sáng. Khi máy ảnh được kích hoạt, ma trận không “chụp” toàn bộ cảnh đang được quay cùng lúc mà việc quét khung hình từng bước rất nhanh diễn ra từ trái sang phải (theo quan điểm của nhiếp ảnh gia). Kết quả là, các “dải” hình ảnh dọc hẹp tuần tự đi vào bộ nhớ của máy ảnh và “li-

45

Thế Vận Hội

Người ta phỏng đoán rằng những hạt này xuất hiện từ sự phân rã của một hạt duy nhất và đầu tiên nó phân rã thành ba hạt, sau đó một trong ba hạt tạo thành phân rã thành hai hạt. Hãy xác định xem giả thuyết này có đúng hay không và nếu đúng thì xác định xem bao lâu sau lần phân rã thứ nhất thì lần phân rã thứ hai xảy ra. Giả sử các hạt chuyển động tự do. I.Vorobiev

Hình 8

Quá trình quét" di chuyển với tốc độ không đổi. 1) Cánh quạt quay theo hướng nào so với góc nhìn của nhiếp ảnh gia? 2) Cánh quạt có bao nhiêu cánh? 3) Ước tính cánh quạt quay bao nhiêu vòng mỗi giây nếu quá trình thu được toàn bộ hình ảnh mất 1/8 giây. A. Bychkov

2. Thiết bị ghi đã xác lập vị trí của các hạt cơ bản A, B, C và D tại một thời điểm nào đó, cũng như chuyển động của chúng trong thời gian W, tính từ thời điểm này (các chuyển động được thể hiện trên Hình 9 theo từng đoạn). Khối lượng của hạt C và D bằng nhau.

Hình 9

3. Một cái nêm có khối lượng M = 250 g có góc D 30 q ở đáy đặt trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Một khối có khối lượng m = 100 g được đặt trên nêm và truyền cho nó một vận tốc nhất định bằng một va chạm hướng lên dọc theo bề mặt nghiêng của nêm. Tìm nhiệt lượng Q tỏa ra do ma sát của khối trên nêm, biết rằng độ cao tối đa mà khối nâng lên được từ vị trí ban đầu là h = 20 cm. Hệ số ma sát của vật trên mặt nghiêng của nêm là P = 0,6. Lấy gia tốc rơi tự do bằng g 10 m $с^{2}$. S. Chesnokov

4. Trên một phần sân nằm ngang, Vasya đã dọn sạch một khu vực có kích thước 1 m x 1 m khỏi tuyết trắng tinh. Dưới tia nắng mùa xuân, trái đất đen nóng lên và đốt nóng không khí phía trên nó. Nhiệt năng mà không khí nhận được từ địa điểm này là W = 0,3 kW, vì mặt trời ở khá thấp so với đường chân trời vào mùa đông. Trong thời tiết khô ráo và lặng gió, ở nhiệt độ không khí $T_{0} = 273$ K và áp suất gần bề mặt trái đất $p 10^{5}$ Pa, một cột không khí ấm bốc lên phía trên địa điểm có nhiệt độ $T_{1} = 275$ K và tiết diện $S 2 м^{2}$ ở độ cao h = 10 m. Nhiệt độ môi trường không phụ thuộc vào độ cao và bằng $T_{0}$. Khối lượng mol của không khí là M = 29 g/mol, nhiệt dung mol của nó ở áp suất không đổi là $C_{p} 7 R 2$. 1) Ước tính tốc độ dòng khí tăng lên ở độ cao h nếu quá trình đã tự thiết lập. 2) Ước tính độ cao mà không khí ấm sẽ tăng lên nếu không có sự trao đổi nhiệt giữa không khí ấm và không khí lạnh xung quanh nó.

53

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

GIẢI PHÁP

2. Trong ví dụ của chúng tôi, hình không phải là đa giác; nó có một cái lỗ. Chúng tôi không biết liệu có tồn tại những số liệu có tính chất cần thiết mà không có lỗ hay không.

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

(xem «Kvant» số 3)

25. a, b) Không phải lúc nào cũng vậy. a) Petya có thể tô màu bảng theo kiểu bàn cờ và viết A vào ô đen và viết B vào ô trắng. Các ô liền kề có các chữ cái khác nhau nên dù Vasya có đi quanh bảng như thế nào thì các chữ cái sẽ luân phiên nhau: ABAB…ABAB. Có số ô chẵn nên chữ cái cuối và chữ cái đầu khác nhau. Điều này có nghĩa là trình tự từ phải sang trái được đọc khác nhau. b) Đầu tiên, chúng ta sắp xếp các chữ cái theo thứ tự bàn cờ sao cho có nhiều hơn một chữ cái A so với chữ cái B. Các chữ cái thay thế nhau trong bất kỳ lần duyệt nào và thu được chuỗi ABA…ABA. Hãy chọn bất kỳ cặp ô nào có các chữ cái khác nhau và hoán đổi các chữ cái. Sau đó, với bất kỳ lần duyệt nào, kết quả là một đường thẳng khác với ABA…ABA ở hai vị trí: ở một vị trí A được thay thế bằng B, vị trí kia - B bằng A. Những vị trí này sẽ không đối xứng với nhau, do đó, đường thẳng được đọc khác nhau từ trái sang phải và từ phải sang trái. 26. a) Cho hình chữ nhật ABCD, giao điểm của các đường chéo của nó sẽ được ký hiệu là O. Các điểm mà các đỉnh đi tới sẽ lần lượt được ký hiệu là A¢ $,^{B¢},^{C¢},^{D¢}$. Đối xứng với BD, điểm A đi $в^{A¢}, C$ – vào C¢, O – vào chính nó (Hình 2).

Hình 3

ABA ¢ D ¢ CDC ¢ B ¢ (Hình 3). Khi đó ABCD và A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ là những hình chữ nhật bằng nhau. Một hình bát giác đều đối xứng qua các đường chéo của nó, nối các đỉnh đối diện, có nghĩa là đỉnh A, đối xứng với BD, sẽ đi vào A¢, C - vào C¢, và các đỉnh B và D, đối xứng với AC, sẽ lần lượt đi vào $в^{B¢} и^{D¢}$. c) Họ không thể. Trong lời giải của phần a) chúng ta đã chứng minh rằng các đường chéo A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ bằng các đường chéo ABCD. Và đối với các hình tương tự nhưng không bằng nhau, các đoạn tương ứng phải có độ dài khác nhau. 27. Câu chuyện của Petya không thể là sự thật. Hãy cho rằng Petya đúng. Hãy để anh ta chia số k cho m. Nếu khi chia cho m, số k cho số dư x thì theo điều kiện bài toán $k^{2}$ cho số dư 2x. Khi đó số $k^{2} - 2 k$ cho số dư 2x – 2x = 0, tức là chia hết cho m. Tương tự, $k^{3} - 3 k$ chia hết cho m:

$k^{2} -_{2} k$ ⋮ $m_{,} k^{3} -_{3} k$ ⋮ m.

Bây giờ chúng ta sẽ lần lượt giảm bậc k trong các biểu thức này. Đầu tiên, chúng ta hãy loại bỏ $k^{3}$: số $k^{3} - 3 k - k k^{2} - 2 k = 2 k^{2} - 3 k$ chia hết cho m là hiệu của bội số của m. Vì vậy, chúng tôi chuyển sang một cặp biểu thức mới:

(

) (

)

$k^{2} -_{2} k$ ⋮ $m_{,} 2 k^{2} -_{3} k$ ⋮ m.

Sau đó, hãy loại bỏ $k^{2}$ trong một trong các biểu thức.

Hình 2

Vậy AC = A ¢ C ¢. Điểm O là trung điểm của AC nên cũng là trung điểm của A ¢ C ¢. Lý luận tương tự có thể được thực hiện đối với đường chéo BD. Như vậy, trong tứ giác A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ các đường chéo bằng nhau (chúng bằng các đường chéo của hình chữ nhật ABCD) và trung điểm của chúng trùng nhau (đây là điểm O). Suy ra A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ là hình chữ nhật. b) Họ có thể. Hãy xem xét một hình bát giác đều

(

) (

)

Xét hiệu $2 k^{2} - 3 k - 2 k^{2} - 2 k = k$, nó được chia cho m là hiệu của các số là bội số của m. Điều này có nghĩa là k chia hết cho m và theo điều kiện k cho phần dư khác 0. Sự mâu thuẫn. Hóa ra Petya đã sai. Câu chuyện của Colin có thể là sự thật. Ví dụ: nếu anh ta chia cho 21 lũy thừa của 3: 3 được chia cho 21 với số dư $3, 3^{3} = 27$, cho số dư 6 và $3^{2} = 9$. Ví dụ này có thể được khái quát hóa: thay vì 3, bạn có thể lấy bất kỳ số nào có dạng 3 + 21n, trong đó n là số nguyên. 28. Số có 10 chữ số có tổng bằng 9 chữ số nhiều hơn số có 9 chữ số có tổng bằng 10 chữ số.