Kvant 2019, số 6 · Trang

11

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

Người xem Pinot Hukk của chúng tôi hỏi: điều gì sai với tổng nếu chúng ta sắp xếp lại các số hạng? Chuyên gia thường trực của chúng tôi về các vấn đề phù hợp, chim gõ kiến ​​Spyatel, sẽ giúp chúng tôi trả lời câu hỏi này. - Xin chào các bạn! Vậy là chúng ta lại gặp nhau ở hai phía đối diện của màn hình TV! – Xin vui lòng cho tôi biết, nhạc trưởng, Pinot Hukk có thể lo ngại ở đâu về số tiền mà chúng tôi thay đổi thứ tự của các điều khoản? Có phải người xem truyền hình của chúng ta thực sự không biết những nội dung cơ bản của chương trình giảng dạy ở trường? “Bạn thấy đấy, có cuộc sống ngoài chương trình giảng dạy ở trường,” Woodpecker Spyatel giải thích. – Nhiều ví dụ cho chúng ta biết rằng thứ tự tính tổng là quan trọng. Giả sử chiếc Pinot Hukk này của bạn đã đến cửa hàng… - Xin lỗi, bạn có muốn nói rằng khi mua kem và một thanh sô cô la, chúng tôi sẽ không trả tiền giống như khi mua một thanh sô cô la và kem không? – Bạn là người thể thao và năng động, không nói ngoa, nói chung là hay ngắt lời và cư xử kiêu ngạo, hơn nữa chúng ta đang nói về một khoản mua hàng rất nhỏ nên tôi nghĩ rằng nếu bạn mua thì trong cả hai trường hợp đều là giá cả

TRẺ EM HỌC SINH

mua hàng sẽ giống nhau. Nhưng hãy tưởng tượng rằng bạn đến một cửa hàng trang sức và muốn mua… à, giả sử, một chiếc hộp đựng nhẫn. Chiếc hộp chỉ có giá 100 rúp, nhưng vào giây phút cuối cùng bạn nói: “Vậy thì hãy để tôi mua một chiếc nhẫn với giá 100.000.” Như vậy, chỉ với 100 nghìn 100 rúp, bạn đã trở thành chủ nhân đáng tự hào của một chiếc nhẫn trong hộp. Nếu bạn bắt đầu mua những mặt hàng này theo một thứ tự khác - trước tiên hãy chọn một chiếc nhẫn, sau đó đồng ý “vâng, vâng, hãy đóng gói nó”, thì giá mua có thể cao hơn, chẳng hạn như 100 nghìn 500 rúp! “Tôi nghĩ những điều bất thường như vậy không xảy ra thường xuyên.” – Đừng nói với tôi, rất thường xuyên. Đây là một ví dụ khác: táo và cam được bán ở chợ; cả hai đều là 100 rúp một kg. Bạn lấy một quả táo (khoảng 10 rúp trên 100 gram) và một tấn cam (100 nghìn rúp). Tổng cộng 100.010 rúp. Nếu bạn lấy một tấn cam và yêu cầu thêm một quả táo, “chúng có giá như nhau”, thì rất có thể bạn sẽ nhận được thứ tương tự với giá “chỉ” 100.000 rúp. – Tôi hiểu bạn, rõ ràng, ở đây chúng ta đang giải quyết phép cộng thương mại, phép cộng này có những sắc thái riêng và không phải lúc nào cũng tuân theo các quy luật toán học. Nhưng liệu số lượng có thể thay đổi nếu chúng ta đang nói về toán học thuần túy? – Tất nhiên là bạn đã nghe nói về dao động lượng tử chân không? - Chim gõ kiến ​​Spyatel đột nhiên hỏi. “Đúng,” Gargoyles trả lời không do dự, “bây giờ đây là một chủ đề rất thời thượng, mọi người đều đã nghe nói về chúng.” Nhưng đặc biệt đối với người xem truyền hình của chúng ta, Pinot Hukka rất đáng được giải thích. – Ở đây, bạn có không gian trống rỗng, hoàn toàn chân không. Nói tóm lại, đây là noprenol. Đột nhiên, theo đúng nghĩa đen, chẳng hạn, một electron ghép đôi với một positron xuất hiện. Và sau một lúc, chúng lặng lẽ tiêu diệt, thay vì phân tán ra các hướng khác nhau. “Vâng, vâng, tuyệt vời và rất thú vị,” Gargoyles đồng ý, ngáp dài thích thú.

NHIỆM VỤ CỦA NICK “QUANTA”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2562 – M2564, M2565a đã được cung cấp ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLV dành cho học sinh môn toán. Bài toán F2569–F2572 đã được cung cấp tại Olympic Internet SUSC trong năm học 2018/19. Tác giả bài toán – S. Varlamov.

Bài toán M2562–M2565, F2569–F2572

M2562. Mỗi điểm A của mặt phẳng ứng với một số thực f(A). Biết rằng nếu M là giao điểm các đường trung tuyến của tam giác ABC thì f ( M ) = = f ( A ) + f ( B ) + f ( C ). Chứng minh rằng f ( A ) = 0 với mọi điểm A. A. Golovanov

M2563. Pasha và Vova chơi ván tiếp theo, thay phiên nhau thực hiện các nước đi. Pasha bắt đầu. Ban đầu, các cậu bé có một miếng nhựa lớn trước mặt. Chỉ bằng một động tác, Pasha có thể cắt bất kỳ mảnh nhựa nào có sẵn thành ba phần. Vova tự mình chọn hai mảnh bất kỳ và ghép chúng lại với nhau. Pasha thắng nếu tại một thời điểm nào đó trong số các mảnh nhựa có sẵn có 100 mảnh có cùng khối lượng. Vova có thể ngăn Pasha chiến thắng không? R. Efremov, D. Belov

M2564. Cho tam giác nhọn ABC, trong đó AC < BC (Hình 1). Đường tròn đi qua các điểm A và B rồi cắt các đoạn CA và CB lần lượt tại các điểm $A_{1}$ và $B_{1}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và $A_{1} B_{1} C$ lại cắt nhau tại điểm P. Các đoạn thẳng $AB_{1}$ và $BA_{1}$ cắt nhau tại điểm S. Điểm Q và R đối xứng với S so với đường thẳng

Hình 1

CA và CB của chúng tôi. Chứng minh rằng các điểm P, Q, R và C cùng thuộc một đường tròn. D. Prokopenko

$M2565^{*}$. a) Cho n đồng xu có khối lượng từng cặp khác nhau và n cái cân hình chảo, n > 2. Mỗi lần cân, bạn được phép chọn một trong các chiếc cân, đặt một đồng xu lên đĩa cân, nhìn số chỉ trên cân rồi lấy đồng xu ra. Một số cân (không rõ là cân nào) bị hỏng và có thể ngẫu nhiên đưa ra cả kết quả đúng và sai. Số lần cân tối thiểu có thể là bao nhiêu

22

KVA NT 2019/Số 6

có thể được quan sát và hát đi hát lại bởi các nhà thơ, và bức xạ radio, IR, UV, X-ray và gamma được các nhạc cụ ghi lại một cách tự tin. Tuy nhiên, thuyết tương đối rộng (GR) cũng dự đoán sóng hấp dẫn sẽ phát sinh khi hình dạng của các ngôi sao lớn dao động. Về cơ bản, việc học cách ghi lại những làn sóng này là điều quan trọng và thực tế. Thật vậy, về nguyên tắc, chẳng hạn, bất kỳ sinh viên nào di chuyển nhanh chóng từ giảng đường đến nhà ăn sẽ làm thay đổi sự phân bố khối lượng trong Vũ trụ. Trong gần một trăm năm, nhân loại đã nghiên cứu khả năng ghi nhận sóng hấp dẫn trên Trái đất đến với chúng ta từ ngoài vũ trụ. Các máy dò được J. Weber sử dụng (những năm sáu mươi của thế kỷ trước) có thể “cảm nhận” được sự biến dạng của thiết bị thu với độ chính xác $10^{16}$ m - nhỏ hơn mười lần so với bán kính của proton! Trong các thí nghiệm của V.B. Braginsky (cuối quá khứ - đầu thế kỷ này), ngưỡng nhạy cảm của mật độ dòng năng lượng đạt tới $10^{9}$ W $м^{2}$. Và tương đối gần đây, hệ thống theo dõi đã ghi lại sóng hấp dẫn từ một lỗ đen kép có tổng khối lượng gần gấp một trăm lần khối lượng Mặt trời của chúng ta, nằm cách chúng ta 400 megaparsec (1 parsec = 3 $10^{16}$ m). Tất nhiên, cả hai phần của nó đều quay xung quanh một khối tâm chung (ví dụ như Trái đất và Mặt trăng) với tốc độ cực lớn và ngày càng tăng theo tốc độ ánh sáng (“trật tự” không có nghĩa là “bằng nhau”). Và do khoảng cách giữa chúng thay đổi, nên xuất hiện sự biến dạng thủy triều mạnh của những ngôi sao này và không gian xung quanh, dẫn đến phát sinh sóng hấp dẫn (Hình 2). Và nếu sự rung động của một giọt nước không chỉ được đặc trưng bởi một tập hợp tần số mà còn bởi hình dạng - chúng ta có thể mong đợi điều gì từ các ngôi sao! Trong quang phổ của các rung động này, các dạng tứ cực đóng một vai trò quan trọng. Kết quả của sự hợp nhất, một lỗ đen duy nhất được hình thành với khối lượng $62 0_{⊙}$ (trong đó $0_{⊙} 2$ $10^{30}$ kg là khối lượng của Mặt trời), $3 0_{⊙} c^{2}$ năng lượng được sử dụng để phát ra sóng hấp dẫn (trong đó c 3 $10^{8}$ m s là tốc độ ánh sáng) và giá trị tối đa của “độ sáng” hấp dẫn đạt tới 3,6 $10^{49}$ W, tương đương với $200 0_{⊙} c^{2}$ jo-power

Hình 2. Sự hợp nhất của một cặp lỗ đen. Hàng trên cùng là các giai đoạn liên tiếp của quá trình. Trung bình – sự dao động tương ứng về cường độ của sóng hấp dẫn (đơn vị tùy ý), thu được nhờ các nghiên cứu số dựa trên thuyết tương đối rộng. Bên dưới - sự thay đổi theo thời gian về khoảng cách r giữa các ngôi sao và tốc độ tương đối của chúng ’ v (so với tốc độ ánh sáng)

tổ ong mỗi giây. Tất nhiên, chỉ có một “âm thanh” rất yếu truyền đến Trái đất. Một trong những nhà nghiên cứu đã so sánh khó khăn trong việc tách biệt các tín hiệu phù hợp với việc cố gắng nghe một người bạn thì thầm ở đầu bên kia của một quán cà phê ồn ào. Có lẽ sự so sánh này chưa đủ rõ ràng - việc “nghe thấy” tín hiệu hấp dẫn bằng một máy dò thậm chí còn khó khăn hơn. Vì vậy, hai máy dò đã được lắp đặt tại hai điểm ở Hoa Kỳ ở khoảng cách khoảng 3000 km với nhau. Sóng hấp dẫn đáng lẽ phải truyền đi theo đường này trong khoảng 10 micro giây, giả sử tốc độ của nó bằng tốc độ ánh sáng. Dựa trên điều này, từ rất nhiều loại nhiễu, có thể tách ra hai tín hiệu tương tự nhau, dịch chuyển theo thời gian so với nhau bởi một độ trễ đã biết (Hình 3). Tần số dao động được ghi lại nằm trong khoảng 35–250 Hz. Đồng thời, độ tin cậy của thí nghiệm được coi là rất cao: xác suất xảy ra báo động sai được ước tính là một sự kiện cứ sau 203 nghìn năm.

…sự khởi đầu của ngành đóng tàu đã có từ rất lâu trước khi có bất kỳ chữ viết và lịch sử nào… Alexey Krylov

Bạn có thể so sánh lực cản của các vật thể với nhau và tìm ra những vật thể thích nghi để tiếp tục chuyển động trong môi trường có lực cản. Isaac Newton

…khắp nơi trong vùng than…động cơ hơi nước chở than! Họ tự mình mang nó mà không cần sự giúp đỡ của động vật bốn chân! Evgeny Tarle

…từ xa xưa, nhiều người đã coi tên lửa là một trong những phương pháp của ngành hàng không. Konstantin Tsiolkovsky

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

?

vật lý+công nghệ

Làm thế nào một người có thể tham gia xây dựng và xử lý các vật liệu khác nhau - và đây chính xác là những gì đã được thảo luận trong các vấn đề vật lý và kỹ thuật trước đây của chúng ta - nếu không thể di chuyển nhiều tải trọng khác nhau và thậm chí di chuyển xung quanh? Vì vậy, anh ấy đã phải vắt óc tìm ra những thiết bị cho phép anh ấy vận chuyển nhiều hơn và nhanh hơn, hay nói cách khác là giải quyết các VẤN ĐỀ VẬN CHUYỂN. Trong nhiều thế kỷ, xe đẩy, mái chèo và cánh buồm đã giúp chúng ta - với sự giúp đỡ của chúng, chúng ta có thể khám phá những không gian rộng lớn và thậm chí khám phá những lục địa mới. Nhưng “mã lực” và gió đuôi đã được thay thế bằng những chiếc xe mới, mạnh hơn và nhanh hơn nhiều. Tích cực “tiếp thu” những thành tựu của khoa học, công nghệ giao thông vận tải, theo đúng nghĩa đen trong hai thế kỷ qua, đã thay đổi hoàn toàn quan niệm về quy mô trái đất và thời điểm đến bất kỳ điểm nào trên hành tinh của chúng ta. Ngày nay chúng ta không còn có thể ngạc nhiên trước máy bay không người lái và phương tiện không người lái, tàu cánh ngầm và thủy phi cơ, máy bay chạy bằng năng lượng mặt trời và các chuyến bay du lịch trên quỹ đạo Trái đất thấp. Điều gì sẽ xảy ra vào ngày mai? Tuy nhiên, chúng ta hãy thử tưởng tượng tương lai giao thông vận tải của chúng ta, cho đến nay chỉ bắt đầu từ các phương tiện giao thông phổ biến.

Câu hỏi và bài toán

1. Tổ tiên xa xưa của chúng ta đã sử dụng xe đẩy - xe đẩy có bánh lớn - trên những con đường đất. Ưu điểm của loại hình vận chuyển này là gì? 2. Cách dễ nhất để di chuyển xe đẩy - bằng cách tác dụng lực lên thân xe hoặc lên đỉnh vành bánh xe là gì? 3. Một người đi xe đạp dễ dàng tạo ra lực kéo 100 N. Lực ma sát không vượt quá 50 N. Có vẻ như trong vài giờ người ta có thể đạt được tốc độ vũ trụ thứ hai, nhưng điều này là không thể. Tại sao? 4. Tại sao người ta lại tạo hoa văn nổi trên lốp ô tô? Vì mục đích gì mà nó có cả sọc ngang và sọc dọc? 5. Khi lái xe trên cát hoặc tuyết, nên giảm áp suất không khí trong lốp ô tô. Để làm gì? 6. Mục đích lắp cánh gió trên xe đua là gì? 7. Để di chuyển một đoàn tàu nặng, trước tiên người lái tàu phải lùi lại. Tại sao? Nếu đoàn tàu chuyển động mạnh về phía trước thì các khớp nối có thể bị đứt ở bộ phận nào của đoàn tàu? 8. Tại sao du thuyền buồm cần có sống tàu lớn? 9. Tại sao ở tàu có bánh, chân vịt - bánh xe - không chìm hoàn toàn trong nước, trong khi ở tàu hiện đại, chân vịt lại chìm hoàn toàn trong nước?

10. Con tàu di chuyển từ sông ra biển. Công suất động cơ không thay đổi. Vận tốc của tàu so với nước có giữ nguyên không? 11. Có thể dùng cánh buồm và bánh lái để điều khiển chuyến bay của khinh khí cầu không? 12. Một chiếc trực thăng đứng trên mặt đất nằm ngang bay lên và bay lơ lửng ở độ cao thấp. Khi nào máy bay trực thăng tác dụng lực nhiều hơn lên mặt đất? 13. Khi bay với động cơ chạy và tiêu hao nhiên liệu, vị trí trọng tâm của máy bay trong hệ quy chiếu liên kết với thân máy bay có thay đổi không? 14. Tại sao khi bay ngang đều, máy bay chở nặng lại di chuyển chậm hơn máy bay không tải? 15. Tại sao công suất của động cơ phản lực giảm khi nhiệt độ không khí tăng? 16. Một tên lửa bay với động cơ đang chạy, tốc độ của tên lửa lớn hơn tốc độ của dòng khí thoát ra khỏi động cơ. Điều này có làm tăng tốc độ của tên lửa không?

Kinh nghiệm vi mô

Chắc chắn, khi đi xe đạp, bạn đã chú ý đến các cơ chế đơn giản được sử dụng trong đó - vô lăng, bàn đạp, bộ truyền động xích. Họ đạt được chiến thắng bằng cách nào và bằng cách nào?

Thật thú vị rằng…

…việc phát minh ra bánh xe có trước sự thành thạo lâu dài về chuyển động quay - từ quay một thanh gỗ để tạo lửa, sử dụng bánh xe của thợ gốm và các thiết bị nâng cho đến sử dụng khúc gỗ tròn khi vận chuyển vật nặng. …các thủy thủ của Ai Cập cổ đại đã biết cách kiểm soát sức mạnh của gió: những cánh buồm trên tàu của họ dần dần có hình dạng tối ưu cho thời điểm đó. …Newton, người cũng tham gia vào lĩnh vực khí động học, đã thiết lập được sự phụ thuộc bậc hai của lực cản của môi trường vào tốc độ, điều này sau này rất quan trọng đối với ngành hàng không cận âm. Ở tốc độ cao hơn, sự phụ thuộc này trở thành hình khối, điều này đã được các lính pháo binh chú ý khoảng một trăm năm trước, khi máy bay mới bắt đầu đuổi kịp chim.

…sự xuất hiện của đầu máy xe lửa - động cơ hơi nước trên đường ray - và việc phát minh ra tàu hơi nước vào đầu thế kỷ 19 đã mang đến một cuộc cách mạng toàn diện trong công nghệ vận tải. …khi vận chuyển một tảng đá khổng lồ đến bệ Kỵ sĩ đồng ở St. Petersburg, những quả bóng gang đã được sử dụng để đặt nó bên dưới nó - nguyên mẫu của vòng bi trong tương lai, loại vòng bi này chỉ trở nên phổ biến vào những năm 80 của thế kỷ 19. Nhờ đó, lực ma sát trượt được thay thế bằng lực ma sát lăn ít hơn hàng chục lần. …D.I. Mendeleev, người đã bay trên khinh khí cầu mà không có phi công, lập luận rằng việc chinh phục bầu khí quyển sẽ được thực hiện với sự trợ giúp của khinh khí cầu chứ không phải bằng những cỗ máy nặng hơn không khí. K.E. Tsiolkovsky, trước khi bắt đầu nghiên cứu lý thuyết về động cơ đẩy tên lửa, đã phát triển các nguyên tắc chế tạo một chiếc khí cầu hoàn toàn bằng kim loại. …các kỹ sư tại Viện Công nghệ Massachusetts đã tạo ra một chiếc ô tô bay hai chỗ ngồi. Trên mặt đất, nó di chuyển bằng đôi cánh gấp và trên không, nó đạt tốc độ lên tới 185 km một giờ với trọng tải lên tới 195 kg. …chưa đầy một năm trước, một chiếc thuyền robot, được điều khiển bởi hệ thống lái tự động, đã vượt Đại Tây Dương. Các thiết bị điện tử trên tàu được cung cấp năng lượng từ các tấm pin mặt trời lắp đặt trên boong và động cơ đẩy là một cánh buồm hình thang.

…ý tưởng về một thiết bị gắn trên máy bay không người lái cho phép nó theo dõi khoảng cách nguy hiểm với các phương tiện khác đã được những người tạo ra nó mượn…từ châu chấu. Những loài côn trùng này cố gắng không va chạm với nhau hoặc với những con chim cản đường chúng - và điều này bất chấp thực tế là trong đàn châu chấu, mật độ cá thể lên tới 80 triệu trên mỗi km vuông!

Những gì cần đọc trong «Kvant» về giao thông

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Không khí cản trở chuyển động của cơ thể như thế nào” – 2015, số 1, tr. 35; 2. “Tên lửa hơi nước…” – 2016, Phụ lục số 2, tr.87; 3. “Chuyển động của ô tô và sinh vật…” – 2017, Số 1, tr.36; 4. “Có loại đường mòn nào” - 2017, số 7, tr. 21; 5. “Mất khả năng kiểm soát” – 2018, Số 7, tr.2.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

27

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

Hình 3

Hình 3 giải thích tại sao một mô-đun được sử dụng trong việc xây dựng định lý. Từ những điều trên, ngay lập tức có tuyên bố sau. Định lý 2. Đường cao của một tam giác là các đường phân giác (hoặc các đường phân giác ngoài) của tam giác trực giao của nó, tức là tam giác được tạo bởi các đáy của các đường cao. Trong ký hiệu vẽ của chúng tôi, điều này có nghĩa là $C_{1} A_{1} A$ $B_{1} A_{1} A$, $A_{1} B_{1} B$ $C_{1} B_{1} B$ và $B_{1} C_{1} C$ $A_{1} C_{1} C$. Chúng tôi khuyên bạn nên tự mình chứng minh sự thật này. Hãy xem thực tế này có thể giúp bạn đối phó với một nhiệm vụ không hề đơn giản như thế nào. Hãy xem xét bài toán từ Olympic Toán học Anh năm 2012 (của Tiến sĩ David Monk). Bài toán 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E và F lần lượt là đáy của các độ cao lần lượt rơi từ các đỉnh A, B và C. Chứng minh rằng DE DF d BC và tìm các tam giác thỏa mãn đẳng thức. Lời giải. Trong Hình 4, các góc bằng nhau (chúng ta đã biết) được đánh dấu. Ngoài ra, vì có tổng các phân đoạn nên tôi muốn “làm thẳng” cấu hình bằng cách đặt chúng trên một đường thẳng. Rõ ràng là cần phải có bất đẳng thức tam giác. Đây là nơi chúng tôi nhận được lời giải. Gọi F c là ảnh của F soi gương đối với BC. Lưu ý rằng vì BFC BEC BF c C 90 q nên BFECF c nội tiếp đường tròn có đường kính BC. Lưu ý rằng EDC FDB (theo Định lý 2), cũng như BDF c BDF vì lý do đối xứng. Do đó E, D và F c thẳng hàng. Cũng từ tính đối xứng, bạn có thể nhận thấy rằng DF DF c, do đó, F c E ED DF. Còn phải chứng minh rằng EF c d BC. Thật vậy, BC là đường kính và do đó là dây dài nhất của đường tròn.

Hình 4

Lưu ý rằng sự bằng nhau đạt được khi và chỉ khi F c E cũng là đường kính, do đó D là tâm của đường tròn, khi đó BD = DC, do đó AD là đường trung tuyến và đường cao của tam giác. Điều này có nghĩa là ’ ABC là cân. Hãy quay lại Định lý 1. Hãy coi đây là một trong nhiều ứng dụng của nó bài toán Olympic St. Petersburg dành cho học sinh (tác giả - S.L. Berlov). Bài toán 2. Trong tam giác nhọn ABC, vẽ các đường cao $AA_{1}$ và $BB_{1}$. Đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh C cắt các đường thẳng AB và $A_{1} B_{1}$ lần lượt tại các điểm L và K (Hình 5). Hóa ra CL = = 2CK. Tìm góc C của tam giác.

Hình 5

Lời giải. Hãy chứng minh rằng ’ $KB_{1} C_{»}$ ’ LBC. Thật vậy, $B_{1} CK$ BCL (Hình 6), vì CL là phân giác của góc ngoài tại

Hình 6

đỉnh C. Ta thấy $KB_{1} C 180 q$ $A_{1} B_{1} C 180 q$ ABC (theo Định lý 1), 180 q ABC CBL. Do đó, ’ $KB_{1} C_{»}$ ’ LBC ở hai góc. Từ sự giống nhau của các hình tam giác, suy ra các tỷ số bằng nhau.

31

TOÁN HỌC

Hình 13

Biết được sự thật này có thể giúp ích rất nhiều với lời giải bài toán. Ví dụ: hãy xem xét bài toán từ Cuộc thi hùng biện về hình học ở Moscow (tác giả - A.A. Zaslavsky). Bài toán 11. Trong một tam giác nhọn, có đúng một góc bằng 60q. Chứng minh rằng một đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp và giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác cắt một tam giác đều khỏi nó (Hình 14).

Hình 14

Lời giải. Theo chứng minh ở trên, trực tâm, giao điểm của các đường trung tuyến và tâm của đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng nên đường thẳng đã cho ở điều kiện chứa giao điểm của các đường cao. Hãy ký hiệu các đỉnh của tam giác A, B và C, BAC 60 q. Gọi H là trực tâm của tam giác, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, K, L là giao điểm của OH với AB, và

Hình 15

VÒNG TRÒN

AC tương ứng (Hình 15). Khi đó, theo Định lý 7, AH 2 R cos BAC R AO. Do đó, ’ OAH là cân, do đó AOK AHL. Vì, theo những gì đã được chứng minh trước đó, BAO CAH, rồi ’ AHL ’ AOK ở một bên và hai góc. Vậy AK = AL. Do đó, ’ KAL là hình cân, và do đó (kể từ A 60 q) và đều. Như mọi khi, bây giờ bạn phải tự mình giải quyết một bài toán khác. Bài toán 12. Trong tam giác ABC, các đường cao hoặc phần kéo dài của chúng cắt nhau tại điểm H và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu A d B d C thì AH BH t 2 R.

Để kết luận, chúng tôi trình bày một số bài toán cho lời giải độc lập, những ý tưởng chính của chúng có liên quan đến bản vẽ chính của chúng tôi. Bài toán 13. Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, trực tâm của tam giác tạo bởi các điểm tiếp xúc của các cạnh với đường tròn nội tiếp nằm ở đường cao vẽ từ góc vuông. Bài toán 14. Trong tam giác ABC đã biết – $C = 60 \infty$, – $A = 45 \infty$. Gọi M là trung điểm BC, H là trực tâm. Chứng minh rằng đường thẳng MH đi qua trung điểm cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài toán 15. Trong tam giác ABC, điểm $H_{1}$ đối xứng với trực tâm H so với đỉnh C và điểm $C_{1}$ đối xứng với điểm C so với trung điểm của cạnh AB. Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của đoạn $H_{1} C_{1}$. Bài toán 16. Trong tam giác ABC vẽ các đường cao $AA_{1}$ và $BB_{1}$. Hóa ra điểm C¢ đối xứng với điểm C so với điểm giữa đoạn $A_{1} B_{1}$, nằm trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_{1} B_{1}$ C¢ tiếp xúc với đường thẳng AB. Bài toán 17. Trong tam giác nhọn ABC, ta vẽ các đường cao $BB_{1}$ và $CC_{1}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AB_{1} C_{1}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại một điểm K khác A. Chứng minh đường thẳng KH đi qua $A_{0}$, trong đó $A_{0}$ là trung điểm BC và H là trực tâm của tam giác.

HỌ VIẾT CHO CHÚNG TÔI

Trong bài viết của V. Rastorguev “Theo bốn cách khác nhau” ở «Kvant» số 12 năm 2018, một ví dụ về một hình không đối xứng đã được đưa ra có thể cắt thành 2 phần bằng nhau theo 4 cách khác nhau. Hãy chỉ ra cách xây dựng một ví dụ đơn giản hơn một chút. Hãy xem xét một hình bình hành được tạo thành từ 4 hình tam giác vuông cân (Hình 1). Để thuận tiện, hãy cắt nó

Hình 6

Hình 7

Hình 8

Hình 1

thành 16 hình tam giác nhỏ hơn giống hệt nhau. Tất cả các vết cắt sẽ được thực hiện dọc theo ranh giới của họ. Hình 2–5 minh họa cách cắt hình bình hành thành 2 phần bằng nhau - màu đỏ

Hình 9

Bây giờ hãy sửa lại ví dụ để hình ban đầu mất đi tính đối xứng. Thay thế các cạnh như trong Hình 8 và 9. Mỗi hình tam giác sẽ biến thành một góc có ba ô (Hình 10 và 11).

Hình 2

Hình 10

Hình 3

Hình 4

Hình 11

Ví dụ cuối cùng được hiển thị trong Hình 12. Các vết cắt được thực hiện tương tự như Hình 2–5 dọc theo ranh giới của các góc.

Hình 5 và màu xanh lá cây. Đúng, trong Hình 5 các phần không mạch lạc. Và bản thân hình bình hành không thỏa mãn điều kiện bài toán, vì nó có tâm đối xứng. Hãy sửa ví dụ như sau. Chúng ta sẽ thay thế các đáy của các tam giác có các đáy này ở phía dưới bằng các phần như trong Hình 6. Chúng ta sẽ làm tương tự với các đáy phía trên (Hình 7). Sau đó, với cách cắt tương tự như trong Hình 5, các bộ phận sẽ trở nên mạch lạc.

Hình 12

V. Dorofeev

THÔNG TIN

NGÀY VẬT LÝ Ở DUBNA

Vào giữa tháng 4, Lễ hội khoa học toàn Nga lần thứ VI “Những ngày vật lý” đã được tổ chức tại Dubna, khu vực Moscow. Nó được tổ chức và thực hiện bởi Viện nghiên cứu hạt nhân, Trung tâm khoa học và giáo dục JINR và môn tự chọn Vật lý và Toán học liên trường. Trong vài ngày, Nhà văn hóa Mir đã biến thành một phòng thí nghiệm lớn: các thí nghiệm được trình diễn trong hội trường nhỏ và nhiệm vụ “Luật định kỳ” được tổ chức trong các phòng triển lãm và lớn. Sau đó, lễ hội toán học truyền thống và các lớp học nâng cao diễn ra, và Ngày du hành vũ trụ được đánh dấu bằng vụ phóng tên lửa tại Molodezhnaya Polyana. Học sinh trung học đã trình diễn và giải thích cho du khách các định luật vật lý khác nhau bằng thiết bị do các em thiết kế. Những thí nghiệm này luôn tươi sáng, đôi khi bất ngờ và kích thích tư duy, luôn thu hút một lượng lớn người xem - từ lứa tuổi mầm non đến tuổi nghỉ hưu. Chúng cũng hấp dẫn đối với người tham gia, vì theo đánh giá của họ, những sự kiện này không được tổ chức theo hình thức này ở bất kỳ đâu ngoại trừ Dubna. Ngoài ra, những người tham gia không phải cư dân có thể làm quen với Dubna bằng cách thực hiện một nhiệm vụ thú vị quanh thành phố và tham quan Bảo tàng Lịch sử Khoa học và Công nghệ JINR, đồng thời chơi trò chơi trí tuệ “Cái gì? Ở đâu? Khi nào?” Dưới đây là một vài đoạn trích từ các cuộc phỏng vấn được lấy từ những người tham gia lễ hội. Trưởng ban tổ chức lễ hội M.V. Zhabitsky (JINR): Chúng tôi chưa bao giờ có nhiều khách đến vậy; năm nay sáu đội đã đến với chúng tôi. Điều này được lặp đi lặp lại

Những người tham gia là nhà thi đấu Moscow số 1514, trường vật lý và toán học từ St. Petersburg và một đội từ Bryansk. Lần đầu tiên, các chàng trai đến từ Volgograd, Glazov và Istra gần Moscow. Từ các đội Dubna, những người thuộc các môn tự chọn vật lý và toán học của UC JINR và Dubna Lyceum luôn tích cực tham gia. Tất cả những thí nghiệm do các anh trình bày đều không hề dễ dàng. Chúng tôi luôn hoan nghênh các thí nghiệm liên quan đến vật lý hạt hoặc vật lý hạt nhân. Trong năm kỷ niệm phát hiện ra Định luật tuần hoàn, nhiệm vụ truyền thống của chúng tôi dành cho những người tham gia Ngày Vật lý được dành riêng cho sự kiện này. Các chàng trai nhận được một bản đồ - Bảng tuần hoàn - và đi qua các trạm trong hội trường lớn của Nhà Văn hóa, giải quyết các nhiệm vụ khác nhau về lịch sử, địa lý, thậm chí cả nhiệm vụ ngôn ngữ, tìm hiểu vai trò của các nguyên tố hóa học trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta, chúng được tổng hợp ở Dubna và cuối cùng nhận được giải thưởng xứng đáng. Giáo viên vật lý M.V. Akimova (Lyceum số 1 của Volgograd): Lần đầu tiên chúng tôi tham gia lễ hội và tôi đã biết về Ngày Vật lý cách đây một năm rưỡi tại trường giáo viên vật lý do UC JINR tổ chức (sau đó tôi cũng đến trường ở CERN). Chúng tôi gửi đến đây hai tác phẩm mà các cô gái của tôi đã chuẩn bị và chờ đợi lời giải. Khi biết cả hai công việc đều đã qua, bọn trẻ rất vui mừng. Chúng tôi có một trường trung học vật lý và toán học, vật lý và toán học được giảng dạy chuyên sâu, và công việc dự án cũng được thực hiện trong vật lý. Chúng tôi tham gia vào các lễ hội và cuộc thi trong khu vực. Nhưng ở đây có nhiều công trình nghiên cứu hơn, những thí nghiệm đẹp đẽ hơn. Chúng tôi đã chuẩn bị chúng trong khoảng bốn tháng.

34

KV AN T 2019/№6

Olga Golikova (Volgograd): Dự án “Slow Dance” của chúng tôi dựa trên ý tưởng của Jeff Lieberman, một nhà phát minh và nghệ sĩ người Mỹ. Đó là tất cả về hiệu ứng hoạt nghiệm. Bông hoa gắn vào cuộn dây điện từ rung nhanh và dải đèn LED được lập trình bằng một con chip đặc biệt sẽ nhấp nháy ở tần số 80 Hz mà mắt chúng ta không nhận thấy. Đối với chúng ta, dường như ánh sáng là không đổi và chúng ta chỉ đơn giản là không nhìn thấy một số chuyển động của bông hoa - chúng ta có cảm giác rằng nó đang nhảy một điệu nhảy chậm. I.A. Lomachenkov (UC JINR) đang tham gia thí nghiệm vật lý với học sinh Dubna: Chúng tôi đã gửi bảy thí nghiệm cho Ngày Vật lý hôm nay. Trên thực tế, còn rất nhiều điều trong số đó, nhưng chúng tôi đã trình chiếu nhiều trong số chúng vào những kỳ nghỉ trước và không muốn lặp lại chúng. Hai thí nghiệm được thực hiện với máy gia tốc, một mặt, rất thú vị, mặt khác, chúng liên quan đến các chủ đề của JINR và nhấn mạnh hướng đi mà Viện đang làm việc. Một thí nghiệm liên quan đến điện từ đã được trình diễn bởi Ivan Pachkolin (Lyceum số 15 ở Glazov): Tôi đang trình diễn một mô hình máy phát điện Faraday. Tôi đang học lớp 8, đây là lớp vật lý và toán học, tôi dự định thi vào một trường đại học vật lý hoặc kỹ thuật. Trước khi trình diễn thí nghiệm cho khán giả, bản thân chúng tôi đã xem xét những gì các đội khác đã chuẩn bị. Một số thí nghiệm làm tôi quan tâm. Đây là lần đầu tiên chúng em tham gia Ngày Vật lý nhưng chắc chắn chúng em sẽ quay lại. Thí nghiệm hóa học dành cho thiếu nhi “Tiệc bọt” của học sinh MIPT đã gây được sự hưởng ứng nhiệt tình từ các em nhỏ.

Daria Plashchinskaya: Tôi là sinh viên năm thứ nhất Khoa Lý sinh. Chúng tôi đang chuẩn bị cho những thí nghiệm này, chúng tôi tự tìm thấy một số thuốc thử, một số được trợ lý phòng thí nghiệm của chúng tôi đưa cho, người này thậm chí còn vui mừng vì chính chúng tôi sẽ làm một chút khoa học và chứng minh điều gì đó cho bọn trẻ. Chúng tôi đã luyện tập rất nhiều. Có vẻ như nó đã hoạt động. <Đánh giá theo cảm xúc của bọn trẻ - mọi chuyện diễn ra như thế nào!> Masha, đối tác của tôi đã đến đây được vài năm, cô ấy rất vui với kỳ nghỉ, cô ấy rất yêu Dubna. Và tôi thực sự thích thành phố này, và bất kỳ sự kiện nào liên quan đến khoa học, đặc biệt là liên quan đến công việc của tôi, đều thú vị. Một số người khác đã đi cùng chúng tôi, họ đang giúp thực hiện nhiệm vụ. Chúng tôi chắc chắn sẽ đến vào năm tới. Nguồn gốc của Ngày Vật lý ở Dubna là thành viên ban biên tập tạp chí «Kvant» giáo viên môn tự chọn liên trường A.A. Leonovich. Tại lễ kỷ niệm này, anh cùng với Thư viện phổ thông JINR đã giới thiệu ba cuốn sách của mình trong bộ sách “Khoa học đơn giản cho trẻ em”: “Vật lý không có công thức”, “Điều kỳ diệu của công nghệ”, “Bionics: Được thiên nhiên gợi ý”. Sách có thể nhận được bằng cách chiến thắng trong cuộc thi chớp nhoáng “Vật lý cho sự tăng trưởng”, đã thu hút nhiều trẻ em. A.A. Leonovich: Nhà xuất bản AST <nhà xuất bản các cuốn sách trong bộ “Khoa học đơn giản cho trẻ em”> quan tâm đến việc phổ biến tác phẩm của mình và ở đâu, nếu không phải tại Ngày Vật lý của chúng tôi, bạn có thể lấy những cuốn sách này ở đâu. Chúng tôi không phát chúng như vậy - bạn cần trả lời các câu hỏi của một bài kiểm tra được thiết kế dành cho trẻ em đến lớp sáu, tức là những trẻ chưa bắt đầu học vật lý ở trường.

35

EX AM E QUỐC GIA

Đây là năm thứ hai cô đến nghỉ lễ cùng cô con gái út Boryana Kalinova (JINR): Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến ban tổ chức, bởi vì tổ chức tất cả những điều này là một khối lượng công việc rất lớn! Trẻ em sẽ nhớ rất lâu cuộc gặp gỡ với khoa học “sống”, khi bạn có thể chạm vào mọi thứ bằng tay và áp dụng điều gì đó vào cuộc sống. Chúng tôi thích nó, chúng tôi rất hài lòng. Con gái Rada của tôi đang học lớp hai, nhưng cháu xem các chương trình giáo dục trên kênh truyền hình Da Vinci và xem một số thí nghiệm ở đây - với chất lỏng, với tên lửa khí nén - với sự hiểu biết. Anh ấy nói: “Tôi đã biết điều đó rồi.” Năm này qua năm khác, ngày càng có nhiều khán giả bị thu hút bởi những màn trình diễn vật lý và hóa học ngoạn mục.

MÃ TẾ RỊA LÝ

thí nghiệm được thực hiện bởi D.K. Dryablov (Phòng thí nghiệm Vật lý Năng lượng cao JINR) và A.E. Zlotnikova (Bảo tàng Lịch sử Khoa học và Công nghệ JINR). Lần này, chương trình biểu diễn của họ thậm chí còn trở nên phong phú hơn: từ việc khử màu iốt đơn giản nhưng hiệu quả bằng axit ascorbic và tạo ra “máu” điện ảnh cho đến niềm vui với “kem đánh răng” khổng lồ cho một con voi, một bàn tay “bỏng” và một “vụ nổ” nitơ gây thích thú trong hội trường rộng lớn chật kín của Nhà Văn hóa. Kỳ nghỉ đã trôi qua. Bạn đã không ở đó? Hãy chắc chắn để đến vào năm tới!

Tài liệu do O. Tarantina chuẩn bị, ảnh do E. Puzynina trình bày

VẬT LIỆU QUỐC GIA THI

Đại học Nghiên cứu Quốc gia “Miệt”

Trong nhiều năm, Đại học Nghiên cứu Quốc gia “Miệt” đã tổ chức các kỳ thi Olympic về toán, vật lý và khoa học máy tính cho học sinh trung học, vốn rất được học sinh cả nước yêu thích. Từ năm 2015, Olympic RHYTHM MIET dành cho học sinh được tổ chức theo hình thức tương ứng (khoảng cách). Hàng năm có hơn 2000 người tham gia 9 phần của Olympic này. Năm 2018, trường đã tổ chức Olympic Vật lý và Toán học toàn thời gian MIET, diễn ra ở hàng chục thành phố ở Nga và các nước CIS. Từ năm 2019, Olympic Nanoworld điện tử dành cho học sinh cũng được tổ chức. Dưới đây là bài toán môn vật lý, được đưa ra ở vòng chung kết của cuộc thi Olympic tương ứng “RHYTHM MIET”, cũng như các lựa chọn môn vật lý dành cho học sinh lớp 10 và 11 của Olympic Vật lý và Toán toàn thời gian MIET.

Olympic Internet “Nhịp điệu Miệt”

VẬT LÝ

1. Một cậu bé ném một hòn đá với tốc độ $v_{0} 20$ m s từ nóc một ngôi nhà đã xác định được quãng đường bay ngang tối đa. Sau khi hạ xuống đất và liên tục ném hòn đá với cùng tốc độ ban đầu $v_{0}$, anh nhận thấy phạm vi nằm ngang tối đa của hòn đá đã giảm n 3 2 lần. Mái nhà cao bao nhiêu? 2. Hai hộp giống hệt nhau có chiều cao h = = 0,5 m mỗi hộp đứng trên mặt sàn. Một tấm bảng đèn cứng có chiều dài l = 1,5 m được lắp thẳng đứng vào giữa các hộp như trên Hình 1. Một lực nằm ngang F tác dụng lên đầu trên của tấm bảng và lực này được tăng dần. Tại F = 100 N, một trong các hộp bắt đầu chuyển động về phía trước. Trọng lượng của mỗi cái là bao nhiêu

38

KV AN T 2019/№6

xe đẩy nhẹ? b) Nhiệt lượng tỏa ra sau va chạm là bao nhiêu? 3. Trong quá trình giãn nở đẳng áp của một khí lý tưởng, thể tích của nó tăng $'^{V} = 3$ l và nhiệt độ thay đổi G 30%. Thể tích khí ban đầu là bao nhiêu? 4. Một quả cầu nhỏ tích điện treo trên một sợi dây nhẹ không dãn, sau một lực đẩy ban đầu, chuyển động thành một vòng tròn trong mặt phẳng thẳng đứng. Tại thời điểm sợi dây tạo một góc D với phương thẳng đứng, một điện trường đều hướng thẳng đứng được bật lên (Hình 9). Sau khi kích hoạt trường khóa

đó là: a) vận tốc của vật thứ hai sau va chạm; b) Lượng nhiệt tỏa ra khi va chạm. 3. Trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt của một khí lý tưởng, thể tích của nó tăng $'^{V} = = 3$ l và áp suất thay đổi G 30%. Thể tích khí ban đầu là bao nhiêu? 4. Một quả cầu nhỏ tích điện treo trên một sợi dây nhẹ không dãn, sau một lực đẩy ban đầu, chuyển động thành một vòng tròn trong mặt phẳng thẳng đứng. Tại thời điểm sợi dây tạo một góc D với phương thẳng đứng, một điện trường đều hướng thẳng đứng được bật lên (Hình 10). Sau khi kích hoạt trường khóa

Hình 9

năng lượng ròng của quả bóng ở điểm dưới cùng của quỹ đạo tăng ’ $W_{1} = 0,1$ mJ, và ở điểm trên cùng của quỹ đạo giảm ’ $W_{2} = 0,3$ mJ so với các giá trị động năng tại các điểm này trước khi trường được bật. Xác định góc D. Bỏ qua ma sát và sức cản của không khí. 5. Năng lượng của tụ điện có điện dung C = = 2 nF, nằm trong mạch dao động lý tưởng, trong quá trình dao động đạt giá trị cực đại W m ​​= 0,1 μJ trong các khoảng W = 1 μs. Xác định biên độ dao động của dòng điện trong mạch.

Cách 2 1. Một khối có khối lượng m = 200 g được ép vào một bức tường thẳng đứng với một lực F = 8 N, hướng một góc D 60 q so với phương thẳng đứng như hình 8. Trong trường hợp này, khối chuyển động hướng lên trên với tốc độ không đổi. Xác định hệ số ma sát P giữa vật và tường. Gia tốc trọng trường g 10 m $с^{2}. 2.$ Một vật $массой_{1}^{m} = 1$ kg va chạm với tốc độ $v_{1} 10$ m s vào một vật đang đứng yên $массой_{2}^{m} = 2$ kg và dừng lại. Định nghĩa

Hình 10

Năng lượng ròng của quả bóng ở điểm dưới cùng của quỹ đạo giảm ’ $W_{1} = = 0,6$ mJ, và ở điểm trên cùng của quỹ đạo tăng ’ $W_{2} = 0,1$ mJ so với các giá trị động năng tại các điểm này trước khi trường được bật. Xác định góc D. Bỏ qua ma sát và sức cản của không khí. 5. Trong một mạch dao động lý tưởng gồm một tụ điện có điện dung C = = 0,01 μF và một cuộn dây sẽ xảy ra dao động điều hòa. Năng lượng của tụ điện thay đổi từ giá trị cực đại về 0 trong thời gian W = 1 μs. Xác định độ tự cảm của cuộn dây. Ấn phẩm được chuẩn bị bởi G. Gaidukov, I. Gorbaty

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

NHIỆM VỤ

(xem «Kvant» số 5)

1. Không cần phải di chuyển một trận đấu duy nhất! Bạn có thể chỉ cần xoay mảnh giấy thành $180\infty$. Kết quả là $число^{8281}$ (Hình 1), là một hình vuông hoàn hảo $( 8281 = 91^{2} ).$

Hình 1

2. 77. Hãy để các cô gái có x sổ ghi chép. Masha sử dụng nhãn dán 7 + 7 ( x - 7 ) và Sveta sử dụng 11 + 11 ( x - 11 ). Vì tất cả các nhãn dán đều được sử dụng nên 7 + 7 ( x - 7 ) = 11 + 11 ( x - 11 ). Giải phương trình này, ta được $x =^{17}$. Điều này có nghĩa là mỗi bộ chứa 7 + 7 ( 17 - 7 ) = 77 nhãn dán. 3. Xem ví dụ trong Hình 2.

Hình 2

4. Anton. Họ đã vượt qua một số camera X theo thứ tự B, A, B và camera Y theo thứ tự B, A, B. Giả sử rằng họ đã vượt qua camera X trước đó. Giả sử Anton không bị ngã. Vì anh ta là người nhanh nhất và đã dẫn trước Vova nên anh ta sẽ luôn dẫn trước Vova và tình huống “B, A, B” sẽ không xảy ra. Sự mâu thuẫn. Trường hợp họ vượt qua Y sớm hơn X cũng được coi là tương tự.

KÍNH KÍNH KÍNH “QUANTA”

Câu hỏi và bài toán

1. Bánh xe lớn sẽ dễ vượt qua va chạm và đá trên đường hơn bánh xe nhỏ. (Ngoài ra, khi bán kính bánh xe tăng thì hệ số ma sát lăn giảm.) 2. Phần trên của bánh xe nhẹ hơn: nhiều mô-men xoắn hơn (cánh tay lực bằng đường kính của bánh xe, trong trường hợp thứ nhất - bán kính của nó). 3. Lực mà người đi xe đạp có thể nhấn vào bàn đạp không phải là hằng số: nó đạt cực đại khi xuất phát và bằng 0 ở tốc độ khi so sánh thời gian đạp với

thời gian phản ứng của người đi xe đạp (thời gian nhấn bàn đạp và nhả bàn đạp). Sau này, tốc độ không thể tăng được nữa. 4. Lốp có tác dụng tăng độ bám của bánh xe với mặt đường. Các sọc ngang cần thiết để tăng tốc cho xe về phía trước, các sọc dọc (và nằm ở một góc) ngăn cản sự dịch chuyển ngang. Ngoài ra, các rãnh giúp chống trượt nước bằng cách cho phép nước chảy sang một bên. 5. Nếu lốp xe bị xì hơi một chút thì diện tích tiếp xúc với mặt đất sẽ tăng lên. Đồng thời, áp lực lên mặt đất cũng như độ sâu của đường đua giảm đi - ít có khả năng bị mắc kẹt hơn. 6. Để xe bám đường chắc chắn hơn ở tốc độ cao. Điều này làm tăng độ ổn định của máy. 7. Sau khi di chuyển đoàn tàu trở lại, việc di chuyển về phía trước sẽ dễ dàng hơn nhiều, tuần tự cho các toa chuyển động. Nếu bạn di chuyển mạnh một đoàn tàu có khớp nối căng về phía trước, khớp nối gần đầu máy nhất, nơi lực căng của chúng lớn nhất, có thể bị đứt. 8. Để tránh du thuyền bị lật khi nghiêng lớn. Một mục đích khác của sống tàu là chống lại sự dịch chuyển ngang (trôi) của tàu. 9. Lưu ý rằng phép quay trong hai trường hợp này xảy ra trong các mặt phẳng vuông góc với nhau. Trong trường hợp đầu tiên, bánh xe chỉ có thể ném nước trở lại phần dưới của nó, trong trường hợp thứ hai - với bề mặt của tất cả các cánh quạt. 10. Khi di chuyển ra biển, độ sâu ngâm của tàu giảm, kéo theo lực cản chuyển động của nước giảm. Với cùng công suất động cơ, tốc độ của tàu so với nước tăng lên (chúng ta ngầm cho rằng độ nhớt của nước sông và nước biển là như nhau). 11. Điều đó là không thể, vì tốc độ của khinh khí cầu bằng tốc độ gió. 12. Trong cả hai trường hợp, lực ép là như nhau. Máy bay trực thăng tác động lên không trung với một lực bằng trọng lực của nó và không khí truyền lực này xuống mặt đất. 13. Thùng nhiên liệu được bố trí trong tàu bay sao cho trọng tâm tàu ​​bay có và không có nhiên liệu trùng nhau. 14. Khi tăng thêm tải trọng, cần tăng góc tấn của cánh để tăng lực nâng. Tuy nhiên, điều này cũng làm tăng lực cản, khiến tốc độ của máy bay giảm xuống. 15. Khi nhiệt độ tăng, mật độ và do đó khối lượng không khí đi vào động cơ sẽ giảm.

45

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

hai hàng giống nhau (Hình 12,a). Nhưng số mũi tên lẻ nên có một mũi tên không có cặp. Ví dụ: đặt một mũi tên như vậy nằm ngang và dẫn từ cột thứ i đến cột thứ i (Hình 12, b). TRONG

GIẢI PHÁP

Lưu ý rằng sau khi mở dấu ngoặc đơn, chúng ta thu được tổng đại số S của một trăm số 400, một trăm số 399,…, một trăm hai và một trăm đơn vị, và đúng một nửa số này đứng trước dấu trừ. Hãy gọi các số từ 1 đến 200 là nhỏ và các số còn lại là lớn. Nếu có thể lấy những viên đá tùy ý từ các đống thì rõ ràng giá trị tối đa của S sẽ đạt được khi tất cả các số lớn nhập S bằng dấu cộng và tất cả các số nhỏ nhập vào dấu trừ. Số tiền này bằng $100 400 399^{…} 201 200 199^{…} 1$

$= 100 400 200 399 199^{…} 201 1$

Hình 12

i ở cột đầu tiên cũng chứa một. Vì mũi tên đầu tiên không có cặp nên mũi tên thứ hai chỉ có thể dẫn đến cột thứ i thứ 2 (hai cột ở cột thứ i thứ nhất đã bị chiếm giữ). Ngoài ra còn có một đơn vị ở cột thứ 2 i và mũi tên từ nó chỉ có thể dẫn đến cột i thứ 3 (hai đơn vị ở cột i 1 và i 2 đã bị chiếm giữ). Tiếp tục, chúng ta đến một cột trong cột thứ n, từ đó mũi tên không còn nơi nào để đi. Sự mâu thuẫn. 6. 150q. Cho đường cao BM của tam giác ABC cắt đường thẳng AK tại điểm O (Hình 13). Thì COM AOM 60 q. Vậy AOC 120 q và COB 120 q. Do đó, tam giác BOC và KOC có cạnh và góc bằng nhau.

Hình 13 nằm đối diện với số lớn hơn (được gọi là dấu hiệu thứ tư của sự bằng nhau của các tam giác). Do đó OB = OK, tức là tam giác BOK là tam giác cân có góc 120q tại đỉnh O. Do đó OKB là 30 q và AKB là 150 q. 7. 3920000. Ước tính. Chúng ta sẽ giả định rằng những viên đá trong đống nằm chồng lên nhau và từ những đống đã chọn, Petya sẽ lấy những viên đá trên cùng (hiện tại). Hãy đánh số các viên đá trong mỗi cọc từ dưới lên trên với các số từ 1 đến 400. Khi đó số điểm Petya nhận được ở mỗi nước đi bằng hiệu số của số viên đá bị loại bỏ. Kết quả là anh ta sẽ nhận được tổng có dạng $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}^{…}$ … $a_{39999} a_{40000}$, trong đó $a_{i}$ là số của các viên đá tương ứng.

100 $200^{2}$. Tuy nhiên, lưu ý rằng mọi số lớn sẽ được tính vào tổng ít nhất một lần bằng dấu trừ: điều này sẽ xảy ra, chẳng hạn, tại thời điểm Petya lần đầu tiên lấy viên đá có số này ra. Tương tự, mỗi số trong số 200 số nhỏ sẽ được tính vào tổng ít nhất một lần bằng dấu cộng (tại thời điểm Petya loại bỏ viên đá cuối cùng có số này). Vì vậy, kết quả tối đa của Petit không vượt quá 99 $400 399^{…} 201 99$ $200 199^{…} 1$

$400 399^{…} 201 200 199^{…} 1$

98 $200^{2}$. Ví dụ. Bạn có thể đạt được kết quả đã chỉ định, ví dụ như thế này. Trong 200 nước đi đầu tiên, Petya lấy 200 quân từ hai cọc đầu tiên (trong trường hợp này là 200 số lớn - mỗi số một lần - nhận được dấu trừ). Trong 200 nước đi tiếp theo, anh ta loại bỏ 200 viên đá trên cùng từ cọc thứ ba và 200 viên đá dưới cùng từ cọc đầu tiên, sau đó 200 viên đá từ cọc thứ hai và thứ tư, thứ ba và thứ sáu,…, thứ 98 và 100 (tất cả các số đều có dấu “đúng”). Cuối cùng, 200 viên đá đáy vẫn còn ở hai cọc cuối cùng, chúng sẽ bị loại bỏ sau 200 lần di chuyển cuối cùng (và 200 dấu cộng xuất hiện trước các số từ 200 đến 1).

lớp 10–11

1. Gọi số ban đầu có dạng AB, A chia cho 7 dư r. Hãy lấy một số a sao cho 2r + a chia hết cho 7 (rõ ràng là nó sẽ tìm thấy). Chúng ta sẽ chia một số có dạng Aa… aB cho 7 trong một cột. Khi chia xong A sẽ có số dư r. Trong bước tiếp theo, chúng ta sẽ chia số 10 ra a 7 r 2 r a r cho 7, một lần nữa chúng ta nhận được số dư r. Trong các bước tiếp theo, điều này được lặp lại cho đến khi chúng ta đạt được phép chia cho 7 của số rB, số này chia hết cho 7 theo điều kiện. 5. a) Không thể; b) có thể. a) Gọi hình vuông đơn vị ABCD là hình chiếu