Kvant 2021, số 3 · Trang

3

ĐEN

LỖ

những phỏng đoán về lỗ đen, những tính chất quan trọng nhất của lỗ đen đều được xem xét rõ ràng và đầy đủ. Bài viết này đã hơn 10 năm tuổi và tất nhiên nó không phản ánh những nghiên cứu mới nhất và quan trọng nhất là sự thành công của việc công nhận cuối cùng về sự tồn tại của các lỗ đen. Một số tài liệu này đã được trình bày bởi V.G. Surdin trong các bài giảng phổ biến xuất sắc sau này của ông, có thể dễ dàng tìm thấy trên Internet. Bài viết “Nobel” này sẽ chỉ cung cấp những thông tin cơ bản nhất về hố đen. Rõ ràng, người đầu tiên đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của lỗ đen là nhà tự nhiên học và linh mục người Anh John Michell (1724–1793). Ông lấy cảm hứng từ lý thuyết về lực hấp dẫn phổ quát của Newton, đặc biệt là bởi thực tế là lực hấp dẫn đối với ông (giống như Newton) dường như là “một linh hồn thiêng liêng khó nắm bắt nhất” (trích từ lời bạt của Newton cho cuốn Principia của ông). Mọi thứ khác mà Newton nghiên cứu đều có lý do rõ ràng - các lò xo bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, viên đạn đại bác bay dưới tác dụng của khí bột. Nhưng lực hấp dẫn vô hình và vô hình xuyên qua mọi vật thể và khiến chúng hút nhau, bất kể chúng ở xa đến đâu. Trên thực tế, Newton lần đầu tiên đưa ra khái niệm trường lực. Nhưng ít người biết rằng, rất lâu trước Faraday và Maxwell, ông đã gán khái niệm này không chỉ cho lực hấp dẫn mà còn cho lực hút và lực đẩy của các vật tích điện. Năm 1783, Michell gửi một lá thư và sau đó phát biểu tại một cuộc họp của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn với thông điệp sau. Biết và hiểu rõ về cơ học Newton và định luật vạn vật hấp dẫn, Michell đã ước tính tốc độ phải truyền cho một vật thể để vượt qua lực hấp dẫn của một hành tinh (hoặc ngôi sao). Ông gọi đại lượng này là vận tốc thoát. Theo thuật ngữ hiện đại, đây là tốc độ vũ trụ thứ hai. Bình phương của tốc độ này tỷ lệ thuận với khối lượng của vật thu hút và tỷ lệ nghịch với bán kính của nó. Và Michell lần đầu tiên thử áp dụng khái niệm này vào ánh sáng. Anh ta

HIỆN HỮU

Tôi biết rằng tốc độ ánh sáng rất cao. Theo các phép đo của nhà thiên văn học O. Roemer, được thực hiện vào năm 1676 nhờ quan sát chuyển động của các vệ tinh của Sao Mộc, nó bằng 214.000 km/s (giá trị chính xác hơn là 300.000 km/s). Michell đánh đồng tốc độ này với tốc độ thoát và tính khối lượng cũng như bán kính của một ngôi sao tưởng tượng, ngôi sao này sẽ giữ được ánh sáng phát ra từ lực hấp dẫn của nó. Coi mật độ của nó bằng với mật độ trung bình của Trái đất, ông đã thu được giá trị bán kính của ngôi sao này vào khoảng 250 bán kính mặt trời. Và thực tế là không có gì như thế này được quan sát thấy trên bầu trời giải thích rằng cô ấy không buông bỏ ánh sáng khỏi chính mình. Và bạn cần tìm kiếm nó không phải bằng ánh sáng rực rỡ của nó mà bằng tác động của nó lên các ngôi sao và hành tinh khác. Nhưng cộng đồng khoa học không chấp nhận giả thuyết của Michell, vì chuyển động của các hành tinh (định luật Kepler) đã được Newton giải thích một cách hoàn hảo cho tất cả các hành tinh được biết đến lúc đó và ảnh hưởng của một vật thể khổng lồ nào đó không được phát hiện ở bất cứ đâu. 12 năm sau, nhà toán học, vật lý học và thiên văn học nổi tiếng người Pháp Pierre Simon Laplace (1749–1827), trong tác phẩm “Giải thích về Hệ thống Thế giới”, đã xem xét giả thuyết của Michell và cuối cùng, lặp lại các tính toán của ông. Đúng, Laplace đã loại trừ sự cân nhắc này khỏi các lần xuất bản tiếp theo của tác phẩm này. Không giống như Michell (và Newton), Laplace coi ánh sáng không phải là hạt mà là sóng và hiểu rằng định luật vạn vật hấp dẫn không thể áp dụng đơn giản như vậy cho ánh sáng. Trong suốt thế kỷ 19, các nhà thiên văn học không mấy quan tâm đến vấn đề “ngôi sao vô hình” của Michell và Laplace. Và chỉ đến thế kỷ 20, sau khi Einstein tạo ra thuyết tương đối rộng (GTR), các nhà thiên văn học mới nhớ đến chúng. Người đầu tiên là nhà toán học, vật lý học và thiên văn học người Đức Karl Schwarzschild (1873–1916). Năm 1915, ông tham dự một cuộc họp mang tính lịch sử của Viện Hàn lâm Khoa học Phổ, nơi Einstein trình bày về công trình vừa hoàn thành của mình (ông đã dành sáu năm cho nó) - lý thuyết tương đối rộng. Thực ra, đó là một lý thuyết mới về lực hấp dẫn, trong đó định luật Newton

4

KVANT 2021/№3

chỉ là một trường hợp đặc biệt, có thể áp dụng gần đúng cho trường hấp dẫn yếu. Ý tưởng chính trong báo cáo của Einstein là phát biểu rằng lực hấp dẫn là biểu hiện của sự biến dạng của không-thời gian bởi các vật thể có khối lượng và (hoặc) năng lượng. Để xác nhận về mặt thiên văn cho giả thuyết của mình, Einstein đã thực hiện một phép tính gần đúng về sự dịch chuyển quan sát được ở điểm cận nhật của quỹ đạo Sao Thủy, điều mà lý thuyết Newton không thể giải thích được. Schwarzschild bị quyến rũ bởi vẻ đẹp toán học của lý thuyết mới về lực hấp dẫn, và trong năm cuối đời, ông đã hoàn thành được một số công trình lý thuyết. Trong hai trong số đó, người ta đã thu được các phương trình trường lời giải chính xác đầu tiên của thuyết tương đối rộng - cái gọi là lời giải bên trong cho một vật thể đồng nhất hình cầu khổng lồ không quay và lời giải bên ngoài cho không gian xung quanh một vật thể đối xứng hình cầu. Từ đó lời giải dẫn đến khả năng tồn tại của một “ngôi sao vô hình”. Đây là lý do tại sao một số thuật ngữ trong lý thuyết lỗ đen được đặt theo tên của Schwarzschild. Trước hết, đây là bán kính Schwarzschild (hay bán kính của chân trời sự kiện) - kích thước thông thường của một vật thể hình cầu có khối lượng lớn, khiến nó trở nên vô hình. Điều đáng ngạc nhiên nhất là kích thước này hoàn toàn trùng khớp với giá trị thu được từ biểu thức cổ điển cho vận tốc vũ trụ thứ hai, nếu chúng ta đánh đồng nó với tốc độ ánh sáng c trong chân không: $R 2 GM c^{2}$, trong đó M là khối lượng của vật bị hút và G là hằng số hấp dẫn. Bản thân Einstein, mặc dù tán thành sự xuất hiện của những tác phẩm này nhưng cũng không phát triển chúng thêm nữa. Thực tế là lời giải của Schwarzschild đã dẫn đến hành vi không đứng yên của vật chất bên trong ngôi sao, trở nên vô hình và dẫn đến sự xuất hiện của một điểm có mật độ vô cùng cao ở trung tâm của nó - cái gọi là điểm kỳ dị. Và Einstein tin rằng lời giải Thuyết tương đối rộng phải đứng yên và không cho phép có điểm kỳ dị. Và chỉ có các tác phẩm của linh mục, nhà thiên văn học, nhà vũ trụ học và nhà toán học người Bỉ Georges Lemaitre (1894–

1966. và nhà toán học, vật lý học và địa vật lý người Nga A. Friedman (1888–1925), xuất bản năm 1922–1924, đã thuyết phục Einstein rằng thuyết tương đối rộng không mâu thuẫn với khả năng tồn tại của một Vũ trụ giãn nở không cố định và sự hiện diện của một điểm kỳ dị khi nó ra đời. Nhưng các nhà khoa học khác bắt đầu nghiên cứu vấn đề tồn tại của các vật thể có mật độ vô hạn về mặt lý thuyết có thể có ở trung tâm của chúng. Do đó, vấn đề sụp đổ, hay còn gọi là các ngôi sao vô hình, hóa ra có liên quan chặt chẽ đến vấn đề nguồn gốc và sự phát triển của Vũ trụ. G. Gamow (1904–1968) đã có đóng góp lớn cho lý thuyết về sự ra đời của Vũ trụ, người đã đặt ra thuật ngữ “Big Bang” liên quan đến sự xuất hiện của Vũ trụ từ một điểm kỳ dị. Các phương trình Bài toán lời giải của thuyết tương đối rộng áp dụng cho các vụ sập đã thu hút các nhà vật lý thiên văn giỏi toán. Trong số đó có các nhà thiên văn học F. Zwicky và W. Baade, các nhà vật lý R. Oppenheimer và H. Snyder, nhà vật lý thiên văn S. Chandrasekhar. Các nhà khoa học Nga A. Cherepashchuk, Y. Zeldovich, I. Novikov, A. Starobinsky đã có đóng góp to lớn cho lời giải vấn đề này. Vào những năm 1960, một số bài báo đã được xuất bản trong đó các phương trình của thuyết tương đối tổng quát đã được giải cho những trường hợp ngày càng phức tạp. Nhà khoa học người New Zealand R. Kerr đã thu được lời giải cho một lỗ đen quay có hình cầu, và nhà vật lý thiên văn người Anh R. Penrose đã giải được bài toán cho một lỗ đen quay có hình dạng tùy ý. Đó là lúc cái tên “lỗ đen” lần đầu tiên xuất hiện (J. Wheeler). Và nó ngay lập tức thay thế tất cả những cái tên trước đó. Vào thời điểm này, các nhà thiên văn học đã phát hiện ra pulsar - vật thể sao có khối lượng lớn nhưng kích thước rất nhỏ; chúng bắt đầu được gọi là sao neutron. Và vào năm 1963, lần đầu tiên người ta nghi ngờ rằng một ngôi sao lỗi thời sau giai đoạn siêu tân tinh có thể không chỉ biến thành sao neutron mà còn trở thành lỗ đen (nếu nó có đủ khối lượng). Một sự kiện nổi bật trong vật lý thiên văn là

5

ĐEN

LỖ

la sự phát triển của S. Hawking về lý thuyết nhiệt động lực học của lỗ đen. Có vẻ như lỗ đen đã vi phạm các định luật nhiệt động lực học, làm tăng entropy của nó một cách vô hạn khi nó hấp thụ khối lượng. Nhưng S. Korn, Ya. Zeldovich và S. Hawking đã chỉ ra rằng lỗ đen phải tương ứng với một nhiệt độ tuyệt đối nhất định và nó phải phát ra năng lượng. Lúc đầu, người ta không rõ làm thế nào để kết nối điều này với đặc tính chính của lỗ đen - không buông bỏ bất cứ thứ gì, hoàn toàn vô hình. S. Hawking đã phát triển cơ chế lượng tử cho sự mất khối lượng của lỗ đen. Theo khái niệm lượng tử, các photon ảo có thể xuất hiện gần chân trời sự kiện của lỗ đen do nguyên lý bất định. Trong trường hợp này, xác suất biến đổi một photon như vậy thành cặp hạt-phản hạt có thể khác 0. Và theo định luật bảo toàn động lượng và năng lượng, một trong số chúng sẽ quay trở lại lỗ đen, còn con kia sẽ nhanh chóng chuyển động ra xa và có thể chia tay nó mãi mãi. Lỗ đen sẽ “mỏng hơn”. Hawking gọi hiện tượng giả thuyết này là “sự bốc hơi của lỗ đen”. Thành tựu này của Hawking có thể coi là bước ngoặt trong sự phát triển của vật lý học. Người ta đã xác nhận rằng các định luật vật lý không thể được xem xét một cách biệt lập. Để giải thích hiện tượng vĩ mô thuần túy liên quan đến lỗ đen, cần phải liên quan đến cơ học lượng tử và mô hình chuẩn được phát triển cho thế giới vi mô. Hóa ra lỗ đen là một hệ không ổn định, không cân bằng. Khái niệm nhiệt độ tuyệt đối không hoàn toàn chính xác đối với nó. Nhưng đại khái nó có thể được ước tính là $T 10^{29} M$, trong đó M là khối lượng của lỗ đen (tính bằng kilogam). Dễ dàng nhận thấy rằng đối với các lỗ đen có khối lượng cỡ khối lượng mặt trời, nhiệt độ tuyệt đối là một phần của một kelvin, còn đối với các lỗ đen khổng lồ, nó bằng $10^{7}$ K, tức là thực tế bằng 0 tuyệt đối. Do đó, khi một lỗ đen “bốc hơi”, khối lượng của nó giảm đi, nhiệt độ tăng lên và tốc độ mất khối lượng của nó tăng lên. Cuối cùng là màu đen

HIỆN HỮU

lỗ có thể biến mất hoàn toàn. Công suất bức xạ của lỗ đen, tốc độ mất khối lượng và thời gian tồn tại của nó đã được tính toán. Cái sau được xác định theo công thức W 2 $10^{18} M^{3}$, trong đó M là khối lượng của lỗ đen (tính bằng kilôgam). Từ công thức này, rõ ràng là đối với các lỗ đen có khối lượng cỡ khối lượng Mặt trời thì thời gian tồn tại là một giá trị rất lớn, lớn hơn nhiều bậc độ lớn so với tuổi của Vũ trụ. Điều tò mò là trước khi ra mắt siêu máy gia tốc LHC, đã có rất nhiều suy đoán về sự ra đời của các lỗ đen mini trong đó. Nhưng ngay cả khi những giả thuyết này trở thành đúng, người ta dễ dàng tính toán rằng thời gian tồn tại của những vật thể đó sẽ không đáng kể đến mức chúng không thể gây nguy hiểm cho nhân loại. Các nhà thiên văn học đã nhận thấy một hiện tượng kỳ lạ ở những hố đen bị nghi ngờ. Khi cái gọi là đĩa bồi tụ được hình thành - một đĩa vật chất plasma khổng lồ quay theo hình xoắn ốc, bị lỗ đen hút vào, các thanh plasma mỏng được phát hiện dọc theo trục quay của nó, nhanh chóng (với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng) di chuyển ra khỏi lỗ đen. Hiện tượng này làm chậm sự tăng trưởng khối lượng của lỗ đen. Ở một khoảng cách nào đó từ lỗ, những tia này trở nên không ổn định và vỡ thành nhiều phần riêng biệt. Hiện tượng này được gọi là dòng tia lỗ đen. Giải thích lý thuyết về máy bay phản lực bao gồm việc xem xét từ trường xen kẽ phức tạp được tạo ra bởi đĩa plasma bồi tụ. Kết quả xoáy

Sự rút vật chất vào đĩa bồi tụ và phản lực

6

KVANT 2021/№3

điện trường ầm ầm và tăng tốc plasma đến tốc độ tương đối tính. Các hạt tích điện dương chuyển động theo một hướng, các hạt tích điện âm chuyển động theo hướng khác. Ngoài ra, các photon, hạt gamma có năng lượng cực lớn, được tạo ra trong quá trình va chạm của các hạt plasma, cũng di chuyển theo các hướng này. Hóa ra đó là một bức tranh rất đẹp về một vật thể không gian hùng vĩ. Và ngày nay hàng trăm “bức tranh” như vậy đã được phát hiện. Nhưng bức tranh tuyệt đẹp này cũng có thể mang ý nghĩa nguy hiểm chết người đối với những vật thể nằm trên đường đi của máy bay phản lực. Tuy nhiên, đã xuất hiện những dự án tuyệt vời về việc sử dụng năng lượng của máy bay phản lực để du hành giữa các vì sao. Lý thuyết về sự hình thành tia là một lĩnh vực của từ thủy động lực học và rất phức tạp. Một trong những mô hình mới nhất được tính toán tại Phòng thí nghiệm Nghiên cứu Cơ bản và Ứng dụng về các Vật thể Tương đối tính của Vũ trụ tại Viện Vật lý và Công nghệ Moscow. Các kịch bản về sự xuất hiện của lỗ đen cũng đã được phát triển. Kịch bản chính là quá trình tuyệt chủng của một ngôi sao khá nặng trải qua các giai đoạn: siêu tân tinh - sao lùn trắng - sao neutron - lỗ đen. Đây là nguồn gốc của các lỗ đen có khối lượng gấp 100 lần khối lượng mặt trời. Một lựa chọn là sự hình thành một ngôi sao đôi, khi cả hai ngôi sao hoặc một trong số chúng trở thành lỗ đen. Chỉ riêng trong thiên hà của chúng ta, Dải Ngân hà, về mặt lý thuyết, chúng ta có thể mong đợi hàng chục hoặc thậm chí hàng trăm triệu lỗ đen, cứ khoảng một nghìn ngôi sao thì có một lỗ đen. Hàng trăm “ứng cử viên” như vậy cho các lỗ đen đã tích lũy được. Ngày nay chúng ta có thể coi họ không còn là ứng cử viên nữa mà là thành viên đầy đủ của gia đình lỗ đen. Một loại lỗ đen khác là tàn tích của giai đoạn đầu hình thành Vũ trụ. Lý thuyết về giai đoạn ra đời của Thế giới này mới bắt đầu được hình thành, nhưng các nhà vật lý thiên văn ngày càng có xu hướng tin rằng ở trung tâm của mỗi thiên hà phải có một lỗ đen siêu lớn - với khối lượng khoảng $10^{7} –10^{8}$ khối lượng mặt trời. Tại sao

Nhưng lỗ đen gần nhất ở trung tâm Dải Ngân hà chỉ được phát hiện trong những năm gần đây? Điều này có thể hiểu được, bởi vì nó được che giấu khỏi sự quan sát một cách đáng tin cậy bởi các vật thể mà nó thu hút, chủ yếu là các đám mây bụi và khí, qua đó rất khó đo được các thông số chuyển động của các ngôi sao gần trung tâm thiên hà. Tuy nhiên, hai nhóm nhà thiên văn học đã giải quyết được nhiệm vụ này. Sau gần hai mươi năm nghiên cứu, người ta đã chứng minh được rằng nhiều ngôi sao ở gần trung tâm thiên hà của chúng ta đang chuyển động dưới tác động của một vật thể có sức hút cực mạnh mà bản thân nó là vô hình. Quỹ đạo của chúng tuân theo định luật hấp dẫn. Không còn nghi ngờ gì nữa, trung tâm này là một lỗ đen. Khối lượng của nó cũng đã được xác định - 4,3 triệu khối lượng mặt trời. Ánh sáng từ nó đến với chúng ta sau 26 nghìn năm. Người ta cho rằng ở gần “rìa” của Vũ trụ, nơi có những nhân chứng sớm nhất về nguồn gốc của nó, cũng sẽ tồn tại những lỗ đen đơn lẻ chưa trở thành thiên hà. Và, như đã đề cập ở trên, rất nhiều lỗ đen cực nhỏ có thể tồn tại (sinh ra trong các “máy gia tốc” tự nhiên và chết đi). Mười năm trước, một tình huống kỳ lạ đã xảy ra. Các nhà thiên văn học vẫn chưa thể đảm bảo rằng những quan sát của họ chỉ ra sự tồn tại của các lỗ đen một cách đáng tin cậy. Và các nhà lý thuyết vật lý thiên văn đã nghiên cứu lý thuyết về nguồn gốc của chúng và dự đoán những đặc điểm mới của những vật thể này. Và có nhiều nhà khoa học không tin vào lỗ đen và coi công trình lý thuyết về chúng là sai lầm. Chỉ có điều họ không tìm ra được những lỗi cụ thể trong những tác phẩm này; vì điều này họ đã phải nghiên cứu rất nghiêm túc thuyết tương đối rộng. Và tất cả những gì còn lại là ngưỡng mộ sự kiên cường và lòng dũng cảm của những nhà lý thuyết nghiên cứu về lỗ đen. Chúng được lấy cảm hứng từ công việc khó khăn của các nhà thiên văn học, những người cùng với các kỹ sư, người tạo ra thiết bị thiên văn, bao gồm cả thiết bị vệ tinh, vào nửa sau của thế kỷ trước đã bắt đầu một cuộc tấn công toàn cầu lên bầu trời, nghiên cứu mọi bộ phận của nó ngày càng chi tiết.

7

ĐEN

LỖ

Những nghi ngờ đầu tiên về sự tồn tại của lỗ đen xuất hiện vào năm 1964, khi một tàu thăm dò ở độ cao dưới quỹ đạo phát hiện ra bức xạ tia X mạnh phát ra từ một nguồn có tên Cygnus X3 trong chòm sao Cygnus. Hóa ra từ nhiều quan sát sau này, vật thể này là một hệ gồm một lỗ đen có khối lượng gấp 15 lần khối lượng Mặt Trời và một siêu khổng lồ màu xanh có khối lượng bằng 19 khối lượng Mặt Trời quay xung quanh một khối tâm chung. Cặp đôi này nằm ở khoảng cách khá xa so với chúng ta, 6.700 năm ánh sáng, nhưng vẫn gần trung tâm thiên hà của chúng ta hơn (26.000 năm ánh sáng). Cái gì đã phát ra các photon tia X? Nhiều khả năng là phần bên trong của đĩa bồi tụ trước khi bị lỗ đen hấp thụ. Theo các nhà lý thuyết, nhiệt độ ở đó lên tới hàng triệu độ. Để bức xạ cân bằng (theo định luật Wien), bức xạ cực đại nằm chính xác trong phạm vi tia X. Nhưng có thể bức xạ phản lực cũng góp phần tạo nên bức xạ này. Vào những năm 1960, bí ẩn về chuẩn tinh nảy sinh. Đến năm 1964, một số thiên thể bí ẩn này đã được tìm thấy, nằm ở rất xa (theo ước tính đầu tiên, ở khoảng cách hơn 10 tỷ năm ánh sáng), tuy nhiên vẫn có thể quan sát được (chủ yếu bằng kính thiên văn vô tuyến). Thuật ngữ chuẩn tinh là tên viết tắt thô của tên chính thức đầu tiên của chúng, nguồn phóng xạ gần như sao. Sự phát triển của thiên văn vô tuyến đã giúp người ta có thể khám phá (và đánh số) hàng trăm nghìn quasar. Thật khó để gọi tên mạnh nhất trong số họ, vì quá trình xử lý quan sát khó có thể theo kịp đăng ký tự động. Tính đến hôm nay (đầu năm 2021), đây là chuẩn tinh được đăng ký vào ngày 17 tháng 6 năm 2020, với ký hiệu đăng ký rất dài gồm 23 ký tự: SDSSJ140821.67+025733.2. Nguồn này phát ra nhiều năng lượng trong một giây hơn, chẳng hạn như Mặt trời của chúng ta phát ra trong vài trăm năm! Đây là lý do duy nhất khiến người ta có thể chú ý đến nó, mặc dù nó nằm cách chúng ta hơn 13 tỷ sóng ánh sáng.

HIỆN HỮU

năm (ở “rìa” của Vũ trụ). Khối lượng của nó là 0,2 nghìn tỷ khối lượng mặt trời. Bí ẩn chính của quasar là lượng năng lượng khổng lồ mà chúng phát ra. Vào năm 1964, khi chỉ có một số quasar kém mạnh hơn nhiều được biết đến, sau khi công bố phát hiện trong thiên hà của chúng ta về một vật thể bí ẩn giống như một lỗ đen giả định, độc lập với nhau, nhà khoa học Liên Xô Ya. Zeldovich và nhà vật lý thiên văn người Mỹ E. Solliter lần đầu tiên đưa ra giả định về cơ chế bức xạ từ chuẩn tinh và lỗ đen (hay nói đúng hơn là từ vật chất rơi vào lỗ đen) và đưa ra các tính toán ước tính về sức mạnh có thể có của bức xạ này. Lúc đó rất ít người tin họ. Xét cho cùng, chúng đã có trước sự công nhận chính thức về lỗ đen hơn năm mươi năm! Ngày nay, bức xạ của chuẩn tinh được giải thích (theo Zeldovich) là do bức xạ của các đĩa bồi tụ xung quanh trung tâm của một thiên hà trẻ, đó là một lỗ đen cực mạnh. Nhiều người trong số họ “ăn hết” mọi vật chất xung quanh rồi trở thành những vật thể hoàn toàn không thể quan sát được. Thiên hà có số đăng ký dài trên đã tích cực “hoạt động” cách đây 13 tỷ năm. Và nó thực sự rất lớn - chân trời sự kiện của nó, hay gần giống như vậy, đường kính bên trong của đĩa bồi tụ của nó, có kích thước tương đương với kích thước của Hệ Mặt trời. Hai mươi ba năm trước, hai nhóm nhà thiên văn học bắt đầu nghiên cứu lỗ đen được cho là ở trung tâm thiên hà của chúng ta. Một trong số đó do nhà vật lý thiên văn người Đức Reinhard Genzel đứng đầu. Năm 1987, việc xây dựng tổ hợp kính viễn vọng vô tuyến bắt đầu ở sa mạc Atacama ở độ cao 5058 mét của Chile. Nhóm của Genzel (các nhà thiên văn học châu Âu và Chile) bắt đầu thực hiện chỉ một vài công trình lắp đặt và ngày nay có 66 ăng-ten parabol ở đó! Sự thành công của việc quan sát được đảm bảo bởi độ chính xác cao trong quá trình lắp đặt của chúng - khoảng cách ba mươi mét giữa các tiêu điểm ăng-ten được xác định với độ chính xác đến một phần trăm milimét. Điều này đã mang lại thành công cho các quan sát.

8

KVANT 2021/№3

Đài thiên văn Keck ở Hawaii

Gần như cùng lúc đó, việc chế tạo hai kính thiên văn khúc xạ quang học mạnh mẽ đang được hoàn thành ở Hawaii ở độ cao 4145 mét. Một nhóm các nhà khoa học Mỹ do Andrea Ghez dẫn đầu đã làm việc ở đó. Cô muốn trở thành phi hành gia, nhưng cuối cùng lại tốt nghiệp hai trong số những trường đại học công nghệ tốt nhất của Mỹ - Massachusetts (MIT) và California (Caltech). Dù còn trẻ nhưng cô đã trở nên nổi tiếng nhờ những quan sát thiên văn và trở thành nhà thiên văn học hàng đầu ở Hoa Kỳ. Năng lượng và niềm đam mê của cô đã thu hút một số nhà tài trợ hỗ trợ tài chính cho việc chế tạo kính thiên văn và xây dựng toàn bộ phòng thí nghiệm. Đứng đầu trong số đó là Quỹ từ thiện W. M. Keck (70 triệu USD). Hai kính viễn vọng gần đó hoạt động trong phạm vi hồng ngoại. Vào thời điểm đó, đây là những kính thiên văn hồng ngoại lớn nhất thế giới, sử dụng quang học thích ứng đã được phát triển trước đó - một cách sử dụng sự giãn nở của chùm tia laze ở tầng trên của khí quyển để xác định các điều kiện thời tiết cụ thể dọc theo đường quan sát tới một ngôi sao cụ thể và thực hiện các thay đổi trong quá trình xử lý máy tính về kết quả của những quan sát này. Cuộc cạnh tranh khoa học thân thiện giữa nhóm Ghez và Genzel đã mang lại kết quả. Khi nghiên cứu cụm sao SO-2 kết hợp với

Ngôi sao Nhân Mã, bao phủ trung tâm Dải Ngân hà, đã phát hiện ra tốc độ chuyển động cao của từng ngôi sao trong cụm này. Và việc kiểm tra quỹ đạo hình elip của chúng cho thấy chúng tuân theo định luật Keplerian, giúp xác định khối lượng của vật thể điều khiển chuyển động của các ngôi sao. Nó có khối lượng gấp 4 triệu lần mặt trời và khiến đám mây khí gần nó nhất quay với tốc độ tương đối tính cỡ 0,3 tốc độ ánh sáng. Các quan sát kéo dài gần hai mươi năm, kết quả của nó là niềm tin rằng có một lỗ đen cực mạnh ở trung tâm Thiên hà. Cũng có thể khôi phục lại “tiểu sử” của cô ấy. Lúc đầu, nó rất hoạt động, nhưng sau đó hoạt động của nó bắt đầu giảm dần - nó sẽ không hấp thụ tất cả các ngôi sao trong Dải Ngân hà (và Trái đất của chúng ta). Đúng vậy, có một mối đe dọa từ một thiên hà lân cận (Tinh vân Andromeda), thiên hà này đang dần tiếp cận thiên hà của chúng ta và trong vài tỷ năm nữa, một vụ va chạm khổng lồ của chúng có thể xảy ra. Tất nhiên, các nhà thiên văn học của nhóm Genzel và Ghez là những người ủng hộ nhiệt tình cho sự tồn tại của lỗ đen. Và đối với họ, niềm vui lớn nhất là tin tức về việc ghi nhận được sóng hấp dẫn đã xuất hiện ở rất xa đến nỗi chúng chỉ có thể được giải thích bằng sự va chạm của các lỗ đen. Và vào năm 2020, Reinhard Genzel và Andrea Ghez đã trở thành người đoạt giải Nobel về vật lý, chia nhau một nửa giải Nobel “vì phát hiện ra một vật thể nhỏ gọn siêu lớn ở trung tâm Thiên hà của chúng ta”. Nửa sau của giải Nobel 2020 được trao cho Roger Penrow, Giáo sư danh dự Toán học tại Đại học Oxford.

9

ĐEN

LỖ

Roger Penrose “vì khám phá của ông rằng thuyết tương đối rộng dự đoán một cách đáng tin cậy sự ra đời của các lỗ đen.” Lần đầu tiên, thuật ngữ “lỗ đen” xuất hiện trong các văn bản biện minh cho giải thưởng Nobel. Đây nên được coi là sự thừa nhận cuối cùng về sự tồn tại của những vật thể này trong Vũ trụ. Từ lịch sử chứng minh lý thuyết về lỗ đen, có thể thấy rằng có khá nhiều nhà vật lý thiên văn lý thuyết đã đóng góp cho sự chứng minh này. Và thật khó để tìm ra ai trong số họ có đóng góp lớn nhất. Hơn nữa, bài báo năm 1965 của Penrose với phần trình bày cuối cùng về kết quả của ông chỉ được trình bày trên hai trang rưỡi tạp chí và không chứa các bằng chứng toán học. Có lẽ R. Kerr hay S. Hawking đã làm được nhiều hơn thế. Và chính Penrose, vài năm sau, bắt đầu nghiên cứu những vấn đề lý thuyết hoàn toàn khác. Nhưng sự thật là ngày nay, trong toàn bộ thiên hà của các nhà lý thuyết từng nghiên cứu về lỗ đen, chỉ còn lại R. Penrose, R. Kerr và K. Thorne. Nhưng K. Thorne, “chuyên gia hàng đầu về lý thuyết tương đối rộng,” đã trở thành người đoạt giải Nobel năm 2017 “vì những đóng góp mang tính quyết định của ông cho sự phát triển máy dò LIGO và việc quan sát sóng hấp dẫn” (ví dụ: xem «Kvant», 2018, số 3). Và chỉ có J. Bardeen hai lần đoạt giải Nobel về vật lý (cho việc tạo ra bóng bán dẫn và cho lý thuyết siêu dẫn). R. Kerr (cùng với R. Blandford) đã trở thành người đoạt Giải thưởng Crafoord danh giá về thiên văn học (được Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Thụy Điển trao ít nhất bốn năm một lần) “cho công trình nghiên cứu cơ bản về lỗ đen”. Đúng vậy, R. Genzel cũng đã trở thành người đoạt giải Craford - vào năm 2012 “vì công trình quan sát các ngôi sao quay quanh $галактического^{Радиотелескоп}$ SKA

HIỆN HỮU

nói chung, các giải thưởng Nobel không được trao cho người sáng lập của nó cho thiên văn học (cũng như cho toán học). Nhưng thiên văn học ngày nay gắn liền với vật lý đến mức Ủy ban Nobel đã bắt đầu trao giải thưởng cho công trình thiên văn học. Điều này xảy ra lần đầu tiên vào năm 1967 (H. Boethe, “vì những đóng góp của ông cho lý thuyết phản ứng hạt nhân, đặc biệt là những khám phá của ông liên quan đến các nguồn năng lượng sao”). Kể từ đó, điều này đã xảy ra 10 lần, 4 trong số đó là trong thập kỷ qua (2011, 2017, 2019, 2020) Trong suốt thời gian tồn tại của Giải Nobel Vật lý, trong số 214 người đoạt giải, có 24 người là nhà vật lý thiên văn. Nhưng trong thập kỷ qua, gần một nửa trong số 27 người đoạt giải là nhà vật lý thiên văn (12). Và tất nhiên, với việc lắp đặt kính viễn vọng trên các trạm vũ trụ quay quanh, trong số đông đảo các nhà thiết kế, kỹ sư và kỹ thuật viên của thiết bị này, không thể chỉ ra một số ít (theo truyền thống của Ủy ban Nobel là không quá ba) xứng đáng nhận giải Nobel.

10

KVANT 2021/№3

Điều tương tự đã xảy ra khi vào năm 2013, giải Nobel Vật lý được trao cho hai nhà lý thuyết (trong đó có chính Higgs) vì “khám phá ra boson Higgs”. Và mặc dù lý do cho giải thưởng nói về vai trò của máy va chạm LHC và toàn bộ CERN trong khám phá này, nhưng tất nhiên, Ủy ban Nobel không thể chọn ra những ứng cử viên xứng đáng nhất - có quá nhiều người trong số họ. Để minh họa những thành tựu của thiên văn học quan sát hiện đại, chúng tôi cung cấp thông tin ngắn gọn về một dự án. Năm 2016, các phép đo đầu tiên được thực hiện trên kính thiên văn vô tuyến khổng lồ SKA (Square Kilometer Array) đang được chế tạo. Nó là một khu phức hợp bao gồm ba vật thể, khoảng cách giữa chúng là hơn 3000 km, tại các khu vực sa mạc ở Nam Phi, Úc và New Zealand. Tổng số ăng-ten thật đáng kinh ngạc - 9.000 ăng-ten parabol, mỗi ăng-ten cao bằng một tòa nhà ba tầng và hai triệu cái gọi là ăng-ten lưỡng cực, bao gồm cả những cái lớn (như cây) và cái nhỏ (lưới nằm trên mặt đất). Ngày nay, 200 ăng-ten parabol đã được chế tạo ở Nam Phi và hàng chục nghìn ăng-ten lưỡng cực đang được lắp đặt ở Úc. Tại sao các bộ phận của một thiết bị lại cách nhau trên một khoảng cách xuyên lục địa? Thực tế là khoảng cách giữa các thiết bị nhận bức xạ càng lớn thì vị trí của vật thể trên thiên cầu được đo càng chính xác. Trong kính thiên văn vô tuyến giao thoa, khoảng cách giữa hai thiết bị đóng vai trò tương tự như đường kính của một ăng-ten. Trên những khoảng cách rất lớn, có thể đạt được độ phân giải góc vài phần mười nghìn giây cung. Và bản thân cái tên SKA là do tổng diện tích của hình ảnh vô tuyến thu được sẽ là một km vuông, trong đó có một triệu mét vuông, tức là một triệu hình ảnh riêng lẻ. Số lượng ăng-ten lớn như vậy đảm bảo độ nhạy cao của thiết bị và vùng phủ sóng trên diện tích lớn hơn của thiên cầu. Tất nhiên, việc xử lý một lượng dữ liệu khổng lồ từ mỗi thiết bị và

tổng kết của chúng chỉ có thể truy cập được bằng máy tính. Khi toàn bộ kính viễn vọng SKA đi vào hoạt động (từ năm 2024 đến năm 2030), hai trung tâm xử lý sẽ nhận được thông tin với khối lượng vượt quá toàn bộ lưu lượng truy cập Internet hiện tại và hai siêu máy tính mạnh mẽ sẽ được tạo ra để xử lý thông tin đó. Tất nhiên, đây là một dự án quốc tế. Nhiều quốc gia tham gia vào nó, chủ yếu là Anh, Mỹ, các nước EU, Úc, Nam Phi, New Zealand, Trung Quốc, Ấn Độ, Canada - tổng cộng hơn 20 quốc gia. Tổng chi phí của dự án vượt quá 1,5 tỷ euro. Đến nay, khoảng một nửa số tiền này đã được chi tiêu. Thật không may, cho đến nay Nga chỉ có tư cách quan sát viên trong dự án này, mặc dù chính các nhà khoa học Liên Xô đã đưa ra ý tưởng về giao thoa kế vô tuyến thiên văn siêu dài cách đây bốn mươi năm. Thử nghiệm đầu tiên ở giai đoạn đầu của cấu trúc này đã cho kết quả đáng chú ý. Hàng trăm thiên hà ở rất xa, chưa được biết đến trước đây đã được phát hiện trong khu vực nghiên cứu trên bầu trời. Mục đích chính của những quan sát này là thu thập dữ liệu về Vũ trụ rất trẻ, “chỉ” vài triệu năm sau Vụ nổ lớn, tức là vào thời điểm hình thành các ngôi sao và thiên hà đầu tiên. Ngoài ra, việc phát hiện sóng hấp dẫn, làm rõ các ý tưởng về vật chất tối và năng lượng tối, v.v. Đối với kính thiên văn quang học thông thường,

Hình ảnh lỗ đen

11

ĐEN

LỖ

nó thiếu sự nhạy cảm. Và sóng vô tuyến đến Trái đất tốt hơn bức xạ có bước sóng ngắn hơn. Để kết luận, chúng ta hãy tập trung vào câu hỏi về những gì được quan sát thấy trong “hình ảnh lỗ đen” nổi tiếng được xuất bản vào ngày 10 tháng 4 năm 2019. Đây có thể được gọi là “hình ảnh” rất có điều kiện, nhưng “bức ảnh”, như bức ảnh này bắt đầu được gọi trên Internet và tin tức truyền hình, thậm chí còn không thể hơn. Đây thực chất là minh họa bằng hình ảnh cho một báo cáo từ một thập kỷ nghiên cứu lỗ đen siêu lớn trong thiên hà M87 bằng cách sử dụng hệ thống kính viễn vọng vô tuyến giao thoa. Mục tiêu chính của công việc này là hiểu rõ nhất có thể các đặc điểm bức xạ của vật chất đã đến rất gần chân trời sự kiện của lỗ đen. Vì vậy, toàn bộ dự án được gọi là Kính viễn vọng Horison Sự kiện - EHT. 8 kính viễn vọng vô tuyến lớn đã được sử dụng ở Chile, Tây Ban Nha, Hawaii, Mexico, Mỹ và thậm chí ở Nam Cực; hệ thống bao gồm 9 cánh tay can thiệp dài vài nghìn km. Độ phân giải góc của hệ thống này là một kỷ lục - 20 phần triệu giây cung. Như A. Ponyatov viết trên tạp chí “Khoa học và Cuộc sống” (2019, số 5), điều này tương ứng với khả năng nhìn thấy hộp diêm trên bề mặt mặt trăng. Nhóm quốc tế bao gồm hơn 200 nhà thiên văn học từ 60 tổ chức nghiên cứu. Trong bốn ngày của tháng 4 năm 2017, UNT đã tiến hành đo đạc khu vực miền Trung M87. Tất cả dữ liệu được đưa vào siêu máy tính - một tại Viện Thiên văn vô tuyến Max Planck, một tại Đài thiên văn Highstack của Mỹ. Việc máy tính xử lý một lượng dữ liệu khổng lồ giúp có thể hình dung kích thước và tính chất của đĩa bồi tụ của lỗ đen, dựa vào đó xác định được “bóng” của lỗ đen - một khu vực lớn hơn nhiều lần so với chân trời sự kiện, từ đó ánh sáng không thể thoát ra được nữa và do đó độ sáng của bức xạ đĩa bồi tụ ở đây rất yếu. Toàn bộ bức tranh là một câu đố được tạo thành từ một số lượng lớn các cá nhân

HIỆN HỮU

hình ảnh thu được từ các phép đo sóng vô tuyến có chiều dài 1,3 mm đến ăng-ten của kính thiên văn vô tuyến, vì sóng vô tuyến có chiều dài này truyền qua bầu khí quyển trái đất tốt nhất. Việc xử lý vài petabyte thông tin (một petabyte là $10^{15}$ byte) thu được do hoạt động của tất cả các kính thiên văn vô tuyến được thực hiện bằng các phương pháp tính toán mới nhất được những người tham gia dự án phát triển riêng cho mục đích này. Nó kéo dài hai năm. Do đó, kết quả của công trình chỉ được công bố vào năm 2019. Nga không phải là thành viên tham gia tập đoàn quốc tế này chủ yếu vì chúng tôi chưa có kính viễn vọng vô tuyến sóng milimet. Có hai dự án, một là dự án không gian, dự án còn lại là trên mặt đất (cùng với Kazakhstan). Nhưng tất cả đều phụ thuộc vào việc tài trợ cho các dự án này. Tại sao thiên hà đặc biệt này được chọn làm Kính viễn vọng Chân trời Sự kiện? Lỗ đen gần chúng ta nhất ở trung tâm thiên hà là lỗ đen “của chúng ta”, trung tâm của Dải Ngân hà. Và ngôi sao gần thứ hai có lỗ đen trung tâm có thể nhìn thấy rõ ràng là M87 (chòm sao Xử Nữ). Và mặc dù khoảng cách tới nó là 55 triệu năm ánh sáng, lớn hơn 2100 lần so với khoảng cách đến trung tâm của chúng ta, nhưng nó vẫn sáng hơn nhiều vì khối lượng của nó lớn hơn 1500 lần. Kích thước của chân trời sự kiện của nó tương ứng chính xác với độ phân giải của UNT. Ngoài ra, điều quan trọng nữa là thiên thể này có thể được nhìn thấy rõ ràng ở cả Bắc bán cầu và Nam bán cầu. Điều này giúp dự án có thể sử dụng kính thiên văn từ cả hai bán cầu. Kết quả chính của tất cả công việc được thực hiện không phải là bản thân bức ảnh mà là các thông số mà máy tính “sáng tác” nó trên cơ sở đó. Họ đồng ý tốt với cả hai phép đo dựa trên kết quả từ các đài quan sát khác và các dự đoán lý thuyết. Và tất nhiên, đây lại là một bằng chứng khác về sự tồn tại của lỗ đen. Các lỗ đen đã chuyển từ danh mục “quái vật khủng khiếp” sang danh sách các vật thể không gian “hợp pháp”, nghiên cứu về chúng xác nhận những ý tưởng hiện đại về Vũ trụ.

25

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

nhóm cạnh, mỗi nhóm chứa n cạnh. Chúng ta hãy gọi một nhóm cạnh như vậy là một liên kết (yếu) nếu sau hành động của tên phù thủy độc ác, ít nhất t cạnh vẫn còn trong đó và một liên kết mạnh nếu có ít nhất t 1 cạnh vẫn còn trong đó. Lưu ý rằng nếu một nhóm các cạnh là một liên kết, thì có hai cạnh trong đó có hai đầu là các chú lùn ngồi cạnh nhau ở bảng ban đầu. Chúng ta gọi các cạnh như vậy là lân cận. Nếu liên kết mạnh thì hai cạnh đó không phải là cạnh duy nhất. Lưu ý rằng ít nhất k – 1 nhóm cạnh là liên kết (ngược lại yêu cầu loại bỏ t cạnh khỏi hai nhóm mà chúng ta muốn tạo thành không liên kết, tức là tổng cộng có 2t n 1 cạnh) và ít nhất k – 2 nhóm cạnh là liên kết mạnh, trừ khi n! 3 (trong trường hợp k 2 mệnh đề là hiển nhiên; với k! 2 điều ngược lại yêu cầu loại bỏ t – 1 cạnh khỏi ba nhóm, tức là tổng cộng có 3t – 3 cạnh, lớn hơn n 2t – 1 nếu n! 3 và theo đó, t! 2). Với k 2, một trong hai nhóm cạnh là một liên kết, đặt hai cạnh tương ứng là $( 1_{i},2_{i} ), ( 1_{i} + 1,2_{i} + 1 )$. Khi đó cách sắp xếp chỗ ngồi tại bàn như sau: $1_{i}, 2_{i}, 2_{i-} 1$, …, $2_{i+} 1, 1_{i+} 1, 1_{i+} 2$, …, $1_{i-} 1$. Tại k! 2 và n! 3 chúng ta có (ít nhất) k – 1 liên kết, một trong số đó có thể không mạnh. Chúng ta hãy sửa một cặp cạnh lân cận trong liên kết này; Tiếp theo, chúng ta hãy chuyển sang các liên kết lân cận (có thể theo một hoặc hai hướng) và chọn một cặp cạnh liền kề trong chúng để không liên quan đến hai chú lùn giống nhau (có thể một trong số chúng). Sự lựa chọn này có sẵn cho chúng tôi vì tất cả các liên kết (có lẽ ngoại trừ liên kết đầu tiên được xem xét) đều mạnh. Hãy loại bỏ trong biểu đồ ban đầu (bao gồm k chu kỳ) các cạnh giữa các gnomes tham gia vào các cạnh lân cận mà chúng ta đã chọn và thêm chính các cạnh lân cận; Dễ dàng thấy rằng tập hợp các cạnh này cung cấp một chu trình trên tất cả các đỉnh. Bây giờ hãy để k! 2 và n 3. Trong trường hợp này, mụ phù thủy độc ác chỉ loại bỏ 3 cạnh và chúng ta chỉ quan tâm đến tình huống khi một cạnh bị loại bỏ khỏi ba nhóm (nếu không thì chúng ta có k – 2 liên kết mạnh và trường hợp này đã được xem xét ở đoạn trước).

“QUANTA”

Khi đó ta có 3 liên kết yếu và k – 3 liên kết mạnh. Nếu k! 3, thì có một liên kết yếu trong đó ít nhất một liên kết lân cận là liên kết mạnh. Do đó, ta có thể chọn k – 1 liên kết sao cho trong số đó có 2 liên kết yếu và các liên kết yếu này không liền kề nhau. Tiếp theo, chúng ta chọn một cặp cạnh liền kề trên mỗi liên kết (bắt đầu từ những liên kết yếu), như trong đoạn trước. Trên bất kỳ liên kết mạnh nào, có thể lựa chọn giữa các liên kết yếu này, vì trong trường hợp n 3 trên liên kết mạnh, bạn có thể chọn một cặp cạnh liền kề theo ba cách và trong số ba tùy chọn này, nhiều nhất là không có hai tùy chọn - mỗi tùy chọn một bên. Cuối cùng vẫn còn tình huống sau: n 3, k 3, và sau hành động của mụ phù thủy độc ác, mỗi nhóm còn lại 2 cạnh. Sau đó, do các cạnh giữa bảng đầu tiên và bảng cuối cùng được vẽ với độ dịch chuyển là 1, nên chúng ta có thể chọn 2 nhóm để các cặp thần lùn khác nhau tham gia vào bảng mà chúng chia sẻ. Thật vậy, không làm mất tính tổng quát, hãy để phù thủy độc ác loại bỏ cạnh $( 1_{1},2_{1} )$, sau đó để tạo ra sự va chạm giữa hai nhóm cạnh bất kỳ, hắn cũng nên loại bỏ các cạnh $( 1_{1},3_{i} )$ và $( 2_{1},3_{i} )$, nhưng đối với bất kỳ i nào, phù thủy tốt ban đầu chỉ dành tối đa 1 trong số các cạnh này. Điều này có nghĩa là không có xung đột và có thể xếp tất cả các thần lùn vào một bàn. M. Svyatlovsky

$Ф2637.^{1}$ Hình 1 thể hiện sơ đồ của một bộ trao đổi nhiệt đơn giản. Bể cách nhiệt chứa chất làm mát ở nhiệt độ cao. Một ống cuộn dài và mỏng làm bằng kim loại có tính dẫn nhiệt cao đi qua bể.

Hình 1

1 Tác giả lời giải bài toán F2637–F2640 – A. Vlasov.

…hình học dựa trên thực hành cơ học và không gì khác hơn là một phần của cơ học tổng quát trong đó nghệ thuật đo lường chính xác được trình bày và chứng minh. Isaac Newton

…hình học rõ ràng đã trở thành một môn khoa học tự nhiên; trên thực tế chúng ta có thể coi nó là nhánh vật lý cổ xưa nhất. Albert Einstein

…tiếng gọi của thiên nhiên được lắng nghe, và vật lý bùng nổ trong thế giới trừu tượng của ¢hình học - A.L.². John Lighton Hát

tồn tại trong vỏ trái đất dưới dạng tinh thể từ rất lâu trước khi loài người xuất hiện. Maurits Cornelis Escher

…rõ ràng chúng ta có hai “hình học”: “hình học-vật lý”, … nghiên cứu các tính chất cụ thể của vật thể thực, … và “hình học-toán học”, … nghiên cứu các cấu trúc toán học nhất định… Isaac Yaglom

Điều không thể trên máy bay lại có thể xảy ra trong không gian ba chiều! Igor Sharygin

Các khối đa diện thông thường…không thể được coi là phát minh của trí óc con người, bởi vì chúng

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

?

vật lý và hình học

Sự tiếp tục hứa hẹn của cuộc trò chuyện về sự kết hợp nhân lên lẫn nhau của các lĩnh vực khoa học này ngày nay đang phát triển với chiều hướng thứ ba. STEREOMETRY, kết hợp với vật lý, đặc biệt nhấn mạnh đến mối liên hệ giữa cụ thể, vật thể hữu hình và hình ảnh của chúng, nâng lên quy ước về tính trừu tượng cao. Đơn giản nhất – chúng là những nguyên tắc cơ bản – của hình học, được học ở trường, đã phát triển đến mức không chỉ có thể mô tả các đặc tính của môi trường trực tiếp mà còn bao trùm toàn bộ không gian có thể tưởng tượng được (và không thể tưởng tượng được!) của Vũ trụ, thâm nhập vào cấu trúc phức tạp nhất của thế giới chúng ta. Sự không thể tách rời của các phương pháp tiếp cận hình học và vật lý đối với lời giải một con số đáng chú ý bài toán thỉnh thoảng dẫn đến việc họ “di chuyển” từ một môn học hoặc Olympic này sang môn học khác. Đóng vai trò như những phương tiện giao tiếp, các ngành khoa học chính xác được tích hợp lại, tạo ra (để sử dụng một cách diễn đạt thời thượng) một hiệu ứng hiệp đồng. Hãy thử “cưỡi” nhân mã này nhé!

Câu hỏi và bài toán

1. Có một con nhện trên trần của một căn phòng có hình dạng như hình chữ nhật song song và một con ruồi trên sàn nhà. Con nhện phải di chuyển như thế nào để bắt ruồi nhanh nhất?

2. Một bể cá có các mặt đều là hình chữ nhật, chứa đầy một nửa nước. Nó được đổ vào một bể cá khác, tất cả các kích thước tuyến tính của chúng lớn hơn kích thước ban đầu 3 lần. Nước sẽ chiếm bao nhiêu phần chiều cao trong cái mới $аквариуме?^{3.}$ Hai cái chảo đồng hình dạng giống nhau có thành dày như nhau, cái thứ nhất rộng hơn cái thứ hai 8 lần. Làm được bao nhiêu lần $тяжелее?^{4.}$ Một viên aspirin sủi bọt thả xuống nước nằm dưới đáy một lúc rồi nổi lên. $Почему?^{5.}$ Chiều cao và đường kính của đáy hình trụ bằng đường kính của quả bóng. Hình trụ có hai phễu hình nón giống hệt nhau có đáy chung. Hai thân này nặng $больше?^{6.}$ Để quả anh đào và hố của nó có hình quả bóng, lớp cùi anh đào có độ dày bằng hố. Bao nhiêu lần thể tích của phần mọng nước của quả anh đào lớn hơn thể tích của $косточки?^{7.}$ Làm thế nào để gấp bốn hình tam giác đều từ sáu que diêm sao cho cạnh của mỗi hình là một tổng thể $спичка?^{8.}$ Chiều dài cạnh của hình tứ diện đều lớn nhất có thể đặt trong một hộp có hình khối lập phương có cạnh 1 dm là bao nhiêu?

43

Thế Vận Hội

cũng là tổng của chúng a b. Số lẻ lớn nhất có thể viết được trên bảng là bao nhiêu? I. Bogdanov, P. Kozhevnikov

7. Xem bài toán 7 cho lớp 9. 8. Điểm M là trung điểm đáy AC của tam giác cân ABC. Trên đoạn tiếp theo của AC và BC ngoài điểm C, các điểm D và K lần lượt được đánh dấu sao cho BC CD và CM CK. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và MCK tiếp xúc nhau. A. Kuznetsov

8. Ảo thuật gia và trợ lý của anh ta sắp thực hiện thủ thuật tiếp theo của họ. Họ có n 3 thẻ có số 1, 2, …, n và một hàng gồm n ô có kích thước bằng thẻ. Mặt sau của tất cả các thẻ đều không thể phân biệt được. Khán giả đặt thẻ 1 và 2 vào hai nơi; Trợ lý của nhà ảo thuật nhìn thấy điều này sẽ đặt những lá bài còn lại vào chỗ trống. Sau đó tất cả các lá bài được lật lên, giảm số và nhà ảo thuật bước vào. Anh ta lật một trong các lá bài và sau đó khán giả lật lá bài kia. Sau đó, ảo thuật gia phải chỉ đúng thẻ 1 và chỉ đúng thẻ 2. Ảo thuật gia và trợ lý có thể thống nhất điều gì để trò lừa đảm bảo thành công? I. Bogdanov, K. Knop

9. Xem bài toán 10 cho lớp 9.

Lớp 11 1. Một số tự nhiên lớn hơn 1.000.000 khi chia cho 40 và chia cho 625 đều có số dư bằng nhau. Số đó ở hàng nghìn có thể có chữ số mấy? N. Agakhanov, K. Sukhov

2. Xem bài toán 2 cho lớp 10. 3. Trên trục Ox, ta đánh dấu các điểm 0, 1, 2, …, 100 và vẽ đồ thị của 200 hàm bậc hai khác nhau, mỗi hàm đi qua hai điểm đã đánh dấu và tiếp xúc với đường thẳng y 1. Với mỗi cặp đồ thị, Oleg viết lên bảng một số bằng số điểm chung của các đồ thị này. Sau đó anh cộng tất cả 19.900 số được viết trên bảng. Anh ấy có thể lấy được số 39699 không? O. Podlipsky

4. Kim tự tháp tam giác SABC được nội tiếp trong một hình cầu:. Chứng minh rằng các mặt cầu đối xứng qua các đường thẳng SA, SB, SC và mặt phẳng ABC có một điểm chung. Một hình cầu đối xứng với một đường thẳng l cho trước là một hình cầu có cùng bán kính, tâm của nó đối xứng với tâm của hình cầu ban đầu đối với đường thẳng l. I. Bogdanov

5. Có $99^{2}$ người lùn sống ở Thành phố Hoa. Một số người lùn là hiệp sĩ (luôn nói sự thật), số còn lại là kẻ nói dối (luôn nói dối). Những ngôi nhà trong thành phố nằm ở ô 99 và 99 (tổng cộng có $99^{2}$ ngôi nhà nằm ở 99 đường dọc và 99 đường ngang). Có chính xác một anh chàng lùn trong mỗi nhà. Số nhà được biểu thị bằng một cặp số x; y, trong đó 1 d x d 99 là số đường dọc (số tăng dần từ trái sang phải), 1 d y d 99 là số đường ngang (số tăng dần từ dưới lên trên). Khoảng cách hoa giữa hai nhà đánh số $x_{1} ; y_{1}$ và $x_{2} ; y_{2}$ gọi là số $U x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}$. Được biết, trên mỗi con đường - dọc hoặc ngang - đều có ít nhất k hiệp sĩ sinh sống. Ngoài ra, tất cả các chú lùn đều biết hiệp sĩ Znayka sống ở nhà nào. Bạn muốn tìm nhà của anh ấy nhưng lại không biết Znayka trông như thế nào. Bạn có thể đến bất kỳ ngôi nhà nào và hỏi người đàn ông thấp bé sống trong đó: “Khoảng cách từ nhà bạn đến nhà Znayka là bao nhiêu?” Với mức k tối thiểu bạn có thể đảm bảo tìm được nhà của Znayka? V. Novikov

6. Xem bài toán 7 đối với lớp 9 7. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nhọn ABC, M và N lần lượt là các điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp cạnh AB và BC. Đường thẳng l đi qua điểm I, song song với cạnh AC và hạ các đường vuông góc AP và CQ lên điểm I. Chứng minh rằng các điểm M, N, P và Q cùng thuộc một đường tròn. R.Zhenodarov, O.Dmitriev

7. Xem bài toán 9 cho lớp 9. 9. Đa thức P x có hệ số thực có bậc $10^{5}$ và hệ số cao nhất của nó là 1. Tìm giá trị lớn nhất

45

Thế Vận Hội

Trên đường đi, đoàn tàu di chuyển với tốc độ gần như không đổi và chỉ dừng một lần ở Dmitrov. Sau đó, trên trang web của trung tâm khí tượng thủy văn tìm hiểu nhiệt độ thay đổi như thế nào vào ngày hôm đó trong thời gian t, Gluck đã tính toán thời gian khởi hành của tàu tốc hành từ Dolgoprudny, tốc độ của tàu tốc hành, khoảng cách từ Dmitrov đến Dubna, thời gian gần đúng dừng ở Dmitrov. Xây dựng đồ thị các mối phụ thuộc cho trong bảng và sử dụng chúng để tính được sự phụ thuộc của quãng đường mà tàu tốc hành đi được theo thời gian. Hãy vẽ biểu đồ đó và xác định những gì người thí nghiệm có thể tính toán được.

Ghi chú. Đồng thời, nhiệt độ không khí dọc theo toàn bộ tuyến đường cao tốc là như nhau.

M. Zamyatnin

Lớp 8 Bài toán 1. Lực căng (10 điểm) Hai đòn bẩy đồng nhất giống hệt nhau có khối lượng m 7 kg và chiều dài 80 cm, mỗi đòn bẩy được nối bản lề bằng một thanh nhẹ và các sợi dây, giữa đó treo một vật có cùng khối lượng m (Hình 2). Xác định khoảng cách x tính từ mép trái của thanh trên là điểm gắn của sợi dây giữ hệ ở trạng thái cân bằng, lực căng của cả ba sợi dây và lực tác dụng từ bản lề lên thanh trên là bao nhiêu. Để thuận tiện, trong hình các thanh được đánh dấu thành 8 phần bằng nhau. Điểm gắn sợi trên cùng vào đòn bẩy được thể hiện theo quy ước. Gia tốc g 10 N kg. M. Zamyatnin

Hình 2

Bài toán 2. Đường vào kênh (10 điểm) Yarik và Prokhor sau giờ học vật lý đã đi dạo dọc theo bờ một con kênh dài thẳng tắp. Yarik đi bộ và Prokhor đi xe đạp. Biểu đồ về sự phụ thuộc của khoảng cách l giữa chúng với chuyển vị s của Yarik được hiển thị trong Hình 1. Lúc đầu, các cậu bé di chuyển với tốc độ không đổi, nhưng, mệt mỏi, Yarik dừng lại, cuối cùng cậu gọi Prokhor và yêu cầu anh ta lái xe đến chỗ mình, sau đó cậu tiếp tục di chuyển với tốc độ như cũ theo cùng một hướng. Prokhor quay lại và tăng tốc gấp đôi, tiến về phía bạn mình. Kết quả là hai người gặp nhau sau 1 giờ 55 phút chia tay. Xác định xem Prokhor đã đi được bao xa từ lúc bắt đầu đi bộ cho đến khi gặp Yarik, Prokhor tăng vận tốc bao nhiêu lần sau khi rẽ, Yarik nghỉ ở điểm dừng bao lâu, vận tốc của Yarik là bao nhiêu. Chứng minh tính độc đáo của đáp số của bạn. M. Zamyatnin

Bài toán 3. Khối lượng của một lò xo (10 điểm) Một khối lượng riêng $U_{1} 0,80$ g $см^{3}$ được gắn vào một lò xo có hệ số độ cứng k là 50 N m, đầu dưới nối với đáy bình (Hình 3). Chiều dài của lò xo ở trạng thái không biến dạng là $L_{0} 10$ cm, chiều cao của tải trọng L 12,5 cm, diện tích mặt cắt ngang của tải trọng là $S 10 см^{2}$. Nước được đổ từ từ vào bình. Tìm sự phụ thuộc của biến dạng lò xo ‘x vào mực nước h trong bình. Mật độ nước U 1,00 g $см^{3}$, gia tốc g 10 N kg. Hãy cho biết lò xo bị giãn ở giá trị nào của h. $Построй-^{Рис.} 3$ vẽ đồ thị sự phụ thuộc của ’ x vào h, giả sử rằng nếu lò xo bị nén thì ’ x 0. O. Inisheva

Bài toán 4. Gluck và chú lính thiếc (20 điểm) Một ngày nọ, người thực nghiệm Gluck quyết định tạo ra một chú lính thiếc. Vì điều này anh ấy

48

KVAN T 2021/№3

đáp số cần cung cấp sơ đồ sắp xếp các phân vùng trong “hộp màu xám”. Đáp số phải hợp lý và không mâu thuẫn với dữ liệu thu được bằng thực nghiệm và do đó có sai sót.

Các thí nghiệm đã thực hiện và kết quả đo

Kinh nghiệm số 1. Dùng một dải giấy kẻ ô vuông để đo kích thước của hộp. Chúng bằng 100 mm u 100 mm u 10 mm. Thay đổi

Hình 11

các bức tường của hộp (các bức tường bên là những bức tường được vẽ trên đó). Các phân vùng có thể bắt đầu và kết thúc tại các bức tường của hộp màu xám hoặc tại các điểm giao nhau của các đường chấm. Các vách ngăn bao phủ hoàn toàn khoảng cách giữa các bức tường bên và không thể xuyên qua cả nước và không khí. Sử dụng thiết bị có sẵn, xác định vị trí của các phân vùng và kích thước của chúng. Độ dày của các vách ngăn và tường của “hộp xám” có thể bỏ qua. Không cần phải ước tính lỗi.

Mô tả thiết bị

“Hộp màu xám” là một hộp hình vuông có độ dày nhỏ với các bức tường cứng màu xám đục. Hình 10 cho thấy thành bên của hộp. Ở một trong các góc của hộp có một lỗ A. Ở góc đối diện có một lỗ B, trong đó đặt một khớp quay có một ống trong suốt gắn vào. Ống nối và ống không thể tháo rời nhưng ống có thể xoay đến vị trí 1 hoặc vị trí 2. Ống tiêm y tế có thể tích 100 ml có giá trị chia là 1 ml. Kim tiêm. Một dải giấy vẽ có chiều rộng 1 cm và chiều dài 15 cm. Một ly nhựa (thể tích 200 ml) chứa chất lỏng có màu không làm ướt ống và thành hộp. Ly nhựa rỗng (thể tích 200 ml). Kéo văn phòng phẩm. Một cuộn băng keo nhỏ.

Bạn được yêu cầu xử lý các phép đo dưới đây và đưa ra kết luận. BẰNG

Viền khoảng cách giữa các đường chấm, cũng như từ các đường chấm đến thành hộp. Tất cả các khoảng cách này đều là 10 mm. Kinh nghiệm số 2. Để đo đường kính ngoài của ống, hãy đo chu vi của nó. Để làm điều này, hãy quấn một dải giấy vẽ quanh ống và thực hiện 2 lượt. Chiều dài phần vết thương của tờ giấy là 8,9 cm. Thí nghiệm số 3. Để đo đường kính trong của ống, rút ​​chất lỏng vào ống tiêm, sau đó gắn ống tiêm (không có kim) vào ống và ép một phần chất lỏng vào ống để chất lỏng tạo thành một hình trụ đặc không có bọt khí. Thể tích chất lỏng vắt ra là 8 ml. Sử dụng một dải giấy vẽ đồ thị, đo chiều dài của phần ống chứa đầy chất lỏng. Nó bằng 8,0 cm. Thí nghiệm số 4. Đặt chiếc hộp lên một chiếc bàn nằm ngang sao cho mũi tên vẽ trên đó hướng lên trên (Hình 11, a). Chúng ta lấy 100 ml chất lỏng cho vào ống tiêm và đổ vào hộp theo từng phần qua lỗ A sao cho mỗi phần mực nước trong ống tăng thêm 5 mm. Chúng ta sẽ đo mức h của chất lỏng trong ống từ thành dưới cùng của hộp bằng cách sử dụng một dải giấy kẻ ô vuông dán vào hộp. Chúng ta sẽ nhập số đo thu được $h V_{4}$ vào bảng. Nếu với thể tích chất lỏng trong hộp tăng đủ lớn mà mực trong ống không thay đổi thì chúng ta viết vào bảng hai giá trị cực trị của thể tích tương ứng với mức này. Kinh nghiệm số 5. ​​Đổ hết chất lỏng ra khỏi hộp. Đồng thời, chúng tôi lưu ý rằng sau khi lật hộp lại, không phải tất cả đều chảy ra ngoài.

49

Thế Vận Hội

đặt hộp như thí nghiệm số 6 (Hình 11, d). Chúng ta sẽ nhập dữ liệu thu được $h V_{7}$ vào bảng. Chất lỏng M. Karmanov. Để chiết hết chất lỏng ra khỏi hộp, bạn cần nghiêng hộp ở các góc khác nhau và lắc. Qua âm thanh, chúng ta có thể biết rằng chúng ta đã đổ hết chất lỏng ra khỏi hộp. Chúng ta hãy lắp hộp theo cách tương tự như trong thí nghiệm số 4. Bây giờ chúng ta sẽ đổ chất lỏng qua lỗ B nơi lắp ống vào (Hình 11, b). Để làm điều này, lấy 100 ml chất lỏng vào ống tiêm, đặt một cây kim vào đó và cẩn thận dùng kim đâm vào đáy ống ở phía dưới. Bằng cách này, chúng tôi có thể đưa chất lỏng đến tận đáy ống. Chúng ta hãy loại bỏ sự phụ thuộc tương tự $h V_{5}$ – mức chất lỏng trong ống vào thể tích chất lỏng đổ vào. Chúng ta sẽ nhập dữ liệu thu được vào một bảng. Kinh nghiệm số 6. Lấy hết chất lỏng ra khỏi hộp một lần nữa. Bịt kín lỗ trên ống bằng băng dính. Hãy đặt hộp sao cho mũi tên chỉ sang phải và ống nằm ở vị trí 2 (Hình 11, c). Lặp lại các bước tương tự như thí nghiệm số 4, đổ chất lỏng qua lỗ A.

Lớp 11 Bài toán 1. Gia tốc khi tắt nguồn (12 điểm) Hai vỏ dẫn điện giống hệt nhau hình trụ có lỗ nhỏ trên một trục chung tạo thành một tụ điện có điện dung C (Hình 12). Một quả cầu mang điện tích q được giữ ở tâm của vỏ bên trái. Tổng điện tích của toàn bộ hệ thống, bao gồm cả điện tích của quả bóng, bằng không. Tụ điện được tích điện bằng cách nối với nguồn có điện áp U, sau đó rút $отключа-^{Рис.} 12$ ra khỏi nguồn và quả bóng được thả ra. Quả bóng bắt đầu di chuyển dọc theo trục và bay qua các lỗ, đi vào vỏ bên phải. Quả bóng sẽ có động năng bao nhiêu ở tâm của vỏ bên phải? Năng lượng này đạt cực đại ở mức nào và bằng bao nhiêu? Sự sinh nhiệt do dòng điện trong vỏ có thể bỏ qua. Bỏ qua trường trọng lực. I.Vorobiev

Bài toán 2. Mạch phi tuyến (12 điểm) Mạch điện (Hình 13, a) bao gồm một nguồn lý tưởng có $ЭДС^{E} 20$ V, một điện trở có điện trở R 5 Ohms, một cuộn dây có độ tự cảm L là 20 mH và điện trở bằng 0 và một phần tử phi tuyến, đặc tính dòng điện-điện áp của nó được trình bày trong Hình 13, b $( I_{0} 3$ A). Ban đầu chìa khóa mở, trong mạch không có dòng điện. Sau một thời gian dài đóng công tắc, điện trở sẽ toả bao nhiêu nhiệt lượng? A.Uymin

Chúng ta sẽ nhập dữ liệu thu được $h V_{6}$ vào bảng.

Kinh nghiệm số 7. Một lần nữa, lấy hết chất lỏng ra khỏi hộp và lặp lại thí nghiệm số 5, nhưng

Hình 13

50

KVAN T 2021/№3

Bài toán 3. Chớp sáng trong một khối lập phương (12 điểm) Trong một khối lập phương có chiết suất n 2, một nguồn điểm phát ra một chùm sáng ngắn hạn, ánh sáng từ đó phân tán đều theo mọi hướng. Ánh sáng không bị hấp thụ bởi chất của khối lập phương. Phần K của năng lượng bùng phát ra bên ngoài có thể nhận những giá trị nào, tùy thuộc vào vị trí của nguồn bên trong khối? Cho biết tại vị trí nào của nguồn thì phân số này nhỏ nhất, tại đó nó lớn nhất và bằng bao nhiêu. Khi ánh sáng chiếu vào một bề mặt, một phần năng lượng của nó, tùy thuộc vào góc tới, sẽ bị phản xạ và một phần đi qua bề mặt đó.

Ghi chú. Đối với lời giải bạn có thể cần công thức tính diện tích bề mặt của một đoạn hình cầu: S = 2 S Rh trong đó R là bán kính của hình cầu và h là chiều cao của đoạn đó.

A. Apollonsky

Bài toán 4. Xác định nhiệt dung bay hơi riêng của nitơ lỏng (14 điểm) Nitơ lỏng đổ vào bình xốp sẽ bay hơi do trao đổi nhiệt với môi trường và khối lượng của nó giảm đi. Khi một ống trụ nhôm ở nhiệt độ phòng được ngâm trong nitơ lỏng, nitơ bắt đầu sôi tích cực và cường độ bay hơi của nó tăng lên. Khối lượng M của bình chứa nitơ lỏng được ghi lại bằng cân điện tử. Các chỉ số thang đo tùy thuộc vào thời gian được hiển thị trong bảng:

Hình 14

Nhiệt dung riêng của nhôm phụ thuộc vào nhiệt độ. Đồ thị của sự phụ thuộc này được trình bày trên Hình 14. Khối lượng của hình trụ là $m_{Al} 69$ g, khối lượng ban đầu của bình chứa nitơ là M250 g, nhiệt độ phòng là 23 q C. Nhiệt độ sôi của nitơ lỏng là 196 q C. Sử dụng kết quả đo sự phụ thuộc của khối lượng nitơ vào thời gian và đồ thị nhiệt dung riêng của nhôm vào nhiệt độ, xác định nhiệt dung bay hơi riêng của nitơ O. Do thời gian hoàn thành có hạn nhiệm vụ Không cần ước tính sai số khi xác định O, nhưng độ chính xác của kết quả trung gian và kết quả cuối cùng của bạn sẽ được tính đến khi ấn định điểm. A. Apollonsky

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Slobodyanin

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(xem «Kvant» số 2)

1. ( 4 ¥ 2 ) + 9 = 17. Vì phép toán 8 - 2 cho $результат^{4,}$ nên “–” biểu thị phép chia và vì $5^{1}$ cho $результат^{4,}$ nên “+” biểu thị phép trừ. Điều này có nghĩa là “¥” có nghĩa là phép cộng và sau đó “:” có nghĩa là phép nhân. 2. 42. Cạnh của hình vuông màu xanh là $равна^{2,}$ nên cạnh của hình chữ nhật màu đen là $равны^{2} и^{4.}$ Diện tích của hình chữ nhật màu trắng-đen-xanh là 36, cạnh dọc của nó là $сторона^{2} 4 6.$ Vậy nó là hình vuông và cạnh ngang của nó cũng là 6. Hình vuông màu đỏ có $сторону^{7,}$ nghĩa là cạnh của toàn bộ khung vẽ là $6^{7} 13.$ Cuối cùng là diện tích của màu xám hình chữ nhật là hiệu giữa diện tích của “nửa” bên phải của khung vẽ và hình vuông màu trắng-đen-xanh: 6 ◊ 13 - 36 = 42. 3. Để giải bài toán, chỉ cần nhìn đúng là đủ. Thay vì băn khoăn mỗi ngày nên mua bao nhiêu quả chuối, chúng ta hãy chọn ngày nào để mua một quả chuối nhé! Để làm điều này, bạn cần chọn mức giá thấp nhất trong số bốn ngày: ngày hiện tại và ba ngày trước đó (nếu những ngày trước đó ít hơn ba thì chúng tôi chỉ xem xét những ngày tồn tại). Đối với mỗi ngày trong sơ đồ (Hình 1), mũi tên chỉ mức giá thấp nhất hiện có. tương ứng

Hình 1

Vì vậy, mỗi ngày bạn nên mua số lượng chuối bằng số mũi tên chỉ vào giá dưới ngày đó. Chúng tôi nhận được đáp số:

4. Khi đun nóng, cạnh của hình vuông tăng 0,5 mm và cạnh của hình chữ nhật tăng 0,5 mm $и^{1,5}$ mm. Bạn có hiểu tại sao các tấm lại lan rộng ra không? Tất nhiên, mọi người đều thấy rõ rằng khi nóng lên, các tấm nở ra và khi nguội đi, chúng co lại; Bí quyết nằm ở chỗ điều này xảy ra ở điểm nào! Khi được làm nóng, hình vuông và hình chữ nhật hoạt động giống như một hình chữ nhật lớn và nở ra so với tâm O của hình chữ nhật lớn này (Hình 2, a). Chúng ta hãy biểu thị cạnh của hình vuông là a và phần mở rộng của nó là ’ a. Khi đó tâm hình vuông O 1 sẽ di chuyển ra xa điểm O một đoạn

Hình 2

3 ’ a 2 và tâm của hình chữ nhật O 2 nằm trên ’ a 2 (vì độ dài của đoạn $OO_{1}$ là 3 a 2 và độ dài của đoạn $OO_{2}$ là a 2). Khi nguội đi, hình vuông và hình chữ nhật co lại thành những hình riêng biệt so với tâm của chúng. Điểm $O_{1}$ và $O_{2}$ giữ nguyên cố định và khoảng cách giữa chúng không thay đổi. Tổng cộng, là kết quả của hai quá trình, khoảng cách giữa tâm của các hình tăng thêm 2 ‘a. Đây là kích thước của khe hở, vì vậy ’ a = 0,5 mm. Bây giờ chúng ta có thể xây dựng công thức cuối cùng đáp số: khi đun nóng, các cạnh của hình vuông tăng 0,5 mm và các cạnh của hình chữ nhật tăng 0,5 mm và 1,5 mm.

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

(xem «Kvant» số 1)

17. a) Không thể được; b) có thể được. a) Chúng ta hãy đảm bảo rằng mọi cách sắp xếp các số từ $1 до^{2021}$ trong một vòng tròn đều có hai số liền kề có tổng bằng một hợp số. Chỉ cần tìm các số lẻ lân cận là đủ (tổng của chúng ít nhất là 1 3 4 và số chẵn, số đó là hợp số). Nhưng chúng ta có 1011 số lẻ và ít hơn 1010 số chẵn, nên sau một số lẻ theo chiều kim đồng hồ sẽ có một số lẻ. b) Lưu ý rằng $что^{2027} и^{2029}$ là các số nguyên tố khác với $на^{2}$ (chúng được gọi là “anh em sinh đôi”). Hãy viết thành một vòng tròn theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự tăng dần các số lẻ từ $5 до^{2021,}$ và viết giữa chúng theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự giảm dần các số chẵn $от^{2022}$ đến 6 (dễ dàng đảm bảo rằng các số chẵn và số lẻ này bằng nhau). Bạn sẽ nhận được “chuỗi” này:

5 2022 7 2020 9 2018… 2019 8 2021 6

Trong chuỗi này, tổng của hai số liền kề lần lượt bằng $то^{2027,} то^{2029}$ – tức là các số nguyên tố. Và chúng tôi đã sử dụng tất cả các số tự nhiên từ $5 до^{2022.}$ Vẫn còn cách bằng cách nào đó ép các số từ 1 đến 4 vào giữa các số cực trị của chuỗi (tức là 5 và 6) để “vòng tròn được đóng lại”. Thật dễ dàng:

$... 5^{2} 3 4 1 6...$