Kvant 1970 年第 5 期 · 页面

科普物理和数学
量子
5
1970
偷
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

1

主编-I.K.KIKOIN院士，
第一副主编 -
柯尔莫哥洛夫院士，

社论
复制：

L.A.Artsimovich，院士
M·I·巴什马科夫
V. G. Boltyansky，苏联教育科学院通讯院士
I·N·布朗斯坦
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V. G. Zubov，苏联教育科学院院士
P. L. Kapitsa，院士
V.A.基里林，院士
G. I. Kosourov（副主编）
V·P·利舍夫斯基
A. I. Markushevich，苏联教育科学院院士
M. D. Millyunitkov，院士
N·A·帕特里克耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博杰茨基（副主编）
M. L. Smolyansky（物理和数学科学博士
是啊。 A. Smorodinsky，苏联教育科学院院士
V. A. Fabrikant、J. E. Schneider（执行秘书）

封面第一页：D. V. Beloe
“测量长度”。

编辑部主任 L. V. Chernova。
首席艺术家 E. P. 列昂诺夫。
技术编辑 T. M. Makarova。
校对员 M. V. Mamulova 和 T. A. Pankova。

《科学》出版社
主编室
物理和数学文献
莫斯科，V-71，列宁大街，15

于 1970 年 3 月 23 日交付。
子p。待出版 16/VI-1970
纸 70×100 1/16。物理。烤箱 4.
状况。奥恩湖5, 36 学术版。 L.6.11。
发行量205055份。 T-09753。
价格30戈比。订单 467
契诃夫印刷厂 Glavpolinggrafproma 苏联部长会议印刷委员会
契诃夫，莫斯科地区

1

在房间里：

汽车可以做什么2
长度测量10
决赛轮结果
学童体重优化 17
几何桌面18
通过模型和残差算法进行比较 27
飞行和水波的基本理论 34
问题书《Quenta》39
如何生长晶体 42
论1969年技校数学入学考试 45
有人输了，有人找到了 48
电视是你准备VZZ的助手！ 52
沸水和霜 54
圆筒棋56
教材《数学分析》58
答案、指示、解决方案 60
五年级习题 64
填字游戏“几何” -

第三封面页

2

---

running_head:
folio:

R·S·古特
什么
梅诺特
汽车

不同的时间-不同的妈妈-
不同汽车的轮胎是不同的
的可能性。显然是第一个

3

人类的机器应该被认为是一块普通的石头，我们的猴子物体用它来打破坚果（或同样坚固的东西，例如动物的头），以及一根简单的棍子，当需要从其下面取出动物或可食用的根时，它起到杠杆的作用来移动沉重的石头。

生活在公元一世纪左右的亚历山大的赫伦（他提出了三角形面积的公式和提取平方根的逐次逼近法）制造了一台开门的机器。那时还没有电梯，但是，想必，关于电梯的故事不会让海伦感到太惊讶。但告诉他有关自动化或电话的事情要困难得多。

同样，一个二十世纪三十年代的工程师不会对六十年代人造地球卫星飞行的故事感到非常惊讶，但一个关于诊断病人、将科学文本从英语翻译成俄语、证明定理、下跳棋和下棋以及创作诗歌和音乐的机器的故事，会遇到深深的、自然的不信任。

读者应该已经意识到我们正在谈论电子计算机，即我们这个时代的“客观核算”。

创造“思考机器”的想法很久以前就在人们中出现了。西班牙僧侣雷蒙德·纳尔（公元十三世纪）、法国科学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）以及伟大的德国数学家和哲学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646-1716）在一定程度上表达并试图实施这一理论。然而，在当时这些尝试并没有也不可能成功。

许多作家也没有传递这些想法。请记住精彩的英国讽刺作家乔纳森·斯威夫特（Jonathan Swift，1667-1745）和格列佛的拉普达之旅。在各种伪科学和从作者的角度来看受到嘲笑的思想的承载者*)中，读者还遇到了一位教授，他正在“……在一个项目中，其目标是借助技术和机械操作来提高思辨知识……在他的发明的帮助下，最不绅士的人，只需花费很少的开支和花费一点体力，就可以在完全没有博学和天赋的情况下写出有关哲学，立场，政治，法律，数学和神学的书籍**）。

奇怪的是，斯威夫特所描述的“机器”所伴随的图是令人惊讶的

*）然而，几年前《青年科技》杂志曾节选《格列佛游记》的这一章。该样本包含大量被斯威夫特嘲笑的想法，但这些想法在我们这些年中得到了应用，直到“从屋顶开始建造房屋”，现在已被列宁格勒房屋建筑工厂成功使用。

**) J. St. 和 ft.，《Lemusius Gulliver 前往世界某些地方的旅行》，他首先是一名外科医生，然后是几艘船的船长，GIHL, M.，1967 年，第 17 页。 217.

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记住现代计算机的矩阵。
通过比较我们从 1947 年俄语版借用的 Swift 机器插图（大概是复制了相应的 Swift 原件）和十年后拍摄的备忘录矩阵照片，很容易验证这一点。

但如果“逻辑机器”可以被称为制造业，那么对帮助人们计数的计算机的需求是显而易见的，这就是为什么它们在很久以前就被创造出来了。

显然，计数是“在手指上”开始的，因此手指应该被认为是第一个（或原始的）计算机器。以前的计算机的下一步应该被认为是算盘和俄罗斯算盘，它一直延续到今天，其中数字由放在织针上的鹅卵石或骨头来表示。这些设备上的计算完全是手工完成的，所以算盘应该用作方便计算的设备，而不是用作计算机器。

计算机的历史始于 1642 年，当时 Blaise Pascal 发明了第十个计数轮和一种自动从一个等级转移到另一个等级的机制。这种传输机制的思想至今仍在台式键盘机中使用，本质上没有任何改变。但当时的技术水平太低，无法创造出可靠的工作机制和装置。又花了大约一百五十年的时间才实现这些想法并创造出实用的计算机。

1874年，俄罗斯工程师V.T.奥德纳发明并制造了一种节律计，它利用齿数可变的齿轮来显示数字。 1878年，伟大的俄罗斯数学家P. L. Chebyshev（1821-1894）发明了一种具有逐级连续转换机制的算术计。 1891年，Odhner算术计开始工业化生产。这种设计的成功可以从以下事实得到证明：手动菲利克斯算术计的生产与奥德纳的算术计本质上没有什么不同，只是在五十年代中期才被机电算术计的生产所取代。

加法机也变得普遍。

5

Barrows，1885 年制造。随后，大量不同的计算机被创建并正在被创建，提供计数机械化，首先是手动，然后是电动马达。然而，它们都具有手动控制：对于每个动作，操作机器的操作员必须将所需的数字输入到机器中，并通过按相应的键 *) 来指示所需的动作。

数学机器发展的另一条路线是所谓的连续机器或模拟机器。他们的第一个想法是著名的计算尺和各种平面计和测距仪，旨在找到平坦区域和平坦曲线的长度。 19 世纪末和 20 世纪初，连续机器被设计用于执行差异化和衬布操作。 1912 年，伟大的俄罗斯科学家、数学家和造船家 A. N. Krylov（1863-1945）设计了求解微分方程的机器。所有这些都是基于机械元件。随着电气工程和电动踢的发展，广泛使用电气和电子元件构建的模拟机器已经变得非常普遍。

现代电子计算机的真正代表应该被认为是 1830 年左右由剑桥大学教授查尔斯·巴贝奇 (Charles Babbage) 设计的机器。巴贝奇的想法在当时被证明在技术上是不可行的，事实上他的机器从未工作过。但它已经包含了现代计算机所具有的所有基本设备。终于，在四十年代末，也就是二十多年前，第一台使用电灯的电子计算机出现了。

对于电子计算机来说，主要有两种

6

主要特征是执行算术运算的速度和内存量。第一台苏联电子计算机BESM、M-2、Strela、Ural的运算速度为每秒200-2000次算术运算，存储容量为1024-2048个单元。这些机器是管式机器，每台都有数千个真空管。

六十年代后期的 Nibaulier 分布式机器有 BESM-4、M-220、Minsk-22、Razdan-3，其速度约为每秒 25,000 次算术运算，RAM 容量为 8192-32,768 个单元。 BESM-6 机器的 RAM 为 32,768 个单元，算术运算速度已高达每秒一百万次。在这些机器中，真空管已完全被半导体元件（晶体管）取代，半导体元件的体积明显更小，所需的功率也显着降低。

晶体管的使用使得制造替代机电键盘的小型桌面电子键盘成为可能。它们的特点是高速和完全无噪音，这对于大型计算实验室非常重要。因此，桌面键盘电子机器开始取代机电机器。我们的汽车“Vyatka”、“Iskra”、“Orbita”等赢得了广泛的欢迎。

计算机创造的首次成功使得将它们用于各种新的特殊任务成为可能。

将计算机“构建”为控制计算机并不困难，至少在理论上是这样。让我们考虑控制某些工艺过程的问题，例如在特殊反应器中生产化学物质的过程。

过程的进程由反应器内部的状态决定：起始物质和所得物质的浓度、反应器内部的温度和压力等。过程控制通常包括改变受控参数，例如进料速率和温度。在手动控制中，操作员根据仪器读数确定给定时刻的过程状态，并确定对给定状态最有利的可调参数值，将其调整为所需值。

为了自动控制这样的过程，有必要创建一台具有改变设备特性的计算机

7

识别过程的状态和控制设备。从变换器接收到有关过程状态的信息后，机器将扩展给定状态的最有利模式并将控制装置移动到所需位置，并且可以在一定时间段后重复这种计算和调整。

当然，在这个方案的实际实施中，可能而且确实会出现各种各样的困难，但克服这些困难，正如他们所说，已经是“一个技术问题了”。

尤其重要的是使用高速电子计算机来控制高速过程。其中许多过程需要每秒数十或数百次的调节运动；如果不考虑高速机器，对此类过程的调节通常是不可能的。但这个话题值得更详细的讨论，我们将在该杂志的后续期刊中对此进行讨论。

现代计算机的各种“非计算”应用相当广泛且多种多样。例如，使用它们将文本从一种语言翻译成另一种语言是非常有趣的。我们在这里只能给出这样一个程序的操作原理的大概描述。但即使从这样一个粗略的近似来看，我们也可以想象到足够的结果和存在的困难。

让我们想象两种语言由相同数量的单词组成，这些单词不随词尾变化或词形变化而变化，并且都是含义（在俄语中，几乎所有单词都是含义；例如，在其他欧洲语言中，有许多服务词没有独立的含义。例如，德语中文章含义中的 der 或 ein ，英语中的 the - 等）。让我们进一步假设一种语言中的每个单词都有一个到另一种语言的翻译。用数学术语来说，这意味着两种语言的单词之间存在一一对应的关系。

如果我们还假设句子中单词的顺序对于两种语言都不重要（这大致就是俄语的情况，句子中的单词可以相当任意地重新排列，与许多其他语言不同，它们的顺序是由语法结构规定的，并且书面短语的含义可以通过重新排列单词而改变），那么对于此类语言，编写翻译程序非常简单。

车上带一本字典就够了。例如，这可以通过这种间接方式来完成。 Zanuterum 以某种方式来自第一语言的单词，例如按字母顺序。第二语言的单词由相同的数字编号，使得两种语言对应的单词具有相同的数字。现在剩下的就是创建一个程序，通过该程序，机器可以根据输入的第一种语言的单词找到其编号，然后根据与第二种语言的单词对应的编号，并将其打印出来。这将创建一个翻译程序。

对于实际存在的语言来说，情况当然要复杂得多。首先，单词通常是屈折的，并且句子中单词的顺序也并非无关紧要。因此，除了字典之外，程序还必须包含两种语言的相当详细的语法规则列表，这将允许：

1. 对输入的句子进行语法分析，确定主语、谓语和

8

句子的次要成员并揭示其性格；

2. 检查每个单词，分离其词根并找到基本形式（名词的主格单数等）；

3. 使用字典将每个单词翻译成另一种语言后，将另一种语言的单词按照所需的顺序排列在翻译的句子中；

4. 根据所需的形式（数字、大小写等或其他语法形式取决于词性）更改每个单词。

由此可见，翻译程序需要对语言结构（语言学结构）有相当全面的了解，甚至达到可以完全形式化地呈现给机器的状态。现在我们没有这样的语言知识。

但这一切，正如他们所说，只是鲜花。当我们更详细地思考字典时，机器翻译的果实就完全成熟了。在那之前，我们假设两种语言的单词之间存在一一对应的关系。众所周知，现实情况远非如此。

首先，每种语言都有同义词 - 这些是具有多种不同含义的单词的名称。例如，俄语单词“spit”可以有四种不同的含义：spit可以是尖锐的、浅棕色的或沙质的，也可以是一个简短的形容词（来自“oblique”）。显然，这里已经不可能单独翻译每个单词了，而且国家让字典比上面描述的还要复杂；简单的单词编号在这里是行不通的。

更困难的是同义词的存在，即几个具有相同或更准确地说大致相同含义的单词，例如“wonderful”、“excellent”和“great”。大多数情况下，它们是可以互换的，但在某些情况下，需要从许多同义词中选择一个，并从另一个同义词中选择几个单词，并且必须用从词典中的几个同义词中选择所需翻译的规则来补充收集的语法规则，并将该选择与文本的其他单词相协调。制定这样的规则已经相当困难了。

对此我们可以补充一点，按词性对单词进行分析可能会遇到必要的困难。例如，显然没有一个读者怀疑“glass”是一个中性名词，处于主格状态……直到他遇到一个短语，其中它危险地变成了动词。例如，这样的短语可以是：“油溢出在桌子上，并流到地板上。”再次强调，当考虑一个词时，我们必须添加其他词。

因此，仍然有很多人需要您的许可才能创建从一种语言到另一种语言的成熟翻译程序。正如该领域的一位专家恰当地说的那样，“首先，你需要学习如何很好地从俄语翻译成俄语。”然而，我们已经拥有了很多，并且正在学习更多。

简化翻译任务的真正方法之一是存在正在考虑的文本域。如果我们仅限于与某个知识领域相关的文本，那么就需要更简单的词典来翻译它们。

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它的单词数可能较少，并且翻译每个单词的多样性也较少。另外，本例中句子的句法结构变化较少，这也使得工作变得更加容易。我们已经制作了几个这样的“狭隘”程序，用于将法语或英语翻译成俄语。

比机器翻译工作晚一些，机器文档领域的研究开始了，即使用计算机来记录定理，或者更准确地说，从其他陈述中推导出其他陈述之一。与此同时，我不仅决定了已知的陈述。

1967 年 2 月，在启发式编程国际研讨会上，美国数学家 G. Gelernter 谈到了他编写的记录初等几何定理的程序。使用该程序，文档机

la 定理，程序员以前不知道该定理的有效性。

证明的定理如下所示。从不位于其对角线上的正方形顶点开始，绘制两条线段，将该顶点与相对边的中点连接起来。据说这些线段将对角线分成三个相等的部分（参见图）。当然，这个定理并不太难，想必读者能够自己证明。但这个证明并不是第一次——这个定理第一次被电子计算机证明。

在苏联，也创建了一些此类程序，特别是用于证明算术定理的程序，允许（这对于九年级学生来说尤其有趣）使用数学归纳法。

更有趣的程序可以帮助电子计算机玩纸牌游戏、多米诺骨牌、跳棋和国际象棋。我们不会在这里讨论该领域取得的成就，打算专门写一篇文章来讨论这些问题。同样，现代计算机在识别和诊断问题中的应用值得更详细的分析。我们稍后会这样做。

长度测量

“本质上，重量是知识的主要常识。科学从开始测量开始。”
D·I·门捷列夫

古代人类就产生了测量范围的需要。起初，人们满足于某个国家的统治者制定的主观措施。这尤其反映在该线路的名称中，英文称为“ruler”，意思是“统治者”（因此 - 轮盘赌）。例如，英国国王亨利一世将码定义为从鼻尖到伸出的手的拇指末端的距离。后来，制作了一根等于一码的青铜棒，并在其上进行了等距离的划分。

中世纪的欧洲，采用度量作为长度的计量单位，其模型是十六个人站立时，前一个人的脚后跟碰到下一个人的脚趾末端的一条“链”的长度。这种“链”长度的十六分之一是“英尺”，在英语中意为“英尺”。在确定一英尺等于多少时，一个人的较短脚长被另一个人较长的脚长所补偿，因此不同地理位置的平均脚值相差不大。

长度有些奇怪。所以，印第安人在购买土地时，以一个人一天可以走完的面积作为衡量单位。因此，买家通常会为此目的聘请跑得最快的人。

在俄罗斯，主观的长度测量方法是跨度、步长、肘部。长距离是通过箭的飞行来测量的。随着贸易和手工艺的发展，出现了物体合法化的长度测量。在俄罗斯，阿尔辛成为了这样的措施。 1 Arshin 为 1 Sakhen，500 Sakhaens 为俄里（1.0668 公里）。

十八世纪末，一群法国科学家提出了“永远”的公制测量系统

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该系统以米和千克两种基本单位为基础，并带有导数和小数除法。公制的简单性和使用的方便性完全满足了当时的要求。该系统被包括俄罗斯在内的许多国家采用。

穿过巴黎的地球子午线的百万分之一被采用为长度单位——米。 18世纪末至19世纪初，一群代表法国科学院的科学家计算出了从敦刻尔克到福门图拉岛的子午线段的长度*)。根据所进行的测量，

*) 埃拉托斯特尼 (Eratosthenes)（公元前 276-194 年）首次计算了地球的周长。他知道锡耶纳有一口井，在夏至那天被太阳照亮，也就是说，此时的锡耶纳太阳处于最高点。与此同时，在埃拉托色尼居住的亚历山大，太阳位于铅垂线以南1/50圆的位置，即7°12′。埃拉托色尼确定塞涅和亚历山大之间的距离为 5000 视距。根据这些数据，他算出了地球的周长，埃拉托色尼发现等于 39,690 公里（以现代单位计算），与实际值略有不同。

图 1. 因此，在中世纪，他们确定了英尺等于什么。

米的原型，至今仍保存在巴黎附近塞夫尔的国际计量局。

米被认为是自然的长度单位——地球子午线的四千万分之一。但随着时间的推移，它不再是这样一个单位了。地球的周长被明确了，铂金棒也被改变了，现在的样本米不再是地球周长的百万分之一，而只是一些固定的长度。因此，需要回归自然界中存在且易于复制的自然标准。否则，如果国际计价台突然因某种原因丢失、清理或损坏，将会造成严重混乱。此外，现有的阶段无法提供达到所需科学技术所需精度的长度测量。

第十一届米和重量大会（1960 年）对米进行了新定义。其决议如下：“……会议，考虑到国际原型没有定义足以满足现代需求的精度的米，另一方面，最好采用自然和

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图 2. 使用称为干涉比较器的装置来比较参考米的长度与光波的长度。这种装置的示意图之一如图所示。来自光源 S 的平行光束以 45° 角落在镀银半透明玻璃板 P 上，该玻璃板将光束分成两部分。反射光线1到达镜子31，被镜子反射，穿过平板P1后，落入望远镜T。光束2穿过平板P后，被镜子32反射，然后从平板P的半透明侧反射，也落入管T中。（为了清楚起见，光线1和2用不同的颜色表示。）光线2穿过平板P三次，而光线1仅穿过一次。为了补偿由此产生的光线路径的差异，在第一条光线的路径上放置不同的板 P1，其由与板 P 相同的材料制成。光束 1’ 和 2’ 是正确的，并在管 T 的视场中给出干涉图案。根据光线路径的差异，管道的视场是亮的或暗的。当镜子3 1 移动四分之一波长的距离时，两束光线的路径差增加一半波长，视野的照明发生变化。您可以安装光电倍增器来代替管道，它将在每个照明级别产生电脉冲。通过这种方式，您可以计算在给定长度下减少的波数。

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图 3.三角测量法。知道长度$AB$以及角度$\alpha$和$\beta$，我们就可以确定到物体$C$的距离。

可破坏的标准，解决了：米的长度等于氪原子86在真空辐射中的1,650,763.73个波长。”随着新标准的推出，长度测量的精度提高了一百倍。

所以，人类又回到了自然的长度标准。根据米定义所附的说明，任何国家都可以复制新的长度标准。为此使用了一种特殊设备：比较器。借助它的帮助，您可以获得示例性的仪表。

长度如何变化？一旦确定了计量单位，这并不难做到。您只需要查看仪表（或其任何部分）在测量距离处适合多少次。

但是，如果您需要测量距山区或非常崎岖地形上的物体的距离该怎么办？然后另一种确定长度的方法（称为三角测量）可以解决这个问题。已知其间距离的两点位于物体上 (图 3)。根据已知的距离$L$以及角度$\alpha$和$\beta$，我们可以计算出三角形的所有元素。

精确的三角测量方法使用的是他们测量从敦刻尔克到弗洛姆岛的子午线长度时的条件。然后，知道这两点之间的距离（以某些长度和度为单位），就可以计算出整个子午线的长度。

当在地球上使用时，直接长度测量方法和三角测量方法给出相同的结果。因此，很自然地将三角测量方法扩展到测量空间物体的距离。例如，确定飞行高度

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图 5. 使用三角测量法确定到最近恒星的距离。已知的长度（基础）是地球轨道的直径。

地球的人造卫星，这就是我们与天然卫星月球的距离曾经被确定的方式。最近，到月球的距离已经通过位置确定（首先是无线电，然后是激光）。由于无线电波和光波的距离速度我们是已知的，那么通过信号从发送到经月球表面反射返回的时间，我们就可以确定到我们天然卫星的距离（路径等于速度乘以时间）。

但是，当出现确定太阳系行星和太阳本身距离的问题时，三角测量方法失败了。这些太空物体距离地球如此之远，以至于从地球表面的任何一点都可以从几乎相同的角度看到它们。我们无法找到到太阳和行星的距离，但我们可以确定它们的相对位置。然后找到到有时接近地球的小行星爱神星的距离，我们可以计算到太阳和太阳系所有行星（包括冥王星）的横坐标距离。

确定距离

图 6. 一片天空的照片，其中有与我们类似的螺旋星系。如果我们假设它的直径等于我们银河系的直径，那么根据这个星系的每个大小，我们就可以计算到它的距离。结果等于 3000 万光年（3.10²³ 米）。

要定位最近的恒星，您可以再次应用三角测量方法，利用地球绕太阳的年度运动。如果我们在冬天将望远镜对准一颗天体一次，在夏天再将望远镜对准一次（图 5），那么我们就可以足够准确地确定角度，从而确定到恒星的距离。

遥远的星星呢？这里有另一种方法可以解决这个问题，因为恒星距离我们越远，它看起来就越暗。如果对于距离已知的近距离恒星，我们建立了对距离的依赖关系，那么根据正面恒星的亮度程度，利用由此产生的定律，我们可以确定它与我们的正面位置有多远。

银河系直径的数据使我们能够确定更大的星系间距离。所有星系的大小大致相同。因此，知道星系的角大小，即它在天空中所占的角度，以及它的直径，就可以计算出

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米

10^28
10^27
10^26
10^25
10^24
10^23
10^22
10^21
10^20
10^19
10^18
10^17
10^16
10^15
10^14
10^13
10^12
10^11
10^10
10^9
10^8
10^7
10^6
10^5
10^4
通过望远镜可见的最远星系的距离是 50 亿光度。年
星系之间的距离
我们银河系的直径是100,000光。年
太阳到银河系中心的距离
太阳到天狼星的距离是8.7光。年
至半人马座α -4.2 光。年
到太阳系边界-1光。年
到冥王星——59.29亿公里
到木星——7.778亿公里
距地球——1.4955亿公里
太阳的直径是130万公里
地球到月球的距离——38.4万公里
地球的直径是12756公里
地球大气层的常规边界
航天器轨道平均高度
南大洋深度——11034米

Jomo-lugtma（珠穆朗玛峰）的高度为 8848 米
莫斯科电视塔高533 m
鲸鱼长度 - 长达 33 m
人的身高是1米
直径: 樱桃色
豌豆
针头
纤毛长度
“血球”直径
布朗粒径
可见光的波长
紫外线
X光片
γ射线
细胞核直径

米
图 7.

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图 8. 这张病毒照片是用电子显微镜拍摄的。 “大”球体的尺寸为 2·10⁻⁷ m (2000Å)。包含它是为了进行比较。

列出这个星系的距离 DO。现在人们相信，到某些星系的距离大约为 10²⁶ 米。

现在让我们看看如何确定小扩展。

将一米分为一千份并不困难。将一毫米分成一千份有点困难。为此，您只需要一块好的微铜。这就是我们得到微米——百万分之一米的方式。但进一步划分很困难，因为不可能看到比可见光波长（约5·10⁻⁷米）短的物体。

借助电子显微镜，我们可以看到并改变尺寸达 10⁻⁸ 米的物体。电子辐射的波长越短，我们可以“看到”的物体就越小。例如，伽马射线允许您“检查”尺寸不超过 10⁻11 米的物体。

为了确定核尺寸，使用了完全不同的方法：测量所谓的有效横截面。

读取原子核。它可以通过使高能粒子束穿过物质薄板并测量未穿过的粒子数量来确定。未通过的粒子数与全部发射出的粒子数之比与原子核所占面积与板面积之比成正比。类似的实验表明，原子核的半径范围为1·10-15 至6·10-15 m*)。

最后，我们来谈谈图7，它展示了我们周围世界的所有维度多样性。 “在解决科学问题时，科学家总是必须清楚地想象自己想象中的量……那些用来描述所研究现象的物理量……因此，有必要从小教育科学家，让定义物理量的公式中的符号始终代表他们的具体的定量值。对于物理学家来说，与数学家不同，数学方程中的参数和变量都必须是具体的量，”院士P. L. Kapitsa说。

图7 的刻度单位是米。每两个相邻的格所表示的大小，彼此完美地相差 10 倍。 10° m - 一米、10¹ m - 十米、10² m - 一百米等。同样，10⁻² m 是十分之一米（或十厘米），10⁻² m 是百分之一米（一厘米）等。使用对数刻度，您可以在一张图表上显示农业和技术中发现的所有尺寸：从最小到最大。

*) 等于10⁻15米的长度单位称为费米，包括著名物理学家恩里科·费米（Enrico Fermi，1901-1954）。

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最后一轮的结果
全联盟学童奥林匹克运动会

数学优胜者

4月24日至30日，全联盟数学奥林匹克决赛在辛菲罗波尔举行，共有660名地区和资源奥林匹克竞赛的获奖者参加。

八年级获奖者包括：来自坦波夫地区拉斯卡佐夫市的 Yuri Kolmakov、奔萨第 55 学校的学生 Andrey Kogan、哈尔科夫第 22 学校的学生 Sergei Kuksin；九年级学生：阿列克谢·亚历山德罗夫（Alexey Alexandrov）——列宁格勒国立大学物理和数学寄宿学校的学生；德米特里·洛加切夫（Dmitry Logachev）——莫斯科第二学校的学生；十年级学生：安德烈·克里莫夫（Andrey Klimov）和安德烈·霍杜列夫（Andrey Khodulev）——莫斯科国立大学物理和数学寄宿学校的学生。

奥林匹克竞赛中有31名选手获得二等奖，37名选手获得三等奖，另有140名选手获得证书。

物理获奖者

4月9日至15日，全联盟体能决赛最后一轮。

天空奥运会。 652名地区和资源奥林匹克竞赛的获奖者参加了比赛。

比赛分两个阶段进行。 4月10日进行了理论一轮，4月13日进行了实验一轮。

获得第一名的是：萨哈林州多林斯克第一学校的八年级学生瓦列里·马里尼奇（Valery Marinich）和斯摩棱斯克第七学校的学生谢尔盖·阿胡尔科夫（Sergei Akhulkov）；九年级学生 Igor Artyukhov - 莫斯科国立大学物理和数学寄宿学校的学生，Dmitry Kazakovtsev - 基辅第 145 学校的学生，Vladimir Nazaikinsky 和 ​​Vladimir Fleishaker - 均来自莫斯科第二学校；九年级学生谢尔盖·戈尔巴乔夫斯基和阿列克谢·洛马金是列宁格勒国立大学物理和数学寄宿学校的学生。

16名奥运选手获得第二名，40名选手获得第三名，82名选手获得证书。

杂志«Kvant»祝贺所有奥林匹克竞赛获奖者，并祝愿他们取得更大的成功。

更详细的报告将在该杂志的下一期中发表。

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几何学
碰撞

Y.A.斯莫罗金斯基，
苏尔科夫

简单介绍一下。

现代物理学中经常遇到的问题之一就是弹性散射问题。通常是这样说的：如果已知两个零件在碰撞前的运动方向和能量，则有必要确定两个零件碰撞和分散（正如他们所说的，分散）后的速度（大小和方向）。

如果碰撞不伴随放热，则称为弹性碰撞，并且我们可以假设碰撞前后部分的动能之和相等。此外，粒子遵守动量守恒定律。

当两个粒子（气体分子或两个核子）相互碰撞时，碰撞的结果可能不同。如果粒子以足够大的距离飞行，

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上图：移动的球对同样静止的球的偏心撞击的照片。球以直角分开。静止的球碰撞后向右移动。照明为冲光式，闪光频率为每秒 25 次。

那么它们的运动方向几乎不会改变，粒子的路径只会稍微偏离直线路径；在其他情况下，当粒子碰撞时，可以说，正面碰撞时，它们的运动方向可能会发生很大的变化。如果我们知道粒子的初始状态（它们的速度矢量），那么如果我们设置散射角（粒子偏离的角度），碰撞后粒子的速度就可以确定

底部：质子与其他质子的连续碰撞，最初处于静止状态。该照片是在装有液氢的气泡室中拍摄的。飞行质子的痕迹以一串微小气泡的形式可见。

来自碰撞时的粒子（我们将在下面更精确地定义这个概念）。

虽然从原理上讲，找到粒子速度和散射角之间的联系并不是一件困难的任务，但计算必须按正确的顺序进行，否则很容易混淆。

解决碰撞问题的一种非常直观且方便的几何方法基于以下事实：

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每个碰撞过程都可以与由速度矢量组成的四边形相关联。使用这种方法，角度和速度的确定可以简化为三角学中已知的三角形的解。这种方法也很方便，因为它可以推广到更复杂的过程，例如核反应，甚至可以解决相对论力学中的问题。这里我们只讨论最简单的任务。

为了使用几何方法，需要引入速度空间的概念。由于速度是矢量，因此可以用它执行的操作与用位移（距离）矢量执行的操作非常相似。因此，正如所有可能的位移形成（或者，如果您愿意，填充）一个公共空间（我们将其称为坐标空间）一样，所有可能的速度形成一个类似的几何对象 - 速度空间。我们将在速度空间中构造和求解三角形。

与坐标空间类比来讨论速度空间的性质是最方便的。因此，我们首先填充后者的一些属性。

坐标空间。

考虑一个二维空间，例如向各个方向无限延伸的房间地板。

如果平面上有多个点（地板上的物体），那么为了讨论这些点的位置，我们需要选择一个截止体 - 其中一个点，例如 $O$ (图 1)。那么任意点$A$相对于$O$的位置由半径向量$\vec{OA}$给出，从点$O$看向该点，或者，也可以说，从点$O$到点$A$的位移向量。

如果我们想告诉别人如何找到点$A$，那么除了切割体$O$之外，我们还必须选择另一个点$C$（图2），以便说出向量$\vec{OA}$与方向$OC$所成的角度$\alpha$。该角度与半径向量 $\vec{OA}$ 的长度一起确定点 $A$。

也可以采用不同的方式：通过点 $O$ 绘制两条相互垂直的线 $OX$ 和 $OY$（坐标轴），其中一条穿过点 $C$，并指定两个数字 $A_x$ 和 $A_y$ - 向量 $\vec{OA}$ 在坐标轴上的投影。

将来，我们将只考虑那些不依赖于坐标系的量 -

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点之间的距离和直线之间的角度。因此，我们不需要引入坐标系。

如果您选择点以外的其他内容作为报告正文 $O$，以及平面上的其他点，例如一个点 $B$ (图 1)、然后是该点的位置 $A$ 相对地 $B$ 将由半径向量确定 $\vec{BA}$，等于向量之和 $\vec{BO}$ 和 $\vec{OA}$。换句话说，如果我们转向新的报告正文 - 点 $B$，由向量给出 $\vec{OB}$，然后为了找到半径向量 $\vec{BA}$，它决定了身体的位置 $A$ 相对地 $B$，需要向量 $\vec{OA}$，它决定了身体的位置 $A$ 相对于报告的第一个初始正文 $O$，添加向量 $\vec{BO} = -\vec{OB}$.

显然，正确的矢量相加的图形描述略有不同。添加的向量被绘制为来自一点，即构造向量$\vec{BD}$，平行向量$\vec{OA}$且长度相等（图3）。向量 $\vec{BA}$ 被认为是 $\vec{BO} + \vec{BD}$ 的和。但是您可以添加向量，如 图 1 所示。接下来我们将需要

这正是增加速度的方法。

这些销钉是水平移动还是垂直移动，从而定义了主体在平面上的相对位置。现在我们感兴趣的是物体沿平面匀速直线运动的相对速度。

速度空间

让我们在平面上放置一个点，将其表示为$V_0$，并绘制相对于报告物体$O$移动的任何物体的速度矢量，以便这些矢量的原点位于点$V_0$。令 $V_A$ 为物体速度矢量 $A$ (图 4) 终点所在的点。由于速度是单位时间的位移矢量，因此速度矢量的累加方式与位移矢量完全相同。因此，如果我们选择的不是点$O$，而是其他物体，例如$B$，其相对于$O$的速度向量为向量$\vec{V}_0\vec{V}_B$，则可以利用我们在考虑坐标空间时讨论过的向量加法规则找到$A$相对于$B$的速度向量。物体$A$相对于$B$的速度等于向量$\vec{V}_B\vec{V}_O$和$\vec{V}_O\vec{V}_A$之和，即向量

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茹$V_B V_A$。本质上我们只需要检查从点$V_B$到点$V_A$的向量。

显然，我们平面上任何物体$C$的速度都必须对应于某个点$V_c$，该点是向量$\vec{V}_o V_c$的端点-物体$C$相对于物体$O$的速度。从点$V_c$到平面上任何其他点（例如$V_A$）绘制的矢量由物体$A$相对于物体$C$的速度矢量表示。

这使我们不仅可以将物体的速度表示为矢量，还可以表示为速度空间中平面上的点。这个平面上的任何一点都意味着物体的速度，从一点到另一点的矢量就是物体的相对速度矢量。我们一开始的$V_o$点的含义是很清楚的。这是身体的速度$O$。

当然，使用速度空间，我们不区分位于坐标空间中不同点但具有相同速度的物体。它们都对应于速度空间中的同一点。因此，到图 4，我们无法确定物体$C$是否会到达物体$O$或远离它。这通常取决于我们正在解决的问题的条件以及坐标空间中物体的位置。

运动图

现在让我们继续解决散射问题。让一个质量为$m_1$、速度$v_1$的粒子与另一个质量为$m_2$、速度$v_2$的粒子碰撞，碰撞后相应粒子的速度为$v_1'$和$v_2'$）。任务是找到速度

*) 我们认为粒子像台球一样移动：撞击本身持续的时间很短，其余时间粒子移动就像自由一样。那么“事前”和“事后”这两个表达就完全可以理解了。

$v_1'$ 和 $v_2'$，如果向量 $v_1$ 和 $v_2$ 以及粒子质量已知。

当然，速度$v_1'$和$v_2'$不能具有任意值。首先，它们必须满足动量守恒定律（动量）：

$$m_1 v_1' + m_2 v_2' = m_1 v_1' + m_2 v_2' ,$$

(1) 其次，它们必须满足能量守恒定律：

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1'^2}{2} + \frac{m_2 v_2'^2}{2} .$$

如果撞击前后的粒子沿一条直线移动（这种撞击称为中心撞击），则这些方程的求解非常简单。我们可以为向量的长度写出完全相同的标量方程，而不是向量方程（1）。然后我们得到两个带有两个未知数的标量方程：$v_1'$和$v_2'$。但更常见的是，您必须应对偏心撞击，即粒子以不同角度分离。将粒子速度矢量投影到两个相互垂直的方向（其中一个方向被方便地选择为与散射前任何粒子的速度平行），结合方程（1），我们可以为矢量投影写出两个精确的标量方程。因此，偏心撞击情况下的守恒定律对于散射后的粒子以及这些矢量与我们选择的方向形成的两个角度应该有用。如果指定了其中一个量，则可以求解方程。

任何报告系统中的冲突部分。我们以粒子 1 在撞击前四处搜寻的系统为例（这样的系统称为实验室系统）。它包含$v_1 = 0$，动量守恒定律如下：

$$m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' .$$

这意味着三个向量

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$m_2v_2, m_1v_1'$和$m_2v_2'$形成一个三角形。任何相对粒子速度（碰撞之前和之后）都位于该三角形的平面内。因此，我们只考虑二维速度空间就足够了。

让我们在速度平面上标记$v_1, v_2, v_1'$和$v_2'$。我们将简单地用数字 1、2、1’ 和 2’ (图 5) 来表示相应的点。让我们证明这些点位于等梯形的顶点。为此，我们引入了一种新的报告系统：质量中心系统。它被选择为使得其中碰撞粒子的冲量大小相等且方向相反。对于粒子 1 和 2，点 $C$（质心速度）位于连接这些点的直线上，并将该直线分成与粒子质量成反比的线段。如果我们用$u_1$和$u_2$表示质心系统中的粒子速度，则$m_1u_1 = m_2u_2$。

这个等式类似于杠杆均衡规则。对应于光粒子的点距离中心更远。显然，质心系统中粒子的总动量为零。由于该系统的动量守恒定律，计算后粒子冲量之和也将等于0。这意味着点 $C$ 位于连接这些点的线上，并将该线分成与粒子质量成反比的线段。

不难证明，由于质心系统能量守恒定律，每个粒子的冲量大小并不改变，而只是方向改变。为此，粒子的能量必须通过其脉冲的大小来表示，并将能量守恒定律写成以下形式

$$\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} = \frac{(m_1u_1')^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2')^2}{2m_2},$$

在此方程中，将粒子 2 的脉冲替换为大小相等的粒子 1 的脉冲，反之亦然。在第一种情况下，我们得到$m_1u_1' = m_1u_1$或$u_1' = u_1$，在第二种情况下，我们得到$m_2u_2' = m_2u_2$或$u_2' = u_2$。这意味着在 图 5 处，结果是一个等梯形。

如果两个粒子的质量相等，那么这个梯形就会变成矩形。 （从$m_1 = m_2$开始，然后$u_1 = u_2 = u_1' = u_2'$。）

多项任务

让我们看一下可以使用运动图解决的几个问题。

Nanhem 具有等质量粒子非中心撞击的情况 (图 6)。如果第 1 点在解释之前

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买，那么角度212’就是粒子2在散射过程中轨迹偏离的角度。粒子 1 沿方向 1’ 飞出。角度211’称为反冲角。该图显示，在碰撞前购买其中一个粒子（粒子1）的坐标系中，碰撞后粒子1和2在方向11’和12’上以直角分散。

让我们考虑两个坐标系：α是质心系统中的散射角，β是粒子1在撞击之前购买的系统中的散射角。该图显示α=2β，因为α是与等边三角形12’C中的角β不相邻的外角。实验室系统中改变的散射角是质心系统中散射角的一半。

如果我们绕点 C 旋转线段 12 和 12’ - 然而，让线段 12 静止并仅旋转线段 12’ 更方便 - 那么我们将描述在散射之前粒子在给定能量（或者相同的是，在给定速度）下的所有可能的散射情况，即所有可能的碰撞情况。

在这种情况下，我们将看到质心系统中的散射角α改变了360°：顺时针180°和逆时针180°。由于在实验室系统中，散射角 β 是散射角 β 的一半： v2’ = v2cosβ，其中 v2 是该系统中粒子 2 的初速度。

现在让我们考虑质量不等的零件的碰撞问题。为了增加所有可能的散射情况，我们将再次围绕点 C 旋转线段 12’。粒子 1 较轻，则点 1 描述的圆比

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点 $2'$ (图 7, a)。 （从$m_1u_1 = m_2u_2$开始，然后在$m_1 < m_2$、$u_1 > u_2$。）从图7a可以清楚地看出，在散射前埋入重部分2的参考系中，轻部分1可以以任意角度散射（散射角-$121'$）。

如果挖较轻的部分1，情况就不同了。由于点 $2'$ 位于小半径圆上，因此显然线段 $C2'$ 必然位于从点 1 可见该圆的角度内 (图 7, b)。这意味着，在粒子 1 散射前被掩埋的坐标系中，粒子 2 的最大散射角（角度 $212'$）等于从点 1 可以看到圆的灌溉的角度，由围绕点 $C$ 的线段 $2'C$ 的表达式得出。从图 8（这是图 7的放大部分，b）我们发现

$$\sin \alpha_{\max} = \frac{u_2'}{u_1} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{m_1}{m_2}.$$

如果重的部分分散在轻的部分上，那么它就不能偏离太大的角度。最大角度由质量比决定。

因此，您需要学习阅读图表，然后继续学习简单的三角学，它可以回答任何问题。我们现在不能每次都求解表达能量和动量守恒定律的方程，而是立即在速度空间中绘制运动学图（自动满足这些定律），然后从可观察的角度考虑它，以不同的速度运动。在 图 9 上，从三个不同参考系的角度描述了相同的碰撞过程：a）在质心坐标系中，b）在 LABorator 坐标系中，其中部分 1 在散射之前被挖掘，b）在任意参考系 O 中。

自己解决以下问题。

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1. 除法有余数

你即将乘坐地铁。票价5戈比；入口处的控制是自动的：根据机器的反应，您需要投入五分钱，如果您没有五分钱，则可以在兑换台兑换五分钱。

假设您有一枚 20 戈比的硬币。你能从收银机得到多少镍币？大家都会说4。

好吧，如果你有 19 戈比，没有镍币怎么办？很明显，你只能换到 3 镍币和另外 4 戈比的零钱。我们这样写：$19 = 3 \cdot 5 + 4$。这是一个数字19除以5余数的记录。

现在假设有任意面额的硬币，即1戈比、2戈比、3戈比、4戈比等，需要兑换一枚$a$科比硬币，才能获得最大数量的$b$科比。请问我们如何做到这一点？

很明显，如果教你斥责$b$-科比币：

$b, 2b, 3b$等，

然后最终有一天，在收到几枚 $b$-科比硬币后，您将无法再获得下一枚；他们会给你一些东西

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$b$-戈比硬币和其他一些剩余的数量，比如$r$戈比。这样的话，$r$肯定会小于$b$（当然也不排除$r = 0$）。

这种交换的结果可以写成如下：

$$a = kb + r, \quad r < b.$$

式中，$a, b$为自然数，即正整数，$k$和$r$为非负整数。

关于余数除法的极限。将整数$a$除以自然数$b$意味着将$a$表示为

$$a = kb + r,$$

其中$k, r$是整数，$b > r \geq 0$。

在这种情况下，数字$k$称为商，$r$是$a$除以$b$的余数。

实际中，除以余数的方式通常是“除以角度”。例如，

$$\frac{175}{14} = \frac{14}{12};$$

$$\frac{28}{7}$$

这里立即有一个余数和一个商：$175 = 12 \cdot 14 + 7$。

请注意，在这个定义中，我们不要求$a$小于$b$，甚至不要求$a$为正。例如，您可以划分

a) 5 × 7: $5 = 0 \cdot 7 + 5 \quad (k = 0, r = 5)$,

b) -13 到 7: $-13 = (-2) \cdot 7 + 1 \quad (k = -2, r = 1)$,

b) -224乘7：$-224 = (-32) \cdot 7 \quad (k = -32, r = 0)$。

在余数为零的情况下，即$a = kb$，表示$a$能被$b$整除。

很明显，如果数字$a$和$b$可以被数字$c$整除，那么$a+b$和$a-b$以及$ka, kb$（k - 自然）可以被$c$整除。

2. 按模块比较整数

通常存在这样的问题，其中主要作用不是由问题陈述中包含的数字本身发挥作用，而是由这些数字除法的余数发挥。

例一. Psesid 从城市$A$ 到城市$B$ 78 小时。他早上10点$A$出发。他$B$几点出发？

请记住一天有 24 小时，将数字 78 除以 24：

$$78 = 3 \cdot 24 + 6$$

这意味着从$A$到$B$需要三天零6小时。因此，他将于16:00到达$B$。

请注意，对于任何整数 $k$，如果从 $A$ 到 $B$ 花费的时间不是 78，而是 54、30 或 126、102，通常为 $24 \cdot k + 6$ 小时，也会获得完全相同的结果。

例二.一位数学老师在课堂上使用以下系统进行测试，他认为这保证了学生之间互助的需要。他给了他们一张连续的纸，上面写着问题的条件（“变体”），根据班上学生的数量改变它们，并告诉他们所有的选项都是不同的。事实上，坐在一起的学生可以解决各种问题。

事实上，老师只准备了7个不同的选项：选项8与选项1重合，9-与2重合，…，14-与7重合，15-与1重合，等等。

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running_head:
folio:

学生们很快就弄清楚了老师的系统，在下一次测试中，坐在班级两端的朋友伊万诺夫和彼得罗夫同意解决同样的问题。坚强的学生伊万诺夫用手势向彼得罗夫展示了他的选项编号，彼得罗夫与坐在他附近的一名学生交换了选项，准确地确定了他应该拥有哪个选项编号，以便收到伊万诺夫的感谢备忘单。

您可能会报告说，彼得罗夫计算出了伊万诺夫和他自己的选项的数字为 7，并且只对这些除法的余数感兴趣：他必须用一个与伊万诺夫选项的余数相同的数字填写选项。选项编号本身并不重要，只有其余部分才重要。

例如，如果 Ivanov 收到选项 10（或 3、或 17），而 Petrov 收到选项 26（或 33、或 40），则将 10 和 26 除以 7：

$$10 = 1 \cdot 7 + 3, \quad 26 = 3 \cdot 7 + 5,$$

彼得罗夫与一名有选择权的学生交换了选择权

$$24 = 3 \cdot 7 + 3.$$

例三.让我们找出数字 $2^{999}$ 到底是哪一位。考虑二的连续幂：

$$2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8, \quad 2^4 = 16, \quad 2^5 = 32, \quad 2^6 = 64, \quad 2^7 = 128, \quad 2^8 = 256, \dots$$

很容易看出这些数字的最后一位数字在4之后是重复的。

这意味着数字 $2^n$ 的最后一位数字仅取决于 $n$ 除以 4 时得到的余数：

当$n$能被4整除时，即$n = 4k$时，所有$2^n$形式的数都为6，

在 $n = 4k+1$ — » » 2,

在 $n = 4k+2$ — » » 4,

在 $n = 4k+3$ — » » 8.

999 除以 4 余数为 3，因此 $2^{999}$ 为 8。

自从解决了这个例子之后，我们发现我们只需要知道 $n$ 除以 4 后得到的余数，所有数字的可能性被分为四类，由以下形式的数字 $n$ 组成

$$4k, 4k+1, \quad 4k+2 \quad \text{и} \quad 4k+3.$$

在第二个示例（带有测试选项）中，所有选项的可能性被分为 7 类，形式为

$$7k, \quad 7k+1, \quad 7k+2, \dots, \quad 7k+6.$$

一般来说，如果我们对除以某个固定数字 $m$ 时的余数感兴趣，那么所有整数（不仅是正整数！）的集合将被分为 $m$ 类。每类由除以 $m$ 时得到相同余数的数字组成。这些是课程：

0. $a = km,$ 形式的数字 $a$

1. » $a$ » $a = km+1,$

2. » $a$ » $a = km+2,$

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30

现在让我们引入以下定义：

定义。如果整数$a$和$b$有可能它们的差可以被自然数$m$整除，那么就说$a$和$b$可以对模$m^*$进行比较）。

让我们比较一下 $a$ 和 $b$ 模 $m$ 的写法：

$$a \equiv b \pmod{m}.$$

显然，当且仅当两个数字除以 $m$ 时得到相同的余数时，它们才可以对 $m$ 取模，即它们属于同一类。

例如，

$$27 \equiv 7 \pmod{10}, \quad 78 \equiv 6 \pmod{24}, \quad 6 \equiv 0 \pmod{3}, \quad 25 \equiv -1 \pmod{13}.$$

事实证明，数字的清晰可比性有助于解决许多问题。

问题1.对于什么自然数$n$来说，$n^2+2$能被3整除，即$n^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$？

解决方案。

如果$n \equiv 0 \pmod{3}$，则$n^2+2 \equiv 2 \pmod{3}$，

» $n \equiv 1 \pmod{3}$, » $n^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$,

» $n \equiv 2 \pmod{3}$, » $n^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$.

所以，$n^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$当且仅当$n$不能被3整除。

比较的基本属性让人想起一般平等的属性。可以通过加、减、乘来进行比较：

如果 $a \equiv b \pmod{m}$ 和 $c \equiv d \pmod{m}$，那么

$$a + c \equiv b + d \pmod{m}, \quad a - c \equiv b - d \pmod{m}, \quad ac \equiv bd \pmod{m}.$$

例如，让我们证明比较可以成倍增加。由于$a \equiv b \pmod{m}$和$c \equiv d \pmod{m}$，因此$a-b$和$c-d$可被$m$整除。来自平等

$$ac - bd = ac - ad + ad - bd = a(c-d) + d(a-b)$$

显然$ac-bd$也能被$m$整除，即

$$ac \equiv bd \pmod{m}.$$

作为练习，证明比较可以进行加法和减法。

让$a \equiv b \pmod{m}$。从上述比较性质可以看出，$a^k \equiv b^k \pmod{m}$对于任何自然数$k$（即比较的两边都可以求幂），此外还有$ac \equiv bc \pmod{m}$，其中$c$是任何整数（也就是说，比较的两边都可以乘以任何整数）。

问题 2. 除以 3 后得到的余数是 $(2^2+1)(3^2+1)(4^2+1) \dots (1000^2+1)$？

解决方案。如果每个数字都是 2、3、…，则余数不会改变。 。 。 ，该表达式中的1000，将其替换为除以3的余数。因此，利息数模3等于$(2^2+1)^{333} (3^2+1)^{333} (1^2+1)^{333} \equiv 5^{333} \cdot 10^{333} \cdot 2^{333} \equiv 2^{333} \cdot 1^{333} \cdot 2^{333} \equiv 2^{2 \cdot 333} \equiv 4^{333} \equiv 1^{333} \equiv 1$，即所需的余数为1。

*）“模数”一词（来自拉丁语“模数”-测量）用于数学及其应用的各个领域；它被分配给一些特别重要的数字；例如，与其相关地进行计数或测量。

31

任务 3. 证明每个自然数 $n$ 都可以模 9 与其数字和进行比较。

解决方案。让

$$\overline{a = a_n a_{n-1} \dots a_0},$$

其中$a_0, a_1, \dots, a_n$是数字$a$的数字。我们有

$$a = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_0.$$

现在让我们写下以下估计比较：

$$1 \equiv 1 \pmod{9}, \quad 10 \equiv 1 \pmod{9}, \quad \dots, \quad 10^n \equiv 1 \pmod{9}.$$

将这些比较分别乘以$a_0, a_1, \dots, a_n$并相加，我们得到

$$a_0 + 10 \cdot a_1 + \dots + 10^n a_n = a \equiv (a_0 + a_1 + \dots + a_n) \pmod{9}.$$

顺便说一句，从这里我们立即得到了众所周知的数字能被 9（和 3）整除的符号。

3. 根据本模块的余数算术

给定一个自然数$m$（模）。考虑到所有可能的整数，我们只对它们除以 $m$ 时的余数感兴趣。因此，我们不会区分彼此可比较的模 $m$ 的数字。在这种情况下，我们有“不同”对象的余数 $m$ - 除以 $m$ 的余数：

$$0, 1, 2, 3, \dots, m-1,$$

对于它们，我们可以定义新的“加法”和“乘法”规则：即，如果$r_1$和$r_2$是两个余数，那么“和”$r_1 + r_2$我们将把除以$m$得到$r_1 + r_2$的余数称为“乘积”$r_1 \cdot r_2$，将$r_1 \cdot r_2$除以得到的余数$m$。例如，对于 $m = 10$ 除以 10 时的余数是其十进制的最后一位数字。因此，例如，在余数模 10 的算术中，等式也是成立的

$$7 + 3 = 0, \quad 1 + 2 = 3, \quad 7 + 5 = 2, \quad 7 \cdot 5 = 5, \quad 7 \cdot 6 = 2, \quad 2 \cdot 5 = 0.$$

在模 2 余数的 .ariphmetic 中，只有两个余数：0 和 1，因此这个 .ariphmetic 非常简单：

$$0 + 0 = 0, \quad 1 + 0 = 1, \quad 1 + 1 = 0,$$

$$0 \cdot 0 = 0, \quad 1 \cdot 0 = 0, \quad 1 \cdot 1 = 1.$$

对于 $m = 6$ 我们得到

$$5 + 3 = 2, \quad 4 + 2 = 0, \quad 3 + 3 = 0, \quad 3 \cdot 2 = 0, \quad 3 \cdot 4 = 0$$等

因此，模 $m$ 对应于它自己的算术。为了简洁起见，我们将其称为$m$-ariphmetic*）。

32

作为例子，我们给出 7 算术中的乘法和加法表。

乘法口诀表

| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
| 3 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
| 4 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
| 5 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
| 6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |

加法表

| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

这些表是这样的设备：在行和列的交叉点，它们在这些行和列的开头构建余数的乘积（对应 - 总和）。

从比较的性质和对数字的通常作用规则可以清楚地看出，在$m$算术中，满足普通算术的给定规则，也就是说，对于任何余数$a, b, c$，都会有

$$a+b = b+a \text{ — коммутиативность (переместительность) сложения},$$
$$(a+b)+c = a+(b+c) \text{ — ассоциативность (сочетательность) сложения},$$
$$ab = ba \text{ — коммутиативность умножения},$$
$$(ab)c = a(bc) \text{ — сочетательность умножения},$$
$$a(b+c) = ab+ac \text{ — дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения}.$$

因此，在我们的算术中，例如，以下公式将是正确的：

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$$
$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.$$

让我们考虑使用 $m$ 算术的几个问题。

任务 4. 求 $2^{1000}$ 除以 7 的余数。

解决方案。我们需要弄清楚 7 算术中的 $2^{1000}$ 等于什么。很容易看出$2^{1000} = (2^3)^{333} \cdot 2 = 1^{333} \cdot 2 = 2$。

任务 5. 找到数字 $7^{7^{1000}}$ 的最后一位数字。

解决方案。我们必须算出这个数字在 10 算术中等于多少。为此，请考虑 10 算术中数字 7 的连续幂：

$$7^1 = 7, 7^2 = 9, 7^3 = 3, 7^4 = 1, 7^5 = 7 \text{ и т. д.}$$

很明显

$$7^{4n} = 1, 7^{4n+1} = 7, 7^{4n+2} = 9, 7^{4n+3} = 3.$$

因此，我们需要找出数字 $7^{1000}$ 除以 4 时的余数。为此，请考虑 4 算术中的 $7^{1000}$。从 $7^{1000} = 3^{1000}$ 开始，我们现在考虑 4 算术中的余数序列：

$$3^1 = 3, 3^2 = 1, 3^3 = 3, 3^4 = 1, 3^5 = 3, \dots,$$

33

$$3^{2n+1} = 3, \quad 3^{2n} = 1.$$

但1000是偶数；表示$7^{1000} = 1$，即$7^{1000} = 4n+1$。因此，在 10 算术中$7^{71000} = 7^{4n+1} = 7^{4n} \cdot 7 = 7$。

答案：数字$7^{71000}$以7结尾。

问题 6. 证明如果 $a^2+b^2$ 能被 3 整除，那么 $a$ 和 $b$ 都能被 3 整除。

解决方案。传递到除以 3 的余数，我们得到 3 算术等式 $a^2+b^2 = 0$。 3 算术中有 3 个余数：0、1、2。

我们有：$1^2 = 1, 2^2 = 1$。很容易看出，对于$a \neq 0$$a^2+b^2 \neq 0$，即从等式$a^2+b^2 = 0$它遵循$a = 0$和$b = 0$。这意味着 $a$ 和 $b$ 可同时被 3 整除。

任务 *)

1. 除法有余数
   1.0。将余数 -297 除以 31，-1005 除以 98。

2. 证明任意自然数$N$的约数个数不超过$2\sqrt{N}$。

3. 求数字相除的余数（$n$ - 自然数）：a) $n$ 除以$(n-1)$ 和$(n-2)$； b) $(n^2+n+1)$、$(n+1)$ 和$(n+2)$； c) $(n^4+1)$ 至 $(n+3)$（$n \geqslant 80$）。

4. 查找 $\frac{n^2+1}{n-1}$ 也是整数的所有整数 $n$。

5. 证明任意三个连续整数的乘积能被6整除。

6. 证明如果$a+b+c$能被6整除，那么$a^3+b^3+c^3$也能被6整除（$a, b, c$是整数）。
   7*。 15个素数组成一个等差数列。证明其差异大于30000。

7. 比较整数模
   8.0。查找所有自然数$n$，其中数字$n^3+n+1$可被3整除。
   9.0。求解比较 $6n+5 \equiv 0$ (mod 7)。

8. 证明以下可被 11 整除的测试：
   $$a = \overline{a_n a_{n-1} \dots a_0} \equiv 0 \pmod{11}$$

然后且仅当
$(-1)^n a_n + (-1)^{n-1} a_{n-1} + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{11}$.
11. 利用 $1000 \equiv -1$ (mod 7) 以及 $1000 \equiv 1$ (mod 37)，获得 7 和 37 的整除标准。
12. 证明如果数字 $A$ 和 5$A$ 的位数和相同，则 $A$ 能被 9 整除。
13. 证明方程$15x^2-7y^2=9$无整数解。
14. 证明对于没有整数 $n$ 的数字 $n^2+3n+5$ 能被 11 整除。
15. 证明 $3n+2, 5n \pm 2, 7n+3, 7n-1, 7n-2$ 形式的数字对于任何自然数 $n$ 都不是完全平方数。
3. 给定模数的余数算术
16.0。构建 4 进制、6 进制、8 进制、11 进制和 13 进制算术的加法和乘法表。
17. 用 9 算术构建平方表和立方表。
18. 使用问题 17 中获得的立方表，证明$9n+5$ 和 $9n+4$ 形式的数字不能表示为三个数字的立方之和。
19. 证明在$p$算术中，其中$p$是素数，根据$ab=0$与$a \neq 0$的等式可得出$b=0$。
20. 证明在 $m$ 算术中，任何余数 $a$ 都存在唯一的余数 - $a$，使得 $a+(-a)=0$。由此推断，对于任何 $a$ 和 $b$，方程 $a+x=b$ 在任何 $m$ 算术中都有解。
21. 证明对于$m$算术中的复合$m$，存在余数$a \neq 0$和$b \neq 0$以及$ab=0$。
22. 使用 31 算术，证明 $1^{255}+2^{255}+\dots+30^{255}$ 能被 31 整除。

*) 简单的任务用零标记，最困难的任务用星号标记。

阿尔伯特·爱因斯坦

初级
理论
航班
和波浪
在水上

现在每个人都知道为什么飞机可以在空中停留，但六十年前它是……
波尔斯，一个谜语。更有趣的是

35

观看伟大的科学家、相对解释理论的创始人阿尔伯特·爱因斯坦如何发现飞机和鸟类翅膀的升力。

发表的文章摘自 Nauka 于 1967 年出版的 A. Einstein 科学著作集（第 4 卷，第 22 页）。爱因斯坦于 1916 年完成了他的著作。他并不熟悉 N. E. Zhukovsky 的著作，后者早在 1910 年就提出了比空气重的飞行器的飞行理论。

我们的飞机和空中翱翔的鸟类翅膀的升力从何而来？这些问题完全存在不确定性。我必须承认，我在专业文献中甚至找不到最简单的答案。因此，我希望，如果我试图借助以下流体运动理论的简单考虑来利用这一差距，读者会感到足够高兴。

不可压缩流体（我们忽略其内摩擦）沿现有管道（图1）沿箭头所示方向流动。我们将对管道中的压力分布感兴趣。由于单位时间内必须流过每个截面的液体量相同，因此在横截面积最小的地方流速$v$最大，在横截面积最大的地方流速最小。因此，在图1时，部分流体的速度在$L$点最小，并向$R$点不断增大。造成一部分液体加速的原因无非就是作用在它们上的压力。让我们考虑占据圆柱形体积的液体粒子$F$。为了使流体粒子 $F$ 在给定时刻具有指向右侧的加速度，其后表面 $A$ 上的压力必须大于其前表面 $B$ 上的压力。表面$A$ 上的压力超过表面$B$ 上的压力。重复这些论证，我们得出结论：管道中的压力不断从$L$下降到$R$。当流体流动方向变为相反时，我们将使用类似的推理获得相同的压力分布（压力从$L$减小到$R$）。

总结上述内容，我们可以制定以下著名的非显现流体流体动力学定理。如果我们遵循稳定流动中任何流体粒子的轨迹，那么速度 $v$ 较小的地方，压力 $p$ 总是较大，反之亦然。众所周知，该定理的表达式数量为

36

不可去除的液体具有以下形式

$$p = \text{const} - \frac{1}{2} \rho v^2,$$

其中$\rho$是液体的密度。

让我们首先考虑一个说明该定理的众所周知的例子——恒定压力下的液体从孔中的流动（托里拆利）。 $J$(图2)点压力较大，速度反而小于$A$点，所以表达式

$$p + \frac{1}{2} \rho v^2$$

不断地在溪流中。

作为第二个示例，请考虑喷枪 (图 3)。通过管$L$的气流离开孔后，向各个方向膨胀，同时降低速度。因此，点 $P$ 处的压力小于点 $G$ 处的压力，因此也小于点 $P$ 周围静止空气中的压力。由于$P$点施加压力，$A$容器中的液体向上上升并被气流喷成小颗粒

飞沫。 （在这个例子中，我们处理的是空气流，而不是未排出的液体流，这一事实并没有本质上改变我们的推理。）

完成这些准备工作后，让我们转向考虑水面上的波浪。令 $W$ 为波状圆柱体形式的实心壁，垂直于绘图平面，一侧与从左向右流动的流体流动 (图 4) 接壤。我们将对液体作用在壁上的力感兴趣。很明显，点 $B$ 处的流体流动横截面大于点 $T$ 处的流体流动横截面。因此，在点 $B$ 附近，液体流动速度较慢，在点 $T$ 附近，液体流动速度比液体内远离壁 $W$ 的点快。因此，在点 $B$ 附近，流体流动将产生过压，在点 $T$ 附近将观察到真空。结果，液体会压在壁上，就好像它试图增加其弯曲度一样。这意味着流量无法持续，

37

如果液体表面是自由的，相应地，如果壁可以无限制地弯曲和拉伸*)。

在这些讨论中，和以前一样，我们的假设是除了流体的流动之外没有其他原因导致压力。如果重力沿箭头S的方向作用，则会导致液体中出现压力，从上到下返回。如果只有一种重力作用，则 B 点的压力将小于 T 点的压力。

因此，流动和重力是 B 点和 T 点之间出现各种压差的先决条件。显然，可以选择流体流动的速度，使得 B 点和 T 点之间产生的交换压差为零。此后，可以在不引入任何干扰的情况下移除墙W

*）众所周知，这些相同的消息可以解释为什么旗帜会在风中飘扬。

图 4

图 5

液体。结果，我们得到了具有波状排除表面的流体流动，当流体绕过某些障碍物时可以观察到该部分。如果该值高于支撑位，则当从某个位置向水中观察时，我们会看到此图片。

如果我们决定从观察者的角度来描述整个过程，观察者以远离墙壁的速度向右移动，那么我们将看到水面上的普通波浪。为此，在静止状态下观察，波峰 B 和波谷 T 以恒定速度浮回。

因此，波形形成过程的可能性基于以下事实：不同高度的点之间产生的静态和动态压力差相互抵消。

对于机翼升力出现的原因的解释看起来完全相似。将固体壁插入液体或空气流中，与固体壁平行

38

ku 并垂直于绘图平面 (图 5)，其上表面看起来像一个平面。如果不存在这种凸面，那么除了不可避免的摩擦之外，就不会作用在墙壁表面上。凸度会影响壁的上表面和下表面处的流体流动，从而产生额外的压力。

对于围绕蓝色壁流动的流动，凸起会导致横截面局部增加，从而导致流动减慢；结果，U 点的压力将增加。相反，在上表面上，凸度意味着横截面减小，这意味着流速局部增加，从而导致 O 点压力下降。因此，任意由流动产生的动态压力会产生作用在壁上并指向上方的力。显然，对于该力的出现，仅需要壁的部分与流体流动的明显弯曲所需的一样大。我们得到了飞机或鸟的不存在的机翼（不是在飞行中拍打翅膀）。

从这些简单的论证已经可以清楚地看出，飞行只需要一定的力量，因为有必要克服不可避免的摩擦阻力。如果没有摩擦力，鸟类可以在不花费任何功的情况下飞行任何水平距离。

任务

人口普查代理 Smith 和调查代理 Jones 同时接近 900 号房屋。每位主人都注明了房屋中动物的年龄。房子的主人（美国产）告诉他们他的年龄，并说房子里还有另外三名居民，他们的年龄是三个不同的数字——换天时，数字等于门牌号。房主表示，他将告诉人口普查人员居民的年龄。他低声向人口普查人员透露了这个年龄，人口普查人员随后表示他无法确定其他两名居民的年龄。然后房主说他将告诉调查人员最大的住户和另外两人之一的年龄总和。他低声向调查人员透露了这个数字，调查人员说他也无法确定这只动物的年龄。

屋主开始一一询问。人口普查人员第一次回答是他可以确定这些年龄。投票代理人说他可以确定年龄。调查人员表示，他仍然不知道居民的年龄，调查人员表示，“我现在知道所有的年龄了。”这三名居民的年龄是多少岁？ （问题陈述包含解决方案的所有必要信息！）

问题工人
量子

F24。站立，
其上
身体在撒谎
暂停
外部，
开始
辜负
加速度α。
在最初的
片刻
春天
没有拉伸。
通过
现在是几奌
身体会脱落
从看台上？
做什么
最大限度
长度
弹簧会拉长吗？
体重M，
弹簧刚度κ。
N·I·戈德法布

39

40

F25。如果 photozement 阳极的电势高于 cadada 的电势，则电流 $I=10 \, a$ （因此饱和）流过 photozement。否则，没有电流流过光阻。忽略电池的内阻，在图1所示的图表中找到光钙石两端的电压（电阻值以千为单位表示）。

F26。两个水平半平面的高度为$h$，彼此平滑地相互变换，如图2所示。沿着上半平面，与下降方向成$\alpha$角，一个小块以$U$的速度移动。它如何沿着下半平面移动？假设物块不弹跳，即移动时没有离开下降表面。忽视训练。

F27。将水通过顶部的孔（图3）倒入紧紧放在桌子上的半球形钟中。当水到达洞口时，钟就会升起并开始流出。如果钟的半径为$R$，水的密度为$\rho$，求钟的重量。

42

现代工业离不开种类繁多的晶体。它们用于手表、晶体管接收器、计算机、激光器等。伟大的实验室——大自然——已经无法满足技术发展的需求，因此人造水晶在特殊的工厂中生长：小型的、几乎难以察觉的工厂和大型的工厂——重达数公斤。

生长晶体有不同的方法。通常这个过程需要高温和巨大的压力（例如，为了获得人造钻石），但有些晶体甚至可以在家里生长。我们将告诉您如何做到这一点。

在家中生长铝明矾晶体最简单的方法是 KAl(SO4)2·12H2O。这种物质可以在任何化学品商店购买，并且绝对无害（有时甚至将明矾添加到饮用水中以清除其浑浊度）。但在开始之前，我们先来看看晶体生长过程是怎样的。

如果您在恒定温度下将某种物质溶解在水中，那么一段时间后，溶解过程似乎会停止。这样的溶液称为饱和溶液，某种物质在给定温度下在100℃水中所能溶解的最大量称为其溶解度。显然，随着温度升高，溶解度增加。因此，一个饱和的行业离不开种类繁多的晶体。它们用于手表、晶体管接收器、计算机、激光器等。伟大的实验室——大自然——已经无法满足技术发展的需求，因此人造水晶在特殊的工厂中生长：小型的、几乎难以察觉的工厂和大型的工厂——重达数公斤。

生长晶体有不同的方法。通常这个过程需要高温和巨大的压力（例如，为了获得人造钻石），但有些晶体甚至可以在家里生长。我们将告诉您如何做到这一点。

在家中生长铝明矾晶体最简单的方法是 KAl(SO4)2·12H2O。这种物质可以在任何化学品商店购买，并且绝对无害（有时甚至将明矾添加到饮用水中以清除其浑浊度）。但在开始之前，让我们先看看溶解过程停止时是什么样子。这样的溶液称为饱和溶液，某种物质在给定温度下在100℃水中所能溶解的最大量称为其溶解度。显然，随着温度升高，溶解度增加。因此，一个饱和的行业离不开种类繁多的晶体。它们存在于手表、晶体管接收器、计算机、激光器和许多其他产品中。伟大的实验室——大自然——已经无法满足不断发展的技术，因此人造晶体是在特殊的工厂中生长的：小型的、几乎难以察觉的工厂和大型的工厂——重达几公斤。

生长晶体有不同的方法。通常这个过程需要高温和大量的水，这可能会对晶体结构造成损坏。因此，建议使用专门的实验室来生长晶体。

43

在某一温度下饱和，在较高温度下变得不饱和。如果将饱和溶液冷却，过量的物质就会沉淀。 图1显示铝明矾的溶解度对温度的依赖性。该图显示，例如，当将 100 g 在 30°C 饱和的溶液冷却至 10°C 时，会沉淀出超过 10 g 的物质。因此，生长晶体的一种方法是让饱和溶液冷却。

晶体也可以通过蒸发生长。毕竟，如果饱和溶液蒸发，其体积会减少，但溶解物质的量保持不变。换句话说，再次产生过量的物质并沉淀。

现在让我们考虑过量物质的释放是如何发生的。

取饱和溶液并加热。用玻璃盖住所得不饱和溶液的容器，并让溶液安静地冷却至低于饱和温度的温度。在这种情况下，沉淀可能不会脱落，我们将得到过饱和溶液。事实是，对于教育来说

要形成晶体，需要“种子”。它可以是同一物质的小晶体，也可以是一粒简单的灰尘。有时，当瞬间结晶开始时，快速取出装有过饱和溶液的容器或除去覆盖其的玻璃就足够了。在这种情况下，通常会形成许多小晶体。为了生长大晶体，有必要限制“种子”的数量。最好引入人造“种子”，其作用将由之前获得的晶体之一来发挥。

“种子”的制备如下。拿两个玻璃罐，彻底清洗。将温水倒入其中之一，并用明矾浸透。放置溶液时，观察溶解情况。当物质停止溶解时，小心地将溶液倒入第二个罐子中，以免未溶解的物质进入其中。然后用玻璃盖住罐子。当溶液冷却后，对玻璃进行化学处理。过了一会儿，你会看到罐子里有许多晶体形成。让它们生长并选择最大的进行“播种”。

现在您可以开始生长晶体了。首先，您需要准备菜肴。销毁不需要的物品 -

44

将乳木果放在墙上，在沸腾的水壶的壶嘴上蒸罐子的内部。然后再次制备温热的饱和溶液并将其倒入另一个干净的罐子中。

所以，你有一个温暖的饱和明矾溶液。再加热一点，用玻璃盖住罐子，然后冷却。当溶液温度接近饱和温度时，将之前准备好的“调料”放入罐中。由于溶液仍然不饱和，“引发”晶体开始溶解。但一旦溶液冷却到饱和温度，晶体的溶解就会停止，很快就会开始生长。 （如果晶体完全溶解，您可以向溶液中添加新的“填充物”。））

当溶液停止冷却时，晶体可以继续生长。为此，请抬起玻璃杯，使水蒸发，但灰尘颗粒不会落入溶液中。晶体生长持续两到三天。

培养晶体时，小心不要触摸或移动罐子。当晶体准备好后，只需将其从溶液中取出并用纸巾彻底吸干，否则它会很快褪色。

根据您将调料滴在酱汁底部还是挂在绳子上，晶体的形状会有所不同（图2）。例如，您可以通过这种方式种植“珠子”。为此，您需要“穿线”，即将线沿着晶体穿过几次，然后将线放入溶液中。

统计数据开头的图片照片显示了使用上述方法从钾明矾中获得的晶体。

种植晶体是一门艺术。你可能不会立即在所有事情上取得成功。别难过。一点点坚持、毅力、精准，你就会成为美丽水晶的拥有者。

对于读者提问

任何地方的所有邮局和 Soyuzpechat 机构均可订阅 «Kvant»。我们的索引是70 465。如有拒绝的情况请向编辑报告。

逻辑谬误在哪里？

在《美国》杂志上。数学。每月都会布置一个任务，翻译过来是这样的：“你需要从地球上的哪个点出发，沿着子午线向南走 10 公里，然后沿着平行线向东走 10 公里，最后再沿着子午线向北走 10 公里，才能到达出发点？”

一种解决方案几乎是显而易见的：离开北极。有趣的是，这个解决方案并不是唯一的。一位著名的数学家以这种方式解决了这个问题。路径的第一部分和第三部分是沿着经脉走的；但两条经脉只有两个共同点——北纹和南纹；后者消失了，因为不可能从那里向南移动；北车道仍然是唯一的解决方案。

错误的原因是什么以及如何获得完整的解决方案？

45

关于福斯特
考试
数学方面
技术方面
1969 年的大学
V·A·托尼扬

MIEM 考试

在本文中，我们将讨论莫斯科电子工程学院 (MIEM) 的数学入学考试。

与大多数技术学校一样，申请者要参加两项数学考试：笔试和口试。书面作业时间为 4 小时（4×60 分钟）。

请注意，所有提出的问题和任务均不会超出批准的入学考试计划。

下面我们列出了 1969 年提供的各种笔试版本中的问题，指出了申请人最常犯的错误。

选项0

1. 摩托车手和自行车手同时从 A 点和 B 点向对方行驶，在距离 AB 中心 12 公里处相遇。摩托车骑手的速度比自行车骑手的速度高32公里/小时。如果骑摩托车的人晚一个小时离开，他们就会在半路上相遇。求距离AB。

2. 解方程
   $$x = a - \sqrt{a^2 - x \sqrt{x^2 + a^2}}.$$

3. 解决不平等问题
   $$\log_{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{27}}{\arctg x} \cdot \log_{\sqrt{3}} \arctg x > 2.$$

4. 解方程
   $$\sin \sqrt{4 + 3x - x^2} + \cos \sqrt{4 + 3x - x^2} = \sqrt{2}.$$

5. 半径为 R 和 r 的两个圆的圆心位于直角三角形的斜边上。一个圆圈接触两条腿，另一个圆圈接触腿和第一个圆圈。找出三角形的边。

让我们提出这些问题的解决方案。

1. 我们用x表示speedster的速度，用2S表示speedster AB的速度；那么摩托车手的速度就是x+32。如果摩托车手在会面之前花费的时间等于t，那么从问题的条件我们得到
   $$xt = S - 12,$$
   $$(x + 32)t = S + 12.$$

如果动机iklist 晚一个小时离开，他会在会议前花费 $t_1$ 小时，而动机iklist 会花费 $(t_1-1)$ 小时，因此
$$(x + 32)t_1 = S,$$
$$x(t_1+1) = S.$$

求解这个系统，我们得到$S=48$公里。

事实证明，这项任务对于申请人来说很容易。绝大多数的申请者都解决了这个问题。然而，许多繁琐的方程组都是由于符号选择不当造成的。

2. 通过将该方程两边平方，我们得到
   $$x^2 - 2ax = -x \sqrt{x^2 + a^2}$$
   或者
   $$x(2a - x - \sqrt{x^2 + a^2}) = 0.$$

从这里
$$x_1 = 0$$ 和 $2a - x = \sqrt{x^2 + a^2}$。

再次平方，我们得到$3a^2 = 4ax$或$a(3a-4x)=0$。现在如果a=0，

46

那么 $x_2 - \text{любое число},$ 如果 $a \neq 0$ 那么
$$x_2 = \frac{3}{4} a.$$

当执行变换（平方）时，我们可能会违反等价性，因此必须检查找到的根$x_1, x_2, x_3$。

1. $x_1 = 0$。我们将值 $x_1$ 代入原方程。那么左边就是0，右边就是：
   $$a - \sqrt{a^2} = a - |a| = \begin{cases} 0 & \text{при } a \geq 0, \\ 2a & \text{при } a < 0. \end{cases}$$

2. 若$a = 0$，则等式左边为$x$，右边为：
   $$- \sqrt{-x \sqrt{x^2}} = -\sqrt{-x |x|} = \begin{cases} -\sqrt{-x^2} & \text{при } x > 0, \\ -\sqrt{x^2} & \text{при } x \leq 0. \end{cases}$$

3. 将值$x_3 = \frac{3}{4} a$代入，我们发现左侧等于$\frac{3}{4} a$，右侧为：
   $$a - \sqrt{a^2 - \frac{3}{4} a \sqrt{\frac{9}{16} a^2 + a^2}} = \begin{cases} a - \sqrt{\frac{a^2}{16}} = \frac{3}{4} a & \text{при } a > 0, \\ a - \sqrt{\frac{31 a^2}{16}} + a + \frac{a \sqrt{31}}{4} & \text{при } a < 0. \end{cases}$$

回答。若$a > 0$，则$x_1 = 0$，$x_3 = \frac{3}{4} a$；如果$a = 0$，则$x \leq 0$。

申请人在求解这个方程时犯的一个更典型的错误是没有检查$x_1, x_2, x_3$的发现值。当使用上述方法求解该方程时，验证是解决问题的一个组成部分。

3. 表示$\log \sqrt{3}$ arcctg $x = t$，我们得到$t^2 - 3t + 2 < 0$，因此$1 < t < 2$。
   回到变量$x$，我们可以写
   $$\sqrt{3} < \text{arcctg} x < 3$$
   我们得到答案：$\text{arcctg} 3 < x < \text{arcctg} \sqrt{3}$。

4. 要求$4 + 3x - x^2 \geq 0$给我们$-1 \leq x \leq 4$。

现在，将加法公式应用到左侧，我们得到
$$\sqrt{2} \sin \left(\sqrt{4 + 3x - x^2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2},$$
在哪里
$$\sqrt{4 + 3x - x^2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$
这意味着$n \geq 0$是必要的。

解这个无理方程，我们得到
$$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 - 4 \left(2\pi n + \frac{\pi}{4}\right)^2}}{2};$$
从这里
$$\left(2n\pi + \frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$
因此，$n = 0$和$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{100 - \pi^2}}{4}$。

通过检查我们可以很容易地验证这两个值都是方程的根。

在求解这个方程时，许多人得到了等式（1），但只有部分对该方程的构造研究留下了对应于$n = 0$的解。

5. 令$ABC$为给定三角形，$\rightarrow ACB$为直线，$O$和$O_1$为半径为$R$和$r$的圆心； $D$ 和 $E$ – 腿 $CA$ 圆的切点。让我们画出$EF \parallel AB$并表示$\rightarrow BAC = \alpha$。然后从$\triangle FDE$我们有
   $$\sin \alpha = \frac{R - r}{R + r}.$$

注意到$CD = R$并表示$AC = b$，我们从$\triangle ODA$获得
$$\text{tg} \alpha = \frac{R}{b - R}.$$

由(1)和(2)我们可以写出
$$1 + \left(\frac{R}{b - R}\right)^2 = \left(\frac{R + r}{R - r}\right)^2,$$
由此，求解 $b$，我们得到
$$b = R \left[1 + \frac{2\sqrt{Rr}}{R - r}\right].$$

47

---

running_head:
folio:

现在您可以找到另一边和斜边。 （我们建议您自己检查计算。）

最后，我们提出了 1969 年入学考试中提供的一些书面作业选项。

选项1

1. 两名游客同时朝同一个方向离开这座城市。第一个游客每公里的行程都比第二个游客快 20 分钟。第一个游客走了一段路后折返，走了1公里后又往同一个方向走。当第一个游客追上第二个游客时，第二个游客已经走了 0.5 小时。第一个游客步行 1 公里需要多少分钟？

2. 解方程

$$\sin \sqrt{4 + 3x - x^2} + \cos \sqrt{4 + 3x - x^2} = \sqrt{2}.$$

3. 解决不平等问题

$$\frac{\log_2(x^2 - 3x - 4)}{\log_2(x + 17)} \leq 1.$$

4. 解决不平等问题

$$\sin^2 2x (\text{ctg} x - \text{tg} x) > 2 \cos 2x.$$

5. 三角形帕拉酰胺的侧边相互垂直。 paramid的高度为$h$。求围绕 paramid 外接的球体的半径。

选项2

1. 两名挖掘机的任务是在 3 小时 36 分钟内挖一条沟渠。然而，第一个开始工作时，第二个已经挖了一半，就停止了挖掘。结果，7.5小时就把沟挖好了。每个挖掘机需要多少小时才能挖一条沟渠？

2. 解方程

$$\sqrt{3 + 2 \text{tg} x - \text{tg}^2 x} = \frac{1 + 3 \text{tg} x}{2}.$$

3. 解决不平等问题

$$\log_{\log_2} x \left( \log_2^2 x - \frac{7}{2} \log_2 x + \frac{45}{16} \right) < 1.$$

4. 解决不平等问题

\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \cos^2 x}{4 \sin^2 x - 3} < 0.

5. 求正截角三角形Paramid的体积，如果其大于底边的边等于$a$，侧面与底平面形成的二面角等于$\pi/6$，Paramid的高度等于$a/12$。

选项3

1. 两辆自卸车需要在3小时20分钟内转移货物，但第二辆自卸车迟到了，当第一辆自卸车已经转移了总货物的2/5时才到达装货地点。此后，只有第二辆自卸车运载了剩余的货物。整个货物的运输耗时8个小时。每辆自卸车需要多少小时才能单独运输全部货物？

2. 解方程

$$\sqrt{\cos(\cos x)} = 1 - 2 \cos(\cos x).$$

3. 解决不平等问题

$$\log_{\frac{1}{3}} x \left( \log_2^2 x - 19 \log_{\frac{1}{3}} x + 84 \right) < 1.$$

4. 解决不平等问题

\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos x - 1) + \sin^2 x}{4 \sin^2 x - 3} < 0.

5. 一个球被描述为从底面$a$ 的侧面靠近正三角形paramid 且侧边与底面平面的倾斜角$\alpha$ 。求其体积。

选项4

1. 两个数量同时从点 $A$ 和 $B$ 向彼此离开，并在 1.2 小时后相遇。如果第一个到达 $B$ 比第二个到达 $A$ 晚一个小时，他们每个人需要多少小时才完成$AB$ 的距离。

2. 解方程

$$|\cos 2x| = \left| \sin^2 x - \frac{1}{4} \right|.$$

3. 解决不平等问题

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 - 3x + 2}{4x - 10} < 0.$$

4. 解决不平等问题

$$\frac{1 + \sin \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}}{4 + 4 \sin x + 2 \cos x + \sin 2x} > 0.$$

5. 在四边形帕拉米德的底部有一个菱形，边长为 $a$，锐角为 $\alpha$。所有侧面均与基面倾斜$\beta$角度。找到 paramid 的完整表面。

48

我们如何解方程！基于这个方程，我们连续写出一个、另一个、第三个……——一系列方程，其中每个方程都是从一个或两个部分的先前变换中获得的，依此类推，直到我们得到一个完全简单的方程，我们已经知道如何找到其解。在这种情况下，如果从这个方程到下一个方程的所有转换都是“可逆的”，也就是说，我们看到第四个方程的变换可以通过第三个方程、从第三个方程到第二个方程的变换得到，等等，那么很明显，方程的最后一个过程与原来的方程具有相同的根。但我们经常遇到这样的带有根式、对数、三角函数的方程，其求解涉及到相当复杂的变换，因此“逆向过渡”并不十分清楚。如果在求解此类方程时，您只是公式化地进行变换，而不深入研究其含义，那么很容易犯错误：丢失一个根或添加一个额外的根。本文解释了这种情况是如何发生的以及如何避免此类问题。

1. 一些符号。

令数据为数字集$X$和$Y$。符号$X \subset Y$意味着集合$X$的每个元素同时是集合$Y$的元素，并且在$Y$中可能存在不属于集合$X$的元素。符号$x \in X$（分别为$x \in X$）表示元素$x$属于（不属于）集合$X$。

下面的条件和短语“集合$X$由所有实数$x$组成”也使用符号：$X = \{x| -\infty < x < \infty\}$。类似地，符号$X = \{x|x \ge 3\}$表示集合$X$由满足不等式$x \ge 3$的所有数$x$组成，符号$X = \{x|x \neq \pi\}$表示集合$X$包含除$x = \pi n^*$之外的所有实数）。

最后，VA 允许值范围的条件（回想一下，范围

*) 在接下来的内容中，假设 $n, k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$