Квант 1970, №2 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
2
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, академик
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский, член-корреспондент АПН СССР
(зам. главного редактора)
И. Н. Бронштейн
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов, действительный член АПН СССР
П. Л. Капица, академик
В. А. Кириллин, академик
Г. И. Косоуров
(зам. главного редактора)
В. А. Лешковцев
В. П. Лишевский
А. И. Маркушевич, действительный член АПН СССР
М. Д. Миллюнчиков, академик
Н. А. Патрикеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЧИЙ
М. Л. Смолянский
Я. А. Смородинский, доктор физ.-матем. наук
В. А. Фабрикант, действительный член АПН СССР
(ответственный секретарь)
Я. Е. Шнайдер

Заведующая редакцией Л. И. Князева.
Художственный редактор И. П. Леонов.
Технический редактор В. С. Никифорова.
Корректоры И. Б. Мамулова и Г. С. Смоликова
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы

Сдано в набор 16/XII-69 г. Подп. к печ. 6/111-70 г.
Бумага 70×100¹/16 Физ. печ. л. 4. Усл. печ. л. 5,2.
Уч.-изд. л. 5,4 Тираж 205 500 экз. T-00213
Цена 30 коп. Заказ 2520.

Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов, Московской области

1

2
Журнал «Альфа»
2

Что такое график функции
3

Лазеры
14

Геометрические неравенства
23

Как был взведен atom
26

Кривые дракона
36

Задачник «Кванта»
47

О письменном экзамене на mexmate МГУ
50

Что можно добавить к названю нашего журнала?
56

Государственные premii
1969 года
58

Как решать задачу
60

Введение в электронку
61

Ответы, указания, решения
62

Смеся
35, 42, 54, 57, 59

Кроссворд—
3-я страница обложки

А. Н. Колмогоров
H. В. Карлов,
A. М. Просоров

M. И. Башмаков

M. П. Бронштейн
H. Б. Васильев,
B. Л. Гутенхахер

H. С. Бахвалов,
H. Н. Кузнецов

Ф. Леонидов

B. А. Лешковцев

H. Х. Розов

Д. Я. Свет

2

Москва

Редакции журнала «Квант»

Во время XI Международной математической олимпiadы я узнал, что в скором будущеем в Москве найти выходить Ваш журнал. Наша «Альфа» еще очень молода, ей едва минут три года. Но свой свойка видит издалека. Поэтому мы желаем Вам успешно начала и будем рады настоящему и техническому сотрудничеству.

От имени наших читателей я Вас сердечно приветствую.

Главный редактор журнала «Альфа»
И. ЛЕМАН,
преподаватель высшей школа, заслуженный учитель школа

«Альфа» — математический журнал дляучащихся средних школ ГДР, издавшийся с января 1967 года. Он расчитан на учеников 5—12 классов. Ребята разных возрастов находит в нем интересный для себя материал. Журнал уделяет большое внимание как национальным олимпiadам ГДР, так и международным математическим олимпiadам: печатает олимпiadные задачи, их решения, знакомит читателей с победительями. Традиционный журнала стал выступления на его страницах немецких победителей международных олимпiad, в которых они рассказывают о себе, о занятиях математикой, о планах на будущее. Журнал из номера в номер помещает научно-популярные статьи на различные темы, такие, например, как основы теории множества, операции над множествами, доказательство методом математической индукции и др. Кроме теории, статьи содержат также примеры ее приложения к решению математических задач. Следует отметить, что все статьи написаны доступно, интересно и таким языком, что их могут читать не только ученики старших классов, но и более юные читатели. Журнал рассказывает о математической жизни в разных странах, коротко сообщает о конференции и конгрессах, посвященных школьной математике.

Volk und Wissen
Volkseigener Verlag
Berlin

3. Jahrgang 1969
   Preis 0,50 M
   Index 31059

3

ЧТО ТАКОЕ ГРАФИК ФУНКЦИИ

А. Н. КОЛМОГОРОВ

Здесь продолжается изложение новой,
более общей точки зреня
на хорошего известные из школьной понятия —
функция и ее график.
Начало этого изложения было в статье
«Что такое функция»,
помещенной в первом номере «Кваента».
Для понимания настоящего статьи
необходимо владеть понятями, которые определены в первой статье

1. НАПОМИНАНИЕ И НЕБОЛЬШИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

В первом номере журнала по статье «Что такое функция» вы познакомились с современным общим понимением слова функция: функция — это совершенное произвольное отображение некоторого множества $E$ на другое множество $M$. Множество $E$ называется область определения функции, а множество $M$ — множество ее значений. Чтобы задать функцию с областью определения $E$, надо указыть для каждой элемента $x$ этого множества

1* 3

4

$$y = f(x).$$

Каким бы способом мы это ни сделали, мы получим функцию с областью определения $E$. Если множество $E$ состоит из учеников вашего класса, то можно, например, для любого ученика $x$ принять за $y = f(x)$ вторую букву его имени (предполагая, что в классе нет учеников, имя которых состоит из одной-единственной буквы, — хотя я и знал девочку Олю, которое этали просто «О»).

При таком задании функции само собой определится множество ее значений $M$; это множество всех тех объектов $y$, для которых существует хотя один элемент $x$ множество $E$, для которого

$$f(x) = y.$$

Позному, описывая смысл термина функция, можно и не говорить в описании явно о множестве значений. Правильно будет, например, просто сказать, что «функция есть закон, по которой каждому элементу $x$ некоторого множество $E$ поставлен в соответствии в полне определений объекта $y = f(x)$». Мы поддерживаем, впрочем, что все эти описания лучше не считать о ределении ими. Если бы мы захотели в самом деле определить понятие функции через понятие «закона», то с нас потребовали бы точно определение смысл термина «закон» и т. д. Понятие функции будем считать одним из основных понятий математики, смысл которого только поясняется, а не дается формальным определением.

В школе вы привыклились дело только с числовыми, области определения которых состоит из чисел и значения которых является числами. Смысл выражения «числовая функция числового аргумента» не вполне определен. Ведь само понятие числа в школе построено обобщается. Мы оставимся на системе всех действиях их и сел, с которой школьники знакомятся в девятом классе. Действительные функции действительного аргумента и изучаются по примуществу в старших классах средней шкoles. Их графики вы умеете вычерчивать на «числовой плоскости».

В школьных учебниках пишут, что «числовая плоскость» — это такая плоскость, на котором неotropым определенным образом введены координаты. Если верить учебником буквально, то числовых плоскостей очень много. Провода на классной доске оси координат, учитель превращает в «числовую плоскость» плоскость этой доски; ученики на страницах своих терради изготовляют все новые «числовые плоскости», иногда по несколько на одной странице!

В п. 3 этой статьи вы узнали, с какой числовой плоскостью в действительности имеют дело математики. Но сначала мне хочеется сделать одно дополнительное замечание к изложению статьи «Что такое функция».

В школьном курсе алгебры чаще всего имеют дело с функциями, заданными «аналитически» при помощи формулы. Области определения такой функции, если не сказано ничего другого, считается множеством всех тех значений аргумента, для которых все предписанные формулы операции над числами выполнимы. Будем, например, как это принято в школе, счи-

*) Из первой статьи знаете, что значения функции могут быть не только числами, но и динамины, мальчики или девочками, вообще любыми предметами, или, как приято говорить, «объектами».

5

табл. знак $V$ знаком «арифметического» квадратного корня. Ясно, что формула

$$y = f(x) = (\sqrt{x})^2$$

(1)

позволяет вычислить по заданному $x$ соответствующее ему значение $y$ лишь при неотрицательном $x$ (инначе квадратный корень «не извлекается»).

При неотрицательном $x$

$$y = f(x) = x.$$

(2)

Формула (2) проще, чем формула (1), и хотелось бы ее считать формулой, определяющей нашу функцию. Но область определения функции, заданной формулой (2), состоит не из одних неотрицательных чисел $x$, а из всех чисел $x$. Если мы хотим дать новое определение той самой функции, которая определена формулой (1), надо написать

$$y = f(x) = \begin{cases} x \text{ при } x \geq 0, \\ \text{ не определена при } x < 0. \end{cases}$$

(3)

Подобным же образом функцию $g(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1}$ можно записать так:

$$g(x) = \begin{cases} x^2 + x + 1 \text{ при } x \neq 1, \\ \text{ не определена при } x = 1. \end{cases}$$

(4)

На школьных и взовских экзаменах требуется полной точности в подобных вопросах.

2. ГРАФИК ФУНКЦИИ

Рассмотрим следующий график декурств (см. № 1 «Кванта», стр. 29):

| | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Петя | | | | | | | |
| Коля | | | | | | | |
| Саша | | | | | | | |
| Волода | | | | | | | |

Мы уже знаем, что это график функции: имя декурного можно считать функцией дня недели. Так как дней недели сеть, а мальчиков четыре, то мы нарисовали

$$7 \times 4 = 28$$

клеточек, но закрашили красным только семь из этих клеточек. Если бы мальчики решили расположить свои имена по алфавиту, то получилась бы таблица, приведенная на стр. 6. Выглядит она по-другому, но изобразает то же самое распределение декурств — ту же самую функцию.

6

В обеих табликах 28 клеточки соответствуют 28 возможным парам (день недели, мальчик).

Из этих 28 пар выделены семь пар
(пн, Петя), (вт, Коля), (cp, Саша), (чт, Волода),
(пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша),

т. е. все пары, в которых день недели соединен с джурным на этот день:
(день недели, джурный на этот день),

или абстрактно: пары вида
$(x, f(x))$.

Только выбор этих пар и существен для задания функций.
После этого примера вам, быть может, не показется необходимым такое определение:
Графиком функции $f$ называется множество всех таких пар $*$
$(x, y)$,
что: 1) первый элемент пары $x$ принадлежит области определения функции,
2) второй элемент пары
$$y = f(x).$$

| | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Волода | | | | | | | |
| Коля | | | | | | | |
| Петя | | | | | | | |
| Саша | | | | | | | |

В нашем примере график функции $f$:
$$\Gamma_f = \{(пн, Петя), (вт, Коля), (cp, Саша), (чт, Волода), (пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша)\}.$$
Для функций, заданных таблией

| $x$ | $f_1$ | $f_2$ | $f_3$ | $f_4$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

*) Всюду в этой статье имеются в виду «упорядоченные пары». Пара (1,2) отличается от пары (2,1). Первый и второй элементы пары могут и совпадать: (1,1) или (2,2) — тоже пары.

7

в соответствии с данными определением получим графики

$$\Gamma_1 = \{(A, A), (B, A)\}, \quad \Gamma_2 = \{(A, B), (B, B)\}, \quad \Gamma_3 = \{(A, A), (B, B)\}, \quad \Gamma_4 = \{(A, B), (B, A)\}.$$

Ясно, что для функции с конечной области определения число элементов графика (т. е. число входящих в график пар) равно числу элементов области определения функции. Для функции с бесконечной области определения все пары

$$(x, f(x))$$

выписать нельзя. Приходится описывать эти пары при помощи их свойств. Например, для функции

$$y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$$

график состоит из всех пар $(x, y)$, для которых выполнен два условия

$$x^2 + y^2 = 1 \text{ и } y \geq 0.$$

Это определение графика функции можно записать в виде

$$\Gamma_f = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 1, \ y \geq 0\}.$$

Само общее определение графика функции $f$ можно записать в виде такой формулы *):

$$\Gamma_f = \{(x, y) | y = f(x)\}.$$

Определив график функции как множество пар, каждая из которых состоит из значения аргумента и значения функции, соответствующего этому значению аргумента, мы освободили понятие графика от всего случайного. В этом абстрактном понимании у каждой функции имеется один-eдинственный график.

3. ЧИСЛОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

Обратимся к наиболее общным в школе действительным функциям действительного переменного. В школе вы привели к тому, что графиком такой функции $f$ называется множество тех точек $P(x, y)$ числовой плоскости, координаты которых $x$ и $y$ удовлетворяют равенству

$$y = f(x).$$

Эта формулировка и общее определение графика, данное выше, в п. 2, похожи, но слегка отличются. В п. 2 говорится о множестве пар $(x, y)$, а в общном школьном определении — о множестве точек $P$ с координатами $x$ и $y$. Но нет ли возможность привести эти две формулировки к полному согласию?

*) Мы пользовемся стандартным обозначением, принятым в теории множеств.

$$\{x | A(x)\}$$

обозначет множество всех объектов $x$, удовлетворяющих условию $A(x)$. Например, $\{x | x^2 = 1\}$ — множество всех $x$, для которых $x^2 = 1$, т. е. множество из двух чисел: $\{1, -1\}$.

8

Оказывается, это очень просто. Это простое решение и получило всеобщое распространение в современной научной литературе. По определению и считают, что числовая плоскость есть множество всех пар действительных чисел. Числовую плоскость обозначают $R^2$. Ее определение можно символически записать

$$R^2 = \{x, y \mid x \in R, y \in R\}.$$

Немного подумав, вы сами убедитесь в том, что при таком определении числовой плоскости обычно школьное определение графика действительного функции действительного переменного становится частью общего определения, данного в п. 2.

Обозначение $P(x, y)$ для точки с координатами $x$ и $y$ делает теперь излишним. Точками числовой плоскости в новом понимании является простое сaml пар чисел $(x, y)$. Можно говорить просто о «точке $(0, 0)$» (начало координат), о точках $(1, 2), (-2, -1)$ и т. д.

Не лише заметить, что и термин «числовая прямая» надо теперь придать новый смысл: числовая прямая это просто само множество действительных чисел $R$. Естественно, что точки числовой прямой при этом надо считать простое сaml действительные числа. Obviously в школьных учебниках этого не говорят прямо, но часто употребляют в применении к числам геометрической языке: множество чисел

$$[a, b] = \{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$$

называют «отрезком», говорят, что «точка» 2 принадлежит «отрезку» [1, 3] и т. п.

Любое множество точек числовой плоскости будем называть расположенной на числовой плоскости геометрической фигурой. Такова, например, окружность с центром $(0, 0)$ и радиусом единица: это множество точек, т. е. пар чисел $(x, y)$, для которых

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Естественно, что точки и геометрические фигуры числовой плоскости можно наглядно изображать на чертеже. Для этого на реализной плоскости (листе бумаги или классной доске) выбирают оси координат и точку числовой плоскости $(x, y)$ изображают реальный точкой с координатами $x$ и $y$. Конечно, такое изображение может быть только приближенным. Начерченые на бумаге или классной доске графики являются лишь приближенными изображениями «настоящих» графиков функций, которые в нашем пониманиисут простое подмножества числовой плоскости. К этим «настоящим» графикам и относится утверждение, что функция полностью определяется своим графиком.

Пусть задано множество пар

$$M = \{(x, y)\}.$$

Таким множествором, например, является любая «фигура» на числовой плоскости. Что надо дополнительно потребовать, чтобы это множество пар было графиком некоторой функции?

9

Ответ не сложен: для этого необходимо и достаточно, чтобы в множество $M$ нельзя было найти две пары $(x, y_1)$ и $(x, y_2)$ с общим первым элементом $x$ и различными вторыми элементами $y_1 \neq y_2$. (Проведите доказательство сами.) На рис. 1 красная кривая есть график функции, а черная графиком не является.

Множество пар $(x, y)$, в котором не существует двух пар вида $(x, y_1), (x, y_2), y_1 \neq y_2$, можно назвать функциональным графиком. Заметьте, что мы сейчас определяли «функциональный график», не пользоваться понятием «функции». Нельзя ли с этой стороны дать формульное определение и самого понятия функции, которое мы считали основным, т. е. не подлежащим формальному определению? Я не хочу давать ответ на этот вопрос здесь. Он не совсем прост. В нашем журнале мы еще будем иметь повод вернуть как к современным представлениям о понятии функции, так и к его истории.

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Чтобы освободся с широкой общERO понимания термина «функция», рассмотрим еще некоторые простые геометические преобразования.

Чтобы повернуть плоскую функру вокруг точки $O$ (рис. 2), можно перевести контуры функции на положенную на плоскость чертежа кальку, закрепить кальку будавкой в точке $O$ и, повернуть кальку, перенести контуры копии функции с кальки на плоскость чертежа (например, при помощи копировальной бумаги). При повороте все точки функры поворачиваются вокруг $O$ в одном и том же направлении на один и тот же угол.

Обозначим

$$Q = R_0^\alpha(P)$$ (1)

положение точки $P$ после поворота на угол $\alpha$ против часовой стрелки. Если точка $O$ и угол $\alpha$ заданы, то каждой точке $P$ по формуле (1) соответствует полне определения точки $Q$. Ясно, что в смысле нашего определения $R_0^\alpha$ есть функция. Ее область определения является многоестровым точком плоски $P$.

Углы поворота указывают со знаком. На рис. 3 точки $Q_2$ получается из точки $P$ поворотом на $120^\circ$, а точки $Q_1$ — поворотом на $-120^\circ$ (или поворотом на $240^\circ$). Если точки $Q$ получена из точки $P$ поворотом на $\alpha$ градусов, то точку $P$ можно получить, повернуть $Q$ на $-\alpha$ градусов: если

$$Q = R_0^\alpha(P),$$

10

$$P = R^{-\alpha} o(Q).$$

Мы видим, что поворот $R_0^\alpha$ всегда является обратимой функцией.

В применении к поворотам чаще говорят об «отображениях». Отображение, обратное к повороту $R_0^\alpha$, есть поворот $R_0^{-\alpha}$. Символически можно написать:

$$R_0^{-\alpha} (R_0^\alpha(P)) = P,$$
$$(R_0^\alpha)^{-1} = R_0^{-\alpha}.$$

Поворот отображает множество точек плоскости на самого себя. Если считать, что плоскость есть не что иное, как множество своих точек (так и поступают в современном изложении геометрии), то можно сказать, что поворот есть обратимое отображение плоскости на себя.

Обратимые отображения плоскости на себя и называются геометрическими преобразованиями плоскости. С геометрическими преобразованиями вы еще неоднократно встретились на страницах нашего журнала. Пока же приведем еще только один пример геометрического преобразования плоскости. Параallelным переносом называется отображение плоскости на себя

$$P \rightarrow Q = T(P),$$

при котором все точки $P$ перемещаются на одно и то же расстояние и в одном и том же направлении (рис. 4).

5. ВЕКТОРЫ

Хотя возникло, что вы уже установили от знакомства с новыми понятиями и необычным толкованием понятый вам уже известных, сделаем еще одно успешное. Постараемся понять, что такое граф и к паралельного переноса $P \rightarrow Q = T(P)$. По общему определению это — множество всех таких пар точек

$$(A, B),$$

для которых

$$B = T(A).$$

12

3. Какое дополнительное условие надо добавить к формуле
   $$f(x) = 1,$$
   чтобы получилось определенные функции
   $$f_4(x) = (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{1-x})^2?$$

Замечание e. В задачах 1—3 под знаком $V$ понимается «арифметический» квадратный корень, т. е. неотрицательное число.

2. График функции

3. Сколько существует функции с областью определения 1, 2, 3, графики которых являются подмножествами множества пар
   $$\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,3)\}$$

(cm. рис. 6)?
Сколько из этих функций имеет обратную?

5. Показите, что график обратной функции $f^{-1}$ определяется формулой
   $$\Gamma_{f^{-1}} = \{(x, y) | (y, x) \in \Gamma_f\}.$$
   (Естественно, предполагается, что функция $f$ имеет обратную.)

6. Числовая плоскость

7. Опишите устройство графика функции Дирихле:
   $$D(x) = \begin{cases} 1, если x рационально, \\ 0, если x irrationalно. \end{cases}$$

7*) Число $x$ из отрезка [0; 1] разлагается в бесконечную тречную дробь
$$x = 0, x_1 x_2 x_3 \dots (x_n = 0, 1, 2).$$

Значение функции $y = C(x)$ определяется двойной дробью
$$y = 0, y_1 y_2 y_3 \dots (y_n = 0, 1)$$
следующим образом:
если $x_n = 0$, то $y_n = 0$,
если $x_n = 1$ или $x_n = 2$, то:
$$y_n = 1$$ при условии, что среди цифр $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ не было единиц,
$$y_n = 0$$ при условии, что среди цифр $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ уже встречалась одна единица.

Попробуйте начертить график этой функции. Докажите, что он содержит бесконечное число горизонтальных отрезков. Если вы знакомы с понятным непрерывности функции, попробуйте доказать, что наша функция непрерывна.

Замечание e. В этой задаче мы не избегаем троичных дробей, в которых все знаки, начиная с некоторого, двойки, и двойных дробей, в которых все знаки, начиная с некоторого, единицы. Например, мы пишем в троичной системе
$$0,2222 \dots = 1; 0,1222 \dots = 0,200000 \dots$$

и в двойной системе считаем, что
$$0,1111111 \dots = 1; 0,01011111 \dots = 0,01100000 \dots$$

*) Это— трудная задача (см. § 15 в книжке: С. В. Фомин «Системы счисления», 1968.

13

4. Геометрические преобразования

5. Описите в геометрических терминах преобразования числовой плоскости, которые аналогичны задачом формулиан:

a) $(x, y) \rightarrow (-y, x)$,
b) $(x, y) \rightarrow (x, -y)$,
c) $(x, y) \rightarrow (y, -x)$,
d) $(x, y) \rightarrow (x+1, y)$,
e) $(x, y) \rightarrow (x+a, y+a)$.

9. Докажите для поворотов вокруг центра $O$ формулу

$$R_O^\alpha [R_O^\beta (P)] = R_O^{\alpha+\beta}(P).$$

(1)

10. Докажите, что при любых центрах $O_1$ и $O_2$ преобразование

$$F(P) = R_O^\alpha [R_O^{-\alpha}(P)]$$

будет параллельным переносом. На какое расстояние и в каком направлении?

5. Векторы

6. Докажите формулу

$$T_a [T_b(P)] = T_{a+b}(P).$$

(2)

12. Покажите, что преобразование

$$F(P) = T_a [R_O^\alpha(P)]$$

является поворотом на угол $\alpha$. Вокруг какого центра?

Замечание. Формулы (1) и (2) короче пишут

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^{\alpha+\beta},$$

$$T_a T_b = T_{a+b}.$$

Взятие функции от функций во многих отношениях похоже на умножение. Но это уже особая тема, разработка которой не уменьшается в этой стране. Мы воспользовемся такой короткой записью функции от функций (композиции отображений) в задачах 13 и 14.

13. Докажите, что всегда

$$T_a T_b = T_b T_a$$

и

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha$$

при поворотах вокруг центра. Покажите на примере, что, вообше говоря,

$$R_O^\alpha R_O^\beta \neq R_O^\beta R_O^\alpha$$

при поворотах вокруг центров $O_1, O_2$.

14. Выясните полностью вопрос о том, когда все-tаки

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha.$$

НА. В. КАРЛОВ И А. М. ПРОХОРОВ

ЛАЗЕРЫ

Около двух тысяч двухсот лет назад римские войска взяли греческий город Сиракузы, расположенный в Сицилии. Этот факт был бы, наверное, известен только специальным по истории становления Римской империи, если бы при взятии Сиракуз не погиб Аρχимед — один из величайших физиков Земли.

Много легенд связано с личностью Аρχимеда, его открытиями, с обстоятельствами их появления на свет

или их применением. Большая часть этих легенд имеет под собой реальную почву. Но одна, самая красивая, — легенда об уникженни римского флота сконцентрированным солнечным светом, — к сожалению, — чистая фантастика.

Дело в том, что законы геометрической оптики для облучных источников света говорят о невозможности сконцентрировать световую энергию в виде лучового шнура и сфокусировать

15

ee на расстоянии, большем, чем размеры фокусирующего прибора. Иное дело лазеры. После возникновения квантовой электронки и создания лазеров *) появился возможность концентрации мощных световых потоков в виде лучевых шнуров.

Слово лазер является сокращенной записью английской фразы Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, которая переводится так: усиление света путем индуцированного испускания излучения. Попробуем разобраться, что означает эта фраза. Мы знаем, что свет — это электромагнитное излучение, распространяющееся в виде волны и несущшее энергию. Световая волна — быстроперенняя электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме со скоростью $3 \cdot 10^{10} \text{ cm/sec}$. Основными характеристиками волнового процесса является: длина волны — расстояние между двумя гребнями бегущей волны и частота — величины, показывающая, сколько раз в секунду в какой-то фиксированной точке пространства возникает гребень волны. Длина световой волны $\lambda$ и ее частота $v$ связаны со скоростью света $c$ простым соотношением $\lambda v = c$.

Видимому свету соответствует волны длиной от $0,4 \text{ mk}$ до $0,8 \text{ mk}$ ($1 \text{ mk} = 10^{-4} \text{ cm}$) и частоты от $0,75 \cdot 10^{15} \text{ sec}$ до $0,375 \cdot 10^{15} \text{ sec}$ (частота $1 \text{ sec}$ — одно колебание в секунду).

В световой волне периодические изменения в пространстве и во времени испытывают электрическое и магнитное поля, подобно тому как это происходит в радиоволне. Однако обычная световая волна, в отличие от радиоволны, не является монохроматической. О волне говорят как о monохроматической, когда периодические изменения электрического и магнитного волны излучений, исходящих от разных источников, могут, вообщество, совпадать. Если при точном совпадении частот гребень одной волны все время совпадает с гребнем другой, то происходит удвоение амплитуды результатирующей волны. В этом случае говорят, что волны складываются в фазе. Фазовые соотношения между светами характеризуют рас-

16

положение гребней одной волны по отношению к гребням другой волны. Если это взаимное расположение остается все время неизменным, то волны называются когерентными. Слово «когерентность» буквально означает сцепленность, связность. Понятие когерентности играет большое роль и широко используется в физике.

Общная световая волна не является монохроматической. Дело в том, что свет, который мы видим, — солнечный свет, свет ломинесcentных ламп или ламп накаливания — излучается большим количеством отдельных независящих излучателей (атомов), каждый из которых испускает свет вне какой-либо связи с тем, испускают или не испускают свет его соседи. В результате такогоxaотическая испускания световые волны, из которых состоит наблюдаемое нами излучение, не когерентны друг друга, а результатующая световая волна не является монохроматической. Именно немонохроматичность и некогерентность объясняется света преляетсяуют концентрации световой энергии в лучевой шнур (отсюда — невозможность построить «гиперболюд инженера Гарина»).

Мы знаем, что свет испускается atomами. Именно atomы являются теми отделными независяными излучателями, о которых мы только что говорили. На atomном уровне представление светового излучения в виде непрерывной световой волны неправедливо. Atom может поглощать или излучать свет только в виде определенных порций световой энергии — световых квантов. Величина энергии квантов $\varepsilon = hv$, где $h = 6,6 \cdot 10^{-34} \text{ дж}/\text{сцц}$ — постоянная Планка, а $v$ — частота света.

Энергия квантов видимого света заключита в пределах от $2,5 \cdot 10^{-19} \text{ дж}$ до $5 \cdot 10^{-19} \text{ дж}$. Хотя эта энергия очень мала, квантовая природа света существенно проявляется во взаимодействии света с веществом. Вместе с тем свет не утратил свеющей волновой природы, проявляющейся во всех тех явлениях, где важны физические соотношения (сложение волн, формирование световых пучков и т. д.). Таким образом, свет обладает свойпростойчивым волновым и корпускулярным, то есть присущих частицам, свойства.

Итак, микроплучательми света является atomы, дающие в обычных условиях поток квантов некогерентного излучения. Очевидно, что излучение испускается atomами, обладающим некоторой избыточной энергией, так называемыми возбужденными atomами. Но возбужденный atom неустойчив, он может самопроизвольно без каких-либо внешних причины испускать квантов излучения. Актив самопроизвольного испускания происходит случайно. Такое самопроизвольное излучение носит нерегулярный,xaотический характер. Оно некогерентно. Но возможность излучения световой энергии не ограничивается только самопроизвольными процессами. Необходимо помнить, что внутренняя энергия atomов может принимать только некоторые определенные значения. Как говорят, atom может находиться только на том или ином энергиии. Переходы atomа с одного уровня на другой сопровождаются изменением его внутренней энергии. При переходе с нижнего уровня энергии на верхний atom поглощает энергцию, при переходе с верхнего на нижний atom отдает энергию. Эти переходы, следовательно, сопровождаются либо поглощением или излучаемого при переходе с уровня энергии $E_1$ на уровень $E_2$, определяется формулой

$$v = \frac{E_2 - E_1}{h}.$$

Кроме самопроизвольных переходов atomов с верхнего уровня энергии на нижний, существуют удивительное явление индуцированного излучения, о котором дается А. Эйнштейн. Процесс индуцированного излучения от самопроизвольного отличяется прежде всего тем, что присходит не сам по себе, а под воздействием внешнего

17

по отношению к atomу излучения. При этом вторичные кванты неотличины от первичных. Они точно повторяют частоту и направление распространения perвичных квантов. Индуцированное излучение потому и называют индуцированным, что акты его испускания индуцируются (вызываются) внешним по отношению к atomу излучением. В результате, в отличие от самопроизвольного излучения многих atomов, индуцированное излучение корерентно.

Таким образом, в оптике имеется явление, пригодное для получения корерентного излучения. Это — индуцированное излучение. Но для одного atomа верятность индуцированного излучения при переходах с верхних уровней энергии на нижние равна верятности поглощения при переходах с нижних уровней на верхние. Для того чтобы индуцированное излучение превалировало над поглощением, надо на верхних уровнях иметь больше atomов, чем на нижних. А в условиях теплового равновесия дело обстоит как раз наоборот: на нижних уровних энергии atomов больше, чем на верхних (рис. 1). При взаимодействии излучения с такой системой atomов произойдет следующие. Частие излучения поглощается, и часть atomов перейдет на верхний уровень энергии (рис. 2). Если же система atomов так предварительно подготовлена, что на верхнем уровне энергии atomов больше, чем на нижнем, то при взаимодействии излучения

Рис. 1
Рис. 2

18

с такой системой atomов в силу эффектива индцированного испускания произойдет усиление исходного излучения, как это схематически показано на рисунке 3. В силу свойств индцированного излучения вторичное излучение усиливает первичное, является точной его копней. Вместе они составляют одну волну, амплитуда которой нарастает пропорционально числу актов индцированного испускания (рис. 4). Системы atomов, в которых хотя бы для двух уровней энергии существует такая ситuation, что верхний уровень энергии населен более нижнего, называется системами с инверсией населенности. Слово инверсия означает перевернуть, изменение нормального порядка вешей на обратный.

Так вот, основой квантовой электропики как науки в целом служит усиление индцированного излучения, и главным в лазерах является использование индцированного излучения в системах с инверсией населенностей для коректного усиления и генерации световых волн.

Здесь следует поддержнуть разницу усилением и генерацией. Оптический усилитель служит для того, чтобы увеличивать напряжение электрического поля световой волны, поступающей на его вход. На выходе усилителя должна быть получена более интенсивная, но точная входного излучения. В этом смысле оптический усилитель полностью подобен своему предшествнику — радио-усилитель. Оптический же генератор должен быть источником оптического излучения, зарождающегося непосредственно в генераторе и выходящего из него во внешнее пространство.

Для работы оптического генератора необходимо обратная связь. Она осуществляется следующим образом. Система atomов с инверSIием населенностей располагается между двумя строго паралельными друг другу зеркаlamми.

Рис. 4

19

В какой-то точке между зерканами самопроизвольно возникает излучение. Она распространяется в сторону зерка и по мере распространения усиливается. Дойя до зерка, световые волны отражаются и поворачивают назад. Если гребни отражены волн совпадают с гребнями падающих волн, то волны усиливают друг друга. Для этого расстояние между зерками должно быть кратно целому числу полувольн. Общно между зерками укладывают сотни тысяч полувольн. Излученная энергия накапливается в пространстве между зерками и воздействует на систему атомов, вызывая индуцированное излучение. Если мощность индуцированного излучения превышает мощность неизбежных потерь на нагрев зерка, рассеяние, а также на полезное излучение во внешнее пространство, то возникает незначующая световая волна. В силу свойств индуцированного излучения эта волна в высшей степени монохроматична. Все атомы работают синхронно. Так их заставляет работать обратная связь, осуществляя излучением, накопленным между зерками.

Для применения лазеров очень важно, что при индуцированном излучении вторичные кванты повторяют не только частоту, но и направление распространения первичных квантов. В результате лазерное излучение обладает не только высокой степень monохроматичности, но и идеальной направленностью. Таким образом, формирование светового шнура производит автоматически.

Прежде чем перейти к описанию собственно лазеров, завершим изложение основ квантовой электроники следующей группы аналогий. Представим себе трибуны большого стадияна, заполненные тысячи страстих больших квантов. Перед началом игры большики о чем-то говорят, что-то выкиривают, но каждый независимо друг от друга. Создается сильный ировный шум. Игра началась, все замерли. Тихо. А затем вдруг, начавшись где-то, нарастает и достигает оглушительной силы единующей крик «шай-бу, шай-бу». Все кричат в унисон, кричат синхронно, чем и достигается эффект, подобный лазерному.

В первом лазере был применен рубин — монокристалл оксис алюминия (Al₂O₃). В кристалле рубина часть атомов алюминия заменена atomами хрома. При концентрации около 0,05% примесь хрома придает рубину характерный розовато-красный цвет.

Инверсия населенностей в рубине достигается с использованием трех уровней энергии и вспомогательного излучения накачики. В методе трех уровней для увеличения числа атомов на верхнем энергетическом уровне или (что эквивалентно) для уменьшения их числа на нижнем уровня применяется мощное вспомогательное излучение, которое связывает один из рабочих уровней с третьим вспомогательным уровнем и перекачаивает atomы сизу вверх.

В настоящее время рекордные энергии и мощности в импульсе дают лазеры на рубине и лазеры на стекле с примесью неодима. Поэтому они представляют наиболее интерес.

Основной элемент лазера на рубине — кристалл синтетического рубина высокой однородности. Кристалл обично имеет форму цилиндра диаметром 0,4÷2 см и длиной 3÷20 см. Источником возбуждения является лампа-вспышка. Накача проискот следующим образом. Atoms хрома, которые до всыщки находились на нижнем невозбужденном уровне, благодаря поглощению зеленого или синего цвета, содержащого в излучении лампа-вспышки, переходят в возбужденное состояние (рис. 5). Время жизни атомов на верхнем возбужденном уровне мало (меее 10⁻⁷ сек). Они быстро переходят на нижний возбужденный уровень, отдавая избыточную энергию решетке кристалла, то есть нагревая кристалл. На новом возбужденном уровне времени 10⁻³ сек. Поэтому этот уровень называется метасабильным.

20

него atoms переходят в основное невозбуженное состояние с испусканием кванта света в красной области спектра.

При достаточно мощной перебросить на metastабильный уровень достагоное количество частиц для создания сильной инверсии.

В качестве ламп накачки применяются мощные газоразрядные лампы. Вначале они делались в виде спирали, охватывающей кристалл. Сейчас, как правило, использует более мощные стержневые лампы, установливаемые параллельно кристаллу. Лампы работают в импульском режиме. Длительность импульса всышки составляет примерно долю секунды (1 мсек). Вспышка производится от батарей конденсаторов emкостью до 10 000 мкф, заряженных до несколько тысяч волт. При разряде через лампу конденсаторы в одном испульсе отделяют энергии вдесятки, а то и в сотни тысяч джойлей. Мощность накачки в импульсе может превышать десяти миллионов ватт.

Только часть энергии излучения лампы-вспышки, приходящая на зеленую и голубую части спектра, идет на возбужение юнов хрома. Остальная часть переходит в тепло.

Использование импульсного режима обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, трудно иметь источник света накачки большой мощности, работающий непрерывно. Во-вторых, кристалл сильно нагревается при длительном возбужении и теряет оптическую однородность.

Естественно, что при импульсной накачке генерация тоже носит импульсный характер. При этом полученная в кристалле инверсия может быть реализована двойко. Расстоярим обе возможности.

Пусть зеркала-отражатель настроены в резонанс и жестко закреплены. Тогда, как только на metastабильном уровне наконится достагоное количество частиц, начинается генерация, которая будет продолжаться до тех пор, пока накачка будет эффективна. Общно такая так называемая свободная генерация начинается через 100÷300 мсек после накада вспышки и продолжается 1 мсек.

В режиме свободной генерации большие кристаллы при мощной накачке дают в импульсе энергию до 1000 джойлей. Этому соответствуют импульсная мощность до миллионов ватт.

Другой режим достигается путем включения зеркал резонанса в тот момент, когда инверсия достига максимальной величины. Тогда все накапленные на metastабильном уровне частицы излучают практические сразу, и генератор выдает гигантский импульс излучения очень короткой длиныности 10⁻⁸÷10⁻⁹ сек со сравнительно небольшой энергией (около трех джойлей). Но так как эта энергия излучается в очень короткое время,

21

то максимум мощности имплуласа достигает значений 300 миллионов — 3 миллиарда ватт.

Здесь встает вопрос о коэффициенте полезного действия лазера (к. п. д.). Из приведенных оценок видно, что в лазерное излучение преобразуется лишь малая доля энергии накачики. В режиме свободной генерации к. п. д. рубинового лазера менее 1%, в режиме гигантских имплулов и того меньше.

В чем же тогда выиграш, который дает лазер?

Дело в том, что мы, проигрывая в количестве энергии излучения, неизмеримо выиграваем в его качестве. Это новое качество — монохроматичность и направленность — обусловленное свойством эфекта индуцированного излучения.

Длина волны излучения рубинового лазера равна 6943 Å = 6,943·10⁻⁵ cm. И в окрестности этой длины волны, в очень узком интервале с шириной порядка 0,1 Å, заключена все мощность лазера. Ширина же спектра излучения теплового источника видимого света составляет примерно 3000 Å, то есть в 30 000 раз больше.

Один из самых мощных тепловых источников света — наше Солнце — с одной квадратного сантиметра поверхности в видимом свете излучает мощность 8·10³ вт/cm². При этом на интервал длин волн в 0,1 Å приходит 0,2 вт/cm². А рублейные лазеры дают в этом интервале 10⁶ ÷ 10⁹ вт/cm²!

Соответствие электронские поля составляет 3·10⁴÷10⁶ вт/cm². Солнце в том же интервале длин волн создает поле 12 вт/cm².

Новое качество лазерного излучения можно проиллюстрировать следующим образом. Излучение Солнца в принципине не может нагреть какое-либо тело до температуры выше 6000°С. Световое излучение газорарядных ламп более ярких, чем Солнце, не способно нагреть тело до температуры выше 10 000°С. Но когда то же излучение газорарядных ламп, пусть даже с большой потере энергии, преобразовано в лазерное монохроматическое излучение со спектральной плотностью энергии в миллиарды раз больше исходной, то оно может нагреть тело до нескольких миллионов градусов.

Лазеры на кристаллах могут работать и в непрерывном режиме. Но бóльшие мощности дают, конечно, имплусливые лазеры.

Несколько особняком стоит газовые лазеры. В настоящее время лазеры на газах, возникаемых электронским разрядом, работают в очень широком диапазоне частот — от ультрафилолетового излучения до далекого инфракрасного. Основной конструктивный элемент газового лазера — газорарядная трубка, то есть трубка, в которой поддерживается электронная разряд в газе. Общий газ разрежен до давления, в 100÷1000 раз меньше атмосферного. Материал трубок — стекло или квариц. Длина трубок в зависимости от назначения лежит в пределах от 5 cm до 50 м. Газорарядные трубки газовых лазеров в значительной мере подобыны трубкам неоновой светашейся рекламы. Зеркала лазеров установлены либо непосредственно на торцах газорарядных трубок, либо снаружи, но в любом случае строго перепендикулярно оси трубки.

В настоящее время наиболее распространенный явление неон-гелиевая лазер непрерывного действия на

волну 6328 Å (красный свет). С его помощью получены световые колебания очень высокой стабильности и высокой монoxроматичности. Хотя к. п. д. этого лазера крайне неvelikит (≈0,01%), высокая степень монoxроматичности и направленности его излучения, обусловленные в частности, однородностью его газовой активной среды, сделали этот лазер незаменимым при всякого рода источровых и нивелировых работах: при прокладке метро, выравнивание взлетно-посадочных полос больших аэродромов и т. п.

Большим достинением стало создание мощного лазера непрерывного действия, рабочим телом которого служит смесь углекислого газа, азота и гелия. Он дает инфракрасное излучение с длиной волны λ = 10,6 мк. Интерес к этому лазеру обусловлен преждеем всего тем, что его к. п. д., достигающий 30%, превосходит к. п. д. всех существующих в настоящее время лазеров, работающих при комнатной температуре. Уже сейчас с помощью этого лазера можно получить в непрерывном режиме мощность в 10 киловатт.

Монoxроматичность, направленность и высокая мощность этого лазера делают его весма перспективным для целого ряда технологических применений. На рис. 6 показано, как инфракрасный луч CO₂-лазера проиграет ответные в куске горной породы.

Рис. 6

Сейчас промышленность выпускает лазеры различных типов. Они используют как эффективный инструмент в научных исследованиях, для решения разного рода практических задач медицинных (бесковый складель) и технических (точная обработка тугоплавких материалов, раскрой текстильных материалов).

Лазерный луч измерил расстояние до Луны с большей точностью, чем это было сделано радиосредствами. После того как на Луне был установлен специальный отражатель, расстояние до нее было измерено с точностью до четырех метров.

Самое широкое применение лазеры нашили в физике. Они дают возможность проводить уникальные физические эксперименты. Например, с помощью лазеров, работающих в режиме гигантских импульсов, осуществлен проводь воздействия электрическим полем световой волны. Этот провод проходит в фокус линзы, собирающий энергию лазерного лучка в точку. Монoxроматичность и высокая мощность извлечения позволюют при фокусировании концентрированных лазерный свет в очень малом объеме (в принципие размер пятна в фокус может быть доведен до длины волны). В обработывании при probe лазерную «искру» практические мгновенно «вкачивается» почти все энергию импульса. Плазма «искры» сильно разогревается. Получена температура в несколько миллионов градусов. Установлено, что лазерная искра излучаетRENTеновские лучи. Уже получены первые нейтроны,рожденные возникающей при таком нагреве термоядерной реакцией.

Работа с лазерами ведется в лабораториях всего мира. Многое сделано, но много еще нерешенных проблем. Нет сомнения, что развите квантовой электронники будет и дальше продолжаться высокими темпами.

23

Геометрические неравенства

М. И. БАШМАКОВ

На страницах нашего журнала начинает свою работу математической крупок. Темы его занятый будут в основном доступны уже восемиклассикам, но мы надемся, что они будут интересны всем читателем «Кванта».
Первое занятие крупка посвящается геометрическим неравенствам.

В самом начале изучения геометрины мы знакомимся с важным фактом: сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (рис. 1). Однако неравенство, которое называют неравенством треугольника, позволяет решить ряд интересных геометрических задач.

Задача 1. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин больше половины перimeter этого треугольника.

Решение. Рассмотрим треугольники AOB, BOC и COA (рис. 2) и напишем три неравенства

треугольника:
$$AO + OB > AB,$$
$$BO + OC > BC,$$
$$CO + OA > CA.$$

Складывая эти неравенства и деля пополам, получим
$$AO + BO + CO > \frac{1}{2}(AB + BC + CA),$$

что и требовалось доказать.

Попробуйте решить самостояльное еще несколько задачи на доказательство неравенств. Надо разумно выбирать треугольники, выписывать неравенства для их сторон и преобразовать эти неравенства к нужному виду.

Докажите, что:
Задача 2. Сумма диагоналей выпуклого пятнуюгольника меньше удвоенного перimeter.
Задача 3. Сумма диагоналей выпуклого пятнуюгольника больше перimeter.

Рис. 1
$$AC < AB + BC$$

Рис. 2

24

Задча 4. Медиана треугольника меньше полусуммы сторона, между которых она заключита.

Задча 5. Сумма медиан треугольника меньше перimetра, но больше трех четвертей перimetра.

Вы, наверно, обратили внимание на то, что в каждой задаче приходится по-своему выбирать, каким способом, в какую сторону проводить оценку (установливать неравенство). При этом не всегда удается сразу получить нужный результат. Например, в последней задаче легко получить, что сумма медиан больше полов ини перimetра. (Достаточно рассмотреть треугольники ABD, BCF и CAE на рис. 3.) В то же время из других треугольников можно получить более точную оценку, требуемую в задаче. Возникает вопрос: какова наиболее accurate к которой верна оценка

$$k_1 p < m_a + m_b + m_c?$$

(здеся $m_a, m_b, m_c$ — медианы к сторонам $a, b$ и $c$, а $p$ — перimetр треугольника). Точно так же, интересно получить точную оценку и с другой стороны: найти наиболее ую константу $k_2$, для которого неравенство

$$m_a + m_b + m_c < k_2 p$$

верно для любого треугольника.

Задча 6. Доказите, что при сравнения суммы медиан треугольник можно рассмотреть, например, также равноведенные треугольники, вер-

25

Шины которых приближаются к основанию (рис. 4). Ясно, что их перimetр близок к удвоенной стороне основания, а сумма медиан близка к $\frac{3}{2}$ основания. Равенство получится, когда вершина упадет на основание, а треугольник «выродится» в двойной отрезок.

Вообщше, для любого числа $x$ из интервала
$$\frac{3}{4} < x < 1$$

можно указыть такой равноведенный треугольник, для которого
$$\frac{m_a + m_b + m_c}{p} = x.$$

Это позволяет решить задачу 6.

3 адача 7. Докажите, что сумма расстояний любой точки внутри треугольника до его вершин меньше перimetра.

3 адача 8. Сравните задачи 1 и 7, 2 и 3; поставьте и исследуйте вопрос, аналогичный тому, который мы обсуждали относительно медиан.

3 адача 9. Расмотрим всевозможные выпukлы $n$-угольники ($n$ — определенное число). Возьмем точку внутри такого многоугольника и составим отношение суммы ее расстояний до вершин к перimetру. Какие значения это отношение может принимать? *)

В следующих задачах нужно использовать, кроме неравенства треугольника, некоторые другие простые неравенства, например то, что из двух сторон треугольника больше та, которая лежит против большого угла, в частиности, что гипотенуза прямого треугольника больше катета, и т. п.

3 адача 10. Докажите, что для всех прямогоных треугольников

*) Ср. задачу 4 на стр. 59 первого номера «Кванта».

верны следующие неравенства:
$$0,4 < \frac{r}{h} < 0,5, где r — радиус вписанного кругга, h — высота, опущенная из вершины прямого угла. Являются ли написанные границы точными?$$

3 адача 11. На биссертрисе внешнего угла $C$ треугольника $ABC$ берется точка $M$, отличная от $C$. Докажите, что сумма ее расстояний до вершин $A$ и $B$ больше, чем сумма расстояний от точки $C$ до этих же вершин.

3 адача 12. Для того чтобы угол $A$ в треугольнике $ABC$ был острым, необходимо и достаточно, чтобы медиана, проведенная из вершины $A$, была более чем вдвое больше стороны $BC$.

3 адача 13. В остроугольном треугольнике $ABC$ наиболее из высокот (обозначим ее через $AH$) равна медиане $BM$. Докажите, что угол $ABC$ меньше $60^\circ$.

3 адача 14. На продолжении наиболее стороны $AC$ треугольника $ABC$ отличается отрезок $CD=BC$. Докажите, что угол $ABD$ тупой.

3 адача 15. $A, B, C, D$ — последовательные вершины выпukлого четырехугольника $ABCD$. Докажите, что если
$$AB+BD \leq AC+CD,$$
то
$$AB \leq AC.$$

ЛИТЕРАТУРА

В. Делоне и О. Житомирский, Задачик по геометрию. Физматгиз, 1959.

3. А. Скопец, В. А. Жаров, Задачи и теоремы по геометрию. Планметрия. Учредгиз, 1962.

И. Е. Сивашинский, Неравенства в задачах.

К концу прошло века в физике и в химии утвердилась, как тогда говорили,
гиптеза об atomах и молекулах — мелчайших частицах, из которых составлены
все тела окружающего нас мира. В химии atomная гипотеза позволяет понять
и очень удобно описывать химические реакции: всякая реакция —
это просто соединение atomов в молекулы или, наоборот, разложение молекул
на atomы или групы atomов. Из анализа состава различных молекул
химики суммы выязывать, что atomы разных элементов обладают различными массами.
Им даже удалость узнать, во сколько раз один atom тяжелее или легче другого;
ужке к началу второй половины XIX столетия были известны так называемые
атомные веса всех открытых к тому времени химических элементов,
то есть числа, показывающие, во сколько раз atom данного химического элемента
тяжелее самого легкого из atomов — водорода. Знаментийный русский химик
Д. И. Мендлеев, расположив химические элементы в порядке возрастания
atomных весов, показал в 1869 году, что они образуют определенную систему,
в котором свойства элементов перiodических повторяются (периодическая система).
В физике гипотеза об atomах и молекулах играла не менее важную роль.
Она позволяет физикам составить себе ясное представление о множестве
самых различных явлений. Она помогла понять, что такое тепло и холод, почему тела
при нагревании расширяются, почему всякое вещество может быть твердым, жидким
и газообразным и многое другое. Чтобы все это понять, нужно было
только дополнительно представить, что atomы и молекуры непрерывно

КАК БЫЛ
ВЗВЕШЕН
АТОМ

27

и беспорядочно движутся и что между ними действуют силы прятяжения и отталкивания.

Но при всем этом atoms оставались только неокоторым представлением в головах людей. Их не тольконикто не видел, потому что они очень малы, но никто не знал, насолько они малы, каковые массы atoms, сколько atoms в том или ином теле. Нельзя сказаны, чтобы не делались попытки все это как-то узнать.

Но эти попытки не приводили к убедительным результатам. У некоторых ученых пожиллась даже уверенно в том, что об atomах и молекулах ничего и нельзя будет узнать, потому что их на самом деле не существует. Эти ученые полагали, что atoms — это нечто вроде меридианов и параллелей на географической карте: имми удобно пользоваться, но реально в природе их нет.

Физики, однако, не теряли надежду доказать реальность atoms и молекул, взвесить их, сосчитать их число, определять их размеры.

В предлагаемом отрывке из книги выдающегося советского физика-теоретика Матвея Петровича Бронштейна «Атомы, электrons, ядра» рассказывает о том, как впервые удалось измерить массу atoms и даже сосчитать их. Эта книга, изданная в 1935 году небольшим тиражом (всего 10 000 экземпляров), давно ужестала библиографический редкостью.

Публикацию подготовил профессор А. К. Кико и Сделанные им добавления взяты в прямые скобки.

… И в конце концов atom действительно удалилось взвешить. Этому помогло одно очень страничное явление, открытое еще в первой половине XIX века и на которое физики в свое время не обратили должного внимания. Это явление называется брауновским движением.

В 1828 году знаменитый английский ботаник Роберт Браун проделал одно в высшей степени интересное наблюдение. Испытавая только что присланный ему новый усовершенствованный микрокопп с ахроматическим объективом, Роберт Браун вздумал рассмотреть с помощью этого микрокоппа ничтожную каплю жидкости, содержащую вクロхотных зернышках пыльцы растений. В такой жидкости всегда имеется большие количество микрокоппических твердых частиц. Как удивлен был Браун, когда увидел, что эти частицы не остаются на месте, а движутся, движутся непрерывно, точ-

29

Его обьяснение, генциальное по своей простоте, состоит в следующем: микросоппические частицы движутся поому, что они испытывали молки со стороны невидимых молекул и амов окружающей их жидкости. Расматривая движение брауновских частичек, мы получаем некоторое представление о том, как движутся невидимые молекулы жидкости, совершенно таким же образом, как мы угадаиваем о воленении на море, когда, стоядело от берега, видим качание лодки, швыряемой волнами во все стороны. Брауновское движение является поэтому местом, соединяющим невидимый мир атомов и молекул с миром, доступным воспрянию при помощи наших органов чувств.

Почему брауновское движение можно наблюдать только в том случае, когда частички очень справа, всегда оказывается приблизительно равным количеству только, получаемых его же слева, иничтожное различие в количестве только будет совершенно недостаточно для того, чтобы сдиинуть с места большую и тяжелую частицу. Если же частица имеетничтожную массу иничтожные размеры, то в хаосе молекулярных движений жидкости всегда может сличится, что с одной стороны частицы будет в данной момент случайно больше только, чем с другой, а поэтому легко подвижная частица движется в ту сторону, куда ее только молекулы. Через какой-то очень короткий промежуток времени избыток молекулярных только будет сливать брауновскую частьцу уже по другому направлению, еще через какой-то короткий промежуток времени — по третьему и т. д.

Если это предложенное Карбонелем обьяснение правильно, то чем частицы легче и мелче, тем брауновское движение должно быть интенсивнее. Так и есть в действительности — уже Браун сумел это заметить. Кроме того, ведь мы знаем, что движение молекул жидкости проискит тем быстрее, чем выше температура; и в самом деле, Гуи нашел, что при повышении температуры брауновское движение делает все интенсивнее и интенсивнее. Когда Жигмонд изобрел ультрамикросопп и смог наблюдатьничтожные частицы золота в колюдном расторе (диаметр частицы меньше миллионной доли сантиметра), то брауновское движение этих частиц оказывается таким быстро, что получилось какое-то сплошное мелkbание. Жигмонд описывает свое первоое впечатление так: «Это какое-то непрерывное прыгание, пласка, скакание, стolkновения и разлетания, так что трудно разобраться в этой путанице»…

Мы переходим теперь к расскачу о классических работах, которые сделали французский физик Жан Перрен (1908 г.). В этих работах было окончательно проверено и установлено, что брауновское движение в жидкостях вызвано движением молекул и тем самым дано решающее доказательство действияного существования молекул и атомов.

Перрен брал кусочки резиновой смолы «гуммигута» и растира их рукой в воде, пока она не становалась ярко-желтого цвета. После этого Перрен брал немного такой жидкости под микросопп. Под микросопп оказывается с помощью нерасториля в воде, а распался на множество шаровидных мелких зернышек, которые разбрелись по всему объему воды. Зернышки эти очень различны по размерам. А Перрену хотелось иметь такой жидкость, в которой были бы совершенно одинаковые по размерам частицы гуммигута. Для этого он воспользовался «центрифутой» (центробежной машиной), такой же самой, какой пользовется на крупных молочных фермах для отделения сливок от молока или же в медицинских laboratorиях для удаления кровных шариков из крови, после чего остается однородная жидкость — кровная плазма. Центрифут Перрена делала 2500 оборотов

30

в минуту, и возникалошая при этом центробежная сила выбрасывала из жидкости зернышки гуммигута. Перpendикулярно к оси центрифуги были расположены стеклянные пробирки, в которых содержалась эмульсия гуммигута (так называется вода с взвешенными в ней частичками гуммигута).

Первыми выпадали тяжелые частицы, а вслед за ними и легкие. Это давало возможность отделить частицы друг от друга по весу (а значит, и по размерам, потому что все частицы сделаны из одного и того же материалов, и поэтому, чем больше их масса, тем больше и размеры).

Это очень круполивая и тяжелая работа: приходится работа цельнееся для того, чтобы из одного килиграма гуммигута получить несколько десятых или даже сотых долей грама круглых зерен нужной величины. Таким образом, Перрен сумел получить несколько порций эмульсии с диаметром зерен в 0,5, 0,46, 0,37, 0,21 и 0,14 микрона

Распределенное зернышек по высоте в гуммигутовой эмульсии.

С помощью таких эмульсий Жан Перрен произвел множество заменательных опытов, о которых мы здесь и рассказем. Он помещил каплю эмульсии с определенным диаметром зерен в плоскуюванночку (кюветку) с глубиной 0,1 мм. Кюветка была затем покрыта тонким покрыным стеклышком, края которого были залитны парафином: таким образом, капля оказалась размаzanной в сосуде, в котором она герметически заперт, так что никакое испарение уже невозможно.

Perрен сперва поставил свою юветку набок и стал смотрить на нее в микросоп. В поле зреня микросопа оказалась тонкая вертикальная водяная стенка, внутри которого распределялись участующие в браунковом движении зернышки гуммигута. Распределенное зернышек сперва было однородным, но потом, с течение времени, распределенное изменилось и в конце концов стало таким: очень много зернышек внизу, а по мере продвижения вверх их становится все меньше и меньше (см. рисунок). Число зернышек в одном кубичском микроне уменшается с увеличением высоты и притом по некоторому волне определенно закону.

Этот закон уменшения плотности эмульсии с высотой Перрен захотел исследовать. Для этого он положил юветку на дно, и после того как частицы расположились по высоте подобно тому, как в юветке, стоящей вертикально, стал смотрить на юветку сверху в микросоп, имеющий очень маленькую глубину поля зрения: в микросоп было видно все, что происходит в тонком слое гуммигута в один микрон. Перведигра микросоп ввенх и вниз, можно было помещать этот слой то выше, то ниже. Perрен стал работать так: поставил микросоп на какой-то высоте и начал считать, сколько зернышек виднеется в поле зрения на этой высоте, затем переведнул микросоп на новую высоту и снова сосчитал число зернышек

31

и т. д. Заметим, что при этом числом зернышек считается среднее из несколько наблюданий, потому что зернышки движутся совершенноxaотическая и, следовательно, их число в поле зерня микроскопа былает too большие, то меньше в зависимости от случая. Поэтому на одной и той же высоте Перрен производил подсчет зернышек много раз и затем уже вычислял значение, характерное для каждой такой высоты.

Фотографии гуммигутовой эмульсии, сделанные Ж. Перреном через микроскоп.

Приведем результаты одного из опытов Перрена. Глубина кюветки была, как мы уже говорили, 100 микрон (то есть 0,1 мм). Отсчеты производились на высотах 5, 35, 65 и 95 микрон над уровнем донышка кюветки. Оказылось, что среднее число части на высоте 35 микрон составляет половину того, которое было на высоте 5 микрон, число части на высоте 65 микрон было равно половине числа части на высоте 35 микрон, а число части на высоте 95 микрон равнялось половине числа части на высоте 65 микрон.

Жен так: если высоты образуют арифметическое прорезство, то числа зерен образуют геометрическую прорезство.

Такой закон убивания плотности зерен с высотой должен был сильно поразить и занитесовать Перрена: ведь по такому же самому закону спадает плотность при поднятии в нашей атмосфере. Блзз Паскаль, знаментийный французский ученый, живший в XVII столетии и впервые

Результаты опытов Перрена.

Так изменяется количество молекул воздуха с высотой.

33

молекулы мы тоже не можем, но ведь нам и не надо знать какое из чисел $n$ и $n_0$ в отдельности. Нужно знать только их отношение. А его легко найти, если изменить барометром давления на высотах $h$ и $h_0$: относение давления как раз и равно относению чисел частных в единице объема. Но дело в том, что величина $A$ во времена Перренна не была известна (именно опыты Перренна и позволили определить ее). Поэтому Перренм мог рассудить так: известно, например, что при поднятии на 5 км количество кислорода, находящемся в кубическом сантиметре, уменышается вдвое; при поднятии на следующие 5 км оно уменышается еще вдвое и т. д. и т. д. Это — тот же закон, по которым уменышается с высотой число зернышек гуммигута в кубическом сантиметре эмульсини, но только здесь иные масштабы — вместе 30 микрон здесь мы имеем 5 км. Отчего же здесь получают другие масштабы?

Слой гуммигутовой эмульсини в 100 микрон — это, в существии, такая же атмосфера, но только состояние не из молекул кислорода или азота, а из зернышек гуммигута, которые уже достаточно велики, чтобы их можно было видеть в микросопп. Вследствие большей массы этих зернышек (по сравнению с молекулами газа) уменышение плотности с высотой проискодит быстрее, чем в обычной атмосфере, окружающей нашу Землю, а именно (в случае гуммигутовых зернышек диаметром 0,21 микрона) плотность уменышается вдвое при поднятии на 30 микрон. «Эмульсия, — говорит Перрен, — это атмосфера в минитаюре, тягоτεошая к Земле. В масштабе такой atmosферы высота Аллп представилась бы несколько микронами, а отдельные хольы стали бы равны молекулам». Для нас всего важнее, что молекулы этой минитаюре «атмосферы» — зернышки гуммигута — могут быть взвешены, а это позволяет вычислить и массу молекул объIkновеного газа. Так Перрен сумел сделать то, что каза-

лось совершенно невозможно, — взвешить молекулы и atoms.

[Из формулы (3) видно, что произведение массы молекул $m$ на разность высоты с心, между которых число молекул в единице объема изменяется вдвое, во всех случаях (то есть для любых частц) равно одной и той же величины $\frac{0,30103}{A}$.

Поэтому, если для гуммигутовых зерен разность высоты с心 для кислорода в атмосфере, то это потому, что масса гуммигутового зернышка больше массы молекул кислорода и как раз во столбко раз, во столбко раз 5 км больше, чем 30 микрон.]

Проделаем нежитрый расчет… 5 км в 166 миллионов раз больше, чем 30 микрон. Значит, масса гуммигутового зернышка с диаметром 0,21 микрона превышает массу кислородной молекулы в 166 миллионов раз.

Сколько же весит такой гуммигутовый шарик? Это нетрудно расчитать, если изменить предварительно массу кубищеского сантиметра гуммигута. При этом расчете не следует забывать, что в опытах Перренна зернышки гуммигута находится в воде, а значит, по закону Архимеда каждой кубищеский сантиметр гуммигута терял в всееровно столбко, сколько весит кубищеский сантиметр воды, то есть 1 $e$. Значит, каждый кубищеский сантиметр гуммигута был в воде на один грамм легче, чем в воздухе. В результате всех расчетов (которые мы пропускаем) получается, что масса зернышка (с поправкой на законом Архимеда) равна $8,5 \cdot 10^{-15}$ $e$. И она в 166 миллионов раз больше массы молекул кислорода. Значит, масса молекул кислорода равна $5,1 \cdot 10^{-23}$ $e$. А так как молекул кислорода в 32 раза тяжелее atoms водорода (молекулярный вес кислорода равен 32), то масса atoms водорода — это самого легкого из всех atoms — равна $1,6 \cdot 10^{-24}$ $e$. В грамме водорода содержится, следовательно, $6 \cdot 10^{23}$ atoms.

34

[Так atoms и молекулы были не только взведены, но и сосчитаны!]

Эти цифры, найденные Перреном, позволили связи употреблять употреблять в то время единцу atomного веса — массу atomа водорода — с граммом. Масса atomа водорода, выраженная в граммах, получалась настолько низкой, что ее никак невозможно себе представить, тем не менее она получалась в полне определенной. Атом был взведен. Важнейшая задача atomной физики была решена.

[Заметим здесь, что цифры, полученные Перреном, конечно, не очень точны. Воспследствие были найдены другие способы определения масс atomов и молекул, и теперь мы располагаем более правильными значениями масс. По современным данным масса atomа водорода, например, равна $1,673 \cdot 10^{-24} \text{e}$, а молекулы кислорода — $5,314 \cdot 10^{-23} \text{e}$. Как видите, эти цифры не так уж сильно отличятся от тех, что впервые были получены Перреном.]

Вот какой результат получил Перрен, изучая распределение зернышек

Брауновское движение.

Брауновское движение в гуммигутовой эмульсии совершается необыскновенно быстро. Нет никакой возможности проследить за движением отдельного гуммигутового зернышка. Поэтому Перрен и не пытается этого делать, а поступал следующим образом: он отмечал на чертеже головные гуммигутового зернышка через определенные промежутки времени, например через каждые 30 секунд, и полученные точки соединяли прямыми линиями (хотя на самом деле гуммигутовое зернышко за это время двигLOBС не по прямой, а по причудливой ломаной линии). Полученные рисунки дают возможность судить о беспорядочности,xaотничности брауновского движения вообще. Но Перрен делал эти рисунки не только для того, чтобы получить наглядную инллюстрацию к брауновскому движению. Его интересовала количество стороны дела. Знаментийный Альберт Эйштейн, который был тогда еще молодым человеком, написал (в 1905—1906 годах) замечательные работы, где он выел формулу, определяющий для заданного промежутка времени среднее смешение гуммигутового зернышка относительно его первоначального положения в жизни. Мы не станем здесь приводить эту замечательную формулу, заметим только, что в эту формулу входит величины, равная числу atomов водорода в одном грамме. Поэтому, сравнивая формулу Эйштейна с рисунками Перрена, определяющими перемещение частицы за 30 секунд, можно вычислить эту величины. Так и сделал Перрен, и у него получилось, что число atomов водорода в одном грамме равно $6 \cdot 10^{23}$, то есть получилось такое же число, как и раньше.

35

Совпадение двух чисел, которые были получены совершенно различными способами, является лучшим доказательством правлиности всех сделанных предположений. Значит, молекулы и atoms действительно существуют, а не только являются удобной для химков выдумкой. Такое заключение вынуждены были сделать даже те, которые долго и упорно не хотели признавать существование atomов.

… Вековой спор между сторонами и противниками atomов законился, таким образом, победой сторонаков atomной теории. И в настоящее время мы можем с уверенно утверждать, что все вещи на свете — и вода, и камни, и растения, и животные, и воздуха, и железо и т. д. и т. д. — все это состоит из мелчайших невидимых глазу atomов.

ЗАДАЧИ К СТАТЬЕ
«КАК БЫЛ ВЗВЕШЕН ATOM»

1. Пользоваться приведенными в статье данныхми, найдите, на какой высоте давление уменшается вдвое. Воздух легче кислорода в отношении 28,8:32.

2. $P_0$ — давление воздуха на уровне моря, $P_1$ — на высоте $h$. Каково давление воздуха на высотах: $2h$, $3h$, $nh$? Считать, что температура воздуха и ускорение свободного падения не меняются с высотой, и поэтому постоянная $A$ не зависит от высоты.

3. Найдите высоту над поверхностью Земли, где давление воздуха равно 0,25 и 0,125 атмосферного. Постройте кривую зависимость давления воздуха от высоты.

ЛОГИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Будем условно считать, что если человек не будет семь суток есть или семь суток спать, то он умрет. Пусть человек неделю не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток: постель или поспать, чтобы остаться в живых. (Несмотря на шутливый характер, задача имеет строогое и единственное решение.)

ВОПРОСЫ
ПО ФИЗИКЕ

1. Почему, когда купаясь в жаркий день, вы входите в воду, вода какется холоднее воздуха, а когда выходите, то наборот?

2. Почему холодильник время от времени приходит и оттаивает?

3. Коробку, в которой находится мышь, подбрасывает вертикальное вверх. Когда мышь находится в состоянии неvesсимости, если сопротивление воздуха отсутствует?

4. На плиту поставили две одинаковые кастрюли с равными количеством воды при одной и той же температуре. Через некоторое время в одну кастрюлю должен кипятка из чайника. В какой кастрюле вода закипит раныше?

4a. Из той кастрюли, где воды больше, отличают во вторую кастрюлю столко, что в них снова становится воды поровну. В какой кастрюле теперь вода закипит раныше?

37

ЧТО ТАКОЕ КРИВАЯ И ЛОМАНАЯ
ДРАКОНА

Возьмите длинуную полоску бумаги, сложите ее пополам и еще раз пополам. Сложенную полоску положите ребром на стол и разверните так, чтобы угол при каждой стибе был равен 90° (рис. 1). Если смотреть сверху, то видна ломанная линия, изображенная на рис. 2, а или 6.

При трех складываниях полоски пополам уже получаются существно различные ломаны (рис. 2, в или 2) в зависимости от того, как складывается полоска. Если полоску складывать четые раза и больше, а затем разворчивать ее стибы до прямых углов, можно получить много различных ломаны. На рис. 3 показана одна из ломанных, получающихся при пятии складываниях пополам.

Практические вам не удостсясложить полоску бумаги больше семи раз — ведь уже при восемом складыванияни получилось бы $2^8 = 256$ слоев! Однако мы скоро научимся рисовать довольно длиные такие ломаны, обходясь без полоски. На странице 38 (внизу) уже нарисована одна из ломанных, которая получалась бы, если бы складывали полоску 12 раз. Она состоит из $2^{12} = 4096$ звеньев.

Легко убедиться в том, что если складывать полоску более трех раз, то после разворчивания некоторых ее углы обязаательно будет «касаться» друг друга (рис. 2, в и рис. 3). Из-за многочисленных таких касаний на длиных ломанных местами получается сетка. Чтобы разобраться, как идет ломанная, можно закруглить у нее углы (так, как показано на рис. 3 цветной линий). Если проделать это для ломанной, изображенной под рисунком 3, то получится замыслованая линия, нарисованная на предыдущей странице. Этот рисунок и подсказал американскому физику Джону Хейвью (Heighway) названное «кривые дракона». Тот, кто когда-нибудь видел дракона, мог бы讶вердить, что он выглядиит именно так.

38

Такая ломана («Главная ломана дракона») получается, если начная с отрезка, каждой раз поворачивать предыдущую ломану в одну и ту же сторону. (Это соответствует способу складывания пополам, показанному на рис. 2 а, в; здесь полоска каждой раз загибается «справа вверх налево».) На рис. 3 изображено начало этой ломанной (32 звена), на этом рисунке — 4096 звенев. Если ломануюprodолжать таким же образом дальше, то она будет медленно обходить вокруг своего начала, делая один полный оборот за 8 «удвоенный». Красные точки лежат на логарифмической спирали (для тех, кто знаком с полярной системой координат мы можем написать ее уравнение: $\varphi = \log_a r$, где $r$, $\varphi$ — полярные координаты; $a = a^{2:\pi}$).

39

КАК РИСОВАТЬ ДЛИННЫЕ
ЛОМАНЫЕ ДРАКОНА?

Мы будем называть любоу ломанную, полученную из бумажки, сложенной пополам $n$ раз, разворчиванием сгибов до $90^\circ$, ломаной дракона рана $n$. Выясним, как устроены ломанные дракона и как их рисовать для достаочного больших $n$.

Первый способ

Ломаная дракона рана $n$ состоит из $2^n$ звеньев и соответственно имеет $2^n-1$ вершин (не считая концов). Таким образом, у нее есть средняя вершина и на $(n>0)$, поскольку число вершин нечетно. На рис. 2 и 3 у каждой ломаной средняя вершина отмещена зеленьим кругочком. Можно подметить, что каждая из этих ломанных состоящ из двух одинаковых кусков, получающихся друг из друга поворотом на $90^\circ$. Оказывается, это общая закономерность.

Теорема 1. Если продолжить любоу ломанную дракона рана $n$ с концом в точке $O$ можно также ломаной, полученной из данной поворотом на $90^\circ$ вокруг точки $O$, то получится ломаная дракона рана $n+1$, и обратно, любоу ломаня дракона рана $n+1$ получается из некоторой ломаной рана $n$ этим способом.

В самом деле, допустим, мы хотим сложить полоску $n+1$ раз пополам. Сложим ее сначала один раз пополам. Тогда две ее половинки совпадают и при дальнейших складыванных будут сгибаться пополам совершенного (рис. 4). Теперь развернем на $90^\circ$ последнее $n$ стибов полоски. Получим две совпадующие ломанные дракона рана $n$; остается развести их на $90^\circ$ — и мы получим ломанную дракона рана $n+1$ (рис. 5). Подумайте, как из этих сообщений вывести оба утверждения теоремы 1.

Ползуясь теоремой 1, легко рисовать длиные ломанные дракона.

Поскольку любоу ломаня дракона идет по линям квадратной сетки, ее удобно рисовать на клетчатой бумаге.

Возьем любоу короткую ломанную дракона (например, просто отрезок). Условимся, что одна из ее крайних точек — начало, а другая — конец. Продолжим ее такой же ломаной, повернутой относительно ее конца на $90^\circ$ по (или против) часовой стрелке. Полученную новую ломаную таким же способом продолжем от конца; так продельваем столько раз, сколько захочется и сколько сможем. Это автоматически и быстро можно делать, если под рукой есть калька или, еще лучше, слегка произрачная клетчатая бумага. (Подумайте, как!)

Очевидно, точно так же мы можем сразу рисовать и кр и в вые дракона: нужно только каждой раз закруглять средний гриб.

Замечательное свойство всех кривых дракона заключится в том, что они сами себя не пересекают, или, что то же самое, ломанные дракона никогда не проходят по одному и тому же отрезку дважды. Таким образом, хотя ломаня дракона может дважды проходить через одну и ту же точку (вершину сетки), но более двух раз она в одну и ту же точку не попадает.

40

Из теоремы 1 сразу не видно, как доказать, что ломаные дракона не проходят дважды по одному и тому же отрезку — наоборот, чем более длинные и запутанные ломаные или кривые рисушь, тем более удивительно, как удачно их «выступы» и «падины» подходят друг к другу (см. кривую дракона «паровоз» на стр. 43).

Однако нетрудно это доказать *), использую другую теорему об «удвоении» ломаных дракона, которая, кстати, дает один способ рисовать длиные ломаные.

Второй способ

На рис. 6 вершины черных ломаных дракона соединины красными отрезками через одну. Мы видим, что красные отрезки снова составляют ломаные дракона. Оказывается, это тоже общая закономерность.

Чтобы точно ее формулировать, затем еще, что каждый красный отрезок является гипотенузой равно-бедренного прямоугольного треугольника, катеты которого — звенья исходной ломаной (на рисунке треугольники слегка закрашены), причем каждые два соседних таких треугольника получаются друг из друга поворотом на 90° вокруг их общей вершины; другими словами, если идти вдоль красной ломаной дракона, то эти

*) См. задачу 9 в конце статьи.

треугольники будут встречаться поочередно то справа, то слева.

Теорема 2. Если на каждом звене ломаной дракона рана n, как наzinотенузе, построить прямоугольный равноведренный треугольник, причем так, чтобы для двух соседних звенев эти треугольники получались один из двух поворотом на 90° относительно общей вершины, то каметы построенных треугольников составляют ломаную дракона рана n+1. И наоборот, каждую ломаную рана n+1 можно получить этим способом из некоторой ломаной рана n.

В самом деле, проследим за последним и складыванием полоски пополам. Для удобства мы будем ссылаться на условный рис. 7. Мы хотим сложить полоску пополам n+1 раз. Сложим ее сначала n раз и построим на нее в профиль (красная линия на рис. 7). Затем сложим ее еще раз пополам и развернем этот последний сгиб на 90° (черная линия на том же рисунке*). Телербумажка идет от грибов A к грибам B и обратно не по гипотенузе, а по катетам равноведренного прямогоугольного треугольника ABC. Развернем телерь все остальные сгибы

Рис. 6

отрезок является гипотенузой равноведренного прямогоугольного треугольника, катеты которого — звенья исходной ломаной (на рисунке треугольники слегка закрашены), причем каждые два соседних таких треугольника получаются друг из друга поворотом на 90° вокруг точки вершины; другими словами, если идти вдоль красной ломаной дракона, то эти

до 90° (на рис. 8 показано, как разворчиется отдельный сгиб). Тогда каметы прямогоугольников образуют ломаную дракона рана n+1, а гипотенузь — рана n.

Пользоваться этим сообщениями, легко доказать оба утверждения теоремы 2. Вы можете попробовать дать другое доказательство: вывести теорему 2 из теоремы 1.

*) На нашем рисунке черная линия в $\sqrt{2}$ раз длиннее красной, но это не имеет значения, поскольку нас интересует форму ломаной, а не ее размеры.

41

С помощью теоремы 2 из каждой ломаной дракона ранга $n$ можно получить две разные ломанные ранга $n+1$: все зависит от того, по какую сторону от первого звена достроить треугольник.

Обратите внимание на то, что когда мы переходим от ломаной ранга $n$ к ломаной ранга $n+1$ по теореме 1, то ломанная получается вдвое длине, а длина каждого звена не меняется; если же мы пользовемся для «удвоения» теоремой 2, то длина ломаной увеличивается в $\sqrt{2}$ раз, а длина звена уменьшается в $\sqrt{2}$ раз.

Потренируйте теперь в рисовании ломаных дракона с помощью теоремы 2.

СЛОВА

Свойство, о котором идет речь в теореме 2, можно объяснить совсем просто, если посмотреть на ломанные дракона (или, если угодно, на способы складывания бумажки) несколько синой точки зрения.

Пусть по ломаной дракона ползет черпаха (рис. 9). Каждый раз, когда она доползет до вершины, ей приходится поворачивать на $90^\circ$ налево или направо. С точки зрения черпахи, ее путь будет определяться последовательностью поворотов. Например, для ломаной на рис. 2, $a$ (начало в красной точке) эта последовательность будет выглядеть так: налево, налево, направо.

Будем поворот направо обозначать буквой $R$, поворот налево — буквой $L^*$). Тогда все ломаная запишется таким «словом»:

LLR

(«словом» во многих разделах математики и логики называют просто любую последовательность букв). Точно так же можно записать словом из букв $L$ и $R$ любую ломаную дракона.

Чтобы получить из ломаной $a$ ломаную $\delta$ (рис. 2), нужно бумажку сложить еще один раз «налево» (см. рис. 2, $\delta$ и 10). При этом между каждой двумя вершинами ломаной $a$ возникнет еще по одному повороту, причем на рис. 10 хорошо видно, что эти новые повороты будут через

*) Мы выбрали первые буквы английских слов right (правый) и left (левый), потому что русские буквы П и Л слишком похожи друг на друга (кстати, немецкие Rechts и links начинаются с тех же буквы).

42

Эта кривая получается, если, начиная с отрезка, повторять процесс «удвоения» 12 раз, причем черезать повороты по и против часовой стрелки. Чтобы лучше показать, как идет эта кривая, мы поворачиваем каждый раз не на 90°, а на 95° (черная линия); если уменьшить углы до 90°, то получится кривая дракона, которая изобразена на том же рисунке цветной линия; она заполняет равномерным узором равноведренный прямогоугольный треугольник.

43

Эта кривая дракона ранга 12 имеет специальное название «Папа, мама и сын». Найдите ее середину. Может ли вы себе представить, что кривая развивается этой точкой на два совершенного одинаковых куска, получающихся друг из друга поворотом на 90°? Чтобы поверить в это, нам придется верятно, проятись по кривой цветным карандашом от начала до середины.

Здесь одна из двух половин, кривой («она называется «паровоз») нарисована на цветном фоне, чтобы показать, как эти две кривы «сценляются» между собой. Одна половина после поворота ее вокруг средней точки на 90°, совпадет с другой

44

доваться; таким образом, получим
$$L L R \rightarrow L L R L R R,$$

т. е. слова, являющиеся записью ломаной 6. При еще одном сгибе налево мы получили бы ломаную, характеризуемую словом

$$L L R L L R R \rightarrow L L R L R L R R,$$

Начертите эту ломаную. Это — Главная ломаная дракона ранга 4. Если хотите, закрутите у нее углы, как это предложил Хейвей.

Если вы продолжаете над последним полученным словом ту же операцию еще раз (снова начав последовательность черезущихся букв с $L$), то получите слова из 31 буквы — запись Главной ломаной дракона ранга 5, изображенной на рис. 3.

Разумеется, последовательность черезущихся букв можно начинать не с $L$, а с $R$ — при этом получается другие ломаные.

Легко видеть, что наш способ изготовления слова для ломаной ранга $n+1$ из слова для ломаной ранга $n$ в точности соответствует геометрическому способу удвоения, о котором идет речь в теореме 2 (новым буквам соответствует достаточно требульники). Вообще всю «теорию» ломаных дракона можно было бы строить не геометрическими — с помощью поворотов, доставания треугольников и т. п., а «алгебраических» — с помощью операций над словами из двух

Рис. 10

букв $L$ и $R$, «записьми» ломаных дракона *).

Читатель сможет частично проделать этот путь и познакомиться с целью рядом интересных закономерностей, которые обладают слова — записи кривых дракона, решая нижеследующее задачи.

ЗАДАЧИ

1. Какой длины надо взять полоску, чтобы, сложив ее пополам 30 раз, получить расстояние между соседними сгибами равным 1 см? Большие или меньше расстояния от Земли до Луны?

2. Как изменится ломаная дракона, если полоску бумаги положить на стол другим ребром? Как изменится при этом слова, записьющее ломаную?

3. a) Сколько существует различных (не подобных друг друга) ломаных дракона ранга 4? Нарисуйте их все. Напишите соответствующие им слова из букв $L$ и $R$.

6. Сколько существует различных ломаных ранга $n$?

4. Допустим, что черпаха прополза по ломаной дракона и прочаза слова из букв $L$ и $R$. Какое слово она прочитет, если проползет по этой ломаной в обратном направлении?

5. Пусть $s$ — неокоторее слова из букв $L$ и $R$. Обозначим через $s$ слова, которые получятся из $s$, если переставить в нем буквы в обратном порядке и потом помещать $L$ на $R$ и $R$ на $L$. (Например, если $s=LLR$, то $s=LRR$).

Пусть $s$ и $t$ — неокоторее слова из букв $L$ и $R$. Будем обозначать через $st$ слова, получающейся, если слова $s$ и $t$ написать рядом. (Например, если $s=LLR$, $t=RL$, то $st=LLRRL$).

Докажите, что:

a) Для любых слов $s$ и $t$

$$\overline{st} = \overline{t} \overline{s}.$$

6. Если $s_{n+1}$ — слова, соответствующие ломаной дракона ранга $n+1$, то

$$s_{n+1} = s_n x \overline{s}_n,$$

где $s_n$ — неокоторее слова, соответствующие ломаной дракона ранга $n$, а $x$ — слова, соответствующие одной буквы.

*) Именно такой способ изложения избрали канадские математики Кнут и Дэвис, по рукописи которых «Number representations and dragon curves» (Ch. Davis, D. E. Knuth) авторы статьи впервые познакомились с кривыми драконами. Из этой рукописи занимаются и ряд рисунков длиных кривых дракона.

45

в) Если $s_n$ — слово, соответствующое ломаной дракона, то $s_n$ отличается от $s_n$ только одной средней буквой.

г) Слово, записывающее ломаную дракона ранга $n$, можно и притом единственным образом построить, если задать произвольно $n$ букв, которые должны стать в этом слове на местах с номерами $2^k$, где $k=0,1,2,...,n-1$ (т. е. на первом, втором, четвертом, восемом,…, $2n^{-1}-m$ местах); после этого, чтобы найти, какая буква стоит на $m$-м месте, нужно представить $m$ в виде $m=2^k(2l+1)$, где $k$ и $l$ целые; если $l$ четно, то на $m$-м месте стоит та же буква, что и на $2^k$-м, если $l$ нечетно — противоположная.

д) Два слова $s_n'$ и $s_n''$ задают одинаковые по форме (подобные) ломаные дракона в том и только в том случае, если после вычеркивания средней буквы эти слова либо совпадают, либо одно получается из другого заменой $L$ на $R$ и $R$ на $L$. (Например, слова LLRLLRR, LLRRLRR, RRLRRLL задают одинаковые ломаные.)

6. Пусть мы имеем ломанную дракона ранга $n$. Из нее можно получить две ломаные дракона ранга $n+1$, пользовать либо теоремой 1 (принимая за точку $O$ тот или другой конец ломаной), либо теоремой 2 (достранивая треугольник в ту или другую сторону). Будут ли в обих случаях получаться те же самые две ломаные дракона ранга $n+1$ или, вообще говоря, другие? Как получать их слова из слова данного ломаной ранга $n$?

7. На плоскости даны две точки $A$ и $B$. Начертим квадрат с центром в середине отрезка $AB$, одна из сторон которого равна $2AB$ и параллельна отрезку $AB$. Докажите, что любая ломаная дракона с концами в точках $A$ и $B$ лежит внутри этого квадрата. Докажите, что для любой точки $M$ внутри этого квадрата и любого положительного числа $e$ можно найти такую ломаную дракона с концами $A$ и $B$, которая проходит от точки $M$ на расстоянии меньше $e$ (говора математическим языком, «объединение всех ломаных дракона с концами в точках $A$ и $B$»). Ее первый $2^n$ звеньев образуют ломанную ранга $n$.

Докажите, что:

a) Конец такой ломаной ранга $n$ будет находиться в точке

$$\left( \frac{n}{2} \cos \frac{\pi n}{4}, \frac{n}{2} \sin \frac{\pi n}{4} \right)$$

(красные точки на рисунке на стр. 38).

47

В этом разделе, продолжаются из номера в номер, мы помещаем несколько задач, как правило, довольно трудных. Лучшие из решений этих задач, присланных читателями, будут опубликованы в журнале через несколько месяцев.

По математике

M6. Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая — минутная?

(Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следует за тем, как стрелки движются, нельзя.)

M7. a, b, c — стороны треугольника. Докажите, что

$$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3.$$

C. Берколайко

M8. Двое играют в такую игра. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берет себе по очереди одну, две или три спички. Выигравает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны, — оказывается чисто спичек.

Кто выигравает при правльной игре — начинаяший или его партнер? Как он должен играть, чтобы выиграть? Как изменится ответ, если считать, что выигравает забравший нечетное число спичек?

Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n+1 и разрешается брать любое число спичек от 1 до m.

M9. Рассмотрим следующие свойства tetraэдра (тетраэдром мы называем произвольную треугольную парамиду):

a) все грани равновелики;
b) каждое ребро равно противоположному;
b) все грани равны;
г) центры описанной и вписанной сфера совпадают;
d) суммы плоских углов при каждой вершине tetraэдра равны.

Докажите, что все эти свойства эквивалентны.

Постарейтесь найти другие эквивалентные им свойства tetraэдра.

M10. Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырехугольника, целиком покрывают этот четырехугольник. Доказать, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Г. Гальперин

48

Ф7. Горизонтальный стержень $O_1A$ длиной $l$ вращается вокруг вертикальной оси $O_1$ (см. рис. 1). На ось, прикрепленную к концу стержня $O_1A$, наажено колесо радиуса $r$. Ось колеса горизонтальная и составляет угол $\alpha$ со стержнем $O_1A$. Колесо вращается на оси без трения и катися по земле. Трене между колесом и почвой больше. Сколько оборотов сделает колесо, когда стержень $O_1A$ сделает один оборот вокруг вертикальной оси?

Г. Комкин

Ф8. Длинный стержень $AB$ с резьбой отверстием на конце накручен на вертикальной винт (см. рис. 2). Стержень отпускают. Трене между винтом и стержнем пренебрежимо мало. Как будет двигатся стержень после того, как он слетит с винт?

Физико-математическая олимпиада МИЭМ

Рис. 1

Рис. 2

Ф9. На горизонтальном столе находится грузик, прикрепленный к столу при помощи длиной пружины. Сначала пружина была не растянута. Затем грузик сдвинут на 20 см от положения равновесия и отпустили. Грузик начал колебаться вдоль пружины. За счет трения амплитуда его колебаний за период уменшается на 7%. Сколько всего колебаний совершит грузик до остановки? На каком расстоянии от положения равновесия он остановится?

Весоизная заочная физико-математическая олимпиада 1967 года

Ф10. Как из четырех тонких проволочных спиралей с сопротивлениями 10 ом, 20 ом, 30 ом и 40 ом, расччитанных на выделение мощности не более 2 вт на каждой, составить нагреватель наибольшей возможной мощности, если имеется источник тока с э. д. c. 20 в и внутренним сопротивлением 20 ом? Б. Буховцев

Ф11. Три открытые бочки наполненны водой и установлены на разной высоте (см. рис. 3). Из каждой бочки проведены вверх грубки, соединяющиеся вместе. Грузки тоже заполнены водой. Куда будет перетекать вода по трубкам, если одновременно открыть краны $K_1$, $K_2$ и $K_3$?

49

Многих юношей и девушек волнуют вопросы, связанные с приемными экзаменами, особенно по математике и физике. Ведь эти экзамены проводятся во все технические виды, на многое (в том числе и гуманитарные!) факультеты университетов и педагогических институтов. Что ожидает поступащего на вступительных экзаменах? Как они проводятся? Как лучше к ним подготовиться? Все это несомненно, интересует читателей «Кванта».

Мы будем на страницах журнала регуляро помещать «Практикум абитриента» — информацию о материлах приемных экзаменов по математике и физике, проводить консультации по отдельным темам, обучно вызыващим затруднения, рассказывать о книгах, специально адресованных поступающим вузы.

В этом номере будет информация о письменных экзаменах по математике. Как правило, на эти экзаменах проверяется прежде всего умение решать задачи с помощью приемов, изучаемых в школе. Предлагаемые на экзаменах задачи не требуют знаний, выходящих за рамки «Программы вступительных экзаменов для поступающих в высшие учебные заведения СССР».

К поступающим на математические, физические и неокоторые другие факультеты университетов, естественно, предъявляются более высокие требования, чем к поступающим в большинство вузов. Это, однако, не значит, что, например, от будущих физиков требуют какие-то дополнительные знания, выходящие за пределы программы. Просто они должны свободнее владеть материалом, проявить определенную самостоятельность мысли, должны уметь решать более сложные задачи.

Чтобы научиться уверенно решать задачи вступительных экзаменов, надо внимательно повторить теоретический школьный курс и получить достаочную практику в решении подобных задач, пользоваться каким-либо из распространенных сборников задач по математике, составленных специально для поступающих вузы.

Начиная те готовиться к вступительным экзаменам не откладывать, особенно, если вы собираетесь сдавать экзамены уже через полгода!

Редакция.

50

Н. С. БАХВАЛОВ, Н. Н. КУЗНЕЦОВ

Писменный экзамен по математике является основным экзаменом для поступающих на механико-математический факультет МГУ. Часто приходит случай о его чрезмерной трудности, о том, что получить даже «тройку» на этом экзамене могут только выпускники Московских математических школ.

Эти случаи совершено неосноваательны *). Задания (так называемые «варинты», состоящие из 4 задач), предлагаемые на письменном экзамене, составляют так, чтобы в каждом варианте одна задача были

*) В 1969 году из 922 поступавших Московей получило на письменном экзамене положительное оценку (тройку и выше) 469 (около 50%), и из 2356 иногородних — 912 человек (около 40%).

вплоне доступны тому, кто обладает средней математической подготовкой. Решение таких задач уже гарантирует тройку. Поэтому для успешной сдачи письменного экзамена нужно лишь твердое знание школьной программы по математике, а неудовлетворительно оценку получают только те абитриенты, которые не показали подготовки, достаточно для успешного обучения на факультете.

Конечно, нарушу с нетрудными задачими, в варианте включаются и задания, решения которых требует достаточно математической культуры (но не дополнительных знаний, выходящих за рамки программы). Поэтому высокою оценку на этом экзамене получить действительное нельзя.

Вариант 1

1. Пункты A и B находятся на дорогах, пересекающихся под углом ACB=60°. Из пункта A в B можно doenять на автобусе — сначала по одной дороге до перекрестка C, потом по другой, — затратив 11 мин. Если пойти из A в B пошком направик, то это займет 1 час. 10 мин., а если сначала doit кратчайшим путем до дороги, на которой стоит пункт B, а затем подехать на автобусе, — то еще больше времени, даже если на автобусе есть сразу.

Каково расстояние от пункта A до перекрестка, если скорость пешекода равна 3 км/час, а скорость автобуса — 30 км/час? (Дороги считать прямыми.)

2. В треугольнике ABC проведены биссертрисы AD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что отрезок OE имеет длину 1, а вершина C лежит на окружности, проходящей через точки E, D, O. Найти стороны и углы треугольника EDO.

3. Найти все значения x, удовлетворяющие одновременно следующим условиям:

$$\cos 13x = \cos x,$$
$$\cos 2x + \sin 5x = 1,$$
$$|x| < 3.$$

4. Примогуольные процесции плоского четырехугольника на две взаимно перпендикулярные плоскости являются квадратами со сторонами 2. Найти перimeter четырехугольника, зная, что одна из его сторон равна $\sqrt{5}$.

51

этого нужно специально подготовиться, пользоваться соответствующей литературой *).

Здесь мы рассмотрим для примера один типный набор задач в варианте, представляемся на письменном экзамене на mexмат в 1969 году (варнант 1 на стр. 50). На его решение давалось 4 часа. Для получения оценки «3» было достаточно решить хотя бы одну задачу; оценка «5» выставлялась, если имелось полное решение любых трех задачи, а четверяя была в основном решении.

Мы обстоятельно разберем эти задачи и отметим характерные ошибки, допущенные поступавшими при их решении, а в заключение представим читателям «Кваната» еще один вариант для самостоятельного решения.

РАЗБОР ЗАДАЧ

Задание 1

Сделаем чертеж (рис. 1). $D$ — близкая шаяк к $A$ точка прямой $BC$. Заметим, что расположение точки $B$ относительно $D$ заранее неизвестно (на чертеже изображены два варианта расположения). Пусть $x=AC$, $y=CB$ (эти расстояния измерены в километрах). Записывая условия задачи, получим систему двух уравнений:

$$\begin{cases} x+y=5,5 \\ x^2+y^2-xy=12,25 \end{cases}$$

и неравенство:

$$10x\sqrt{3}+|2y-x|>70$$

*) В качестве подходящих задачников указываем, например, на книги Е. Б. Ваховского и А. А. Рывкина «Задания по элементарной математике повышенной трудности» (о ней см. статью «Как решать задачу» на стр. 60 этого номера «Кваната»), Н. Х. Розова, М. К. Потапова, Г. В. Дорофеева, «Пособие по математике для поступающих вуззы», В. Б. Ли дского, П. В. Овсянникова, А. Н. Тулайкова и М. И. Шабунна «Задания по элементарной математике».

Система уравнения (1) имеет два решения: a) $x=4$, $y=1,5$; 6) $x=1,5$, $y=4$, и мы должны выбрать из них то, которое удовлеворяет дополнительному условию (2). Второе решение этого условия не удовлеворяет, либо $15\sqrt{3}+6,5<30+6,5<70$. Первое решение ему удовлеворяет. Чтобы убедиться в этом, нужно проверить, что $40\sqrt{3}+1>70$, или $40\sqrt{3}>69$. Возвядя последнее неравенство в квадрат, получаем $4800>4781$ и тем самым убеждаемся, что оно верно. Итак, решение задачи является $x=4$ км.

Отметим типные ошибки, которые допускали абитриенты при решении этой задачи.

С составлением и решением системы уравнения (1) справилось большимство из них; однако, выбор нужного решения при помощи дополнительного условия (2) оказался для многих непредодолимым прействием. Пожалуйста, наиболее удобно для понимания порядка неверное наглудное представление о взаимном расположении точки $B$ и $D$, в результате которого вместо неравенства (2) проверялось неправильное неравенство

$$10x\sqrt{3}+2y-x>70.$$

При этом довольно часто экзаменующее ограничивающее проверкой лишь одного из найdenных решений. Например, установив, что неравенству (3) второе решение системы (1) ($x=1,5$; $y=4$) не удовлеворяет, они автоматически делали на этом основании

52

вывод, что искомым является первое решение (хотя легко заметить, что неравенству (3) оно также не удовлетворяет). Отметим еще одну ошибку, которое допустила немалая часть построенных: при проверке условия (2) значение $\sqrt{3}$ заменялось приближенным рациональным значением, например, 1,7, и проверялось неправильно равенство

$$17x + |2y - x| > 70$$

(ему, как легко проверить, также не удовлетворяют оба решения системы уравнений (1)).

Задача 2

Соединим точки $C$ и $O$ (см. рис. 2). Прямая $CO$ — биссектриса угла $C$, либо она проходит через точку пересечения биссектрис $AD$ и $BE$. Поэтому

$$\angle ECO = \angle DCO$$

(1)

Вписанные в окружность $OECD$ углы

Рис. 2.

$DEO$ и $DCO$ равны, как опирающиеся на однудугу. То же верно относительно углов $EDO$ и $ECO$. На основании (1) заключаем, что

$$\angle DEO = \angle EDO,$$

т. е. треугольник $EDO$ — равноведенный.

Вписанные углы $ECD$ и $EOD$ опираются на дополнительныедуги; поэтому их сумма равна $180^\circ$. С другой стороны, имеем целочку равенства:

$$\angle EOD = \angle AOB =$$

$$= 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) =$$

$$= 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) =$$

$$= 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - \angle C) =$$

$$= 90^\circ + \frac{1}{2} (\angle C).$$

Позтому

$$180^\circ - (\angle C) = 90^\circ + \frac{1}{2} (\angle C),$$

откуда

$$\angle C = 60^\circ.$$

Из рассуждения, приведенных выше, следует, что

$$\angle DEO = \angle EDO = 30^\circ,$$

$$\angle EOD = 120^\circ,$$

так что стороны треугольника $EDO$ равны 1, 1 и $\sqrt{3}$.

Ниболье типичной ошибкой в этой задаче было «доказательство» того, что $\triangle ABC$ — равносторонний. Часть экзаменующихся, основываясь на геометрической иллюзии, предполагала, что центр окружности $OECD$ лежит на прямой $CO$. Отсюда следует, что углы $OEC$ и $ODC$ — прямы, так что биссектрисы $AD$ и $BE$ являются одновременно высотами, что возможно только в равностороннем треугольнике.

Другая часть экземенующихся, доказывающих равносторонность треугольника $ABC$, основываясь на следующем рассуждении: опустим из точки $O$ перpendикularы $OE'$ и $OD'$ на стороны $AC$ и $BC$ соответственно. Расстоянием два варианта расположения точки $D'$ и $E'$ относительно точки $D$ и $E$ (см. рис. 3). В случае а) углы $CDO$ и $CEO$ — тупые, а в случае б) они оба острые. Позтому вектор точки $C$, $D$, $O$, $E$ можно описать окружность лишь тогда, когда точка $E'$ совпадает с $E$, а $D'$ — с $D$.

Отсюда следует заключение, что $AD \perp BC$ и $BE \perp AC$.

53

Мы хотим предоставить читательам в качестве упражнения найти ошибку в приведенном выше рассуждении.

Следует заметить, что число экзаменуошихся, правильно решивших эту задачу (и аналогичные задачи других вариантов) было сравнительно невысокое: ее решил, примерно, 1 человек из 9.

Задание 3

Решение первого уравнения данной системы:

$$\cos x - \cos 13x = 0$$

или

$$2\sin 7x\sin 6x = 0$$

дает две серии значений

a) $x = \frac{1}{7}n\pi$ ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$),

6. $x = \frac{1}{6}m\pi$ ($m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$).

Отбирая из этих значений те, которые удовлетворяют неравенству $|x| < 3$, находим:

a) $x = \frac{1}{7}n\pi$, $|n| \leq 6$,

6. $x = \frac{1}{6}m\pi$, $|m| \leq 5$.

Тепер мы должны выбрать те значения $x$, которые удовлетворяют второму уравнению системы. Это уравнение можно представить в виде:

$$1 = \sin 5x + \cos 2x = \sin 5x + \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = 2\sin \left(\frac{7x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right).$$

Подставим в него сначала серию (a). Поскольку $7x = n\pi$ ($|n| \leq 6$), то должно выполняться равенство:

$$\sin \left(\frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos \left(\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

Так как $\sin \left(\frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{V^2}{2}$, то $\cos \left(\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{V^2}{2}$ и, следовательно, $\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}$ должно отличаться от $\frac{\pi}{4}$ начиало кратное $\frac{\pi}{2}$. Однако $\frac{3n\pi}{14} = \frac{3n}{7}\cdot \frac{\pi}{2}$, так что $\frac{3n}{7}$ должно быть целым. При ограничении $|n| \leq 6$ это имеет место лишь при $n = 0$. Подставляя значение $n = 0$ в уравнение (1), убеждаемся, что оно ему удовлетворяет. Итак, из серии (a) решенияем является только $x = 0$.

Проверим теперь серию (6). Представив второе уравнение данной системы в виде:

$$\sin 5x = 1 - \cos 2x = 2\sin^2x,$$

замечаем, что $\sin 5x$ должно быть неотрицательным, то есть угол $5x = \frac{5}{6}m\pi$ ($|m| \leq 5$) заключен в первых двух четырехх. Подставляя в выражение $\frac{5}{6}m\pi$ возможно целые значения $m$ от $-5$ до $+5$, установливаем, что проверке подлежат только шесть

54

из них: $m=0, 1, 3, 5; -2, -4$. Вычисляя при этих значениях левую и правую части уравнения (2), получаем таблицу:

$$\begin{array}{c c c c c c c} m & 0 & 1 & 3 & 5 & -2 & -4 \\ \sin \frac{5m\pi}{6} & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 2\sin^2 \frac{m\pi}{6} & 0 & \frac{1}{2} & 2 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{array}$$

из которого получаем искомые решения: $m=0, 1, 5, t. e.$

$$x=0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}.$$

Три значения (3) и дают полное решение задачи, так как решение серии (a) давало значение $x=0$, уже включенное в (3).

Отметим, что таким же образом, путем перебора, можно проверить и серию (a).

При решении этой задачи характерной ошибкой было следующее: многие забывали, что решение должно удовлетворять всем условиям задачи одновременно, а зачастую просто не понимали этого. Некоторые ограничивались тем, что решали одно из уравнений и совершали отбор решения по неравенству, другие комбинировали уравнения и решали в конце концов также лишь одно уравнение, не эквивалентное предложенной системе.

Задание 4

Пусть $ABCD$ — данный четырехугольник, $AB=\sqrt{5}$. Примугольные процесции любого многоугольника на параллельные плоскости равны между собой; поэтому проведем плоскости $P_1$ и $P_2$ параллельные исходным плоскостям, через вершину $A$ и в дальнейшем будем говорить о процесциях четырехугольника именно на эти плоскости.

Для каждой точки $M$ пространства мы будем обозначать через $M_1,M_2$ и

55

Так как $AB_1=2$, то из прямогольного треугольника $ABB_1$ находится $BB_1=\sqrt{5}-4=1$. Поскольку в прямогольном треугольнике $AB_2B_3$ гипotenуза $AB_2$ равна 2, а катет $B_2B_3=BB_1=1$, то $\angle B_2AB_3=30^\circ$; следовательно, острый угол $AD_2D_3$, стороны которого перpendикулярны сторонам угла $B_2AB_3$ ($AB_2\perp AD_2$, $D_2D_3\perp AB_3$), тоже равен $30^\circ$; поэтому из прямогольного треугольника $AD_2D_3$ находится, что

$$D_2D_3=D_2A\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},$$

откуда

$$DD_1=D_2D_3=\sqrt{3}$$

и

$$AD=\sqrt{4}+3=\sqrt{7}.$$

Приемые $AB$ и $DC_2$ являются линиями пересечения параллельных плоскостей $ABB_1$ и $DD_1C_1C$ с плоскостью данного четырехугольника $ABCD$; поэтому $AB||DC$. Аналогично заключаем, что $BC||AD$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм, а поэтому его перimetр равен

$$2(\sqrt{5}+\sqrt{7}).$$

Заметьте, что мы записали решение таким образом, что нам нитде для обоснования расчудений не приходилось ссылаться на чертеж (хотя того, чтобы разобрать в решении, полезно делать для себя рисунки вроде 4 а, 6, в). Часто при решении подобных задач существенно опираются на чертеж, забывая проанализировать все возможные случаи одного их них.

Эту задачу решили очень немного; поэтому говорить о типичных ошибках в связи с этой задачей невозможно.

В заключение предлагаем читатель для упражнения еще один из вариантов письменного задания.

Вариант 2

1. В пунктах $A$ и $B$ от реки охудят два канала, пересекающие друг с другом под прямым углом. Катер идет от $A$ до $B$ по реке 1 час 15 минут., а по каналам 1 час 10 минут. Из пункта $C$ на реке, находящемся между $A$ и $B$, в полтора раза близке к $A$, чем к $B$, до точки пересечения каналов можно доехать направик на автоматическое мене, чем за 13 минут.

Сколько временикатер идет от $A$ до точки пересечения каналов, если скорость движениякатера по реке на одну треть меньше, а скорость автоматоля вдвое больше, чем скорость движениякатера по каналу? (Реку и каналы считать прямыми.)

2. В равнобедренном треугольнике $KLM(KL=KM)$ проведены биссертрисы $KN$, $LP$, $MQ$. Известно, что вершина $K$ лежит на окружности, проведенной через точки $N$, $P$, $Q$. Найти $KM$, если $KP=2m$.

3. Найти все значения $x$, удовлетворяющие одновременному условиям:

$$2\cos^2 9x=1+\cos 10x,$$

$$\cos 9x+\sin 5x=1,$$

$$|x|<5.$$

4. Примуговые процесции треугольника $ABC$ на две взаимно перpendикулярные плоскости являются правильными треугольниками со стороны, равными 1. Медиана $AD$ треугольника $ABC$ равна $\sqrt{\frac{9}{8}}$. Найти $BC$.