Tạp chí vật lý-toán học phổ thông khoa học
lượng tử
2
1970
tạp chí
của Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm
Liên Xô

Ban biên tập:

L. A. Artsimovich, viện sĩ
M. I. Bashmakov
V. G. Boltyansky, ủy viên thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
(phó tổng biên tập)
I. N. Bronstein
N. B. Vasiliev
I. F. Ginzburg
V. G. Zubov, viện sĩ chính thức Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
P. L. Kapitsa, viện sĩ
V. A. Kirillin, viện sĩ
G. I. Kosourov
(phó tổng biên tập)
V. A. Leshkovtsev
V. P. Lishevsky
A. I. Markushevich, viện sĩ chính thức Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
M. D. Millyunchikov, viện sĩ
N. A. Patrikeeva
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
I. Sh. SLOBODEЧИЙ
M. L. Smolyansky
Ya. A. Smorodinsky, tiến sĩ khoa học vật lý-toán học
V. A. Fabrikant, viện sĩ chính thức Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
(thư ký phụ trách)
Ya. E. Shnaider

Trưởng ban biên tập L. I. Knyazeva.
Biên tập mỹ thuật I. P. Leonov.
Biên tập kỹ thuật V. S. Nikiforova.
Hiệu đính I. B. Mamuolova và G. S. Smolikova
Nhà xuất bản «Nauka»
Ban biên tập chính về văn học vật lý-toán học

Đã đưa vào sắp chữ ngày 16/XII-69. Ký in ngày 6/III-70.
Giấy 70×100¹/16. Tờ in vật lý 4. Tờ in quy ước 5,2.
Tờ xuất bản-tính toán 5,4. Số lượng in 205 500 bản. T-00213
Giá 30 kopeck. Đơn đặt hàng 2520.

Nhà máy in Chekhov của Tổng cục công nghiệp in
Ủy ban Xuất bản thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô
thành phố Chekhov, tỉnh Moskva

⟦trang 1⟧

2
Tạp chí «Alfa»
2

Đồ thị của hàm số là gì
3

Laser
14

Các bất đẳng thức hình học
23

Nguyên tử đã được kích hoạt như thế nào
26

Đường cong rồng
36

Sách bài tập «Kvant»
47

Về kỳ thi viết tại khoa cơ học và toán học MGU
50

Có thể thêm gì vào tên tạp chí của chúng ta?
56

Các giải thưởng nhà nước
năm 1969
58

Cách giải bài toán
60

Nhập môn điện tử
61

Đáp án, chỉ dẫn, lời giải
62

Tạp nham
35, 42, 54, 57, 59

Ô chữ—
trang thứ 3 của bìa

A. N. Kolmogorov
H. V. Karlov,
A. M. Prosorov

M. I. Bashmakov

M. P. Bronstein
H. B. Vasiliev,
B. L. Gutenkhakher

H. S. Bakhvalov,
H. N. Kuznetsov

F. Leonidov

B. A. Leshkovtsev

H. Kh. Rozov

D. Ya. Svet

⟦trang 1⟧

2
Tạp chí «Alfa»
2

Đồ thị của hàm số là gì
3

Laser
14

Các bất đẳng thức hình học
23

Nguyên tử đã được kích hoạt như thế nào
26

Đường cong rồng
36

Sách bài tập «Kvant»
47

Về kỳ thi viết tại khoa cơ học và toán học MGU
50

Có thể thêm gì vào tên tạp chí của chúng ta?
56

Các giải thưởng nhà nước
năm 1969
58

Cách giải bài toán
60

Nhập môn điện tử
61

Đáp án, chỉ dẫn, lời giải
62

Tạp nham
35, 42, 54, 57, 59

Ô chữ—
trang thứ 3 của bìa

A. N. Kolmogorov
H. V. Karlov,
A. M. Prosorov

M. I. Bashmakov

M. P. Bronstein
H. B. Vasiliev,
B. L. Gutenkhakher

H. S. Bakhvalov,
H. N. Kuznetsov

F. Leonidov

B. A. Leshkovtsev

H. Kh. Rozov

D. Ya. Svet

2

Moskva

Ban biên tập tạp chí «Kvant»

Trong thời gian diễn ra Olympic Toán học quốc tế lần thứ XI, tôi được biết rằng trong tương lai gần tại Moskva sẽ có tạp chí của các bạn được xuất bản. «Alpha» của chúng tôi còn rất trẻ, mới chỉ vừa tròn ba năm tuổi. Nhưng người bạn của mình thì nhìn thấy từ xa. Vì vậy, chúng tôi chúc các bạn khởi đầu thành công và sẽ vui mừng vì sự hợp tác chân thành và kỹ thuật.

Thay mặt các độc giả của chúng tôi, tôi xin gửi tới các bạn lời chào nồng nhiệt.

Tổng biên tập tạp chí «Alpha»
I. LEMAN,
giảng viên đại học, giáo viên ưu tú của trường học

«Alpha» — tạp chí toán học dành cho học sinh các trường trung học của CHDC Đức, được xuất bản từ tháng 1 năm 1967. Tạp chí dành cho học sinh các lớp 5—12. Học sinh ở các lứa tuổi khác nhau tìm thấy trong đó những tài liệu thú vị đối với mình. Tạp chí chú ý nhiều đến cả các Olympic toán học quốc gia của CHDC Đức cũng như các Olympic toán học quốc tế: đăng các bài toán Olympic, lời giải của chúng, giới thiệu với độc giả những người chiến thắng. Truyền thống của tạp chí là các bài viết trên các trang của mình của những người chiến thắng Đức tại các Olympic quốc tế, trong đó họ kể về bản thân, về việc học toán, về những kế hoạch trong tương lai. Tạp chí đăng từ số này sang số khác các bài viết khoa học phổ thông về những chủ đề khác nhau, chẳng hạn như cơ sở của lý thuyết tập hợp, các phép toán trên tập hợp, chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và các chủ đề khác. Ngoài lý thuyết, các bài viết còn chứa những ví dụ về việc áp dụng lý thuyết đó vào việc giải các bài toán. Cần lưu ý rằng tất cả các bài viết đều được viết một cách dễ hiểu, thú vị và bằng ngôn ngữ mà không chỉ học sinh các lớp trên mà cả những độc giả trẻ hơn cũng có thể đọc được. Tạp chí kể về đời sống toán học ở các nước khác nhau, thông báo ngắn gọn về các hội nghị và đại hội dành cho toán học ở trường phổ thông.

Volk und Wissen
Nhà xuất bản sở hữu nhà nước
Berlin

Năm thứ 3, 1969
Giá 0,50 M
Chỉ số 31059

3

ĐỒ THỊ CỦA HÀM LÀ GÌ

A. N. KOLMOGOROV

Ở đây tiếp tục trình bày cách nhìn mới,
tổng quát hơn
về những khái niệm quen thuộc trong trường học —
hàm số và đồ thị của nó.
Phần đầu của bài trình bày này đã có trong bài viết
«Hàm số là gì»,
đăng trong số đầu tiên của «Kvant».
Để hiểu bài viết này
cần nắm được những khái niệm đã được xác định trong bài viết thứ nhất

1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG NHỎ

Trong số đầu tiên của tạp chí, qua bài viết «Hàm số là gì», các bạn đã làm quen với cách hiểu hiện đại, tổng quát về từ hàm số: hàm số — đó là một ánh xạ hoàn toàn tùy ý của một tập hợp nào đó $E$ lên một tập hợp khác $M$. Tập hợp $E$ được gọi là miền xác định của hàm số, còn tập hợp $M$ — là tập hợp các giá trị của nó. Để xác định một hàm số với miền xác định $E$, cần chỉ ra đối với mỗi phần tử $x$ của tập hợp này

1* 3

4

$$y = f(x).$$

Dù thực hiện điều này bằng cách nào, ta cũng sẽ nhận được một hàm có miền xác định $E$. Nếu tập hợp $E$ gồm các học sinh trong lớp của bạn, thì chẳng hạn, đối với mỗi học sinh $x$ ta có thể lấy chữ cái thứ hai trong tên của em đó làm $y = f(x)$ (giả sử trong lớp không có học sinh nào có tên chỉ gồm một chữ cái duy nhất — mặc dù tôi từng biết một bé gái tên Olya mà tên của em ấy đơn giản chỉ là «О»).

Khi hàm được xác định như vậy, tập hợp giá trị $M$ của nó sẽ tự nhiên được xác định; đó là tập hợp tất cả những đối tượng $y$, sao cho tồn tại ít nhất một phần tử $x$ thuộc tập hợp $E$, với

$$f(x) = y.$$

Do đó, khi mô tả ý nghĩa của thuật ngữ hàm, ta có thể không nói rõ về tập hợp giá trị trong phần mô tả. Chẳng hạn, nói rằng «hàm là quy luật, theo đó mỗi phần tử $x$ của một tập hợp $E$ nào đó được đặt tương ứng với một đối tượng $y = f(x)$ hoàn toàn xác định» là đúng. Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng tất cả những mô tả này tốt hơn không nên được xem là các định nghĩa do chúng đưa ra. Nếu thực sự muốn định nghĩa khái niệm hàm thông qua khái niệm «quy luật», thì người ta sẽ yêu cầu chúng ta định nghĩa chính xác ý nghĩa của thuật ngữ «quy luật» v.v. Ta sẽ xem khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, ý nghĩa của nó chỉ được giải thích chứ không được đưa ra bằng một định nghĩa hình thức.

Ở trường, các bạn quen chỉ làm việc với những hàm số, trong đó miền xác định gồm các số và các giá trị cũng là các số. Ý nghĩa của biểu thức «hàm số của đối số số» không hoàn toàn xác định. Bởi vì bản thân khái niệm số trong trường học được xây dựng và khái quát hóa. Chúng ta sẽ chỉ xét hệ thống tất cả các số thực, với hệ thống này học sinh làm quen ở lớp chín. Các hàm thực của đối số thực được chủ yếu nghiên cứu ở các lớp cuối của trường trung học. Các bạn biết cách vẽ đồ thị của chúng trên «mặt phẳng số».

Trong sách giáo khoa ở trường viết rằng «mặt phẳng số» — đó là một mặt phẳng, trên đó tọa độ được đưa vào theo một cách nhất định. Nếu tin sách giáo khoa theo nghĩa đen, thì có rất nhiều mặt phẳng số. Bằng cách vẽ các trục tọa độ trên bảng đen, giáo viên biến mặt phẳng của bảng này thành «mặt phẳng số»; học sinh trên các trang vở của mình tạo ra hết «mặt phẳng số» mới này đến «mặt phẳng số» mới khác, đôi khi vài cái trên cùng một trang!

Trong mục 3 của bài viết này các bạn đã biết các nhà toán học thực sự làm việc với mặt phẳng số nào. Nhưng trước hết tôi muốn đưa ra một nhận xét bổ sung cho phần trình bày của bài viết «Hàm là gì».

Trong chương trình đại số ở trường, người ta thường làm việc với các hàm được cho «một cách giải tích» bằng một công thức. Miền xác định của một hàm như vậy, nếu không nói gì khác, được xem là tập hợp tất cả các giá trị của đối số mà đối với chúng mọi phép toán đã được quy định trong công thức trên các số đều thực hiện được. Chẳng hạn, theo cách vẫn được chấp nhận ở trường, ta sẽ coi rằng

*) Từ bài viết đầu tiên các bạn biết rằng giá trị của hàm có thể không chỉ là các số, mà còn có thể là động vật, con trai hoặc con gái, nói chung là bất kỳ vật nào, hay như người ta thường nói, là «các đối tượng».

bảng. ký hiệu $V$ bằng dấu căn bậc hai «số học». Rõ ràng, công thức

$$y = f(x) = (\sqrt{x})^2$$

(1)

cho phép tính từ $x$ đã cho giá trị $y$ tương ứng với nó chỉ khi $x$ không âm (nếu không thì căn bậc hai «không được khai triển»).

Với $x$ không âm

$$y = f(x) = x.$$

(2)

Công thức (2) đơn giản hơn công thức (1), và muốn coi nó là công thức xác định hàm của chúng ta. Nhưng miền xác định của hàm được cho bởi công thức (2) không chỉ gồm các số không âm $x$, mà gồm tất cả các số $x$. Nếu muốn đưa ra một định nghĩa mới cho chính hàm đã được xác định bởi công thức (1), cần viết

$$y = f(x) = \begin{cases} x \text{ khi } x \geq 0, \\ \text{ không xác định khi } x < 0. \end{cases}$$

(3)

Tương tự, hàm $g(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1}$ có thể được viết như sau:

$$g(x) = \begin{cases} x^2 + x + 1 \text{ khi } x \neq 1, \\ \text{ không xác định khi } x = 1. \end{cases}$$

(4)

Trong các kỳ thi ở trường phổ thông và đại học, những vấn đề tương tự đòi hỏi độ chính xác hoàn toàn.

2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Xét đồ thị trực nhật sau (xem số 1 «Kvant», trang 29):

| | Thứ hai | Thứ ba | Thứ tư | Thứ năm | Thứ sáu | Thứ bảy | Chủ nhật |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Petya | | | | | | | |
| Kolya | | | | | | | |
| Sasha | | | | | | | |
| Volodya | | | | | | | |

Chúng ta đã biết rằng đây là đồ thị của một hàm số: có thể coi tên của trực nhật là hàm của ngày trong tuần. Vì có bảy ngày trong tuần, còn có bốn cậu bé, nên chúng ta đã vẽ

$$7 \times 4 = 28$$

ô, nhưng chỉ tô đỏ bảy trong số các ô đó. Nếu các cậu bé quyết định sắp xếp tên của mình theo thứ tự bảng chữ cái, thì sẽ thu được bảng được đưa ra ở trang 6. Nó trông khác đi, nhưng biểu diễn cùng một sự phân bố trực nhật — cùng một hàm số.

6

Trong cả hai bảng, 28 ô tương ứng với 28 cặp có thể có (ngày trong tuần, cậu bé).

Trong 28 cặp này, bảy cặp được chọn ra
(пн, Петя), (вт, Коля), (cp, Саша), (чт, Волода),
(пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша),

tức là tất cả các cặp mà trong đó ngày trong tuần được ghép với người trực nhật ngày đó:
(ngày trong tuần, người trực nhật ngày đó),

hay một cách trừu tượng: các cặp dạng
$(x, f(x))$.

Chỉ việc chọn các cặp này là thiết yếu để xác định hàm số.
Sau ví dụ này, có lẽ bạn sẽ không thấy định nghĩa sau là cần thiết:
Đồ thị của hàm số $f$ là tập hợp tất cả các cặp $*$
$(x, y)$,
sao cho: 1) phần tử thứ nhất của cặp $x$ thuộc miền xác định của hàm số,
2) phần tử thứ hai của cặp
$$y = f(x).$$

| | Thứ hai | Thứ ba | Thứ tư | Thứ năm | Thứ sáu | Thứ bảy | Chủ nhật |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Voloda | | | | | | | |
| Kolya | | | | | | | |
| Petya | | | | | | | |
| Sasha | | | | | | | |

Trong ví dụ của chúng ta, đồ thị của hàm số $f$:
$$\Gamma_f = \{(пн, Петя), (вт, Коля), (cp, Саша), (чт, Волода), (пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша)\}.$$
Đối với các hàm số được cho bằng bảng

| $x$ | $f_1$ | $f_2$ | $f_3$ | $f_4$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

*) Ở mọi chỗ trong bài này đều nói đến “cặp có thứ tự”. Cặp (1,2) khác với cặp (2,1). Phần tử thứ nhất và thứ hai của cặp có thể trùng nhau: (1,1) hoặc (2,2) cũng là các cặp.

7

theo định nghĩa đã cho, ta nhận được các đồ thị

$$\Gamma_1 = \{(A, A), (B, A)\}, \quad \Gamma_2 = \{(A, B), (B, B)\}, \quad \Gamma_3 = \{(A, A), (B, B)\}, \quad \Gamma_4 = \{(A, B), (B, A)\}.$$

Rõ ràng, đối với một hàm số có tập xác định hữu hạn, số phần tử của đồ thị (tức là số cặp thuộc đồ thị) bằng số phần tử của tập xác định của hàm số. Đối với một hàm số có tập xác định vô hạn, không thể liệt kê tất cả các cặp

$$(x, f(x))$$

. Phải mô tả các cặp này bằng các tính chất của chúng. Chẳng hạn, đối với hàm số

$$y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$$

đồ thị gồm tất cả các cặp $(x, y)$ thỏa mãn hai điều kiện

$$x^2 + y^2 = 1 \text{ và } y \geq 0.$$

Định nghĩa này về đồ thị của hàm số có thể viết dưới dạng

$$\Gamma_f = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 1, \ y \geq 0\}.$$

Bản thân định nghĩa chung về đồ thị của hàm số $f$ có thể viết dưới dạng công thức sau *):

$$\Gamma_f = \{(x, y) | y = f(x)\}.$$

Khi xác định đồ thị của hàm số là tập hợp các cặp, mỗi cặp gồm giá trị của đối số và giá trị của hàm số tương ứng với giá trị ấy của đối số, ta đã loại khỏi khái niệm đồ thị mọi điều ngẫu nhiên. Theo nghĩa trừu tượng này, mỗi hàm số có một và chỉ một đồ thị.

3. MẶT PHẲNG SỐ

Ta xét các hàm số thực của biến thực thường gặp nhất ở trường học. Ở trường, các bạn đã quen với việc đồ thị của một hàm số như vậy $f$ được gọi là tập hợp những điểm $P(x, y)$ của mặt phẳng số mà các tọa độ $x$ và $y$ của chúng thỏa mãn đẳng thức

$$y = f(x).$$

Cách phát biểu này và định nghĩa chung về đồ thị, đã nêu ở trên, trong mục 2, giống nhau, nhưng hơi khác nhau. Trong mục 2 nói về tập hợp các cặp $(x, y)$, còn trong định nghĩa phổ biến ở trường học — về tập hợp các điểm $P$ có tọa độ $x$ và $y$. Nhưng có thể nào đưa hai cách phát biểu này đến sự thống nhất hoàn toàn không?

*) Chúng tôi dùng ký hiệu chuẩn, được chấp nhận trong lý thuyết tập hợp.

$$\{x | A(x)\}$$

biểu thị tập hợp tất cả các đối tượng $x$ thỏa mãn điều kiện $A(x)$. Chẳng hạn, $\{x | x^2 = 1\}$ — tập hợp tất cả các $x$ mà với chúng $x^2 = 1$, tức là tập hợp gồm hai số: $\{1, -1\}$.

⟦trang 8⟧

Hóa ra, điều này rất đơn giản. Cách giải đơn giản này đã được sử dụng rộng rãi trong tài liệu khoa học hiện đại. Theo định nghĩa, người ta coi mặt phẳng số là tập hợp tất cả các cặp số thực. Mặt phẳng số được ký hiệu là $R^2$. Định nghĩa của nó có thể được viết dưới dạng ký hiệu

$$R^2 = \{x, y \mid x \in R, y \in R\}.$$

Suy nghĩ một chút, bạn sẽ tự thấy rằng với định nghĩa như vậy về mặt phẳng số, định nghĩa thông thường ở trường học về đồ thị của hàm số thực của biến thực trở thành một phần của định nghĩa chung được nêu trong mục 2.

Ký hiệu $P(x, y)$ cho điểm có tọa độ $x$ và $y$ giờ đây trở nên thừa. Các điểm của mặt phẳng số theo cách hiểu mới chỉ đơn giản là các cặp số $(x, y)$. Có thể chỉ nói về “điểm $(0, 0)$” (gốc tọa độ), về các điểm $(1, 2), (-2, -1)$ v.v.

Cũng cần nhận thấy rằng thuật ngữ “đường thẳng số” bây giờ phải được gán cho một ý nghĩa mới: đường thẳng số chỉ đơn giản là chính tập hợp các số thực $R$. Dĩ nhiên, các điểm của đường thẳng số trong trường hợp này phải được coi là các số thực. Rõ ràng trong sách giáo khoa phổ thông người ta không nói thẳng điều này, nhưng thường dùng ngôn ngữ hình học khi áp dụng cho các số: tập hợp các số

$$[a, b] = \{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$$

được gọi là “đoạn thẳng”, người ta nói rằng “điểm” 2 thuộc “đoạn thẳng” [1, 3] v.v.

Mọi tập hợp các điểm của mặt phẳng số sẽ được gọi là hình hình học nằm trên mặt phẳng số. Ví dụ, đường tròn có tâm $(0, 0)$ và bán kính bằng một: đó là tập hợp các điểm, tức là các cặp số $(x, y)$, mà đối với chúng

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Đương nhiên, các điểm và các hình hình học của mặt phẳng số có thể được biểu diễn trực quan trên hình vẽ. Để làm điều đó, trên mặt phẳng thực (tờ giấy hoặc bảng đen) người ta chọn các trục tọa độ và biểu diễn điểm $(x, y)$ của mặt phẳng số bằng một điểm thực có tọa độ $x$ và $y$. Dĩ nhiên, sự biểu diễn như vậy chỉ có thể là gần đúng. Các đồ thị được vẽ trên giấy hoặc bảng đen chỉ là những hình ảnh gần đúng của các đồ thị «thực sự» của các hàm số, mà theo cách hiểu của chúng ta là những tập con đơn giản của mặt phẳng số. Chính đối với những đồ thị «thực sự» này mà phát biểu rằng hàm số được xác định hoàn toàn bởi đồ thị của nó là đúng.

Cho một tập hợp các cặp

$$M = \{(x, y)\}.$$

Một tập hợp như vậy, chẳng hạn, là bất kỳ «hình» nào trên mặt phẳng số. Cần yêu cầu thêm điều gì để tập hợp các cặp này là đồ thị của một hàm số nào đó?

9

Câu trả lời không phức tạp: điều cần và đủ là trong tập hợp $M$ không thể tìm được hai cặp $(x, y_1)$ và $(x, y_2)$ có chung phần tử thứ nhất $x$ và có các phần tử thứ hai khác nhau $y_1 \neq y_2$. (Hãy tự chứng minh.) Trên hình 1, đường cong đỏ là đồ thị của một hàm, còn đường cong đen không phải là đồ thị.

Tập hợp các cặp $(x, y)$ mà trong đó không có hai cặp dạng $(x, y_1), (x, y_2), y_1 \neq y_2$, có thể gọi là đồ thị hàm. Hãy lưu ý rằng lúc này chúng ta đã định nghĩa “đồ thị hàm” mà không sử dụng khái niệm “hàm”. Chẳng lẽ không thể từ phía này đưa ra một định nghĩa bằng công thức cho chính khái niệm hàm, khái niệm mà chúng ta coi là cơ bản, tức là không cần định nghĩa hình thức? Tôi không muốn trả lời câu hỏi này ở đây. Nó không hoàn toàn đơn giản. Trong tạp chí của chúng ta, còn sẽ có dịp để trở lại cả những quan niệm hiện đại về khái niệm hàm lẫn lịch sử của nó.

4. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC

Để làm quen với cách hiểu rộng và chung về thuật ngữ “hàm”, hãy xét thêm một số phép biến đổi hình học đơn giản.

Để quay một hình phẳng quanh điểm $O$ (hình 2), có thể chép đường viền của hình lên giấy can đặt trên mặt phẳng bản vẽ, ghim giấy can tại điểm $O$ rồi, sau khi quay giấy can, chép đường viền của bản sao hình từ giấy can lên mặt phẳng bản vẽ (chẳng hạn bằng giấy than). Khi quay, mọi điểm của hình quay quanh $O$ theo cùng một chiều và cùng một góc.

Ký hiệu

$$Q = R_0^\alpha(P)$$ (1)

vị trí của điểm $P$ sau khi quay một góc $\alpha$ ngược chiều kim đồng hồ. Nếu điểm $O$ và góc $\alpha$ đã cho, thì mỗi điểm $P$ theo công thức (1) tương ứng với việc xác định hoàn toàn điểm $Q$. Rõ ràng, theo nghĩa định nghĩa của chúng ta, $R_0^\alpha$ là một hàm. Miền xác định của nó là tập hợp các điểm $P$ của mặt phẳng.

Các góc quay được chỉ ra kèm dấu. Trên hình 3, điểm $Q_2$ nhận được từ điểm $P$ bằng phép quay $120^\circ$, còn điểm $Q_1$ — bằng phép quay $-120^\circ$ (hoặc bằng phép quay $240^\circ$). Nếu điểm $Q$ nhận được từ điểm $P$ bằng phép quay $\alpha$ độ, thì điểm $P$ có thể nhận được bằng cách quay $Q$ một góc $-\alpha$ độ: nếu

$$Q = R_0^\alpha(P),$$

$$P = R^{-\alpha} o(Q).$$

Chúng ta thấy rằng phép quay $R_0^\alpha$ luôn là một hàm khả nghịch.

Trong ứng dụng vào các phép quay, người ta thường nói về «ánh xạ» hơn. Ánh xạ ngược với phép quay $R_0^\alpha$ là phép quay $R_0^{-\alpha}$. Về mặt ký hiệu có thể viết:

$$R_0^{-\alpha} (R_0^\alpha(P)) = P,$$
$$(R_0^\alpha)^{-1} = R_0^{-\alpha}.$$

Phép quay ánh xạ tập hợp các điểm của mặt phẳng lên chính nó. Nếu coi rằng mặt phẳng chẳng qua là tập hợp các điểm của chính nó (người ta vẫn làm như vậy trong cách trình bày hình học hiện đại), thì có thể nói rằng phép quay là một ánh xạ khả nghịch của mặt phẳng lên chính nó.

Các ánh xạ khả nghịch của mặt phẳng lên chính nó được gọi là các phép biến đổi hình học của mặt phẳng. Bạn sẽ còn nhiều lần gặp các phép biến đổi hình học trong các trang của tạp chí chúng ta. Còn bây giờ, chúng ta chỉ đưa ra thêm một ví dụ về phép biến đổi hình học của mặt phẳng. Phép tịnh tiến song song được gọi là ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó

$$P \rightarrow Q = T(P),$$

trong đó tất cả các điểm $P$ được di chuyển cùng một khoảng cách và theo cùng một hướng (hình 4).

5. VECTƠ

Mặc dù có thể thấy rằng bạn đã nắm được điều gì đó từ việc làm quen với các khái niệm mới và cách giải thích khác thường của những khái niệm mà bạn đã biết, chúng ta sẽ thực hiện thêm một bước nữa. Hãy cố gắng hiểu đồ thị của phép tịnh tiến song song $P \rightarrow Q = T(P)$ là gì. Theo định nghĩa chung, đó là tập hợp tất cả các cặp điểm như vậy

$$(A, B),$$

mà

$$B = T(A).$$

12

3. Какое дополнительное условие надо добавить к формуле
   $$f(x) = 1,$$
   чтобы получилось определенные функции
   $$f_4(x) = (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{1-x})^2?$$

Nhận xét e. Trong các bài toán 1—3, dấu $V$ được hiểu là căn bậc hai «số học», tức là số không âm.

2. Đồ thị của hàm số

3. Có bao nhiêu hàm số với tập xác định 1, 2, 3, mà đồ thị là các tập con của tập các cặp
   $$\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,3)\}$$

(xem hình 6)?
Bao nhiêu trong số các hàm số này có hàm ngược?

5. Chứng minh rằng đồ thị của hàm ngược $f^{-1}$ được xác định bởi công thức
   $$\Gamma_{f^{-1}} = \{(x, y) | (y, x) \in \Gamma_f\}.$$
   (Đương nhiên, giả sử rằng hàm số $f$ có hàm ngược.)

6. Mặt phẳng số

7. Mô tả cấu tạo của đồ thị hàm Dirichlet:
   $$D(x) = \begin{cases} 1, если x рационально, \\ 0, если x irrationalно. \end{cases}$$

7*) Số $x$ thuộc đoạn [0; 1] được khai triển thành phân số ba chữ số vô hạn
$$x = 0, x_1 x_2 x_3 \dots (x_n = 0, 1, 2).$$

Giá trị của hàm $y = C(x)$ được xác định bởi phân số nhị phân
$$y = 0, y_1 y_2 y_3 \dots (y_n = 0, 1)$$
như sau:
nếu $x_n = 0$, thì $y_n = 0$,
nếu $x_n = 1$ hoặc $x_n = 2$, thì:
$$y_n = 1$$ với điều kiện là trong các chữ số $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ chưa có chữ số một nào,
$$y_n = 0$$ với điều kiện là trong các chữ số $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ đã xuất hiện một chữ số một.

Hãy thử vẽ đồ thị của hàm này. Hãy chứng minh rằng nó chứa vô số đoạn thẳng nằm ngang. Nếu bạn biết khái niệm liên tục của hàm, hãy thử chứng minh rằng hàm của chúng ta liên tục.

Chú thích e. Trong bài toán này chúng ta không tránh các phân số ba phân, trong đó từ một vị trí nào đó trở đi tất cả các chữ số đều là hai, và các phân số nhị phân, trong đó từ một vị trí nào đó trở đi tất cả các chữ số đều là một. Ví dụ, trong hệ ba phân ta viết
$$0,2222 \dots = 1; 0,1222 \dots = 0,200000 \dots$$

và trong hệ nhị phân ta coi rằng
$$0,1111111 \dots = 1; 0,01011111 \dots = 0,01100000 \dots$$

*) Đây là một bài toán khó (xem § 15 trong cuốn sách: С. В. Фомин «Các hệ đếm», 1968.

⟦trang 13⟧

4. Các phép biến đổi hình học

5. Mô tả bằng các thuật ngữ hình học các phép biến đổi của mặt phẳng số tương tự với các bài toán được phát biểu:

a) $(x, y) \rightarrow (-y, x)$,
b) $(x, y) \rightarrow (x, -y)$,
c) $(x, y) \rightarrow (y, -x)$,
d) $(x, y) \rightarrow (x+1, y)$,
e) $(x, y) \rightarrow (x+a, y+a)$.

9. Chứng minh đối với các phép quay quanh tâm $O$ công thức

$$R_O^\alpha [R_O^\beta (P)] = R_O^{\alpha+\beta}(P).$$

(1)

10. Chứng minh rằng với mọi tâm $O_1$ và $O_2$ phép biến đổi

$$F(P) = R_O^\alpha [R_O^{-\alpha}(P)]$$

sẽ là một phép tịnh tiến. Với khoảng cách bao nhiêu và theo hướng nào?

5. Vectơ

6. Chứng minh công thức

$$T_a [T_b(P)] = T_{a+b}(P).$$

(2)

12. Chỉ ra rằng phép biến đổi

$$F(P) = T_a [R_O^\alpha(P)]$$

là phép quay một góc $\alpha$. Quanh tâm nào?

Nhận xét. Các công thức (1) và (2) được viết ngắn gọn hơn

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^{\alpha+\beta},$$

$$T_a T_b = T_{a+b}.$$

Lấy hàm của hàm trong nhiều phương diện giống với phép nhân. Nhưng đây đã là một chủ đề riêng, sự phát triển của nó không giảm sút ở nước này. Chúng ta sẽ sử dụng cách viết ngắn gọn như vậy của hàm của hàm (phép hợp của các ánh xạ) trong các bài toán 13 và 14.

13. Chứng minh rằng luôn luôn

$$T_a T_b = T_b T_a$$

và

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha$$

khi quay quanh tâm. Hãy chỉ ra bằng ví dụ rằng, nói chung,

$$R_O^\alpha R_O^\beta \neq R_O^\beta R_O^\alpha$$

khi quay quanh các tâm $O_1, O_2$.

14. Hãy làm rõ hoàn toàn vấn đề về khi nào cuối cùng thì

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha.$$

Н. В. КАРЛОВ VÀ A. M. PROKHOROV

LASER

Khoảng hai nghìn hai trăm năm trước, quân đội La Mã đã chiếm thành phố Hy Lạp Syracuse, nằm ở Sicilia. Sự kiện này có lẽ chỉ được biết đến bởi những người chuyên nghiên cứu lịch sử hình thành Đế chế La Mã, nếu khi chiếm Syracuse không có cái chết của Archimedes — một trong những nhà vật lý vĩ đại nhất của Trái Đất.

Nhiều truyền thuyết gắn liền với nhân vật Archimedes, với những phát minh của ông, với hoàn cảnh chúng ra đời

hoặc được áp dụng. Phần lớn những truyền thuyết này đều có cơ sở thực tế. Nhưng một truyền thuyết đẹp nhất — truyền thuyết về việc tiêu diệt hạm đội La Mã bằng ánh sáng Mặt Trời được tập trung — đáng tiếc — chỉ là chuyện tưởng tượng thuần túy.

Vấn đề là các định luật quang học hình học đối với các nguồn sáng không đồng nhất nói về sự không thể tập trung năng lượng ánh sáng dưới dạng một bó tia và hội tụ nó

15

nó ở khoảng cách lớn hơn kích thước của dụng cụ hội tụ. Laser là một việc khác. Sau khi xuất hiện điện tử học lượng tử và chế tạo laser *) đã có khả năng tập trung các dòng ánh sáng mạnh dưới dạng những bó tia.

Từ laser là cách viết tắt của cụm từ tiếng Anh Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, được dịch như sau: khuếch đại ánh sáng bằng sự phát xạ bức xạ cảm ứng. Ta hãy thử tìm hiểu cụm từ này có nghĩa gì. Ta biết rằng ánh sáng là bức xạ điện từ, truyền đi dưới dạng sóng và mang năng lượng. Sóng ánh sáng là sóng điện từ biến thiên nhanh, truyền trong chân không với vận tốc $3 \cdot 10^{10} \text{ cm/sec}$. Những đặc trưng cơ bản của quá trình sóng là: bước sóng — khoảng cách giữa hai đỉnh của sóng truyền đi, và tần số — đại lượng cho biết trong một giây, tại một điểm cố định nào đó trong không gian, đỉnh sóng xuất hiện bao nhiêu lần. Bước sóng ánh sáng $\lambda$ và tần số $v$ của nó liên hệ với vận tốc ánh sáng $c$ bởi hệ thức đơn giản $\lambda v = c$.

Ánh sáng nhìn thấy tương ứng với các sóng có độ dài từ $0,4 \text{ mk}$ đến $0,8 \text{ mk}$ ($1 \text{ mk} = 10^{-4} \text{ cm}$) và tần số từ $0,75 \cdot 10^{15} \text{ sec}$ đến $0,375 \cdot 10^{15} \text{ sec}$ (tần số $1 \text{ sec}$ — một dao động trong một giây).

Trong sóng ánh sáng, điện trường và từ trường biến đổi tuần hoàn trong không gian và thời gian, giống như trong sóng vô tuyến. Tuy nhiên, sóng ánh sáng thông thường, khác với sóng vô tuyến, không phải là đơn sắc. Một sóng được gọi là đơn sắc khi những biến đổi tuần hoàn của điện trường và từ trường của các sóng bức xạ phát ra từ những nguồn khác nhau, nói chung, có thể trùng nhau. Nếu khi các tần số trùng khít, đỉnh của một sóng luôn trùng với đỉnh của sóng kia, thì biên độ của sóng tổng hợp tăng gấp đôi. Trong trường hợp này nói rằng các sóng cộng lại đồng pha. Quan hệ pha giữa các ánh sáng đặc trưng cho sự tỉ-

⟦trang 16⟧

vị trí của các đỉnh của một sóng đối với các đỉnh của sóng khác. Nếu vị trí tương hỗ này luôn luôn không thay đổi, thì các sóng được gọi là kết hợp. Từ “tính kết hợp” theo nghĩa đen có nghĩa là sự gắn kết, liên kết. Khái niệm tính kết hợp đóng vai trò lớn và được sử dụng rộng rãi trong vật lý.

Sóng ánh sáng thông thường không phải là đơn sắc. Vấn đề là ánh sáng mà chúng ta nhìn thấy — ánh sáng Mặt Trời, ánh sáng của đèn huỳnh quang hoặc đèn sợi đốt — được phát ra bởi một số lượng lớn các nguồn phát riêng biệt, độc lập (nguyên tử), mỗi nguồn phát ánh sáng không hề liên hệ gì với việc các nguồn lân cận của nó có phát hay không phát ánh sáng. Kết quả của sự phát xạ hỗn loạn đó là các sóng ánh sáng cấu thành bức xạ mà chúng ta quan sát được không kết hợp với nhau, còn sóng ánh sáng tổng hợp không phải là đơn sắc. Chính tính không đơn sắc và không kết hợp giải thích sự không thể tập trung năng lượng ánh sáng thành một bó tia (do đó không thể xây dựng “hyperboloid của kỹ sư Garin”).

Chúng ta biết rằng ánh sáng được phát ra bởi các nguyên tử. Chính các nguyên tử là những nguồn phát riêng biệt, độc lập mà chúng ta vừa nói đến. Ở cấp độ nguyên tử, quan niệm về bức xạ ánh sáng như một sóng ánh sáng liên tục là không đúng. Nguyên tử chỉ có thể hấp thụ hoặc phát ánh sáng dưới dạng những phần năng lượng ánh sáng xác định — các lượng tử ánh sáng. Năng lượng của các lượng tử là $\varepsilon = hv$, trong đó $h = 6,6 \cdot 10^{-34} \text{ дж}/\text{сцц}$ — hằng số Planck, còn $v$ — tần số ánh sáng.

Năng lượng của các lượng tử ánh sáng nhìn thấy nằm trong khoảng từ $2,5 \cdot 10^{-19} \text{ дж}$ đến $5 \cdot 10^{-19} \text{ дж}$. Mặc dù năng lượng này rất nhỏ, bản chất lượng tử của ánh sáng biểu hiện rõ rệt trong sự tương tác của ánh sáng với vật chất. Đồng thời, ánh sáng không mất đi bản chất sóng của mình, biểu hiện trong mọi hiện tượng mà các quan hệ pha là quan trọng (sự chồng chất sóng, sự hình thành các chùm ánh sáng v.v.). Như vậy, ánh sáng có những tính chất sóng và hạt, tức là những tính chất vốn có của các hạt.

Vậy, các nguồn phát vi mô của ánh sáng là các nguyên tử, trong điều kiện thông thường tạo ra dòng lượng tử của bức xạ không kết hợp. Rõ ràng, bức xạ được phát ra bởi các nguyên tử có một năng lượng dư nào đó, gọi là các nguyên tử kích thích. Nhưng nguyên tử kích thích không bền, nó có thể tự phát, không vì bất kỳ nguyên nhân bên ngoài nào, phát ra lượng tử bức xạ. Hành vi phát xạ tự phát xảy ra ngẫu nhiên. Bức xạ tự phát như vậy có tính không đều, hỗn loạn. Nó không kết hợp. Nhưng khả năng phát năng lượng ánh sáng không chỉ giới hạn ở các quá trình tự phát. Cần nhớ rằng năng lượng bên trong của các nguyên tử chỉ có thể nhận một số giá trị xác định. Người ta nói rằng nguyên tử chỉ có thể ở mức năng lượng này hay mức năng lượng khác. Sự chuyển của nguyên tử từ mức này sang mức khác đi kèm với sự thay đổi năng lượng bên trong của nó. Khi chuyển từ mức năng lượng thấp lên mức cao, nguyên tử hấp thụ năng lượng, khi chuyển từ mức cao xuống mức thấp, nguyên tử nhường năng lượng. Vì vậy, những chuyển mức này đi kèm либо với sự hấp thụ hoặc bức xạ mà khi chuyển từ mức năng lượng $E_1$ sang mức $E_2$, được xác định bởi công thức

$$v = \frac{E_2 - E_1}{h}.$$

Ngoài các chuyển tiếp tự phát của các nguyên tử từ mức năng lượng trên xuống mức dưới, còn có hiện tượng đáng ngạc nhiên là bức xạ cảm ứng, mà A. Einstein đã nêu ra. Quá trình bức xạ cảm ứng khác với bức xạ tự phát trước hết ở chỗ nó không xảy ra tự nó, mà dưới tác động của արտաքին

17

đối với nguyên tử đang phát xạ. Khi đó các lượng tử thứ cấp không khác gì các lượng tử sơ cấp. Chúng lặp lại chính xác tần số và hướng truyền của các lượng tử sơ cấp. Bức xạ cảm ứng được gọi là cảm ứng vì các quá trình phát xạ của nó được cảm ứng (gây ra) bởi bức xạ bên ngoài đối với nguyên tử. Do đó, khác với bức xạ tự phát của nhiều nguyên tử, bức xạ cảm ứng là kết hợp.

Như vậy, trong quang học có hiện tượng thích hợp để thu được bức xạ kết hợp. Đó là bức xạ cảm ứng. Nhưng đối với một nguyên tử, xác suất bức xạ cảm ứng khi chuyển từ các mức năng lượng trên xuống các mức dưới bằng xác suất hấp thụ khi chuyển từ các mức dưới lên các mức trên. Để bức xạ cảm ứng chiếm ưu thế so với sự hấp thụ, cần phải có nhiều nguyên tử ở các mức trên hơn ở các mức dưới. Còn trong điều kiện cân bằng nhiệt thì tình hình lại ngược lại: ở các mức năng lượng dưới có nhiều nguyên tử hơn ở các mức trên (hình 1). Khi bức xạ tương tác với một hệ nguyên tử như vậy, sẽ xảy ra điều sau. Một phần bức xạ được hấp thụ, và một phần nguyên tử sẽ chuyển lên mức năng lượng trên (hình 2). Nếu hệ nguyên tử được chuẩn bị trước sao cho ở mức năng lượng trên có nhiều nguyên tử hơn ở mức dưới, thì khi bức xạ tương tác

Hình 1
Hình 2

18

với một hệ nguyên tử như vậy, do hiệu ứng bức xạ cảm ứng sẽ xảy ra sự khuếch đại bức xạ ban đầu, như được chỉ ra sơ đồ trên hình 3. Do các tính chất của bức xạ cảm ứng, bức xạ thứ cấp khuếch đại bức xạ sơ cấp, là bản sao chính xác của nó. Cùng nhau chúng tạo thành một sóng, biên độ của sóng tăng lên tỉ lệ với số lần phát xạ cảm ứng (hình 4). Các hệ nguyên tử mà ít nhất đối với hai mức năng lượng tồn tại một tình huống như vậy, trong đó mức năng lượng trên được chiếm nhiều hơn mức dưới, được gọi là các hệ có đảo lộn độ chiếm. Từ đảo lộn có nghĩa là lật ngược, thay đổi trật tự bình thường của sự vật thành ngược lại.

Như vậy, cơ sở của điện tử học lượng tử với tư cách một khoa học nói chung là sự khuếch đại bức xạ cảm ứng, và điều chủ yếu trong laser là việc sử dụng bức xạ cảm ứng trong các hệ có đảo lộn độ chiếm để khuếch đại và phát sinh chính xác các sóng ánh sáng.

Ở đây cần nhấn mạnh sự khác nhau giữa khuếch đại và phát sinh. Bộ khuếch đại quang dùng để tăng cường độ điện trường của sóng ánh sáng đi vào đầu vào của nó. Ở đầu ra của bộ khuếch đại phải thu được bức xạ có cường độ lớn hơn, nhưng là bản sao chính xác của bức xạ đầu vào. Theo nghĩa này, bộ khuếch đại quang hoàn toàn giống với tiền thân của nó — bộ khuếch đại vô tuyến. Còn máy phát quang phải là nguồn bức xạ quang, nảy sinh trực tiếp trong máy phát và đi ra từ đó vào không gian bên ngoài.

Để máy phát quang hoạt động cần có liên hệ ngược. Nó được thực hiện như sau. Hệ nguyên tử có đảo lộn độ chiếm được đặt giữa hai gương song song nghiêm ngặt với nhau.

Hình 4

19

Tại một điểm nào đó giữa các gương, bức xạ tự phát sinh ra. Nó truyền về phía gương và mạnh dần lên trong quá trình truyền. Đến gương, các sóng ánh sáng bị phản xạ và quay trở lại. Nếu các đỉnh của sóng phản xạ trùng với các đỉnh của sóng tới, thì các sóng tăng cường lẫn nhau. Muốn vậy, khoảng cách giữa các gương phải là bội số của một số nguyên nửa bước sóng. Thông thường giữa các gương chứa hàng trăm nghìn nửa bước sóng. Năng lượng phát ra tích lũy trong không gian giữa các gương và tác động lên hệ nguyên tử, gây ra bức xạ cảm ứng. Nếu công suất của bức xạ cảm ứng vượt quá công suất của những tổn thất không tránh khỏi do nung nóng gương, tán xạ, cũng như do bức xạ có ích ra không gian bên ngoài, thì xuất hiện một sóng ánh sáng không tắt. Do các tính chất của bức xạ cảm ứng, sóng này có tính đơn sắc rất cao. Mọi nguyên tử làm việc đồng bộ. Phản hồi, được thực hiện bằng bức xạ tích lũy giữa các gương, buộc chúng làm việc như vậy.

Đối với việc ứng dụng laze, điều rất quan trọng là trong bức xạ cảm ứng, các lượng tử thứ cấp không chỉ lặp lại tần số mà cả hướng truyền của các lượng tử sơ cấp. Kết quả là bức xạ laze không chỉ có độ đơn sắc cao mà còn có tính định hướng lý tưởng. Như vậy, sự hình thành sợi dây ánh sáng được thực hiện tự động.

Trước khi chuyển sang mô tả các laze thực sự, hãy kết thúc việc trình bày những cơ sở của điện tử lượng tử bằng nhóm tương tự sau đây. Hãy hình dung các khán đài của một sân vận động lớn, đầy hàng nghìn người hâm mộ cuồng nhiệt. Trước khi trận đấu bắt đầu, người hâm mộ nói gì đó, hô gì đó, nhưng mỗi người độc lập với những người khác. Một tiếng ồn lớn không đều được tạo ra. Trận đấu bắt đầu, mọi người im lặng. Yên tĩnh. Rồi bỗng nhiên, bắt đầu từ đâu đó, tiếng hô đồng loạt “vào-bóng, vào-bóng” lớn dần và đạt đến sức mạnh điếc tai. Mọi người hô đồng thanh, hô đồng bộ, nhờ đó đạt được hiệu ứng tương tự như laze.

Trong laze đầu tiên đã sử dụng hồng ngọc — đơn tinh thể oxit nhôm (Al₂O₃). Trong tinh thể hồng ngọc, một phần các nguyên tử nhôm được thay bằng các nguyên tử crôm. Với nồng độ khoảng 0,05%, tạp chất crôm tạo cho hồng ngọc màu đỏ hồng đặc trưng.

Sự đảo lộn độ cư trú trong hồng ngọc đạt được bằng cách sử dụng ba mức năng lượng và bức xạ bơm phụ trợ. Trong phương pháp ba mức, để tăng số nguyên tử ở mức năng lượng trên hoặc (điều tương đương) để giảm số nguyên tử ở mức dưới, người ta dùng bức xạ phụ trợ mạnh, liên kết một trong các mức làm việc với mức phụ trợ thứ ba và bơm các nguyên tử từ dưới lên trên.

Hiện nay, các năng lượng và công suất xung kỷ lục được tạo ra bởi các laze hồng ngọc và các laze thủy tinh pha tạp neodym. Vì vậy chúng là những loại đáng quan tâm nhất.

Thành phần chính của laze rubi là tinh thể rubi tổng hợp có độ đồng nhất cao. Tinh thể thường có dạng hình trụ, đường kính 0,4÷2 cm và chiều dài 3÷20 cm. Nguồn kích thích là đèn chớp. Sự bơm xảy ra như sau. Các nguyên tử crôm, trước khi chớp ở mức thấp không bị kích thích, nhờ hấp thụ ánh sáng lục hoặc lam có trong bức xạ của đèn chớp, chuyển sang trạng thái kích thích (hình 5). Thời gian sống của các nguyên tử ở mức kích thích trên nhỏ (nhỏ hơn 10⁻⁷ giây). Chúng nhanh chóng chuyển xuống mức kích thích thấp hơn, truyền năng lượng dư cho mạng tinh thể, tức là làm nóng tinh thể. Ở mức kích thích mới, thời gian sống là 10⁻³ giây. Vì vậy mức này được gọi là bán bền.

20

các nguyên tử của nó chuyển về trạng thái cơ bản không kích thích, phát ra một lượng tử ánh sáng ở vùng đỏ của phổ.

Khi đủ mạnh có thể chuyển lên mức siêu bền một số lượng hạt đủ lớn để tạo ra sự đảo mật độ mạnh.

Các đèn phóng điện khí mạnh được dùng làm đèn bơm. Lúc đầu chúng được chế tạo dưới dạng một xoắn ốc bao quanh tinh thể. Hiện nay, theo quy tắc, dùng các đèn thanh mạnh hơn, đặt song song với tinh thể. Các đèn làm việc ở chế độ xung. Thời gian của xung chớp khoảng một phần nghìn giây (1 msec). Chớp được tạo bởi một bộ tụ điện có điện dung đến 10 000 μF, nạp đến vài nghìn vôn. Khi phóng điện qua đèn, các tụ điện trong một xung giải phóng năng lượng hàng chục, thậm chí hàng trăm nghìn jun. Công suất bơm trong xung có thể vượt quá mười triệu oát.

Chỉ một phần năng lượng bức xạ của đèn chớp, thuộc phần xanh lục và xanh lam của phổ, được dùng để kích thích các ion crôm. Phần còn lại chuyển thành nhiệt.

Việc sử dụng chế độ xung do hai nguyên nhân. Thứ nhất, khó có nguồn sáng bơm công suất lớn làm việc liên tục. Thứ hai, tinh thể bị nung nóng mạnh khi kích thích kéo dài và mất tính đồng nhất quang học.

Tự nhiên là khi bơm xung, sự phát cũng có tính chất xung. Khi đó sự đảo mật độ tạo được trong tinh thể có thể được thực hiện theo hai cách. Xét cả hai khả năng.

Giả sử các gương phản xạ được điều chỉnh cộng hưởng và cố định chắc chắn. Khi đó, ngay khi trên mức siêu bền tích lũy đủ số hạt, sự phát bắt đầu, và sẽ tiếp tục chừng nào sự bơm còn hiệu quả. Thông thường, cái gọi là phát tự do này bắt đầu sau 100÷300 msec kể từ khi chớp bắt đầu và kéo dài 1 msec.

Ở chế độ phát tự do, các tinh thể lớn khi được bơm mạnh cho năng lượng trong xung đến 1000 jun. Điều này tương ứng với công suất xung đến hàng triệu oát.

Chế độ khác đạt được bằng cách đưa các gương cộng hưởng vào đúng lúc sự đảo mật độ đạt giá trị cực đại. Khi đó mọi hạt tích lũy ở mức siêu bền phát xạ gần như ngay lập tức, và máy phát cho một xung bức xạ khổng lồ có thời gian rất ngắn 10⁻⁸÷10⁻⁹ giây với năng lượng tương đối nhỏ (khoảng ba jun). Nhưng vì năng lượng này được phát ra trong thời gian rất ngắn,

21

thì công suất cực đại của xung đạt các giá trị từ 300 triệu đến 3 tỷ oát.

Ở đây đặt ra vấn đề hiệu suất của laze (h. s.). Từ các ước lượng đã nêu thấy rằng chỉ một phần nhỏ năng lượng bơm được biến đổi thành bức xạ laze. Trong chế độ phát tự do, hiệu suất của laze rubi nhỏ hơn 1%, còn trong chế độ xung khổng lồ thì còn nhỏ hơn nữa.

Vậy lợi ích mà laze đem lại là gì?

Vấn đề là ở chỗ, thua kém về lượng năng lượng bức xạ, chúng ta lại thắng không gì so sánh được về chất lượng của nó. Chất lượng mới này — tính đơn sắc và tính định hướng — được quyết định bởi tính chất của hiệu ứng bức xạ cảm ứng.

Bước sóng bức xạ của laze rubi bằng 6943 Å = 6,943·10⁻⁵ cm. Và toàn bộ công suất của laze tập trung trong lân cận bước sóng này, trong một khoảng rất hẹp có độ rộng cỡ 0,1 Å. Trong khi đó, độ rộng phổ bức xạ của một nguồn sáng nhiệt trong vùng nhìn thấy vào khoảng 3000 Å, tức lớn hơn 30 000 lần.

Một trong những nguồn sáng nhiệt mạnh nhất — Mặt Trời của chúng ta — từ một xentimét vuông bề mặt phát ra trong ánh sáng nhìn thấy công suất 8·10³ вт/cm². Trong đó, khoảng bước sóng 0,1 Å nhận 0,2 вт/cm². Còn các laze rubi cho trong khoảng này 10⁶ ÷ 10⁹ вт/cm²!

Cường độ trường điện tương ứng là 3·10⁴÷10⁶ вт/cm². Mặt Trời trong cùng khoảng bước sóng tạo ra trường 12 вт/cm².

Có thể minh họa chất lượng mới của bức xạ laze như sau. Về nguyên tắc, bức xạ của Mặt Trời không thể nung nóng một vật nào đó đến nhiệt độ cao hơn 6000°С. Bức xạ ánh sáng của các đèn phóng điện khí sáng hơn Mặt Trời không thể nung nóng vật đến nhiệt độ cao hơn 10 000°С. Nhưng khi chính bức xạ của các đèn phóng điện khí ấy, dù có tổn hao năng lượng lớn, được biến đổi thành bức xạ laze đơn sắc có mật độ phổ năng lượng lớn hơn ban đầu hàng tỷ lần, thì nó có thể nung nóng vật đến vài triệu độ.

Laze trên tinh thể cũng có thể hoạt động ở chế độ liên tục. Nhưng công suất lớn hơn, dĩ nhiên, do các laze xung cho.

Các laze khí có phần đứng riêng biệt. Hiện nay, các laze khí, được tạo ra bởi phóng điện electron, hoạt động trong một dải tần rất rộng — từ bức xạ tử ngoại đến hồng ngoại xa. Bộ phận kết cấu chủ yếu của laze khí là ống phóng điện khí, tức là ống trong đó duy trì phóng điện electron trong khí. Khí được làm loãng đến áp suất nhỏ hơn áp suất khí quyển từ 100÷1000 lần. Vật liệu làm ống là thủy tinh hoặc thạch anh. Chiều dài ống, tùy theo công dụng, nằm trong khoảng từ 5 cm đến 50 m. Các ống phóng điện khí của laze khí phần lớn giống các ống của quảng cáo neon phát sáng. Gương của laze được đặt hoặc trực tiếp ở hai đầu ống phóng điện khí, hoặc ở bên ngoài, nhưng trong mọi trường hợp đều строго vuông góc với trục ống.

Hiện nay phổ biến nhất là laze neon-heli hoạt động liên tục trên

bước sóng 6328 Å (ánh sáng đỏ). Nhờ nó đã thu được các dao động ánh sáng có độ ổn định rất cao và tính đơn sắc rất cao. Mặc dù hiệu suất của laser này cực kỳ nhỏ (≈0,01%), mức độ đơn sắc và tính định hướng cao của bức xạ của nó, do đặc biệt là tính đồng nhất của môi trường hoạt tính khí, đã làm cho laser này không thể thay thế trong các công việc nguồn chuẩn và san bằng: khi xây dựng đường tàu điện ngầm, san bằng đường băng của các sân bay lớn v.v.

Một thành tựu lớn là việc chế tạo laser công suất mạnh hoạt động liên tục, trong đó môi trường hoạt tính là hỗn hợp khí cacbonic, nitơ và heli. Nó phát ra bức xạ hồng ngoại có bước sóng λ = 10,6 мк. Sự quan tâm đến laser này trước hết do hiệu suất của nó, đạt tới 30%, vượt quá hiệu suất của tất cả các laser hiện đang tồn tại hoạt động ở nhiệt độ phòng. Ngay bây giờ, nhờ laser này có thể thu được công suất 10 kilowatt ở chế độ liên tục.

Tính đơn sắc, tính định hướng và công suất lớn của laser này làm cho nó rất có triển vọng đối với một loạt ứng dụng công nghệ. Trên hình 6 chỉ ra cách tia hồng ngoại của laser CO₂ khoan các lỗ trong một mảnh đá.

Hình 6

Hiện nay công nghiệp sản xuất các loại laser khác nhau. Chúng được sử dụng như một công cụ hiệu quả trong nghiên cứu khoa học, để giải quyết nhiều nhiệm vụ thực tiễn y học (dao mổ không lưỡi) và kỹ thuật (gia công chính xác các vật liệu chịu lửa, cắt vật liệu dệt).

Tia laser đã đo khoảng cách đến Mặt Trăng với độ chính xác lớn hơn so với các phương tiện vô tuyến. Sau khi một gương phản xạ đặc biệt được đặt trên Mặt Trăng, khoảng cách đến nó đã được đo với độ chính xác đến bốn mét.

Ứng dụng rộng rãi nhất của laser là trong vật lý. Chúng cho phép tiến hành những thí nghiệm vật lý độc đáo. Ví dụ, nhờ các laser hoạt động ở chế độ xung khổng lồ, đã thực hiện được việc tác động bằng điện trường của sóng ánh sáng. Tác động này đi qua tiêu điểm của thấu kính, tập trung năng lượng của tia laser vào một điểm. Tính đơn sắc và công suất bức xạ cao cho phép khi hội tụ tập trung ánh sáng laser trong một thể tích rất nhỏ (về nguyên tắc kích thước của điểm trong tiêu điểm có thể được đưa xuống bằng bước sóng). Trong quá trình xử lý bằng laser, «tia lửa» laser thực tế tức thời «được bơm vào» gần như toàn bộ năng lượng của xung. Plasma của «tia lửa» bị nung nóng mạnh. Đã thu được nhiệt độ vài triệu độ. Đã xác định rằng tia lửa laser phát ra tia Rơnghen. Những nơtron đầu tiên sinh ra do phản ứng nhiệt hạch xuất hiện khi nung nóng như vậy đã được thu nhận.

Công việc với laser được tiến hành trong các phòng thí nghiệm trên toàn thế giới. Nhiều việc đã được thực hiện, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết. Không nghi ngờ rằng sự phát triển của điện tử lượng tử sẽ còn tiếp tục với tốc độ cao.

23

Bất đẳng thức hình học

M. I. BASHMAKOV

Trên các trang của tạp chí chúng ta, câu lạc bộ toán học bắt đầu hoạt động. Các chủ đề của nó về cơ bản sẽ có thể tiếp cận được với các học sinh lớp tám, nhưng chúng tôi hy vọng rằng chúng sẽ thú vị đối với tất cả độc giả của «Kvant».
Buổi học đầu tiên của câu lạc bộ dành cho các bất đẳng thức hình học.

Ngay từ đầu việc học hình học, chúng ta làm quen với một sự thật quan trọng: một cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại (hình 1). Tuy nhiên, bất đẳng thức được gọi là bất đẳng thức tam giác cho phép giải một loạt bài toán hình học thú vị.

Bài toán 1. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm bên trong tam giác đến các đỉnh của nó lớn hơn một nửa chu vi của tam giác này.

Lời giải. Xét các tam giác AOB, BOC và COA (hình 2) và viết ba bất đẳng thức

tam giác:
$$AO + OB > AB,$$
$$BO + OC > BC,$$
$$CO + OA > CA.$$

Cộng các bất đẳng thức này và chia đôi, ta được
$$AO + BO + CO > \frac{1}{2}(AB + BC + CA),$$

điều cần chứng minh.

Hãy tự mình giải thêm một vài bài toán chứng minh bất đẳng thức. Cần lựa chọn các tam giác một cách hợp lý, viết ra các bất đẳng thức đối với các cạnh của chúng và biến đổi các bất đẳng thức này về dạng cần thiết.

Chứng minh rằng:

Bài toán 2. Tổng các đường chéo của một ngũ giác lồi nhỏ hơn hai lần chu vi.

Bài toán 3. Tổng các đường chéo của một ngũ giác lồi lớn hơn chu vi.

Hình 1
$$AC < AB + BC$$

Hình 2

24

Bài toán 4. Đường trung tuyến của tam giác nhỏ hơn nửa tổng của hai cạnh mà nó nằm giữa.

Bài toán 5. Tổng các đường trung tuyến của tam giác nhỏ hơn chu vi, nhưng lớn hơn ba phần tư chu vi.

Có lẽ bạn đã chú ý rằng trong mỗi bài toán phải lựa chọn theo cách riêng phương pháp nào, hướng nào để tiến hành đánh giá (thiết lập bất đẳng thức). Đồng thời không phải lúc nào cũng thu được ngay kết quả cần thiết. Chẳng hạn, trong bài toán cuối cùng, dễ dàng thu được rằng tổng các đường trung tuyến lớn hơn một nửa chu vi. (Chỉ cần xét các tam giác ABD, BCF và CAE trong hình 3.) Đồng thời, từ các tam giác khác có thể thu được đánh giá chính xác hơn, được yêu cầu trong bài toán. Nảy sinh câu hỏi: hằng số chính xác nhất mà đánh giá

$$k_1 p < m_a + m_b + m_c?$$

là đúng là bao nhiêu

(ở đây $m_a, m_b, m_c$ — là các đường trung tuyến ứng với các cạnh $a, b$ và $c$, còn $p$ — là chu vi tam giác). Tương tự như vậy, cũng thú vị khi nhận được đánh giá chính xác từ phía kia: tìm hằng số $k_2$ nhỏ nhất, sao cho bất đẳng thức

$$m_a + m_b + m_c < k_2 p$$

đúng với mọi tam giác.

Bài toán 6. Chứng minh rằng khi so sánh tổng các đường trung tuyến của tam giác có thể xét, chẳng hạn, cũng các tam giác cân, đúng là các tam giác cân, đúng là…

25

Các cạnh bên của chúng tiến gần đến đáy (hình 4). Rõ ràng, chu vi của chúng gần bằng hai lần cạnh đáy, còn tổng các đường trung tuyến gần bằng $\frac{3}{2}$ đáy. Đẳng thức sẽ xảy ra khi đỉnh rơi xuống đáy, còn tam giác «suy biến» thành một đoạn kép.

Nói chung, với mọi số $x$ thuộc khoảng
$$\frac{3}{4} < x < 1$$

có thể chỉ ra một tam giác cân có diện tích bằng nhau như vậy, sao cho
$$\frac{m_a + m_b + m_c}{p} = x.$$

Điều này cho phép giải bài toán 6.

Bài toán 7. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ bên trong tam giác đến các đỉnh của nó nhỏ hơn chu vi.

Bài toán 8. So sánh các bài toán 1 và 7, 2 và 3; đặt ra và nghiên cứu một câu hỏi tương tự câu hỏi mà chúng ta đã thảo luận về các đường trung tuyến.

Bài toán 9. Xét tất cả các đa giác $n$-cạnh lồi có thể có ($n$ — một số xác định). Lấy một điểm bên trong một đa giác như vậy và lập tỉ số giữa tổng các khoảng cách từ nó đến các đỉnh với chu vi. Tỉ số này có thể nhận những giá trị nào? *)

Trong các bài toán sau cần sử dụng, ngoài bất đẳng thức tam giác, một số bất đẳng thức đơn giản khác, chẳng hạn như trong hai cạnh của một tam giác thì cạnh nằm đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, đặc biệt là cạnh huyền của tam giác vuông lớn hơn cạnh góc vuông, v.v.

Bài toán 10. Chứng minh rằng đối với mọi tam giác vuông

*) So sánh bài toán 4 ở trang 59 của số đầu tiên «Кванта».

các bất đẳng thức sau đây đúng:
$$0,4 < \frac{r}{h} < 0,5, где r — радиус вписанного кругга, h — высота, опущенная из вершины прямого угла. Являются ли написанные границы точными?$$

Bài toán 11. Trên đường phân giác của góc ngoài $C$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$, khác $C$. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách của nó đến các đỉnh $A$ và $B$ lớn hơn tổng các khoảng cách từ điểm $C$ đến chính các đỉnh này.

Bài toán 12. Để góc $A$ trong tam giác $ABC$ là góc nhọn, cần và đủ là trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ lớn hơn hai lần cạnh $BC$.

Bài toán 13. Trong tam giác nhọn $ABC$, đường cao lớn nhất (ký hiệu là $AH$) bằng trung tuyến $BM$. Chứng minh rằng góc $ABC$ nhỏ hơn $60^\circ$.

Bài toán 14. Trên phần kéo dài của cạnh lớn nhất $AC$ của tam giác $ABC$ lấy đoạn $CD=BC$. Chứng minh rằng góc $ABD$ là góc tù.

3. Bài toán 15. $A, B, C, D$ — các đỉnh liên tiếp của tứ giác lồi $ABCD$. Chứng minh rằng nếu
   $$AB+BD \leq AC+CD,$$
   thì
   $$AB \leq AC.$$

TÀI LIỆU THAM KHẢO

V. Delone và O. Zhitomirski, Các bài toán về hình học. Fizmatgiz, 1959.

3. A. Skopets, V. A. Zharov, Các bài toán và định lý về hình học. Planimetria. Uchredgiz, 1962.

I. E. Sivashinski, Bất đẳng thức trong các bài toán. Sivashinski, Bất đẳng thức trong các bài toán.

Vào cuối thế kỷ trước, trong vật lý học và hóa học đã được thừa nhận, như khi đó người ta nói, giả thuyết về các nguyên tử và phân tử — những hạt nhỏ nhất cấu tạo nên mọi vật thể của thế giới xung quanh chúng ta. Trong hóa học, giả thuyết nguyên tử cho phép hiểu và mô tả rất thuận tiện các phản ứng hóa học: mọi phản ứng — đó chỉ là sự kết hợp các nguyên tử thành phân tử hoặc ngược lại, sự phân rã các phân tử thành nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử. Từ việc phân tích thành phần của các phân tử khác nhau, các nhà hóa học dần dần phát hiện ra rằng các nguyên tử của những nguyên tố khác nhau có các khối lượng khác nhau. Họ thậm chí đã có thể biết được một nguyên tử nặng hơn hay nhẹ hơn nguyên tử khác bao nhiêu lần; ngay từ đầu nửa sau thế kỷ XIX đã biết cái gọi là trọng lượng nguyên tử của tất cả các nguyên tố hóa học được phát hiện vào thời điểm đó, tức là những con số cho biết nguyên tử của nguyên tố hóa học này nặng hơn nguyên tử nhẹ nhất — nguyên tử hydro — bao nhiêu lần. Nhà hóa học Nga nổi tiếng D. I. Mendeleev, sắp xếp các nguyên tố hóa học theo thứ tự tăng dần của trọng lượng nguyên tử, đã chỉ ra vào năm 1869 rằng chúng tạo thành một hệ thống nhất định, trong đó tính chất của các nguyên tố lặp lại theo chu kỳ (hệ thống tuần hoàn). Trong vật lý học, giả thuyết về các nguyên tử và phân tử cũng đóng một vai trò không kém phần quan trọng. Nó cho phép các nhà vật lý hình dung rõ ràng về vô số hiện tượng rất khác nhau. Nó giúp hiểu nhiệt và lạnh là gì, tại sao các vật thể nở ra khi được đun nóng, tại sao mọi chất đều có thể ở thể rắn, lỏng và khí, cùng nhiều điều khác. Để hiểu tất cả những điều này, chỉ cần hình dung thêm rằng các nguyên tử và phân tử liên tục

CÁC NGUYÊN TỬ ĐÃ ĐƯỢC
CÂN
NHƯ THẾ NÀO

các nguyên tử và phân tử liên tục

CÁC NGUYÊN TỬ ĐÃ ĐƯỢC
CÂN
NHƯ THẾ NÀO

NGUYÊN TỬ

27

và chuyển động hỗn loạn, và giữa chúng tác dụng các lực hút và lực đẩy.

Nhưng dù vậy, các nguyên tử vẫn chỉ là một khái niệm nào đó trong đầu óc con người. Không những không ai nhìn thấy chúng, vì chúng rất nhỏ, mà không ai biết chúng nhỏ đến mức nào, khối lượng của các nguyên tử là bao nhiêu, có bao nhiêu nguyên tử trong một vật thể này hay vật thể khác. Không thể nói rằng người ta đã không cố gắng tìm hiểu tất cả những điều đó bằng cách nào đó.

Nhưng những cố gắng ấy không dẫn đến những kết quả thuyết phục. Một số nhà khoa học thậm chí đã xuất hiện niềm tin chắc chắn rằng không thể biết được gì về nguyên tử và phân tử, bởi vì trên thực tế chúng không tồn tại. Những nhà khoa học này cho rằng nguyên tử — cũng giống như các đường kinh tuyến và vĩ tuyến trên bản đồ địa lý: chúng thuận tiện để sử dụng, nhưng trong tự nhiên thực sự không có chúng.

Tuy nhiên, các nhà vật lý không mất hy vọng chứng minh tính hiện thực của nguyên tử và phân tử, cân chúng, đếm số lượng của chúng, xác định kích thước của chúng.

Trong đoạn trích được giới thiệu từ cuốn sách của nhà vật lý lý thuyết Xô viết xuất sắc Matvei Petrovich Bronstein «Nguyên tử, electron, hạt nhân», tác giả kể về việc lần đầu tiên người ta đã đo được khối lượng của nguyên tử và thậm chí đếm được chúng. Cuốn sách này, xuất bản năm 1935 với số lượng in nhỏ (chỉ 10 000 bản), từ lâu đã trở thành một thứ hiếm có về mặt thư mục.

Việc xuất bản do giáo sư A. K. Kiko chuẩn bị và những bổ sung do ông thực hiện được đặt trong dấu ngoặc vuông.

… Và cuối cùng người ta thực sự đã cân được nguyên tử. Điều này được giúp đỡ bởi một hiện tượng rất nhỏ bé, được phát hiện từ nửa đầu thế kỷ XIX và vào thời đó các nhà vật lý đã không chú ý đúng mức đến nó. Hiện tượng này được gọi là chuyển động Brown.

Năm 1828, nhà thực vật học nổi tiếng người Anh Robert Brown đã thực hiện một quan sát hết sức thú vị. Khi thử nghiệm chiếc kính hiển vi mới được gửi đến cho ông, đã được cải tiến với vật kính tiêu sắc, Robert Brown nảy ra ý định dùng chiếc kính hiển vi này để quan sát một giọt chất lỏng nhỏ bé chứa những hạt bụi phấn hoa của thực vật. Trong chất lỏng như vậy luôn có một số lượng lớn các hạt rắn cực nhỏ. Brown đã ngạc nhiên biết bao khi thấy rằng những hạt này không đứng yên tại chỗ, mà chuyển động, chuyển động liên tục, chính xác…

29

Lời giải thích của ông, thiên tài ở sự đơn giản, gồm như sau: các hạt vi mô chuyển động vì chúng chịu những va chạm từ phía các phân tử và nguyên tử vô hình của chất lỏng bao quanh chúng. Khi xem xét chuyển động Brown của các hạt, chúng ta có được một khái niệm nào đó về cách chuyển động của các phân tử vô hình của chất lỏng, hoàn toàn giống như cách chúng ta đoán được về sự nhấp nhô của biển cả khi đứng xa bờ, nhìn thấy chiếc thuyền bị sóng ném đi mọi phía. Chuyển động Brown vì vậy là nơi nối liền thế giới vô hình của các nguyên tử và phân tử với thế giới có thể nhận biết được nhờ các cơ quan cảm giác của chúng ta.

Tại sao chuyển động Brown chỉ có thể quan sát được trong trường hợp các hạt rất nhỏ? Khi hạt lớn, số lượng phân tử va chạm với nó từ bên phải luôn xấp xỉ bằng số lượng phân tử nhận được từ bên trái, và sự khác biệt vô cùng nhỏ về số lượng phân tử hoàn toàn không đủ để làm dịch chuyển hạt lớn và nặng khỏi vị trí. Nếu hạt có khối lượng vô cùng nhỏ và kích thước vô cùng nhỏ, thì trong sự hỗn loạn của các chuyển động phân tử trong chất lỏng luôn có thể xảy ra rằng ở một thời điểm nào đó, một phía của hạt có ngẫu nhiên nhiều phân tử hơn phía kia, và do đó hạt dễ chuyển động sẽ chuyển động về phía mà các phân tử đẩy nó. Sau một khoảng thời gian rất ngắn, sự dư thừa các phân tử sẽ đẩy hạt Brown theo một hướng khác, sau một khoảng thời gian rất ngắn nữa — theo hướng thứ ba, v.v.

Nếu lời giải thích do Carbonelle đưa ra là đúng, thì các hạt càng nhẹ và càng nhỏ, chuyển động Brown càng phải mạnh hơn. Và thực tế đúng là như vậy — ngay từ đầu Brown đã có thể nhận thấy điều này. Ngoài ra, chúng ta biết rằng chuyển động của các phân tử chất lỏng diễn ra càng nhanh khi nhiệt độ càng cao; và thực sự, Gouy đã phát hiện rằng khi tăng nhiệt độ, chuyển động Brown trở nên ngày càng mạnh hơn. Khi Zsigmondy phát minh ra kính siêu hiển vi và có thể quan sát các hạt vàng vô cùng nhỏ trong dung dịch keo (đường kính của hạt nhỏ hơn một phần triệu centimet), thì chuyển động Brown của các hạt này trở nên nhanh đến mức tạo thành một sự nhấp nháy liên tục nào đó. Zsigmondy mô tả ấn tượng đầu tiên của mình như sau: «Đó là một sự nhảy liên tục, phóng lên, nảy lên, va chạm và tản ra, đến mức khó có thể hiểu được trong sự rối loạn này»…

Bây giờ chúng ta chuyển sang câu chuyện về những công trình kinh điển của nhà vật lý người Pháp Jean Perrin (năm 1908). Trong những công trình này, người ta đã kiểm tra và xác lập một cách hoàn toàn rằng chuyển động Brown trong chất lỏng là do chuyển động của các phân tử gây ra, và nhờ đó đã đưa ra bằng chứng quyết định về sự tồn tại thực sự của các phân tử và nguyên tử.

Perrin lấy những mẩu nhựa cao su «gummiguta» và dùng tay nghiền chúng trong nước cho đến khi nước có màu vàng tươi. Sau đó Perrin lấy một ít chất lỏng như vậy đặt dưới kính hiển vi. Dưới kính hiển vi, chất này hóa ra không tan trong nước mà phân rã thành vô số hạt nhỏ hình cầu, phân bố khắp thể tích nước. Những hạt này có kích thước rất khác nhau. Còn Perrin muốn có một chất lỏng trong đó các hạt gummiguta hoàn toàn giống nhau về kích thước. Để làm điều đó, ông sử dụng «centrifuta» (máy ly tâm), chính loại máy được dùng ở các trang trại sữa lớn để tách kem khỏi sữa hoặc trong các phòng thí nghiệm y học để loại bỏ các tế bào máu khỏi máu, sau đó còn lại một chất lỏng đồng nhất — huyết tương. Máy ly tâm của Perrin quay 2500 vòng

30

mỗi phút, và lực ly tâm phát sinh khi đó hất các hạt gummigut ra khỏi chất lỏng. Vuông góc với trục của máy ly tâm là các ống nghiệm thủy tinh, chứa nhũ tương gummigut (đó là tên gọi của nước có các hạt gummigut lơ lửng trong đó).

Các hạt nặng rơi xuống trước, rồi đến các hạt nhẹ. Điều đó cho phép tách các hạt khỏi nhau theo trọng lượng (và do đó, theo kích thước, bởi vì mọi hạt đều được làm từ cùng một vật liệu, nên khối lượng của chúng càng lớn thì kích thước cũng càng lớn).

Đó là một công việc rất tỉ mỉ và nặng nhọc: phải làm việc ròng rã nhiều tháng để từ một kilôgam gummigut thu được vài phần mười hoặc thậm chí vài phần trăm gam các hạt tròn có kích thước cần thiết. Bằng cách đó, Perrin đã thu được vài phần nhũ tương có đường kính hạt là 0,5, 0,46, 0,37, 0,21 và 0,14 micrôn

Sự phân bố các hạt theo chiều cao trong nhũ tương gummigut.

Với những nhũ tương như vậy, Jean Perrin đã thực hiện nhiều thí nghiệm đáng chú ý, mà chúng tôi sẽ kể ở đây. Ông đặt một giọt nhũ tương có đường kính hạt xác định vào một khay phẳng (cuvet) sâu 0,1 mm. Sau đó cuvet được phủ bằng một lá kính mỏng, các mép được bịt bằng parafin: như vậy, giọt chất lỏng bị dàn ra trong một bình kín khí, nên sự bay hơi không còn có thể xảy ra.

Thoạt đầu Perrin dựng cuvet của mình đứng nghiêng và quan sát nó dưới kính hiển vi. Trong trường nhìn của kính hiển vi có một vách nước thẳng đứng mỏng, bên trong các hạt gummigut tham gia chuyển động Brown phân bố. Lúc đầu sự phân bố các hạt là đồng đều, nhưng rồi theo thời gian, sự phân bố thay đổi và cuối cùng trở thành như sau: rất nhiều hạt ở phía dưới, và càng lên trên thì chúng càng ít đi (xem hình). Số hạt trong một micrôn khối giảm khi chiều cao tăng, theo một quy luật hoàn toàn xác định.

Perrin muốn nghiên cứu quy luật giảm mật độ nhũ tương theo chiều cao này. Để làm vậy, ông đặt cuvet nằm đáy, và sau khi các hạt đã phân bố theo chiều cao giống như trong cuvet dựng đứng, ông quan sát cuvet từ trên xuống dưới kính hiển vi có độ sâu trường nhìn rất nhỏ: trong kính hiển vi thấy được mọi thứ diễn ra trong một lớp gummigut mỏng một micrôn. Di chuyển kính hiển vi lên và xuống, có thể đặt lớp này khi cao hơn, khi thấp hơn. Perrin làm việc như sau: ông đặt kính hiển vi ở một độ cao nào đó và bắt đầu đếm xem ở độ cao ấy có bao nhiêu hạt hiện ra trong trường nhìn, rồi chuyển kính hiển vi đến một độ cao mới và lại đếm số hạt

31

v.v. Lưu ý rằng trong trường hợp này số lượng hạt được tính là giá trị trung bình của một số lần quan sát, bởi vì các hạt chuyển động hoàn toàn ngẫu nhiên và do đó số lượng của chúng trong trường quan sát của kính hiển vi lúc thì quá lớn, lúc thì nhỏ hơn tùy theo trường hợp. Vì vậy, ở cùng một độ cao, Perrin đã tiến hành đếm số hạt nhiều lần rồi sau đó mới tính giá trị đặc trưng cho mỗi độ cao như vậy.

Các ảnh chụp nhũ tương gôm-gút do J. Perrin thực hiện qua kính hiển vi.

Hãy đưa ra kết quả của một trong các thí nghiệm của Perrin. Độ sâu của cuvet là, như đã nói, 100 micrôn (tức là 0,1 mm). Các phép đếm được tiến hành ở các độ cao 5, 35, 65 và 95 micrôn so với mức đáy cuvet. Hóa ra số hạt trung bình ở độ cao 35 micrôn bằng một nửa số hạt ở độ cao 5 micrôn, số hạt ở độ cao 65 micrôn bằng một nửa số hạt ở độ cao 35 micrôn, còn số hạt ở độ cao 95 micrôn bằng một nửa số hạt ở độ cao 65 micrôn.

Như vậy: nếu các độ cao tạo thành một cấp số cộng, thì số lượng hạt tạo thành một cấp số nhân.

Quy luật giảm mật độ hạt theo độ cao như vậy hẳn đã gây ấn tượng mạnh và khiến Perrin quan tâm: bởi vì cũng theo đúng quy luật đó mà mật độ giảm khi ta lên cao trong khí quyển của chúng ta. Blaise Pascal, nhà khoa học Pháp nổi tiếng, sống ở thế kỷ XVII và là người đầu tiên

Kết quả các thí nghiệm của Perrin.

Số lượng phân tử không khí thay đổi như thế nào theo độ cao.

33

các phân tử thì chúng ta cũng không thể, nhưng chúng ta không cần biết riêng từng số $n$ và $n_0$ là bao nhiêu. Chỉ cần biết tỉ số của chúng. Và tỉ số đó dễ tìm, nếu đo bằng khí áp kế áp suất ở các độ cao $h$ và $h_0$: tỉ số áp suất đúng bằng tỉ số số hạt trong một đơn vị thể tích. Nhưng vào thời Perrin, đại lượng $A$ chưa được biết (chính các thí nghiệm của Perrin đã cho phép xác định nó). Vì thế Perrin có thể lập luận như sau: chẳng hạn, известно rằng khi lên cao 5 km, lượng oxy chứa trong một xentimét khối giảm đi một nửa; khi lên thêm 5 km nữa, nó lại giảm đi một nửa, v.v. v.v. Đó cũng là quy luật theo đó số hạt gummigut trong một xentimét khối nhũ tương giảm theo độ cao, chỉ có điều ở đây quy mô khác — thay vì 30 micrôn, ở đây ta có 5 km. Vì sao ở đây lại có những quy mô khác?

Một lớp nhũ tương gummigut dày 100 micrôn thực chất cũng là một khí quyển như vậy, chỉ khác là nó không gồm các phân tử oxy hay nitơ, mà gồm các hạt gummigut đã đủ lớn để có thể nhìn thấy dưới kính hiển vi. Do khối lượng lớn hơn của các hạt này (so với các phân tử khí), sự giảm mật độ theo độ cao diễn ra nhanh hơn trong khí quyển thông thường bao quanh Trái Đất, cụ thể là (trong trường hợp các hạt gummigut có đường kính 0,21 micrôn) mật độ giảm đi một nửa khi lên cao 30 micrôn. “Nhũ tương, — Perrin nói, — là một khí quyển thu nhỏ, bị Trái Đất hút. Theo tỉ lệ của khí quyển như vậy, độ cao Anpơ sẽ chỉ là vài micrôn, còn những đám mây riêng lẻ sẽ bằng các phân tử”. Đối với chúng ta, điều quan trọng nhất là các phân tử của “khí quyển” thu nhỏ này — các hạt gummigut — có thể được cân, và điều đó cho phép tính cả khối lượng của các phân tử khí thông thường. Như vậy Perrin đã làm được điều tưởng như hoàn toàn không thể — cân các phân tử và nguyên tử.

[Từ công thức (3) thấy rằng tích khối lượng phân tử $m$ với hiệu độ cao с心, giữa hai độ cao đó số phân tử trong một đơn vị thể tích thay đổi hai lần, trong mọi trường hợp (nghĩa là đối với mọi hạt) đều bằng cùng một đại lượng $\frac{0,30103}{A}$.

Vì thế, nếu đối với các hạt gummigut hiệu độ cao с心 đối với oxy trong khí quyển, thì đó là vì khối lượng của một hạt gummigut lớn hơn khối lượng của phân tử oxy, và đúng bằng số lần mà 5 km lớn hơn 30 micrôn.]

Hãy làm một phép tính đơn giản… 5 km lớn hơn 30 micrôn 166 triệu lần. Vậy khối lượng của một hạt gummigut có đường kính 0,21 micrôn lớn hơn khối lượng của một phân tử oxy 166 triệu lần.

Một hạt gummigut như vậy nặng bao nhiêu? Không khó tính điều đó, nếu trước hết đo khối lượng của một xentimét khối gummigut. Khi tính toán, không nên quên rằng trong các thí nghiệm của Perrin, các hạt gummigut ở trong nước, và do đó, theo định luật Archimedes, mỗi xentimét khối gummigut mất đi đúng bằng trọng lượng của một xentimét khối nước, tức là 1 $e$. Vậy mỗi xentimét khối gummigut ở trong nước nhẹ hơn một gam so với trong không khí. Kết quả của mọi phép tính (mà chúng tôi bỏ qua) cho thấy khối lượng của hạt (có hiệu chỉnh theo định luật Archimedes) bằng $8,5 \cdot 10^{-15}$ $e$. Và nó lớn hơn khối lượng của phân tử ôxy 166 triệu lần. Vậy khối lượng của phân tử ôxy bằng $5,1 \cdot 10^{-23}$ $e$. Mà phân tử ôxy nặng hơn nguyên tử hiđrô 32 lần (trọng lượng phân tử của ôxy bằng 32), nên khối lượng của nguyên tử hiđrô — nguyên tử nhẹ nhất trong mọi nguyên tử — bằng $1,6 \cdot 10^{-24}$ $e$. Do đó, trong một gam hiđrô có chứa $6 \cdot 10^{23}$ nguyên tử.

⟦trang 34⟧

[Như vậy các nguyên tử và phân tử không chỉ được cân mà còn được đếm!]

Những con số do Perrin tìm ra đã cho phép liên hệ đơn vị khối lượng nguyên tử được dùng vào thời đó — khối lượng của nguyên tử hydro — với gam. Khối lượng của nguyên tử hydro biểu diễn bằng gam nhỏ đến mức không thể nào hình dung được, tuy nhiên nó vẫn nhận được một giá trị hoàn toàn xác định. Nguyên tử đã được cân. Nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lý nguyên tử đã được giải quyết.

[Ở đây cần lưu ý rằng những con số do Perrin nhận được dĩ nhiên không thật chính xác. Về sau người ta đã tìm ra những phương pháp khác để xác định khối lượng của các nguyên tử và phân tử, và hiện nay chúng ta có những giá trị khối lượng đúng hơn. Theo các số liệu hiện đại, khối lượng của nguyên tử hydro chẳng hạn bằng $1,673 \cdot 10^{-24} \text{e}$, còn của phân tử oxy — $5,314 \cdot 10^{-23} \text{e}$. Như các bạn thấy, những con số này không khác quá nhiều so với những con số lần đầu tiên được Perrin nhận được.]

Đây là kết quả mà Perrin đã nhận được khi nghiên cứu sự phân bố của các hạt nhỏ

Chuyển động Brown.

Chuyển động Brown trong nhũ tương gummigut diễn ra nhanh một cách khác thường. Không có khả năng nào để theo dõi chuyển động của một hạt gummigut riêng lẻ. Vì vậy Perrin cũng không cố làm điều đó, mà tiến hành như sau: ông đánh dấu trên bản vẽ vị trí của hạt gummigut qua những khoảng thời gian xác định, chẳng hạn cứ mỗi 30 giây, và nối các điểm thu được bằng những đường thẳng (mặc dù trên thực tế trong thời gian đó hạt gummigut không chuyển động theo đường thẳng mà theo một đường gấp khúc kỳ lạ). Những hình vẽ thu được cho phép phán đoán về tính hỗn loạn, ngẫu nhiên của chuyển động Brown nói chung. Nhưng Perrin không vẽ những hình này chỉ để có được một minh họa trực quan cho chuyển động Brown. Ông quan tâm đến mặt định lượng của vấn đề. Nhà bác học nổi tiếng Albert Einstein, khi đó còn là một thanh niên, đã viết (vào những năm 1905—1906) những công trình xuất sắc, trong đó ông đưa ra một công thức xác định độ dịch chuyển trung bình của hạt gummigut trong một khoảng thời gian cho trước so với vị trí ban đầu của nó trong chuyển động. Chúng ta sẽ không đưa ra ở đây công thức tuyệt vời này, chỉ nhận xét rằng trong công thức này có một đại lượng bằng số nguyên tử hydro trong một gam. Vì vậy, so sánh công thức Einstein với các hình vẽ của Perrin, xác định sự dịch chuyển của hạt trong 30 giây, có thể tính được đại lượng này. Perrin đã làm như vậy, và ông nhận được rằng số nguyên tử hydro trong một gam bằng $6 \cdot 10^{23}$, tức là nhận được cùng một con số như trước.

⟦trang 35⟧

Sự trùng khớp của hai con số được nhận bằng những phương pháp hoàn toàn khác nhau là bằng chứng tốt nhất về tính đúng đắn của tất cả các giả định đã đưa ra. Như vậy, các phân tử và nguyên tử thực sự tồn tại, chứ không chỉ là một sự tưởng tượng thuận tiện của các nhà hóa học. Kết luận như vậy ngay cả những người trong một thời gian dài và kiên trì không muốn thừa nhận sự tồn tại của nguyên tử cũng buộc phải đưa ra.

… Cuộc tranh luận kéo dài hàng thế kỷ giữa những người ủng hộ và những người phản đối nguyên tử, như vậy, đã kết thúc bằng chiến thắng của những người ủng hộ thuyết nguyên tử. Và hiện nay chúng ta có thể khẳng định một cách chắc chắn rằng tất cả mọi vật trên thế giới — nước, đá, thực vật, động vật, không khí, sắt, v.v. và v.v. — tất cả đều được cấu tạo từ những nguyên tử nhỏ bé không thể nhìn thấy bằng mắt thường.

BÀI TẬP CHO BÀI VIẾT
«NGUYÊN TỬ ĐÃ ĐƯỢC CÂN NHƯ THẾ NÀO»

1. Sử dụng các dữ kiện được nêu trong bài viết, hãy tìm độ cao mà tại đó áp suất giảm đi một nửa. Không khí nhẹ hơn oxi theo tỉ lệ 28,8:32.

2. $P_0$ — áp suất của không khí ở mực nước biển, $P_1$ — ở độ cao $h$. Áp suất của không khí ở các độ cao: $2h$, $3h$, $nh$ là bao nhiêu? Coi rằng nhiệt độ không khí và gia tốc rơi tự do không thay đổi theo độ cao, và vì vậy hằng số $A$ không phụ thuộc vào độ cao.

3. Hãy tìm độ cao trên bề mặt Trái Đất tại đó áp suất không khí bằng 0,25 và 0,125 áp suất khí quyển. Hãy dựng đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của áp suất không khí vào độ cao.

BÀI TOÁN LOGIC

Ta quy ước rằng nếu một người không ăn trong bảy ngày hoặc không ngủ trong bảy ngày thì người đó sẽ chết. Giả sử một người đã không ăn và không ngủ trong một tuần. Đến cuối ngày thứ bảy, người đó phải làm gì trước tiên: đi ngủ hay ngủ, để sống sót? (Mặc dù có tính chất hài hước, bài toán có một lời giải chặt chẽ và duy nhất.)

CÂU HỎI
VỀ VẬT LÝ

1. Vì sao khi tắm vào một ngày nóng, lúc bạn bước xuống nước, nước dường như lạnh hơn không khí, còn khi bước ra thì ngược lại?

2. Vì sao tủ lạnh thỉnh thoảng hoạt động và làm tan băng?

3. Một chiếc hộp có chứa con chuột được ném thẳng đứng lên trên. Khi nào con chuột ở trạng thái không trọng lượng, nếu bỏ qua sức cản của không khí?

4. Đặt lên bếp hai chiếc nồi giống nhau có lượng nước bằng nhau ở cùng một nhiệt độ. Sau một thời gian, người ta đổ thêm vào một chiếc nồi một lượng nước sôi từ ấm đun nước. Trong chiếc nồi nào nước sẽ sôi sớm hơn?

4a. Từ chiếc nồi có nhiều nước hơn, người ta chuyển sang chiếc nồi thứ hai một lượng nước sao cho trong cả hai nồi lại có lượng nước bằng nhau. Bây giờ trong chiếc nồi nào nước sẽ sôi sớm hơn?

⟦trang 37⟧

ĐƯỜNG CONG VÀ ĐƯỜNG GẤP KHÚC
RỒNG LÀ GÌ

Hãy lấy một dải giấy dài, gấp đôi nó lại rồi gấp đôi thêm một lần nữa. Đặt dải giấy đã gấp lên bàn theo cạnh của nó và mở ra sao cho góc ở mỗi nếp gấp bằng 90° (hình 1). Nếu nhìn từ trên xuống, ta thấy một đường gấp khúc được vẽ ở hình 2, a hoặc б.

Khi gấp dải giấy làm ba lần, đã thu được những đường gấp khúc thực sự khác nhau (hình 2, в hoặc г), tùy theo cách gấp dải giấy. Nếu gấp dải giấy bốn lần hoặc nhiều hơn, rồi mở các nếp gấp của nó thành các góc vuông, có thể thu được nhiều đường gấp khúc khác nhau. Hình 3 cho thấy một trong những đường gấp khúc thu được khi gấp đôi năm lần.

Trên thực tế, bạn không thể gấp một dải giấy quá bảy lần — vì ngay khi gấp lần thứ tám thì đã có $2^8 = 256$ lớp! Tuy nhiên, chúng ta sẽ sớm học cách vẽ những đường gấp khúc dài như vậy mà không cần dải giấy. Ở trang 38 (phía dưới) đã vẽ một trong những đường gấp khúc sẽ thu được nếu gấp dải giấy 12 lần. Nó gồm $2^{12} = 4096$ đoạn.

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu gấp dải giấy quá ba lần, thì sau khi mở ra, một số góc của nó nhất định sẽ «chạm» vào nhau (hình 2, в và hình 3). Do có nhiều chỗ chạm nhau như vậy, trên những đường gấp khúc dài ở một số nơi xuất hiện mạng lưới. Để hiểu đường gấp khúc đi như thế nào, có thể làm tròn các góc của nó (như được chỉ ra bằng đường màu ở hình 3). Nếu làm điều này đối với đường gấp khúc được vẽ dưới hình 3, sẽ thu được đường nét phức tạp được vẽ ở trang trước. Hình vẽ này đã gợi ý cho nhà vật lý Mỹ John Heighway tên gọi «đường cong rồng». Người nào đã từng nhìn thấy rồng có thể khẳng định rằng nó trông đúng như vậy.

38

Một đường gấp khúc như vậy (“đường gấp khúc rồng chính”) thu được nếu bắt đầu từ một đoạn thẳng, mỗi lần đều quay đường gấp khúc trước đó về cùng một phía. (Điều này tương ứng với cách gấp đôi được chỉ ra trên hình 2 a, c; ở đây dải giấy mỗi lần được gấp “từ phải lên trên sang trái”.) Hình 3 biểu diễn phần đầu của đường gấp khúc này (32 mắt xích), trên hình này — 4096 mắt xích. Nếu tiếp tục đường gấp khúc theo cách tương tự, thì nó sẽ chậm rãi đi vòng quanh điểm bắt đầu của nó, thực hiện một vòng quay đầy đủ trong 8 “lần gấp đôi”. Các điểm đỏ nằm trên một đường xoắn ốc logarit (đối với những người quen với hệ tọa độ cực, chúng ta có thể viết phương trình của nó: $\varphi = \log_a r$, trong đó $r$, $\varphi$ — là các tọa độ cực; $a = a^{2:\pi}$).

39

VẼ NHỮNG ĐƯỜNG GẤP KHÚC RỒNG DÀI NHƯ THẾ NÀO?

Chúng ta sẽ gọi mọi đường gấp khúc nhận được từ một mảnh giấy được gấp đôi $n$ lần, bằng cách mở các nếp gấp thành các góc $90^\circ$, là đường gấp khúc rồng bậc $n$. Ta sẽ tìm hiểu cấu tạo của các đường gấp khúc rồng và cách vẽ chúng với $n$ đủ lớn.

Cách thứ nhất

Đường gấp khúc rồng bậc $n$ gồm $2^n$ đoạn và do đó có $2^n-1$ đỉnh (không tính các đầu mút). Vì vậy, nó có một đỉnh giữa khi $(n>0)$, bởi vì số đỉnh là số lẻ. Trong hình 2 và 3, đỉnh giữa của mỗi đường gấp khúc được đánh dấu bằng một vòng tròn màu xanh lá cây. Có thể nhận thấy rằng mỗi đường gấp khúc này gồm hai phần giống nhau, nhận được từ nhau bằng phép quay $90^\circ$. Hóa ra đây là một quy luật chung.

Định lý 1. Nếu có thể tiếp tục bất kỳ đường gấp khúc rồng bậc $n$ nào có đầu mút tại điểm $O$ bằng một đường gấp khúc cũng thu được từ đường đã cho bằng cách quay $90^\circ$ quanh điểm $O$, thì sẽ nhận được đường gấp khúc rồng bậc $n+1$, và ngược lại, bất kỳ đường gấp khúc rồng bậc $n+1$ nào cũng thu được từ một đường gấp khúc bậc $n$ nào đó bằng cách này.

Thật vậy, giả sử ta muốn gấp dải băng $n+1$ lần làm đôi. Trước hết ta gấp nó một lần làm đôi. Khi đó hai nửa của nó trùng nhau và trong các lần gấp tiếp theo sẽ được gấp đôi hoàn toàn (hình 4). Bây giờ ta mở ra $90^\circ$ nếp gấp cuối cùng $n$ của dải băng. Ta nhận được hai đường gấp khúc rồng bậc $n$ trùng nhau; chỉ còn tách chúng ra $90^\circ$ — và ta nhận được đường gấp khúc rồng bậc $n+1$ (hình 5). Hãy suy nghĩ xem từ những nhận xét này có thể suy ra cả hai khẳng định của định lý 1 như thế nào.

Dùng định lý 1, dễ dàng vẽ các đường gấp khúc rồng dài.

Vì mọi đường gấp khúc rồng đều đi theo các đường của lưới vuông, nên thuận tiện vẽ nó trên giấy kẻ ô.

Hãy lấy một đường gấp khúc rồng ngắn bất kỳ (chẳng hạn chỉ là một đoạn thẳng). Quy ước rằng một trong hai đầu mút của nó là điểm đầu, còn đầu kia là điểm cuối. Tiếp tục nó bằng một đường gấp khúc như vậy, quay tương đối với đầu cuối của nó một góc $90^\circ$ theo (hoặc ngược) chiều kim đồng hồ. Đường gấp khúc mới thu được lại tiếp tục từ đầu cuối theo cùng cách; cứ làm như vậy bao nhiêu lần tùy thích và tùy khả năng. Việc này có thể tự động và nhanh chóng thực hiện được nếu có sẵn giấy can hoặc, tốt hơn nữa, giấy kẻ ô hơi trong suốt. (Hãy suy nghĩ xem làm thế nào!)

Rõ ràng, hoàn toàn tương tự ta có thể vẽ ngay cả các đường cong rồng: chỉ cần mỗi lần làm tròn đoạn giữa.

Tính chất đáng chú ý của mọi đường cong rồng là chúng không tự cắt nhau, hay nói cách khác, các đường gấp khúc rồng không bao giờ đi qua cùng một đoạn thẳng hai lần. Như vậy, mặc dù đường gấp khúc rồng có thể đi qua cùng một điểm (đỉnh của lưới) hai lần, nhưng nó không đi qua một điểm như vậy quá hai lần.

40

Из теоремы 1 сразу не видно, как доказать, что ломаные дракона не проходят дважды по одному и тому же отрезку — наоборот, чем более длинные и запутанные ломаные или кривые рисушь, тем более удивительно, как удачно их «выступы» и «падины» подходят друг к другу (см. кривую дракона «паровоз» на стр. 43).

Từ định lý 1 chưa thấy ngay được cách chứng minh rằng các đường gấp khúc rồng không đi qua cùng một đoạn hai lần — ngược lại, càng vẽ những đường gấp khúc hoặc đường cong dài và phức tạp, càng đáng ngạc nhiên là các «chỗ nhô» và «chỗ lõm» của chúng khớp với nhau thuận lợi đến thế nào (xem đường cong rồng «đầu máy xe lửa» ở trang 43).

Tuy nhiên, điều này không khó chứng minh *), dùng một định lý khác về sự «nhân đôi» các đường gấp khúc rồng, đồng thời cũng cho một cách vẽ các đường gấp khúc dài.

Cách thứ hai

Trên hình 6, các đỉnh của đường gấp khúc rồng màu đen được nối bằng các đoạn màu đỏ cách một đỉnh. Ta thấy rằng các đoạn màu đỏ lại tạo thành các đường gấp khúc rồng. Hóa ra đây cũng là một quy luật chung.

Để phát biểu chính xác quy luật đó, cần lưu ý thêm rằng mỗi đoạn màu đỏ là cạnh huyền của một tam giác vuông cân, các cạnh góc vuông của nó là các đoạn của đường gấp khúc ban đầu (trên hình các tam giác được tô nhẹ), hơn nữa cứ hai tam giác như vậy kề nhau được tạo thành từ nhau bằng phép quay 90° quanh đỉnh chung của chúng; nói cách khác, nếu đi dọc theo đường gấp khúc rồng màu đỏ, thì các

*) Xem bài toán 9 ở cuối bài.

tam giác này sẽ lần lượt gặp nhau khi thì ở bên phải, khi thì ở bên trái.

Định lý 2. Nếu trên mỗi đoạn của đường gấp khúc rồng cấp n, dựng một tam giác vuông cân với đoạn đó là cạnh huyền, sao cho đối với hai đoạn kề nhau các tam giác này nhận được từ nhau bằng cách quay một trong hai tam giác 90° quanh đỉnh chung, thì các cạnh góc vuông của các tam giác đã dựng tạo thành đường gấp khúc rồng cấp n+1. Và ngược lại, mỗi đường gấp khúc cấp n+1 có thể nhận được bằng cách này từ một đường gấp khúc cấp n nào đó.

Thật vậy, hãy theo dõi lần gấp cuối cùng khi gấp dải giấy làm đôi. Để tiện, ta sẽ tham chiếu đến hình quy ước 7. Ta muốn gấp dải giấy làm đôi n+1 lần. Trước hết hãy gấp nó n lần và dựng hình chiếu của nó (đường màu đỏ trên hình 7). Sau đó gấp nó thêm một lần nữa làm đôi và mở nếp gấp cuối cùng này một góc 90° (đường màu đen trên cùng hình đó*). Dải giấy đi từ điểm A đến điểm B và quay lại không theo cạnh huyền, mà theo các cạnh góc vuông của tam giác vuông cân ABC. Hãy mở tất cả các nếp gấp còn lại

Hình 6

đoạn đó là cạnh huyền của tam giác vuông cân, các cạnh góc vuông của nó là các đoạn của đường gấp khúc ban đầu (trên hình các tam giác được tô nhẹ), hơn nữa cứ hai tam giác kề nhau như vậy được tạo thành từ nhau bằng phép quay 90° quanh điểm đỉnh; nói cách khác, nếu đi dọc theo đường gấp khúc rồng màu đỏ, thì các

đến 90° (trên hình 8 chỉ ra cách mở một nếp gấp riêng biệt). Khi đó các cạnh góc vuông của các tam giác vuông tạo thành đường gấp khúc rồng cấp n+1, còn các cạnh huyền — cấp n.

Dùng những nhận xét này, dễ dàng chứng minh cả hai khẳng định của định lý 2. Bạn có thể thử đưa ra một chứng minh khác: suy ra định lý 2 từ định lý 1.

*) Trong hình của chúng tôi, đường màu đen dài hơn đường màu đỏ $\sqrt{2}$ lần, nhưng điều đó không quan trọng, vì chúng ta quan tâm đến hình dạng của đường gấp khúc, chứ không phải kích thước của nó.

41

Bằng cách sử dụng định lý 2, từ mỗi đường gấp khúc rồng hạng $n$ có thể nhận được hai đường gấp khúc hạng $n+1$ khác nhau: tất cả phụ thuộc vào việc dựng thêm tam giác về phía nào của đoạn đầu tiên.

Hãy chú ý rằng khi chuyển từ đường gấp khúc hạng $n$ sang đường gấp khúc hạng $n+1$ theo định lý 1, đường gấp khúc thu được dài gấp đôi, còn độ dài của mỗi đoạn không thay đổi; nếu dùng định lý 2 để «nhân đôi», thì độ dài đường gấp khúc tăng lên $\sqrt{2}$ lần, còn độ dài đoạn giảm đi $\sqrt{2}$ lần.

Bây giờ hãy luyện vẽ các đường gấp khúc rồng bằng định lý 2.

TỪ NGỮ

Tính chất được nói đến trong định lý 2 có thể giải thích rất đơn giản nếu nhìn các đường gấp khúc rồng (hoặc, nếu muốn, các cách gấp tờ giấy) từ một góc nhìn khác.

Giả sử một con rùa bò dọc theo đường gấp khúc rồng (hình 9). Mỗi lần bò đến một đỉnh, nó phải quay $90^\circ$ sang trái hoặc sang phải. Theo quan điểm của con rùa, đường đi của nó được xác định bởi dãy các lần quay. Chẳng hạn, đối với đường gấp khúc trong hình 2, $a$ (bắt đầu ở điểm màu đỏ), dãy này sẽ có dạng: sang trái, sang trái, sang phải.

Ta sẽ ký hiệu lần quay sang phải bằng chữ $R$, lần quay sang trái bằng chữ $L^*$). Khi đó toàn bộ đường gấp khúc được viết thành «từ» như sau:

LLR

(«từ» trong nhiều lĩnh vực của toán học và logic chỉ đơn giản là một dãy bất kỳ các chữ cái). Tương tự, có thể viết bằng một từ gồm các chữ cái $L$ và $R$ bất kỳ đường gấp khúc rồng nào.

Để nhận được từ đường gấp khúc $a$ đường gấp khúc $\delta$ (hình 2), cần gấp tờ giấy thêm một lần nữa «sang trái» (xem hình 2, $\delta$ và 10). Khi đó giữa mỗi hai đỉnh của đường gấp khúc $a$ sẽ xuất hiện thêm một chỗ ngoặt, và ở hình 10 thấy rõ rằng những chỗ ngoặt mới này sẽ cách nhau qua

*) Chúng tôi đã chọn những chữ cái đầu của các từ tiếng Anh right (phải) và left (trái), vì các chữ cái Nga П và Л quá giống nhau (nhân tiện, các từ tiếng Đức Rechts và links cũng bắt đầu bằng những chữ cái đó).

Đường cong này thu được nếu, bắt đầu từ một đoạn thẳng, lặp lại quá trình «nhân đôi» 12 lần, đồng thời xen kẽ các lần quay theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ. Để thể hiện rõ hơn đường cong này đi như thế nào, mỗi lần chúng tôi quay không phải 90°, mà là 95° (đường màu đen); nếu giảm các góc xuống 90°, thì sẽ thu được đường cong rồng, được vẽ bằng đường màu trên cùng hình vẽ; nó lấp đầy một tam giác vuông cân bằng một họa tiết đều đặn.

43

Đường cong rồng cấp 12 này có tên gọi đặc biệt là «Bố, mẹ và con trai». Hãy tìm trung điểm của nó. Bạn có thể tưởng tượng rằng đường cong phát triển từ điểm này thành hai phần hoàn toàn giống nhau, nhận được từ nhau bằng phép quay 90° không? Để tin được điều đó, có lẽ chúng ta sẽ phải đi dọc theo đường cong bằng bút chì màu từ đầu đến trung điểm.

Ở đây một trong hai nửa của đường cong («nó được gọi là «đầu máy xe lửa») được vẽ trên nền màu để cho thấy hai đường cong này «đan vào» nhau như thế nào. Một nửa sau khi quay nó quanh trung điểm một góc 90° sẽ trùng với nửa kia.

44

gấp; như vậy, ta được
$$L L R \rightarrow L L R L R R,$$

tức là những từ ghi lại đường gấp khúc 6. Khi gấp thêm một lần nữa sang trái, ta sẽ được đường gấp khúc được đặc trưng bởi từ

$$L L R L L R R \rightarrow L L R L R L R R,$$

Hãy vẽ đường gấp khúc này. Đó là đường gấp khúc rồng Chính bậc 4. Nếu muốn, hãy uốn cong các góc của nó, như Heighway đã đề nghị.

Nếu bạn tiếp tục thực hiện thêm một lần nữa phép toán ấy trên từ vừa nhận được (lại bắt đầu dãy các chữ xen kẽ bằng $L$), thì sẽ nhận được các từ gồm 31 chữ cái — bản ghi của đường gấp khúc rồng Chính bậc 5, được vẽ ở hình 3.

Dĩ nhiên, dãy các chữ xen kẽ có thể bắt đầu không phải bằng $L$, mà bằng $R$ — khi đó sẽ thu được những đường gấp khúc khác.

Dễ thấy rằng cách chúng ta tạo từ cho đường gấp khúc bậc $n+1$ từ từ cho đường gấp khúc bậc $n$ hoàn toàn tương ứng với phương pháp hình học của phép nhân đôi, được nói đến trong định lý 2 (các chữ cái mới tương ứng với các tam giác được dựng thêm). Nói chung, toàn bộ “lý thuyết” về các đường gấp khúc rồng có thể được xây dựng không bằng các phương pháp hình học — bằng các phép quay, dựng thêm tam giác v.v., mà bằng các phương pháp “đại số” — bằng các phép toán trên các từ gồm hai

Hình 10

chữ cái $L$ và $R$, là “bản ghi” của các đường gấp khúc rồng *).

Bạn đọc có thể phần nào đi theo con đường này và làm quen với cả một loạt quy luật thú vị mà các từ — bản ghi của các đường cong rồng có được, bằng cách giải các bài toán dưới đây.

BÀI TOÁN

1. Cần lấy một dải giấy dài bao nhiêu để, sau khi gấp đôi nó 30 lần, khoảng cách giữa các nếp gấp kề nhau bằng 1 cm? Nó lớn hay nhỏ hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng?

2. Đường gấp khúc rồng sẽ thay đổi thế nào nếu đặt dải giấy lên bàn bằng mép còn lại? Khi đó từ ghi đường gấp khúc sẽ thay đổi thế nào?

3. a) Có bao nhiêu đường gấp khúc rồng bậc 4 khác nhau (không đồng dạng với nhau)? Hãy vẽ tất cả chúng. Hãy viết các từ tương ứng gồm các chữ cái $L$ và $R$.

6. Có bao nhiêu đường gấp khúc bậc $n$ khác nhau?

4. Giả sử một con rùa bò theo đường gấp khúc rồng và đọc các chữ cái $L$ và $R$. Nó sẽ đọc được từ nào nếu bò theo đường gấp khúc ấy theo chiều ngược lại?

5. Cho $s$ là một từ nào đó gồm các chữ cái $L$ và $R$. Ký hiệu bằng $s$ từ thu được từ $s$ nếu đảo ngược thứ tự các chữ cái trong nó rồi thay $L$ bằng $R$ và $R$ bằng $L$. (Ví dụ, nếu $s=LLR$, thì $s=LRR$).

Cho $s$ và $t$ là một số từ gồm các chữ cái $L$ và $R$. Ta sẽ ký hiệu $st$ là từ nhận được nếu viết các từ $s$ và $t$ cạnh nhau. (Chẳng hạn, nếu $s=LLR$, $t=RL$, thì $st=LLRRL$).

Chứng minh rằng:

a) Với mọi từ $s$ và $t$

$$\overline{st} = \overline{t} \overline{s}.$$

6. Nếu $s_{n+1}$ là từ tương ứng với đường gấp khúc rồng cấp $n+1$, thì

$$s_{n+1} = s_n x \overline{s}_n,$$

trong đó $s_n$ — một số từ tương ứng với đường gấp khúc rồng cấp $n$, còn $x$ — từ tương ứng với một chữ cái.

*) Chính cách trình bày này đã được các nhà toán học Canada Knuth và Davis chọn, qua bản thảo «Number representations and dragon curves» (Ch. Davis, D. E. Knuth) mà các tác giả bài báo lần đầu làm quen với các đường cong rồng. Một số hình vẽ các đường cong rồng dài cũng được lấy từ bản thảo này.

45

c) Nếu $s_n$ là từ tương ứng với đường gấp khúc rồng, thì $s_n$ khác $s_n$ chỉ ở một chữ cái giữa.

g) Từ ghi đường gấp khúc rồng hạng $n$ có thể, hơn nữa theo một cách duy nhất, được dựng nếu tùy ý cho trước $n$ chữ cái phải đứng trong từ này ở các vị trí có số $2^k$, trong đó $k=0,1,2,...,n-1$ (tức là ở các vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ tư, thứ tám,…, thứ $2n^{-1}-m$); sau đó, để tìm chữ cái nào đứng ở vị trí thứ $m$, cần biểu diễn $m$ dưới dạng $m=2^k(2l+1)$, trong đó $k$ và $l$ là các số nguyên; nếu $l$ chẵn thì ở vị trí thứ $m$ là chữ cái giống như ở vị trí thứ $2^k$, nếu $l$ lẻ — chữ cái đối lập.

d) Hai từ $s_n'$ và $s_n''$ xác định những đường gấp khúc rồng cùng hình dạng (đồng dạng) khi và chỉ khi, sau khi bỏ chữ cái ở giữa, các từ này либо trùng nhau, либо một từ nhận được từ từ kia bằng cách thay $L$ bằng $R$ và $R$ bằng $L$. (Chẳng hạn, các từ LLRLLRR, LLRRLRR, RRLRRLL xác định những đường gấp khúc như nhau.)

6. Giả sử ta có một đường gấp khúc rồng hạng $n$. Từ nó có thể nhận được hai đường gấp khúc rồng hạng $n+1$, dùng hoặc định lý 1 (lấy một trong hai đầu của đường gấp khúc làm điểm $O$), hoặc định lý 2 (dựng thêm tam giác về một trong hai phía). Trong cả hai trường hợp có nhận được cùng hai đường gấp khúc rồng hạng $n+1$ hay, nói chung, là những đường khác? Làm thế nào để nhận được các từ của chúng từ từ của đường gấp khúc đã cho hạng $n$?

7. Trên mặt phẳng cho hai điểm $A$ và $B$. Hãy vẽ một hình vuông có tâm tại trung điểm của đoạn $AB$, một trong các cạnh của nó bằng $2AB$ và song song với đoạn $AB$. Chứng minh rằng mọi đường gấp khúc rồng có hai đầu mút tại các điểm $A$ và $B$ đều nằm bên trong hình vuông này. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ bên trong hình vuông này và mọi số dương $e$, có thể tìm được một đường gấp khúc rồng có hai đầu mút $A$ và $B$, đi qua cách điểm $M$ một khoảng nhỏ hơn $e$ (nói bằng ngôn ngữ toán học, “hợp của tất cả các đường gấp khúc rồng có hai đầu mút tại các điểm $A$ và $B$”). $2^n$ đoạn đầu của nó tạo thành một đường gấp khúc hạng $n$.

Chứng minh rằng:

a) Đầu mút của đường gấp khúc hạng $n$ như vậy sẽ nằm tại điểm

$$\left( \frac{n}{2} \cos \frac{\pi n}{4}, \frac{n}{2} \sin \frac{\pi n}{4} \right)$$

(các điểm đỏ trên hình ở trang 38).

⟦trang 47⟧

Trong mục này, tiếp tục từ số này sang số khác, chúng tôi đăng một số bài toán, nói chung khá khó. Những lời giải hay nhất cho các bài toán này do độc giả gửi tới sẽ được đăng trên tạp chí sau vài tháng.

Về toán học

M6. Trước mặt bạn là một chiếc đồng hồ. Có bao nhiêu vị trí của các kim mà không thể xác định thời gian, nếu không biết kim nào là kim giờ, kim nào là kim phút?

(Coi rằng có thể xác định chính xác vị trí của mỗi kim, nhưng không được theo dõi cách các kim chuyển động.)

M7. a, b, c — các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3.$$

C. Berkolayko

M8. Hai người chơi một trò chơi như sau. Từ một đống có 25 que diêm, mỗi người lần lượt lấy cho mình một, hai hoặc ba que diêm. Người thắng là người mà khi trò chơi kết thúc — sau khi tất cả các que diêm đã được lấy hết — có số que diêm chẵn.

Ai thắng khi chơi đúng — người bắt đầu hay đối thủ của anh ta? Anh ta phải chơi thế nào để thắng? Câu trả lời sẽ thay đổi ra sao nếu coi người lấy số que diêm lẻ là người thắng?

Hãy nghiên cứu trò chơi này trong trường hợp tổng quát, khi có 2n+1 que diêm và được phép lấy bất kỳ số que diêm nào từ 1 đến m.

M9. Xét các tính chất sau của tứ diện (chúng tôi gọi tứ diện là một hình chóp tam giác bất kỳ):

a) mọi mặt có diện tích bằng nhau;
b) mỗi cạnh bằng cạnh đối diện;
b) mọi mặt bằng nhau;
г) tâm của mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau;
d) tổng các góc phẳng tại mỗi đỉnh của tứ diện bằng nhau.

Chứng minh rằng tất cả các tính chất này tương đương.

Hãy cố gắng tìm những tính chất khác của tứ diện tương đương với chúng.

M10. Bốn đường tròn có tâm là các đỉnh của một tứ giác lồi phủ kín hoàn toàn tứ giác này. Chứng minh rằng có thể chọn trong số đó ba đường tròn phủ kín tam giác có các đỉnh là tâm của các đường tròn ấy.

G. Galperin

48

Ф7. Thanh ngang $O_1A$ dài $l$ quay quanh trục thẳng đứng $O_1$ (xem hình 1). Một bánh xe bán kính $r$ được lắp vào trục gắn ở đầu thanh $O_1A$. Trục bánh xe nằm ngang và tạo với thanh $O_1A$ một góc $\alpha$. Bánh xe quay không ma sát trên trục và lăn trên mặt đất. Ma sát giữa bánh xe và mặt đất lớn. Bánh xe sẽ quay bao nhiêu vòng khi thanh $O_1A$ quay một vòng quanh trục thẳng đứng?

Г. Комкин

Ф8. Một thanh dài $AB$ có lỗ ren ở đầu được vặn vào một vít thẳng đứng (xem hình 2). Người ta thả thanh ra. Ma sát giữa vít và thanh là không đáng kể. Thanh sẽ chuyển động như thế nào sau khi tuột khỏi vít?

Olympiad Vật lý-Toán học MIЭМ

Hình 1

Hình 2

Ф9. Trên một bàn nằm ngang có một vật nhỏ được gắn vào bàn bằng một lò xo dài. Ban đầu lò xo không bị dãn. Sau đó vật được dịch chuyển 20 cm khỏi vị trí cân bằng rồi thả ra. Vật bắt đầu dao động dọc theo lò xo. Do ma sát, biên độ dao động của nó giảm 7% sau mỗi chu kỳ. Vật sẽ thực hiện tất cả bao nhiêu dao động trước khi dừng lại? Nó sẽ dừng ở khoảng cách nào so với vị trí cân bằng?

Olympiad Vật lý-Toán học toàn Liên bang qua thư năm 1967

Ф10. Từ bốn lò xo dây mảnh có điện trở 10 ом, 20 ом, 30 ом và 40 ом, được tính toán để công suất tỏa nhiệt trên mỗi lò xo không vượt quá 2 вт, hãy ghép thành một bộ đốt có công suất lớn nhất có thể, nếu có một nguồn điện với suất điện động 20 в và điện trở trong 20 ом? Б. Буховцев

Ф11. Ba thùng hở chứa đầy nước được đặt ở các độ cao khác nhau (xem hình 3). Từ mỗi thùng có các ống dẫn lên trên, rồi nối lại với nhau. Các ống cũng chứa đầy nước. Nước sẽ chảy theo các ống về phía nào nếu đồng thời mở các vòi $K_1$, $K_2$ và $K_3$?

49

Nhiều nam nữ thanh niên quan tâm đến những vấn đề liên quan đến kỳ thi tuyển sinh, đặc biệt là môn toán và vật lý. Vì những kỳ thi này được tổ chức ở tất cả các trường đại học kỹ thuật, ở nhiều khoa (kể cả nhân văn!) của các trường đại học và viện sư phạm. Thí sinh sẽ gặp gì trong các kỳ thi tuyển sinh? Chúng được tổ chức như thế nào? Chuẩn bị cho chúng thế nào là tốt nhất? Tất cả những điều đó chắc chắn khiến độc giả của “Kvant” quan tâm.

Trên các trang tạp chí, chúng tôi sẽ thường xuyên đăng “Thực hành cho thí sinh” — thông tin về nội dung các kỳ thi tuyển sinh môn toán và vật lý, tổ chức tư vấn về những chủ đề riêng lẻ thường gây khó khăn, giới thiệu những cuốn sách dành riêng cho người dự thi vào các trường đại học.

Trong số này sẽ có thông tin về các kỳ thi viết môn toán. Thông thường, trong các kỳ thi này trước hết kiểm tra khả năng giải bài toán bằng những phương pháp được học ở trường. Các bài toán được đề ra trong kỳ thi không đòi hỏi kiến thức vượt ra ngoài phạm vi “Chương trình thi tuyển sinh dành cho người dự thi vào các cơ sở giáo dục đại học của Liên Xô”.

Đương nhiên, đối với thí sinh vào các khoa toán, vật lý và một số khoa khác của các trường đại học, yêu cầu cao hơn so với thí sinh vào đa số các trường đại học. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là, chẳng hạn, các nhà vật lý tương lai phải có thêm những kiến thức nào đó vượt ra ngoài chương trình. Chỉ là họ phải nắm vững tài liệu hơn, thể hiện một mức độ độc lập nhất định trong tư duy, phải biết giải những bài toán phức tạp hơn.

Để học cách tự tin giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh, cần ôn kỹ khóa học lý thuyết ở trường và có đủ thực hành giải các bài toán tương tự, sử dụng một trong những tuyển tập bài toán phổ biến về toán học, được biên soạn riêng cho người dự thi vào các trường đại học.

Hãy bắt đầu chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh, đừng trì hoãn, nhất là nếu bạn định thi chỉ sau nửa năm nữa!

Ban biên tập.

50

N. S. BAKHVALOV, N. N. KUZNETSOV

Kỳ thi viết môn toán là kỳ thi chính đối với thí sinh vào khoa Cơ học-Toán học của Đại học Quốc gia Moskva. Thường có ý kiến cho rằng nó quá khó, rằng ngay cả “điểm ba” trong kỳ thi này cũng chỉ có thể đạt được bởi học sinh tốt nghiệp các trường toán học Moskva.

Những ý kiến này hoàn toàn không có cơ sở *). Các đề bài (cái gọi là “phương án”, gồm 4 bài toán) được soạn sao cho trong mỗi phương án có một bài toán

*) Năm 1969, trong số 922 thí sinh Moskva, có 469 người (khoảng 50%) đạt điểm dương (điểm ba trở lên) trong kỳ thi viết, còn trong số 2356 thí sinh ngoài Moskva — có 912 người (khoảng 40%).

hoàn toàn vừa sức với người có trình độ toán học trung bình. Giải được những bài toán như vậy đã bảo đảm điểm ba. Vì thế, để thi viết thành công chỉ cần nắm vững chương trình toán học phổ thông, còn điểm không đạt chỉ dành cho những thí sinh không thể hiện được trình độ đủ để học thành công tại khoa.

Tất nhiên, cùng với những bài toán không khó, phương án còn bao gồm các bài tập mà lời giải đòi hỏi một trình độ văn hóa toán học nhất định (nhưng không đòi hỏi kiến thức bổ sung vượt ra ngoài chương trình). Vì vậy, thực sự không thể đạt điểm cao trong kỳ thi này.

Phương án 1

1. Các điểm A và B nằm trên những con đường cắt nhau dưới góc ACB=60°. Từ điểm A đến B có thể đi xe buýt — trước hết theo một con đường đến ngã tư C, rồi theo con đường kia, — mất 11 phút. Nếu đi bộ từ A đến B theo đường thẳng thì mất 1 giờ 10 phút, còn nếu trước hết đi theo đường ngắn nhất đến con đường có điểm B, rồi đi xe buýt, — thì còn mất nhiều thời gian hơn, ngay cả nếu có xe buýt ngay.

Khoảng cách từ điểm A đến ngã tư là bao nhiêu, nếu vận tốc người đi bộ bằng 3 km/giờ, còn vận tốc xe buýt bằng 30 km/giờ? (Coi các con đường là thẳng.)

2. Trong tam giác ABC, kẻ các đường phân giác AD và BE, cắt nhau tại điểm O. Biết rằng đoạn OE có độ dài 1, còn đỉnh C nằm trên đường tròn đi qua các điểm E, D, O. Tìm các cạnh và các góc của tam giác EDO.

3. Tìm mọi giá trị của x đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

$$\cos 13x = \cos x,$$
$$\cos 2x + \sin 5x = 1,$$
$$|x| < 3.$$

4. Các hình chiếu vuông góc của một tứ giác phẳng lên hai mặt phẳng vuông góc với nhau là các hình vuông cạnh 2. Tìm chu vi của tứ giác, biết rằng một cạnh của nó bằng $\sqrt{5}$.

⟦trang 51⟧

cần chuẩn bị riêng cho việc này, sử dụng các tài liệu thích hợp *).

Ở đây, để làm ví dụ, chúng tôi sẽ xét một bộ bài toán điển hình trong một đề đã được đưa ra trong kỳ thi viết vào khoa cơ–toán năm 1969 (đề 1 ở trang 50). Thời gian giải là 4 giờ. Để được điểm «3», chỉ cần giải ít nhất một bài; điểm «5» được cho nếu có lời giải đầy đủ của bất kỳ ba bài nào, còn bài thứ tư về cơ bản đã được giải.

Chúng tôi sẽ phân tích kỹ các bài toán này và chỉ ra những sai lầm đặc trưng mà các thí sinh mắc phải khi giải chúng, còn ở phần cuối sẽ giới thiệu với độc giả «Kvant» một đề nữa để tự giải.

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN

Bài 1

Hãy vẽ hình (hình 1). $D$ — điểm của đường thẳng $BC$ gần $A$ hơn. Lưu ý rằng vị trí của điểm $B$ so với $D$ chưa biết trước (trên hình vẽ thể hiện hai phương án vị trí). Đặt $x=AC$, $y=CB$ (các khoảng cách này được đo bằng kilômét). Viết các điều kiện của bài toán, ta được hệ hai phương trình:

$$\begin{cases} x+y=5,5 \\ x^2+y^2-xy=12,25 \end{cases}$$

và bất đẳng thức:

$$10x\sqrt{3}+|2y-x|>70$$

*) Là các sách bài tập thích hợp, chẳng hạn, chúng tôi nêu các cuốn của E. B. Vakhovski và A. A. Rưvkin «Các bài tập toán sơ cấp nâng cao» (xem bài «Cách giải bài toán» ở trang 60 số «Kvant» này), của N. Kh. Rozov, M. K. Potapov, G. V. Dorofeev, «Sách hướng dẫn toán học cho thí sinh vào đại học», của V. B. Lidski, P. V. Ovsiannikov, A. N. Tulaikov và M. I. Shabunna «Các bài tập toán sơ cấp».

Hệ phương trình (1) có hai nghiệm: a) $x=4$, $y=1,5$; 6) $x=1,5$, $y=4$, và ta phải chọn trong số đó nghiệm thỏa mãn điều kiện bổ sung (2). Nghiệm thứ hai không thỏa mãn điều kiện này, vì $15\sqrt{3}+6,5<30+6,5<70$. Nghiệm thứ nhất thỏa mãn nó. Để xác minh điều này, cần kiểm tra rằng $40\sqrt{3}+1>70$, hay $40\sqrt{3}>69$. Bình phương bất đẳng thức cuối cùng, ta được $4800>4781$ và do đó xác minh được rằng nó đúng. Vậy nghiệm của bài toán là $x=4$ km.

Hãy ghi nhận những sai lầm điển hình mà các thí sinh đã mắc phải khi giải bài toán này.

Đa số họ đã giải quyết được việc lập và giải hệ phương trình (1); tuy nhiên, việc chọn nghiệm cần thiết bằng điều kiện bổ sung (2) lại là một trở ngại không thể vượt qua đối với nhiều người. Có lẽ, cách thuận tiện nhất để hiểu điều này là hình dung trực quan sai về vị trí tương đối của các điểm $B$ và $D$, mà kết quả là thay vì bất đẳng thức (2), người ta kiểm tra bất đẳng thức sai

$$10x\sqrt{3}+2y-x>70.$$

Trong khi đó, khá thường xuyên các thí sinh chỉ kiểm tra một trong các nghiệm đã tìm được. Chẳng hạn, sau khi xác định rằng nghiệm thứ hai của hệ (1) ($x=1,5$; $y=4$) không thỏa mãn bất đẳng thức (3), họ tự động dựa vào đó để đưa ra kết luận này

52

kết luận rằng nghiệm cần tìm là nghiệm thứ nhất (mặc dù dễ thấy rằng nó cũng không thỏa mãn bất đẳng thức (3)). Ta lưu ý thêm một sai lầm mà không ít người làm bài đã mắc phải: khi kiểm tra điều kiện (2), giá trị $\sqrt{3}$ được thay bằng một giá trị hữu tỉ gần đúng, chẳng hạn 1,7, và đẳng thức

$$17x + |2y - x| > 70$$

được kiểm tra một cách sai lầm

(như dễ kiểm tra, cả hai nghiệm của hệ phương trình (1) cũng không thỏa mãn nó).

Bài toán 2

Nối các điểm $C$ và $O$ (xem hình 2). Đường thẳng $CO$ là tia phân giác của góc $C$, vì nó đi qua giao điểm của các tia phân giác $AD$ và $BE$. Do đó

$$\angle ECO = \angle DCO$$

(1)

Các góc nội tiếp đường tròn $OECD$

Hình 2.

$DEO$ và $DCO$ bằng nhau, vì cùng chắn một cung. Điều tương tự cũng đúng đối với các góc $EDO$ và $ECO$. Dựa vào (1), suy ra rằng

$$\angle DEO = \angle EDO,$$

tức là tam giác $EDO$ cân.

Các góc nội tiếp $ECD$ và $EOD$ chắn các cung bù nhau; vì vậy tổng của chúng bằng $180^\circ$. Mặt khác, ta có chuỗi đẳng thức:

$$\angle EOD = \angle AOB =$$

$$= 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) =$$

$$= 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) =$$

$$= 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - \angle C) =$$

$$= 90^\circ + \frac{1}{2} (\angle C).$$

Vì thế

$$180^\circ - (\angle C) = 90^\circ + \frac{1}{2} (\angle C),$$

suy ra

$$\angle C = 60^\circ.$$

Từ lập luận trên suy ra rằng

$$\angle DEO = \angle EDO = 30^\circ,$$

$$\angle EOD = 120^\circ,$$

do đó các cạnh của tam giác $EDO$ bằng 1, 1 và $\sqrt{3}$.

Sai lầm điển hình nhất trong bài toán này là «chứng minh» rằng $\triangle ABC$ là tam giác đều. Một số thí sinh, dựa trên ảo giác hình học, cho rằng tâm của đường tròn $OECD$ nằm trên đường thẳng $CO$. Từ đó suy ra các góc $OEC$ và $ODC$ là góc vuông, nên các đường phân giác $AD$ và $BE$ đồng thời là các đường cao, điều này chỉ có thể xảy ra trong tam giác đều.

Một bộ phận khác của các thí sinh chứng minh tam giác $ABC$ đều cạnh, dựa trên lập luận sau: hạ từ điểm $O$ các đường vuông góc $OE'$ và $OD'$ xuống các cạnh $AC$ và $BC$ tương ứng. Xét hai trường hợp vị trí của các điểm $D'$ và $E'$ đối với các điểm $D$ và $E$ (xem hình 3). Trong trường hợp a), các góc $CDO$ và $CEO$ là tù, còn trong trường hợp b), chúng đều nhọn. Vì vậy, chỉ có thể dựng một đường tròn đi qua các điểm $C$, $D$, $O$, $E$ khi điểm $E'$ trùng với $E$, còn $D'$ trùng với $D$.

Suy ra rằng $AD \perp BC$ và $BE \perp AC$.

53

Chúng tôi muốn để bạn đọc, như một bài tập, tìm ra sai lầm trong lập luận nêu trên.

Cần lưu ý rằng số thí sinh giải đúng bài toán này (và các bài toán tương tự ở những đề khác) tương đối ít: bài toán được giải bởi khoảng 1 người trong 9 người.

Bài 3

Việc giải phương trình thứ nhất của hệ đã cho:

$$\cos x - \cos 13x = 0$$

hay

$$2\sin 7x\sin 6x = 0$$

cho hai dãy giá trị

a) $x = \frac{1}{7}n\pi$ ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$),

6. $x = \frac{1}{6}m\pi$ ($m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$).

Chọn trong các giá trị này những giá trị thỏa mãn bất đẳng thức $|x| < 3$, ta được:

a) $x = \frac{1}{7}n\pi$, $|n| \leq 6$,

6. $x = \frac{1}{6}m\pi$, $|m| \leq 5$.

Bây giờ ta phải chọn những giá trị $x$ thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Phương trình này có thể viết dưới dạng:

$$1 = \sin 5x + \cos 2x = \sin 5x + \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = 2\sin \left(\frac{7x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right).$$

Trước hết, thay vào đó dãy (a). Vì $7x = n\pi$ ($|n| \leq 6$), nên phải có đẳng thức:

$$\sin \left(\frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos \left(\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

Vì $\sin \left(\frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{V^2}{2}$, nên $\cos \left(\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{V^2}{2}$ và do đó $\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}$ phải khác $\frac{\pi}{4}$ một bội nguyên của $\frac{\pi}{2}$. Tuy nhiên $\frac{3n\pi}{14} = \frac{3n}{7}\cdot \frac{\pi}{2}$, nên $\frac{3n}{7}$ phải là số nguyên. Với điều kiện $|n| \leq 6$, điều này chỉ xảy ra khi $n = 0$. Thay giá trị $n = 0$ vào phương trình (1), ta thấy rằng nó thỏa mãn phương trình đó. Vậy, trong dãy (a), nghiệm duy nhất là $x = 0$.

Bây giờ kiểm tra dãy (6). Viết phương trình thứ hai của hệ đã cho dưới dạng:

$$\sin 5x = 1 - \cos 2x = 2\sin^2x,$$

nhận thấy rằng $\sin 5x$ phải không âm, tức là góc $5x = \frac{5}{6}m\pi$ ($|m| \leq 5$) nằm trong hai góc phần tư đầu. Thay vào biểu thức $\frac{5}{6}m\pi$ các giá trị nguyên có thể có của $m$ từ $-5$ đến $+5$, ta xác định rằng chỉ có sáu giá trị cần kiểm tra

54

trong đó: $m=0, 1, 3, 5; -2, -4$. Tính vế trái và vế phải của phương trình (2) tại các giá trị này, ta được bảng:

$$\begin{array}{c c c c c c c} m & 0 & 1 & 3 & 5 & -2 & -4 \\ \sin \frac{5m\pi}{6} & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 2\sin^2 \frac{m\pi}{6} & 0 & \frac{1}{2} & 2 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{array}$$

từ đó nhận được các nghiệm cần tìm: $m=0, 1, 5, t. e.$

$$x=0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}.$$

Ba giá trị (3) cho lời giải đầy đủ của bài toán, vì nghiệm của dãy (a) cho giá trị $x=0$, đã được bao gồm trong (3).

Lưu ý rằng cũng bằng cách đó, bằng phép thử lần lượt, có thể kiểm tra dãy (a).

Khi giải bài toán này, sai lầm đặc trưng là như sau: nhiều người quên rằng nghiệm phải đồng thời thỏa mãn mọi điều kiện của bài toán, và thường chỉ đơn giản là không hiểu điều đó. Một số người chỉ giải một trong các phương trình rồi chọn nghiệm theo bất đẳng thức, những người khác kết hợp các phương trình và cuối cùng cũng chỉ giải một phương trình, không tương đương với hệ đã cho.

Bài 4

Cho $ABCD$ là một tứ giác đã cho, $AB=\sqrt{5}$. Các hình chiếu vuông góc của bất kỳ đa giác nào lên các mặt phẳng song song thì bằng nhau; vì vậy ta dựng các mặt phẳng $P_1$ và $P_2$ song song với các mặt phẳng ban đầu, đi qua đỉnh $A$, và sau này sẽ nói về các hình chiếu của tứ giác chính lên các mặt phẳng này.

Với mỗi điểm $M$ trong không gian, ta sẽ ký hiệu $M_1,M_2$ và

55

Vì $AB_1=2$, nên từ tam giác vuông $ABB_1$ suy ra $BB_1=\sqrt{5}-4=1$. Vì trong tam giác vuông $AB_2B_3$ cạnh huyền $AB_2$ bằng 2, còn cạnh góc vuông $B_2B_3=BB_1=1$, nên $\angle B_2AB_3=30^\circ$; do đó góc nhọn $AD_2D_3$, có các cạnh vuông góc với các cạnh của góc $B_2AB_3$ ($AB_2\perp AD_2$, $D_2D_3\perp AB_3$), cũng bằng $30^\circ$; vì thế từ tam giác vuông $AD_2D_3$ suy ra rằng

$$D_2D_3=D_2A\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},$$

suy ra

$$DD_1=D_2D_3=\sqrt{3}$$

và

$$AD=\sqrt{4}+3=\sqrt{7}.$$

Các đường thẳng $AB$ và $DC_2$ là các giao tuyến của các mặt phẳng song song $ABB_1$ và $DD_1C_1C$ với mặt phẳng của tứ giác đã cho $ABCD$; vì vậy $AB||DC$. Tương tự, suy ra rằng $BC||AD$. Do đó, $ABCD$ là hình bình hành, nên chu vi của nó bằng

$$2(\sqrt{5}+\sqrt{7}).$$

Hãy lưu ý rằng chúng tôi đã trình bày lời giải sao cho không ở đâu cần dựa vào hình vẽ để biện minh cho các lập luận (mặc dù để hiểu lời giải, vẫn có ích khi tự vẽ các hình như 4 a, 6, в). Khi giải những bài toán như vậy, người ta thường dựa chủ yếu vào hình vẽ, quên phân tích mọi trường hợp có thể xảy ra của một trong chúng.

Bài toán này được rất ít người giải; vì thế không thể nói về những sai lầm điển hình liên quan đến bài toán này.

Kết thúc, chúng tôi đề nghị bạn đọc, để luyện tập, thêm một phương án của bài kiểm tra viết.

Phương án 2

1. Tại các điểm $A$ và $B$ trên sông có hai kênh đào đi ra, vuông góc với nhau. Thuyền máy đi từ $A$ đến $B$ theo sông mất 1 giờ 15 phút, còn theo các kênh mất 1 giờ 10 phút. Từ điểm $C$ trên sông, nằm giữa $A$ và $B$, gần $A$ gấp rưỡi so với $B$, có thể đi thẳng bằng ô tô đến điểm giao nhau của các kênh không dưới 13 phút.

Thuyền máy đi từ $A$ đến điểm giao nhau của các kênh mất bao lâu, nếu tốc độ của thuyền máy trên sông nhỏ hơn một phần ba, còn tốc độ của ô tô lớn gấp đôi tốc độ của thuyền máy trên kênh? (Coi sông và các kênh là các đường thẳng.)

2. Trong tam giác cân $KLM(KL=KM)$ kẻ các đường phân giác $KN$, $LP$, $MQ$. Biết rằng đỉnh $K$ nằm trên đường tròn đi qua các điểm $N$, $P$, $Q$. Tìm $KM$, nếu $KP=2m$.

3. Tìm tất cả các giá trị $x$ đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

$$2\cos^2 9x=1+\cos 10x,$$

$$\cos 9x+\sin 5x=1,$$

$$|x|<5.$$

4. Các hình chiếu vuông góc của tam giác $ABC$ lên hai mặt phẳng vuông góc với nhau là các tam giác đều có cạnh bằng 1. Trung tuyến $AD$ của tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{\frac{9}{8}}$. Tìm $BC$.