Квант 1970, №3 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
3
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

Главный редактор — академик И. К.ИКОИН
Первый заместитель главного редактора —
академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Редакционная
коллегия:

Л. А. Арцимович,
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский.
И. Н. Бронштейн
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
Г. И. Косоуров
В. А. Лешковцев
В. П. Лишевский
А. И. Маркушевич,
М. Д. Миллюоницков,
Н. А. Патрикеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЧИЙ
М. Л. Смолянский
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
Я. Е. Шнайдер

Заведующая редакцией Л. И. Князева
Художственный редактор И. П. Леонов
Технический редактор Т. М. Макарова
Корректоры О. А. Сцедал и И. Б. Мамулова
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Тел. 234-05-49

Сдано в набор 2/11 1970 г.
Подписано в печать 2/1V 1970 г.
Бумага 70×100/16 Физ. п. л. 4
Условн. печ. л. 5,2 Уч.-изд. л. 5,55
Тираж 206 500 экз.
Цена 30 к. Заказ 196
Чеховский полиграфкомбинат
Главполиграфпрома Комитета
по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов, Московской области

Н. Я. ВИЛЕНКИН

ТАЙНЫ
БЕСКОНЕЧНОСТИ
(ЗЕНОН, ДЕМОКРИТ, АРХИМЕД)

Конечный человек не отваживает расстайвать беконечное как нечто данное и доступное его привлечной интуции.

Карл Фридрих Гаусс

Беконечность Ничего не dwirало так мудро разум человекий.

Давид Гильберт

МГНОВЕНИЕ ВЕЧНОСТИ

Интерес к очень большим числам появился в самом глубокой древности. Египтянне, чтобы сказать о чем-то, что оно очень велико, прибегали к образным сравнениям. В тексте одной гробниццы жреца бога Аи (XIV век до н. э.) говорится:

«Да наградит тебя он (бог)юбилями как число песку берега моря, измеряемого железом ипет, как мера моря, определяемая джayэтом, или вес горы, взвешенной на весах, или перья птиц, или листья деревьев».

Египтянам было трудно выразить иначе своего мысль, так как они не развили в достаточной мере системы числовых обозначений. Но еще около 5000 лет тому назад в Древнем Вавилоне появился шестидесятериная система численения *), и вавилонские математики свободно справлялись с весы большими числами. В одной из древневавилонских таблиц приводается, например, все делители числа $60^8+10\cdot 60^7=195\ 955\ 200\ 000\ 000$.

Об очень больших числах говорится и в индийских легендах о Будде. По одной из них, его еще в детстве подвергли испытанию в числах, и, переходя от одного размера к другому, он должен до чисел, которые выражается число песчинок десята лакх рек (лакха=100 000) таких, как Ганг. А затем пошли еще большие числа и, наконец, число, «при помощи которого богат исчисляют свое произведение и бу-

*) Читатель, интересующий древневавилонской системы численения, могут позначокомиться с ней по книге М. Я. Вьюдского «Арифметика и алгебра в древнем мире».

дущее». А в другой индийской легенде рассказывает о стражении, в котором участвовал 10²³ обезьян. Такое количество обезьян не помещилось бы не только на поверхности Земли, но и во всей Солнечной системе, даже если все ее набит битком обезьянами!

По-видимому, уже египтане и вавилонне пришли к идее вечности — к мысли, что течение времени не будет иметь конца. Эта идея ярко выражена в восточнойpritче:

«Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз в столете прилегает птичка и точит свой ключ о гору. Когда она сточит всю гору, пройдет первое мгновение вечности».

ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК

И в Египте и в Индии пользовались одним и тем же символом гигантского числа — количество песчинок на берегу реки или моря. Число это, конечно, очень велико. Если даже считать, что объем одной песчики — 1 кубический миллиметр (на самом деле она еще меньше), то в одном кубическом метре песка содержится миллиард песчинок, а в одном кубическом kilометре песка их миллиард миллиардов! Человек, отсутствующий по две песчики в секунду и занимающийся этим делом каждый день по 10 часов в течение 80 лет, отсутствал бы не более трех миллиардов песчиок. Поэтому опровергнуть прямым опытом мыслить, что количество песчинок неисчислимо, было бы весма затруднительно. Во всяком случае, чисел, которые содержатся вавилонских табличках, для этого недостаточно.

Чтобы назвать число, превосход-

дящество песчинок как в странах населенных, так и необитаемых, надо было дальше развить систему счисления, систему записи чисел. Эту задачу решил великий математик древности Архимед, родившийся, как полагают, в 287 году до нашей эры и убитый при взятии его родного города Сиракузы — в 212 году до нашей эры. Архимед мы обязаны многими открытиями в физике и математике, развите которых приведело впоследствии к созданию интегрального исчисления, гидроstatики и других наук. Его имя может служить символом величайшей математической одаренности. Многие сочинения Архимед не дошли до нашей времени. В частности, утверена работа Архимеда аргументческого характера. Но, к счастью, сохранилась книга, в которой он развивает свою систему счисления. Она называется «Псаммит», или «Исчисление песчинок в пространстве, равном шару неподвижных звезд».

Еще до Архимеда греки пользовались десятичной системы счисления и доходили до тысячи мириад, то есть до 10 000 000. Архимед начинает счет с мириады мириад*), то есть с 100 000 000. Это число он называет окмадой**) или единицей чисел вторых. Потом идет октад, который он называет единицей чисел третьих. Наконец, он доходит до октад чисел октадных, то есть до числа,

*) Мириада — древнегреческий наименование числа 10 000 (от греческого слова μυρίσσ (мириос), означающего «неисчислimo большего»).
**) охто (окто) – восемь.

равного единиц с 800 миллионами нуляй. Это число он объявил единицей второго периода. Кончил Архимед свою систему октадной чисел октадных октадного периода, то есть числом $10^{8.10^{16}}$. Если написать это число, записьвая 400 чисел на полоске длиной в 1 метр, то получится лента такой длины, что его можно будет опоясать земной экватор примерно 5000 раз. Далее на ракете, делаюшей по 8 км в секунду, пришлось бы лететь окло 300 дней, чтобы пролететь вдоль всей ленты.

И хотя еще до Архимеда учены знали, что количество натуральных чисел беконечно, что последнего натурального числа не существует, только после «Псаммита» они получили возможность называть числа, превосходящие не только количество песчинок на берегу моря, но и число песчинок в «шаг неполивых звезд»; — как показал Архимед, оно меньше тысячи мириад чисел восьмых, то есть меньше, чем $10^{63}$. Идея беконечного числового ряда, математическая модель, отражшая вечность времени, как бы материализовалась в октадах и периодах исчисления Архимеда.

БЕСКОНЕЧНЫЕ МИРЫ
В БЕСКОНЕЧНОЙ ВСЕЛЕННОЙ

Таким образом, идея беконечности впервые возникла как идея вечности, идея неограниченного во времени существования мира. Однако и в Египте и в Вавилоне не было еще, по-видимому, мысли о беконечности пространства. Вселенная считалась ограниченной твердой сфера, опирающейся на Землю, а за пределами этой сферы не было ничего, доступного поиманню смертных. Но уже в VI веке до н. э. в Древней Греции возникла идея беконечности пространства. Философ Анаксиандр впервые высказал догадку о беконечности миров в беконечной вселенной. Греческие философы говорили: «Где бы ни стал воин, он сможет протянуть свое копье еще дальше»*).

Так возникла модель мира, беконечного во всех направлениях и вечного во времени. Наболее смелые мыслилели утверждали даже, что мир не имел и начала, но их пределовали как безожжников, отрицающих создание мира богатами.

ДЕЛИТСЯ ИЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ?

Итак,устройство вселенной«в большом» было выясено (или по крайней мере казалось, что оно выясено). Но одновременно с этим философы и математики размышляли и о том, из чего состоит весь видимый мир, как он устроен«в малом». Повседневный опыт учил, что ковригу хлеба, окорок кабана, кувшин вина можно разделить между сидящими за столом. В случае *) Телер мы знаем, что это рассужждение доказывает лишь неограничность пространства, отсутствие ограниченной сферы неодвижных звезд, но никак не доказывает его. Беконечности. Различие между неограниченно и беконечностью видно на примере окружности — у окружности нет границ, хотя ее размеры и конечны. Читатель может возразить, что окружность искривлена, а пространство не является кривым. Но в современной физике вводится понятие кривизны пространства (с этим, в частиности, связано отклонение лучей в поле тяготения). Конечно, ни Анаксиандр, ни другим философам древности также тонкости не были доступны, и они были убежданы, что их рассужждение доказывает все конечности.

7

Чае необходимости можно было каждую из частей разделить снова на части. Но если продолжить это деление, то рано или поздно наступит момент, когда части получается настолько малыми, что дальней их делить оказывается уже практическим невозможным. Для того чтобы выразить такие малые «недelmые» величины, уже издавна применялись образы «пылинки», «макового зерна» и т.д. Но если маковое зерно можно все же же, хотя и с трудом, разделить на части, то можно ли делить на части пылинку, плащушую в солнечном луче? На этот вопрос повседневный опыт ответа не давал, и приходимось опираться только на рассужждение, проводить чисто умозрительный анализ.

Один из дополнительных до нас ответов на этот вопрос принадлежал жившему в V веке до н. э. гречекому философу Анаксагору. Он чил:

«Среди малых величины не существует наименшей, но уменшение идет непрерывно, либо существующее не может перестаать существовать».

Он же говорил:

«Все вещи (в начале мирадания) были вместе, они бесконечно многочисленные и бесконечно малы».

Итак, по Анаксагору, все состояние из бесконечного множества бесконечного малых частей. При этом, конечно, под бесконечного малой понималась не переменная, стремящая к нулю, как это принято сейчас в математике, а не имеющая размеров точка.

Но это противоречило двум основным аксимом, общеприятным в гречекой математике. Гречские учены разделили все величины на протяженные и непротяженные. При этом они считали, что:

1. Сумма бесконечного большого числа любых, хотя бы и очень малых протяженных величины обязаательно должны быть бесконечно большой.

2. Сумма любого, хотя и бесконечного большого числа непротяженных величины всегда равна нулю и никакогда не может быть равной некооторой заранее заданной протяженной величины.

Получалось, что бесконечно малые, из которых, по Анаксагору, был составлен мир, не могли быть ни протяженными, ни непротяженными, то есть они не могли существовать.

Против идеи бесконечной делимости выдвигались и инные возможности Анаксагора Плутарх писал:

«Если деление двух величины на части может продолжаться до бесконечности, то нет основания считать одну велиницу большше, чем другая, а самая природа неравенства уничтожается».

Смысл этого возражения в том, что после деления об величины оказется составленными из одного и того же (beсконечного) числа одинаковых (beсконечного малых) величины.

НЕПОДВИЖНЫЙ МИР

Пожалуйста, самые сильные доводы против идеи бесконечной делимости выдвигались философ Зенон Элейский, живший в Италии в середине V века до н. э. Он «показал», что допущение бесконечного деления приводит… к отрицанию возможности движения. Свои рассужения Зенон облекав в весы живую, парадокальную форму. Так, в одном из них он «доказывает», что быстроонгий Ахилесникогда не допонит медленную черпаху — ведь сначала он должен достичь точки А, откуда пополза черпаха, потом точ-

9

a ль и вы е поверхности (имеющие минимальную толщину). Например, конус, по Демокриту, состоял из кружков, имеющих минимальную толщину, а пирамида — из таких же многоугольников. Шар он представлял себе состоящим из иглочек-пирамид, вершины которых находится в центре шара. Аристotel писал:

«По Демокриту, и шар режет, так как и он угловат».

Такой подход позволяет Демокриту решить многое проблемы, стоявшие перед геометрами. Так, он был первым, вычислишим объем конуса и пирамиды, он первый вычисление объема шара к вычислению площади сферы. С пирамидой он справился, по-видимому, так.

Сначала он доказал теорему, что две пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты, имеют один и тот же объем. Здесь для него не было никаких сложений — пирамиды с одинаковой высотой состояли, по Демокриту, из равного числа соответствующих треугольников, причем их объемы были суммины «объемов» треугольников (ведь, по Демокриту, треугольники были материальными, имели минимальную толщину). Поскольку площади оснований пирамид были одинаковы то «объемы» соответствующих треугольников в обенных пирамидах совпадали, и потому совпадали и объемы пирамид. А потом он делил трехгранную призму на три пирамиды, имеющие попарно одну и ту же высоту и равновеликие основания (см. рисунок). Таким путем Демокрит «доказывает», что объем пирамиды равен одной трети объема призмы, имеющей ту же высоту и то же основание. А равенство объемов пирамиды и конуса, имеющего ту же высоту и то же по площади основание, доказывалось уже совсем просто — они состояли из одинакового количество фигур одного и того же «объема».

Ясно и то, как подходил Демокрит к задаче об объеме шара. Раз шар состоит из иглочек-пирамид, то объем шара равен сумме объемов этих пирамид. А объем каждой пирамиды он ужеумел находить. Суммиру эти объемы, он приSEL к ответу: «Объем шара равен одной трети произведения радиуса шара на площадь поверхности шара». Вычислить эту площадь ему не удалось.

ШЕРШАВАЯ ПИРАМИДА

Демокрит добавился замечательных результатов определения объемов геометрических тел. Но большинство современников ответло его методы. Слишком непохожими были идеи Демокрита на результаты непосредственного опыта. Ведь даже деление отрезка пополам было в геометрическом Демокрита весма сложной пробелой. Отрезок, состоящий из нечетного числа недельных, нельзя было разделить пополам: средняя недельная должа была отойти к одной из половин, и эта половина становится больше, чем другая. Невозможно было разделить попо-

лам и круг: при таком делении диаметр круга отходил к одной из положин, делая ее больше, чем другая. Мало того, по Демокриту, и прямы и окружности состояли из недельных одного и того же вида. Поэтому окружность и касавшаяся ее прямая имели общую недельную, общую амеру. Следовательно, к окружности можно было проверсти лишь конечное число касательных.

Да и примида, принесшая столбь большой успех Демокриту, получалась у него какой-то страной. Ведь надо было решить вопрос, равны ли друг друга паралельные сечения примиды. Если они равны, то примида не существует к вершине, а если различны, то примида имеет ступенчатую форму (такую, какую имеют einigeские примиды).

По-видимому, Демокриту не удалось построить непротиворечную геометрию, хотя его геометрия не была столь наивной, как рисунот его противники. Во всяком случае, один из самых замечательных результатов предшествников Демокрита — существенно несозмерными отрезков— не находится обьясенная в его пространиях: по Демокриту, все отрезки должны быть сизмерными, измеряться минимальной длиной. И геометры отвергли иden Демокрита, вместе материальных поверхностей стали рассматривать идеальные, не имеющие толщины, вместе материальных линей — идеальные, а вместе амер — точки, не имеющие длины. Правда, при делении отрезка пополам все равно приходилось удаливать делящий точку, но это было уже неважно: размеров она не имела и на длину влияния оказать не могла.

Сам Аристотель почал, что «введение минимальной длины расшатывает самые великие основы математики». Как говорил верный последо-

11

Ватель Аристотеля средневековый схоластик Фома Брадварин, «все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состояние из недельных». И еще в XVII века паряжский parlament пригрозил смертной казью всем противникам мненей Аристотеля. А в частиности — всем сторонникам atomизма.

МЕТОД ИСТОЩЕНИЯ

Итак, математикам пришлось ответнуть и метод недельных Демокрита и бесконечные процессы — критика Зенона подорвала всякое доверие к результатам, полученным путем использования понятия бесконечности. В результате возникло трудное положение — методы Демокрита, хотя и путем нестрогих расчудений, давали правильные формулы для вычисления площадей и объемов; теперь же приходилось разработать новую процедуру вычисления геометрических величины, в котором ни звука не говорилось бы ни о бесконечности, ни о бесконечно малых, ни о недельных. Такую процедуру создал в IV в. до н. э. предшественник Евклида математик Евдокс, разработавший «метод исчерпывания» (или, иначе, «истошения»), в котором многое видят предка современного метода пределов. Этим методом шроко пользовался Евклид в своих «Началах».

Например, вот как Евклид доказывает, что площади двух кругов относится, как квадраты их диаметров:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

Пусть это неверно. Тогда $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ где $S$ либо меньше, либо больше $S_2$.

Допустим сперва, что $S < S_2$. Впишем в круг с диаметром $d_2$ квадрат и будем строить правильные вписанные многоугольники, последовательно удваивая число сторон. Легко доказать, что через несколько шагов разность между площадью круга и площадью $P_2$ вписанного многоугольника

становлено, чем $S_2 - S$, то есть $S_2 - P_2 < S_2 - S$, а значит, $P_2 > S$. А теперь впишем в круг с диаметром $d_1$ многоугольник, подобный вписанному в круг с диаметром $d_2$; площадь этого многоугольника обозначим через $P_2$. Так как площади подобных правильных многоугольников относятся, как квадраты диаметров описанных кругов, то

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

Но мы допустили, что $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ а потому

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{S_1}{S}$$

или, в силу свойств пропорций,

$$\frac{P_1}{S_1} = \frac{P_2}{S}.$$

Но $P_1 < S_1$ (площадь вписанного многоугольника меньше площади круга), а $P_2$, как только что было показано, больше $S$. Итак, левая часть равенства (*) меньше единицы, а правая — больше единицы, что абсурдно. Значит, неравенство $S < S_2$ невозможно.

Точно так же доказывается, что невозможно неравенство $S > S_2$ (проведите доказательство сами!).

Итак, предположения $S < S_2$, $S > S_2$ определяются и остаются единственным возможным: $S = S_2$, то есть $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S_2}.$$

Но если для круга и результат можно было легко угадать, и расчудения были не слишком сложны, то вычисление объема конуса или параметров источника было делом сложным и запутанным. Впрочем, с конусом и параметром можно было еще справиться — ведь ответ был известен во время Демокрита, и Евдоксу пришлось лишь уточнить сообщения Демокрита, заменив разбиение параметров на недельные данные треугольники расчудениями по методу источника.

Но когда надо было искать объемы фигур, с которых Демокрит дела не

12

имел, например эллипсонда врашення или параболида врашення, дело было совсем плохо — неизвестно было, для какой величины доказывать, что объем не может быть ни больше, ни меньше этой величины. Иными словами, метод исчисления мод служим только для доказательства уже найденных результатов, но не для открытия новых.

И ЛЕНЬ БЫВАЕТ ПОЛЕЗНА

Впрочем, математики, жившие после Евдокса, не сликом стремились к открытию новых формул. Центр научной мысли переместился в это время из Греции в Египет, где под опекой Птоломеев в Алексадрийском музее ученыные изучали небо, приводили в систему ранее накопленные математические знания, писалиоды в честь высоких покровителей наук, переписывали древние рукописи. Надо сказать, что сделали алексадрийские ученыные не так уж мало, только работы их носили скорее эпигонский характер. Они больше разработвали ранее доступную, чем продавали новые пути.

Одним из немногих исключений в тихой семье алексадрийских ученных был прихавший учиться из далеких Сиракуз родственник сиракузского царя Архимед. В отличие от большинства тогдашних ученых, он интересовался не только высокой теории, но и практическими приложениями науки, изобрел винтовой насос, который потом пользовался много столетий, делал механические игрушки, а впоследствии, когда его родной город осадили римляне, стройл военные машины. Понятно, что Архимед весна заинтересовался механикой, равновесием рычагов, плаванием тел и т. д. А механика была еще со времен Платона отлучена от чистой науки и считалась чем-то родственным ремеслу. Поэтому в механике не сликом тщательно следила за строгостью расужdenия, и механики широко использовали в своих исследованиих атомистику, расщепляя мыслино клиныя на atomы-клины, имеющие общую вершину с целым клином, водяные выходи — на ряд «atomных» кругов малой толщины и т. д.*).

И во многих работах Архимед встречался любопытное сочетание метода источения с рассужданиями,почерпнутыми из механики. Он научился прилагать к решению геометрических задач понятия центра тяжести, рычага и получил таким путем новые результаты, недоступные тогдашней «чистой математике»**). А поскольку результаты механики опирались в конечном счете на атомистические расужdenия, то на самом деле Архимед в этих работах опирался на атомистику. Только явно он об этом ничего не писал. Хороший математический тон того времени, по-видимому, требовал, чтобы ученые излагали свои результаты, не ссылаясь на преданные анафеме иden Демокрита. А может быть, Архимед тогда еще и не читал Демокрита — на это указывают некоторые детали его работ.

Позному из больших работ Архимед, дошедших до XVI—XVII веков, математики не могли узнать, как он договоравался, какие результаты надо ему доказывать. Им приходилось только следовать за изгибами мысли Архимед, лишь в самом конце убеждаясь в его правете. Но в некоторых отрывках, цитированных Героном и других учеными, упоминалось о каком-то послании Архимед Эратовфену. В этом послании Архимед писал «о расужdenиях, основанных на методе, но не являющихся еще доказательством под текст работ Архимед. Но, чтобы убедиться в этом, нужно было иметь в

*) Любопытно, что и сейчас инженеры и физики предопчитают говорить об элементарных плосках, бесконечно тонких слоях и т. д., не прибегая к точному, но несколько усложнному языку, который пользовался математики.
**) См. об этом в книжке В. Ф. Кагана «Архимед».

13

руках полный текст последия. Как часто бывают, помог счастливый случай.

В 1906 году приват-доцент Петербургского университета Попадопулого-Керамевс нашел в библиотеке одного из нерусалимских монастрей какой-то богатославский трактат. Так как в средние века пергамент был очень дорог, то обычно брали древние книги, смывалили или стирали с них языческие тексты и писали житие какого-нибудь свягого муеника. Того же проискхождения была и рукойсь, занитересовавшая Попадопулю. Приват-доцент был весма слаб в математике и не слишком заинтересовался остатками смыного текста (к счастью, монах, писавший трактат, поленился и только смыл текст, а не стер его). Он привед лишь маленькую выдержку из древней рукониси. Но для известного датского источника математики Гейберга этой выдержки оказалось достаточно, чтобы установить — монах смыл текст Архимеда. Среди многих работ, прочитанных Гейбергом, оказалось и последие Эратовфену.

В этом послании Архимед отдает должное заслугам Демокрита, говоря, что он был первым, кто установил теоремы об объеме конуса и прамиды, не дав им, правда, должного доказательства. И метод, с помощью которого Архимед проводил предварительное исследование проблемы, оказался близким методам Демокрита. Он разлагает цилиндры, конусы и шары на чрезвычайно тонкие кружочки, доказывает нужное ему положение для одного из них, отмечет, что вывод должен быть верен и для остальных, и, наконец, говорить: «Так как все тело сложено из таких кружков и целиком заполнен им, то утверждение верно для всего тела». А ведь это почти дословно совпадает с рассуждениями атомистов!

Архимед хорошо понимал всю ценность своего метода и надейлся, что с помощью этого метода «кто-нибудь из теперьших или будущих исследователей… найдет и другие теоремы, которые мне не пришли еще в голову».

К сожалению, посление Архимеда оказалось неизвестным именно тем математикам, которые оно было нужнее всего, — творцам исчисления бесконечного мальх Кеплеру, Галилю, Кавальери. Но они по отдельным намекам восстанавливали ход мысли Архимеда.

Рассказ о том, как возродились атомистические представления, как был создан современный математический анализ, появится еще на страницах «Кванта».

ЛИТЕРАТУРА

1. Вандер Варден, Пробуждающаяся наука. Физматгиз, 1959.
2. М. Я. Выгодский, Аррифметика и алгебра в древнем мире. Наука, 1967.
3. И. А. Гей берг, Естествознание и математика в классическом древности.
4. В. Ф. Каган, Аррифмет. Гостехидат, 1951.
5. С. Я. Лурье. Теория бесконечного мальх у древних атомистов. Изд-во АН СССР, 1935.
6. С. Я. Лурье, Аррифмет. Изд-во АН СССР, 1935.

14

Десятая проблема Гильберта решения!

Этот номер «Кванта» уже подписывается в печать, когда математический мир облеглела все о выдащемся достинения советской и, пожалуй, мировой (!) математики: недавний выпускник Ленинградского университета двадцатилетний аспиран Юрий Матиясевич доказал алгоритмческую неразрешимость знаментий десятий проблемы Гильберта.

Ю. Матиясевич хотя и молод по возрасту, но в математике отноудь не новичок. Еще на школьной скамбе, став победителем международной математической olимппады, он затем в студенческе годы получил веса важные и интересные результаты в математической логике. Уже в следующем, 1968 году, им опубликованы три работы, в которых, по сути, началась «атака» 10-й проблемы Гильберта. И вот—результат, который уже буквально завтра войдет в учебники. Кстати, в вышедшем лишь в прошлом году в издательстве «Нука» сборнике «Проблемы Гильберта» есть статья, посвященная 10-й проблеме, в котором даже не упоминается, что десятая проблема Гильберта алгоритмческую неразрешима.

Любопытно, что Юрий Матиясевич специализит не по теории чисел, к «ведомству» которого, казалось бы, относится проблема разрешимости диофантовых уравнений, а по математической логике. Он ученик Н. А. Шаина и С. Ю. Маслова—представитель «Ленинградской школи» математической логики и теории алгоритмов, придерживающихся так называемого конструктивного направления в логике и математике, возглавляемого членом-корреспондентом Академии наук СССР А. А. Марковым.

«Биография» проблемы такова.

В 1900 году на Всемирном конгрессе математков в Париже один из крупнейших математков мира Давид Гильберт выделил двадцатилетный проблеми из различных областей математики, решения которых представило бы, по его мнению, особую важность для дальнейшего развития этой науки *). К этим «проблемам Гильберта» с тех пор неизменно приковано внимание математков всего мира. Часть их уже решена, часть упорно не поддается решению.

Проблема № 10 формулируется следующим образом: «Пусть задано уравнение с произвольным числом

*) См. Д. Гильберт, «Matематические проблемы». Нука, 1969.

неизвестных и целыми разиональными коэффициентами (т. е. уравнение вида $P(x_1, \dots, x_n) = 0$, где $P$—многочлен произвольной степени с целыми коэффициентами от неизвестных $x_1, \dots, x_n$); требуется указыть способ, по которой с помощью конечного числа операции можно было бы узнать, разрешимо уравнение в целых числах или нет (т. е. существует ли такой набор целых чисел $x_1^0, \dots, x_n^0$, что $P(x_1^0, \dots, x_n^0) = 0$)».

Несмотря на простоту и элементарность формулировки десятиой проблемы, искомый «способ» (или, как говоря в современной математике, алгоритм никак не удалалось найти, что, естественно, наводило на мысль о том, что его просто-напросто не существует. После того, как в тридцатых годах нашей степени популяло точно математическое определение, стало возможным говорить о поисках такого отрицательного решения 10-й проблемы.

Поздравляя Ю. Матиясевич и его учитель с заменательным вкладом в науку, редакция «Кванта» предподает в ближайшее время подробнее расссказать об этом выдающемся результаты.

15

Штрихи
к портрету

В 1792 году пост министра морского флота Республики 한ской Франции занял человек, известный теперь в основном своим работами в геометрии. Звали его Гаспар Монж.

Вступив в должность, он начал с того, что приказал морским офцерам, приезжаемым в Париж по делам службы, квартировать в здании министерства. Об этом было предупреждено наальство всех морских портов Франции. В результате минстр, провив заботу о подчиненных, одновременно знал все, что происходит на морских границах Франции.

А вот, как много лет спустя работал преподаватель Монж. Когда его пропицательный взгляд замечал на самых отделенных скамьях аудитории ученика, пришедшего в уныние то ли от трудности предмета, то ли от лености, то Монж немедленно принимался повторять свои рассуждания, переменив в них слова и порядок. Если это не приносило успеха, преподаватель отпускал всех учеников, за исключением того, кто его обеспокоил, садился рядом с ним и читал лекцию только для него. Вступлением к такой «персональной» лекции у Монжа всегда служила фраза: «Я, мой друг, научу повторение с того места, с которой ты перестал меня понимать».

Монж обладал веса общими познаниями в других областях науки. Уже после того, как он ушел в отставку с поста министра, выяснилсь, что ресурсника испытывает острую нужdy в боеврипасах — не хватало пороха. Для его изготовления нужна была селитра. Передреволюцией Франция получала ее из Индии, путь в которой был теперь отрезан. Комитет общественного спасения обратился за помощью и советом к ученым.

Это может показаться удивительным, но выход нашли не химики, а … математик Монж. Он заявил: «Селитры достаются во французской почве, в конюшнях, погребах и наkladбищах. Вы даже не представляете, как ее там много. Селитры добудем вдоволь и через три дня зарядим порохом все пушки».

Монжу вначале не поверили, лишь скелтические улыбницы. Но все же к его доводам прислушались. Днем и ночью старики, детей и женщины рыблись в земле и через считанные дни селитра в достаточном количестве поступила на пороховые заводы.

Но, пожалуй, наиболее характерной чертом Монжа была скромность. Вот каким предисловием снабдил он свой юношский труд: «Я уверен, что идеи часто остаются бесплатными в руках людей обыкновенных, а искусные математики извлекают из них большеную роль. По этой причине преровождаю мои исследования в Туриискую академию». Среди тех, кто ознакомился с этой работой, был математик с миром именем Лагранж. И он написал о молодом Монже: «Этот пострел со своим «происхождениям поверхностей» идет к бессмертию».

В. Б.

17

Характер развития науки драматичен. Но на большом историческом расстоянии даже крупные маски на полотне науки сливаются, противерия становятся незаметными, и развитие науки кажется последовательным, строго логичным и все время направленным в одну сторону. На малом расстоянии наука по настоящему понятна только профессионалам, а безусловно истинными какутся сегодня преставления. Поэтому, чтобы увидеть характер развития науки, расцвет и такое тоже былает — угасание отдельных ее области *), увидеть драмы ией, характеров, убежданий, надо вспотеться в ту науку, которая уже стала историей и понятна до конца — превращалась из арены бит в школьную прописную истину. Тогда, быть может, удостся по новому и правильнее представить себе сегодняний день науки.

Очень удобно проследить в этом отношении путь, который привел к открытию закона инерции. В школьном изложении этот закон выглідит оченьным и примитивным, и непонятно, почему для его открытия понадобился гений Галилея, Декарта и Ньюотона.

Между тем закон инерции — один из величайших и, в соответствии с этим, один из самых глубных законов физики.

Один из величайших, либо он постите универсален, будучи справедливым как для электронов, так и для галактик. Его не поколебала ни одна из революций естественного XX века: ни теория относительнойности, ни квантовая механика.

Причина такой устойчивости закона инерции — в его глубине. Он потому и справедлив для всех без исключения объектов, что связан не со специфическим свойством объектов, а с фундаментальным свойством пространства и времени: с

*) Наример, науки о концепциях сечения или о точном (в радиках) решения алгебраических уравнений.

однородностью и изготовленный пространства (то есть с эквивалентностью любых мест и направленный в пустом пространстве) и однородностью времени (то есть эквивалентностью любых моментов времени).

В самом деле, если бы материальная точка, движущаяся по инерции, то есть не взаимодействующая со всем остальным миром, изменила, например, направление своего движения, это могло бы ознакомиться только одно: неэквивалентность направления в пространстве — направление, куда повернула материальная точка, чем-то отличается, стало бы, от всех остальных.

Вопрос для сторонников оценидности закона инерции: как будет движаться не взаимодействующей ни с чем материальное тело? Ну, скажем, как происходит бы движение нашей Земли, если бы вдруг исчезло прияжение Солнца? Сохранили бы ее врашение вокруг оси или нет? *)

Отвечая на этот вопрос, стоит иметь в виду, что количество ответов на более сложный вопрос о свободном движении волка был dan в результате работы таких величайших математikов, как Лагранж и Эйлер.

Неправда ли, даже после одного заданного вопроса закон инерции начинает казаться не только уж наивно-очевидным? Что уже уреплить это в печатание, стоит задать нас тем, когда и в каких условиях (физикская задал бы: в каких системах отчета) действует закон инерции. Ну, например, представим себеbilлардный шарик, лежащий на лишенном трении полу трамвая. На шарик не действуют никакие силы, а между тем наблюдаемый водитель заметит, что время от времени (когда?) шарик начинает, вопрос закону инерции, неравномерно κατάться по полу. В чем здесь дело?

Заметьте, что подобные построения — отноудь не упражнения в схолASTике. Пример этого — понятия

*) Ответы на все поставленные в статье вопросы данных в конце журнала.

18

абсолитного и относительной по-коя. Все знают, что абсолитного по-коя нет, но относительной по-коя междуведенного газа удовищно условяет задачу полетов с околосветой скоростью из-за стolkновенной счастлими газа.

Но вернемся к закону инерции. Он не просто неочевиден. Он — первый безумный закон в истории науки. Ведьник и никогда на Земле не видел равномерного движения без действия внешней силы. Абсолитно все, без единого исключения, эксперименты убеждают: без сил нет движения. Не случайно до Галилея считали, что скорость пропорциональна действующей силе. И это для обычных скоростей того времени — правильный закон. Вот только очень уж неуперсальный! От чего только не зависит в нем коэффициент пропорциональности! Над изучением этого коэффициента могут трудиться (и трудятся!) поколения ученых, тем более что с ростом скорости условияется сам закон, сама зависясть между скоростью движения и приложенной силой. И неудивительно: ведь сила лежит, строго говора, за пределами механики (при трении выделяется телло).

Но как допуматься убрать эту всегда приступуюшую силу? Как отказаться от абсолитной оценности и от естественного пути все новых, все более и более тонких и сложных экспериментов?

Ответ истории неожидан и получен. Закон инерции, как и все основные законы механики — законы Ньютона, был рожен не на Земле, а на небе. И кто знает, когда он был бы открыт, если бы наше небо, как небо Венеры, было всегда закрыто облаками? Более того, закон инерции был открыт в результате ошибки! Галилей, открывший закон, считал, что по инерции тело может двигаться только по окружности!

Что бы понять, как это произило, нам придется проследить за истории, продолжавшейся 25 веков, историй становления гелиоцентрического системы, против которой выступали такие геники, как Аристотель и Архимед. Попробуем изложить современным языком — а значит, неизбежно несколько изменяя — аргументы споривших.

Впервые Землю лишили неподвижности еще в пятом веке до нашей эры. Сделал это Филолай, один из учеников Пифагора. Он считал, что Земля вместе с Солнцем и планетами вращается вокруг некоого центрального огня.

Спустяvek у Филолая появился гениальный оппонент — Аристотель *). Он ответгил гипотезу Филолая, как противоречащую существование неподвижных звезд. Ведь если Земля движется, земному наблюдаемого все звезды должны казаться движущимися! На провержение этого возражения ушло 23 века — из них 3 уже после смерти Коперника!

В III веке до н.э. Аристарх Самоскский предложил систему, тождественную будущей системе Коперника: Земля и все планеты вращаются по окружностям вокруг неодвижного Солнца. Противниками Аристарха стали Архимед и Аполлоний Пергский, либо система Аристарха противоречаща астрономическим наблюдаемям — во II веке до н.э. это строго доказал Гиппарх. Оба ученых, Аристарх и Гиппарх, были одновременно правы и неправы: Земля и планеты вращаются вокруг Солнца, но не по окружностям, а по элиппсам! Казалось бы, до истины

*) Древние греки пытались ответить и на вопрос, почему небесные тела нарушают общее правilo и не падают на Землю. Греки прикрепили их к хрустальным сферам, потому что сфера не может упасть, не сломавшись, на собственный центр! Швом хрустальных полусферции Млечный Путь. Идея кажется наивной, но стоит вспомнить, что в двадцатом веке Нобелевский луреат Ф. Дайсон высказал мысль о создании высокими чивилizaциями непрозрачной сферы вокруг центрального света для полного использования его энергии.

19

Система мира Птолемея.

остался один шаг. Но шаг этот неудалось сделать не только Копернику, но и Галилею. Окружности в качестве орбит планет казались абсцилтоно бессспорными: они были единственными совершенными кривыми. Андрэ Бонар в «Греческий цивилизации», вышедший в 1959 году, пишет: «Жаль, что учены, которые возражали Аристарху, не пришли к открытию Кеплера. Но предрассудок о превосходстве кругообразного движения прочно укоренился».

Слова древних об обязательности совершения орбит кажутся смешными. Переведем, однako, эти слова на совершенный язык. Одной из ведущих идей современной физики, как уже было сказано, является идея об однородности и изготовлении пространства. Из этой идеи вытекают основные законы физики. Но ведь если орбит планеты не является круговой, то в пространстве появляется виделенное направление набольшей вытянутости орбиты, которое оказывается чем-то отличным от всех остальных направлений! То, что движение планет обусловлено их предыстории, было еще неопостижимо.

Позотому Птолемей (II век н.э.) исходит из геоцентрической системы и, вводя сложную картину кру-

20

Система мира Коперника.

говых орбит, обьясняет все наблюдательные факты. Более того, он получает возможность представить движение планet и даже затмения Солнца и Луны. Это так порозило воображение древних, что его сочинение получило имя «Альмагест» — величайшее. Птолемей стал первым в истории астрономом, который удалось согласовать астрономические наблюдения со своей теории. Великое достижение! Но, возможно, именно оно на многое века затмозило выяснение истинного движения планет: ведь все так хорошо, теория так прекрасно совпадает с экспериментом!

Проходит 17 веков, и история повторяется! Каноник Фраузенбургского собора Николай Коперник стремится всего лишь привести систему Птолемея в соответствии с наблюдениями своего времени и заменяет: система Птолемея можно несколько упростить, если считать, что Земля и планеты врашают вокруг Солнца, но по-прежнему по сложной системе окружностей. И опять, как и у Аристарха, у Коперника есть оппонент — один из величины астрономов-наблюдателей всех времен Тихо Браге. Он ответает системе Коперника примерно по тем же причине, что и Гиппарх

21

Модель Вселенной Кеплера, предположенная им первоначально.

системы. После долги безупрешных попыток найти гармонию мира в системе правильных многогранников, заключающих орбиты планет, Кеплер приходит к велиkomу закону: планеты движутся вокруг Солнца, но движутся по эллипсам!

В этом законе проявилась не только готовность Кеплера высказать статьель безумную идею, отвергающую взгляды двадцати веков. Кеплер еще и необычайно повезло. Благодаря огромной удаленности планет (особенно тяжелых) друг от друга их орбиты близки к эллипсу — одной из трех кривых, хорошо известных в то время (эллипс, гипербола, парабола).

Кеплер первым установил законы движения планет. Как он приSEL к своему второму закону: в равные промежутки времени планеты описывают равные площади, — остается почти непостжимым. Ведь интеррального исчисления еще не существует, и вычисление площадей было не только наукой, сколько искусством: каждая кривая требовала своего подхода. Откуда вообще могла появиться мысль о совершению необычном площадей? Вероятно, сказаюсь и раннее увлечение Кеплера — изобретенные им в трудде «О стереометрии винных бочек» (геней из прикладной задачи создается наук!) конкретные методы вычисления площадей, и почти мистецческая вера в существование единых законов природы *), и, верятоно, просто любовь к вычислениям ради вычислений, и то, что называется генiallyность **).

Непримиримым научным противником Кеплера стал его современник Галилей. Он первый поставил вопрос о том, что же движет планеты, заставляя их орбиты искривляться. Воздействие Солнца на таком расстоянии Галилей считал мистикой, как и связыва приливов с Луной. Откуда планеты знают, что в следующий час они должны описать такую же площадь, как и в предыду-

*) Кеплер был глубоко верующим человеком и ушел из богатловия в астрономию, утверив себя тем, что «бога можно прославлять не только богатловием». Но из учебника астрономии, написанного благочествимм Кеплером, Бог вышал, и книга была сразу же внесена каталогической черковью в список запрещенных. Таков частый итог честного спускения истинne.

**) Нельзя не назвать хотя бы некоторых работы Кеплера: третий основной закон движения планет, последующий Ньюотону основой для вывода закона всемирного тяготения (!); объяснение приливов и отливов; идея о световом давлении (!), созданием хвосты комет; предсказание спутников Марса и астроидов; установление одного из важнейших положений дифференциального исчисления — условия максимума функции.

Второй закон Кеплера: $S_1 = S_2$.

22

ший? *) Требовалась принципиальное новая постановка вопроса, потому что неправилен был сам прививленный вопрос. А ответ Кеплера: «Планеты движет мировая душа», разумеется, не мог удовлетворить Галилея. Но раз сили, действующей на планеты, не существует, рассуждал Галилея, значит, подобное движение — естественное свойство планет. Галилея называл его инерцией и очень убедительно доказал ошибочное утверждение: причина вращения планет — инерция, движение по инерции может быть только движением по окружности, все точки которого равноправны (!).

Движение по прямой Галилей полагал исключенным: переход со временем из одной точки в другую ознакомы был их неэквивалентность; кроме того, в этом случае телоникогда не достигло бы конечной цели (на современном языке — равновесного устойчивого состояния), а природаникогда не ставит себе неодоступимых целей (то есть равновесное состояние рано или поздно наступает).

Это рассужждение привело Галилея к противоречию не только с Кеплером, но и с самим собой: ведь ранее он доказал, что движение по кругу связано с силой, действующей к центру! Противоречие казалось неразрешимым, а Декарт сделал ситуацию еще более драматичной, показав, что движение по инерции — это движение по прямой.

Что же движет планеты?

*) Поччительно сравнить этот вопрос с вопросом Резерфорада Бору: откуда электрон знает, какой часть свет он должен излучать, перескакивая на новую орбиту?

Выхода, казалось, не было. Но в год смерти Галилея родился Ньюотон. Он вернулся к Кеплеру, к его законом, и на их основе созdal точную наук о движении тел.

Do сх пор recht шла только о стольновении идеи, о спорах между рыцарями мысли: Филолаем и Аристotelем, Аристархом Самосским и Гиппархом, Коперником и Тихо Браге, Кеплером и Галилеем, спорах, в которых выяснили, что истинна еще не родилась. Но ведь учены — живые люди, с их страсти, самолюбием, гордость и способностью ошибаться даже в малом. Галилей был убежен в невозможности покинуть Землю и не заметил, что его формулы давали первую космическую скорость *). Он обьясил приливы движением Земли вокруг Солнца (так хотелось первому указыть явление, доказывающее это движение!), но период приливов вдвое отличался от его расчеловки и совпадал с результатами Кеплера. Галилей объявил совпадение у Кеплера случайностью **), а сам наивно и беспомощно апеллировал к служам, что где-то в Саргассовом море период приливов «правильный». Но одновременно он пытается связать неправильный период прилива в Средиземном море с его глубиной — и создает новую область науки: изучение поверхностных волн и волн в замкнутых бассейнах! Га-

*) Кстати, а как, использую формулу $S = \frac{gt^2}{2}$, получить выражение для первого космического скорости!

**) Вспомним Бора: «Совпадениедураской теории с экпериментом еще ничего не доказывает, существует бесписсленное множество таких теорий».

23

лилей открыл независимость периода колебаний маятника от амплитуды — и тут же, увлекшись, ошибочно распространил этот закон на любую величины амплитуды; обнаружил постоянство земного ускорения — и немедленно сделал вывод о его независимости от расстояния до Земли! Так ошибался основатель чуты ли не всех областей механики *).

Так, в густой смеси произней и заблужdenный, без правых и неправых развивалась наука. А ведь при этом все, о ком шла речь, были гениями: их труды служат уже несколько веков; они продвины все человекачество на много десятилетий вперед (а чем, как не числом экономленных человеко-лет, определяется степень таланта?); больше времени ушло на понимание и освоение их идеи — великая истинка редкорождается простой и понятной **).

Изложенная история развития науки, конечно, крайне упрощена и написана грубыми масками, иногда с народной конденсацией фактов. Но ясно, что развитие идет не по прямой телефонного столба, а скорее по сложной кривой дерева науки, ветви которого наклонены под разными углами к истине и постепенно спрямляются, чтобы подняться на новый язык знания.

*) О существии гениев. Ныотон из научной добросовестности 20 лет не публиковал свой закон всемирного тяготения, стремясь вывести из него законы Кеплера, а потом долги года спорил о природете с Гуком; не публиковал свое открытие дифференциального и интегрального исчисления, пытаясь найти общую формулу для интеграла, а затем доказывал свой природет в споре с Лейбницем. Ибо Ныотон жил только науки, всего жизнь был одинок и не мог пожертвовать своей единственной житейской радостью — слабой, хотя слабый его открытий хватило бы на многих.

**) Вот, например, правило умножения из рукописи XV века: 7×8=? 7+8-10=5, далее 5×10=50, теперь определен 10—7=3, 10—8=2 и переменным эти результаты: 3×2=6. Наконец, 50+6=56, так что 7×8=56.

Кому
что
понятно

Выдающийся русский геометр и педагог А. К. Власов, изложив на очередной лекции по аналитической геометрии задачу о пересечении двух прямых, заданных своим уравнением, добавил:

— Два студента, впервые ознакомився с этим вопросом, беседовал между собой.

Один сказал: «Теperь я понял, почему система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными имеет в общем случае одно решение. Это потому, что две прямые пересекаются в одной точке».

Другой ответил: «Вот когда я, наконец, понял, почему две прямые пересекаются в одной точке».

Другой ответил: «Вот когда я, наконец, понял, why two straight lines intersect in one point».

23

Паркеты из правильных многоугольников

А. Н. КОЛМОГОРОВ

ЧТО ТАКОЕ ПАРКЕТ

Самый простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты так, как показано на рисунке 1, а. Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Паркетом будем называть макое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Вероятно, вам следует видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 2, а). Красивый паркет можно составить из правильных шестиугольников, квадратов и равносторонних треугольников (рис. 2, б).

Паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен. Физура называется симметричной, если ее можно наложить на саму себя «не привящным» способом (м. е. не максим, когда все точки останут на своем месте).

25

Например, на рис. 2, 6, повернуть всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, квадратов и треугольников, на 60° векруг центра одного из шестиугольников, мы получим ту же самую сетку вершин и сторон. Центр каждого шестиугольника этого паркета является «центром симметрины шестого порядка»*).

Заддача 1. Найдите все центры симметрины 4-го, 3-го и 2-го порядка паркета, изображенного на рис. 2, а.

ЧТО ТАКОЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ПАРКЕТ
Сточки зреня симметрины наше определение паркета не сликом удално. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв общий паркет из шестиугольников (рис. 1, в), можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь «паркет» в смысле нашего определения. Но можно доказать (попробуйте!), что, подразделив, например, три шестиугольника, как показано на рисунке 3, и оставив все остальные не подразделенными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрию. Чтобы установить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы ведем такое определение:

Паркет называется правильным, если его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую заданную его вершину.

Заддача 2. Докажите, что паркеты, представленные на рисунках 1 и 2, правильны и построите самостояльно возможное больше правильных паркетов.

*) Точка O называется центром симметрины n-го порядка некоторой фигуры, если при повороте этой фигуры векруг O на $\frac{360^\circ}{n}$ она наложится на саму себя.

26

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА

Оказывается, что все разнообразие правильных паркетов можно описать. Если длина $h$ стороны многоугольников паркета задана, то существует molько конечное число различных (не накладывающих друже на друже) правильных паркетов. Сколько именно, я не хочу вам говорить.

Перечислить их все и тем самым ответить на вопрос об их числе — это и есть основная задача, которую вам предстоит решить.

НЕКОТОРЫЕ УКАЗАНИЯ

Решение задачи естественного начасть с использования устройства вершин паркета. Правильный $n$-угольник имеет $n$ внешних углов (рис. 4), сумма которых равна четырем прямым углам (убедитесь в этом сами). Поэтому каждый угол правильного $n$-угольника равен

$$\alpha_n = 2d - \frac{4d}{n} = 2\left(1 - \frac{2}{n}\right)d.$$

В вершине паркета должны сходиться многоугольники с суммой углов, равной 4d. Так,

$$\alpha_3 = \frac{2}{3}d, \alpha_4 = d, \alpha_6 = \frac{4}{3}d, \alpha_8 = \frac{3}{2}d$$

и для паркетов, изображенных на рис. 1 и 2, имеем:

$$4\alpha_4 = 4d,$$

$$6\alpha_3 = 4d,$$

$$3\alpha_6 = 4d,$$

$$\alpha_4 + 2\alpha_8 = 4d,$$

$$\alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6 = 4d.$$

В общем же случае, обозначая через $m_n$ число приложений к вершине $n$-угольников, мы должны получить

$$\sum m_i\alpha_i = 4d,$$

(1)

где в сумму мы включаем слагаемые с теми номерами $i$, для которых $m_i > 0$, а $\alpha_i = 2\left(1 - \frac{2}{i}\right)d$.

Первая наша задача состоит в том, чтобы найти все решения уравнения (1) с целыми $m_i > 0$. Уравнение (1), сокращая на 2d, удобно записать в виде

$$\sum m_i\left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Для каждого решения уравнения (2) надо использовать соответствующее

27

расположения многоугольников, примыкающих к вершине. Например, решение $m_3 = 1, m_4 = 2, m_6 = 1,$
$$\left(1 - \frac{2}{3}\right) + 2\left(1 - \frac{2}{4}\right) + \left(1 - \frac{2}{6}\right) = 2,$$

соответствует вершины, в которых сходится один треугольник, два квадрата и один шестугольник. Их легко расположить двумя существенно различными способами (рис. 5, а и б). Но легко показать (доказите!), что расположению 6 не соответствует никакого правильного паркета.

Указанный дано достаточно. Беритесь за работу!

Фокус-покус

В романе Вячеслава Шишкова «Страники» есть следующие строки:

— А хочешь, я покажу тебе арифметический фокус-покус? Ахнешь.
— Ой! А ну, покажите, миллиник.
Иван Петрович вырвал из блокнота страничку, подал мальчонке, спросил:
— Карандаш есть? Пиши любое число.
Мальчонка написал. Иван Петрович мелком взглянул на это число, написал на отдельном ключе бумаги свое какое-то число, сунул бумажку в солому и прикрыл шляпой.
— Пиши под ним другое. Пписал? Теперь я сам напишу третье. Теперь все три числа складывают. Только тщательней, не вири.
Через две минуты был готов проверенный ответ. Инженер Вошкин подал свои выкладки:

46 853
21 398
78 601
146 852

— Сто сорок шесть тысячи восемьсот пятьдесят два, Иван Петрович.
— Долго считаешь. А у меня — вот он ответ. Я уж знал его, когда ты еще первоое число написал. Вот. Тяни из-под шляпы.
Мальчонка выхватил бумажку. Там значилось: 146 852. Удивленное лицо инженера Вошкина вытянулось, и волосы на затыlkке встопоршились. С богатью, с удивлением он тарашил глаза на Иван Петровича
— Ну … вот … как же? … А?..
Иван Петрович, улыбаясь и двигая бровями, дважды обьясил, сделал еще пример…»
Спрашивается, что объяснял Иван Петрович, «улыбаясь и двигая бровями»?

Такой календарь, составленный из двух кубиков, стоит на столе в нашей редакции. Подумайте, как он сделан: какие цифры и как надо наклеить на гранах кубиков, чтобы календарь мог показывать любое число мессяца? Понятно, что ответов может быть несколько. Как вы думаете, сколько?

29

РАЗМЫШЛЕНИЯ
ПО ПОВОДУ
ПРИТЯЖЕНИЯ
ЗЕМЛИ
НА ПОЛЮСЕ
И НА ЭКВАТОРЕ

В. И. ЛЕВАНТОВСКИЙ

Хорошо известно, что вес тела*) изменяется в зависимости от географической широты места. Однако и то же тело весит больше всего на полюсе и меньше всего на экваторе. В любом учебнике физики — и в школьном и вузовском — можно прочесть, что это происходит по двум причинами.

Во-первых, выделение врашення Земли тело, находящемся на экваторе, описывает окружность и поэтому давит на горизонтальную опору с силой, меньше силы прияжения тела

*) To есть его давление на покоящуюся опору или сила, с которой оно действует на неподвижный подвес.

Землей. Объясняется это просто. На тело действуют силы прияжения, направления к центру Земли, и проти-воположная ей сила реакции опоры. Эти две силы сообщают телу центро-стремительноеускорение, равное $\omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость, а $R$ — экваториальный радиус Земли. Если $m$ — масса тела, $F$ — сила прияжения, а $N$ — реакция опоры, то $F-N=m\omega^2 R$. Отсюда $N=F-m\omega^2 R$, то есть реакция опоры $N$ меньше силы прияжения. А ведь эта реакция и равна по величины весу тела. Значит, вес тела на экваторе меньше силы прияжения тела Землей. На полю-

30

се же вес равен силе притяжения, так как никакой окружности там тело вокруг земной оси не описывает.

Во-вторых, говорят обычно, сама сила притяжения на полное большие, чем на экваторе, так как, нахождение на полное, тело расположено близке к центру Земли, чем когда оно находится на экваторе. А чем близке к центру Земли, тем сила притяжения большие: ведь сила притяжения по закону всемирного тяготения Ньютона изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.

Автор должен извинить перед читателями за то, что все эти хорошего знакомые доводы он привед здесь только подробно. Сделал он это потому, что со вторым доводом дело обстоит не так просто. У нас нет никаких логических оснований утверждать, что одно и то же тело на полное притяжения Землей сильнее, чем на экваторе. Ссылка на закон всемирного тяготения несостоятьна. Этот закон утверждать, что две материалы точки притяжения друг друга с силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния. Земля же не точка, а материалное тело, состоящее из многох части, каждая из которых притяжает другую часть, расположенную вне или внутри Земли, по закону обратной пропорциональной квадрату расстояния.

Можно ли заменить притягивающей тело materialной точкой, сосредоточив всю массу тела в его центре тяжестии (центре масс)? Отнюдь не всегда. Оказывается, однородное тело кубического формы притяжает совсеминаче, чем однородное тело той же массы, но сферическое или цилиндрическое, даже если центры тяжестии (центры масс) этих тел занимают одно и то же место в пространстве. Однако и тот же кусок глины у нас в руке притяжает по-разному в зависимости от той формы, которой мы ему придаем.

На первый взгляд это кажется неожиданным. Но давайте представим себе, как будет притягивать круглое бесконечно тонкое материалное колб-

цо кakyю-нибудь материалную точку, нахождение на оси колба, перпендикулярной к его плоскости. Если эта точка расположена очень далеко от колба, то она, конечно, весма слабо притягивает колбом. По мере притягивания точки к колбцу притяжение его сначала увеливается, но с какого-то расстояния неизбежно должно уменьшаться, так как в центре колба силы притяжения от противоположных частц уравновешивается и, значит, колба в целом восе не притягивает материалную точку, когда она находится в его центре. Как показывает математический расчет, максимальный притяжение будет

Рис. 1.

в точке, нахождения на расстоянии ≈0,7 r от центра колба. На рисунке 1 показан график изменения силы притяжения колба в зависимости от расстояния притягиваемой точки от центра. Этот график изображает такой закон притяжения, который, по крайней мере влизаизы колба, ничего не напоминает закон обратной пропорциональной квадрату расстояния. Значит, массу колба нельзя «сосредоточить в его центре тяжестии».

Существует ли форма тела, позволяющая мысленно сосредоточить его массу в центре тяжестии и быть уверенным, что после такой операции поле тяготения тела останется прежним? Да, существует. Однаконый шаг притягивает любую materialную точку так, как будто бы его масса сосредоточена в центре. Правда, это касается только точку, расположенных в шара. Точки же, расположенные внутри шара, при-

31

тягиваются совершенню иначе. В центре прятяжение шара, очевидно, равно нулю, у поверхности оно максимально, а между центром и поверхности изменяется, как показывает математический расчет, по закону прямой пропорциональности: чем дальше от центра, тем прятяжение больше. (График изменения спыли прятяжения однородного шара в зависимости от расстояния до центра показан на рисунке 2.)

Еще более любопытен случай прятяжения шара соферическая вырезом в середине. В известном научно-фантастическом романе В. А. Обручева «Плутония» повестиется о путешествия в недра Земли, причем наша плая

нета оказывается полой. В центре полости путешествений обнаружили раскаленное тело. В отличие от автора романа допустим, что в центре Земли никакого тела нет и что Земля представляет собой однородный шар с пустой шарообразной же сердцевиной. Можно доказать, что, каков бы ни был радиус «выреза», внутри полости в любой ее точке (а не только в центре!) прятяжение полностью отсутствует. Это, в частности, говорит о том, что в ней должна господствовать неевесомость, которая, однako, объясняетсяиной причины, чем неевесомость при космических полетах.

На рисунке 3 показан график изменения спыли прятяжения гипотетической пустотелой Земли в зависимости от расстояния до центра. Внутри массивного сфераского слоя прятяжение возвращает по мере удаления от центра и достигает максимума на поверхности. Вне поверхности поле

тяготения такое же, как у материальной точки, находящейся в центре этого пустотелого шара.

Земля по форме довольно близка к шару. Но наша планета не однородна: плотность составляющих ее пород в различных точках различна. Нанбольшей плотностью обладает ядро Земли. Правдополобно предположить, что плотность земных пород на одинаковых расстояниях от центра Земли одинаковова. Иными словами, Землю можно в первом приближении представить себе состояние изложенных друг в друга однородных сфераческих слоев. О таком теле говорят, что распределение плотности в нем обладает сфераской симметрией. Можно доказать

изать, что такой шар, как и однородный, прятяжает любую частицу вне его поверхности или на ней так, как будто бы все его масса сосредоточена в центре.

Но реализная Земля является не шаром, а так называемым сфераном. Нашу планету можно рассматривать как приложенный у полосов шар с радиусом, равным экваторialному радиусу Земли (рис. 4,а). Величина приложенного равна 21 км. С другой стороны, тот же сферад можно представить себе как шар с радиусом, равным полярному радиусу Земли (6357 км), к которой добавлена масса с боков — так называемое «экваторialное вздутие» (рис. 4,б). Толщина вздутия на экваторе составляет 21 км. Приятяжение сфераном любой материальной частицы можно рассматривать как состояние из двух частией: из прятяжения центрального шара радиуса 6357 км, изобразенного на рис. 4,б,

32

и из приняжения экваторialного вздутия. Наличие вздутия приходится учитывать во многих случаях, например при расчете траекторий космических кораблей и даже орбиты Луньи.

Рассмотрим теперь два одинаковых тела, лежащих на поверхности Земли: тела $A$ находится на полюсе, тела $B$ — на экваторе. Шар радиуса 6357 км приягивает тела $A$, конечно, сильнее, чем тела $B$, так как тела

Рис. 4.

$B$ расположено на 21 км дальше от центра Земли. Но, кроме того, на оба тела еще действует прияжение экваторialного вздутия. Не производя точного математического расчета, невозможно сказать, каков будет окончательный итог и какое из прияжений сферад в целом окажется больше: в точке $A$ или в точке $B$. Анализ, производимый средством высшей математики, показывает, что прияжение сферадом тела на полюсе больше, чем прияжение им тела на экваторе, но, как видим, дело обстоит отличь не так просто, как это обычно утверждается.

Как физики доказывают теорему Пифагора.

Если гипотенуза и острый угол одного приягольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого приягольного треугольника, то такие треугольники равны. Это означает, что гипотенуза и острый угол полностью определяют приягольный треугольник.

Из сообщений размерности следует, что площадь треугольника $ABC$ (см. рисунок) можно записать как квадрат гипотенузы $c$, умноженный на некоторую функцию угла $\alpha$: $c^2 f(\alpha)$. Аналогичную операцию можно проведении для подобных приягольных треугольников $ACD$ и $BCD$, для которых роль гипотенузы играет категей исходного треугольника. Так как площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ACD$ и $BDC$, то

$$c^2 f(\alpha) = a^2 f(\alpha) + b^2 f(\alpha),$$

где $f(\alpha)$ — одна и та же безразмерная функция угла $\alpha$. Отсюда

$$c^2 = a^2 + b^2.$$

34

Положительная рецензию на книгу обычно пишут так.
Вначале кратко пересказывают содержание произведения,
отмечают его достоинства, некоторые недостатки
и, наконец, рекомендуют прочитать книгу.
Но можно это делать и по-другому.
Перед вами глава из книги Г. И. Копылова
«Всero лишь cinematika».
Мы не будем расхваливать книгу
и советать ее прочитать.
Надеемся, что после ознакомления с приведенным отрывком
вы это сделаете обязате обязатено.

г. И. Копылов

ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ

Излагая новое, надо опираться на
уже известное. Примем, что формулу
E=Mc² читатель знает.

Формулу эту открыл Эйнштейн. Это
ему мы обязаны тем, что знаем теперь,
как надо подсчитывать энергию быстрох части, и знаем, что даже в лежа-
чем камне тягется несметные неостре-
ребованные запасы энергии. Он вы-
вел эту формулу задолго до того, как
она впервые попадилась практически
(задолго до 1919 года, когда впер-
вые было заменено ядерное превращение). Еще в 1905 году Эйнштейн до-
казал, что энергию и импульс очень
быстрого тела нельзя вычислять по
прививным формулам E=mv²/2 или
P=mv. Он доказал и многое другое,
он буквально перевернул наши при-
вычные представления об во всех глав-
ных вецах: движения, пространстве,
времени, свете, массе. Но нам пока
важно только то, что он говорил об
энергии и импульсе.

Суть открытия Эйнштейна можно
изложить примерно так.

35

МАССА И СКОРОСТЬ

Нет ничего в мире быстрее света. И не может один свет быстрее другого. Любой свет (в пустоте) движется всегда одинаково быстро. Поэтому скорость света удобно приять за единицу. Всякое другое движение, например движение какого-нибудь тела, не может произходить быстрее распространения света, то есть скорость любого тела всегда меньше единицы. Но как же тогда быть с телом, которое какая-то сила очень долго разгоняет? Ведь любая сила вызывает ускорение, а ускорение увеличивает скорость, и не наступит ли время, когда скорость ускоряемого тела превышает эту сумму единицу? Но это невозможно; значит, с ростом скорости ускорение должно постепенно уменьшаться — уменшаться настолько быстро, чтобы не успеть довести скорость тела до единицы. Но что значит, что при построению действияшей силы ускорение уменьшается? Как это может быть?

Известно другое свойство движения: ускорение обратно пропорционально массе тела — чем тело тяжелее, тем труднее его той же силой ускорять. Значит, можно сделать вывод, что ускорение уменьшается из-за того, что масса растет. Тогда концы с концами сойдуться: по мере роста скорости тела тяжелее, и прежняя сила уже не может дать ему прежнего ускорения. Ускорение падает, и скорость почти не меняется. Эйшштейн вывед формулу уvelичения массы по мере приближения скорости тела $v$ к единице:

$$M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Через $m$ здесь обозначана масса тела, когда оно неподвижно, то есть когда $v=0$. При скорости $v$, приближаются к единице, заменatel добристановится все меньше, а сама дробь — все больше.

МАССА И ЭНЕРГИЯ

Тепер подойдем к вопросу с другой стороны. Ведь силу-то, столько времени действоватьшую на тело, должен был приложить какой-то человек или какой-то дивгатель. Пусть, например, дивгатель. Он работал сколь-

36

ко-то времени, расходовал на это горючее, тратил энергию. А энергия, как известно, пропасть, исчезнуть бесплатно не может. Она, по-видимому, передается разгоняемому телу, и чем должны действует дивгатель, тем больше тело поглощает энергии. Но куда ее поглощать, если скорость тела все равно не может превысть единиці? Разгадка проста: оченьно, энергия тратиется на рост массы тела. Рост массы — это и есть отражение σταнергии. Опять все сходится: сила производит работу над телом, увечиная его энергию; энергия аккумулируется, накопливается в теле, увечиная его массу. Становится понятным, откуда могла появиться знаменитая формула $E=Mc^2$, которую запишем в виде $E=M$, потому что скорость света $c$ мы приняли за единицу. Не подумайте только, что мы выведили формулу $E=Mc^2$. Она была получена на основе совсемины сообщений, а мы посяили простейшим способом ее смысла.

Подытожим теперь то, что было сказано, но выразим это по-другому. Почему при быстром движении нужны новые формулы для массы и для энергии? Если бы масса тела при разгоне его не росла, то росла бы его скорость, и в конце концов тела обогнал бы свет, а это противоречит опыту. Если бы энергия тела при разгоне его не росла, то куда девалась бы затрачиваемся на разгон работа?

ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ

«Все это хорошо, — скажете вы, — но почему никто никака не замечал, чтобы тела, разгоняясь, тяжелели?».

Это действительное трудно заметить: слищом медленно движется все, что нас окружает. медленно по сравнению со скоростью света, с единицей. Ведь накопление массы в теле становится заметным лишь с приближением скорости тела к предельной, а скорость самой быстрой рабеты меньше 0,0001 — так велика скорость света. Вот если бы скорость света была, скажем, 10 км/сек, то расчетстроителем пришлось бы в своих расчетах пользоваться формулами Эйнштейна, учитывать увечиние инерции рабет с приближением к этой скорости. А стань скорость света еще меньше, например 1 км/сек, то уже немало число явлений в мире потекло бысовем по-иному, и механика Эйнштейна казалась бы нам столже естественной, как сейчас механика Ньютона.

«No тогда, — задайте вы еще вопросы, — не противоречит ли они друг другу при наших мыльях, прививных скоростях?». Нет, не противоречит. Эйнштейн вел свои расчужнения так, чтобы на малых скоростях не потребовить многоократно испытанных законов Ньютона. Если скорость $v$ очень мала, дробь $\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ с хорошей точностью обращается в $1+\frac{v^2}{2}$ (проверьте, подставив, например, $v=0,0001$), а формула роста массы — в формулу

$$M = m + \frac{1}{2} mv^2.$$

37

Когда пакета летит даже со скоростью 30 км/сек, то это означает, что $v = 0,0001$, то есть масса увеличивается приерно на одну двухсотиллонную. Заметить такое невозможно.

Вместо последней формулы можно написать равноценную ей формулу, если вспомнить, что масса тела и его запас энергии — это одно и то же:

$$E = m + \frac{1}{2} mv^2.$$

Значит, при малых скорости энергия всякого свободного движущегося тела состоит из двух частей: из части $m$, от скорости не зависит, и из части $\frac{mv^2}{2}$, растущей как квадрат скорости… Погодите, но ведь $\frac{mv^2}{2}$ — это кинетическая энергия тела! Значит, Эйнштейн открыл, что кинетическая энергия (которую мы обычно считаем энергей тела, движущаяся свободно, без воздействия каких-либо сил) — это только часть всего запаса энергии, которая есть у тела. И очень небольшая часть. Главная энергия заключена в члене $m$ — в той массе, которая не затронута скоростью и имеет в теле даже тогда, когда оно стоит на месте. Это и есть то, что можно назвать энергий существования.

Если где-то возникла новая крупница вещества, то на ее создание была затрачена какая-то работа, у какого-то другого тела пришлось уравнять или из какого-то источника наедить запас энергии на сооружение этой крупницы вещества, и этот запас уже снитит в ней, даже если крупница не движется. Для обычных, больших, сложенных из атомов тел это звучит неверboseно: ведь их мы создаем всегда из готового стройматериала (атомов) и не траит энергии на создание атомов. Значит, в этом случае энергия существования особой важности не представляется: все, что нужно, существует и так. Там вопрос о сотруднинии вещества просто не возникает.

Иное дело — превращения мелчайших частц. Там действительное создание новые сорта частц из частц прежнего сорта и из накопленной ими энергии, а то и только из одного света. Как уибсеновского пуговичника, в переплавку идет все старь без остатка, и пренебрегать энергий $m$ нам никто не позволит.

КАК НЕ ПРИМЕТИТЬ СЛОНА

Наличие члена $m$ в формуле для энергии стол важно, что стоит по-goоворить о нем подробнее. Почему мы это слагаемое не замечаем? Почему до Эйнштейна никак не заметил таких запасов «под ногами», в миллионы и миллиарды раз превышших все доступные тогда энергии? Не говорит ли это о том, что Эйнштейн неправ? Нет, не говорит. Все дело в том, что мы замечаем не саму энергию, а ее изменения. Перечетчик кинетическая энергия в потенциальную — мы это сразу заметим, потому что скорость упадет. Перейдет в теплую — опять заметим: тело нагреется. А если энергия не меняется, как ее заметить? Скажем, Земля. Ее кинети-

38

ческая энергия огромна; мчится она вокруг Солнца со скоростью 30 км/сек, масса ее 6·10²⁷ e — это потрясающий, превышающий наше воображение запас энергии. Но кто ее заменает? В чем она проявляется? Надо ли ее учитывать и вставлять в баланс превращений, произходящих с земными телами? Конечно, нет: она не меняется при таких превращениях, это мертвой капитал; какой она входит в баланс, такой и выходит.

Такое же положение и с энергийем m; она не меняется в механических, электрических, химических превращениях, она молчально присутствует в обенх частях уравнения баланса энергии, и никакому от нее ни холодно, ни жарко. Вот если бы удалось найти какие-то силы, способные «отшипнуть» от m хоть кусочек, то m сразу дала бы о себе знать. Но сначала о таких силах ничего не знали. Хорошо уже то, что формула

$$E = m + \frac{mv^2}{2}$$

подсказала, что стоит поискать такие силы. И их нашли через много лет, это были ядерные силы. Вatomных электростанциях или судах такие силы занимаются тем, что отплывают от m мелкие части и переводят их в электрическую или механическую энергию.

В превращениях же элементарных частиц ходные по характера, но несравненно большеше по величины силы уже не отплывают от массы покоя m по кусочку. Их деятельности радиально перестраивает один кирпич материи в другие, порой ничем — ни свойствами, ни назначением — не схожие с первыми.

ИМПУЛЬС И СКОРОСТЬ

Но мы отвлеклись от своей прямой цели. Итак, мы знаем, как зависит масса тела от скорости:

$$M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Точно так же зависит от скорости и энергия тела:

$$E = M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Как же быть теперь с величины P=Mv, называемой импульсом тела? может быть, ее тоже нужно чем-то заменить?

Оказывается, нет. Импульс порежиму дается формулой

$$P = Mv,$$

но только M теперь величина, завися от скорости. Значит, импульс, как и масса тела и его энергия, по мере ускорения тела может стать скольгу годно большем. И остается в силу утверждения Ньютона о том, что рост импульса под действием силы пропорционален величины самой силы и длительности ее действия. Если сила будет действовать достаточно долго (и в нужную сторону), то импульс может достичь любои величины.

Столо быть, формулу для импульса можно записать в трех видах:

$$P = Mv, P = Ev, P = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2}},$$

и пользоваться имми на выбор.

Вот в каком преобразованном виде

40

лась 0,94 Гэв. Значит, протон становится за 3 сек (столько длитяускорение) более чем в 10 раз массивнее. Мощность, потребляемая большим электромагнитомускорителя, к концуускорения многократно увеличивается. Если вы хотите убедиться в справедливости формулы Эйнштейна, посмотрите наvatтметры распределенного шита, как возвращает в них реактивная нагрузка.

— Погодите, погодите! — воскликнет бидетельный читатель. — Что же это выходит? На электростанции исчезает электрозерния, вускоритель возникают деревтеро потяжелшие протоны. Значит, по-вашему, энергия превращалась в массу?!

— А почему это вас так волнует?
— Потому, что это ошибочный философский теисс… да вы и сами сказали, что энергия и масса — это просто два разных оттенка одного и того же физического понятия.

— В физике — да. Но в обиходе увеличение энергии не означает увеличение массы. От нагревая чайник не становится тяжелее. Стало быть, в житейском смысле разница между энергий и массой огромна. И когда вдруг вы станете свидетельм того, как питания, поданное на входускорителя, обращается на выходе необычно грузными протонами, вы имеете право удивленно сказать: «Электроэнергия перешла в массу протона!»
— Или в его энергию…
— Или в его энергию, если мы хотим подчернуть не «неуступчивость» протона, а его «запас сил», «творческую потенцию»… Мы обязаны привыкнуть к тому, что «неуступчивость» и «запас творческих сил» частицы — это синонимы. И когда мы к этому привыкнем, то у нас даже появится неистребимое желание изгнать одно из слов — «энергия» или «масса» — и обходится только одним. В сервисных современных книгах по физике так и пытаются делать. Но в нашей книге, где нежватку формул придетя возмещать словесной выразитель-

Дубенский синхрофазотрон.

41

ность, будем употреблять оба си-
нонима: и энергия, и масса.

— А как же философы?
— Философы философам рознь.
Зачем выискивать проблемы там, где их нет, зачем следить за употреблением слов, где истинный смысл не в словах, а в точных соотношениях…
Людей с практическим складом ума волнует другое: верно ли, что энергия, выделяемая в распаде элементарных частиц, намного превосходит ядерную энергию?
Да. Например, один из циклов ядерных реакций, дающих энергию звездам, совпада к превращению четырех протонов в ядро геля. Их масса 0,94·4=3,76 Гэв, а масса геля 3,73 Гэв, следовательно, вывобождается 0,03 Гэв — меньше 1% всей энергии. А в распаде π°-мезона на фотоны в энергию переходит все масса mezона (100%).

— Значит, перед нами источник энергии мощнее термоядерной реакции?

— Отнюдь нет. Помехой служит редкость и неустойчивость таких механизмов. Далее ускорителя их по крайней мере в 10¹⁹ раз меньше, чем протонов. К тому же они мгновенно гибнут; накопить их нельзя. А главное, их надо создать, затратив на это энергию, как раз равную той, что выделится в их распаде; протоны же всегда есть готовые — это ядра водорода. В термоядерной реакции мы трансжирим запасы энергии, накопленные природой; распады π°-мезонов в лучшем случае лишь вернуть нам энергию, затраченную на их создание.

— Тогда какой же от них толк?
— Тolk отmezонов, гиперонов и т.п. в другом: они дают разгадку устройства мира…

ЗАДАЧИ

1. Вычислите импульс протона в Мэв/c, где c — скорость света, если известно, что кинетическая энергия протона равна 500 Мэв.
2. Вычислите ускорение электрона, движущемся в ускоритель водьй линей направленности однородного электрического поля с E=25 кв/см, в тот момент, когда его кинетическая энергия T=0,5 m₀c², где m₀ — масса покоя электрона.
3. Какая масса водорода переводится в энергию при взрыве 20-мегаtonной водородной бомбы? Эквивалент тринитротолуола равен 10³ кал/2.
4. Сколько массы излучает 100-ваттная электрическая лампочка (в виде телла и света) в течение года?
5. Как определить массу покоя системы движущихся частиц? Равна ли она сумме масс покоящся частиц?
6. Сколько времени должен ехать человек на величине, чтобы превращения в энергию? Когда человек изо всех сил крутит педагоги величина, он производит 0,5 лошадной силы полезной мощности (373 бт). К. п. д. человекческого организма около 25%, то есть 75% пищи сгорает, превращаясь в теплоту, и лишь 25% пищи переходит в полезную работу.
7. Сколько массы получает Земля от Солнца в форме света в течение года, если на квадратный метр поверхности, перpendикулярной к направлению солнечных лучей, приходит 1,4 км световой энергии?
8. Чему равен импульс фонана? Покажите, исходя из законов сохранения энергии и импульса, что свободный электрон не может поглотить фонан.

42

ПОЧЕМУ МЫ ТАК ГОВОРИМ?

sinus
chorda

1. ОТКУДА ПРОИЗОШЛО СЛОВО
   «СИНУС»

Слово «синус» — латинского проискождения. Если мы посмотрим в латинско-русский словарь, мы видим там такие значения этого слова: 1) изогнутость, кривизна, изгиб, выпуклость; 2) разуха, карман, складка того (древнеримская одежда) на груди; 3) платье, одежда; 4) грудь, обьятия; 5) нежная любовь, забота;

6. середина, центр; 7) убежище, прибежище; 8) залив, буxtа; 9) владина, углубление, провал. Слово «синус» хорошо известно в значении «пазуха», «впадина». Однако ни одно из этих многочисленных значений не имеет никакого отношения к синусу в тригонометрии. Откуда же произел этот термин?

42

43

Тригонометрия появился впервые в I—II веках нашей эры в Александрии, в работах знаменитых александрийских астрономов, наиболее крупным из которых был КлавдиЙ Птолемей. Оdnako в тригонометрии Птолемея основным понятением был не синус, а хорда. В книге Птолемея «Математическая система» были таблицы зависимости длин хорд от длин стягиваемых иммиду, причем дуги измерялись в градуах, минутах и секундах, а хорды — в частях радиуса: здесь радиус считался равным 60 частям, хорды измерялись в этих долях радиуса, в их «минутах» (60-х долях) и в их «секундах» (60-х долях «минут»). Это «шестидесатериное» деление дуг и хорд было занимавано александрийскими астрономами у вавилонян.

Слово «хорда» проинсходит от греческого слова «хорде» — «кишка», «струна» (в древней Грецииструны выделялись из воловых кишок). И в Древней Греции, и в александрийской школе это слово не связывалось с хордой. И Евклид, и Птолемей, и другие александрийские учены называют хорду «прямо в круге», имея в виду прямойный отрезок, вписанный в круг (треугольник, вписанный в круг, они также называют «треугольником в круге»).

В V веке н.э. александрийская научная школа была уничтожена фанатиками-христонами, предводительствуемыми «святым» Кириллом. В это время один из александрийских астрономов-язчиковков, по имени Паулос, бежал в Индию, где написал изложение достиней александрийских астрономов на санскрите — научном языке индийцев. Эта книга получила у индийцев название «Паулиса-сиддханта» — «Учение Паулисы», как назвали индийцы Паулос. В этой книге хорда называлась санскритским словом «джива», также обозначшим тетиву лука, дуга — тем же словом, что и лук, а высота сегмента, ограниченного дугоя и стягиваемой его хордой, — тем же словом, что и стрела.

Позднейшие индийские астрономы и математики, крупнейшим из которых был работший в VII века Брахмагупта, заменили хорды получами, то есть линяями синуса. Эти линии они сначала называли «ард-джива» — «полутетива», а затем для краткости стали называть их просто «джива».

В VIII веке одна из «сиддхант» индийских учены была переведена на арабский язык под названием «Синдхинд» (искажение слова «сиддханта» производило под влиянием арабского названия Индии «Хинд»). В этой книге слова «джива», обозначшее уже не хорду, а линю синуса, было написано арабскими буквами. Но, так как у арабов нет звука «в», а есть только «б» и краткое «у», переводчики на арабский язык написали не «джива», а «джиба». Но в арабском языке обозначются только долгие гласные, а краткие гласные пропускаются, причем долгое «и» обозначется той же буквой, что и полугласная «й», в слова же «джиба» звук «и» был долгим, а «a» — кратким. Поэтому слова «джиба» писалось по арабски в точности так же, как слова «джайб», а вскоре его и стали произносить «джайб». Означает же слова «джайб» пазуху, владину, то есть то, что по-lатыни — слова «sinus». Поэтому, когда в XII веке арабские астроноические и математические книги стали переводить на латинский язык, слова «джайб», ознакомissez линю синуса, было переведено словом «sinus».

В тех же случаях, когда слова «джива» обозначало хорду, арабы переведели его словом «batар».

Слово «batар», обозначшее не только тетиву, но и струну, было переведено на латинный словом «chorda» — трансрипцией уже известного нам греческого слова «хорде».

45

М11. На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 веселых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой стрелке, другой — против, см. рис.1). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.

А если чижей и деревьев $n$?
ВМШ при МГУ*)

M12. Какие четырехугольники можно разрезать прямой линий на два подобных между собой четырехугольника?

*) См. стр. 61 этого номера журнала.

Лучшие из решений задач, присланных читателями, будут опубликованы в журнале. Мы сможем рассматривать решения, которые будут получены редакцией не позднее чем через полтора месяца после выхода соответствующего номера журнала.

M13. Докажите, что если разность между набольшим и наименьшим из $n$ вещественных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ равна $d$, а сумма моделей всех $\frac{n(n-1)}{2}$ попарных разностей этих чисел

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j|$$

равна $s$, то

$$(n-1)d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4}d.$$

M14. У выпуклого белого многоугольника некоторые грани показены черной красной так, что никакие две черные грани не имеют общого ребра (рис.2). Докажите, что если выполнен хотя бы одно из следующих условий:
a) черных граней больше половины;
b) площадь черных граней составляет больше половины площади половины поверхности многоугольника,

то в этот многоугольник нельзя вписать шар.

46

М15. Квадратная таблица $n \times n$ заполнения неотрицательными числами так, что сумма чисел в каждой строке и сумма чисел в каждой столбце равна 1. Доказите, что из таблицы можно выбрать $n$ положительных чисел, никакие два из которых не стоит ни в одном столбце, ни в одной строке.

Ф12. Два одинаковых тяжелых стальные шарика врашаются на легких стержнях длины $l$ и $2l$ вокруг точки $O_1$, и $O$ расстояние между которых равно $3l$ (рис. 3). В начальной момент шарики находится в точках $A$ и $B$, имея скорости $v$ и $2v$ соответственно. Сколько раз столкнутся шарики за время $t$? За какое время шарики столкнутся $k$ раз? Удары шариков считать абсолотно упругими.

Г. Л. Коткин

Ф13. Два одинаковых цилиндра с поршнями соединены трубкой (рис. 4). В цилиндрах находится вода. Сверху на поршни ставят одинаковые цилиндрические стаканы с равными колчестями воды. Затем в один из стаканов опускают тело массы $m$, а в другой — тело массы $M$, которые не тонут.

На каких расстояниях друг от друга будут находиться концы поршней и уровни воды в стаканах, когда система придет в равновесие? Площади дня стаканов — $S_1$, площади поршней — $S_2$.

Ф14. Две трубы с сечениями $S_1$ и $S_2$ соединены друг с другом и заткнуты поршнями, массы которых $m_1$ и $m_2$ (рис. 5). После взрыва в пространстве между поршнями поршни вылетают из труб. Один из них вылетел со скоростью $v$. С какой скоростью вылетел второй, если: a) трубы закреплены и не могут перемешаться, b) трубы не закреплены и их общая масса равна $M$? Тренем поршней о стенки труб пренебреть.

Ф15. Через стенки холодильника проникает за час количество тепла $Q = 190$ килокалорий. Температура внутри холодильника $T_1 = +5^\circ\text{C}$, а в комнате $T_2 = +20^\circ\text{C}$. Какую минимальную мощность потребляет этот холодильник от сети?

В. Н. Копылов

Рис. 3

Рис. 5.

47

Ф16. Автомобиль веса $P$, обе оси у которой ведущее, трогается с места. Двигатель автоматия работает с постоянной мощностью $W$, коэффициент трения скольжения колес о дорогу равен $k$. Найдите зависимости скорости автоматия от времени и нарисуйте график этой зависимости. Сопротивлением воздуха и тренем в механизмах пренебречь.

А. Т. Дроздов

Ф17. Между пластинами накоротко замкнутого плоского конденсатора помещили пластину, имеющую заряд $q$. Пластину перемещают параллельно самой себе на расстояние $x$ (рис. 6). Какой заряд проходит при этом по внешней цепи конденсатора, если расстояние между его пластинами равно $d$?

ТРИ ВОПРОСА
ПО ФИЗИКЕ

1. Выпал мокрый снег. Каким способом можно определить процентное содержание в нем воды?

2. По гладкому горизонтальному столу движется со скоростью $v$ черная доска. Какой формул следует оставить на ней мел, брошенный горизонтально со скоростью и перpendикулярно направленную движения доски?

3. Елочная гирлянда спая-на из лампочек для карманного фонаря. При включении этой гирлянды в себя на каждую из лампочек прихождения направления три волта. Почему же опасно, выкрутив одну из лампочек, снуть в патрон палец?

48

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ
ПО MATЕМАТИКЕ
НА MATЕМАТИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО INSTITUTУТА
ИМ. В. И. ЛЕНИНА
г. В. ДОРОФЕЕВ

Много этажей высотного здания современной математики должны пройти студент педагогического института, чтобы стать хорошим, знающим свое дело учительем. Но предполагается изучение и крутыжея лестницы этого здания, начистию лишеного лифтов, может лиштот, кто уже в школе надежно закрепился на его фундаменте.

Такие абитриенты есть, и их достаточно много. Это большой часть, которые уже поняли всю привлекательность математики, оценили ее важность и значение для современной жизни. Но, гордые свойства математических условий (и, к сожалению, слишком многое) решают, что их единственное назначение в жизни — стать профессиональными математikами или физikами.

Между тем специализы, отлично владелшие математикой, нужны сейчас практические во всех областях жизни. И для их подготовки нужны только новые, значющие свое дело учителья. В свою очередь квалификация самих учительей зависит от математической грамотности тех, кто поступает в педагогические институты, от их заинтересованности в своей будущей профессии, любви к ней.

В прошлом году на математический факультет МГПИ им. В. И. Ленина было подано 475 заявлений на 175 мест — около 2,7 заявления на место. Для сравнения отметим, что значительное большинство было число желающих стать учительами-нематематиками и математиками-неучительями: например, на факультете русского языка и литературы нашего института было 8,3 заявления на место, а на механикоматематическом факультете МГУ — 6.

На письменном экзамене в 1969 году поступающим было предложено несколько вариантов, какый из которых содержал 5 задач. На всю работу давалось 4 часа. «Зачет», одна-

49

ко, проводился не по всем задачам, а по четырем, лучше всего решенным.

Задание при этом был подобран так, что любитель геометрии, не желающий возиться с кakими-нибудь формальными выкладками, мог получить пятерку, одноко для доказательства своего «права» пренебрегаать технической преобразования — это ведь тоже одна из составных частей математического искусства — он должен был предолеть особые геометрические трудности. Точно так же «алгебраист» или «аналитик», недолюбливающий геометрию, мог избавить себя от необходимости разобраться в относительной сложной геометрической конфигурации, но «в отместку» был обязан решить нестандартную задачу формального характера.

Для получения оценки «3» достаточно было решить две задачи. Несмотря на этот не очень сильный критерий, число двоеококазалось внутренным — 224*). Некоторые неудачные работы написаны, к сожалению, медалими и выпускниками математических школа, в том числе и Московских.

Но особенно непряятно то, что большинство плохих работ содержит ошибки, которые нельзя назвать иначе, чем безобразными. Фантазия авторов таких работ слишком велика, чтобы можно было перечислить все эти «жемчужины». Оdnako упомянем все же одну, удивившую даже видавших виды экзаменаторов: в одной из работ на чертеже к задаче, где решила об общей хорде двух окружностей, эти окружности (разные!) имели еще и общуюдугу, а вне этойдуги способно расходились в разные стороны.

Все это означает, что еще далеко не все поступающие в вззы знают математку даже на элементарном уровне; многие из них имеют существенные проблемы в математическом обработании. И дело не столько в широкое, сколько в глубине знаний, в сознании отметить, что как Москвыке, так и иногородные абитриенты сделали об экзаменке по математике (письменно и устно) примерно одинаково.

Вариант

1. Решить уравнение
   $$\sqrt{1 - \log_2 x^2} \cdot \log_2 x = -1.$$

2. Решить неравенство
   $$2 \cos x (\cos x - \sqrt{8} \mathrm{tg} x) < 5.$$

3. Прямуюльник $ABCD$ со стороны $a$ и $2a$ лежит в основании прямиды, все боковые ребра которых равны $\sqrt{3}$. Найти площадь сечения прямиды плоскостю, проходящей через диагональ основания $BD$ параллельно ребру $AS$.

4. Через конец $A$ общей хорды $AB$ двух окружностей проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке $C$, а вторую окружность в точке $D$. Доказать, что точка пересечения касательных, проведенных через точки $C$ к первой окружности и через точки $D$ к второй окружности, лежит на одной окружности с точки $B$, $C$ и $D$.

5. Доказать, что если
   $$3x^2 - 31x + 80 < 0,$$
   то
   $$\cos \frac{3}{6-x} < 0.$$

Решения

Задание 1. Поскольку $\log_2 x^2 = 2 + \log_2 x$, и $\log_2 x^4 = \frac{1}{\log_2 x^2} = -\frac{1}{4 + \log_2 x}$, задано уравнение приводится к виду
$$\sqrt{3 - \log_2 x} = -4 - \log_2 x.$$
Обозначив $3 - \log_2 x$ через $y$, получаем уравнение
$$\sqrt{y} = y - 1.$$

Удивительно, но решение даже такого простого уравнения оказалось не

50

под силу многим поступающим. Все договораются возвсти обе его части в квадрат и получить квадратное уравнение с корнями $y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$, но затем выявляются разные «точки зреня»; одни вообще не думают о том, что при таком решении могут появиться построение корни; другие знают, что это может произойти, но не знают, почему, и, как правило, уверены, что построими будут те корни, которые не входят в ОДЗ (область допустимых значений); третьи пытаются проверить корни непосредственной подстановкой их в уравнение — этот способ в принципе правлен, но удобен лишь для проверки «хороших» корней, а $y_1$ и $y_2$ не очень «хороши».

Однако совершенно оченьindo, что поскольку левая часть в уравнения () неотрицательна, то из чисел $y_1$ и $y_2$ корнем будет лишь то, для которого неотрицательна и правая часть. Поэтому единственным корнем уравнения () является $y = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, и для нахождения $x$ мы получаем уравнение $\log_x 2 = \frac{-(9 + \sqrt{5})}{2}$, откуда следует $x = 2^{-\frac{2}{9 + \sqrt{5}}}$.

Подчерким: при решении мы полностью обошлись без нахождения ОДЗ исходного уравнения. Между тем в последнее время среди абитуриентов широкого распространения предрасудок, что решение любого уравнения или наравенства нужно обозначено начиная с вычисления ОДЗ. Такое мнение, однako, не имеет никаких теоретических оснований, а на практике оказывает плохую услугу: те, кто пошел по этому пути, должны были решать не только данное уравнение, но и придуманное им самим логарифмическое наравенство $-1 - \log_x 2x^2 \geq 0$ — задачу, не менее сложную. Вообще, нет строго определенного правила, надо или не надо в начале решения нахождения ОДЗ, и уже здесь, при выборе пути, поступающий может показать, насколько он имеет мыслить конкретоно и самостояльно.

Задача 2. Данное неравенство мы не будем решать подробно. Раскрыв скобки, мы легко приедем к квадратному неравенству относительно sin $x$:

$$2\sin^2x + 4\sqrt{2}\sin x + 3 > 0,$$

решив которое мы получим простейшее тригонометрическое неравенство $\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Но… именно с ним и не справилось большим абитурентов. Мы не будем анализировать данные и ответы, часто совершенно бессмысленные, и просто обращаем внимание будущих абитурентов на такие задачи. Способ решения достаточно описан и в учебнике, и во многих пособиях, и надо только сознать его условить. Заметим еще, что даже те, кто правильно решил простейшее неравенство, не всегда вспоминали, что из полученных решений надо выбросить значения $x$, при которых не имеет смысла тg $x$.

Задача 3. Оказалась сликом «коварной» для тех абитуриентов, кто привилке решать задачи только на правильные геометрические тела. Они не смогли отказывать от шаблонов и ошибочно представляли себе данную геометрическую конфигурацию. Так, очень многое считали «по привычке», что высотой в $\triangle BKD$ является отрезок $KO$ (рис. 1).

Но ведь каждому известно, что геометрическое вообравнение является лишь вспомогательным средством решения задачи, и факты, «увиденные» на чертеже, требуется еще строго до-

51

казать. Но, к сожалению, многие знают это чисто абстрактно, а на практике доказательствами пренебрегают, ограничиваясь иногда фразами типа «это верно по теореме о трех перпендикулярах» даже в случае, когда совершенно неясно, о каких perпендикулярах идет речь.

Между тем маленьая попытка доказать perpendикулярность $KO$ и $BD$ моментально приводит к противению. В самом деле, если бы это было так, то диагональ $BD$ была бы perpendикулярна к $SO$ и $KO$, то есть к плоскости $ASC$, а следовательно, и к диагонали $AC$. Но диагонали основания, как это совершенно ясно из условия, не perpendикулярны.

А для правильного построения высоты в $\triangle BKD$ надо из точки $K$ осуществить perpendикуляр на плоскость основания парамиды, доказать, что его основание $O_1$ лежит на $AC$ (доказав предварительно, что высота парамиды проходит через точку $O$ пересечения диагоналей), и из точки $O_1$ осуществить perpendикуляр на $BD$. Отрезок $KL$, по теореме о трех perpendикулярах, и будет высотой в $\triangle BKD$. Для завершения задачи попадбится еще одно утверждение — параллельность $OK$ и $AS$, и его также нужно доказать. После этого вычислительная часть задачи проходит без затруднений.

З а д а ч а 4. Среди предложенных задач по планиетрии эта оказалась для поступающих одной из наиболее трудных: из 93 решавших соответствуют варианта полностью ее решило только 3 человек. Между тем она имеет очень простое и, главное, совершенное естественное решение в двух заменительной книжки Д. Пойа «Как решить задачу».

Действительно, что значит, что точка $K$ (рис. 2) лежит на указанной окружности? Это значит, что вокруг четырехугольника $BCKD$ можно описать окружность. А когда вокруг четырехугольника можно описать окружность? Когда сумма его perпендиQLных углов равна $180^\circ$. Поэтому из условия задачи надо извлечь какище-то утверждение о равенстве углов.

Какие же теоремы о равенстве углов могут прийти в голову в связи с данной задачей? Только теоремы об углах между касательной и хордей и вписяных углах. На основании этих теорем равны углы, отмеченные одинаково на рисунке 2. А теперь нельзя не сообщать, что сумма противоположных углов четырехугольника $BCKD$ при вершинах $B$ и $K$ равна сумме углов $\Delta CKD$, то есть $180^\circ$. Разумеется, отсюда уже следует, что сумма двух других противоположных углов также равна $180^\circ$, и требуемое утверждение доказано.

Недачи большинства решших эту задачу объясняется, видимо, просто тем, что школьники 9-х и 10-х классов в значительной степени забывают самые простые планиетрические теоремы и не страдают восполнить этот пробел в процессе непосредственной подготовки к экзаменам. Вполне верятно, что выпускники 8-х классов с большим успехом справились бы с этой задачей, чем умудренные общирными позаниями абитриенты.

З а д а ч а 5. Задании этого типа оказались средней трудности, и большая часть взявшихся за их решение более или менее правильно довела его до конца. Над сказать, однако, что очень многое за эту задачу и не брались, хотя она проще других. Здесь, по-видимому, проявляется все также «психологическая неподготовлен-

52

ность» к необъчной форме задачи, хотя в последнее время в литературе для школьников таких задачи рассматривается достаточно много.

Вот решение этой задачи: если $x$ удовлетворяет первому неравенству, то $5 < x < \frac{16}{3}$, откуда $\frac{2}{3} < 6 - x < 1$ и, значит, $3 < \frac{3}{6 - x} < \frac{9}{2}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < 3 < \frac{9}{2} < \frac{3\pi}{2}$, то угол $\frac{3}{6 - x}$ лежит либо во второй, либо в третьей четверти, и, следовательно, его косинус отрицательен.

Итак, мы представили решение наших задачи, в какой-то степени трудных, в какой-то степени легких. Вы можете оценить их трудность, а задно и свою силу, решив задачи из двух нижеследующих вариантов.

Вариants

1. Решить уравнение
   $$\log_{x+3}(3 - \sqrt{1 - 2x + x^2}) = \frac{1}{2}.$$

2. Решить неравенство
   $$6\sin^2\frac{x}{2}\mathrm{ctg}^2x \leqslant 2\cos^2x + 3\mathrm{ctg}^2x.$$

3. В основании примыды $SABC$ лежит $\Delta ABC$ с углом $C=90^\circ$ и острым углом $30^\circ$. Боковые ребра примыды наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$, высота примыды равна $H$. Найти площадь сечения примыды плоскостью, проходящей через точку $C$ паралелно $AB$ и делящей граны $ASB$ на части равной площади.

4. Доказать, что если прямая, соединяющая противоположные вершины вписанного четырехугольника, проходит через точку пересечения касательных, проведенных в двух других его вершинах, то произведение противоположных сторон равны.

5. Доказать, что если $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 11x + 30} < 0$, то sin $x$ и cos $x$ имеют разные значки.
   (MГПИ им. В. Н. Ленина)

6. В правильной треугольной примите со стороны основания, равной $a$, углы между ребрами при ее вершине равны $\alpha$ ($\alpha \leqslant 90^\circ$). Определить площадь сечения, проведенного через стороны основания perpendicularно противоположному боковому ребру.

7. Решить уравнение
   $$\lg^2 x + \lg^2 (x + 10) = 2\lg 11.$$

8. Решить уравнение
   $$\sin 3x \cdot \sin x + 1 = 0.$$

(Ивановский педагогический)

В ЕДИНЕНИИ СИЛА

«Пока алгебра и геометрия развивались каждая своим собственным путем, продвижение их было медленным, а приложения ограничены.

Но когда эти науки обеединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству».

Лагранж
НЕ ВРАГИ, А ДРУЗья

«Ошибочно думать, что строогость в доказательстве — враг простоты. Например, можно применить подвергеджается, что строогий метод в то же самое время проще, легче и доступней. Всякое усилие в строогу строогости направляется как отысканию простейших методов доказательства».

Гильберт
4, 5 и 6

4 одинаковых мяча можно расположить так, чтобы каждый касался трех остальных.

5 одинаковых мячов можно расположить так, чтобы каждый касался четырех остальных.

Можно ли расположить 6 одинаковых неотточных карандаш так, чтобы каждый касался пятей остальных?

53

КОЕ-ЧТО О РАДИКАЛAX

А. Г. МОРДКОВИЧ

— А теперь, — сказал Экзаменатор, — я хочу предложить вам еще одну задачу, весма несложную. Вот она:

Найти стороны прямоугольного треугольника, если известно, что проекция одного камета на синоменду равна 6 см, а проекция другого камета на 1,5 см меньше длины этого камета.

… Через несколько минут Абитуриент вдвоем к Экзаменатору.
— Ну, как, решили задачу? — спросил Экзаменатор.
— Да! — ответил Абитуриент.
— И что же получилось?
— Задача не имеет решения.
— И вы можете это доказать?

— Конечно! Рассмотрим треугольник ABC (см. рисунок); C — верхина прямого угла, CH — высота. Пусть AC = x, тогда по условию AH = = x—1,5, а BH = 6.

54

Используем известное соотношение
$$CH^2 = BH \cdot AH$$ или $$CH^2 = 6(x - 1,5).$$

Приименив к прямогольному треугольнику $ACH$ теорему Пифагора, получим

$$\sqrt{AC^2 - CH^2} = AH,$$

то есть

$$\sqrt{x^2 - 6(x - 1,5)} = x - 1,5.$$

— Ну, что же, пока все верно, — заметил Экзаменатор, — хотя должны сказать, что путь решения выбран не самый рациональный.

— А далее, — продолжал Абитуриент, — осталось простые вычисления:

$$\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 1,5; \quad \sqrt{(x - 3)^2} = x - 1,5;$$

$$x - 3 = x - 1,5; \quad -3 = -1,5.$$

Так как последнее равенство неверно, то задача не имеет решения.

— К сожалению, я должен Вас разочаровать, — сказал Экзаменатор, — задача имеет решение. Ее можно решить, например, так: из известного соотношения $AC^2 = AB \cdot AH$ имеем $x^2 = (x + 4,5) (x - 1,5), 3x = 4,5 \cdot 1,5$ и $x = 2,25$, то есть $AC = 2,25$ см. Тогда $AB = 6,75$ см, а $BC = 4\sqrt{2}$ см.

И, перехватив недоуменный взгляд Абитуриента, Экзаменатор добавил:

— Вас, видимо, интересует, где ошибка в Ваших рассужdenях. Ну, что же, давайте разберемся.

ГДЕ ОШИБКА?

— Вы помните,— начал Экзаменатор,— что я, хотя и с оговоркой, одобрил Ваши геометрические рассуждания. Значит, ошибка могла произойти только в том, что вы назвали «простыми вычислениями». А точнее, ошибка допущена при извлечении квадратного корня. Вы не учили, что, по смыслу задачи, величана $\sqrt{(x - 3)^2}$ должна быть положительной. Да и вообще, в области действительных чисел, знак $\sqrt{}$ подразумевает арифметическое, неотрицательное значение корня. Так, $\sqrt{16} = 4$, и нельзя писать, что $\sqrt{16} = -4$ или $\sqrt{16} = \pm 4$. Поэтому нельзя утверждать, что всегда $\sqrt{a^2} = a$: при $a \geq 0$ это равенство справедливо, но ведь число $a$ может быть и отрицательным! Упростите, например, $\sqrt{(-3)^2}$:

Абитуриент написал:

$$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3.$$

— Правильно. Иными словами,

$$\sqrt{(-3)^2} = -(-3).$$

И вообще, если $a < 0$, то $\sqrt{a^2} = -a$.

Таким образом,

$$\sqrt{a^2} = \begin{cases} a, если a \geq 0, \\ -a, если a < 0. \end{cases}$$

— Я понял,— воскликнул Абитуриент,— это можно коротко записать так: $\sqrt{a^2} = |a|$, ведь модель $a$ определяется точно так же:

$$|a| = \begin{cases} a, если a \geq 0, \\ -a, если a < 0. \end{cases}$$

— Совершенно верно. Точно так же и в вашей задаче: нельзя писать

55

$$\sqrt{(x-3)^2} = (x-3), \text{ потому что } (x-3) \text{ может быть и отрицательным числом.} \text{Если воспользоваться тем, что } \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|, \text{ то приdem к управлению } |x-3| = x-1, 5.$$

Далее следует рассмотреть два случая: 1) $x-3 \geq 0$; 2) $x-3 < 0$. Вы рассмотрели только первый случай, поэтому вывод о том, что задача не имеет решения, был сделан преждевременно. Во втором случае $|x-3| = -(x-3)$. Тогда из уравнения $-(x-3) = x-1, 5$ получаем $x = 2, 25$, то есть $AC = 2, 25$ см.

Все ясно, — сказал Абитурент.
В таком случае нашу беседу будем считать законченной. На прошание позволью себе дать вам следующий совет:

Не забывайте, что $\sqrt{a^2} = |a|!$

На этом мы рассмотемся с Абитурентом и Экзаменатором, но совет Экзаменатора примем к сведению. В частности, примем его при решении следующого примера.

Пример 1. Упростить выражение

$$\sqrt{\frac{a+x^2}{x} - 2\sqrt{a}} + \sqrt{\frac{a+x^2}{x} + 2\sqrt{a}}, \text{ если } x > \sqrt{a}.$$

Решение. Имеем

$$\sqrt{\frac{a+x^2-2x\sqrt{a}}{x}} + \sqrt{\frac{a+x^2+2x\sqrt{a}}{x}} =$$

$$\frac{\sqrt{(V\bar{a}-x)^2}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{(V\bar{a}+x)^2}}{\sqrt{x}} = \frac{|V\bar{a}-x|}{V\bar{x}} + \frac{|V\bar{a}+x|}{V\bar{x}}.$$

Так как по условию $x > \sqrt{a} \geq 0$, то $|V\bar{a}-x| = -V\bar{a} + x$, $|V\bar{a}+\bar{x}| = \sqrt{a} + x$, и данное выражение преобразуется так:

$$\frac{-V\bar{a} + x + \sqrt{a} + x}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}.$$

НЕСКОЛЬКО СЛОВО О СВОЙСТВАХ РАДИКАЛОВ

При решении примеров на действия с радиkalами приходится применять различные свойства радиkalов. Так, в примере 1 мы воспользовались, причем довольно-tаки беззаботно, известным свойством:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{b}.$$

Однако следует учеть, что это равенство имеет место лишь в случае, когда $a \geq 0$ и $b > 0$. Если же $a$ и $b$ — отрицательные числа, то запись $\frac{\sqrt{a}}{b}$ не имеет смысла в области действительных чисел. В примере 1, на нашей части, ошибки не произшло, так как $(V\bar{a}-x)^2 > 0$, $(V\bar{a}+x)^2 > 0$ и, кроме того, по условию $x > 0$. Но, во всяком случае, из сказанного выше можно сделать следующее вывод: надо быть очень внимательным, раскрывая корень (чемной степени) из произведения или из дроби. В общем случае, когда знак $a$ и $b$ неизвестен, целесообразно проводить следующее рассужждение:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{|a|}{|b|}} = \sqrt{\frac{|a|}{|b|}}.$$

56

Итак, если числа $a$ и $b$ имеют одинаковые значки, то

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}$$

и аналогично

$$\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}.$$

Пример 2. Упростить

$$\sqrt{\frac{a-\sqrt{x}}{a+\sqrt{x}}} + \sqrt{\frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}} - \sqrt{\frac{16}{a^2-x}},$$ если $x = 4(a-1)$.

Решение. Выразим, наоборот, $a$ через $x$: $a = \frac{x+4}{4}$, и подставим в данное выражение. Оно преобразуется так:

$$\sqrt{\frac{x-4\sqrt{x}+4}{x+4\sqrt{x}+4}} + \sqrt{\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x-4\sqrt{x}+4}} - \sqrt{\frac{16^2}{(x+4)^2-16x}}$$

$$= \frac{|\sqrt{x}-2|}{|\sqrt{x}+2|} + \frac{|\sqrt{x}+2|}{|\sqrt{x}-2|} - \frac{16}{\sqrt{x^2}-8x+16}$$

$$= \frac{(x-4\sqrt{x}+4) + (x+4\sqrt{x}+4)}{|(\sqrt{x})^2-4|} - \frac{16}{|x-4|} = \frac{2x+8}{|x-4|} - \frac{16}{|x-4|} = 2\frac{x-4}{|x-4|}.$$

Заметим еще, что $x > 4$, если $a > 2$, и $x < 4$, если $1 \leqslant a < 2$.

Окончательный ответ:

2, если $a > 2$,

• 2, если $1 \leqslant a < 2$.

Мы пользовались — и это часто бывают полезно — таким свойством модуля: для всех $a$ и $b$

$$|a| \cdot |b| = |ab|, \quad |a|^2 = a^2.$$

А сейчас мы остановимся еще на одном важном свойстве корня.

Пример 3. Упростить

$$\sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}.$$

Решение. Часто рассуждают так. Пользоваться известным свойством корня, можно у второго сомножителя показать корня умножить на 2 и одновременно подкренное выражение возвести в квадрат; получим

$$\sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}$$

$$= \sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[10]{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})^2}$$

$$= \sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[10]{19^2-(6\sqrt{10})^2} = \sqrt[10]{1} = 1.$$

Но здесь есть ошибка! Правильный ответ — минус единица. Дело в том, что $3\sqrt{2}-2\sqrt{5} < 0$, поскольку $(3\sqrt{2})^2 = 18 < (2\sqrt{5})^2 = 20$.

Поэтому неверно, что $\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}} = \sqrt[10]{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})^2}$, а верно, что $\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}} = -\sqrt[5]{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = -\sqrt[10]{(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})^2}$.

Пример 4. Упростить $\sqrt[8]{(\pi^2-10)^4}$.

57

Здесь тоже неверно было бы просто разделить показатель корня и подкоренного выражения на 4:

$$\sqrt[8]{(\pi^2 - 10)^4} = \sqrt{\pi^2 - 10}$$

(полученный результат не имеет смысла, поскольку $\pi^2 < 10$). Верно равенство такое:

$$\sqrt[8]{(\pi^2 - 10)^4} = \sqrt{10 - \pi^2}.$$

В итоге мы приходим к такому выводу:

Пользуясь основными свойствами radикалов в тех случаях, когда немуверенности, что под корнем стоит положительное число, нужно следить, чтобы, во-первых, полученный результат имел смысл (при необходимости нас выручит знак modуля) и, во-вторых, чтобы полученный результат имел том же знак, что и первого аналогное выражение.

ЗАДАЧИ

1. Перечислите условия, при которых верны следующие равенства ($k$ и $n$ — натуральные числа):

a) $$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a};$$
e) $$a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b};$$
6) $$\sqrt[n]{a^n} = a;$$
ж) $$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a^k};$$
b) $$(\sqrt[n]{a})^n = a;$$
з) $$\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[k]{a};$$
г) $$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};$$
и) $$(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k};$$
д) $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{n \sqrt[n]{b}};$$
к) если $a < b$, то $$\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$$.

2. Упростить следующие выражения:

a) $$(\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} + \sqrt{\frac{a-1}{a+1}}) \cdot (\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} - \sqrt{\frac{a-1}{a+1}});$$
6) $$\sqrt{\frac{3y+x^3}{2x}} + \sqrt{3xy} - \sqrt{\frac{3y+x^3}{2x}} - \sqrt{3xy};$$
b) $$\frac{(4a^2m^{-2} + a^{-2}m^2 - 4)^{-1/2}}{2ma (m^2 - a^2)^{-1/2}} \cdot \left(2 \sqrt{m^4 - \frac{a^2}{m^{-2}}} - \frac{2a^2}{\sqrt{1 - a^2}m^{-2}}\right);$$
г) $$\frac{a + \sqrt{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[12]{(9 - 4\sqrt{5})^3}}{\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}}.$$

58

ПИСЬМЕННЫЙ

ЭКЗАМЕН
по физике проводится во многихузах страны,
но только в трех из них,
помимо устного,
проводится еще и письменный экзамен.
Это делается
в Московском физico-техническом институте,
а также на физических факультетах
Московского и Новосибирского университетов.
Письменное задание содержит, как правило, 4—5 задач.
На выполнение его ответится
в физico-техническом институте
5 часов,
в МГУ и НГУ — 4 часа.
Ниже приводятся варианты,
предлагаемые в прошлом году поступающим
в физico-технический институт и НГУ.
Вариants
физического факультета МГУ
будут опубликованы
в следующем номере журнала.

Вариант 1 (МФТИ)

1. На две частицы — одну массы $m$, летящего со скоростью $v$, другую массы $2m$, летящего со скоростью $2v$, направленной перпендикулярно $v$ (рис. 1), — в течение некоторого времени действуют одинаковые по величины и направления силы. К моменту прекращения действия сил правая часть поворачивает и начинает двигаться в обратном направлении со скоростью $2v$, как изображено на рисунке. С какой скоростью стала двигаться вторая часть?

2. В сосуде объема 1,1 л находится 100 $e$ адсорбента и водород при температуре $t = -193^\circ$ С и давлении $P = 0,2$ am. Адсорбент при этой температуре поглотил водород в количестве, по весу равном $\frac{1}{50}$ веса самого адсорбента. Определить давление в сосуде, если его нагрели до $t_1 = 31^\circ$ С, когда все молекулы водорода покинут адсорбент. Плотность адсорбента $1 \frac{e}{cm^3}$.

3. Определить удельное сопротивление металла, если известно, что в каждой куби-

59

4. Наблюдатель расматривает удаленный предмет с помощью астрономической зрительной трубы (трубы Кеплера). В качестве объекта и окуляра трубы используются линзы с фокусными расстояниями $F_1 = +30\text{ cm}$ и $F_2 = +5\text{ cm}$. Наблюдатель видит четкое изображение предмета, если расстояние между объектом и окуляром трубы находится в пределах от $L_1 = 33\text{ cm}$ до $L_2 = 34,5\text{ cm}$. На каких расстояниях наблюдаются отсутствие в пределах от $L_1 = 33\text{ cm}$ до $L_2 = 34,5\text{ cm}$?

Вариант 2 (МФТИ)

1. Маховик радиуса $R = 20\text{ cm}$ насажен на неподвижную ось радиуса $r = 2\text{ cm}$. Сила трения между.maxовиком и осью постоянна и равна 100 кГ. Для того чтобылегче было снять.maxовик с оси, к его ободу прикладывается сила $F = 8\text{ kГ}$, создающая врашащий момент относительно оси (рис. 2). С какой минимальной силой $N$ нужно при этом тянуть.maxовик вдоль оси, чтобы снять его?

2. Манометр состоит из трех стеклянных трубок (рис. 3). В нижней части манометра находится трубь, а влевом колене над трубью — масло. Насколько изменилось давление $P$, контролируемое манометром, если уровень масла в тонкой открытой трубке поднялся на $\Delta h = 10\text{ mm}$? Отношение плотности труби и масла $\frac{\rho_1}{\rho_2} = 14$, а относение сечей трубок $\frac{S_3}{S_2} = 2$, $\frac{S_2}{S_1} = 50$.

3. Плоский конденсатор с горизонтальной расположенными пластинами подсоединен к батарее с э.д. с. $U$ и помещен в сосуд, который постепенно заполняется керосином ($\varepsilon = 2$). Запишите в виде формулы и изобразите на графике зависимости напряженности поля в центре конденсатора от толщины слоя керосина внутри него. Расстояние между.plastинками конденсатора $d$.

4. Расстояние между предметом и его прямым и увеличенным в два раза изображением, полученным с помощью тонкой линзы, равно $L$. Найти оптическую силу линзы и выяснить характер изображения (действительное или минимое).

Вариант 3 (НГУ)

1. Квадратная сетка из однородной проводки состоит из четырех одинаковых квадратных хаuses (рис. 4). Сопротивление одной стороны ячейки $r$. Ток входит в один из углов сетки и выходит из противоположного угла. Найти сопротивление всей сетки.

2. Между поршнем и дом цилиндрического сосуда, заполненного воздуха, закреплена перегородка с отверстием, закрытым пробкой (рис. 5). Давление справа от перегородки одинаковы. При движении пршня пробка вылетела при перепаде давле-

Рис. 5.

ния $\Delta P$. В этот момент поршень остановили. Найти установившееся в состоянии давление. Во время всего процесса температура не менялась.

3. По гладкому столу движутся массы $m_1$ и $m_2$, скрепленные неисомой нерастворимой нитью длины $l$. В некоторых момент скорость массы $m_1$ равна нулю, а скорость массы $m_2$ равна $v$ и перpendикулярно ниги. Найти натяжение ниги.

4. Внутри заряженной сферы, радиус которой $b$, а заряд $q$, находится заземленная проводящая сфера радиуса $a < b$ (рис. 6). Центры сфера совпадают. Найти направность электрического поля вне большой сферы на расстоянии $r$ от центра.

Вариант 4 (НГУ)

1. Два одинаковых шарика соединены неисомым стержнем длины $l_0$. Система расположена на горизонтальной плоскости и приведена во врашение. Начальная скорость каждого из шариков $v_0$, коэффициент трения о плоскость $k$, ускорение силы тяжесте $g$. Сколько оборотов сделает система до остановки?

2. Какую работу надо совершить, чтобы иннзовать atom водорода, то есть угнать электрон ($e=1,6 \cdot 10^{-19}$ кул $=4,8 \cdot 10^{-10}$ CG SE) от протона на очень большое расстояние? Диаметр atomа водорода $d \approx 10^{-8}$ см. Результат выразить в электрон-вольтах ($1 \text{ Эθ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Эж}$, диэлектрическая проницаемость вакуума в системе СИ $\varepsilon_0 = 8,8 \cdot 10^{-12} \text{ ф/m})$.

3. Вgliedце налито $P$ граммов воды, а сверху поставлен перевернутый вверх дом разогретый стакан с тонкими стенками. До какой наименьшей температуры $T_1^\circ \text{K}$ должен быть нагрет стакан, чтобы после obstruction его до температуры окружающей воздуха $T_0^\circ \text{K}$ в него оказалась бы втянутой вся вода (рис. 7)? Атмосферное давление $p_0$, площадь секения стакана $S$, высота $l$, плотность воды $ρ$. Объем воды меньше стакана. Испарением, поверхностным натяжением и расшириением самого стакана пренебречь.

4. Горизонтальный стержень веса $P$ и длины $l$ скользит без тряния по двум вертикальным стержням, соединенным вниз конденсатором emкости $C$ (рис. 8). Оdnородное магнитное поле $H$ перpendикулярно плоскости padения стержня. Найти ускорение стержня, пренебрегая электрическим сопротивлением образованной цепи.

61

Вечерняя математическая школа при механико-математическом факультете Московского государственного университета (ВМШ) работает уже седьмой год. Основная ее цель — способствовать математическому развитию школьников, расширить их математический кругозор. ВМШ продолжает традиции математических кружков, работающих при Московском университете вот уже более тридцатилетки лет, и, по существу, сама является свободным математическим кружком, охватывающим более 800 школьников. Вход на все занятия ВМШ свободный, включиться в работу школьного в течение всего года.

Раз в неделью в 26 группах ВМШ собираются ученики 6—9-х классов. Проводят занятия в группах аспираты и студенты механико-математического факультета университета, студенты Московского педагогического института им. В. И. Ленина, Института стали и другихузов. Кроме решения интересных задач, на занятиях разбияются различные вопросы математики, выходящие за рамки программы средней школы. Занятия зачастую проводятся в виде игры. Bot пример. Руководитель рассказывает: «Ковбой вощел в бар и попросил воды. Вместо ответа хозяйили выхватил колгот и выстрелл в потолок. Ковбой поблагодарил и вышел. В чем дело? Вам не хватает данных? Ну, что же, я готов правдивно ответить на некоторые ваш вопросы, относится к этому случае. Только учтите, вопросы должны начинаться словами: «Верно ли, что…» А я будут ответить только «да» или «нет». После двадцатиминутных расспросов и выпытываний кого-то осеняет: «У ковбой в горле застряла кость и от испуга выскочила!!!»

Ученикам 8—9-х классов каждую недельу ведущее учение Московы читают лекции по проблемам современной математики.

Одной из форм работы ВМШ является «домашняя олимпида». Каждую неделью ребятам разделют условия 4—5 задач, на решение которых дается две недели. Решения в письменном виде сделятся руководством группы на проверку. В конце цикла, состоящего из 20 задач, жюри, выбранное из руководителей группы, подводит итоги конкурса. На проведимых зачетах (с отметкой!) все ребята должны проявить понимание методов решения конкурсных задач.

Занятия в ВМШ хорошо сказывают на учебе школьников. Так, оба Москвы, принимающие в составе советской команды участке в международной математической олимпиде 1969 года,— были ученики ВМШ. Многие нынешние студенты механита и физика МГУ, физико-технического института когда-то учились в ВМШ. Есть среди бышших учеников ВМШ студенты — химики, биологии, экономисты, психологи…

В заключение приводим некоторые из конкурсных задач Вечерней математической шкoles для 8—9-х классов. Большинство из них доступно и ученикам 6—7-х классов.

Задачи

1. Имеется 7 одинаковых по виду монет, но среди них 5 монет настоящие, а 2 фальшивые. Настоящие монеты весят по 10 е, а фальшивые — по 9,8 е. Какое наименьшее число взвешивания на чашечных весах без гриbs надо сделать, чтобы наверняка определять фальшивые монеты?

2. Саша нарисовал параллелограмм ABCD, отметил точку M — середину стороны BC, точку N — середину стороны CD и пошел гулять. Вредная Лила подоблась к чертежу и стерла все, кроме точек A, M, N. Помогите Саша восстановить чертеж, то есть найти точки B, C и D.

3. В комнате 10 человек, собак и мух. У каждой человека 2 ноги, у собаки — 4 и у муки — 6 ног. У всех в комнате 46 ног. Как это может быть (Найти все возможности.).

4. Найти также два натуральных числа, сумма квадратов которых равна 16 000. (Укажите все решения.).

5. В стране Резольвента сеть городов. Между любыми двумя из них имеется прямое железнодорожное сообщение, так что из любого города в любой другой можно попасть по прямолинейному пути, не проезжая остальные города. Нарисуйте такую схему железнодорожного сообщения этой страны, чтобы на ней было как можно меньше пересечений дорог. (В одном месте может пересечаться не больше двух дорог.).

6. Данны точки A и B на плоскости. Найти геометрическое место точек C на плоскости таких, что треугольник ABC — остроугольный.

7. Доказать, что никакая степень числа 2 не окачивается четрьями одинаковыми цифрами. Найти степень числа 2, окачивающегошую треугольнику одинаковыми цифрами.

8. У Змея Горьныча 2000 голов. Сказочный богатый может срить ему одним ударом меша 33, 21, 17 или 1 голову, но при этом у Змея вырадает взамен соответствующего 48, 0, 14, 349 голов. Если отрублены все головы, то новых голов не отрастает. Сможет ли богатый одоблить Змея?

А. А. Орлов, А. Л. Розеналь

63

b) $m$, если $\frac{a}{m^2 - 2a^2} > 0$,
и $(-m)$, если $\frac{a}{m^2 - 2a^2} < 0$;
г) $(-3\sqrt{3}\bar{a} - 1)$.

Кстатье
«Писменный экзамен по физике»
Вариант 1

1. 2,5 $v$. Использовать второй закон Ньютона в форме $\Delta(mv) = F\Delta t$.

2. $P_1 = \frac{1}{50} m_a \delta \frac{RT_1}{\mu(V - V_{a\Delta})} + P \frac{T_1}{T} \approx 25,35 \text{ am}$.
   $T$ и $T_1$ — абсцилтные температуры газа. Задачу удобно решать, используя уравнение Менделеева — Клапейрона: $PV = \frac{m}{\mu} RT$.

3. $\rho = \frac{2m}{Ne^2\tau}$. Ток через образец равен $i = NeSv$,
   где $S$ — сечение образца, а $v$ — средняя скорость электронов. За время от 0 до $\tau$ в поле $E$ скорость электронов изменяется от 0 до величины $\frac{eE}{m}\tau$. Средняя скорость равна $\frac{1}{2}\frac{eE}{m}\tau$.

4. $x_{\text{max}} = \frac{F_2(L_1 - F_1)}{F_1 + F_2 - L_1} = 45 \text{ cm}$,
   $x_{\text{min}} = \frac{F_2(L_2 - F_1)}{F_1 + F_2 - L_2} = 7,5 \text{ cm}$.

Изображение предмета, получаемое в форме первой линзной, рассматривается через вторую линзу, причем минимое изображение, даваемое второй линзой, должно появиться в области резкой видимости невооруженным глазом.

Вариант 2
$$N = \sqrt{\frac{F^2 \tau P - F^2 \frac{R^2}{r^2}}{2}} = 60 \kappa \Gamma.$$ Сила трения должна быть равна равнойствушей силы $N$ и силы $F_1 = F \frac{R}{r}$, направленной по касательной к оси.

2. $\Delta P = \Delta h \left[ \left(1 - \frac{S_2}{S_1}\right) \frac{\rho_2}{\rho_1} + \frac{S_1}{S_2} + \frac{S_1}{S_3} \right] = 1 \text{ mm Hg}$.

Изменение высоты столба масла равно $\Delta x_1 = \Delta h - \Delta h \frac{S_1}{S_2}$, а ртути $\Delta x_2 = \Delta h \frac{S_1}{S_2} + \Delta h \frac{S_1}{S_3}$.

3. $E = \frac{\varepsilon U}{\varepsilon(d - x) + x}$ при $x \leqslant \frac{d}{2}$
   и $E = \frac{U}{\varepsilon(d - x) + x}$ при $x \geqslant \frac{d}{2}$
   ($x$ — толщина слоя керосина). График зависимости $E = E(x)$ показан на рисунке. Систему можно рассматривать, например, как два последовательно соедининых конденсатора.

4. Изображение миниое, $D = \frac{1}{2L}$.

Вариант 3

1. $\frac{3}{2} r$. Углы и центр сетки эквипотенциальны. Поэтому их можно соединить проводником без сопротивления, не меняя распределения тока в цепи и, следовательно, не меняя сопротивления цепи.

2. $P = \frac{2P_0(P_0 \pm \Delta P)}{2P_0 \pm \Delta P}$. Можно воспользоваться законом Дальтона (давление в сосуде равно сумме парциальных давлений газов, заполняющих части сосуда) и законом Бойля — Марнотта. Знак ± соответствует вдвиганию или вывиганию поршня.

3. $\frac{m_1 m_2 v^2}{(m_1 + m_2) l}$. Система вращается во круглгрؤе центра масс, который находится на расстоянии $x = l \frac{m_2}{m_1 + m_2}$ от шарик с массой $m_1$. Поэтому задачу удобнее всего решать в системе координат, связанной с центром масс. Центрстремительное ускорение шарикам сообщает сила натяжения нити.

4. $E = \frac{q}{r^2} \left(1 - \frac{a}{b}\right)$. Заряд внутренней сферы можно найти из условия равенства нулю потенциала этой сферы (то есть работы, затрачиваемой на перенесение единичного положительного заряд из бесконечности на сферу): $\frac{q_1}{a} + \frac{q}{b} = 0$.

Вариант 4

1. $\frac{v_0^2}{2\pi l_0 gk}$. Работа силы треня $2F_{\text{Tp}} \cdot 2\pi R \cdot n$ равна начальной кинетической энергии системы $2\frac{mv_0^2}{2}$.