Khoa học phổ thông vật lý-toán học
Kvant
3
1970
tạp chí
của Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm Khoa học
Giáo dục Liên Xô

Tổng biên tập — viện sĩ I. K. IKOIН
Phó thứ nhất của tổng biên tập —
viện sĩ A. N. KOLMOGOROV

Hội đồng
biên tập:

L. A. Artsimovich,
M. I. Bashmakov
V. G. Boltyansky.
I. N. Bronstein
N. B. Vasilyev
I. F. Ginzburg
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,
G. I. Kosourov
V. A. Leshkovtsev
V. P. Lishevsky
A. I. Markushevich,
M. D. Millyunitskov,
N. A. Patrikeeva
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
I. Sh. SLOBODEЧИЙ
M. L. Smolyansky
Ya. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
Ya. E. Shnaider

Trưởng ban biên tập L. I. Knyazeva
Biên tập mỹ thuật I. P. Leonov
Biên tập kỹ thuật T. M. Makarova
Hiệu đính O. A. Scedal và I. B. Mamulova
Nhà xuất bản «Nauka»
Ban biên tập chính
văn học vật lý — toán học
Moskva, V-71, đại lộ Leninsky, 15
Điện thoại 234-05-49

Đã giao in ngày 2/11 năm 1970.
Đã ký in ngày 2/1V năm 1970.
Giấy 70×100/16 Số tờ in vật lý 4
Số tờ in quy ước 5,2 Số tờ xuất bản 5,55
Số lượng 206 500 bản.
Giá 30 kopeck. Đơn đặt hàng 196
Tổ hợp in Chekhov
Tổng cục công nghiệp in của Ủy ban
về báo chí thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô
thành phố Chekhov, tỉnh Moskva

Н. Я. ВИЛЕНКИН

BÍ MẬT
CỦA VÔ HẠN
(ZENON, DEMOCRIT, ARCHIMEDES)

Con người hữu hạn không dám xem xét cái vô hạn như một cái gì đó đã cho và có thể tiếp cận được bằng trực giác của mình.

Карл Фридрих Гаусс

Vô hạn Không có gì đã rèn luyện trí tuệ con người một cách khôn ngoan như vậy.

Давид Гильберт

KHOẢNH KHẮC CỦA VĨNH HẰNG

Sự quan tâm đến những con số rất lớn đã xuất hiện từ thời cổ đại xa xưa. Người Ai Cập, để nói về một điều gì đó là rất lớn, đã dùng những so sánh hình ảnh. Trong văn bản của một ngôi mộ của một tư tế của thần Ai (thế kỷ XIV trước Công nguyên) có nói:

«Cầu mong Người (vị thần) ban thưởng cho ngươi những lễ hội như số cát trên bờ biển được đo bằng sắt ipet, như lượng biển được xác định bằng jaty, hoặc trọng lượng của ngọn núi được cân trên cân, hoặc lông chim, hoặc lá cây».

Người Ai Cập khó có thể diễn đạt suy nghĩ của mình theo cách khác, vì họ chưa phát triển đầy đủ hệ thống ký hiệu số. Nhưng khoảng 5000 năm trước, ở Babylon cổ đại đã xuất hiện hệ thống đếm sáu mươi *), và các nhà toán học Babylon có thể tự do xử lý những con số rất lớn. Trong một trong những bảng Babylon cổ đại, chẳng hạn, người ta đưa ra tất cả các ước số của số $60^8+10\cdot 60^7=195\ 955\ 200\ 000\ 000$.

Những con số rất lớn cũng được nói đến trong các truyền thuyết Ấn Độ về Đức Phật. Theo một trong số đó, ngay từ khi còn nhỏ, ông đã phải trải qua một cuộc thử thách về các con số, và, chuyển từ một cấp độ này sang cấp độ khác, ông phải đi đến những con số biểu thị số hạt cát của mười lakh con sông (lakh=100 000) giống như sông Hằng. Sau đó còn xuất hiện những con số lớn hơn nữa và cuối cùng là con số «mà nhờ nó những người giàu tính toán tích của mình và bu-

*) Độc giả quan tâm đến hệ thống đếm Babylon cổ đại có thể làm quen với nó qua cuốn sách của М. Я. Вьюдский «Số học và đại số trong thế giới cổ đại».

«tương lai». Còn trong một truyền thuyết Ấn Độ khác kể về một trận chiến, trong đó có 10²³ con khỉ tham gia. Số lượng khỉ như vậy không thể chứa được không chỉ trên bề mặt Trái Đất mà còn trong toàn bộ Hệ Mặt Trời, ngay cả nếu toàn bộ nó được nhồi kín bằng khỉ!

Có lẽ ngay từ thời người Ai Cập và người Babylon, người ta đã đi đến ý niệm về sự vĩnh cửu — đến ý nghĩ rằng dòng chảy của thời gian sẽ không có điểm kết thúc. Ý niệm này được thể hiện rõ ràng trong một truyện ngụ ngôn phương Đông:

«Đây là một ngọn núi kim cương cao một nghìn cubit. Cứ mỗi thế kỷ lại có một con chim đậu xuống và mài chiếc mỏ của nó vào ngọn núi. Khi nó mài hết cả ngọn núi, khoảnh khắc đầu tiên của sự vĩnh cửu sẽ trôi qua».

TÍNH ĐẾM NHỮNG HẠT CÁT

Cả ở Ai Cập lẫn Ấn Độ, người ta đều dùng cùng một biểu tượng cho một con số khổng lồ — số lượng hạt cát trên bờ sông hoặc bờ biển. Con số này, dĩ nhiên, rất lớn. Nếu thậm chí cho rằng thể tích của một hạt cát là 1 milimét khối (trên thực tế nó còn nhỏ hơn), thì trong một mét khối cát có chứa một tỷ hạt cát, còn trong một kilômét khối cát có một tỷ tỷ hạt! Một người, đếm hai hạt cát mỗi giây và làm việc này mỗi ngày 10 giờ trong suốt 80 năm, sẽ đếm được không quá ba tỷ hạt cát. Vì vậy, việc bác bỏ bằng kinh nghiệm trực tiếp ý nghĩ rằng số lượng hạt cát là không thể đếm được sẽ rất khó khăn. Trong mọi trường hợp, những con số chứa trong các bảng đất sét Babylon không đủ cho việc đó.

Để gọi tên một con số vượt quá…

Số lượng hạt cát trong cả những nước có người ở lẫn những vùng không có người ở buộc phải tiếp tục phát triển hệ thống đếm, hệ thống ghi số. Bài toán này được giải quyết bởi nhà toán học vĩ đại thời cổ đại Archimedes, người, theo người ta cho rằng, sinh năm 287 trước Công nguyên và bị giết khi thành phố quê hương Syracuse của ông bị chiếm vào năm 212 trước Công nguyên. Chúng ta biết ơn Archimedes về nhiều phát hiện trong vật lý và toán học, sự phát triển của chúng sau này đã dẫn đến việc tạo ra phép tính tích phân, thủy tĩnh học và các ngành khoa học khác. Tên tuổi của ông có thể là biểu tượng của tài năng toán học vĩ đại nhất. Nhiều tác phẩm của Archimedes không còn đến thời đại chúng ta. Đặc biệt, một công trình có tính chất biện luận của Archimedes đã bị thất lạc. Nhưng may mắn thay, còn lưu giữ được cuốn sách trong đó ông phát triển hệ thống đếm của mình. Cuốn sách có tên là «Psammit», hay «Phép tính số hạt cát trong không gian bằng quả cầu của các ngôi sao bất động».

Ngay trước Archimedes, người Hy Lạp đã sử dụng hệ thống đếm thập phân và đi đến một nghìn vạn, tức là đến 10 000 000. Archimedes bắt đầu việc đếm từ vạn của vạn*), tức là từ 100 000 000. Ông gọi số này là octad**) hoặc là đơn vị của các số bậc hai. Sau đó là octad, mà ông gọi là đơn vị của các số bậc ba. Cuối cùng, ông đi đến octad của các số octad, tức là đến số,

*) Vạn — tên gọi của số 10 000 trong tiếng Hy Lạp cổ (từ từ Hy Lạp μυρίσσ (myrios), có nghĩa là «lớn không thể đếm được»).
**) okto (octo) – tám.

bằng một đơn vị với 800 triệu số không. Ông gọi số này là đơn vị của chu kỳ thứ hai. Archimedes kết thúc hệ thống các số octad bằng octad của các octad của chu kỳ octad, tức là bằng số $10^{8.10^{16}}$. Nếu viết số này, ghi 400 số trên một dải dài 1 mét, thì sẽ có một dải dài đến mức có thể quấn quanh xích đạo Trái Đất khoảng 5000 lần. Sau đó, trên một tên lửa bay với tốc độ 8 km mỗi giây, sẽ phải bay khoảng 300 ngày để bay dọc theo toàn bộ dải.

Và mặc dù ngay trước thời Archimedes các nhà bác học đã biết rằng số lượng các số tự nhiên là vô hạn, rằng không tồn tại số tự nhiên cuối cùng, chỉ sau «Psammit» họ mới có khả năng gọi tên những số vượt quá không chỉ số lượng hạt cát trên bờ biển, mà còn cả số hạt cát trong «bước của những ngôi sao không thể đếm được»; — như Archimedes đã chỉ ra, nó nhỏ hơn một nghìn vạn vạn số bậc tám, tức là nhỏ hơn $10^{63}$. Ý tưởng về dãy số vô hạn, mô hình toán học phản ánh sự vĩnh cửu của thời gian, dường như đã được vật chất hóa trong các octad và chu kỳ tính toán của Archimedes.

THẾ GIỚI VÔ HẠN
TRONG VŨ TRỤ VÔ HẠN

Như vậy, ý tưởng về tính vô hạn lần đầu tiên xuất hiện như ý tưởng về sự vĩnh cửu, ý tưởng về sự tồn tại không bị giới hạn trong thời gian của thế giới. Tuy nhiên, cả ở Ai Cập lẫn Babylon dường như vẫn chưa có ý niệm về tính vô hạn của không gian. Vũ trụ được coi là một quả cầu rắn có giới hạn, tựa trên Trái Đất, còn bên ngoài quả cầu đó không có gì mà người phàm có thể nhận thức được. Nhưng ngay từ thế kỷ VI trước Công nguyên ở Hy Lạp cổ đại đã xuất hiện ý tưởng về tính vô hạn của không gian. Nhà triết học Anaximander lần đầu tiên đưa ra phỏng đoán về tính vô hạn của các thế giới trong một vũ trụ vô hạn. Các nhà triết học Hy Lạp nói: «Dù người chiến binh đứng ở đâu, anh ta cũng có thể đưa ngọn giáo của mình xa hơn nữa»*).

Như vậy đã xuất hiện mô hình thế giới vô hạn theo mọi hướng và vĩnh cửu trong thời gian. Những nhà tư tưởng táo bạo nhất thậm chí còn khẳng định rằng thế giới không có cả sự khởi đầu, nhưng họ bị kết tội là những kẻ vô thần, phủ nhận việc các vị thần tạo ra thế giới.

CHIA ĐƯỢC HAY KHÔNG CHIA ĐƯỢC?

Như vậy, cấu tạo của vũ trụ «ở quy mô lớn» đã được làm sáng tỏ (hoặc ít nhất cũng có vẻ như đã được làm sáng tỏ). Nhưng đồng thời các nhà triết học và toán học cũng suy nghĩ về việc toàn bộ thế giới nhìn thấy được cấu tạo từ cái gì, nó được sắp xếp «ở quy mô nhỏ» như thế nào. Kinh nghiệm hằng ngày cho thấy rằng ổ bánh mì, đùi lợn rừng, bình rượu có thể được chia cho những người ngồi quanh bàn. Trong trường hợp *) Ta biết rằng lập luận này chỉ chứng minh tính không giới hạn của không gian, sự vắng mặt của một quả cầu giới hạn của các ngôi sao bất động, nhưng hoàn toàn không chứng minh tính vô hạn của nó. Sự khác biệt giữa không giới hạn và vô hạn thấy rõ qua ví dụ về đường tròn — đường tròn không có biên giới, mặc dù kích thước của nó là hữu hạn. Người đọc có thể phản đối rằng đường tròn bị cong, còn không gian không phải là cong. Nhưng trong vật lý hiện đại người ta đưa vào khái niệm độ cong của không gian (điều này, đặc biệt, liên quan đến sự lệch hướng của các tia trong trường hấp dẫn). Tất nhiên, cả Anaximander lẫn các nhà triết học cổ đại khác đều không thể tiếp cận được những điều tinh tế như vậy, và họ tin chắc rằng lập luận của mình chứng minh mọi tính hữu hạn.

7

Khi cần thiết, có thể lại chia mỗi phần thành các phần nhỏ hơn. Nhưng nếu tiếp tục sự phân chia này, thì sớm hay muộn sẽ đến lúc các phần trở nên nhỏ đến mức việc tiếp tục chia nhỏ chúng không còn khả thi trong thực tế nữa. Để biểu thị những đại lượng «không thể chia nhỏ» như vậy, từ lâu người ta đã dùng những hình ảnh như «hạt bụi», «hạt anh túc» v.v. Nhưng nếu hạt anh túc vẫn có thể, dù khó khăn, chia thành các phần, thì có thể chia nhỏ hạt bụi bay trong tia nắng thành các phần hay không? Kinh nghiệm hằng ngày không cho câu trả lời về câu hỏi này, và người ta buộc phải chỉ dựa vào suy luận, tiến hành một sự phân tích thuần túy bằng tư duy.

Một trong những câu trả lời xa xưa nhất được biết đến về câu hỏi này thuộc về nhà triết học Hy Lạp Anaxagoras, sống vào thế kỷ V trước Công nguyên. Ông nói:

«Trong số các đại lượng nhỏ không tồn tại đại lượng nhỏ nhất, mà sự giảm đi diễn ra liên tục, hoặc cái đang tồn tại không thể ngừng tồn tại».

Ông cũng nói:

«Mọi vật (ở lúc khởi đầu của thế giới) đều ở cùng nhau, chúng vô số và vô cùng nhỏ».

Như vậy, theo Anaxagoras, mọi trạng thái đều được tạo thành từ vô số phần vô cùng nhỏ. Dĩ nhiên, ở đây khái niệm vô cùng nhỏ không phải được hiểu là một biến số tiến tới không, như được chấp nhận trong toán học hiện nay, mà là một điểm không có kích thước.

Nhưng điều này mâu thuẫn với hai tiên đề cơ bản, được thừa nhận rộng rãi trong toán học Hy Lạp. Các nhà khoa học Hy Lạp chia mọi đại lượng thành đại lượng có độ dài và đại lượng không có độ dài. Đồng thời họ cho rằng:

1. Tổng của một số vô hạn các đại lượng có độ dài bất kỳ, dù rất nhỏ, nhất định phải là một đại lượng vô hạn.

2. Tổng của bất kỳ số lượng nào, dù vô hạn lớn, các đại lượng không có độ dài luôn luôn bằng không và không bao giờ có thể bằng một đại lượng có độ dài được cho trước nào đó.

Hóa ra các đại lượng vô cùng nhỏ, từ đó theo Anaxagoras thế giới được tạo thành, không thể là đại lượng có độ dài cũng không thể là đại lượng không có độ dài, nghĩa là chúng không thể tồn tại.

Những khả năng khác chống lại ý tưởng về tính chia nhỏ vô hạn cũng được đưa ra. Plutarch viết:

«Nếu sự chia hai đại lượng thành các phần có thể tiếp tục đến vô hạn, thì không có cơ sở để coi một đại lượng lớn hơn đại lượng kia, còn bản thân bản chất của sự không bằng nhau bị tiêu diệt».

Ý nghĩa của sự phản đối này là sau khi chia, cả hai đại lượng hóa ra được tạo thành từ cùng một số lượng (vô hạn) các đại lượng giống nhau (vô cùng nhỏ).

THẾ GIỚI BẤT ĐỘNG

Những lập luận mạnh mẽ nhất chống lại ý tưởng về tính chia nhỏ vô hạn được đưa ra bởi nhà triết học Zeno xứ Elea, sống ở Ý vào giữa thế kỷ V trước Công nguyên. Ông đã «chứng minh» rằng sự thừa nhận việc chia vô hạn dẫn đến… sự phủ nhận khả năng chuyển động. Những suy luận của Zeno được ông trình bày dưới một hình thức sinh động, nghịch lý. Chẳng hạn, trong một trong những suy luận đó ông «chứng minh» rằng chiến binh nhanh chân Achilles không bao giờ đuổi kịp con rùa chậm chạp — vì trước hết anh ta phải đạt tới điểm A, nơi con rùa bắt đầu bò, sau đó điểm-

⟦trang 9⟧

các bề mặt nhỏ và lồi (có độ dày tối thiểu). Chẳng hạn, theo Democritus, hình nón gồm các hình tròn có độ dày tối thiểu, còn hình chóp gồm những đa giác như vậy. Ông hình dung hình cầu gồm các kim-hình chóp, mà các đỉnh nằm ở tâm hình cầu. Aristotle viết:

“Theo Democritus, cả hình cầu cũng cắt, vì nó cũng có góc”.

Cách tiếp cận như vậy cho phép Democritus giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trước các nhà hình học. Chẳng hạn, ông là người đầu tiên tính thể tích hình nón và hình chóp, ông là người đầu tiên quy việc tính thể tích hình cầu về việc tính diện tích mặt cầu. Với hình chóp, hình như ông đã làm như sau.

Trước hết ông chứng minh định lý rằng hai hình chóp có đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau thì có cùng thể tích. Ở đây đối với ông không có khó khăn nào — các hình chóp có cùng chiều cao, theo Democritus, gồm cùng số lượng các tam giác tương ứng, còn thể tích của chúng là tổng các “thể tích” của các tam giác (vì, theo Democritus, các tam giác là vật chất, có độ dày tối thiểu). Vì diện tích đáy của các hình chóp bằng nhau nên “thể tích” của các tam giác tương ứng trong cả hai hình chóp trùng nhau, và vì thế thể tích các hình chóp cũng trùng nhau. Sau đó ông chia một lăng trụ tam giác thành ba hình chóp, từng đôi một có cùng chiều cao và đáy bằng nhau (xem hình). Bằng cách ấy Democritus “chứng minh” rằng thể tích hình chóp bằng một phần ba thể tích lăng trụ có cùng chiều cao và cùng đáy. Còn sự bằng nhau về thể tích của hình chóp và hình nón có cùng chiều cao và đáy có cùng diện tích đã được chứng minh hoàn toàn đơn giản — chúng gồm cùng số lượng các hình có cùng “thể tích”.

Cũng rõ cách Democritus tiếp cận bài toán về thể tích hình cầu. Vì hình cầu gồm các kim-hình chóp, nên thể tích hình cầu bằng tổng thể tích các hình chóp ấy. Còn thể tích của mỗi hình chóp thì ông đã biết cách tìm. Cộng các thể tích ấy lại, ông đi đến đáp án: “Thể tích hình cầu bằng một phần ba tích của bán kính hình cầu với diện tích bề mặt hình cầu”. Ông không tính được diện tích này.

HÌNH CHÓP GỒ GHỀ

Democritus đạt được những kết quả đáng chú ý trong việc xác định thể tích các vật thể hình học. Nhưng đa số những người cùng thời đã bác bỏ các phương pháp của ông. Những ý tưởng của Democritus quá không giống với kết quả của kinh nghiệm trực tiếp. Ngay cả việc chia một đoạn thẳng làm đôi trong hình học của Democritus cũng là một vấn đề rất phức tạp. Một đoạn thẳng gồm số lẻ các phần tử không thể chia làm đôi: phần tử giữa phải thuộc về một trong hai nửa, và nửa ấy trở nên lớn hơn nửa kia. Không thể chia làm đôi

lam và đường tròn: trong phép chia như vậy, đường kính của đường tròn lệch về một trong hai phần, làm cho phần đó lớn hơn phần kia. Hơn nữa, theo Democritus, cả đường thẳng và đường tròn đều được cấu thành từ những amer nhỏ nhất cùng một loại. Vì vậy, đường tròn và đường thẳng tiếp xúc với nó có một amer nhỏ nhất chung, một amer chung. Do đó, đối với đường tròn chỉ có thể dựng được một số hữu hạn tiếp tuyến.

Cả hình chóp, thứ đã đem lại cho Democritus một thành công lớn, cũng nhận được ở ông một cách giải quyết kỳ lạ. Vì cần phải giải quyết vấn đề liệu các thiết diện song song của hình chóp có bằng nhau hay không. Nếu chúng bằng nhau, thì hình chóp không tồn tại đến đỉnh, còn nếu khác nhau, thì hình chóp có dạng bậc thang (như một số hình chóp Ai Cập có).

Có lẽ Democritus đã không thành công trong việc xây dựng một hình học không mâu thuẫn, mặc dù hình học của ông không ngây thơ như hình vẽ mà các đối thủ của ông đưa ra. Dù sao đi nữa, một trong những kết quả đáng chú ý nhất của những người tiền nhiệm của Democritus — tính không cùng đo của các đoạn thẳng — không được giải thích trong các công trình của ông: theo Democritus, mọi đoạn thẳng đều phải cùng đo được, được đo bằng một độ dài nhỏ nhất. Và các nhà hình học đã bác bỏ ý tưởng của Democritus, thay cho các bề mặt vật chất bắt đầu xem xét các bề mặt lý tưởng, không có độ dày, thay cho các đường vật chất — các đường lý tưởng, và thay cho các amer — các điểm không có độ dài. Đúng là khi chia đôi một đoạn thẳng, dù sao cũng phải loại bỏ điểm chia, nhưng điều đó đã không còn quan trọng: nó không có kích thước và không thể ảnh hưởng đến độ dài.

Bản thân Aristotle cho rằng «việc đưa vào độ dài nhỏ nhất làm lung lay những nền tảng vĩ đại nhất của toán học». Như người kế tục trung thành nói…

11

Сторонник Аристотеля средневековый схоластик Фома Брадвардин утверждал: «все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состояние состоит из недельных». И еще в XVII веке парижский парламент пригрозил смертной казнью всем противникам мнений Аристотеля. А в частности — всем сторонникам атомизма.

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ

Итак, математикам пришлось отвергнуть и метод неделимых Демокрита и бесконечные процессы — критика Зенона подорвала всякое доверие к результатам, полученным путем использования понятия бесконечности. В результате возникло трудное положение — методы Демокрита, хотя и путем нестрогих рассуждений, давали правильные формулы для вычисления площадей и объемов; теперь же приходилось разработать новую процедуру вычисления геометрических величин, в которой ни слова не говорилось бы ни о бесконечности, ни о бесконечно малых, ни о неделимых. Такую процедуру создал в IV в. до н. э. предшественник Евклида математик Евдокс, разработавший «метод исчерпывания» (или, иначе, «истощения»), в котором многие видят предка современного метода пределов. Этим методом широко пользовался Евклид в своих «Началах».

Например, вот как Евклид доказывает, что площади двух кругов относятся, как квадраты их диаметров:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

Пусть это неверно. Тогда $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ где $S$ либо меньше, либо больше $S_2$.

Допустим сперва, что $S < S_2$. Впишем в круг с диаметром $d_2$ квадрат и будем строить правильные вписанные многоугольники, последовательно удваивая число сторон. Легко доказать, что через несколько шагов разность между площадью круга и площадью $P_2$ вписанного многоугольника

становится меньше, чем $S_2 - S$, то есть $S_2 - P_2 < S_2 - S$, а значит, $P_2 > S$. А теперь впишем в круг с диаметром $d_1$ многоугольник, подобный вписанному в круг с диаметром $d_2$; площадь этого многоугольника обозначим через $P_2$. Так как площади подобных правильных многоугольников относятся, как квадраты диаметров описанных кругов, то

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

Но мы допустили, что $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ а потому

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{S_1}{S}$$

hoặc, theo các tính chất của tỉ lệ,

$$\frac{P_1}{S_1} = \frac{P_2}{S}.$$

Nhưng $P_1 < S_1$ (diện tích của đa giác nội tiếp nhỏ hơn diện tích hình tròn), còn $P_2$, như vừa chứng minh, lớn hơn $S$. Như vậy, vế trái của đẳng thức (*) nhỏ hơn một, còn vế phải — lớn hơn một, điều này là vô lý. Vậy bất đẳng thức $S < S_2$ là không thể xảy ra.

Tương tự, chứng minh được rằng bất đẳng thức $S > S_2$ cũng không thể xảy ra (hãy tự tiến hành chứng minh!).

Vậy, các giả thiết $S < S_2$, $S > S_2$ đều bị loại bỏ và chỉ còn khả năng duy nhất: $S = S_2$, tức là $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S_2}.$$

Nhưng nếu đối với hình tròn thì kết quả có thể dễ dàng đoán ra, còn các phép tính cũng không quá phức tạp, thì việc tính thể tích hình nón hoặc các tham số của nguồn là một công việc phức tạp và rối rắm. Tuy vậy, với hình nón và tham số thì vẫn có thể xử lý được — bởi vì câu trả lời đã được biết vào thời Đê-mô-crít, và Êu-đốc-xơ chỉ phải làm rõ các thông báo của Đê-mô-crít, thay việc chia các tham số thành các tam giác dữ liệu hàng tuần bằng các phép tính theo phương pháp nguồn.

Nhưng khi cần tìm thể tích của những hình mà Đê-mô-crít không làm được

12

chẳng hạn có một ellipsoid tròn xoay hoặc một paraboloid tròn xoay, thì tình hình hoàn toàn tệ — không biết phải chứng minh rằng thể tích không thể lớn hơn cũng không thể nhỏ hơn đại lượng nào. Nói cách khác, phương pháp vét cạn chỉ dùng để chứng minh những kết quả đã tìm được, chứ không dùng để khám phá những kết quả mới.

VÀ SỰ LƯỜI BIẾNG CŨNG CÓ ÍCH

Tuy nhiên, các nhà toán học sống sau Eudoxus không quá cố gắng khám phá những công thức mới. Trung tâm tư tưởng khoa học khi ấy chuyển từ Hy Lạp sang Ai Cập, nơi dưới sự bảo trợ của các Ptolemaios, tại Viện bảo tàng Alexandria, các học giả nghiên cứu bầu trời, hệ thống hóa những tri thức toán học đã tích lũy trước đó, viết thơ ca ngợi những người bảo trợ cao quý của khoa học, chép lại các bản thảo cổ. Phải nói rằng các học giả Alexandria đã làm được không ít, chỉ có điều các công trình của họ mang tính mô phỏng nhiều hơn. Họ phát triển những con đường đã có sẵn hơn là mở ra những con đường mới.

Một trong số ít ngoại lệ trong gia đình yên tĩnh của các học giả Alexandria là Archimedes, bà con của vua Syracuse, đến học từ Syracuse xa xôi. Khác với phần lớn học giả thời ấy, ông không chỉ quan tâm đến lý thuyết cao cấp mà còn đến những ứng dụng thực tiễn của khoa học, phát minh ra máy bơm vít, thứ sau đó được dùng trong nhiều thế kỷ, làm đồ chơi cơ học, rồi về sau, khi thành phố quê hương ông bị người La Mã vây hãm, chế tạo máy móc chiến tranh. Dĩ nhiên, Archimedes rất quan tâm đến cơ học, sự cân bằng của đòn bẩy, sự nổi của các vật, v.v. Mà cơ học từ thời Platon đã bị tách khỏi khoa học thuần túy và bị coi là thứ gần với nghề thủ công. Vì vậy, trong cơ học người ta không quá cẩn thận theo dõi tính chặt chẽ của lập luận, và các nhà cơ học sử dụng rộng rãi thuyết nguyên tử trong các nghiên cứu của mình, chia trong tư tưởng các hình nêm thành những nguyên tử-hình nêm có chung đỉnh với cả hình nêm, các hình trụ thành một dãy những hình tròn “nguyên tử” có bề dày nhỏ, v.v.*).

Và trong nhiều công trình của Archimedes, người ta gặp sự kết hợp kỳ lạ giữa phương pháp vét cạn với những lập luận rút từ cơ học. Ông đã học cách áp dụng vào việc giải các bài toán hình học những khái niệm về trọng tâm, đòn bẩy, và nhờ vậy nhận được những kết quả mới mà “toán học thuần túy” thời ấy không đạt tới được**). Và bởi các kết quả của cơ học rốt cuộc dựa trên những lập luận nguyên tử, nên thực ra trong các công trình này Archimedes dựa vào thuyết nguyên tử. Chỉ là ông không hề viết rõ điều đó. Có lẽ chuẩn mực toán học tốt thời ấy đòi hỏi các học giả trình bày kết quả của mình mà không viện đến những ý tưởng của Democritus đã bị nguyền rủa. Hoặc có thể khi ấy Archimedes còn chưa đọc Democritus — một vài chi tiết trong các công trình của ông chỉ ra điều đó.

Từ những công trình lớn của Archimedes còn truyền lại đến các thế kỷ XVI—XVII, các nhà toán học không thể biết ông đã suy đoán thế nào, ông cần chứng minh những kết quả nào. Họ chỉ có thể đi theo những khúc quanh trong tư tưởng của Archimedes, mãi đến cuối mới tin chắc ông đúng. Nhưng trong vài đoạn trích được Heron và các học giả khác dẫn lại, có nhắc đến một bức thư nào đó của Archimedes gửi Eratosthenes. Trong bức thư này Archimedes viết “về những lập luận dựa trên phương pháp, nhưng vẫn chưa phải là chứng minh dưới văn bản các công trình của Archimedes. Nhưng để tin chắc điều đó, cần phải có trong tay

*) Điều đáng chú ý là ngay cả bây giờ các kỹ sư và nhà vật lý vẫn thích nói về các mặt phẳng sơ cấp, các lớp mỏng vô hạn, v.v., không dùng đến ngôn ngữ chính xác nhưng có phần phức tạp hơn mà các nhà toán học sử dụng.
**) Xem thêm về điều này trong cuốn sách «Archimedes» của V. F. Kagan.

13

trong tay toàn bộ văn bản của bức thư. Như thường xảy ra, may mắn đã giúp đỡ.

Năm 1906, phó giáo sư thỉnh giảng của Đại học Petersburg Popadopulo-Keramevs đã tìm thấy trong thư viện của một tu viện ở Jerusalem một bản thảo bằng tiếng Hy Lạp nào đó. Vì vào thời Trung cổ giấy da rất đắt, người ta thường lấy những cuốn sách cổ, rửa hoặc cạo bỏ các văn bản ngoại giáo trên đó rồi viết vào đó tiểu sử của một vị thánh tử đạo nào đó. Bản thảo khiến Popadopulo quan tâm cũng có nguồn gốc như vậy. Phó giáo sư thỉnh giảng này rất yếu về toán học và không quá quan tâm đến những phần còn lại của văn bản bị rửa bỏ (may mắn là nhà sư viết bản thảo đã lười và chỉ rửa văn bản chứ không cạo nó đi). Ông chỉ đưa ra một đoạn trích nhỏ từ bản thảo cổ. Nhưng đối với nhà sử học toán học nổi tiếng người Đan Mạch Heiberg, đoạn trích này đã đủ để xác định — nhà sư đã rửa bỏ văn bản của Archimedes. Trong số nhiều công trình được Heiberg đọc, có cả bức thư gửi Eratosthenes.

Trong bức thư này Archimedes ghi nhận công lao của Democritus, nói rằng ông là người đầu tiên thiết lập các định lý về thể tích của hình nón và hình chóp, tuy nhiên không đưa ra cho chúng một chứng minh thích đáng. Và phương pháp mà Archimedes dùng để tiến hành nghiên cứu sơ bộ vấn đề hóa ra gần với phương pháp của Democritus. Ông phân chia các hình trụ, hình nón và hình cầu thành những vòng tròn cực kỳ mỏng, chứng minh mệnh đề cần thiết đối với một trong số chúng, nhận xét rằng kết luận phải đúng cả với những phần còn lại, và cuối cùng nói: «Vì toàn bộ vật thể được tạo thành từ những vòng tròn như vậy và được lấp đầy hoàn toàn bởi chúng, nên khẳng định đúng với toàn bộ vật thể». Mà điều này gần như trùng khớp từng chữ với những lập luận của các nhà nguyên tử luận!

Archimedes hiểu rõ toàn bộ giá trị của phương pháp của mình và hy vọng rằng nhờ phương pháp này «một trong những nhà nghiên cứu hiện tại hoặc tương lai… sẽ tìm thấy những định lý khác mà tôi vẫn chưa nghĩ tới».

Đáng tiếc, bức thư của Archimedes lại không được biết đến chính bởi những nhà toán học cần nó nhất — những người sáng tạo ra phép tính vô cùng nhỏ Kepler, Galileo, Cavalieri. Nhưng họ đã khôi phục quá trình suy nghĩ của Archimedes dựa trên những gợi ý riêng lẻ.

Câu chuyện về việc những quan niệm nguyên tử đã được phục hồi như thế nào, việc giải tích toán học hiện đại được tạo ra ra sao, sẽ còn xuất hiện trên các trang của «Kvant».

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Вандер Варден, Khoa học thức tỉnh. Fizmatgiz, 1959.
2. M. Ya. Vygodsky, Số học và đại số trong thế giới cổ đại. Nauka, 1967.
3. I. A. Heiberg, Khoa học tự nhiên và toán học trong thời cổ điển.
4. V. F. Kagan, Số học. Gostekhizdat, 1951.
5. S. Ya. Lurie. Lý thuyết về cái vô cùng nhỏ ở các nhà nguyên tử luận cổ đại. Nhà xuất bản Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1935.
6. S. Ya. Lurie, Số học. Nhà xuất bản Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1935.

14

Bài toán thứ mười của Hilbert đã được giải!

Số «Kvant» này đã được ký đưa in thì thế giới toán học được tin về thành tựu xuất sắc của toán học Xô viết và, có lẽ, của toán học thế giới (!): nghiên cứu sinh hai mươi tuổi Yuri Matiyasevich, vừa tốt nghiệp Đại học Leningrad, đã chứng minh tính không giải được bằng thuật toán của bài toán thứ mười nổi tiếng của Hilbert.

Tuy còn trẻ tuổi, Y. Matiyasevich tuyệt nhiên không phải người mới trong toán học. Ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường, sau khi trở thành người chiến thắng trong kỳ thi Olympic toán học quốc tế, rồi trong những năm sinh viên anh đã thu được những kết quả rất quan trọng và thú vị trong logic toán học. Ngay năm sau, 1968, anh đã công bố ba công trình, trong đó, về thực chất, đã bắt đầu «cuộc tấn công» vào bài toán thứ 10 của Hilbert. Và đây là kết quả mà theo đúng nghĩa đen, ngay ngày mai sẽ đi vào sách giáo khoa. Nhân đây, trong tập sách «Các bài toán của Hilbert» chỉ mới được Nhà xuất bản «Nauka» xuất bản năm ngoái có một bài viết dành cho bài toán thứ 10, trong đó thậm chí không nhắc đến việc bài toán thứ mười của Hilbert không giải được bằng thuật toán.

Điều đáng chú ý là Yuri Matiyasevich không chuyên về lý thuyết số, lĩnh vực mà, dường như, bài toán về tính giải được của các phương trình Diophantine thuộc về, mà chuyên về logic toán học. Anh là học trò của N. A. Shanin và S. Yu. Maslov—đại diện của «trường phái Leningrad» về logic toán học và lý thuyết thuật toán, theo khuynh hướng được gọi là kiến tạo trong logic và toán học, do viện sĩ thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A. A. Markov đứng đầu.

«Tiểu sử» của bài toán như sau.

Năm 1900, tại Đại hội Toán học Thế giới ở Paris, một trong những nhà toán học lớn nhất thế giới David Hilbert đã nêu ra hai mươi bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau của toán học, mà theo ông, việc giải chúng sẽ có ý nghĩa đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển tiếp theo của khoa học này *). Từ đó đến nay, sự chú ý của các nhà toán học trên toàn thế giới luôn hướng vào những «bài toán Hilbert» này. Một phần trong số đó đã được giải, một phần vẫn kiên trì không chịu khuất phục trước lời giải.

Bài toán số 10 được phát biểu như sau: «Cho một phương trình với số lượng tùy ý

*) Xem D. Hilbert, «Các bài toán toán học». Nauka, 1969.

ẩn và các hệ số nguyên hữu tỉ (tức là phương trình dạng $P(x_1, \dots, x_n) = 0$, trong đó $P$—một đa thức bậc tùy ý với các hệ số nguyên theo các ẩn $x_1, \dots, x_n$); cần chỉ ra một cách thức mà nhờ một số hữu hạn phép toán có thể biết được phương trình có giải được trong các số nguyên hay không (tức là có tồn tại một bộ số nguyên $x_1^0, \dots, x_n^0$ sao cho $P(x_1^0, \dots, x_n^0) = 0$ hay không)».

Mặc dù cách phát biểu bài toán thứ mười đơn giản và sơ cấp, vẫn không thể tìm được «cách thức» cần tìm (hay, như người ta nói trong toán học hiện đại, thuật toán), điều này tự nhiên dẫn đến ý nghĩ rằng nó đơn giản là không tồn tại. Sau khi vào những năm ba mươi của thế kỷ này, khái niệm thuật toán nhận được một định nghĩa toán học chính xác, người ta đã có thể nói đến việc tìm kiếm một lời giải phủ định như vậy cho bài toán thứ 10.

Chúc mừng Y. Matiyasevich và các thầy của anh vì đóng góp xuất sắc cho khoa học, ban biên tập «Kvant» dự định trong thời gian gần đây sẽ kể chi tiết hơn về kết quả xuất sắc này.

15

Những nét chấm
phá cho chân dung

Năm 1792, chức vụ Bộ trưởng Bộ Hải quân của nước Cộng hòa Pháp được giao cho một người hiện nay chủ yếu được biết đến qua những công trình của mình trong hình học. Tên ông là Gaspard Monge.

Sau khi nhậm chức, ông bắt đầu bằng việc ra lệnh cho các sĩ quan hải quân đến Paris vì công việc phục vụ phải ở trong tòa nhà của bộ. Ông đã báo trước điều này cho cấp trên của tất cả các cảng biển Pháp. Kết quả là vị bộ trưởng, vừa thể hiện sự quan tâm đến cấp dưới, vừa biết được mọi việc đang diễn ra ở các biên giới trên biển của nước Pháp.

Còn đây là cách Monge làm việc với tư cách một giảng viên nhiều năm sau đó. Khi cái nhìn thấu suốt của ông nhận thấy ở những hàng ghế xa nhất của giảng đường một học sinh rơi vào trạng thái chán nản, hoặc vì môn học khó, hoặc vì lười biếng, thì Monge lập tức bắt đầu lặp lại những lập luận của mình, thay đổi trong đó các từ ngữ và trình tự. Nếu điều này không đem lại kết quả, người giảng viên cho tất cả học sinh ra về, ngoại trừ người đã khiến ông lo lắng, ngồi xuống bên cạnh cậu ta và giảng bài chỉ cho riêng cậu. Phần mở đầu của một bài giảng «cá nhân» như vậy ở Monge luôn là câu: «Tôi, bạn của tôi, sẽ dạy bạn bằng cách lặp lại từ chỗ mà bạn đã không còn hiểu tôi».

Monge có những kiến thức chung rộng lớn trong các lĩnh vực khoa học khác. Sau khi ông đã rời chức bộ trưởng, người ta phát hiện rằng quân đội đang rất cần đạn dược — thiếu thuốc súng. Để chế tạo nó cần có diêm tiêu. Trước cách mạng, Pháp nhận nó từ Ấn Độ, nhưng con đường đến đó giờ đã bị cắt đứt. Ủy ban Cứu quốc đã tìm đến các nhà khoa học để nhờ giúp đỡ và xin lời khuyên.

Điều này có thể khiến người ta ngạc nhiên, nhưng lối thoát không được tìm ra bởi các nhà hóa học, mà bởi … nhà toán học Monge. Ông tuyên bố: «Diêm tiêu có trong đất Pháp, trong chuồng ngựa, hầm chứa và nghĩa địa. Các ông thậm chí không tưởng tượng được ở đó có nhiều đến mức nào. Chúng ta sẽ khai thác đủ diêm tiêu và sau ba ngày sẽ nạp thuốc súng cho tất cả các khẩu pháo».

Ban đầu người ta không tin Monge, chỉ có những nụ cười hoài nghi. Nhưng dù vậy, người ta vẫn lắng nghe những lập luận của ông. Ngày và đêm, những người già, trẻ em và phụ nữ đào bới trong đất, và chỉ sau vài ngày, diêm tiêu với số lượng đủ đã được đưa đến các nhà máy thuốc súng.

Nhưng có lẽ đặc điểm tiêu biểu nhất của Monge là sự khiêm tốn. Đây là lời tựa mà ông đặt cho công trình thời trẻ của mình: «Tôi tin rằng những ý tưởng thường vẫn không được phát huy trong tay những con người bình thường, còn các nhà toán học tài giỏi thì rút ra từ chúng một vai trò lớn hơn. Vì lý do này, tôi gửi những nghiên cứu của tôi đến Viện Hàn lâm Turin». Trong số những người làm quen với công trình này có nhà toán học nổi tiếng thế giới Lagrange. Và ông đã viết về Monge trẻ tuổi: «Chàng trai này với công trình “nguồn gốc của các mặt” của mình đang tiến tới sự bất tử».

В. Б.

⟦trang 17⟧

Đặc điểm phát triển của khoa học mang tính kịch tính. Nhưng ở khoảng cách lịch sử lớn, ngay cả những bức tranh lớn trên tấm vải khoa học cũng hòa lẫn vào nhau, những mâu thuẫn trở nên không còn nhận thấy, và sự phát triển của khoa học dường như liên tục, hoàn toàn hợp logic và luôn luôn hướng về một phía. Ở khoảng cách nhỏ, khoa học chỉ thực sự được hiểu bởi những người chuyên nghiệp, còn những quan niệm ngày nay được coi là hoàn toàn đúng đắn. Vì vậy, để thấy được đặc điểm phát triển của khoa học, sự hưng thịnh và — điều này cũng xảy ra — sự suy tàn của từng lĩnh vực riêng biệt của nó *), thấy được những bi kịch của các ý tưởng, các tính cách, các niềm tin, cần phải đi vào nền khoa học đã trở thành lịch sử và được hiểu đến tận cùng — đã biến từ đấu trường của những cuộc chiến thành chân lý sách giáo khoa. Khi đó, có lẽ sẽ có thể hình dung lại ngày hôm nay của khoa học một cách mới mẻ và đúng đắn hơn.

Về mặt này, rất thuận tiện khi theo dõi con đường đã dẫn đến việc phát hiện ra định luật quán tính. Trong cách trình bày ở trường học, định luật này trông rất đơn giản và sơ lược, và không rõ tại sao để phát hiện ra nó lại cần đến thiên tài của Galilei, Descartes và Newton.

Trong khi đó, định luật quán tính là một trong những định luật vĩ đại nhất và, phù hợp với điều đó, là một trong những định luật sâu sắc nhất của vật lý.

Một trong những định luật vĩ đại nhất, bởi vì nó hoàn toàn phổ quát, đúng cho cả electron lẫn thiên hà. Nó không bị lung lay bởi bất kỳ cuộc cách mạng nào của khoa học tự nhiên thế kỷ XX: không phải thuyết tương đối, không phải cơ học lượng tử.

Nguyên nhân của tính bền vững như vậy của định luật quán tính nằm ở chiều sâu của nó. Nó đúng cho tất cả các vật thể không có ngoại lệ chính vì nó không gắn với một tính chất đặc thù của các vật thể, mà gắn với một tính chất cơ bản của không gian và thời gian: với

*) Ví dụ, các khoa học về những khái niệm về thiết diện hoặc về việc giải chính xác (bằng căn thức) các phương trình đại số.

tính đồng nhất và tính đẳng hướng của không gian (tức là với sự tương đương của mọi vị trí và mọi hướng trong không gian trống) và tính đồng nhất của thời gian (tức là với sự tương đương của mọi thời điểm).

Thật vậy, nếu một chất điểm chuyển động theo quán tính, tức là không tương tác với toàn bộ thế giới còn lại, thay đổi, chẳng hạn, hướng chuyển động của mình, thì điều đó chỉ có thể có một cách giải thích: sự không tương đương của các hướng trong không gian — hướng mà chất điểm đã quay sang, sẽ khác biệt, trở thành khác biệt, so với tất cả những hướng còn lại.

Câu hỏi dành cho những người ủng hộ tính hiển nhiên của định luật quán tính: một vật chất không tương tác với bất cứ thứ gì sẽ chuyển động như thế nào? Chẳng hạn, chuyển động của Trái Đất chúng ta sẽ diễn ra như thế nào nếu đột nhiên lực hút của Mặt Trời biến mất? Nó có giữ lại sự quay quanh trục hay không? *)

Khi trả lời câu hỏi này, cần nhớ rằng số lượng lời giải cho câu hỏi phức tạp hơn về chuyển động tự do của con sói đã được đưa ra nhờ công trình của những nhà toán học vĩ đại như Lagrange và Euler.

Chẳng phải vậy sao, ngay sau chỉ một câu hỏi được đặt ra, định luật quán tính bắt đầu có vẻ không còn chỉ là điều hiển nhiên một cách ngây thơ? Để củng cố điều này bằng thực nghiệm, cần đặt ra câu hỏi: định luật quán tính hoạt động khi nào và trong những điều kiện nào (một nhà vật lý sẽ hỏi: trong những hệ quy chiếu nào). Chẳng hạn, hãy tưởng tượng một viên bi-a nằm trên sàn không có ma sát của một toa tàu điện. Không có lực nào tác dụng lên viên bi, vậy mà người lái xe quan sát sẽ nhận thấy rằng thỉnh thoảng (khi nào?) viên bi bắt đầu, trái với định luật quán tính, chuyển động không đều trên sàn. Vấn đề ở đây là gì?

Lưu ý rằng những cách xây dựng như vậy — hoàn toàn không phải là những bài tập về thuật kinh viện. Ví dụ cho điều này là các khái niệm

*) Lời giải cho tất cả các câu hỏi được nêu trong bài báo được đưa ở cuối tạp chí.

⟦trang 18⟧

của trạng thái nghỉ tuyệt đối và tương đối. Mọi người đều biết rằng trạng thái nghỉ tuyệt đối không tồn tại, nhưng trạng thái nghỉ tương đối của khí giữa các vì sao gây ra những khó khăn khủng khiếp cho bài toán bay với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng do sự va chạm của các phân tử khí.

Nhưng hãy trở lại với định luật quán tính. Nó không chỉ không hiển nhiên. Nó là định luật điên rồ đầu tiên trong lịch sử khoa học. Bởi vì chưa ai và không bao giờ trên Trái Đất nhìn thấy chuyển động đều mà không có tác dụng của lực bên ngoài. Tuyệt đối tất cả, không có một ngoại lệ nào, các thí nghiệm đều thuyết phục rằng: không có lực thì không có chuyển động. Không phải ngẫu nhiên mà trước Galileo người ta cho rằng vận tốc tỉ lệ với lực tác dụng. Và đối với những vận tốc thông thường của thời đó, đó là định luật đúng. Chỉ có điều nó quá không phổ quát! Hệ số tỉ lệ trong đó phụ thuộc vào biết bao nhiêu thứ! Các thế hệ nhà khoa học có thể nghiên cứu (và đã nghiên cứu!) hệ số này, nhất là khi vận tốc tăng thì chính định luật, chính sự phụ thuộc giữa vận tốc chuyển động và lực tác dụng cũng thay đổi. Và điều đó không có gì đáng ngạc nhiên: bởi vì lực, nói một cách nghiêm ngặt, nằm ngoài phạm vi của cơ học (khi ma sát xảy ra thì nhiệt được tỏa ra).

Nhưng làm sao có thể nghĩ ra việc loại bỏ lực luôn luôn xuất hiện này? Làm sao từ bỏ sự đánh giá tuyệt đối và con đường tự nhiên của những thí nghiệm ngày càng mới, ngày càng tinh vi và phức tạp hơn?

Câu trả lời của lịch sử là bất ngờ và đã được tìm ra. Định luật quán tính, cũng như tất cả các định luật cơ bản của cơ học — các định luật Newton — không được sinh ra trên Trái Đất, mà trên bầu trời. Và ai biết được khi nào nó sẽ được phát hiện, nếu bầu trời của chúng ta, giống như bầu trời của Sao Kim, luôn luôn bị mây che kín? Hơn nữa, định luật quán tính được phát hiện do một sai lầm! Galileo, người phát hiện ra định luật này, cho rằng theo quán tính vật thể chỉ có thể chuyển động theo đường tròn!

Để hiểu điều này đã xảy ra như thế nào, chúng ta sẽ phải lần theo lịch sử kéo dài 25 thế kỷ, lịch sử hình thành của hệ nhật tâm, mà những thiên tài như Aristotle và Archimedes đã chống lại. Hãy thử trình bày bằng ngôn ngữ hiện đại — và vì vậy tất nhiên phải thay đổi đôi chút — những lập luận của những người tranh luận.

Lần đầu tiên Trái Đất bị tước bỏ trạng thái bất động là vào thế kỷ thứ năm trước Công nguyên. Người làm điều đó là Philolaus, một trong những học trò của Pythagoras. Ông cho rằng Trái Đất cùng với Mặt Trời và các hành tinh quay quanh một ngọn lửa trung tâm nào đó.

Nhiều thế kỷ sau Philolaus xuất hiện một đối thủ thiên tài — Aristotle *). Ông bác bỏ giả thuyết của Philolaus vì nó mâu thuẫn với sự tồn tại của các ngôi sao bất động. Bởi vì nếu Trái Đất chuyển động, đối với người quan sát trên Trái Đất tất cả các ngôi sao phải có vẻ như đang chuyển động! Việc bác bỏ phản đối này mất 23 thế kỷ — trong đó 3 thế kỷ đã trôi qua sau cái chết của Copernicus!

Vào thế kỷ III trước Công nguyên, Aristarchus xứ Samos đã đề xuất một hệ thống giống hệt hệ thống Copernicus sau này: Trái Đất và tất cả các hành tinh quay theo những đường tròn quanh Mặt Trời bất động. Những người phản đối Aristarchus là Archimedes và Apollonius xứ Perga, hoặc hệ thống của Aristarchus mâu thuẫn với những quan sát thiên văn — vào thế kỷ II trước Công nguyên điều này đã được Hipparchus chứng minh một cách chặt chẽ. Cả hai nhà khoa học, Aristarchus và Hipparchus, đều đúng và sai cùng một lúc: Trái Đất và các hành tinh quay quanh Mặt Trời, nhưng không theo những đường tròn, mà theo những elip! Tưởng như để đạt tới chân lý

*) Người Hy Lạp cổ đại cũng cố gắng trả lời câu hỏi vì sao các thiên thể vi phạm quy luật chung và không rơi xuống Trái Đất. Người Hy Lạp gắn chúng vào các quả cầu pha lê, bởi vì một quả cầu không thể rơi xuống tâm của chính nó mà không bị vỡ! Bằng đường nối của các bán cầu pha lê Dải Ngân Hà. Ý tưởng này có vẻ ngây thơ, nhưng cần nhớ rằng vào thế kỷ hai mươi, nhà đoạt giải Nobel F. Dyson đã nêu ý tưởng về việc các nền văn minh cao cấp tạo ra một quả cầu không trong suốt bao quanh nguồn sáng trung tâm để sử dụng hoàn toàn năng lượng của nó.

19

Hệ thống thế giới của Ptolemy.

còn lại một bước. Nhưng bước này không chỉ Copernicus mà cả Galileo cũng không làm được. Các đường tròn với tư cách là quỹ đạo của các hành tinh dường như tuyệt đối không thể bàn cãi: chúng là những đường cong hoàn hảo duy nhất. André Bonnard trong «Nền văn minh Hy Lạp», xuất bản năm 1959, viết: «Thật đáng tiếc là các nhà khoa học phản đối Aristarchus đã không đi đến khám phá của Kepler. Nhưng thành kiến về tính ưu việt của chuyển động tròn đã bén rễ vững chắc».

Những lời của người xưa về tính bắt buộc của sự hoàn hảo của các quỹ đạo có vẻ buồn cười. Tuy nhiên, hãy dịch những lời này sang ngôn ngữ hoàn hảo. Một trong những ý tưởng chủ đạo của vật lý hiện đại, như đã nói, là ý tưởng về tính đồng nhất và tính đẳng hướng của không gian. Những định luật cơ bản của vật lý bắt nguồn từ ý tưởng này. Nhưng nếu quỹ đạo của hành tinh không tròn, thì trong không gian xuất hiện một hướng nổi bật của sự kéo dài lớn nhất của quỹ đạo, hướng này hóa ra khác với mọi hướng còn lại! Rằng chuyển động của các hành tinh được quyết định bởi tiền sử của chúng, khi ấy vẫn còn không thể hiểu được.

Vì thế Ptolemy (thế kỷ II sau Công nguyên) xuất phát từ hệ địa tâm và, khi đưa vào một bức tranh phức tạp của các đường tròn-

⟦trang 20⟧

Hệ thống thế giới của Copernicus.

các quỹ đạo, giải thích tất cả các sự kiện quan sát được. Hơn nữa, ông có khả năng biểu diễn chuyển động của các hành tinh và thậm chí cả nhật thực và nguyệt thực. Điều này đã gây ấn tượng mạnh đến mức trí tưởng tượng của người xưa, đến nỗi tác phẩm của ông nhận được cái tên «Almagest» — vĩ đại nhất. Ptolemy trở thành nhà thiên văn học đầu tiên trong lịch sử đã thành công trong việc làm cho các quan sát thiên văn phù hợp với lý thuyết của mình. Một thành tựu vĩ đại! Nhưng có lẽ chính điều đó đã trong nhiều thế kỷ che khuất việc tìm ra chuyển động thực sự của các hành tinh: bởi vì mọi thứ đều tốt đẹp như vậy, lý thuyết phù hợp tuyệt vời với thực nghiệm!

Trải qua 17 thế kỷ, lịch sử lặp lại! Tu sĩ nhà thờ Frauenburg Nicolaus Copernicus chỉ cố gắng đưa hệ thống của Ptolemy phù hợp với các quan sát của thời đại mình và thay thế: hệ thống của Ptolemy có thể được đơn giản hóa đôi chút nếu cho rằng Trái Đất và các hành tinh quay quanh Mặt Trời, nhưng vẫn theo một hệ thống phức tạp gồm các đường tròn. Và một lần nữa, cũng như ở Aristarchus, Copernicus có một đối thủ — một trong những nhà thiên văn quan sát vĩ đại nhất mọi thời đại Tycho Brahe. Ông phản đối hệ thống của Copernicus gần như vì cùng một lý do với Hipparchus.

21

Mô hình Vũ trụ của Kepler, như ông đã giả định ban đầu.

hệ thống. Sau những cố gắng lâu dài không kết quả nhằm tìm ra sự hài hòa của thế giới trong hệ các đa diện đều bao chứa quỹ đạo các hành tinh, Kepler đi đến định luật vĩ đại: các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời, nhưng chuyển động theo các elip!

Trong định luật này không chỉ thể hiện sự sẵn sàng của Kepler khi nêu ra một ý tưởng điên rồ, bác bỏ những quan điểm của hai mươi thế kỷ. Kepler còn gặp may một cách khác thường. Nhờ khoảng cách rất lớn giữa các hành tinh (đặc biệt là các hành tinh nặng), quỹ đạo của chúng gần với elip — một trong ba đường cong được biết rõ vào thời đó (elip, hyperbol, parabol).

Kepler là người đầu tiên xác lập các định luật chuyển động của hành tinh. Ông đã đi đến định luật thứ hai của mình như thế nào: trong những khoảng thời gian bằng nhau, các hành tinh quét những diện tích bằng nhau, — vẫn gần như không thể hiểu được. Khi ấy tích phân còn chưa tồn tại, và việc tính diện tích không chỉ là khoa học mà còn là nghệ thuật: mỗi đường cong đòi hỏi một cách tiếp cận riêng. Từ đâu nói chung có thể nảy ra ý nghĩ về việc dùng diện tích theo một cách hoàn toàn khác thường? Có lẽ, cả niềm say mê sớm của Kepler — những phương pháp cụ thể để tính diện tích mà ông phát minh trong công trình «Về phép đo thể tích các thùng rượu vang» (từ một bài toán ứng dụng nảy sinh khoa học!), lẫn niềm tin gần như thần bí vào sự tồn tại của các định luật thống nhất của tự nhiên *), và, có lẽ, đơn giản là tình yêu tính toán vì chính sự tính toán, và điều được gọi là thiên tài **), đều có tác dụng.

Đối thủ khoa học không khoan nhượng của Kepler là người đương thời với ông, Galilei. Ông là người đầu tiên đặt câu hỏi: cái gì chuyển động các hành tinh, khiến quỹ đạo của chúng uốn cong. Galilei cho rằng tác động của Mặt Trời ở khoảng cách như thế là điều thần bí, cũng như sự liên hệ của thủy triều với Mặt Trăng. Từ đâu các hành tinh biết rằng trong giờ tiếp theo chúng phải quét một diện tích bằng diện tích trong giờ trước đó-

*) Kepler là người hết sức mộ đạo và đã rời thần học để sang thiên văn học, tự khẳng định mình bằng ý nghĩ rằng “có thể ca ngợi Chúa không chỉ bằng thần học”. Nhưng từ sách giáo khoa thiên văn học do Kepler mộ đạo viết ra, Chúa đã biến mất, và cuốn sách lập tức bị giáo hội Công giáo đưa vào danh sách cấm. Đó là kết cục thường gặp của sự phụng sự chân thành đối với chân lý.

**) Không thể không kể ít nhất một số công trình của Kepler: định luật cơ bản thứ ba về chuyển động của hành tinh, sau này trở thành cơ sở để Newton suy ra định luật vạn vật hấp dẫn (!); giải thích thủy triều; ý tưởng về áp suất ánh sáng (!), tạo ra đuôi sao chổi; dự đoán các vệ tinh của Sao Hỏa và các tiểu hành tinh; xác lập một trong những mệnh đề quan trọng nhất của phép tính vi phân — điều kiện cực đại của hàm số.

Định luật thứ hai của Kepler: $S_1 = S_2$.

22

ский? *) Требовалась принципиально новая постановка вопроса, потому что неверным был сам поставленный вопрос. А ответ Кеплера: «Планеты движет мировая душа», разумеется, не мог удовлетворить Галилея. Но раз силы, действующей на планеты, не существует, рассуждал Галилей, значит, подобное движение — естественное свойство планет. Галилей называл его инерцией и очень убедительно доказал ошибочное утверждение: причина вращения планет — инерция, движение по инерции может быть только движением по окружности, все точки которого равноправны (!).

Движение по прямой Галилей считал исключенным: переход со временем из одной точки в другую показывал их неэквивалентность; кроме того, в этом случае тело никогда не достигло бы конечной цели (на современном языке — равновесного устойчивого состояния), а природа никогда не ставит себе недостижимых целей (то есть равновесное состояние рано или поздно наступает).

Это рассуждение привело Галилея к противоречию не только с Кеплером, но и с самим собой: ведь ранее он доказал, что движение по кругу связано с силой, действующей к центру! Противоречие казалось неразрешимым, а Декарт сделал ситуацию еще более драматичной, показав, что движение по инерции — это движение по прямой.

Что же движет планеты?

*) Поразительно сравнить этот вопрос с вопросом Резерфорда Бору: откуда электрон знает, какую часть света он должен излучать, перескакивая на новую орбиту?

Выхода, казалось, не было. Но в год смерти Галилея родился Ньютон. Он вернулся к Кеплеру, к его законам, и на их основе создал точную науку о движении тел.

До сих пор речь шла только о столкновении идей, о спорах между рыцарями мысли: Филолаем и Аристотелем, Аристархом Самосским и Гиппархом, Коперником и Тихо Браге, Кеплером и Галилеем, спорах, в которых выясняли, что истина еще не родилась. Но ведь ученые — живые люди, с их страстями, самолюбием, гордостью и способностью ошибаться даже в малом. Галилей был убежден в невозможности покинуть Землю и не заметил, что его формулы давали первую космическую скорость *). Он объяснил приливы движением Земли вокруг Солнца (так хотелось первым указать явление, доказывающее это движение!), но период приливов вдвое отличался от его расчетовки и совпадал с результатами Кеплера. Галилей объявил совпадение у Кеплера случайностью **), а сам наивно и беспомощно апеллировал к случаям, что где-то в Саргассовом море период приливов «правильный». Но одновременно он пытается связать неправильный период прилива в Средиземном море с его глубиной — и создает новую область науки: изучение поверхностных волн и волн в замкнутых бассейнах! Га-

*) Кстати, а как, используя формулу $S = \frac{gt^2}{2}$, получить выражение для первой космической скорости!

**) Вспомним Бора: «Совпадение дурной теории с экспериментом еще ничего не доказывает, существует бесчисленное множество таких теорий».

23

Galilê đã phát hiện tính độc lập của chu kỳ dao động của con lắc đối với biên độ — và ngay lập tức, bị cuốn theo, đã sai lầm mở rộng định luật này cho mọi giá trị biên độ; phát hiện sự không đổi của gia tốc trọng trường — và lập tức kết luận rằng nó không phụ thuộc vào khoảng cách đến Trái Đất! Người sáng lập hầu như mọi lĩnh vực của cơ học đã sai lầm như vậy *).

Vì thế, trong một hỗn hợp dày đặc những phát hiện và sai lầm, không có ai đúng hay sai, khoa học đã phát triển. Nhưng tất cả những người được nói đến đều là thiên tài: công trình của họ đã phục vụ suốt nhiều thế kỷ; họ đã đưa toàn thể nhân loại tiến lên trước nhiều thập niên (và chẳng phải mức độ tài năng được xác định bằng số năm-người tiết kiệm được sao?); còn nhiều thời gian hơn đã được dùng để hiểu và làm chủ các ý tưởng của họ — chân lý vĩ đại hiếm khi sinh ra đơn giản và dễ hiểu **).

Lịch sử phát triển khoa học vừa trình bày, dĩ nhiên, bị đơn giản hóa đến mức cực độ và được viết bằng những nét thô, đôi khi với sự cô đọng sự kiện quá mức. Nhưng rõ ràng rằng sự phát triển không đi theo đường thẳng của cột điện thoại, mà đúng hơn theo đường cong phức tạp của cây khoa học, các cành của nó nghiêng dưới những góc khác nhau so với chân lý và dần dần thẳng lại để vươn lên một tầng tri thức mới.

*) Về sự tồn tại của các thiên tài. Newton, vì sự trung thực khoa học, đã không công bố định luật vạn vật hấp dẫn của mình trong 20 năm, cố gắng suy ra từ đó các định luật Kepler, rồi nhiều năm tranh cãi về quyền ưu tiên với Hooke; không công bố phát hiện của mình về phép tính vi phân và tích phân, cố tìm một công thức tổng quát cho tích phân, rồi chứng minh quyền ưu tiên của mình trong cuộc tranh luận với Leibniz. Bởi Newton chỉ sống vì khoa học, suốt đời cô độc và không thể hy sinh niềm vui đời thường duy nhất của mình — danh tiếng, mặc dù chỉ riêng danh tiếng từ những phát hiện của ông cũng đủ cho nhiều người.

**) Chẳng hạn, quy tắc nhân trong một bản thảo thế kỷ XV: 7×8=? 7+8-10=5, tiếp theo 5×10=50, bây giờ xác định 10—7=3, 10—8=2 và nhân các kết quả này: 3×2=6. Cuối cùng, 50+6=56, vậy 7×8=56.

Ai
hiểu
điều gì

Nhà hình học và nhà sư phạm Nga xuất sắc A. K. Vlasov, sau khi trình bày trong một bài giảng thường kỳ về hình học giải tích bài toán về giao điểm của hai đường thẳng được cho bởi phương trình của chúng, đã thêm:

— Hai sinh viên, lần đầu làm quen với vấn đề này, đã trò chuyện với nhau.

Một người nói: “Bây giờ tôi hiểu vì sao một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn số, trong trường hợp tổng quát, có một nghiệm. Đó là vì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm”.

Người kia đáp: “Đến bây giờ tôi mới cuối cùng hiểu vì sao hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm”.

Người kia đáp: “Đến bây giờ tôi mới cuối cùng hiểu vì sao hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm”.

23

⟦không có folio⟧

Lát mặt phẳng bằng các đa giác đều

A. N. KOLMOGOROV

THẾ NÀO LÀ LÁT MẶT PHẲNG

Cách lát đơn giản nhất, nhưng cũng buồn tẻ nhất, thu được khi chia mặt phẳng thành các hình vuông bằng nhau như trên hình 1, a. Ở đây hai hình vuông hoặc có một cạnh chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc hoàn toàn không có điểm chung.

Ta sẽ gọi là lát mặt phẳng một cách phủ như vậy của mặt phẳng bằng các đa giác đều, trong đó hai đa giác hoặc có một cạnh chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc hoàn toàn không có điểm chung.

Có lẽ bạn đã từng thấy cách lát được ghép từ các bát giác đều và các hình vuông (hình 2, a). Một cách lát đẹp có thể ghép từ các lục giác đều, các hình vuông và các tam giác đều (hình 2, b).

Cách lát tạo ấn tượng dễ chịu nếu nó đủ đối xứng. Một hình được gọi là đối xứng nếu có thể chồng nó lên chính nó bằng một cách «không tầm thường» (tức là không phải cách mà mọi điểm đều vẫn ở nguyên vị trí của chúng).

25

Chẳng hạn, trên hình 2, b, nếu quay toàn bộ mạng lưới các đỉnh và cạnh tạo thành một lát gạch gồm các lục giác, hình vuông và tam giác đi 60° quanh tâm của một trong các lục giác, ta sẽ nhận được chính mạng lưới đỉnh và cạnh ấy. Tâm của mỗi lục giác trong lát gạch này là “tâm đối xứng bậc sáu”*).

Bài toán 1. Hãy tìm tất cả các tâm đối xứng bậc 4, 3 và 2 của lát gạch được vẽ trên hình 2, a.

THẾ NÀO LÀ MỘT LÁT GẠCH ĐỀU
Xét từ quan điểm đối xứng, định nghĩa của chúng ta về lát gạch còn chưa chặt chẽ. Nó cho phép những lát gạch không có bất kỳ đối xứng nào. Lấy một lát gạch gồm các lục giác (hình 1, c), ta có thể “làm hỏng” nó bằng cách chia một số lục giác thành sáu tam giác. Dễ hiểu rằng lại thu được một “lát gạch” theo nghĩa định nghĩa của chúng ta. Nhưng có thể chứng minh (hãy thử xem!), rằng nếu chia, chẳng hạn, ba lục giác như chỉ ra trên hình 3, còn tất cả các lục giác khác giữ nguyên không chia, ta sẽ nhận được một lát gạch hoàn toàn không có đối xứng. Để loại bỏ những lát gạch không đẹp, không đủ đối xứng, ta đưa ra định nghĩa sau:

Một lát gạch được gọi là đều nếu có thể chồng nó lên chính nó sao cho bất kỳ đỉnh đã cho nào của nó cũng chồng lên bất kỳ đỉnh đã cho nào khác của nó.

Bài toán 2. Hãy chứng minh rằng các lát gạch trình bày trên hình 1 và 2 là đều, và tự xây dựng nhiều lát gạch đều nhất có thể.

*) Điểm O được gọi là tâm đối xứng bậc n của một hình nào đó, nếu khi quay hình này quanh O một góc $\frac{360^\circ}{n}$ thì nó chồng lên chính nó.

26

BÀI TOÁN CHÍNH

Hóa ra có thể mô tả được toàn bộ sự đa dạng của các phép lát đều. Nếu độ dài $h$ cạnh của các đa giác trong phép lát được cho trước, thì chỉ tồn tại hữu hạn số phép lát đều khác nhau (không chồng lên nhau). Chính xác là bao nhiêu, tôi không muốn nói với các bạn.

Liệt kê tất cả chúng và qua đó trả lời câu hỏi về số lượng của chúng — đó chính là bài toán chính mà các bạn sẽ phải giải.

MỘT VÀI CHỈ DẪN

Lời giải bài toán tự nhiên nên bắt đầu từ việc sử dụng cấu tạo các đỉnh của phép lát. Một $n$-giác đều có $n$ góc ngoài (hình 4), tổng của chúng bằng bốn góc vuông (hãy tự kiểm tra điều này). Vì thế mỗi góc của một $n$-giác đều bằng

$$\alpha_n = 2d - \frac{4d}{n} = 2\left(1 - \frac{2}{n}\right)d.$$

Tại một đỉnh của phép lát, các đa giác phải gặp nhau sao cho tổng các góc bằng 4d. Chẳng hạn,

$$\alpha_3 = \frac{2}{3}d, \alpha_4 = d, \alpha_6 = \frac{4}{3}d, \alpha_8 = \frac{3}{2}d$$

và đối với các phép lát được vẽ ở hình 1 và 2, ta có:

$$4\alpha_4 = 4d,$$

$$6\alpha_3 = 4d,$$

$$3\alpha_6 = 4d,$$

$$\alpha_4 + 2\alpha_8 = 4d,$$

$$\alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6 = 4d.$$

Trong trường hợp tổng quát, ký hiệu $m_n$ là số các $n$-giác kề với đỉnh, ta phải có

$$\sum m_i\alpha_i = 4d,$$

(1)

trong đó vào tổng ta đưa các số hạng có chỉ số $i$ mà $m_i > 0$, còn $\alpha_i = 2\left(1 - \frac{2}{i}\right)d$.

Nhiệm vụ đầu tiên của chúng ta là tìm tất cả các nghiệm của phương trình (1) với các $m_i > 0$ nguyên. Phương trình (1), sau khi rút gọn cho 2d, tiện viết dưới dạng

$$\sum m_i\left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Với mỗi nghiệm của phương trình (2) cần sử dụng համապատասխանующие

⟦trang 27⟧

sự sắp xếp các đa giác kề với đỉnh. Ví dụ, nghiệm $m_3 = 1, m_4 = 2, m_6 = 1,$
$$\left(1 - \frac{2}{3}\right) + 2\left(1 - \frac{2}{4}\right) + \left(1 - \frac{2}{6}\right) = 2,$$

tương ứng với những đỉnh tại đó hội tụ một tam giác, hai hình vuông và một hình lục giác. Có thể dễ dàng sắp xếp chúng theo hai cách khác nhau về cơ bản (hình 5, a và b). Nhưng cũng dễ dàng chứng minh (hãy chứng minh!) rằng sự sắp xếp 6 không tương ứng với bất kỳ một lát nền đều nào.

Điều đã nêu là đủ. Hãy bắt tay vào công việc!

Ảo thuật toán học

Trong tiểu thuyết «Những kẻ lang thang» của Vyacheslav Shishkov có những dòng sau:

— Cậu có muốn tôi chỉ cho cậu một trò ảo thuật số học không? Cậu sẽ phải kinh ngạc.
— Ôi! Nào, hãy chỉ cho tôi đi, bác thợ xay.
Ivan Petrovich xé một trang từ sổ tay, đưa cho cậu bé, hỏi:
— Có bút chì không? Viết một số bất kỳ đi.
Cậu bé viết. Ivan Petrovich liếc nhanh vào con số đó, viết lên một mảnh giấy riêng một con số nào đó của mình, nhét mảnh giấy vào rơm và phủ chiếc mũ lên.
— Viết dưới nó một số khác. Viết xong chưa? Bây giờ tôi tự viết số thứ ba. Bây giờ cộng cả ba số lại. Chỉ làm cẩn thận, đừng nhầm.
Sau hai phút, đáp án đã được kiểm tra xong. Kỹ sư Voshkin đưa ra các phép tính của mình:

46 853
21 398
78 601
146 852

— Một trăm bốn mươi sáu nghìn tám trăm năm mươi hai, Ivan Petrovich.
— Cậu tính lâu thật. Còn tôi thì — đây là đáp án. Tôi đã biết nó khi cậu còn chưa viết số đầu tiên. Đây. Lấy nó ra dưới mũ đi.
Cậu bé giật lấy mảnh giấy. Trên đó ghi: 146 852. Khuôn mặt kinh ngạc của kỹ sư Voshkin dài ra, và tóc ở gáy dựng đứng lên. Với vẻ bối rối, ngạc nhiên, ông nhìn chằm chằm vào Ivan Petrovich.
— Này … thế … làm sao? … Hả?..
Ivan Petrovich, vừa mỉm cười vừa nhướng mày, đã giải thích hai lần, làm thêm một ví dụ nữa…»
Câu hỏi đặt ra là Ivan Petrovich đã giải thích điều gì, «vừa mỉm cười vừa nhướng mày»?

Một chiếc lịch như vậy, được ghép từ hai khối lập phương, đặt trên bàn trong tòa soạn của chúng ta. Hãy suy nghĩ xem nó được làm như thế nào: những chữ số nào và phải dán như thế nào lên các mặt của các khối lập phương để chiếc lịch có thể biểu thị bất kỳ ngày nào trong tháng? Rõ ràng là có thể có nhiều câu trả lời. Bạn nghĩ có bao nhiêu?

29

SUY NGẪM
VỀ
SỰ HÚT
CỦA TRÁI ĐẤT
Ở CỰC
VÀ Ở XÍCH ĐẠO

V. I. LEVANTOVSKY

Ai cũng biết rằng trọng lượng của vật*) thay đổi tùy theo vĩ độ địa lý của nơi đó. Tuy nhiên, cùng một vật có trọng lượng lớn nhất ở cực và nhỏ nhất ở xích đạo. Trong bất kỳ sách giáo khoa vật lý nào — cả ở trường phổ thông và ở đại học — đều có thể đọc rằng điều này xảy ra vì hai nguyên nhân.

Thứ nhất, do sự quay của Trái Đất, vật nằm ở xích đạo chuyển động theo một đường tròn và vì vậy ép lên giá đỡ nằm ngang với một lực nhỏ hơn lực hút của vật

*) Tức là áp lực của nó lên giá đỡ đứng yên hoặc lực mà nó tác dụng lên vật treo cố định.

Trái Đất. Điều này được giải thích đơn giản. Các lực tác dụng lên vật là lực hút, hướng về tâm Trái Đất, và lực phản của giá đỡ ngược chiều với nó. Hai lực này truyền cho vật gia tốc hướng tâm bằng $\omega^2 R$, trong đó $\omega$ — vận tốc góc, còn $R$ — bán kính xích đạo của Trái Đất. Nếu $m$ — khối lượng của vật, $F$ — lực hút, còn $N$ — phản lực của giá đỡ, thì $F-N=m\omega^2 R$. Từ đó $N=F-m\omega^2 R$, nghĩa là phản lực của giá đỡ $N$ nhỏ hơn lực hút. Nhưng chính phản lực này lại bằng độ lớn của trọng lượng vật. Như vậy, trọng lượng của vật ở xích đạo nhỏ hơn lực hút của vật bởi Trái Đất. Ở cực-

тот же вес равен силе притяжения, так как никакой окружности там тело вокруг земной оси не описывает.

Во-вторых, обычно говорят, сама сила притяжения на полюсе больше, чем на экваторе, так как, находясь на полюсе, тело расположено ближе к центру Земли, чем когда оно находится на экваторе. А чем ближе к центру Земли, тем сила притяжения больше: ведь сила притяжения по закону всемирного тяготения Ньютона изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.

Автор должен извиниться перед читателями за то, что все эти хорошо знакомые доводы он привел здесь только подробно. Сделал он это потому, что со вторым доводом дело обстоит не так просто. У нас нет никаких логических оснований утверждать, что одно и то же тело на полюсе притягивается Землей сильнее, чем на экваторе. Ссылка на закон всемирного тяготения несостоятельна. Этот закон утверждает, что две материальные точки притягивают друг друга с силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния. Земля же не точка, а материальное тело, состоящее из многих частей, каждая из которых притягивает другую часть, расположенную вне или внутри Земли, по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния.

Можно ли заменить притягивающее тело материальной точкой, сосредоточив всю массу тела в его центре тяжести (центре масс)? Отнюдь не всегда. Оказывается, однородное тело кубической формы притягивает совсем иначе, чем однородное тело той же массы, но сферическое или цилиндрическое, даже если центры тяжести (центры масс) этих тел занимают одно и то же место в пространстве. Однако и тот же кусок глины у нас в руке притягивает по-разному в зависимости от той формы, которую мы ему придаем.

На первый взгляд это кажется неожиданным. Но давайте представим себе, как будет притягивать круглое бесконечно тонкое материальное колб-

цо какую-нибудь материальную точку, находящуюся на оси кольца, перпендикулярной к его плоскости. Если эта точка расположена очень далеко от кольца, то она, конечно, весьма слабо притягивается кольцом. По мере приближения точки к кольцу притяжение его сначала увеличивается, но с какого-то расстояния неизбежно должно уменьшаться, так как в центре кольца силы притяжения от противоположных частей уравновешиваются и, значит, кольцо в целом вовсе не притягивает материальную точку, когда она находится в его центре. Как показывает математический расчет, максимальное притяжение будет

Рис. 1.

в точке, находящейся на расстоянии ≈0,7 r от центра кольца. На рисунке 1 показан график изменения силы притяжения кольца в зависимости от расстояния притягиваемой точки от центра. Этот график изображает такой закон притяжения, который, по крайней мере вблизи кольца, ничего не напоминает закон обратной пропорциональности квадрату расстояния. Значит, массу кольца нельзя «сосредоточить в его центре тяжести».

Существует ли форма тела, позволяющая мысленно сосредоточить его массу в центре тяжести и быть уверенным, что после такой операции поле тяготения тела останется прежним? Да, существует. Однородный шар притягивает любую материальную точку так, как будто бы его масса сосредоточена в центре. Правда, это касается только точек, расположенных вне шара. Точки же, расположенные внутри шара, при-

lệch đi hoàn toàn khác. Ở tâm của quả cầu, lực hút, hiển nhiên, bằng không, ở bề mặt nó đạt cực đại, còn giữa tâm và bề mặt thì thay đổi, như tính toán toán học cho thấy, theo quy luật tỉ lệ thuận: càng xa tâm, lực hút càng lớn. (Đồ thị sự thay đổi của lực hút của một quả cầu đồng nhất phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm được trình bày trên hình 2.)

Còn thú vị hơn nữa là trường hợp lực hút của một quả cầu có một phần khoét hình cầu ở giữa. Trong tiểu thuyết khoa học viễn tưởng nổi tiếng của V. A. Obruchev «Plutonia» kể về một chuyến du hành vào lòng Trái Đất, trong đó hành tinh của chúng ta hóa ra là rỗng.

Ở trung tâm khoang rỗng, những người du hành phát hiện một vật thể nóng đỏ. Khác với tác giả của tiểu thuyết, hãy giả sử rằng ở trung tâm Trái Đất không có vật thể nào và Trái Đất là một quả cầu đồng nhất với lõi rỗng cũng có dạng hình cầu. Có thể chứng minh rằng, dù bán kính của «phần khoét» là bao nhiêu, bên trong khoang rỗng tại mọi điểm của nó (chứ không chỉ ở tâm!) lực hút hoàn toàn không tồn tại. Điều này, đặc biệt, cho thấy rằng trong đó phải tồn tại trạng thái không trọng lượng, tuy nhiên, nguyên nhân của nó khác với nguyên nhân của trạng thái không trọng lượng trong các chuyến bay vũ trụ.

Trên hình 3 trình bày đồ thị sự thay đổi của lực hút của Trái Đất rỗng giả định phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm. Bên trong lớp cầu khối lượng lớn, lực hút tăng lên khi càng xa tâm và đạt cực đại ở bề mặt. Bên ngoài bề mặt, trường

hấp dẫn giống như trường của một điểm vật chất nằm ở tâm của quả cầu rỗng này.

Trái Đất về hình dạng khá gần với một quả cầu. Nhưng hành tinh của chúng ta không đồng nhất: mật độ của các loại đá cấu thành nó ở những điểm khác nhau là khác nhau. Lõi Trái Đất có mật độ lớn nhất. Có thể cho rằng mật độ của các loại đá trên Trái Đất ở những khoảng cách bằng nhau đến tâm Trái Đất là như nhau. Nói cách khác, ở mức xấp xỉ đầu tiên có thể hình dung Trái Đất là một hệ gồm những lớp cầu đồng nhất lồng vào nhau. Người ta nói về một vật như vậy rằng sự phân bố mật độ trong nó có tính đối xứng cầu. Có thể chứng minh

minh rằng quả cầu như vậy, cũng như quả cầu đồng nhất, hút bất kỳ hạt nào ở bên ngoài bề mặt hoặc trên bề mặt của nó giống như thể toàn bộ khối lượng của nó tập trung ở tâm.

Nhưng Trái Đất thực không phải là quả cầu, mà là cái gọi là hình cầu dẹt. Có thể xem hành tinh của chúng ta như một quả cầu bị ép ở hai cực với bán kính bằng bán kính xích đạo của Trái Đất (hình 4,a). Độ lớn của phần bị ép bằng 21 km. Mặt khác, cũng có thể hình dung cùng một hình cầu dẹt đó như một quả cầu có bán kính bằng bán kính cực của Trái Đất (6357 km), được thêm khối lượng ở hai bên — cái gọi là «phình xích đạo» (hình 4,b). Độ dày của phần phình ở xích đạo là 21 km. Lực hút của hình cầu dẹt đối với bất kỳ hạt vật chất nào có thể xem như tổng hợp từ hai thành phần: lực hút của quả cầu trung tâm có bán kính 6357 km, được biểu diễn trên hình 4,b,

32

và do sự phình ra ở xích đạo. Sự tồn tại của phần phình ra này phải được tính đến trong nhiều trường hợp, chẳng hạn khi tính toán quỹ đạo của các tàu vũ trụ và thậm chí cả quỹ đạo của Mặt Trăng.

Bây giờ xét hai vật giống nhau nằm trên bề mặt Trái Đất: vật $A$ ở cực, vật $B$ — ở xích đạo. Quả cầu bán kính 6357 km hút vật $A$, dĩ nhiên, mạnh hơn vật $B$, vì vật

Hình 4.

$B$ nằm xa tâm Trái Đất hơn 21 km. Nhưng ngoài ra, cả hai vật còn chịu tác dụng của lực hút của phần phình ra ở xích đạo. Không thực hiện phép tính toán học chính xác, không thể nói kết quả cuối cùng sẽ như thế nào và lực hút tổng cộng của hình cầu sẽ lớn hơn ở đâu: tại điểm $A$ hay tại điểm $B$. Phân tích được thực hiện bằng phương pháp toán học cao cấp cho thấy rằng lực hút của hình cầu đối với vật ở cực lớn hơn lực hút của nó đối với vật ở xích đạo, nhưng như ta thấy, vấn đề không đơn giản như điều thường được khẳng định.

Các nhà vật lý chứng minh định lý Pythagore như thế nào.

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của một tam giác vuông bằng cạnh huyền và góc nhọn của một tam giác vuông khác, thì các tam giác đó bằng nhau. Điều này có nghĩa là cạnh huyền và góc nhọn hoàn toàn xác định tam giác vuông.

Từ các mối quan hệ về thứ nguyên suy ra rằng diện tích tam giác $ABC$ (xem hình vẽ) có thể được viết dưới dạng bình phương cạnh huyền $c$ nhân với một hàm nào đó của góc $\alpha$: $c^2 f(\alpha)$. Có thể thực hiện phép biến đổi tương tự đối với các tam giác vuông đồng dạng $ACD$ và $BCD$, trong đó vai trò của cạnh huyền do cạnh góc vuông của tam giác ban đầu đảm nhiệm. Vì diện tích tam giác $ABC$ bằng tổng diện tích các tam giác $ACD$ và $BDC$, nên

$$c^2 f(\alpha) = a^2 f(\alpha) + b^2 f(\alpha),$$

trong đó $f(\alpha)$ — là cùng một hàm không thứ nguyên của góc $\alpha$. Từ đó

$$c^2 = a^2 + b^2.$$

⟦trang 34⟧

Một bài phê bình tích cực về một cuốn sách thường được viết như sau.
Trước hết người ta tóm tắt ngắn gọn nội dung tác phẩm,
nêu lên những ưu điểm của nó, một số nhược điểm
và cuối cùng khuyên nên đọc cuốn sách.
Nhưng cũng có thể làm điều đó theo cách khác.
Trước mắt bạn là một chương trong cuốn sách của G. I. Kopylov
«Chỉ là cinematika».
Chúng tôi sẽ không ca ngợi cuốn sách
và khuyên bạn đọc nó.
Hy vọng rằng sau khi làm quen với đoạn trích được dẫn ra,
bạn sẽ nhất định làm điều đó.

G. I. Kopylov

NĂNG LƯỢNG VÀ XUNG LƯỢNG CỦA CÁC HẠT NHANH

Khi trình bày điều mới, cần dựa vào
những điều đã biết.
Ta hãy coi rằng người đọc biết công thức
E=Mc².

Công thức này do Einstein phát hiện. Nhờ
ông mà ngày nay chúng ta biết
cách tính năng lượng của các hạt nhanh, và biết rằng ngay cả trong một hòn đá nằm yên
cũng chứa những nguồn năng lượng khổng lồ
chưa được khai thác. Ông đã
đưa ra công thức này từ rất lâu trước khi
nó lần đầu tiên được áp dụng trong thực tế
(trước rất lâu năm 1919, khi lần đầu tiên
sự biến đổi hạt nhân được thực hiện). Ngay từ năm 1905 Einstein đã
chứng minh rằng không thể tính năng lượng và xung lượng
của một vật chuyển động rất nhanh theo
các công thức quen thuộc E=mv²/2 hoặc
P=mv. Ông còn chứng minh nhiều điều khác,
ông thực sự đã đảo lộn những quan niệm
quen thuộc của chúng ta về tất cả những lĩnh vực
chính: chuyển động, không gian,
thời gian, ánh sáng, khối lượng. Nhưng hiện nay
điều quan trọng đối với chúng ta chỉ là điều ông nói về
năng lượng và xung lượng.

Bản chất phát hiện của Einstein có thể
trình bày đại khái như sau.

35

KHỐI LƯỢNG VÀ VẬN TỐC

Không có gì trong thế giới này nhanh hơn ánh sáng. Và không thể có ánh sáng này nhanh hơn ánh sáng khác. Mọi ánh sáng (trong chân không) luôn chuyển động nhanh như nhau. Vì vậy, thuận tiện lấy vận tốc ánh sáng làm đơn vị. Mọi chuyển động khác, chẳng hạn chuyển động của một vật nào đó, không thể xảy ra nhanh hơn sự truyền ánh sáng, nghĩa là vận tốc của mọi vật luôn nhỏ hơn đơn vị. Nhưng vậy thì phải làm thế nào với một vật mà một lực nào đó gia tốc nó trong một thời gian rất dài? Bởi vì mọi lực đều gây ra gia tốc, còn gia tốc làm tăng vận tốc, và chẳng phải sẽ đến lúc vận tốc của vật đang được gia tốc vượt quá đơn vị này sao? Nhưng điều đó là không thể; nghĩa là khi vận tốc tăng, gia tốc phải dần dần giảm xuống — giảm nhanh đến mức không kịp đưa vận tốc của vật đến đơn vị. Nhưng điều đó có nghĩa gì, rằng khi lực đang tác dụng được xây dựng thì gia tốc giảm? Điều đó có thể như thế nào?

Có một tính chất khác của chuyển động: gia tốc tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật — vật càng nặng thì càng khó làm nó gia tốc bằng cùng một lực. Vì thế có thể kết luận rằng gia tốc giảm là do khối lượng tăng. Khi đó mọi thứ sẽ khớp với nhau: khi vận tốc của vật tăng, vật nặng hơn, và lực cũ không còn có thể tạo cho nó gia tốc cũ nữa. Gia tốc giảm, và vận tốc hầu như không thay đổi. Einstein đã đưa ra công thức tăng khối lượng khi vận tốc của vật $v$ tiến gần đến đơn vị:

$$M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Ở đây $m$ ký hiệu khối lượng của vật khi nó đứng yên, tức là khi $v=0$. Khi vận tốc $v$ tiến gần đến đơn vị, mẫu số trở nên ngày càng nhỏ, còn bản thân phân số — ngày càng lớn.

KHỐI LƯỢNG VÀ NĂNG LƯỢNG

Bây giờ hãy tiếp cận vấn đề từ phía khác. Bởi vì lực đã tác dụng lên vật trong một thời gian dài như vậy phải do một người nào đó hoặc một động cơ nào đó tạo ra. Chẳng hạn, động cơ. Nó đã làm việc trong khoảng-

36

một khoảng thời gian nào đó, tiêu hao nhiên liệu cho việc này, tiêu tốn năng lượng. Mà năng lượng, như đã biết, không thể biến mất vào vực thẳm một cách không mất gì cả. Dường như nó được truyền cho vật đang được tăng tốc, và động cơ tác dụng càng mạnh, vật càng hấp thụ nhiều năng lượng. Nhưng hấp thụ vào đâu, nếu vận tốc của vật dù sao cũng không thể vượt quá đơn vị? Lời giải rất đơn giản: năng lượng được tiêu hao vào việc làm tăng khối lượng của vật. Sự tăng khối lượng — đó chính là sự biểu hiện của năng lượng. Một lần nữa mọi thứ đều khớp nhau: lực thực hiện công lên vật, làm tăng năng lượng của nó; năng lượng được tích lũy, được chứa trong vật, làm tăng khối lượng của nó. Trở nên rõ ràng từ đâu có thể xuất hiện công thức nổi tiếng $E=Mc^2$, mà ta sẽ viết dưới dạng $E=M$, vì vận tốc ánh sáng $c$ được ta lấy bằng đơn vị. Nhưng đừng nghĩ rằng chúng ta đã suy ra công thức $E=Mc^2$. Nó được thu nhận trên cơ sở những lập luận hoàn toàn khác, còn chúng ta chỉ cố gắng giải thích ý nghĩa của nó bằng cách đơn giản nhất.

Bây giờ hãy tổng kết lại những điều đã nói, nhưng diễn đạt chúng theo cách khác. Vì sao khi chuyển động nhanh cần những công thức mới cho khối lượng và năng lượng? Nếu khối lượng của vật khi tăng tốc không tăng, thì vận tốc của nó sẽ tăng, và cuối cùng vật sẽ vượt qua ánh sáng, còn điều này mâu thuẫn với thực nghiệm. Nếu năng lượng của vật khi tăng tốc không tăng, thì công dùng để tăng tốc đã tiêu hao sẽ đi đâu?

CÂU TRẢ LỜI CHO CÁC CÂU HỎI

«Tất cả điều này rất hay, — các bạn sẽ nói, — nhưng vì sao chưa ai từng nhận thấy rằng các vật, khi tăng tốc, trở nên nặng hơn?».

Điều này quả thật khó nhận thấy: mọi thứ xung quanh chúng ta đều chuyển động quá chậm. Chậm so với vận tốc ánh sáng, so với đơn vị. Bởi vì sự tích lũy khối lượng trong vật chỉ trở nên đáng chú ý khi vận tốc của vật tiến gần đến giới hạn, còn vận tốc của chiếc máy bay nhanh nhất nhỏ hơn 0,0001 — vận tốc ánh sáng lớn đến như vậy. Nếu vận tốc ánh sáng, chẳng hạn, là 10 km/giây, thì các kỹ sư tính toán trong những phép tính của mình sẽ phải sử dụng các công thức của Einstein, tính đến sự tăng quán tính của máy bay khi tiến gần đến vận tốc này. Còn nếu vận tốc ánh sáng lại nhỏ hơn nữa, chẳng hạn 1 km/giây, thì đã có không ít hiện tượng trong thế giới sẽ diễn ra hoàn toàn khác, và cơ học Einstein sẽ có vẻ tự nhiên đối với chúng ta cũng như cơ học Newton hiện nay.

«Nhưng khi đó, — các bạn lại đặt câu hỏi, — chẳng phải chúng có mâu thuẫn với nhau trong những chuyển động của chúng ta, với những vận tốc nhỏ của chúng ta sao?». Không, không mâu thuẫn. Einstein đã tiến hành các suy luận của mình sao cho ở những vận tốc nhỏ không cần phải từ bỏ các định luật Newton đã được kiểm nghiệm nhiều lần. Nếu vận tốc $v$ rất nhỏ, phân số $\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ với độ chính xác tốt sẽ biến thành $1+\frac{v^2}{2}$ (hãy kiểm tra bằng cách thay vào, chẳng hạn, $v=0,0001$), còn công thức tăng khối lượng — thành công thức

$$M = m + \frac{1}{2} mv^2.$$

37

Khi một gói vật chất bay ngay cả với tốc độ 30 km/giây, thì điều đó có nghĩa là $v = 0,0001$, tức là khối lượng tăng lên khoảng một phần hai trăm triệu. Không thể nhận thấy điều đó.

Thay cho công thức cuối cùng có thể viết một công thức tương đương với nó, nếu nhớ rằng khối lượng của vật thể và dự trữ năng lượng của nó là một và như nhau:

$$E = m + \frac{1}{2} mv^2.$$

Vì vậy, ở tốc độ nhỏ năng lượng của mọi vật thể tự do đang chuyển động gồm hai phần: phần $m$, không phụ thuộc vào tốc độ, và phần $\frac{mv^2}{2}$, tăng lên như bình phương của tốc độ… Khoan đã, nhưng chẳng phải $\frac{mv^2}{2}$ là năng lượng động học của vật thể hay sao! Vậy thì Einstein đã phát hiện ra rằng năng lượng động học (mà chúng ta thường coi là năng lượng của vật thể chuyển động tự do, không chịu tác động của bất kỳ lực nào) chỉ là một phần của toàn bộ dự trữ năng lượng mà vật thể có. Và là một phần rất nhỏ. Năng lượng chủ yếu nằm trong số hạng $m$ — trong khối lượng không bị tốc độ tác động và có trong vật thể ngay cả khi nó đứng yên. Đó chính là thứ có thể gọi là năng lượng tồn tại.

Nếu ở đâu đó xuất hiện một hạt vật chất mới, thì để tạo ra nó đã phải tiêu tốn một công nào đó, hoặc phải lấy từ một vật thể khác, hoặc phải lấy từ một nguồn nào đó một dự trữ năng lượng để xây dựng hạt vật chất ấy, và dự trữ này đã nằm trong nó, ngay cả khi hạt không chuyển động. Đối với những vật thể thông thường, lớn, được cấu tạo từ các nguyên tử, điều này nghe có vẻ vô lý: bởi vì chúng ta luôn tạo ra chúng từ vật liệu xây dựng có sẵn (các nguyên tử) và không tiêu tốn năng lượng để tạo ra nguyên tử. Vì vậy, trong trường hợp này, năng lượng tồn tại không có vẻ có tầm quan trọng đặc biệt: mọi thứ cần thiết vốn đã tồn tại. Ở đó vấn đề về sự tạo thành vật chất đơn giản là không xuất hiện.

Một chuyện khác — đó là sự biến đổi của những hạt nhỏ nhất. Ở đó thật sự diễn ra việc tạo ra những loại hạt mới từ những hạt thuộc loại cũ và từ năng lượng mà chúng tích lũy, thậm chí có khi chỉ từ ánh sáng. Giống như người thợ làm cúc áo của Uibsen, tất cả đồ cũ đều được đưa vào nấu chảy không còn lại gì, và không ai cho phép chúng ta coi nhẹ năng lượng $m$.

LÀM SAO KHÔNG NHẬN RA CON VOI

Sự có mặt của số hạng $m$ trong công thức năng lượng quan trọng đến mức cần nói chi tiết hơn về nó. Tại sao chúng ta không nhận thấy số hạng này? Tại sao trước Einstein không ai nhận thấy những dự trữ như vậy «ngay dưới chân mình», lớn hơn hàng triệu và hàng tỷ lần tất cả những nguồn năng lượng khi ấy có thể tiếp cận? Chẳng lẽ điều đó không nói lên rằng Einstein sai? Không, không nói lên điều đó. Tất cả là vì chúng ta nhận thấy không phải bản thân năng lượng, mà là những biến đổi của nó. Khi năng lượng động học chuyển thành thế năng — chúng ta lập tức nhận thấy, vì tốc độ giảm xuống. Chuyển thành nhiệt năng — lại nhận thấy: vật thể nóng lên. Còn nếu năng lượng không thay đổi, làm sao nhận thấy nó? Chẳng hạn, Trái Đất. Năng lượng động кин-

38

năng lượng cơ học khổng lồ; nó lao quanh Mặt Trời với tốc độ 30 km/giây, khối lượng của nó là 6·10²⁷ e — đó là một nguồn năng lượng kinh ngạc, vượt quá sức tưởng tượng của chúng ta. Nhưng ai thay thế nó? Nó biểu hiện ở đâu? Có cần phải tính đến nó và đưa nó vào cân bằng các biến đổi xảy ra với các vật thể trên Trái Đất không? Dĩ nhiên là không: nó không thay đổi trong những biến đổi như vậy, đó là một thứ vốn chết; nó đi vào cân bằng như thế nào thì đi ra như thế ấy.

Tình trạng cũng tương tự với năng lượng m; nó không thay đổi trong các biến đổi cơ học, điện, hóa học, nó lặng lẽ hiện diện ở cả hai vế của phương trình cân bằng năng lượng, và từ nó chẳng có ai bị lạnh hay nóng. Nếu như tìm được những lực nào đó có khả năng «bứt ra» khỏi m dù chỉ một mảnh nhỏ, thì m lập tức sẽ cho thấy sự tồn tại của mình. Nhưng ban đầu người ta chưa biết gì về những lực như vậy. Đã là điều tốt khi công thức

$$E = m + \frac{mv^2}{2}$$

gợi ý rằng cần tìm kiếm những lực như vậy. Và sau nhiều năm người ta đã tìm ra chúng, đó là các lực hạt nhân. Trong các nhà máy điện nguyên tử hoặc trên các con tàu, những lực như vậy làm công việc tách ra khỏi m những phần nhỏ và biến chúng thành năng lượng điện hoặc cơ học.

Còn trong các biến đổi của các hạt cơ bản, những lực có cùng tính chất nhưng lớn hơn về độ lớn một cách không thể so sánh, không còn tách từng mảnh khỏi khối lượng nghỉ m nữa. Hoạt động của chúng tái cấu trúc một cách triệt để viên gạch vật chất này thành những viên gạch khác, đôi khi hoàn toàn không giống những viên ban đầu — cả về tính chất lẫn công dụng.

XUNG LƯỢNG VÀ VẬN TỐC

Nhưng chúng ta đã đi chệch khỏi mục tiêu trực tiếp của mình. Vậy là, chúng ta biết khối lượng của vật phụ thuộc vào vận tốc như thế nào:

$$M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Tương tự như vậy, năng lượng của vật cũng phụ thuộc vào vận tốc:

$$E = M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Vậy bây giờ phải làm thế nào với đại lượng P=Mv, được gọi là xung lượng của vật? Có lẽ nó cũng cần được thay thế bằng một thứ gì đó?

Hóa ra là không. Xung lượng vẫn được cho bởi công thức

$$P = Mv,$$

nhưng chỉ có điều bây giờ M là đại lượng phụ thuộc vào vận tốc. Nghĩa là, xung lượng, cũng như khối lượng của vật và năng lượng của nó, khi vật được gia tốc có thể trở nên lớn tùy ý. Và điều đó vẫn phù hợp với khẳng định của Newton rằng sự tăng của xung lượng dưới tác dụng của lực tỉ lệ với độ lớn của chính lực và thời gian tác dụng của nó. Nếu lực tác dụng đủ lâu (và theo hướng cần thiết), thì xung lượng có thể đạt tới bất kỳ giá trị nào.

Do đó, công thức cho xung lượng có thể được viết dưới ba dạng:

$$P = Mv, P = Ev, P = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2}},$$

và sử dụng chúng tùy ý.

Đó là dạng đã biến đổi của nó.

40

đạt 0,94 GeV. Như vậy, proton trong 3 giây (thời gian kéo dài của quá trình tăng tốc) trở nên nặng hơn hơn 10 lần. Công suất tiêu thụ bởi máy gia tốc điện từ lớn đến cuối quá trình tăng tốc tăng lên nhiều lần. Nếu bạn muốn tự mình kiểm tra tính đúng đắn của công thức Einstein, hãy nhìn vào các oát kế của lưới phân phối xem tải phản kháng trả lại vào chúng như thế nào.

— Khoan đã, khoan đã! — độc giả cẩn thận sẽ kêu lên. — Vậy thì chuyện này có nghĩa là gì? Ở nhà máy điện biến mất điện năng, còn trong máy gia tốc xuất hiện những proton nặng hơn gấp nhiều lần. Vậy theo các ông, năng lượng đã biến thành khối lượng?!

— Tại sao điều đó lại làm anh lo lắng?
— Bởi vì đó là một luận điểm triết học sai lầm… chính các ông cũng đã nói rằng năng lượng và khối lượng — chỉ là hai sắc thái khác nhau của cùng một khái niệm vật lý.

— Trong vật lý thì đúng. Nhưng trong đời sống thường ngày, sự tăng năng lượng không có nghĩa là tăng khối lượng. Đun nóng một cái ấm không làm nó nặng hơn. Vì vậy, theo nghĩa thông thường, sự khác biệt giữa năng lượng và khối lượng là rất lớn. Và khi đột nhiên anh chứng kiến việc năng lượng cung cấp vào đầu vào của máy gia tốc biến thành những proton nặng bất thường ở đầu ra, anh có quyền ngạc nhiên nói: «Điện năng đã chuyển thành khối lượng của proton!»
— Hoặc thành năng lượng của nó…
— Hoặc thành năng lượng của nó, nếu chúng ta muốn nhấn mạnh không phải «sự không chịu nhường bước» của proton, mà là «nguồn dự trữ sức mạnh», «khả năng sáng tạo» của nó… Chúng ta phải quen với việc «sự không chịu nhường bước» và «nguồn dự trữ sức mạnh sáng tạo» của hạt là những từ đồng nghĩa. Và khi đã quen với điều đó, chúng ta thậm chí sẽ xuất hiện một mong muốn không thể dập tắt là loại bỏ một trong hai từ — «năng lượng» hoặc «khối lượng» — và chỉ dùng một từ mà thôi. Trong các sách vật lý hiện đại phổ thông người ta cũng cố làm như vậy. Nhưng trong cuốn sách của chúng ta, nơi sự thiếu hụt công thức sẽ phải được bù đắp bằng cách diễn đạt bằng lời rõ ràng-

Máy gia tốc đồng bộ Dubna.

41

suất, chúng ta sẽ dùng cả hai từ đồng nghĩa: năng lượng và khối lượng.

— Còn các nhà triết học thì sao?
— Các nhà triết học cũng có nhiều loại khác nhau. Tại sao phải tìm kiếm những vấn đề ở nơi không có chúng, tại sao phải theo dõi việc dùng từ khi ý nghĩa thực sự không nằm ở các từ, mà nằm trong những mối quan hệ chính xác…
Những người có tư duy thực tế quan tâm đến điều khác: có đúng là năng lượng giải phóng trong sự phân rã của các hạt cơ bản vượt xa năng lượng hạt nhân hay không?
Đúng. Chẳng hạn, một trong các chu trình phản ứng hạt nhân cung cấp năng lượng cho các ngôi sao tương ứng với sự biến đổi bốn proton thành hạt nhân heli. Khối lượng của chúng là 0,94·4=3,76 Гэв, còn khối lượng của heli là 3,73 Гэв, do đó giải phóng 0,03 Гэв — nhỏ hơn 1% toàn bộ năng lượng. Còn trong sự phân rã của π°-mêzôn thành các photon, toàn bộ khối lượng của mêzôn chuyển thành năng lượng (100%).

— Vậy trước mắt chúng ta là một nguồn năng lượng mạnh hơn phản ứng nhiệt hạch?

— Hoàn toàn không. Trở ngại là sự hiếm có và tính không bền của những cơ chế như vậy. Trong các máy gia tốc, số lượng của chúng ít hơn số proton ít nhất 10¹⁹ lần. Ngoài ra, chúng bị hủy ngay lập tức; không thể tích lũy chúng. Và quan trọng nhất, phải tạo ra chúng, tiêu tốn năng lượng đúng bằng năng lượng sẽ được giải phóng khi chúng phân rã; còn proton thì luôn có sẵn — đó là các hạt nhân hydro. Trong phản ứng nhiệt hạch, chúng ta biến đổi các dự trữ năng lượng do tự nhiên tích lũy; sự phân rã của π°-mêzôn trong trường hợp tốt nhất chỉ trả lại cho chúng ta năng lượng đã tiêu tốn để tạo ra chúng.

— Vậy thì chúng có ích gì?
— Ích lợi của mêzôn, hyperon và v.v. nằm ở chỗ khác: chúng giúp giải đáp cấu tạo của thế giới…

CÁC BÀI TẬP

1. Hãy tính động lượng của proton tính bằng Мэв/c, trong đó c — vận tốc ánh sáng, nếu biết rằng động năng của proton bằng 500 Мэв.
2. Hãy tính gia tốc của electron chuyển động trong máy gia tốc thẳng trong điện trường đều có hướng với E=25 кв/см, tại thời điểm khi động năng của nó T=0,5 m₀c², trong đó m₀ — khối lượng nghỉ của electron.
3. Khối lượng hydro nào được chuyển thành năng lượng khi nổ một quả bom hydro 20-mêgaton? Đương lượng trinitrotoluen bằng 10³ кал/2.
4. Bóng đèn điện 100 oát phát ra bao nhiêu khối lượng (dưới dạng nhiệt và ánh sáng) trong một năm?
5. Làm thế nào xác định khối lượng nghỉ của hệ các hạt chuyển động? Nó có bằng tổng các khối lượng nghỉ của các hạt không chuyển động không?
6. Một người phải đi xe đạp bao lâu để chuyển thành năng lượng? Khi một người dùng hết sức quay bàn đạp xe đạp, người đó tạo ra công suất hữu ích 0,5 mã lực (373 бт). Hiệu suất của cơ thể người khoảng 25%, nghĩa là 75% thức ăn bị đốt cháy, biến thành nhiệt, và chỉ 25% thức ăn chuyển thành công có ích.
7. Trái Đất nhận được bao nhiêu khối lượng từ Mặt Trời dưới dạng ánh sáng trong một năm, nếu trên một mét vuông bề mặt vuông góc với hướng của các tia Mặt Trời nhận được 1,4 км năng lượng ánh sáng?
8. Động lượng của phonon bằng bao nhiêu? Hãy chứng minh, xuất phát từ các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng, rằng electron tự do không thể hấp thụ phonon.

42

ПОЧЕМУ МЫ ТАК ГОВОРИМ?

sinus
chorda

1. ОТКУДА ПРОИЗОШЛО СЛОВО
   «СИНУС»

Từ «sinus» có nguồn gốc từ tiếng Latinh. Nếu chúng ta xem trong từ điển Latinh–Nga, chúng ta thấy những nghĩa sau của từ này: 1) sự cong, độ cong, chỗ uốn, chỗ lồi; 2) khoang, túi, nếp gấp của áo (trang phục La Mã cổ đại) ở trên ngực; 3) váy, quần áo; 4) ngực, vòng tay ôm; 5) tình yêu dịu dàng, sự chăm sóc;

6. giữa, trung tâm; 7) nơi trú ẩn, chỗ nương náu; 8) vịnh, vũng; 9) chỗ lõm, hốc, chỗ trũng. Từ «sinus» được biết đến rõ với nghĩa «khoang», «chỗ lõm». Tuy nhiên, không một nghĩa nào trong số rất nhiều nghĩa này có bất kỳ liên hệ nào với sin trong lượng giác. Vậy thuật ngữ này xuất phát từ đâu?

42 Vậy thuật ngữ này xuất phát từ đâu?

42

43

Lượng giác xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ I—II sau Công nguyên ở Alexandria, trong các công trình của những nhà thiên văn học Alexandria nổi tiếng, trong đó lớn nhất là Claudius Ptolemy. Tuy nhiên, trong lượng giác của Ptolemy, khái niệm cơ bản không phải là sin mà là dây cung. Trong cuốn sách «Hệ thống toán học» của Ptolemy có các bảng về sự phụ thuộc của độ dài các dây cung vào độ dài các cung mà chúng chắn, trong đó các cung được đo bằng độ, phút và giây, còn các dây cung — bằng các phần của bán kính: ở đây bán kính được coi là bằng 60 phần, các dây cung được đo bằng những phần đó của bán kính, bằng các «phút» của chúng (các phần thứ 60) và bằng các «giây» của chúng (các phần thứ 60 của «phút»). Sự phân chia «lục thập phân» này của các cung và dây cung đã được các nhà thiên văn học Alexandria vay mượn từ người Babylon.

Từ «dây cung» bắt nguồn từ từ Hy Lạp «chorde» — «ruột», «dây đàn» (ở Hy Lạp cổ đại dây đàn được lấy từ ruột bò). Cả ở Hy Lạp cổ đại, cả trong trường phái Alexandria, từ này không gắn với dây cung. Cả Euclid, cả Ptolemy, và các nhà khoa học Alexandria khác đều gọi dây cung là «đường thẳng trong vòng tròn», với ý nói đến đoạn thẳng nằm trong đường tròn (tam giác nội tiếp trong đường tròn họ cũng gọi là «tam giác trong vòng tròn»).

Vào thế kỷ V sau Công nguyên, trường phái khoa học Alexandria bị tiêu diệt bởi những kẻ cuồng tín Cơ Đốc giáo, do «thánh» Cyril cầm đầu. Vào thời gian này, một trong những nhà thiên văn học Alexandria ngoại giáo, tên là Paulos, đã chạy trốn sang Ấn Độ, nơi ông viết bản trình bày những thành tựu của các nhà thiên văn học Alexandria bằng tiếng Phạn — ngôn ngữ khoa học của người Ấn Độ. Cuốn sách này được người Ấn Độ gọi là «Paulisа-siddhanta» — «Học thuyết của Paulisa», như người Ấn Độ gọi Paulos. Trong cuốn sách này, dây cung được gọi bằng từ tiếng Phạn «jiva», cũng có nghĩa là dây cung của cung tên, cung được gọi bằng chính từ chỉ cây cung, còn chiều cao của đoạn tròn được giới hạn bởi cung và dây cung chắn nó — bằng chính từ chỉ mũi tên.

Các nhà thiên văn học và toán học Ấn Độ thời kỳ sau, trong đó lớn nhất là Brahmagupta sống vào thế kỷ VII, đã thay thế các dây cung bằng nửa dây cung, tức là các đường sin. Ban đầu họ gọi những đường này là «ard-jiva» — «nửa dây cung», sau đó để ngắn gọn họ chỉ gọi chúng là «jiva».

Vào thế kỷ VIII, một trong những «siddhanta» của các nhà khoa học Ấn Độ được dịch sang tiếng Ả Rập dưới tên «Sindhind» (sự biến dạng của từ «siddhanta» xảy ra dưới ảnh hưởng của tên gọi Ấn Độ trong tiếng Ả Rập là «Hind»). Trong cuốn sách này, từ «jiva», khi đó đã chỉ đường sin chứ không còn chỉ dây cung, được viết bằng chữ cái Ả Rập. Nhưng vì người Ả Rập không có âm «v», mà chỉ có «b» và «u» ngắn, các dịch giả sang tiếng Ả Rập đã viết không phải «jiva», mà là «jiba». Nhưng trong tiếng Ả Rập chỉ ghi các nguyên âm dài, còn các nguyên âm ngắn được bỏ qua, hơn nữa âm «i» dài được biểu thị bằng cùng một chữ cái với bán nguyên âm «y», trong từ «jiba» âm «i» là dài, còn «a» — là ngắn. Vì vậy, từ «jiba» được viết bằng tiếng Ả Rập hoàn toàn giống như từ «jaib», và chẳng bao lâu sau người ta cũng bắt đầu phát âm nó là «jaib». Từ «jaib» có nghĩa là hốc, hõm, tức là điều mà trong tiếng La tinh là từ «sinus». Vì vậy, khi vào thế kỷ XII các sách thiên văn học và toán học Ả Rập bắt đầu được dịch sang tiếng La tinh, từ «jaib», chỉ đường sin, được dịch bằng từ «sinus».

Trong những trường hợp mà từ «jiva» chỉ dây cung, người Ả Rập dịch nó bằng từ «vatar».

Từ «vatar», không chỉ có nghĩa là dây cung mà còn có nghĩa là dây đàn, được dịch sang tiếng La tinh bằng từ «chorda» — sự phiên âm của từ Hy Lạp «chorde» mà chúng ta đã biết.

⟦trang 45⟧

М11. Trên 44 cây nằm trên một đường tròn, có 44 con chim sẻ vui vẻ đậu (mỗi cây một con). Thỉnh thoảng hai con chim sẻ đồng thời bay sang các cây bên cạnh theo hai hướng ngược nhau (một con theo chiều kim đồng hồ, con kia ngược chiều kim đồng hồ, xem hình 1). Hãy chứng minh rằng các con chim sẻ không bao giờ tụ tập trên cùng một cây.

Còn nếu số chim sẻ và số cây là $n$?
ВМШ при МГУ*)

M12. Những tứ giác nào có thể cắt bằng một đường thẳng thành hai tứ giác giống nhau?

*) Xem trang 61 của số tạp chí này.

Những lời giải hay nhất của các bài toán do độc giả gửi đến sẽ được đăng trên tạp chí. Chúng tôi có thể xem xét những lời giải mà ban biên tập nhận được không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số tạp chí tương ứng được phát hành.

M13. Hãy chứng minh rằng nếu hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong $n$ số thực $a_1, a_2, \dots, a_n$ bằng $d$, còn tổng môđun của tất cả $\frac{n(n-1)}{2}$ hiệu từng đôi của các số này

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j|$$

bằng $s$, thì

$$(n-1)d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4}d.$$

M14. Một số mặt của một đa giác trắng lồi được tô màu đen và đỏ sao cho không có hai mặt đen nào có cạnh chung (hình 2). Hãy chứng minh rằng nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:
a) số mặt đen lớn hơn một nửa;
b) diện tích các mặt đen chiếm hơn một nửa diện tích của một nửa bề mặt của đa giác,

thì không thể nội tiếp một hình cầu vào đa giác này.

⟦trang 46⟧

М15. Một bảng vuông $n \times n$ được điền các số không âm sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 1. Chứng minh rằng từ bảng có thể chọn $n$ số dương, không có hai số nào trong số đó nằm cùng một cột hoặc cùng một hàng.

Ф12. Hai quả cầu thép nặng giống nhau quay trên các thanh nhẹ có độ dài $l$ và $2l$ quanh các điểm $O_1$ và $O$, khoảng cách giữa chúng bằng $3l$ (hình 3). Ở thời điểm ban đầu các quả cầu nằm tại các điểm $A$ và $B$, có vận tốc lần lượt là $v$ và $2v$. Các quả cầu sẽ va chạm bao nhiêu lần trong thời gian $t$? Sau bao lâu các quả cầu sẽ va chạm $k$ lần? Coi các va chạm của các quả cầu là hoàn toàn đàn hồi.

Г. Л. Коткин

Ф13. Hai xi lanh giống nhau có pít-tông được nối với nhau bằng ống (hình 4). Trong các xi lanh có nước. Trên các pít-tông đặt các cốc hình trụ giống nhau có lượng nước bằng nhau. Sau đó thả vào một trong các cốc một vật có khối lượng $m$, còn vào cốc kia — một vật có khối lượng $M$, các vật này không chìm.

Ở những khoảng cách nào với nhau sẽ nằm các đầu pít-tông và các mực nước trong các cốc khi hệ thống đạt trạng thái cân bằng? Diện tích đáy các cốc là $S_1$, diện tích các pít-tông là $S_2$.

Ф14. Hai ống có tiết diện $S_1$ và $S_2$ được nối với nhau và bịt kín bằng các pít-tông có khối lượng $m_1$ và $m_2$ (hình 5). Sau vụ nổ trong khoảng không gian giữa các pít-tông, các pít-tông bay ra khỏi ống. Một trong hai pít-tông bay ra với vận tốc $v$. Hỏi pít-tông thứ hai bay ra với vận tốc nào, nếu: a) các ống được cố định và không thể chuyển động, b) các ống không được cố định và tổng khối lượng của chúng bằng $M$? Bỏ qua ma sát của các pít-tông với thành ống.

Ф15. Qua thành tủ lạnh trong một giờ thấm vào một lượng nhiệt $Q = 190$ kilocalo. Nhiệt độ bên trong tủ lạnh $T_1 = +5^\circ\text{C}$, còn trong phòng là $T_2 = +20^\circ\text{C}$. Công suất nhỏ nhất mà tủ lạnh tiêu thụ từ mạng điện là bao nhiêu?

V. N. Kopylov

Hình 3

Hình 5.

47

Ф16. Ô tô có trọng lượng $P$, cả hai trục của nó đều là trục chủ động, bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên. Động cơ ô tô hoạt động với công suất không đổi $W$, hệ số ma sát trượt của bánh xe với mặt đường bằng $k$. Hãy tìm sự phụ thuộc của vận tốc ô tô vào thời gian và vẽ đồ thị của sự phụ thuộc này. Bỏ qua lực cản của không khí và ma sát trong các cơ cấu.

А. Т. Drozdov

Ф17. Giữa hai bản của một tụ điện phẳng bị nối tắt, người ta đặt một bản có điện tích $q$. Bản này được dịch chuyển song song với chính nó một khoảng $x$ (hình 6). Điện lượng nào đi qua mạch ngoài của tụ điện trong quá trình đó, nếu khoảng cách giữa các bản của nó bằng $d$?

BA CÂU HỎI
VỀ VẬT LÝ

1. Tuyết ướt rơi xuống. Có thể xác định phần trăm hàm lượng nước trong đó bằng cách nào?

2. Trên một mặt bàn nhẵn nằm ngang có một tấm bảng đen chuyển động với vận tốc $v$. Cần để lại công thức nào trên bảng bởi viên phấn được ném theo phương ngang với vận tốc và vuông góc với hướng chuyển động của bảng?

3. Một dây đèn trang trí cây thông Noel được hàn từ các bóng đèn pin. Khi cắm dây đèn này vào mạng điện, trên mỗi bóng đèn có hiệu điện thế ba vôn. Vì sao lại nguy hiểm khi, sau khi vặn tháo một bóng đèn, thò ngón tay vào đui đèn?

48

CÁC KỲ THI TUYỂN SINH
VỀ TOÁN HỌC
VÀO KHOA TOÁN
CỦA VIỆN SƯ PHẠM QUỐC GIA
MATXCƠVA
MANG TÊN V. I. LENIN
G. V. DOROFEEV

Một sinh viên viện sư phạm phải đi qua nhiều tầng của tòa nhà toán học hiện đại cao tầng để trở thành một giáo viên giỏi, am hiểu công việc của mình. Nhưng việc nghiên cứu cả những cầu thang dốc của tòa nhà này, hoàn toàn không có thang máy, chỉ có thể dành cho người đã có chỗ đứng vững chắc trên nền móng của nó ngay từ khi còn học ở trường.

Những thí sinh như vậy có, và có khá nhiều. Đó là một bộ phận lớn những người đã hiểu được toàn bộ sức hấp dẫn của toán học, đánh giá được tầm quan trọng và ý nghĩa của nó đối với đời sống hiện đại. Nhưng, tự hào về những tính chất của các điều kiện toán học (và, đáng tiếc, còn nhiều điều khác nữa), họ quyết định rằng mục đích duy nhất của họ trong đời là trở thành các nhà toán học hoặc vật lý học chuyên nghiệp.

Trong khi đó, những chuyên gia thành thạo toán học hiện nay cần thiết thực tế trong mọi lĩnh vực của đời sống. Và để đào tạo họ chỉ cần những giáo viên mới, am hiểu công việc của mình. Ngược lại, trình độ của chính các giáo viên phụ thuộc vào trình độ hiểu biết toán học của những người vào các viện sư phạm, vào sự quan tâm của họ đối với nghề nghiệp tương lai, vào tình yêu của họ đối với nghề đó.

Năm ngoái, vào khoa toán của Viện Sư phạm Quốc gia Matxcơva mang tên V. I. Lenin đã có 475 đơn đăng ký cho 175 chỗ — khoảng 2,7 đơn cho một chỗ. Để so sánh, ta lưu ý rằng số người muốn trở thành giáo viên không phải toán học và nhà toán học không phải giáo viên chiếm đa số đáng kể: chẳng hạn, tại khoa ngôn ngữ Nga và văn học của viện chúng tôi có 8,3 đơn cho một chỗ, còn tại khoa cơ học và toán học của Đại học Tổng hợp Quốc gia Matxcơva — 6.

Trong kỳ thi viết năm 1969, những người dự thi được đưa ra một số phương án, mỗi phương án trong đó chứa 5 bài toán. Toàn bộ bài làm được dành 4 giờ. «Đạt», một-

49

nào, được tiến hành không phải theo tất cả các bài, mà theo bốn bài được giải tốt nhất.

Nhiệm vụ khi đó được chọn sao cho người yêu thích hình học, không muốn mất công với những phép biến đổi hình thức nào đó, có thể nhận được điểm năm, tuy nhiên để chứng minh «quyền» của mình được coi thường các phép biến đổi kỹ thuật — đây cũng là một trong những bộ phận cấu thành của nghệ thuật toán học — người đó phải vượt qua những khó khăn hình học đặc biệt. Tương tự như vậy, «nhà đại số» hoặc «nhà phân tích», không ưa hình học, có thể tự tránh khỏi sự cần thiết phải hiểu một cấu hình hình học tương đối phức tạp, nhưng «để trả đũa» phải giải một bài toán phi tiêu chuẩn có tính chất hình thức.

Để nhận điểm «3» chỉ cần giải hai bài toán. Mặc dù tiêu chuẩn này không quá cao, số hai mươi bốn lại hóa ra là số bên trong — 224*). Đáng tiếc là một số bài làm không đạt được viết bởi các huy chương viên và học sinh tốt nghiệp các trường toán, trong đó có cả các trường ở Moskva.

Nhưng đặc biệt khó chịu là phần lớn các bài làm kém chứa những lỗi không thể gọi khác hơn là xấu xí. Sức tưởng tượng của các tác giả những bài làm như vậy quá lớn, đến mức không thể liệt kê hết tất cả những «viên ngọc» này. Tuy nhiên, hãy nhắc đến một viên, nó làm kinh ngạc ngay cả những giám khảo đã từng trải: trong một bài làm về hình vẽ của bài toán, trong đó nói về dây cung chung của hai đường tròn, những đường tròn này (khác nhau!) còn có cả cung chung, và bên ngoài cung này chúng tách ra về các phía khác nhau.

Tất cả điều này có nghĩa là vẫn còn rất xa mới có thể nói rằng tất cả những người dự tuyển vào các trường đại học đều biết toán học ngay cả ở mức sơ cấp; nhiều người trong số họ có những vấn đề nghiêm trọng trong việc xử lý toán học. Và vấn đề không phải ở bề rộng, mà ở chiều sâu của kiến thức, ở sự nhận thức rằng cả thí sinh Moskva lẫn thí sinh từ các địa phương khác đã làm bài thi toán (viết và vấn đáp) gần như giống nhau.

Đề

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{1 - \log_2 x^2} \cdot \log_2 x = -1.$$

2. Giải bất phương trình
   $$2 \cos x (\cos x - \sqrt{8} \mathrm{tg} x) < 5.$$

3. Hình hộp chữ nhật $ABCD$ với các cạnh $a$ và $2a$ nằm ở đáy của một hình chóp, tất cả các cạnh bên của nó bằng $\sqrt{3}$. Tìm diện tích thiết diện của hình chóp bởi mặt phẳng đi qua đường chéo đáy $BD$ song song với cạnh $AS$.

4. Qua đầu $A$ của dây cung chung $AB$ của hai đường tròn, kẻ một đường thẳng cắt đường tròn thứ nhất tại điểm $C$, và cắt đường tròn thứ hai tại điểm $D$. Chứng minh rằng giao điểm của các tiếp tuyến kẻ qua điểm $C$ đến đường tròn thứ nhất và qua điểm $D$ đến đường tròn thứ hai nằm trên cùng một đường tròn với các điểm $B$, $C$ và $D$.

5. Chứng minh rằng nếu
   $$3x^2 - 31x + 80 < 0,$$
   thì
   $$\cos \frac{3}{6-x} < 0.$$

Lời giải

Задание 1. Поскольку $\log_2 x^2 = 2 + \log_2 x$, и $\log_2 x^4 = \frac{1}{\log_2 x^2} = -\frac{1}{4 + \log_2 x}$, заданное уравнение приводится к виду
$$\sqrt{3 - \log_2 x} = -4 - \log_2 x.$$
Обозначив $3 - \log_2 x$ через $y$, получаем уравнение
$$\sqrt{y} = y - 1.$$

Удивительно, но решение даже такого простого уравнения оказалось не

50

vừa sức với nhiều thí sinh. Mọi người đều đoán ra cách bình phương cả hai vế và nhận được phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$, nhưng sau đó xuất hiện những “quan điểm” khác nhau; có người hoàn toàn không nghĩ đến việc khi giải như vậy có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai; có người biết điều đó có thể xảy ra, nhưng không biết vì sao, và thường tin rằng các nghiệm không thuộc ĐKXĐ (miền giá trị cho phép) sẽ là nghiệm ngoại lai; có người cố kiểm tra nghiệm bằng cách thay trực tiếp vào phương trình — về nguyên tắc cách này đúng, nhưng chỉ thuận tiện để kiểm tra các nghiệm “tốt”, còn $y_1$ và $y_2$ không thật “tốt”.

Tuy nhiên, hoàn toàn hiển nhiên rằng vì vế trái trong phương trình () không âm, nên trong hai số $y_1$ và $y_2$ chỉ số mà vế phải cũng không âm mới là nghiệm. Vì vậy nghiệm duy nhất của phương trình () là $y = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, và để tìm $x$ ta nhận được phương trình $\log_x 2 = \frac{-(9 + \sqrt{5})}{2}$, từ đó suy ra $x = 2^{-\frac{2}{9 + \sqrt{5}}}$.

Nhấn mạnh: khi giải, chúng ta đã hoàn toàn không cần tìm ĐKXĐ của phương trình ban đầu. Trong thời gian gần đây, trong các thí sinh lan truyền rộng rãi định kiến rằng việc giải bất kỳ phương trình hoặc bất phương trình nào cũng cần bắt đầu bằng việc tính ĐKXĐ. Tuy nhiên, ý kiến đó không có bất kỳ cơ sở lý thuyết nào, còn trên thực tế lại gây hại: những người đi theo con đường này đã phải giải không chỉ phương trình đã cho, mà còn cả bất phương trình lôgarit do chính mình nghĩ ra $-1 - \log_x 2x^2 \geq 0$ — một bài toán không kém phần khó. Nói chung, không có quy tắc xác định chặt chẽ nào về việc có cần hay không cần tìm ĐKXĐ ở đầu lời giải, và ngay tại đây, khi chọn con đường, thí sinh có thể thể hiện mức độ biết suy nghĩ cụ thể và độc lập của mình.

Bài toán 2. Chúng ta sẽ không giải chi tiết bất phương trình đã cho. Khai triển ngoặc, ta dễ dàng đi đến bất phương trình bậc hai theo sin $x$:

$$2\sin^2x + 4\sqrt{2}\sin x + 3 > 0,$$

giải nó, ta nhận được bất phương trình lượng giác đơn giản $\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Nhưng… chính bất phương trình này mà đa số thí sinh không giải được. Chúng ta sẽ không phân tích các lời giải và đáp số, thường hoàn toàn vô nghĩa, mà chỉ lưu ý các thí sinh tương lai về những bài toán như vậy. Phương pháp giải đã được trình bày đầy đủ cả trong sách giáo khoa lẫn trong nhiều tài liệu, và chỉ cần nhận thức và nắm vững nó. Cũng cần lưu ý rằng ngay cả những người giải đúng bất phương trình đơn giản này cũng không phải lúc nào nhớ rằng cần loại khỏi các nghiệm thu được những giá trị $x$ mà tại đó tg $x$ không có nghĩa.

Bài toán 3. Hóa ra quá «xảo quyệt» đối với những thí sinh đã quen giải các bài toán chỉ về các khối hình học đều. Họ không thể từ bỏ các khuôn mẫu và đã hình dung sai cấu hình hình học đã cho. Chẳng hạn, rất nhiều người «theo thói quen» cho rằng đường cao trong $\triangle BKD$ là đoạn $KO$ (hình 1).

Nhưng ai cũng biết rằng hình dung hình học chỉ là một phương tiện phụ trợ để giải bài toán, còn những sự kiện «nhìn thấy» trên hình vẽ vẫn cần được chứng minh chặt chẽ-

51

nói. Nhưng đáng tiếc là nhiều người chỉ biết điều này một cách thuần túy trừu tượng, còn trong thực tế lại xem nhẹ các phép chứng minh, đôi khi chỉ giới hạn ở những câu kiểu như «điều này đúng theo định lý về ba đường vuông góc» ngay cả trong trường hợp hoàn toàn không rõ đang nói đến những đường vuông góc nào.

Trong khi đó, chỉ một cố gắng nhỏ để chứng minh tính vuông góc của $KO$ và $BD$ lập tức dẫn đến mâu thuẫn. Thật vậy, nếu điều đó đúng, thì đường chéo $BD$ sẽ vuông góc với $SO$ và $KO$, tức là vuông góc với mặt phẳng $ASC$, và do đó cũng vuông góc với đường chéo $AC$. Nhưng các đường chéo của đáy, như hoàn toàn rõ ràng từ điều kiện bài toán, không vuông góc với nhau.

Và để dựng đúng chiều cao trong $\triangle BKD$ cần từ điểm $K$ dựng đường vuông góc với mặt phẳng đáy của hình chóp, chứng minh rằng chân $O_1$ của nó nằm trên $AC$ (sau khi chứng minh trước rằng chiều cao của hình chóp đi qua điểm $O$ giao của các đường chéo), và từ điểm $O_1$ dựng đường vuông góc với $BD$. Đoạn $KL$, theo định lý về ba đường vuông góc, sẽ là chiều cao trong $\triangle BKD$. Để hoàn thành bài toán còn cần thêm một khẳng định nữa — sự song song của $OK$ và $AS$, và điều đó cũng cần được chứng minh. Sau đó phần tính toán của bài toán diễn ra không gặp khó khăn.

B à i t o á n 4. Trong số các bài toán hình học không gian được đề xuất, bài này đối với thí sinh là một trong những bài khó nhất: trong số 93 người giải đúng đề tương ứng, chỉ có 3 người giải hoàn toàn bài toán. Trong khi đó, nó có một lời giải rất đơn giản và, quan trọng hơn, hoàn toàn tự nhiên trong một trong những cuốn sách của D. Pôlya «Giải một bài toán như thế nào».

Thật vậy, điểm $K$ (hình 2) nằm trên đường tròn đã cho có nghĩa là gì? Điều đó có nghĩa là có thể vẽ một đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCKD$. Còn khi nào có thể vẽ một đường tròn ngoại tiếp tứ giác? Khi tổng các góc đối diện của nó bằng $180^\circ$. Vì vậy, từ điều kiện bài toán cần rút ra một khẳng định nào đó về sự bằng nhau của các góc.

Какие же теоремы о равенстве углов могут прийти в голову в связи с данной задачей? Только теоремы об углах между касательной и хордей и вписяных углах. На основании этих теорем равны углы, отмеченные одинаково на рисунке 2. А теперь нельзя не сообщать, что сумма противоположных углов четырехугольника $BCKD$ при вершинах $B$ и $K$ равна сумме углов $\Delta CKD$, то есть $180^\circ$. Разумеется, отсюда уже следует, что сумма двух других противоположных углов также равна $180^\circ$, и требуемое утверждение доказано.

Неудача большинства решивших эту задачу объясняется, видимо, просто тем, что школьники 9-х и 10-х классов в значительной степени забывают самые простые планиметрические теоремы и не стремятся восполнить этот пробел в процессе непосредственной подготовки к экзаменам. Вполне вероятно, что выпускники 8-х классов с большим успехом справились бы с этой задачей, чем умудренные обширными познаниями абитуриенты.

З а д а ч а 5. Задания этого типа оказались средней трудности, и большая часть взявшихся за их решение более или менее правильно довела его до конца. Надо сказать, однако, что очень многие за эту задачу и не брались, хотя она проще других. Здесь, по-видимому, проявляется всё та же «психологическая неподготовлен-

52

tính» đối với dạng không quen thuộc của bài toán, mặc dù gần đây trong tài liệu dành cho học sinh, những bài toán như vậy được xét khá nhiều.

Đây là lời giải của bài toán này: nếu $x$ thỏa mãn bất đẳng thức thứ nhất, thì $5 < x < \frac{16}{3}$, từ đó $\frac{2}{3} < 6 - x < 1$ và do đó $3 < \frac{3}{6 - x} < \frac{9}{2}$. Vì $\frac{\pi}{2} < 3 < \frac{9}{2} < \frac{3\pi}{2}$, nên góc $\frac{3}{6 - x}$ nằm либо ở góc phần tư thứ hai, hoặc ở góc phần tư thứ ba, và vì thế côsin của nó âm.

Vậy là chúng tôi đã trình bày lời giải các bài toán của chúng ta, ở một mức độ nào đó khó, ở một mức độ nào đó dễ. Các bạn có thể đánh giá độ khó của chúng, đồng thời cả sức mình, bằng cách giải các bài toán trong hai phương án dưới đây.

Các phương án

1. Giải phương trình
   $$\log_{x+3}(3 - \sqrt{1 - 2x + x^2}) = \frac{1}{2}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$6\sin^2\frac{x}{2}\mathrm{ctg}^2x \leqslant 2\cos^2x + 3\mathrm{ctg}^2x.$$

3. Đáy của hình chóp $SABC$ là $\Delta ABC$ có góc $C=90^\circ$ và một góc nhọn $30^\circ$. Các cạnh bên của hình chóp nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $45^\circ$, chiều cao hình chóp bằng $H$. Tìm diện tích thiết diện của hình chóp bởi mặt phẳng đi qua điểm $C$ song song với $AB$ và chia mặt $ASB$ thành các phần có diện tích bằng nhau.

4. Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối các đỉnh đối diện của một tứ giác nội tiếp đi qua giao điểm của các tiếp tuyến kẻ tại hai đỉnh còn lại của nó, thì tích các cạnh đối diện bằng nhau.

5. Chứng minh rằng nếu $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 11x + 30} < 0$, thì sin $x$ và cos $x$ có dấu khác nhau.
   (Học viện Sư phạm Quốc gia Moskva mang tên V. N. Lenin)

6. Trong hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$, các góc giữa các cạnh tại đỉnh của nó bằng $\alpha$ ($\alpha \leqslant 90^\circ$). Xác định diện tích thiết diện đi qua một cạnh đáy vuông góc với cạnh bên đối diện.

7. Giải phương trình
   $$\lg^2 x + \lg^2 (x + 10) = 2\lg 11.$$

8. Giải phương trình
   $$\sin 3x \cdot \sin x + 1 = 0.$$

(Sư phạm Ivanovo)

TRONG ĐOÀN KẾT CÓ SỨC MẠNH

“Chừng nào đại số và hình học còn phát triển mỗi môn theo con đường riêng của mình, thì sự tiến bộ của chúng còn chậm, và các ứng dụng còn hạn chế.

Nhưng khi hai khoa học này hợp nhất, chúng đã mạnh mẽ hỗ trợ lẫn nhau và nhanh chóng tiến tới sự hoàn thiện”.

Lagrange
KHÔNG PHẢI KẺ THÙ, MÀ LÀ BẠN

“Thật sai lầm khi cho rằng tính chặt chẽ trong chứng minh là kẻ thù của sự đơn giản. Chẳng hạn, có thể dẫn ra nhiều trường hợp mà phương pháp chặt chẽ đồng thời lại đơn giản hơn, dễ hơn và dễ tiếp cận hơn. Mọi nỗ lực hướng tới tính chặt chẽ đều nhằm tìm ra những phương pháp chứng minh đơn giản nhất”.

Hilbert
4, 5 và 6

Có thể sắp xếp 4 quả bóng giống nhau sao cho mỗi quả tiếp xúc với ba quả còn lại.

Có thể sắp xếp 5 quả bóng giống nhau sao cho mỗi quả tiếp xúc với bốn quả còn lại.

Có thể sắp xếp 6 chiếc bút chì giống nhau chưa gọt nhọn sao cho mỗi chiếc tiếp xúc với năm chiếc còn lại?

⟦trang 53⟧

ĐÔI ĐIỀU VỀ CĂN THỨC

A. G. MORDKOVICH

— Bây giờ, — Giám khảo nói, — tôi muốn đề nghị các bạn một bài toán nữa, rất không khó. Đây:

Tìm các cạnh của một tam giác vuông, biết rằng hình chiếu của một cạnh góc vuông lên cạnh huyền bằng 6 cm, còn hình chiếu của cạnh góc vuông kia nhỏ hơn độ dài của cạnh góc vuông đó 1,5 cm.

… Vài phút sau, Thí sinh đến chỗ Giám khảo.
— Nào, các anh đã giải bài toán chưa? — Giám khảo hỏi.
— Rồi! — Thí sinh đáp.
— Và kết quả thế nào?
— Bài toán không có nghiệm.
— Và anh có thể chứng minh điều đó không?

— Dĩ nhiên! Xét tam giác ABC (xem hình vẽ); C — đỉnh góc vuông, CH — đường cao. Giả sử AC = x, khi đó theo điều kiện AH = = x—1,5, còn BH = 6.

54

Ta dùng hệ thức đã biết
$$CH^2 = BH \cdot AH$$ hoặc $$CH^2 = 6(x - 1,5).$$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông $ACH$, ta được

$$\sqrt{AC^2 - CH^2} = AH,$$

tức là

$$\sqrt{x^2 - 6(x - 1,5)} = x - 1,5.$$

— Vậy thì, đến đây mọi thứ đều đúng, — Giám khảo nhận xét, — mặc dù phải nói rằng cách giải được chọn không phải là hợp lý nhất.

— Còn tiếp theo, — Thí sinh tiếp tục, — chỉ còn những phép tính đơn giản:

$$\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 1,5; \quad \sqrt{(x - 3)^2} = x - 1,5;$$

$$x - 3 = x - 1,5; \quad -3 = -1,5.$$

Vì đẳng thức cuối cùng không đúng, nên bài toán không có lời giải.

— Rất tiếc, tôi phải làm anh thất vọng, — Giám khảo nói, — bài toán có lời giải. Chẳng hạn, có thể giải như sau: từ hệ thức đã biết $AC^2 = AB \cdot AH$ ta có $x^2 = (x + 4,5) (x - 1,5), 3x = 4,5 \cdot 1,5$ và $x = 2,25$, tức là $AC = 2,25$ cm. Khi đó $AB = 6,75$ cm, còn $BC = 4\sqrt{2}$ cm.

Và, bắt gặp ánh mắt ngơ ngác của Thí sinh, Giám khảo nói thêm:

— Hẳn là anh muốn biết sai lầm nằm ở đâu trong lập luận của mình. Vậy thì, chúng ta hãy xem xét.

SAI Ở ĐÂU?

— Ông còn nhớ chứ,— Người khảo thí bắt đầu,— rằng tôi, tuy có bảo lưu, đã chấp nhận các lập luận hình học của ông. Vậy thì sai lầm chỉ có thể xảy ra trong điều mà ông gọi là “những phép tính đơn giản”. Chính xác hơn, sai lầm đã được mắc phải khi khai căn bậc hai. Ông đã không để ý rằng, theo ý nghĩa của bài toán, đại lượng $\sqrt{(x - 3)^2}$ phải dương. Và nói chung, trong miền số thực, dấu $\sqrt{}$ hàm ý giá trị số học, không âm của căn. Chẳng hạn, $\sqrt{16} = 4$, và không thể viết rằng $\sqrt{16} = -4$ hoặc $\sqrt{16} = \pm 4$. Vì thế không thể khẳng định rằng luôn luôn $\sqrt{a^2} = a$: khi $a \geq 0$ đẳng thức này đúng, nhưng số $a$ cũng có thể âm! Chẳng hạn, hãy rút gọn $\sqrt{(-3)^2}$:

Thí sinh viết:

$$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3.$$

— Đúng. Nói cách khác,

$$\sqrt{(-3)^2} = -(-3).$$

Và nói chung, nếu $a < 0$, thì $\sqrt{a^2} = -a$.

Do đó,

$$\sqrt{a^2} = \begin{cases} a, если a \geq 0, \\ -a, если a < 0. \end{cases}$$

— Tôi hiểu rồi,— Thí sinh kêu lên,— điều này có thể viết ngắn gọn như sau: $\sqrt{a^2} = |a|$, vì mô hình $a$ được xác định hoàn toàn giống như vậy:

$$|a| = \begin{cases} a, если a \geq 0, \\ -a, если a < 0. \end{cases}$$

— Hoàn toàn đúng. Trong bài toán của các bạn cũng vậy: không thể viết

55

$$\sqrt{(x-3)^2} = (x-3), \text{ потому что } (x-3) \text{ может быть и отрицательным числом.} \text{Если воспользоваться тем, что } \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|, \text{ то приdem к управлению } |x-3| = x-1, 5.$$

Tiếp theo cần xét hai trường hợp: 1) $x-3 \geq 0$; 2) $x-3 < 0$. Bạn chỉ xét trường hợp thứ nhất, vì vậy kết luận rằng bài toán không có nghiệm là quá sớm. Trong trường hợp thứ hai $|x-3| = -(x-3)$. Khi đó từ phương trình $-(x-3) = x-1, 5$ ta được $x = 2, 25$, tức là $AC = 2, 25$ cm.

Mọi thứ đều rõ, — Thí sinh nói.
Trong trường hợp đó, ta sẽ coi cuộc trò chuyện của chúng ta đã kết thúc. Trước khi chia tay, cho phép tôi đưa ra cho bạn lời khuyên sau:

Đừng quên rằng $\sqrt{a^2} = |a|!$

Đến đây chúng ta sẽ chia tay Thí sinh và Người khảo hạch, nhưng sẽ ghi nhớ lời khuyên của Người khảo hạch. Đặc biệt, ta sẽ áp dụng nó khi giải ví dụ sau.

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức

$$\sqrt{\frac{a+x^2}{x} - 2\sqrt{a}} + \sqrt{\frac{a+x^2}{x} + 2\sqrt{a}}, \text{ если } x > \sqrt{a}.$$

Lời giải. Ta có

$$\sqrt{\frac{a+x^2-2x\sqrt{a}}{x}} + \sqrt{\frac{a+x^2+2x\sqrt{a}}{x}} =$$

$$\frac{\sqrt{(V\bar{a}-x)^2}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{(V\bar{a}+x)^2}}{\sqrt{x}} = \frac{|V\bar{a}-x|}{V\bar{x}} + \frac{|V\bar{a}+x|}{V\bar{x}}.$$

Vì theo điều kiện $x > \sqrt{a} \geq 0$, nên $|V\bar{a}-x| = -V\bar{a} + x$, $|V\bar{a}+\bar{x}| = \sqrt{a} + x$, và biểu thức đã cho biến đổi như sau:

$$\frac{-V\bar{a} + x + \sqrt{a} + x}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}.$$

VÀI LỜI VỀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA CĂN THỨC

Khi giải các ví dụ về phép toán với căn thức, phải áp dụng nhiều tính chất khác nhau của căn thức. Chẳng hạn, trong ví dụ 1, chúng ta đã sử dụng, khá là vô tư, tính chất quen thuộc:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{b}.$$

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng đẳng thức này chỉ đúng trong trường hợp $a \geq 0$ và $b > 0$. Nếu $a$ và $b$ là các số âm, thì biểu thức $\frac{\sqrt{a}}{b}$ không có nghĩa trong tập số thực. Trong ví dụ 1, ở phần của chúng ta, không xảy ra sai lầm, vì $(V\bar{a}-x)^2 > 0$, $(V\bar{a}+x)^2 > 0$ và, hơn nữa, theo giả thiết $x > 0$. Nhưng, trong mọi trường hợp, từ những điều đã nói ở trên có thể rút ra kết luận sau: cần hết sức cẩn thận khi khai căn (bậc chẵn) của một tích hoặc của một phân thức. Trong trường hợp tổng quát, khi chưa biết dấu của $a$ và $b$, nên lập luận như sau:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{|a|}{|b|}} = \sqrt{\frac{|a|}{|b|}}.$$

56

Vậy, nếu các số $a$ và $b$ có cùng dấu, thì

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}$$

và tương tự

$$\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}.$$

Ví dụ 2. Rút gọn

$$\sqrt{\frac{a-\sqrt{x}}{a+\sqrt{x}}} + \sqrt{\frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}} - \sqrt{\frac{16}{a^2-x}},$$ nếu $x = 4(a-1)$.

Lời giải. Ngược lại, biểu diễn $a$ qua $x$: $a = \frac{x+4}{4}$, rồi thay vào biểu thức đã cho. Nó biến đổi như sau:

$$\sqrt{\frac{x-4\sqrt{x}+4}{x+4\sqrt{x}+4}} + \sqrt{\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x-4\sqrt{x}+4}} - \sqrt{\frac{16^2}{(x+4)^2-16x}}$$

$$= \frac{|\sqrt{x}-2|}{|\sqrt{x}+2|} + \frac{|\sqrt{x}+2|}{|\sqrt{x}-2|} - \frac{16}{\sqrt{x^2}-8x+16}$$

$$= \frac{(x-4\sqrt{x}+4) + (x+4\sqrt{x}+4)}{|(\sqrt{x})^2-4|} - \frac{16}{|x-4|} = \frac{2x+8}{|x-4|} - \frac{16}{|x-4|} = 2\frac{x-4}{|x-4|}.$$

Cũng lưu ý rằng $x > 4$, nếu $a > 2$, và $x < 4$, nếu $1 \leqslant a < 2$.

Đáp số cuối cùng:

2, nếu $a > 2$,

• 2, nếu $1 \leqslant a < 2$.

Chúng ta đã dùng — và điều này thường hữu ích — tính chất sau của giá trị tuyệt đối: với mọi $a$ và $b$

$$|a| \cdot |b| = |ab|, \quad |a|^2 = a^2.$$

Bây giờ chúng ta sẽ dừng lại ở một tính chất quan trọng khác của căn thức.

Ví dụ 3. Rút gọn

$$\sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}.$$

Lời giải. Người ta thường lập luận như sau. Dùng tính chất đã biết của căn thức, có thể nhân chỉ số căn của thừa số thứ hai với 2 và đồng thời bình phương biểu thức dưới dấu căn; ta được

$$\sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}$$

$$= \sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[10]{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})^2}$$

$$= \sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[10]{19^2-(6\sqrt{10})^2} = \sqrt[10]{1} = 1.$$

Nhưng ở đây có sai lầm! Đáp án đúng là âm một. Vấn đề là $3\sqrt{2}-2\sqrt{5} < 0$, vì $(3\sqrt{2})^2 = 18 < (2\sqrt{5})^2 = 20$.

Vì vậy, không đúng rằng $\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}} = \sqrt[10]{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})^2}$, mà đúng là $\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}} = -\sqrt[5]{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = -\sqrt[10]{(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})^2}$.

Ví dụ 4. Rút gọn $\sqrt[8]{(\pi^2-10)^4}$.

57

Ở đây cũng sẽ không đúng nếu chỉ đơn giản chia số mũ của căn và biểu thức dưới dấu căn cho 4:

$$\sqrt[8]{(\pi^2 - 10)^4} = \sqrt{\pi^2 - 10}$$

(kết quả thu được không có nghĩa, vì $\pi^2 < 10$). Đúng là đẳng thức sau:

$$\sqrt[8]{(\pi^2 - 10)^4} = \sqrt{10 - \pi^2}.$$

Cuối cùng, ta đi đến kết luận sau:

Khi sử dụng các tính chất cơ bản của căn thức trong những trường hợp không chắc rằng dưới dấu căn là một số dương, cần theo dõi để, thứ nhất, kết quả thu được có nghĩa (khi cần, dấu môđun sẽ giúp ta) và, thứ hai, để kết quả thu được có cùng dấu với biểu thức tương tự ban đầu.

BÀI TẬP

1. Hãy liệt kê các điều kiện để các đẳng thức sau đúng ($k$ và $n$ là các số tự nhiên):

a) $$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a};$$
e) $$a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b};$$
6) $$\sqrt[n]{a^n} = a;$$
ж) $$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a^k};$$
b) $$(\sqrt[n]{a})^n = a;$$
з) $$\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[k]{a};$$
г) $$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};$$
и) $$(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k};$$
д) $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{n \sqrt[n]{b}};$$
к) nếu $a < b$, thì $$\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$$.

2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $$(\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} + \sqrt{\frac{a-1}{a+1}}) \cdot (\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} - \sqrt{\frac{a-1}{a+1}});$$
6) $$\sqrt{\frac{3y+x^3}{2x}} + \sqrt{3xy} - \sqrt{\frac{3y+x^3}{2x}} - \sqrt{3xy};$$
b) $$\frac{(4a^2m^{-2} + a^{-2}m^2 - 4)^{-1/2}}{2ma (m^2 - a^2)^{-1/2}} \cdot \left(2 \sqrt{m^4 - \frac{a^2}{m^{-2}}} - \frac{2a^2}{\sqrt{1 - a^2}m^{-2}}\right);$$
г) $$\frac{a + \sqrt{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[12]{(9 - 4\sqrt{5})^3}}{\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}}.$$

58

VIẾT

KỲ THI
vật lý được tổ chức tại nhiều trường đại học trong nước,
nhưng chỉ tại ba trường trong số đó,
ngoài kỳ thi vấn đáp,
còn tổ chức cả kỳ thi viết.
Điều này được thực hiện
tại Viện Vật lý-Kỹ thuật Moskva,
cũng như tại các khoa vật lý
của các trường đại học Moskva và Novosibirsk.
Đề thi viết thường gồm 4—5 bài toán.
Thời gian làm bài
tại viện vật lý-kỹ thuật là
5 giờ,
tại MGU và NGU — 4 giờ.
Dưới đây là các đề
đã được đưa ra năm ngoái cho thí sinh
vào viện vật lý-kỹ thuật và NGU.
Các đề
của khoa vật lý MGU
sẽ được đăng
trong số báo tiếp theo.

Đề 1 (MFTI)

1. Lên hai hạt — một hạt khối lượng $m$, bay với vận tốc $v$, hạt kia khối lượng $2m$, bay với vận tốc $2v$, vuông góc với $v$ (hình 1), — trong một thời gian nào đó tác dụng các lực giống nhau về độ lớn và hướng. Đến lúc các lực ngừng tác dụng, hạt bên phải quay lại và bắt đầu chuyển động theo hướng ngược lại với vận tốc $2v$, như trên hình vẽ. Hạt thứ hai bắt đầu chuyển động với vận tốc bao nhiêu?

2. Trong một bình thể tích 1,1 l có 100 $e$ chất hấp phụ và hiđrô ở nhiệt độ $t = -193^\circ$ С và áp suất $P = 0,2$ am. Ở nhiệt độ này, chất hấp phụ đã hấp thụ một lượng hiđrô có trọng lượng bằng $\frac{1}{50}$ trọng lượng của chính chất hấp phụ. Xác định áp suất trong bình nếu nung nó đến $t_1 = 31^\circ$ С, khi mọi phân tử hiđrô rời khỏi chất hấp phụ. Khối lượng riêng của chất hấp phụ $1 \frac{e}{cm^3}$.

3. Xác định điện trở suất của kim loại, nếu biết rằng trong mỗi khối-

59

4. Người quan sát xem một vật ở xa bằng kính thiên văn khúc xạ (kính Kepler). Làm vật kính và thị kính của kính được dùng các thấu kính có tiêu cự $F_1 = +30\text{ cm}$ và $F_2 = +5\text{ cm}$. Người quan sát thấy ảnh rõ nét của vật nếu khoảng cách giữa vật kính và thị kính của kính nằm trong khoảng từ $L_1 = 33\text{ cm}$ đến $L_2 = 34,5\text{ cm}$. Sự vắng mặt được quan sát ở những khoảng cách nào trong giới hạn từ $L_1 = 33\text{ cm}$ đến $L_2 = 34,5\text{ cm}$?

Phương án 2 (MIPT)

1. Một bánh đà có bán kính $R = 20\text{ cm}$ được lắp trên một trục cố định có bán kính $r = 2\text{ cm}$. Lực ma sát giữa bánh đà và trục không đổi và bằng 100 kG. Để dễ tháo bánh đà khỏi trục hơn, người ta tác dụng lên vành của nó một lực $F = 8\text{ kГ}$, tạo mômen quay đối với trục (hình 2). Đồng thời cần kéo bánh đà dọc theo trục bằng lực tối thiểu $N$ là bao nhiêu để tháo nó ra?

2. Áp kế gồm ba ống thủy tinh (hình 3). Ở phần dưới của áp kế có thủy ngân, còn trong nhánh trái phía trên thủy ngân có dầu. Áp suất $P$ do áp kế kiểm soát đã thay đổi bao nhiêu nếu mực dầu trong ống hở mảnh dâng lên $\Delta h = 10\text{ mm}$? Tỉ số khối lượng riêng của thủy ngân và dầu là $\frac{\rho_1}{\rho_2} = 14$, còn tỉ số tiết diện các ống là $\frac{S_3}{S_2} = 2$, $\frac{S_2}{S_1} = 50$.

3. Một tụ điện phẳng có các bản đặt nằm ngang được nối với một nguồn có suất điện động $U$ và đặt trong một bình, được đổ dần đầy dầu hỏa ($\varepsilon = 2$). Hãy viết dưới dạng công thức và biểu diễn trên đồ thị sự phụ thuộc của cường độ điện trường ở tâm tụ điện vào bề dày lớp dầu hỏa bên trong nó. Khoảng cách giữa các bản tụ điện $d$.

4. Khoảng cách giữa vật và ảnh thẳng đứng, lớn gấp hai lần của nó, tạo bởi một thấu kính mỏng, bằng $L$. Tìm độ tụ của thấu kính và xác định tính chất của ảnh (thật hay ảo).

Phương án 3 (NGU)

1. Một lưới vuông bằng dây dẫn đồng chất gồm bốn ô vuông giống nhau (hình 4). Điện trở của một cạnh ô là $r$. Dòng điện đi vào một trong các góc của lưới và đi ra ở góc đối diện. Tìm điện trở của toàn bộ lưới.

2. Giữa pít-tông và đáy của một bình hình trụ chứa đầy không khí có cố định một vách ngăn với lỗ được bịt bằng nút (hình 5). Áp suất ở bên phải vách ngăn là như nhau. Khi pít-tông chuyển động, nút bật ra khi chênh lệch áp-

Hình 5.

của $\Delta P$. Vào thời điểm đó, pít-tông được dừng lại. Hãy tìm áp suất xác lập trong trạng thái đó. Trong suốt quá trình, nhiệt độ không thay đổi.

3. Trên một mặt bàn nhẵn chuyển động các vật có khối lượng $m_1$ và $m_2$, được nối với nhau bằng một sợi dây không khối lượng, không dãn có độ dài $l$. Tại một thời điểm nào đó, vận tốc của vật có khối lượng $m_1$ bằng không, còn vận tốc của vật có khối lượng $m_2$ bằng $v$ và vuông góc với dây. Hãy tìm lực căng của dây.

4. Bên trong một quả cầu tích điện, có bán kính $b$ và điện tích $q$, đặt một quả cầu dẫn điện nối đất bán kính $a < b$ (hình 6). Tâm các quả cầu trùng nhau. Hãy tìm cường độ điện trường bên ngoài quả cầu lớn tại khoảng cách $r$ từ tâm.

Phương án 4 (ĐHTQG Novosibirsk)

1. Hai viên bi giống nhau được nối bằng một thanh không khối lượng dài $l_0$. Hệ đặt trên một mặt phẳng nằm ngang và được làm quay. Vận tốc ban đầu của mỗi viên bi là $v_0$, hệ số ma sát với mặt phẳng là $k$, gia tốc trọng trường là $g$. Hệ sẽ quay được bao nhiêu vòng trước khi dừng lại?

2. Cần thực hiện công nào để ion hóa nguyên tử hiđrô, tức là đưa electron ($e=1,6 \cdot 10^{-19}$ кул $=4,8 \cdot 10^{-10}$ CG SE) ra rất xa khỏi proton? Đường kính nguyên tử hiđrô $d \approx 10^{-8}$ см. Biểu thị kết quả bằng electron-vôn ($1 \text{ Эθ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Эж}$, hằng số điện môi của chân không trong hệ SI $\varepsilon_0 = 8,8 \cdot 10^{-12} \text{ ф/m})$.

3. Trong đĩa có $P$ gam nước, phía trên đặt một cốc thành mỏng đã được đun nóng, úp ngược. Cốc phải được đun đến nhiệt độ nhỏ nhất nào $T_1^\circ \text{K}$ để sau khi nó nguội đến nhiệt độ không khí xung quanh $T_0^\circ \text{K}$, toàn bộ nước bị hút vào trong cốc (hình 7)? Áp suất khí quyển $p_0$, diện tích tiết diện của cốc $S$, chiều cao $l$, khối lượng riêng của nước $ρ$. Thể tích nước nhỏ hơn thể tích cốc. Bỏ qua sự bay hơi, sức căng bề mặt và sự giãn nở của chính cốc.

4. Một thanh ngang có trọng lượng $P$ và chiều dài $l$ trượt không ma sát dọc theo hai thanh thẳng đứng, được nối ở phía dưới bằng một tụ điện có điện dung $C$ (hình 8). Từ trường đều $H$ vuông góc với mặt phẳng chuyển động của thanh. Tìm gia tốc của thanh, bỏ qua điện trở của mạch tạo thành.

61

Trường toán buổi tối trực thuộc Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Quốc gia Moskva (VMSh) đã hoạt động năm thứ bảy. Mục đích chính của trường là góp phần phát triển toán học cho học sinh, mở rộng hiểu biết toán học của các em. VMSh tiếp nối truyền thống của các câu lạc bộ toán học hoạt động tại Đại học Moskva đã hơn ba mươi năm, và về thực chất, bản thân nó là một câu lạc bộ toán học tự do, thu hút hơn 800 học sinh. Vào tất cả các buổi học của VMSh đều được tự do, học sinh có thể tham gia trong suốt năm học.

Mỗi tuần một lần, học sinh các lớp 6—9 tập trung trong 26 nhóm của VMSh. Các buổi học trong nhóm do nghiên cứu sinh và sinh viên Khoa Cơ học và Toán học của trường đại học, sinh viên Trường Đại học Sư phạm Moskva mang tên V. I. Lenin, Viện Thép và các trường đại học khác tiến hành. Ngoài việc giải các bài toán thú vị, trong các buổi học còn phân tích những vấn đề toán học khác nhau vượt ra ngoài chương trình trung học. Các buổi học thường được tổ chức dưới dạng trò chơi. Đây là một ví dụ. Người phụ trách kể: “Một cao bồi bước vào quán rượu và xin nước. Thay vì trả lời, chủ quán rút khẩu Colt ra và bắn lên trần nhà. Cao bồi cảm ơn rồi đi ra. Chuyện gì vậy? Các bạn thiếu dữ kiện ư? Được thôi, tôi sẵn sàng trả lời thành thật một số câu hỏi của các bạn liên quan đến trường hợp này. Nhưng lưu ý rằng các câu hỏi phải bắt đầu bằng những từ: “Có đúng là…” Còn tôi sẽ chỉ trả lời “có” hoặc “không”. Sau hai mươi phút hỏi han và dò xét, một người chợt hiểu ra: “Một cái xương mắc trong cổ họng cao bồi và vì sợ mà văng ra ngoài!!!”

Mỗi tuần, các nhà khoa học hàng đầu Moskva đọc cho học sinh lớp 8—9 các bài giảng về những vấn đề của toán học hiện đại.

Một hình thức hoạt động của VMSh là “olympic tại nhà”. Mỗi tuần các em được phát đề 4—5 bài toán, với thời hạn giải là hai tuần. Các lời giải viết được nộp cho người phụ trách nhóm để chấm. Cuối một chu kỳ gồm 20 bài toán, ban giám khảo được chọn từ những người phụ trách nhóm tổng kết cuộc thi. Trong các buổi kiểm tra được tổ chức (có chấm điểm!), tất cả các em phải thể hiện sự hiểu biết về các phương pháp giải các bài toán thi.

Các buổi học tại VMSh có ảnh hưởng tốt đến việc học của học sinh. Chẳng hạn, cả hai người Moskva tham gia đội tuyển Liên Xô tại Olympic Toán học quốc tế năm 1969 đều là học sinh VMSh. Nhiều sinh viên hiện nay của Khoa Cơ học và Toán học và Khoa Vật lý Đại học Quốc gia Moskva, của Viện Vật lý-Kỹ thuật, trước đây từng học tại VMSh. Trong số các học sinh cũ của VMSh có sinh viên hóa học, sinh học, kinh tế, tâm lý học…

Kết thúc, chúng tôi đưa ra một số bài toán thi của Trường toán buổi tối dành cho học sinh lớp 8—9. Phần lớn trong số đó cũng phù hợp với học sinh lớp 6—7.

Bài toán

1. Có 7 đồng xu giống hệt nhau về hình thức, nhưng trong đó có 5 đồng thật và 2 đồng giả. Mỗi đồng thật nặng 10 g, còn mỗi đồng giả nặng 9,8 g. Cần thực hiện ít nhất bao nhiêu lần cân trên cân đĩa không có quả cân để chắc chắn xác định được các đồng xu giả?

2. Sasha vẽ hình bình hành ABCD, đánh dấu điểm M — trung điểm của cạnh BC, điểm N — trung điểm của cạnh CD rồi đi chơi. Lila tinh quái đến gần bản vẽ và xóa tất cả, chỉ còn lại các điểm A, M, N. Hãy giúp Sasha khôi phục bản vẽ, tức là tìm các điểm B, C và D.

3. Trong phòng có 10 người, chó và ruồi. Mỗi người có 2 chân, mỗi con chó có 4 chân và mỗi con ruồi có 6 chân. Tổng cộng trong phòng có 46 chân. Điều đó có thể xảy ra như thế nào? (Tìm tất cả các khả năng.)

4. Hãy tìm thêm hai số tự nhiên mà tổng các bình phương của chúng bằng 16 000. (Hãy chỉ ra tất cả các nghiệm.).

5. Ở nước Resolventa có một mạng lưới các thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có đường sắt trực tiếp, sao cho từ bất kỳ thành phố nào cũng có thể đến bất kỳ thành phố nào khác theo một đường thẳng, không đi qua các thành phố còn lại. Hãy vẽ sơ đồ mạng đường sắt của nước này sao cho trên đó có ít giao cắt đường nhất. (Tại một chỗ không được có quá hai đường giao nhau.).

6. Cho các điểm A và B trên mặt phẳng. Tìm quỹ tích các điểm C trên mặt phẳng sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn.

7. Chứng minh rằng không lũy thừa nào của số 2 kết thúc bằng bốn chữ số giống nhau. Tìm một lũy thừa của số 2 kết thúc bằng ba chữ số giống nhau.

8. Rồng Gorynych có 2000 đầu. Một dũng sĩ trong truyện cổ tích có thể chém đứt bằng một nhát kiếm 33, 21, 17 hoặc 1 đầu của nó, nhưng khi đó Rồng mọc lại tương ứng 48, 0, 14, 349 đầu. Nếu tất cả các đầu đều bị chém đứt thì đầu mới không mọc lại. Dũng sĩ có thể đánh bại Rồng không?

A. A. Orlov, A. L. Rozenal

63

b) $m$, nếu $\frac{a}{m^2 - 2a^2} > 0$,
và $(-m)$, nếu $\frac{a}{m^2 - 2a^2} < 0$;
c) $(-3\sqrt{3}\bar{a} - 1)$.

Cho bài
«Kỳ thi viết môn vật lý»
Phương án 1

1. 2,5 $v$. Sử dụng định luật II Newton dưới dạng $\Delta(mv) = F\Delta t$.

2. $P_1 = \frac{1}{50} m_a \delta \frac{RT_1}{\mu(V - V_{a\Delta})} + P \frac{T_1}{T} \approx 25,35 \text{ am}$.
   $T$ và $T_1$ là nhiệt độ tuyệt đối của khí. Bài toán thuận tiện giải bằng cách sử dụng phương trình Mendeleev — Clapeyron: $PV = \frac{m}{\mu} RT$.

3. $\rho = \frac{2m}{Ne^2\tau}$. Dòng điện qua mẫu bằng $i = NeSv$,
   trong đó $S$ — tiết diện của mẫu, còn $v$ — vận tốc trung bình của các electron. Trong thời gian từ 0 đến $\tau$ trong điện trường $E$, vận tốc của các electron thay đổi từ 0 đến giá trị $\frac{eE}{m}\tau$. Vận tốc trung bình bằng $\frac{1}{2}\frac{eE}{m}\tau$.

4. $x_{\text{max}} = \frac{F_2(L_1 - F_1)}{F_1 + F_2 - L_1} = 45 \text{ cm}$,
   $x_{\text{min}} = \frac{F_2(L_2 - F_1)}{F_1 + F_2 - L_2} = 7,5 \text{ cm}$.

Ảnh của vật, được tạo bởi thấu kính thứ nhất, được quan sát qua thấu kính thứ hai, trong đó ảnh ảo do thấu kính thứ hai tạo ra phải xuất hiện trong vùng nhìn rõ của mắt thường.

Phương án 2
$$N = \sqrt{\frac{F^2 \tau P - F^2 \frac{R^2}{r^2}}{2}} = 60 \kappa \Gamma.$$ Lực ma sát phải bằng hợp lực của lực $N$ và lực $F_1 = F \frac{R}{r}$, hướng theo tiếp tuyến với trục.

2. $\Delta P = \Delta h \left[ \left(1 - \frac{S_2}{S_1}\right) \frac{\rho_2}{\rho_1} + \frac{S_1}{S_2} + \frac{S_1}{S_3} \right] = 1 \text{ mm Hg}$.

Độ thay đổi chiều cao của cột dầu bằng $\Delta x_1 = \Delta h - \Delta h \frac{S_1}{S_2}$, còn của thủy ngân là $\Delta x_2 = \Delta h \frac{S_1}{S_2} + \Delta h \frac{S_1}{S_3}$.

3. $E = \frac{\varepsilon U}{\varepsilon(d - x) + x}$ khi $x \leqslant \frac{d}{2}$
   và $E = \frac{U}{\varepsilon(d - x) + x}$ khi $x \geqslant \frac{d}{2}$
   ($x$ là độ dày lớp dầu hỏa). Đồ thị phụ thuộc $E = E(x)$ được chỉ ra trên hình. Chẳng hạn, có thể xem hệ là hai tụ điện mắc nối tiếp.

4. Ảnh là ảnh ảo, $D = \frac{1}{2L}$.

Phương án 3

1. $\frac{3}{2} r$. Các góc và tâm của lưới là đẳng thế. Vì vậy, có thể nối chúng bằng một dây dẫn không có điện trở mà không làm thay đổi sự phân bố dòng điện trong mạch và do đó không làm thay đổi điện trở của mạch.

2. $P = \frac{2P_0(P_0 \pm \Delta P)}{2P_0 \pm \Delta P}$. Có thể dùng định luật Dalton (áp suất trong bình bằng tổng các áp suất riêng phần của những khí lấp đầy các phần của bình) và định luật Boyle — Mariotte. Dấu ± tương ứng với việc đẩy vào hoặc kéo ra của pittông.

3. $\frac{m_1 m_2 v^2}{(m_1 + m_2) l}$. Hệ quay quanh tâm khối, tâm này nằm cách viên bi có khối lượng $m_1$ một khoảng $x = l \frac{m_2}{m_1 + m_2}$. Vì vậy, thuận tiện nhất là giải bài toán trong hệ tọa độ gắn với tâm khối. Gia tốc hướng tâm của viên bi được tạo bởi lực căng của sợi chỉ.

4. $E = \frac{q}{r^2} \left(1 - \frac{a}{b}\right)$. Điện tích của mặt cầu trong có thể tìm từ điều kiện thế năng của mặt cầu này bằng không (tức là công dùng để chuyển một đơn vị điện tích dương từ vô cực lên mặt cầu): $\frac{q_1}{a} + \frac{q}{b} = 0$.

Phương án 4

1. $\frac{v_0^2}{2\pi l_0 gk}$. Công của lực ma sát $2F_{\text{Tp}} \cdot 2\pi R \cdot n$ bằng động năng ban đầu của hệ $2\frac{mv_0^2}{2}$.