Задачи

КМШ

Задачи

Решите устно: сколько сомножителей нужно написать в произведении первых нечетных чисел, чтобы равенство 1 Ч 3 Ч 5 Ч K = 135135 оказалось верным? Я.Камыш

Существуют ли такие натуральные числа х, у, z, что $x Ч^{2} x + y Ч^{2} y = z Ч^{2} z$? В.Сендеров

Десятизначное число 2100010006 примечательно тем, что оно «описывает само себя», т.е. его первая цифра равна количеству единиц в нем, вторая – количеству двоек, …, девятая – количеству девяток, десятая – количеству нулей. Существуют ли два десятизначных числа, каждое из которых таким же способом описывает второе? И.Акулич

В городе Удираевске сеть дорог устроена так, что из каждого перекрестка можно попасть на любой другой перекресток, а тупиков в городе нет. В начальный момент Неуловимый Джо и двое полицейских находятся на разных перекрестках, а затем начинают двигаться по дорогам. За один ход Джо перемещается на соседний перекресток или остается на месте; следующим ходом полицейские одновременно перебираются на соседние с ними перекрестки. Нарисуйте одну из возможных схем дорог города Удираевска, на которых Неуловимый Джо, зная местоположение полицейских, всегда сможет избежать поимки. К.Каибханов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрации Д.Гришуковой

а) Из шести отрезков разной длины составлена треугольная пирамида. Верно ли, что из этих же отрезков всегда можно составить два отдельных (несоприкасающихся) треугольника? б) Из шести отрезков разной длины составлены два отдельных (несоприкасающихся) треугольника. Верно ли, что из этих же отрезков всегда можно составить треугольную пирамиду? Г.Гальперин