Задачи М2111—М2115; Ф2118—Ф2122

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 марта2009 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №6–2008» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2111» или «Ф2118». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2112 и М2115 предлагались на XLIX Международной математической олимпиаде, а задача М2113 предлагалась на XXIX Турнире городов.

Задачи М2111 – М2115, Ф2118 – Ф2122

М2111. Одна из клеток бесконечной клетчатой полоски окрашена. Вначале фишка находится на расстоянии n клеток от окрашенной. Бросается игральная кость, и, в случае выпадения k очков ( k О { 1,2,3,4,5,6 } ), фишка перемещается на k клеток по направлению к окрашенной клетке. Процесс продолжается, пока фишка не попадает в окрашенную клетку (выигрыш) или пока она не проскочит окрашенную клетку (проигрыш). При каком натуральном n вероятность выигрыша $p_{n}$ наибольшая? Найдите это наибольшее значение вероятности. В.Лецко

М2112. Пусть Н – точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром в середине стороны ВС, проходящая через точку Н, пересекает прямую ВС в точках $A_{1}$ и $A_{2}$. Аналогично, окружность с центром в середине стороны СА, проходящая через точку Н, пересекает прямую СА в точках $B_{1}$ и $B_{2}$, и окружность с центром в середине стороны АВ, проходящая через точку Н, пересекает прямую АВ в точках $C_{1}$ и $C_{2}$. Докажите, что точки $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ лежат на одной окружности. А.Гаврилюк

М2113. Многочлен степени n >1 имеет различные вещественные корни $x_{1}, x_{2}, K, x_{n}$, а его производная – корни $y_{1}, y_{2}, K, y_{n} -_{1}$. Докажите, что среднее арифметическое чисел $x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, K, x_{n}^{2}$ больше, чем среднее арифме- тическое чисел $y_{1}^{2}, y_{2}^{2}, K, y_{n}^{2} -_{1}$.

М.Мурашкин

М2114. Докажите, что существует бесконечно много точных квадратов, не оканчивающихся нулем, в которых любая отличная от нуля цифра – нечетная. В.Сендеров

$М2115^{*}$. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, в котором BA № BC. Обозначим окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, через $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соответственно. Предположим, что существует окружность $\omega$, которая касается продолжения отрезка ВА за точку А, продолжения отрезка ВС за точку С и касается прямых AD и CD. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются на окружности $\omega$. В.Шмаров

Ф2118. Тележка едет по горизонтальному столу под действием привязанной к ней нерастяжимой нити. Нить переброшена через маленький блок, закрепленный на высоте Н над плоскостью стола. Свободный конец нити вытягивают с постоянной скоростью $v_{0}$, направленной горизонтально. Найдите скорость тележки и ее ускорение в тот момент, когда угол между нитью и горизонтом составляет $45^\circ$. М.Учителев

Ф2119. В длинной трубе, наполненной водой, сделана поперечная перегородка из пробки толщиной 1 см, перегородка делит трубу на две части. Если температуры воды в частях трубы отличаются на 1 градус, поток тепла через перегородку составляет 2 Дж/с. Добавим еще одну перегородку – толщиной 2 см, теперь перегородки «выделяют» в трубе цилиндрическую полость. Слева от этой полости будем поддерживать температу-