Задачи

29

КМШ

Задачи

В однокруговом турнире по футболу участвовали 4 команды. «Чистое» второе место заняла команда, набравшая 3 очка. Восстановите результаты всех матчей. «Чистое» второе место означает, что больше нет команд, набравших столько же очков, и есть ровно одна команда, набравшая больше очков. За выигрыш дается 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков. А.Блинков

мать через 4 минуты «прямоугольная клякса» размером $6\times 10$ единичных клеток (см. рисунок справа). Е.Соколов

Лена пошла выгулять щенка в парк. Как только она оказалась в начале дорожки длиной 41 м, идущей вдоль парка, в конце этой дорожки показалась ее подруга Катя. Щенок от радости стал бегать от Лены к Кате и назад и бегал несколько раз туда-сюда до тех пор, пока подруги не встретились на расстоянии 13 м от начала дорожки. Всего щенок пробежал 85 м. Какое расстояние он пробежал в одну сторону и какое – в другую? Г.Гальперин

Фабрика выпускает наборы из пяти белых слоников различной величины и массы. Если расставить слоников по росту, то по стандарту разность масс соседних слоников должна быть одной и той же. Сможет ли контролер это проверить с помощью чашечных весов без гирь? А если бы наборы были из четырех слоников? А.Шаповалов

На плоскости расположены два прямоугольника P и Q, пересечением которых является равносторонний восьмиугольник (не обязательно правильный). Докажите, что P и Q – квадраты с общим центром. К.Матвеев

Иллюстрации Д.Гришуковой

Наблюдая за расплыванием чернильных клякс на промокашке, Петя сформулировал закон распространения клякс: каждая точка, до которой дошла клякса, сама становится источником вторичных круглых клякс (см. рисунок слева), причем скорость роста вторичных клякс равна 1 клетке в минуту. Считая этот закон справедливым, найдите, какую площадь будет зани-

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

31

К

низ: в зеркале пол окажется наверху, выше всего, а люди будут по нему ходить вверх ногами. Если же вы хотите, чтобы поменялись местами именно правое и левое, это тоже можно сделать: поставьте зеркало сбоку. Именно так обстояло дело в задаче, с которой началась статья: я ехал поздно вечером в автобусе, и роль зеркала играло боковое стекло автобуса. При этом цифры пошли в обратном порядке: 2051 ® 1502. При отражении двойка превратилась в пятерку, и наоборот, и на часах в зеркале я увидел 12:05. А если бы зеркало стояло перед часами (рис.5)? В этом случае, чтобы увидеть и электронные часы, и изображение в зеркале одновременно, необходимо,

Рис. 5

чтобы часы были прозрачными. Но тогда бы и на часах, и в зеркале были одни и те же цифры. Если же часы непрозрачны, то я либо вообще не увидел бы, чтo они показывают, либо (если бы я сам сидел между часами и зеркалом) мне пришлось бы выворачивать голову, чтобы поглядеть на них с другой стороны. Между тем, в условии сказано только «перевел взгляд». А что же происходит с книгой? И что происходит с человеком «в зазеркалье»? Здесь надо учитывать два фактора: (1) симметрия в пространстве невыполнима, (2) а вот две симметрии одновременно выполнить можно. И настоящая симметрия «лицо-затылок» путем выполнения двух симметрий сразу превращается в симметрию «праволево», которую мы якобы наблюдаем. Вот как это происходит. Книга, в отличие от номерка, непрозрачна. Для того чтобы показать себе в зеркале ее текст, вы должны повернуть ее текстом к зеркалу, т.е. поменять местами ее «перед» и «зад» (вы держите книгу к себе уже не так, как при чтении: не текстом, а раскрытым переплетом). Но мы не можем поменять только перед и зад: в нашем трехмерном пространстве нельзя сделать отражение только в одной плоскости, зато можно сделать его одновременно в двух плоскостях. Отражение сразу в двух, перпендикулярных друг другу, плоскостях есть поворот на $180 ^\circ$. Итак, вместо того чтобы отразить книгу (что невозможно), вы поворачиваете книгу на $180 ^\circ$, причем меняются, во-первых, перед и зад, а во-вторых, правое и левое. В результате человек, который смотрит на текст в зеркало, видит, что перед и зад книги в зеркале расположены нормальным образом: раскрытая страница перед глазами, как ей и положено, – а вот правое и левое в самом деле поменялись местами. Можно

М

Ш

Рис. 6

было бы повернуть книгу и иначе, так чтобы правое осталось справа, но поменялись бы верх и низ (рис.6), однако обычно никто не держит ее вверх ногами. Войди это у нас в привычку, мы бы, пожалуй, склонны были думать, что в зеркале переворачиваются верх и низ. Но – вряд ли. Ведь есть еще главный аргумент: человек в зеркале. У него-то, вроде бы, действительно правая рука оказывается слева? Но и здесь та же история, что с книгой. Человек не может оказаться в зазеркалье. Зато легко себе представить, как обойти зеркало и встать с той стороны. Дальше начинается психология. Человек почти симметричен относительно плоскости, делящей его на правую и левую половины. И несимметричен относительно плоскости, делящей его на переднюю и заднюю половины. Затылок расположен симметрично лицу, но совершенно на него не похож. А вот левая рука достаточно похожа на правую. Представим себе, что Витя стоит перед некой плоскостью, которую мы будем условно называть «зеркалом», но сквозь которую можно пройти, а его братблизнец Митя прошел через эту плоскость. Он стоит точно так же, как Витя (носом на север, затылком к югу). «Но, – думает Витя, – он совершенно не похож на мое отражение: ведь в зеркале я вижу свой нос, а вовсе не затылок». – А ну-ка, повернись! – командует он Мите. Митя поворачивается… Здесь-то и происходит самое главное. Человек не может совершить отражение (так, чтобы сердце оказалось справа), но легко может совершить разом два отражения: ведь результат (композиция) двух отражений и есть поворот, в данном случае – поворот на $180^\circ.$ Итак, Митя поворачивается, т.е. отражается одновременно в двух плоскостях: «перед-зад» (север и юг меняются местами) и «право-лево» (меняются запад и восток). «Вот теперь, – думает Витя, – Митя встал правильно, точно так, как мое отражение. Только правая рука у него находится против моей левой – в зеркале было бы не так. Значит, у моего зеркального двойника меняются местами именно правое и левое». Нет, дорогой Витя! У зеркального двойника меняются местами лоб и затылок; ты же, сравнивая его с Митей, не заметил, что Митя совершил двойное отражение. Отсюда и идет твоя ошибка.

33

Рис. 9

Рис. 12

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 10

Рис. 11

угольник, который допускал бы только непериодические замощения, до сих пор никому не удалось!

Знаете ли вы, что:

1. Плоскость можно разбить на одинаковые невыпуклые семиугольники.

2. Если плоскость разбита на выпуклые семиугольники, то среди них найдется либо сколь угодно маленький, либо сколь угодно большой. 3. Есть пример разбиения пространства на равные выпуклые 38-гранники, но никто не знает, можно ли число 38 заменить большим. 4. Существует набор из трех выпуклых многоугольников, которым можно замостить плоскость бесконечным числом способов, но каждый из этих способов является непериодическим. При этом никто не знает, можно ли число 3 уменьшить – это открытая проблема. В пространстве задача решена – существует многогранник, которым можно замостить все пространство, но только непериодически. 5. Неизвестно, какими тетраэдрами можно замостить все пространство. 6. Есть 3 типа выпуклых шестиугольников и 14 типов выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить всю плоскость. Про невыпуклые проблема открыта. 7. Никто не знает, существует ли алгоритм, который получает на входе многоугольник, а на выходе говорит, можно ли этим многоугольником замостить всю плоскость. С.Маркелов Комментарии к статье можно послать автору по адресу [email protected].

Материалы этой статьи доступны по адресу www.mccme.ru/ ~markelov. Любой желающий может копировать статью или ее часть любым способом без разрешения автора.