А так ли хорошо знакомы вам силы инерции?

…движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения. Исаак Ньютон

…центробежные силы неодинаковых тел, движущихся с одинаковой скоростью по равным окружностям, относятся между собой как веса этих тел, т.е. как количества вещества в них… Христиан Гюйгенс

Если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равно-

весии и к ней можно будет применять все уравнения статики. Жан Лерон Д’Аламбер

Вряд ли можно назвать другую теорему механики, которая вызывала бы столько разного рода недоразумений, как начало Д’Аламбера. Реальны или фиктивны те силы инерции, о которых говорится в этом начале? Евгений Николаи

Чтобы работать с законами Ньютона, [надо] подправить силы, ввести в них добавочный член. Другими словами, появляется кажущаяся, мистическая, новая сила неведомого происхождения… Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?

силы инерции

Опять инерция? Ведь совсем недавно – в прошлом выпуске «Калейдоскопа» – о ней уже шла речь. Верно, тематически эти выпуски связаны. Можно сказать, один продолжает другой, но не заменяет его и не повторяет. Обратите внимание на добавление в заголовок лишь одного слова – «силы». Обсудить, как эта добавка расширяет разговор об инерции и выводит его за рамки сформулированного в прошлый раз понятия, и призваны сегодняшние сюжеты. Что же это за таинственные силы, не дающие покоя и теоретикам, и практикам? Можно ли ими управлять, поставить нам на службу, если десятилетиями не удавалось прийти к общему понятийному знаменателю? Не беспокойтесь: и обуздать силы инерции, и научиться обезопасить машины и механизмы, где они могли бы проявить свой «буйный нрав», человек наловчился. И найти им применение в самых современных устройствах микромеханики – от робототехники до систем виртуальной реальности – смог. И объяснить с их помощью многие природные явления – сумел. Более того, дотошный разбор по косточкам казавшихся комуто ясными, а кому-то загадочными вопросов привел к осмыслению самых основ устройства мира и к появлению новых описывающих этот мир фундаментальных теорий. Вот как нас – «по инерции» – далеко занесло! Отдадим же должное этому каверзному, но замечательному понятию, а также и великому ученому, давным-давно затеявшему связанную с этим понятием историю, – Галилео Галилею. Тем более в год его 450- летнего юбилея.

Вопросы и задачи 1. В автомобиле, движущемся с постоянной скоростью, роняют камень. Наблюдатели в автомобиле и на дороге видят, что его движение происходит по разным траекториям. Какая из них является истинной?

2. Человек движется относительно платформы прямолинейно, но неравномерно, а платформа движется относительно земли прямолинейно и равномерно. Какой может быть траектория движения человека относительно земного наблюдателя? 3. На лишенном трения полу движущегося трамвая неподвижно лежит бильярдный шар. Время от времени шар начинает неравномерно кататься по полу. Когда это $происходит?_{r} 4.$ Какая сила F должна действовать на тело массой m, чтобы оно двигалось равномерно и прямолинейно $относительно_{r}$ вагона, движущегося поступательно с ускорением a? 5. Чему равен угол $\alpha$ отклонения от вертикали нити с подвешенным на ней тяжелым грузиком массой m в вагоне, движущемся по горизонтальному пути с ускорением a? Зависит ли этот угол от массы грузика? 6. Сосуд, частично заполненный ртутью, движется с горизонтальным ускорением, из-за чего поверхность ртути наклонена к горизонту под некоторым углом $\alpha$. Изменится ли этот угол, если поверх ртути налить воду? 7. Как будет вести себя воздушный шарик, заполненный гелием, в закрытом автомобиле, ускоряющемся вперед? 8. Сосуд с водой скользит вниз по гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. Какой угол с горизонтом образует поверхность воды? Изменится ли ответ, если скольжение будет происходить с трением? 9. С некоторой высоты начинает падать сосуд с водой, в котором в начальный момент на некоторой глубине находится кусочек пробки. Как будет двигаться пробка относительно стенок сосуда, если пренебречь сопротивлением воздуха? 10. Опрокинутая пробирка укреплена неподвижно над сосудом с водой, как показано на рисунке. Как изменится

уровень воды в ней, если вся система начнет свободно падать? 11. Период колебаний математического маятника, находящегося в неподвижной ракете, равен T. Каким станет этот период при вертикальном спуске ракеты с ускорением 2g? 12. Самолет летит с постоянной скоростью, описывая окружность на постоянной высоте. Какое направление будет указывать нить отвеса, подвешенного в салоне самолета? 13. Велосипедист движется по горизонтальной, вращающейся вокруг вертикальной оси плоскости в таком направлении и с такой скоростью, что относительно земли он остается неподвижным. Должен ли он наклоняться по направлению к оси вращения плоскости? 14. С помощью рычажных весов взвесили 10 килограммов апельсинов на экваторе. Изменится ли результат взвешивания на полюсе? 15. В цилиндре, наполненном водой и закрытом со всех сторон, находятся пробка, кусочек свинца и некоторое тело A, плотность которого равна плотности воды. Цилиндр приводят в быстрое вращение вокруг его оси. Как будут расположены тела в цилиндре, если ось вращения вертикальна? 16. Воздух из субтропического пояса повышенного давления переходит в экваториальный пояс пониженного давления. В какую сторону – на запад или на восток – он будет отклоняться при своем движении?

Микроопыт Попробуйте раскрутить небольшое ведро с водой в вертикальной плоскости с такой скоростью, чтобы вода не выливалась. Получилось? Тогда объясните явление.

Любопытно, что… …о существовании центробежной силы инерции догадывался еще Аристотель, а Птолемей считал, что если бы Земля вращалась вокруг своей оси, то из-за центробежной силы мы не смогли бы удерживаться на ее поверхности. Кеплер и Галилей опровергли эту точку зрения, однако полагали, что при удалении от центра вращения центробежная сила должна уменьшаться. …изучая движение маятника, Гюйгенс установил, что если массивное тело, подвешенное на нити, движется по окружности, то нить начинает растягиваться как бы еще одной силой, дополнительной к силе тяжести. Он назвал ее центробежным стремлением и привел определяющие ее закономерности, сохранившие свое значение до сих пор. Причем для Гюйгенса это была отнюдь не фиктивная, а вполне реальная сила той же природы, что и сила тяжести. …на то, что в процессе падения на вращающуюся Землю тело должно смещаться на восток, указал еще в 1679 году Ньютон на заседании Лондонского Королевского общества. В обсуждении выступил первый Королевский астроном Джон Флемстид, утверждавший, что этот эффект давно известен в артиллерии. Так, при угле возвышения орудия в $87 ^\circ$ выпущенное ядро падает обратно в жерло, на покоящейся же Земле этот угол должен был бы равняться $90 ^\circ$. …идеально точные, ритмично идущие часы называют инерциальными. Ход всех подобных часов во всех инерциальных системах отсчета одинаков – в мире существует единое, всеобщее и универсальное время, именуемое абсолютным. Это положение – важнейший результат классической механики Галилея–Ньютона, принимаемый в ней в качестве аксиомы. …великий французский ученый Д’Аламбер был широко образованным человеком – математиком, механиком и философом-просветителем. Его избрали во все существующие в то время Академии наук, в том числе и в Петербургскую. Приведенный в эпиграфе знаменитый принцип, позволявший сводить динамические задачи к статическим, Д’Аламбер сформулировал в 1743 году в «Трактате о динамике», когда ему было всего 26 лет. …в неинерциальных системах отсчета при учете сил инерции к ним нельзя применять третий закон Ньютона, так как нет никаких сил противодействия, приложенных к другому телу со стороны данного, да нет и самого «другого» тела. Также в этих системах несправедливы и следствия из третьего закона, в том числе закон сохранения импульса. …споры об истинности или фиктивности сил инерции продолжались более двухсот лет. Действительно, при переходе к инерциальной системе отсчета от них можно просто избавиться. С другой стороны, они вызывают вполне реальные события – разрыв маховиков, сход с рельсов и крушения поездов и так далее. …австрийский физик и философ Эрнст Мах считал источником происхождения сил инерции вращающуюся вокруг наблюдателя Вселенную. При таком подходе инертная масса любого тела была обусловлена влиянием всех тел окружающего мира. Эту точку зрения, названную принципом Маха, первоначально разделял и Эйнштейн, но впоследствии от нее отказался. …в природе действие сил инерции особенно ярко проявляется при движении огромных масс воды и воздуха в океане и в атмосфере. Так, течение Гольфстрим, двигаясь на север в северном полушарии, под действием кориолисовой силы инерции отклоняется вправо, обедняя теплом Канаду и обогревая Европу. Этой же силе обязаны своим появлением гигантские циклонические вихри, закручивающиеся в северном полушарии против часовой стрелки и по часовой – в южном. …без инерциальной навигации немыслимы сегодня как полеты космических кораблей и авиалайнеров, так и плавание судов надводного и особенно подводного флота. Одним из применяемых в инерциальной навигации приборов является чувствительнейший акселерометр, позволяющий измерять ускорения подвижных объектов с точностью до $10 -7 g$.

Что читать в «Кванте» о силах инерции

(публикации последних лет)

1. «Принцип Торричелли и центробежная сила инерции» – 2005, №3, с.35; 2. «Подводные камни» силы Архимеда» – 2009, №2, с.46; 3. «Задачи механики в неинерциальных системах отсчета» – 2010, №2, с.51; 4. «Физический калейдоскоп. Выпуск 3» – 2012, Приложение №3, с.16, 126; 5. «Калейдоскоп «Кванта» – 2014, №1, с.32.

Материал подготовил А.Леонович

34

КВАНТ 2014/№3

(Начало см. на с. 31)

ше? На сколько тропа $OA_{1}$ длиннее перпендикуляра: на 100, на 50, на 20 м? Оказывается, всего на 50 см! (Убедитесь в этом, например, с помощью калькулятора.) Поэтому второй грибник выйдет на дорогу в точке $A_{1}$, может, на полсекунды позже первого. А вот автобусу еще ехать и ехать! А то что путь $OA_{1}$ более выигрышный, для опытного человека сразу очевидно по следующей причине. Перпендикуляр ОА – самый короткий из всех отрезков, ведущих к дороге, и все близкие к нему отрезки лишь чуть-чуть длиннее его. Поэтому, смещая конечную точку тропы перпендикулярно отрезку ОА вправо, мы лишь немного увеличиваем путь грибника, но существенно увеличиваем путь автобуса. Итак, мы показали, что движение перпендикулярно дороге не самый лучший выбор для грибника. А какой же путь лучший? Увы, мы этого пока не знаем, и поэтому стандартный подход остается для нас по-прежнему неприступным. Надо искать что-то нестандартное. Подсказка у нас уже есть – где-то здесь должен появиться конус Маха. Решение. Поступим наоборот – посадим в автобус многомного грибников и повезем их из города в лес. И при этом договоримся, что в каждой точке шоссе много-много грибников (но не все) будут выходить из автобуса и расходиться во все стороны. Таким образом, автобус едет по дороге со

Рис. 5

А теперь – задачи для самостоятельного решения.

Задача 2. Грибники Егор, Петр и Иван возвращались из леса. Егор пошел по левой тропинке (рис.5). Он шел до дороги 30 мин и успел точно к автобусу. Иван пошел правой тропинкой. Шел он 40 мин и тоже успел прямо к автобусу. А Петр пошел по самой короткой тропинке и дошел до дороги за 24 мин. Сколько времени Петр ждал автобуса? Скорости всех грибников одинаковы. Задача 3. А еще был с грибниками Сидор, который рассудил так: «Зачем ходить не оптимальными путями? Я пойду оптимальным путем, а время, которое у меня сейчас есть в запасе, потрачу лучше на сбор грибов. Не зря говорят опытные грибники – чем меньше времени до автобуса, тем больше грибов в лесу!» Скажите: сколько времени есть у Сидора в запасе, если он действительно знает оптимальный путь?

Рис. 4

скоростью v, а от него во все стороны, как звук от самолета, расходятся со скоростью с грибники. И у нас образуется… конус Маха (рис.4) с углом раствора $\alpha =$ arcsin ( c v ), где с – скорость грибника, а v – скорость автобуса. В каждой точке внутри конуса окажется по два грибника, на самом краю – один, а за краем – никого. Конус Маха и будет той областью, из которой путник может успеть на автобус. Доказать? Пожалуйста. Любой путник, находящийся внутри или на краю конуса Маха, может успеть на автобус. Для этого ему достаточно просто пойти в направлении, противоположном тому, по которому в данную точку пришел один из грибников. Причем путник выйдет на дорогу как раз к подходу автобуса. Точно так же нетрудно доказать, что ни один путник, стоящий вне построенного нами конуса Маха, ни за что не успеет на автобус (проведите это доказательство самостоятельно). Итак, ответ к нашей задаче таков: область достижимости автобуса – это конус Маха с вершиной в автобусе и углом при вершине $2 \alpha = 2$ arcsin ( c v ). Каждый путник, находящийся внутри этого конуса, имеет выбор – у него есть два пути, по которым он может выйти на дорогу точно к подходу автобуса, а также он может выбрать любой путь, лежащий между ними. Правда, в этом случае ему придется некоторое время подождать автобус. Для путника же, стоящего на образующей конуса, есть только один вариант возвращения – ему надо идти перпендикулярно этой образующей.

Рис. 6

Задача 4. Постройте область достижимости автобуса, для случаев: а) дорога делает поворот на $90^\circ$ (рис.6,а); б) водитель берет пассажиров строго на остановках O 1, O 2, O 3 (рис.6,б). Число Маха для автобуса и путника считайте равным двум.

Переправа через реку Представим, что мы стоим на берегу быстрой широкой реки (рис.7). Примем, что ширина реки L = 120 м, скорость ее течения v = 4 м/с, а в нашем распоряжении есть весельная лодка, на которой мы можем плыть со скоростью с = = 3 м/с. Итак, с этого момента величины L, v и с фиксированы. Мы свободны лишь в одном – в выборе курса лодки, т.е. в выборе направления, в котором мы будем грести.

Рис. 7

35

ШКОЛА

Хотим сразу же предупредить читателя вот о чем. В спокойной воде (на озере) куда мы направляем лодку (гребем), туда же она и движется. А вот на реке это уже разные направления. На рисунке 7 показано, что происходит на реке с лодкой за одну секунду. Мы гребем (направляем лодку) под углом $\beta$ к берегу и перемещаемся относительно воды на расстояние с. Но кроме этого есть течение, и оно сносит нас за секунду на расстояние v. В результате мы движемся относительно берега под совсем другим углом $\alpha$ и совсем с другой скоростью u.

Вот несколько задач, связаных c переправой через реку. Задача 5. За какое минимальное время наша лодка (см. рис.7) может переправиться через реку? Какой курс (угол $\beta )$ следует при этом выбирать гребцу? На какое расстояние d ее снесет вдоль берега? Каков путь s лодки относительно берега? Обсуждение. Мы думаем, что у излишне самоуверенных ребят есть личный опыт относительно этой ситуации, и они сразу же догадаются, как следует вести лодку, чтобы время переправы было минимальным. «Излишне самоуверенными» мы называем тех ребят, которые, едва научившись плавать в пруду или бассейне, начинают покорять настоящие реки с быстрым течением. Хорошо, если речка маленькая и сил хватает. А если дело принимает нешуточный оборот: силы на исходе, а противоположный берег еще далеко? Вот здесь мы и попадает в ситуацию, когда нам надо как можно быстрее оказаться на другом берегу. Как же надо себя вести? Конечно, плыть перпендикулярно течению, т.е. держать курс $\beta = 90 ^\circ$. И ничего, что течение сносит вниз, главное, чтобы каждый гребок приближал нас к желанному берегу. Итак, мы вместе с вами ответили на самый главный вопрос задачи. Остальные ответы предлагаем вам получить самостоятельно.

А теперь – задача посложнее. Задача 6. Лодочнику надо переправиться через реку так, чтобы снос лодки был минимальным. Какой курс (угол $\beta )$ ему следует для этого выбрать? Какой угол (угол $\alpha )$ образует траектория лодки с берегом? Сколько времени (t) понадобится лодочнику для такой переправы? На какое расстояние (d) снесет лодку? Какой путь (s) проделает лодка относительно берега? В этой ситуации нам уже вряд ли поможет личный опыт. Даже если кто-то и переправлялся через реку, пытаясь плыть с наименьшим сносом, не факт, что он нашел правильный курс. Поэтому при решении этой задачи следует прибегнуть к рассуждениям. А рассуждения лучше проводить, когда перед глазами рисунок, на котором сразу видны все возможные варианты переправы. – А есть ли такой чудо-рисунок? – Есть! И главный его элемент – конус Маха. Начинаем конструирование. Причем не со скорости с, а со скорости v (рис.8). За секунду река снесет лодку вправо на расстояние v. После этого мы сами должны переместить лодку на расстояние с, при этом направить ее мы можем в любую сторону. Поэтому рисуем полуокружность радиусом с. Каждая точка этой кривой соответствует конкретному выбору курса. А скорость лодки относительно берега – это вектор, соединяющий точку О и выбранную нами точку на окружности.

Рис. 8

Рис. 9

В

«КВАНТЕ»

Итак, все варианты налицо. Правда, конуса Маха пока еще на рисунке нет. Поработаем немного с нашим рисунком – поговорим о разных точках на нем (рис.9). – Точка $1 ( \beta = 180 ^\circ ),$ как бы вы назвали ее? – Такой выбор переправы можно назвать самым быстрым способом движения. Скорость лодки в этом случае относительно берега самая большая: $u_{max} = v + c$. Хотя понятно, что при таком выборе направления мы никогда не переправимся через реку. – Точку $2 ( \beta = 0 )$ можно назвать самым медленным удалением от исходной точки. Лодка здесь движется с самой маленькой скоростью: $u_{min} = v - c$. – А точка $3 ( \beta = 90 ^\circ )$ – это точка из предыдущей задачи, т.е. точка наибыстрейшей переправы. – Осталось совсем немного: найти на окружности точку минимального сноса. Ответ становится очевидным, если поместить наш рисунок на карту реки (рис.10). Тогда сразу

Рис. 10

видно, что снос будет минимален, если траектория лодки касается нашей окружности выбора. В результате получается точка 4 – точка переправы с минимальным сносом. Теперь на нашей рисунке появился конус Маха с углом при основании $\alpha =$ arcsin ( c v ). Остальные ответы, связанные с переправой с минимальным сносом, получите сами.

Используя наши полезные рассуждения и рисунки, решите самостоятельно следующие задачи.

Задача 7. При переправе лодочник вел лодку так, чтобы переплыть реку как можно быстрее. А обратно он возвращался так, чтобы снос лодки был минимален. Известно, что на обратный путь он затратил в два раза больше времени. Найдите, во сколько раз скорость течения больше скорости лодки. Во сколько раз путь лодки туда больше, чем путь оттуда? Задача 8. Обычно лодочник переправляется через реку за 12 мин. А когда он выбирает для переправы новый курс, составляющий угол $90^\circ$ по отношению к первому, то он тратит на переправу всего 9 мин. 1) Сколько времени лодочник будет тратить на переправу, если будет держать курс перпендикулярно береговой линии? 2) Чему равно отношение скорости течения к скорости лодки, если и при старом и при новом курсе лодочника сносит на одно и то же расстояние? Задача 9. Два лодочника выбирают разные курсы для своих лодок, но пресекают реку за одно и то же время $t_{0}$. При этом вторую лодку сносит при переправе в n раз дальше, чем первую. 1) За какое минимальное время лодочники могли бы переправляться через реку, если скорость течения в М раз больше скорости лодки? 2) При каком максимальном М это возможно? Скорости обеих лодок в спокойной воде одинаковы.

– А если скорость лодки больше скорости реки, есть такие задачи? – Конечно, есть. Только теперь картинка, на которой видны все варианты нашего выбора, выглядит несколько иначе (рис.11). Но многое на этой картинке остается и от старого случая. Точка 1, по-прежнему, точка самой большой скорости лодки относительно берега, точка 2 – точка самой маленькой скорости лодки, точка 3 – точка наибыстрейшей