Московская физическая олимпиада школьников 2018 года

41

ОЛИМПИАДЫ

лении), на каждого наденут черную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или черный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно k из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или черный цвет и число вне зависимости от договоренностей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе мудрецы, независимо от местонахождения безумных в очереди? И.Митрофанов

Устный тур для 11 класса

1. Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведен параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведен в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее – аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом? Б.Френкин

2. Пусть X – некоторая фиксированная точка на стороне AC треугольника ABC (X отлична от A и C). Произвольная окруж-

ность, проходящая через X и B, пересекает отрезок AC и описанную окружность треугольника ABC в точках P и Q, отличных от X и B. Докажите, что все возможные прямые PQ проходят через одну точку. М.Панов

3. 16 карточек с целыми числами от 1 до 16 разложены лицевой стороной вниз в виде таблицы 4 u 4 так, что карточки, на которых записаны соседние числа, лежат рядом (соприкасаются по стороне). Какое наименьшее число карточек нужно одновременно перевернуть, чтобы наверняка определить местоположение всех чисел (как бы ни были разложены карточки)? М.Евдокимов

4. Имеется натуральное 1001-значное число A, а 1001-значное число Z – то же число A, записанное от конца к началу (например, для четырехзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что A > Z. При каком A частное A/Z будет наименьшим (но строго больше 1)? А.Толпыго

5. Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус. М.Мурашкин

6. См. задачу М2512 «Задачника «Кванта». Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников

Московская физическая олимпиада школьников 2018 года

Второй теоретический тур

7 класс

1. Активный пенсионер Николай Васильевич купил в магазине катушку клейкой ленты (скотча) без заводской этикетки. Его заинтересовали вопросы: какова длина L этой ленты и чему равна толщина d пленки, из которой лента изготовлена? Николай Васильевич сфотографировал катушку клейкой ленты вместе с линейкой, приложенной в самом широком месте катушки (рис.1). После этого он показал фотографию своим друзьям, задал им свои вопросы и через некоторое время получил ответы – они приведены в таблице. При этом один из друзей честно признался, что длину скотча он узнал

42

КВ А НT 2018/№5

времени между соседними кадрами W = = 16 мс. Оцените начальную скорость мяча для гольфа. Мяч движется перпендикулярно направлению вашего взгляда. Высота гольфиста 1,8 м. А.Бычков

Рис. 1

у продавца в магазине, а затем вычислил толщину при помощи фотографии. Кто из друзей Николая Васильевича правильно ответил на вопросы? Чему равны длина ленты и толщина пленки? Примечание: мкм – это микрон, т.е. одна миллионная часть метра. П.Крюков

2. Хронофотография – это разновидность фотографии, позволяющая фиксировать движение какого-либо объекта при помощи фотосъемки отдельных фаз движения. При этом кадры делаются последовательно через равные короткие интервалы времени. Перед вами (рис.2) хронофотография гольфиста, совершающего удар по мячу. Промежуток

3. Две одинаковые коробки плотно заполнили доверху красными и белыми кубиками одинакового размера. В первой коробке красных кубиков на 26 больше, чем белых, и средняя плотность содержимого коробки равна 6,6 г $см^{3}$. Средняя плотность содержимого второй коробки равна 7,5 г $см^{3}$. Объем коробки 1 л, масса красного кубика 52 г, белого – 127 г. Кубиков какого цвета во второй коробке больше и на сколько штук? А.Бычков

4. Пристань B расположена ниже пристани A по течению реки. Между A и B курсируют лодка и катер. Лодка стартует из A одновременно с катером, стартующим из B. Когда лодка подходит к пристани B, она разворачивается, затрачивая на разворот пренебрежимо малое время, и идет обратно, доходит до пристани A, разворачивается и так далее. Катер движется аналогичным образом. Первая встреча катера и лодки произошла через 1 час после начала движения. Когда катер после первой встречи подошел к пристани A, лодка прошла 3 5 расстояния между A и B. Вторая встреча катера и лодки произошла у пристани B, куда они прибыли одновременно. 1) Через какое время после начала движения катер подошел к пристани A? 2) Через какое время после первой встречи произошла вторая встреча? 3) Через какое время после второй встречи произойдет третья встреча? П.Крюков

8 класс

Рис. 2

1. В лаборатории у юного химика в двух стаканах хранились две жидкости разного объема: в одном – синяя, а в другом – красная. Однажды химик смешал половину синей и половину красной жидкости в колбе, получив смесь с плотностью $U_{1}$. Остатки жидкостей из стаканов он смешал во второй и третьей колбах, при этом плотность смеси во второй колбе оказалась равной $U_{2}$, а в

43

ОЛИМПИАДЫ

третьей – $U_{3}$. Найдите отношение объемов трех получившихся смесей и запишите условие, которому должны удовлетворять плотности этих смесей. Считайте, что при смешивании жидкостей их объемы складываются. А.Бычков

2. В последние годы стали популярны выставки, на которых демонстрируют простейшие механизмы, якобы сделанные по чертежам Леонардо да Винчи. На фотографиях (рис.3) показан экспонат одной из

Рис. 3

таких выставок: он называется червячная передача. Какой выигрыш в силе (без учета трения) дает это устройство? Считайте, что длина ворота (от ручки до горизонтальной оси) в два раза больше диаметра барабана, на который наматывается веревка. П.Крюков

3. В широком поддоне с вертикальными стенками, который частично заполнен водой, стоит доверху наполненный водой стакан. Два цилиндрических груза удерживаются в равновесии с помощью системы блоков и нитей, как показано на рисунке 4. На

Рис. 4

правом грузе стоит маленький перегрузок массой ’ m. При этом левый груз касается поверхности воды своей нижней гранью, а правый груз – верхней. Площадь горизонтального поперечного сечения левого груза S, а правого 2S. С правого груза очень медленно снимают перегрузок, после чего левый груз оказывается частично погруженным в воду. 1) На сколько изменится высота уровня воды в поддоне? 2) Какая масса воды перельется из стакана в поддон? 3) Какой вид имеет зависимость глубины погружения в воду левого груза от массы перегрузка? Блоки невесомы, нить невесома и нерастяжима, трения нет. Вода из поддона не выливается. А.Бычков

4. Очень толстый слой льда имеет температуру 0 q C. Полярник решил провести эксперимент. Для этого он сделал во льду небольшую лунку и накрыл ее слоем теплоизолятора, в который была вставлена тонкая трубка. Через эту трубку полярник очень медленно заливал в лунку неизвестную горячую жидкость с удельной теплоемкостью c и плотностью U. Жидкость плавила лед, и глубина лунки увеличивалась. Полярник обнаружил, что существует некоторое минимальное значение начальной температуры жидкости $t_{0}$, при котором в лунку можно залить сколь угодно большое количество жидкости и лед будет продолжать плавиться. При этом поверхность образующейся воды никогда не поднимется до верхнего края лунки. Найдите это минимальное значение $t_{0}$. Удельная теплота плавления льда O, а также плотности воды и льда $U_{в}$ и $U_{л}$ известны. М.Ромашка 9 класс

5. Материальная точка начинает двигаться прямолинейно вдоль оси х. Автоматизированная экспериментальная установка очень точно измеряет координату точки через каждую миллисекунду и передает эти данные компьютеру для обработки. Компьютер каждую миллисекунду рассчитывает среднюю путевую скорость $v_{cp}$ точки за все время, прошедшее от начала движения до текущего

44

КВ А НT 2018/№5

момента, и строит график зависимости $v_{cp}$ от времени t (рис.5). Однако в момент времени $t_{0} = 10$ с экспериментальная уста-

Рис. 5

новка сломалась и перестала передавать компьютеру данные, а материальная точка продолжала двигаться. Определите максимально возможное значение времени t, до которого убывающий участок графика после 8 с (пунктирная линия на рисунке) мог быть прямолинейным. М.Ромашка

2. Дед, бабка, внучка, Жучка, Мурка и мышка-норушка хотят вытянуть репку. Репка является однородным шаром радиусом R, на вершине которого расположены многочисленные прочные невесомые длинные листья, за которые репку можно вытягивать. Репка погружена в землю наполовину. Известно, что дед может тянуть с максимальной силой F, бабка может тянуть вдвое слабее, внучка – вдвое слабее бабки, Жучка – вдвое слабее внучки, Мурка – вдвое слабее Жучки, а мышка-норушка – вдвое слабее Мурки. Какова максимально возможная масса репки, если известно, что ее удалось вытянуть? Как должны были герои сказки тянуть такую репку для того, чтобы все же вытянуть ее? Считайте, что репка уже созрела, ее корешки отсохли и она держится в плотно слежавшейся земле только благодаря собственному весу. При вытягивании репка не может вращаться вокруг своей оси симметрии. Н.Трушников

3. Сопротивление каждого из резисторов в цепи, схема которой изображена на рисунке 6, одинаково и равно 3 Ом. Напряжение между полюсами идеального источника равно 6 В. Все амперметры идеальные, в центре шестиугольника контакта между проводами

нет. Найдите показания всех амперметров. А.Бычков

4. Гуляя по улице в солнечный день, школьник увидел ровную горизонтальную площадку, на которой стояло много вертикальных $ци-_{Рис.} 6$ линдрических столбов одинаковой высоты, но разного диаметра. Школьник заметил, что столбы разного диаметра отбрасывают «полные» тени разной длины, несмотря на то что все они имеют одинаковую высоту. Он понял: это происходит из-за того, что солнце не является точечным источником света, а имеет угловой размер D | 0,5 q | 0,01 рад. Заинтересовавшись, школьник стал измерять диаметры столбов d и длины L их теней, а затем построил график зависимости L d – этот

Рис. 7

график показан на рисунке 7. Определите с помощью этого графика высоту столбов. М.Ромашка 10 класс

1. На фотографии (рис.8), сделанной камерой мобильного телефона, представлен вращающийся пропеллер самолета. Наблюдаемый эффект «смазывания» изображения обусловлен способом обработки светового потока матрицей фотокамеры. Во время срабатывания фотокамеры матрица «захватывает» не всю снимаемую сцену целиком одновременно, а происходит очень быстрое поэтапное сканирование кадра в направлении слева направо (с точки зрения фотографа). В результате в память фотокамеры последовательно попадают узкие вертикальные «полоски» изображения, причем «ли-

45

ОЛИМПИАДЫ

Была высказана догадка, что эти частицы появились при распаде одной единственной частицы и что она сначала распалась на три частицы, а затем одна из трех образовавшихся частиц распалась на две частицы. Установите, верна ли эта гипотеза, и если да, то определите, через какое время после первого распада произошел второй распад. Считайте, что частицы движутся свободно. И.Воробьев

Рис. 8

ния сканирования» движется с постоянной скоростью. 1) В каком направлении вращается пропеллер с точки зрения фотографа? 2) Сколько лопастей у пропеллера? 3) Оцените, сколько оборотов в секунду делает пропеллер, если процесс получения всего изображения занял 1/8 секунды. А.Бычков

2. Регистрирующая аппаратура установила положения элементарных частиц A, B, C и D в некоторый момент, а также их перемещения за время W, считая с этого момента (перемещения показаны на рисунке 9 отрезками). Массы частиц C и D одинаковы.

Рис. 9

3. Клин массой M = 250 г с углом D 30 q при основании покоится на гладкой горизонтальной плоскости. На клин положили брусок массой m = 100 г и ударом сообщили ему некоторую скорость, направленную вверх вдоль наклонной поверхности клина. Найдите, какое количество теплоты Q выделилось в результате трения бруска о клин, если известно, что максимальная высота, на которую поднялся брусок от своего начального положения, равна h = 20 см. Коэффициент трения бруска о наклонную поверхность клина P = 0,6. Ускорение свободного падения примите равным g 10 м $с^{2}$. С.Чесноков

4. На горизонтальном участке поля Вася очистил от чистого белого снега площадку размером 1 м u 1 м. Под лучами весеннего солнца черная земля прогревается и нагревает расположенный над ней воздух. Тепловая мощность, получаемая воздухом от площадки, равна W = 0,3 кВт, поскольку солнце зимой находится довольно низко над горизонтом. В безветренную и сухую погоду при температуре воздуха $T_{0} = 273$ К и давлении возле поверхности земли $p 10^{5}$ Па столб теплого воздуха, поднимающийся над площадкой, имеет на высоте h = 10 м температуру $T_{1} = 275$ К и поперечное сечение $S 2 м^{2}$. Температура окружающего воздуха не зависит от высоты и равна $T_{0}$. Молярная масса воздуха М = 29 г/моль, его молярная теплоемкость при постоянном давлении $C_{p} 7 R 2$. 1) Оцените, с какой скоростью поднимается поток воздуха на высоте h, если процесс уже установился. 2) Оцените, на какую высоту поднялся бы теплый воздух, если бы отсутствовал теплообмен между теплым воздухом и окружающим его холодным воздухом.

53

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

2. В нашем примере фигура не является многоугольником, в ней есть дырка. Существуют ли фигуры с требуемым свойством без дырок, нам неизвестно.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

(см. «Квант» №3)

25. а,б) Не всегда. а) Петя может раскрасить доску в шахматном порядке и на черных клетках написать А, а на белых – Б. На соседних клетках стоят разные буквы, поэтому как бы Вася ни обошел доску, буквы будут чередоваться: АБАБ…АБАБ. Всего клеток четное число, поэтому последняя и первая буквы разные. Значит, последовательность справа налево читается по-другому. б) Сначала поставим буквы в шахматном порядке так, что букв А на одну больше, чем букв Б. Буквы чередуются при любом обходе и получается строка АБА…АБА. Выберем любую пару клеток с разными буквами и поменяем буквы местами. Тогда при любом обходе получается строка, которая отличается от АБА…АБА в двух местах: в одном А заменено на Б, в другом – Б на А. Эти места не будут симметричны друг другу, поэтому строка слева направо и справа налево читается по-разному. 26. а) Пусть дан прямоугольник ABCD, точку пересечения его диагоналей обозначим O. Точки, в которые перейдут вершины, обозначим A¢ $,^{B¢},^{C¢},^{D¢}$ соответственно. При симметрии относительно BD точка A переходит $в^{A¢}, C$ – в C¢, O – в себя (рис.2).

Рис. 3

ABA ¢ D ¢ CDC ¢ B ¢ (рис.3). Тогда ABCD и A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ – равные прямоугольники. Правильный восьмиугольник симметричен относительно своих диагоналей, которые соединяют противоположные вершины, значит, вершина A при симметрии относительно BD перейдет в A¢, C – в C¢, а вершины B и D при симметрии относительно AC перейдут, соответственно, $в^{B¢} и^{D¢}$. в) Не могут. В решении пункта а) мы доказали, что диагонали A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ равны диагоналям ABCD. А у подобных, но не равных, фигур, соответствующие отрезки должны быть разной длины. 27. Петина история не может быть правдой. Предположим, что Петя прав. Пусть он делил число k на m. Если при делении на m число k дает остаток x, то по условию задачи $k^{2}$ дает остаток 2x. Тогда число $k^{2} - 2 k$ дает остаток 2x – 2x = 0, т.е. делится на m. Аналогично, $k^{3} - 3 k$ делится на m:

$k^{2} -_{2} k$ ⋮ $m_{,} k^{3} -_{3} k$ ⋮ m.

Теперь будем последовательно понижать степень k в этих выражениях. Сначала избавимся от $k^{3}$: число $k^{3} - 3 k - k k^{2} - 2 k = 2 k^{2} - 3 k$ делится на m как разность чисел, кратных m. Итак, мы перешли к новой паре выражений:

(

) (

)

$k^{2} -_{2} k$ ⋮ $m_{,} 2 k^{2} -_{3} k$ ⋮ m.

Затем избавимся от $k^{2}$ в одном из выражений.

Рис. 2

Значит, AC = A ¢ C ¢. Точка O – середина AC, следовательно, это также и середина A ¢ C ¢. Те же рассуждения можно провести для диагонали BD. Таким образом, в четырехугольнике A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ диагонали равны (они равны диагоналям прямоугольника ABCD) и их середины совпадают (это точка O). Из этого следует, что A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ – прямоугольник. б) Могут. Рассмотрим правильный восьмиугольник

(

) (

)

Рассмотрим разность $2 k^{2} - 3 k - 2 k^{2} - 2 k = k$, она делится на m как разность чисел, кратных m. Значит, k делится на m, а по условию k дает ненулевой остаток. Противоречие. Получается, Петя ошибся. Колина история может быть правдой. Например, если он делил на 21 степени числа 3: число 3 делится на 21 с остатком $3, 3^{3} = 27$, что дает остаток 6, а $3^{2} = 9$. Этот пример можно обобщить: вместо 3 можно брать любое число вида 3 + 21n, где n – целое. 28. 10-значных чисел с суммой цифр 9 на одно больше, чем 9-значных чисел с суммой цифр 10.