Чем круг отличается от квадрата?

23

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Чем круг отличается от квадрата?

С.ВОЛЧЁНКОВ

СПЕРВОГО ВЗГЛЯДА ВОПРОС КАЖЕТ- ся странным. Каждый знает, и что такое круг, и что такое квадрат. И каждый знает, что это разные геометрические объекты. Но в этой статье речь пойдет не столько о геометрии, сколько о комбинаторной геометрии, где геометрические объекты рассматриваются с комбинаторной точки зрения – как элементы конечных множеств. Мы разберем три задачи, в которых круги и квадраты какими-то своими, на первый взгляд незначительными, различиями порождают различные ответы. Задача 1 про круги. На плоскости расположены 5 кругов, каждые два из которых имеют общую точку. Верно ли, что всегда найдутся 3 круга, имеющих общую точку? Ответ: верно. Решение. Обозначим круги (и их центры) буквами $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, O_{5}$ соответственно. Соединим центры друг с другом отрезками. Какие-то два из проведенных отрезков должны пересечься. Это известный факт (даже если точки пытаться соединять ломаными) – попробуйте доказать его самостоятельно или прочитайте в Приложении в конце статьи. Пусть отрезки $O_{1} O_{2}$ и $O_{3} O_{4}$ пересекаются в точке X (рис.1). Осталось доказать, что верна такая лемма.

Рис. 1

Лемма. Если есть две пары пересекающихся кругов (пара $O_{1}, O_{2}$ и пара $O_{3}, O_{4} ),$ причем отрезки, соединяющие их

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190403

центры $( O_{1} O_{2}$ и $O_{3} O_{4} ),$ имеют общую точку (X), то какие-то три из этих четырех кругов имеют общую точку. Так как круги $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются, на отрезке $O_{1} O_{2}$ есть точка F, принадлежащая им обоим. Аналогично, на отрезке $O_{3} O_{4}$ есть точка E, принадлежащая кругам $O_{3}$ и $O_{4}$. Пусть они расположены, как на рисунке 1, причем XE t XF (остальные случаи аналогичны). Тогда $O_{4} E t O_{4} X XF t O_{4} F$, т.е. точка F принадлежит кругам $O_{1}, O_{2}$ и $O_{4}$. Лемма доказана. Задача 1 про квадраты. На плоскости расположены 5 квадратов, каждые два из которых имеют общую точку. Верно ли, что всегда найдутся 3 квадрата, имеющих общую точку?

Рис. 2

Ответ: неверно. Контрпример изображен на рисунке 2. Задача 2 про круги. На плоскости расположены 3 красных и 3 синих круга, причем каждые два разноцветных круга имеют общую точку. Верно ли, что всегда найдутся два одноцветных круга, имеющих общую точку? Ответ: верно. Решение. Соединим центры разноцветных кругов друг с другом отрезками. Какие-то два из проведенных отрезков долж-

24

КВАН T 2019/№4

ны пересечься. Это тоже известный факт, часто называемый «три дома, три колодца» (докажите его самостоятельно или прочитайте в Приложении).Тогда, по лемме из задачи 1, какие-то три круга имеют общую точку. А среди этих трех найдутся два круга одного цвета, что и требовалось. Задача 2 про квадраты. На плоскости расположены 3 красных и 3 синих квадрата, причем каждые два разноцветных квадрата имеют общую точку. Верно ли, что всегда найдутся два одноцветных квадрата, имеющих общую точку? Ответ: неверно. Контрпример изображен на рисунке 3.

всегда можно разрезать на N выпуклых многоугольников, каждый из которых будет содержать ровно одну отмеченную точку? Ответ: верно. Решение. Разобьем точки многоугольника на области с номерами от 1 до N по такому правилу: область с номером k состоит из точек, более близких к точке k, чем к любой другой отмеченной точке (такое разбиение называется диаграммой Вороного). При таком разбиении область с номером k ограничена серединными перпендикулярами отрезков, проведенных из точки k к остальным отмеченным точкам, т.е. является выпуклым многоугольником. Пример такой диаграммы приведен на рисунке 4.

Рис. 4

Рис. 3

Замечание. В задачах 1 и 2 квадраты можно заменить на другие многоугольники, в частности на правильные N-угольники, где N сколь угодно велико. При этом многоугольники становятся почти неотличимыми от кругов. Правда, рисунки 2 и 3 пришлось бы рассматривать под микроскопом, чтобы увидеть на них все пересечения. Задача 3 про круги. В выпуклом многоугольнике расположены N непересекающихся кругов. Верно ли, что многоугольник всегда можно разрезать на N выпуклых многоугольников, каждый из которых будет содержать ровно один из кругов? Прежде чем переходить к решению этой задачи, рассмотрим более простую задачу. Задача 3 про точки. В выпуклом многоугольнике отмечены N точек (с номерами от 1 до N). Верно ли, что многоугольник

А теперь вернемся к задаче 3 про круги. Оказывается, что нужное нам разбиение многоугольника может быть образовано не серединными перпендикулярами, а так называемыми радикальными осями окружностей. Радикальная ось двух непересекающихся окружностей – это геометрическое место точек, касательные из которых, проведенные к двум данным окружностям, имеют равные длины. Нетрудно показать, что радикальная ось двух окружностей любых радиусов с несовпадающими центрами – это прямая (см. Приложение). Если окружности не пересекаются, они будут целиком по разные стороны от радикальной оси. Разобьем тогда точки многоугольника (лежащие снаружи окружностей) на области, состоящие из точек, касательные из которых к одной окружности короче, чем к другим. Аналогично получим, что каждая окружность лежит целиком в одной области и эта область – выпуклый многоугольник.

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Кстати, в случае «окружностей» нулевого радиуса касательные превращаются в расстояния до центров, и получается предыдущая задача. И последняя задача. Задача 3 про квадраты. В выпуклом многоугольнике расположены N непересекающихся квадратов. Верно ли, что многоугольник всегда можно разрезать на N выпуклых многоугольников, каждый из которых будет содержать ровно один из квадратов? Ответ: неверно. Контрпример изображен на рисунке 5.

ШКОЛЬНИКОВ

гональ будет внутри, другая – снаружи (рис. 6). В результате плоскость разделится на три «треугольника» и бесконечную

Рис. 6

Рис. 5

Пояснение. В пятиугольнике расположены три квадрата. Разрезать пятиугольник на три выпуклые части, каждая из которых содержит один квадрат, невозможно. Точка в центре рисунка не может принадлежать ни одной из частей, так как каждый из трех отрезков, идущих из нее к одной из точек квадратов, будет пересекать контур другого квадрата, т.е. ни один из этих отрезков не будет принадлежать выпуклой фигуре.

Приложение

Пять домов. Докажем, что на плоскости нельзя соединить друг с другом пять домов непересекающимися дорожками так, чтобы каждый дом был соединен с каждым отдельной дорожкой. Допустим, это все-таки удалось сделать. Уберем все дорожки и будем возвращать их последовательно. Сначала добавим четыре дорожки, соединяющие четыре дома по циклу, получится «четырехугольник» из дорожек. Соединим теперь пары противоположных вершин этого четырехугольника (проведем «диагонали»). Одна диа- часть, граница которой тоже будет треугольником (назовем эту часть «бесконечным» треугольником). Пятый дом окажется в одном из этих треугольников, и его можно будет соединить только с тремя вершинами этого треугольника. Противоречие – останется еще один дом, который нельзя соединить с пятым. Три дома и три колодца. Докажем, что на плоскости нельзя соединить непересекающимися дорожками три дома с тремя колодцами так, чтобы каждый дом был соединен с каждым колодцем отдельной дорожкой. Допустим, это все-таки удалось сделать. Уберем все дорожки и будем возвращать их последовательно. Сначала обойдем по замкнутому циклу все дома и колодцы. Так как дорожки не пересекаются, это будет «шестиугольник» из дорожек, причем дома и колодцы в нем чередуются (рис. 7). Осталось провести еще три дорожки, соединяющие противоположные вершины шестиугольника. Хотя бы две из

Рис. 8

27

ЛАБОРАТОРИЯ

«КВАНТА»

Раньше встречался припой в виде гораздо более толстых прутков, и с ними этот эксперимент получался еще эффектнее, только требовалось большее время. Приходилось крепить горизонтальный стержень в начале беседы или лекции и привлекать к нему внимание часа через полтора – металлический стержень чуть ли не в палец толщиной сгибался на пару сантиметров! Очень быстро сгибается под собственной тяжестью совсем тоненький прутик припоя, диаметром около миллиметра. Длина в этом варианте, разумеется, может быть совсем небольшой, примерно 10–15 см. Если под руками есть пруток припоя средней толщины и длиной сантиметров тридцать, то пластичность металла можно проиллюстрировать совсем просто и быстро – достаточно подвесить пруток на нитке за середину или вставить в самую примитив-

Призма ABCD, вделанная в стену; на свободный ее конец действует груз (гравюра из «Бесед» Галилея)

Прекрасная гравюра, воспроизведенная в «Беседах» Галилея, показывает довольно толстую балку, закрепленную одним концом в каменной стенке, тогда как на другой конец действует своей тяжестью некий груз. Между прочим, Галилей написал эту свою последнюю книгу во многом потому, что этой темой ему дозволяли заниматься надзиратели от инквизиции, а он к этому времени совсем осиротел и ослеп. Так что вполне вероятно, сам Галилей этой гравюры и не видел. Сегодня можно изменить этот опыт и показывать студентам и школьникам его простой и эффектный вариант. Для этого берется горизонтальная палочка свинцового припоя для пайки и закрепляется за один конец. Если палочка тонкая, диаметром немного меньше трех миллиметров, а длиной примерно 20–30 см, то она сама собой изгибается под своей тяжестью. Не нужен никакой дополнительный груз, чтобы за четверть часа свободный конец палочки опустился на несколько сантиметров. Это производит большое впечатление на зрителей. Мы просто своими глазами наблюдаем пластическую деформацию металла.

Палочка свинцового припоя в начале эксперимента…

…и в конце эксперимента ную пластинку с отверстием. Через несколько минут будет четко видно, как опустились оба конца прутика. Члены кружка юных техников легко могли бы дополнить эту простейшую экспериментальную установку, скажем, электрическим звонком, или регулятором длины свободной части висящего стержня для сравнения времени деформации.