А так ли хорошо знакомы вам физика × геометрия?

…геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения. Исаак Ньютон

…геометрия становится, очевидно, естественной наукой; мы можем рассматривать ее фактически как самую древнюю ветвь физики. Альберт Эйнштейн

…раздается зов природы, и в этот отвлеченный мир ¢геометрии – А.Л.² врывается физика. Джон Лайтон Синг

существовали в земной коре в виде кристаллов задолго до того, как на сцене появилось человечество. Мауриц Корнелис Эшер

…мы явно имеем две «геометрии»: «геометрию-физику», … изучающую специфические свойства реальных тел, …и «геометрию-математику», …изучающую определенные математические структуры… Исаак Яглом

Невозможное на плоскости осуществимо в трехмерном пространстве! Игорь Шарыгин

Правильные многогранники…нельзя считать изобретениями человеческого разума, ибо они

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика u геометрия

Обещанное продолжение разговора о приумножающем друг друга союзе этих научных сфер, прирастает сегодня третьим измерением. СТЕРЕОМЕТРИЯ вкупе с физикой особенно подчеркивает связь конкретных, осязаемых тел с их образами, восходящими до условности высокой абстракции. Простейшие – они же фундаментальные – положения геометрии, изучаемые в школе, эволюционировали до возможности не только описать свойства непосредственного окружения, но и объять все представимое (да и непредставимое!) пространство Вселенной, проникнуть в сложнейшую структуру нашего мира. Неразделимость геометрического и физического подходов к решению заметного числа задач то и дело приводит к «перекочевыванию» их из одной предметной области или олимпиады в другую. Действуя как сообщающиеся сосуды, точные науки интегрируются, производя (используя модное выражение) синергетический эффект. Попробуем же «оседлать» этого кентавра!

Вопросы и задачи

1. На потолке комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, находится паук, а на полу – муха. Как должен двигаться паук, чтобы быстрее всего добраться до мухи?

2. Аквариум, все грани которого – прямоугольники, заполнен водой наполовину. Ее переливают в другой аквариум, все линейные размеры которого больше исходного в 3 раза. Какую долю по высоте займет вода в новом $аквариуме?^{3.}$ Две медные кастрюли одинаковой формы имеют стенки одной толщины, первая в 8 раз вместительнее второй. Во сколько раз она $тяжелее?^{4.}$ Опущенная в воду таблетка шипучего аспирина некоторое время лежит на дне, а затем всплывает. $Почему?^{5.}$ Высота и диаметр основания цилиндра равны диаметру шара. Цилиндр имеет две одинаковые конические воронки на основаниях с общей вершиной. Какое из этих двух тел весит $больше?^{6.}$ Пусть вишня и ее косточка имеют форму шариков, причем слой мякоти вишни такой же толщины, как и косточка. Во сколько раз объем сочной части вишни больше, чем объем $косточки?^{7.}$ Как из шести спичек сложить четыре правильных треугольника, чтобы стороной каждого была целая $спичка?^{8.}$ Чему равна длина ребра наибольшего правильного тетраэдра, который можно поместить в коробку, имеющую форму куба с ребром 1 дм?

43

ОЛИМПИАДЫ

также их сумму a b. Какое наибольшее количество нечетных цифр могло быть выписано на доске? И.Богданов, П.Кожевников

7. См. задачу 7 для 9 класса. 8. Точка M – середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. На продолжении отрезков AC и BC за точку C отмечены точки D и K соответственно так, что BC CD и CM CK. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABD и MCK, касаются. А.Кузнецов

8. Фокусник с помощником собираются показать следующий фокус. У них есть n t 3 карточек с номерами 1, 2, …, n и ряд из n клеток размером в карточку. Оборотные стороны всех карточек неразличимы. Зритель выкладывает на некоторые два места карточки 1 и 2; помощник фокусника, видя это, выкладывает на свободные места остальные карточки. Затем все карточки переворачиваются числами вниз, и входит фокусник. Он переворачивает одну из карточек, а затем зритель переворачивает другую. После этого фокусник должен правильно указать карточку 1 и правильно указать карточку 2. При каких n фокусник и помощник смогут договориться так, чтобы гарантированно фокус удался? И.Богданов, К.Кноп

9. См. задачу 10 для 9 класса.

11 класс 1. Натуральное число, большее 1000000, дает одинаковые остатки при делении на 40 и на 625. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде тысяч? Н.Агаханов, К.Сухов

2. См. задачу 2 для 10 класса. 3. На оси Ox отметили точки 0, 1, 2, …, 100 и нарисовали графики 200 различных квадратичных функций, каждый из которых проходит через две из отмеченных точек и касается прямой y 1. Для каждой пары графиков Олег написал на доске число, равное количеству общих точек этих графиков. После чего он сложил все 19900 чисел, написанных на доске. Мог ли он получить число 39699? О.Подлипский

4. Треугольная пирамида SABC вписана в сферу:. Докажите, что сферы, симметричные: относительно прямых SA, SB, SC и плоскости ABC, имеют общую точку. Сфера, симметричная данной относительно прямой l, – это сфера такого же радиуса, центр которой симметричен центру исходной сферы относительно прямой l. И.Богданов

5. В Цветочном городе живет $99^{2}$ коротышек. Некоторые из коротышек рыцари (всегда говорят правду), а остальные – лжецы (всегда лгут). Дома в городе расположены в клетках квадрата 99 u 99 (всего $99^{2}$ домов, расположенных в 99 вертикальных и в 99 горизонтальных улицах). В каждом доме живет ровно один коротышка. Номер дома обозначается парой чисел x; y, где 1 d x d 99 – номер вертикальной улицы (номера возрастают слева направо), а 1 d y d 99 – номер горизонтальной улицы (номера возрастают снизу вверх). Цветочным расстоянием между двумя домами с номерами $x_{1} ; y_{1}$ и $x_{2} ; y_{2}$ называется число $U x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}$. Известно, что на каждой улице – вертикальной или горизонтальной – проживает не менее k рыцарей. Кроме того, все коротышки знают, в каком доме живет рыцарь Знайка. Вы хотите найти его дом, но не знаете, как выглядит Знайка. Вы можете подходить к любому дому и спрашивать живущего в нем коротышку: «Каково цветочное расстояние от вашего дома до дома Знайки?» При каком наименьшем k вы можете гарантированно найти дом Знайки? В.Новиков

6. См. задачу 7 для 9 класса 7. Пусть I – центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC, M и N – точки касания вписанной окружности сторон AB и BC соответственно. Через точку I проведена прямая l, параллельная стороне AC, и на нее опущены перпендикуляры AP и CQ. Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности. Р.Женодаров, О.Дмитриев

7. См. задачу 9 для 9 класса. 9. Многочлен P x с вещественными коэффициентами имеет степень $10^{5}$, а его старший коэффициент равен 1. Найдите наи-

45

ОЛИМПИАДЫ

пути поезд двигался почти с постоянной скоростью и сделал только одну остановку в Дмитрове. Узнав позже на сайте гидрометцентра, как в этот день в течение времени t изменялась температура, Глюк рассчитал время отправления экспресса из Долгопрудного, скорость экспресса, расстояние от Дмитрова до Дубны, примерную длительность остановки в Дмитрове. Постройте графики зависимостей, приведенных в таблицах, и с их помощью получите зависимость пройденного экспрессом расстояния от времени. Постройте ее график и определите то, что смог рассчитать экспериментатор.

Примечание. В одно и то же время на всем маршруте следования экспресса температура воздуха одинаковая.

М.Замятнин

8 класс Задача 1. Натяжение (10 баллов) Два одинаковых однородных рычага массой m 7 кг и длиной 80 см каждый шарнирно соединены с помощью легкого стержня и нитей, между которыми подвешен груз с такой же массой m (рис.2). Определите, на каком расстоянии x от левого края верхнего стержня находится точка крепления нити, удерживающей систему в равновесии, чему равны силы натяжения всех трех нитей и сила, действующая со стороны шарнира на верхний стержень. Для удобства на рисунке стержни размечены на 8 равных частей. Точка крепления самой верхней нити к рычагу изображена условно. Ускорение g 10 Н кг. М.Замятнин

Рис. 2

Задача 2. Дорога доканала (10 баллов) Ярик и Прохор после кружка по физике отправились на прогулку вдоль берега длинного прямого канала. Ярик пошел пешком, а Прохор поехал на велосипеде. График зависимости расстояния l между ними от перемещения s Ярика приведен на рисунке 1. Сначала мальчики двигались с постоянными скоростями, но, устав, Ярик сделал привал, в конце которого позвонил Прохору и попросил его подъехать к нему, после чего продолжил движение с прежней скоростью в прежнем направлении. Прохор развернулся и, увеличив скорость более чем в два раза, направился к другу. В результате ребята встретились через 1 ч 55 мин после того, как расстались. Определите, какой путь проехал Прохор с начала прогулки до встречи с Яриком, во сколько раз увеличил скорость Прохор после разворота, сколько времени Ярик отдыхал на привале, чему равна скорость Ярика. Обоснуйте однозначность своих ответов. М.Замятнин

Задача 3. Груз на пружинке (10 баллов) Груз плотностью $U_{1} 0,80$ г $см^{3}$ прикреплен к пружине с коэффициентом жесткости k 50 Н м, нижний конец которой соединен с дном сосуда (рис.3). Длина пружины в недеформированном состоянии $L_{0} 10$ см, высота груза L 12,5 см, площадь поперечного сечения груза $S 10 см^{2}$. В сосуд начинают медленно наливать воду. Найдите зависимость деформации ’ x пружины от уровня h воды в сосуде. Плотность воды U 1,00 г $см^{3}$, ускорение g 10 Н кг. Укажите, при каких значениях h пружина растянута. $Построй-^{Рис.} 3$ те график зависимости ’ x от h, считая, что если пружина сжата, то ’ x 0. О.Инишева

Задача 4. Глюк и оловянный солдатик (20 баллов) Однажды экспериментатор Глюк решил отлить оловянного солдатика. Для этого он

48

КВАН T 2021/№3

стве ответа необходимо привести схему расположения перегородок в «сером ящике». Ответ должен быть обоснован и не противоречить данным, которые получены экспериментальным путем и поэтому содержат погрешности.

Проделанные эксперименты и результаты измерений

Опыт №1. С помощью полоски миллиметровой бумаги измерим размеры коробочки. Они равны 100 мм u 100 мм u 10 мм. Изме-

Рис. 11

стенкам ящика (боковыми называются стенки, на которых нарисована стрелка). Перегородки могут начинаться и заканчиваться либо на стенках «серого ящика», либо в точках пересечения пунктирных линий. Перегородки полностью перекрывают расстояние между боковыми стенками и непроницаемы как для воды, так и для воздуха. С помощью имеющегося оборудования определите расположение перегородок и их размеры. Толщиной перегородок и стенок «серого ящика» можно пренебречь. Оценивать погрешность не нужно.

Описание оборудования

«Серый ящик» – квадратная коробочка небольшой толщины с жесткими непрозрачными стенками серого цвета. На рисунке 10 показана боковая стенка коробочки. В одном из углов коробочки есть отверстие А. В противоположном углу сделано отверстие Б, в которое помещен вращающийся штуцер с закрепленной на нем прозрачной трубочкой. Штуцер и трубочка не съемные, но трубочку можно поворачивать в положение 1 или в положение 2. Шприц медицинский объемом 100 мл с ценой деления 1 мл. Игла для шприца. Полоска миллиметровой бумаги шириной 1 см и длиной 15 см. Пластиковый стакан (объемом 200 мл) с подкрашенной жидкостью, которая плохо смачивает трубку и стенки коробочки. Пустой пластиковый стакан (объемом 200 мл). Ножницы канцелярские. Небольшая бобина узкого скотча.

От вас требуется обработать приведенные ниже измерения и сделать выводы. В каче-

рим расстояние между пунктирными линиями, а также от пунктирных линий до стенок коробочки. Все эти расстояния равны 10 мм каждое. Опыт №2. Для измерения внешнего диаметра трубки измерим длину ее окружности. Для этого намотаем на трубку полоску миллиметровой бумаги, сделаем 2 оборота. Длина намотанной части бумаги равна 8,9 см. Опыт №3. Для измерения внутреннего диаметра трубки наберем в шприц жидкость, затем присоединим шприц (без иглы) к трубке и выдавим часть жидкости в трубку так, чтобы жидкость образовывала сплошной цилиндр без пузырьков воздуха. Объем выдавленной жидкости равен 8 мл. С помощью полоски миллиметровой бумаги измерим длину части трубки, заполненной жидкостью. Она равна 8,0 см. Опыт №4. Установим коробочку на горизонтальный стол так, чтобы нарисованная на ней стрелка указывала вверх (рис.11,а). Наберем в шприц 100 мл жидкости и будем заливать ее в коробочку порциями через отверстие А так, чтобы за каждую порцию уровень воды в трубочке поднимался на 5 мм. Уровень h жидкости в трубочке будем измерять от нижней стенки коробочки с помощью полоски миллиметровой бумаги, приклеенной к коробочке. Полученные из- мерения $h V_{4}$ занесем в таблицу. Если при достаточно большом увеличении объема жидкости в коробочке уровень в трубочке не изменяется, то запишем в таблицу два крайних значения объемов, соответствующих этому уровню. Опыт №5. Выльем всю жидкость из коробочки. При этом заметим, что после простого переворота коробочки из нее вытекает не вся

49

ОЛИМПИАДЫ

расположив коробочку как в опыте №6 (рис.11,г). Полученные данные $h V_{7}$ занесем в таблицу. М.Карманов жидкость. Чтобы извлечь из коробочки всю жидкость, ее нужно наклонять под разными углами и трясти. По звуку определим, что нам удалось вылить всю жидкость из коробочки. Установим коробочку так же, как в опыте №4. Теперь будем заливать жидкость через отверстие Б, в которое вставлена трубочка (рис.11,б). Для этого наберем в шприц 100 мл жидкости, наденем на него иглу и аккуратно проткнем иглой трубочку в самом низу. Таким образом мы сможем подавать жидкость в самое основание трубочки. Снимем аналогич- ную зависимость $h V_{5}$ – уровня жидкости в трубочке от объема налитой жидкости. Полученные данные занесем в таблицу. Опыт №6. Вновь удалим всю жидкость из коробочки. Заклеим дырочку в трубочке с помощью скотча. Поставим коробочку так, чтобы стрелка смотрела вправо, а трубочка располагалась в положении 2 (рис.11,в). Повторим те же действия, что в опыте №4, заливая жидкость через открытое отверстие А.

11 класс Задача 1. Разгон при отключенном источнике (12 баллов) Две одинаковые проводящие оболочки в форме цилиндров с малыми отверстиями на общей оси образуют конденсатор емкостью С (рис.12). В центре левой оболочки удерживают шарик с зарядом q. Суммарный заряд всей системы, включая заряд шарика, равен нулю. Конденсатор заряжают, подключив к источнику с напряжением U, затем $отключа-^{Рис.} 12$ ют от источника и отпускают шарик. Шарик начинает двигаться вдоль оси и, пролетев через отверстия, попадает внутрь правой оболочки. Какую кинетическую энергию будет иметь шарик в центре правой оболочки? При каком заряде шарика эта энергия максимальна и чему она равна? Выделением тепла из-за тока в оболочках можно пренебречь. Поле тяжести не учитывайте. И.Воробьев

Задача 2. Нелинейная цепь (12 баллов) Электрическая цепь (рис.13,а) состоит из идеального источника с $ЭДС^{E} 20$ В, резистора с сопротивлением R 5 Ом, катушки с индуктивностью L 20 мГн и нулевым сопротивлением и нелинейного элемента, вольт-амперная характеристика которого представлена на рисунке 13,б $( I_{0} 3$ А). Изначально ключ разомкнут, тока в цепи нет. Какое количество теплоты выделится на резисторе через большой промежуток времени после замыкания ключа? А.Уймин

Полученные данные $h V_{6}$ занесем в таблицу.

Опыт №7. Опять удалим всю жидкость из коробочки и повторим опыт №5, но

Рис. 13

50

КВАН T 2021/№3

Задача 3. Вспышка в кубе (12 баллов) В кубе из вещества с показателем преломления n 2 точечный источник испустил кратковременную вспышку, свет от которой расходится однородно во всех направлениях. Свет веществом куба не поглощается. Какие значения может принимать доля K энергии вспышки, вышедшей наружу, в зависимости от положения источника внутри куба? Укажите, при каких положениях источника эта доля минимальна, при каких максимальна и чему она равна. При падении света на границу раздела часть его энергии, зависящая от угла падения, отражается, а часть проходит через границу раздела.

Примечание. При решении вам может понадобиться формула площади поверхности сферического сегмента: S = 2 S Rh, где R – радиус сферы, h – высота сегмента.

А.Аполонский

Задача 4. Определение удельной теплоты испарения жидкого азота (14 баллов) Жидкий азот, налитый в пенопластовый контейнер, из-за теплообмена с окружающей средой испаряется и его масса уменьшается. При погружении в жидкий азот алюминиевого цилиндра, имевшего температуру помещения, азот начинает активно кипеть и интенсивность его испарения увеличивается. Масса M контейнера с жидким азотом фиксируется с помощью электронных весов. Показания весов в зависимости от времени приведены в таблице:

Рис. 14

Удельная теплоемкость алюминия зависит от температуры. График этой зависимости представлен на рисунке 14. Масса цилиндра $m_{Al} 69$ г, начальная масса контейнера с азотом М 250 г, температура помещения 23 q С. Температура кипения жидкого азота 196 q С. Используя результаты измерения зависимости массы азота от времени и график зависимости удельной теплоемкости алюминия от температуры, определите удельную теплоту испарения азота O. Из-за ограниченного времени выполнения задания погрешность определения O оценивать не требуется, однако точность полученных вами промежуточных и конечных результатов будет учитываться при выставлении баллов. А.Аполонский

Публикацию подготовил В.Слободянин

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» №2)

1. ( 4 ¥ 2 ) + 9 = 17. Так как операция 8 - 2 дала $результат^{4,}$ то «–» обозначает деление, а раз $5^{1}$ дало $результат^{4,}$ то «+» обозначает вычитание. Значит, « ¥ » обозначает сложение, а тогда «:» – умножение. 2. 42. Сторона синего квадрата $равна^{2,}$ поэтому стороны черного прямоугольника $равны^{2} и^{4.}$ Площадь бело-черно-синего прямоугольника равна 36, а его вертикальная $сторона^{2} 4 6.$ Значит, это квадрат, и его горизонтальная сторона также равна 6. Красный квадрат имеет $сторону^{7,}$ значит, сторона всего полотна составляет $6^{7} 13.$ Наконец, площадь серых прямоугольников есть разность площади правой «половины» полотна и бело-черно-синего квадрата: 6 ◊ 13 - 36 = 42. 3. Чтобы решить задачу, достаточно правильно на нее посмотреть. Вместо того чтобы думать, сколько бананов покупать в каждый день, давайте для каждого дня выберем, в какой из дней купить банан! Для этого надо выбрать самую низкую цену из четырех: текущего дня и трех предыдущих (если предыдущих дней меньше трех, то смотрим только на те, что есть). Для каждого дня на диаграмме (рис.1) стрелкой указана самая низкая цена из доступных. Соот-

Рис. 1

ветственно, в каждый из дней следует купить столько бананов, сколько стрелок указывают на цену под этим днем. Получаем ответ:

4. Сторона квадрата при нагревании увеличивались на 0,5 мм, а стороны прямоугольника – на 0,5 мм $и^{1,5}$ мм. Вы поняли, почему пластины расползлись? Конечно, всем очевидно, что при нагревании пластины расширяются, а при охлаждении сжимаются, весь фокус в том, относительно каких точек это происходит! При нагреве квадрат и прямоугольник ведут себя как один большой прямоугольник и расширяются относительно центра O этого большого прямоугольника (рис.2,а). Обозначим сторону квадрата через a, а ее удлинение через ’ a. Тогда центр квадрата O 1 отодвинется от точки O на

Рис. 2

3 ’ a 2, а центр прямоугольника O 2 – на ’ a 2 (потому что длина отрезка $OO_{1}$ равна 3 a 2, а длина отрезка $OO_{2}$ – a 2 ). При охлаждении квадрат и прямоугольник сжимаются уже как отдельные фигуры относительно своих собственных центров. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ остаются неподвижными, и расстояние между ними не изменяется. Итого, в результате двух процессов расстояние между центрами фигур увеличивается на 2 ’ a. Это и есть величина зазора, поэтому ’ a = 0,5 мм. Теперь мы можем сформулировать окончательный ответ: при нагревании стороны квадрата увеличивались на 0,5 мм, а стороны прямоугольника – на 0,5 мм и 1,5 мм.

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №1)

17. а) Нельзя; б) можно. а) Убедимся, что при любой расстановке чисел от $1 до^{2021}$ по кругу найдутся два соседних числа, дающих в сумме составное число. Достаточно найти соседние нечетные числа (их сумма не меньше 1 3 4 и четна, такое число составное). Но у нас 1011 нечетных чисел, а четных 1010 – меньше, поэтому за каким-то нечетным числом по часовой стрелке стоит нечетное. б) Заметим, $что^{2027} и^{2029}$ – простые числа, отличающиеся $на^{2}$ (их называют «близнецами»). Напишем по кругу по часовой стрелке в порядке возрастания нечетные числа от $5 до^{2021,}$ а между ними напишем по часовой стрелке в порядке убывания четные числа $от^{2022}$ до 6 (легко убедиться, что этих четных и нечетных чисел поровну). Получится такая «цепочка»:

5 2022 7 2020 9 2018… 2019 8 2021 6

В этой цепочке сумма каждых двух соседних чисел попеременно равна $то^{2027,} то^{2029}$ – т.е. простым числам. И мы использовали все натуральные числа от $5 до^{2022.}$ Осталось как-то втиснуть числа от 1 до 4 между крайними числами цепочки (т.е. 5 и 6), дабы «круг замкнулся». Это несложно:

$... 5^{2} 3 4 1 6...$