Квадраты вокруг параллельников и полупараллельников

Квадраты вокруг параллельников и полупараллельников

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Е.МОРОЗОВ, Ф.НИЛОВ

ВГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КОНСТРУКциях зачастую оказывается интересным строить на сторонах произвольного многоугольника правильные многоугольники. Несмотря на то, что подобные построения рассматривали еще древние греки, некоторые новые результаты появляются и в наши дни. В классическом доказательстве Евклида теоремы Пифагора на сторонах прямоугольного треугольника строятся квадраты (рис. 1,а). Теорема Наполеона гласит, что если на сторонах произвольного треугольника построить правильные треугольники, то их центры также будут являться вершинами правильного треугольника (рис. 1,б). Французский задачный композитор Виктор Тебо заметил, что если построить на сторонах параллелограмма квадраты, то их центры будут образо-

вывать квадрат (рис. 1,в). Теорема фламандского математика Ван Обеля утверждает, что если взять центры квадратов, построенных на сторонах произвольного четырехугольника, то они будут являться вершинами четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны и имеют равную длину (рис. 1,г). Отметим, что на рисунках 1,б–г правильные треугольники и квадраты можно строить и во внутреннюю сторону, для них будут справедливы аналогичные утверждения. В этой статье мы будем надстраивать вокруг некоторых многоугольников бесконечное число слоев квадратов и изучать свойства полученной конструкции. Мы решим задачу М2629 (теорема 1 ниже) и докажем теоремы, анонсированные в статье [1]. Рассмотрим произвольный (зеленый) треугольник (рис. 2). На его сторонах во внешнюю

Рис. 2. Квадраты вокруг треугольника

Рис. 1. Надстройки из квадратов и правильных треугольников

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220105

сторону построим белые квадраты. Некоторые из их вершин соединим отрезками, на них снова построим во внешнюю сторону белые квадраты и т. д. В промежутках между квадратами образовались треугольники и четырехугольники, которые окрасим так, чтобы многоугольники в одном слое были окрашены одинаково, а в разных – по-разному. Тогда справедлива следующая теорема. Теорема 1. а) Все окрашенные четырехугольники являются трапециями; б) площади всех многоугольников одного и того же цвета равны; в) отношения длин оснований одноцветных трапеций равны;