Заключительный этап XLVIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

45

О ЛИМПИА ДЫ

Рис. 3

циллографа показывает, что при частоте входного переменного тока 20 кГц с амплитудой $I_{0} 10$ мА среднее значение тока $I_{2cp}$, текущего через резистор $R_{21}$, не равно нулю и составляет около 0,9 мА (рис. 3). В свою очередь, это означает, что средняя скорость «вибролодки» должна быть $v_{cp} a Z_{в} I_{2cp} I_{0}$, а в данном конкретном случае при амплитуде 5 см и частоте 1 Гц это будет 28 мм с. Другими словами, за одно колебание несбалансированного груза лодка перемещается больше, чем на половину амплитуды колебаний. Это, разумеется, произошло при сравнительно большом среднем значении коэффициента сопротивления среды $O_{сp} | 1,7$ кг с. При таком коэффициенте сопротивления лодка, двигаясь с начальной скоростью 1 м с,

останавливается, пройдя расстояние всего лишь 5,8 см. Как средняя скорость изменится при других значениях коэффициента сопротивления? А что изменится, если колебания несбалансированного тела не гармонические? И вообще, возможно ли такое вибрационное перемещение «через стенку», если среда есть, колебания не гармонические, а коэффициенты сопротивления при движении лодки туда и обратно одни и те же? Вопросов много. Один из способов ответить на эти вопросы и не только на эти – не спешить с изготовлением и испытанием «виброходов», «вибролодок», «вибролетов» и других непонятных устройств, а обратиться за помощью к динамическим аналогиям.

О ЛИМПИА ДЫ

Заключительный этап XLVIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Олимпиада проходила 17–25 апреля 2022 года в городе Саранске.

Условия задач

9 класс

1. Назовем главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a b. А.Голованов 2. См. задачу М2702 «Задачника «Кванта».

2. В строку выписаны 200 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел строки правое либо в 9 раз больше левого, либо в 2 раза меньше левого. Может ли сумма всех этих 200 чисел равняться $24^{2022}$? О.Подлипский, И.Богданов

47

О ЛИМПИА ДЫ

какую-нибудь прямую, которая касается графика синуса как выше оси абсцисс (Ox), так и ниже (и, возможно, имеет еще несколько точек пересечения)? А.Кузнецов

3. На плоскости фиксирован остроугольный треугольник ABC с наибольшей стороной BC. Пусть PQ – произвольный диаметр его описанной окружности, причем точка P лежит на меньшей дуге AB, а точка Q – на меньшей дуге AC. Точки X, Y и Z – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямую AB, из точки Q на прямую AC и из точки A на прямую PQ. Докажите, что центр описанной окружности треугольника XYZ лежит на фиксированной окружности (не зависящей от выбора точек P и Q). И.Кухарчук, М.Дидин

4. См. задачу М2705 «Задачника «Кванта». 5. См. задачу 5 для 10 класса. 6. Дано натуральное число n. Саша утверждает, что для любых n лучей в пространстве, никакие два из которых не имеют общих точек, он сможет отметить на этих лучах k точек, лежащих на одной сфере. При каком наибольшем k его утверждение верно? А.Кузнецов

5. См. задачу 8 для 10 класса. 8. Из каждой вершины треугольника ABC провели внутрь него два луча, красный и синий, симметричные относительно биссектрисы соответствующего угла. Около треугольников, образованных при пересечении лучей одного цвета, описали окружности. Докажите, что если описанная окружность треугольника ABC касается одной из этих окружностей, то она касается и другой. А.Кузнецов, И.Фролов

Победители олимпиады

9 класс

Сапрунов Егор – Санкт-Петербург, Югов Михаил – Санкт-Петербург, Парамонов Дмитрий – Санкт-Петербург, Часовских Иван – Химки Московской области, Дмитриев Лев – Санкт-Петербург, Иванов Максим – Пензенская область, Никитин Федор – Санкт-Петербург, Уткин Евгений – Саратов, Ленская Наталия – Москва, Садыков Артем – Челябинск;

10 класс

Гнусов Александр – Киров, Прозоров Павел – Санкт-Петербург, Мишуков Николай – Санкт-Петербург, Хисамутдинов Эльдар – Санкт-Петербург, Аккая Тимур – Санкт-Петербург, Гонтарь Дмитрий – Санкт-Петербург, Копосов Тимофей – Санкт-Петербург, Лахтин Антон – Свердловская область, Факанова Виктория – Москва, Климчук Александр – Москва, Латариа Мириан – Москва;

11 класс

Туревский Максим – Санкт-Петербург, Коротченко Таисия – Санкт-Петербург, Бахарев Иван – Санкт-Петербург, Мустафин Денис – Москва, Почепцов Игорь – Москва, Кузнецов Роман – Санкт-Петербург, Романов Владимир – Удмуртская Республика, Шарафетдинова Галия – Казань, Юсупова Ралина – Казань, Курин Виталий – Москва, Пескин Максим – Москва, Федоров Александр – Москва, Доценко Владислав – Москва.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, М.Антипов, А.Антропов, С.Берлов, И.Богданов, Д.Бродский, А.Голованов, М.Дидин, К.Кноп, П.Кожевников, П.Козлов, Д.Крачун, С.Кудря, А.Кузнецов, Ю.Кузьменко, Е.Молчанов, Ф.Петров, О.Подлипский, К.Сухов, Д.Терёшин, И.Фролов, А.Храбров, Д.Храмцов, Г.Челноков, О.Южаков