Квантовое туннелирование

Квантовое туннелирование

(к 125-летию квантовой физики и 100-летию квантовой механики)

Л. БЕЛОПУХОВ

ТАК В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ принято называть эффект, который получил имя туннельный. Энциклопедическое определение туннельного эффекта таково: проникновение микрочастицы в область потенциального барьера, когда полная механическая энергия частицы меньше высоты потенциального барьера. В одномерном случае на графике зависимости энергии от координаты это будет выглядеть так, как будто на пути частицы оказывается гора, которую она преодолевает в «туннеле», проходя сквозь гору и оказываясь на ее другом склоне. На самом деле, конечно, никакой горы нет. Она появляется только на графике. А в действительности в опытах, где обнаруживается такой эффект, частица в своем движении подходит к точке, где на нее действует сила, отбрасывающая ее назад, и, согласно законам классической физики, останавливается, а затем изменяет знак своей скорости. Одним словом, частица отражается словно бы от невидимой стены. Эту невидимую стену писатели-фантасты назвали силовым барьером. Но оказалось, что в микромире это не так, вернее – не совсем так. Поток микрочастиц в этой ситуации ведет себя таким образом, что часть потока действительно отражается. Но часть потока оказывается каким-то таинственным способом в области силового барьера и даже за барьером, если он имеет конечную протяженность.

DOI: https: doi.org 10.4213 kvant20250502

Особенно необычно состояние частиц в области барьера. Силовой барьер в микрофизике целесообразнее рассматривать как потенциальный барьер, т.е. такую зависимость потенциальной энергии частицы от расстояния, которая соответствует силам, не позволяющим ей проникнуть в область барьера. Если Е – полная механическая энергия, по закону сохранения одна и та же до барьера и за барьером, а $U_{0}$ – высота прямоугольного барьера, т.е. значение потенциальной энергии взаимодействия частицы с силами, действующими в области барьера, то кинетическая энергия частицы в области барьера $E_{к} E U_{0}$. И если $U_{0}$! $E, то_{к}^{E} 0$ – кинетическая энергия отрицательная, а скорость мнимая. Как это можно представить? Как принято в современной микрофизике – чисто виртуально, т.е. не ища никакого реального (наглядного) образа поведе-

Выезд из туннеля современного обтекаемого локомотива

10

Сэр Джозеф Джон Томсон

К В $АНT_{2025/№5–6}$

ния частицы в этой области. При этом если барьер имеет конечную протяженность, она называется шириной барьера, то за барьером частица попадает в область, где снова ее полная энергия больше потенциальной и кинетическая энергия положительна. Частица вновь реализуется и продолжает свое движение. По отношению к потоку частиц это означает, что часть потока не отразилась, а прошла сквозь барьер – как бы по воображаемому туннелю. Отсюда и названия «туннельный эффект», «туннелирование». А по отношению к отдельной частице математический формализм позволяет ввести величину вероятности преодоления барьера как отношение числа частиц ’ N, прошедших барьер, к числу частиц N, подошедших к барьеру: W ’ N N. Эту вероятность можно назвать коэффициентом прозрачности барьера. Не существует никакого экспериментального способа проследить за движением отдельной частицы в области барьера, например – за ее траекторией. И объяснения

туннельного эффекта в классической физике просто не существует. Под объяснением понимается создание и обсуждение наглядной модели явления. Но ведь само явление-то существует! Его заметили и начали изучать независимо от рождения квантовой физики. В начале ХХ века, в связи с бурным развитием радиоэлектроники, физики много внимания уделяли детальному изучению газовых разрядов. И в 1901 году молодой ученый Роберт Эрхарт в лаборатории Дж.Дж.Томсона в Кембридже получил неожиданные результаты в поведении ионов при газовом разряде между двумя близко расположенными электродами. Томсон предположил, что это не ошибка эксперимента, а какое-то новое явление. Практическая работа по созданию радиоламп отвлекла физиков от исследования непонятного явления. Эти исследования продолжились только в 1911 году аспирантом Томсона Францем Розером. В 1914 году он обнаружил выделение электронов (эмиссию) из катода, когда эмиссия не могла происходить из-за наличия близко расположенного другого электрода, заряженного отрицательно (в условиях глубокого вакуума). Явление было названо автоэмиссией, и никакого объяснения ему тогда не было дано. Физики Кавендишской лаборатории увлеклись в это время созданием планетарной модели атома и первыми ядерными реакциями. Но и в ядерной физике тоже были необъяснимые явления. Одно из них – вероятностный характер радиоактивных превращений ядер. Теоретическое объяснение этих непонятных явлений, связанных с наличием потенциального барьера, появилось только после создания квантовой механики в 1925 году. Немецкий физик Фридрих Хунд, российские физики Леонид Мандельштам, Михаил Леонтович и Георгий Гамов, американские физики Рональд Гёнри и Эдвард Кондон почти одновременно и независимо друг от друга применили к задачам с потенциальным барьером волновую квантовую механику, только что созданную тогда Эдвином Шрёдингером. А один из

12

К В $АНT_{2025/№5–6}$

Луи де Бройль

Предвестьем квантовой механики была гипотеза Луи де Бройля о волновых свойствах материи, высказанная им в 1923 году. К этому времени эйнштейновская гипотеза о квантовых свойствах излучения, сформулированная им еще в 1905 году, уже обрела всеобщее признание, особенно после ее блестящего применения А.Комптоном для объяснения взаимодействия электромагнитного излучения со свободными электронами. Согласно этой гипотезе, электромагнитную волну излучения можно рассматривать и как объект, имеющий корпускулярные (квантовые) механические характеристики – импульс р и энергию Е, связанные с длиной волны O соотношениями $p h O,^{E} hc O$, где h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме. Таким образом, электромагнитное излучение обладает двойственной природой (дуализм). В одних явлениях более существенны волновые свойства, в других – корпускулярные (квантовые). Но то, что подобный дуализм свойственен не только электромагнитному излучению, а каждо-

му материальному объекту, было далеко не сразу признано физиками. А это и есть сущность гипотезы де Бройля. Любой объект, имеющий импульс р, обладает в то же время некими волновыми свойствами, характеризующимися длиной волны O h p. И действительно, вскоре после опубликования статьи де Бройля и защиты им в 1924 году диссертации на эту тему, в опытах американских физиков Джозефа Дэвиссона и Лестера Джермера в 1925 году было открыто волновое явление дифракции электронов на кристаллах. В 1930 году это явление было более подробно исследовано английским физиком Джорджем Томсоном, сыном знаменитого Дж.Дж.Томсона, «открывшего» электрон в 1897 году. Началась эра электронной микроскопии. Джозеф Дэвиссон и Джордж Томсон стали нобелевскими лауреатами в 1937 году. Заметим, что Дж.Дж.Томсон старший был не только замечательным физиком, но и великим педагогом. Сам нобелевский лауреат (1906 г.), он воспитал семь нобелевских лауреатов, включая и своего сына. Но в 1924 году мало кого из физиков интересовала проблема дуализма. Одним из заинтересовавшихся был профессор теоретической физики Цюрихского университета Эдвин Шрёдингер. Ему показалась интересной идея де Бройля, высказанная им в своей диссертации, о том, что траекторию движения электрона на стационарной атомной орбите можно представить как некую стоячую волну. Используя условие стационарности стоячей волны на длине орбиты электрона и свой постулат о волновых свойств электрона, де Бройль получил для атома водорода те самые дискретные значения энергий электрона, которые за 10 лет до этого вывел Нильс Бор в своей теории и которые так хорошо подтверждались опытом. Шрёдингер стал искать уравнение, решением которого была бы эта стоячая волна. Это было нелегкой задачей. Сначала он потерпел неудачу, пытаясь представить эту стоячую волну как пространственное волнообразное распределение заряда электрона. Осенью 1925 года у Шрёдингера обострился туберкулез, и он уехал лечить его

13

К В АНТО В ОЕ

Нильс Бор

ТУННЕЛИРО В АНИЕ

в самый знаменитый альпийский курортсанаторий Ароза. В биографиях Шрёдингера иногда пишут, что он жил «в горной хижине». Так и рисуется образ средневекового отшельника. Ничего подобного. Не хижина, а комфортабельное шале. Не отшельник, а в сопровождении молодой спутницы, которая даже что-то понимала в физике. Одним словом, были все условия и для работы, и для отдыха. Там и создал тогда Шрёдингер свое знаменитое уравнение, означающее рождение новой теории, которую он назвал «волновой теорией механики атомов и молекул». Первой ее проверкой тоже было сравнение с опытными данными о спектре атома водорода. И это было не просто сравнение теории с опытом. Теория предсказывала более точные значения, которые позже получили опытное подтверждение. Окрыленный успехом, Шрёдингер послал в немецкий физический журнал статью с результатами своей работы (она была опубликована в 1926 году). Так что же колеблется в дебройлевской волне? Шрёдингер отказался от поисков наглядного образа этого колеблющегося объекта. Он просто назвал его, выбрав греческую букву, которая до этого не

употреблялась в физике, – букву \ («пси»). В дебройлевской волне колеблется \ -функция. Следовательно, она и является аргументом в уравнении Шрёдингера. В это же время немецкие физики-теоретики во главе с Вернером Гейзенбергом и Максом Борном разработали теорию, которую они назвали матричной квантовой механикой. Шрёдингер показал, что его теория дает такие же результаты, как и эта теория. С тех пор уравнение Шрёдингера считается главным содержанием $волновой^{квантовой}$ механики. Несколько позднее под влиянием Нильса Бора \ -функции был придан вероятностный смысл. Поскольку она, как решение дифференциального волнового уравнения, является комплексной величиной, а вероятность W – величина действительная, то «офизичивание» \ -функции таково: квадрат модуля \ -функции есть плотность вероятности нахождения частицы в данной точке в данный момент времени. Вероятностная трактовка \ -функции позволяет задать граничные и начальные условия для ее определения в качестве решения уравнения Шрёдингера. На одном из приведенных здесь графиков представлено решение в простейшем случае: $<_{1}$ и $<_{3}$ для областей до и после барьера и $<_{2}$ для области внутри барьера. Отношение квадратов < -функций

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер

16

К В $АНT_{2025/№5–6}$

вплоть до синтеза ядер железа. Продукты реакции (ядра и частицы) обладают большей кинетической энергией, чем исходные ядра. Наиболее важными в природе являются реакции синтеза ядер гелия из ядер изотопов водорода. Эти реакции и представляют собой сущность звезд как источников энергии. В звездах, правда, идут и другие ядерные реакции с образованием других элементов периодической системы с выделением энергии. (При синтезе более тяжелых ядер реакции уже эндотермические, т.е. требуют затраты энергии.) В первые годы после второй мировой войны на земле произошло событие особой важности – 1 ноября 1952 года на атолле Эниветок (Маршалловы острова Тихого океана) была осуществлена звездная реакция синтеза гелия из изотопов водорода – дейтерия и трития. Это был взрыв – прообраз будущих водородных бомб. В военных целях это устройство, правда, использовать было нельзя – оно имело массу 82 тонны и размером было с двухэтажный дом. Основную массу устройства представляла теплозащита, вернее, «холодозащита» жидких изотопов водорода от закипания с помощью жидкого азота. Главным конструктором этого устройства был выдающийся американский ученый и инженер Эдвард Теллер. Меньше чем через год, 12 августа 1953 года на Семипалатинском полигоне в Казахстане (СССР) было взорвано устройство, пригодное для военного использования, его масса составляла всего 7 тонн. А энергия этого взрыва была эквивалентна 400 килотоннам тротила. Здесь не место обсуждать, как это удалось. Отметим только, что своим рождением это устройство (бомба) целиком было обязано научному и инженерному таланту академика А.Н. Сахарова. Началась гонка вооружений. Испытательный взрыв самой страшной бомбы 30 октября 1961 года (по прозвищам «царьбомба» или «кузькина мать») был эквивалентен по своей энергии взрыву 58 мегатонн тротила (железнодорожный состав с

вагонами тротила длиной 30 тысяч километров!). И для этого было заложено в бомбу всего чуть больше 800 кг изотопов водорода. Отвлечемся от страшного характера этих достижений военной науки и техники. И хотя сегодня еще существуют в ядерных арсеналах США и России по полторы тысячи водородных бомб, но вероятность их страшного использования невелика и их продолжают потихоньку демонтировать. За 30 лет ядерные арсеналы уменьшились более чем в 10 раз. Еще до создания бомб, в 1950-51 годы А.Д.Сахаров вместе с И.Е.Таммом разработали принцип стационарной ядерной реакции синтеза как почти неиссякаемого источника «мирной» энергии. Она получила название термоядерной реакции. Почему? Более правильным было бы назвать ее температурноядерной. Для того чтобы двум ядрам изотопов водорода (например, дейтону, т.е. ядру дейтерия, с тритоном, т.е. ядром трития) соединиться, им нужно сблизиться на расстояние 2 фм ( 2 ˜ $10^{15}$ м). Только тогда «включатся» могучие ядерные силы и своим мощным притяжением придадут частицам скорости порядка 5 ˜ $10^{6}$ м с. Когда частиц много и они имеют такую среднюю скорость, это означает, что температура всей массы частиц будет порядка сотен миллионов и даже миллиарда кельвинов. По-видимому, именно такова температура внутренних слоев Солнца. Но на пути столкновения частиц, двух ядер дейтерия или ядра дейтерия с ядром трития, стоит потенциальный барьер кулоновских сил отталкивания. Расчеты показали, что если ядра изотопов водорода будут иметь среднюю энергию, соответствующую температуре в 20 миллионов градусов, то этот барьер частично преодолим. Вероятность туннельного эффекта будет уже достаточной для того, чтобы частицы сблизились до 2 фм и произошло слияние ядер с появлением ядра гелия и нейтрона. А вот у них средняя энергия будет уже много больше – она будет соответствовать миллиарду кельвинов.

17

К В АНТО В ОЕ

Площадка ИТЭР (вид сверху)

ТУННЕЛИРО В АНИЕ

А 20 миллионов кельвинов – это как раз та температура, которую имеет плазма «огненного шара» уранового или плутониевого ядерного взрыва. Поэтому в каждой водородной бомбе водородный «заряд» окружен слоями урана или плутония. Можно образно назвать этот урановый заряд «спичкой» для «поджигания» главного заряда – изотопов водорода. Но не простой спичкой, а «квантовой», использующей квантовый туннельный эффект. Сейчас приближается к завершению самый гигантский (по масштабам и по затратам) научный «прибор» – ИТЭР, международный термоядерный экспериментальный реактор. По проекту в импульсном режиме в течение 400 секунд на нем должна выделяться энергия в 500 МэВ при затрате на «спичку» энергии 50 Мэв, в 10 раз меньшей. «Спичкой» в этом случае являются ускоренные электрическим полем струи дейтериево-тритиевой плазмы – это так называемые гиротроны, изобретенные и изготовленные в России, которая является полноправным участником этого грандиозного эксперимента (10% расходов на изготовление отдельных элементов). А продукты реакции синтеза, ядра атомов гелия и нейтроны будут отдавать свою энергию теплоносителю. В будущем, уже не экспериментальном, а действующем, реакторе водяной пар, получающий эту энергию, будет в турбо-

генераторах рождать электрический ток. Но до этого еще далеко, по некоторым оценкам до создания первой термоядерной «электростанции» пройдет не меньше 50 лет. Тем более, что в 2021 году обнаружились серьезные дефекты в материалах труб, по которым циркулирует жидкий гелий, создающий в обмотках электромагнитов низкую температуру для их сверхпроводящего состояния. Это, по-видимому, приведет к задержке пуска ИТЭР на несколько лет. Подчеркнем, что без туннельного эффекта реактор не смог бы работать. Но становится все яснее, что туннельный эффект играет заметную роль не только в ядерной физике. Например, его роль оказалась очень важной в кинетике многих химических реакций. Велика роль этого эффекта и в полупроводниковых явлениях и приборах – туннельных диодах, вентильном фотоэффекте, светодиодах, эффекте Джозефсона и других. А туннельный эффект невозможно понять и применять без квантовой механики. Год 2025 – год столетнего юбилея этой науки, которую без преувеличения можно считать одним из самых значительных научных достижений двадцатого века. Именно так охарактеризовал значение квантовой механики нобелевский лауреат, российский физик-теоретик Лев Ландау в своем интервью в 1962 году.