Kvant 1970, số 7 · Trang

⟦không số trang⟧

Tạp chí khoa học phổ thông vật lý-toán học
Kvant
7
1970
tạp chí
của Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm Khoa học
Sư phạm Liên Xô

Tổng biên tập — viện sĩ I. K. Kioin
Phó tổng biên tập thứ nhất — viện sĩ A. N. Kolmogorov

Ban biên tập:

L. A. Artsimovich, viện sĩ
M. I. Bashmakov
V. G. Boltyansky, thành viên thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
I. N. Bronshtein
N. B. Vasilyev
I. F. Ginzburg
V. G. Zubov, viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
P. L. Kapitsa, viện sĩ
V. A. Kirillin, viện sĩ
G. I. Kosourov
V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập)
V. P. Lishevsky
A. I. Markushevich, viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
M. D. Millyuonitskov, viện sĩ
N. A. Patrikeeva
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
I. Sh. SLOBODEЧИЙ
M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập)
Ya. A. Smorodinsky, tiến sĩ khoa học vật lý-toán học
V. A. Fabrikant, viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
Ya. E. Shnaider (thư ký phụ trách)

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova.
Họa sĩ chính E. P. Leonov.
Biên tập kỹ thuật T. M. Makarova.
Đọc sửa bản in L. N. Borovina, V. P. Sorokina

Nhà xuất bản “Nauka”
Ban biên tập chính về văn học vật lý-toán học.
Moskva, V — 71, đại lộ Leninsky, 15

Gửi sắp chữ ngày 23/1V—1970. Ký duyệt in ngày 15/VII—1970.
Giấy 70×100 1/16. Tờ in thực 4. Tờ in quy ước 5,2. T—09868
Tờ xuất bản 5,67. Số lượng bản in 169404
Giá 30 kopek. Đơn đặt hàng 644
Xí nghiệp in Chekhov thuộc Glavpo-ligrafprom
của Ủy ban Báo chí trực thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô
thành phố Chekhov, tỉnh Moskva

Лý luận nhận thức
của Lênin
và các khái niệm toán học

V. G. Boltianxki,
N. Kh. Rozov

Ngay từ các lớp trung học cơ sở, sự khác biệt đặc thù của toán học so với, chẳng hạn, vật lý đã trở nên rõ ràng. Mọi định luật vật lý đều đúng với một mức độ chính xác nhất định và thường, khi kỹ thuật đo lường tiến bộ, được thay thế bằng những định luật mới, mà đối với chúng các định luật cũ chỉ còn là những gần đúng đầu tiên. Thật vô nghĩa khi tự hỏi chiều dài của một cái que là hữu tỉ hay vô tỉ. Đối với thực tiễn được hiểu theo nghĩa hẹp, các số vô tỉ là không cần thiết. Còn trong toán học, định lý nói rằng đường chéo của hình vuông không đồng đo được với cạnh của nó được coi là rất quan trọng. Việc phát hiện ra sự thật này ở Hy Lạp cổ đại được coi là một trong những bước ngoặt của toàn bộ sự phát triển toán học.

Bài viết của V. G. Boltianxki và N. Kh. Rozov được công bố ở đây chứa đựng một nỗ lực trình bày phổ biến sự đặc thù của toán học dưới góc nhìn của triết học duy vật biện chứng. Có lẽ một số bạn sẽ có thể đọc được những phần trong bài viết của tôi «Toán học» dành cho những vấn đề này ở tập 26 của lần xuất bản thứ hai của «Bách khoa toàn thư Xô viết lớn».

V. I. Lênin, như các bạn đã biết từ bài viết của I. K. Kikon («Kvant» số 4), đã phân tích chi tiết những vấn đề triết học cơ bản của vật lý. Lênin không nghiên cứu riêng các vấn đề triết học của toán học. Nhưng những phát biểu chung của ông về các vấn đề của lý luận nhận thức cũng là kim chỉ nam cho các nhà toán học.

A. N. Kolmogorov

3

Việc ký hiệu hiện thực khách quan xung quanh chúng ta, các quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội luôn luôn đã và vẫn là một bộ phận cấu thành và không thể thiếu trong hoạt động của con người, là mục đích và nhiệm vụ của sự phát triển khoa học. Việc nghiên cứu quá trình nhận thức phức tạp và nhiều mặt, việc phát hiện các quy luật khách quan của quá trình hình thành và phát triển tri thức của con người về thế giới vật chất do lý luận nhận thức — một trong những bộ phận của khoa học triết học — đảm nhiệm.

Sáng tạo phát triển lý luận nhận thức duy vật biện chứng, V. I. Lenin đã làm phong phú nó bằng những luận điểm mới, có tính nền tảng, đã nghiên cứu với chiều sâu và sự sáng rõ đặc biệt một phạm vi vô cùng rộng lớn các vấn đề liên quan đến nó. Điều đó cho phép chúng ta hoàn toàn có cơ sở nói về lý luận nhận thức của Lenin — một trong những bộ phận của khoa học triết học.

Thế giới vật chất bao quanh chúng ta, sự vận động và phát triển của nó tuân theo những quy luật khách quan, tồn tại không phụ thuộc vào con người. Các tính chất và mối liên hệ qua lại của thế giới vật chất khách quan được con người, thông qua các cơ quan cảm giác của mình, trực tiếp hoặc gián tiếp tiếp nhận, được phản ánh trong ý thức của con người. Sự quan sát sinh động, mối liên hệ cảm tính trực tiếp của con người với hiện thực khách quan trong quá trình hoạt động thực tiễn, là điểm xuất phát của nhận thức, cho phép chúng ta hình thành quan niệm về hiện thực xung quanh.

Những dữ liệu kinh nghiệm mà con người tích lũy được được tư duy trừu tượng-lôgic của họ xử lý và khái quát hóa. Chính tư duy cho phép con người, xuất phát từ các sự kiện, nhận thức được những điều không thể tiếp cận bằng các cơ quan cảm giác, cho phép thâm nhập vào bản chất của sự vật và hiện tượng, phát hiện các mối liên hệ giữa chúng, khám phá các quy luật khách quan của thế giới vật chất, tái hiện hiện thực.

Dĩ nhiên, nảy sinh câu hỏi liệu bức tranh về hiện thực được tư duy tái hiện có tương ứng với chính hiện thực đó hay không, liệu những quan niệm của chúng ta có phản ánh (và phản ánh đúng đến mức nào) tình trạng khách quan của sự vật hay không. Chỉ trong thực tiễn, chỉ khi so sánh những kết quả được mong đợi với những gì thực tế xảy ra, con người mới có thể đánh giá tính đúng đắn và giá trị của tri thức của mình. Chính thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý đối với một ý tưởng, giả thuyết hay lý thuyết nào đó.

V. I. Lenin thuộc về định nghĩa khái quát về quá trình nhận thức: «Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ đó đến thực tiễn — đó là con đường biện chứng của nhận thức chân lý, nhận thức hiện thực khách quan» *).

Trong thế giới xung quanh chúng ta không có sự vật nào không thể nhận thức được, không có sự vật nào về nguyên tắc không thể tiếp cận đối với trí tuệ con người. Tuy nhiên, sự nhận thức các sự vật, hiện tượng trong toàn bộ tính đầy đủ của chúng chỉ có thể được đưa ra bằng tổng vô hạn các khái niệm chung, các quy luật, v.v. Và việc nắm vững toàn bộ tổng thể tri thức này luôn luôn chỉ là gần đúng, tức là việc nhận thức thế giới một cách cạn kiệt có thể có được, nói theo ngôn ngữ toán học, chỉ ở giới hạn. Ở mỗi giai đoạn của sự phát triển lịch sử, tri thức của chúng ta về hiện thực chỉ mang tính tương đối và đồng thời chứa đựng trong nó một phần của chân lý tuyệt đối: một số mặt của sự vật và hiện tượng được phản ánh trong các khái niệm khoa học một cách đúng đắn hơn hoặc kém đúng đắn hơn, tương xứng hơn, những mặt khác chỉ được phản ánh một cách gần đúng hoặc thậm chí sai lầm, còn những mặt thứ ba thì nói chung vẫn chưa được biết đến.

Vận động, sự thay đổi, sự phát triển của thế giới vật chất diễn ra dưới những hình thức khác nhau; các sự vật và hiện tượng của hiện thực khách quan có những phẩm chất thích hợp và có những đặc trưng định lượng đa dạng.

Các hướng khác nhau của khoa học nghiên-
*) V. I. Lenin. Toàn tập, tập 29, trang 152—153.

4

các đặc điểm chất lượng riêng biệt của sự vật hoặc các mặt của hiện tượng, nghiên cứu một hoặc một số hình thức vận động có liên hệ với nhau của vật chất. Chẳng hạn, sinh hóa học xem xét các quá trình hóa học trong mối liên hệ của chúng với các cơ thể sống, địa lý học mô tả bức tranh về hành tinh của chúng ta và nghiên cứu các quy luật biến đổi nó bởi con người, lịch sử có đối tượng của mình là việc phát hiện các quy luật phát triển của xã hội loài người trong sự biểu hiện cụ thể của chúng, v. v.

Đặc điểm riêng của toán học là ở chỗ nó không xem xét các vật thể vật chất cụ thể, không phân tích một hình thức vận động xác định nào đó của vật chất. «Toán học thuần túy, — Ph. Ăng-ghen viết, — lấy làm đối tượng của mình các hình thức không gian và các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực…» *. Nói cách khác, toán học nghiên cứu thế giới vật chất từ một góc độ đặc biệt: đối tượng nghiên cứu của nó là chính các quan hệ số lượng (theo nghĩa triết học chung của thuật ngữ này), vốn có trong tất cả không ngoại lệ các đối tượng của hiện thực và «được đặc trưng, khác với các thuộc tính chất lượng, chỉ bởi quan hệ không phân biệt của chúng đối với bản chất cụ thể của những sự vật mà chúng liên kết…» **).

Đặc điểm này của đối tượng toán học quyết định khả năng áp dụng rộng rãi của toán học trong các khoa học khác. Sự không thể tách rời bên trong của các thuộc tính chất lượng và số lượng của các sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực tạo ra những tiền đề khách quan cho việc sử dụng các phương pháp toán học trong nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng của sinh học, địa chất học, ngôn ngữ học, v. v. Theo nghĩa này, C. Mác đã nói rằng «…khoa học chỉ đạt tới sự hoàn thiện khi nó biết sử dụng toán học» ***).

*) C. Mác và Ph. Ăng-ghen, Toàn tập, t. 20, tr. 37.
**) A. N. Kolmogorov, Toán học, Bách khoa toàn thư Xô viết lớn, t. 26, tr. 476.
***) Tuyển tập «Hồi ức về Mác và Ăng-ghen», M., 1956, tr. 66.

Toán học thường được coi là một khoa học trừu tượng, và điều đó, không nghi ngờ gì, là đúng. Chính đặc điểm của toán học, nghiên cứu các hình thức không gian và các quan hệ số lượng, quyết định tính trừu tượng đặc biệt của nó. Ph. Ăng-ghen đã từng lưu ý đến điều này: «…để có thể nghiên cứu các hình thức và quan hệ ấy ở dạng thuần túy, cần phải tách chúng khỏi nội dung của chúng, gạt nội dung này sang một bên như một cái gì không quan trọng…» *).

Nói cách khác, ở đây nói đến việc nghiên cứu, các kết quả không có được bằng kính hiển vi hoặc thuốc thử hóa học, mà chỉ bằng sức mạnh của sự trừu tượng hóa.

Mỗi sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực khách quan đều có vô số thuộc tính, phẩm chất và liên hệ không thể tách rời với các sự vật và hiện tượng khác, với toàn bộ thế giới vật chất. Tư duy của chúng ta không thể bao quát ngay lập tức tất cả các thuộc tính này và toàn bộ sự đa dạng của các mối liên hệ. Vì vậy, khi tiến hành nghiên cứu khoa học, chúng ta buộc phải chỉ tập trung sự chú ý của mình vào một hoặc một số thuộc tính của đối tượng được nghiên cứu, chỉ vào một số mối liên hệ của nó với các đối tượng khác. Đối với tất cả các thuộc tính và mối liên hệ còn lại, chúng ta không chú ý đến, tức là chúng ta tách khỏi chúng, trừu tượng hóa khỏi chúng.

Nói cách khác, mọi nhận thức tất yếu đều gắn liền với quá trình trừu tượng hóa, với các sự trừu tượng. «Tư duy, đi từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, không rời xa — nếu nó đúng đắn… — khỏi chân lý, mà tiến gần đến nó… tất cả những sự trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không vô nghĩa) đều phản ánh tự nhiên sâu sắc hơn, đúng đắn hơn, đầy đủ hơn», — V. I. Lênin nhận xét **).

Sự trừu tượng cũng có nhược điểm của mình, nhược điểm đó trước hết là ở chỗ

*) К. Marx và Ph. Engels, Toàn tập, tập 20, tr. 37.
**) V. I. Lenin. Toàn tập phổ biến, tập 29, tr. 152.

6

được cho những kích thước lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Như vậy, “ngôi nhà” thực sự tồn tại, còn “điểm vật chất” thì không.

Điều tương tự cũng có thể nói về khái niệm hình học “đoạn thẳng”. Trong tự nhiên, ta không quan sát được “ở dạng thuần túy” những vật có chiều dài và “độ thẳng”, nhưng “không có bề dày”. Do đó, khái niệm này không nảy sinh từ sự trừu tượng hóa đồng nhất hóa, mà là một sự lý tưởng hóa.

Nói chung, sự lý tưởng hóa gồm những điều sau. Trong ý thức của ta, một đối tượng thực được thay thế bằng một mô hình trừu tượng, mô hình này được tạo ra không chỉ bằng cách bỏ qua những tính chất không bản chất, mà còn bằng cách gán cho mô hình những tính chất lý tưởng hóa, phản ánh dưới dạng cường điệu những tính chất bản chất của đối tượng. Chẳng hạn, nếu ta nghiên cứu chuyển động của một thiên thể cách ta một khoảng lớn hơn kích thước của nó nhiều lần, ta có thể xây dựng một mô hình cường điệu, coi thiên thể này là một điểm vật chất. Cũng vậy, khái niệm “tiếp xúc” phản ánh dưới dạng cường điệu khả năng về sự sắp xếp tương hỗ của các vật trong thực tế.

Dĩ nhiên, điều đã nói không có nghĩa là những khái niệm nảy sinh từ sự lý tưởng hóa hoàn toàn tách rời khỏi thế giới khách quan và không có ý nghĩa thực tế. Cho phép ta đặc biệt sâu sắc và rõ ràng theo dõi những tính chất bản chất nhất của đối tượng, các khái niệm này có ý nghĩa được thừa nhận rộng rãi trong các ứng dụng thực tiễn của toán học.

Một dạng đặc biệt của sự trừu tượng hóa là sự lý tưởng hóa, tức sự trừu tượng hóa về khả năng thực hiện tiềm tàng. Nó được đặc trưng bởi sự bỏ qua những giới hạn thực tế của các khả năng kiến tạo của chúng ta, do đời sống của chúng ta trong không gian và thời gian bị hạn chế.

Dạng trừu tượng hóa này cho phép ta suy luận, chẳng hạn, về bất kỳ số lớn nào (ví dụ, về số $10^{10}$) và giả định rằng ta dường như có khả năng đạt tới nó, bắt đầu từ 1, 2, 3, 4 … v.v. Rõ ràng khả năng này chỉ là tiềm tàng: toàn bộ cuộc đời chúng ta cũng không đủ cho việc đó.

Tuy nhiên, ta bỏ qua tính không thể thực hiện trên thực tế của nhiệm vụ này, sự hạn chế của các khả năng của mình, và coi việc xét các số bất kỳ là chấp nhận được, từ đó đi đến khái niệm “dãy vô hạn các số tự nhiên”.

Kết quả của việc áp dụng dạng trừu tượng hóa này cũng xuất hiện những khái niệm như “đường thẳng” (kéo dài không giới hạn về cả hai phía), “mặt phẳng” và những khái niệm khác.

Toán học hiện đại vận hành với một số lượng khổng lồ các khái niệm không thể thu được như những sự trừu tượng hóa nguyên thủy, trực tiếp từ những tính chất của các đối tượng thuộc thế giới vật chất mà trực quan động vật có thể tiếp cận. Những khái niệm này được hình thành trong quá trình chồng lớp nhiều bậc của sự trừu tượng hóa.

Các khái niệm toán học ban đầu, sơ cấp nảy sinh từ hiện thực khách quan, phản ánh trong sự trừu tượng hóa những quan hệ số lượng và những hình thức không gian của các đối tượng hiện thực. Nhưng, sau khi nảy sinh, các khái niệm này dường như sống đời sống riêng của mình, tạo thành trong ý thức con người một thế giới riêng, tự chúng sinh ra những phản ánh tiếp theo và những khái niệm trừu tượng mới. Đến lượt mình, những khái niệm trừu tượng này lại sinh ra những sự trừu tượng mới, có thể nói, ở bậc cao hơn, v.v.

Để hiểu điều đã nói, hãy xét khái niệm “số”. Số, ban đầu xuất hiện như kết quả của việc đếm các đồ vật (sự trừu tượng hóa đồng nhất), sau đó được khái quát thành khái niệm số tự nhiên (sự trừu tượng hóa khả năng thực hiện tiềm tàng). Sau đó đưa vào khái niệm số phân số (sự trừu tượng hóa đồng nhất).

7

phân chia. Sự trừu tượng hóa tiếp theo là các số hữu tỉ (dương và âm), rồi sau đó là các số thực.

Tính chất nhiều bậc của sự trừu tượng hóa ở đây hoàn toàn rõ ràng. Tương tự như vậy, các khái niệm «số», «vectơ», «phép biến đổi hình học» và một loạt các sự trừu tượng hóa khác (liên quan, nói chung, đến các dạng không gian và các quan hệ định lượng của thế giới hiện thực) sinh ra khái niệm «nhóm», là một sự trừu tượng hóa ở bậc cao hơn.

Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng tính nhiều bậc của các sự trừu tượng hóa toán học, sự tồn tại của các sự trừu tượng hóa ở những cấp độ khác nhau có nghĩa là toán học tách rời khỏi thế giới hiện thực. Một điều rất có sức thuyết phục về mặt này là nhiều khái niệm và lý thuyết trừu tượng «tinh vi» của toán học hiện đại đã tìm được những ứng dụng quan trọng ngay trong hiện tại. Chẳng hạn, khái niệm «nhóm» và những vấn đề tinh tế của lý thuyết nhóm có những ứng dụng quan trọng trong vật lý hạt cơ bản.

Dấu ấn đặc thù lên toàn bộ toán học được đặt bởi tính chất duy nhất của các lý thuyết toán học.

Các nhà vật lý nghiên cứu, chẳng hạn, sự biểu diễn các quá trình khí, tức là khảo sát các tính chất của khí với điều kiện nhiệt độ của nó không thay đổi. Một ví dụ khác trong vật lý là việc nghiên cứu các chất lỏng siêu lạnh, tức là khảo sát các tính chất của các chất với điều kiện chúng có điểm nóng chảy ở một nhiệt độ nhất định, nhưng (do những điều kiện đặc biệt của thí nghiệm) không kết tinh mà vẫn ở trạng thái lỏng. Các định luật được phát hiện trong những điều kiện này sẽ là duy nhất khi thực hiện những giả thuyết nhất định.

Tuy nhiên, trong vật lý, các định luật cũng chỉ có ý nghĩa khi những điều kiện, giả thuyết tương ứng thực sự có thể thực hiện được. Thật vậy,

*) Khi phân chia cái toàn thể, đơn vị thành các phần, sau đó chúng ta đồng nhất các ký hiệu $1/3$, $2/6$, $3/9$, $4/12$ v.v., coi chúng biểu diễn cùng một số phân số.

nếu có ai đó xây dựng một «lý thuyết» về hành vi của các chất ở nhiệt độ thấp hơn độ không tuyệt đối, thì các nhà vật lý khó có thể tin vào nó, hoặc nó sử dụng một giả thuyết mâu thuẫn với những tính chất đã biết của thế giới hiện thực.

Trong toán học, vấn đề (ít nhất là bề ngoài) lại khác. Các vật thể xung quanh chúng ta có ba chiều, nhưng các nhà toán học đã xây dựng các lý thuyết về các không gian $n$-chiều (và thậm chí vô hạn chiều). Chúng ta biết rằng phép nhân các số có tính giao hoán: $ab=ba$, nhưng trong toán học cũng nghiên cứu những hệ số trong đó $ab\neq ba$. Có thể đưa ra những ví dụ khác về các lý thuyết mâu thuẫn với «lẽ thường».

Nhưng điều đặc trưng là những lý thuyết thoạt nhìn «kỳ quặc» này lại có những ứng dụng quan trọng khi nghiên cứu hiện thực! Chỉ cần nhắc lại, chẳng hạn, rằng lý thuyết tương đối rộng sử dụng rộng rãi không gian bốn chiều.

Ví dụ nổi bật nhất về một lý thuyết giả thuyết có ảnh hưởng đến toàn bộ toán học là hình học Lobachevsky. N. I. Lobachevsky đã thay tiên đề của Euclid về các đường song song bằng một tiên đề khác của mình (qua một điểm đã cho trong một mặt phẳng đã cho có thể kẻ vô số đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho), rồi trên cơ sở tiên đề này (và các tiên đề còn lại trùng với các tiên đề của Euclid) đã xây dựng một hình học lôgic chặt chẽ và hoàn chỉnh.

Phát hiện của N. I. Lobachevsky ở mức độ đáng kể đã dự báo sự thắng lợi hoàn toàn của phương pháp tiên đề trong việc xây dựng toán học. Bản chất của phương pháp này là tất cả các định lý đều được suy ra bằng con đường lôgic thuần túy từ một số lượng tương đối nhỏ các mệnh đề không cần chứng minh — các tiên đề. Nói cách khác, lý thuyết toán học được phát triển, được xây dựng với giả định rằng những tiên đề nhất định, được xác định trước, có hiệu lực.

Nhà toán học trong quá trình sáng tạo của mình-

8

Toán học nghiên cứu các khái niệm trừu tượng. Nó không quay trở lại với hiện thực khách quan trong mỗi lần suy luận, trực tiếp nghiên cứu không phải bản thân nó, mà chính là «thế giới các khái niệm» này. Để chứng minh định lý này hay định lý khác không cần phải mô tả và hệ thống hóa các sự kiện và hiện tượng, không cần xây dựng những thiết bị cồng kềnh và tốn kém, không cần tiến hành những thí nghiệm chính xác đến từng chi tiết.

Nghiên cứu toán học diễn ra bằng con đường hoàn toàn tư biện, tuân theo các quy luật của lôgic. Trong quá trình làm việc, nhà toán học chỉ hình dung mục tiêu là tiến hành những chứng minh định lý chặt chẽ về mặt lôgic, đầy đủ, xây dựng những lý thuyết không mâu thuẫn.

Nhưng ngoài hoạt động tư duy thuần túy lôgic, trong sự phát triển của toán học (cũng như của mọi khoa học nói chung), những khả năng sáng tạo của con người như trí tưởng tượng, trực giác cũng đóng vai trò rất lớn. Nhấn mạnh ý nghĩa của trí tưởng tượng sáng tạo, của trực giác, ý nghĩa của tưởng tượng trong quá trình nhận thức, V. I. Lenin viết: «Thật sai lầm khi nghĩ rằng nó chỉ cần thiết cho thơ ca. Đó là một thành kiến sâu sắc! Ngay cả trong toán học nó cũng cần thiết, ngay cả việc phát hiện ra phép tính vi phân và tích phân cũng không thể có được nếu không có tưởng tượng» *).

Con đường tư biện thuần túy, con đường tư duy của nghiên cứu toán học, cho phép sử dụng rộng rãi trí tưởng tượng và những kiến tạo giả thuyết, tạo ra ảo tưởng về tính độc lập của các khái niệm và lý thuyết toán học đối với thế giới khách quan, về sự thiếu vắng nội dung hiện thực trong những trừu tượng bậc cao hơn xuất hiện trong quá trình «sáng tạo tự do» của lý trí.

Thực vậy, về mặt hình thức mở ra những khả năng sau: nhà toán học đưa ra những tiên đề tùy ý, do mình nghĩ ra, và rút ra từ chúng bằng các quy luật của lôgic lý trí.

*) V. I. Lenin. Toàn tập, t. 45, tr. 125.

những hệ quả khác nhau; nếu ông ta «may mắn» và kết quả thu được là một lý thuyết không mâu thuẫn, thì có thể nói về một phát hiện toán học. Nói cách khác, nhà toán học, dường như không bị ràng buộc không mâu thuẫn với bất kỳ đối tượng hiện thực nào, cũng không với bất kỳ sự diễn đạt nào của vật chất, có thể chỉ được dẫn dắt bởi trí tưởng tượng của mình, đưa ra mọi giả thuyết và trên cơ sở đó phát triển các lý thuyết, miễn là thu được một cái gì đó lôgic không mâu thuẫn và «thú vị về mặt toán học».

Phát triển những tư tưởng tương tự, một trong những nhà toán học lớn nhất nước Pháp là Henri Poincaré (1854—1912) khẳng định rằng cơ sở của toán học (và thậm chí của khoa học nói chung) là những thỏa thuận tự do, tùy ý được chấp nhận, do con người nghĩ ra để nghiên cứu và thuận tiện cho mình. Ông cho rằng toán học là sản phẩm của «lý trí thuần túy» tự do và không phụ thuộc vào sự tồn tại của các đối tượng vật chất, không gắn liền với hoạt động thực tiễn của con người. Còn về khả năng áp dụng thực tiễn những thành tựu của toán học, thì đó chỉ là một sự trùng hợp ngẫu nhiên, mà chúng ta không có khả năng giải thích *).

Ghi nhận những cống hiến khoa học của A. Poincaré, V. I. Lenin đã phê phán gay gắt những quan niệm triết học của ông, gọi ông là «một nhà triết học rất rối rắm». Cần lưu ý rằng mặc dù chủ nghĩa duy tâm có tính không nhất quán và công khai của nó-

*) Những quan điểm tương tự đôi khi vẫn có thể gặp ngày nay. Chẳng hạn, một nhóm các nhà toán học nước ngoài nổi tiếng, hoạt động dưới bút danh Nikolai Bourbaki, đã viết, khi đề cập đến mối quan hệ giữa «thế giới thực nghiệm và thế giới toán học»: «Việc giữa các hiện tượng thực nghiệm và các cấu trúc toán học tồn tại một lý thuyết liên hệ — dường như đã được xác nhận một cách hoàn toàn bất ngờ bởi những phát hiện gần đây của vật lý hiện đại, nhưng chúng ta hoàn toàn không biết những nguyên nhân sâu xa của điều này (nếu như những từ này có thể gán cho một ý nghĩa nào đó), và có thể chúng ta sẽ không bao giờ biết được chúng» (N. Bourbaki, Những tiểu luận về lịch sử toán học, M., 1963, tr. 258).

9

Do tính chất của những quan điểm như vậy, không thể bác bỏ chúng chỉ bằng những lập luận thuần túy logic. Chỉ có quan điểm duy vật biện chứng nhất quán, sự thừa nhận thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý, mới có thể đưa ra câu trả lời đúng.

Lôgic là công cụ lao động của toán học: một mệnh đề được suy ra từ các tiền đề, tiên đề và định nghĩa theo các quy tắc lôgic được coi là đúng trong toán học. Nhưng «tính hiển nhiên», «tính sáng rõ», «tính thuyết phục» của chính các bước trong suy luận lôgic không xuất hiện tự bản thân chúng; tính hợp pháp của các phép xây dựng lôgic tìm thấy sự xác nhận của mình trong kinh nghiệm hàng thế kỷ về hoạt động thực tiễn của con người.

Chính kinh nghiệm đó xác nhận rằng các quy luật nội tại của sự phát triển tư duy lôgic đồng nhất với quy luật phát triển của hiện thực khách quan. F. Engels đã viết về điều này: «Trên toàn bộ tư duy lý luận của chúng ta chi phối với sức mạnh tuyệt đối sự kiện rằng tư duy chủ quan của chúng ta và thế giới khách quan đều chịu sự chi phối của cùng những quy luật và vì thế chúng không thể mâu thuẫn với nhau trong những kết quả của mình, mà phải phù hợp với nhau»*).

Như vậy, yêu cầu về tính chặt chẽ toán học hình thức, tức là tính chính xác của định nghĩa, sự chứng minh đầy đủ các định lý, tính không mâu thuẫn của lý thuyết v.v., chính là một trong những mặt biểu hiện đặc thù của tiêu chuẩn thực tiễn trong toán học.

*) C. Marx và F. Engels, Tuyển tập, tập 20, tr. 581.

Tuy nhiên, bản thân tính chặt chẽ toán học không thể hoàn toàn thay thế tiêu chuẩn thực tiễn, không phải là sự bảo đảm đầy đủ cho tính chân lý của tri thức toán học, tức là cho sự phản ánh đúng đắn hiện thực khách quan của con người.

Bởi vì vấn đề về sự phù hợp của các tiền đề được chấp nhận trong lý thuyết với tính hiện thực của hành động cũng có ý nghĩa quan trọng. Vấn đề này đã vượt ra ngoài phạm vi thẩm quyền của lôgic và chỉ có thể được giải quyết trong quá trình hoạt động xã hội tự do (trong đó có hoạt động khoa học) của con người. Chỉ kinh nghiệm của hoạt động này mới có thể phân biệt những «lý thuyết» hoàn toàn lôgic, được xây dựng trên những giả thuyết và tiên đề không hiện thực, tưởng tượng, với những lý thuyết khoa học chân chính, đưa chúng ta đến gần hơn với sự nhận thức các chân lý khách quan.

Thực tiễn khoa học-lịch sử chứng tỏ rằng những khái niệm toán học ban đầu và các tiên đề mô tả chúng được lấy từ đời sống và là sự phản ánh những thuộc tính khách quan của các sự vật hiện thực. Vì lôgic của các khái niệm phản ánh lôgic khách quan của sự vật, tức là những mối liên hệ khách quan của các đối tượng trong thế giới toán học, nên các khái niệm và lý thuyết mới có mối liên hệ về nguyên tắc với thế giới hiện thực và vì vậy một cách có quy luật, chứ hoàn toàn không phải ngẫu nhiên, tìm thấy ngày càng nhiều ứng dụng mới trong hoạt động khoa học và thực tiễn của con người.

Quá trình «toán học hóa» tri thức đang diễn ra hiện nay, còn được thúc đẩy mạnh hơn bởi sự phát triển của kỹ thuật tính toán, hoàn toàn xác nhận sức mạnh của các phương pháp toán học và mối liên hệ hữu cơ của chúng với đời sống.

10

CHÂN DUNG
TRÁI ĐẤT

Chân dung, mô hình, bản đồ

Sơ đồ, bản vẽ, kế hoạch, ảnh chụp, chân dung do các họa sĩ và nhà thiết kế thực hiện — tất cả đều là những mô hình của các đối tượng được chúng mô tả («bản gốc»). Mô hình là một dạng thay thế cho chính đối tượng được mô tả. Mỗi mô hình, được làm giàu bằng thông tin về «bản gốc» được mô tả, đồng thời không tái hiện một loạt đặc điểm của «bản gốc», bỏ qua chúng, hay như người ta nói, trừu tượng hóa khỏi chúng. Điều này cũng dễ hiểu: một mô hình «hoàn chỉnh», là bản sao chính xác của «bản gốc», xét về sự thuận tiện trong nghiên cứu sẽ không có bất kỳ ưu điểm nào so với nó. Vì mục đích đơn giản hóa quá trình nhận thức, người ta phải hy sinh tính đầy đủ của nó. Theo quy luật, hình ảnh phẳng của một đối tượng không gian làm biến dạng hình dạng của bản gốc. Một trong những đối tượng như vậy là quả địa cầu, và bài viết này dành cho các phương pháp tạo ra «chân dung» của nó, tức là nói đơn giản, các bản đồ địa lý. Có rất nhiều phương pháp này (tùy theo mục đích của bản đồ). Nhưng dù đa dạng đến đâu, tất cả chúng theo cách này hay cách khác đều bao gồm và biến đổi hai «chủ đề» cơ bản: phép chiếu và trải lên mặt phẳng.

V. N. Berezin,
M. L. Smolyansky

11

«Bức tượng bán thân của Trái Đất» — quả địa cầu

Trước khi chuyển sang các phương pháp khác nhau để biểu diễn bề mặt Trái Đất trên bản đồ, hay còn gọi là các phép chiếu bản đồ, hãy nói vài lời về «chân dung điêu khắc» của Trái Đất, có thể xem là giai đoạn trung gian để tạo ra những «chân dung» khác, — nói cách khác, về quả địa cầu mà mọi người đều biết rõ.

Việc hành tinh của chúng ta có hình dạng gần với hình cầu đã được các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại nhận thức khá rõ, chủ yếu dựa trên những quan sát của các nhà hàng hải và du khách. Dĩ nhiên, bản thân những quan sát này chỉ cho phép khẳng định rằng phần Trái Đất mà người Hy Lạp biết đến, — tức là những phần của châu Âu, châu Á và châu Phi trực tiếp tiếp giáp với Địa Trung Hải, Biển Đen và phần phía đông của Đại Tây Dương, — là lồi. Không có gì đáng ngạc nhiên khi trong nền văn hóa phát triển cao về tư duy trừu tượng của người Hy Lạp, những dữ liệu khá gián tiếp này đã cho phép các nhà khoa học thời đó đưa ra giả thuyết táo bạo về tính khép kín của bề mặt Trái Đất. Hình dạng của bóng Trái Đất trên bề mặt Mặt Trăng trong thời gian nguyệt thực (việc nhận thức rằng đó là bóng của Trái Đất tự nó đã là một thành tựu khó có thể đánh giá quá cao), cũng như những lập luận suy luận,

thu hút dưới hình thức này hay hình thức khác những quan niệm về tính đối xứng, đã dẫn đến niềm tin rằng Trái Đất — là một quả cầu.

Có thể phán đoán người Hy Lạp hình dung «khuôn mặt» của Trái Đất như thế nào qua bản đồ địa lý cổ nhất còn được lưu truyền đến chúng ta (trong các bản sao tiếng Latinh về sau), do nhà khoa học Hy Lạp nổi tiếng Claudius Ptolemy lập nên (khoảng 150 năm trước Công nguyên). Ptolemy, sử dụng lưới tọa độ do Hipparchus đưa vào trước đó, cố gắng trải bề mặt cầu của Trái Đất lên mặt phẳng (hình 1). Các kinh tuyến được biểu diễn bằng những đường gấp khúc hai chiều, còn các vòng vĩ độ — bằng các cung của đường tròn, trong đó cung trên tương ứng khoảng với vòng cực, cung dưới — với xích đạo, còn đường phân cách hình nón cụt của đới ôn hòa với hình trụ xích đạo (vĩ độ 0°) — với chí tuyến Bắc. Dọc theo các kinh tuyến giữ nguyên một tỉ lệ không đổi (các cung đồng tâm của các đường vĩ tuyến cách nhau qua mỗi 10° bằng những khoảng trung gian bằng nhau). Hiểu rằng về phía nam của xích đạo các đường vĩ tuyến lại phải thu nhỏ, do đó nửa dưới của phép trải phải được tách khỏi phần trên mà ông đã biểu diễn bằng một đường cắt. Ptolemy không cố gắng biểu diễn Nam bán cầu. Từ phía nam châu Phi và phía đông châu Á, ông buộc phải kéo dài bằng vùng đất giả định Terra incognita («Đất chưa biết»), ở phía nam Ấn Độ Dương chuyển thành «Đất Sao» (Terra australia; tên gọi này về sau được gán cho lục địa thứ năm được phát hiện ở khoảng những vùng ấy). Bản đồ của Ptolemy được thực hiện, như các nhà bản đồ học hiện đại sẽ nói, trong «phép chiếu tùy ý». Điều đáng chú ý hơn nữa là độ chính xác mà trên đó tọa độ (đặc biệt là vĩ độ) của nhiều thành phố và cảng được ghi lại.

Ptolemy còn đưa ra một phép chiếu khác, theo quan điểm của ông là đẹp hơn và đúng hơn, nhưng kém thuận tiện hơn cho các phép dựng thực tế.

12

Hình 2.

Hãy để chính Ptolemy lên tiếng *): “… chỉ có thể hình dung kinh tuyến giữa là đường thẳng, với mặt phẳng của nó trùng với trục nhìn. Còn các kinh tuyến ở hai bên nó thì dường như quay phần lõm về phía nó, và uốn trở lại khi càng xa nó (hình 2).

Bản vẽ sau truyền đạt điều đó, đồng thời giữ đúng sự tương ứng cần thiết của các độ cong. Hơn nữa, tỷ lệ tương hỗ giữa các đường vĩ tuyến truyền đạt chính xác nhất có thể quan hệ thực sự giữa các vĩ tuyến…

Nhờ tất cả điều đó, phương pháp thứ hai có lẽ có ưu thế hơn phương pháp thứ nhất, nhưng lại kém nó về sự tiện lợi khi thực hiện bản vẽ. Ở đó chỉ cần vẽ một đường vĩ tuyến, chia nó thành các đoạn và đặt lên bản đồ bất kỳ điểm nào bằng cách áp và di chuyển thước. Còn ở đây không có sự tiện lợi ấy, vì các đường kinh tuyến tiến đến kinh tuyến giữa theo đường cong, và ngoài ra còn phải vẽ tất cả các đường tròn, còn vị trí của các điểm nằm trong những khoảng trống của lưới so với các cạnh bao quanh của hình vuông thì phải xác định bằng tính toán dựa trên các điểm đã đặt lên bản đồ. Vì_

*) «Địa lý cổ đại», do giáo sư M. S. Bodnarsky biên soạn, Địa lý, 1953.

Hình 3.

vậy, mặc dù cá nhân tôi trong công việc và trong tác phẩm này thích cái tốt hơn và khó hơn cái xấu hơn và dễ hơn, vẫn cần tuân theo cả hai phương pháp đã được xác lập, xét đến những người mà sự nhàn rỗi lôi cuốn về phía cái dễ hơn…”

Có lẽ cũng vào khoảng thời gian ấy (giữa thế kỷ II trước Công nguyên) đã chế tạo quả địa cầu đầu tiên trong số những quả địa cầu được biết đến. Quả địa cầu này, do triết gia Crates xứ Mallus làm ra, không còn lưu lại và chỉ được biết qua các mô tả muộn hơn; khi đánh giá độ chính xác của nó, không thể không tính đến tính sơ lược của những mô tả ấy. Tri thức của thời đại đó hoàn toàn phù hợp với việc trên quả địa cầu có hình lục địa Oikoumene (“Vùng có người ở”), gồm Á-Âu và châu Phi (Crates dĩ nhiên có cơ sở cho điều đó, vì eo đất Suez thực sự chỉ bị cắt bởi một con kênh muộn hơn nhiều). Tỷ lệ của những đường nét quen thuộc đối với chúng ta của đường bờ biển (đặc biệt ở các vùng ngoại vi) bị sai lệch đáng kể, nhưng vị trí tương hỗ của những yếu tố đặc trưng của bản đồ như các biển Địa Trung Hải, Đen, Đỏ và Trắng, vịnh Ba Tư, bán đảo Ả Rập và các bán đảo phía nam châu Âu được truyền đạt nhìn chung đúng.

Quả địa cầu của Crates (khác với bản đồ chi tiết hơn nhiều của Ptô-

13

Hình 4.

lemeya) đóng vai trò, rấtindo, chủ yếu là minh họa. Còn sự xuất hiện trên đó của những chi tiết kỳ lạ như các lục địa đối xứng với Oikumene qua đường xích đạo, được cho là có người «Antếc», và các lục địa ở phía bắc và phía nam của bán cầu đối diện (nơi cư trú của «Perizki» và «Antipod») có thể, xin giải thích, bởi sự khao khát vô thức đối với «đối xứng», nhân tiện, rất đặc trưng cho cả khoa học hiện đại. (hình 3)

Đến ngày nay vẫn còn một quả địa cầu (xem hình đầu bài), được chế tạo bởi cư dân Nürnberg Martin Behaim muộn hơn nhiều — vào đúng năm 1492, năm mà để kỷ niệm việc Columbus phát hiện ra châu Mỹ, người ta bắt đầu coi là ranh giới quy ước giữa thời trung cổ và thời cận đại. Trên quả địa cầu Bihheim có đường kính một mét và đặc biệt là trên bản đồ (xem hình 4), được chế tạo nhờ quả địa cầu này, có thể thấy rõ rằng các nhà địa lý thời đó đã đánh giá quá cao kích thước của châu Á, và con đường từ Tây Ban Nha đến các bờ biển phía đông của nó (Trung Quốc và Ấn Độ) vì thế được họ ước tính nhỏ hơn thực tế gần gấp đôi.

Sai lầm dĩ nhiên vẫn là sai lầm, nhưng khách quan mà nói, những quan niệm này chắc chắn đã góp phần vào sự lạc quan của Columbus, truyền cảm hứng cho ông thực hiện ý tưởng táo bạo là tới các bờ biển phía đông của châu Á, đưa những chiếc caravel của mình luôn đi về phía tây.

Từ «mô hình» đến «chân dung»

Nhưng hiện nay, khi các quả địa cầu được chế tạo khá tốt, điều gì cản trở việc sử dụng chúng trong mọi trường hợp cần bản đồ? Hay chúng cũng không tránh khỏi sự biến dạng — chẳng hạn không tính đến việc Trái Đất bị dẹt ở hai cực hoặc địa hình núi non của nó? Không, điều này ở đây không quan trọng lắm: sự khác biệt giữa bán kính cực và bán kính xích đạo của Trái Đất không vượt quá 0,3% của bất kỳ bán kính nào trong số đó, còn chiều cao của đỉnh núi cao nhất — Jomolungma — khoảng 0,1% bán kính Trái Đất (và độ sâu lớn nhất của đáy đại dương cũng xấp xỉ cùng bậc), vì vậy trong phạm vi độ chính xác kích thước khi chế tạo, các yếu tố này hầu như hoàn toàn không nhận thấy được; thuận tiện hơn nhiều là biểu diễn địa hình trên bản đồ hoặc quả địa cầu bằng các «đường mức», tô màu các khoảng giữa chúng bằng những màu khác nhau để dễ quan sát. Bản chất của vấn đề rất đơn giản: quả địa cầu kém tiện dụng hơn bản đồ — chẳng lẽ người ta lại thay hộ chiếu bằng tượng bán thân và phù điêu của chủ nhân!

Nhưng khi có quả địa cầu, ta có thể nghĩ đến cả việc «trải phẳng» nó — dù chỉ gần đúng. Để chế tạo chân dung của Trái Đất, chúng ta cần một mô hình thu nhỏ của nó.

Hiểu được cách quả địa cầu được «trải phẳng» thành bản đồ, chúng ta đồng thời sẽ tiến tới việc hiểu một bài toán ngược cũng không kém phần thú vị: làm thế nào từ những hình ảnh phẳng của các mảnh bề mặt Trái Đất thu được bằng chụp ảnh hàng không có thể khôi phục lại hình dáng thật của vật thể ban đầu — Trái Đất.

Bây giờ hãy nhớ lại cách tạo ra các hình khai triển của bề mặt. Với một đa diện, chẳng hạn, có thể cắt gần như tất cả các cạnh, chỉ để lại mỗi mặt một cạnh chưa cắt để bề mặt không tách thành từng mảnh. Các hình trụ và hình nón còn được khai triển đơn giản hơn. Mô hình của hình trụ (chính xác hơn là mặt trụ), bạn sẽ nhận được,

14

Рис. 5.

dán hai cạnh đối diện của một tờ giấy phẳng lại với nhau, còn mô hình hình nón thì chỉ đơn giản là một miếng giấy. Chỉ cần cắt một trong các mô hình này theo đường sinh và đặt mảnh giấy thu được lên bàn — thế là phép khai triển đã hoàn thành! Độ dài của các đường được vẽ trên các mặt ban đầu cũng được giữ nguyên trên các hình khai triển (chỉ có điều đường — nếu nó cắt đường sinh nơi thực hiện vết cắt — sẽ được khai triển thành hai phần).

Nhưng Trái Đất của chúng ta là một hình cầu. Như Leonhard Euler đã chứng minh vào năm 1777, không một phần nào (dù nhỏ đến đâu!) của mặt cầu có thể được khai triển lên mặt phẳng mà vẫn giữ nguyên tất cả các khoảng cách. Ý tưởng của chứng minh Euler rất đơn giản. Cho dù ta lấy phần nhỏ nào của bề mặt cầu trên quả địa cầu, ta đều có thể chọn trong đó một «chiếc mũ» tròn. Do mọi điểm trên mặt cầu hoàn toàn bình đẳng với nhau (mỗi đường kính đều là trục đối xứng của nó), ta có thể coi tâm của «chiếc mũ» này là cực, còn biên của nó — là một đường vĩ tuyến. Khoảng cách giữa các điểm của chiếc mũ, dĩ nhiên, phải được đo theo bề mặt của chiếc mũ. Cụ thể, khoảng cách từ cực đến bất kỳ điểm nào trên biên của chiếc mũ sẽ bằng độ dài $r$ của cung kinh tuyến tương ứng (hình 5). Nghĩa là trên hình khai triển không làm biến dạng kích thước, đường vĩ tuyến này phải được biểu diễn trên mặt phẳng bằng một đường tròn bán kính $r$ và do đó có độ dài $2\pi r$. Nhưng dễ dàng chứng minh (hãy tự làm điều đó!) rằng trên thực tế độ dài của đường tròn của chúng ta nhỏ hơn $2\pi r$. Mâu thuẫn nhận được chứng minh rằng không thể có sự khai triển chính xác lên mặt phẳng ngay cả của chiếc mũ nhỏ nhất bị cắt ra từ mặt cầu, và nói chung của bất kỳ phần nhỏ nào của mặt cầu.

«Bản đồ vi mô» — các bản đồ

Từ chứng minh của định lý Euler (và ngay cả chỉ từ những nhận xét của «lẽ thường») có thể thấy rằng, khi nói đến những phần rất nhỏ của bề mặt Trái Đất, việc thay thế những «chiếc mũ» nhỏ như vậy bằng những hình tròn phẳng làm sai lệch các kích thước đưa lên bản đồ càng ít khi đường kính của hình tròn càng nhỏ. Cuối cùng, vấn đề quy về việc độ chính xác biểu diễn nào thực sự cần thiết đối với chúng ta. Việc đánh giá sai số cho phép rất đơn giản (xem bài toán ở trang 25) và trong từng trường hợp cụ thể cho phép trả lời câu hỏi này một cách hợp lý.

Giả sử một kiến trúc sư lập kế hoạch xây dựng thành phố hoàn toàn không quan tâm đến hình dạng của toàn bộ quả cầu Trái Đất — một cái khe núi nào đó dĩ nhiên sẽ làm ông ta bận tâm nhiều hơn nhiều so với những vấn đề «vũ trụ» như vậy! Địa chất gia tiến hành thăm dò một mỏ cụ thể cũng chẳng quan tâm nhiều đến độ cong của Trái Đất — đối với ông ta, những độ dốc địa phương đủ loại và những «sự không đều» khác có thể ảnh hưởng đến việc lựa chọn vị trí khoan giếng mới là điều quan trọng hơn nhiều. Nói ngắn gọn, khi nói đến việc lập bản đồ những khu vực nhỏ, chúng ta có thể mạnh dạn giống như người Ai Cập cổ đại, những người đã lập bản đồ (đó là tên gọi chung của các «bản đồ vi mô» này) các khu vực trên bề mặt Trái Đất từ năm nghìn năm trước, hoàn toàn bỏ qua độ lồi của Trái Đất nói chung. Yêu cầu duy nhất đối với bản đồ là:

15

Hình 6.

ở chỗ đó là đối với các điểm tùy ý $A, B, C$ và $D$ trên bề mặt phần Trái Đất được biểu diễn và các ảnh của chúng trên bản đồ — các điểm $A', B', C'$ và $D'$ với độ chính xác đủ cao phải có đẳng thức $\frac{A'B'}{AB} = \frac{C'D'}{CD}$.

Giá trị của tỉ số $\frac{A'B'}{AB}$ một cách tự nhiên được gọi là tỉ lệ biểu diễn của đoạn $AB$; như vậy, điều kiện của chúng ta biểu thị nguyên tắc tính không đổi của tỉ lệ. Từ định lý Euler tất nhiên suy ra rằng không thể có tỉ lệ biểu diễn hoàn toàn không đổi đối với một mảnh bề mặt Trái Đất. Vì vậy, trong mỗi trường hợp cụ thể người ta xác lập giá trị sai số cho phép chấp nhận được và coi bản đồ là «đúng» nếu sai số không vượt quá tiêu chuẩn đã đặt ra.

Những quan hệ hình học rất đơn giản và trực quan (xem hình 6) thuyết phục chúng ta rằng tất cả các kinh tuyến (các đường có kinh độ không đổi) đều bằng nhau, còn tất cả các vĩ tuyến (các đường có vĩ độ không đổi) giảm dần từ xích đạo đến các cực từ $2\pi R_{земли}$ đến không («vĩ tuyến 90» suy biến thành một điểm — cực). Từ đó ngay lập tức suy ra rằng các đoạn kinh tuyến nằm giữa những vĩ tuyến lân cận trên quả địa cầu bằng nhau, còn các đoạn vĩ tuyến nằm giữa những kinh tuyến lân cận giảm dần theo hướng từ xích đạo đến các cực.

Cũng dễ dàng kiểm tra rằng tất cả các góc giữa các vĩ tuyến và kinh tuyến tại các điểm giao nhau của chúng (tức là các góc giữa các tiếp tuyến với những đường cong này tại các điểm đã cho) đều là góc vuông.

Một chút nữa về lịch sử

Những hiện tượng địa lý quen thuộc này của ngành bản đồ học (thế kỷ XV), nếu có phát triển, thì đã phát triển phần lớn một cách tự phát. Các bản đồ thời trung cổ còn lại thường thậm chí là một bước lùi đáng kể so với bản đồ Ptolemy được mô tả ở trên. Ví dụ có thể là cái gọi là bản đồ Hereford (năm 1280), một hình ảnh khá kỳ lạ mang tính tưởng tượng về Trái Đất tròn và phẳng, không cần những lời bình luận đặc biệt và có lẽ chỉ có giá trị lịch sử (hình 7).

Đối với những người đi biển, tuy nhiên, ngay từ thời đó người ta đã lập ra các bản đồ hàng hải chuyên biệt (hình 8) — gọi là các bản đồ portulan (hoặc portolan), được trang bị cùng với lưới tọa độ (việc họ có sử dụng nó hay không và nói chung, ngoài các phương pháp thuần túy kinh nghiệm, những người lập portulan đã sử dụng gì — rất khó nói chính xác) cái gọi là «hoa gió» — các hướng của «đường rhumb», tương ứng với các vạch chia của mặt chia độ (thang tròn) của la bàn từ, —

⟦trang 17⟧

đã thay đổi ở châu Âu từ thế kỷ XII (hình 9). Chúng cho phép vạch lộ trình của tàu trên bản đồ mà không cần bất kỳ phép tính bổ sung nào, bằng cách dùng cái gọi là thước hàng hải (nhân tiện, vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay) kẻ qua điểm vị trí của tàu một đường thẳng song song với đường la bàn tương ứng (hình 10).

Dĩ nhiên, các thủy thủ quan tâm đến việc hướng của hải trình lệch khỏi meridiana một số độ nhất định phải giống nhau ở mọi điểm trên bản đồ. Muốn vậy, cần (mặc dù dĩ nhiên là chưa đủ) rằng các kinh tuyến và vĩ tuyến được biểu diễn trên bản đồ bằng các đường thẳng. Việc đáp ứng yêu cầu này đồng thời với độ chính xác biểu diễn xứng đáng lần đầu tiên đã đạt được bởi Gerard Mercator, người mà tên tuổi thường gắn liền với sự khởi đầu của ngành bản đồ học khoa học. Bản đồ thế giới Mercator, được công bố trên 18 tờ riêng biệt vào năm 1569, cho đến nay vẫn không mất đi ý nghĩa của nó. (Trong hình ở trang 18 có trình bày một phần của bản đồ này).

Sự tiến bộ mạnh mẽ của tri thức địa lý nói chung và của ngành bản đồ học nói riêng là đặc trưng của các thế kỷ XVI—XVII: sự phát minh ra đồng hồ toán học (X. Huygens, năm 1675),

19

Hình 12.

và sau đó là đồng hồ bấm giờ đã cho phép xác định với độ chính xác lớn kinh độ địa lí của một điểm (việc xác định vĩ độ từ thời Hi Lạp cổ đại đã khá tốt), đã xuất hiện nhiều hệ phép chiếu khác nhau, thích ứng với những nhu cầu khác nhau và dựa trên những nguyên lí khác nhau. Bản đồ (hình 11) thuộc thời kì ấy, biểu diễn toàn bộ bề mặt Trái Đất dưới dạng hai “bán cầu” (de Wit, năm 1700). Dưới đây chúng ta sẽ làm quen với một vài phép chiếu bản đồ tương đối đơn giản về ý tưởng. Tất nhiên, đó chỉ là những nét riêng lẻ của bản đồ học — khoa học gắn với những tên tuổi như Euler, Gauss, Chebyshev, Lambert.

Phép chiếu vuông

Hãy tưởng tượng một quả địa cầu được chế tạo dưới dạng một quả bóng hình cầu hoàn toàn chính xác, mà vỏ được làm bằng vải, dễ co giãn theo một hướng và hoàn toàn không co giãn theo hướng vuông góc với nó. Chẳng hạn, có thể coi các sợi ngang là cao su, còn các sợi dọc là thép, trong đó các sợi cao su khép kín và siết quả bóng-địa cầu của chúng ta theo các vĩ tuyến, còn các thanh thép mảnh, mềm, vuông góc với chúng ôm sát địa cầu theo các kinh tuyến, tiếp giáp nhau bằng các đầu tại các cực. Vì các đầu kinh tuyến không gắn với nhau, có thể, bằng cách kéo giãn nhẹ các vĩ tuyến cao su gần cực, luồn một que cứng mảnh vào các lỗ tạo thành. Tuy nhiên, không nhất thiết phải mảnh. Ai ngăn chúng ta kéo giãn các vĩ tuyến mạnh hơn? Hãy làm như vậy và đẩy vào các lỗ, đã kéo giãn đến kích thước của xích đạo, một “que dày”, tức là một hình trụ tròn xoay thẳng có cùng bán kính với quả địa cầu hình cầu của chúng ta (hình 12).

Thế là chúng ta đã “vượt qua” định lí Euler: bởi vì hình trụ thu được, nếu cắt dọc theo bất kì nửa kinh tuyến nào (có thể tưởng tượng rằng các vĩ tuyến cao su, để sau thao tác này chúng không co lại như cũ, trước khi cắt đã được xử lí nhiệt đặc biệt làm mất khả năng co và giãn tiếp), trải ra mặt phẳng một cách tuyệt vời! Dĩ nhiên, đây không hơn gì một trò đùa, — điều kì diệu “vượt qua” đã không xảy ra: bởi vì mọi vĩ tuyến (trừ xích đạo) đều bị kéo giãn, và đường nét của các lục địa và đảo cũng bị kéo giãn theo chiều ngang. Sự kéo giãn này, tất nhiên, đặc biệt rõ ở các vùng gần cực.

Ta đã thu được hình ảnh quả địa cầu dưới dạng một hình chữ nhật, mà đáy của nó (bằng xích đạo),

⟦trang 21⟧

Hình 14.

Trông như vậy khi tiến gần đến cực, đường loxodrom trên địa cầu, và sự vô hạn của «bản triển khai kéo dãn» của nó có lẽ sẽ không còn làm bạn ngạc nhiên.

Một sự kéo dãn nữa. Phép chiếu Mercator

Bây giờ, hãy thử một phút đặt mình vào vai Mercator, khó chịu ngắm nhìn những đường nét bị ép dẹt một cách vô lý của Scandinavia và Canada trong phép chiếu vuông (khi ấy, tạ ơn Chúa, người ta chưa biết Nam Cực,— nếu không thì ông còn được chiêm ngưỡng hình ảnh của ai nữa!). Nhưng tính không thẩm mỹ của bản đồ, rốt cuộc, còn có thể chịu đựng được. Và sự kéo dãn các khoảng cách dọc theo các vĩ tuyến cũng không làm ai lầm lẫn, vì ta đã biết quy tắc xác định khoảng cách thực. Không phải gương cong là đáng sợ, mà là sự tin chắc vào tính đúng đắn của nó.

Điều khác còn tệ hơn: bản đồ trong phép chiếu vuông không thuận tiện cho các thủy thủ, những người quan tâm không nhiều đến độ chính xác khi đo khoảng cách, mà đến khả năng dễ dàng «vạch» trên bản đồ một hải trình không đổi, nói cách khác, đến tính thẳng của các đường loxodrom. (Ta nhớ rằng ngay trong các «hải đồ» cũ, mặc cho toàn bộ tính thủ công của chúng, yêu cầu này vẫn được thỏa mãn hoàn toàn với độ chính xác đủ cho thực hành.) Vì thế, điều gây khó chịu ở hình 14 không phải là sự ép dẹt của bản đồ, mà là hình dạng của đường loxodrom.

Có thể làm thẳng nó không? Vì sao nó lại cong? Do bản đồ bị kéo dãn theo vĩ độ $\frac{1}{\cos \varphi}$ lần chăng?— Tuyệt! Vậy ai có thể ngăn chúng ta kéo dãn các kinh tuyến của lưới tọa độ vuông cũng $\frac{1}{\cos \varphi}$ lần!? Các hình vuông của lưới tọa độ cũ nay kéo thành các hình chữ nhật, và bản đồ không còn có tỉ lệ không đổi dọc theo các kinh tuyến (xem hình 15, trong đó mọi vòng tròn đều biểu diễn những phần bằng nhau; đường màu xanh biểu diễn đường loxodrom). Bù lại, trên bản đồ Mercator, góc giữa hai đường thẳng cắt nhau trên địa cầu vẫn không đổi. (Hãy thử chứng minh!) Những phần đủ nhỏ của bề mặt Trái Đất được thể hiện «gần như» bảo toàn đồng dạng (chẳng hạn, một đường tròn bán kính 500 km được biểu diễn trên bản đồ Mercator bằng một hình bầu dục khép kín, mắt thường không phân biệt được với đường tròn). Và các đường loxodrom, dĩ nhiên, là các đường thẳng.

Khi tiến gần đến các cực, sự kéo dãn của tỉ lệ theo phương thẳng đứng trong phép chiếu Mercator tăng lên không giới hạn, do đó bản đồ đầy đủ của Trái Đất trong phép chiếu này sẽ là

22

Рис. 15.

Hình 15.

là phép khai triển của một hình trụ có chiều cao vô hạn và sẽ đòi hỏi một tờ giấy vô hạn để biểu diễn nó. Vì vậy các vùng gần cực trên những bản đồ như vậy không được biểu diễn (dĩ nhiên, trong trường hợp này các ranh giới trên và dưới của bản đồ được xác định hoàn toàn tùy ý, vì sự tiện lợi; chẳng hạn, hình 15 bị giới hạn phía trên bởi vĩ độ 85, phía dưới — 30).

Và còn hai nhận xét nữa. Thứ nhất, sự tái dựng của chúng ta về quá trình suy nghĩ của Mercator hoàn toàn có thể không trùng với quá trình suy nghĩ thực sự của ông; đơn giản là chúng tôi thấy rằng nói về điều này theo cách ấy là dễ nhất. Tiếp theo cần lưu ý rằng kết luận về sự kéo giãn của bản đồ dọc theo các kinh tuyến lên $\frac{1}{\cos \varphi}$ lần, mà chúng ta thu được «bằng đầu ngón tay», để chứng minh chặt chẽ (mặc dù không phức tạp) sẽ đòi hỏi phải nắm được những yếu tố của giải tích toán học, bao gồm logarit tự nhiên và những khái niệm ban đầu của phép tính vi phân và tích phân*). Nhân tiện, bản thân Mercator trên thực tế cũng không làm điều này — lời giải chặt chẽ của bài toán «làm thẳng các đường thuyền» chỉ được Richard

*) Những kiến thức này, chẳng hạn, có thể tìm thấy trong các sách của P. Курант và G. Роббинс «Toán học là gì?» (M., 1967) hoặc của Н. Я. Виленкин và С. И. Шварцбург «Giải tích toán học» (M., 1969).

Wright từ Cambridge thu được sau đó ba mươi năm (chính trong cách biên tập của ông mà những ấn bản hiện đại của cái mà ở nước ta gọi là «phép chiếu Mercator» được xuất bản).

Phép chiếu hình trụ Lambert

Hãy xét thêm một phép chiếu nữa với lưới vuông góc; nó được tạo ra rất đơn giản. Bao quanh quả địa cầu bằng một hình trụ tròn đứng (tiếp xúc với nó theo đường xích đạo và trong các dải) và chiếu bề mặt quả địa cầu lên mặt bên của nó (không có các dải!) sao cho tia chiếu đối với mỗi điểm của bề mặt này là đường đi qua nó của đường vuông góc với trục Trái Đất (hình 16).

Dùng những công thức thông thường của hình học không gian ở trường có thể dễ dàng chứng minh (hãy thử!), rằng diện tích của mọi phần bề mặt quả địa cầu và hình chiếu của chúng lên mặt bên của hình trụ trong trường hợp này đều bằng nhau, vì vậy phép khai triển của hình trụ này (được cắt theo một kinh tuyến bất kỳ) được gọi là phép chiếu hình trụ bảo toàn diện tích (hay phép chiếu Lambert). Truyền đạt đúng diện tích, phép chiếu Lambert làm méo mạnh hình dạng ngay cả của những phần nhỏ trên bề mặt được chiếu (hãy so sánh các elip trong hình 17 với các đường tròn tương ứng trong hình 15): ở đây các vùng gần cực còn bị dồn lại nhiều hơn nữa

Something went wrong. If this issue persists please contact us through our help center at help.openai.com.

24

Có thể có sự khác biệt giữa đường loxodrome và đường orthodrome. Dĩ nhiên, trong những chuyến bay dài, sự khác biệt có thể lớn hơn cả khi đi lại ở các vĩ độ ôn hòa; chẳng hạn, đường theo loxodrome từ Moskva đến New York dài 8500 km, còn theo orthodrome — 7500 km.

Phép chiếu gnomon

Phép chiếu trong đó các đường orthodrome được biểu diễn bằng các đường thẳng thu được bằng phép chiếu tâm từ tâm của mặt cầu Trái Đất: khi đó mọi tia hướng tới các điểm của đường orthodrome (như ta đã thấy, là một đường tròn lớn) đều nằm trong một mặt phẳng, mặt phẳng này cắt bất kỳ mặt phẳng chiếu nào theo một đường thẳng. Lưới kinh tuyến và vĩ tuyến trong phép chiếu gọi là phép chiếu gnomon này (hình 19) có dạng đơn giản nhất nếu mặt phẳng chiếu tiếp xúc với quả địa cầu được chiếu lên nó tại cực. (Gnomon là cái que của đồng hồ mặt trời; nếu đứng trên mặt phẳng chiếu và coi bán kính Trái Đất là gnomon, thì hình chiếu của tia chiếu quả thật sẽ hiện ra trước mắt ta như bóng của gnomon ấy.)

Dễ chứng minh (hãy tự làm điều đó) rằng các kinh tuyến được biểu diễn trong phép chiếu gnomon kiểu này bằng các đường thẳng, còn các vĩ tuyến — bằng các đường tròn đồng tâm. Trên hình 19 (vì những lý do dễ hiểu không có hình ảnh của màn: nó «đã đi vào vô tận») hình dạng xoắn ốc của đường loxodrome ở vùng lân cận cực trong phép chiếu gnomon hiện ra rất trực quan.

Đối với các chuyến đi biển và hàng không trên những quãng đường dài

25

Các phép chiếu gnomonic rất thuận tiện. Tất nhiên không thể biểu diễn toàn bộ bề mặt Trái Đất trên một bản đồ như vậy, vì thế phải chọn các mặt phẳng chiếu khác nhau, mà vị trí của chúng quyết định cả hình dạng của lưới tọa độ được biểu diễn trên đó. Trong các hình 20, a và 20, b trình bày các phép chiếu gnomonic, trong đó mặt phẳng hình chiếu không tiếp xúc với quả địa cầu tại cực.

Bài toán. Giả sử bản đồ địa hình được biểu diễn bằng phép chiếu của một khu vực cho trước có dạng «chiếc mũ» với bán kính trung bình 100 km lên một mặt phẳng tiếp xúc với «chiếc mũ» tại tâm ($R_{\text{земли}} \approx 6000$ km). Tìm độ chính xác của phép biểu diễn, tức là xác định các đoạn nhỏ của kinh tuyến và vĩ tuyến được vẽ tại mọi điểm của «chiếc mũ» bị biến dạng bao nhiêu phần trăm:

a) trong phép chiếu gnomonic (phép chiếu trung tâm từ tâm Trái Đất);

b) trong phép chiếu ortographic (phép chiếu song song theo hướng vuông góc với mặt phẳng tiếp tuyến đã cho). Xem các hình 21, a, b.

Thay cho lời kết

Đến đây là toàn bộ câu chuyện về những nguyên tắc cơ bản và các phương pháp cụ thể biểu diễn bề mặt Trái Đất trên bản đồ. Đối với người muốn làm quen sâu hơn, chi tiết hơn và có hệ thống hơn với khoa học về «những bức chân dung của Trái Đất» — bản đồ học — chúng tôi khuyên trước hết hãy xem xét cẩn thận một tập bản đồ lớn nào đó, đặc biệt chú ý đến sự khác nhau giữa các phép chiếu được sử dụng trong đó, và tự mình cố gắng hiểu (có thể với sự trợ giúp của những lời giải thích khá ngắn gọn thường được đưa ra trong các tập bản đồ) nguyên nhân của sự khác nhau này. Đúng là khi đó có thể bạn sẽ làm giàu cho mình không phải bằng câu trả lời, mà bằng những câu hỏi mới. Nhưng như vậy càng tốt!

Sự trình bày có hệ thống (nhưng rất phong phú và vì thế khó hơn đáng kể so với trong bài này) về vấn đề này được tìm thấy trong bài «Các phép chiếu bản đồ» của ấn bản mới nhất của Đại Bách khoa toàn thư Xô viết. Trong bài «Các bản đồ địa lý» rất phong phú về tư liệu lịch sử, cũng được đăng ở đó, bạn sẽ tìm thấy những chỉ dẫn tiếp theo về tài liệu tham khảo.

⟦trang 27⟧

Kim loại không trong suốt, bóng và tương đối nặng. Kim loại bền, nhưng hình dạng của chúng có thể thay đổi bằng cách rèn và cán. Chúng cũng có thể được nấu chảy và hàn. Kim loại có độ dẫn điện và dẫn nhiệt tốt. Tất cả những điều này chúng có được nhờ liên kết kim loại. Bản chất của liên kết này là trong kim loại mỗi nguyên tử được bao quanh bởi một số lượng lớn các nguyên tử giống như nó, mỗi nguyên tử chỉ có vài electron ở lớp vỏ electron ngoài cùng, hơn nữa các lớp vỏ electron chồng lên nhau đến mức những electron ngoài cùng liên kết yếu không còn có thể quy cho bất kỳ nguyên tử riêng lẻ nào. Trong khi các nguyên tử, hay chính xác hơn là các ion, vẫn ở nguyên vị trí, «khí electron» chuyển động tự do giữa các ion, liên kết chúng với nhau, giống như keo.

Nhờ các electron tự do và có thể chuyển động trong điện trường, kim loại là chất dẫn điện. Nhờ các electron tự do hấp thụ, rồi phát xạ trở lại phần lớn ánh sáng chiếu vào chúng, kim loại không trong suốt và bóng. Nhờ các electron tự do có thể truyền năng lượng nhiệt, kim loại có độ dẫn nhiệt cao.

Trong bài này không xem xét các tính chất nhiệt, điện và quang học của kim loại. Chủ yếu tôi sẽ nói về các tính chất cơ học của chúng.

Bản chất của liên kết kim loại là giống nhau đối với các kim loại khác nhau. Nó thúc đẩy sự hình thành cách sắp xếp chặt chẽ các nguyên tử, đặc trưng cho

Trong ảnh (xem hình đầu), thu được bằng kính hiển vi ion, độ dày của ranh giới hạt chỉ vài nguyên tử. Trên ảnh — đầu của một kim wolfram, được phóng đại khoảng 5 triệu lần. Mỗi điểm sáng tương ứng với một nguyên tử wolfram. Sự sắp xếp các điểm phụ thuộc vào cách bề mặt của kim cắt mặt phẳng tinh thể. Có thể thấy sự phá vỡ cấu trúc ở ranh giới hạt, chạy từ góc dưới bên trái đến góc trên bên phải của ảnh.

Những cấu trúc như vậy, chống lại sự trượt, gây ra ít cản trở hơn đối với sự biến dạng trượt, vì vậy kim loại có tính dẻo. Sự sắp xếp chặt chẽ cũng là nguyên nhân tạo nên khối lượng riêng lớn của kim loại. Do đó, các tính chất cơ học của kim loại được xác định bởi cấu trúc tinh thể phù hợp nhất với liên kết kim loại, được thực hiện bởi các electron tự do.

Ngay từ năm 1665, Robert Hooke đã mô hình hóa hình dạng đặc trưng của các tinh thể bằng những viên gỗ nhỏ được xếp thành hàng, nhưng chỉ 250 năm sau người ta mới phát hiện ra rằng ông đã xây dựng một mô hình chính xác của cấu trúc tinh thể của các kim loại đã biết, trong đó mỗi nguyên tử tương ứng với năng lượng nhiệt, kim loại có độ dẫn nhiệt cao.

Mặc dù từ vài thế kỷ trước đã biết rằng một số chất có cấu trúc tinh thể, thực tế là các kim loại thông thường là tinh thể vẫn còn bị nghi ngờ cho đến thời gian gần đây. Những tính chất như sự đông đặc của kim loại nóng chảy ở một nhiệt độ hoàn toàn xác định và sự có mặt của các hạt sáng bóng trên bề mặt vết gãy cho thấy cấu trúc tinh thể, nhưng những sự kiện khác dường như chỉ ra tính vô định hình: kim loại nóng chảy sau khi đông đặc nhận hình dạng của bình chứa, kim loại rắn có tính dẻo và hình dạng của chúng có thể thay đổi bằng cách rèn, bề mặt kim loại được đánh bóng trông hoàn toàn đồng nhất.

Chìa khóa để làm sáng tỏ cấu trúc của kim loại được tìm thấy vào năm 1864, khi nhà nghiên cứu người Anh Henry Sorby đã phát triển phương pháp nghiên cứu kim loại dưới kính hiển vi trong ánh sáng phản xạ, chứ không phải ánh sáng truyền qua. Ngoài ra, thành công của ông còn nhờ việc ông không chỉ xem xét bề mặt đã đánh bóng mà còn xem xét bề mặt kim loại được xử lý bằng một loại hóa chất yếu-

*) Về sự xếp chặt của các nguyên tử xem bài của G. I. Kosurov «Tinh thể từ những quả cầu», «Kvant» số 1.

28

bằng thuốc thử hóa học. Một số thuốc thử khắc những rãnh sâu dọc theo ranh giới hạt, những thuốc khác làm hiện vi cấu trúc của các hạt, tác động lên chính các hạt.

Điều này cho phép phát hiện một mạng lưới không đều của các ranh giới, chia kim loại thành những đa diện nhỏ — các hạt có kích thước khoảng 0,25 mm (hình 1).

Trong cùng một điều kiện chiếu sáng, một số hạt có vẻ sáng hơn, những hạt khác tối hơn. Sự phân bố ánh sáng và bóng tối thay đổi khi thay đổi góc chiếu sáng, cho thấy bề mặt đã được khắc của mỗi hạt gồm những bậc phản xạ phẳng nhỏ, nghiêng khác nhau so với bề mặt kim loại. Rõ ràng rằng mỗi hạt, mặc dù có hình dạng không đều, là một tinh thể riêng biệt, còn toàn bộ mẩu kim loại gồm nhiều tinh thể nhỏ như vậy, định hướng theo những hướng khác nhau và có ranh giới chung.

Phương pháp kim tương học do Sorby phát minh tỏ ra rất hiệu quả trong việc xác định hình dạng và kích thước của các hạt, điều này quan trọng đối với việc nghiên cứu các tính chất kỹ thuật của kim loại, phát hiện tạp chất và sự tập trung của chúng dọc theo ranh giới hạt, nghiên cứu hợp kim. Tuy nhiên, kim tương học quang học không thể cung cấp

Hình 1.

Ảnh hiển vi các hạt nhôm trong ánh sáng phản xạ. Mẫu đã được khắc. Như được biểu diễn sơ đồ ở bên phải, một số hạt được định hướng sao cho có vẻ sáng, những hạt khác — tối. Phóng đại 60 lần.

thông tin về cấu tạo của ranh giới hạt. Dần dần, các nhà nghiên cứu đi đến ý nghĩ rằng khi làm nguội kim loại xuống dưới điểm nóng chảy, các hạt kề nhau chiếm lấy số nguyên tử lớn nhất có thể, thu hẹp ranh giới giữa các hạt thành một lớp chỉ dày vài nguyên tử, bên trong đó định hướng tinh thể học thay đổi đột ngột từ hạt này sang hạt khác.

Gần đây, quan điểm này đã được xác nhận nhờ sử dụng kính hiển vi ion, do người Mỹ Erwin Müller phát minh. Trong thiết bị này, đầu một kim loại nằm dưới điện thế dương cao trong chân không, sao cho các đường sức điện trường bắt đầu ở kim và kết thúc ở màn huỳnh quang. Một lượng nhỏ heli được đưa vào buồng. Khi một nguyên tử heli va chạm với một nguyên tử của kim, nó trở nên dương và bay về phía màn dọc theo đường sức. Khi va vào màn, nó tạo thành một hình ảnh nhìn thấy được. Tỷ lệ kích thước là như sau: diện tích của một nguyên tử ở đầu kim tương ứng với xấp xỉ một milimét vuông trên màn; chính theo nghĩa này mà chúng ta “nhìn thấy” cấu trúc nguyên tử của kim (xem ảnh ở đầu bài).

Năm 1900, James Ewing và Walter Rosenhain đã phát hiện rằng

nếu mẫu bị biến dạng, chẳng hạn bằng cách dịch chuyển các mặt của nó theo những hướng khác nhau, thì trên bề mặt của nó xuất hiện các đường. Chúng thường đi строго song song với nhau trong phạm vi mỗi hạt, và hướng của chúng trong các hạt khác nhau thì khác nhau (hình 2). Quan sát kỹ đã chỉ ra rằng những đường này là dấu vết của các bậc thang hình thành khi các lớp mỏng của tinh thể trượt lên nhau. Những nghiên cứu tiếp theo (đặc biệt là với các tinh thể kim loại lớn và lý tưởng) đã chỉ ra rằng sự trượt này xảy ra dọc theo những mặt phẳng xác định và theo những phương tinh thể học xác định. Như vậy, biến dạng dẻo của kim loại hóa ra khác biệt rõ rệt với sự chảy của chất lỏng và chất khí. Biến dạng dẻo là đặc trưng chính của cấu trúc tinh thể. Nó xảy ra theo cách các nguyên tử ở một phía của mặt phẳng trượt tách khỏi những nguyên tử lân cận trước đây của chúng ở phía kia của mặt phẳng và dịch chuyển, mang theo một phần xác định của tinh thể và cuối cùng chiếm vị trí mà tại đó chúng cùng với những nguyên tử lân cận mới tạo thành một cấu trúc cột đúng đắn như trước. Khi đó các tính chất ban đầu và cấu trúc bên trong của tinh thể được khôi phục.

Nếu sự dịch chuyển dẻo — dấu

30

sự xếp chồng của một cấu trúc phẳng xếp khít dày đặc lên trên một cấu trúc khác. Mỗi ba quả cầu lân cận trong mặt phẳng tạo thành một hốc, trong đó có thể đặt một quả cầu của lớp trên.

Có thể chọn các hốc như vậy theo hai cách. Nếu vị trí của các quả cầu trong lớp thứ nhất được ký hiệu bằng chữ A, còn hai lớp tiếp theo — tương ứng bằng các chữ B và C, thì mạng lập phương tâm diện thu được khi xếp các lớp theo thứ tự ABCABC, còn sự xếp khít lục giác — khi xếp theo ABABAB.

Trong tinh thể kim loại, sự trượt xảy ra dọc theo những phương mà các atom được xếp dày đặc nhất, vì trong trường hợp này lực cản đối với chuyển động của các lớp tương đối với nhau nhỏ hơn. Ngoài ra, như ta sẽ thấy sau đây, các atom chuyển động dọc theo các hàng xếp khít thường chiếm các vị trí ban đầu. Nhờ tính đối xứng lớn hơn, các cấu trúc lập phương chứa nhiều phương như vậy, trong đó các hàng atom được xếp chặt và các mặt phẳng atom có thể trượt lên nhau theo nhiều hướng. Điều này ảnh hưởng mạnh đến tính dẻo. Các tinh thể riêng lẻ có thể nhận hình dạng sao cho các hạt lân cận khớp sát với nhau, không để lại lỗ rỗng và vết nứt, và do đó toàn bộ tinh thể cũng có thể nhận bất kỳ hình dạng nào mà không bị gãy. Các tinh thể có cấu trúc lục giác giòn hơn và khó gia công cơ học hơn.

Các tính chất dẻo của tinh thể thường được giải thích, như ta đã thấy, bởi sự có mặt của các phương và mặt phẳng xếp khít dày đặc, dọc theo đó xảy ra sự trượt. Vì sao các cấu trúc tinh thể như vậy hình thành? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta phải xét đến cấu tạo electron của kim loại.

Năm 1900, nhà vật lý Đức Pavl Drude đề xuất rằng trong kim loại có các electron tự do, có thể chuyển động trong toàn bộ thể tích kim loại dưới tác dụng của điện trường, và đó là nguyên nhân của độ dẫn điện cao của kim loại. Lý thuyết này sau đó được cải tiến bằng việc áp dụng cơ học lượng tử, nhưng cơ sở vẫn giữ nguyên: khí các electron chuyển động, giống như keo lỏng, liên kết các ion dương của kim loại với nhau nhờ lực hút điện đối với khí này. Khí electron và các ion hút nhau, cố tạo thành một khối đặc, cấu trúc và thể tích của nó được xác định chủ yếu bởi hình học của các quả cầu xếp khít dày đặc. Nếu các quả cầu giống nhau, như trong kim loại nguyên chất, thì xuất hiện các cấu trúc tinh thể đơn giản,

31

đã được chúng ta xem xét trước đây. Trong một số hợp kim có thể hình thành những cấu trúc khác, thậm chí còn đặc sít hơn, nhờ sự khác biệt về kích thước của các quả cầu.

Do khí electron hoạt động giống như keo gắn kết các ion, nên hóa trị của kim loại không ảnh hưởng đến cấu trúc tinh thể của chúng như trong trường hợp các chất không kim loại. Các tinh thể nhỏ của kim loại có thể được liên kết với nhau mạnh đến mức ranh giới giữa chúng hầu như không cảm nhận được. Rất khó phá vỡ kim loại lạnh theo các ranh giới hạt, trừ khi các ranh giới này bị làm yếu bởi tạp chất. Sự «không chọn lọc» như vậy của liên kết kim loại dẫn đến việc hai miếng kim loại có thể nối với nhau nếu chỉ ép các bề mặt sạch của chúng lại với nhau. Liên kết kim loại cho phép thu được các hợp kim của những kim loại khác nhau với những sự kết hợp và tỷ lệ rất đa dạng.

Vậy sự có mặt của các electron tự do ảnh hưởng như thế nào đến độ bền và tính dẻo của kim loại? Một hiệu ứng chúng ta đã xem xét: sự hình thành ở kim loại (và ở một số hợp kim, trong đó kích thước của các nguyên tử không khác nhau quá nhiều) những cấu trúc tinh thể đơn giản với các mặt và đường xếp sít chặt, dọc theo đó xảy ra sự trượt. Tính dẻo của kim loại cũng được giải thích bởi việc các nguyên tử không liên kết trực tiếp với nhau, mà hút nhau nhờ khí electron tự do. Vì vậy sự trượt của một lớp so với lớp khác xảy ra dễ dàng.

Nếu sự trượt của các lớp xảy ra hoàn toàn không có sức cản, thì vật liệu nói chung sẽ không có độ cứng. Tuy vậy, vật rắn có một độ cứng xác định, thước đo của nó là mô đun trượt, xác định lực cần thiết để gây ra một biến dạng rất nhỏ.

Xét hai mặt phẳng trượt (hình 4). Trong một hợp kim (a), các nguyên tử được xếp chặt hơn theo mỗi hướng, và do đó khoảng cách giữa các mặt phẳng theo phương thẳng đứng nhỏ hơn so với trong hợp kim b. Rõ ràng rằng cùng một biến dạng trong hợp kim a sẽ cần ít lực hơn trong hợp kim b. Để dễ hình dung có thể nói rằng sẽ phải «leo» ít hơn (trên thực tế điều này có nghĩa là cần ít lực hơn để biến dạng các lớp electron). Nói cách khác, dọc theo các mặt phẳng xếp chặt mô đun trượt nhỏ hơn.

Độ bền của kim loại còn được đặc trưng bởi độ lớn của biến dạng gây ra sự chảy của nó, —

32

Hình 5.
Có thể hình dung một tinh thể có mạng đều đặn như một bó các mặt phẳng nguyên tử song song (a). Nếu một hoặc vài mặt phẳng quay vào bên trong tinh thể, thì các mép của những mặt phẳng «thừa» tạo thành trong tinh thể một lệch biên (b). Một dạng khuyết tật đơn giản khác là lệch vít. Ở đây không một mặt phẳng nguyên tử nào sự trượt của các nguyên tử. Trong trường hợp các mặt phẳng trượt, biến dạng dẻo bắt đầu khi nguyên tử của lớp trên tiến gần đến vị trí cân bằng không bền, nghĩa là khi hiệu giữa các lực điện cố kéo nguyên tử trở lại và các lực điện đẩy nó tiến tới «hố» tiếp theo là lớn nhất. Rõ ràng, trong trường hợp a biến dạng này nhỏ hơn. Do hai nguyên nhân này: sức cản trượt nhỏ hơn và biến dạng cần để đạt tới giới hạn chảy nhỏ hơn, sự trượt dễ xảy ra hơn dọc theo các mặt phẳng xếp chặt. Những nhận xét này giải thích vì sao các kim loại có cấu trúc lập phương, như đồng và nhôm, đặc biệt dẻo, nhưng vấn đề độ bền vẫn để ngỏ. Các tính toán dựa trên những nhận xét này cho thấy rằng các kim loại phải biến dạng đàn hồi 3—10% trước khi xảy ra chảy. Tuy nhiên, các kim loại tinh khiết văn bản ngay khi biến dạng 0,01%.

Sự chênh lệch một nghìn lần có cả ý nghĩa khoa học lẫn kỹ thuật. Khi sự chênh lệch này lần đầu được phát hiện, thoạt đầu dường như toàn bộ lý thuyết đều sai. Nhưng điều đó không hẳn đúng, hoặc các tinh thể kim loại được nuôi dưới dạng những «râu» mảnh có độ bền gần với độ bền tính toán không kết thúc bên trong tinh thể, mà bản thân các mặt phẳng gần các đường lệch không còn song song, mà khép lại với nhau sao cho toàn bộ tinh thể dường như gồm một mặt phẳng nguyên tử cong bên trong duy nhất (b). Khi đường lệch đi qua, mặt phẳng này nâng lên (hoặc hạ xuống) một bậc vít, bằng khoảng cách giữa các mặt phẳng.

Độ bền nhỏ hơn của các tinh thể lớn được giải thích bằng sự có mặt trong tinh thể các lệch — những vi phạm cấu trúc đều đặn, cho phép các mặt phẳng nguyên tử trượt tương đối với nhau dễ hơn so với trong tinh thể lý tưởng.

Giả sử ta cần dịch chuyển một tấm thảm nặng lớn. Nếu cố dịch chuyển toàn bộ tấm thảm cùng một lúc, sức cản sẽ quá lớn. Nhưng có thể tạo một nếp gấp trên thảm rồi dịch chuyển nó. Hành động như vậy không đòi hỏi tiêu tốn nhiều năng lượng, và kết quả là toàn bộ tấm thảm được dịch chuyển.

Chuyển động của tấm thảm trong trường hợp này rất giống sự trượt dẻo do lệch gây ra. Tuy nhiên, tinh thể trượt theo cách khác không phải toàn bộ, mà từng phần. Trong khi trượt như vậy, nhất thiết xuất hiện một đường ranh giới (lệch), phân cách phần đã dịch chuyển với phần chưa dịch chuyển.

Phân biệt lệch «biên» và «vít» (hình 5). Trong trường hợp thứ nhất, đường lệch vuông góc với hướng trượt, trong trường hợp thứ hai — song song. Phần lớn các lệch là tổ hợp của hai kiểu này và có hình dạng giống lò xo.

Các lệch trong tinh thể hầu như không tránh khỏi, dù chỉ vì quá trình phát triển tinh thể không đồng đều và sự có mặt của các hạt, mà ranh giới của chúng

33

Hình 6.
Lệch mạng chuyển động dọc theo tinh thể. Sơ đồ minh họa quá trình trượt dẻo trong một tinh thể xếp khít. Dưới tác dụng của lực cắt (mũi tên), mặt phẳng nguyên tử (các quả cầu đen) dịch chuyển (2), và các liên kết bị biến dạng (nét đứt).

Mặt phẳng thừa (các quả cầu đen) tiếp tục chuyển động, các liên kết bị phá vỡ, rồi được khôi phục (đường đen). Khi lệch mạng (vùng các liên kết bị phá vỡ) đi qua toàn bộ tinh thể, tinh thể bị biến dạng (6).

34

Рис. 7.

Точечные дефекты, как и дислокации, нарушают структуру кристалла. Имеются три разновидности точечных дефектов (слева направо): вакансия (отсутствие атома), замещение (включение атома постороннего вещества).

В результате фактически совокупностью дислокаций. Сдвигающие усилия, приложенные к кристаллу, заставляют дислокацию перемещаться вдоль плоскостей скольжения. Если в кристалле имеется лишь одна дислокация, то при сдвиге она выходит из кристалла (рис. 6). В действительности же в кристалле обычно имеется сложная сеть дислокаций, связанных друг с другом, не считая других нарушений структуры и наличия примесей. Так как концы дислокаций закреплены либо на других дислокациях, либо на примесях, то при сдвиге кристалл не избавляется от нарушений в своей структуре. В действительности при сдвиге число дислокаций увеличивается.

Дислокации перемещаются вдоль плоскости скольжения благодаря «сдвиговым усилиям», возникающим при растяжении, сжатии или кручении образца. Какова величина усилия, необходимого для перемещения дислокации? В этом вопросе содержится два вопроса: 1) о естественном сопротивлении движению дислокации в идеальном кристалле и 2) о влиянии помех (примесей и других препятствий), имеющих место в реальном кристалле.

Рассмотрим сопротивление движению дислокации в идеальной решетке. Атомы, расположенные непосредственно перед дислокацией, отталкивают ее, так как она стремится вывести их из положения устойчивого равновесия. Атомы, расположенные за дислокацией, только тянут ее вперед, так как они стремятся занять новое устойчивое положение. На дислокацию действуют равные и противоположно направленные силы, поэтому сопротивление ее движению через кристалл равно нулю! Это странное свойство кристаллического состояния имеет место, если область дислокации достаточно велика. В этом случае по обе стороны от дислокации так много атомов, что их действие полностью уравновешивает друг друга. В противном случае для передвижения дислокации необходимо приложить силу. В пределе, когда толщина дислокации не превышает размер атома, эта сила почти равна прочности материалов.

Узкие дислокации могут возникать в кристаллах типа алмаза, поэтому такие материалы даже с дислокациями весьма прочны. Широкие дислокации объясняют мягкость таких металлов, как медь, золото, алюминий. Практические задачи по отношению к этим металлам состоят не в том, чтобы сделать их мягче, а наоборот — сделать тверже. Металлурги достигают этого, помещая на пути движения дислокаций различные препятствия (рис. 9).

Внесение атомов примесей приводит к локальным нарушениям.

35

Рис. 8.
Одиночная дислокация в кристалле кадмия. Снимок получен с помощью электронного микроскопа и специального метода фотографирования.

структуры кристалла. Эти нарушения оказывают сопротивление движению дислокации. Действие атомов примесей усиливается, когда они группируются. Это можно добиться термической обработкой. Так как дислокация концентрируется на границах зерен, металл можно упрочнять, уменьшая размеры зерен.

Если дислокаций много, то при своем движении вдоль плоскостей скольжения они мешают друг другу — этот эффект может легко себе представить каждый, кому приходилось задерживаться на перекрестке улиц с оживленным движением.

Рассмотрим последний вопрос. Что происходит, когда металл пытаются быстро разрубить? Очевидно, металлы содержат примеси различных хрупких веществ, и если трещина достигает такого вещества, то она быстро выходит за пределы включения. Опыт показывает, что металлы с гранецентрированной решеткой, например медь, лучше сопротивляются расколу. Он не распространяется по всему кристаллу, а «затухает» благодаря пластической деформации.

Рис. 9.
Примеси могут закреплять дислокацию, заставляя ее изгибаться и пересекать различные плоскости, что мешает движению дислокации. На микрофотографии, полученной с помощью электронного микроскопа, видны дислокации, закрепленные на примесях в кристалле кадмия. Увеличено в 90 000 раз.

Металлы с объемноцентрированной решеткой, например, такие, как железо, ведут себя в нагретом состоянии как медь, но легко раскалываются, будучи холодными.

Если клин движется медленно, то уже имеющиеся в металле дислокации движутся под действием напряжения, возникающего в металле при перемещении клина, и энергия его тратится на пластическую деформацию. А что будет, если клин движется быстро?

Келли, Тайсон и я недавно рассмотрели этот вопрос. Мы вычислили, что непосредственно вблизи острого края клина силы, стремящиеся разорвать атомные связи, в 5—6 раз больше сил, стремящихся вызвать сдвиг. И те и другие силы растут с приближением клина, но их отношение остается тем же самым до тех пор, пока не достигается предел прочности атомных связей на разрыв или на сдвиг.

Если отношение прочности на разрыв к прочности на сдвиг больше, чем отношение разрывающих сил к силам, вызывающим сдвиг атомов, то разрушение будет иметь вид деформации скольжения. Если наоборот, то материал треснет.

36

Hình 10.
Ba khuyết tật trượt được mô hình hóa bằng các bong bóng xà phòng. (Lớp bong bóng mô hình hóa lớp nguyên tử.) Các khuyết tật trượt, mỗi khuyết tật chứa một hàng thừa, đi theo đường chéo từ góc dưới bên trái đến góc trên bên phải.

Hình 11.
Một cái nêm chuyển động qua kim loại với tốc độ cao có thể либо chỉ đơn giản làm đứt các liên kết giữa các nguyên tử, либо заставить các nguyên tử trượt lên nhau. Trong vật liệu giòn (ở trên), các liên kết bị đứt sớm hơn, vết nứt lan truyền nhanh hơn, và kim loại vỡ thành từng mảnh. Trong vật liệu dẻo (ở dưới), khi nêm chuyển động xảy ra sự trượt. Các liên kết bị đứt và được phục hồi sau khi các nguyên tử bị dịch chuyển. Nêm chậm lại.

Có thể đánh giá độ bền của liên kết khi đứt và khi trượt đối với các vật liệu khác nhau. Nếu làm điều này, hóa ra rằng các vật liệu kiểu kim cương phải là giòn. Các kim loại có mạng lập phương tâm khối có thể vừa giòn vừa dẻo. Ở các kim loại có mạng lục giác, độ bền liên kết khi trượt được gọi là

Bản dịch rút gọn của E. M. Dizhura (A. H. Cottrell, The Nature of Metals. «Scientific American», September 1967, p. 90).

A. H. Cottrell

37

Trường hợp với phương pháp quy nạp toán học

Một lần, thầy giáo giao cho học sinh lớp 10 bài tập về nhà sau đây:

Chứng minh, bằng cách thử dùng phương pháp quy nạp toán học, rằng với mọi số tự nhiên $n$ bất đẳng thức sau đúng

$$P_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 2n} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

Kolya V. đã tìm được ở nhà lời giải sau;

a) Với $n = 1$ bất đẳng thức đúng, vì

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

6. Ta sẽ chỉ ra rằng từ điều kiện $P_n < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ suy ra tính đúng đắn của bất đẳng thức $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+2}}$. Muốn vậy, chỉ cần chỉ ra rằng

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}},$$

hoặc

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n+1}{n+2}},$$

hoặc

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3.$$

hoặc

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

hoặc

$$0 < 3n + 2,$$

điều này hiển nhiên đúng. Như vậy, tính đúng đắn của bất đẳng thức cần chứng minh suy ra từ nguyên lý quy nạp toán học.

Tuy nhiên, khi trình bày lời giải này ở trường, Kolya quên đặt đơn vị ở mẫu số và bắt đầu chứng minh bất đẳng thức “thô hơn”:

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Đây là điều cậu ấy nhận được:

a) Với $n = 1$ bất đẳng thức đúng, vì

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{1}.$$

6. Chứng minh rằng từ điều kiện $P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}$ suy ra $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. Để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}},$$

hay

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n}{n+1}},$$

hay

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3n,$$

hay

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

hay

$$0 < 3n + 2,$$

điều này hiển nhiên đúng. Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh đúng theo nguyên lý quy nạp toán học.

Chúng tôi đề nghị những ai đã hiểu vấn đề này chứng minh hai bất đẳng thức:

1. $P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n}}$.

Điều thú vị là trong bất đẳng thức này không thể thay hệ số 3,1 bằng 3,2. Hệ số lớn nhất mà tại đó nó vẫn đúng bằng π (tỉ số giữa độ dài đường tròn và đường kính).

2. $\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{4}$.

38

Vài lời về tác giả lời giải bài toán thứ mười của Hilbert

Yuri Vladimirovich Matiyasevich sinh ngày 2 tháng 3 năm 1947 tại Leningrad. Người đầu tiên chú ý đến năng khiếu toán học nổi bật của cậu bé và góp phần khơi dậy ở cậu niềm say mê toán học từ sớm là giáo viên toán của trường 255 thành phố Leningrad, Sofia Grigorievna Generson. Từ lớp nào đó, Yuri tham gia các kỳ thi toán học cấp thành phố, luôn giành những vị trí đầu tiên, còn trong các năm 1961 — 1964 — cả ở các kỳ thi toán học toàn Nga và Moskva, nơi ông cũng nằm trong số những người đoạt giải. (Lớp 10 Yuri Matiyasevich học xong tại trường-nội trú số 18 trực thuộc Đại học Tổng hợp Moskva). Từ lớp 7 đến lớp 9 Yuri học trong nhóm toán học của Cung thiếu niên Leningrad dưới sự hướng dẫn của cộng tác viên LOMI (Chi nhánh Leningrad của Viện Toán học mang tên V. A. Steklov thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô) N. M. Mitrofanov.

Tham gia trong đội tuyển Liên Xô tại Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ VI (Moskva, năm 1964), Matiyasevich được trao bằng danh dự hạng nhất.

Trong những năm 1964—1969 Yuri Matiyasevich là sinh viên khoa Toán-Cơ của Đại học Leningrad.

Ngay từ năm thứ hai đại học, Matiyasevich đã hoàn thành hai công trình về logic toán học, sau đó được gửi đăng trong «Các báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô». Những kết quả chính của các công trình này được Yu. Matiyasevich trình bày tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Moskva năm 1966.

Hiện nay Matiyasevich là nghiên cứu sinh của Chi nhánh Leningrad thuộc Viện Toán học. Sáng tạo toán học của Yu. Matiyasevich là một ví dụ nổi bật về sự kế thừa truyền thống khoa học. Người hướng dẫn khoa học của Matiyasevich ở đại học và trong thời gian làm nghiên cứu sinh là chuyên gia trẻ nhưng đã nổi tiếng trong lĩnh vực logic toán học Sergei Yurievich Maslov, theo lời khuyên của ông, từ tháng 12 năm 1965 Matiyasevich đã bắt đầu nghiên cứu bài toán thứ mười của Hilbert. Thầy của S. Yu. Maslov là giáo sư Nikolai Alexandrovich Shanin — học trò gần gũi nhất của viện sĩ thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Andrei Andreevich Markov.

Như vậy, Yuri Matiyasevich là đại diện của «thế hệ thứ tư» trong cái gọi là hướng kiến tạo trong logic và toán học, do nhà toán học Xô Viết xuất sắc Markov đứng đầu.

⟦trang 39⟧

Trong số thứ ba của «Kvant» đã thông báo về thành công xuất sắc của nhà toán học trẻ Leningrad Yu. V. Matiyasevich, người gần đây đã thực hiện được bước cuối cùng trong việc giải quyết một trong những «bài toán Hilbert» có ý nghĩa, được đặt ra từ năm 1900. Công trình của Yu. V. Matiyasevich được công bố trong Các báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô*). Và điều hiếm khi xảy ra — một học sinh phổ thông có suy nghĩ sâu sắc có thể tự mình tìm hiểu nội dung cơ bản của công trình này, một công trình có ý nghĩa quan trọng đối với nền toán học hiện đại. Vấn đề là phần nguyên bản trong công trình của Yu. V. Matiyasevich dành cho việc chứng minh một định lý, mà phát biểu của nó hoàn toàn sơ cấp và được trình bày trong bài viết chúng tôi công bố. Các phương pháp chứng minh cũng là sơ cấp. Khó hơn, theo quy tắc, là giải thích bằng ngôn ngữ dễ hiểu đối với học sinh tại sao định lý về các số Fibonacci này lại có mối quan tâm lớn đến vậy đối với toán học hiện đại. Xét về phát biểu và phương pháp chứng minh, nó giống một bài toán tối ưu hóa tinh vi hơn.

1. Định lý về các số Fibonacci

Trong toàn bộ phần tiếp theo, chúng ta chỉ xét các số nguyên. Xét tính chất sau của cặp số (a, b):

«b chia hết cho a».

Tính chất này của cặp số có thể biểu diễn như sau:

«tồn tại số x sao cho ax—b=0».

Chúng ta đã biểu diễn tính chất của cặp số (a, b) thông qua sự tồn tại nghiệm của phương trình

ax—b=0

(nhắc lại một lần nữa rằng chúng ta chỉ xét các số nguyên và do đó chỉ các nghiệm nguyên). Phương trình này có dạng

P(a, b, x) = 0,

trong đó P — là một đa thức của ba biến a, b, x.

Bây giờ ta đưa ra định nghĩa tổng quát; tính chất của một dãy hữu hạn các số (a₁, a₂, …, aₘ) được gọi là diophantine, nếu tồn tại một đa thức như vậy của m + n biến

P(a₁, a₂, …, aₘ), sao cho dãy (a₁, a₂, …, aₘ) có tính chất của chúng ta khi và

*) Đây là tên và «địa chỉ» chính xác của bài báo: Yu. V. Matiyasevich. Tính chất diophantine của các tập được liệt kê, Các báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1970, tập 191, số 2.

chỉ trong trường hợp tồn tại các số $x_1, x_2, \dots, x_n$, với các số đó $P(a_1, a_2, \dots, a_m, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$.

Thành tựu cơ bản của Matiyasevich chính là ở việc chứng minh tính Diophant của một tính chất đặc biệt nào đó của các cặp số $(a, b)$.

Nhiều người trong các bạn đã quen thuộc với các số Fibonacci

$$\psi_0 = 0, \quad \psi_1 = 1,$$
$$\psi_2 = \psi_0 + \psi_1 = 1,$$
$$\psi_3 = \psi_1 + \psi_2 = 2,$$
$$\psi_4 = \psi_2 + \psi_3 = 3,$$
$$\psi_5 = \psi_3 + \psi_4 = 5,$$

dãy vô hạn của chúng được xác định bởi công thức truy hồi

$$\psi_{n+1} = \psi_{n-1} + \psi_n.$$

Tính chất của cặp số $(a, b)$ mà Matiyasevich xét là:

«$b$ là số Fibonacci

có số thứ tự $2a$», tức là $b = \psi_{2a}$.

Rõ ràng, các cặp

$(0,0), (1,1), (2,3), (3,8)$

v.v. có tính chất này. Khẳng định rằng tính chất của Matiyasevich là Diophant có nghĩa là tồn tại một đa thức

$$Q(a, b, x_1, x_2, \dots, x_n)$$

такой, что $b$ будет числом Фибоначчи с номером $2a$ тогда и только тогда, когда существуют такие числа $x_1, x_2, \dots, x_n$, что

$$Q(a, b, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0.$$

Многочлен $Q$ с целыми коэффициентами можно было бы в принципе явно выписать. Матиясевич этого не делает и даже не указывает, каково число $n$ дополнительных переменных.

Что касается доказательства сформулированной теоремы, то, как уже было сказано, оно вполне элементарно. Матиясевич ссылается на одну лемму, доказанную в книжке Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи», предназначенной для школьников, и один результат, доказанный в более ученой книге А. И. Мальцева, но тоже элементарный. В самой работе Матиясевича девятнадцать лемм приведены без доказательства, но доказательство каждой из них в отдельности не труднее обычных задач для школьников. Трудность состоит лишь в том, чтобы найти именно ту комбинацию элементарных предложений, которая ведет к конечной цели.

2. Почему все это так важно?

Если бы многочлен $Q$ Матиясевича был в самом деле очень нужен математику для проведения каких-либо расчетов, то, вероятно, Матиясевич не поленился бы его явно выписать. Но в действительности само обращение к числам Фибоначчи является эвристическим, для последовательного выписывания всех обладающих этим свойством пар

$(0,0), (1,1), (2,3), (3,8), (4,21), (5,55), \dots$

Так как множество этих пар бесконечно, то процесс их выписывания никогда не кончится. Но мы располагаем правилом, по которому наши пары можно выписать одну за другой с уверенностью в том, что

1. будут выписаны только пары, обладающие свойством Матиясевича,
2. любая пара, обладающая свойством Матиясевича, рано или поздно будет выписана.

Свойство (на более ученом языке «предикат») конечной последовательности чисел $(a_1, a_2, \dots, a_m)$ называется перечислением, если существует правило, позволяющее при помощи механического применения этого правила получить одну за другой последовательности, непрерывно обладающие заданным свойством, и при том так, что любая последовательность

41

tính chất sở hữu tính chất này, sớm hay muộn cũng sẽ được nhận được.

Theo quan điểm hiện đại, hệ quả quan trọng nhất của định lý Matiyasevich về các số Fibonacci là

Định lý 1. Mọi thuộc tính có thể liệt kê của một dãy số hữu hạn đều là Diophantine.

Trước năm 1961, định lý này hẳn đã có vẻ hết sức bất ngờ. Nhưng một kết quả yếu hơn nào đó của Davis, Putnam và Robinson, được chứng minh vào năm 1961, đã làm cho giả thuyết như vậy không còn quá khó tin nữa. Các nhà toán học đã bỏ ra không ít công sức để chứng minh nó. Matiyasevich cũng đã sử dụng một số, như người ta nói, những «phép rút gọn» bài toán về các nhiệm vụ chuyên biệt hơn. Nhưng ý tưởng quy tất cả về các tính chất của các số Fibonacci vẫn là điều bất ngờ ngay cả trong hoàn cảnh đã hình thành vào năm 1970.

Như vậy, thành công lớn của Matiyasevich đòi hỏi sự kết hợp giữa sự hiểu biết về những vấn đề lớn của toán học hiện đại và sự uyên bác trong lĩnh vực của mình với nghệ thuật tìm ra những con đường giải quyết bất ngờ nhưng hoàn toàn sơ cấp cho các bài toán chuyên biệt.

3. Theo nghĩa nào Matiyasevich đã giải quyết bài toán thứ mười của Hilbert

Trong bài toán thứ mười của Hilbert*) đã nói về các phương trình dạng

$$P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,$$

trong đó $P$ là một đa thức với các hệ số nguyên. Bậc của một phương trình như vậy được gọi là bậc của đa thức $P$. Khi vấn đề được đặt ra về việc tìm nghiệm của chúng trong các số nguyên, những phương trình này được gọi là «Diophantine». Ví dụ, phương trình

$$x^2 + y^2 = 1$$

có các nghiệm nguyên

$$x = \pm 1, \quad y = \pm 1,$$

*) Có thể đọc chi tiết hơn về các bài toán của Hilbert trong cuốn sách D. Hilbert, «Các bài toán toán học», «Nauka», 1969.

còn phương trình

$$x^2 + y^2 = 3$$

không có nghiệm trong các số nguyên.

Bây giờ hãy nhường lời cho chính Hilbert:

«Cho một phương trình Diophantine tùy ý với số lượng ẩn tùy ý …; chúng ta cần chỉ ra một phương pháp tổng quát, nhờ đó có thể trong một số hữu hạn bước biết được phương trình đã cho có nghiệm nguyên … hay không».

Hilbert dường như tin chắc rằng phương pháp tổng quát cần tìm tồn tại, và vấn đề chỉ là tìm ra nó. Đã có không ít nỗ lực được bỏ ra để tìm phương pháp này, nhưng không thu được bất kỳ kết quả đáng khích lệ nào.

Bài toán về các nghiệm nguyên của một phương trình tùy ý dễ dàng quy về bài toán về các nghiệm tự nhiên (các số nguyên không âm). Tiếp theo, hoàn toàn không khó để chỉ ra rằng chỉ cần giới hạn ở các phương trình Diophantine có bậc không cao hơn bốn. Đối với các phương trình Diophantine có bậc không cao hơn hai, phương pháp tổng quát cần tìm đã được tìm ra, nhưng các phương trình bậc ba thì không chịu sự xử lý của bất kỳ phương pháp nào.

Do những thất bại trong hướng này, đã nảy sinh nghi ngờ rằng phương pháp tổng quát ấy, việc tìm ra nó được nói đến trong phát biểu của Hilbert, đơn giản là không tồn tại! Một tình huống tương tự cũng hình thành trong một loạt bài toán khác có tính chất tương tự. Tuy nhiên, tìm ra phương pháp tổng quát cần thiết là một chuyện — ở đây chỉ cần đưa ra phương pháp này và trực tiếp xác nhận rằng nó thỏa mãn các điều kiện do Hilbert đề ra.

Nhưng để chứng minh sự không tồn tại của một phương pháp nào đó nhằm giải quyết một loạt bài toán, cần phải đưa ra định nghĩa chính xác về cái gọi là phương pháp tổng quát này, cũng như nó có thể được thực hiện như thế nào và bằng những phương tiện nào.

Vào đầu những năm ba mươi, các định nghĩa tương ứng đã được xây dựng.

Vào đầu những năm ba mươi, các định nghĩa tương ứng đã được xây dựng.

42

được trình bày trong các công trình của nhà khoa học Mỹ Church và nhà khoa học Anh Turing. Những định nghĩa này đã đặt nền móng cho lý thuyết thuật toán. Nhìn lại con đường đã trải qua, các nhà toán học phải biết ơn bài toán thứ mười của Hilbert ít nhất vì nó đã trở thành một trong những động lực cho việc xây dựng lý thuyết này.

Trong khuôn khổ lý thuyết thuật toán, người ta cũng đã thu được định nghĩa chính xác của khái niệm «tính chất liệt kê được» mà chúng ta đã sử dụng ở mục trước.

Hóa ra từ tính Diophant của mọi tính chất liệt kê được của một dãy số hữu hạn suy ra

Định lý 2. Không tồn tại một phương pháp chung (thuật toán) cho phép, đối với mọi phương trình Diophant đã cho, xác định xem nó có nghiệm trong các số nguyên hay không.

Matiyasevich từ định lý của mình về tính Diophant của một tính chất đặc biệt của cặp số (a, b)

$$b = \psi_{2a}$$

đã suy ra chứng minh của định lý 1, từ đó, như đã biết, suy ra định lý 2, tức là lời giải phủ định cho bài toán thứ mười của Hilbert.

Để hiểu hoàn toàn mọi điều đã nói, bạn chỉ còn thiếu sự hiểu biết rõ ràng về «thuật toán» (phương pháp chung để giải một dãy bài toán vô hạn) và «tính chất liệt kê được» (vị từ liệt kê được). Nhưng đây đã là một chủ đề khó hơn đáng kể.

4. Các định nghĩa và sự kiện của lý thuyết thuật toán

5. Trong số các hàm được xác định trên tập hợp N các số tự nhiên và nhận các giá trị tự nhiên, lớp các hàm đệ quy nguyên thủy được выдел ra theo cách sau.

Xét hàm S(n)=n+1 và q(n)=n-p, trong đó p²≤n<(p+1)². Từ các hàm f(n) và q(n) có thể tạo ra hàm h₁(n)=f(n)+q(n) (phép cộng), $h_2(n)=f(q(n))$ (phép thế), còn từ một hàm f(n) — hàm được xác định bởi các đẳng thức h₃(0)=0, h₃(n+1)=f(h₃(n)) (phép đệ quy). Lớp các hàm đệ quy nguyên thủy gồm các hàm S, q và tất cả các hàm có thể nhận được từ chúng bằng một số hữu hạn các phép cộng, phép thế và phép đệ quy.

Ví dụ. Chứng minh rằng hàm φ(n)=2n và φ(n)=2n+1 là các hàm đệ quy nguyên thủy. Trước hết, áp dụng phép đệ quy cho hàm S(n)=n+1. Khi đó h(0)=0, h(n+1)=S(h(n))=h(n)+1. Do đó, h(n)=n và φ(n) nhận được bằng cách áp dụng phép cộng cho hai hàm, mỗi hàm đều bằng h(n): φ(n)=h(n)+h(n)=n+n=2n. Cuối cùng, hàm φ(n) nhận được bằng phép thế áp dụng cho các hàm S(n)=n+1 và φ(n)=2n: φ(n)=S(φ(n))=S(2n)=2n+1.

2. Tập hợp M các số tự nhiên được gọi là liệt kê được nếu nó trùng với tập hợp các giá trị của một hàm đệ quy nguyên thủy nào đó.

Chẳng hạn, tập hợp các số chẵn là liệt kê được, vì nó là tập hợp các giá trị của hàm đệ quy nguyên thủy φ(n)=2n. Tập hợp các số lẻ, trùng với tập hợp các giá trị của hàm đệ quy nguyên thủy φ(n)=2n+1, cũng là liệt kê được.

3. Tập hợp M được gọi là quyết định được nếu nó cùng với phần bù của nó N—M đều là liệt kê được (trong đó N—tập hợp tất cả các số tự nhiên).

Cụ thể, tập hợp các số quyết định được vì nó cùng với phần bù của nó (tập hợp các số lẻ) là liệt kê được.

4. Có những tập hợp liệt kê được nhưng không quyết định được.

Có thể đưa ra một ví dụ cụ thể về một tập hợp như vậy, tuy nhiên phép xây dựng tương ứng về mặt kỹ thuật quá phức tạp để có thể thực hiện trong khuôn khổ nhận xét này.

Giả sử bây giờ cho một tập hợp M nào đó gồm các số tự nhiên. Có thể đặt câu hỏi liệu có tồn tại một phương pháp chung nào đó, theo đó với mỗi số tự nhiên n, trong một số hữu hạn bước sẽ xác định được n có thuộc tập hợp M hay không. Mệnh đề cơ bản của lý thuyết thuật toán (luận đề Church) khẳng định rằng một phương pháp như vậy (thuật toán) tồn tại khi và chỉ khi tập hợp M là quyết định được.

Để có lời giải phủ định cho bài toán thứ mười của Hilbert, chỉ cần chứng minh tính chất Diophantine của mỗi tập hợp liệt kê được, tức là với mỗi tập hợp liệt kê được $M$ phải xây dựng một phương trình Diophantine $P(y, x_1, \dots, x_h) = 0$ sao cho nó có các nghiệm tự nhiên $x_1, \dots, x_h$ đối với mọi $y$ thuộc $M$, và chỉ đối với những $y$ như vậy.

Thật vậy, nếu có thể làm được điều này, thì lấy làm $M$ một tập hợp không quyết định được (trong số các tập hợp liệt kê được có những tập như vậy, xem mục 4), ta sẽ thu được rằng ngay đối với phương trình tương ứng $P(y, x_1, \dots, x_h) = 0$ không có phương pháp chung (thuật toán) nào mà với mỗi $y$ tự nhiên lại đưa ra câu trả lời cho câu hỏi về sự tồn tại các nghiệm tự nhiên của phương trình này. Bởi vì nếu có phương pháp đó, thì chỉ sau một số hữu hạn bước có thể biết được phương trình $P(0, x_1, \dots, x_h) = 0$ có nghiệm hay không (tức là số 1 có thuộc tập hợp $M$ hay không), phương trình $P(1, x_1, \dots, x_h) = 0$ có nghiệm hay không (tức là số 1 có thuộc tập hợp $M$ hay không), v.v. Sẽ thu được rằng tồn tại một phương pháp chung, với mỗi $y$ tự nhiên xác định sau một số hữu hạn bước rằng $y$ có thuộc tập hợp $M$ hay không. Khi đó, theo tiêu chuẩn Church, $M$ sẽ là quyết định được, câu hỏi là chọn tập hợp này.

5. Đã làm được gì và Matiyasevich đã làm gì.

Vào những năm năm mươi, một nhóm các nhà toán học Mỹ (Р. Робинсон, X. Путnam, М. Дэвис, Дж. Робинсон) đã thu được một loạt kết quả quan trọng và đầy

hứa hẹn trong việc tìm kiếm chứng minh tính Diophant của các tập hợp liệt kê được. (Giả thuyết về tính Diophant của các tập hợp liệt kê được do Martin Davis đưa ra.)

Đối với các nhà khoa học Mỹ, điều có giá trị là đã thành công trong việc quy bài toán về việc chứng minh tính Diophant của quan hệ $y = z^u$. Julia Robinson còn đi xa hơn một chút, chỉ ra rằng chỉ cần xây dựng một phương trình cụ thể $R(u, v, x_1, \dots, x_h) = 0$, không cho phép nghiệm với $v > u^u$, nhưng với mỗi $n$ lại có nghiệm với $v > u^n$. Chính loại phương trình như vậy đã được Yu. V. Matiyasevich xây dựng, ông đã đề xuất một cấu trúc hoàn toàn sơ cấp, nhưng cực kỳ tinh tế và độc đáo. Trong quá trình đó, phải giải quyết một bài toán khác thường đối với lý thuyết số truyền thống. Bởi vì trong lý thuyết số, theo phương trình đã cho, thông thường người ta nghiên cứu các tính chất của nghiệm của nó, còn ở đây, ngược lại, xuất phát từ những tính chất nhất định của nghiệm, cần phải tìm phương trình cần thiết.

Khi xem xét dãy Fibonacci, Matiyasevich nhận thấy rằng nếu lấy $u$ là một nửa số thứ tự của một số hạng chẵn của dãy, còn $v$ là chính số hạng đó, thì bất đẳng thức $v > u^u$ sẽ luôn sai, còn với mọi $n$ có thể tìm được một số hạng chẵn của dãy such…

44

của dãy số, rằng bất đẳng thức $v > u^n$ sẽ đúng. Điều này được minh họa bằng bảng ở trang 43. (Trong đó tô đậm những ô mà các số $u^k$ nhỏ hơn các số $v$ tương ứng).

Sau khi tính chất đã nêu được kiểm tra, Matiyasevich đã «chỉnh sửa» dãy Fibonacci, loại bỏ khỏi nó các số hạng lẻ. Cụ thể, ông xét dãy được cho bởi các hệ thức: $\varphi_0 = 0, \varphi_1 = 1, \varphi_{n+1} = 3\varphi_n - \varphi_{n-1}$. Thu được đúng dãy gồm các số hạng chẵn của dãy ban đầu: $\varphi_0 = 0, \varphi_1 = 1, \varphi_2 = 3, \varphi_3 = 8, \varphi_4 = 21, \varphi_5 = 55, \varphi_6 = 144, \varphi_7 = 377$ v.v. Lấy $u$ là chỉ số của số hạng trong dãy, còn $v$ là số hạng của dãy có chỉ số $u$, tức là $\varphi_u$, ta nhận được rằng tính chất cần thiết lại đúng đối với $u$ và $v$. Bây giờ chỉ còn phải xây dựng phương trình $P(u, v, x_1, \dots, x_k) = 0$, có nghiệm tự nhiên khi và chỉ khi $v = \varphi_u$, — phần tiếp theo dựa trên kết quả của Julia Robinson! Để làm điều này, chỉ cần xây dựng một hệ phương trình Diophantine $P_1 = 0, \dots, P_n = 0$ theo các biến $u, v, x_1, \dots, x_k$, có nghiệm khi và chỉ khi $v = \varphi_u$ — bởi vì hệ này có đúng những nghiệm như phương trình duy nhất $P_1^2 + \dots + P_n^2 = 0$.

Đây là dạng mà Matiyasevich đã thu được cho hệ phương trình cần thiết:

1. $u + (a - 1) = v$,
2. $v + b = l$,
3. $l^2 - lk - k^2 = 1$,
4. $g^2 - gh - h^2 = 1$,
5. $l^2c = g$,
6. $ld = r - 2$,
7. $(2h + g)e = r - 3$,
8. $x^2 - rxy + y^2 = 1$,
9. $lp = x - u$,
10. $(2h + g)q = x - v$.

Để chứng minh rằng sự tồn tại của nghiệm tự nhiên của hệ này tương đương với điều kiện $v = \varphi_u$, Matiyasevich đã sử dụng đặc trưng sau đây của tính chất của dãy $\{\varphi_k\}$:

cặp điều kiện $x < y$ và $x^2 - 3xy + y^2 = 1$ tương đương với sự tồn tại của một $k$ sao cho $x = \varphi_k$ và $y = \varphi_{k+1}$.

Bạn đọc quan tâm được khuyên thử sức mình trong việc chứng minh sự tương đương này.

Cuối cùng, xin chỉ ra rằng lời giải đã tìm được của bài toán thứ mười có một số hệ quả thú vị, trong đó, có lẽ hiệu quả nhất là hệ quả: có thể chỉ ra một đa thức có bậc xác định mà tập các giá trị dương của nó trùng với tập tất cả các số nguyên tố!

Khoa học toán học đã ghi vào thành tích của mình một thành tựu nghiêm túc và đáng kính.

Bài tập 1

1. Chứng minh rằng với mọi $k$, các số $\varphi_k$ và $\varphi_{k+1}$ nguyên tố cùng nhau.
2. Chứng minh hệ thức: $\varphi_{k+1} = \varphi_k + 1$.
3. Chứng minh rằng phương trình Diophantine $P(y, x_1, \dots, x_k) = 0$ có nghiệm trong các số nguyên dương khi và chỉ khi phương trình sau có một nghiệm như vậy

$$Z = (1 - (P(z, x_1, \dots, x_k))^2) - y.$$

Do lỗi của nhà in, trong «Kvant» số 5 (tr. 64, bài 1226), công thức chia các số được sắp chữ không đúng. Nó phải có dạng như sau:

$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$$

45

Trong thời đại của chúng ta, các nhà vật lý đã đưa ra những điều khiến người ta kinh ngạc — máy gia tốc trung tâm, nam châm tạo ra những trường mạnh hàng trăm nghìn oersted, các thiết bị điện tử lượng tử. Chỉ sau khi xây dựng những buồng khổng lồ để quan sát các quá trình diễn ra trong thế giới vi mô, các nhà vật lý mới có thể thâm nhập vào bản chất của các hiện tượng tự nhiên. Thế nhưng cách đây chưa lâu, vào đầu thế kỷ của chúng ta, chính nhà vật lý tự xây dựng những thiết bị nhỏ, đặt chúng trên bàn của mình và thực hiện những phát hiện vĩ đại. Hạt nhân nguyên tử, tính phóng xạ, tia Röntgen, sóng vô tuyến — tất cả những thứ đó đã được phát hiện vào thế kỷ XIX bằng những phương tiện đơn giản có trong tay các nhà khoa học tự nhiên. Còn nếu quay trở lại xa hơn trong quá khứ? Ngày nay thật khó tin rằng vào thế kỷ XVIII, ngay cả các bác sĩ hoàng gia cũng không thể thống nhất với nhau về tần số mạch đập của nhà vua, vì đồng hồ của họ chạy khác nhau. Áp suất máu và thậm chí chỉ nhiệt độ cơ thể nói chung cũng chưa ai đo được. Sự xuất hiện của nhiệt kế khi đó đã gây ra một sự phấn khích không kém gì việc phát hiện ra laser trong thời đại của chúng ta. Đây là cách Réaumur đã viết với sự say mê như thế nào về phát minh này vào năm 1730.

Я. А. Смородинский

«VỀ CẤU TẠO CỦA NHIỆT KẾ», năm 1730

Réaumur

Nhiệt kế, không nghi ngờ gì, là một trong những phát minh tuyệt vời của vật lý hiện đại, bản thân nó chứa đựng nhiều thông tin quan trọng. Nó đã đem lại cho chúng ta một số lượng lớn những kiến thức thú vị mà nếu không có sự trợ giúp của nó thì sẽ không thể có được. Trong nhiều trường hợp, làm sao chúng ta có thể biết được nếu không có nhiệt kế rằng một số chất lỏng, khi trộn lẫn với nhau, đã nóng lên? Không có nhiệt kế, chúng ta sẽ không bao giờ phát hiện được rằng khi hòa tan những muối đã biết thì xảy ra sự làm lạnh, cũng như trong những trường hợp nào sự làm lạnh này biểu hiện mạnh nhất. Chúng ta cũng không thể biết rằng một miếng băng có thể lạnh hơn một miếng khác. Chúng ta cũng không thể phát hiện rằng nước sôi có nhiệt độ cao hơn mức đó thì nước nói chung không thể được đun nóng thêm (ở áp suất bình thường).

Tất cả các nhà vật lý đều biết rằng với nhiệt kế trong tay có thể tiến hành vô số thí nghiệm. Nhưng thiết bị này không chỉ cần cho một nhà vật lý; việc sử dụng nó không giới hạn trong các phòng thí nghiệm — chúng ta thường biết qua nhiệt kế nhiệt độ của không khí là bao nhiêu…

Cho đến thời điểm đó (tức là đến năm 1730), nhiệt kế hầu như hoàn toàn không được dùng để xác định mức độ lạnh và nóng nhất trong các khí hậu khác nhau — những vấn đề có tầm quan trọng lớn và đáng quan tâm. Trong khi đó, bằng cách này rất dễ biết được con người có thể chịu đựng bao nhiêu độ nóng hoặc lạnh. Cũng quan trọng không kém là biết ở những nhiệt độ nào cần trồng những loại cây và cây gỗ có thể thích nghi với điều kiện của chúng ta.

46

Tất cả các bài toán toán học trong số này được lấy từ các bài đã được đề ra tại kỳ thi Olympic Toán học Moskva gần đây nhất, một số phát biểu đã được thay đổi.

F36. Một giọt chất lỏng nằm trên mặt phẳng của một bản kính hình bán cầu. Hãy chỉ ra cách có thể xác định chiết suất của chất lỏng từ sự quan sát phản xạ toàn phần bên trong. Chiết suất của kính cũng chưa biết và cần phải xác định.

47

Ф37. Trong hai hình trụ thẳng đứng có diện tích tiết diện $S_1$ và $S_2$ đặt hai pít-tông không thấm nước, được nối với nhau bằng một sợi dây không giãn mảnh có chiều dài $l$ (hình 1). Khoảng không gian giữa các pít-tông chứa đầy nước. Tìm lực căng của dây, nếu các đầu của bình thông với khí quyển. Khối lượng riêng của nước là $\rho$.

Ф38. Nhánh rộng của áp kế thủy ngân hình chữ U có đường kính lớn hơn nhánh hẹp. Nên gắn thang đo vào nhánh nào để độ chính xác của phép đo áp suất cao hơn?

Ф39. Một hành tinh bán kính $R$ và khối lượng $M$ được bao quanh bởi khí quyển đồng nhất về khối lượng riêng, gồm khí có khối lượng phân tử $\mu$. Nhiệt độ của khí quyển trên bề mặt hành tinh là bao nhiêu, nếu chiều cao của khí quyển bằng $H$?

Olympic Vật lý Đại học Tổng hợp Quốc gia Moskva, năm 1967.

Ф40. Với hiệu điện thế nào giữa các điện cực thì bóng đèn neon cháy sáng, nếu năng lượng ion hóa của neon là $I=21,5$ эv, còn khoảng cách trung bình giữa hai lần va chạm liên tiếp của điện tử với các nguyên tử khí là 0,4 мц? Các điện cực có dạng những bản lớn đặt cách nhau một khoảng $d=3$ мм.

Ф41. Trong đêm trăng tròn, độ chiếu sáng của Mặt Trăng nhỏ hơn bao nhiêu lần so với một ngày nắng, khi độ cao của Mặt Trăng và Mặt Trời trên đường chân trời như nhau? Coi rằng bề mặt Mặt Trăng được chiếu sáng tán xạ đều ánh sáng ra không gian. Lấy bán kính Mặt Trăng bằng 2000 км, còn khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất — 400 000 км.

M31. Một tờ giấy hình vuông được cắt theo một đường thẳng thành hai phần. Một trong các phần nhận được lại được cắt thành hai phần, và cứ tiếp tục như vậy nhiều lần. Cần thực hiện ít nhất bao nhiêu lần cắt để trong số các phần nhận được có một số phần bằng nhau?

И. Бернштейн

M32. Trong tất cả các ô của bảng $100 \times 100$ đều đặt dấu cộng. Cho phép đồng thời đổi dấu trong tất cả các ô của một hàng hoặc một cột. Có thể, tiếp tục thực hiện các phép biến đổi như vậy nhiều lần, nhận được một bảng có đúng 1970 dấu trừ không?

А. Зелевинский

M33. Có số tự nhiên $n>1000$. Lấy các số dư khi chia số $2^n$ cho các số 1, 2 3, . . . , $n$ và tính tổng của tất cả các số dư đó. Chứng minh rằng tổng này lớn hơn $2n$.

А. Куиниренко

M34. Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên chia hết cho 10 101 010 101, thì trong biểu diễn thập phân của nó có ít nhất sáu chữ số khác không.

А. Толпьео

M35. Bao quanh một hình cầu bán kính 10 người ta dựng một đa diện 19 mặt nào đó. Chứng minh rằng trên bề mặt của nó tìm được hai điểm có khoảng cách lớn hơn 21.

А. Куиниренко

48

Từ số này chúng tôi bắt đầu in lời giải của «Tuyển tập bài tập Kvant».
Phần lớn các bài tập được đăng trong mục này của tạp chí khá khó, và việc thảo luận một số bài trong đó đáng lẽ cần dành nhiều bài viết hơn. Nhiều bài trong số đó tạo cơ hội để nói về cả một lớp bài tập, về các phương pháp tiếp cận những hiện tượng này hay hiện tượng khác, về việc sử dụng các hiện tượng khác nhau trong thực tiễn. Đôi khi chúng tôi sẽ tiến hành cuộc trao đổi này trên các trang tạp chí của mình. Nhưng thường thì chính bạn đọc nên tự suy nghĩ xem làm thế nào để khái quát lời giải đã nêu, hoặc làm thế nào để đơn giản hóa nó, xem hiện tượng được nói đến trong đề bài được áp dụng ở đâu, v.v.

Số thứ bảy được chuẩn bị để in vào cuối tháng ba, vì vậy ở đây, dĩ nhiên, chưa tính đến những bức thư có lời giải mà chúng tôi nhận được sau đó. Về sau dự định sẽ công bố lời giải khoảng nửa năm sau khi công bố bài tập. Đồng thời chúng tôi sẽ làm quen với những lời giải được gửi đến kịp thời — không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số tương ứng phát hành. Dĩ nhiên, chúng tôi không thể trả lời tất cả bạn đọc đã gửi thư cho chúng tôi. Những lời giải hay nhất sẽ được đăng trên các trang tạp chí. Còn những người đã nghĩ ra lời giải khác nhiều so với lời giải được công bố sẽ phải tự mình xác định xem nó đúng hay không, và nếu không đúng thì sai ở đâu.

Và điều cuối cùng. Nghĩ ra một bài toán thường khó hơn là giải nó. Khó hơn, nhưng cũng thú vị hơn. Hãy thử nghĩ ra các bài toán và gửi chúng cho chúng tôi. Những bài toán hay nhất chúng tôi sẽ đăng trong «Tuyển tập bài tập Kvant».

49

М1. Ở nước Anchuria, nơi tổng thống Miraflores trị vì, thời gian của những cuộc bầu cử tổng thống mới đang đến gần. Trong nước có đúng 20 triệu cử tri, trong đó chỉ có một phần trăm (quân đội chính quy của Anchuria) ủng hộ Miraflores. Dĩ nhiên Miraflores muốn được bầu, nhưng mặt khác ông ta muốn các cuộc bầu cử có vẻ dân chủ. Miraflores gọi là «bỏ phiếu dân chủ» việc sau đây: tất cả cử tri được chia thành một số nhóm bằng nhau, sau đó mỗi nhóm này lại được chia thành một số nhóm bằng nhau, rồi những nhóm sau cùng này lại được chia thành các nhóm bằng nhau v.v.; trong những nhóm nhỏ nhất, các đại diện của nhóm—cử tri đại diện—được bầu, sau đó cử tri đại diện bỏ phiếu trong một nhóm lớn hơn nữa v.v.; cuối cùng, các đại diện của những nhóm lớn nhất chọn đại diện cho các nhóm theo ý mình, và chỉ dẫn cho phía của mình cách bỏ phiếu. Liệu ông ta có thể tổ chức những «cuộc bầu cử dân chủ» như vậy để được bầu làm tổng thống không? (Khi số phiếu bằng nhau, phe đối lập thắng.)

Trả lời. Có, có thể.

Trước hết, hãy tìm hiểu làm thế nào trong những cuộc bầu cử «nhiều cấp» một ứng cử viên được thiểu số bỏ phiếu có thể thắng. (Nhân tiện, theo hệ thống như vậy, người ta bỏ phiếu ở nhiều nước tư bản.) Ví dụ đơn giản nhất về tình huống như vậy được mô tả trên hình 1: ở đây chín cử tri — bốn «đen» và năm «xanh» — được chia thành ba nhóm, mỗi nhóm ba cử tri, sao cho trong hai nhóm màu đen thắng, và vì thế trong kết quả của những «cuộc bầu cử hai cấp» như vậy ứng cử viên của phe đen sẽ được bầu, mặc dù số người thuộc phe của ông ta chỉ chiếm $\frac{4}{5}$ tổng số cử tri. (Không khó để thấy rằng trong các cuộc bầu cử hai cấp với số lượng cử tri lớn hơn, phần trăm số phiếu đủ để chiến thắng có thể còn nhỏ hơn nữa, nhưng vẫn luôn lớn hơn 25%.) Rõ ràng rằng với hệ thống bầu cử ba cấp, phần trăm này có thể làm cho thấp hơn nữa. Chẳng hạn, nếu thay mỗi cử tri trong hình 1 bằng một nhóm gồm một trăm người, sao cho trong nhóm bỏ phiếu màu xanh tất cả các cử tri đều là xanh, còn trong nhóm màu đen có 51 người đen và 49 người xanh, thì ta nhận được một ví dụ về tình huống trong đó người đen chỉ chiếm $\frac{4}{9} \cdot \frac{51}{100} = \frac{17}{75}$ tổng số cử tri, nhưng vẫn thắng.

Sau những nhận xét sơ bộ này, chúng ta đi đến lời giải bài toán.

Chia tất cả các cử tri thành 5 nhóm, mỗi nhóm 4 triệu người, sao cho hai nhóm hoàn toàn gồm những người chống lại Miraflores (gọi những nhóm này là «xanh», còn ba nhóm còn lại là «đen»). Mỗi một

50

các nhóm «cấp một» này lại chia thành 5 nhóm cấp hai, trong đó từ năm nhóm tạo thành nhóm đen cấp một thì ba nhóm là đen, v.v., như chỉ ra trong bảng.

Rõ ràng, với cách phân chia như vậy, để Miraflores thắng thì chỉ cần có

$$\frac{3^{11}}{2^8 \cdot 5^7} = \frac{177 \cdot 147}{20 \cdot 000 \cdot 000} < \frac{1}{100}$$

số phiếu của toàn bộ cử tri bầu cho ông ta. Do đó, vì quân đội chiếm $\frac{1}{100}$ số cử tri và ủng hộ Miraflores, ông ta có thể thắng.

Một số độc giả đã thử giải câu hỏi tổng quát hơn sau đây: Miraflores phải có ít nhất bao nhiêu người ủng hộ để thắng trong «cuộc bầu cử dân chủ», nếu tổng số cử tri là $N$? Dĩ nhiên, câu trả lời cho câu hỏi này không phụ thuộc nhiều vào độ lớn của số $N$, mà vào cách nó phân tích thành các thừa số. Chẳng hạn, nếu $N$ là số nguyên tố, thì hoàn toàn không thể chia cử tri thành các nhóm bằng nhau (trừ cách tầm thường: $N$ nhóm, mỗi nhóm một người) và để thắng cần có đa số đơn giản. Ta sẽ chỉ ra cách trả lời câu hỏi này với mọi $N$.

Xét cách chia $N$ người thành các nhóm (hạng 1, hạng 2 v.v.) sao cho Miraflores thắng và số người thuộc phe ông là nhỏ nhất có thể. Hiển nhiên, có thể coi rằng trong các nhóm bỏ phiếu chống ông không có một người nào thuộc phe ông và mọi nhóm đen cùng một hạng đều được chia hoàn toàn giống nhau. Tiện dùng ký hiệu $[1]$ — «phần nguyên» ($[x]$ — số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$; chẳng hạn, $[2] = 2$, $[3\frac{1}{2}] = 3$). Rõ ràng, nếu một nhóm đen nào đó gồm $k$ nhóm ở hạng tiếp theo, thì trong số đó phải có không ít hơn $[\frac{k}{2}] + 1$ nhóm đen. Giả sử mỗi nhóm hạng $r$ ($r = 1, 2, \dots, m-1$) được chia thành $k_r$ nhóm hạng thấp hơn, còn các nhóm ở hạng cuối cùng thứ $m$ gồm 1 người. Khi đó để thắng cần có ít nhất

$$B = \left( \left[ \frac{k_1}{2} \right] + 1 \right) \left( \left[ \frac{k_2}{2} \right] + 1 \right) \dots \left( \left[ \frac{k_m}{2} \right] + 1 \right)$$

phiếu đen. Bài toán của chúng ta quy về như sau: phân tích $N$ đã cho thành tích các thừa số $k_1, k_2, \dots, k_m$ sao cho tích $B$ là nhỏ nhất.

Giả sử

$$N = k_1 k_2 \dots k_m$$

là một phân tích như vậy. Như bổ đề sau cho thấy, có thể giả sử rằng trong phân tích này không có các thừa số $k$ dạng $k = pq$, trong đó $p$ và $q$ lớn hơn 2 (nếu có những thừa số như vậy, có thể xét phân tích tiếp theo mà không làm tăng $B$).

Bổ đề.

$$\left( \left[ \frac{p}{2} \right] + 1 \right) \left( \left[ \frac{q}{2} \right] + 1 \right) \leq \left[ \frac{pq}{2} \right] + 1$$

với mọi số nguyên $p$ và $q$ lớn hơn 2.

Chứng minh. Nếu $p$ và $q$ đều chẵn, thì bất đẳng thức có thể viết lại như sau:

$$\left( \frac{p}{2} + 1 \right) \left( \frac{q}{2} + 1 \right) \leq \frac{pq}{2} + 1,$$

$(p + 2) (q + 2) \leq 2pq + 4,$

$pq - 2q - 2p + 4 \geq 4, \quad (p - 2)(q - 2) \geq 4,$

điều này hiển nhiên đúng với $p > 2$ và $q > 2$.

Trong trường hợp một trong các số $p, q$, chẳng hạn $p$, chẵn, còn số kia lẻ, ta có:

$$\left( \frac{p}{2} + 1 \right) \left( \frac{q}{2} + 1 \right) \leq \frac{pq}{2} + 1,$$

$(p + 2) (q + 1) \leq 2pq + 4,$

$pq - 2q - p + 2 \geq 0, \quad (p - 2)(q - 2) \geq 0.$

Trường hợp $p$ và $q$ lẻ được xét tương tự. Bổ đề được chứng minh. Từ đây lập tức suy ra rằng các $N$ lẻ phải được phân tích thành thừa số nguyên tố “đến cùng”. Còn lại là xét các số hai.

Có thể coi rằng trong phân tích không có các thừa số dạng $2q$, trong đó $q$ lẻ, vì $2$ hạng

$$2 \left( \left[ \frac{q}{2} \right] + 1 \right) = \left[ \frac{2q}{2} \right] + 1.$$

52

qua các tâm của các đường tròn và tâm của mặt cầu. Thật vậy, cả hai đường tròn đối xứng qua mặt phẳng $P$, và nếu chúng có một điểm chung ở một phía của mặt phẳng $P$, thì chúng cũng phải có một điểm chung đối xứng với nó ở phía bên kia của $P$, trong khi chúng chỉ có một điểm chung. Nếu các đường tròn này có cùng bán kính $r$, thì khoảng cách giữa các “tâm” của chúng bằng $2r$, bởi vì trên đường tròn lớn thu được từ giao của mặt cầu và mặt phẳng $P$ (hình 2, $\theta$), các đường kính của các đường tròn của chúng ta (các đoạn màu đen) và đoạn nối các “tâm” của chúng (màu đỏ) chắn các cung bằng nhau.

Gọi $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ là các «tâm» của các đường tròn $\gamma_0, \gamma_1, \dots, \gamma_n$ được nói đến trong điều kiện bài toán. Khi đó $A_0A_1 = A_0A_2 = \dots = A_0A_n = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_nA_12r$, nói cách khác, $A_0A_1A_2 \dots A_n$ là một hình chóp đều $n$-giác có đỉnh $A_0$, nội tiếp trong mặt cầu đã cho bán kính 1, mà tất cả các mặt bên là những tam giác đều có cạnh bằng $2r$. Vậy chỉ cần dựng một hình chóp thỏa mãn các điều kiện này, khi đó các điểm $A_0, A_1, \dots, A_n$ sẽ xác định các đường tròn bán kính $r$ với các «tâm» $A_0, A_1, \dots, A_n$, hiển nhiên thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vì tổng các góc phẳng của góc $n$-diện lồi có đỉnh $A_0$ nhỏ hơn $360^\circ$:
$$n \cdot 60^\circ = A_1A_0A_2 + A_2A_0A_3 + \dots + A_nA_0A_1 < 360^\circ,$$
nên $n < 6$. Với $n = 3, 4$ và 5, không khó dựng các hình chóp cần thiết.

Gọi $O$ là tâm của mặt cầu. Chiều cao của hình chóp $h$ và độ dài các cạnh của nó $2r$ được xác định từ các lập luận sau: bán kính $KA_1$ của đáy hình chóp là cạnh góc vuông của $\Delta A_0KA_1$ và cạnh bên của $\Delta A_1KA_2$, trong đó $\Delta A_1KA_2 = 2\pi/n$ (hình 3, $a, \delta$),

$$\sqrt{4r^2 - h^2} \sin \frac{\pi}{n} = r.$$

Từ $\Delta A_0OA_1$ có $r = \frac{h}{2r}$.

Suy ra $h = 2r^2$, $r = \sqrt{1 - \frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{n}}}$.

Do đó,

khi $n = 3$: $r = \sqrt{\frac{2}{3}} \left( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$;

khi $n = 4$: $r = \sqrt{\frac{1}{2}} \left( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$;

khi $n = 5$: $r = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

(công thức $\sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ có thể suy ra từ hình 4, nhờ đó dựng được các thập giác đều và ngũ giác đều).

53

Biết $r$ và $h$, ta có thể dựng các kim tự tháp đều mà, theo các hệ thức đã nêu, sẽ thỏa mãn mọi điều kiện cần thiết: mọi mặt đều là các tam giác đều có cạnh $2r$, bán kính mặt cầu ngoại tiếp là 1.

Các kim tự tháp đã dựng có liên hệ chặt chẽ với các đa diện đều

có các mặt là tam giác. Chỉ có ba đa diện như vậy: tứ diện, bát diện và nhị thập diện (hình 5), và nếu cắt khỏi mỗi đa diện này «chóp» — tất cả các mặt kề với một đỉnh, — thì cũng thu được đúng ba kim tự tháp mà chúng ta đã xét. Có thể đọc thêm về các đa diện đều và về cách dựng ngũ giác trong cuốn sách tuyệt vời của G. S. Coxeter “Nhập môn hình học” (“Nauka”, 1966, chương 10 “Năm khối Platon” và chương 11 “Tỉ lệ vàng và phyllotaxis”).

Học sinh lớp 10 Xécđây Makêép ở thành phố Volokolamsk đã giải bài toán theo một cách hơi khác (không sử dụng «các tâm trên mặt cầu»).

Cũng lưu ý rằng hoàn toàn có thể thay điều kiện $n \geq 3$ trong đề bài bằng $n \geq 2$. Cách bố trí tương ứng của ba đường tròn $\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2$ tồn tại (hình 6; «các tâm» của các đường tròn nằm tại các đỉnh của một tam giác đều-

⟦trang 54⟧

Hình 6.

được nội tiếp trong đường tròn lớn), và để tính $r$, tuy có vẻ lạ, vẫn dùng được chính công thức mà chúng ta đã chứng minh cho $3 \leq n \leq 5$

$$r = \sqrt{1 - \frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

M3. a) Trên hình 7, $a$ mặt phẳng được phủ bởi các hình vuông thuộc năm màu. Tâm của các hình vuông cùng màu nằm tại các đỉnh của một lưới vuông. Với những số màu nào có thể phủ mặt phẳng tương tự?

b) Trên hình 7, $b$ mặt phẳng được phủ bởi các hình lục giác thuộc sáu màu sao cho tâm của các hình lục giác cùng màu tạo thành các đỉnh của một lưới gồm những tam giác đều bằng nhau. Với những số màu nào có thể phủ tương tự?

Chú ý. Trong bài toán thứ nhất số màu có thể bằng một (mọi hình vuông cùng một màu) và hai (như trên bàn cờ). Trong bài toán thứ hai, bạn sẽ dễ dàng tìm được lời giải với một màu và với ba màu. Nên đưa ra lời giải đầy đủ các bài toán, tức là mô tả mọi cách tô màu thỏa mãn các điều kiện đã nêu. Tuy nhiên, cũng hãy gửi những lời giải chưa đầy đủ, nếu chúng có vẻ thú vị đối với bạn. Chẳng hạn, hãy suy nghĩ xem trong bài toán thứ hai có tồn tại lời giải với mười ba màu không?

Chúng tôi vẫn chưa nhận được lời giải đầy đủ cho bài toán này.

Học sinh lớp 6 Xergey Eliseev (Moskva) đã gửi cho chúng tôi một cách tô màu lưới lục giác bằng mười ba màu, mà chúng tôi tái hiện, trong khả năng cho phép của kỹ thuật in ấn, trên hình 8;

Hình 7 a, b.

em khẳng định (không giải thích) rằng trong trường hợp tổng quát đáp án là như sau:

Trong bài toán a), cách tô màu cần tìm là có thể nếu số màu bằng tổng hai bình phương của các số nguyên:

$$1 = 0^2 + 1^2; \quad 2 = 1^2 + 1^2; \quad 4 = 0^2 + 2^2; \quad 5 = 1^2 + 2^2; \quad 8 = 2^2 + 2^2; \quad 9 = 0^2 + 3^2; \quad 10 = 1^2 + 3^2; \quad 13 = 2^2 + 3^2; \quad 16 = 0^2 + 4^2$$ v.v.

Trong bài toán b), lời giải có thể có khi số màu bằng tổng hai số trong dãy 0, 1, 3, 6, 10, 15, . . . , $\frac{n(n+1)}{2}$, . . .

$$1 = 0 + 1; \quad 3 = 0 + 3; \quad 4 = 1 + 3; \quad 6 = 0 + 6; \quad 7 = 1 + 6; \quad 9 = 3 + 6$$ v.v.

Hãy thử xác định xem các đáp án này có đúng không? Chúng ta sẽ trở lại câu hỏi này sau, còn bây giờ hãy chú ý đến một điểm trong cách phát biểu bài toán (người đầu tiên nhận ra nó là độc giả V. Gutenakher ở Moskva).

Hãy bắt đầu với bài toán a). Trong đó yêu cầu tìm các cách tô màu sao cho “tâm của các hình vuông cùng màu nằm tại các đỉnh của một lưới vuông”. Nhưng trong điều kiện không nói rằng đối với các màu khác nhau, lưới vuông “lớn” này phải giống nhau. Hãy xem hình 9. Ở đây các hình vuông của mỗi trong ba màu cũng tạo thành một lưới, nhưng đối với màu đỏ “bước” (cạnh hình vuông) của lưới bằng $\sqrt{2}$, còn đối với màu trắng và xanh lục — 2, hơn nữa các lưới còn quay-

⟦trang 55⟧

Hình 8.

quay tương đối với nhau. Nhưng nếu hiểu điều kiện bài toán theo đúng nghĩa đen — mà trong kỳ thi viết hoặc trong olympiad thì chính là cần phải làm như vậy, — thì cách tô màu ở hình 9 thỏa mãn điều kiện bài toán. Với cách hiểu như vậy, đáp số ở bài a) sẽ là: với mọi số màu. Thật vậy, từ bất kỳ cách tô màu nào bằng $n$ màu, trong đó có một màu trắng, dễ dàng tạo được cách tô màu bằng $(n+1)$ màu: cần tô các ô vuông trắng «theo kiểu bàn cờ» bằng màu trắng và màu đỏ mới thứ $(n+1)$ (chính như vậy, từ cách tô màu bàn cờ đỏ-trắng đã thu được cách tô màu ở hình 9).

Với cách hiểu như vậy, bài 6) cũng trở nên hoàn toàn đơn giản.

Đáp số. Với mọi số màu lớn hơn 2. Thật vậy, không thể tô bằng hai màu, vì nếu trong ba hình lục giác mà mỗi hai hình có một cạnh chung, có hai hình được tô cùng một màu, thì mọi hình lục giác đều phải được tô bằng màu ấy. Các cách tô bằng 3 và 4 màu tìm được dễ dàng, rồi sau đó không khó, bằng cách tô các hình lục giác trắng bằng ba màu, tăng số màu thêm 2, rồi lại thêm 2, v.v.

Dĩ nhiên, bằng cách này có thể thu được nhiều cách tô màu khác nhau. Có bất kỳ cách tô màu nào bằng $A(k)$ màu, chọn ra trong

56

Ф1. Ba bình thông nhau chứa nước, có tâm cách đều nhau một khoảng $a$, được đậy bằng các pít-tông có cùng độ dày, làm từ cùng một vật liệu. Vào các pít-tông gắn những thanh thẳng đứng giống nhau, được nối khớp với thanh $AB$. Có thể treo một vật nặng tại điểm nào của thanh để ở vị trí cân bằng thanh vẫn nằm ngang, nếu khối lượng của thanh và các thanh thẳng đứng là không đáng kể so với khối lượng của các pít-tông và vật nặng. Đường kính các bình lần lượt là $d_1$, $d_2$ và $d_3$.

Thanh $AB$ và các pít-tông ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của bảy lực: lực $Q$, tác dụng từ phía vật nặng, các lực trọng trường tác dụng lên các pít-tông—những lực này tỉ lệ với diện tích các pít-tông: $P_1 = k_1 d_1^2$; $P_2 = -k_1 d_2^2$; $P_3 = k_1 d_3^2$ và ba lực do áp suất chất lỏng tác dụng lên các pít-tông: $N_1$, $N_2$, $N_3$ (hình 10). Vì mực chất lỏng trong các bình bằng nhau, áp suất lên mọi pít-tông bằng nhau, còn các lực áp suất tỉ lệ như diện tích các pít-tông: $N_1 : N_2 : N_3 = d_1^2 : d_2^2 : d_3^2$. Do đó $N_1 = k_2 d_1^2$, $N_2 = k_2 d_2^2$, $N_3 = k_2 d_3^2$.

Các lực tổng hợp tác dụng lên mỗi pít-tông bằng: $F_1 = N_1 - P_1 = (k_2 - k_1) d_1^2 = kd_1^2$, $F_2 = kd_2^2$, $F_3 = kd_3^2$.

Gọi $x$ là khoảng cách từ trung điểm của thanh đến điểm treo vật, ta viết các điều kiện đối với thanh: 1) tổng tất cả các lực tác dụng lên thanh bằng không: $F_1 + F_2 + F_3 - Q = 0$ và 2) tổng mômen của tất cả các lực tác dụng lên thanh đối với trung điểm của thanh bằng không: $F_1 a - F_3 a - Qx = 0$. Thay vào các phương trình này các biểu thức của $F_1$, $F_2$ và $F_3$, rồi giải đồng thời các phương trình đó, ta tìm được rằng

$$x = \frac{d_1^2 - d_3^2}{d_1^2 + d_3^2 + d_3^2} a.$$

Không ai trong số các độc giả gửi lời giải bài toán này đã tính đến khối lượng của các pittông. Nhưng chỉ có hai người — G. Kalshin ở Kirovobad và A. Karpenko ở thành phố Lisiansk, tỉnh Voroshilgovred — giải thích vì sao có thể làm như vậy. Vì các pittông được làm từ cùng một vật liệu và có cùng độ dày, nên áp suất bổ sung lên_body không phụ thuộc vào đường kính của các pittông. Điều kiện cân bằng của các pittông là áp suất lên_body trong mọi xi lanh bằng nhau (vì mực nước trong các xi lanh bằng nhau). Các áp suất bổ sung do pittông gây ra tự động thỏa mãn điều kiện này.

Ф2. Trên một mặt phẳng ngang có hai viên bi khối lượng $m_1$ và $m_2$, được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng $c$. Mặt phẳng nhẵn. Các viên bi được dịch chuyển, nén lò xo, rồi đồng thời thả ra. Hãy xác định chu kì của các dao động phát sinh của các viên bi.

Khối tâm của hệ không được chuyển động (hoặc có thể chuyển động đều và thẳng), vì vậy các quả cầu dao động ngược pha với cùng tần số, còn các độ lệch $x_1$ và $x_2$ của chúng khỏi vị trí cân bằng tương ứng với các đoạn lò xo có độ dài $l_1$ và $l_2$ ($l_1$ và $l_2$ là các khoảng cách từ các quả cầu đến khối tâm của hệ;

$$l_1 = l \frac{m_2}{m_1 + m_2}, \quad l_2 = l \frac{m_1}{m_1 + m_2}).$$

Độ giãn của phần thứ $1/q$ của lò xo luôn nhỏ hơn độ giãn của toàn bộ lò xo $q$ lần, tức là phần thứ $1/q$ của lò xo có độ cứng lớn hơn độ giãn $q$ lần so với

57

Độ cứng của toàn bộ lò xo. Vì vậy $c_1 = \frac{m_1 + m_2}{m_2} c$. Suy ra chu kì dao động của các viên bi

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) c}}.$$

Điều thú vị là kiểm tra đáp số bằng cách xét một trường hợp giới hạn nào đó. Học sinh lớp 10 trường số 20 ở thành phố Vologda E. Tikhonov đã làm như vậy. Giả sử khối lượng $m_2$ rất lớn: $m_2 \gg m_1$. Khi đó viên bi có khối lượng $m_1$ phải dao động như thể viên bi thứ hai được cố định bất động, và $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c}}$. Kiểm tra công thức của chúng ta

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c}}.$$

F3. Từ hai đoạn dây thép giống nhau, người ta cuốn hai lò xo. Đường kính các vòng của một lò xo bằng $d$, của lò xo kia bằng $2d$. Lò xo thứ nhất dưới tác dụng của vật nặng đã giãn bằng một phần mười chiều dài của nó. Dưới tác dụng của cùng vật nặng ấy, lò xo thứ hai sẽ giãn bằng phần nào chiều dài của nó?

Độ giãn của lò xo bằng $\Delta l = n \cdot 2d \cdot \sin \frac{\alpha}{2}$, trong đó $n$ — số vòng của lò xo, còn $\alpha$ — góc mà các vòng kề nhau của lò xo mở ra (hình 11). Vì độ giãn của lò xo nhỏ, nên góc này nhỏ và $\sin \frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2}$. Do đó $\Delta l = nd\alpha$.

Góc $\alpha$ tỉ lệ với mômen

lực $F$ kéo giãn lò xo: $\alpha = F \cdot d$. Lực $F$ bằng trọng lượng của vật treo vào lò xo và như nhau trong cả hai trường hợp, do đó $\Delta l \sim nd^2$.

Đường kính các vòng của lò xo thứ hai lớn gấp đôi, còn số vòng của nó ít hơn hai lần, vì vậy độ giãn tuyệt đối của lò xo thứ hai lớn gấp đôi so với lò xo thứ nhất. Như vậy, lò xo thứ hai sẽ giãn thêm $\frac{2}{5}$ chiều dài của nó.

Nhiều người bắt đầu giải bài toán này đã tìm đúng rằng độ giãn của lò xo thứ hai lớn gấp hai lần lò xo thứ nhất, nhưng quên rằng lò xo thứ hai ngắn hơn lò xo thứ nhất hai lần, vì vậy độ giãn tương đối của lò xo thứ hai không bằng $\frac{1}{5}$, như họ đã nhận được, mà bằng $\frac{2}{5}$.

Ф4. Trong bình chứa một khí tinh khiết, nhưng không rõ là khí nào. Để tăng nhiệt độ của 1 kg khí này thêm một độ ở áp suất không đổi cần 958,4 J, còn ở thể tích không đổi — 704,6 J. Đó là khí gì?

Khi đun nóng khí ở thể tích không đổi, năng lượng tiêu tốn chỉ dùng để làm thay đổi nội năng của khí, còn khi đun nóng ở áp suất không đổi — còn dùng để thực hiện công. Viết định luật bảo toàn năng lượng cho cả hai trường hợp:

$$mc_V \Delta t = \Delta W,$$

$$mc_p \Delta t = \Delta W + A.$$

Ở đây $c_p$ — nhiệt dung của khí ở áp suất không đổi (tức là lượng nhiệt cần thiết để đun nóng 1 kg khí ở áp suất không đổi), $c_v$ — nhiệt dung của khí ở thể tích không đổi, $\Delta t$ — độ thay đổi nhiệt độ, $\Delta W$ — độ thay đổi nội năng của khí, $m$ — khối lượng khí, $A = p \Delta V$ — công thực hiện khi khí giãn nở ($\Delta V$ — độ thay đổi thể tích, $p$ — áp suất).

Vì khi nhiệt độ của khí tăng thêm cùng một số độ thì độ thay đổi nội năng của nó là như nhau cả khi đun nóng ở thể tích không đổi lẫn khi

58

khi đun nóng ở áp suất không đổi, có thể viết: $c_p m \Delta t = c_v m \Delta t + p \Delta V$. Với sự trợ giúp của phương trình trạng thái khí (phương trình Clapeyron — Mendeleev), công do khí thực hiện có thể biểu diễn qua khối lượng phân tử của khí $\mu$ và hằng số khí $R$: $p \Delta V = \frac{m}{\mu} R \Delta t$. Thay hệ thức này vào phương trình (1), ta được: $c_p = c_v + \frac{R}{\mu}$, từ đó

$$\mu = \frac{R}{c_p - c_v} \approx 32,7 \text{ kcal/kmol}.$$

Khí chưa biết là oxy với một lượng rất nhỏ tạp chất khí nặng hơn.

F5. Có một mạch điện, được vẽ trên hình. Vôn kế có điện trở trong rất lớn sẽ chỉ gì nếu nối nó vào các điểm $C$ và $D$? $U_{AB} = 518$.

Vôn kế chỉ sự tồn tại của điện áp giữa các điểm $E$ và $D$. Để tìm nó, trước hết thuận tiện xác định điện áp giữa các điểm $F$ và $B$. Để làm điều đó, có thể vẽ lại mạch như trên hình 12.

$$R_0 = 3 \text{ ôm}, R'_0 = \frac{3}{4} \text{ ôm},$$

$$U_{FB} = U_{AB} \frac{R'_0}{R_0^1 + R_1} = \frac{3}{11} U_{AB}.$$

Bây giờ cũng bằng cách đó tìm xem എന്ത്

$$U_{ED} = \frac{R_3}{R_2 + R_3} U_{FD} = \frac{1}{3} U_{FD} = \frac{1}{11} U_{AB} = 4,6 \text{ V}.$$

Hầu như tất cả các độc giả đã gửi thư cho chúng tôi đều giải đúng bài toán này.

F6. Hãy tìm điện tích của quả cầu kim loại nối đất bán kính $r$, nếu ở khoảng cách $R$ từ tâm của nó có điện tích điểm $q$.

Thế điện của quả cầu phải bằng không. Thế điện của trường tại tâm quả cầu, dĩ nhiên bằng thế điện của quả cầu, gồm thế điện của trường do điện tích điểm $q$ và trường do điện tích $Q$ của quả cầu tạo ra. Điện tích $Q$ phân bố trên quả cầu không đều, nhưng nếu chia quả cầu thành các phần nhỏ mang điện tích $\Delta q$, thì thế điện của trường do điện tích của quả cầu tạo ra tại tâm có thể biểu diễn như tổng các thế điện của trường do các điện tích điểm $\Delta q$ tạo ra. Do đó, đối với tâm quả cầu có thể viết:

$$\Delta \varphi = \sum \frac{\Delta q}{r} = \frac{1}{r} \sum \Delta q = \frac{Q}{r} + \frac{q}{R} = 0.$$

Suy ra $Q = -\frac{r}{R} q$.

Nhiều độc giả đã nhận được đáp số đúng, nhưng chúng tôi nhận được rất ít lời giải đúng. Nhiều độc giả đã dùng công thức điện dung của tụ điện $C = \frac{\Delta Q}{\Delta \varphi}$, coi điện dung của quả cầu bằng $r$. Nhưng điều này chỉ đúng đối với quả cầu cô lập có điện tích phân bố đều.

59

Trong số này của “Kvant”, chúng tôi kết
thúc việc đăng những bài toán thú vị nhất
trích từ sách giáo khoa thử nghiệm mới
cho lớp 5.

1233. Trong 8 đồng xu có một đồng giả
      (nhẹ hơn). Làm thế nào xác định đồng xu
      giả bằng hai lần cân trên cân hai đĩa không
      dùng quả cân?

1234. Trong 20 đồng xu có một đồng
      giả, khác về khối lượng
      so với các đồng thật. Dùng ba lần cân
      trên cân hai đĩa không dùng
      quả cân để xác định đồng xu giả
      và xác định xem nó nhẹ hơn hay nặng hơn các đồng thật.

1235. Tôi chỉ có một chiếc đồng hồ treo tường
      đã dừng. Tôi đến nhà một người quen, đồng
      hồ của người ấy chạy đúng, ở lại
      đó một thời gian và, khi trở
      về nhà, chỉnh đồng hồ của mình cho đúng.
      Tôi đã làm điều đó bằng cách nào, nếu trước đó tôi không
      biết đường đi mất bao
      nhiêu thời gian?

1236. Để đánh số các trang của cuốn từ điển
      cần 6869 chữ số.

Cuốn từ điển có bao nhiêu trang?

1238. Số
      3⁶·5⁴ có bao nhiêu ước?

1239. Khi chia số N cho 2 thì dư 1, còn khi chia
      cho 3 thì dư 2. Khi chia số
      N cho 6 thì sẽ dư bao nhiêu?

1240. Nếu lấy số có ba chữ số đã nghĩ
      trừ đi 7 thì nó chia hết cho 7, nếu lấy
      nó trừ đi 8 thì nó chia hết cho 8,
      và nếu trừ đi 9 thì nó chia hết cho 9. Đã nghĩ ra số nào?

1241. Số 66⁶⁶ sẽ tận cùng bằng chữ số nào? 33³³? 7⁷?

1242. Chứng minh rằng số 7⁷⁷+1 không chia hết cho 5.

1243. Chứng minh rằng tổng của hai số lẻ liên tiếp bất kỳ chia hết cho 4.

1244. Một số có sáu chữ số nào đó bắt đầu bằng chữ số 7. Bỏ chữ số này ở bên trái và viết nó vào bên phải, ta được một số nhỏ hơn số ban đầu 5 lần. Tìm số ban đầu.

⟦trang 60⟧

1251. Nếu viết thêm số không giữa hai chữ số của một số có hai chữ số, thì số có ba chữ số nhận được sẽ lớn hơn số thứ nhất 9 lần theo 7, 11 và 13.

1252. Trong một số có sáu chữ số, chữ số thứ nhất trùng với chữ số thứ tư, chữ số thứ hai trùng với chữ số thứ năm và chữ số thứ ba trùng với chữ số thứ sáu. Chứng minh rằng số này chia hết cho 7, 11 và 13.

1253. Viết thêm một chữ số vào bên phải và bên trái số 43 sao cho số nhận được chia hết cho 45.

1254. Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp có thể là số nguyên tố không? Còn tổng của ba số thì sao?

1255. Học sinh A, B và C thi chạy 100 m. Khi A chạy đến đích, B chậm hơn A 10 m. Khi B chạy đến đích, C chậm hơn B 10 m. C chậm hơn A bao nhiêu mét khi A chạy xong?

1256. Hãy chỉ ra rằng có thể thanh toán bất kỳ số tiền nào nếu người bán và người mua chỉ có các đồng xu ba cô-pếch và năm cô-pếch.

1257. Cha giao cho con trai đo chiều dài sân bằng bước chân. Đó là vào mùa đông. Để kiểm tra, cha đo cùng chiều dài sân ấy bằng bước chân của mình. Cha bước từ cùng chỗ với con trai và đi theo cùng hướng, nên trong một số trường hợp dấu chân của cha và con trùng nhau. Tổng cộng có 61 dấu chân trên tuyết. Chiều dài sân bằng bao nhiêu, nếu bước chân của con trai là 0,54 m, còn bước chân của cha là 0,72 m?

1258. Chứng minh các định lý:

1. Nếu tích của ba số nguyên là số lẻ, thì tổng của chúng cũng là số lẻ;
2. Nếu tổng của hai số nguyên là số lẻ, thì tích của chúng là số chẵn.

1268. Các cạnh của một hình hộp chữ nhật được biểu thị bằng các số tự nhiên, còn thể tích của nó là một số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng tổng độ dài của hai cạnh không bằng nhau là một số chẵn.

1269. Có thể tồn tại một hình hộp đứng có độ dài các cạnh là các số tự nhiên, còn diện tích bề mặt là một số nguyên tố không?

1270. Chia đều 7 quả táo cho 12 người, không cắt quả táo nào thành 12 hay nhiều hơn số phần bằng nhau.

1271. Rút gọn các phân số:
      $$\frac{37\ 373\ 737}{81\ 818\ 181}; \quad \frac{609\ 609\ 609}{205\ 205\ 205}.$$

1272. Tìm giá trị của biểu thức:
      $$\frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \frac{1}{5\cdot6} + \dots + \frac{1}{19\cdot20}.$$

1273. Chứng minh rằng
      $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{199} - \frac{1}{200} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + \dots + \frac{1}{200}.$$

1274. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà khi chia nó cho mỗi phân số $\frac{28}{297}$ và $\frac{35}{396}$ thì nhận được các số nguyên.

1275. Tàu hỏa đi hết một quãng đường đã cho trong 10 giờ. Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/giờ, nó sẽ đi trong 8 giờ. Tìm vận tốc và quãng đường.

1276. Một ô tô đi nửa quãng đường với vận tốc 50 km/giờ, còn nửa kia với vận tốc 30 km/giờ. Ô tô đã đi toàn bộ quãng đường với vận tốc trung bình bao nhiêu?

1277. Từ Gorky đến Astrakhan tàu thủy đi mất 5 ngày đêm, còn trở lại mất 7 ngày đêm. Tàu thủy phải đi từ Gorky đến Astrakhan trong bao nhiêu ngày đêm?

1278. Tôi uống $1/6$ tách cà phê đen rồi thêm sữa vào. Sau đó tôi uống $1/3$ tách và lại thêm sữa vào. Rồi tôi uống cả tách. Tôi đã uống nhiều hơn cà phê hay sữa?

1279. Người đầu bếp nấu súp và cho vào ít muối. Phải thêm muối-

61

nấu món súp đã xong. Lần sau người đầu bếp nhận ra sai lầm này và cho vào cùng một lượng súp số muối gấp 2 lần lần đầu. Như vậy vẫn còn ít, nhưng lúc này chỉ cần thêm một lượng muối ít hơn hai lần là đủ. Lần đầu người đầu bếp đã cho vào súp bao nhiêu phần của lượng muối cần thiết?

1283. Senya đã trả tiền ở quầy ăn cho 3 món, còn Sasha cho 2 món (mọi món đều có giá như nhau). Tại bàn ăn, Kostya nhập bọn với họ, và cả ba đã ăn 5 món này. Khi tính tiền, hóa ra Kostya phải trả cho các bạn 50 cô-pếch. Trong số tiền này, Senya phải nhận bao nhiêu và Sasha phải nhận bao nhiêu?

1284. Lốp bánh xe trước tự động mòn sau 25 000 km, còn lốp bánh xe sau sau 15 000 km. Khi nào nên đổi chỗ các lốp để chúng mòn đều như nhau? (Giả sử rằng việc đổi chỗ lốp trước và lốp sau chỉ được thực hiện một lần, mặc dù trên thực tế các tài xế thực hiện việc này thường xuyên hơn.)

1285. Một số học sinh ăn sáng cùng nhau và phải trả 1 rúp 75 cô-pếch. Hóa ra hai người không mang theo tiền, nên mỗi người trong số những người còn lại phải trả nhiều hơn 10 cô-pếch so với phần tiền của mỗi người. Có bao nhiêu học sinh đã ăn sáng?

1286. Tổng của ba phân số bằng 1. Hiệu giữa phân số thứ nhất và thứ hai bằng phân số thứ ba. Tổng của hai phân số đầu lớn gấp 5 lần phân số thứ ba. Hãy tìm các phân số đó.

1287. Hiệu của hai phân số không âm bằng $2/9$. Tử số của một phân số lớn hơn tử số của phân số kia 4 lần, còn mẫu số của phân số này lớn hơn mẫu số của phân số kia 3 lần. Hãy tìm các phân số đó.

1288. Cho một số số tự nhiên. Mỗi số được chia cho tổng của tất cả các số đã cho. Tổng của tất cả các thương bằng bao nhiêu?

1289. Tôi nghĩ ra một số có ba chữ số. Nếu từ các chữ số của số này lập tất cả các số có hai chữ số rồi cộng chúng lại, thì tổng bằng số đã nghĩ ra. Hãy tìm số đã nghĩ ra.

1290. Mẹ mua táo cho các con là Vanya, Nina và Misha. Các em phải chia táo đều cho nhau. Vanya về nhà đầu tiên, đếm táo, lấy một phần ba rồi đi. Sau đó Nina đến và, cho rằng mình đến đầu tiên, đếm số táo còn lại, lấy phần của mình rồi cũng đi. Cuối cùng Misha đến và lấy cho mình một phần ba số táo còn lại. Sau tất cả những việc đó còn lại 8 quả táo. Mẹ đã mua bao nhiêu quả táo cho các con?

1291. Hai anh em cần đến ga xe lửa, cách nhà họ 4 km. Để không lỡ chuyến tàu, chỉ còn một khả năng — đi xe đạp. Nhưng người anh chỉ có một chiếc xe đạp. Nếu đi bộ thì họ sẽ đến muộn 10 phút. Tuy nhiên cả hai anh em đã đến ga cùng lúc và trước khi tàu khởi hành 10 phút. Hãy cho biết họ đã làm thế nào, nếu đi bộ chậm hơn đi xe đạp hai lần và nếu không thể đi xe đạp cùng nhau?

1292. Số nào có tính chất sau: nếu cộng vào nó một số tùy ý, rồi trừ từ tích số tùy ý ấy và chia hiệu nhận được cho chính số đó, thì kết quả sẽ là chính số tùy ý đã lấy?

62

NHỮNG gì chúng ta biết
VÀ NHỮNG gì chưa biết
Về hấp dẫn

Người đã đọc tiểu thuyết «Tinh vân Tiên Nữ» của I. A. Efremov còn nhớ ngôi sao sắt — «nỗi kinh hoàng của các phi hành gia», bằng lực hút khổng lồ của mình nó bắt giữ vĩnh viễn những vật thể bay ngang qua.

Còn kỳ lạ hơn những vật thể thiên văn ấy phải là các ngôi sao do nhà thiên văn Đức Karl Schwarzschild tiên đoán. Lực hấp dẫn gần những ngôi sao như vậy lớn đến mức ánh sáng do chúng phát ra không thể rời khỏi phạm vi lân cận gần của ngôi sao. Còn một tia sáng gửi từ xa tới một ngôi sao như vậy sẽ không bao giờ tới được bề mặt của nó. Một cái bẫy hấp dẫn kỳ lạ nào đó! Nhưng, dù những thiên thể như vậy có kỳ lạ đến đâu, lý thuyết vẫn dự đoán sự tồn tại của chúng với mức độ chặt chẽ đủ lớn.

Tưởng như các lực hấp dẫn đã quen thuộc và được nghiên cứu đến mức từ lâu con người hẳn phải biết về chúng mọi điều mình quan tâm. Quả thật, điều đó thật đơn giản: đặt một hòn đá lên cân và đo lực mà nó bị Trái Đất hút! Nhưng khi suy nghĩ về bản chất của hiện tượng ấy, chúng ta lập tức sẽ bị những câu hỏi chưa được giải quyết giam giữ.

Thật vậy, tại sao hai vật bất kỳ luôn hút nhau chứ không đẩy nhau dưới tác dụng của lực hấp dẫn? Tại sao không thể che chắn khỏi tác dụng của lực hút, giống như tấm rèm ngăn chúng ta với các tia Mặt Trời? Bản chất của những «lò xo» vô-
hình hút cả những vật ở rất xa nhau là gì? Có nhiều câu hỏi liên quan đến hấp dẫn mà khoa học vẫn chưa trả lời được.

Nhưng chúng ta đã biết nhiều điều. Năm 1687 Isaac Newton đã phát hiện định luật vạn vật hấp dẫn, cho phép hiểu các thiên thể chuyển động như thế nào. Bước quan trọng tiếp theo trong nhận thức về hấp dẫn thuộc về Albert Einstein. Năm 1916 ông đã xây dựng cái gọi là thuyết tương đối rộng, thường được gọi là lý thuyết về không gian, thời gian và hấp dẫn. Lý thuyết này buộc các nhà khoa học phải thay đổi quan điểm về những khái niệm vật lý quan trọng như không gian và thời gian. Newton cho rằng các tính chất của không gian và sự trôi của thời gian hoàn toàn không phụ thuộc vào các vật thể xung quanh. Einstein đã chứng minh rằng vật thể càng nặng, không gian gần nó càng cong mạnh và thời gian trong vùng lân cận của nó càng trôi chậm. Không gian, thời gian và hấp dẫn hóa ra không độc lập với nhau mà liên hệ chặt chẽ nhất. Nhưng ý nghĩa của nó trong vật lý hiện đại lớn đặc biệt. Vì thế mỗi cuốn sách khoa học phổ thông mới dành cho đề tài này (mà những cuốn như vậy rất ít) chắc chắn sẽ gây được sự quan tâm lớn.

Ở đây chúng tôi sẽ kể về một số cuốn sách trình bày các vấn đề khác nhau của lý thuyết hấp dẫn hiện đại.

Sự trình bày đơn giản và phổ thông nhất về những cơ sở của lý thuyết hấp dẫn đượ-

63

được trình bày trong cuốn sách phổ thông của M. Gardner “Thuyết tương đối cho hàng triệu người”, do nhà xuất bản “Atomizdat” ấn hành năm 1966. Chương năm kể về tiên đề xuất phát cơ bản của lý thuyết — sự bằng nhau giữa khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính của mọi vật thể — đã được xác nhận với độ chính xác rất cao bằng những thí nghiệm được đặt ra đặc biệt. Chương sáu mô tả quan điểm của vật lý hiện đại về lực hấp dẫn như là kết quả của sự thay đổi các tính chất hình học của không gian và thời gian dưới ảnh hưởng của các khối lượng hấp dẫn. Ba chương (7, 9 và 10) dành cho những vấn đề vũ trụ khác nhau liên quan đến lý thuyết hấp dẫn. Trong đó xem xét các phương án khác nhau của mô hình Vũ trụ và thảo luận chi tiết những vấn đề về cái gọi là “dịch chuyển đỏ” — sự thay đổi màu sắc của các thiên thể dưới ảnh hưởng của chuyển động của chúng, diễn ra với những tốc độ rất lớn.

Có thể tìm thấy mô tả hiện đại hơn về các vấn đề vũ trụ trong cuốn sách mỏng của viện sĩ V. L. Ginzburg “Vũ trụ được cấu tạo như thế nào và nó phát triển theo thời gian ra sao”, do nhà xuất bản “Znanie” phát hành năm 1968. (Cơ sở của cuốn sách mỏng này là ba bài báo của tác giả trên tạp chí “Khoa học và Đời sống”, số 1, 2, 3 năm 1968.)

Ban đầu tác giả kể về những mô hình vũ trụ học đầu tiên của Vũ trụ, được đề xuất từ trước khi thuyết tương đối rộng ra đời. Sau đó, sau khi trình bày ngắn gọn những nét cơ bản của thuyết tương đối hẹp và thuyết tương đối rộng, ông xem xét các mô hình mới gắn với lý thuyết này. Theo mô hình của Einstein, Vũ trụ tạo thành một mặt cầu ba chiều khép kín, không thay đổi theo thời gian. Trong mô hình của nhà khoa học Xô viết A. A. Fridman, Vũ trụ hoặc giãn nở, hoặc co lại. Trong mô hình của Lemaître, ở một giai đoạn nào đó Vũ trụ ngừng phát triển, như thể đông cứng trong trạng thái bất động, để rồi lại bắt đầu giãn nở nhanh chóng.

V. L. Ginzburg đưa ra những số liệu hết sức thú vị về các thiên hà vô tuyến, nằm cách Trái Đất cỡ 5—8 tỷ năm ánh sáng. Việc nghiên cứu chúng cho chúng ta biết về những quá trình đã diễn ra vào thời mà không chỉ Trái Đất, mà dường như cả Mặt Trời, còn chưa tồn tại.

Năm 1969, nhà xuất bản “Nauka” đã phát hành cuốn sách khoa học phổ thông của P. Bergmann “Bí ẩn của hấp dẫn”. Tác giả cuốn sách đã là cộng sự của Einstein trong nhiều năm.

Bergmann đưa vào sách của mình tất cả các vấn đề cơ bản liên quan đến lý thuyết hấp dẫn hiện đại. Sách có ba chương: I. Vật lý Newton và thuyết tương đối hẹp. II. Thuyết tương đối rộng. III. Những thành tựu mới nhất. Cuốn sách chứa đựng một bài trình bày hấp dẫn về các lý thuyết cơ bản, đã được kiểm chứng bằng hiệu quả của chúng, và về những vấn đề chưa được giải quyết mà các nhà vật lý đang nghiên cứu ngày nay.

Các sao Schwarzschild, sự co sụp hấp dẫn, bản chất của những thiên thể bí ẩn mới được phát hiện là “quasar”, bức xạ vô tuyến vũ trụ kể cho chúng ta biết Vũ trụ đã trông như thế nào hàng tỷ năm trước, và nhiều điều khác không kém phần thú vị, được mô tả, kể về những mô hình vũ trụ học đầu tiên của Vũ trụ, vốn đã được đề xuất từ trước khi thuyết tương đối rộng ra đời hàng triệu năm. Sau đó, sau khi trình bày ngắn gọn những nguyên lý cơ bản của thuyết tương đối hẹp và rộng, tác giả xem xét những mô hình mới liên quan đến lý thuyết hấp dẫn hiện đại. Theo mô hình Einstein, Vũ trụ tạo thành một mặt cầu ba chiều khép kín, không thay đổi theo thời gian. Trong mô hình của nhà khoa học Xô viết A. A. Fridman, Vũ trụ либо giãn nở, либо co lại. Trong mô hình Lemaître, ở một giai đoạn nào đó Vũ trụ ngừng phát triển, như thể đứng yên bất động, rồi sau đó lại bắt đầu giãn nở nhanh chóng.

Năm 1969, nhà xuất bản “Nauka” đã phát hành cuốn sách khoa học phổ thông của P. Bergman “Bí ẩn của hấp dẫn”. Tác giả cuốn sách đã là cộng sự của Einstein trong nhiều năm.

Tác giả cố gắng giúp người đọc. Ông đưa mọi phép tính cơ bản vào một phần phụ lục toán học riêng, đặt ở cuối sách một từ điển giải thích nhỏ về những thuật ngữ và khái niệm khó nhất. Tuy vậy, ở một số phần, cuốn sách vẫn khó hiểu đối với học sinh các lớp cuối cấp. Nhưng trong sách cũng có không ít đoạn dành cho những độc giả ít được chuẩn bị hơn nhiều. Những đoạn như vậy đặc biệt nhiều ở chương thứ ba, chương cuối của sách.

Trong những cuốn sách chúng tôi đã kể có cả một thế giới những ý tưởng và sự kiện mới, những thí nghiệm tương lai, những hiện tượng và quy luật đã được khám phá và chưa được khám phá. Và bất cứ ai chạm tới thế giới ấy chắc chắn sẽ nhận được sự thỏa mãn lớn.

V. A. Leshkovtsev

64

ĐÁP ÁN, GỢI Ý, LỜI GIẢI

Cho bài «Chỉ có 2?»
(xem «Kvant» số 6)

Từ đẳng thức $a + b = ab$ ta tìm được $a$:

$$a = \frac{b}{b - 1}.$$

Nhận thấy rằng $b \neq 1$.

1. Giả sử $a - \text{số nguyên}.$ Vì các số $b$ và $b - 1$ nguyên tố cùng nhau (hiệu của chúng chia hết cho ƯCLN của chúng, nhưng nó bằng 1), nên $b - 1 = 1$ hoặc $b - 1 = -1$.

Suy ra $b_1 = 2$, $a_1 = 2$; $b_2 = 0$, $a_2 = 0$.

2. Nếu $b$ là một số hữu tỉ tùy ý, khác 1, thì theo công thức (*) xác định $a$.

3. Nếu $ab = p$, thì $p = \frac{b^2}{b - 1}$, suy ra

$$b^2 - pb + p = 0, \quad b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - p},$$

$$b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p(p - 4)}{2}}.$$

a) theo công thức () với mọi $p \geq 4$ hoặc $p \leq 0$ tìm được $b$ tương ứng và theo công thức () tìm được $a$;

b) cần tìm xem có tồn tại số $p$ sao cho

$$p(p - 4) = \frac{q^2}{s^2},$$

(***)

trong đó $\frac{q}{s}$ — phân số tối giản. Giải phương trình (*) trong các số nguyên ($p, q, s$ và $m$ là các số nguyên):

$$q^2 = s^2p(p - 4),$$ nhưng từ tính tối giản của phân số suy ra $s = 1$.

$$p^2 - 4p - q^2 = 0, \quad p = 2 \pm \sqrt{4 + q^2},$$

$$4 + q^2 = m^2,$$

$$(m - q)(m + q) = 4 \cdot 1 = 2 \cdot 2.$$

Nghiệm nguyên duy nhất $m = \pm 2$, $q = 0$, dẫn đến nghiệm (1).

Hai cảnh trong đời sống

Người hướng dẫn «hiểu biết»

Hướng dẫn viên: …Các hành tinh chịu tác dụng của định luật Newton, vì thế chúng quay quanh Mặt Trời. Chúng còn chịu tác dụng của định luật Kepler, nhưng tôi sẽ không kể với các bạn về nó, vì nó phức tạp, và các bạn sẽ chẳng hiểu gì… Để bay khỏi Trái Đất, cần có vận tốc vũ trụ cấp hai. Như các bạn thấy trên áp phích, nó bằng 11,2 km/giây, năm ngoái nó bằng 11,4 km/giây… Các phi hành gia gặp nhiều khó khăn. Khi họ bay qua khí quyển, nó ép mạnh lên con tàu và các phi hành gia chịu quá tải, nhưng bên ngoài khí quyển còn tệ hơn — ở đó bắt đầu không gian không trọng lượng…

Trong một viện nghiên cứu

Nghiên cứu sinh: Tôi cho rằng xe lu lún trong nhựa đường vì dưới áp suất của nó, vận tốc các phân tử tăng lên, và chúng chạy tản ra khỏi dưới xe lu.

Người hướng dẫn khoa học: Cụ thể hiện nay anh đang làm việc gì?

Nghiên cứu sinh: Tôi tính sự phụ thuộc của vận tốc các phân tử nhựa đường vào áp suất của xe lu tác dụng lên chúng.

Người hướng dẫn khoa học: Tốt. Anh cần gì để hoàn thành công việc?

Nghiên cứu sinh: Tôi cần một máy ép thủy lực!

Người hướng dẫn khoa học: Hãy viết đơn đề nghị. Tôi nghĩ chúng ta sẽ kiếm được.

⟦không có số trang⟧

Ba hình vuông ma thuật

65 4 54 64 6 53 70 3 50
24 44 55 23 43 57 20 40 63
34 75 14 36 74 13 33 80 10

67 9 47 69 8 46
26 37 60 25 39 59
30 77 16 29 76 18

72 2 49 66 5 52 68 7 48
19 42 62 22 45 56 27 38 58
32 79 12 35 73 15 28 78 17

Hình vuông ma thuật là một hình vuông được chia thành các ô, trong mỗi ô ghi một số sao cho tổng các số trên bất kỳ hàng nào, bất kỳ cột nào và trên cả hai đường chéo của hình vuông đều bằng nhau.

Một hình vuông ma thuật kích thước 6×6 như vậy có thể được lập từ các hình vuông xanh 3×3 nhìn thấy trên hình. (Hãy kiểm tra!).

Bài toán là điền các ô của hình vuông đỏ 3×3 sao cho:
a) hình vuông đỏ là ma thuật;
b) toàn bộ hình vuông lớn 9×9 cũng là ma thuật.

Đáp án ô chữ,
đăng trong số 6.

Theo hàng ngang:
5. Biên độ. 6. Radian. 8. Mặt cầu. 9. Điểm.
11. Đuôi. 13. Thành viên. 14. Trường. 16. Mắt xích.
19. Nét. 21. Phương pháp. 22. Cực. 23. Hadamard.
Theo hàng dọc:

1. Carnot. 2. Khối lượng. 3. Banach. 4. Gauss. 7. Cân.
2. Coulomb. 12. Volt. 15. Nêm. 17. Vòng.
3. Giá đỡ. 19. Schmidt. 20. Lý tưởng.

⟦không có folio⟧

7