Kvant 1972, số 7 · Trang

Kvasht
7
THÁNG BẢY
1972
Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kikoin,
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov,

tuyển tập biên tập

L. A. Artsimovich, M. I. Bashmkov, S. T. Belyaev, V. G. Boltyansky, I. N. Bronshtein, N. B. Vasiliev, I. F. Ginzburg, Yu. N. Efremov, V. G. Zubov, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, A. I. Klimanov (nghệ sĩ trưởng), S. M. Kozel, V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập), L. G. Makar-Limanov, A. I. Markushevich, M. D. Millionshchikov, N. A. Patrikeeva, I. S. Petrkov, N. H. Rozov, A. P. Savin, I. Sh. Slobodetsky, M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập), Ya. A. Smorodinsky, V. A. Fabrikant, A. T. Tsvetkov, M. P. Shaskolskaya, S. I. Shvartsburg, A. I. Shirshov

Trang đầu tiên của bìa mô tả một vật trang trí hai chiều thu được bằng cách di chuyển hình vuông theo chiều ngang và chiều dọc.

Hình bên cạnh hiển thị một vật trang trí tuyến tính (“đường viền”), thu được bằng cách chuyển hình ban đầu (một thứ độc lập nhất định) chỉ theo chiều ngang.

Các phương trình có thể mô tả các đồ trang trí như vậy được mô tả trong bài viết “Tính đối xứng và phương trình của các đồ trang trí” của M. I. Bryukhovsky ở trang 14. Sau khi đọc nó, hãy thử mô tả các đồ trang trí được vẽ ở đây bằng các phương trình.

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova. Nghệ sĩ trưởng A. I. Klimanov.
Biên tập viên nghệ thuật O. N. Ykovleva. Người hiệu đính A. L. Ipatova.
Nhà xuất bản “Khoa học”. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15. «Kvant». Điện thoại. 234-08-11, 234-07-93

Được giao theo bộ 14/IV-72.
Đã ký con dấu 30/V-72.
Giấy 70×100¹/16
Vật lý. lò nướng l. 4 Lò nướng có điều kiện l. 5.2 Biên tập học thuật. tôi. 5,64 Lưu hành 310.440 bản. T-10502 Giá 30 kopecks. Đặt hàng 620 Nhà máy in Chekhov Phòng in Glavpoligrafproma thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô, Chekhov, khu vực Moscow.

BẢN BẢN KHÔNG ĐƯỢC TRẢ LẠI

1

THÀNH LẬP
TRONG
1970

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

NHÀ XUẤT BẢN • KHOA HỌC→
PHÒNG BIÊN TẬP CHÍNH VĂN HỌC VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TRONG PHÒNG
2 Chi nhánh và biên giới của R. P. Sheintsit
6 Nguyên tử phát ra lượng tử B. S. Ratner
11 Fermat có hành động như vậy hay không? B. A. Kordemsky
14 Phương trình trang trí M. I. Bryakovsky
20 Một cuộc tranh chấp kéo dài nửa thế kỷ A. K. Kikonn

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”
23 nhân vật Lissajous của N. A. Silaeva

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC
29 Định lý cosine và các hệ quả của nó E. G. Gotman

VẤN ĐỀ “Lượng tử”
33 Bài toán M151-M155; F163-F167
35 Lời giải bài toán M108-M109, F129-F130

ỨNG DỤNG THỰC HÀNH
40 Ứng dụng lượng giác với lời giải hình học bài toán. A. G. Mordkovich
Các lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh môn toán năm 1971
45 Lời giải bài toán trong tĩnh điện G. Ya. Myakitsev
51 Cảm ứng điện từ L. G. Aslamazov

ĐÁNH GIÁ, THƯ VIỆN
56 Một gam ánh sáng giá bao nhiêu? A. B. Geller

GÓC SƯU TẬP
58 Năng lượng hạt nhân phục vụ hòa bình A. V. Altykis

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP
“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI
(trang bìa thứ 3).

HỖN HỢP
(trang 28, 50.)

2

Hãy xem xét bài toán:
Có những mặt hàng trong kho (chẳng hạn như
dy - mỗi lần một cái), trọng lượng và chi phí
được chỉ ra trong bảng.

| Số seri | trọng lượng tính bằng cent-
nerah | Giá
(bằng rúp) |
| :— | :— | :— |
| 1 | 11 | 120 |
| 2 | 7 | 140 |
| 3 | 6 | 60 |
| 4 | 5 | 80 |
| 5 | 12 | 160 |
| 6 | 9 | 110 |
| Tổng cộng | 50 | 670 |

Khả năng tải tự động là 3200 kk. Giá trị tối đa là bắt buộc để tổng giá trị của các mục được lấy càng cao càng tốt.

Rõ ràng, sẽ có lợi hơn nếu lấy những món đồ có trọng lượng nhẹ và giá trị cao.

Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm đơn giá của một mặt hàng $d_i$, tức là giá của một tâm của mặt hàng $i$ tính bằng rúp: $d_1=10,9$; $d_2=20$; $d_3=10$; $d_4=16$; $d_5=13,3$; $d_6=12,2$.

Nếu bạn tải vào máy tự động các vật phẩm có giá trị cụ thể nhất - thứ hai, thứ tư, thứ năm và thứ sáu - thì tổng trọng lượng của chúng sẽ lớn hơn khả năng tải tự động ($7+15+12+9>32$).

Nếu chỉ lấy đồ thứ 2, thứ 4, thứ 5 thì xe bị thiếu tải 8 kk. Sau đó, bạn chỉ có thể chất thêm một món đồ thứ 3 nữa và tổng chi phí sẽ là 440 rúp, và xe sẽ bị thiếu tải 2 kk. Bạn có thể chắc chắn rằng không có cách nào tốt hơn để tải máy không?

Có thể sẽ có lợi hơn nếu để lại một trong những hạng mục có đơn giá cao hơn, nhưng liệu nó có làm tăng chi phí tổng thể khi sử dụng hết khả năng chuyên chở của máy không?

Như bạn có thể thấy, “yêu” bài toán rất khó giải quyết. Nhưng trong điều kiện thực tế, khi vấn đề thường không phải là về sáu mà là khoảng sáu mươi đối tượng, thì không thể giải quyết được nếu không được trang bị các phương pháp toán học. Hãy dịch bài toán sang ngôn ngữ toán học (như người ta nói, chúng tôi toán học hóa tình huống). Đặt $x_i=1$ nếu vật thứ $i$ được nhúng vào máy tự động và $x_i=0$ nếu không ($i=1, \dots, 6$). Khi đó, tổng giá trị của các vật phẩm được nạp tính bằng rúp là 120 $x_1+140 x_2+60 x_3+80 x_4+160 x_5+110 x_6$ và tổng trọng lượng của chúng tính bằng cent là 11 $x_1+7 x_2+6 x_3+5 x_4+12 x_5+9 x_6$.

Vì vậy, trừu tượng hóa từ tình huống “đời sống”, ta thu được số toán học bài toán: tìm các giá trị

3

các biến $x_1, \dots, x_6$ (có thể là 0 hoặc 1), trong đó hàm
$$f(x_1, \dots, x_6) = 120x_1 + 140x_2 + 60x_3 + 80x_4 + 160x_5 + 110x_6$$
đạt đến mức tối đa nếu điều kiện (ràng buộc) được đáp ứng
$$11x_1 + 7x_2 + 6x_3 + 5x_4 + 12x_5 + 9x_6 \leq 32.$$ (1)

Hàm $f$ được gọi là hàm mục tiêu bài toán; nó được định nghĩa là tập hợp tất cả sáu số 0 và số 1 theo thứ tự (vectơ istime, mỗi thành phần của nó bằng 0 hoặc 1).

Tổng cộng, có $2^6 = 64$ vectơ như vậy và mỗi vectơ cung cấp một số cách để tải tự động hóa. Nhưng không phải phương thức tải nào trong số 64 phương thức tải này đều được chấp nhận: vector $(1,0,1,0,1,1)$ tương ứng với việc tải các mục thứ 1, 3, 5 và 6 vào máy, chỉ có tổng trọng lượng của chúng $(38 \mu)$ vượt quá giới hạn cho phép.

Việc gọi một vectơ là có thể chấp nhận được là điều đương nhiên nếu điều kiện (1) được thỏa mãn. Vì vậy, nghiệm bài toán là một vectơ khả thi giúp cực đại hóa hàm mục tiêu $f$.

Bây giờ giả sử mục đầu tiên được tải vào tự động hóa. Sau đó, $x_1 = 1$ và chúng tôi nhận được bài toán mới:

Tên của các biến $x_2, \dots, x_6^*)$ mà hàm tối đa $f_2(x_2, x_3, \dots, x_6) = 140x_2 + 60x_3 + 80x_4 + 160x_5 + 110x_6$ là đủ với điều kiện $7x_2 + 6x_3 + 5x_4 + 12x_5 + 9x_6 \leq 32$.

Nếu vật thứ 1 không được nhúng chìm, thì $x_1 = 0$ và chúng ta nhận được bài toán:

Tên của các biến $x_2, \dots, x_6$ làm cực đại hóa hàm $f(x_2, \dots, x_6) = 140x_2 + 60x_3 + 80x_4 + 160x_5 + 110x_6$ tuân theo điều kiện $7x_2 + 6x_3 + 5x_4 + 12x_5 + 9x_6 \leq 32$.

*) Các điều kiện $x_i = 0$ hoặc 1, được giả định trong toàn bộ chỉ số, chúng tôi không bị giới hạn cụ thể trong tương lai.

Do đó, một bài toán có 6 biến có thể rút gọn thành hai bài toán có 5 biến; những điều này lần lượt rút gọn thành bốn bài toán với 4 biến, v.v., để cuối cùng chúng ta nhận được 64 bài toán với mỗi bài một biến. Nhưng nếu cần phải giải một hệ thống như vậy, thì quá trình không biểu diễn là kiểm tra các điều kiện (1) cho mỗi trong số 64 vectơ có thể, đối với các vectơ có thể chấp nhận được, tính giá trị của hàm mục tiêu và chọn vectơ có giá trị lớn nhất, tức là, như người ta nói, giải bài toán “bằng cách tìm kiếm toàn diện”.

Nhưng còn trong trường hợp số lượng đối tượng (thành phần vectơ) lớn thì sao? Rốt cuộc, ngay cả với 20 món đồ, số lượng lựa chọn có thể vượt quá một triệu! Rõ ràng là phương pháp tìm kiếm toàn diện trong các bài toán thuộc loại này không phù hợp với hầu hết các ứng dụng.

Bây giờ chúng ta sẽ nói về một phương pháp cho phép, theo quy luật, giảm đáng kể số lượng các tùy chọn so sánh cần thiết để đạt được lời giải. Chúng tôi sẽ mô tả phương pháp này, được gọi là “phương pháp nhánh và giới hạn”, khi chúng tôi áp dụng nó cho bài toán của mình.

Quá trình chọn các mục để tải vào máy tự động có thể được mô tả dưới dạng biểu đồ $\textcircled{2}$ $^*$). Nút bắt đầu 0 tương ứng với tập $P$ của tất cả 64 vectơ tối đa. Từ nút

*) Xem bài viết của M. I. Bashmkov. “Mạng lưới so khớp và chuyển đổi” ở vị trí thứ 4 «Kvant» cho năm 1970. Tuy nhiên, những gì tiếp theo sẽ rõ ràng đối với những ai chưa đọc trang này.

4

0 bắt đầu thẳng hàng với nút 1 và 2 (Hình 1). Nút 1 nằm ở bên phải và bên dưới nút 0. Nó tương ứng với các phương thức tải trong đó đối tượng thứ nhất nhất thiết phải được tải vào máy. Rõ ràng, nút 1 tương ứng với tập hợp con $P_1$ trong số 32 vectơ từ $P$ có $x_1=1$. Nút 2 nằm ở bên trái và bên dưới nút 0 và tương ứng với tập hợp con $P_2$ trong số 32 vectơ từ $P$ có $x_1=0$. Việc xây dựng thêm biểu đồ là rõ ràng. Hình 1 hiển thị biểu đồ sau hai bước phân nhánh.

Mỗi nút của biểu đồ tương ứng với một tập hợp con các vectơ từ $P$, có các thành phần không xoắn đã được cố định. Nếu việc xây dựng tập $P_1$ và $P_2$ được coi là bước phân nhánh đầu tiên (cấp đầu tiên của biểu đồ), thì ở bước $k$th ($k$cấp của biểu đồ), chúng ta sẽ nhận được $2^k$ nút, mỗi nút tương ứng với một tập hợp vectơ $2^8-k$ (tùy chọn tải tự động hóa). Các nút thu được ở bước phân nhánh thứ sáu biểu thị mỗi vectơ một vectơ, sao cho giá trị trung bình của các nút này được cho trước. Vì vậy, nếu việc phân nhánh được thực hiện hoàn toàn, thì bạn sẽ phải xây dựng một biểu đồ với số nút $1+2+4+\dots+64=127$.

Nhưng chúng tôi sẽ cố gắng hành động theo cách để phát hiện đồng thời các nút “không có triển vọng” mà từ đó các nhánh dẫn đến lời giải không thể xuất hiện. Chúng ta “cắt bỏ” những cành này càng sớm (cao), thì sau này chúng ta sẽ phải làm ít bạo lực hơn. Với mục đích này, chúng tôi gán 2 số cho mỗi nút (chúng tôi sẽ viết số này bên dưới nút). Phần trên cùng hiển thị tổng chi phí cao nhất có thể có (chi phí eranza) của các mặt hàng được lấy cho bất kỳ phương thức tải nào, được mô tả bằng vectơ của nút này. Con số bên dưới cho biết tổng số mục được phép dùng chung ở bước này là bao nhiêu (con số này bằng chênh lệch giữa khả năng chuyên chở của tự động hóa và trọng lượng của tất cả các mục đã được tải). Ví dụ: hãy tìm phần trên và phần dưới

Các số cho nút thứ nhất. Vì trong tất cả các tùy chọn tải tương ứng, mục đầu tiên nhất thiết phải được sử dụng nên số thấp hơn ở bước này là $32-11=21$. Ranh giới đang được xây dựng (số trên) bằng tổng của tất cả các đối tượng đang được xây dựng, vì chúng tôi vẫn chưa loại trừ khả năng chọn bất kỳ đối tượng nào trong số chúng. Do đó, số trên của nút thứ 1 là 670. Đối với nút thứ hai, số trên là 550 (670-120), vì mục đầu tiên không được lấy: số dưới ở đây là 32.

Gọi $P_i$ là trọng lượng của vật phẩm thứ $i$, $C_i$ giá của nó. Rõ ràng là khi di chuyển từ bất kỳ nút nào nằm ở cấp độ $i$ của biểu đồ, số trên không thay đổi và số dưới giảm $P_{i+1}$, trong khi khi di chuyển từ nút này sang trái, số dưới không thay đổi và số trên giảm $C_{i+1}$. Ở mỗi giai đoạn, chúng tôi sẽ xác định nút có số trên cùng là số nguyên nhất. Nếu hai nút có cùng số trên thì chúng ta sẽ chọn nút có số thấp hơn. Nếu trong quá trình phân nhánh, gặp phải một nút có số âm thấp hơn, điều này có nghĩa là với các phương thức tải tương ứng với nút này, quá trình tự động hóa sẽ bị quá tải và việc phân nhánh một nút như vậy không có ý nghĩa gì. Bằng cách phân nhánh theo phương pháp đã chỉ định, chúng ta sẽ đến một nút nằm ở cấp độ thứ sáu cuối cùng của biểu đồ, với số thấp hơn không âm.

Nút này tương ứng với một số phương pháp tải có thể chấp nhận được trong đó giá trị của hàm mục tiêu bằng số trên. Tất cả các nút không được phân nhánh có ít hơn nút này đều không có ý nghĩa đối với phân nhánh, vì số trên cùng không thể tăng khi phân nhánh. Có thể số trên cùng của nút được tìm thấy lớn hơn số của bất kỳ nút nào khác. Sau đó, nút này cho lời giải bài toán. Hình 2 cho thấy biểu đồ cuối cùng.

Việc xây dựng biểu đồ sẽ tiếp tục trong các giai đoạn sau (các con số sẽ giúp bạn làm quen

5

số nút):

1. 0→1→3→5→7→9; 2) 6→11→13; 3) 8→15; 4) 2→17→19→21→23→25; 5) 12→27→29; 6) 4→31→33→35; 7) 10→37; 8) 20→39→41→43; 9) 22→45→47; 10) 32→49→51→53; 11) 14→55; 12) 34→57→59.

Việc phân nhánh thêm là vô ích vì nút 55 nằm ở cấp độ cuối cùng của biểu đồ và có số lượng cao nhất. Nút này cung cấp lời giải bài toán. Nó tương ứng với vectơ (1,1,0,1,0,1): bạn cần tải mục thứ 1, thứ 2, thứ 4 và thứ 6 vào máy. Trong trường hợp này, tổng chi phí (tối đa của hàm mục tiêu) là 450 rúp.

Trong quá trình xây dựng đồ thị, có trên 50% phương án không hứa hẹn đã bị “cắt bỏ”. Khi số lượng biến tăng lên, tỷ lệ các lựa chọn như vậy thường tăng lên.

Ngoài ra, quy trình có thể sử dụng phương pháp được mô tả cho lời giải tương tự như bài toán. Tất nhiên, bài toán của chúng tôi khá đơn giản: chỉ có 2 nhánh đi ra từ mỗi nút và không khó để tìm ra ranh giới (số trên và số dưới). Trong các bài toán khác, quá trình phân nhánh và giới hạn có thể phức tạp hơn và phụ thuộc vào kỹ năng cũng như trí thông minh của người giải nó. Đối với cường độ lao động của chính quy trình, các máy thực thi điện tử sẽ giải quyết. Những vấn đề như đang được xem xét thường được gọi là “vấn đề về ba lô” (thay súng máy bằng ba lô du lịch và khả năng mang theo của nó với khả năng mang theo tối đa của một khách du lịch đóng gói và đưa ra lựa chọn khó khăn trong số những món đồ “hoàn toàn cần thiết”).

Tất nhiên, bài toán những điều này không chỉ phải được quyết định trước kỳ nghỉ hoặc kỳ nghỉ. Xét cho cùng, việc lập kế hoạch hàng năm cho doanh nghiệp trong nhiều trường hợp cũng giống như bài toán về một chiếc ba lô. Rõ ràng là phương pháp phân nhánh và ràng buộc “có tác dụng” trong nhiều vấn đề lập kế hoạch kinh tế có tầm quan trọng lớn hơn đối với nền kinh tế quốc gia.

6

Trong “Câu chuyện về lượng tử” *), các tính chất cơ bản của bức xạ điện từ đã được xem xét. Lượng năng lượng nhỏ nhất có thể phát ra hoặc hấp thụ dưới dạng bức xạ có tần số $v$ được gọi là lượng tử. Năng lượng lượng tử $E = 2\pi hv$, trong đó $h = 1,05459 \cdot 10^{-34} \text{ дж·с}$ là giá trị của hằng số Planck. (Trong tài liệu cũ, hằng số Planck có nghĩa là các giá trị $h = 2\pi h = 6,6262 \cdot 10^{-34} \text{ дж·с.}$)

Phạm vi năng lượng lượng tử được tìm thấy trong tự nhiên rộng một cách bất thường (xem Hình 1). Nếu năng lượng của một lượng tử tương ứng với sóng vô tuyến dài (ví dụ sóng có chiều dài 1000 m) chỉ $E = \frac{2\pi hc}{\lambda} = 1,2 \cdot 10^{-9} \text{ дж}$ (tức là nhỏ hơn một tỷ lần so với năng lượng của lượng tử ánh sáng), thì năng lượng của lượng tử γ cứng phát sinh từ sự phân rã của các hạt vũ trụ rơi xuống Trái đất

*) Xem «Kvant» Số 1, 1970, tr. 6.

tia ical, đạt giá trị $\approx 10^{15} \text{ дж}$ ($1 \text{ дж} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ дж}$).

Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về cách RENTON QUANTA cũng như GAMMAQUANTA hình thành liên kết.

Sự xuất hiện của ánh sáng

Ánh sáng mặt trời và ngọn lửa của que diêm, ánh sáng của quảng cáo neon và ánh sáng của kim loại nóng, bất chấp mọi khác biệt, đều có cùng một bản chất. Sự xuất hiện của ánh sáng ở tất cả các nguồn là do những thay đổi xảy ra trong nguyên tử.

Theo lý thuyết của Bohr, nguyên tử của bất kỳ nguyên tố nào cũng chỉ có thể ở trong một số trạng thái riêng biệt nhất định. Mỗi trạng thái tương ứng với một nguyên tử nội năng nhất định $E_n$. Các giá trị năng lượng có thể có của các nguyên tử được gọi là mức năng lượng và được biểu thị trên sơ đồ mức bằng các đường thẳng nằm ngang (xem Hình 2, a).

Khoảng cách giữa các dòng $\Delta E$

Cơm. 1. Dải năng lượng của lượng tử trường điện từ có trong tự nhiên.

Cơm. 2. a) Sơ đồ mức độ của nguyên tử hydro. Việc chuyển đổi sang cấp độ $n=1$ và $n=2$ được hiển thị. Phổ phát xạ của hydro nguyên tử trong vùng khả kiến—chuyển sang mức c $n=2$. Hình ảnh này được quan sát trong máy quang phổ.

độ chênh lệch năng lượng tương ứng với mức độ của nguyên tử. Mức năng lượng cao nhất $E_1$ đặc trưng cho trạng thái cơ bản của nguyên tử. Tất cả các nguyên tử đều ở trạng thái ổn định này trong điều kiện bình thường. Khi năng lượng được hấp thụ, nguyên tử chuyển sang một trong các trạng thái mới nổi $E_2$, $E_3$, $E_4$, … Cách một nguyên tử xuất hiện có thể rất khác nhau: chiếu xạ bằng các electron nhanh, tiếp xúc với nhiệt, tiếp xúc với lượng tử ánh sáng hoặc phóng điện. Trong mọi trường hợp xảy ra, năng lượng được truyền đến các electron của nguyên tử, do đó người ta thường không nói về sự chuyển đổi của nguyên tử từ cấp độ này sang cấp độ khác mà là về sự chuyển đổi của electron. Trạng thái kích thích của nguyên tử không ổn định. Trong thời gian $\tau \approx 10^{-8}$ s, nguyên tử chuyển sang trạng thái cơ bản, phát ra năng lượng dưới dạng lượng tử của trường điện từ. Năng lượng lượng tử $E = 2\pi hv = E_2 - E_1$.

Hãy xem xét một nguyên tử hydro, được tính toán từ các nguyên tử, bao gồm một proton và một electron liên kết với nó. Năng lượng ở mọi mức độ có thể được tìm thấy từ công thức sau:

$$E_n = -\frac{13,59}{n^2} \text{эв},$$

trong đó $n=1, 2, \dots$ là cái gọi là số lượng tử chính, đặc trưng cho năng lượng của cấp độ. Ở trạng thái không bị kích thích của nguyên tử, electron ở mức c $n=1$. Khi bị kích thích, electron có thể đạt tới mức c $n=2, 3, \dots$. Rõ ràng từ công thức là khi năng lượng kích thích tăng lên, khoảng cách giữa các mức liền kề (nghĩa là chênh lệch năng lượng) sẽ giảm đi. Giá trị năng lượng âm $E_n$ tương ứng với trạng thái liên kết của electron. Do đó, chừng nào electron còn nằm trong trường nguyên tử thì quang phổ có tính chất không liên tục (rời rạc). Bằng cách cung cấp cho nguyên tử hydro một năng lượng lớn hơn giá trị $E = 13,59 \text{эв}$, chúng ta sẽ hạ thấp nó.

Khi một electron chuyển từ cấp cao hơn xuống cấp thấp hơn, một lượng tử ánh sáng sẽ được phát ra. Năng lượng của nó bằng hiệu năng lượng giữa các mức:

$$E_{n_i n_k} = E_{n_i} - E_{n_k} = 13,59 \left( \frac{1}{n_k^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) (\text{эв}).$$

Biết được năng lượng của lượng tử, ta có thể tìm được bước sóng của ánh sáng phát ra quan sát được trên kính quang phổ:

$$\lambda = \frac{2\pi hc}{E} (\text{см}).$$

Giản đồ các mức năng lượng của nguyên tử hydro được thể hiện trên hình 2, a. Một loạt các vạch quang phổ tương ứng với sự chuyển tiếp sang cấp độ c $n=2$ từ tất cả các cấp độ cao hơn (chuỗi

8

Balmer), nằm trong vùng nhìn thấy được (Hình 2, 6). Sự chuyển đổi sang trạng thái cơ bản tạo ra bức xạ ở phần tử ngoại của quang phổ (loạt Lyman).

Trong các nguyên tử phức tạp hơn hydro, các electron được nhóm thành lớp, nghĩa là các nhóm mức có năng lượng tương tự và có cùng số lượng tử chính $n$. Các lớp vỏ khác nhau được ký hiệu bằng các chữ cái $K, L, M$, v.v. Trên lớp vỏ $K$ gần hạt nhân có không quá 2 electron, trên lớp vỏ $L$ - 8, trên lớp vỏ $M$ - 8, trên lớp vỏ $N$ - 18, v.v. Các electron bên ngoài liên kết với nguyên tử là các electron bên trong yếu hơn; Điều này được giải thích là do khoảng cách đến hạt nhân tăng lên và sự sàng lọc một phần lực hút của hạt nhân với các electron bên trong.

Khi điện tích hạt nhân tăng dần, năng lượng liên kết của $k$-electron được tính toán nhanh chóng (tỷ lệ với $Z^2$) và là 1,1 keV trong nguyên tử natri và 70 keV trong nguyên tử vonfram. Do đó, lượng tử ánh sáng khả kiến, có năng lượng dao động từ 1,6 đến 4,1 keV, được phát ra bởi các nguyên tử phức tạp trong quá trình chuyển đổi electron giữa các cấp của lớp vỏ ngoài.

Có một thí nghiệm được biết đến rộng rãi, trong đó ngọn lửa của bếp gas chuyển sang màu vàng khi một nhúm muối ăn được ném vào đó. Hai lượng tử năng lượng rất gần nhau được phát ra bởi các nguyên tử natri ở phần màu vàng của quang phổ là nguyên nhân gây ra hiệu ứng này (xem Hình 3).

Sự phát xạ ánh sáng trong các ống dẫn khí dùng cho quảng cáo cũng là do sự chuyển đổi giữa các mức độ nhất định của các nguyên tử khí bị kích thích bởi sự phóng điện tử. Tuy nhiên, chúng ta thường phải xử lý các nguồn sáng có quang phổ liên tục (liên tục). Những nguồn ánh sáng như vậy bao gồm mặt trời, đèn sợi đốt và đèn huỳnh quang (ánh sáng phát quang). Lý do cho sự chuyển đổi từ các dòng riêng lẻ sang liên tục là gì?

quang phổ? Hóa ra chỉ những khí hiếm, trong đó tương tác giữa các nguyên tử không phải là VELKO, mới cho quang phổ tuyến tính. Nếu một vụ nổ của các nguyên tử khí ở nhiệt độ cao hoặc áp suất cao thường va chạm thì các vạch phát xạ trở nên dày đặc đến mức chúng tạo thành một quang phổ liên tục. (Điều tò mò là mặc dù quang phổ của ánh sáng mặt trời là liên tục, nhưng quang phổ của khí quyển mặt trời, vốn có thể thay đổi khi xảy ra nhật thực toàn phần, lại bao gồm các vạch sáng riêng lẻ).

Ở trạng thái rắn, ở mức độ cao, các nguyên tử riêng lẻ tham gia vào quá trình hình thành quang phổ được chuyển thành các dải năng lượng rộng do sự tương tác của các nguyên tử. Sự chuyển tiếp giữa chúng tạo ra quang phổ liên tục, gần như giống nhau đối với tất cả các chất rắn nóng và hầu hết ở trạng thái lơ lửng.

L; Tiếp theo là dãy M và N, chỉ thấy ở các nguyên tố nặng. Bước sóng của tia RENten ngắn hơn hàng nghìn lần so với bước sóng phát ra ở phần quang phổ khả kiến ​​trong quá trình chuyển tiếp của các electron ở lớp vỏ ngoài của nguyên tử.

Sự xuất hiện của lượng tử γ

Ngay sau khi phát hiện ra sự phân rã phóng xạ của các nguyên tố, E. Rutherford đã thực hiện thí nghiệm nổi tiếng của mình để xác định bản chất của bức xạ mới. Từ trường không tác dụng lên một trong các thành phần của tia phát ra từ chế phẩm radium - đó là lượng tử γ.

Kể từ đó, sự phát xạ lượng tử γ hữu ích hơn của hạt nhân đã trở thành chủ đề của một nghiên cứu vật lý kỹ lưỡng.

Hạt nhân, giống như nguyên tử, ngoài trạng thái cơ bản có năng lượng tối thiểu, còn có thể ở trạng thái năng lượng kích thích rời rạc. Khoảng cách giữa các mức năng lượng thay đổi tùy thuộc vào khối lượng của hạt nhân và năng lượng kích thích từ 10 kE đến vài mee. Thời gian tồn tại của hạt nhân ở trạng thái kích thích không vượt quá $10^{-13} - 10^{-14}$ s. Sự chuyển đổi của hạt nhân từ trạng thái kích thích sang trạng thái cơ bản thường đi kèm với sự phát xạ lượng tử γ.

Năng lượng của lượng tử γ bằng hiệu giữa năng lượng của trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng. Đôi khi năng lượng kích thích của hạt nhân có thể được chuyển đổi thành động năng của electron, kết quả là electron rời khỏi nguyên tử. Quá trình này, được gọi là chuyển đổi bên trong, thường xảy ra nhất ở lớp vỏ electron gần hạt nhân nhất.

Một số hạt nhân chứa các trạng thái mà sự phân rã thành trạng thái cơ bản bị cấm bởi một số quy tắc cơ học lượng tử. Thời gian tồn tại của những trạng thái như vậy, được gọi là

11

Fermat có hành động như vậy hay không?
(về phân tích các số)

B. A. Kordemsky

Có rất nhiều bí mật gắn liền với tên tuổi của Pierre Fermat nổi tiếng. Tuy nhiên, anh nhận được một lá thư hỏi: “100895598169 có phải là số nguyên tố không?” Fermat ngay lập tức trả lời rằng số có mười hai chữ số này là tích của hai số nguyên tố: 898423 và 112303.

Ông không tiết lộ phương pháp nghiên cứu con số.

Để cho ngắn gọn, việc tìm các thừa số nguyên tố của một số tự nhiên được gọi là “nhân tử hóa” (“hệ số” có nghĩa là một tập hợp các tham chiếu đến một từ thường được sử dụng). Hơn nữa, với các thiết bị hỗ trợ như máy tính điện tử, việc phân tích các số lớn cực kỳ tốn công sức bài toán, thực hiện “thủ công” lại càng khó hơn. Một số số nguyên tố đầu tiên (2, 3, 5, 7, 11, …) có thể dễ dàng kiểm tra tính tự nhiên của chúng như là các thừa số có thể có của số kiểm tra - theo các dấu hiệu chia hết cho các số này đã biết. Đơn giản hóa các phép tính và ý nghĩa của dấu chia hết cho bất kỳ số nguyên tố tiếp theo nào *).

Cũng rõ ràng rằng đối với bất kỳ số nào cho trước $N$, việc kiểm tra các số nguyên tố nhỏ hơn $V\overline{N}$ là các thừa số có thể là đủ. Thật vậy, nếu số $N$ có ​​thừa số $m > V\overline{N}$, thì nó tương ứng, do chia $N$ cho $m$ và một số thừa số nhỏ hơn $V\overline{N}$.

Là một kỹ thuật nhân tố hóa, bạn có thể sử dụng thuật toán Euclide nổi tiếng.

*) Ví dụ, xem ghi chú về tiêu chí chia hết cho 19 và 7 trong «Kvant» Số 6, 1970, tr. 10.

clid để tìm ước chung nhất (GCD) của hai số. Như bạn có thể nhớ, nó bao gồm những phần sau *): chúng ta tìm số dư $r_1$ từ phép chia một số lớn cho một số nhỏ hơn, sau đó chúng ta tìm số dư $r_2$ từ phép chia của số chia trước cho $r_1$, sau đó là số dư $r_3$ từ phép chia $r_1$ cho $r_2$, v.v. Phần dư khác 0 tiếp theo (nó chắc chắn tồn tại, vì các số $r_i$ đang giảm dần) và là gcd của các số đã cho (nếu nó bằng 1 thì chúng nguyên tố lẫn nhau).

Ví dụ: áp dụng thuật toán này cho số 104 và 39:

104 : 39 = 2 (dư lượng 26);
39 : 26 (còn lại 13);
26 : 13 = 2 (dư 0).

Đáp số: GCD (104,39) = 13.

Làm thế nào để áp dụng thuật toán Euclid để nhân tử hóa các số?

Để xác định các thừa số nguyên tố của số $N$, một số khác $P$ được hình thành - tích của tất cả các số nguyên tố từ thừa số nhỏ nhất trong số các thừa số “nghi ngờ” của số $N$ đến nhỏ nhất trong số tất cả các số nguyên tố, nhỏ hơn $\sqrt{N}$. Chúng ta sẽ áp dụng thuật toán Euclide cho các số $N$ và $P$ này.

Ví dụ: đặt $N = 851$. Chúng tôi nhận thấy rằng $\sqrt{N} < 31$. Bằng tiêu chí chia hết, chúng tôi thiết lập rằng $N$ không chia hết cho 3, 7, 11, 13. Ngoài ra, có thể thấy ngay rằng 851 khi chia cho 17 thì dư 1. Vẫn còn phải kiểm tra khả năng chia hết của $N$ cho 19, 23 và 29. Đối với một số nhỏ như 851, điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng phép chia đơn giản

*) Sự biện minh và ví dụ về việc sử dụng thuật toán Euclid được đưa ra trong bài viết của A. N. Vilenkin “Giảm phân số đại số” («Kvant» Số 11, 1970) và Vaguten “Thuật toán Euclide và Định lý cơ bản của chữ cái” («Kvant» Số 6, 1972).

14

PHƯƠNG PHÁP TRANG TRÍ
M.I.Brzhozovsky

Bằng cách chọn đúng các phương trình, bạn có thể có được rất nhiều hình ảnh, đôi khi rất kỳ quái. Ví dụ: bạn có thể nhận được “rozicia” như trong Hình A. Làm thế nào để thực hiện việc này? Đầu tiên, chúng ta sẽ phải nhớ rằng mặt phẳng số được gọi là tập hợp tất cả các cặp số thực (xem bài viết của A. N. Kolmogorov “Đồ thị của hàm số là gì”, «Kvant» Số 2, 1970). Bất kỳ tập hợp điểm nào trong mặt phẳng số của điều kiện đều được gọi là hình hình học được mô tả bởi phương trình $f(x, y)=0$.

Cụ thể, chúng ta có thể xem xét tập hợp tất cả các cặp số thực $(x, y)$ trong đó $f(x, y)=0$, trong đó $f(x, y)$ là một biểu thức đã cho. Trong trường hợp này, hình hình học thu được được cho là được mô tả bằng phương trình $f(x, y)=0$.

Do đó, phương trình $x^2-y=0$ mô tả một parabol; phương trình $x^2-y^2=0$ - hai đường thẳng ($y=x$ và $y=-x$) cắt nhau tại điểm $(0, 0)$; phương trình $x^2+y^2=2$ là đường tròn có tâm tại điểm $(0, 0)$ và bán kính $\sqrt{2}$; phương trình $|x|+|y|=1$ là hình vuông có tâm tại điểm $(0, 0)$ và các đỉnh nằm trên trục tọa độ.

Bây giờ hãy xem xét các phương trình sau:

$$\left(x+y\mathrm{ctg}\frac{\pi n}{32}\right)\sqrt{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{49}-1} = 0$$

(1)

Cơm. MỘT.
Cơm. B.
Cơm. TRONG.

16

cơm. 1). Phương trình đường tròn $F_1$ trong cùng hệ tọa độ được viết dưới dạng

$$(x - 2)^2 + y^2 = 1.$$

Tương tự, chúng ta có thể thu được số nguyên hình tròn $F_{-1}, F_2, F_{-2}, \dots, F_k, F_{-k}, \dots$. Chúng tạo thành một vật trang trí tuyến tính.

Toàn bộ vòng tròn số nguyên này có thể được mô tả bằng một phương trình nếu khoảng cách của hàm $[x]$ là phần nguyên $x^*$).

Đây là phương trình:

$$(x - 2 \left[ \frac{x + 1}{2} \right])^2 + y^2 = 1.$$

Nếu $x$ nằm trong khoảng $[2k - 1, 2k + 1)$, thì phương trình này, có thể dễ dàng xác minh, xác định một trong các đường tròn:

$$(x - 2k)^2 + y^2 = 1.$$

Nói chung, nếu $f(x, y) = 0$ (tại $a \leqslant x < a + T$) là phương trình của một số hàm hình học, mà chúng ta gọi là hàm chính $F_0$, thì vật trang trí tuyến tính thu được từ $F_0$ bằng cách dịch các đơn vị $kT$ dọc theo trục $Ox$ (trong đó $T > 0$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$) được mô tả bằng phương trình

$$f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right], y \right) = 0.$$

Bây giờ, hãy chuyển hàm chính $F_0$ được xác định trong dải $(b \leqslant y < b + S)$ (theo đường chéo) sang các đơn vị $kT$ dọc theo trục $Ox$ và tới các đơn vị $kS$ dọc theo trục $Oy$. sau đó chúng ta thu được một vật trang trí tuyến tính với các liên kết từ hàm $F_i$, nằm dọc theo đoạn nối gốc tọa độ $(0, 0)$ với điểm $(T, S)$ và phương trình

$$* ) \text{ Функция } [x], \text{ называемая «целой часть } x», \text{ определяется равенством } [x] = k, \text{ если } k \leqslant x < k + 1, \text{ где } k - \text{ целое число (наибольшее целое число, не превысходящое } x).$$

Cơm. 2.

vật trang trí này sẽ

$$f \left( x - T \left[ \frac{y - b}{S} \right], y - S \left[ \frac{y - b}{S} \right] \right) = 0 \quad (7)$$

(tại $S \neq 0$). Với $T = 0$, thu được một vật trang trí tuyến tính, nằm dọc theo trục $Oy$. Sự kết hợp của các chuyển tiếp (6) và (7) mang lại phương trình cho đồ trang trí hai chiều.

Điều thú vị cần lưu ý là nếu hàm $y = f(x)$ được xác định trong khoảng $a \leqslant x < a + T$ thì hàm

$$y = f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right] \right)$$

được xác định trên toàn bộ trục thực $-\infty < x < \infty$, tuần hoàn với chu kỳ $T$ và trùng với $f(x)$ trong khoảng $a \leqslant x < a + T$.

Hàm $f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right] \right)$ được gọi là sự tiếp tục định kỳ của hàm $f(x)$. Ví dụ: nếu $y = |x|$ nằm trong khoảng $(-1, 1)$ thì

$$y = |x - 2 \left[ \frac{x + 1}{2} \right] |$$

là hàm tuần hoàn có chu kỳ $T = 2$, đồ thị của nó được thể hiện trên Hình 2.

Hình 3 cho thấy một vật trang trí tuyến tính bao gồm các cung tròn có bán kính $R = 1$. Cơ sở của vật trang trí này là hàm $F_0$ (phần màu đỏ của Hình 3), được cho bởi phương trình

$$\left( x - \left[ \frac{x + 1}{2} \right] \right)^2 + \left( y - \left[ \frac{y + 1}{2} \right] \right)^2 = 1.$$

18

Cơm. 7. Hình 8. Hình 9.

$F_0$ là tập hợp tất cả các điểm bên trong của hình lục giác có tâm ở gốc tọa độ, nội tiếp trong một đường tròn bán kính $R = \frac{2}{\sqrt{3}}$ (Hình 7).

Phương trình của hình lục giác này có thể được viết là

$$\left| y \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} - 1}{2} \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} + 1}{2} \right| = 1,$$

vì đối với những điểm này và chỉ những điểm này thì các bất đẳng thức được thỏa mãn

$$1 \leqslant | y | + \left| \frac{x \sqrt{3} - 1}{2} \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} + 1}{2} \right| < 2.$$

Để có được phần màu xanh lam của sàn gỗ, trước tiên bạn có thể thực hiện một loạt các bản dịch trên $F_0$ dọc theo trục $Ox$ (tại $T_1 = 2\sqrt{3}, a = -\frac{2}{\sqrt{3}}$), sau đó di chuyển một dải hình $F_i$ (trên trục $Ox$) theo đường chéo (tại $T_2 = \sqrt{3}, S = 3, b = -1$). Phương trình của phần màu đỏ của sàn gỗ thu được từ phương trình được xây dựng bằng cách thay thế $y$ bằng $y - 2$ và phần màu vàng bằng cách thay thế $y$ bằng $y + 2$.

Các mẫu hình tròn thú vị sẽ thu được nếu bạn sử dụng tọa độ cực.

Trong hệ tọa độ cực, mỗi điểm $A$ có hai tọa độ (Hình 8): khoảng cách $\rho$ từ điểm này đến gốc $O$ và góc $\varphi$ tạo thành tia $OA$ với một trục cố định (trong Hình 8 - với

trục $Ox$); góc này được đo theo hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) tính từ trục $Ox$. “Gốc” (điểm $O$) có tọa độ $\rho = 0$ và mọi góc $\varphi$; bất kỳ điểm nào khác có tọa độ dương được xác định duy nhất $\rho$ và tọa độ $\varphi$ được xác định từ điểm đến bội số của $2\pi$.

Trong hệ tọa độ cực, cũng như trong hệ tọa độ Descartes, các số liệu có thể được mô tả bằng các phương trình. Ví dụ, phương trình đường tròn $F_0$ trong Hình 1 sẽ là $\rho = 1$ (như chúng ta thấy, nó đơn giản hơn nhiều so với phương trình trong hệ tọa độ Descartes).

Nếu $f(\rho, \varphi) = 0$ là phương trình của hình chính chứa trong ngành $0 \leqslant \varphi < \frac{2\pi}{n}$, thì bằng cách tương tự với công thức (6), phương trình

$$f(\rho, \varphi - \frac{2\pi}{n} \cdot \left[ \frac{n\varphi}{2\pi} \right]) = 0$$

chỉ định một mẫu hình tròn bao gồm các hình $F_i$.

Ví dụ, người ta có thể viết phương trình của một $n$-giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính $R$. Phương trình $\rho \cdot \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{n} \right) = R \cos \frac{\pi}{n}$ bên trong khu vực $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{2\pi}{n}$ chỉ định cạnh $AB$ (Hình 9) và sau một loạt phép quay của đoạn $AB$ theo các góc chia hết cho $\frac{2\pi}{n}$, thu được trọng lượng $n$-gon.

Phương trình của nó theo công thức (8) có thể viết dưới dạng

$$\rho \cdot \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{n} - \frac{2\pi}{n} \cdot \left[ \frac{n\varphi}{2\pi} \right] \right) = R \cos \frac{\pi}{n}.$$

20

Năm 1686, nhà triết học và nhà khoa học tự nhiên người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) đã xuất bản một bài báo ngắn hai trang với tiêu đề rất dài, dài đến mức chúng tôi sẽ không sao chép đầy đủ ở đây. Nhưng tựa đề bắt đầu như thế này: “Một bằng chứng ngắn gọn về sai lầm đáng chú ý của Descartes và những người khác về…”.

Bài báo đánh dấu sự khởi đầu của một cuộc tranh chấp khoa học quan trọng giữa một bên là Leibniz và các đảng của ông, với bên kia là những người kế vị Descartes (Cartesians, như họ được gọi chính thức). Bản thân Renedecart (1596-1650) qua đời 36 năm trước khi bài báo của Leibniz xuất hiện. Cuộc tranh chấp này kéo dài hơn 50 năm.

Triết gia quan trọng Leibnitz đã nhận thấy sai lầm nào ở triết gia không kém phần quan trọng Descartes? Cuộc tranh luận kéo dài về vấn đề gì?

Tất nhiên, điểm chung của tất cả các vật thể chuyển động là chúng… chuyển động. Nhưng liệu có thể nói rằng một số vật thể chuyển động “nhiều hơn” còn những vật khác thì ít hơn, rằng một số vật thể chuyển động “mạnh hơn” những vật thể khác? Vào thời điểm tranh chấp Leibniz-Descartes nảy sinh, các nhà khoa học đã bị thuyết phục rằng có thể và cần thiết nói về “lực” chuyển động, về “số lượng chuyển động”. Không chỉ rõ đại lượng nào biểu thị “lực” hay động lượng. Có vẻ như tốc độ là một đặc tính đủ của chuyển động: cơ thể có tốc độ lớn hơn sẽ chuyển động “mạnh hơn”, tức là chuyển động nhiều hơn! Nhưng có đúng không khi nói rằng một viên đạn nhỏ di chuyển với tốc độ 700 m/s đang chuyển động “mạnh hơn” so với một viên đạn lớn chuyển động với tốc độ chỉ 300 m/s? Rõ ràng, không chỉ tốc độ của cơ thể là quan trọng. Điều quan trọng nữa là vật thể chuyển động lớn hay nhỏ.

Tranh chấp nói trên là về lượng thể hiện “lực” vận động, lượng vận động.

Quan điểm triết học của Leibniz và Descartes trái ngược nhau về nhiều mặt, nhưng với tư cách là các nhà vật lý, họ đồng ý rằng “lực” chuyển động phải được đặc trưng bởi tác động của một vật chuyển động lên một vật khác khi nó tương tác với nó (ví dụ, khi nó chuyển động). Họ cũng đồng ý rằng khi trong quá trình tương tác giữa các vật thể, chuyển động được truyền từ vật này sang vật khác thì chuyển động đó được bảo toàn. Điều này có nghĩa là lượng chuyển động (hoặc “lực” chuyển động) mà một trong hai vật bị mất sẽ được vật kia thu được. Điều này có nghĩa là “lực” chuyển động được biểu thị ở một độ lớn được bảo toàn trong quá trình chuyển động của các vật thể và tương tác của chúng.

Năm 1644, Descartes trong cuốn sách “Các yếu tố của triết học” chứng minh rằng tích của “độ lớn của một vật” (tức là khối lượng của nó) và giá trị tuyệt đối của tốc độ của nó có tính chất bảo toàn. Tác phẩm này thể hiện “sức mạnh” của chuyển động cơ thể. Ở đây Descartes đã phạm một sai lầm rất quan trọng: tính chất bảo toàn thực sự được sở hữu bởi tích khối lượng của một vật thể theo vectơ vận tốc, chứ không phải bởi giá trị tuyệt đối của nó. Nhưng Descartes không cho rằng cần phải tính đến hướng chuyển động, tin rằng “chuyển động không hề ngược chiều”.

Leibnitz đã lên tiếng phản đối độ lớn của “lực” chuyển động (“lượng chuyển động”) do Descartes đề xuất trong bài báo năm 1686 của ông, chứng minh rằng “lực” chuyển động nên được gọi là tích của “độ lớn”

21

cơ thể" (khối lượng) theo bình phương của tốc độ, vì độ lớn của sản phẩm này không thay đổi trong quá trình chuyển động. Sau đó, một cuộc tranh cãi lớn bắt đầu:

$$mv \text{ или } mv^2?$$

Nếu chúng ta diễn đạt các sinh vật trong câu chuyện bằng ngôn ngữ cơ học hiện đại, thì nó có những đặc điểm sau.

Descartes tin rằng một vật có giá trị $mv$ lớn hơn sẽ có “lực” chuyển động lớn hơn hoặc lượng chuyển động lớn hơn. Và đây là lý do: nếu chúng ta lấy hai vật dương có khối lượng $m_1$ và $m_2$ và cho chúng chịu tác dụng của các lực $F_1$ và $F_2$ trong cùng một khoảng thời gian $t$, thì tỉ số của lực $F_1$ và $F_2$ sẽ bằng nhau

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 a_1}{m_2 a_2}.$$

Hãy nhân và chia vế phải của phương trình này cho $t$. Sau đó chúng tôi nhận được

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 a_1 t}{m_2 a_2 t}.$$

Nhưng $a_1 t = v_1$ và $a_2 t = v_2$. Đó là lý do tại sao

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 v_1}{m_2 v_2}.$$

Vì tỷ lệ lực bằng tỷ lệ độ lớn $mv$, nên $mv$ là lượng chuyển động (“silla” của chuyển động).

Leibniz lý do như sau: nếu chúng ta lấy hai vật có khối lượng $m_1$ và $m_2$ và chịu tác dụng của các lực $F_1$ và $F_2$ sao cho dưới tác dụng của các lực này, cả hai vật chuyển động cùng một quãng đường $S$, thì tỉ số giữa các lực sẽ bằng nhau

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 a_1}{m_2 a_2}.$$

Nhân và chia vế phải của đẳng thức này cho $S$, ta được

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 a_1 S}{m_2 a_2 S}.$$

Nhưng, như đã biết, $a_1 S = \frac{v_1^2}{2}$, và

$$a_2 S = \frac{v_2^2}{2}.$$

Pozny

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2}{\frac{1}{2} m_2 v_2^2} = \frac{m_1 v_1^2}{m_2 v_2^2}.$$

Vì tỷ lệ lực bằng tỷ lệ độ lớn $mv^2$, nên $mv^2$ biểu thị “lực” chuyển động hoặc lượng chuyển động.

Do đó, đối với những người theo chủ nghĩa Descartes, “lực” chuyển động có độ lớn $mv$, còn đối với Leibniz và phe của ông - có độ lớn $mv^2$. Năm 1695, trong một cuộc tranh chấp, Leibniz đã đề xuất cái tên “lực sống” cho đại lượng $mv^2$ (chính xác hơn là cho $\frac{mv^2}{2}$), và nó vẫn chưa được sử dụng. Theo ngôn ngữ của cơ học hiện đại, $\frac{mv^2}{2}$ là động năng của một vật. Một lực tác dụng lên một vật sẽ làm thay đổi động năng của hệ, và sự thay đổi này bằng công của lực, tức là bằng FS. Giá trị $mv$ là động lượng của vật. Nó cũng thay đổi dưới tác dụng của một lực tác dụng lên cơ thể, và sự thay đổi của nó bằng xung lực, tức là bằng $Ft$.

Ai đúng trong cuộc tranh chấp này?

Nghe có vẻ kỳ lạ nhưng Urgent.net không nên chiến thắng trong việc này. Cả hai bên đều đúng và sai. Họ đúng vì cả hai đại lượng - $mv$ và $mv^2$ đều là những đặc điểm quan trọng của chuyển động. Giá trị của đại lượng $mv$ xác định thời gian mà vật lơ lửng ban đầu dưới tác dụng của một lực nhất định thay đổi tốc độ từ 0 thành $v$. Giá trị $mv^2$ (chính xác hơn là giá trị $\frac{mv^2}{2}$) xác định quãng đường mà vật phải di chuyển dưới tác dụng của một lực nhất định trong khi tốc độ của nó thay đổi từ 0 thành $v$.

Đây chính xác là điều mà nhà khoa học người Pháp D’Alembert đã chỉ ra vào năm 1743. Vì mỗi giá trị do những người tham gia tranh chấp đề xuất đều có thể được coi là thước đo “sức mạnh” của phong trào, nên tranh chấp,

kéo dài quá lâu, theo lời của d’Alembert, là “…một cuộc tranh cãi…không có kết quả về lời nói, không xứng đáng với các triết gia.” Cuộc tranh chấp vì thế đi đến hồi kết một cách tự nhiên.

Nhưng cả hai bên đều sai vì cả đại lượng $m|v|$, trong đó $|v|$ là mô đun vận tốc, cũng như đại lượng $\frac{mv^2}{2}$ đều không có tính chất bảo toàn trong quá trình tương tác. Đại lượng $mv$ thực sự có tính chất bảo toàn. Đối với $\frac{mv^2}{2}$, trong mọi trường hợp khi động năng chuyển hóa thành một loại năng lượng khác, chẳng hạn thành thế năng tương tác, thành nhiệt, thành năng lượng dòng điện, v.v., thì nó hoàn toàn không được bảo toàn. Về bản chất, nó không được bảo toàn trong quá trình, nghiên cứu về nó đã dẫn đến ý tưởng bảo toàn giá trị $mv^2$ - trong quá trình kiểm soát. Ví dụ: nếu có hai quả bóng tiêu chuẩn có cùng khối lượng chuyển động về phía nhau với cùng tốc độ $v$, thì giá trị $mv^2$ trước và sau va chạm là như nhau. Nhưng tại thời điểm va chạm, giá trị $mv^2$ (chính xác hơn là động năng $mv^2/2$) bằng 0! Không phải $mv^2$ được bảo toàn mà là cái mà ngày nay chúng ta gọi là tổng năng lượng.

Đối với các nước, có vẻ như một cuộc tranh chấp bắt đầu từ năm 1686 có thể tiếp tục kéo dài như vậy. Thật vậy, cùng năm 1686, Newton đã trình bày tác phẩm nổi tiếng “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên”, trong đó phác họa cơ học Newton. Và từ đó có vẻ như trên thực tế không có gì phải bàn cãi. Nhưng thực tế là cơ học Newton không ngay lập tức nhận được sự công nhận rộng rãi, đặc biệt là bên ngoài nước Anh. Vì vậy, các bên tranh chấp đã không sử dụng khái niệm khối lượng cũng như khái niệm lực theo nghĩa “Newton”. Từ “lực” có nghĩa chính xác là “lực” chuyển động của những người tranh luận chứ không phải là nguyên nhân dẫn đến gia tốc của các vật thể. Ngoài ra, Newoton tất nhiên không biết về sự tồn tại của định luật bảo toàn năng lượng (xét cho cùng, khái niệm công và năng lượng chỉ xuất hiện hơn một trăm năm sau) và nói chung, không coi trọng các định luật bảo toàn. Và trong một thời gian dài, từ “lực” đã được sử dụng đồng thời theo cả nghĩa Newotian (lực là nguyên nhân gây ra gia tốc) và theo nghĩa Leibniz, mặc dù cái mà Leibniz gọi là “lực” thực ra là năng lượng. Ở một mức độ nào đó, những biểu thức hiện đại như suất điện động (năng lượng trên một đơn vị điện tích), mã lực (cho đến gần đây - một đơn vị công suất), v.v., là tàn tích của thời xa xưa đó.

Điều tò mò là vào năm 1847, nhà khoa học nổi tiếng người Đức Hermann Helmholtz đã xuất bản một bài báo trong đó xây dựng một trong những định luật quan trọng nhất của tự nhiên - định luật bảo toàn năng lượng, tiêu đề của bài viết này có dòng chữ: “Về sự bảo toàn lực”!

23

Trong «Kvant» số 1 năm 1972, chúng ta đã nói về các thí nghiệm với một trong những thiết bị vật lý đơn giản nhất - nam châm *). Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận thêm về một số thí nghiệm mà chúng ta có thể tiến hành tại nhà.

Dao động đơn giản của một vật là những dao động trong đó độ lệch $x$ của vật so với vị trí cân bằng thay đổi theo định luật

$$x = a \sin(\omega t + \varphi),$$

trong đó $a$ là biên độ, $\omega$ là tần số, $\varphi$ là pha ban đầu của dao động.

Những rung động như vậy được gọi là sóng hài. Dao động điều hòa được thực hiện bởi một con lắc toán học, một vật nặng đặt trên một lò xo, một chiều trong mạch điện.

Trong bài này chúng ta sẽ xét trường hợp một vật tham gia đồng thời vào hai dao động điều hòa. Nếu cả hai dao động xảy ra dọc theo một đường thẳng thì phương trình chuyển động của vật sẽ được biểu diễn bằng tổng phương trình của hai chuyển động:

$$x = A_1 \sin(\omega_1 t + \varphi_1) + A_2 \sin(\omega_2 t + \varphi_2).$$

Không khó để xây dựng đồ thị độ dịch chuyển của một vật khỏi vị trí cân bằng của nó như một hàm số của thời gian. Để làm điều này, bạn cần thêm tọa độ của các đường cong tương ứng với chuyển động thứ nhất và thứ hai. Hình 1 cho thấy một ví dụ về phép cộng hai dao động điều hòa (hình sin màu đen). Đường màu đỏ tương ứng với kết quả của cú swing bị hỏng. Nó không còn hài hòa nữa.

Các quỹ đạo phức tạp hơn thu được bằng cách cộng các dao động theo hai hướng phân phối lại cho nhau. Một ví dụ về dao động như vậy là chuyển động của một vật thể được hiển thị trong Hình 2. Trong trường hợp này, loại quỹ đạo phụ thuộc vào sự tương ứng của tần số, biên độ và pha của các dao động phân phối lại lẫn nhau. Những quỹ đạo này được gọi là hình Lissajous, được đặt theo tên của nhà vật lý người Pháp Lissajous, người đầu tiên mô tả chúng vào năm 1863. Cách thiết lập được Lissajous sử dụng

*) G.L. Kotkin, Olytes có nam châm, «Kvant» Số 1, 1972

24

Cơm. 2.

được hiển thị trong Hình 3. Âm thoa $T'$ dao động trong mặt phẳng nằm ngang, âm thoa $T$ - theo phương thẳng đứng. Một tia sáng đi qua thấu kính và chạm vào gương gắn trên âm thoa $T'$, bị nó phản xạ, chạm vào gương gắn trên âm thoa $T$, và sau khi phản xạ thứ cấp chạm vào màn hình. Khi chỉ rung một âm thoa, điểm sáng trên màn hình sẽ dao động theo đường thẳng. Nếu cả hai âm thoa đều rung, điểm đó có thể mô tả những quỹ đạo phức tạp.

Cơm. 3. Cài đặt Lissajous.

Quỹ đạo của một vật trong trường hợp nó đồng thời tham gia vào hai dao động vuông góc lẫn nhau được mô tả bởi hệ thống điều khiển

$$x = A_1 \sin (\omega_1 t + \varphi_1),$$
$$y = A_2 \sin (\omega_2 t + \varphi_2),$$

trong đó $x$ và $y$ là hình chiếu chuyển vị của cơ thể trên trục $X$ và $Y$.

Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$ và $\omega_1 = \omega_2 = \omega$. Sau đó

$$x = A_1 \sin \omega t,$$
$$y = A_2 \sin \omega t.$$

Điều này có nghĩa là $y = \frac{A_2}{A_1} x$; do đó, tương ứng (2) mô tả một đoạn thẳng. Góc nghiêng $\alpha$ với trục $X$ được cho bởi phương trình

$$tg \alpha = \frac{A_2}{A_1}.$$

Hãy để bây giờ $\varphi_1 = \varphi_1' + \frac{3\pi}{2}$. Sau đó

$$x = A_1 \cos (\omega_1 t + \varphi_1'),$$
$$y = A_2 \sin (\omega_2 t + \varphi_2).$$

Trước tiên chúng ta hãy phân tích trường hợp đơn giản nhất, khi $A_1 = A_2$, $\varphi_1' = \varphi_2 = 0$ và $\omega_1 = \omega_2 = \omega$, tức là

$$x = A \cos \omega t,$$
$$y = A \sin \omega t.$$

Một điểm có tọa độ $x$ và $y$ được xác định theo phương trình này mô tả một đường tròn có bán kính $A$. Thật vậy, $x^2 + y^2 = A^2 \cos^2 = \omega t + A^2 \sin^2 \omega t = A^2$. Và điều này có nghĩa là quỹ đạo chuyển động là một vòng tròn.

Hãy để bây giờ $A_1 \neq A_2$. Chúng ta hãy xây dựng quỹ đạo chuyển động cho trường hợp $A_1 = 1$, $A_2 = 2$. Tại thời điểm có độ lệch tối đa $x = A_1 = 1$, tức là $\cos \omega t = 1$, $\omega t = 0$ và do đó $y = 2 \sin \omega t = 0$. Tương tự, tại $x = 0$ $y = 2$, tại $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $y = \sqrt{2}$, v.v.:

Bằng cách xây dựng biểu đồ sử dụng các tọa độ này, chúng ta thu được một hình elip, hình elip lớn hơn bằng $A_2$,

25

một $-A_1$ nhỏ, tức là hình elip được kéo dài dọc theo trục $Y$ (Hình 4, a) *). Thật dễ dàng để chỉ ra rằng đối với $A_1 = 2$ và $A_2 = 1$, chúng ta thu được một hình elip kéo dài dọc theo trục $X$ (Hình 4b).

Vì vậy, rõ ràng là bằng cách thay đổi sự tương ứng của biên độ, có thể thu được các hình elip khác nhau.

Bây giờ đặt $\omega_1 = 2\omega$, $\omega_2 = \omega$, $\varphi'_1 = 0$ và $\varphi'_2 = 0$. thì hệ phương trình (3) có dạng

$$x = A_1 \cos 2\omega t,$$
$$y = A_2 \sin \omega t.$$

Chúng ta hãy biến đổi phương trình của $x$ như sau:

$$x = A_1 \left( \cos^2 \omega t - \sin^2 \omega t \right) =$$
$$= A_1 \left( 1 - 2 \sin^2 \omega t \right) = A_1 \left( 1 - 2 \frac{y^2}{A_2^2} \right).$$

Đường cong này là một phần của parabol có trục dọc theo trục $X$ và có đỉnh tại điểm $x = A_1$ (Hình 5). Như vậy, chúng ta có một đường cong mở.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét ảnh hưởng của tần số đến hình dạng của quỹ đạo và coi biên độ của dao động ngang và dao động dọc được mô tả bởi hệ phương trình (3) là như nhau.

Ví dụ, chúng ta hãy xây dựng các đường cong tương ứng với các phương trình

$$\begin{cases} x = A \cos \omega t, \\ y = A \sin 2\omega t, \end{cases}$$

Cách dễ nhất để làm điều đó là cách này. Lấy một hình tròn có bán kính $A$ (Hình 6), đánh dấu trên đó các điểm tương ứng với các góc $\omega t$ bằng 0, $\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}, \pi, \dots, 2\pi.$

*) Hệ phương trình

$$\begin{cases} x = A_1 \cos \omega t, \\ y = A_2 \sin \omega t \end{cases}$$

mô tả một hình elip, có thể được hiển thị trong phân tích:

$$\frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} = \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1,$$

tức là điểm có tọa độ $x$ và $y$ nằm trên hình elip. (Xem bài viết “Ellipse” của I. N. Bronstein, đăng trên «Kvant» Số 9, 1970)

26

Nếu chúng ta lấy một đường tròn có bán kính $A$ thì tọa độ $x$ và $y$ của mỗi đường tròn là hình chiếu của bán kính vectơ của các điểm này trên trục $X$ và $Y$.

Đối với cả hai trường hợp, thu được các đường cong khép kín, số vòng lặp tương ứng với tỷ lệ
$$n = \frac{\omega_2}{\omega_1} \text{ (рис. 7, а, б)}.$$

Hình vẽ trong Hình 8 không đóng. Nó tương ứng với hệ phương trình
$$x = \cos 2\omega t,$$
$$y = \sin 3\omega t.$$

Trong trường hợp nào chúng ta nhận được số liệu không được tiết lộ? Có thể tìm thấy các mẫu chung không? Ta xét các phương trình có dạng
$$x = A_1 \cos p\omega t,$$
$$y = A_2 \sin q\omega t.$$

Trước hết, chúng ta lưu ý rằng tại điểm mà đường cong quay ngược lại theo cùng một quỹ đạo, vận tốc của vật dọc theo trục $X$ và $Y$ đồng thời trở thành 0. Rốt cuộc, trong trường hợp này, cơ thể đang ngạc nhiên dọc theo đường cong, dừng lại và sau đó bắt đầu ngạc nhiên trở lại. Nếu $x = A_1 \cos p\omega t$ thì
$$v_x = \frac{A_1 \cos p\omega t_2 - A_1 \cos p\omega t_1}{t_2 - t_1} =$$
$$-2A_1 \sin \frac{p\omega t_2 + p\omega t_1}{2} \sin \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2} = \frac{t_2 - t_1}{t_2 - t_1}.$$

Khi $t_2 \approx t_1 = t$ (sự khác biệt $t_2 - t_1$ nhỏ), $\sin \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2} \approx \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2}$.

Kết quả là
$$v_x = -A_1 p\omega \sin p\omega t.$$
Tương tự với $v_y$ ta có
$$v_y = A_2 q\omega \cos q\omega t.$$

Hãy xem khi nào vận tốc $v_x$ và $v_y$ tiến về 0.
$$v_x = 0, \text{ если } p\omega t = k\pi,$$
$$v_y = 0, \text{ если } q\omega t = \frac{\pi}{2} + m\pi.$$

Từ những điều kiện này rõ ràng là hình Lissajous không bị đóng trong

27

trong trường hợp

$$\frac{p}{q} = \frac{2k}{2m + 1}$$

Đặc biệt, đường cong ở Hình 8 thỏa mãn điều kiện này.

Các mẫu Lissajous có thể được quan sát trên màn hình dao động. Khi quét dọc, một dao động điều hòa được áp dụng, khi quét ngang, một dao động điều hòa khác được áp dụng. Tổng của chúng có thể có nhiều dạng khác nhau. Để làm được điều này, chỉ cần thay đổi tần số của điện áp xoay chiều trên các bản của máy hiện sóng là đủ.

Mỗi bạn có thể tự làm một thiết bị rất đơn giản để quan sát và chụp ảnh các nhân vật của Lissajous. Lấy một thước kim loại thông thường và uốn cong nó sao cho mặt phẳng của một nửa thước khác với mặt phẳng của nửa sau (xem Hình 9).

Đặt một đầu của thước vào một đầu thước. Nếu bây giờ bạn vung đầu tự do của thước, nó sẽ mô tả các hình phức tạp trong không khí. Đây sẽ là những nhân vật của Lissajous.

Chuyển động của đầu tự do của thước bao gồm các dao động độc lập của hai phần của thước. Tuy nhiên - từ khúc cua đến khúc cua và khúc thứ hai - từ khúc cua đến cuối. Dao động của từng phần trong mặt phẳng biến thiên của thước trên đoạn đó. Vì góc uốn của thước là $\frac{\pi}{2}$ nên các dao động xen kẽ nhau. Loại quỹ đạo của phần cuối của thước phụ thuộc vào chiều dài và chiều rộng của thước cũng như vị trí uốn thước.

Bạn có thể sử dụng cùng một thước kẻ để có được các hình dạng khác nhau. Để thay đổi sự tương ứng giữa các rung động theo chiều dọc và chiều ngang, việc kẹp thước vào một cái kẹp ở những vị trí khác nhau là đủ.

Vì tần số dao động phụ thuộc vào độ dài của thước, nên bằng cách thay đổi sự tương ứng giữa độ dài của các phần của thước, bạn sẽ thay đổi sự tương ứng giữa tần số dao động xen kẽ lẫn nhau của đầu thước. Trong trường hợp này, bạn sẽ nhận được các quỹ đạo khác nhau của phần cuối của thước.

Để tạo thành số liệu nhận, bạn cần gắn một bóng đèn pin nhỏ vào đầu tự do. Bóng đèn được nối với pin bằng dây căng dọc theo thước (Hình 9). Bằng cách đặt nam châm phức tạp trong phòng tối, chúng ta có thể tạo ra dao động trong thước. Thời gian phơi sáng phải đủ dài. Bạn có thể xác định nó bằng cách thử nghiệm một số thử nghiệm với các mức phơi sáng khác nhau.

29

Bài viết này giải thích cách sử dụng định lý cosin để giải nhiều loại bài toáns hình học. Định lý cosin CAMA chưa được chứng minh.

Để tính các phần tử của một tam giác từ hai cạnh và góc giữa chúng hoặc từ ba cạnh, sự tương ứng được sử dụng

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A,$$

gọi là “định lý cosin”.

Định lý cosine cũng có thể được sử dụng cho lời giải khó hơn bài toán.

Ví dụ 1. Tìm diện tích hình bình hành nếu biết các cạnh a và b và góc nhọn α giữa hai đường chéo.

Lời giải. Đặt $ABCD$ là hình bình hành và đặt $AB = a$ và $BC = b$ (Hình 1). Chúng tôi sẽ giả định rằng $a > b^*$. Khi đó góc $BOC$ giữa các đường chéo là góc nhọn và theo điều kiện bài toán $\Rightarrow BOC = \alpha$.

Nếu chúng ta biểu thị độ dài của đường chéo $AC$ bằng 2x và độ dài của đường chéo bằng $*$) Nếu $a = b$, thì hình bình hành là hình thoi và góc giữa các đường chéo là một đường thẳng.

BD đến 2y thì diện tích hình bình hành $S$ bằng 2xysinα. Từ các tam giác $AOB$ và $BOC$, sử dụng định lý cosin, ta tìm được các cạnh a và b:

$$a^2 = x^2 + y^2 + 2xycos\alpha,$$
$$b^2 = x^2 + y^2 - 2xycos\alpha.$$

Bởi vì

$$a^2 - b^2 = 4xycos\alpha,$$

Ở đâu

$$xy = \frac{a^2 - b^2}{4cos\alpha}.$$

Kể từ đây,

$$S = \frac{(a^2 - b^2)sin\alpha}{2cos\alpha}$$

hoặc

$$S = \frac{a^2 - b^2}{2}tg\alpha.$$

Ghi chú. Nếu $A$ là góc của hình bình hành thì $S = absinA$, ngụ ý rằng $0 < S \leq ab$. Bởi vì

$$\frac{a^2 - b^2}{2}tg\alpha \leq ab$$ và

$$tg\alpha \leq \frac{2ab}{a^2 - b^2}.$$

Như vậy, để bài toán có lời giải cần chọn tham số a, b và α sao cho thỏa mãn các bất đẳng thức

$$a > b > 0, \alpha \leq arctg \frac{2ab}{a^2 - b^2}.$$

30

Sử dụng các công thức hình học và lượng giác nổi tiếng, từ định lý cosin, người ta có thể rút ra một số mối quan hệ nối các phần tử của bất kỳ tam giác nào.

Ví dụ 2. Chứng minh các cạnh, các cạnh và diện tích S của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức

$$\text{ctg } A + \text{ctg } B + \text{ctg } C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}.$$

Lời giải. Từ công thức $S = \frac{1}{2} bc \sin A$ chúng ta tìm thấy $bc = \frac{2S}{\sin A}$. Thay thế biểu thức $\frac{4S}{\sin A}$ vào công thức $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ cùng với $2bc$, ta thu được hệ thức

$$a^2 = b^2 + c^2 - 4S \text{ctg } A.$$ (1)

Kể từ đây,

$$\text{ctg } A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}.$$

Nếu theo công thức này, chúng ta biểu thị thông qua các cạnh của tam giác $ctg B$ và $ctg C$ rồi cộng các biểu thức thu được thì chúng ta thu được đẳng thức

$$\text{ctg } A + \text{ctg } B + \text{ctg } C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}.$$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác mọi bất đẳng thức sau đều đúng:

a) $\sin \frac{A}{2} \leqslant \frac{a}{2\sqrt{bc}}$,

b) $\text{tg} \frac{A}{2} \leqslant \frac{a}{2h_a}$,

$a, b, c$ là các cạnh của tam giác ABC và $h_a$ là đường cao vẽ từ đỉnh A.

Lời giải. a) Công thức (*) có thể viết như sau:

$$a^2 = (b - c)^2 + 2bc (1 - \cos A).$$

Nếu $1 - \cos A$ bây giờ được thay thế bằng $2\sin^2 \frac{A}{2}$, thì chúng ta có công thức sau

$$a^2 = (b - c)^2 + 4bc \sin^2 \frac{A}{2}.$$ (2)

Sau đó

$$a^2 \geqslant 4bc \sin^2 \frac{A}{2},$$

hoặc

$$\sin \frac{A}{2} \leqslant \frac{a}{2\sqrt{bc}},$$

và sự bình đẳng chỉ đạt được ở $b = c$.

6. Công thức (2) có thể dễ dàng rút gọn về dạng này:

$$a^2 = (b - c)^2 + 4S \text{tg} \frac{A}{2}.$$ (3)

Để làm điều này, chỉ cần thực hiện các phép biến đổi sau:

$$bc \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{2S}{\sin A} \sin^2 \frac{A}{2} =$$

$$= \frac{2S\sin^2 \frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}} = S \text{tg} \frac{A}{2}.$$

Công thức (3) suy ra bất đẳng thức $a^2 \geqslant 4S \text{tg} \frac{A}{2}$, từ đó $tg \frac{A}{2} \leqslant \frac{a^2}{4S}$.

Xét rằng $S = \frac{1}{2} ah_a$, chúng ta thu được bất đẳng thức $tg \frac{A}{2} \leqslant \frac{a}{2h_a}$.

Từ các ví dụ trên, rõ ràng là công thức

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

sử dụng các phép biến đổi đơn giản thành một trong các loại 1-3. Các mối quan hệ sau đây có nguồn gốc tương tự:

$$a^2 = (b + c)^2 - 4bc \cos^2 \frac{A}{2},$$ (4)

$$a^2 = (b + c)^2 - 4S \text{tg} \frac{A}{2}.$$ (5)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán có thể được giải bằng công thức (1)–(5).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình tam giác khi biết các cạnh của nó.

31

Lời giải. Ta viết lại tương ứng (3) và (5) như sau:

$$4S \mathrm{tg} \frac{A}{2} = a^2 - (b - c)^2,$$
$$4S \mathrm{ctg} \frac{A}{2} = (b + c)^2 - a^2.$$

Nếu chu vi của một tam giác được ký hiệu là 2p thì
$$a^2 - (b - c)^2 = (a + b - c) \times (a + c - b) = 4(p - b) \times (p - c),$$
$$(b + c)^2 - a^2 = (a + b + c) \times (b + c - a) = 4p(p - a).$$

Kể từ đây,

$$S \mathrm{tg} \frac{A}{2} = (p - b)(p - c),$$
$$S \mathrm{ctg} \frac{A}{2} = p(p - a).$$

Biến đổi các đẳng thức này theo từng số hạng, chúng ta thu được công thức nổi tiếng của Heron để tính diện tích hình tam giác

$$S^2 = p(p - a)(p - b)(p - c).$$

Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Qua điểm M nằm trên cạnh AB kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AC và BC của tam giác, cắt các cạnh này lần lượt tại các điểm K và L. Tính diện tích tam giác KLM nếu KL = d (Hình 2).

Lời giải. Chúng ta hãy ký hiệu các đoạn KM và LM lần lượt là x và y. Do đó tam giác AKM và BLM đều bằng nhau

Рис. 2.

Ví dụ 6. Chia tam giác này thành hai phần bằng nhau bằng đoạn có độ dài ngắn nhất.

Lời giải. Cho đoạn MN chia diện tích tam giác ABC làm đôi (Hình 3). Nếu điểm M và N nằm trên hai cạnh góc BAC và S là diện tích tam giác ABC thì diện tích tam giác AMN bằng $\frac{1}{2}S$, và theo công thức (3)

$$MN^2 = (AM - AN)^2 + 2S \mathrm{tg} \frac{A}{2},$$

Từ đây chúng ta thấy ngay rằng với AM = AN thì đoạn MN có độ dài ngắn nhất bằng $\sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{A}{2}}$.

32

Cơm. 3.

Độ dài đoạn AM dễ tính vì $S = AM^2 \sin A = \frac{1}{2} bc \sin A,$

Ở đâu

$$AM = \sqrt{\frac{bc}{2}}.$$

Rõ ràng rằng nếu hai đầu của đoạn MN nằm trên các cạnh của góc B của tam giác thì độ dài ngắn nhất của đoạn này là $\sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{B}{2}}.$

Hãy để $a < b < c,$ sau đó

$$\sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{A}{2}} < \sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{B}{2}} < \sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{C}{2}}.$$

Đối với Posny, độ dài đoạn tối thiểu MN bằng $\sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{A}{2}}.$ đồng thời $AM = AN = \sqrt{\frac{bc}{2}}.$

Việc dựng đoạn MN luôn có thể thực hiện được; kể từ $c < a + b < 2b,$ rồi $\sqrt{\frac{bc}{2}} < b$ và thậm chí hơn thế nữa $\sqrt{\frac{bc}{2}} < c.$

Để kết luận, chúng tôi trình bày một số bài toán mà chúng tôi để người đọc tự giải quyết.

1. Trên các cạnh của một tam giác có góc $60^\circ$ có các tam giác đều bên ngoài cấu trúc của nó. Chứng minh rằng tổng diện tích của tam giác đã cho và tam giác dựng trên cạnh đối diện với góc $60^\circ,$ bằng tổng diện tích của hai tam giác.

2. Trên các cạnh của tam giác $ABC,$ góc $C$ bằng $135^\circ,$, bên ngoài nó dựng các hình vuông $ABMN, BCKL$ và $CAPQ.$. Chứng minh rằng diện tích hình lục giác $KLMNPQ$ bằng hai lần diện tích hình vuông $ABMN.$

3. Tính diện tích hình bình hành $ABCD,$ nếu $AB=5, BC=2$ và góc giữa các đường chéo của nó là $45^\circ.$

4. Biểu diễn hàm lượng giác của các góc đa giác của một tam giác theo các cạnh của nó.

5. Chứng minh rằng các cạnh của tam giác $ABC$ thỏa mãn đẳng thức $a^2 + b^2 = 2c^2$ khi và chỉ khi các góc của tam giác liên hệ với nhau bởi các quan hệ

$$\text{ctg} A + \text{ctg} B = 2 \text{ctg} C.$$

6. Các cạnh của tam giác $ABC$ được nối bởi các phụ thuộc $a^2 + b^2 = nc^2,$ trong đó $n>1.$ Chứng minh rằng $\cos C \geq \frac{n-1}{n}.$

7. Chứng minh rằng các góc của tam giác đều thỏa mãn bất đẳng thức.

$$\text{tg} \frac{A}{2} + \text{tg} \frac{B}{2} + \text{tg} \frac{C}{2} \leq \text{ctg} A + \text{ctg} B + \text{ctg} C.$$

8. Một tam giác đều có cạnh $a.$ nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2,$ trong đó $x, y, z$ là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường tròn đến các đỉnh của tam giác.

9. Một đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB$ và $AC$ tại các điểm $M$ và $N.$ Xác định góc $A$ của tam giác nếu $\frac{AM}{MB} = \frac{1}{6}$ và $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{7}.$

10. Tìm diện tích của tam giác $ABC,$ biết góc $A$ và các đoạn $m$ và $n,$ mà điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp chia cạnh $BC.$

11. Cho một đường thẳng $l$ và hai điểm $A$ và $B,$ không nằm trên đó. Tìm trên dòng $l$ điểm $M,$ mà tại đó tỷ lệ $\frac{AM}{BM}$ lấy $a)$ giá trị lớn nhất; $6)$ ý nghĩa nhất.

12. Chứng minh rằng các góc của tam giác đều thỏa mãn bất đẳng thức

$$\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}.$$

13. Một hình thang có đáy $a$ và $b$ ($a > b$) được mô tả xung quanh một hình tròn có bán kính $r$. Tính góc giữa các cạnh của nó.

14*) Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$ luôn có hệ thức sau:

$$16S^2 = (a^2 + c^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) + (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + b^2 - c^2) + (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + b^2 - b^2).$$

*) bài toán này được gửi bởi độc giả V.P. Gasparin.