Kvant 1972, số 8 · Trang

QUANTUM
8
THÁNG TÁM
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:

L. A. Artsimovich, M. I. Bashmkov, S. T. Belyaev, V. G. Boltyansky, I. N. Bronshtein, N. B. Vasiliev, I. F. Ginzburg, Yu. N. Efremov, V. G. Zubov, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, A. I. Klimanov (nghệ sĩ trưởng), S. M. Kozel, V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập), L. G. Makar-Limanov, A. I. Markushevich, M. D. Millonshikov, N. A. Patrikeeva, I. S. Petrkov, N. H. Rozov, A. P. Savin, I. Sh. Slobodetsky, M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập), Ya. A. Smorodinsky, V. A. Fabrikant, A. T. Tsvetkov, M. P. Shaskolskaya, S. I. Schwartzburg, A. I. Shirshov.

Trên trang đầu tiên của bìa và trong hình bên cạnh có những bức ảnh chụp trong kính vạn hoa. Từ những bức ảnh này, bạn có thể xác định thời điểm vụ nổ súng diễn ra.

Thực tế là các tia sáng được phản xạ trong gương tạo thành một góc nhất định giữa chúng, nhưng không phải ở đỉnh của góc này; do đó, một vạch sáng phát ra từ mỗi đỉnh. Nếu chúng ta tiếp tục những đường này bên trong phần đế của cải xoăn, thì tất cả chúng sẽ giao nhau tại một điểm, phía trên ống kính máy ảnh được lắp đặt. Hãy cố gắng tìm điểm này.

Những đường như vậy đến từ đâu, liệu có thể có được hai hình ảnh trong kính vạn hoa cùng một lúc trong một bức ảnh hay không, và một số câu hỏi khác sẽ được thảo luận trong bài viết của A. N. Vilenkin “Kaleidoscons”, nằm trên trang 41-49.

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova. Nghệ sĩ trưởng A. I. Klimanov.
Biên tập viên nghệ thuật O. N. Ykovleva. Người hiệu đính A. L. Ipatova.
Nhà xuất bản “Nauka”, Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, «Kvant». Điện thoại. 234-08-11, 234-07-93

Nộp bộ 14/1V 1972 Ký in 30/VI 1972 Giấy 70×1001/16 Vật lý. lò nướng l. 5 điều kiện lò nướng l. 6.5 Biên tập học thuật. tôi. 7,81 Số phát hành 312.060 bản. T-07278 Giá 30 kopecks. Đặt hàng Nhà máy in Chekhov 804 của Glavpoligrafprom của Ủy ban In ấn thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô, Chekhov, khu vực Moscow.

BẢN BẢN KHÔNG ĐƯỢC TRẢ LẠI

8
THÁNG TÁM
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

NHÀ XUẤT BẢN • KHOA HỌC→
PHÒNG BIÊN TẬP CHÍNH VĂN HỌC VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TRONG PHÒNG:
2 Ai sẽ đến Rio?
G. M. Adelson-Velsky,
I. N. Bernishtein, M. L. Gereer
9 Cao huyết áp - sáng tạo
và đo lường
F. F. Voronov
17 Simon Flagg và Ác quỷ
Arthur Porges
23 Một vài lời
về Định lý cuối cùng của Fermat
Yu. A. Gastev, M. L. Smolyansky
26 Khả năng của kính viễn vọng quang học
A. D. Marlensky
32 Về cơ học của Aristotle
M. I. Kazanoye, L. Ya. Lyubarsky
39 Cuộc thi Edison
B. I. Aleinikov, M. S. Dubson

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC
41 Kính vạn hoa
A. N. Vilenkin

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”
50 lỗ - ống kính
V. V. Mayer

VẤN ĐỀ “Lượng tử”
56 Bài toán M156—M160, F168—F172
58 Lời giải bài toán M110—M122, F131—F137

BÀI VIẾT, THƯ VIỆN
74 Tại sao chúng ta không rơi xuống sàn?
M. P. Shaskolskaya

GÓC SƯU TẬP
76 Tem dành riêng cho Năm Quốc tế
mặt trời êm đềm
V. A. Leitskovtsev

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP
“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI
(trang bìa thứ 3)

HỖN HỢP (trang 16, 25, 38, 49)

2

Ai sẽ đến Ryuo

G. M. Adelson-Velsky,
I. N. Bershtein,
M. L. Gerver

Bài toán, được thảo luận trong bài viết này, hoàn toàn không có đặc điểm cờ vua - hay thực sự là thể thao -. Ví dụ, nó có thể được hình thành như sau: từ $n$ cặp đá có trọng lượng không bằng nhau, hiển thị theo thứ tự giảm dần $k$ những viên nặng nhất, chỉ sử dụng cân hai mảnh không có quả cân, sử dụng số lượng cân tối thiểu. Nhưng đây là một công thức có ý nghĩa toán học hoàn hảo: tạo một chương trình cho máy tính, với số lượng so sánh tối thiểu, sẽ chọn số lớn nhất từ ​​$n$ các số không bằng nhau theo cặp $k$ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần *).

Mệnh đề về bất đẳng thức cặp số (hoặc đá) tự động đảm bảo đáp ứng điều kiện: nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$. Bạn không cần phải là một kỳ thủ Bolshisky giàu kinh nghiệm mới hiểu rằng thực tế không có điều gì giống như vậy trong thể thao và chẳng hạn, việc Fischer thua Petrosyan tại giải đấu giả vờ ở Curacao và chiến thắng của Spassky trong trận đấu quyết định của trận tranh chức vô địch thế giới với Petrosyan hoàn toàn không xác định trước kết quả của trận đấu Spassky-Fischer.

Tuy nhiên, chúng ta hãy lưu ý rằng hệ thống Olympic (người thua cuộc bị loại) dựa chính xác vào các giả định được hình thành ở đầu bài viết. Nhân tiện, sơ đồ Olympic “thông thường”, theo đó người thua trong trận chung kết ngay lập tức được tuyên bố là người đoạt giải nhì (và người chiến thắng trong cuộc gặp những người thua ở bán kết được tuyên bố thứ ba), chỉ là một phiên bản tồi tệ hơn của “Quy tắc VOMI”!

Bài toán, mà các tác giả nói đến, như đã đề cập, hoàn toàn mang bản chất của người Serbia. (Nhân tiện, chúng tôi đã cố gắng đạt được lời giải của nó, với tất cả “tính cơ bản” rõ ràng của nó, chỉ khá gần đây, tất nhiên, điều này được tạp chí của chúng tôi đặc biệt quan tâm). Tác giả thấy thú vị và vui vẻ hơn khi trình bày nó bằng ngôn ngữ “cờ vua”…

Chương 1. Quy tắc VOMI

Đã xong rồi! Các thành phố cờ vua Vasyuki cuối cùng đã được phép tham gia Olympic Thế giới ở Rue de Janey.

*) Bài viết chỉ đề cập đến trường hợp $k=3$ (trường hợp tổng quát được bàn ở bài toán số 3).

ro. Hóa ra, như thường lệ, vào giây phút cuối cùng, và bây giờ một vòng loại phải được tổ chức trong vài ngày nữa và ba người mạnh nhất phải được chọn từ 128 kỳ thủ nghiệp dư. Hai người trong số họ (nhà vô địch và người đoạt giải nhì) sẽ chơi cho đội của Vasya

4

người chiến thắng ở vị trí thứ ba, chỉ cần chi tiêu
$$127 + 6 + 6 = 139$$
các bữa tiệc.

Chương II. Nó có thể ngắn hơn được không?

Quy tắc VOMI có tốt không? Có thể xác định được người thắng thứ 1, thứ 2 và thứ 3 trong ít ván chơi hơn không?

§ 1. Ý kiến, cơ hội và số phận của ban lãnh đạo

Ngay cả trước khi hoàn thiện, hãy để ban quản lý Câu lạc bộ Tứ Mã đưa ra quan điểm rằng người chơi cờ mạnh nhất là A, người giỏi thứ hai là B, và người thứ ba là C. Và mục tiêu của sự hoàn hảo là để xác minh rằng điều này thực sự đúng.

Việc kiểm tra như vậy không thể được thực hiện trong ít hơn 127 ván đấu, vì tất cả người chơi cờ, ngoại trừ nhà vô địch, đều phải thua ít nhất một ván. Và trong 127 ván, có thể: 125 “người ngoài” (tất cả trừ A, B và C) chơi 124 ván “loại trực tiếp” (sau mỗi ván thua bị loại), sau đó người thắng đấu với C và thua *), C thua *) B và C sẽ thua *) A. Thực tế, thậm chí không cần thiết phải biết trực tiếp người thắng cuộc: họ có thể đoán ngẫu nhiên nên đôi khi (“nếu may mắn”) ba người chiến thắng được xác định bởi 127 trò chơi.

Tuy nhiên, chúng tôi sẽ cho rằng không có thông tin gì thêm về sức mạnh của các kỳ thủ và chúng tôi “không biết”. Hơn nữa, chúng ta hãy tưởng tượng rằng Evil Fate (hoặc đặc vụ của đối thủ - bất cứ điều gì bạn muốn) ảnh hưởng đến kết quả của mỗi trò chơi để trận đấu hoàn hảo tồn tại lâu nhất có thể. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này không thể chọn ra người thắng thứ 1, thứ 2 và thứ 3 trong số 128 người chơi cờ trong ít hơn 139 ván đấu, bất kể **) việc thực hiện severnonia phù phiếm như thế nào.

*) Nếu anh ta thắng, điều đó có nghĩa là ban quản lý đã nhầm lẫn và không rõ phải làm gì tiếp theo.
**) Tất nhiên, theo đề xuất 1-5 của Chương I.

§ 2. Phát biểu định lý

Chúng ta hãy xem xét ngay trường hợp thực tế khi có 128 và bất kỳ số người chơi cờ nào ở các phần hoàn hảo. Hãy biểu thị nó bằng n. Chúng ta cũng xin giới thiệu ký hiệu sau đây. Cho N là một số tùy ý; đối với một số số nguyên l, bất đẳng thức $2^l \geq N$ đúng. Chúng ta hãy biểu thị bằng l [N] số nguyên nhỏ nhất trong số các số nguyên này.

Ví dụ.

1. Vì $2^3 < 10 < 2^4$ nên l [10] = 4.
2. Nếu $2^{k-1} < N \leq 2^k$ thì l [N] = k.
3. Chẳng bao lâu nữa chúng ta sẽ cần biết l[N] bằng bao nhiêu nếu N = 128·127. Vì $128 = 2^7$ và $2^6 < 127 < 2^7$, nên $2^{13} < 128·127 < 2^{14}$, do đó l [128 127] = 14.

Định lý. Để xác định người thắng 1-20, 2-20 và 3-20 trong số n người chơi cờ, bạn cần phải phô mai không ít hơn

$$P(n) = l[n(n-1)] + n-3$$
các bữa tiệc.

Theo anh ấy. Một cách khác để xây dựng định lý này như sau.

Cho phép kiểm tra tối đa các trò chơi R, trong đó

$$R < l[n(n-1)] + n-3.$$

Sau đó (bất kể quy tắc nào được thực hiện theo quy tắc severnonia), kết quả của trò chơi có thể đến mức sau R ván vẫn không thể xác định được người chiến thắng thứ 1, thứ 2 và thứ 3.

Nếu n = 128 thì l[n(n-1)] = l[128·127] = 14 (xem ví dụ 3). Điều này có nghĩa là P(128) = 14 + 128 - 3 = 139. Do đó, theo định lý đã xây dựng, để xác định người thắng thứ 1, thứ 2 và thứ 3 trong số 128 kỳ thủ thì cần không ít hơn 139 ván đấu. Trong 139 trò chơi, chúng có thể được xác định bằng quy tắc VOMI - vì vậy quy tắc VOMI là tốt!

§ 3. Tại phòng kế toán của Evil Rock

Trong § 1 của chương này, chúng tôi đã cảnh báo rằng Evil Rock đang cố gắng trì hoãn vòng loại Svernonia. Hiện nay

5

chúng tôi chỉ ra một chiến lược, theo đó, anh ta sẽ đảm bảo rằng các giải nhất, nhì và ba được xác định trong số ít nhất $n$ người chơi cờ vua

$$P(n) = l \left[ n(n-1) \right] + n-3$$

các bữa tiệc.

Về giới hạn 1. Chúng tôi sẽ gọi bất kỳ cặp người chơi cờ nào là $(A, B)^*$ biệt kích. Chúng tôi nhấn mạnh rằng các lệnh $(A, B)$ và $(B, A)$ là khác nhau; $A$ chơi theo đội $(A, B)$ ở bảng đầu tiên và theo đội $(B, A)$ ở bảng thứ hai.

Trước khi bắt đầu cuộc thi, tất cả các đội thi đấu tại địa điểm ở Olympida. Có bao nhiêu?

Trước giải đấu, mỗi kỳ thủ $n$ có cơ hội chơi ở bàn đầu tiên. Đồng thời, anh ta có thể dẫn dắt đội $n-1$ (bất kỳ người chơi cờ nào ngoại trừ anh ta đều có thể đứng thứ hai sau anh ta). Như vậy, số lượng tất cả người chỉ huy là $n$ ($n-1$).

Khi cuộc thi diễn ra, số đội tranh giành một suất ở Rio giảm dần (cho đến khi còn lại đúng một đội như vậy).

Giả sử một số trò chơi đã được chơi ở Turin. Dựa trên kết quả của họ, chúng tôi sẽ chia tất cả những người tham gia thành 3 nhóm. Nhóm đầu tiên bao gồm tất cả những người chưa thua một trận nào. Về thứ hai - những người thua đúng một ván và nhất thiết phải thua người chơi cờ của nhóm đầu tiên. Đến người thứ ba - tất cả những người còn lại (những người thua nhiều hơn một ván hoặc một ván - mỗi người chơi không thuộc nhóm đầu tiên).

Ở bên phải. Kiểm tra xem trong tình huống này, các đội sau đây đang tranh giành một suất ở Rio:

1. tất cả các đội $(A, B)$, trong đó $A$ thuộc nhóm đầu tiên và $B$ từ nhóm thứ hai, và trận duy nhất $B$ thua là thua $A$;

2. tất cả các đội $(C, D)$, cũng như $C$ và $D$, đều thuộc nhóm đầu tiên.

Kiểm tra để đảm bảo không có đội nào khác đang thi đấu tại địa điểm Olympida.

*) “Đội” gồm hai người, không phải ba người: cầu thủ dự bị không được đưa vào đội (điều này thuận tiện hơn cho việc trình bày).

(Chỉ định. Để $B$ thua $A$ thì $B$ sẽ không trở thành nhà vô địch và chỉ có thể trở thành người đoạt giải nhì với điều kiện $A$ trở thành nhà vô địch. Như vậy, $B$ sẽ không còn được dẫn dắt bất kỳ đội nào và chỉ trong một đội - trong $(A, B)$ - anh ta mới có thể tham gia với tư cách là người tham gia thứ hai.)

Định nghĩa 2. Nếu tại một thời điểm nào đó trong cuộc thi, kỳ thủ $A$ đã thắng $a$ ván và kỳ thủ cờ vua $B$ đã thắng $b$ ván thì chúng tôi sẽ nói rằng đội $(A, B)$ có $a+b$ điểm. Số $2^{a+b}$ được gọi là đặc điểm của đội $(A, B)$.

Sau mỗi trận đấu mới, tài sản của bất kỳ đội nào sẽ tăng thêm 1 (nếu người chiến thắng trong trò chơi là thành viên của đội này) hoặc không thay đổi. Đặc tính tương ứng của bất kỳ lệnh nào sẽ bị xóa hoặc không thay đổi.

Định nghĩa 3. Chơi một số lượng trò chơi nhất định. Thật thuận tiện để mô tả tình hình hiện tại bằng số $M$, bằng tổng các đặc điểm của tất cả các đội vẫn đang cạnh tranh địa điểm ở Olympida.

$M$ bằng bao nhiêu trong tình huống ban đầu (trước cuộc thi)? Chưa có ai thắng trận nào, mỗi đội 0 điểm, đặc điểm của đội nào cũng là $2^0=1$. Do đó, $M$ ban đầu chỉ đơn giản là tổng số lệnh, tức là $M_{\text{начальное}}=n$ ($n-1$).

Bổ đề. Giả sử trong một số tình huống, được đặc trưng bởi số $M$, một ván cờ được chơi giữa cờ $A$ và $B$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M_A$ con số đặc trưng cho tình huống sẽ phát sinh nếu $A$ thắng và bằng $M_B$ con số đặc trưng cho tình huống trong trường hợp $B$ thắng. Sau đó

$$M_A + M_B = 2M,$$

sao cho mặc dù một trong các số $M_A$ và $M_B$ không nhỏ hơn $M$.

Bằng chứng. Trước trận đấu giữa $A$ và $B$, tất cả các đội tranh giành địa điểm ở Olympida đương nhiên được chia thành 3 nhóm.

6

Nhóm I. Các lệnh trong đó $A$ được bao gồm nhưng $B$ không được bao gồm hoặc được bao gồm sau $A^*$).

Nhóm II. Các lệnh trong đó $B$ được bao gồm nhưng $A$ không được bao gồm hoặc được bao gồm sau $B$.

Nhóm III. Các đội không bao gồm $A$ hoặc $B$.

Hãy ký hiệu bằng $M_I$, $M_{II}$, $M_{III}$ tổng đặc điểm của lệnh nhóm I, II và III (vì vậy $M=M_I+M_{II}+M_{III}$).

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $M_A=2M_I+M_{III}$. Quả thực, sau chiến thắng $A$, chỉ có các đội thuộc Nhóm I và III mới đủ điều kiện giành chiến thắng ở Rio; Đồng thời, ở nhóm III, đặc điểm của các đội không thay đổi nhưng ở nhóm I thì đặc điểm của các đội lại tăng gấp đôi.

Tương tự, người ta chứng minh rằng

$$M_B = 2M_{II} + M_{III}.$$

Vì thế,

$$M_A + M_B = 2(M_I + M_{II} + M_{III}) = 2M.$$

Chiến lược của Evil Doom. Giải đấu vòng loại diễn ra như thế nào? Như chúng ta biết, tất cả các trò chơi đều được chơi tuần tự (lần lượt). Những người tham gia mỗi trò chơi mới được đặt tên tùy thuộc vào kết quả của tất cả các trò chơi trước đó.

Giả sử một số ván nhất định đã được chơi và ván tiếp theo được gọi là giữa cờ vua $A$ và $B$. Evil Doom đếm các đặc điểm $M$, $M_A$ và $M_B$ (xem bổ đề); sau đó nếu $M_A>M_B$, anh ta loại bỏ để $A$ thắng, và nếu $M_B>M_A$, thì $B$ thắng; nếu $M_A=M_B$, thì anh ta sẽ không hoảng hốt. Vì số lớn hơn $M_A$ và $M_B$ được hoàn thành ít nhất $M$ (theo bổ đề), nên với chiến lược này, đặc tính $M$ không giảm sau mỗi trò chơi.

Nhấn mạnh Rock toàn năng là đủ rồi, không cần phải thế đâu.

*) B được đưa vào sau $A$ chỉ trong một đội ($A, B$); đội này được xếp vào Nhóm I và chỉ được đặt với điều kiện là vẫn tuyên bố sẽ giành chiến thắng ở Rio.

Toàn tri: không đi sâu vào kế hoạch tổ chức giải đấu, anh ấy áp dụng chiến lược tương tự cho bất kỳ lịch thi đấu nào.

Tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng với chiến lược này, việc xác định người chiến thắng thứ 1, thứ 2 và thứ 3 sẽ cần ít nhất

$$P(n) = l[n(n-1)] + n-3$$

các bữa tiệc.

§ 4. Chứng minh định lý

Thực hiện corvevohany $M_{начальное} = n(n-1)$. Giá trị của $M$ là bao nhiêu khi quá trình kiểm tra hoàn thành và xác định được vị trí á quân 1, 2 và 3 $X$, $Y$ và $Z$? Một đội ($XY$) đã được chọn để lên tàu tới Thế vận hội. Hãy để chúng tôi biểu thị bằng $v$ số điểm trong nội dung của đội này. Sau đó $M_{конецное} = 2^v$.

Nếu Evil Doom làm theo chiến lược được mô tả ở trên thì sau mỗi trận đấu, chỉ số $M$ không giảm nên $M_{конецное}$ không nhỏ hơn $M_{начальное}$. Do đó $2^v \geq n(n-1)$, tức là $v \geq l[n(n-1)]$. Như vậy, hai người chiến thắng đầu tiên $X$ và $Y$ đã tham gia không dưới $l[n(n-1)]$ trò chơi.

Ngoài ra, ít nhất $(n-3)$ trò chơi đã được chơi mà không có sự tham gia của họ. Thật vậy, mỗi kỳ thủ trong số $(n-3)$ cờ vua không có tên trong top ba được công nhận đã phải thua một người khác không phải $X$ và $Y$ - nếu không thì anh ta sẽ giành được vị trí thứ ba.

Như vậy tổng cộng không ít hơn

$$P(n) = l[n(n-1)] + n-3$$

các bữa tiệc. Định lý đã được chứng minh.

Chương III. Làm thế nào để xác định ba người chiến thắng trong $n$ cờ vua?

Chương I đã trình bày quy tắc xác định ba người chiến thắng trong 128 ván cờ. Hãy để chúng tôi trình bày các quy tắc tương tự cho trường hợp cờ vua $n$. Đặt $l[n]=k$, tức là

$$2^{k-1} < n \leq 2^k.$$

7

§ 1. Định nghĩa nhà vô địch

Trò chơi được chơi theo hệ thống Optimian. Ở giai đoạn đầu tiên, tất cả những người tham gia được chia thành hai nhóm: theo một cặp $2^k$; ở cặp khác, người chiến thắng được xác định và được nhận vào chặng 2; các thành viên của nhóm đầu tiên bắt đầu cuộc chiến ngay từ màn thứ 2. Tổng số được nhận vào giai đoạn 2

$$\left(n - 2^{k-1}\right) + \left(2^k - n\right) = 2^{k-1}$$

người tham gia. Tất cả các chặng, bắt đầu từ chặng thứ 2, “tiêu chuẩn”*): những người tham gia chặng được chia thành từng cặp, trong mỗi cặp sẽ xác định được người chiến thắng, ai được nhận vào chặng tiếp theo. Nhà vô địch được xác định trong trò chơi tài chính ở giai đoạn thứ $k$. Vì mỗi người trong số $n$ người tham gia, ngoại trừ nhà vô địch, thua một trò chơi theo cách có hệ thống như vậy, nên tổng cộng $(n-1)$ trò chơi sẽ được chơi ở giai đoạn $k$.

§ 2. Xác định người đoạt giải Nhì

Những người chơi cờ chỉ thua nhà vô địch đang tranh giành vị trí này. Không có nhiều hơn $k$; Hãy gán cho họ những con số 1, …, $k$ ($N_2$ tôi là người đã thua nhà vô địch ở chặng $i$-th**).

Chúng tôi chơi các trò chơi như thế này: $N_2$ 1 chơi với $N_2$ 2***), sau đó người chiến thắng chơi với $N_2$ 3, v.v. (tổng cộng không quá $k-1$ trò chơi). Người chiến thắng ở ván cuối cùng là người về nhì.

*) Giai đoạn 1, trái ngược với trường hợp được thảo luận trong quy tắc VOMI, là “không chuẩn” (nghĩa là nó yêu cầu phân chia bổ sung những người tham gia thành các nhóm được nêu trong đoạn này), nếu $n$ không phải là lũy thừa chính xác của hai.

**) Lưu ý rằng có thể không đạt được $N_2$ 1 (nếu nhà vô địch bắt đầu trò chơi từ màn 2).

***) Không có giai đoạn nào khác (xem phương pháp trước) và mọi thứ bắt đầu bằng trò chơi giữa $N_2$ 2 và $N_2$ 3.

§ 3. Xác định người đoạt giải ba

Có thể dễ dàng kiểm tra (xem § 3 của Chương I) rằng người đoạt giải nhì đã thắng không quá $k$ trò chơi và do đó không quá $k$ mọi người đang tranh giành vị trí thứ ba. Người mạnh nhất trong số họ cuối cùng đã được xác định cho trò chơi $k-1$. Đây là người đoạt giải ba.

§ 4. Kết luận

Để tìm ra người đoạt giải 1, 2 và 3 trong số $n$ người chơi cờ vua, chỉ cần kiểm tra

$$\left(n-1\right) + \left(k-1\right) + \left(k-1\right) = 2k + n-3 = 2l \left[n\right] + n-3$$

các bữa tiệc. Chúng ta sẽ biểu thị con số này bằng $Q(n)$.

Chương IV. Thảo luận về kết quả

Đặt $n$ là một số nguyên, $n \geqslant 3$. Ta biểu thị bằng $I(n)$ một số thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. đối với $I(n)$ trò chơi, chắc chắn có thể xác định được người thắng thứ 1, thứ 2 và thứ 3 trong số $n$ người chơi cờ vua.

2. nếu $R < I(n)$, thì kết quả của ván đấu có thể đến mức trong ván $R$ không thể xác định được người thắng thứ 1, thứ 2 và thứ 3 trong số $n$ người chơi cờ vua.

Khi đó kết quả thu được ở chương II và chương III có thể viết dưới dạng công thức

$$P(n) \leqslant I(n) \leqslant Q(n).$$

Chúng ta hãy nhớ lại điều đó

$$P(n) = l \left[n(n-1)\right] + n-3,$$

$$Q(n) = 2l \left[n\right] + n-3,$$

ở đâu $l \left[n\right] = k$ tại $2^k \geqslant n > 2^{k-1}$.

Có thể chứng minh rằng $Q(n)$ bằng $P(n)$ hoặc $P(n)+1$. Trong trường hợp đầu tiên $I(n)=P(n)=Q(n)$. Trong trường hợp thứ hai, có hai khả năng cho $I(n)$: $I(n)=P(n)$ hoặc $I(n)=Q(n)$. Cả hai khả năng

có thể được thực hiện, như có thể thấy từ bảng dưới đây.

Chính xác thì $I(n)$ hoạt động như thế nào, chúng ta sẽ thảo luận chi tiết hơn vào lúc khác. Trong lúc chờ đợi, hãy cố gắng tự mình tìm ra điều này. Hãy thử giải bài toán sau đây.

1. Kiểm tra bảng trên.
   Nghị định không và e. Hãy phác thảo đường dẫn lời giải của bài toán này cho $n=20$. Trong trường hợp này $P[n] = P[20] = 26$.

Hãy chia 20 người chơi cờ thành hai nhóm: nhóm thứ nhất có 16 người, nhóm thứ hai - bốn người. Ở nhóm đầu tiên, chúng tôi xác định theo cách tiêu chuẩn (xem §1 và §2 của Chương III) người đoạt giải nhất $A$ và người đoạt giải nhì $B$. Việc này sẽ mất $15 + 3 = 18$ đợt. Trong trường hợp này, $B$ sẽ thắng không quá bốn người (xem §3).

Ở nhóm thứ hai, chúng tôi xác định $C$ mạnh nhất theo hệ thống Olympic (3 trận). Trong trường hợp này, $C$ sẽ thắng hai.

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Trận tiếp theo (thứ 22) sẽ diễn ra từ $B$ đến $C$. Nếu $B$ thắng thì rõ ràng $A$ là nhà vô địch, $B$ là người đoạt giải nhì và năm người thua $B$ đang tranh giành vị trí thứ ba. Đối với 4 trò chơi còn lại, bạn có thể tìm ra người đoạt giải ba trong số đó.

Ngược lại, hãy để $C$ thắng. Khi đó sẽ xảy ra tình huống sau (xem Hình 1): người chơi cờ $A, B, C, D, E$ và $F$ (mũi tên chỉ từ người chiến thắng đến người chiến thắng) cạnh tranh để được công nhận vị trí. Hãy chơi trò chơi thứ 23 giữa $D$ và $E$; để $E$ thắng trong trò chơi này (trường hợp $D$ thắng thì đơn giản hơn và được coi là tương tự).

Ván thứ 24 được chơi giữa $A$ và $E$. Nếu $E$ thắng thì $C$ là nhà vô địch, $E$ là người đoạt giải nhì, còn $A, D$ và $F$ đang cạnh tranh vị trí thứ ba. 2 phần còn lại chúng ta sẽ tìm ra người đoạt giải ba trong số đó.

Nếu $A$ thắng ván thứ 24 thì (xem Hình 2) $A$ và $C$ sẽ giành được hai vị trí đầu tiên, $B$ và $E$ sẽ giành được vị trí thứ ba. Sau khi chơi hai ván (giữa $A$ và $C$ và giữa $B$ và $E$), chúng ta sẽ xác định người thắng thứ nhất, thứ hai và thứ 3. Vì vậy, $I(20) = 26 = P(20)$.

Các quy tắc vừa đưa ra khác hẳn với các quy tắc tiêu chuẩn ở Chương III. Theo quy định tiêu chuẩn, người chơi cờ thua ít nhất một ván sẽ không được tham gia các ván tiếp theo cho đến khi xác định được nhà vô địch. Chỉ bằng cách từ chối điều này, chúng tôi mới giành được giải nhất, nhì và ba trong số 20 kỳ thủ trong 26 (không phải 27) ván cờ.

2. Chứng minh rằng người đoạt giải nhất và nhì trong số $n$ người chơi cờ vua chắc chắn có thể xác định được trong $l[n] + n - 2$ ván đấu và có thể không xác định được trong ít ván đấu hơn.

3. Chúng ta muốn xác định trong số $n$ người chơi cờ $k$ người mạnh nhất (người chiến thắng thứ nhất, thứ 2, …, $k$). Chứng minh rằng a) điều này chắc chắn có thể thực hiện được trong trò chơi $(k-1)l[n] + n-k$;
   b) nếu

$$R < l[n(n-1)] \dots (n-k+2)] + n-k,$$

thì kết quả của trò chơi có thể trở nên đến mức điều này không thể thực hiện được trong trò chơi $R$.

Nghị định và e. Trong bài toán 6), chúng tôi khuyên bạn nên lập luận theo cách tương tự như trong Chương II, xem xét các “đội” $A_1, A_2, \dots, A_{k-1}$, bao gồm $k-1$ người tham gia. Tổng số đội như vậy là $n(n-1) \dots (n-k+2)$.

9

CAO CẤP-CẤU TRÚC VÀ CHIỀU KỲ

Tính chất của một chất phụ thuộc vào khoảng cách giữa các nguyên tử của nó. Khi khoảng cách cơ học giảm, mật độ của chất tăng lên, các tính chất điện, quang, cơ và cấu trúc tinh thể thay đổi. Bằng cách nghiên cứu tính chất của chất lỏng, chúng ta đã hiểu sâu hơn về bản chất và bản chất của các lực tác dụng giữa các nguyên tử.

Làm thế nào để kết hợp các nguyên tử trong vật chất?
Hãy lấy một khối chất và bắt đầu nén nó dưới áp lực. Do bị nén dọc theo một trục, chúng ta sẽ gây ra biến dạng trong khối này, khoảng cách giữa các nguyên tử của nó sẽ giảm đi. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không nhận được biến dạng đáng kể. Một khi đạt đến giới hạn, sự hủy diệt sẽ diễn ra chắc chắn.

Làm thế nào chúng ta có thể kết hợp các nguyên tử trong vật chất mạnh mẽ hơn nữa? Để làm điều này, bạn cần nén chất này từ mọi phía, nghĩa là tác dụng các lực bằng nhau đồng thời lên tất cả các cạnh của khối lập phương của chúng ta, khiến nó chịu áp suất cao toàn diện. Trong trường hợp này, chúng ta có thể thu được các nguyên tử trong một chất mà không bị phá hủy, thay đổi tính chất vật lý của nó và buộc các quá trình hóa học diễn ra khác đi.

Phạm vi áp suất trong tự nhiên là rất lớn. Ở dưới đáy đại dương không khí, chúng ta sống ở áp suất bằng một bầu khí quyển. Một cột nước ép lên màng nhĩ của thợ lặn và cần có bộ đồ lặn đặc biệt để lặn biển sâu. Theo tính toán của các nhà địa vật lý, áp suất ở tâm Trái đất vào khoảng 4 triệu atm.

Buổi sáng bạn mở vòi nước và nước chảy vào chậu rửa với dòng nước mạnh. Áp lực nước trong nguồn cấp nước là 1,5-2 atm. Bữa sáng được chuẩn bị trên bếp, khí được cung cấp ở áp suất 1,01 amp.

Trên đường mismo, xe điện và xe buýt lao qua bạn. Trong lốp của họ, công suất không khí lên tới 2,5-4 amps. Trong xi lanh động cơ của chiếc Volga chuyển động nhanh, áp suất đạt tới 30-50 amps. Tua bin của nhà máy điện được điều khiển bằng hơi nước ở áp suất 200-500 amps. Tại các nhà máy công nghiệp hóa chất, polyetylen được sản xuất bằng cách lọc khí ethylene đến áp suất 1000 ampe và amoniac được tổng hợp từ nitơ và hydro ở áp suất 1500 ampe. Khi biến đồ thị thành kim cương, áp suất đạt tới 100.000 ampe và nhiệt độ lên tới 2000 độ.

Chúng ta hãy định nghĩa áp suất là lực mà chất khí hoặc chất lỏng chứa trong bể tác dụng lên một đơn vị diện tích thành của bể này:

$$P = \frac{F}{S}.$$

Sử dụng công thức đơn giản này, bạn có thể đặt đơn vị đo áp suất. Đặt lực bằng 1 dyne và diện tích bằng 1 cm vuông, chúng ta có đơn vị áp suất trong hệ CGS - $1 \frac{\delta \ln}{cm^2}$, được gọi là barney. Tuy nhiên, đơn vị này quá nhỏ để đo áp suất cao và chiếc cốc sử dụng nhiều hơn một triệu lần: $1 \text{ бар} = 10^8 \frac{\delta \ln}{cm^2}$ và các dẫn xuất của nó: kilobar, bằng $10^3 \text{ бар}$ hoặc $10^9 \frac{\delta \ln}{cm^2}$; thanh trung gian bằng $10^6 \text{ бар}$. Trong hệ đơn vị quốc tế SI

10

một đơn vị khác được sử dụng - lực 1 newmon, tác dụng đồng đều trên diện tích 1 mét vuông, tạo ra áp suất 1 pascal (1 Pa); 1 Pa=10 $\frac{\partial \ln}{cm^2}$; 1 bar=10⁵ Pa.

Chúng ta hãy xác định áp suất của một bầu khí quyển vật lý tương ứng với những đơn vị này. Như tên cho thấy, đơn vị này có liên quan đến áp suất không khí trong khí quyển. Cho một bề mặt có diện tích S bị ép bởi một chất lỏng hoặc khí (trong trường hợp của chúng ta là không khí) có chiều cao h và mật độ ρ. thì thể tích của cột này là V=h·S, trọng lượng của nó là G=h·S·ρ·g (dưới tác dụng của gia tốc trọng trường g), và áp suất P = $\frac{G}{S} = h \cdot \rho \cdot g$. Giả sử độ cao của không khí trong khí quyển là 200 km (2,10⁷ cm) và mật độ độ cao trung bình của nó ρ=5,16·10⁻⁵ e/cm³, chúng ta thu được kết quả đó ở g=980 $\frac{cm}{c^2}$ P=1 amm=1,01·10⁶ $\frac{\partial \ln}{cm^2}$.

Đại dương thoáng đãng của hành tinh chúng ta không ngừng nghỉ. Các dòng không khí và lốc xoáy làm thay đổi độ cao và mật độ của khí quyển. Áp suất khí quyển dao động trong một phạm vi rộng và tất nhiên không thể coi là etapon. Chúng tôi đồng ý coi “không khí vật lý” là áp suất được tạo ra trên mặt phẳng nằm ngang bởi các cột (tương đương với không khí trong khí quyển) với mật độ 13,595 e/cm³, độ cao 760 mm ở 0°C và lực gia tốc là 980,665 cm/s². Khi đó 1 amm=76×13,595·980,665=1,0132·10⁶ $\frac{\partial \ln}{cm^2}$ hoặc 1 amm≈1 bar=10⁵ Pa.

Tạo áp suất cao

Thiết bị tạo áp suất “cao” - máy bơm thực phẩm quen thuộc đến mức nào? Nếu chúng ta kết nối nó với buồng bóng chuyền và thêm bộ thay đổi áp suất (ví dụ: đồng hồ đo áp suất tự động), thì chúng ta sẽ có mô hình lắp đặt áp suất cao (Hình 1), bao gồm ba thành phần chính: máy tạo áp suất (máy bơm), bình áp suất cao.

Cơm. 1.

Cơm. 2. Máy ép cơ khí.

Lenya (buồng) và đồng hồ đo áp suất đo áp suất được tạo ra.

Bằng cách dùng tay đẩy piston vào xi lanh bơm, chúng ta tạo ra một áp suất tương đối nhỏ: 2-3 atm. Đương nhiên, để tạo ra áp suất cao hơn, cần có lực lớn hơn khi di chuyển một piston có cùng diện tích (F=P·S, trong đó S là diện tích của piston). Trong máy ép cơ học, Vit được sử dụng để thu được áp suất cao (Hình 2). Bằng cách này, sẽ thu được một lượng điện năng đáng kể.

Thậm chí có thể tác dụng nhiều lực hơn lên piston, nghĩa là có thể thu được giá trị cao hơn (hàng chục nghìn atm) bằng cách sử dụng máy ép thủy lực. Một máy tạo áp suất như vậy - một hệ số nhân - được minh họa trong Hình 3. Chất lỏng được bơm dưới một pít-tông lớn có đường kính D bằng máy bơm ở áp suất tương đối thấp (Pₙ=100 500 áp suất khí quyển).

11

hình cầu). Piston này với một lực $F = P_H \cdot S_H = P_H \frac{\pi D^2}{4}$ đẩy một piston có đường kính nhỏ hơn $d$ vào xi lanh áp suất cao và làm giảm chất lỏng trong đó xuống áp suất $P_B$. Nếu bỏ qua lực ma sát thì lực do piston lớn tạo ra sẽ luôn bằng tốc độ mà piston nhỏ đẩy ra với áp suất cao: $F = P_B \frac{\pi d^2}{4}$.

Chúng ta hãy đánh đồng các biểu thức này $P_H \frac{\pi D^2}{4} = P_B \frac{\pi d^2}{4}$. Từ đây chúng ta thu được sự phụ thuộc của giá trị áp suất cao vào giá trị áp suất thấp: $P_B = \frac{D^2}{d^2} P_H = k P_H$. Ở đây $k$ là hệ số nhân cài đặt. Áp suất cần thiết thường đạt được trong một hành trình của piston, nghĩa là sau một lần lăn. Nếu cần tăng áp suất trong một bình lớn thì bộ nhân áp được điều khiển bằng van xả và van xả và pít-tông được di chuyển nhiều lần, như trong một máy bơm lớn. Máy nhân là những cỗ máy “tốc độ thấp”, năng suất của chúng (lượng chất lỏng cuộn mỗi phút) thấp.

Máy nén được sử dụng để tạo ra áp suất cao với khối lượng lớn. Máy nén có thể được coi như một máy bơm có piston được di chuyển bằng động cơ điện mạnh mẽ thông qua cơ cấu tay quay. Cái nhìn tổng quát về máy nén được thể hiện trong Hình 4. Ở Liên Xô, những máy nén độc đáo đã được tạo ra để tạo ra 10 lít chất lỏng mỗi giờ ở áp suất 10-16 nghìn atm. Đặc điểm nổi bật của chúng là số lượng hành trình piston lớn mỗi phút và độ dốc cao. Trong một hành trình của piston, áp suất trong xi lanh tăng từ 30 đến 16.000 atm.

Khi khí cuộn xuống, thể tích của chúng ban đầu giảm tỷ lệ thuận với áp suất. Ở áp suất cao, mật độ của chất khí trở nên gần bằng mật độ của chất lỏng ($\rho \approx 1 \text{ e/cm}^3$), khả năng lướt qua của chúng giảm và quan sát thấy những sai lệch lớn so với định luật Boyle-Marutte. Khí nén có một lượng năng lượng rất lớn. Khi bắn, áp suất tối đa của khí bột ở chế độ Thông thường đạt 5-6 nghìn atm. Tuy nhiên, một lít khí ở áp suất này có năng lượng rất lớn.

Làm việc với các loại khí giảm xuống áp suất 20-30 nghìn atm là cực kỳ khó khăn và nguy hiểm. Hãy tưởng tượng rằng bạn cần tiến hành nghiên cứu với chế độ Thông thường, đó là một cảnh quay

12

đổ ra nhưng vỏ không bay ra khỏi thùng (bạn cắm thùng kịp thời).

Chất lỏng nén có ít năng lượng hơn và ít khả năng hớt bọt hơn. Tuy nhiên, ở áp suất cao, sự phát triển của chất lỏng tăng lên rất nhiều, điều này làm phức tạp hoạt động của các nhóm máy nén và việc truyền áp suất qua các ống nối - mao mạch. Ở áp suất khoảng 30-40 nghìn atm, chất lỏng đông đặc lại. Do đó, để tạo ra áp suất từ ​​50 nghìn atm trở lên, chất rắn nhựa được sử dụng làm môi trường làm việc.

Cách lắp đặt đơn giản nhất để thu được áp suất cao trong chất rắn là pyzometer, được minh họa trong Hình 5. Piston hình trụ làm bằng hợp kim cứng được đẩy bằng máy ép thủy lực vào bình áp suất cao gọi là ma trận. Ma trận chứa chất dẻo mềm

Cơm. 5. Nhiệt kế kế.

Cơm. 6. Bộ máy cuối.

(indi, chì hoặc bạc vảy), bên trong đó đặt mẫu thử. Áp suất trong đồng hồ đo áp suất như vậy được xác định bởi độ lớn của lực tác dụng trên một đơn vị diện tích mặt cắt ngang của kênh súng áp suất. Áp suất tối đa có thể đạt được trong một thiết bị như vậy được xác định bởi độ bền kéo của piston trong quá trình lăn và thường không vượt quá 40-50 nghìn atm.

Để bảo vệ các piston khỏi bị phá hủy, cần phải “hỗ trợ” chúng: tạo ra một bề mặt chịu áp lực trên bề mặt bên của chúng. Điều này có thể dễ dàng đạt được trong bộ máy Konch (Hình 6). Khi đẩy các pít-tông ốc xà cừ vào ma trận bằng máy ép, không chỉ môi trường làm việc và mẫu trong ma trận bị loại bỏ mà còn cả miếng đệm giữa lối vào ốc xà cừ vào ma trận và pít-tông (nó được thể hiện bằng màu đen trong hình). Các lực sinh ra sẽ tạo ra áp suất hỗ trợ lên bề mặt bên của piston.

Những thiết bị như vậy cho phép bạn đạt được áp suất lên tới 70-100 nghìn atm. Điểm yếu trong thiết kế này là tải trọng từ cả áp suất cao bên trong và từ hình nón.

13

Cơm. 7. Bộ máy khối.

piston ical, cũng có xu hướng phát triển ma trận. Các nhà khoa học và nhà thiết kế đã tìm ra cách thoát khỏi khó khăn đã tạo ra. Nếu ma trận không thể chịu được, hãy vứt nó đi và thay thế bằng thứ gì đó có thể chịu được áp lực như vậy - các piston tương tự, cũng phải được di chuyển bằng máy ép thủy lực. Đây là cách tạo ra quá trình cài đặt sáu giai đoạn (Hình 7). Một khối lập phương làm bằng vật liệu nhựa, bên trong chứa mẫu đang nghiên cứu, được ép bằng pít-tông - chày, mỗi chày được ép vào một cạnh của khối.

Giữa các piston - chày, giống như trong thiết bị hoàn thiện, các miếng đệm được đặt, khi chúng lăn xuống, một áp suất hỗ trợ sẽ xuất hiện trên các bề mặt bên của chày. Trong quá trình lắp đặt như vậy, giới hạn áp suất có thể đạt được sẽ phát sinh do vật liệu chế tạo thiết bị bị phá hủy.

Có thể đạt được áp suất cao hơn bằng cách sử dụng nguyên lý xếp tầng hoặc lắp thiết bị vào thiết bị theo nguyên lý “matryoshka”. Vì vậy, nếu một buồng giam hoạt động ở áp suất 100.000 atm được đặt trong cùng một buồng giam, cũng ở áp suất 100.000 atm, nhưng kích thước lớn hơn, thì ở buồng bên trong, bạn rất có thể nhận được 200 nghìn atm. Nhờ thực tế là độ bền của vật liệu dưới áp suất tăng lên nên có thể đạt được lợi ích lớn hơn nữa.

Thậm chí có thể đạt được nhiều áp lực hơn trong các lớp mỏng của chất bằng cách ép nó vào giữa các đe (Hình 8). Mẫu đang nghiên cứu ở dạng đĩa mỏng được đặt trong một vòng đá vôi - catlinit. Đá vôi có hệ số ma sát cao và không cho chất được hớt lọt ra khỏi thiết bị. Trong những thiết bị như vậy, được làm từ chính những vật liệu đó, các nhà khoa học thu được áp suất 0,5 triệu atm. Thậm chí còn có áp suất lớn hơn - lên tới 10-15 triệu atm - bằng các phương pháp động: cho nổ vật chất bằng một vụ nổ. Nếu khu vực có chất thử được bao quanh tất cả các phía bởi một chất nổ, chẳng hạn như tol, và chất ổn định này bị phá hủy khỏi bề mặt, thì mặt trước của vụ nổ sẽ lan đến trung tâm và sóng nổ từ mọi phía sẽ tạo ra một khu vực có áp suất cực lớn trong một phần giây.

Cơm. 8. Nén giữa đe.

14

Đo áp suất

Cách đơn giản nhất để đo áp suất là cân bằng áp suất đo được với trọng lượng của cột chất lỏng. Chất lỏng càng nặng thì chiều cao của cột càng thấp để cân bằng áp suất tương tự. Tuy nhiên, ngay cả khi sử dụng chất lỏng nặng nhất, rutin (mật độ 13,6 $e/cm^3$), để đo áp suất hàng trăm atm sẽ dẫn đến chiều cao cột hàng trăm mét (hãy nhớ rằng 0,76 m $pm. cm.=1$ atm). lời giải ban đầu của vấn đề này được D. I. Mendeleev đề xuất vào năm 1872. Áp kế của nó bao gồm một số khuỷu chứa đầy rutin và nước (Hình 9). Số đo áp suất sẽ bằng tổng chiều cao của cột rutin ($H_1+H_2+H_3$) nhân với mật độ của rutin, trừ đi tổng chiều cao của cột nước ($h_1+h_2$) nhân với mật độ của nước. Nhưng mặc dù tăng đáng kể về kích thước, áp kế chính xác của thiết kế như vậy cho 200 atm là cấu trúc bên trong gồm 9 khuỷu tay cao 18 mét.

Một loại dụng cụ đo áp suất khác là áp kế pít-tông tự do, được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong Hình 10. Chất bị nén có xu hướng đẩy pít-tông ra ngoài, pít-tông chuyển động tự do trong một xi-lanh thép. Áp suất này được cân bằng
Cơm. 9. Áp kế Mendeleev.

Cơm. 10. Áp kế có piston tự do.

được thay thế bằng trọng lượng của tải $G$ và khi biết diện tích của piston $S$, có thể xác định được số đo áp suất $P=\frac{G}{S}$.

Sự tương ứng này có giá trị ở áp suất cao hơn một chút. Khi đo áp suất 10-25 nghìn atm, cần tính đến độ dốc của piston, sự tăng đường kính của lỗ xi ​​lanh, sự tăng độ dày của chất lỏng chảy vào khe hở và một số tác động khác. Công thức tính toán điều kiện, điều kiện và thiết kế.manometer.

Kỷ lục đo áp suất cao theo cách này được nắm giữ bởi các nhà vật lý Liên Xô do Viện sĩ L.F. Vereshchagin đứng đầu. Họ đã tạo ra một thiết kế ban đầu của một áp kế có pít-tông tự do cho phạm vi áp suất lên tới 100.000 atm.

Để đo áp suất cao trong lắp đặt nhà máy và phòng thí nghiệm, người ta sử dụng áp kế đơn giản hơn nhưng kém chính xác hơn, được hiệu chuẩn và kiểm tra bằng các dụng cụ tuyệt đối. Phổ biến nhất là đồng hồ đo áp suất có lò xo hình ống. Nếu bạn tạo áp suất trong một ống cong, có tiết diện như trong Hình 11, thì ống đó sẽ uốn cong một lượng tỷ lệ với áp suất. Đầu ống chuyển động,

15

Cơm. 11. Đồng hồ đo áp suất lò xo.

sẽ kéo giá đỡ và xoay trục mà mũi tên được gắn vào. Đồng hồ đo áp suất như vậy được sử dụng lên tới 10-16 nghìn atm.

Thuận tiện cho việc đo từ xa là đồng hồ đo áp suất điện, sử dụng đặc tính của dây mangiin *) để tăng tuyến tính điện trở của nó theo áp suất. Nếu điện trở của một cuộn dây mangiin ở áp suất khí quyển là $R_0$, và ở $P_x$ nó trở thành $R_x$, thì

$$P_x = k \frac{R_x - R_0}{R_0},$$

trong đó $k$ là hệ số ($k \approx 0,5 \times 10^6$ bar), được biết từ các hiệu chuẩn sơ bộ bằng máy đo áp suất abcylot. Đồng hồ đo áp suất mangiin được sử dụng để đo áp suất trong khoảng 1000-100.000 atm. Làm thế nào để thay đổi áp suất trên 100.000 atm? Ở áp suất như vậy, piston của đồng hồ đo áp suất biến dạng rất mạnh: thép và hợp kim cứng tốt nhất sẽ trở thành nhựa và không thể nói về kích thước chính xác. Trong những trường hợp như vậy, giá trị áp suất được xác định bởi sự thay đổi tính chất vật lý của chất lỏng.

*) Mangiin là hợp kim của 86% Cu, 11% Mn, 3% Ni.

Cơm. 12. Tinh thể và chuỗi NaCl.

16

VẤN ĐỀ BẤT BÌNH ĐẲNG

1. Chứng minh bất đẳng thức
   $$\sqrt{x_1^2 + (1-x_2)^2} + \sqrt{x_2^2 + (1-x_3)^2} + \sqrt{x_3^2 + (1-x_4)^2} + \dots + \sqrt{x_{2n}^2 + (1-x_1)^2} \geq \sqrt{2} \cdot n.$$

2. Xác định cái nào lớn hơn:
   $$\sqrt[3]{10} + \sqrt{8} \text{ или } 5?$$

3. Chứng minh rằng
   $$\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{2}} > \frac{1}{4}$$
   (về số lượng gốc $n$; về giá trị $n-1$ radikal).

(Tiếp theo trang 25)

18

Một trăm nghìn, nhưng bất kỳ số lượng nào - tất nhiên, không quá hoang dã -. Ngoài ra, tôi còn mang đến cho bạn sức khỏe và hạnh phúc trong suốt quãng đời còn lại. Nếu tôi trả lời câu hỏi của bạn, bạn biết hậu quả rồi đấy. Đó là tất cả những gì tôi có thể cung cấp cho bạn.

Anh ta cầm điếu thuốc cháy bằng hơi và bắt đầu hút.

Một sự im lặng kiên quyết ngự trị.

Simon nhìn về phía trước nhưng không thấy gì cả. Những giọt mồ hôi lớn xuất hiện trên trán anh. Anh biết rất rõ những điều kiện mà ma quỷ có thể phải đối mặt. Cơ mặt anh ta co giật… Không, anh ta sẵn sàng đặt linh hồn mình rằng không ai - không phải con người, cũng không phải thú vật, hay ác quỷ - sẽ trả lời câu hỏi của anh ta trong 24 giờ.

• Đưa vợ tôi vào điều khoản về sức khỏe và hạnh phúc - và nhận được một thỏa thuận! - anh ấy nói. - Hãy ký đi.

Ác quỷ gật đầu. Anh ta lấy chiếc ly ra, nhìn nó với vẻ ghê tởm và dùng ngón tay chạm vào nó. Tàn thuốc ngay lập tức biến thành một chiếc bánh bạc hà màu hồng, con quỷ bắt đầu mút một cách ầm ĩ và tỏ ra thích thú.

“Đối với câu hỏi của bạn,” anh ấy tiếp tục, “câu trả lời phải là đáp số, nếu không thỏa thuận của chúng tôi sẽ không hợp lệ.” Vào thời Trung Cổ, người ta thích đặt câu đố. Mọi người thường đến với tôi với những nghịch lý. Ví dụ: trong làng chỉ có một người thợ cắt tóc cạo râu cho tất cả những người không tự cạo râu. Ai đã cạo râu cho thợ cắt tóc? - họ hỏi. Tuy nhiên, như Russell đã lưu ý, từ “tất cả” khiến câu hỏi như vậy trở nên vô nghĩa và không có đáp số cho nó.

“Câu hỏi của tôi rất trong sáng và không có nghịch lý,” Simon đảm bảo với anh.

• Tuyệt vời. Tôi sẽ trả lời nó. Tại sao bạn lại cười toe toét?
  “Tôi… không có gì,” Simon trả lời, đồng ý với biểu cảm trên khuôn mặt anh.
  “Ngươi có thần kinh mạnh mẽ,” con quỷ nói với giọng u ám nhưng tán thành, lấy ra một tờ giấy da từ trên không. - Nếu tôi xuất hiện trước bạn dưới hình dạng một con quái vật kết hợp hàng tỷ con khỉ đột của bạn với sự duyên dáng của con quái vật được tạo ra từ sao Kim, bạn sẽ khó giữ được sự tự tin của mình, và tôi chắc chắn…

“Không cần đâu,” Simon vội vàng nói.

Anh ta đưa cho anh ta bản hợp đồng, đảm bảo mọi thứ đều đúng thứ tự và mở con dao bỏ túi.

• Chỉ một phút thôi! - con quỷ ngăn anh lại.
• Để tôi khử trùng cho. “Anh ta đưa lưỡi dao lên môi, thổi nhẹ và nóng lên đến màu đỏ bên ngoài. —

Đây rồi! Bây giờ hãy chạm đầu dao…ừm…vào mực, thế là xong… Làm ơn, dòng thứ hai màu xám, dòng cuối cùng là của tôi.

Simon đặt nó xuống, trầm ngâm nhìn vào đầu con dao nóng hổi.
“Ký tên,” con quỷ vội vàng, và Simon đứng thẳng vai, ký tên mình.

Sau khi ký tên hoa mỹ lộng lẫy, ác quỷ xoa tay, nhìn Simon với ánh mắt chiếm hữu công khai và vui vẻ nói:

• Vâng, gửi câu hỏi của bạn! Ngay khi tôi trả lời, chúng tôi sẽ rời đi. Hôm nay tôi có thêm một khách hàng cần đến thăm và tôi sắp hết thời gian rồi.

“Được rồi,” Simon nói và hít một hơi thật sâu. — Câu hỏi của tôi là: Định lý cuối cùng của Fermat đúng hay sai?

20

“Không,” Simon gay gắt ngắt lời anh. - Chúng ta đã ký cách đây nửa tiếng rồi. Trở về chính xác sau hai mươi ba tiếng rưỡi. “Tôi sẽ không hối thúc anh,” anh mỉa mai nói thêm khi con quỷ nhìn đồng hồ với vẻ cảnh giác. “Hãy uống một ly rượu và trước khi đi, hãy gặp vợ tôi.”
“Tôi không bao giờ uống rượu ở nơi làm việc và tôi không có thời gian để tìm hiểu vợ anh… ít nhất là không phải bây giờ.”
Anh ấy biến mất.
Cùng lúc đó vợ Simon bước vào.

• Lại đợi ở cửa nữa! Simon nhẹ nhàng khiển trách cô.
  “Tất nhiên,” cô nói với giọng nghẹn ngào. “Và anh muốn biết, em yêu, liệu câu hỏi này có thực sự khó không.” Bởi vì nếu không phải… Simon, tôi thực sự sợ hãi!
  “Hãy bình tĩnh, câu hỏi khó lắm,” Simon thờ ơ trả lời. - Không phải tất cả những điều này đều rõ ràng ngay lập tức. Bạn thấy đấy,” anh ấy tiếp tục với giọng của một giảng viên, “mọi người có thể dễ dàng tìm thấy hai số nguyên mà tổng các bình phương của chúng cũng bằng một bình phương. Ví dụ: $3^2+4^2=5^2$, tức là chỉ $9+16=25$. Thông thoáng?
• Đúng.
  Cô chỉnh lại cà vạt cho chồng.
• Nhưng tôi không thể tìm thấy hai khối mà khi thêm vào cũng sẽ cho một khối lập phương hoặc lũy thừa cao hơn dẫn đến kết quả tương tự - rõ ràng là chúng không tồn tại. Tuy nhiên,” ông kết luận một cách đắc thắng, “vẫn chưa chứng minh được rằng những con số như vậy không tồn tại!”
  Giờ bạn đã hiểu chưa?
• Chắc chắn. — Vợ của Simon luôn hiểu rõ những khái niệm toán học phức tạp nhất. Và nếu có vấp ngã, chồng cô cũng kiên nhẫn giải thích mọi chuyện cho cô nhiều lần. Điều này khiến bà Flagg có ít thời gian dành cho việc khác.
  “Tôi sẽ nấu ksfe,” cô nói và rời đi.
  Bốn giờ sau, khi họ đang ngồi nghe bản giao hưởng thứ ba của Brahms, con quỷ lại xuất hiện.
  — Tôi đã học được những kiến ​​thức cơ bản về đại số, lượng giác và phép đo mặt phẳng! - anh tuyên bố đắc thắng.
• Làm việc nhanh lên! - Simon lắc nó. - Tôi chắc chắn rằng hình học hình cầu, giải tích, xạ ảnh, mô tả và phi Euclide sẽ không gây khó khăn gì cho bạn.
  Con quỷ nhăn mặt.
• Có nhiều lắm không? - anh hỏi với giọng hụt hẫng.
• Ồ, đó không phải là tất cả. - Simon trông như thể anh ấy có tin tốt. “Em sẽ thích cái phi Euclide,” anh ta dỗ dành. - Để làm được điều này, bạn sẽ không cần phải hiểu các bản vẽ. Những bức vẽ sẽ không nói lên điều gì. Và đôi khi anh ấy mâu thuẫn với Euclid…
  Con quỷ rên rỉ, mờ dần như một cuốn phim cũ rồi biến mất. Vợ Simon cười khúc khích.
  “Em yêu,” cô hát, “tôi bắt đầu nghĩ rằng em sẽ thắng thế!”
• Suỵt! Phần cuối cùng! Tuyệt vời!

21

Sáu giờ sau, có thứ gì đó lóe lên, căn phòng tràn ngập khói và ma quỷ lại xuất hiện ở đó. Anh ta có túi dưới mắt. Simon Flagg đồng ý với khuôn mặt của anh ấy.

“Tôi đã vượt qua tất cả những hình học này,” ác quỷ nói với vẻ hài lòng u ám. - Bây giờ thì sẽ dễ dàng hơn. Tôi nghĩ tôi đã sẵn sàng tiếp quản câu đố nhỏ của bạn.

Simon lắc đầu.

• Anh đang vội quá. Rõ ràng, bạn đã không chú ý đến các phương pháp tinh thần chức năng như phân tích vô hạn, phương trình vi phân và phép tính sai phân hữu hạn. Sau đó còn nhiều…

• Tất cả những điều này có thực sự cần thiết không? - ác quỷ thở dài.

Anh ngồi dậy và bắt đầu dùng nắm tay xoa xoa mí mắt sưng tấy. Anh chàng tội nghiệp không thể ngừng ngáp.

“Tôi không thể nói chắc chắn,” Simon trả lời bằng giọng thờ ơ. - Nhưng mọi người khi giải “câu đố nhỏ” này đã thử tất cả các nhánh của toán học và vẫn chưa giải được bài toán. Tôi sẽ đề nghị…

Nhưng ma quỷ không có tâm trạng nghe lời khuyên của Simon. Lần này anh ta biến mất mà không hề đứng dậy khỏi ghế. Và anh ấy đã làm điều đó một cách vụng về.

“Tôi nghĩ anh ấy mệt rồi,” bà Flagg nói. - Tội nghiệp con quỷ nhỏ!
Tuy nhiên, thật khó để nhận ra sự đồng cảm trong giọng điệu của cô.

“Tôi cũng mệt,” Simon trả lời. “Chúng ta đi ngủ thôi.” Tôi tưởng anh ấy sẽ không xuất hiện cho đến ngày mai.

“Có lẽ,” người vợ đồng ý. “Nhưng để đề phòng, tôi sẽ mặc áo sơ mi có ren màu đen.”

Sáng hôm sau đã đến. Bây giờ nhạc của Bach có vẻ phù hợp với vợ chồng hơn. Đó là lý do tại sao họ đã lập kỷ lục với Landovskaya *).

Simon nói: “Mười phút nữa và nếu anh ấy không quay lại đưa ra quyết định, chúng tôi sẽ thắng. - Tôi đã khen ngợi anh ấy. Anh ấy có thể hoàn thành khóa học trong một ngày với danh hiệu xuất sắc và nhận bằng Tiến sĩ.

Có một tiếng rít. Một đám mây hình nấm đỏ rực nổi lên, tỏa mùi lưu huỳnh. Con quỷ đứng trên corika trước mặt cặp đôi và thở một cách ồn ào, phun ra những đám hơi nước. Vai anh chùng xuống. Đôi mắt đỏ ngầu. Bàn chân đầy móng vuốt, vẫn đang ôm chặt một chồng giấy viết nguệch ngoạc, đang run rẩy thấy rõ. Có lẽ anh ấy đang lo lắng.

Im lặng, anh ta ném một chồng giấy tờ xuống sàn và bắt đầu dậm chúng một cách giận dữ bằng móng guốc chẻ đôi của mình. Cuối cùng, sau khi cạn kiệt sức lực, ác quỷ bình tĩnh lại, khóe miệng nhếch lên một nụ cười cay đắng.

“Anh thắng, Simon,” con quỷ nói, nhìn nhà toán học với ánh mắt kính trọng. - Ngay cả tôi cũng không thể học toán hiện tại trong thời gian ngắn như vậy để vượt qua khó khăn bài toán như vậy. Tôi càng say mê nó

*) Wanda Landowska (1879-1959) là một nhà pinasticist đáng chú ý, được biết đến rộng rãi với tư cách là nghệ sĩ biểu diễn âm nhạc thời kỳ đầu trên piano và keyboard.

Khi anh càng đi sâu hơn, mọi thứ càng trở nên tồi tệ hơn. Hệ số hóa bất thường, những con số lý tưởng - ôi Baal!.. Bạn biết đấy,” anh ấy nói một cách tự tin, “ngay cả những nhà toán học giỏi nhất của các hành tinh khác, và họ đã rời xa bạn, cũng không đạt được lời giải.” Ơ, một người trên Sao Thổ - anh ta trông hơi giống một cây nấm trên cà kheo - đang giải các phương trình vi phân theo từng đạo hàm tùy ý. Nhưng anh cũng đã cứu. - Ác quỷ thở dài. - Hãy khỏe mạnh!

Con quỷ biến mất rất chậm. Có vẻ như anh ấy đã khá mệt mỏi.

Simon hôn vợ thật sâu. Nhưng bà nhăn mặt bất mãn nhìn mặt chồng đang lơ lửng đâu đó trên mây rồi hỏi:

• Em yêu, còn có chuyện gì nữa?

• Không, không có gì… Nhưng bạn biết đấy, tôi muốn làm quen với công việc của anh ấy, để tìm hiểu xem anh ấy đã tiến gần đến lời giải đến mức nào. Tôi đã vượt qua vấn đề đó không kém…

Anh ta còn chưa nói hết đã trợn tròn mắt kinh ngạc: ác quỷ lại một lần nữa xuất hiện trong phòng. Anh ấy trông rất xấu hổ.

“Tôi quên mất ở đây…” anh lẩm bẩm. - Tôi cần… à!

Anh cúi xuống những tờ giấy vương vãi và bắt đầu cẩn thận thu thập và vuốt phẳng chúng. “Thứ này thật hấp dẫn,” anh nói, tránh ánh mắt của anh.

Simon. - Primo không thể tự mình rời xa được! Giá như tôi có thể chứng minh được một bổ đề đơn giản! “Nhìn thấy sự thích thú cháy bỏng hiện lên trên khuôn mặt Simon, anh ấy hạ ánh mắt xuống, như thể sự vặn vẹo của anh ấy đã dừng lại. “Nghe này, giáo sư,” ác quỷ càu nhàu, “Tôi không nghi ngờ gì rằng bạn cũng đã làm việc này.” Bạn đã thử dobies liên tục chưa? Trang trại chắc chắn đã lợi dụng anh ta, và… Làm ơn, hãy để chúng tôi yên.

Những lời cuối cùng được gửi tới bà Flagg. Con quỷ ngồi xuống cạnh Simon, rúc đuôi vào người và chỉ vào những tờ giấy có đầy các ký hiệu toán học.

Bà Flagg thở dài. Con ác quỷ đang đắm chìm trong tâm trí bỗng nhiên có vẻ rất quen thuộc với cô: hắn gần như không khác gì giáo sư Atkins ngày xưa, đồng nghiệp của chồng cô ở trường đại học. Hai nhà toán học rên rỉ khi đi sâu vào nghiên cứu một số bài toán đau đớn và hấp dẫn, và họ…

Cô ngoan ngoãn rời khỏi phòng với bình cà phê trên tay. Chắc chắn phía trước sẽ có một cuộc thảo luận dài và tẻ nhạt. Bà Flagg chắc chắn về điều đó. Rốt cuộc, không phải tự nhiên mà cô lại là vợ của một nhà toán học nổi tiếng.

Truyện được tái bản từ tuyển tập truyện khoa học viễn tưởng “Đường hầm dưới thế giới”, M., “Mir”, 1965.

24

Đáp ứng sự tuân thủ với $a^2 + b^2 = c^2$.
Polyag $\frac{a}{c} = x$ và $\frac{b}{c} = y$, chúng ta thu được $x^2 + y^2 = 1$ ($x$ và $y$ là các số hữu tỷ).
Do đó $y^2 = (1 - x)(1 + x)$ hoặc $\frac{y}{1 + x} = \frac{1 - x}{y}$. Chúng ta biểu thị giá trị tổng quát (hữu lý) của hai sự tương ứng cuối cùng bằng $t = \frac{u}{v}$. Sau đó $y = t(1 + x)$ và $(1 - x) = ty$, từ đó $tx - y = -t$, $x + ty = 1$.

Từ những đẳng thức này lần lượt suy ra rằng
$$x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad y = \frac{2t}{1 + t^2},$$
hoặc thay $\frac{a}{c}$ cho $x$, $\frac{b}{c}$ cho $y$ và $\frac{u}{v}$ cho $t$, chúng ta nhận được
$$\frac{a}{c} = \frac{v^2 - u^2}{u^2 + v^2}, \quad \frac{b}{c} = \frac{2uv}{u^2 + v^2}.$$

Hoặc: $a = (v^2 - u^2)r$, $b = 2uvr$, $c = (u^2 + v^2)r$, trong đó $r$ là một hệ số tỷ lệ hợp lý nào đó. Nếu chúng ta giả định thêm rằng $a, b, c$ là nguyên tố cùng nhau thì dễ dàng chứng tỏ rằng chúng thỏa mãn các tương ứng $a = v^2 - u^2$, $b = 2uv$, $c = u^2 + v^2$, trong đó $u$ và $v$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và không đồng thời là số lẻ. (Các công thức này, được các nhà toán học Ấn Độ cổ đại biết đến, thường được gọi là “công thức quy nạp”.) Và khá dễ dàng để chỉ ra (bạn hãy tự làm theo) rằng các số $a, b$ và $c$ thỏa mãn sự tương ứng $a^2 + b^2 = c^2$.

Sẽ là tự nhiên hơn khi cố gắng khái quát hóa bài toán về việc tìm kiếm các dấu vết Pifard, xem xét phương trình $a^3 + b^3 = c^3$, $a^4 + b^4 = c^4$ và nói chung $a^n + b^n = c^n$ và đặt ra câu hỏi về khả năng lời giải của chúng dưới dạng số nguyên dương. Chính liên quan đến việc xem xét các dấu vết của Pythardian mà Fermat đã đưa ra nhận xét trong cuốn sách Duophant của Alexandria rằng

đối với $n > 2$ phương trình $a^n + b^n = c^n$ không thể giải được bằng số nguyên *);

nhưng bằng chứng khéo léo về sự thật này mà ông tìm thấy quá dài để có thể đặt ở lề cuốn sách này…

Hiện nay hầu hết các nhà toán học đều khá hoài nghi về phát biểu này của Fermat. Dù sao đi nữa, trong tác phẩm tiếp theo của ông về *) Chính giả định này đã đi vào lịch sử toán học dưới cái tên Định lý cuối cùng của Fermat.

Không có chỗ cho một “bằng chứng dí dỏm” đối với anh ta, mặc dù anh ta vẫn tiếp tục nghiên cứu bản thân vấn đề và thậm chí giải quyết nó cho trường hợp đặc biệt $n = 4$, sau khi phát triển một phương pháp đặc biệt cho việc này - cái gọi là phương pháp - cái gọi là phương pháp gốc.

Leonhard Euler (1707–1783) đã chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat cho trường hợp $n = 3, 4, 5, 7$.

Đóng góp lớn nhất cho các bài toán lời giải của Fermat gắn liền với tên tuổi của nhà toán học người Đức Ernst Kummer (1810–1893).

Có thể chứng minh (với sự trợ giúp của các yếu tố lý luận) rằng để chứng minh định lý Fermat, chỉ cần xét các phương trình có dạng $a^p + b^p = c^p$, trong đó $p$ là số nguyên tố và $a, b, c$ là số nguyên, nhưng không nhất thiết phải là số nguyên dương.

Kummer đã chứng minh rằng phương trình $a^p + b^p = c^p$ không thừa nhận lời giải trong các số nguyên khác 0 đối với tất cả các số mũ nguyên tố $p$ thỏa mãn một số điều kiện “chính quy”, đặc biệt đối với tất cả $3 < p < 100$. Người ta vẫn chưa biết liệu tập hợp tất cả các số thông thường có phải là vô hạn hay không, nhưng tập hợp các số bất quy tắc được coi là vô hạn, tức là những số mà chứng minh của Kummer không áp dụng được.

Tuy nhiên, ý nghĩa chính trong công trình của Kummer về Định lý cuối cùng của Fermat là Kummer đã “tình cờ” phát triển một nhánh hoàn toàn mới và quan trọng của lý thuyết số - cái gọi là hệ số hóa lý thuyết, cho thấy rằng sự đồng ý của Simon Flag đã buộc những kẻ quỷ quái đó phải thăm dò kỹ lưỡng công trình của Kummer.

Trong những năm gần đây, một cách tiếp cận hình học cho bài toán gắn liền với Định lý cuối cùng của Fermat đã phát triển. Các thông báo sau đây là điểm bắt đầu ở đây. Nếu phương trình $x^p + y^p = z^p$ có số nguyên lời giải, với $z \neq 0$, thì phương trình $\left(\frac{x}{z}\right)^p + \left(\frac{y}{z}\right)^p = 1$ có lời giải ở dạng số hữu tỷ và ngược lại. Phương trình $x^p + y^p = 1$ có thể được coi là phương trình của một số đường cong trên mặt phẳng $xOy$ (tương tự như cách phương trình $x + y = 1$ định nghĩa một đường thẳng, phương trình $x^2 + y^2 = 1$ định nghĩa một đường tròn, v.v.) và lời giải của nó trong các số hữu tỷ - như một điểm trên đường cong có tọa độ hữu tỉ (gọi tắt là điểm hữu tỉ). Cần lưu ý ngay rằng có các điểm hữu tỉ trên đường cong $x^p + y^p = 1$; một ví dụ đơn giản là điểm $(0, 1)$; điều này tương ứng với nghiệm hiển nhiên của phương trình Fermat. Nhưng ở đây các định lý sau đây của Fermat được định hướng: bội số của các điểm hữu tỉ của đường cong $x^p + y^p = 1$ có ​​hữu hạn không? Tất nhiên đây là một câu hỏi

ros có thể được thiết lập không chỉ cho “đường cong Fermat” mà còn cho bất kỳ đường cong nào khác. Vòng tròn chứa vô số điểm hợp lý và mô tả của chúng được đưa ra một cách chính xác bởi “Công thức của người theo đạo Hindu”. Một tập hợp vô hạn các điểm hữu tỷ trên một số cái gọi là đường cong elip, được xác định bởi các phương trình cấp ba, ví dụ, trên các đường cong $y^2 = x^3 + 1$, $x^3 + y^3 = 7$.

Đối với phương trình của giai đoạn trên giai đoạn thứ tư, thì trên các đường cong được xác định bởi chúng, cho đến nay, người ta chỉ có thể phát hiện ra các tập hợp hữu hạn các điểm hữu tỷ, điều này càng khiến L. J. Mordell đưa ra giả thuyết rằng đây là trường hợp của tất cả các đường cong trên giai đoạn thứ tư *). Chứng minh giả thuyết Mordell (vẫn kiên quyết chống lại lời giải) có nghĩa là số lời giải của phương trình Fermat $x^p + y^p = z^p$ là hữu hạn. Giống như các phương pháp của Kummer, người ta có thể nói về cách tiếp cận hình học đối với định lý Fermat rằng, bất kể các điều kiện trong lời giải của bài toán ban đầu, toàn bộ chiều hướng này nói chung hứa hẹn những kết quả mới thú vị trong lý thuyết số.

Cuối cùng, có một cách tiếp cận giả thuyết của Fermat về cơ bản khác với tất cả các giả thuyết trước đó: nó không tuân theo bất cứ điều gì mà lời giải dương hay âm của nó có thể được suy ra hoàn toàn từ các tiên đề số học của các số tự nhiên! Nói cách khác, phát biểu trong Định lý cuối cùng của Fermat có thể hóa ra là thuật toán, và những thành công trong việc chứng minh tính không thể quyết định được về mặt thuật toán của một số lý thuyết số bài toán**) khiến chúng ta ngày càng suy nghĩ nghiêm túc hơn về khả năng này (mặc dù vẫn chưa thấy được đường dẫn trực tiếp đến nhận dạng của nó)…

*) Tất nhiên, ở đây chúng ta không nói về “biểu thức” của các đường cong của tấm bia cao hơn, thu được bằng cách đơn giản nâng phương trình có dạng $y=x+1$, v.v., lên tấm bia obihace.

**) Ví dụ, xem bài viết của F. L. Varpakhovsky và A. P. Kolmogorov “Về lời giải Bài toán thứ mười của Hilbert” («Kvant» Số 7, 1970).

Bài toán Fermat ngày nay sẽ như thế nào?*) Mặc dù thực tế là giả thuyết Fermat đã được chứng minh cho rất nhiều trường hợp đặc biệt (ví dụ, với mọi $n < 619$), nó cũng có dạng đầy đủ từ lời giải, giống như ba trăm năm trước. Kinh nghiệm về sự phát triển của toán học kể từ đó đã cho thấy rõ ràng sự vô ích khi dựa vào một chứng minh “sơ cấp” của Định lý cuối cùng của Fermat - một niềm hy vọng, than ôi, đang hấp dẫn những người không chỉ yêu thích toán học mà còn muốn thành công trong toán học. Đúng là những người theo chủ nghĩa Fermatist không bị thành công làm hư hỏng; Theo quy định, họ không phải là những người tư nhân và chúng tôi, cùng với tất cả các máy chủ của mình, muốn cảnh báo những độc giả trẻ không nên làm nghề như vậy. Có lẽ sẽ là một ý kiến hay nếu đọc lại ở đây cuốn sách của Kurath và Robbins (trang 67): “… Vấn đề đã thu hút sự quan tâm lớn trong giới rộng hơn - các báo cáo được quyết định với số tiền 100.000 điểm, dành cho người đầu tiên cho lời giải, và giải thưởng lời giải được giao cho Học viện Göttingen. “lời giải” có lỗi được đưa ra hàng năm… Kể từ khi giá trị của nhãn hiệu giảm xuống, tính chất hoạt động xung quanh bài toán của Fermat đã phần nào giảm bớt; và thỉnh thoảng báo chí vẫn không ngừng thông báo cho chúng ta rằng “lời giải” đã được tìm thấy bởi một số “gen” mới được phát minh.

Yu. A. Gastev,
M. L. Smolyansky

Từ biên tập viên

Về phần mình, các biên tập viên của «Kvant» cho rằng cần phải thông báo với độc giả rằng những bức thư có bản thảo chứng minh định lý Fermat sẽ không được xem xét (và bị trả lại).

*) Để hiểu rõ hơn về bài toán Fermat, chúng ta có thể giới thiệu những cuốn sách sau: A. Ya. Khinchin, Định lý cuối cùng của Fermat, M., Gostekhidat, 1932; Z. I. Borevich và I. R. Shafarevch, Lý thuyết số, M., “Hayka”, 1964.

VẤN ĐỀ BẤT BÌNH ĐẲNG

(Tiếp theo, xem trang 16)

4. Chứng minh bất đẳng thức
   $$\sqrt{5x+15} + \sqrt{8-8x} \leq 7.$$

5. Xác định cái nào lớn hơn:
   $$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{18} \text{ или } 4?$$

6. Chứng minh rằng biểu thức:
   $$\sqrt{2-\sqrt{2}-\ldots-\sqrt{2}-\sqrt{2}}$$
   nhỏ hơn 1 đối với số căn chẵn và lớn hơn 1 đối với số căn lẻ.

S. T. Berkolayuk

26

Một bài báo của V. E. Belonuchkin và S. M. Kozel “Điện thoại quang” đã được đăng trên tạp chí của chúng tôi số tháng 4. Nó mô tả cấu trúc của điện thoại, nguyên lý hoạt động và nói về các đặc tính quang học chính của thiết bị này. Bài báo được xuất bản dưới đây nói về khả năng của điện thoại quang, những thiên thể nào có thể được quan sát bằng điện thoại hiện đại và những thiên thể nào không thể quan sát được khi có sự trợ giúp của chúng. Để hiểu rõ hơn về bài viết này, trước tiên người đọc nên làm quen với bài viết “Điện thoại quang”.

Sự bùng nổ của những khám phá thiên văn học trong những thập kỷ gần đây phần lớn là do điện thoại hiện đại và lớp phủ công nghệ. Đâu là giới hạn của những gì có thể làm được đối với điện thoại quang học hiện đại? Những thiên thể nào có thể được quan sát ở giới hạn trên điện thoại hiện đại lớn nhất và những thiên thể nào không thể tiếp cận được?

Trước khi trả lời các câu hỏi được đặt ra, chúng ta sẽ tìm hiểu những khả năng hạn chế của mắt thường khi quan sát các thiên thể và sau đó xem xét điện thoại quang hiện đại đã mở rộng những khả năng này đến mức nào.

Từ phổ rộng của sóng điện từ do các thiên thể phát ra, mắt người cảm nhận được một dải tần số tương đối hẹp - từ tia đỏ đến tia phlottic: $v_{кр} = 4,0 \cdot 10^{14} \text{ eU}, v_{\phi} = 7,7 \cdot 10^{14} \text{ eU}$, tương ứng với bước sóng $\lambda_{кр} = 7600 \text{ Å}, \lambda_{\phi} = 3900 \text{ Å}$ (dải bước sóng này được gọi là phần nhìn thấy được của phổ sóng điện từ).

Tất cả các loại bức xạ điện từ khác từ các thiên thể: sóng vô tuyến ở nhiều phạm vi khác nhau, tia hồng ngoại, tia cực tím, RENTEN và tia gamma mà mắt người không cảm nhận được.

Với ánh sáng chuyển động tích hợp, mắt người tiếp xúc với bức xạ có bước sóng $\lambda = 5550 \text{ Å}$ (vùng màu xanh lá cây của quang phổ). Trong điều kiện ánh sáng rất yếu, kể cả khi quan sát các thiên thể mờ nhạt, độ nhạy tối đa của mắt sẽ chuyển sang các bước sóng ngắn hơn ($\lambda = 5130 \text{ Å}$).

Xác định ranh giới bên trong các thiên thể có thể có bằng mắt thường, các nhà thiên văn học sử dụng thang đo cường độ.

Ngay từ thời cổ đại, Hipparchus đã chia tất cả các ngôi sao nhìn thấy được thành 6 cấp độ (tất nhiên, đây là những ngôi sao có thể nhìn thấy bằng mắt thường). Ông phân loại những ngôi sao mạnh nhất là sao có cường độ 1 và những ngôi sao yếu nhất là sao có cường độ 6.

27

Để làm rõ thang đo cường độ trong thế kỷ trước, người ta cho rằng các ngôi sao có cường độ thứ 6 so với các sao có cường độ thứ 1 (chênh lệch 5 độ) cung cấp độ chiếu sáng ít hơn 100 lần. Do đó, thang độ lớn được dựa trên số $\sqrt[5]{100} = 2,512$. Điều này có nghĩa là một ngôi sao có cường độ thứ 1 gửi cho chúng ta luồng sáng lớn hơn 2,512 lần so với một ngôi sao có cường độ thứ 2 và ánh sáng gấp $2,512^2 = 6,31$ lần so với một ngôi sao có cường độ thứ 3, v.v.

Do đó, tỷ lệ chiếu sáng $E_1$ và $E_2$ từ hai ngôi sao, một trong số đó có độ sáng $m_1$ và ngôi sao còn lại là $m_2$, được xác định theo công thức sau:

$$\frac{E_1}{E_2} = 2,512^{m_2-m_1}.$$

Mắt người, với khả năng thích ứng lâu dài trong những đêm đặc biệt tối và bầu khí quyển trong suốt tốt, có khả năng nhìn thấy các ngôi sao có cường độ thứ 8. Đây là ngưỡng nhiễu thị giác của mắt người trung bình tính theo đơn vị vật lý. Cuộc sống hàng ngày đã chứng minh rằng khi một ngôi sao có cường độ 1 ở đỉnh trên bề mặt ở $1 m^2$, vuông góc với các tia sáng, thì quang thông $0,85 \cdot 10^{-6}$ lumens ($\lambda m$) giảm xuống.

Không khó để tính toán rằng một mắt có đường kính đồng tử 6 mm nhận được quang thông từ một ngôi sao có cường độ 8

$$F = \frac{3,14 \cdot 0,003^2 \cdot 0,85 \cdot 10^{-6}}{2,512^7} \approx 3,8 \cdot 10^{-14} (\lambda m).$$

Bây giờ chúng ta hãy ước tính có bao nhiêu lượng tử đi vào đồng tử trong 1 giây tương ứng với dòng ngưỡng này. Chúng ta sẽ giả sử rằng luồng này bao gồm các tia có bước sóng $\lambda = 5130$ Å ($v = 5,85 \cdot 10^{14} e\mu$), liên quan đến bước sóng mà mắt cảm thấy tối đa khi quan sát những ngôi sao rất mờ. Cuộc sống hàng ngày đã chứng minh rằng quang thông 1 lm do bức xạ đó tạo ra tương ứng với quang thông 0,00058 VM.

Do đó, một luồng năng lượng đi vào đồng tử của mắt có đường kính 6 mm từ một ngôi sao có cường độ thứ 8.

$$W = 3,8 \cdot 10^{-14} \cdot 0,00058 \approx 2,2 \cdot 10^{-17} (\lambda m).$$

Một lượng tử bức xạ có tần số $v = 5,85 \cdot 10^{14} e\mu$ mang năng lượng

$$\varepsilon = hv = 6,62 \cdot 10^{-34} \cdot 5,85 \cdot 10^{14} = 3,87 \cdot 10^{-19} (\partial x).$$

Do đó, trong một giây từ một ngôi sao có cường độ 8,

$$N = \frac{2,2 \cdot 10^{-17}}{3,87 \cdot 10^{-19}} \approx 60 (\text{кваантов}).$$

Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng kết quả thu được chỉ nên được xem dưới dạng ước tính, vì ánh sáng từ các ngôi sao không đơn sắc - nó không bao gồm lượng tử như một phần, và đường kính của đồng tử cũng như độ nhạy của mắt con người không giống nhau.

Việc sử dụng ống nhòm và kính thiên văn giúp mở rộng đáng kể khả năng thị giác của con người. Với sự giúp đỡ của họ, nhiều ngôi sao mờ nhạt có thể nhìn thấy được. Hơn nữa, hóa ra một số ngôi sao “mờ” này thực ra là những hệ gồm hai, ba, hoặc thậm chí một số lượng lớn sao (những hệ như vậy thường được gọi là “nhiều sao”). Khi quan sát bằng kính thiên văn, đường kính của vật càng lớn thì quang thông bị thấu kính chặn lại càng lớn. Kích thước đường kính của vật thể quyết định công suất quang học hoặc khả năng xuyên thấu của kính thiên văn. Những thuật ngữ này có nghĩa là độ lớn của những ngôi sao cực kỳ mờ có thể được quan sát bằng kính thiên văn này.

Nếu không tính đến sự mất mát ánh sáng trong quang học và một số tinh tế khác thì công suất quang học của kính thiên văn khi quan sát sao có thể tính được ở thời điểm gần nhất chỉ cần xác định

28

Cơm. 1.

diện tích của vật lớn hơn diện tích màn hình của mắt người bao nhiêu lần và biểu thị kết quả bằng độ lớn. Do đó, một chiếc điện thoại trường học có đường kính vật thể là 60 mm so với mắt (đường kính màn hình 6 mm) sẽ chặn luồng ánh sáng nhiều hơn 100 lần, tương ứng với chênh lệch độ chiếu sáng do các ngôi sao mang lại, một sự chênh lệch tuyệt vời là 5 độ lớn. Do đó, nếu mắt thường nhìn thấy, chẳng hạn như các ngôi sao có cường độ thứ 6, thì các ngôi sao có cường độ lên tới 6 + 5 = 11 sẽ trở nên đáng chú ý trên điện thoại.

Hình 1 cho thấy thang đo độ lớn biểu thị độ lớn của một số thiên thể. Hình vẽ cho thấy khả năng giám sát mở rộng đến mức nào khi sử dụng điện thoại.

Tại đài quan sát thiên văn, nằm gần ga Zelenchukskaya thuộc Lãnh thổ Stavropol, việc lắp đặt điện thoại phản xạ lớn nhất thế giới với đường kính gương 6 m hiện đang được hoàn thành (Hình 2). Điện thoại này cho phép bạn quan sát trực quan các ngôi sao đến với chúng ta với ánh sáng ít hơn $\left(\frac{6000}{6}\right)^2 = 10^6$ lần (15 độ) so với các ngôi sao có độ sáng thứ 6 có thể nhìn thấy bằng mắt thường, tức là nhìn thấy các ngôi sao có độ sáng 6+15=21.

Tuy nhiên, cường độ 21 không phải là giới hạn cho khả năng xuyên thấu của một chiếc điện thoại dài sáu mét. Bằng cách sử dụng nhũ tương ảnh đặc biệt, điện thoại này có thể chụp ảnh các ngôi sao có cường độ lớn hơn 2-3 độ với thời gian phơi sáng trong vài giờ.

30

Cơm. 5. Mizar và Alcor khi quan sát chúng bằng mắt thường, qua ống nhòm và kính thiên văn. Mũi tên chỉ hướng của các sọc phía bắc của thế giới ($P_N$).

giá trị $R = \frac{1}{\psi}$, trong đó $\psi$ là khoảng cách góc tối thiểu giữa hai đối tượng được quan sát mà tại đó chúng vẫn khác biệt riêng biệt với sự trợ giúp của một đối tượng nhất định, nghĩa là được giải quyết. Mắt như một thiết bị quang học cũng được đặc trưng bởi độ phân giải của nó. Nhiều thí nghiệm đã chứng minh rằng khoảng cách góc tối thiểu giữa hai vật mà mắt vẫn có thể phân biệt được chúng là 1-2 phút cung. Khi quan sát những ngôi sao mờ, giá trị của góc giới hạn tăng lên nhiều lần. Vì vậy, có thời gian bình thường, bạn có thể nhận thấy rằng gần Mizar - ngôi sao ở giữa trong tay của chiếc xô Ursa Major - có một ngôi sao mờ nhạt Al-

lõi *) (Hình 5). Không thể xác định tính hai mặt của ngôi sao ở Lyra (Hình 6) bằng mắt thường. Khoảng cách góc giữa Mizar và Alcor là $11'48''$, và giữa các thành phần $\varepsilon_1$ và $\varepsilon_2$ của Lyra là $3'28''$. Việc sử dụng kính thiên văn mở rộng đáng kể khả năng phát hiện nhiều ngôi sao.

Kích thước góc của các mẫu nhiễu xạ nói chung là nhỏ; Để nhìn thấy chúng, cần phải sử dụng thị kính có độ phóng đại sao cho kích thước góc của các chi tiết của hình ảnh quan sát được sẽ lớn hơn góc phân giải của mắt người.

Do đó, một kính thiên văn có thấu kính lý tưởng có đường kính 6 cm cho phép người ta thu được mẫu nhiễu xạ có kích thước góc bằng bán kính của đĩa trung tâm $\alpha = 14:6 = 2,3''$. Để mắt có thể nhìn thấy bán kính này ở góc $3' = 180''$ thì cần sử dụng thị kính có độ phóng đại $180'':2,3'' \approx 80$ lần. Khi độ phóng đại của kính thiên văn ngày càng tăng, kích thước góc khả kiến ​​của ảnh nhiễu xạ của các ngôi sao tăng lên, nhưng đồng thời cường độ của các mẫu nhiễu xạ giảm xuống và ở những ngôi sao mờ, các vòng chỉ biến mất - không có đủ năng lượng ánh sáng để làm hỏng võng mạc trên một diện tích tăng lên.

Kinh nghiệm cho thấy rằng đối với các ngôi sao có cùng độ sáng, sự khác biệt xảy ra khi khoảng cách góc giữa tâm các thành phần của sao đôi bằng

$$\psi_0 = 0,85\alpha = \frac{12''}{D(cm)}.$$

Do đó, góc $\psi_0$ đặc trưng cho độ phân giải của kính thiên văn tốt.

Khi độ phân giải sao nhị phân thực tế của kính thiên văn không đạt $\frac{1}{\psi_0}$, điều này có thể xảy ra

*) Được dịch từ tiếng Ả Rập “Mizar” là “Horse”, “Alkor” - “Horseman” quen thuộc.

31

Cơm. 6. $\varepsilon_1$ và $\varepsilon_2$ Lyra khi quan sát bằng mắt thường, ống nhòm và kính thiên văn.

vì hai lý do: khiếm khuyết về quang học và bầu không khí bất ổn.

Hiện tại, các nhà thiết kế và kỹ sư thường tính toán và tạo ra kính thiên văn, hệ thống quang học giúp đạt được giới hạn độ phân giải theo công thức (2), nhưng kính viễn vọng lớn trong thực tế không thể cung cấp độ phân giải như vậy - sự hỗn loạn của khí quyển cản trở. Trạng thái của khí quyển được coi là tốt nếu có thể đạt được độ phân giải $1''$ bằng kính thiên văn lớn. Và chỉ trong những khoảng thời gian ngắn nhất định, khi trạng thái của khí quyển đặc biệt tốt, các cặp sao có khoảng cách góc giữa các thành phần lên tới $0,4''$ mới được phân giải.

Nếu chúng ta so sánh dữ liệu mới nhất với độ phân giải lý thuyết của kính thiên văn sáu mét ($\psi_0 = 0,02''$), có thể thấy rõ bầu khí quyển, ngay cả trong điều kiện tốt, làm hỏng hình ảnh đến mức nào: nếu không có nó, khi kiểm tra các thiên thể có kích thước góc đáng chú ý, có thể phân biệt được các chi tiết nhỏ hơn 20-50 lần. Nếu chúng ta tính đến kích thước góc thực sự của từng ngôi sao lớn hơn góc phân giải của kính thiên văn 6 mét (ví dụ, đường kính góc của Mira Ceti là 0,056’’, Betelgeuse - 0,047’’, Antares - 0,040’’), thì khi không có bầu khí quyển, người ta có thể hy vọng cuối cùng sẽ nhìn thấy các đĩa sao, trống rỗng, chúng sẽ chỉ lớn hơn hai đến ba lần so với các đĩa nhiễu xạ. Tuy nhiên, đây sẽ là những đĩa sao thực sự (mặc dù có hình ảnh nhiễu xạ xếp chồng lên nhau) chứ không chỉ là sản phẩm của bản chất sóng của ánh sáng sao truyền qua lỗ kính thiên văn.

Trong trường hợp không có bầu khí quyển, có thể tăng khả năng xuyên thấu của kính thiên văn và ngoài ra, có thể thực hiện các quan sát bằng tia cực tím và tia hồng ngoại với sự trợ giúp của chúng. Vì vậy, các nhà nghiên cứu vũ trụ mơ ước đưa kính thiên văn ra ngoài bầu khí quyển Trái đất.

Theo những ý tưởng hiện đại, sự thành công trong tương lai của thiên văn học phần lớn liên quan đến việc tạo ra các đài quan sát thiên văn học trên các vệ tinh nhân tạo của Trái đất và trên Mặt trăng không có bầu khí quyển.

Bài tập

1. Xác định độ phóng đại góc thực tế của kính thiên văn theo các cách sau: a) so sánh kích thước góc của vật thể quan sát được bằng mắt thường và bằng kính thiên văn; b) thiết lập tỷ lệ kích thước tiêu cự của thấu kính và thị kính; b) bằng cách xác định tỷ lệ giữa đường kính của quần áo và đường kính ra của đồng tử.

2. Bạn có thể quan sát số lượng lớn các ngôi sao được thể hiện trong Hình 4 và 5 bằng kính viễn vọng tùy ý sử dụng không?

Bạn có quan sát các mô hình nhiễu xạ của các ngôi sao không? Dựa trên những quan sát này, bạn có thể nói gì về chất lượng quang học của kính thiên văn và trạng thái của khí quyển?

32

Về cơ học của Aristotle

M. I. Kaganov, L. Ya. Lyubarsky

Quá trình nhận thức về tự nhiên không chỉ giới hạn ở việc bình tĩnh tích lũy các sự kiện và hình thành trên cơ sở những tuyên bố chính xác tuyệt đối - các quy luật tự nhiên. Theo lời của Albert Einstein, “có một cuộc đấu tranh gay gắt giữa cái cũ và cái mới.”*).

Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng các lý thuyết mới chỉ đơn giản là hủy bỏ (lật đổ) các lý thuyết cũ. Như một quy luật, lý thuyết mới chỉ ra “vị trí của nó” cũ. Những tuyên bố trước đây dường như tuyệt đối luôn có giá trị và, như phân tích từ quan điểm của lý thuyết mới cho thấy, chỉ có giá trị trong những giới hạn nhất định, bị giới hạn bởi những điều kiện nhất định.

Trong lĩnh vực mà nó có giá trị thì lý thuyết cũ vẫn còn hiệu quả. Nếu không thì tại sao nó lại được tạo ra?

Bằng cách so sánh cơ học của Aristotle với cơ học của Newton, chúng ta sẽ chỉ ra trong những điều kiện nào thì cơ học của Aristotle là lý thuyết đúng. Ví dụ này sẽ giúp bạn hiểu quá trình chuyển đổi từ lý thuyết mới sang lý thuyết cũ diễn ra như thế nào.

Galileo và Aristotle

Một trong những ví dụ nổi bật về sự phê phán khoa học táo bạo, đồng thời là một ví dụ kinh điển về “thí nghiệm tưởng tượng” là sự hiểu lầm của Galileo về một hòn đá rơi. Sự xa lánh này nhằm chống lại bài kiểm tra của Aristotle về tỷ lệ giữa lực và tốc độ và bao gồm những điều sau đây.

Nếu bạn lấy hai hòn đá, một hòn đá nhẹ hơn, hòn đá kia nặng hơn và ném chúng từ một đế, thì theo Aristotle, hòn đá nặng hơn sẽ rơi xuống

*) A. Einstein. Tuyển tập các công trình khoa học, tập. IV, tr. 543, Nuuka, 1967.

nhanh hơn vật nhẹ vì có lực tác dụng lên nó lớn hơn. Ờ, hình như chẳng có gì vô lý ở đây cả. Mỗi người trong chúng ta đều biết rằng một đồng xu kim loại rơi nhanh hơn một chiếc lông vũ.

Tuy nhiên, Galileo gợi ý: hãy nối những viên đá này lại với nhau. Điều gì sẽ xảy ra? Một lần nữa nó rõ ràng. Một hòn đá nặng hơn sẽ tăng tốc cho một hòn đá nhẹ hơn, và điều đó sẽ làm chậm hòn đá đi cùng nó. Vì vậy, hai hòn đá nối với nhau sẽ rơi nhanh hơn một chút so với một hòn đá nhẹ nhưng chậm hơn một hòn đá nặng. Tất cả những điều này đều tuân theo luận điểm của Aristotle và đồng thời… mâu thuẫn với tinh hoàn này. Trên thực tế, chúng ta có quyền coi hai viên đá nối với nhau là một viên đá có trọng lượng bằng tổng trọng lượng của hai viên đá nhẹ và nặng. Vì trọng lượng của một hòn đá đôi lớn hơn một hòn đá nặng nên nó (theo Aristotle) ​​​​sẽ rơi nhanh hơn một hòn đá nặng. Vì vậy, theo Aristotle, chúng tôi đi đến hai kết luận loại trừ lẫn nhau. Do đó tinh hoàn của Aristotle là không chính xác.

Có vẻ như một Aristotle còn sống sẽ có thể phản đối Galil. Nhưng Galileo chiến đấu không phải chống lại Aristotle còn sống mà chống lại giáo điều đã chết, cứng nhắc mà nhà thờ đã biến đổi lời dạy của Aristotle thành. Và Galil đã đánh bại được giáo điều này.

Những lý thuyết sai lầm

“Mọi phát biểu đều có thể đúng hoặc sai.” Điều này tất nhiên là đúng. Tuy nhiên, đây không phải là cách tốt nhất để phân loại một tuyên bố. Hãy giải thích bằng một ví dụ. Giả sử bạn quan tâm đến cân nặng của mình. Để cân hiển thị 57 kg 300 G. Điều này có nghĩa là cân nặng của bạn hoàn toàn bằng nhau

34

Trước tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp khi $f=0$, tức là lực duy nhất tác dụng lên các hạt là lực ma sát. Từ kinh nghiệm hàng ngày, người ta biết rằng tốc độ của hạt như vậy sẽ luôn giảm và cuối cùng hạt sẽ dừng lại. Phần đầu tiên của phát biểu này cũng được rút ra từ cơ học Newton. Trên thực tế, vì lực (trong trường hợp này là lực ma sát) hướng ngược với tốc độ, nên gia tốc cũng hướng cùng hướng, và điều này có nghĩa là tốc độ của hạt giảm.

Quá trình này diễn ra nhanh như thế nào và bạn phải đợi bao lâu cho đến khi hạt dừng lại? Việc phân tích chuyển động của một hạt dưới tác dụng của ma sát dẫn đến một kết quả nghịch lý (thoạt nhìn): hạt sẽ không dừng lại chút nào.

Đúng, trong khoảng thời gian bằng $\frac{M}{\alpha} \ln 2$, tốc độ của nó sẽ giảm đi một nửa so với giá trị trước đó.

“Dừng” nghĩa là gì?

Trên thực tế, không có mâu thuẫn nào giữa lý thuyết và thí nghiệm là cần thiết để độ chênh lệch giữa chúng nhỏ hơn sai số của thí nghiệm. Trong trường hợp này, điều kiện này không được đáp ứng, vì tốc độ được dự đoán theo lý thuyết sẽ giảm dần theo thời gian và bắt đầu từ một thời điểm nhất định sẽ dừng ít hơn sai số thực nghiệm. Nếu trạng thái đứng yên không được ghi lại bằng mắt (bằng mắt) mà sử dụng các dụng cụ khá chính xác, thì trong trường hợp vật thể vi mô, người ta có thể phát hiện chuyển động Brunian nổi tiếng. Thực sự, đây sẽ là một sự bác bỏ lý thuyết, nhưng việc bác bỏ như vậy không có gì đáng ngạc nhiên, vì ngay từ đầu chúng ta chỉ tính đến tác động trung bình của các hạt môi trường - ví dụ, các phân tử khí. Nếu đúng thì bức tranh dựa trên giả định này không phản ánh tác động của từng phân tử lên các hạt, mà tất cả cùng nhau (tính trung bình), như chúng ta biết, là nguyên nhân của ma sát.

Vì vậy, câu hỏi đặt ra là: “Sau bao lâu thì dừng lại?” - đặt không đúng chỗ. Nó nên được thay thế bằng câu hỏi: “Khi nào thì tốc độ của hạt trên thực tế sẽ không thể phân biệt được với số 0?”

Tất nhiên, khái niệm “tốc độ thực tế không thể phân biệt được với số 0” cần được giải mã thêm. Tùy thuộc vào mục đích mà cơ thể cần được dừng lại (ví dụ, một chiếc thuyền ở bến tàu để có thể ném một sợi dây lên cột), tốc độ gần như bằng 0 có thể là một phần trăm, một phần nghìn hoặc một phần triệu tốc độ ban đầu. Để xác định điều này, chúng tôi giả sử rằng tốc độ thực tế không thể phân biệt được với số 0 là một phần nghìn tốc độ ban đầu đầu tiên. Chúng ta đã nói rằng trong thời gian $\frac{M}{\alpha} \ln 2$ tốc độ của hạt giảm đi một nửa. Hãy gọi đại lượng là $\tau = \frac{M}{\alpha} \ln 2$ hằng số thời gian. (Đại lượng này được gọi là thời gian của hạt tự do, nếu chúng ta không nói về một vật vĩ mô mà là về một hạt nguyên tử… Chẳng có gì phải làm cả; cùng một đại lượng thường được gọi khác nhau trong các lĩnh vực vật lý khác nhau.) Trong khoảng thời gian 10t, tốc độ sẽ giảm hơn $2^{10}=1024$ lần. Như vậy, thời gian dừng bằng hằng số thời gian giảm tốc. Nếu ta coi hạt chỉ dừng lại khi tốc độ ban đầu của nó giảm đi một triệu lần thì thời gian dừng lại sẽ chỉ tăng gấp đôi, tức là nó sẽ bằng 20 tấn.

Chúng ta hãy quay trở lại vấn đề chính bài toán - nghiên cứu chuyển động của một vật trong môi trường chất lỏng dưới tác dụng của một lực không đổi $f$. Trong trường hợp này, như chúng tôi đã nói, tốc độ $v_0$ đóng một vai trò đặc biệt

36

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang câu hỏi rất quan trọng về sự tương ứng giữa lý thuyết cổ điển và lý thuyết khái quát hóa nó.

Mọi người (nhà vật lý, nhà toán học và thậm chí cả nhà sinh lý học) đều phải đối mặt với những vấn đề rất khó khăn khi nghiên cứu câu hỏi tượng hình này. Điều tự nhiên là người ta mong đợi rằng các lý thuyết được so sánh càng “đơn giản” và hấp dẫn thì càng dễ dàng phân biệt được các mối liên hệ đặc trưng của chúng. Vì vậy, thay thế tương tự, hãy xét cặp lý thuyết đơn giản nhất: Cơ học Aristoteles - Cơ học Newton.

Chúng ta hãy xem xét một số khái niệm vật lý chức năng trong khuôn khổ của hai lý thuyết này.

Trạng thái hệ thống

Khái niệm trạng thái hệ thống không đi theo con đường mô tả hệ thống. Vì vậy, ví dụ, nếu chúng ta nói rằng hệ thống bao gồm hai quả bóng có bán kính $r$ và khối lượng $M$, được nối với nhau bằng một cái kẹp, chiều dài tự nhiên của nó là $L$ và độ cứng là $k$, thì từ mô tả hệ thống như vậy, không thể đưa ra kết luận về vị trí và tốc độ của từng quả bóng, về khoảng cách giữa chúng, độ cứng của các quả bóng, nói chung, về tất cả những điều đó đại lượng thay đổi theo thời gian. Những đại lượng như vậy (chúng ta sẽ gọi chúng là các tham số thay đổi) về bản chất có thể phức tạp hơn nhiều. Vì vậy, nếu hệ thống là bầu khí quyển của Trái đất, thì các tham số thay đổi bao gồm nhiệt độ là hàm của độ cao và tọa độ địa lý, tốc độ gió là hàm của cùng các biến này và nhiều tham số khác.

Ta chọn một số tập $x_i$ ($i=1,2,...$) các tham số biến sao cho thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. Bất kỳ tập hợp giá trị nào của tham số $x_i$ đều có thể được nhận ra, tức là hệ thống có thể được đưa vào trạng thái trong đó mỗi tham số $x_i$ nhận một đơn giá trị.

2. Biết giá trị của tất cả các tham số $x_i$ tại thời điểm ban đầu $t=t_0$, người ta có thể tính giá trị của chúng tại bất kỳ thời điểm tiếp theo nào.

Hãy xem xét một ví dụ - một electron trong trường điện từ không đổi. Để mô tả hệ thống này trong cơ học của Newton và Einstein, ngoài việc mô tả trường điện từ, cần phải chỉ ra khối lượng và điện tích của electron; trong cơ học Aristotle, người ta phải xác định tính di động của nó.

Hãy thử thiết lập trạng thái của electron bằng cách chỉ định tọa độ, tốc độ và gia tốc tùy ý của nó. Rõ ràng ngay rằng trong khuôn khổ cơ học Newton, tổng số các đại lượng này không phù hợp để xác định một trạng thái. Trên thực tế, vị trí và tốc độ của electron quyết định lực tác dụng lên nó từ trường điện từ. Theo cơ học Newton, lực xác định gia tốc của electron. Do đó, gia tốc không thể tùy ý và phải được loại trừ khỏi tập hợp các tham số được cung cấp cho hệ electron. Trong cơ học Aristotle, tốc độ cũng nên được loại trừ khỏi tập hợp này, vì trong khuôn khổ của lý thuyết này, lực xác định duy nhất tốc độ. Có thể chứng minh về mặt toán học rằng, khi biết vị trí và tốc độ của electron tại thời điểm ban đầu, người ta có thể tính ra các giá trị tương tự tại bất kỳ thời điểm tiếp theo nào, dựa vào định luật thứ hai của Newton. Theo cách tương tự, định luật Aristotle cho phép bạn tìm tọa độ của một điểm bất cứ lúc nào nếu chúng được biết ở thời điểm ban đầu.

Vì vậy, trong cơ học Newton, trạng thái của hệ được xác định bằng cách chỉ ra tất cả các điểm của hệ và vận tốc của chúng.

Trong cơ học Aristotle, trạng thái của một hệ được biết nếu biết vị trí của tất cả các điểm của nó.

Mô tả hệ thống bao gồm hai phần: mô tả các điều kiện bên ngoài nơi đặt hệ thống và mô tả chính hệ thống. Phần thứ nhất được thực hiện bằng cách xác định các lực tác dụng lên hệ để tác dụng lên hệ có giá đỡ

37

của “thế giới bên ngoài”. Ở đây, sự khác biệt giữa cơ học của Aristotle và cơ học của Newton là ở chỗ lực ma sát được tính đến trong cơ học của Newton, còn trong cơ học của Newton thì chúng không được thay thế. Phần thứ hai của việc mô tả hệ thống bao gồm việc xác định các lực mà các bộ phận riêng lẻ của hệ thống tương tác với nhau và xác định khối lượng (trong cơ học Newton) hoặc độ chuyển động (trong cơ học Aristotle) ​​của từng bộ phận riêng lẻ của hệ thống.

Hãy tóm tắt những gì đã nói: mỗi khái niệm trong số hai khái niệm - mô tả hệ thống và trạng thái của hệ thống - có một ý nghĩa khác nhau trong cơ học của Aristotle và trong cơ học của Newton. Lưu ý rằng khi chuyển sang cơ học lượng tử, cả hai khái niệm này đều trải qua một sự thay đổi khác và rất nghiêm trọng.

định luật bảo toàn

Người ta biết rõ rằng các định luật bảo toàn được áp dụng trong cơ học Newton. Chúng được xây dựng đơn giản nhất cho một hệ thống khép kín. Đây là tên của một hệ thống các vật thể tương tác với nhau và không tương tác với bất kỳ vật thể nào khác. Thành thật mà nói, các hệ thống khép kín không tồn tại trong tự nhiên. Các trường hấp dẫn và điện từ, các dòng chảy của các hạt vũ trụ không cho phép bất kỳ hệ vật thể nào “tự khép lại”. Tuy nhiên, có những hệ thống gần như khép kín. Các lực tác dụng lên các vật thể từ vật thể lạ xâm nhập vào chúng là rất nhỏ và các hệ như vậy hoạt động gần như không thể phân biệt được với các hệ kín. Vì vậy, điều quan trọng là phải làm quen với các tính chất cơ bản của hệ thống khép kín.

Hóa ra là năng lượng có độ lớn bảy của hệ, ba thành phần động lượng của nó và ba thành phần động lượng góc của nó không thay đổi theo thời gian (“bảo toàn”) nếu hệ đóng.

Có thể dễ dàng tìm thấy định luật bảo toàn trong cơ học của Aristotle. Vì mục đích này, chúng ta hãy xem xét một số hệ thống vật thể “đóng”. Từ đóng ngụ ý rằng theo quan điểm của cơ học Newton, không một hệ vật thể nào trong cơ học của Aristotle là đóng - vật thể nào tương tác với môi trường là nguyên nhân gây ra lực ma sát.

Gọi $r_1(t), r_2(t), \ldots, r_n(t)$ là vectơ bán kính của các vật tạo thành một hệ “đóng”. Hãy xây dựng một vectơ

$$R = \frac{\sum_i \frac{1}{\alpha_i} r_i(t)}{\sum_i \frac{1}{\alpha_i}}$$

và phía trên nó là vectơ chính của hệ thống. Chúng tôi mời người đọc chứng minh độc lập các nhận định sau: 1) vectơ chính của hệ “đóng” được bảo toàn - không thay đổi theo thời gian; 2) nếu ngoại lực tác dụng lên vật thì đầu vectơ chính của hệ (vật không còn đóng) chuyển động như một vật có khả năng chuyển động

$$\alpha = \frac{1}{\sum_i \frac{1}{\alpha_i}}$$

dưới tác dụng của tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ. Tuyên bố này không khó chứng minh bằng cách sử dụng Định luật Aristotle và định nghĩa vectơ chính của hệ thống.

Xem djedeva thả

Làm thế nào để xác định hằng số thời gian thí nghiệm? Điều đầu tiên tôi nghĩ đến là thay đổi thời hạn của chế độ chuyển tiếp. Trong nhiều trường hợp, lời khuyên này rất hữu ích là chúng ta cần thay đổi hằng số thời gian của giọt djedeva và không thể để mất dấu cho đến khi nó rơi đều.

Việc thay đổi tốc độ rơi gần bề mặt Trái đất $v_0$ sẽ dễ dàng hơn nhiều.

$$v_0 = \frac{f}{\alpha} = \frac{Mg}{\alpha} = \frac{g}{\tau},$$

và từ đây ta tìm được hằng số thời gian $\tau = \frac{g}{v_0}$.

Tất nhiên, bạn nhận thấy: đối với sức mạnh, chúng tôi sử dụng biểu thức cho lực hấp dẫn; Ngoài ra, chúng tôi giả định rằng chuyển động đã được thiết lập ở gần Trái đất. Giả định này cần phải được kiểm tra. Một cách rất đơn giản để thay đổi tốc độ của giọt djede là quan sát dấu vết của những giọt này để lại trên cửa sổ của một chiếc xe điện đang chuyển động. Ví dụ, nếu tốc độ của xe điện là $V = 20 \text{ km/ч}$ và vết giọt nước trên kính tạo thành một góc $30^\circ$ so với phương thẳng đứng thì tốc độ của giọt nước là

$$v_0 = \frac{V}{\text{tg} 30^\circ} = 20 \text{ km/ч} \approx 9,4 \text{ m/c.}$$

Theo đó hằng số thời gian xấp xỉ bằng một giây. Để giọt nước đi qua trong chế độ chuyển tiếp, thời lượng của thời gian này có thể lấy bằng 5-10 giây, do đó không vượt quá 50-100 m (chúng tôi đã dạy rằng tốc độ rơi trong chế độ chuyển tiếp không lớn hơn tốc độ đã thiết lập). Thực tế là độ dài đường đi trong chế độ chuyển tiếp hóa ra quá nhỏ xác nhận giả định của chúng tôi: giọt nước di chuyển gần Trái đất với một tốc độ đã đặt. Nhưng kết luận này có thể đạt được mà không cần tính toán, bằng cách quan sát djed từ cửa sổ xe điện đang mở hoặc thậm chí đơn giản hơn là quan sát djed nghiêng.

ĐỒNG HỒ PHÓNG XẠ
TRÌNH DIỄN
SAI THỜI GIAN

Trong bài viết của V.I. Kuznetsov “Trí nhớ phóng xạ” (xem «Kvant» Số 2, 1972) đã thảo luận về một phương pháp xác định tuổi bằng nồng độ carbon phóng xạ $^{14}$C trong các đối tượng đang nghiên cứu. Những so sánh gần đây về độ tuổi của cây được xác định bằng nồng độ $^{14}$C và bằng cách đếm số vòng hàng năm trên môi trường đã cho thấy sự thống nhất về kết quả cho đến khi kết quả theo thời gian bằng 1000 năm trước Công nguyên. Nhưng dữ liệu độ tuổi, được xác định bởi $^{14}$C, hóa ra lại nhỏ hơn dữ liệu thực tế, như có thể thấy từ bảng.

Hẹn hò bằng $^{14}$C Hẹn hò bằng vòng trên cây media

BC
1000 năm 1000 năm
1200 1500
1500 2000
2000 2500
2200 3000
2800 3500
3000 4000
4000 5000

Những lý do cho sự khác biệt này là không rõ ràng. Rõ ràng, cường độ của tia vũ trụ lớn hơn vào thời cổ đại. Đây có thể là hậu quả của sự thay đổi từ trường Trái đất, cho phép nhiều từ trường đi xuyên qua không gian hơn. Hoặc có lẽ điều này là do những thay đổi trong hoạt động của mặt trời. Những điều kiện như vậy trong không gian gần Trái đất có thể dẫn đến sự gia tăng hàm lượng đồng vị $^{14}$C trong khí quyển và do đó, trong thực vật. Tuy nhiên, trong những thời điểm đó, các bộ phận phóng xạ hiển thị sai thời gian.

“HẠT TỪ NỘI THẤT MẶT TRỜI”

Ở số 6 «Kvant» năm 1972, ghi chú “Các hạt từ bên trong mặt trời” đã được xuất bản. Thật không may, các thí nghiệm mới đã không xác nhận kết quả. Do đó, câu hỏi có bao nhiêu neutrino mặt trời đến Trái đất một lần nữa vẫn còn bỏ ngỏ.

Nhân tiện, chúng tôi lưu ý rằng trong ghi chú đã đề cập, lớp “phản neutrino” và ký hiệu “v” phải được thay thế bằng từ “neutrino” và ký hiệu “v”.

39

B. I. Aleinikov,
M. S. Dubson

“Tôi không thể tìm được chủ đất,” Edison từng phàn nàn với Einstein. “Ngày nào cũng có người trẻ đến nhưng không có ai phù hợp cả”.

• Làm thế nào để bạn xác định tính tự nhiên của họ? - Edison hỏi và đưa cho anh ta một mảnh giấy có câu hỏi:

“Ai trả lời sẽ trở thành chủ đất của tôi.”

“Từ New York đến Chicago bao nhiêu dặm?” - Edison vừa ăn vừa trả lời: “Anh cần xem danh bạ đường sắt”.

“Chúng ta làm thép không gỉ từ đâu?”— “Bạn có thể tìm hiểu về điều này trong sách tham khảo về luyện kim…”

Sau khi lướt qua những câu hỏi còn lại, Edison kết luận: “Không đợi bị từ chối, tôi sẽ rút đơn ứng cử”.

Tuy nhiên, việc mất đi chủ đất cột không làm nguôi ngoai nhà phát minh người Mỹ đầy quyết tâm. Tên tuổi của ông gắn liền với cuộc thi cấp trường lớn đầu tiên ở Hoa Kỳ - một loại hình Olympic toàn Mỹ về khoa học tự nhiên. Năm 1929, Edison quyết định thưởng cho học sinh thông minh và hiểu biết nhất nước mình một tấm bằng lớn. Các ủy ban đặc biệt do các thống đốc bang đứng đầu đã chọn ra một thanh niên là người chiến thắng ở bang của họ. (Rõ ràng, khả năng của các cô gái Mỹ trong các ngành khoa học chính xác vào thời điểm đó không được đánh giá cao lắm.)

Bốn mươi chín người được trình bày trước bồi thẩm đoàn do Edison thành lập và phải trả lời 57 câu hỏi bằng văn bản. Điều này bao gồm sáu câu hỏi cho mỗi môn toán, vật lý và hóa học, cũng như 39 câu hỏi để xác định “sự phát triển chung” của các môn học.

Edison đã định nghĩa cuộc thi bài toán như sau:

• Mục tiêu hoàn hảo là chọn ra thứ tốt nhất trong số những thứ tốt nhất. Tôi nhận ra rằng chỉ có tương lai mới có thể chứng minh được liệu lựa chọn của chúng ta có đúng hay không, vì tính linh hoạt của bản chất con người quá lớn để có thể thay đổi ở quy mô như vậy. Cuộc sống và các mối quan hệ của con người quá đa dạng để có thể rút gọn thành một công thức…

Edison rõ ràng ưa thích nền giáo dục theo công thức, kiến ​​thức thực nghiệm và lẽ thường, những thứ rất cần thiết cho công việc sáng tạo. Điều này được thể hiện qua việc chuẩn bị câu hỏi cho cuộc thi. Hãy thử trả lời những câu hỏi như sau:

Sự khác biệt giữa tiếng ồn và âm thanh âm nhạc là gì?

Nếu trật tự nhà thờ không bị suy yếu bởi thiết bị điều tiết phụ, chúng tôi sẽ không xác nhận trật tự đó khi trời lạnh trong nhà thờ. Tại sao?

Đây là một trong những câu hỏi về chimini:

Bạn liên tưởng đến sự thật nào trong đầu mình với tên của các nhà khoa học sau (trả lời bằng một hoặc hai từ): Mendleev, Dzvi, Faraday, Curie, Pristil, Gay-Lussac, Dalmon, Solvay, Ramsay, Lavouzier?

Hầu hết bài toán trong vật lý và hóa học là những câu hỏi chung có tính chất giáo dục. Ví dụ:

Xác định công, năng lượng, lực; Minh họa mỗi định nghĩa bằng một ví dụ. sự khác biệt giữa

trọng lượng và khối lượng? Sự khác biệt giữa lực và năng lượng là gì? Chúng ta nặng hơn ở đâu: trên Mặt trăng hay Trái đất? Tại sao? Ở đâu phấn không có trọng lượng chút nào?

Trừ khi một học sinh C thâm căn cố đế ở thời đại chúng ta có thể gặp khó khăn bởi những “nhiệm vụ” toán học của Edison đầy cạnh tranh:

Đơn giản hóa một biểu thức

$$\frac{1}{\sqrt{x+1}-1} \cdot \left[ \frac{(\sqrt{x+1}+1) \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{x+1}+1} + \frac{(x+1)^{-1/2}}{(\sqrt{x+1}+1)^2} \right] + \frac{(1-\sqrt{x+1}) \cdot \frac{1}{2} \cdot (x+1)^{-1/2}}{(\sqrt{x+1}+1)^2}.$$

Giải quyết hệ thống

$$\begin{cases} x^2 y^2 = 8, \\ xy = 4. \end{cases}$$

Giả sử rằng mỗi cột chuột xác định số lượng của nó ba tháng một lần, chúng ta sẽ tìm thấy số lượng thuộc địa, truy tìm từ một cặp chuột sau ba năm phân hủy.

Gia tốc của lực hấp dẫn bên ngoài quả địa cầu tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ tâm Trái đất. Ở gần bề mặt trái đất, gia tốc trọng trường là 32 feet. Nó lớn đến mức nào khi ở độ cao 50 dặm trên bề mặt trái đất? Bán kính Trái Đất là 4000 dặm.

Tìm số hạng khai triển

$$(\sqrt{x}-2x)^{18},$$

chứa $x^{11}$.

Một tam giác đều có cạnh bằng 6 đơn vị được chia thành ba phần bằng nhau bằng các đường thẳng song song với đáy. Những đường thẳng này cắt chiều cao của tam giác theo những cách nào?

Khá nguyên bản (và không quá khắc nghiệt) là những ý tưởng của nhà phát minh đáng chú ý về “sự phát triển chung”:

Bạn sẽ làm gì nếu nhận được tài sản thừa kế trị giá một triệu đô la vào năm tới?

Bạn muốn hy sinh điều gì để đạt được thành công: hạnh phúc, sự thoải mái, sự yếu đuối, niềm tự hào, danh dự, sức khỏe, ngày tháng hay bất cứ điều gì?

Hãy mô tả cách bạn tưởng tượng về một ngày nhỏ của mình ở tuổi 50.

Koedda, theo bạn, nói dối có được phép không?

Kể tên bốn phẩm chất mà bạn cho là cần thiết nhất để đạt được thành công trong bất kỳ lĩnh vực nào.

Kể tên ba người mà bạn cho là đáng tôn trọng và ngưỡng mộ nhất. Những phẩm chất nào của họ làm bạn ngạc nhiên nhất?

Nếu vào cuối cuộc đời bạn nhìn lại con đường mình đã đi thì bạn sẽ dựa vào sự thật nào để đánh giá xem cuộc đời mình có thành công hay không?

Hoặc thậm chí:

Một con voi ma mút là gì?
Ai đã viết “Đảo châu báu?”
Murnikette là gì?
Nước sôi ở bao nhiêu độ C?
mét là gì?
James Watt đã làm gì?…

Người chiến thắng trong cuộc thi Edison là Wilburg Haston, 16 tuổi đến từ Detroit; Ban giám khảo coi 92% đáp số của anh ấy là tốt nhất. Ông đã được trao học bổng Edison tại Viện Công nghệ Massachusetts, trường vật lý và kỹ thuật hàng đầu của Mỹ. Khi những người tham gia chiếm vị trí tiếp theo, họ bắt đầu nhận được học bổng Edison tại các trường cao đẳng khác. Tuy nhiên, không ai trong số họ đáp ứng được những hy vọng đã đặt vào họ trong lịch sử khoa học Hoa Kỳ và về mặt kỹ thuật, tên của họ đã xuất hiện. Như bạn có thể thấy, tiêu chí của Edison hóa ra lại ít có tác dụng không chỉ đối với Albert Einstein. Thật tốt khi chính Edison vào thời đó đã phải đi một con đường hoàn toàn khác…

41

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Kính vạn hoa

A. N. Vilenkin

Chắc hẳn thời thơ ấu, mỗi người trong số các bạn đã tháo rời ít nhất một chiếc kính vạn hoa và các bạn biết nó hoạt động như thế nào. Tuy nhiên, hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng khi bạn tháo nó ra, những mảnh thủy tinh màu sẽ rơi ra khỏi nó và bên trong có ba dải gương (hoặc kính), nằm ở một góc 60° với nhau, sao cho tạo thành một hình tam giác đều.

Tại sao kính vạn hoa được thiết kế theo cách này và nó có thể được chế tạo theo cách nào khác, chúng tôi sẽ cho bạn biết trong bài viết này. Các nhiệm vụ có trong văn bản (kết quả của chúng được sử dụng trong tính toán) sẽ cho phép bạn không chỉ đọc bài viết một cách thụ động mà còn có thể độc lập “nhúng tay” vào việc xây dựng lý thuyết. Tuy nhiên, tất cả các vấn đề trong bài đều bắt đầu bằng từ “Chứng minh rằng…” nên trong lần đọc đầu tiên có thể thay bằng từ “Nó đã được chứng minh rằng…”, sau đó quay lại và tiếp tục chứng minh. Ở cuối con số có gợi ý cho tất cả các vấn đề.

thiết bị kính vạn hoa

Để làm kính vạn hoa, bạn sẽ cần một ít kính (tốt hơn là nên lấy

Cơm. 1. Mở kính vạn hoa.

Cơm. 2. Kính vạn hoa tự chế.

dải kính, không phải gương, sau này chúng tôi sẽ giải thích lý do tại sao), một tờ giấy dày, một ít keo dán và hai tấm bìa cứng nhỏ. Kính vạn hoa được bán trong các cửa hàng được chế tạo theo cách mà không thể thay đổi góc giữa các gương. Chúng tôi sẽ làm một chiếc kính vạn hoa tự chế, cái này được điều chỉnh cho các thí nghiệm.

Dán các dải kính vào một tờ giấy, chừa những khoảng trống nhỏ giữa các dải (để bạn có thể uốn tờ giấy thành hình). Nó rất tốt nếu tấm vải mờ đục - sẽ không có ánh sáng dư thừa chiếu vào.

Bạn đã có được sự phát triển của chữ ký (Hình 1). Cuộn tấm bìa cứng ra khỏi nó và để ngăn nó bị bung ra, hãy cắt các lỗ trên tấm bìa cứng theo hình dạng của mặt cắt vuông góc của tấm bìa cứng và đặt tấm bìa cứng lên trên tấm bìa cứng (Hình 2); Bằng cách thay đổi bìa cứng, chúng ta sẽ thay đổi hình thức nhận biết. Kính vạn hoa đã sẵn sàng! Bây giờ đặt nó vào một cái

42

Một số hình ở cuối kính vạn hoa (thường trong kính vạn hoa, những mảnh kính màu được rắc vào nơi này) và nhìn vào đầu kia. Bạn sẽ nhìn thấy một bức tranh, bấm vào hình vẽ ở trang đầu tiên của trang bìa. Làm thế nào một hình ảnh như vậy xuất hiện?

Đường đi của tia trong kính vạn hoa

Ngay trước mặt bạn, bạn sẽ thấy bức tượng nhỏ được đặt gần chiếc kính vạn hoa khác. Gần đó bạn sẽ gặp lại cô ấy, chỉ được phản chiếu. Điều này cũng dễ hiểu thôi, vì bên cạnh anh ta có một tấm gương - nên gương phản chiếu xuất hiện. Vai trò của một tấm gương được thực hiện bởi một dải kính.

Nhân tiện, Hình 3 giải thích dải gương là gì. Nó có hai bề mặt phản chiếu: mặt trước được đánh bóng và mặt sau được phủ bằng hỗn hống. Để xác minh điều này, hãy đặt một cây bút chì đã gọt nhọn vào gương. Bạn sẽ thấy hai hoặc thậm chí ba phản xạ. Thực tế là người ta nghe thấy chùm tia rơi vào kính. Một phần của nó được phản xạ từ bề mặt phía trước và tạo ra tia phản xạ đầu tiên, phần thứ hai đi vào kính. Phần này được phản chiếu ở mặt sau (gần như hoàn toàn ở vỏ gương và một chút ở vỏ kính) và đi ra mặt trước. Qua đó, một phần của tia sáng đi ra và cho tia phản xạ thứ hai, phần còn lại của từ được phản xạ (bên trong gương) và bắt đầu một hành trình mới, kết thúc bằng sự xuất hiện của tia phản xạ thứ ba. Những tia này yếu đi khi số lượng của chúng tăng lên, do đó tia phản xạ thứ ba không còn được chú ý nữa.

Nếu bạn đặt một tấm gương vào kính vạn hoa, chùm tia phản xạ thứ hai sẽ xuất hiện, điều này cũng sẽ gây ra sự biến dạng đến mức không thể tạo ra được gì, đặc biệt là với nhiều phản xạ trong gương. Rốt cuộc, tia thứ nhất và tia thứ hai trộn lẫn với nhau và tạo ra sự thay đổi trong ảnh. Khi phản ánh

Cơm. 3. Khi phản chiếu trong gương thường, có thể nhìn thấy ba cây bút chì.

tia thứ hai không xuất hiện trong kính - nó bị bề mặt phía sau hấp thụ. Một chiếc gương lớn với bề mặt phản chiếu phía trước sẽ phù hợp với chúng ta - cũng có những chiếc gương trong kính thiên văn phản xạ.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng sự phản xạ của tia sáng từ gương sẽ xảy ra theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”, tức là tia phản xạ, tia tới và đường vuông góc với mặt phẳng gương tại điểm tới nằm trong cùng một mặt phẳng (Hình 4) và $\alpha = \beta$.

Chúng ta hãy thử tìm cách tạo ra những hình ảnh cần thu được trong kính vạn hoa. Giả sử rằng có một hình ảnh phẳng phía trước kính vạn hoa (chúng tôi sẽ loại trừ hình ảnh ba chiều để đơn giản),

Cơm. 4. “Góc tới bằng góc phản xạ.”

43

hơn nữa, mặt phẳng của hình này là mặt cắt vuông góc của biển báo; Hãy gọi nó là một mặt phẳng hình ảnh.

Lăng kính khắc một đa giác lồi trong mặt phẳng ảnh; nó sẽ đóng một vai trò quan trọng trong tất cả các cuộc thảo luận tiếp theo - hãy gọi nó là đa giác cơ bản. Vì vậy, có một mặt phẳng hình ảnh $K$ và trong đó có một đa giác cơ bản $M$; Làm thế nào để mô tả hình học sự phản xạ trong các mặt?

Hãy bắt đầu với một phản ánh duy nhất. Nếu chúng ta nhìn vào kính vạn hoa từ điểm $T$ (Hình 5a) và tia phát ra từ điểm $A$ bị phản xạ từ gương l tại điểm $O$ và sau đó đập vào mắt chúng ta, thì đối với chúng ta, có vẻ như điểm $A$ nằm phía sau gương trên đoạn thẳng $TO$ và nếu chúng ta biểu thị hình ảnh này bằng $A_1$ điểm $A$, rồi $OA_1=OA$, vì mắt chúng ta phải ước tính khoảng cách đến vật thể. Một lý luận hình học đơn giản cho thấy điểm $A_1$ nằm trong cùng một hình ảnh của mặt phẳng $K$ và thu được dưới dạng phản xạ hình học của điểm $A$ trong cạnh $R$; Hãy tự mình thực hiện lý luận này.

Nhiệm vụ 1. Lấy điểm $A_1$, điểm này thu được dưới dạng phản xạ hình học của điểm $A$ trong cạnh $R$ (xem Hình 5a), $AP \perp R$, $AP=PA_1$. Chứng minh rằng điểm $A_1$ thỏa mãn khái niệm vật lý “sự phản chiếu của điểm $A$ trong gương l”. Điều này có nghĩa như sau. Đối với bất kỳ điểm quan sát nào $T$ chúng ta vẽ một đường thẳng $TA_1$. Để nó cắt mặt phẳng l tại điểm $O$. Hãy nối các điểm $O$ và $A$. Cần chứng minh rằng: $TOS=POA$ (khoảng cách bằng 0 độ phản xạ); $OA=OA_1$ (thùy $A_1$ có cùng khoảng cách với $T$ như $A$ “có tính đến gương”).

Tuyên bố bài toán 1 có giá trị đối với bất kỳ điểm nào của đa giác cơ bản, do đó, với một phản xạ duy nhất trong gương, ảnh $M'$ của toàn bộ đa giác cơ bản $M$ nằm trong mặt phẳng ảnh $K$ và thu được một phản xạ

44

Cơm. 6. Hình học phản xạ kép trong gương (chiếu lên ảnh phẳng).

đa giác cơ bản), sau đó được phản chiếu trong gương $R_2$ và chỉ sau đó nó chạm vào điểm $T$ - trong mắt chúng ta. Đối với chúng ta, dường như tia sáng đến từ điểm $A_2$ - ảnh của điểm $A$. Điểm $A_2$ hóa ra như thế này. Vì tia đầu tiên được phản xạ ở cạnh $R_1$ nên chúng ta phản xạ điểm $A$ ở cạnh $R_1$, nên chúng ta nhận được điểm $A_1$ (Hình 6). Sau đó, tia sáng, bây giờ đến như thể từ điểm $A_1$, được phản xạ ở cạnh $R_2$ - chúng ta cũng hãy phản chiếu điểm $A_1$ ở cạnh $R_2$, chúng ta có điểm $A_2$ - hình ảnh của điểm $A$ với sự phản chiếu ở các cạnh $R_1$ và $R_2$.

Nhưng bạn có thể nghĩ khác. Phía sau cạnh $R_2$ chúng ta thấy hình ảnh của một đa giác cơ bản - đa giác $M'$, trong đó có một điểm $A'$ - hình ảnh của điểm $A$ ở cạnh $R_2$. $M'$ có cạnh $R_1'$ - ảnh của gương (cạnh) $R_1$ trong gương $R_2$. Và bây giờ hóa ra hình ảnh $R_1'$ này của gương $R_1$ có thể được coi là một tấm gương thật và bằng cách phản chiếu điểm $A'$ trong $R_1'$, người ta có thể thu được hình ảnh tương tự $A_2$. Để thấy điều này, hãy lưu ý rằng Hình 6 đối xứng khoảng $R_2$.

Vì vậy, đa giác $M'$ hóa ra bằng đa giác cơ bản $M$ và cạnh $R_1'$ là một tấm gương chính thức. Bằng cách phản chiếu $M'$ ở cạnh $R_1'$, chúng ta thu được một đa giác $M''$ tương ứng với sự phản chiếu trong gương $R_1$ và $R_2$. Không khó hiểu khi chúng ta có thể tạo ra sự phản chiếu ở các cạnh của đa giác $M''$ và do đó thu được hình ảnh tiếp theo của đa giác cơ bản $M$.

Bây giờ chúng ta có thể lo lắng không chỉ về không gian, mà còn về gương và mô tả hình ảnh trong một bức tranh của một mặt phẳng hình học thuần túy.

Hình học bằng hình ảnh phẳng

Có một đa giác (cơ bản) $M$ với các cạnh $R_1$, $R_2$, … Một hình ảnh được đặt bên trong đa giác (chúng ta coi đa giác là một hình phẳng). Trong các cạnh $R_k$, các phản chiếu của đa giác $M$ được tạo ra (Hình 7), dẫn đến các đa giác có các cạnh $R_1'$, $R_2'$, … Các phản xạ cũng được thực hiện ở các cạnh này và thu được các đa giác mới. Bằng cách di chuyển theo cách này, chúng ta sẽ lát toàn bộ mặt phẳng hình ảnh.

Chúng ta hãy lưu ý một trường hợp. “Đi dọc theo máy bay, chúng ta có thể đến một nơi mà chúng ta đã được thăng cấp một lần. Nó đã có hình ảnh của điểm $A$của đa giác cơ bản, và bây giờ

45

Chúng tôi đến đó cùng một hình ảnh xuất hiện, về một điểm khác $B$ của đa giác cơ bản.

Ví dụ, trong Hình 7, đa giác cơ bản được hiển thị bằng màu đen, một chuỗi phản xạ được hiển thị bằng màu đỏ và một chuỗi phản xạ khác được hiển thị bằng màu xanh lam. Tại điểm $X$ chúng trùng nhau. Câu hỏi đặt ra: chúng ta nên nhìn thấy hai hình ảnh hay một hình ảnh tại điểm $X$, và nếu là một thì đó là hình ảnh nào?

Trước tiên, chúng ta hãy xem câu hỏi sau: từ những điểm nào trong không gian (bên trong kính vạn hoa) có thể nhìn thấy hình ảnh $A_1$, nhưng từ những điểm khác - thì không. Nhưng điểm $A_1$ là một điểm trên mặt phẳng hình ảnh, nhìn thấy gì trong đó từ các vị trí khác? Rõ ràng là ảnh của một điểm nào đó của đa giác cơ bản nhưng được phản chiếu trong một gương khác.

Ví dụ, hãy lấy hai chiếc gương được đặt ở một góc $150^\circ$. Chúng ta hãy xem hình chiếu của chúng lên mặt phẳng hình ảnh (Hình 9). Từ vị trí $T_1$ tại điểm $X$ ta thấy ảnh của điểm $A$ (phản chiếu ở cạnh $R_1$). Nhưng từ vị trí $T_2$ tại cùng một điểm $X$

Cơm. 8. Vùng hiển thị hình ảnh $A_1$.

Cơm. 9. Từ các vị trí khác nhau tại điểm $X$ nhìn thấy được hình ảnh của các điểm khác nhau: từ vị trí $T_1$ - ảnh của điểm $A$, từ vị trí $T_2$ - ảnh của điểm $B$.

Chúng ta thấy ảnh của điểm $B$ (phản chiếu ở cạnh $R_2$), vì đường thẳng nối các điểm $T_2$ và $X$ cắt cạnh $R_2$.

Rõ ràng là đối với nhiều phản xạ, chúng ta cũng cần kết nối điểm quan sát $T_2$ bằng một đường thẳng đến điểm $X$ mà chúng ta đang nhìn và lấy chuỗi phản xạ của đa giác cơ bản bao phủ đoạn $TX$. Điểm $A$ của đa giác cơ bản, sẽ nằm trong $X$, sẽ được mô tả trong đó và sự phản chiếu phải được thực hiện ở các cạnh giao nhau bởi đường thẳng $TX$. Đối với một điểm quan sát khác, có thể thu được một chuỗi phản xạ khác và một hình ảnh khác.

Điều này có thể dẫn đến điều gì? Đây là những gì. Nếu chúng ta nhớ rằng chúng ta nhìn vào kính vạn hoa không phải từ một điểm mà từ toàn bộ một vùng (đồng tử của mắt, thấu kính của máy ảnh), thì chúng ta có thể nhìn thấy tại một điểm hình ảnh của hai điểm khác nhau của đa giác cơ bản. Hình 10a thể hiện một bức ảnh trong kính vạn hoa. Thấu kính mở hoàn toàn và có thể nhìn thấy các hình ảnh chồng chéo ở một số điểm. Nhưng nếu bạn mở ống kính (giảm lỗ lấy sáng gần như một “điểm”) thì tại mỗi điểm sẽ chỉ còn lại một hình ảnh

46

(Hình 106). Trong trường hợp này, chúng ta “nhìn” như thể từ một điểm.

Vì vậy, chúng ta đã khám phá cách thu được một hình ảnh trong mặt phẳng hình ảnh, nhưng hóa ra nó cũng phụ thuộc vào điểm mà chúng ta nhìn vào nó. Vì vậy, hãy làm điều này.

Chúng ta gọi kính vạn hoa là “quy tắc vật lý” nếu hình ảnh trong mặt phẳng hình ảnh của nó không phụ thuộc vào điểm quan sát và “quy tắc toán học” nếu đối với bất kỳ điểm X nào, mặt phẳng hình ảnh có các chuỗi phản xạ hình học khác nhau dẫn đến điểm X cho trong đó hình ảnh của cùng một điểm của đa giác hàm.

Cơm. 10a. Các đối tượng hoàn toàn mở. Ở một số nơi, hình ảnh chồng lên nhau.

Cơm. 106. Đối tượng có khẩu độ, chồng lên nhau.

Chúng ta hãy lưu ý sự khác biệt giữa các khái niệm toán học và vật lý về tính đúng đắn của kính vạn hoa. Về mặt hình học, chúng ta có thể đưa hình ảnh tới điểm X bằng bất kỳ chuỗi phản xạ nào. Nhưng không phải mọi hình ảnh đều có thể được nhìn thấy từ ít nhất một điểm bên trong kính vạn hoa. Tuy nhiên, từ các ví dụ chúng tôi đã đưa ra trong Hình 7, hình ảnh được phân phối dọc theo đường dẫn màu xanh lam được hiển thị tại điểm X, nhưng không nhìn thấy được dọc theo đường dẫn màu đỏ. Đây là một ví dụ khác.

Bài 2. Chứng minh rằng trong kính vạn hoa có tiết diện vuông góc là tam giác đều có cạnh $R_1, R_2, R_3$ là không thể. tạo chuỗi phản xạ của tia gieo: $R_1, R_2, R_1, R_3, R_2, R_3$.

Có thể xảy ra trường hợp kính vạn hoa toán học không chính xác, tức là có một điểm X và hai chuỗi phản xạ tạo ra các hình ảnh khác nhau trong X, nhưng một trong những hình ảnh này có thể nhìn thấy được từ bất kỳ điểm nào và hình ảnh thứ hai (hoặc tất cả các hình ảnh khác) không bao giờ được nhìn thấy, tức là kính vạn hoa vật lý sẽ đúng?

Hóa ra đây không phải là trường hợp. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu cùng một hình ảnh đến điểm X thông qua hình học (phản xạ) qua các tuyến đường khác nhau, thì nó sẽ được nhìn thấy từ bất kỳ điểm nào. Nhưng đồng thời, nếu từ bất kỳ điểm quan sát nào $T$ nhìn thấy cùng một hình ảnh tại điểm X, thì thu được chính xác một hình ảnh về mặt hình học tại điểm X. Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành chứng minh khẳng định cuối cùng và tìm tất cả các kính vạn hoa đúng.

Kính vạn hoa đúng cách

Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào những chiếc kính vạn hoa đơn giản nhất. Đúng, các phần của chúng là đa giác “vô hạn” (không giới hạn), nhưng điều này sẽ không làm bạn bối rối.

Một gương phẳng vô hạn là một kính vạn hoa đều về mặt toán học (trong hình ảnh của một mặt phẳng

47

xương có chính xác một đường thẳng “phản chiếu”) - điều này diễn ra từ bài toán 1.

Bây giờ hãy để hai gương $R_1$ và $R_2$ tạo thành một góc $\alpha$ giữa chúng. Hãy nhớ lại rằng chúng ta biểu thị các cạnh của đa giác thu được trong phần vuông góc của góc nhị diện này bằng các chữ cái giống nhau $R_1$ và $R_2$.

Bài tập 3. Chứng minh rằng phản xạ đầu tiên ở cạnh $R_1$ rồi đến cạnh $R_2$ (như Hình 6) tương đương với phép quay quanh điểm $O$ theo góc $2\alpha$ theo hướng từ cạnh $R_1$ đến cạnh $R_2$.

Nói cách khác, thay vì phản chiếu hình ảnh hai lần so với các đường thẳng, bạn chỉ cần xoay hình ảnh quanh điểm $O$ một góc $2\alpha$.

Bài tập 4. Chứng minh rằng hai gương đặt nghiêng một góc $120^\circ$ không tạo thành một kính vạn hoa đều về mặt toán học.

Bài tập 5. Chứng minh hai gương đặt nghiêng một góc $\alpha = \frac{180^\circ}{n}$ và $n$ là số tự nhiên.

Nhiệm vụ 6. Chứng minh rằng nếu một chiếc vạn hoa đúng về mặt toán học thì các phần tử ở các đỉnh của nó là tập hàm của nó và những phần tử nào ở các đỉnh của nó thì tất cả các phần tử này đều có dạng $\frac{180^\circ}{n}$ (n là một số tự nhiên tương ứng; đối với các đỉnh khác nhau thì $n$ có thể khác nhau).

Sự khác biệt giữa nhiệm vụ 5 và 6 không lớn: trong nhiệm vụ 5, các gương là không giới hạn, nhưng trong nhiệm vụ 6, chúng có kích thước hữu hạn. Cả bài toán đều được giải quyết qua thư theo cách giống nhau. Nhưng bài toán 6 đưa ra một điều kiện cần thiết cho tính đúng đắn về mặt toán học của vạn hoa: các góc tại các đỉnh của đa giác hàm của nó phải có dạng xác định.

Khi chúng ta có một điều kiện mà mọi kính vạn hoa thông thường về mặt toán học phải thỏa mãn, chúng ta có thể cố gắng tìm tất cả các kính vạn hoa thỏa mãn điều kiện này. Trong mọi trường hợp, trong số đó sẽ có tất cả các kính vạn hoa nguyên bản, đây là bản chất quan trọng trong các khái niệm của chúng tôi.

Nhiệm vụ 7. Tìm tất cả các kính vạn hoa thỏa mãn điều kiện đúng cần thiết (bài toán 6). Điều này có nghĩa như sau: chúng ta cần tìm xem có bao nhiêu cạnh của đa giác hàm và những đường thẳng nào ở các đỉnh của nó, tất cả những đường thẳng này đều có dạng $\frac{180^\circ}{n}$. Kiểm tra xem tất cả kính vạn hoa nhận được có chính xác về mặt toán học hay không, nghĩa là các điều kiện cần thiết cho tính chính xác về mặt toán học của kính vạn hoa, được hình thành trong bài toán 6, là đủ.

Bây giờ chúng ta quay trở lại sự tương đương về tính đều đặn vật lý và toán học của kính vạn hoa. Chúng ta hãy làm một kính vạn hoa đều đặn nếu mỗi gương trong số hai gương của nó (chúng ta coi chúng là vô hạn) tạo thành một góc là kính vạn hoa thông thường. Chúng ta sẽ chứng minh sự tương đương theo sơ đồ sau, trong đó các mũi tên chỉ ra rằng một mệnh đề bao hàm một mệnh đề khác.

sơ đồ chứng minh

Độ chính xác về mặt toán học ở các góc
1
Tính đúng đắn về mặt toán học nói chung
2
Độ chính xác vật lý ở các góc
3
Độ chính xác vật lý nói chung

48

Từ sơ đồ này, có thể suy ra rằng bản thân mọi quy luật của kính vạn hoa đều là những quy luật khác. Điều này có nghĩa là sau khi tìm thấy tất cả các kính vạn hoa đúng về mặt toán học ở các góc, do đó chúng tôi đã tìm thấy tất cả các kính vạn hoa chính xác (từ bất kỳ quan điểm nào).

Hãy để chúng tôi chứng minh tính đúng đắn của sơ đồ.

Chuyển đổi 1. Nó được hiển thị cho bạn dưới dạng bài toán 7.

Chuyển đổi 2. Tính hiển nhiên của nó đã được thảo luận ở trên.

Chuyển tiếp 3. Điều đó gần như hiển nhiên. Bạn chỉ cần lưu ý rằng đa giác cơ bản cho hai gương là không giới hạn, nhưng đối với kính vạn hoa ban đầu thì nó có thể bị giới hạn. Hãy chứng minh điều đó bằng phản chứng. Để kính vạn hoa không đều về mặt vật lý ở ít nhất một góc, nghĩa là nó sẽ tìm thấy các điểm $T_1$ và $T_2$ (điểm quan sát) và $X$ (trong mặt phẳng hình ảnh) cũng như do chỉ có phản xạ ở góc này từ các điểm $T_1$ và $T_2$ tại điểm $X$ nên có thể nhìn thấy các hình ảnh khác nhau. Tương tự, bằng cách thu nhỏ toàn bộ hình ảnh về đỉnh của góc, chúng ta có thể dịch các điểm $T_1$ và $T_2$ bên trong đa giác cơ bản. Tại điểm mới $X'$, các hình ảnh khác nhau sẽ vẫn hiển thị từ các điểm $T'_1$ và $T'_2$. Điều này chứng tỏ sự chuyển tiếp 3.

Chuyển đổi 4. Anh ta cũng chứng minh bằng phản chứng, đây sẽ là một bài toán khác.

Cơm. 11.
48

Cơm. 12.

Bài 8. Chứng minh rằng nếu một kính vạn hoa làm bằng hai gương là không đều về mặt toán học thì nó sẽ tìm được các điểm $T_1$, $T_2$ và $X$ và từ điểm $T_1$ và $T_2$ tại điểm $X$ nhìn thấy được ảnh của các điểm khác nhau của đa giác cơ bản.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra cách hoạt động của kính vạn hoa. Hình ảnh của một số trong số chúng được hiển thị trong Hình 11-14.

Hãy thử xác định xem những chiếc kính vạn hoa này có đúng không. Trong nhiều hình ảnh này, có thể xác định được việc chụp được thực hiện từ thời điểm nào. Các tia sáng không thể bị phản xạ ở đỉnh của góc (cạnh của kính vạn hoa), do đó một đường phân chia phát ra từ mỗi đỉnh - một sự thay đổi thứ tự phản xạ. Ở một bên của đường này, tia được thêm vào mắt bởi một chuỗi phản xạ, mặt khác - bởi một chuỗi phản xạ khác. Nếu chúng ta tiếp tục những đường này bên trong đa giác cơ bản,

Cơm. 14.

thì tất cả chúng sẽ giao nhau tại một điểm, trên đó có một khảo sát. Trong kính vạn hoa thông thường, các hình ảnh hợp nhất dọc theo những đường này; trong kính vạn hoa không chính xác, một “đường gấp khúc” xuất hiện dọc theo những đường này.

Bài tập

9. Liệu một cặp gương song song có tạo thành một “kính vạn hoa thông thường” hay không (mặc dù nó không vừa với kính vạn hoa cụ thể của chúng ta, nhưng chúng ta có thể kiểm tra xem hệ thống quang học này có thỏa mãn tính đều đặn cụ thể nêu trên không)?

10. Số ảnh tối đa của một điểm có thể nhìn thấy trong hai gương đặt nghiêng nhau một góc $\alpha$ là bao nhiêu, nếu $\frac{180^\circ}{\alpha} = r$ và a) $r$ là số nguyên; b) $r$ không phải là số nguyên?

11. Hai tấm gương lại tạo thành một góc $\alpha$. Số điểm tối đa của “góc kép” (góc) chức năng là bao nhiêu, hình ảnh của nó có thể được nhìn thấy tại một điểm cố định nào đó $A$ bằng hình ảnh mặt phẳng của kính vạn hoa như vậy, làm thay đổi điểm quan sát? Hình ảnh của bao nhiêu điểm của đa giác hàm được xếp chồng lên điểm $A$ theo quan điểm hình học? Xét ba trường hợp: $\alpha = \frac{180^\circ}{r}$ và a) $r$ - vô tỷ; b) $r = \frac{p}{q}$ (phân số tối giản), $q \neq 1$; b) $r$ là một số tự nhiên.

12. Điều gì có thể nhìn thấy được trong một “kính vạn hoa hình trụ” nếu mắt đặt trên trục của hình trụ?

13. Hai gương phẳng đặt hợp nhau một góc $40^\circ$. Số lượng phản xạ tối đa của chùm ánh sáng có thể có trong hệ thống quang học này là bao nhiêu?

14. Trong bài toán 7 có lời giải $n_1 = \infty$, $n_2 = 2$, $n_3 = 2\left(\frac{180^\circ}{\infty}\right)$ chúng ta coi bằng 0). lời giải này tương ứng với “kính vạn hoa” nào (ý nghĩa vật lý của lời giải này là gì)?

ĐƯỜNG MÔ TẢ VÀ TRUNG BÌNH

Hãy nhìn vào bức tranh. Một hình thang ngoại tiếp trong đó vẽ chiều cao $BH$ và đoạn $HG$ vuông góc với cạnh $AB$. Có vẻ như không có gì đặc biệt về hình vẽ này, nhưng bức vẽ này có một đặc tính đáng kinh ngạc. Nó, cùng với nền trên $a$ và nền dưới $b$, đã chứa cả ba phương tiện của các phân đoạn này: trung bình nghệ thuật, trung bình hình học và trung bình điều hòa, cụ thể là:

$$AB = \frac{a+b}{2},$$

$$BH = \sqrt{ab},$$

$$BG = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.$$

Hãy cố gắng tự mình chứng minh những tuyên bố này.

Và bây giờ chỉ cần nhìn lướt qua bản vẽ là đủ để đảm bảo rằng những điều sau được thực hiện giữa các mức trung bình:

$$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.$$

Thật vậy, $AB$ và $BH$ được vẽ xiên và vuông góc với đường thẳng $AD$ từ điểm $B$, còn $BH$ và $BG$ xiên và vuông góc từ điểm $B$ đến đường thẳng $HG$.

A. Savin, V. Senderov

50

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”

LỖ - ỐNG KÍNH

V. V. Mayer

Sự nhiễu xạ ánh sáng
về câu trả lời vòng

Quan sát sự nhiễu xạ ánh sáng trên một lỗ tròn được cắt thành một màn mờ, người ta có thể nhận thấy một số mẫu thú vị*). Nếu khoảng cách từ lỗ đến mặt phẳng quan sát nhỏ thì mô hình nhiễu xạ là một họ gồm các bánh xe sáng và tối đồng tâm, ở trung tâm có thể có một điểm sáng hoặc một điểm tối. Chúng tôi sẽ tăng khoảng cách giữa phản hồi và mặt phẳng quan sát. Đặc điểm chung của bức tranh được giữ nguyên, nhưng ở trung tâm các điểm sáng và tối liên tục thay đổi. Với sự gia tăng lớn hơn về khoảng cách đến mặt phẳng quan sát,

*) Phương pháp quan sát sự nhiễu xạ ánh sáng trên một vật hình tròn được mô tả trong bài viết của G. I. Kosourov “Một quả bóng cùng với một thấu kính” («Kvant» Số 9, 1970).

xuất hiện và sau khi loại bỏ thêm, vẫn còn một đốm sáng (Hình 1).

Tất cả các mô hình này có thể được giải thích bằng phương pháp xây dựng vùng Fresnel.

Chúng ta sẽ giả sử rằng nguồn sáng chính xác $S$ nằm ở vô cực, sao cho một sóng ánh sáng phẳng song song với mặt phẳng màn hình sẽ đến màn hình $\partial_1$ với câu trả lời là hình tròn (Hình 2). Chúng ta cần ước tính độ chiếu sáng của điểm trung tâm $A$ của mẫu nhiễu xạ thu được trên màn hình $\partial_2$.

Chúng ta hãy chia khu vực phản hồi thành các vùng phụ sao cho khoảng cách $AB_1, AB_2, \dots, AB_k$ thỏa mãn các điều kiện:

$$AB_1 - AO = AB_2 - AB_1 = \dots = AB_k - AB_{k-1} = \frac{\lambda}{2},$$

trong đó $\lambda$ là bước sóng của ánh sáng tới.

Điều này có nghĩa là sóng tới điểm $A$ với ranh giới của sóng lân cận

Cơm. 1. Sự phân bố ánh sáng trong quá trình nhiễu xạ ánh sáng trên bề mặt hình tròn.
a) Khoảng cách từ cửa ra đến mặt phẳng quan sát là tối thiểu; Sự bất thường trong mô hình nhiễu xạ do sự bất thường ở cạnh phản ứng là đáng chú ý.
b, c, d) Khi khoảng cách đến mặt phẳng quan sát tăng lên, các vết sáng và vết tối lần lượt thay đổi ở tâm của giản đồ nhiễu xạ.
d) Khi khoảng cách càng tăng thì một điểm sáng vẫn còn ở giữa.

51

Cơm. 2. Xây dựng vùng Fresnel.

các vùng có độ lệch đường đi λ/2, nghĩa là chúng ở nghịch pha. Khi đó, đối với mỗi điểm của bất kỳ vùng nào, sẽ có một điểm trong vùng lân cận sao cho sóng từ các điểm này đến tâm của mô hình nhiễu xạ ngược pha. Các vùng được xây dựng theo cách này được gọi là vùng Fresnel.

Các dao động gây ra tại điểm A bởi các sóng đến từ hai vùng lân cận được bù trừ lẫn nhau.

Rõ ràng là nếu lỗ mở ra một số vùng Fresnel chẵn thì tại điểm A biên độ dao động thu được sẽ nhỏ nhất, có nghĩa là độ chiếu sáng của màn hình $\Delta_2$ tại thời điểm này cũng sẽ tối thiểu. Độ chiếu sáng tối đa của điểm A sẽ là nếu lỗ mở ra một số vùng lẻ. Đó là lý do tại sao, khi di chuyển ra khỏi mặt phẳng khỏi màn quan sát, các điểm tối và sáng ở trung tâm của hình nhiễu xạ lần lượt thay thế nhau.

Hình ảnh quang học

Đâm một trong các thành của hộp mờ đục bằng một mảnh nhỏ giấy nhiệt phân có độ căng tốt (hoặc tốt hơn là kính mờ). Bạn có một camera obscura - thiết bị đơn giản nhất tạo ra hình ảnh của các vật thể, một thiết bị trong đó hình ảnh được tạo ra bởi người phụ trách.

Nhưng một lỗ không thể tạo ra sự phân bố ánh sáng khác trên mặt phẳng quan sát được ngoài sự phân bố ánh sáng do nhiễu xạ ánh sáng. Phân bố nào sau đây có thể coi là ảnh của một điểm sáng có đáy lớn? Tất nhiên, điểm gần giống nhất với bản thân điểm sáng, tức là điểm trong đó điểm sáng trung tâm có độ chiếu sáng cao nhất và các vòng sáng xung quanh điểm sáng đó có độ chiếu sáng cao nhất.

Sự phân bố ánh sáng như vậy sẽ ở trên một mặt phẳng cách xa câu trả lời vô cùng. Thật vậy, tại một điểm xa vô cùng nằm trên trục phản ứng, tất cả các sóng phát ra từ một nguồn sáng (cũng nằm ở vô cực) sẽ cùng pha và biên độ của chúng tại điểm này được cộng lại do giao thoa. Tại tất cả các điểm chiếu sáng khác, sóng từ nguồn sáng đến với một sự khác biệt nhất định trong đường đi của chúng, do đó cường độ ánh sáng ở chúng sẽ nhỏ hơn mức có thể nếu sóng đến chúng cùng pha. Vì cường độ tại điểm trung tâm của hình ảnh nhiễu xạ trở nên nhỏ hơn nên theo định luật bảo toàn năng lượng, cường độ ánh sáng trong các vòng tròn xung quanh nó đã tăng lên. Điều này có nghĩa là hình ảnh của nguồn sáng chính xác đã xấu đi.

Vì vậy, hình ảnh của một điểm sáng do câu trả lời tạo ra là một hình nhiễu xạ, ở giữa có một điểm sáng và độ chênh lệch đường đi của sóng đến tâm điểm này bằng không.

Nhưng đây là một trường hợp lý tưởng. Các sóng thực tế ở trung tâm của hình ảnh luôn đến với một số đường đi khác nhau. Giá trị tối đa của chênh lệch đường đi này phải là bao nhiêu để hình ảnh có thể được coi là không quá khác biệt so với hình ảnh lý tưởng? Chúng ta có thể nói ngay rằng chênh lệch đường đi tối đa không được vượt quá một nửa bước sóng, vì trong trường hợp này lỗ mở không quá một vùng Fresnel và cường độ ánh sáng ở trung tâm của mẫu nhiễu xạ lớn hơn nhiều so với khu vực xung quanh.

52

tham lam đâm anh ta. Có một điểm sáng ở giữa bức tranh. Nhưng các nhà vật lý có phần nghiêm khắc hơn về những điều như vậy. Vì vậy, họ đồng ý với đề xuất của Rayleigh*) coi ảnh không quá khác biệt so với ảnh lý tưởng nếu chênh lệch tối đa đường đi của sóng từ nguồn tới tâm ảnh không vượt quá bốn sóng. Đề xuất này được gọi là tiêu chí Rayleigh.

Điều thú vị là trong trường hợp lỗ mở ra đúng một Fresnel, độ sáng của điểm ở giữa bức ảnh sẽ lớn hơn bốn lần so với khi không có màn hình.

Thủ thuật lỗ tròn

Vì cái lỗ tạo ra ảnh nên chúng ta có quyền đưa ra các khái niệm về nó tương tự như những khái niệm đã được đưa ra khi nghiên cứu một đường lý tưởng. Chúng ta sẽ gọi quang tâm O của lỗ tròn là tâm của nó, và trục quang chính X là đường thẳng đi qua quang tâm của lỗ vuông góc với mặt phẳng của màn mờ E (Hình 3).

Cho một sóng ánh sáng máy bay từ

*) Lord Rayleigh (1842-1919) là một nhà vật lý xuất sắc người Anh, công trình chính của ông là nghiên cứu các dao động và sóng có tính chất khác nhau.

Cơm. 3. Thủ thuật lỗ tròn.

nguồn sáng chính xác ở xa vô hạn S. Chúng ta hãy tìm các điểm trên trục quang chính nơi đặt tâm ảnh của nguồn sáng.

Chúng ta hãy biểu thị đường kính của lỗ trống bằng D và độ chênh lệch tối đa trong đường truyền sóng bằng δ. Đối với bất kỳ điểm x nào nằm trên trục quang chính, theo định lý Pythagore, chúng ta có thể viết:

$$\left(\frac{D}{2}\right)^2 = (x + \delta)^2 - x^2,$$

hoặc

$$\frac{D^2}{4} = 2\delta x + \delta^2.$$

Giá trị của δ² nhỏ so với các đại lượng khác có trong công thức này; nó có thể bị bỏ qua. Sau đó

$$x = \frac{D^2}{8\delta}.$$

Theo tiêu chí Rayleigh, chênh lệch đường đi tối đa δ không được vượt quá bốn sóng, tức là 0 ≤ δ ≤ $\frac{\lambda}{4}$. Thay thế các giá trị này của δ vào công thức (1), chúng ta thu được

$$\frac{D^2}{2\lambda} \leq x < \infty.$$

Tuy nhiên, tiêu chí Rayleigh được xác định không chỉ bởi nhiều đường điểm (2) mà còn bởi nhiều đường điểm nằm đối xứng với tâm lỗ (xem Hình 3),

$$-\infty < x \leq -\frac{D^2}{2\lambda}.$$

Cả hai đều là nhiều cấu trúc của một nguồn sáng ở khoảng cách vô tận, nằm trên trục quang chính của lỗ. Nhưng người ta cũng thường gọi các điểm là đầu mối của hệ thống. Như vậy, có một tổ hợp đa cấu trúc của một nguồn sáng ở xa vô tận nằm trên trục quang chính của lỗ. Thấu kính hội tụ có tiêu cự thực (tiêu cự dương), trong khi thấu kính phân kỳ có tiêu cự tối thiểu (tiêu cự âm). Cái lỗ giống như trong hình.