Kvant 1974, số 1 · Trang

1974
1
Kvasht
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Bạn có thể đọc về cách họ tạo ra con cá kỳ lạ, bức ảnh mà bạn nhìn thấy ở trang đầu tiên của trang bìa và tài hùng biện lấp lánh (xem ảnh ở trang thứ tư của trang bìa) trong bài viết của M. P. Golovey và G. F. Dobzhansky “Đồ chơi làm bằng pha lê” (trang 31).

Bức ảnh hiển thị cho thấy một mẫu máy điện hóa 4423, được thiết kế để xử lý các bộ phận kim loại bằng phương pháp điện hóa.

Trong nhiều trường hợp, các phương pháp xử lý điện hóa tỏ ra đáng tin cậy và mang lại lợi nhuận cao hơn các phương pháp cơ học thông thường.

Điều này được mô tả trong bài viết của I. I. Moroz “Xử lý điện hóa kim loại” (tr. 27).

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoni
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillia.

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,

phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky.

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. I. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
I. B. Mamulova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirov.
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:
2 L. E. Sadovsky. Toán học cho thể thao và thể thao cho toán học
9 V. Z. Kresin. Gần độ không tuyệt đối
13 M. L. Gerver. bất ngờ
22 A. V. Blyako. Điện phân và định luật bảo toàn năng lượng
27 I. I. Moroz. Gia công điện hóa kim loại
Phòng thí nghiệm «Kvant»
31 M. P. Golovoy, G. F. Dobryakansky. Đồ chơi pha lê
vòng tròn toán học
35 G. A. Gurevichi, J. M. Rabbom. Sự tự tin và những con số “tốt”
Bài toán Kvant
41 Bài toán M241—M245; F253—F257
44 Lời giải bài toán M200—M204; F211,F212
Xưởng của người nộp đơn
53 G. V. Dorofeev. Viết lại bài toán
60 L. G. Aslamazov. Tính chất của hơi, bay hơi và sôi của chất lỏng
67 A. I. Zaboev, I. N. Nikolaev, N. V. Sholokhov. Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow
Thông tin
69 V. K. Aslayan, A. P. Kiryanov, T. A. Chugunova. Trường Đại học Vật lý và Công nghệ tại Viện Vật lý và Công nghệ Moscow
72 Các em lớp bảy chú ý! Trường toán tương ứng toàn cầu thông báo tuyển sinh
Đánh giá, thư mục
74 A. F. Khrustalev. Những sai lầm cũ… tái bản lần thứ hai
«Kvant» cho học sinh nhỏ
76 Bài toán
77 A. N. Kolmogorov. Đã giải quyết Eratovfena
78 Đáp số, gợi ý, lời giải
Góc sưu tầm
A. V. Almyks. Trên tem - Max Planck (trang bìa thứ 3)
Hỗn hợp
(c. 12, 29, 33, 66, 71)

© «Kvant», 1974.

2

L.E. TOÁN THỂ THAO Sagovsky
VÀ THỂ THAO TOÁN

Ở nước ta, việc giáo dục thể chất cho thanh niên rất được chú trọng.
Không có thể thao, sự phát triển cá nhân hài hòa là không thể. Thể thao tăng cường sức mạnh cho con người không chỉ về thể chất; nó còn hình thành những phẩm chất tinh thần cao đẹp, tạo việc làm và giúp đỡ tốt.
Các biên tập viên của tạp chí «Kvant» nhận được rất nhiều thư, trong đó tác giả hỏi liệu có thể kết hợp thể thao với niềm đam mê vật lý và toán học hay không, sự kết hợp như vậy sẽ mang lại hiệu quả như thế nào. Câu hỏi của độc giả được giải đáp bởi Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, Giáo sư, Trưởng khoa Toán ứng dụng của Viện Kỹ sư Giao thông Vận tải Moscow (MIIT) L. E. Sagovsky.

Toán học và thể thao, vật lý và thể thao.
Đối với nhiều chàng trai và cô gái yêu thích toán học và vật lý, những lớp học này dường như không tương thích chỉ do hiểu lầm. Điều này xảy ra do thiếu kinh nghiệm hoặc do ở một số trường có tổ chức tốt việc dạy các môn khoa học chính xác thì việc tổ chức các bài học thể dục kém thành công. Dù thế nào đi nữa, trong số những người mà chúng ta quen coi là có năng lực và thông minh, lại không may gặp phải những kẻ khinh thường như vậy.

3

thái độ đối với giáo dục thể chất, trò chơi thể thao, một kiểu khoe khoang về việc tránh xa chúng. Những kẻ như vậy không hề biết rằng chính họ đang làm cuộc sống của mình trở nên nghèo nàn, làm giảm năng suất lao động và tự tước đi những sai lầm không rõ nguyên nhân.

Đồng thời, nhiều nhà toán học và vật lý thuộc thế hệ cũ (than ôi, tôi thuộc về họ) rất chú trọng đến hoạt động thể thao của họ. Và điều này bất chấp thực tế là trong những năm học của chúng ta, giáo dục thể thao vẫn còn ở giai đoạn sơ khai. Vào thời điểm đó, người ta chỉ có thể mơ về những trường thể thao dành cho trẻ em, cũng như các trường vật lý và toán học, các trường đại học lớn, các kỳ thi Olympic toán học và một tạp chí như «Kvant».

Trong những năm học tập của thế hệ sau, lượng kiến ​​thức được truyền đạt ở trường ít hơn đáng kể. Các lớp học theo nhóm được tổ chức theo cái gọi là phương pháp nhóm lao động: mọi người học bài theo khả năng và mong muốn của mình, và đáp số cho toàn nhóm được nắm giữ bởi một người - học sinh thành công nhất trong một môn học nhất định.

Nhiều thập kỷ đã trôi qua, làm thay đổi đáng kể điều kiện sống của chúng ta; có bước nhảy vọt về chất trong giáo dục, đặc biệt là lĩnh vực khoa học chính xác. Luồng thông tin ngày càng tăng đã làm tăng căng thẳng tâm lý, các hoạt động của trường trở nên tập trung hơn. Điều kiện sống và học tập mới đòi hỏi thanh thiếu niên (và cả người lớn) phải có sự ổn định nhất định về tâm lý và thể chất. Tôi tin chắc, dựa trên nhiều năm quan sát và kinh nghiệm của bản thân, rằng sự ổn định như vậy đặc biệt cần thiết đối với những người nghiên cứu toán học và vật lý. Trên thực tế, đối với những người vẫn đang giải quyết khó khăn bài toán, và những người đã từng nghĩ về những vấn đề phức tạp đều nhận thức rõ về nỗ lực tinh thần đặc biệt cần thiết cho hoạt động đó. Những người biết chi tiết cụ thể về các lớp dịch vụ trong toán học, vật lý và ứng dụng của chúng đều biết niềm vui khám phá (một trong những niềm vui tuyệt vời của cuộc sống, không phải ai cũng quen thuộc), làm việc chăm chỉ và cay đắng khi từ chối một số hoạt động giải trí, cũng như sự căng thẳng đã được thiết lập và khoảng thời gian làm việc căng thẳng đã được thiết lập. Norbert Wiener viết: “Công việc nghiên cứu chuyên sâu thay đổi đến mức giới hạn. Nếu một nhà khoa học bị tước đi cơ hội cống hiến hết mình như cống hiến hết mình cho công việc, điều này sẽ ảnh hưởng ngay đến chất lượng các bài báo của anh ta.”*).

Tôi có nhiều bạn bè là nhà toán học và vật lý học, và tôi nhận thấy ở họ tất cả đều mong muốn được “thư giãn tinh thần”. Tuy nhiên, những người khác nhau tìm thấy sự giải thoát theo những cách khác nhau. Một số thích chơi bài bridge (đây không phải là trò chơi dành cho các nhà toán học sao?), những người khác thích cờ vua (nghệ thuật cờ vua xứng đáng với những người thông thái!), và những người khác thì thỉnh thoảng đi dạo. Và, than ôi, rất ít - giáo dục thể chất. Tôi tin chắc sâu sắc rằng cả bài bridge, cờ vua hay các trò chơi khác, mặc dù chúng hấp dẫn tôi nhưng đòi hỏi nỗ lực tinh thần, không mang lại sự thư giãn thực sự. Ngoài ra, các lớp dịch vụ về toán học và cờ vua cùng một lúc dường như là không thể. Các ví dụ về điều này có thể được sử dụng trong cuộc sống, một khoảng cách so với toán học mà trước đây tôi đã tích cực làm việc.

Một số nhà toán học và vật lý học mà tôi biết rõ đã nói rằng thuốc lá và đồ uống mạnh mang lại suy nghĩ rõ ràng và một số ý tưởng sáng tạo. Tôi không tranh luận với quan điểm này, nhưng đề nghị thử một cách khác - chẳng hạn như chạy bộ; thường xuyên tham gia tập thể dục vào phút cuối

*) Wiener N. Tôi là một nhà toán học. M., “Khoa học”, 1967, tr.123.

4

tập thể dục, tham quan hồ bơi hoặc tham gia các trò chơi thể thao - quần vợt, bóng rổ, quần vợt, bóng chuyền hoặc các trò chơi khác. Tôi đề cập đến Wiener, người nói rằng anh ấy viết hay nhất khi công việc trí óc được kết hợp với sự thỏa mãn đơn giản, phi trí tuệ - đi bộ, bơi lội. Một người hâm mộ trò chơi trí tuệ giải thích rằng trong thể thao và các trò chơi thể thao, trí thông minh, giáo dục, tính toán không phải là những thứ thừa thãi. Không phải vô cớ mà người ta nói rằng bạn chơi tennis bằng tay nhưng thắng bằng đầu. Một tay vợt giỏi phải có những cú đánh kỹ thuật đa dạng và tinh tế. Bước vào sân, một tay vợt gặp một đối thủ mà theo quy luật, không hề thua kém mình về mặt kỹ thuật. Và ở đây mọi thứ đều được quyết định bởi chiến thuật, sự phán đoán, tính toán và tầm nhìn xa. Không phải vô cớ mà phần lớn những tay vợt giỏi đều là những người có học thức; không phải vô cớ mà quần vợt là môn thể thao được phổ biến rộng rãi trong giới lao động trí thức. Nhưng quần vợt không bị loại trừ và những thông điệp tương tự có thể được đưa ra đối với các trò chơi thể thao khác. Theo các tác giả lớn, thể thao hiện đại nói chung những năm gần đây ngày càng mang tính trí tuệ hơn. Cũng nên nhớ rằng không chỉ cờ đam, cờ vua, trò chơi bài hay bi-a mới là nguồn cung cấp nhiều toán học thú vị bài toán. Chúng có thể được tìm thấy trong thể thao ở khắp mọi nơi. Ví dụ, hãy xem xét có bao nhiêu vấn đề chưa được giải quyết phát sinh khi xem xét sự tương tác của một quả bóng với một nhóm hoặc cỏ. Hãy mở cuốn sách Chuỗi Markov hữu hạn của Kemeny và Snell và bạn sẽ tìm thấy một cách xử lý thú vị về hệ thống quần vợt với vị trí quá trình ngẫu nhiên.

Phương pháp toán học ngày càng được sử dụng nhiều trong thể thao. Vì vậy, ví dụ, bằng cách sử dụng các phương pháp thống kê toán học, chúng tôi thiết lập các đặc điểm cá nhân của vận động viên, các điều kiện thuận lợi nhất cho việc tập luyện, hiệu quả của chúng và xử lý kết quả đọc của các cảm biến kiểm soát tải trọng của vận động viên. Lý thuyết thông tin cho phép chúng ta đánh giá mức độ làm việc của bộ máy thị giác khi luyện tập các môn thể thao khác nhau. Toán học và vật lý giúp tìm ra những hình thức chèo thuyền và mái chèo thuận tiện nhất. Có ý kiến ​​​​cho rằng ý tưởng của P. L. Chebyshev về việc cắt vải đã được sử dụng trong thiết kế dây bện vải của một quả bóng tennis *).

Đồng thời, chơi thể thao có tác dụng hữu ích đối với hoạt động tinh thần và tinh thần của một người, củng cố ý chí của người đó. Thực tế này là không thể chối cãi đối với nhiều nhà khoa học liên quan đến bơi lội, quần vợt, chạy, leo núi và leo núi. Sự nhiệt tình của họ đã lây nhiễm sang tôi. Đổi lại, tôi đã có thể lôi kéo nhiều người khác vào vòng lặp.

Chúng ta hãy nhớ lại những năm hậu chiến, khi gia đình sống trong một ngôi nhà đổ nát ở Sokolniki trên Bolshaya Olenei. Chủ nhật hàng tuần của mùa đông chúng tôi đều có “ngày khai mạc” dành cho các bạn trượt tuyết. Một dấu hiệu, những dấu hiệu khác thu hẹp lại. Đôi khi có tới hai mươi đôi ván trượt được cất trong kho. Mọi người đều có thể lấy trà, bánh quy, pho mát. Mọi người đều sưởi ấm gan, cảm giác mệt mỏi dễ chịu sau một chuyến trượt tuyết vui vẻ và tách trà nóng khiến bầu trời vô tận. Trong những năm đó ở Sokolniki, trong khu rừng Yauzsky và Losinoostrovsky có rất ít người trượt tuyết, hầu như không có căn cứ, và “căn cứ trượt tuyết” của chúng tôi rất nổi tiếng. Cô đã được nhiều bạn bè - nhà toán học và vật lý đến thăm, người liên hệ - I. I. Grodnev (hiện là giáo sư),

*) Giáo sư khoa chúng tôi E. S. Ventzel kể với tôi rằng, khi còn là sinh viên Khoa Toán của Đại học Leningrad, cô đã nghe các giáo viên của mình kể về một bài giảng về cắt quần áo do P. L. Chebyshev công bố. Trong số những người trượt tuyết có nhiều thợ may. Bài giảng của P. L. Chebyshev có những câu: “Giả sử một người có hình dạng một quả bóng”…

5

I. E. Efimov (giáo sư, hiện là hiệu trưởng MIIS), Nghệ sĩ Nhân dân của RSFSR Zara Dolukhanova, nữ diễn viên điện ảnh Ella Nechaeva. Theo gương của chúng tôi, không chỉ tất cả hàng xóm mà cả cư dân của những ngôi nhà lân cận cũng nói dối.

“Đặc biệt là bạn đã đánh trúng nó,” người đọc có tư duy phản biện sẽ nói. Đúng, tôi đang mạo hiểm một chút, nhưng đối với tôi, có vẻ như cách thuyết phục nhất để viết về thể thao là dựa trên “thể thao” của chính bạn. Tôi tin chắc rằng người đọc sẽ hát đúng với tôi: Tôi muốn «Kvant» hãy cho chúng tôi biết về cách tiếp cận thể thao của bạn và cách giao tiếp với nó. Tôi không hề nghi ngờ rằng những gì tôi đạt được trong môn toán và giảng dạy đã trở nên khả thi nhờ vào các hoạt động thể thao thường xuyên. Tôi không thể tưởng tượng cuộc sống của mình mà không có môn toán hay thể thao.

Tôi cầm vợt tennis lần đầu tiên ở tuổi bốn mươi và quá hào hứng đến nỗi 5 năm sau tôi đã thêm vào danh mục đầu tiên. Niềm đam mê này đã thu hút hầu hết trẻ em trong nhà của chúng tôi trên V. Olenei và cả các con tôi nữa. May mắn thay, sân khách của câu lạc bộ thể thao Shakhtar đã được đưa vào sử dụng. Ôi, giá như tất cả các câu lạc bộ thể thao, sân vận động và trường học thể thao đều có thể tiếp cận được với những người tìm kiếm thể thao! Khi đó nhiều vấn đề của thể thao trẻ sẽ được giải quyết mà không cần phải thảo luận nhiều năm.

Cùng với tôi, các giáo sư P. A. Kitkin, V. M. Fokeev, V. A. Lurie, phó giáo sư S. V. Boriskin và những người khác đã “rơi” vào quần vợt. P. A. Kitkin là giám đốc của một trong những viện nghiên cứu ở Katseveli (ở Crimea, gần Siemens). Ở đó, cùng với những người đam mê khác, anh ta đã xây dựng một sân, bao quanh nó bằng lưới đánh cá và bỏ qua buổi tập. Chúng tôi là khách của anh ấy vào mùa hè và ngủ dưới những tán cây gần sân.

Nhiều năm đã trôi qua. Tất cả chúng tôi đều học cách chơi quần vợt một cách thành thạo và điều đó đòi hỏi rất nhiều sức chịu đựng. Nhà vô địch Olympic beta Peter Snegle đã viết rằng, thật ngạc nhiên, tải của trò chơi này hóa ra lại lớn hơn tải của bản beta. Điều gì đã giúp chúng tôi, không còn là những người trẻ, đương đầu với những khó khăn này? Thể lực và sức bền được phát triển trong những năm trước bằng cách đi bộ trên mặt phẳng, chạy bộ thường xuyên và đặc biệt là bơi lội.

Trong vài năm nay, một bộ phận bơi lội đã hoạt động tại Nhà khoa học Moscow. Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô L. A. Lyusternik, học giả S. L. Sobolev và những người khác đã làm việc trong đó. Mỗi tuần một lần, bắt đầu từ bảy giờ sáng, chúng tôi đã luyện tập thành công trong một giờ. Được đổi mới và tràn đầy sức mạnh, họ bắt đầu làm việc. Hơn nữa, nhiều năm sau, S. L. Sobolev nói rằng đó là khoảng thời gian tuyệt vời khi những suy nghĩ và khả năng viết lách tuyệt vời xuất hiện. L.A. Lyusternik đã rất ngạc nhiên khi phát hiện ra rằng anh đã quên mất bệnh sổ mũi mà chỉ biết về sự tồn tại của một khoảng thời gian trong ngày như sáu giờ sáng. P. A. Kitkin và V. M. Fokeev đã viết luận án tiến sĩ của họ trong những năm này, và A. I. Felzenbaum đã viết luận văn cho ứng viên của mình. Bản thân tôi phải thừa nhận rằng trong nhiều năm, tôi đã tìm kiếm lời giải một số bài toán từ đại số tổng quát một cách phù hợp và bắt đầu. Hy vọng đã nhường chỗ cho sự thất vọng. Khi bắt tay vào công việc kinh doanh một cách nghiêm túc, tôi đã tạo ra một chế độ nghiêm ngặt: nửa đầu ngày - làm việc, ăn trưa, sau đó chơi tennis kéo dài ba giờ vào mùa hè hoặc nằm và chạy bộ vào mùa đông. Và cứ thế hàng năm. Vào buổi tối - một cái đầu hoàn toàn mới mẻ, cảm giác về bức tranh cuộc sống, niềm vui chờ đợi công việc, hỗ trợ suy nghĩ về những con đường và chi tiết của bằng chứng. Tôi đã cố gắng đưa tác phẩm đi đến kết luận hợp lý, duy trì hiệu quả và sự kiên trì khi đối mặt với thất bại. Như vinh dự cao nhất, tôi nhớ đến lời của Giáo sư P. G. Kontorovich: “Hãy nghĩ xem! Và làm thế nào mà L.E. (tức là tôi) đã có thể trình bày tác phẩm từ những tác phẩm mới như vậy trong những năm như vậy?

7

1. B. N. Delone ở Carpathians.
2. A.I. Berg cùng con gái (1964).
3. P. S. Aleksandrov, A. I. Maltsev và S. V. Fomin trong một cuộc đua thuyền dọc sông Volga (1939).
4. A. A. Krasovsky tại cuộc đua xuyên quốc gia tại Rạp xiếc Timiryazevsky ở Moscow.
5. A. A. Krasovsky (trái) trên Elbrus.
6. A. N. Shirev trên Elbrus ở độ cao 4200 m.
7. B. N. Delone ở vùng Mátxcơva (1970).
8. L. E. Sadovsky sau khi bơi (bể bơi ở Luzhniki, 1965).
9. S. M. Polosnov, A. N. Kolmogorov và S. V. Fomin ở Carpathians (1955).

8

kết quả? Rõ ràng là vì anh ta đã giữ được sức mạnh thể chất của mình. Để P. G. Kontorovich chịu trách nhiệm về phần đầu tiên của tuyên bố, ông đã dám coi phần thứ hai là đúng. Berus lập luận rằng khả năng sáng tạo đáng kinh ngạc của nhiều nhà toán học và vật lý xuất sắc của chúng ta được đảm bảo nhờ môn thể thao khác của họ. Danh hiệu Thạc sĩ Thể thao được vinh danh trong lĩnh vực leo núi do Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô B. N. Delone, Thạc sĩ Thể thao trong lĩnh vực leo núi là Viện sĩ A. D. Aleksandrov. Những người trượt tuyết, bơi lội và khách du lịch là các học giả A. N. Kolmogorov, P. S. Alexandrov, M. A. Lavrentyev, B. M. Pontecorvo, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô D. I. Blyukhintsev, giáo sư S. V. Fomin; vận động viên trượt tuyết núi cao - Giáo sư L. A. Skornykov; Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô D. E. Menshov chơi quần vợt ở tuổi 90. Người hướng dẫn-vận động viên là Giáo sư A.K. Kikonn. Nils và Harald Bohr chơi trong một đội bóng tuyệt vời. Albert Einstein không chỉ thích chơi violin mà còn thích lái du thuyền. Nhà toán học vĩ đại nhất người Anh G. Hardy, theo N. Wiener, là một vận động viên thể thao xuất sắc và là người có uy tín trong tất cả các trò chơi bóng.

Trên sân của Nhà khoa học Mátxcơva, bạn thấy nhiều nhà khoa học nổi tiếng có cấp bậc thể thao ở độ tuổi 50-75. Họ chạy quanh sân sau quả bóng như những chàng trai trẻ và thi đấu với những chàng trai trẻ. Trong số đó, bạn sẽ gặp người đoạt giải Nobel trong lĩnh vực vật lý, viện sĩ P. A. Cherenkov, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, nhà toán học V. Ya. Kozlov, phó. Bộ trưởng Bộ Giáo dục Chuyên ngành Đại học và Trung học Liên Xô, Giáo sư Azrodynamics N.F. Krasnov (và bạn sẽ gặp chính Bộ trưởng, Thành viên tương ứng V.P. Elyutin, trên sân của câu lạc bộ thể thao Shakhtar).

Nếu chúng ta so sánh những đứa trẻ được giáo dục thể chất với những đứa trẻ không chơi thể thao, bạn sẽ nhận thấy rằng những đứa trẻ chơi thể thao có nhiều khả năng kéo dài những khó khăn trong cuộc sống và học tập hơn, đồng thời thành công hơn trong việc chống lại bệnh tật.

Tôi đồng ý với nhận xét rằng ảnh hưởng tích cực to lớn của thể thao đối với ảnh hưởng sáng tạo của một người lẽ ra có thể được viết một cách chuyên nghiệp hơn. Mục đích của bài viết này là chia sẻ niềm tin của người đọc dựa trên kinh nghiệm cá nhân. Và không phải ngẫu nhiên mà tạp chí «Kvant» đề cập đến chủ đề này. Có nhiều con đường khác nhau để đến với thể thao nghiệp dư. Vẫn chưa quá muộn để tận dụng những tuyến đường này.

Trường học mang lại cho bạn rất nhiều điều: các bài học giáo dục thể chất, đi bộ trên băng, tham quan bể bơi, vượt qua tiêu chuẩn để nhận huy hiệu GTO. Ngoài ra, các trường thể thao dành cho trẻ em (DSS) hoạt động tại các sở giáo dục công cộng, Cung điện Puner và các hiệp hội thể thao, nơi học sinh tiểu học đặc biệt sẵn lòng được mời tham gia.

Nếu bạn trở thành sinh viên, các khoa thể dục thể thao luôn sẵn sàng phục vụ bạn. Ngoài (và đôi khi cùng nhau) các lớp học bắt buộc, bạn có thể tham gia các môn chuyên biệt: bơi lội, đấu vật, thể dục dụng cụ, điền kinh hoặc cử tạ, bóng rổ, bóng chuyền và các môn khác. Nhiều trò chơi lớn có cơ sở thể thao và sân trượt băng riêng. Ví dụ, MIIT của chúng tôi, ngoài các căn cứ ở Klyaziem, Alush và Europoria, còn có một khu liên hợp thể thao tuyệt vời: hồ bơi, nhà thi đấu điền kinh, phòng thi đấu thể thao, thể dục dụng cụ, đấu vật, v.v. Nếu bạn dự định làm việc, hãy nhớ đến các hiệp hội thể thao có các bộ phận riêng ở khắp mọi nơi.

Thể thao sẽ mang lại cho các bạn nhiều sức khỏe, niềm vui, sự tự tin và thành công trong việc phục vụ Tổ quốc, khoa học và xã hội.

9

V. Z. Kresin
Gần độ không tuyệt đối
(bản phác thảo lịch sử)

“… Nếu chúng ta có thể đặt Trái đất ở một vùng rất lạnh, thì tất cả sông và đại dương của chúng ta sẽ biến thành núi. Không khí sẽ không còn vô hình nữa và sẽ biến thành chất lỏng. Sự biến đổi kiểu này sẽ mở ra khả năng thu được chất lỏng mới mà chúng ta vẫn chưa biết.” Những lời này được thốt ra vào giữa thế kỷ 18 là của nhà hóa học vĩ đại người Pháp Lavuzier.

Vào thế kỷ 19, nhiều loại khí đã bị đốt cháy, nhưng giấc mơ thu được chất lỏng mới của Lavouzier cuối cùng chỉ được thực hiện vào năm 1908, khi trong phòng thí nghiệm của nhà vật lý người Hà Lan Kamerlingh Onnes tại Đại học Leiden, khí cuối cùng, helium, được chuyển thành chất lỏng.

Đôi lời về những thành tựu chính trên con đường đạt đến độ không tuyệt đối.

Một trong những phương pháp đốt khí chính là đốt chúng. Trong trường hợp này, các phân tử tiến lại gần nhau hơn, vai trò của lực bám dính quay trở lại và có thể chuyển sang trạng thái lỏng. Tuy nhiên, nếu khí ở nhiệt độ cao hơn nhiệt độ tới hạn, chất bổ không thể chuyển thành chất lỏng bằng quá trình đốt cháy. Trong trường hợp này, việc làm mát chuyển đổi khí là cần thiết.

Vào những năm bảy mươi của thế kỷ 19, một số lượng lớn các thí nghiệm đã được thực hiện về quá trình đốt cháy khí và tạo ra nhiều chất lỏng mới (cần đặc biệt đề cập đến các thí nghiệm của Faraday, người cùng với Skateium, chất trước đây được sử dụng để đốt khí, là người đầu tiên sử dụng làm mát bằng khí). Tuy nhiên, oxy, nitơ và hydro không có dấu hiệu chuyển thành chất lỏng. Vì vậy, niềm tin cho rằng ba chất này là “khí vĩnh cửu” bắt đầu mờ nhạt trong vật lý học. Chỉ đến năm 1877, nhà khoa học người Pháp Calte mới có thể thu được oxy lỏng ở nhiệt độ $T = 90,2^\circ$ K. Sáu năm sau, các nhà vật lý Wroblewski và Olszewski là những người đầu tiên nhìn thấy nitơ lỏng. Sự chuyển đổi nitơ thành chất lỏng xảy ra ở $T = 77,4^\circ$ K.

Con đường thu được hydro lỏng rất khó khăn. Nó biến thành chất lỏng ở nhiệt độ chỉ $20,4^\circ$ K. bài toán này chỉ được giải quyết vào năm 1898 bởi nhà vật lý người Anh Dewar. Dewar đã sử dụng một bình chân không do ông phát minh ra để lưu trữ hydro lỏng, chất mà ông đặt tên và được sử dụng ngày nay. Khi Dewar nghiên cứu vấn đề thu được hydro lỏng, ông tin chắc rằng công trình của mình là công trình thành công cuối cùng trên con đường đạt đến độ không tuyệt đối. Nhưng Dewar đã sai. Điểm sôi của gel lỏng thậm chí còn thấp hơn.

Gelyai được phát hiện vào năm 1869 khi đang nghiên cứu quang phổ của quầng mặt trời. Trên Trái đất, trong một thời gian rất dài, không ai có thể tìm thấy anh ta. Chỉ đến năm 1895, nhà hóa học người Anh Ramsay mới phát hiện ra

11

lượng tử sẽ mang lại những thay đổi ở nhiệt độ thấp nhất cho lợi ích vật chất.”
Helium lỏng thường được gọi là “chất lỏng lượng tử”. Khi lần đầu tiên làm quen với vật lý lượng tử, bạn có thể có ấn tượng rằng các định luật của nó chỉ quan trọng trong việc mô tả các tính chất của nguyên tử, hạt nhân nguyên tử, electron và các vi hạt khác. Helium lỏng là một trong những ví dụ nổi bật nhất về thực tế là vật lý lượng tử cũng có thể mô tả các tính chất của vật thể vĩ mô.

Trước mặt bạn là một chất lỏng được đổ vào một chiếc bình. Bạn có thể quan sát hành vi của nó, đổ nó vào một chiếc bình khác, v.v. Đồng thời, các tính chất của helium lỏng hoàn toàn khác thường; nó hoàn toàn khác biệt với tất cả các chất lỏng khác. Hành vi của nó chỉ có thể được giải thích bằng các định luật vật lý lượng tử.

Các tính năng chính của hành vi của helium lỏng là gì? Chất đầu tiên trong số chúng được Kamerlingh Onnes phát hiện trong một thí nghiệm thu được helium lỏng lần đầu tiên. Onnes đã cố gắng chuyển helium thành trạng thái rắn. Ông bắt đầu giảm áp suất trong bình chứa chất lỏng đang sôi. Đồng thời, nhiệt độ tăng lên (giá trị của nó lên tới gần 1° K!), nhưng không tìm thấy dấu hiệu đông đặc của helium.

Kamerlingh Onnes sau đó đã nhiều lần cố gắng thu được heli rắn. Nỗ lực cuối cùng như vậy được ông thực hiện vào cuối đời vào năm 1922. Bơm hơi nước lên trên helium lỏng bằng 12 máy bơm mới có thiết kế đặc biệt (áp suất giảm xuống 0,013 mm rm. cm!), ông đạt đến nhiệt độ chỉ 0,83 ° K. Thông điệp về thí nghiệm này có tên: “Ở nhiệt độ thấp nhất thu được cho đến nay”. Nhưng ngay cả ở nhiệt độ thấp kỷ lục vào thời điểm đó, heli vẫn ở dạng lỏng.

G. Kamerlingh Onnes (1853-1926)

Hiện nay người ta đã khẳng định chắc chắn rằng helium là chất duy nhất trong tự nhiên không đông cứng xuống độ không tuyệt đối (nó chỉ có thể trở nên rắn khi có độ dốc lớn hơn). Helium rắn lần đầu tiên được thu được vào năm 1926 bởi H. Keesom, người kế nhiệm Kamerlingh Onnes, người sau ông đứng đầu công việc tại Phòng thí nghiệm Leiden.

Theo quan điểm của vật lý cổ điển, hành vi độc đáo của helium lỏng là hoàn toàn không thể hiểu được. Thật vậy, khi nhiệt độ giảm xuống, dao động nhiệt của phần vôi ngày càng yếu đi. Sự hiện diện của lực bám dính cơ học cuối cùng sẽ dẫn đến sự đông đặc của chất.

Hành vi của helium lỏng không có gì giống với bức tranh này. Helium sẽ vẫn ở dạng lỏng ngay cả ở mức nULE tuyệt đối, mặc dù sẽ không có chuyển động nhiệt nào cả.

Kamerlingh Onnes trong thí nghiệm đầu tiên cho thấy mật độ helium lỏng rất thấp. Hóa ra nó là lõi vì các nguyên tử nhẹ và trơ của helium cũng nằm ở khoảng cách rất xa nhau. Chuyển đổi helium này

12

Xương trở thành trạng thái thành phố rắn khó hơn chất lỏng thông thường.

Do đó, helium vẫn ở dạng lỏng ở nhiệt độ thấp nhất. Gần độ không tuyệt đối, sự hóa rắn của nó tuân theo các định luật vật lý lượng tử. Theo những định luật này, ý tưởng cho rằng các nguyên tử hoàn toàn dừng lại ở độ không tuyệt đối thường hóa ra là sai.

Sự phát triển hơn nữa của vật lý nhiệt độ thấp đã dẫn đến việc phát hiện ra một tính chất đáng chú ý khác của gel lỏng. Ở nhiệt độ $T=2,18^\circ$ K nó chuyển sang trạng thái siêu chảy, được Viện sĩ P. L. Kapitsa * phát hiện và nghiên cứu kỹ lưỡng *).

Thu được helium lỏng vào năm 1908 và đạt được nhiệt độ thấp kỷ lục, Kamerlingh Onnes đã thay đổi đáng kể hướng nghiên cứu của mình. Nhận thấy rằng vùng nhiệt độ gần độ không tuyệt đối là cả một thế giới của các hiện tượng vật lý đặc biệt, ông bắt đầu nghiên cứu nhất quán về các tính chất khác nhau của vật chất ở nhiệt độ thấp. “Trong tất cả các lĩnh vực vật lý,” Onnes viết, “câu hỏi duy nhất tiếp cận chúng tôi là kỳ vọng về lời giải từ các phép đo ở nhiệt độ helium.”

Nghiên cứu mới đã đưa Onnes vào năm 1911 phát hiện ra hiện tượng siêu dẫn **).

Gần nửa thế kỷ đã trôi qua kể từ khi phát hiện ra hiện tượng này cho đến khi bản chất của nó trở nên rõ ràng. Đây là một trường hợp duy nhất về một vấn đề khoa học ở thời đại chúng ta. Tuy nhiên, ngay cả ngày nay, khi lý thuyết về tính siêu dẫn đã được tạo ra, các tính chất của chất siêu dẫn vẫn tiếp tục gây ngạc nhiên và ngưỡng mộ cho nhiều nhà vật lý.

*) Xem bài viết: A.F. Andreev, Tính siêu chảy của gel lỏng, «Kvant», 1973, Số 10.
**) Xem bài viết: V.Z. Kresin, Bản chất của tính siêu dẫn, «Kvant», 1973, Số 11

Trong kỳ thi thiên văn học

Khi tham gia kỳ thi tiến sĩ, Max Born đã chọn thiên văn học làm môn nói của mình. Kỳ thi được thực hiện bởi nhà thiên văn học - nhà vật lý nổi tiếng Schwarzschild.

“Bạn sẽ làm gì khi làm sứt mẻ một ngôi sao băng?” - giám khảo hỏi.

“Bạn cần nhìn đồng hồ, chú ý thời gian, xác định hướng chuyển động, ước tính độ dài gần đúng của quỹ đạo phát sáng, xác định ngôi sao xuất hiện từ chòm sao nào; Làm xong tất cả những điều này, người ta có thể tính toán gần đúng quỹ đạo của một ngôi sao đang rơi.” … giám khảo đang chờ đợi điều này đáp số. Bourne hiểu điều này, nhưng không thể cưỡng lại và trả lời: “Tôi đang ước.”

Từ cuốn sách Trò đùa của các nhà vật lý

Bài toán

1. Nếu cộng các chữ số của một số có hai chữ số, bạn sẽ được một số nhỏ hơn số cần tìm 5 lần. Tìm số có hai chữ số này.
2. Nếu trong một số có ba chữ số, bạn cộng tất cả các số có thể có được tạo thành từ các chữ số của số này, bạn sẽ được một số lớn gấp đôi số bạn đang tìm. Tìm số có ba chữ số này.
3. Nếu trong số ban đầu bạn cộng tất cả các số có thể được tạo thành từ các chữ số của số này thì bạn sẽ được một số bằng số mong muốn. Tìm tất cả các số có ba chữ số như vậy.

V. M. Rosenutler

13

Một vài lời về tên.
Đầu tiên chúng ta sẽ phân tích bài toán M195 từ Sách Vấn đề Lượng tử. Người ta sẽ thấy rằng nó có liên quan chặt chẽ với một cách xây dựng cổ điển của các vòng tròn hình học. Sau đó, những kết nối và sự kiện bất ngờ khác sẽ xuất hiện.
Điều quan trọng nhất là xin lỗi… Nhưng, suỵt! Nếu không thì sẽ phải hối tiếc như thế nào?

§ 1. Bài toán về ba hình tứ giác
M195. Dân $\Delta ABC$. Có bao nhiêu điểm $D$ sao cho chu vi của các tứ giác ADBC, ABDC và ABCD bằng nhau*)?

Lời giải. Hãy dựng ba vòng tròn ($\alpha$, $\beta$ và $\gamma$) với tâm $A$, $B$ và $C$, tiếp xúc với nhau từ bên ngoài theo cặp (Hình 1).

*) Chỉ có điểm $D$ được coi là nằm trong mặt phẳng $\Delta ABC$.

Bán kính của các đường tròn $a, b$ và $c$ này được xác định từ hệ phương trình
$$a + b = AB, a + c = AC, b + c = BC.$$
Như vậy,
$$a = p - BC, b = p - AC, c = p - AB,$$
trong đó $p$ là nửa chu vi $\Delta ABC$.

Đặt $D$ là tâm của đường tròn $\delta$, tiếp xúc bên ngoài các đường tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$. Bán kính $\delta$ được ký hiệu là $d$.

Chúng ta giả định rằng vòng tròn $\delta$ tồn tại. Việc xây dựng một đường tròn như vậy chính là nội dung ý nghĩa nhiệm vụ của Apollonius*), được Apollonius xứ Perga giải vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. đ.

Từ Hình 1, có thể thấy ngay rằng mỗi hình tứ giác ADBC, ABDC và ABCD đều có chu vi $2(p+d)=2(a+b+c+d)$. Do đó, mặc dù tồn tại một điểm Izsky $D$.

Có thể có nhiều hơn một điểm như vậy? Chuyển sang lời giải của câu hỏi này, trước hết chúng ta sẽ đảm bảo rằng nếu các chu vi ADBC, ABDC và ABCD bằng nhau thì điểm $D$ nằm bên ngoài các vòng tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ và điều đó làm cho chúng bằng nhau. Hãy đặt $AD=x, BD=y, CD=z$. thì sự bằng nhau về chu vi của các tứ giác đang xét sẽ được viết như sau:
$$2p - AB + x + y = 2p - AC + x + z = 2p - BC + y + z.$$ (2)

Trừ đẳng thức (2) theo số hạng cho số $p+x+y+z$, ta được
$$z - (p - AB) = y - (p - AC) = x - (p - BC).$$

*) Tôi đã nói về điều này bài toán trong bài viết của Savin A.P., Đảo ngược và bài toán Apollonius. «Kvant», 1971, số 8.

14

Sử dụng công thức (1), chúng tôi tìm thấy
$$z-c=y-b=x-a.$$

Theo (3) thì các số $x-a, y-b$ và $z-c$ cùng dấu. Hơn nữa, $x-a>0$, nếu điểm $D$ nằm bên ngoài $\alpha$ và $x-a\leq 0$, nếu $D$ nằm bên trong hoặc trên $\alpha$; các dấu hiệu $y-b$ và $z-c$ có ý nghĩa tương tự nhau. Vì không có điểm nào ngay lập tức thuộc về tất cả các đường tròn được giới hạn bởi các đường tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$, nên nó tuân theo
$$x-a=y-b=z-c\leq 0$$
sẽ bị loại trừ. Có nghĩa,
$$x-a=y-b=z-c>0,$$
$D$ nằm ngoài $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ và bằng chúng.

Hoạt động trên điều này, chúng tôi sẽ chứng minh điểm duy nhất $D$.

Đặt (để định nghĩa) $\alpha$ là nhỏ nhất trong các vòng tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$:
$$a\leq b, a\leq c.$$ Sử dụng bán kính $b-a$ và $c-a$, chúng tôi mô tả các vòng tròn $\beta'$ và $\gamma'$ có tâm $B$ và $C$. Điểm $D$ nằm bên ngoài $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ và bằng chúng, cũng bằng điểm $A$ và đường tròn $\beta'$ và $\gamma'$ (Hình 2). Chúng ta hãy dựng thêm ba vòng tròn nữa ($\alpha''$, $\beta''$ và $\gamma''$) với tâm $A$, $B$ và $C$ và bán kính $AD$, $BD$ và $CD$. Cho $T$ là một điểm tùy ý nằm bên trong $\alpha''$ hoặc trên $\alpha''$ và khác với $D$. Sau đó (Hình 2) $T$ nằm bên ngoài $\beta''$ hoặc bên ngoài $\gamma''$ hoặc bên ngoài cả hai vòng tròn này. Do đó, $T$ nằm gần $A$ hơn là với một trong các vòng tròn $\beta'$ hoặc $\gamma'$.

Lý do cuối cùng cho thấy hai điểm phân biệt $D_1$ và $D_2$ không thể cách đều $A$, $\beta'$ và $\gamma'$: giả sử ngược lại (trống $D_1$ và $D_2$ là các điểm như vậy và $AD_1\geq AD_2$) và ký hiệu $D_1$ bằng $D$, $a$ $D_2$ đến $T$, chúng tôi ngay lập tức phản đối.

Điểm duy nhất $D$ đã được chứng minh.

§ 2. Kép ​​bài toán

Trong § 1 tôi đã phát hiện ra mối liên hệ kỹ thuật giữa bài toán ba hình tứ giác và bài toán Apollo. Công thức sau (“Xây dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn đã cho”) không cho biết tiếp tuyến là bên ngoài hay bên trong. Trong § 1, vòng tròn $\delta$ chạm vào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ từ bên ngoài. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\epsilon$ vòng tròn mà cả ba vòng tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ chạm vào từ bên trong; chúng tôi gọi tâm của nó là $E$ (Hình 3).

Anh ta hỏi: không phải việc tìm ra điểm $E$ là nghiệm của một số bài toán, hoặc bài toán, về ba hình tứ giác sao? (Tất nhiên, trước khi đọc thêm, hãy cố gắng tự mình nghĩ ra bài toán như vậy.)

Chúng ta đặt $AE=x, BE=y, CE=z$ và biểu thị bán kính của hình tròn $\epsilon$ bằng $e$. Sau đó (Hình 3) $x+a=y+b=z+c=e$. Do đó $x+y+a+b=2e$, tức là $x+y+AB=2e$. Nó cũng được xác định rằng $x+z+AC=y+z+BC=2e$. Các đại lượng $x+y+AB, x+z+AC$ và $y+z+BC$ là chu vi của hình tam giác $AEB, AEC$

Cơm. 2.

Cơm. 3

15

và TRỌNG LƯỢNG. Như vậy, tâm $E$ của đường tròn e hóa ra là nghiệm bài toán “của ba tam giác có chu vi bằng nhau”, hoàn toàn giống với bài toán ban đầu của tứ giác.

Công thức tính điểm của bài toán mới:

“Dan $\Delta ABC$. Có bao nhiêu câu châm ngôn $E$ sao cho chu vi của hình tam giác $AEB, AEC$ và $BEC$ bằng nhau*)?>

Ở trên chúng tôi đã xác định rằng tồn tại ít nhất một điểm như vậy $E$.

bạn đang làm việc

1. Chứng minh rằng không còn điểm nào khác như vậy.
2. Chứng minh điều ngược lại của phát biểu trên: giả sử điểm $E$ sao cho chu vi của mỗi tam giác $AEB, AEC$ và $BEC$ bằng $2e$, khi đó $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ tiếp tuyến từ trong ra ngoài với một đường tròn bán kính $e$ có tâm $E$.

Trong các bài toán ba hình tứ giác và ba hình tam giác, chúng ta không chỉ chứng minh sự tồn tại và duy nhất của các điểm $D$ và $E$ mà còn tìm ra công thức tính chu vi: $2(p+d)=2(a+b+c+d)$ và $2e$. Anh ta hỏi: có thể tính được những chu vi này khi biết các cạnh $\Delta ABC$ không? Bán kính $a, b$ và $c$ được tính bằng các công thức đơn giản (1). $d$ và $e$ có được thể hiện bằng $a, b$ và $c$ không?

Câu trả lời tích cực đáp số cho câu hỏi này được đưa ra trong § 3.

§ 3. Công thức Frederick Soddy

Chúng tôi đã lưu ý rằng bài toán Apollonia đã được giải quyết vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. Có vẻ như những ngày này cô không còn chứa đựng được điều gì mới mẻ và bất ngờ nữa. Tuy nhiên, tương đối gần đây, người ta đã thu được một công thức hay cho thấy các kích thước của một vòng tròn tương ứng với nhau như thế nào trong bài toán Apollonius.

Công thức này khiến việc gõ phím trở nên tệ hơn khi bạn phát hiện ra nó không phải do một chuyên gia tạo ra.

*) Chỉ xét các điểm $E$ nằm trong mặt phẳng $\Delta ABC$.

nhà toán học và nhà hóa học - Frederick Soddy.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $k, l, m$ và $n$ nghịch đảo của bán kính các đường tròn $\alpha, \beta, \gamma$ và $\delta$ từ § 1:

$k=1/a, l=1/b, m=1/c, n=1/d$.

Sau đó

$2(k^2+l^2+m^2+n^2)=(k+l+m+n)^2$.

Mối quan hệ tao nhã này là công thức của Soddy.

Nó có thể được coi là một phương trình bậc hai cho $n$ (các số $k, l$ và $m$ được coi là đã biết). Giải phương trình này, ta được

$n_{1,2}=k+l+m\pm 2\sqrt{kl+lm+mk}$.

Căn nguyên dương $n_1$ tất nhiên là $1/d$. $n_2$ là gì?

Hóa ra $n_2=-1/e$, trong đó $e$ là bán kính của hình tròn tính từ § 2.

Ý nghĩa của dấu cộng và dấu trừ là gì: tại sao $1/d$ được lấy bằng dấu phẳng và $1/e$ được lấy bằng dấu trừ?

Nghịch đảo của bán kính có một tên đặc biệt: “độ cong”. Bán kính càng lớn thì “đường cong” hình tròn càng mượt mà - độ cong của nó càng ít.

Một đường thẳng (trường hợp giới hạn của hình tròn - “đường tròn có bán kính vô hạn”) có độ cong bằng không. Sẽ là điều tự nhiên khi sử dụng các dấu hiệu để phân biệt giữa độ cong của độ cong “lồi” và “lõm”. Nhưng vòng tròn lồi và lõm là gì?

Tất nhiên, tất cả các vòng tròn đều “giống nhau”. Nhưng khi nó ở ngoài đường tròn thì đương nhiên coi nó là lồi, còn nếu nó nằm trong cùng một đường tròn thì nó có vẻ lõm. Do đó, “theo quan điểm của các vòng tròn $\alpha, \beta$ và $\gamma$” là vòng tròn và thật hợp lý khi xem xét “khác nhau”: vòng tròn thứ nhất là lồi, vòng tròn thứ hai là lõm.

Chúng tôi sẽ trình bày cách dẫn xuất công thức Soddy trong § 6.

§ 4. Sorpiriz chính

Chúng ta đã gặp một số thử thách: trong § 1 bài toán về các tứ giác có chu vi bằng nhau đột nhiên được rút gọn thành trường hợp đặc biệt của bài toán Apollonius, trong § 2 cần phải chứng minh thứ tự hành động - trước tiên chúng ta đã giải và sau đó lập công thức bài toán về các tam giác có chu vi bằng nhau, trong § 3 chúng tôi trình bày dạng -

16

mulu, được một nhà hóa học hiện đại trang trí thành một trong những hình học bài toán lâu đời nhất.

Nhưng vấn đề tranh cãi chính sẽ được trình bày ngay bây giờ.

Trong chứng minh của mình, chúng tôi đã sử dụng các sự kiện hình học “hiển nhiên” sau đây:

I. Để ba vòng tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ chạm vào nhau ở bên ngoài theo cặp. Khi đó, có đúng một vòng tròn $\delta$ chạm vào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ ở bên ngoài và đúng một vòng tròn $\varepsilon$ chạm vào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ chạm vào bên trong.

II. Cho ba đường tròn $\alpha''$, $\beta''$ và $\gamma''$ đi qua một điểm $D$. Khi đó, bất kỳ điểm nào $T$ nằm bên trong $\alpha''$ đều nằm ở bên ngoài $\beta''$ hoặc bên ngoài $\gamma''$ (hoặc bên ngoài cả hai đường tròn này).

Cả hai sự thật đều … không chính xác. (Pozny và lời giải bài toán M195 cũng sai.)

§ 5. Sửa chữa lớn

Hình 4 hiển thị các vòng tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ trong đó có hai vòng tròn ($\delta_1$ và $\delta_2$) tiếp xúc bên ngoài với $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ và không có vòng tròn $\varepsilon$ nào có $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ cảm ứng bên trong.

Hình 5 định nghĩa “sự thật” II.

Tất nhiên, những kết luận dựa trên “sự thật” I và II cũng không chính xác – mọi dữ liệu được xây dựng trên nền tảng lung lay đều sụp đổ!

May mắn thay, sự tàn phá không quá thảm khốc.

Định lý. Để các vòng tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ chạm vào nhau ở bên ngoài theo cặp. Khi đó có thể xảy ra ba (và chỉ ba) trường hợp:

I. Có chính xác một vòng tròn $\delta$ chạm vào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ ở bên ngoài và đúng một vòng tròn $\varepsilon$ chạm vào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ chạm vào bên trong.

II. $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ có một tiếp tuyến chung (và nằm dọc theo một đường thẳng từ nó), trong khi chính xác một đường tròn $\delta$ chạm vào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ ở bên ngoài và không một đường tròn nào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ không chạm từ bên trong.

III. Có chính xác hai vòng tròn $\delta_1$ và $\delta_2$, mỗi vòng tròn chạm vào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ ở bên ngoài và không có vòng tròn nào chạm vào bên trong $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$.

Một vài lời về sự đảo ngược.

Để chứng minh định lý này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nghịch đảo*).

Chúng ta hãy nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của nghịch đảo.

Về giới hạn. Cho $Q$ là một đường tròn có tâm $O$ bán kính $R$, nằm trong mặt phẳng $P$. Phép nghịch đảo đối với đường tròn $Q$ được gọi là phép biến đổi sau của mặt phẳng $P$: mỗi điểm của mặt phẳng $M$

*) Savin A.P., Đảo ngược và bài toán Apollo. «Kvant», 1971, số 8.

Cơm. 4.

Cơm. 5.

17

Cơm. 6.

$\Pi$, nằm cách $r$ một khoảng dương $O$, đi đến điểm $M'$, nằm trên tia $OM$ cách $r'$ cách $O$ sao cho $rr' = R^2$; $O$ gọi là tâm nghịch đảo, $R^2$ là hệ số nghịch đảo.

Thuộc tính 1. Nếu $M$ thuộc về $Q$ thì $M' = M$; nếu $M$ nằm bên trong $Q$ và khác với $O$ thì $M'$ nằm bên ngoài $Q$; nếu $M$ nằm ngoài $Q$ thì $M'$ nằm bên trong $Q$.

2. Đường thẳng và đường tròn biến đổi trong quá trình đảo ngược thành đường thẳng và đường tròn, và:

a) các điểm nằm trên một đường thẳng đi qua $O$ đi đến các điểm trên cùng một đường thẳng;

b) một đường thẳng không đi qua $O$ đi vào đường tròn đi qua $O$;

b) đường tròn đi qua $O$ đi vào đường thẳng không đi qua $O$;

d) đường tròn không đi qua $O$ đi vào đường tròn không đi qua $O$; trong trường hợp này $O$ nằm bên ngoài cả hai vòng tròn này hoặc bên trong cả hai vòng tròn này.

3. Nếu hai đường tròn (hoặc một đường thẳng và một đường tròn) chạm vào một điểm $M$ khác với $O$, thì ảnh $^*$ của chúng cũng chạm vào một điểm $M'$; nếu tiếp điểm trùng với $O$ thì các đường tròn này (hoặc một đường thẳng và một đường tròn) biến thành các đường thẳng song song.

*) Tức là chúng biến thành gì sau khi đảo ngược.

Cơm. 7.

Đối với những người lần đầu tiên tìm hiểu về nghịch đảo, chúng tôi khuyên bạn nên tự mình chứng minh các tính chất được liệt kê hoặc đọc bài viết nêu trên của A.P. Savin.

Là một công cụ kiểm soát giúp bạn tìm hiểu mức độ hiểu biết của mình về phương pháp đảo ngược, chúng tôi khuyên bạn nên tìm lỗi trong “lời giải” tiếp theo bài toán.

Để các vòng tròn $\alpha$ và $\beta$ chạm vào bên ngoài tại điểm $O$ (Hình 6). Chúng ta hãy biểu thị vị trí hình học của một điểm bằng $\Gamma$. Trong quá trình đảo ngược với tâm đảo ngược $O$, các vòng tròn $\alpha$ và $\beta$ sẽ biến thành các đường thẳng song song $\alpha'$ và $\beta'$ (Hình 6). Vòng tròn $\gamma$ chạm vào $\alpha$ và $\beta$ sẽ chuyển thành vòng tròn $\gamma'$ chạm vào $\alpha'$ và $\beta'$. Đường chấm chấm $\Gamma'$ trong Hình 6 là quỹ tích của điểm là tâm của các đường tròn $\gamma'$. Vì vậy, đường cong $\Gamma$ đã biến thành đường thẳng trong quá trình đảo ngược. Điều này có nghĩa là $\Gamma$ là đường tròn hoặc đường thẳng.

Nếu bạn tìm thấy lỗi trong “lời giải” ở trên, đã đến lúc chuyển sang chứng minh định lý được xây dựng ở đầu § 5.

Chứng minh định lý. Các vòng tròn $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$, theo điều kiện, chạm vào nhau từ bên ngoài theo cặp (Hình 7, a). Điểm tiếp xúc giữa $\alpha$ và $\beta$ sẽ được ký hiệu là $O$.

18

Chúng ta hãy lấy một đường tròn tùy ý $Q$ có tâm $O$ và đảo ngược đường tròn tương đối (Hình 6).

Trong quá trình đảo ngược, các vòng tròn $\alpha$ và $\beta$ sẽ biến thành các đường thẳng song song $\alpha'$ và $\beta'$, đồng thời vòng tròn $\gamma$ thành vòng tròn $\gamma'$, tiếp xúc với các đường thẳng này (Hình 7, b). Tâm nghịch đảo $O$ nằm (hãy kiểm tra xem!) trong dải giữa các đường $\alpha'$ và $\beta'$ bên ngoài vòng tròn $\gamma'$.

Rõ ràng có chính xác hai vòng tròn tiếp xúc với cả $\alpha'$, $\beta'$ và $\gamma'$ (Hình 7, f). Trong trường hợp này, có thể xảy ra ba trường hợp:

I. Điểm $O$ nằm bên trong một trong các đường tròn này (và nằm bên ngoài đường tròn kia).

II. Điểm $O$ nằm trên một trong số chúng (và nằm ngoài điểm kia).

III. Điểm $O$ nằm ngoài cả hai đường tròn này.

Trong trường hợp I và II, chúng tôi biểu thị các vòng tròn đang được xem xét là $\delta'$ và $\varepsilon'$ (và $\delta'$ - vòng tròn bên ngoài mà điểm $O$ nằm), trong trường hợp III, chúng tôi biểu thị chúng bằng $\delta'_1$ và $\delta'_2$.

Bất kỳ đường tròn hoặc đường thẳng nào tiếp xúc với cả $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ đều được định hình lại khi đảo ngược thành đường tròn tiếp xúc với $\alpha'$, $\beta'$ và $\gamma'$. Trong trường hợp I, các vòng tròn $\delta'$ và $\varepsilon'$ đã giao nhau với các vòng tròn—hãy gọi chúng là $\delta$ và $\varepsilon$. Trong trường hợp II, $\delta'$ đã đi qua một đường tròn (gọi là $\delta$) và $\varepsilon'$ đã đi qua một đường thẳng (tức là $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ có một tiếp tuyến chung trong trường hợp này, trong khi $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ rõ ràng là nằm ở một bên của nó). Trong trường hợp III, $\delta'_1$ và $\delta'_2$ các vòng tròn giao nhau (hãy gọi chúng là $\delta_1$ và $\delta_2$).

Vì vậy, các vòng tròn chạm vào $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ là hai hoặc một. Trong trường hợp điểm I, $O$ nằm bên ngoài $\delta$ và bên trong $\varepsilon$, tức là $\delta$ có tiếp tuyến ngoài với $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$, còn $\varepsilon$ có tiếp tuyến bên trong. Trong trường hợp điểm II, $O$ nằm ngoài $\delta$ - lại $\delta$ có tiếp tuyến ngoài với $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$. Trong trường hợp III, các điểm nằm cả bên ngoài $\delta_1$ và bên ngoài $\delta_2$, sao cho cả hai đều chạm vào bên ngoài $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$.

Định lý đã được chứng minh.

Hệ quả 1. Trong trường hợp $I$ Và $II$ bài toán khoảng ba lần chúng ta có thứ duy nhất lời giải (trung tâm $D$ vòng tròn $\delta$), trong trường hợp $III$ - hai lời giải (trung tâm $D_1$ Và $D_2$ vòng tròn $\delta_1$ Và $\delta_2$).

Hệ quả 2. Trong trường hợp $I$ bài toán về ba hình tứ giác ta chỉ có lời giải (tâm $E$ của hình tròn $\varepsilon$), trong trường hợp $II$ và $III$ lời giải thì đó là tiếng Đức.

Quét. Trong §3, chúng tôi đã lập luận (theo lý thuyết không chính xác được phát triển trong §§1 và 2) rằng $n_1 = 1/d$ và $n_2 = -1/e$. Điều này đúng trong trường hợp I. Trong trường hợp này $n_2 < 0$. Trong trường hợp II $n_2 = 0$ (điều này tương ứng với việc đường thẳng - tiếp tuyến chung của $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ - có độ cong bằng 0). Trong trường hợp III, $n_1 = 1/d_1$ và $n_2 = 1/d_2$, trong đó $d_1$ và $d_2$ là bán kính của đường tròn $\delta_1$ và $\delta_2$; trong trường hợp này $n_2 > 0$. Chúng tôi sẽ xác minh tính hợp lệ của các tuyên bố vừa được đưa ra trong § 6.

Cho các cạnh của tam giác $ABC$, chúng ta có thể tính $n_{1,2}$ và xác định trường hợp nào trong ba trường hợp xảy ra.

Đôi khi bạn có thể thực hiện mà không cần tính toán như vậy - chúng ta sẽ nói về điều này trong § 7.

§ 6. Dẫn xuất công thức Soddy

1. Đặt $U, V$ và $W$ là ba số không âm tùy ý có tổng là $π$. Sau đó
   $$\sin^2 U = \sin^2 V + \sin^2 W - 2 \sin V \sin W \cos U.$$
   Bằng chứng. Hãy dựng một hình tam giác có các góc $U, V$ và $W$. Gọi độ dài các cạnh đối diện là $u, v$ và $w$. Theo định lý cosin
   $$u^2 = v^2 + w^2 - 2 vw \cos U.$$
   Theo định lý sin
   $$u/\sin U = v/\sin V = w/\sin W.$$
   Từ đây thu được công thức cần thiết cho mọi góc khác 0. Nếu ít nhất một trong các góc $U, V$ và $W$ bằng 0 thì công thức sẽ được kiểm tra trực tiếp.

19

2. Đặt $A, B, C$ và $D$ là bốn điểm tùy ý của mặt phẳng. Sau đó
   $$\sin^2 \frac{\angle ADB}{2} + \sin^2 \frac{\angle ADC}{2} - \sin^2 \frac{\angle BDC}{2})^2 = 4\sin^2 \frac{\angle ADB}{2} \times \sin^2 \frac{\angle ADC}{2} \cos^2 \frac{\angle BDC}{2}.$$
   Bằng chứng. Có bốn trường hợp có thể xảy ra (Hình 8) về vị trí tương đối của điểm $A, B, C$ và $D$. Trong mỗi mục, chúng tôi sẽ chọn $U, V$ và $W$ theo bảng bên dưới. Trong mọi trường hợp, $U \geq 0$, $V \geq 0$, $W \geq 0$ và $U + V + W = \pi$ vì vậy, theo điểm 1,
   $(\sin^2 V + \sin^2 W - \sin^2 U)^2 = 4\sin^2 V \cdot \sin^2 W \cdot \cos^2 U$.
   Vẫn còn phải tận dụng thực tế là trong mọi trường hợp
   $$\sin U = \sin \frac{\angle BDC}{2}, \\ \sin V = \sin \frac{\angle ADC}{2}, \\ \sin W = \sin \frac{\angle ADB}{2}, \\ \cos^2 U = \cos^2 \frac{\angle BDC}{2}.$$
3. Đặt một trong các góc của tam giác là $\theta$, cạnh đối diện $-u$, liền kề $-v$ và $w$, ta được mét của tam giác $-q$. Sau đó
   $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{q(q - u)}{v \cdot w}, \quad \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{(q - v)(q - w)}{v \cdot w}.$$
   Bằng chứng. Theo định lý cosin
   $$u^2 = v^2 + w^2 - 2vw \cos \theta, \quad \cos \theta = (v^2 + w^2 - u^2)/2vw.$$
   Có nghĩa,
   $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2} = \frac{(v + w)^2 - u^2}{4v \cdot w} = \frac{(v + w + u)(v + w - u)}{4v \cdot w} = \frac{q(q - u)}{v \cdot w},$$

20

$$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2} = \frac{u^2 - (v - w)^2}{4v \cdot w} = \frac{(u + v - w)(u + w - v)}{4v \cdot w} = \frac{(q - w)(q - v)}{v \cdot w}.$$

4. Để các vòng tròn $\alpha, \beta, \gamma$ và $\delta$ có tâm $A, B, C$ và $D$ cũng như bán kính $a, b, c$ và $d$ chạm vào nhau từ bên ngoài theo cặp. Sau đó
   $$\cos^2 \frac{\angle BDC}{2} = \frac{(b + d + c)d}{(b + d)(d + c)},$$
   $$\sin^2 \frac{\angle BDC}{2} = \frac{bc}{(b + d)(d + c)},$$
   $$\sin^2 \frac{\angle ADB}{2} = \frac{ab}{(a + d)(d + b)},$$
   $$\sin^2 \frac{\angle ADC}{2} = \frac{ac}{(a + d)(d + c)}.$$

Bằng chứng. Trong $\triangle BDC$ chúng ta biểu thị các cạnh và nửa chu vi thông qua $b, d$ và $c$:
$$BC = b + c, \quad BD = b + d, \quad DC = d + c,$$
$$\frac{1}{2}(BC + BD + DC) = b + d + c$$

và sử dụng các công thức ở điểm 3. Chúng ta thu được hai công thức còn lại tương tự từ $\triangle ADB$ và $\triangle ADC$.
4’. Để các vòng tròn $\alpha, \beta, \gamma$ có tâm $A, B, C$ và bán kính $a, b, c$ chạm vào nhau từ bên ngoài theo cặp và để cả ba chạm vào nhau từ bên trong với tâm $E$ và bán kính $e$. Sau đó
$$\cos^2 \frac{\angle BEC}{2} = \frac{(b - e + c)(-e)}{(b - e)(-e + c)},$$
$$\sin^2 \frac{\angle BEC}{2} = \frac{bc}{(b - e)(-e + c)},$$
$$\sin^2 \frac{\angle AEB}{2} = \frac{ab}{(a - e)(-e + b)},$$
$$\sin^2 \frac{\angle AEC}{2} = \frac{ac}{(a - e)(-e + c)}.$$

Chứng minh tương tự như ở điểm 4.
5. Theo các điều kiện của điểm 4, chúng ta đặt $k = 1/a, l = 1/b, m = 1/c, n = 1/d$.

Sau đó
$(-k + l + m + n)^2 = 4(lm + mn + nl).$

Bằng chứng. Theo đoạn 2 và 4
$$\left[ \frac{ab}{(a + d)(d + b)} + \frac{ac}{(a + d)(d + c)} \right]^2 = 4 \frac{ab}{(a + d)(d + b)} \times \frac{ac}{(a + d)(d + c)} \cdot \frac{(b + d + c)d}{(b + d)(d + c)}.$$

Nhân cả hai vế của đẳng thức với $[(a + d)(b + d)(c + d)/abcd]^2$, ta được
$$\left[ \frac{c + d}{cd} + \frac{b + d}{bd} - \frac{a + d}{ad} \right]^2 = 4 \frac{b + d + c}{bdc},$$

hoặc cuối cùng
$(-k + l + m + n)^2 = 4(lm + mn + nl).$

Quét. Các công thức của đoạn 4’ được lấy từ các công thức của đoạn 4 nếu chúng ta thay thế $d$ bằng $(-e)$. Do đó, công thức chứng minh ở đoạn 5 cũng đúng với các điều kiện ở đoạn 4’ cho $n = -1/e$.

6. Độ cong $k, l, m$ và $n$ của các đường tròn $\alpha, \beta, \gamma$ và $\delta$ tiếp xúc theo cặp với nhau ở bên ngoài, liên quan bởi công thức Soddy
   $(k + l + m + n)^2 = 2(k^2 + l^2 + m^2 + n^2).$

Công thức tương tự cũng đúng nếu $n$ là độ cong của đường tròn $\varepsilon$ mà $\alpha, \beta$ và $\gamma$ tiếp xúc từ bên trong.

Bằng chứng. Hãy chuyển đổi danh tính
$(k + l + m + n)^2 = (-k + l + m + n)^2 + 4k(l + m + n)$

có tính đến điểm 5:
$(k + l + m + n)^2 = 4(kl + km + kn + lm + ln + mn).$

Lợi dụng danh tính
$(k + l + m + n)^2 - (k^2 + l^2 + m^2 + n^2) = 2(kl + km + kn + lm + ln + mn),$

chúng tôi nhận được
$(k + l + m + n)^2 = 2[(k + l + m + n)^2 - (k^2 + l^2 + m^2 + n^2)].$

Đưa các số hạng tương tự, chúng ta thu được công thức Soddy.

7. Từ tuyên bố đã được chứng minh ở đoạn 6, ngay sau đó

21

Hệ quả 1. Ta đặt (như ở § 3)
$$n_{1,2} = k + l + m \pm 2\sqrt{kl + lm + mk}.$$
Sau đó, xét theo điều § 5, nếu trường hợp I xảy ra thì $n_2 < 0$, và nếu trường hợp III xảy ra thì $n_2 > 0$.

Bài tập 3. Chứng minh trường hợp II $n_2 = 0$.

Kết hợp Hệ quả 1 và bài tập, ta được

Hệ quả 2. Nếu $n_2 < 0$ thì xảy ra trường hợp I, nếu $n_2 = 0$ thì xảy ra trường hợp II, nếu $n_2 > 0$ thì xảy ra trường hợp III.

§ 7. Một điều cần thiết khác

Vào tháng 6, Bài toán Kvant đã xuất bản bài toán M209.

Với mọi tam giác ABC, bạn có thể tính tổng sau:
$$S = \text{tg}^2 \frac{A}{2} + \text{tg}^2 \frac{B}{2} + \text{tg}^2 \frac{C}{2}.$$
Chứng minh rằng:
a) $S < 2$ cho tất cả các tam giác nhọn và tam giác vuông;
b) $S > 2$ đối với tam giác tù có góc tù lớn hơn 2 cung tan $^4/3$;
b) với mọi φ sao cho $\frac{\pi}{2} < \varphi < 2\arctg \frac{4}{3}$, trong số các tam giác tù có góc tù bằng $\varphi$, có những tam giác sao cho $S > 2$ và những tam giác sao cho $S < 2$.

Thoạt nhìn, vấn đề M195 và M209 nói lên những điều hoàn toàn khác nhau. Nhưng hóa ra - một điều ngạc nhiên khác - giữa họ có một mối liên hệ sâu sắc.

Sử dụng § 6 (điểm 3 và 4), dễ dàng chứng minh được điều sau:

Phát biểu 1. Cho các vòng tròn $\alpha, \beta, \gamma$ có tâm A, B, C và bán kính a, b, c theo cặp tiếp xúc với nhau ở bên ngoài và để $a + b + c = p$. Sau đó
$$\text{tg}^2 \frac{A}{2} = \frac{bc}{ap}, \text{tg}^2 \frac{B}{2} = \frac{ac}{bp},$$
$$\text{tg}^2 \frac{C}{2} = \frac{ab}{cp}.$$

Vì vậy, $(a + b + c)S = \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}$. Chia cả hai vế của đẳng thức này cho abc, ta được
$$S \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \right) = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$$
hoặc $S(kl + lm + mk) = k^2 + l^2 + m^2$. Sử dụng đồng nhất thức $k^2 + l^2 + m^2 = (k + l + m)^2 - 2(kl + lm + mk)$, chúng ta tìm thấy: $(S + 2)(kl + lm + mk) = (k + l + m)^2$.

Vì vậy, các điều kiện sau đây là tương đương theo cặp:
$$S < 2 \text{ и } (k + l + m)^2 < 4(kl + lm + mk),$$
$$S = 2 \text{ и } (k + l + m)^2 = 4(kl + lm + mk),$$
$$S > 2 \text{ и } (k + l + m)^2 > 4(kl + lm + mk).$$

Chúng ta hãy nhớ công thức
$$n_{1,2} = (k + l + m) \pm 2\sqrt{kl + lm + mk},$$
chúng tôi nhận được nó từ đây.

Phát biểu 2. Các điều kiện S<2, S=2 và S>2 đặc trưng (tương ứng với) các trường hợp I ($n_2 < 0$), II ($n_2 = 0$) và III ($n_2 > 0$).

Do đó, kết quả bài toán M209 cho phép xem khá một phần △ ABC để cho biết trường hợp nào trong các trường hợp I, II, III đúng: nếu △ ABC là nhọn hoặc hình chữ nhật, thì trường hợp I (bài toán M195 trong trường hợp này có chính xác một lời giải D), nếu △ ABC “rất tù” ($\varphi > 2\arctg^4/3$), thì trường hợp III (bài toán) M195 có hai lời giải D$_1$ và D$_2$). “Lưu vực” (trường hợp II) chạy dọc theo các hình tam giác “không quá tù” ($\pi/2 < \varphi < 2\arctg^4/3$). Bạn sẽ có thêm một số thông tin về “đầu nguồn” này bằng cách giải bài toán M209 hoặc đọc lời giải của cô ấy trong “Bài toán Kvant”.

24

Nước. Theo kinh nghiệm, người ta biết rằng khi hình thành 1 mol hoặc 18 e nước (nghĩa là loại bỏ hoàn toàn 1 mol hoặc 2 e hydro), năng lượng được giải phóng $W = 56,7$ kcal/mol. Vì vậy, điện áp ngưỡng

$$U_{\min} = \frac{W}{2} \cdot \frac{1}{N_e v} = \frac{56,7 \text{ ккал/mоль}}{1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 2} = 1,23\varepsilon.$$

Một sự khác biệt tiềm năng nhất định được thiết lập giữa điện cực ngâm trong chất điện phân và chất điện phân. Điều này có thể xảy ra do kim loại có khả năng “chuyển tiếp” vào dung dịch dưới dạng ion. Trong trường hợp này, điện cực được tích điện âm và chất điện phân được tích điện dương. Một lớp ion dương được hình thành dọc theo bề mặt điện cực. (Lưu ý rằng sự chênh lệch điện thế này không tạo ra dòng điện qua hemigel - đây là tên được đặt cho điện cực riêng biệt với chất điện phân tương ứng. Các ion ở trạng thái cân bằng dionic với điện cực.) Cũng có thể có một lựa chọn khác, khi kim loại được tích điện dương và chất điện phân - âm. Điều này xảy ra trong trường hợp điện cực hạ xuống chất điện phân không “hòa tan” nhưng các ion chất điện phân vẫn nằm trên bề mặt của nó.

Không thể đo trực tiếp ứng suất trong vật liệu bán cốt thép. Tuy nhiên, bạn có thể chọn một nửa đai “vĩnh viễn” và bằng cách kết nối các nửa đai khác nhau với nó, sẽ thay đổi hiệu điện thế giữa các điện cực. “Vĩnh viễn” hay, như nó được gọi, điện cực bình thường được gán điện thế bằng 0, và sau đó chúng ta có thể giả sử rằng điện cực thứ hai có một điện thế được xác định đầy đủ - điện thế bình thường ($\varphi_{\min}$).

Bảng dưới đây được tổng hợp từ các kết quả thu được bằng phương pháp này. Một tấm đập thông thường được chọn làm điện cực thông thường và chất điện phân tương ứng là dung dịch hydro đồng nhất*). Thế năng bình thường xác định năng lượng cần thiết để khử 1 mol một chất nhất định khỏi các ion.

Vì điều đáng quan tâm thường không phải là điện thế của một điện cực riêng lẻ mà là điện áp giữa một cặp điện cực, rõ ràng là việc lựa chọn một điện cực thông thường có thể là tùy ý. Điều quan trọng là với cặp điện cực được chọn để điện phân từng chất điện phân cần xác định được điện thế tối thiểu.

Thế điện cực của các kim loại trong bảng được viết theo thứ tự giảm dần. Xin lưu ý rằng chuỗi các kim loại (bao gồm cả hydro) K, Na, Mg, Al, Zn, Fe, Pb, H, Cu, Ag, Au không gì khác hơn là chuỗi hoạt động của các kim loại được biết đến từ hóa học. Ở hàng này, mỗi kim loại có thể được ép ra khỏi dung dịch bằng kim loại sollyl đứng bên phải nó. Ví dụ, các phản ứng có thể xảy ra

$$\text{Zn} + \text{Cu}^{++} \rightarrow \text{Cu} + \text{Zn}^{++},$$

$$2\text{Na} + 2\text{H}^{+} \rightarrow 2\text{Na}^{+} + \text{H}_{2}.$$

Ví dụ này cho thấy vật lý học cung cấp một mô tả định lượng như thế nào về sự thay thế theo kinh nghiệm trong hóa học đối với các quy luật. Các phản ứng diễn ra theo hướng giải phóng năng lượng và các giá trị điện áp ngưỡng tỷ lệ thuận với lượng năng lượng này.

Bây giờ, dựa trên bảng hướng dẫn, chúng ta có thể trả lời hợp lý câu hỏi tại sao hydro mà không phải natri lại được giải phóng trong quá trình điện phân dung dịch NaOH trên caatl. Điện áp ngưỡng để điện phân dung dịch NaOH là 3,94 $\beta$ (2,71 $\beta$ + 1,23 $\beta$). Nếu hiệu điện thế ở các điện cực là $U<1,23$ thì điện phân nói chung là không thể, nhưng nếu là 1,23 $\beta<U<3,94 \beta$ thì không thể

*) Dung dịch một chuẩn được gọi là dung dịch trong đó một lít dung dịch tạo ra một gam nguyên tử hydro.

25

Natri kim loại được hình thành. Nếu $U > 3,94$ $\theta$ thì natri có thể được hình thành một phần, nhưng một khi đã hình thành, nó sẽ nhanh chóng phản ứng với nước.

Thực tế là các hướng ngưỡng điện phân khác nhau đối với các kim loại khác nhau được sử dụng để tách các kim loại. Hãy tưởng tượng rằng bạn có một loại muối đồng với một lượng nhỏ bạc và vàng. Làm thế nào để khai thác kim loại quý? Chúng ta hãy tiến hành điện phân muối đồng CuSO$_4$, sử dụng đồng thô này làm cực dương. Trong trường hợp này, các phản ứng có thể xảy ra ở cực dương: giải phóng oxy, hòa tan (nghĩa là hình thành các ion) đồng và hòa tan bạc và vàng. Đồng kim loại sẽ được lắng đọng trên caote. Nếu lấy hiệu điện thế giữa các điện cực đủ nhỏ (nhỏ hơn 0,80$\theta$—0,34$\theta$ = 0,46$\theta$) để không xảy ra phản ứng hòa tan bạc, vàng và điện phân nước thì cực dương bị phá hủy, đồng Cu$^{++}$ hòa tan, lắng đọng trên caot, còn bạc và vàng không tan ở chênh lệch điện thế này sẽ giữ nguyên. trên anode.

Bây giờ chúng ta hãy xem đặc tính voltamer của chất điện phân là gì. Tình huống ở đây là khác nhau đối với các loại phản ứng khác nhau, ví dụ như phản ứng xảy ra trong pin và phản ứng điện phân nước.

Trong pin, phản ứng hóa học được chọn sao cho các chất hình thành khi pin xả hết thời gian sử dụng vẫn ở dạng dung dịch hoặc

26

lắng đọng trên các điện cực. Sau đó, khi sạc pin, phản ứng sẽ đảo ngược và điều này sẽ dẫn đến việc khôi phục lại trạng thái ban đầu.

Trong quá trình điện phân, hydro hoặc các loại khí khác có thể được giải phóng và kim loại trong dung dịch có thể bị khử và kết tủa. Khi đó phản ứng không còn có thể được kiểm tra theo hướng khác nữa.

Trong trường hợp thứ hai, dòng điện hoàn toàn không chạy theo hướng làm thay đổi ngưỡng và điện trở của chất điện phân thực tế là vô hạn. Khi hiệu điện thế âm, cực dương và cực âm đổi chỗ cho nhau, và bắt đầu từ hướng - $U_{\min}$, độ dẫn điện sẽ lại xuất hiện. Do đó, đặc tính dòng điện-điện áp có dạng như trên Hình 1.

Nếu, trong phản ứng loại thứ nhất, một chất đã được giải phóng trên các điện cực, thì chất điện phân cùng với các điện cực sẽ trở thành nguồn dòng điện có suất điện động đúng bằng hướng ngưỡng. Do đó, đặc tính dòng điện-điện áp của nó tương ứng với định luật Ohm tổng quát đối với một mạch hoàn chỉnh trong đó điện trở tải bằng điện trở trong của nguồn, nhưng trộn lẫn từ gốc đến hướng ngưỡng (Hình 2). Khi hướng tác dụng bằng 0, đây là

Tất nhiên, nguồn dòng điển hình chỉ là cho đến khi tất cả hoạt chất trên các điện cực được tiêu thụ hết. Tiếp tuyến của độ dốc của các đường thẳng trong Hình 1 và 2 đặc trưng cho độ dẫn điện của chất điện phân và trong trường hợp các điện cực phẳng tỷ lệ thuận với tiết diện của các điện cực và nồng độ ion và tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa các điện cực. Cần lưu ý rằng các biểu đồ trông như thế này khi mật độ hiện tại không quá cao.

Để kết luận, chúng tôi một lần nữa nhấn mạnh rằng sự tồn tại của hướng ngưỡng là hệ quả của định luật Faraday và định luật bảo toàn năng lượng. Hiện tượng này thể hiện mối quan hệ giữa các loại năng lượng hóa học và điện.

Đánh bại

Điện phân 1 lít dung dịch nước $\text{AgNO}_3$ được thực hiện theo hướng 1 e. $m_{\text{Ag}} = 1\text{e}$ nổi bật. Nhiệt độ của dung dịch tăng bao nhiêu? Nói tổn thất không được tính đến.

27

Gia công kim loại đặc biệt bằng điện
I. I. Moroz

Trong những năm gần đây, các phương pháp gia công kim loại bằng điện ngày càng được sử dụng nhiều hơn. Những phương pháp này là gì và cách chúng được sử dụng so với các phương pháp gia công kim loại khác sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Năm 1834, Michael Faraday đã hình thành các định luật cơ bản về điện phân.

Theo định luật Faraday, lượng chất $m$ thoát ra hoặc hòa tan trên các điện cực trong thời gian $t$ tỉ lệ thuận với lượng điện $q$ đi qua chất điện phân:

$$m = kq = kIt = \frac{ItA}{Nev},$$

trong đó $I$ là cường độ dòng điện, $A$ là khối lượng nguyên tử, $v$ là hóa trị của chất, $N$ là số Avogadro, $e$ là điện tích của electron.

Được biết, $I = jS$ (j là mật độ dòng điện, $S$ là diện tích điện cực).

Chỉ vài năm sau khi phát hiện ra định luật điện phân, năm 1928, kỹ sư Liên Xô V.N. Gusev và L.P. Rozhkov đề xuất sử dụng phương pháp điện phân để gia công kim loại bằng các phương pháp cơ học thông thường (tiện, phay, cắt, mài).

Thoạt nhìn, đề xuất này có vẻ thiếu giáo dục. Quả thực, tất cả kinh nghiệm của con người dường như đều dạy rằng một công cụ phải là vật liệu rắn mới có thể gia công được. Ngay cả người thượng cổ cũng sử dụng đá làm công cụ cắt. Sau đó, sắt, thép và cuối cùng là các công cụ hợp kim cứng và siêu cứng được tạo ra. Nhưng với sự phát triển của công nghệ, đặc biệt là các ngành cơ khí chuyên ngành (kỹ thuật ô tô, tên lửa và một số ngành khác), các vật liệu mới đã xuất hiện, việc xử lý chúng bằng phương pháp cơ học gặp rất nhiều khó khăn và trong một số trường hợp, đơn giản là không thể. Ví dụ, có những hợp kim cứng và giòn bị phá hủy trong quá trình gia công cơ khí. Cần phải tạo ra các phương pháp gia công kim loại mới. Đây là lúc đề xuất của Gusev và Rozhkov trở nên hữu ích.

Trong quá trình điện phân, các điện cực kim loại được ngâm trong dung dịch điện phân, một điện áp được đặt vào chúng và dòng điện chạy qua dung dịch điện phân (Hình 1). Rõ ràng, hydro được giải phóng trên bề mặt kim loại, sau đó xảy ra sự hòa tan kim loại, thường đi kèm với việc giải phóng oxy.

Trong thực tế công nghiệp, khắc điện hóa và đánh bóng điện phân kim loại từ lâu đã được sử dụng rộng rãi. Đầu tiên là để làm sạch bề mặt kim loại khỏi màng oxit, thứ hai là để cải thiện chất lượng bề mặt, tạo độ sáng bóng cho bề mặt. Cả hai quá trình này đều dựa trên thực tế là trong quá trình điện phân, kim loại sẽ bị hòa tan.

Cơm. 1.

28

Cả trong quá trình khắc và đánh bóng, một lượng kim loại không đáng kể được loại bỏ khỏi bề mặt và kích thước hình học của bộ phận được tạo hình trên thực tế không thay đổi. Điều này được giải thích là do ở mật độ dòng điện được sử dụng trong các quá trình như vậy, tốc độ hòa tan kim loại là rất thấp. Nếu mật độ dòng điện tăng lên hàng trăm lần thì tốc độ hòa tan aode của kim loại cũng sẽ tăng lên. thì lượng kim loại bị loại bỏ có thể tỷ lệ thuận với lượng kim loại bị loại bỏ trong quá trình cắt. Điều này cho phép sử dụng điện phân để gia công kim loại.

Hình 2 thể hiện sơ đồ chung của quá trình xử lý điện hóa kim loại. Cũng giống như quá trình khắc và đánh bóng, bộ phận được tạo hình được kết nối với cực dương của nguồn dòng điện và dụng cụ điện cực được kết nối với cực âm. Tuy nhiên, không giống như các bể điện phân thông thường, nơi khoảng cách giữa các điện cực là 150 200 mm, ở đây khoảng cách này giảm xuống còn 0,05 0,5 mm và thông qua khoảng cách hẹp giữa các điện cực này, máy bơm liên tục hòa tan chất điện phân. Các bề mặt không hoạt động của cực âm được phủ bằng vật liệu cách điện.

Ví dụ, do khoảng cách giữa các điện cực rất nhỏ

30

Mục “Phòng thí nghiệm «Kvant»” thuộc chuyên mục hệ thống của tạp chí chúng tôi. Trong đó, chúng tôi cố gắng mang đến cho độc giả cơ hội thực hiện một số loại thí nghiệm thú vị không cần thiết bị đặc biệt, có thể nói, bằng các phương tiện ngẫu hứng thực tế có sẵn ở bất kỳ ngôi nhà nào. Quá trình sử dụng thí nghiệm này giúp trẻ hiểu sâu hơn về các hiện tượng vật lý khác nhau và phát triển trí thông minh cũng như khả năng quan sát.

Nhiều quy luật và hiện tượng tự nhiên về cốt lõi không quá phức tạp và các đặc điểm đặc trưng của chúng có thể được tìm ra ngay cả trong những thí nghiệm tương đối đơn giản. Những thí nghiệm như vậy là bước đầu tiên để tiến tới nghiên cứu độc lập.

Từ thư của độc giả, chúng tôi thấy rằng nhiều người trong số họ sẵn sàng thực hiện các thí nghiệm mà chúng tôi đề xuất và thậm chí cố gắng thử nghiệm chúng một cách sáng tạo (thay đổi các điều kiện - chẳng hạn như thay đổi nhiệt độ hoặc các đại lượng vật lý khác liên quan đến thí nghiệm, chọn các chất và vật liệu khác, v.v.).

Khi tái hiện các thí nghiệm mà chúng tôi mô tả, cần đặc biệt chú ý đến đặc điểm kỹ thuật và thực hiện nghiêm ngặt các khuyến nghị trong bài viết về các biện pháp phòng ngừa.

Chúng tôi hy vọng rằng phần “Phòng thí nghiệm «Kvant»” sẽ giúp độc giả hiểu được khả năng của họ và phát triển kỹ năng của các nhà nghiên cứu bản chất máy chủ trong tương lai.

31

Đồ chơi pha lê

Trưởng M. P.,
G. F. Dobryansky

Pha lê được sử dụng để làm đồ trang sức và đồ trang trí. Chúng thu hút sự chú ý của chúng ta bằng hình dạng phức tạp, các cạnh lấp lánh, cách chơi màu sắc và sự phong phú của các sắc thái. Trên các trang «Kvant» chúng ta đã thảo luận về cách phát triển một tinh thể đơn đồng nhất rất lớn *). Chúng tôi muốn hướng dẫn độc giả cách tạo ra các sản phẩm nguyên bản và màu đỏ từ các tinh thể đa tinh thể, không khó để phát triển. Ví dụ, với một số kỹ năng và độ chính xác, bạn có thể trở thành chủ nhân của một cái cây tuyệt vời bao gồm những viên pha lê nhỏ lấp lánh và lung linh với ánh sáng xanh lục, hoặc một cây Tết xanh được bao phủ bởi một lớp pha lê trắng, giống như tuyết. Sau khi làm quen với phương pháp này và tích lũy được một số kinh nghiệm, bản thân bạn sẽ có thể phát minh và chế tạo nhiều đồ trang sức và vương quyền khác nhau từ đa tinh thể.

Phương pháp sản xuất các sản phẩm này dựa trên phương pháp được sử dụng rộng rãi để thu được các tinh thể đơn lẻ - kết tinh các chất quét từ nước. Khi làm lạnh dung dịch bão hòa, cũng như trong quá trình bay hơi dung môi và trong các điều kiện khác,

*) Xem bài viết: Varlamov A. A., Kazakovtsev D. V. Trồng tinh thể. «Kvant», 1973, số 6.

khi dung dịch quá bão hòa được tạo ra, chất hòa tan trong đó bắt đầu kết tủa. Nếu các tinh thể nhỏ của chất ban đầu (hạt) hoặc một số hạt không hòa tan lạ, có cấu trúc gần với cấu trúc của tinh thể, được đặt trong một bình chứa dung dịch (chất kết tinh), thì ở nhiệt độ giảm rất chậm, chúng ta có thể đảm bảo rằng chất đó được lắng đọng chủ yếu trên hạt.

Để có được các tinh thể nhân tạo đồng nhất khá lớn (vài centimet trở lên) đòi hỏi phải có thiết bị phức tạp với khả năng điều khiển nhiệt độ tự động chính xác, khuấy dung dịch, điều chỉnh thành phần hóa học của môi trường, v.v. Các tinh thể nhỏ và các thuật ngữ của chúng (đa tinh thể) có thể dễ dàng thu được mà không cần dùng đến các thiết kế phức tạp và tự động hóa.

Nếu bạn hạ một vật chứa nhiều hạt vào máy kết tinh thì bằng phương pháp giảm nhiệt độ hoặc làm bay hơi dung môi, bạn có thể biến nó thành tinh thể với đường cắt rõ ràng. Không cần khuấy dung dịch hoặc điều chỉnh chính xác tốc độ thay đổi nhiệt độ. Ngay cả khi không có điều này, các tinh thể vẫn có màu đỏ. Để có được số lượng lớn hạt trên đồ vật cần sơn, trước tiên bạn cần dùng sợi bông thông thường số 10 quấn lại (không nhất thiết phải chặt, xoay lần lượt, có thể cách nhau 1-3 mm), nhúng vào dung dịch, lấy ngay ra và lau khô kỹ ở nhiệt độ phòng. Vì các sợi tơ được bão hòa bằng dung dịch nên khi khô, chúng tạo thành các tinh thể nhỏ, sau này sẽ đóng vai trò là hạt giống.

Nếu muốn, tinh thể có thể được xử lý dễ dàng bằng bất kỳ chất không phát triển nào.

34

Toán học có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau. Bạn chỉ có thể lấy một cuốn sách và đọc liên tiếp: định nghĩa, định lý, chứng minh. Hoặc bạn có thể hành động tích cực hơn: đọc các định nghĩa và phát biểu của các định lý, đặt cuốn sách sang một bên và tự mình đưa ra cách chứng minh. Phương pháp đầu tiên giúp bạn có thể di chuyển nhanh chóng lúc đầu. Nhưng chỉ có phương pháp thứ hai mới cho phép bạn đọc lý thuyết toán học, ghi nhớ lâu và học cách áp dụng nó.

Chỉ bằng cách giải quyết bài toán đã biết - bằng cách khám phá điều gì đó mới mẻ cho chính mình - bạn mới có thể tiếp cận điều gì đó mới mẻ cho người khác.

Đây chính xác là loại công việc tích cực mà người đọc hướng tới trong các ghi chú được xuất bản trong phần “Vòng tròn toán học”. Thông thường, những ghi chú này có cấu trúc giống như một hoạt động vòng tròn toán học: người đọc được cung cấp một số chủ đề liên quan đến nhau bài toán. Một số trong số chúng được giải quyết trong văn bản, trong khi những vấn đề khác - cả dễ và khó hơn - được để lại cho lời giải độc lập.

Theo quy định, câu lạc bộ toán của chúng tôi dành cho học sinh lớp 8–9 và một số học sinh lớp 7.

35

Về xác suất và những con số “tốt”

G. A. Gurevich, J. M. Rabbom

«Kvant» xuất bản nhiều bài toán toán học khác nhau. Trong những bức thư gửi cho biên tập viên, câu hỏi thường được đặt ra: “Làm thế nào mà họ nghĩ ra bài toán?” Ghi chú của chúng tôi chủ yếu gửi đến những độc giả quan tâm đến vấn đề này.

Bất chấp tính chất “sơ cấp” của nhiều bài toán thú vị, hầu hết chúng đều là sự tái tạo lại các sự kiện toán học có ý nghĩa. Thật không may, nhiều học sinh, ngay cả sau khi giải được bài toán này, thậm chí không nhận thức được ý tưởng mà nó nảy sinh.

Mục đích của ghi chú này là nói một chút về lý thuyết xác suất mà bài toán M204 của “Sách Vấn đề”, Quanta’ được kết nối và đưa ra một lời giải đơn giản cho bài toán này.

Đầu tiên chúng ta nhớ lại các điều kiện của bài toán M204.

Chúng ta gọi một số tự nhiên là “tốt” nếu các số 1, 9, 7, 3 xuất hiện liên tiếp trong ký hiệu thập phân của nó và “xấu” trong trường hợp lời hứa. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n sao cho trong số tất cả các số có n chữ số có nhiều số tốt hơn số xấu.

Một số ví dụ

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xem xét một vài ví dụ mà thoạt nhìn thì không liên quan gì đến vấn đề của chúng ta.

Ví dụ 1: Giả sử chúng ta tung một đồng xu. Nếu nó không có sai sót thì chúng ta cũng có thể kỳ vọng rằng nó sẽ đưa ra “đầu” và “đuôi” ở trên. Ngoài ra, trực giác cho chúng ta biết rằng nếu chúng ta tung một đồng xu hai lần, thì mức tăng của chúng ta về khả năng ít nhất một trong hai lần nó chạm mặt “ngửa” sẽ lớn hơn nhiều so với việc nó chạm mặt “sấp” một lần. Và có lẽ mọi người sẽ đồng ý rằng nếu bạn tung một đồng xu 100 lần thì gần như chắc chắn rằng “ngửa” sẽ xuất hiện ít nhất một lần, hay nói cách khác, khó có khả năng “sấp” sẽ xuất hiện hết 100 lần.

Ví dụ 2. Người ta đặt 10 quả bóng đỏ và 2 quả bóng đen vào một hộp. Nếu bạn lấy ngẫu nhiên một quả bóng ra khỏi hộp, gần như chắc chắn nó sẽ có màu đỏ, vì số quả bóng đỏ nhiều hơn số quả bóng đen. Nhưng nếu chúng ta lặp lại thí nghiệm này nhiều lần (giả sử một lần), mỗi lần khôi phục “vị trí ban đầu”, tức là trả quả bóng đã lấy ra về vị trí của nó và trộn kỹ những thứ bên trong hộp, thì chúng ta có thể nói chính xác rằng sớm hay muộn chúng ta sẽ rút được quả bóng đen ra.

Ví dụ 3. Hãy lấy 10.000 tấm thẻ và viết lên đó tất cả các số tự nhiên từ 0 đến 9999 (mỗi thẻ có một số). Nếu thẻ chứa số có một chữ số, hai chữ số hoặc ba chữ số thì chúng ta sẽ lần lượt thêm ba, hai hoặc một số 0 vào bên trái của số đó. Như vậy, tất cả các số ghi trên thẻ sẽ có bốn chữ số. Đặt tất cả các thẻ vào một gói và trộn kỹ. Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành thí nghiệm tiếp theo.

37

container), nó bao gồm hai phần cơ bản: “lấy bi đen số 1” và “lấy bi đen số 2”.

Trong ví dụ 3, việc loại bỏ thẻ là một sự kiện cơ bản. Tổng số sự kiện sơ cấp ở đây là 10.000. Nhưng việc trích xuất một thẻ có ghi “true”, một số có bốn chữ số (tức là số có chữ số đầu tiên bên trái không bằng 0) là một sự kiện gồm 9000 số cơ bản: “lấy thẻ có số 1000”, “lấy thẻ có số 1001”, “lấy thẻ có số 1002”, …, “lấy thẻ có số 9999”.

Chúng ta sẽ gán (đặt tương ứng) số $\frac{1}{n}$ cho sự kiện cơ bản nào $e_1, e_2, \ldots, e_n$, mà chúng ta gọi là xác suất xảy ra sự kiện cơ bản của nó.

Lưu ý rằng chúng ta đã gán cho mỗi sự kiện cơ bản một xác suất bằng nhau nhất định. Điều này thể hiện rằng tất cả họ đều “bình đẳng”.

Các sự kiện cơ bản tạo nên sự kiện $A$ này được gọi là kết quả thuận lợi cho sự kiện này. Xác suất $p(A)$ của một sự kiện $A$ bao gồm $m$ sự kiện cơ bản được xác định như sau:

$$p(A) = \frac{m}{n},$$

trong đó $m$ là số sự kiện thuận lợi $A$ kết quả, $n$ là tổng số kết quả.

Trong thực tế

1. Khi ném xúc xắc thì xác suất 1, 2, 3, 4, 5, 6 điểm là như nhau. Xác suất để khi tung xúc xắc bạn nhận được:

a) số điểm chẵn;
b) số điểm lẻ;
b) 3 hoặc 5 điểm;
g) số nguyên tố?

2. Xác suất để số được ghi trên thẻ được chọn trong ví dụ 3 có các tính chất sau là bao nhiêu:

a) bốn chữ số;
b) chia hết cho 5;

b) có một hình vuông hoàn hảo;
g) không phải là số có bốn chữ số?

Rõ ràng, với định nghĩa này, xác suất của bất kỳ sự kiện nào cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 1: $0 \leq p(A) \leq 1$.

Một sự kiện có xác suất bằng 1 được gọi là đáng tin cậy. Anh ấy được ưu ái bởi mọi kết quả mà không có ngoại lệ.

Một sự kiện thiên về tập hợp các phần tử sự kiện trống (nói cách khác, sự kiện sẽ không bao giờ xảy ra) theo định nghĩa này có xác suất bằng 0 và được gọi là không thể.

Thao tác trên các sự kiện

Đặt $A$ là một sự kiện. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\bar{A}$ sự kiện ngược lại với $A$, tức là một sự kiện có lợi cho tất cả các kết quả cơ bản không có trong $A$.

Đặt $A$ và $B$ là hai sự kiện. Đặt $A + B$ biểu thị một sự kiện bao gồm các kết quả có lợi cho ít nhất một trong các kết quả $A$ và $B$.

Đặt $A \cdot B$ biểu thị một sự kiện bao gồm các kết quả có lợi cho $A$ nhưng không có lợi cho $B^*$).

Trong thực tế

3. Chứng minh rằng: a) $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$;
   b) $p(A + B) \leq p(A) + p(B)$; c) $p(A \cdot \bar{A}) = 0$; d) $p(A + \bar{A}) = 1$; e) $p((\bar{A})) = p(A)$;
   e) $p((A \setminus B) + (A \cdot B)) = p(A)$;
   g) $p((A \setminus B) \cdot B) = 0$.

4. Giả sử sự kiện $A$ là trích một số có bốn chữ số trên thẻ trong ví dụ 3, sự kiện $B$ là trích một số, thực hiện trên 5. Nêu ý nghĩa của từng chữ số

*) Các bạn đọc bài: Gindkin S.G., Có bao nhiêu phép tính trên một tập hợp? «Kvant», 1973, Số 7, tất nhiên, nhận thấy rằng các phép toán trên các sự kiện được định nghĩa giống hệt như các phép toán trên một tập hợp (chỉ cùng nhau $A \cap B$, $A \cup B$ được ký hiệu là $AB$, $A + B$).

38

Cơm. 1.

sự kiện trong ngoặc bên dưới và tìm:
a) $p(\overline{A})$; b) $p(\overline{B})$; c) $p(A + B)$; d) $p(A \cdot B)$;
e) $p(A + \overline{B})$; f) $p(A \cdot \overline{B})$; g) $p(A \setminus \overline{B})$;
h) $p(B \setminus A)$.

5. Chứng minh rằng với hai số thích hợp bất kỳ $A$ và $B$ thì đẳng thức
   $$p(A + B) = p(A) + p(B) - p(A \cdot B).$$

Một phần, trong Hình 1, tập hợp các phần tử thích hợp bao gồm 16 phần tử, được mô tả dưới dạng các chấm đen. Trong trường hợp này, $p(A) = 5/8$, $p(B) = 3/8$, $p(A \cdot B) = 3/16$, $p(A + B) = 13/16$.

Một loạt các bài kiểm tra độc lập

Trong các ví dụ của chúng ta, chúng ta không chỉ nói về các bài kiểm tra đơn lẻ (tung đồng xu, rút ​​quả bóng hoặc thẻ) mà còn nói về một loạt các bài kiểm tra như vậy. Làm thế nào để tính xác suất trong những trường hợp như vậy? Ở đây chúng ta đi vào các vấn đề tổ hợp. Sơ đồ hành động như sau: đầu tiên bạn cần tìm tập hợp các phần tử của riêng mình và xác định số $N$ các phần tử của nó, sau đó xác định số $M$ các kết quả có lợi cho $A$ và sử dụng công thức $p(A) = \frac{M}{N}$ tìm đáp số.

Ví dụ: hãy giải bài toán này. Hãy để chúng tôi yêu cầu bạn tung một đồng xu. Xác suất để mất “ngửa” và “sấp” là bao nhiêu thì xác suất của lần tung thứ hai không phụ thuộc vào kết quả của lần tung đầu tiên (kiểm tra độc lập), thì cả bốn kết quả này đều có xác suất như nhau.

Tương tự, nếu chúng ta ném một đồng xu ba lần, thì kết quả của lần ném này sẽ là tất cả các loại bộ ba từ O và P. Đối với mỗi kết quả, chúng ta gán cùng một xác suất bằng $1/8$ và sự kiện mà chúng ta quan tâm “rơi ra O và P qua một cung” bao gồm hai phần tử của riêng nó; xác suất của nó bằng $2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ (Hình 2).

Trong trường hợp chung, nếu một thử nghiệm đơn lẻ cho phép $n$ yếu tố của kết quả, thì số lượng tất cả các yếu tố có thể có của kết quả của thử nghiệm kép rõ ràng bằng $n^2$ (bất kỳ kết quả nào trong số $n$ của thử nghiệm đầu tiên có thể độc lập

40

Số hạng chung của cấp số nhân $\left(\frac{9999}{10000}\right)^k$ có giá trị $\frac{9999}{10000}$ nhỏ hơn 1, với mức tăng không giới hạn $k$ có ​​xu hướng bằng 0. Do đó, nó sẽ tìm thấy một $k_0$ như vậy, phần đầu của nó là $\left(\frac{9999}{10000}\right)^{k_0} < \frac{1}{2}$, tức là $1 - \left(\frac{9999}{10000}\right)^{k_0} > \frac{1}{2}$.

Tại $k > k_0$ trong các số có 4$k$ chữ số sẽ có nhiều số “tốt” hơn số “xấu”.

Từ lời giải của chúng tôi, chúng tôi thu được ước tính sau đây cho mức tối thiểu $n = n_0$, bắt đầu bằng số đó trong số các số có $n$ chữ số có nhiều số tốt hơn số xấu: $n_0 > 4\lg 2/\lg \left(\frac{10000}{9999}\right) \approx 30000$.

Tất nhiên, ước tính này khá thô.

Điều đáng chú ý là một số chữ cái (N. Sherbin, Dnepropetrovsk; A. Kurlyandchik, Leningrad; A. Grigoryan, Baku), trong đó người ta đã tìm thấy ước tính chính xác hơn. Cách thú vị nhất ở đây là thế này. Gọi $G(n)$ là số các số tốt có $n$ chữ số: $G(1) = G(2) = G(3) = 0$, $G(4) = 1$, $G(5) = 19$, $G(6) = 280, \dots$

Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó với $n > 5$
$G(n) = 9 \cdot 10^{n-5} + 10G(n-1) - G(n-4)$. (*)

Thật vậy, có những số có $9 \cdot 10^{n-5}$ $n$ chữ số kết thúc vào năm 1973; những số tốt vẫn còn tốt sau khi gạch bỏ chữ số cuối cùng là $10G(n-1)$, và các số thuộc bộ này rất tiện lợi $G(n-4)$.

Từ hệ thức hiện tại (*), có thể dễ dàng suy ra rằng mức tối thiểu $n_0$ nằm trong khoảng từ 5000 đến 10000. Và nếu bạn sử dụng máy tính (như độc giả L. Kurlyandchik, anh trai của chúng tôi đã làm), thì bạn có thể nhanh chóng tìm thấy giá trị chính xác $n_0$: nó bằng 6933.

Sai lầm chính mà hầu hết người đọc hướng dẫn đều mắc phải là như sau. Thay vì ước tính từ trên số lượng điểm hút và số x như đã làm