Kvant 1974, số 4 · Trang

KBANM
1974
4
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Bản khắc được hiển thị ở đây mô tả cung điện cũ của Tsarina Praskovya Fedorovna (phải), nơi đặt trụ sở của Viện Hàn lâm Khoa học, bao gồm cả văn phòng vật lý của nó. Gần đó là tòa nhà Kunstkamera của Peter I, cũng được chuyển đến Viện Hàn lâm Khoa học. Bản khắc được lấy từ cuốn sách “Quy hoạch thủ đô St. Petersburg với hình ảnh những người biết một trong những người bán dâm, do các tác phẩm của Viện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật Hoàng gia xuất bản” năm 1753.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoni
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrieeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG

2 Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô 250 năm
3 B.V. Gnedenko. Viện Hàn lâm Khoa học và Tiến bộ Toán học
12 S. I. Vavilov. Tiểu luận về sự phát triển của vật lý tại Viện Hàn lâm Khoa học
18 A. K. Kikoin. Vật rơi tự do trên mặt đất quay
23 E. G. Belaza. Arthmetic trên bản đồ địa lý

Vấn đề «Kvant»
30 Bài toán M256—M260; F268—F272
32 Lời giải bài toán M211—M218; F223—F227

Xưởng của người nộp đơn
41 Yu. V. Sidorov. Đối số số đầy đủ
47 Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov
50 A. N. Borzak, V. I. Davydov, P. T. Dybov, I. A. Dyyakonov, A. S. Ivanov. Truyền hình đang chuẩn bị vào đại học

Đánh giá, thư mục
52 G. V. Dorofeev. Hướng dẫn phương pháp luận cho phần “Bất bình đẳng”?

«Kvant» cho học sinh nhỏ
54 Bài toán
55 B. A. Kordemsky. Du khách ở một thành phố xa lạ
57 Đáp số, gợi ý, lời giải

Góc của người theo chủ nghĩa Coplecionist
V. A. Leshkovtsev. V.I. Lênin - nhà khoa học vĩ đại nhất thế kỷ 20 (trang bìa thứ 3)

Trang đầu tiên của bìa tái hiện bức tranh “Jump” của họa sĩ Ivashchenko.

© «Kvant», 1974.

2

Vào ngày 28 tháng 1 (kiểu cũ), năm 1724, sắc lệnh của Thượng viện thành lập Viện Hàn lâm Khoa học được công bố. Sắc lệnh tuyên bố rằng “Vị vua khai sáng nhất Peter Đại đế… đã ra lệnh thành lập một Học viện trong đó các ngôn ngữ sẽ được giảng dạy, cũng như khoa học và kiến ​​thức về nghệ thuật, và sách sẽ được dịch” *).

Theo nghị định, Học viện là cơ quan nghiên cứu bao gồm một trường đại học và một phòng tập thể dục. bài toán chính của các học giả được định nghĩa như sau: “Vị trí của họ: mọi thứ đã được thực hiện trong khoa học là để chứng minh rằng chúng cần được sửa chữa và nhân lên - để tạo ra thứ mà mọi người trong trường hợp này đã phát minh ra - để báo cáo và giao cho thư ký. Về tất cả những người giải mã đã làm chứng và kiểm tra chúng sẽ được đưa ra, họ có phán quyết khách quan: liệu chúng có đúng hay không, lớn hay nhỏ, và liệu chúng có được biết đến trước hết hay không!

Kể từ ngày thành lập, Viện Hàn lâm Khoa học bắt đầu đóng một vai trò nổi bật trong việc phát triển tất cả các ngành tri thức và nghiên cứu tài nguyên thiên nhiên của đất nước. Viện Hàn lâm Khoa học gắn liền với cả những thành tựu cá nhân trong khoa học kế toán và việc tạo ra những hướng đi mới.

Viện Hàn lâm Khoa học bắt đầu có vai trò đặc biệt nổi bật sau thắng lợi của Cách mạng xã hội chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại.

Qua những suy nghĩ về nỗ lực nổ súng của cuộc nội chiến, V.I. Lênin, với tài năng chung, đã nhìn thấy được đường nét của nhà nước Xô viết xã hội chủ nghĩa trong tương lai. Ông nhận thức được rằng khoa học phải đóng vai trò nổi bật trong việc xây dựng chủ nghĩa xã hội. Điều này giải thích sự quan tâm lớn lao mà V.I. Lênin đã đóng góp cho sự phát triển của Viện Hàn lâm Khoa học. Đi theo con đường của Lênin vĩ đại, Viện Hàn lâm Khoa học phụ thuộc mọi hoạt động của mình vào sự phát triển của xã hội xã hội chủ nghĩa. Hoàn thành nghĩa vụ yêu nước đối với Tổ quốc, các nhà khoa học của Viện Hàn lâm Khoa học đã làm việc quên mình và cùng nhân dân và quân đội Liên Xô giành thắng lợi trong cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại.

Những thành tựu khoa học quan trọng của các nhà khoa học Liên Xô đã đảm bảo trình độ kỹ thuật cao cho sự phát triển của ngành công nghiệp và toàn bộ nền kinh tế quốc dân của đất nước. Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô đã hỗ trợ bằng mọi cách có thể việc thành lập các trung tâm khoa học quốc gia - các Viện Hàn lâm Khoa học đồng nguồn lực, các phân viện của Viện Hàn lâm Khoa học. Trong những năm gần đây, các trung tâm khoa học mới đã xuất hiện ở Siberia, Urals và Viễn Đông.

Những thành công của các nhà khoa học Liên Xô hiện đã được thế giới công nhận.

*) Tuyển tập đầy đủ các luật, tập. VII St. Petersburg, 1830; Số 4443.

4

sinh viên của Học viện là PoztV. K. Trediakovsky, nhà du hành và nhà địa lý S. P. Krasheninikov, nhà khoa học và nhà văn M. V. Lomonosov.

Một phòng tập thể dục và một trường đại học ban đầu được tổ chức tại Học viện, vì vào thời điểm đó không có nguồn nào khác để Học viện có thể tiếp nhận những người trẻ được đào tạo một cách khoa học. Số lượng sinh viên được xác định là 30 người và một chương trình đào tạo dành cho họ đã được phát triển. Đồng thời, hỗ trợ đặc biệt “… để đảm bảo một học sinh không đột nhiên bị gánh nặng bởi nhiều bài giảng.” Để có cơ hội thực sự duy trì số lượng sinh viên đại học, một phòng tập thể dục đã được thành lập, ra lệnh “giữ lại 20 người vào cuối năm học và những người đủ sức khỏe sẽ được thăng cấp lên sinh viên, còn những người không đủ sức khỏe sẽ được đưa vào Học viện Nghệ thuật”.

Học viện được thành lập nhưng ở Nga không có nhà khoa học nào. Đó là lý do tại sao những học giả đầu tiên được mời từ nước ngoài đến. Tổng cộng có 23 học giả được mời. Sự lựa chọn của họ đã vô cùng thành công; đại đa số họ bắt đầu hăng hái tổ chức công việc và nghiên cứu khoa học. Và chẳng bao lâu sau, Học viện đã có một phòng thí nghiệm hóa học xuất sắc vào thời đó, một đài quan sát thiên văn, một văn phòng vật lý, xưởng cơ khí và quang học, một nhà in, một thư viện và các tổ chức khoa học khác.

Ngay từ những ngày đầu tiên Học viện tồn tại, toán học đã đóng một vai trò quan trọng trong đó. Trong số 23 học giả được mời, có 7 người là nhà toán học. Tên của nhiều người trong số họ đã đi vào lịch sử toán học: Nikolai và Daniil Bernoulli, Leonard Euler, Christan Goldbach.

Peter I đã không đến dự lễ khai trương Học viện: trạng thái đầu tiên của nó chỉ diễn ra vào tháng 8 năm 1725, sáu tháng sau khi ông qua đời. Nhưng sự khởi đầu của công việc khá thành công: các cuộc họp được tổ chức thường xuyên, một nghiên cứu sâu rộng về đất nước và tài nguyên thiên nhiên của nó bắt đầu, một nghiên cứu có hệ thống về các hiện tượng tự nhiên quan trọng nhất đã được thực hiện và nghiên cứu toán học hạng nhất đã được thực hiện. Bắt đầu từ năm 1728, Học viện bắt đầu xuất bản tạp chí khoa học “Bình luận của Học viện St. Petersburg”, và sáu năm sau đó, Daniel Bernoulli, vào thời điểm đó đã trở về Thụy Sĩ, L. Euler viết: “Tôi không thể bắt buộc bạn đủ với việc các chủ đề của St. Petersburg được sao chép trước tòa một cách tham lam như thế nào… Mong muốn việc in ấn của chúng được đẩy nhanh hơn.” Chúng ta đang nói về những công trình toán học được xuất bản trên tạp chí khoa học đầu tiên của Nga. Do đó, ngay từ buổi bình minh của sự tồn tại, Học viện đã trở thành một trong những trung tâm khoa học lớn nhất thế giới nơi thực hiện nghiên cứu toán học.

D. Bernoulli (1700-1782) chỉ làm việc ở Nga được vài năm, nhưng ngay cả trong thời kỳ này, ông đã để lại một dấu ấn đáng chú ý trong lịch sử khoa học Nga. Đối với anh ta, Học viện nợ lời mời của L. Euler làm thành viên. Trong các ấn phẩm của Học viện, D. Bernoulli đã xuất bản một số công trình đặt nền móng cho các lĩnh vực nghiên cứu toán học quan trọng như toán thủy động lực học, lý thuyết toán học về dao động, cơ học chất khí, cũng như lý thuyết về chuỗi lượng giác. Lý thuyết về chuỗi lượng giác một trăm năm sau được phát triển chi tiết bởi nhà toán học người Pháp Fourier gắn liền với sự phát triển của lý thuyết toán học về sự truyền tín hiệu. Tuy nhiên, chuỗi lượng giác lần đầu tiên được D. Bernoulli sử dụng trong cơ học lời giải bài toán và toán vật lý.

Để kết thúc truyện ngắn này về D. Bernoulli, tôi muốn

5

Tôi muốn đề cập ở đây thêm một kết quả nữa của ông mà ngày nay những người ở nhà đã quen thuộc với các yếu tố của phân tích toán học đều biết đến. Tại một cuộc họp của Viện Hàn lâm Khoa học vào ngày 30 tháng 1 năm 1729, ông đã báo cáo bằng chứng về sự thật (tel element) sau đây (sự tồn tại của số $e$):

$$e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots^*.$$

Vào thời điểm đó đó là tin tức khoa học phía máy chủ. Tuy nhiên, chúng tôi lưu ý rằng tất cả những khám phá về máy chủ thực tế đang dần được biết đến rộng rãi và được đưa vào các chương trình giáo dục đại học và trường học.

H. Goldbach (1690-1764) là một nhà khoa học được đào tạo bài bản và là một nhà toán học, ông đã làm việc tại Học viện trong một thời gian rất ngắn. Phần lớn hoạt động của ông ở Nga diễn ra tại Bộ Ngoại giao, nơi ông giữ một chức vụ quan trọng. Ông bước vào toán học chủ yếu với tư cách là tác giả của cuốn bài toán Goldbach nổi tiếng. bài toán này có thể được đưa ra một số công thức gần như tương đương, chúng tôi sẽ đưa ra một trong số chúng: bất kỳ số nguyên nào lớn hơn hai đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố. Thực tế này đã được thay thế bởi Goldbach bằng bốn số hàng chục đầu tiên. Trong hai trăm năm, không có cách nào rõ ràng để tiếp cận bài toán lời giải của Goldbach. Và chỉ trong ba mươi năm của thế kỷ chúng ta, những con đường như vậy mới được tìm thấy trong các tác phẩm của L. G. Shirelm và I. M. Vinogradav.

Không còn nghi ngờ gì nữa, dấu ấn nổi bật nhất của tất cả các thành viên của Học viện St. Petersburg trong lĩnh vực toán học vào thế kỷ 18 là L. Euler để lại trong lịch sử khoa học. Sản lượng của ông rất lớn: 865 tác phẩm của ông hiện đã được biết đến, bao gồm 43 tập riêng biệt. Việc công bố nghiên cứu của ông tiếp tục cho đến năm 1862. Đất nước chúng ta biết ơn Euler vì đã đào tạo một số sinh viên mà sau này đã có đóng góp to lớn

*) Xem «Kvant», 1972, số 5, tr. 17.

L. Euler

trong sự phát triển của khoa học và văn hóa. Hãy kể tên một vài cái tên - S.K. Kotelnikov, A.I. Leksel, F.I. Schubert, S.Ya. Rumovsky, M. Sofronov, N.I. Ồn ào, M.E. Golovin, S.E. Guryev, V.I. Viskovatov. Sau đó, họ làm việc trong nhiều lĩnh vực toán học, cơ học, thiên văn học, vật lý và giảng dạy. L. Euler và M.V. Lomonosov đã hỗ trợ và hỗ trợ đáng kể cho những nỗ lực khoa học sau này.

Không thể liệt kê ngắn gọn ngay cả những câu hỏi mà L. Euler đã giải quyết trong toán học và thu được những kết quả cơ bản trong đó. Ông đã thiết lập và phát triển phép tính vi phân và tích phân, tạo ra đáng kể các phương trình vi phân lời giải, nâng cao đáng kể lời giải lý thuyết số bài toán phức tạp nhất, tạo ra nền tảng của phép tính biến phân, khám phá bảo hiểm bài toán và lý thuyết về sai số quan sát, nghiên cứu một số cơ học thiên thể bài toán, bao gồm phát triển lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng,

6

trên thực tế, lý thuyết về chuyển động cứng của vật thể đã được tạo ra, rất nhiều bài toán đạn đạo bên ngoài đã được giải quyết. Mognet từ lĩnh vực nghiên cứu mà L. Euler quan tâm có mối liên hệ mơ hồ với các vấn đề thực tiễn cấp bách thời bấy giờ. Euler đã đưa một loạt khái niệm dễ hiểu vào khoa học, trở thành đối tượng nghiên cứu chính của ông trong nhiều thập kỷ. Do đó, việc xem xét hàm zeta, nổi tiếng trong lý thuyết số, có nguồn gốc từ Euler, nhờ đó các tính chất của phân bố số nguyên tố trong chuỗi số nguyên dương vẫn được nghiên cứu.

Vào thời Euler, một số bài toán đã được nghiên cứu trong toán học, trong đó người ta yêu cầu tìm cực đại hoặc cực tiểu của một đại lượng nào đó tùy thuộc vào việc chọn một đường thẳng nào đó. Dưới đây là những ví dụ kinh điển về thành phố này: trong số tất cả các đường phẳng có chiều dài l, đường thẳng nhỏ nhất là của tôi, có diện tích tối đa. Trong số tất cả các đường cong nối điểm A và B (các đường cong được coi là phẳng, nằm trong mặt phẳng thẳng đứng, điểm A nằm phía trên điểm B), nhiều nhất là my, dọc theo đó giữa các điểm chuyển động dưới tác dụng của lực, từ điểm A chúng ta đến B càng sớm càng tốt. Vận tốc ban đầu được coi là bằng không. Đây là bài toán nổi tiếng về brachistochrone, do nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ Johann Bernoulli đặt ra và đồng thời được giải bởi các nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ - Newton, Jacob Bernoulli và L’Hopital.

Euler nắm bắt được tầm quan trọng của loại bài toán này và đã tạo ra phương pháp chung cho lời giải của họ - một phép tính biểu diễn được sử dụng đầy đủ trong khoa học ngày nay.

Euler có ảnh hưởng đặc biệt đến hệ thống vượt qua toán học từ những ngày đầu tiên cho đến những đỉnh cao được biết đến vào thời điểm đó. Ông đã viết sách giáo khoa về số học, đại số cơ bản, giới thiệu về phân tích toán học và hình học phân tích, đồng thời tạo ra một hệ thống trình bày lượng giác, hệ thống này đã được chứng minh cho chúng ta ở dạng gần như không thay đổi. Ông đã giới thiệu ký hiệu phổ biến hiện nay cho các hàm lượng giác. Ông cũng sở hữu các ký hiệu cho các số e, π, i = √-1.

Nhiều sinh viên của L. Euler cuối cùng đã trở thành học giả. S. E. Guryev (1764-1813) xứng đáng được đề cập đặc biệt, người, trước nhà toán học người Pháp O. Cauchy một phần tư thế kỷ, đã thu hút sự chú ý đến sự cần thiết của tính nhất quán trong cách trình bày phân tích toán học. Câu hỏi về nền tảng của toán học, bao gồm cả phân tích toán học, là chủ đề trong các tác phẩm chính của ông. Con đường chính của Guryev theo hướng này nên được coi là cuốn sách “Kinh nghiệm cải thiện các yếu tố hình học” (SP6., 1798). Tôi sẽ trích dẫn những lời của Guryev mà ông gọi là chuyên luận: “Đọc những khám phá toán học của thời hiện đại và chuyển sang những nguyên tắc đã được kinh nghiệm xác nhận, tôi luôn tưởng tượng ra một ý nghĩa to lớn, không ngừng nâng cao trên những nền tảng yếu kém, luôn giảm xuống đến mức cuối cùng của sự suy tàn khi gieo rắc một lượng kiến ​​thức vô cùng rộng lớn hữu ích nhất cho nhân loại”. Chúng ta hãy lưu ý rằng các vấn đề chứng minh toán học, xây dựng nền tảng vững chắc của nó, đã chiếm một vị trí nổi bật trong nghiên cứu toán học từ thế kỷ 19, và khoa học của chúng ta có thể tự hào rằng một trong những người sáng lập phong trào này là đồng tác giả của chúng ta.

Giai đoạn tiếp theo trong quá trình phát triển toán học tại Viện Hàn lâm Khoa học gắn liền với tên tuổi của M. V. Ostrogadsky (1801-1862) và V. Ya. Bunyakovsky (1804-1889).

M. V. Ostrogadsky) đã để lại dấu ấn đáng kể cho sự phát triển

8

vượt qua những quan điểm truyền thống đã được tôn vinh hàng ngàn năm và đưa ra những quan điểm mới của riêng mình. Quan điểm của ông hóa ra quá mới và khác thường đối với những người cùng thời với ông đến nỗi họ không hiểu chúng, và nhiều người đã công bố chúng thay vì tác giả của họ. Kết quả là N.I. Lobachevsky vẫn ở Viện Hàn lâm Khoa học.

Nửa sau thế kỷ trôi qua trong Viện Hàn lâm Khoa học và trong đời sống toán học của cả nước dưới ảnh hưởng to lớn của những ý tưởng và kết quả của nhà toán học kiệt xuất P. L. Chebyshev (*) (1821-1894). Dưới ảnh hưởng của ông, trường toán học St. Petersburg, xuất sắc về thành phần và sức mạnh của kết quả thu được, đã lớn lên. Cô đã làm việc rất thành công trong một số lĩnh vực toán học và chủ yếu là lý thuyết hàm số, phân tích toán học, lý thuyết số và lý thuyết xác suất. Ngôi trường này gắn liền với nhu cầu thực tiễn và bản thân Chebyshev không nói rằng thực hành là điểm khởi đầu cho các lý thuyết toán học, đồng thời giá trị khoa học và xã hội của chúng được kiểm chứng trên đó.

Công việc khoa học của P. L. Chebyshev bắt đầu từ những ngày đầu ông còn là sinh viên tại Đại học Moscow. Với tác phẩm “Khám phá nguồn gốc của sự điều khiển”, Khoa Vật lý và Toán học đã trao cho ông huy chương bạc vào năm 1841. Năm 1847, Chebyshev chuyển đến St. Petersburg, và toàn bộ cuộc đời sau đó của ông gắn liền với Đại học St. Petersburg, cũng như với Viện Hàn lâm Khoa học, nơi ông tham gia chuẩn bị cho việc xuất bản các bản thảo của L. Euler về lý thuyết số. Công việc được hoàn thành cực kỳ nhanh chóng - trong vòng hai năm, hai tập tác phẩm của L. Euler về lý thuyết số, được trang bị các chỉ mục chi tiết, đã được xuất bản. Hai tập này bao gồm nhiều kết quả chưa được công bố, được lưu giữ dưới dạng bản thảo và ghi chú.

*) Xem «Kvant», 1971, số 5, tr. 1.

P. L. Chebyshev

sách của L. Euler. Không còn nghi ngờ gì nữa, mối quan tâm của P. L. Chebyshev đối với lý thuyết số phần lớn gắn liền với hoạt động xuất bản của ông.

Cùng năm 1849, cuốn sách “Lý thuyết so sánh” của P. L. Chebyshev được xuất bản và ra mắt dưới dạng luận án tiến sĩ. Trong nhiều năm, cuốn sách này được dùng làm sách giáo khoa chính về lý thuyết số cho các trường đại học. Nhưng có lẽ quan trọng hơn nữa là thực tế là một phụ lục của cuốn sách này đã xuất bản một nghiên cứu đáng chú ý “Về việc xác định số nguyên tố không vượt quá một giá trị nhất định”, có ảnh hưởng quyết định đến hướng nghiên cứu tiếp theo về lý thuyết số. Phần bổ sung này nhanh chóng được dịch sang tiếng Pháp và đăng trên một tạp chí của Pháp. Sự chú ý đến khoa học xã hội toán học của P. L. Chebyshev là khá tự nhiên, vì ông đã thực hiện được một bước cơ bản trong việc nghiên cứu các quy luật phân phối.

9

định nghĩa về số nguyên tố trong dãy số tự nhiên lần đầu tiên kể từ Euclid. Nhà hình học Hy Lạp cổ đại nổi tiếng đã chứng minh rằng có vô số số nguyên tố, và Chebyshev đã phát hiện ra một mô hình tiệm cận đáng chú ý về sự phân bố của chúng giữa tất cả các số nguyên dương. Chúng tôi trình bày kết quả này dưới dạng công thức được Chebyshev công bố trong bài viết thứ hai “Về số nguyên tố”: Hãy biểu thị bằng π (x) số lượng các số nguyên tố có độ lớn nhỏ hơn x. Khi đó với mọi x đủ lớn, các bất đẳng thức sau đúng:

$$0,92149 \leq \pi(x) : \frac{x}{\ln x} \leq 1,10555,$$

thực phẩm ln x có nghĩa là logarit cơ số e = 2,7128. . . số x.

Chebyshev còn chứng minh thêm rằng nếu khi x → ∞ tỷ số π(x) : x/ln x tiến tới một giới hạn nhất định thì giới hạn này chỉ có thể là số 1.

Việc chứng minh sự tồn tại của giới hạn này đòi hỏi những lập luận rắc rối và phức tạp hơn và nó chỉ xuất hiện 50 năm sau phát hiện của Chebyshev. Chứng minh này được thực hiện đồng thời bởi hai nhà toán học: nhà khoa học người Pháp J. Hadamard và nhà khoa học người Bỉ C. J. de la Vallée Poussin. Phương pháp của Chebyshev khá cơ bản và người ta phải nghĩ rằng, khả năng của nó còn lâu mới cạn kiệt.

Hướng nghiên cứu toán học thứ hai, trong đó Chebyshev để lại dấu ấn sáng giá, gắn liền với xác suất lý thuyết. Tại đây, ông đã chỉ ra một đối tượng nghiên cứu quan trọng mới và phát triển các phương pháp nghiên cứu đơn giản nhưng đồng thời rất mạnh mẽ. Trước hết, chúng ta phải chỉ ra định luật số lớn dưới dạng Chebyshev, định luật này vẫn được trình bày không thay đổi trong tất cả các sách giáo khoa về lý thuyết xác suất, đồng thời chứng minh nó được đưa ra dưới dạng do ông đề xuất. Kết quả này của Chebyshev đưa ra trọng số cho các điều kiện chung trong đó tác động tổng thể của một số lượng lớn các thành phần ngẫu nhiên hóa ra gần như không đổi. Ý nghĩa của việc Chebyshev khám phá ra định luật không chỉ có ý nghĩa lý luận chung mà còn có ý nghĩa thực tiễn to lớn.

Hướng nghiên cứu thứ ba, trong đó Chebyshev khởi xướng ý tưởng về nguồn gốc của nó, gắn liền với cái gọi là phép tính gần đúng tốt nhất của một hàm. Lĩnh vực tư duy toán học này, hoàn toàn là phát minh của Chebyshev về nền tảng của nó, ngày nay đã trở thành một phần của toán học giàu kết quả và mối liên hệ với các nhánh kiến ​​thức khác. Điểm khởi đầu cho việc xây dựng lý thuyết này là bài toán hoàn toàn thực tế, nảy sinh từ Chebyshev liên quan đến lệnh của khoa Đại học St. Petersburg chuẩn bị và giảng dạy một khóa học về cơ học thực hành.

Chebyshev đã phải đối mặt với câu hỏi làm giảm những sai lệch có thể có của chuyển động của thanh so với đường thẳng trong cái gọi là hình bình hành Watt, và câu hỏi thuần túy thực tế này đã khiến ông phải xây dựng một số công thức toán học mới bài toán. Đơn giản nhất trong số đó đã được biết đến rộng rãi: môi trường của mọi đa thức bậc n

$$P_n(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$$

tìm khối lượng có giá trị tối đa |P_n(x)| tại |x| ≤ 1 có giá trị nhỏ nhất.

Đáp số được P. L. Chebyshev tìm thấy vào năm 1859; Hóa ra đa thức cần thiết (được gọi là đa thức Chebyshev) có dạng sau:

$$P_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \cos(n \arccos x).$$

10

A. M. Lyapunov

Bài tập. Viết rõ ràng các đa thức Chebyshev cho $n = 1, 2, 3$ và 4.

Chúng ta hãy xem xét kết quả của hai học trò xuất sắc của P. L. Chebyshev - A. M. Lyapunov (1857-1918) và A. A. Markov (1856-1922).

A. M. Lyapunov, khi còn học tại Đại học St. Petersburg, đã nhận được từ P. L. Chebyshev chủ đề về công việc độc lập và ông đã hoàn thành xuất sắc. Chủ đề này liên quan đến một trong những câu hỏi khó nhất trong cơ học: tính ổn định hình dạng của các khối chất lỏng quay. Nó đã được phát triển hơn nữa trong luận văn thạc sĩ của ông.

Sau khi bảo vệ thành công luận án, A. M. Lyapunov được mời giảng dạy tại Đại học Kharkov. Đương nhiên, những năm đầu tiên giảng dạy đòi hỏi Lyapunov phải dành nhiều thời gian chuẩn bị, đặc biệt khi ông phải dạy một số môn toán và cơ học lý thuyết. Nhưng sự chuẩn bị này và nhu cầu tiếp theo là hiểu rõ tài liệu để trình bày đã dẫn đến việc hình thành các câu hỏi khoa học mới đòi hỏi phải nghiên cứu cẩn thận. Tại Đại học Kharkov, Lyapunov đã đi theo một hướng mới trong toán học, hướng đi này sau này được đặt tên là lý thuyết về sự ổn định của chuyển động.

Có rất nhiều lý thuyết và thực hành bài toán để nghiên cứu hành vi của hệ lời giải phương trình vi phân với sự gia tăng không giới hạn về lập luận của tính chất. Lyapunov đã phát triển các phương pháp hiệu quả cho nghiên cứu của mình. Vào thời điểm đó, công trình của Lyapunov chủ yếu được quan tâm về cơ học thiên thể bài toán (các vấn đề về sự ổn định của hệ mặt trời, v.v.). Tuy nhiên, bắt đầu từ những năm ba mươi của thế kỷ chúng ta, tên và phương pháp của Lyapunov đã nhận được ý nghĩa thực tiễn phi tổng thống đối với bài toán tư vấn, kỹ thuật vô tuyến, kỹ thuật cơ khí, v.v. Lyapunov đã đặt nền móng cho lý thuyết về ổn định chuyển động, phát triển các phương pháp nghiên cứu và xem xét các phần quan trọng nhất của các vụ án. Những ý tưởng này đã được ông phát triển trong một số công trình và cuối cùng là vào năm 1892 trong luận án tiến sĩ “Ổn định chuyển động chung bài toán”, luận án đã mang lại cho ông danh tiếng thế giới.

Năm 1900, A. M. Lyapunov được bầu làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học, và một năm sau - thành viên chính thức của viện. Sau khi đắc cử, Lyapunov chuyển đến St. Petersburg và từ bỏ công việc giảng dạy, cống hiến hết mình cho nghiên cứu khoa học.

Vào đầu hai thế kỷ, Lyapunov chuyển sang các câu hỏi về lý thuyết xác suất và nghiên cứu về một bài toán của giáo viên của mình - việc tìm kiếm các điều kiện tổng quát nhất mà theo đó tổng chuẩn hóa của các biến ngẫu nhiên độc lập với số lượng lớn các thuật ngữ có phân phối gần như bình thường. Định lý ông chứng minh được gọi là lý thuyết giới hạn trung tâm của xác suất.

11

A. A. Markov

Sau năm 1901, Lyapunov dành toàn bộ sức lực của mình cho lời giải bài toán của Chebyshev về sự cân bằng của các khối lượng sống quay. Anh ấy không hài lòng với kết quả ban đầu của mình, vì trong đó anh ấy chỉ khám phá những giá trị gần đúng đầu tiên. Theo ý kiến ​​​​của ông, lời giải của bài toán tự nhiên đòi hỏi một lời giải đầy đủ và nghiêm ngặt, vì nếu không người ta có thể đưa ra kết luận sai lầm. Nhà toán học người Pháp cùng thời với Lyapunov, A. Poincaré, cũng đang nghiên cứu vấn đề tương tự, nhưng ông chỉ hài lòng với phép tính gần đúng đầu tiên. Kết quả là họ đi đến những kết luận trái ngược nhau, dẫn đến tranh chấp khoa học kéo dài. Nhà thiên văn học Darwin (con trai của nhà khoa học tự nhiên nổi tiếng Charles Darwin) đã đưa ra lý thuyết vũ trụ học dựa trên kết quả gần đúng của Lyapunov. Cuối cùng, cuộc tranh chấp kết thúc với chiến thắng hoàn toàn thuộc về những người giải quyết Lyapunov.

Tên của A. A. Markov gắn liền với những thành tựu to lớn trong việc phát triển lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết phân số liên tục và ứng dụng của chúng cho các câu hỏi trong lý thuyết hàm số, lý thuyết dạng bậc hai và lý thuyết xác suất. Những kết quả đặc biệt quan trọng đã được A. A. Markov thu được trong lý thuyết xác suất, nơi ông xứng đáng được coi là một trong những người sáng lập ra trạng thái hiện đại của khoa học này. Ông giới thiệu một đối tượng nghiên cứu mới trong lý thuyết xác suất, được gọi là “mục tiêu Markov”. Chúng ta đang nói về một chuỗi các sự kiện ngẫu nhiên, xác suất xảy ra hay không xảy ra của nó phụ thuộc vào việc sự kiện tương ứng có xuất hiện ở vị trí trước đó hay không. Đối với mục đích của Markov, bản thân tác giả đã thu được một số kết quả toàn cầu. Bằng cách sử dụng chuỗi Markov, các mô hình xen kẽ giữa các nguyên âm và phụ âm đã được kiểm tra bằng cách sử dụng ví dụ của hai tác phẩm kinh điển của văn học Nga - “Eugene Onegin” của A. S. Pushkin và “Những năm thơ ấu của cháu trai Barrov” của S. T. Akskov.

A. A. Markov chưa đạt đến thời kỳ mà khái niệm dây chuyền và quá trình Markov trở thành trọng tâm không chỉ trong lý thuyết xác suất mà còn trong vật lý, lý thuyết điều khiển tự động, các ứng dụng khác nhau của lý thuyết xác suất trong các vấn đề sinh học và sản xuất, cũng như trong lý thuyết thông tin.

Có tầm quan trọng lớn đối với sự phát triển tư duy xã hội trong nước là vô số bài phát biểu của A. A. Markov chống lại sự tùy tiện của chế độ Sa hoàng và nhà thờ. Ông đã không trải qua những sai lầm về sự kiện năm 1905, sự khác biệt giữa L.N. Tolstoy và nhà thờ, cũng như việc chính phủ Nga hoàng từ chối phê chuẩn việc bầu Maxim Gorky vào Học viện.

Chúng ta sẽ tiếp tục câu chuyện của mình trong số tiếp theo, nơi chúng ta sẽ nói về những thành tựu của Học viện trong thời Xô Viết.

12

TIỂU LUẬN
PHÁT TRIỂN VẬT LÝ
TẠI HỌC VIỆN KHOA HỌC

S. I. Vavilov

Nhà vật lý học xuất sắc của Liên Xô Sergei Ivanovich Vavilov, từng là Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô từ năm 1945 đến năm 1951, đã rất chú ý đến các vấn đề của lịch sử vật lý. Trong số các tác phẩm của ông có một bài báo có tựa đề “Tiểu luận về sự phát triển của vật lý tại Viện Hàn lâm Khoa học trong hơn 220 năm”. Nó được xuất bản vào năm 1945, nhân kỷ niệm thành lập Học viện, trong cuốn “Các tiểu luận về lịch sử của Viện Hàn lâm Khoa học” do Nhà xuất bản của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô xuất bản. Trong bài viết này, S.I. Vavilov mô tả sự đóng góp của các thành viên Viện Hàn lâm cho sự phát triển của vật lý Nga. Những bổ sung biên tập nhỏ cho bài viết được đưa ra trong ngoặc vuông.

“… khi tập hợp Học viện ở Nga, nơi vẫn chưa có trường đại học hay thậm chí là trường trung học, Peter chắc chắn hiểu rằng đó không thể là bản sao của Học viện Khoa học Paris và Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn. Học viện Nga không thể là đỉnh cao của thiên đường khoa học, như ở Pháp và Anh, do không có thiên đường này. bài toán của Học viện mới chủ yếu bao gồm việc tạo ra nó. Vì lý do này, một Học viện thuộc loại rất đặc biệt đã xuất hiện bên bờ sông Neva. Cùng với các cuộc họp khoa học tại mà… Bernoulli, Euler và những người khác đã đưa ra báo cáo về những vấn đề cấp bách nhất của khoa học châu Âu, tất cả các học giả đều tham gia giảng dạy ở trường đại học và trên hết là các giáo sư. Ngoài ra, các học giả được giao những công việc khó khăn hơn về nghiên cứu nước ngoài về nước Nga, bản chất, lịch sử, các dân tộc, ngôn ngữ của nước này; Sự phát triển của vật lý ở Viện Hàn lâm Khoa học trong suốt thế kỷ 18 là rất nhỏ;

Trong một thời gian dài, cho đến gần đây, đời sống khoa học của Viện hoàn toàn do nhân sự của các thành viên quyết định. Vì vậy, tất nhiên, bài luận của chúng tôi dựa trên danh sách bình luận của các thành viên Học viện…

Daniel Bernoulli (1700-1782) … trong chuyên luận nổi tiếng về thủy động lực học (ông viết ở St. Petersburg) và một loạt hồi ký dài về cơ học và âm học, đã cho thấy mình là một trong những đại diện đáng chú ý nhất của vật lý toán học. Ông đã sống 8 năm ở St. Petersburg (1725-1733), nhưng cho đến cuối đời, ông vẫn duy trì mối liên hệ kỹ thuật với Học viện…

[Daniel Bernoulli đã đưa vào cơ học nguyên lý bảo toàn “lực sống” (tổng các tích của khối lượng vật thể và bình phương vận tốc). Sự ngầm từ

13

D. Bernoulli

Dựa trên nguyên tắc này, ông đã nhận được định luật nổi tiếng mô tả sự chuyển động của chất lỏng qua đường ống.]

Johann Leitmann (1667-1736) … đảm nhận khoa cơ học và quang học tại Học viện, và ông có thể được gọi một cách chính đáng là cha đẻ của kỹ thuật quang học và cơ học chính xác ở Nga. Peter I biết đến ông là tác giả của những cuốn sách về đồng hồ và mài kính, và Peter đã tìm cách mời ông đến Nga ngay cả trước khi thành lập Học viện. Đến St. Petersburg vào năm 1726, ông sớm bắt đầu tổ chức công việc về cơ học chính xác và quang học… Có đủ lý do để nghĩ rằng sự chú ý đặc biệt và thành công trong lĩnh vực quang học thực tiễn ở St. Petersburg vào thế kỷ 18 trong các tác phẩm của Lomonosov, Kulibin, Epinus, Euler và những người khác phần lớn được quyết định bởi công trình của Viện sĩ Leitman.

Leonhard Euler vĩ đại (1707-1783) … ở Học viện St. Petersburg, đầu tiên là giáo sư sinh lý học, sau đó là vật lý và cuối cùng là toán học … Cùng với Peter I và Lomonosy, Euler đã trở thành thiên tài giỏi của Học viện chúng ta, quyết định vinh quang, sức mạnh, năng suất của nó. Tất nhiên, vật lý của Euler mờ nhạt dần trong ánh hào quang toán học của ông, nhưng bản thân nó rất ấn tượng và đáng được chú ý nhiều hơn những gì nó đã nhận được cho đến nay. Bất chấp những lỗi nghiêm trọng trong quang học sóng của Euler, chính bà là người đã chuẩn bị ra quang học Fresnel. Euler’s dioptric follants*), viết ở St. Petersburg, đánh dấu một bước ngoặt trong sự phát triển của quang học hình học. “Những bức thư về một số vấn đề vật lý và vật lý nhất định” của ông, được viết cho một hoàng tử Đức nào đó, là một sự phổ biến xuất sắc và hoàn toàn độc đáo về ý tưởng về một bộ bách khoa toàn thư về vật lý của thế kỷ 18. Dựa trên bản dịch xuất sắc tiếng Nga của cuốn “Những bức thư” do học trò của Euler là Viện sĩ Rumovsky thực hiện, nhiều thế hệ người Nga đã nghiên cứu vật lý.

Georg Richmann (1711-1753) … đã ghi tên mình vào lịch sử vật lý với tư cách là một nhà thí nghiệm suýt chết tại vị trí của mình nhân danh khoa học … Ông đã giải quyết các vấn đề về hình thành hơi nước, ảnh hưởng của máy bơm và máy thay nước, cũng như các hiện tượng và vấn đề tự nhiên và kỹ thuật khác nhau. Richmann chuyển sang các thí nghiệm điện rất lâu trước khi Franklin xuất bản ấn phẩm nổi tiếng… Tin tức về các thí nghiệm của Franklin vào năm 1752 đã gây ấn tượng khắp thế giới giống như những quan sát đầu tiên của Galileo với điện thoại vào thời của họ, và vào cuối thế kỷ 19, các thí nghiệm của Roentgen. Ở khắp mọi nơi, kể cả St. Petersburg, họ háo hức bắt đầu lặp lại chúng. Richman bắt đầu quan sát giông bão và năng lượng điện trong khí quyển một cách hết sức nhiệt tình tại nhà của mình, ở góc đường số 5 và Bolshoy Prospekt của Đảo Vasilievsky. nổi tiếng

[*) Điều này đề cập đến công trình của Euler có tựa đề “Dioptrics”.]

14

hoàn cảnh cái chết của Richmann trong cuộc thí nghiệm vào ngày 26 tháng 7 năm 1753 [ông chết vì bị sét đánh]. Công việc của Richman tại Học viện là một trong những vùng đất bi thảm nhưng vinh quang của vật lý học thuật.

Mihanl Vasilyevich Lomonosov (1711-1765)… Trong tất cả các lĩnh vực khoa học và “nghệ thuật” được Học viện St. Petersburg xử lý vào thế kỷ 18 (ngoại trừ toán học), Lomonosov chắc chắn là đại diện có tính thay thế nhất và nguyên bản nhất. Đối với nhà nước Nga, Lomonosov đã trở thành một bằng chứng đáng nghi ngờ về tài năng, khuynh hướng và kỹ năng của người dân Nga trong lĩnh vực khoa học và văn hóa… Được biết, Lomonosov coi hóa học là “nghề nghiệp” chính của mình, nhưng trong hóa học, Lomonosov chủ yếu là một nhà vật lý-hóa học vĩ đại. Đồng thời, trong lĩnh vực vật lý thuần túy, Lomonosov đã thể hiện mình với bề rộng và tính độc đáo đáng kinh ngạc. Lomonosov xứng đáng trong vật lý bắt đầu bằng việc tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự phát triển của nó ở Nga…

Trong lần xuất bản thứ hai [bản dịch của M.V. Lomonosov] của “Vật lý thực nghiệm Wolfan”, năm 1760, Lomonosov đưa vào “Phần bổ sung cho Vật lý thực nghiệm”, chứa các tham chiếu ngắn gọn về một số kết quả trong lĩnh vực vật lý mà chính ông thu được. Trước hết, đây là lý thuyết động học về nhiệt của ông, hay như ông nói, “hệ chuyển động nhiệt của tôi”, một trong những đại diện thay thế của lý thuyết động học; xa hơn nữa, “lý thuyết mới về màu sắc” nguyên bản và, bất chấp sự ngụy biện, dí dỏm và sâu sắc, trong đó lần đầu tiên một nỗ lực cụ thể được thực hiện để kết nối học thuyết về ánh sáng và vật chất; cuối cùng, lý thuyết của ông về điện khí quyển…

Việc xuất bản các bản thảo khoa học của Lomonosov, cũng như việc nghiên cứu các tài liệu khoa học được in bị lãng quên của ông, đã cho chúng ta thấy Lomonosov là một nhà quang học thay thế, nhà phát minh và nhà thiết kế các kính thiên văn, kính hiển vi, quang kế, kính tiềm vọng mới, người đã chế tạo chúng trong phòng thí nghiệm-xưởng cùng với các thợ thủ công phụ tá…

Nhiều ghi chú và câu cách ngôn của Lomonosov liên quan đến các định luật bảo toàn chuyển động và vật chất, lý thuyết về nguyên tử và ether, câu hỏi về sự tương ứng của khối lượng nặng và khối lượng trơ…

Franz Epinius (1724-1802) xuất hiện tại Học viện với tư cách là đại diện của một thế hệ mới và một hướng đi mới quan trọng trong vật lý. Đối với thế hệ này, phương pháp lời giải bài toán của Vyoton về việc chấp nhận và đẩy lùi các lực trở nên không thể chối cãi, mặc dù cho đến gần đây đối với Bülfingar, Euler, Lomonosov, phương pháp đó vẫn rất bổ ích. Phát biểu ngay từ đầu trong chuyên luận nổi tiếng “Kinh nghiệm về lý thuyết điện và từ” (Petersburg, 1755): “Tôi coi đó là một tiên đề chắc chắn rằng một vật không thể hoạt động ở nơi nó không tồn tại,” Epinius thực sự sử dụng sơ đồ Vyotonian trong lý thuyết về tương tác và cảm ứng tĩnh điện của mình. Tên của Epinius cũng gắn liền với các kết quả vật lý quan trọng khác. Ông chịu trách nhiệm phát hiện ra các đặc tính nhiệt điện của tourmaline, chế tạo microsop tiêu sắc đầu tiên *), được chế tạo ở St. Petersburg và được lưu trữ trong một thời gian dài trong phòng vật lý của Viện Hàn lâm Khoa học…

Nhìn sơ qua hoạt động của các nhà vật lý học thuật [không phải sinh ra] sẽ cho ta một bức tranh khá rõ ràng về tình trạng và sự phát triển của vật lý học tại Học viện St. Petersburg vào thế kỷ 18. Về chất lượng, môn vật lý này xếp hạng một…

[*] Một microsopion tiêu sắc có một thấu kính phức tạp trong đó hình ảnh của các vật thể được hình thành bởi các sóng ánh sáng có độ dài khác nhau gần như trùng khớp và do đó không bị biến dạng.]

15

nhưng từ những nơi đầu tiên, nếu không phải là nơi đầu tiên ở Châu Âu. Cần phải ghi nhớ tình trạng chung của vật lý ở châu Âu trong thời đại này. Đây là thời kỳ phát triển di sản Newton, một mặt là sự củng cố của nó, mặt khác là sự phê phán. Bản thân thế kỷ 18 đã không tạo ra những kết quả vật lý có tầm quan trọng tương đương với kết quả của Newton. Tĩnh điện và quang học, chủ yếu là hình học, đã tiến bộ rất nhiều; Nhiều công việc chuẩn bị trong thế kỷ 18 đã được thực hiện trong học thuyết nhiệt, nhưng về cơ bản vẫn còn mới và nhiều hơn nữa trong điện từ, quang học và nhiệt lẽ ra phải được thực hiện bởi nhà vật lý của thế kỷ 19.

Trong bối cảnh chung của vật lý thế kỷ 18, các công trình của Euler, Lomonosov và Elinus có một vị trí rất mạnh mẽ. Đồng thời, trong lĩnh vực quang học, Euler và Lomonosov đã chuẩn bị nền tảng cho sự phát triển lý thuyết sóng ánh sáng.

Đây là ý nghĩa khoa học chung của vật lý học thuật của chúng ta trong thế kỷ 18. Nhưng nó cũng có nét đặc biệt riêng, có ý nghĩa quan trọng đối với nước Nga. Các nhà vật lý học thuật gần như dành nhiều sự quan tâm cho các vấn đề kỹ thuật cho đến cuối thế kỷ này. Quang học thực tế, việc chế tạo dụng cụ quang học trên đảo Vasilyevsky vào thế kỷ 18 đạt đến đỉnh cao mà bất kỳ quốc gia nào cũng phải ghen tị

16

hòa bình. Công trình của Leitman và các sinh viên của ông, xưởng quang học của Lomonosov, công trình về quang học hình học của Euler và các sinh viên của ông, microcoppe tiêu sắc của Epinus, kính viễn vọng, gương phản xạ của Kulibin - tất cả những thứ này đã bị cuốn trôi vào thời đó… Các nhà vật lý hàn lâm ở St. Petersburg đã tiến hành các quan sát khí tượng và từ trường có hệ thống, đưa ra lời khuyên về các vấn đề kỹ thuật và không ngừng tham gia vào công việc giáo dục. Họ cũng có trung tâm riêng - một phòng vật lý với một phòng dụng cụ”, tức là một xưởng. Các thí nghiệm được thực hiện trong Nội các, các cuộc trình diễn được chuẩn bị cho sinh viên và để trưng bày tại các cuộc họp của Học viện và tại tòa án…

Vasily Vladimirovich Petrov (1761-1834)…
Năm 1795, V.V. Petrov trở thành một giáo sư xuất sắc tại Học viện Y-Phẫu thuật mới thành lập. Tại đây ông đã xây dựng một văn phòng vật lý kiểu mẫu cho riêng mình, nơi thực hiện công việc thí nghiệm chính của ông. Chúng được tập hợp trong ba cuốn sách:

1. “Thu thập các thí nghiệm và quan sát mới về vật lý và hóa học”, 1801;
2. “Tin tức về Galvania - thí nghiệm Volta”, 1803; 3) “Thí nghiệm điện mới”, 1804. Trong những tập này, chúng tôi có một lượng rất lớn tài liệu thực nghiệm… về việc làm sáng tỏ bản chất của các điều kiện phát quang khác nhau*), về các thí nghiệm quan trọng với hồ quang điện áp, những khám phá của Petrov và về tĩnh điện. Không giống như Lomonosov, Petrov hoàn toàn không thiên về khái quát hóa rộng rãi; Tuy nhiên, ông là một người theo chủ nghĩa kinh nghiệm, người đã xây dựng các thí nghiệm của mình một cách rất hợp lý và chu đáo. Trong số các nhà khoa học Nga và người nước ngoài làm việc tại Nga lúc bấy giờ, V.V. Petrov chắc chắn là một hiện tượng lớn…

[*] Lomineshood là một loại ánh sáng đặc biệt. Đây là cách ánh sáng và ánh sáng mục nát, số đồng hồ và kim la bàn phát sáng, được bao phủ bởi một chất đặc biệt - lominoforum.]

E. H. Lenz

Emilius Khristanovich Lenz (1804-1865) … đã ghi tên mình vào lịch sử điện từ cùng với Ohm và Joule và trở thành người sáng lập một nhánh vật lý Nga tập trung vào điện từ và phát triển các thay đổi chính xác trong lĩnh vực này.

[Trong số vô số công trình khoa học của Lenz, có hai công trình đặc biệt nổi tiếng: “Về việc xác định hướng của dòng điện bị kích thích bởi cảm ứng điện động” và “Về các định luật tỏa nhiệt bởi dòng điện.” Trong phần đầu tiên, ông đã thiết lập một quy tắc xác định chiều của dòng điện cảm ứng (quy tắc Lenz nổi tiếng), trong phần thứ hai, ông đã phát hiện ra định luật về tác dụng nhiệt của dòng điện (định luật Joule-Lenz).]

Boris Semenovich Jacobi (1801-1874)… Nói bằng ngôn ngữ hoàn hảo, Jacobi là một nhà vật lý kỹ thuật trong nhiều lĩnh vực hoạt động của mình, chẳng hạn như nhựa điện, máy điện, điện thoại điện, phiếu giảm giá điện, mà ông đã khám phá và phát triển, nhưng ông cũng được xếp ngang hàng với lĩnh vực này

17

với Lenz là một vị trí nổi bật trong nghiên cứu vật lý thuần túy về các định luật điện từ.

Jacobi là một trong những đại diện đáng chú ý nhất của giai đoạn mới đó trong lịch sử vật lý, khi kết quả của nó ngay lập tức, dưới dạng yếu tố quan trọng nhất, được chuyển sang công nghệ, điện từ chuyển thành kỹ thuật điện. Các nhà vật lý Jacobi và Lenz vào năm 1839 đã đi dọc sông Neva trên một chiếc thuyền máy do Immi chế tạo với hai phòng trưng bày, phát triển một mã lực từ 64 phần tử Grove. Trong phòng thí nghiệm vật lý, nhiều thiết bị điện báo mới đã được chế tạo và nghiên cứu, đồng thời phương pháp mạ điện được phát triển dưới nhiều hình thức khác nhau, các mẫu được thay thế dùng làm vật trang trí cho Viện Vật lý của Viện Hàn lâm Khoa học. Nhà vật lý Jacobi, cùng với Lenz, thiết kế cột thu lôi cho tạp chí bột và là người phát minh ra cầu chì mỏ điện.

Tên của Viện sĩ Jacobi, một nhà vật lý xuất sắc, một kỹ sư điện và nhà phát minh lỗi lạc, xứng đáng được đặt cùng với những tên tuổi hàng đầu khác của các viện sĩ vật lý - Euler, Lomonosov, Petrov…

Genrikh Ivanovich Wild (1833-1902) - người tổ chức mạng lưới khí tượng thời Sa hoàng và Nga, tác giả của các công cụ đo tương lai và phân cực, một nhà nghiên cứu xuất sắc về từ tính trên mặt đất. Nga G.I. Wild đã hoàn thành 27 năm sáng tạo tuyệt vời nhất trong cuộc đời mình. Mạng lưới khí tượng của Nga trước khi Wild chỉ có 31 trạm; khi anh ấy rời đi, nó có 650 trạm được trang bị các thiết bị mới…

Axel Vilhelmovich Gadolin (1828-1892)—đặc biệt được biết đến với tác phẩm năm 1867 “Dẫn xuất tất cả các hệ thống tinh thể học và các phân khu của chúng từ một vật thể”…

B. S. Jacobi

Boris Borisovich Goltsyn (1862-1916)… Công trình khoa học của Goltsyn lần đầu tiên được tiến hành theo nhiều hướng khác nhau (các trạng thái tới hạn của vật chất, tia X, quang phổ, quang học sinh lý). Các công trình quang học của V.V. Goltsyn rất thú vị và quan trọng… Trong số đó, bằng chứng thực nghiệm về hiện tượng Dopper quang phổ *), tiếp tục và hoàn thiện cao các thí nghiệm của A. A. Belopolsky, đặc biệt quan trọng. Vào đầu thế kỷ mới, mối quan tâm của Goltsyn tập trung vào một ngành địa vật lý mới - địa chấn học, trong đó Goltsyn có thể được coi là một trong những người sáng lập. Goltsyn đã thực hiện những thí nghiệm đầu tiên, phát triển thiết bị, tổ chức một mạng lưới trạm địa chấn khá rộng khắp…

[*] Khi nguồn bức xạ và thiết bị thu chuyển động tương đối với nhau thì tần số của bức xạ thu được không trùng với tần số của bức xạ phát ra. Do đó, các vạch quang phổ ghi lại bức xạ của nó hóa ra bị trộn lẫn so với phổ của bức xạ phát ra.]

18

A.K. KIKOIN
THÂN THỂ RẤT TỰ DO
TRÊN
TRÁI ĐẤT QUAY

Đôi khi bạn có thể bắt gặp một phát biểu rằng, do Trái đất quay quanh trục của nó nên lực mềm tác dụng lên một vật thể là khác nhau ở những nơi khác nhau trên bề mặt Trái đất. Họ cũng nói rằng trọng lượng cơ thể khác nhau ở những nơi khác nhau trên Trái đất. Cả mối liên hệ này và những mối liên hệ khác đều là do ở những nơi khác nhau trên Trái đất đang quay, gia tốc rơi tự do của vật là khác nhau. Tất cả điều này có đúng không? Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi này.

1. Chuyển động cơ học, như chúng ta biết, là tương đối. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta sử dụng các hệ thống báo cáo khác nhau, thì chuyển động của cùng một cơ thể sẽ khác so với các hệ thống này. Ví dụ: nếu chúng ta liên kết hệ tọa độ với một chiếc máy bay bay với tốc độ không đổi theo hướng ngang, thì trong hệ tọa độ này, hàng hóa bị rơi (hay đúng hơn là rơi) từ máy bay sẽ di chuyển xuống theo một đường thẳng đứng (Hình 1). Nhưng trong một hệ tọa độ liên kết với một số điểm trên bề mặt Trái đất, chẳng hạn như điểm O (xem Hình 2), tải trọng tương tự sẽ di chuyển dọc theo một đường cong gọi là parabol. Do đó, quỹ đạo chuyển động là khác nhau. Tốc độ di chuyển cũng khác nhau. Nếu chúng ta thường coi hệ tọa độ liên kết với Trái đất là đứng yên thì với tốc độ chuyển động của máy bay (và hệ tọa độ liên kết) so với Trái đất bằng $v_c$ thì tốc độ $v$ của tải trọng đối với Trái đất tại bất kỳ thời điểm nào cũng bằng

$$v = v_c + v_r,$$

(1)

trong đó $v_r$ là tốc độ di chuyển của hàng hóa so với máy bay ở khoảng cách xa tại một thời điểm. Vì tốc độ $v_r$ là tốc độ rơi tự do nên

$$v_r = gt,$$

trong đó $g$ là gia tốc trọng trường và $t$ là thời gian, tương ứng với

Cơm. 1.
Cơm. 2.

20

Cơm. 3.

Newton và định luật vạn vật hấp dẫn, giá trị tuyệt đối của gia tốc này bằng

$$g = \gamma \frac{M}{R^2},$$

trong đó $\gamma$ là hằng số hấp dẫn, $M$ là khối lượng của Trái đất và $R$ là bán kính của nó. Gia tốc này hướng dọc theo bán kính cực về phía tâm Trái đất. Giá trị $g = \gamma \frac{M}{R^2}$ là giá trị gia tốc của radium tự do so với hệ quy chiếu đứng yên (quán tính).

Và gia tốc của vật rơi sẽ thu được giá trị nào khi thay đổi ở xích đạo? Đối với những thay đổi này, ở đây bạn cũng cần cài đặt thước có tỷ lệ (Hình 4). Ở đây chúng ta cũng sẽ hướng trục tọa độ về tâm Trái đất dọc theo bán kính xích đạo. Tất nhiên, ở xích đạo giá trị tuyệt đối của gia tốc do trọng lực của Trái đất gây ra sẽ bằng giá trị ở cực. Sự quay của Trái đất không ảnh hưởng đến lực mà nó thu hút các vật thể *). Nhưng sự thay đổi gia tốc ở xích đạo được thực hiện so với hệ quy chiếu, hệ quy chiếu này tự chuyển động với gia tốc so với hệ quy chiếu đã chọn

$$g = g' + \omega^2 R$$

(gia tốc của một vật rơi tự do so với hệ tọa độ cố định ($g$) bằng tổng gia tốc của vật đó so với hệ chuyển động ($g'$) và gia tốc của chính hệ chuyển động so với hệ tọa độ cố định ($\omega^2 R$)).

Nói cách khác, gia tốc $g'$ của rơi tự do, thay đổi ở xích đạo, tức là gia tốc tương đối của hệ quy chiếu chuyển động, không bằng gia tốc $g$, độ thay đổi ở cực. Nó nhỏ hơn $g$ theo số lượng $\omega^2 R$:

$$g' = g - \omega^2 R.$$

21

3. Chúng ta đã xét trường hợp một vật rơi tự do ở cực và ở xích đạo của Trái Đất. Bây giờ chúng ta xét sự rơi tự do của một vật ở một vị trí tùy ý (ở đâu đó giữa xích đạo và các đường của Trái đất).

Từ Hình 5, rõ ràng bây giờ gia tốc hướng tâm liên quan đến chuyển động quay của Trái đất hướng vào đường xích đạo và hướng về điểm đó trên trục quay của Trái đất, là tâm của vòng tròn song song tương ứng. (Bán kính của đường tròn này trong Hình 5 được ký hiệu bằng chữ r.) Lặp lại lập luận trên, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng gia tốc trọng trường $g'$, thay đổi ở bất kỳ vị trí nào, sẽ nhỏ hơn gia tốc $g$, thay đổi ở cực. Cần phải tính đến gia tốc hướng tâm của điểm tương ứng trên bề mặt trái đất. Nhưng bây giờ các hướng gia tốc $g$ và $\omega^2 r$ có trong công thức (4) tạo thành một góc $\varphi$, là vĩ độ của điểm mà gia tốc $g'$ thay đổi. Sử dụng quy tắc cộng vectơ, chúng ta sẽ thấy rằng vectơ $g'$ không còn hướng về tâm Trái đất mà hơi lệch về phía xích đạo (xem Hình 5).

Rõ ràng là gia tốc $\omega^2 r$ ở vĩ độ $\varphi$ nhỏ hơn gia tốc $\omega^2 R$ ở xích đạo. Dễ dàng nhận thấy ở bất kỳ vĩ độ nào $\varphi$ tỷ lệ $r/R$

Cơm. 5.

bằng φ, do đó $r = R$ cos $\varphi$ và $\omega^2 r = \omega^2 R$ cos $\varphi$. So khớp, $g' = g - \omega^2 R$ cos $\varphi$ *).

4. Bây giờ chúng ta hãy xem giá trị $g'$ của một vĩ độ nhất định $\varphi$ khác với $g$ như thế nào. Để làm điều này, rõ ràng, bạn chỉ cần tính các giá trị của $\omega^2 R$.

Vận tốc góc $\omega$ của chuyển động quay của Trái đất là nhỏ, vì chu kỳ quay của Trái đất bằng một ngày, tức là 86164 s. Kể từ đây,

$$\omega = \frac{2\pi}{86164} = 7.3 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с.}$$

Bán kính Trái đất tại xích đạo là 6378 km, hay $\approx 6,38 \cdot 10^6$ m. Do đó, tại xích đạo ($\varphi = 0$)

$$\omega^2 R = (7.3 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 6.38 \cdot 10^6 = 3.4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2.$$

Gia tốc rơi tự do ở xích đạo khác với cột này với gia tốc sẽ quan sát được nếu Trái đất không thực hiện chuyển động hàng ngày của nó. Ở bất kỳ nơi nào khác, sự khác biệt này thậm chí còn nhỏ hơn. Sự khác biệt quá nhỏ nên sẽ không đáng để viết một bài về nó nếu nó không có tầm quan trọng cơ bản của chính câu hỏi về chuyển động của các vật thể so với gia tốc chuyển động của hệ tọa độ. Trong các vấn đề khác, có thể đáng nói thêm rằng cho dù sự khác biệt giữa $g'$ và $g$ nhỏ đến đâu thì đôi khi nó vẫn đóng một vai trò quan trọng. Vì vậy, ví dụ, một chiếc đồng hồ có một nam châm (chu kỳ của nam châm phụ thuộc vào gia tốc của vật tự do).

*) Chúng ta không dạy rằng tại điểm trên cùng của quỹ đạo vật thể có tốc độ quay tuyến tính quanh trục Trái đất, lớn hơn tốc độ quay của điểm quy chiếu trên Trái đất (vì tốc độ góc của chuyển động quay hàng ngày là như nhau và khoảng cách đến tâm quay tính từ điểm ban đầu rơi của vật thể lớn hơn so với tính từ điểm quy chiếu trên Trái đất). Do đó, phương trình của các vật thể sẽ dịch chuyển về phía đông so với đường thẳng của thước. Kết quả là, khi một vật rơi ở đầu trên của thước xuống Trái đất, một gia tốc bổ sung xuất hiện - cái gọi là gia tốc Korpolis - mà chúng ta không tính đến.

22

mùa thu) ở xích đạo từ việc thực hiện cùng số giờ đến mức lớn hơn 3 phút mỗi ngày. Trong hầu hết các trường hợp, có thể bỏ qua sự khác biệt giữa $g'$ và $g$.

5. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận câu hỏi về lực hấp dẫn tác dụng lên Trái đất đang quay và trọng lượng của các vật thể đặt lên nó.

Lực hấp dẫn tác dụng lên bất kỳ vật thể nào có khối lượng $m$ trên bề mặt Trái đất là lực hấp dẫn phổ quát giữa vật thể này và Trái đất. Giá trị tuyệt đối của lực này bằng

$$F = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

và nó hướng về tâm Trái Đất. Rõ ràng là sự quay của Trái đất không thể ảnh hưởng đến lực này dưới bất kỳ hình thức nào.

Theo định luật thứ hai của Newton, lực này bằng tích của khối lượng của vật và gia tốc do lực này truyền:

$$\gamma \frac{mM}{R^2} = mg.$$

Kể từ đây,

$$g = \gamma \frac{M}{R^2}.$$

Gia tốc $g$, được bao gồm trong biểu thức của lực hấp dẫn, là gia tốc trong “đứng yên”, hay như người ta nói, trong hệ thống báo cáo quán tính. Như đã biết, các định luật chuyển động của Newton, mà chúng ta sử dụng khi viết công thức (5), chỉ đúng với những hệ như vậy. Tình hình lại khác với đại lượng gọi là trọng lượng cơ thể.

Trọng lượng của một vật là lực do vật tác dụng lên giá đỡ mà nó được đặt trên đó hoặc lên hệ thống treo mà nó được treo trên đó. Lực này có thể là bất kỳ, tùy thuộc vào gia tốc đối với hệ tọa độ chuyển động cố định của giá đỡ hoặc hệ thống treo cùng với cơ thể.

Nếu một vật đỡ hoặc hệ thống treo đứng yên so với một hệ tọa độ cố định hoặc chuyển động so với nó mà không có gia tốc thì trọng lượng của vật chỉ bằng lực hấp dẫn tác dụng lên nó.

Nhưng những chiếc cân, dùng để đo trọng lượng của cơ thể ở bất kỳ đâu trên Trái đất, ngoại trừ các sọc, sẽ chuyển động với gia tốc (do Trái đất quay). Vì vậy, ngoài những đường sọc, trọng lượng của tôi không bằng sức mạnh của sự mềm mại của tôi. Trọng lượng của vật $P$, bị thay đổi bởi các cân chuyển động với gia tốc $a$ so với Trái đất đứng yên, bằng

$$P = m(g - a).$$

Trong trường hợp của chúng tôi, vai trò của gia tốc $a$ được thực hiện bởi gia tốc $\omega^2 R \cos \varphi$. Đó là lý do tại sao

$$P = m(g - \omega^2 R \cos \varphi).$$

Vì gia tốc $\omega^2 R \cos \varphi$ khác nhau ở các gai khác nhau nên trọng lượng cơ thể thay đổi ở các gai khác nhau cũng khác nhau. Trọng lượng cơ thể thấp nhất sẽ ở xích đạo. Tuy nhiên, độ lớn trọng lượng của vật tại xích đạo và tổng chênh lệch nhỏ bằng độ lớn của gia tốc trọng trường thay đổi tại những điểm này.

Do đó, chúng ta thấy rằng khi chúng ta sử dụng hệ tọa độ quán tính “cố định”, thì đối với trọng lượng của vật, chúng ta có thể viết biểu thức

$$P = mg.$$

Nhưng khi chúng ta sử dụng hệ tọa độ không chu vi, tức là hệ tọa độ chuyển động với gia tốc, thì không thể sử dụng định luật thứ hai của Newton. Do đó, không thể sử dụng công thức $P = mg'$, công thức rút ra từ định luật thứ hai của Newton. Tuy nhiên, chúng tôi đã viết công thức (6) và (6a), điều này chỉ có nghĩa là $P = mg'$, trong đó $g'$ là gia tốc so với hệ tọa độ không chu vi. Nhưng điều này là “bất hợp pháp”, phải không? Vâng, nó là bất hợp pháp. Nhưng tại sao các công thức “bất hợp pháp” cũng được viết ra sẽ được thảo luận trong một bài viết khác.

Nhấn mạnh

1. Ở vị trí đảo ngược, hòn đá đi theo đường xích đạo do Trái đất tự quay. Ở vị trí phía Nam hòn đá sẽ lệch về đâu?

2. Trái đất phải quay với vận tốc góc bằng bao nhiêu để gia tốc rơi tự do của một vật ở xích đạo bằng 0? Trọng lượng cơ thể trong trường hợp này sẽ là bao nhiêu? Lực hấp dẫn nào đang tác dụng lên nó?

23

Một trong những chương của cuốn sách xuất sắc về lý thuyết đồ thị *) bắt đầu bằng phần mô tả … vấn đề:

“Giả thuyết bốn màu có thể được gọi một cách chính đáng là “căn bệnh bốn màu”, vì nó có nhiều điểm giống với căn bệnh này. Nó rất dễ lây lan. Đôi khi nó tiến triển tương đối dễ dàng, nhưng trong một số trường hợp, nó trở nên kéo dài hoặc thậm chí đe dọa. Không có vắc xin nào chống lại nó…”

Tuyên bố này của nhà toán học người Mỹ F. Harari, rất giống với bản ghi nhớ của một nhà dịch tễ học, rất đáng được bổ sung vào nhà toán học và giáo viên nổi tiếng O. Ore:

“Niebaulier nổi tiếng trong số này bài toán **) - bài toán bốn màu, lần đầu tiên được De Morgan đặt ra cho các nhà toán học vào khoảng năm 1850. Không có khoảng trống nào khác đã tạo ra nhiều công trình khéo léo và nhiều như vậy trong lý thuyết đồ thị. Nhờ công thức đơn giản và tính khó nắm bắt nổi bật của nó, nó vẫn mang lại sự kích thích mạnh mẽ cho việc nghiên cứu các tính chất khác nhau của đồ thị” ***).

*) F. Harari, Lý thuyết đồ thị, dịch từ tiếng Anh. Nhà xuất bản “Mir”, M., 1973.
**) Điều này đề cập đến lý thuyết đồ thị bài toán. - Xấp xỉ. biên tập.
***) O. Ore, Lý thuyết đồ thị, dịch từ tiếng Anh, Nxb Nayka, M., 1968.

Rõ ràng, chính “sự khó nắm bắt khó chịu” của giả thuyết vấn đề này là tác nhân chính gây ra căn bệnh được F. Harari mô tả; Về “công thức đơn giản”, có lẽ hầu hết độc giả đều biết: bất kỳ bản đồ nào trên quả cầu đều có thể được tô màu không quá bốn màu, hoa anh túc, sao cho hai phiên bất kỳ của đất nước đều được sơn bằng các màu khác nhau.

Tất nhiên, điều này đề cập đến một bản đồ lý tưởng hóa: trên bản đồ địa lý, một màu (xanh lam) luôn tương ứng với bề mặt nước. Chúng tôi sẽ cho rằng chúng không có trên bản đồ của chúng tôi, cũng như không có quốc gia nào bao gồm hai hoặc nhiều phần không liên quan đến nhau (ví dụ như trường hợp của Danna và tỉnh Greenland ở nước ngoài). Những ví dụ này cho thấy khái niệm bản đồ cần được làm rõ.

Mục tiêu của chúng tôi là nói về một trong những cách tiếp cận sớm nhất và có lẽ là khéo léo nhất đối với lời giải vấn đề này - nó thường có thể được gọi là tranh luận; công việc theo hướng này vẫn tiếp tục và khái niệm này vẫn tiếp tục, và câu chuyện của chúng ta sẽ hầu như không giống với sự trình bày cá nhân về những khám phá cá nhân.

Các điều kiện của nhiệm vụ, lời giải được đưa ra ở cuối vấn đề, thực chất là một phần của văn bản; một số trong số chúng không phức tạp hơn những bức ảnh trong album “Color It Yourself”.

24

Bản đồ trên quả cầu
Chúng ta sẽ gọi bản đồ trên một hình cầu là bất kỳ sự phân chia nào của hình cầu bằng các đoạn đường cong trơn thành một số hữu hạn các khu vực—các quốc gia trên bản đồ. Về các đoạn đường cong này, những điều sau đây được giả định một cách tự nhiên:

1. mỗi đường đều không có giao điểm riêng;
2. bất kỳ hai trong số chúng hoặc không giao nhau chút nào hoặc cắt nhau ở điểm cuối của chúng;
3. điểm cuối của bất kỳ đoạn nào trong số chúng đều nằm trong số điểm cuối của một hoặc nhiều đoạn khác, tức là chúng không “treo”.
   Rõ ràng là mỗi đoạn này cùng nhau tạo nên ranh giới của bản đồ, là một phần biên giới của hai quốc gia (hoặc toàn bộ biên giới này); Chúng tôi cũng sẽ gọi các nước láng giềng. Nhân tiện, chúng ta hãy lưu ý rằng việc chứng minh chặt chẽ cho phát biểu bắt đầu ở trên bằng từ “rõ ràng là…” và được gọi là định lý Jordan là cực kỳ cồng kềnh, bất chấp vẻ ngoài rất rõ ràng của nó.
   Thật thuận tiện khi vẽ bản đồ hình cầu dưới dạng một “lục địa” được chia thành các quốc gia, được bao quanh bởi một “đại dương” - một trong các quốc gia (trong Hình 1).

Cơm. 1. Bản đồ (các nước từ A đến N), được tô màu chính xác bằng bốn màu.

Cơm. 2. Bản đồ trong đó số phần không liên kết của đồ thị ranh giới (số lượng “đảo” trong “đại dương” A) bằng trem (Krp = 3).

ke 1 nước A; Có thể có một số “lục địa”, như trong Hình 2). Nước M và E trong Hình 1 không phải là nước láng giềng dù có chung một điểm biên giới; quốc gia D và E thậm chí còn có hai phần riêng biệt trên một đường biên giới chung.

Chúng tôi cũng yêu cầu không có quốc gia nào trên bản đồ chỉ có một nước láng giềng (“đảo” trong “đại dương”); Tất nhiên, bản đồ với các quốc gia như vậy không khó tô màu hơn, nhưng cách trình bày rất phức tạp bởi các ngoại lệ và giải thích.

Trang màu thẻ
Việc tô màu bản đồ bằng n màu được gọi là tô màu n thông thường nếu bất kỳ cặp quốc gia láng giềng nào được tô màu khác nhau. Sau khi vẽ một số bản đồ hình cầu và tô màu chúng, bạn có thể dễ dàng nhận thấy rằng mặc dù có những bản đồ mà ba hoặc thậm chí hai màu là đủ để tô màu phù hợp, nhưng những bản đồ đó là “không điển hình” - cần tổng cộng bốn màu.

Nhiệm vụ 1. Vẽ bản đồ bốn quốc gia không thể tô màu chính xác bằng hai hoặc ba màu.

Bài tập 2. a) n đường tròn được cho trên một mặt phẳng. Chứng minh rằng với mọi cách sắp xếp này

25

độc lập tìm thấy bằng chứng về thực tế này, được thiết lập vào cuối thế kỷ 19.

đồ thị bản đồ

Bất kỳ hệ thống điểm và đường nào nối một số điểm này và không giao nhau theo cặp đều được gọi là đồ thị; điểm gọi là đỉnh, đường thẳng gọi là cạnh của đồ thị.

Như có thể thấy từ định nghĩa và tính chất 1) - 3) của bản đồ trên hình cầu, nó được đặc trưng bởi đồ thị biên của nó; các đỉnh của nó là những điểm mà tại đó ít nhất ba quốc gia hội tụ, các cạnh của nó là các phần của ranh giới giữa các đỉnh (Hình 3). Chúng tôi cũng sẽ xác định biểu đồ vốn và lộ trình; các đỉnh của nó là “thủ đô” của các quốc gia (các điểm tùy ý nhưng cố định, được chọn theo nội địa của mỗi quốc gia), các cạnh là “những con đường” nối thủ đô của các quốc gia láng giềng (mỗi cặp láng giềng một thủ đô) và đi qua phần biên giới giữa chúng (Hình 4, 5).

Màu của bản đồ có thể được thay thế bằng màu của các đỉnh của đồ thị vốn và đường của bản đồ này; tính đúng đắn của việc tô màu có cùng ý nghĩa nếu các điều kiện là hai đỉnh của bất kỳ đồ thị nào

Cơm. 3. Bản đồ đồ thị ranh giới.

các vòng tròn, bản đồ mà chúng tạo thành có thể được tô màu chính xác bằng hai màu.

b) Tạo điều kiện cần và đủ để bản đồ được tô đúng hai màu.

Kết quả của nhiều năm làm việc ngắn ngủi, người ta đã chứng minh được rằng bất kỳ bản đồ nào chứa không quá 41 quốc gia đều có 4 màu chính xác. Từ đó, rõ ràng là nếu có một ví dụ bác bỏ giả thuyết của chúng tôi thì rất khó để xây dựng nó. Đồng thời, tồn tại 5 màu thông thường cho bất kỳ bản đồ hình cầu nào. Thử

Cơm. 4. Các nước từ A đến N, thủ đô và đường sá của các nước đó.

Cơm. 5. Đồ thị thủ đô và bản đồ đường đi và 4 màu thông thường.

26

Cơm. 6. Các đường màu đỏ mô tả các cạnh; đồ thị thủ đô, đường của bản đồ Hình 1 đủ để đạt tới đồ thị tam giác; Các cạnh này có thể được xây dựng theo một cách khác (ví dụ: ME cùng với NI, v.v.).

fa được coi là liền kề khi chúng được nối với nhau bằng một cạnh.

Bắt đầu tô màu các đỉnh của đồ thị thủ đô và đường của bản đồ trên hình cầu, chúng ta hãy kiểm tra xem có thể bổ sung một cạnh không cắt các cạnh khác của đồ thị hay không và nếu có thì chúng ta sẽ bổ sung nó (ví dụ: đồ thị ở Hình 5 có cạnh AK). Bất kỳ cách tô màu 4 đúng nào của biểu đồ thu được cũng sẽ đúng với biểu đồ gốc; nói chung thì điều ngược lại là không đúng - hai đỉnh không liên kết với nhau đã trở nên liền kề và phải có màu khác nhau. Chúng ta sẽ tiếp tục quá trình thêm các cạnh này.

Bài tập 3. Chứng minh rằng quá trình này kết thúc tại thời điểm đồ thị chia hình cầu thành các phần đùn cong. (Hình 6 hiển thị một biểu đồ xuất phát từ biểu đồ trong Hình 5.)

Đồ thị như vậy được gọi là đồ thị tam giác hình cầu *) và hình tam giác được gọi là các cạnh của đồ thị. Hình 7 biểu diễn đồ thị các đỉnh và các cạnh (theo cách hiểu hình học truyền thống của các từ này - “đỉnh của một tứ diện”, “cạnh của một khối lập phương”) của một khối 2 mặt đều - icosahedron; Đường 20 trông giống phần bên ngoài của tam giác XYZ.

Bài tập 4. Bản đồ phải như thế nào để đồ thị của nó có thể phẳng và trở thành đồ thị tam giác?

Bài tập 5. a) Chứng minh rằng đồ thị các đỉnh và cạnh của một hình bát diện đều - một hình mặt đều - có thể được tô màu đúng theo số ba.

b) Lập điều kiện cần và đủ để đồ thị tam giác có 3 màu.

Sách tô màu hình học

Việc tô màu 4 chính xác các đỉnh của bất kỳ đồ thị tam giác nào của hình cầu có thể có ý nghĩa hình học đơn giản và màu đỏ. Điều này giải thích mong muốn của chúng tôi là chuyển từ biểu đồ thủ đô và đường của bản đồ sang biểu đồ tam giác của nó, mặc dù bản thân màu bài toán thoạt nhìn chỉ là một điều kiện.

Chúng ta hãy xem xét một tứ diện neoctor, trong đó bốn đỉnh của nó được tô màu riêng của nó (Hình 8, e). Giả sử bây giờ đồ thị không có tác nhân tam giác hình cầu một cách chính xác

*) Tam giác (thuật ngữ trắc địa) - chia địa hình thành các hình tam giác.

27

Cơm. 8. Quá trình chồng bề mặt của một khối bát diện lên trên bề mặt của một khối tứ diện.

được sơn bốn màu giống nhau. Do đó, mỗi đỉnh của nó tương ứng với một đỉnh của tứ diện và bất kỳ hai đỉnh lân cận nào cũng khác nhau. Và điều này có nghĩa là mỗi cạnh và mỗi mặt của đồ thị tương ứng với một cạnh nhất định và một mặt nhất định của tứ diện: một cạnh của đồ thị là một cạnh của tứ diện, các đỉnh của chúng được sơn hai màu giống như các đỉnh của cạnh đồ thị, và các mặt của đồ thị là một mặt được xác định tương tự của tứ diện. Chúng ta có thể hình dung sự tương ứng này như sự chồng chất của bề mặt tam giác được tô màu của một hình cầu lên bề mặt tứ diện của một khối tứ diện, các đỉnh của chúng tượng trưng cho bốn màu tô. Sự chồng chéo này có thể được tìm thấy với bất kỳ đỉnh tam giác nào được tô màu bằng một số màu bằng cách kết hợp nó với một đỉnh tứ diện cùng màu. Di chuyển đến đỉnh liền kề của tam giác và kết hợp nó với đỉnh màu tương ứng của tứ diện (luôn khác với đỉnh đầu tiên!), chúng ta đồng thời thu được sự thẳng hàng của cạnh của tam giác với cạnh của tứ diện. Theo cách tương tự, chúng ta kết hợp mặt tam giác với mặt tứ diện, sau đó, từng bước thêm lớp phủ mong muốn.

Quá trình xếp chồng được mô tả được mô tả trong Hình 8 (a - e) cho bề mặt của một khối tám mặt đều - một khối tám mặt. Sau khi theo dõi cẩn thận các chi tiết của quá trình này bằng cách sử dụng ví dụ trên Hình 8, không khó hiểu tại sao có thể xảy ra sự chồng chéo như vậy với 4 màu và nó xảy ra như thế nào (một phần, bề mặt của hình cầu phải được coi là linh hoạt và cho phép tự giao nhau nếu cần thiết).

Sách tô màu số học

Nếu, khi áp dụng một đỉnh tam giác cụ thể, việc chỉ ra đỉnh của tứ diện mà nó đi qua (tức là màu của màu) là đủ, còn khi áp dụng một mặt cụ thể, việc chỉ ra mặt của tứ diện là đủ - bạn cũng cần biết nó được xếp chồng lên mặt nào trên mặt này - “phía trước” hoặc “phía sau”. Có thể thấy điều này bằng cách sử dụng ví dụ về lớp phủ được hiển thị trong Hình 8. Bây giờ chúng ta hãy hình thành các quy tắc sau.

(*) Nếu khi một mặt của đồ thị gán chồng lên một mặt của khối trung diện, mặt ngoài của nó trùng với cạnh ngoài của mặt của khối trung diện thì ta gán số +1 cho mặt này của đồ thị gán; nếu ở bên trong thì - 1 (xem Hình 8, a).

28

Những con số này được gọi là số tô màu Heawood - để vinh danh nhà toán học người Anh P. Heawood, người tiên phong bài toán về các màu sắc và người phát hiện ra các định luật “số học” trong bài toán bốn màu.

Thuộc tính chính, mặc dù rõ ràng, của số Heawood là như sau:

Bổ đề. Nếu số Heawood của hai mặt liền kề của phép trenagulation bằng nhau thì các mặt này được ánh xạ lên các mặt khác nhau (nhưng tất nhiên là tất cả các mặt lân cận) của khối trung diện; nếu chúng không bằng nhau thì các mặt này sẽ được ánh xạ lên một mặt của khối trung diện, một mặt có mặt “mặt trước”, mặt kia có mặt “xà phòng”.

Bổ đề này chỉ nêu chi tiết định nghĩa của số Heawood; nhưng ba tính chất số học sau đây của những con số này thoạt nhìn khá bất ngờ:

1. Tổng của tất cả các số Heawood tô màu chính xác các đỉnh của đồ thị trenagulation chia hết cho 4 (thuộc tính này mới được biết đến gần đây).

2. Hãy lấy bất kỳ đỉnh nào của trenagulation; tổng số Heawood của các mặt gặp nhau ở đỉnh này chia hết cho 3 (sự kiện cơ bản này được Heawood phát hiện vào năm 1898).

3. Ngược lại, nếu chúng ta chọn được các số ±1 cho các mặt của biểu đồ phân loại sao cho chúng thỏa mãn điều kiện 2), thì bài toán về việc tô màu đã được quyết định - chúng ta có thể áp đặt phân loại trên bề mặt của khối trung diện, tuân theo quy tắc (*); điều kiện 2) sẽ đảm bảo tính khả thi của việc áp đặt đó.

Các câu 1), 2), 3) có thể được minh họa bằng Hình 9, trong đó thể hiện biểu đồ hai mươi mặt và cách tô màu 4 mặt thông thường của nó.

Chúng ta sẽ chỉ chứng minh khẳng định 1); chứng minh khẳng định 2) tương tự và là nội dung của nhiệm vụ 6; bằng chứng 3) không hoàn toàn cơ bản và chúng tôi không trình bày nó. Chúng ta chỉ cần lưu ý rằng khả năng chia hết cho ba là do trong

29

Chúng ta sẽ chứng minh rằng tổng các số Heawood của các mặt trong mỗi nhóm này bằng nhau (nếu một trong các nhóm trống, nghĩa là không chứa một mặt nào, thì đương nhiên coi tổng tương ứng bằng 0; khi đó các tổng khác cũng sẽ bằng 0). Vì tổng của tất cả các số Heawood phân hủy thành tổng của bốn nhóm mặt, nên từ sự bằng nhau của các tổng này trên các nhóm sẽ dẫn đến sự chia hết cho số chẵn.

Chúng ta hãy chọn tùy ý hai mặt của tứ diện. Chúng ta hãy xem xét các nhóm mặt tam giác tương ứng và tính tổng các số Heawood của các mặt cho mỗi nhóm này. Bây giờ chúng ta lấy bất kỳ đồ thị tam giác nào có trong một trong các nhóm này và cạnh của nó ánh xạ tới cạnh chung của hai cạnh của tứ diện mà chúng ta đã chọn lúc đầu. Chúng ta hãy xem xét biểu đồ tam giác có cạnh chung này với cạnh danh nghĩa đầu tiên; Rõ ràng là mặt kết nối như vậy được xác định duy nhất. Hơn nữa, nó chỉ có thể được ánh xạ lên một trong các mặt đã chọn của tứ diện và do đó hoặc thuộc cùng một nhóm mặt với mặt thứ nhất - khi đó, theo bổ đề, số Heawood của các mặt này không bằng nhau, hoặc đi vào mặt thứ hai trong số các nhóm này - và sau đó, theo cùng một bổ đề, số Heawood của hai mặt này bằng nhau. Theo đó, nếu một trong hai tổng mà chúng ta đang xem xét bao gồm một số hạng (số Heawood của một mặt nhất định), thì tổng còn lại bao gồm một số hạng bằng nhau (số Heawood của mặt lân cận duy nhất từ ​​nhóm thứ hai), hoặc tổng đó bao gồm một số hạng có giá trị bằng nhau nhưng ngược dấu (số Heawood lại của mặt lân cận duy nhất, nhưng lần này là từ cùng một nhóm). Sự đẳng thức của hai tổng đã được chứng minh.

Bài 6. Chứng minh tính chất 2) của số Heawood bằng phương pháp tương tự.

Đừng tô màu mà hãy tính toán

Thuộc tính 3) của số Heawood cho phép người ta bắt đầu bài toán tìm cách tô màu 4 thông thường với một số bài toán số học trên đồ thị: tìm giá trị của ẩn số $x$ (Số Heawood)

30

Bài toán

M256—M260; F268—F272

M256. Một đa giác được mô tả xung quanh một vòng tròn. Điểm tiếp xúc của các cạnh của nó với đường tròn là các điểm phục vụ của đa giác thứ hai nội tiếp trong đường tròn này. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M tùy ý của đường tròn đến các cạnh của một đa giác bằng tích khoảng cách từ điểm này đến các cạnh của đa giác thứ hai.

(Khi xét từ điểm M đến một cạnh, khoảng cách đến đường thẳng mà cạnh này nằm bị giẫm đạp.)

A.N. Chernyev

M257. Với số tự nhiên nào $n \geq 2$ thì bất đẳng thức
$$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \geq p(x_1 x_2 + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n)$$
đúng với mọi số thực $x_1, x_2, \ldots, x_n$ nếu $p = 1$; 6) $p = \frac{4}{3}$; 8) $p = \frac{6}{5}$?

Heyer Kong Quil (Hà Nội, DRV)

M258. Trên mặt phẳng đáy có ba điểm K, L, N. Người ta biết rằng một tứ giác là lồi và trung điểm của một số trong ba cạnh của nó lần lượt nằm tại các điểm K, L, N. Tìm tập hợp các điểm có thể cắt nhau:
a) Trung điểm của tứ giác;
b) đỉnh của tứ giác này.

A. P. Savin

M259. Chúng ta hãy gọi một tứ giác là một hình tứ giác gồm các ô trên giấy ca rô, tâm của chúng nằm ở các đỉnh của hình chữ nhật có các cạnh song song với các đường lưới. (Ví dụ, trong Hình 1, ba tứ giác được vẽ không có các ô chung, bạn có thể đặt:
a) bình phương $5 \times 5$?

31

6. trong một ô hình chữ nhật $m \times n$?

A. Grigoryan, học sinh lớp 10

M260*. Vòng tròn được chia theo các điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ thành $n$ phần bằng nhau, mỗi phần được sơn một màu nhất định. Hai cung (có các đầu tại điểm phân chia) được gọi là có màu giống nhau nếu, với một số phép quay của đường tròn, một trong số chúng hoàn toàn, bao gồm cả màu của mỗi phần, trùng với phần kia. (Ví dụ: trong Hình 2, các cung $A_2A_6$ và $A_6A_{10}$ có màu như nhau.)

Chứng minh rằng nếu với mỗi điểm của phân vùng $A_i$ người ta có thể chỉ ra hai cung rời nhau, có màu giống hệt nhau với một điểm cuối chung $A_i$,

Cơm. 1.

thì toàn bộ hình tròn có thể được chia thành nhiều cung có màu bằng nhau, tức là màu sắc “định kỳ”. Đầu tiên hãy xem xét trường hợp chỉ có hai màu: đỏ và đen.

G. A. Gureevi

F268. Để xác định tỷ số nhiệt dung của một chất khí ở áp suất không đổi và thể tích không đổi, đôi khi người ta sử dụng phương pháp sau. Xác định lượng khí có nhiệt độ, thể tích và áp suất ban đầu bằng nhau?

Cơm. 3.

32

F270. Trong một ống nghiệm dài, cách đầu bịt kín $l_1$ có một bình thủy ngân ngắn (Hình 4). Khối lượng thủy ngân $m$. Ống nghiệm phải quay với tốc độ góc bao nhiêu o quanh trục thẳng đứng để thủy ngân đi tới đầu ống nghiệm? Ống nghiệm có chiều dài $l$, nhiệt độ không khí trong ống nghiệm không thay đổi. Áp suất khí quyển là $p_0$.

F271. Tính mật độ trung bình $\rho$ của điện tích trong khí quyển nếu biết hướng của trường điện tử trên bề mặt Trái đất là 100 $\beta \cdot m^{-1}$, và ở độ cao $h = 1,5$ km hướng này giảm xuống còn 25 $\beta \cdot m^{-1}$.

Cơm. 4.

F272. Một ma trận có chiều dài $l$ được treo trên một bức tường nghiêng một góc $\alpha$ so với phương thẳng đứng (Hình 5). Mô mềm bị lệch trong mặt phẳng vuông góc với tường một góc nhỏ $\beta$ so với phương thẳng đứng và được thả ra. Tìm chu kỳ dao động của ma trận nếu $\beta > \alpha$ và va chạm của quả bóng lên tường là đàn hồi tuyệt đối.

Cơm. 5.

Lời giải bài toán

M211—M218; F223—F227

M211. Cho $n$ điểm, $n > 4$. Chứng minh rằng bạn có thể kết nối chúng bằng các mũi tên sao cho có thể chạm tới từng điểm trong mỗi đĩa bằng cách truyền một hoặc hai mũi tên (mỗi hai điểm có thể được nối bằng một mũi tên theo một hướng; một mũi tên theo hướng chỉ trên đó).

Đối với $n = 5$, đồ thị bắt buộc (còn gọi là hệ thống các điểm được kết nối bằng mũi tên) được trình bày trong Hình 1. Bây giờ, hãy thực hiện một phép chuyển đổi quy nạp: chúng tôi chứng minh rằng nếu bạn có thể kết nối các điểm $n$ bằng các mũi tên theo yêu cầu trong các điều kiện, thì bạn cũng có thể kết nối các điểm $n + 1$. Giả sử $n$ điểm đã được kết nối - bạn sẽ có được biểu đồ có $n$ đỉnh. Chúng ta có thể giả định rằng hai điểm bất kỳ trong số $n$ này được kết nối bằng một mũi tên: nếu không, chúng ta sẽ vẽ tất cả các mũi tên còn thiếu (hướng chúng theo bất kỳ hướng nào) và các điều kiện bài toán thậm chí sẽ được đáp ứng nhiều hơn. Hãy biểu thị điểm mới bằng $C$.

Hãy xem xét hai trường hợp.

a) $n$ - chẵn. Sau đó, chúng tôi chia các điểm $n$ này thành từng cặp. Đặt các điểm $A_h B_h$ là một trong các cặp ($1 \leq k \leq n/2$) và từ $A_h$ có một mũi tên đến $B_h$. Sau đó, chúng ta sẽ vẽ một mũi tên từ $C$ đến $A_h$ và từ $B_h$ chúng ta sẽ vẽ một mũi tên đến $C$ (xem Hình 2). Hãy làm điều này cho mỗi cặp. Một biểu đồ mới có đỉnh $n + 1$ được xây dựng. Hãy chứng minh nó thỏa mãn điều kiện bài toán. Đặt $X, Y$ là hai đỉnh phân biệt bất kỳ của nó. Chúng tôi cần chứng minh rằng bạn có thể đi từ $X$ đến $Y$ bằng cách chuyển một hoặc hai mũi tên. Nếu cả $X$ và $Y$ không trùng với $C$ thì điều này là như vậy theo giả thuyết quy nạp. Giả sử $X$ hoặc $Y$ giống với $C$. Sau đó, một điểm khác trong số này ($Y$ hoặc $X$) được bao gồm trong một số cặp điểm mà chúng tôi chia điểm $n$ đầu tiên. Do đó, $X$ và $Y$ là hai trong số ba điểm được hiển thị trong Hình 2. Nhìn vào hình này, bạn có thể dễ dàng xem qua tất cả các phương án có thể và đảm bảo rằng yêu cầu được đáp ứng.

b) $n$ - lẻ. Trong trường hợp này, chúng tôi chia các đỉnh $n$ đầu tiên thành nhiều cặp và một bộ ba. Chúng tôi làm theo điều này như sau. Hãy chọn bất kỳ đỉnh nào $A_1$. Cô ấy

33

được kết nối bằng mũi tên với tất cả các đỉnh $n - 1$ khác: $A_2, \dots, A_n$. Ít nhất hai mũi tên đi ra từ $A_1$ hoặc ít nhất hai mũi tên đi vào $A_1$. Thật vậy, nếu không thì $n$ sẽ nhỏ hơn bốn.

Để ít nhất hai mũi tên rời khỏi $A_1$ (trường hợp còn lại tương tự) và đến các đỉnh $A_2, A_3$. Chúng ta sẽ chia các đỉnh còn lại thành từng cặp. Bây giờ, hãy nối đỉnh mới có các mũi tên với bộ ba $A_1, A_2, A_3$ - như trong Hình 3 và với tất cả các cặp - như trong Hình 2. Như trong trường hợp a), thật dễ dàng để chứng minh rằng đồ thị thu được thỏa mãn điều kiện bài toán. Quá trình chuyển đổi quy nạp là hợp pháp. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh bằng quy nạp rằng các điểm $n$ có thể được kết nối theo yêu cầu trong điều kiện, với $n \geq 5$. Nếu hiểu được cách chứng minh thì bạn có thể dễ dàng hiểu được nghịch lý sau. Đối với $n = 3$, biểu đồ bắt buộc cũng tồn tại (Hình 2), nhưng đối với $n = 4$ thì không có biểu đồ nào như vậy (điều này có thể dễ dàng xác minh bằng cách liệt kê). Nhưng, áp dụng quy nạp cho trường hợp đặc biệt $n = 3$, ta thu được: nếu đồ thị như vậy tồn tại với $n = 3$, thì nó cũng tồn tại với $n = 4$. Kết quả là mâu thuẫn *). Có chuyện gì vậy?

**M212. Tại phiên tòa, 14 đồng xu được đưa ra làm bằng chứng. Chuyên gia phát hiện ra rằng bảy người trong số họ là hồ sơ, những người còn lại là trụ trì, và ông tìm ra ai là hồ sơ và ai là trụ trì. Tòa án chỉ biết rằng các đồng tiền có trọng lượng như nhau, các đồng tiền ban đầu có trọng lượng như nhau và các đồng tiền có trọng lượng như nhau. Chuyên gia muốn thời gian cân trên cân cốc mà không cần phán đoán kỹ thuật số, rằng tất cả các đồng tiền mà ông phát hiện được thực sự là đồng tiền và phần còn lại là bản gốc. Anh ấy có thể làm được không?

Hình 4, a, b, c cho thấy bằng trọng số nào mà một chuyên gia có thể thuyết phục tòa án rằng đồng xu $\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_7$ là đồng xu giả và $H_1, H_2, \dots, H_7$ là đồng xu thật. Mỗi lần cốc bên phải di chuyển, và điều này chỉ có thể thực hiện được nếu có nhiều đồng xu ở cốc bên trái hơn bên phải (và có nhiều dịch truyền ở bên phải hơn bên trái).

Phương pháp này rất dễ khái quát hóa và khi đó, thực tế là dữ liệu $n$ đồng xu là tệp và các đồng xu $n$ khác là có thật, có thể được chứng minh bằng cách thực hiện cân $[\log_2 n] + 1$. Mặc dù thực tế là hệ thống cân như vậy rất tiết kiệm (ở mức $n = 1000$ 10 lần cân là đủ), chúng tôi không thể chứng minh rằng nó là tối ưu. Sẽ rất thú vị khi chứng minh rằng số trọng số tối thiểu vẫn tăng không giới hạn là $n \rightarrow \infty$ (hoặc để bác bỏ điều này).

MỘT. L.Tôm

*) Gần giống như ở §§ 2 và 3 trong bài viết “What the Guide Said” của M. Milg («Kvant», 1973, số 8).

M213. Cho một nút có đỉnh O và một đường tròn tiếp xúc với đường thẳng của nó trong các tu sĩ A và B. Một tia được vẽ từ điểm A song song với OB,

Cơm. 4.

34

cắt đường tròn tại điểm C. Đoạn OC cắt đường tròn tại điểm E, các đường thẳng AE và OB cắt nhau tại điểm K. Chứng minh OK = KB.

Chúng tôi đã thu được nhiều lời giải khác nhau trong số bài toán này, sử dụng các định lý về tiếp tuyến và cát tuyến, về tam giác con, về góc nội tiếp, v.v. Hãy để chúng tôi trình bày một trong những định lý ngắn nhất và đẹp nhất.

Hãy vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại điểm C; gọi P và N là giao điểm của nó trên các cạnh AO và OB của góc AOB (Hình 5). Rõ ràng PB là trục đối xứng của tam giác OPN nên cả 4 tiếp tuyến đều bằng nhau:

$$OA = OB = BN = CN.$$

Các tam giác NOC và OAK đồng dạng vì

$$\angle CNO = \angle AOK, \angle NOC = \angle ACO = \angle OAK$$

(mỗi góc trong số hai góc cuối được đo bằng cung tưới AE). Từ đây

$$\frac{OK}{OB} = \frac{OK}{OA} = \frac{CN}{ON} = \frac{1}{2}.$$

M214. Tam giác vuông f(x) = ax^2 + bx + c anh túc có nghĩa là phương trình f(x) = x không có nghiệm thực. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x cũng không có nghiệm thực.

bài toán này có thể được giải hoàn toàn bằng đại số, sử dụng thực tế là nếu f(x) là một đa thức, thì f(f(x)) - x luôn chia hết (dưới dạng đa thức) cho f(x) - x, tức là

$$f(f(x)) - x = (f(x) - x)g(x).$$

Ở đây g(x) là đa thức bậc hai. Các phép tính đơn giản cho thấy phân biệt của đa thức này là âm. Tuy nhiên, hầu hết độc giả đã thêm lời giải màu đỏ hơn, sử dụng thông điệp trực quan được liên kết với biểu đồ.

Điều kiện phương trình f(x) = x không có nghiệm thực có nghĩa là parabol y = f(x) nằm hoàn toàn bên trên hoặc hoàn toàn bên dưới đường thẳng y = x (Hình 6). Nói cách khác, với mọi x

$$f(x) > x,$$

nhưng với mọi x

$$f(f(x)) > f(x) > x,$$

hoặc với mọi x

$$f(x) < x,$$

và sau đó với mọi x

$$f(f(x)) < f(x) < x.$$

Vì vậy, trong trường hợp tổng quát phương trình f(f(x)) = x không có lời giải.

**M215. Trên một tờ giấy trắng kẻ ô vuông có vô số ô có n ô tô màu đen. Tại các thời điểm t = 1, 2, … ta thực hiện tô màu đồng thời tất cả các ô của trang tính theo quy tắc sau: mỗi ô k nhận được màu mà hầu hết ba ô có ở thời điểm trước đó: chính ô k và các ô lân cận ở bên phải và phía trên (nếu hai hoặc ba ô này màu trắng thì k trở thành màu trắng, nếu hai hoặc ba ô màu đen), và Chứng minh rằng sau một thời gian hữu hạn sẽ không còn ô đen nào trên trang tính.

b) Chứng minh rằng ô đen sẽ biến mất không muộn hơn thời điểm t = n.

Giả sử H là một tập hợp các ô màu đen. Chúng ta hãy biểu thị bằng chữ cái Γ (từ từ “tiêu đề”) toán tử đổi màu, nghĩa là bằng Γ (Ч), chúng ta sẽ biểu thị tập hợp các ô thu được từ số, bằng Γ²(Х) chúng ta sẽ biểu thị tập hợp Γ(Γ(Ч)), trong đó số được chuyển theo hai bước, bởi Γ³(Ч) theo ba bước, v.v. (xem Hình 7; nhân tiện, hình này bác bỏ giả định rằng tổng số ô trong Γ(H) luôn nhỏ hơn trong H).

Phát biểu a) tiếp theo ngay sau hai câu đáng kính như vậy.

(1) Nếu thêm nhiều ô đen vào tập Γ thì cũng chỉ có thể thêm các ô đen vào tập Γ(Н), nhưng không có ô nào bị mất. Sử dụng dấu ⊆(A ⊆ B) có nghĩa là tập A hoàn toàn chứa trong B, một phần nó có thể

35

trùng khớp), nó có thể được viết như thế này:

$$\chi \subset \chi' \Rightarrow \Gamma(\chi) \subset \Gamma(\chi')$$

(2) Nếu $\chi_0$ là tập hợp tất cả các ô bên trong một hình vuông trên giấy ca rô (bao gồm $N$ ô), thì sau một số hữu hạn các bước sẽ không còn lại gì là $\chi_0$ (Hình 8); chính xác hơn, sau $(2N-1)$ bước bạn sẽ nhận được một bộ ô đen trống:

$$\Gamma^{2N-1}(\chi_0) = \varnothing$$

Rõ ràng là bất kỳ tập hợp $\chi$ nào cũng có thể được đặt trong một hình vuông đủ lớn $\chi_0$; theo (2) hình vuông màu đen $\chi_0$ này sẽ “chết” trong một số hữu hạn bước, và theo (1) bất kỳ $\chi$ nào cũng không thể tồn tại lâu hơn $\chi_0$. Như vậy bài toán a) đã được giải.

Chứng minh 6) khó hơn nhiều.

Hãy để chúng tôi trích dẫn lời giải bài toán 6), được phát minh tại Thế vận hội bởi nhà cổ điển thứ mười A. Gomilko từ Khmelnitsky (vì điều này mà ông đã nhận được giải thưởng đặc biệt).

Nhân tiện, thực tế là lời giải 6) không thể đơn giản được thể hiện qua nhiều ví dụ về các tế bào $n$ chết đi theo đúng $n$ bước (Hình 9).

Chúng ta hãy chứng minh câu 6) bằng quy nạp theo $n$—số ô trong tập hợp ban đầu $\chi$; với $n = 1$ điều đó là hiển nhiên.

Hãy chứng minh rằng nếu có ít hơn $n$ ô trong $\chi$, thì

$$\Gamma^{n-1}(\chi) = \varnothing$$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét $\chi$, bao gồm $n$ ô. Hãy đặt nó theo một góc vuông $x \geq 0$, $y \geq 0$ (các trục tọa độ $Ox$ và $Oy$ hướng sang phải và hướng lên trên dọc theo các đường lưới, cạnh của ô bằng 1) sao cho trong dải $0 \leq x \leq 1$ có ít nhất một ô màu đen và trong dải $0 \leq y \leq 1$ - cũng vậy (Hình 10).

Đặt $\chi^1$ là phần của $\chi$ nằm trong nửa mặt phẳng $x \geq 1$. Theo giả thuyết quy nạp, $\Gamma^{n-1}(\chi^1) = \varnothing$. Và các ô từ $0 \leq x \leq 1$ không ảnh hưởng đến những gì xảy ra phía trên dòng $x = 1$. Do đó, $\Gamma^{n-1}(\chi)$ nằm hoàn toàn trong dải $0 \leq x \leq 1$ (rõ ràng, trong

36

HALF-PLANES $x < 0$ tế bào đen không thể phản xạ).

Bằng cách tương tự, người ta chứng minh rằng $\Gamma^{n-1}(\Upsilon)$ nằm trong dải $0 \leq y \leq 1$. Theo đó, $\Gamma^{n-1}(\Upsilon)$ có ​​thể chứa tối đa một ô: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1$ và do đó $\Gamma^n(\Upsilon) = \emptyset$.

N. B. Vasiliev

M216. $N$ người ta không quen nhau. Bạn cần giới thiệu dtype cho một số người trong số họ để không có ba người nào có số lượng người quen như nhau. Chứng minh rằng điều này có thể thực hiện được với mọi $N$.

Hãy giải bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học. Đối với $N < 3$ mệnh đề bài toán là hiển nhiên.

Giả sử rằng chúng ta có thể giới thiệu $k$ người, sao cho không có ba người nào trong số họ có số lượng người quen bằng nhau. Hãy thêm $k+1$th. Hãy nêu cách giới thiệu người thứ $(k+1)$ sao cho trong một nhóm người thứ $(k+1)$ không có ba người nào có số người quen bằng nhau. Nếu trong số $k$ đầu tiên có một người quen biết tất cả những người khác thì $k+1$ sẽ không giới thiệu ai với ai cả. Nếu không có thì chúng tôi sẽ giới thiệu thứ $(k+1)$ tới mọi người.

Trong trường hợp đầu tiên, $(k+1)$th không có người quen và mỗi người còn lại đều có ít nhất một người quen - người quen với mọi người. Trong trường hợp thứ hai, $(k+1)$ có $k$ người quen, số người quen của mỗi người trong số $k$ người đầu tiên tăng thêm một, nhưng không ai trong số họ có $k$ người quen.

Hình 11 thể hiện các kiểu hẹn hò cho $k=6$ thu được theo cách được mô tả.

Có rất nhiều lời giải khác trong số bài toán này. Ví dụ: nếu chúng ta đánh số $n$ những người có số từ 1 đến $n$ và giới thiệu $i$ đến $j$, nếu

$$|i-j| \leq \frac{n}{2},$$

thì chỉ những cặp người có số $k$ và $n-k$ mới có số lượng người quen bằng nhau (với

38

Hãy cùng tìm hiểu xem vận tốc của con tàu thay đổi như thế nào theo thời gian.

Vì $m\Delta v = F\Delta t$ và $F = -kv$ thì
$$\frac{\Delta v}{\Delta t} = -\frac{k}{m} v.$$

Chúng tôi thấy rằng tốc độ thay đổi tốc độ của con tàu tỷ lệ thuận với tốc độ của chính nó. Tuy nhiên, như đã biết (ví dụ, xem bài viết của S. D. Osyatinsky và L. Z. Rumshinsky “Exponta”, «Kvant», 1972, số 12), nếu sự thay đổi của bất kỳ đại lượng nào tỷ lệ thuận với chính đại lượng đó, thì đại lượng đó thay đổi theo quy luật hàm mũ, do đó

$$v = v_0 e^{-\frac{k}{m} t}.$$

Từ công thức này suy ra $v = 0$ tại $t \to \infty$. Tức là con tàu có thể đi trên con đường $s_2$ trong một thời gian dài vô tận! Điều này có nghĩa là câu hỏi thứ hai bài toán theo $F \sim v$ cần được làm rõ. Chúng ta sẽ coi vật đã dừng lại nếu tốc độ của nó giảm đi, chẳng hạn, một nghìn lần (con số tất nhiên có thể khác; tất cả phụ thuộc vào mục tiêu của thí nghiệm).

F224. Dọc theo các thanh gỗ tạo thành một góc $\alpha$ với đường chân trời, giữ hộp bằng dây. Hệ số ma sát giữa hộp và dụng cụ là $\mu$. Dây phải được hướng một góc bao nhiêu so với đường chân trời sao cho có ít hộp bị mắc vào nhất: a) đồng đều, b) với gia tốc cho trước $a$?

Hãy xét các lực tác dụng lên hộp (Hình 14). Đó là lực hấp dẫn mg, lực căng của dây F, phản lực N và lực ma sát F_Tp, có giá trị là F_Tp = μN. Hãy chiếu tất cả các lực theo hướng dọc và vuông góc với chúng và viết phương trình chuyển động tương ứng.

Vì hộp không chuyển động theo hướng vuông góc với skordi nên tổng các hình chiếu của lực lên hướng này

$$\text{Рис. 14}$$

phải bằng 0, nghĩa là
$$N + F \sin(\beta - \alpha) - mg \cos \alpha = 0.$$ (1)

Dọc theo skodney, hộp chuyển động với gia tốc $a$ (trong một số trường hợp có chuyển động đều $a = 0$), do đó tổng các hình chiếu của các lực phải bằng ma:

$$F \cos(\beta - \alpha) - mg \sin \alpha - \mu N = ma.$$ (2)

Từ phương trình (1) và (2)

$$F = \frac{ma + mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{\cos(\beta - \alpha) + \mu \sin(\beta - \alpha)}.$$ (3)

Trong biểu thức thu được của lực F, góc $\beta$ chỉ được đưa vào hệ số quan trọng. Do đó, độ lớn của lực F sẽ nhỏ nhất tại giá trị góc $\beta$ đó, tại đó giá trị trong công thức (3) là lớn nhất, tức là phương trình chuyển động cực đại.

$$\cos(\beta - \alpha) + \mu \sin(\beta - \alpha).$$

Hãy thực hiện một số chuyển đổi. Hãy tưởng tượng hệ số ma sát $\mu$ là tiếp tuyến của một góc $\gamma$ nào đó:

$$tg \gamma = \mu; \quad \gamma = \arctg \mu;$$

$$\sin \gamma = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}; \quad \cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

Sau đó chúng ta có thể viết:

$$\cos(\beta - \alpha) + \mu \sin(\beta - \alpha) = \sqrt{1 + \mu^2} \cos(\beta - \alpha - \gamma).$$

Sau nó, biểu thức đạt giá trị lớn nhất và bằng $\sqrt{1 + \mu^2}$ tại $\beta - \alpha - \gamma = 0$, tức là tại $\beta = \alpha + \gamma = \alpha + \arctg \mu.$ (4)

Với giá trị này của góc $\beta$ và lực tối thiểu F. Hơn nữa, nếu hộp chuyển động đều ($a = 0$), thì

$$F_{\min} = \frac{mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{\sqrt{1 + \mu^2}},$$

và khi chuyển động với gia tốc $a$

$$F_{\min} = \frac{ma + mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

Tuy nhiên, lời giải này không đúng với mọi gia tốc. Vì hướng của lực F không phụ thuộc vào $a$ và giá trị tuyệt đối của lực F tăng khi gia tốc tăng dần, nên ở một giá trị nhất định của gia tốc $a = a_0$, lực F sẽ sao cho thành phần $F \sin(\beta - \alpha)$ của nó, vuông góc với mặt phẳng nghiêng, sẽ bằng giá trị tuyệt đối với thành phần trọng lực $mg \cos \alpha$. Trong trường hợp này, cả lực N và lực $F_{\text{Tp}}$ đều biến mất. Sau đó (tại $a > a_0$), để không bị tách ra khỏi các vị trí, hướng của lực F phải nhỏ hơn khi tăng gia tốc $a$ sao cho thành phần lực F, vuông góc

39

với mặt phẳng nghiêng vẫn bằng thành phần trọng lực, tức là
$$F \sin(\beta - \alpha) = mg \cos \alpha.$$
Đối với các thành phần của các lực này song song với mặt phẳng nghiêng, ta có thể viết
$$F \cos(\beta - \alpha) = mg \sin \alpha = ma.$$
Từ hai đẳng thức cuối ta tìm được:
$$tg(\beta - \alpha) = \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a},$$
Ở đâu
$$\beta = \alpha + arctg \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a}.$$
Giá trị $a_0$ có thể được tìm thấy từ những thông báo ở $a = a_0$ giá trị của góc $\beta$ từ (4) và (5) trùng khớp:
$$\alpha + arctg \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a_0} = \alpha + arctg \mu,$$
Ở đâu
$$a_0 = g \left( \frac{\cos \alpha}{\mu} - \sin \alpha \right).$$
Vì thế,
tại $a \leq a_0$ (do đó, cũng ở chuyển động đều)
$$\beta = \alpha + arctg \mu,$$
tại $a > a_0$
$$\beta = \alpha + arctg \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a}.$$
Chúng tôi đã quyết định bài toán. Tuy nhiên, hãy cho thêm một lời giải. Đây là một hình học đẹp lời giải.
Với chuyển động đều dọc theo lối đi, tổng các lực phải bằng 0. Hãy thay thế các lực $N$ và $F_{TP}$ bằng các lực tương đương $Q = N + F_{TP}$ (Hình 14) và thêm các lực $Q$, $F$ và $mg$. Họ sẽ tạo thành một hình tam giác khép kín.
Lưu ý rằng hướng của lực $Q$ tạo một góc $\delta$ với phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng sao cho
$$tg \delta = \frac{F_{TP}}{N} = \frac{\mu N}{N} = \mu,$$
tức là khi độ lớn và hướng của lực $F$ thay đổi thì hướng của lực $Q$ không đổi. Do đó, giá trị tuyệt đối của vectơ $F$ sẽ nhỏ nhất nếu nó vuông góc với vectơ $Q$ (Hình 15) (vì độ lớn và hướng của vectơ $mg$ không thay đổi). Trong trường hợp này, với đường chân trời lực $F$ sẽ tạo thành một góc
$$\beta = \alpha + \delta = \alpha + arctg \mu$$
(góc $\beta$ và $\alpha + \delta$ bằng nhau là góc có hai cạnh vuông góc với nhau).
bài toán được giải tương tự khi hộp chuyển động với gia tốc $a < a_0$. Trong trường hợp này, tổng của các vectơ $mg$, $Q$ và $F$ phải bằng $ma$ (Hình 16). Điều này sẽ thay đổi độ lớn tuyệt đối của lực $F$, nhưng sẽ không thay đổi hướng của nó.
Tại $a > a_0$, khi các lực $N$, $F_{TP}$, $a$ và do đó $Q$ bằng 0, thì lực $F$ phải nối các đầu của vectơ $mg$ và $ma$ (Hình 17). Dễ dàng nhận thấy rằng trong trường hợp này
$$\beta = arctg \frac{g + a \sin \alpha}{a \cos \alpha} = \alpha + arctg \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a}.$$
F225. Có hai chất lỏng không thể thay thế trong nước trái cây: carbon perchloride $CCl_4$ và nước. Ở áp suất khí quyển bình thường, $CCl_4$ sôi ở $76,7^\circ \text{C}$, nước ở $100^\circ \text{C}$. Khi gia vị được đun nóng đồng đều trong nồi cách thủy, quá trình sôi ở bề mặt chất lỏng xảy ra ở nhiệt độ $65,5^\circ \text{C}$. Xác định chất lỏng nào sôi nhanh ở điểm sôi “giới hạn” tối đa và sôi bao nhiêu. Áp suất hơi bão hòa của nước ở $65,5^\circ \text{C}$ là 192 mm rm. cm.
Để một chất lỏng đồng nhất sôi, điều cần thiết là áp suất hơi bão hòa trong các bong bóng hình thành trong toàn bộ thể tích chất lỏng phải bằng áp suất khí quyển bên ngoài *).
Trong quá trình sôi ở “đường giới hạn”, các bong bóng nằm ở ranh giới giữa nước và cacbon tetraclorua chứa:
*) Trong thực tế, áp suất hơi bão hòa phải lớn hơn áp suất khí quyển một lượng $\Delta p = \rho gh + \frac{2\sigma}{R}$, trong đó $\rho gh$ là áp suất thủy tĩnh ở độ sâu $h$, $\frac{2\sigma}{R}$ là áp suất bổ sung dưới bề mặt cong của chất lỏng (σ là hệ số sức căng bề mặt, $R$ là bán kính của bong bóng). Rõ ràng giá trị này có thể được chuyển đổi so với áp suất khí quyển bên ngoài.

41

Đối số số phức
Yu. V. Sidorov

Bài viết này nghiên cứu khái niệm lập luận của số phức và dạng lượng giác của cách viết số phức. Giả định rằng người đọc biết định nghĩa của số phức, khái niệm về mô hình và cách giải thích hình học của số phức *).

định nghĩa
Hãy bắt đầu bằng việc xác định đối số của một số phức. Thông thường có hai định nghĩa.

Định nghĩa 1. Đối số của số phức $z \neq 0$ là góc giữa trục thực và vectơ $\vec{Oz}$, được mô tả theo chiều dương của trục thực. Đồng thời, nếu

*) Ví dụ, xem V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunn, “Các bài giảng và bài toán về toán tiểu học”, M., “Nauka”, 1971, cũng như V. V. Pekarskaya, “Hình học của số phức”, «Kvant», 1973, Số 6, tr. 54.

Việc đếm được thực hiện tùy ý theo chiều kim đồng hồ, nhưng giá trị của giá trị được tính là dương, nếu không theo chiều kim đồng hồ thì có thể âm (xem hình).

Định nghĩa 2. Đối số của số phức $a + bi \neq 0$ là góc φ thỏa mãn hai đẳng thức:

$$\begin{align*} \sin \varphi &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \cos \varphi &= -\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*}$$

Để hiểu đầy đủ định nghĩa của một lập luận, cần phải quy định như sau.

1°. Trong cả hai định nghĩa, một góc có thể được biểu thị bằng cả độ và radian. Trong một khóa học toán ở trường, cả hai mục đều bằng nhau. Để rõ ràng, các hợp đồng trong bài viết này chỉ thay đổi góc theo radian và từ “radIAN”, như thường lệ, sẽ bị bỏ qua. Sự lựa chọn này không phải ngẫu nhiên - trong toán học cao hơn, sự thay đổi radian của các góc thường được sử dụng nhất. Vì vậy, đối số của số phức nên được coi là số trừu tượng.

Do đó, trong Định nghĩa 1, từ “góc” phải được ghi nhớ là “góc đại số”, tức là một số trừu tượng biểu thị số radian của giá trị “góc hình học”. Tương tự, trong Định nghĩa 2, số φ có nghĩa là số radian chứ không phải độ.

42

2°. Định nghĩa 1 và 2 tương đương nhau: nếu φ là đối số của số z = a + bi ≠ 0 theo nghĩa của Định nghĩa 1 thì các đẳng thức (1) được thỏa mãn; ngược lại, nếu φ là đối số của số phức z = a + bi ≠ 0 theo nghĩa của Định nghĩa 2, thì φ là góc giữa hướng dương của trục thực và vectơ z. Mệnh đề này cho a > 0, b > 0 được rút ra trực tiếp từ hình vẽ (xem trang 41) và các định nghĩa về sin và cos. Đối với các số z khác, cách chứng minh cũng tương tự (kiểm tra lại!).

Vì vậy, không quan trọng định nghĩa nào trong số 1 hoặc 2 được chọn làm định nghĩa ban đầu - định nghĩa còn lại sẽ là tiêu chí cần thiết và xứng đáng.

3°. Đối với số z = 0 khái niệm đối số không tồn tại. Do đó, để cho ngắn gọn, trong tất cả các cuộc thảo luận tiếp theo liên quan đến khái niệm lập luận, chúng ta sẽ giả sử (và điều này không được quên!) rằng z ≠ 0.

4°. Đối với số phức cố định z ≠ 0, đối số được xác định một cách mơ hồ: nếu φ₀ là đối số không phải là tác nhân của số z thì mỗi số

$$\varphi_0 + 2k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,$$

cũng là một đối số của cùng số z và không có số nào không trùng với bất kỳ số nào được chỉ ra trong (2) là đối số của số z (hãy chứng minh điều đó!).

Do đó, với mọi số cố định z ≠ 0 có vô số đối số, trong đó cứ hai số âm của dyres là bội số của 2π.

5°. Sự mơ hồ của đối số, được mô tả ở phần 4°, khiến cho việc hiểu các phép toán trên đối số của một số phức trở nên khó khăn. Nhưng thường thì chính nhờ sự mơ hồ này mà người ta mới có thể giải quyết được những vấn đề khá khó khăn bài toán.

Trong một số toán học cơ bản gần đây, định nghĩa của đối số bao gồm một hạn chế ở dạng 0 ≤ φ < 2π, nghĩa là người ta tin rằng đối số của số phức z là góc không âm nhỏ nhất giữa trục dương và vectơ z. Khi đó với mỗi số z, đối số được xác định duy nhất và thoạt nhìn có vẻ như toàn bộ lý thuyết sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên, hạn chế như vậy chỉ làm phức tạp thêm hoạt động chính xác của các đối số (ví dụ: tổng các đối số của hai số phức không phải lúc nào cũng là đối số của bất kỳ số phức nào). Đôi khi điều này dẫn đến * có ý nghĩa không rõ ràng), vì vậy tốt hơn là bạn nên bám sát mức độ ưu tiên chung của định nghĩa (1 hoặc 2).

Đối số số phức

Chúng ta hãy xem xét vấn đề tìm đối số của một số phức. Nhưng trước tiên, hãy đồng ý về ký hiệu.

Để chỉ ra thực tế rằng số φ là đối số của số phức z, chúng ta viết

$$\varphi = \arg z \text{ или } \arg z = \varphi.$$

(3) Ví dụ, sự tương ứng nào

$$\frac{\pi}{2} = \arg i$$

Và

$$\arg i = \frac{\pi}{2}$$

chỉ có nghĩa là số π/2 là đối số của số i.

Lưu ý rằng sự tương ứng (3), mặc dù về mặt hình thức trông giống như đẳng thức, nhưng lại không đếm được. Tuy nhiên, trong số các tính chất của các đẳng thức thông thường, chẳng hạn như sau: nếu A = B và B = C thì A = C (A, B, C là các số hoặc hình hình học). Nhưng đẳng thức (3) không có tính chất này. Ví dụ, chúng ta có thể viết rằng

$$\frac{\pi}{4} = \arg (1 + i), \arg (1 + i) = \frac{9\pi}{4},$$

*) Xem ví dụ, V.V. Zaitsev, V.V. Ryzhkov, I.M. Skanavi, “Toán học cơ bản”, M., “Nauka”, 1967, tr. 41: trong công thức (15.1) tổng φ₁ + φ₂ có thể lớn hơn 2π, và do đó ý nghĩa của định lý sau công thức này không rõ ràng. Một điều không hiển nhiên tương tự đã được thừa nhận trên cùng một trang trong công thức (15.2) và trong văn bản sau nó.

Và chưa được chỉnh sửa. Một ấn bản mới, có sửa đổi của cuốn sách này hiện đang được chuẩn bị; nó sẽ được xuất bản vào năm 1974.

43

$\frac{\pi}{4} \neq \frac{9\pi}{4}$.

Như vậy, tương ứng (3) có thể đọc như sau: “φ bằng đối số của số $z$ hoặc “đối số của số $z$ bằng $\varphi$”, nhưng ý nghĩa của các cụm từ này chỉ có một: $\varphi$ là đối số của số $z$ hay nói cách khác, $\varphi$ là một trong các đối số của số $z$, như đã lưu ý ở (2). Thực tế này được viết dưới dạng một công thức.

$$\arg z = \varphi_0 + 2k\pi,$$

$$k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Ví dụ: tất cả các giá trị của đối số của số $i$ đều có trong công thức

$$\arg i = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Lưu ý rằng “các đẳng thức” thấy trong (4) thường xảy ra đối với các phương trình lượng giác lời giải. Ví dụ: lời giải của phương trình $\sin x = 1$ được viết như sau:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Ý nghĩa của “bình đẳng” cuối cùng cũng giống như sự tương ứng (4): với mỗi số nguyên $k$, số $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ thỏa mãn phương trình $\sin x = 1$ và chỉ những số này là nghiệm của phương trình $\sin x = 1$.

Để tìm tất cả các giá trị của đối số của số phức $z = a + bi \neq 0$, bạn cần tìm tất cả các số $\varphi$ thỏa mãn cả hai đẳng thức (1), tức là giải các phương trình (1) cùng nhau.

Ví dụ 1. Tên của tất cả các giá trị đối số của số $z = -5$.

Vì $a = \text{Re} z = -5, b = \text{Im} z = 0$, nghiệm của phương trình thứ nhất $\cos \varphi = -1$ từ hệ (1) là các số $\varphi = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ và nghiệm của phương trình thứ hai $\sin \varphi = 0$ là các số $\varphi = n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Các nghiệm chung của phương trình là các số

$$\varphi = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Đáp số: $\arg (-5) = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Lưu ý rằng đáp số trong ví dụ 1 có thể được viết dưới dạng khác, ví dụ:

$$\arg (-5) = -\pi + 2n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,$$

hoặc

$$\arg (-5) = 3\pi + 2m\pi, m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Cần phải lưu ý rằng tất cả các công thức này đều là các mục khác nhau tương đương nhau (mỗi mục trong số đáp số này chứa tất cả các giá trị của đối số của số $-5$), tức là chúng giống nhau đáp số, được viết bởi các công thức khác nhau.

Đối số của số phức $z = a + bi \neq 0$ bạn có thể tìm điểm đầu tiên của quy trình $z = a + bi$ (ví dụ: sử dụng cách diễn giải hình học của số phức), sau đó sử dụng một (bất kỳ) phương trình (1) (chứng minh đáp số theo công thức (4)).

Đáp số: $\arg (-1 + i) = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Lưu ý rằng nếu $\varphi = \arg (a + bi), a \neq 0$ thì

$$\tg \varphi = \frac{b}{a}.$$

Tuy nhiên, phát biểu ngược lại không đúng: từ phương trình (5) không thể

44

đọc cái đó $\varphi = \arg(a + bi)$. Ví dụ: đối với số $-1 + i$, giá trị $\varphi = -\pi/4$ là nghiệm của phương trình (5), nhưng không phải là đối số của số này.

Nhưng nếu trước tiên chúng ta xác định điểm $a + bi$ nằm ở góc phần tư nào, sau đó tìm lời giải của phương trình (5), tức là góc trong góc phần tư này, thì chúng ta thu được đối số của số $a + bi$ (bằng chứng!).

Ví dụ 3. Đặt tên từ các đối số của số $1 - i\sqrt{3}$.

Điểm $1 - i\sqrt{3}$ nằm ở quý 4. Chúng ta tìm thấy một số lời giải của phương trình (5), tức là $\arg(\varphi) = -\sqrt{3}$, là góc trong phần tư này, ví dụ: $\varphi = -\pi/3$.

Đáp số: $\arg(1 - i\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Trong ví dụ này, ý nghĩa của câu hỏi đáp số không rõ ràng. đáp số sau đây cũng đúng:

$$\arg(1 - i\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{3},$$
$$\arg(1 - i\sqrt{3}) = -\frac{7\pi}{3},$$
$$\arg(1 - i\sqrt{3}) = \frac{41\pi}{3}$$

và những người khác.

Ví dụ 4. Tên của số $\sqrt{3} + i$.

Tương tự như cách thực hiện trong ví dụ 2 hoặc 3, chúng tôi thấy (tìm!):

$$\arg(\sqrt{3} + i) = \frac{\pi}{6}$$

(tức là $\pi/6$ là một trong các đối số của số $\sqrt{3} + i$). Vẫn còn phải tìm ra cách viết đáp số: chỉ ra một giá trị đối số có đủ hay bạn cần tìm tất cả?

Nhớ lại, ví dụ: bài toán: giải phương trình $x^2 = 1$. Phương trình này có hai nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = -1$. Để đáp số hoàn thiện, phải bao gồm cả hai gốc. đáp số cần thiết cũng thường gặp trong các bài toán hình học. Ví dụ: tìm cạnh $AB$ của tam giác $ABC$ nếu $AC = 8$ cm, $BC = 7$ cm, $\angle A = \pi/3$. đáp số đầy đủ phải là: $AB = 3$ cm hoặc $AB = 5$ cm (bằng chứng!).

Điều này cũng đúng trong ví dụ 4 của chúng ta: để đáp số hoàn chỉnh, chúng ta cần tìm tất cả các giá trị đối số của số $\sqrt{3} + i$. Vì một đối số $\pi/6$ đã được tìm thấy nên chúng tôi tìm thấy tất cả các giá trị đối số của số này bằng công thức (4).

Đáp số: $\arg(\sqrt{3} + i) = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Vì vậy, câu hỏi 4 là phiên bản ngắn gọn đơn giản của câu hỏi 2.

Hãy chú ý đến một lỗi phổ biến. Mặt khác, người nộp đơn cố gắng tìm đối số của số $a + bi$ bằng công thức $\varphi = \arctg\frac{b}{a}$, và một số thậm chí còn lấy công thức này làm định nghĩa của đối số. Tuy nhiên, đối với mỗi $x$, hàm đối số $x$ chỉ có một giá trị, $-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2}$. Điều này có nghĩa là công thức $\arg(a + bi) = \arctg\frac{b}{a}$ chỉ hợp lệ cho $a > 0$ và nó chỉ đưa ra một trong các giá trị của đối số.

Có thể chứng minh (chứng minh!) tính đúng đắn của công thức sau:

$$\arg(a + bi) = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, \text{ если } a = 0, b > 0; \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если } a = 0, b < 0; \\ \arctg\frac{b}{a}, \text{ если } a > 0; \\ \pi + \arctg\frac{b}{a}, \text{ если } a < 0. \end{cases}$$

Sử dụng công thức này, bạn có thể tìm thấy một trong các giá trị của đối số, nhưng việc thực hiện như trong ví dụ 2 hoặc 3 thường dễ dàng hơn.

45

Dạng lượng giác của số phức

Hãy xem xét khái niệm dạng lượng giác của số phức. Hãy nhớ lại rằng mô đun của số phức $z = a + bi$ là số

$$r = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Giả sử $\varphi = \arg(a + bi)$, chúng ta viết lại công thức (1) như sau:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}, \sin \varphi = \frac{b}{r},$$

$a = r \cos \varphi, b = r \sin \varphi$ đến từ đâu, và sau đó

$$a + bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi).$$

Do đó, bất kỳ số phức $a + bi \neq 0$ nào cũng có thể được viết dưới dạng (6), nếu $r$ là mô đun của số $a + bi$ và $\varphi$ là một trong các đối số của số này:

$$r = |a + bi|, \varphi = \arg(a + bi).$$

Mệnh đề ngược lại cũng đúng (bằng chứng!): nếu số phức $a + bi$ được biểu diễn dưới dạng (6), nếu $r > 0$, thì

$$r = |a + bi|, \varphi = \arg(a + bi).$$

Sự định nghĩa. Biểu diễn số phức $z$ dưới dạng

$$z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi),$$

(7) nếu $r > 0$, được gọi là dạng lượng giác của cách viết số phức.

Điều trên có nghĩa là mỗi số phức $z \neq 0$ có thể được biểu diễn dưới dạng lượng giác (7) và

$$r = |z|, \varphi = \arg z.$$

Để tìm dạng lượng giác của một số phức cho trước, bạn cần tìm một phương thức của số, một đối số nào đó của số này, sau đó viết số này dưới dạng (7). Nếu trong trường hợp này $|z| = r = 1$, thì toàn bộ $r$ trong công thức (7), như thường lệ, bị bỏ qua, nghĩa là trong trường hợp này dạng ký hiệu lượng giác có dạng

$$z = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

Ví dụ: đối với số $i$ mục nhập

$$i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$$

là dạng lượng giác của cách viết số này.

Lưu ý rằng, do tính đa nghĩa của arg $z$, dạng lượng giác của một số phức cố định cũng không rõ ràng. Ví dụ: đối với số $i$ dạng lượng giác cũng được viết

$$i = \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2},$$

$$i = \cos \left(-\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right)$$

và những người khác.

Cần nhấn mạnh rằng không phải mọi biểu diễn số phức thông qua các hàm lượng giác đều là dạng lượng giác của số này. Ví dụ: viết số $i$ dưới dạng $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2}$ hoặc $i = (-1)\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right)$ không phải là dạng lượng giác của số $i$. Vì các đối số của số $i$ là số $i$ là số $i$.

$$\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,$$

và chỉ có họ thì dạng lượng giác của số $i$ nhất thiết phải có dạng

$$z = 1 + \cos \frac{10\pi}{9} + i \sin \frac{10\pi}{9}$$

có thể được biểu diễn dưới dạng (kiểm tra nó!):

$$z = 2 \cos \frac{5\pi}{9} \left(\cos \frac{5\pi}{9} + i \sin \frac{5\pi}{9}\right) =$$

$$= 2 \cos \frac{14\pi}{9} \left(\cos \frac{14\pi}{9} + i \sin \frac{14\pi}{9}\right).$$

Mục thứ hai trong số này là

46

dạng lượng giác của số này, nhưng số đầu tiên thì không, vì $\cos \frac{5\pi}{9} < 0$.

Vì vậy, nếu $r = |z|$, $\varphi_0 = \arg z$ (có lẽ $\varphi_0$ là một trong các đối số của số $z$), thì với mỗi số nguyên $k$ ký hiệu $z = r[\cos(\varphi_0 + 2k\pi) + i\sin(\varphi_0 + 2k\pi)]$ là dạng lượng giác của số phức $z$, và không có ký hiệu nào khác là dạng lượng giác của số này.

Điều này kết thúc việc xem xét các tính chất của lập luận của số phức trong môn toán ở trường.

Một thuộc tính đối số

Sử dụng dạng lượng giác, bạn có thể dễ dàng rút ra các quy tắc nhân và chia số phức sau đây (hãy xem thử!): nếu

$$z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1),$$
$$z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2),$$

mo

$$z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)],$$
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)].$$

Định lý quan trọng sau đây tuân theo quy tắc này vô thời hạn: Đặt $\varphi_1 = \arg z_1$ và $\varphi_2 = \arg z_2$. Sau đó

$$\varphi_1 + \varphi_2 = \arg(z_1z_2),$$
$$\varphi_1 - \varphi_2 = \arg\frac{z_1}{z_2}.$$

Hãy nhớ lại rằng ký hiệu $\varphi = \arg z$ chỉ có nghĩa là số $\varphi$ là một trong các đối số của số phức $z$. Điều này có nghĩa là các công thức trong định lý phải được đọc như sau: tổng các đối số của số phức $z$ là đối số của tích, và hiệu của các đối số của số bị chia và số bị chia là đối số của thương.

Hãy chú ý đến một lỗi phổ biến. Nord của định lý đặc biệt thứ nhất được viết dưới dạng “công thức”

$$\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2,$$

điều này vô nghĩa, vì arg $z$ là hàm đa giá trị và khóa học toán ở trường không đề cập đến khái niệm tổng và đẳng thức của hai hàm đa giá trị.

Cần lưu ý rằng nếu $\varphi_1 = \arg z_1$, $\varphi_2 = \arg z_2$ và $\varphi = \arg(z_1z_2)$ thì

47

Đại học quốc gia Moscow
được đặt theo tên của M.V. Lomonosov

Chúng ta đã nói về các khoa vật lý và toán học tại Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov *). Dưới đây là tài liệu ôn thi tuyển sinh môn Toán và Vật lý năm 1973 tại các khoa này.

Matematika

Khoa Cơ học và Toán học
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$2(\cos x)^{5/2} - \cos 2x = 1 + \frac{\sin x}{\sqrt{3}}(1 - \sqrt{\cos x}).$$

2. Trong hình thang $ABCD$, điểm $K$ là trung điểm của đáy $AB$, điểm $M$ là trung điểm của đáy $CD$. Tìm diện tích hình thang nếu biết $DK$ là phân giác của góc $D$ của hình thang, $BM$ là phân giác của góc $B$ của hình thang, góc thấp nhất ở đáy hình thang là $60^\circ$ và chu vi là 30.

3. Giải bất đẳng thức
   $$5x + \sqrt{6x^2 + x^3 - x^4} \log_2 x > (x^2 - x) \log_2 x + 5 + 5\sqrt{6 + x - x^2}.$$

4. Các điểm $K$ và $M$ là các cạnh tương ứng $AB$ và $AC$ của paramid tam giác $ABCD$ có diện tích đáy $ABC$ là $p$. Tìm diện tích khuôn mặt $BDC$ nếu phần $MDK$ có diện tích $q$ và đáy của đường cao của paramid rơi vào giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

5. Tìm tất cả các cặp số $x, y$ thỏa mãn điều kiện
   $$\begin{cases} \sqrt{2x^2y^2 - x^4y^4} = y^6 + x^2(1 - x), \\ \sqrt{1 + (x + y)^2} + x(2y^3 + x^2) \leq 0. \end{cases}$$

*) Xem «Kvant», 1973, số 4.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$1 + \cos 2x + \cos^2 x \log \sqrt{3} tg^2 x + 3 \sin x = 2 \sin x \log_{1/3} tg^3 x.$$

2. Trong hình thang $ABCD$, các điểm $K$ và $M$ là trung điểm tương ứng của các đáy $AB$ và $CD$. Được biết, $AM \perp DK$ và $CK \perp BM$, và góc $CKD$ bằng $60^\circ$. Tìm diện tích hình thang nếu chiều cao của nó là 1.

3. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{2 - 5x - 3x^2} + 2x > 2x \times 3^x \sqrt{2 - 5x - 3x^2} + 4x^2 \cdot 3^x.$$

4. Trong tham số tam giác $ABCD$, qua cạnh $AD$, bằng $a$ và điểm $E$—giữa cạnh $BC$—một phần được vẽ tạo thành, với các gam $ACD$ và $ABD$, các góc tương ứng $\alpha$ và $\beta$. Tìm thể tích của paramid nếu diện tích mặt cắt ngang $ADE$ bằng $S$.

5. Tìm tất cả các cặp số $x, y$ thỏa mãn điều kiện
   $$\begin{cases} 4y^2 - 2x^2 = \sqrt{2(x + 2y)^2 - (x + 2y)^4}, \\ x^4 + 2 \leq 4y(x^2 - 1). \end{cases}$$

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

Tùy chọn 3

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sin y \cos x + \sin x = 0, \\ 2 \cos^2 y + \sin y \sin x = \cos 2y \cos x. \end{cases}$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2 x - \frac{4}{25} \left( \frac{x^2 - 14x + 51}{50} \right) \leq 0.$$

3. Trong tam giác vuông $ACB$, từ đỉnh của góc vuông $C$ vẽ đường phân giác $CL = a$ và đường trung bình $CM = b$. Tìm diện tích tam giác $ACB$.

4. Các điểm $A, B, C, D, E, F$ nằm trên bề mặt của một quả bóng có bán kính $\sqrt{2}$.