Kvant 1974, số 6 · Trang

QUANTUM
1974
6
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

1

TRONG PHÒNG:

2. G. M. Gershtein. Tín hiệu. quang phổ
3. V. S. Abramovich. số Bernoulli
4. V. N. Berezin. Sách giáo khoa toán đầu tiên được xuất bản ở Nga

vòng tròn toán học
15. E. Vâng. Gik. Về sức mạnh của quân cờ

Vấn đề «Kvant»
18. Bài toán M266—M270; F278 — F282
20. Lời giải bài toán M222 — M230; F233 — F237

Xưởng của người nộp đơn
31. V. A. Tikhomirov. Rung động cơ học
38. L. E. Sadovsky. “Toán ứng dụng” là chuyên ngành mới ở các trường đại học kỹ thuật
42. V. I. Korovin, Yu. M. Luzhnov. Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow
43. V. A. Tonyan. Viện Kỹ thuật Điện Moscow
44. Viện Hàng không Moscow
46. Trường kỹ thuật cao hơn Moscow
47. Đại học bang Leningrad

Thông tin
49. Yu. D. Kabalevsky. “Toán ứng dụng” ở các trường kỹ thuật
50. A. N. Borzak, A. Ya. Didenko, P. T. Dybov, I. A. Dyakonov, V. V. Roshupkin. Truyền hình đang chuẩn bị vào đại học

«Kvant» cho học sinh nhỏ
52. Bài toán
53. A. D. Bendukidze. số xoăn
57. N. A. Rodina. Làm thế nào để thay đổi một phân tử?

Đáp số, gợi ý, lời giải

Hỗn hợp (tr. 9, 17, 56)

Ở trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ thấy một tấm sàn gỗ rộng rãi, do nghệ sĩ người Hà Lan M. Escher (1898-1972) phát minh. Giống như bất kỳ loại sàn gỗ nào, nó có “khu vực cơ bản” (hai con ngựa - màu nâu và vàng). Tất cả những con ngựa khác có thể được lấy từ chúng bằng cách chuyển giao song song. Đợi đáp số cho tất cả các lần chuyển song song cần thiết cho việc này.

© «Kvant», 1974.

2

Trong cuộc sống hiện đại, chúng ta thực sự bị choáng ngợp bởi dòng thông tin khác nhau, khối lượng của chúng ngày càng tăng lên. Thông tin này được truyền đi bằng radio, tivi, điện thoại và điện thoại dưới dạng tín hiệu. Một đặc tính rất quan trọng của bất kỳ tín hiệu nào là phổ của chúng, bị giới hạn bởi hình dạng và thời lượng của tín hiệu. Biểu diễn quang phổ giúp so sánh các quá trình vật lý có tính chất khác nhau và nghiên cứu các hiện tượng hoạt động, điện từ, quang học và các hiện tượng khác từ một quan điểm duy nhất. Vì vậy, sẽ rất hữu ích nếu hiểu được tín hiệu và quang phổ của chúng, biết được mối quan hệ giữa quang phổ và các đặc tính khác của tín hiệu. Điều này sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Về tín hiệu

Ban đầu, chúng ta tiếp nhận thông tin về thế giới phong phú và đa dạng xung quanh mình qua mắt và tai. Chúng ta chiêm ngưỡng cảnh tượng thú vị của bình minh hoặc hoàng hôn trên biển hoặc bìa rừng, cầu vồng và ánh sáng rực rỡ, những nỗ lực của các bậc thầy hội họa nổi tiếng, những tòa nhà mảnh mai, nhiều loại máy móc khác nhau, v.v. Nhìn vào văn bản và công thức, chúng ta cảm nhận được suy nghĩ của người khác được thể hiện qua nó. Điều tương tự cũng xảy ra khi chúng ta phục vụ lời nói hoặc âm nhạc. Trong tất cả các trường hợp này, một người nhận thấy các thông điệp đóng vai trò là người vận chuyển thông tin. Từ quan điểm này, âm thanh và hình ảnh là những ví dụ về thông điệp.

Để truyền âm thanh hoặc hình ảnh trên khoảng cách xa, tin nhắn được chuyển đổi thành tín hiệu điện tương ứng, nghĩa là trong quá trình điện $u(t)$, được đặc trưng bởi sự phụ thuộc nhất định của đại lượng điện $u$ vào thời gian $t$, hoặc như người ta nói, tin nhắn được mã hóa. Âm thanh được mã hóa tương đối dễ dàng bằng thiết bị micrô. Micrô bị ảnh hưởng bởi các rung động không khí khác, vai trò của thông báo được thực hiện bởi áp suất âm thanh $p$ trên màng micrô, thay đổi theo thời gian theo quy luật $p(t)$. Ví dụ: trong trường hợp này, ở micrô carbon, điện trở của micrô và dòng điện trong mạch của nó thay đổi tương ứng, do đó điện áp $u(t)$ ở đầu ra của thiết bị micrô thay đổi theo thời gian theo quy luật tương tự như áp suất âm thanh $p(t)$.

Việc mã hóa một hình ảnh khó khăn hơn nhiều. Đầu tiên, một thiết bị quang điện đặc biệt chuyển đổi hình ảnh quang học thành hình ảnh điện, trong đó sự phân bố có hướng tương ứng với cường độ của các phần khác nhau của hình ảnh. sau đó, với sự trợ giúp của chùm tia điện tử chạy xung quanh ảnh điện, một chuỗi

3

sự biến đổi tiếp theo của hình ảnh này thành tín hiệu điện $u(t)$, đặc trưng cho sự phụ thuộc nhất định của $u$ vào thời gian $t$. Tùy thuộc vào $u(t)$, thông tin về hình ảnh này sẽ bị biến chất.

Khi nghiên cứu tín hiệu điện, người ta thường không rõ đại lượng điện được hiểu là $u$—điện áp, dòng điện hoặc điện tích. Điều quan trọng không phải là điều gì thay đổi mà là giá trị này thay đổi như thế nào theo thời gian. Bạn có thể trừu tượng hóa bản chất vật lý của đại lượng này và quan tâm đến bản chất của sự phụ thuộc toán học $u(t)$, tức là hàm của thời gian $t$, chẳng hạn như nó liên tục hay dạng xung, hình sin hay không hình sin, v.v. Trong trường hợp cuối cùng, điều quan trọng đối với chúng tôi là, bất kể bản chất vật lý của tin nhắn, mã hóa tín hiệu mà nó được truyền dưới dạng một hàm nhất định của thời gian.

Biểu diễn thời gian và quang phổ của tín hiệu

Khi nghiên cứu một sự kiện, chúng ta thường quan tâm đến việc nó sẽ xảy ra ở đâu và khi nào, những chuyển động nào trong không gian và những thay đổi về thời gian đã diễn ra. Vì vậy, chúng ta đã quen với việc coi độ lớn của một đại lượng là hàm của tọa độ không gian và thời gian.

Tín hiệu là một vấn đề khác. Giá trị tọa độ không gian của nguồn tín hiệu không có nhiều ý nghĩa, vì trên quy mô trái đất, tín hiệu được truyền bởi sóng điện từ lan truyền gần như ngay lập tức (hãy nhớ rằng trong không khí, tốc độ của sóng điện từ là $\approx 3 \cdot 10^8$ m/s). Ví dụ, khi một vở kịch được phát sóng từ Nhà hát Moscow, thính giả đài ở Vladivostok sẽ nghe thấy âm thanh được nói trên sân khấu, thậm chí trước cả những người Muscovite ngồi ở hàng sau của khán đài, vì sóng điện từ truyền đi nhanh hơn sóng âm khoảng một triệu lần.

Nhưng điều rất quan trọng là tín hiệu thay đổi như thế nào theo thời gian, vì sự phụ thuộc $u(t)$ chứa thông tin được truyền đi. Tùy thuộc vào, bạn có thể viết những cái tương tự hoặc trình bày chúng dưới dạng biểu đồ $u(t)$. Nhưng tín hiệu có thể được mô tả theo cách khác, từ quan điểm về trạng thái quang phổ của nó và cũng có thể được biểu diễn bằng đồ họa theo cách thích hợp. Phổ tín hiệu là gì? Hãy thử tìm hiểu điều này.

Chúng ta sẽ chủ yếu xem xét các tín hiệu tuần hoàn như vậy, nghĩa là hàm $u(t)$ thỏa mãn tương ứng.

$$u(t + nT) = u(t),$$

trong đó $T$ là hằng số được gọi là dấu chấm, $n$ là số bất kỳ. Một quá trình tuần hoàn cũng có thể được đặc trưng bởi tần số $v = \frac{1}{T}$. Về mặt lý thuyết, người ta cho rằng tính tuần hoàn như vậy tồn tại mãi mãi và không có điểm bắt đầu hay kết thúc về mặt thời gian. Trong thực tế, các quy trình định kỳ cũng bao gồm các quy trình có thời lượng dài hơn nhiều so với khoảng thời gian.

Hình 1 cho thấy biểu đồ của ba quy trình hàng loạt khác nhau. Dễ dàng nhận thấy chúng có cùng tần số nhưng hình dạng rung động khác nhau. Sau này bạn sẽ thấy rằng những rung động này, có hình dạng khác nhau, có thành phần quang phổ khác nhau.

Chúng ta hãy xem xét kinh nghiệm này. Giả sử có nhiều mạch cộng hưởng khác nhau được điều chỉnh theo tần số $v_0, 2v_0, 3v_0$, v.v., và các tín hiệu điện tương ứng với các quá trình được chỉ định sẽ đồng thời tác động đến các mạch này. Hóa ra tín hiệu đầu tiên $u_1(t)$ kích thích dao động trong ba mạch được điều chỉnh theo tần số $v_0, 2v_0$ và $3v_0$; nhiều mạch hơn đáng kể phản hồi tín hiệu thứ hai $u_2(t)$ và khi tiếp xúc với tín hiệu cuối cùng $u_3(t)$

4

dao động chỉ xảy ra trong một mạch có tần số tự nhiên $v_0$. Rõ ràng, đối với các mạch dao động như vậy, quá trình tuần hoàn $u_3(t)$ là đơn giản nhất, vì nó chỉ gây ra sự kích thích ở một tần số bằng $v_0$. Quá trình này chắc chắn quen thuộc với bạn; nó đại diện cho cái gọi là dao động hình sin, hay dao động điều hòa, được mô tả bằng sự tương ứng

$$u(t) = A \sin(2\pi v_0 t + \varphi) = A \sin(\omega_0 t + \varphi),$$

cơm. 1.

dao động chỉ xảy ra trong một mạch có tần số tự nhiên $v_0$. Rõ ràng, đối với các mạch dao động như vậy, quá trình tuần hoàn $u_3(t)$ là đơn giản nhất, vì nó chỉ gây ra sự kích thích ở một tần số bằng $v_0$. Quá trình này chắc chắn quen thuộc với bạn; nó đại diện cho cái gọi là dao động hình sin, hay dao động điều hòa, được mô tả bằng sự tương ứng

$$u(t) = A_1 \sin(\omega_0 t + \varphi_1) + A_2 \sin(2\omega_0 t + \varphi_2) + A_3 \sin(3\omega_0 t + \varphi_3) + \dots + A_h \sin(k\omega_0 t + \varphi_h) + \dots$$

hoặc, ngắn gọn hơn,

$$u(t) = \sum_{k=1}^{\infty} A_k \sin(k\omega_0 t + \varphi_k),$$

trong đó $k$ là số lượng sóng hài xác định tần số của nó, $A_k$ là biên độ của sóng hài, $\varphi_k$ là pha ban đầu của sóng hài, $\omega_0$ là tần số vòng của quá trình đang nghiên cứu.

Do đó, tín hiệu được biểu thị dưới dạng tổng của sóng hình sin có thể được đặc trưng một cách thuận tiện và đơn giản bằng sự kết hợp của các giá trị $A_k$ và $\varphi_k$. Tập hợp các đại lượng $A_k$ được gọi là phổ biên độ. Phổ này được thể hiện rõ ràng bằng đồ họa, vẽ các giá trị $A_k$ dọc theo trục tọa độ và $v$ dọc theo trục abscissa và được mô tả

5

Cơm. 3.

nén biên độ của các sóng hài dọc riêng lẻ thành các đoạn có độ dài thích hợp. Quang phổ như vậy là đường thẳng và hài hòa. Điều thứ hai có nghĩa là có nhiều sự tương ứng đơn giản giữa các tần số hài. Nếu quá trình không tuần hoàn thì nó cũng có thể được biểu diễn bằng tổng các hình sin, nhưng phổ của quá trình đó sẽ không hài hòa. Tập hợp các đại lượng $\varphi_h$ được gọi là phổ pha. Khi phân tích tín hiệu, trong hầu hết các trường hợp, chỉ cần biết phổ biên độ là đủ. Do đó, để nhân lên, phổ biên độ được gọi là phổ đơn giản, đó là điều chúng ta sẽ làm trong tương lai.

Theo quy luật, khi số lượng sóng hài tăng thì biên độ của chúng giảm và bắt đầu từ một số nhất định, biên độ của các sóng hài tiếp theo trở nên nhỏ đến mức có thể bỏ qua chúng. Do đó, quang phổ thực tế có số vạch quang phổ hạn chế. Tuy nhiên, một trong những đặc điểm của quang phổ là độ rộng của nó. Độ rộng phổ là khoảng trên thang tần số mà phổ đó nằm trong đó.

Hình 2 cho thấy phổ của các hàm $u_1(t), u_2(t)$ và $u_3(t)$, chẳng hạn, thu được bằng cách sử dụng tập hợp các mạch cộng hưởng được đề cập ở trên. Chúng minh họa rõ ràng mối quan hệ giữa biểu diễn thời gian và quang phổ của tín hiệu. Chúng ta thấy rằng một hàm số thay đổi càng chính xác theo thời gian thì phổ của nó càng phong phú và rộng hơn. Điều đó là tự nhiên. Để có được những thay đổi rõ rệt trong kết quả của các hàm bằng cách thêm các hình sin biến thiên liên tục và trơn tru, cần phải thêm một số lượng lớn các hình sin có tần số, biên độ và pha khác nhau. Để tái tạo một quá trình liên tục gần với một hình sin, một số lượng nhỏ các hình sin như vậy là đủ. Ví dụ: Hình 3 cho thấy phép cộng bằng đồ họa của ba hình sin có tần số và biên độ tương ứng với phổ của Hình 2, $a$ và các pha ban đầu bằng 0. Đường cong thu được (hiển thị bằng màu xanh lam) có hình dạng giống với đường cong trong Hình 1, $a$.

Quang phổ âm thanh

Tin nhắn âm thanh thường được chia thành âm thanh âm nhạc và tiếng ồn.

Âm thanh âm nhạc là một quá trình thay đổi có tính chu kỳ, chẳng hạn như trong Hình 4, $a$. Đặc biệt, nếu quá trình này diễn ra hài hòa thì chúng ta nói đến giai điệu âm nhạc. Sử dụng Fourier, âm thanh âm nhạc có thể được coi là tập hợp các âm nhạc cơ bản và một số âm cao - âm bội. Trong phổ của tín hiệu tương ứng, âm cơ bản có biên độ lớn nhất; với số lượng sóng hài ngày càng tăng, biên độ của chúng đáng chú ý

6

Tên của nhạc cụ là nơi phát ra nốt nhạc này. Hình 5 hiển thị đồ thị và quang phổ của vai trò âm thanh và kèn clarinet cho cùng một nốt.

Những âm thanh không liên tục như tiếng trống hay tiếng gõ cá cược đều là những tiếng động. Tín hiệu nhiễu được đặc trưng bởi tính không tuần hoàn và sự phụ thuộc thời gian phức tạp (ví dụ như trong Hình 4, 6).

Một phổ như vậy, phổ tiếng ồn của máy nén, được thể hiện trong Hình 6. Nó chứa nhiều thành phần tần số khác nhau. Phổ tiếng ồn rộng hơn và phong phú hơn đáng kể so với phổ âm nhạc. Điều này có thể được xác minh dễ dàng bằng cách thực hiện, ví dụ, một thí nghiệm đơn giản với các buồng cắt có tần số dao động tự nhiên khác nhau. Chỉ một trong các buồng phản ứng với âm thanh dài của một giai điệu âm nhạc thuần khiết. Nếu bạn đánh trống thật gần, nhiều khoang sẽ bắt đầu chơi. Nghĩa là, một âm thuần có thể được biểu thị bằng một tần số và nhịp trống có thể được biểu thị bằng một số lượng lớn tần số.

Cơm. 4.

giảm xuống, do đó phổ thực tế của một tấn nhạc có tương đối ít hài âm. Vai trò của những hòa âm này trong việc cảm nhận cảm xúc về âm nhạc là rất lớn. Họ xác định âm sắc của âm thanh âm nhạc. Chơi cùng một nốt nhạc trên các nhạc cụ khác nhau, chúng ta thu được âm thanh có số lượng hài âm khác nhau và sự tương ứng khác nhau giữa biên độ của chúng. Sự tương ứng và quang phổ của những âm thanh này sẽ khác nhau, nhờ đó chúng ta đã phân biệt được âm thanh nào

Cơm. 5.

Cơm. 6.

7

Sự khác biệt về chất giữa các tiếng ồn khác nhau được thể hiện ở chỗ phổ của một tiếng ồn có thể có nhiều thành phần phổ tích hợp hơn ở vùng tần số thấp, trong khi tiếng ồn khác có thể có nhiều thành phần phổ tích hợp hơn ở tần số cao hơn, nghĩa là ở các tỷ lệ khác nhau giữa các thành phần phổ.

Tiếng ồn có màu gì?

Biểu diễn quang phổ giúp tạo ra một ngôn ngữ trực quan và thống nhất để mô tả các quá trình có tính chất vật lý khác nhau, đôi khi sử dụng các liên kết và sự tương tự không mong đợi.

Ví dụ, các chuyên gia đôi khi sử dụng thuật ngữ “tiếng ồn trắng”. Theo quan điểm của các nhà ngữ văn, điều này thật vô nghĩa, và họ có thể cho thấy rằng tiếng ồn không có màu sắc, chúng ta không nhìn thấy nhưng lại nghe thấy nó. Tuy nhiên, đối với một nhà vật lý thì đây là một định nghĩa hoàn toàn dễ hiểu, khá chính xác và đầy đủ, sử dụng sự tương tự giữa âm thanh và ánh sáng.

Được biết, lỗi màu trắng là kết quả của việc mắt tiếp xúc với toàn bộ các tia sáng, từ đỏ đến ngữ văn. Ánh sáng trắng có phổ liên tục, trong đó tất cả các tần số của phần nhìn thấy được của thang sóng điện từ đều được biểu diễn (từ 3,8·10¹⁴ đến 7,5·10¹⁴ etz).

Mặc dù có định nghĩa về sự phân bố năng lượng theo tần số và năng lượng cực đại phát ra từ nguồn sáng trắng rơi vào một phần cụ thể của quang phổ khả kiến ​​(đặc biệt, năng lượng cực đại của bức xạ mặt trời nằm ở phần màu vàng-lục), bức xạ ở các phần khác của quang phổ khả kiến ​​cũng rất mạnh, nghĩa là trong ánh sáng trắng, năng lượng của màu đỏ, lục, lam và các màu khác có màu trắng hoặc phân bố kém đều trên toàn bộ dải sóng ánh sáng khả kiến.

Tương tự, “tiếng ồn trắng” là tiếng ồn trong đó tất cả các tần số âm thanh đều có trong phổ liên tục và sự khác biệt về năng lượng giữa các thành phần phổ khác nhau không mạnh lắm.

Phổ tín hiệu xung

Trong công nghệ hiện đại, ví dụ, trong điện thoại, radar và truyền hình, các tín hiệu ở dạng xung lặp lại định kỳ có dạng đường thẳng thường được sử dụng (Hình 7 và 8). Như có thể thấy từ những hình này, những tín hiệu như vậy có phổ phong phú chứa nhiều vạch quang phổ được nhóm thành những “cánh hoa” đặc biệt và tần số tương ứng với các “nút” của những cánh hoa này bằng n/τ, trong đó n là số lượng cánh hoa. Về mặt lý thuyết, các phổ như vậy có phạm vi tần số vô hạn, nhưng vì sau búp thứ ba, biên độ của sóng hài trở nên không đáng kể nên tần số thực tế có thể bị hạn chế.

8

được bao phủ bởi những cánh hoa vương miện đầu tiên. Độ rộng của phổ giới hạn Δv như vậy có liên quan đến độ rộng xung τ của một sự phụ thuộc đơn giản:

$$\Delta v = \frac{3}{\tau},$$

nghĩa là độ rộng phổ của xung giới hạn trực tiếp tỷ lệ nghịch với thời lượng của nó.

Sự tương ứng này có tầm quan trọng thực tế lớn. Nó cho thấy rằng thời lượng xung càng ngắn, nghĩa là đường truyền càng ít quan trọng, phổ của tín hiệu đó càng rộng và dải tần cần thiết để tái tạo khá chính xác của nó càng rộng.

Ví dụ: khi truyền tín hiệu điện báo, thời lượng trung bình của các xung (dấu chấm và loại) là khoảng 0,1 s. Điều này tương ứng với độ rộng phổ Δv = 30 2ts. Nếu để chiếm một đường dây liên lạc, tín hiệu điện báo được truyền nhanh hơn 100 lần (τ = 0,001 s), Δv tăng lên 3000 2ts. Do đó, tín hiệu được truyền đi càng nhanh thì phổ của nó càng rộng.

Bản chất khác nhau của tin nhắn đòi hỏi phải truyền tín hiệu tương ứng nhanh chóng. Đặc biệt, đây là trường hợp trong truyền hình. Vì nhiễu thị giác của hình ảnh chỉ được lưu giữ trong mắt chúng ta khoảng 1/25 giây nên trong thời gian này cần phải truyền một khung hình, tức là ở dạng xung tuần tự, truyền thông tin về độ sáng của khoảng 500.000 phần tử hình ảnh (theo tiêu chuẩn hiện đại). Trong trường hợp này, mỗi xung kéo dài chưa đến một phần triệu giây, trong khi phổ của tín hiệu truyền hình chiếm dải tần rộng hàng chục triệu hertz, điều này gây ra những khó khăn đặc biệt trong quá trình truyền tín hiệu.

Sử dụng ví dụ về xung trực tiếp, chúng tôi gặp phải một mẫu rất lớn cũng có giá trị đối với các loại xung khác. Mẫu này có thể được biểu diễn bằng toán học bằng cách viết lại sự tương ứng trên dưới dạng τ·Δv = const.

Ý nghĩa vật lý của sự tương ứng này là không thể tập trung đồng thời một tín hiệu như vậy theo thời gian và tần số. Ví dụ, nếu trong nỗ lực mở rộng quy mô tín hiệu theo thời gian, nghĩa là để truyền thông tin nhanh hơn, chúng ta giảm thời lượng xung τ, trong khi dải tần tăng lên và phổ của tín hiệu mở rộng.

Cũng theo công thức trên, độ rộng phổ Δv của các xung trực tiếp chỉ được xác định bởi khoảng thời gian τ của chúng và không phụ thuộc vào tần số lặp lại xung v = 1/T. Điều này rất quan trọng trong thực tế, vì nó có thể dễ dàng xác định giá trị tối thiểu của τ tại đó dải tần mà một tín hiệu nhất định chiếm giữ không vượt quá dải tần cho phép đối với một hệ thống nhất định để truyền và nhận các xung tín hiệu.

Tuy nhiên, với sự thay đổi tần số v, số vạch quang phổ trong mỗi thùy sẽ thay đổi, tức là mật độ của chúng. Do đó, với khoảng cách giữa các xung ngày càng tăng, v giảm và số lượng các vạch này trong dải phổ tăng lên (Hình 7 và 8). Rõ ràng, trong trường hợp giới hạn của sự chuyển đổi từ các xung lặp lại định kỳ sang một xung đơn (T → ∞ và v → 0), phổ sẽ trở nên liên tục, điều này thực sự được xác nhận bằng thí nghiệm.

Điều đáng quan tâm thực tế là phổ xung phát sinh khi bật công tắc và tiếp điểm của các mạch điện khác nhau, khi dòng điện trong mạch tăng mạnh từ 0 đến một giá trị nhất định (Hình 9, a). Tín hiệu như vậy có phổ liên tục, như trong Hình 9, b, trong đó tần số v thay đổi liên tục được vẽ dọc theo trục ngang. Từ

9

Cơm. 9.

Hình vẽ cho thấy các thành phần phổ của tần số thấp có sự tích hợp lớn nhất. Chúng ta thường phát hiện tác động của những xung động như vậy khi ngồi trước đài, khi xe điện, xe điện chạy qua gần đó, khi hàn điện đang hoạt động, v.v.

Phần kết luận

Các biểu diễn quang phổ có tính phổ quát; chúng mô tả một cách khách quan các tính chất quan trọng thực tế của bất kỳ dao động và sóng nào. Như chúng ta đã thấy, quang phổ có mối liên hệ mật thiết với hình thức và khoảng thời gian của các quá trình và tín hiệu tương ứng. Biểu diễn quang phổ giúp có thể so sánh các thông tin khác nhau (âm nhạc, lời nói, nhiễu, hình ảnh, v.v.) từ một góc độ duy nhất, xác định độ rộng phổ của các tín hiệu mã hóa chúng và dựa trên đánh giá này về khả năng truyền các tín hiệu này qua các đường truyền thông nhất định.

Bài tập

1. Cố gắng đảm bảo rằng quá trình tuần hoàn không đếm được $u_2(t)$ (Hình 1, b) có thể được biểu thị gần đúng bằng tổng các gót của hình sin có tần số và biên độ tương ứng với phổ của Hình 2, b và các pha ban đầu bằng 0. Thêm tọa độ đại số của các sin này trong một số chu kỳ của tín hiệu $u_2(t)$ và xây dựng đường cong kết quả.

2. Trong dải tần nào các xung điện hình chữ nhật có thời lượng 10 μs, lặp lại 2.000 lần mỗi giây, gây nhiễu?

Bài toán

1. Nhà bán cổ điển Petya tuyên bố rằng bằng cách sử dụng la bàn và thước kẻ, bạn có thể xây dựng một phép tính gần đúng của bất kỳ góc nhọn nào với sai số abscille không quá 0,0000001 độ. Anh ấy có đúng không?

2. Giải hệ phương trình:

$$a^{10}\sqrt{a} + b^{10}\sqrt{b} = 1973,$$

$$a^{10}\sqrt{b} + b^{10}\sqrt{a} = 1974.$$

3. Có thể đặt bốn đồng xu giống hệt nhau trên một bàn phẳng sao cho mỗi đồng xu chạm vào ba đồng xu còn lại không?

4. Giải mã các đẳng thức:

a) $tg \times tg = ctg$;
b) $\sin \times \sin = \arcsin$.

5. Liệu đẳng thức có đúng với bất kỳ giá trị tự nhiên nào của các chữ cái không?

$$\sqrt[3]{l} + \sqrt[3]{g} = \sqrt[3]{lg}$$?

6. Bạn có thể “giải mã” ví dụ này bằng bao nhiêu cách:

$$\frac{\phi\mathrm{ут}}{\phi\mathrm{ут}}$$

V. F. Akulich
N. F. Akulich

10

Từ xa xưa, các nhà toán học đã cố gắng xây dựng những bí mật của thế giới tuyệt vời của các con số. Thế giới này thu hút bởi sự đa dạng, nghiêm ngặt và hoàn hảo của luật pháp. Ở đây có những “người vĩ đại” và có những “người lùn”, những “người làm việc chăm chỉ” nói chung và những “người nổi tiếng” như l và e. Nhưng thế giới dãy số còn đa dạng hơn nữa. Đây là dãy số tự nhiên
1, 2, 3, …,
và một dãy số nguyên tố đầy bí mật sâu sắc
2, 3, 5, 7, …,
và một chuỗi các “hệ số nhị thức”
$C_1^1, C_2^1, C_2^2, C_3^1, C_3^2, C_3^3, ...,$

xuất hiện khi nâng lên lũy thừa 2, 3, 4, … “nhị thức” $a + b$:
$(a + b)^k = a^k + C_k^1 a^{k-1} b + C_k^2 a^{k-2} b^2 + \ldots + C_k^{k-1} a b^{k-1} + b^k.$

Các số $C_k^m$ là công cụ cơ bản trong một nhánh toán học hấp dẫn: tổ hợp $^*$. Chúng tôi cũng sẽ cần họ ở đất nước này. Ví dụ: chúng có thể được tính toán rất đơn giản - sử dụng công thức
$$C_k^m = \frac{k(k-1)(k-2)\ldots(k-m+1)}{1 \cdot 2 \ldots m},$$

$1 \leq m \leq k$, nhờ đó bạn có thể dễ dàng lấy được thuộc tính quan trọng nhất của chúng:
$$C_k^{m-1} + C_k^m = C_k^{m+1}$$

(Định lý Pascal). Công thức (2) cũng có thể được viết lại ở dạng “nhỏ gọn” hơn:
$$C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!},$$

ở đâu $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots n$ tại $n > 0$; giá trị 0! hóa ra bằng một (ký hiệu ! được gọi là thừa số). Công thức (2*) ngay lập tức hàm ý thêm một tính chất nữa của hệ số nhị thức:
$$C_k^m = C_k^{k-m}.$$

$^*$ Khoa học này được mô tả trong cuốn sách của N. Ya. Vilenkin với chức danh rõ ràng là M., “Khoa học”, 1969.

12

sau đó đặt $n = 0$, chúng ta thu được công thức hồi quy để tính các số $B_k$:

$$B_k = \frac{1}{k+1} \left[ C_{k+1}^2 B_{k-1} - C_{k+1}^3 B_{k-2} + \ldots + (-1)^k C_{k+1}^k B_1 - (-1)^k B_0 \right],$$

(7)

$B_0 = 1$.

Sử dụng công thức này để kiểm tra giá trị của bốn số Bernoulli đầu tiên (xem (6)).

Bernoulli đã có thể chứng minh rằng các hệ số khác của đa thức $S_k(n)$ có thể được tính bằng cách sử dụng các số $B_k$. Hệ số $n^2$ hóa ra bằng $\frac{B_{k-1}}{k-1} C_k^2$, hệ số $n^3$ bằng $\frac{B_{k-2}}{k-2} C_k^3$, và cuối cùng, hệ số bậc $n^k$ hóa ra độc lập với $k$ và luôn bằng $\frac{B_1}{1} C_k^k = \frac{1}{2}$.

Hệ số cho bậc cao nhất $k+1$ nổi bật, có thể tìm thấy ngay từ công thức (5). Nó bằng $\frac{1}{k+1}$.

Do đó, công thức Bernoulli có dạng

$$S_k(n) = B_k n + \frac{B_{k-1}}{k-1} C_k^2 n^2 + \frac{B_{k-2}}{k-2} C_k^3 n^3 + \ldots + \frac{B_1}{1} C_k^k n^k + \frac{n^{k+1}}{k+1}.$$

(8)

Trong đoạn tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng công thức (8) thực sự dài bằng một nửa.

2. Số Bernoulli với số lẻ

Định lý. Tất cả các số Bernoulli số lẻ ngoại trừ $B_1$ đều bằng 0: $B_{2m+1} = 0$ tại $m \geqslant 1$.

Để chứng minh điều này, chúng ta sử dụng đẳng thức (1); áp dụng nó vào sự khác biệt $(1+a)^{2m} - (1-a)^{2m}$:

$$(1+a)^{2m} - (1-a)^{2m} = 2 \left( C_{2m}^1 a + C_{2m}^3 a^3 + C_{2m}^5 a^5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} a^{2m-1} \right).$$

Đặt $a = 1, 2, \ldots, n$ vào đây và cộng các kết quả thu được, chúng ta có:

$$(S_{2m}(n) + (n+1)^{2m} - 1) - (S_{2m}(n) - n^{2m}) = (n+1)^{2m} + n^{2m} - 1.$$

Ở bên phải chúng ta nhận được biểu thức

$$2 \left( C_{2m}^1 S_1(n) + C_{2m}^3 S_3(n) + \ldots + C_{2m}^{2m-1} S_{2m-1}(n) \right).$$

(9)

Vì vậy chúng tôi có

$$(n+1)^{2m} + n^{2m} - 1 = 2 \left( C_{2m}^1 S_1(n) + C_{2m}^3 S_3(n) + \ldots + C_{2m}^{2m-1} S_{2m-1}(n) \right).$$

Hãy tính hệ số $n^1$ trong các biểu thức thu được ở phần bên phải và bên trái. Trong biểu thức bên trái, hệ số này sẽ bằng 2$m$ (rõ ràng rồi). Khó hơn một chút để thu được dạng hệ số lũy thừa bậc nhất $n$ trong biểu thức ở vế phải: để làm được điều này, chỉ cần thay các tổng $S_j(n)$ ($j = 1, 3, \ldots, 2m-1$) của các số Bernoulli bằng các số giống nhau trong công thức (9) (tuyên bố này xuất phát từ chính định nghĩa của số Bernoulli). Vì vậy, đây là cách tiếp cận:

$$C_{2m}^1 B_1 + C_{2m}^3 B_3 + C_{2m}^5 B_5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} B_{2m-1} = m.$$

13

Không phải như $C_{2m}^1 = 2m$, mà là $B_1 = \frac{1}{2}$, thì nó phải là:

$$C_{2m}^3 B_3 + C_{2m}^5 B_5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} B_{2m-i} = 0. \tag{10}$$

Đặt $m = 2, 3, 4, \ldots$ ở đây một cách liên tục và tính đến $C_n^k = 0$ cho $k > n$, chúng ta thu được:

$$B_3 = B_5 = B_7 = \ldots = 0.$$

3. Kết nối với số nguyên tố

Christan Staudt (1798-1867), nghiên cứu số Bernoulli, đã thu được một kết quả hay và sâu sắc cho thấy bản chất số học của những con số này. Cho số $B_h$. Xét tất cả các số nguyên tố $p$ không vượt quá $k + 1$, và $p - 1$ được gọi là $k$ (tức là số của một số Bernoulli đã cho). Với tất cả $p$ như vậy, chúng ta soạn một tổng hữu hạn có dạng $\sum \frac{1}{p}$ - hãy gọi nó là tổng tương ứng với số Bernoulli đã cho $B_h$ (chúng ta hãy xem xét những số tiền như vậy mà Staudt xử lý). Hóa ra số $B_h$ và tổng tương ứng $\sum \frac{1}{p}$ bổ sung cho nhau thành một số nguyên. Vì vậy, $B_h + \sum \frac{1}{p}$ luôn là số nguyên!

Hãy lấy một ví dụ để đánh giá tầm quan trọng của kết quả này của Staudt. Hãy cho chúng tôi biết $B_6$ là gì và $0 < B_6 < 1$ là gì. Chúng tôi muốn tìm giá trị chính xác của nó; Hóa ra việc này giờ đây dễ thực hiện.

Thật vậy, các ước của 6 là các số 1, 2, 3, 6. Tăng chúng lên một ta được các số 2, 3, 4, 7. Trong đó các số nguyên tố là 2, 3 và 7. Ta tính tổng $\sum \frac{1}{p}$:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{41}{42}.$$

Do đó, theo định lý Staudt $\frac{41}{42} + B_6$ phải là một số nguyên, nhưng vì theo điều kiện $0 < B_6 < 1$ nên số nguyên phù hợp duy nhất là 1. Do đó

$$B_6 = 1 - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}.$$

Bài tập 1. Tìm $B_{14}$ nằm giữa số 1 và 2.

4. Về định lý Kummer

Năm 1850, nhà toán học vĩ đại người Đức Ernst Kummer (1810–1893) đã thu được một kết quả quan trọng liên quan đến bài toán tồn tại lời giải trong các số nguyên của phương trình Fermat $x^n + y^n = z^n$, $n \geq 3$ – cho bài toán Fermat. Mặc dù kết quả của việc này không giải quyết được hoàn toàn vấn đề nhưng nó vẫn là một trong những kết quả quan trọng nhất thu được theo hướng này. Kết quả này hóa ra có liên quan chặt chẽ với số Bernoulli.

Trước khi xây dựng định lý Kummer, chúng tôi giới thiệu phần sau (đề xuất của Kummer). Hãy để những điều đã cho trở nên đơn giản

14

số $p \geqslant 3$. Chúng ta gọi nó là kết quả nếu không có tử số nào của số Bernoulli $B_2, B_4, \dots, B_{p-3}$ chia hết cho nó. Khi đó định lý Kummer có dạng như sau: Phương trình Fermat $x^p + y^p = z^p$, trong đó $p$ là một phương trình tổng hợp không thể giải được bằng số nguyên $x, y, z$ âm của 0. Người ta có thể kiểm tra xem các số nguyên tố 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots có phải là kết quả hay không. Câu hỏi được đặt ra: không phải tất cả các số nguyên tố đều có kết quả sao? Hóa ra là không. Tuy nhiên, số nguyên tố bất thường đầu tiên không được phát hiện nhanh chóng. Đây là số nguyên tố thứ mười hai 37. Có thể chứng minh rằng có vô số số nguyên tố không đều. Đối với các số nguyên tố thu được, vẫn chưa biết số của chúng có hữu hạn hay không.

Bài tập
2. Chứng tỏ rằng hàm
$$f(x) = S_k(x) - \frac{x^k}{2}$$ chẵn khi $k$ lẻ và lẻ khi $k$ chẵn.
3. Sử dụng định lý Kummer để kiểm tra tính đúng đắn của Định lý cuối cùng của Fermat cho $p=3, 5, 7, 11, 13, 17$.
4. Sử dụng định lý Pascal (3), tìm hệ số khai triển
$$S_k(n-1) = a_0C_1^n + a_1C_2^n + \dots + a_kC_{n+1}^n.$$ (11)
Từ đây rút ra một công thức rõ ràng cho số Bernoulli (dựa trên công thức này, Staudt đã chứng minh định lý nổi tiếng của mình).
5. Hãy để $S_k(n) = b_0, kn^{k+1} + b_1, kn^k + \dots + b_k, kn$. Hãy biểu thị
$$S_k'(n) = (k+1)b_0, kn^k + kb_1, kn^{k-1} + \dots + b_k, k.$$
Sử dụng công thức (5) và phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng
$$S_k'(n) = kS_{k-1}(n) + B_k.$$ (12)
6. Hãy xem xét cách sử dụng sự tương ứng (12) để xác định các hệ số của đa thức $S_k(n)$, tức là chứng minh công thức Bernoulli.

Sách giáo khoa toán đầu tiên được xuất bản ở Nga

Sách giáo khoa toán học đầu tiên của Nga là cuốn sách Số học của Leonty Filippovich Magnitsky, xuất bản năm 1703 tại Moscow. Trong thời gian nhận cuốn sách, đây là cuốn sách giáo khoa duy nhất. Các nhà thiên văn học, nhà khảo sát trong tương lai, các thuyền trưởng và đô đốc uyên bác của Hải quân Nga đã nghiên cứu nó tại Trường Hàng hải Moscow và các trường số học hoặc tranh luận. Các số trung bình của chính L.F. Magnitsky ở Trường Hàng hải là nhà thám hiểm Kamchatka và Quần đảo Kuril S.I. Chelyuskin, nhà khảo sát F.F. Luzhin và I.M. Evrenov, người đã biên soạn bản đồ địa lý đầu tiên của Kamchatka, phó đô đốc - thủy văn và khoai tây, nhà thám hiểm Biển Caspian, Bán đảo Chukchi và Biển Okhotsk F.I. Soimonov, đô đốc N.F. Golovin, Đô đốc M.M. Golitsin, Đại úy-Chỉ huy A.I. Chirkov và đa địa lý.

Mikhail Vasilievich Lomonsov được L. F. Magnitsky tự học môn “Số học”. Anh ấy, giống như L.F. Magnitsky trước anh ấy, học tại Học viện Slavic-Hy Lạp-Latin, nhưng họ không thành thạo toán học ở đó.

MV Lomonsov gọi “Số học” của L.F. Magnitsky là “cánh cổng của học tập” và theo lời khai của một số người viết tiểu sử về M.V. Lomonsov, anh ấy thậm chí còn học thuộc lòng nó.

Cuốn “Số học” của L. F. Magnitsky có khoảng 600 trang văn bản. Trong số này có hơn 40 trang được tách ra. Và điều này là tự nhiên - vì cuốn sách không chỉ là một cuốn sách giáo khoa mà còn là một bài giới thiệu ngắn gọn về toán học. Cô giải thích tại sao toán học lại cần thiết và vai trò của nó trong cuộc sống.

Một cuốn sách tài năng được viết bởi một giáo viên toán học, người con trai nông dân tự học Leonty Magnitsky đã bảo đảm tên tuổi của ông.

V. N. Berezin

15

Về sức mạnh của quân cờ

E. Vâng. Gik

Nếu bạn biết chơi cờ vua, thì bạn có thể biết rằng một quân cờ nhỏ (mã hoặc quân tượng) có thể được trao một cách an toàn cho ba quân tốt và một quân hậu cho hai quân xe; một hiệp sĩ và một cặp tốt bù đắp cho việc mất một quân xe, v.v. Tất nhiên, sức mạnh thực sự của một quân cờ phụ thuộc vào vị trí cụ thể: bạn có thể dễ dàng đưa ra ví dụ khi một quân tốt chiếu hết vua đối phương, bị bao vây bởi tất cả các quân quân. Tuy nhiên, rõ ràng là mỗi quân cờ trong một ván cờ vua đều có sức mạnh trung bình nào đó. Để so sánh sức mạnh của các quân, sức mạnh của quân tốt thường được lấy làm một, thông qua đó thể hiện sức mạnh của các quân còn lại. Trong sách giáo khoa, theo quy định, thang đo sau được đề xuất:

$$F_{\pi} = 1, \quad F_K = F_C = 3, \quad F_{\pi} = 5, \quad F_{\phi} = 9$$

(chúng tôi sử dụng $F_x$ để biểu thị cường độ của hình $x$).

Thang đo này được khẳng định qua nhiều thực tiễn và kinh nghiệm của người chơi cờ. Tuy nhiên, cũng có những cách toán học thuần túy để xác định độ mạnh của quân cờ. Một trong những phương pháp phổ biến nhất có liên quan đến khả năng di chuyển của các hình. Khoảng cách trong ví dụ về nước đi của vua (Hình 1) Từ mỗi ô góc, vua có thể thực hiện 3 nước đi, từ các ô không góc theo chiều dọc và chiều ngang cực lớn - 5 nước đi, cuối cùng, từ các ô còn lại của bàn cờ, vua có thể di chuyển đến bất kỳ ô nào trong số 8 ô lân cận. Tổng hợp lại, ta được số nước đi có thể có của quân vua trên bàn cờ; chúng tôi biểu thị số này bằng $S_{Kp}$:

$$S_{Kp} = 3.4 + 5.24 + 8.36 = 420.$$

Từ Hình 2-6, bạn có thể tìm thấy các số $S_x$ cho các hình khác:

$$S_{\phi} = 21.28 + 23.20 + 25.12 + 27.4 = 1456,$$

$$S_{\pi} = 14.64 = 896,$$

$$S_C = 7.28 + 9.20 + 11.12 + 13.4 = 560,$$

$$S_K = 2.4 + 3.8 + 4.20 + 6.16 + 8.16 = 336,$$

$$S_{\pi} = 2.10 + 3.32 + 4.6 = 140.$$

Nếu bây giờ chúng ta chia $S_x$ - số nước đi có thể có của quân $x$ - cho $N_x$ - số ô mà quân này có thể đứng, thì chúng ta sẽ có được số nước đi trung bình của một quân từ một bàn cờ. Izozem là số $P_x$ tính theo tính di động của hình $x$:

$$P_x = \frac{S_x}{N_x}.$$

Rõ ràng, $N_x = 64$ dành cho tất cả các quân ngoại trừ quân tốt và $N_{\pi} = 48$. Sử dụng công thức (*) ta tìm được:

$$P_{Kp} = 6,5625; \quad P_{\phi} = 22,75; \quad P_{\pi} = 14;$$

$$P_C = 8,75; \quad P_K = 5,25; \quad P_{\pi} = 2,5.$$

Giả sử rằng sức mạnh của một hình tỷ lệ thuận với khả năng di chuyển của nó. Như trên, lấy sức mạnh của quân tốt $F_{\pi}$ làm một, chúng ta thể hiện sức mạnh của các quân còn lại thông qua nó bằng công thức

$$F_x = \frac{P_x}{P_{\pi}}.$$

Kết quả là thang đo sau (giá trị được làm tròn thành

16

phần mười):
$$F_{\pi} = 1; \quad F_{Kp} = 2,6; \quad F_{\Phi} = 9,1;$$
$$F_{\lambda} = 5,6; \quad F_{C} = 3,5; \quad F_{K} = 2,1.$$

Trong tính toán, để đơn giản, chúng tôi không tính đến khả năng nhập thành và đối với đuôi, chúng tôi cũng tính đến các chuyển động theo đường chéo mà nó thực hiện khi bắt. Hình 1-6 nêu bật các trường mà quân tương ứng có thể thực hiện số lần di chuyển tối đa. Các ô này tập trung ở trung tâm, chỉ có quân Xe là “mạnh” như nhau trên tất cả các ô của bàn cờ.

Nhà vua nhận được đánh giá rất thấp trong thang điểm kết quả, mặc dù trên thực tế, “sự mất mát” của ông ấy không đáng giá *). Tuy nhiên, từ quan điểm của người đúc, ước tính được đưa ra hoàn toàn tương ứng với thực tế. Quy mô của chúng tôi cũng có một số khác biệt

*) Khi lập trình trên máy tính, một số lượng lớn thường được chọn theo sức mạnh của vua, từ đó nhấn mạnh riêng đến nó.

với thực hành. Khuyết điểm chính của nó là sự vượt trội quá lớn của các quân ở xa (quân hậu, xe và quân) so với quân mã. Trong cờ vua, hành động của các quân ở xa luôn bị giới hạn bởi các quân khác. Chúng tôi có thể tính đến trường hợp này khi đưa ra các hệ số điều chỉnh, nhưng hiện tại chúng tôi đang quan tâm. bản thân ý tưởng và chúng tôi không tập trung vào chi tiết.

Cách tiếp cận toán học để đánh giá sức mạnh của các số liệu cho phép chúng ta xem xét các khái quát khác nhau. Hãy tưởng tượng rằng bạn đang chơi cờ với những quân ghép, nhưng trên một bàn cờ có kích thước khác thường, chẳng hạn như 50 × 50. Chỉ dựa vào trực giác, bạn sẽ khá khó khăn để xác định sức mạnh tương đối của các quân cờ trên bàn cờ này. Ví dụ, rõ ràng là quân tượng ở đây mạnh hơn hiệp sĩ, nhưng khó có thể nói ngay được là bao nhiêu. Sử dụng khái niệm nhập thành được giới thiệu ở trên, chúng ta có thể tìm được những giá trị hoàn toàn hợp lý về độ bền của các quân cờ và ở mức độ đó.

17

bảng đen Theo cách tương tự, bạn có thể nghiên cứu sức mạnh của các quân cờ trên các “bàn cờ” hình trụ, hình cầu, không gian và các “bàn cờ” khác.

Một cách khái quát hóa khác là thay đổi quy luật chuyển động của các hình. Các nhà soạn nhạc cờ vua chuyên về “cờ vua tuyệt vời” đã miêu tả những nhân vật được gọi là “trong truyện cổ tích”: người thắp nến, nhân mã, dế đêm, kỵ sĩ, bọ cánh cứng, yêu tinh, hà mã, sư tử, ngựa vằn, kẻ bắt chước, hươu cao cổ và những loài khác. Tướng có thể di chuyển như quân xe và mã, nhân mã có thể di chuyển như hiệp sĩ và giám mục, kỵ sĩ có thể là quân tầm xa thực hiện các bước nhảy liên tục dọc theo tuyến đường của một điểm chung theo một hướng (ví dụ: a1 - b3 - c5 - d7 hoặc a1 - c2 - e3 - g4), sư tử có thể di chuyển trên sân theo bất kỳ hướng nào, v.v. Phương pháp của chúng tôi cho phép bạn dễ dàng tìm thấy sức mạnh của các quân cờ cổ tích.

Trong thực tế

1. Tìm độ di động $P_x(n)$ của quân cờ $x$ nào trên bàn cờ có kích thước $n \times n$, sử dụng công thức (*).

2. Tính di động của các quân cờ thay đổi như thế nào khi kích thước của bàn cờ tăng không giới hạn?

3. Trên bàn cờ chung, quân Xe có sức mạnh tương đương với quân tượng và quân mã (14 = 8,75 + 5,25). Trên bảng nào khác điều này có thể xảy ra? Trên bàn cờ cỡ nào thì vua và tượng có sức mạnh ngang nhau?

4. Có bao nhiêu cách xếp hai quân hậu lên một bàn cờ có kích thước $n \times n$ mà chúng không đe dọa lẫn nhau?

5. Có bao nhiêu cách đặt ba quân hậu lên bàn cờ $n \times n$ mà chúng không đe dọa lẫn nhau?

6. Ai mạnh hơn trên bàn cờ vô hạn - quân hậu hay hai quân xe?

7. Xác định khả năng di chuyển và sức mạnh của tể tướng, tể tướng, kỵ binh và sư tử.

8. Trên một bàn cờ vô hạn, một hiệp sĩ loại $(a, b)$ có khả năng di chuyển như thế nào, di chuyển các trường $a$ theo một hướng và các trường $b$ theo hướng vuông góc (một hiệp sĩ obcc thu được ở $a = 2, b = 1$)?

Domino - solitaire

28 quân domino được xếp thành một cột thẳng $7 \times 8$. Ranh giới của xương không được hiển thị. Họ cần phải được phục hồi.

$$\begin{array}{c} 2 \ 2 \ 3 \ 0 \ 0 \ 4 \ 4 \\ 2 \ 5 \ 4 \ 4 \ 0 \ 1 \ 1 \\ 6 \ 1 \ 5 \ 4 \ 4 \ 0 \ 0 \\ 3 \ 2 \ 6 \ 6 \ 3 \ 3 \ 5 \\ 1 \ 5 \ 5 \ 6 \ 4 \ 3 \ 0 \\ 1 \ 1 \ 5 \ 2 \ 6 \ 0 \ 0 \\ 3 \ 2 \ 5 \ 1 \ 2 \ 2 \ 6 \\ 6 \ 4 \ 3 \ 6 \ 3 \ 5 \ 1 \\ 6 \ 6 \ 0 \ 6 \ 6 \ 0 \\ 4 \ 5 \ 2 \ 6 \ 6 \ 5 \ 1 \\ 4 \ 4 \ 5 \ 5 \ 4 \ 3 \ 3 \\ 0 \ 5 \ 1 \ 4 \ 1 \ 3 \ 2 \\ 2 \ 5 \ 2 \ 6 \ 1 \ 1 \ 1 \\ 3 \ 1 \ 5 \ 3 \ 4 \ 2 \ 2 \\ 3 \ 2 \ 6 \ 0 \ 0 \ 2 \ 2 \\ 5 \ 3 \ 3 \ 4 \ 0 \ 1 \ 4 \\ \end{array}$$

18

Người giải quyết vấn đề lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 8 năm 1974 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant», M266, M267” hoặc “… F278”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải được đặt trong các phong bì riêng. Đồng thời đặt các bài tập từ các số tạp chí khác nhau vào các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, vui lòng gửi chúng thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Những câu khó bài toán đều được đánh dấu hoa thị.

Bài toán

M266—M270; F278—F282

M266. Cho một $n$-gon lồi.
a) Chứng minh rằng nếu với mỗi ba đỉnh liên tiếp của một $n$-giác người ta dựng một đường tròn đi qua ba đỉnh đó và từ các đường tròn $n$ chọn được đường tròn có bán kính lớn nhất thì đường tròn này chứa trong nó toàn bộ $n$-giác đã cho;
6) Chứng minh rằng nếu với ba cạnh liên tiếp của một $n$-giác, người ta dựng một đường tròn tiếp xúc với các cạnh này và từ các đường tròn $n$ thu được chọn đường tròn có bán kính lớn nhất thì đường tròn đó sẽ chứa bên trong $n$-giác đã cho.

A. B. Karzanov

M267. Trong chuỗi các bộ ba số nguyên (2, 3, 5) (6, 15, 10)… mỗi bộ ba được lấy từ bộ trước theo cách này: bộ ba thứ nhất nhân với bộ ba thứ hai, bộ thứ hai với bộ ba, và bộ ba với bộ ba đầu tiên, và kết quả thu được là một bộ ba mới.

Chứng minh rằng không có số nào thu được theo cách này là lũy thừa của một số nguyên: hình vuông, hình lập phương, v.v.

F. A. Bartenev

M268. Có một quân cờ ở góc bàn cờ. Người chơi đầu tiên có thể di chuyển nó hai lần liên tiếp với tư cách là một hiệp sĩ thông thường (hai ô vuông cùng hướng và một ô vuông góc) và người chơi thứ hai có thể di chuyển nó một lần với một hiệp sĩ với một nước đi kéo dài (ba ô vuông theo một hướng và một ô vuông góc). Thế là họ thay phiên nhau. Người đầu tiên cố gắng đặt hình vào góc đối diện, và người thứ hai cố gắng đặt nó. Ai trong số họ sẽ thắng (kích thước bảng là $n \times n$, ở đâu $n \geq 4$)?

P. Katsylo, học sinh lớp 10 (Moscow)

19

M269. Chúng ta hãy biểu thị bằng $T_k(n)$ tổng các tích của $k$ các số từ 1 đến $n$. Ví dụ,
$$T_2(4) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 35.$$
a) Tìm công thức tổng quát của $T_2(n)$ và $T_3(n)$.
b) Chứng minh rằng $T_k(n)$ được biểu diễn dưới dạng đa thức ở $n$ bậc $2k$ (với mọi số tự nhiên $k \geqslant 2$).
b) Nêu phương pháp tìm đa thức $T_k(n)$ ($k = 2, 3, 4, 5, \dots$) và áp dụng để tìm đa thức $T_4(n)$ và $T_5(n)$.
E. A. Yasinov

M270. Giả sử $AB$ và $CD$ là hai dây của một đường tròn và dựng các điểm $K$ và $H$ sao cho cả bốn góc $KAB, KCD, HBA$ và $HDC$ đều là các đường thẳng. Chứng minh rằng đường thẳng $KH$ đi qua tâm đường tròn và đi qua giao điểm của đường thẳng $AD$ và $BC$.
I. F. Sharytsin, A. I. Yanovsky

F278. Một vệ tinh của Trái đất di chuyển theo quỹ đạo tròn ở độ cao $h = 760$ km so với bề mặt Trái đất. Họ muốn chuyển nó sang một quỹ đạo hình elip với khoảng cách tối đa tới bề mặt Trái đất là $H = 40 000$ km và khoảng cách tối thiểu tới bề mặt là $h = 760$ km. Bạn cần bao nhiêu để thay đổi tốc độ của vệ tinh cho việc này? Chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh trong quỹ đạo hình elip mới của nó sẽ là bao nhiêu?
A. Borzhievsky, học sinh lớp 10 (Orishinskaya s.sh., vùng Khmelnitsky)

Cơm. 1.

F279. Một hình trụ làm bằng vật liệu không dẫn điện được chia bằng vách ngăn không dẫn điện thành hai phần, thể tích là $V_1$ và $V_2$. Phần thứ nhất chứa khí ở nhiệt độ $T_1$ dưới áp suất $p_1$. Trong thứ hai - cùng một loại khí, nhưng ở nhiệt độ $T_2$ và dưới áp suất $p_2$. Nhiệt độ sẽ được thiết lập trong xi lanh nếu vách ngăn được loại bỏ?

F280. Một nguồn sáng cách thấu kính $3a$ một khoảng $a$. Độ sáng trung bình của một điểm trên màn ảnh nằm cách thấu kính một khoảng $1,5a$ sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu một tấm kính phẳng song song có độ dày $0,5a$ được đặt giữa nguồn và thấu kính? Chiết suất của thủy tinh là $n$.

F281. Trong mạch điện ở Hình 1, $a$, ban đầu công tắc $K$ mở. E.m.f. pin đầu tiên là $E_1 = 1\ \sigma$ và điện trở trong của nó là $r_1 = 0,2\ \sigma$. E.m.f. pin thứ hai $E_2 = 2\ \sigma$, điện trở trong $r_2 = 0,4\ \sigma$. Công suất tụ điện $C = 10\ \mu\mathrm{k}\phi$. Điện tích của tụ điện thay đổi bao nhiêu khi đóng công tắc nếu diode có đặc tính dòng điện-điện áp như trong Hình 1, $\sigma$?

F282. Tìm tần số dao động “đối xứng” của hệ như hình 2. Khối lượng của các quả cầu $m$, hệ số đàn hồi của lò xo $k$.

G. L. Komkin

20

Lời giải bài toán
M222—M230; F233—F237

M222. Chứng minh rằng mọi đa giác lồi đều có hai mặt có số cạnh bằng nhau.

Giả sử hai mặt bất kỳ của một đa giác lồi có số cạnh khác nhau. Xét mặt G có số cạnh nhỏ nhất. Chúng ta hãy xét mặt O đó, có số cạnh nhỏ nhất. Chúng ta hãy xem xét mặt C có ít đặc điểm này hơn so với các mặt khác. Điều này có nghĩa là số mặt còn lại của hình này nhỏ hơn m (bằng cách nhập dù có 1 giác và 2 giác, ta cũng chỉ nhập được m - 1 đa giác khác nhau). Mặt khác, mặt Γ liền kề với chính xác m mặt khác của đa giác (mỗi mặt một cạnh). Chúng tôi có một sự mâu thuẫn.

Lý do là hai mặt phải có cùng số cạnh.

lời giải đã cho gần như lặp lại nguyên văn lời giải của bài toán tiếp theo, khá nổi tiếng (theo “nguyên tắc Dirichlet” *)).

Trong rạp sách “Tháng 10” buổi cuối cùng chắc chắn sẽ có hai mục tiêu có số lượng người quen như nhau.

Tuy nhiên, bài toán của chúng tôi về cơ bản là hình học - trong lời giải của nó thì điều đó không chắc chắn.

*) Xem bài viết của A. I. Orlov “Priitsip Dirichlet”, «Kvant», 1971, số 7.

Cơm. 1.

Việc sử dụng tính lồi của đa giác là khi phát biểu rằng một mặt có m cạnh kề với m mặt. Điều này có nghĩa là mỗi cạnh của một mặt của đa giác liền kề với chính xác một mặt và các cạnh khác nhau của mặt này liền kề với các mặt khác nhau. Tuy nhiên, điều này không đúng với các đa giác nhỏ - trong Hình 1, các cạnh a, b liền kề với cùng một mặt α nên được tính hai lần trong số mặt và cách suy luận trên trở nên không chính xác.

Tuy nhiên, phát biểu bài toán vẫn đúng đối với các đa giác nhỏ (không có “xuyên lỗ”) - chứng minh của nó dựa trên công thức Euler *)

B - P + Γ = 2;

nó khá cồng kềnh và không trang nhã đến mức cần phải trình bày ở đây.

G. A. Galperin

M223. Một số tự nhiên được gọi là số hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó ngoại trừ chính nó. (Ví dụ: số 28 là số hoàn hảo: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Chứng minh rằng một số hoàn hảo không thể là số chính phương.

Cho n = p₁ᵢ p₂ᵢ … pᵢᵢ m, trong đó p₁, …, pᵢ là các số nguyên tố phân biệt, r₁, …, rᵢ là các số tự nhiên (theo định lý cơ bản của số học, mọi số nguyên n > 1 đều có thể biểu diễn dưới dạng này một cách duy nhất).

Các ước của n là các số có dạng

p₁ᵢ p₂ᵢ … pᵢᵢ m,

trong đó 0    r₁, …, 0  kᵢ  rᵢ. Do đó tổng các ước của n (gồm 1 và n) bằng tích

S = (1 + p₁ + … + p₁ᵢ) … (1 + pᵢ + … + pᵢᵢ).

Vì n là số hoàn hảo nên S phải bằng 2n, nghĩa là nó phải là số chẵn. Nhưng nếu n là bình phương của một số nguyên thì tất cả các số mũ r₁, …, rᵢ đều là số chẵn nên bình phương là dấu ngoặc đơn trong tích S

$$\frac{(1 + p_i + p_i^2 + ... + p_i^{i-1})}{1 + r_i}$$

Nếu số đó là số lẻ thì S là số lẻ.

Chúng ta đã nhận được một mâu thuẫn, nghĩa là một số hoàn hảo không thể là số chính phương.

Một số độc giả của lời giải của họ suy ra từ công thức 2p⁻¹ (2p - 1) tại sao

*) Xem bài viết của A.P. Savin “Bản đồ và sách tô màu”, «Kvant», 1972, số 4.

21

Cơm. 2.

và bạn là những con số hoàn hảo *). lời giải như vậy là không đầy đủ: xét cho cùng, chưa ai chứng minh được rằng không có số hoàn hảo lẻ.

M224. Đối với một góc tam diện, các phân giác của các góc phẳng được vẽ. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng các cặp góc giữa ba đường phân giác đều là tule, hoặc đều nhọn hoặc đều vuông.

lời giải đơn giản nhất trong số bài toán này dựa trên khái niệm tích vô hướng của vectơ. Ví dụ: tích vô hướng của vectơ a và b là số

$$ab = |a| |b| \cos \varphi,$$

trong đó $|a|$ và $|b|$ là độ dài của vectơ a và b, $\varphi$ là góc giữa chúng. Do đó, góc giữa a và b là góc nhọn, góc vuông hoặc góc tù nếu lần lượt là $ab > 0$, $ab = 0$ và $ab < 0$. Tất nhiên, với mọi vectơ $ab = ba$. Chúng ta cũng cần tính phân phối (thuộc tính phân phối) của tích vô hướng: với ba vectơ bất kỳ a, b và c

$$(a + b)c = ac + bc$$

(thuộc tính này đã được thảo luận chi tiết trong «Kvant», 1972, số 6).

Cho một góc tam giác. Ví dụ, dọc theo các cạnh của nó có các vectơ có độ dài đơn vị a, b và c. Khi đó các vectơ a + b, b + c, c + a chạy dọc theo các đường phân giác của các góc phẳng. Sản phẩm chấm

$$\begin{align*} (a + b)(b + c) &= \\ (b + c)(c + a) &= \\ (c + a)(a + b) &= \\ \end{align*}$$

giống nhau - do đó, các góc giữa hai tia phân giác sẽ đồng thời nhọn, vuông hoặc tù. lời giải này cũng được đề xuất bởi tác giả bài toán E. G. Gotman.

Đối với những người không quen thuộc với vectơ, chúng tôi sẽ đưa ra lời giải thích hình học thuần túy, đơn giản hơn. Đầu tiên chúng ta hãy lưu ý thực tế này

*) Xem «Kvant», 1971, số 8, tr. 2.

Cơm. 3.

Nếu $OL$ là tia nằm trong mặt phẳng $p$, $OM$ là tia không vuông góc với mặt phẳng này, $OM'$ là hình chiếu của tia $OM$ lên mặt phẳng $p$ thì góc $LOM$ là nhọn, thẳng hay tù tùy theo góc nhọn, vuông hay tù $LOM'$; thực, nếu qua điểm $O$ mặt phẳng $q$ được vẽ vuông góc với tia $OL$ thì các điểm $M$ và $M'$ luôn nằm cùng một phía của mặt phẳng $q$ (xét cho cùng, $MM' \perp p$ và $q \perp p$, xem Hình 2). Gọi $OA, OB, OC$ là các cạnh của một góc tam diện; $OK, OL, OM$ — nhị phân của các góc $AOB, BOC, COA$; $p$ là mặt phẳng đi qua $OK$ và $OL, OA', OB', OC', OM'$ là hình chiếu của tia $OA, OB, OC, OM$ lên mặt phẳng $p$.

Các tia $OA$ và $OC$ lần lượt đối xứng với tia $OB$ so với các đường thẳng $OK$ và $OL$. Do đó, $OA'$ và $OC'$ đối xứng $OB'$ so với cùng một đường thẳng và cả ba tia $OA, OB$ và $OC$ đều tạo cùng một góc với mặt phẳng $p$.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét tình huống trong mặt phẳng $p$ - đối với các hình chiếu. Nếu $KOL < 90^\circ$ (Hình 3), thì $A'OC' = 2 \times KOL < 180^\circ$ chứa tia bên trong $OK, OL$, rõ ràng các góc tạo thành góc vuông $OK$ và $OL$ với bicsectrix $OM'$ của góc $A'O'C'$ là nhọn. Nếu $KOL > 90^\circ$ (Hình 4), thì $A'OB' + B'OC' = 2 \times KOL > 180^\circ$, vậy bisectrix $OM'$ của góc $A'OC'$ là $OK$ và $OL$ là góc tù. (Trường hợp $KOL = 90^\circ$ được coi là chính nó.)

22

Từ thực tế đã đề cập ở trên, bây giờ có thể suy ra ngay rằng các góc LOM và KOM là góc nhọn, góc tù hoặc góc vuông, nếu đó là góc KOL.

N. B. Vasiliev

M225. Các mặt của khối lập phương được xếp bằng các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, anh túc sao cho tổng các số trên các mặt đối diện là 7. Khối lập phương tính từ dưới bên trái đến góc trên bên phải của một doxie cực đại có kích thước 50 × 50 ô (mỗi ô doxie bằng một khối lập phương) anh túc, sao cho mỗi lần nó lăn qua cạnh của nó lên hình vuông liền kề; trong trường hợp này, sữa được cắt sang phải hoặc hướng lên trên. Trên mỗi ô dọc theo đường đi của khối lập phương có một số mặt; comora nằm trên tế bào này. Giá trị lớn nhất mà tổng của tất cả 99 số được viết ra có thể có là bao nhiêu? Nhỏ nhất là gì?

Giả sử bằng cách nào đó chúng ta đã lăn khối lập phương từ góc dưới bên trái của doxy lên góc trên bên phải. Chúng ta sẽ giả định rằng sau mỗi lần lăn qua một cạnh, ô doxie sẽ được in dấu số được viết trên cạnh của khối lập phương nằm trên ô này.

Chúng ta viết các số được in $\alpha_1, \dots, \alpha_{99}$ thành một hàng trên một dòng và biểu thị tổng của chúng bằng $\Sigma$:

$$\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_{99} = \Sigma.$$

Nếu thay các số ở tất cả các cạnh của hình lập phương bằng số trung bình 3,5 thì tổng các số in ra sẽ bằng

$$\Sigma_{cp} = 3,5 \cdot 99 = 346,5.$$

Chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất của $\Sigma$. Hãy để chúng tôi ước tính số lượng $|\Sigma - \Sigma_{cp}|$ cho việc này.

Thuộc tính quan trọng nhất của các số trong dãy $\alpha_1, \dots, \alpha_{99}$ là như sau. Đặt các số $\alpha$ trong dãy số $\alpha$ xuất hiện hai lần liên tiếp ($\alpha =$ một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Vì số $\alpha$ trong dãy bằng số $7 - \alpha$;

2. hoặc có đúng một số $\alpha$ hơn số $7 - \alpha$;

3. hoặc có chính xác ít hơn một số $\alpha$ so với số $7 - \alpha$.

Trong trường hợp 1) thay thế tất cả các số $\alpha$ và $7 - \alpha$ bằng 3,5 không làm thay đổi việc đưa chúng vào $\Sigma$. Trong trường hợp 2) và 3), thay thế tất cả các số $\alpha$ và $7 - \alpha$ bằng 3,5, kể cả chúng trong $\Sigma$ sẽ tăng hoặc giảm $(3,5 - \alpha)$. Kết quả là toàn bộ số tiền sẽ tăng hoặc giảm tối đa $(3,5 - 1) + (3,5 - 2) + (3,5 - 3) = 4,5$.

Như vậy,

$$342 = \Sigma_{cp} - 4,5 \leq \Sigma \leq \Sigma_{cp} + 4,5 = 351.$$

Các giá trị $\Sigma_{max} = 351$ và $\Sigma_{min} = 342$ thực tế đạt được bằng cách lăn khối lập phương như trong Hình 5 và 6.

G. A. Galperin

M226. Ở ba đỉnh của hình vuông có ba con châu chấu. Họ đang nhảy vọt. Hơn nữa, nếu con châu chấu $A$ quay con châu chấu $B$, thì sau khi quay, nó thấy mình ở cùng khoảng cách với $B$ (nhưng, một cách tự nhiên, ở phía bên kia và cùng một phía cay; Hình 7). Sau vài lần quay, liệu một trong những con châu chấu có thể chạm vào đỉnh trung tâm của hình vuông ban đầu không?

Hãy chứng minh rằng không con châu chấu nào có thể tới được đỉnh trung tâm.

23

Cơm. 7.

Hãy nhập tọa độ trên mặt phẳng sao cho 3 điểm mà con châu chấu nằm ở đầu nhận được tọa độ: (0, 0), (0, 1) và (1, 0).

Nếu một con châu chấu ngồi ở điểm $(x, y)$ và bám vào châu chấu $(a, b)$ thì nó sẽ kết thúc ở điểm $(2a-x, 2b-y)$ (Hình 8). Từ đó có thể thấy rằng với khóa, tính chẵn lẻ của cả hai tọa độ cho mỗi con châu chấu được bảo toàn. Do đó, không con châu chấu nào có thể đi đến những điểm mà cả hai tọa độ đều lẻ - một phần là đến điểm $(1, 1)$.

lời giải này có thể được khai báo mà không cần tọa độ. Hình 9 hiển thị nhiều chấm: đồng bộ, đỏ và đen. (Chúng tôi đánh dấu châu chấu bằng những màu này để phân biệt chúng với nhau). Dễ dàng kiểm tra xem nếu bất kỳ điểm nào của nó đối xứng thì tập hợp các điểm này sẽ biến thành chính nó và một điểm của mỗi màu sẽ biến thành một điểm cùng màu. Theo đó, mỗi con châu chấu chỉ có thể đánh vào một điểm có màu sắc riêng.

Chứng minh rằng sau vài lần thắt dây, mỗi con châu chấu có thể xuất hiện ở bất kỳ điểm nào có màu sắc của nó. Ngoài ra, hãy thử trả lời một câu hỏi khó hơn: liệu hai con châu chấu có thể đồng thời ở hai điểm cho trước có màu tương ứng không? Ba con châu chấu có thể đánh trúng những điểm nào cùng một lúc?

Có một đáp số đơn giản và màu đỏ cho câu hỏi này, nhưng chúng tôi sẽ không tước đi khả năng độc giả tự tìm ra nó mà sẽ quay lại vấn đề này trong một trong những số tiếp theo của tạp chí.

M227. Một điểm được lấy trên mỗi cạnh của hình bình hành. Diện tích của một tứ giác có các đỉnh tại các điểm này bằng một nửa diện tích của hình bình hành. Chứng minh rằng ít nhất một đường chéo của tứ giác song song với một cạnh của hình bình hành.

Rõ ràng, nếu ít nhất một trong các đường chéo của tứ giác KLMN (Hình 10) song song với cạnh của hình bình hành ABCD thì diện tích của tứ giác s bằng một nửa diện tích của hình bình hành S.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng đường chéo LN không song song với AD. Chúng ta hãy cố định vị trí của các điểm L, M và N và xem diện tích s thay đổi như thế nào tùy thuộc vào vị trí của điểm K trên cạnh BC. Vì diện tích tam giác LMN không thay đổi và diện tích tam giác KLN có đáy cố định LN tỷ lệ thuận với khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng LN nên rõ ràng khi điểm K di chuyển từ B đến C thì diện tích tứ giác KLMN sẽ thay đổi đơn điệu: tăng nếu LC>BN và giảm nếu LC<BN. Chúng tôi biết rằng nếu KM || AB thì diện tích s bằng nửa S; nhưng vì giá trị của s thay đổi đơn điệu, điều đó có nghĩa là đối với tất cả các vị trí khác của điểm K, diện tích của s sẽ lớn hơn hoặc nhỏ hơn S/2.

Vì vậy, $s = S/2$ chỉ khi LN || AD hoặc KM || AB là điều cần chứng minh.

Có thể thực hiện mà không cần thông báo đơn điệu (tuy nhiên, trọng số thu được) và chỉ cần biểu thị tỷ lệ diện tích s/S theo độ dài của các đoạn $|BC| = |AD| = a, |AB| = |CD| = b, |AM| = x_1$.

Cơm. 9.

Cơm. 10.

25

Lyceum bằng $u$ và sẽ nhập - $v$. Mục tiêu của viên cảnh sát là kết thúc bằng một cú trượt ở một bên của hình vuông. Chứng minh rằng

a) nếu $\frac{u}{v} > \frac{1}{3}$, thì anh ta có thể đạt được mục tiêu của mình;
b) nếu $\frac{u}{v} < \frac{1}{3}$, thì điểm số có thể cho phép anh ta làm điều này.

Các điều kiện bài toán không nói lên điều gì sẽ xảy ra với cảnh sát và xã hội đen nếu $\frac{u}{v} = \frac{1}{3}$. lời giải được đưa ra ở đây cũng giải thích câu hỏi này.

Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ có gốc tọa độ ở tâm hình vuông ban đầu $ABCD$ và các trục song song với các cạnh của nó. Chúng ta đặt cạnh hình vuông $ABCD$ bằng 1 và giả sử tốc độ tối đa của gangster là $v = 1$ (chúng ta chỉ quan tâm đến tỷ lệ $u/v$). Các điểm mà cảnh sát và xã hội đen tọa lạc lần lượt được ký hiệu là $\Pi(x_\pi, y_\pi)$ và $\Gamma(x_\pi, y_\pi)$.

a) Đặt $u > \frac{1}{3}$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng khi đó viên cảnh sát sẽ đạt được mục tiêu của mình (nghĩa là anh ta sẽ ở cùng một phía của hình vuông với tên xã hội đen; chúng ta sẽ nói rằng trong trường hợp này anh ta sẽ thương lượng (hoặc LOB tên xã hội đen).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\Gamma'$ điểm có tọa độ $\left(\frac{1}{3}x_\Gamma, \frac{1}{3}y_\Gamma\right)$; Rõ ràng là nếu điểm $\Gamma$ di chuyển dọc theo đường viền của hình vuông $ABCD$ với tốc độ tối đa $v = 1$, thì $\Gamma'$ di chuyển dọc theo đường viền của hình vuông tương tự $A'B'C'D'$ (Hình 15) với tốc độ tối đa $v_{\Gamma'} = \frac{1}{3}$.

Cảnh sát sẽ LOB tên xã hội đen trong nhiều giai đoạn.

Giai đoạn đầu tiên. Người cảnh sát đạt được mục tiêu của mình (nghĩa là anh ta sẽ kết thúc với tên xã hội đen ở cùng một phía của hình vuông; chúng ta sẽ nói rằng trong trường hợp này anh ta sẽ thương lượng (hoặc LOB tên xã hội đen).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\Gamma'$ điểm có tọa độ $\left(\frac{1}{3}x_\Gamma, \frac{1}{3}y_\Gamma\right)$; rõ ràng là nếu điểm $\Gamma$ di chuyển dọc theo đường viền của một hình vuông tương tự $A'B'C'D'$ (Hình 15) với tốc độ tối đa $v_{\Gamma'} = \frac{1}{3}$.

Giai đoạn đầu tiên từ giai đoạn thứ hai, cảnh sát phải phát triển bất kỳ tốc độ nào không vượt quá $\sqrt{u^2 - \left(\frac{1}{3}v\right)^2}$, (Hình 16). Chúng tôi cũng yêu cầu ở giai đoạn thứ hai, cảnh sát di chuyển về phía $AB$ với tốc độ tối đa dọc theo trục $Oy$. Có hai trường hợp có thể xảy ra:

1. $\Gamma$ luôn ở mức $AB$. Sau đó $\Pi$ thông qua some.deviget $AB$, và do đó tên xã hội đen sẽ bị “bắt”; bài toán lời giải.
2. Tại một thời điểm nào đó $\Gamma$ thỏa mãn ranh giới $AB$ (chúng tôi giả sử điểm $B$) bắt đầu.

Giai đoạn thứ ba. Khi bắt đầu giai đoạn này, các điểm $G$ và $B$ trùng nhau và điểm $\Pi$ nằm cách mỗi bên $AB$ và $BC$ ở khoảng cách không quá $\frac{1}{3}$. Ở giai đoạn thứ ba, cảnh sát phải tiếp cận với tốc độ tối đa vuông góc với phía mà tên côn đồ đang ở (nếu $\Gamma = B$ thì không quan trọng là bên nào $AB$ hay bên $BC$).

Để chạy từ điểm $B$ đến điểm $A$ hoặc đến điểm $C$, tên côn đồ sẽ bị đánh trong một đơn vị thời gian, và để cảnh sát đến được phía tương ứng ($AB$ hoặc $BC$), cú đánh sẽ hoàn toàn ít hơn một đơn vị thời gian. Hậu quả là viên cảnh sát đã “bắt” được tên côn đồ ở một trong hai bên $AB$ hoặc $BC$. Vì vậy nó nên được tháo rời.

26

6. Hãy để bây giờ $u < \frac{1}{3}$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng trong trường hợp này, tên xã hội đen có thể chọn một stramecia mà cảnh sát sẽ không thể “đuổi kịp” hắn.

Rõ ràng là nếu $u = \frac{1}{3}$ (nhớ lại $v = 1$) thì tên xã hội đen sẽ khó “thoát” khỏi tay cảnh sát hơn. Hãy xem điều gì xảy ra trong trường hợp bất lợi nhất cho một tên xã hội đen.

Ở trung tâm của hình vuông $ABCD$, chúng ta dựng một hình vuông $A'B'C'D'$, tương tự như hình vuông ban đầu với hệ số tương tự $k = \frac{1}{3}$; vẽ các đường $A_2B_3$, $A_1B_4$, $D_4C_1$, $D_3C_2$, các cạnh song song $AB$ và các đường $A_3D_2$, $A_4D_1$, $B_1C_4$, $B_2C_3$, song song $BC$, sao cho $AA_3 = A_3A_4 = AA_2 = A_2A_1 = B_1B_2 = B_2B = D_4D_3 = D_3D$ (Hình 2). 17).

Đặt ngay từ đầu tên xã hội đen G ở giữa bên $AB$, và cảnh sát P ở trên vạch $A_2B_3$. Hãy vẽ hai đường phụ $\hat{A}\hat{B}$ và $\hat{A}\hat{B}$, song song với $AB$, sao cho cảnh sát P nằm phía trên đường $\hat{A}\hat{B}$ (Hình 18).

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng chúng tôi luôn có thể chọn một đoạn không có hình con rùa $KM$ sao cho nó chứa trung điểm của cạnh $AB$ và sao cho từ bất kỳ điểm nào của nó, gangster G sẽ có thời gian để thêm $A$ hoặc $B$ vào bất kỳ đỉnh nào nhanh hơn cảnh sát P sẽ có thời gian để thêm từ $\hat{A}\hat{B}$ đến $AB$. Trên thực tế, khoảng cách từ $\hat{A}\hat{B}$ đến $AB$ lớn hơn $1/6$; do đó, P sẽ đạt nhiều hơn $1/2$ đơn vị thời gian để cộng từ $\hat{A}\hat{B}$ lên $AB$; Điều này có nghĩa là đối với đoạn $KM$, chẳng hạn, chúng ta có thể chọn một đoạn đối xứng với điểm giữa của cạnh $AB$, với độ dài hoàn toàn nhỏ hơn $2\left(3|A\hat{A}| - \frac{1}{2}\right)$.

Bây giờ chúng ta hãy mô tả strameccia của tên xã hội đen G. Trong khi cảnh sát P ở trên đường thẳng $\hat{A}\hat{B}$, tên xã hội đen vẫn giữ nguyên vị trí - ở giữa $AB$. Sớm hay muộn cảnh sát sẽ có mặt $\hat{A}\hat{B}$ (trước khi anh ta không bao giờ xuất hiện tên xã hội đen); Trong trường hợp này, có thể xảy ra hai tình huống:

(1) hoặc $x_{\Pi} \neq \frac{1}{3}x_{\Gamma}$,

(2) hoặc $x_{\Pi} = \frac{1}{3}x_{\Gamma}$.

Nếu trường hợp (2) xảy ra thì G bắt đầu chạy với tốc độ tối đa dọc theo đoạn $KM$ từ phải sang trái. Nếu đồng thời $x_{\Pi} = \frac{1}{3}x_{\Gamma}$ mọi lúc, thì thành phần ngang của tốc độ của cảnh sát phải bằng $\frac{1}{3}$ thành phần ngang của tốc độ của tên xã hội đen; và vì vận tốc P bằng 1 nên thành phần nằm ngang của vận tốc P phải bằng $\frac{1}{3}$, tức là $u = \frac{1}{3}x_{\Gamma}$.

Giả sử rằng tên côn đồ nhận thấy rằng cảnh sát đã rời khỏi đường thẳng $\hat{A}\hat{B}$, nhanh chóng tiếp cận, chẳng hạn, ngay cả trước khi cảnh sát đến đường thẳng $\hat{A}\hat{B}$.

Vì vậy, bây giờ chúng ta có $x_{\Pi} \neq \frac{1}{3}x_{\Gamma}$, $\Pi$ - phía trên đường thẳng $\hat{A}\hat{B}$, $\Gamma$ - trên đoạn $KM$.

Hành vi tiếp theo của $G$ sẽ như sau. Giả sử không mất tính tổng quát rằng $x_{\Pi} < \frac{1}{3}x_{\Gamma}$; sau đó $\Gamma$ di chuyển sang phải với tốc độ tối đa

27

đến điểm $B$ (hoặc nếu $x_{\Pi} > \frac{1}{3} x_{\Gamma}$, thì nó sẽ di chuyển cao hơn - tới điểm $A$). Do lựa chọn đoạn $KM$, cảnh sát sẽ không có thời gian để tiếp cận đường thẳng $AB$ trong thời gian tên cướp đạt đến điểm $B$; điều này có nghĩa là P sẽ không thể hiểu được $\Gamma$ ở bên $AB$. Hơn nữa, vì chúng ta giả định rằng tại thời điểm “ban đầu” $x_{\Pi} < \frac{1}{3} x_{\Gamma}$ và $\Gamma$ di chuyển sang phải với tốc độ $3 u$, nên bất đẳng thức $x_{\Pi} < \frac{1}{3} x_{\Gamma}$ sẽ luôn giữ nguyên. Do đó, khi $\Gamma$ đến điểm $B$ thì P sẽ nằm bên trái đường thẳng $B_1C_4$ (Hình 19).

Hiện nay $\Gamma$ bezit với tốc độ tối đa ở bên cạnh $BC$ đến giữa của nó. Để đến được giữa $\Gamma$ yêu cầu $1/2$ đơn vị thời gian; trong thời gian này P sẽ đi một quãng đường có độ dài không quá $1/6$, và do đó sẽ không có thời gian để đi đến đường thẳng $B_2C_3$.

Vì vậy, chúng ta đã đi đến cấu hình đã được xem xét: $\Gamma$ nằm ở giữa cạnh $BC$ và $\Pi$ nằm ở bên trái của đường thẳng $B_2C_3$. Trong trường hợp này, điểm $\Gamma$ từ giữa cạnh $AB$ di chuyển đến giữa cạnh $BC$; Điều này có nghĩa là ít nhất 1 đơn vị thời gian đã trôi qua. Hành vi tiếp theo của $\Gamma$ tương tự như hành vi được mô tả ở trên. Hoàn toàn không thể tưởng tượng được rằng với chiến lược của một tên xã hội đen như vậy, cảnh sát sẽ không “bắt” được hắn trong một khoảng thời gian hữu hạn.

Như vậy, chúng ta biết hành vi của một tên xã hội đen trong trường hợp “xấu nhất”: $u = \frac{1}{3}$; rõ ràng là đối với $u < \frac{1}{3}$, chiến lược được chỉ định cho nó sẽ chính xác hơn.

G. A. Galperin, A. B. Khodulyev

**M230. Chứng minh rằng từ bất kỳ hình chữ nhật lồi đều (nhưng không nhất thiết phải đúng) nào, bạn có thể cắt một hình tam giác đều, một trong các cạnh của nó trùng với cạnh của hình chữ nhật (Hình 20).

Cơm. 20.

Giả sử rằng đối với một số hình chữ nhật lồi đều $ABCDE$ có cạnh bằng một, câu lệnh bài toán là sai. Chúng ta có thể giả sử rằng trên đường chéo lớn nhất là AD, các điểm $A$ và $D$ nằm trên đường ngang (D ở bên phải của $A$), các điểm $B$ và $C$ nằm ở nửa mặt phẳng trên của nó và $C$ không gần đường $AD$ hơn $B$ (Hình 2). 21). Rõ ràng là $1 < |AD| < |AE| + |ED| = 2$.

Vì trong các tam giác $ABD$ và $ACD$ cạnh $AD$ là lớn nhất nên các góc $ABD$ và $ACD$, và thậm chí còn hơn thế nữa $ABC$ và $BCD$ ngày càng lớn hơn $60^\circ$, do đó, các tam giác đều được xây trên các cạnh $AB$, $BC$ và $CD$ phải giao nhau bởi đoạn $AD$ (xét cho cùng, mỗi tam giác đó, theo giả định, được giao nhau bởi đường viền của một hình chữ nhật, nhưng những hình tam giác này không thể giao nhau với các đoạn $AB$, $BC$ và $CD$). Do đó, các góc $BAD$ và $CDA$ nhỏ hơn $60^\circ$.

Chúng ta hãy đánh dấu trên đoạn $AD$ các điểm $B_1$, $C_1$ và trên phần tiếp theo của nó là điểm $C_3$, trong đó $|AB_1| = |C_1D| = |B_1C_3| = 1$ và dựng các tam giác đều $AB_1B_2$, $C_1DC_2$, $B_1C_3C_4$ ở nửa mặt phẳng trên (Hình 22). Điểm $B$ phải nằm đâu đó trên cung $B_1B_2$ có tâm $A$, điểm $C$ - trên cung $C_1C_2$ có ​​tâm $D$. Mặt khác, vì $|BC| = 1$ và $C$ không nằm thấp hơn $B$ (nhưng không cao hơn khoảng cách $\sqrt{3}/2$ tính từ đường thẳng $AD$), nên các điểm $C$ phải nằm bên phải cung $C_3C_4$ với tâm $B_1$. Nhưng từ (*)

28

Cơm. 22.

suy ra rằng $\triangle C_1DC_2$ nằm ở bên trái của $\triangle B_1C_3C_4$, do đó cung $C_1C_2$ nằm ở bên trái của cung $C_3C_4$. Chúng tôi có một sự mâu thuẫn. Điều này có nghĩa là các góc $BAD$ và $CDA$ không thể đồng thời nhỏ hơn $60^\circ$ và có ít nhất một tam giác đều (được tạo ở cạnh $AB$, hoặc trên $BC$ hoặc trên $CD$), sẽ không bị giao nhau bởi đường viền của hình ngũ giác.

Trong số lời giải bài toán M230 chúng tôi chọn cái này vì nó có tính khái quát hóa và cho phép chúng tôi chứng minh khẳng định bài toán M230 cho mọi lồi đều $(2n+1)$-gon.

N. B. Vasiliev

F233. Khi xuống dốc ở tốc độ cao, người trượt tuyết trượt xuống dốc ($\varphi=45^\circ$) mà không tối ưu hóa bằng gậy. Hệ số thời gian trượt tuyết $k=0,1$. Lực cản của không khí tỷ lệ với bình phương tốc độ của người trượt tuyết $F_c=\alpha v^2$, trong đó $\alpha$ là một hằng số bằng $0,7$ và $(m/c)^2$. Tốc độ tối đa mà một vận động viên trượt tuyết có thể đạt được nếu khối lượng của anh ta là 70 kg?

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một vận động viên trượt tuyết, chiếu tất cả các lực tác dụng lên anh ta lên trục tọa độ, hướng song song

Cơm. 23.

mặt phẳng nghiêng, tạo thành một độ dốc và vuông góc với nó (Hình 23).

Vì người trượt tuyết không di chuyển dọc theo trục $Y$ nên

$$N-mg\cos\varphi=0.$$ (1)

Hình chiếu của lực hấp dẫn lên trục $X$, bằng $mg\sin\varphi$ và lực ma sát $F_{TP}=kN$ không phụ thuộc vào tốc độ của người trượt tuyết, và lực cản không khí $F_c=\alpha v^2$ quay trở lại khi tốc độ của người trượt tuyết tăng dần. Vì vậy, khi tốc độ của người trượt tuyết tăng lên thì tốc độ sẽ tăng lên và người trượt tuyết sẽ di chuyển đều. Tốc độ $v_{max}$ mà điều này xảy ra là tốc độ tối đa của người trượt tuyết.

Chúng ta hãy viết phương trình chuyển động đều của một vận động viên trượt tuyết dọc theo trục $X$:

$$mg\sin\varphi-kN-\alpha v_{max}^2=0.$$ (2)

Từ (1) và (2) ta tìm được

$$v_{max}=\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}(\sin\varphi-k\cos\varphi)=$$

$$=\sqrt{\frac{70\cdot9,8}{0,7}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-0,1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\approx 25(m/c).$$

F234. Buồng nổ chứa đầy hỗn hợp khí metan và oxy ở nhiệt độ phòng và áp suất $p_0=760$ mm rm. cm. Áp suất riêng phần của metan và oxy là như nhau. Sau khi buồng được làm nóng, một vụ nổ xảy ra trong đó. Tên này được đặt cho áp suất bên trong buồng sau khi làm nguội các sản phẩm đã được phân loại đến nhiệt độ ban đầu đầu tiên, tại đó áp suất của hơi nước bão hòa là $p_H=17$ mm rm. cm.

Đầu tiên chúng ta viết phương trình phản ứng nổ:

$$CH_4+2O_2=CO_2+2H_2O.$$

Từ phương trình này có thể thấy rằng mỗi phân tử tạo ra hai mol oxy. Phản ứng tạo ra 1 mol CO2 và 2 mol nước.

Trước vụ nổ, áp suất riêng phần của khí metan và oxy bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}p_0$. Theo phương trình trạng thái khí, áp suất của khí tỉ lệ thuận với số mol khí. Sau đó, từ sự tương đương của áp suất riêng phần của metan và oxy, suy ra rằng các bình chứa cùng số mol khí. Do đó, trong quá trình nổ, toàn bộ oxy sẽ phản ứng với khí mêtan và một nửa lượng khí mêtan ban đầu đầu tiên vẫn còn trong các bình chưa phản ứng.

Như vậy, sau khi nổ, trong bình sẽ chứa khí metan, cacbonic và nước,