Kvant 1975, số 3 · Trang

Kvasht
1975
3
khoa học bán Bắc Cực
vật lý và toán học
tạp chí

bìa của chúng tôi

Có rất nhiều điều đáng ngạc nhiên và thoạt nhìn có vẻ lạ lùng trong chuyển động của con quay hay còn gọi là con quay đồ chơi quen thuộc của trẻ em. Cả các nhà toán học và vật lý học đều tham gia vào việc giải thích các tính chất của chuyển động này. Sofya Vasilievna Kovalevskaya đã thu được những kết quả đáng chú ý về lời giải bài toán về chuyển động của một đỉnh. Chúng ta nói về cuộc đời của nhà toán học kiệt xuất người Nga trong số tạp chí này (xem trang 2).

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin

Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,

phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,

do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:

2. N. Vâng. Vilenkin, V. P. Litsevsky. Sofya Vasilievna Kovalevskaya
3. I. I. Vorobyov. Gió điện tử
4. I. N. Bronstein. Hyperbol
5. I. P. Stakhanov. Khối lượng và năng lượng trong thuyết tương đối
6. L. S. Khrenov. Công cụ tính toán
7. A. B. Midal. Thư gửi học sinh muốn trở thành nhà vật lý

vòng tròn toán học
39. Z. A. Skopets. Khoảng cách giữa trọng tâm của hai hệ thống điểm

Sách vấn đề «Kvant»

44. Người chiến thắng cuộc thi «Kvant»
45. Bài toán M311—M315; F323—F327
46. Lời giải bài toán M273—M279; F285—F290

Xưởng của người nộp đơn

61. V. K. Ederev, A. G. Mordkovich. Thông số chính xác

62. L. K. Belopunkhov, M. G. Sukharev. Viện công nghiệp hóa dầu và khí đốt Moscow

63. Hỏi - chúng tôi trả lời

«Kvant» cho học sinh nhỏ

71. Bài toán

72. A. P. Savin. Lãi suất cần thiết để làm gì?

73. Đáp số, gợi ý, lời giải (trang bìa thứ 3)

Góc sưu tầm
Hỗn hợp (trang 24, 35, 43, 68, 70).

Trên trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ thấy một họ đường cong có tọa độ (x, y) thỏa mãn k tương ứng với mọi k > 0 có thể có. Những đường cong này được gọi là superbol. Bạn có thể đọc thêm về superola và các đặc tính của nó trong bài viết trên trang. 16-24.

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nauka, «Kvant» Số 3, 1975

2

S. V. Kovalevskaya (1850-1891)

3

SOFIA VASILIEVNA KOVALEVSKAYA

N.Ya. Vilenkin
V.P. Lishevsky

(nhân kỷ niệm 125 năm ngày sinh của ông)

Giải nhất

Năm 1888, Viện Hàn lâm Khoa học Paris đã trao giải thưởng cho công trình khoa học xuất sắc nhất về chuyển động của một vật rắn có một điểm cố định. bài toán này còn được gọi là bài toán chuyển động của một đỉnh - xét cho cùng, tất cả các điểm của một đỉnh quay nhanh đều chuyển động, ngoại trừ phần cuối của đỉnh mà đỉnh chạm vào sàn. Từ xa xưa, ngọn (hay còn gọi là con quay) đã là đồ chơi yêu thích của trẻ em. Nhưng chúng cũng thu hút sự chú ý của các nhà khoa học danh tiếng - đặc tính của vật thể quay quá tuyệt vời. Người ta không rõ tại sao trục của một đỉnh quay nhanh lại quay chậm. Điều cũng có vẻ đáng ngạc nhiên là mong muốn của trục trên duy trì hướng của nó khi các ngoại lực tác dụng lên đỉnh, và sự thay đổi hướng của trục đi theo hướng khác với hướng của lực này. Sự quan tâm đến sự chuyển động của đỉnh cao không phải là sự tò mò vu vơ. Những lời giải thích về đặc tính của chuyển động này đã được chờ đợi bởi các nhà thiên văn học quan tâm đến những đỉnh khổng lồ như hành tinh và ngôi sao, cũng như bởi những người thợ chế tạo súng, những người từ lâu đã nhận thấy rằng đạn và đạn pháo sẽ bắn trúng mục tiêu chính xác hơn nếu chúng không chỉ được đưa ra.

về phía trước mà còn cả chuyển động quay, các kỹ thuật viên đã phát triển các mẫu xe đạp mới và nhiều mẫu khác.

Cho đến đầu thế kỷ 17, các nhà khoa học khi nói về đặc tính của ngọn, chỉ đưa ra những lời giải thích tương tự như lời của nhân vật Moliere, người cho rằng morphin khiến bạn buồn ngủ vì nó có tác dụng gây ngủ. Nhưng sau công trình của G. Galileo, người giải thích định luật của các vật rơi và H. Huygens, người quan tâm đến chuyển động của con lắc, một nhánh cơ học mới đã nảy sinh - động lực học. Một trong những bài toán của cô ấy là lời giải thích về những đặc tính bí ẩn của phần trên. Vào cuối thế kỷ 17, I. Newton và G. Leibniz, sau khi tạo ra phép tính vi phân và tích phân, đã trao cho các nhà khoa học “chìa khóa vàng” giúp có thể giảm động lực học bài toán thành các phương trình lời giải chứa các hàm cần tìm và đạo hàm của chúng - cái gọi là phương trình vi phân. Sức mạnh của các phương pháp tính toán mới đã được thử nghiệm trên các vấn đề của cơ học thiên thể: với sự giúp đỡ của họ, I. Newton đã có thể giải thích các định luật Keplerian về chuyển động hành tinh, và những người theo ông đã có thể dự đoán thời gian quay trở lại của một trong những sao chổi sáng nhất - Sao chổi Halley.

1*

4

Đương nhiên, các nhà khoa học đã cố gắng áp dụng các phương pháp mới để nghiên cứu chuyển động của khối lượng. Để làm được điều này, họ phải đưa ra một số khái niệm mới - mô men quán tính, đóng vai trò tương tự trong việc giải thích các chuyển động quay giống như khối lượng của một vật thể trong việc giải thích chuyển động tịnh tiến, elip quán tính, cho thấy sự thay đổi mômen quán tính khi trục quay thay đổi, v.v. Do đó, thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 18, L. Euler đã nghiên cứu chuyển động của một vật thể xung quanh trọng tâm (Hình 1). 1). Điều này có tầm quan trọng rất lớn, vì nó có thể giải thích nguyên nhân của cái gọi là “sự tương đương sơ bộ” gắn liền với sự thay đổi trục quay của quả địa cầu, chuyển động quay của đạn pháo, v.v. Nghiên cứu của Euler được bổ sung bởi nhà khoa học người Pháp L. Poinsot. Sau đó, chó sói trở thành mô hình yêu thích mà các nhà vật lý sử dụng để cố gắng giải thích một số hiện tượng nhất định. Hơn nữa, J. Maxwell, người theo đúng lý thuyết về hiện tượng điện từ, đã sử dụng các mô hình cơ học, trong đó những con sói được đặt ở mỗi điểm trong không gian đóng vai trò lớn hơn.

Nhưng lý thuyết Euler-Poinsot không thể giải thích được chuyển động của con sói mà trẻ em thích chơi cùng - điểm tựa của nó không nằm ở trọng tâm. Khuôn loại này có dạng vật thể quay và điểm tựa nằm trên trục đối xứng (Hình 2). Bài toán chuyển động của một con sói có hình dạng này được quyết định bởi J. Lagrange, người đã phác thảo lời giải của mình trong cuốn sách “Cơ học phân tích”; Cuốn sách này trở nên nổi tiếng không chỉ vì cách trình bày sâu sắc mà còn vì nó không chứa một bản vẽ nào - Lagrange coi cơ học là môn khoa học về phương trình vi phân lời giải và không dùng đến cách biểu diễn trực quan. Lời giải Lagrange được phát triển và cải tiến bởi S. Poisson.

Sau Euler, Lagrange, Poinsot và Poisson, nhiều nhà khoa học đã cố gắng tìm ra ít nhất một dạng sói nữa, trong đó lời giải các phương trình chuyển động của nó có thể được rút gọn thành phép tính tích phân. Nhưng chúng tôi không thể tiến thêm một bước nào. Điều này đặc biệt đáng ngạc nhiên, bởi vì ngay trong thế kỷ 19, trong các tác phẩm của K. Gauss, M. V. Ostrogradsky, C. Jacobi, O. Cauchy, B. Riemann và nhiều người khác, các phương pháp toán học mới đã được tạo ra giúp giải được những bài toán khó nhất bài toán vật lý toán học. Và để hiểu sâu hơn về chuyển động của con sói cũng cần thiết cho việc luyện tập. Mặc dù vào thời đó cả tàu thủy, máy bay hay tên lửa đều không thể sử dụng thiết bị con quay hồi chuyển, nhưng rõ ràng từ góc độ kỹ thuật là thời của con quay hồi chuyển sắp đến gần và không có gì thực tế hơn một lý thuyết hay.

5

Vì vậy, cần phải thừa nhận rằng việc Viện Hàn lâm Khoa học Paris lựa chọn đề tài cho cuộc thi đã thành công. Sau khi nghiên cứu các bản thảo được gửi, ban giám khảo đã công nhận tác phẩm xuất sắc nhất với phương châm: “Nói những gì bạn biết, làm những gì bạn phải làm, là những gì sẽ có”. Nó chứa lời giải bài toán về chuyển động của một đỉnh không đối xứng, trọng tâm của nó nằm trên mặt phẳng xích đạo của quán tính elipsoid, độ dài các trục của nó tuân theo điều kiện $A = B = 2C$ (Hình 3). Tác giả của tác phẩm không chỉ thể hiện tài năng toán học tuyệt vời mà còn thể hiện sự uyên bác phi thường: tác phẩm đã sử dụng những thành tựu mới nhất của toán học thời bấy giờ - lý thuyết về hàm biến phức, tích phân siêu elip, v.v. Các thành viên ban giám khảo thích nghiên cứu này đến mức quyết định tăng số tiền thưởng từ 3.000 franc lên 5.000 franc. Khi mở phong bì ghi tên tác giả, không ngờ tác phẩm hay nhất lại được viết bởi người phụ nữ duy nhất giữ chức giáo sư toán học lúc bấy giờ - Sofya Vasilievna Kovalevskaya.

Tuổi thơ và tuổi trẻ

Con đường đi đến chiến thắng này của Sofia Vasilievna dài và khó khăn, ngay lập tức đặt bà lên trên tất cả những phụ nữ đã học toán trước bà - Hypatia người Hy Lạp (thế kỷ thứ 5 sau Công nguyên), người giảng dạy về triết học và toán học, và người phụ nữ Pháp Emilia du Chatelet, người đã dịch cuốn Principia của Newton sang tiếng Pháp vào đầu thế kỷ 18, và Maria Gaetana Agnesi người Ý, người được vinh danh một trong những đường cong được gọi là “Agnesi Curl”.

Sofya Vasilievna sinh ra ở Moscow cách đây một trăm hai mươi lăm năm vào ngày 3 (15) tháng Giêng năm 1850. Cha cô là Tướng V.V. Korvin-Krukovsky, người đứng đầu kho vũ khí Moscow,

hậu duệ của vua Hungary Matthew Corvinus. Mẹ, Elizaveta Fedorovna, xuất thân từ một gia đình khoa học - cha cô F. F. Schubert là thành viên danh dự của Viện Hàn lâm Khoa học, và ông nội cô, viện sĩ F. I. Schubert, là một nhà thiên văn học và toán học nổi tiếng.

Năm 1858, Vasily Vasilyevich Korvin-Krukovsky bị cách chức trung tướng và cùng gia đình chuyển đến điền trang của ông là Palibino, huyện Nevelsky, tỉnh Vitebsk. Ông giáo dục con cái ở nhà. Người cố vấn của Sonya là người phụ nữ người Anh M. F. Smith và giáo viên tại nhà I. I. Malevich. Nhưng niềm yêu thích toán học của cô gái xuất hiện dưới ảnh hưởng của chú cô, Pyotr Vasilyevich Korvin-Krukovsky. “Ví dụ, từ anh ấy, lần đầu tiên tôi nghe nói về bình phương của hình tròn, về các tiệm cận mà đường cong liên tục tiếp cận mà không bao giờ chạm tới chúng, và về nhiều thứ khác cùng loại” *), Sofya Vasilievna sau này nhớ lại.

Ngoài những cuộc trò chuyện với chú cô, còn có một tình huống nữa khá tò mò đã khơi dậy niềm yêu thích toán học của Sonya. Đây là cách S.V. Kovalevskaya đã mô tả tình tiết này trong hồi ký của mình.

“Khi chúng tôi chuyển đến sống trong làng, toàn bộ ngôi nhà phải được trang trí lại và tất cả các phòng đều được dán giấy dán tường mới. Nhưng… không có đủ giấy dán tường cho một trong những phòng trẻ em của chúng tôi… Căn phòng bị lạm dụng này vẫn tồn tại trong nhiều năm với một mặt được phủ giấy. Nhưng, thật tình cờ, những tờ giấy in thạch bản bài giảng của Ostrogradsky về phép tính vi phân và tích phân, được cha tôi mua lại khi còn trẻ, đã được sử dụng để dán sơ bộ này.

---

*) Sau đây được trích từ cuốn sách: S. V. Kovalevskaya, Hồi ký và Thư. M., biên tập. Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1961.

6

Những tờ giấy này đầy những công thức khó hiểu, nhanh chóng thu hút sự chú ý của tôi. Tôi nhớ, khi còn là một đứa trẻ, tôi đã dành cả giờ đồng hồ trước bức tường xỉn màu này, cố gắng phân biệt ít nhất các cụm từ riêng lẻ và tìm ra thứ tự các tờ giấy nối tiếp nhau. Từ sự suy ngẫm lâu dài hàng ngày, sự xuất hiện của nhiều công thức vẫn còn trong trí nhớ của tôi, và bản thân văn bản đã để lại dấu ấn sâu sắc trong tâm trí tôi, mặc dù ngay lúc đọc nó, tôi vẫn không thể hiểu được.

Nhiều năm sau, khi còn là một cô gái mười lăm tuổi, tôi học bài học đầu tiên về phép tính vi phân từ một giáo viên nổi tiếng ở St. Petersburg, Alexander Nikolaevich Strannolyubsky, ông đã rất ngạc nhiên khi thấy tôi nắm bắt và tiếp thu nhanh chóng các khái niệm về giới hạn và tùy ý, cứ như thể tôi đã biết trước chúng vậy”.

Niềm đam mê toán học của Sonya đã dẫn đến xung đột trong gia đình. Tướng Korvin-Krukovsky hoàn toàn không muốn con gái mình trở thành một “con tất xanh” hay tệ hơn nữa là một sinh viên tóc ngắn, người mà họ nói rằng “họ không tin vào Chúa và cắt những con ếch sống”. Sonya thường phải học toán một cách bí mật. Khi đi ngủ, cô đặt cuốn sách Đại số Bourdon mà cô nhận được từ Malevich dưới gối, và khi mọi người đã ngủ say, cô đọc nó dưới ánh sáng của bếp lò gần như cho đến tận sáng.

Người bạn đồng hành của điền trang Korvin-Krukovsky, giáo sư vật lý N. N. Tyrtov, đã giúp đỡ nghiên cứu của Sonina. Một ngày nọ, khi đi thăm hàng xóm, anh nghe được Sonya kể rằng cô đã đọc cuốn sách giáo khoa vật lý tiểu học của anh và hiểu mọi thứ trong đó. Lúc đầu Tyrtov không tin cô ấy. Tuy nhiên, sau khi nói chuyện với các cô gái, anh ấy rất ngạc nhiên trước khả năng của cô ấy nên đã đến gặp vị tướng và bắt đầu thuyết phục ông ấy về sự cần thiết phải dạy các cô gái theo cách giống như một người phục vụ. Tyrtov thậm chí còn so sánh Sonya với Pascal, người khi còn nhỏ đã đưa ra nhiều định lý

Hình học Euclid. Và vị tướng đồng ý rằng Sonya nên tiếp tục học toán. Nó bắt đầu được dạy bởi nhà toán học A. N. Strannolyubsky. Trong một mùa đông, cô học hình học giải tích, phép tính vi phân và tích phân với anh.

Nhưng không chỉ Sony gây rắc rối cho vị tướng đáng kính. Thật bất ngờ, ông đã chặn được một lá thư gửi cho cô con gái lớn Anna. Petersburg, nhà văn và nhà báo Fyodor Mikhailovich Dostoevsky, gần đây đã trở lại thủ đô sau nhiều năm làm công việc biên mục, nơi ông bị kết án vì tham gia vào vòng quyết định của Petrashevsky. Bức thư ca ngợi giá trị văn học của câu chuyện do Anna viết và gửi đến tạp chí do Dostoevsky đứng đầu. Vụ quét thật đáng kinh ngạc - con gái của một bậc cha mẹ đáng kính đã bí mật trao đổi thư từ với một người lạ, và thậm chí cả giám đốc danh mục của ngày hôm qua!

Anna và Sonya thấy rõ rằng để phát triển hơn nữa khả năng của mình, họ phải thoát khỏi sự chăm sóc của cha mẹ. Cách giải phóng (giải phóng) phổ biến nhất của phụ nữ thời bấy giờ là một cuộc hôn nhân hư cấu, sau đó những người chồng hư cấu sẽ trao cho vợ mình sự tự do hoàn toàn. Vào mùa thu năm 1868, Sonya bước vào một cuộc hôn nhân hư cấu với nhà cổ sinh vật học xuất sắc trong tương lai Vladimir Onufrievitch Kovalevsky (1842-1883) và năm sau, cô cùng anh và chị gái Anna đến Đức để tiếp tục học - ở Nga, phụ nữ không được tiếp cận các trường đại học.

Tiến sĩ trẻ

Lúc đầu, Sofya Vasilievna định cư ở Heidelberg, nơi trường đại học địa phương giảng dạy cho các nhà khoa học tự nhiên nổi tiếng Kirchhoff, Dubya-Reymond và Helmogloa.

7

Nhưng cô thấy những bài giảng của Giáo sư Koenigsberger, học trò của nhà toán học vĩ đại nhất nước Đức thời bấy giờ, Karl Weierstrass, thậm chí còn thú vị hơn. Tính cách của Sofia Vasilievna không phải là người tiếp thu kiến ​​thức cũ, và cô quyết định học hỏi từ chính Weierstrass.

Đây là thời kỳ hoàng kim trong hoạt động khoa học và sư phạm của Weierstrass. Sự phát triển sâu sắc và có hệ thống những ý tưởng mà ông đặt ra trong tác phẩm đầu tiên của mình đã dẫn đến những kết quả có tầm quan trọng lớn nhất. Các công trình chính của Weierstrass được dành cho lý thuyết tích phân elip, được tạo ra và phát triển bởi Abel, Jacobi và các nhà toán học khác thuộc thế hệ trước. Abel cũng nhận thấy rằng một số hàm elip có thể được viết dưới dạng tỉ số của hai chuỗi lũy thừa, tổng của chúng tồn tại với bất kỳ giá trị nào của đối số, nghĩa là ở dạng

$$\frac{a_0 + a_1(x-x_0) + \ldots + a_n(x-x_0)^n + \ldots}{b_0 + b_1(x-x_0) + \ldots + b_n(x-x_0)^n + \ldots}.$$

Việc phát triển hơn nữa ý tưởng này đòi hỏi phải có một nghiên cứu chuyên sâu và có hệ thống về chuỗi lũy thừa và các hàm được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa đó.

Các nhà toán học gặp phải chuỗi lũy thừa vào thế kỷ 17. Hóa ra lý thuyết của họ chứa đựng những bí mật liên quan đến số lượng số hạng vô hạn và việc xử lý bất cẩn các tổng vô hạn sẽ dẫn đến những hiểu lầm, sai sót và những kết quả nghịch lý. Chỉ sau công trình của Cauchy và Abel, chuỗi lũy thừa vô hạn mới trở thành một công cụ đáng tin cậy trong tay các nhà toán học.

Weierstrass đã nghiên cứu các tính chất của hàm elip và thậm chí là hàm tổng quát hơn bằng cách sử dụng chuỗi lũy thừa. Đồng thời, ông nghiên cứu các tính chất của những chuỗi như vậy không chỉ về giá trị thực mà còn về các giá trị phức tạp của đối số. Theo kết quả của những nghiên cứu này, một trong những

các chương đáng chú ý của toán học - lý thuyết về hàm của một biến phức, hiện được ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực hoạt động của con người: hàng không và thủy động lực học, lý thuyết đàn hồi, bản đồ, v.v. Cách tiếp cận của Weierstrass đối với lý thuyết về hàm phân tích được đặc trưng bởi logic chặt chẽ. Weierstrass tin rằng bản chất của kiến ​​thức toán học nằm ở tính hoàn chỉnh tuyệt đối của sự biện minh cho nó. Những tác phẩm xuất sắc của Riemann, người đôi khi thay thế logic chặt chẽ bằng sự tham chiếu đến sự rõ ràng, vô cùng xa lạ với Weierstrass. Đồng thời, ông hiểu rõ ý nghĩa thực tiễn của việc nghiên cứu toán học và tin rằng nghiên cứu của ông về hàm elip cũng sẽ đóng vai trò trong các ứng dụng của toán học.

Các bài giảng của Weierstrass về lý thuyết hàm phân tích và hàm elip đã thu hút rất đông người nghe. Rốt cuộc, chỉ tại những bài giảng này, người ta mới có thể làm quen với những ý tưởng của ông - nhà toán học vĩ đại có ác cảm kỳ lạ với mực in và không cho phép các bài giảng của mình không chỉ được in mà thậm chí còn được in thạch bản - chúng chỉ có thể được viết lại bằng tay. Sofya Vasilievna quyết định trở thành sinh viên của Đại học Berlin. Nhưng các quy định ở thủ đô của Phổ phản động hơn nhiều so với ở Heidelberg tương đối tự do - phụ nữ không được phép tham dự các bài giảng, kể cả với tư cách là kiểm toán viên. Vì vậy, Sofya Vasilievna đã phải quyết định thực hiện một bước đi cực đoan - trực tiếp đến gặp Weierstrass với yêu cầu dạy riêng cho cô những bài học toán.

Khi Kovalevskaya đến căn hộ của Weierstrass để kiểm tra xem cô đã sẵn sàng học toán đến mức nào, Weierstrass đã đưa cho cô một số câu bài toán khó và yêu cầu cô nghĩ về chúng khi rảnh rỗi. Có lẽ, trong sâu thẳm tâm hồn, anh tin rằng mình sẽ không bao giờ gặp lại chàng trai trẻ người Nga đã cải đạo -

8

đến gặp anh với một yêu cầu kỳ lạ như vậy. Nhưng sự ngạc nhiên của anh ấy lớn lao biết bao khi đúng một tuần sau, cô ấy mang đến cho anh ấy lời giải trong số tất cả bài toán. Weierstrass thậm chí còn ngạc nhiên hơn trước sự biện minh chính xác và hợp lý hoàn hảo của tất cả lời giải. Giống như chính mình, Sofya Vasilyevna đặt logic lên hàng đầu. Lần này nhà toán học nổi tiếng nhìn kỹ hơn vào vị khách của mình. Anh nhìn thấy một khuôn mặt đầy cảm hứng, phản ánh một cách sinh động ý thức vui vẻ vượt qua khó khăn, mái tóc nâu sẫm cắt ngắn, đôi mắt to màu xanh xám, trong đó người ta có thể đọc được trí thông minh và ý chí phi thường.

Nhận được đánh giá tích cực về Sofya Vasilievna từ Koenigsberger, Weierstrass đã đồng ý học với cô ấy. Vì cô không được phép theo học tại Đại học Berlin nên các lớp học phải diễn ra tại nhà. Công việc chung này kéo dài bốn năm.

Những bức thư của Weierstrass gửi cho học sinh của mình đã được bảo tồn, trong đó cho biết các lớp học này diễn ra như thế nào, tầm nhìn rộng lớn của lý thuyết mới về hàm số và các ứng dụng của nó đã được tiết lộ cho sinh viên trẻ như thế nào, bài toán xuất hiện như thế nào để phản ánh độc lập và từng bước cô vượt qua những khó khăn nảy sinh như thế nào.

Weierstrass đặt ra ba vấn đề cho Sofia Vasilievna. Đầu tiên trong số này liên quan đến lời giải phương trình vi phân từng phần. Ngay cả I. Newton cũng nhận thấy rằng chuỗi lũy thừa là một công cụ mạnh mẽ cho các phương trình vi phân lời giải. Nhưng vào thời Newton, họ không nghĩ đến câu hỏi: có phải mọi chuỗi lũy thừa đều có một tổng và liệu tổng này có thực sự là nghiệm của một phương trình đã cho không? Cách tiếp cận mới của Cauchy và Weierstrass đã mở đường cho việc xây dựng một lý thuyết chặt chẽ và mang lại niềm tin rằng phương trình này có thể được giải bằng chuỗi lũy thừa. S. V. Ko-

Valevskaya đã chứng minh được định lý tổng quát nhất. Cô đã chứng minh rằng lời giải hệ phương trình có dạng rất tổng quát là phân tích, tức là được biểu thị thông qua chuỗi lũy thừa. Trong khi nghiên cứu lời giải của một trong những phương trình quan trọng nhất mô tả sự truyền nhiệt trong một thanh, Sofya Vasilievna đã phát hiện ra các đặc tính của lời giải này, điều này hóa ra là điều bất ngờ ngay cả đối với Weierstrass.

Vấn đề thứ hai liên quan chặt chẽ đến tích phân elip, vấn đề thứ ba liên quan đến lý thuyết các vành đai Sao Thổ. Trong tác phẩm mới nhất của mình, Sofya Vasilievna đã làm rõ nghiên cứu của nhà toán học và cơ khí nổi tiếng người Pháp Laplace.

Tất cả những vấn đề này đã được giải quyết thành công, và vào năm 1874, theo đề nghị của K. Weierstrass, Đại học Göttingen đã trao tặng vắng mặt (không cần bảo vệ) bằng Tiến sĩ Triết học cho Sofya Vasilyevna Kovalevskaya vì các công trình: “Về lý thuyết của phương trình vi phân từng phần”, “Về việc quy giản một lớp tích phân Abelian bậc ba thành tích phân elip” và “Bổ sung và nhận xét cho nghiên cứu của Laplace về hình dạng của vành đai Sao Thổ”. khen. Rất ít người nhận được vinh dự như vậy.

Ở nhà

Vào tháng 7 năm 1874, S.V. Kovalevskaya trở lại Nga. Cùng lúc đó, chị gái Anna của cô đến quê hương cùng với chồng là Charles Victor Jacqular, một thành viên tích cực của Quốc tế thứ nhất.

Khi các sự kiện của Công xã Paris nổ ra vào mùa xuân năm 1871, gia đình Jacqular đã trực tiếp tham gia vào chúng. Victor được bầu vào Ủy ban Trung ương Vệ binh Quốc gia và chỉ huy Quân đoàn 17 của lực lượng này. Ông lãnh đạo lực lượng vũ trang của Cộng sản ở vùng Montmartre. Anna cùng với Sophia, người từ Berlin đến Paris đang bị bao vây, chăm sóc những người bị thương.

9

Sau thất bại của Công xã Paris, Victor Jacqular thấy mình phải ngồi tù. Để cứu con rể, V.V. Bản thân Korvin-Krukovsky, người quen biết Thiers, đã đến Paris. Vị tướng già đã phần nào xoa dịu được số phận của chồng con gái mình, và chẳng bao lâu, với sự giúp đỡ của vợ chồng Kovalevsky và vợ Anna, Jacqular đã trốn thoát khỏi nhà tù và chuyển đến Thụy Sĩ. Anna đi theo chồng.

Vì vậy, ba năm sau, mọi người lại tụ tập cùng nhau ở Palibino. Một bầu không khí của tình yêu và tình bạn phổ quát ngự trị trong khu đất cũ. Sophia sẽ rất vui nếu không có những suy nghĩ về tương lai. Số phận tương lai của cô ấy sẽ ra sao? Liệu cô ấy có nhận được một vị trí giảng dạy tại trường đại học không? Rốt cuộc, theo luật pháp của Đế quốc Nga, một phụ nữ chỉ có thể dạy toán ở các lớp tiểu học trong phòng tập thể dục.

Sau khi nghỉ ngơi ở Palibino, Kovalevskys rời đi St. Petersburg. Những nỗ lực bắt đầu để có được một vị trí giảng dạy ở một số cơ sở giáo dục đại học. Họ đã kết thúc trong thất bại. Sofya Vasilyevna không được phép giảng dạy ngay cả ở các Khóa học Cao cấp dành cho Nữ.

Người ta kể rằng trong khi lang thang qua các tổ chức dân chủ ở St. Petersburg, Sofya Vasilievna bằng cách nào đó đã đến văn phòng của một quan chức, người này đã từ chối yêu cầu xin phép giảng dạy tại trường đại học của cô vào năm đáp số, đồng thời nói thêm một cách thô lỗ: “Ở đất nước chúng tôi, đàn ông luôn làm điều này. Họ hoàn thành trách nhiệm của mình, ngôn từ rất phong phú, và do đó chúng tôi không cần bất kỳ sự đổi mới nào!》 Sofya Vasilievna phẫn nộ nói: “Khi Pythogoras tiết lộ định lý nổi tiếng của mình, ông đã hiến tế 100 con bò đực. Kể từ đó, tất cả gia súc đều có thêm nhiều thứ mới…”

Một sự kiện quan trọng diễn ra trong cuộc đời của Kovalevskys. Tình bạn và sự tôn trọng lẫn nhau đã gắn kết Sophia Va-
Sil’evna và Vladimir Onufrievich yêu nhau và cuộc hôn nhân của họ trở thành sự thật. Năm 1878, Kovalevskys sinh một cô con gái, được đặt tên là Sophia để vinh danh mẹ cô.

Lúc này, Sofya Vasilyevna phần nào rút lui khỏi công việc toán học bận rộn của mình. Hiện cô là một nhà báo và một bà nội trợ siêng năng. Các bài báo khoa học phổ biến, các ghi chú phê bình và các buổi chiêu đãi sân khấu của cô xuất hiện trên các tạp chí định kỳ. Trong nhà khách Kovalevsky có nhiều nhà khoa học và nhà văn: D. I. Mendeleev, I. M. Sechenov, S. P. Botkin, A. M. Butlerov, P. L. Chebyshev, A. G. Stoletov, I. S. Turgenev, F. M. Dostoevsky và những người khác.

Vào thời điểm đó, một bộ phận nào đó trong xã hội Nga bị “tinh thần lợi nhuận và các doanh nghiệp thương mại khác nhau” thu hút. Dòng chảy này đã bắt giữ cả chồng tôi và chồng tôi, và tôi phải lộ diện trước tội lỗi của mình”, Sofya Vasilievna sau này nhớ lại. Vợ chồng Kovalevsky muốn tự trang trải tài chính để sau này không cần nghĩ đến bánh mì, họ sẽ được khoa học tuyển dụng.

Niềm đam mê thương mại của anh kết thúc một cách bi thảm. Vladimir Onufrievich là một nhà khoa học tận tâm và là một doanh nhân vô giá trị. Anh ta đã bị lừa dối bởi các đối tác, nhà thầu, công nhân - tất cả những người mà anh ta giao dịch. Chẳng bao lâu sau, anh ta hoàn toàn vướng vào nợ nần và không còn lối thoát nên đã tích lũy một cuộc sống ích kỷ.

Tin buồn đến với Sofya Vasilyevna ở Paris, nơi cô đang ứng tuyển vào vị trí giảng dạy tại các khóa học dành cho phụ nữ cao cấp. Nhận được tin chồng qua đời, bà đổ bệnh. Sau khi bình phục, cô vội vã đến St. Petersburg và thêm vào đó việc khẳng định Vladimir Onufrievich không dính líu đến những chuyện đen tối của đồng bọn. Thế giới khoa học thương tiếc cái chết của một phó giáo sư tại Đại học Moscow, người sáng lập cổ sinh vật học tiến hóa, người

10

Nhà toán học và nhà văn

Năm 1883, Sofya Vasilyevna Kovalevskaya nhận được lời mời từ nhà toán học Thụy Điển G. Mittag-Leffler (người mà cô học cùng K. Weierstrass) để đảm nhận vị trí tư nhân tại Đại học Stockholm. Vào tháng 11 cùng năm, cô rời Thụy Điển. Vì Sofya Vasilievna không biết tiếng Thụy Điển nên cô được phép giảng dạy bằng tiếng Đức trong học kỳ đầu tiên. Sau vài tháng, cô ấy đã thành thạo tiếng Thụy Điển và có thể dạy bằng tiếng Thụy Điển.

Vào mùa hè năm 1884, Sofya Vasilievna được bổ nhiệm làm giáo sư tại Đại học Stockholm. Trong suốt 8 năm, cô đã tham gia 12 khóa học khác nhau, bao gồm lý thuyết về phương trình tùy ý từng phần, một khóa học về cơ học, lý thuyết về đại số, hàm số Abelian và hàm elip, v.v.

Nhưng Sofya Vasilievna không chỉ học toán trong những năm đó. Cô ấy cũng có tài năng văn chương phi thường: cô ấy viết một số truyện, tiểu thuyết “Người theo chủ nghĩa hư vô” và vở kịch “Cuộc đấu tranh để ghi điểm” (cùng với chị gái của Mittag-Leffler, người đã để lại những kỷ niệm thú vị nhất về Sofya Vasilyevna). Ngôi nhà của Kovalevskaya đã trở thành một trong những trung tâm của đời sống trí thức ở Stockholm - nhà thám hiểm vùng cực nổi tiếng Nansen, Mittag-Lefflers sống ở đây, họ viết rất nhiều và các giáo sư.

Sofya Vasilievna đã cống hiến rất nhiều công sức cho phong trào giải phóng. Cô tham gia các đại hội xã hội chủ nghĩa, quen biết nhiều người Nga di cư chính trị và tích cực đấu tranh cho quyền bình đẳng cho phụ nữ.

Tại Stockholm, Sofya Vasilyevna đã hoàn thành công việc chính của mình - nghiên cứu về chuyển động của con tàu. Vì điều này, như đã đề cập, vào năm 1888, bà đã nhận được giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Paris. Năm sau, cô nhận được giải thưởng trị giá 1.500 kroner từ Viện Hàn lâm Khoa học Stockholm cho công trình mới, cũng về chuyển động quay của vật rắn.

Các nhà toán học Nga nhiều lần cố gắng thu hút S.V. Kovalevskaya đến làm việc khoa học và sư phạm ở quê hương nhưng không có kết quả. Đơn thỉnh cầu do người họ hàng của Sofia Vasilievna, Tướng A.I. Kosich, gửi tới chủ tịch Học viện, trong đó ông đặc biệt trích dẫn những lời của Napoléon rằng “mọi bang nên coi trọng sự trở lại của những người xuất sắc hơn là việc chinh phục một thành phố giàu có,” cũng không giúp ích được gì.

Nhưng những xu hướng mới cũng đã thâm nhập vào Viện Hàn lâm Khoa học. Ngày 4 (16) tháng 11 năm 1889, Viện đã giải quyết cơ bản vấn đề “tiếp nhận lĩnh vực Lizhian để bầu làm thành viên tương ứng”. 20 người đã bỏ phiếu cho nghị quyết này (6 phiếu chống). Và như vậy, vào ngày 7 tháng 11 (19), tại Khoa Vật lý và Toán học, trước đề nghị của viện sĩ P. L. Chebyshev, V. G. Imshenetsky và V. Ya. Bunyakovsky, Tiến sĩ Toán học, Giáo sư Đại học Stockholm Sofya Vasilievna Kovalevskaya được bầu làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Nga. Vào ngày 2 (14) tháng 12 năm 1889, đại hội đồng của Học viện đã thông qua lời giải này.

Bây giờ Sofya Vasilievna tận hưởng chế độ nô lệ thế giới. Các nhà toán học đang chờ đợi những công trình mới của cô về chuyển động của một vật rắn. Nó chứa đầy những ghi chú khoa học và văn học. Nhưng tất cả những ghi chú này vẫn chưa được thực hiện. Trở về Stockholm từ Pháp vào tháng 1 năm 1891, nơi bà trải qua kỳ nghỉ đông, Sofya Vasilievna bị cảm lạnh và qua đời vì bệnh viêm phổi vào ngày 29 tháng 1 (10 tháng 2).

Tại đám tang của cô có các giáo viên từ Đại học Stockholm, sinh viên và rất nhiều bạn bè.

và người quen. Nói lời tạm biệt với cô, M. M. Kovalevsky, người trùng tên với cô, nói: “Sofya Vasilievna! Nhờ kiến thức, tài năng và tính cách của cô, cô đã và sẽ là vinh quang của Tổ quốc chúng ta. Không phải vô cớ mà toàn bộ nền khoa học và văn học nước Nga đều thương tiếc cô… Bạn không có số phận để làm việc ở quê hương, và Thụy Điển đã chấp nhận bạn. Danh dự đối với đất nước này, người bạn của khoa học!… Nhưng, làm việc xa quê hương, bạn vẫn giữ được quốc tịch của mình, bạn vẫn là một người trung thành và đồng minh tận tụy của nước Nga non trẻ, một nước Nga hòa bình, công bằng và tự do, nước Nga mà tương lai thuộc về…”

Hơn 80 năm đã trôi qua kể từ đó. Cái tên Sofia Vasilievna Kovalevskaya chiếm một vị trí xứng đáng trong số tên của những nhà khoa học vĩ đại người Nga mà Tổ quốc chúng ta thực sự tự hào. Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô S.I. Vavilov phát biểu vào ngày 13 tháng 1 năm 1950 tại buổi lễ kỷ niệm 100 năm ngày sinh của S.V. Kovalevskaya: “Sự đóng góp của Kovalevskaya cho khoa học trong suốt cuộc đời ngắn ngủi của bà là hoàn chỉnh và có ý nghĩa một cách bất thường. Nghiên cứu cơ bản của bà về chuyển động quay của một vật rắn là cơ sở cho sự phát triển hơn nữa những vấn đề quan trọng nhất trong cơ học ở nước ta và trên toàn thế giới. Nghiên cứu tinh tế của bà về lý thuyết phương trình vi phân và một số vấn đề toán vật lý và thiên văn học lý thuyết vẫn còn quan trọng cho đến ngày nay. Trong lịch sử nhân loại, trước Kovalevskaya, không có người phụ nữ nào sánh bằng bà về sức mạnh và tài năng toán học độc đáo… Kovalevskaya là không chỉ là một nhà toán học, Bà còn nổi bật với tư cách là một nhà văn - tác giả của nhiều tiểu thuyết, tác phẩm kịch và truyện ngắn - và là một nhà báo chuyên ngành toán học hạn hẹp và hiểu sâu sắc nghĩa vụ công dân của mình đối với đất nước, với nhân dân…”

Ý nghĩa nổi bật của sự sáng tạo khoa học của Kovalevskaya đã được toàn thể tầng lớp trí thức tiên tiến của Nga đánh giá cao. Một biểu hiện của điều này là một sự kiện đặc biệt đối với nước Nga tiền cách mạng cũ - việc bầu Kovalevskaya làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học năm 1889. Để làm được điều này, Viện đã phải phá vỡ điều lệ, trước tiên phải giải quyết vấn đề cơ bản là thừa nhận phụ nữ được bầu làm thành viên tương ứng… Cuộc Cách mạng Xã hội Chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại mãi mãi mở rộng cánh cửa của tổ chức khoa học cao nhất đất nước dành cho phụ nữ, và mỗi năm số lượng các nhà khoa học nữ làm việc tại Viện Hàn lâm Liên Xô đều tăng lên. Sức mạnh khoa học sáng tạo to lớn của người phụ nữ Nga lần đầu tiên được S. V. Kovalevskaya tiết lộ cho toàn thế giới.”

S.V. Kovalevskaya đã cho cả thế giới thấy khả năng của phụ nữ trong lĩnh vực sáng tạo toán học. Hai năm sau khi bà qua đời, chính phủ Phổ cho phép phụ nữ tham dự các bài giảng với tư cách là thính giả miễn phí. Năm 1895, người phụ nữ người Anh Grace Chisholm đã nhận được danh hiệu Tiến sĩ Toán học ở Göttingen, sau Sofia Vasilievna. Những công trình nổi bật về toán học được viết vào thế kỷ 20 bởi Emmy Noether, một trong những người sáng lập đại số hiện đại. Ở Liên Xô, tên tuổi của viện sĩ P. Ya. Polubarinova-Kochina, các giáo sư O. A. Ladyzhenskaya, O. A. Oleinik và nhiều phụ nữ khác được biết đến, những người đã đạt được những kết quả đáng chú ý trong nhiều lĩnh vực toán học.

11

12

GIÓ ĐIỆN TỬ

GIÓ ĐIỆN TỬ

I.I. Vorobiev

Kể từ cuối thế kỷ trước, các thí nghiệm đã được tiến hành để nghiên cứu tính dẫn điện của kim loại lỏng. Trong điều kiện bình thường, kim loại lỏng không phổ biến nhưng nhiều kim loại dễ dàng tạo thành dung dịch lỏng - hỗn hống - với thủy ngân. Tính dẫn điện của kim loại lỏng rất thú vị vì không chỉ các electron dẫn mà cả các ion cũng phải góp phần tạo ra dòng điện. Và sự chuyển khối có liên quan đến sự chuyển động của các ion.

Chúng ta hãy thử tưởng tượng một cách định tính điều gì sẽ xảy ra khi nối nguồn điện áp với bể thủy ngân nguyên chất. Thủy ngân là hỗn hợp của các electron dẫn và ion dương. Dường như mọi thứ đều rõ ràng - dưới tác động của điện trường, các electron sẽ chuyển từ “âm” sang “cộng” và các ion thủy ngân dương sẽ di chuyển theo hướng ngược lại. Trong khi các electron có thể di chuyển trong toàn bộ mạch điện thì tình huống lại khác với các ion. Khi chúng đến gần điện cực âm, dường như chúng sẽ tích tụ ở đây, làm tăng mức thủy ngân ở nơi này.

Không có gì thuộc loại này! Các thí nghiệm đã chỉ ra rằng mức thủy ngân nguyên chất gần như giống nhau ở mọi nơi và mức độ tăng nhẹ, nếu nó xảy ra, là ở mức “cộng” chứ không phải ở mức “trừ”. Trong một số hỗn hống, các ion di chuyển dọc theo trường, trong khi các ion của kim loại khác di chuyển ngược lại trường! Điều này thật đáng kinh ngạc - làm thế nào các ion có thể di chuyển theo hướng khác với hướng chúng bị lực điện thu hút?

Nguyên nhân dẫn đến hành vi “kỳ lạ” của các ion là do sự bắn phá liên tục của các ion bởi các electron mà chúng ta chưa tính đến. Chúng ta hãy cố gắng hiểu bản chất của vấn đề. Chúng ta hãy tìm hiểu xem sự va chạm lẫn nhau của các electron và ion có ảnh hưởng gì đến chuyển động của các electron và ion khi có điện trường ngoài.

Để rõ ràng, chúng ta sẽ coi ion là một quả cầu đàn hồi khổng lồ, bị một chùm hạt ánh sáng đập vào – các electron (khối lượng của ion trong

13

khối lượng của electron bằng bao nhiêu nghìn lần). Giả sử chùm hạt có vận tốc định hướng trung bình $u$ và theo đó, động lượng khác 0 trước khi va chạm. Một chùm tia liên tiếp phân tán đều theo mọi hướng (Hình 1) (một quả bóng gương cũng phân tán chùm ánh sáng định hướng đều theo mọi hướng). Nghĩa là, ngay sau phản ứng, mọi hướng chuyển động đều bằng nhau, nghĩa là tổng động lượng của các electron bằng không.

Vì động lượng của chùm tia thay đổi do tương tác với các pon, điều này có nghĩa là có một lực tác dụng lên các electron từ các ion. Nếu $u$ là tốc độ trung bình của electron trong chùm tia thì $mu$ là động lượng trung bình của electron. Giả sử thời gian giữa các lần va chạm của một electron với pon là $t$, thì chúng ta có thể giả sử rằng chính trong thời gian này động lượng trung bình $mu$ của mỗi electron bị mất đi. Vậy lực trung bình tác dụng lên electron là

$$f = -\frac{mu}{\tau}.$$

Sự mất động lượng của toàn bộ các electron do va chạm với pons được mô tả bằng lực hãm trung bình $f$. Tất nhiên, một lực như vậy không nhất thiết tác dụng lên từng electron riêng lẻ, nhưng chính lực này mới quan trọng đối với chuyển động của toàn bộ chùm tia.

Mặc dù, ngoài chuyển động có hướng với tốc độ trung bình $u$, các electron còn có chuyển động nhiệt hỗn loạn, nhưng điều này sẽ không làm thay đổi biểu thức của lực hãm. Tổng động lượng của một số lượng lớn electron trong quá trình đốt nóng ngẫu nhiên luôn bằng 0, do đó sự thay đổi động lượng tổng chỉ liên quan đến sự mất đi động lượng của chuyển động có trật tự.

Khi có điện trường ngoài có hướng $E$, các electron “tán xạ” được “nhặt”

*) Sự nghiêm ngặt lời giải của bài toán này được đưa vào quá trình vật lý lý thuyết.

14

với $eE$. Vì vậy, khi chuyển động với tốc độ trung bình đã đặt, khi tổng lực bằng 0, lực hãm từ các ion trên mỗi electron bằng (Hình 2)

$$f = -eE.$$ (*)

Tại sao chúng ta không tính đến sự va chạm giữa các electron? Thực tế là chúng không dẫn đến sự thay đổi tốc độ trung bình của các electron. Thật vậy, chúng ta hãy xét sự va chạm của hai electron. Đặt tốc độ của chúng trước khi va chạm là $v_1$ và $v_2$, và sau khi va chạm là $v'_1$ và $v'_2$. Theo định luật bảo toàn động lượng

$$mv_1 + mv_2 = mv'_1 + mv'_2,$$

Ở đâu

$$\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{v'_1 + v'_2}{2},$$

tức là vận tốc trung bình trước khi va chạm bằng vận tốc trung bình sau va chạm (Hình 3).

Những lực nào tác dụng lên các ion? Chúng ta hãy xem xét một kim loại sống nguyên chất trong đó tất cả các ion giống hệt nhau và mỗi nguyên tử đóng góp $Z$ electron dẫn cho mục đích sử dụng chung. Điện trường tác dụng lên mỗi anh một lực $Z|e|E$, trong đó $Z|e|E$ là điện tích she (điện tích của electron lấy theo modulo, hoặc là dương). Mỗi electron tác dụng một lực trung bình

$$f_1 = -f$$

(theo định luật III Newton). Nếu số lượng ion là $N$ thì với mỗi ion có một lực $\frac{f_1}{N}$ từ một electron. Khi đó lực mà tất cả các electron tác dụng lên một electron (số của chúng là $ZN$) bằng $Zf_1$. Nhưng tổng lực

$$F = Z|e|E + Zf_1$$

bằng 0 (Hình 4)! Để xác minh điều này, hãy thay thế giá trị của lực $f_1$, giá trị này chỉ khác với $f$ bằng dấu, từ biểu thức (*):

$$F = Z|e|E + ZeE = 0.$$

Vậy lực tác dụng lên các ion trong kim loại nguyên chất từ ​​electron

trường tric, được bù bởi lực tác dụng từ “gió điện tử” (các electron chuyển động). Nếu tổng lực bằng 0 thì có nghĩa là chuyển động đứng yên hoặc chuyển động đều. Nhưng khi một chất lỏng chảy trong bình, ma sát nhớt sẽ phát sinh (cuối cùng là do tương tác với thành bình), điều này đảm bảo rằng chất lỏng vẫn đứng yên so với bình trong trường hợp bù cho các lực khác tác dụng lên chất lỏng.

Điều gì sẽ xảy ra nếu kim loại chứa một lượng nhỏ các ion “lạ”? Đặt điện tích của người ngoài hành tinh là $|e|Z'$. Do kích thước của ion tạp chất khác nhau nên số lần va chạm của electron với nó cũng sẽ thay đổi. Nếu diện tích mặt cắt ngang của ion tạp chất là $\sigma'$ và ion “bạn bè” là $\sigma$ thì người lạ sẽ chịu tác động nhiều hơn $\dfrac{\sigma'}{\sigma}$ lần so với ion thân thiện. Lực tác dụng lên ion tạp chất từ ​​các electron sẽ thay đổi một lượng như nhau. Do đó, tổng lực trường và gió electron đối với vật lạ là bằng nhau (Hình 5)

$$\mathbf{F}' = Z'\,|e|\,\mathbf{E} + Z\,\dfrac{\sigma'}{\sigma}\,\mathbf{f}_1.$$

Thay $-|e|\,\mathbf{E}$ thay vì $\mathbf{f}_1$, ta được

$$\mathbf{F}' = |e|\left(Z' - Z\,\dfrac{\sigma'}{\sigma}\right)\mathbf{E}.$$

Nếu $Z' > Z\,\dfrac{\sigma'}{\sigma}$ thì các ion tạp chất sẽ di chuyển theo hướng của lực này, tốc độ của chúng sẽ hướng dọc theo từ trường. Nếu $Z' < Z\,\dfrac{\sigma'}{\sigma}$, thì các ion sẽ chuyển động ngược lại trường.

Làm thế nào chúng ta có thể giải thích sự thật rằng trong thủy ngân nguyên chất các ion chuyển động theo hướng gió electron? Chúng ta đã chỉ ra rằng trong kim loại nguyên chất các ion phải đứng yên! Thực tế là tất cả các ion được coi là hoàn toàn giống nhau, nhưng điều này không hoàn toàn đúng. Mặc dù hầu hết các ion thực sự ở cùng trạng thái năng lượng “bình thường”, nhưng một số ion luôn có năng lượng lớn hơn bình thường.

Các ion như vậy được gọi là “kích hoạt”. Xác suất va chạm giữa các electron và ion tăng khi năng lượng ion tăng. Có thể nói, tiết diện của các ion hoạt hóa dường như đã tăng lên so với bình thường. Do đó, các ion hoạt hóa có thể được coi là ngoại lai có cùng điện tích với ion bình thường, nhưng có tiết diện lớn hơn. Các ion như vậy được gió điện tử mang đi và được đưa về cực dương của nguồn. Đây là cơ sở để tách các đồng vị thủy ngân trong điện trường. Các ion của các đồng vị khác nhau có điện tích và tiết diện gần như giống nhau, nhưng các ion hoạt hóa của các đồng vị nhẹ bị gió điện tử mang đi nhanh hơn các ion hoạt hóa của các đồng vị nặng do khối lượng của chúng thấp hơn. Điều này dẫn đến sự gia tăng nồng độ của chúng ở điểm “cộng”, tức là nếu thủy ngân bị hút ra gần cực dương, nó sẽ được làm giàu bằng đồng vị nhẹ.

Sự chuyển dịch “nghịch lý” của các ion trong hỗn hống thủy ngân lần đầu tiên được phát hiện vào năm 1907. Đồng thời, khái niệm ma sát lẫn nhau của các ion và electron cũng được đưa ra. Các lý thuyết tiếp theo, tồn tại cho đến năm 1959, đã lùi lại một bước: chuyển động của các ion và electron được coi là độc lập. Điều này một phần là do kết quả thí nghiệm không thuyết phục. Năm 1953, người ta phát hiện ra tác dụng tách các đồng vị thủy ngân bằng dòng điện một chiều. Sau đó, một số công trình nghiên cứu về sự vận chuyển điện của ion đã xuất hiện. Các công trình lý thuyết đầu tiên tiết lộ cơ chế hoạt động vật lý của gió điện tử có từ đầu năm 1959.

Cả một nhóm các hiệu ứng thú vị và quan trọng trong cả kim loại lỏng, rắn và chất bán dẫn đều liên quan đến gió điện tử.

15

16

Hyperbol

I. N. Bronstein

---

Cường điệu là gì? Câu hỏi này được trả lời theo nhiều cách khác nhau. Học sinh sẽ trả lời: “Đồ thị tỉ lệ nghịch”. Bất cứ ai quen thuộc với phần hình nón sẽ nói: “Phần hình nón tròn bên phải bởi một mặt phẳng tiếp xúc với cả hai sàn của nó”. Và một sinh viên đại học hoặc trường kỹ thuật sẽ cho đáp số: “Tập hợp các điểm trên mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách của mỗi điểm đó đến hai điểm cố định là như nhau.” Mỗi định nghĩa sử dụng một số thuộc tính đặc trưng của hyperbol và các thuộc tính còn lại có thể được suy ra từ định nghĩa.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ bắt đầu với định nghĩa trường phái về cường điệu - từ đó hình thức của nó ngay lập tức được tiết lộ.

TÔI. HYPERBOLA BẰNG CÁCH

Biểu đồ tỷ lệ nghịch

Người đọc đã quen với định nghĩa hyperbol là đồ thị tỉ lệ nghịch. Như sẽ thấy, đây là định nghĩa của một loại hyperbola cụ thể - hyperbola đều (nguồn gốc của tên này sẽ trở nên rõ ràng hơn ở phần sau). Chính vì đường cong này mà chúng tôi dành phần đầu tiên của bài viết. Để cho ngắn gọn, bây giờ chúng ta sẽ gọi một hyperbol đều cạnh đơn giản là một hyperbol.

Hai biến $x$ và $y$ được gọi là tỉ lệ nghịch nếu tích của chúng không đổi:
$$xy = k. \tag{1}$$
Đầu tiên chúng ta sẽ coi chúng là tích cực (từ hạn chế này chúng ta

chúng tôi sẽ loại bỏ nó sớm); thì $k > 0$. Ví dụ: một trong số chúng, $x$, có thể nhận bất kỳ giá trị dương nào, sau đó $y$ còn lại chỉ được nhận một giá trị $y = \dfrac{k}{x}$. Do đó, đẳng thức (1), đối với mỗi $k$, là một hàm nhất định có miền đặc tả $x > 0$ và một phạm vi giá trị $y > 0$. Đồ thị của hàm này, như trong Hình 1, được gọi là một nhánh của hyperbol đều; để cho ngắn gọn, ban đầu chúng ta sẽ gọi nó đơn giản là hyperbola, không chỉ lược bỏ từ “bằng nhau” mà còn không lặp lại từ “một nhánh”.

Định nghĩa của chúng tôi dựa trên khái niệm đồ thị của hàm số. Tuy nhiên, có thể chấp nhận một công thức “hình học thuần túy” khác: hyperbol là tập hợp các đỉnh thứ tư $M$ của các hình chữ nhật có diện tích cho trước $k$, trong đó một đỉnh $O$ trùng với đỉnh của một góc vuông cho trước và hai - $L$ và $N$ - nằm trên các cạnh của nó (xem Hình 1).

Điểm $O$ được gọi là tâm của hyperbol - nguồn gốc của tên này sẽ được làm rõ thêm.

Qua mỗi điểm $M_1$ có tọa độ $x_1$ và $y_1$ *) sẽ đi qua một (nhưng chỉ một!) hyperbol - chính xác là điểm mà hằng số $k$, được bao gồm trong định nghĩa của hyperbola, bằng $x_1 y_1$. Trong Hình 2 cho hyperbola màu đỏ $x_1 = 2,4$, $y_1 = 3,5$, $k_1 = 8,4$. Nếu bạn mô tả trong đầu tất cả các hyperbol trên một bản vẽ chung (nghĩa là các hyperbol cho tất cả những gì có thể $k$), thì chúng sẽ lấp đầy toàn bộ “bên trong” của góc $XOY$. Trong Hình 2, ngoài hyperbol màu đỏ, một số hyperbol khác được mô tả: tại $k = 1, 2, 3, 4, 5$ và $16$. Do đó, hyperbol là một tập vô hạn, mỗi hyperbol được xác định bởi giá trị của tham số $k$ **).

---

*) Điều này thường được ký hiệu như sau: $M_1(x_1, y_1)$.
**) Thuật ngữ tham số (từ tham số Hy Lạp cổ đại - đo lường) - được sử dụng trong toán học theo nhiều nghĩa khác nhau. Thông thường, đây là đại lượng chỉ giữ lại giá trị không đổi trong các điều kiện của một bài toán nhất định.

17

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Hình dạng của một hyperbol, đỉnh và các đường tiệm cận của nó

Các hyperbol có các giá trị khác nhau của tham số $k$ tương tự nhau, nhưng chúng không đồng dạng - chúng không thể kết hợp bằng cách xếp chồng. Tuy nhiên, có thể dễ dàng chứng minh rằng chúng đều giống nhau, thậm chí có vị trí giống nhau với tâm đồng dạng $O$. Mời bạn đọc chứng minh điều này bằng Hình 3.

Chúng ta hãy mô tả dạng của một hyperbol (chính xác hơn là một nhánh của một hyperbol đều), nghĩa là chúng ta sẽ liệt kê các đặc tính chủ yếu là nổi bật của nó.

Hyperbola có phần mở rộng vô hạn - nó không thể vừa khít trên một mặt phẳng giới hạn. Cho dù số $A$ cho trước lớn đến đâu, vẫn có thể chỉ ra một điểm trên hyperbol có khoảng cách lớn hơn $A$ tính từ điểm $O$ (chứng minh).

Hyperbol đối xứng qua phân giác $OT$ của góc $XOY$ (Hình 4), nghĩa là với mọi điểm $M_1(x_1,y_1)$ của hyperbol, điểm đối xứng $M_2(x_2,y_2)$ cũng thuộc về hyperbol này (chứng minh).

Điểm $A$ giao điểm của một hyperbol với trục đối xứng $OT$ của nó được gọi là đỉnh của hyperbol. Tọa độ mỗi đỉnh của hyperbol có tham số $k$ bằng $\sqrt{k}$. Khoảng cách từ đỉnh đến tâm của hyperbol (chúng ta sẽ biểu thị nó bằng $a$) bằng $OA=\sqrt{2k}$. Đỉnh là điểm gần tâm nhất của hyperbol (chứng minh).

Không giống như một vòng tròn, có độ cong bằng nhau ở tất cả các phần của nó, một hyperbol có độ cong mạnh nhất ở vùng lân cận đỉnh của nó và “thẳng ra” khi nó di chuyển ra xa đỉnh của nó theo bất kỳ hướng nào. Chúng tôi không cung cấp bằng chứng về tính chất hiển nhiên này của phép cường điệu; chúng tôi sẽ không

Cơm. 3.

Cơm. 4.

2 «Kvant» № 3

17

18

để chứng minh một tính chất quan trọng khác của cường điệu - tính ưu việt tại mọi điểm của nó *). Việc chứng minh các obich đòi hỏi kiến ​​thức về phép tính vi phân cơ bản.

Chúng ta hãy tập trung vào đặc tính đáng chú ý nhất của hyperbola và xác định hình dạng của nó: một điểm di chuyển vô hạn dọc theo hyperbola theo một hướng sẽ tiếp cận vô tận một trục tọa độ và một điểm di chuyển vô hạn theo hướng khác sẽ tiếp cận vô tận một trục tọa độ khác **). Tính chất này được biểu diễn dưới dạng toán học như sau: trục tọa độ OX và OY là các đường tiệm cận của nó (từ tiếng Hy Lạp asimptotos - phân kỳ).

Hãy chứng minh tính chất cường điệu này. Chúng ta lấy một điểm $M_1$ trên đó, nằm bên phải đỉnh $A(x_1 > V\sqrt{k})$, khoảng cách $y_1$, nhỏ hơn $\varepsilon$ đến trục OX (Hình 5). Điều này luôn có thể được thực hiện bằng cách lấy $x_1 > \frac{k}{\varepsilon}$. Khi đó $M_1N_1 = y_1 = \frac{k}{x_1} < \varepsilon$ và với mọi điểm $M(x, y)$ của hyperbol nằm bên phải $M_1$, $x > x_1$ và $y = \frac{k}{x} < y_1 < \varepsilon$, tức là trục OX là tiệm cận của hyperbol. Từ tính đối xứng của đường cong, ta suy ra trục OY là tiệm cận của nó.

Biết được đỉnh của cường điệu và các tiệm cận của nó, bạn có thể vẽ cường điệu bằng tay một cách khá chính xác.

Định nghĩa cường điệu đều. siêu âm liên hợp

Khi nghiên cứu biểu đồ tỷ lệ nghịch, chúng tôi coi $x$ và $y$ là dương. Việc này chỉ được thực hiện cho

*) Một đường cong được gọi là đầu hoặc nổi tại một điểm cho trước nếu tại điểm này có tiếp tuyến với đường cong.
**) Cụm từ “tiếp cận không giới hạn” có nghĩa là dù số $\varepsilon > 0$ được đặt nhỏ đến đâu, vẫn có thể chỉ ra một điểm trên hyperbol sao cho khoảng cách của nó đến trục tọa độ nhỏ hơn $\varepsilon$ và khi loại bỏ thêm sẽ vẫn nhỏ hơn $\varepsilon$.

Thuận tiện trong việc trình bày. Hàm được xác định bởi đẳng thức (1) không chỉ được xác định cho giá trị dương mà còn cho các giá trị âm của $x$; số $k$ cũng có thể âm: Chúng ta sẽ gọi đồ thị của hàm số (1) là hyperbol mét (đều). Nó bao gồm hai phần (nhánh) giống hệt nhau, nằm ở $k > 0$, ở phần tư I và III của mặt phẳng, và tại $k < 0$ - ở phần tư II và IV.

Hình b cho thấy hai hyperbol đều - đỏ và xanh; các tham số của chúng có cùng mô hình nhưng trái dấu. Các hyperbol đều cạnh như vậy được gọi là liên hợp lẫn nhau.

Chúng ta hãy liệt kê một số tính chất của cường điệu đều “hoàn chỉnh”* (chúng rất quan trọng; người đọc có thể dễ dàng kiểm tra chứng minh của chúng). Một hyperbol có tâm đối xứng $O$ (đó là lý do tại sao chúng tôi gọi điểm này là tâm của hyperbol), hai nhánh đối xứng, hai trục đối xứng $PR$ và $ST$ (các phân giác của các góc tọa độ), hai đỉnh ($A$ và $A'$ cho màu đỏ, $B$ và $B'$ cho cường điệu màu xanh lam). Khoảng cách giữa các đỉnh của hyperbol ($AA' = BB' = 2\sqrt{2k}$) được gọi là trục của hyperbol. Tôi sẽ đặt nó $\sqrt{2k}$ (nửa-

*) Chúng tôi đặt từ “đầy đủ” trong dấu ngoặc kép để nhấn mạnh rằng định nghĩa trước đây về cường điệu không chỉ áp dụng cho một nhánh của cường điệu.

19

Cơm. 6.

trục) được ký hiệu là $a$, do đó
$$k = \pm \frac{a^2}{2},$$
trong đó dấu “+” dành cho hyperbol nằm ở phần tư thứ 1 và thứ 3, và “-” - ở phần tư thứ 2 và thứ 4. Cả hai hyperbol liên hợp đều có các tiệm cận chung vuông góc với nhau.

Phương trình của một hyperbol đều. Hyperbol và đường tròn

Phương trình của một hyperbol, được định nghĩa là một đồ thị tỷ lệ nghịch, là đẳng thức nổi tiếng $xy = k$. Chúng ta sẽ viết nó ở dạng hơi khác: thay vì tham số $k$, chúng ta đưa bán trục $a$ vào (1). Vì $k= \pm \dfrac{a^2}{2}$, trong đó dấu “+” dành cho hyperbol màu đỏ, “—” dành cho hyperbol màu xanh, nên phương trình của cả hai hyperbol sẽ có dạng
$$xy = \pm \frac{a^2}{2}. \tag{2}$$

Mỗi phương trình trong số hai phương trình này được gọi là phương trình hyperbol đối với các tiệm cận. Những từ này biểu thị rằng các trục tọa độ trong trường hợp này là các đường tiệm cận của hyperbol.

Phương trình của bất kỳ đường thẳng nào không chỉ phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của nó mà còn phụ thuộc vào vị trí của nó trong mặt phẳng tọa độ. Bây giờ chúng ta hãy lấy (Hình 7), trong mặt phẳng, ngoài hệ tọa độ $XOY$ (“cũ”), một hệ tọa độ khác $X'OY'$, thu được bằng cách xoay trục $OX$ và $OY$ theo $45°$ ngược chiều kim đồng hồ. Chúng ta hãy lấy bất kỳ điểm $M$ nào của mặt phẳng mà cả hai hệ tọa độ được giới thiệu. Nó có 4 tọa độ: cũ $(x, y)$ và mới $(x', y')$. Có thể chứng minh tọa độ cũ được biểu diễn theo tọa độ mới bằng các công thức sau:
$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y'), \quad y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y'). \tag{3}$$

2*

Cơm. 7.

Chứng minh điều này khi điểm $M$ nằm bên trong góc $X'OY$ - trong trường hợp này cả 4 tọa độ của nó đều dương.

Công thức (3) có thể được chứng minh cho tất cả các vị trí có thể khác của điểm $M$.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các hyperbol liên hợp, các đường tiệm cận của chúng là các đường thẳng $OX$ và $OY$ (Hình 7), các trục mới $OX'$ và $OY'$ đóng vai trò là trục đối xứng của các hyperbol này). Trong tọa độ cũ chúng có phương trình $xy = \pm \dfrac{a^2}{2}$. Nếu chúng ta thay thế các công thức (3) vào các phương trình này, chúng ta sẽ thu được phương trình của cùng một hyperbol ở tọa độ mới, nghĩa là phương trình của hai hyperbol liên hợp đối với các trục đối xứng:
$$x'^2 - y'^2 = \pm a^2.$$

Trong tương lai, chúng tôi sẽ không quay lại tọa độ cũ và do đó sẽ không đặt số nguyên tố vào tên của các trục tọa độ hoặc tọa độ các điểm của chính các hyperbol của chúng tôi; Chúng ta sẽ vẽ các trục theo chiều ngang và chiều dọc như thường lệ (Hình 8). Phương trình của hai hyperbol liên hợp sẽ như sau
$$x^2 - y^2 = a^2 \tag{4}$$
và $x^2 - y^2 = -a^2$ (hoặc $y^2 - x^2 = a^2$).

Cả hai hyperbol này đều được “nội tiếp” trong hình vuông $pqrs$ với cạnh $2a$; các đường tiệm cận chung của chúng là sự tiếp nối của các đường chéo $pr$ và $qs$ của hình vuông “cơ bản” này.

Cơm. 8.

19

20

Bằng cách thay đổi tham số $a$, chúng ta thu được một tập hợp vô hạn các hyperbol có các tiệm cận chung.

Điều thú vị là một vòng tròn nội tiếp trong hình vuông cơ bản có phương trình tương tự như (4):

$$x^2 + y^2 = a^2.$$

So sánh các phương trình (4) và (4a) cho thấy rằng hyperbol đều và đường tròn theo một nghĩa nào đó có liên quan với nhau, mặc dù thực tế là chúng không giống nhau chút nào.

II. HYPERBOLE CHUNG

Định nghĩa hyperbol tổng quát

Qua bài viết “Hình Ellipse”, bạn đọc biết rằng nếu một hình tròn chịu phép biến đổi dãn – lăn (RS)* thì sẽ biến thành hình elip. Chúng ta sẽ quan tâm đến hình trong đó mỗi hyperbol đều được hiển thị trong Hình 9 bằng các đường đứt nét sẽ đi theo kết quả của PC so với trục đối xứng $A'A$.

Hình vuông cơ bản $pqr$ của các hyperbol này sẽ biến thành hình chữ nhật $PQRS$ (trong Hình 9), các đường chéo $pr$ và $qs$ của nó cũng sẽ biến thành các đường thẳng $PR$ và $QS$.

Các hyperbol đều cạnh liên hợp (đỏ và xanh) sẽ chuyển thành các đường liền màu đỏ và xanh do PC. Mỗi trong số chúng cũng bao gồm hai nhánh và một đối xứng đối với các đường giữa của hình chữ nhật chức năng $PQRS$, các đường chéo của chúng đóng vai trò là đường tiệm cận của các đường cong này. Nhưng những tuyến đường mới này sẽ không còn ùn tắc nữa. Chúng ta sẽ gọi chúng là hyperbol liên hợp.

Một đường cong gồm hai nhánh và thu được nhờ PC của một hyperbol đều “hoàn chỉnh” so với đường giữa của một hình vuông chức năng được gọi là hyperbola tổng quát hoặc một chu vi đơn giản.

*) Xem «Kvant», 1975, số 1, tr. 2

21

Cơm. 11.

nhánh của một hyperbol đều.
Cụ thể (Hình 10): hyperbola (chính xác hơn là một trong các nhánh của nó) là một tập hợp gồm bốn đỉnh M của hình bình hành có diện tích k cho trước, trong đó một đỉnh O trùng với đỉnh của một góc cho trước và hai - L và N - nằm trên các cạnh của nó. Đây chính là định nghĩa đẳng thức trước đó (chứng minh).

Phương trình hyperbol chính tắc

Phương trình của một hyperbol tổng quát, tương ứng với các trục đối xứng của nó, phụ thuộc vào việc các đỉnh của nó nằm trên trục OX hay trên trục OY. Phương trình của cả hai hyperbol (đỏ và xanh) có thể được suy ra từ phương trình (4) của các hyperbol hoàn hảo đều giống như cách thu được phương trình của một hình elip từ phương trình của đường tròn *). Dưới đây là các phương trình:

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \text{ (красная)},$$

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \text{ (синяя)};$$

ở đây a và b là các hyperbol liên hợp (xem Hình 9).

Phương trình (5) khác với phương trình của hình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, nội tiếp trong cùng một hình chữ nhật cơ bản, ở chỗ vế trái y của cả hai số hạng có dấu khác nhau. Sự giống nhau đáng chú ý giữa hình elip và hình hyperbol!

*) Xem «Kvant» Số 1, tr. 5. Chúng tôi trình bày cho người đọc cách suy ra phương trình (5) từ phương trình (4).

III. HYPERBOLA - PHẦN CONIC

Sự giống nhau giữa hình elip và hình hyperbol không dừng lại ở đó. Được biết, hình elip là phần nghiêng của hình trụ tròn.

Chúng ta hãy chứng minh, bằng cách sử dụng định nghĩa hình học của một hyperbol, rằng mỗi hyperbol có thể thu được dưới dạng một phần của một hình nón tròn nhất định đến một mặt phẳng song song với trục của nó.

Trong chứng minh, chúng ta sẽ chỉ xem xét một hyperbol - tính chất của các điểm trong hyperbol này tuân theo tính đối xứng của cả hai giới.

Cho trước là một nhánh của hyperbol và các tiệm cận OX và OY của nó, cắt nhau một góc $\omega$ (Hình 11, a). Theo định nghĩa, đối với mỗi điểm của nó, diện tích của hình bình hành ONML bằng nhau - nó bằng ON·OL·sin $\omega$.

Chúng ta hãy biểu thị tích ON·OL, được xây dựng cho bất kỳ điểm M nào của hyperbol, bằng k: ON·OL = ML $\times$ MN = k. Vẽ đường QQ’ qua M vuông góc với trục đối xứng của hyperbol; nó sẽ cắt các đường tiệm cận OX và OY tại các điểm Q và Q’. Tích của các đoạn MQ và MQ’ cũng được xây dựng cho bất kỳ điểm nào trên nhánh của hyperbol M. Thật vậy, MQ = 2·MN·sin $\omega/2$,

$$MQ' = 2ML \cdot \sin \omega/2,$$

$$MQ \cdot MQ' = 4k \cdot \sin^2 \omega/2 = (k')^2,$$

22

ở đâu $k' = 2\sqrt{k}\sin \omega/2$. Một đoạn có độ dài $k'$, tỷ lệ trung bình cho các đoạn $MQ$ và $MQ'$, giống nhau cho tất cả $M$, có thể thu được bằng một cấu trúc nổi tiếng: trên đoạn $QQ'$ như trên đường kính, dựng một hình bán nguyệt $QPQ'$ và vẽ đoạn $MP$ song song với trục của hyperbol, cho đến khi nó giao nhau với trục này vòng tròn, $MP = k'$.

Bây giờ chúng ta hãy xoay hình bán nguyệt $QPQ'$ xung quanh đường kính $QQ'$ bằng $90^\circ$ (Hình 11.6). Đoạn $MP$ sẽ thẳng đứng phía trên mặt phẳng hình vẽ 11a (chúng ta sẽ coi nó nằm ngang). Điểm $P$ sẽ ở trên điểm $M$ và cách nó một khoảng $k'$ ($P'$). Hãy làm điều này với mỗi hình bán nguyệt được xây dựng theo cách đã chỉ ra cho bất kỳ điểm hyperbol nào. Kết quả là toàn bộ hyperbol tăng lên trên mặt phẳng mà nó nằm một khoảng $k'$ và vẫn ở trong cùng một mặt phẳng. Đồng thời, mỗi hình bán nguyệt $QPQ'$ quay một góc $90^\circ$ sẽ nằm trên nón tròn thu được bằng cách quay tiệm cận $OX$ của hyperbol quanh trục của nó (chứng minh). Do đó, điểm $M$ của hyperbol của chúng ta (ở vị trí nâng lên) vừa nằm trên bề mặt của hình nón vừa nằm trong mặt phẳng song song với trục của hình nón này, đó là điều chúng ta cần chứng minh.

Cơm. 12.

Tính chất đáng chú ý này không chỉ áp dụng cho một phần của hình nón tròn bởi một mặt phẳng song song với trục của nó, mà còn áp dụng cho bất kỳ phần nào xác định cả hai nửa hình nón. Thực tế này liên quan đến lý thuyết tổng quát về đường cô-nic nên chúng tôi sẽ không chứng minh ở đây *).

Thuộc tính tiêu điểm của cường điệu

Người ta biết rằng hình elip có một đặc tính “tiêu điểm” đáng chú ý: trong mặt phẳng của nó còn có các điểm $F_1$ và $F_2$ (tiêu điểm), mà tổng khoảng cách của mỗi điểm $M$ của hình elip đến tiêu điểm của nó là như nhau - nó bằng độ dài trục chính của hình elip:

$$F_1M + F_2M = 2a.$$ (6)

Cường điệu có một tính chất tương tự. Trong mặt phẳng của nó có hai điểm (tiêu điểm của hyperbol), sao cho chênh lệch khoảng cách của mỗi điểm $M$ của hyperbol đối với các thùy này là như nhau - nó bằng khoảng cách giữa các đỉnh của hyperbol:

$$F_1M - F_2M = 2a.$$ (7a)

Ở đây $F_1$ là tiêu điểm ở xa $M$ hơn $F_2$ (Hình 12). Cả hai tiêu điểm đều nằm trên trục đối xứng của hyperbol đi qua các đỉnh $A$ và $A'$; khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến tâm của hyperbol là

$$F_1O = F_2O = c = \sqrt{a^2 + b^2},$$

trong đó $a$ và $b$ là độ dài các bán trục của hyperbol này và liên hợp của nó **). Mối liên hệ quan trọng giữa đỉnh “các phần tử cường điệu $a$, $b$ và $c$

$$c^2 = a^2 + b^2$$ (8)

tương tự như kết nối $c^2 = a^2 - b^2$ cho hình elip.

Trong Hình 12, điểm $M$ nằm trên nhánh bên phải của hyperbol; cho bất kỳ điểm nào $M'$ trên nhánh bên trái của biểu mẫu

*) Vấn đề này sẽ được thảo luận ở «Kvant» Số 5.
**) Chúng ta sẽ không chứng minh tính chất cường điệu ở đây. Mời độc giả tự mình lấy bằng chứng này - xem bài toán M313 trong số tạp chí này (trang 46).

23

mula (7a) sẽ trông như sau:
$$F_2M - F_1M = 2a.$$ (76)

Đối với hyperbol liên hợp của nó (màu xanh), tiêu điểm sẽ là $F'_1$ và $F'_2$. Tất cả 4 tiêu điểm của các hyperbol liên hợp lẫn nhau đều nằm trên một đường tròn, tâm của đường tròn này nằm ở tâm của hyperbol và bán kính bằng một nửa đường chéo OQ của hình chữ nhật Cơ bản PQRS cho cả hai hyperbol.

Thuộc tính tiêu điểm thường được coi là định nghĩa của hyperbol.

Vẽ một hyperbola trong một chuyển động liên tục

Vẽ một hyperbol bằng hai đường ren, tương tự như cách vẽ hình elip nổi tiếng, dựa trên thuộc tính tiêu điểm. Chúng ta hãy đặt một tờ giấy lên bảng vẽ và ghim hai chiếc đinh ghim $F_1$ và $F_2$ lên tờ giấy (Hình 13). Lấy hai sợi chỉ, độ dài chênh lệch (2a) nhỏ hơn khoảng cách giữa các nút (2c), buộc đầu mỗi sợi vào chân nút và buộc các đầu còn lại bằng nút thắt (điểm C). Bây giờ, bạn giữ nút thắt bằng tay trái, bảo vệ cả hai sợi chỉ bằng đầu bút chì $M$ và di chuyển bút chì trên giấy sao cho cả hai sợi chỉ $F_1MC$ và $F_2MC$ luôn ở vị trí căng. Khi đó đầu $M$ của bút chì luôn nằm trên cùng một nhánh của hyperbol với tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ và độ dài trục $2a = F_1M - F_2M$ (tại $CMF_1 > CMF_2$), vì
$$F_1M - F_2M = (F_1M + MC) - (F_2M + MC) = 2a.$$
Để vẽ nhánh thứ hai, bạn nên hoán đổi các nút bằng các sợi chỉ gắn liền với chúng. Các cung được vẽ của hyperbol sẽ càng dài thì sợi chỉ càng dài.

Ứng dụng cường điệu trong quân sự

Cần xác định trên bản đồ cách điều khiển lệnh để bắn trúng mục tiêu đang phát ra âm thanh cố định, chẳng hạn như lệnh bắn của địch (Hình 14).

Ở hai bên của lệnh $O$ hai điểm $F_1$ và $F_2$ nằm đối xứng với $O$, trong đó ghi lại thời điểm phát ra âm thanh kẻ địch bắn của lệnh $M$. Hãy để âm thanh này được nghe thấy tại điểm $F_1$ tại thời điểm $t_1$ và tại điểm $F_2$ tại thời điểm $t_2$. Nếu $t_1 = t_2$, thì rõ ràng $F_1M = F_2M$ và thứ tự $O$ phải hướng dọc theo đường vuông góc $OK$ đến $F_1F_2$. Nếu $t_1 \neq t_2$ thì $|t_1 - t_2|$ là $\frac{2a}{v}$, trong đó $v$ là tốc độ âm thanh trong không khí và $2a$ là chênh lệch khoảng cách $|F_1M - F_2M|$ từ các điểm $F_1$ và $F_2$. Điều này có nghĩa là thứ tự nằm trên cùng một nhánh của hyperbol với tiêu cự $F_1F_2 = 2c$ và khoảng cách giữa các đỉnh $2a = v|t_1 - t_2|$, cụ thể là trên đó

24

nhánh gần với điểm mà âm thanh xuất hiện trước khi người ta nghe thấy.
Các tiệm cận của hyperbode này rất dễ vẽ trên bản đồ: góc giữa tiệm cận và đường thẳng $F_1F_2$ có cosin:
$$\cos \alpha = \frac{a}{c}.$$

Vì điểm cực viễn $M$ gần với đường tiệm cận nên trên thực tế chúng ta có thể lấy $\cos \alpha = \frac{a}{c}$ và hướng tọa độ theo một góc $\alpha$ đến $F_1F_2$.

---

Chúng tôi không giải thích tên của hyperbode (trong tiếng Hy Lạp cổ hyperbole có nghĩa là “thừa”, “cường điệu” *) (phóng đại ở đây là gì?), Chúng tôi không nói về các tính chất quan trọng khác của đường cong này, chung cho tất cả các phần hữu hạn - hình elip, hyperbode và parabode. Những vấn đề này sẽ được đề cập trong «Kvant» Số 5.

*) Chúng ta hãy nhớ lại rằng một lối nói tu từ có cường điệu quá mức được gọi là cường điệu.

Lời khuyên dành cho người mới bắt đầu dạy kèm

Bất kỳ người cha, người mẹ có lòng tự trọng nào cũng coi việc giao phó những đứa con đang học cấp 2 cho gia sư chăm sóc là nghĩa vụ thiêng liêng của cha mẹ. Chính những người thông minh và hiểu biết này đã được giới thiệu với họ như những thiên thần trên trời, mở rộng cánh cổng của khu vực trước những người thừa kế của họ… Nhu cầu về gia sư ngày càng tăng, và chẳng bao lâu nữa sẽ không thể tìm thấy họ trong ngày. Trong khi đó, mọi người, bất kể trình độ học vấn, đều có thể dạy những bài học trả phí. Và nếu dạy thêm vẫn chưa được áp dụng trên diện rộng thì nguyên nhân là do thiếu những lợi ích phù hợp. Những lời khuyên được đề xuất kêu gọi một số trợ giúp cho những người dạy kèm mới bắt đầu.

Làm thế nào để tìm thấy một khách hàng

Không có cách nào tốt hơn để thoát khỏi khó khăn tài chính hơn là giữ cho sinh viên bận rộn. Đúng vậy, để tạo ra được nhóm khách hàng phù hợp, người ta phải thể hiện sự khéo léo và quyết tâm. Giám đốc trường học có một vai trò lớn. Hãy hỏi anh ấy tốt hơn, và anh ấy sẽ sắp xếp cho bạn một nguồn ứng viên vững chắc, từ đó sẽ không có hồi kết. Việc trò chuyện với giáo viên của bạn cũng không có hại gì. Hãy kể về cuộc sống đáp ứng này với sự cay đắng có kiềm chế nhưng rõ ràng về tình hình tài chính khó khăn của bạn, điều này đang kìm hãm sức mạnh tinh thần của bạn.

Có lẽ nguồn sinh viên hiệu quả nhất là đào tạo. Chúng phải thu hút sự chú ý của người qua đường, và do đó chúng nên được trang trí bằng một con át nhiều màu. Cố gắng làm cho văn bản mơ hồ và hấp dẫn. Thống kê cho thấy chương trình phổ biến nhất, đảm bảo tuyển sinh, chuẩn bị cho một nhóm ứng viên khoa học tham gia các kỳ thi cạnh tranh ở tất cả các môn học ở mọi môn học. Lớp học tại trung tâm."

Tất nhiên, bất kỳ chương trình nào của Stark đều là cả thế giới và việc được nhận vào học viện không thể đảm bảo bất cứ điều gì trên thế giới. Nhưng khi nói đến vấn đề đó, không có gì dễ dàng hơn việc khiến phụ huynh tin vào lời dạy. Tất nhiên, nhóm được đề cập chỉ bao gồm bạn và bạn thậm chí chưa bao giờ nhìn thấy một ứng cử viên khoa học còn sống. Nhưng đừng để lời nói dối mạch lạc này làm bạn bối rối - mối quan hệ giữa phụ huynh và gia sư chỉ được xây dựng dựa trên sự tin tưởng. Nhân tiện, nếu bạn chuẩn bị vào đại học, bạn hoàn toàn không có nghĩa vụ phải báo cáo sự thất bại của mình liên quan đến việc được nhận vào kỹ thuật đánh vần tương ứng.

(Tiếp theo trang 35)

25

KHỐI LƯỢNG VÀ NĂNG LƯỢNG
TRÊN LÝ THUYẾT
TƯƠNG ĐỐI

Một trong những khoảnh khắc nóng bỏng nhất
Tôi trong lịch sử toán học là thời điểm
khi hóa ra hai phân vùng
các nhà toán học, trước đây được xem xét riêng biệt và được cho là độc lập, trên thực tế là hai dạng ẩn giấu của cùng một thứ.

W. W. Sawyer. “Mở đầu cho Toán học”

Những gì được nói trong đoạn văn không chỉ áp dụng cho toán học mà còn cho cả vật lý. Nếu khoảng một trăm năm trước, chúng ta quay sang vật lý học với câu hỏi liệu khối lượng và năng lượng có phải là những biểu hiện của cùng một tính chất của vật thể vật lý hay không, thì trong đáp số ông ta sẽ chỉ nhún vai, như thể chúng quen thuộc:
“Đôi khi tôi có thể nghĩ đến những trang suy nghĩ nào!”
Vì tỏ thái độ khinh thường đối với sự thiếu học vấn của chúng ta, ông có thể giải thích cho chúng ta rằng khối lượng là thước đo quán tính của một cơ thể và năng lượng quyết định khả năng thực hiện công của cơ thể. Đây là một sự phát triển hoàn hảo vì năng lượng có thể được truyền vào cơ thể mà không làm thay đổi khối lượng của nó. Đồng thời, anh ta có thể rút ra kinh nghiệm trực tiếp, nhớ lại rằng khối lượng của một miếng thép nguội không thay đổi khi nó được nung nóng và tan chảy. Thật vậy, ngay cả những phép đo chính xác nhất cũng không phát hiện ra bất kỳ thay đổi nào về esa khi cơ thể nóng lên. Mọi người đều biết điều này, và do đó nhiều năm trước, rất có thể chúng tôi đã không hỏi một câu hỏi như vậy.

Vì vậy, nhiều thế kỷ đã trôi qua, khối lượng là một đặc tính không thể thiếu của cơ thể. Một cơ thể có thể có tất cả năng lượng nhưng không có khối lượng. Bạn có thể tưởng tượng một cơ thể đang đứng yên trong không gian cách xa các cơ thể khác. khi đó nhiệt độ của nó gần bằng độ không tuyệt đối và không có trường bên ngoài, kể cả trường hấp dẫn, xung quanh nó. Một vật như vậy không thể thực hiện công *), tức là năng lượng của nó bằng 0 nhưng quán tính của nó vẫn giữ nguyên như trên Trái đất.

Cuối cùng, một nhà vật lý nhiều thế kỷ sau sẽ nói thêm rằng năng lượng không thể được coi là một đặc tính nào cả; nó chỉ hiện diện trong chính cơ thể. Như vậy, động năng trong phòng bằng 0 trong hệ tọa độ liên kết với Trái đất, nhưng trong hệ tọa độ đứng yên so với Mặt trời thì lớn hơn nhiều lần so với năng lượng của vật phóng đang bay (so với Trái đất). Khối lượng chỉ được xác định bởi tính chất của chính vật thể đó.

Đó sẽ là đáp số cho câu hỏi đặt ra trước sự xuất hiện của lý thuyết toán học tương đối. Bây giờ chúng ta biết rằng cơ học của thế kỷ 19, hay được gọi dễ hiểu là cơ học Newton, cơ học cổ điển hay phi tương đối tính, chỉ áp dụng khi tốc độ của vật nhỏ so với tốc độ ánh sáng. Tình huống như thế nào trong cơ học tương đối tính, khi không có giới hạn đó?

*) Nói đúng ra thì cũng yêu cầu không được xảy ra phản ứng hóa học. Phản ứng hạt nhân đã không được các nhà vật lý biết đến trong nhiều thế kỷ.

26

Trước khi trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy xem có thể nói gì về khối lượng quán tính trong cơ học phi tương đối tính. Qua môn vật lý ở trường chúng ta biết rằng:

1. tích của khối lượng và gia tốc của một vật bằng lực tác dụng lên nó;
2. tích của khối lượng và vận tốc của một vật bằng động lượng của nó;
3. trọng lượng cơ thể không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ;
4. khối lượng của vật cô lập được bảo toàn.

Từ điểm 3 suy ra rằng khối lượng không phụ thuộc vào tốc độ. Thật vậy, tốc độ của cùng một vật thể trong hai hệ tọa độ chuyển động tương đối với nhau là khác nhau. Nếu khối lượng phụ thuộc vào tốc độ thì độ lớn của nó sẽ có các giá trị khác nhau trong các hệ tọa độ này. Điểm cuối cùng đề cập đến định luật bảo toàn khối lượng nổi tiếng. Khối lượng của một vật thể biệt lập, không chịu tác dụng của ngoại lực, không thể thay đổi do bất kỳ quá trình bên trong nào xảy ra trong nó (ví dụ: ảnh hưởng của sự thay đổi tốc độ chuyển động tương đối của bộ phận phát sinh do sự tương tác của chúng).

Nếu khối lượng của một vật không phụ thuộc vào tốc độ thì nó sẽ không thay đổi dưới tác dụng của các ngoại lực làm tăng tốc vật. Do đó, việc sử dụng đoạn 3 cho phép chúng ta xây dựng định luật bảo toàn khối lượng rộng hơn định luật được giả định ở đoạn 4. Hai tính chất chức năng nêu trong đoạn 3 và 4 thường là khối lượng trong cơ học Newton hóa ra lại là đặc tính quan trọng nhất của một vật thể. Chính nhờ những đặc tính này mà khối lượng được coi là thước đo lượng vật chất chứa trong một vật thể.

Trong cơ học tương đối tính có hai khái niệm: khối lượng tương đối tính ($m$) và khối lượng nghỉ ($m_0$), chúng liên hệ với nhau theo quan hệ sau:

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

trong đó $v$ là tốc độ của cơ thể, $c$ là tốc độ ánh sáng. Động lượng $\mathbf{p}$ được biểu diễn dưới dạng tích của khối lượng tương đối tính và tốc độ cơ thể

$$\mathbf{p} = m\mathbf{v},$$

và năng lượng ở dạng sản phẩm

$$E = mc^2.$$

Như trong cơ học Newton, nếu không có ngoại lực nào tác dụng lên một vật thì động lượng $\mathbf{p}$ và năng lượng $E$, và do đó khối lượng tương đối tính $m$ của vật này không đổi.

Bây giờ chúng ta hãy xác định đại lượng nào được gọi là khối lượng trong cơ học tương đối tính. Nếu động lượng của vật $\mathbf{p}$ trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ thay đổi một số giá trị $\Delta \mathbf{p}$, thì theo định luật cơ học Newton, tỉ số $\Delta \mathbf{p}$ và $\Delta t$ bằng lực tác dụng. Định luật này vẫn đúng trong cơ học tương đối tính:

$$\mathbf{F} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m\mathbf{v})}{\Delta t}.$$

Tuy nhiên, theo công thức (1), giá trị $m$ phụ thuộc vào tốc độ và thay đổi theo thời gian $\Delta t$. Do đó, nó không thể được suy ra từ dấu $\Delta$, tức là $\Delta (m\mathbf{v}) \neq m\Delta \mathbf{v}$. Do đó, từ định luật chuyển động được mô tả bằng phương trình (4), không thể kết luận rằng vectơ lực và vectơ gia tốc tỷ lệ thuận với nhau. Do đó, câu hỏi về các thuộc tính nêu tại đoạn 1 sẽ biến mất.

Như có thể thấy từ biểu thức (2), khối lượng tương đối tính có tính chất 2 của khối lượng Newton. Ngoài ra, từ định luật bảo toàn năng lượng, ta suy ra rằng trong một hệ cô lập với tác dụng của ngoại lực, khối lượng tương đối tính được bảo toàn. Do đó, nó cũng có tính chất của khối lượng 4 Newton.

27

Thật không may, đây là lúc sự tương tự kết thúc, vì $m$ phụ thuộc vào tốc độ và theo đó, vào việc lựa chọn hệ tọa độ. Do đó, về mặt này, khối lượng tương đối tính giống với năng lượng hơn là khối lượng Newton: nó không phải là một đặc tính chỉ phụ thuộc vào vật được nghiên cứu.

Ngược lại với khối lượng tương đối tính $m$, khối lượng nghỉ $m_0$ xác định quán tính của vật khi tốc độ của vật $v$ bằng không. Theo đó, $m_0$ không thay đổi khi chuyển sang hệ tọa độ chuyển động. Giống như khối lượng Newton, khối lượng nghỉ chỉ được xác định bởi chính vật thể và không phụ thuộc vào hệ tọa độ mà vật thể này được xem xét. Tuy nhiên, khối lượng nghỉ không bằng tỷ số giữa giá trị tuyệt đối của động lượng $p$ với giá trị tuyệt đối của vận tốc của vật $v$ và không phải là hệ số tỉ lệ giữa lực và gia tốc.

Nhưng sự khác biệt chính giữa khối lượng Newton và khối lượng nghỉ của cơ học tương đối tính là khối lượng nghỉ không tuân theo định luật bảo toàn. Ví dụ, chúng ta có thể chỉ ra quá trình hủy nhau của một electron và một positron, trong đó hai hạt này biến thành $\gamma$-lượng tử của trường điện từ (photon). Kết quả của sự hủy diệt là electron và positron biến mất, thay vào đó là sóng điện từ. Động lượng $\mathbf{p}$ và năng lượng $E$ được bảo toàn trong hệ thống như vậy. Do đó, tổng khối lượng tương đối tính của hệ $m$ cũng phải được bảo toàn. Đồng thời, khối lượng nghỉ của hệ thay đổi, vì thay vì hai hạt (electron và positron) có khối lượng nghỉ khác 0, $\gamma$-lượng tử xuất hiện, khối lượng nghỉ của chúng bằng 0.

Một ví dụ khác là quá trình phân hạch hạt nhân uranium hoặc plutonium, đi kèm với sự hình thành các hạt nhân nhẹ hơn với tổng khối lượng nghỉ thấp hơn.

Vì vậy, khối lượng nghỉ cũng khác biệt đáng kể so với khối lượng Newton. Nói đúng ra, trong cơ học tương đối tính không có khái niệm cụ thể nào có thể được đặc trưng bởi các tính chất tương tự như các tính chất của khối lượng “thông thường”. Vai trò của đại lượng này trong cơ học cổ điển được phân bổ giữa hai đại lượng, về cơ bản, mỗi đại lượng có thể được coi là “người kế thừa” của khối lượng Newton với quyền ngang nhau.

Chính trong những tình huống như vậy, lý do gây khó khăn cho việc hiểu các lý thuyết mới thường nằm ở chỗ. Bằng cách gán sự tương ứng với thực tế khách quan cho các khái niệm và thuật ngữ cơ bản của lý thuyết, tất nhiên chúng ta mong đợi sự phát triển hơn nữa của khoa học chỉ là sự làm rõ những khái niệm này. Trên thực tế, lý thuyết mới đôi khi xử lý “thực tế” của lý thuyết cũ một cách rất thiếu tôn trọng. Về cơ bản, mỗi lý thuyết mới đều xác định lại kho khái niệm và thuật ngữ mà nó dùng để mô tả thực tế. Sự tương tự giữa các thuật ngữ của các lý thuyết vật lý khác nhau thường rất không đầy đủ và việc sử dụng các tên giống nhau có thể dễ gây hiểu nhầm.

Một tình huống tương tự cũng nảy sinh với thuật ngữ “động năng”. Cơ học phi tương đối tính chỉ biết hai loại năng lượng - thế năng và động năng. Động năng có hai tính chất quan trọng sau:

a) nó trở thành 0 khi tốc độ của vật bằng 0;

b) Nếu không có ngoại lực nào tác dụng lên vật thì động năng không đổi.

Trong cơ học tương đối tính, không có đại lượng nào đồng thời có hai tính chất này. Năng lượng $E$, được xác định bởi đẳng thức (3), có tính chất b), nhưng không có tính chất a). Tại $v = 0$

28

nó biến đổi thành một đại lượng gọi là năng lượng nghỉ:

$$E_0 = m_0c^2. \qquad (5)$$

Chúng ta hãy tách khỏi năng lượng tổng thể đại lượng đặc trưng cho chuyển động cơ học của vật:

$$T = E - E_0 =$$
$$= m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1\right). \qquad (6)$$

Năng lượng $T$ biến mất ở $v = 0$. Tuy nhiên, nó không được bảo toàn, vì, như đã lưu ý ở trên, khối lượng nghỉ (và do đó $E_0$) có thể thay đổi ngay cả khi không có ngoại lực.

Hóa ra các tính chất của động năng thông thường được phân bố trong cơ học tương đối tính giữa hai khái niệm khác nhau. Cái nào nên được gọi là động năng? Đây phần lớn là vấn đề của hương vị. Người ta thường gọi đại lượng $T$ động học và $E$ là tổng năng lượng của cơ thể.

Cho đến nay chúng ta chưa nói về sự thống nhất mà là về sự “phân chia” các khái niệm. Bây giờ đã đến lúc phải biện minh cho những lời được nói trong đoạn văn.

Chúng ta hãy xem xét câu hỏi về mối quan hệ giữa khối lượng và năng lượng. Khi tính đến những điều trên, cần phải làm rõ khối lượng và năng lượng mà chúng ta đang nói đến. Trong phần tiếp theo, trừ khi có sự bảo lưu đặc biệt, chúng ta sẽ hiểu khối lượng tương đối tính $m$ và theo năng lượng là tổng năng lượng của một vật tự do $E$. Khi đó, từ hệ thức (3), suy ra rằng chúng chỉ khác nhau ở thừa số $c^2$, và thừa số này là hằng số thế giới, tức là một đại lượng không bao giờ thay đổi trong bất kỳ điều kiện nào. Trong trường hợp này, bất kỳ tuyên bố nào liên quan đến khối lượng đều tự động đề cập đến năng lượng và ngược lại. Ví dụ, bất kỳ sự tăng hoặc giảm năng lượng nào của cơ thể, chẳng hạn như do sưởi ấm và làm mát hoặc do bức xạ,

sẽ dẫn đến sự thay đổi tương ứng về khối lượng của nó*). Mặt khác, bất kỳ dạng năng lượng nào, kể cả bức xạ điện từ, đều trơ.

Tất nhiên, thực tế là khối lượng và năng lượng được đo theo những cách khác nhau (ví dụ, khối lượng bằng cách cân** và năng lượng trong nhiệt lượng kế) không thể được coi là phản đối sự trùng hợp về ý nghĩa vật lý của các khái niệm này. Rốt cuộc, chúng ta liên tục gặp phải những tình huống trong đó cùng một đại lượng có thể được đo bằng nhiều cách khác nhau. Chỉ có lý thuyết mới có thể quyết định dứt khoát liệu hai quy trình thí nghiệm khác nhau có đo cùng một đại lượng hay chúng cung cấp thông tin về các đại lượng khác nhau.

Sự khác biệt về đơn vị biểu thị khối lượng và năng lượng cũng không quan trọng. Như vậy, nhiệt độ cơ thể thường được biểu thị bằng độ, nhưng cũng thường được biểu thị bằng ergs hoặc electronvolt (đơn vị năng lượng để đo nhiệt độ được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiệt hạch). Sự khác biệt về đơn vị không có nghĩa là sự khác biệt về ý nghĩa vật lý của đại lượng.

Trong vật lý lý thuyết, một hệ đơn vị thường được sử dụng trong đó người ta giả sử rằng $c = 1$. Tất nhiên, trong hệ thống này, tốc độ hóa ra là một đại lượng trừu tượng. Điều này có nghĩa là bất kỳ tốc độ nào cũng được đo bằng phân số của tốc độ ánh sáng, được lấy làm tiêu chuẩn. Kết quả là, vận tốc của tất cả các vật thể và tín hiệu, được biết là không bao giờ vượt quá $c$,

---

*) Từ công thức (3) hoặc (5), rõ ràng sự thay đổi khối lượng cơ thể khi năng lượng của nó tăng dù chỉ một lượng đáng kể $\Delta E$ (ví dụ, do đun nóng nó đến nhiệt độ rất cao) là không đáng kể: $\Delta m = \dfrac{\Delta E}{c^2}$.

**) Trong trường hợp này, sự bằng nhau của khối lượng quán tính và khối lượng nặng được sử dụng, theo lý thuyết tương đối rộng, chúng là một và giống nhau về mặt vật lý.

28

29

được biểu thị bằng các số phân số không tên từ 0 đến 1 và tên độ dài và thời gian giống nhau. Thật vậy, chỉ trong điều kiện này thì tốc độ, tức là tỷ số giữa khoảng cách và thời gian, mới là một đại lượng không tên (không thứ nguyên).

Bất chấp mọi điều đã nói ở trên, hai thuật ngữ sẽ còn tồn tại trong ngôn ngữ của chúng ta trong một thời gian dài, có lẽ là mãi mãi: năng lượng và khối lượng. Từ quan điểm của cơ học tương đối tính, sẽ tốt hơn nếu sử dụng một tên để biểu thị các đại lượng muốn nói ở đây. Tuy nhiên, ngôn ngữ nói được hình thành trên cơ sở kinh nghiệm hàng ngày và không có tác động tương đối nào trong đó.

Tổng năng lượng, hay khối lượng tương đối tính, chỉ xác định giới hạn trên của công mà một vật nhất định có thể thực hiện. Trên thực tế, trong phần lớn các trường hợp, chỉ một phần rất nhỏ năng lượng này có thể được chuyển thành công. Điều này đúng ngay cả đối với các phản ứng hạt nhân. Ngoại lệ duy nhất là quá trình tiêu diệt ngoại ứng và phản rước, trong đó năng lượng chứa đựng ngoại ứng được giải phóng hoàn toàn. Nhưng sự hủy diệt cho đến nay chỉ được thực hiện với các hạt cơ bản.

Từ biểu thức (5), rõ ràng giữa năng lượng nghỉ và khối lượng nghỉ có sự tương ứng giống nhau như giữa $E$ và $m$, nghĩa là các khái niệm này trùng khớp nhau. Nhưng sự khác biệt giữa năng lượng nghỉ $E_0$ và năng lượng tổng cộng (hoặc theo đó, giữa khối lượng nghỉ và khối lượng tương đối tính) là đáng kể. Khi xác định được điều kiện, năng lượng nghỉ có thể chuyển hóa thành các dạng năng lượng khác. Với quá trình này, đôi khi người ta nói về sự chuyển đổi khối lượng thành năng lượng. Đây là một biểu thức không thành công, nếu chỉ vì vẫn chưa rõ khối lượng và năng lượng mà chúng ta đang nói đến. Chỉ trong cơ học Newton mới có thể nói một cách rõ ràng về khối lượng mà không cần thêm bất cứ điều gì vào thuật ngữ này.

Để kết luận, chúng ta hãy quay lại một lần nữa với các công thức (1), (3) và (6). Câu hỏi tất yếu được đặt ra: tại sao tốc độ truyền sóng điện từ lại đóng vai trò quan trọng như vậy trong các công thức cơ học thuần túy? Thực tế là trong thế giới của chúng ta có tốc độ giới hạn trục hoành bằng $c$, giá trị của nó là như nhau trong tất cả các hệ tọa độ. Đương nhiên, thực tế này không thể không liên quan trực tiếp đến các quy luật chuyển động của các vật thể, với các quy luật cơ học. Đó là lý do tại sao đại lượng $c$ được đưa vào tất cả các công thức của cơ học tương đối tính. Tình cờ nó lại có cùng tốc độ. Tốc độ giới hạn $c$ được gọi là tốc độ ánh sáng theo các nguyên tắc lịch sử thuần túy: sự đơn giản vì nó lần đầu tiên được gặp trong quang học.

Bài tập

1. Xác định sự phụ thuộc năng lượng của hạt có khối lượng nghỉ $m_0$ vào động lượng $p$ của nó. Sự phụ thuộc này có đặc điểm gì đối với các giá trị nhỏ và lớn của $p$?
2. Xác định sự phụ thuộc của năng lượng vào động lượng của phonan (tốc độ của phonan bằng tốc độ ánh sáng).
3. Chứng tỏ rằng tại biểu thức $v \ll c$ (6) cho động năng biến đổi thành công thức cổ điển.
4. Tìm hiệu chỉnh tương đối tính đối với động năng của một vệ tinh nhân tạo của Trái đất có khối lượng 10 $m$, biểu diễn xung quanh Trái đất với tốc độ 8 $km/c$.
5. Bán kính quỹ đạo của một hạt tích điện trong từ trường sẽ thay đổi như thế nào khi tốc độ của nó $v$ tiến gần đến tốc độ ánh sáng?

30

CÔNG CỤ MÁY TÍNH

L.S. Khrenov

EKVM “Iskra-110”

Mong muốn cơ giới hóa các phép tính bằng nhiều phương tiện khác nhau đã nảy sinh từ thời cổ đại. Ở Rus’, nhiều phương tiện tính toán khác nhau đã được sử dụng trong quá trình xây dựng những nhà thờ đá đầu tiên ở Novgorod, Kyiv và các thành phố khác.

Trong những thập kỷ qua, những thay đổi lớn về chất đã xảy ra trong các công cụ điện toán, rất khó để so sánh ngay cả với giai đoạn xuất hiện logarit.

Bước nhảy vọt về chất như vậy trong sự phát triển của công nghệ máy tính, đặc biệt là máy tính, là do sự phát triển của tiến bộ kỹ thuật trong tất cả các lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân, đòi hỏi phải thực hiện nhiều phép tính khác nhau với khối lượng khổng lồ.

Bây giờ, tùy thuộc vào độ chính xác của dữ liệu nguồn và mục đích tính toán, họ sử dụng nhiều phương tiện khác nhau - biểu đồ, bảng, dụng cụ và máy tính.

Danh pháp

Các biểu đồ thể hiện hình ảnh đồ họa của sự phụ thuộc hàm được xây dựng cho bất kỳ một công thức hoặc một phương trình nào. Do đó, hiệu quả của việc sử dụng chúng trong tính toán phụ thuộc vào quy mô khối lượng của các hoạt động tính toán sử dụng công thức này. Chữ tượng hình được sử dụng để nhanh chóng

Để thực hiện các phép tính không yêu cầu độ chính xác cao (2-3 số có ý nghĩa) hoặc để kiểm soát các phép tính chính xác hơn. Thành phần chính của mỗi biểu đồ là thang đo chức năng, mô tả bằng đồ họa một chức năng nhất định $y = f(x)$ trên một dòng*).

Bàn

Bảng là tập hợp các giá trị số của một hàm nhất định tương ứng với các giá trị đối số được định vị tuần tự nhất định.

Ở Babylon sớm nhất là vào năm 2.000 trước Công nguyên. đ. các bảng được tạo chứa các giá trị của $n^2$, $n^3$, $n^2 + n^3$, $1/n$ và các hàm khác. Yêu cầu ngày càng tăng về độ chính xác của phép tính dẫn đến việc tạo ra một số lượng lớn các bảng khác nhau trong thế kỷ 15.

Sự phát triển nhanh chóng của thiên văn học trong thế kỷ 16 đã đặt ra yêu cầu ngày càng cao về độ chính xác của các phép tính, dẫn đến việc phát minh ra logarit. Logarit mà chúng ta sử dụng hiện nay được đề xuất độc lập bởi Scotsman J. Napier (1550-1617) và I. Burgi người Thụy Sĩ (1552-1632).

Năm 1703, “Bảng logarit của các số từ 1 đến 1000 và sin, tiếp tuyến, cát tuyến để dạy cho những người tỉ mỉ, yêu thích sự khôn ngoan” được xuất bản ở Nga.

Sự phát triển hơn nữa của khoa học và công nghệ đòi hỏi phải có sự phát triển và sáng tạo, đặc biệt là từ giữa thế kỷ 17, các bảng chứa các giá trị của nhiều loại khác nhau.

---

*) Ví dụ, xem bài viết của Yu. V. Matiyasevich “Lần đầu làm quen với chữ tượng hình”, «Kvant», 1971, số 5.

31

chức năng cá nhân. Và trong nửa đầu thế kỷ của chúng ta, số lượng bảng các loại đã được xuất bản nhiều gấp nhiều lần so với tất cả các thế kỷ trước.

Trong thực hành tính toán, các bảng toán học được sử dụng rộng rãi để biểu diễn các hàm chủ yếu có một đối số: $y = f(x)$, với một bước đối số cho phép nội suy tuyến tính.

Trong số các bảng chứa các giá trị của các hàm cơ bản, các bảng Barlow nổi tiếng thế giới chứa các giá trị của các hàm $n^2, n^3, \sqrt{n}; \sqrt{10n}, \sqrt[3]{n}$ và $1/n$ cho các đối số $n$ từ 1 đến 15.000 với gia số một đơn vị được sử dụng rộng rãi.

Trong số các logarit, bảng logarit thập phân của các số, tổng và hiệu của chúng, cũng như logarit của các hàm lượng giác được sử dụng phổ biến nhất; chúng được tạo thành với số vị trí thập phân khác nhau trong phần định trị và phổ biến nhất là 4-8.

Khi chọn bảng logarit để tính bảng, cần tính đến số chữ số có nghĩa chính xác của số logarit, chúng thường biểu thị giá trị gần đúng chứ không phải chính xác. Gần đúng, chúng ta có thể giả sử rằng sai số tuyệt đối của logarit thập phân bằng một nửa sai số tương đối của số logarit, nghĩa là người ta nên sử dụng các bảng logarit thập phân có cùng số vị trí thập phân trong phần định trị của chúng bằng số chữ số có nghĩa chính xác mà số logarit có hoặc một số nữa.

Việc sử dụng rộng rãi các loại máy tính khác nhau đã dẫn đến việc thay thế các phép tính logarit bằng các phép tính không logarit. Về vấn đề này, các bảng chứa các giá trị tự nhiên của hàm có ý nghĩa đặc biệt.

Khác với bảng logarit, số chữ số thập phân sau dấu thập phân trong bảng giá trị tự nhiên

chẳng hạn như các hàm lượng giác, không mô tả đầy đủ độ chính xác của chúng. Các bảng như vậy chứa các giá trị của các hàm lượng giác có sai số tuyệt đối không vượt quá $0,5 \times 10^{-n}$, trong đó $n$ là số chữ số thập phân. Sai số tương đối của họ sẽ thay đổi đáng kể. Việc sử dụng các bảng như vậy dẫn đến mất đi độ chính xác của kết quả khi tính toán với các hàm góc nhỏ.

Vì vậy, ví dụ, nếu trong một tam giác vuông $ABC$, chúng ta giả sử rằng các chân của nó lần lượt là $AB = 0,45$ $\mathit{м}$ và $BC = 103,13$ $\mathit{м}$, thì với những dữ liệu này, sử dụng bảng năm giá trị của các giá trị tự nhiên của hàm lượng giác, chúng ta thu được

$$\mathrm{tg}\, \sphericalangle ACB = \frac{AB}{BC}; \quad \sphericalangle ACB = \alpha = 0°15',$$

và cạnh huyền

$$AC = \frac{BC}{\cos\alpha} = \frac{103,13}{0,99999} \approx 103,13\ \mathit{м};$$

ở phía bên kia,

$$AC = \frac{AB}{\sin\alpha} = \frac{0,45}{0,00436} \approx 103,21\ \mathit{м},$$

nghĩa là thu được sự khác biệt về giá trị của cạnh $AC$ với $0,08$ $\mathit{м}$.

Nếu bạn sử dụng các bảng có năm chữ số có nghĩa thì sai số tương đối sẽ nằm trong khoảng

$$0,5 \times 10^{-5} \leqslant \Delta\delta \leqslant 0,5 \times 10^{-4};$$

trong đó $\cos 0°15' = 0,99999$, và $\sin 0°15' = 0,0043633$, và

$$AC = \frac{0,45}{0,0043633} \approx 103,13\ \mathit{м},$$

tức là sẽ không có sai số khi tính cạnh $A$.

Khi chọn tính bảng giá trị tự nhiên của các hàm lượng giác, bạn nên ưu tiên các bảng trong đó giá trị của cả 6 hàm đều có cùng số chữ số có nghĩa thay vì cùng số chữ số thập phân.

Các bảng lượng giác đầu tiên được chúng ta biết đến là những bảng do C. Ptolemy (thế kỷ thứ 2) biên soạn. Chúng được đặt trong tác phẩm nổi tiếng của ông “Almogest” - tượng đài vĩ đại nhất của thiên văn học. Cơ sở của các bảng hàm lượng giác hiện đại là các bảng cơ bản do Reti-

com - học trò của N. Copernicus, được nhà khoa học người Đức B. Pitisko mở rộng và bổ sung vào năm 1613.

Thiết bị

Trong số các thiết bị được sử dụng để tính toán, quy tắc trượt có tầm quan trọng đặc biệt, nếu không có nó thì không thể thực hiện được một phép tính kỹ thuật nào. Kể từ khi được tạo ra*) hàng trăm thiết kế khác nhau đã được đề xuất, cả thiết kế phổ quát lẫn thiết kế đặc biệt để tính toán trong các phạm vi giá trị nhất định có chứa các thang đo chức năng đặc biệt.

Quy tắc trượt phổ quát được sử dụng rộng rãi nhất. Trong số các thước đo phổ quát báo cáo, tiên tiến nhất là thước Leningrad với thang logarit kép, cho phép bạn sử dụng logarit tự nhiên, hàm mũ trong tính toán, giải phương trình hàm mũ và logarit cũng như tính lũy thừa với số mũ phân số nhanh hơn so với quy tắc trượt thông thường (GOST 5161-57). Khi sử dụng thang logarit kép, cần lưu ý rằng trên chúng độ dài của đoạn $l$ từ đầu thang đo đến nét tương ứng với số $N$ bằng

$$l = m (\lg \lg N - \lg \lg e),$$

trong đó $m$ là mô đun của thang logarit kép và $e = 2,718$ … là cơ số của logarit tự nhiên.

Ở mặt trước của vỏ đường Leningrad có bốn thang đo: $K(x^3), A(x^2), D(x)$ và $D1(1:x)$. Sử dụng các thang đo này

*) Mong muốn cơ giới hóa các phép tính logarit đã dẫn đến việc sử dụng thang logarit cho các mục đích này - một đoạn tuyến tính trên đó vẽ logarit của các số và hàm lượng giác - do E. Günger đề xuất vào khoảng năm 1620. Nguyên mẫu của thước hiện đại là thiết kế của một thước trượt hình chữ nhật, do người Anh R. Bissacker đề xuất vào năm 1654.

Các phép tính tương tự được thực hiện như trên các tỷ lệ tương tự của thước trượt thông thường.

Có sáu thang đo ở mặt sau của thước này: $L$ ($\lg x$), $LL_1$, ($e^{0,01x}$), $DF$ ($\pi \lg x$), $D$ ($x$), $LL_3$ ($e^x$) và $LL_2$ ($e^{0,1x}$) trên thân và bốn vảy $CF$ ($\pi \lg x$), $CIF = (1 : \pi x)$, $CI$ $(1 : x)$ và $C$ $(x)$ trên thanh trượt.

Các thang logarit kép $LL_3$, $LL_2$ và $LL_1$ là sự tiếp nối của nhau. Khi làm việc với các thang đo này, cần lưu ý rằng độ dài của đoạn tương ứng trên thang đo $D$, bằng $m \lg x$ trên thang đo logarit kép, sẽ là

$$m \lg x = m (\lg \lg N - \lg \lg e),$$

MỘT

$$\lg x = \lg \frac{\lg N}{\lg e},$$

từ đâu $\lg N = x \lg e$ hoặc $N = e^x$.

Để xác định kết quả trên các thang đo $LL_1$, $LL_2$ và $LL_3$, giá trị của độ cơ sở được tìm thấy trên thang đo $D$ của cơ thể và căn chỉnh con trỏ chính của tầm nhìn với nó, đọc giá trị của giá trị $e^x$ bên dưới nó trên thang đo tương ứng $LL_1$, $LL_2$ hoặc $LL_3$.

Vì vậy, ví dụ, để xác định $y = e^{0,08}$, hãy kết hợp con trỏ chính của tầm nhìn với nét tương ứng với số 8 trên thang đo $D$ và dưới con trỏ này trên thang đo $LL_3$ đọc đáp số $y = 1,0833$. Điều tương tự cũng được thực hiện khi sử dụng thang đo $LL_1$ và $LL_2$.

Để tính $y = e^x$ khi $x > 10$ hãy làm điều này. Số mũ được chia thành nhiều phần, mỗi phần phải nhỏ hơn 10, tức là biểu thức $y = e^x$ được biểu diễn dưới dạng tích

$$y = e^{\Delta x_1} e^{\Delta x_2} \ldots e^{\Delta x_n},$$

trong đó $\Delta x$ là thành phần của số mũ.

Sau đó, giá trị $e^{\Delta x} = \Delta y$ được xác định cho từng thuật ngữ của sản phẩm. Do đó, biểu thức $e^x$ tại $x > 10$ có ​​thể được biểu diễn dưới dạng

3 «Kvant» № 3

“EDVM”

34

công việc

$$y = \Delta y_1 \Delta y_2 \dots \Delta y_n,$$

đây $y_i = e^{\Delta x_i}$.

Thang đo $DF$ trên thân xe và thang đo tương tự $CF$ trên động cơ là thang đo logarit thông thường, nhưng mỗi thang đo chỉ được chia tỷ lệ theo giá trị $x$. Do đó, số $x$ trên thang đo $C$ tương ứng với số $x$ trên thang đo $CF$.

Thang màu xám thứ hai $CI$ trên thanh trượt, giống như thang đo $R$ trên quy tắc trượt thông thường, là thang đo “đảo ngược”, được thiết kế để tính các giá trị $1/x$, tức là các giá trị nghịch đảo của các số $x$ được vẽ trên thang đo $C$.

Thang đo $CF$ được sử dụng để tính các giá trị của đại lượng $1/x$. Ví dụ: để tính $q=1/πx$ với $x=2,6$, hãy làm điều này. Ở mặt sau của thước, các nét ban đầu của động cơ được kết hợp với các nét ban đầu trên thân xe, và ở vị trí này của động cơ, thanh trượt được đặt để xem nét tương ứng với số đã cho $2,6$ trên thang đo $D$ và trên thang đo $CF$, bằng cách sử dụng ánh nhìn, số $0,1224$ được đọc, là kết quả độc quyền, tức là $q=0,1224$.

Ở mặt trước của thanh trượt có (ngoài chỉ báo chính của tấm che) hai nét màu ngắn. Chúng được vẽ sao cho khoảng cách giữa điểm nhìn chính và từng thước bên ngoài tương ứng với tỷ lệ $\pi/4 \approx 0,785$ trên thang đo $A$. Sử dụng các sắc thái này, bạn có thể nhanh chóng tính toán, chẳng hạn như diện tích hình tròn.

Vì vậy, để tính diện tích hình tròn $S$ có đường kính $d=5$ m, đường chính (có thể sử dụng bất kỳ đường nào trong ba đường trên thanh trượt) được kết hợp với đường 5 trên thang chính $D$ ở mặt trước của thân thước và sử dụng đường ngắn bên trái (màu đỏ), giá trị của diện tích $S=19,63 \ m^2$ được đọc trên thang vuông $A$.

Máy tính

Hàng trăm loại máy móc khác nhau hiện đã được tạo ra. Tuy nhiên, tất cả sự đa dạng của chúng có thể được chia thành hai nhóm: máy hoạt động liên tục và máy hoạt động rời rạc, hay còn gọi là “máy đếm”. Loại máy đầu tiên được đặc trưng bởi độ chính xác tương đối hạn chế của kết quả thu được; trong đó, các đại lượng toán học (đầu vào, trung gian và đầu ra) được mô tả dưới dạng các đại lượng vật lý cụ thể, các đặc tính định lượng của chúng tương ứng với các số được mô tả (ví dụ: độ dài của một đoạn được mô tả bằng lực căng, diện tích bằng chuyển vị, v.v.). Ví dụ đơn giản nhất về thiết bị tính toán liên tục là máy đo kế hoạch, với sự trợ giúp của nó, diện tích của các hình được tính toán trên bản vẽ *).

Trong các máy hành động rời rạc, về nguyên tắc cho phép thu được kết quả với độ chính xác không giới hạn, lời giải bài toán được giảm xuống thành việc thực hiện tuần tự các phép toán số học riêng lẻ. Trong những máy như vậy, tất cả các đại lượng toán học (ban đầu, trung gian và cuối cùng) được mô tả dưới dạng tập hợp số trong hệ thống số vị trí. Đây là cơ sở để gọi những thiết bị như vậy là máy hành động rời rạc. Chúng đi kèm với việc cài đặt thủ công và tự động dữ liệu ban đầu.

Các máy có cài đặt thủ công dữ liệu ban đầu được chia thành máy tính tổng dùng để cộng và trừ các số và máy tính nhỏ; loại thứ hai được chia thành số học cơ học (đòn bẩy “Felix”) và bàn phím “VK-1”, điện tử (máy tự động “BMM-2”) và máy tự động “BMP-2”), lời giải (“Vilhic”, “Vyatka”) và điện tử. Trong số này, hiện đại nhất là máy tính điện tử cổ điển (ECVM), cho phép thực hiện tự động không chỉ tất cả các phép tính số học mà còn

*) Xem bài viết của L. E. Sadovsky, A. L. Sadovsky “Cách đo diện tích”, «Kvant», 1973, số 10.

35

và rút ra nghiệm, tính các giá trị tự nhiên của hàm lượng giác và thực hiện một số thao tác khác.

Ngành công nghiệp trong nước sản xuất hàng loạt các loại máy tính: “Iskra”, “Điện tử”, “Gelati”, “Rasa”, máy điện tử mười phím “EDVM”.

“Iskra-110” cho phép bạn thực hiện (có tính đến dấu và dấu phẩy) bốn phép tính số học, cũng như các phép tính như $a^n + bp^n$ và các phép tính khác. Trên đó, mọi thao tác đều được thực hiện bằng số 8 bit; Vị trí của dấu thập phân trong số được đặt bằng cách chuyển đổi tương ứng. Trên máy tính Electronics-DD, bạn không chỉ có thể thực hiện bốn phép tính số học mà còn có thể thực hiện các phép tính với tỷ lệ phần trăm, trích căn bậc hai và thực hiện các phép tính kết hợp khác nhau. Để có được kết quả tính toán với một số vị trí thập phân chính xác nhất định, hãy sử dụng các phím vị trí thập phân “0”, “2”, “4” và “6” nằm trên bảng bàn phím ở bên trái của các phím số. Và sự hiện diện của khối bộ nhớ trong máy này cho phép bạn thực hiện các thao tác phức tạp

tính toán và bán tự động (không ghi kết quả trung gian và gõ lại số) trích xuất căn bậc hai bằng công thức lặp

$$y_n = \left(\frac{x}{y_{n-1}} + y_{n-1}\right)/2,$$

trong đó $x$ là biểu thức căn thức, $y_{n-1}$ là giá trị gần đúng của nghiệm. Trong trường hợp này, các phép lặp ở phần cuối của phép tính khi thu được các giá trị gần đúng liên tiếp trùng với số chữ số được yêu cầu.

Hình 5 thể hiện máy tính mười phím điện tử “EDVM”. Nó có thể tự động thực hiện các phép tính khác nhau với các số 16 bit, cũng như trích xuất bán tự động các nghiệm của lũy thừa $n$, nâng các số lên lũy thừa $n$ và tính các giá trị tự nhiên của tiếp tuyến và cotang với 10 dấu đúng.

Gần đây, máy tính điện tử “Electronics-70” đã được sản xuất, nó cũng cho phép tính logarit thập phân và tự nhiên, hàm mũ, hàm lượng giác và hàm lượng giác nghịch đảo.

---

Lời khuyên dành cho người mới bắt đầu dạy kèm

(xem trang 24)

Cách làm việc với khách hàng

Nhiệm vụ quan trọng nhất là nhiệm vụ đầu tiên. Bạn cần phải ngay lập tức chiếm được sự tin tưởng vô điều kiện của người nộp đơn. Để làm được điều này, hãy tích trữ một số sách chuyên khảo được thiết kế dành riêng cho sinh viên sau đại học. Chọn ra một câu hỏi trong đó mà các nhà khoa học đã phải vật lộn không thành công trong 15 năm qua. Kết quả là, bạn sẽ cho người nộp đơn thấy rõ rằng nếu không có bạn

anh ấy không thể trông cậy vào điều gì để được giúp đỡ.

Gần đây, xu hướng rõ ràng của các bậc phụ huynh là tìm kiếm gia sư từ trường đại học mà con mình dự định theo học.

làm cho hạnh phúc. Gặp họ nửa chừng. Vô tình bỏ tên hiệu trưởng sẽ tạo ra hiệu ứng như mong muốn. Bạn có thể nhấn mạnh mối quan hệ thân thiết hơn với hiệu trưởng bằng cách lưu ý rằng ông ấy là một người rất tốt và thông minh.

Kỹ thuật đào tạo thêm cực kỳ đơn giản. Bài toán chỉ bao gồm việc nén tối đa các nhóm. Đoàn kết 10, 15 học sinh, không có giới hạn. Nhìn về phía trước, chúng tôi lưu ý rằng phương pháp này cũng có động cơ tài chính nhất định. Giả sử, nếu bạn đồng thời dạy không phải một mà là 13 học sinh, thì có thể dễ dàng tính được rằng thu nhập mỗi giờ của bạn tăng 13 lần!

(Tiếp theo trang 43)

3*

35

36

A. B. Midal
Thư gửi học sinh muốn trở thành nhà vật lý

Học sinh trường số 1 ở Lida đã gửi thư cho nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng của Liên Xô, Viện sĩ Arkady Beinusovich Migdal. Trong thư, họ yêu cầu cho biết niềm đam mê vật lý của anh bắt đầu như thế nào và cách chuẩn bị cho nghề này. Chúng tôi giới thiệu đáp số A. B. Midal vì chúng tôi hy vọng rằng anh ấy sẽ thu hút sự quan tâm của tất cả độc giả.

Khi tôi 12 tuổi, tôi đã phá vỡ cuốn sách “Vật lý trong trò chơi” của Donat và bắt đầu làm trò chơi vật lý. Tôi đã tự mình nghĩ ra một số trong số đó. Sau đó, anh bắt đầu chế tạo nhiều thiết bị vật lý khác nhau. Tôi đã tạo ra một bộ giới hạn dòng nhiệt theo thiết kế của riêng tôi. Tôi đã chế tạo máy thu dò (lúc đó sản phẩm chưa có bộ phận nào).

Sau khi tốt nghiệp ra trường, tôi làm việc một năm trong phòng thí nghiệm vật lý của trường. Đồng thời, ông đăng bài viết trên tạp chí “Vật lý, Toán, Hóa học ở trường THCS” “Một thiết bị thay thế máy Atwood” (thiết bị kiểm tra định luật 2 Newton). Nhưng anh ấy thực sự bắt đầu nghiên cứu vật lý sau khi vào Đại học bang Leningrad.

Như bạn có thể đã biết, các nhà vật lý được chia thành hai loại: nhà vật lý lý thuyết và nhà vật lý thực nghiệm. Ngay từ năm đầu tiên tôi đã thấy rõ rằng mình sẽ trở thành một nhà lý thuyết. Một nhà vật lý lý thuyết có bản chất gần gũi với toán học. Dụng cụ của anh ấy là giấy và bút chì. Sử dụng các định luật vật lý đã biết, anh ta phải tìm ra những tương ứng mới giữa các đại lượng khác nhau. Tôi sẽ đưa ra hai ví dụ.

Trong cuộc vây hãm Leningrad, các nhà lý thuyết đã tính toán lượng băng có thể vận chuyển an toàn bằng xe tải chở người qua Hồ Ladoga. Đây là một bài toán rất đơn giản. Chỉ cần sử dụng giới hạn thấm băng được tìm thấy trong nhiều thí nghiệm và áp dụng các phương trình nổi tiếng của lý thuyết đàn hồi.

Nhưng bài toán phức tạp hơn nhiều, đòi hỏi phải chuyển qua cơ học cổ điển dễ hiểu. Nhà vật lý lý thuyết vĩ đại Albert Einstein đã phân tích tiến trình của các quá trình vật lý trong các vật chuyển động và đi đến kết luận rằng trong một hệ chuyển động nhanh, thời gian trôi chậm hơn. Sau đó, kết luận này đã được xác nhận một cách xuất sắc trong các thí nghiệm nghiên cứu sự phân rã của các hạt cơ bản nhanh (ví dụ, m-meson). Các hạt chuyển động phân rã chậm hơn các hạt đứng yên, và sự phụ thuộc của thời gian phân rã vào tốc độ hoàn toàn trùng khớp với tiên đoán của Einstein.

Trong ví dụ này, bài toán của những người thử nghiệm là để kiểm tra lý thuyết dự đoán. Tuy nhiên, điều ngược lại thường xảy ra hơn - các nhà vật lý thực nghiệm tìm ra một mô hình mới không phù hợp với các lý thuyết hiện có và điều này tạo động lực cho sự phát triển của vật lý lý thuyết.

37

Trong trường hợp thuyết tương đối của Einstein vừa được đề cập, đây chỉ là thí nghiệm biến đổi của Michelson, trong đó sự chênh lệch tốc độ ánh sáng thay đổi theo hướng chuyển động của Trái đất và vuông góc với nó. Nó đã được chứng minh rằng cả hai tốc độ đều trùng khớp với độ chính xác cực cao. Kết quả này mâu thuẫn với lý thuyết truyền ánh sáng hiện có vào thời điểm đó. Những nỗ lực giải thích kết quả thí nghiệm của Michelson đã đưa Einstein đến việc tạo ra lý thuyết về Einstein tương đối và vật lý thực nghiệm kích thích lẫn nhau.

Sớm hay muộn, nhà vật lý tương lai phải quyết định xem công việc nào gần gũi hơn với tâm trí của mình – lý thuyết hay thực nghiệm? lời giải này đến càng sớm thì càng tốt.

Tôi sẽ kể cho bạn nghe về công việc đầu tiên của tôi trong lĩnh vực vật lý. Vào năm thứ hai, tôi được thực tập tại phòng thí nghiệm của nhà máy Elektropribor (nay là nhà máy Vibator). Đúng lúc này, một lô vôn kế lớn bị loại do khi thiết bị bật dòng điện xoay chiều, vị trí đầu mũi tên bị mờ đi vài mm. Tôi quyết định cố gắng tìm hiểu lý do của cuộc hôn nhân. Rõ ràng đó là vấn đề cộng hưởng. Cần phải tìm ra chính xác phần nào của mũi tên đang cộng hưởng và cần thay đổi phần nào để loại bỏ nó.

Tôi lấy con trỏ ra khỏi máy và cố định vào khung máy đo tần số (thiết bị đo tần số dòng điện xoay chiều). Sau đó, tôi đặt tờ giấy vẽ đồ thị dưới mũi tên và thay đổi tốc độ của máy phát cung cấp dòng điện cho máy đo tần số, vẽ đường cong biểu thị sự phụ thuộc biên độ dao động của đầu mũi tên vào tần số của dòng điện được cung cấp. Kết quả là một đường cong cộng hưởng điển hình có tốc độ tối đa là 70 chu kỳ mỗi giây (Hình 1). Nhưng tại sao lại là 70? Rốt cuộc, vị trí tối đa trong thiết bị là dòng điện bình thường có tần số 50 chu kỳ mỗi giây. Tôi tạm gác câu hỏi này sang một bên và tiếp tục tìm hiểu bản chất dao động của kim. Để làm điều này, tôi tạo những vết xước chính xác ở nhiều vị trí khác nhau trên mũi tên và chiếu sáng lần lượt từng vị trí bằng ánh sáng bên để thu được một điểm phát sáng chuyển động. Bằng cách quan sát các điểm này dưới độ phóng đại (sử dụng máy vi thao tác), người ta có thể xác định biên độ dao động của các phần khác nhau của mũi tên. Bằng cách này, có thể chứng minh rằng sự cộng hưởng tương ứng với sự xoắn của phần uốn thẳng đứng của mũi tên (Hình 2), nghĩa là phần dài của mũi tên quay toàn bộ quanh trục, đi qua phần uốn thẳng đứng.

Dựa vào độ cứng của vật liệu và sự phân bổ khối lượng dọc theo mũi tên, người ta có thể tính được tần số dao động. Tần số tính toán hóa ra gần với tần số quan sát được, tức là khoảng 70 tiết mỗi giây. Vậy sẽ-

38

Người ta đã chứng minh rằng bản chất của dao động đã được thiết lập một cách chính xác. Sau đó, cần tìm hiểu nguyên nhân làm giảm phần cộng hưởng khi đặt mũi tên vào thiết bị.

Trên khung của máy đo tần số, kim được cố định chắc chắn, trong khi ở thiết bị, nó được gắn vào khung để dòng điện chạy qua và bản thân nó có thể dao động. Để tìm tần số của mũi tên có độ cố định không cố định như vậy, cần phải giải bài toán về hai hệ dao động ghép đôi. Tính toán cho thấy tần số của mũi tên gắn vào khung di động thực tế sẽ giảm từ 70 xuống 50 tiết mỗi giây. Như vậy nguyên nhân đã được xác lập. Tất cả những gì còn lại là tính toán cách thay đổi độ dày của phần thẳng đứng của mũi tên để tránh cộng hưởng.

Sau đó, một loạt 1000 thiết bị có mũi tên sửa đổi đã được sản xuất. Hóa ra chiếc kim ở vị trí phẳng và sẽ không tạo ra bất kỳ rung động nào. Chỉ có 2 trong số 1000 thiết bị là vị trí đầu kim vẫn bị mờ, nhưng khi mở các thiết bị này ra thì hóa ra bàn tay cũ đã được đặt nhầm vào đó. Sau đó, tôi được mời làm việc tại phòng thí nghiệm của nhà máy song song với công việc ở trường đại học. Tôi đã đồng ý và trong thời gian này tôi đã học cách tự mình đặt ra và giải các bài toán lý thuyết ứng dụng bài toán. Điều này đã giúp tôi rất nhiều trong tương lai.

Giống như hầu hết các nhà vật lý lý thuyết, tôi phải làm việc trong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau. Vật lý nguyên tử, tia vũ trụ, lý thuyết về kim loại, hạt nhân nguyên tử, lý thuyết trường lượng tử, vật lý thiên văn - tất cả những lĩnh vực vật lý này đều có vẻ thú vị đối với tôi. Giờ đây, những câu hỏi cơ bản nhất đang được giải quyết trong lý thuyết các phần cơ bản và lý thuyết trường lượng tử, nhưng trong các lĩnh vực vật lý khác, còn rất nhiều câu hỏi thú vị chưa được giải quyết bài toán.

Để làm quen với các lĩnh vực vật lý khác nhau và quan trọng nhất - cảm nhận được mối liên hệ giữa chúng, sẽ rất hữu ích nếu đọc kỹ “Bài giảng Vật lý của Feynman” tuyệt vời được viết bởi nhà vật lý nổi tiếng người Mỹ Richard Feynman.

Cố gắng đọc tích cực, cố gắng giải các câu hỏi bài toán trong sách trước khi đọc lời giải.

Để tham gia vào khoa học, bạn không chỉ phải biết và có thể làm được nhiều điều mà còn phải trau dồi những phẩm chất tính cách nhất định ở bản thân. Dưới đây là một số lời khuyên.

Đừng trộn lẫn tất cả các khái niệm từ đầu đến cuối. Sự hiểu biết đến dần dần, là kết quả của sự làm việc chăm chỉ, khi bạn quen với những khái niệm mới. Một khái niệm thực tế, sâu sắc nhất thiết sẽ dẫn đến những kết quả mới, nhưng nó chỉ đến sau khi bạn đã làm việc tốt trong lĩnh vực này.

Nếu bất kỳ ý tưởng nào xuất hiện trong đầu, điều cần thiết không chỉ là xác nhận nó mà còn phải bác bỏ nó. Đây là cách duy nhất để học cách suy nghĩ tận tâm và khách quan.

Động lực chính phải là sự quan tâm đến vấn đề chứ không phải mong muốn có giải pháp hiệu quả. Tôi biết nhiều ví dụ về việc những người tài năng mất khả năng làm việc tận tâm vì mong muốn “khám phá thế giới”.

Bài toán của một nhà khoa học là sự kiên trì và tận tâm nghiên cứu về một hiện tượng mà anh ta quan tâm, khi mỗi bước nhỏ đều mang lại niềm vui. Khám phá chỉ đến như một sản phẩm phụ của nghiên cứu như vậy.

Từ một ý tưởng, thậm chí là ý tưởng tốt nhất, đến một chân lý khoa học đáng tin cậy - một con đường khó khăn và khó khăn, trải qua những nghi ngờ và đồng thuận, trải qua những thăng trầm, giống như leo lên một đỉnh cao bất khả chinh phục, từ đó mở ra những chân trời mới.

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Khoảng cách giữa trọng tâm của hai hệ thống điểm

Z. A. Skopets

Xét một hệ gồm $n$ điểm $A_1, A_2, \ldots, A_n$, nằm tùy ý trong không gian. Cho phép các điểm riêng lẻ (hoặc thậm chí tất cả) của hệ thống này trùng khớp. Thứ tự của các điểm không quan trọng.

Trọng tâm của hệ điểm $A_1, \ldots, A_n$ là điểm $O$ mà đẳng thức vectơ giữ nguyên

$$\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \ldots + \overrightarrow{OA}_n = \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{OA}_i = \vec{0}. \quad (1)$$

Sự tồn tại của trọng tâm không trực tiếp tuân theo định nghĩa này. Do đó, chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi hệ điểm đều có một trọng tâm và hơn nữa là một trọng tâm duy nhất.

Chúng ta hãy chọn một hệ điểm $A_1, A_2, \ldots, A_n$ trong không gian, xác định tùy ý một điểm $M$ mà chúng ta lấy làm điểm bắt đầu của vectơ và một điểm khác $O$ (Hình 1). Sau đó bạn có thể viết

$$\overrightarrow{OA}_1 = \overrightarrow{MA}_1 - \overrightarrow{MO},$$
$$\overrightarrow{OA}_2 = \overrightarrow{MA}_2 - \overrightarrow{MO},$$
$$\ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$\overrightarrow{OA}_n = \overrightarrow{MA}_n - \overrightarrow{MO}.$$

Giả sử điểm $O$ là tâm của hệ điểm này. Tổng hợp các đẳng thức này theo từng số hạng, chúng ta thu được, có tính đến (1)

$$\vec{0} = \overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \ldots + \overrightarrow{MA}_n - n \cdot \overrightarrow{MO}.$$

Từ đây chúng ta tìm thấy

$$\overrightarrow{MO} = \frac{1}{n}(\overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \ldots + \overrightarrow{MA}_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{MA}_i. \quad (2)$$

Thực hiện các phép tính theo thứ tự ngược lại, chúng ta có thể dễ dàng xác minh rằng điểm $O$, được xác định bởi đẳng thức (2), thỏa mãn hệ thức (1), tức là nó là tâm. Do đó, sự tồn tại của trọng tâm đã được chứng minh. Nó vẫn còn để chứng minh tính duy nhất. Thật vậy, chúng ta hãy lấy điểm $O'$, khác với $O$. Sau đó

$$\overrightarrow{O'A}_1 = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA}_1, \ldots, \overrightarrow{O'A}_n = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA}_n.$$

Cộng các đẳng thức này và tính đến (1), chúng ta thu được

$$\overrightarrow{O'A}_1 + \ldots + \overrightarrow{O'A}_n = n \cdot \overrightarrow{OO'};$$

vì điểm $O'$ khác với $O$, nên $\overrightarrow{O'O} \neq \vec{0}$ và $n \cdot \overrightarrow{O'O} \neq \vec{0}$, nghĩa là

$$\overrightarrow{O'A}_1 + \ldots + \overrightarrow{O'A}_n \neq \vec{0}.$$

Như vậy, không có điểm $O'$ nào ngoài $O$ là tâm của hệ điểm $A_1, \ldots, A_n$. Điều này hoàn thành việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất trọng tâm của hệ $n$ điểm. Ngoài ra, phương pháp xây dựng trọng tâm cũng được chỉ ra (xem (2)).

Bây giờ chúng ta chứng minh khẳng định sau.

Định lý 1. Cho $O_1$ là trọng tâm của hệ điểm $A_1, \ldots, A_m$ và $O_2$ là trọng tâm của hệ điểm

39

40

Trong $B_1, \dots, B_n$. Khi đó tâm $O$ của hệ gồm tất cả $m + n$ điểm $A_1, \dots, A_m, B_1, \dots, B_n$ nằm trên đoạn $O_1O_2$ và ta thỏa mãn điều kiện $|O_1O| : |OO_2| = n : m$.

Bằng chứng. Đối với một điểm $O$ nằm trên đoạn $O_1O_2$ và thỏa mãn điều kiện $|O_1O| : |OO_2| = n : m$, ta có $\vec{mOO}_1 + n\vec{OO}_2 = \vec{0}$. (3)

Chúng ta hãy đảm bảo rằng điểm $O$ là tâm của hệ thống tất cả $m + n$ điểm. Thật ra, vì $O_1$ là tâm của hệ điểm $A_1, \dots, A_m$ nên theo (2) ta có

$$\vec{OA}_1 + \vec{OA}_2 + \dots + \vec{OA}_m - m \cdot \vec{OO}_1 = \vec{0}. \quad (4)$$

Tương tự, từ $O_2$ là tâm của hệ điểm $B_1, \dots, B_n$, ta thu được

$$\vec{OB}_1 + \vec{OB}_2 + \dots + \vec{OB}_m - n \cdot \vec{OO}_2 = \vec{0}. \quad (5)$$

Cộng các tương ứng (3), (4), (5) theo từng số hạng, ta thu được

$$\vec{OA}_1 + \dots + \vec{OA}_m + \vec{OB}_1 + \dots + \vec{OB}_n = \vec{0},$$

và điều này có nghĩa là $O$ là tâm của hệ điểm $A_1, \dots, A_m, B_1, B_2, \dots, B_n$.

Kết quả. Giả sử $A_1, \dots, A_m$ là một số hệ điểm $k$ là số tự nhiên nhỏ hơn $m$. Chúng ta hãy chọn một số $k$ điểm từ $A_1, \dots, A_m$ và đặt $O'$ là tâm của chúng và $O''$ là tâm của các điểm $m - k$ còn lại. Sau đó, tất cả các đoạn $O'O''$) thu được theo cách này đều đi qua một điểm $O$ (tâm của hệ điểm $A_1, \dots, A_m$) và được chia tại điểm này theo tỷ lệ $(m - k) : k$.

Từ định lý đã được chứng minh và hệ quả tất yếu này, có thể rút ra một số kết luận. Trước hết, từ Định lý 1 cho $m = n = 1$, ta thấy tâm của hai điểm $A, B$ trùng với trung điểm của đoạn nối chúng. Hơn nữa, đối với $m = 2, n = 1$, chúng ta thu được từ Định lý 1 rằng tâm $O$ của ba điểm $A_1, A_2, B$ nằm trên đoạn nối $D$ của đoạn $A_1A_2$ với điểm $B$ và $|DO| : |OB| = 1 : 2$. Cụ thể, theo sau, nếu các điểm $A_1, A_2, B$ không nằm trên cùng một đường thẳng thì tâm của hệ điểm này trùng với giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $A_1A_2B$ (xem Hình 2; điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác).

Đối với trường hợp có bốn điểm, chúng ta thu được (với $m = 3, n = 1$) như sau. Giả sử rằng không có ba trong số bốn điểm $A, B, C, D$ nằm trên cùng một đường thẳng và nối bất kỳ điểm nào trong số này với trọng tâm của một tam giác có các đỉnh tại ba điểm còn lại; có lẽ bốn điểm này

41

Các đoạn thẳng cắt nhau tại một điểm O và chia tại đó theo tỷ lệ 3:1.
Ba đoạn thẳng nữa đi qua cùng một điểm O, điều này thu được nếu trung điểm của các đoạn có điểm cuối ở hai điểm được nối với điểm giữa của các đoạn có điểm cuối ở hai điểm khác.

Lưu ý rằng những phát biểu này đúng với bốn điểm không chỉ trên mặt phẳng mà còn đúng trong không gian. Cụ thể, từ chúng, suy ra rằng hai đường trung bình của tứ giác và đoạn nối trung điểm của các đường chéo cắt nhau tại một điểm O, điểm này đóng vai trò là trung điểm chung của cả ba đoạn thẳng.
Và đối với các điểm trong không gian, chúng ta có thể đưa ra công thức sau: các đoạn nối các đỉnh của tứ diện với trọng tâm của các mặt đối diện cắt nhau tại một điểm O (gọi là trọng tâm của tứ diện) và được chia trong đó theo tỷ lệ 3:1, tính từ đỉnh; Ba đoạn thẳng đi qua cùng một điểm O, nối trung điểm của các cạnh đối diện và O đóng vai trò là trung điểm chung của ba đoạn thẳng này.

Chúng ta cũng hãy lưu ý trường hợp năm điểm.

Gọi A, B, C, D, E là chân các điểm sao cho không có 4 điểm nào cùng thuộc một mặt phẳng.
Bằng cách nối mỗi điểm với trọng tâm của khối tứ diện có các đỉnh ở bốn điểm còn lại, chúng ta thu được các đỉnh của các đoạn cắt nhau tại một điểm O; Mười đoạn nữa sẽ đi qua cùng một điểm, mỗi đoạn nối đoạn giữa với các đầu tại hai điểm với trọng tâm của một tam giác có các đỉnh tại ba điểm còn lại.

Công thức Lagrange

Gọi O là trọng tâm của hệ các điểm A₁, …, Aₘ và M là một điểm tùy ý. Khi đó, như chúng ta đã thấy ở trên, quan hệ (2) là hợp lệ. Quảng trường Beria *), chúng tôi nhận được

$$|\vec{M}O|^2 = \frac{1}{m^2} (\vec{M}A_1 + \dots + \vec{M}A_m)^2 = \frac{1}{m^2} \left[ |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 + 2 \sum_{i < j} \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j \right].$$

Nhưng

$$2 \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j = |\vec{M}A_i|^2 + |\vec{M}A_j|^2 - (\vec{M}A_j - \vec{M}A_i)^2 = |\vec{M}A_i|^2 + |\vec{M}A_j|^2 - |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Cộng các quan hệ này cho tất cả các cặp i, j, với i < j, ta thu được

$$2 \sum_{i < j} \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j = (m - 1) \left( |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 \right) - \sum_{i < j} |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Thay (6’) vào quan hệ (6), ta tìm được (sau khi đơn giản hóa):

$$|\vec{M}O|^2 = \frac{1}{m} \left( |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 \right) - \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Mối quan hệ (7) là công thức Lagrange nổi tiếng, biểu thị bình phương khoảng cách từ điểm M đến trọng tâm O của hệ các điểm A₁, …, Aₘ thông qua bình phương khoảng cách từ điểm M đến điểm Aᵢ và bình phương khoảng cách |Aᵢ Aᵢ|.

Khoảng cách trung tâm

Cuối cùng, gọi hệ điểm đã cho là A₁, …, Aₘ và B₁, …, Bₙ. Hãy tính khoảng cách d giữa trọng tâm O₁ và O₂ của các hệ thống này, giả sử rằng tất cả khoảng cách lẫn nhau giữa các điểm của hệ thống thứ nhất, tất cả khoảng cách lẫn nhau giữa trọng tâm Aᵢ và Aᵢ đều đã biết.

*) Tích vô hướng của vectơ a và vectơ b được ký hiệu là a · b; bằng |a| · |b| · cos α, trong đó |a| là độ dài của vectơ và α là góc giữa vectơ a và b; do đó bình phương vô hướng là a, a = |a|² = |a|².

42

Giữa các điểm của hệ thứ hai và khoảng cách tương hỗ của từng điểm của hệ thống này với từng điểm của hệ thống kia.
Hãy giới thiệu ký hiệu sau:
$$|A_i A_j| = a_{ij}, |B_s B_t| = b_{st},$$
$$|A_p B_q| = c_{pq}.$$
Như đã tìm thấy ở trên (xem (7)),
$$d^2 = |O_1 O_2|^2 = \frac{1}{n} |O_1 B_1|^2 + \dots$$
$$\dots + |O_1 B_n|^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{s < t} b_{st}^2,$$
$$|O_1 B_h|^2 = \frac{1}{m} (|A_1 B_h|^2 + \dots$$
$$\dots + |A_m B_h|^2) - \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} a_{ij}^2,$$
(trong đó $k$ là bất kỳ số nào trong số 1, 2, …, $n$). Thay thế các tương ứng (8’) vào công thức (8), cuối cùng chúng ta thu được (sau khi đơn giản hóa hơn nữa):
$$d^2 = |O_1 O_2|^2 = \frac{1}{mn} \sum_{p, q} c_{pq}^2 -$$
$$- \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} a_{ij}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{s < t} b_{st}^2.$$

Sử dụng công thức này, trong trường hợp tổng quát nhất, khoảng cách giữa trọng tâm của hai hệ điểm được tính toán.

Ví dụ

1. Cho tam giác $A_1 B_1 B_2$. Trọng tâm $O_1$ của hệ thống gồm một điểm $A_1$ trùng với $A_1$, trọng tâm $O_2$ của hệ thống các điểm $B_1, B_2$ trùng với điểm giữa $[B_1 B_2]$ (Hình 3).

Trong trường hợp này, $[O_1 O_2]$ là đường trung bình của tam giác $A_1 B_1 B_2$. chúng tôi có
$$d^2 = \frac{1}{2} (|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2) -$$
$$- \frac{1}{4} |B_1 B_2|^2.$$

2. Cho tứ giác $A_1 A_2 B_1 B_2$. Trọng tâm $O_1$ của hệ thống điểm $A_1, A_2$ trùng với giữa đoạn $A_1 A_2$, trọng tâm $O_2$ của hệ thống điểm $B_1, B_2$ trùng với giữa đoạn $B_1 B_2$ (Hình 4).

Hãy sử dụng công thức (9):
$$d^2 = \frac{1}{4} (|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2 +$$
$$+ |A_2 B_1|^2 + |A_2 B_2|^2 - |A_1 A_2|^2 -$$
$$- |B_1 B_2|^2).$$ (10)

Công thức này, biểu thị bình phương khoảng cách giữa các trung điểm của các cạnh đối diện của một tứ giác thông qua bình phương các cạnh và đường chéo của nó, được gọi là công thức Euler. Ở đây hình tứ giác là tùy ý: nó có thể lồi, tự cắt hoặc không phẳng.

Nếu trọng tâm của các đoạn $A_1 A_2$ và $B_1 B_2$ trùng nhau thì tứ giác là hình bình hành và chúng ta thu được mối quan hệ đã biết giữa các cạnh và đường chéo của hình bình hành. Lưu ý rằng (vì $d^2 \geq 0$) theo công thức (10) $|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2 + |A_2 B_1|^2 + |A_2 B_2|^2 \geq |A_1 A_2|^2 + |B_1 B_2|^2$, tức là tổng bình phương của tất cả các cạnh