Kvant 1975, số 7 · Trang

KEANT
1975
7
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Bức ảnh bạn nhìn thấy trên trang bìa được chụp tại Viện Nghiên cứu Vũ trụ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Vladimir Syromatnikov, trưởng nhóm công tác Liên Xô (phải) và Ray Larson, phó chủ tịch Rockwell International, thảo luận về kết quả lắp ghép các mẫu chuyến bay mới nhất của các đơn vị lắp ghép.

Ảnh của A. Mokletsov APN.

Không phải ngẫu nhiên mà con trăn lại xuất hiện trên trang bìa của chúng tôi. Cuối cùng anh ta kết thúc ở đây, “bị trói” thành một nút thắt. Các nhà toán học giải quyết các nút thắt; Hơn nữa, có một lý thuyết toán học hay - lý thuyết về nút thắt. Bạn có thể làm quen với lý thuyết này bằng cách đọc bài viết “Một nút thắt trên bàn toán học” của E. G. Belaga, đăng trên tạp chí này (xem trang 6). Ở đó bạn sẽ gặp lại “con trăn thắt lưng” của chúng ta, nhưng lần này “không có đầu” và không có “đuôi”.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Beresia,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:

2 Hội nghị quốc tế về quỹ đạo không gian
6 E. G. Belaea. Nút thắt trên bàn toán
21 V. Z. Kresin. lượng tử khổng lồ
Người cá 30 V.M. Lời giải bài toán sử dụng các phép biến đổi hình học
câu lạc bộ toán học
36 V. N. Berezin, V. N. Blind. Nếu một hình tam giác được đưa ra…
Sách vấn đề «Kvant»
40 Bài toán M331—M335; F343—F347
42 Lời giải bài toán M296—M299; F303—F311, F299

Xưởng của người nộp đơn
53 G. Yu. Grakovsky, Yu. D. Kabalevsky, P. I. Samoyenko. Các chuyên ngành toán học kỹ thuật
55 kỳ thi tuyển sinh đại học
55 E. A. Golubov. Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky
57 Yu. S. Baburin. Đại học bang Kuibyshev
58 V. A. Tonyan. Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow
59 V. S. Kolpkov, R. N. Sakharova. Học viện Bách khoa Yaroslavl
60 L. P. Borovskikh. Viện kỹ sư vận tải đường sắt Novosibirsk
61 N. N. Karelin, I. S. Ospitsin, M. A. Palentsika. Học viện Bách khoa Lviv
63 Yu. V. Komlenko. Viện cơ khí Izhevsk

Đánh giá, thư mục
64 M. P. Shaskolskaya. Về sự khuếch tán trong quan trọng

«Kvant» cho học sinh nhỏ
66 Bài toán
67 A. P. Savin, L. M. Fink. Cuộc trò chuyện trên xe điện

Đáp số, gợi ý, lời giải
Hỗn hợp (tr. 20, 65, 70)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, «Kvant», 1975.

2

HỌP QUỐC TẾ
TRONG QUỸ ĐẠO KHÔNG GIAN

Tháng 7 năm 1975 sẽ mãi mãi đi vào lịch sử du hành vũ trụ. Theo thỏa thuận giữa Liên Xô và Hoa Kỳ về hợp tác khám phá vũ trụ vì mục đích hòa bình, chuyến bay chung đầu tiên trong chương trình ASTP - chuyến bay thử nghiệm Apollo-Soyuz - đã được lên kế hoạch tới địa điểm này.
Thời điểm quan trọng nhất của cuộc thử nghiệm này sẽ là việc tàu cập bến.

Việc lắp ghép và tháo dỡ tàu vũ trụ là một yếu tố cực kỳ quan trọng của các chương trình không gian. Ngày nay, điều đó là cần thiết khi đưa các phi hành gia đến các trạm nghiên cứu quỹ đạo và đưa họ trở về Trái đất quê hương. Trong tương lai, nếu không có nó, sẽ không thể lắp ráp các trạm quỹ đạo đa năng phức tạp trong không gian gần Trái đất, chúng sẽ được lắp ráp từ các khối đặc biệt cho nhiều mục đích khác nhau, từng cái một được đưa vào quỹ đạo bằng cách sử dụng các gói vận chuyển. Nó cũng là một phần cần thiết trong các chuyến bay của con người trong tương lai tới các hành tinh trong hệ mặt trời. Trong trường hợp này, tàu vũ trụ vẫn ở trên quỹ đạo cách xa hành tinh này làm trạm cơ sở, từ đó các vùng tự động quay trở lại và các phi hành gia nghiên cứu được gửi lên bề mặt hành tinh. Cuối cùng, nếu không cập bến thì cũng không thể hỗ trợ các phi hành đoàn tàu vũ trụ gặp khó khăn.

Cả chương trình nghiên cứu vũ trụ của Liên Xô và Mỹ đều đã thực hiện nhiều chuyến bay có bến đỗ ngoài vũ trụ. Tuy nhiên, thiết kế của các tàu của Liên Xô và Mỹ rất khác nhau, và việc lắp ghép tàu vũ trụ Soyuz và Apollo đòi hỏi phải có thêm bài toán mới về cơ bản từ các nhà thiết kế và phi hành gia lời giải. Liên quan đến chương trình ASTP, một khối lượng lớn công việc đã được thực hiện ở Liên Xô và Hoa Kỳ để phát triển các hệ thống và bộ phận mới của tàu vũ trụ. Các phi hành gia đã trải qua quá trình huấn luyện phức tạp trên mặt đất trong những điều kiện gần giống nhất có thể với những điều kiện được lên kế hoạch cho chuyến bay chung giữa Liên Xô và Mỹ. Vào tháng 12 năm 1974, tàu vũ trụ Soyuz-16 đã bay. Thủy thủ đoàn của con tàu - A.V. Filippenko và N.N. Rukovodshchik - đã thử nghiệm thiết bị lắp ghép mới trong điều kiện không gian và thực hiện các thao tác trên quỹ đạo đặc trưng của chuyến bay chung sắp tới với tàu vũ trụ Apollo.

Chuyến bay chung của tàu vũ trụ Soyuz và Apollo, một thí nghiệm không gian vòng tròn, có ý nghĩa quan trọng đối với sự phát triển quan hệ khoa học quốc tế và sẽ giúp củng cố niềm tin lẫn nhau giữa Liên Xô và Hoa Kỳ, đồng thời xoa dịu hơn nữa căng thẳng quốc tế.

Chúng tôi đang đăng một bài luận ảnh nhỏ về tàu vũ trụ của Liên Xô, do phóng viên ảnh A. S. Mokletsov của Cơ quan báo chí Novosti chuẩn bị.

3

1. Trung tâm đào tạo phi hành gia được đặt theo tên Yu. A. Gagarin. Phi công-nhà du hành vũ trụ Liên Xô Heron của Liên Xô Alexei Gubarev (trái) và Georgy Grechko tại một trong những buổi huấn luyện theo mô hình trạm Salyut.

1* 3

4

2. Trạm quỹ đạo “Salyut”. Mô hình trạm tại Trung tâm Đào tạo Phi hành gia được đặt theo tên. Yu. A. Gagarin.

3. Các cuộc thử nghiệm tàu ​​vũ trụ Soyuz và phương tiện phóng.

4. Trung tâm đào tạo phi hành gia được đặt theo tên Yu. A. Gagarin. Phi công-nhà du hành vũ trụ Liên Xô Heron của Liên Xô Georgy Grechko (trái) và Alexey Gubarev sau khi được huấn luyện tại trạm mô phỏng Salyut ban đầu.

5

5. Trong quá trình chuẩn bị cho chuyến bay của phi hành đoàn tàu vũ trụ Soyuz-12, chỉ huy tàu, Trung tá Vasily Lazarev và kỹ sư bay Oleg Makarov tiến hành huấn luyện trên biển.

trang 4 bìa - Trung tâm đào tạo phi hành gia được đặt theo tên. Yu. A. Gagarin. Phi công Kosyamovt của Anh hùng Liên Xô Georgy Grechko trong buồng lái của thiết bị mô phỏng tàu vũ trụ Soyuz.

6

Nút thắt là một phát minh cổ xưa, thậm chí còn cổ xưa hơn cả bánh xe, và sáng tạo đến mức khó có thể gọi là một phát minh. Trong một ngàn năm trước. Chúng ta sẽ nói về một số vấn đề và khám phá của lý thuyết màu đỏ này. Chúng tôi khuyên người đọc nên tích trữ một đoạn sóc có độ dài vừa đủ để “bằng chính đôi tay của mình” kiểm tra câu lệnh và giải bài toán xuất hiện trong văn bản theo đúng nghĩa đen.

§ 1. Alexander Đại đế có thể khám phá ra lý thuyết về nút thắt không?

Sách của các nhà sử học cổ đại đã lưu giữ cho chúng ta một truyền thuyết về việc vua Alexander của Macedonia, đi cùng quân đội của mình trong chiến dịch thắng lợi vào sâu trong châu Á qua thành phố Ba Tư, đã đến thăm ngôi đền và nhìn thấy một trong những điểm thu hút của Percy - một nút thắt được dệt bởi nhà hiền triết Gordius; Truyền thuyết kể rằng ai cởi được nút thắt này sẽ trở thành vua của vũ trụ. Vị vua trẻ cắt đứt mối quan hệ bằng một thanh kiếm.

Chúng ta nên ngưỡng mộ Alexander hay nên nhớ rằng với cùng một nhát kiếm, ông đã tự tước đi cơ hội trở thành người sáng lập ra lý thuyết về nút thắt, do cảm thấy tội lỗi?

Hình 1. Một bộ sưu tập nhỏ các nút thắt biển.

7

Nhưng chúng ta sẽ phóng đại: ngay cả khi Alexander biết rõ về toán học cổ đại (và rất có thể trường hợp này xảy ra - giáo viên của Alexander là Aristotle), tất nhiên, ông ấy sẽ ngạc nhiên khi biết rằng bài toán, từ lời giải mà ông ấy hết sức tránh né, là toán học. Hơn nữa, lời giải điều này bài toán chỉ có ở thời đại chúng ta, khoảng mười lăm năm trước, khi một phương pháp được phát minh ra giúp người ta có thể xác định bằng hình thức hoặc mô tả của một nút thắt xem nút thắt đó đã được cởi trói hay chưa.

§ 2. Kunstkamera của nút thắt

Chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với các nút thắt có nút biển như trong Hình 1*). Các đầu của nút vượt ra ngoài ranh giới của hình ảnh và được gắn vào đó. Tuy nhiên, khi nghiên cứu các nút thắt, sẽ thuận tiện khi xem xét rằng các đầu tự do của mỗi nút được kết nối với nhau; Sau thao tác như vậy, một nút thắt thông thường có hai đầu hoặc hai đầu lủng lẳng sẽ biến thành một chiếc vòng dệt.

Hình 2 cho thấy các nút “trừu tượng” như vậy đang nhận

*) Tranh của N. Pavlinov trong cuốn “Chuyện biển” của B. Zhitkov, M., “Văn học thiếu nhi”, 1972.

Từ một số nút thắt hàng hải trong Hình 1: nút vosperka được thể hiện trong Hình 2, a, nút mbol được thể hiện trong Hình 2, b, các nút thắt thẳng và nút thắt nữ (trong Hình 1, các nút thắt này có bốn đầu!) biến thành các nút thắt trong Hình 2, c và 2, z, hoặc thành móc (Hình 2, e và 2, e).

Ví dụ về nhắm mục tiêu được hiển thị trong Hình 3.

Trong lý thuyết về nút thắt, sự gắn kết được nghiên cứu ngang bằng với nút thắt; Thật không may, do thiếu không gian nên chúng tôi sẽ không thể nói về họ.

Hình 4 bổ sung cho thiết kế của chúng tôi các mẫu nút mới cùng với các biến thể toán học của chúng.

Ấn tượng đầu tiên của chúng ta về nút thắt dẫn chúng ta đến những định nghĩa sau:

Nút là một đường cong không gian khép kín không có đường tự giao nhau.

Căn chỉnh là một tập hợp gồm hai hoặc nhiều đường cong không gian khép kín rời rạc theo cặp và tự giao nhau.

Hình vẽ của tất cả các nút thắt mà chúng tôi đã kiểm tra đều chứa nhiều điểm – những điểm mà tại đó một số đoạn của đường biểu thị nút thắt giao nhau. Những điểm như vậy trong hình vẽ các nút thắt được gọi là điểm giao nhau - gấp đôi, gấp ba

Hình 2. Phép nhân đôi toán học của một số hải lý.

8

Hình 3. Một bộ sưu tập nhỏ các bánh răng.

hoặc $n$-gấp nếu chúng chứa hai, ba hoặc $n$ dòng. Tất cả các điểm giao nhau trong Hình 2 đều là gấp đôi; Điều này không phải ngẫu nhiên: luôn có thể tránh được ba điểm và các điểm có bội số cao hơn, cũng như sự trùng khớp của các đường và những “sự bất thường” khác của hình ảnh phẳng của một nút bằng cách chọn một “vị trí” thích hợp từ nơi chúng ta “nhìn” vào nút khi Hình 2).

Bất kỳ hình ảnh phẳng nào của một nút, tất cả nhiều điểm của bố cục đều là các điểm giao nhau kép, được gọi là nút diramm.

Tất nhiên, đối với mỗi điểm giao nhau trên sơ đồ nút, cần phải chỉ ra đường nào trong hai đường giao nhau tại điểm này vượt qua “trên” và đường nào “dưới” đường kia (thường là “điểm thấp” của hai đường đi qua, như được thực hiện trong Hình 2).

§ 3. Về nghệ thuật dệt hoa văn nhẫn quái vật

Kinh nghiệm hàng ngày cho chúng ta biết rằng bất kỳ nút thắt nào, thậm chí là nút thắt rất phức tạp, đều có thể được tháo gỡ bằng một chút kiên nhẫn. Nhưng hãy nhớ: khi tháo một nút thắt, theo quy luật, chúng ta sẽ thao túng các đầu của nó. Các nút thắt “trừu tượng” của chúng ta không có điểm kết thúc, và chúng ta nên kỳ vọng rằng nếu không bẻ “sợi dây” mà nút thắt được “kết nối”, chúng ta sẽ không thể tháo hầu hết các nút thắt mà chúng ta đã xem xét.

Hình 4. Nút thắt đơn, nơ và áo len được dệt từ một sợi.

9

Hình 5. Chiếc thang của Jacob có phải là một nút thắt tầm thường?

Theo định nghĩa, một vòng tròn cũng phải được coi là một nút - nút đơn giản nhất trong tất cả các nút, hay còn được gọi là nút tầm thường.

Nhìn vào nút thắt trên cùng trong Hình 1, bạn sẽ nhận thấy rằng nó có thể dễ dàng được cởi ra, trừ khi các vòng của nó che đi các bộ phận của đế tàu.

Bài tập 1. Chứng minh rằng nút trên ở Hình 2, 6 có thể gỡ rối và biến thành hình tròn.

Những nút thắt, giống như nút trên cùng, có thể được cởi trói được gọi là những mối ràng buộc của thế giới tầm thường, hoặc đơn giản là tầm thường.

Những người hâm mộ trò chơi nổi tiếng dùng cọc dây có được kinh nghiệm sâu rộng về nghệ thuật “dệt” những nút thắt tầm thường (nhưng thường rất phức tạp). Một trong những nút thắt này được gọi là “Cái thang của Jacob” được hiển thị trong Hình 5*).

Vì vậy, nút trên cùng, bậc thang của Jacob và vòng tròn là cùng một nút ở các khu vực khác nhau. Có các loại nút khác không? Và làm thế nào để phân biệt các nút?

§ 4. Nút thắt hoang dã và nút thắt thuần hóa

Nhưng trước khi bắt đầu chuyến hành trình nguy hiểm qua Biển Knots vô danh, hãy kiểm tra sức mạnh của con thuyền nhỏ của chúng ta - định nghĩa.

Chúng ta có nên xem xét các đường cong khép kín được mô tả trong

*) Phương pháp thắt nút này trên các ngón tay của hai bàn tay và các chi tiết khác về “trò chơi xâu dây” có thể được tìm thấy trong cuốn sách “Truy cập toán học” của M. Gardir, M., “Mir”, 1972, chương 22.

Hình 6. Hai nút thắt hoang dã. “Khung” màu sẽ có ích sau này.

Hình 7. Thắt nút trước gương.

Hình 6, a, b? Và chúng có phải là đường cong không? Không đi sâu vào chi tiết *), chúng ta phải nhận ra những cấu trúc kỳ lạ này có quyền được gọi là các đường cong và do đó là các nút. Nhưng với những nút thắt “hoang dã”, trái ngược với những nút thắt “thủ công”, tương tự như những nút thắt dây thông thường.

Một nút thắt tay có thể được rút gọn thành một đường đa tuyến không gian khép kín với số lượng liên kết hữu hạn và không có điểm tự giao nhau.

Tất cả các nút được hiển thị trong Hình 2 và 4 có thể được coi là thủ công: mỗi nút được chia thành một số hữu hạn các đoạn “gần như thẳng”. Mặt khác, rõ ràng là các nút trong Hình 6 không được thuần hóa, các nút như vậy được gọi là wild.

Các nút hoang dã có thể có các thuộc tính không mong muốn; ví dụ: nút thắt trong Hình 6, b **) được cởi trói, nhưng chỉ sau vô số thao tác liên tiếp: đầu tiên, vòng lặp $A_1$ phải được xóa khỏi vòng lặp $A_2$, sau đó là vòng lặp $A_2$ từ $A_3$, v.v. Không thể tháo nút thắt này theo nghĩa thông thường.

---

*) Một định nghĩa chặt chẽ về đường cong sẽ cần nhiều trang (ví dụ, xem cuốn sách của A. Parkhomenko “Đường thẳng là gì”, M., 1954).

**) Hình vẽ được lấy từ cuốn sách “Giới thiệu về lý thuyết nút thắt” của R. Crowell và R. Fox, M., “Mir”, 1967.

10

§ 5. Các loại nút có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau

Chúng tôi muốn lý thuyết nút thắt của mình bảo tồn ý tưởng ngây thơ về các nút thắt “buộc ngang nhau” mà tất cả chúng ta đều có. Điều này dẫn đến định nghĩa đầu tiên trong số hai định nghĩa (khác nhau) về loại của một nút.

Định nghĩa đầu tiên: Hai nút được cho là đồng vị hoặc có cùng một loại đồng vị, nếu một nút có thể được “gắn” vào một nút khác mà không cần cắt nó hoặc cho phép tự giao nhau.

Trong thực tế, tính đồng vị của hai nút thắt đôi khi có thể được chứng minh bằng cách sử dụng vòng dây hoặc một loạt sơ đồ hình vẽ. Ví dụ, như chúng ta đã biết, nút trên cùng là đồng vị với thang Jacob và cả hai đều đồng vị với vòng tròn. Đây là một ví dụ khác: một nút đơn (xem Hình 4, a, b) là đồng vị (kiểm tra nó!) của nút thắt đơn giản nhất sau một vòng tròn, như trong Hình 7, a. Do nó giống với đường viền của lá cỏ ba lá nên nút thắt này được gọi là cloverleaf hoặc shamrock. Hãy tự vẽ nút thắt “nơ đôi”; Khi được hai hoặc ba tuổi, bạn đã có thể chứng minh (bằng cách kéo đầu tự do của sợi dây) rằng “cung” (xem Hình 4, c, d) và “cung đôi” là đồng vị với một nút thắt duy nhất, và do đó với một chiếc lá cỏ ba lá.

Bài tập 2. Chứng minh rằng nút thắt thẳng (Hình 2, c) là đồng vị với nút vuông (Hình 8, a), và nút thắt của người phụ nữ là đồng vị với nút thắt của bà (Hình 2, d và 8, b).

11

Hình 8. Chín cuộc triển lãm nữa từ Kunstkamera của chúng tôi.

Định nghĩa thứ hai. Hai nút được cho là tương đương hoặc cùng loại nếu chúng đồng vị hoặc nếu một trong số chúng đồng vị với ảnh phản chiếu của nút kia.

Theo định nghĩa này, mỗi nút tương đương với hình ảnh phản chiếu của nó. Nhưng hình số tám thậm chí còn là đồng vị!

Bài tập 3. Chứng minh điều này bằng cách “buộc” nút thắt trong Hình 7, b (số 8 “trái”) thành số 8 “phải”.

Các nút, giống như hình 8, đồng vị với ảnh phản chiếu của chúng được gọi là nút phản chiếu. Có nút không nhân bản không? Đúng: vào năm 1914, nhà toán học người Đức Dehn, một trong những người sáng lập lý thuyết nút thắt, đã chứng minh bản chất không phản chiếu của lá cỏ ba lá (xem Hình 7, a). Nói cách khác, các nút tương đương không phải lúc nào cũng đồng vị (theo định nghĩa, các nút đồng vị là tương đương). Mặc dù nút vuông và nút granny rất giống nhau (Hình 8a và 8b), chúng không những không đồng vị mà còn không tương đương. Bằng chứng chặt chẽ về điều này

các phát biểu phức tạp hơn, ví dụ, chứng minh tính không tầm thường của số tám (hoặc lá cỏ ba lá). Tuy nhiên, không khó để chỉ ra “lý do” cho sự không tương đương của chúng: nó nằm ở bản chất không phản chiếu của lá cỏ ba lá (chú ý đến Bài tập 9 ở § 8). Các nút thắt của tình bạn thật (Hình 8, c) và giả (Hình 8, d) (có như vậy!), nút thắt nơ, khăn xếp kiểu Thổ Nhĩ Kỳ và hoa hồng Trung Quốc (Hình 8, e, f, g), nút thắt của người tải và thòng lọng (Hình 8, h, i) cũng không tương đương nhau.

§ 6. Bất biến nút thắt

Các nút được phân biệt theo tiêu chí nào? Chỉ cảm nhận rằng hai nút thắt là “tương tự” hoặc “không giống nhau” là chưa đủ: ngay cả những nút thắt đơn giản như lá cỏ ba lá và hình số 8 cũng có thể được mô tả và buộc theo nhiều cách khác nhau (chúng ta đã so sánh Hình 4, b, d và 2, a với Hình 7, a và 7, b). Đối với chúng tôi, chỉ những đặc điểm và thuộc tính của các nút là quan trọng, không phụ thuộc vào phương pháp triển khai hoặc biểu diễn của chúng và do đó trùng khớp với tất cả các nút cùng loại.

12

Hình 9. Nút này có phải là một đường gãy năm liên kết khép kín không?

Những đặc điểm như vậy được gọi là bất biến nút *).

Hầu hết các bất biến đã biết đều khá khó xác định và tính toán.

Bất biến đại số được nghiên cứu và thuận tiện nhất - nhóm nút - được tính theo các quy tắc được mô tả chính xác, về nguyên tắc, bất kỳ học sinh trung học nào cũng có thể ghi nhớ; tuy nhiên, để hiểu cả những quy tắc này và (tất nhiên là quan trọng hơn) định nghĩa của các nhóm nút, bạn cần biết phần đầu của cấu trúc liên kết và các phép tính đại số. Sử dụng nhóm nút, người ta thường chứng minh rằng một nút là không tầm thường hoặc hai nút không tương đương.

*) Bất biến (một từ có nguồn gốc Latin) - không thay đổi, không phụ thuộc vào hình thức.

Sẽ thú vị hơn nhiều khi làm quen với các bất biến số đơn giản nhất, bao gồm số lần giao nhau tối thiểu và loại nút thắt. Đối với các nút khá đơn giản, giá trị của các bất biến này có thể được tìm thấy ngay từ sơ đồ nút; nhưng thường rất khó chứng minh số tìm được là giá trị của bất biến.

A. Số lần đi qua nút tối thiểu

Từ tất cả các sơ đồ (xem § 2) của nút B, chúng tôi chọn sơ đồ có số lượng giao cắt là tối thiểu. Số M (B) này được gọi là số lần giao nhau tối thiểu của nút B.

Pravante có 4.1. Chứng minh rằng M(A) = 0 khi và chỉ nếu nút A là hóa trị ba.

2. Chứng minh rằng không có nút A nào mà M(A) = 1 hoặc M(A) = 2.

3. Trong § 5, người ta đã đề cập (mặc dù tôi không chứng minh điều đó) rằng hình tròn, lá cỏ ba lá và số tám không tương đương theo từng cặp. Sử dụng điều này, chứng minh rằng các đẳng thức M (A) = 3 và M (B) = 4 được thỏa mãn khi và chỉ nếu nút A tương đương với lá klever và nút B tương đương với lá 8. Do đó, chúng tôi đã thu được thông tin toàn diện về các nút có số lần giao cắt tối thiểu không vượt quá 4.

B. “Độ đứt” của nút Theo định nghĩa về nút thắt tay (§ 4), chúng ta hãy tưởng tượng nút A

Hình 10. Nút thắt nhỏ trên quả cầu, lá klever trên chiếc bánh rán và hình số tám trên chiếc bánh quy xoắn.

13

Hình 11. Quả cầu có tay cầm và dây tori.

ở dạng một đường đứt nét khép kín với số lượng liên kết nhỏ nhất có thể. Hãy gọi số này là I (A) là “độ hỏng” của nút A.

Độ căng 5. Tính toán độ “độ đứt” của nút thắt, như trong Hình 9 (đáp số: tám). “Độ gãy” của hình số tám là gì? Có ba, bốn nút thắt và gót chân bị “gãy” không?

B. “Số bánh kẹo” của nút

Trong số tất cả các nút, chỉ có thể vẽ một vòng tròn trên một hình cầu không có điểm tự giao nhau; Một chiếc lá kleve có thể được vẽ trên một chiếc bánh rán (hình xuyến) và đối với hình số tám, bạn cần một chiếc bánh quy xoắn; cách đặt các nút này trên các bề mặt như vậy có thể được xem trong Hình 10, a, b, c.

Cả hình xuyến và “bánh quy xoắn” đều được lấy từ một quả cầu hình nấm, trên đó các “tay cầm” hình nấm rỗng được dán vào đó (xem Hình 11, a, b).

Số lượng tay cầm nhỏ nhất cần được dán vào hình cầu để trên bề mặt thu được có thể đặt nút A mà không có điểm tự giao nhau - ngoại trừ bất biến K (A) của nút A.

Lực căng 6. Những nút thắt có K (A) = 1 được gọi là nếp nhăn. Xây dựng tất cả các nút Toric với số giao điểm tối thiểu bằng 3, 5, 7.

Bất biến K(A) không có mục đích chung. Chúng tôi sẽ gọi đây là “số bánh kẹo” của nút. Để định nghĩa K(A) trở nên hoàn toàn chính xác, cần phải

14

Hình 13. “Nút viền” của hình cầu có tay cầm.

nhưng hãy chứng minh rằng đối với bất kỳ nút nào cũng có ít nhất một hình cầu có tay cầm mà trên đó nút này có thể được đặt mà không có điểm tự giao nhau.

Bài tập 7. Hãy nghĩ cách xây dựng một hình cầu như vậy có tay cầm bằng sơ đồ nút (gợi ý: Hình 12).

§ 7. Loại của một nút là bất biến số quan trọng nhất

Đằng sau sự đơn giản của định nghĩa cuối cùng là một nhược điểm: bất kỳ nút thắt nào cũng có thể được đặt trên một hình xuyến, bạn chỉ cần “buộc” hình xuyến bằng một nút thắt như vậy! (Có thể xem cách thực hiện, ví dụ, từ Hình 11, 8, 2.) Do đó, khi xác định “số bánh kẹo”, cần đảm bảo rằng các tay cầm của quả cầu “không bị trói”: ví dụ, chúng rất nhỏ, nằm rải rác trên bề mặt của quả cầu cách xa nhau và có hình dạng “nửa chiếc bánh rán” (như trong Hình 11, 6).

Ngược lại, khi xây dựng, có lẽ, hữu ích nhất trong số các bất biến số, chúng ta xem xét chính xác các hình cầu với sự sắp xếp tùy ý của các tay cầm (các tay cầm có thể đan xen, buộc và khóa liên động); và một hạn chế được áp đặt đối với phương pháp đặt một nút trên một bề mặt như vậy: họ yêu cầu rằng sau khi cắt dọc theo nút, bề mặt này sẽ vỡ thành hai phần. Ví dụ, rõ ràng là sau khi cắt hình xuyến và “bánh quy xoắn” dọc theo các nút trong Hình 10, 6, 8 (hãy kiểm tra xem!) bạn chỉ nhận được

Hình 14. Việc thay đổi vị trí của các nút không làm thay đổi thành phần của chúng.

15

Hình 15. Các dạng khác nhau của một nút.

một “mảnh” bề mặt. Những chiếc bánh quy xoắn, được cắt dọc theo các đường viền nút trong Hình 13, a, b, mỗi phần chia thành hai phần - phần trên, hướng về phía chúng ta và phần dưới (phần đầu tiên là lá kleve và phần thứ hai là hình số tám).

Loại P (A) của nút A là một nửa số tay cầm nhỏ nhất trên một hình cầu cho phép “cắt” vị trí của nút A.

8. Chứng minh rằng khi cắt dưới dạng một hình xuyến được kết nối góc dọc theo bất kỳ nút nào trên đó, bạn chỉ có thể nhận được một “mảnh” được kết nối của bề mặt. (Cùng với các hình 13, a, b, khẳng định này chứng tỏ chi của lá và số 8 bằng một.)

Chúng ta vẫn cần chứng minh khả năng sắp xếp “cắt” bất kỳ nút nào trên ít nhất một hình cầu có tay cầm; Ngoài ra, định nghĩa gợi ý rằng “số lượng tay cầm ít nhất” luôn là số chẵn (điều này thực sự đúng - xem bài tập 12 trong § 10). Chúng ta sẽ quay lại những câu hỏi này trong § 10, nơi chúng ta sẽ chứng minh tính chất đáng chú ý nhất của loại nút thắt.

§ 8. Số học về nút thắt

Nếu hai nút thắt được buộc cạnh nhau trên cùng một sợi dây thì nút thắt đó được gọi là sản phẩm hoặc thành phần của hai nút thắt này.

Hoạt động của thành phần nút rất giống với hoạt động nhân các số nguyên.

1. Vai trò của “đơn vị” trong “phép nhân” của hai nút thắt rõ ràng là do nút trupal – hình tròn. Ký hiệu nó bằng chữ E và thành phần của hai nút A và B bằng A # B, chúng ta thu được A = E # A = A # E (xem Hình 14, a).

2. Thành phần là một phép toán giao hoán:

A # B = B # A.

Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng cách chạy một nút thắt “xuyên qua” nút thắt khác dọc theo sợi dây (ví dụ, xem Hình 14, b-d).

Khi nới lỏng 9. Nút thắt vuông và nút babushkin có thể được phân tách thành hai nút thắt. Làm thế nào để thực hiện điều này và sự khác biệt giữa hai cách phân tách này là gì?

Tính giao hoán của các chế phẩm thường được sử dụng thuận tiện để chứng minh tính đồng vị của các nút; ví dụ, ba nút trong Hình 15, a, b, c là đồng vị, vì… Nhưng sẽ thú vị hơn nếu bạn hiểu được điều thực tế này.

Thành phần của các nút thắt cũng có thể được xác định theo cách dễ hiểu đối với trẻ em - những người yêu thích các nút thắt chắc chắn hơn, thường là trên dây giày của chính chúng: nút đầu tiên được buộc, sau đó là nút thứ hai, rồi nút thứ ba, v.v.

U nới lỏng 10. Sử dụng ý tưởng “di chuyển” một nút dọc theo sợi dây, chứng minh rằng nút thắt phức tạp như vậy là đồng vị với thành phần các nút cấu thành của nó. Nói cách khác, định nghĩa mới về bố cục về cơ bản trùng khớp với định nghĩa cũ.

3. Nút B chia nút A nếu nó tìm thấy nút C sao cho

A = B # C.

Giống như sự thống nhất, nút ba chỉ phân chia thành chính nó.

16

Nếu không, không một nút thắt tầm thường nào có thể được tháo ra bằng cách buộc một nút khác bên cạnh nó.

Đây là một tuyên bố rõ ràng trong bằng chứng thoạt nhìn. Đây là ý tưởng cho một bằng chứng khả thi: giả sử rằng $A \# B = E$; Chúng ta hãy buộc tuần tự vô số cặp nút thắt $A$ và $B$. Chúng ta nhận được nút hoang dã như trong Hình 6, $a$. Nó có thể được cởi trói dễ dàng - để làm được điều này, chỉ cần đồng thời cởi vô số cặp $A_k$, $B_k$ bên trong tất cả các hình thang màu đỏ là đủ (hãy nhớ rằng $A_k = A$, $B_k = B$ và $A \# B = E$). Nếu chúng ta cũng đồng thời tháo tất cả các cặp $(B_1, A_2)$, $(B_2, A_3)$, … bên trong các hình thang đồng bộ, chúng ta thu được nút thắt $A_1$ (= $A$); do đó nó được hoàn tác! Vì vậy, $A = E$, và do đó, $B = E$.

4. Một nút được gọi là đơn giản nếu nó không tầm thường và chỉ được chia thành một nút tầm thường và thành các nút đồng vị với chính nó.

Giống như số nguyên tố, có vô số nút nguyên tố. Chúng tôi sẽ cho bạn biết thêm về các nút đơn giản trong § 9.

5. Giống như một số tự nhiên, bất kỳ nút không tầm thường nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của một số hữu hạn các nút đơn giản và cách biểu diễn như vậy là duy nhất.

Bằng chứng về tính chất 4 và 5 được tìm thấy tương đối gần đây - vào năm 1949 (khả năng phân tách một nút thành các nút đơn giản sẽ được thảo luận trong đoạn tiếp theo; chúng tôi không chứng minh cách biểu diễn duy nhất như vậy).

§ 9. Về những nút thắt đơn giản

Sự tồn tại của những nút thắt đơn giản đã được chứng minh hơn hai mươi năm sau khi những nút thắt đơn giản được thu thập và hệ thống hóa; vào năm 1926, nhà toán học người Mỹ Alexaan Holder (một trong những người sáng lập lý thuyết nút thắt) và Briggs đã xuất bản một bảng biểu đồ nút thắt (lúc đó chúng chưa được gọi là đơn giản), tương tự như bảng số nguyên tố*) (tr. 17). Vị trí của một nút trong bảng trước hết được xác định bởi số lần giao nhau tối thiểu của nó và giữa các nút có cùng số - trước hết là bởi “số bánh kẹo” của nút, sau đó là bởi các bất biến khác vẫn còn xa lạ với chúng ta.

Bài tập 11. Tìm tất cả các nút đơn giản trong Hình 2-8 và sơ đồ của chúng trong bảng. Tính giá trị các bất biến M, I, K, P cho các nút này.

Bằng chứng về cả sự tồn tại của các nút đơn giản và khả năng phân tách của bất kỳ nút không tầm thường nào thành một số hữu hạn các nút đơn giản đều dựa trên tính chất thay thế của loại nút: loại thành phần của hai nút bằng tổng của loại “yếu tố”, đó là:

$$P(A \# B) = P(A) + P(B).$$

Chúng ta đã nói về thuộc tính này trong § 10 và bây giờ chúng ta sẽ sử dụng nó hai lần.

1°. Vì vậy, hãy xem xét nút không tầm thường $A$. Nếu nó đơn giản thì sự tồn tại của các nút đơn giản đã được chứng minh, cũng như khả năng phân tách của nút $A$ thành một số hữu hạn các nút đơn giản. Mặt khác, chúng tôi phân tách $A$ thành một tập hợp gồm hai nút, sau đó, nếu có thể, chúng tôi phân tách nút nào trong số các nút “yếu tố”, v.v. Không quá $(P(A) - 1)$ bước, chúng ta sẽ có được bản mở rộng mà chúng ta cần - loại của mỗi “nhân tố” (không tầm thường!) Ít nhất là 1 và tổng của tất cả chúng là $P(A)$.

2°. Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một bằng chứng cực kỳ ngắn gọn về nhận định “không có nút thắt tầm thường nào có thể được cởi bằng cách buộc một nút khác bên cạnh nó” (xem § 8, tính chất 3). Thật vậy, nếu $A \# B = E$, thì $P(A \# B) = P(A) + P(B) = 0$, vậy $P(A) = P(B) = 0$, và do đó $A = B = E$.

§ 10. Giới tính và thành phần

Trước khi chuyển sang chứng minh đẳng thức $P(A \# B) = P(A) + P(B)$, chúng ta quay lại nhận xét ở cuối § 7 và cố gắng thiết lập một lỗ hổng trong định nghĩa về loại nút thắt.

Vì vậy, hãy chứng minh rằng đối với một nút nhất định luôn có ít nhất một

$3_1$ $4_1$ $5_1$ $5_2$ $6_1$
$6_2$ $6_3$ $7_1$ $7_2$ $7_3$
$7_4$ $7_5$ $7_6$ $7_7$ $8_1$
$8_2$ $8_3$ $8_4$ $8_5$ $8_6$
$8_7$ $8_8$ $8_9$ $8_{10}$ $8_{11}$
$8_{12}$ $8_{13}$ $8_{14}$ $8_{15}$ $8_{16}$
$8_{17}$ $8_{18}$ $8_{19}$ $8_{20}$ $8_{21}$

2 «Kvant» № 7

18

Hình 16. Phim hai mặt, căng trên một tờ keo và sơn mỗi mặt bằng một màu khác nhau.

một quả cầu có tay cầm trên đó có thể đặt nút này để nó chia toàn bộ bề mặt thành hai “mảnh”. Hãy lấy nút thắt của chúng ta và “kéo” một bề mặt hai mặt lên trên nó (giống như màng xà phòng trên khung dây); một trong những phương pháp “kéo” như vậy được mô tả trong chương 9 của cuốn sách đã được đề cập bởi M. Gardner (xem skoku ở trang 9). Cách thực hiện điều này, ví dụ, đối với lá kleve, có thể được xem trong Hình 16, b-g.

Nhận xét e. Một bề mặt có cạnh là một nút nhất định sẽ không phải lúc nào cũng có hai mặt; Lá Moebus trong Hình 16, a là một ví dụ về bề mặt một mặt được kéo căng trên một nút thắt nhỏ!

Chúng tôi sẽ giả định rằng màng mà chúng tôi “kéo dài” lên nút thắt là gấp đôi (theo nghĩa mà cụm từ “tờ giấy đôi” được sử dụng), do đó được dán lại với nhau ở các cạnh, nghĩa là, một thứ tương tự như một quả bóng bay xì hơi. Bây giờ chúng ta hãy thổi phồng “quả bóng bay” này; chúng ta sẽ có một hình cầu có tay cầm mà nút của chúng ta được “vẽ”. Nếu bạn cắt “quả bóng” dọc theo nút thắt, nó sẽ tách thành hai màng và dán lại với nhau.

Bài tập 12. Hãy giới thiệu khái niệm “hình cầu có cạnh có tay cầm”: trên hình cầu chúng ta đặt một “cạnh” dọc theo đường xích đạo, trên mỗi tay cầm - hai hình ảnh đối diện nhau và dán các tay cầm, nối các đầu của kanten trên quả cầu và trên tay cầm (tay cầm có thể xoắn, như trong Hình 13, a, b). Chứng minh rằng nếu một nút thắt cắt một hình cầu có số tay cầm không khí nhỏ nhất thì nút thắt này có thể được thực hiện như một đường viền cho hình cầu của chúng ta (Hình 16, ví dụ có thể dùng làm minh họa).

Bài tập 13. Chứng minh rằng cạnh của một hình cầu có số tay cầm lẻ “cắt” hình cầu này thành hai mảnh sẽ luôn không phải là một nút thắt mà là một cái móc.

19

Hình 17. Quả cầu có tay cầm được uốn cong như thế nào?

Từ bài tập 12 và 13, có thể thấy rằng loại của bất kỳ nút nào cũng là một số nguyên.

Sau khi loại bỏ sự mơ hồ trong định nghĩa về loại của một nút, giờ đây chúng tôi chứng minh rằng loại của thành phần của hai nút bằng tổng của loại của các thành phần.

Không khó để chứng minh bất đẳng thức P (A ≠ B) ≤ P (A) + P (B): lấy hai quả cầu có tay cầm 2P (A) và 2P (B) và các nút A và B nằm trên chúng được “cắt”, và nối các quả cầu thành một “quả tạ” có 2 tay cầm (P(A) + P(B)) sao cho các nút tạo thành bố cục A # B (xem hình 17 chẳng hạn). Rõ ràng, nút A#B cắt “quả tạ”.

Hình 18. Cách “điều chỉnh” hai bề mặt có nút A và B từ một bề mặt có nút A#B

2* 19

20

Bài tập 14. Chứng minh bất đẳng thức tương tự
$$M(A \# B) \leq M(A) + M(B),$$
$$K(A \# B) \leq K(A) + K(B).$$

Bất đẳng thức $P(A \# B) \geq P(A) + P(B)$ khó chứng minh hơn (đối với bất biến $M$ và $K$, bất đẳng thức tương tự không phải lúc nào cũng đúng).

Hãy xem xét một hình cầu có tay cầm 2P ($A \# B$) và nút “cắt” $A \# B$ trên đó.

Theo định nghĩa về thành phần, chẳng hạn, chúng ta luôn có thể “kéo” các nút $A$ và $B$ ra một khoảng cách đáng kể với nhau để chúng được kết hợp thành một thành phần bằng hai đoạn song song nối chúng lại ($KL$ và $MN$ trong Hình 18, a); Đồng thời, chúng ta sẽ phải “làm tan chảy” quả cầu ban đầu có tay cầm.

Bây giờ chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng ngăn cách các nút $A$ và $B$. Mặt phẳng này cắt hình cầu bằng các tay cầm, trước tiên, dọc theo một “ống” dọc theo đó có hai đoạn đi qua nối các nút (chứng minh rằng các đoạn này thực sự đi qua một ống chứ không phải qua hai ống khác nhau!); Hãy bịt kín hai lỗ được tạo thành bằng các “miếng vá” có vẽ các vòng cung trên đó, đóng từng nút (cung $PQ$ và $RS$ trong Hình 18, b). Thứ hai, máy bay có thể “vô tình” cắt “lỗ” ở những phần của quả cầu bằng tay cầm không có đường thắt nút; Hãy che những “lỗ” này bằng “miếng vá” (lần này không vẽ vòng cung).

Rõ ràng là mỗi nút kết quả $A$ và $B$ nằm trên hình cầu riêng của nó với các tay cầm và cắt nó, và tổng số tay cầm của mỗi quả cầu này không lớn hơn số tay cầm của hình cầu ban đầu, tức là $P(A \# B) = P(A) + P(B)$, là số lượng được yêu cầu.

Bài tập 15. Hãy thử cách tương tự để chứng minh bất đẳng thức $K(A \# B) \geq K(A) + K(B)$.

Bây giờ chúng tôi đã hoàn thành hành trình khó khăn của mình. Nếu bạn muốn tiếp tục, cuốn sách thú vị (nếu khó) của Crowell và Fox sẽ là tài liệu hướng dẫn cho bạn.

Đại số bài toán

1. Chứng minh rằng $x^{13} - 1 = (x - 1)(x^6 - ax^5 + 2x^4 + bx^3 + 2x^2 - ax + 1) \times (x^6 - bx^5 + 2x^4 + ax^3 + 2x^2 - bx + 1)$, trong đó $a$ và $b$ là nghiệm của phương trình bậc hai $z^2 + z - 3 = 0$. Tìm một khai triển tương tự cho $x^{17} - 1$, chọn $a$ và $b$ nghiệm của phương trình bậc hai $z^2 + z - 4 = 0$.

2. Đặt $\alpha, \beta, \gamma$ là nghiệm của phương trình bậc ba $x^3 + bx + c = 0$. Viết phương trình với nghiệm $\alpha(\beta - \gamma)^2, \beta(\gamma - \alpha)^2, \gamma(\alpha - \beta)^2$.

3. Chứng minh rằng với mọi giá trị tự nhiên $r$ số
   $$N_1 = r^{r+1} - 2r^r + 1,$$
   $$N_2 = 2r^{r-2} - r^{r-3} - 1$$
   $(r > 2),$$$$N_3 = r^{r+1} - 2r + 1,$$$$N_4 = r^{r-2} + r - 2$$делятся на целое на$(r - 1)^2$, а числа$N_1$и$N_2$делятся на целое на$(r - 1)^3$, если$r$четно. 4. Доказать, что если$(x + y)(x + z) = bcyz, (y + z)(y + x) = acxz, (z + x)(z + y) = abxy, thì $a + b + c = abc + 2$ hoặc $a + b + c = abc - 2$.

4. Chứng minh rằng nếu $x + y + z = 0, \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} + \frac{z^2}{c} = 0, ayz + bzx + cxy = 0$ thì $(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) = abc$.

5. Giả sử số tự nhiên $D$ sao cho khi chuyển phân số $\frac{1}{D}$ sang số thập phân sẽ thu được số phân số tuần hoàn có $p$ chữ số trong dấu chấm. Chúng ta hãy biểu thị bằng $N(n, m)$ một số tự nhiên, ký hiệu thập phân của nó bao gồm $m$ nhóm có dạng 00…01 và trong mỗi nhóm $n - 1$ có một số 0 (trong nhóm ngoài cùng bên trái, các số 0 bị bỏ qua). Chứng minh rằng nếu $n$ chia hết cho $p$ thì $N(n, m)$ chia hết cho $D$ khi và chỉ khi $m$ chia hết cho $D$.

H. B.

21

Lý thuyết lượng tử và vật lý nhiệt độ thấp xuất hiện gần như đồng thời vào đầu thế kỷ này. Lúc đầu, họ phát triển độc lập với nhau, nhưng sau đó mối liên hệ sâu sắc giữa những “người ngang hàng” này đã lộ ra. Trước hết, rõ ràng là nếu không có vật lý lượng tử thì không thể giải thích được các hiện tượng quan sát được ở nhiệt độ thấp. Sau đó, và đặc biệt là trong những năm gần đây, bản thân vật lý nhiệt độ thấp đã có những đóng góp quan trọng cho lý thuyết lượng tử.

Lượng tử là một khái niệm cơ bản của vật lý hiện đại. Tầm quan trọng của khái niệm này được củng cố bởi tên của tạp chí bạn đang đọc hiện tại. Một trong những quy định chính của vật lý lượng tử là mục đích của một số đại lượng vật lý, chẳng hạn như năng lượng, động lượng, v.v., trong định nghĩa về các điều kiện lượng tử hóa, nghĩa là chúng chỉ có thể áp dụng một chuỗi giá trị rời rạc. Nhưng vào thời không phải Advenan, người ta tin rằng lượng tử hóa chỉ liên quan đến thế giới vi mô, tức là nó là đặc trưng của các quá trình xảy ra trong nguyên tử, hạt nhân nguyên tử, v.v. Thật vậy, khi nghiên cứu các vật thể vĩ mô, chúng ta đang xử lý một số lượng lớn các hạt. Và mặc dù hành vi của từng hạt riêng lẻ được mô tả bằng các định luật vật lý lượng tử, nhưng nói chung, trong một mẫu vĩ mô, sự lượng tử hóa năng lượng, động lượng và các đại lượng vật lý khác không biểu hiện do chuyển động nhiệt hỗn loạn của các hạt. Những cái hiệu quả lượng tử dường như đang “biến mất” một cách thành công. Do đó, chuyển động nhiệt của các nguyên tử làm ảnh hưởng đến các định luật lượng tử. Tuy nhiên, nghiên cứu một số vật thể vĩ mô có kích thước lớn hơn hàng trăm nghìn lần so với vật thể nguyên tử. Gần độ không tuyệt đối, khi chuyển động nhiệt không đóng vai trò quan trọng thì việc quan sát trực tiếp các định luật lượng tử trở nên khả thi.

Hai hiện tượng lượng tử hóa vĩ mô sẽ được thảo luận sâu hơn trong bài viết này.

Lượng tử hóa từ thông

Đầu tiên chúng ta chuyển sang hiện tượng siêu dẫn. Các chất siêu dẫn, như đã biết, đáng chú ý ở chỗ ở một nhiệt độ nhất định (được gọi là tới hạn và ký hiệu là $T_k$) điện trở biến mất. Hiện tượng này được nhà khoa học người Hà Lan Kamerlingh Onnes phát hiện vào năm 1911. Nhưng bản chất của chất siêu dẫn đã trở nên rõ ràng gần nửa thế kỷ sau, vào năm 1957, khi lý thuyết về chất siêu dẫn cuối cùng đã được xây dựng.

Trong bài này chúng ta sẽ không tập trung vào việc giải thích tính siêu dẫn.

22

Hãy nói về một số hiện tượng được quan sát thấy trong thế giới chất siêu dẫn, những hiện tượng trong đó có lẽ các định luật vật lý lượng tử được thể hiện rõ ràng nhất.

Hãy bắt đầu với thí nghiệm sau. Chúng ta hãy kích thích một dòng điện trong một vòng kim loại (ví dụ bằng cảm ứng điện từ). Ở nhiệt độ phòng, dòng điện trong vòng sẽ nhanh chóng suy giảm. Dòng điện đi kèm với tổn thất nhiệt và những tổn thất này dẫn đến suy giảm dòng điện.

Một bức tranh hoàn toàn khác được quan sát thấy trong trường hợp nhiệt độ gần bằng 0 tuyệt đối và kim loại là chất siêu dẫn. Trong những điều kiện này, dòng điện một lần được cấp điện sẽ không bị suy giảm. Ở một trong các thiết bị quang học, dòng điện đã lưu thông trong vòng siêu dẫn trong 2,5 năm và nếu thí nghiệm không bị dừng lại, nó có thể đã lưu thông vô thời hạn.

Thoạt nhìn, hình ảnh mô tả về dòng điện không suy giảm trong vòng siêu dẫn có vẻ dễ giải thích. Trên thực tế, trong chất siêu dẫn, dòng điện chạy không có điện trở. Không có tổn thất niềm vui nào trong đó. Do đó, các electron không bị mất đặc tính năng lượng có thể di chuyển xung quanh vòng bao lâu tùy thích.

Tuy nhiên, tình hình phức tạp hơn nhiều. Tất nhiên, không có tổn thất nhiệt trong chất siêu dẫn. Tuy nhiên, bức tranh vẫn còn bí ẩn và hoàn toàn không thể giải thích được theo quan điểm của vật lý cổ điển.

Hãy xem xét vấn đề này chi tiết hơn. Chuyển động của các electron tạo thành dòng điện trong vòng không đồng đều. Các electron chuyển động theo vòng tròn và do đó tăng tốc. Nhưng gia tốc chuyển động của điện tích luôn đi kèm với sự phát ra sóng điện từ *). Phải phát ra điện

*) Chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết của M. I. Kaganov “Electron chuyển động nhờ ma sát” trong «Kvant», 1974, số 12.

sóng từ và các electron chuyển động với gia tốc hướng tâm trong vòng kim loại. Việc tiêu thụ năng lượng dần dần cho bức xạ sẽ dẫn đến sự suy giảm dòng điện trong vòng, ngay cả khi không có tổn thất nhiệt.

Nhưng kinh nghiệm (cụ thể là, chính thẩm phán chính là người quyết định tính đúng đắn của bất kỳ xem xét lý thuyết nào) cho thấy rằng dòng điện không tắt và có thể lưu thông trong vòng siêu dẫn bao lâu tùy thích.

bài toán đã xuất hiện trong lịch sử vật lý.

Năm 1911, Rutherford, dựa trên các thí nghiệm cổ điển về tán xạ hạt α, đã tạo ra mô hình hành tinh của nguyên tử. Ông đề xuất (bây giờ chúng ta đã tự rút gọn thành một mô hình hành tinh đến nỗi từ “gợi ý” thậm chí nghe có vẻ kỳ lạ) rằng một nguyên tử bao gồm một hạt nhân và các electron quay xung quanh nó theo quỹ đạo tròn.

Khó khăn chính của mô hình hành tinh nguyên tử có liên quan đến sự gia tốc chuyển động của các electron xung quanh hạt nhân. Một electron chuyển động với gia tốc hướng tâm sẽ phát ra sóng điện từ, trong khi năng lượng của nó sẽ giảm và điều này sẽ dẫn đến việc nó rơi vào hạt nhân. Nói cách khác, từ các nguyên lý cơ bản của vật lý hiện tượng điện từ, kết luận sau đây là mô hình hành tinh của nguyên tử là không ổn định. Nhưng trên thực tế, các nguyên tử ổn định.

Nghiên cứu về khó khăn cơ bản cản trở việc thừa nhận mô hình hành tinh của nguyên tử đã dẫn đến việc tạo ra lý thuyết lượng tử của Bohr. Theo thông tin đầu vào của Bohr, quỹ đạo thay đổi đáng kể; khi chuyển động dọc theo một electron tròn, nó phát ra sóng điện từ *). Phải phát ra điện

n là số nguyên (n = 1, 2, 3, . . .).

Trong mỗi quỹ đạo này, electron có một định nghĩa đầy đủ về năng lượng. Nói cách khác, trong lý thuyết lượng tử của nguyên tử, động lượng góc và năng lượng của electron chỉ có thể nhận một chuỗi giá trị rời rạc.

23

Bohr đã giữ lại mô hình hành tinh của nguyên tử và đi đến kết luận rằng trong vũ trụ vi mô có những định luật hoàn toàn khác với các định luật do các nhà vật lý thiết lập khi nghiên cứu vũ trụ vĩ mô thông thường xung quanh chúng ta.

Bây giờ chúng ta quay trở lại câu chuyện về một vòng siêu dẫn trong đó có một dòng điện không bị tắt dần chuyển động. Trong trường hợp này, sự phát xạ sóng điện từ không xảy ra với lý do tương tự như lý do electron không phát ra khi chuyển động xung quanh hạt nhân nguyên tử. Trong cả hai trường hợp, các định luật vật lý lượng tử đều đóng một vai trò quan trọng. Nhưng nếu khi nghiên cứu tính chất của một nguyên tử, chúng ta gặp phải sự lượng tử hóa trong vũ trụ vi mô mà chúng ta không thể quan sát trực tiếp, thì chất siêu dẫn cung cấp một ví dụ về lượng tử hóa một đại lượng vĩ mô mà chúng ta có thể quan sát trực tiếp - cường độ dòng điện.

Hóa ra cường độ dòng điện trong vòng siêu dẫn không thể nhận bất kỳ giá trị số nào và thay đổi liên tục. Đối với toàn bộ tập thể điện tử chuyển động trong một vòng như vậy, sẽ xuất hiện một quỹ đạo “Bohr” khổng lồ. Giống như trong mô hình hành tinh của nguyên tử, quỹ đạo cho phép của electron được đặc trưng bởi các giá trị nhất định của động lượng và năng lượng góc, quỹ đạo khổng lồ của electron trong các vòng siêu dẫn được đặc trưng bởi các giá trị được xác định rõ ràng của cường độ dòng điện.

Vì dòng điện siêu dẫn có liên quan chặt chẽ với từ trường (xem Hình 1), nên việc lượng tử hóa dòng điện dẫn đến thực tế là cảm ứng trường $B$ chỉ có thể nhận một chuỗi giá trị rời rạc. Do đó, từ thông $\Phi = \pi r^2 B$ qua tiết diện của vòng siêu dẫn cũng sẽ bị lượng tử hóa. Nói cách khác, từ thông $\Phi$ có ​​thể là bội số của một phần tối thiểu nhất định - lượng tử từ thông $\Phi_0$, tức là $\Phi = N\Phi_0$, trong đó $N$ là một số nguyên. Từ thông là một đại lượng vĩ mô và khả năng lượng tử hóa của nó có nghĩa là sự chuyển đổi sang đại lượng khổng lồ

so với lượng tử hoá ở quy mô nguyên tử.

Một thí nghiệm trong đó quan sát thấy sự lượng tử hóa từ thông đã được các nhà vật lý người Mỹ B. Deaver và W. Fairbank thực hiện vào năm 1961. Một lớp thiếc mỏng được phủ lên toàn bộ bề mặt của một dây đồng có đường kính $1{,}3 \cdot 10^{-3}$ cm. Do đó, người ta thu được một hình trụ thiếc “rỗng”, và một dòng điện siêu dẫn được kích thích trong hình trụ này ở nhiệt độ dưới $T_к = 3{,}8°$ K (ở $T < 3{,}8°$ K thiếc trở thành chất siêu dẫn). (Đồng không phải là chất siêu dẫn, và do đó nó đóng vai trò là lõi cần thiết để chế tạo một hình trụ siêu dẫn. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ nói về một hình trụ bằng thiếc. Một dòng điện liên tục chạy trong nó.) Để đo từ thông trong khoang được bao quanh bởi dòng điện này, một cuộn dây cảm ứng được đặt ở một đầu của hình trụ. Hình trụ được đặt vào trạng thái dao động dọc theo trục của nó, tần số dao động đạt tới 100 Hz. Đồng thời, một dòng điện cảm ứng xuất hiện trong cuộn dây, cho phép người ta đánh giá độ lớn của từ thông nằm bên trong hình trụ. Kinh nghiệm đã chỉ ra rằng dòng chảy bằng $\Phi = \pi r^2 B$ ($r$ là bán kính của hình trụ) có một chuỗi giá trị rời rạc:

$$\Phi = N\Phi_0,$$

$N$ là số nguyên ($N = 1, 2, 3, \ldots$) và $\Phi_0$ là lượng tử từ thông.

Hình 1.

24

Hình 2 biểu diễn đồ thị biến thiên từ thông qua tiết diện của một bóng đèn siêu dẫn với sự thay đổi liên tục của từ trường ngoài làm kích thích dòng điện trong bóng đèn.

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ tính giá trị của lượng tử từ thông $\Phi_0$. Hóa ra nó bằng $2 \cdot 10^{-15} \text{вб}$. Đây là giá trị phần nhỏ nhất của từ thông. Giá trị của lượng tử cảm ứng từ, như có thể thấy từ công thức $\Phi = \pi r^2 B$, phụ thuộc vào bán kính của hình trụ. Trong thí nghiệm của Deaver và Fairbank, nó bằng $1.3 \cdot 10^{-3} \text{см}$ và lượng tử từ thông tương ứng với trường $B \approx 5 \cdot 10^{-6} \text{мл}$. Đây là giá trị tối đa. Nó luôn nhỏ hơn 10 lần so với cảm ứng từ trường của Trái đất.

Lượng tử từ thông

Chúng ta sẽ quay lại thí nghiệm trong đó phát hiện ra lượng tử hóa từ thông, và bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang câu hỏi: làm thế nào để tính giá trị của lượng tử từ thông $\Phi_0$? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng sự tương tự với mô hình hành tinh của nguyên tử và chấp nhận các biểu diễn của lý thuyết Bohr cho dòng điện chạy trong bình (hoặc hình trụ).

Các electron chuyển động trong bình siêu dẫn tương tự như các electron nguyên tử nằm trong quỹ đạo Bohr. Chúng ta hãy viết ra các điều kiện để lượng tử hóa xung lượng góc của các electron này:

$$mvr = N\hbar.$$

Bây giờ, $r$ không nên được hiểu là bán kính quỹ đạo của electron mà là bán kính của bóng đèn trong đó dòng điện siêu dẫn chuyển động. Vì bán kính của bóng đèn là một đại lượng được xác định nên điều kiện (*) có thể được coi là điều kiện để lượng tử hóa động lượng của electron $p = mv$. Lượng tử hóa xung có nghĩa là dòng điện trong bóng đèn chỉ có thể nhận một chuỗi giá trị rời rạc. Và điều này lại dẫn đến sự lượng tử hóa từ thông. Hãy cùng tìm hiểu xem $p$ và $\Phi$ có liên quan với nhau như thế nào.

Năng lượng của dòng điện $I$ chạy qua mạch có độ tự cảm $L$ bằng $E = \frac{LI^2}{2}$. Công thức tương tự áp dụng cho trường hợp mạch siêu dẫn *).

Vì từ thông bằng $\Phi = LI$ nên biểu thức của năng lượng có thể được viết là

$$E = \frac{I\Phi}{2}.$$

Cường độ dòng điện tạo ra trong bình $n$ do các electron chuyển động với tốc độ $v$ là rất cao. Thay biểu thức này vào (1), chúng ta thu được công thức tính năng lượng sau:

$$E = \frac{\Phi ne}{2\pi r} \cdot \frac{v}{2}.$$

Năng lượng của một hạt chuyển động với tốc độ $v$ được biết là bằng $E = \frac{mv^2}{2} = \frac{pv}{2}$, trong đó $p$ là động lượng của hạt. Do đó, năng lượng của $n$ electron chuyển động với tốc độ $v$ trong cột siêu dẫn bằng

$$E = \frac{npv}{2}.$$

*) Ở “Phụ lục II” ở cuối bài viết lựa chọn công thức $E = \frac{LI^2}{2}$.

25

So sánh công thức (2) và (3), chúng ta đi đến biểu thức sau đây về động lượng của electron:

$$p = \frac{\Phi e}{2\pi r}$$

(4)

Một đặc điểm cơ bản của chất siêu dẫn là chúng phân tách các electron thành các cặp liên kết. Do đó, thật hợp lý khi nói về động lượng của toàn bộ cặp electron, bằng hai lần động lượng của electron:

$$p = \frac{\Phi e}{\pi r}$$

(5)

Công thức (5) liên quan trực tiếp đến xung electron trong chất siêu dẫn có từ thông do dòng điện siêu dẫn tạo ra. Thay biểu thức này vào định luật lượng tử hóa (*), ta có

$$r \frac{\Phi e}{\pi r} = N\hbar (N=1, 2, 3, \dots).$$

Từ đây

$$\Phi = N \frac{\hbar \pi}{e} = N \frac{h}{2e},$$

đó là

$$\Phi = N\Phi_0,$$ ở đâu $\Phi_0 = \frac{h}{2e}$.

Do đó, lượng tử từ thông hóa ra bằng $\frac{h}{2e}$. Từ thông của một vòng siêu dẫn tùy ý chỉ có thể lấy các giá trị là bội số của $\Phi_0$. Giá trị lượng tử được tính dễ dàng bằng cách thay thế vào (**) các giá trị số của hằng số Planck $h$ và điện tích electron $e$:

$$\Phi_0 = 2 \cdot 10^{-15} \text{ e}\sigma.$$

Trong thí nghiệm của Deaver và Fairbank mà chúng tôi đã mô tả ở trên, người ta phát hiện ra rằng từ thông trong hình trụ có các giá trị là bội số của chính xác giá trị này.

Những “xoáy” trong helinium siêu lỏng

Một ví dụ khác về lượng tử hóa, xảy ra ở quy mô lớn so với quy mô nguyên tử, cũng được quan sát thấy ở nhiệt độ thấp, khi nghiên cứu một “siêu hiện tượng” khác - tính siêu lỏng của gel lỏng.

Được biết, ở nhiệt độ $T = 4,2^\circ\text{K}$ và áp suất bình thường, helium chuyển từ trạng thái khí sang trạng thái lỏng và khi nhiệt độ tăng thêm xuống độ 0 tuyệt đối, helium không đông đặc (chỉ dưới áp suất 25 ampe ở nhiệt độ gần độ 0 tuyệt đối, helium mới có thể chuyển thành trạng thái rắn). Nhưng điều này không làm cạn kiệt những thay đổi về tính chất của chất này. Ở $T = 2,17^\circ\text{K}$ helium chuyển sang trạng thái đặc biệt - siêu lỏng. Hiện tượng siêu lỏng, được phát hiện bởi viện sĩ P. L. Kapitsa vào năm 1937, bao gồm khả năng gel lỏng ở nhiệt độ nhỏ hơn $T = 2,17^\circ\text{K}$ chảy trong các mao mạch hẹp mà không có bất kỳ ma sát nào. Helinium ở nhiệt độ nhỏ hơn $2,17^\circ\text{K}$ được gọi là HeII - không giống như HeI ($4,2^\circ\text{K} > T > 2,17^\circ\text{K}$), nó là chất lỏng thông thường.

Hiện tượng siêu chảy và siêu dẫn tương tự nhau. Có thể nói tính siêu dẫn là tính siêu chảy của các electron. Sự tương đồng giữa siêu dẫn và siêu lỏng hóa ra rất sâu sắc, và một phần, nó thể hiện ở khả năng quan sát các hiện tượng lượng tử vĩ mô cả trong chất siêu dẫn và gelini siêu lỏng.

Khi xác định độ siêu lỏng, không cần lưu ý đến khả năng gel chảy không ma sát trong các mao mạch hẹp. Thực tế là độ nhớt của chất lỏng (hoặc ma sát trong) có thể thay đổi theo hai cách độc lập. Đầu tiên trong số chúng có liên quan đến sự thay đổi tốc độ dòng chất lỏng ra khỏi mao quản hẹp (độ nhớt càng cao thì tốc độ dòng chảy càng thấp). Để nghiên cứu độ nhớt của những người khác

26

Hình 3.

Hình 4.

ngôi nhà, một chiếc đĩa được hạ xuống chất lỏng, thực hiện các dao động xoắn (Hình 3). Độ nhớt càng cao thì độ rung của đĩa càng tắt nhanh. Đối với tất cả các chất lỏng, cả hai phương pháp đo đều cho kết quả như nhau. Tuy nhiên, có một ngoại lệ cho quy tắc này và ngoại lệ đó là HeII. Khi HeII chảy qua các mao mạch hẹp, độ nhớt bằng 0, nghĩa là phát hiện thấy hiện tượng siêu chảy. Người ta có thể mong đợi rằng các dao động của một đĩa hạ thấp xuống mức HeII sẽ không bị suy giảm. Tuy nhiên, với phương pháp xác định độ nhớt thứ hai, HeII hoạt động giống như một chất lỏng thông thường—sự dao động của đĩa bị tắt dần.

Những đặc tính đáng kinh ngạc này của helium được giải thích trong lý thuyết về tính siêu chảy của Viện sĩ L. D. Landau, do ông xây dựng vào năm 1941. Theo lý thuyết này, HeII được đặc trưng bởi hai loại chuyển động - chuyển động bình thường và chuyển động siêu lỏng. Bạn có thể hình dung rõ ràng nó bao gồm hai thành phần. Một trong số chúng là chất lỏng bình thường, và cái còn lại là chất siêu lỏng. Dao động của đĩa bị tắt dần do ma sát của nó với thành phần bình thường. Trong một thí nghiệm với khí heli chảy qua một mao quản hẹp, người ta phát hiện ra một thành phần siêu lỏng. Ở độ không tuyệt đối không có thành phần bình thường.

Ở $T > 2{,}17\ ^\circ$K, ngược lại, đồng chất siêu lỏng

đặt. Và ở vùng nhiệt độ trung gian ($0\ ^\circ$К$\leqslant T \leqslant 2{,}17\ ^\circ$К) cả hai thành phần đều có mặt.

Heli quay

Chúng ta hãy nghiên cứu tính chất của HeII đổ vào một bình hình trụ quay quanh một trục (xem Hình 4). Chúng ta sẽ bắt đầu từ mô hình hai chất lỏng được mô tả ở trên và cố gắng tưởng tượng ra bức tranh chuyển động quay như vậy. Thành phần bình thường do ma sát với thành trụ nên phải tham gia vào chuyển động của thành. Về thành phần siêu lỏng, thoạt nhìn có vẻ như nó sẽ bất động.

Bức tranh đặc biệt này sẽ dẫn đến hiệu ứng gì có thể quan sát được? Như đã biết, khi chất lỏng đổ vào bình quay, bề mặt tự do của chất lỏng có dạng paraboloid. Vì trong thí nghiệm của chúng ta không phải tất cả helium đều quay mà chỉ có thành phần bình thường của nó, nên chúng ta mong đợi rằng khi HeII quay, bề mặt này sẽ ít cong hơn so với trường hợp khi HeI ở trong hình trụ.

Thí nghiệm cho thấy điều gì? Hình dạng bề mặt quay của HeII giống như trong chất lỏng thông thường.

Hiện tượng này được giải thích thế nào? Chẳng phải hình ảnh helium quay tròn có mâu thuẫn với lý thuyết siêu chảy hay không?

và ý tưởng về hai thành phần của HeII? Hóa ra không có gì mâu thuẫn, nhưng bức tranh về helium quay không hề đơn giản như thoạt nhìn.

Helium lỏng quay hoàn toàn êm dịu (điều này tương ứng với dòng chảy tầng) chỉ ở tốc độ quay rất thấp (thường nhỏ hơn $\sim 10^{-2}\ см/с$). Khi tốc độ tăng lên, một hình ảnh tương tự như chế độ hỗn loạn sẽ xuất hiện. Hãy tưởng tượng một chất lỏng chuyển động chứa một số lượng lớn các phễu - những khu vực trong đó chuyển động của chất lỏng tương tự như chuyển động của không khí trong một cơn lốc xoáy. Khí heli quay hóa ra lại thấm vào những khu vực như vậy. Chúng được gọi là xoáy. Thành phần siêu lỏng nằm trong vùng xoáy quay quanh trục của nó. Tốc độ quay tăng lên khi người ta tiến gần đến trục xoáy, và ở một khoảng cách nhất định tính từ trục đó (theo thứ tự khoảng cách giữa các nguyên tử), xảy ra “sự phá vỡ” của tính siêu chảy; nghĩa là, đặc tính siêu chảy được duy trì ở một tốc độ tới hạn nhất định ($\sim 60\ м/с$). Do đó, xuất hiện vùng chứa chất lỏng bình thường ở gần trục xoáy. Sự xuất hiện của các phễu liên kết với các xoáy dẫn đến độ cong của bề mặt tự do của HeII đang quay.

Do đó, helium siêu lỏng đang quay hóa ra bị tràn các xoáy; thân xoáy đại diện cho thành phần bình thường. Các nguyên tử helium quay quanh trục của xoáy, giống như các electron quay trong vòng siêu dẫn *). Chuyển động của những nguyên tử này cũng tuân theo quy luật lượng tử hóa, tương tự như quy tắc lượng tử hóa của Bohr đối với quỹ đạo của các electron trong nguyên tử.

---

*) Ở một số chất siêu dẫn, dưới những điều kiện nhất định, hình ảnh xuất hiện tương tự như sự xuất hiện của các xoáy trong HeII. Điều này được thảo luận trong “Phụ lục I” ở cuối bài viết.

Nếu $p$ là động lượng của nguyên tử helium (trong thành phần siêu lỏng), $r$ là bán kính của thùng xoáy, thì

$$pr = N\hbar, \text{ или } m_{\mathrm{He}} v \cdot r = N\hbar \quad (***)$$
$$(N = 1, 2, 3, \ldots)$$

($m_{\mathrm{He}}$ là khối lượng của nguyên tử helium). Nói cách khác, trong trường hợp các xoáy trong helium, động lượng quỹ đạo của nguyên tử helium bị lượng tử hóa. Độ lớn của lượng tử động lượng quỹ đạo là $\hbar$.

Bán kính của các xoáy trong helium siêu lỏng là một giá trị có thể nhận bất kỳ giá trị nào, cho đến kích thước của bình chứa helium lỏng được đổ vào. Thông thường, trong các thí nghiệm, bình có bán kính 1 cm, tức là thang lượng tử hóa tăng khoảng $10^{8}$ lần so với thang nguyên tử (hãy nhớ rằng kích thước của quỹ đạo nguyên tử là $\sim 10^{-8}\ см$).

Từ () rõ ràng là tốc độ quay của các nguyên tử helium xung quanh thùng phụ thuộc vào khoảng cách của chúng với trục xoáy - $v = N\dfrac{\hbar}{m_{\mathrm{He}} r}$ - và với cùng một giá trị $r$ có thể nhận một chuỗi giá trị rời rạc. Để mô tả chuyển động dọc theo một đường bao khép kín có bán kính $r$, hãy sử dụng giá trị $vr$, giá trị này được gọi là sự tuần hoàn. Như có thể thấy từ công thức (), trong quá trình hình thành các xoáy trong helium siêu lỏng, sự tuần hoàn của chất lỏng chỉ có thể nhận một chuỗi giá trị rời rạc, nghĩa là nó là một đại lượng lượng tử hóa:

$$vr = N\frac{\hbar}{m_{\mathrm{He}}}\ (N = 1, 2, 3, \ldots).$$

Định luật lượng tử hóa (***) được nghiên cứu thực nghiệm trong công trình của nhà vật lý người Anh Vainen. Kết quả thực nghiệm cho thấy đại lượng $m_{\mathrm{He}} vr$ thực sự có một chuỗi giá trị rời rạc và lượng tử động lượng quỹ đạo bằng $\hbar$.

Do đó, trong helium siêu lỏng, cũng như trong chất siêu dẫn, người ta quan sát thấy hiệu ứng lượng tử hóa vĩ mô.

Trong một thế giới có nhiệt độ thấp, nơi chuyển động nhiệt chưa đóng vai trò

27

28

Với vai trò to lớn như ở nhiệt độ phòng thông thường của chúng ta, các định luật lượng tử hóa ra lại chiếm ưu thế. Nghiên cứu các tính chất của vật chất trong những điều kiện bất thường như vậy cũng giúp chúng ta hiểu sâu hơn về vật lý lượng tử. Chính cái tên “lượng tử” phản ánh một đặc điểm quan trọng của các đại lượng vật lý: tính rời rạc của chúng, sự tồn tại của các phần riêng lẻ, lượng tử. Và nếu trước đó, điều này dường như chỉ áp dụng cho các đại lượng mô tả tính chất của các vi hạt - electron, proton, từng nguyên tử, v.v., thì từ những gì đã nói ở trên, rõ ràng một sự khái quát hóa quan trọng đã nảy sinh trong nghiên cứu vật lý nhiệt độ thấp. Lượng tử hóa cũng có thể thực hiện được ở quy mô vĩ mô. Các đại lượng mô tả tính chất của các vật thể khổng lồ so với các vật thể nguyên tử hóa ra là rời rạc.

Phụ lục I

Những “xoáy” trong chất siêu dẫn

Ứng dụng này mô tả cách từ trường xuyên qua một số chất siêu dẫn nhất định. Quá trình này có tính chất lượng tử: trường xuyên qua chất theo từng phần riêng biệt. Trước khi chuyển sang mô tả trực tiếp hiện tượng này, chúng ta hãy bàn ngắn gọn về vấn đề sử dụng chất siêu dẫn để tạo ra từ trường mạnh.

Thoạt nhìn, có vẻ như chất siêu dẫn rất lý tưởng để tạo ra từ trường mạnh tùy ý. Trong thực tế, khi sử dụng nam châm điện người ta phải tính đến tổn thất nhiệt. Sự gia tăng cường độ dòng điện trong một điện từ thông thường cũng kéo theo sự gia tăng tổn thất Joule. Và nếu chúng ta yêu cầu từ trường rất mạnh, thì cùng với việc tiêu tốn nhiều điện năng, cần có hệ thống làm mát phức tạp để duy trì dòng điện nhằm ngăn dây dẫn quá nóng và thậm chí nóng chảy. Khi sử dụng dòng điện siêu dẫn chạy không có điện trở thì những khó khăn này hoàn toàn không xảy ra.

Tuy nhiên, vấn đề không đơn giản như thoạt nhìn. Giả sử rằng một chất siêu dẫn thông thường nằm trong từ trường ngoài. Nó không thể thâm nhập vào bên trong, vào độ dày của chất siêu dẫn. Thực tế là có một mối liên hệ không thể tách rời giữa từ trường

và dòng điện siêu dẫn. Việc tiếp xúc với từ trường bên ngoài dẫn đến xuất hiện dòng điện siêu dẫn ở lớp bề mặt kim loại. Dòng điện bề mặt này tạo ra từ trường riêng, ngược chiều với từ trường ứng dụng. Lý thuyết siêu dẫn chứng minh rằng từ trường bên trong chất siêu dẫn được bù hoàn toàn (hiện tượng này gọi là hiệu ứng Meissner).

Nếu chúng ta tạo ra dòng điện siêu dẫn trong kim loại thì từ trường sẽ xuất hiện trong không gian xung quanh. Nó không thể xuyên qua mẫu siêu dẫn. Tuy nhiên, hình ảnh như vậy được quan sát miễn là dòng điện và trường tương ứng không lớn lắm ($\sim 3 \cdot 10^{-3}$ $тл$). Khi trường đạt đến một giá trị nhất định $B_\mathrm{к}$ (giá trị tới hạn), nó sẽ thâm nhập vào chất siêu dẫn và “nổ” vào nó, phá hủy trạng thái siêu dẫn. Vì vậy, trong một thời gian dài, dường như việc thu được từ trường mạnh (lớn $B_\mathrm{к}$) bằng chất siêu dẫn là không thể.

Tuy nhiên, sau đó người ta phát hiện ra rằng có những chất siêu dẫn nhờ đó có thể thu được từ trường rất lớn (siêu mạnh). Những chất siêu dẫn này - chúng được gọi là chất siêu dẫn loại II - có thể ở trạng thái được gọi là hỗn hợp, lý thuyết về trạng thái này được phát triển bởi nhà vật lý lý thuyết Liên Xô A. A. Abrikosov.

Nếu chất siêu dẫn loại II mà dòng điện chạy qua nằm trong từ trường, thì ở một giá trị cảm ứng nhất định $B_{\mathrm{к}1}$ (giá trị này được gọi là trường tới hạn dưới), trường bắt đầu thâm nhập một phần vào độ dày của mẫu siêu dẫn. Các electron trong chất siêu dẫn, dưới tác dụng của lực Lorentz, bắt đầu chuyển động theo vòng tròn (nếu tốc độ của chúng vuông góc với đường sức). Hình ảnh hiện ra giống với hình ảnh He II đang quay: xuất hiện các xoáy trong chất siêu dẫn. Các electron siêu dẫn quay quanh trục xoáy; tốc độ quay tăng lên khi nó đến gần trục và ở một khoảng cách nào đó nó xảy ra

Hình 5.

29

“Sự cố” của tính siêu dẫn - cảm ứng từ bên trong lối ra từ số 0. “Thùng” đầu ra ở trạng thái bình thường.

Do đó, mẫu siêu dẫn hóa ra được tạo thành từ các sợi, là các vùng không siêu dẫn thông thường. Các xoáy trong chất siêu dẫn tạo thành mạng hình tam giác (xem hình 5). Các đường thoát được định hướng theo hướng của đường sức từ hợp lưu. Trong không gian giữa các đầu ra, các đặc tính siêu dẫn được bảo toàn. Từ thông, một mặt cắt ngang tùy ý của thùng đầu ra, hóa ra giống nhau đối với tất cả các đầu ra và có độ lớn bằng lượng tử từ thông $\Phi_0$. Nghĩa là, mỗi đầu ra mang một lượng tử thông lượng và ở dạng những phần riêng biệt như vậy, từ trường xuyên qua bên trong chất siêu dẫn.

Khi trường tăng ($B > B_{K1}$), số vùng bình thường tăng lên, các sợi đầu ra di chuyển gần nhau hơn và ở một giá trị trường nhất định $B_{K2}$ (giá trị này được gọi là trường cremic trên), khi khoảng cách giữa các sợi đầu ra trở thành $\sim 10^{-6}$ m, tính siêu dẫn bị phá hủy hoàn toàn và chất chuyển sang trạng thái bình thường.

Kiểu thâm nhập đặc biệt này của từ trường vào chất siêu dẫn loại II cho phép sử dụng chúng để thu được từ trường hợp nhất. Giá trị của trường quan trọng trên $B_{K2}$ có thể rất lớn. Ví dụ: đối với hợp kim Nb$_3$Sn $B_{K2} \approx 20$ ml. (Chất siêu dẫn loại II là hợp kim có hàm lượng tạp chất cao.)

Khi sử dụng chất siêu dẫn loại thứ hai để thu được từ trường hợp lưu, chi phí năng lượng sẽ thấp hơn hàng trăm đến hàng nghìn lần so với khi sử dụng nam châm điện. Ví dụ, để thu được trường 10 ml bằng cách sử dụng một cuộn dây điện từ thông thường, cần có nguồn điện 5000 kW và ngoài ra, cần có một hệ thống lắp đặt phức tạp để làm mát cuộn dây điện từ. Khi sử dụng chất siêu dẫn, chỉ cần năng lượng để thu được gel lỏng (ở nhiệt độ của gel lỏng, kim loại điện từ ở trạng thái siêu dẫn). Nhưng đối với điều này trong ví dụ đã cho, chỉ cần công suất 5 kW. Tức là chi phí năng lượng giảm 1000 lần.

Phụ lục II

Hãy trình bày công thức tính năng lượng của dòng điện chạy qua dây dẫn.

Chúng ta hãy xem xét mạch điện mà dòng điện $I$ được chiếu dọc theo đó. Từ thông $\Phi$, tạo ra dòng điện này, trở lại với mức tăng $I$ theo định luật $\Phi = LI$, trong đó $L$ là độ tự cảm của mạch điện. Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu $t_0 = 0$ dòng điện trong mạch là $I_0$, và bắt đầu từ thời điểm này, cường độ dòng điện đều trở về bằng $I_t$. Rõ ràng là sự gia tăng cường độ dòng điện đi kèm với sự gia tăng năng lượng của từ trường tạo ra dòng điện.

Trong thời gian $t$, điện tích $q$ chuyển động dọc theo dây dẫn. Điện tích chuyển động bị triệt tiêu vì cường độ dòng điện quay trở lại (mật độ dòng điện là $j = nev$; ở mức không đổi $n$, sự gia tăng $j$ là do sự gia tăng $v$). Để thu được công thức tính năng lượng dòng điện, chúng ta tính công của lực điện để di chuyển điện tích $q$ dọc theo toàn bộ mạch kín. Công được biểu thị bằng công thức $A = qE$, trong đó $E$ là suất điện động, bằng $E = IR + \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ trong một dây dẫn thông thường.

Số hạng đầu tiên ở phía bên phải của đẳng thức này liên quan đến tổn hao ohm tổng cộng, và số hạng thứ hai là do sự hiện diện của hiện tượng tự cảm ứng hiệu quả, làm suy yếu dòng điện. Rõ ràng là $q = I_{cp} \cdot t$ ($I_{cp}$ là cường độ dòng điện trung bình, bằng $I_{cp} = \frac{I_0 + I_t}{2}$ để dòng điện tăng đều). Vì vậy, bằng nhau hóa ra là bằng nhau

$$A = \frac{I_0 + I_t}{2} t E.$$

Trong chất siêu dẫn $R = 0$ và $E = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$. Vì công thức là $\Phi = LI$ nên $E = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$. Trong trường hợp của chúng tôi, sự thay đổi của điểm $\Delta I$ bằng $\Delta I = I_t - I_0$ và khoảng thời gian là $\Delta t = t$. Sau đó $E = L \frac{I_t - I_0}{t}$. Thay thế giá trị này cho $E$ vào công thức để tính, chúng ta thu được biểu thức sau:

$$A = \frac{I_0 + I_t}{2} t \cdot L \frac{I_t - I_0}{t}.$$

Công việc do đó trở nên bằng nhau

$$A = \frac{LI^2}{2} - \frac{LI_0^2}{2}.$$

Có thể thấy khối lượng công việc được mô tả bằng sự thay đổi giá trị $\frac{LI^2}{2}$. Điều tự nhiên là coi nó bằng năng lượng hiện tại, vì vậy

$$E = \frac{LI^2}{2}.$$

(Người đọc chú ý sẽ khám phá ra sự tương tự giữa cách dẫn xuất trên của công thức tính năng lượng hiện tại và cách dẫn xuất biểu thức động năng trong cơ học thông thường.)

30

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VỚI SỰ GIÚP ĐỠ
HÌNH HỌC
CHUYỂN ĐỔI

Trong môn học hình học ở trường, các em thường gặp nhiều phép biến đổi hình học của mặt phẳng: phép tịnh tiến parapel, phép đối xứng, phép quay, phép biến đổi tương tự. Tầm quan trọng của các khái niệm này được chứng minh bằng việc khi chứng minh sự đồng dạng của các hình, người ta sử dụng các phép biến đổi hình học - chuyển vị. Tuy nhiên, các phép biến đổi hình học không chỉ được tìm thấy trong việc xây dựng các định nghĩa và trong việc chứng minh các định lý của trường phái; chúng được sử dụng cho lời giải nhiều loại hình học bài toán. Trong trường hợp này, các phép biến đổi không nhất thiết phải xuất hiện trực tiếp trong các công thức bài toán: thường xảy ra trường hợp công thức bài toán có bản chất hoàn toàn “tĩnh” và đơn giản và thanh lịch nhất lời giải hóa ra là “động”, về cơ bản sử dụng các phép biến đổi hình học khác nhau của các hình đã cho. Trong ghi chú này, chúng tôi sẽ thảo luận về cách bạn có thể học cách xem “động lực học” bên trong của phép đo phẳng bài toán.

Hiểu các phép biến đổi hình học

Hãy bắt đầu với định nghĩa về sự dịch chuyển.

Về giới hạn 1. Độ dịch chuyển là ánh xạ của một mặt phẳng lên chính nó, trong đó khoảng cách giữa các điểm được giữ nguyên.

Ta chứng minh định lý sau về chuyển vị:

Định lý 1. Có một và chỉ một chuyển động lấy các đỉnh A, B, C của tiền tố ABC chưa biểu diễn tương ứng với các đỉnh A1, B1, C1 của tiền thân tắc nghẽn A1B1C1 của nó.

Bằng chứng. Sự tồn tại của sự dịch chuyển như vậy xuất phát từ thực tế là các tam giác ABC và A1B1C1 bị tắc nghẽn. Hãy chứng minh rằng nó là duy nhất.

Gọi F là độ dịch chuyển nào đó của mặt phẳng sao cho F(A) = A1, F(B) = B1, F(C) = C1, và gọi X là một điểm tùy ý của mặt phẳng. Khi đó điểm F(X) phải ở các khoảng cách |XA|, |XB|, |XC| lần lượt từ các điểm A1, B1 và ​​C1.

Nhưng ba đường tròn có tâm tại các điểm A1, B1, C1 không nằm trên cùng một đường thẳng có nhiều nhất một điểm chung; Điều này có nghĩa là điểm F(X) được xác định duy nhất.

Bạn có quen thuộc với các loại chuyển động sau:

1. Chuyển giao song song.
   (Sự truyền song song được xác định bằng cách xác định một điểm và ảnh của nó).

2. Bằng cách quay.
   (Một góc quay được xác định bằng cách xác định tâm O, góc quay α và hướng quay; góc quay α được coi là nằm trong giới hạn 0° ≤ α ≤ 180°. Nhưng nếu bạn chọn bất kỳ hướng quay nào là dương và hướng ngược lại được coi là âm, thì phép quay hoàn toàn được xác định bằng cách xác định tâm và góc quay α của nó; góc quay được coi là một đỉnh có hướng, trị số của nó có thể là dương hoặc âm. Xoay với tâm O theo một góc α biểu thị

31

$R_0^\alpha$. Bây giờ, bất kỳ góc quay nào cũng có thể được chỉ định bằng cách chỉ định tâm của nó và góc xoay $\alpha$, nằm trong $-180^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$. Nếu $\beta = \alpha + 360^\circ$, $n$, trong đó $n$ là số nguyên và $-180^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$ thì phép quay theo góc $\beta$ được gọi là phép quay $R^\alpha$.

3. Đối xứng trục.

(Đối xứng trục được xác định bằng cách xác định trục đối xứng - đường thẳng $l$.)

Cách dịch đơn giản nhất là ánh xạ nhận dạng của mặt phẳng, ánh xạ bất kỳ điểm nào $X$ lên chính nó; nó được biểu thị bằng chữ cái $E$, sau đó là $E(X) = X$. Ánh xạ nhận dạng được coi là một phép quay qua góc 0 quanh tâm $O$. Theo cách tương tự, chúng ta có thể coi ánh xạ giống hệt như một bản dịch song song về khoảng cách bằng 0. Ánh xạ nhận dạng là chuyển động duy nhất vừa xoay vừa dịch.

Đối với bất kỳ tâm $O$ nào, phép quay $180^\circ$ theo cả hai hướng trùng khớp và là đối xứng tâm (so với tâm quay $O$).

Có thể chứng minh rằng bất kỳ chuyển vị nào cũng là chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động quay song song hoặc là thành phần của chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động quay song song với một số đối xứng trục. Khái niệm về thành phần của hai phép biến đổi hình học sẽ rất quan trọng đối với chúng ta sau này, vì vậy chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết hơn về nó.

Đặt hai bản đồ đã cho $F$ và $G$ của một tập hợp nhất định $M$ lên chính nó. Tạo chúng một cách tuần tự, chúng ta thu được một ánh xạ mới $H$, ánh xạ $x \in M$ đến $H(x) = G(F(x))$. Ánh xạ mới $H$ này cũng là ánh xạ của tập hợp $M$ lên chính nó. Nó được gọi là thành phần của ánh xạ $F$ và $G$ và được ký hiệu là $G \circ F$.

Từ Định nghĩa 1, suy ra rằng thành phần của hai bản dịch bất kỳ (nghĩa là ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó để bảo toàn khoảng cách giữa các điểm) lại là một sự dịch chuyển. Hãy chú ý đến thứ tự ghi: khi biểu thị thành phần $G \circ F$, chúng ta đặt bên phải ký hiệu của màn hình được thực hiện đầu tiên. Sự thay thế này rất có ý nghĩa; chúng ta sẽ thấy rằng thao tác thành phần nói chung là không thay đổi

phong phú - có các ánh xạ $F$ và $G$ cho $G \circ F \neq F \circ G$.

Bây giờ chúng ta hãy thử tìm hiểu xem thành phần của các ánh xạ mà chúng ta đã biết - chuyển vị - trong các trường hợp cụ thể là như thế nào.

Điểm đặc biệt trong thành phần của hai bản dịch song song là sự dịch chuyển - đây là một trong những lý do tại sao thành phần của các bản dịch song song (vectơ) được gọi là phép cộng của chúng; thành phần của ánh xạ không được gọi là phép cộng).

Trường hợp bố cục hai lượt thú vị hơn; Hãy chuyển nó cho anh ấy. Chúng ta sẽ cần các định nghĩa sau: điểm $X_0$ của tập hợp $M$ được gọi là điểm cố định của ánh xạ $G$ của tập hợp $M$ lên chính nó nếu $G(X_0) = X_0$.

Thuộc tính đặc trưng của lượt được mô tả.

Định lý 2. Chuyển vị không đồng nhất là chuyển động quay của một module và một module sữa khi nó có một module cố định duy nhất.

Bằng chứng. Sự cần thiết của điều kiện này là hiển nhiên: điểm cố định duy nhất quay về góc 0 là tâm quay.

Tính đủ Chúng ta xét một chuyển vị nhất định $F$ với một điểm cố định duy nhất $O$. Chúng ta hãy chọn một số điểm $A$, khác với $O$ và xem xét ảnh $B = F(A)$ của nó; điểm $B$ khác với $A$ và nằm trên đường tròn $(O; r)$ có tâm tại điểm $O$ và bán kính $r = |OA|$.

Nếu với bất kỳ điểm $A \widehat{AOB} = 180^\circ$ nào thì $F$ là một đối xứng đối với điểm $O$ và điều kiện đủ được chứng minh. Giả sử bây giờ tồn tại một điểm $A$ sao cho $\widehat{AOB} = \alpha \neq 180^\circ$. Xét điểm $F(B) = F^2(A)$ ($F^2$ là cách viết tắt của thành phần

32

Hình 1.

Hình 2.

$F\circ F$). Vì chuyển động $F$ bảo toàn khoảng cách nên điểm $F(B)$ lại nằm trên đường tròn $(O;r)$ và khoảng cách giữa các điểm $F(B)$ và $B$ bằng khoảng cách giữa các điểm $B$ và $A$. Các điều kiện này được thỏa mãn bởi hai điểm: điểm $A$ và điểm $C$ của đường tròn $(O;r)$ sao cho $B\hat{O}C=\alpha$ (Hình 1). Nhưng nếu $F(B)=A$ thì trung điểm của đoạn $AB$ - điểm $D$ - là điểm cố định của phép biến đổi $F$: $F(D)=D$ (chứng minh!), và điều này mâu thuẫn với thực tế rằng điểm $O$ là điểm cố định duy nhất $F$. Điều này có nghĩa là $F(B)=C$ và chúng tôi đã chứng minh rằng độ dịch chuyển $F$, giống như $R_O^\alpha$, lấy các điểm $O$, $A$ và $B$, không nằm trên cùng một đường thẳng, lần lượt là các điểm $O$, $B$ và $C$. Từ Định lý 1 suy ra $F=R_O^\alpha$. Định lý đã được chứng minh.

Xét các phép quay $R_O^\alpha$ và $R_O^\beta$ có tâm chung $O$. Kết quả của sự tạo thành của chúng là sự quay quanh cùng một tâm $O$ một góc $\alpha+\beta$:
$$R_O^\beta\circ R_O^\alpha=R_O^{\alpha+\beta}.$$

(Để chứng minh đầy đủ công thức này cần phải phân tích một số trường hợp đặc biệt - hãy tự mình thực hiện việc này.)

Vì luôn có $\alpha+\beta=\beta+\alpha$ nên

$$R^\beta\circ R^\alpha=R^{\beta+\alpha}=R^{\alpha+\beta}=R^\alpha\circ R^\beta,$$

và thành phần của các vòng có tâm chung là giao hoán.

Bây giờ có hai lượt $R_{O_1}^{\alpha_1}$ và $R_{O_2}^{\alpha_2}$ với các tâm khác nhau

$O_1$ và $O_2$ và các góc $\alpha_1$ và $\alpha_2$ sao cho $\alpha_1$ và $\alpha_2$ cùng dấu (tức là các góc rẽ cùng hướng) và $|\alpha_1+\alpha_2|\neq 360^\circ$. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp này bố cục $R_{O_2}^{\alpha_2}\circ R_{O_1}^{\alpha_1}$ của chúng là một phép quay qua góc $\alpha_1+\alpha_2$ và chúng tôi sẽ tìm ra tâm của phép quay này.

Để ngắn gọn, chúng ta hãy biểu thị phép quay $R_{O_1}^{\alpha_1}$ bằng $R_1$, phép quay $R_{O_2}^{\alpha_2}$ bằng $R_2$. Chúng ta cần tìm tất cả các điểm dịch chuyển cố định $R_2\circ R_1$.

Giả sử rằng một số điểm của mặt phẳng $A$ là điểm dịch chuyển cố định $R_2R_1$, tức là $R_2(R_1(A))=A$. Biểu thị điểm $R_1(A)$ bằng $B$, chúng ta thu được $R_2(B)=A$ đó. Từ đẳng thức này suy ra rằng điểm $O_2$ cách đều các điểm $A$ và $B$; nhưng vì $B=R_1(A)$, nên điểm $O_1$ cách đều các điểm $A$ và $B$; do đó, các điểm $A$ và $B=R_1(A)$ phải đối xứng với đường thẳng $O_1O_2$ (Hình 2).

Vì $A\hat{O}_1B=\alpha_1$ và các điểm $A$ và $B$ đối xứng với đường thẳng $O_1O_2$ nên điểm $A$ phải nằm trên đường thẳng $l_1$, đi qua điểm $O_1$ và biến đổi khi quay quanh điểm $O_1$ một góc $\alpha_1/2$ thành đường thẳng $O_1O_2$. Mặt khác, vì $B\hat{O}_2A=\alpha_2$ nên điểm $A$ cũng phải nằm trên đường thẳng $l_2$, trong đó đường thẳng $O_1O_2$ đi vào

33

khi quay qua một góc $\alpha_2/2$ quanh điểm $O_2$. Theo giả định $\frac{|\alpha_1 + \alpha_2|}{2} \neq 180^\circ$, điều này có nghĩa là các đường thẳng $l_1$ và $l_2$ không song song, tức là chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất - điểm $A$. Vì vậy, điểm $A$ giao điểm của đường $l_1$ và $l_2$ là điểm dịch chuyển cố định duy nhất $R_2 \circ R_1$. Từ Định lý 2, suy ra rằng chuyển vị $R_2 \circ R_1$ là phép quay quanh $A$. Hãy tìm góc quay này.

Để làm điều này, chỉ cần tìm hình ảnh của một điểm tùy ý khác với tâm $A$ bằng cách xoay $R_2 \circ R_1$ xung quanh $A$ là đủ. Cách thuận tiện nhất là lấy điểm $O_1$. Xoay $R_1$ để nó ở đúng vị trí và xoay $R_2$ di chuyển nó đến một điểm $C$ sao cho $|O_2O_1| = |O_2C|$ và $O_1\widehat{O}_2C = \alpha_2$ (Hình 2). Do đó, chuyển động của $R_2 \circ R_1$ là chuyển động quay quanh $A$ một góc $\widehat{O_1AC}$. Hãy tính góc này cho trường hợp $0^\circ < \alpha_1 + \alpha_2 < 360^\circ$ (Hình 2).

$$\widehat{CAO}_2 = O_2\widehat{AO}_1 = 180^\circ - \alpha_1/2 - \alpha_2/2,$$
$$O_1\widehat{AC} = 360^\circ - \widehat{CAO}_2 - O_2\widehat{AO}_1 = \alpha_1 + \alpha_2.$$

(Đối với trường hợp $-360^\circ < \alpha_1 + \alpha_2 < 0^\circ$ nên sử dụng)

Nhiệm vụ 3. Bố cục $R_{02}^{\alpha_2}$. $\circ R_{01}^{\alpha_1}$ của hai lượt $R_{01}^{\alpha_1}$ và $R_{02}^{\alpha_2}$ với các tâm khác nhau $O_1$ và $O_2$ và số phận của các lượt $\alpha_1$ và $\alpha_2$ tối đa hóa rằng $\alpha_1$ và $\alpha_2$ là ký hiệu một vùng $u$ $|\alpha_1 + \alpha_2| < 360^\circ$, là một vòng quay qua góc $\alpha_1 + \alpha_2$. Tâm quay này là điểm chuyển động của các đường thẳng $l_1$ và $l_2$, trong đó $l_1$ là đường thẳng đi qua điểm $O_1$ và biến đổi khi quay quanh điểm $O_1$ một góc $\alpha_1/2$ thành đường thẳng $O_1O_2$, và $l_2$ là đường thẳng tại đó nó chuyển thành đường thẳng $O_1O_2$ khi quay quanh điểm $O_2$ theo góc $\alpha_2/2$.

Lưu ý rằng nếu điều kiện 3 được đáp ứng thì thành phần $R_{01}^{\alpha_1}$.

Hình 3.

$\circ R_{02}^{\alpha_2}$ là phép quay theo góc $\alpha_1 + \alpha_2$ xung quanh $B$, đối xứng với điểm $A$ so với đường thẳng $O_1O_2$. Điều này chứng tỏ rằng thành phần của các vòng có tâm khác nhau không có tính chất giao hoán.

Bài tập 1. Chứng minh rằng tổ hợp của hai phép quay có tâm $O_1$, $O_2$ và các góc quay $\alpha_1$, $\alpha_2$ sao cho $\alpha_1$ và $\alpha_2$ là dấu một miền $u$ $|\alpha_1 + \alpha_2| = 360^\circ$ là dịch song song. Xây dựng bản dịch song song này cho $O_1$, $O_2$, $\alpha_1$. Thành phần của hai vòng quay như vậy có tính chất giao hoán không? (Gợi ý: bố cục khoảng cách đối xứng với hai điểm khác nhau.)

Nhiệm vụ 2. Tìm bố cục:
a) hai trục đối xứng;
b) tịnh tiến và quay song song.

Khám phá khả năng vận chuyển của thành phần của các loại chuyển động khác nhau.

Bài tập

Bây giờ chúng ta hãy thử áp dụng các kết quả thu được cho lời giải của một số vật thể phẳng bài toán.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét điều này bài toán (nó sẽ giúp chúng ta sau này):

Trên mặt phẳng có hai hình vuông $A_1B_1A_2C_1$ và $A_2B_2A_3C_2$ có chung một đỉnh $A_2$ (xem Hình 3). Đặt $O_1$ và $O_2$ là tâm của các hình vuông, $B$ là trung điểm của đoạn $B_1B_2$, $C$ là trung điểm của đoạn $C_1C_2$. Chứng minh rằng $O_1BO_2C$ là hình vuông.

Tất nhiên, bài toán này có thể được giải mà không cần các phép biến đổi hình học, bằng cách tạo ra các cách xây dựng bổ sung và xem xét các tam giác dựng không ctor. Tuy nhiên, bài toán nói gì về “đúng”

34

hình - hình vuông - gợi ý ý tưởng cố gắng áp dụng các phép biến đổi hình học cho lời giải của nó.

Lưu ý rằng xoay 90° quanh điểm $O_1$ sẽ di chuyển điểm $B_1$ đến điểm $A_2$ và xoay 90° quanh điểm $O_2$ sẽ di chuyển điểm $A_2$ tới điểm $B_2$. Theo Định lý 3, thành phần của hai phép quay này là phép quay 180°, tức là sự đối xứng tâm quanh một điểm nào đó. Vì kết quả của việc thực hiện tuần tự hai lượt này, điểm $B_1$ sẽ chuyển thành điểm $B_2$, nên bố cục của các lượt được xem xét sẽ đối xứng với một đoạn nhất định $B_1B_2$ - điểm $B$. Mặt khác, từ Định lý 3, suy ra rằng tâm hợp thành của hai phép quay này nằm ở giao điểm của hai đường thẳng lần lượt đi qua các điểm $O_1$ và $O_2$, hợp với đường thẳng $O_1O_2$ một góc 45°. Điều này có nghĩa là các đường thẳng này cắt nhau tại điểm $B$ và tam giác $O_1BO_2$ là tam giác đều và vuông ở đỉnh $B$. Tương tự, người ta chứng minh tam giác $O_1CO_2$ là tam giác đều, vuông tại đỉnh $C$. Sự kết hợp của hai tam giác này tạo thành bình phương $O_1BO_2C$, đó là điều chúng ta cần chứng minh.

Hai bài toán tiếp theo là bài toán M291 và M297 từ “Vấn đề «Kvant»” (xem «Kvant», 1974, số 911, 12). Lời giải trong số bài toán này, với sự trợ giúp của các phép biến đổi hình học, hóa ra không chỉ đơn giản và thanh lịch hơn mà còn có ý nghĩa hơn so với lời giải truyền thống, dựa trên các kỹ thuật nhân tạo khác nhau.

M291. Trên các cạnh $A_2A_3$, $A_3A_1$, $A_1A_2$ của tam giác $A_1A_2A_3$ các hình vuông có tâm $O_1$, $O_2$, $O_3$ nằm bên ngoài tam giác được dựng (Hình 4). Chứng minh rằng:

a) các đoạn $O_1O_2$ và $A_3O_3$ có chiều dài bằng nhau và vuông góc với nhau;
b) trung điểm của các đoạn $A_3A_1$, $O_1O_2$, $A_3A_2$ và $A_3O_3$ là các đỉnh của hình vuông;

Hình 4.

c) diện tích hình vuông này nhỏ hơn 8 lần diện tích hình vuông có tâm $O_3$.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $B_1$ điểm giữa của đoạn $A_3A_2$ và $B_2$ là điểm giữa của đoạn $A_1A_3$. Áp dụng kết quả của bài toán trước đó cho các hình vuông có tâm $O_2$ và $O_3$, chúng ta thu được rằng tam giác $O_2B_1O_3$ là tam giác đều và có một góc vuông ở đỉnh $B_1$. Do đó, phép quay 90° quanh điểm $B_1$ sẽ biến đoạn $A_3O_3$ thành đoạn $O_1O_2$, điều này chứng tỏ câu a). Vì phép quay 90° quanh điểm $B_2$ lấy điểm $O_2$ đến điểm $A_3$, nên, áp dụng Định lý 3 cho thành phần của hai phép quay này (xung quanh các điểm $B_1$ và $B_2$), chúng ta thu được, như trong bài toán trước đó, rằng tam giác $B_2C_1B_1$, trong đó $C_1$ là điểm giữa của đoạn $A_3O_3$, là cạnh bằng một góc vuông ở đỉnh $C_1$. Tương tự, tam giác $B_2C_2B_1$, trong đó $C_2$ là trung điểm của đoạn $O_1O_2$, là tam giác đều và vuông tại đỉnh $C_2$, và khẳng định b) đã được chứng minh. Tuyên bố c) xuất phát từ thực tế là đường chéo $B_2B_1$ của hình vuông thu được là đường giữa của tam giác $A_1A_2A_3$ bằng một nửa kích thước cạnh $A_1A_2$ của hình vuông có tâm $O_3$.

M297. Có 12 điểm cho trên mặt phẳng, là các đỉnh của bốn hình vuông $A_1B_1A_2C_1$, $A_2C_2A_3B_2$, $A_3B_3A_4C_3$ và $A_4C_4A_1B_4$ (các đỉnh của mỗi hình vuông được liệt kê theo chiều kim đồng hồ, Hình 5). Chứng minh

35

rằng $B_1B_2B_3B_4$ và $C_1C_2C_3C_4$ là các hình bình hành nối tiếp nhau, một trong số đó thu được từ hình bình hành kia bằng cách quay $90^\circ$ (các hình bình hành này có thể suy biến: các đỉnh của một trong hai hình bình hành trong trường hợp này nằm trên cùng một đường thẳng).

Gọi $D_1$ là trung điểm của đoạn $A_1A_3$, $D_2$ là trung điểm của đoạn $A_2A_4$.

Xem xét thành phần của hai phép quay tương ứng theo các góc $90^\circ$ (với tâm ở các đỉnh tương ứng của các hình vuông đã cho, xem Hình 5), như trước đây, chúng ta thu được rằng các tam giác $B_1D_1C_2$, $B_3D_1C_4$, $B_4D_1C_3$ và $B_2D_1C_1$ là các tam giác đều có một góc vuông ở đỉnh $D_1$.

Do đó, phép quay một góc $90^\circ$ quanh điểm $D_1$ sẽ biến tứ giác $B_1B_4B_3B_2$ thành tứ giác $C_2C_3C_4C_1$, điều này chứng tỏ chúng bằng nhau (đồng thời ta thu được rằng các đoạn $B_1B_3$ và $C_2C_4$ có chiều dài bằng nhau và vuông góc với nhau, đây là dạng tổng quát của câu a) bài toán M291 cho trường hợp một tứ giác tùy ý $A_1A_2A_3A_4$).

Chẳng hạn, vẫn còn phải chứng minh rằng tứ giác $B_1B_2B_3B_4$ là hình bình hành. Để làm điều này, hãy lưu ý rằng tất cả các hình tam giác $C_2D_2B_3$, $C_4D_2B_1$, $C_3D_2B_2$, $C_1D_2B_4$ đều đều có một góc vuông ở đỉnh

Hình 5.

xe buýt $D_2$. Điều này có nghĩa là phép quay một góc $90^\circ$ quanh điểm $D_2$ sẽ biến tứ giác $C_2C_3C_4C_1$ thành tứ giác $B_3B_2B_1B_4$. Thành phần của hai phép quay quanh điểm $D_1$ và $D_2$ theo các góc $90^\circ$ là một đối xứng trung tâm đối với một số $O_1$ và ánh xạ tứ giác $B_1B_4B_3B_2$ lên chính nó sao cho các đỉnh $B_1$ và $B_3$, $B_2$ và $B_4$ thay đổi ở một số điểm những nơi. Từ đó suy ra rằng tứ giác $B_1B_2B_3B_4$ đối xứng tâm, tức là hình bình hành, và đây là điều cần phải chứng minh.

Áp dụng Định lý 3 vào thành phần phép quay theo góc $90^\circ$ quanh điểm $D_1$ và $D_2$, ta cũng thu được tâm $O_1$ và $O_2$ của các hình bình hành $B_1B_2B_3B_4$ và $C_1C_2C_3C_4$, và trung điểm $D_1$ và $D_2$ của các đường chéo của tứ giác $A_1A_2A_3A_4$ là các đỉnh của hình vuông.

Câu này là sự tổng quát của câu b) bài toán M291 đối với trường hợp tứ giác tùy ý $A_1A_2A_3A_4$.

Bây giờ chứng minh rằng với điều kiện bài toán M297, trung điểm của dãy tứ giác $B_1C_2B_3C_4$ và $C_1B_4C_3B_2$ là các đỉnh của hình vuông. Tâm của các hình vuông này và hình vuông $D_1O_1D_2O_2$ trùng nhau và nằm ở tâm bãi của tứ giác $A_1A_2A_3A_4$.

Và cuối cùng, bài toán, được đề xuất vào năm 1961 tại loại thứ hai của Olympic Toán học XXIV Moscow. Sau đó, bài toán này chỉ được giải bởi hai người tham gia olimpida, cả hai đều sử dụng các phép biến đổi hình học. Telery, khi bạn đã thành thạo phép biến đổi hình học kỹ thuật, nó lời giải sẽ không gây nhiều khó khăn cho bạn.

Bài toán 3. Các điểm $A$ và $B$ chuyển động đều và có vận tốc góc bằng nhau dọc theo đường tròn $O_1$ và $O_2$ tương ứng (mũi tên công nghiệp). Chứng minh rằng đỉnh $C$ của tam giác đều $ABC$ cũng nhân đôi đều dọc theo một đường tròn nhất định.

36

Nếu một hình tam giác được đưa ra…

V. N. Berezin, V. I. Slepoy

Nói chung, trong các bài toán hình học người ta phải xử lý các góc 30°, 45°, 60°, …; nhưng cũng có bài toán, trong đó có các góc 80°, 40° và thậm chí 47°! Chúng ta gần như đang nói về những vấn đề như vậy.

Tất cả các vấn đề được thảo luận trong bài viết này đều liên quan đến một tam giác nằm trong cùng một mặt phẳng và một điểm nối với các đỉnh của nó bằng các đoạn thẳng. Đã biết được coi là một số góc giữa các đường thẳng hoặc một số mối quan hệ số liệu giữa các đoạn thẳng hoặc cả hai. Cần xác định một số góc chưa biết (được đánh dấu trên hình vẽ tương ứng bằng dấu chấm hỏi và nơ đỏ).

Các ký hiệu chính trong ghi chú là tiêu chuẩn, nhưng đôi khi các ký hiệu phụ lời giải bài toán cũng rất hữu ích. Trước hết, đây là “tô màu” các đoạn bằng nhau bằng cùng một màu (không phải màu đen) và tô màu những phần của mặt phẳng mà bạn cần chú ý ở lời giải bài toán.

Hãy bắt đầu với bài toán đơn giản nhất.

Bài tập 1. Cho tam giác đều ABC và một điểm D ở bên ngoài tam giác đó, độ dài đoạn BD bằng cạnh $\Delta ABC$ và $\widehat{DBC}=40^\circ$ (xem Hình 1). Tìm $\widehat{ADC}$.

Thật dễ dàng để tính toán (tự làm) rằng $\widehat{ADC}=30^\circ$. Điều thú vị là $\widehat{DBC}$ có thể là bất cứ thứ gì (và không nhất thiết phải bằng 40°); $\widehat{ADC}$ vẫn bằng 30°.

Bây giờ hãy giải quyết bài toán này.

Bài tập 2. Cho tam giác đều ABC ($|BC|=|CA|$, xem Hình 2) có góc BAC nhỏ hơn 60° và một điểm D. chứng tỏ đoạn AD tạo thành một góc với cạnh AC của tam giác bằng hiệu giữa góc 60° và góc BAC (có thể

Hình 1.
Hình 2.

37

Hình 3.

đường thẳng AC là đường phân giác của góc DAE), với $|AD| = |AB|$. Tìm $\widehat{ADC}$ (hóa ra lại bằng 30°).

bài toán tiếp theo đã được trình bày tại Olympic Toán học XV Moscow.

Bài 3. Từ đỉnh A và C của tam giác đều ABC có góc đỉnh $\widehat{ABC} = 20^\circ$ (Hình 3), vẽ hai đường thẳng cho đến khi cắt các cạnh đối diện của tam giác lần lượt tại các điểm D và E sao cho góc CAD bằng 60°, và góc ACE bằng 50°. Xác định góc ADE.

Lời giải. Từ các tam giác đều đồng dạng với tam giác ABC, chúng ta tạo thành một hình 18 cạnh đều $ACC_1C_2 \dots C_{15}C_{16}$ (xem Hình 4) có tâm tại đỉnh B của tam giác ban đầu. Hãy vẽ các đường chéo $AC_8, AC_6, CC_9, CC_{12}, C_1C_{12}, C_1C_{16}, C_4C_{16}$ của 18 giác này. Các đường chéo $AC_6$ và $C_1C_{12}$ đối xứng nhau qua đường chéo $CC_9$ và cắt nhau tại điểm D. Tương tự, người ta chứng minh rằng các đường chéo $CC_{12}, C_4C_{16}$ và $AC_8$ cắt nhau tại điểm chung E. Bây giờ lưu ý rằng $[C_4C_{16}]$ và $[BC_1]$ là các đường chéo của hình thoi $BC_4C_1C_{16}$; do đó, đoạn $C_4C_{16}$ vuông góc với đoạn $BC_1$ và đi qua điểm giữa của nó; nhưng vì $\Delta BC_1D$ là đều ($\triangle DBC_1 \cong \triangle DC_1B$), nên $C_4C_{16}$ chứa chiều cao của nó, và do đó đi qua điểm D. Bây giờ ta đã rõ rằng $\widehat{ADE} = 30^\circ$ (nó bằng một nửa tổng các cung $AC_{16}$ và $C_4C_6$ của đường tròn nội tiếp 18-giác thông thường của chúng ta).

Nhân tiện, lưu ý rằng góc ECD cũng bằng 30° và tam giác AEC là đều ($|AE| = |AC|$).