Kvant 1975, số 8 · Trang

KEANM
1975
8
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Đồng hồ thiên văn này được chế tạo vào năm 1572. Thang đo bên ngoài của mặt số trên được chia thành 24 giờ - hai lần 12. Trên thang đo này, ba kim biểu thị thời gian mặt trời, mặt trăng và thiên văn. Hai thang đo còn lại của mặt số xác định thời gian, được tính từ lúc mặt trời mọc hoặc lặn (các thang đo này cũng được chia thành 24 vạch chia). Máy đo độ cao thiên văn, được lắp ở đầu đồng hồ, hiển thị vị trí của Mặt trời so với các chòm sao Hoàng đạo.
Đồng hồ hiện được lưu giữ tại Bảo tàng Kunsthistorisches ở Vienna.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin

Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:

M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapnitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,

phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:

V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,

biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,

do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:

2. N. Vâng. Vilenkin. Henri Lebesgue (kỷ niệm 100 năm ngày sinh của ông)

3. A. A. Mikhailov. Kinh độ và vĩ độ là gì?

4. S. G. Verov. Bí mật của Cyclops

5. V. Vâng. Frenkel. Pushkin và khoa học chính xác

6. V. N. Vaguten. Đóng phân số

7. I. M. Yaglom. Ôi bài toán Rado

vòng tròn toán học

46. A. G. Reznikov. Hai chuỗi hình tam giác

Vấn đề «Kvant»

49. Nhiệm vụ M336—M340; F348—F352

50. Lời giải bài toán M301—M303

51. I. M. Bystry. Xây dựng phương trình từ đồ thị hàm số

«Kvant» cho học sinh nhỏ

58. Bài toán

59. A. D. Bendukidze. Về hệ thống số

60. B. A. Kordemsky. Món quà của thuyền trưởng vui vẻ

61. Đáp số, gợi ý, lời giải

Hỗn hợp (tr. 48, 61)

Thiết bị mà bạn nhìn thấy ở trang đầu tiên của bìa được gọi là pincompass (prin trong tiếng Anh có nghĩa là que, chốt); Thiết bị này được các thủy thủ sử dụng vào thế kỷ 18, hiện được lưu giữ tại Bảo tàng Altona ở Gambur. Không thể xác định tọa độ với sự trợ giúp của nó, nhưng có thể “ghi lại” hành trình của con tàu. Trên mỗi roumier (1 roumier=360°:32) hoa hồng la bàn được tạo ra để đáp lại. Tất cả các câu trả lời tạo thành các vòng tròn đồng tâm với nhau. Vì vậy, “mặt số” của pincompass dường như được bao phủ bởi một mạng tọa độ. Cứ nửa giờ người canh gác lại để lại một chiếc ghim tương ứng với việc xác định phương hướng. Theo hướng này, con tàu sẽ duy trì hành trình khoảng nửa giờ. Nhưng để xác định hướng đi mong muốn, cần phải biết tọa độ của tàu tại thời điểm nhất định. Đọc về cách xác định các tọa độ này trong bài viết của Viện sĩ A. A. Mikhailov (tr. 11).

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, 1975 200

2

Henri Lebesgue
(kỷ niệm 100 năm ngày sinh của ông)

Henri Lebesgue sinh cách đây nhiều năm, vào ngày 28 tháng 6 năm 1875, tại thị trấn nhỏ Beauvais của Pháp. Sau khi tốt nghiệp ra trường thành công, Lebesgue vào trường Paris Ecole Normale Supérieure, nơi anh tham dự các bài giảng của J. Tannery, C. Jordan và các nhà toán học xuất sắc khác. Sau khi tốt nghiệp, ông làm giáo viên toán tại Lyceum ở Nancy, tiếp tục công việc khoa học bắt đầu ở Paris. Sau khi hoàn thành luận án tiến sĩ vào năm 1902, Lebesgue chuyển đến khoa toán tại trường đại học tỉnh Rennes, từ đó ông chuyển đến Poitiers, và chỉ đến năm 1910, ông mới quay trở lại Paris, nơi ông trở thành giáo sư tại Sorbonne và từ năm 1921 tại Collec de France.

Vì thành tích khoa học của mình, Lebesgue được bầu làm thành viên Viện Hàn lâm Khoa học Pháp năm 1922, thành viên danh dự của Hiệp hội Toán học Luân Đôn năm 1924, và thành viên của Hiệp hội Hoàng gia (Viện Hàn lâm Khoa học Anh) năm 1930. Ông bốn lần nhận được giải thưởng học thuật, viết nhiều sách và nhiều bài báo khoa học. Sau một trận bạo bệnh, Lebesgue qua đời vào ngày 26 tháng 7 năm 1941.

Cuộc sống bình lặng, nhàn nhã của một nhà khoa học ngồi ghế bành! Nhưng cho dù những sự kiện bên ngoài trong cuộc đời Lebet có khiêm tốn đến đâu thì những thành tựu khoa học của ông hóa ra lại rất sáng sủa và sâu sắc. Nếu bạn ngẫu nhiên mở bất kỳ trang nào của bất kỳ cuốn sách nào về lý thuyết hàm số thực (hoặc, như người ta cũng nói, biến số thực), về phân tích hàm hoặc lý thuyết xác suất, bạn gần như chắc chắn sẽ bắt gặp những từ “độ đo Lebet”, “điểm Lebet”, “tích phân Lebet” hoặc các khái niệm do ông giới thiệu “hàm tổng hợp”, “gần như ở mọi nơi” và đôi khi tên của Lebet hóa ra là một ký hiệu được mã hóa $L^p$: xét cho cùng thì $L$ là chữ cái đầu tiên của họ của anh ấy là Lebesque, và $L^p$ là không gian của các hàm có lũy thừa thứ $p$ là khả năng tính tổng của Lebes. Hầu như tất cả các khái niệm liên quan đến thước đo hiện đại và lý thuyết tích phân đều có nguồn gốc từ công trình của Lebet, và việc đưa ra những khái niệm này theo một nghĩa nào đó hóa ra lại là một bước ngoặt trong quá trình chuyển đổi từ toán học thế kỷ 19 sang khoa học thế kỷ 20.

Trong sự phát triển của khoa học có những thời kỳ dài gợi nhớ đến dòng chảy xiết của một con sông lớn. Trong những giai đoạn này, dựa trên kho khái niệm và ý tưởng có sẵn, các nhà khoa học thu được kết quả khoa học mới và mở rộng phạm vi áp dụng các phương pháp đã biết. Nhưng dần dần các vấn đề khoa học tích tụ lại, lời giải trong số đó là không thể thực hiện được trong khuôn khổ các ý tưởng khoa học hiện có.

Có thể. Sau đó, buổi bình minh của những biến đổi mang tính cách mạng bắt đầu - các khái niệm cơ bản bị chỉ trích, quan điểm về giá trị của các kết quả khoa học khác nhau, về chính mục tiêu và bài toán của sự sáng tạo khoa học trong một lĩnh vực nhất định của sự thay đổi khoa học. Và chỉ có sự xuất hiện của những ý tưởng hoàn toàn mới mới đưa khoa học thoát khỏi ngõ cụt hiện tại.

Nửa sau thế kỷ 19 là một bước ngoặt trong lịch sử phát triển của toán học. Trong gần hai trăm năm, phân tích toán học đã phát triển các ý tưởng của Newton và Leibniz, những người đã tạo ra phép tính vi phân và toán học về biến số. Tất nhiên, những khái niệm mới đã được đưa ra mà những người sáng lập ngành phân tích chưa biết đến, nhưng những khái niệm này tự nhiên tiếp nối những ý tưởng hiện có. Và nếu bằng một phép màu nào đó Newton hay Leibniz rơi vào tay một tạp chí toán học từ giữa thế kỷ 19, họ sẽ nhanh chóng hiểu được công thức của đa số bài toán và phương pháp của chúng lời giải. Các chỉ định khác không thay đổi nhiều trong những năm qua. Và quan trọng nhất, nguyên tắc cơ bản vẫn không thay đổi: giá trị của một kết quả khoa học phụ thuộc vào mức độ thành công của phương pháp mới trong lời giải ứng dụng thực tế bài toán.

Nhưng đặc điểm đặc trưng của toán học đen là, phá vỡ việc tạo ra các phương pháp mới lời giải thực tế bài toán, nó quan tâm đến chính công cụ do nó tạo ra, đối với mỗi khái niệm mới nổi, nó tìm kiếm phạm vi áp dụng rộng rãi và tự nhiên nhất, đối với mỗi định lý đã được chứng minh - những điều kiện chung nhất mà nó có giá trị. Và đây không phải là bài tập trống rỗng về phương pháp toán học mà là một điều cần thiết. Chỉ bằng cách thiết lập các khái niệm và định lý một cách tổng quát nhất, giải phóng chúng khỏi những hạn chế không cần thiết liên quan đến nhiệm vụ cụ thể mà chúng nảy sinh, người ta mới có thể thấy được mối liên hệ giữa những điều ngọt ngào xa vời của khoa học và học cách áp dụng các phương pháp đã tạo ra trong các tình huống mà thoạt nhìn, không có gì hứa hẹn với câu hỏi nơi chúng nảy sinh.

Trong hai thế kỷ, các nhà toán học đã sử dụng các khái niệm về số, hình hình học, hàm số, chiều dài, diện tích, thể tích, v.v. mà không cần suy nghĩ nhiều. Người ta kể rằng khi một vị tướng người Pháp mang bài toán bình phương hình tròn “lời giải” của mình đến Viện Hàn lâm Khoa học, ông đã được hỏi chính xác ông hiểu diện tích hình tròn là gì. “Các khu vực không được xác định, chúng được tính toán!” vị tướng dũng cảm kêu lên. Và quan điểm này phổ biến ở hầu hết các nhà toán học. Họ tin rằng diện tích là một tính chất của một hình hình học, được biểu thị bằng một con số và có những tính chất rất nổi bật (diện tích của toàn bộ bằng tổng diện tích của các phần, các hình tắc nghẽn có diện tích bằng nhau, v.v.). Họ không hề nghi ngờ dù chỉ một phút rằng bất kỳ hình hình học phẳng nào cũng có diện tích (có thể bằng 0 hoặc vô cực). Tuy nhiên, về các vấn đề khác, quan điểm của các nhà toán học thế kỷ 17-18 được phân biệt bởi tính thiếu phê phán giống nhau - họ tin rằng có thể vẽ tiếp tuyến với tất cả các đường thẳng tại bất kỳ điểm nào, ngoại trừ một số điểm đặc biệt, rằng tất cả các bề mặt đều nhẵn và hàm số được đặt sang một bên theo biểu thức mà nó được đưa ra. Nhưng sự mơ hồ như vậy của các định nghĩa cơ bản bắt đầu dẫn đến kết quả sai lầm, và từ đầu thế kỷ 19, một quá trình làm rõ các khái niệm toán học đã bắt đầu, kéo dài trong vài thập kỷ.

Trong quá trình này, các khái niệm như hình học, giới hạn, đường thẳng, độ dài đường thẳng, diện tích, khoảng cách, v.v. đã được xác định. Tuy nhiên, như thường lệ, sau khi tìm hiểu các khái niệm, hóa ra chúng bao trùm một lớp đối tượng rộng hơn theo chiều ngang so với tưởng tượng ban đầu, rằng các thuộc tính của các đối tượng đã được tinh chỉnh

4

dễ hiểu không đặt quá nhiều vào những gì quen thuộc.

Chẳng hạn, hóa ra là có những đường thẳng liên tục đi qua bất kỳ điểm nào của hình vuông, những đường cong không thể tìm thấy tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào, những vùng không thể gán giá trị diện tích. Vấn đề là khái niệm về hình hình học bắt đầu được sử dụng theo một nghĩa khác với những gì các nhà toán học thế hệ trước đã làm. Sau khi Cantor tạo ra lý thuyết về tập hợp vô hạn, các nhà toán học bắt đầu coi bất kỳ tập hợp chính xác nào cũng là hình vẽ, bao gồm cả những tập hợp được xác định bằng các quá trình vô hạn. Dưới đây là một số ví dụ về những con số như vậy.

Lấy hình vuông cạnh 1 và chia nó thành 9 hình vuông. Sau đó, chúng ta sẽ loại bỏ “chữ thập” được tạo thành bởi năm hình vuông, giữ nguyên ranh giới của các hình vuông còn lại. Kết quả là một hình gồm bốn hình vuông (Hình 1). Chúng tôi sẽ thực hiện thao tác tương tự với từng người trong số họ và tiếp tục quá trình này đến vô tận. Chúng ta sẽ nhận được các số liệu bao gồm số lượng hình vuông ngày càng lớn hơn, kích thước của chúng không ngừng giảm. Các số liệu thu được ở mỗi bước của quá trình này
Quá trình này rất chung chung, nhưng nếu chúng ta lấy giao điểm của tất cả các số liệu thu được, thì chúng ta có toàn bộ tập hợp trước mặt.

Bạn sẽ nhận được một bộ khác nếu bạn vứt bỏ không phải các thánh giá mà chỉ các ô vuông trung tâm, để lại đường viền của chúng (Hình 2).

Các nghiên cứu về các tập hợp như vậy, cũng như các hình có trọng lượng trang thuộc tính (ví dụ: hoàn toàn không liên tục hoặc liên tục ở tất cả các điểm vô tỷ và không liên tục ở tất cả các điểm hữu tỷ, các hình có đồ thị không có hướng cụ thể tại bất kỳ điểm nào), bắt đầu xuất hiện ngày càng thường xuyên hơn vào nửa sau thế kỷ 19. Những nghiên cứu này không được tất cả các nhà khoa học hoan nghênh!

Các nhà toán học cổ điển tin rằng khoa học nên giải quyết những vật thể phản ánh trực tiếp các đặc tính của thế giới thực. Ý kiến ​​​​của họ về nghiên cứu như vậy đã được bày tỏ rõ ràng bởi một trong những nhà khoa học vĩ đại nhất thời bấy giờ, Ani Poincaré. Anh ấy nói: “Trước đây, khi một tính năng mới được phát minh ra, họ đã nghĩ đến mục đích thực tế nào đó; bây giờ anh ấy đã phát minh ra chúng, không thu được lợi ích gì từ chúng mà chỉ để phát hiện ra những khiếm khuyết

5

tatki trong lý luận của cha ông chúng ta."
Người đứng đầu thang đo toán học của Pháp, Charles Hermite, thậm chí còn tỏ ra gay gắt hơn về chủ đề này. Trong bức thư gửi nhà toán học nổi tiếng người Hà Lan T. Stilses, ông viết: “Tôi kinh hoàng và ghê tởm thứ ngôn ngữ đang mở rộng không có đạo hàm này”. Các tác phẩm kinh điển gọi toán học mới là “teratorogy” (khoa học về sự biến dạng) của hàm số.

Nhưng giới trẻ lại bị cuốn hút vào những lĩnh vực khoa học mới mà không chú ý đến những câu hỏi của các nhà toán học thuộc thế hệ trước. Ở Pháp, họ lấy cảm hứng từ các bài giảng của Jules Tannery và Camille Jordan, trong đó phân tích toán học được xây dựng trên cơ sở sáng tạo của các định nghĩa chính xác, bằng chứng hoàn hảo và logic sắt đá. Họ nhấn mạnh trong các bài giảng này rằng mặc dù các hàm gián đoạn không gặp phải trong các ứng dụng tồn tại vào thời điểm đó, nhưng chúng nên được nghiên cứu trên cơ sở bình đẳng với các hàm liên tục, vì điều này đòi hỏi sự hiểu biết chính xác về các giao điểm của toán học; họ đã học được rằng các định nghĩa về độ dài, diện tích và thể tích, chỉ phù hợp với các đường thẳng và bề mặt, quá hẹp và cần phải tìm kiếm những định nghĩa tổng quát hơn. Những ý tưởng này được tích lũy, biến thành niềm tin và trở thành động lực cho công việc khoa học. Năm 1898, nhà khoa học trẻ người Pháp R. Barashchit đã viết một luận văn trong đó ông đưa ra sự phân loại sâu sắc về các hàm gián đoạn. Cùng năm đó, một cuốn sách của một trong những nhà lãnh đạo sáng giá nhất của giới trẻ, nhà toán học 27 chân Emile Borel, xuất hiện, đề cập đến lý thuyết mới về hàm số. Anira Lebesgue, người đang bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình vào thời điểm đó, đã gia nhập trường khoa học này.

Một trong những tác phẩm đầu tiên của Lebesgue là ghi chú “Trên các bề mặt không thể phát triển bằng phim”. Công việc này khiến các nhà toán học cổ điển tức giận. Một trong những nhà lãnh đạo của thời gian hình học, Gaston Darboux, đặc biệt phẫn nộ. Tiêu đề của tác phẩm dường như phản trực giác đối với anh ta. Thực tế là các bề mặt có thể phát triển được gọi là các bề mặt, một bề mặt đủ nhỏ có thể thu được bằng cách uốn cong một mảnh của mặt phẳng. Nhưng tất cả các bề mặt đang phát triển được biết đến vào thời điểm đó - hình trụ, hình nón và những bề mặt khác - đều được tạo thành từ các đường sinh thẳng. Như người ta nói, chúng tuyến tính. Vì vậy, nói về các bề mặt tráng phim không có màng dường như hoàn toàn vô lý. Nhưng mấu chốt là tác giả trẻ hiểu các bề mặt đang phát triển khác với các nhà hình học cổ điển. Anh ấy coi đây không chỉ là những bề mặt thu được bằng cách uốn cong cẩn thận một tờ giấy mà còn cả những bề mặt thu được nếu tờ giấy này bị nhàu nát (giải thích công việc này cho bạn bè, anh ấy nói: “Hãy tưởng tượng một chiếc khăn tay nhàu nát”). Hóa ra là có thể “làm nhàu nát” một mảnh máy bay theo cách mà sau đó không còn một đoạn thẳng nào trên đó nữa. Tất nhiên, bề mặt đang phát triển thu được không có mặt phẳng tiếp tuyến; nó luôn được tạo thành từ những nếp gấp và đường gấp khúc. Và rõ ràng là tại sao các nhà hình học lại bỏ qua nó khi phân loại các bề mặt đang phát triển - họ chỉ xử lý các bề mặt nhẵn.

Sự quan tâm của Lebesgue đến các bề mặt có thể phát triển được không phải là ngẫu nhiên. Ông quan tâm đến một câu hỏi chung do Camille Jordan đặt ra: làm thế nào để xác định diện tích của một bề mặt mà không giả sử độ nhẵn của nó. Thật dễ dàng để tìm thấy diện tích của bề mặt đang phát triển bị nhàu nát - chỉ cần trải nó ra trên một mặt phẳng. Nhưng không thể tính diện tích của một bề mặt như vậy bằng các công thức, chúng tôi cung cấp toán học cổ điển - chúng bao gồm các công thức tùy ý và chúng chỉ tồn tại đối với các bề mặt nhẵn.

Tất nhiên, cùng với các mặt phẳng tiếp tuyến, bạn có thể thử

Cơm. 3.

tính diện tích bề mặt theo một cách khác, bằng cách ghi các khối đa diện vào đó và di chuyển đến giới hạn khi tất cả kích thước của các mặt đều giảm. Nhưng nhà toán học người Đức G. Schwartz đã chứng minh rằng bằng cách này không thể tìm ra diện tích của hình trụ thông thường nhất - một khối đa diện có các mặt nhỏ tùy ý và có diện tích lớn tùy ý có thể được ghi vào đó. Một khối đa diện như vậy bao gồm toàn bộ các nếp gấp nhỏ.

Sau nhiều suy nghĩ, Lebesgue đã tìm ra được định nghĩa về diện tích bề mặt không yêu cầu vẽ các mặt phẳng tiếp tuyến, nhưng đồng thời tránh được mọi khó khăn liên quan đến ví dụ của Schwartz. Giải được bài toán đặc biệt này, Lebesgue đã đi đến những ý tưởng chung về số đo của một tập hợp là gì, cách đo chiều dài, diện tích và thể tích của những hình kỳ lạ nhất. Nhiều nhà toán học trước ông quan tâm đến câu hỏi này. Định nghĩa của Jordan hóa ra là thành công nhất.

Ý tưởng chính của Jordan như sau. Có những hình rõ ràng có diện tích, ví dụ như đa giác. Bây giờ, giả sử rằng hình $\Phi$ có thuộc tính sau: bất kỳ số dương nhỏ nào $\varepsilon$ chúng ta lấy,

có hai diện tích đa giác*) $\Phi_\varepsilon$ và $\Phi_\varepsilon^*$, sao cho $\Phi_\varepsilon$ nằm hoàn toàn trong hình $\Phi$, và $\Phi_\varepsilon^*$ chứa toàn bộ diện tích đó và chênh lệch giữa diện tích $\Phi_\varepsilon^*$ và $\Phi_\varepsilon$ nhỏ hơn $\varepsilon$. Khi đó diện tích của hình $\Phi$ phải được lấy số nằm giữa các vùng $\Phi_\varepsilon$ và $\Phi_\varepsilon^*$ cho tất cả $\Phi_\varepsilon$ và $\Phi_\varepsilon^*$. Theo cách khác, định nghĩa tương tự có thể được xây dựng như sau: một hình $\Phi$ là Jordan có thể đo được nếu với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, nó có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của vùng đa giác $\Phi_\varepsilon$ và phần còn lại, được bao phủ bởi một vùng đa giác có diện tích nhỏ hơn $\varepsilon$. Số đo $m\,(\Phi)$ của một hình như vậy được chứa giữa các số có dạng $m\,(\Phi_\varepsilon)$ và các số có dạng $m\,(\Phi_\varepsilon) + \varepsilon$, trong đó $m\,(\Phi_\varepsilon)$ là diện tích của $\Phi_\varepsilon$.

Định nghĩa này tương ứng với quy trình đo diện tích thông thường của các hình. Chúng tôi sử dụng nó ở trường khi đo diện tích hình tròn - các đa giác nội tiếp đều đóng vai trò là đa giác bên trong và phần còn lại bao gồm các đoạn của hình tròn bị cắt bởi các cạnh của đa giác này. Các đoạn này có thể được bao bọc trong các hình tam giác được hình thành bởi các dây và tiếp tuyến (Hình 3) và có thể chỉ ra rằng với số cạnh của đa giác đủ lớn thì tổng diện tích của các hình tam giác này nhỏ tùy ý.

Độ đo Jordan có nhiều đặc tính tốt, đặc biệt, như lẽ ra, hợp của một số hữu hạn các tập hợp đo lường được Jordan rời rạc theo cặp là có thể đo lường được và độ đo của nó bằng tổng số đo của các phần. Sử dụng thước đo này, có thể ấn định diện tích cho các tập hợp mà các nhà toán học cổ điển không coi là số thực. Ví dụ, hãy nhớ

---

*) Vùng đa giác là vùng có thể chia thành nhiều đa giác không có điểm chung bên trong.

6

7

hình của anh ta, mà chúng ta có được bằng cách ném ra các hình chữ thập từ hình vuông ở cạnh 1. Sau khi ném ra $n$, vẫn còn lại $4^n$ hình vuông, mỗi hình vuông có diện tích $1/9^n$. Do đó, tất cả các bộ khác có thể được bao phủ bởi các hình vuông có tổng diện tích $\left(\frac{4}{9}\right)^n$. Nhưng $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n = 0$, có nghĩa là đối với $n$ đủ lớn thì tổng diện tích của các ô vuông che phủ là nhỏ tùy ý và do đó số đo của toàn bộ tập hợp còn lại bằng 0.

Việc bộ mô tả ở trên có số đo Jordan bằng 0 không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì nó hoàn toàn là sản phẩm của những cây thánh giá bị loại bỏ và không có “không gian sống”. Điều đáng ngạc nhiên là các bàn khác có lỗ trong các bộ hóa ra lại không thể thay đổi theo Jordan. Một bộ như vậy có thể được xây dựng bằng cách loại bỏ các hình chữ thập tiết kiệm hơn, cụ thể là chọn hình chữ thập đầu tiên có diện tích $1/4$, sau đó chọn bốn hình chữ thập có tổng diện tích $1/8$, v.v. Các hình vuông còn lại có tổng diện tích liên tiếp là $3/4$, $5/8$, $9/16$, v.v. Tất cả các số này đều lớn hơn $1/2$ và do đó, bất kỳ đa giác nào chứa tập hợp còn lại sau vô số lần loại bỏ có diện tích không nhỏ hơn $1/2$. Đồng thời, tập hợp này không chứa một hình vuông nguyên và do đó diện tích của nó không thể lớn hơn 0. Mâu thuẫn thu được cho thấy tập này không có độ đo Jordan. Vì vậy, một số thước đo của Jordan không bao gồm nhiều con số thú vị.

Một lối thoát khỏi tình trạng hiện tại cho Borel của chúng tôi. Bằng cách cộng diện tích của tất cả các hình chữ thập bị loại bỏ, anh ta thu được một cấp số nhân giảm vô hạn

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n+1}} + \dots,$$

có tổng là $1/2$. Borel lấy con số này làm khu vực phóng.
của phần giảm và diện tích của phần còn lại - chênh lệch $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Tất nhiên, đáp số như vậy hóa ra là một trọng số không có đặc quyền - không có một bộ phận nào trong bộ và diện tích của nó là dương. Nhưng Borel còn đi xa hơn nữa, thay đổi các tập hợp khác nhau bằng hai nguyên tắc:

a) Nếu tập $\Phi$ bao gồm một tập hợp đếm được *) gồm các tập con có thể thay đổi $\{\Phi_n\}$, không có hai tập hợp nào có điểm chung, thì

$$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \Phi_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(\Phi_n).$$

b) Số đo phần bù của một tập hợp biến $\Phi$ có được bằng cách trừ số đo của tập hợp con khỏi số đo của số nguyên $U$,

$$m(\Phi') = m(U) - m(\Phi).$$

Nguyên tắc đầu tiên trong số này là sự khái quát hóa sâu rộng quan điểm cổ xưa: thước đo của tổng thể bằng tổng các thước đo của bộ phận nó; thứ hai theo sau từ cùng một vị trí. Sau khi có được các nguyên tắc của mình, Borel đã tìm ra số đo của tất cả các tập hợp mà các nhà toán học cùng thời với ông xử lý. Ví dụ, từ các nguyên tắc của ông, người ta suy ra rằng bất kỳ tập hợp điểm đếm được nào đều có số đo bằng 0: xét cho cùng, mỗi điểm có số đo bằng 0, và khi đó hợp của các điểm này có số đo bằng 0.

Nhưng các công trình xây dựng của Borel có một nhược điểm - cùng một tập hợp phẳng $\Phi$ có thể được xây dựng từ các đa giác theo nhiều cách khác nhau. Và điều đó không có nghĩa là điều này sẽ mang lại kết quả tương tự cho thước đo. Một số biện pháp nhất định phải được đưa ra, bất kể lựa chọn phương pháp này hay phương pháp khác để xây dựng tập hợp.

Chính khoảng trống này đã được Lebesgue giải quyết trong các tác phẩm của mình. Lấy ý tưởng về chuỗi tổng hợp của Borel, ông đã sửa đổi một số

*) Một tập hợp vô hạn được gọi là đếm được nếu các phần tử của nó có thể thay đổi được.

Jordana. Đầu tiên, anh quyết định phủ phần còn lại của tập hợp bằng bất kỳ hệ đa giác đếm được nào, miễn là tổng diện tích của chúng không vượt quá ε. Và thứ hai, ông đề xuất không chỉ thêm các phần dư nhỏ vào đa giác mà còn loại bỏ các tập hợp nhỏ khỏi nó.

Ở dạng chặt chẽ hơn, định nghĩa của độ đo Lebesgue có thể được xây dựng như sau *). Một tập hợp $E$ -Lebesgue-có thể phủ được được biết nếu nó có thể được bao phủ bởi sự kết hợp của một hệ đa giác đếm được có tổng diện tích nhỏ hơn ε. Một tập hợp Φ có thể đo được Lebesgue nếu với bất kỳ ε>0 nào, nó có thể được biểu diễn dưới dạng một vùng đa giác $\Phi_\varepsilon$ mà tập hợp phủ ε $D_\varepsilon$ được gắn vào và từ đó tập hợp phủ ε $E_\varepsilon$ bị loại bỏ. Số đo Lebesgue của tập hợp Φ là $m(\Phi)$, lớn hơn tất cả các số $m(\Phi_\varepsilon) - \varepsilon$, nhưng nhỏ hơn tất cả các số $m(\Phi_\varepsilon) + \varepsilon$. Tất nhiên, định nghĩa của Lebesgue sau khi sửa đổi thích hợp đã phù hợp về độ dài, thể tích, v.v.

Ý tưởng của Lebesgue hóa ra rất thành công - tất cả các tập hợp có thể đo lường được theo Jordan hóa ra đều có thể đo lường được theo Lebesgue, cũng như tất cả các tập hợp có thể đo lường được theo Borel. Chỉ sau này người ta mới có thể cung cấp một ví dụ về một tập hợp

*) Định nghĩa được trình bày ở đây về bề ngoài khác với định nghĩa mà Lebesgue từng đề xuất, nhưng tương đương với định nghĩa đó.

không thể thay đổi theo Lebesgue, tuy nhiên, phương tiện được sử dụng cho việc này không được tất cả các nhà toán học công nhận. Trong mọi trường hợp, chưa ai có thể đưa ra một cách xây dựng hiệu quả dẫn đến một tập hợp như vậy. Thước đo Lebesgue cũng thỏa mãn các nguyên tắc a) Borel; như họ nói, đó là chất phụ gia tạo cảnh quan.

Tuy nhiên, Lebesgue cho rằng thành tựu chính của ông không phải là tạo ra một khái niệm đo lường mới mà là việc áp dụng khái niệm này vào một định nghĩa mới về tích phân. Nếu hàm $y = f(x)$ không liên tục và không âm trên đoạn $[a, b]$, thì $\int_a^b f(x)dx$ không gì khác hơn là diện tích của một hình thang cong (Hình 4). Vì vậy, nếu biết cách tìm diện tích hình thang này thì bạn có thể tìm được giá trị của tích phân. Nhưng nếu một hàm số có vô số điểm gián đoạn, chẳng hạn như điểm gián đoạn tại mỗi điểm, thì hình thang cong tương ứng không phải là một hình theo nghĩa cổ điển của từ này và có thể không có tổng diện tích. Tính diện tích này bằng phương pháp Lebesgue, chúng ta thu được giá trị tích phân của hàm đó.

Định nghĩa tích phân là thước đo của hình thang cong dường như không thuyết phục lắm đối với bản thân Lebesgue - kể từ thời Cauchy, tức là từ đầu thế kỷ 19, các nhà toán học đã quen với việc định nghĩa tích phân thuần túy bằng phương pháp giải tích, mà không cần dùng đến các khái niệm như diện tích hoặc thể tích. Lebesgue đã đưa ra một định nghĩa giải tích cho tích phân của mình. Giải thích định nghĩa này, ông sử dụng hình ảnh sau: nếu có một số tiền nhất định, thì một người thiếu kinh nghiệm sẽ liệt kê nó liên tiếp, lần lượt lấy tiền xu và tiền giấy của nhiều bang khác nhau. Một nhân viên thu ngân có kinh nghiệm sẽ sắp xếp hàng chục thành hàng chục, số năm thành năm, rúp thành rúp, v.v., sau đó nhân số hàng chục với 10, số năm với 5, v.v. và cộng tất cả các sản phẩm thu được.

9

Theo cách tương tự, để cải thiện giá trị của tích phân từ phép tính hàm không liên tục, Lebesgue đề xuất không tạo ra miền thay đổi của đối số mà là phạm vi giá trị của hàm. Nếu các số $y_k$ và $y_{k+1}$ được cho trước, thì bằng $E_k$ chúng ta biểu thị tập hợp các giá trị $x$ mà bất đẳng thức $y_k \leq f(x) < y_{k+1}$ đúng. Tổng tích phân Lebesgue là tổng $\sum_{k} y_k m(E_k)$.

Chuyển sang giới từ với sự thay đổi không giới hạn các phân đoạn của phân vùng, chúng ta thu được một số bằng tích phân Lebesgue $\int_a^b f(x) \, dx$. Nói một cách trực quan, bản chất ý tưởng của Lebesgue là đối với các hàm không liên tục, “hình thang cong” phải được cắt không song song với trục tọa độ mà song song với trục hoành.

Ngày nay, quá trình tính tích phân Lebesgue dường như là điều mà các nhà toán học coi là đương nhiên. Nhưng vào đầu thế kỷ này, ông dường như đã làm lung lay nền tảng của toán học. Và sau đó Lebesgue đã đưa ra một cách biện minh mới cho thực tế rằng phương pháp tính tích phân của ông là tự nhiên. Có lẽ ông đã bị ảnh hưởng bởi tấm gương của Hilbert, người đã đưa ra tiên đề hình học sớm hơn một chút. Tương tự, Lebesgue đã xây dựng một hệ thống các yêu cầu mà tích phân phải thỏa mãn và chứng minh rằng định nghĩa duy nhất về tích phân thỏa mãn tất cả các yêu cầu này là định nghĩa mà ông đề xuất.

Năm 1902, nhờ sự hỗ trợ của C. Jordan và E. Picard, đã vượt qua được định kiến ​​của những người phản đối thang đo toán học mới, Lebesgue đã hoàn thành xuất sắc luận án tiến sĩ của mình.

Việc tạo ra thước đo Lebesgue và tích phân giúp người ta có thể khắc phục được nhiều khó khăn tích tụ vào thời điểm đó trong phân tích toán học. Ý tưởng của Lebesgue hóa ra đặc biệt hữu ích: không cần thiết phải thỏa mãn một số thuộc tính của hàm cho tất cả các giá trị của đối số, nhưng chỉ cần nghiên cứu các thuộc tính được thỏa mãn ở hầu hết mọi nơi, nghĩa là ở mọi nơi ngoại trừ tập hợp các điểm có số đo bằng 0 là đủ. Ví dụ, hóa ra là nếu hàm $y = f(x)$ bị giới hạn và có thể giải thích được theo Lebesgue, thì hàm $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ đối với hầu hết tất cả các giá trị của $x$ là tùy ý, trùng với $f(x)$. Tích phân Lebesgue cực kỳ hữu ích trong lý thuyết chuỗi lượng giác, tức là chuỗi có dạng

$$\frac{a_n}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx).$$

Bản thân Lebesgue đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết cho lý thuyết này.

Thoạt nhìn, có vẻ như tích phân Lebesgue là một công cụ quá phức tạp và khó sử dụng trong các ứng dụng; trong thực tế, các hàm và tập hợp “hoang dã” cũng không xảy ra và tất cả các vấn đề thực tế về việc phục vụ theo số nguyên tổng quát cũng không xảy ra. Nhưng trong những năm đó, lý thuyết về không gian vô hạn chiều bắt đầu được phát triển, điều này cần thiết cho việc nghiên cứu các phương trình tích phân lời giải (các phương trình chứa hàm mong muốn dưới dấu tích phân). Các phương trình như vậy có nhiều tính chất trong vật lý toán học và các phương pháp dành cho chúng lời giải đã được phát minh, dựa trên việc xây dựng một chuỗi các hàm, theo một nghĩa nào đó tiếp cận lời giải mong muốn. Không thể chứng minh được, trong khi vẫn nằm trong khuôn khổ của toán học cổ điển, rằng một chuỗi như vậy bằng cách nào đó đang tiến đến gần. Tình trạng của sự việc ở đây không giống như nỗ lực giải phương trình $x^2 = 2$, chỉ thử với các số hữu tỷ. Tất nhiên, có thể xây dựng một dãy số hữu tỉ tiến tới nghiệm mong muốn, nhưng bản thân nghiệm đó là tích phân và dãy số này không có giới hạn trong tập hợp các số hữu tỉ. Như đã biết rằng

10

Để thoát khỏi tình trạng này, bạn cần bổ sung tập hợp số hữu tỷ bằng cách cộng các số vô tỷ vào đó.

Theo cách tương tự, chuỗi các hàm thu được với phương trình tích phân gần đúng lời giải không phải lúc nào cũng hội tụ về một hàm “tốt” nào đó. Để chắc chắn về sự tồn tại của lời giải, chúng ta cần hoàn thiện tập hợp các hàm bằng cách thêm các hàm không liên tục vào nó. Nhưng nếu bạn thêm các hàm gián đoạn ngẫu nhiên vào tập hợp các hàm liên tục thì bạn sẽ không thể xây dựng được một lý thuyết tốt. Hóa ra là chúng ta cần thêm các hàm có bình phương mà chúng ta có thể tích phân theo Lebesgue. Sau đó, chúng ta có một không gian có tính chất rất giống với không gian Euclide của chúng ta, chỉ có điều là vô hạn chiều. Không gian này được gọi là không gian Hilbert.

Chiến thắng của các ý tưởng của Lebesgue, Baer và Borel đã dẫn tới thực tế là ngay cả Darboux cũng đã thay đổi suy nghĩ của mình về toán học mới, và, phát biểu vào năm 1908 tại Đại hội Toán học ở Rome, ông đã nói về tinh thần tò mò và rực lửa của toán học thế kỷ 20, về một ngành khoa học tiến hành nghiên cứu của mình trong một lĩnh vực hoàn toàn mới với những triển vọng chưa được biết đến. Ông nhấn mạnh rằng khoa học thế kỷ 20 không ngại tấn công nền tảng của những công trình mà bấy lâu nay tưởng chừng như không thể lay chuyển.

Sau này, những ý tưởng dẫn đến việc tạo ra thước đo Lebesgue và tích phân đã cho phép A. N. Kolmogorov xây dựng tiên đề của lý thuyết xác suất và N. Wiener xác định khái niệm độ đo cho các không gian hàm. Bất cứ nơi nào ý tưởng về thước đo thâm nhập, các công trình và khái niệm có từ thời Lebesgue đều được sử dụng. Hóa ra chúng rất hữu ích trong vật lý thống kê, cho phép A. Ya. Khinchin và J. von Neumann chứng minh một số ý tưởng của nhà vật lý người Mỹ Gibbs.

Những công trình đáng chú ý trong lĩnh vực lý thuyết hàm hành động

Sự phát triển của một biến thực (là lĩnh vực toán học nghiên cứu lý thuyết tổng quát về hàm số, số đo và tích phân) được thực hiện bởi các nhà toán học Moscow D. F. Egorov và N. N. Luzin, cũng như nhiều sinh viên của họ.

Trong những năm này, bản thân Lebesgue cũng quan tâm đến cấu trúc liên kết lý thuyết tập hợp đang nổi lên vào thời điểm đó, dự đoán trong một trong những công trình của ông sẽ có nghiên cứu sau này của P. S. Uryson về lý thuyết các chiều của không gian tôpô, lý thuyết thế năng và các câu hỏi khác của toán học. Và mặc dù ông không còn tạo ra được thứ gì sánh bằng với những thành tựu toán học thời trẻ của mình, nhưng hóa ra chúng cũng khá đủ để làm nên tên tuổi của ông.

Lebesgue cống hiến hai mươi năm cuối đời mình cho các vấn đề lịch sử và giảng dạy toán học. Đương nhiên, anh chú ý nhất đến lý thuyết đo đại lượng ở trường trung học. Trong một loạt bài viết sau này được tập hợp thành cuốn sách “Về việc đo lường số lượng” (cũng đã được dịch sang tiếng Nga), ông đã hóm hỉnh phê phán những quan niệm sai lầm phổ biến trong việc giảng dạy những vấn đề này. Trong cuốn sách của mình, ông đã chỉ ra sự mâu thuẫn trong các định nghĩa phổ biến về chiều dài, diện tích và thể tích, đồng thời chỉ trích các sách giáo khoa cố gắng đạt được sự chặt chẽ ở một số chỗ trong khi lại mắc những sai lầm logic nghiêm trọng ở những chỗ khác.

75 năm đã trôi qua kể từ khi Lebesgue tạo ra lý thuyết đo lường và tích phân của mình. Những khái niệm này đã mãi mãi đi vào toán học - nếu không có chúng thì không thể nghĩ ra lý thuyết xác suất, giải tích hàm, vật lý thống kê hoặc đại số tôpô.

11

Kinh độ và vĩ độ là gì?

Vị trí của một điểm trên bề mặt Trái đất được xác định bởi hai tọa độ: vĩ độ địa lý và kinh độ địa lý. Bạn có biết những cái tên này đến từ đâu không? Vào thế kỷ thứ hai sau Công nguyên. đ. Nhà thiên văn học và địa lý học người Hy Lạp Claudius Ptolemy đưa ra khái niệm chiều dài và chiều rộng liên quan đến việc đo lường các quốc gia, ứng dụng vào vùng biển Địa Trung Hải, trải dài từ tây sang đông. Ông gọi kết quả đo dọc theo chiều dài biển và chiều ngang của chúng - chiều rộng. Khi dịch sang tiếng Nga, thay vì những từ này có thể được gán cho bất kỳ vật thể nào, các thuật ngữ đặc biệt đã được đưa ra để mô tả vị trí của vật thể trên bề mặt trái đất - kinh độ và vĩ độ. Mặc dù những khái niệm này, được minh họa rõ ràng trên toàn cầu, được biết đến rộng rãi nhưng không phải ai cũng biết định nghĩa chính xác của chúng.

Người ta thường nói rằng vĩ độ φ là khoảng cách góc từ một điểm nhất định đến xích đạo của trái đất, và kinh độ λ là góc nhị diện giữa mặt phẳng của một kinh tuyến nhất định và mặt phẳng của kinh tuyến ban đầu được chọn theo quy ước. Do đó, mạng lưới các vĩ độ và kinh tuyến được vẽ trên địa cầu cho phép chúng ta chỉ ra tọa độ địa lý của bất kỳ điểm nào trên địa cầu. Đương nhiên, giá trị tọa độ là cần thiết cho việc định hướng. Tuy nhiên, tại một thời điểm nào đó trên Trái đất, bản thân chúng ta phải có khả năng xác định tọa độ địa lý của mình. Như đã biết, điều này được thực hiện với sự trợ giúp của các quan sát thiên văn. Giả sử chúng ta đã tính được vĩ độ và kinh độ của điểm chúng ta đang ở. Liệu bây giờ chúng ta, sau khi tìm thấy một điểm trên địa cầu có tọa độ như vậy, có thể chắc chắn rằng chúng ta đang ở chính xác tại điểm này trên Trái đất không? KHÔNG! Ngay cả khi điểm trên quả địa cầu được chỉ định với độ chính xác cực cao.

Thực tế là Trái đất không phải là hình cầu và quả địa cầu chỉ là một mô hình trực quan đơn giản hóa của Trái đất. Chính hình dạng bất thường (không phải hình cầu) của Trái đất dẫn đến sự khác biệt giữa tọa độ địa lý thu được từ các quan sát thiên văn và tọa độ được xác định cho một điểm nhất định trên địa cầu trên bản đồ.

Nếu Trái đất được coi là một quả bóng thì đường phản hồi ở bất cứ đâu trên trái đất

12

của bề mặt đi qua tâm Trái đất, còn các kinh tuyến và đường xích đạo là những đường tròn có bán kính bằng bán kính Trái đất. Sau đó, vĩ độ địa lý có thể được đo bằng hai kinh tuyến từ mặt phẳng xích đạo đến một điểm nhất định và kinh độ bằng cung của đường xích đạo từ kinh tuyến ban đầu được chọn có điều kiện đến một kinh tuyến nhất định.

Hình dạng thực sự của Trái đất, được gọi là tinh hốc, lò xo rất phức tạp, mặc dù gần giống một chuyển động quay hình elip, liên tục theo hướng của các sọc. Sự phức tạp của hình dạng là do sự phân bố khối lượng không đồng đều bên trong và trên bề mặt Trái đất, một phần là do sự hiện diện của vật chất từ ​​các ngọn núi cao và các lưu vực sâu trong đại dương.

Do khoảng cách hình elip của Trái đất, đường tương ứng không đi qua tâm Trái đất tại bất kỳ điểm nào và sự bất thường của geode cũng dẫn đến độ lệch ngang so với đường bên ngoài, do đó nó thậm chí có thể không đi qua trục Trái đất. Điều này dẫn đến cái gọi là độ lệch của đường dọi, được biểu hiện bằng sự thay đổi không chính xác về hướng của đường dọi khi di chuyển từ điểm này sang điểm khác. Và vì trong việc xác định vĩ độ và kinh độ thực tế, một trong những hướng chính mà các thiết bị thiên văn định hướng là đường thẳng đứng, nên sự khác biệt giữa tọa độ địa lý thực của một điểm trên Trái đất và tọa độ của nó trên địa cầu là điều hoàn toàn có thể hiểu được.

Hãy xây dựng một định nghĩa rõ ràng về vĩ độ và kinh độ. Vĩ độ là góc giữa đường phản ứng tại một vị trí nhất định và mặt phẳng xích đạo. Rõ ràng là tại sao chúng ta không nói “mặt phẳng xích đạo của trái đất”. Do độ lệch của đường dây dọi, đường xích đạo của Trái đất - một đường tại tất cả các điểm có vĩ độ địa lý bằng 0 - lệch khỏi mặt cắt phẳng của Trái đất bởi độ lệch của đường dọi, có thể đạt tới và thậm chí vượt quá, đặc biệt là ở các khu vực miền núi, 10", theo thước đo tuyến tính tương ứng với khoảng 300 m. Mọi điều nói về đường xích đạo của trái đất cũng áp dụng cho các đường vĩ tuyến - các đường có vĩ độ bằng nhau, vì lý do tương tự không phải là đường cong phẳng.

Một định nghĩa chặt chẽ về kinh độ địa lý phải như sau: kinh độ là góc nhị diện giữa hai mặt phẳng song song với trục quay của Trái đất, một mặt phẳng chứa đường dọi tại điểm bắt đầu đã chọn và mặt kia chứa đường dọi tại điểm xác định. Từ thước đo kinh độ, chúng ta có thể chuyển sang tọa độ thời gian. Quá trình chuyển đổi này có thể đạt được bằng các phép tính đơn giản: Trái đất quay quanh trục của nó 360° tương ứng với 24 giờ, do đó, 1 giờ = 15°, 1 phút thời gian = 15’ cung, 1 giây thời gian = 15’ cung. Rõ ràng, tại những điểm tương ứng với các kinh độ khác nhau, buổi trưa (và nửa đêm tương ứng) diễn ra ở những thời điểm khác nhau. Dễ hiểu rằng sự khác biệt (về thời gian) giữa những khoảnh khắc trong nửa ngày ở một địa điểm nhất định và tại một điểm có kinh độ coi bằng 0, chính là kinh độ của nơi này.

Năm 1884, theo thỏa thuận quốc tế, Đài thiên văn Greenwich, được thành lập năm 1675 tại London, được lấy làm điểm khởi đầu trong việc xác định kinh độ. Ở các quốc gia khác nhau, nhiều đài quan sát công cộng chính khác nhau được coi là điểm độc quyền: ở Nga - Pulkovo gần St. Petersburg, ở Pháp - Đài thiên văn Paris, v.v. Ngày xưa, kinh độ không có ở một trong những Quần đảo Canary - Ferro, điểm cực tây của Cựu Thế giới, tức là các lục địa Europa, Châu Á và Châu Phi. Do đó, tất cả các kinh độ đều được xem xét theo cùng một hướng và cùng một dấu - phía đông của Ferro.

Do độ lệch của đường thẳng đứng, tất cả các kinh tuyến - các đường, tất cả các điểm có cùng kinh độ - cũng không phải là những đường cong phẳng thu được trong quá trình Trái đất chuyển động bởi các mặt phẳng chứa trục Trái đất, mà hơi

13

các đường dây quấn lệch cả hai hướng so với các mặt cắt bằng phẳng với khoảng cách lên tới vài trăm mét.

Tọa độ địa lý từ các quan sát thiên văn chính xác đến mức nào? Tất cả phụ thuộc vào mục đích của các định nghĩa như vậy. Tọa độ của các đài quan sát thiên văn được xác định chính xác hơn, vĩ độ được biết với độ chính xác 0°′,1 và kinh độ - thời gian lên tới 0,01 giây. Để ước tính những giá trị này, theo đó, 1” cung kinh tuyến tương ứng với 31 m trên bề mặt trái đất, 0°′,1 giây thời gian ở xích đạo bằng 46 m, và ở các vĩ độ trung bình, con số này gần bằng một nửa. Do đó, độ chính xác được chỉ định tương ứng với khoảng 3 m trên Trái đất. Vì vậy, chẳng hạn, nếu nói vĩ độ của Đài thiên văn Paris là 48°50′11″.2 và kinh độ phía Đông là 0°9′20″.93 là chưa đủ.

Cơm. 1. Vĩ độ địa lý của một điểm nhất định - góc giữa các nhánh của đường thẳng tại điểm đó và mặt phẳng xích đạo - bằng độ cao góc của thiên cực so với mặt phẳng đường chân trời địa phương.

Mặt phẳng ngang được xác định thực tế bởi bề mặt tự do trong bình, bong bóng trong ống cấp độ cồn hoặc hướng vuông góc với các lỗ thẳng tại một vị trí nhất định. Một hướng khác - tới thiên cực - được tìm thấy từ các quan sát thiên văn. Cực thiên nằm ở giữa các điểm của kulimina trên và dưới của bất kỳ ngôi sao gần cực nào.

Việc xác định chính xác khoản nợ ở một địa điểm nhất định trên tài sản trên Trái đất để xác định giờ địa phương. Bằng cách chọn có điều kiện làm điểm bắt đầu của điểm cắt một địa điểm dài hạn trong đó giờ địa phương được xác định bằng sự lấp đầy của Mặt trời hoặc các ngôi sao và so sánh kết quả xác định thời gian ở một nơi nào đó trên Trái đất với thời gian ban đầu này, kinh độ của địa điểm này sẽ được tìm thấy.

Cần phải chỉ ra vị trí nào trong đài quan sát mà nó đề cập đến - trong trường hợp này là vòng tròn kinh tuyến lớn (đây là một trong những công cụ đo tọa độ của các ngôi sao sáng).

Bây giờ chúng tôi sẽ cho bạn biết cách tìm vĩ độ và kinh độ từ các quan sát thiên văn. Việc xác định vĩ độ tương đối đơn giản và bao gồm việc đo chiều cao góc của thiên cực*) phía trên đường chân trời (Hình 1). Vì thiên cực không được đánh dấu trên bầu trời nên họ sẽ tạo ra một ngôi sao có khoảng cách góc với cực đã biết, hoặc Mặt trời, mà khoảng cách này được tính bằng lịch thiên văn**) cho mỗi ngày

*) Xem phần “Bình luận” ở cuối bài viết.
**) Lịch thiên văn là các bảng trong đó vị trí của các ngôi sao sáng được đưa ra cho bất kỳ thời điểm nào được chọn (đôi khi trước nhiều năm).

14

Năm nay. Chiều cao được đo trong quá trình ánh sáng đi qua kinh tuyến thiên thể, khi độ cao này là tối đa. Để làm điều này, hãy sử dụng các thiết bị đo góc đặc biệt. Quay trở lại thời Trung cổ, dụng cụ đo điện áp đơn giản đầu tiên, được gọi là Jacobshtab, đã xuất hiện, và vào những năm 30 của thế kỷ 18, một kính lục phân đã được phát minh ở Anh (Hình 2) - một dụng cụ đo điện áp được sử dụng trong vài giây để định hướng ngoài biển khơi và trên không. Trong quá trình quan sát, kính lục phân được cầm trên tay, điều này cho phép bạn bù lại chuyển động nghiêng của tàu. Thông thường họ kết hợp hình ảnh của Mặt trời (hoặc một ngôi sao lúc hoàng hôn) với đường chân trời của biển. Với một số quan sát theo cách này, độ cao phía trên đường chân trời chính xác đến từng phút cung hoặc thậm chí chính xác hơn một chút. Trên đất liền, nơi công cụ có thể được lắp đặt chắc chắn, hãy sử dụng các công cụ chính xác hơn, chẳng hạn như công cụ đa năng. Với sự trợ giúp của nó, khoảng cách góc được đo với độ chính xác 1 inch và thậm chí chính xác hơn.

Về mặt lý thuyết, định nghĩa về nợ rất đơn giản: chênh lệch giữa khoản nợ của hai điểm bằng chênh lệch về thời gian địa phương của chúng tại cùng một thời điểm vật lý. Tuy nhiên, trước khi phát minh ra đài phát thanh, việc đòi nợ trên thực tế là một công việc rất khó khăn. Thật vậy, trong trường hợp không có liên lạc trực tiếp, làm thế nào bạn có thể biết được có bao nhiêu giờ, phút và giây giờ địa phương tại một thời điểm nhất định ở Greenwitz (tức là tại điểm bắt đầu xác định nợ), nếu bạn ở cách xa hàng trăm hoặc hàng nghìn km? Ngày xưa, vì mục đích này, người ta đã quan sát thấy một số hiện tượng thiên văn, có thể nhìn thấy đồng thời từ những điểm này và về đó nó đã được viết

15

người ta biết nó xảy ra vào thời điểm nào trong giờ Greenwich. Ví dụ, đây là những lần nhật thực và nhật thực tốt nhất của các vệ tinh của Sao Mộc (việc sử dụng cái sau để xác định kinh độ đã được chỉ ra bởi Galileo, người đã phát hiện ra các vệ tinh của Sao Mộc vào năm 1610). Thật không may, những hiện tượng này không xảy ra ngay lập tức mà kéo dài trong vài phút nên chỉ có thể ghi lại với một lỗi tương ứng. Trong khi đó, một phút thời gian tương ứng với 28 km dưới đường xích đạo, do đó việc xác định kinh độ theo cách này có thể dẫn đến sai số hàng trăm km. Ngoài ra, còn có một khó khăn là các vệ tinh của Sao Mộc hầu như không thể quan sát được bằng ngón tay của một con tàu đang lắc lư và những hiện tượng này không xảy ra hàng ngày và trong vài tháng trong năm Sao Mộc hoàn toàn không được nhìn thấy. Nhật thực là hiện tượng hoàn toàn hiếm gặp và xảy ra không quá hai lần một năm. Do đó, khi đi du lịch, cần phải đợi vài ngày hoặc thậm chí vài tuần cho đến khi có thể thực hiện một số quan sát như vậy (để kiểm soát và cải thiện độ chính xác), và trên biển, vì mục đích quan sát, phương pháp xác định kinh độ này hoàn toàn không phù hợp.

Vào thế kỷ 16, người ta đã tìm ra một cách khác để xác định giờ địa phương của kinh tuyến ban đầu - sử dụng cái gọi là khoảng cách, quy tắc mặt trăng; ứng dụng thực tế của nó chỉ có thể thực hiện được sau khi phát minh ra sextag. Mặt trăng quay quanh Trái đất mỗi ngày, giống như kim đồng hồ di chuyển trên “mặt số” - bầu trời đầy sao. Nhưng kim này di chuyển qua đồng hồ chậm, chậm hơn 55 lần so với kim đồng hồ của đồng hồ thông thường. Rõ ràng là nhờ chuyển động của kim đồng hồ mà thời gian thực tế có thể được xác định, nhưng rất không chính xác do chuyển động của nó chậm. Rõ ràng, việc xác định thời gian bằng chuyển động của Mặt trăng thậm chí còn kém tin cậy hơn, nhưng độ chính xác và tinh tế của việc phân chia “mặt số”—các vị trí được biết chính xác của các ngôi sao—giúp ích ở đây. Đúng vậy, vị trí của Mặt trăng so với những ngôi sao này phải được thay đổi với độ chính xác rất cao, ở góc khoảng 30°, do đó, việc thay đổi khoảng cách của Mặt trăng với ngôi sao với độ chính xác 1′ cho phép bạn xác định thời gian với độ chính xác là hai phút. Để sử dụng phương pháp này, bạn cần phải biết rất rõ tất cả các đặc điểm chuyển động của Mặt trăng, để bằng cách quan sát vị trí của Mặt trăng, bạn có thể biết được thời gian của kinh tuyến ban đầu, sự khác biệt của nó với giờ địa phương của điểm này sẽ cho ra kinh độ của điểm sau. Rõ ràng, phương pháp này đặt ra yêu cầu rất cao đối với cơ học thiên thể, vốn phát triển các lý thuyết phức tạp hơn về chuyển động của Mặt trăng. Phương pháp khoảng cách mặt trăng không có độ chính xác vượt trội hơn nhiều so với phương pháp trước, nhưng nó có thể được sử dụng bất cứ lúc nào khi nhìn thấy Mặt trăng và các ngôi sao, đó là lý do tại sao nó trở nên phổ biến trong quá trình du lịch, đặc biệt là du lịch trên biển.

Tuy nhiên, phương pháp đo khoảng cách mặt trăng chưa làm hài lòng hoàn toàn các thủy thủ (chủ yếu do tính toán phức tạp và độ chính xác thấp). Tàu buồm, tùy theo cường độ và hướng gió, thường kéo dài ở những nơi khuất tầm nhìn của bờ biển nên việc xác định được vị trí của tàu (vĩ độ và kinh độ) là rất quan trọng. Năm 1713, chính phủ Anh, đặc biệt quan tâm đến an toàn hàng hải (lúc đó Anh là quốc gia có hải quân phát triển nhất), đã trao giải thưởng khổng lồ trị giá 20.000 feet cho việc phát triển một phương pháp đáng tin cậy để xác định kinh độ với độ chính xác $1/2$ độ. Một phần giải thưởng này đã được trao (truy tặng) cho người Đức

nhà thiên văn học Tobias Mayer vì đã biên soạn các bảng chuyển động của Mặt trăng, giúp làm rõ việc xác định kinh độ từ khoảng cách của Mặt trăng. Một nửa giải thưởng thuộc về nhà phát minh và thợ đồng hồ người Anh Harrison, người đã chế tạo ra chiếc đồng hồ bấm giờ hàng hải vào năm 1735. Đây là mùa xuân

Jacobstab.

Một công cụ phổ quát.

16

đồng hồ có cấu trúc tương tự như đồng hồ bỏ túi và đồng hồ đeo tay. Đồng hồ bấm giờ có ba kim - giờ, phút và giây, và kim giây nhảy mạnh cứ sau nửa giây với tiếng gõ rõ ràng có thể nghe thấy ở khoảng cách vài mét. Đồng hồ bấm giờ rất tiện lợi vì chúng có thể được mang theo mà không làm ảnh hưởng đến chuyển động của chúng. Để làm điều này, chúng được đặt trong một hộp trên hệ thống treo gimbal (hệ thống treo có hai trục vuông góc với nhau), cho phép chúng luôn duy trì vị trí nằm ngang. Chẳng bao lâu, phương pháp vận chuyển đồng hồ bấm giờ đã được sử dụng rộng rãi trên đất liền - khi đi du lịch, để xác định kinh độ của các khu vực đông dân cư khi vẽ bản đồ địa lý và xác định kinh độ của các đài quan sát chính ở các quốc gia khác nhau. Ví dụ, sau khi thành lập Đài thiên văn Pulkovo vào năm 1839, giám đốc đầu tiên của nó là V. Ya. Struve tổ chức một chuyến thám hiểm đặc biệt vào năm 1843, được trang bị 60 đồng hồ bấm giờ để xác định sự khác biệt về kinh độ giữa Pulkovo và Greenwich.

Bài toán định nghĩa kinh độ đã nhận được một lời giải hoàn toàn mới với việc phát minh ra điện báo vào giữa thế kỷ trước, giúp truyền tín hiệu thời gian của kinh tuyến gốc và xác định sự khác biệt về thời gian địa phương của hai điểm với độ chính xác không thể đạt được trước đây - lên đến một phần của giây. Đúng vậy, để làm được điều này thì phải có kết nối điện báo giữa các điểm, điều này rõ ràng đã ngăn cản việc sử dụng phương pháp này đối với các tàu trên biển cả. Tuy nhiên, việc lắp đặt các dây cáp ngầm đã giúp kết nối các lục địa khác nhau với nhau. Vì vậy, chẳng hạn, kinh độ của đài thiên văn ở Washington đã được xác định rất chính xác. Ở Nga, thời gian chính (chẳng hạn như lịch trình tàu được tổng hợp) là St. Petersburg, hay đúng hơn là thời gian của kinh tuyến Pulkovo. Nó được truyền bằng dây từ Đài thiên văn Pulkovo tới

17

Đồng hồ bấm giờ.

điện thoại trung tâm ở St. Petersburg, và từ đó đến các ga điện thoại và đường sắt trên khắp đất nước. Cùng lúc đó, súng ở Pháo đài Peter và Paul nổ súng vào buổi trưa.

Cuối cùng, lời giải rất phổ biến đã xuất hiện cùng với việc phát minh ra điện thoại không dây. Ngay từ năm 1921, đài phát thanh New Holland ở Petrograd đã bắt đầu truyền cái gọi là tín hiệu thời gian nhịp nhàng nhiều lần trong ngày, bao gồm 61 điểm mỗi phút, do đó khoảng cách giữa các điểm nhỏ hơn một giây $1/60$ giây. Bằng cách nhận thấy sự trùng khớp giữa các giây của đồng hồ bấm giờ với các điểm của tín hiệu vô tuyến, bạn có thể kiểm tra đồng hồ bấm giờ của mình bằng thời gian phổ quát, tức là Greenwich, với độ chính xác đến một phần trăm giây. Đúng, do lỗi của đồng hồ đài quan sát và nhiều nhiễu kỹ thuật khác nhau, các tín hiệu này bị lỗi trong tích tắc, nhưng điều này có thể được tính đến sau, sau khi chúng được nhận tại đài quan sát và các quan sát thiên văn tiếp theo. Với mục đích này, dữ liệu sinh học đặc biệt về thời điểm phát sóng chính xác của các tín hiệu trong quá khứ đã được xuất bản hàng tháng, giúp có thể hiệu chỉnh lại các chỉ số của đồng hồ bấm giờ. Tất nhiên, điều này chỉ cần thiết khi xác định kinh độ với độ chính xác cực cao; trong điều hướng, nơi mà độ chính xác lên tới 1 giây là quá đủ, thì những hiệu chỉnh được công bố của tín hiệu thời gian được truyền đi không có ý nghĩa gì. Giờ đây, nhờ phát minh ra thạch anh và sau đó là đồng hồ phân tử *), lưu trữ thời gian đến phần nghìn giây trong nhiều tháng, việc hiệu chỉnh tín hiệu vô tuyến truyền đi thực tế là bằng không. Định nghĩa bài toán cũ về kinh độ địa lý là lời giải chính xác nhất.

Bài viết của chúng tôi là hợp pháp với một ví dụ như vậy. Hãy tưởng tượng một người quen thuộc với các phương pháp thiên văn để xác định vị trí của mình. Hãy để anh ta được đưa đến bất kỳ nơi nào - đến một hòn đảo hoang, đến sa mạc, đến những ngọn núi, bất cứ nơi nào, và anh ta hoàn toàn không biết mình đang ở đâu, ở quốc gia nào, thậm chí ở bán cầu nào. Hãy để anh ta mất dấu thời gian và không biết địa điểm cũng như ngày tháng. Nhưng hãy đưa cho anh ta một cuốn nhật ký thiên văn với các bảng logarit, một dụng cụ vạn năng, một đồng hồ bấm giờ hiển thị thời gian tùy ý và một máy thu sóng vô tuyến để nhận tín hiệu thời gian (không có quyền nhận các chương trình phát sóng khác). Cho phép anh ấy quan sát các vì sao vào một đêm trời quang và Mặt trời vào sáng hôm sau. Sau khi xử lý các nhiệm vụ, anh ta sẽ cho biết địa điểm và trên bản đồ địa lý, anh ta sẽ cho biết mình đang ở đâu và cần đi theo hướng nào để đến thành phố gần nhất hoặc thành phố được chỉ định. Nói một cách dễ hiểu, một người như vậy không thể quên mình trên địa cầu.

*) Trong đồng hồ thạch anh, vai trò của mattik được thực hiện bởi tấm thạch anh được cắt theo một cách nhất định. Dao động điện từ được kích thích trong thạch anh, tần số không thay đổi trong một thời gian dài.

Hoạt động của đồng hồ phân tử gắn liền với sự rung động tự nhiên của các phân tử của một số chất.

18

Bình luận

Nếu bạn quan sát bầu trời đầy sao trong vài giờ, bạn sẽ nhận thấy vị trí của các chòm sao thay đổi so với đường chân trời. Ví dụ, trên bầu trời phía đông, các ngôi sao mọc cao hơn đường chân trời và di chuyển về bên phải. Ở phía trên bầu trời, một ngôi sao lớn mô tả một vòng tròn suốt cả ngày. Chúng ta có thể nói rằng toàn bộ bầu trời (thiên cầu) quay quanh một trục thiên thể gọi là trục mundi. Các điểm giao nhau của trục thế giới với thiên cầu được gọi là các sọc của thế giới - phía trên và phía nam. Sọc phía bắc là sọc mà từ đó thiên cầu quay theo chiều kim đồng hồ (khi nhìn từ bên ngoài). Vòng quay này thực sự xuất hiện, vì Trái đất thực sự quay quanh trục của nó (theo hướng ngược lại). Rõ ràng trục của thế giới song song với trục quay của Trái đất.

Ngoài trục của thế giới và các sọc của thế giới, còn có các đường và điểm đặc trưng của thiên thể trên thiên cầu (Hình 1). Mặt phẳng SWNE là mặt phẳng chân trời, mặt phẳng tiếp xúc với bề mặt Trái đất tại điểm C, nơi có thể quan sát được. Đường NS là đường trưa (vào buổi trưa bóng của vật thẳng đứng đổ dọc theo đường này). Một đường dây dọi vẽ tại điểm C cắt thiên cầu tại thiên đỉnh Z. Mặt phẳng đi qua các điểm S, Z, P (các sọc phía bắc của thế giới), N là mặt phẳng của kinh tuyến trời. Đường xích đạo thiên thể là đường giao nhau của mặt phẳng vuông góc với trục của thế giới và đi qua vùng quan sát được (điểm C) với thiên cầu.

Ngôi sao nào vượt qua kinh tuyến thiên đường hai lần mỗi ngày; Hiện tượng ánh sáng đi qua kinh tuyến trời được gọi là cực điểm. Ở đỉnh trên, ánh sáng cao nhất so với đường chân trời, ở đỉnh dưới là thấp nhất (Hình 2).

Đối với những ngôi sao sáng nằm gần ranh giới của thế giới, có thể quan sát được cả hai cực điểm (cả trên và dưới); Đối với các ngôi sao sáng mọc và lặn, chỉ quan sát được đỉnh cao (đỉnh thấp hơn xảy ra bên dưới đường chân trời).

Thời điểm Mặt trời đạt cực đỉnh được gọi là thời điểm trọn vẹn thực sự, thời điểm Mặt trời đạt cực điểm dưới được gọi là nửa đêm thực sự.

Cơm. 1. Hình 2.

19

Bí mật của Cycloid

S. G. Verov

*“Bàn roulette là một đường phổ biến đến nỗi sau đường thẳng và đường tròn không còn đường nào xuất hiện thường xuyên hơn; nó thường được vẽ ra trước mắt mọi người đến nỗi người ta phải ngạc nhiên rằng người xưa đã không để ý đến nó… vì nó không gì khác hơn là đường đi được mô tả trong không khí bởi một chiếc đinh của một bánh xe khi nó lăn với chuyển động riêng của nó từ thời điểm chiếc đinh bắt đầu nhô lên khỏi mặt đất cho đến khi bánh xe lăn liên tục đưa nó trở lại mặt đất sau khi kết thúc cả một cuộc cách mạng.

Pascal

Đường cong “thường được vẽ ra trước mắt mọi người” lần đầu tiên được chú ý bởi Galileo (ở Ý) và Mersenne (ở Pháp). Ở Ý nó được gọi là cycloid, ở Pháp - roulette. Cái tên đầu tiên bị mắc kẹt, và những đường cong của một lớp rộng hơn hiện được gọi là roulettes (xem bài “Tangents to roulettes”, «Kvant», 1975, No. 5, p. 22; sau này, tham khảo bài viết này, chúng tôi sẽ viết KR). Các nhà toán học thế kỷ 17, những người đã tạo ra các phương pháp chung để nghiên cứu đường cong, rất quan tâm đến các đường cong “thử nghiệm” mới. Trong số các đường cong này, đường cycloid chiếm một vị trí đặc biệt. Nó hóa ra là một trong những đường cong siêu việt đầu tiên (đường cong có nguồn gốc phi đại số) mà người ta có thể tìm thấy một đáp số rõ ràng đẹp mắt trong các bài toán xây dựng tiếp tuyến và tính diện tích. Nhưng điều đáng chú ý nhất là cycloid xuất hiện lặp đi lặp lại ở lời giải của bài toán khác biệt nhất, trong lần đầu tiên

2*

quá trình sản xuất ban đầu mà cô ấy không tham gia. Tất cả những điều này đã làm cho đường cycloid trở thành đường cong phổ biến nhất trong thế kỷ 17: vào năm 1673, Huygens tuyên bố rằng “đường cycloid đã được nghiên cứu chính xác và kỹ lưỡng hơn tất cả các đường cong khác”.

1. Từ định nghĩa động học đến phân tích

Định nghĩa động học của cycloid có trong phần ngoại văn của bài viết này. Hãy thử giải mã nó.

Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ trên mặt phẳng sao cho đường thẳng mà đường tròn lăn (hướng đường thẳng) trùng với trục $Ox$ và để đường tròn (gọi là đường tròn tạo) lăn theo chiều dương của trục $Ox$. Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu, điểm quan sát được của ranh giới vòng tròn chiếm vị trí $A_0=O=(0,0)$ (Hình 1). Nếu $r$ là bán kính của đường tròn tạo thì tâm của nó sẽ di chuyển dọc theo đường thẳng $y=r$. Để mô tả đầy đủ sự lăn của một vòng tròn, chỉ cần mô tả chuyển động của tâm nó là đủ, nếu chỉ nói thêm rằng vòng tròn lăn không trượt *). Sẽ thuận tiện cho chúng ta khi đã cố định đơn vị thời gian, giả sử rằng tâm của vòng tròn chuyển động đều với tốc độ $r$. Vào thời điểm $t$

---

*) Đây có lẽ là điều mà Pascal đã nghĩ đến khi viết rằng bánh xe “lăn theo chuyển động của chính nó”.

20

tâm của đường tròn ở điểm $C_t = (tr, r)$ và đường tròn tạo sẽ chạm vào đường định hướng tại điểm $B_t = (tr, 0)$.

Bây giờ chúng ta hãy tìm vị trí của $A_t$ tại điểm gần nhất tại thời điểm $t$ (theo định nghĩa, $A_t$ sẽ là một điểm của xoáy thuận). Để làm điều này, bạn cần phải trình bày rõ ràng bằng từ và e rằng việc lăn của vòng tròn sẽ xảy ra mà không trượt: nó bao gồm độ dài của đoạn giữa các điểm tiếp xúc của vòng tròn tạo với đường định hướng tại thời điểm 0 và $t$ (đoạn $OB_t$; xem Hình 1) bằng với độ dài của đoạn còn lại $B_tA_t$, “cuộn” dọc theo đoạn này (trong trường hợp này, cung có thể vượt quá toàn bộ chu vi).

Do đó, tại thời điểm $t$, góc $B_tC_tA_t$ bằng $t$ (theo đơn vị đo radian), vì độ dài của góc $B_tA_t$ còn lại bằng $tr$. Biểu thị qua $D_t$ hình chiếu của điểm $A_t$ lên đường thẳng đi qua tâm đường tròn $C_t$ song song với trục $Ox$ và qua $E_t$ hình chiếu của điểm $A_t$ lên đường thẳng đi qua tâm $C_t$ song song với trục $Oy$ (Hình 2), chúng tôi thu được (có tính đến trục tọa độ hướng)

$$C_tD_t = -r\sin t, \quad C_tE_t = -r\cos t$$

(xem điều gì xảy ra trong trường hợp $t > \frac{\pi}{2}, t > \pi$). Do đó, tọa độ điểm $A_t$ của lốc xoáy lần lượt là

$$x = rt - r\sin t, \quad y = r - r\cos t$$

Lưu ý rằng tại $t = 2\pi$ độ dài của đoạn $OB_t$ hóa ra bằng độ dài của hình tròn, điểm quan sát lại rơi vào trục $Ox$ ($A_{2\pi} = (2\pi, 0)$) và hình ảnh bắt đầu lặp lại. Như vậy, chu kỳ của cơn bão là $2\pi r$.

Vì vậy, lốc xoáy có thể được định nghĩa là một tập hợp các điểm có tọa độ $(rt - r\sin t, r - r\cos t)$ và, nếu muốn, có thể quên định nghĩa động học ban đầu. Chúng ta đã thu được cái gọi là định nghĩa tham số của lốc xoáy: cả tọa độ $x$ và $y$ của điểm $A_t$ của lốc xoáy đều là hàm của một số biến phụ $t$.

Chúng ta gọi các điểm của lốc xoáy nằm trên trục $Ox$ là các điểm của lốc xoáy, các điểm nằm trên đường thẳng $y = 2r - \text{вершинами}$ và các điểm lân cận khác - các vòm của lốc xoáy. Trong hệ tọa độ đã chọn, lốc xoáy được đặc trưng bởi một tham số $r$ (bán kính của vòng tròn tạo). Tất cả các cơn bão có điểm $(0, 0)$ là điểm đều nhận được giải pháp làm sẵn từ nhau. Đối với mỗi điểm $(x, y)$, $x \neq 0$ người ta có thể chọn duy nhất $r$ sao cho điểm này sẽ nằm trên vòm đầu tiên nổi lên từ $(0, 0)$, cơn xoáy thuận tương ứng (chứng minh).

Trong bài viết KR đã chứng minh rằng tiếp tuyến của xoáy thuận tại điểm $A_t$ (Hình 3) đi qua điểm trên cùng của đường tròn sinh ra - điểm $F$ trong Hình 1.

21

Hình 3. Gọi $B_t$ là điểm đáy của đường tròn, $\alpha$ góc giữa tiếp tuyến và phương thẳng đứng $FB_t$. Khi đó $A_t B_t$ là pháp tuyến của xoáy thuận (vuông góc với tiếp tuyến) và đối với tọa độ $y$ của điểm $A_t$ chúng ta có: $y = E_t B_t = 2 r \sin^2 \alpha$. Từ đây

$$\sin \alpha = \sqrt{\frac{y}{2r}}.$$

Sự tương ứng này sẽ đóng một vai trò quan trọng trong tương lai. Có thể chứng minh rằng xoáy thuận có tham số $r$ là đường cong duy nhất đi qua điểm $(0, 0)$ thỏa mãn điều kiện (1).

2. Trên các diện tích của hình có đường cong

Người ta đã có thể tính diện tích của một số hình có đường cong ở Hy Lạp cổ đại. Lúc đầu, họ chỉ quan tâm đến bình phương của các hình, nghĩa là xây dựng cho một hình cho trước một đường tròn và một đoạn thẳng có chiều dài bằng diện tích của nó. Như chúng tôi đã tìm ra sau này, điều này có thể được thực hiện đối với những hình có diện tích được tính bằng các phép toán số học và phép toán trích căn bậc hai. Dần dần, mọi người bắt đầu quan tâm đến những hình có diện tích được tính bằng các phép toán đại số tùy ý (bình phương đại số), và thậm chí cả những hình có biểu thức tính diện tích bao gồm số $n$. Phương pháp tính diện tích chính là tính gần đúng một hình đã cho bằng đa giác và đi đến giới hạn; nhưng người ta phải rất may mắn để những phép tính này được đưa đến một đáp số rõ ràng.

Đôi khi việc tính diện tích của các hình có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng một số tính chất chung của diện tích. Dưới đây là một vài tài sản như vậy.

1. Trong trường hợp này, khi một hình được chia với hệ số $k$, diện tích của nó được nhân với $k^2$ và khi hình được chia cắt so với một trục nhất định có hệ số $k$, diện tích của nó được nhân với $k$.

2. Các hình cách đều nhau (tức là các hình có thể cắt thành các cặp phần bằng nhau) có kích thước bằng nhau (chúng có diện tích).

3. Hai hình, giao điểm của chúng với bất kỳ đường thẳng nào song song với một đường cố định nào đó $l$, sẽ tạo ra các đoạn bằng nhau có kích thước bằng nhau (nguyên tắc này được Cavalieri (1598-1647) xây dựng vào năm 1635).

Hãy tưởng tượng rằng đường viền của hình là một dải băng dẻo và bản thân hình này bao gồm các lớp cứng rất mỏng song song với đường thẳng $l$ (“không thể phân chia”, theo thuật ngữ của Cavalieri). Hãy xem xét các phép biến đổi bảo toàn các lớp này nhưng tách chúng ra khỏi nhau. Theo nguyên tắc Cavalieri, tất cả các hình nhận được trong quá trình biến đổi như vậy sẽ có kích thước bằng nhau.

Các tính chất được liệt kê của diện tích cần thiết trong chứng minh (khó khăn chính của những chứng minh này là đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về diện tích), nhưng chúng rất dễ kiểm chứng. Bây giờ chúng ta sẽ nói về cách sử dụng các tính chất này một cách tinh tế khi tính diện tích của một hình nằm dưới vòm lốc xoáy.

22

3. Bạn đồng hành của lốc xoáy, cánh hoa của Roberval và khu vực dưới lốc xoáy

Vì các cơn lốc xoáy tương tự nhau nên chúng tôi giới hạn mình trong trường hợp $r=1$. Theo Roberval (1602-1675), mối liên hệ với mỗi điểm của lốc xoáy $A_t$ (xem Hình 3) là hình chiếu của nó $E_t$ trên đường kính thẳng đứng của vòng tròn tạo ra. Điểm $E_t$ có tọa độ $x=t, y=1-\cos t=1+\sin\left(t-\frac{\pi}{2}\right)$.

Roberval gọi đường cong gồm các điểm $E_t$ với mọi khả năng $t$ là “bạn đồng hành của cơn lốc”. Rõ ràng “người bạn đồng hành của cơn bão” là một hình sin ngược (1 hướng lên và $\frac{\pi}{2}$ ở bên phải).

Quá trình lịch sử được kết nối với hoàn cảnh này. Các nhà toán học đã nghiên cứu các hàm lượng giác từ thời xa xưa, nhưng các hình sin chỉ xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ 17, không phải dưới dạng đồ thị có sóng hình sin mà là … “với đường xoáy tròn” (điều này có thể được giải thích một phần là do trong một thời gian dài họ không xem xét các hàm có nguồn gốc phi đại số).

“Người bạn đồng hành của cơn lốc” chia nó thành ba phần (Hình 4): một hình bên dưới hình sin và hai hình đối xứng được gọi là “Cánh hoa Roberval”. Theo tính chất 2, diện tích của hình dưới hình sin bằng $2\pi$: hình này tương đương với một hình chữ nhật có diện tích như vậy (Hình 5). Cách nhau một “cánh hoa”. Đường ngang ở độ cao $y=1-\cos t$ cắt nó dọc theo một đoạn $A_t E_t$ có ​​chiều dài $|\sin t|$ (xem Hình 2). Bằng cách di chuyển các đoạn ngang này (đối với tất cả các $t$) có thể dọc theo chiều ngang của chúng sao cho đầu bên trái của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đứng, chúng ta thu được hình bán nguyệt của vòng tròn đơn vị (Hình 6). Theo nguyên lý Cavalieri, diện tích của “cánh hoa” bằng diện tích của hình bán nguyệt này, tức là $\frac{\pi}{2}$. Điều này có nghĩa là diện tích của hình dưới vòm lốc xoáy với $r=1$ bằng $2\pi+2 \cdot \frac{\pi}{2}=3\pi$ (và do đó $3\pi r^2$ cho $r\neq 1$).

Câu hỏi tính diện tích của các đoạn lốc xoáy ít cơ bản hơn. Huygens (1629-1695) đã viết, không phải không tự hào: “Tôi là người đầu tiên đo diện tích của điểm xoáy thuận, kết quả này sẽ thu được nếu một phần của trục $1/4$ bị loại bỏ khỏi đỉnh và vẽ song song với đáy. Phần này tạo thành một nửa diện tích hình lục giác nội tiếp trong hình tròn tạo thành.”

23

4. Tautochrone

“Ma trận toán học xích lô được phát minh bởi Christan Huyens, một nhà khoa học lớn của thế kỷ 17 và là người thợ đồng hồ nói chung của mọi thời đại.”
Sommerfeld. Cơ học

Galileo lập luận rằng chu kỳ dao động của ma trận toán học chỉ được xác định bởi độ dài $l$ của nó và không phụ thuộc vào góc $\varphi$ của kích thước tối đa của nó. Huygens, sau khi phát hiện ra rằng tuyên bố này chỉ đúng với các góc nhỏ $\varphi$, đã quyết định xây dựng một ma trận có chu kỳ dao động thực sự không phụ thuộc vào $\varphi$ (ma trận như vậy được gọi là maymochronous hoặc isochronous).

Huygens chia việc xây dựng ma trận tautochronic thành hai giai đoạn:

1. tìm đường cong mà phần cuối của ma trận sẽ di chuyển dọc theo (maymochrones);
2. tìm ra một hệ thống treo ma trận đảm bảo sự chuyển động của đầu cuối của nó dọc theo tautochrone.

Chúng ta sẽ bắt đầu với tautochrone của Nhật Bản (sự tồn tại của nó không thuận tiện lắm).

Phần cuối của ma trận toán học di chuyển dọc theo một cung tròn theo cách giống hệt như một điểm ma trận nặng - dọc theo một rãnh có đường viền trùng với đường tròn này. Nếu chúng ta bỏ qua ma sát và lực cản của không khí thì một điểm nặng được ném theo một vòng tròn quanh rãnh không có tốc độ ban đầu từ độ cao $H$, sau khi vượt qua vị trí thấp hơn, lại tăng lên độ cao $H$, và sau đó sẽ thực hiện dao động tuần hoàn, đầu tiên tăng theo một hướng, sau đó theo hướng khác đến độ cao $H$. Phát biểu sai của Galileo là chu kỳ dao động $T(H)$ không phụ thuộc vào $H$. bài toán của chúng tôi là xác định hình dạng của rãnh để phù hợp với những gì Galileo tuyên bố là đúng.

Nhờ một sự trùng hợp may mắn (chúng đóng vai trò quan trọng trong lịch sử khoa học), Huygens đã nghiên cứu chu trình (liên quan đến cuộc thi Pascal, 1658) cùng lúc khi ông đang tìm kiếm ma trận tautochronic. Đó là cơn lốc xoáy hóa ra là tautochrone! Có lẽ, bản thân Huygens cũng không mong đợi điều này từ trước (bạn có thể hiểu lời nói của anh ấy như thế này: “Tôi phát hiện ra sự sẵn sàng của nó (xoáy) để đo thời gian bằng cách nghiên cứu các quy luật cấu trúc của khoa học mà không nghi ngờ gì về ứng dụng của nó”).

Chúng ta hãy xem xét một điểm ma trận nặng trên một máng có hình xoáy ngược (Hình 7; $r$ là bán kính của vòng tròn tạo ra); giả sử tại thời điểm ban đầu nó ở độ cao $H$ (tại điểm $C_0$ trong hình). Chúng ta hãy thử tìm thời điểm $t$ để sau đó nó chạm tới điểm đáy $B$ (đỉnh của lốc xoáy). Sau đó, sau $2\tau$ nó sẽ ở điểm $C_{2\tau}$ lốc xoáy, đối xứng với trục thẳng đứng tương đối của điểm $C_0$, và sau thời gian $T=4\tau$ (toàn bộ chu kỳ) nó sẽ quay trở lại điểm $C_0$. Chúng tôi không quan tâm đến sự phụ thuộc của $t$ vào $H$.

Để tại thời điểm $t$điểm cứng chiếm vị trí $C_t$ ở độ cao $h=h(t)$. Vectơ vận tốc $\vec{v}(t)$ tại thời điểm $t$ hướng tiếp tuyến với xoáy thuận tại điểm $C_t$, chiều dài của nó $|\vec{v}(t)|$ (giá trị vận tốc) được xác định từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{m|\vec{v}(t)|^2}{2} = mg(H-h(t)),$$

tức là

$$|\vec{v}(t)| = \sqrt{2g(H-h(t))}.$$

Hãy xem cách hình chiếu di chuyển về tâm và điểm của chúng ta theo chiều dọc $C_0B'$. Tại thời điểm $t$ hình chiếu này chiếm vị trí $C'_t$ và tại thời điểm $t$ nó kết thúc tại điểm $B'$ (xem Hình 7), đi qua đoạn $C_0B'$ có độ dài $H$. Tốc độ $\omega(t)$ tại thời điểm $t$ của chuyển động thẳng này (tại điểm $C'_t$ trong Hình 7) là hình chiếu của vectơ vận tốc $\vec{v}(t)$ lên

24

phương thẳng đứng: $w(t) = |v(t)| \cos \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc giữa tiếp tuyến với đường tròn và phương thẳng đứng. Vì (xem (1), trang 21) $\cos \alpha = \sqrt{\frac{2r-y}{2r}}$ và $y = 2r - h(t)$, rồi $\cos \alpha = \sqrt{\frac{h(t)}{2r}}$, và do đó $w(t) = \sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \sqrt{h(t)(H-h(t))}$.

Vì vậy, quy luật thay đổi tốc độ đối với chuyển động thẳng của chúng ta khá phức tạp. Nhưng Huygens nhận thấy (một bằng chứng mang tính quyết định!) rằng với chuyển động quay đều dọc theo một đường tròn có đường kính $H$, thành phần thẳng đứng của vectơ vận tốc có cùng dạng với $w(t)$. Thật vậy, chúng ta hãy dựng một hình bán nguyệt trên đoạn $C_0B'$ làm đường kính và đặt $C'_t$ là điểm của hình bán nguyệt này nằm ở độ cao $h(t)$. Độ dài của đoạn $C'_t C'_t$ bằng $\sqrt{h(t) \cdot (H-h(t))}$.

Từ sự giống nhau của các tam giác vuông được tô màu trong Hình 7 màu đỏ (các cạnh của chúng vuông góc với nhau: $OC'_t$ là bán kính, tại điểm $C'_t$ vẽ tiếp tuyến của hình bán nguyệt và phương thẳng đứng), suy ra tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $C'_t$ vectơ có chiều dài $\sqrt{\frac{g}{r}} \frac{H}{2}$ có hình chiếu thẳng đứng có độ dài $w(t)$. Điều này có nghĩa là khi điểm $C$ của chúng ta di chuyển dọc theo một chu kỳ, điểm tương ứng $C''$ quay đều với vận tốc góc $\sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \pi$ thì điểm $C''$ sẽ đi qua hình bán nguyệt $C_0B'$, đồng thời điểm $C'$ sẽ đi qua đoạn $C_0B'$ và chính điểm $C$ sẽ đi qua đoạn đường đó chu kỳ vòng cung $C_0B$. Vì vậy, chúng tôi không chỉ chứng minh rằng chu kỳ là maytochronic (tức là $\tau$ không phụ thuộc vào $H$), mà còn tìm thấy toàn bộ chu kỳ dao động:

$$T = 4\tau = 4\pi \sqrt{\frac{r}{g}}.$$

Công thức (2) là sự điền hiện tại của công thức Galilê giả định cho chu kỳ của ma trận toán học có độ dài $l(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}})$, do đó, việc cố gắng sử dụng (2) để chứng minh cho công thức sau là điều đương nhiên. Và trên thực tế, với sự trợ giúp của (2), Huygens đã thu được chứng minh chặt chẽ đầu tiên về công thức tính chu kỳ dao động của một ma trận toán học với các góc dao động nhỏ $\varphi$. Ông nhận thấy rằng ở những góc nhỏ, một tuyến tròn hầu như không khác gì một tuyến xoáy thuận, và tất cả những gì còn lại là hiểu sự tương ứng giữa độ dài $l$ của ma trận toán học và tham số $r$ của lốc xoáy thì sự khác biệt này là nhỏ nhất. Hóa ra là ở $l = 4r$ (đây không phải là một sự thật quan trọng lắm; chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau). Thay $r = l/4$ vào (2), ta thu được công thức dấu cho chu kỳ của ma trận toán học: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ (đối với $\varphi$ nhỏ).

*) Trên thực tế, người ta đã chứng minh rằng chuyển động của một điểm vật chất nặng dọc theo sắt xoáy có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một chuyển động quay đều với vận tốc góc, không phụ thuộc vào độ cao $H$ mà điểm được đẩy và một số chuyển động xây dựng (nói chung là không đồng đều). Đối với $H = 2r$ điều này có thể dễ dàng suy ra từ định nghĩa động học của chu kỳ và sự tương ứng (1), tr. 21.

25

5. cơn lốc xoáy

Bằng cách tạo ra mẫu đồng hồ đầu tiên, Heugens hy vọng có thể bù đắp cho sự sai lệch của ma trận (toán học) đơn giản so với tính thời gian của hình xăm, giảm độ dài của nó trong quá trình sai lệch. Độ dài của ma trận có thể được điều chỉnh bằng cách lắp đặt các “chân” (Hình 8), trên đó sợi treo sẽ được quấn trong quá trình làm lệch. Những nỗ lực xác định bằng thực nghiệm sự phụ thuộc mong muốn của độ dài của ma trận vào góc lệch đã không thành công, và Geugens, tuân theo các đặc tính của thiết kế đồng hồ, đã lắp đặt các bộ hạn chế biên độ “cổ”. Khi họ phát hiện ra rằng lốc xoáy là một hình xăm, rõ ràng là hình dạng của các “cổ” phải sao cho phần cuối của ma trận sẽ di chuyển dọc theo cơn lốc.

Geugens đang tìm kiếm hình thức “shek”, lý luận (theo cách kể lại có phần do dự) đại loại như thế này. Giả sử có một chướng ngại vật được giới hạn bởi một đường cong $L$, tại một điểm nào đó $O$ trong đó cố định một sợi chỉ không phát triển có chiều dài $l$ (Hình 9). Chúng ta quấn sợi chỉ xung quanh chướng ngại vật, quan sát đường cong $M$, mô tả phần cuối của sợi chỉ. Geugens gọi đường cong $M$ là sự phát triển của đường cong $L$; bây giờ $M$ được gọi là một đường tiến hóa của đường cong $L$, và $L$ là một đường tiến hóa của đường cong $M$ (nhiều đường tiến hóa được liên kết với một đường tiến hóa, tương ứng với các độ dài khác nhau $l$). Chúng ta cần tìm ra sự tiến hóa của cơn bão.

Đường cong $M$ bao gồm các điểm $B$ sao cho tổng độ dài của đoạn tiếp tuyến $BA$ với đường cong $L$ tại điểm $A$ và AO khác của đường cong $L$ bằng $l$ (xem Hình 9 - điều này chính xác có nghĩa là lực căng của sợi chỉ quấn một phần trên $L$). Nhận thức đầu tiên của Heugens là tiếp tuyến của đường cong $M$ tại điểm $A$ đồng thời vuông góc với đường cong $M$ tại điểm $B$. Cách dễ nhất để hiểu thực tế này là dựa trên định nghĩa động học của đường cong $M$. Chúng ta hãy nhớ rằng vectơ vận tốc có phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động và khi tác dụng của các lực thay đổi thì vectơ vận tốc không thể thay đổi ngay lập tức (để biết thêm chi tiết, xem bài KR). “Chúng ta sẽ cắt bỏ” chướng ngại vật tại điểm $A$, nhưng chúng ta sẽ tiếp tục di chuyển sợi dây bị căng (Hình 10); khi đó phần cuối của sợi chỉ bắt đầu di chuyển theo vòng tròn có tâm ở điểm $A$; tốc độ vectơ của nó tại điểm $B$ sẽ không thay đổi; do đó, tại điểm $B$, đường cong $M$ và đường tròn tâm $A$ sẽ có một tiếp tuyến chung vuông góc với bán kính $BA$.

Người đọc bài viết KR cũng sẽ nhận thấy rằng nếu chúng ta xem xét các sợi có độ dài khác nhau, thì chuyển động được mô tả của đầu sợi chỉ tiếp tục chuyển động như một chuyển động của toàn bộ mặt phẳng như một tấm rắn, trong đó các điểm của đường cong $L$ là tâm trao đổi của phép quay và các đường cong khác nhau là quỹ đạo của điểm của mặt phẳng. Nhận xét này ngay lập tức ngụ ý sự vuông góc

26

đoạn $AB$ với tiếp tuyến của đường cong $M$ tại điểm $B$.

Dự đoán tiếp theo của Huygen là trong một tình huống “tốt”, quá trình tiến hóa của đường cong được khôi phục với ý nghĩa dh (hãy nhớ rằng, một đường cong có nhiều tiến hóa!) Thực tế là các pháp tuyến của đường cong $M$ tại các điểm khác nhau đều tiếp tuyến với sự tiến hóa của nó $L$. Một đường cong “tốt” có thể được khôi phục từ các tiếp tuyến: bằng cách lấy nhiều tiếp tuyến, xây dựng đường đứt đoạn được mô tả và sau đó “tăng” các tiếp tuyến, xấp xỉ đường cong ngày càng tốt hơn (họ nói rằng đường cong sẽ được ước tính bằng tập hợp các tiếp tuyến của nó).

Chúng ta cần tìm một đường cong có tiếp tuyến vuông góc với một cyclode đã cho. Huygens đoán rằng đường cong này sẽ là cùng một xoáy thuận, chỉ được nâng lên $2r$ và được cung cấp trên polerid (sao cho các đỉnh của nó trùng với các điểm của xoáy thuận ban đầu; xem Hình 11).

Thật vậy, hãy $r=1$; $l$ và $l'$ là các đường định hướng của các xoáy thuận trên và dưới tương ứng, $O$ và $O'$ là điểm bắt đầu của chúng ($l'$ một đơn vị phía trên $l$; $O'$ một đơn vị ở bên phải $O$). Chúng ta hãy lấy một điểm $C$ trên đường $l$ và xem xét vị trí của các vòng tròn tạo ra (cả hai đường tròn) khi chúng chạm vào $l$ tại điểm này $C$. Đặt $C'$ và $C''$ là các điểm đối xứng đường kính với nó của các vòng tròn trên và dưới tương ứng, $A$ và $A'$ là các điểm tương ứng của xoáy thuận. Cung $CC''A$ có độ dài bằng đoạn $OC$; do đó, nó lớn hơn các đoạn khác $C'A'$, có độ dài bằng đoạn $O'C'$. Do đó $C'CA' \cong C''CA$ và các điểm $A'$, $C$, $A$ nằm trên cùng một đường thẳng. Cần lưu ý rằng $CA'$ là tiếp tuyến của cyclode trên và $CA$ là pháp tuyến của cyclode phía dưới ($AC''$ là tiếp tuyến của nó).

Bây giờ chúng ta biết rằng “các cổ” của ma trận tutochronic phải là cyclodal và độ dài của sợi $l$ phải bằng $4r$ (với giá trị $l$ này, chúng ta sẽ thu được cyclode mong muốn dưới dạng một phép tiến triển). Ở các góc xoay nhỏ, các “cổ” điều chỉnh hầu như không ảnh hưởng đến chiều dài của ma trận và lốc xoáy gần với các vòng tròn bán kính khác $4r$ (xem phần cuối của đoạn trước).

6. Định lý Christopher Wren.
   Evolots và tính toán độ dài đường cong

Sau khi quyết định bài toán về ma trận xích lô, Huygens không dừng lại, nhận ra rằng mình đã tạo ra một lý thuyết toán học tuyệt vời. Ông viết: “Để áp dụng phát minh mạnh mẽ này vào ma trận, tôi cần thiết lập một lý thuyết mới, đó là lý thuyết xử lý các đường mới thông qua việc triển khai các đường cong. Ở đây, tôi phải đối mặt với nhiệm vụ so sánh các đường cong và đường thẳng. Tôi đã nghiên cứu câu hỏi này xa hơn một chút so với mức cần thiết cho mục đích của tôi, vì lý thuyết này có vẻ hay và mới đối với tôi.”

Trước hết, Huygens nhận thấy rằng khi toàn bộ sợi của ma trận được quấn quanh “cổ”, phần cuối của nó sẽ ở trên đỉnh của lốc xoáy; điều này có nghĩa là chiều dài của sợi ma trận ($4r$) trùng với chiều dài của một nửa vòm cyclode, và do đó, chiều dài của vòm cyclode bằng $8r!$ Định lý này được hình thành và chứng minh bởi Christoph Wren vào năm 1658; Huygens, như chúng ta thấy, đã thu được một bằng chứng rất tự nhiên cho định lý này.

Định lý của Christopher Wren đã gây ấn tượng rất mạnh mẽ đối với những người cùng thời với ông và đây là lý do tại sao.

27

Cơm. 11.

Tính độ dài các đường cong Các nhà toán học cũng không kém phần quan tâm đến việc tính diện tích. Lúc đầu, bằng cách tương tự với hình vuông (xem trang 21), họ quan tâm đến phép chỉnh lưu - cấu tạo của một la bàn và một đoạn tuyến tính có chiều dài tương ứng; sau đó họ bắt đầu quan tâm đến phép chỉnh lưu đại số - biểu thức độ dài của đường cong bằng cách sử dụng bất kỳ phép toán đại số nào. Chúng ta đã nói rằng các hình vuông không phải hình tròn kết thúc ở điểm dưới cùng của hình tròn sẽ mất cùng thời gian (tương tự đối với các hợp âm bắt đầu ở điểm trên cùng của hình tròn).

2. Giả sử có một đường cong $L$ (đủ “tốt”) và một điểm $A$ không nằm trên $L$. Tìm một điểm $B$ trên $L$ sao cho đoạn $AB$ đi qua điểm toán học dưới tác dụng của trọng lực trong thời gian tối thiểu.

Những trận chiến của Newton

Giả sử có một trường trung tâm trong đó các lực tỉ lệ với khoảng cách $r$ đến tâm: $F(r) = kr$, $k > 0$.

Newton nhận thấy rằng trong một lĩnh vực như vậy, các biocyclopds (xem KR) đóng vai trò tương tự như các cyclopds trong trường trọng lực, cụ thể là:

1. biocyclopdes (trong lĩnh vực này) là toán học (Newton gọi chúng là isochron);
2. sự tiến hóa của biocyclopdae đều giống biocyclopdae **).

Cố gắng giải bài toán của Newton (bạn có thể viết cả một “bài luận” toán học về chủ đề này). Hãy nhớ cách vẽ các đường tiếp tuyến với biocyclopds (bài viết KR), nhìn lại lời giải tương tự bài toán cho cyclopds và … Wejdem lời giải của bạn.

**) Về đồng hồ toán học, xem bài viết của S. G. Gindkin “Từ lịch sử của đồng hồ toán học”, «Kvant», 1974, số 9.

**) Đây chỉ là một thực tế hình học thuần túy, nó không áp dụng cho cơ học, nhưng nó cho phép chúng ta sắp xếp một nhà toán học vòng đời sinh học và từ đó tính ra chiều dài của vòng quay sinh học.

28

V. Vâng. Frenkel

Pushkin và khoa học chính xác

“Pushkin tội nghiệp”

Hai năm trước, khi đang thư giãn trên chiếc ghế dài trong khu vườn công cộng Leningrad, tôi vô tình chứng kiến ​​cuộc trò chuyện sau đây: “Tội nghiệp Pushkin,” một phụ nữ trẻ nói với người hàng xóm khi gấp lại số mới nhất của “The Week”. “Họ không để lại không gian sống cho người đàn ông.” Bây giờ họ đang viết “Pushkin và Khoáng vật học” - về những viên đá quý trong cuộc đời ông.”

… “Pushkin và các ngành khoa học chính xác.” Liệu danh hiệu này có gây ra tiếng thở dài tiếc nuối tương tự hay không, liệu nó có vẻ quá kiêu căng, thể hiện sự tôn vinh ở một mức độ nào đó đối với thời trang? Suy cho cùng, chúng ta không nói đến việc sử dụng các phương pháp toán học mới trong nghiên cứu thơ của nhà thơ (một chủ đề khá ý nghĩa đang được các nhà toán học lớn phát triển). Chúng ta sẽ chỉ xem xét cách một số thuật ngữ khoa học thuần túy được phản ánh trên các trang tác phẩm của Pushkin. Sự khởi đầu của thế kỷ trước được đánh dấu bằng những khám phá đáng chú ý về vật lý, hóa học và toán học. Cũng thú vị không kém nếu đối với một nhà thơ luôn nỗ lực “bắt kịp thời đại” trong mọi việc, những lời nhắc đến như vậy rất hiếm hoặc thường xuyên.

Từ điển ngôn ngữ Pushkin

Trả lời câu hỏi ở mức độ nào các ngành khoa học chính xác nhận thấy sự phản ánh trực tiếp (và ở một mức độ nào đó bên ngoài) của chúng trong các tác phẩm của Pushkin hóa ra không phải là một nhiệm vụ khó khăn. Sự thật là nhân dịp kỷ niệm 150 năm ngày sinh của nhà thơ, Viện Văn học Nga (Nhà Pushkin) đã xuất bản “Từ điển ngôn ngữ Pushkin”. Đây thực sự là công việc cơ bản! Mỗi tập trong số bốn tập của Từ điển có 800 trang; đây là tập hợp tất cả những từ ngữ được Pushkin sử dụng trong các tác phẩm thơ và văn xuôi của ông (bao gồm cả những bức thư). 16.000 từ, được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái, được giải thích theo nghĩa đã được đặt ra vào thời của Pushkin. “Tần suất” sử dụng chúng được chỉ định và một liên kết được cung cấp cho tập và trang của ấn bản Học thuật toàn bộ tác phẩm của nhà thơ (được chuẩn bị và xuất bản nhân dịp kỷ niệm 100 năm ngày mất của nhà thơ, vào cuối những năm ba mươi), trong đó từ tương ứng xuất hiện.

Vì vậy, có một “Từ điển” ngôn ngữ của Pushkin, cách dễ nhất để bắt đầu là viết ra những từ liên quan trực tiếp đến các ngành khoa học chính xác mà Pushkin có thể sử dụng và tìm kiếm chúng trong đó. Đây chính xác là những gì tác giả của bài viết này đã làm. Và số lượng “hit” hóa ra rất ít.

Tình huống này phù hợp với hình ảnh “truyền thống” của Pushkin, người mà theo hồi ức của chị gái Olga, người đã khóc khi còn nhỏ

30

“Một người mù mù”, “Kinh nghiệm là con trai của những sai lầm khó khăn” và cuối cùng, “Thiên tài là bạn của những nghịch lý”. Viện sĩ S.I. Vavilov đặc biệt lưu ý đến chiều sâu của những định nghĩa này của Pushkin.

Chúng ta hãy chỉ ra vì lợi ích của bức tranh mà lần thứ ba “đại số” cũng được đề cập trong bài báo phê bình. Pozt so sánh người Tatar với người Moorish (ở Tây Ban Nha) và viết: “Người Tatar không giống người Moor. Sau khi chinh phục nước Nga, họ không dạy nó đại số hay Aristotle.”

Trong một bài viết phê bình dành cho tác phẩm của Küchelbecker, Pushkin viết: “Cảm hứng cần có trong tư thế, cũng như trong hình học”. Cụm từ quan trọng! Giáo sư David Hilbert của Đại học Göttingen, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thế kỷ chúng ta, từng được biết rằng học trò của ông đã bỏ ngành toán để quyết định cống hiến hết mình cho triết học. “Điều này không làm tôi ngạc nhiên,” Gilbert trả lời, “anh ấy cảm thấy thiếu trí tưởng tượng!” Nguồn cảm hứng mà Pushkin viết đến không khác gì sự tưởng tượng của Hilbert.

Phán đoán của Pushkin về hình học không phải ngẫu nhiên; cùng lúc đó, nhưng vào một dịp khác, anh ấy viết trong sổ tay của mình: “Cần có cảm hứng trong hình học, cũng như trong các tư thế,” hoán đổi vị trí và hình học, và như thể duy trì sự bình đẳng của chúng khi đối mặt với cảm hứng. Viện sĩ M.P. Alekseev lưu ý rằng sự so sánh như vậy không phải là ngẫu nhiên. Vào năm 1826, khi Pushkin viết ra những cụm từ này, N. I. Lobachessky đã nói về hình học mới của ông, và dư âm của bài phát biểu của ông tại Đại học Kazan, đọc vào ngày 24 tháng 2 năm 1826, có thể đã đến tai Pushkin.

Người ta luôn luôn muốn theo dõi xem liệu số phận cuộc đời của hai thiên tài sống cùng thời điểm có giao nhau hay không, mặc dù họ thể hiện ở những lĩnh vực khác nhau của văn hóa nhân loại. Theo M.P. Alekseev, có lý do để tin rằng những cái tên Pushkin và Lobachevsky có thể được kết hợp với những cái tên cơ khí. Trước hết, I. Velikoopolsky, anh trai của vợ Lobachevsky, biết rõ về Pushkin, đã gặp anh ấy vài lần, trao đổi thư từ với anh ấy và thậm chí còn trao đổi những bài thơ (những bài rất ăn da). Có bằng chứng trực tiếp cho thấy Lobachesny yêu thích thơ của Pushkin như thế nào: ông thường đọc thuộc lòng những bài thơ của mình trong gia đình. Trong chuyến đi đến Orenburg vào đầu những năm 30 (không có tài liệu về “Lịch sử cuộc nổi dậy Pugachev”), Pushkin vẫn ở Kazan, thành phố nơi Lobachevsky sống cả đời. Tại đây, Pushkin đã ở vài ngày tại nhà của Giáo sư Fuchs, đồng nghiệp của Lobachessky tại trường đại học. Fuchs và người vợ xã hội của anh ta có rất nhiều khách mỗi tối; Người ta không biết rằng trong số họ ở “thời Pushkin” có Lobachesny. Đúng, không thể tìm thấy bằng chứng tài liệu. Nhưng tôi tin rằng chính những từ tiếng Nhật này đã khiến L. B. Modzalevsky - Chủ nghĩa Pushkin và là con trai của Chủ nghĩa Pushkin - nghiên cứu tiểu sử của Lobachevsky. Kết quả là Modzalewski đã trở thành tác giả của một trong những cuốn sách giàu thông tin nhất về nhà toán học vĩ đại người Nga.

Pushkin đã sử dụng các từ “vật lý” và “hóa học” một lần. “Hóa học” ở trong một bối cảnh không mấy thú vị, nhưng “vật lý” lại rất có tiếng vang.

Vào tháng 11 năm 1824, ông viết một tập thơ, “Những mô phỏng kinh Koran”, một kiểu kể lại từng điểm một của cuốn sách cổ. Pushkin đã ghi chú trên một số dòng. Vì vậy, đến dòng

Trái đất bất động - bầu trời là vòm,
Đấng Tạo Hóa, do bạn nắm giữ,
Đừng để chúng rơi trên đất khô và nước
Và họ sẽ không đàn áp chúng ta.—

30

“Một người mù mù”, “Kinh nghiệm là con trai của những sai lầm khó khăn” và cuối cùng, “Thiên tài là bạn của những nghịch lý”. Viện sĩ S.I. Vavilov đặc biệt lưu ý đến chiều sâu của những định nghĩa này của Pushkin.

Chúng ta hãy chỉ ra vì lợi ích của bức tranh mà lần thứ ba “đại số” cũng được đề cập trong bài báo phê bình. Pozt so sánh người Tatar với người Moorish (ở Tây Ban Nha) và viết: “Người Tatar không giống người Moor. Sau khi chinh phục nước Nga, họ không dạy nó đại số hay Aristotle.”

Trong một bài báo phê bình liên quan đến công trình của Küchelbecker, Pushkin viết: “Cần có cảm hứng trong vị trí, cũng như trong hình học”. Cụm từ quan trọng! Giáo sư David Hilbert của Đại học Göttingen, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thế kỷ chúng ta, từng nói rằng học trò của ông đã rời bỏ toán học và quyết định dấn thân vào triết học. “Điều này không làm tôi ngạc nhiên,” Gilbert trả lời, “anh ấy cảm thấy thiếu trí tưởng tượng!” Nguồn cảm hứng mà Pushkin viết đến không khác gì sự tưởng tượng của Hilbert.

Phán đoán của Pushkin về hình học không phải ngẫu nhiên; cùng lúc đó, nhưng vào một dịp khác, anh ấy viết trong sổ tay của mình: “Cần có cảm hứng trong hình học, cũng như trong tư thế,” hoán đổi vị trí và hình học, và như thể duy trì sự bình đẳng của chúng khi đối mặt với cảm hứng. Viện sĩ M.P. Alekseev lưu ý rằng sự so sánh như vậy không phải là ngẫu nhiên. Vào năm 1826, khi Pushkin viết ra những cụm từ này, N. I. Lobachessky đã nói về hình học mới của ông, và dư âm của bài phát biểu của ông tại Đại học Kazan, đọc vào ngày 24 tháng 2 năm 1826, có thể đã đến tai Pushkin.

Người ta luôn luôn muốn theo dõi xem liệu số phận cuộc đời của hai thiên tài sống cùng thời điểm có giao nhau hay không, mặc dù họ thể hiện ở những lĩnh vực khác nhau của văn hóa nhân loại. Theo M.P. Alekseev, có lý do để tin rằng những cái tên Pushkin và Lobachevsky có thể được kết hợp với những cái tên cơ khí. Trước hết, I. Velikoopolsky, anh trai của vợ Lobachevsky, biết rõ về Pushkin, đã gặp anh ấy vài lần, trao đổi thư từ với anh ấy và thậm chí còn trao đổi những bài thơ (những bài rất ăn da). Có bằng chứng trực tiếp cho thấy Lobachesny yêu thích thơ của Pushkin như thế nào: ông thường đọc thuộc lòng những bài thơ của mình trong gia đình. Trong chuyến đi đến Orenburg vào đầu những năm 30 (không có tài liệu về “Lịch sử cuộc nổi dậy Pugachev”), Pushkin vẫn ở Kazan, thành phố nơi Lobachevsky sống cả đời. Tại đây, Pushkin đã ở vài ngày tại nhà của Giáo sư Fuchs, đồng nghiệp của Lobachessky tại trường đại học. Fuchs và người vợ xã hội của anh ta có rất nhiều khách mỗi tối; Không rõ trong số họ ở “thời Pushkin” có Lobachevsky hay không. Đúng, không thể tìm thấy bằng chứng tài liệu. Nhưng tôi tin rằng chính những từ tiếng Nhật này đã khiến L. B. Modzalevsky – Chủ nghĩa Pushkin và con trai của Chủ nghĩa Pushkin – nghiên cứu tiểu sử của Lobachevsky. Kết quả là Modzalewski đã trở thành tác giả của một trong những cuốn sách giàu thông tin nhất về nhà toán học vĩ đại người Nga.

Pushkin đã sử dụng các từ “vật lý” và “hóa học” một lần. “Hóa học” ở trong một bối cảnh không mấy thú vị, nhưng “vật lý” lại rất có tiếng vang.

Vào tháng 11 năm 1824, ông viết một tập thơ, “Những mô phỏng kinh Koran”, một thể loại kể lại đầy chất thơ của cuốn sách cổ. Pushkin đã ghi chú trên một số dòng. Vì vậy, đến khổ thơ

Trái đất bất động—vòm trời,
Đấng Tạo Hóa, do bạn nắm giữ,
Đừng để chúng rơi trên đất khô và nước
Và họ sẽ không đàn áp chúng ta.—

31

ông viết: “Vật lý tồi, nhưng quả là một ý tưởng táo bạo!”
Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ mà nhận xét của Puskin không kém phần phù hợp.
Trong bài thơ nổi tiếng “Chân dung”, dành tặng người đẹp Zakrevskaya, ông viết:

Với tâm hồn rực lửa của bạn,
Với những đam mê giông bão của bạn
Hỡi những người vợ phương Bắc, giữa các bạn
Cô ấy thỉnh thoảng xuất hiện
Và vượt qua mọi điều kiện của thế giới
Phấn đấu cho đến khi mất đi sức mạnh,
Giống như một sao chổi vô luật pháp
Trong vòng tròn tính toán của các ngôi sao sáng.

Tuy nhiên, rõ ràng là chuyển động của sao chổi cũng được tính toán kỹ lưỡng (đều đặn), cũng như chuyển động của các thiên thể: không có “nhà lập pháp” nào vĩ đại hơn tự nhiên. Nếu đôi khi đối với chúng ta, hành vi của các đối tượng của nó trái với quy luật, điều đó đơn giản có nghĩa là chúng ta chưa biết những quy luật khác phức tạp hơn mà chúng tuân theo!

Cuối cùng chúng ta hãy chỉ ra câu châm ngôn nổi tiếng của Pushkin, trong đó ông tái hiện cuộc tranh luận giữa các đại diện của các trường phái triết học khác nhau thời cổ đại liên quan đến sự tồn tại của khái niệm chuyển động mang tính chất vật lý. Biểu tượng này, được viết bằng Mikhailovsky vào mùa thu năm 1825, được gọi là “Phong trào”:

Không có chuyển động, nhà hiền triết bradata nói.
Người kia im lặng và bắt đầu bước tới trước mặt anh.
Anh không thể phản đối mạnh mẽ hơn;
Mọi người đều khen ngợi kế hoạch đáp số.
Nhưng thưa quý vị, đây là một sự việc buồn cười
Một ví dụ khác xuất hiện trong đầu:
Suy cho cùng, mỗi ngày mặt trời đều đi trước chúng ta,
Tuy nhiên, Galileo bướng bỉnh đã đúng.

“Nhà hiền triết của bradata” là triết gia Hy Lạp cổ đại Zeno xứ Elea (thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên), và đối thủ “khác” của ông là Antisthenes (sinh khoảng năm 440 trước Công nguyên). Trong tám dòng của biểu tượng này, tư thế tuyệt vời với khả năng và khả năng biểu cảm đáng kinh ngạc đã truyền tải được bản chất của cuộc tranh chấp; những dòng cuối cùng nhằm cảnh báo những người coi “đáp số kế hoạch” của Antisthenes là đầy đủ: Pushkin nhớ lại hệ nhật tâm Galilean (Copernican) của thế giới, theo đó chuyển động của Mặt trời là rõ ràng, minh họa bản chất tương đối của chuyển động này.

Để đưa ra ý tưởng về chiều sâu mà các học giả Puskin đi sâu vào lịch sử xuất hiện các bài thơ của Poz, ý nghĩa rõ ràng và ẩn giấu trong từng dòng của chúng, tôi lưu ý rằng một phân tích toàn diện về “Phong trào” của Puskin trong một trong những bài báo của Viện sĩ M.P. Alekseev chứa 18 trang văn bản dày đặc.

Nhận xét kết luận

Tất nhiên, các ví dụ được liệt kê chỉ mang tính minh họa và chỉ là “gần đúng bằng 0” cho chủ đề nội dung “Pushkin và Khoa học”. Mối liên hệ sâu sắc của Pushkin với khoa học đương đại rất đa dạng. Chúng bao gồm một cách có hệ thống các mối quan hệ của ông với một số nhà khoa học (chủ yếu là các học giả về nhân văn). Tuy nhiên, trong số những người phi nhân đạo có “Nga Cali-

32

mạnh ) - nhà phát minh thay thế P. Schilling, người đã nhận được một tác phẩm “ma thuật” như vậy nhờ tài năng này. Schilling trở nên nổi tiếng không chỉ vì phát minh ra “điện báo bán hàng”; Những phát minh của ông trong lĩnh vực hàng hải và công trình nghiên cứu về điện của ông đều được biết đến. Chủ đề “Pushkin và Humboldt*” thu hút sự chú ý và cũng đã được phát triển.

Tuy nhiên, mối quan tâm sâu rộng của Pushkin và sự hiểu biết của ông về vai trò của khoa học trong đời sống xã hội được thể hiện rõ ràng nhất trong hoạt động báo chí của ông và gắn liền với việc xuất bản tạp chí Sovremennik - một doanh nghiệp mà ông đặt rất nhiều hy vọng và đã đóng góp rất nhiều công sức trong một năm rưỡi đến hai năm cuối đời.

Đối với báo chí Nga 20-30 năm. Có thể nói, trong thế kỷ qua, việc xuất bản các bài báo khoa học đại chúng có tính chất truyền thống. Tác phẩm “Đương đại” của Pushkin cũng có một diện mạo mới về mặt này. Nhà xuất bản của ông không muốn chỉ in lại các bài phê bình khoa học phổ thông từ các tạp chí nước ngoài - ông đã nhờ phóng viên của mình, P. B. Kozlesky, một nhà ngoại giao chuyên nghiệp và một người có học thức sâu rộng, viết chúng. Các bài viết của Kozlovsky đã được đăng trên hai trong số bốn số báo trọn đời của tờ Sovremennik của Nga. Đầu tiên trong số đó là “Phân tích Niên giám Paris,” theo thuật ngữ hiện đại, lời giải cho ấn phẩm này, được xuất bản dưới sự giám sát của Thư ký Viện Hàn lâm Khoa học Pháp, François Arago. Trong lời giải sâu rộng của mình, Kozlovsky không chỉ nói về những thành công mới nhất của khoa học Pháp mà còn nhiệt tình ủng hộ việc phổ biến giáo dục ở quê hương ông, ở Nga. Nhiệm vụ vừa cao cả vừa dũng cảm, nếu chúng ta nhớ rằng trong mắt chế độ chuyên quyền, sự giác ngộ đồng nghĩa với tự do. Bài báo tiếp theo của Kozlovsky, xuất bản trong tập 3 của Sovremennik, có tựa đề “Về niềm hy vọng”. Đây là bài trình bày phổ biến đầu tiên về nền tảng của lý thuyết xác suất trong văn học Nga. Lúc đó chúng ta vẫn chưa có số hạng cuối cùng và Kozlovsky đề xuất gọi lý thuyết này là “lý thuyết tiện lợi”. Thật thú vị khi thấy trên các trang của Sovremennik, bên cạnh vị trí của Pushkin, Zhukovsky, Tyuchev, các công thức đại số, tam giác Pascal và thậm chí cả đồ thị mà Kozlovsky đã hoàn thành bài viết của mình.

*) Bá tước Cagliostro (tên thật Joseph Balsamo (1743-1793)) là một avantori, nổi tiếng với đủ loại “phép thuật”. Tuy nhiên, tên của ông không chỉ đồng nghĩa với chủ nghĩa tiên phong và chủ nghĩa lang băm, mà nói chung với bất kỳ trí tưởng tượng ấn tượng và choáng ngợp nào của khán giả. Trong bối cảnh này, người ta nên hiểu sự giác ngộ được ban cho Schilling, một phù thủy thực sự, người đã tiết lộ cho mọi người những “phép lạ thông thường” mà khoa học chân chính chứa đựng.

**) Alexander Humboldt (1769-1859) - nhà tự nhiên học và địa lý học người Đức. Đã đi du lịch nhiều nơi ở Nam và Trung Mỹ. Mùa xuân năm 1829 ông đến Nga. Tại St. Petersburg, ông đã gặp nhiều nhà khoa học và nhà văn, trong đó có P. A. Vyazemsky và A. S. Pushkin. Cùng năm đó, anh thực hiện chuyến đi nửa ngày tới Siberia. Mối liên hệ khoa học của ông với các nhà khoa học Nga vẫn tiếp tục trong suốt cuộc đời lâu dài của ông.

33

Bài viết này nói về một số dãy dobe thú vị và cách giải bài toán M298 từ “Bài toán Kvant. Mặc dù cuối bài yêu cầu làm quen với phương pháp tọa độ, vectơ và nguyên lý quy nạp toán học, hầu hết các lưu ý sẽ dễ hiểu ngay cả với những học sinh mới làm quen với môn này. Tác giả hy vọng rằng học sinh và giáo viên trung học sẽ tìm thấy ở đây những tài liệu thuận tiện cho các lớp học với học sinh lớp 5-6. Các bài tập liên quan đến điều kiện hiện có.

1. Loạt phim Farey. Quan sát

Hãy viết ra tất cả các số dobies thông thường có mẫu số không quá 7:

$$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6},$$

$$\frac{5}{6}, \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$$

(chúng tôi đã bỏ qua các dobies viết tắt: $\frac{2}{4}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}$ và $\frac{4}{6}$ - trong các dobies đại diện cho cùng một số, chúng tôi chọn cùng một dobie, tức là số có tử số và mẫu số nhỏ nhất).

Bây giờ hãy viết những dobies tương tự theo thứ tự tăng dần:

$$\frac{1}{7}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{2}{7}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, \frac{1}{2},$$

$$\frac{4}{7}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{5}{7}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}.$$

(1)

Kiểm tra xem ở hàng (1) mỗi phép cộng có thực lớn hơn phép cộng trước không

$$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6.7}, \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5.6},$$

$$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4.5}, \frac{2}{7} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4.7}, \dots$$

Trong trường hợp này, một mô hình thú vị được quan sát thấy: số điểm khác biệt giữa hai phép cộng lân cận luôn bằng một, hay chính xác hơn là

A. Đối với hai phép cộng lân cận bất kỳ $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ ($2\delta e \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$) đẳng thức

$$bc - ad = 1.$$

Những mô hình nào khác vốn có trong một số dobes (1)?

Không khó để phát hiện ra tổng của hai dobe đứng đối xứng ở hàng này bằng 1. Không biết bạn đọc có để ý thấy điều đó không?

B. Mỗi nhân đôi được lấy từ hai dobe liền kề theo cách sau: bạn cần cộng các số của chúng và chia số kết quả cho tổng mẫu số.

Trong thực tế,

$$\frac{1}{6} = \frac{1 + 1}{7 + 5}, \frac{1}{5} = \frac{1 + 1}{6 + 4},$$

$$\frac{1}{4} = \frac{1 + 2}{5 + 7}, \frac{2}{7} = \frac{1 + 1}{4 + 3}, \frac{1}{3} = \frac{2 + 2}{7 + 5},$$

$$\frac{2}{5} = \frac{1 + 3}{3 + 7}, \frac{3}{7} = \frac{2 + 1}{5 + 2}, \frac{1}{2} = \frac{3 + 4}{7 + 7}$$

và vân vân!

34

Bảng 1. Chuỗi Farey.

Tương tự như cách viết dòng (1) từ các phân số thích hợp có mẫu số không quá 7, người ta có thể viết, theo thứ tự tăng dần, các phân số có mẫu số không quá $n$. Chúng ta cũng hãy sắp xếp các hàng cho $n=1, 2, \dots, 7$ thành một hàng theo dạng Bảng 1.

Hàng đầu tiên và các bức tường bên của phân số $\frac{0}{1}$ và $\frac{1}{1}$ mang lại cho bảng của chúng ta một cái nhìn hoàn chỉnh hơn.

Bài tập 1. Kiểm tra xem các mẫu A và B mà chúng ta nhận thấy ở hàng tiếp theo của bảng cũng xuất hiện ở tất cả các hàng trước đó.

Chúng tôi đã đánh dấu các phân số mới ở mỗi dòng bằng màu đỏ.

Đối với các phân số mới, quan sát B, bạn có thể làm rõ: đối với một phân số phát sinh giữa hai phân số cũ thì tử số bằng tổng của tử số, mẫu số bằng tổng các mẫu số của chúng. Vì vậy, chúng ta có thể đề xuất một quy tắc đơn giản để thu được hàng thứ $n$ mới.

B. Cần lưu ý ở dòng $(n-1)$ tất cả các cặp phân số dẫn đầu $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ như vậy, trong đó tổng mẫu số bằng $n$ và giữa chúng có các phân số $\frac{a+c}{b+d}$ (chúng luôn không thể rút gọn).

Hãy thực hiện thao tác này với cặp dòng tiếp theo. Hãy đánh dấu các cặp là màu xám

chúng là những phân số có tổng có mẫu số là 8. Đây là những cặp như vậy

$\frac{0}{1}$ và $\frac{1}{7}$; $\frac{1}{3}$ và $\frac{2}{5}$; $\frac{3}{5}$ và $\frac{2}{3}$; $\frac{6}{7}$ và $\frac{1}{1}$.

Hãy lần lượt chèn các phân số $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}$ vào giữa chúng và lấy dòng thứ tám

$$\frac{0}{1} \frac{1}{8} \frac{1}{7} \frac{1}{6} \frac{1}{5} \frac{1}{4} \frac{2}{7} \frac{1}{3} \frac{3}{8} \frac{2}{5} \frac{3}{7} \frac{1}{2}$$

$$\frac{4}{7} \frac{3}{5} \frac{5}{8} \frac{2}{3} \frac{5}{7} \frac{3}{4} \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{1}{1}$$

Bài tập 2. Thực hiện thao tác tương tự với dòng thứ tám và kiểm tra xem bằng cách này bạn có được dòng chứa tất cả các phân số không thể rút gọn có giá trị không quá 9, theo thứ tự tăng dần.

Bài tập 3. Kiểm tra xem mẫu A và B có thỏa mãn ở dòng thứ tám và thứ chín hay không.

Hàng gồm tất cả các phân số không rút gọn $\frac{p}{q}$, trong đó $1 \leq p \leq q \leq n$ ($n$ là một số tự nhiên cho trước), sắp xếp theo thứ tự tăng dần, có một tên đặc biệt trong lý thuyết số - chuỗi Farey, và đôi khi được ký hiệu là $F_n$. Tên của nhà toán học Farey được đặt cho những dòng như vậy bởi nhà toán học vĩ đại người Pháp Cauchy. Farey quan tâm đến tính đều đặn trong chuỗi phân số này, và Cauchy, chú ý đến những quan sát của Farey, đã công bố bằng chứng của họ vào năm 1816. Tuy nhiên, hoàn toàn có khả năng những quy luật này đã được các nhà toán học biết đến trước đó.

Hãy để chúng tôi đưa ra hai định nghĩa liên quan đến những quan sát của chúng tôi.

Định nghĩa 1. Chúng ta gọi hai phân số $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ là đóng nếu $bc$-ad bằng 1 hoặc -1.

Bài tập 4. Chọn từ các phân số (1) tất cả các cặp phân số gần nhau.

35

Định nghĩa 2. Lấy trung vị của hai phân số $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ là phân số $\frac{a+c}{b+d}$.

(Trung vị của các phân số tối giản có thể là phân số tối giản; cho ví dụ.)

2. Tính chất của phân số gần

Bây giờ các giả thuyết của chúng ta có thể được xây dựng ngắn gọn như sau: trong bất kỳ chuỗi Farey thứ $n$ nào (hàng thứ $n$ của Bảng 1)

A. Các phân số liền kề gần với một phân số khác.

B. Mỗi phân số mới $m/n$ là trung vị của các phân số lân cận nó.

Trong bài toán M298 từ “Bài toán Kvant, điều cần thiết là phải chứng minh tính chất A: nếu $p/q < r/s$ là các phân số lân cận của chuỗi $F_n$, thì $qr - ps = 1$. Nhưng hóa ra điều quan trọng là có thể dễ dàng chứng minh cả hai tính chất cùng một lúc - cả A và B. Dưới đây chúng tôi phác thảo tối đa ba cách chứng minh khác nhau: một - trong đoạn 3-4, thứ hai - trong đoạn 5, thứ ba - trong đoạn 6. Chúng tôi chỉ ra một số thuộc tính đơn giản đặc trưng cho phân số gần và trung vị.

a) Đối với hai phân số bất kỳ $a/b$ và $c/d$ hiệu modulo của chúng không nhỏ hơn 1/bd:

$$\left| \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \right| \geq -\frac{1}{bd},$$

(2)

và dấu đẳng thức trong (2) đạt được khi và chỉ khi các phân số $a/b$ và $c/d$ gần nhau. (Điều này giải thích sự lựa chọn thuật ngữ: phân số đóng.)

6. Trung vị của hai phân số luôn nằm giữa chúng, m. đ.

nếu $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ thì

$$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}.$$

b) Nếu hai phân số gần nhau thì cả hai đều tối giản.

r) Nếu hai phân số gần nhau thì trung tuyến của chúng gần nhau.

d) Nếu hai phân số gần nhau thì giá trị của chúng là nguyên tố cùng nhau và các giá trị số của chúng là nguyên tố cùng nhau *).

e*) Trong tất cả các phân số nằm giữa hai phân số gần nhau, trung vị của chúng được gọi là mẫu số.

Bài tập 5. Chứng minh tính chất a) - d).

Bây giờ chúng ta giả sử rằng người đọc không chỉ hoàn thành bài tập 2 - nhận được 2 từ việc sử dụng - mà còn tiếp tục hành động xa hơn theo quy tắc B, nhận được dòng thứ mười, tương tự, v.v.

Từ các thuộc tính 6), B), r) suy ra rằng trong tất cả các dòng mới, các quy luật sau cũng được giữ nguyên:

1. các phân số trung vị mà chúng tôi chèn vào sẽ không thể rút gọn được;
2. phân số theo thứ tự tăng dần;
3. hai phân số liền kề bất kỳ gần nhau.

Câu hỏi khó hơn còn lại là đây. Theo quy tắc B, liệu tất cả các phân số tối giản có giá trị $n$ có được đưa vào hàng thứ $n$ hay có thể một số sẽ bị bỏ sót? Hóa ra tất cả các phân số như vậy nhất thiết phải được chèn vào, tức là chúng ta thực sự sẽ nhận được toàn bộ chuỗi $F_n$. Tại thời điểm này, chúng tôi khuyên người đọc nên rời đi và cố gắng tự mình đưa ra bằng chứng (một trong những cách là chứng minh tính chất e, được đánh dấu hoa thị).

Hiện tại, chúng ta sẽ vắng mặt một thời gian ngắn và thảo luận về câu hỏi:

Có bao nhiêu phân số ở hàng thứ $n$ của bảng?

*) Các số nguyên $a$ và $b$ được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng không có ước số chung lớn hơn 1.

36

3. Hàm Euler.
   Số phân số màu đỏ

Cho ta có một số tự nhiên $n$. Chúng ta hãy xem xét tất cả các số tự nhiên không vượt quá $n$ và chọn trong số chúng những số nguyên tố cùng nhau với số $n$. Số của các số này sẽ được ký hiệu là $\varphi(n)$.

Ví dụ: đối với $n=8$ các số như vậy sẽ là 1, 3, 5, 7 và do đó $\varphi(8)=4$.

Vì vậy, mỗi số tự nhiên $n$ được liên kết với số $\varphi(n)$. Sự tương ứng $\varphi$ này được gọi là hàm Euler.

Hãy liệt kê một số tính chất của hàm Euler:

1. $\varphi(n) < n$.
2. Nếu $n = p$ là số nguyên tố thì $\varphi(p) = p-1$.
3. Với $n > 2$ số $\varphi(n)$ là số chẵn.
4. Nếu $n = p^d$ là lũy thừa của số nguyên tố $p$ thì

$$\varphi(p^\alpha) = p^\alpha - p^{\alpha-1} = p^\alpha \left(1 - \frac{1}{p}\right).$$

5*) Nếu $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau thì $\varphi(mn) = \varphi(m) \cdot \varphi(n)$.
6) Công thức chung cho $\varphi(n)$ là:

$$\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{p_r}\right);$$

ở đây $p_1, p_2, \dots, p_r$ đều là các số nguyên tố chia hết cho $n$. (Công thức này đã được chứng minh trong bài “Định lý nhỏ Fermat”, «Kvant», 1972, số 10.)

Chúng tôi mời người đọc chứng minh tất cả các tính chất này. Chúng tôi chỉ giải thích tính chất 3). Tất cả các số nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau đến $n$ có thể được chia thành các cặp: mỗi cặp bao gồm các số $q$, $s$ sao cho $q+s=n$. Vậy số $\varphi(n)$ là số chẵn.

Số phân số màu đỏ ở dòng thứ $n$ $F_n$, rất indo, bằng $\varphi(n)$, vì có nhiều phân số tối giản $m/n$ ($0 \leqslant m/n \leqslant 1$) có giá trị $n$ như số tự nhiên $m$, nhỏ hơn $n$ và cùng nguyên tố với $n$.

Câu hỏi về tổng số số hạng mà chuỗi Farey thứ $n$ $F_n$ chứa bao nhiêu đã được độc giả «Kvant» thảo luận trong thư của mình. A. Kitaev từ Leningrad. Rõ ràng là con số này - hãy ký hiệu nó là $\varphi(n)$ - bằng

$$\varphi(n) = 1 + \varphi(1) + \varphi(2) + \varphi(3) + \dots + \varphi(n),$$

kể từ $\varphi(1) = 2$ và $\varphi(n) = \varphi(n-1) + \varphi(n)$ (xem Bảng 2). Dường như không có công thức đơn giản nào cho $\varphi(n)$. Nhưng điều thú vị là, bất chấp hành vi cực kỳ bất thường của hàm Euler $\varphi(n)$ (so với

$$n \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9 \quad 10 \quad 11 \quad 12 \quad 13 \quad 14 \quad 15 \quad 16 \dots$$

$$\varphi(n) \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 2 \quad 2 \quad 6 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 10 \quad 4 \quad 12 \quad 6 \quad 8 \quad 8 \dots$$

$$\varphi(n) \quad 2 \quad 3 \quad 5 \quad 7 \quad 11 \quad 13 \quad 19 \quad 23 \quad 29 \quad 33 \quad 43 \quad 47 \quad 59 \quad 65 \quad 73 \quad 81 \dots$$

Bảng 2. Hàm Euler và số phân số $F_n$.

nghiệm $\frac{\varphi(n)}{n}$ gần tùy ý với 0 và 1), với $\varphi(n)$ người ta có thể chứng minh hệ thức giới hạn sau:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2} = \frac{3}{\pi^2} \approx 0,305 \dots,$$

tức là $\varphi(x)$ đối với $x$ lớn tăng “xấp xỉ dọc theo một parabol”: $\varphi(x) \approx \frac{3}{\pi^2} x^2$.

Đây là một trong những định lý hay được nhà toán học gốc F. Mertens (1874) thu được.

4. mẫu số liền kề

Bây giờ chúng ta hãy quay lại câu hỏi đặt ra ở cuối đoạn 3 và giải thích lý do tại sao, hành động theo quy tắc B, chúng ta sẽ thu được tất cả $\varphi(n)$ các phân số tối giản có mẫu số $n$. Hãy thực hiện thêm một quan sát nữa.

Chúng ta hãy chú ý đến mẫu số của các phân số trong bảng 1. Để thuận tiện, chúng ta hãy soạn một bảng 3 mới từ chúng. Quy tắc B cho phép chúng ta tiếp tục “bảng mẫu số” (không cần quan tâm đến các chữ số) như sau.

TRONG’. Cần đánh dấu ở dòng thứ $(n-1)$ tất cả các cặp $q$, $s$ của các số lân cận, tổng của các số đó là $n$ và xét $n$ giữa chúng.

Như chúng tôi đã nói, các giá trị lân cận $q$ và $s$ trong Bảng 3 là tương đối nguyên tố (xem thuộc tính D, điểm 2). Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng, khi nhập tổng $q+s=n$ vào dòng thứ $n$, chúng ta gặp phải cách biểu diễn nào trong số $\varphi(n)$ có thể biểu diễn $n$ dưới dạng tổng của các số nguyên tố cùng nhau (và chính xác là một). Ví dụ: trong chuỗi nhị phân:

36

37

Bảng 3. Mẫu số của chuỗi Farey

$$9 = 1 + 8, \quad 9 = 5 + 4, \quad 9 = 7 + 2,$$
$$9 = 2 + 7, \quad 9 = 4 + 5, \quad 9 = 8 + 1.$$

Bài tập 6. Thêm ba dòng nữa của Bảng 3 và kiểm tra xem tất cả φ(n) được biểu thị bằng mẫu số n là tổng của hai mẫu số liền kề n = q + s xuất hiện đúng một lần.

Chúng ta xây dựng nhận xét ở Bài tập 6 như sau.
D. Ở hàng thứ n của Bảng 3, mỗi số nguyên tố cùng nhau với n trước đây là “hàng xóm” đúng hai lần: một lần trên đường đi và một lần ở bên phải.

Bài tập 7. Chứng minh rằng nếu tính chất Γ có ở tất cả các hàng trước của Bảng 3 thì nó cũng phải có ở hàng thứ n theo quy tắc B'.

Bài tập 7 (theo nguyên lý quy nạp toán học) suy ra rằng nếu lấy được các hàng mới của Bảng 3 theo quy tắc B’ thì ở tất cả các hàng tính chất Г sẽ được thỏa mãn, và do đó, ở hàng thứ n sẽ có chính xác f(n) số hạng mới!

Bài tập 8. Chúng ta hãy bắt đầu từ dòng $\left(\frac{0}{1}, \frac{1}{1}\right)$, thực hiện thao tác sau nhiều lần: giữa hai phân số đã viết sẵn, chúng ta chèn trung vị của chúng. Chứng minh rằng với bất kỳ chuỗi nào có thể thu được theo cách này thì tính chất A và B đều thỏa mãn.

Cụ thể, từ kết quả của bài toán này, các thuộc tính A và B được thỏa mãn cho mỗi dòng của bảng 4, trong đó trung vị được chèn vào giữa mỗi và hai phân số ở dòng tiếp theo.

Bài tập 9. Chứng minh rằng trong Bảng 4, ở mỗi dòng, bắt đầu từ dòng thứ n, tất cả các phân số tối giản có mẫu số n đều xuất hiện, mỗi phân số xuất hiện một lần.

Bảng 4. 《Tăng tốc》 Chuỗi Farey.

Bảng 4 của bột được liên kết với bảng số nguyên, được G. A. Galperin từ “Bài toán Kvant” xem xét trong bài toán M233. Bảng 5 này không chỉ xuất hiện ở mẫu số của các phân số trong bảng 4, mà còn ở các chữ số của chúng (trong “nửa” thứ hai của bảng 4, bắt đầu từ dòng thứ hai, trong “phần tư” thứ hai, bắt đầu từ dòng thứ ba, v.v.!)!

5. Bằng chứng thứ hai

Chúng ta hãy đưa ra một chứng minh ngắn gọn về tính chất A và B bằng cách sử dụng chuỗi Farey $F_n$, dựa trên tính chất a) của các phân số gần (bằng chứng như vậy được đưa ra trong cuốn sách [2]).

Việc chứng minh cũng được thực hiện bằng quy nạp. Giả sử rằng đối với tất cả các hàng $F_1, F_2, \dots, F_{n-1}$ trước $F_n$, thuộc tính A và B đã được chứng minh. Đặt một số phân số $m/n$ (vì vậy mẫu số n) được đặt giữa các phân số lân cận $p/q$ và $r/s$ từ $F_{n-1}, p/q < r/s$ (do đó $qr - ps = 1$).

Sau đó

$$\frac{m}{n} - \frac{p}{q} \geq \frac{1}{qn}$$

Và

$$\frac{r}{s} - \frac{m}{n} \geq \frac{1}{sn}.$$

Cộng các bất đẳng thức này, ta được

$$\frac{r}{s} - \frac{p}{q} \geq \frac{q + s}{nqs};$$

38

$$\frac{q+s}{n} \leq qr - ps = 1;$$
$$q+s \leq n.$$

Bất đẳng thức thứ hai $q+s < n$ không thể được thỏa mãn: trong trường hợp này, phân số $(p+r)/(q+s)$ sẽ xảy ra giữa $p/q$ và $r/s$ đã có trong $F_{n-1}$ (thêm vào $F_{q+s}$).

Kể từ đây,
$$n = q+s,$$
(4)
và do đó bất đẳng thức (3) cũng phải là đẳng thức, do đó
$$mq-np = 1, nr-ms = 1.$$ (5)
Từ (4) và (5) suy ra $m = p+r$.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng $m/n$ là trung vị của các phân số $p/q$ và $r/s$ và gần với từng phân số đó. (Về cơ bản, ở đây chúng ta đã chứng minh tính chất e) của các phân số gần.) Điều này có nghĩa là tính chất A và B cũng đúng với $F_n$.

Căng thẳng 10. Chứng minh rằng:
a) nếu các phân số $m/n$ và $p/q$, trong đó $q < n$ gần nhau thì chúng là các phân số lân cận trong $F_n$;
b) mọi phân số gần $m/n$ đều bằng một trong các phân số $(m+kr)/(n+ks)$ hoặc $(m+kp)/(n+kq)$, trong đó $k = 0, 1, 2, \dots$, $p/q$ và $r/s$ là lân cận của $m/n$ trong $F_n$.

Căng thẳng 11. Đặt trong dãy các phân số $\frac{1}{1} \leq \xi_1 \leq \dots \leq \xi_N \leq \frac{1}{1}$ cứ hai phân số liền kề thì gần nhau. Chứng minh rằng các dãy này có thể thu được bằng cách sử dụng quy trình được mô tả trong Bài tập 8.

Giải thích hình học mà chúng ta hướng tới có nghĩa là làm rõ các nguyên tắc đơn giản của các mẫu A và B, đồng thời gợi ý ý tưởng về một bằng chứng khác.

6. Lưới và hình bình hành

Hãy lấy một tờ giấy ca-rô và giới thiệu hệ tọa độ trên đó. Chúng ta lấy hai đường lưới vuông góc làm trục tọa độ và cạnh của ô làm đơn vị tỷ lệ.

Hãy tương ứng với mỗi phân số $m/n$ ($0 \leq m/n \leq 1, n > 0$) một điểm có tọa độ $(n, m)$. (Trong Hình 1, đây là những chấm đen.) Thay vì “dấu chấm”, đôi khi chúng ta sẽ nói “phân số”.

Các phân số tối giản trong Hình 1 được khoanh tròn màu xanh lam và những phân số có số không lớn hơn 4 được nối bằng các đoạn màu xanh lam với gốc O.

Hãy xây dựng một số tính chất của phân số trong ngôn ngữ hình học. Cho $p/q$ và $r/s$ là hai phân số, $A(q, p)$ và $B(s, r)$ điểm tương ứng của chúng.

a) $p/q = r/s$ khi và chỉ nếu điểm A và B nằm trên cùng một tia với gốc O. Nút gần O nhất trên tia này tương ứng với một phân số tối giản.

Tiếp theo, chúng tôi giả sử rằng $p/q \neq r/s$.

6. $p/q > r/s$ nếu tia OA tạo một góc lớn hơn với trục tọa độ ngang so với tia OB.

39

C) Phân số $(p+r)/(q+s)$ tương ứng với bốn đỉnh $C(p+r, q+s)$ của hình bình hành $OACB$ (Hình 2). Đối với những người quen thuộc với vectơ, hãy viết nó như thế này: $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$. (Chúng ta thấy rằng sự phụ âm của các thuật ngữ “trung tuyến” và “trung tuyến” không phải ngẫu nhiên: đoạn $OC$ đi chính xác dọc theo đường trung tuyến của tam giác $OAB$.)

d) $|qr-ps|$ bằng hai lần diện tích $\Delta AOB$, tức là diện tích hình bình hành $OACB$.

e*) Bên trong và trên các cạnh của hình bình hành này $OACB$ khi và chỉ khi không có nút nào (ngoại trừ các đỉnh) khi $|qr-ps|=1$.

e*) Trong trường hợp này, điểm $C$ là nút gần $O$ nhất trên lưới nằm bên trong góc $AOB$.

Đúng 12. Chứng minh tính chất a)—r).

Chìa khóa để giải thích tính quy luật của chuỗi Farey là tính chất d) và e*).

Chúng ta hãy nhìn trực quan vào Hình 2 và Hình 3. Trong đó, phần bên trong của góc $AOB$ được cắt bằng các đường thẳng thành hình bình hành bằng hình bình hành $OACB$. Tất cả các đỉnh của chúng đều nằm trong các nút giấy ca-rô. Nhưng trong Hình 2 (trong đó diện tích $OACB$ lớn hơn 1) nhiều nút của góc trong $AOB$ không phải là đỉnh của các hình bình hành này. Và trong Hình 3 (ở đây diện tích $OACB$ bằng 1) bất kỳ nút nào của góc trong $AOB$ là đỉnh của hình bình hành đó, tức là với bất kỳ nút nào như vậy $M(n, m)$ đều có các số tự nhiên $x$ và $y$ mà

$$\overrightarrow{OM} = x \cdot \overrightarrow{OA} + y \cdot \overrightarrow{OB}.$$

(6)

Vector đẳng thức (6) tương đương với hệ phương trình

$$\begin{cases} px + ry = m, \\ qx + sy = n. \end{cases}$$

*). Chúng có thể được chứng minh dựa trên tính chất của các mạng trên mặt phẳng (xem bài viết của A. A. Egorov và N. B. Vasiliev, «Kvant», 1974, No. 12.

13. a) Chứng minh rằng nếu $|qr-ps|=1$, trong đó $p, q, r, s$ là số nguyên thì hệ (7) với mọi số nguyên $m$ và $n$ đều có lời giải trong các số nguyên $x$ và $y$.

b*) Viết và chứng minh định lý ngược lại.

b) Suy ra từ a) rằng đối với hai phân số gần nhau $p/q < r/s$ thì bất kỳ phân số nào $m/n$, trong đó $p/q < m/n < r/s$, có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{px+ry}{qx+sy}$, trong đó $x$ và $y$ là số tự nhiên.

d) Chứng minh tính chất của e* từ điểm 2 và 5 và suy ra các định luật A và B từ chuỗi Farey.

Phần kết luận

Chúng tôi đã phác thảo một số cách để xây dựng một lý thuyết nhỏ nhưng hay về chuỗi Farey.

Lý thuyết này có thể được xây dựng ngay từ khi bắt đầu nghiên cứu về số nguyên mà không cần dựa vào định lý cơ bản của số học (dựa vào tính duy nhất của hệ số hóa). Bản thân định lý này có thể được suy ra từ các tính chất của chuỗi Farey. Từ các tính chất này, bạn cũng dễ dàng thu được lời giải dưới dạng số nguyên từ phương trình $ax-by=1$, trong đó $a$ và $b$ rất đơn giản: chỉ cần xét phân số $\frac{a}{b}$ và lấy bất kỳ phân số lân cận nào của nó trong chuỗi Farey là đủ.

Chuỗi Farey, cũng như cách biểu diễn các phân số trên một mạng, cũng hữu ích trong các câu hỏi phức tạp hơn về việc tính gần đúng các số thực bằng các phân số có giá trị nhỏ.

Văn học

1. N. B. Vasiliev. Lời giải bài toán M233. «Kvant», 1974, số 7, tr. 39.
2. I. M. Vinogradov. Cơ sở lý thuyết số. M., “Khoa học”, 1965.
3. K. Chandraekharan. Giới thiệu lý thuyết số phân tích. M., “Mir”, 1974.
4. D. B. Fuks, M. B. Fuks. “Trên những ước tính gần đúng nhất.” «Kvant», 1971, không. 6 và 11.

40

Ôi bài toán Rado

Trong «Kvant» số 5 năm 1975, trong phần “Vấn đề «Kvant»” bài toán M321 đã được xuất bản [tác giả A.V. Brailov]. Chúng ta hãy nhớ lại các điều kiện của nó.

Tồn tại một bảng hình chữ nhật có diện tích 1. Chứng minh rằng với mọi ε > 0, có thể chỉ ra một hệ khăn ăn hình chữ nhật phủ lên bảng này (các cạnh của khăn ăn song song với các cạnh của bàn), sao cho bất kỳ hệ thống con nào của nó bao gồm các khăn ăn không chồng lên nhau đều có diện tích nhỏ hơn ε.

Ghi chú này nói về các tùy chọn khác nhau bài toán cho “hệ thống khăn ăn không chồng chéo”. Một số trong số chúng có toàn bộ lịch sử, một số khác khá đơn giản và có thể được giải quyết chỉ với sự trợ giúp của một ý tưởng, chẳng hạn như “oplypad” thông thường bài toán.

Rõ ràng, một ví dụ giả thuyết (và chỉ liên quan đến toán học chứ không phải sinh học) về các sinh vật sống mà thế giới bên ngoài là một mặt phẳng hai chiều chứ không phải không gian ba chiều, lấy nhà tự nhiên học và toán học nổi tiếng người Đức G. Helmholtz: đây là những con nhện nước - “nhện nước”, chuyển động trượt dọc theo bề mặt nước có thể được nhìn thấy trong bất kỳ vùng nước tù đọng nào. “Những con nhện nước” của Helmholtz cũng không thể tưởng tượng được thế giới “ba chiều” đã thấm nhuần trong chúng ta, cũng như một người không thể tưởng tượng được “không gian bốn chiều” *).

*) Một “sinh vật sống” tưởng tượng có dạng hình học phẳng và sống trong thế giới hai chiều là chủ đề của cuốn sách “Fletland” của giáo viên trường học người Anh E. E. Abbott, xuất bản vào những năm 80 và thật không may, chưa bao giờ được dịch sang tiếng Nga. Do C. G. Hinton biên soạn, “The Episode in Flatland” (1907), tiếp tục chủ đề tương tự, được tóm tắt ngắn gọn trong «Kvant», 1970, Số 4, tr. 28-31.

Chúng ta sẽ bắt đầu với một thế giới bên ngoài thậm chí còn nguyên thủy hơn thế giới của nhện nước: với sự tương tự một chiều của bài toán M321. Hơn nữa, trong phiên bản “nhẹ nhàng” như vậy, nó không trở nên vô nghĩa.

Cắt lớp phủ

Bây giờ “bàn” và “khăn ăn” của chúng ta không phải là hình chữ nhật mà là các đoạn thẳng. Chúng tôi quan tâm đến Tuyên bố như vậy. Cho một đoạn o có độ dài 1 (“bảng”) và một số ε > 0. Sau đó, chúng ta có thể chỉ định một hệ thống các đoạn (“khăn ăn”) bao phủ “bảng” o sao cho bất kỳ hệ thống con nào gồm các đoạn rời rạc (các “khăn ăn” không chồng chéo) có tổng chiều dài nhỏ hơn ε*).

Tuyên bố này đúng hay sai?

Trước tiên chúng ta hãy thử nghiệm các hệ thống “khăn ăn” đơn giản nhất.

Trong Hình 1, a, “cái bàn” được phủ ba “khăn ăn” dài 1/3. Trong số này

*) Đối với một hệ hoàn toàn rời rạc, chúng ta đồng ý rằng có hai “khăn ăn” có ít nhất một điểm chung.

41

người ta có thể chọn một hệ thống con gồm hai “khăn ăn” không chồng lên nhau với tổng chiều dài $2/3$. (Tất nhiên, bạn có thể chọn một hệ thống con từ một “khăn ăn”, nhưng độ dài của hệ thống con đó ít hơn.) Vì vậy, nếu $\varepsilon > 2/3$, thì tuyên bố của chúng tôi là đúng: chúng tôi biểu thị một hệ thống gồm các phân đoạn sao cho bất kỳ hệ thống con nào của nó bao gồm các phân đoạn không giao nhau đều có tổng chiều dài không lớn hơn $2/3$, tức là nhỏ hơn $\varepsilon$.

Đúng 1. Chứng minh rằng với $\varepsilon > 1/2$ mệnh đề cũng đúng. (Tạo lớp phủ tương ứng của phân đoạn “bảng” trên các phân đoạn nhỏ hơn bằng “khăn ăn”.) Rõ ràng là mỗi ví dụ về hệ thống các phân đoạn $K$ đảm bảo tính hợp lệ của tuyên bố của chúng tôi chỉ cho $\varepsilon > d_h$, trong đó $d_h$ là một số dương nào đó tùy thuộc vào hệ thống này $K$. Vì vậy, ví dụ trong Hình 1, a $d_h = 2/3$; trong Hình 1.6 $d_h = 3/5$. Nhìn chung, $d_h$ là hệ thống con dài nhất $K' \subset K$, bao gồm các đoạn không giao nhau. Rõ ràng là $\varepsilon$ càng nhỏ thì việc xây dựng một ví dụ càng khó. Có thể xảy ra trường hợp đối với $\varepsilon$, lớn hơn một số $\varepsilon_0$, Tuyên bố của chúng tôi đúng nhưng đối với $\varepsilon$ nhỏ hơn thì điều đó không còn đúng nữa. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng đối với phiên bản một chiều của bài toán thì đây chính xác là trường hợp.

Tại $\varepsilon = 1/3$ Câu khẳng định sai.

Nói cách khác, không có hệ thống khăn ăn nào có thể đóng vai trò là ví dụ bắt buộc cho $\varepsilon = 1/3$, tức là bất kỳ hệ thống khăn ăn nào cũng chứa một hệ thống con gồm những chiếc khăn ăn không chồng lên nhau bao phủ một phần của “bàn” có chiều dài $1/3$ (hoặc hơn $1/3$).

Chúng ta hãy cho một số hệ thống các đoạn $K$ bao gồm một đoạn o có độ dài 1. Chúng ta hãy chọn từ $K$ một đoạn lớn hơn và biểu thị nó $i_1$. Bây giờ chúng ta hãy xóa khỏi hệ thống $K$ tất cả các đoạn của lớp phủ giao nhau với đoạn được hiển thị $i_1$ (chúng bao gồm một đoạn có độ dài không quá $3|i_1|$, trong đó $|i|$ là độ dài của đoạn $i$). Trong số các phân đoạn phủ sóng còn lại, chúng tôi lại chọn phân đoạn lớn nhất (chúng tôi ký hiệu là $i_2$) và loại bỏ tất cả các phân đoạn giao nhau với $i_2$ (chúng bao gồm một đoạn có độ dài không quá $3|i_2|$), v.v. cho đến khi chúng tôi sử dụng hết tất cả các phân đoạn phủ sóng. Hệ thống con được chọn của các đoạn không giao nhau $i_1, i_2, \dots$ sao cho

$$3|i_1| + 3|i_2| + \dots \geq 1,$$

vì độ dài $3|i_1|, 3|i_2|, \dots$ trong tổng số chỉ bao gồm $K$ và do đó, toàn bộ đoạn $o$ của độ dài 1. Do đó, tổng độ dài $|i_1| + |i_2| + \dots$ không nhỏ hơn $1/3$.

Hình 2 cho thấy quy trình chọn hệ thống con $\{i_1, i_2, i_3\}$ như vậy cho hệ thống gồm bảy phân đoạn.

Quy tắc 2. a) Chứng minh rằng từ bất kỳ hệ “khăn ăn” nào che phủ “bàn”, người ta có thể chọn một hệ thống con gồm các “khăn ăn” cũng che phủ “bàn” và sao cho không có điểm nào của “bàn” được bao phủ bởi nhiều hơn hai “khăn ăn”.

b) Chứng minh rằng với $\varepsilon = 1/2$ mệnh đề là sai.

Quy tắc 3. Chứng minh rằng nếu “cái bàn” vẫn là một đoạn có độ dài 1 và “khăn ăn” cũng có thể “rò rỉ”, tức là mỗi “khăn ăn” có thể bao gồm một hoặc nhiều đoạn, thì Mệnh đề ở đầu đoạn này đúng với mọi $\varepsilon > 0$.

42

Giải xong bài tập 1 và 2, các em cần biết sự thật sau:

Định lý 1. Cho “cái bàn” và “khăn ăn” là những đoạn thẳng thì chiều dài của “cái bàn” bằng 1.

a) Từ hệ thống “khăn ăn” bất kỳ bao phủ một “bàn”, người ta có thể chọn hệ thống con gồm các “khăn ăn” không chồng lên nhau với tổng chiều dài ít nhất là $1/2$.

b) Nếu $\varepsilon > 1/2$, thì luôn có thể chỉ định một hệ thống “khăn ăn”, ngụ ý rằng bất kỳ hệ thống con nào của “khăn ăn” không chồng chéo của nó đều có chiều dài nhỏ hơn $\varepsilon$.

Nói cách khác, Tuyên bố đúng với $\varepsilon > 1/2$ và sai với $\varepsilon \leq 1/2$.

Bài tập 4. Chứng minh định lý tương tự cho “cái bàn” - một hình tròn có chiều dài 1, và “khăn ăn” - một người bạn của hình tròn này.

Khăn ăn vuông

Năm 1928, nhà toán học nổi tiếng người Hungary Tibor Rado (T. Rado) đã báo cáo trong một lá thư gửi biên tập viên của người sử dụng hàng đầu tạp chí toán học Fundamenta Mathematicae, người sử dụng trường toán học Vashlav Serginsky, rằng ông không thể giải được một hình học có vẻ đơn giản bài toán liên quan đến lý thuyết hàm số nhiều biến. Sau khi trình bày các thông điệp và kết quả đã biết về việc mua từng phân khúc, T. Rado đặt ra câu hỏi về việc thu được các ước tính tương tự cho “hai chiều” bài toán, trong đó “khăn ăn” là hình vuông (có kích thước khác nhau) và “bảng” là hình vuông (hoặc hình chữ nhật) có diện tích 1 và hình vuông song song với các cạnh của bảng (Hình 3).

Vì vậy, sự khác biệt giữa bài toán Rado và bài toán M321 (Brailov) chỉ ở dạng “khăn ăn”: trong M321 chúng có thể là bất kỳ hình chữ nhật nào, nhưng trong Rado chúng chỉ có thể là hình vuông. Nhưng sự khác biệt “nhỏ” này, đôi khi vẫn xảy ra, đã thay đổi hoàn toàn vấn đề.

Phương pháp mà chúng tôi trích xuất một hệ thống con có độ dài ít nhất $1/3$ từ hệ thống các đoạn bao phủ một đoạn có độ dài 1 cũng hoạt động trong trường hợp hai chiều. Với sự giúp đỡ của anh ấy, T. Rado đã chứng minh được sự thật này.

Định lý 2. Từ bất kỳ lớp phủ nào của một “cái bàn” phẳng có diện tích 1 hình vuông, chúng ta có thể sử dụng “khăn ăn” để chọn một lớp phủ không thể chuyển nhượng

43

được phủ bằng “khăn ăn”, tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn $1/9$.

Bài tập 5. a) Chứng minh Định lý 2.

6. Hãy đưa ra một ví dụ chứng tỏ rằng trong công thức của Định lý 2, số $1/9$ không thể thay thế bằng số $1/4$.

Do đó, trong bài toán Rado (không giống bài toán Brailov) cũng tồn tại một giá trị tới hạn nào đó $\varepsilon_0$ sao cho

tại $\varepsilon > \varepsilon_0$ đúng

Phát biểu 1. Có thể chỉ ra một ví dụ về hệ thống “khăn ăn” sao cho bất kỳ hệ thống con nào của “khăn ăn” không chồng lên nhau đều có tổng diện tích nhỏ hơn $\varepsilon$,

và với $\varepsilon < \varepsilon_0$ điều đó đúng

Tuyên bố 2. Từ bất kỳ hệ thống “khăn ăn” nào, người ta có thể chọn một hệ thống con gồm các “khăn ăn” không chồng lên nhau với tổng diện tích ít nhất là $\varepsilon$.

Tất nhiên, chúng ta luôn coi diện tích của “cái bàn” bằng 1.

T. Rất vui được chứng minh rằng với giá trị tới hạn $\varepsilon_0$ các ước tính sau đây là đúng:

$$\frac{1}{9} \leq \varepsilon_0 \leq \frac{1}{4},$$

(1)

nhưng tôi chắc chắn rằng thực tế nó là $\varepsilon_0 = 1/4$.

Ông đề nghị chứng minh sự bình đẳng này trong một lá thư gửi Waclaw Serpiinski.

Tuy nhiên, cả Sierpiinski và các nhà toán học khác đều không thành công trong việc làm này, mặc dù nhiều người coi Rado với giá bài toán. Và chỉ 55 năm sau, vào năm 1973, người ta mới biết rõ lý do. Hóa ra giả thuyết T. Rado đơn giản là sai!

Một ghi chú giật gân của nhà toán học Hungary M. Ajtai đã xuất hiện trong “Bản tin người dùng của Viện Hàn lâm Khoa học”, trong đó nó chỉ ra khá đơn giản rằng với các hình vuông chỉ có hai kích thước khác nhau thì có thể bao phủ một hình chữ nhật có diện tích 1 theo cách mà không thể chọn từ chúng một hệ thống con không chồng chéo có diện tích $1/4$ hoặc lớn hơn. Bây giờ người ta biết rằng

$$\frac{1}{8,6} < \varepsilon_0 < \frac{1}{4};$$

(2)

bất đẳng thức bên trái là kết quả của những lần xem xét liên tiếp về bất đẳng thức (1) của T. Rado, bất đẳng thức cuối cùng thuộc về nhà hình học Leningrad V. A. Zalgaler * (rõ ràng, nó cũng không phải là cuối cùng, gần với kết quả “thô” của Định lý 2 hơn là ước lượng giả thuyết của T. Rado).

Trường hợp đặc biệt bài toán Rado được giải quyết đẹp mắt và đơn giản hơn rất nhiều - khi tất cả “khăn ăn” đều là những hình vuông có cùng kích thước. Trong trường hợp này, giá trị tới hạn $\varepsilon_0$ hóa ra thực sự bằng $1/4$. Kết quả này đã được chứng minh vào năm 1940 bởi nhà toán học trẻ tuổi Leningrad A.S. Sokolin (và sau này, độc lập với anh ta, bởi nhiều người khác, theo nhiều cách khác nhau).

Định lý Blichfeld và kết quả Sokolin

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh một định lý thú vị như vậy, một trong những biến thể của nó được dành cho trang bìa thứ hai của «Kvant», 1973, số 10.

Định lý Blichfeld. Nếu diện tích của fidurra nằm trên một tờ giấy bánh bao lớn hơn $n-1$ (ví dụ: $n$ là một số nguyên; cạnh của bánh bao được lấy là 1), thì fidurma này có thể được gấp lại bằng cách chuyển song song vào vị trí sao cho nó bao phủ ít nhất $n$ nút của hạt. (Các nút được gọi là các nút nơi các đường giao nhau, chia mặt phẳng thành các hình vuông.)

Bằng chứng. Hãy cắt một tờ giấy làm bánh bao thành các ô riêng biệt và tập hợp lại thành một chồng, tất cả các ô mà ít nhất một phần của fidurra vừa với (từ Hình 4 và hãy chuyển sang Hình 4, 6). Vì tổng diện tích của các mảnh fidurra của chúng tôi lớn hơn $n-1$, nên một số điểm trong ngăn xếp sẽ được bao phủ bởi ít nhất $n$ mảnh

*) V. A. Zalgaler, Ghi chú về bài toán Rado, tuyển tập “Các quá trình toán học” (loạt bài mới), tập. 5, M., Fizmatiz, 1960, tr. 141-148.