Kvant 1975, số 10 · Trang

QUANTUM
1975
10
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí
250 HỌC VIỆN
NĂM KHOA HỌC
Liên Xô

Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học, Viện sĩ V. A. Steklov, Viện trưởng Học viện Quân y V. N. Tonkov, Thư ký thường trực Viện Hàn lâm Khoa học, Viện sĩ S. F. Oldenburg và nhà văn A. M. Gorky (từ trái sang phải) trong buổi chiêu đãi V. I. Lênin ngày 27/1/1921. Sao chép từ tranh của V. A. Serov.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kioin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky;
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg.
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:
2 Trụ sở khoa học Liên Xô
4 Lênin về khoa học
5 nhà khoa học về Lênin
6 O. A. Zhautykov, A. G. Kubesov. Nhà toán học thời trung cổ xuất sắc
9 L. G. Aslamazov. Tại sao đàn violin lại phát ra âm thanh?
17 Z. Vâng. Tymeladze. Vật lý và bất đẳng thức tuyến tính
24 M. A. Manevich, M. M. Slutskin. Máy tính tại phòng thiết kế

Phòng thí nghiệm «Kvant»
30 M. M. Dazaev. Nguyệt thực toàn phần

vòng tròn toán học
32 giờ sáng Stepin, A. T. Tagi-Zade. Từ bị hạn chế

Vấn đề «Kvant»
38 Bài toán M346—M350; F358—F362
40 Lời giải bài toán M308—M315; F318—F321

Xưởng của người nộp đơn
48 S. B. Belie. Học cách xây dựng bổ sung

Đánh giá, thư mục
52 N. S. Petrkov. Lịch sử toán học
53 E. P. Levitan. Sách về pháo hoa không gian
55 T. S. Petrova, M. L. Smolyansky. Sách mới

«Kvant» cho học sinh nhỏ
56 Bài toán
57 câu đố Duden
61 Đáp số, gợi ý, lời giải
Trộn (8, 16, 23, 54, 60)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nauka, «Kvant», 1975.

2

Trụ sở khoa học Liên Xô

Vào tháng 10 năm 1975, một lễ kỷ niệm long trọng của Liên Xô đã được tổ chức tại Moscow, nhân kỷ niệm 250 năm thành lập. Liên Xô coi đây là ngày lễ quốc gia mùa xuân của khoa học Liên Xô và đánh giá những thành tựu nổi bật của nó.

Viện Hàn lâm Khoa học nước ta được thành lập theo sắc lệnh của Peter I, ban hành ngày 28 tháng 1 năm 1724 (kiểu cũ). Tuy nhiên, lễ khai trương Học viện diễn ra sau cái chết của Peter I vào tháng 8 năm 1725.

Lễ kỷ niệm Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô bắt đầu từ năm 1974. Trong thời gian này, nghiên cứu khoa học được thực hiện tại các viện và cơ sở khoa học của Viện. Các cuộc họp nghi lễ cũng được tổ chức tại Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa. Nhiều cuộc triển lãm và đánh giá kết quả công tác khoa học đã được tổ chức, tổ chức với phương châm “Thành tựu khoa học cho nền kinh tế quốc dân”. Các cuộc gặp gỡ của các nhà khoa học lớn với các tổ công tác và tập thể nông dân đã diễn ra. Lễ kỷ niệm hiện tại của Liên Xô kết thúc những lễ kỷ niệm này.

Lịch sử của Viện Hàn lâm Khoa học không thể tách rời với lịch sử khoa học Nga. 250 năm là một khoảng thời gian dài. Và trong thời gian này, vai trò và vị trí của Học viện trong khoa học của chúng ta đã trải qua những thay đổi đáng kể. Những thay đổi này chắc chắn đã ảnh hưởng đến tình trạng của tất cả các lĩnh vực khoa học Nga.

Trong thời kỳ trước Cách mạng xã hội chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại, tình trạng toán học và vật lý ở Nga đã khác biệt đáng kể. Các tác phẩm của N. I. Lobachevsky, M. V. Ostrogadsky, P. L. Chebyshev, A. M. Lyapunov, A. A. Markov, V. A. Steklov đã tạo nên uy tín trên toàn thế giới về toán học Nga. Vật lý ở Nga kém phát triển hơn nhiều. Đúng vậy, trong thời kỳ này nó cũng được trang trí bởi A.G. Stoletova, P.N. Lebedeva, N.A. Umova, nhưng trình độ phát triển chung của vật lý Nga thấp hơn đáng kể so với nước ngoài và nó không có ảnh hưởng rõ rệt đến sự phát triển của vật lý thế giới. Không phải vô cớ mà nhà vật lý xuất sắc A.F. Ioffe đã viết trong hồi ký về vật lý Nga thời tiền cách mạng rằng phần lớn các nhà vật lý tài năng của Nga buộc phải thực hiện nghiên cứu của họ ở các viện và phòng thí nghiệm nước ngoài.

Cách mạng Tháng Mười đã làm thay đổi căn bản vị thế khoa học ở nước ta. Khoa học đang trở thành một trong những phương tiện quan trọng nhất để xây dựng một xã hội xã hội chủ nghĩa mới. V. I. Lênin rất quan tâm đến sự phát triển thành công của nền khoa học non trẻ Liên Xô. Trước tình hình khó khăn của cuộc nội chiến và sự tàn phá kinh tế, Lênin đã tìm mọi cách để giúp đỡ các nhà khoa học cùng với toàn thể nhân dân phải chịu cảnh nghèo đói, thiếu thốn trầm trọng. Ông đã dành rất nhiều công sức để đoàn kết nỗ lực của các nhà khoa học và hướng họ đến lời giải những vấn đề quan trọng nhất của nền kinh tế quốc gia. Lênin tin tưởng sâu sắc rằng “không thế lực đen tối nào có thể chống lại sự đoàn kết của các đại diện khoa học, giai cấp sản xuất và công nghệ” *). Và người Nga

các nhà khoa học đã có ý thức hy sinh to lớn và can đảm chịu đựng những khó khăn cản trở sự phát triển của khoa học của chúng ta. Nhớ lại điều này, A. M. Gorky đã viết: “Tôi đã quan sát với chủ nghĩa anh hùng khiêm tốn, với lòng dũng cảm mà những người sáng tạo ra khoa học Nga đã trải qua cái đói và cái lạnh đau đớn, tôi thấy cách họ làm việc và cách họ chết. Ấn tượng của tôi trong thời gian này đã hình thành nên sự ngưỡng mộ sâu sắc và kính trọng đối với các bạn - những anh hùng có tư tưởng khám phá, dũng cảm, tự do. Tôi nghĩ rằng các nhà khoa học Nga, cuộc đời và công việc của họ trong thời kỳ chiến tranh và phong tỏa đã cho thế giới một bài học lớn về lòng dũng cảm và sự bền bỉ.”

Sự ủng hộ, giúp đỡ không ngừng của Đảng Cộng sản và Chính phủ Liên Xô đã gây ra một sự bùng nổ khoa học chưa từng có ở nước ta. Trong một khoảng thời gian lịch sử tương đối ngắn, vật lý, toán học, cơ học và thiên văn học của Liên Xô đã đạt tới những đỉnh cao tiên tiến nhất của khoa học thế giới. Các nhà khoa học Liên Xô đã giải quyết thành công một số vấn đề khoa học kỹ thuật phức tạp khác thường. Họ tạo ra vũ khí nguyên tử và hydro, vĩnh viễn chôn vùi hy vọng chiếm ưu thế quân sự của đế quốc. Họ đã mở đường cho nhân loại sử dụng năng lượng nguyên tử vì mục đích hòa bình. Các nhà khoa học nước ta đang thực hiện thành công một chương trình khám phá và sử dụng không gian vũ trụ đa dạng. Họ cung cấp sự hỗ trợ to lớn trong việc phát triển và cải tiến máy tính điện tử. Nhờ công việc của các nhà khoa học của chúng ta, toàn bộ lĩnh vực khoa học vật lý và toán học mới đã xuất hiện.

Các nhà khoa học từ tất cả các nước hiện đang rất chú ý theo dõi sự phát triển của khoa học Liên Xô. Không phải vô cớ mà nhiều tạp chí khoa học xuất bản ở nước ta được dịch và tái bản ở các nước tư bản phát triển nhất. Từ “sputnik” trong tiếng Nga đã được sử dụng không thay đổi trong tất cả các ngôn ngữ trên thế giới và ngày phóng vệ tinh Trái đất nhân tạo đầu tiên của Liên Xô thường được nước ngoài coi là ngày khởi đầu một kỷ nguyên mới trong tổ chức khoa học và giáo dục. Các nhà vật lý từ tất cả các nước, không cần dịch, sử dụng một thuật ngữ khoa học khác - “Tokamak”, ra đời ở nước ta. “PHÒNG hình xuyến trong từ trường” - đó là cái mà các nhà khoa học Liên Xô gọi là thiết lập thí nghiệm đầy hứa hẹn khác thường của họ để nghiên cứu plasma nóng và các phản ứng nhiệt hạch có kiểm soát. Các công trình lắp đặt tương tự đã được xây dựng và hiện đang được xây dựng ở nhiều nước.

Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô là trụ sở thực sự của khoa học Liên Xô. Nó tập hợp hàng trăm nhà khoa học hàng đầu hướng tới các lĩnh vực khoa học hiện đại riêng lẻ ở nước ta. Nhiều viện nghiên cứu và trung tâm nghiên cứu trên khắp Liên Xô tuyển dụng một đội quân khổng lồ các nhà khoa học.

Trong hơn một phần tư thế kỷ, một cuộc cách mạng khoa học và công nghệ chưa từng có đã diễn ra trên hành tinh của chúng ta, bao trùm hầu như tất cả các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Trước mắt chúng ta, khoa học đã trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp của xã hội; nó gắn bó chặt chẽ với sản xuất và có ảnh hưởng vô cùng quan trọng, quyết định đến sản xuất. Tiến trình sản xuất - cải tiến công nghệ, dụng cụ, phương pháp xử lý nguyên liệu, phương pháp điều khiển không chỉ máy móc mà còn toàn bộ nhà máy - ngày nay gắn bó chặt chẽ với sự tiến bộ của khoa học. Thế giới chủ nghĩa xã hội, bằng cách tích cực tham gia vào cuộc cách mạng này, sẽ có được mọi thứ cần thiết để xây dựng chủ nghĩa cộng sản. Thành quả của cuộc cách mạng này mở đường cho chúng ta đến với cơ sở vật chất, kỹ thuật của chủ nghĩa cộng sản và xây dựng xã hội cộng sản.

Thật khó để đánh giá quá cao vai trò của khoa học trong việc xây dựng chủ nghĩa cộng sản. Xét cho cùng, một hệ thống xã hội như vậy chưa từng tồn tại trên Trái đất trước đây và đơn giản là chúng ta không có ai ở đây để học hỏi. Phân tích khoa học, phương pháp nghiên cứu của chủ nghĩa Mác-Lênin - đây là chiếc la bàn giúp chúng ta kiểm tra tính đúng đắn của con đường mình đi.

Khoa học Xô Viết muôn năm và trụ sở chính của nó - Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô!

1*

4

Lênin về khoa học

Dưới đây là những phát biểu của V.I. Lênin, mượn từ các tác phẩm của ông hoặc hồi ký của những người đương thời.

…Chỉ có xã hội mới giải phóng khoa học khỏi xiềng xích tư sản, khỏi sự nô lệ của nó đối với tư bản, khỏi hoạt động của nó vì lợi ích tư lợi của tư bản dân sự. Chỉ có phúc lợi xã hội mới có thể được phổ biến rộng rãi và thực sự phụ thuộc vào sản xuất và phân phối sản phẩm xã hội theo các báo cáo khoa học về cách làm cho cuộc sống của mọi người lao động trở nên dễ dàng nhất có thể, mang lại cho họ sự thịnh vượng. (V.I. Lênin. Toàn tập, T. 36, tr. 381).

…Cá nhân tôi rất quan tâm đến khoa học và rất coi trọng nó. Khi nào có nhu cầu gì thì liên hệ trực tiếp với tôi. (Trích hồi ký của Viện sĩ S. F. Oldenburg)

…Rốt cuộc, giá như chúng ta có thể đánh bại tất cả những sự can thiệp này, tất cả những cuộc nổi dậy nội bộ của kulak, địa chủ và giai cấp tư sản, và sau đó chúng ta sẽ tổ chức các hoạt động sản xuất xã hội và phân phối sản phẩm theo các báo cáo khoa học về cách làm cho cuộc sống của tất cả người lao động trở nên dễ dàng nhất có thể, cung cấp cho họ những cơ hội nghiên cứu phù hợp, tạo ra những phòng thí nghiệm tốt nhất, với nghiên cứu tốt nhất có thể và thực hiện công việc về các vấn đề khoa học cấp bách. (Trích cuộc trò chuyện với A. M. Gorky)

…Nếu khoa học trong tương lai mang lại những gì bạn tin tưởng - sự đổi mới của cuộc sống, thì điều cần thiết là quần chúng rộng lớn hiện đang nắm quyền lực, những người hiện có cơ hội điều chỉnh cuộc sống, để họ hiểu được ý nghĩa của khoa học. Bạn phải làm cho họ có thể tiếp cận và hiểu được ý nghĩa của những chân lý trừu tượng mà từng cá nhân hiểu được, nhưng đại chúng, những người chưa có cơ hội tiếp cận với ngành khoa học này, vẫn chưa hiểu được. (Trích bài phát biểu của Viện sĩ S. F. Oldenburg tại Đại hội toàn Liên Xô lần thứ II)

…Hãy nhớ rằng giờ đây quần chúng rộng rãi, sau khi rũ bỏ chính quyền cũ, đã tự tay giành lấy mạng sống của mình, họ là trọng tài của cuộc sống, trong đó bạn, người đại diện cho khoa học, sẽ chiếm một vị trí tương ứng. Nhưng nơi này và nói chung, sự xuất hiện của công trình khoa học đúng đắn sẽ phụ thuộc vào tầm quan trọng của khoa học sẽ được quần chúng hiểu đến mức nào, họ có thể coi nó không phải như một trò tiêu khiển nhàn rỗi, không cần thiết trong cuộc sống mà là một công việc khó khăn, phức tạp, cần thiết và hiệu quả. Tất nhiên, chúng tôi, tôi và những người khác đều hiểu tầm quan trọng của khoa học, nhưng vấn đề bây giờ không nằm ở sự hiểu biết của chúng tôi mà nằm ở sự hiểu biết của quần chúng. Do đó, điều tự nhiên là trước hết sự chú ý của nhà nước sẽ tập trung vào những ngành khoa học giúp chúng ta xác định và sử dụng tài nguyên thiên nhiên của mình, đặc biệt cần thiết cho một quốc gia bị tàn phá bởi chiến tranh, tức là khoa học tự nhiên, toán học và kinh tế. (Trích báo cáo của Viện sĩ S. F. Oldenburg tại Đại hội đồng Viện Hàn lâm Khoa học ngày 22 tháng 1 năm 1927)

…Tìm hiểu sự đồng tình của Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học, Viện sĩ V.A. Steklov, hợp tác với chính quyền Xô viết, V.I. Lênin đã nói: “Như thế này, từng người một, chúng ta sẽ vượt qua tất cả Archimedes của Nga và châu Âu, rồi thế giới dù muốn hay không cũng sẽ lật đổ!” (Trích bài phát biểu của Viện sĩ A.V. Topchev tại nghiên cứu của Viện Hàn lâm Khoa học nhân kỷ niệm 90 năm ngày sinh V.I. Lênin, 21/4/1960)

5

Các nhà khoa học về Lênin

… Chúng tôi, những người làm khoa học, đặc biệt đánh giá cao vẻ ngoài oai phong của Lênin, sự quan tâm không mệt mỏi của ông đối với sự thịnh vượng của khoa học Xô Viết. Ngay từ những ngày đầu tiên nắm quyền lực của Liên Xô, Lênin đã can dự chặt chẽ vào các vấn đề liên quan đến phát triển khoa học. Trong chỉ thị nổi tiếng của Lênin năm 1918, mục tiêu bài toán của Viện Hàn lâm Khoa học trong việc khôi phục kinh tế đất nước, phát triển lực lượng sản xuất của Tổ quốc đã được xác định rõ ràng. Chúng ta tự hào rằng mọi hoạt động của Viện Hàn lâm Khoa học luôn được chỉ đạo của Lênin. (Trích bài phát biểu của Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học, Viện sĩ V.L. Komarov ngày 14/02/1944)

…Hiện tại, các nhà sử học của chúng tôi, khi nghiên cứu các tài liệu và tài liệu xác thực từ những năm đầu tiên của cuộc cách mạng, đều tin tưởng vào vai trò tích cực to lớn của Vladimir Ilyich trong việc cải cách Viện Hàn lâm Khoa học. Nói tóm lại, sự phát triển hơn nữa của Học viện, những quy mô to lớn mà chúng ta biết ngày nay, đã được dự đoán trước trong những chỉ dẫn đầu tiên của Vladimir Ilyich. Trong những tháng đầu tiên của cuộc cách mạng, Vladimir Ilyich đã cho phép tổ chức một số viện nghiên cứu ở Moscow và Leningrad…

… Ngay từ những bước đầu tiên của cuộc cách mạng, V.I. Lênin đã áp dụng mọi biện pháp để phát triển rộng rãi hơn nữa đội ngũ nhân viên khoa học và các tổ chức khoa học. Điều này là do đất nước yêu cầu để trở thành một nước xã hội chủ nghĩa. Đồng thời, tất nhiên, sự quan tâm đặc biệt của Vladimir Ilyich đối với khoa học được xác định không phải ở mức độ nhỏ bởi chính ông là nhà khoa học vĩ đại nhất và đã để lại cho chúng ta một tấm gương khó quên về tầm quan trọng của kết quả đạt được cũng như phương pháp làm việc khoa học. (Trích bài phát biểu của Viện sĩ S.I. Vavilov, tưởng nhớ V.I. Lênin, ngày 20/01/1940)

…Xây dựng cuộc sống mới, thực hiện cuộc cách mạng xã hội vĩ đại nhất thế giới, đấu tranh xây dựng một nhà nước Xô Viết mới ở một đất nước bị chiến tranh tàn phá, nghèo đói và ngu dốt, Lênin không ngừng nghĩ đến việc xây dựng văn hóa và phát triển khoa học. Ông đối xử với khoa học và các nhà khoa học hết sức quan tâm và chăm sóc đặc biệt. Mọi người đều biết sự thật về sự can thiệp trực tiếp của ông vào các vấn đề liên quan đến xây dựng khoa học; Có lẽ nhiều người đã biết ông đã đóng góp bao nhiêu cho Viện Hàn lâm Khoa học của chúng ta với mong muốn khởi xướng và phát triển công việc nghiên cứu đã bị gián đoạn trong những năm chiến tranh và cách mạng. (Trích bài phát biểu của Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học, Viện sĩ A.P. Karpinsky ngày 21/01/1928)

… Phạm vi kiến ​​​​thức của ông được chứng minh rõ ràng bằng di sản văn học phong phú, vô giá của ông, và bằng những ghi chú mà ông để lại bên lề số lượng sách khổng lồ mà ông đã đọc. Nhìn qua “Sổ ghi chép triết học” của Lênin, bạn sẽ không khó để thấy những ghi chép của ông là một nhân vật sâu sắc, sâu sắc như thế nào, ông đã ghi dấu ấn trong đó với những đại diện xuất sắc của thế giới khoa học như thế nào. Cứ thế không mệt mỏi, ngày qua ngày, tư tưởng sắc bén của Lênin được mài giũa, mạnh mẽ không kém trong cả sự phân tích tinh tế và sự tổng hợp mạnh mẽ…

… Vladimir Ilyich không chỉ là người mang kiến ​​​​thức thế giới, ông còn là đại diện sáng giá nhất của một nền khoa học tiên tiến không tách rời con người và nhu cầu của họ, nền khoa học được tạo ra không chỉ để hiểu các hiện tượng của cuộc sống xung quanh chúng ta mà còn biến đổi chúng vì lợi ích của nhân dân lao động, khoa học của những người cách mạng, thay thế khoa học của những học thuyết. (Trích hồi ký của Viện sĩ G. M. Krzhizhanovsky)

6

MỘT trong những trung tâm văn hóa quan trọng nhất của Trung Á là quận Ograrsky, nằm ở lưu vực sông Syr-Dary. Thành phố chính của vùng này, Ograr, hay Farab, như cách gọi của những người chinh phục Ả Rập, là nơi sản sinh ra một số đại diện xuất sắc về khoa học và văn hóa trên khắp phương Đông thời trung cổ. Người lớn nhất trong số họ là nhà tư tưởng vĩ đại, nhà bách khoa toàn thư và nhà toán học đa năng Abu Nasr Muhammad al-Farab, sinh năm 870. Đầu tiên ông được học tại nhà riêng ở Ograr và sau đó ở Bardad. Trong suốt cuộc đời của mình, al-Farab đã nhận được công việc “al-muallim assaniya” - người thầy thứ hai. (Người thầy đầu tiên của “al-muallim al-awzal” là nhà tư tưởng vĩ đại thời cổ đại, Aristotle.)

Al-Farab qua đời ở Damsk năm 950.

Al-Farab sở hữu khoảng năm mươi tác phẩm về nhiều lĩnh vực kiến ​​​​thức khác nhau. Hầu như tất cả chúng đều được viết bằng tiếng Ả Rập, ngôn ngữ khoa học thời bấy giờ. Trong hoạt động khoa học của ông, các ngành toán lý chiếm nhiều vị trí hơn. Theo các nhà sử học, al-Farab đã viết khoảng 70 tác phẩm chỉ về hình học, thiên văn học và âm nhạc, hầu hết trong số đó đã bị thất lạc.

Hiện tại, một số chuyên luận về al-Farab đã được nghiên cứu. Những tác phẩm này đã được xuất bản bằng bản dịch tiếng Nga kèm theo lời bình chi tiết*). Al-Farab đã sử dụng số học, hình học và lượng giác trong các tác phẩm về lý thuyết âm nhạc, thiên văn học và địa lý toán học. Chúng ta hãy điểm lại ngắn gọn một số thành tựu của al-Farab trong lĩnh vực toán học.

Al-Farab trong “Liệt kê các khoa học” cố gắng xác định theo cách riêng của mình các phần, chủ đề và nội dung của tất cả các nhánh toán học trong thời đại của ông (số học, hình học, quang học, toán học thiên văn). Ông là một trong những người đầu tiên trong lịch sử toán học xác định chủ đề của một nhánh toán học mới - đại số. Nhà khoa học viết: “Khoa học này chung cho cả số học và hình học. Nó chứa đựng nhiều phương pháp khéo léo khác nhau để tìm số…” Ông là một trong những người đầu tiên cài đặt

*) Al-Farab. Luận văn toán học. Alma-Ata, 1972.

7

một sự tương ứng rõ ràng giữa các đại lượng hình học và các con số, đồng thời giới thiệu một thuật ngữ đặc biệt “uzm” cho đặc tính định lượng (số) của một đại lượng. Điều này đã được phát triển hơn nữa và đóng một vai trò quan trọng trong việc tạo ra toán học về các biến.

Các vấn đề của truyền thống đã được thiết lập al-Farabi bao gồm toán học ứng dụng, như ông gọi nó là “khoa học về kỹ thuật khéo léo”, trong số các nhánh toán học chính.

Al-Farabi có nhiều công lao trong việc phát triển hình học, đặc biệt là hình học kiến ​​tạo. Trong thực hành xây dựng hình học, lần đầu tiên trong lịch sử toán học, ở dạng hệ thống, ông đặt ra các phương pháp lời giải của vô số bài toán hình học xây dựng, đặc biệt quan trọng bài toán để xây dựng khoảng cách xây dựng bằng la bàn.

Chúng ta hãy trình bày một trong hai cách xây dựng parabol theo điểm, rõ ràng là do al-Farabi đề xuất lần đầu tiên. Ông gọi Paraboly là “hình mẫu của một tấm gương gây cháy”. Ông viết: “Nếu chúng ta muốn chế tạo một chiếc gương (gây cháy), thì trước tiên chúng ta sẽ xây dựng một mẫu xác định gương. Để làm điều này, chúng ta hãy vẽ một vòng tròn có giá trị nhận được bằng khoảng cách mà chúng ta muốn chiếu sáng vật thể. (Tâm của vòng tròn là điểm E, xem Hình 1.) Chúng ta hãy vẽ đường kính AB của nó. Hãy đặt nó trên đường BE từ điểm B.

Cơm. 1.

nhiều đoạn bằng nhau. Các phân đoạn này càng nhỏ thì mẫu sẽ càng tốt và chính xác hơn. Gọi đây là các đoạn BC, CD và DE. Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm C, D và E vuông góc (với BE) rồi vẽ tiếp theo cả hai hướng đến các điểm K, L và M. Nối B và K, B và L, B và M. Vẽ đường thẳng CN bằng đường thẳng BK, đường thẳng DO bằng đường thẳng BL, đường thẳng EP bằng đường thẳng BM. Hãy nối các điểm B, N, O và P và tạo một mẫu dọc theo đường này. (Chứng minh tính đúng đắn của việc xây dựng!)

Nghiên cứu của Al-Farabi về lượng giác rất được lịch sử toán học quan tâm. Điều quan trọng nhất là việc ông đưa ra các đường tiếp tuyến và côtang trong đường tròn lượng giác: những hàm số này chỉ được định nghĩa là bóng của gnomon (cực). Ông định nghĩa tiếp tuyến và côtang là các đoạn tiếp tuyến của một đường tròn. Al-Farabi lần đầu tiên xây dựng định lý sin cho một tam giác tùy ý.

Theo al-Farabi, “sine là dây cung của một cung đôi”. Ông bổ sung thêm các mối quan hệ mới vào sự tương ứng đã biết trước đây giữa các hàm lượng giác, bao gồm

$$tg\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha}.$$

Trong “Sách ứng dụng của Alma-Geost”, ông là một trong những người đầu tiên chứng minh định lý sin cho tam giác vuông. Al-Farabi sử dụng rộng rãi lượng giác cho lời giải thiên văn học toán học bài toán khác nhau.

Ở al-Farabi, chúng ta bắt gặp những phát biểu thú vị về các khái niệm xác suất. Trong Chuyên luận về đúng sai trong bản chất của các vì sao, ông đánh giá khả năng ngày càng ít có thể xảy ra.

*) “Almaghast” là tác phẩm của Ptolemy, nhà thiên văn học vĩ đại nhất thế giới cổ đại.

các sự kiện, đưa ra phân loại các khả năng: “không thể”, “hiếm khi có thể”, “có thể xảy ra như nhau”, “có thể xảy ra trong hầu hết các trường hợp”, “đáng tin cậy”. Al-Farabi kêu gọi điều tra các hiện tượng “có thể xảy ra trong hầu hết các trường hợp”, tin rằng “kinh nghiệm rất hữu ích so với các hiện tượng có thể xảy ra trong hầu hết các trường hợp”.

Trong “Cuốn sách lớn về âm nhạc” và trong các bản chuyển thể từ “Almagest” của ông, các phụ thuộc hàm, tổ hợp bài toán, các ý tưởng vi phân và các vấn đề khác về nội dung toán học đã được xem xét rộng rãi. Điều đáng quan tâm nhất là sự phụ thuộc chức năng được al-Farabi xem xét liên quan đến việc tạo ra lý thuyết âm nhạc. Ví dụ, Al-Farabi tìm thấy mối quan hệ định lượng giữa cao độ của âm thanh ($y$) trong kèn của một nhạc cụ hơi và các đại lượng vật lý khác dưới dạng mối quan hệ chức năng sau:

$$y = \frac{k\sigma F h}{Dd},$$

trong đó $k$ là hệ số tỷ lệ, $D$ là đường kính của ống, $h$ là khoảng cách từ lỗ đến ống ngậm, $d$ là đường kính của lỗ, $\sigma$ là đặc tính độ mịn, $F$ là lực phun của nguồn. Tất cả những mối quan hệ này đều được thể hiện bằng lời nói.

Các tác phẩm về toán học của Al-Farabi có ảnh hưởng lớn đến sự sáng tạo toán học của Abu l-Wafa (940-998), Ibn Sina (980-1037), al-Biruni (973-1050), Omar Khayyam (1048-1131), Nasr ad-Din al-Tusi (1201-1274), Roger Bacon (1214-1294), Leonardo da Vinci (1452-1519) và những người khác.

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Chứng minh rằng nếu $a_1 a_2 \ldots a_n = p^n$ ($p$, $n$ là số nguyên) thì bất đẳng thức đúng

$$(a_1^2+1)\,(a_2^2+1) \ldots (a_n^2+1) \geqq (p^2+1)^n.$$

VỚI. T. Berkolaiko

2. Tìm công thức đơn giản nhất có thể cho số hạng tổng quát của dãy
   1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, …

Có thể viết nó chỉ bằng các hàm

$$y = \sqrt{x}\,,\quad y = [x]$$

và các phép tính số học?

MỘT. M. Astashov

3. Dễ dàng kiểm tra các đẳng thức sau:

$$\sqrt{49} = 4 + \sqrt{9}\,,$$
$$\sqrt{64} = 6 + \sqrt{4}\,,$$
$$\sqrt{81} = 8 + \sqrt{1}\,,$$
$$\sqrt{100} = 10 + \sqrt{0}\,.$$

Loạt bài này có thể được tiếp tục như sau:

$$\sqrt{121} = 12 - \sqrt{1}\,,$$
$$\sqrt{144} = 14 - \sqrt{4}\,.$$

Bạn có thể rút ra một công thức tổng quát giải thích những đẳng thức này không?

VỚI. R. Huseynov

4. Có tam giác nào có đường phân giác cắt giao điểm của các đường phân giác đó không?

5. Chứng minh rằng giao điểm của các đường phân giác của một tam giác chia mỗi đường phân giác đó (tính từ đáy) theo tỉ số bằng tỉ số giữa đáy tam giác và tổng hai cạnh còn lại của nó.

VÀ. A. Strashkevich

8

9

Khi một cơ thể chuyển động trong bất kỳ môi trường nào, lực cản xuất hiện có xu hướng làm nó chậm lại. Chuyển động cơ học của một vật rắn trên bề mặt của một vật rắn khác được điều khiển bởi lực ma sát khô; Trong chất lỏng hoặc chất khí, sức căng tăng lên và lực cản khí động học xuất hiện. vân vân.

Sự tương tác của cơ thể với môi trường là một quá trình khá phức tạp, dẫn đến việc năng lượng của cơ thể biến thành nhiệt theo thời gian, hay như các nhà vật lý nói, xảy ra sự phân tán năng lượng. Tuy nhiên, sức đề kháng của môi trường cũng có thể đóng vai trò ngược lại - làm tăng năng lượng cho cơ thể.

Trong trường hợp này, như một quy luật, dao động xảy ra. Ví dụ, lực ma sát khô giữa người trượt xe trượt tuyết và tuyết làm chậm chuyển động của xe trượt tuyết, và cùng một lực tác dụng giữa xe trượt tuyết và sợi dây làm cho sợi dây rung lên. Như bạn sẽ thấy dưới đây, nguyên nhân xảy ra dao động là sự phụ thuộc ngày càng giảm của lực ma sát vào tốc độ chuyển động. Dao động xảy ra khi lực ma sát giảm khi tốc độ tăng dần.

Hiện tượng tương tự không chỉ xảy ra trong cơ khí mà còn xảy ra trong các hệ thống điện, trong đó dao động xảy ra khi sự phụ thuộc của điện áp vào dòng điện giảm đi.

Đầu tiên chúng ta xét quá trình xảy ra dao động cơ học.

Dây rung

Âm thanh của đàn violin được tạo ra bởi sự chuyển động của cây vĩ. Tất nhiên, không thể giải thích ở đây tất cả những hiện tượng phức tạp gắn liền với đặc thù của âm thanh của đàn violin. Tuy nhiên, chúng ta hãy thử tìm hiểu xem tại sao dây đàn violin lại rung lên khi kéo dây cung dọc theo nó.

Lực ma sát giữa dây và dây là lực ma sát khô. Chúng ta có thể nói về lực ma sát tĩnh và lực ma sát trượt. Lực thứ nhất sẽ xuất hiện giữa các vật tiếp xúc nhưng không chuyển động tương đối với nhau, lực thứ hai - khi một vật trượt dọc theo bề mặt của vật khác.

Lực ma sát tĩnh, như đã biết, có thể nhận bất kỳ giá trị nào (tùy thuộc vào ngoại lực) từ 0 đến lực ma sát tĩnh cực đại $F^0_{\text{тр}}$, trong khi nó luôn có độ lớn bằng và ngược chiều với ngoại lực.

Lực ma sát trượt phụ thuộc vào vật liệu của vật thể và trạng thái của các bề mặt cọ xát, cũng như tốc độ tương đối của các vật thể này. Chúng ta sẽ nói về cái sau chi tiết hơn. Bản chất của sự phụ thuộc vào tốc độ là khác nhau đối với các vật thể khác nhau; Khi tốc độ trượt tăng lên, mặt trước đầu tiên cho phép lực ma sát trượt giảm xuống, sau đó nó bắt đầu tăng lên. Đồ thị giá trị tuyệt đối -

10

Cơm. 1.

Lực ma sát khô là một hàm của tốc độ trong trường hợp này được biểu diễn trong Hình 1. Trong đàn violin, lực ma sát giữa dây cung và dây có đặc điểm chính xác như vậy. Mặt cắt dọc ở $v=0$ tương ứng với ma sát nghỉ mỏng. Nếu tốc độ tương đối của dây và cung $v$ tương ứng với phần rơi $0<v<v_0$, thì việc tăng tốc độ tương đối lên một giá trị nhỏ nhất định $\Delta v$ tương ứng với sự giảm ma sát mỏng và ngược lại, khi tốc độ giảm thì sự thay đổi tương ứng của ma sát mảnh là dương (xem Hình 1). Như bạn có thể thấy bây giờ, chính nhờ khả năng này mà năng lượng của dây có thể tăng lên do công của ma sát khô mỏng.

Khi cây cung di chuyển, sợi dây cũng lệch theo nó. Trong trường hợp này, sự kết hợp của phần còn lại được cân bằng bởi sự kết hợp của lực căng dây (Hình 2). Lực căng cân bằng $F$ nếu lực căng tỉ lệ với độ lệch của dây $x$ so với vị trí cân bằng:

$$F = 2T_0 \sin \alpha = \frac{4T_0}{l} x,$$

trong đó $l$ là độ dài của chuỗi và $T_0$ là sự hợp nhất của chuỗi, có thể được coi là không đổi đối với những sai lệch nhỏ. Do đó, khi dây chuyển động cùng với dây cung, sự hợp nhất $F$ sẽ tăng lên, và tại thời điểm nó bằng với sự hợp nhất cực đại của phần đứng yên $F^0_{tp}$, thì sự trượt bắt đầu.

Cơm. 2.

Bây giờ, để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng tại thời điểm bắt đầu trượt, sự thay đổi độ ma sát mỏng xảy ra đột ngột: nó giảm từ giá trị cực đại của ma sát mỏng khi đứng yên xuống giá trị ma sát mỏng nhỏ khi trượt. Nói cách khác, sau khi bắt đầu trượt, chuyển động của dây có thể coi là gần như tự do.

Tại thời điểm đứt, mật độ của dây bằng mật độ của dây cung và lúc đầu dây sẽ tiếp tục chuyển động theo hướng chuyển động của dây cung. Nhưng lúc này lực căng cân bằng không bị hạn chế bởi bất cứ thứ gì nên sẽ ức chế chuyển động của dây, khiến dây bị chậm lại. Đến một thời điểm nào đó, mật độ của dây sẽ giảm xuống 0, khi đó dây sẽ bắt đầu chuyển động theo hướng ngược lại và sau khi lệch cực đại so với vị trí cân bằng, nó sẽ lại chuyển động theo hướng chuyển động của cánh cung. Và chiếc cung tiếp tục chuyển động đều với tốc độ $u$. Tại một số điểm, dây và cung sẽ bằng nhau. Trong trường hợp này, không còn sự trượt nào giữa dây và dây cung nữa, và xuất hiện sự hợp nhất của phần đứng yên, bằng với sự cân bằng của sự hợp nhất của lực căng.

Với chuyển động xa hơn, độ căng mỏng giảm và theo đó, phần còn lại hợp nhất cũng giảm. Sau khi dây đi qua vị trí cân bằng thì việc lặp lại sẽ dễ dàng hơn.

11

Đồ thị tương ứng của độ lệch của dây theo thời gian được thể hiện trên Hình 3, a. Chuyển động của dây có tính tuần hoàn và trong mỗi chu kỳ có hai phần khác nhau. Ví dụ: trong phần $0 < t < t_1$ dây chuyển động cùng với dây cung với tốc độ không đổi $u$, sao cho độ lệch $x$ tuyến tính phụ thuộc vào thời gian ($\tau g \alpha = u$). Tại thời điểm $t_1$ quá trình làm khô xảy ra và tại thời điểm $t_1 < t < t_2$ sự thay đổi $x$ xảy ra theo thời gian theo quy luật hình sin. Tại thời điểm $t_2$, khi tiếp tuyến của sin có cùng độ dốc với đoạn thẳng ban đầu (điều kiện tốc độ bằng nhau), sợi dây lại bị dây cung bắt.

Hình 3a tương ứng với trường hợp lý tưởng, khi không có lực ma sát trượt và do đó không tiêu hao năng lượng khi dây chuyển động tự do. Tổng công của lực ma sát tĩnh trên các tiết diện tuyến tính trong chu kỳ cũng bằng 0, vì ở mức âm $x$ công âm được thực hiện (lực ma sát hướng vào chuyển động) và ở $x > 0$ cùng độ lớn, nhưng công thực hiện dương.

Điều gì xảy ra trong trường hợp lực ma sát trượt khác 0? Lực ma sát trượt dẫn đến tổn thất năng lượng. Chuyển động của dây khi trượt lúc này được mô tả bằng đồ thị ở Hình 3, b. Đối với độ lệch âm, đường cong này phẳng hơn so với độ lệch dương. Do đó, sự tiếp xúc của dây với cung xảy ra ở độ lệch âm nhỏ hơn $x_2$ so với độ lệch dương $x_1$, tương ứng với cung. Kết quả là lực ma sát tĩnh trong quá trình dây bám vào cung được hoàn thành trong thời gian công dương.

$$A = \frac{k \left(x_1^2 - x_2^2\right)}{2},$$

trong đó $k = \frac{4T_0}{l}$ là hệ số tỷ lệ.

Mối quan hệ giữa độ lớn của lực ma sát tĩnh và độ biến dạng của dây.

Công này bù chính xác phần năng lượng bị mất do lực ma sát trượt. Dây đàn không bị giảm chấn.

Cân bằng năng lượng

Nói chung, để bổ sung năng lượng cho dây do lực tác dụng, không nhất thiết dây phải bám vào cung. Chỉ cần tốc độ tương đối của dây và dây khi dây dao động nằm trong phần rơi của sự phụ thuộc của lực ma sát trượt vào tốc độ là đủ. Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn hiện tượng kích thích của dao động dây trong trường hợp này.

Để cây cung lại chuyển động với tốc độ không đổi $u$, và dây bị lệch khỏi vị trí cân bằng $x_0$ sao cho cân bằng được cân bằng $F(x_0)$ bởi lực đàn hồi của cân

12

cân lực ma sát trượt $F_{\text{tp}}(u)$. Nếu sợi dây lệch theo hướng chuyển động của cánh cung thì tốc độ tương đối sẽ giảm. Kết quả là lực ma sát sẽ tăng lên (tốc độ tương đối tương ứng với phần rơi xuống!), và sợi dây sẽ bị lệch nhiều hơn nữa. Với độ lệch tiếp theo, lực đàn hồi tại một điểm nào đó phải vượt quá hoàn toàn lực ma sát (lực đàn hồi tỷ lệ thuận với độ lớn của độ lệch và lực ma sát trượt không thể vượt quá giá trị cực đại của lực ma sát tĩnh) và dây bắt đầu chuyển động theo hướng ngược lại. Nó sẽ vượt qua vị trí cân bằng, lại lệch đi, dừng lại, v.v. Điều này sẽ kích thích sự dao động của dây.

Điều quan trọng là những biến động này sẽ không đáng kể. Trên thực tế, khi dây chuyển động với tốc độ $\Delta v$ về phía mũi tàu thì lực ma sát thực hiện công dương, còn khi chuyển động theo hướng ngược lại thì lực ma sát thực hiện công âm. Nhưng tốc độ tương đối $v_1 = u - \Delta v$ trong trường hợp thứ nhất nhỏ hơn tốc độ $u_2 = u + \Delta v$ trong trường hợp thứ hai, và do đó lực ma sát $F_{\text{tp}}(u - \Delta v)$, ngược lại, lớn hơn $F_{\text{tp}}(u + \Delta v)$. Như vậy, công dương của lực ma sát khi dây chuyển động về phía cánh cung lớn hơn công âm khi nó quay trở lại, và nói chung lực ma sát thực hiện công dương. Biên độ của dao động sẽ tăng lên. Tuy nhiên, chỉ đến một giới hạn nhất định. Ở $v > v_0$ (xem Hình 1), tốc độ vượt quá phần rơi, và khi đó công âm của lực ma sát có thể lớn hơn công dương. Năng lượng và do đó biên độ dao động sẽ giảm.

Kết quả là, biên độ dao động được thiết lập tại đó công tổng của các lực ma sát bằng 0 (chính xác hơn, công này bù cho sự mất năng lượng do sức cản của không khí, không đàn hồi xa).

thực hành biến dạng, v.v.). Với biên độ không đổi này, dây sẽ dao động không suy giảm.

Sự kích thích dao động của âm thanh khi một vật rắn chuyển động trên bề mặt của một vật rắn khác xảy ra rất thường xuyên. Cọ xát khô ở bản lề cửa có thể khiến cửa kêu cót két. Kịch bản tích cực, giày. Tập lệnh có thể được thực hiện đơn giản bằng ngón tay của bạn, chạy nó trên một bề mặt nhẵn nào đó. Hiện tượng xảy ra trong trường hợp này về nhiều mặt tương tự như sự kích thích dao động của dây đàn violin. Ban đầu không có hiện tượng trượt và xuất hiện biến dạng đàn hồi. Sau đó giấc ngủ xảy ra và các rung động của cơ thể được kích thích. Các dao động không tắt đi, vì nhờ lực rơi đặc trưng của ma sát khô, năng lượng cần thiết được cung cấp do hoạt động của các lực này.

Khi bản chất sự phụ thuộc của lực ma sát vào tốc độ thay đổi thì tiếng rít biến mất. Ví dụ, người ta biết rằng đối với điều này, chỉ cần bôi trơn các bề mặt cọ xát là đủ. Lực ma sát của chất lỏng (ở tốc độ thấp) tỷ lệ thuận với tốc độ và không có điều kiện cần thiết nào để kích thích dao động. Ngược lại, khi muốn kích thích rung động, các bề mặt được xử lý theo cách đặc biệt giúp cho việc giảm lực ma sát khi tốc độ tăng dần trở nên sắc nét hơn. Ví dụ, một cây cung vĩ cầm được cọ xát bằng nhựa thông cho mục đích này.

Kiến thức về định luật lực ma sát giúp giải quyết các vấn đề thực tiễn quan trọng. bài toán. Khi gia công kim loại trên máy tiện đôi khi sẽ xảy ra hiện tượng rung lắc của dao cắt. Những rung động này là do ma sát khô giữa dao cắt và phoi kim loại trượt dọc theo bề mặt của nó khi tiện kim loại (Hình 4). Sự phụ thuộc của lực ma sát vào tốc độ phoi (tốc độ xử lý) đối với một số loại cọc chất lượng cao ngày càng giảm. Chúng ta đã biết những điều này rồi, chúng ta có thể giải thích sự rung động của máy cắt.

13

Cơm. 4.

Ví dụ, để chống rung, người ta sử dụng phương pháp mài dao đặc biệt để phoi không bị trượt. Điều này giúp loại bỏ nguyên nhân gây dao động.

Kháng cự âm

Bây giờ chúng ta sẽ nói về những hiện tượng tương tự (sự xuất hiện dao động) trong hệ thống điện. Để mô tả một hệ thống điện, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng đặc tính dòng điện-điện áp, tức là sự phụ thuộc của điện áp trong hệ thống vào cường độ dòng điện. Ví dụ, đối với điện trở thông thường, định luật Ohm là đúng: điện áp tỷ lệ với dòng điện và đặc tính dòng điện-điện áp là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Tuy nhiên, đối với nhiều hệ thống (ống điện tử, ống phóng khí, bóng bán dẫn, v.v.), sự phụ thuộc của điện áp vào dòng điện phức tạp hơn.

Hóa ra là nếu đặc tính dòng điện-điện áp giảm, tức là nếu dòng điện qua hệ thống tăng thì điện áp trên nó giảm, thì dao động điện có thể được kích thích trong hệ thống. Một số thiết bị bán dẫn, đèn neon, hồ quang điện, v.v. đều có những đặc tính như vậy. Đối với tất cả các thiết bị này, đặc tính dòng điện-điện áp có phần giảm,

và điều này, trong những điều kiện nhất định, dẫn đến sự kích thích các dao động.

Chúng ta hãy cố gắng tìm hiểu lý do xảy ra dao động điện với đặc tính dòng điện-điện áp giảm. Trước hết, hãy vẽ một sự tương tự với các hệ thống cơ khí. Khi dòng điện chạy qua dây dẫn, lực điện thực hiện công tỉ lệ với điện áp đặt vào. Công này bằng công của các lực cản lại chuyển động của điện tích. Do đó, chúng ta có thể nói rằng lực điện trở tỷ lệ thuận với điện áp. Mặt khác, tốc độ chuyển động có hướng của điện tích tỷ lệ thuận với cường độ dòng điện. Do đó, sự phụ thuộc ngày càng giảm của điện áp vào dòng điện tương ứng với sự phụ thuộc giảm dần của lực điện trở vào tốc độ, và điều này, như chúng ta đã biết, dẫn đến sự kích thích các dao động.

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành phân tích chi tiết hơn về các điều kiện xảy ra dao động điện, sử dụng những cân nhắc về năng lượng giống như trong cơ học. Cho đặc tính dòng điện-điện áp của hệ thống như trên Hình 5. Biết dòng điện, từ đặc tính này có thể tìm được điện áp và ngược lại. Ví dụ, giả sử một dòng điện không đổi $i_0$ chạy trong hệ thống; thì điện áp là $U_0$. Nếu vì lý do nào đó cũng có một thành phần dòng điện xoay chiều nhỏ, do đó

$$i = i_0 + \Delta i_0 \sin \omega t,$$

thì điện áp cũng sẽ thay đổi:

$$U = U_0 + \Delta U_0 \sin \omega t$$

($\Delta i_0$ và $\Delta U_0$ lần lượt là biên độ của thành phần xoay chiều của dòng điện và điện áp). Rõ ràng là với đặc tính dòng điện-điện áp giảm, dòng điện xoay chiều và điện áp xoay chiều dao động ngược chiều nhau.

14

Pha (và điện áp chuyển động đồng thời qua vị trí cân bằng, nhưng dấu của dòng điện và điện áp tại các thời điểm giống nhau luôn khác nhau và do đó có sự lệch pha $\varphi = \pi$).

Nguồn điện xoay chiều, như đã biết, được xác định theo công thức

$$P = \frac{\Delta U_0}{2} \frac{\Delta i_0}{2} \cos \varphi = \Delta U_\pi \Delta i_\pi \cos \varphi,$$

Ở đâu $\Delta U_\pi$ Và $\Delta i_\pi$ - giá trị hiệu dụng của điện áp và dòng điện, $\varphi$ - Sự lệch pha giữa điện áp và dòng điện. Trong trường hợp của chúng tôi $\cos \varphi = -1$ và do đó $P < 0$. Kết quả này có ý nghĩa vật lý đơn giản. Điều đó có nghĩa là dòng điện xoay chiều không tiêu thụ mà ngược lại sẽ làm tăng năng lượng của nó (giống như năng lượng của dây tăng trong quá trình dao động do lực cản giảm dần phụ thuộc vào tốc độ). Năng lượng này rõ ràng được lấy từ năng lượng dòng điện một chiều, sức mạnh của nó $P_0 = U_0 i_0$ luôn tích cực. Do đó, với đặc tính dòng điện-điện áp giảm, năng lượng của dòng điện xoay chiều sẽ tăng theo thời gian và biên độ dao động sẽ tăng lên.

Để xem xét vấn đề này một cách định lượng, khái niệm điện trở âm được đưa ra, hiện diện trong các hệ thống có đặc tính dòng điện-điện áp giảm. Tuy nhiên, khái niệm điện trở với sự phụ thuộc phi tuyến của điện áp vào dòng điện cần được làm rõ. Hãy nói về điều này chi tiết hơn.

Nếu một dòng điện không đổi $i_0$ chạy qua hệ thống ở điện áp không đổi $U_0$ thì điện trở được xác định theo công thức

$$R = U_0 / i_0$$

và được gọi là điện trở tĩnh hoặc điện trở dòng điện một chiều. Như có thể thấy trên Hình 5, giá trị này bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng vẽ từ gốc tọa độ đến điểm đặc tính dòng điện-điện áp tương ứng với dòng điện $i_0$ và điện áp $U_0$:

$$R = tg \alpha.$$

Nói chung, giá trị này phụ thuộc vào cường độ hiện tại $i_0$. Nếu hệ thống có đặc tính tuyến tính thì $R$ trùng với điện trở thông thường của dây dẫn và không phụ thuộc vào dòng điện.

Trong trường hợp dòng điện xoay chiều, khái niệm điện trở vi sai hoặc điện trở dòng điện xoay chiều $r$ được đưa ra. Nó được xác định bởi tiếp tuyến của đặc tính dòng điện-điện áp (xem Hình 5): $r = tg \beta$ và về giá trị tuyệt đối, nó bằng tỉ số giữa biên độ của điện áp xoay chiều và dòng điện: $|r| = \Delta U_0 / \Delta i_0$. Tuy nhiên, đối với một dây dẫn thông thường $r = R$, trong trường hợp chung có đặc tính dòng điện-điện áp phi tuyến, điện trở đối với dòng điện một chiều và xoay chiều là khác nhau.

Nếu đặc tính dòng điện-điện áp có phần giảm thì trong phần này tiếp tuyến của đường cong tạo một góc tù với trục dòng điện (góc $\beta$ trong Hình 5), tiếp tuyến của góc này là âm và do đó giá trị $r$ là âm. Do đó, các hệ thống có đặc tính dòng điện-điện áp giảm có điện trở vi sai.

Nguồn điện xoay chiều $P = (\Delta i_\pi)^2 r = (\Delta U_\pi)^2 / r$ ở điện trở âm $r$ là âm. Điều này một lần nữa phản ánh thực tế rằng năng lượng AC tại

15

Cơm. 6, A.

đặc tính dòng điện-điện áp giảm tăng theo thời gian.

Ví dụ, sử dụng khái niệm điện trở âm, chúng tôi nghiên cứu độ ổn định của hồ quang điện (Hình 6, a) mắc nối tiếp với điện trở thông thường $R$ và một nguồn có hằng số e. d. c. $\mathcal{E}$ (chúng ta sẽ giả sử rằng điện trở trong của nguồn hiện tại được bao gồm trong điện trở $R$). bài toán này có tầm quan trọng thực tế, vì khi sử dụng hồ quang để hàn hoặc làm nguồn sáng, nó phải cháy đều đặn, không có dao động dòng điện.

Trước hết, chúng ta hãy tìm xem dòng điện một chiều có thể chạy trong mạch như vậy. Theo định luật Ohm, trong toàn bộ mạch điện, tổng điện áp rơi bằng suất điện động:

$$U(i) + iR = \mathcal{E}.$$

Chuyển số hạng $iR$ sang vế phải, ta thấy điện áp trên cung $U(i)$ bằng $\mathcal{E} - iR$. Mặt khác, $U(i)$ được xác định bởi đặc tính dòng điện-điện áp. Do đó, các dòng điện có thể có thể được tìm thấy bằng đồ họa dưới dạng các điểm giao nhau của đặc tính dòng điện-điện áp và sự phụ thuộc $\mathcal{E} - iR$, sự phụ thuộc sau rõ ràng được biểu thị bằng một đường thẳng có độ dốc âm (Hình 6, b).

Có thể thấy, về nguyên tắc, có hai giao điểm và theo đó, có thể có hai giá trị dòng điện $i_1$ và $i_2$ trong mạch. Cả hai hiện tại có ổn định không?

Cơm. 6, b.

Khi xuất hiện dòng điện xoay chiều, biên độ của nó trên hồ quang và trên điện trở $R$ giống nhau (chúng được mắc nối tiếp). Do đó, so sánh năng lượng sinh ra ở điện trở âm của hồ quang $(\Delta i_\pi)^2r$ và tổn thất năng lượng do sức cản chung $(\Delta i_\pi)^2R$, ta thấy điều kiện để tăng dao động sẽ là $|r| > R$. Bây giờ chúng ta quay lại Hình 6, b. Dễ dàng nhận thấy rằng với hiện tại $i_1$ cung có điện trở âm lớn hơn ở giá trị abscille so với $R$ (độ dốc của tiếp tuyến lớn hơn độ dốc của đường thẳng) và điều kiện xảy ra dao động được thỏa mãn. Hiện tại $i_2$, ngược lại, $R > |r|$và dao động không thể xảy ra. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng hồ quang sẽ cháy ổn định nếu trở kháng mạch dương.

Nếu hồ quang được đưa vào mạch dao động thì những rung động nhỏ có thể xảy ra trong đó. Để làm được điều này, điều cần thiết là điện trở mạch và điện trở hồ quang âm) phải âm. Tuy nhiên, để tạo ra những dao động điện từ không đáng kể, giờ đây họ không sử dụng hồ quang điện mà sử dụng hệ thống điện đáng tin cậy hơn có điện trở âm. Điều này bao gồm, ví dụ, một bộ tạo dao động ống (trong đó điện trở âm được tạo ra bởi phản hồi giữa lưới và anome của ống),

16

Cơm. 7.

cũng như các thiết bị bán dẫn khác nhau có đặc tính dòng điện-điện áp giảm dần. Đây là cách nhiều máy tạo dao động điện từ hiện đại hoạt động.

Bài tập

1. Chất làm mềm được treo bằng một ống lót trên trục nằm ngang quay đều. Giải thích tại sao, nếu ma sát giữa ống lót và trục xe khô thì có thể xảy ra dao động liên tục (còn gọi là nam châm Froud).

2. Đặc tính dòng điện-điện áp của sự phóng điện trong chất khí trong một số trường hợp có dạng $N$ (Hình 7). Theo đặc tính dòng điện-điện áp đã cho của quá trình phóng điện, cường độ dòng điện cực đại trong mạch bao gồm một ống phóng điện mắc nối tiếp, điện trở $R$ và một nguồn có hằng số e. d. c. $\mathcal{E}$, từ giá trị điện trở $R$.

3. Chứng minh bằng định luật Ôm rằng dòng điện trong mạch gồm một vôn hồ quang mắc nối tiếp, điện trở và nguồn có hằng số e. d. c. Ổn định với trở kháng mạch dương.

4. Một hồ quang điện có trong mạch dao động đôi khi bắt đầu “hát”, tái tạo những âm thanh khá thuần khiết. Giải thích hiện tượng này.

Ai đã thắng?

Hãy tưởng tượng một bàn tròn được chia thành 6 khu vực bằng nhau: $A, B, C, D, E, F$, tại đó có 6 người chơi ngồi, mỗi người thuộc khu vực riêng của họ (xem hình). Ở giữa bàn là một đĩa quay. Nó có các mũi tên và số từ 0 đến 5 trên đó, như trong hình. Trong trò chơi, đĩa được quay 5 lần. Sau mỗi lần quay, mỗi người chơi đánh dấu số kết thúc gần khu vực của mình (nếu mũi tên chỉ vào đường viền của các khu vực thì vòng quay này không được tính đến). Người chơi có nhiều điểm nhất sau 5 lần quay sẽ thắng. Trong hình, bạn thấy sự phân bổ điểm sau lần quay đầu tiên, kết quả là người chơi $C$ dẫn trước với điểm thứ năm. Người ta cũng biết rằng sau lần quay thứ hai, $D$ xuất hiện về phía trước. Cuối cùng, sau 5 lần quay, người chơi $A$ đã thắng. Đó là tất cả những gì được biết về kết quả của trò chơi. Có vẻ như không nhiều lắm. Nhưng điều này là khá đủ để xác định cuối cùng mỗi người chơi nhận được bao nhiêu điểm. Hãy thử nó!

17

Vật lý và bất đẳng thức tuyến tính
Z. Vâng. Tymeladze

Cơ học

Những tiếng đại bác của cuộc cách mạng vang rền trên đường phố Paris. Cú bắn nho của lính canh làm rung chuyển lớp thạch cao ngay cạnh chướng ngại vật.
“Em có bị thương không, Etienne?”

• Không có gì, chỉ là một vết xước thôi. Đội Vệ binh Hoàng gia đang bắn từ ngôi biệt thự có cột trụ đó. Nếu không đưa họ ra khỏi đó, chúng ta sẽ không thể cầm cự được cho đến khi đội thợ in đến.

• Súng của chúng ta sẽ không chạm tới chúng phải không?

• Không, chỉ từ this_maxina thôi là chưa đủ. Bây giờ, giá như cô ấy có thể được lăn lên bục đó! Này, Jean-Baptiste… Ồ, chuyện này nghiêm trọng hơn,” Etienne rên rỉ, ôm chặt lấy ngực anh.

• Ông bị sao vậy, thưa ông?

• Công dân Etienne, không phải ông! Cậu bé không còn ở tu viện Benedictine nữa mà ở trong quân đội cách mạng. Trong khi họ gọi tôi ra, hãy cùng mọi người lăn khẩu đại bác đến khu vực đằng kia.

• Vâng, thưa công dân Etienne!
  “Đợi đã,” Pierre cùng nói. - Liệu trang web có trụ vững được không? Nếu nó sụp đổ, chúng ta sẽ mất khẩu súng duy nhất.
  “Đây là cơ hội cuối cùng của chúng ta,” Etienne nói, bất tỉnh.
  -Bạn đang vẽ gì vậy, Jean-Baptiste? Hình học nữa à? Tốt hơn hết hãy lấy súng của bạn, chúng ta không thể mạo hiểm với súng!

• Công dân Pierre! Lợi dụng sự bình tĩnh, tôi sẵn sàng chứng minh cho bạn thấy rằng không có rủi ro. Súng có thể cuộn vào.

• Được, tôi sẽ cố gắng! Tôi đến những rào cản từ trường đại học, từ đầm lầy này, nơi sự tầm thường sinh sôi nảy nở. Tôi thề sẽ không quay lại đó cho đến khi các giáo sư bị cấm giảng bài trên giấy gian lận. Vì thế?

— Bệ có dạng hình vuông có cạnh 4 mét, tựa trên bốn cột (xem Hình 1). Mỗi cột bắn ra một tấn, khẩu pháo cùng với tổ lái và đạn đại bác nặng 2,5 tấn. Bản thân nền tảng này đã đáng tin cậy, chỉ có các cột mới có thể bị gãy, phải không, Citizen Pierre?

• Hãy nói; nhưng hãy nhớ rằng các cột với nhau sẽ chỉ chịu được 4 tấn nếu tải trọng được đặt ở giữa mặt bằng. Và chúng ta sẽ phải hạ khẩu pháo xuống sao cho trọng tâm của nó ở điểm M - nếu không chúng ta sẽ không thể bắn xuyên qua dinh thự.

• Bây giờ hãy xác định lực tối đa có thể tác dụng.

Cơm. 1.

18

đặt tại điểm $M$. Nếu lực lượng này lớn hơn khẩu đại bác thì mọi chuyện đã ổn thỏa, và chúng ta sẽ khiến những người lính canh phải trả giá đắt cho cái chết của Etienne. Chúng ta hãy biểu thị các số trên các cột nơi nền tảng nằm trên $R_1, R_2, R_3$ và $R_4$ và yêu cầu phải có

$$\begin{cases} R_1 \leqslant 1, \\ R_2 \leqslant 1, \\ R_3 \leqslant 1, \\ R_4 \leqslant 1. \end{cases}$$

Giá trị dương của các số biểu thị độ dốc trong các cột, các giá trị được in dấu biểu thị độ giãn dài.

• Đúng vậy, nhưng thế thì sao? Rốt cuộc, đây là những bất đẳng thức, không phải phương trình, chúng ta có thể nói gì về chúng? Tôi không nhớ những công dân tốt Lagrange và d’Alembert đã viết gì về họ.

“Và tôi không nhớ, mặc dù tôi đã nghiên cứu tác phẩm của họ.” Nhưng hãy tiếp tục lý luận của chúng tôi. Các lực $R_1, R_2, R_3$ và $R_4$ không thể là bất kỳ lực nào mà chúng phải thỏa mãn điều kiện cân bằng. Hai trong số chúng thu được nếu chúng ta đánh đồng các khoảnh khắc từ tất cả các lực tác dụng lên bệ so với các đường 1-4 và 1-2 bằng 0. Xét rằng mô men là tích của các lực trên bề mặt, chúng ta thu được hai phương trình:

$$4R_2 + 4R_3 - P = 0,$$

$$4R_3 + 4R_4 - 2,5P = 0.$$

Phương trình cân bằng thứ ba phải đạt được từ đẳng thức đến 0 của tổng tất cả các lực tác dụng lên bệ - nếu không thì bệ này sẽ rơi xuống hoặc bay lên trời.

• Giống như tên lừa bịp đó mà giới tăng lữ rất tôn kính! - Pierre đứng dậy.

• Từ đây ta có phương trình

$$R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = P,$$

• Jean-Baptiste viết, đỏ mặt vì sự hóm hỉnh phong phú của nhà tư tưởng sóng hơn là vì viên đạn sượt qua tai. Trong ba phương trình (2), (3) và (4), tất nhiên có bốn ẩn số $R_1, R_2, R_3, R_4$ không thể xác định được. Nhưng bạn có thể thêm điều kiện sau: lực $P$ phải lớn nhất. Hãy viết nó như thế này: $P \rightarrow \text{max.} \text{Кроме того, у нас есть еще неравенства (1).}$

— Chudnya bài toán“,” đồng bào Pierre nói với khuôn mặt nhăn nheo. “Tôi sẽ không ngạc nhiên nếu nó không có tên trong năm mươi năm nữa.” Chưa kể đến những công dân của D’Alembert và Lagrange, những người vì lý do nào đó đã có nó…

Jean-Baptiste tiếp tục: “Hãy gạt bỏ cái bóng của những người vĩ đại sang một bên và giải quyết bài toán đơn giản này. “Để làm điều này, hãy biểu thị $R_3$ và $R_4$ từ phương trình (2) và (3):

$$R_3 = \frac{1}{4}P - R_2,$$

$$R_4 = \frac{1}{4}\left(\frac{5}{2}P - 4R_3\right) = \frac{3}{8}P + R_2$$

và thay thế các giá trị của chúng vào phương trình (4); chúng tôi nhận được:

$$R_1 + R_2 + \frac{1}{4}P - R_2 + \frac{3}{8}P + R_2 = P.$$

Từ đây bạn có thể tìm thấy $P$:

$$P = \frac{8}{3}(R_1 + R_2)$$

và thay vào phương trình (5):

$$R_3 = \frac{2}{3}R_1 - \frac{1}{3}R_2, \quad R_4 = R_1 + 2R_2.$$

Bây giờ hệ bất đẳng thức (1) chỉ có thể được viết lại cho hai biến $R_1$ và $R_2$ (các biến còn lại được loại trừ bằng ba phương trình):

$$\begin{cases} R_1 \leqslant 1, \\ R_2 \leqslant 1, \\ \frac{2}{3}R_1 - \frac{1}{3}R_2 \leqslant 1, \\ R_1 + 2R_2 \leqslant 1. \end{cases}$$

• Được rồi, nhưng có thể tranh cãi được không? Ngọn lửa đang ngày càng dữ dội.

19

Cơm. 2.

Cơm. 3.

• Không còn lại nhiều đâu. Hãy mô tả những bất bình đẳng này bằng đồ họa. Hãy để chúng tôi giới thiệu các trục tọa độ $R_1$ và $R_2$ (Hình 2).

Bất đẳng thức $R_1 \leqslant 1$ có nghĩa là các giá trị cho phép $R_1$ không nằm ở bên phải của dòng $R_1 = 1$, mà là $R_2 \leqslant 1$, không nằm ở trên dòng $R_2 = 1$ - chúng tôi biểu thị điều này bằng cách tô bóng. Thay $R_1 = 0$, từ bất đẳng thức thứ ba của hệ (7) ta tìm được $R_2 \geqslant -3$, và thay $R_2 = 0$, ta được $R_1 \leqslant 3/2$. Vẽ một đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ $(0, -3)$ và $\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$ và tô bóng từ trên xuống, chúng ta thu được biểu diễn đồ họa của bất đẳng thức thứ ba. Cuối cùng, chúng ta mô tả bất đẳng thức thứ tư theo cách tương tự.

• Nhưng có vẻ như không phải tất cả những dòng này đều cần thiết.

• Phải! Điều quan trọng nhất được trình bày trong Hình 3, trong đó phạm vi giá trị cho phép của các lực $R_1$ và $R_2$ được tô bóng. Các điểm bên trong miền này, kể cả biên, thỏa mãn mọi bất đẳng thức. Nhưng đó không phải là tất cả. Trong vùng chấp nhận được, chúng ta cần tìm một điểm mà tại đó $P$, được xác định bởi đẳng thức (6), có giá trị lớn nhất. Đầu tiên, hãy vẽ một đường

$$P = \frac{8}{3}\,(R_1 + R_2) = 0.$$

Nó đi qua gốc tọa độ như hình 3.

2*

“Nhưng điều này không mang lại cho chúng tôi nhiều điều: rõ ràng là nền tảng sẽ chịu được lực bằng không.”

• Tất nhiên rồi. Nhưng tại sao nó sẽ tồn tại? Vì đường $P = 0$ cắt vùng cho phép.

• Chờ đợi! Nó không hoàn toàn rõ ràng với tôi. Có những điểm trên đường $P = \dfrac{16}{9}$ nằm ngoài vùng khả thi, chẳng hạn như điểm $K$. Nếu sự phân bố lực tương ứng với điểm này xảy ra trong các trụ thì bệ sẽ sụp đổ và…

• Anh sai rồi. Mặc dù tôi không thể chứng minh điều này nhưng tôi cảm thấy: nếu vật liệu của các trụ cột là nhựa thì kết cấu sẽ không sụp đổ ở $P = \dfrac{16}{9}$. Sự phân bố lực sẽ xuất hiện trong đó, được biểu thị bằng một điểm nào đó $E$ bên trong vùng chấp nhận được. Đúng là không biết điểm nào, nhưng điều đó không quan trọng.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét họ dòng $P = \dfrac{8}{3}\,(R_1 + R_2) = \mathrm{const} > 0$. Chúng song song với đường thẳng $P = 0$ (xét cho cùng, chúng có cùng hệ số góc). Từ những đường này, bạn cần chọn đường xa nhất với đường $P = 0$, nhưng đồng thời giao với vùng cho phép. Đây là đường $P = \dfrac{8}{3}\,(1 + 0) = \dfrac{8}{3}$ đi qua điểm $B$ có tọa độ $R_1 = 1$, $R_2 = 0$. Rõ ràng chứ?

20

• Thành thật mà nói thì không hẳn. Đã lâu rồi tôi không làm toán. Cuộc cách mạng đòi hỏi tôi phải nhìn vào bản đồ địa lý thường xuyên hơn là nhìn vào sách giáo khoa hình học.

• Tuyệt vời! Hãy nhớ địa lý! Hãy tưởng tượng rằng $ABC$ là ranh giới của một địa điểm trên mặt đất tăng dần từ tây nam sang đông bắc và các đường $P = \mathrm{const}$ là các đường đồng mức trên bản đồ địa lý. Độ cao địa hình càng cao thì giá trị $P$ càng lớn. Rõ ràng là điểm cao nhất sẽ ở điểm $B$, trong đó $P = \dfrac{8}{3} = 2\,\dfrac{2}{3}$. Cái này nặng hơn khẩu súng $\left(2\,\dfrac{2}{3} > 2\,\dfrac{1}{2}\right)$ của chúng tôi. Điều này có nghĩa là nền tảng sẽ chịu được pháo.

• Hãy cuộn súng lên, hỡi các công dân! - Pierre hét lên thay vì đáp số: sự tấn công dữ dội của lính canh ngày càng lớn, và không thể chần chừ được nữa. - Công dân Jean-Baptiste Fourier! Bạn nên là giáo sư toán học! Cái chết cho bạo chúa!

Và Jean-Baptiste Fourier trở thành giáo sư toán học tại một cơ sở giáo dục mới được thành lập vào năm 1794 - Trường học Bình thường! Các đối thủ cạnh tranh không đủ năng lực không thể ngăn cản điều này: cùng năm đó, Công ước mang tính cách mạng đã thực sự thông qua luật cấm các giáo sư sử dụng ghi chú trong các bài giảng.

Sự ra đời của lập trình tuyến tính

Chỉ trong những năm cuối đời, vào năm 1823, nhà toán học được công nhận Jean-Baptiste Fourier (1768-1830), một người bạn cũ của Napoléon, cựu thống đốc khoa Isère và là người sáng tạo ra “Lý thuyết Nhiệt”, đã đưa ra một báo cáo có phần kỳ lạ vào thời đó về các bất đẳng thức tuyến tính tại Học viện Pháp, trong đó ông giải thích công thức và chỉ ra con đường lời giải

được mô tả ở trên bài toán. Nhưng chẳng phải trước đó anh ta đã rõ điều đó khi còn trẻ, khi anh ta đến Paris cách mạng sao? Xét cho cùng, không có gì đặc biệt phức tạp trong bài toán này - trong mọi trường hợp, lý thuyết về chuỗi Fourier, của cùng một tác giả, phức tạp hơn nhiều.

Tuy nhiên, tên của bài toán - lập trình tuyến tính - chỉ ra đời vào những năm bốn mươi của thế kỷ chúng ta. Các ứng dụng nổi tiếng nhất của quy hoạch tuyến tính có liên quan đến kinh tế học *). Tuy nhiên, nhu cầu tìm cực trị của hàm tuyến tính dưới các ràng buộc dưới dạng hệ phương trình tuyến tính và bất đẳng thức nảy sinh trong rất nhiều bài toán, bao gồm cả những bài toán rất xa kinh tế học. Một ví dụ là cơ học được thảo luận ở trên bài toán về tác dụng của một lực tập trung lên một tấm hình vuông - ứng dụng đầu tiên của quy hoạch tuyến tính mà chúng ta biết đến.

Ở dạng tổng quát hơn, quy hoạch tuyến tính bài toán được xây dựng như sau. Có n ẩn số $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Cần phải tìm các giá trị của chúng thỏa mãn hệ giới hạn

$$\left\{\begin{array}{l} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n \leqslant a_1, \\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n \leqslant a_2, \\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot \\ a_{r1}x_1 + \ldots + a_{rn}x_n \leqslant a_r, \\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot \\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n \leqslant a_m \end{array}\right.$$

và cung cấp chức năng tối đa

$$z = p_1x_1 + p_2x_2 + \ldots + p_nx_n,$$

được gọi là “mục tiêu”. Các hệ số $a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{mn}$ và số hạng tự do $a_1, \ldots, a_m$ được coi là đã cho.

---

*) Xem bài: A. B. Katok, Kinh tế học và bất bình đẳng tuyến tính, «Kvant», 1971, số 3, 4.

21

Đôi khi, cùng với mức tối đa của hàm mục tiêu, cần phải tìm mức tối thiểu của nó - điều này phụ thuộc vào ý nghĩa của bài toán (trong trường hợp này, bạn có thể tìm mức tối đa của hàm $z_1 = -z$). Lưu ý rằng cực trị của hàm $z$ (cực tiểu hoặc cực đại) luôn nằm trên biên của vùng chấp nhận được. Tính năng này sử dụng phương pháp lập trình tuyến tính lời giải bài toán phổ biến nhất - phương pháp đơn hình mà chúng tôi sẽ không đề cập ở đây.

Nhưng còn sự biện minh vật lý của bài toán Fourier thì sao? Ông có đúng khi tin rằng chính thiên nhiên đã giúp cấu trúc tìm ra, có lẽ, sự phân bố duy nhất của các điều kiện bên trong mà theo đó cấu trúc có khả năng cô lập tải trọng bên ngoài? Vâng, điều này đúng với vật liệu dày đặc. Trên thực tế, cơ học đã nghi ngờ sự cản trở này ngay cả trước Fourier, nhưng lý thuyết có cấu trúc chỉ được xây dựng vào năm 1936 bởi nhà khoa học Liên Xô A. A. Gvozdev. Theo lý thuyết này, bản thân thiết kế, như thể tuân theo bản chất mỏng, sẽ giải quyết quy hoạch tuyến tính bài toán nêu trên và tự tìm ra sự phân bố hiện có của các điều kiện bên trong. Nó sẽ được tìm thấy, nếu nó tồn tại - với tải trọng 3 tấn trên khu vực được đề cập, phân bố các điều kiện trong các cột, nó sẽ không còn được tìm thấy nữa và nền tảng sẽ sụp đổ.

Điện

Để xác minh khả năng ứng dụng của quy hoạch tuyến tính vào mạng điện, chúng ta hãy chuyển từ đường phố Paris sang quy mô hiện đại. Nhà phát minh Vitya và Kolya lắp ráp một thiết bị bí ẩn (mục đích mà họ yêu cầu không nói đến) theo sơ đồ được trình bày trong Hình 4.

Thiết bị này bao gồm hai nguồn EMF, ba điện trở và ba thiết bị, được gọi là

Cơm. 4.

đại diện cho bí mật nghề nghiệp của nhà phát minh. Chúng tôi chỉ phát hiện ra rằng thiết bị số 1 yêu cầu dòng điện ít nhất là 2 A, thiết bị số 2 - ít nhất là 1 A và trên thiết bị số 3, điện áp phải ít nhất là 1,5 V. Mọi thứ đã sẵn sàng để bắt đầu thử nghiệm khi phát hiện ra khó khăn cần thiết: Viti và Kolya chỉ có 5 pin với mỗi pin có 1 suất điện động. Nỗ lực bật chúng một cách khoa học đã không dẫn đến thành công: các thiết bị không bị hỏng. Các nhà phát minh đã đi vào ngõ cụt, nhưng sau đó Kolya nhớ đến quy hoạch tuyến tính và bắt đầu suy luận.

— Bài toán có thể được hình thành như sau. Cần phải chọn các nguồn EMF sao cho chúng cung cấp dòng điện và hướng được chỉ định trong mạng và lượng EMF ở mức tối thiểu:

$$z = E_1 + E_2 \rightarrow \min.$$ (8)

Công thức (8) xác định hàm mục tiêu bài toán của quy hoạch tuyến tính. Hãy đưa ra những hạn chế. Tổng dòng điện trong mỗi mạng phải bằng 0:

$$-I_1 + I_2 - I_3 = 0.$$ (9)

Mạng bao gồm hai mạch, dọc theo mỗi mạch, tổng điện áp được hướng đến tổng của emf:

$$I_1 + 2I_2 = E_1 + E_2,$$ (10)

$$2I_2 + I_3 = E_2.$$

22

Cơm. 5.

Cuối cùng, tính đặc thù của các thiết bị bí mật đòi hỏi dòng điện và điện áp trong chúng phải chịu những hạn chế.
$I_1 \geq 2, I_2 \geq 1, |U_3| \geq 1, 5$. (11)
Bài toán tìm các giá trị $I_1, I_2, I_3, E_1, E_2$ thỏa mãn các ràng buộc (9)–(11) và cung cấp mức tối thiểu của hàm mục tiêu (8) là bài toán của lập trình tuyến tính. Đã biểu thị từ phương trình (9) và (10) dòng điện chạy qua emf $E_1$ và $E_2$: $I_1 = \frac{1}{5} (3E_1 + E_2)$,
$I_2 = \frac{1}{5} (E_1 + 2E_2)$, $I_3 = \frac{1}{5} (-2E_1 + E_2)$ và thay thế các giá trị EMF ​​vào các bất đẳng thức (11), chúng ta thu được ba hạn chế:
$$\begin{cases} 3E_1 + E_2 \geq 10, \\ E_1 + 2E_2 \geq 5, \\ |-2E_1 + E_2| \geq 7, 5. \end{cases}$$

“Anh ấy không hiểu,” Vitya, người cũng quen thuộc với lập trình tuyến tính, nói. - Ở đây có dấu mẫu, bạn sẽ làm gì với nó?

— Tôi sẽ viết ràng buộc thứ ba dưới dạng hai bất đẳng thức
$E_2 - 2E_1 \geq 7, 5; E_2 - 2E_1 \leq -7, 5,$

• Kolya gửi. — Bây giờ, hãy vẽ các đường thẳng tương ứng với tất cả các bất đẳng thức-ràng buộc (xem Hình 5) và thu được hai vùng chấp nhận được $\Omega_1$ và $\Omega_2$ ($E_1$ và $E_2$ dương)

Cơm. 6.

và đường thẳng tương ứng với hàm mục tiêu. Có thể thấy từ hình vẽ rằng lời giải tối ưu đạt được tại điểm $A$, tại đó $E_1 = 4, E_2 = 0, 5$.

“Bạn không thể nghiền nát pin,” Vitya, chủ sở hữu pin phản đối. — Lời giải phải là số nguyên. Hãy làm tròn lời giải thành số nguyên: ghép $E_1$ bốn pin lại với nhau và $E_2$ một pin lại với nhau.

“Hãy dành thời gian và đặt mỏ hàn xuống,” Kolya nhạy cảm ngăn anh lại. — Rõ ràng điểm $E_1 = 4, E_2 = 1$ nằm ngoài vùng cho phép, thiết bị thứ ba sẽ không hoạt động.

Đây là cách những người bạn của chúng tôi khám phá ra thuộc tính duy nhất bài toán của lập trình tuyến tính: lời giải không phải lúc nào cũng được làm tròn thành giá trị nguyên. Vì lý do này, lập trình tuyến tính số nguyên phải được phát triển đặc biệt để giải quyết khó khăn này. May mắn thay các bạn

23

quản lý để có được lời giải. Tất cả các điểm hợp lệ mô tả các tùy chọn khác nhau để nối đế pin được thể hiện trên Hình 5 với các chấm đen. Chỉ một trong số chúng—điểm $B$—nằm trong vùng cho phép. Nó cho ra số nguyên tối ưu lời giải $E_1=5, E_2=0$, mặc dù giá trị của hàm mục tiêu tại điểm $B$ sẽ lớn hơn tại điểm $A$.

Lưu ý rằng bài toán thuộc loại này - để xác định các thông số tối ưu của thiết bị kỹ thuật (ví dụ: số lượng pin được sử dụng) - được gọi là bài toán thiết kế tối ưu hoặc tín hiệu tối ưu. Bây giờ chúng được tìm thấy trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật.

Bài tập

1. Tải trọng lớn nhất $P$ mà một hệ thống (xem Hình 6) có thể chịu được (xem Hình 6), bao gồm ba $I$, tạo ra độ giãn nở 1 m, và hai miếng đệm 2 và 3, mỗi miếng đệm tạo ra một cuộn 2 m, nhưng không tạo ra bất kỳ sự giãn nở nào?
2. Đo điểm và hướng rơi trên một đoạn mạch cho kết quả như sau:

| Số đo | 1 | 2 | 3 |
| :— | :— | :— | :— |
| $I$ | 4 | 5 | 7 |
| $U$ | 3 | 4 | 5 |

Cần lấy điện trở nào $R$ để đối với các giá trị được xem xét của $I$, kết luận Ohm ($U=RI$) thỏa mãn với sai số abscile tối thiểu cho $U$?

3. Ở chuỗi số 1, ba bình có bộ nguồn tương ứng chứa $\text{CuSO}_4, \text{CuCl}_2$ và $\text{NiCl}_2$ được mắc nối tiếp và ở chuỗi số 2 có ba bình có bộ nguồn chứa $\text{CuCl}_2, \text{NiSO}_4$ và $\text{NiCl}_2$. Một dòng điện 100 A chạy qua chúng. Mạch điện nào phải chạy trong bao lâu để thu được 2000 m³ đồng và 3000 m³ niken với chi phí điện năng thấp nhất nhưng đồng thời giải phóng không quá 5000 m³ clo?

4. Tại điểm 1 và 2 (Hình 7), bạn cần đặt hai nguồn sáng chính xác để chiếu sáng khu vực nằm ngang bên dưới chúng. Điểm mạnh của nguồn $I_1$ và $I_2$ (trong nến) phải là bao nhiêu để độ chiếu sáng tại các điểm $B$ và $C$ không thấp hơn 100 lux, tại điểm $A$ - 200 lux và tổng nến của các nguồn là tối thiểu?

Nhiệm vụ của độc giả của chúng tôi

1. Tìm một số có ba chữ số mà các chữ số của nó tạo thành một cấp số nhân sao cho nếu bạn cộng nó với một số viết cùng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì tổng sẽ là số nguyên tố.

V.N. Kibirev

2. Hai con mèo đã đánh cắp 1.975 núm vú giả được buộc bằng 99 dây xích từ một nhà kho. Sau khi ổn định bữa ăn, các con mèo thay nhau ăn vặt trên một cây cầu giữa hai núm vú, và nếu hình thành các núm vú riêng biệt thì con mèo đã cắn qua cầu sẽ ăn ngay những núm vú này.

Con mèo nào sẽ ăn nhiều núm vú hơn theo quy tắc của “chiến lược” - con nào bắt đầu bữa ăn hay con thứ hai? Chiến lược đúng đắn là gì?

A. A. Gritsoryan

3. Xác định xem có tồn tại số $m$ (nếu có thì bằng bao nhiêu) sao cho mọi số tự nhiên $k$ số đó

$$\frac{99\ldots9}{k}m \frac{0\ldots0}{k}$$

• một hình vuông hoàn chỉnh.

M. N. Levin

4. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\frac{1}{2} < \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < \frac{2}{3}$$

(tại $n \geq 8$).

S. T. Berkolayuk

24

Hiện nay, cùng với sự ra đời của máy vẽ được điều khiển bằng máy tính điện tử kỹ thuật số, đã nảy sinh khả năng thực sự về việc tự động hóa nhiều tác phẩm đồ họa được thực hiện tại các phòng thiết kế. Công việc như vậy bao gồm các bản vẽ quy trình của các bộ phận kỹ thuật cơ khí, sự phát triển bề mặt, hình ảnh đo trục (thể tích), v.v. Việc sử dụng máy vẽ tự động và máy tính cung cấp một dịch vụ vô giá cho các kỹ sư thiết kế phát triển các bản vẽ bề mặt của các dạng kỹ thuật.

Epirus Monge
Trước tiên chúng ta hãy giải thích cách xây dựng một bản vẽ hình chiếu.
Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật $Oxyz$ trong không gian (Hình 1, a). Chúng ta hãy biểu thị tọa độ của mặt phẳng $xOy, xOz, yOz$ tương ứng bằng $H, V, W$ và chúng ta sẽ gọi chúng là các mặt phẳng chiếu.
Chúng ta hãy hạ chúng xuống từ một điểm tùy ý $A$ bên trong trị số octan đầu tiên $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ các đường vuông góc $Aa, Aa'$ và $Aa''$: a - ngang, a’ - mặt trước, a’ - hình chiếu biên dạng của điểm $A$. Bằng cách xoay các mặt phẳng $H$ và $W$ xung quanh trục $Ox$ và $Oz$, chúng ta kết hợp chúng với mặt phẳng $V$. Sau đó, trên một mặt phẳng $V$, chúng ta sẽ nhận được hình ảnh của hệ tọa độ không gian $Oxyz$ và các hình chiếu của điểm $A$ (Hình 1, 6; trong tương lai, chúng ta sẽ biểu thị các điểm không gian bằng chữ in hoa và các hình chiếu của chúng bằng cùng một chữ cái viết thường với số nguyên tố). Hình chiếu của các hình được xây dựng theo cách tương tự - có thể vẽ được các điểm.

Phân tích Hình 1, chúng ta đi đến kết luận rằng điểm $A$ của không gian được xác định hoàn toàn bởi hai thuộc tính, ví dụ: $a$ và $a'$. Cái này

25

xuất phát từ thực tế là trục hoành $x = Oa_x$, tọa độ $y = a_x a'$ và áp dụng $z = a_x a'$ của nó được xác định duy nhất từ ​​bản vẽ. Vì vậy, để xác định một hình, chỉ cần có các hình chiếu của nó là đủ.

Bản vẽ thu được bằng phương pháp được mô tả được gọi là bản vẽ chiếu, sơ đồ Monge*) hoặc bản vẽ hoàn chỉnh.

Xây dựng đường giao nhau của các bề mặt

Nhà thiết kế đang đứng đằng sau cống. Anh ấy vẽ một hình ảnh của một số chi tiết. Ở một số nơi, bề mặt của bộ phận có các đường chuyển tiếp, gờ, lỗ và rãnh sắc nét. Ở đây xuất hiện trong hình ảnh vẽ của hai bề mặt hình trụ, được tạo thành giống như một bậc thang trong bộ phận. Nhà thiết kế ở lại. “Có chuyện gì thế?” - bạn hỏi. Nhà thiết kế cho biết: “Chúng ta lại chạm vào đường giao nhau, nhưng điều đó không thành vấn đề! Bây giờ, tôi sẽ xây dựng một số điểm thuộc về hai bề mặt và sau đó tôi sẽ vẽ một đường cong mượt mà xuyên qua chúng dọc theo mẫu”. Và thế là các điểm riêng lẻ của các đường giao nhau bắt đầu xuất hiện trên bản vẽ.

Từ quan điểm của các phép toán đồ họa, xây dựng các đường giao nhau của một bề mặt cho đến việc tìm các điểm riêng lẻ của nó. Vì điều này

*) Gaspard Monge (1746-1818) - nhà hình học người Pháp.

Cơm. 2.

Các bề mặt dữ liệu $\Phi_1$ và $\Phi_2$ (Hình 2) phân tích bề mặt phụ thứ ba T (nếu các bề mặt giằng giao nhau thì hình cầu và mặt phẳng thường được sử dụng làm bề mặt phụ), sau đó xác định các đường giao nhau $m$ và $n$ của bề mặt phụ T với hai dữ liệu $\Phi_1$ và $\Phi_2$ và điểm giao nhau K của các đường đã dựng. Kỹ thuật này được lặp lại nhiều lần để các điểm thu được có thể được nối bằng một đường thẳng.

Ví dụ 1. Vẽ giao tuyến của hình cầu và hình nón thẳng đứng xác định trong hình chiếu (Hình 3).

Ta chọn mặt phẳng T tùy ý song song với mặt phẳng chiếu ngang. Mặt phẳng này cắt hình cầu và hình nón lần lượt dọc theo các đường tròn $m$ và $n$, giao nhau tại các điểm $K_1$ và $K_2$. Bằng cách dựng các đường tròn này trên mặt phẳng chiếu ngang, ta thu được điểm

26

$k_1$ và $k_2$, thuộc hình chiếu ngang của các đường giao nhau (Hình 3). Các hình chiếu phía trước $k'_1$ và $k'_2$ của các điểm $K_1$ và $K_2$ sẽ trùng nhau trong trường hợp này. Sau khi thực hiện điều này cho một số mặt phẳng phụ song song với $T$, chúng ta thu được các điểm chung cho hình cầu và hình nón, đồng thời bằng cách kết nối chúng với các đường cong trơn trên mỗi hình chiếu, chúng ta thu được các hình chiếu gần đúng của các đường giao nhau. Càng vẽ nhiều điểm thì đường cong sẽ càng chính xác.

Nhưng dù chúng ta có cố gắng thế nào đi chăng nữa thì độ chính xác của những công trình như vậy vẫn bị hạn chế, kết quả là đường giao nhau không còn lý tưởng và thời gian sử dụng là rất đáng kể. Những thiếu sót này có thể được loại bỏ với sự trợ giúp của máy tính và máy vẽ. Thật vậy, một máy tính thực hiện hàng triệu hành động chỉ trong vài giây và một số máy vẽ hiện đại vẽ các đoạn thẳng dài hơn 300 mm trong một giây.

Khi tự động hóa quá trình xây dựng các đường giao nhau trong bản vẽ, các bước sau được thực hiện.

1. Các phương trình của các bề mặt xác định trong bản vẽ được viết.

2. Sử dụng máy tính, tọa độ $x$, $y$, $z$ của các điểm riêng lẻ của các đường giao nhau được xác định (theo quan điểm phân tích, việc xác định các đường giao nhau thuộc tính chất của hệ phương trình lời giải).

3. Tọa độ của các điểm thu được được đưa vào máy vẽ dưới dạng lệnh di chuyển bút đặc biệt.

Mỗi giai đoạn là một nhiệm vụ độc lập, đôi khi không hề dễ dàng. Chúng ta hãy giải thích chúng chi tiết hơn bằng ví dụ 2, tương tự như ví dụ 1. Để đơn giản cho việc suy luận sâu hơn, chúng ta chọn hệ tọa độ sao cho trục $Oz$ thẳng hàng với trục hình nón và trục $x$ đi qua tâm của hình cầu.

Ví dụ 2. Tên giao tuyến của hình cầu bán kính $r=50$, tâm

có tọa độ $x_0=30$, $y_0=0$, $z_0=0$ trong hệ tọa độ trực tiếp Cartesian $Oxyz$ và một hình nón tròn bên phải, đỉnh của nó nằm trên trục $Oz$ tại điểm $x_1=y_1=0$, $z_1=70$, trục trùng với trục $Oz$ và đường kính của đáy chạm vào hình cầu là 120 (dữ liệu này được lấy từ Hình 4, tỷ lệ được thể hiện trong hình).

Giai đoạn đầu tiên. Trước tiên chúng ta hãy xem xét một hình cầu có tâm ở gốc tọa độ và bán kính $r$ (Hình 5). Chúng ta hãy lấy một điểm tùy ý $M$ trên bề mặt của nó. Đặt tọa độ của nó là $x$, $y$, $z$. Không khó để chứng minh (sử dụng định lý Pythagore) rằng đối với điểm $M$ đẳng thức sau sẽ đúng:

$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2.$$

Sự đẳng thức này được thỏa mãn bởi tọa độ của bất kỳ điểm nào nằm trên bề mặt hình cầu chứ không phải bởi tọa độ của các điểm không nằm trên bề mặt hình cầu. Sự bình đẳng này là phương trình của hình cầu.

27

Cơm. 5.

Phương trình của một hình cầu có bán kính 50, tâm của nó cao hơn 30 đơn vị dọc theo trục $Ox$ (đây là hình cầu cho trong ví dụ 2), sẽ là

$$(x-30)^2+y^2+z^2=50^2.$$

Nó có thể được hiển thị rằng

$$x^2+y^2-\frac{1}{4}(z-70)^2=0$$

là phương trình của hình nón tròn bên phải được cho trong Hình 4. Đối với $z=z_0$ cố định, nó có dạng $x^2+y^2=\frac{(z_0-70)^2}{4}$ và xác định độ tròn - tiết diện của hình nón với mặt phẳng $z=z_0$.

Trong ví dụ này, chúng ta viết nhanh phương trình bề mặt do tính đơn giản của nó. Nhưng nói chung, phương trình của bề mặt xác định trong bản vẽ phải được suy ra. Đây là bài toán của giai đoạn đầu tiên.

Vậy ta có hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} x^2+y^2-\frac{1}{4}(z-70)^2=0, \\ (x-30)^2+y^2+z^2=50^2. \end{cases}$$

Giai đoạn thứ hai. Chúng ta hãy trừ đi số thứ hai từ phương trình đầu tiên của hệ thu được. Sau khi biến đổi đơn giản, chúng ta thu được biểu thức

$$x=\frac{1}{48}z^2-\frac{7}{12}z-\frac{75}{12},$$

đó là phương trình hình chiếu trực diện của các đường giao nhau.

Phương trình (*) chỉ rõ parabol, một phần của nó được hiển thị trong Hình 4.

Bây giờ xem xét phép chiếu ngang, từ hệ thống chúng ta thu được:

$$x^2+y^2-\frac{1}{4}(V\sqrt{50^2-(x-30)^2-y^2}-70)^2=0.$$

Bạn không thể biết ngay phương trình này mô tả dòng nào.

Để xây dựng cả hai đường cong trên các hình chiếu, biến $z$ trong phương trình () sẽ được cung cấp các giá trị tuần tự (ví dụ: với bước $\Delta z=0,1$) trong giới hạn - 42,5 $\leq z \leq 46,5$ (các giới hạn này tương ứng với các điểm cực trị $1'$ và $2'$ trên hình chiếu chính diện, xem Hình 4). Đối với mỗi giá trị của biến $z$, trước tiên chúng ta tính giá trị của biến $x$ bằng công thức (), sau đó (từ phương trình hình cầu) tìm giá trị $y$ bằng công thức

$$y=\pm \sqrt{50^2-z^2-(x-30)^2}.$$

Quá trình tính toán này được thực hiện dễ dàng trên máy tính. Như vậy, máy tính sẽ tính toán và in ra tọa độ $x, y, z$ của hơn 200 điểm giao nhau trong một khoảng thời gian ngắn. Các tọa độ này phải được gửi dưới dạng lệnh tới máy vẽ. Giai đoạn thứ ba bắt đầu.

Máy vẽ

Có nhiều loại máy vẽ khác nhau giao tiếp với máy tính theo những cách khác nhau. Các máy vẽ hiện đại (chúng thường được gọi là máy chế tạo dây đeo) như Itecan (Liên Xô), Benson (Pháp; xem Hình 6), Digigraph (Tiệp Khắc) có thể hoạt động từ cả băng giấy đục lỗ và băng từ mà máy tính cung cấp thông tin. Máy vẽ có thể được giao tiếp với máy tính thông qua kết nối thiết bị điện tử đặc biệt.

Hầu hết các máy vẽ hiện có đều được chế tạo bằng đường thẳng

28

Cơm. 6.

nội suy tuyến tính và tròn. Điều này có nghĩa là nếu bạn chỉ định tọa độ của hai điểm $A$ và $B$ thì bút của máy vẽ có thể vẽ đoạn thẳng $AB$ hoặc cung tròn đi qua các điểm $A$ và $B$ (trong trường hợp này, tâm của nó được chỉ định thêm). Do máy tính tính toán tọa độ của một số điểm đủ lớn nên đường đứt nét được vẽ bằng bút của máy (sau đây gọi là dạng đoạn) hóa ra khá trơn tru.

Xây dựng hình ảnh aconometric

Khi thiết kế các khuôn khác nhau, không chỉ cần vẽ bản vẽ chiếu mà còn phải vẽ hình ảnh đo lường của bề mặt. Làm thế nào để dạy một máy vẽ vẽ một hình ảnh đo lường?

Hình 7 hiển thị hình ảnh của một điểm tùy ý $A$ trên trục đo hình học $Ox, Oy, Oz$. Điểm này có ba tọa độ và hình ảnh của nó được xây dựng theo các quy tắc hình học nhất định. Nhưng máy vẽ không biết những quy tắc này cũng như tọa độ hình học $x, y$ và $z$ là gì. Nó hoạt động trên hai trục, ví dụ $x'$ và $y'$. Một điểm tùy ý $A (x, y, z)$ có hai tọa độ dọc theo các trục này. Rõ ràng phải có sự liên hệ giữa các tọa độ $x'$

và $y'$ và tọa độ hình học $x, y, z$ cho một điểm tùy ý trên mặt phẳng. Kết nối này được biết đến và viết như sau:

$$x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z,$$
$$y' = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z,$$

(**)

trong đó $a_{ij} (i=1,2; j=1,2,3)$ là các số mang các giá trị nhất định cho một lựa chọn trục nhất định.

Ví dụ, đối với phép đẳng cự (trong trường hợp này các trục được vẽ theo các góc $120^\circ$ với nhau) các phương trình (**) có dạng sau:

$$x' = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y,$$
$$y' = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + z.$$

Vì vậy, máy tính phải đọc lại tọa độ $x, y, z$ bằng các công thức (**) và gửi chúng theo trình tự yêu cầu đến máy vẽ để vẽ hình ảnh đo đạc.

Thi công phát triển bề mặt

Chúng ta hãy tưởng tượng các bề mặt như một màng cong linh hoạt nhưng không thể mở rộng. Có những bề mặt có thể bị biến dạng và thẳng hàng với mặt phẳng để không bị đứt hoặc gấp. Các bề mặt như vậy được gọi là các bề mặt khai triển và hình thu được sau khi kết hợp chúng với một mặt phẳng được gọi là khai triển.

29

Cơm. 8.

Ý tưởng xây dựng đồ họa của sự phát triển bề mặt như sau: một bề mặt F đa dạng vừa khít với bề mặt, các mặt phẳng thường là hình tam giác. Sau đó, tất cả các khuôn mặt có kích thước thật sẽ được tạo trên mặt phẳng theo một trình tự nhất định.

Ví dụ 3. Xây dựng hình nón nghiêng có đáy tròn được xác định trong hình chiếu (Hình 8).

Chúng tôi tiến hành như sau. Chúng ta chia đáy của hình nón có các điểm $A_1, A_2, \dots$ thành $n$ các phần bằng nhau, ví dụ: thành 16 và nối chúng với đỉnh $S$. Khi đó trong hình vẽ chúng ta sẽ có hai hình chiếu của một paramid nghiêng (có các mặt hình tam giác) nội tiếp trong một hình nón. Bây giờ chúng ta cần xây dựng các mặt của paramid ở kích thước đầy đủ. Hãy xem xét khuôn mặt $SA_1A_2$. Hình chiếu ngang của nó sẽ là $s_a1a_2$, phía trước - $s'a'1a_2$. Dễ dàng nhận thấy $s'a'1$ là giá trị tự nhiên của cạnh $SA_1, a_1a_2$ là giá trị tự nhiên của cạnh $A_1A_2$. Để tìm kích thước tự nhiên của cạnh $SA_2$, chúng ta bao quanh trục tung đi qua đỉnh $S$, sao cho nó song song với mặt phẳng phía trước của hình chiếu $V$ ($s_a2$ trên hình chiếu ngang). Từ điểm kết quả $a_2$ chúng ta vẽ một đường nối cho đến khi nó giao với hình chiếu trực diện của đáy hình nón tại điểm $a_2'$ - $s'a'2'$ và kích thước tự nhiên của cạnh $SA_2$ sẽ là. Các cạnh của dòng $SA_3, SA_4$, v.v. cũng được tìm thấy tương tự.

Bây giờ, trên một tờ giấy riêng, chúng ta sẽ xây dựng mặt $SA_1A_2$ (Hình 9), gắn mặt $SA_2A_3$ vào đó, v.v. Kết quả là, chúng ta sẽ có được sự phát triển của một paramid nghiêng, đây sẽ là sự phát triển gần đúng của một hình nón nghiêng.

Khi số lượng mặt của paramid được ghi tăng lên, quá trình phát triển ngày càng trở nên chính xác hơn, nhưng việc xây dựng nó theo cách thủ công trên thực tế trở nên bất khả thi. Vị trí giảm do máy tính, theo một chương trình nhất định, sẽ tính toán tọa độ của điểm $A_1, A_2, A_3, \dots$ trong một hệ tọa độ nhất định và gửi chúng đến máy vẽ dưới dạng lệnh chuyển động của bút. Nếu có số lượng điểm lớn thì các đoạn của đường đứt nét sẽ nhỏ và đường do máy vẽ sẽ là một đường cong trơn.

30

Nguyệt thực toàn phần là một hiện tượng khá hiếm gặp. Nhưng vào đêm 18-19 tháng 11 năm 1975, nó có thể được quan sát trên hầu hết toàn bộ lãnh thổ Liên Xô, ngoại trừ các vùng cực đông, nơi ngày sẽ bắt đầu ngay khi bắt đầu nhật thực và Mặt trăng sẽ lặn dưới đường chân trời.

Mặt trăng quay quanh Trái đất theo hướng từ Tây sang Đông và khi cạnh trái của nó đi vào vùng bóng của Trái đất, nguyệt thực bắt đầu. Cho đến khi Mặt trăng chìm hoàn toàn trong bóng của Trái đất, nhật thực được gọi là nhật thực một phần và các pha Ф của nguyệt thực được xác định bằng tỷ số b của đường kính mặt trăng d được bóng Trái đất bao phủ: Ф = b/d. Khi Mặt trăng chìm vào bóng của Trái đất, pha nhật thực tăng lên và tại thời điểm chìm hoàn toàn, nó trở nên bằng một - nguyệt thực bắt đầu.

Trong nhật thực toàn phần, pha được xác định theo công thức:

$$\Phi = \frac{R + r - \Delta}{2r},$$

trong đó R là bán kính góc của bóng Trái đất, r là bán kính góc của đĩa mặt trăng và Δ là khoảng cách góc giữa tâm của đĩa mặt trăng và bóng trái đất. Giữa đợt nguyệt thực toàn phần hiện tại R=40′07″≈40′.1, r=15′07″≈15′.1 và Δ=22′53″≈22′9; do đó, pha nhật thực toàn phần lớn nhất là Фmax=1,07.

Tất cả các giai đoạn của nguyệt thực sẽ được nhìn thấy ở khu vực nằm ở phía tây của đường đi gần Kyakhta, Ulan-Ude và Olekminsk đến Đảo Sangar và Wrangel, cũng như phía bắc của vĩ tuyến địa lý φ = 71°, nơi Mặt trăng không lặn ngoài đường chân trời vào đêm nay. Ở phía đông của đường này, nguyệt thực cũng sẽ được nhìn thấy, nhưng sau khi nó kết thúc, Mặt trăng sẽ đi xuống dưới đường chân trời trong tình trạng nhật thực một phần. Ở phía đông của tuyến chạy từ Buren qua Nelkan và Pevsk đến Đảo Wrangel, chỉ có thể nhìn thấy một phần các pha.

Diễn biến nguyệt thực theo giờ Moscow được trình bày trong bảng sau:

| Hiện tượng | Khoảnh khắc trong thời gian | Giai đoạn nhật thực |
| :— | :— | :— |
| Bắt đầu nhật thực | 18 tháng 11 23 và 38 phút | 0,00 |
| Giai đoạn một phần | ngày 19 tháng 11 | 0,38 |
| Bắt đầu nhật thực toàn phần | 0 06 | 0,74 |
| Bắt đầu nhật thực toàn phần | 1 02 | 1,00 |
| Pha đầy đủ lớn nhất | 1 23 | 1,07 |
| Kết thúc nhật thực toàn phần | 1 44 | 1,00 |
| Giai đoạn một phần | 2 12 | 0,74 |
| Kết thúc nhật thực một phần | 2 40 | 0,38 |
| Kết thúc nhật thực một phần | 3 08 | 0,00 |

Để tìm ra những khoảnh khắc của hiện tượng tương tự theo giờ địa phương, bạn cần thêm sự khác biệt giữa giờ địa phương và giờ Matxcơva vào bảng khoảnh khắc. Vì vậy, ví dụ, ở Novosibirsk, nơi có thời gian khác với Moscow 4 giờ, nguyệt thực một phần bắt đầu vào ngày 19 tháng 11 lúc 3 và 38 phút, và nhật thực toàn phần lúc 5 và 02 phút.

Quan sát nguyệt thực toàn phần từ khoa học sâu rộng

31

vật liệu để nghiên cứu cấu trúc bóng của trái đất và trạng thái của các tầng trên của bầu khí quyển trái đất. Những quan sát như vậy bao gồm đánh giá độ sáng chung (giữa các khoảng) của Mặt trăng trong các giai đoạn khác nhau của nhật thực, đánh giá màu sắc của Mặt trăng và các chi tiết riêng lẻ trên bề mặt của nó, cũng như xác định thời điểm bóng của Trái đất bao phủ các phần của bề mặt Mặt trăng.

Việc ước tính độ sáng chung của Mặt trăng có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau bằng các dụng cụ đơn giản.

Một cách là xem Mặt trăng qua điện thoại của trường (hoặc đơn giản là qua ống nhòm từ phía vật thể). Sau khi chọn trước bộ lọc khói (trung tính) phù hợp, bạn có thể giảm độ sáng của Mặt trăng xuống độ sáng của các ngôi sao có cường độ bằng 0 (ví dụ: Veggie, Arcturus, Capella) và trong toàn bộ nhật thực đều đặn (5-10 phút) so sánh độ sáng của Mặt trăng quan sát được trên điện thoại với độ sáng của các ngôi sao có cường độ khác nhau được quan sát bằng mắt thường. Để so sánh các ngôi sao bằng 0, hãy chọn các ngôi sao trong phạm vi từ 0 đến 4 sao và ghi nhớ vị trí của chúng để tìm thấy chúng trên bầu trời một cách nhanh chóng và chính xác trong quá trình quan sát. Khi độ sáng của Mặt trăng trở nên rất yếu, hãy sử dụng bộ lọc ánh sáng bằng 0 và tiếp tục quan sát mà không có nó.

Nếu bạn có máy đo độ phơi sáng ảnh nhạy, thì có thể nghiên cứu sự thay đổi độ sáng giữa các vùng của Mặt trăng khi nhật thực bằng cách sử dụng số đọc của nó. Để làm được điều này, một ống có kích thước như vậy phải được lắp đặt chắc chắn phía trước phản hồi đầu vào của máy quang phổ để nó bảo vệ quang điện khỏi ánh sáng tán xạ của bầu trời và chỉ có ánh sáng từ Mặt trăng đi qua nó. Vì vậy, với chiều dài ống 60 cm, đường kính trong của nó phải là 10 mm. Bề mặt bên trong của ống được phủ một lớp màu đỏ đen mờ. Ống chụp ảnh có ống được gắn trên ống kính thiên văn sao cho ống này song song với ống. Khi thực hiện quan sát, kính viễn vọng luôn hướng vào Mặt trăng và luôn theo dõi nó. Các chỉ số của máy đo độ phơi sáng ảnh đặc trưng cho độ sáng của Mặt trăng.

Bạn có thể thu được kết quả thú vị bằng cách ghi lại khả năng hiển thị của các ngôi sao bằng mắt thường hoặc bằng ống nhòm trong toàn bộ nhật thực (bao gồm cả các pha một phần của nó) ở một khu vực nhất định trên bầu trời. (Để đảm bảo kết quả quan sát không bị ảnh hưởng nhiều bởi sự hấp thụ ánh sáng trong bầu khí quyển trái đất, cần chọn một vùng bầu trời có độ cao không đổi so với đường chân trời. Thông thường, đây là vùng xung quanh Sao Bắc Đẩu hoặc vùng thiên đỉnh. Thiên đỉnh của nhật thực mới sẽ bao gồm các chòm sao Perseus và Auriga.) Đầu tiên, từ các bản đồ sao, bạn cần sao chép khoảng 30 ngôi sao có độ sáng giảm dần liên tục từ 4 đến 6 sao vào một đồ hình. giấy. độ lớn (hoặc, khi quan sát qua thấu kính, lên tới 8,2 độ lớn), hãy ghi lại chúng và trong khi nhật thực, cứ sau 5 phút, hãy ghi lại số lượng ngôi sao mờ nhất có thể nhìn thấy ở tiền cảnh. Bằng cách tính thứ hạng sao của các ngôi sao được đánh dấu, người ta có thể tìm ra mức độ suy yếu của ánh trăng trong các giai đoạn khác nhau của nhật thực.

Tất cả các phương pháp được mô tả đều yêu cầu ghi lại thời gian bắt buộc với độ chính xác 1 phút và hai hoặc ba quan sát trước khi bắt đầu nhật thực và sau khi kết thúc.

Màu sắc của Mặt trăng phải được đánh giá trong hiện tượng nhật thực toàn phần, mô tả nó bằng lời hoặc sử dụng thang đo Danjon.

Thang đo Danjon: 0—nhật thực rất tối, ở giữa nhật thực, Mặt trăng hầu như không nhìn thấy được; 1—nhật thực tối, xám xịt, các chi tiết trên bề mặt Mặt Trăng hoàn toàn không nhìn thấy được; 2—nhật thực có màu đỏ sẫm hoặc đỏ sẫm, quan sát thấy phần tối hơn ở gần tâm của bóng; 3—nhật thực màu đỏ gạch, bóng được bao quanh bởi đường viền màu xám hoặc hơi vàng; 4—nhật thực có màu đỏ đồng, rất sáng, vùng bên ngoài nhạt, hơi xanh.

Các nhiếp ảnh gia nghiệp dư có thể tạo ra nhật thực trên phim màu bằng cách tạo ra một loạt ký hiệu (30-35 mảnh) với cùng độ phơi sáng. Từ những hình ảnh của Mặt trăng, có thể đánh giá cả màu sắc và sự thay đổi độ sáng của Mặt trăng.

Không thể ghi lại khoảnh khắc bắt đầu và kết thúc của việc bóng Trái đất che phủ phần lớn bề mặt mặt trăng (với độ chính xác 5-10 giây), mức độ hiển thị của chúng, thời điểm chúng biến mất hoàn toàn (nếu điều này xảy ra) và sự xuất hiện, cũng như màu sắc của bóng tối và đường viền xung quanh nó không thể được ghi lại khi quan sát trên điện thoại có độ phóng đại cao nhất có thể. Một bản đồ sơ đồ về bề mặt mặt trăng có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa thiên văn học ở trường.

Nếu bạn tìm thấy kết quả thú vị, hãy gửi chúng đến địa chỉ sau: 103009, Moscow, K-9, PO Box 918, Bộ phận Thiên văn VAGO.

32

Từ bị hạn chế

A. M. Stepin,
A. T. Tatsi-Zade

Bài viết về chủ đề này rất gần với bài viết “Trình tự không lặp lại” của G. A. Gurevich, được xuất bản trên «Kvant» số 9 năm nay. Bài viết dành cho số được tính toán (và bằng chứng về sự tồn tại) của các từ có độ dài bất kỳ (bao gồm cả vô hạn), trong một bảng chữ cái nhất định với các hạn chế - đồng thời, nó giải được bài toán M300 từ “Zazdanika «Kvant», Số 12, 1974. Gurevich đã tính số (và chứng minh sự tồn tại) của các chuỗi có độ dài bất kỳ (và vô hạn), trong đó không có nhóm chữ số nào xuất hiện hai lần liên tiếp và được giải bằng bài toán M310.

Kỹ thuật tổ hợp với sự trợ giúp của bài toán M300 và M310 (và các khái quát hóa của chúng) đã được giải quyết được sử dụng rộng rãi trong khoa học toán học máy chủ: lý thuyết nhóm, lý thuyết đại số, lý thuyết số đại số.

Chúng tôi sẽ dạy làm quen với các từ và bảng chữ cái bằng cách phân tích bài toán M300, được cung cấp trong “Nhiệm vụ «Kvant», xem «Kvant» Số 12 cho năm 1974.

Nhiệm vụ M300

Bảng chữ cái gồm có 3 chữ cái a, b, c. Chúng ta hãy gọi một chuỗi có độ dài bất kỳ bao gồm các chữ cái này là một từ. Khi xử lý các từ, một số tổ hợp chữ cái (có độ dài từ hai chữ cái trở lên) bị coi là bị cấm. Được biết, trong danh sách tổ hợp chữ cái bị cấm tất cả các từ đều có độ dài khác nhau.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng có những từ có độ dài bất kỳ không chứa các tổ hợp chữ cái bị cấm.

Nhiệm vụ M300 có thể được đưa ra một hình thức – ​​“giải trí” – khác:

Một chiếc xe số tự động nào đó lái xe quanh thành phố với bố cục hình chữ nhật. Khi đến ngã tư, anh ta tiếp tục lái xe thẳng hoặc rẽ trái hoặc phải (bạn không thể rẽ lùi!) - có tính đến thực tế là luật giao thông cấm một số sự kết hợp của các điểm dừng này (trái và phải) và lối đi thẳng.

Được biết, tất cả các kết hợp bị cấm đều có độ dài ít nhất là hai (ví dụ: độ dài của kết hợp trái-phải là hai) và không có kết hợp nào khác nhau có cùng độ dài. Hóa ra là nếu thành phố đủ lớn và người lái xe xuất phát ở trung tâm, thì bất chấp mọi lệnh cấm, anh ta có thể lái xe qua bất kỳ số giao lộ nhất định nào trong thành phố này.

Giải bài toán M300 vẫn thuận tiện về thuật ngữ “chữ” và “chữ”.

Chúng tôi sẽ gọi các tổ hợp chữ cái bị cấm là các từ được chỉnh sửa và coi một từ là tốt nếu nó không chứa một từ được chỉnh sửa nào bên trong nó. Đôi khi chúng tôi sẽ gọi một tập hợp các từ phổ biến là danh sách những điều cấm hoặc hạn chế. Chúng tôi gọi một từ có chứa ít nhất một từ của người cha là “xấu”.

Hãy ký hiệu số từ hay có độ dài l là $G_l$. Để chứng minh sự tồn tại của các từ hay có độ dài bất kỳ, chỉ cần chứng minh rằng với mọi l tự nhiên, số $G_l$ lớn hơn 0 là đủ. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng với bất kỳ l nào cũng có khá nhiều từ hay có độ dài l: $G_l \geq 2^l$.

33

Chúng tôi sắp xếp các từ bù trừ theo độ dài và biểu thị bằng $l_i$ độ dài của từ bù trừ thứ $i$ ($l_i \geq i$).

Bổ đề 1. Đối với các số $G_l$ bất đẳng thức sau đúng:

$$G_l \geq 3 \cdot G_{l-1} - \sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i} \cdot i$$

($G_1$, ước tính, bằng số đó; hãy đặt $G_0$ bằng một).

Bằng chứng. Lưu ý rằng tất cả các từ hay có độ dài $l$ đều nằm trong số các từ thu được bằng cách gán cho bên phải một trong các chữ cái $a, b, c$ cho các từ hay có độ dài $l-1$. Với cách gán này, chúng ta nhận được $3 \cdot G_{l-1}$ từ, trong số đó, ngoài những từ hay, có thể còn có một số từ phẳng có độ dài $l$. Hãy ước tính số lượng của họ. Rõ ràng, trong từ phẳng thu được, từ offset chỉ có thể ở cuối, tức là nó có cấu trúc như thế này: các chữ cái $l_i$ cuối cùng tạo thành một từ offset và các chữ cái $l-l_i$ đầu tiên tạo thành một từ hay ($2 \leqslant l_i \leqslant l$). Số lượng từ phẳng (độ dài $l$) của loại được mô tả kết thúc bằng một từ bù có độ dài $l_i$ không lớn hơn số từ hay có độ dài $l-l_i$, tức là số $G_{l-l_i}$ (theo quy ước chúng ta chỉ có một từ bù có độ dài $l_i$). Tuy nhiên, do việc gán một trong các chữ cái $a, b, c$ ở bên phải các từ hay có độ dài $l-1$, kết quả sẽ không nhiều hơn $\sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i}$ từ phẳng. Điều này có nghĩa là trong số $3 \cdot G_{l-1}$ từ có độ dài $l$ nhận được có ít nhất $3 \cdot G_{l-1} - \sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i}$ từ hay.

*) Tổng $\sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i}$, nói chung, không giống với $\sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-i}$: trong tổng đầu tiên, tổng tùy ý chỉ được tính tổng theo các giá trị $l_i$, $2 \leqslant l_i \leqslant l$, mà trong danh sách cấm có một từ bị loại bỏ có độ dài tương ứng $l_i$ (nghĩa là, $l_i$ có lẽ không nhận tất cả các giá trị 2, 3, …, $l$): Vậy nếu trong danh sách cấm không loại bỏ từ có độ dài 3 thì trong tổng $\sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i}$ thiếu thành viên $G_{l-3}$.

Bất đẳng thức (1) đóng vai trò chính trong việc ước tính số $G_l$.

Bổ đề 2. Với mọi số tự nhiên $l'$

$$G_l \geq 2 G_{l-1}.$$

(2)

Ta sẽ chứng minh Bổ đề 2 bằng phương pháp quy nạp toán học.

Cơ sở cảm ứng: $l = 1$; rõ ràng là $G_1 \geq 2 \cdot G_0$.

Bước quy nạp: Giả sử rằng bất đẳng thức (2) đúng với mọi $l \leqslant L$ tự nhiên, nghĩa là

$$\begin{cases} G_L \geq 2 \cdot G_{L-1}, \\ G_{L-1} \geq 2 \cdot G_{L-2}, \\ \dots \\ G_2 \geq 2 \cdot G_1. \end{cases}$$

(2')

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $G_{L+1} \geq 2 \cdot G_L$.

Từ bất đẳng thức (2’) ta có:

$$G_L \geq 2 \cdot G_{L-1} \geq 2^2 \cdot G_{L-2} \geq \dots \geq 2^k \cdot G_{L-k},$$

đó là

$$G_{L-k} \leq G_L/2^k,$$

(2’')

ở đâu $k = 1, 2, \dots, L$.

Có tính đến các ước tính (2’’), bất đẳng thức (1) và phương pháp tính nó, chúng ta thu được điều đó

$$G_{L+1} \geq 3 \cdot G_L - \sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{L+1-l_i} \geq$$

$$\geq 3 \cdot G_L - \sum_{k=1}^{l} G_{L-k} \geq *$$

$$\geq 3 \cdot G_L - G_L \cdot \sum_{k=1}^{l} \frac{1}{2^k} \geq$$

$$\geq G_L \cdot (3-1) = 2 \cdot G_L,$$

và đây chính là điều cần phải chứng minh.

Vì $G_{l-1} \geq 2 \cdot G_{l-2}, G_{l-2} \geq 2 G_{l-3}, \dots, G_1 \geq 2 \cdot G_0 = 2$, thì $G_l \geq 2^l$, và ta có Định lý 1:

Với mọi số tự nhiên $l$ trong số bài toán M300 thì số từ hay có độ dài $l$ không nhỏ hơn $2^l$:

$$G_l \geq 2^l,$$

(3)

kết thúc bằng lời giải trong số bài toán của chúng tôi.

*) Đây là số tiền được công bố:

$$\sum_{k=1}^{l} G_{L-k} = G_{L-1} + G_{L-2} + \dots + G_{L-l}.$$

34

Lời nói vô tận

Bây giờ chúng ta biết rằng “từ điển” bài toán M300 chứa những từ hay có độ dài bất kỳ. Liệu nó có những lời tốt đẹp dài vô tận?

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu danh sách các từ được đánh dấu là hữu hạn (chỉ có hữu hạn số tổ hợp chữ cái bị cấm), thì sẽ có một từ tốt dài vô hạn. Tuy nhiên, chúng tôi lưu ý ngay rằng trên thực tế, yêu cầu về một danh sách hữu hạn các từ riêng biệt không tồn tại: tuyên bố về sự tồn tại của một từ tốt dài vô hạn vẫn đúng trong trường hợp có vô số lệnh cấm *).

Hãy lấy từ trong ngoặc đơn dài nhất (vì theo giả định, số lượng từ trong ngoặc đơn là hữu hạn nên điều này có thể thực hiện được); đặt giá trị của nó bằng $n$. Hãy chọn $N$ tự nhiên sao cho $N$ lớn hơn $n$. Vì chúng ta có những từ hay có độ dài bất kỳ, hãy lấy những từ hay có độ dài

*) Bạn có thể tìm thấy bằng chứng cho sự thật này trong bài báo “Chuỗi không lặp lại” của G. A. Gurevich (xem «Kvant» số 9). Bài báo của Gurevich thực tế đã chứng minh rằng từ tính chất “có một từ hay dài tùy ý” thì tính chất “có một từ hay dài vô hạn” suy ra, tức là trên thực tế, sự tồn tại của những từ hay có độ dài bất kỳ đều tương đương với sự tồn tại của một từ hay dài vô hạn. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng trong các câu của chúng tôi có một từ định kỳ, không hữu hạn và chúng tôi sẽ chỉ ra cách xây dựng một từ như vậy (như họ nói, chúng tôi sẽ đưa ra một bằng chứng xây dựng).

$N \cdot (3^N + 1)$, hãy biểu thị nó bằng $A$. Chúng ta hãy chia các từ $A$ thành $(3^N + 1)$ các phần có độ dài bằng nhau $B_k$ có độ dài $N$: nếu

$$A = x_1, x_2, \dots, x_N \cdot (3^N + 1).$$

trong đó $x_i$ là $a$, hoặc $b$, hoặc $c$, thì $B_k = x_N \cdot (k - 1) + 1, x_N \cdot (k - 1) + 2, \dots, x_N \cdot k.$

Vì $A$ là một từ hay nên mọi $B_k$ cũng là một từ hay có độ dài $N$. Nhưng trong bảng chữ cái của chúng ta chỉ có ba chữ cái $(a, b, c)$, vì vậy sẽ không có nhiều từ hay có độ dài $N$ hơn $3^N$. Chúng tôi đã nhận được $(3^N + 1)$ lời tốt đẹp $B_k$; Điều này có nghĩa là trong số đó có những cái giống hệt nhau. Ví dụ: đặt $B_{n_1} = B_{n_2}$ và $n_1 < n_2$. Chúng ta hãy lấy một đoạn của từ $A$, bao gồm các phần $B_k$ với các số $k$ từ $n_1$ đến $n_2 - 1$. Đây sẽ là một từ hay $C$ có độ dài $m \geq N$:

$$C = x_N \cdot (n_1 - 1) + 1, \dots, x_N \cdot (n_2 - 1).$$

Chúng ta hãy thêm từ $C$ tương tự vào từ $C$ ở bên phải. Chúng ta nhận được các từ $D$ có ​​độ dài $2m$:

$$D = x_N \cdot (n_1 - 1) + 1, \dots, x_N \cdot (n_2 - 1),$$

$$x_N \cdot (n_1 - 1) + 1, \dots, x_N \cdot (n_2 - 1).$$

Hãy chứng minh rằng $D$ là một từ hay.

Giả sử điều ngược lại: $D = CC$ là một từ phẳng; sau đó nó chứa một số loại từ trong ngoặc đơn. Rõ ràng đây là một câu cửa miệng

35

chỉ có thể tìm thấy ở vùng “dán” hai từ hay $C$, sao cho giao điểm của nó với từ “phải” và “trái” $C$ không trống. Nhưng $B_{n_1} = B_{n_2}$ hoặc trên bất kỳ từ được đánh dấu nào đều được thay thế bằng $N$; Điều này có nghĩa là từ được đánh dấu này phải nằm trong vùng “dán lại” các phần $B_{n_2}-1$ và $B_{n_1}$ của từ tốt $A$, nhưng điều này không thể xảy ra, và do đó, từ $D$ là từ tốt.

Rõ ràng là một từ định kỳ vô hạn $CC \dots C$ với dấu chấm $C$ cũng sẽ tốt, và trên thực tế, điều này cung cấp mọi thứ cần thiết.

Vì vậy, số tự động của chúng tôi có thể lái xe quanh thành phố trong một thời gian dài vô tận mà không vi phạm luật lệ giao thông!

Ví dụ thú vị

Chúng ta hãy quay lại bất đẳng thức (1), với cách chứng minh mà chúng ta đã bắt đầu lời giải bài toán M300; hãy viết lại nó như thế này:

$$G_l - 3 \cdot G_{l-1} + \sum_{l_i, 2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i} \geqslant 0.$$ (4)

Độ chính xác của sự bất bình đẳng này như thế nào? Có thể thay dấu “=” trong đó bằng dấu “=” được không? Nói chung, điều đó là không thể, và đây là lý do.

Con số $3 \cdot G_{l-1}$ là số từ thu được khi thêm độ dài vào bên phải những từ hay $l-1$ một trong những lá thư $a, b, c$; trong số những từ như vậy có tất cả những từ hay và dài $l$. Trừ từ số $3 \cdot G_{l-1}$ con số $G_{l-l_i}$, Ở đâu $l_i$ - một số giá trị 2, 3, …, $l$ (có thể là tất cả các nghĩa), do đó, chúng tôi gạch bỏ độ dài của các từ được xây dựng $l$ tất cả những từ phẳng có được nếu một từ có độ dài tốt $l-l_i$ thêm độ dài từ được đánh dấu $l_i$. Nhưng hóa ra có thể một từ phẳng nào đó có độ dài $l$ dường như bị gạch bỏ nhiều lần khỏi danh sách $3 \cdot G_{l-1}$ các từ kết quả. Nếu trong số chúng ta $3 \cdot G_{l-1}$ độ dài từ $l$ không có từ nào được sinh ra từ những từ hay và dài dòng $l-l_i$ bằng cách thêm một từ đánh dấu có độ dài vào bên phải $l_i$, thì tương ứng số $G_{l-l_i}$ Không cần phải trừ chút nào.

Tuy nhiên, dưới một số điều kiện bổ sung trong danh sách cấm cùng với các bất đẳng thức truy hồi (4) đối với các số $G_l$ ($l$ - bất kỳ), các đẳng thức truy hồi tương tự sẽ được thỏa mãn:

$$G_l - 3 \cdot G_{l-1} + \sum_{l_i, 2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i} = 0.$$ (4')

Trong những trường hợp như vậy, $G_l$ được viết rõ ràng dưới dạng hàm của $l$ và với mỗi giá trị cụ thể $l$ thì có thể tính được số $G_l$.

Cụ thể, từ phần trên cho thấy rằng để tính hợp lệ của đẳng thức truy hồi (4’), hai điều kiện sau là đủ:

1. Trong số các từ có độ dài $l$, thu được bằng cách gán ở bên phải một trong các chữ cái $a, b, c$ cho các từ hay có độ dài $l-1$, tìm tất cả các từ thu được từ các từ hay có độ dài $l-l_i$ bằng cách gán ở bên phải một từ có độ dài được đánh dấu $l_i$ (nó được cho là nằm trong danh sách bị cấm).

2. Mỗi từ dương có độ dài $l$ thu được bằng cách ghi công tối đa (của một chữ cái) được thể hiện dưới dạng một từ hay nào đó (độ dài nhỏ hơn) và một từ được đánh dấu theo một cách duy nhất.

Điều kiện 2° được thỏa mãn nếu không có từ nào được đánh dấu trong danh sách cấm đứng cuối bất kỳ từ nào được đánh dấu khác.

Bài tập 1. Kiểm tra xem bảng chữ cái gồm ba chữ cái và danh sách các từ được đánh dấu $ab, acb, accb, \dots, ac\dots cb$ có thỏa mãn các điều kiện 1° và 2° không, và đối với các số $G_l$ các mối quan hệ truy hồi cũng hợp lệ:

$$G_l - 3 \cdot G_{l-1} + G_{l-2} + \dots + G_{l-s} = 0.$$ (5)

(s là độ dài của từ được đánh dấu dài nhất).

Nếu danh sách cấm ở bài tập 1 chỉ giới hạn ở hai từ được đánh dấu $ab$

*) Các phương trình có dạng $G_l + b_1 G_{l-1} + b_2 G_{l-2} + \dots + b_s G_{l-s} = 0$ ($b_1, \dots, b_s$ là một số hằng số) được gọi là phương trình sai phân hữu hạn; bạn có thể đọc về phương pháp của họ lời giải trong cuốn sách “Tính sai phân hữu hạn” của A. O. Gelfon. M., “Khoa học”, Chương V, § 4, đoạn 2.

36

và acb thì ta được phương trình
$$G_l - 3 \cdot G_{l-1} + G_{l-2} + G_{l-3} = 0. \quad (5')$$
Lời giải phương trình (5’) sẽ được tìm ở dạng
$$G_l = \lambda^l. \quad (5'')$$
Thay (5’’) vào (5’), ta thu được phương trình
$$\lambda^3 - 3\lambda^2 + \lambda + 1 = 0,$$
có ba gốc khác nhau:
$$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 1 + \sqrt{2}, \quad \lambda_3 = 1 - \sqrt{2}.$$
Tổng quát lời giải của phương trình (5’) được viết như sau:
$$G_l = C_1 + C_2 (1 + \sqrt{2})^l + C_3 (1 - \sqrt{2})^l,$$
trong đó $C_1, C_2$ và $C_3$ là các hằng số được xác định từ các điều kiện ban đầu:
$$G_0 = 1, \quad G_1 = 3, \quad G_2 = 8.$$
Điều này dẫn đến một hệ thống xác định $C_1, C_2, C_3$:
$$\begin{cases} C_1 + C_2 + C_3 = 1, \\ C_1 + C_2 (1 + \sqrt{2}) + C_3 (1 - \sqrt{2}) = 3, \\ C_1 + C_2 (3 + 2\sqrt{2}) + C_3 (3 - 2\sqrt{2}) = 8, \end{cases}$$nó nằm ở đâu
$$C_1 = -\frac{1}{2}, \quad C_2 = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ C_3 = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2},$$
Có nghĩa,
$$G_l = -\frac{1}{2} + \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (1 + \sqrt{2})^l + \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (1 - \sqrt{2})^l$$
(một phần, $G_3 = 20$).

Khái quát hóa bài toán M300

Giả sử bảng chữ cái bao gồm $n$ chữ cái $a_1, a_2, \dots, a_n$ và trong danh sách các từ bị loại (dài ít nhất hai) có hơn $m$ các từ khác nhau có cùng độ dài.

Bây giờ chúng tôi sẽ chứng minh rằng, theo những hạn chế nhất định đối với các số nguyên tố $n$ và $m$, một “từ” như vậy sẽ chứa các từ hay dài tùy ý và đối với mỗi $l$ tự nhiên ($l$ là độ dài của từ) - một lần nữa, khá nhiều.

Như với lời giải bài toán M300 (với M300 ta có: $n=3, m=1$), trước tiên chúng ta cần chứng minh điều đó.

Bổ đề 3. Nếu các điều kiện của “tổng quát bài toán M300” được thỏa mãn đối với các số $G_l$ và độ dài $l$ cũng đúng:
$$G_l \geq n \cdot G_{l-1} - \sum_{i=1}^{n-1} m_i \cdot G_{l-i}, \quad (6)$$
Nói cách khác, $m_i$ biểu thị số lượng từ bị loại bỏ có độ dài $l_i$ ($G_1$, rất indo, bằng $n$ và $G_0$ lại được đặt thành 1).

Bổ đề 3 được chứng minh bằng cách lập luận giống hệt như Bổ đề 1 (xem trang 33); Chúng tôi sẽ không chứng minh điều đó.

Vì, theo điều kiện của từng trường hợp, $m_i$ không lớn hơn $m$ (trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xét $m = \max\{m_i\}$ và gọi $m$ là bội của hệ ràng buộc), nên
$$G_l \geq n \cdot G_{l-1} - m \cdot \sum_{i=1}^{n-1} G_{l-i}. \quad (7)$$
Bước tiếp theo sau Bổ đề 3 là chứng minh Bổ đề 4 quan trọng:
$$m \leq \left(\frac{n-1}{2}\right)^2, \quad (8)$$
mo. có một số $\lambda > 1$ sao cho đối với mọi $l$ tự nhiên
$$G_{l+1} \geq \lambda \cdot G_l. \quad (9)$$
Bổ đề 4, giống như Bổ đề 2 của đoạn đầu tiên, được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học sử dụng bất đẳng thức (7) và các tương ứng (2’) và (2’’), trong đó số “2” được thay thế bằng chữ “λ” (xem trang 33). Có thể thực hiện chuyển đổi biểu thị từ $L$ sang $L+1$ vì bất đẳng thức tương đối bình phương $\lambda$
$$n - \frac{m}{\lambda - 1} \geq \lambda$$ với phân biệt không âm (do (8))
$$\left[ \left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - m \right]$$ có lời giải
$$\lambda_1, 2 = \frac{n+1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - m}.$$
Vì $G_1 = n \cdot G_0$ (nhớ lại $G_0 = 1$) và
$$n \geq \frac{n+1}{2} + \sqrt{\left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - m},$$
Cái đó
$$G_1 \geq \left(\frac{n+1}{2} + \sqrt{\left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - m}\right) \cdot G_0,$$
và số $\lambda > 1$ tồn tại đã được chứng minh.
Cuối cùng, tương tự như Định lý 1, chúng ta sẽ thu được Định lý 2:
Nếu ở điều kiện “tổng quát bài toán M300” $m \leq \left(\frac{n-1}{2}\right)^2$, thì