Kvant 1978, số 2 · Trang

KVANT 2
1978

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

“… Tôi hân hạnh thông báo cho bạn về một số kết quả nổi bật, nhiều kết quả đã đạt được… Điểm chính của những kết quả này… là việc tạo ra một thiết bị có hoạt động… tương tự như bình Leyden… nhưng, tuy nhiên, hoạt động liên tục, nghĩa là điện tích của nó tự phục hồi sau mỗi lần phóng điện; nói tóm lại, thiết bị này tạo ra một điện tích không thể tính toán được…" Đây là những gì Alexandro Volta đã viết cho chủ tịch Hiệp hội Hoàng gia (Viện Hàn lâm Khoa học Anh) về thiết bị mà ông đã phát minh ra, mà chính ông gọi là thiết bị “thiết bị điện động lực.” Sau đó người Pháp bắt đầu gọi nó là “cột điện” hay “cột điện”.

Tại Milan (Ý) trong Bảo tàng Lịch sử Khoa học và Công nghệ, các cột Voltaic được lưu giữ, do chính Alexandro Volta chế tạo. (Bạn có thể nhìn thấy chúng trong ảnh.)

Trong lịch sử phát minh ra thiết bị này, Luigi Galvani và những “thí nghiệm mạ điện” quan trọng của ông đã đóng một vai trò quan trọng. Bạn có thể đọc về câu chuyện này trong bài “Tranh chấp ếch” trên tạp chí này.

1

TRONG PHÒNG:

Tổng biên tập Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó Tổng biên tập thứ nhất Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belyaev
V. G. Boltyansky
N. V. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
A. I. Markushevich
N. A. Patrikeeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

Bìa trước thể hiện một nhóm hình elip hình cầu. Những đường cong tương tự này bao quanh các “sọc” và “nắp” mà một phiên bản khác của hình cầu được “cắt”. Đọc thêm về hình elip hình cầu trên trang. 25.

2 A. Kitayerodsky. Khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể thay đổi như thế nào
10 S. Semenov. Hướng dẫn sử dụng được tìm thấy ở Zaragoza
14 A. Dozorov. “Tập trung” nghĩa là gì?

Phòng thí nghiệm «Kvant»
18 A. Nikolaev. Thiết bị nghiên cứu khúc xạ ánh sáng

vòng tròn toán học
20 Z. Skopets, L. Kuznetsova. Bề mặt hình yên ngựa◆
25 V. Berezin. Hình elip hình cầu

Vấn đề «Kvant»
26 Bài toán M486—M490; F498—F502
28 Lời giải bài toán M441—M443; F453—F457

Qua những trang sách giáo khoa
34 A. Zemlyakov, B. Ivleb. Câu hỏi đại số và phân tích
36 B. Geidman. Thành phần của hai đối xứng trục

«Kvant» cho học sinh nhỏ
39 Bài toán
40 I. Belkin. tranh chấp ếch

Xưởng của người nộp đơn
46 S. Aleshin, M. Pomanov, V. Sludsky. Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova
49 A. Zazelo. Tập hợp các giá trị của hàm số

Olympic quốc tế dành cho học sinh
51 A. Savin. Olympic Toán Quốc tế lần thứ XIX
54 Hỏi - chúng tôi trả lời

Thông tin
55 G. Galperin. Bài toán Olympic Toán học XL Moscow dành cho học sinh

Đánh giá, thư mục
56 I. Klumova. Để tưởng nhớ Otto Dunkel
58 Đáp số, gợi ý, lời giải
Trộn (9, 17, 35, 38, 48, 53)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, «Kvant», 1978

2

A. Kitayevodsky

Khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể thay đổi như thế nào

Những từ “cấu trúc” và “cấu trúc” rất có ý nghĩa. Các nghiên cứu khác nhau có ý nghĩa khác nhau dưới những từ này. Một nhà sinh vật học có thể nói về cấu trúc của mô cơ, nghĩa là sự sắp xếp của các sợi cơ với nhau; Khi một nhà kim loại nói về cấu trúc của hợp kim, anh ta thường đề cập đến hình dạng và kích thước của các hạt. Những cấu trúc này được quan sát bằng cách sử dụng sự phân tách vi mô nói chung ở độ phóng đại chỉ vài trăm lần. Nhưng những từ tương tự cũng được sử dụng khi nói về các hạt tạo nên hạt nhân nguyên tử, có vị trí thay đổi một phần nghìn tỷ centimet. Ở đây, từ “cấu trúc” đã có nghĩa thông thường và các nhà vật lý sử dụng nó một cách thận trọng, hãy nhớ rằng các biểu diễn trực quan bằng hình ảnh không phù hợp với những viên gạch rắn chắc của vũ trụ.

Trong vật lý chất rắn, từ “cấu trúc” và “cấu trúc” cũng có thể được sử dụng theo nhiều nghĩa khác nhau. Vì vậy, chẳng hạn, khi thảo luận về cấu trúc điện tử của kim loại, chúng không có nghĩa là vị trí của các electron trong không gian, mà là bản chất phân bố năng lượng của chúng; nói về cấu trúc của vật liệu sắt từ, họ mô tả kích thước, hình dạng và vị trí của các miền. Có những tình huống khác mà từ “cấu trúc” lại khá phù hợp.

Bài viết này sẽ thảo luận về cấu trúc nguyên tử của tinh thể, trong đó đề cập đến mô hình được tạo ra bởi các trung tâm nguyên tử. Cấu trúc nguyên tử

4

chùm tia hẹp chính của RENTEN RAYS rơi xuống. Họ đang cố gắng chọn các điều kiện thí nghiệm sao cho tinh thể có khả năng tạo ra các tia. Khi đó tất cả các nguyên tử của tinh thể sẽ tham gia vào việc tạo ra bức xạ tán xạ (thứ cấp, nhiễu xạ - đây đều là các hình sin).

Hiện tượng được đề cập không hề đơn giản. Nhưng chúng ta không cần đi sâu vào chi tiết. Vì vậy, mọi vấn đề sẽ được giải quyết trong chủ đề này. Sự đơn giản hóa đầu tiên - chúng ta sẽ hạn chế nghiên cứu hình chiếu của cấu trúc tinh thể, cách thứ hai - chúng ta sẽ xem xét một mạng than hình chữ nhật, cách thứ ba - chúng ta sẽ giả sử rằng có một phân tử hai nguyên tử trong mỗi tế bào.

Đầu tiên chúng ta hãy giải quyết mô tả về “let” của mạng mà từ đó các nguyên tử được “loại bỏ”. Còn lại một nút. Hai cha con Bragg đã chỉ ra rằng nhiễu xạ của TIA RENTHEN có thể được coi là một loại phản xạ chọn lọc (nghĩa là chỉ xảy ra ở một số giá trị góc rời rạc nhất định) của các tia từ hệ thống mặt phẳng nút mà cách tử có thể được chia vào đó.

Rõ ràng là mạng không gian của tinh thể có thể được chia thành các họ mặt phẳng nút theo nhiều cách khác nhau. Trong hình chiếu của một mạng “được giải phóng” khỏi các nguyên tử, có thể dễ dàng hiển thị dấu vết của các mặt phẳng nút vuông góc với mặt phẳng vẽ (Hình 4). Chúng tôi chỉ mô tả năm chiếc máy bay gia đình. Tuy nhiên, những gì có hiệu quả đối với sự phản xạ có chọn lọc tồn tại như sẽ được mô tả dưới đây là những chi tiết không thể tách rời.

Hệ mặt phẳng nào được đặc trưng bởi các chỉ số $h$ và $k$. Ý nghĩa của chúng được minh họa bằng ví dụ về họ có chỉ số $h=10$ và $k=3$ (xem Hình 4). Để không làm lộn xộn bản vẽ, chúng tôi đã xây dựng sáu mặt phẳng gần nút $O$ và vẽ một mặt phẳng khác, được chỉ định là $L$. Mặt phẳng $L$ ở gần nút $O$, cắt một số nguyên chu kỳ $a$ và $b$ dọc theo cả hai trục mạng. Các số nguyên này bằng 3 trên một trục và 10 trên trục kia. Đi qua ô $O'$, mặt phẳng $L$ cắt bỏ phần $1/10$ của chu kỳ $a$ và $1/3$ của chu kỳ $b$. Ý nghĩa của chỉ số $h$ và $k$ trở nên rất thú vị. Chúng tôi giao việc cho bạn tạo một cụm từ thuộc loại mà các nhà toán học yêu thích: “Các chỉ số $h$ và $k$ được gọi là…”.

Hệ mặt phẳng còn được đặc trưng bởi cơ chế khoảng cách $d$. Mặt phẳng $L$ ở gần nút $O'$, do đó $|O'B| = d$. Các phân đoạn $|O'A|$ và $|O'C|$ có thể được viết là $b/k$ và $a/h$. Từ

$$\sin^2 O'AB + \cos^2 BO'C = 1,$$

chúng tôi nhận được

$$\frac{1}{d^2} = \frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}.$$

(Chúng tôi khuyên bạn nên giải bài toán vượt qua bài toán, việc này sẽ khiến bạn mất hơn một giờ - in ana-

5

Hình 4.

một công thức logic cho mạng ba chiều, ô của nó là một hình song song xiên.)

Chúng ta tiến tới rút ra định luật cơ bản về sự phản xạ có chọn lọc của tia X bởi tinh thể. Để chùm tia tới, là sóng điện từ xác định độ dài $\lambda$, rơi vào tinh thể ở một góc nào đó. Chúng ta có quyền tin rằng sự phản xạ của sóng tia X sẽ xảy ra theo định luật: góc tới bằng góc phản xạ, nghĩa là theo định luật tương tự như đối với chùm tia quang học. Nhưng có sự khác biệt đáng kể với chùm tia quang học. Chùm ánh sáng không xuyên sâu vào tinh thể nhưng chùm tia X có thể xuyên qua tinh thể. Điều này có nghĩa là sự phản xạ của chùm tia X sẽ bắt nguồn không chỉ từ bề mặt bên ngoài của tinh thể mà còn từ tất cả các mặt phẳng nguyên tử của nó.

Chúng ta hãy xem xét một trong các hệ thống được đặc trưng bởi khoảng cách mặt phẳng $d$ (Hình 5). Mỗi mặt phẳng sẽ phản xạ chùm tia tới ở cùng một góc $\theta$ (được gọi là góc nhiễu xạ). Các tia phản xạ này đúng thì phải giao thoa với nhau. Hơn nữa, các tia thứ cấp (phản xạ) sẽ nối tiếp nhau nếu sau khi phản xạ từ tất cả các mặt phẳng trong họ, chúng truyền đi trong cùng một pha. Nói cách khác, nếu độ lệch đường đi giữa các chùm tia bằng số bước sóng $n$. Hiệu đường đi $|PM| + |MN|$ (xem Hình 5) giữa các tia phản xạ liền kề bằng $2d\sin\theta$ (hãy chứng minh điều đó!). Do đó, điều kiện nhiễu xạ - điều kiện cho sự thành công của tia phản xạ - sẽ có dạng

$$2d\sin\theta=n\lambda.$$ (2)

Nó được gọi là phương trình Bragg.

Một tinh thể, như chúng ta đã nói, có thể được chia thành các hệ thống mặt phẳng theo vô số cách. Nhưng hiệu quả đối với sự phản xạ (bạn hiểu ý nghĩa của những từ này phải không?) chỉ là một hệ mặt phẳng có cơ chế khoảng cách và định hướng tương đối với chùm tia tới sao cho phương trình Bragg được thỏa mãn.

Nếu chùm tia tới là đơn sắc (nghĩa là sóng điện từ có một chiều dài cụ thể), thì tại một vị trí tùy ý của tinh thể so với chùm tia, sự phản xạ có thể không xảy ra (hay nói đúng hơn là tổng hiệu ứng của khả năng phản xạ có thể bằng không). Tuy nhiên, bằng cách xoay tinh thể, chúng ta có thể luân phiên đưa các hệ mặt phẳng khác nhau vào vị trí phản chiếu. Chính cách làm việc này hóa ra lại phù hợp nhất trong thực tế.

6

Từ phương trình Bragg (phương trình (2)), suy ra rằng đối với một bước sóng nhất định, có một giá trị tối thiểu là khoảng cách $d$ giữa các mặt phẳng mà tại đó có thể xảy ra phản xạ chọn lọc. Khoảng cách này bằng $\lambda/2$ (vì sin không thể lớn hơn một). Mặt khác, từ công thức khoảng cách cơ học trên (công thức (1)) rõ ràng giá trị nhỏ nhất $d$ tương ứng với các giá trị nhỏ nhất $h$ và $k$.

Phần lớn, phân tích CẤU TRÚC THUÊ sử dụng một trong các bước sóng của bức xạ đặc trưng của đồng, cụ thể là 1,54 angstrom *). Khi đó khoảng cách cơ học nhỏ nhất có thể tham gia tạo ra hình ảnh nhiễu xạ là 0,77 angstrom. Với thông tin này, chúng ta có thể ước tính có bao nhiêu hệ mặt phẳng phản xạ nếu biết các chu kỳ mạng $a$ và $b$. Hãy thử giải hình học bài toán này cho angstrom $a=10$ và $b=20$.

Với mục đích này, cần vẽ một đường tròn có bán kính $1/\lambda$ trong không gian (trong trường hợp hai chiều của chúng ta - trong mặt phẳng) của mạng “nghịch đảo”. Và sau đó tính số… (HERO, đoán xem). Nhưng mạng “đảo ngược” là gì và tại sao chúng ta cần khái niệm mới này?

Trong trường hợp của chúng ta, mạng nghịch đảo là mạng có ô là hình chữ nhật có cạnh $1/a$ và $1/b$. Như bạn có thể thấy, tính từ “đảo ngược” được đáp ứng. Một mạng như vậy được xây dựng trong Hình 6. Hãy chọn gốc tọa độ tại bất kỳ nút nào và vẽ các trục tọa độ - một trục chuẩn lại với trục tinh thể, dọc theo đó chu kỳ bằng $a$, trục tọa độ thứ hai được xác định lại cho trục có chu kỳ $b$. Bây giờ chúng ta hãy vẽ một vectơ trong mạng này (nó được gọi là vectơ mạng nghịch đảo) nối phần đầu của báo cáo với nút mạng nghịch đảo, có số là 10 dọc theo một trục và 3 dọc theo trục kia. Độ dài của vectơ này là bao nhiêu?

*) 1 angstrom = 1 Å = 10⁻¹⁰ m.

Hình 6.

7

Hình 7.

bằng phương pháp chụp ảnh hoặc sử dụng máy ảnh khởi tạo, bộ đếm Geiger hoặc thiết bị khác ghi lại quá trình khởi tạo nghiên cứu.

Tất nhiên, bây giờ tất cả điều này được thực hiện tự động, nhưng vào thời điểm những người viết những dòng này bắt đầu làm việc, quy trình là như thế này. Tinh thể đã được lắp đặt, sau đó việc thu chùm tia thứ cấp được thực hiện trên toàn bộ phạm vi góc. Đồng thời, mắt dõi theo thiết bị hiển thị dòng điện. Sau đó, tinh thể được quay, chẳng hạn như một độ, và sau đó những hành động này được lặp lại cho đến khi chúng ta “va chạm” vào chùm tia phản xạ. Trong trường hợp này, như được thấy rõ trong Hình 7, hai góc đã được ghi lại: giá trị của góc Bragg θ và vị trí của pháp tuyến đối với mặt phẳng phản xạ (đối với bất kỳ phần đầu tùy ý nào của báo cáo).

Một tờ giấy nằm trước mặt nhà nghiên cứu và anh ta bắt đầu xây dựng một mạng lưới đối ứng. Tôi đặt vị trí của pháp tuyến sang mặt phẳng phản xạ và vẽ giá trị $n/d$ trên đường pháp tuyến này, giá trị này được xác định duy nhất từ ​​phương trình Bragg. Khi công việc này hoàn thành (ngày xưa nó chiếm không gian, nhưng bây giờ máy đo nhiễu xạ tự động thực hiện nó nhanh hơn hàng trăm lần), nhà vật lý đã thu được hình ảnh của một mạng nghịch đảo. Từ quán bar của cô, anh ngay lập tức phát hiện ra

Hình 8.

số đo của tế bào tinh thể và mỗi phản xạ có thể được gán số vị trí mạng đối ứng, và do đó chỉ số $h$ và $k$ cũng như thứ tự phản xạ $n$.

Ngoài ra, nhà nghiên cứu còn biết cường độ của mọi phản xạ. Vì vậy, anh ta thực tế có sẵn tất cả thông tin về cấu trúc của tinh thể, mọi thứ liên quan đến bản chất cấu trúc của các phân tử từ nguyên tử và tinh thể từ các phân tử.

Bây giờ chúng ta cần chuyển từ mạng “trống” gồm một nút sang mạng chứa đầy các nguyên tử. Mỗi chi tiết của kiểu nhiễu xạ có bị ảnh hưởng bởi cấu trúc của tế bào không? Đáp số diễn ra như sau: cấu trúc của tế bào ảnh hưởng đến cường độ tia phản xạ. Đối với hình dạng của mẫu khuếch tán, nó chỉ được xác định bởi loại cách tử. Các nguyên tử bên trong tế bào không thêm các tia phản xạ “thêm”. Đồng thời, rất có thể cấu trúc của tế bào sẽ khiến một số phản xạ biến mất - đưa cường độ của chúng về 0.

Kết luận này đến từ đâu? Thực tế là các nguyên tử bên trong tế bào không tạo ra các hệ thống mặt phẳng mới. Mô hình nguyên tử chỉ dẫn đến sự xuất hiện của các mặt phẳng “được chèn vào”. Hãy nhìn xem, Hình 8 hiển thị lưới giống như trong Hình 4. Nhưng bây giờ nó không “trống”. Hãy chọn lại càng nhiều càng tốt

8

trường hợp đơn giản. Giả sử rằng một mạng thực sự được tạo thành từ các phân tử hai nguyên tử và vị trí mạng được lấy ở trung tâm của một phân tử như vậy. Một hệ mặt phẳng thực (trường hợp $h=2$ và $k=1$ lấy làm ví dụ) sẽ xuất hiện như Hình 8. Chùm tia phản xạ sẽ bị đẩy cùng chiều, góc Bragg không thay đổi.

Chúng ta hãy chỉ ra rằng cường độ của chùm tia phản xạ sẽ phụ thuộc vào cấu trúc của tế bào - trong trường hợp này là vào khoảng cách giữa các phân tử trong phân tử và vào góc tạo bởi trục của phân tử với trục của tế bào.

Cường độ bức xạ tỷ lệ thuận với bình phương biên độ sóng. Thật vậy, tại điểm quan sát, trường được tạo bởi mạng nguyên tử được viết là $A \cos \omega t$. Cường độ là $\frac{A^2 \cos^2 \omega t}{\alpha}$. Dấu gạch ngang ở trên có nghĩa là đang cập nhật theo thời gian (dao động xảy ra nhanh chóng và kinh nghiệm ghi lại giá trị trung bình). Nhưng $\cos^2 \omega t = \frac{1}{2}$ (điều này rất dễ chứng minh). Do đó, cường độ tỷ lệ thuận với $A^2$ - bình phương biên độ sóng.

Trong trường hợp mạng gồm các phân tử hai nguyên tử, trường kết quả của sóng điện từ có thể được coi là tổng trường của hai mạng đơn giản. Hai trường này sẽ đến điểm quan sát với sự dịch pha mà chúng ta sẽ ký hiệu là $2\alpha$. Giữ biểu thức $A \cos \omega t$ cho mạng nút, bây giờ chúng ta viết tổng các trường của hai mạng dưới dạng

$$A \cos (\omega t + \alpha) + A \cos (\omega t - \alpha).$$

Mỗi nút được “mở rộng” thành hai hạt, tạo ra một trường có pha nhất định và hạt kia có độ trễ. Cộng, bình phương và lấy trung bình theo thời gian, ta thấy cường độ của chùm tia phản xạ sẽ tỉ lệ với $\cos^2 \alpha$.

Theo định nghĩa, $\alpha = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta$, trong đó $\lambda$ là bước sóng và $\Delta$ là hiệu đường đi. Mặc dù đạo hàm của biểu thức cho hiệu đường đi $\Delta$ không khác với đạo hàm của công thức Bragg, tuy nhiên, chúng tôi đã tiến hành xây dựng cẩn thận cho trường hợp này trong Hình 9, từ đó người đọc, sau một chút đắn đo, sẽ tìm thấy biểu thức mong muốn:

$$\Delta = |OC| + |OD| = 2r_n \sin \theta,$$

trong đó $r_n$ là hình chiếu của vectơ bán kính $r$ (nối các nguyên tử của phân tử) lên hướng truyền của sóng phản xạ (về hướng pháp tuyến $n$), $\theta$ là góc tán xạ Bragg. Chúng tôi sử dụng phương trình Bragg và định nghĩa vectơ nghịch đảo:

$$\Delta = 2r_n \sin \theta = \lambda r_n \frac{n}{d},$$

sự lệch pha đến từ đâu?

$$\alpha = \frac{2\pi \Delta}{\lambda} = 2\pi r_n \frac{n}{d}.$$

Vì vậy, cường độ của sóng phản xạ, tỷ lệ với $\cos^2 \alpha$, thực sự được xác định bởi cấu trúc của ô đơn vị của tinh thể. Rõ ràng, nếu không có hai nguyên tử trong một ô mà là nhiều nguyên tử, thì mọi lý do sẽ giống nhau.

Chà… bài toán đã giải quyết được chưa? Cường độ của các tia nhiễu xạ liên quan đến cấu trúc nói chung là một công thức đơn giản; Việc tính cường độ tia phản xạ từ một cấu trúc nhất định không khó. Vấn đề là xác định sự khác nhau về đường đi giữa các sóng phản xạ bởi tất cả các cách tử “được chèn vào”. Bạn có thể đối phó với nhiệm vụ này đối với một tinh thể bao gồm

9

của hàng trăm nguyên tử. Câu hỏi duy nhất là thời gian.

Nhưng người đọc chắc chắn nhận thấy rằng phép tính đang được đề cập không phải là phép tính chúng ta cần. Bài toán bao gồm việc tìm cấu trúc nguyên tử từ dữ liệu thực nghiệm chứ không phải tính toán kiểu nhiễu xạ dựa trên thông tin về cấu trúc. Primaya bài toán khó hơn nhiều so với phiên bản ngược lại. Tính toàn vẹn tỷ lệ với bình phương biên độ của sóng thu được, là tổng của các hàm lượng giác. Việc này không chỉ khó về mặt kỹ thuật mà còn đơn giản là không thể xác định được các lập luận của cosin khi chỉ biết bình phương của tổng của chúng. Bây giờ, nếu thí nghiệm đưa ra các giá trị về biên độ tán xạ thì tình huống sẽ khá đơn giản.

Thoạt nhìn, tình hình có vẻ vô vọng. Trong một thời gian dài, các nhà nghiên cứu đã sử dụng cái gọi là phương pháp thử và sai. Điều này có nghĩa là: chúng tôi đã nghĩ ra một cấu trúc và xem liệu nó có phù hợp với trải nghiệm hay không. Nhưng bạn không thể tiếp tục như thế này.

Nhiều cách đã được phát minh để khắc phục khó khăn này. Máy tính điện tử đóng một vai trò quyết định trong việc này. Tôi muốn cho người đọc biết cách khắc phục khó khăn này, nhưng cuộc trò chuyện của chúng tôi về phân tích cấu trúc gen RENT đã kéo dài. 《Thủ thuật nhỏ》 mà các nhà nghiên cứu sử dụng trước hết là cấu trúc của các nguyên tử nặng (sau đó, theo phép tính gần đúng đầu tiên, chúng ta có thể giả định rằng tinh thể chỉ bao gồm những nguyên tử này) và thứ hai là một lý thuyết rất hay cho thấy rằng có những mối liên hệ giữa các cấu trúc biên độ khác nhau.

Vâng, sẽ rất vui nếu nói với người đọc về điều này, nhưng đối với «Kvant» cuộc trò chuyện sẽ quá dài. Vì vậy, không còn cách nào khác ngoài việc khuyên người đọc quan tâm nên tìm đọc các tài liệu chuyên ngành.

Sự thành công của một phương pháp được đánh giá bằng kết quả của nó. Thực tế là cho đến nay, cấu trúc của hơn 15 nghìn tinh thể đã được xác định, bao gồm vài chục cấu trúc của protein, các phân tử bao gồm hàng nghìn nguyên tử, đã nói lên điều đó. Việc xác định cấu trúc của các phân tử phức tạp đặt nền tảng cho hóa sinh và vật lý sinh học. Những ngành khoa học này hiện đang trong thời kỳ phát triển nhanh chóng. Họ được kỳ vọng sẽ khám phá những bí mật của cuộc sống và hơn thế nữa là của cái chết. Phân tích nhiễu xạ tia X, mặc dù đã có tuổi đời đáng nể là 65 năm, nhưng vẫn đi đầu trong khoa học.

$$a = a + 1!$$

Cộng bình phương của số $\frac{2a+1}{2}$ vào cả hai phần của nó, ta được:

$$\left( a - \frac{2a+1}{2} \right)^2 = \left( a + 1 - \frac{2a+1}{2} \right)^2.$$

Ở đâu

$$a = a + 1,$$

Q.E.D. Sai lầm ở đâu? (Sự ngụy biện này đã được độc giả thường xuyên của chúng tôi S. Sefibekov thêm vào phần biên tập).

10

Hướng dẫn sử dụng được tìm thấy ở Zaragoza

Gần đây, trong cuộc khai quật ở thành phố Zaragoza của Tây Ban Nha, người ta đã phát hiện ra một thư viện cổ thuộc về gia đình buôn bán nổi tiếng một thời Suarskoe. Trong số những cuốn sách khác có lịch sử gia đình. Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu với người đọc một trong những đoạn của bản thảo này, vì nó chứa công thức toán học hiện đại và thú vị bài toán. Vì thế…

“Đã đến tuổi mà một người thận trọng phải chăm sóc người kế nhiệm và tiếp tục công việc kinh doanh, Suarrez quyết định nhận các con trai của mình, Alonso và Lopez, để tìm hiểu xem chúng có khả năng thay thế ông như thế nào. Các con trai không xuất hiện, và Suarrez nói với họ bằng những lời sau: “Các con! Tôi dự định thay mặt mỗi bạn đóng góp 100.000 reais trong thời hạn mười năm cho một doanh nghiệp đáng tin cậy nào đó. Hoạt động kinh doanh này sẽ mang lại cho mọi người mức tăng 20% ​​mỗi ngày và bạn chỉ có thể quản lý số tiền này chứ không phải bản thân vốn. Bạn có thể thêm một phần số tiền này vào vốn của mình vào cuối năm và chi tiêu phần còn lại tùy ý. Mục tiêu của bạn sẽ là chi tiêu càng nhiều tiền càng tốt cho nhu cầu của bạn trong 10 năm, hoặc kiếm tiền chỉ để tiêu sau này. Hãy cho tôi biết, bạn sẽ quản lý thu nhập của mình như thế nào?”

đáp số đầu tiên là con trai cả Alonso, người nổi tiếng xa ngoài thành phố vì sự phù phiếm và ngông cuồng: “Cha ơi! Con sẽ tiêu hết thu nhập của mình ngay lập tức vì con không

11

Tôi thấy chẳng ích gì khi phải lo lắng về việc tăng thêm số vốn không thuộc về mình!”

Ngược lại, Lopez là một thanh niên khiêm tốn và đức độ. Anh ấy đã trả lời cha mình như thế này: “Trong 9 năm, con sẽ chỉ làm những gì chúng con đang làm ở nhà, thưa cha, và thêm thu nhập của con vào vốn của con. Trong năm thứ 10, con sẽ dành 20% cho việc chuẩn bị. Con hy vọng rằng đây sẽ là một số tiền đáng kể, vì vốn, nhờ các khoản đầu tư của con, sẽ tăng lên đáng kể.”

Thính giác đáp số Các con trai, thương gia đáng kính cau mày, rõ ràng là ông ta không hài lòng với câu trả lời. Khi các con trai ông bắt đầu xin lời khuyên, ông nói: “Hỡi các con, sự lãng phí tột độ cũng vô lý như sự cực kỳ tằn tiện, nhưng đúng đấy. lời giải tìm thấy giữa những thái cực này. Nếu tính đến điều này, tôi sẽ thêm một nửa thu nhập vào vốn, lo phần tăng thêm và chi một nửa cho nhu cầu của mình. Như tôi đã phát hiện ra, bạn vẫn chưa đủ thông minh và than ôi, không có khả năng thay thế tôi trong công việc kinh doanh ”. Ngày hôm sau, Suarez ra lệnh cho các con trai chuẩn bị cho cuộc hành trình xuyên dãy Pyrenees, đến Paris xa xôi, học toán và các ngành khoa học khác từ các nhà khoa học nổi tiếng người Paris…”

Ở đây chúng tôi sẽ dịch trích dẫn từ “tài liệu lịch sử”, vì bài toán mà chúng tôi quan tâm đã được xây dựng và thậm chí ba phiên bản khác nhau của lời giải của nó đã được đề xuất. Đầu tiên, chúng ta hãy so sánh hiệu quả của những lời giải này. Thật dễ dàng để tính toán (tốt nhất là họ có thể tự mình làm việc này, còn lại có thể sử dụng công thức (2) và (3) của bài viết này) số tiền mà Oto (S), Alonso (A) và Lopez (L) đã bỏ ra trong hơn 10 năm. Cụ thể là,

$$S = \left( \left( 1 + \frac{1}{10} \right)^{10} - 1 \right) 10^5 \approx 159374 \text{ реал},$$
$$A = 2 \cdot 10^5 = 200000 \text{ реал}$$
$$L = \frac{1}{6} \left( \left( 1 + \frac{1}{5} \right)^5 \right)^2 10^5 \approx 103169 \text{ реал}.$$

Kết quả so sánh thật nghịch lý. Hóa ra, Lopez tiết kiệm lại đưa ra mức lời giải tồi tệ nhất, và Alonso phù phiếm xử lý thu nhập của mình tốt hơn người cha mẹ khôn ngoan và giàu kinh nghiệm của mình! Hãy chắc chắn rằng những lập luận có vẻ hợp lý hóa ra lại là lừa đảo. Có lẽ lời giải tốt nhất khác với cả ba đề xuất? Hãy thử tìm hiểu điều này.

Vì vậy, chúng ta hãy biểu thị số vốn (sau khi không có lãi và có thể là một khoản đóng góp bổ sung) vào cuối năm $k$ (tính từ thời điểm gửi tiền đầu tiên) đến $x_k$, $k=0, \dots, N$. Ở chúng tôi, bài toán $N=10$ và giá trị đóng góp ban đầu là $x_0=10^5$. Vào năm $(k+1)$, giá trị $ax_k$ sẽ đạt tới (chúng ta có $a=\frac{1}{5}$) và nếu $\lambda_k$ phần của giá trị này được thêm vào vốn vào cuối năm $(k+1)$, thì mức tăng của nó trong năm là $x_{k+1}-x_k=\lambda_k ax_k$ ($k=0, \dots, N$). (1) Phần còn lại của phép tính gần đúng $(1-\lambda_k)ax_k$ sẽ được sử dụng.

Khả năng tác động đến quá trình tăng trưởng vốn hay nói cách khác là kiểm soát quá trình này của chúng ta là khả năng chọn một vectơ - một tập hợp các số có thứ tự $\bar{\lambda} = (\lambda_0, \dots, \lambda_{N-1})$, $0 \leqslant \lambda_i \leqslant 1$. Các vectơ như vậy sẽ còn được gọi là điều khiển $\bar{\lambda}$ và sẽ xác định hoàn toàn giá trị của hàm mục tiêu $F$ - tổng số tiền đã chi trong $N$ năm:

$$F(\bar{\lambda}) = (1-\lambda_0)ax_0 + (1-\lambda_1)ax_1 + \dots + (1-\lambda_{N-1})ax_{N-1}.$$ (2) Bài toán bao gồm việc tìm kiếm điều khiển tốt nhất, tối ưu $\lambda^{\text{опт}}$, tức là điều khiển như vậy $\lambda^{\text{опт}}$ sao cho đối với bất kỳ điều khiển nào khác $\bar{\lambda}$

$$F(\bar{\lambda}) \leqslant F(\bar{\lambda}^{\text{опт}}).$$

Chúng ta hãy nhớ rằng phương pháp kiểm soát tối ưu đã được đề xuất bởi Alonso $(0, \dots, 0)$, Lopez - $(1, \dots, 1, 0)$ và người thương gia đáng kính - $\left(\frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{2}\right)$.

Có lẽ người đọc có ấn tượng bên ngoài rằng những kho tàng quản lý như vậy chỉ cần đến những người nhận được tài sản thừa kế phong phú? Tất nhiên là không! Đây là một ví dụ khác. Trang trại nuôi giống Blackburg Lips. Chúng ta sẽ biểu thị số lượng trang trại bằng $x_k$, trong đó $k=0, 1, \dots, N$ là số năm (chúng ta quan tâm đến số phận của trang trại trong thời gian tới

12

N năm). Con non vào đầu năm $(k+1)$ là $ax_k$ (trong đó $a > 0$ là một con số đã biết), và $\lambda_k$ phần của con non này vẫn còn ở trang trại, phần còn lại được đưa đi khai thác rừng. Do đó, mối quan hệ (1) là hợp lệ và số lượng da thu được trong $N$ năm được biểu thị bằng công thức (2). Như bạn có thể thấy, ở đây chúng ta cũng có một quy trình được kiểm soát, trạng thái của quy trình này tại mỗi thời điểm $k = 0, 1, \dots, N$ được đặc trưng bởi giá trị $x_k$ và chúng ta có thể tác động đến tiến trình của quy trình này bằng cách chọn hành động điều khiển $\lambda_k$ từ “vùng kiểm soát”, trong trường hợp này là phân đoạn [0, 1]. Nhiệm vụ là tìm ra một biện pháp kiểm soát trong đó mục tiêu đã đặt ra sẽ đạt được theo cách tốt nhất có thể - hàm mục tiêu $F$ sẽ đạt mức tối đa. Tương tự bài toán “kiểm soát tối ưu” các quy trình xảy ra trong “thời gian riêng biệt” phát sinh khi nghiên cứu sản xuất bài toán tại các nhà máy (trong trường hợp này $k$ là số của một chu kỳ sản xuất đã hoàn thành hoặc một tháng theo kế hoạch, v.v.), khi mô tả hoạt động của một số lò phản ứng hóa học được nối nối tiếp ($k$ là số lò phản ứng), v.v.

Nhánh toán học trong đó các phương pháp lời giải tương tự như bài toán được phát triển được gọi là lý thuyết điều khiển tối ưu. Trong hai thập kỷ qua, lý thuyết này đã phát triển thành một ngành khoa học toán học hiện đại mạnh mẽ, gây ấn tượng với cả kết quả lý thuyết sâu sắc và tính hiệu quả trong việc áp dụng lời giải điều khiển quá trình bài toán. Sự phát triển của hướng tư duy toán học này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học nổi tiếng như L. S. Pontryagin, R. Bellman, V. G. Boltyansky, R. V. Gamkrelidze, E. F. Mishenko, N. N. Krasovsky. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không trình bày lý thuyết chung về điều khiển tối ưu do các tác giả này tạo ra mà sẽ nghiên cứu bài toán của chúng tôi bằng toán học cơ bản.

Chúng ta hãy biến đổi công thức (1) thành dạng $x_{k+1} = (1 + a\lambda_k)x_k$, $(k = 0, \dots, N-1)$. (3)

Các biến đẳng thức (3) theo từng số hạng cho $k = 0, \dots, n-1$, chúng ta thu được ở dạng rõ ràng sự phụ thuộc của $x_n$ vào điều khiển $\bar{\lambda} = (\lambda_0, \dots, \lambda_{N-1})$
$$x_n = (1 + a\lambda_0)(1 + a\lambda_1) \dots (1 + a\lambda_{n-1})x_0.$$ (4)

Mệnh đề I. Đặt $\bar{\lambda} = (\lambda_0, \dots, \lambda_{i+1}, \dots, \lambda_{N-1})$ là một số điều khiển, $0 \leq i \leq N-2$, $\lambda_i < \lambda_{i+1}$ và đặt điều khiển $\bar{\lambda}$ khác với $\bar{\lambda}$ bằng cách hoán vị các số $\lambda_i$ và $\lambda_{i+1}$. Sau đó $F(\bar{\lambda}) > F(\bar{\lambda})$.

Để chứng minh điều đó, chỉ cần theo dõi xem các số hạng của tổng (2) được biến đổi như thế nào khi chuyển các số $\lambda_i$ và $\lambda_{i+1}$. Theo công thức (4), các số hạng $(1 - \lambda_k)ax_k$ trong $k \leq i-1$ hoàn toàn không phụ thuộc vào $\lambda_i$ và $\lambda_{i+1}$, đồng thời rất tốn kém và không thay đổi khi sắp xếp lại như vậy. Các số hạng $(1 - \lambda_k)ax_k$ với $k > i+1$ theo công thức (4) có dạng:
$$(1 - \lambda_k)ax_0(1 + a\lambda_0) \dots (1 + a\lambda_{i+1}) \times (1 + a\lambda_{i+1}) \dots (1 + a\lambda_{k-1}),$$
và do đó, cũng không thay đổi khi truyền các số $\lambda_i$ và $\lambda_{i+1}$. Vì vậy, ta chỉ cần xét tổng các số hạng còn lại:
$$(1 - \lambda_i)ax_i + (1 - \lambda_{i+1})ax_{i+1} = (1 - \lambda_i)ax_i + (1 - \lambda_{i+1})(1 + a\lambda_i)ax_i = ax_i[(2 - \lambda_i - \lambda_{i+1}) - a\lambda_i\lambda_{i+1}] + a\lambda_i.$$

Giá trị của $x_i > 0$ độc lập với $\lambda_i$ và $\lambda_{i+1}$, biểu thức trong dấu ngoặc đơn không thay đổi khi được truyền và số hạng thứ hai trong dấu ngoặc vuông được trả về. Vì vậy, $F(\bar{\lambda}) > F(\bar{\lambda})$.

Mệnh đề II. Hãy để $\bar{\mu}$ là một sự kiểm soát nào đó. Khi đó, với bất kỳ $n = 0, \dots, N$ nào cũng có một điều khiển tối đa $\bar{\mu}^{(n)} = (\mu_0^{(n)}, \dots, \mu_N^{(n)})$ sao cho $1^\circ \mu_n^{(i)}$ là 0 hoặc 1 đối với bất kỳ $i < n$, $2^\circ F(\bar{\mu}^{(n)}) \geqslant F(\bar{\mu})$ nào.

Hãy chứng minh phát biểu này bằng phương pháp quy nạp toán học. Đối với $n = 0$ tuyên bố này là hiển nhiên, vì chúng ta có thể đặt $\bar{\mu}^{(0)} = \bar{\mu}$ và tuyên bố $1^\circ$ và $2^\circ$ sẽ tự động được đáp ứng.

Giả sử rằng đối với $n = k$ ngoại lệ kiểm soát tồn tại $\bar{\mu}^{(k)} = (\mu_0^{(k)}, \dots, \mu_N^{(k)})$. Chúng ta hãy xem xét hàm $y(t)$ của một biến $t$, có xác định là đoạn [0, 1], được cho bởi công thức
$$y(t) = F(\mu_0^{(k)}, \dots, \mu_{k-1}^{(k)}, t, \mu_{k+1}^{(k)}, \dots, \mu_N^{(k)}).$$
Từ công thức (2) và (4), có thể thấy ngay rằng $y(t)$ là hàm tuyến tính của $t$, tức là
$$y(t) = At + B$$
đối với một số $A$ và $B$. Lưu ý rằng hàm tuyến tính trên khoảng [0, 1] đạt cực đại tại 0 nếu $A < 0$, tại một nếu $A > 0$ và tại $A = 0$ thì đó là hàm không đổi. Qua-

13

đặt nó xuống bây giờ
$$\mu_k^{(k+1)} = \begin{cases} 0, & A \leqslant 0, \\ 1, & A > 0, \end{cases}$$

và $\mu_k^{(k+1)} = \mu_i^{(k)}$ tại $i \neq k$, $0 \leqslant i \leqslant (N-1)$. Điều khiển $\overline{\mu}^{(k+1)}$ thỏa mãn điều kiện $1^\circ$ và $2^\circ$ cho $n = k + 1$. Thật vậy, các số $\mu_k^{(k+1)}$ với $i < k$ là số 0 hoặc số một theo giả định về chỉ báo và $\mu_k^{(k+1)}$ theo định nghĩa là 0 hoặc một. Hơn nữa, vì theo định nghĩa của số $\mu_k^{(k+1)}$ cho mọi $t$, $0 \leqslant t \leqslant 1$
$$y(t) \leqslant y(\mu_k^{(k+1)}),$$
thì $F(\overline{\mu}^{(k+1)}) \geqslant F(\overline{\mu}^{(k)})$. Theo giả định biểu thị $F(\overline{\mu}^{(k)}) \geqslant F(\overline{\mu})$, và do đó $F(\overline{\mu}^{(k+1)}) \geqslant F(\overline{\mu})$. Bằng chứng đã hoàn tất.

Bây giờ chúng ta hãy nêu bật một số loại điều khiển đặc biệt, đơn giản nhất trong số tất cả các điều khiển. Cụ thể, hãy xem xét một điều khiển $\overline{\theta}^{(m)}$ sao cho
$$\theta_i^{(m)} = \begin{cases} 1 & \text{при } i < m, \\ 0 & \text{при } i \geqslant m, \end{cases}$$
đối với một số $m$, $0 \leqslant m \leqslant N$. Một tập hợp các điều khiển thuộc loại này—chúng ta sẽ gọi chúng theo từng bước—chứa phần tử $(N+1)$. Nó chỉ ra rằng trong bài toán của chúng tôi, chỉ cần tìm kiếm sự kiểm soát tối ưu giữa các bước là đủ.

Định lý. Đối với mọi điều khiển $\overline{\lambda}$ đều có điều khiển $\overline{\omega}$ sao cho $F(\overline{\omega}) \geqslant F(\overline{\lambda})$.

Thật vậy, theo Dự luật II, tồn tại một điều khiển $\overline{\mu} = (\mu_0, \dots, \mu_{N-1})$ sao cho $\mu_i$ bằng 0 hoặc một cho bất kỳ $i = 0, \dots, N-1$ và $F(\overline{\mu}) \geqslant F(\overline{\lambda})$ nào. Hơn nữa, chúng tôi lưu ý rằng nếu có số 0 trong số $\mu_0, \dots, \mu_{N-1}$, thì bằng cách hoán đổi nó với số theo sau nó, chúng tôi sẽ không làm giảm giá trị của hàm mục tiêu $F$ nhờ vào Mệnh đề I. Bằng những hoán vị như vậy, tất cả các số 0 có thể được chuyển đến cuối tập xác định điều khiển, tức là đi đến điều khiển bước nào đó $\overline{\omega}$ và các bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn $F(\overline{\omega}) \geqslant F(\overline{\mu}) \geqslant F(\overline{\lambda})$. Định lý đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy chọn điều khiển tối ưu trong số các điều khiển bước. Theo công thức (2) và (4)
$$F(\overline{\theta}^{(m)}) = (N - m)a(1 + a)^m x_0.$$
Kích cỡ
$$C_m = \frac{F(\overline{\theta}^{(m+1)})}{F(\overline{\theta}^{(m)})} = (1 + a)\left(1 - \frac{1}{N - m}\right)$$
giảm khi $m$ xảy ra. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M$ số nguyên đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 0 và $N-1 - \frac{1}{a}$.
Khi đó, do định nghĩa số $C_m$ và cách chọn số $M$ nên bất đẳng thức
$$C_0 > C_1 > \dots > C_{M-1} > 1 \geqslant C_M > C_{M+1} > \dots > C_{N-1}.$$
Kể từ đây,
$$F(\overline{\theta}^{(0)}) < \dots < F(\overline{\theta}^{(M)}) \geqslant F(\theta^{(M+1)}) > F(\overline{\theta}^{(M+2)}) > \dots > F(\overline{\theta}^{(N)}).$$
Do đó, điều khiển $\overline{\theta}^{(M)}$ có thể được chọn là tối ưu.
Hãy quay lại bài toán của chúng ta từ “bản thảo cổ”. Dành cho cô ấy $N = 10$, $u = \frac{1}{5}$ và $M = 4$. Như vậy, điều khiển $\overline{\theta}^{(4)} = (1, 1, 1, 1, 0, \dots, 0)$ sẽ là tối ưu và giá trị của hàm mục tiêu - tổng số tiền bỏ ra trong 10 năm - khi chọn điều khiển theo cách này là
$$F(\overline{\theta}^{(4)}) = \left(1 + \frac{1}{5}\right)^4 \times 10^5 \frac{6}{5} \approx 248832 \text{ реал.}$$

Vì vậy, lời giải bài toán, do các anh hùng vương miện của chúng ta đề xuất, thực sự không phải là tối ưu. Lưu ý rằng điều khiển $\overline{\theta}^{(5)}$ cũng là tối ưu, vì nói chung, các số 0 được chọn trong số các bước, không phải theo cách duy nhất.

Bài toán 1. Điều kiện nào trên $a$ và $N$ đảm bảo tính duy nhất của điều khiển tối ưu giữa các bước?

Vấn đề 2. Có đúng là để điều khiển tối ưu bài toán của chúng ta nhất thiết phải theo từng bước không?

Bài toán 3. Tìm số năm nhỏ nhất $N > 10$ sao cho việc quản lý Lopez tằn tiện $(1, \dots, 1, 0)$ hóa ra vẫn mang lại nhiều lợi nhuận hơn cách quản lý $(0, 0, \dots, 0)$ do Alonso lãng phí đề xuất.

14

A. Dozorov

Nó có nghĩa là gì - “đặt trọng tâm”?

Mọi người đều phải làm sắc nét hình ảnh, tức là thêm một hình ảnh sắc nét. Trong nhiều trường hợp, ý nghĩa của hành động này rất đơn giản và rõ ràng. Ví dụ, khi chụp ảnh để có độ sắc nét, điều đó có nghĩa là hình ảnh do đối tượng máy ảnh tạo ra phải được đặt chính xác trên lớp nhũ của phim. Trong rạp chiếu phim, nhu cầu của công chúng về hình ảnh sắc nét hơn trên màn hình xuất phát từ yêu cầu kết hợp hình ảnh của khung phim với mặt phẳng của màn hình.

Ý nghĩa của việc lấy nét có phần bị che khuất nếu không cần đến màn hình trong quá trình quan sát, chẳng hạn như nếu nhìn vật thể bằng mắt thường. Hãy làm một thí nghiệm nhỏ. Nhìn ra ngoài cửa sổ. Các vật thể ở xa được nhìn thấy khá rõ ràng. Sau đó nhìn vào các vật ở khoảng cách vài mét. Họ cũng có thể nhìn thấy rõ ràng. Cuối cùng, khi bạn đọc trang này, bạn sẽ thấy hình ảnh sắc nét của văn bản. Tất cả điều này xảy ra vì mắt “tự động” lấy nét. Quá trình này được điều khiển bởi cơ thích nghi của mắt, cơ này sẽ làm biến dạng thấu kính của mắt một cách tương ứng. Kết quả là ảnh của vật rơi chính xác vào võng mạc của mắt (có thể nói là trên màn hình) - ảnh trở nên sắc nét (Hình 1).

Nói cách khác, khi khoảng cách $d$ từ vật đến người quan sát (chính xác hơn là đến mắt người quan sát) thay đổi thì khoảng cách $f$ từ thấu kính của mắt (đường thẳng) đến võng mạc (màn hình) không thay đổi. Điều này chỉ có thể thực hiện được nếu tiêu cự

16

Hình 3. Ảnh hưởng của độ rộng chùm sáng đến độ sâu trường ảnh của ảnh. Chùm tia càng hẹp thì ảnh của các điểm A và C trên màn càng kém sắc nét.

nia. Hơn nữa, nếu bạn lấy mắt ra khỏi thị kính thì không phải tất cả các tia phát ra từ thị kính đều đi vào mắt; các điểm thực tế được quan sát (có thể nhìn thấy hình ảnh sắc nét) nếu góc nhìn α, tại đó có thể nhìn thấy vòng tròn, có thứ tự $1' \approx 3 \cdot 10^{-4}$ rad. Rõ ràng chúng ta sẽ nhìn hình ảnh từ khoảng cách có tầm nhìn tốt hơn $l_0 = 25$ cm. Khi đó đường kính cho phép của hình tròn

$$2r = l_0 \text{tg} \alpha \approx l_0 \alpha \approx 75 \cdot 10^{-4} \text{ см} = 0,075 \text{ мм.}$$

Cho các điểm A và C (xem Hình 3) trong mặt phẳng màn ảnh được biểu diễn bằng các vòng tròn tán xạ có cùng bán kính r. Trong trường hợp này, độ sâu hình học của trường (khoảng cách giữa các mặt phẳng thu được hình ảnh sắc nét của các điểm A và C) bằng

$$l_1 + l_2 \approx \frac{2rL}{D} \approx \frac{Ll_0 \alpha}{D},$$

Trong đó L là khoảng cách từ đường thẳng đến màn hình, D là đường kính của đường thẳng. Điều này cho thấy rõ ràng rằng độ sâu trường ảnh thực sự có liên quan đến độ rộng của chùm sáng.

Vì các điểm khác nhau được biểu diễn không phải bằng các điểm mà bằng các vòng tròn phân tán, điều quan trọng là các vòng tròn này không chồng lên nhau. Nếu hai vòng tròn tán xạ liền kề không trùng nhau thì mắt sẽ cảm nhận được chúng với độ phân giải cao.

Trong trường hợp này, hệ thống quang học được cho là có thể giải quyết được hai điểm này. Nếu các vòng tròn chồng lên nhau, hình ảnh sẽ tạo ra một điểm sáng, tức là các điểm do hệ thống biểu thị không được giải quyết. Khi kích thước thấu kính giảm, kích thước của vòng tròn tán xạ giảm và do đó khả năng phân giải tăng lên. Nếu đường kính của ống kính lớn thì độ phân giải sẽ thấp và thay vì hình ảnh rõ nét sẽ thu được một điểm mờ. Vì vậy, việc hạn chế chùm ánh sáng phát ra từ một vật thể là điều cơ bản.

17

Mô hình nhiễu xạ bí ẩn

Một buổi tối tôi đang đi trên xe buýt. Bên ngoài nhiệt độ khoảng hai mươi độ dưới 0. Dù có ít hành khách nhưng cửa sổ của xe buýt vẫn sạch sẽ. Nhưng sau đó mọi người đã lấp đầy cabin, và một lúc sau kính cửa sổ bị bao phủ bởi một lớp băng mỏng. Lớp băng mỏng đến nỗi có thể nhìn thấy rõ thành phố buổi tối xuyên qua nó.

Những chiếc đèn lồng cá nhân xuất hiện rất độc đáo. Mỗi chiếc đèn lồng được viền bởi một ngôi sao màu, như trong hình. Màu sắc tinh tế của các tia sáng của nó, từ màu tím ở giữa đến màu đỏ ở hai đầu, lấp lánh tuyệt đẹp trên bề mặt mờ của kính. Chắc chắn đó là một mô hình nhiễu xạ! Nó diễn ra như thế nào?

Rất khó để giải thích nguồn gốc của bức tranh này chỉ bằng vẻ bề ngoài mà không có nghiên cứu bổ sung. Rõ ràng, một lời giải thích có thể là như thế này.

Các tinh thể băng chiếu sáng trên kính tạo thành cách tử nhiễu xạ. Đây là những gì tạo ra mô hình nhiễu xạ. Hình ảnh màu trắng của đèn lồng ở trung tâm là cực đại bằng 0 và dọc theo các tia của ngôi sao có cực đại bậc nhất cho tất cả các màu (phổ bậc nhất). Hình lục giác của bức tranh rất có thể liên quan đến hình dạng tương tự của các tinh thể băng (những bông tuyết đọng trên kính).

Dựa trên kết quả quan sát, người ta thậm chí có thể ước tính chu kỳ mạng. Chúng ta hãy viết điều kiện để đạt cực đại chính của mạng:

$$d \sin \varphi = k \lambda.$$

Ở đây $d$ là chu kỳ cách tử, $\varphi$ là góc xác định hướng đạt cực đại bậc $k$, $\lambda$ là bước sóng. Khi xem xét khoảng cách khoảng hai mét, bán kính của ngôi sao màu đỏ là khoảng hai cm. Điều này có nghĩa là cực đại đầu tiên ($k=1$) của ánh sáng đỏ ($\lambda_{\text{кр}} = 7 \times 10^{-7} \text{ м}$) cũng có thể nhìn thấy được ở một góc φ, tức là

$$\sin \varphi \approx \frac{2 \text{ cm}}{200 \text{ cm}} = 0.01.$$

Sau đó

$$d = \frac{\lambda_{\text{кр}}}{\sin \varphi_{\text{кр}}} \approx 0.07 \text{ mm}.$$

Bạn giải thích thế nào về sự xuất hiện của bức tranh màu đỏ này?

V. Bulam

18

Thiết bị nghiên cứu khúc xạ ánh sáng

Hiện tượng khúc xạ ánh sáng tại mặt phân cách của hai môi trường chỉ được nghiên cứu chi tiết ở lớp 10. Tuy nhiên, hiện tượng này là một yếu tố tự nhiên mà tất cả độc giả của chúng tôi tất nhiên đã gặp phải nó vài lần.
Bài viết này mô tả cách bạn có thể độc lập chế tạo một thiết bị để thực hiện toàn bộ khúc xạ ánh sáng.

Nếu một tia sáng rơi vào mặt phân cách giữa hai môi trường thì tia tới, tia khúc xạ và đường vuông góc với mặt phân cách vẽ qua điểm phân chia tia sáng đều nằm trong cùng một mặt phẳng; trong trường hợp này, tỉ số giữa sin của góc chia α và sin của góc khúc xạ β là không đổi đối với hai môi trường này:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n.$$

Đây là định luật khúc xạ ánh sáng; giá trị không đổi n được gọi là chiết suất tương đối hoặc chiết suất của môi trường thứ hai so với môi trường thứ nhất:

$$n = \frac{n_2}{n_1}.$$

Với sự trợ giúp của thiết bị thể hiện trong Hình 1, một số thử nghiệm tổng thể có thể được thực hiện để xác nhận định luật khúc xạ ánh sáng.

Nhưng trước tiên, về bản thân thiết bị. Phần chính của nó là bộ phát âm. Ví dụ, nó có thể được dán lại với nhau bằng nhựa hoặc thủy tinh, hoặc bạn có thể sử dụng hộp làm sẵn từ một số loại vật liệu.

Hình 1.

19

Hình 2.

Kiểm tra 1. Nếu khung được lắp đặt ở góc 45° so với phương thẳng đứng thì điểm $A$ (Hình 2) sẽ nhìn thấy được trong tầm nhìn (dọc theo hai sợi tóc), trùng với vạch chia 52 m của thang milimet, tức là $a = 52$ mm. Chiều cao $h$ trục quay của khung cũng là 52 mm. Do đó, kinh nghiệm xác nhận rằng trong một môi trường đồng nhất, ánh sáng truyền thẳng.

Thử nghiệm 2. Đổ nước vào cầy ngang mức trục của khung. Terrier, với cùng vị trí của khung như trong thử nghiệm đầu tiên, không phải điểm $A$, mà là điểm $B$, nằm ở khoảng cách $b < a$, sẽ được nhìn thấy qua tầm nhìn (xem Hình 2). Điều này có nghĩa là một tia sáng có hướng $BO$ trong nước, vượt qua ranh giới nước-không khí, bị khúc xạ và truyền trong không khí theo hướng $OC$. Nói cách khác, góc $\alpha$ mà tia tới tạo từ pháp tuyến đến mặt phân cách không bằng góc $\beta$ của tia khúc xạ.

Kiểm tra 3. Đặt khung ngắm theo chiều dọc. Đồng thời, qua tầm nhìn dưới nước, bạn có thể nhìn thấy phần đầu của thang đo - số chia bằng 0 của nó. Điều này có nghĩa là nếu góc tới là $\alpha = 0$ thì góc khúc xạ là $\beta = 0$. Hay nói cách khác, nếu một tia sáng vuông góc với mặt phân cách của hai môi trường thì nó không bị khúc xạ. Đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng của định luật khúc xạ, không nên quên.

Bài kiểm tra 4. Hãy xác định chiết suất của nước so với không khí. Để làm điều này, chúng tôi cài đặt khung ở một góc nhất định, ví dụ: ở góc 30°. Đây cũng sẽ là góc khúc xạ $\beta$ đối với một tia sáng truyền từ nước sang không khí. Vạch chia tỷ lệ thứ 21 sẽ được hiển thị qua ống kính, tức là $b = 21$ mm (xem Hình 2).

Hãy tìm sin của góc tới $\alpha$:

$$\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{b^2 + h^2}} = 0,37.$$

Sin của góc khúc xạ

$$\sin \beta = \sin 30^\circ = 0,5.$$

Theo định luật khúc xạ ánh sáng

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1},$$

trong đó $n_2/n_1$ là chiết suất của không khí (môi trường thứ hai) so với nước (môi trường thứ nhất). Do đó chiết suất của nước so với không khí

$$n = \frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 1,33.$$

Sử dụng thiết bị đề xuất, có thể xác định được góc giới hạn phản xạ toàn phần đối với nước. Lần này khung ngắm được đặt ở một góc gần 90°. Để ngăn không cho cân hiển thị ở đáy bình, tốt hơn nên tăng kích thước của thiết bị lên 2-3 lần.

Bạn cũng có thể tiến hành thí nghiệm không phải với nước tinh khiết mà bằng dung dịch đường hoặc muối và nghiên cứu sự phụ thuộc của chiết suất vào nồng độ của dung dịch.

20

Bề mặt yên xe

Mỗi người trong số các bạn chắc chắn đều biết rằng tập hợp các điểm trên một mặt phẳng cách đều hai điểm cho trước là phân giác của đoạn vuông góc nối chúng. Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau cũng được sắp xếp đơn giản. Hình 1 cho thấy hai trong số các tập hợp này, mặc dù không dành cho mặt phẳng mà dành cho không gian.

Và tập hợp các điểm cách đều hai giao điểm trông như thế nào?

w và v a y u sh i h s i đường thẳng? Bạn sẽ tìm hiểu về điều này bằng cách đọc bài viết.

Trước khi chuyển sang phần trình bày chính, chúng tôi đưa ra định nghĩa về không gian mới xung quanh trục.

Chuyển động quay của không gian là bất kỳ chuyển động nào của không gian trong đó một tập hợp các điểm bất động tạo thành một đường thẳng (được gọi là trục của bề mặt). Khi không gian quay quanh trục của mỗi mặt phẳng thì mặt phẳng vuông góc với trục quay biến thành chính nó. Chuyển động kết quả của các mặt phẳng này là các phép quay xung quanh điểm giao nhau của chúng với trục ở cùng một góc và cùng hướng *) (Hình 2).

Chúng ta sẽ biểu thị một ngã rẽ có trục $l$ bằng $R_l$, một ngã rẽ, một ngã rẽ ngược $R_l$, bằng $R_{-l}^1$,

*) Sự dịch chuyển giống hệt nhau cũng có thể được coi là một phép quay không gian xung quanh một trục (theo một góc bằng 0), nhưng các phép quay cũng sẽ không được tìm thấy trong bài viết này.

21

Hình 1.

Để mô tả tập hợp các điểm của chúng ta (ký hiệu là $F$), chúng ta cần một số phát biểu về phép quay. Chúng tôi sẽ xây dựng chúng khi cần thiết dưới dạng bổ đề và cách chứng minh tất cả các bổ đề được đưa ra ở cuối bài viết. Sẽ rất hữu ích cho người đọc khi tự mình chứng minh các bổ đề này.

1. Trước hết, chúng ta sẽ chỉ ra rằng qua mỗi điểm của tập hợp có hai đường thẳng thuộc nó đi qua.

Đặt $m$ và $n$ là dữ liệu của đường giao nhau và điểm $A$ cách đều chúng. Chúng ta hãy biểu thị bằng $A_1$ và $A_2$ các hình chiếu trực giao của điểm này lên các đường thẳng $m$ và $n$ tương ứng (Hình 3). Giả sử $l$ vuông góc với mặt phẳng $A_1AA_2$ đi qua điểm $A$. Chúng ta hãy xoay không gian xung quanh trục $l$ sao cho điểm $A_1$ tiến tới điểm $A_2$. Khi đó đường thẳng $m$ sẽ biến thành đường thẳng $m_1$, đi qua điểm $A_2$ và vuông góc với đường thẳng $AA_2$. Tiếp theo, bạn có thể thực hiện hai phép quay với trục $AA_2$ sao cho đường thẳng $m_1$ biến thành đường thẳng $n$: $R_{AA_2}$ và $R'_{AA_2}$. Do sự kết hợp của các lượt $R_l$ và $R_{AA_2}$ ($R_l$ và $R'_{AA_2}$), đường thẳng $m$ sẽ biến thành đường thẳng $n$. Hoá ra bổ đề sau đây là đúng: hợp của hai phép quay quanh hai trục cắt nhau là một phép quay quanh trục đi qua giao điểm của chúng. Do đó, tồn tại một đường thẳng $u$ đi qua điểm $A$ sao cho $R_{AA_2} \circ R_l = R_u$. Tương tự, có một đường thẳng $v$ đi qua $A$ sao cho $R'_{AA_2} \circ R_l = R_v$.

Hình 2.

từ điểm $A$ đến đường thẳng $n$.

2. Có ít nhất một điểm thuộc tập hợp của chúng ta không?

Chúng ta hãy vẽ qua đường thẳng $m$ một mặt phẳng song song với đường thẳng $n$ và qua đường thẳng $n$ một mặt phẳng song song với đường thẳng $m$. Những mặt phẳng này song song. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\alpha$ mặt phẳng cách đều chúng. Các hình chiếu trực giao $m'$ và $n'$ là trực tiếp $m$ và $n$ lên mặt phẳng $\alpha$ sẽ giao nhau tại một điểm nào đó $O$ (Hình 4). Rõ ràng,

22

điểm $O$ thuộc tập $F$. Và sau đó, như chúng ta đã tìm ra, có ít nhất hai đường thẳng đi qua nó, bao gồm các điểm trong tập hợp của chúng ta.

Đúng 2. Chứng minh có đúng hai đường thẳng như vậy đi qua điểm $O$ (ta ký hiệu chúng là $x$ và $y$). Chứng minh rằng các đường thẳng này là trục đối xứng của các đường thẳng $m'$ và $n'$.

Vì vậy, tập hợp của chúng tôi chứa các dòng thay thế $x$ và $y$, và qua mỗi điểm của những dòng này sẽ đi qua một dòng khác thuộc tập hợp của chúng tôi.

3. Bây giờ chúng ta hãy đảm bảo rằng sự kết hợp các điểm của những đường này tạo thành toàn bộ tập hợp của chúng ta. Để làm điều này, chúng ta hãy chứng minh rằng nếu điểm $A \in F$ không nằm trên đường thẳng $x$, cũng không nằm trên đường thẳng $y$, thì một trong các đường thẳng thuộc tập hợp đi qua nó cắt $x$, và đường kia $y$, và rằng qua mỗi điểm của nó chỉ có hai đường thẳng như vậy đi qua.

a) Trên mỗi đường thẳng $m$ và $n$, chúng ta dùng mũi tên đánh dấu một hướng nhất định, chẳng hạn như trong Hình 4. Khi đó, bất kỳ trục quay nào biến đường thẳng có hướng $m$ thành đường thẳng có hướng $n$ (với các hướng được chỉ ra trong Hình 4!) thì song song với mặt phẳng đi qua đường thẳng $x$ và vuông góc với mặt phẳng $\alpha$.

Trên thực tế, trục $u$ tạo thành các góc bằng nhau với các đường thẳng $m$ và $n$. Chúng ta hãy cắt các đường thẳng song song $m$, $n$ và trục $u$ sao cho chúng đi qua điểm $O$ (xem Hình 4). Chúng ta có các đường thẳng $m'$, $n'$ và $u'$. Vì trong quá trình dịch song song, các góc giữa các đường thẳng không thay đổi nên đường thẳng $u'$ tạo thành các góc bằng nhau với các đường thẳng $m'$ và $n'$. Điều này có nghĩa là nó nằm trong mặt phẳng $xOz$, trong đó $z \perp \alpha$ (xem bài tập 2 và Hình 4). Do đó, đường thẳng $u$ song song với mặt phẳng này.

Bây giờ chúng ta lấy hai trục $u$ và $v$ phép quay biến đường thẳng $m$ thành đường thẳng $n$ trong khi vẫn giữ nguyên hướng. Hãy chứng minh rằng các đường $u$ và $v$ cắt nhau.

Trước tiên chúng ta giả sử rằng chúng giao nhau tại điểm $B$. Chúng ta hãy thực hiện một phép quay quanh trục $u$, biến đổi $m$ thành $n$ trong khi vẫn giữ nguyên hướng, sau đó xoay quanh $v$, biến đổi $n$ thành $m$, cũng giữ nguyên hướng. Vì $u$ và $v$, theo mệnh đề, cắt nhau, nên thành phần của các phép quay được chỉ định là một phép quay (bổ đề từ mục 1). Vòng xoay này ánh xạ đường thẳng $m$ lên chính nó trong khi vẫn duy trì hướng. Nhưng điều này là không thể, như bổ đề sau đây cho thấy: khi quay không gian quanh một trục, một đường thẳng được ánh xạ lên chính nó trong khi vẫn giữ nguyên hướng - trục quay.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng $u \parallel v$. Như trên, khi di chuyển $R^{-1}_v$ $\circ R_u$ đường thẳng $m$ biến thành chính nó đồng thời giữ nguyên hướng. Mặt khác, thành phần của hai phép quay có trục song song là phép quay quanh một trục thẳng song song với chúng hoặc phép dịch chuyển theo hướng phân bố lại cho các trục này. Trong trường hợp đầu tiên $m \parallel u$, sau đó là $n \parallel m$. Trong phần thứ hai - $m \perp u$ và thu được từ $m$ bằng cách quay quanh đường thẳng $u$ đường thẳng $n$ nằm trong cùng một mặt phẳng $c$ $m$.

Do đó, các đường thẳng $u$ và $v$ không song song cũng không cắt nhau. Vậy là chúng đang giao phối với nhau. Hãy kết hợp các trục này thành một lớp.

6. Ví dụ: thay đổi hướng trên một trong các đường đã cho thành $n$. Khi đó, các trục quay ánh xạ đường thẳng $m$ lên $n$ (với các hướng mới được chỉ định trên chúng) cũng giao nhau theo cặp và song song với mặt phẳng $yOz$ (xem Hình 4). Các trục kết quả sẽ được gán cho một lớp khác.

23

Hình 5.

c) Cho trục $u$ thuộc lớp thứ nhất và trục $v$ thuộc lớp thứ hai. Hãy chứng minh rằng các đường $u$ và $v$ cắt nhau. Thật vậy, khi di chuyển $R^{-1}_v \circ R_u$, đường thẳng $m$ sẽ biến thành chính nó với sự thay đổi hướng. Do đó, chúng ta thu được một phép biến đổi của đường $m$ - đối xứng đến một điểm nhất định $C \in m$ (bằng chứng!). Do đó $R^{-1}_v \circ R_u(C) = C$ và $R_v(C) = R_u(C) = D$. Từ $R_u(C) = D, R_v(C) = D$ suy ra rằng tất cả các điểm của đường thẳng $u$ và $v$ đều cách đều các điểm $C$ và $D$. Nhưng khi đó $u$ và $v$ nằm trong cùng một mặt phẳng (xem Hình 1). Do đó, nếu $u$ và $v$ không giao nhau thì chúng song song. Vì $u \parallel xOz$ và $v \parallel yOz$, nên từ $u \parallel v$ sẽ dẫn đến $u \parallel z$. Nhưng điều này là không thể, vì $z \perp m$. Do đó, $u$ và $v$ cắt nhau.

d) Trục $x$ và $y$ rõ ràng thuộc các lớp khác nhau. Do đó, mỗi trục giao nhau với đường $x$ hoặc đường $y$. Vì ba trục không thể đi qua điểm $F$ (vì khi đó hai trục sẽ thuộc cùng một lớp) nên không có điểm “không liên quan” nào trong hình.

4. Nó vẫn còn để xây dựng bộ của chúng tôi. Để làm điều này, chúng ta dựng một hình song song có các trục song song với đường thẳng $x, y, z$ và tâm tại điểm $O$ (xem Hình 5), sao cho đường chéo của đáy trên và đáy lần lượt nằm trên đường thẳng $m$ và $n$ và khoảng cách từ đỉnh $A$ đến đường thẳng $m$ bằng cạnh bên của nó. Các điểm $O_1$ và $O_2$ phải có trục song song với mặt phẳng $yOz$. Rõ ràng đây là những đường thẳng $O_1A$ và $O_2B$. Mỗi trục song song với mặt phẳng $xOz$ phải giao với $O_1A$ và $O_2B$, sau đó là $|O_1A| = |O_2B|$. Cấu trúc tương ứng được đưa ra ở trang 20 của tạp chí. (Tất nhiên, bạn có thể sử dụng các đường thẳng $y$ và $OA$, nhưng khi đó kết cấu sẽ không đối xứng như vậy.) Như bạn có thể thấy, kết quả là một bề mặt tương tự như một cái yên ngựa.

5. Lấy các đường thẳng $x, y$ và $z$ làm trục tọa độ, chúng ta rút ra khả năng điều khiển bề mặt này. Các điều kiện được thiết lập bằng sự điều khiển trực tiếp của hai mặt phẳng cắt nhau dọc theo nó. Khi đó phần điều khiển của dòng $m$ và $n$ sẽ được viết dưới dạng

$$\begin{cases} y = kx \\ z = c, \end{cases}$$

Các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này có tọa độ:

$$\vec{m} = \{1; k; 0\}, \vec{n} = \{1; -k; 0\}.$$

Đặt điểm $P(x, y, z)$ cách đều các đường $m$ và $n$. Nếu $M$ và $N$ lần lượt là các hình chiếu trực giao của điểm $P$ lên các đường thẳng $m$ và $n$ thì $|MP| = |MN|$. Hãy để chúng tôi biểu thị tọa độ của điểm $P$.

Vì $M \in m$, tọa độ của điểm $M$ là $k, y$ và $z$. Xét rằng $\vec{MP} \cdot \vec{m} = 0$, $\vec{MP} = (x - \alpha, y - k\alpha, z - c)$, $m = \{1, k, 0\}$, ta thu được $x - \alpha + yk - k^2\alpha = 0$, suy ra rằng $\alpha = \frac{x + ky}{1 + k^2}$, tức là các điểm $M$ có tọa độ

$$\frac{x + ky}{1 + k^2}, \frac{x + ky}{1 + k^2}, c.$$

Lập luận tương tự ta tìm được tọa độ của điểm $N$:

$$\frac{x - ky}{1 + k^2}, -k \frac{x - ky}{1 + k^2}, -c.$$

Viết đẳng thức $|MP| = |NP|$ sau khi rút gọn, ta thu được biểu thức

$$xy = 2pz,$$

ở đâu $p = -\frac{1 + k^2}{2k}$.

Do đó, tập hợp các điểm $m$ và $n$ là các bề mặt có điều khiển có dạng (1). (Điều khiển (1) lần đầu tiên được L. Euler thu được vào năm 1748.)

24

Hình 6.

Mặt cắt bề mặt (1) theo mặt phẳng $z = b - \text{гипербола}, a$ theo mặt phẳng $x = ly - \text{парабола} (b \neq 0, l \neq 0$ Hình 6).

Tên “toán học” của một bề mặt là một paraboloid hyperbol.

Sử dụng (1), không khó để chứng minh rằng cùng một paraboloid hyperbol tương ứng với nhiều hơn một cặp đường xiên!

Đối với mọi dòng $\begin{cases} y = kx \\ z = c \end{cases}$ và $\begin{cases} y = -kx \\ z = -c \end{cases}$ mà $k$ và $c$ phụ thuộc
$$p = \frac{c(1 + k^2)}{2k},$$

trong đó $p$ là một hằng số cho trước, chúng ta có cùng một parabol hyperbol $xy = 2pz$. Do đó, hai cặp đường thẳng như vậy nằm trong mặt phẳng song song $z = c, z = -c$. Nếu tính đến $k = y/x$ và $c = z$, sau đó thay chúng vào (2), chúng ta thu được rằng tất cả các dòng $m$ và $n$ tạo thành các bề mặt có phương trình $z(x^2 + y^2) = -2pxy$.

Các mặt phẳng $xOz$ và $yOz$ được gọi là các mặt phẳng định hướng của bề mặt $F$: “một nửa”. Các đường sinh mol song song với mặt phẳng $xOz$ và “nửa” còn lại song song với mặt phẳng $yOz$. Trong trường hợp của chúng ta, những mặt phẳng này vuông góc với nhau và parabol hyperbol được gọi là đều. Trong trường hợp tổng quát, các mặt phẳng này tạo thành một góc tùy ý. Đúng, trong trường hợp chung, không thể thu được một parabold hyperbol bằng cách kết hợp các trục quay, tuy nhiên, cấu trúc nêu trong đoạn 4 được áp dụng cho nó. Chỉ trên các dòng $O_1A$ và $O_2B$ mới cần kết nối các điểm $A_1$ và $B_1$ sao cho $|O_1A| = \lambda |O_2B|$, trong đó $\lambda \neq 1$.

Bài tập 3. Trục $x$ và $y$ vuông góc. Có cặp trục nào vuông góc với nhau không?

Bài tập 4. Chứng minh rằng một đường thẳng không thuộc tập hợp của chúng ta có nhiều nhất hai điểm chung với nó.

Ứng dụng. Chứng minh bổ đề

Lưu ý rằng có thể thu được phép quay với trục $l$ bằng cách ghép hai mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng đi qua đường thẳng $l$. Thật vậy, hãy để $R_l(A) = A_1$. Hãy lấy một mặt phẳng tùy ý $\sigma \ni l$. Sau đó $S_\sigma(A) = A'$. Bây giờ chúng ta vẽ mặt phẳng $\pi$ qua đường thẳng $l$ và điểm giữa của đoạn $[A'A_1]$. Thật dễ dàng để báo cáo rằng $(A'A_1) \perp \pi$. Vì vậy $S_\pi \circ S_\sigma(A) = A_1$. Mặt khác, $S_\pi \circ S_\sigma$ là một phép quay, vì phép biến đổi này chỉ để lại các điểm của đường $l$ tại chỗ. Nhưng phép quay được xác định duy nhất bởi trục và ảnh của một điểm tùy ý không nằm trên trục. Vì vậy, $R_l = S_\pi \circ S_\sigma$.

1. Để các trục $u$ và $v$ cắt nhau tại điểm $O$. Xét mặt phẳng $\pi$ chứa các đường thẳng này. Khi đó $R_u$ và $R_v$ có thể được biểu diễn như sau: $R_u = S_\pi \circ S_\sigma, R_v = S_\sigma \circ S_\pi$. Do đó $R_v \circ R_u = (S_\sigma \circ S_\pi \circ S_\pi \circ S_\sigma)$ = $S_\sigma \circ S_\sigma$, vì $S_\pi \circ S_\pi$ là cùng một phép biến đổi. Nhưng $\sigma_2 \ni O$ và $\sigma_1 \ni O$ thì đường thẳng $\sigma_1 \cap \sigma_2$ đi qua điểm $O$.

2. Đặt $m$ là một đường thẳng và $R_l(m) = m$. Nếu một điểm là $A \in m$ và $A \notin l$ thì $m$ đi qua $A$ và $R_l(A)$. Điều này có nghĩa là $m$ thuộc về một mặt phẳng nào đó vuông góc với $l$, và chúng ta đã đạt đến một phép quay của mặt phẳng, điều này là hiển nhiên.

3. Người ta chứng minh theo cách tương tự như Bổ đề 1 rằng một mặt phẳng có thể được vẽ qua $u$ và $v$. Chuyển khoản song song sẽ được thực hiện nếu $\sigma_1 \parallel \sigma_2$.

Đánh giá họ

Trong khi thực hiện công việc trong phòng thí nghiệm, học sinh nhận được trên màn hình quang phổ màu của ánh sáng trắng truyền qua lăng kính.

• Đẹp quá! - Ira kêu lên. - Và nếu đặt võng mạc của mắt vào vị trí của màn hình thì chúng ta sẽ nhìn thấy gì? cô ấy hỏi. - Như thế nào? - Masha trả lời. - Giống như trên màn hình. Các tia màu phản xạ từ quang phổ lên màn hình, cũng như các tia sáng từ các vật thể khác nhau, đi qua thấu kính của mắt, khiến hình ảnh bị đảo lộn trên võng mạc. Và bộ não con người đã “học” cách lật những hình ảnh xuất hiện trên võng mạc. Vì vậy, chúng ta nhìn thấy mọi thứ ở dạng thực. Như vậy mắt sẽ nhìn thấy sự sắp xếp tổng quát của các tia màu trong quang phổ của ánh sáng trắng. Ira nói: “Và tôi nghĩ rằng chúng ta nhìn thấy quang phổ “ngược lại” với những gì hiển thị trên màn hình.

Theo bạn, độc giả, cái nào đúng?

V. Parmon

25

Hình elip hình cầu

Một hình elip (“Hình học 10”, § 59; xem thêm “Đại số 8”, đoạn 2) có thể được định nghĩa là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trước của mặt phẳng (gọi là tiêu điểm) là một hằng số. Nếu trong định nghĩa này, “tổng” được thay thế bằng “môđun chênh lệch”, chúng ta sẽ nhận được một ellerbola. Parabol là tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, khoảng cách từ đó đến một điểm cho trước trên mặt phẳng (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn) là như nhau.

Hình elip hình cầu là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, khoảng cách từ đó đến một điểm cho trước trên mặt phẳng (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn) là như nhau.

Hình elip hình cầu là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, khoảng cách từ đó đến một điểm cho trước trên mặt phẳng (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn) là như nhau.

Một hình elip phẳng chỉ biến thành hình tròn khi các tiêu điểm của nó hợp nhất. Như N.I. Fuss đã chỉ ra, một hình elip hình cầu sẽ chuyển thành một hình tròn (cụ thể là hình tròn lớn hơn của foquera) nếu tổng không đổi khoảng cách được đề cập trong định nghĩa bằng một nửa chiều dài của hình tròn ok lớn hơn. Các hình tam giác hình cầu tắc nghẽn được đánh dấu trong Hình 1 gần các tiêu điểm $F_1$, $F_2$ sẽ giúp bạn chứng minh nhận định của Fuss.

Xét một hình cầu $\Delta$ và một mặt phẳng $\alpha$ tiếp tuyến tại tiêu điểm với một hình elip hình cầu $l$ nào đó trên đó. Chúng ta hãy vẽ tất cả các đường thẳng có thể có đi qua tâm hình cầu $O$ và các điểm của hình elip hình cầu $l$. Hóa ra bề mặt hữu hạn $\Gamma$ thu được theo cách này sẽ cắt mặt phẳng $\alpha$ dọc theo một số hình elip $\lambda$. Bề mặt $\Gamma$ sẽ giao với hình cầu ban đầu dọc theo một hình elip hình cầu khác $l'$, đối xứng với $l$ so với $O$ (Hình 2).

Hình 1.

Hình 2.

Điều thú vị là, xét về tiêu điểm của hình elip $l$, hình elip $l'$ sẽ là một hyperbol hình cầu.

Một hình elip (phẳng) cũng có thể được định nghĩa là một tập hợp các điểm (trên một mặt phẳng), tỷ lệ khoảng cách từ đó đến một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (directrix) không đổi và nhỏ hơn 1. Một hình elip hình cầu có thể được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể chứng minh rằng hình chiếu tâm của đường chuẩn của hình elip $\lambda$ so với $O$ lên hình cầu $\Delta$ là đường chuẩn của hình elip hình cầu $l$: tỷ lệ khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của hình elip $l$ đến tiêu điểm và đến đường tròn lớn thu được trong phép chiếu được mô tả là không đổi và nhỏ hơn 1.

Các góc giữa các đoạn nối một điểm tùy ý của một hình elip phẳng với tiêu điểm và tiếp tuyến của hình elip tại điểm này bằng nhau. Trạng thái này có cái gọi là tính chất quang học của hình elip. Hình elip hình cầu có tính chất tương tự: nếu tại bất kỳ điểm $M$ nào chúng ta vẽ một đường tròn lớn tiếp tuyến và nối điểm $M$ dọc theo các đường tròn lớn với tiêu điểm của hình elip thì các góc giữa đường tròn sau này và đường tròn tiếp tuyến sẽ bằng nhau.

Nhiều tính chất của hình elip hình cầu lần đầu tiên được phát hiện bởi nhà toán học người Nga, người Thụy Sĩ, N. I. Fuss (1755-1825). N. I. Fuss là sinh viên và trợ lý của L. Euler vĩ đại và đã thực hiện hầu hết các nghiên cứu đầu tiên trong lĩnh vực toán học và cơ học dưới sự hướng dẫn của ông. Sau đó, N.I. Fuss trở thành thành viên chính thức của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg và thư ký thường trực của viện. Các kết quả thú vị liên quan đến hình elip hình cầu cũng được nhà toán học người Nga L. I. Magnus (1790-1861) thu được.

V. Berezin

27

chia cho cùng một sự tương ứng (1), nhưng bắt đầu bằng $P_0(x) = 2, P_1(x) = x$.

A. Zelevinsky

M489. Ba số $a, b, c$ được đưa ra. Chúng ta hãy xây dựng ba chuỗi $(a_n), (b_n), (c_n)$ với $a_1 = a, b_1 = b, c_1 = c$ và
$$a_{n+1} = \frac{b_n + c_n}{2}, b_{n+1} = \frac{c_n + a_n}{2}, c_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$$

cho bất kỳ $n=1, 2, 3, \dots$ nào. Chứng minh rằng cả ba dãy này đều có giới hạn chung và tìm giới hạn đó.

I. Burmistroovich

M490. $p$ là số nguyên tố lẻ. Cho $p=1$ số nguyên không chia hết cho $p$. Chứng minh rằng bằng cách thay thế một số số này bằng số đối của chúng, người ta có thể thu được $p=1$ số nguyên có tổng chia hết cho $p$.

S. Fomin

F498. Thuốc nổ của một tấm kính hình trụ có thành mỏng là $d$, chiều cao là $h$. Các bức tường và đáy kính có cùng độ dày. Nước được đổ vào ly. Trọng tâm của cốc nước ở vị trí thấp nhất ở mực nước nào?

F499. Hai quả cầu thủy tinh có bán kính $r$ và $R$ được nối với nhau bằng một ống thủy tinh dài mỏng và chứa đầy không khí. Các ống giữa là caplyartuti. Thiết bị này có đo được nhiệt độ môi trường không?

F500. Có thể nhìn thấy một chiếc chuông trên cột ở độ cao $h$ so với mặt đất. Âm thanh được nghe lớn nhất ở khoảng cách bao nhiêu nếu tốc độ truyền âm là $c$ và tốc độ gió thổi theo phương ngang là $v$?

F501. Trên cạnh của một cái bàn có chiều cao $H$ có một quả cầu có bán kính $R$, hơn nữa là $R \ll H$. Quả bóng bắt đầu trượt khỏi bàn không ma sát. Quả bóng sẽ rơi cách bàn bao xa?

F502. Trên nắp hộp kín có một lỗ tròn có chiều cao $h=1$ m. Độ chiếu sáng trong ngày sẽ thay đổi như thế nào theo câu trả lời nếu một thấu kính có công suất quang học $D=1$ ditre được lắp vào câu trả lời? Chiếc hộp đứng dưới bầu trời rộng mở, được bao phủ đều bởi một lớp mây.

Sửa đổi
Cách diễn đạt của bài toán M480, xuất bản ở số 12, 1977, có sai sót. Bài toán M480 c) nên đọc như sau: chuỗi $C_n$ được xác định bởi các điều kiện $C_1=2, C_{n+1}=[3C_n/2]$ cho $n \geq 1$; chứng minh rằng tồn tại số γ sao cho $C_n=[(3/2)^n\gamma]+1$ (ở đây $[x]$ là phần nguyên của $x$). (Ở câu 12, một đơn vị đã bị lược bỏ khỏi công thức cho $C_n$.) Thời hạn gửi lời giải trong số bài toán này được kéo dài đến ngày 1 tháng 6 năm 1978.

28

Lời giải bài toán
M441 — M443; F453 — F457

M441. Lấy điểm P bên trong không gian 2n lồi. Một đường thẳng được vẽ qua mỗi đỉnh và điểm P. Hãy chứng minh rằng có một cạnh của đa giác mà không có đường thẳng nào có điểm chung (có lẽ ngoại trừ hai đầu của cạnh đó).

Hình 1.

Trong nội bộ, chúng ta nói rằng một đường thẳng cắt một cạnh của đa giác M nếu giao điểm của chúng không trùng với đỉnh của đa giác.

Có thể xảy ra hai trường hợp: 1) điểm P thuộc đường chéo AB nào đó của đa giác M; 2) điểm P không thuộc bất kỳ đường chéo nào của đa giác M.

Trong trường hợp thứ nhất, các đường thẳng PA và PB trùng với (AB) và không cắt bất kỳ cạnh nào của M, đồng thời các đường thẳng đi qua điểm P và 2n-2 đỉnh còn lại của M cắt nhau nhiều nhất 2n-2 cạnh. Do đó, ít nhất hai cạnh của đa giác M không cắt nhau bởi bất kỳ đường vẽ nào.

Bây giờ, giả sử P không nằm trên bất kỳ đường chéo nào của M. Chúng ta lấy đường chéo AB của đa giác M chia ranh giới của nó thành hai đường đứt đoạn n liên kết Γ1 và Γ2, và 2n-giác M thành hai lồi (n+1)-giác M1 và M2 (Hình 1). Giả sử P nằm trong M1; và gọi C là một đỉnh tùy ý của đa giác M2 (khác A và B). Vì M1 và M2 nằm ở các cạnh đối diện của (AB), P∈M1, C∈M2 và đa giác M là lồi nên các đường thẳng PC và AB cắt nhau tại một điểm nào đó K∈[AB] (xem Hình 1). Đường thẳng PC đi qua điểm trong của đa giác M1 và cắt đường biên của nó tại điểm K trên cạnh AB cắt đường biên của M1 tại một điểm khác không nằm trên AB, tức là cắt Γ1. Như vậy, đường thẳng bất kỳ đi qua các đỉnh Γ2 (trừ A và B) cắt đường biên của đa giác lồi M tại hai điểm: đỉnh Γ2 và một điểm nằm trên Γ1 (có thể trùng với đỉnh Γ1). Do đó, mọi đường thẳng đều không cắt các đoạn của đường gãy Γ2.

Bằng cách tương tự, người ta chứng minh rằng các đường thẳng AP và BP cũng không cắt các đoạn của đường đứt nét Γ2.

Vì vậy, n+1 đường thẳng cắt nhau ở tối đa n cạnh của đa giác M (liên kết của đường gãy Γ1). N-1 đường thẳng còn lại không thể cắt quá n-1 cạnh của đa giác M (liên kết của đường gãy Γ2). Do đó, ít nhất một cạnh (trong số các đường đứt nét Γ2) không bị cắt bởi bất kỳ đường thẳng nào vẽ qua điểm P và các đỉnh của đa giác M.

G. Gurevishch

Hãy viết lại tổng $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{p-1}$ như thế này:

$$(a_1 + a_{p-1}) + (a_2 + a_{p-2}) + \dots + (a_{\frac{p-1}{2}} + a_{\frac{p+1}{2}})$$

($p-1$ là số chẵn; trong tổng cuối cùng có biểu thức $\frac{p-1}{2}$ trong ngoặc đơn). Hãy xem xét một trong các biểu thức $a_i + a_{p-i}$, được đặt trong ngoặc. Thật dễ dàng để thấy điều đó

$$i^p + (p-i)^p = p^p - C_p^1 \cdot i \cdot p^{p-1} + \dots + C_p^{p-1} \cdot i^{p-1} \cdot p = p^2 l$$

— chia hết cho $p^2$ (vì $C_p^{p-1} = p$; $p > 2$, $1 \leq i \leq p-1$). Do đó $a_i + a_{p-i}$ chia hết cho $p^2$; và vì $a_i < p^2$, $a_{p-i} < p^2$, nên $a_i + a_{p-i} = p^2$ cho tất cả $i = 1, \dots, p-1$. Vì thế,

$$a_1 + a_2 + \dots + a_{p-1} = (a_1 + a_{p-1}) + \dots +$$

$$+ (a_{\frac{p-1}{2}} + a_{\frac{p+1}{2}}) = p^2 \cdot \frac{p-1}{2} = (p^3 - p^2)/2$$

đó là những gì đã được nêu.

S.Okhimin