Kvant 1978, số 6 · Trang

KEANM 6
1978

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

“Có lẽ không có cậu bé nào trên thế giới không chơi với kính lúp (ống kính).” Vì vậy, bắt đầu trở thành “Bạn có quen với ống kính này không?” Nhưng để làm quen với thấu kính, bạn không cần phải có kính lúp. Những giọt sương trên lá sồi này cũng là thấu kính. Nếu bạn chưa bao giờ nhìn sương từ góc độ này, hãy chậm lại. Và bạn thấy những đường gân mỏng của chiếc lá giống như một mạng lưới những con đường phức tạp, và mạng nhện giống như một sợi chỉ. Và mỗi giọt đều tập trung ánh sáng mặt trời.

2

V. Nhà chế tạo

Điều gì xảy ra trong tia laser helium-neon?

Laser helium-neon đang trở thành một thiết bị truyền sóng, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực công nghệ và khoa học. Những tia laser như vậy đã xuất hiện ở nhiều trường học và với sự trợ giúp của chúng, các tính chất của ánh sáng kết hợp đã được nghiên cứu.

Trung tâm của mỗi tia laser là cái gọi là môi trường hoạt động của riêng nó, có tác dụng hấp thụ chùm ánh sáng đi qua nó. Trong laser helium-neon, môi trường như vậy là plasma, được hình thành khi một dòng điện đi qua hỗn hợp helium và neon trong ống xả khí.

Laser hay master là gì, chúng phát sinh trên cơ sở nào?
L. Martynov

Thông thường, khi truyền qua môi trường, chùm ánh sáng bị suy giảm - một phần năng lượng của chùm tia được môi trường hấp thụ. Tuy nhiên, có thể tạo ra một môi trường trong đó khi ánh sáng đi qua ai đó, nó sẽ không bị suy yếu mà sẽ bị nén lại. Khả năng tạo ra một môi trường như vậy lần đầu tiên được đề cập vào năm 1939. Tất nhiên, trong quá trình thành công của ánh sáng, định luật bảo toàn năng lượng không bị vi phạm. Chùm sáng lấy thêm năng lượng từ nội năng của các nguyên tử trong môi trường.

Einstein phân tích sự tương tác của ánh sáng với nguyên tử

Chuyển tiếp, chuyển tiếp…
TỪ bài hát

Để hiểu môi trường khai thác ánh sáng “hoạt động” như thế nào, chúng ta cần xem xét chi tiết hơn sự tương tác của ánh sáng với các nguyên tử. Lần đầu tiên việc xem xét như vậy được thực hiện bởi lý thuyết về họ hàng của Albert Einstein. Thật ngạc nhiên là có bao nhiêu kết quả cơ bản trong các lĩnh vực vật lý hiện đại khác nhau đều gắn liền với tên tuổi của Einstein!

Năm 1916, Einstein, khi phát triển ý tưởng của Max Planck về bản chất lượng tử của sự tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử, lần đầu tiên đã trình bày rõ ràng sự tồn tại của ba quá trình quang học cơ bản trong đó nguyên tử tham gia.

Như đã biết, theo khái niệm lượng tử, nội năng của nguyên tử chỉ có thể thay đổi theo bước nhảy. Một nguyên tử, như chúng ta nói, có thể ở trạng thái Đứng yên ở một trong các mức năng lượng (Hình 1), tương ứng với một làn sóng dự trữ năng lượng bên trong nhất định. Sự chuyển đổi quang học của một nguyên tử từ cấp độ này sang cấp độ khác đi kèm với sự phát xạ hoặc hấp thụ photon của nguyên tử. Theo định luật bảo toàn năng lượng thì sự đẳng thức phải được thực hiện

$$hv = E_2 - E_1,$$

(1)

trong đó $hv$ là năng lượng photon ($h$ là hằng số Planck, $v$ là tần số ánh sáng), $E_1$ và $E_2$ là năng lượng của các trạng thái dừng của nguyên tử, giữa đó diễn ra quá trình chuyển đổi. Rõ ràng là để chuyển từ mức năng lượng này lên mức năng lượng cao hơn, nguyên tử phải hấp thụ các photon. Năng lượng của các photon bị hấp thụ sẽ làm tăng nội năng của nguyên tử. Ngược lại, trong quá trình chuyển sang mức thấp hơn, nguyên tử phải hấp thụ các photon mang đi phần năng lượng bên trong dư thừa của nguyên tử.

Einstein đã chỉ ra rằng có một loại quá trình hấp thụ photon và hai loại quá trình phát xạ photon (Hình 2). Trong quá trình hấp thụ, nguyên tử có thể nuốt chửng photon tiếp cận nó và chuyển lên mức năng lượng cao hơn (Hình 2, a). Quá trình phát xạ photon của nguyên tử có thể xảy ra một cách tự phát - tự phát, không có bất kỳ tác động nào từ bên ngoài (Hình 2, b). Tất nhiên, để xảy ra sự phát xạ tự phát của một photon, nguyên tử trước tiên phải được kích thích. Sự phát xạ tự phát không thành công do trạng thái kích thích của nguyên tử không ổn định. Tuổi thọ của các nguyên tử bị kích thích bị cô lập là khác nhau ở các trạng thái khác nhau. (Đối với tuổi thọ ngắn hơn của các nguyên tử bị kích thích, chúng tôi hài lòng - vào khoảng $10^{-8}$ s.)

Điều quan trọng nhất đối với laser là việc Einstein phát hiện ra sự tồn tại của loại quá trình thứ hai bằng cách sử dụng

giải phóng các photon - cái gọi là sự phát xạ cưỡng bức hoặc kích thích. (Chúng tôi đã cố tình đi chệch một chút so với hệ thống các quá trình quang học do chính Einstein đưa ra. Ông gọi là sự hấp thụ âm phát xạ kích thích, do đó kết hợp quá trình này với quá trình hấp thụ. Dưới đây chúng ta sẽ thấy rằng có những lý do cho điều này, nhưng trong văn học hiện đại, thuật ngữ mà chúng ta sử dụng đã được thiết lập.)

Sự phát xạ kích thích xảy ra khi một photona va chạm với một nguyên tử bị kích thích. Như Einstein đã chỉ ra, sự chuyển đổi bắt buộc của một nguyên tử từ mức $E_2$ sang mức thấp hơn $E_1$ chỉ có thể kích thích một photon có năng lượng thỏa mãn đẳng thức (1). Photon giống như một nguyên tử bị kích thích vốn đã không ổn định và nó “rơi” xuống mức năng lượng thấp hơn, phát ra một photon mới (Hình 2, b). Trong trường hợp này, photon, bị kích thích bởi sự chuyển đổi, không làm thay đổi năng lượng và hướng bay của nó. Điều quan trọng cần nhấn mạnh là photon mới được tách ra

4

Giai điệu là “Song sinh” của PHOTON ĐÃ KÍCH THÍCH SỰ SINH CỦA NÓ - nó mang cùng năng lượng và bay theo cùng một hướng.

Vì vậy, sau khi photoTON đầu tiên gặp nguyên tử bị kích thích, hai photoTon giống hệt nhau hoàn hảo sẽ bay xa hơn và nguyên tử chuyển sang mức năng lượng thấp hơn. Sự đồng nhất tuyệt đối của hai photon này không chỉ được biểu hiện ở sự bằng nhau về năng lượng và sự trùng hợp về hướng bay của chúng, mà còn ở một tính chất gọi là sự kết hợp. Có một lý thuyết lượng tử về sự kết hợp, đặc biệt được phát triển sau sự ra đời của tia laser; tuy nhiên, tính chất này được mô tả rõ ràng hơn trên cơ sở các khái niệm sóng cổ điển mà không có bất kỳ sự nhảy pha hoặc thay đổi hướng nào.

Bây giờ chúng ta đã hiểu tại sao quá trình phát xạ kích thích Eischstein được gọi là sự hấp thụ có mục tiêu. Xét cho cùng, hấp thụ và phát xạ kích thích là hai quá trình “nghịch đảo lẫn nhau”. Trạng thái ban đầu trong quy trình đầu tiên trùng với trạng thái cuối cùng của quy trình thứ hai và ngược lại (Hình 3). Ngoài ra, khi bị hấp thụ, cường độ ánh sáng tới giảm đi nhưng tính kết hợp của nó không bị phá vỡ; Do sự phát xạ cảm ứng, cường độ của ánh sáng tới tăng lên do sự phát xạ cảm ứng, kết hợp với ánh sáng tới.

Do đó, nếu trong môi trường có các nguyên tử bị kích thích có khả năng phát xạ kích thích, thì sự truyền cùng mức ánh sáng trong quá trình truyền sẽ làm tăng cường độ của nó, vẫn kết hợp và quá trình này ngược lại với quá trình hấp thụ.

Chính sự hấp thụ ánh sáng nhất quán trong quá trình phát xạ kích thích là nền tảng cho việc tạo ra các máy phát lượng tử quang học—laser. Bản thân từ “laser” được hình thành từ các chữ cái đầu tiên của từ tiếng Anh khuếch đại ánh sáng bằng sự phát xạ kích thích.

Đảo ngược dân số và cách đạt được nó

Tất cả ngôi nhà hàng đầu
Tên một câu chuyện cổ tích tiếng Anh

Bây giờ chúng ta có thể giải thích tại sao các môi trường khác nhau thường làm yếu đi ánh sáng hơn là tăng cường ánh sáng. Vấn đề là trong điều kiện bình thường luôn có nhiều nguyên tử ở mức năng lượng thấp hơn ở mức năng lượng cao hơn (Hình 4). Do đó, trong môi trường có nhiều nguyên tử có khả năng “nuốt” hơn là phát ra photon, và số lượng sự kiện hấp thụ vượt quá số lượng sự kiện phát xạ kích thích.

Để thu được môi trường khuếch đại, cần phải tạo ra sự đảo ngược quần thể nguyên tử ở các mức năng lượng – để tạo ra tình huống trong đó có nhiều nguyên tử ở mức trên hơn ở mức thấp hơn (Hình 5). Khi đó tác dụng phát xạ cưỡng bức sẽ lấn át tác dụng hấp thụ và do sự phát xạ cưỡng bức nên sự hấp thụ ánh sáng sẽ xảy ra. Hãy xem cách đảo ngược

Hình 4. Phân bố bình thường của nguyên tử theo mức năng lượng.

6

Hình 7. Sự phân bố electron theo năng lượng.

Tất cả các electron đều có cùng năng lượng, bằng năng lượng trung bình $E$ của chuyển động nhiệt của chúng, khi đó không có electron nào có thể kích thích nguyên tử. Ở một nhiệt độ nhất định (ở một giá trị nhất định $E$), năng lượng $\frac{mv^2}{2}$ của chuyển động nhiệt của từng electron khác với giá trị $E = \frac{mv^2}{2}$ - như người ta nói, có sự phân tán năng lượng của electron. Hình 7 thể hiện đồ thị phân bố năng lượng của electron ở một nhiệt độ nhất định. Có thể thấy chỉ một phần nhỏ electron có năng lượng trên ngưỡng kích thích của nguyên tử.

Mức độ dân số không chỉ phụ thuộc vào các sự kiện mà còn phụ thuộc vào tuổi thọ của nguyên tử ở một mức năng lượng nhất định. Rõ ràng là tuổi thọ ở một mức nhất định càng dài thì càng có nhiều nguyên tử tích tụ trên đó. Vì vậy, để đạt được sự đảo ngược dân số, sẽ có lợi nếu có cấp độ cao hơn với tuổi thọ dài hơn và cấp độ thấp hơn với tuổi thọ ngắn hơn. Đối với laser hoạt động ở chế độ liên tục, điều kiện này rất nghiêm ngặt.

Hình 8a thể hiện các phương pháp quản lý sơ đồ xen kẽ ở các cấp độ nguyên tử neon. Sự chuyển đổi giữa các cấp độ $E_3$ và $E_2$ đi kèm với sự phát ra một vạch màu đỏ có bước sóng 0,6328 μm. Tuổi thọ của các nguyên tử ở cấp độ $E_3$ là khoảng $2 \cdot 10^{-7}$ s và ở cấp độ $E_2 = 10^{-8}$ s, tức là ít hơn khoảng năm lần, điều này thuận lợi cho việc đạt được sự đảo ngược. Tuy nhiên, các nguyên tử lên đến cấp $E_3$ chỉ có thể phát sinh từ các electron có năng lượng vượt quá $E_3 - E_1$ và đến cấp thấp hơn $E_2$ - các electron có năng lượng vượt quá $E_2 - E_1$*). Vì $E_3 - E_1 > E_2 - E_1$, tình huống này không ủng hộ việc đảo ngược. Cấp độ càng cao thì các electron càng khó kích thích nguyên tử đến cấp độ này. Do tác động của hai yếu tố này, rất khó thu được sự nghịch đảo trong neon nguyên chất. Điều này buộc phải sử dụng hỗn hợp gel và neon, và lượng gel trong hỗn hợp này nhiều hơn neon khoảng mười lần.

*) Cũng có thể xảy ra trường hợp sau: một nguyên tử, đã kết hợp với một electron và chuyển đến mức kích thích, trong suốt thời gian tồn tại của nó sẽ va chạm với một electron thứ hai và chuyển lên mức cao hơn (sự kích thích như vậy được gọi là từng bước). Tuy nhiên, nồng độ của các nguyên tử bị kích thích là nhỏ (do tuổi thọ của các nguyên tử ở trạng thái kích thích rất ngắn), và do đó, trong điều kiện bình thường, xác suất xảy ra sự kiện như vậy là không có.

Hình 8a.

Hình 86.

8

Hình 11.

Kết quả là các photon tuyết lở gặp phải một trong các gương laser và sau khi bị phản xạ sẽ quay trở lại môi trường hoạt động, đi kèm với đó là sự gia tăng tuyết lở. Sau đó, sự phản chiếu xảy ra từ tấm gương thứ hai và một lần nữa trận tuyết lở lại phát triển, v.v. Với sự trợ giúp của một tấm gương, chúng ta dường như mở rộng môi trường hoạt động. Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng ngay cả với những chiếc gương lý tưởng phản chiếu tất cả các photon rơi vào chúng, trận tuyết lở sẽ phát triển vô tận. Bản thân trận tuyết lở đã làm hỏng các điều kiện tăng trưởng. Ở mật độ thông lượng photon đủ cao, chúng sẽ “hạ gục” các nguyên tử bị kích thích xuống mức năng lượng thấp hơn nhanh đến mức sự nghịch đảo dân số sẽ biến mất. Nhưng cùng với sự phát xạ kích thích, quá trình hấp thụ và phát xạ tự phát cũng diễn ra. Trong quá trình phát xạ tự phát, các photon mới nổi lan truyền đồng đều trong không gian theo mọi hướng và sự đóng góp của chúng vào vụ tuyết lở photon là rất nhỏ và đại diện cho ánh sáng không lõi. Sự phát xạ tự phát của các nguyên tử tạo ra một lượng nhỏ cái gọi là “nhiễu” trong tia laser. Khi, do sự biến mất của nghịch đảo dân số, trạng thái cân bằng xảy ra giữa số lượng tác dụng hấp thụ và số lượng tác dụng phát xạ tự phát và kích thích, thì quá trình khuếch đại ánh sáng tiếp theo sẽ chấm dứt. (Theo định luật bảo toàn năng lượng, năng lượng giải phóng trong quá trình phát xạ trở thành năng lượng cung cấp để kích thích nguyên tử Ne.)

Từ thành công đến thế hệ

Định nghĩa chính xác về “kết nối tượng hình” không có gì quan trọng. U.R. Ashby. “Giới thiệu về Cybernet”

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu vai trò của những chiếc gương thật có hệ số phản xạ nhỏ hơn một. Nếu không có gương, ống xả khí chứa hỗn hợp helium-neon sẽ hoạt động như một bộ khuếch đại ánh sáng. Gương biến thiết bị thành máy phát ánh sáng. Sử dụng thuật ngữ kỹ thuật vô tuyến, chúng ta có thể nói rằng chiếc gương cung cấp phản hồi tích cực.

Khi sóng ánh sáng được mô tả ở trên chạm tới một trong các gương, nó sẽ bị phản xạ một phần, truyền theo hướng ngược lại qua môi trường hoạt động, lại khuếch đại và tới gương thứ hai, nơi điều tương tự sẽ được lặp lại. Sóng sẽ “ném” vào giữa các tấm gương, giống như hổ bị nhốt trong chuồng.

Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng một trong những tấm gương hơi rõ ràng một chút. Với mỗi phản xạ từ tấm gương này, một phần nhỏ sóng ánh sáng sẽ được giải phóng. Chùm tia laser biến đổi tổng số các bộ phận này thành sóng ánh sáng truyền xung quanh trong lồng gương. Và nếu sự mất mát ánh sáng trong gương (và không có gương nào không bị tổn thất) được bù bằng sự khuếch đại ánh sáng trong môi trường hoạt động, thì chế độ phát laser tĩnh sẽ được thiết lập. Môi trường hoạt động của laser helium-neon có hiệu ứng khuếch đại rất yếu (cường độ của luồng ánh sáng tăng khoảng 10% trên mỗi mét đường đi trong môi trường hoạt động). Do đó, các gương trong tia laser như vậy

9

phải có hệ số phản xạ rất cao trên 90%.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra hiện tượng xảy ra trong ống phóng khí của tia laser helium-neon. Về cơ bản, tia laser trải qua quá trình chuyển đổi năng lượng. Các giai đoạn chính của quá trình này có thể được biểu diễn bằng sơ đồ trong Hình 11.

Chùm tia laze
Chùm tia sét.
F. Tyuchev

Sự phát sáng của môi trường hoạt động thường được phân biệt với sự phát sáng của các nguồn sáng như đèn sợi đốt hoặc đèn huỳnh quang. Trong các nguồn sáng thông thường, sự hỗn loạn hoàn toàn ngự trị - đây đó xuất hiện những tia sáng riêng biệt, chảy thành một luồng ánh sáng chung. Những tia sáng này là những nhóm sóng riêng biệt được phát ra từ các nguồn khác nhau (các nguyên tử bị kích thích khác nhau) và các pha ban đầu của các sóng này hoàn toàn tùy ý, không phối hợp theo bất kỳ cách nào. Ánh sáng rực rỡ của các nguồn sáng thông thường giống như tiếng gầm rú của một đám đông vô tổ chức, có phần phấn khích. Một hình ảnh hoàn toàn khác trong tia laser. Nhờ tác dụng phát xạ cảm ứng, sóng ánh sáng ra lệnh cho bức xạ của từng nguyên tử. Ở đây nó giống như một dàn hợp xướng hài hòa - đầu tiên một thành viên của dàn hợp xướng bước vào, sau đó là những thành viên khác, cường độ âm thanh tăng lên. Dàn hợp xướng được điều khiển bởi sóng ánh sáng mà nó tạo ra. Pha của từng nhóm sóng phát ra từ các nguyên tử khác nhau là nhất quán với nhau. Đây là nguyên nhân dẫn đến sự kết hợp của ánh sáng phát ra từ tia laser.

Vì vậy, chùm tia laser là tổng của các phần sóng ánh sáng truyền qua gương mờ. Và vì tất cả những chi tiết này gắn kết với nhau nên giao diện xảy ra do sự bổ sung của chúng. Như đã biết, biên độ cực đại của sóng thu được sẽ đạt được nếu hiệu đường đi của các sóng được thêm vào bằng một bước sóng nguyên. Độ dài đường truyền của sóng laser giữa hai gương phát ra từ cùng một gương là 2L, trong đó L là khoảng cách giữa hai gương. Vì vậy, để có được chùm tia sáng phát ra phải đáp ứng các điều kiện sau:

$$2L = n\lambda,$$

trong đó n là số nguyên, λ là bước sóng ánh sáng. Điều kiện (3) có ý nghĩa đơn giản: phải đặt một số nguyên nửa sóng dọc theo chiều dài của ống laser (cộng hưởng). Khi làm dao động một sợi dây có hai đầu cố định, một số nguyên nửa sóng cũng được đặt dọc theo chiều dài của sợi dây. Đây là điều kiện để hình thành sóng dừng. Và một sóng ánh sáng dừng được thiết lập bên trong tia laser (chính xác hơn là gần như đứng yên - do tính trong suốt của một trong các gương).

Điều kiện (3) có thể được viết lại như sau:

$$v = n \frac{c}{2L},$$

trong đó c là tốc độ ánh sáng, v = \frac{c}{\lambda} là tần số.

Nhưng tần số ánh sáng phát ra từ các nguyên tử neon trong quá trình chuyển từ mức E₃ sang mức E₂ bằng

$$v = \frac{E_3 - E_2}{h}$$

Do đó, tần số ánh sáng do tia laser tạo ra phải đồng thời thỏa mãn cả phương trình (4) và phương trình (5). Phương trình đầu tiên xác định điều kiện cộng hưởng giữa ánh sáng và sự cộng hưởng và có tính chất cổ điển. Vì gương cộng hưởng có kích thước tối đa nên ánh sáng tương tác với nó dưới dạng sóng ánh sáng. Phương trình (4) có tính chất lượng tử và xác định điều kiện cộng hưởng giữa ánh sáng và các nguyên tử của môi trường hoạt động, được biểu thị bằng các chất cộng hưởng vi mô dưới dạng dòng photon.

Do đó, cả độ sáng sóng và lượng tử của ánh sáng đều xuất hiện đồng thời trong tia laser.

10

Hình 12.

Hình 13. “Độ sắc nét của sự điều chỉnh” của các nguyên tử không giống như sự cộng hưởng của gương.

Bây giờ chúng ta hãy nhận ra rằng trên thực tế chúng ta đã quen thuộc với bức xạ có tần số cụ thể $v_0$ (Hình 12, a), chúng ta phải chọn kích thước của cộng hưởng - khoảng cách $L$ giữa các gương - sao cho tần số tự nhiên của cộng hưởng (được xác định bởi các điều kiện hình thành sóng thải) chính xác bằng $v_0$. Và khoảng cách này sẽ phải được duy trì với độ chính xác đến từng phần nhỏ của chiều dài bức xạ. Trong thực tế rất khó có thể đáp ứng được yêu cầu này. May mắn thay, điều này bài toán giúp mọi việc trở nên dễ dàng hơn vì trên thực tế, tần số bức xạ của một nguyên tử không chính xác bằng $v_0$, mà nằm trong một phạm vi giá trị nhất định $v_0 \pm \Delta v$. Tuy nhiên, lý do tại sao điều này xảy ra là do chuyển động nhiệt của các nguyên tử. Vì tốc độ của từng nguyên tử có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn tốc độ chuyển động nhiệt nên năng lượng của các nguyên tử ở một mức năng lượng nhất định không chính xác bằng $E_n$ mà nằm trong một phạm vi giá trị nhất định $E_n \pm \Delta E$ (Hình 12, b). Một số giá trị của tần số tự nhiên cộng hưởng rơi vào khoảng tần số $|(v - \Delta v), (v + \Delta v)|$ (Hình 13). Do đó, đối với một tần số bức xạ nhất định, chùm tia laze mạnh sẽ thu được bằng cách điều chỉnh cộng hưởng thành tập tần số không phải bát phân (tương ứng với các giá trị khác nhau của số nguyên $n$ trong điều kiện (4)). Nếu không thực hiện các biện pháp đặc biệt, tia laser helian-neon sẽ phát ra toàn bộ tập hợp tần số này, mặc dù tập trung ở một vùng khá hẹp (độ rộng của vạch phổ của nguyên tử neon).

Ngoài ra còn có các loại laser đơn hạt, nhưng chúng có một thiết bị đặc biệt chọn lọc một trong các cộng hưởng hẹp.

Công suất chùm tia của laser helian-neon thấp—cỡ một số thập phân. Mặc dù vậy, nếu chùm tia chiếu vào mắt, nó có thể làm hỏng thị lực của bạn. Ống phóng tia laser tiêu thụ điện năng từ 20 đến 100 W để kích thích môi trường hoạt động. Do đó, tia laser gel-neon chuyển đổi năng lượng điện thành năng lượng của chùm ánh sáng với hiệu suất không cao hơn một phần trăm.

Đồng thời, chùm tia laser có một số đặc tính có giá trị bù đắp cho hiệu suất thấp. Trước hết, đây là hướng của chùm tia. Khi nói về nguồn gốc của vụ tuyết lở photon, chúng tôi đã chỉ ra rằng photon đầu tiên sẽ bay ra song song với trục của ống phóng điện. Photon phát ra “xiên” và các photon do nó tạo ra sẽ nhanh chóng “đi ra” qua thành bên của ống, không bị khuếch đại. Sự phản chiếu từ gương sẽ chỉ nâng cao hiệu ứng. Vì vậy, một chùm tia định hướng được bảo toàn bên trong ống, độ phân kỳ góc của nó chỉ có bán kính $10^{-3}$. Tính định hướng cao của chùm tia laser gel-neon khiến nó không thể thiếu trong việc thiết lập hướng chính xác trong quá trình xây dựng các công trình khác nhau và khi đặt đường hầm. Tính đơn sắc cao của bức xạ của laser gel-neon, thậm chí không phải là tia laser đơn hạt, làm cho thang đo laser này trở thành nguồn thuận tiện cho việc nghiên cứu và ứng dụng thực tế các hiện tượng giao thoa khác nhau. Ngoài laser helian-neon, còn có một số lượng lớn các loại laser khí khác sử dụng các loại khí nguyên tử và phân tử khác nhau làm môi trường hoạt động. Có những cái trung bình và vảy rất mạnh. Ngoài ra còn có tia laser với hiệu suất khá cao. Nhưng như người ta nói, đó lại là một câu chuyện khác.

11

E. Gabovich

Bài toán
nhân viên bán hàng du lịch

“Hãy sử dụng dịch vụ của Aeroflot!”
Hai chiếc xe, kỹ sư A. Nevsky và nhà kinh tế B. Liteiny, quyết định đến Transcaucasia, thăm Baku và Tbilisi, dừng chân ở Moscow, Kyiv và Gorky, rồi trở về quê hương Leningrad. Chúng tôi bắt đầu thảo luận về lộ trình du lịch. Nevsky nhìn vào bản đồ và gợi ý trình tự tham quan các thành phố sau đây:
L → M → G → B → T → K → L
Liteiny, sau khi lấy ra một bản đồ đường bộ, viết ra một bảng khoảng cách giữa các thành phố mà họ cần (xem Bảng 1) và tính toán độ dài của tuyến đường được đề xuất:
696 + 410 + 2937 + 579 + 1863 + 1207 = 7692 km. “Quá dài! - anh ấy nói. - Khoảng cách của Aeroflot! Có thể làm cho nó ngắn hơn không? Bạn có chắc tuyến đường này là ngắn nhất không?
Nevsky không có sự tự tin như vậy. Hơn nữa, Nevsky cũng không thể giải thích được tại sao mình lại quyết định đi theo con đường này. Trực giác đơn giản cho anh biết con đường như vậy sẽ như thế nào, nếu, v.v.

Bảng 1

| Thành phố | L | M | ĐẾN | B | T | G |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Leningrad | — | 696 | 1207 | 3223 | 2797 | 1106 |
| Mátxcơva | 696 | — | 858 | 2527 | 2101 | 410 |
| Kiev | 1207 | 858 | — | 2283 | 1863 | 1268 |
| Baku | 3223 | 2527 | 2283 | — | 579 | 2937 |
| Tbilisi | 2797 | 2101 | 1863 | 579 | — | 2511 |
| Vị đắng | 1106 | 410 | 1286 | 2937 | 2511 | — |

12

không ngắn hơn tất cả những cái khác, thì nó gần như ngắn nhất.

“Chúng ta có nên xem xét tất cả các tuyến đường không? - Liteiny gợi ý. “Có nhiều tuyến đường không?” Anh bắt đầu đếm. “Từ Leningrad bạn có thể đi đến bất kỳ thành phố nào trong số năm thành phố. Ví dụ: nếu chúng ta đến Moscow, thì từ đó chúng ta có thể đi đến bất kỳ thành phố nào ngoài Leningrad và Moscow. Vì vậy, có 20 hành trình có dạng $Л \rightarrow X \rightarrow Y$, trong đó $Л \neq X \neq Y \neq Л$. Đã có 60 chuyến đi loại $Л \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z$, nhưng từ $Y$ bạn có thể đi đến bất kỳ thành phố nào trong ba thành phố còn lại. Nếu chọn $Z$, chúng ta có thể coi thành phố tiếp theo sau $Z$ là một trong hai thành phố tiếp theo. Vì vậy, 120 tuyến đường, hay hành trình kết thúc một cách rõ ràng: trên đường về nhà, bạn sẽ ghé thăm thành phố cuối cùng trong số sáu thành phố. Rất nhiều thứ! Vì vậy, đây không phải là một phương pháp để thử tất cả các tuyến đường! Rốt cuộc, nếu chúng tôi muốn đến thăm sáu thành phố, chúng tôi sẽ có 720, và nếu chúng tôi muốn đến thăm bảy thành phố, thì chúng tôi sẽ có 5040 tuyến đường!

“Vậy thì hãy làm điều này,” Nevsky gợi ý, “chúng ta hãy đi từ Leningrad đến thành phố gần nhất, từ đó đến thành phố gần nhất chưa được ghé thăm, v.v. Điều này cho chúng ta tuyến đường $Л \rightarrow M \rightarrow Γ \rightarrow K \rightarrow T \rightarrow Б \rightarrow Л$. Chiều dài của nó, hiện được tính toán, là 8057 km. Dài hơn 365 km!”

Bài toán nhân viên bán hàng du lịch

Bài toán, mà Nevsky và Liteiny giải được, được biết đến trong toán học với cái tên bài toán của một người bán hàng lưu động *) (thương gia lưu động).

Hãy xây dựng nó ở dạng tổng quát: có $k$ thành phố, khoảng cách giữa chúng đã biết; nhân viên bán hàng lưu động cần rời khỏi một trong những thành phố này, ghé thăm các thành phố $k-1$ còn lại, ghé thăm mỗi thành phố đúng một lần và quay trở lại

*) Có lẽ người đầu tiên hình thành nhân viên bán hàng du lịch bài toán là nhà toán học nổi tiếng Carl Menger. Điều này xảy ra vào ngày 5 tháng 2 năm 1930 tại hội thảo toán học ở Vienna. Menger đã sử dụng câu nói nổi tiếng “Bài toán về người đưa tin”.

Hình 1.

thành phố nguồn; làm thế nào để tìm được con đường ngắn nhất?

Rõ ràng, việc lựa chọn điểm xuất phát của tuyến đường là không quan trọng - nhân viên bán hàng du lịch bài toán có thể được xây dựng như sau: tìm tuyến đường khép kín ngắn nhất, đi qua từng thành phố trong số $k$ một lần.

Bài tập 1. Chứng minh tổng số tuyến đường đi của nhân viên bán hàng là $(k-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (k-1)$.

Lưu ý rằng bảng khoảng cách do B. Liteiny biên soạn (các nhà toán học gọi những bảng ma trận như vậy) hóa ra là đối xứng theo đường chéo mà đường thẳng được vẽ trên đó. Trong bài toán nhân viên bán hàng lưu động, các bảng không đối xứng cũng được phép. Ví dụ: bảng khoảng cách không đối xứng có thể xuất hiện trong bài toán sau đây (về tuyến xe buýt vòng tròn). Trong thành phố, trên một số đường thành phố chỉ được phép lưu thông một chiều, $k$ điểm (vị trí các điểm dừng trong tương lai) được cố định. Một tuyến xe buýt kín sẽ đi qua chúng. Cũng cần phải tìm một chuỗi tuần hoàn đi qua điểm dừng, trong đó mỗi chuỗi xảy ra một lần và chỉ một lần và toàn bộ tuyến đường có độ dài tối thiểu.

Bài tập 2. Trong một tấm có kích thước $7 \times 9$, chùm tia laser phải cắt qua các khe theo hướng chỉ bởi các mũi tên trên Hình 1 và đưa nó về vị trí ban đầu. Bài toán giảm thiểu tình trạng chạy nguội của đầu laser là bài toán nhân viên bán hàng lưu động. Viết ma trận khoảng cách cho nó. (Lưu ý rằng nó không đối xứng.)

13

Từ Bài tập 2, chúng ta thấy rằng các “thành phố” trong bài toán của commuvozher có thể hoàn toàn không phải là thành phố, và “rastoyans” có thể không phải là rastoynya chút nào. Ví dụ: trong mục “khoảng cách” giữa hai thành phố, bạn có thể thử hoặc tiếp tục di chuyển giữa chúng. Trong trường hợp này, tổng chi phí của chuyến đi hoặc thời gian của chuyến đi sẽ được giảm thiểu tương ứng.

Hãy lấy một ví dụ khác về bài toán về trại. Trong quá trình xử lý trên máy nghiền, bộ phận này trải qua hoạt động $k$. Khi chuyển từ thao tác này sang thao tác khác, máy phải setup lại dẫn đến mất thời gian. Cần phải tìm ra thứ tự thực hiện mọi thao tác (với việc đưa máy về trạng thái ban đầu) sao cho tổng tổn thất là tối thiểu. Rõ ràng là ở đây chúng ta đang giải quyết vấn đề về cổ góp - với bảng thời gian bị mất khi xây dựng lại máy dưới dạng ma trận khoảng cách. “Thành phố” là trạng thái của máy sau nhiều hoạt động khác nhau.

Nhân viên bán hàng bài toán được lãnh đạo bởi bài toán lập kế hoạch sản xuất và thiết kế truyền thông tuyến tính (ví dụ: mạng điện thoại), bài toán vẽ ra lộ trình cho nhân viên bưu điện (bác sĩ, nhân viên điều khiển điện thoại trả tiền, v.v.) và thậm chí một số thiết kế máy tính bài toán.

Hoàn thành tìm kiếm

Vì vậy, trong mỗi bài toán commuvoger cụ thể, cần phải tìm hành trình ngắn nhất cho một ma trận khoảng cách nhất định. Có thể là tình cờ

| Số giao dịch | I | II | III | IV | V |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| I | — | 0 | 11 | 5 | 20 |
| II | 31 | — | 0 | 52 | 8 |
| III | 9 | 16 | — | 0 | 41 |
| IV | 64 | 31 | 61 | — | 0 |
| V | 0 | 93 | 19 | 7 | — |

điều này sẽ cực kỳ dễ thực hiện. Ví dụ: nếu tổn thất chuyển tải trong bài toán của máy nghiền được cho trong Bảng 2, thì rất có thể trình tự vận hành tối ưu là: $I \rightarrow II \rightarrow III \rightarrow IV \rightarrow V \rightarrow I$ (với tổng thời gian chuyển tải bằng 0).

Bài tập 3. Giải phương trình bài toán của Bài tập 2 nếu bạn biết rằng trong quá trình di chuyển khó khăn, đầu laser chỉ có thể di chuyển song song với các cạnh của tấm.

Tuy nhiên, thông thường nhất đối với các bảng khoảng cách cụ thể, lời giải không nổi bật. Và ngay cả khi ai đó cho chúng ta biết con đường nào là ngắn nhất, nó có thể khó khăn hơn khi chúng ta muốn kiểm tra xem điều này có thực sự đúng như vậy hay không.

Các nhà toán học không mấy quan tâm đến lời giải cụ thể bài toán nhân viên bán hàng, bao nhiêu là phổ biến lời giải tất cả những thứ này bài toán (hoặc ít nhất là tất cả bài toán nhân viên bán hàng tại $k \leq m$, Ở đâu $m$ - một số số cố định).

Tất nhiên, lưu ý rằng trong mỗi bài toán commuvoger cụ thể, bạn có thể thực hiện tất cả các tuyến đường. Do đó, bạn có thể tổ chức tìm kiếm đầy đủ tất cả các tuyến đường, tính toán độ dài của chúng và chọn tuyến đường ngắn nhất. Về nguyên tắc, việc tìm kiếm toàn diện như vậy là một phương pháp giao tiếp chung lời giải bài toán.

Tuy nhiên, chúng ta hãy nhớ đến Nevsky và Liteiny. Mặc dù họ phải vẽ một tuyến đường khép kín chỉ qua sáu thành phố nhưng họ không muốn đi qua hết 120 turii (tuy nhiên, họ không tự động nhận thấy rằng, do tính đối xứng của Bảng 1, chỉ có 60 turii có độ dài khác nhau). Trong trường hợp tổng quát, người đi lại phải chọn con đường ngắn nhất là $(k-1)$! khả năng của các tuyến đường. Con số này tăng rất nhanh khi $k$ tăng, và do đó phương pháp chỉ báo lời giải thực tế không áp dụng được cho các giá trị lớn của $k$. Do đó, tác giả biết một ví dụ trong đó máy tính M-220A dành 4 giờ 45 phút để thực hiện tìm kiếm trong bài toán cho một người lái xe đi lại ở mười thành phố $(k=10)$! Nhanh

15

Các thí nghiệm đã chỉ ra rằng không cần sử dụng các thuộc tính cụ thể của từng thiết bị giao tiếp bài toán cụ thể, sẽ có một máy tính và các phương pháp lập trình tuyến tính số nguyên lời giải bài toán cho phép bạn chỉ xử lý với bài toán thiết bị giao tiếp nếu cần thiết, số lượng thành phố (không quá mười). Đồng thời, công trình gần đây nhất trong lĩnh vực này cho thấy rằng việc rút gọn quy hoạch tuyến tính số nguyên xuống bài toán có thể được sử dụng một cách hiệu quả khi kết hợp với một phương pháp giao tiếp lời giải bài toán khác - phương pháp nhánh và giới hạn.

Phương pháp phân nhánh và ràng buộc

Phương pháp giao tiếp lời giải bài toán tốt nhất hiện nay là phương pháp liệt kê giới hạn hoặc phương pháp phân nhánh và ràng buộc. Nó được sử dụng trong một số sửa đổi với hiệu quả khác nhau.

Tất nhiên, khi thực hiện một tìm kiếm hoàn chỉnh, chúng tôi có thể viết ra tất cả các chuyến tham quan lần lượt. Bạn có thể làm khác đi: vẽ một cây về những chuyến đi có thể thực hiện được. Đối với trường hợp của bốn thành phố, nó được thể hiện trong Hình 2. Trong các vòng tròn là số thành phố; Các mũi tên chỉ các chuyến đi. Rõ ràng là khi di chuyển đến cây chuyến đi, số lượng mũi tên giảm so với số lượng của chúng trong bản ghi của tất cả các tuyến đường (tại $k > 3$). Ví dụ, khi viết tất cả các tuyến đường liên tiếp, mũi tên I → II sẽ phải được vẽ hai lần. Nhưng chúng ta sẽ tiết kiệm được nhiều hơn nếu không xây dựng toàn bộ sơ đồ hành trình mà chỉ xây dựng một phần trong đó. Một cây bị cắt cụt như vậy được đặt tên, khác với cây của tất cả các chuyến đi do không có các nhánh không thể đưa ra lộ trình ngắn nhất và được xây dựng theo phiên bản của phương pháp nhánh và ràng buộc được trình bày bên dưới.

Chúng ta hãy mô tả trình tự các giai đoạn của một phương thức giao tiếp lời giải bài toán như vậy (sơ đồ luồng của thuật toán được mô tả được hiển thị trong Hình 3). Hoàn thành màn chơi, chuyển sang màn tiếp theo, trừ khi có hướng dẫn khác.

1. Chúng ta vẽ đỉnh gốc của cây (để định nghĩa, chúng ta sẽ giả sử rằng nó tương ứng với thành phố I). Chúng tôi chỉ định nó xếp hạng 0.

2. Chúng tôi phân nhánh từ bất kỳ đỉnh nào có số điểm tối thiểu (ban đầu là từ gốc). Điều này có nghĩa là chúng ta vẽ từ đỉnh đã chọn tất cả các mũi tên sẽ xuất phát từ đỉnh đó trong cây các chuyến đi có thể xảy ra và vẽ các đỉnh tương ứng của cây.

3. Chúng tôi gán cho mỗi đỉnh mới một điểm bằng độ dài của phần tuyến đường được mô tả bằng các mũi tên dẫn từ đỉnh gốc đến đỉnh này.

16

Hình 3.

4. Nếu đạt được một đỉnh tương ứng với thành phố I thì chúng ta tìm thấy
   Dim chiều dài G ngắn nhất thu được
   các tour du lịch có sẵn cho đến thời điểm này. Nếu không,
   đi đến giai đoạn 2.

5. Chúng tôi cắt bỏ tất cả các đỉnh mà việc phân nhánh chưa được thực hiện (các đỉnh cuối) và ước tính hệ số co-
   trong đó không nhỏ hơn G. Điều này có nghĩa là việc phân nhánh từ các đỉnh như vậy sẽ không được thực hiện trong tương lai. Nếu không thì mọi chuyện đã kết thúc -
   tất cả các đỉnh bị cắt bỏ, chuyển sang giai đoạn 2. Nếu tất cả, thì bài toán lời giải: chuyến tham quan tối ưu có độ dài Г và được khôi phục từ đỉnh cuối nơi thu được giá trị cuối cùng của Г (xem giai đoạn 4).

Giai đoạn 2 mô tả quy tắc phân nhánh, giai đoạn 3 mô tả các quy trình đánh giá, giai đoạn 4 mô tả các giới hạn và giai đoạn 5 mô tả các quy trình cắt tỉa.

Chúng ta hãy giải phương pháp rẽ nhánh và ràng buộc bài toán của người bán hàng du lịch với các khoảng cách cho trong Bảng 3.

Lời giải được hiển thị trong Hình 4. Per-
Bốn nhánh cuối cùng được hiển thị bằng mũi tên màu xanh lá cây. Gán giá trị cho G

G=8 và cắt hai đỉnh. Nhánh thứ năm tương ứng với mũi tên màu xanh. Trong số hai đỉnh cuối có điểm tối thiểu là 4, chúng tôi đã chọn đỉnh ở xa gốc hơn (với hy vọng đạt được một vòng khác nhanh hơn và giảm giá trị của G). Các nhánh sau được đánh dấu bằng mũi tên màu đỏ. Teleri G=5 và chúng tôi cắt bỏ tất cả các đỉnh cuối khác. Giải pháp là vòng I→II→III→IV→I có độ dài 5.

Phiên bản được mô tả của phương pháp nhánh và ràng buộc cho phép bạn giải bài toán nhân viên bán hàng du lịch bài toán với k<20 trên máy tính. Rõ ràng là nó luôn dẫn đến chuyến đi ngắn nhất hoặc nó sử dụng một cây có thể

Bảng 3

N I II III IV

I — 4 0 9

II 5 — 0 3

III 6 4 — 1

IV 0 2 6 —

17

các chuyến đi, và chỉ những nhánh đó bị loại bỏ mà rõ ràng là không thể cung cấp các chuyến tham quan ngắn hơn những chuyến đã được tìm thấy.

Bạn có thể đối phó với một trăm thành phố!

Năm 1963, một phiên bản rất thành công của phương pháp nhánh và giới hạn đã được xuất bản, trong đó, khi tính toán ước tính, một con số đã được thêm vào độ dài của phần tuyến đường đã hoàn thành, ước tính độ dài của phần còn lại. Quy tắc phân nhánh trong phương pháp này (tác giả của nó là Katta Murthy, một nhà toán học người Mỹ gốc Ấn Độ) là với mỗi nhánh, hai nhánh mới được hình thành *). Phương pháp của Murthy giúp người ta có thể giải được bài toán nhân viên bán hàng du lịch với giá $k \leq 40$ trên máy tính trong một thời gian tương đối ngắn.

Sau đó, một phiên bản khác của phương pháp rẽ nhánh và ràng buộc đã được phát triển (phương pháp Eastman-Shapiro). Sử dụng phương pháp này, có thể giải được một số nhân viên bán hàng du lịch bài toán tại $k \leq 70$. Sự phát triển hơn nữa của phương pháp Eastman-Shapiro giúp có thể tăng quy mô bài toán thành phố được giải quyết trên máy tính lên 100-120 thành phố.

Phương pháp Eastman-Shapiro để tính toán ước tính sử dụng thực tế là có các phương pháp máy hiệu quả lời giải được gọi là bài toán phép gán *), liên quan chặt chẽ đến bài toán nhân viên bán hàng lưu động. Về nội dung, bài toán về việc bổ nhiệm được xây dựng như sau: có $k$ người và $k$ chức vụ, đã biết ma trận các điểm không phù hợp giữa người và chức vụ. Cần phải tìm cách phân công công nhân vào các vị trí sao cho tổng số điểm không nhất quán là nhỏ nhất. Ở đây, ma trận điểm đóng vai trò tương tự như ma trận khoảng cách trong nhân viên bán hàng du lịch bài toán. Và các cuộc hẹn, như pozedki, có thể được viết dưới dạng $x \rightarrow y$. Điểm khác biệt duy nhất là các điểm đến không nhất thiết phải hình thành một lộ trình khép kín (tour). Ví dụ, có thể bổ nhiệm như vậy $I \rightarrow V \rightarrow I$, $II \rightarrow II$, $III \rightarrow IV \rightarrow VI \rightarrow III$ (điều này có nghĩa là người đầu tiên sẽ được bổ nhiệm vào vị trí thứ năm, người thứ năm lên vị trí thứ nhất, người thứ hai lên vị trí thứ hai, người thứ ba lên vị trí thứ tư, v.v.).

Vì vậy, mỗi vòng có thể coi là một cuộc hẹn (nhưng việc hẹn $k$ người

*) Để biết mô tả về phương pháp Murthy, chẳng hạn, hãy xem trong tài liệu quảng cáo của V. I. Mudrov “Vấn đề của người bán hàng du lịch”, M., “Kiến thức”, 1969.

*) Khoảng bài toán cuộc hẹn đã được M. I. Reitman mô tả trong bài viết “Giao thông vận tải bài toán” («Kvant», 1974, số 7).

Hình 4.

18

Hóa ra, trung bình nó chỉ là một chuyến tham quan trong một trong các trường hợp $k$: xét cho cùng, có ($k-1$!) các chuyến tham quan và tổng số $k$-bài tập bằng $k!$. Do đó, tổng điểm cho phép gán $k$ tối ưu không vượt quá độ dài của loại tối ưu. Và, như chúng tôi đã lưu ý, máy tính tìm thấy số điểm này tương đối nhanh chóng. Đây là những gì được sử dụng làm ước tính trong phương pháp Eastman-Shapiro, trong đó không phải cây hành động được xây dựng mà là một cây hoàn toàn khác, các đỉnh của chúng là phụ trợ bài toán về các bài tập (một ví dụ về cây như vậy được hiển thị trong Hình 5).

Trong phương pháp này, các bài tập được quyết định trước tiên bài toán với ma trận khoảng cách bài toán của người giao tiếp làm ma trận tính điểm. Nó tương ứng với đỉnh gốc của cây. Tổng số điểm cho phép gán tối ưu được coi là điểm của nút gốc (và bộ giao tiếp bài toán ban đầu). Nếu giải pháp là một chuyến tham quan thì bài toán của người giao tiếp đã được giải quyết: chuyến tham quan tìm được là tối ưu. Nếu phép gán $k$ bao gồm một số chuỗi tuần hoàn, ví dụ: $I \rightarrow III \rightarrow VII \rightarrow V \rightarrow I$, $IV \rightarrow VI \rightarrow II \rightarrow IV$, thì vì loại tối ưu không thể có “chu trình phụ” nên tất cả các chuỗi tuần hoàn này phải bị phá vỡ. Trong phương pháp Eastman-Shapiro, điều này được thực hiện trong quá trình giới thiệu và một - chuỗi nhiệm vụ ngắn nhất - luôn hoạt động, để sau đó quyết định số lượng nhiệm vụ bài toán mới ít hơn.

Trong ví dụ của chúng tôi, đó là trường hợp thứ hai; nó bao gồm ba thành phố: $II$, $IV$ và $VI$. Chúng tôi áp đặt các lệnh cấm đối với các vị trí $IV \rightarrow VI$, $VI \rightarrow II$ và $II \rightarrow IV$, sau đó chúng tôi quyết định ba phép gán bài toán mới với các khay ma trận điểm mới thu được từ ma trận tương ứng với đỉnh gốc: ở phần đầu tiên là phần tử $c_{46}$, ở phần thứ hai - phần tử $c_{62}$ và ở phần thứ ba - phần tử $c_{24}$ được thay thế bằng biểu tượng $\infty$, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách có ý nghĩa việc cấm tạo dáng tương ứng (thông qua $c_{ab}$ chúng tôi lại chỉ ra khoảng cách giữa các thành phố $a$ và $b$). Nếu có các chuyến tham quan trong số lời giải thì $\Gamma$ được coi là bằng độ dài của chuyến đi ngắn nhất trong số đó. Bài toán với số điểm không thay đổi hơn $\Gamma$ sẽ bị “cắt”. Phần giới thiệu tiếp theo được thực hiện cho một trong số bài toán này, bài tập $k$ không phải là một vòng và điểm (tổng số điểm chênh lệch) hóa ra là nhỏ nhất.

Chúng ta hãy nhận xét về quá trình lời giải, sơ đồ của quá trình này được hiển thị trong Hình 5.

Hai lần giới thiệu đã được thực hiện và sáu cuộc hẹn bài toán đã được quyết định. Giải pháp cho bài toán 4 hóa ra là một chu trình. Kể từ thời điểm này trở đi, $\Gamma = 44$ và bài toán với số điểm 45 và 44 sẽ bị loại bỏ.

lời giải bài toán 3 bao gồm phép gán $IV \rightarrow V \rightarrow IV$. Lần tiêm thứ hai dẫn đến hai bài toán mới: 5 và 6. Lời giải bài toán 5 là một chu kỳ có độ dài 42. Giá trị mới $\Gamma$ này cho phép cắt.

Phương pháp heuristic

Nếu không thể giải chính xác bài toán của người giao tiếp thì sẽ cố gắng giải gần đúng. Trong trường hợp này, tuyến đường được tìm kiếm tương đối khác một chút so với tuyến đường ngắn nhất. Các phương pháp tìm đường như vậy thường là gần đúng, dưới mức tối ưu hoặc theo kinh nghiệm.

Ví dụ: dưới mức tối ưu là phương pháp “đi tới điểm gần nhất”, tức là đến điểm gần nhất trong số chưa được di chuyển.

19

sinh con Dễ dàng nhận thấy phương pháp này không chính xác khi sử dụng ma trận khoảng cách đơn giản sau (xem Bảng 4).

Đối với cô ấy, thủ tục “đi đến gần” đưa ra một tuyến đường I→III→II→I có độ dài 10, trong khi thủ tục nonlenian “đi đến xa” dẫn đến một chuyến tham quan I→II→III→I có độ dài 8. Vì giao tiếp hiện không có tuyến đường nào khác, ví dụ này có nghĩa là phương pháp heuristic của chúng tôi đôi khi có thể đưa ra ngay cả những chuyến đi phẳng nhất.

Tuy nhiên, mục tiêu “đi đến gần nhất” (và các phương pháp phỏng đoán khác) thường được sử dụng trong thực tế - đặc biệt khi lời giải bài toán giao tiếp với một số lượng rất lớn các thành phố. Điều này được thực hiện theo một số nguyên tắc. Thứ nhất, phương pháp này hoạt động khá nhanh. Thứ hai, thực tế cho thấy rằng khi $k$ tăng lên, phương pháp “đi đến nơi gần nhất” ngày càng tạo ra các chuyến tham quan có độ dài hơi khác so với độ dài của chuyến tham quan ngắn nhất (và đôi khi trùng với nó). Và cuối cùng, một tình huống chung cho tất cả các phương pháp heuristic: trong nhiều bài toán thực tế, chúng ta không quan tâm đến giá trị chính xác lời giải mà chỉ quan tâm đến việc xấp xỉ nó đủ tốt (xét cho cùng, đôi khi khoảng cách giữa các thành phố không được xác định khá chính xác). Ngoài ra, độ chính xác của thuật toán “đi đến hàng xóm của bạn” tăng lên (nhưng cường độ lao động cũng tăng lên) nếu trong quá trình hoạt động của nó, $k$ vòng được xây dựng, vòng đầu tiên bắt đầu được xây dựng từ thành phố đầu tiên, vòng thứ hai từ thành phố thứ hai, v.v.; Một số chuyến tham quan này có thể khác nhau và cuối cùng chuyến tham quan ngắn nhất sẽ được chọn.

Đối với nhiệm vụ của nhân viên bán hàng du lịch, nhiều phương pháp heuristic hiệu quả đã được tạo ra. Đặc biệt, các phương pháp rẽ nhánh và ràng buộc đã được chứng minh là khá tốt; công việc của họ dừng lại ở một trong các loại được tìm thấy (không nhất thiết phải là loại tối ưu). Vì vậy, vào năm 1976, hai nhà toán học người Nhật đã giải được bài toán người bán hàng du lịch cho 300 thành phố trên máy tính NITAC-8800 bài toán. Đồng thời, lời giải được tìm thấy trong 2 phút, chênh lệch 0,2% so với mức tối ưu.

đất nước tuyệt vời

Hãy tưởng tượng rằng A. Nevsky và B. Liteiny, vốn đã quen thuộc với chúng ta, quyết định đi du lịch vòng quanh một đất nước nhỏ (hãy gọi nó là Constantius). Sau khi đến thủ đô của nó và tìm thấy bảy thành phố thú vị nhất của Constantia trong hành trình của mình, họ lên kế hoạch cho chuyến tàu của mình. Lần này, khoảng cách giữa các thành phố không chỉ lớn (xem Bảng 5). Do đó, những người bạn quyết định không theo đuổi mức tối thiểu mà tính toán độ dài của một số chuyến tham quan được thực hiện ngẫu nhiên và chọn chuyến đi ngắn nhất trong số đó (quy trình này cũng là một phương pháp dưới mức tối ưu, được gọi là phương pháp Monme-Karlo). Sự lựa chọn rơi vào các chuyến tham quan sau:

I→II→III→IV→V→VI→VII→VIII→I;
I→III→VII→II→IV→VI→VIII→I;
I→IV→VII→II→V→VIII→I.

Chúng tôi đã tính toán chiều dài của chúng; Hóa ra cả ba chuyến tham quan đều dài 794 km! Trở nên quan tâm, chúng tôi

20

các anh hùng đã phân tích thêm mười tuyến đường. Mỗi chiếc dài 794 km! Bạn có thể tưởng tượng những anh hùng của chúng ta đã xấu hổ như thế nào. Nhưng sự ngạc nhiên của họ sẽ còn lớn hơn nếu họ biết rằng với một ma trận khoảng cách nhất định, tất cả các chuyến đi nói chung đều có độ dài như nhau.

Tại sao? Việc mở quan tài rất đơn giản: tất cả các số 5 có được bằng cách cộng các số 48, 55, 66, 38, 61, 42, 50 và 37. Ví dụ: ở dòng thứ ba, các tổng là 66+48=114, 66+55=121, 0, 66+38=104, v.v. thời gian và chỉ một số từ mỗi hàng và từ mỗi cột của Bảng 5, thì kết quả là độ dài của bất kỳ loại nào sẽ bằng hai lần tổng của các số dự định (tổng của tám số dự định là 397 và 794 = 397 × 2).

Câu hỏi đặt ra là: không thể mô tả tất cả các ma trận khoảng cách trong đó hai vòng bất kỳ có cùng độ dài? Hóa ra là có thể: đối với bất kỳ ma trận nào như vậy, cần phải tìm các số $a_1, a_2, \dots, a_k$ và các số $b_1, b_2, \dots, b_k$ sao cho khoảng cách $c_{xy}$ từ thành phố $x$ đến thành phố $y$ ($x \neq y$) sẽ bằng tổng $a_x + b_y$.

Chúng ta hãy chứng minh định lý này cho trường hợp ba thành phố.

Gọi $c$ là độ dài của mỗi vòng trong hai vòng:
$$c = c_{12} + c_{23} + c_{31} = c_{13} + c_{21} + c_{32}.$$
Hãy để chúng tôi biểu thị $c_{31}$ và $c_{32}$ từ các mối quan hệ này:
$$c_{31} = c - c_{12} - c_{23},$$
$$c_{32} = c - c_{13} - c_{21}.$$
Ta cần giải hệ phương trình
$$x_1 + y_2 = c_{12}, x_1 + y_3 = c_{13},$$
$$x_2 + y_1 = c_{21}, x_2 + y_3 = c_{23},$$
$$x_3 + y_1 = c - c_{12} - c_{23},$$
$$x_3 + y_2 = c - c_{13} - c_{21}.$$
Chúng tôi cung cấp cho ẩn số $y_3$ một giá trị tùy ý $d$. Khi đó từ năm phương trình đầu tiên người ta tìm thấy rằng $x_1 = c_{13} - d, x_2 = c_{23} - d, y_2 = c_{12} - c_{13} + d, y_1 = c_{21} - c_{23} + d,$
$$x_3 = c - c_{12} - c_{23} - c_{21} + c_{23} - d = c - d - c_{12} - c_{21}.$$
Trong trường hợp này, phương trình thứ sáu cũng được thỏa mãn. Đặt $d = 0$, chúng ta nhận được một tập hợp các số $a_1 = c_{13}, a_2 = c_{23}, a_3 = c - c_{12} - c_{21}, b_1 = c_{21} - c_{23}, b_2 = c_{12} - c_{13}, b_3 = 0$ có thuộc tính chúng ta cần.

Định lý được đưa ra ở trên khá điển hình cho những nghiên cứu lý thuyết về công việc của một người bán hàng lưu động. Các trường hợp đặc biệt khác nhau đóng một vai trò quan trọng trong đó. (Sự trùng hợp về độ dài của tất cả các chuyến tham quan cũng là một trường hợp đặc biệt. Tuy nhiên, trọng số hẹp.) Đối với các trường hợp đặc biệt, đôi khi không chỉ khó xây dựng một phương pháp làm việc nhanh (trong trường hợp này chúng ta nói về một trường hợp có thể giải được), mà còn tìm ra độ dài mà một chuyến tham quan tối ưu có thể có.

Bạn đọc có thể tiếp tục khám phá những trường hợp giải được bài toán của người bán hàng lưu động bằng cách giải bài toán gợi ý dưới đây. Trong một số trường hợp, họ quyết định du hành trên một bàn cờ, nơi các quân cờ đóng vai trò như một người bán hàng lưu động. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ không nói về kiểu người bán hàng rong mà nói về kiểu quân mã, quân xe, v.v. Hành trình của quân cờ tiếp tục một lần dọc theo tất cả các ô của bàn cờ và kết thúc bằng việc quay trở lại ô ban đầu.

Bài tập

1. Các thành phố nằm ở các đỉnh của một đa giác lồi. Chứng minh rằng độ dài của loại tối ưu bằng chu vi của đa giác.
2. Nhiệm vụ của nhân viên bán hàng du lịch bài toán về con đường ngắn nhất cho một du khách xuất phát từ điểm 1, đi theo điểm 2, 3, …, $k-1$ và rời khỏi đất nước từ điểm $k$? Câu hỏi tương tự dành cho bài toán về việc giảm thiểu đường đi của trình nhắn tin, được gửi từ điểm 1 đến điểm 2, 3, …, $k$. Thông tin này có áp dụng được cho bài toán về những kẻ phá hoại, những người để làm nổ tung các vật thể nằm ở các điểm 1, 2, …, $k$, hãy lên kế hoạch cho địa điểm gạn và con đường ngắn nhất qua tất cả các điểm?
3. Có 30 thành phố trên máy bay. Tọa độ của chúng: $y = 0, 1, 2$ tại $x = 0; y = 0, 1, 2, 4, 5, 6$ tại $x = 1; y = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8$ tại $x = 2; y = 0, 1, 3, 4, 6, 7, 8$ tại $x = 3; y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ tại $x = 4$. Giải quyết bài toán nhân viên bán hàng du lịch. Chứng minh rằng kết quả chuyến tham quan là tối ưu.
4. Ở bàn cờ có kích thước bao nhiêu thì quân Xe bật lên? Chuyến tham quan của một quân xe suy yếu chỉ di chuyển đến các ô lân cận?
5. Trên một bàn cờ có số ô vuông lẻ, người ta cắt ra một ô vuông. Đối với những phân rã nào của một hình vuông bị cắt thì tồn tại một chuyến đi xe bị suy yếu?
6. Tìm lượt của hiệp sĩ trên một “bảng” không gian có dạng hình chữ nhật song song có kích thước $3 \times 4 \times 6$. “Cánh đồng” hiện được coi là 72 khối của một đơn vị thể tích, trên đó “bảng” của chúng ta được phân chia một cách tự nhiên.
7. Cho các số $k$ và $m$. Cách xây dựng ma trận khoảng cách cho một nhân viên bán hàng du lịch bài toán với $k$ thành phố có giải pháp là một chuyến tham quan có độ dài $km?$

21

V. Litsevsky

Johannes Kepler

Thật khó để tưởng tượng một số phận nào khó khăn hơn số phận của Johann Keplar. Đói nghèo, đàn áp tôn giáo và những cuộc lang thang của người nhập cư, bệnh tật và cái chết của những người thân yêu đã theo ông suốt cuộc đời. Hầu như ngày nào cũng tràn ngập sinh kế của người Nhật, và không rõ từ khi nào ông đã đọc được mọi thứ được các nhà khoa học trước đó viết ra, nhận được những thành tựu nổi bật về phê bình, quang học, toán học, thiên văn học và khám phá ra các định luật nổi tiếng về chuyển động hành tinh! Sau cái chết của Keplar, vẫn còn lại một chiếc váy cũ nát, hai chiếc áo sơ mi, vài đồng xu, 12.694 guilder không được trả lương, 57 bảng tính, 27 bài báo khoa học được in và một di sản lãnh đạo to lớn. Phải có sự thực tế, cống hiến, làm việc chăm chỉ và mong muốn biết các quy luật tự nhiên để hoàn thành khối lượng công việc khổng lồ như vậy và đóng góp đáng kể cho khoa học thế giới trong những điều kiện vô cùng khó khăn mà Kepler đã sống và làm việc!

Johannes Kepler sinh ngày 27 tháng 12 năm 1571 tại thị trấn nhỏ Weil der Stadt của Đức, lúc đó chỉ có vài trăm dân. Cha của ông, Heinrich Kepler, là một người đàn ông không có nghề nghiệp cụ thể, một kẻ lang thang (theo Johannes Kepler), người đã biến mất hoàn toàn khỏi nhà vào năm 1589. Mẹ của Johann, Katerina Guldenman, có tính cách khó gần và hay gây gổ. Cô ấy hơi-

23

Người thủ môn Kepler này đã tự giới thiệu mình như sau: “Người báo trước nghiên cứu vũ trụ học, ẩn chứa một bí mật về vũ trụ học”). Trong tác phẩm này, ông cố gắng xây dựng một hệ thống lấy gel làm trung tâm của thế giới, thiết lập mối quan hệ số học giữa khoảng cách của các hành tinh với Mặt trời và kích thước của các khối đa diện đều. Theo KepLER, một khối lập phương được ghi trong hình cầu chứa quỹ đạo của Sao Thổ, hình cầu tiếp theo được ghi trong đó - với quỹ đạo của Sao Mộc, sau đó là tứ diện, hình cầu Sao Hỏa, khối mười hai mặt, hình cầu Trái đất, hình cầu hai mặt, hình cầu Sao Kim, hình bát diện, hình cầu Sao Thủy lần lượt được ghi *). Ở trung tâm của toàn bộ hệ thống hình cầu và khối đa diện này là Mặt trời.

Kepler đã gửi “Bí mật của vũ trụ” cho Galileo Galilei và Tycho Brahe. Cả hai nhà khoa học đều trả lời thẳng thắn. Galileo hoan nghênh sự xuất hiện của một người ủng hộ khác của hệ thống Copernicus. Brahe, bày tỏ thái độ tiêu cực đối với kết luận của Keper, đã thu hút sự chú ý đến tính độc lập trong suy nghĩ của Keper, tầm quan trọng của thiên văn học cũng như kỹ năng và sự kiên trì tính toán của ông. Để đích thân gặp nhà khoa học trẻ, Brahe mời anh đến chỗ của mình.

Lúc này, những thay đổi xảy ra trong cuộc sống cá nhân của Keper. Vào tháng 4 năm 1597, ông kết hôn với Barbara Müller, con gái của người chủ cối xay, và một năm sau họ có một con trai, Heinrich. Sau khi chỉ thiếu hai nơi, đứa trẻ chết. Khu vực tương tự cũng ảnh hưởng đến con gái Susanna, cô sinh con một năm sau đó. Kepler gặp khó khăn khi phải đối mặt với cái chết của những đứa con của mình. Và sau đó là những bất tiện khác. Vào đầu năm 1598, tại Graz, thiên tài của những người theo đạo Tin lành, nơi Kepler thuộc về, đã có thời gian. Vào tháng 9 cùng năm, dưới hình phạt tử hình, tất cả các linh mục Tin lành và giáo viên trường học bị yêu cầu rời khỏi thành phố. Kepler buộc phải chạy trốn khỏi thành phố. Đúng vậy, một ngoại lệ đã sớm được tạo ra cho anh ta, và một tháng sau Kepler quay trở lại.

*) Vào thời Keper, chỉ có sáu hành tinh được đề cập trong hệ mặt trời được biết đến.

24

Định luật thứ ba được tìm thấy sau đó, vào năm 1618, được đưa ra trong cuốn sách “Sự hài hòa của thế giới” của Kepler, xuất bản năm 1619. Hiện nay định luật này được xây dựng như sau: bình phương chu kỳ quay của các hành tinh quanh Mặt trời tỷ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo hình elip của chúng.

Kepler đã sống mười năm ở Praha. Đây là thời kỳ sáng tạo hiệu quả nhất trong cuộc đời ông. Tại đây, ở Praha, Kepler đã viết hai chuyên luận cơ bản về quang học: “Phần bổ sung cho Vitell, giải thích phần quang học của thiên văn học” (1604) và “Dioptrics” (1611).

Quả thực, cuốn sách đầu tiên được viết như một phần bổ sung cho chuyên luận nổi tiếng của nhà khoa học hữu ích của thế kỷ 12, Vitellus, vốn được nhiều người biết đến vào thời điểm đó. Kepler còn lại nhiều câu hỏi liên quan đến quang học hình học và sinh lý. Ông đưa ra các thuật ngữ “trục quang học” và “khum khum”, “hội tụ” và “phân kỳ” của chùm ánh sáng vào quang học, tạo ra lý thuyết về cơ chế thị giác về cơ bản trùng khớp với cơ chế thị giác hiện đại, giải thích hoạt động của thấu kính hội tụ và phân kỳ điều chỉnh tật viễn thị và cận thị, đồng thời tiến gần đến việc phát triển lý thuyết về dụng cụ quang học.

Cuốn sách thứ hai (tiêu đề đầy đủ là “Dioptrics, hay bằng chứng về cách một hình ảnh được nhìn thấy bằng chuyến tham quan thị giác mới được phát minh”) là kết quả của nghiên cứu sâu hơn liên quan đến các dụng cụ quang học, đặc biệt là sau khi Galileo tạo ra chiếc telesekon đầu tiên vào năm 1609. Kepler sử dụng thuật ngữ “dioptrics” để chỉ nhánh quang học liên quan đến hiện tượng khúc xạ ánh sáng (ngược lại với ενClidean catoptrics, nghiên cứu sự phản xạ ánh sáng). Điều đáng kinh ngạc là, dù không biết công thức chính xác của định luật khúc xạ ánh sáng (định luật này được Sneglin tìm ra cho một trường hợp cụ thể vào năm 1617, và cho trường hợp tổng quát bởi Descartes vào năm 1637), Kepler đã cố gắng xây dựng một lý thuyết nói chung đúng đắn về hoạt động của các dụng cụ quang học và đặc biệt là lao động thị giác.

Khoảng thời gian mười năm tương đối thịnh vượng của Kepler ở Praha đã kết thúc. Cuối năm 1610, vợ ông là Barbara lâm bệnh. Các cặp đôi tìm thấy cô ấy đang thay vải sơn. Các con của Kepler bị bệnh vì ong bắp cày, và vào tháng 2 năm 1611, con trai ông là Friedrich qua đời.

Những ngày này, Praha trở thành nơi diễn ra các hoạt động quân sự. Rudolf II và anh trai Matvey đang đấu tranh cho sự thịnh vượng chung. Vào ngày 23 tháng 5 năm 1611, Rudolf II từ bỏ nghề mại dâm. Matvey trở thành Nữ hoàng Cộng hòa Séc và sớm trở thành Hoàng đế của Đế chế La Mã Thần thánh. Kepler bị bỏ lại mà không có người bảo trợ cao cấp, và mặc dù Matvey để nhà khoa học này ở vị trí nhà toán học của triều đình, nhưng anh vẫn quyết định rời Praha. Vào cuối tháng 5, Kepler đã có mặt ở Linz, thủ đô của Thượng Úc, nơi anh đề nghị phục vụ hội đồng lớp với tư cách là giáo viên và nhà toán học cấp tỉnh. Đề nghị của anh được chấp nhận và Kepler trở về Praha cùng gia đình. Ở nhà anh thấy anh sắp kết hôn

25

trong tình trạng rất nghiêm trọng và vào ngày 3 tháng 7, cô ấy qua đời. Năm nay, 1611, là năm xui xẻo nhất trong cuộc đời Kepler: cái chết của con trai ông, cái chết của vợ ông…

Kepler sống ở Linz được 14 năm. Ngoài việc được liệt vào danh sách nhà toán học đế quốc, ông còn được mệnh danh là nhà toán học của tỉnh Thượng Áo. Nhiệm vụ chính của ông là tiếp tục biên soạn các bảng chuyển động của hành tinh (dựa trên quan sát của Tycho Brahe). Nhưng Kepler cũng quan tâm đến các vấn đề toán học thuần túy. Trước hết, đây là toán học về các biến số và lý thuyết về đa giác đều và khối đa diện.

Năm 1615, cuốn sách “Kép hình học của thùng rượu” của Kepler được xuất bản, đặt nền móng cho một loạt nghiên cứu về toán học của các biến, dẫn đến việc tạo ra lý thuyết về phép tính vi phân và tích phân của Newton và Leibniz.

Lý do viết cuốn sách (với lời kể của chính Kepler) là câu chuyện sau đây. Một ngày mùa thu năm 1613, khi Kepler đang mua rượu, ông rất ngạc nhiên trước cách người lái buôn xác định độ tương thích của thùng rượu. Anh ta lấy một cây gậy có đánh dấu các vạch chia, đặt nó vào lỗ đổ đầy của thùng và đo khoảng cách từ lỗ đến điểm xa nhất của thùng - đến mép đáy. Sau khi thực hiện phép đo này, anh ta ngay lập tức cho biết có bao nhiêu rượu trong một thùng nhất định. Kepler bị thu hút bởi cách người lái buôn xác định chính xác thể tích của thùng chỉ bằng một phép đo duy nhất.

Đến cuối năm, kết quả nghiên cứu này đã được nhận. Đầu tiên, Kepler tìm ra công thức tính thể tích của một thùng, và sau đó - các vật thể quay khác. Để tìm thể tích của những vật thể không đều này, ông đã sử dụng phương pháp “vắt kiệt”, lấp đầy các vật thể bằng những hình có thể tích đã được tính toán.

Tìm thể tích của một vật thể là tổng các phần tử của các thể tích lấp đầy vật thể đó, Kepler thường sử dụng cụm từ Latin Summa opinium - tổng của tất cả. Như đã biết, một trong những người sáng tạo ra phép tính tích phân, Leibniz, đã sử dụng chính xác tích phân $\int$ (đã loại bỏ chữ S) cho ký hiệu viết tắt của biểu thức Summa opinium.

Chủ đề về đa giác đều và khối đa diện được phát triển trong tác phẩm năm tập “Sự hài hòa của thế giới” của Kepler.

Kepler là một nhà toán học xuất sắc không chỉ bởi danh hiệu chính thức mà còn bởi chính bản chất của ông. Ông đã có đóng góp to lớn cho lý thuyết về phần hữu hạn và đưa ra thuật ngữ “tiêu điểm” (parabol, hyperbol, elip). Việc ông đưa ra khái niệm điểm xa vô hạn đã góp phần tạo ra hình học xạ ảnh. Ông là một người tính toán giỏi, tham gia phát triển lý thuyết logarit, biên soạn các bảng logarit của riêng mình và cuối cùng, ông đã góp phần phát minh ra chiếc máy tính đầu tiên.

Ở Linz, Kepler làm việc rất nhiều và hiệu quả. Điều này góp phần rất lớn vào người chỉ huy thứ hai của ông, Susana Reittinger, người mà ông kết hôn vào năm 1613. Đây là một người phụ nữ có năng lực, tốt bụng và chăm chỉ. Cô kiên nhẫn và có phẩm giá, chịu đựng nghịch cảnh, thiếu thốn, vui mừng trước những thành công khoa học của chồng và biết cách hỗ trợ anh lúc khó khăn.

Tuy nhiên, công việc có năng lực ở Linz bị gián đoạn bởi một lá thư từ chị gái anh, người báo cáo rằng mẹ của Kepler sẽ bị buộc tội là phù thủy. Lời phỉ báng đến từ một người hàng xóm không xúc phạm nhà khoa học. Lời vu khống rơi trên mảnh đất màu mỡ. Điều này cũng được tạo điều kiện thuận lợi bởi tính cách cần thiết và không thông cảm của Katerina cũng như việc cô ấy đang tham gia vào việc “chữa bệnh”. Vào thời điểm đó, các cuộc săn lùng phù thủy đang diễn ra sôi nổi ở Đức. Tại Leibert, nơi Katerina sống, chỉ trong một mùa đông, sáu phụ nữ bị nghi ngờ là phù thủy đã được cứu.

Nhận được lá thư từ em gái, Kepler ngay lập tức gửi một lá thư cho chính quyền Leibert, trong đó anh chuyển hướng cáo buộc là phù thủy từ mẹ mình và đáp lại những tin đồn rằng bản thân anh được cho là có liên quan đến magie đen. Bức thư không có hiệu lực và một cuộc điều tra bắt đầu. Nó kéo dài gần 5 năm.

Ngày 7 tháng 8 năm 1620, Katerina bị bắt và đưa vào tù.

26

Regensiburg. Graviora cổ.

mu. Biết được điều này, Kepler tới Leonberg. Quá trình này bắt đầu vào ngày 4 tháng 9 và kéo dài hơn một năm. Kepler xây dựng hàng phòng ngự rất khéo léo. Ông không phủ nhận sự tồn tại của phù thủy, không phủ nhận lời khai mà chỉ đơn giản đưa ra cho từng người hầu một lời giải thích hoàn toàn tự nhiên sẽ làm chệch hướng lời buộc tội là phù thủy từ người mẹ. Vào ngày 4 tháng 10 năm 1621, quá trình này bị dừng lại và người phụ nữ kiệt sức được ra tù. Vào tháng 4 năm sau, Katerina qua đời.

Mẹ của Kepler đã được cứu khỏi đám cháy của Tòa án dị giáo nhờ con trai bà, nhưng phải trả giá thế nào! Trong sáu năm, nhà khoa học nổi tiếng thế giới tham gia khoa học đã buộc phải chiến đấu với sự ngu dốt, ngu ngốc và tàn ác.

Kepler quay lại Linz. Tại đây, ông hoàn thành công việc của mình về các bảng logarit, công việc mà ông bắt đầu vào mùa hè năm 1619, khi làm quen với cuốn sách “Mô tả các bảng logarit tuyệt vời” của D. Napier (1614). Vì Kepler phải tính toán rất nhiều nên ông không thể vượt qua sai sót trong phát minh của Napier và biên soạn các bảng logarit của riêng mình, có cấu trúc giống với các bảng logarit hiện đại hơn.

Vào mùa hè năm 1624, Kepler cuối cùng đã hoàn thành việc biên soạn các bảng hành tinh hoạt động mới mà ông đã nghiên cứu trong 22 năm. Kepler coi tác phẩm này là tác phẩm chính của đời mình. Các bảng cũ về chuyển động của các hành tinh không chính xác, và các bảng Keplerian mới được các thủy thủ và nhà thiên văn học nóng lòng chờ đợi, được biên soạn bởi các nhà chiêm tinh và caldarian. Sau khi xuất bản năm 1627 cuốn “Bảng Rudolfin” (được đặt theo tên của Rudolf II), chúng đã phục vụ con người trong gần hai thế kỷ, chỉ đến đầu thế kỷ 19, chúng mới được thay thế bằng những cái chính xác hơn.

Năm cuối đời của Kepler một lần nữa bị lu mờ bởi những khó khăn, thiếu thốn và những cuộc lang thang. Không có tiền để sống hoặc để xuất bản các tác phẩm của tôi. Cuộc đàn áp những người theo đạo Tin lành đã bắt đầu trực tiếp. Tất cả họ đều được yêu cầu chuyển đến thư mục hoặc rời khỏi thành phố trong vòng sáu tháng. Kepler và nhân viên nhà in của ông được phép ở lại thành phố cho đến khi hoàn thành công việc trên Bàn Rudolphin.

Chiến tranh Ba mươi năm đã diễn ra được tám năm. Linz, giống như toàn bộ Thượng Áo, bị chiếm đóng bởi quân đội chợ, những kẻ cư xử như những kẻ chinh phục. Thành phố đang trong vòng vây của thành phố, dịch bệnh bắt đầu. Hỏa hoạn bùng phát trong thành phố, và nhà in của Kepler bị thiêu rụi; Cuốn sách viết tay vẫn còn nguyên vẹn một cách kỳ diệu.

27

Kepler không thể ở lại Linz được nữa. Anh ta đưa gia đình mình, chất sách, bản thảo và đồ dùng gia đình đơn giản lên tàu, vượt sông Danube và đi đến Ulm, nơi anh ta đồng ý xuất bản “Bàn Rudolfin”. Sương giá nghiêm trọng bắt đầu, dòng sông được bao phủ bởi băng. Kepler buộc phải rời bỏ gia đình ở Regensburg, và bản thân anh đến Ulm trên lưng ngựa. Kepler sống ở Ulm khoảng một năm, trong đó có chín tháng dành cho việc in các Bảng.
Cuối cùng, “Bàn Rudolfin” đã nhìn thấy ánh sáng ban ngày. Kepler đặt tên cho gia đình ở Regensburg và đến Praha, nơi Hoàng đế Ferdinand đang ở vào thời điểm đó.
Hoàng đế gặp Kepler, nhận một bản sao của “Những chiếc bàn” từ anh ta như một món quà và chuyển nó vào danh mục, hứa hẹn đủ loại lợi ích cho việc này. Và một lần nữa Kepler lại mở lòng - anh ta không thể thỏa thuận với tài sản của mình.
Người được hoàng đế yêu thích, chỉ huy Albrext Wallenstein, có liên quan đến số phận của Keplar. Anh ta đã biết Keplar từ lâu và đã hai lần gọi anh ta là một nhà chiêm tinh học. Wallenstein bảo Kepler gia nhập quân đội của mình. Ucheny đồng ý, và vào mùa hè năm 1628, ông cùng gia đình chuyển đến Công quốc Sagan, lãnh địa của Wallenstein.
Vào tháng 8 năm 1630, Wallenstein nhận đơn từ chức, và Kepler một lần nữa bị bỏ lại mà không có người bảo trợ và… không có con cái. Vào mùa thu cùng năm, ông đến Regensburg để thu thập sách tiếng Đức, nơi đặt hoàng đế khi đó, để nhận được ít nhất một phần số tiền nợ ông ta. Ngay sau khi đến Regensburg, Kepler bị sốt nặng. Tại đây ông qua đời vào ngày 15 tháng 11 năm 1630 ở tuổi 59.

Những tai nạn bất hạnh của Keplar vẫn tiếp tục xảy ra sau khi ông qua đời. Kết quả là nghĩa trang nơi ông được chôn cất đã bị phá hủy hoàn toàn, thậm chí không còn dấu vết của mộ Keplar. Di sản lãnh đạo của ông được truyền từ tay này sang tay khác, bị thất lạc, lãng phí, cho đến cuối cùng, vào năm 1774, phần lớn kho lưu trữ Keplar đã được Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg mua lại *).

Tên của Keplar gắn liền với các định luật cơ bản của cơ học thiên thể. Để vinh danh ông, một trong những miệng núi lửa trên mặt trăng và hành tinh nhỏ số 1134 đã được đặt tên. Vào đầu thế kỷ 19, cư dân Regensburg đã xây dựng một tượng đài về Kepler, và nhân kỷ niệm 300 năm ngày sinh của ông, một tượng đài hoành tráng đã được dựng lên tại quê hương của Kepler ở Weil der Stadt. Một bảo tàng mang tên ông đã được mở tại chính những thành phố này.

*) Hiện tại, 18 trong số 22 tập di sản viết tay của Keplar được lưu trữ tại chi nhánh Leningrad của Cơ quan Lưu trữ của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Hoạt động độc đáo

Hình thang - một tai nạn của một hình tứ giác (riêng!)

---

Một khối nằm trên một bề mặt khó chịu (trên một bề mặt nhẵn!)

---

Đối thủ tận tâm bị lãng quên (quên!)

---

Người đọc phàn nàn (khuyên!)

Những sai lệch không thể chấp nhận được so với kết quả chính xác (không thể chấp nhận được!)

---

Bức xạ phóng xạ thời trang (mạnh mẽ!)

---

Các quỹ đạo cắt nhau một góc 60°C

---

{x} là một phần thuận tiện của số x (phân số!)

---

Lắc lư (tiếp tuyến!)

---

Tích cực nhận được (nhận!)

28

A. Thaler

Suorpiza
dải Mobinus

Hãy tưởng tượng một bề mặt và một con kiến ​​đang đậu trên đó. Có phải đàn kiến ​​đã bò tới mép mép của bề mặt - nói theo nghĩa bóng, đến mặt dưới của nó - mà không tràn ra mép? Tất nhiên là không! Các nhà toán học đã bị thuyết phục về điều này cho đến giữa thế kỷ này, khi nhà thiên văn học và nhà hình học người Đức August Mobinus đưa ra ví dụ đầu tiên về bề mặt một mặt, ở bất kỳ nơi nào mà một con kiến ​​có thể bò qua mà không nằm trên các cạnh. Chúng ta sẽ nói về bề mặt này, được gọi là dải Möbinus (hoặc dải).

Trước khi đọc thêm, hãy tạo mô hình dải Mobinus: lấy một dải giấy có chiều dài bằng hình chữ nhật hẹp ABCD (Hình 1); vặn nó 180°, dán một chiếc nhẫn ra khỏi nó - dải Möbinus đã sẵn sàng. Hãy thử che một mặt của nó, để lại màu trắng cho mặt còn lại. Bạn sẽ sớm nhận ra rằng thuốc nhuộm “từ trong ra ngoài”. Vì vậy, dải Möbinus thực sự là một bề mặt một mặt.

Dải Möbinus sẽ vượt qua nhiều tốc độ ngay cả khi bạn cố gắng cắt nó:

1. Cắt dải Mobinus của bạn dọc theo đường trung tâm. Ở lần cắt cuối cùng (Hình 2), chiếc kệ thay vì tách ra thành hai mảnh lại mở ra thành một dải khép kín dài được nối với nhau.

2. Cắt băng thu được sau lần cắt đầu tiên dọc theo đường chính giữa của nó. Trước lần sụp đổ cuối cùng, hãy thử đoán xem điều gì sẽ xảy ra?

3. Lấy một dải giấy rất hẹp khác, lần này xoắn nó không phải 180° mà là 360° và dán nó lại với nhau.

Hình 1.

29

những thứ kia; sau đó cắt nó dọc theo đường trung tâm. So sánh kết quả với kết quả của lần cắt trước đó.

Tại sao điều này lại xảy ra? Không cần dùng đến mô hình giấy và kéo, chúng ta hãy thử tính toán nó bằng toán học.

Phương trình bề mặt Möbnus

Chúng ta hãy xây dựng các bề mặt Möbnus trong hệ tọa độ Descartes ba chiều $Oxyz$. Xét trên mặt phẳng $z = 0$ một đường tròn có bán kính $R$ với tâm là gốc $O\left(x^2 + y^2 = R^2\right)$. Để điểm $A$ di chuyển đều theo hướng dương dọc theo đường tròn này; thì mặt phẳng $\alpha$, đi qua trục $Oz$ và điểm $A$, sẽ quay cùng với nó quanh trục $Oz$. Chúng ta hãy xem xét trong mặt phẳng $\alpha$ đường thẳng $l$ đi qua điểm $A$. Cho đường thẳng $l$ quay quanh điểm $A$ ngược chiều kim đồng hồ (nếu bạn nhìn $\alpha$ theo hướng chuyển động của điểm $A$) và tại bất kỳ thời điểm nào góc giữa tia $OA$ và đường thẳng $l$ bằng một nửa góc $\varphi$ giữa trục $Ox$ và tia $OA$. Do đó, khi điểm $A$ hoàn thành một vòng quay hoàn toàn, đường thẳng $l$ xuất hiện trên bề mặt so với vị trí ban đầu tại $180^\circ$.

Tập hợp các điểm trong không gian mà đường thẳng $l$ đi qua (tham gia vào hai chuyển động) là các bề mặt Möbnus (Hình 3). Tại-
Hình 2.

Hình 3.

30

$$\begin{cases} x = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \cos \varphi, \\ y = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin \frac{\varphi}{2}, \end{cases}$$

ở đâu $0 \leq \varphi < 2\pi, \lambda \in \mathbb{R}^*$).

Cái nhìn tổng quát về bề mặt Mobius được mô tả trên trang bìa của tạp chí. Trong Hình 4 cho thấy phần bề mặt tương ứng với $-1 \leq \lambda \leq 1$; Chúng tôi mô tả phần bề mặt này bằng mô hình giấy.

Nếu khi đi quanh vòng tròn, chúng ta quay đường thẳng với tốc độ gấp đôi thì ở $-1 \leq \lambda \leq 1$ chúng ta sẽ có một dải xoắn $360^\circ$ (nhớ cắt 3)). Đây đã là bề mặt có hai mặt (Hình 5). Phương trình của cô ấy rõ ràng sẽ là

$$\begin{cases} x = \left( R + \lambda \cos \varphi \right) \cos \varphi, \\ y = \left( R + \lambda \cos \varphi \right) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin \varphi. \end{cases}$$

Bây giờ chúng ta lưu ý rằng tại $\varphi = 0$ bộ tạo $l$ cũng cắt đường tròn ban đầu tại điểm $(-R, 0, 0)$. Vì vậy nó không cắt nhau

*) Kiểu định nghĩa bề mặt này thường được gọi là tham số; ở đây các tham số $\varphi$ và $\lambda$ được sử dụng riêng cho bề mặt (tương tự như vĩ độ và kinh độ trên bề mặt trái đất).

Tự giao tuyến tính

Để tìm đường tự giao nhau của bề mặt Möbius, chúng ta tìm xem những cặp máy phát nào có thể giao nhau.

Nếu hai máy phát điện nằm trong các mặt phẳng thẳng đứng khác nhau thì giao điểm của chúng, nếu tồn tại, phải nằm trên đường giao nhau của các mặt phẳng này, tức là trên trục $Oz$.

Với mỗi $\varphi \in [0; 2\pi]$, chúng ta tìm giao điểm của ma trận sinh với trục $Oz$. Đối với điểm này

$$x = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \cos \varphi = 0,$$

$$y = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \sin \varphi = 0.$$

Vì $\sin \varphi$ và $\cos \varphi$ không thể đồng thời bằng 0 nên $R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} = 0$. Tại $\varphi \neq \pi$, $\lambda = -\frac{R}{\cos \frac{\varphi}{2}}$. Từ (1) $z = -R \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2}$.

Như vậy tọa độ giao điểm của ma trận sinh với trục $Oz$:

$$\left( 0, 0, -R \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2} \right).$$

Sự tồn tại đối với chúng tôi là thực tế là tất cả các máy phát điện ở $\varphi \neq \pi$

31

cắt trục $Oz$ tại nhiều điểm khác nhau. Tại $\varphi = \pi$ chúng được tạo thành song song với trục $Oz$.

Như vậy, chỉ những cặp đường sinh nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng mới có thể cắt nhau; nói cách khác, nếu một trong các bộ tạo giao nhau tương ứng với góc $\varphi$, thì bộ kia tương ứng với góc $\varphi + \pi$. Giả sử vị trí giao điểm của các ảnh này được xác định bằng giá trị $\lambda_1, \lambda_2$ của tham số $\lambda$. Khi đó từ (1)

$$\begin{cases} x = \left(R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ = -\left(R - \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ y' = \left(R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ = -\left(R - \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ z = \lambda_1 \sin \frac{\varphi}{2} = \lambda_2 \cos \frac{\varphi}{2}. \end{cases}$$

Từ các biểu thức này suy ra $\lambda_1, \lambda_2$ thỏa mãn hệ phương trình

$$\begin{cases} R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2} = -R + \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}, \\ \lambda_1 \sin \frac{\varphi}{2} = \lambda_2 \cos \frac{\varphi}{2}, \end{cases}$$

trong đó ($\text{при } \varphi \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$) là $\lambda_1 = -2R \frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{\cos \varphi}$. Thay giá trị tìm được $\lambda_1$ vào phương trình (1), ta thu được tọa độ điểm tự giao:

$$x = -R, \ y = -R \text{tg} \varphi, \ z = -R \text{tg} \varphi.$$

Từ đó, chúng ta có thể thấy rằng khi $\varphi$ thay đổi, điểm tự giao của bề mặt Möbius di chuyển dọc theo một đường thẳng nằm trong mặt phẳng $x = -R$ và được mô tả bởi phương trình $z = y$. Như vậy, đường tự giao là đường thẳng (nhưng không sinh sôi!). Một đoạn của đường thẳng này được mô tả trên trang bìa. Sau khi nghiên cứu kỹ trình bảo vệ màn hình, bạn sẽ tìm thấy một đường tự giao nhau trên đó.

Hình 6.

Tại sao dải Mobius không bị phân hủy khi cắt?

Bây giờ không khó để trả lời câu hỏi này. Thư giãn trong Hình 4 (và trên trang bìa) cạnh của dải Mobius, tức là dòng $\lambda = \pm 1$. Hãy xem xét kỹ hơn: cạnh này không tách thành một cặp đường cong khép kín, như trường hợp của một mặt phẳng không xoắn, mà biểu thị một đường cong liên tục. Vết cắt của chúng tôi không chạm vào cạnh và do đó cạnh (và do đó toàn bộ dải) sẽ vẫn là một mảnh nguyên vẹn sau khi cắt.

Làm thế nào để giải thích sioprizzes khác?

Chúng ta có thể giả định rằng lần cắt thứ hai được thực hiện dọc theo đường $\lambda = \frac{1}{2}$ (Hình 6).

Tọa độ của một điểm trên đường thẳng này được mô tả (tại $\varphi \in [0, 2\pi]$) bằng các phương trình

$$\begin{cases} x = \left(R + \frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ y = \left(R + \frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ z = \frac{1}{2} \sin \frac{\varphi}{2}. \end{cases}$$

Rõ ràng, vết cắt chia mặt phẳng của chúng ta thành hai phần, có thể được gọi một cách có điều kiện là bên ngoài và bên trong, và phần bên trong giống nhau, chỉ hẹp hơn, dải Mobius. Phần bên ngoài là gì?

(Tiếp theo trang 59)

32

I. Yaelom

Hãy nói về một số

Toán học bao gồm những gì? Tất nhiên, trước hết là từ các định lý và tiên đề (“Hình học 6”, đoạn 6). Phần quan trọng nhất của toán học là bằng chứng. Chuyên luận mang tính bước ngoặt của N. Bourbaki “Các nguyên tắc toán học” *) bắt đầu bằng những từ: “Kể từ thời Hy Lạp, nói “toán học” có nghĩa là nói “chứng minh”.

Cùng với đó, các định nghĩa đóng một vai trò cơ bản trong toán học (“Hình học 6”, đoạn 2) - xét cho cùng, trước khi chứng minh các định lý về một số đối tượng toán học nhất định, người ta phải hiểu chúng là loại đối tượng nào. Tại sao lại “chứng minh”! Ngay cả để hiểu đơn giản định lý “Đường răng cưa của đường tròn thì vuông góc với đường kính đi qua điểm tiếp tuyến” thì chúng ta phải biết “đường tròn”, “đường răng cưa của đường tròn”, “điểm tiếp tuyến”, “đường kính”, “vuông góc” là gì.

*) Một nhóm các nhà toán học người Pháp, hợp nhất dưới bút danh “Nicolas Bourbaki”, tự đặt mục tiêu viết một chuyên luận hoàn chỉnh về toán học hiện đại. Chuyên luận đã được xuất bản thành nhiều ấn bản riêng ở Paris từ năm 1939. Ở nước ta, bản dịch chuyên luận bắt đầu được xuất bản vào năm 1958. Chuyên luận vẫn chưa hoàn thành. Vì toán học cũng đang tiến lên trong khi viết luận văn nên có thể nó sẽ không bao giờ được hoàn thành.

Hình 1.

33

STVIA - “Chi gần nhất”, từ đó chúng tôi phân biệt các chức năng và “đối với từng phần tử của một bộ…” - “sự khác biệt về loài” đặc trưng cho chúng.

Các định nghĩa theo sơ đồ của Aristotle không chỉ tồn tại trong toán học. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng voi là động vật có vú có vòi dài. Như bạn đã biết, bogatika là khoa học về thực vật.

Tất nhiên, cùng một khái niệm “thông qua một giống gần gũi và sự khác biệt cụ thể” có thể được định nghĩa theo những cách khác nhau. Do đó, hình vuông có thể được định nghĩa là hình chữ nhật có các đường chéo vuông góc với nhau hoặc hình chữ nhật có thể nội tiếp một hình tròn. Cũng có thể phân biệt cùng một “loài” với các “chi” khác nhau. Ví dụ: hình vuông có thể được định nghĩa là hình thoi có đường thẳng (Hình 1).

Bài tập

1. Nêu thêm một số định nghĩa về hình vuông theo sơ đồ của Aristotle.
2. Xác định hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành bằng cách sử dụng cùng một sơ đồ.
3. Đưa ra một số định nghĩa khác nhau theo sơ đồ của Aristotle về một số khái niệm phi toán học.

Nhiều định nghĩa trong toán học không phù hợp với sơ đồ của Aristotle. Ví dụ, trong các định nghĩa “Đồ thị của hàm y=ax³ (a≠0) được gọi là parabol bậc ba”, “Chúng ta sẽ nói, a lớn hơn b’’ nếu hiệu a - b dương”, “Mô đun của số a là chính số a, nếu a ≥ 0 và số - a, nếu a < 0”, khó có thể chỉ ra một cách tự nhiên “giống gần nhất” và “sự khác biệt về loài”.

Mỗi định nghĩa là một thỏa thuận về việc sử dụng một thuật ngữ hoặc chỉ định nhất định. Vì vậy, người ta không thể nói về sự thật-giả hay bằng chứng về các định nghĩa. Mặt khác, người ta có thể và nên suy nghĩ về tính hợp lý, hữu ích và tiện lợi của một định nghĩa cụ thể.

Từ bất kỳ định nghĩa nào, một định lý (đúng) tự động theo sau, có dạng “tương đương” (“Đại số 7”, đoạn 21). Ví dụ, từ định nghĩa về tính đối xứng trung tâm. Định nghĩa mà bạn biết (“Hình học 6”, đoạn 17) có thể được hình thành như sau: cố định điểm O; Đối với mỗi điểm A của mặt phẳng, chúng ta gán một điểm A’ trên cùng một mặt phẳng, đối xứng với điểm A so với O (Hình 2); Ánh xạ mô tả của mặt phẳng lên chính nó được gọi là đối xứng với tâm O.

Aristotle (Rome, Bảo tàng Quốc gia tại Nhà tắm). chia hình vuông thành p. 32 tuân theo định lý “Hình chữ nhật của mô hình và mô hình là hình vuông khi các cạnh kề của nó tiếp giáp nhau”.

Định lý tương tự có thể được rút ra từ định nghĩa một cách tầm thường theo một cách xây dựng lý thuyết và yêu cầu lý luận có ý nghĩa theo cách khác. Ví dụ, trong môn hình học phổ thông, định lý “Nếu điểm X nằm giữa hai điểm A và B thì |AX| + |XB| = |AB|" đường thẳng suy ra từ định nghĩa (“Hình học 6,” đoạn 5), và trong hình học dựa trên hệ tiên đề Hilbert, cần có một chứng minh khá dài dòng.

Hãy xem xét hai định nghĩa về số 0 của sự đối xứng trung tâm. Định nghĩa mà bạn biết (“Hình học 6”, đoạn 17) có thể được hình thành như sau: cố định điểm O; Đối với mỗi điểm A của mặt phẳng, chúng ta gán một điểm A’ trên cùng một mặt phẳng, đối xứng với điểm A so với O (Hình 2); Ánh xạ mô tả của mặt phẳng lên chính nó được gọi là đối xứng với tâm O.

34

Hình 2.

Bài toán 1. Chứng minh rằng ánh xạ của một mặt phẳng lên chính nó khi và chỉ nếu là đối xứng có tâm $O$ khi điểm cố định duy nhất của nó là điểm $O$ (tức là $O'=O$ và với $A \neq O$ ta có $A' \neq A$), nó biến đổi bất kỳ đường thẳng nào thành đường thẳng song song và tồn tại một điểm $B$ $|B'O|=|BO|$.

Định lý thiết lập ở bài toán 1 cho phép chúng ta đưa ra định nghĩa thứ hai cho khái niệm đối xứng trung tâm: ánh xạ của một mặt phẳng lên chính nó được gọi là đối xứng có tâm $O$ nếu điểm cố định duy nhất của nó là điểm $O$, thì nó biến đổi bất kỳ đường thẳng nào thành đường thẳng song song và tồn tại một điểm $B$ mà $|B'O|=|BO|$.

Trong định nghĩa đầu tiên, chúng ta đã xây dựng một đối tượng nhất định (ánh xạ một mặt phẳng lên chính nó) và sau đó là một phép biến dạng. Định nghĩa thứ hai trông như thế này: một đối tượng của thành phố mới được gọi là mak-mo nếu nó có những đặc tính như vậy.

Các định nghĩa thuộc loại thứ nhất được gọi là mang tính xây dựng hoặc trực tiếp, các định nghĩa thuộc loại thứ hai được gọi là mô tả (từ tiếng Latin descriptio - “mô tả”) hoặc gián tiếp.

Hãy để tôi nhấn mạnh ngay: không phải vô ích mà chúng tôi chỉ tuyên bố khái niệm định nghĩa mang tính xây dựng và mô tả bằng ví dụ - chúng hầu như không cho phép mô tả chặt chẽ. Bất chấp sự mơ hồ và mơ hồ của chúng, sự đối lập giữa các định nghĩa mang tính xây dựng và mang tính mô tả thường rất hữu ích.

Nếu một khái niệm được định nghĩa mang tính mô tả thì đối tượng tương ứng không nhất thiết phải tồn tại. Ví dụ, giả sử một số tự nhiên khác 1 là số hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó. Trong trường hợp này, định nghĩa mà chúng tôi đưa ra không xác định bất kỳ đối tượng nào, vì số ước của số $n$ cũng bao gồm chính $n$; Không có con số hoàn hảo*).

Vì vậy, không giống như các định nghĩa mang tính xây dựng, bất kỳ định nghĩa mô tả nào cũng yêu cầu bằng chứng cho thấy đối tượng tương ứng tồn tại.

Hãy xem xét một ví dụ khác về định nghĩa mô tả: các đường thẳng $a$ và $b$, nằm trong cùng một mặt phẳng, được gọi là hội tụ nếu chúng không có điểm chung và khi một điểm di chuyển dọc theo một trong các đường thẳng này theo một trong các hướng, khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia là không giới hạn (Hình 3). Định nghĩa này có định nghĩa bất kỳ đối tượng nào không? Nói cách khác, có đường thẳng không? Hóa ra đáp số câu trả lời cho câu hỏi này phụ thuộc vào hình học mà chúng ta “đang ở”, hình học mà chúng ta đang xem xét.

Trong hình học được đưa vào (hoặc, tương tự cho câu hỏi này, với các tiên đề được chấp nhận trong sách giáo khoa ở trường), tất nhiên, các đường hội tụ không tồn tại (đó là lý do tại sao chúng tôi buộc phải mô tả các đường trong Hình 3 là nhân tạo). Trong hình học của Lobachevsky, các đường thẳng cũng tồn tại (chúng được gọi là song song).

Tư tưởng khoa học thời Trung Cổ, đưa ra những định nghĩa mang tính mô tả: đá triết gia là một loại thuốc cho phép bạn biến kim loại cơ bản thành vàng; eternal dikesamel (di động vĩnh viễn) - đây là một thiết bị cho phép bạn thực hiện công việc mà không tiêu tốn năng lượng - đã nỗ lực hoàn hảo để xây dựng không

*) Tuy nhiên, Stont thêm một từ vào định nghĩa số hoàn hảo: một số tự nhiên khác 1 được gọi là hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó - khi tình huống thay đổi. Ví dụ: $6=1+2+3$, $28=1+2+4+7+14$. Phần lớn đã được viết về số hoàn hảo trong «Kvant» (1971, số 8, trang 1; 1972, số 4, trang 39; 1973, số 10, trang 71; 1975, số 5, trang 7).

37

biến thành bộ tự dao động nếu bạn chọn phản hồi phù hợp. Một số lượng lớn các thí nghiệm có thể được đưa ra để xác nhận kết luận này. Một số trong số chúng đã được thảo luận trên các trang tạp chí của chúng tôi *).

Đây là một kinh nghiệm khác. Để tạo mô hình micrô carbon, hãy cắt một lỗ tròn có đường kính khoảng 100 mm trên một tấm gỗ dán và phủ nó bằng khăn giấy, nó sẽ hoạt động như một màng. Ở giữa màng, đặt một hộp có kích thước $5 \times 20 \times 20$ mm được dán lại với nhau từ giấy dày; ở dưới cùng của nó gắn một điện cực làm bằng lá mỏng. Đổ bột than vào hộp (ví dụ, bạn có thể bẻ một thanh than chì ra khỏi một ô của pin đèn pin bằng búa;

*) Ví dụ, xem bài viết của W. Mayer và R.-E. Shafira “Máy tạo âm thanh tự động phản lực” («Kvant», 1977, số 1).

38

Đa giác trên giấy ca rô

Có thể vẽ một đa giác có hình dạng nhất định trên giấy ca rô, đặt tất cả các đỉnh của nó vào các nút lưới không? Như một quy luật - điều đó là không thể. Ví dụ, từ đa giác đều, chỉ có thể vẽ được hình vuông theo cách này. Và đối với những đa giác nào thì điều này có thể được thực hiện gần đúng, tức là bằng cách đặt các đỉnh gần các nút một cách góc cạnh như thế nào? Hóa ra - dành cho tất cả mọi người.
Ghi chú này được viết bởi các sinh viên, cho thấy tại sao và làm thế nào điều này có thể được thực hiện.

Đặt $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là các vectơ khác 0 và phi tuyến tính, $O$ là một điểm nào đó; thì tập $\Pi$ của tất cả các điểm như vậy

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

39

Hơn nữa, trong bài báo của A. Egorov đã chứng minh *) rằng không có đa giác đều nào, ngoại trừ hình tam giác, hình vuông và hình lục giác, có thể được viết vào bất kỳ mạng nào. Cũng rõ ràng rằng một đa giác có hình dạng tùy ý được xác định trước, theo quy luật, không thể được viết vào bất kỳ mạng nào.

Vì bài toán về việc khớp các đa giác vào một mạng trong hầu hết các trường hợp dẫn đến kết quả âm tính, nên việc làm suy yếu nó là điều đương nhiên: yêu cầu các đỉnh chỉ rơi vào các nút một cách gần đúng. Hãy đưa ra một định nghĩa chính xác:

Một đa giác được thêm ε vào mạng Π nếu tồn tại một đa giác tương tự nó (với hệ số tương tự tự nhiên), mỗi đỉnh của nó nằm ở khoảng cách nhỏ hơn ε tính từ một trong các nút mạng (Hình 5). Lưu ý rằng với ε = 0, ta có được định nghĩa về độ nội tuyến được đưa ra ở trên và đối với ε lớn (lớn hơn khoảng cách giữa các nút) thì định nghĩa này là vô nghĩa.

Sẽ trở nên vô nghĩa nếu lần đầu tiên chúng ta giả định tính tự nhiên của hệ số tương tự; bằng cách lấy hệ số này đủ gần bằng 0, có thể thu nhỏ toàn bộ đa giác gần một điểm mạng. Với hệ số tương tự tự nhiên (và ε đủ nhỏ), rõ ràng hai đỉnh bất kỳ của đa giác không thể rơi vào vùng lân cận ε của cùng một nút.

Hơn nữa, chúng ta sẽ nói rằng đa giác bị xóa trong

*) «Kvant», 1974, № 12, c. 30.

Hình 5.

Hình 6.

40

Hình 7.

và $\{n\sqrt{3}\}$, trong đó $m > n$ là số tự nhiên. Khi đó $(m-n)\sqrt{3}$ khác với tổng thể ít hơn $\frac{1}{N}$ và do đó nhỏ hơn $\varepsilon$. Đặt $k$ bằng $m-n$, chúng tôi đạt được những gì được yêu cầu.

Định lý đã được chứng minh, nhưng có một thực tế tổng quát hơn nhiều.

Định lý cơ bản. Đa giác cố định phù hợp với bất kỳ lưới nào.

Lưu ý rằng điểm c) bài toán M475 là trường hợp đặc biệt của định lý này.

Bằng chứng. Cho một mạng $\Pi$, một số $\varepsilon > 0$ và một đa giác $\Phi$.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng dưới một số tính đồng nhất có hệ số tự nhiên $N$, đa giác $\Phi$ đi vào đa giác $\Phi'$ sao cho tất cả các đỉnh $\Phi'$ sẽ ở khoảng cách nhỏ hơn $\varepsilon$ tính từ các nút mạng.

Xét đỉnh $A$ của đa giác. Để tính đồng nhất với tâm $O$ và hệ số $k$ biến đổi điểm $A$ thành $A_k$ và $\overrightarrow{OA} = x_A \overrightarrow{a} + y_A \overrightarrow{b}$, trong đó $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ tạo ra mạng. Sau đó $\overrightarrow{OA}_k = k(x_A \overrightarrow{a} + y_A \overrightarrow{b}) = (kx_A) \overrightarrow{a} + (ky_A) \overrightarrow{b}$.

Điều kiện $A_k$ nhỏ hơn $\varepsilon$ tính từ nút mạng (Hình 7) sẽ được thỏa mãn nếu mỗi tọa độ $(kx_A)$ và $(ky_A)$ khác với tổng thể ít hơn $c.\varepsilon$, trong đó $c$ là hệ số độc lập với $k$:

$$\text{можно, например, взять } c = \frac{1}{2\max(|\overrightarrow{a}|, |\overrightarrow{b}|)}$$

Thật vậy, hãy để $\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{ma} + \overrightarrow{nb}$.

Hình 8.

Sau đó nếu

$$|m|\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| \leq \frac{\varepsilon}{2} \text{ и } |n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2}, \text{ то } |A_kF| = |A_hF| = |\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA}_k| = |m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} - kx_A\overrightarrow{a} - ky_A\overrightarrow{b}| = |(m - kx_A)\overrightarrow{a}| + (n - ky_A)\overrightarrow{b}| \leq |(m - kx_A)\overrightarrow{a}| + |(n - ky_A)\overrightarrow{b}| + |m\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| + |n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Nhưng các bất đẳng thức $|m|\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| < \frac{\varepsilon}{2}$ và $|n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2}$ tương đương với các bất đẳng thức $|m - kx_A| < \frac{\varepsilon}{2|a|}$ và $|n - ky_A| < \frac{\varepsilon}{2|b|}$. Do đó, nếu $kx_A$ và $ky_A$ khác với số nguyên ít hơn $\frac{\varepsilon}{2\max(|\overrightarrow{a}|, |\overrightarrow{b}|)}$, thì $|A_hF| < \varepsilon$ đối với nút tiếp theo $F$ và đây là điều bắt buộc.

Chúng ta cần các đỉnh của đa giác $\Phi'$ rơi vào vùng lân cận $\varepsilon$ của các nút mạng. Sẽ như vậy nếu tất cả các số $Nx_A, Ny_A, Nx_B, Ny_B$, … khác với các số nguyên nhỏ hơn $c.\varepsilon$, thì mỗi số $m\alpha_i$, trong đó $i = 1, 2, ..., n$, khác với số nguyên nhỏ hơn $\varepsilon$; rằng $\alpha$ bằng $\sqrt{3}$ không tồn tại). Định lý Kronekar phát biểu rằng đối với một tập hợp $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ có độ dài bất kỳ với một số tự nhiên $m$ thì các số $\alpha_i$ tại một thời điểm không khác các số nguyên nhỏ hơn $\varepsilon$.

Hãy chuyển sang chứng minh định lý Kronekar.

Hãy xem xét trình tự $n$:

$$\{\alpha_1\}, \{2\alpha_1\}, \{3\alpha_1\}, ..., \{k\alpha_1\}, \dots$$

$$\{\alpha_2\}, \{2\alpha_2\}, \{3\alpha_2\}, ..., \{k\alpha_2\}, \dots$$

$$\{\alpha_n\}, \{2\alpha_n\}, \{3\alpha_n\}, ..., \{k\alpha_n\}, \dots$$

41

một số bộ $k_1 < k_2 \leq M^n + 1$ sẽ phù hợp. Trong trường hợp này, số $m = k_2 - k_1$ thỏa mãn điều kiện, vì $\{m\alpha_i\} = \{(k_2 - k_1)\alpha_i\} = \{k_2\alpha_i - k_1\alpha_i\}$, $\{k_1\alpha_i\}$ và $\{k_2\alpha_i\}$ nằm trong một bán phần trăm có độ dài nhỏ hơn $\varepsilon$, do đó, $m\alpha_i$ nằm cách số nguyên một khoảng nhỏ hơn $\varepsilon$. Định lý đã được chứng minh.

Làm sáu chân vượt qua các lưới trên mặt phẳng. Mạng không gian cũng có thể được xem xét. Chúng được định nghĩa theo cách tương tự như các vectơ phẳng, chỉ thay vì hai vectơ không clip, bạn cần lấy ba vectơ không clip (Hình 9). Theo cách tương tự như đã được thực hiện ở trên đối với đa giác và mạng phẳng, độ nội tiếp và gần như nội tiếp của đa giác trong mạng không gian được xác định. Phần gót nào của đa giác đều (Hình 10) khớp với mạng không gian số nguyên*)? Đây là đáp số:

Bài toán 4. Hình lập phương, hình tứ diện và hình bát diện vừa khít với một mạng nguyên.

Bài toán 5. Khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt không vừa với bất kỳ mạng nào.

Bài toán 6. Cho một họ mặt phẳng song song trong không gian sao cho khoảng cách giữa các mặt phẳng liền kề của họ bằng nhau. Có thể sắp xếp trong không gian a) một khối hai mươi mặt, b) một khối mười hai mặt sao cho các đỉnh của chúng nằm trên các mặt phẳng của họ không?

Chúng tôi đã thu được một đáp số toàn diện về việc khắc các đa giác đều vào một mạng không gian. Đối với phần lớn dòng chữ, chúng tôi cũng có được đáp số đầy đủ, giống như đối với vỏ phẳng:

Bài toán 7. Mọi đa giác đều gần như vừa với mọi mạng tinh thể trong không gian.

Tất cả các thành viên của các chuỗi này đều thuộc khoảng [0; 1[. Chia khoảng này thành các phần (nửa phần) có độ dài nhỏ hơn $\varepsilon$:

$$\begin{align*} 0; \frac{1}{M} \mid ; \left[\frac{1}{M}; \frac{2}{M}\right] \mid \dots \mid \left[\frac{M-1}{M}; 1\right] \\ \mathrm{где} M - \mathrm{натуральное}, M > \frac{1}{\varepsilon} \quad (\mathrm{тогда} \frac{1}{M} < \varepsilon). \end{align*}$$

Bây giờ, hãy gán cho mỗi phần tử của chuỗi phần đó của khoảng [0; 1[, nơi nó nằm.

Sau đó, với mỗi số tự nhiên $k$, một tập hợp bán sai thứ tự tương ứng với các điểm $\{k\alpha_1\}$, $\{k\alpha_2\}, \dots, \{k\alpha_n\}$ sẽ được xác định. Nhưng vì chỉ có $M$ bán phần trăm đang được xem xét và mỗi bộ bao gồm $n$ bán phần trăm, nên số lượng các bộ khác nhau như vậy là $M^n$. Nếu $k$ nằm trong khoảng từ 1 đến $M^n + 1$ thì đối với

42

Vấn đề
lượng tử

M506—M510; F518—F522

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là vào ngày 1 tháng 4 năm 1978 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant», “Vấn đề «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ: “M486, M487” hoặc “F498”. Lời giải bài toán cho mỗi môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới, vui lòng gửi cả Bài toán từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này, bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, hãy gửi hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho những bài toán này (trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”). Mỗi chữ cái, vui lòng cho biết số trường thực tế của bạn và lớp mà bạn là giáo viên.

M506*. Chứng minh rằng với $a, b, c$ và $d$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:
$$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2 abcd \geq a^2 b^2 + a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 + c^2 d^2.$$
E. Turkewitz

M507. Được xuất bản năm ngoái trong bản dịch tiếng Nga của “Các bài toán được chọn” từ tạp chí American Mathematical Monthly (M., “Mir”, 1977), hai bài toán của nhà toán học xuất sắc P. Erdos (Số 138 và 139) đã được đưa ra mà không có lời giải. Các biên tập viên của «Kvant» đã nhận được một số chữ cái có chứa lời giải trong số này bài toán. Trước khi giới thiệu các giải pháp tới độc giả của tạp chí, chúng tôi khuyên bạn nên tự mình suy nghĩ về những vấn đề khó khăn này; vì mục đích này, chúng tôi đưa chúng vào Bài toán «Kvant».
Giả sử $a_1 < a_2 < \dots < a_n < 2n$ là một dãy hữu hạn các số tự nhiên ($n \geq 6$).
a) Chứng minh rằng
$$\min_{i,j} |a_i, a_j| \leq 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right),$$
trong đó $|a_i, a_j|$ có nghĩa là bội số chung nhỏ nhất của các số $a_i$ và $a_j$, và giá trị tối thiểu được lấy trên tất cả các tham số của các số $a_i, a_j$.
b) Chứng minh rằng
$$\max_{i,j} (a_i, a_j) > \frac{38n}{147} - c,$$
trong đó $c$ độc lập với $n$ và $(a_i, a_j)$ biểu thị ước chung lớn nhất của $a_i$ và $a_j$.
Không thể cải thiện các ước tính trong bài toán a) và b) (nghĩa là hệ số 6 có thể được thay thế bằng hệ số nhỏ hơn và $\frac{38}{147} - \text{бóльшим})$.

M508. Vòng tròn tiếp xúc với ba đường kính dương có đường kính $AB, BC$ và $AC$ ($C \in |AB|$, Hình 1). Chứng minh rằng bán kính của đường tròn lớn bằng một nửa tính từ tâm đến đường thẳng $AB$.

I. Sharytsin

43

M509. Giải các phương trình sau dưới dạng số tự nhiên:
a) $2^x + 1 = 3^y$;
b) $z^x + 1 = (z + 1)^2$;
c) $z^x + 1 = (z + 1)^y$.

D. Fleishman

M510. Trong cuốn sách “Olympic Toán học Hungary”, bài toán (số 148) sau đây được đưa ra: “Chứng minh rằng với mọi số dương $\alpha < \pi$ bất đẳng thức đúng
$$\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{3} \sin 3\alpha > 0.$$
Chứng minh sự tổng quát hóa sau đây của bất đẳng thức này: với mọi $0 < \alpha < \pi$ và tự nhiên $n$
$$\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{3} \sin 3\alpha + \dots$$
$$\dots + \frac{1}{n} \sin n\alpha > 0.$$
I. Birder, R. Ushakov

F518. Hình 2 thể hiện vị trí của hai điểm $A$ và $B$ cùng ảnh của chúng $A'$ và $B'$, được biểu thị bằng một đường mảnh. Tìm bằng cách xây dựng vị trí của đường thẳng và tiêu điểm của nó.

Olympic thể chất lần thứ XXIV dành cho học sinh Cộng hòa Nhân dân Ba Lan

F519. Trọng lượng $A$ được treo vào cốc $BC$ bằng một sợi chỉ $AB$ (Hình 3). Biên độ dao động của tải phải bằng bao nhiêu để các dao động này điều hòa? Tải trọng $m = 0,1$ kg, độ cứng của lò xo $k = 1600$ N/m.

F520. Trong nhiệt lượng kế dòng chảy (Hình 4), khí đang nghiên cứu được đưa qua đường ống và được làm nóng bằng đường xoắn ốc. Khí đi vào nhiệt lượng kế ở nhiệt độ $t_1 = 20^\circ\text{C}$. Với công suất lò sưởi là $W_1 = 1$ kW và tốc độ dòng khí là $m_1 = 540$ kg/h, nhiệt độ khí phía sau lò sưởi hóa ra giống như với công suất lò sưởi là $W_2 = 2$ kW và tốc độ dòng khí là $m_2 = 720$ kg/h. Áp suất khí trong đường ống ở mọi nơi là như nhau. Tìm nhiệt độ của khí $t_2$ nếu nhiệt dung riêng của nó ở thể tích không đổi là $c_V = 21$ J/(mol K) và khối lượng mol của khí là $M = 29$ kg/kmol.

F521. Hình 5 cho thấy một phần quỹ đạo của một vật thể tốt được ném nghiêng một góc so với phương ngang. Tại điểm $A$ vật có tốc độ bằng 20 m/s ở giá trị abscylotic. Cơ thể bay từ điểm $A$ đến điểm $B$ mất bao lâu?

F522. Mục tiêu hiển thị trong Hình 6 được kết nối với điện áp nguồn xoay chiều $U_0 = 220$ V. Điện áp giữa các điểm $A$ và $B$ là bao nhiêu?

A. Zilberman

44

Lời giải bài toán
M456—M460; F472—F477

M456. Tại mỗi đỉnh của đa tạp lồi có 3 cạnh hội tụ. Được biết, mỗi mặt của nó là một đa giác xung quanh có thể mô tả một vòng tròn. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng một hình cầu có thể được mô tả xung quanh đa tạp này.

Hình 1.

Đặt $A$ là đỉnh của đa giác, $AB, AC, AD$ các cạnh đi ra khỏi nó. Vì các điểm $A, B, C, D$ không nằm trong cùng một mặt phẳng nên có thể vẽ một hình cầu qua chúng; chúng ta hãy biểu thị hình cầu này bằng $S_A$ (Hình 1).

Đặt $A$ và $B$ là các đỉnh lân cận. Hãy chứng minh rằng các hình cầu $S_A$ và $S_B$ trùng nhau. Từ đây suy ra ngay rằng các mặt cầu $S_X$ trùng nhau ở tất cả các đỉnh $X$, tức là tất cả các đỉnh đều nằm trên cùng một mặt cầu.

Đặt $BE$ và $BF$ là các cạnh phát ra từ đỉnh $B$. Chúng nằm ở hai mặt $CAB$ và $DAB$, giáp mép $AB$. Ví dụ: để cạnh $BE$ nằm trong mặt $CAB$ và cạnh $BF$ trong mặt $DAB$ (lưu ý rằng điểm $E$ có thể trùng với $C$ và tương tự, điểm $F$ có ​​thể trùng với $D$). Theo điều kiện, các điểm $C, A, B, E$ nằm trên cùng một đường tròn. Trong trường hợp này, ba điểm $C, A$ và $B$ nằm trên một đường tròn, có được khi hình cầu $S_A$ cắt mặt phẳng đi qua các điểm $C, A, B$. Vì không thể vẽ nhiều hơn một đường tròn đi qua ba điểm khác nhau nên hai đường tròn dựng được trùng nhau, tức là điểm $E$ nằm trên mặt cầu $S_A$. Tương tự, người ta chứng minh rằng điểm $F$ nằm trên mặt cầu $S_A$. Điều này có nghĩa là hình cầu $S_A$ đi qua các điểm $B, A, E, F$, tức là nó trùng với hình cầu $S_B$, đó là điều bắt buộc.

I. Bernistey

M457. Một đa giác khép kín không tự cắt được cho trên mặt phẳng; không có ba đỉnh nào của đa giác cùng nằm trên một đường thẳng. Việc đặt cược vào các liên kết không liền kề là đặc biệt nếu phần tiếp theo của một trong số chúng giao với liên kết kia. Chứng minh rằng số cặp đặc biệt là số chẵn.

Hình 2.

Hãy xem xét hai liên kết liên tiếp $AB$ và $BC$ của một đường gãy. Hãy tiếp tục vang lên vượt xa đỉnh cao $B$; chúng ta thu được tia $BK$ và $BL$ (Hình 2). Chúng ta hãy gọi vòng tròn của hai tia như vậy là một nút thắt. Một góc như vậy có thể được dựng ở mỗi đỉnh của một đường đứt nét. Dễ hiểu là số cặp đặc biệt bằng số giao điểm của các mắt xích với các góc. Ta khẳng định rằng mọi góc đều cắt đường đứt nét tại một số điểm chẵn. Trên thực tế, nếu nó đi từ một đường gãy liền kề với đỉnh $B$ $A$ đến một đỉnh lân cận khác $C$ từ $B$, chúng ta thấy rằng đường gãy của chúng ta đi vào trong góc nhiều lần như khi nó đi từ nó (vì các điểm $A$ và $C$ đều nằm bên ngoài góc). Điều này có nghĩa là số lượng các cặp vòng đặc biệt cũng là số chẵn.

S. Fomin

M458. Đa thức $x^{10} + x^9 + x^8 + \dots + x^2 + x + 1$ được viết. Hai chiếc gốm trong một chiếc gốm nhúng. Đầu tiên, chúng ta giao nhau bất kỳ dấu sao nào với một số số, sau đó là phần tử thứ hai với số của bất kỳ dấu hoa thị nào còn lại, sau đó một lần nữa chúng ta giao nhau với bất kỳ dấu hoa thị nào

Vâng, nó có thể. Hãy chỉ ra cách người chơi thứ hai nên chơi điều này.

Tổng cộng có 9 ngôi sao cần được thay thế bằng các số - 5 cho lũy thừa lẻ và 4 cho lũy thừa chẵn. Mỗi nước đi, người chơi thứ hai phải trở thành bất kỳ hệ số nào ở mức độ có tính chẵn lẻ ngược lại so với hệ số mà đối thủ vừa đặt. Sau bảy nước đi sẽ còn lại 2 sao ở lũy thừa $x^k$ và $x^l$, đồng thời ít nhất một trong các số $k$ và $l$ là số lẻ và người chơi thứ hai sẽ có nước đi. Cho $P$ là một đa thức

45

Số lượng, v.v. (tổng cộng 9 bước). Nếu đa thức kết quả không có nghiệm thực thì cerok đầu tiên được gọi và nếu chúng ta có ít nhất một nghiệm, chúng ta gọi đa thức thứ hai. Liệu nhà thờ thứ hai có thể thắng ở buổi lễ nào không?

Nếu đa thức $f(x)$ không kết thúc bằng phân đoạn $[a,b]$, chúng ta sẽ tăng giá trị của các số dấu hiệu, thì với phi lịch sử $c \in [a,b]$ nó sẽ trở thành $b = f(c)=0$

Hình 3.

M459. Ở một số quốc gia, bạn có thể đi từ thành phố này đến bất kỳ thành phố nào khác trong vài phút đến các thành phố còn lại. Chi phí của mỗi chuyến đi được biết trước. Hai ma trận đã được biên soạn cho các thành phố của đất nước. Trong mỗi tuyến đường mẫu này, mỗi thành phố được nhập chính xác một lần. Khi biên soạn tuyến đường mẫu đầu tiên, chúng tôi được hướng dẫn theo nguyên tắc sau: điểm bắt đầu của tuyến đường mẫu được chọn ngẫu nhiên và tại mỗi nhà gỗ tiếp theo trong môi trường thành phố mà tuyến đường mẫu chưa đi qua, địa điểm có chuyến tàu đến comorbium từ thành phố trước đó có chi phí thấp nhất sẽ được chọn (nếu có một số thành phố tối đa thì bất kỳ thành phố nào trong số đó sẽ được chọn), v.v. Khi biên soạn tuyến đường mẫu thứ hai, thành phố bắt đầu có thể được chọn tùy ý và tại mỗi căn nhà gỗ tiếp theo trong môi trường thành phố mà tuyến đường mẫu chưa đi qua, thành phố có chuyến tàu đến comorb từ thành phố trước đó có chi phí thấp nhất sẽ được chọn. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng tổng chi phí của dự án sử dụng mẫu hệ chính xác không lớn hơn tổng chi phí của dự án sử dụng mẫu hệ chính xác.

Gọi $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ là vé của mẫu hệ thứ nhất, $b_1, b_2, \dots, b_{n-1}$ là vé của mẫu hệ thứ hai ($n$ là số lượng kiêu hãnh). Hãy để chúng tôi biểu thị chi phí của bất kỳ vé nào $c$ bằng $\Pi(c)$ và chi phí đi lại từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ bằng $\Pi(B)$. Tuyên bố sẽ được chứng minh nếu chúng ta xây dựng được ánh xạ $f: \{a_1, \dots, a_{n-1}\} \rightarrow \{b_1, \dots, b_{n-1}\}$ có hai thuộc tính sau:

a) ánh xạ $f$ là một-một;
b) đối với bất kỳ vé nào $a$ từ lần kết hôn đầu tiên $\Pi(a) \leqslant \Pi(f(a))$.

Chúng tôi sẽ chỉ ra phương pháp xây dựng ánh xạ $f$, có thuộc tính 6). Để chứng minh rằng nó là một-một, chúng ta sẽ chỉ ra rằng phương pháp này dẫn đến việc xây dựng một ánh xạ $g: \{b_1, \dots, b_{n-1}\} \rightarrow \{a_1, \dots, a_{n-1}\}$ sao cho đối với bất kỳ vé $a$ nào từ tuyến đường mẫu đầu tiên $g(f(a)) = a$.

Phương pháp xây dựng ánh xạ $f$. Giả sử $a$ là một tấm vé cho chuyến đi mẫu hệ đầu tiên được thực hiện trong thành phố $A$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $X_1(A)$ tập hợp các thành phố xuất hiện muộn hơn $A$ trong mẫu hệ đầu tiên và bằng $X_2(A)$ tập hợp các thành phố xuất hiện muộn hơn $A$ trong mẫu hệ thứ hai. Có thể xảy ra hai trường hợp sau:

1. $X_1(A) \cap X_2(A) \neq \emptyset$.
   Trong trường hợp này, chúng ta lấy vé $a$ của người mẫu thứ nhất vui vẻ và đặt $f(a) = b$, trong đó $b$ là vé của người mẫu thứ hai, mua ở thành phố $A$ (xem Hình 4, a).

2. $X_1(A) \cap X_2(A) = \emptyset$.
   Trong trường hợp này, vé mặt đất $a$ của mẫu hệ đầu tiên là không may mắn. Chúng ta hãy chọn từ tập hợp $X_1(A)$ một thành phố $B: B \in X_1(A)$ sao cho $X_1(A) \cap X_2(B) = \emptyset$. Dễ hiểu là thành phố $B$ được xác định một cách độc đáo bởi hai điều kiện này. Thật vậy, giả sử rằng có hai thành phố $B_1$ và $B_2$, sao cho $B_1 \in X_1(A)$, $B_2 \in X_1(A)$ và $X_1(A) \cap X_2(B_1) = \emptyset$, $X_1(A) \cap X_2(B_2) = \emptyset$, chúng ta thu được mâu thuẫn: vì từ điều kiện bài toán, nó suy ra điều đó đối với hai thành phố bất kỳ $C$ và $D$ $C \in X_2(D)$ hoặc $D \in X_2(C)$ phải là $B_2 \in X_1(A) \cap X_2(B_1)$ hoặc $B_2 \in X_1(A) \cap X_2(B_2)$. Bây giờ chúng ta đặt $f(a) = b$, trong đó $b$ là vé đi mẫu hệ thứ hai được mua ở thành phố đã chọn $B$ (Hình 4, b).

48

F472. Vẽ đồ thị gần đúng của số chỉ vôn kế theo thời gian sau khi mở công tắc K (Hình 7). Vôn kế và đá điện cảm là lý tưởng, R=100Ohm, U=300V.

Hình 7.

Hình 8.

F473. Hình 9 được lập bằng công thức hoạt nghiệm cho chuyển động của hai quả cầu thép có cùng đường kính nhưng khối lượng khác nhau. Mũi tên trong hình thể hiện hướng chuyển động của một trong các quả bóng va chạm.

1. Xác định tỉ số khối lượng của các quả bóng.
2. Cho biết hướng mà quả bóng thứ hai đang di chuyển.

Khi công tắc mở, dòng điện chạy qua mạch là $I_1 = \frac{U}{2R} = 1,5$ A. Trong trường hợp này, vôn kế hiển thị độ sụt điện áp trên điện trở III: $U_1 = I_1R = 150$ V.

Sau khi khóa được đóng vào cuộn dây, một e.m. xảy ra. d.s. cảm ứng, chiếm ưu thế trước sự thay đổi của từ thông qua cuộn dây, tức là khắc phục sự thay đổi của dòng điện $I_1$ chạy qua cuộn dây. Vậy tại thời điểm đầu tiên sau khi đóng chìa khóa, có một dòng điện chạy qua cuộn dây $I_1 = 1,5$ A. Hãy tìm số chỉ vôn kế lúc này. Rõ ràng vôn kế thay đổi điện áp rơi trên điện trở II: $U_2 = I_2R$. Hãy xác định giá trị của $I_2$. Từ đẳng thức

$$\begin{align*} I_0 &= I_1 + I_2, \\ U &= I_0R + I_2R \end{align*}$$

(xem hình 7) nằm ở

$$I_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{U}{R} - I_1\right) = 0,75$$ A.

Như vậy, tại thời điểm đầu tiên sau khi đóng chìa khóa, vôn kế chỉ

$$U_2 = I_2R = 75$$ V.

Sau khi lắp dòng điện vào mạch, vôn kế sẽ hiển thị điện áp rõ ràng

$$U'_2 = U - I'_0R = U - \frac{U}{R + \frac{R}{2}}R = \frac{1}{3}U = 100$$ V.

Vì vậy, ngay sau khi đóng chìa khóa, số chỉ của vôn kế sẽ giảm đột ngột từ 150 V xuống 75 V, sau đó tăng dần lên 100 V (Hình 8).

I. Slobodetsky

◆

Gọi $m_1$ là khối lượng của quả bóng thứ nhất, $\vec{v}_1$ và $\vec{v}'_1$ vận tốc tương ứng của nó trước và sau va chạm, $m_2$ khối lượng của quả bóng thứ hai, và vận tốc của $\vec{v}_2$ và $\vec{v}'_2$ trước và sau va chạm. Theo định luật bảo toàn động lượng

$$m_1\Delta\vec{v}_1 + m_2\Delta\vec{v}_2 = 0,$$ hoặc $m_1\Delta\vec{v}_1 = -m_2\Delta\vec{v}_2,$

(1)

trong đó $\Delta\vec{v}_1 = \vec{v}'_1 - \vec{v}_1$ là sự thay đổi tốc độ của quả bóng thứ nhất, $\Delta\vec{v}_2 = \vec{v}'_2 - \vec{v}_2$ là sự thay đổi tốc độ của quả bóng thứ hai trong một va chạm. Từ (1) ta có

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{|\Delta\vec{v}_2|}{|\Delta\vec{v}_1|}.$$

Vì vậy, để liên hệ khối lượng của các quả bóng, cần xây dựng các vectơ $\Delta\vec{v}_1$ và $\Delta\vec{v}_2$ rồi lấy tỷ lệ nghịch đảo của mô hình của chúng.

49

Vận tốc của các quả bóng bằng chuyển động của các quả bóng trong khoảng thời gian t giữa các lần chớp đèn liên tiếp, chia cho t. Vì giá trị của t là như nhau đối với các quả bóng thông thường cả trước và sau va chạm, nên trên thang tỷ lệ 1: $\frac{1}{\tau}$ các vectơ biểu thị vận tốc của các quả bóng đơn giản bằng vectơ chuyển dời của các quả bóng trong khoảng thời gian giữa các lần chớp đèn liên tiếp. Hãy sử dụng điều này để tìm $\Delta v_1$ và $\Delta v_2$.

Chúng ta biết một trong hai quả bóng đã chuyển động như thế nào trước khi va chạm. Để xây dựng vectơ $\Delta v_1$, cũng cần phải biết quả bóng này chuyển động như thế nào sau va chạm - dọc theo nhánh II, III hay IV? Để tìm ra câu trả lời, chúng ta sẽ phải làm lại tất cả các phương án có thể (chỉ có ba phương án trong số đó). Với việc lựa chọn đúng quỹ đạo của các quả bóng, các vectơ $\Delta v_1$ và $\Delta v_2$, theo đẳng thức (1), phải hướng theo một đường thẳng theo các hướng bị bỏ qua.

Trước khi tiến hành xây dựng, chúng ta lưu ý rằng $\Delta v$ không thay đổi khi “đảo ngược” chuyển động của quả bóng, tức là nếu trước va chạm quả bóng 1 chuyển động dọc theo nhánh I và sau va chạm - dọc theo nhánh II, thì $\Delta v$ cũng giống như trường hợp trước va chạm nó di chuyển dọc theo nhánh II và sau va chạm - dọc theo nhánh I.

Bây giờ chúng ta có thể bắt đầu xây dựng. Giả sử quả bóng 1 bao gồm các nhánh I và II, và quả bóng 2 bao gồm các nhánh III và IV. Trong trường hợp này, đã xây dựng các vectơ thay đổi tốc độ của các quả bóng (Hình 10), chúng ta thấy rằng chúng không hướng dọc theo một đường thẳng (trong Hình 10, để thuận tiện, các vectơ $v$ được vẽ trên tỷ lệ 1: $\frac{1}{3\tau}$). Vì vậy, giả định của chúng tôi là không chính xác. Bằng cách kiểm tra các tùy chọn khả thi khác, chúng tôi đảm bảo rằng bóng 1 bao gồm các nhánh I và IV, và bóng 2 bao gồm các nhánh II và III (Hình 11). Bằng cách đo độ dài của các vectơ được mô tả $\Delta v_1$ và $\Delta v_2$, chúng tôi tìm thấy:

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{|\Delta v_2|}{|\Delta v_1|} = \frac{1}{3}.$$

Bây giờ hãy trả lời câu hỏi thứ hai. Ta biểu thị bằng $\tau_1$ khoảng thời gian tính từ thời điểm hai quả bóng va chạm đến lúc đèn lóe sáng cuối cùng trước khi va chạm. Khi đó rõ ràng là chuyển động của quả bóng trong thời gian này phải là $\tau_1/\tau$ một phần chuyển động của quả bóng trong khoảng thời gian t giữa các lần đánh. Sau khi đo chuyển động tương ứng của quả bóng, chúng ta thấy rằng $\tau_1/\tau$ bằng 19/11. Đối với quả bóng thứ hai cũng vậy. Bằng cách thay đổi trực tiếp, chúng tôi tin rằng nhánh III thỏa mãn điều kiện này. Do đó, quả bóng 2 đã chuyển động dọc theo nhánh III trước khi va chạm.

I. Tiếng Slovodechkiy

F474. Giá trị trong Hình 12 được ghép từ các điện trở và vôn kế giống hệt nhau. Vôn kế thứ nhất chỉ $U_1 = 10$ B và vôn kế thứ ba chỉ $U_3 = 8$ B. Số chỉ của vôn kế thứ hai là bao nhiêu?

Rõ ràng là vôn kế không lý tưởng - nếu không thì các điểm sẽ không chạy qua điện trở và số chỉ của vôn kế sẽ giống nhau.

Số đọc của Volt tỷ lệ thuận với dòng điện chạy qua chúng. Điều này có nghĩa là dòng điện chạy qua các điện trở I, II và III có quan hệ như sau:

$$I_1 : I_2 : I_3 = (U_1 : U_2 : U_3) : (U_2 + U_3) : U_3.$$

Vì các điện trở giống nhau nên điện áp rơi trên chúng tỷ lệ thuận với dòng điện. Đối với điện trở II và III ta có:

$$\frac{U_1 - U_2}{U_2 - U_3} = \frac{I_1}{I_3} = \frac{U_2 + U_3}{U_3},$$

51

F476. Uranium tự nhiên bao gồm hỗn hợp của hai đồng phân có độ khấu hao tương đối là 235 và 238 và tỷ lệ nồng độ là 7:1000. Để tăng nồng độ $^{235}$U được đặt trong bộ giảm xóc, hợp chất khí $UF_6$ (uranium hexafluoride) được giải phóng vào chân không thông qua một lỗ nhỏ (tràn dịch). Khí được dẫn qua ống T có thành xốp (Hình 17). Khí đã lọc qua thành ống được bơm ra khỏi bình C. Xác định tỉ số giữa nồng độ $^{235}$UF$_6$ và $^{238}$UF$_6$ trong khối lượng tương đối của flo là 19.

F477. Một thanh cao su có khối lượng m nằm trên mặt phẳng ngang chính. Chúng ta giãn thanh xà một chút để nó giữ được hình dạng hình tròn và tâm của nó không chuyển động. Sau biểu tượng cảm xúc gai nhọn. Mô tả hành vi tiếp theo của chiếc nhẫn. Hệ số dẻo của sắt cao su bằng k.

Thay thế các giá trị số, chúng tôi tìm thấy
$$R_x \approx 0.22 \text{ Om}, \quad R - R_x \approx 18 \text{ Om}.$$
Trong trường hợp này $U_{AB} \approx 0.6 \text{ B}$ và với sự thay đổi trong E. d. Với. E trong phạm vi ±1 V, giá trị $U_{AB}$ thay đổi dưới 0,03 V. Mạch chúng tôi tính toán có thể được sử dụng làm bộ ổn định cho điện áp nhỏ; Tuy nhiên, trên thực tế, tốt nhất là sử dụng mạch thứ hai của bóng đèn và điện trở được mắc theo thứ tự ngược lại cùng với chiết áp.

A. Zilberman

Biểu thị $n_1$ và $n_2$ số lượng phân tử lần lượt là $^{235}$UF$_6$ và $^{238}$UF$_6$ trên một đơn vị thể tích khí $UF_6$. Trong thời gian $t$, một số $N_1$ phân tử $^{235}$UF$_6$ đi qua một lỗ có diện tích s, bằng
$$N_1 = v_{N1}stn_1,$$
và số lượng $N_2$ phân tử $^{238}$UF$_6$, bằng
$$N_2 = v_{N2}stn_2,$$
trong đó $v_{N1}$ và $v_{N2}$ là hình chiếu vận tốc trung bình của các phân tử $^{235}$UF$_6$ và $^{238}$UF$_6$ lên trục $x$, hướng vuông góc với lỗ.
Tỷ lệ $N_1/N_2$—tỷ lệ nồng độ của các phân tử $^{235}$UF$_6$ và $^{238}$UF$_6$ trong khí được giải phóng—bằng với
$$\frac{N_1}{N_2} = \frac{v_{x1}n_1}{v_{x2}n_2}.$$
Rõ ràng là $\frac{v_{x1}}{v_{x2}} = \frac{v_1}{v_2}$, trong đó $v_1$ và $v_2$ là vận tốc bình phương trung bình gốc của các phân tử khí. Vì $v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$, trong đó $m$ là khối lượng phân tử, nên $\frac{N_1}{N_2} = \frac{n_1}{n_2} \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ ($m_1$ và $m_2$ lần lượt là khối lượng phân tử $^{235}$UF$_6$ và $^{238}$UF$_6$). Từ đây
$$\frac{N_1}{N_2} = \frac{7}{1000} \sqrt{\frac{352}{349}} \approx \frac{7,03}{1000}.$$
I. Slobodetsky

Từ những thông điệp của symmetrina, có vẻ như rõ ràng rằng ngạnh sẽ dao động - giãn ra và co lại, duy trì hình dạng của một vòng tròn và tâm của nó sẽ bất động. Để xác minh tính đúng đắn của những ý tưởng này, chỉ cần xem xét chuyển động của một điểm (hoặc phần tử nhỏ) bất kỳ của chiếc nhẫn và đảm bảo rằng nó thực sự dao động là đủ.

Chúng ta hãy chọn phần tử nhỏ A của vành. Khi thanh bị kéo căng, phần tử A chịu tác dụng của lực đàn hồi $|\vec{f}|$, hướng tiếp tuyến, từ các phần lân cận của vòng