Kvant 1979, số 6 · Trang

KEANM 6
1979

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Sàn gạch cong màu đỏ này có được bằng cách biến dạng một sàn gỗ hình lục giác đều gồm các hình lục giác đều. Như dễ thấy, nó có thể được mở rộng cho toàn bộ mặt phẳng. Cách sắp xếp các ô riêng lẻ được thể hiện trong sơ đồ trên. Các cạnh của hình tam giác được thay thế bằng các cung tròn được mô tả xung quanh chúng.

1

Được thành lập vào năm 1970
6
1978

khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Nhà xuất bản “Khoa học”
Tòa soạn chính
văn học vật lý và toán học

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin

Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
A. I. Markushevich
N. A. Patrikeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

Trong phòng:
2 P. Blecher, M. Kelbert. Thuật toán phân loại
9 A. Levatsov. Bán buôn Frank và Germ

câu lạc bộ toán học
14 S. Pozdnykov. “Lý thuyết xác suất” không có lý thuyết

Vấn đề «Kvant»
16 Bài toán M566—M570; F578—F582
17 Lời giải bài toán M515; F527—F529

Qua những trang sách giáo khoa
24 V. Grizoreenko. Khi có quá nhiều điểm tới hạn

«Kvant» cho học sinh nhỏ
27 Bài toán
28 loài động vật trên… máy bay

Xưởng của người nộp đơn
30 E. Kuznetsov. Chú ý đến kỳ thi tuyển sinh
33 S. Ovchinnikov, I. Shartsein. Không chuẩn bài toán trong phép đo lập thể
Kỳ thi tuyển sinh đại học Varshanta năm 1978
39 Viện Thép và Hợp kim Moscow
41 Viện Công nghệ Điện tử Moscow
43 Viện Hàng không Mátxcơva được đặt theo tên. Sergo Ordzhonikidze
45 Viện Năng lượng Mátxcơva
46 Viện Kỹ thuật Hàng không Mátxcơva mang tên. K. E. Tsiolkovsky
47 Viện Địa chất Moscow được đặt theo tên. Sergo Ordzhonikidze
48 Viện trắc địa, kỹ sư chụp ảnh trên không và bản đồ Moscow
49 Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lenina (khoa toán)
50 Học viện sư phạm khu vực Moscow được đặt theo tên. N. K. Krupskaya
52 Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen
53 Viện Hàng không Kazan được đặt theo tên. A. N. Tupolev
54 Viện Hệ thống Điều khiển Tự động và Điện tử Vô tuyến Tomsk

Rezcenzini, thư mục
56 I. Klumova, M. Smolyansky. Sách mới
58 Đáp số, gợi ý, lời giải
Hỗn hợp (tr. 8, 15,26, 38)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nauka, «Kvant», 1979

2

P. Blecher, M. Kelbert

Thuật toán phân loại

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về một trong những lĩnh vực khoa học mới xuất hiện cách đây không lâu - lý thuyết về nhận dạng mẫu *). Cụ thể: chúng ta sẽ nói về các phương pháp phân loại. Phân loại là việc phân chia một tập hợp các đối tượng nhất định thành các nhóm đối tượng gần nhau theo một nghĩa nào đó. Ví dụ: bạn có thể phân loại các nhà máy trong một ngành nhất định đã được quan sát thấy trong một số trận động đất trong khu vực, thời tiết tháng 9 trong nhiều năm, thằn lằn tuyệt chủng, v.v. Điều quan trọng là các đối tượng được phân loại phải được đặc trưng bởi một bộ số và đặc điểm nhất định. Để đơn giản, chúng ta sẽ xem xét trường hợp mỗi đối tượng chỉ được mô tả bằng một tập hợp số.

*) Đối với những ai muốn làm quen với việc sử dụng nó, chúng tôi khuyên bạn nên đọc cuốn sách hấp dẫn, mặc dù không đơn giản lắm của M. M. Bongard “Vấn đề về sự công nhận” (M., “Hayka”, 1967).

Cách phân loại học sinh?

Giả sử chúng ta muốn chia tất cả học sinh lớp 9 của một trường nhất định theo cách các em sử dụng thời gian ngoài giờ học. Chúng tôi yêu cầu mỗi học sinh viết ra phần nào mình dành cho việc học và phần nào để giải trí. Thời gian còn lại (để ăn, ngủ, đi lại, v.v.) hiện không được chúng ta quan tâm. Như vậy, mỗi học sinh sẽ được đặc trưng bởi hai con số: thời gian học và thời gian giải trí. Do đó, nó có thể được biểu diễn bằng một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Vì vậy, chúng ta đi đến một câu hỏi toán học thuần túy: làm thế nào để chia một tập hợp đã cho thành các nhóm có số giống nhau?

Nhiều màu xám được áp dụng bài toán cũng dẫn đến câu hỏi tương tự, chỉ có điều ở đó số tọa độ thành phố lớn hơn (khoảng vài chục).

Ví dụ, có rất nhiều doanh nghiệp trong ngành dệt may. Trong số đó có

3

và các nhà máy chuyên biệt với một phạm vi nhỏ các sản phẩm và các nhà máy sản xuất nhiều loại sản phẩm. Có những nhà máy khổng lồ, có những nhà máy cỡ vừa và có những cơ sở sản xuất nhỏ ở địa phương. Để so sánh chi tiết các đối tượng riêng lẻ và lập kế hoạch công việc của chúng, cần phải phân loại tất cả các đối tượng này - chia chúng thành các nhóm đối tượng tương tự. Các doanh nghiệp được phân biệt bởi các chỉ số kinh tế của họ. Chúng tôi sẽ chọn trong số đó một số yếu tố quan trọng nhất (ví dụ: chi phí xây dựng các hạng mục riêng lẻ và quỹ tiền lương) và sẽ phân loại chúng theo chúng. Số lượng chỉ báo được chọn sẽ được ký hiệu là $n$.

Chúng ta hãy liên kết từng đối tượng với một tập hợp số $(x_1; \dots; x_n)$, trong đó $x_1$ là giá trị của chỉ báo đầu tiên, $x_2$ là giá trị của chỉ báo thứ hai, v.v.

Một cặp số $(x_1; x_2)$ xác định một điểm trên mặt phẳng, bộ ba số $(x_1; x_2; x_3)$ xác định một điểm trong không gian và một chuỗi $n$ số $(x_1; x_2; \dots; x_n)$ theo định nghĩa được coi là không gian $n$ chiều mạnh mẽ.

Vì vậy, lần này chúng ta đi đến phân loại bài toán các điểm trong không gian $n$ chiều.

Thật khó khăn khi không có ô tô

Để phân loại lời giải bài toán, nhiều thuật toán khác nhau đã được phát triển cho phép sử dụng máy tính. Nhu cầu sử dụng máy tính xuất phát từ hai lý do. Thứ nhất, theo quy luật, có rất nhiều đối tượng và việc xử lý tất cả dữ liệu theo cách thủ công là không thể. Thứ hai, các đối tượng được phân loại thường đa chiều.

Nếu, như trong ví dụ với học sinh, chỉ có hai tọa độ và số lượng đồ vật ít, thì một người có thể xử lý nhiệm vụ phân loại không thua kém gì một chiếc máy tính. Cụ thể: anh ta sẽ nhìn vào một bức tranh trong đó các điểm tượng trưng cho các vật thể được mô tả và anh ta sẽ nhìn thấy những đám mây tương ứng với sự ngưng tụ của điểm đó. Các thí nghiệm cho thấy tất cả mọi người đều làm điều này theo cách gần giống nhau. Điều này là do họ (con người) vô tình có xu hướng đảm bảo rằng các điểm trong một nhóm ở gần nhau và các nhóm khác nhau ở đủ xa. Nếu số lượng tham số bằng hoặc lớn hơn thì các thông báo trực quan hóa thực tế đã vô dụng và việc phân loại bài toán trở nên khó hiểu đối với con người.

Các nhà tâm lý học đã tiến hành thí nghiệm sau *. Các đối tượng được phát một bộ thẻ có các số tương ứng với tọa độ của các điểm trong không gian. Yêu cầu chia điểm thành hai nhóm tự nhiên. Trên thực tế, đã có một mặt phẳng, nhìn một góc theo tọa độ osm, nó chia tất cả các điểm thành hai nhóm sao cho khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt phẳng này là khá lớn so với khoảng cách giữa các điểm trong mỗi nhóm. Hầu hết mọi người đều coi giá trị của một trong các tọa độ, dẫn đến sự phân chia không tự nhiên; Hầu như không ai có thể xây dựng một phân vùng chính xác.

Các thuật toán phân loại đã được phát triển cho các điểm trong không gian đa chiều. Tuy nhiên, một trong những tiêu chí để các thuật toán này hoạt động chính xác là yêu cầu khi phân loại điểm trên mặt phẳng phải đưa ra các phân vùng tự nhiên - giống như những phân vùng mà con người tìm thấy.

Cây có chiều dài tối thiểu

Bây giờ chúng ta sẽ mô tả thuật toán xây dựng kết nối giữa một hệ thống các đoạn mới nối các điểm này với tổng chiều dài tối thiểu (hệ thống các đoạn được gọi là kết nối nếu

*) Thí nghiệm này và một số thí nghiệm tương tự khác được mô tả trong cuốn sách “Các phương pháp nhận dạng và ứng dụng của chúng” của N. G. Zagoruko (M., “Đài phát thanh Liên Xô”, 1972). Trong cuốn sách này, bạn có thể đọc chi tiết hơn về nhiều câu hỏi mà chúng tôi sẽ chỉ đề cập sơ qua.

4

từ bất kỳ điểm nào dọc theo các phân đoạn của hệ thống này, bạn có thể thêm vào bất kỳ điểm nào khác). Để rõ ràng, chúng tôi sẽ xem xét việc xây dựng trên một mặt phẳng. Trong không gian đa chiều, thuật toán giống nhau nhưng bạn không thể vẽ được một bức tranh.

Vì vậy, đường dẫn trên mặt phẳng dữ liệu là $N$ điểm $A_1, \dots, A_N$. Để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng tất cả các khoảng cách theo cặp giữa các điểm là khác nhau. Chúng ta hãy viết ra tất cả các cặp điểm $(A_1, A_2), (A_1, A_3), \dots, (A_{N-1}, A_N)$ và sắp xếp chúng sao cho đầu tiên là cặp có khoảng cách tối thiểu giữa các điểm, tiếp theo là cặp có khoảng cách lớn thứ hai, v.v. Bây giờ nối cặp điểm đầu tiên, sau đó đến cặp điểm thứ hai, v.v. Nếu khi vẽ đoạn tiếp theo, một chu trình xuất hiện (nghĩa là, từ hệ thống các đoạn đã vẽ, bạn có thể chọn một số đoạn tạo thành một đường đứt nét khép kín), thì chúng ta sẽ bỏ qua đoạn này và chuyển sang đoạn tiếp theo, v.v. - cho đến khi chúng ta đi qua tất cả các phân đoạn. Bằng cách xây dựng, hệ thống phân đoạn kết quả không chứa chu trình. (Một hệ thống các phân đoạn được kết nối không có chu trình được gọi là cây)

Bài toán 1. Chứng minh rằng hệ đoạn được xây dựng có độ dài tối thiểu trong tất cả các hệ liên thông của các đoạn nối các điểm này.

Bài toán 2. Chứng minh rằng có thể thu được cùng một hệ phân đoạn bằng cách xây dựng trước, như các nhà toán học nói, sau đây: nối tất cả các cặp điểm với các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn này theo thứ tự độ dài giảm dần; loại bỏ đoạn dài nhất, sau đó là đoạn dài thứ hai, v.v.; nếu khi loại bỏ phân đoạn tiếp theo, các phân đoạn còn lại không tạo thành một tập hợp được kết nối thì chúng ta sẽ bỏ qua phân đoạn này và chuyển sang phân đoạn tiếp theo, v.v. - cho đến khi chúng ta liệt kê tất cả các phân đoạn.

Bài toán 3*. Giả sử có sự trùng hợp giữa các khoảng cách theo cặp giữa các điểm $A_1, \dots, A_N$. Chúng ta hãy sắp xếp các đoạn có độ dài bằng nhau một cách tùy ý và thực hiện quy trình được mô tả trong văn bản hoặc trong nhiệm vụ 2. Chứng minh rằng hệ thống các đoạn được xây dựng có độ dài tối thiểu không phụ thuộc vào cách sắp xếp các đoạn bằng nhau. Tất nhiên, trong trường hợp này hệ thống các đoạn có độ dài tối thiểu có thể không phải là duy nhất.

Thuật toán chúng tôi đã mô tả để xây dựng một cây có độ dài tối thiểu

tương đối đơn giản nhưng đòi hỏi phải tìm kiếm nhiều và do đó phải được chạy bằng máy tính. Có các thuật toán nhanh hơn (nhưng cũng phức tạp hơn!).

Nhóm

Sau khi xây dựng được cây Г có chiều dài tối thiểu, việc phân chia tập hợp các điểm $A_1, \dots, A_N$ thành các nhóm được thực hiện bằng cách rút ra một số đoạn có trong cây này. Đương nhiên, các đoạn khá dài được vẽ, nhưng sao cho các điểm thuộc một nhóm được đặt càng gần nhau càng tốt. Thông điệp trực quan này có thể được chính thức hóa bằng cách nhập số lượng sau. Chúng ta muốn chia tập hợp các điểm $A_1, \dots, A_N$ thành các nhóm $k + 1$. Chúng ta hãy chọn các đoạn $k$ tùy ý của cây Г và loại bỏ chúng (Hình 1). Chúng tôi nhận được $k + 1$ nhóm điểm được kết nối: $\Gamma_1, \dots, \Gamma_{k+1}$. Đối với mỗi nhóm $\Gamma_i$, chúng ta chia tổng độ dài các đoạn của cây Г, các điểm kết nối có trong cây, cho số đoạn. Chúng tôi thu được độ dài trung bình của các đoạn trong mỗi nhóm $\Gamma_i$. Nếu một nhóm nào đó bao gồm một điểm thì theo định nghĩa độ dài trung bình này bằng không. Chúng ta hãy biểu thị độ dài trung bình được tính toán bằng $l_1, l_2, \dots, l_k, l_{k+1}$. Ngoài ra, hãy để độ dài của các đoạn được lấy lại là $b_1, b_2, \dots, b_k$. Hãy hình thành số lượng

$$F = l_1 + l_2 + \dots + l_{k+1} - b_1 - \dots - b_k.$$

Rõ ràng là giá trị $F$ càng nhỏ thì các điểm của mỗi nhóm càng gần nhau và các nhóm khác nhau càng cách xa nhau.

5

Do đó, việc đề xuất thuật toán sau là điều đương nhiên: từ một cây có độ dài tối thiểu, chúng tôi loại bỏ các phân đoạn $k$ theo mọi cách có thể và tính toán các giá trị $F$; Trong số tất cả các phân vùng thu được, chúng tôi chọn phân vùng có giá trị $F$ là tối thiểu; nếu có một số phân vùng “tối thiểu”, chúng tôi sẽ lấy bất kỳ phân vùng nào trong số đó.

Do các thuật toán được sử dụng, giá trị $F$ được xác định, theo quy luật, theo cách phức tạp hơn.

Thực hành tính toán đã chỉ ra rằng các thuật toán thuộc loại được mô tả dẫn đến các phân vùng khá hợp lý. Nhược điểm chính của các thuật toán này là chúng đòi hỏi quá nhiều sức mạnh. Khi số điểm tăng lên, bài toán sẽ không thể truy cập được ngay cả với các máy tính hiện đại.

Để đối phó với khó khăn này, những ý tưởng sau đây được sử dụng. Các điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn một giá trị nhất định $a$, có xu hướng thuộc về cùng một nhóm. Tất cả việc xây dựng được thực hiện trong hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu tiên, tập hợp các điểm $A_1, \dots, A_N$ được chia thành các nhóm nhỏ hơn $G_1, \dots, G_m$ sao cho mỗi nhóm $G_i$ có một vòng tròn $S_i$ bán kính $R = a/2$ chứa tất cả các điểm của nhóm $G_i$ và chỉ chúng. Chúng tôi sẽ thảo luận về cách thực hiện điều này dưới đây. Ở giai đoạn thứ hai, chỉ xem xét tâm $O_1, \dots, O_m$ của các vòng tròn $S_1, \dots, S_m$ và một cây có độ dài tối thiểu được xây dựng cho tập hợp $O_1, \dots, O_m$. Bằng cách giảm thiểu giá trị $F$ tương ứng với cây này, việc phân vùng tập hợp các điểm $O_1, \dots, O_m$ thành các nhóm được xây dựng như mô tả ở trên. Như vậy, ta cũng thu được phân vùng của tập hợp điểm $A_1, \dots, A_N$. Cụ thể, hai điểm $A_i, A_j$ thuộc cùng một nhóm nếu chúng nằm trong cùng một nhóm nhỏ $G_i$ hoặc nếu tâm của các đường tròn tương ứng với nhóm nhỏ và rơi vào một nhóm khi chia các điểm $O_1, \dots, O_m$. Ý nghĩa của quy trình hai giai đoạn này là giảm số điểm bắt đầu: số $m$ hóa ra nhỏ hơn nhiều so với $N$ và bộ xử lý cũng có thể được triển khai trên máy tính.

Vấn đề chuyển động vòng tròn

Chúng ta vẫn còn phải thảo luận về cách chia tập hợp các điểm $A_1, \dots, A_N$ thành các nhóm nhỏ. Đối với lời giải, bài toán thuật toán Trout được sử dụng (nó phần nào gợi nhớ đến một trong những phương pháp đánh bắt cá hồi). Chúng ta sẽ mô tả thuật toán này cho các điểm trên mặt phẳng, mặc dù nó hoạt động theo cách tương tự trong không gian nhiều chiều.

Vì vậy, hãy cho $N$ điểm $A_1, \dots, A_N$ trên máy bay. Chúng ta hãy đặt những quả bóng có khối lượng đơn vị tại những điểm này và vẽ một số vòng tròn $S_0$ bán kính $R$, trong đó có ít nhất một trong số những quả bóng nằm trong đó. Gọi $O_1$ là trọng tâm của các quả bóng rơi vào đường tròn $S_0$, và $S_1$ là đường tròn có bán kính $R$ có tâm tại điểm $O_1$. Gọi $O_2$ là trọng tâm của các quả bóng rơi vào đường tròn $S_1$, và $S_2$ là đường tròn có bán kính $R$ có ​​tâm tại điểm $O_2$, v.v. Ví dụ: trong Hình 2.

6

Vòng tròn dọc theo tuyến đường $S_0 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2 \rightarrow \dots$ không thể kéo dài mãi được. Chúng ta sẽ ấn định những điểm rơi vào vòng tròn cuối cùng cho nhóm đầu tiên. Quy trình tương tự được áp dụng cho các điểm còn lại, tức là một vòng tròn mới được “nhả”, vị trí cuối cùng của nó sẽ xác định nhóm thứ hai. Quá trình này tiếp tục cho đến khi tất cả các điểm được gán vào một nhóm.

Tại sao vòng tròn dừng lại?

Phần còn lại của chỉ số được dành để chứng minh rằng vòng tròn thực sự “dừng lại”. Nhìn vào Hình 2, chúng ta nhận thấy các vòng tròn $S_0, S_1, S_2$, … chiếm số lượng điểm ngày càng lớn và vị trí cuối cùng của chúng tương ứng với nhóm. Thật tự nhiên khi cho rằng đối với bất kỳ vị trí nào của điểm $A_1, \dots, A_N$ và đường tròn $S_0$, số điểm rơi vào các đường tròn $S_0, S_1, S_2$, …, ít nhất, không giảm. Hình 3 cho thấy điều này không đúng; tuy nhiên, trong một số trường hợp có thể tăng lên, chỉ ngoài số điểm rơi vào đường tròn, người ta phải tính xem chúng nằm gần tâm đường tròn đến mức nào.

Cụ thể là đường dẫn đến một số vòng tròn $S$ có tâm $O$ bao gồm các điểm $A_{i_1}, \dots, A_{i_h}$; hãy xác định các giá trị

$$F(S) = \left(R^2 - |OA_{i_1}|^2\right) + \dots + \left(R^2 - |OA_{i_h}|^2\right).$$

Điểm càng gần tâm của vòng tròn $S$ thì đóng góp của nó vào các giá trị $F(S)$ càng lớn. Hãy chứng minh rằng dãy số $F(S_0), F(S_1)$,

$$F(S_2), \dots$$ tăng cho đến khi vòng tròn dừng lại.

Để chứng minh điều đó, chúng ta sẽ cần mômen phân cấp và hệ vật liệu các điểm $A_1, \dots, A_m$ liên quan đến một số $A$ và định lý Steiner, rất hữu ích cho lời giải nhiều bài toán không chỉ từ hình học mà còn từ cơ học *).

Momen quán tính của hệ vật chất của các điểm $A_1, \dots, A_m$ đối với điểm $A$ là đại lượng

$$I(A) = |AA_1|^2 + \dots + |AA_m|^2.$$

Định lý Steiner cho phép tính $I(A)$ nếu biết mômen quán tính $I(C)$. của hệ điểm này so với trọng tâm của chúng $C$. Định lý này phát biểu rằng

$$I(A) = I(C) + m|CA|^2.$$

Chúng ta hãy chứng minh định lý Steiner. Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ hình chữ nhật, đặt gốc tọa độ của nó tại trọng tâm của điểm $A_1, \dots, A_m$ - điểm $C$. Chúng ta hãy biểu thị tọa độ của điểm $A_1, \dots, A_m$ bằng $(x_1; y_1), \dots, (x_m; y_m)$. Khi đó trọng tâm $C$ có tọa độ $(x_1 + \dots + x_m)/m; (y_1 + \dots + y_m)/m)$, và vì $C$ trùng với gốc tọa độ nên $x_1 + \dots + x_m = y_1 + \dots + y_m = 0$. Cho điểm $A$ có tọa độ $(x; y)$. Sau đó

$$I(A) = \left[ (x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 \right] + \dots + \left[ (x_m - x)^2 + (y_m - y)^2 \right] = \left( x_1^2 + y_1^2 \right) + \dots + \left( x_m^2 + y_m^2 \right) + m \left( x^2 + y^2 \right) - 2x \left( x_1 + \dots + x_m \right) - 2y \left( y_1 + \dots + y_m \right) = I(C) + m|CA|^2,$$

kể từ $2x(x_1 + \dots + x_m) = 2y(y_1 + \dots + y_m) = 0$. Định lý Steiner đã được chứng minh.

Hãy chứng minh rằng nếu đường tròn $S_1$ không trùng với đường tròn $S_0$ thì $F(S_1) > F(S_0)$. Chúng ta hãy đánh số lại các điểm $A_1, \dots, A_m$ sao cho các điểm rơi vào đường tròn $S_0$ nhưng không rơi vào đường tròn $S_1$, có số từ 1 đến $p$, các điểm rơi vào giao điểm của đường tròn $S_0$ và $S_1$ có số từ $p + 1$ đến $q$, và các điểm

*) Xem cuốn sách của M. B. Balk “Ứng dụng hình học của khái niệm tâm mềm” (M., Fizmatiz, 1959).

7

ki rơi vào $S_1$ nhưng không rơi vào $S_0$, là các số từ $q + 1$ đến $r$. Như vậy, trong đường tròn $S_0$ có các điểm $A_1, \dots, A_q$, và trong đường tròn $S_1$ có các điểm $A_{p+1}, \dots, A_r$. Rõ ràng là các đại lượng $F(S_0)$ có thể được biểu thị thông qua mômen quán tính $I(O)$ của điểm $A_1, \dots, A_q$ so với điểm $O$—tâm của đường tròn $S_0$, cụ thể là,

$$F(S_0) = (R^2 - |OA_1|^2) + \dots + (R^2 - |OA_q|^2) = qR^2 - I(O).$$

Điểm $O_1$ - tâm của đường tròn $S_1$ - là trọng tâm của các điểm $A_1, \dots, A_q$, do đó, theo định lý Steiner

$$I(O) = I(O_1) + q |OO_1|^2,$$

đó là

$$F(S_0) = qR^2 - I(O_1) - q |OO_1|^2 = (R^2 - |O_1A_1|^2) + \dots + (R^2 - |O_1A_q|^2) - q |OO_1|^2.$$

Hãy so sánh biểu thức này với

$$F(S_1) = (R^2 - |O_1A_{p+1}|^2) + \dots + (R^2 - |O_1A_r|^2).$$

Biểu thức $F(S_1)$ thiếu thuật ngữ

$$(R^2 - |O_1A_1|^2), \dots, (R^2 - |O_1A_p|^2),$$

nhưng các điều khoản đã xuất hiện

$$(R^2 - |O_1A_{q+1}|^2), \dots, (R^2 - |O_1A_r|^2).$$

Pozny

$$F(S_1) - F(S_0) = -(R^2 - |O_1A_1|^2) - \dots - (R^2 - |O_1A_p|^2) + (R^2 - |O_1A_{q+1}|^2) + \dots + (R^2 - |O_1A_r|^2) + q |OO_1|^2.$$

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý—và đây là tình huống mang tính quyết định—rằng các điểm $A_1, \dots, A_q$, theo cách xây dựng, nằm trong nekurata $S_1$. Vì vậy, đại lượng $R^2 - |O_1A_1|^2, \dots, R^2 - |O_1A_p|^2$ chỉ mang tính chất tương đối. Ví dụ: các điểm $A_{q+1}, \dots, A_r$ nằm bên trong đường tròn $S_1$; do đó số lượng $R^2 - |O_1A_{q+1}|^2, \dots, R^2 - |O_1A_r|^2$ là tương đối. Như vậy,

$$F(S_1) - F(S_0) \geq q |OO_1|^2,$$

nghĩa là, $F(S_1) > F(S_0)$ nếu các điểm $O_1$ và $O$ không trùng nhau.

Tương tự, người ta chứng minh rằng $F(S_{k+1}) > F(S_k)$ nếu điểm $O_{k+1}$ và $O_k$ không trùng nhau. Sử dụng thực tế này, bây giờ dễ dàng chứng minh rằng, bắt đầu từ một số $n$ nào đó, tất cả các đường tròn $S_n, S_{n+1}, \dots$ đều trùng nhau. Theo cách xây dựng, điểm $O_{m+1}$ là trọng tâm của các điểm nằm trong đường tròn $S_m$. Nếu chúng ta xem xét tất cả các tập hợp con của tập hợp điểm $A_1, \dots, A_N$ và trọng tâm của điểm của các tập hợp con này, thì điểm $O_{m+1}$ sẽ là một trong những trọng tâm này. Vì tập hợp các trọng tâm là hữu hạn nên trong dãy các tâm $O, O_1, O_2, \dots$ phải có sự trùng khớp, chẳng hạn như $O_i$ và $O_j$. Tuy nhiên, chúng tôi đã chứng minh rằng

$$F(S_i) \leq F(S_{i+1}) \leq \dots \leq F(S_j),$$

và vì $S_i = S_j$, $F(S_i) = F(S_j)$, do đó $F(S_i) = F(S_{i+1}) = \dots = F(S_j)$.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ rằng đẳng thức $F(S_i) = F(S_{i+1})$ có thể xảy ra nếu các đường tròn $S_i$ và $S_{i+1}$ trùng nhau. Cần lưu ý rằng nếu hai đường tròn liên tiếp trùng nhau thì tất cả các đường tròn tiếp theo đều trùng với nó trong cách xây dựng. Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng chuyển động của đường tròn $S_0 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2 \rightarrow \dots$ không thể là vô hạn, hay nói về mặt toán học, chúng ta đã chứng minh được sự hội tụ của thuật toán Trout. Trong quá trình thực hiện, chúng tôi đã phân tích lời giải bài toán, được đề xuất tại lần tối ưu hóa toán học gần đây nhất ở Moscow và trong bài toán «Kvant» (xem bài toán M505 trong «Kvant», 1978, số 5).

Hai bài toán mới

Để kết luận, chúng tôi xây dựng thêm hai bài toán. Các quy trình được mô tả trong các bài toán này cũng được sử dụng để phân loại một điểm trong không gian đa chiều. Như trước đây, chúng ta giới hạn mình trong trường hợp máy bay.

Bài toán 4. Hãy chia $N$ các viên đá $A_1, \dots, A_N$ thành các nhóm $l$ (không trống) $G_1, \dots, G_l$. Gọi $O_1, \dots, O_l$ là trọng tâm của mỗi nhóm này. Chúng ta hãy xây dựng một phân vùng mới gồm các viên đá $A_1, \dots, A_N$ theo quy tắc sau: chúng ta gán từng điểm cho nhóm thứ $i$ ($i \leq l$), nếu gần với nó

8

Hình 4.

Điểm mềm thứ ba là điểm $O_i$ (nếu có nhiều tâm mềm như vậy thì chọn điểm có số thấp nhất). Để sau khi loại bỏ các nhóm trống (cho ví dụ khi các nhóm trống xuất hiện giữa các nhóm $G_1$, …, $G_l$!) $p$ nhóm ($p \leq l$) vẫn còn. Thay đổi kích thước của chúng theo cách tùy ý, chúng ta có được một phân vùng mới $G_1^1, \dots, G_p^1$.

Sau khi tìm thấy tâm của độ mềm $O_1^1, \dots, O_p^1$ nhóm sức mạnh emx $u$, lặp lại quy trình tương tự, chúng ta sẽ xây dựng một phân vùng $G_1^2, \dots, G_q^2 (q \leq p)$ và $m. \delta$. Chứng minh rằng, bắt đầu từ một bước nhất định, các phân vùng trùng nhau.

Để tạo thành bài toán tiếp theo, thuận tiện là giới thiệu một ký hiệu. Đặt điểm $A$ và một tập con tùy ý $G$ là tập hợp của điểm $A_1, \dots, A_N$ trên mặt phẳng. Chúng ta đặt $I(A, G) = |AA_i|^2 + \dots + |AA_j|^2$ (tổng được lấy từ điểm từ $G$).

Bài toán 5. Giả sử, giống như bài toán 4, được phân vùng ban đầu của tập hợp điểm $A_1, \dots, A_N$ thành $l$ các nhóm không trống $G_1, \dots, G_l$. Chúng ta hãy mô tả quy tắc xây dựng một phân vùng mới $G_1^1, \dots, G_p^1$ nhóm power emx $u$, lặp lại bước tương tự, chúng ta sẽ tạo một phân vùng $G_1^2, \dots, G_q^2 (q \leq p)$ và $m. \delta$. Chứng minh rằng, bắt đầu từ một bước nhất định, các phân vùng trùng nhau.

Ưu điểm của các thuật toán được mô tả trong bài toán 4 và 5 so với thuật toán Trout là các thuật toán này hội tụ nhanh chóng (nghĩa là việc xây dựng phân vùng cuối cùng cần ít thời gian máy tính hơn). Tuy nhiên, nếu phân vùng ban đầu được chọn kém, các thuật toán này có thể dẫn đến phân vùng cuối cùng thành các nhóm không mấy tự nhiên. Tuy nhiên, một ví dụ như vậy được hiển thị trong Hình 4.

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Số $a$ được biểu thị là $a = m_1 + n_1 = m_2 + n_2$. Chứng minh điều đó rồi $3m_1n_1 \leq m_2^2 + m_2n_2 + n_2^2$.
   V. Fedoiskin (Shekino)

2. Cho một tam giác $ABC$, $H$ là giao điểm của các đường cao, $M$ là giao điểm của các đường trung tuyến của nó. Chứng minh rằng

$$\frac{|BM|}{\sin \widehat{AMC}} = \frac{|AM|}{\sin \widehat{BMC}} = \frac{|CM|}{\sin \widehat{AMB}};$$

$$\frac{|BH|}{\cos \widehat{AHC}} = \frac{|AH|}{\cos \widehat{BHC}} = \frac{|CH|}{\cos \widehat{AHB}}$$

(nếu tất cả các phân số này được xác định).

A. Yagubyants (Rostov-on-Don)

3. Chứng minh rằng tổng là $2k (k > 1)$

a) Ngày lẻ liên tiếp của số 7 chia cho 350;

6. Ngay cả những ngày liên tiếp của số 7 cũng chia hết cho 2450.

H. Mikhalkovich (vùng Minsk)

4. Chúng ta hãy biểu thị bằng $q(n)$ số số 0 kết thúc bằng số $n!$ và bằng $s(n)$ tổng các chữ số của số $n$ trong hệ thống số ngũ phân. Chứng minh rằng $n - s(n) = 4q(n)$.

B. Stovba (Zelenograd)

9

A. Levashov

Thí nghiệm
Franka và Germa

Đầu thế kỷ 20 chiếm một vị trí đặc biệt trong lịch sử vật lý. Đây là thời kỳ thay đổi những ý tưởng cũ đã được thiết lập về cấu trúc vật chất của thế giới. Trong một số trường hợp, sự chuyển đổi này đòi hỏi phải từ bỏ các định luật cơ học cổ điển và điện động lực học cổ điển.

Năm 1900, Planck tạo ra lý thuyết lượng tử về bức xạ. Năm 1905, Einstein đã xây dựng nguyên lý của thuyết tương đối đặc biệt. Trong cùng thời gian đó, khoa học đã tiến gần đến câu hỏi về bản chất vật lý và cấu trúc bên trong của nguyên tử. Năm 1911, kết quả thí nghiệm của Rezerforad được công bố, trên cơ sở đó tạo ra mô hình hạt nhân của các nguyên tử, mâu thuẫn với vật lý cổ điển. Năm 1913, Bohr xây dựng các nguyên lý lượng tử giải thích mô hình nguyên tử Rutherford và bản chất của quang phổ nguyên tử, nhưng mâu thuẫn với cả cơ học cổ điển và điện động lực học cổ điển.

Mỗi khám phá này đều chỉ ra những con đường mới để hiểu biết về thế giới vật chất. Nhưng sự phát triển của những ý tưởng mới luôn dựa trên nền tảng thực nghiệm vững chắc. Đó là lý do tại sao việc thử nghiệm các giả thuyết mới có vai trò cực kỳ quan trọng trong khoa học.

Các thí nghiệm của các nhà vật lý người Đức James Frank và Gustav Herm về cơ bản là sự xác nhận thực nghiệm đầu tiên cho những phát hiện của Bohr.

Các thí nghiệm lịch sử là sự tiếp nối công trình của nhà vật lý người Đức Lenard, người đã cố gắng xác định bằng thực nghiệm năng lượng ion hóa của các nguyên tử từ rất lâu trước khi xuất hiện

10

Những phát triển mới trong mô hình Rutherford. Năm 1902, Lenard đã tổ chức một thí nghiệm thú vị. Phần chính của quá trình lắp đặt nó là một ống thủy tinh với ba điện cực được điêu khắc - nguyên mẫu của triode hiện đại (Hình 1). Ống chứa đầy khí, năng lượng phun đã thay đổi. Áp suất khí trong ống khoảng 0,01 mmHg. Nghệ thuật. Toàn bộ mạch điện được bố trí như Hình 2. Giữa cực âm K và lưới C, điện áp $U_1$ được cung cấp từ pin $^1$, có thể thay đổi bằng chiết áp $R_1$. Giữa lưới điện và anom A, điện áp $U_2$ được cung cấp từ ắc quy $^2$. Điện áp này có thể được điều chỉnh bằng chiết áp $R_2$.

Ý tưởng của thí nghiệm như sau. Các điện cực bay ra khỏi cực âm đi vào điện trường trong không gian lưới cực âm và được trường này tăng tốc, di chuyển về phía lưới điện. (Điện áp $U_1$ được gọi là tăng tốc.) Sau khi đi qua lưới, các điện cực đi vào không gian cực dương của lưới. Ở đây điện áp điện tử $U_1$ được gọi là tăng tốc. Khi điều khiển trường gia tốc, các chuyển động này không thay đổi (chỉ hướng của vận tốc điện cực thay đổi và giá trị abscylton của vận tốc không đổi, vì khối lượng nguyên tử lớn hơn khối lượng điện cực hàng nghìn lần). Vì vậy, các điện cực, được gia tốc bởi điện trường, di chuyển theo hình vòng cung về phía lưới điện. Gần lưới điện, năng lượng điện cực đạt giá trị cực đại xác định từ điều kiện

$$K = \frac{mv^2}{2} = eU_1$$

(m là khối lượng của điện cực, e là điện tích của điện cực).

Khi điện áp gia tốc $U_1$ tăng, năng lượng của điện cực tăng. Lenard tin rằng khi năng lượng cực đại của điện cực chạm vào lưới bằng hoặc vượt quá năng lượng chèn của một nguyên tử khí, thì sự va chạm của điện cực với nguyên tử trở nên không đàn hồi. Trong trường hợp này, electron tách gần như toàn bộ năng lượng của nó ra khỏi nguyên tử và năng lượng này đi vào các quá trình nguyên tử bên trong—nó được nguyên tử hóa. Các hạt tích điện thứ cấp xuất hiện - điện cực và ion dương. Tất cả điện tử

11

ngai vàng (cả thứ cấp và chính - những thứ bay ra khỏi catad) cuối cùng đi vào mục tiêu lưới. Và các ion dương khi ở trong không gian aode lưới sẽ di chuyển dưới tác động của điện trường, tăng tốc về phía aode. Cuối cùng, xuất hiện dòng điện trong mạch aode do các hạt mang điện thứ cấp gây ra.

Vì vậy, sự xuất hiện của dòng điện trong mạch aodine, như Lenard tin tưởng, sẽ cho thấy sự bắt đầu cảm ứng. Năng lượng cảm ứng bằng $eU_n$, trong đó $U_n$ là giá trị $U_1$ tại đó xuất hiện dòng điện aode.

Mặc dù thí nghiệm thực sự đã quan sát thấy sự xuất hiện của dòng điện anode ở một số giá trị nhất định của thế năng tăng tốc, Lenard vẫn không thể thu được kết quả thí nghiệm đáng tin cậy do thiết lập của ông không hoàn hảo về mặt kỹ thuật. Điều quan trọng cần lưu ý là Lenard xuất phát từ sự hiểu biết không chính xác về sự tương tác của electron với nguyên tử, vì ông chưa thể biết về sự tồn tại của các mức năng lượng rời rạc trong nguyên tử. Vì lý do này, thí nghiệm của Lenard không để lại dấu ấn đáng chú ý trong vật lý, mặc dù nó chắc chắn rất thú vị từ góc độ lịch sử. Kỹ thuật cải tiến của Lenarda sau đó đã được sử dụng trong các thí nghiệm cổ điển của Frank và Hermtz.

Công việc chung giữa Frank và Đức vào năm 1911 tại Đại học Berlin. Trong thời gian này, họ nghiên cứu định luật dòng điện trong chất khí. Đương nhiên, năng lượng bên ngoài của cảm ứng nguyên tử được họ quan tâm. Để xác định nó, trước tiên họ phải hoàn thiện phương pháp Lenarda và sau đó thực hiện các thay đổi đối với nó.

Trước hết, thiết kế của đèn đã được thay đổi. Khoảng cách lưới cực âm được làm lớn hơn nhiều so với khoảng cách lưới cực âm (Hình 3).

Áp suất của khí (hoặc hơi nước) dẫn ống được tăng lên 1 mmHg. Nghệ thuật. Theo đó, các electron thoát ra khỏi catath đã trải qua các va chạm lặp đi lặp lại với các nguyên tử khí (hoặc hơi) trong không gian lưới cathode. Frank và Hermtsy đã giảm điện áp phanh và giữ nó không đổi (nó được chọn trong khoảng 0,5-2 V). Dòng điện dương xuất hiện trong mạch aode ngay khi điện áp tăng tốc $U_1$ lớn hơn điện áp hãm $U_2$.

Khi bắt đầu thí nghiệm, Frank và Hermtz, giống như Lenard, đã đề cập đến năng lượng cảm ứng. Kết quả của một trong các thí nghiệm với đèn chứa thông số thủy ngân được thể hiện trên Hình 4. Đường cong màu đỏ trên biểu đồ này cho thấy bản chất của sự thay đổi dòng điện trong mạch aode khi điện áp tăng tốc thay đổi (giá trị dòng điện được biểu thị bằng đơn vị). Trước hết, người ta chú ý đến thực tế là ở những khoảng điện áp bằng nhau $U_1$ dòng điện giảm mạnh. Giá trị dòng điện tối đa tương ứng với điện áp 4,9 V, 2·4,9 V và 3·4,9 V.

12

Frank và Hertz diễn giải kết quả thu được như sau. Khi điện áp tăng tốc tăng, dòng điện trong mạch aode tăng (kể từ thời điểm $U_1$ lớn hơn $U_2$). Khi $U_1$ trở nên bằng (hoặc lớn hơn một chút) 4,9 V và electron “thu” năng lượng 4,9 EV trên đường đến lưới, sự va chạm của electron với một nguyên tử tại lưới sẽ không đàn hồi - nguyên tử bị non hóa và electron mất năng lượng sẽ bị lưới bắt giữ. Kết quả là dòng điện trong mạch aode giảm mạnh.

Khi điện áp gia tốc tăng thêm, điều sau đây sẽ xảy ra: electron có thể thu được năng lượng 4,9 EV mà không chạm tới lưới điện, do đó vùng va chạm không đàn hồi của nó với nguyên tử “đến gần” cực âm. Trong trường hợp này, electron đã mất năng lượng trong quá trình va chạm, tiếp tục chuyển động có gia tốc về phía lưới điện dưới tác động của điện trường. Nếu dọc theo đường đi này, electron được điện trường gia tốc đến mức năng lượng vượt quá giá trị $eU_2$ thì nó sẽ vượt qua tác dụng hãm của điện áp $U_2$ và đi vào AOD. Trong biểu đồ, quá trình này tương ứng với vùng của dòng aode sau lần suy giảm đầu tiên. Khi giá trị $U_1$ trở thành mức mà electron bị mất năng lượng (4,9 EV) trong lần va chạm không đàn hồi đầu tiên, cố gắng tiếp cận lưới có giá trị $eU_2$, thì va chạm của nó với nguyên tử sẽ lại va chạm không đàn hồi và nó không còn kết thúc ở nguyên tử nữa mà bị lưới bắt giữ. Đây là sự suy giảm của đường cong trong Hình 4 sau mức tối đa thứ hai. Cực đại thứ ba chỉ ra rằng trên đường đi giữa cực âm và lưới điện, các electron trải qua va chạm không đàn hồi với nguyên tử ba lần.

Dựa trên dữ liệu thu được, Frank và Hertz kết luận rằng năng lượng ion hóa của thủy ngân bằng 4,9 EV - năng lượng mà một electron thu được giữa hai lần va chạm không đàn hồi liên tiếp với các nguyên tử. Họ thu được một đường cong tương tự trong các thí nghiệm với một chiếc đèn chứa đầy gel và phát hiện ra rằng năng lượng ion hóa của thủy ngân là 19,8 EV.

Tuy nhiên, đã được tăng lên ở chỗ chúng thực sự làm thay đổi năng lượng ion hóa, Frank và Hertz quyết định thực hiện một thí nghiệm khác. Họ đã gặp phải tình huống sau lời giải này. Người ta biết rằng hơi thủy ngân hấp thụ mạnh bức xạ có bước sóng $\lambda = 2536$ Å. Theo lý thuyết của Planck, bức xạ này tương ứng với năng lượng

$$E = hv = \frac{hc}{\lambda} (\text{Дж}) =$$

$$= 1,6 \cdot 10^{19} \frac{hc}{\lambda} (\text{ЭВ}) \approx 4,84 \text{ ЭВ}.$$

Giá trị này rất trùng khớp với giá trị năng lượng ion hóa thủy ngân mà Frank và Hertz thu được - 4,9 EV. Đây có phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên? Đây chính xác là điều lời giải cần kiểm tra: để xem liệu ở điện áp $U_1 = 4,9$ V, bức xạ có bước sóng 2536 Å có xuất hiện hay không.

Bước sóng này nằm trong vùng siêu diệp thể. Vì vậy, Frank và Hertz đã chế tạo một ống từ thạch anh, trong suốt đến ánh sáng siêu lọc (ống có bóng thủy tinh mà họ sử dụng trước đây không phù hợp - thủy tinh không truyền tia cực tím). Thiết kế của ống này đơn giản hơn nhiều so với ống trước. Nó chỉ chứa một dây tóc nakada (cực âm) và một lưới điện. Họ đổ đầy hơi thủy ngân vào ống. Một thiết bị quang phổ siêu lọc, nhạy trong vùng siêu lọc của quang phổ), nhắm vào ống, được cho là sẽ ghi lại bức xạ của hơi thủy ngân nếu bức xạ này xảy ra.

Kết quả mà Frank và Hertz thu được như sau. Miễn là hướng $U$ giữa danh mục và lưới điện nhỏ hơn 4,9 V, dòng điện trong mạch lưới tăng khi tăng $U$ và không có bức xạ. Khi hướng này bằng nhau ở khoảng $4,9$ V, dòng điện trong mạch giảm mạnh và phát hiện quang phổ có bước sóng … 2536 Å!

Dựa trên tất cả các kết quả có sẵn, Frank và Hertz đã đi đến kết luận sau: phần lớn

14

S. Pozdnykov

“Lý thuyết xác suất” không có lý thuyết

Tôi muốn viết rằng trong bài học toán này chúng ta sẽ giải bài toán bằng lý thuyết xác suất. Nhưng thực tế là ở đây sẽ không có lý thuyết, không có tiên đề, không có công thức, không có định lý - những gì chúng ta đã quen trong toán học. Thay vào đó, bạn sẽ phải sử dụng lẽ thường và trực giác, tức là từ đó trong quá trình phát triển toán học và giáo dục các khái niệm và tiên đề toán học chính xác *).

Nhiệm vụ 1. Mạch điện tử nào trong hình 1 đáng tin cậy hơn nếu độ tin cậy của diode là 0,7 (m. e. 70%), độ tin cậy của tụ điện là 0,8 và độ tin cậy của điện trở là 0,9?

Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại trò chơi “điện thoại bị hỏng” của trẻ em, trong đó một từ hoặc câu được chuyển qua một chuỗi người chơi chơi với các đồ vật có khả năng nghe được và người cuối cùng phải đoán xem người đầu tiên đã nói gì. Hóa ra trong tình huống này chúng ta có thể nói về độ tin cậy (của trò chơi hoặc của những người tham gia). Để làm được điều này, sẽ rất hữu ích nếu chuyển từ ngôn ngữ của trò chơi sang ngôn ngữ của mạch điện.

Nhiệm vụ 2. Vẽ sơ đồ mạch điện tương ứng với lễ “điện thoại hỏng” có 5 người tham gia. Một lời giải thích về thuật ngữ này nêu rõ:

“Càng nhiều electron trong một mạch điện thì độ tin cậy của nó càng kém”

“Độ tin cậy của mạch điện thấp hơn độ tin cậy của phần tử không đáng tin cậy nhất của nó.”

Hình 1.

Để tăng độ tin cậy của các máy bao gồm các thiết bị khác nhau, các thiết bị chuyển động song song được sử dụng. Khi đó máy sẽ chỉ hỏng nếu cả hai động cơ bị hỏng và tải lẫn nhau. Phương tiện thông tin liên lạc cũng bị nhân đôi. Hãy xem xét ví dụ này: một sợi dây bện được xoắn từ một đoạn dây, độ tin cậy của nó là 90% chống đứt. Dây có độ tin cậy như thế nào? Xác suất dây bị đứt là 10%, tức là 0,1. Dây sẽ chỉ đứt nếu cả năm dây đều đứt; nếu chúng đứt gãy mà không ảnh hưởng lẫn nhau thì xác suất xảy ra sự kiện này bằng

$$0,1 \times 0,1 \times 0,1 \times 0,1 = 0,00001.$$

15

hoặc, theo tỷ lệ phần trăm, 99,999%. Ở đây độ tin cậy của “mạch” lớn hơn nhiều so với độ tin cậy của các phần tử của nó.

Nhiệm vụ 3. Tính độ tin cậy của tàu bay có hai và bốn morra với điều kiện tàu bay có thể bay trên một morra và độ tin cậy của mỗi morra là a) 0,5, b) 0,8, c) 0,98.

Một nhiệm vụ về làm mờ ngẫu nhiên trong mê cung

Như đã biết, để kho báu không bị thất lạc thành từng cặp, người Ai Cập đã tạo ra những mê cung trong đó; di chuyển dọc theo chúng một cách tình cờ, cư dân thường chết trong bẫy hố.

Trong các bài toán tiếp theo, hãy giải chi tiết về những mê cung đó; chúng ta sẽ giả sử rằng người du hành đi qua mê cung một cách ngẫu nhiên, tức là khi gặp một ngã ba, anh ta chọn ngẫu nhiên bất kỳ con đường nào với xác suất bằng nhau (nếu có hai con đường thì với xác suất là 1/2, ba - 1/3).

Nhiệm vụ 4. Xác suất để học sinh tìm được lớp (Hình 2) và xác suất bị ăn thịt là bao nhiêu?

Nhiệm vụ 5. Xác suất của mê cung trong Hình 3 là gì, với điều kiện là lớp có thể xâu chuỗi thùy và tạo vòng một cách ngẫu nhiên?

Đối với lời giải những bài toán này, việc vẽ biểu đồ mê cung sẽ rất hữu ích. Hãy biểu thị mỗi giao lộ bằng một dấu chấm và hành lang bằng một đoạn. Ví dụ: mê cung hiển thị trong Hình 2 sẽ được biểu thị bằng biểu đồ hiển thị trong Hình 4.

Những nhiệm vụ này đã được đưa ra trong vòng tròn toán học tại Đại học Kỹ thuật Nhà nước số 24 ở Leningrad.

Bài tập
độc giả của chúng tôi

1. Chứng minh rằng nếu a và b là các số tự nhiên thì $ab(a^4-b^4)$ chia hết cho 5.

O. Selevko
(Yaroslavl)

2. Chứng minh rằng phương trình $7^x+10^y=13^z$ không có lời giải ở dạng số tự nhiên.

S. Mayzus
(Zaporozh)

3. Giải phương trình
   a). $\overline{abc}=abc(a+b+c)$;
   b) $\overline{abc}=abc+\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}$;
   b) $\overline{abc}=a!+b!+c!$.

E. Turkevich
(Chernivtsi)

4. Chứng minh rằng số
   $\sqrt[4]{1\ 0\ .\ 0\ 4\ 0\ .\ 0\ 1}$
   và tìm thấy nó.

Yu. Bashlykov
(Belovo, vùng Kemerovo)

17

lα tạo bởi thanh ở một phía của góc này, gia tốc của lõi thanh (điểm C), nếu đầu B của thanh chuyển động với vận tốc không đổi v?

F579. Trong mạch điện ở hình 2, $R_1 = 10$ Ohm, $R_2 = 20$ Ohm, $R_3 = 15$ Ohm, chiều trong mạng điện xoay chiều là $U = 10$ V. Xác định công suất phân bổ cho các điện trở có điện trở $R_2$ và $R_3$.

G. Komkin

F580. Trong mạch như hình 3, suất điện động của pin là $\&$, điện trở trong của nó là $r$ và điện trở của điện trở là $R$. Khi phím $K_1$ đóng, kim điện kế $G$ lệch một góc $\alpha$. Kim điện kế sẽ lệch một góc bao nhiêu nếu phím $K_1$ đóng khi phím $K_2$ đóng? Độ lệch của kim tỷ lệ thuận với điện tích truyền qua điện kế.

F581. Một người đàn ông đứng trước gương với một mắt nhắm lại. Anh ta che đi hình ảnh một con mắt đang nhắm trong gương bằng cách mổ một mảnh giấy lên gương. Một người sẽ nhìn thấy gì nếu anh ta mở mắt nhắm và nhắm mắt lại?

F582. Một vật nổi trong nước sao cho $2/3$ thể tích của nó chìm trong nước. Phần thể tích nào sẽ ở dưới nước nếu một bình chứa nước chuyển động với gia tốc $a$ theo hướng trên?

Lời giải bài toán
M515; F527—F529

Trong bài toán này, chúng ta nghiên cứu phép toán sau trên một hình (tập hợp điểm) tùy ý Ф:

$$W(\Phi) = \bigcup_{M \in \Phi} S_M(\Phi)$$

— các ảnh đối xứng của hình Ф so với các điểm khác nhau $M \in \Phi$ được xem xét và sự kết hợp của chúng được thực hiện (trên tất cả các điểm $M$). Rõ ràng là luôn luôn $W(\Phi) \supset \Phi$ và

$$\text{ если } \Phi \subset \Phi', \text{ то } W(\Phi) \subset W(\Phi').$$

Làm rõ các câu hỏi cụ thể đặt ra trong điều kiện cho một chuỗi các dạng

$$\Phi, W(\Phi), W^2(\Phi) = W(W(\Phi)), \dots, W^n(\Phi) = W(W^{n-1}(\Phi))$$,

thu được bằng cách áp dụng lặp lại phép toán $W$ cho một tập hữu hạn $\Phi$ nào đó, chúng tôi sẽ đưa vào một nghiên cứu nhỏ, trong đó, về cơ bản, chúng tôi sẽ học cách tìm bao lồi của hình $W^n(\Phi)$ - tập lồi nhỏ nhất chứa $W^n(\Phi)$ - cho một hình tùy ý $\Phi$ và lưu ý một số tính chất thú vị của phép toán $W$.

18

6. Cho $K_0$ gồm ba đỉnh của một tam giác đều có diện tích 1. Tìm diện tích của đa giác lồi nhỏ nhất chứa các tập hợp $K_n$ ($n=1,2,\dots$).

Trong ba đoạn tiếp theo, $K_0$ là tập hợp bốn đỉnh của một khối trung diện đều ở tập 1.

8. Khoảng cách của đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các điểm của tập hợp $K_1$. Đa giác này có bao nhiêu và ranh giới như thế nào?

e) Thể tích của đa giác này là bao nhiêu?

d) Tìm thể tích của đa giác lồi nhỏ nhất chứa các tập hợp $K_n$ ($n=2,3,\dots$).

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

Trước khi đọc thêm lời giải, hãy vẽ các hình $W(\Phi)$ và $W^2(\Phi)$ nếu $\Phi$ là một cặp điểm; phân đoạn; hình chữ nhật; bốn đỉnh thẳng/lib; ba đỉnh của một tam giác. $W(\Phi)$ là gì nếu $\Phi$ là hình lập phương? tám đỉnh của một hình lập phương?

Hãy bắt đầu với trường hợp “một chiều”, khi hình $\Phi$ nằm trên một đường thẳng. Trường hợp này cần thiết cho lời giải bài toán a), nhưng, như chúng ta sẽ thấy, nó cũng hữu ích trong những bài toán khó hơn.

Đầu tiên, giả sử hình của chúng ta là một đoạn $\Pi=[AB]$ có độ dài $d$ với điểm giữa của nó tại điểm $O$. Khi đó $\Phi(\Pi)=[A_1B_1]$ là đoạn có độ dài $3d$ với điểm giữa của nó tại cùng điểm $O$. Ngay sau đó là $\Phi^2(\Pi)=[A_2B_2]$, trong đó $|A_2B_2|=9d$ và nói chung $\Phi^n(\Pi)=[A_nB_n]$, trong đó $|A_nB_n|=3^n d$ và tất cả các đoạn $[A_nB_n]$ có điểm giữa tại cùng một điểm $O$ (Hình 1).

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ biểu thị các hình $\Phi$, có tâm đối xứng $O$ và trong tomothenia với hệ số $k$ và tâm $O$ được ký hiệu là $k\Phi$. Chúng tôi phát hiện ra rằng nếu $\Pi$ là một phân đoạn thì $W(\Pi)=3\Pi$ và nói chung là $W^n(\Pi)=3^n\Pi$.

Nhìn về phía trước, chúng tôi lưu ý rằng điều này đúng với mọi hình lồi đối xứng tâm $\Pi$. Nhưng trước hết hãy trả lời câu a) theo định luật trong trường hợp một chiều.

a) Đặt $K_0=\{A,B\}$, $|AB|=1$. Theo (2), trong đó $\Phi=\{A,B\}$, $\Pi=\Phi'=[AB]$,

$$K_n=\Phi^n(K_0)\subset\Phi^n(\Pi)=3^n\Pi.$$

Rõ ràng là $K_n$ chứa tất cả các điểm của đoạn $[A_nB_n]=3^n\Pi$, nằm cách điểm $A$ một khoảng nguyên, và các điểm cực trị $\{A_n,B_n\}=3^n\{A,B\}$ nằm cách $A$ ở khoảng cách $(3^n-1)/2$ và $(3^n+1)/2$ (Hình 2). Vì những con số này (Hình 3) lớn hơn 10.000 tại $n\geqslant10$, đáp số nên câu hỏi a): $n=10$.

Trong lời giải mặt phẳng và không gian bài toán về phép toán $W$ thuộc tính sau của nó rất hữu ích: nếu $\Phi_l$ là hình chiếu của hình $F$ lên đường thẳng $l$, thì

$$W(\Phi_l)=(W(\Phi))_l$$

(hình chiếu $W(\Phi)$ lên đường thẳng $l$ giống như kết quả của việc áp dụng $W$ cho hình chiếu $\Phi_l$) *. Điều này ngay lập tức tuân theo định nghĩa của $W$ và thực tế là trong quá trình chiếu, các điểm đối xứng với điểm $M$ rơi vào các điểm đối xứng với hình chiếu của nó $M_l$ (Hình 4).

Từ đó, nếu $\Pi$ là một dải và $3^n\Pi$ là ảnh của nó trong điều khiển chuyển động với hệ số $3^n$ so với tâm đối xứng (bất kỳ điểm nào trên đường giữa), thì sự tương ứng $\Pi$ được đáp ứng - tập hợp các điểm nằm giữa hai mặt phẳng.

Từ (2), (3), (5) và lời giải bài toán a) cũng suy ra rằng nếu chúng ta đặt hình $F$ trong một dải hỗ trợ $\Pi$ theo bất kỳ hướng nào - một dải như vậy $\Pi\supset\Phi$, các cạnh của nó chứa tất cả các điểm từ $\Phi$ - thì dải $3^n\Pi\supset W^n(\Phi)$ sẽ là dải hỗ trợ cho $W^n(\Phi)$ (Hình 5). Thông báo này, tổng quát hóa (4), cho phép chúng ta tìm bao lồi $W(\Phi)$ cho mọi hình $F$.

Hãy xem xét các ví dụ cụ thể.

6. Đặt $K_0=\{A,B,C\}$ là các đỉnh của một tam giác đều, $K_n=W^n(K_0)$, $n=1,2,\dots$ (Hình 6). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng với mọi $n\geqslant1$, bao lồi của tập hợp $K_n$ thu được như sau: chúng ta cần lấy các đầu của các đoạn $3^n[AB]$, $3^n[BC]$ và $3^n[AC]$ rồi dựng một hình lục giác lồi $\Sigma_n$ với các đỉnh tại các điểm này.

*) Hình chiếu của hình không gian $F$ lên đường thẳng $l$ là tập hợp các điểm $M\in l$ sao cho mặt phẳng, hình chiếu qua các điểm $M$ và vuông góc với $l$ cắt nhau $\Phi$.

21

F527. Trong mạch như hình 8, suất điện động của pin là $G=100$ V, điện trở trong của nó là $r=100$ Ohm, điện dung của tụ điện là $C=200$ uF và điện trở của máy cắt là $R=10$ Ohm. Phím K chuyển đổi giữa các điểm ngưng tụ a và b với tần suất $f=10$ lần mỗi giây. Khi nối nó với cực a thì tụ điện được tích điện đầy, khi nối với cực b thì tụ điện được tích điện đầy. Hiệu suất của mạch là bao nhiêu? Cao hơn bao nhiêu lần so với khi máy cắt nối trực tiếp với pin? Sức mạnh nào được giải phóng ở mức kháng cự $R$?

Hình 8.

Khi một tụ điện được nối với pin, nó sẽ sạc tới điện áp $U=\mathcal{E}$, nhận điện tích $q=CU=\mathcal{C}\mathcal{E}$. Năng lượng của tụ điện trở thành $W=\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$.

Pin hoạt động $A=\mathcal{E}q=\mathcal{C}\mathcal{E}^2$. Do đó, lượng nhiệt $Q$ tỏa ra trong mạch bằng $A-W=\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$. Pin được mắc nối tiếp với pin được làm nóng và tại bất kỳ thời điểm nào cũng có cùng một dòng điện chạy qua chúng. Do đó, nhiệt được phân bổ giữa chúng tỷ lệ với điện trở của chúng, tức là nhiệt tỏa ra khi đun nóng $R$

$$Q_1=(A-W)\frac{R}{R+r}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{R}{R+r}.$$

Khi đóng tụ điện trên bộ sưởi (phím $K$ ở vị trí $6$), tụ điện được tích điện đầy và năng lượng $W$ của nó chuyển thành nhiệt tỏa ra trên bộ sưởi:

$$Q_2=W=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}.$$

Vì vậy, trong một chu kỳ đầy đủ, bạn làm nóng nhiệt

$$Q=Q_1+Q_2=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{R}{R+r}+\frac{C\mathcal{E}^2}{2}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(\frac{2R+r}{R+r}\right).$$

Hiệu suất của mạch là

$$\eta_1=\frac{Q}{A}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{2R+r}{R+r}=\frac{2R+r}{2(R+r)}=\frac{6}{11}.$$

Khi nối trực tiếp vào ắc quy thì hiệu suất của mạch bằng

$$\eta_2=\frac{R}{R+r}=\frac{1}{11}.$$

Vì vậy, $\eta_1/\eta_2=6$.

Hãy tìm công suất $P$ được giải phóng khi đun nóng. Trong 1 giây, $n=f/2$ hoàn thành chu kỳ chuyển đổi phím $K$ xảy ra. Kể từ đây,

$$P=nQ=\frac{f}{2}\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(\frac{2R+r}{R+r}\right)\approx 5,5\text{ Вт.}$$

At.mechane. Trong điều kiện bài toán, đề xuất giả định rằng tụ điện tự sạc lại thành công trong thời gian $t=1/f=0,1$ giây. Hãy kiểm tra xem giả định này đúng đến mức nào.

Khi nối tụ điện với pin thì dòng điện thu được là $I=\mathcal{E}/(R+r)$. Trong thời gian $t$, sau đó tụ điện được sạc đến điện áp $U=\mathcal{E}$, điện tích đầy $q=C\mathcal{E}$ sẽ đi qua pin. Do đó, ở dòng điện $I=\mathcal{E}/(R+r)$ tụ điện được tích điện đúng thời gian $t=q/I=C\mathcal{E}/(R+r)/\mathcal{E}=C(R+r)=2,2\cdot 10^{-2}\text{ c}$. Trong thực tế, khi điện áp trên tụ tăng, dòng điện sẽ giảm và tụ sẽ không được tích điện vào điện áp $U=\mathcal{E}$. Tuy nhiên, vì $t\gg t$, có thể coi phép tính gần đúng là tụ điện đã được sạc đầy thành công.

A. Zilberman

◆

Công suất $P$ do bóng đèn giải phóng bằng $U_\pi I$, trong đó $U_\pi$ là điện áp trên bóng đèn, $I$ là dòng điện trong mạch. Mối quan hệ có thể có giữa $U_\pi$ và $I$ được xác định bởi đặc tính dòng điện-điện áp của bóng đèn (Hình 9). Mặt khác, điện áp trên bóng đèn được xác định bởi điện áp tương ứng

22

một chiều không đổi nick $U=10B$ nối tiếp với một điện trở có điện trở $R=4\Omega$. Xác định công suất của bóng đèn.

Graph

Hình 9.

F529. Sử dụng công thức dành cho áp phích quảng cáo (Hình 10), xác định: 1) tiêu cự của vật thể camera; 2) ống kính nằm ở khoảng cách bao nhiêu so với lòng bàn tay khi lập công thức; 0) kích cỡ của con cá mà ngư dân đánh bắt được; 4) đường kính của vật thể (giả sử kích thước chi tiết hình ảnh trên công thức không vượt quá 0,2 mm). Thấu kính công thức được coi như thấu kính một mắt.

Sheniem

$$U_{\pi}=U-U_R=U-IR,$$

trong đó $U_R$ là điện áp trên điện trở. Do đó, đối với một giá trị điện trở cho trước $R$ $U_{\pi}$ và $I$ được xác định bởi giao điểm của đường thẳng $U-IR=10-4I$ (gọi là đường thẳng tải) với đặc tính dòng điện - điện áp của bóng đèn. Vẽ đường thẳng tải trọng trên đồ thị, ta tìm được các giá trị $U_{\pi}$ và $I$ tương ứng với điểm $A$:

$$U_{\pi}\approx 5,5\ B, \ I\approx 1,2\ A.$$

Vậy công suất phát ra của bóng đèn bằng

$$P=U_{\pi}I\approx 6,6\ Bt.$$

I. Slobodetsky

Phối cảnh trong bức ảnh bị bóp méo rất nhiều. Nhiều chi tiết khác nhau của vật thể (khuôn mặt của ngư dân, lòng bàn tay, v.v.) được hình thành ở các độ phóng đại khác nhau.

Độ phóng đại thường được gọi là tỷ lệ kích thước của hình ảnh và vật thể, bằng tỷ lệ khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng ảnh (nghĩa là đến phim ảnh) và từ vật thể đến đường thẳng. Trong trường hợp của chúng tôi, mức tăng ở tất cả các phần nhỏ hơn một. Sự khác biệt đáng chú ý về độ phóng đại của khuôn mặt và bàn tay chỉ có thể đạt được khi tính toán ở cự ly gần.

Kỹ thuật ước tính kích thước khuôn mặt của người câu cá là $l_1\approx 20$ cm, chiều rộng lòng bàn tay là $l_2\approx 10$ cm, và khoảng cách từ mặt đến lòng bàn tay dang rộng của anh ta là $a\approx 50$ cm. Chúng ta hãy biểu thị khoảng cách từ lòng bàn tay đến vật thể bằng $x$ và khoảng cách từ vật thể đến phim ảnh bằng $y$. Theo công thức, kích thước khuôn mặt là $h_1\approx 1,5$ cm, chiều rộng lòng bàn tay là $h_2\approx 1,5$ cm. Độ phóng đại $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ của các chi tiết này được thể hiện tương ứng với

$$\Gamma_1=\frac{h_1}{l_1}=\frac{y}{x+a}, \ \Gamma_2=\frac{h_2}{l_2}=\frac{y}{x},$$

Ở đâu

$$x=\frac{l_2}{h_2}\ y, \ y=\frac{ah_1h_2}{l_1h_2-l_2h_1}.$$

Từ các biểu thức này sau khi thay thế các giá trị số

$$x\approx 50\ cm, \ y\approx 7,5\ cm.$$

23

Vì trong bức ảnh khoảng cách giữa hai lòng bàn tay là $h \approx 8$ cm nên chúng ta có thể kết luận rằng kích thước của cá trảng là

$$l = \frac{h}{\Gamma_2} = \frac{h l_2}{h_2} \approx 53 \text{ см.}$$

Để xác định khoảng cách công thức $F$ của một vật thể và đường kính của nó $D$, cần phải tính đến việc vật thể được lập công thức trong trường hợp của chúng ta có kích thước đáng kể dọc theo trục quang học (độ sâu). Điểm cực gần (lòng bàn tay) cách vật khoảng 50 cm, điểm cực xa (mặt) cách vật khoảng 100 cm. Rõ ràng là thấu kính không thể cho ảnh rõ nét đồng thời của cả hai điểm này (và tất cả các điểm trung gian) trên phim ảnh, nằm ở khoảng cách $y \approx 7,5$ cm phía sau thấu kính. Khi tia truyền đi từ điểm xa (A) và gần nhất (B) của vật, chỉ xuất hiện một số điểm trung gian $C$, nằm ở đâu đó giữa điểm gần nhất và điểm xa nhất. Hình ảnh rõ ràng của các điểm $A$ và $B$ lần lượt nằm ở phía trước và phía sau phim ảnh, trên phim ảnh của chúng thu được ở dạng điểm có kích thước $\Delta$, không vượt quá bài toán 0,2 mm tùy theo điều kiện. Giả sử để ước tính điểm tạo hình $C$ nằm cách thấu kính một khoảng $x + a/2 \approx 75$ cm, ta viết nó ra bằng công thức tuyến tính,

$$\frac{1}{x + a/2} + \frac{1}{y} = \frac{1}{F}.$$

Từ đây, sau khi thay thế các giá trị số, ta tìm được $F \approx 6,8$ cm. Có thể thấy từ Hình 11, để độ sắc nét của mọi chi tiết ở độ sâu đáng kể của vật thể, ống kính máy ảnh phải được định khung lại thật mạnh, tức là đường kính $D$ của phần mở của vật thể phải khá nhỏ. Xác định vị trí của ảnh $B_1$ của điểm gần nhất $B$ bằng công thức tuyến tính -

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F}$$

• và lập tỷ lệ ước tính

$$\frac{D}{d_1} = \frac{\Delta}{d_1 - y},$$

chúng tôi tìm thấy sau khi thay thế các giá trị số: $d_1 \approx 7,9$ cm; $D \approx 4$mm. (Tất nhiên, vị trí ảnh của điểm xa nhất $A$ có ​​thể được sử dụng để ước tính đường kính của vật thể.)

Vì vậy, ước tính của chúng tôi đưa ra:

1. công thức: khoảng cách đối tượng camera $F \approx 6,8$ cm; 2) khi tạo hình đối tượng, nó được đặt ở khoảng cách $x \approx 50$ cm so với lòng bàn tay; 3) con cá đã cố gắng thử một con cá có kích thước khoảng 53 cm; 4) ống kính máy ảnh có khẩu độ 4 mm.

S. Kozel

24

V. Grigorenko

Khi
điểm quan trọng
quá nhiều

Trong đoạn 55 của sổ tay “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9”, nghiên cứu chính xác về điểm tới hạn ở cực trị đã được chỉ ra (Định lý 1, 2). Điều này có luôn đúng không?

Các tình huống bất ngờ không thể sử dụng được sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Hãy nhớ rằng điểm bên trong $x_0$ có một hàm nhất định $f$ được gọi là quan trọng đối với hàm này nếu $f'(x_0) = 0$ hoặc $f'(x_0)$ không tồn tại.

Chúng ta hãy giả sử (để đơn giản cho việc trình bày) rằng hàm $f$ không đúng tại điểm $x_0$. (Từ giả định này, tự động suy ra rằng điểm $x_0$ là điểm bên trong miền định nghĩa của hàm $f$.)

Theo điều kiện đủ để có mức tối đa (“Đại số và Nguyên tắc Giải tích 9”, đoạn 55, Định lý 2), nếu có mức tối đa $|x_0| - \delta$; $x_0 + \delta$ [thùy $x_0$, nửa chéo bên trái $|x_0| - \delta$; $x_0$ [cạnh $f'(x) > 0$ và nửa chéo bên phải $|x_0|$; $x_0 + \delta$ [với $f'(x) < 0$, thì điểm $x_0$ là một hàm mạnh mẽ của $f$.

Đương nhiên họ sẽ hỏi: điều ngược lại có đúng không? Chúng ta hãy làm rõ câu hỏi của mình: đặt hàm $f$ khả vi trong một lân cận nào đó của điểm $x_0$ và đặt điểm này là điểm cực đại của hàm $f$; Có nhất thiết phải có một lân cận tại điểm $x_0$ trong đó đạo hàm “đổi dấu từ phẳng sang âm” không? Nói một cách đại khái, điều kiện tối đa có đủ cần thiết không?

Hóa ra đáp số là phủ định cho những câu hỏi này.

Ví dụ 1. Hàm

$$f(x) = \begin{cases} 2 - x^2 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right), & если x \neq 0 \\ 2, & если x = 0 \end{cases}$$

lấy đạo hàm trên toàn bộ trục số $R$, điểm 0 là điểm cực đại mạnh của hàm $f$ và trong mỗi bán dương của bất kỳ lân cận nào ] - δ; δ[đạo hàm 0 thùy $f'$ đổi dấu (Hình 1*)).

Thật vậy, hàm số $f$ hiển nhiên khả vi tại bất kỳ điểm nào $x_0 \neq 0$; nó cũng khả vi tại điểm 0, vì

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0} = \lim_{h \to 0} \left[ -h \left(2 + \sin \frac{1}{h}\right) \right] = 0.$$

(Bình đẳng cuối cùng xuất phát từ thực tế là $\lim_{h \to 0} (-h) = 0$ và hàm $y = 2 + \sin \frac{1}{h}$ bị giới hạn ở $R$, tức là nhờ sự tương tự của Định lý 2 từ đoạn 28 của sổ tay “Đại số và Nguyên tắc Phân tích 9”.) Điểm 0 là mức tối đa mạnh mẽ của $f$, vì tại $x \neq 0$, rõ ràng là $f(x) < f(0)$. Cuối cùng, trong mỗi khoảng thời gian ]—δ; 0 [ và ]0; δ[ đạo hàm

$$f'(x) = -4x - 2x \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}$$

*) Trong tất cả các hình, tỷ lệ dọc theo các trục là khác nhau. Trong vùng lân cận số 0, các bản vẽ sẽ mất đi mức độ chi tiết cần thiết và trở nên không chính xác.

25

đổi dấu (giải thích “trên ngón tay”: tại $x \to 0$ các số hạng $-4x$ và $-2x \sin \frac{1}{x}$ có ​​xu hướng về 0 và do đó trở nên nhỏ tùy ý, trong khi số hạng $\cos \frac{1}{x}$ liên tục đổi dấu, chuyển từ +1 sang -1 và ngược lại).

Lý do cho tình huống không phù hợp này là vì trong bất kỳ lân cận nào của điểm 0 đều có vô số điểm tới hạn của hàm $f$ (xem Hình 1); đi qua chúng thì đạo hàm $f'$ đổi dấu.

Tất nhiên, “cụm” các điểm tới hạn như vậy không tồn tại nếu các hàm $f$ có số điểm tới hạn hữu hạn hoặc ít nhất là hữu hạn trên bất kỳ khoảng nào $[a; b]$ (ví dụ như các hàm $y = \sin x$). Trong trường hợp này, tại mỗi khoảng giữa các điểm tới hạn liền kề, đạo hàm $f'$ vẫn giữ nguyên dấu của nó (phát biểu này hiển nhiên về mặt hình học, nhưng không dễ chứng minh lắm).

Trong trường hợp một “cụm” các điểm tới hạn, vectơ của một điểm nhất định $x_0$ không thể nghiên cứu cực trị tại điểm này bằng dấu của đạo hàm.

Ví dụ 2. Ngoài ra còn có các hàm $f$ và $g$, khả vi trên $R$, sao cho điểm 0 là điểm cực đại của một trong số chúng và là điểm cực tiểu của hàm kia, nhưng tại tất cả các điểm trong một lân cận nhất định của điểm 0 thì đạo hàm $f'(x)$ và $g'(x)$ đều có cùng dấu.

Chúng tôi sẽ không đưa ra công thức rõ ràng cho các hàm được yêu cầu mà sẽ giới hạn ở đồ thị của chúng (Hình 2); Xin lưu ý rằng các ví dụ về hàm không nhất thiết phải được xây dựng “bằng ngôn ngữ của công thức”; chúng có thể được vẽ một cách đơn giản).

Phải làm gì trong trường hợp này? Không thể đưa ra lời khuyên chung chung. Nếu bạn nhận được gợi ý từ một hoặc một thông báo khác rằng điểm tương tự $x_0$ là điểm tối thiểu của hàm $f$, thì bạn có thể thử chứng minh bất đẳng thức $f(x) > f(x_0)$ cho tất cả $x$ từ một lân cận nào đó của điểm $x_0$ “bất cứ lúc nào”.

Trong ví dụ 1, điểm 0, xung quanh đó các điểm tới hạn được “tích lũy” cũng rất tới hạn. Tuy nhiên, điều này là không cần thiết.

Ví dụ 3. Trong mọi lân cận của điểm 0 có vô số điểm tới hạn của hàm số

$$f(x) = \begin{cases} x + x^2 \cos \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0, \end{cases}$$

tại điểm 0 là không quan trọng.

Kiểm tra xem

$$f'(x) = \begin{cases} 1 + \frac{2}{x} \sin \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x \neq 0, \\ + 2x \cos \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x = 0, \\ 1, & \text{ если } x = 0. \end{cases}$$

Vì trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm 0, đạo hàm $f'$ đổi dấu (tại sao?), nên nó trở thành 0 trong bất kỳ vùng lân cận nào *); nó giống nhau

*) Thật dễ dàng để chứng minh điều này trong hệ thống này bằng cách sử dụng các định lý từ đoạn 84 của sách “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10”.

Hình 2

Hình 3.

26

tuyên bố được đề cập trước ví dụ 2. Vì $f'(0) = 1$, điểm 0 không quan trọng (Hình 3).

Đạo hàm $f'$ từ ví dụ 3 gián đoạn tại điểm 0 (kiểm tra).

Bài tập

1. Chứng minh rằng nếu đạo hàm $f'$ của hàm $f$ không hợp lệ tại điểm $x_0$ và trong bất kỳ lân cận nào của điểm này có vô số điểm tới hạn của hàm $f$, thì bản thân điểm $x_0$ cũng tới hạn đối với $f$.
2. Chứng minh rằng các hàm
   $$f(x) = \begin{cases} x^2(2 + \sin \frac{1}{x}), & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0, \end{cases}$$
   $$g(x) = \begin{cases} x^2(-2 + \sin \frac{1}{x}), & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0. \end{cases}$$

hướng dẫn ánh sáng

Năm 1841, giáo sư vật lý người Thụy Sĩ Colladon đã chứng minh được một cấu trúc đáng chú ý - một đài phun nước phát sáng. Sự trưởng thành đẹp đẽ này dựa trên hiện tượng phản ánh nội tâm toàn diện.

Phản xạ nội toàn phần phát sinh khi ánh sáng truyền từ môi trường chiết quang hơn sang môi trường chiết quang kém hơn (chiết suất cung của môi trường thứ nhất lớn hơn chỉ số cung của môi trường thứ hai). Khi góc tới của chùm ánh sáng trên giao diện giữa hai môi trường trở nên lớn hơn góc được đề xuất, thì chùm tia không đi qua giao diện - nó bị phản xạ khỏi giao diện và “quay trở lại” môi trường đậm đặc hơn về mặt quang học. Nếu sau lần phản xạ đầu tiên, chùm tia lại chạm vào giao diện “môi trường quang đặc hơn - môi trường kém đặc hơn” ở một góc lớn hơn góc giới hạn, thì toàn bộ phản xạ bên trong sẽ bị ngưng tụ nhiều lần và sẽ không vượt ra ngoài môi trường đậm đặc hơn về mặt quang học - dòng ánh sáng sẽ truyền bên trong môi trường với tổn thất tương đối nhỏ do hấp thụ và tán xạ. Góc giới hạn phụ thuộc vào nguồn cung cấp phương tiện truyền thông tương đối. Ví dụ: đối với giao diện nước-không khí, góc này là $49^\circ$.

Bây giờ bạn có thể hiểu đài phun nước phát sáng “hoạt động” như thế nào. Một nguồn vô hình đối với người quan sát sẽ “gửi” các tia sáng tới lớp vảy bên trong. Vỏ đài phun nước được uốn cong để các tia này không vượt quá giới hạn của nó - mỗi khi các tia chạm vào ranh giới nước-không khí một góc $49^\circ$. Trường hợp vòi phun vỡ thành các tia riêng biệt thì điều kiện này bị vi phạm và các chi tiết bị vi phạm.

Đèn trang trí rất đẹp được làm từ thanh dẫn ánh sáng. Tuy nhiên, một trong những chiếc đèn này nằm ở trang đầu tiên trên trang bìa của chúng tôi.

T.P.

27

Nhiệm vụ

1. Trong một tam giác, chiều dài một cạnh là 6,31 m, chiều dài cạnh kia là 0,82 m. Chiều dài của tam giác là bao nhiêu nếu biết rằng nó được biểu thị bằng một số nguyên mét?

2. Có các chấm trên vòng tròn: 1977 màu trắng và một màu đỏ. Tất cả các đa giác có thể có đỉnh tại các điểm này đều được xem xét. Mức trung bình nào sẽ lớn hơn: có hoặc không có áo màu đỏ?

3. Cho $a$ là một số tùy ý có 1979 chữ số chia hết cho 9. Tổng các chữ số của số này được ký hiệu bằng chữ cái $A$. Tổng các chữ số của số $A$ được ký hiệu bằng chữ cái $B$. Tổng các chữ số của số $B$ là chữ cái $C$. Tìm số $C$.

4. Ở ô b8 của bàn cờ, +1 được viết bằng phấn, còn ở tất cả các ô khác là -1. Trong một thao tác, cần phải thay đổi tất cả các dấu hiệu thành các dấu ngược lại trên một (bất kỳ) chiều dọc hoặc trên một (bất kỳ) chiều ngang nào. Chứng minh rằng dù thực hiện bao nhiêu thao tác thì chúng ta cũng không bao giờ được +1 ở tất cả các ô trên bảng cùng một lúc.

5. Vấn đề là một trò đùa. Gà mái đẻ ba quả trứng trong ba ngày. Mười hai con gà sẽ đẻ bao nhiêu quả trứng trong mười hai ngày?

28

Động vật
trên… Độ phẳng

Ở lớp 5, trong giờ học toán, bạn bắt đầu học mặt phẳng tọa độ. Giáo viên mời các em sử dụng tọa độ của một điểm để tìm nó trên mặt phẳng, xác định tọa độ của điểm, xây dựng đồ thị của từng hàm số… Để làm cho các nhiệm vụ trở nên thú vị hơn, «Kvant» ba năm trước đã tổ chức một “cuộc thi nghệ sĩ”. Tọa độ của một số điểm được xác định trên mặt phẳng tọa độ. Các điểm lân cận được kết nối bằng các đoạn. Nếu tìm đúng các điểm thì kết quả sẽ là một loại hình vẽ nào đó: ví dụ: con voi, con chó, con mèo, con chuột, con sóc, con cáo Bắc Cực, con chim cánh cụt, con vịt con, con nai sừng tấm, con ngựa đang chạy, con cáo con, con hải cẩu (những bức vẽ này được học sinh trường cấp 5 ở Sredneuralsk, vùng Sverdlovsk, giáo viên toán - T. N. Sergeeva gửi đến biên tập viên). Hôm nay chúng tôi đề xuất “viết ra” những con vật này “theo tọa độ” và ngoài ra, hãy vẽ những bức tranh sau:

1. (3; 3), (0; 3), (−3; 2), (−5; 2), (−7; 4), (−8; 3), (−7; 1), (−8; −1), (−7; −2), (−5; 0), (−1; −2), (0; −4), (2; −4), (3; −2), (5; −2), (7; 0), (5; 2), (3; 3), (2; 4), (−3; 4), (−4; 2); mắt (5; 0).

2. (−9; 7), (−7; 8), (−6; 10), (−3; 10), (−1; 7), (8; 1), (15; −2), (13; −4), (6; 0), (4; −1), (3; −1), (1; −7), (−1; −7), (1; −6), (2; −1),

(0; −1), (−2; −7), (−4; −7), (−2; −6), (−1; −1), (−5; 2), (−6; 5), (−7; 6), (−9; 7); mắt (−5; 8).

3. (1; 7), (0; 10), (−1; 11), (−2; 10), (0; 7), (−2; 5), (−7; 3), (−8; 0), (−9; 1), (−9; 0), (−7; −2), (−2; −2), (−3; −1), (−4; −1), (−1; 3), (0; −2), (1; −2), (0; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 5), (2; 6), (1; 9), (0; 10); mắt (1; 6).

4. (−5; 1), (−6; 3), (−6; 6), (−3; 8), (−1; 10), (2; 11), (3; 10), (3; 9), (6; 10), (7; 9), (7; 7), (4; 4), (4; 1), (2; −1), (2; −4), (5; −4), (6; −7), (5; −8), (1; −10), (1; −12), (−4; −12), (−7; −9), (−7; −7), (−6; −6), (−4; −7), (−4; −5), (−6; −4), (−6; −2), (−4; −2), (−3; −1), (−5; 0), (−5; 1); mắt (−3; 4), (−2; 4), (−2,5; 3), (−3; 4).

5. (−9; 4), (−5; 4), (−3; 5), (−7; 7), (−8; 7), (−10; 8), (−9; 8), (−10; 10), (−8; 9), (−10; 11), (−8; 10), (−9; 12), (−7; 10), (−5; 9), (−2; 8), (−1; 5), (0; 5), (−1; 7), (−1; 8), (1; 10), (2; 10), (2; 9,5), (3; 9), (1; 9), (0; 8), (0; 7), (1; 4), (−1; 3), (−3; 2), (−6; 2), (−6; 3), (−9; 4); mắt (1,5; 9,5).

(Nhiệm vụ 1-5 được biên soạn bởi những người đến từ Sredneuralsk.)

6. (7; 0), (7; −1), (6,5; −2,5), (7; −5,5), (6; −6,5), (5; −6,5), (6; −5,5), (5; −2), (3,5; −0,5), (1; −1), (−2; −1), (−2; −2), (−3; −3), (−3; −5,5), (−4; 6,5), (−5; −6,5), (−4; −5,5), (−4; −2), (−5; 0); (−5; 2), (−7; 4), (−9,5; 4,5), (−10; 5,5), (−7,5; 5,5), (−7; 6), (−6; 6), (−5; 7), (−5; 6), (−3; 4), (−1; 3), (2; −2), (5; 3), (7; 2), (8; −2), (7; −3) và (5,5; −4,5), (5,5; −5,5), (4,5; −6,5), (4,5; −5,5), (5; −2) và (−2; −2), (−1,5; −5,5), (−2,5; −6,5), (−3,5; −6,5), (−2,5; −5,5), (−3; −3); mắt (−7; 5,5).

7. (2; 12), (2; 13), (3; 13.5), (4; 13.5), (5; 13), (3; 4), (8; 4), (6; 1), (3; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 11), (4; 12.5), (3.5; 12.5), (2; 11), (2; 12), (3; 12) và (3; 3), (4; 2), (6; 2); mắt (2,5; 12,5).

(Trong bài đọc đã cho và bảy độc giả của A. Naimov đến từ Tajikistan, các điểm được phân tách bằng liên từ “và” không cần phải nối với nhau.)
Bạn đã có được ai?

31

Theo quy luật, chúng ta đến từ khoảng cách xa hơn đáng kể (thường là từ khoảng cách nhìn thấy được là 25 cm), do đó, một chùm tia rất hẹp, có góc nghiêng xấp xỉ bằng nhau, ngay lập tức chiếu vào chúng ta. (Hãy tự kiểm tra xem đối với các tia đi tới tâm và các cạnh của nó, hệ phương trình tương tự như phương trình (1) - (3) sẽ nhất quán, nghĩa là phần kéo dài của tia khúc xạ sẽ cắt nhau tại một điểm.)

Như vậy, chúng ta có thể nhìn thấy các vật thể dưới nước do mắt chúng ta ngay lập tức giới hạn độ rộng của chùm sáng do ảnh tạo ra.

Bài toán 2. Dưới đáy bình chứa đầy nước có một tấm gương phẳng. Một người cúi xuống một chiếc bình, nhìn thấy ảnh của mắt mình trong gương ở khoảng cách $d = 25$ cm (Hình 2). Khoảng cách từ mắt đến mặt nước là $h = 5$ cm. Chiết suất của nước là $n = 4/3$. Xác định độ sâu $H$ của tàu.

Điều quan trọng nhất với lời giải bài toán loại này là việc xây dựng các tia một cách cẩn thận. Giả sử điểm $A$ là một điểm nào đó của mắt người. Để dựng ảnh của một điểm, bạn cần sử dụng ít nhất hai tia.

Hình 2.

Một tia thường được coi là tia vuông góc với mặt phân cách giữa các môi trường khác nhau—trong Hình 2 đây là tia $AB$. Nó đi qua mặt phân cách mà không bị khúc xạ và được phản chiếu từ gương mà không làm thay đổi góc nghiêng.

Tia thứ hai của khoảng trống sẽ là tia tùy ý $AC$. Tại mặt phân cách giữa không khí và nước (tại điểm $C$), nó sẽ bị khúc xạ, nó sẽ chạm tới gương, tại điểm $D$ nó sẽ bị phản xạ khỏi gương, sẽ bị khúc xạ lại tại mặt phân cách (tại điểm $E$) và sẽ được thả vào không khí theo hướng $EF$.

Tại giao điểm của sự tiếp nối của các tia $BA$ và $EF$ sẽ có hình ảnh $A'$ của điểm đã chọn $A$.

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện các phép tính. Vì kích thước đồng tử của mắt (chúng nhỏ hơn đáng kể so với khoảng cách $d$, $h$ và $H$), nên tất cả các góc của mắt mà chúng ta quan tâm và các tiếp tuyến của chúng đều có thể được thay thế bằng snuses hoặc chính các góc đó. (Lưu ý rằng trong Hình 2, để rõ ràng, tỷ lệ ngang tăng lên rất nhiều.) Như sau trong Hình 2,

$$|BC| = h \mathrm{tg} \alpha_1 = h \sin \alpha_1,$$
$$|CE| = 2H \mathrm{tg} \alpha_2 = 2H \mathrm{tg} \beta_1 = 2H \sin \beta_1/n,$$
$$d = h + |BA'| = h + |BE|/\mathrm{tg} \beta_3 = h + |BE|/\mathrm{tg} \alpha_1 = h + (|BC| + |CE|)/\sin \alpha_1 = 2h + 2H/n.$$

Từ đây

$$H = n (d/2 - h) = 10\text{ см.}$$

Bạn đã thấy rằng trong bài toán này, mắt vừa là nguồn bức xạ ánh sáng vừa là nơi tiếp nhận nó. Các tình huống tương tự có thể xảy ra khi xét các hệ quang học chứa gương phẳng hoặc gương cầu.

---

Một lớp đặc biệt và rất chung là bài toán, liên quan đến việc điều chỉnh các khuyết tật về mắt với sự trợ giúp của kính. Như đã biết, mắt người có khả năng điều tiết, tức là “thích nghi” với tầm nhìn sắc nét của các vật thể nằm ở những khoảng cách khác nhau với nó. Do những nguyên tắc nhất định, việc xác định acc-