Kvant 1979, số 12 · Trang

KEANM
12
1979
Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Hình trên trang bìa này bao gồm năm-ko-
những ngôi sao vĩnh cửu. Về cách làm một ngôi sao năm cánh
kulum và một cây thước, nói trên trang. 48.

1

TRONG PHÒNG:

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belyaev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
N. A. Patrikeeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

TRONG PHÒNG:

Công trình khoa học đầu tiên của Maxwell
M. Tsalenko. Truy xuất thông tin kết hợp bài toán
Vâng. Smorodinsky. Các hành tinh chuyển động theo hình elip
Sách vấn đề «Kvant»
M596—M600; F608—F612
Lời giải bài toán M540—M544; F553—F557
«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
O. Ore. Số nguyên tố Fermat
Xưởng của người nộp đơn
V. Ivanov. Biến đổi phương trình lượng giác lời giải
Nghệ thuật lập trình
L. Vilenkina, G. Zvenitsgorodsky. IV Trường hè toàn Liên minh dành cho lập trình viên trẻ
Hỏi - chúng tôi trả lời
Đánh giá, thư mục
I. Klumova, M. Smolyansky. Sách mới
Thông tin
I. Slobodetsky. Olympic thể chất quốc tế lần thứ XI dành cho học sinh
V. Mitsin, A. Savin. Olympic Toán Quốc tế dành cho học sinh lần thứ XXI
L. Sadovsky. 10 năm FMS MIIT
G. Myakitsev. Bách khoa toàn thư về thế giới vi mô
A. Krivoruchko, M. Nemtsentser. Thế vận hội Olympic ở Omsk
J.Rabb. Tuyển sinh mới vào Trường Toán Báo chí Toàn Liên minh
I. Sereev. Một kỹ thuật mới cho các cơ chế nhỏ
Xuất bản năm 1979

Làm thế nào để có được khối đa diện đẹp như ở bìa trước. Anh ấy sẽ nhìn…
trên trang bìa thứ tư.

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản “Nuka”, «Kvant», 1979

2

Công trình khoa học đầu tiên của Maxwell

Ngày 5 tháng 11 năm 1979 đánh dấu 100 năm ngày mất của nhà khoa học vĩ đại người Anh James Clerk Maxwell. Giải pháp về bản chất của các vành đai Sao Thổ, lý thuyết về tầm nhìn màu sắc, quy luật phân bố các phân tử khí theo tốc độ và trên hết là lý thuyết điện từ hiện đã được đưa vào kho tàng khoa học thế giới. Tên của Maxwell, như Max Planck đã nói, “tỏa sáng trên cánh cổng vật lý cổ điển”.

Đối với giới trẻ, những công trình đầu tay của các nhà khoa học lớn được đặc biệt quan tâm. Và không phải vì những tác phẩm này đơn giản và dễ hiểu hơn những khám phá cơ bản đã mang lại danh tiếng cho tác giả của chúng. Nhưng vì họ dạy về công việc, sự sáng tạo và bộc lộ vẻ đẹp của kiến ​​thức khoa học. Bản thân Maxwell đã lưu ý rằng “khoa học chỉ quyến rũ chúng ta khi quan tâm đến cuộc sống của các nhà nghiên cứu vĩ đại, chúng ta bắt đầu theo dõi lịch sử phát triển những khám phá của họ”.

Maxwell hoàn thành công trình khoa học đầu tiên của mình khi mới mười bốn tuổi. Những người viết tiểu sử của Maxwell mô tả sự kiện này như sau. Sau cái chết sớm của mẹ anh (bà mất khi James mới 8 tuổi), con trai anh được nuôi dưỡng bởi cha mình, một người đàn ông có học thức sâu rộng, bản thân đam mê các vấn đề khoa học kỹ thuật. James bắt đầu quan tâm đến công nghệ từ rất sớm và phát triển các kỹ năng thực tế. Ở một mức độ lớn, điều này được tạo điều kiện thuận lợi bởi những lời hứa liên tục với cha tôi, việc đọc sách và tất nhiên, những trò chơi dành cho trẻ em và những trò chơi “khoa học” đầu tiên. Cho đến năm mười tuổi, James sống ở làng và đây là khoảng thời gian hạnh phúc đối với anh. Sau đó anh báo cáo đến Edinburgh, tới một ngôi trường tên là học viện.

Lúc đầu, James cảm thấy không khỏe ở học viện. Anh ngay lập tức tràn ngập sự vắng mặt của các bạn cùng lớp, những người mà anh coi là một chàng trai làng quê giản dị. James đến học viện vào giữa năm học; trong cách ăn mặc và cách cư xử, anh ấy rất khác so với các bạn cùng lứa tuổi, anh ấy là người khó gần và lúc đầu anh ấy không tỏa sáng trong lĩnh vực khoa học. Anh ấy thậm chí còn tạo ra một tác phẩm của những kẻ ngốc nghếch. Cậu bé nhớ nhà, nhớ cha và nhớ cuộc sống sôi động ở làng quê. Nhưng rồi James đã khiến các bạn cùng lớp ngạc nhiên. Anh bắt đầu quan tâm đến hình học và trở thành học sinh đầu tiên học toán ở trường. Năm 14 tuổi, anh đã được tặng thưởng huy chương vì thành tích xuất sắc.

3

Để mô tả hình bầu dục và đường cong hình bầu dục đa tiêu điểm

(với nhận xét của Giáo sư Forbes)

Ông Clerk Maxwell đề xuất một cách ngấm ngầm mở rộng lý thuyết tổng quát về tiêu điểm của đường cô-níc sang những đường cong phức tạp hơn như sau:

(1) Bằng cách tương tự với hình elip và hyperbol, trong đó tổng và hiệu khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường cong đến hai điểm gọi là tiêu điểm là không đổi, tác giả đi đến kết luận rằng bộ máy hình học ở một mức độ nào đó tương tự như bộ máy trước đó. Hơn nữa, Maxwell thực sự đã đề xuất một phương pháp mới mà trước đây các nhà toán học chưa biết đến.

Giá trị của phương pháp này hóa ra lớn hơn một trong những lời giải bài toán eturok cổ xưa có thể có. Thật vậy, các cấu trúc hình học của chàng trai trẻ Maxwell tiết lộ cho chúng ta những đặc tính quang học đáng kinh ngạc của hình bầu dục và giới thiệu cho chúng ta vòng tròn của quang học hình học bài toán thú vị nhất mà nhiều nhà khoa học xuất sắc đã nghiên cứu.

Giáo sư Forbes, người bảo trợ các tài năng trẻ, đã báo cáo về nghiên cứu của Maxwell tại cuộc họp của Hiệp hội Hoàng gia Edinburgh vào ngày 6 tháng 4 năm 1846.

Bản dịch phần trình bày của tài liệu này, được xuất bản trong Kỷ yếu của Hội, được đăng dưới đây.

Dịch thuật, chuẩn bị xuất bản và chuẩn bị ghi chú của A. Mitrofanov

4

Hình 1.

bao gồm ba chốt cố định trở lên và giới hạn một điểm chuyển động $P$, khi di chuyển sẽ vẽ đường cong mong muốn. Xem Hình 3. Hơn nữa, tác giả coi các đường cong có hai tiêu điểm là trường hợp đặc biệt của lớp đường cong có nhiều tiêu điểm, trong đó hai hoặc nhiều tiêu điểm trùng nhau; thủ thuật trong đó hai luồng gặp nhau được coi là tiêu điểm kép, nếu ba luồng gặp nhau thì đó là tiêu điểm ba, v.v.

Giáo sư Forbes lưu ý rằng phương trình của một đường cong có hai tiêu điểm có thể dễ dàng rút gọn về dạng

$$\sqrt{x^2 + y^2} = a + b\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

tức là giống như các họ đường cong được gọi là hình bầu dục Descartes loại một *). Ông Maxwell

*) Hình bầu dục theo nghĩa rộng nhất của từ này là những đường cong phẳng hình quả trứng: bản thân thuật ngữ “hình bầu dục” bắt nguồn từ từ “ovum” trong tiếng Latin (trứng). Hình bầu dục Descartes thuộc loại thứ nhất và thứ hai là một số loại hình bầu dục nhất định (xem «Kvant», 1977, Số 6, trang 43).

Hình 2.

nhận thấy rằng khi một trong các tiêu điểm ở vô cực (hoặc khi sợi dây, khi dựng một đường cong, di chuyển gần như song song với chính nó và chỉ bị giới hạn bởi kích thước tối đa của bàn), một đường cong tương tự như một hình elip được vẽ - một thực tế khiến Giáo sư Forbes đi đến kết luận rằng hình bầu dục được xây dựng giống hệt với hình bầu dục Descartes, vì hình bầu dục sau, như đã biết, có cùng một tính chất. Nhưng đối tượng rõ ràng nhất là đồng nhất với nguyên tắc xây dựng, tức là từ sự bình đẳng

$$mr + nr' = const$$

(r và $r'$ là khoảng cách từ một điểm tùy ý của đường cong đến tiêu điểm), trên thực tế thể hiện rõ tính chất quang học của các bề mặt đang xét *), xuất phát từ lý thuyết sóng, cụ thể là: ánh sáng phát ra từ một tiêu điểm nằm trong không gian tự do truyền đi chính xác trong tiêu điểm nằm trong môi trường và tỷ lệ $\frac{n}{m}$ bằng chiết suất của môi trường.

Chúng ta hãy gọi mức độ (hoặc thứ tự) của một tiêu điểm là số đoạn sợi chỉ vừa với một chốt cố định tại tiêu điểm này để dựng một đường cong theo sơ đồ Maxwell. Nếu một trong hai tiêu điểm ở vô cực và nếu độ của các tiêu điểm bằng nhau thì đường cong được xây dựng là một parabol; nếu mức độ là hữu hạn_

*) Tức là các bề mặt của vật thể là những hình bầu dục quay tròn.

5

Nếu tiêu điểm lớn hơn tiêu điểm vô hạn thì đường cong là hình elip; nếu mức tiêu điểm được loại bỏ đến vô cực lớn thì đường cong là một hyperbol. Rõ ràng, trường hợp thứ nhất tương ứng với sự phản xạ của các tia song song vào tiêu điểm, khi tốc độ ánh sáng không thay đổi khi phản xạ từ bề mặt; trường hợp thứ hai là sự khúc xạ của các tia song song vào tiêu điểm của vật thể có chiết quang lớn hơn không gian xung quanh; thứ ba là sự khúc xạ của một chùm tia song song vào một môi trường kém chiết quang hơn.

Descartes đã mô tả các hình bầu dục của ông trong Hình học, đồng thời đề xuất một phương pháp xây dựng chúng, nhưng chỉ trong một phần trường hợp, và phương pháp của ông hóa ra lại kém đơn giản hơn phương pháp của ông Maxwell. Một minh họa về tính chất quang học của hình bầu dục được Newton đưa ra bằng cách sử dụng các hàm sin và bởi Huygens (trong Chuyên luận về ánh sáng của ông). Nhưng hầu như không ai nghi ngờ rằng có một cách dễ dàng và thanh lịch như vậy để xây dựng các hình bầu dục bằng cách sử dụng ghim và chỉ trong mọi trường hợp khi đo thứ tự của các thủ thuật. Ví dụ, trong Hình 2

Một đường cong có tiêu điểm bậc hai và bậc ba xác định hình dạng mặt cắt ngang của bề mặt của một vật thể xếp chồng lên nhau có chiết suất 1,5, thích hợp cho các tia phát ra từ điểm f hội tụ tại điểm F.

Đối với các đường cong phức tạp có ba tiêu điểm trở lên, ngày nay chúng ta không thể giải thích vật lý rõ ràng cho chúng, nhưng phương pháp xây dựng đường cong thỏa mãn phương trình này

$$mr + nr' + pr'' + \dots = const,$$

do tính đơn giản của nó nên nó được quan tâm độc lập. Và nếu, theo ông Maxwell, chúng ta coi các hình bầu dục của Descartes là trường hợp giới hạn của các đường cong hình bầu dục với nhiều tiêu điểm, thì chúng ta có một cách khái quát hóa sâu hơn cùng loại như của Montiocles *, người đã đề xuất coi mặt cắt hữu hạn là một trường hợp đặc biệt của các hình bầu dục của Descartes.

*) Jean-Etienne Montucla là một nhà khoa học, thợ cơ khí người Pháp thế kỷ 18 và là tác giả của bộ sách nhiều tập “Lịch sử của các khoa học chính xác”.

Hãy xây dựng một hình bầu dục

Đối với những người quan tâm đến công việc của J. Maxwell (trang 3), chúng tôi trình bày ở đây một số bài toán hình học để xây dựng các hình bầu dục bằng nhiều phương tiện kỹ thuật khác nhau. Để thực hiện các bức vẽ, ngoài bút chì, la bàn và thước kẻ, bạn sẽ cần một tấm bảng phẳng, ghim hoặc đinh mỏng, một sợi chỉ dày và một thanh kim loại dài mỏng (bạn có thể sử dụng một đoạn dây cứng thẳng) có một chiếc vòng trượt tự do dọc theo nó. Và đối với lời giải bài toán - sự khéo léo! (Tuy nhiên, những người đam mê vẽ thiếu kiên nhẫn có thể xem lời giải ở trang 63.)

Để khởi động, hãy bắt đầu bằng cách lặp lại các cách xây dựng của Maxwell: gắn một tờ giấy vẽ vào bảng bằng đinh bấm, cắm hai chiếc ghim vào đó và quấn sợi chỉ như trong Hình 2 trên trang. 4, và vẽ hình bầu dục Descartes loại thứ nhất m:n = 2:3. (Nếu sợi chỉ của bạn tuột khỏi bút chì, chúng tôi khuyên bạn nên tạo một lỗ tròn ở đầu sợi để sợi chỉ không bị tuột ra ngoài.)

Bài 1. Nêu cách dựng điểm nằm trên hình bầu dục Descartes loại 1 chỉ dùng compa và thước. Kiểm tra nó bằng thực nghiệm bằng cách xây dựng một số điểm theo hướng Maxwell của hình bầu dục Descartes loại 2:3.

Bài 2. Hãy chỉ ra cách vẽ tiết diện của một thấu kính phẳng-lồi (xem hình) có độ dày d (dọc theo trục), lấy tiêu điểm nguồn điểm A (nằm dọc theo trục cách mặt lồi một khoảng l₁) đến điểm B (cách mặt phẳng một khoảng l₂), nếu chiết suất của vật liệu chế tạo thấu kính là 1,5 hoặc 2. (Ở đây, ngoài sợi dây và chốt, bạn thanh có vòng sẽ hãy sẵn sàng!)

A. Mitrofanov

6

M. Tsalenko

Truy xuất thông tin kết hợp bài toán

Cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay đang diễn ra ở các nước công nghiệp phát triển có liên quan mật thiết đến sự xuất hiện và phát triển của máy tính điện tử (máy tính). Máy tính hiện đại có thể thực hiện hàng triệu phép tính số học mỗi giây. Tuy nhiên, máy tính cũng đang xâm chiếm các lĩnh vực hoạt động của con người, nơi không có những phép tính lớn và phức tạp và khác xa với toán học. Khoa học thư viện cung cấp một ví dụ mang tính hướng dẫn. Hiện tại, người ta đã giải thích được tại sao máy tính bắt đầu được sử dụng rộng rãi trong thư viện và những điều thú vị cũng như khó khăn về toán học. bài toán phát sinh cùng một lúc.

1. Truy xuất thông tin là gì?

Các thư viện lớn hiện đại chứa hàng triệu cuốn sách, tạp chí, báo và các tài liệu in khác. Để không bị nhầm lẫn trong bộ sưu tập tài liệu khổng lồ này, nhân viên thư viện tạo ra một hệ thống tham khảo từ các danh mục có thẻ chú thích.

Telery tưởng tượng một độc giả đến thư viện để đọc một cuốn sách nổi tiếng nào đó về các phương trình lời giải trong căn thức. Anh ta có thể biết rằng nhiều nhà toán học đã nghiên cứu bài toán khó này và lời giải của nó gắn liền với tên của Abel và Galois, nhưng trình độ toán học của anh ta không đủ để đọc các bài toán đặc biệt.

7

văn học. Do đó, sự xuất hiện của độc giả của chúng tôi trong thư viện dẫn đến cái gọi là yêu cầu thông tin: “TÌM TÀI LIỆU PHỔ BIẾN VỀ GIẢI PHƯƠNG PHÁP TRONG RADICALAX,” và trước khi người đọc thỏa mãn trí tò mò của mình, anh ta phải quyết định bài toán tìm kiếm thông tin: trong số tất cả những cuốn sách được lưu trữ trong thư viện, hãy tìm cuốn sách khiến anh ta hài lòng nhất. Đây là lúc hệ thống danh mục phát huy tác dụng. Trong danh mục chuyên đề, anh ta sẽ tìm thấy một phần chứa danh sách các sách về toán học và bên trong nó - một phần chứa danh sách các sách về đại số. Và trong số các thẻ danh mục của phần này, bạn cần chọn những thẻ chỉ ra tài liệu mà bạn đang tìm kiếm.

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện một số phép tính đơn giản. Giả sử rằng bạn chỉ mất trung bình 20 giây để làm quen với thẻ. Điều này có nghĩa là đầu đọc hoạt động rất nhanh: ước tính mất khoảng 10 giây để thực hiện một phép tính số học. Nếu người đọc phải xem qua 200 tấm thẻ, anh ta sẽ dành khoảng 67 phút chỉ để chọn lọc tài liệu mà mình quan tâm. Sự luân chuyển này là một phần không tự nguyện của quá trình tìm kiếm thông tin chung mà độc giả quan tâm. Bản thân quá trình này được gọi là truy xuất thông tin; Tính toán cho thấy khi tìm kiếm thông tin bằng danh mục, một phần thời gian đáng kể được sử dụng không hiệu quả. Vì độc giả của các thư viện lớn nhất ghé thăm hàng trăm thành phố trong một ngày và yêu cầu thông tin của họ có thể phức tạp hơn trong ví dụ trên, thời gian không tự nguyện dành cho việc tìm kiếm thông tin được biểu thị bằng hàng trăm và hàng nghìn giờ.

Để minh họa sự phức tạp của việc truy xuất thông tin, chúng ta hãy đưa ra một con số nữa. Hiện nay có hơn 750 tạp chí và tạp chí định kỳ khác trên khắp thế giới chỉ chuyên viết về công nghệ máy tính. Điều này có nghĩa là trong năm có mười nghìn bài báo được xuất bản bằng nhiều ngôn ngữ khác nhau, chiếm hàng trăm nghìn trang in, chỉ liên quan đến một lĩnh vực hoạt động của con người. Tuy nhiên, lĩnh vực này phù hợp với các chuyên gia thuộc nhiều chuyên ngành khác nhau: kỹ sư, nhà vật lý, nhà hóa học, nhà toán học, nhà xã hội học, nhà triết học và nhiều người khác. Rất khó để hiểu được dòng chảy văn học ngày càng tăng, tìm kiếm những thông tin cần thiết, sử dụng nó trong công việc của bạn và không lặp lại công việc đã hoàn thành. Hệ thống danh mục hóa ra là không đủ và các viện thông tin đặc biệt đang được thành lập ở nhiều nước trên thế giới.

2. Máy tính và truy xuất thông tin

Một tính năng đáng chú ý của máy tính là khả năng “đọc” và so sánh các từ để xác định xem chúng giống hay khác nhau. Thực tế là để viết bất kỳ từ nào trong tiếng Nga, bạn chỉ cần tạo thành 33 chữ cái. Mặt khác, máy tính có thể dễ dàng nhận ra chuỗi số 1 và số 0. Chúng ta hãy xem xét, như thông lệ trong nhiều máy tính hiện đại, tất cả các chuỗi số 1 và số 0 có cùng số lượng số hạng trong tất cả chúng. Ví dụ: điều này cũng sẽ bao gồm các trình tự:

00000000, 01010101, 11110000
(để ngắn gọn, không đặt dấu phẩy giữa các thành viên của chuỗi).

Vì mỗi dãy có chính xác tám số hạng và bất kỳ số hạng nào cũng bằng 0 hoặc một, nên tổng số dãy được xem xét là 2⁸=256. Chúng ta thống nhất viết cùng nhau các chữ cái đầu tiên a, b, c, 2, d, e của bảng chữ cái tiếng Nga theo trình tự:

10000000, 11000000, 11100000, 11110000, 10100000, 10010000

Chúng tôi nhấn mạnh rằng chúng tôi coi mỗi chuỗi là một chứ không phải tám ký tự. Giờ đây, với sự trợ giúp của các ký hiệu mới, bạn có thể viết các từ theo cách mà chúng có thể được

8

“nhận dạng” máy tính. Ví dụ, từ
vấn đề sẽ như thế này:
1100000 10010000 10100000 10000000

Tất nhiên, phương pháp ghi này bất tiện cho con người nhưng nó cho phép máy tính “đọc”. Đồng thời, máy có thể đọc văn bản bằng nhiều ngôn ngữ, vì nó có thể ghi nhớ 256 chuỗi không chỉ các chữ cái tiếng Nga mà còn cả các số, chữ cái Latinh và nhiều ký tự đặc biệt, chẳng hạn như ký hiệu số học.

Sau khi dạy một người đọc, một chiếc máy ngay lập tức vượt qua anh ta về tốc độ đọc: nếu một người cần 67 phút để đọc 200 thẻ mục lục, thì máy tính sẽ xử lý công việc này trong vài giây. Khi đọc, máy có thể so sánh hai văn bản, xác định sự hiện diện của các từ hoặc cách diễn đạt phổ biến trong đó, xác định nghĩa của từng từ riêng lẻ, v.v.

Tuy nhiên, các ngôn ngữ tự nhiên (tiếng Nga, tiếng Anh, tiếng Đức hay bất kỳ ngôn ngữ nào khác) rất khó để máy “hiểu” được: mọi suy nghĩ trong đó đều có thể được diễn đạt bằng nhiều cách. Vì vậy, ngôn ngữ học đang phát triển các ngôn ngữ nhân tạo, được gọi là ngôn ngữ tìm kiếm thông tin, không có nhược điểm này.

Phần chính của thông tin của các ngôn ngữ tìm kiếm là tập hợp các khái niệm, thuật ngữ, cụm từ được sử dụng liên tục trong một lĩnh vực chủ đề cụ thể - trong toán học, hóa học, sinh học, v.v. Khi biên soạn phần tóm tắt của một cuốn sách hoặc phần tóm tắt của một bài báo khoa học, có thể cùng với ngôn ngữ tự nhiên được đề xuất để đưa ra danh sách các thuật ngữ phản ánh rõ nhất nội dung của cuốn sách hoặc bài báo. Điều tương tự có thể được thực hiện với các yêu cầu thông tin từ độc giả. Ví dụ, trong loạt bài “Bài giảng phổ biến về toán học”, một tập tài liệu “Phương trình đại số ở cấp độ cao hơn” của A. G. Kurosh đã được xuất bản. Tóm tắt của nó có thể được viết như sau:

Số phức, lời giải tính theo bán kính của phương trình bậc hai và bậc ba, định lý Abe

về tính không giải được bán kính của phương trình tổng quát của đường thẳng, xấp xỉ, tính nghiệm, nhóm, cọc, trường.

Bản tóm tắt bài viết của B. N. Delaunay “Đại số (lý thuyết về phương trình đại số)”, được đặt trong tập đầu tiên của tác phẩm tổng hợp ba tập “Matematika, nội dung, phương pháp và ý nghĩa của nó”, có thể trông như thế này:

Lời giải trong các bán kính của phương trình bia dưới, công thức Cardnot, định lý Abey về tính không giải được trong bán kính của phương trình tổng quát của bia thẳng, định lý Galois, vị trí các nghiệm của phương trình trên mặt phẳng phức, định lý cơ bản của đại số, phép tính gần đúng, tính nghiệm.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ đến độc giả muốn nhận tài liệu về các phương trình lời giải theo bán kính. Yêu cầu của ông có thể được mô tả như sau:

Lời giải trong các bán kính của phương trình cấp dưới, Định lý Abey về tính không giải được trong bán kính của phương trình tổng quát của cấp thẳng.

So sánh truy vấn với hai chú thích trên cho thấy hầu hết tất cả các cụm từ gặp trong đó đều được đưa vào chú thích. Do đó, với khả năng cao có thể cho rằng tập tài liệu của A. G. Kurosh và các bài báo của B. N. Delaunay chứa đựng những thông tin khiến người đọc quan tâm.

Bây giờ đã rõ phần nào của việc tìm kiếm thông tin có thể được chuyển sang máy tính: máy phải kiểm tra xem các thuật ngữ và cụm từ của truy vấn có chứa trong chú thích của một cuốn sách hoặc bài báo được lưu trữ trong thư viện hay không. Các thuật ngữ, khái niệm, cụm từ trong tìm kiếm thông tin được gọi là từ khóa.

3. Máy tính phải được sử dụng hiệu quả

Bây giờ chúng ta hãy xem xét kỹ hơn việc thực hiện các thao tác trên máy tính. Mỗi máy tính hiện đại đều có bốn chương

9

thành phần duy nhất: bộ xử lý trung tâm, RAM, bộ nhớ ngoài và thiết bị vào/ra. Bộ xử lý trung tâm điều khiển hoạt động của toàn bộ hệ thống và các phép tính số học và logic được thực hiện trong đó và một thao tác duy nhất mất một phần triệu giây. Dữ liệu (số, từ) mà bộ xử lý hoạt động được đặt trong RAM. Nó có khối lượng tương đối nhỏ vì giá thành của nó rất cao.

Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng việc viết một ký tự đơn (chữ cái, số, thuật toán ký hiệu đặc biệt) yêu cầu một chuỗi gồm tám chữ cái và số không. Trong RAM của những máy tính hoàn hảo, thường có thể ghi được 256.000 hoặc 512.000 chuỗi hoặc ký tự như vậy. Nó nhiều hay ít? Như thực tế cho thấy, một thẻ thư mục cùng với chú thích chứa 1000-1500 ký tự. Vì vậy, tối đa khoảng 500 thẻ có thể được lưu trữ trong RAM. Rõ ràng là con số này rất ít.

Các thẻ còn lại được đặt trong bộ nhớ ngoài, dung lượng của nó lớn hơn dung lượng RAM hàng trăm lần. Tuy nhiên, quá trình truyền dữ liệu mất nhiều thời gian hơn hàng nghìn lần so với công việc của bộ xử lý trung tâm, bộ xử lý trung tâm đã không thành công trong quá trình truyền dữ liệu đến thiếu niên. Rõ ràng là việc truyền dữ liệu không liên quan trực tiếp đến việc tiêu thụ thông tin và là một sự lãng phí thời gian không thể xác định được. Do đó, bài toán nảy sinh về việc giảm số lượng truy cập vào bộ nhớ ngoài. Có nhiều cách tiếp cận khác nhau đối với lời giải của nó. Tuy nhiên, từ chúng dẫn đến phép toán đỏ và khó bài toán, sẽ được thảo luận ở phần kết luận.

4. Làm sao để giảm “sức nặng” của nhiều từ?

Đặt $A$ là một tập hợp các phần tử $n$. Các phần tử sẽ được biểu thị bằng các chữ cái Latinh nhỏ $a, b, c, \dots$. Chúng ta sẽ gọi một tập hợp con tùy ý gồm các phần tử từ $A$ là một “từ” và cùng với ký hiệu truyền thống $\{a, b, c, d\}$, chúng ta sẽ viết một $abcd$ đơn giản; được đặt, với thành công như nhau, bạn có thể viết $bdac$ hoặc $dcab$, v.v. Một từ không có chữ cái, tức là một từ trống, sẽ không được xem xét. Vì vậy chỉ có $2^n - 1$ từ.

Để kết nối với những cân nhắc trước đó, chúng tôi chỉ ra rằng chúng tôi đã bắt đầu sử dụng các chữ cái để biểu thị các từ khóa của ngôn ngữ tiếng Nhật thông tin, tức là các thuật ngữ, khái niệm, cụm từ. Số lượng của chúng có thể rất lớn, chẳng hạn như khoảng 10.000. Tập hợp từ khóa có thể là một bản tóm tắt hoặc một yêu cầu thông tin.

Giả sử rằng một tập hợp từ $M$ nhất định nằm trong bộ nhớ ngoài $EBM$ và cần tìm tất cả các từ từ $M$ trong đó xuất hiện các chữ cái $a, b$ và $c$. Để đối phó với nhiệm vụ này, bạn cần phải “đọc” từng từ một từ $M$, sau khi sao chép chúng vào RAM trước. Nếu $M$ không xác định thì toàn bộ tập hợp $M$ có thể được di chuyển đến đó cùng một lúc. Trong trường hợp chung, chuyển động như vậy được thực hiện theo từng phần, kích thước của nó được xác định trước. Do đó, số lượng cuộc gọi có kích thước $M$ và kích thước của phần được truyền. Con số này có thể giảm đi nếu các từ có chữ cái $a, b$ và $c$ được viết riêng khi đặt các từ vào bộ nhớ ngoài. Tuy nhiên, đối với bài toán: tìm tất cả các từ có chữ cái $b, c$ và $d$ - việc tiếp tục là vô ích.

Tuy nhiên, việc sắp xếp trước các từ khi ghi chúng vào bộ nhớ ngoài hóa ra lại hữu ích nếu bạn không chỉ nghĩ đến một truy vấn mà là tất cả các truy vấn có thể có. Chúng tôi sẽ chia khối lượng của bộ $M$ thành các phần và đặt từng phần vào một phong bì riêng, và trên phong bì chúng tôi sẽ liệt kê tất cả các chữ cái được tìm thấy ở các vị trí trong các từ trong phong bì. Bây giờ, khi tìm kiếm các từ có các chữ cái $a, b$ và $c$, các phong bì chứa các chữ cái này bắt đầu được tra cứu và sau đó các từ trong các phong bì này được đọc. Các từ trên phong bì phải được đặt sao cho tổng số phong bì “đã mở” trong

10

trong số tất cả các truy vấn có thể hóa ra lại là ví dụ đơn giản nhất. Giả sử tập hợp $M$ chỉ bao gồm ba từ $ab, ac$ và $bc$ và các truy vấn chúng ta sẽ thực hiện phải là các tập hợp con không trống của tập hợp $\{a, b, c\}$. thì tổng số yêu cầu là bảy. Đầu tiên chúng ta hãy đặt mỗi từ vào một phong bì riêng. Sau đó, phong bì có chữ $ab$ sẽ mở ra ba lần: khi tìm kiếm từ $a$, từ $c$ và từ $a$ và $b$. Vì tất cả các phong bì đều bằng nhau nên tổng số được mở là 9. Bây giờ, hãy đặt các từ $ab$ và $ac$ vào một phong bì và từ $bc$ vào phong bì kia. Trong trường hợp này, phong bì thứ nhất được mở bảy lần, phong bì thứ hai vẫn được mở ba lần và tổng số lần mở là 10.

Cuối cùng, hãy bỏ tất cả các từ vào một phong bì. Khi đó tổng số được mở là 7: với mỗi yêu cầu bạn cần mở một phong bì và có tổng cộng 7 yêu cầu. Vì vậy, trong ví dụ của chúng tôi, tốt nhất nên giữ $M$ trong một phong bì. (Kết quả có thay đổi không nếu các từ $a$ và $abc$ được thêm vào $M$ hoặc các từ $bc$ bị xóa khỏi $M$?)

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng xem xét tổng quát bài toán. Đặt $M$ là một tập hợp các từ tùy ý. Số $k$ của các chữ cái khác nhau xuất hiện trong các từ từ $M$ được gọi là mức đặt $M$ và được ký hiệu là $l(M)$. Ví dụ, nếu

$$M = \{abc, bcd, cde, dea, eab\},$$

(1) thì cấp $M$ bằng 5.

Trọng lượng của bộ $M$ là số $2^l(M) - 1$. Trong ví dụ trên, tất cả $M$ bằng 31. Rõ ràng, tất cả $M$ bằng số từ có thể được tạo thành từ các chữ cái $l(M)$.

Vấn đề nảy sinh khi cố gắng giảm số lượng truy cập vào bộ nhớ ngoài của máy tính có thể được hình thành như sau: đối với bất kỳ tập hợp từ $M$ nào, chỉ định phương pháp phân vùng nó thành các tập hợp con rời rạc $S_1, S_2, \dots, S_k$ sao cho tổng của các trọng số

$$P = (2^l(S_1) - 1) + \dots + (2^l(S_k) - 1) = \sum_{i=1}^{k} (2^l(S_i) - 1)$$

là nhỏ nhất.

11

các trường hợp khác nhau của cùng một khối tối thiểu. Trong tương lai, những khối như vậy sẽ có quyền bình đẳng đối với chúng tôi.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh một trong những định lý đưa ra ý tưởng về cấu trúc của các khối tối thiểu.

Định lý. Các khối tối thiểu cấp 5, bao gồm các từ có ba chữ cái, được giới hạn trong danh sách sau, tối đa thay thế chữ cái:

$$S_1 = \{abc, bcd, cde, dea, eab\};$$
$$S_2 = \{abc, abd, abe, acd, ace, ade\};$$
$$S_3 = \{abc, abd, abe, acd, ace, bde\}.$$

Bằng chứng. Mỗi từ gồm ba chữ cái có trọng số $2^3 - 1 = 7$. Tất cả tập hợp bất kỳ ở cấp 5 đều bằng 31. Do đó, bất kỳ khối nào ở cấp 5 đều chứa ít nhất năm từ: nếu không thì tổng trọng số của từng từ sẽ nhỏ hơn 31.

Hơn nữa, trong bất kỳ khối cấp 5 nào, mỗi chữ cái phải xuất hiện ít nhất ba lần. Trên thực tế, chữ trống $a$ xuất hiện ít hơn ba lần. thì tất cả các tập hợp từ không chứa $a$ không vượt quá 15 và tổng trọng số của các từ $a$ không vượt quá 14. Điều này có nghĩa là tổng trọng số nhỏ hơn 29, điều này mâu thuẫn với định nghĩa của một khối.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét hai trường hợp.

Trường hợp 1. Khối tối thiểu $S$ chứa năm từ. Vì số lượng tất cả các chữ cái trong $S$ là 15 nên theo nhận xét trước đó, mỗi chữ cái xuất hiện đúng ba lần. Để dễ dàng tính toán, chúng tôi xin giới thiệu một bảng trao đổi hình vuông $5 \times 5$, trong cột đầu tiên sẽ viết chữ cái $a$, trong cột thứ hai - $b$, v.v. (xem bảng 1a-1b).

Giả sử rằng một cặp chữ cái nhất định, chẳng hạn như $a$ và $b$, chỉ xuất hiện một lần. Sau đó nảy sinh tình huống được mô tả trong bảng 1a. Chúng ta hãy biểu thị bằng $c$ chữ cái có trong từ đầu tiên. Chữ cái này phải gặp $a$ và $b$ một lần nữa: nếu nó gặp $a$ hai lần nữa thì hai hàng cuối cùng của bảng sẽ chứa cùng một từ, điều này là không thể. Vì vậy, từ bảng 1a chúng ta chuyển sang bảng 16.

Rõ ràng là các từ ade và bde cần được đặt ở hàng thứ ba và thứ năm của bảng. Nhưng sau đó bạn nên đặt $d$ (hoặc $e$) ở dòng thứ hai và $e$ (hoặc $d$) ở dòng thứ tư; do tính đối xứng giữa $a$ và $b$ trên bảng 16 nên cả hai khả năng đều bằng nhau. Bảng 1c cung cấp một ứng cử viên cho khối tối thiểu. Tập hợp các từ được xây dựng $S$ là một khối tối thiểu thực sự, vì bất kỳ tập hợp con nào gồm ba từ đều có trọng số là 31. Nó trở thành $S_1$ nếu $d$ được thay thế bằng $e$, $e$ bằng $a$ và $a$ bằng $d$.

Không có cặp chữ cái nào có thể xuất hiện ba lần, vì không có đủ chữ cái cho từ thứ năm; Vì vậy, chúng ta chỉ có thể giả định rằng mỗi cặp chữ cái sẽ xuất hiện hai lần. Tuy nhiên, tùy chọn này cũng không thể thực hiện được: các chữ cái $a$, $b$ và $c$ chỉ có thể được đặt như trong Bảng 2 và không có đủ chữ cái cho từ cuối cùng.

Trường hợp 2. Khối tối thiểu $S$ chứa sáu từ. Sau đó bằng lời nói

Bảng 2.

12

Chỉ có 18 chữ cái từ $S$. Số 18 có thể được biểu diễn theo các cách sau dưới dạng tổng của năm số hạng, mỗi số hạng bằng 3, 4, 5 hoặc 6:
a) $18=6+3+3+3+3$;
b) $18=5+4+3+3+3$;
c) $18=4+4+4+3+3$.

Trong phương pháp a) một chữ cái, ví dụ $a$, sẽ xuất hiện sáu lần. Vì vậy $S$ giống với $S_2$; Chúng tôi giả sử rằng người đọc có thể chứng minh độc lập rằng $S_2$ là khối tối thiểu.

Hãy chuyển sang phương pháp 6). Để xác định, hãy để đường dẫn gặp chữ cái $a$ một lần và chữ cái $b$ bốn lần. thì ta được ngay bảng 3a. Ở dòng bốn và năm, một trong các chữ cái: $c$, $d$ hoặc $e$ xuất hiện hai lần; hãy biểu thị nó bằng $c$. Dòng thứ sáu chỉ có thể chứa từ $bde$ và kết quả là chúng ta đến bảng 36.

Bảng 3a. Bảng 36.

Để chứng minh rằng tập hợp từ $S_3$ được xây dựng là một khối, cần lưu ý rằng trong $S$ bất kỳ tập hợp con cấp 4 nào cũng chứa không quá ba từ và các từ còn lại tạo thành tập hợp con cấp 5 và do đó tổng trọng số không thể nhỏ hơn $36=15+7\times 3$ và trọng số của $S$ bằng 31. Tính tối thiểu xuất phát từ thực tế là, bất kể từ nào bị loại bỏ, các từ còn lại chứa một chữ cái $a$ sẽ xuất hiện ít nhất bốn lần, điều này không thể xảy ra ở khối từ thứ năm Cấp 5 do trường hợp đầu tiên.

Hãy chuyển sang phương pháp b). Để các chữ cái $a$, $b$ và $c$ xuất hiện bốn lần mỗi chữ cái. thì một số cặp chữ cái này sẽ xuất hiện ba lần hoặc bất kỳ cặp chữ cái nào sẽ xuất hiện đúng hai lần. Theo đó, chúng ta đến bảng 4a và 46 (có thể thay đổi các chữ cái).

Cấu trúc đầu tiên của bộ này là một khối, nhưng không phải là khối tối thiểu: sau khi xóa từ $abc$ khỏi nó, bạn sẽ nhận được một khối loại $S_1$. Tập thứ hai hoàn toàn không phải là một khối, vì nó là tập hợp của các tập con cấp 4 {abd, acd, bcd} và {abe, ace, bce} và đối với phân vùng này, tổng các trọng số là $30<31$.

Bây giờ cần phải chứng minh rằng không có khối tối thiểu nào khác ở cấp độ 5 bao gồm ba từ chữ cái. Nếu bộ $S$ chứa chín hoặc mười từ thì ít nhất một chữ cái sẽ xuất hiện sáu lần và do đó $S$ chứa một khối loại $S_2$. Điều này có nghĩa là $S$ luôn là khối tối thiểu.

Nếu có bảy hoặc tám từ trong $S$ và không có một chữ cái nào xuất hiện sáu lần thì sẽ luôn có một cặp chữ cái, chẳng hạn như $a$ và $b$, sao cho $a$ sẽ xuất hiện năm lần, $b$ ít nhất bốn lần và cặp $a$, $b$ sẽ xuất hiện ba lần (kiểm tra!). Do đó, hãy cân nhắc (hãy đảm bảo điều này!) rằng $S$ bao gồm năm từ sau: $abc$, $abd$, $abe$, $acd$, $ace$. Đối với chúng, bạn phải thêm ít nhất hai từ trong số bốn từ sau: $bcd$, $bce$, $bde$, $cde$. Nếu một trong các từ $bde$ hoặc $cde$ được thêm vào thì $S$ sẽ chứa một khối loại tối thiểu $S_3$. Nếu các từ $bcd$ và $bce$ được thêm vào thì các từ trong $S$ sẽ không chứa cặp chữ cái $d$ và $e$, không thể có trong khối (xem bên dưới bài toán 3).

Nhiệm vụ 1.

1. Mô tả tất cả các khối tối thiểu của cấp 5 bằng hai từ chữ cái.
2. Tập hợp $S'$ được lấy từ tập hợp $S$ bằng cách thêm chữ cái mới nhất vào chúng. Chứng minh rằng nếu $S$ là khối tối thiểu thì $S'$ là khối tối thiểu.
3. Nếu các từ của khối $S$ chứa các chữ cái $a$ và $b$ thì trong $S$ có một từ chứa $a$ và $b$.

4.**. Mô tả tất cả các khối tối thiểu của cấp độ 6 và 7 từ ba chữ cái.
5*. Chứng minh rằng không có khối từ cấp 8 nào có ba chữ cái.

13

Vâng. Smorodinsky

hành tinh
di chuyển
bằng hình elip

“Mỗi hành tinh quay quanh Mặt trời theo một hình elip, lấy Mặt trời làm tiêu điểm.”
Định luật vật lý này được Kepler phát hiện vào thế kỷ 16. Là “định luật đầu tiên của Kepler”, nó được đưa vào tất cả các sách giáo khoa, trở nên quen thuộc và “hiển nhiên”. Và đối với chúng tôi, không có gì lạ trong cách hành xử của hành tinh này.

Nhưng trên thực tế, sự thật này thật đáng ngạc nhiên. Tại sao lại có hình elip? Tất nhiên, hành tinh này phải di chuyển theo một đường cong nào đó. Nhưng tại sao nó lại di chuyển theo một đường cong khép kín? Tại sao một hành tinh sau khi thực hiện một vòng quay hoàn toàn quanh Mặt trời lại quay trở lại điểm cũ? Làm sao cô ấy nhớ được điểm này? Tại sao chuyển động của hành tinh trong trường hấp dẫn của Mặt trời dường như có tính tuần hoàn? Đây là tài sản của Vesyna

bất thường. Nếu lực hút của hành tinh đối với Mặt trời không tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách mà thay đổi, chẳng hạn theo định luật $1/r^3$ hoặc thậm chí $1/r^2,^{01}$, thì quỹ đạo của hành tinh sẽ không bị đóng.

Nhân tiện, từ đây, theo đó, trong hệ mặt trời, nói chung, các hành tinh không thể di chuyển theo hình elip. Sức hút của các hành tinh khác, và đặc biệt là của một hành tinh khổng lồ như Sao Mộc, bằng cách nào đó sẽ ảnh hưởng đến chuyển động của hành tinh này. Và nó có tác dụng: sau khi thực hiện một vòng quay hoàn toàn quanh Mặt trời, hành tinh này không quay trở lại vị trí cũ mà “trượt qua” nó. Điều này giải thích sự thay đổi điểm cận nhật của Sao Thủy theo hướng chuyển động của nó khoảng 1,2 inch mỗi vòng quay (5 inch mỗi năm Trái đất). (May mắn thay, Kepler không biết về điều này - những quan sát của ông về Sao Hỏa, nơi ông xây dựng lý thuyết của mình, không đủ chính xác để nhận thấy “sự suy đoán” nhỏ của cột.)

Không dễ để Kepler ở thế kỷ 16 thoát khỏi niềm tin cũ rằng các thiên thể - những thiên thể “lý tưởng” nhất trong thế giới của chúng ta - cũng phải chuyển động theo những đường cong lý tưởng nhất, tức là dọc theo các đường tròn. Đúng-

14

Copernicus, người bác bỏ ý tưởng Trái đất đứng yên và cho rằng nó chuyển động tròn giống như các hành tinh khác thực hiện, không thể từ chối những đường cong lý tưởng và sử dụng hệ thống các vòng tròn lăn để mô tả chính xác chuyển động của các hành tinh.

Nhưng cả Copernicus lẫn những người tiền nhiệm của ông đều không bỏ qua việc so sánh cẩn thận các mô hình của họ với các mô hình được quan sát. Và những khác biệt nhỏ không làm họ bận tâm. Vào thời điểm đó, chỉ có Kepler tự đặt cho mình một cái cây bài toán: để mô tả chuyển động của các hành tinh một cách chính xác mà không đưa ra bất kỳ sự khác biệt nào giữa những gì được quan sát và lý thuyết. Anh ấy đã được giúp giải quyết vấn đề này bài toán nhờ sự hợp tác với nhà thiên văn người Đan Mạchνομ Tycho Brahe, người, người đã quan sát vị trí của các hành tinh hàng ngày trong gần 25 năm, đã thu thập tài liệu hoàn chỉnh một cách bất thường vào thời điểm đó *).

Kepler thắc mắc tại sao các hành tinh lại uốn cong đường đi của chúng quanh Mặt trời. Đôi khi ông nhận ra rằng Mặt trời tác động lên các hành tinh, mặc dù thực tế là các hành tinh ở rất xa nó. Nhưng Kepler đã không thể thiết lập sự phụ thuộc chính xác của lực tác dụng này vào khoảng cách - ông cho rằng lực này tỷ lệ nghịch với khoảng cách. Kepler thậm chí không thể nghĩ đến việc rút ra công thức quỹ đạo - ông không có phương trình chuyển động.

Chỉ hơn nửa thế kỷ sau, Newton, trong cuốn sách tuyệt vời “Các nguyên tắc của Vật lý Tự nhiên” (khi đó được gọi là vật lý), đã chỉ ra cách rút ra tất cả các định luật về chuyển động của hành tinh từ phương trình **). Kết luận của Newton làm nền tảng cho cơ học thiên thể cho đến tận ngày nay. Chỉ bây giờ cho

*) Tycho Brahe là nhà thiên văn học vĩ đại cuối cùng không có kính viễn vọng. Ông thực hiện tất cả các quan sát bằng cách đơn giản nhìn vào nó và đo các góc bằng chiêm tinh học.

**) Newton đã giải được nghịch đảo bài toán: lực hấp dẫn của hành tinh đối với Mặt trời phải phụ thuộc như thế nào vào khoảng cách giữa hành tinh và Mặt trời để hành tinh chuyển động theo hình elip? Ông đã chỉ ra rằng nó phải tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách.

Hình 1. $r_1 - r = 2c, r_1 + r = 2a$.

15

Định luật bảo toàn năng lượng

Khi một hành tinh chuyển động, tổng năng lượng $E$ của nó không đổi:
$$E = \text{const.}$$

Năng lượng này bằng tổng động năng $K = \frac{mv^2}{2}$ và thế năng của hành tinh trong trường lực hấp dẫn của Mặt trời
$$\Pi = -\gamma \frac{mM}{r} = -\frac{\alpha m}{r} \quad (\alpha = \gamma M)^*$$

$(m - \text{masca планеты}, M - \text{masca Солнца}, r - \text{расстояние между ними и } \gamma - \text{гравитационная постоянная}).$ Vì vậy,
$$E = \frac{mv^2}{2} - \frac{\alpha m}{r}. \quad (1)$$

Để thuận tiện, cùng với hằng số $\Sigma$ chúng tôi giới thiệu một hằng số khác $v_0$ sao cho
$$E = -\frac{mv_0^2}{2}.$$

Chúng tôi đặt dấu trừ trong công thức này vì tổng năng lượng của hành tinh này là âm và $v_0^2 > 0$.

Bây giờ chúng ta có thể viết công thức (1) sao cho khối lượng “rơi ra” khỏi phương trình:
$$-\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} - \frac{\alpha}{r},$$
hoặc
$$\frac{v^2}{2} + \frac{v_0^2}{2} = \frac{\alpha}{r}. \quad (1')$$

Chia cả hai vế của đẳng thức này cho $v_0^2/2r$, chúng ta nhận được
$$\left(\frac{v}{v_0}\right)^2 r + r = \frac{2\alpha}{v_0^2}.$$

Chúng ta biểu thị hằng số $2\alpha/v_0^2$ bằng $2\alpha$ và tỷ lệ bằng $v/v_0 - \text{буквой } u$.

*) Chúng ta hãy nhớ rằng thế năng được coi là bằng 0 đối với $r$ vô cùng lớn. Do đó, trong trường hợp lực hấp dẫn, thế năng hóa ra là âm. Ở giá trị tuyệt đối, thế năng lớn hơn động năng - hành tinh không thể “tách ra” khỏi Mặt trời.

Hình 2.

Chúng tôi nhận được một công thức đơn giản
$$\sqrt{ru^2 + r} = 2a. \quad (*)$$

Ở dạng này, định luật bảo toàn năng lượng rất thuận tiện cho mục đích của chúng ta.

Khoảnh khắc thôi thúc

Khi hành tinh chuyển động, một đại lượng khác không đổi—động lượng góc:
$$L = mvr \sin \alpha,$$
trong đó $\alpha$ là góc giữa vectơ bán kính $r$ của hành tinh và vectơ $v$ vận tốc của nó (động lượng góc được mô tả trong Phụ lục).

Sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta khi cùng nhau giới thiệu $L$ một số lượng cũng không đổi—
$$L_0 = L/m = rv \sin \alpha.$$

Từ Hình 2, rõ ràng $v \sin \alpha$ là hình chiếu của vectơ $v$ lên hướng vuông góc với vectơ bán kính $r$. Điều này có nghĩa là độ lớn $(v \sin \alpha)/r$ bằng vận tốc góc $\omega$ của hành tinh tại thời điểm vị trí của nó được xác định bởi vectơ bán kính $r$. Như vậy,
$$L_0 = \omega r^2. \quad (2)$$

Phương trình chuyển động

Theo định luật II Newton, dưới tác dụng của lực hút Mặt trời $F = -\gamma \frac{mM}{r^2}$ hành tinh chuyển động, gia tốc
$$w = -\gamma \frac{M}{r^2} = -\frac{a}{r^2}.$$

16

Sẽ đúng hơn nếu viết phương trình chuyển động của hành tinh này dưới dạng vectơ. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một vectơ $n$ sao cho

$$\vec{n} = \frac{\vec{r}}{r}.$$

Ký hiệu này có nghĩa là độ dài của vectơ $n$ bằng một và vectơ này hướng dọc theo vectơ bán kính $\vec{r}$. Như vậy, ở dạng vectơ, phương trình chuyển động của hành tinh có thể được viết như sau:

$$\vec{w} = -\frac{\alpha}{r^2} \vec{n}.$$

(3)

Vectơ Laplace

Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục trực tiếp đến bài toán của mình. Chúng ta hãy thử tìm một vectơ liên kết với quỹ đạo của hành tinh, vectơ này không đổi khi hành tinh chuyển động và chúng ta có thể liên kết với vectơ $2c$.

Khi chuyển động theo quỹ đạo tròn, vận tốc góc không đổi và các vectơ $v$ và $n$ luôn phân bố lại cho nhau. Khi chuyển động dọc theo quỹ đạo không tròn (ví dụ dọc theo hình elip), vận tốc góc thay đổi theo thời gian và góc giữa các vectơ $v$ và $n$ không giữ nguyên.

Chúng ta hãy tìm xem vectơ $n$ thay đổi theo định luật nào. Để xác định điều này, chúng ta giả sử rằng chuyển động quỹ đạo sẽ xảy ra ngược chiều kim đồng hồ.

Giả sử rằng trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ hành tinh đã chuyển động dọc theo quỹ đạo của nó từ điểm $B$ đến điểm $C$ (Hình 3) sao cho vectơ bán kính $r$ của nó quay một góc $\omega \Delta t$ (thời gian $\Delta t$ quá ngắn nên vận tốc góc $\omega$ có thể được coi là không thay đổi). Vector $n$ do chuyển động quay sẽ biến thành một vectơ mới $n + \Delta n$, nhưng độ dài của vectơ mới này tất nhiên bằng một. Sự thay đổi $\Delta n$ của vectơ $n$ không khó tìm thấy: $\Delta n = \omega \Delta t n$, và trên

17

Biểu thức này, rất thuận tiện, có thể được viết như thế này:

$$\Delta(-L_0 v' - \alpha n) = 0.$$

Nhưng điều này có nghĩa là vectơ

$$\vec{A} = -L_0 v' - \alpha n$$

không đổi khi hành tinh chuyển động. Như chúng ta sẽ thấy sau, đây chính là vector mà chúng ta đang tìm kiếm.

Hãy biến đổi công thức (7). Trước hết, hãy loại bỏ vectơ $v'$. Chúng ta sẽ thực hiện việc này bằng Hình 4. Như có thể thấy từ hình,

$$v' = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \vec{v} - \frac{v}{\sin \alpha} \vec{n}.$$

Xét rằng $\sin \alpha = L_0/rv$ và $\cos \alpha = \frac{r \cdot v}{rv}$, chúng ta có thể viết biểu thức cho $v'$ như sau:

$$v' = \frac{1}{L_0} [(r \cdot v) \vec{v} - v^2 r]$$

(kể từ $rn = r$). Thay thế $v'$ này vào công thức (7), chúng ta nhận được:

$$\vec{A} = v^2 r - (r \cdot v) v - \alpha r/r.$$

(8) Vectơ này trong cơ học được gọi là vectơ Laplace.

Chúng ta cũng sẽ biến đổi biểu thức (8). Từ công thức (1’) của định luật bảo toàn năng lượng ta tìm được:

$$\frac{\alpha}{r} = \frac{v^2 + v_0^2}{2}.$$

Chúng ta hãy thay biểu thức này thành (8), chia cả hai vế cho $v_0^2/2$, chuyển sang biến mới $u = v/v_0$ và biểu thị

Hình 4.

có nghĩa là vectơ $\vec{2A}/v_0^2$ đến $\vec{2c}$:

$$\vec{2c} = u^2 r - 2(r \cdot u) u - \vec{r}$$

(ở đây $\vec{u} = v/v_0$). Nếu chúng ta giới thiệu thêm một ký hiệu nữa:

$$\vec{r}_1 = u^2 r - 2(r \cdot u) \vec{u},$$

thì đẳng thức cuối cùng có thể được viết khá đơn giản:

$$\vec{r}_1 - \vec{r} = 2\vec{c}$$

(**)

phương trình elip

Nếu người đọc đã chán các phép biến đổi, thì họ sẽ rất vui khi biết rằng bài toán đã được giải. Quỹ đạo của hành tinh được chứa trong hai công thức trong khuôn khổ: trong công thức (*), mà chúng ta thu được từ định luật bảo toàn năng lượng,

$$u^2 r + r = 2a$$

và trong công thức (***).

Để xác minh điều này, hãy tính bình phương độ dài của vectơ $\vec{r}_1$:

$$\vec{r}_1^2 = u^4 r^2 - 4 u^2(r \cdot u)^2 + 4(r \cdot u)^2 u^2 = u^4 r^2.$$

Theo đó, độ dài của vectơ $\vec{r}_1$ bằng $u^2 r$, tức là chỉ là số hạng đầu tiên trong đẳng thức (*).

Bây giờ đẳng thức này (*) trông giống như phương trình của một hình elip

$$r_1 + r = 2a.$$

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng ba vectơ $\vec{r}, \vec{r}_1$ và $2c$ tạo thành một tam giác, tổng hai cạnh của chúng không đổi và bằng $2a$. Nhưng điều này cũng có nghĩa là quỹ tích hình học của các đầu của tất cả các vectơ bán kính có thể có $r$ (với vectơ không đổi $c$) là một hình elip.

Bây giờ ý nghĩa hình học của các hằng số được đưa vào đã được làm rõ; $a = \alpha/v_0^2$ là hình elip lớn thu được. Nó chỉ phụ thuộc vào tổng năng lượng của hành tinh và không phụ thuộc vào động lượng góc. Vectơ $2c$ nối hai tiêu điểm của hình elip. Độ dài $c$ bằng tiêu cự (một nửa khoảng cách giữa các tiêu điểm). Qua-

18

Ứng dụng

Định luật mà chúng ta đang nói đến lần đầu tiên được thiết lập bởi I. Kepler. Trong khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh quanh Mặt trời, Kepler phát hiện ra rằng diện tích bị vectơ bán kính của hành tinh “quét” trên một đơn vị thời gian là không đổi. Nó không phụ thuộc vào vị trí của hành tinh trên quỹ đạo. Chúng ta hãy biểu thị bằng $r$ vectơ bán kính của hành tinh và $v$ tốc độ của nó tại thời điểm $t$ (Hình 6). Trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ hành tinh sẽ chuyển động $v \Delta t$. Đối với $\Delta t$ nhỏ, diện tích của hình elip trùng với diện tích của tam giác dựng trên vectơ $r$ và $v \Delta t$, tức là

$$\Delta S = \frac{1}{2} rv \Delta t \sin \alpha,$$

cạnh $v_0$ là giá trị vận tốc của hành tinh tại thời điểm hành tinh ở điểm cuối bán trục phụ. Hãy thể hiện nó. Ở cuối bán trục nhỏ, theo định nghĩa, độ dài của vectơ bán kính $r$ và $r'$ bằng nhau. Do đó, $u^2 = 1$ (kể từ $r_1 = u^2 r$). Điều này có nghĩa là $v = v_0$. Cụ thể từ đây, suy ra rằng bán trục nhỏ của hình elip $b$ bằng

$$b = L_0/v_0$$

(sự bình đẳng này được giải thích trong Hình 5).

Vì vậy, hãy tóm tắt. Chúng tôi đã chỉ ra rằng hành tinh này chuyển động theo hình elip, tại một trong những tiêu điểm mà Mặt trời tọa lạc. Các thông số của hình elip này là:

trục bán chính: $a = \alpha/v_0^2$,
trục nhỏ: $b = L_0/v_0$,
trong đó $\alpha = \gamma M$ (M là khối lượng của Mặt trời), $L_0$, $v_0$ là các hằng số của một hành tinh nhất định.

Ghi chú cuối cùng

Trên thực tế, chúng ta đã thu được tất cả các công thức mô tả chuyển động của hành tinh dọc theo một hình elip. Tất cả, ngoại trừ một - chúng ta không biết vị trí của hành tinh trên quỹ đạo thay đổi như thế nào theo thời gian. Đây là một bài toán phức tạp hơn và chúng tôi sẽ không nhớ nó. Ít nhất là bây giờ.

Hình 6.

19

Hình 7.

Vì vậy, chúng ta sẽ giả định rằng
$$\Delta r = v \Delta t,$$
$$\Delta v = w \Delta t^*).$$

Đương nhiên, khi tính sự thay đổi diện tích của hình bình hành, chúng ta cũng sẽ chỉ quan tâm đến tốc độ thay đổi diện tích và sẽ loại bỏ gia tốc (các giá trị tỷ lệ với $(\Delta t)^2)$. Gia tốc của hành tinh tỷ lệ với lực $\vec{F}$ tác dụng lên hành tinh. Lực hướng về Mặt trời, tức là ngược hướng với vectơ bán kính. Do đó, vectơ $\Delta v$ song song với vectơ $\vec{r}$. Nó hướng đối diện với vectơ $\vec{r}$. Dễ dàng vẽ các vectơ $\Delta r$ và $\Delta v$, sau đó là các vectơ $r' = r + \Delta r$ và $v' = v + \Delta v$ và dựng các hình bình hành trên chúng (Hình 7) Diện tích của các hình bình hành này bằng với sự tương ứng $S_2 = v' r' \sin \beta$, trong đó $\beta$ là góc. giữa các vectơ $v'$ và $r'$ và $S_3 = \Delta r \Delta v \sin \alpha$ Thật dễ dàng để chứng minh điều đó.
$$S_2 = S_1 + S_3.$$
Chúng ta hãy lưu ý rằng diện tích của $S_3$ tỷ lệ với $\Delta t^2$, vì cả $\Delta r$ và $\Delta v$ đều tỷ lệ với $\Delta t$. Vì chúng ta đang bỏ qua các điều kiện độ lớn tỷ lệ với $(\Delta t)^2$, nên chúng ta cũng có thể loại bỏ diện tích $S_3$. Chúng tôi nhận được sự chấp thuận mà chúng tôi cần
$$S_2 = S_1,$$
nghĩa là diện tích hình bình hành không thay đổi theo thời gian.

*) $w$ là gia tốc của vectơ $\vec{r}$, nhưng nó là tốc độ thay đổi vận tốc $v$.

Tất nhiên, lý luận của chúng tôi không chặt chẽ lắm nhưng có thể chính xác, đặc biệt nếu bạn biết cách phân biệt.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại vật lý. Nếu $\Delta t$ nhỏ thì diện tích của hình bình hành nhỏ có thể được coi là rất nhỏ. Vì vậy, khi hành tinh chuyển động, diện tích hình bình hành dựng trên vectơ $r$ và $v$ không đổi:
$$vr \sin \alpha \approx v' r' \sin \beta = \text{const.}$$

Chỉ cần lưu ý rằng diện tích của một hình tam giác được xây dựng trên cùng một vectơ bằng một nửa diện tích của hình bình hành và chúng ta đi đến định luật thứ hai:

Kepler: $$\frac{1}{2} vr \sin \alpha = \text{const.}$$

Trong chứng minh, chúng ta chỉ sử dụng thực tế là lực tác dụng lên hành tinh có hướng dọc theo vectơ bán kính. Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng cơ thể chuyển động dưới tác động của một lực trung tâm, nghĩa là một lực luôn hướng về một điểm (hoặc ra xa điểm đó). Do đó, khẳng định vừa chứng minh có thể được phát biểu như sau:

Đối với thùy vật chất chuyển động dưới tác dụng của lực trung tâm, các giá trị $rv \sin \alpha$ không đổi. Vẫn được xây dựng với số lượng $mvr \sin \alpha$, trong đó $m$ là khối lượng của vật liệu ĐIỂM. Nhưng $mv = p$ là động lượng của hạt. Đại lượng $L = pr \sin \alpha$ được gọi là xung lượng góc. Đây là cách chúng ta đi đến định luật bảo toàn động lượng góc:

Khi LOBE vật chất chuyển động trong trường của lực trung tâm thì xung lượng góc không đổi.

Định luật này đóng vai trò đối với chuyển động trong trường của lực trung tâm tương tự như vai trò của định luật bảo toàn động lượng đối với chuyển động khi không có lực.

20

Bài toán

M596—M600; F608—F612

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi tin tức của chương trình giảng dạy ở trường. Những nhiệm vụ khó khăn hơn sẽ được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi tạo một nhiệm vụ, chúng tôi thường chỉ ra ai đã đề xuất nhiệm vụ đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những vấn đề này đều được công bố lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 2 năm 1980 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Sự cố «Kvant» Số 12-79” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M596, M597” hoặc “F607”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Kèm theo một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản (hoặc chu kỳ bài toán), hãy phân thành hai bản sao trong một phong bì riêng cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên phong bì, đánh dấu: “Vấn đề «Kvant», một vấn đề mới trong vật lý” hoặc “… một vấn đề mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ, số trường và lớp bạn đang theo học.

M596. Một nhận dạng năm từ với các cơ sở $A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$ được đưa ra. Tất cả các cạnh của đáy và tất cả các đoạn $A_iB_j(i, j=1, 2, 3, 4, 5)$ đều được tô màu đỏ hoặc xanh lục sao cho trong mỗi tam giác có các đỉnh ở các đỉnh của lăng kính, các cạnh được tô màu thì có hai cạnh có màu khác nhau. Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh của các đáy đều được tô màu giống nhau.

Olympic Toán quốc tế lần thứ XXI, 1979

M597. Hãy đặt
$$x_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}.$$
a) Chứng minh sự tồn tại của giới hạn
$$\gamma = \lim_{n \to \infty} (x_n - \ln n).$$
b) Chứng minh rằng với mọi $n$, $m \in N$
$$\gamma < x_n + x_m - x_{nm} \subseteq 1.$$
b) Tìm $\gamma$ đến 0,1 gần nhất.

V. Yasinsky

M598. Cho một mặt phẳng $P$, một điểm $P$ trên mặt phẳng này và một điểm $Q$ bên ngoài mặt phẳng $P$. Tìm tất cả các điểm $n$ trong mặt phẳng $P$ sao cho tỷ lệ $(|QP| + |PR|)/|QR|$ là lớn nhất.

Olympic Toán quốc tế lần thứ XXI, 1979

M599. a) Số $4^{56} + 6^{54}$ tận cùng bằng bao nhiêu số 0?
b) Hãy chỉ ra số thú vị nhất
$$1978^{1979}1980 + 1980^{1979}1978.$$
P. Gusyatikov

M600. Hai đại lượng chuyển động dọc theo hai đường tròn cắt nhau. Mỗi người di chuyển quanh vòng tròn riêng của mình với tốc độ không đổi. Sau khi đồng thời rời khỏi một trong các giao điểm của chúng và thực hiện mỗi vòng một vòng, các đại lượng lại gặp nhau tại thời điểm này. Chứng minh rằng trên mặt phẳng chứa các đường tròn, tồn tại một điểm cố định sao cho khoảng cách từ đó đến độ lớn luôn bằng nhau nếu chúng di chuyển:
a) theo một hướng (ngược chiều kim đồng hồ);
b) theo các hướng khác nhau.

N. Vasiliev, I. Sharien

$^*) a^{bc}$ có nghĩa là $a^{(bc)}$

21

F608. Một tàu vũ trụ có khối lượng $M=12$ t di chuyển quanh Mặt trăng theo quỹ đạo tròn ở độ cao $h=100$ km. Để chuyển sang quỹ đạo ứng dụng, động cơ phản lực được bật trong thời gian ngắn. Tốc độ của khí thoát ra khỏi tên lửa là $u=10^4$ m/s. Bán kính của Mặt trăng là $R_\perp=1,7 \cdot 10^3$ km, gia tốc trọng trường trên bề mặt Mặt trăng là $g_\perp=1,7$ m/s$^2$.

1. Phải tiêu tốn bao nhiêu nhiên liệu để khi bật động cơ hãm tại điểm $A$ trên quỹ đạo của tàu vũ trụ, nó sẽ đáp xuống Mặt Trăng tại điểm $B$ (Hình 1)?

2. Trong phiên bản thứ hai của ứng dụng, con tàu tại điểm $A$ được cấp một xung theo hướng tâm Mặt trăng để đưa con tàu vào quỹ đạo chạm vào Mặt trăng tại điểm $C$ (Hình 2). Cần tiêu thụ bao nhiêu nhiên liệu trong trường hợp này?

Olympic Vật lý Quốc tế X1, 1979

F609. Bộ phận được làm bằng nhôm được cân trên cân phân tích sử dụng quả cân bằng đồng. Trong một lần cân, không khí trên cân khô và trong lần cân khác thì ướt, áp suất hơi nước trong đó bằng $p_B=15,2$ mm Hg. Nghệ thuật. Áp suất bên ngoài ($p=760$ mm Hg) và nhiệt độ ($t=20^\circ\text{C}$) của không khí trong cả hai trường hợp đều như nhau.

Bạn có thể nhận thấy sự khác biệt về khối lượng của bộ phận ở mức nào nếu độ nhạy của chúng là $m_0=0,1$ mg? Mật độ của nhôm $\rho_1=2,7$ g/cm$^3$, đồng thau $\rho_2=8,5$ g/cm$^3$

Olympic Vật lý Quốc tế X1, 1979

F610. Trong thí nghiệm của Liên Xô-Pháp về vị trí quang học của Mặt trăng, bức xạ xung từ laser ruby ​​​​ở bước sóng $\lambda=0,69$ µm được hướng bằng một telexcol có đường kính gương $D=2,6$ m lên bề mặt mặt trăng. Một tấm phản xạ được lắp đặt trên Mặt trăng, hoạt động giống như một tấm gương hoàn hảo với đường kính $d=20$ cm, phản chiếu ánh sáng chính xác theo hướng ngược lại. Ánh sáng phản xạ được thu lại bởi cùng một kính viễn vọng và tập trung vào bộ tách sóng quang.

1. Trục quang học của telexcol phải được đặt ở mức độ chính xác nào trong thí nghiệm này?

2. Bỏ qua sự mất mát ánh sáng trong bầu khí quyển Trái đất và trong kính thiên văn, hãy ước tính phần năng lượng ánh sáng laser sẽ được ghi lại bởi bộ tách sóng quang sau khi phản xạ từ Mặt trăng.

3. Có thể ghi lại xung ánh sáng phản xạ bằng mắt thường nếu độ nhạy ngưỡng của mắt được lấy bằng $n=100$ lượng tử ánh sáng và năng lượng phát ra từ tia laser trong quá trình phát xung bằng $E=1$ J?

4. Đánh giá lợi ích thu được từ việc sử dụng gương phản xạ. Giả sử rằng bề mặt của Mặt trăng tán xạ $\alpha=10\%$ ánh sáng tới đồng đều thành một góc đặc bằng 2π.

22

Khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trăng là $L = 380 \cdot 10^3$ km.
Đường kính đồng tử của mắt được lấy bằng $d = 5$ mm.
Hằng số Planck $h = 6,6 \cdot 10^{-34}$ J s.
Olympic Vật lý Quốc tế X1, 1979

F611. Người nhào lộn đứng trên mặt bên của một hình trụ nằm trên sàn rất gồ ghề, di chuyển chân và di chuyển với tốc độ không đổi sang phải. Xét hệ số ma sát của ủng của người nhào lộn trên bề mặt của hình trụ bằng $\mu$, hãy xác định góc giới hạn $\alpha$, góc này có thể bằng bán kính thẳng đứng của hình trụ được vẽ đến điểm đặt người nhào lộn. Độ ma sát giữa ủng của người nhào lộn và hình trụ sẽ là bao nhiêu?

F612. Cần cung cấp lượng nhiệt bao nhiêu cho 0,1 kg neon để làm nóng nó thêm $5^\circ\text{C}$, nếu trong quá trình đun nóng, áp suất của neon tỷ lệ thuận với thể tích của nó?

Lời giải bài toán

M540—M544; F553—F557

M540. Hiệp hội quốc tế bao gồm các đại diện từ sáu quốc gia khác nhau. Danh sách thành viên của hội gồm 1978 họ, đánh số 1, 2,…, 1978.

Chứng minh rằng có ít nhất một thành viên của xã hội có số lượng bằng tổng số của hai thành viên từ quốc gia của anh ta hoặc trùng với số thành viên nào đó từ quốc gia của anh ta.

Hình 1.

Giả sử rằng kết luận bài toán không đúng. Lưu ý rằng một trong các quốc gia có ít nhất 330 thành viên trong xã hội. Thật vậy, nếu mỗi phái đoàn tiểu bang có không quá 329 thành viên thì tổng cộng sẽ không có nhiều hơn $329 \times 6 = 1974$ thành viên trong xã hội. Chúng ta sẽ sử dụng một lập luận tương tự (được gọi là lý do Dirichlet) nhiều lần nữa mà không vi phạm cụ thể nó. Hãy sắp xếp số lượng nhà khoa học của đất nước này theo thứ tự tăng dần: $a_1, a_2, \dots, a_{330}$. Theo giả định của chúng tôi, các nhà khoa học có số $a_2-a_1, a_3-a_1, \dots, a_{330}-a_1$ đại diện cho năm quốc gia còn lại. Ít nhất 66 điểm trung bình đại diện cho một quốc gia; hãy để đây là những nhà khoa học có số $b_1, b_2, \dots, b_{66}$. Sau đó, các nhà khoa học được đánh số $b_2-b_1, \dots, b_{66}-b_1$ đại diện cho bốn quốc gia còn lại. Trung bình có ít nhất 17 nhà khoa học đại diện cho một quốc gia; hãy để số của họ là $c_1, c_2, \dots, c_{17}$. Sau đó các nhà khoa học có số $c_2-c_1, \dots, c_{17}-c_1$ sống ở ba quốc gia còn lại. Tương tự, từ đó ta sẽ tìm được 5 nhà khoa học đại diện cho hai quốc gia và sau đó là hai đại diện của một quốc gia, sự khác biệt về số lượng không thể bằng số lượng nhà khoa học ở cả hai quốc gia. Mâu thuẫn!

Nhiệm vụ lời giải.

Nếu bây giờ chúng ta đặt câu hỏi phải có bao nhiêu thành viên trong một xã hội từ đại diện của $k$ quốc gia để kết luận bài toán chắc chắn đúng, thì phương pháp trên lời giải cho ra đáp số $n_k = [k!e] = k! \left( 2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{k!} \right)$ (tự kiểm tra điều này).

Tuy nhiên, ước tính này có thể được cải thiện với giá $k=3$. Như A. Khodulyev đã nói với chúng tôi, đối với ba quốc gia, không phải 16=[3!e] mà 14 đại diện là đủ. Đối với 13 đại diện của ba quốc gia, kết luận bài toán không đúng; một ví dụ tương ứng được trình bày trong Hình 1. Và đối với bốn quốc gia, 45 đại diện là đủ; đối với 44 đại diện của bốn quốc gia, có thể đưa ra một ví dụ khi kết luận bài toán không được thỏa mãn. Ước tính của SSI về số lượng thành viên của xã hội từ $k$ quốc gia

23

M541. Trong một nhóm N., mỗi người có đúng ba người bạn.
a) Chứng minh rằng N bằng nhau.
b) Có thể chia một nhóm người thành N/2 cặp để những người trong mỗi cặp là bạn bè không?

Hình 2.

M542. Cho một tam giác vuông $A_0A_1A_2$ có sao chổi $|A_0A_2| = a$ và $|A_1A_2| = b$. Cánh đồng kiến ​​dọc theo giòn vô tận $A_2A_3A_4A_5\dots$, thức ăn $A_nA_{n+1}$ - chiều cao của hình tam giác $A_{n-2}A_{n-1}A_n$.
a) Tìm độ dài đường đi của nó (từ vô số đoạn thẳng).
b) Xây dựng một điểm giới hạn L mà con kiến ​​tiến tới. Nó nằm cách sao chổi bao nhiêu km?

a) Hãy đếm số cặp bạn bè. Vì mọi người đều có ba người bạn, tức là có trong 3 cặp như vậy nên tổng số cặp là 3N/2. Suy ra N là số chẵn.

Nếu chúng ta biểu diễn con người dưới dạng điểm - đỉnh và bạn bè được kết nối bằng đoạn - cạnh thì cấu hình thỏa mãn điều kiện bài toán sẽ là đồ thị đồng nhất của cột 3 (3 cạnh kéo dài từ mỗi đỉnh). Trong ngôn ngữ của đồ thị, lời giải của chúng ta có thể được viết như sau: vì mỗi cạnh M của đồ thị có hai đầu và mỗi đỉnh trong số N đỉnh đóng vai trò là điểm cuối của ba cạnh, $2M=3N$, từ đó $M=3N/2$.

6. Đáp số. Không phải lúc nào cũng vậy. Ví dụ đơn giản nhất, được đưa ra bởi hầu hết tất cả độc giả đã giải đúng bài toán, chứa 16 đỉnh và do đó có 24 cạnh (Hình 2). Nếu chúng ta chọn cặp $OA_1$ thì các ngũ chứa $A_2$ và $A_3$ không thể chia thành từng cặp được nữa. Như học sinh lớp 10 V. Guba từ Vologda đã lưu ý, các ví dụ cũng tồn tại cho cả bốn $N \geq 16$.

Trong tất cả các biện pháp đối phó do độc giả đưa ra, đồ thị đều có một eo - một cạnh, sau khi chọn đồ thị sẽ chia thành hai phần (trong ví dụ của chúng ta có ba eo: $OA_1$, $OA_2$ và $OA_3$). Đây không phải là tai nạn. Có thể chứng minh—chúng tôi đưa ra điều này dưới dạng bài toán cho độc giả—rằng trong một đồ thị đồng nhất của cột 3 không có eo đất, luôn tồn tại một đồ thị chứa tất cả các đỉnh của đồ thị và không có đỉnh chung. (Ví dụ, xem chương 18 trong cuốn sách của K. Berge “Lý thuyết đồ thị và các ứng dụng của nó” (Moscow, IL, 1962).)

Nhiệm vụ so khớp là một phần khá nâng cao của lý thuyết đồ thị. Một số bài toán này đã được thảo luận trong «Kvant» (1970, số 4, trang 14; 1974, số 11, trang 23).

Hãy xem xét phép biến đổi tương tự Π biến tam giác $A_0A_1A_2$ thành tam giác $A_2A_3A_4$. Hệ số tương đồng

$$k = \frac{|A_2A_3|}{|A_0A_1|} = \frac{ab}{a^2 + b^2}.$$

Phép biến đổi Π, rất indo, ánh xạ đường đứt nét màu đỏ Γ mà chúng ta quan tâm, được bổ sung bởi hai liên kết ban đầu $[A_0A_1]$ và $[A_1A_2]$, chính xác trên Γ, vì Π $(A_n)=A_{n+2}$ cho $n=0, 1, 2, \dots$ (Hình 3). Vì P giảm tất cả các khoảng cách theo hệ số k nên độ dài z của đường đứt nét Γ được xác định từ phương trình

$$k(|A_0A_1| + |A_1A_2| + z) = z,$$

Ở đâu

$$z = \frac{k(\sqrt{a^2 + b^2} + b)}{1 - k} = \frac{(\sqrt{a^2 + b^2} + b)ab}{a^2 + b^2 - ab}.$$

(Theo lý luận này, cách chung để tìm tổng của một cấp số nhân vô hạn bị ẩn: $(\sqrt{a^2 + b^2} + b)(k + k^2 + k^3 + \dots) = z$.) Lưu ý rằng mỗi tam giác $A_nA_{n+1}A_{n+2}$ chứa $(n=0, 1, \dots)$ tiếp theo và giao điểm của tất cả các tam giác này là điểm L mà trong giới hạn có một mũi tên con kiến. Vì Π $(\triangle A_nA_{n+1}A_{n+2}) = \triangle A_{n+2}A_{n+3}A_{n+4}$ nên ta thu được Π $(L) = L$, tức là điểm L là điểm cố định của phép biến đổi Π.

Phép biến đổi Π là phép quay tương tự ở tâm; nó có thể thu được dưới dạng bố cục được quay 90°

24

và nấu (với hệ số $k$) với tâm $L$. Theo sau đó $A_0LA_2 = A_2LA_4 = 90^\circ$; Do đó, điểm $L$ có thể được xây dựng dưới dạng giao điểm của hai hình bán nguyệt có đường kính $[A_0A_2]$ và $[A_2A_4]$, hoặc thậm chí đơn giản hơn - hạ thấp từ $A_2$ vuông góc $A_2L$ lên đoạn $A_0A_4$. Và để tìm khoảng cách $x$ và $y$ từ điểm $L$ đến hai cạnh có độ dài $a$ và $b$ của tam giác $A_0A_1A_2$, bạn có thể sử dụng thực tế là $L \in [A_0A_4]$ và $|LA_4| : |LA_0| = k^2$, hoặc thực tế là các đường vuông góc bị bỏ qua từ $L$ thành các phân đoạn $A_0A_2$, $A_2A_4$, $A_4A_6$, thu được các phép biến đổi $\Pi$ từ nhau, từ đó

$$\begin{cases} y = kx, \\ ka - x = ky \end{cases}$$

(ở Hình 3, đoạn dài $x$ màu xanh lam, đoạn dài $y = kx$ màu xanh lá cây, đoạn dài $ky$ lại màu xanh lam). Như vậy,

$$x = \frac{ka}{k^2 + 1} = \frac{a^2b}{a^4 + 3a^2b^2 + b^4},$$

$$y = \frac{k^2a}{k^2 + 1} = \frac{a^3b^2}{a^4 + 3a^2b^2 + b^4}.$$

Trong một số chữ cái, đáp số này được lấy dưới dạng tổng của một cấp số nhân có giá trị $k^2$ - phép biến đổi $\Pi^2$ đang được hệ số chuẩn bị.

M543. Cho phép

$$\rho(x, y) = \frac{|x - y|}{\sqrt{1 + x^2}\sqrt{1 + y^2}}.$$

Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b$, có bất đẳng thức

$$\rho(a, c) \leq \rho(a, b) + \rho(b, c).$$

Hình 4.

Công thức cho “khoảng cách” $\rho$ về cơ bản có thể được chiếu bằng cách thiết lập sự tương ứng một-một $y = tg\alpha$ giữa các số $y \in \mathbb{R}$ và các số $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Nếu $y_1 = tg\alpha_1$, $y_2 = tg\alpha_2$, thì thay $tg\alpha$ bằng $\sin\alpha/\cos\alpha$, ta được

$$\rho(y_1, y_2) = \frac{|tg\alpha_1 - tg\alpha_2|}{\sqrt{1 + tg^2\alpha_1}\sqrt{1 + tg^2\alpha_2}} = |\sin(\alpha_1 - \alpha_2)|.$$

Vì vậy, chúng ta cần bất đẳng thức tam giác cho khoảng cách $\rho$ suy ra từ bất đẳng thức sau:

$$|\sin(\alpha_1 - \alpha_2)| \leq |\sin(\alpha_1 - \alpha_2)| + |\sin(\alpha_2 - \alpha_3)|;$$

(2) các bất đẳng thức sau đây đúng (với mọi $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$) không còn nghi ngờ gì nữa: với mọi $\beta$ và $\gamma$

$$|\sin(\beta + \gamma)| = |\sin\beta\cos\gamma + \sin\gamma\cos\beta| \leq |\sin\beta\cos\gamma| + |\sin\gamma\cos\beta| \leq |\sin\beta| + |\sin\gamma|;$$

đặt $\beta = \alpha_1 - \alpha_2$, $\gamma = \alpha_2 - \alpha_3$ ở đây, ta thu được (2).

Những công thức và phép tính lượng giác này, như nhiều độc giả đã nhận thấy, có thể được làm rõ bằng cách giải thích hình học về khoảng cách $\rho$ của chúng ta. Chúng ta hãy vẽ trên mặt phẳng một đường tròn tiếp tuyến với đường tọa độ $Oy$ tại điểm $O(y=0)$, có đường kính $|OP|=1$ và với mỗi điểm $Y$ (có tọa độ $y$) của đường thẳng, chúng ta liên kết giao điểm $F=F(y)$ của đoạn $PY$ với đường tròn này (Hình 4). Hãy để $F_1=F(y_1)$, $F_2=F(y_2)$. Khi đó $\rho(y_1, y_2)$ chỉ đơn giản là dilinah $|F_1F_2|=\sin\beta$.

(Điều này ngay lập tức rõ ràng từ (1), vì $F_1PF_2=|\alpha_1 - \alpha_2|=\beta$, nhưng cũng dễ dàng thiết lập về mặt hình học - ở bên phải, khi đó, diện tích của tam giác trong Hình 4 với chiều dài đáy $|y_1-y_2|$ và chiều dài chiều cao 1 bằng một nửa tích $\sqrt{1+y_1^2}\sqrt{1+y_2^2}\sin\beta$.) Bây giờ “bất đẳng thức tam giác” rất indo.

Ánh xạ $y \rightarrow F(y)$ của đường thẳng lên hình tròn và ánh xạ tương tự của mặt phẳng lên hình cầu - “bản đồ lập thể

25

Phép chiếu vật lý là một công cụ rất quan trọng đối với lời giải hình học khác nhau bài toán *).

Những độc giả quen thuộc với số phức cũng sẽ đánh giá cao lời giải này (được chỉ ra bởi học sinh lớp 10 V. Guba từ Vologda). Sau phép biến đổi $y \rightarrow \frac{1}{y+i} = z (y)$, khoảng cách $p$ chuyển thành khoảng cách thông thường giữa các điểm trên mặt phẳng phức: $\rho (y_1, y_2) = \left| \frac{1}{y_1+i} - \frac{1}{y_2+i} \right|$; Sau đó, cách giải thích hình học của ánh xạ này về cơ bản dẫn đến Hình 4 tương tự.

N. Vasiliev

M544. Số đỉnh tối đa không thể kiểm tra được một đường chéo (nằm hoàn toàn bên trong đa giác) mà một n-уzelbnik lồi có thể có là bao nhiêu? Giải quyết bài toán này trước để được $n=4,5,6,7$.

Hình 5.

Hình 6.

Hãy chứng minh rằng số đỉnh như vậy không vượt quá $\left[ \frac{n}{2} \right]$.

Điều này suy ra ngay từ bổ đề sau:

Bổ đề. Nếu $A$ và $B$ là các đỉnh liền kề của đa giác không lồi $M$, thì đường chéo có thể được kiểm tra từ $A$ hoặc $B$.

Bằng chứng. Đặt $B$ và $C$ là các đỉnh của đa giác $M$ liền kề với $A$.

Trước tiên chúng ta hãy giả sử rằng $BAC < 180^\circ$. Nếu tam giác $ABC$ (bao gồm cả các cạnh của nó) không có đỉnh nào khác của đa giác $M$ thì đường chéo yêu cầu là $[BC]$. Nếu trong tam giác $ABC$ có các đỉnh khác của đa giác $M$ thì ta chọn đỉnh giữa của chúng $D$, nằm cách đường $l$ một khoảng tối thiểu, đi qua điểm $A$ song song với $[BC]$. Khi đó $[AD]$ là đường chéo bắt buộc, vì nếu không thì đoạn $AD$ sẽ bị cắt bởi một cạnh $EF$ nào đó của đa giác $M$ (Hình 5), một trong hai đầu của nó sẽ nằm gần đường thẳng $l$ hơn điểm $D$, điều này sẽ mâu thuẫn với sự lựa chọn của điểm sau.

Hãy để bây giờ $BAC > 180^\circ$. Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này luôn có thể kiểm tra đường chéo từ đỉnh $A$. Để làm điều này, chúng ta mở rộng cạnh $BA$ của đa giác $M$ ra ngoài đỉnh $A$ cho đến giao điểm đầu tiên với các cạnh của đa giác $M$ tại một điểm nào đó $D$. Nếu $D$ là một đỉnh của đa giác $M$ thì $[AD]$ là đường chéo mong muốn. Ngược lại, $D$ nằm trên cạnh $EF$ của đa giác. Đặt đỉnh $E$ nằm ở hai phía đối diện của đường thẳng $BA$ với đỉnh $C$ (Hình 6). Chúng ta sẽ di chuyển điểm biến $P$ ở bên $EF$ từ điểm $D$ sang điểm $E$. Khi đó đoạn biến đổi $AP$ sẽ bao phủ tam giác $ADE$. Nếu tam giác $ADE$ không có đỉnh của đa giác $M$ thì $[AE]$ là đường chéo bắt buộc. Nếu tìm thấy thứ như vậy, thì chúng ta chắc chắn sẽ gặp phải một thứ khi xoay đoạn $AP$ từ vị trí $[AD]$ sang vị trí $[AE]$. Đoạn từ đỉnh $A$ đến đỉnh gần $A$ nhất trên đoạn $AP$, đoạn đầu tiên “gặp” các đỉnh của đa giác $M$, sẽ là đường chéo bắt buộc.

Bổ đề đã được chứng minh.

*) Ví dụ, hãy xem cuốn sách của I. M. Yaglom “Các phép biến đổi hình học, II. Các phép biến đổi tuyến tính và tròn" (Moscow, GTTI, 1956); tập tài liệu của B. A. Rosenfeld và N. D. Sergeeva “Những phép biến đổi Stegerfaitse” (“Các bài giảng phổ biến về toán học”, số 53, M., “Hayka”, 1973); Các bài viết từ «Kvant»: 1977, số 10, tr. 14; 1978, số 12, tr. c.: 1, 50 và giây thứ 2. bao gồm.

26

Hình 7, a và 7, b trình bày các ví dụ về các điểm mới của (2k)-giác và (2k+1)-giác, đạt được ước tính $\left[\frac{n}{2}\right]$.

Do đó, số đỉnh của các điểm mới của $n$-giác mà không thể xác minh được một đường chéo nào nhiều nhất là $\left[\frac{n}{2}\right]$.

S. Bichkov

F553. Một tấm ván nặng có khối lượng $M$ nằm trên hai viên đá đơn có bán kính $r$ và $R$ có khối lượng bằng nhau. $m$.
Được xem xét giữa tâm của các viên đá $l$. Tấm ván sẽ bắt đầu chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu nó bị nới lỏng?
Ma sát giữa tất cả các bề mặt là khối lượng được gán cho nó.

Vì không có hiện tượng trượt giữa tất cả các bề mặt nên khi ván và con lăn di chuyển, khoảng cách $|AB|$ giữa điểm tiếp xúc của con lăn và mặt phẳng ngang và khoảng cách bằng nhau $|A'B'|$ giữa điểm tiếp xúc của con lăn và ván sẽ không thay đổi (Hình 8). Do đó, khoảng cách $|O_1O_2| = l$ giữa tâm các con lăn sẽ không thay đổi. Và điều này có nghĩa là tốc độ tâm của các con lăn tại mọi thời điểm là như nhau và hướng theo đường thẳng $O_1O_2$.

Hãy tìm hướng vận tốc của khối tâm của tấm ván $O$.
Gọi tốc độ của tâm con lăn là $\vec{v}$. Khi đó trong hệ thống báo cáo chuyển động với tốc độ này, tâm của các con lăn đứng yên, vận tốc của các điểm $A'$ và $B'$ và do đó tốc độ $\vec{v}'$ của trọng tâm của tấm ván có giá trị tuyệt đối $\vec{v}$ và hướng dọc theo tấm ván. Trong mặt phẳng nằm ngang tương đối đứng yên của hệ thống báo cáo, tốc độ $\vec{u}$ của khối tâm bảng bằng tổng vectơ của các vận tốc $\vec{v}'$ và $\vec{v}$.
Từ Hình 8 cho thấy rõ vận tốc $\vec{u}$ hướng song song với đường thẳng $O_1O_2$. Chuyển động của bảng và khả năng tăng tốc của nó cũng được định hướng.

Ta biểu thị bằng $\vec{s}$ chuyển động của khối tâm của tấm ván tại thời điểm tốc độ của nó bằng $\vec{u}$. Tại thời điểm này, mô hình tốc độ của tâm con lăn $\vec{v} = |\vec{u}|/2 \cos \alpha$ và động năng của toàn hệ thống bằng

$$2 \frac{m |\vec{v}|^2}{2} + \frac{M |\vec{u}|^2}{2} = \frac{|\vec{u}|^2}{4} (m \cos^2 \alpha + 2 M).$$

Hình 8.

28

Ở đâu

$$t_0 = \frac{\mu g}{b} (m_1 + m_2).$$

Bây giờ không khó để xây dựng đồ thị về sự phụ thuộc của $|\vec{a}_1|$ và $|\vec{a}_2|$ theo thời gian $t$ (Hình 10).

I. Slobodetsky

F555. a) Một thanh cứng nhẹ có chiều dài $l$ có khối lượng $m$ ở đầu được gắn bản lề ở điểm dưới cùng và được giữ ở vị trí thẳng đứng bằng hai lò xo cứng nằm ngang $k$, được gắn chặt vào đầu trên của nó (Hình 11). Theo phương vuông góc với các lò xo thì thanh không thể song ngữ. Với khối lượng tải bằng bao nhiêu thì vị trí thẳng đứng của thanh trở nên ổn định?

b) Một kim đan nhỏ có chiều dài $l$ được đặt tối đa bằng một nửa, theo chiều dọc là 100 phút. Nếu tác dụng một lực ngang nhỏ $\vec{F}$ vào đầu trên của nó thì đầu trên của nan hoa sẽ lệch một lượng $a \ll l$. Ước tính trọng lượng mà một chiếc kim đan có thể chịu được ở đầu trên của nó mà không bị xẹp xuống. Sự khác biệt về hình dạng, khi lực ngang hoặc lực dọc tác dụng lên nó, độ đàn hồi sẽ cân bằng lực $\vec{F}$, gây ra sự dịch chuyển của đầu thanh, tức là $\frac{|\vec{F}|}{a}$.

Do đó, tải trọng tối đa mà một nan hoa có thể chịu được xấp xỉ

$$m \approx \frac{|\vec{F}| l}{ag}.$$

Hình 11. Hình 12.

có thể bị bỏ qua. Khi đó bài toán trở nên tương tự như bài toán a), trong đó giá trị $2k$, đặc trưng cho độ cứng của lò xo khi căng (nén), phải được thay thế bằng độ cứng $k'$ của các nan hoa khi uốn, bằng tỷ số mô đun của lực đàn hồi cân bằng lực $\vec{F}$ với độ dịch chuyển của đầu thanh, nghĩa là, $\frac{|\vec{F}|}{a}$.

Do đó, tải trọng tối đa mà một nan hoa có thể chịu được xấp xỉ

$$m \approx \frac{|\vec{F}| l}{ag}.$$

29

F556. Nếu bạn đặt một đoạn dây lên khối băng, từ đó nút thắt được treo (Hình 13), thì dây sẽ bắt đầu cắt băng. Điều này được giải thích là do khi áp suất tăng lên, điểm nóng chảy của băng bị vi phạm, lớp băng dưới dây bắt đầu mềm ra và phía trên dây bắt đầu đóng băng trở lại. Tuy nhiên, nếu một thứ gì đó không được làm từ dây mà từ một sợi nylon có cùng đường kính hoặc thậm chí nhỏ hơn, thì thực tế băng không bị cắt. Tại sao? Hãy thử kiểm tra trải nghiệm được mô tả.

Hình 13.

F557. Trong mạch như hình 14, phím K được đóng. Cường độ dòng điện cực đại trong mạch và hiệu điện thế cực đại trên tụ điện.

Hình 14.

Khi áp suất tăng lên, điểm nóng chảy của băng thực sự bị vi phạm. Tuy nhiên, khi băng tan, nhiệt của phản ứng tổng hợp bị hấp thụ và nhiệt độ của băng dưới dây bắt đầu giảm. Điều này xảy ra cho đến khi nhiệt độ của băng ở vùng áp suất cao giảm xuống nhiệt độ nóng chảy khi nó bắt đầu. Sự tan chảy tiếp theo của băng sẽ được xác định bởi nhiệt lượng, do tính dẫn nhiệt, sẽ truyền đến vùng có nhiệt độ cao.

Trong trường hợp dây, lượng nhiệt này sẽ được dẫn nhiệt do kim loại có tính dẫn nhiệt tốt từ nước đóng băng từ trên cao và quá trình cắt băng sẽ nhanh chóng. Trong trường hợp sợi nylon có độ dẫn nhiệt thấp, nhiệt sẽ được truyền chủ yếu do làm mát toàn bộ khối băng và quá trình cắt sẽ rất chậm.

I. Slobodetsky

Sau khi đóng chìa khóa, dòng điện sẽ chạy trong mạch. Do có điện cảm nên dòng điện không thể tăng ngay lập tức; nó sẽ tăng dần cho đến khi đạt giá trị cực đại.

Dòng điện chạy qua cuộn cảm sẽ tích điện cho tụ điện. Theo định luật bảo toàn năng lượng ở mọi thời điểm

$$\frac{LI^2}{2} + \frac{CU^2}{2} = q$$ (*)

Ở đây $I$ là dòng điện chạy qua cuộn cảm tại một thời điểm nhất định, $LI^2/2$ là năng lượng được lưu trữ tại thời điểm này trong từ trường của cuộn cảm, $U$ là điện áp trên tụ điện, $CU^2/2$ là năng lượng của tụ điện tại một thời điểm nhất định, $q = CU$ là điện tích truyền qua pin, $q$ là công thực hiện của pin.

Ở một giá trị nhất định của dòng điện $I_0$, điện áp trên tụ điện trở thành $\varepsilon$. Kể từ thời điểm này, tụ điện tiếp tục tích điện nhờ năng lượng của từ trường của cuộn cảm. Trong trường hợp này, dòng điện qua cuộn cảm bắt đầu giảm.

Do đó, $I_0$ là dòng điện cực đại trong mạch. Từ (*) tại $U = \varepsilon$ có

$$I_0 = \varepsilon \sqrt{C/L}.$$

Việc tích tụ điện tiếp tục cho đến khi xuất hiện dòng điện trong mạch ((*) ở điều kiện $I = 0$:

$$U_{\max} = 2\varepsilon.$$

P. Zubkov

30

Nhiệm vụ

1. Trong các ví dụ hiển thị trong hình, tất cả mười chữ số đều được sử dụng. Trong ví dụ đầu tiên, chữ 0 là số 0, chữ P bằng chữ I và chữ B là chữ Z, các chữ cái còn lại có giá trị số độc lập. Trong ví dụ thứ hai, không có chữ cái nào có cùng nghĩa, rõ ràng H$^E$=C và E là số lẻ.

Xác định ý nghĩa của tất cả các chữ cái trong mỗi ví dụ.

2. Cậu bé mua tem bưu chính bằng đồng rúp, và cậu mua hai con tem kopeck ít hơn 10 lần so với tem một kopeck, trong khi số tem còn lại là tem năm kopeck. Cậu bé đã mua bao nhiêu con tem của mỗi mệnh giá?

3. Trên đường kính của đường tròn tâm tại điểm O có tâm A và B của hai đường tròn nữa tiếp xúc với đường tròn ban đầu và nhau (xem hình). Một đường tròn khác, tâm được ký hiệu là C, tiếp xúc với cả ba khoảng cách bằng các đường tròn đó, như trong hình. Chứng minh rằng chu vi của các tam giác AOC và BOC bằng độ dài đường kính của hình tròn thứ nhất.

4. Học sinh lớp 6 Petya Ivanov đã đưa ra hai định lý mới:
   a) Một số tự nhiên chia hết cho 27 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 27;
   b) Nếu tổng các chữ số của một số tự nhiên chia hết cho 27 thì số đó chia hết cho 27.
   Liệu Petya có thể chứng minh những định lý này không?

31

O. Quặng

số nguyên tố Fermat

Có lẽ một trong những tính chất đầu tiên của các con số được con người phát hiện ra là một số số có thể bị phân tách thành hai thừa số nhỏ hơn, chẳng hạn như
$$6=2\cdot 3, 9=3\cdot 3, 30=2\cdot 15=3\cdot 10,$$
trong khi những người khác, ví dụ:
$$3, 7, 13, 37,$$
không được phân tích theo cách này.

Nếu số $c$ là tích của hai số $a$ và $b$ ($c=a\cdot b$), chúng ta gọi các số $a$ và $b$ là bội số hoặc ước số của số $c$. Mỗi số có hệ số nguyên tố (đơn giản nhất):
$$c=1\cdot c=c\cdot 1.$$
Theo đó, chúng ta gọi các số 1 và $c$ là đa gel và các ước số của số $c$.

Bài viết này là nguồn mở từ cuốn sách “Lời mời đến Lý thuyết số” của O. Ore, xuất bản năm 1980 trên Biblotechek «Kvant» (bản dịch của L. Savina, do A. Savin biên tập).

Bất kỳ số $c>1$ nào có hệ số hóa không tầm thường đều được gọi là hợp số. Nếu một số lớn hơn một chỉ có hệ số hóa tầm thường thì nó được gọi là số nguyên tố. Trong 100 số đầu tiên có 25 số sau là số nguyên tố:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 và tất cả các số khác ngoại trừ 1 đều là hợp số.

Nhiều bảng số nguyên tố đã được xuất bản trong hơn 200 năm qua. Rộng rãi nhất trong số đó là bảng của D. N. Lechmer, chứa tất cả các số nguyên tố lên tới 10.000.000.

Một số người đam mê đã biên soạn các bảng số nguyên tố lớn hơn 10.000.000, nhưng dường như việc xuất bản các bảng này chẳng có ý nghĩa gì. Chỉ trong những trường hợp rất hiếm hoi, một nhà toán học, thậm chí là một nhà toán học đặc biệt về lý thuyết số, mới giải quyết được câu hỏi liệu một số lớn hơn có phải là số nguyên tố hay không. Hơn nữa, số lớn hơn mà nhà toán học muốn biết là số nguyên tố hay hợp số không nảy sinh một cách tùy tiện. Chúng thường xuất hiện trong các bài toán đặc biệt và do đó có dạng rất cụ thể.