Kvant 1981, số 8 · Trang

KVANM
8
1981
Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Chúng tôi đã hơn một lần đăng trên tạp chí của mình những bản sao các tác phẩm của nghệ sĩ thay thế người Hà Lan M. Escher. Trong số này, chúng tôi giới thiệu với bạn một tác phẩm khác của anh ấy.
Bạn có nghĩ họa sĩ đã vẽ “từ cuộc sống” không? hay đây là sự tưởng tượng của anh ấy?

2

G. Marchuk

Từ
đến khoa học
thiếu niên

Tôi xin bày tỏ vài suy nghĩ trực tiếp đến các bạn trẻ đang dấn thân vào khoa học.

Người trẻ có những lợi thế to lớn mà không phải lúc nào họ cũng nhận ra và do đó không có cơ hội sử dụng. Suy cho cùng, tuổi trẻ là khối tài sản khổng lồ mang lại cho mỗi người, nhưng thật không may, chỉ trong một thời gian. Không đánh mất nó, loại bỏ nó nhanh chóng là điều kiện chính để cuộc sống sau này của bạn có ích, có ý nghĩa và vui vẻ.

Tuổi trẻ là những năm sáng tạo nhất của cuộc đời con người. Chính những gì anh ấy cố gắng làm khi còn trẻ sẽ ở lại với anh ấy mãi mãi, tạo thành nền tảng mà anh ấy sẽ sử dụng trong suốt cuộc đời. Thời gian lãng phí ở tuổi trẻ là không thể lấy lại được. Sử dụng nó chỉ để giải trí, hoặc để giảng dạy hình thức thuần túy, hoặc sử dụng nhiệm vụ một cách thiếu suy nghĩ có nghĩa là cướp bóc bản thân, phá hủy những khả năng chưa phát triển ở bản thân. Vì vậy, người ta phải đối xử với tuổi trẻ của mình với sự quan tâm đặc biệt và những yêu cầu đặc biệt.

Một số bạn trẻ ngây thơ tin rằng tuổi trẻ là lúc bạn cần phải lấy đi mọi thứ của cuộc sống. Và họ không thực sự biết “mọi người” là gì. Và tiếp thu mọi thứ từ cuộc sống có nghĩa là tiếp thu vào bản thân một khối lượng kiến ​​​​thức khổng lồ, kỹ năng đặt tên, để cải thiện và đào sâu chúng trong quá trình tiếp tục một cuộc sống có ý thức sáng tạo. Và tất nhiên là trả lại cho cộng đồng. Kinh nghiệm sống cho thấy rằng bạn càng sớm tìm được mục tiêu, vị trí của mình trong cuộc sống thì mọi hoạt động trong tương lai của bạn sẽ càng hiệu quả và ý nghĩa. Có thể thấy điều này qua tấm gương của các nhà khoa học vĩ đại người Nga và Liên Xô: Nikolai Ivanovich Lobachevsky, Dmitry

Viện sĩ Guriy Ivanovich Marchuk - Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, đoạt giải thưởng Lênin và Nhà nước, Phó Chủ tịch Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô, Chủ tịch Ủy ban Khoa học và Công nghệ Nhà nước Liên Xô.

Bài viết được in lại với những chữ viết tắt nhẹ từ cuốn sách “To the Young about Science,” do nhà xuất bản Molodaya Gvardiya xuất bản năm 1980.

3

Ivanovich Mendeleev, Ivan Petrovich Pavlov, Pafnutya Lvovich Chebyshev, Igor Vasilyevich Kurchatov, Sergei Pavlovich Korolev, Mstislav Vsevolodovich Kelysh và nhiều người khác.

Giới trẻ thường hướng tới những điều lớn lao, thực hiện những thay đổi mang tính quyết định và hiểu rõ những vấn đề lớn của toàn cầu. Điều này thật tuyệt vời, nhưng bất kỳ ý tưởng đẹp đẽ nào cũng sẽ chỉ là đồ chơi, bong bóng xà phòng nếu nó không được thực hiện. Vì vậy, chúng ta không chỉ phải cố gắng lập kế hoạch, phát minh, đề xuất mà còn phải luôn thực hiện, thực hiện một nhiệm vụ cụ thể và có thể hoàn thành nó đến cùng. Xét cho cùng, nó là tổng thể, là tổng thể của tất cả các công việc cụ thể về cơ bản tạo ra tất cả của cải xã hội của chúng ta, tất cả tiềm năng trong bất kỳ lĩnh vực hoạt động nào của con người.

Những người trẻ yêu thích thể thao đều biết rõ rằng để đạt được kết quả và duy trì phong độ thể thao thì cần phải nỗ lực rất nhiều. Điều này thậm chí còn áp dụng nhiều hơn cho khả năng sáng tạo. Chỉ khi bạn rèn luyện trí tuệ của mình, nạp nó bằng bài toán, với những tìm kiếm lời giải, thì nó mới không yếu đi mà sẽ phát triển ngày càng mạnh mẽ hơn.

Không nên nghĩ rằng điều này chỉ áp dụng cho những người trẻ tham gia nghiên cứu khoa học. Nalo cố gắng phát triển cách tiếp cận cuộc sống sáng tạo trong bất kỳ lĩnh vực hoạt động nào. Chỉ có cách tiếp cận này mới có thể hiểu sâu sắc thực tế của sự vật, hiện tượng, quá trình trong sản xuất, trong nền kinh tế và trong đời sống xã hội. Trước hết, bạn cần phát âm sâu, trong trường hợp đó, shirata sẽ chỉ xuất hiện muộn hơn. Hãy cẩn thận với cách tiếp cận kiến ​​​​thức hời hợt - điều này sẽ đóng lại con đường sáng tạo của bạn.

Điều quan trọng nhất ở một nhà khoa học chuyên nghiệp là có khả năng phát hiện ra sự khác biệt giữa kiến ​​​​thức được xã hội tích lũy và những hiện tượng hoặc sự kiện được phát hiện mà thoạt nhìn có vẻ là sai sót trong một thí nghiệm hoặc trong quá trình suy luận. Việc nghiên cứu kỹ lưỡng về mâu thuẫn đã nảy sinh và tìm cách giải quyết nó, như một quy luật, không chỉ cho phép chúng ta nhìn sự việc sâu sắc hơn mà còn thường mở ra những con đường mới trong khoa học.

Tôi nhớ một sự việc xảy ra ở một trong những thành phố Volga. Tôi được trường đại học mời đến đọc một bản báo cáo về các bài toán, và tôi hài lòng nhận lời. Sau bản báo cáo, một trong những người được phỏng vấn, người tự nhận mình là phó giáo sư của trường đại học, đến gặp tôi và nói:

• Điều đó tốt cho bạn ở Thị trấn Học viện, bạn có tất cả những vấn đề bạn muốn ở đó, nhưng chúng tôi có thể lấy chúng từ đâu?

Tôi không chỉ ngạc nhiên mà còn hết sức sốc trước câu hỏi này.

• Cho phép tôi, đồng nghiệp thân mến, đảm nhận bất kỳ chủ đề, công việc nào và ngay khi bạn gặp điều gì đó khó hiểu, đây là vấn đề của bạn… Hãy bắt tay vào giải quyết.

Đối với tôi, điểm đặc biệt của năm thứ hai nghìn dường như được giáo dục rộng rãi không phải trong một lĩnh vực khoa học mà ít nhất là trong hai hoặc ba lĩnh vực: quy luật phát triển của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ chắc chắn sẽ đưa ra một “dự luật” như vậy.

Tất nhiên, khi tôi sử dụng thuật ngữ “rộng”, ý tôi là sự thấu đáo và khả năng sử dụng của kiến ​​thức. Và tôi có thể thấy rõ con đường hình thành một chuyên ngành như vậy. Sau khi tốt nghiệp một trường đại học (hãy lấy một trường đại học làm ví dụ), bài toán chính của sinh viên tốt nghiệp là vào khu vực nhân sự phía máy chủ xứng đáng với công việc sẽ được giao phó cho anh ta. Rất có thể, trong một vấn đề khoa học hẹp. Bằng cách khám phá nó, một chuyên gia trẻ thực sự phát triển sâu sắc các kỹ năng, kỹ năng sáng tạo của riêng mình. Việc này phải mất từ ​​ba đến năm năm. Trong giai đoạn này, chuyên gia trẻ trở thành—không thể không trở thành—một “giáo sư” trong “lĩnh vực hẹp” của mình.

Sau này, anh ấy cần chuyển sang một lĩnh vực khoa học thú vị, thậm chí có thể còn xa mới là vấn đề hẹp mà anh ấy chuyên sâu. Bước vào một lĩnh vực kiến ​​thức mới - tức là làm chủ

4

sự kiện mới, ý tưởng cơ bản. Tuy nhiên, điều này đòi hỏi
đã đấu tranh được ít thời gian hơn - một đến ba năm, bởi vì các phương pháp, quy trình
kiến thức hóa ra lại giống nhau: được rèn luyện ngay sau khi tốt nghiệp đại học
Hệ thống sáng tạo của trường đại học cũng sẽ “hoạt động” ở đây. Đây chính xác là những gì sẽ mang lại
cơ hội để nhanh chóng bước vào một lĩnh vực khoa học mới. Để làm chủ thứ ba
thậm chí sẽ mất ít thời gian hơn, nhưng chiều sâu kiến ​​thức khoa học hiện nay
vẫn như cũ.

Bây giờ chuyên gia có thể khảo sát phạm vi rộng hơn
lĩnh vực khoa học hoặc công nghệ. Anh ấy bắt đầu nhận ra các xu hướng trong dài hạn
phát triển hơn nữa của khoa học tại các giao điểm của các lĩnh vực liên quan. Và phần mở đầu ở cuối-
kah thường quan trọng hơn. Vậy cuối cùng sinh lớn
nhà khoa học, nhà lãnh đạo, có khả năng quan sát và phát triển sâu sắc
hướng chính của tiến bộ khoa học và công nghệ.

Người ta nghe nói rằng sự tăng trưởng nhanh chóng và những thành công đầu tiên đã tạo nên
những người trẻ tuổi có cảm giác ưu việt hơn chủ nghĩa hàng hóa của họ. Liên quan
Với điều này, tôi muốn thu hút sự chú ý đặc biệt của các bạn trẻ đến khái niệm này,
thích sự khiêm tốn.

Điều này sẽ đưa ra một sự thật hiển nhiên rằng người ta phải khiêm tốn, ở đây có vẻ như
và không có gì để nói. Nhưng phẩm chất này, theo tôi, sẽ trở thành tất cả
quan trọng hơn trong thời đại của chúng ta, khi tỷ trọng của
và vai trò của các hình thức lao động tập thể và các loại hình con người xã hội khác
Hoạt động của Cheverskoy Sự khiêm tốn được thể hiện chính xác trong giao tiếp của mọi người
cuộc sống với người khác, chính cô ấy (hoặc sự thiếu vắng nó) quyết định
thường là bầu không khí trong đội, bầu không khí đạo đức. Khiêm Tốn -
một nét đặc trưng không thể thiếu của nền văn hóa cao.

Tôi thực sự thích tuyên bố của Hegel về chủ đề này. Đúng, nó
mặc một bộ đồ hơi nặng nề và khó mặc ngay lập tức
ẩn hình thức nhưng đào sâu vào nội dung. Đây là:

“Nói đến từ “người có văn hóa” có thể hiểu một cách gần gũi
mẹ là những người có thể làm mọi việc mà người khác làm,
và những người không hành động theo đặc thù của họ, trong khi
ở một số người, điều sau được phát hiện.

Trong mối quan hệ với người khác, một người vô văn hóa có thể
thật dễ dàng để xúc phạm họ, vì anh ta chỉ trao quyền tự do cho chính mình và không đam mê
nghĩ về những cảm xúc mà người khác đã trải qua. Anh ấy không muốn
Làm hư người khác nhưng hành vi của anh ta không phù hợp với ý muốn của anh ta. Kul-
Do đó, du lịch là sự làm suy yếu các đặc điểm để dẫn đến
mình theo tính chất của chủ đề. Sự độc đáo thực sự, đó là
sự sáng tạo của một vật thể thực sự đòi hỏi phải có văn hóa, trong khi
sự độc đáo giả tạo đã mang hình dạng của những biểu hiện vô vị đó
điều này chỉ xảy ra với những người vô văn hóa.”

Tôi đã viết ra tuyên bố này và giữ nó trong tay, và đôi khi,
Tôi đã nói với các nhân viên trẻ của mình hãy lưu ý.

Đừng đi theo con đường khiêm tốn với sự giàu có, quán tính -
điều này khác xa với điều tương tự. Sự dũng cảm, thậm chí là sự mộc mạc của những tuyên bố khoa học,
lời giải mới là điều khiến bất kỳ giáo viên nào cũng hài lòng với học sinh của mình.

Những thanh niên tài năng thường tỏ ra thích thú với những điều mới mẻ.
lĩnh vực khoa học và công nghệ, nó thường không nhận ra nó, thể hiện
nhu cầu hiện tại của xã hội. Người trẻ không gánh nặng
cùng với truyền thống, họ dễ dàng tiếp cận những vấn đề hoàn toàn mới hơn, làm việc trên
sự giao thoa của các ngành khoa học, bao gồm cả những ngành mà trước đây dường như không có mối liên hệ nào với nhau.

Ngày nay chúng ta phải liên tục cập nhật kiến ​​thức và hoàn thiện
một chuyên gia trưởng thành, có uy tín, nếu không họ sẽ liều mạng.
Lời kêu gọi của Vladimir Ilchen Lenin, gửi đến giới trẻ
zhi: “Học, học nữa và học nữa” - không những không cũ mà ngược lại, càng ngày càng trở nên phù hợp hơn.

Hãy để chúng tôi theo dõi anh ấy.

5

Tinh thể lỏng

Thế giới tuyệt vời của tinh thể lỏng đã mở ra trước mắt các nhà khoa học cách đây tương đối lâu, nhưng trong 15-20 năm qua đã có bước nhảy vọt trong việc tìm hiểu bản chất của trạng thái tinh thể lỏng, tính chất vật lý của các chất này và vai trò của chúng trong khoa học và công nghệ hiện đại. Và giờ đây không còn nghi ngờ gì nữa rằng tiến bộ khoa học và công nghệ hơn nữa không thể đạt được nếu không có những vật liệu này, đa dạng về tính chất, tính kinh tế cao và chế tạo và sử dụng tương đối đơn giản.

Và thông tin đầu tiên về những chất như vậy đã được báo cáo vào năm 1888 bởi nhà thực vật học gốc F. Reinitzer, người đã tổng hợp các tinh thể chưa qua đào tạo. Khi chúng được đun nóng, thu được một chất lỏng, tùy thuộc vào nhiệt độ, có màu đục, rõ rệt hoặc có màu xanh lam. Nhà vật lý người Đức O. Lehmann đã bắt đầu một nghiên cứu có hệ thống về những chất như vậy và phát hiện ra rằng một trạng thái đặc biệt đã được phát hiện, vốn có trong nhiều hợp chất hữu cơ.

Chất lỏng chuyên dụng

Chất lỏng rất khác với chất khí và tinh thể rắn. Các nguyên tử hoặc phân tử tạo nên chất lỏng không thể di chuyển rất xa nhau. Điều này có nghĩa là trong chất lỏng, lực hút giữa các nguyên tử hoặc phân tử rất quan trọng. Điều tương tự cũng có thể nói về một tinh thể rắn, nhưng trong một tinh thể, những lực này chỉ lớn khi các nguyên tử buộc phải chiếm những vị trí được xác định rõ ràng trong đó, tạo thành một mạng tinh thể ba chiều. Trong mạng như vậy luôn có các hướng được chọn, gọi là trục tinh thể. Dọc theo những hướng này, các nguyên tử được sắp xếp theo một trật tự tuần hoàn chặt chẽ. Trong chất lỏng nói chung không có hướng xác định, nó không có hình dạng riêng, bởi vì các phân tử chất lỏng không liên kết nhiều với nhau và có thể trộn lẫn trong không gian - nhảy từ nơi này sang nơi khác.

Do đó, trong chất lỏng chảy, các phân tử chỉ nằm ở vị trí trung bình ở một khoảng cách đặc trưng nhất định với nhau. Đáp số câu hỏi về cách các phân tử tương tác với nhau và khoảng cách trung bình $a$ giữa chúng là bao nhiêu đã được cơ học lượng tử trả lời. Hóa ra là ở khoảng cách lớn giữa các phân tử, sự tương tác của chúng được xác định bởi lực hấp dẫn và ở khoảng cách rất ngắn bởi lực đẩy. Do đó, các phân tử không thể dính vào nhau trong một khoảng cách rất ngắn do lực đẩy rất lớn - trong trường hợp này họ nói rằng các phân tử không thể xuyên qua nhau. Ở khoảng cách $a$, xấp xỉ bằng kích thước của các phân tử, tương tác yếu giữa các phân tử trở thành bằng không.

Đây là cách một chất lỏng nói chung được cấu tạo, bao gồm các phân tử hoặc nguyên tử tương đối đơn giản. Tuy nhiên, một khám phá đáng chú ý đang chờ chúng ta nếu các phân tử có hình dạng dị hướng rõ rệt, nghĩa là liệu một số trục đặc trưng có thể được xác định rõ ràng trong phân tử hay không. Các phân tử như vậy được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong Hình 1; trong đó, các nguyên tử không nằm ngẫu nhiên mà xếp thành một đường phân biệt nhanh (Hình 1, $a$) hoặc nằm trong một mặt phẳng đã chọn (Hình 1, $b$; các hình vẽ biểu thị các nguyên tử tạo thành trục

6

xương sống của phân tử). Sự tương tác của các phân tử có hình dạng này dẫn đến thực tế là ở trạng thái lỏng, chúng không chỉ được giữ ở một khoảng cách trung bình nhất định với nhau mà còn có thể duy trì một trật tự nhất định trong sự sắp xếp tương đối của chúng - trục dài của các phân tử (Hình 2, a) hoặc các mặt phẳng của các phân tử (Hình 2, b) hóa ra là song song với nhau. Trong một chất lỏng không định lượng như vậy, một hướng đặc biệt xuất hiện, giống như trong một tinh thể rắn, dọc theo đó tầm nhìn về trục của các phân tử được định hướng. Sự giống nhau giữa tinh thể và chất lỏng tuyệt vời được mô tả đã dẫn đến việc tạo ra hai khái niệm mới trong một - “tinh thể lỏng”. Và trạng thái lỏng thể hiện trong Hình 2 được gọi là tinh thể lỏng nematic*).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các lực tác dụng trong chất lỏng nematic. Những lực này là các quá trình điện. Điều thú vị là lực kéo xảy ra giữa hai nguyên tử hoặc phân tử trung hòa về điện. Chúng ta hãy thử tìm hiểu cách thức hoạt động của nó bằng cách sử dụng các nguyên tử làm ví dụ.

Hãy tưởng tượng rằng vì một lý do ngẫu nhiên nào đó trong nguyên tử có sự trộn lẫn giữa đám mây electron âm và đám mây mang điện tích dương.

*) Điêu khắc “nematic” có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp γημα - thread. Trong tinh thể lỏng, các sợi chuyển động mỏng có thể nhìn thấy được dưới microsome, biểu hiện các khiếm khuyết về cấu trúc. Không có những sợi như vậy trong một tinh thể lỏng lý tưởng.

Hình 1.

Hình 2.

hạt nhân. Một nguyên tử như vậy có thể được coi là tập hợp của hai điện tích chính xác trái dấu, giống hệt nhau về giá trị tuyệt đối, nằm ở một khoảng cách nhất định với nhau (Hình 3, a). Một hệ thống điện tích như vậy được gọi là lưỡng cực điện. Một điện trường xuất hiện ở vùng lân cận của lưỡng cực nguyên tử. Tính hữu ích của trường này nhanh chóng bị loại bỏ khi di chuyển khỏi .atoma, nhưng gần với .atoma thì nó rất hữu ích. Nếu một nguyên tử trung hòa II rơi vào vùng lân cận của nguyên tử I (Hình 3, b) thì điện trường của nguyên tử I sẽ làm dịch chuyển điện tích của các electron và hạt nhân của nguyên tử II như trên Hình 3, b. Sự trộn lẫn tương đối các điện tích trong nguyên tử II sẽ tạo ra một điện trường duy trì sự phân tách điện tích trong nguyên tử I.

Từ Hình 3, b rõ ràng là các phần tích điện trái dấu của các nguyên tử phải liên hợp với nhau, nghĩa là toàn bộ nguyên tử phải liên hợp với nhau. Khi các nguyên tử trở nên mạnh hơn, lực đẩy bắt đầu tác dụng giữa chúng. Khi xem xét xấp xỉ bằng kích thước của các nguyên tử, lực tương tác giữa các nguyên tử bằng không.

Chúng ta có thể kiểm tra chính xác lý luận tương tự đối với hai phân tử gồm có một số nguyên tử hoạt động. Các phân tử trung tính phải liên hợp với nhau do sự hình thành các nguyên tử lưỡng cực điện. Thật vậy, các phân tử phải được liên hợp. Nhưng làm thế nào? Rõ ràng là, theo các nguyên tắc được mô tả ở trên, hầu hết

8

Hình 4.

chùm ánh sáng. Các tinh thể đặc biệt - bộ phân cực - chuyển đổi ánh sáng không phân cực thành ánh sáng phân cực tuyến tính, vì chúng chỉ có thể truyền ánh sáng thành các sóng trong đó vectơ $\vec{E}$ được định hướng khá cụ thể so với trục quang của bộ phân cực. Ví dụ, một tinh thể tourmaline chỉ truyền ánh sáng phân cực dọc theo trục quang của tinh thể này, trong khi các sóng có phân cực vuông góc bị nó hấp thụ mạnh. Nếu hai bản phân cực được đặt trên đường đi của chùm sáng, các trục của chúng song song, thì ánh sáng (phân cực) sẽ đi qua một hệ thống quang học như vậy (Hình 4, a) và nếu trục của các bản phân cực giao nhau thì ánh sáng sẽ không thể đi qua hệ thống này (Hình 4, b).

Bây giờ chúng ta hãy đặt hai chiếc kính giữa hai bản phân cực chéo và một chất lỏng nematic giữa chúng, trước đó đã đánh bóng nhẹ kính theo một hướng nhất định. Việc đánh bóng thủy tinh như vậy là cần thiết để định hướng trục quang của tinh thể lỏng ($\vec{n}$) theo một hướng nhất định. Ví dụ, trong quá trình đánh bóng song song kính, các phân tử bám vào kính song song với các rãnh vi mô trên bề mặt kính, do các tương tác cơ học được mô tả, đặt cùng hướng của vectơ $\vec{n}$ và

Ánh sáng
phân cực
Thủy tinh
Tinh thể lỏng
Thủy tinh
phân cực
Không có ánh sáng
MỘT)
b)
Ánh sáng phân cực
V)
Hình ảnh các con số
Điện cực hình
Điện cực rắn
Gương

Hình 5.

9

ở độ sâu của lớp chất lỏng nematic (Hình 5, a). Nếu các ngăn xếp không sử dụng được được hình thành sơ bộ bằng các hóa chất đặc biệt thì có thể đạt được hướng của trục $\vec{n}$ vuông góc với bề mặt kính (Hình 5, b). Cuối cùng, nếu các ngăn xếp hữu ích được xoay vuông góc với nhau thì có thể thu được hướng của vectơ $\vec{n}$ xoắn dọc theo độ dày của lớp (Hình 5, c hiển thị các hình chiếu của trục $\vec{n}$ lên mặt phẳng vẽ).

Làm thế nào để ánh sáng phân cực truyền qua một lớp chất lỏng định hướng và qua các hệ thống quang học được mô tả nói chung? Nếu sự phân cực của ánh sáng song song với trục $\vec{n}$ (vectơ $\vec{E}$ dao động dọc theo hướng $\vec{n}$), thì ánh sáng sẽ truyền qua tinh thể lỏng mà không thay đổi độ phân cực của nó (Hình 5, a). Điều tương tự cũng xảy ra nếu sự phân cực của ánh sáng vuông góc với trục quang học (Hình 5, b). Trong trường hợp hướng xoắn $\vec{n}$, sự phân cực của ánh sáng cũng quay sau trục $\vec{n}$ (Hình 5, c).

Bạn có thể hiểu tại sao điều này xảy ra.

Để làm điều này, chúng ta hãy nhớ lại các tính chất cơ bản của ánh sáng và các điều kiện truyền của nó trong tinh thể. Thứ nhất, ánh sáng dưới dạng sóng điện từ có thể được phát ra khi các điện tích dao động, chẳng hạn, trong một sự thay đổi nhanh chóng có chu kỳ về khoảng cách giữa các điện tích khác nhau trong nguyên tử (Hình 3, a) hoặc phân tử. Trong trường hợp này, ở gần các điện tích, điện trường thay đổi theo cùng chu kỳ, tạo ra một từ trường thay đổi định kỳ $\vec{B}$, và từ trường sau tạo ra, ở khoảng cách lớn hơn so với các điện tích, một điện trường xen kẽ $\vec{E}$, v.v. (điều này được giải thích bằng hiện tượng cảm ứng điện từ Faraday nổi tiếng). Đây là cách một trường điện từ thay đổi định kỳ phát sinh trong không gian xung quanh các điện tích dao động. Trong một trường điện từ như vậy, như đã biết, các vectơ $\vec{E}$ và $\vec{B}$ vuông góc với nhau và vuông góc với hướng truyền sóng (Hình 6). Sóng truyền đi theo mọi hướng từ nguồn. Nếu nguồn sáng là một lưỡng cực thì ban đầu ánh sáng được phát ra theo hướng vuông góc với trục của lưỡng cực. Không có bức xạ dọc theo trục lưỡng cực, vì theo hướng này, từ trường được tạo ra bởi sự dao động của điện trường ở các phía đối diện của trục triệt tiêu lẫn nhau một cách chính xác.

Nếu một sóng điện từ lan truyền trong môi trường gồm các nguyên tử và phân tử thì sự dao động của vectơ $\vec{E}$ sẽ gây ra các dao động điện trong các nguyên tử và phân tử. Kết quả là sẽ xuất hiện các dipole, trong đó khoảng cách điện giữa các điện tích khác nhau sẽ thay đổi. Nhưng những dao động lưỡng cực như vậy lại dẫn đến sự phát ra sóng ánh sáng. Điều này có nghĩa là cả sóng thứ nhất và sóng thứ cấp do các phân tử và nguyên tử phát ra dưới tác dụng của trường của sóng thứ nhất thực sự lan truyền trong môi trường. Các sóng này giao thoa với nhau, nghĩa là chúng tăng cường hoặc làm suy yếu lẫn nhau, tùy thuộc vào việc chúng đến một điểm nhất định trong không gian cùng pha hay phản pha tại một thời điểm nhất định. Cùng pha - điều này có nghĩa là biên độ của sóng chỉ đơn giản là cộng lại; trong phản pha - biên độ bị trừ.

Điều gì xảy ra trong lớp tinh thể lỏng khi ánh sáng đi qua nó? Trong tinh thể lỏng, sóng ánh sáng rất hữu ích trong việc gây ra sự phân tách điện tích trong phân tử và xuất hiện các dao động lưỡng cực. Giả sử rằng trong một phân tử tinh thể, các electron dễ dàng trộn lẫn dọc theo chiều dài của trục phân tử, nghĩa là dọc theo hướng $\vec{n}$. Sau đó, trong trường hợp được hiển thị trong Hình 5, sóng tới và sóng thứ cấp lan truyền khắp độ dày của lớp và các vectơ $\vec{E}$ trong sóng trùng nhau về hướng. Trong trường hợp như ở Hình 5, b, các lưỡng cực không hình thành và sóng thứ cấp không phát ra; Điều này có nghĩa là sóng tới đi qua và không bị suy yếu. Cuối cùng, trong trường hợp 5, sự phân cực của ánh sáng thay đổi hướng theo chuyển động quay của trục quang $\vec{n}$ dọc theo độ dày của lớp. Việc quay vectơ $\vec{E}$ cùng lúc với trục $\vec{n}$ đảm bảo sự phát xạ của sóng thứ cấp không bị suy giảm ở bất kỳ độ sâu nào của lớp. (Hiện tượng giao thoa này sẽ xảy ra khi có nhiều lưỡng cực trên đường đi của cung ánh sáng - nguồn của sóng thứ cấp, tức là

10

khi độ dày lớp lớn hơn nhiều so với bước sóng ánh sáng.)

Vì vậy, ánh sáng đi qua một lớp chất lỏng nematic và tới bản phân cực thứ hai. Và ở đây nảy sinh một tình huống vốn đã quen thuộc với chúng ta. Trong trường hợp a và b (Hình 5), ánh sáng không thể truyền qua hệ thống quang học, nhưng trong trường hợp c thì nó truyền liên tục. Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng một trường hợp trung gian, khi các trục $\vec{n}$ trên tường giao nhau, nhưng do độ dày của lớp, do một số ảnh hưởng, chúng gần như vuông góc với kính. Trong trường hợp này, hầu như không có ánh sáng nào đi qua bản phân cực thứ hai. Còn một bước nữa trước khi áp dụng đại trà một hệ thống như vậy: người ta phải học cách điều khiển trục quang của chất lỏng nematic sao cho khi không có ảnh hưởng, trục này được định hướng, như trong Hình 5, và khi bật tác động, nó nghiêng một góc dễ nhận thấy, như trong Hình 5, 6 và 2. Sau khi tắt ảnh hưởng, các phân tử chiếm giữ, định vị các vị trí trước đó của chúng do các điều kiện trên bề mặt kính và sự tương tác với nhau.

Và hóa ra là rất dễ dàng thực hiện điều này trong một tinh thể lỏng nematic bằng cách sử dụng điện trường, bao quanh một lớp giữa các tấm kính được đánh bóng trên đó áp dụng các điện cực chất lượng cao. Bằng cách kết nối một cục pin yếu với các điện cực này và làm chập mạch mục tiêu, chúng tôi sẽ làm cho hệ thống quang học của mình truyền ánh sáng và bằng cách mở mục tiêu, chúng tôi sẽ làm cho nó có thể phát âm được, đó là điều mà Fredericks lần đầu tiên đạt được. Vẫn còn phải thảo luận về một câu hỏi vật lý thú vị: tại sao điện trường lại biến các phân tử theo cách chúng ta cần và nó phải mạnh đến mức nào.

Đáp số Phần đầu tiên của câu hỏi rất dễ trả lời bằng Hình 7. Giả sử một phân tử, trong đó lưỡng cực dễ dàng hình thành dọc theo trục dài, nằm trong điện trường và có một góc nhất định giữa các vectơ $\vec{E}$ và $\vec{n}$. Sau đó, trong lưỡng cực được hình thành, các điện tích $+Q$ và $-Q$ chịu tác dụng của các lực $\vec{F}_+ = +Q\vec{E}$ và $\vec{F}_- = -Q\vec{E}$; Do đó, một cặp lực xuất hiện, tạo ra một mômen quay. Mômen lực này làm quay phân tử sao cho trục dài của nó hướng dọc theo vectơ $\vec{E}$.

Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là bạn thực sự cần phải quay một số lượng rất lớn các phân tử cùng một lúc, nhưng may mắn thay là không cần phải quay từng phân tử riêng lẻ. Vì các phân tử tương tác với nhau được định hướng theo cùng một cách, nên, nói một cách đại khái, chỉ cần loại bỏ một phân tử để những phân tử khác, giống như quân domino, xoay chuyển nhau xung quanh phân tử đầu tiên là đủ. Do đó, để thực hiện hiệu ứng được mô tả, cần có một giá trị hữu hạn nhất định của hiệu điện thế giữa các điện cực—điện áp ngưỡng. Giá trị ngưỡng này được xác định từ điều kiện bằng nhau về mô men của hai lực: lực tác dụng từ điện trường và lực phục hồi tương tác giữa các phân tử, có xu hướng định hướng các phân tử giống như cách các phân tử dính vào thủy tinh được định hướng. Và hóa ra là bất kể độ dày của lớp, điện áp ngưỡng có thể là một phần của vôn, và độ dày của lớp được sử dụng trong thực tế là một phần của milimet! Con số này ít hơn nhiều lần so với những gì cần thiết để đạt được hiệu ứng quang học tương tự trong tinh thể rắn, điều này đã dẫn đến mối quan tâm thực tế to lớn đối với tinh thể lỏng khi chế tạo các loại mặt số.

Mặt số ở những chiếc đồng hồ điện nói trên được bố trí như hình.

11

được hiển thị trong Hình 5, 2, trong đó một gương phản chiếu được thêm vào phía sau bản phân cực thứ hai và điện cực phía trên có đường viền của số cần thiết. Khi chiếu từ trên xuống vào mặt số này, ánh sáng tự do truyền tới gương và phản xạ khắp nơi ngoại trừ vùng tương ứng với số điện cực (nếu mạch đóng). Trong khu vực của điện cực, ánh sáng bị hấp thụ sẽ không chiếu tới gương và nơi này tối - ví dụ, đây là cách một số hoặc chữ cái màu đen xuất hiện trên nền sáng của chỉ báo quay số. Chỉ báo chữ và số hoạt động theo nguyên tắc tương tự trong đồng hồ, máy tính, máy dịch điện tử, như thang đo để thay đổi dụng cụ và cài đặt, trong các bảng khác nhau, v.v. Việc thêm thuốc nhuộm vào lớp tinh thể lỏng làm cho các chỉ báo này có màu. Ngoài ra, các thiết bị tinh thể lỏng có số lượng điện cực lớn và mạch điều khiển điện phức tạp có thể đóng vai trò là màn hình tivi (TV phẳng không có ống điện), bộ chuyển đổi hình ảnh (thị giác thiết bị), phương tiện điều chế và quét chùm sáng trong hệ thống truyền thông quang học, định vị ánh sáng, xử lý thông tin quang học trong máy tính tốc độ cao.

Chất lỏng Nematic đã được ứng dụng rộng rãi trong thời hiện đại. Hóa ra, các sợi polymer thu được từ giải pháp chủ đề định hướng tốt của các phân tử polymer có được độ bền rất lớn. Điều này được giải thích là do trong các sợi như vậy, hầu hết tất cả các phân tử đều được “khớp” tốt với nhau, nghĩa là trục chính của chúng song song với nhau và điều này giúp tăng cường đáng kể sự gắn kết giữa các phân tử. Các sợi polymer như vậy đóng vai trò là phương tiện tuyệt vời để tăng cường các thành phần quan trọng nhất trong cơ chế, máy móc và cấu trúc hàng không vũ trụ hoạt động trong điều kiện khắc nghiệt, nghĩa là ở nhiệt độ và tải trọng rất cao. Tuy nhiên, còn có các loại cấu trúc và vật liệu tinh thể lỏng khác cũng quan trọng không kém nhưng chúng ta sẽ nói về chúng trong bài viết tiếp theo.

Hình học bài toán
độc giả của chúng tôi

1. a) Chứng minh rằng với điểm N bất kỳ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC, hiệu giữa bình phương độ dài lớn nhất của các đoạn AN, BN, CN và tích độ dài hai đoạn còn lại bằng bình phương độ dài các cạnh của tam giác.

6. Đặt độ dài các cạnh của tam giác bằng a và độ dài lớn nhất của các đoạn được đề cập bằng t. Độ dài của hai đoạn còn lại là bao nhiêu?
   A. Duplo

2. Tam giác ABC được chia các đường trung tuyến AA1, BB1, CC1 thành sáu tam giác, mỗi tam giác nội tiếp một đường tròn. Gọi r1, r2,…, r6 là bán kính của các đoạn này (Hình 1). Chứng minh rằng

$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_4} + \frac{1}{r_5}.$$

P. Mazov

3. Cho tam giác ABC có góc C bằng 120°. Cho M là một điểm trên cạnh AB. Chứng minh đoạn CM là phân giác của góc C khi và chỉ khi

$$\frac{1}{|CM|} = \frac{1}{|AC|} + \frac{1}{|BC|}.$$

S. Sefibekov

4. Các đường chéo của hình thang ABCD cắt nhau tại điểm O. Qua trung điểm M

Hình 1

Trên cạnh CD có đường thẳng MO cắt cạnh AB tại điểm N. Gọi K là giao điểm của đường thẳng AM với đường chéo BD. Được biết, (BM) || (NK). Tìm mối quan hệ |AD|:|BC| (AD và BC là hai đáy của hình thang).

E. Abdulaev

5. Trong tứ giác ABCD lấy các điểm P và R sao cho (AP) || (CR), (DP) || (BR) và APD = 120° (Hình 2). Chứng minh rằng nếu |RC| — |AP| = |DP| — |RB| = |DC| - |AB| thì tứ giác ABCD là hình thang.

F. Kabdikairov

12

D. Fuchs

Về việc mở dấu ngoặc đơn
về Euler, Gauss, Macdonald
và về những cơ hội bị bỏ lỡ

Mỗi bạn đã phải mở ngoặc bao nhiêu lần trong một tác phẩm? Hàng nghìn, hay có thể là mười nghìn? Nếu có điều gì hấp dẫn trong hoạt động này thì người ta hy vọng rằng kết quả của phép nhân, sau khi cộng các số hạng tương tự, sẽ có dạng thuận lợi, chẳng hạn như,

$$\begin{align*} (a+b) (a-b) &= a^2 - b^2, \\ (1-a) (1+a + \dots + a^n) &= 1 - a^{n+1}. \end{align*}$$

Dưới đây chúng ta sẽ nói về những sự bình đẳng tương tự, chỉ là ít cực đoan hơn và sâu sắc hơn nhiều. Chúng là kết quả của hơn hai thế kỷ làm việc của các nhà toán học hàng đầu thế giới. Tôi khuyên độc giả của mình nên chuẩn bị sẵn giấy bút và lặp lại tất cả các phép tính theo tôi: điều này không chỉ giúp hiểu nội dung của bài viết mà còn đánh giá mức độ không tầm thường của kết quả của nó.

1. Danh tính Euler

Vào giữa thế kỷ 18 - đó là vào năm 1748 hoặc vài năm trước đó - Leonhard Euler bắt đầu quan tâm đến các hệ số của đa thức

$$\varphi_n(x) = (1-x) (1-x^2) (1-x^3) \dots (1-x^n).$$

Anh ta đã mở dấu ngoặc trong tác phẩm - và nhận được một phản hồi gây sốc

13

Kết quả. Chúng ta hãy thực hiện phép tính này:

$$\varphi_1(x) = 1 - x,$$
$$\varphi_2(x) = 1 - x - x^2 + x^3,$$
$$\varphi_3(x) = 1 - x - x^2 + x^4 + x^5 - x^6,$$
$$\varphi_4(x) = 1 - x - x^2 + 2x^5 - x^8 - x^9 + x^{10},$$
$$\varphi_5(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^6 + x^7 - x^8 - x^9 - x^{10} \dots,$$
$$\varphi_6(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + 2x^7 - x^9 - x^{10} \dots,$$
$$\varphi_7(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 + x^8 - x^{10} \dots,$$
$$\varphi_8(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 + x^9 \dots,$$
$$\varphi_9(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 + x^{10} \dots,$$
$$\varphi_{10}(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 \dots$$

Đa điểm biểu thị các phần của đa thức $\varphi_n(x)$ chứa $x$ ở mức lớn hơn 10 (định dạng tạp chí không cho phép viết ra hoàn toàn các đa thức này: ví dụ: đa thức $\varphi_{10}(x)$ có ​​bậc 55).

Hãy bắt đầu với một quan sát khác nhưng quan trọng: các hệ số của đa thức $\varphi_n(x)$ “ổn định” khi $n$ tăng, nghĩa là mỗi hệ số không thay đổi bắt đầu từ một số $n$. Điều này dễ dàng bắt buộc: việc chuyển đổi từ $\varphi_{n-1}(x)$ sang $\varphi_n(x)$, bao gồm phép nhân với $1 - x^n$, không ảnh hưởng đến các hệ số của $1, x, \dots, x^{n-1}$, do đó tại $n > k$ hệ số của $x^k$ trong đa thức $\varphi_n(x)$ không phụ thuộc vào $n$. (Ví dụ: các phép tính của đa thức $\varphi_{10}(x)$ sẽ không thay đổi nếu thay vì $\varphi_{10}$ chúng ta lấy $\varphi_{11}, \varphi_{12}$, v.v.) Theo quan điểm này, chúng ta có thể nói về một “tích vô hạn”

$$\varphi(x) = (1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3)(1 - x^4) \dots,$$

Tất nhiên, khái niệm đằng sau điều này không phải là đa thức, mà là một “chuỗi lũy thừa”, tức là một biểu thức của dạng

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots,$$

trong đó $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \dots$ là các số; trong trường hợp của chúng tôi, $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ là các hệ số ổn định. Tính toán của chúng tôi cho thấy rằng

$$a_0 = a_5 = a_7 = 1,$$
$$a_1 = a_2 = -1,$$
$$a_3 = a_4 = a_6 = a_8 = a_9 = a_{10} = 0.$$

$\varphi(x)$ được gọi là hàm Euler.

Từ “hàm” không được sử dụng ở đây một cách ngẫu nhiên: đối với $-1 < x < 1$, các giá trị của $\varphi(x)$ có thể được tính toán (tương tự như cách tính tổng của một cấp số nhân vô hạn).

Bây giờ là điều chính. Sau khi mở dấu ngoặc của chúng tôi, rất nhiều thứ đã bị phá hủy, người ta có thể nói hầu hết mọi thứ. Ví dụ: kết quả của việc mở dấu ngoặc đơn trong tích $(1 - x)(1 - x^2) \dots (1 - x^{10})$ chứa, trước khi rút gọn các số tương tự, 43 số hạng có $x$ lũy thừa nhỏ hơn hoặc bằng 10, bao gồm 24 số hạng có $x$ lũy thừa 8, 9, 10. Sau khi rút gọn các số hạng tương tự, chỉ còn lại 5 trong số 43 số hạng này, kể cả không có số hạng nào có $x$ lũy thừa của 8, 9; 10. Chính xác hơn, như chúng ta đã thấy, trong số các hệ số $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{10}$ có ba bằng 1, hai bằng -1 và sáu bằng 0. Chúng ta hãy đưa ra một giả thuyết thận trọng: các hệ số $a_k$ luôn bằng 0, 1 hoặc -1 và hầu hết chúng đều bằng 0. Phép tính tiếp theo mà người đọc có thể tự kiểm tra nếu muốn, không chỉ xác nhận giả thuyết này mà còn cho phép chúng ta làm rõ nó. Ví dụ: đây là một phần của chuỗi $\varphi(x)$ chứa $x$ lũy thừa không vượt quá 100:

$$\varphi(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} -$$
$$- x^{35} - x^{40} + x^{51} + x^{57} - x^{70} - x^{77} + x^{92} + x^{100} \dots$$

Phải giả định rằng Euler, người không sợ tính toán dài và rất xuất sắc trong việc tính toán, đã tính được số lượng số hạng của chuỗi $\varphi(x)$ gần bằng nhau. Và sau đó anh ta chỉ đơn giản là không thể không nhận thấy rằng các hệ số khác 0 bằng 1 hoặc -1, đồng thời họ đặt các hệ số một và các hệ số trừ.

14

Các bà vợ không hề lộn xộn mà theo một thứ tự được xác định chặt chẽ: hai đơn vị, hai phút một, hai phút một, v.v.*). Bảng chứa số mũ lũy thừa $x$, tại đó có các hệ số khác 0.

Rất dễ đoán những chỉ báo này là gì: trong cột thứ $n$ của bảng của chúng ta, dòng trên cùng chứa số $\frac{3n^2 \pm n}{2}$ và dòng dưới cùng chứa số $(-1)^n$. Nếu điều này đúng với mọi $n$, chúng ta đi đến đẳng thức

$$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \ldots = 1-x-x^2+x^5+x^7 \ldots +(-1)^n x^{\frac{3n^2-n}{2}} + (-1)^n x^{\frac{3n^2+n}{2}} + \ldots$$

hoặc, sử dụng ký hiệu viết tắt được sử dụng trong toán học,

$$\prod_{n=1}^{\infty} (1-x^n) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( x^{\frac{3n^2-n}{2}} + x^{\frac{3n^2+n}{2}} \right).$$

Đây là đẳng thức của Euler. Lời chứng sau đó của các nhà toán học cung cấp một số bằng chứng về đồng nhất thức này. Tuy nhiên, một số trong số đó được đưa ra ở đoạn 3. (Người đọc quan tâm đến sự kiện hơn là chứng minh có thể bỏ qua đoạn này mà không cần đào tạo để hiểu sâu hơn.) Và bây giờ tôi sẽ nói về một ứng dụng đáng chú ý của đẳng thức Euler, ứng dụng tô điểm cho tất cả các sách giáo khoa về tổ hợp.

2. Danh tính Euler và số lượng phân vùng

Cho $n$ là một số tự nhiên. Chúng ta hãy biểu thị bằng $p(n)$ số cách mà $n$ có ​​thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số hạng tự nhiên (trong trường hợp này, các số hạng trong tổng có thể được lặp lại và cách biểu diễn chỉ khác nhau về thứ tự của các số hạng được coi là giống nhau).

Ví dụ:

$$p(1) = 1;$$
$$p(2) = 2 \quad (2=2; 2=1+1);$$
$$p(3) = 3 \quad (3=3; 3=2+1; 3=1+1+1);$$
$$p(4) = 5 \quad (4; 3+1; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1);$$
$$p(5) = 7 \quad (5; 4+1; 3+2; 3+1+1; 2+2+1; 2+1+1+1+1).$$

Các số $p(n)$ xuất hiện trong nhiều công thức toán học và rất hữu ích để giảm bớt. Nhưng làm thế nào để làm điều này? Ví dụ: hãy thử tìm $p(10)$. Bạn sẽ phải loay hoay một chút và nếu may mắn, bạn sẽ tìm thấy đáp số: 42. Nếu bạn cần biết, chẳng hạn như, $p(50)$ thì sao? Danh tính của Euler xuất hiện để giải cứu.

*) Hồi ký của Euler về chủ đề này được D. Poya trình bày đầy đủ trong cuốn sách “Matematika và lý luận hợp lý” (M., “Nauka”, 1975, tr. 111). Đọc chủ đề này cũng như các chương khác trong sách của Polya chắc chắn bạn sẽ thấy thoải mái hơn.

15

Đầu tiên, một chút “lý thuyết”. Hãy đặt
$$\pi(x) = 1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \dots = 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 7x^5 + \dots$$

Giống như $\varphi(x)$, $\pi(x)$ là hàm xác định tại $-1 < x < 1$. Nhưng, một lần nữa, chúng ta chỉ quan tâm đến nó như một chuỗi lũy thừa.

Định lý. Chuỗi $\varphi(x)$ và $\pi(x)$ nghịch đảo lẫn nhau, tức là
$$\varphi(x) \cdot \pi(x) = 1.$$

Bạn có hiểu ý nghĩa của sự bình đẳng này là gì không? Chuỗi lũy thừa có thể được nhân lên:
$$(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots) (b_0 + b_1x + b_2x^2 + \dots) = a_0b_0 + a_0b_1x + a_0b_2x^2 + \dots$$
$$+ a_1b_0x + a_1b_1x^2 + a_1b_2x^3 + \dots + a_2b_0x^2 + a_2b_1x^3 + a_2b_2x^4 + \dots$$
$$= a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 + \dots;$$

tuyên bố của chúng tôi có nghĩa là nếu chúng tôi nhân chuỗi $\varphi(x)$ và $\pi(x)$ theo cách này thì tích thu được sẽ giảm xuống 1: các hệ số của $x, x^2, x^3, \dots$ sẽ bằng 0.

Bằng chứng.
$$\frac{1}{\varphi(x)} = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x^2} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1-x^k} \cdot \dots =$$
$$= (1+x+x^2+x^3+\dots) (1+x^2+x^4+x^6+\dots) \times \dots$$
$$\dots \times (1+x^k+x^{2k}+x^{3k}+\dots) \dots$$

Khi mở dấu ngoặc ở tích cuối cùng, chúng ta nhận được tổng của tất cả các biểu thức có thể có của dạng
$$x^{a_1}x^{2a_2} \dots x^{ka_k},$$

trong đó $a_1, \dots, a_k$ là số nguyên không âm. Do đó, $x^n$ sẽ được bao gồm trong tổng này bao nhiêu lần tùy theo bao nhiêu cách $n$ có ​​thể được biểu diễn dưới dạng
$$a_1 + 2a_2 + \dots + ka_k.$$

Nhưng biểu diễn này có thể được viết lại như thế này:
$$\underbrace{1 + \dots + 1}_{a_1} + \underbrace{2 + \dots + 2}_{a_2} + \underbrace{k + \dots + k}_{a_k}.$$

Ta thấy số $n$ được biểu diễn dưới dạng $a_1 + 2a_2 + \dots + ka_k$ giống như số được biểu diễn dưới dạng tổng các số hạng tự nhiên, tức là $p(n)$. Do đó, hệ số $x^n$ trong sản phẩm của chúng tôi bằng $p(n)$, tức là $\frac{1}{\varphi(x)} = \pi(x)$. Định lý đã được chứng minh.

Đặt $p(0) = 1$ để thuận tiện, chúng tôi viết
$$(1-x-x^2+x^5+x^7-\dots) (p(0) + p(1)x + p(2)x^2 + \dots) = 1$$

(các hệ số ở thừa số thứ nhất được viết theo kinh vĩ Euler!). Hãy mở ngoặc và đặt các hệ số $x, x^2, x^3, \dots, x^n$ ở vế trái bằng 0. Chúng tôi nhận được:
$$p(1) - p(0) = 0;$$
$$p(2) - p(1) - p(0) = 0;$$
$$p(3) - p(2) - p(1) = 0;$$
$$p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) - \dots = 0$$

(ở phía bên trái của công thức cuối cùng, bạn cần viết các thuật ngữ miễn là đối số y p không âm). Vì thế,
$$p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \dots$$

Công thức này cho phép bạn nhanh chóng tạo một bảng số khá dài $p(n)$. Đây là lời khuyên thiết thực về cách thực hiện điều đó. Lấy một tờ giấy ca rô - tốt nhất là một tờ giấy gấp đôi. Cắt một dải rộng 3-4 ô vuông dọc theo chiều dài của nó. Đặt dải này theo chiều dọc trước mặt bạn và đặt một số ký hiệu, chẳng hạn như dấu hoa thị, ở ô dưới cùng. Sau đó, ngạc nhiên hướng lên trên,

16

đặt + vào ô đầu tiên, + ở ô thứ hai, - ở ô thứ năm, - ở ô thứ bảy, + ở ô thứ mười hai, + ở ô thứ mười lăm, v.v., miễn là dải đủ dài (Hình 1). Đặt phần còn lại của trang tính theo chiều dọc trước mặt bạn và cách mặt trái của nó 10-15 ô, vẽ một đường thẳng đứng trên đó - từ trên xuống dưới. Tại các ô liền kề dòng bên trái, phân kỳ từ trên xuống dưới, hãy ghi các số $p(n)$ bạn đã biết, bắt đầu bằng $p(0)$: 1, 1, 2, 3, 5, 7. Để tìm giá trị tiếp theo, gắn dải cắt bên phải vào đường thẳng đứng sao cho dấu hoa thị đối diện với ô trống đầu tiên. Bây giờ, từ tổng các số đối diện với các số phẳng, hãy viết tổng các số đối diện với các số âm. Viết điều gì xảy ra trong ô đối diện dấu hoa thị: đây là giá trị tiếp theo của hàm $p(n)$. Hạ dải xuống một ô vuông và lặp lại điều tương tự. Và vân vân. Trong vài phút bạn sẽ có một cột số $p(n)$ cao bằng tờ giấy của bạn.

Sử dụng cái sàng này, tôi đã tìm thấy các số $p(n)$ cho $n \leq 50$. Việc này mất - hoàn toàn, theo đồng hồ - 17 phút. (Tôi trình bày một số bước tính toán đầu tiên trong Hình 2; các số màu đỏ là giá trị mới của $p(n)$.) Cụ thể,

$$p(50) = 204226.$$

Hãy tưởng tượng sẽ mất bao nhiêu thời gian để tìm ra con số này bằng phương pháp tự chế!

3. Chứng minh điểm Euler

Hãy mở dấu ngoặc trong công việc của chúng tôi

$$(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)$$

Kết quả là một tổng (vô hạn) trong đó $x^n$ xuất hiện nhiều lần theo số cách $n$ được biểu thị dưới dạng tổng của một chuỗi số tự nhiên tái sinh: $n=n_1+n_2+\dots+n_k$, $n_1<n_2<\dots<n_k$; trong trường hợp này, dấu tại $x^n$ sẽ là + nếu $k$ là số chẵn và - nếu $k$ là số lẻ. Dưới đây trong phần này, tập hợp 们 $(n_1, \dots, n_k)$ với $n_1+\dots+n_k=n$ và $n_1<\dots<n_k$ được gọi đơn giản là “phân vùng”.

Chúng ta sẽ phân biệt giữa ba loại phân vùng. Đối với phân vùng $(n_1, \dots, n_k)$, chúng ta hãy biểu thị bằng $s$ số lớn nhất sao cho $n_k-n_k-s+1=s-1$, tức là $s$ các số $n_k-s+1, \dots, n_k$ nằm liên tiếp (rõ ràng là $s \leq k$). Ví dụ: đối với phân vùng $12=2+4+6$ $s=1$, đối với phân vùng $12=1+5+6$ $s=2$, đối với phân vùng $33=4+5+7+8+9$ $s=3$. Chúng ta sẽ nói rằng phân vùng $(n_1, \dots, n_k)$ chiếm

loại đầu tiên, nếu $n_1 \leq s$, ngoại trừ trường hợp $n_1=s=k$;
loại thứ hai, nếu $n_1>s$, ngoại trừ trường hợp $n_1=s+1$, $s=k$;
loại thứ ba trong các trường hợp đặc biệt, nghĩa là nếu $s=k$ và $n_1$ bằng $s$ hoặc $s+1$.

Bây giờ chúng ta hãy liên kết phân vùng $(n_1, \dots, n_k)$ của loại phân vùng đầu tiên

$$\begin{cases} (n_2, \dots, n_k-n_1, n_k-n_1+1+1, \dots, n_k+1), \text{ если } k-n_1 \geq 2, \\ (n_2+1, \dots, n_k+1), \text{ если } k-n_1=1, \end{cases}$$

thuộc về loại thứ hai (kiểm tra!)

17

Hình 2

Hơn nữa, bằng cách này, sẽ thu được sự tương ứng một-một giữa các phân vùng thuộc loại thứ nhất và thứ hai: ánh xạ nghịch đảo khớp với phân vùng $(n_1, \dots, n_k)$ của loại thứ hai với phân vùng
$$\begin{cases} (s, n_1, \dots, n_{k-s}, n_{k-s+1}-1, \dots, n_k-1), \text{ если } k-s \geqslant 1, \\ (s, n_1-1, \dots, n_k-1), \text{ если } k-s=0 \end{cases}$$

(ký hiệu $s$ giữ nguyên nghĩa), thuộc loại thứ nhất (đánh dấu!). Vì sự tương ứng kết nối của chúng tôi cung cấp các phân vùng trong đó số lượng thuật ngữ khác nhau 1, nên các phân vùng tương ứng $x^n$ sẽ bị hủy và chỉ các thuật ngữ tương ứng với các phân vùng thuộc loại thứ ba vẫn còn trong tổng của chúng tôi. Và các phân vùng thuộc loại này, theo định nghĩa, có dạng
$$\begin{align*} (k, k+1, \dots, 2k-1), \\ (k+1, k+2, \dots, 2k), \end{align*}$$
và chúng tương ứng với $(-1)^k x^{\frac{3k^2-k}{2}}, (-1)^k x^{\frac{3k^2+k}{2}}$ (như bạn biết, $k+(k+1)+\dots+(2k-1)=\frac{3k^2-k}{2}$ và $(k+1)+(k+2)+\dots+2k=\frac{3k^2+k}{2}$).

Bằng chứng đã kết thúc.

4. Nhận dạng Gauss

Khoảng 70 năm đã trôi qua kể từ phát hiện của Euler, và một nhà toán học vĩ đại khác, Carl-Friedrich Gauss, đã thực hiện bước tiếp theo với một lý thuyết tốt hơn (vì những lý do mà chúng ta sẽ không đề cập đến) được gọi là lý thuyết dạng mô đun. Ông phát hiện ra rằng nếu hàm Euler được lập phương thì kết quả là một chuỗi có lẽ còn đáng chú ý hơn chuỗi Euler:
$$\varphi(x)^3 = (1-x)^3(1-x^2)^3(1-x^3)^3\dots = 1-3x+5x^3-7x^6+9x^{10}-11x^{15}\dots$$
(Tôi khuyên các bạn đừng lười biếng mà tính càng nhiều hệ số của dãy $\varphi(x)^3$ hoặc
$$\prod_{n=1}^{\infty} (1-x^n)^3 = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (2n+1)x^{\frac{n(n+1)}{2}}.$$
Đồng nhất thức Gauss này còn đáng ngạc nhiên hơn vì bình phương của hàm Euler dường như không áp dụng được:
$$\varphi(x)^2 = 1-2x-x^2+2x^3+x^4+2x^5-2x^6-2x^8-2x^9+x^{10}\dots$$

21

S. Gindikin

ngôi sao Medicean

Tuổi trẻ của Galileo hoàn toàn dành cho cơ học. Trong hơn hai mươi năm, ông đã cố tình theo đuổi mục tiêu mà ông đặt ra khi còn trẻ: hiểu được quy luật chuyển động của tự nhiên. Rất sớm (theo Viviani), ông đã phát hiện ra sự dao động không đúng thời gian của con lắc toán học. Đến năm 1604, Galileo biết định luật thay đổi đường đi khi rơi tự do, nhưng vẫn nhận thức được những mâu thuẫn với những sự thật dường như không thể nghi ngờ (thư gửi Sarpi). Cuối cùng, đến 1609-10. kết quả nghiên cứu sự rơi tự do và chuyển động của các vật ném đã được làm rõ hoàn toàn *). Osta-

Tất cả những gì còn lại là viết chúng ra; Galileo bắt đầu nghiên cứu một temear toàn diện, nhưng dần dần ngày càng mất ít thời gian hơn cho đến khi ông ngừng làm việc hoàn toàn trong… 30 năm. Chuyện gì đang xảy ra vậy?

“Kính mới.” Khi nói về cuộc đời của những vĩ nhân, trước tiên bạn phải chú ý đến những công việc thường ngày. Mong muốn cao hơn là một trong những lý do khiến Galileo chuyển từ Pisa đến Padua. Ở đây tình hình tài chính của anh ấy trở nên quan trọng hơn. Mong muốn ban đầu là 180 florin, mặc dù chậm nhưng tăng lên; thu nhập bổ sung được cung cấp bởi các quý tộc trẻ, những người mà Galileo làm việc riêng và thường sống trong nhà của ông. Tuy nhiên, việc trả của hồi môn cho vợ chồng Esther đè nặng lên vai Galileo; và gia đình riêng của anh ấy ngày càng phát triển và ngày càng cần nhiều tiền hơn. Năm 1609, Galileo được giới thiệu đến các cuộc đàm phán thường xuyên về việc tăng lương. Bủn xỉn và thực tế

*) Công trình về cơ học của Galileo đã được mô tả trong bài “Câu chuyện Galileo khám phá ra các định luật về chuyển động” («Kvant», 1980, số 1).

22

Signoria của Venice có thể đã bỏ ra nhiều nguồn lực cho một phát minh nào đó chắc chắn có ứng dụng thực tế.

…Vào năm 1608, kính ngắm đốm xuất hiện ở Hà Lan giúp làm phẳng các vật thể riêng lẻ; đôi khi chúng được gọi là “kính mới”. Leonardo da Vinci cũng nói về kính cho phép bạn nhìn thấy Mặt trăng lớn hơn; Roger Bacon nói về việc chiếc kính khiến con người có kích thước bằng một quả núi. Bậc thầy quang học Lippershey và Andriansen đã công nhận phát minh này.

Đến giữa năm, ống tẩu xuất hiện ở Paris. Cùng lúc đó, một số người lạ đã cố gắng bán kính thiên văn cho các nguồn tài nguyên của Venice mà không đưa ra thông tin chi tiết về nguồn gốc của nó. Paolo Sarpi, một người bạn của Galileo, đã đưa ra đánh giá tiêu cực về khả năng sử dụng kính thiên văn “trong chiến tranh, trên đất liền và trên biển”. Những đường ống đầu tiên vẫn còn rất không hoàn hảo.

Galileo đã nghe nói về kèn trumpet khi ông ở Venice. “Sau khi biết được điều này, tôi quay trở lại Padua, nơi tôi đang sống và bắt đầu suy nghĩ về vấn đề này. Ngay đêm đầu tiên sau khi trở về, tôi đã giải được nó và ngày hôm sau tôi đã tạo ra một nhạc cụ và báo cáo với Venice với những người bạn mà tôi đã thảo luận về chủ đề này ngày hôm trước. Tôi ngay lập tức bắt tay vào chế tạo một nhạc cụ khác, tiên tiến hơn và tôi đã đến Venice sáu ngày sau đó.” Trong Starry Messenger, Galileo đã mô tả tình huống này thậm chí còn trang trọng hơn: “…không tiếc công sức hay chi phí, tôi đã đạt được mục tiêu là tạo ra một công cụ hoàn hảo đến mức khi nhìn qua nó, các vật thể dường như lớn hơn gần một nghìn lần và gần hơn ba mươi lần so với những vật thể nhìn thấy trong tự nhiên. Những điều trên sẽ hoàn toàn không cần thiết nếu xét đến mức độ tiện lợi của các thiết bị đó cả trên đất liền và trên biển.”

Trên thực tế, đặc điểm của các đường ống khiêm tốn hơn. Chiếc kèn đầu tiên của Galileo có độ phóng đại gấp ba lần, và chiếc kèn mang đến Venice cho độ phóng đại gấp tám lần. Galileo đã quyết định, với sự trợ giúp của chiếc kèn hoàn hảo của mình, để giành được sự ưu ái của các thành viên Signoria (có lẽ đó là ý tưởng của Sarpi). Vào ngày 21 tháng 8, những người dân đáng kính của Venice đã nhìn vào các khu vực tách biệt của thành phố với tháp chuông của Nhà thờ St. Mark, và vào ngày 24 tháng 8, Galileo đã long trọng tặng chiếc kèn của mình cho Venice. Galileo đã không tiết kiệm quảng cáo món quà của mình. Trong bức tranh cuối cùng về Venice của Leonardo Donago, ông nói rằng ông đã nảy ra ý tưởng về thiết bị “từ những thông điệp bí mật nhất về phối cảnh”.

Sau đó, họ nói rất nhiều rằng Galileo đã lấy phát minh của người khác cho mình (điều này được thảo luận trong vở kịch “Cuộc đời của Galileo”) của Brecht. Bản thân Galileo, ít nhất là trong các ấn phẩm của mình, luôn thừa nhận rằng ông đã chế tạo chiếc tẩu của mình sau khi nghe về phát minh của Hà Lan (nhưng không có thông tin chi tiết và không nhìn thấy “góc nhìn của người Flemish”). Sau này ông nhấn mạnh tính độc đáo trong con đường của mình. “Bây giờ chúng ta biết chắc chắn rằng nhà phát minh ra điện thoại người Hà Lan là một nghệ nhân đơn giản chế tạo ra những chiếc kính thông thường. Nghe qua các loại kính khác nhau, anh ta nhìn ngay qua kính, một chiếc lồi, một chiếc lõm, nằm ở những khoảng cách khác nhau so với mắt… và do đó mở thiết bị ra. Tôi, được thúc đẩy bởi khả năng chiết xuất cao nhất, đã tìm ra công cụ này thông qua lý luận.”

Chúng ta có thể nói rằng Galileo đã chứng tỏ tính ưu việt của lý thuyết so với thực tiễn. Trong nhiều năm, không ai có thể tạo ra những chiếc kèn có thể so sánh được với những chiếc kèn của Galileo (vì điều này một phần mà những quan sát thiên văn của Galileo không bị lộ).

Chiếc kèn của Galileo đã hoàn thành mục đích của nó: ông được giao ước nguyện hàng năm là một nghìn florin, điều chưa từng có đối với một nhà toán học. Galileo phải làm 12 chiếc kèn cho signoria và không được cung cấp thêm chiếc kèn nào cho bất kỳ ai.

“Sứ giả ngôi sao”. Chẳng bao lâu Galileo đã có ống phóng đại 20 lần.

23

tôn kính, và sau đó ông “bỏ việc trần thế… mà hướng về việc trời”.
Vào cuối năm 1609, Galileo đã kiểm tra Mặt trăng thông qua công trình của mình và phát hiện ra rằng “bề mặt của Mặt trăng không nhẵn, không bằng phẳng và không có hình cầu hoàn hảo, như nhiều nhà triết học tin tưởng vào mục tiêu của nó, mà trái lại, không bằng phẳng, gồ ghề, có nhiều chỗ lõm và độ cao, tương tự như bề mặt Trái đất”. Ngoài ra, Galileo còn thu hút sự chú ý đến ánh sáng tro trên phần Mặt trăng không được Mặt trời chiếu sáng. Ông coi ánh sáng này là “sự phản chiếu của Trái đất”.
Sau đó, hóa ra cùng lúc đó, người Anh Harriot và học trò Lower của ông đang quan sát các thiên thể bằng kính viễn vọng (những người đương thời không biết đến những quan sát của họ). Lower đã viết trong một lá thư gửi cho giáo viên của mình rằng Luna đã đổ đầy nhân vào chiếc bánh mứt mà đầu bếp của anh ấy đã nướng cho anh ấy vào tuần trước. Leonardo da Vinci và Mestlin, giáo viên của Kepler, đã nói về ánh sáng tro bụi trên Mặt trăng.

Sau đó, trước mắt Galileo, Dải Ngân hà tan rã thành từng ngôi sao riêng lẻ: “tất cả những tranh chấp dày vò các triết gia trong nhiều thế kỷ đều tự im lặng, hình dung một cách biết ơn và rất phấn khích… Dải Ngân hà chẳng qua là một cụm gồm vô số ngôi sao, như thể nằm trong quaches…”

Cuối cùng, vào ngày 7 tháng 1 năm 1610, Galileo hướng công việc về phía Jupter. Gần Jupter ông phát hiện ra ba ngôi sao. Anh không nghi ngờ gì rằng mình đang nhìn thấy những ngôi sao “cố định” bình thường, nhưng có điều gì đó đã thu hút sự chú ý của anh. Đêm hôm sau, Galileo, “được dẫn dắt bởi một số phận không xác định”, lại kiểm tra Jupter. Anh có mọi lý do để không hối hận! Anh lại nhìn thấy những ngôi sao quen thuộc, nhưng… vị trí của chúng so với Sao Mộc đã thay đổi: hôm qua chúng nằm ở các phía khác nhau của Sao Mộc, và hôm nay chúng đều ở cùng một phía. Hiện tại, chúng ta có thể tiếp tục coi các ngôi sao là bất động và sự thay đổi vị trí tương đối của chúng có thể được giải thích là do chuyển động của Sao Mộc. Vào ngày 9 tháng 1, “bầu trời bị mây bao phủ tứ phía”. Vào ngày 10 và 11 tháng 1, Galileo chỉ tìm thấy hai trong số ba ngôi sao. Ngày 13 tháng 1…bốn lần xuất hiện!

Một lời giải mới đang hình thành: những ngôi sao này đang chuyển động tương đối so với Sao Mộc, đây là các vệ tinh của nó - các mặt trăng, và sự biến mất của chúng được giải thích là do nhật thực. Đến cuối tháng, “chuyển từ lỗi của câu đố sang cảm giác ngưỡng mộ”, Galileo hoàn toàn chắc chắn về điều này. Ông viết cho Bộ trưởng Florentine Vinta: “Điều kỳ diệu nhất trong tất cả các phép lạ dường như là việc tôi phát hiện ra bốn hành tinh mới và chuyển động của chính chúng mà ông ấy quan sát được cũng như sự khác biệt trong chuyển động của chúng so với nhau và liên quan đến chuyển động của các ngôi sao khác. Những hành tinh mới này đang chuyển động quanh một ngôi sao lớn giống như cách Sao Kim và Sao Thủy và có lẽ các hành tinh đã biết khác chuyển động quanh Mặt trời.”

Cho đến ngày 2 tháng 3, Galileo quan sát các vệ tinh của Sao Mộc, tận dụng mọi đêm không mây, và vào ngày 12 tháng 3, dấu hiệu “Sứ giả đầy sao” của ông xuất hiện, mang đến những điểm tham quan tuyệt vời và rất đáng kinh ngạc cho mọi người, đặc biệt là các nhà triết học và nhà thiên văn học, những gì Galileo Galilei, nhà yêu nước Florentine, Nhà toán học bang của Padua Hypnasia, đang quan sát bằng kính viễn vọng, được phát minh gần đây, trên bề mặt Mặt trăng, giữa vô số ngôi sao cố định, trong Ngân hà Way, những ngôi sao mờ ảo, và trên hết là bốn hành tinh, quay quanh các ngôi sao của Sao Mộc ở những khoảng cách không bằng nhau với những chu kỳ không bằng nhau và với tốc độ đáng kinh ngạc.”

Và rồi… Mọi điều nói trên đều được áp dụng vào những vấn đề hàng ngày. Hóa ra những người muốn chỉ sau một năm sẽ được tăng lương, hơn nữa, trách nhiệm giảng dạy của Galileo bắt đầu trở nên rất nặng nề. Anh ấy bắt đầu nghĩ đến việc chuyển đến Florence. Công tước Ferdinando Medcini vừa qua đời và Cosimo PM Medcini, một cựu học trò của Galileo, cho biết. Sự bảo trợ của Ger-

24

tsog có thể không thể thiếu đối với lời giải nhiều vấn đề…

Trong khi chờ đợi, Galileo đề xuất, thông qua Vinta, gọi các vệ tinh của Sao Mộc để vinh danh Cosimo Medicine Cosmos hoặc các ngôi sao Y tế. Tùy chọn thứ hai đã được chọn. Số lượng bạn đồng hành trùng hợp thuận tiện với việc Cosimo có ba anh em. “Stellar Vectic” gắn liền với Cosimo Medicine: “Bằng cách gọi những ngôi sao mới, do tôi phát hiện, tên tuổi vĩ đại của gia đình Y học, tôi biết rằng nếu những người lần đầu tiên bước vào thế giới đầy sao phục vụ để tôn vinh những người giàu có và quyền lực, thì trong trường hợp này, ngược lại, cái tên vĩ đại của Y học sẽ đảm bảo ký ức bất tử về những ngôi sao này.” Sau đó cả 4 vệ tinh đều nhận được tên riêng (Io, Europa, Ganymede, Callisto), và để phân biệt với các vệ tinh được phát hiện sau này của Jupter*, chúng sẽ được gọi là Galilean.

Vào dịp lễ Phục sinh, Galileo đã đến Florence. Anh ta mang theo chiếc kèn để Công tước có thể tự mình nhìn thấy những ngôi sao “của mình”. Galileo được bao quanh bởi danh dự, một huy chương có hình ảnh các Ngôi sao Y tế nên được hạ gục để vinh danh ông, hôm qua ông đã đồng ý các điều khoản di chuyển, tên vị trí của Galileo chỉ đang được trau chuốt. Hoàng đế vui mừng khi tên tuổi của mình được bất tử trên thiên đường; không một người hoàng gia nào có thể tự hào về điều này. Vào ngày 14 tháng 5, Galileo nhận được một lá thư từ Pháp đề ngày 20 tháng 4, trong đó ông yêu cầu ông “khám phá khả năng có bất kỳ thiên thể nào có thể được trao cho Bệ hạ”. Chúng ta đang nói về Henry IV. Người ta quy định rằng ngôi sao nên được đặt tên “theo tên Henry mà không thêm Bourbon”. Hóa ra tác giả của bức thư đã không vô ích khi thúc giục Galileo: trong khi bức thư đang được gửi đi, “người đi cùng hạnh phúc của chủ quyền” đã bị giết.

Trong khi đó, tin đồn bắt đầu lan truyền dai dẳng rằng các ngôi sao “tặng” cho Công tước là thành quả trí tưởng tượng hoặc sự sáng tạo của Galileo.

• Hiện tại, 16 vệ tinh của Sao Mộc đã được biết đến (ba vệ tinh cuối cùng được phát hiện trong chuyến bay của các trạm tự động Du hành của Mỹ).

25

Johannes Kepler

Sao Mộc, Sao Hỏa và Sao Kim; Sao Thủy, hành tinh cuối cùng xung quanh Mặt trời, đắm chìm trong tia sáng của nó đến nỗi Kepler vẫn không thể nhận thấy điều gì tương tự ở đó.” Kepler tìm kiếm các mẫu số ở khắp mọi nơi! Sau đó, anh ấy nghĩ rằng chúng ta có thể nói về các hành tinh quay quanh “những ngôi sao bất động” chứ không phải Mặt trời. Bruno nhớ đến vô số thế giới ở Jordans và đã nghĩ “về khả năng sau này sẽ khám phá thêm vô số hành tinh mới ở đó”.

Trong khi đó, Hoàng đế Rudolf II (Kepler là nhà thiên văn học của đế quốc) nhận được Sứ giả đầy sao. Kepler tin tưởng vô điều kiện vào thông điệp của Galileo: “Có lẽ tôi sẽ có vẻ quá táo bạo nếu tôi dễ dàng tin vào những phát biểu của bạn mà không có bất kỳ kinh nghiệm nào hỗ trợ. Nhưng tại sao tôi không nên tin nhà toán học uyên bác nhất, người mà sự đúng đắn được chứng minh bằng chính sức mạnh phán đoán của ông, một người xa rời bản chất và, để được công nhận rộng rãi, sẽ không nói rằng ông ấy đã nhìn thấy những gì ông ấy thực sự không nhìn thấy, không ngần ngại, vì yêu sự thật, để mâu thuẫn với những thay đổi phổ biến? Kepler chỉ cho Galileo một con số.” của những người tiền nhiệm (Mestlin nói về ánh sáng tro của Mặt trăng, Porto dự đoán khả năng tạo ra một nhóm Kritenian). Kepler thấy rằng Mặt trời sáng hơn các ngôi sao cố định, và ông muốn tin vào sự độc quyền của thế giới chúng ta: “thế giới của chúng ta không thuộc về một bầy đàn đơn giản gồm những ngôi sao vô hạn khác”. Không có giới hạn cho trí tưởng tượng của Keplar: “Giả định rằng không chỉ trên Mặt trăng, mà cả trên Sao Mộc cũng có cư dân sẽ không khác sự thật… Đưa tàu hoặc điều chỉnh cánh buồm theo không khí thiên thể, và sẽ có những người không sợ sự rộng lớn như vậy.”

Tất nhiên, bản thân Keplar cũng lo ngại về mô hình phân bố số lượng vệ tinh của các hành tinh: “Tôi muốn chuẩn bị sẵn một nhiệm vụ quan trọng, trong đó tôi sẽ vượt qua bạn trong việc phát hiện ra hai vệ tinh (theo tôi thấy có vẻ là tỷ lệ cần thiết) của Sao Hỏa và sáu hoặc tám Sao Thổ, trong đó, có lẽ, một hoặc hai vệ tinh sẽ được thêm vào xung quanh Sao Kim và Sao Thủy.” (Kepler không biết nên theo đuổi cấp số cộng hay cấp số nhân!)

Majini cố gắng lôi kéo Keplar về phía mình. Kepler lúc đầu không thể thay đổi được: “Cả hai chúng ta đều là những người theo thuyết Copernicus, đang tự tạo ra hạnh phúc cho riêng mình.” Nhưng Majini không bình tĩnh. Mục tiêu của anh ta là “trục xuất và tiêu diệt bốn tay sai mới này của Sao Mộc.” Một loạt tờ rơi chống Galileo được mở vào tháng 5 năm 1610 bởi Martin Gorky, một nhà thiên văn học thuộc nhóm Magini. Trong “Lời khuyên kỳ lạ ngắn nhất về Star Springer”, các vệ tinh của Sao Mộc được tuyên bố là ảo ảnh quang học. Kepler không thường xuyên giữ thái độ với Gorsky. Trong một bức thư gửi Galileo, tác phẩm này được gọi là trơ tráo; anh ấy “ngạc nhiên trước sự táo bạo của chàng trai trẻ này.” Với chính Gorsky, Kepler viết: “Tôi không ngạc nhiên và sẽ không trách bạn; ý kiến ​​của những người triết học phải được tự do”.

Keplar bắt đầu lo lắng về

26

Anthony Majin

xác nhận bằng miệng. Bản thân anh vẫn chưa có một chiếc tẩu phù hợp. Trường đại học kết luận từ Bologna rằng các ngôi sao không thể nhìn thấy được qua kính thiên văn của chính Galileo (do Majin dàn dựng). Vào tháng 8, Kepler lo lắng viết cho Galileo: “Tôi không thể giấu anh rằng những bức thư từ những người Illians nặng nề đang đến Praha, rằng với sự trợ giúp của kính viễn vọng của anh, không thể nhìn thấy những hành tinh này… Vì vậy, tôi yêu cầu anh, Galileo, mang theo một số nhân chứng càng sớm càng tốt… Chỉ riêng anh mới có tất cả bằng chứng về sự thật của quan sát.” May mắn thay, Hoàng đế Rudolf II, người nổi tiếng không chỉ vì những kỳ quan mà còn vì tình yêu khoa học, đã khơi dậy niềm đam mê khám phá các phạm vi. Cuối cùng, một ống khá tiên tiến đã xuất hiện ở Praha và vào tháng 9 là ống Sao Mộc. Những người tham gia quan sát đã độc lập vẽ vị trí của các ngôi sao và các hình vẽ trùng khớp. “Bạn đã thắng, Galilê!” - Kepler kêu lên.

Vào tháng 9, Santini đã nhìn thấy Sao Mộc ở Venice và vào tháng 12, một tin đặc biệt tốt đã đến: Clavius ​​​​đã quan sát các vệ tinh.

Đúng là anh vẫn chưa chắc đây có phải là hành tinh hay không. Vào tháng 9, Sao Mộc chuyển đến Florence. Anh ta trao đổi thư từ với Clavius ​​​​(ở Cộng hòa Venice, không thể trao đổi thư từ với các sinh viên). Jupiter Clavius ​​viết: “Ngài, thưa bệ hạ, xứng đáng có được một vụ thu hoạch bội thu, vì ngài là người đầu tiên quan sát thấy điều này”. Galileo của chúng tôi là con đường đến trung tâm của Majin. Ông đã đề xuất công việc đốt kính của mình với Công tước và góp phần giành được chiếc ghế trống ở Padua (Majin đã tuyên bố chủ quyền đối với nơi này ngay cả khi Jupiter chuyển đến Padua từ Pisa). Majin thận trọng phản ứng tích cực với lời khai của Santini. Không cần thiết phải tính thêm nữa.

Một năm của những khám phá vĩ đại Năm 1610, bắt đầu với việc phát hiện ra các vệ tinh của Sao Mộc, là năm vô cùng hạnh phúc đối với nhà khoa học thiên văn Galil: ông đã thực hiện gần như tất cả các quan sát thiên văn đáng chú ý của mình trong năm này. Vào ngày 25 tháng 7, Galileo lại quan sát “Sao Mộc vào buổi sáng ở phía Đông cùng với đoàn tùy tùng của mình”. Sau đó, ông đã khám phá ra “một phép lạ phi thường khác”. Ông báo cáo khám phá của mình cho Florence, giữ bí mật cho đến khi xuất bản: “Ngôi sao của Sao Thổ không chỉ có một mà gồm có ba ngôi sao, dường như chạm vào nhau nhưng không di chuyển hay thay đổi lẫn nhau…, và ngôi sao ở giữa lớn hơn hai ngôi sao bên cạnh khoảng ba lần; và chúng được sắp xếp theo hình thức này.”

Tới Kepler, Galileo gửi cụm từ, được bảo vệ dưới dạng angram: “Hành tinh cao nhất trong ba hành tinh có thể quan sát được”. Galileo sau này đã viết: “Tôi đã tìm thấy cả một sân ở Sao Mộc và hai tay sai của ông già [Sao Thổ - S.G.], họ ủng hộ ông ấy và không bao giờ bật ra khỏi hai bên của ông ấy”.

Galileo đã không tiết lộ bí mật của mình trong suốt 5 tháng. Kepler và Rudolf II đã nóng lòng tìm ra giải pháp và những giả định khó tin nhất đã được đưa ra. “Thỏa mãn đam mê của chúng ta càng nhanh càng tốt,

27

Christophe Clavius

mong muốn tìm hiểu khám phá mới của bạn là gì. Không có người nào bạn có thể mô tả như một loại cỏ dại.” Galileo đã tiết lộ bí mật và nói thêm rằng khi lao động yếu hơn, sao Thổ sẽ lấp đầy cây ô liu. Khám phá của Galileo lần đầu tiên được đề cập trong bản in ở lời tựa cuốn Dioptrics của Kepler, xuất bản năm 1611.

Hai năm sau, Sao Thổ đột nhiên ngừng sinh ba. Galileo liên hệ điều này với chuyển động của Sao Thổ quanh Mặt trời và dự đoán rằng nó sẽ sớm được nhìn thấy trở lại dưới dạng ba ngôi sao. Sự kiện đã được tiên đoán trước nhưng Galileo không giải được bí mật của Sao Thổ. Bí ẩn được tiết lộ khi, vào năm 1655, Huygens, khi quan sát Sao Thổ bằng ống kính tele có độ phóng đại 92 lần, phát hiện ra rằng Sao Thổ được bao quanh bởi một vòng, ở các độ phóng đại khác nhau, dường như nằm ngang với các ngôi sao. Chiếc nhẫn trở nên vô hình khi nó hướng về phía quan sát trên mặt đất. Đây là một hiện tượng hiếm gặp và Galileo đã may mắn quan sát được nó. Đó là sự phát triển của những điểm quan trọng theo ấn tượng từ Sao Thổ khi điện thoại trở nên mạnh hơn: từ một cây ô liu đến một quả bóng được bao quanh bởi một chiếc nhẫn. Huygens cũng phát hiện ra mặt trăng lớn nhất của Sao Thổ, Titan.

Ngay sau khi một lá thư được gửi đến Kepler kèm theo lời giải cho phép đảo chữ, tin tức đã xuất hiện trên các hành tinh khác. Galileo đã quan sát chặt chẽ Sao Kim trong một thời gian dài. Cả những người ủng hộ Ptolemy và những người ủng hộ Copernicus đều gặp rất nhiều rắc rối với Sao Kim và Sao Thủy. Những người đầu tiên không thể thống nhất được vị trí của “quả cầu” của họ - bên trong hay bên ngoài “quả cầu” của Mặt trời. Các nhà Copernicus thấy rõ rằng nếu những hành tinh này là vật thể tối thì vì chúng nằm giữa Mặt trời và Trái đất nên đôi khi các đĩa hành tinh không hoàn chỉnh (một hiện tượng tương tự như các pha của Mặt trăng) sẽ được quan sát thấy. Vấn đề này sẽ không nảy sinh nếu giả định rằng các hành tinh tỏa sáng bằng ánh sáng của chính chúng (rõ ràng Kepler đã nghĩ như vậy) hoặc chúng trong suốt (khả năng này đã được thảo luận trên máy chủ).

Castelli nhớ lại vấn đề này trong một lá thư gửi Galil ngày 5 tháng 12 năm 1610. “Vì (như tôi tin) quan điểm của Copernicus là đúng khi cho rằng Sao Kim quay quanh Mặt trời,” Castelli viết, “rõ ràng là chúng ta cần phải quan sát đôi khi cô ấy có sừng, đôi khi không… tuy nhiên, nếu kích thước nhỏ của những chiếc sừng và sự phát ra các tia không ngăn cản chúng ta quan sát những khác biệt này trong cách xây dựng của chúng ta.” Nhưng Galileo có cần lời nhắc nhở này không? Ngay vào ngày 10 tháng 12, ông đã gửi cho Kepler ở Praha, thông qua đại sứ Tokan Giuliano Medici, một tin nhắn được mã hóa về việc phát hiện ra pha của sao Kim kèm theo lá thư: “Tôi đang gửi cho bạn một tin nhắn được mã hóa về một trong những quan sát chưa qua đào tạo khác của tôi, dẫn đến việc giải quyết các tranh chấp quan trọng nhất được xây dựng và trong đó có lập luận quan trọng nhất ủng hộ các hệ thống Pythagore và Copernicus”. Kepler, như mọi khi, háo hức tìm ra câu trả lời.

Nhưng người đầu tiên được Galileo tiết lộ bí mật của mình là Clavius. Gali-

28

Ley vừa nhận được tin từ Clavius ​​​​rằng các nhà thiên văn học của đồng nghiệp La Mã đã quan sát được cả mặt trăng của Sao Mộc và hình dạng thon dài của Sao Thổ. Sự hỗ trợ của người đồng nghiệp La Mã đóng một vai trò đặc biệt trong kế hoạch của Galileo, và ông vội vàng gây bất ngờ cho Clavius ​​​​với khám phá mới của mình. Galileo mô tả những quan sát của mình về Sao Kim sau “sự xuất hiện vào buổi tối của cô ấy”, nói về việc hình dạng tròn của cô ấy bắt đầu biến dạng một cách bất ngờ như thế nào ở phía đối diện với Mặt trời, cho đến khi Sao Kim bắt đầu giống một ngày trả lương; sau đó cô ấy “có sừng rõ rệt”; dự đoán sao Kim sẽ có hình dạng như thế nào khi được quan sát dưới dạng sao mai. Và đây là kết luận: “Vì vậy, thưa ngài, hóa ra sao Kim (và chắc chắn là sao Thủy cũng sẽ làm như vậy) di chuyển quanh Mặt trời, không còn nghi ngờ gì nữa, là trung tâm của những ví dụ lớn nhất trong tất cả các hành tinh. Ngoài ra, chúng tôi chắc chắn rằng bản thân những hành tinh này tối và chỉ tỏa sáng khi được Mặt trời chiếu sáng, điều mà tôi nghĩ là không xảy ra với các ngôi sao cố định, theo một số quan sát của tôi.” Clavius ​​​​đáng lẽ phải không nghi ngờ gì về việc Galileo sẽ đi đâu với việc này.

Như vậy đã kết thúc một năm có những khám phá thiên văn vĩ đại của Galileo.

Galileo tiếp tục những quan sát thiên văn của mình. Nhưng anh ấy sẽ không còn dành nhiều thời gian để cải tiến kính thiên văn nữa, và sẽ không có bí mật nào của thế giới được tiết lộ cho anh ấy như vào năm 1610 tuyệt vời này! Những thành tựu của Galileo dẫn đến kết luận rằng phải mất ít nhất nửa thế kỷ trước khi những khám phá có thể so sánh được với những khám phá của Galileo (Huygens, Cassini) xuất hiện trong thiên văn học quan sát.

Trong khi đó, Galileo bắt đầu lo lắng về những vấn đề khác, và đối với lời giải những vấn đề này, điều quan trọng là anh ấy phải đến Rome.

Cuộc chinh phục của Rome. Galileo hạ cánh xuống Rome vào ngày 29 tháng 3 năm 1611; anh ta đóng đinh nó như một con người, sử dụng vinman đặc biệt của Công tước Tokan (trong kiệu công tước, ở trong Cung điện Medici của La Mã). Galileo đã được bốn nhà thiên văn học của đồng nghiệp La Mã - Clavius, Greenberg, Malkotius, Lembolus tiếp đón ân cần. Galileo biết được rằng các Cha Nesuit đang quan sát một cách có hệ thống các ngôi sao Medican qua các ống kính và cố gắng xác định chu kỳ của chúng. Vào ngày 21 tháng 4, một trong những người lãnh đạo của Dịch vụ Thiêng liêng, Hồng y Robert Belarmino, gửi cho họ một yêu cầu chính thức “cung cấp các nhà quan sát thiên thể mới của một nhà toán học xuất sắc” (không nêu tên) liên quan đến Dải Ngân hà, Sao Thổ, Mặt trăng và các vệ tinh của Sao Mộc. Vào ngày 24 tháng 4, đáp số đã được nhận, một sự xác nhận quan trọng cho quan sát của Galileo.

Vào ngày 14 tháng 4, Galileo trở thành thành viên thứ năm của Học viện Lincei (mắt cá), được thành lập bởi Liên đoàn Cesi, Hầu tước Monticelli. Học viện này đặt mục tiêu là nghiên cứu tự nhiên, không bị ràng buộc. Cesi đã viết cho Galil: “Những người mà chúng tôi chấp nhận cũng sẽ không phải là nô lệ. Aristotle, không phải bất kỳ triết gia nào khác, mà là bất kỳ mẫu tư tưởng cao quý và tự do nào trong nghiên cứu về tự nhiên.” Teler Balilei đặt tên Galil Linceo vào các tác phẩm của mình.

Trên đỉnh của đợt lạnh Janiculum có màn trình diễn những chiếc kèn tuyệt vời của Galileo (Cesi đề nghị gọi nó là kính thiên văn).

Galileo thanh lọc các đồng nghiệp La Mã của mình. Bản báo cáo có tựa đề “Sứ giả đầy sao của đồng nghiệp La Mã” được đọc bởi Odo Malkot. Ông gọi Galileo là “nhà thiên văn học nổi tiếng và hạnh phúc nhất còn sống”. Đức Hồng Y del Montil đã viết cho Công tước: “Trong những ngày ở Rome, Galileo đã mang lại rất nhiều sự hài lòng và dường như ông đã tự mình nhận được nó hoặc có cơ hội chứng minh những khám phá của mình đến mức tất cả những người xứng đáng và hiểu biết của thành phố này đều công nhận chúng là những người đáng tin cậy và có giá trị nhất. Nếu bây giờ chúng ta sống trong công chúng của La Mã Cổ đại, thì tôi tin chắc rằng ông ấy sẽ có một bức tượng ở Điện Capitol để

29

Đó hoàn toàn là sự dũng cảm của anh ấy.”
Lời kết. Như vậy đã kết thúc một thời kỳ ngắn ngủi nhưng rất hiệu quả trong cuộc đời khoa học của Galileo, khi ông tích cực tham gia vào các quan sát thiên văn. Nó chỉ kéo dài hơn một năm. Galileo đã không quay trở lại với tác phẩm đầu tiên của mình về chuyên luận cơ học. Anh ấy tự tin rằng mình có những lập luận quyết định trong nỗ lực tạo ra một hệ thống lấy gel làm trung tâm cho thế giới và anh ấy dành toàn bộ sức lực của mình để thúc đẩy những ý tưởng này.

Galileo vẫn được định sẵn để ghi nhớ các ngôi sao Medicean. Từ năm 1636, ông đã đàm phán với Quốc vụ khanh Hà Lan để sử dụng quan sát nhật thực của các vệ tinh của Sao Mộc để đo lường các khoản nợ trên tàu. Chúng ta đang nói về lời giải một trong những bài toán phù hợp nhất của thế kỷ 17*). Cuộc đàm phán kết thúc mà không có kết quả. Nhưng liên quan đến những cuộc đàm phán này, Galileo đã quay trở lại điều mà ông quan tâm từ lâu bài toán về việc tính toán chu kỳ quay của các vệ tinh mà ông đã phát hiện và đã cố gắng không thành công, với sự giúp đỡ của nhà sư Renberger, người có kinh nghiệm tính toán, để biên soạn các bảng chuyển động. Nhiệm vụ này hóa ra khó khăn và gây rắc rối cho các nhà thiên văn học trong một thời gian dài. Những quan sát và tính toán rất chính xác được Cassin thực hiện vào năm 1672 tại Đài thiên văn Paris và phát hiện ra sự bất ổn trong thời điểm bắt đầu nhật thực. Năm 1676 Re*

*) Bạn có thể đọc về điều này trong bài “Đồng hồ dòng điện từ” («Kvant», 1974, số 9).

bìa của chúng tôi

Nếu có nhiều tiếp tuyến được vẽ theo một đường cong nhất định và sau đó vẽ đường vuông góc với chúng tại các điểm tiếp tuyến (chúng được gọi là pháp tuyến), thì trong hầu hết
Trong mọi trường hợp, chúng ta sẽ thấy rằng các đường chuẩn này sẽ tiếp tuyến với một số đường cong mới; Đường cong mới này được gọi là họ chuẩn tắc được mô tả hoặc sự phát triển của đường cong ban đầu. Sự tiến hóa của hình elip hiển thị trên trang đầu tiên của trang bìa được vẽ bằng máy tính sử dụng chương trình do Yu biên soạn. Kotov (các đường thẳng trong hình là các đường thẳng). Cố gắng tự vẽ đường cong tiến triển của một số đường cong nổi tiếng - ví dụ: sin và parabol, cũng như đường cong được cho bởi phương trình (x² + y² − 2x)² = x² + y² (làm điều này bằng tay không dễ dàng như vậy!).

30

Dao động
và con lắc

Đây không phải là lần đầu tiên Phòng thí nghiệm «Kvant» chuyển sang thí nghiệm với con lắc. Điều này có thể hiểu được - lý thuyết dao động, được sử dụng trong nhiều lĩnh vực vật lý và công nghệ, có thể được trình bày một cách đơn giản và rõ ràng trong các thí nghiệm như vậy.
Bài viết này bao gồm hai phần.
Phần đầu tiên sẽ mô tả một số thí nghiệm; họ không yêu cầu bất kỳ thiết bị đặc biệt nào. Các thí nghiệm cá nhân và đào tạo chất lượng cao sẽ giúp mọi người thấy được kết quả đạt được.
Phần thứ hai, bài viết đưa ra một số giải thích cho một số hiện tượng. Những ai đã quen với chủ đề “Rung động cơ học” được trình bày ở đầu sách giáo khoa lớp 10 sẽ là điều dễ hiểu.

Thí nghiệm và quan sát

Bây giờ không còn có thể xác minh truyền thuyết về việc Galileo, đứng cầu nguyện trong nhà thờ, cẩn thận theo dõi sự đung đưa của những chiếc đèn chùm bằng đồng. Tôi quan sát và xác định thời gian mà đèn chùm chuyển động qua lại. Thời gian này sau này được gọi là chu kỳ dao động. Galileo không có đồng hồ và để so sánh chu kỳ dao động của đèn chùm treo trên những sợi dây có độ dài khác nhau, ông đã sử dụng tần số xung của mình.
Hãy bắt đầu với những thí nghiệm đơn giản tương tự.

1. Lấy một vật nặng nhỏ (tốt nhất là vật nặng để cân) và buộc một sợi chỉ hoặc dây câu chắc chắn vào đó (Hình 1). Bạn sẽ nhận được cái gọi là matnik toán học đơn giản nhất. Ví dụ, treo tấm thảm vào một cái đinh và bắt đầu thí nghiệm.

Bằng cách thay đổi khối lượng của vật nặng và chiều dài của dây câu, bạn có thể đảm bảo rằng chu kỳ dao động của ma trận như vậy không phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng mà phụ thuộc vào độ dài của dây câu: khi chiều dài $l$ của dây câu tăng dần thì chu kỳ dao động $T$ tăng lên. Galileo cũng đưa ra kết luận tương tự.

Điểm công thức cho chu kỳ dao động của ma trận $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ xuất hiện muộn hơn nhiều. Nguồn gốc của nó là Huygens. Kiểm tra công thức này cho ma trận của bạn.

Quan sát ma trận một thời gian và bạn sẽ nhận thấy rằng phạm vi (biên độ) dao động của nó giảm dần - các dao động tắt dần. Hơn nữa, sự suy giảm xảy ra càng nhanh thì trọng lượng của vật nặng càng nhỏ. Hãy chú ý đến điều này. Chúng ta sẽ cần điều này sau một chút.

2. Đóng hai chiếc đinh cách nhau khoảng 30 cm theo chiều ngang và gắn các ma trận vào chúng. Lấy khối lượng của một vật nặng bằng $m_1 = 100$ g và khối lượng của vật nặng thứ hai - $m_2 = 500$ g. Chọn độ dài luồng của ma trận thứ nhất bằng $l_1 = 1$ m và độ dài luồng của ma trận thứ hai sẽ cần thay đổi, ví dụ như sau: $l_2 = 0,5$ m; 0,7m; 1m; 1,2m; 1,5m.

Lấy một sợi dây đồng có đường kính khoảng 0,3 mm và làm một lò xo mềm dài 30 cm (ví dụ: đặt dây lên một cây bút chì tròn thông thường rồi cẩn thận tháo nó ra).

31

Bây giờ hãy lắp ráp toàn bộ “thiết lập”, như trong Hình 2. Đây được gọi là ma trận liên kết. Bạn có thể thực hiện nhiều thí nghiệm thú vị với nó.

Lắc nhẹ ma trận nặng (thứ hai) và để hệ thống hoạt động với các thiết bị riêng của nó. Lặp lại thí nghiệm nhiều lần, thay đổi độ dài của sợi ma trận nặng. Ma trận ánh sáng (đầu tiên) hoạt động như thế nào trong trường hợp này?

Khi sự khác biệt về độ dài của các sợi của cả hai ma trận là gần nhau, thì dao động của ma trận thứ hai thực tế không ảnh hưởng đến ma trận thứ nhất. Khi độ dài của các sợi tương đương với nhau, ma trận đầu tiên bắt đầu lắc lư và lúc đầu nó lắc lư mạnh, sau đó yếu, sau đó lại mạnh và lại yếu, v.v. Tại sao?

Rõ ràng, để truyền năng lượng từ ma trận thứ hai sang ma trận thứ nhất, chỉ cần các chuyển động xảy ra cùng lúc với sự dao động của ma trận thứ nhất. Điều này được thực hiện khi độ dài của các sợi ma trận bằng nhau. Trong trường hợp này, họ nói rằng đã xảy ra hiện tượng cộng hưởng.

Xin lưu ý rằng biên độ dao động của ma trận nặng hầu như không thay đổi. Điều này có nghĩa là nó chỉ truyền một phần nhỏ năng lượng vào nền phổi.

Hoán đổi ma trận, tức là ban đầu xoay ma trận ánh sáng. Bạn sẽ thấy rằng sự cộng hưởng sẽ ít rõ rệt hơn nhiều (ma trận càng nhẹ thì dao động của nó phân rã càng nhanh!). Kiểm tra lại điều này bằng cách sử dụng ma trận có khối lượng 20 g.

Cuối cùng, treo các vật nặng có trọng lượng bằng nhau lên các sợi chỉ giống nhau và đu một trong số chúng. Bạn sẽ thấy rằng trong trường hợp này cả hai ma trận sẽ luân phiên dao động, lúc mạnh lúc yếu, cho đến khi chúng biến mất hoàn toàn. Hơn nữa, nếu bây giờ một cái đang dao động với biên độ lớn thì cái thứ hai có biên độ nhỏ và ngược lại. Các rung động dường như truyền từ vật nặng thứ nhất sang vật nặng thứ hai và ngược lại.

Hóa ra tất cả chỉ là về sự chồng chất của các rung động. Các ma trận được kết nối bằng một lò xo yếu, các dao động của nó sẽ truyền năng lượng từ ma trận này sang ma trận khác và điều chỉnh quá trình truyền năng lượng này. Sự chồng chất của hai dao động như vậy được gọi là bcens.

Thật thú vị, các phương trình toán học mô tả benzium (và bạn sẽ tìm hiểu trong phần thứ hai của bài viết) gần đây đã có ích trong… vật lý neutrino. Viện sĩ khoa học Liên Xô B. M. Pontecorvo đề xuất rằng một loại neutrino (tương tự với ma trận thứ nhất) có thể biến đổi thành một loại khác (ma trận thứ hai) nếu có sự tương tác yếu trong tự nhiên (một lò xo) kết nối các loại này. Và có thể hóa ra các neutrino rơi xuống Trái đất từ ​​Mặt trời liên tục thay đổi bản chất của chúng trong suốt quá trình. Điều tương tự cũng xảy ra với ma trận. Các nhà nghiên cứu trên khắp thế giới hiện đang tiến hành các thí nghiệm để tìm hiểu xem liệu dao động có tồn tại hay không. Pontecorvo là quá trình chuyển đổi loại neutrino này sang loại neutrino khác.

3. Kinh nghiệm này sẽ đòi hỏi một chút kiên nhẫn.

Tạo năm hoặc sáu ma trận giống hệt nhau và nối chúng với các lò xo giống hệt nhau (Hình 3). Cho các lò xo chuyển động và bạn sẽ thấy các dao động sẽ truyền dần đến các ma trận còn lại như thế nào - một sóng sẽ chạy dọc theo chuỗi ma trận.

Hệ thống như vậy là mô hình đơn giản nhất của mạng tinh thể một chiều. Ví dụ, trên đó bạn có thể minh họa trực quan hoạt động của mạng tinh thể khi các dao động xuất hiện ở một vị trí nào đó của mạng.

Hình 3.

34

Vòng tròn
chín điểm
và đường thẳng Euler

Hình đa giác đơn giản nhất - hình tam giác - được tạo ra bởi các nhà hình học hấp dẫn. Sau Euclid, những định lý hay ho đã được chứng minh về ông bởi các nhà khoa học xuất sắc thời cổ đại như Apollonius, Heron, Menelaus và Ptolemy. Gần gũi hơn với thời đại chúng ta, tam giác đã bị Euler, Poncelet, Simson, Desargues, Klein, Hadamard mê hoặc.

Ngày nay, hình tam giác đã hơi lỗi thời nhưng vẫn không mất đi vẻ đẹp vốn có. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách đọc về đường tròn và đường thẳng liên quan đến tam giác, được đặt theo tên của Leonhard Euler. Và bài toán được thảo luận tiếp theo hy vọng sẽ cho thấy rằng vẫn còn điều gì đó cần suy nghĩ xung quanh hình tam giác.

vòng tròn Euler
Hãy bắt đầu với định lý đáng chú ý sau đây, được Euler công bố năm 1765:

Các đáy của các đường cao, đáy của các đường trung tuyến và các điểm nằm giữa các đoạn thẳng từ trực tâm*) đến các đỉnh của tam giác đều nằm trên cùng một đường tròn.

Đường tròn này được gọi là đường tròn chín điểm hoặc đường tròn Euler (Hình 1).

Trước khi tiếp tục chứng minh định lý này, chúng ta hãy chú ý đến một số sự kiện đơn giản nhưng hữu ích liên quan đến hình học của một tam giác (chúng tôi khuyên bạn nên tự mình chứng minh chúng).

Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $M$ là giao điểm của các đường trung tuyến của nó (để biết các ký hiệu khác, xem Hình 1).

(1) Điểm $A_3, B_3, C_3$ là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tương ứng với các tam giác $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$. (Gợi ý. AN, VN, CH - đường kính của các vòng tròn này - xem Hình 2).

(2) Các tam giác $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$ tương tự nhau và đồng dạng với tam giác ban đầu $ABC$. (Gợi ý. Các đỉnh trùng khớp được biểu thị bằng các chữ cái giống nhau; $ABC = A\widehat{HC} = A\widehat{B_1C_1}$).

(3) Đặt $A, B$ và $C$ là giá trị các góc tương ứng của tam giác $ABC$. Nếu các góc này nhọn thì các góc của tam giác $A_1B_1C_1$ bằng các góc tương ứng $180^\circ - 2A, 180^\circ - 2B, 180^\circ - 2C$; ví dụ: nếu $A > 90^\circ$, thì chúng bằng $2A - 180^\circ, 2B, 2C$ (Hình 2).

(4) Khoảng cách từ điểm $O$ đến mỗi cạnh của tam giác đầu vào nhỏ hơn khoảng cách từ đỉnh phản tuyến đến trực tâm $|A_2O| = \frac{1}{2}|AH|, |B_2O| = \frac{1}{2}|BH|, |C_2O| = \frac{1}{2}|CH|$.

(Gợi ý: Khoảng cách của một tam giác có các cạnh lần lượt đi qua các điểm $A, B, C$ song song với $BC, AC, AB$.)

35

Đường Euler

Lưu ý rằng từ câu (4), ngay lập tức suy ra rằng các điểm O, M và H nằm trên cùng một đường thẳng, vì đường thẳng OH chia đường trung tuyến AA₂ theo cùng tỷ lệ với điểm M. Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC. Dễ dàng nhận thấy rằng |OM| = $\frac{1}{2}$ |MH|.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng các điểm A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ cùng nằm trên một đường tròn. Chúng ta hãy giới hạn trong trường hợp tam giác ABC nhọn. (Đối với tam giác tù, hãy tự suy luận.)

Đầu tiên, lưu ý rằng các điểm A₁, A₂, B₂, C₂ nằm trên cùng một đường tròn (Hình 3), vì B₂A₁ và C₂A₁ là các đường trung tuyến của các tam giác vuông AA₁C và AA₁B được vẽ theo cạnh huyền, và do đó, B₂A₁C₂ = B₂A₁A + AA₁C₂ = A₁A B₂ + A₁A C₂ = A = B₂A₂C₂. Người ta chứng minh theo cách hoàn toàn tương tự rằng các điểm B₁, A₂, B₂, C₂ nằm trên cùng một đường tròn (điểm B₁ là một điểm “cùng loại” với A₁!) và các điểm C₁, A₂, B₂, C₂ nằm trên cùng một đường tròn. Như vậy, sáu điểm A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ cùng nằm trên một đường tròn. Mặt khác, chẳng hạn, nếu chúng ta xem xét tứ giác A₃B₃A₂C₃ (Hình 4) và biểu thị một số góc đối diện của nó theo các góc A, B và C (điều này không khó thực hiện), chúng ta sẽ tin rằng tổng của chúng bằng 180°; suy ra tứ giác A₃B₃A₂C₃ là tứ giác nội tiếp. Như vậy, sáu điểm A₃, B₃, C₃, A₂, B₂, C₂ cũng nằm trên cùng một đường tròn. Điều này có nghĩa là tất cả chín điểm A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ đều nằm trên cùng một đường tròn (các điểm A₂, B₂, C₂ đều nằm trong đường tròn chung). Định lý Euler đã được chứng minh.

Tính chất của đường tròn và đường tròn Euler

(5) Bán kính đường tròn chín điểm bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, có hệ số $\frac{1}{2}$ và tâm đường tròn tại điểm H (đây là cách đặt các tam giác ABC và A₃B₃C₃ trong mối quan hệ với nhau).

(7) Cùng một đường tròn 琢otsii, nhưng có hệ số $(-\frac{1}{2})$ và tâm 琢otsii tại điểm M (đây là cách các tam giác ABC và A₃B₃C₃ nằm trong mối quan hệ với nhau).

(8) Tâm của đường tròn chín điểm nằm trên đường Euler ở giữa đoạn OH.

36

Khó bài toán

Nhiều bài toán thú vị đã được biên soạn về chủ đề đường tròn chín điểm và đường thẳng Euler. Đây là một trong số đó, được xuất bản trong cuốn sách “Được chọn bài toán từ Tạp chí Toán học Hoa Kỳ hàng tháng” (M., “Mir”, 1977):

Cho tam giác ABC; AA1, BB1, CC1 - chiều cao của nó. Chứng minh rằng các đường thẳng Euler của các tam giác AB1C1, A1BC1, A1B1C cắt nhau tại điểm P của đường tròn chín điểm của tam giác ABC sao cho một trong các đoạn PA1, PB1, PC1 bằng tổng hai đoạn còn lại (Hình 5).

Như trước, gọi H là trực tâm của tam giác ABC, A3, B3, C3 là trung điểm của các đoạn AH, BH, CH (hãy nhớ rằng chúng là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đồng dạng AB1C1, A1BC1, A1B1C).

Đầu tiên chúng ta chứng minh một mệnh đề phụ. Nếu vẽ các đường thẳng đi qua các điểm A3, B3, C3 giống hệt nhau đối với các tam giác AB1C1, A1BC1, A1B1C thì các đường thẳng đó cắt nhau trên đường tròn chín điểm của tam giác ABC.

Chúng ta hãy biểu thị bằng P điểm giao nhau kkihnbud của hai trong số các đường thẳng này - ở bên phải, các đường thẳng được vẽ qua A3 và C3 (Hình 6). Vì các đường thẳng A3P và C3P có vị trí bằng nhau so với các tam giác AB1C1 và A1B1C nên A1A3P=A1C3P. Điều này có nghĩa là đường tròn đi qua các điểm P1, A1, C3 sẽ đi qua các điểm A3. Nhưng đường tròn này chính là đường tròn chín điểm của tam giác ABC! Như vậy, hai đường thẳng bất kỳ sẽ cắt nhau trên đường tròn chín điểm của tam giác ABC, dễ dàng kết luận cả ba đường thẳng đó sẽ cắt nhau tại một điểm.

Để hoàn thành chứng minh, bây giờ chúng ta giả sử P là giao điểm của đường Euler. Dễ dàng nhận thấy (kiểm tra!) rằng các số |PA1|, |PB1|, |PC1| tỷ lệ thuận

(*) Tức là chúng tạo thành các góc bằng nhau với các cạnh tương ứng.

Hình 5.

Hình 6.

sin của các góc PA3A1, PA3B1, PA3C1. Hãy đặt PA3A1=φ.

Giả sử △ABC nhọn. Sử dụng tính chất (3) và Hình 5, chúng ta tìm thấy
PA3B1=φ+A1A3B1=φ+A1C1B1=
=φ+180°-2C,
PA3C1=A1A3C1-φ=A1B1C1-φ=
=180°-2B-φ.

Vậy ta cần chứng minh rằng một trong ba số
sin φ, sin (2C-φ), sin (2B+φ)

(trong trường hợp này là số thứ hai) là tổng của hai số còn lại.

Xét tam giác AOH (Hình 7). Vì △ABC≈△AB1C1 và các điểm O, A3 là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác này, AOH=φ và OAC=HAB=90°-B. Có nghĩa,
OAH=A-OAC=A1AB=
=A-(90°-B)-(90°-B)=2B+A-180°,
từ đó sin OHA=sin (360°-2B-A-φ) =
=sin (2B+A+φ).

Nếu R là bán kính của một đường tròn ngoại tiếp △ABC thì |OA|=R; do tính chất (4) và đẳng thức A2OB=1/2 COB=A

|AH|=2|OA2|=2R cos A.

Áp dụng định lý sin cho tam giác OAH ta có
R/(sin (2B+A+φ))=2R cos A/sin φ,
sin φ=2 cos A sin (2B+A+φ),
sin φ=sin (2A+2B+φ)+sin (2B+φ),
sin φ=-sin (2C-φ)+sin (2B+φ),
sin (2C-φ)=sin φ+sin (2B+φ).

Hãy thử tự mình chứng minh trong trường hợp tam giác ABC tù.

Để kết luận, chúng tôi trình bày mà không cần bằng chứng về một sự thật đáng chú ý khác liên quan đến đường tròn chín điểm:

Định lý Feuerbach. Vòng tròn chín điểm chạm vào

37

Sanna và ba vòng tròn không có hình dạng*) tạo thành một hình tam giác.

Tất cả các bằng chứng của tuyên bố này mà chúng tôi biết đều rất cồng kềnh và về cơ bản chỉ mang tính chất tính toán thuần túy. Bạn có thể tìm thấy một cách chứng minh hình học tốt cho định lý Feuerbach.

Đối với những ai muốn làm quen hơn với hình học của một tam giác, chúng tôi giới thiệu hai cuốn sách:

S. I. Zetel “Hình học mới của tam giác” (M., “Uchredgiz”, 1962).

*) Đường tròn mở rộng là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và kéo dài sang hai cạnh còn lại của nó.

Dao động và ma trận

(Để bắt đầu, xem trang 30)

trở nên bằng không. Điều này có nghĩa là đã có sự truyền năng lượng hoàn toàn từ ma trận thứ nhất sang ma trận thứ hai. Sau đó quá trình được đảo ngược.

Việc mô tả một cách toán học các dao động của các ma trận ghép có khối lượng khác nhau nhưng có cùng độ dài của các sợi sẽ khó khăn hơn nhiều (hãy tự mình thử điều này nếu bạn muốn). Chúng tôi chỉ lưu ý rằng trong trường hợp này biên độ của ma trận thứ nhất không về 0 - mặc dù năng lượng được truyền sang ma trận khác nhưng nó không hoàn toàn. Bạn cũng quan sát điều này từ kinh nghiệm.

Nếu độ dài của ma trận không giống nhau ($l_1 \neq l_2$), thì như bạn đã thấy trong kinh nghiệm, sẽ không có hiện tượng cộng hưởng. Trong mô tả toán học, điều này có nghĩa là việc chuyển đổi từ hệ thống (4) sang hệ thống (5) sẽ trở nên không thể thực hiện được.

Để kết luận, ông khuyên bạn nên điều tra độc lập các câu hỏi về sự phụ thuộc của dao động của các ma trận liên kết vào độ cứng của lò xo, vào vị trí gắn của nó với các sợi dây và vào khối lượng của các ma trận. Ví dụ: hãy thử giải bài toán trong trường hợp khối lượng của một ma trận của thành phố lớn hơn khối lượng của ma trận khác và so sánh kết quả thu được bằng thí nghiệm (để làm điều này, hãy gắn một trong các ma trận vào tường bằng một lò xo).

38

Bài toán

M696—M700; F708—F712

M696. Có thể điền vào một bảng 10×10 ô với 100 số tự nhiên khác nhau sao cho với bất kỳ ô vuông $k \times k$ ($2 \leq k \leq 10$) a) tổng, b) tích của các số $k$ trên các đường chéo của nó bằng nhau không?

A. Balinsky

M697. Dựa vào đáy của một hình chữ nhật, chúng ta hãy xác định tỷ lệ giữa cạnh nhỏ và cạnh lớn hơn (bụng của hình vuông bằng 1). Chứng minh rằng, nếu cắt một hình vuông thành các hình chữ nhật thì tổng các bụng của chúng ít nhất bằng 1.

S. Fomin

M698. Trên các cạnh $a, b, c, d$ của một tứ giác nội tiếp “hướng ra ngoài” trong một hình tròn, người ta dựng các hình chữ nhật có kích thước $a \times c, b \times d, c \times a, d \times b$. Chứng minh rằng tâm của các hình chữ nhật này là các đỉnh của hình bình hành $a$), $b$) của hình chữ nhật.

O. Penkin

M699*. Một hình bán nguyệt có đường kính $AB$ được cắt bởi một đoạn $CD$ vuông góc với $AB$ thành hai tam giác cong $ACD$ và $BCD$, trong đó các đường tròn tiếp xúc với $AB$ nội tiếp tại các điểm $E$ và $F$ (Hình 1). Chứng minh rằng $|AD| = |AF|$, $|DF|$ là bissertis của góc $BDC$ thì giá trị của góc $EDF$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm $C$ trên $AB$.

B. Người gửi

M700*. Có thể chia tập hợp tất cả các phân số thập phân hữu hạn thành $a$) hai, $6$) ba lớp sao cho hai số có hiệu $10^m$ (không có số nguyên $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$) không rơi vào một lớp?

A. Leiderman

F708. Để nghiên cứu các tính chất của điện trở tuyến tính, một số thí nghiệm đã được thực hiện. Đầu tiên, sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ đã được nghiên cứu. Khi nhiệt độ tăng lên giá trị $t_1 = 100^\circ C$, điện trở ngay lập tức tăng từ giá trị $R_1 = 50$ Ohm lên giá trị $R_2 = 100$ Ohm; khi làm mát

39

denim, bước nhảy ngược xảy ra ở nhiệt độ $t_2 = 99^\circ\text{C}$ (Hình 2).
Trong thí nghiệm thứ hai, một điện áp không đổi $U_1 = 60\text{ В}$ được đặt vào điện trở, tại đó nhiệt độ của nó bằng $t_3 = 80^\circ\text{C}$.
Cuối cùng, khi đặt một điện áp không đổi $U_2 = 80\text{ В}$ vào điện trở, dòng điện tự phát xuất hiện trong mạch. Xác định chu kỳ của các dao động này và giá trị dòng điện lớn nhất. Nhiệt độ không khí trong phòng thí nghiệm không đổi và bằng $t_0 = 20^\circ\text{C}$. Sự truyền nhiệt từ điện trở tỷ lệ thuận với sự chênh lệch giữa nhiệt độ và không khí xung quanh. Nhiệt dung của điện trở $c = 3\text{ Дж}/\text{К}$. (9)

A. Buzdin

F709. Mạch như hình 3 đã được lắp ráp. Emf của pin $\varepsilon_1$ giảm 1,5 V, sau đó dòng điện trong các phần khác nhau của mạch thay đổi. Bạn cần thay đổi sức điện động của pin $\varepsilon_2$ như thế nào để

1. Dòng điện qua pin $\varepsilon_1$ có trở lại bình thường không?
2. Dòng điện qua pin $\varepsilon_2$ có trở lại bình thường không?
   Bỏ qua điện trở trong của pin.

A. Zilberman

F710. Khi quan sát một giọt nước trong vùng vượt quá giới hạn, hạt này tăng kích thước, hấp thụ những giọt nhỏ nhất gặp trên đường đi của nó, người ta thấy rằng giọt nước đó luôn chuyển động với gia tốc không đổi. Xác định gia tốc này, coi kích thước giọt ban đầu là nhỏ. Bỏ qua sức cản của không khí trong quá trình thả rơi.

A. Stasenko

F711. Bảng này trình bày số liệu thực nghiệm về nhiệt dung và khối lượng mol của một số chất rắn. Dựa trên những dữ liệu này, hãy thiết lập một mô hình vật lý tân hướng và điền vào ba ô trống của bảng. Độ chính xác ước tính của dự đoán của bạn là bao nhiêu (tính bằng phần trăm)? Hằng số khí phổ quát $R = 8,31\text{ Дж}/(\text{моль} \cdot \text{К})$. (9)

E. Surkov

Bàn

| | Bạc | Alominey | Vàng | Bismut | coban | đồng | Sắt | Liti | Magie | Niken | Bạch kim | Titan | Vanadi |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $c$, J/(g K) | 0,238 | 0,90 | 0,128 | 0,122 | 0,417 | 0,383 | 0,447 | 3,52 | | 0,43 | 0,131 | | 0,484 |
| A, g/mol | 107 | 27 | 197 | 209 | 59 | 64 | | 7 | 24 | 60 | 196 | 48 | 51 |

40

F712. Một quả bóng nhỏ chuyển động với tốc độ không đổi $\vec{V}_0$ dọc theo một mặt phẳng nằm ngang nhẵn và rơi tại điểm $A$ vào một giếng hình trụ thẳng đứng có độ sâu $H$ và bán kính $R$. Vectơ vận tốc của quả bóng tạo một góc $\alpha$ với đường kính của giếng hướng về điểm $A$ (Hình 4). Với những tỷ lệ nào giữa $\vec{V}_0$, $H$, $R$ và $\alpha$ quả bóng có thể “ra khỏi” giếng sau khi va chạm đàn hồi với tường và nhà? (8)

S. Krotov

Lời giải bài toán

M656—M660; F668—F672

Chúng ta hãy đặt gốc của tất cả các vectơ tại một điểm và dựng một hình cầu có bán kính 1 với tâm tại điểm này. Chúng ta hãy lấy các điểm giao nhau của vectơ của chúng ta (hoặc phần mở rộng của chúng) với hình cầu không đổi và bao quanh một trong số chúng bằng nắp có “đường kính” $45^\circ$ (Hình 1) hoặc, về cơ bản là giống nhau, bản thân các vectơ có hình nón có mẫu $45^\circ$ (và dạng 1). Mệnh đề bài toán sẽ được chứng minh nếu chúng ta chứng minh rằng hai “lân cận” bất kỳ: hình mũ hoặc hình nón, cắt nhau. Và để làm điều này, hãy so sánh tổng diện tích bề mặt của nắp (hoặc tổng thể tích của hình nón) với diện tích bề mặt của hình cầu (tương ứng với thể tích của quả bóng).

Diện tích bề mặt của nắp (xem Hình 1; $H = R(1-\cos \varphi)$ là chiều cao của nắp) bằng $2\pi RH = 2\pi \left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right) = 2\pi \left(1-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}\right)$ (chúng tôi đã sử dụng công thức tính cosin của một góc polyvine). Mục tiêu của chúng ta là chứng minh rằng $30 \cdot 2\pi \left(1-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}\right) > 4\pi$, tức là $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2} < \frac{4}{15}$. Sau khi thực hiện một số phép biến đổi đơn giản (hai trong số đó là phép biến đổi bình phương), chúng ta đi đến bất đẳng thức tương đương chính xác $\frac{1}{2} < \left(\frac{167}{225}\right)^2$. Từ đó, trong số những chiếc mũ anh ta sẽ tìm thấy hai chiếc mũ giao nhau; góc giữa các vectơ tương ứng của chúng sẽ nhỏ hơn $45^\circ$.

Nếu so sánh thể tích (Hình 2), chúng ta cần chứng minh rằng thể tích của mỗi hình nón lớn hơn $\frac{4}{90}$ π. Chúng tôi mời bạn tự mình kiểm tra điều này.

A. Tolpieo

M657. Trong bảng $n \times n$ chứa đầy các số, tất cả các dòng đều khác nhau. Chứng minh rằng bạn có thể xóa cột không có biểu quyết khỏi bảng sao cho tất cả các hàng trong bảng còn lại cũng khác biệt.

Giả sử điều ngược lại: bất kể chúng ta gạch bỏ bảng nào, bảng còn lại sẽ tìm thấy ít nhất một cặp hàng giống hệt nhau. Chúng ta hãy xem xét $n$ các bảng “rút gọn” thu được từ một bảng tương ứng nhất định bằng cách xóa bảng thứ nhất, thứ hai, …, $n$. Đối với mỗi bảng này, hãy đánh dấu một cặp hàng giống hệt nhau (độ dài $n-1$). Bây giờ chúng ta sẽ giả sử rằng các hàng của bảng gốc là các điểm trên mặt phẳng và các điểm tương ứng với tham số được đánh dấu trong các bảng rút gọn được kết nối theo cặp. Chúng tôi nhận được hình ảnh về “$n$ điểm - $n$ phân đoạn”. Không khó để chứng minh rằng trong bức tranh như vậy sẽ có một chu trình - một đường đứt đoạn khép kín với các đỉnh tính từ các điểm của chúng ta. Đặt các đỉnh này tương ứng với các đường $A_1$, $A_2$, …, $A_m$ và đặt đoạn $A_iA_{i+1}$ là kết quả của việc xóa

41

cột $B_i$ ($i=1, 2, \dots, m-1$) và đoạn $A_m A_1$ - cột $B_m$.
Khi đó trong bảng gốc, các hàng $A_1$ và $A_2$ chỉ khác nhau ở cột $B_1$, các hàng $A_2$ và $A_3$ - chỉ khác nhau ở cột $B_2$, …
các hàng $A_{m-1}$ và $A_m$ chỉ có trong cột $B_{m-1}$, vì vậy trong cột $B_m$, tất cả các hàng này đều có cùng một số.
Nhưng điều này mâu thuẫn với thực tế là các điểm tương ứng với hàng $A_1$ và $A_m$ được kết nối với nhau (vì theo quy ước, tất cả các hàng trong bảng gốc đều khác nhau, các hàng $A_1$ và $A_m$ phải khác nhau ở cột $B_m$).

A. Anjan

M658. Trong một hình vuông, trên cạnh 1 có hữu hạn các đoạn thẳng (Hình 1) song song với cạnh của nó. Các đoạn đường có thể cắt nhau. Tổng độ dài của các đoạn được vẽ là 18. Chứng minh rằng trong số các phần mà hình vuông chia các điểm đó của đoạn thẳng đó, có một phần có diện tích không nhỏ hơn 0,01.

◆ Tổng độ dài các cạnh của tất cả các phần mà hình vuông được chia thành các đoạn bằng $2 \cdot 18 + 4 = 40$ (độ dài của các đoạn đã vẽ được tính vào tổng này hai lần, độ dài các cạnh của hình vuông - một lần). Đặt cho phần $i$ tổng độ dài của các ranh giới ngang bằng $2x_i$, các đường dọc - $2y_i$ và diện tích của phần $i$ bằng $c_i^2 (c_i > 0)$; rồi $x_i y_i \geqslant c_i^2$ (Hình 2), do đó $x_i + y_i \geqslant 2\sqrt{x_i y_i} \geqslant 2c_i$. Vì thế,

$$40 = \Sigma (2x_i + 2y_i) \geqslant 4\Sigma c_i,$$

từ đâu $\Sigma c_i \leqslant 10$ (ở đây tổng $\Sigma$ được lấy trên tất cả các phần của phân vùng).

Hình 1.

Hình 2.

Nếu $c_i^2 < 0,01$ (nghĩa là $c_i < 0,1$) với tất cả $i$, thì $1 = \Sigma c_i^2 < \Sigma 0,1c_i = 0,1\Sigma c_i$, do đó $\Sigma c_i > 10$. Sự mâu thuẫn. Rõ ràng, ước tính 18 là chính xác: với đoạn 18/18 có độ dài 1, hình vuông của chúng ta có thể được chia thành 100 hình vuông giống hệt nhau có diện tích 0,01 mỗi hình.

A. Berzin

M659. Chứng minh các tính chất sau của dãy Fibonacci $f_1 = 1, f_2 = 2, \dots, f_{k+1} = f_k + f_{k-1}$.

a) Mỗi ​​số tự nhiên $n \geqslant 3$ được biểu diễn dưới dạng tổng của các số Fibonacci khác nhau.

b)* Ta biểu thị số cách biểu diễn như vậy của số $n$ dưới dạng tổng của một số chẵn với $K_n$, dưới dạng tổng của một số lẻ với $H_n$; thì $|K_n - H_n| \leqslant 1$ cho tất cả $n$.

c)* Nếu bạn liên tiếp vượt qua một số kẻ giết hai người dai dẳng trong chuỗi

$$1 - x, 1 - x^2, 1 - x^3,$$

$$1 - x^5, \dots, 1 - x^{f_k}, \dots$$

Để ngắn gọn, chúng ta sẽ cùng nhau nói “biểu diễn của số $n$ dưới dạng tổng của các số Fibonacci khác nhau” là “biểu diễn của số $n$”; chúng ta sẽ gọi các biểu diễn thỏa mãn điều kiện d) chính xác.

Câu lệnh bài toán a) có trong câu lệnh bài toán d).

Lời giải bài toán g). Bên lề là một bảng biểu diễn chính xác các số tự nhiên. Bảng này có cấu trúc như thế này. Các dòng của nó được chia thành các nhóm chứa các giá trị tương ứng của các đẳng thức $1, 2, \dots, f_k$, …. Nhóm đầu tiên bao gồm các đẳng thức $1 = 1$, nhóm thứ hai - từ các đẳng thức $2 = 2$ và $3 = 1 + 2$, và nhóm có số $k \geqslant 3$ thu được từ các nhóm $(k-2)$ và $(k-1)$ bằng cách tăng cạnh trái của các đẳng thức có trong chúng lên $f_k$ và gán chúng cho vế phải của số hạng $f_k$. Bảng cho thấy mọi số tự nhiên $n \geqslant 3$ đều có cách biểu diễn đúng. Để chứng minh tính duy nhất của cách biểu diễn đúng, giả sử rằng $n$ là số nhỏ nhất mà nó là duy nhất; cho phép

$$n = f_{i_1} + \dots + f_{i_m} (i_1 < \dots < i_m)$$

• một khung nhìn không có trong bảng của chúng tôi. Nhưng sau đó

42

(các chỉ số là số Fibonacci), khi đó trong đa thức thu được tất cả các hệ số sẽ bằng 0, -1 hoặc +1. Chứng minh của phát biểu b) và c) mà chúng ta biết dựa trên tính chất sau:
e) Đối với bất kỳ $n \geq 3$ nào, có một biểu diễn duy nhất của $n$ dưới dạng tổng của các số Fibonacci khác nhau, cùng với mỗi số hạng $f_k(k \geq 3)$ chứa ít nhất một trong hai số Fibonacci trước đó $f_{k-1}$ hoặc $f_{k-2}$.

$$1 = 1$$
$$2 = 2$$
$$3 = 1 + 2$$
$$4 = 1 + 3$$
$$5 = 2 + 3$$
$$6 = 1 + 2 + 3$$
$$7 = 2 + 5$$
$$8 = 1 + 2 + 5$$
$$9 = 1 + 3 + 5$$
$$10 = 2 + 3 + 5$$
$$11 = 1 + 2 + 3 + 5$$
$$12 = 1 + 3 + 8$$
$$13 = 2 + 3 + 8$$

$$1 = S(1)$$
$$2 = T(1)$$
$$3 = S(2)$$
$$4 = S(1,1)$$
$$5 = T(2)$$
$$6 = S(3)$$
$$7 = T(1,1)$$
$$8 = S(2,1)$$
$$9 = S(1,2)$$
$$10 = T(3)$$
$$11 = S(4)$$
$$12 = S(1,1,1)$$
$$13 = T(2,1)$$

$$37 = S(2,2,1)$$

$$K_1 - H_1 = M(1) = -1$$
$$K_2 - H_2 = N(1) = -1$$
$$K_3 - H_3 = M(2) = 0$$
$$K_1 - H_4 = M(1,1) = 1$$
$$K_5 - H_5 = N(2) = 0$$
$$K_6 - H_6 = M(3) = 0$$
$$K_7 - H_7 = N(1,1) = 1$$
$$K_8 - H_8 = M(2,1) = -1$$
$$K_9 - H_9 = M(1,2) = 0$$
$$K_{10} - H_{10} = N(3) = 0$$
$$K_{11} - H_{11} = M(4) = 1$$
$$K_{12} - H_{12} = M(1,1,1) = 0$$
$$K_{13} - H_{13} = N(2,1) = -1$$

$$K_{37} - H_{37} = M(2,2,1) = 0$$

trình bày đúng
$$n - f_{i_m} = f_{i_1} + \dots + f_{i_{m-1}}$$
điều tương tự có thể được chứa trong bảng, nếu không, chúng tôi sẽ phải đưa các chế độ xem (1) vào bảng khi xử lý nhóm thứ $i_m$. Sự mâu thuẫn.

Lời giải bài toán 6). Chúng ta sẽ mô tả cách biểu diễn các số tự nhiên dưới dạng chuỗi các vòng tròn đen và trắng: vòng tròn màu đen ở vị trí $k$ có ​​nghĩa là $f_k$ được bao gồm trong biểu diễn, vòng tròn màu trắng có nghĩa là nó không được bao gồm (chúng ta đảo ngược chuỗi trong vòng tròn màu đen cuối cùng). Trong Hình 1, sáu cách biểu diễn khác nhau của số 37 được viết theo cách này (đây là tất cả các cách biểu diễn có thể có của nó). Ý đúng có dạng như hình 2, a hoặc 2, 6; ở đây $j_1, \dots, j_q$ là số tự nhiên. Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi đặt $n = S(j_1, \dots, j_q)$, $K_n - H_n = M(j_1, \dots, j_q)$; trong trường hợp thứ hai, chúng tôi đặt $n = T(j_1, \dots, j_q)$, $K_n - H_n = N(j_1, \dots, j_q)$. (Vì vậy, 37 = S(2, 2, 1), $M(2, 2, 1) = K_{37} - H_{37} = 3 - 3 = 0$; các ví dụ khác được đưa ra gần bên lề.)

Nếu $n = f_{i_1} + \dots + f_{i_m}$ là biểu thị của số $n$, bao gồm $f_r$ và $f_{r+1}$, nhưng không bao gồm $f_{r+2}$ của nó, thì bằng cách thay thế các thuật ngữ $f_r$ và $f_{r+1}$ bằng các thuật ngữ $f_{r+2}$, chúng ta sẽ có được một cách biểu diễn khác của số $n$. Chúng ta sẽ gọi phép biến đổi này (… ● ● ○ … → … ○ ○ ● …) đơn giản hóa cơ bản. Rõ ràng, bất kỳ biểu diễn nào của một số đều có được từ việc đơn giản hóa cơ bản một cách chính xác. Hãy để nó là $q = 1$ trước. Hình 3 hiển thị bộ biểu diễn hoàn chỉnh cho số $n = S(j)$ (bằng $f_{j+2} - 2$). Ta thấy $K_{S(j)}$ là số bốn từ $[(j+1)/2]$ đến $j$, và $H_{S(j)}$ là số x số lẻ trên đoạn này. Kể từ đây,

$$K_n - H_n = M(j) = \begin{cases} 1, \text{ если } j \equiv 0 \text{ mod } 4^* \\ -1, \text{ если } j \equiv 1 \text{ mod } 4, \\ 0, \text{ если } j \equiv 2 \text{ mod } 4. \end{cases}$$

Bây giờ chúng ta chuyển sang số $M(j_1, \dots, j_q)$. Chúng ta hãy chia cách biểu diễn của số $S(j_1, \dots, j_q)$ thành hai nhóm: cách biểu diễn dạng $f_{1+1} + \dots + f_{j+1} + \dots$ và phần còn lại. Số cách biểu diễn của nhóm đầu tiên trùng với số lượng tất cả các cách biểu diễn của số $S(j_2, \dots, j_q)$, chỉ có số sau có $j_1$ số hạng ít hơn, do đó nó bao gồm nhóm đầu tiên trong $M(j_1, \dots, j_q)$ bằng $(-1)^j M(j_2, \dots, j_q)$ (một số ví dụ hoặc những ví dụ xây dựng quan sát của chúng tôi được đưa ra bên lề).

Tiếp theo, để có được cách biểu diễn chính xác của nhóm thứ hai bằng cách sử dụng các yếu tố đơn giản hóa, cần phải đơn giản hóa cơ bản ($f_{j_1-1}, f_{j_1}) \rightarrow f_{j_1+1}$ và người ta có thể tìm thấy từ đó. Do đó, giữa các thuật ngữ $j_1-2$ đầu tiên và phần còn lại có thể có một khoảng cách có độ dài 2 (Hình 4), loại trừ khả năng tương tác. Do đó, trong tương lai, sự đơn giản hóa cơ bản của các thuật ngữ $j_1-2$ đầu tiên và phần còn lại là độc lập, sao cho nhóm thứ hai được bao gồm trong $M(j_1, \dots, j_q)$ bằng $M(j_1-2) M(j_2+1, j_3, \dots, j_q)$.

$$M(j_1, \dots, j_q) = (-1)^j M(j_2, \dots, j_q) + M(j_1-2) M(j_2+1, j_3, \dots, j_q)$$

(xem thêm ví dụ ở lề)**). Bây giờ chúng ta hãy chứng minh từ $q$ rằng $M(j_1, \dots, j_q) = -1, 0$ hoặc 1.

Tại $q = 1$ chúng tôi đã biết điều này. Giả sử rằng $M(k_1, \dots, k_r) = -1, 0$ hoặc 1 cho $r = q$ và bất kỳ $k_1, \dots, k_r$ nào. Nếu $j_1 \equiv 0$ hoặc 1 mod 4 thì $M(j_1-2) = 0$ (xem công thức (2)) và $M(j_1, \dots, j_q) = (-1)^j M(j_2, \dots, j_q) = -1, 0$ hoặc 1.

Nếu $j_1 \equiv 2$ hoặc 3 mod 4 thì $M(j_1-2) = (-1)^j M(j_2, \dots, j_q)$ (xem công thức (2)) cho $q = 2$ và

*) Ký hiệu $a \equiv b$ mod $c$ (đọc: $a$ có ​​thể so sánh với $b$ mod $c$), trong đó $0 \leq b < c$, có nghĩa là khi $a$ chia cho $c$, thu được phần dư $b$.

**) Công thức (3) chỉ có ý nghĩa với $j_1 \geq 3$, nhưng nó cũng có thể được sử dụng cho $j_1 = 1, 2$ bằng cách đặt $M(-1) = 0, M(0) = 1$ (không mâu thuẫn với công thức (2)); việc chứng minh được để lại cho người đọc.