Kvant 1981, số 10 · Trang

KVANM 10
1981

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

THỨ HAI MƯỜI LÀ THÊM

Trong mười sáu vòng tròn tự do, sắp xếp các số từ 1 đến 20, ngoại trừ 6, 12, 18 và một số nữa, sao cho tổng các số nằm trên mỗi trong số chín vòng tròn được chỉ định và mỗi số trong số ba động lực được chỉ định đều giống nhau.

A. Medyanik

1

10
1981

Được thành lập vào năm 1970

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC
PHÒNG BIÊN TẬP CHÍNH VĂN HỌC VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TRONG PHÒNG:

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin

Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:

M. I. Bashmkov
S. T. Bellev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
N. A. Patrikeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin

Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg

Các nhà khoa học thu hút giới trẻ

2 N. Emmanuel. Hãy suy nghĩ và tìm kiếm

5 L. Aslamazov. MỰC là gì?

13 D. Kozn. Chỉ số hiệp sĩ

17 S. Filonovich. Henry Cavendish

22 Henry Cavendish. Thí nghiệm xác định định luật lực điện

vòng tròn toán học

27 V. Pereyaslavsky. Trò chơi “Định nghĩa”

Vấn đề «Kvant»

32 Bài toán M706 — M710? F718 — F722

34 Lời giải bài toán M666 — M670; F678 — F682

«Kvant» cho học sinh nhỏ

41 Bài toán

42 I. Yufanova. Phỏng vấn Nam tước Munchausen

Qua những trang sách giáo khoa

44 V. Kucherov. Tương tự hình học

Xưởng của người nộp đơn

47 A. Sheronov. Chuyển động cong

Nghệ thuật lập trình

51 Trường Trung cấp Lập trình. Bài học 15

Thông tin

58 Olympic toàn Nga dành cho học sinh

62 trang cờ vua

63 Đáp số, gợi ý, lời giải

Tin khoa học (31)

Bìa của chúng tôi (57)

Pha trộn (50)

Thi đấu cờ vua (trang bìa thứ 3)

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1981

2

Nghĩ
và tìm kiếm

Tôi sẽ nói về những vấn đề cấp bách nhất mà học sinh và sinh viên ngày nay sẽ phải giải quyết, về những vấn đề sẽ “chuyển đổi” sang thế kỷ 21, về những phẩm chất đặc biệt mà chủ nghĩa ngoại giáo mới nên rèn giũa trong họ.

Trong đội quân Khoa học trị giá hàng triệu người ngày nay có rất nhiều đơn vị chuyên môn, nhưng tôi muốn nói đôi lời về các ngành khoa học cơ bản, cơ bản - toán học, vật lý, hóa học và sinh học.

Trừu tượng về hình thức, khoa học - toán học - ngày càng trở thành công cụ để nghiên cứu sự mô tả hài hòa và chặt chẽ các hiện tượng mà khoa học tự nhiên, xã hội và kỹ thuật giải quyết. Sự phát triển của khoa học cho thấy trong tương lai gần, vai trò của toán học sẽ tăng lên rất nhiều đến mức, dù một người có thành thạo chuyên môn gì đi chăng nữa, người đó cũng sẽ cần một bộ máy toán học hiện đại xuất sắc để làm việc.

Trong thế kỷ 20 sắp tới, nhân loại đã được làm giàu trong lĩnh vực vật lý với những khám phá mang tính cách mạng như sự phân hạch hạt nhân uranium (kết quả là công nghệ nguyên tử và năng lượng phát sinh), phát hiện ra phản ứng tổng hợp nhiệt hạch (gắn liền với sự giải phóng năng lượng khổng lồ), máy phát lượng tử - laser (đã tìm thấy phạm vi ứng dụng rộng nhất), việc tạo ra bóng bán dẫn (giúp phát triển điện tử vô tuyến hiện đại và công nghệ máy tính điện tử). Trong thế kỷ 21

Viện sĩ Nikolai Markovich Emanuel - người đoạt giải Lenin, phó giám đốc Viện Vật lý hóa học thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, giáo sư tại Đại học quốc gia Moscow. M. V. Lomonosov.

Chiến lược này được in lại với những chữ viết tắt nhỏ từ tuyển tập “Lenin. Nauka. Youth”, do nhà xuất bản Nauka xuất bản năm 1980.

3

các nhà vật lý sẽ phải giải quyết những vấn đề lớn bài toán để đảm bảo sự thịnh vượng trong tương lai của nhân loại.

Hóa học hiện đại phát triển trong mối liên hệ chặt chẽ với vật lý, toán học và sinh học. Các lĩnh vực mới của nó bao gồm hóa học năng lượng cao, nghiên cứu các biến đổi hóa học dưới tác động của bức xạ, ánh sáng, bức xạ laser, tác động của sóng xung kích và các quá trình plasma. Điện ngày càng phát triển, các nguồn dòng điện mới sẽ được tạo ra. Hoạt động trong lĩnh vực chống ăn mòn và bảo vệ kim loại khỏi bị ăn mòn có tầm quan trọng đặc biệt của quốc gia. Các vật liệu polymer mới sẽ được tạo ra - chịu nhiệt, độ bền cao, chịu được môi trường hóa học khắc nghiệt, vật liệu dùng cho mục đích y tế. Liên quan đến vấn đề sử dụng tối đa nguồn nguyên liệu thô tự nhiên hạn chế, hóa dầu, hóa than, hóa đá phiến, than bùn và hóa học gỗ đang được mở rộng. Tổ chức hóa học chiếm một vị trí đặc biệt với hàng triệu chất hóa học riêng lẻ đã được ứng dụng hoặc có thể trở nên cần thiết trong tương lai. Các nhà hóa học hữu cơ tổng hợp các loại thuốc chống lại những căn bệnh nguy hiểm nhất của con người và động vật. Công việc tổng hợp thực phẩm nhân tạo ngày càng trở nên quan trọng.

Sinh học từ lâu đã được coi là một môn khoa học mô tả thuần túy. Tuy nhiên, sự thâm nhập sâu vào sự tồn tại của các hiện tượng sinh học đã dẫn đến sự phát triển mạnh mẽ của sinh học tế bào sống, hóa sinh và sinh lý của động vật, con người và thực vật, di truyền, sinh lý học và nghiên cứu quá trình quang hợp. Sinh học phân tử có sức hấp dẫn đặc biệt và triển vọng không chỉ trong việc tìm hiểu cơ chế sống của các hiện tượng mà còn trong việc kiểm soát các quá trình sống. Mối quan tâm của nhiều ngành khoa học tự nhiên đan xen một cách hiệu quả ở đây.

Hiện nay chúng ta có khoảng một nghìn trường cao đẳng với gần 5 triệu sinh viên đang theo học. Những con số khổng lồ mà không quốc gia nào trên thế giới biết được!

Hiện nay Liên Xô có số lượng nhân viên khoa học lớn nhất thế giới - gần 1,3 triệu người. Công nghiệp cần nguyên liệu thô và địa chất không ngừng khám phá độ sâu của trái đất để tìm kiếm nguồn nguyên liệu mới. Đất nước cần các sản phẩm nông, lâm nghiệp, thực phẩm công nghệ và hàng tiêu dùng chuyên dụng. Chúng ta cần các nhà kinh tế, nhân viên y tế, giáo viên, nhân viên văn hóa nghệ thuật và nhiều chuyên gia khác. Khi những chuyên ngành này được liệt kê, một ý nghĩ khác lại hiện lên trong đầu bạn. Làm thế nào để thay thế điều này, rằng đất nước chúng ta sẽ luôn cần ngày càng nhiều chuyên ngành, rằng không một sinh viên tốt nghiệp đại học nào của chúng ta sẽ biết thất nghiệp là gì.

Theo tôi, khuynh hướng hướng tới nghề này hay nghề khác của người trẻ thường bộc lộ từ rất sớm, có thể là vào lớp năm hoặc lớp sáu ở trường phổ thông. Vì vậy, đôi khi, ngay cả trong giai đoạn tiền đại học, một chàng trai trẻ đã có được một số tầm nhìn chuyên môn, có ý tưởng chung về tương lai, về công việc, thậm chí còn thu thập được một thư viện ít nhiều sách khoa học phổ biến, thu thập các mẩu tin từ các tờ báo về nghề nghiệp yêu thích của mình… Trong trường hợp này, anh ấy, vẫn còn rất trẻ, đã phát triển ý thức về tuổi trưởng thành trong kinh doanh gây ấn tượng với chúng ta xung quanh. Điều này đặc biệt tốt khi bạn đã cố gắng làm một thứ gì đó bằng chính đôi tay của mình - cho dù đó là máy bay mô hình hay robot hấp dẫn, cho dù bạn lắp ráp radio, không sử dụng điện, bạn biết cách xử lý hóa chất… Tuổi thơ ấu ở độ tuổi gần với tuổi trưởng thành là một nhược điểm lớn. Điều mà tôi gọi là sự trưởng thành trong kinh doanh chính là chìa khóa dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc và thành công về nghề này. Rốt cuộc, người ta phải nắm vững chuyên ngành đã chọn một cách hoàn hảo, biết nó đến từng chi tiết cuối cùng và có thể làm mọi thứ bằng chính đôi tay của mình. Khi một thợ cơ khí an toàn xác định tính chất và vị trí của sự cố trong ô tô và internet.

4

Renno khắc phục sự cố; nó đẹp đẽ, duyên dáng và có tính thẩm mỹ như đang chơi một nhạc cụ điêu luyện.

Tính chuyên nghiệp là một phẩm chất tốt cần được phát triển bằng mọi cách có thể. Và còn một đặc điểm nữa mà bạn nên cố gắng phát triển ở bản thân để đạt đến trình độ phát triển khoa học của mình. Nhận thức được những gì đã được hình thành, lời giải, hình thành nên cơ sở của sự tùy tiện, xây dựng này nọ, làm quen với việc suy nghĩ xem liệu có thể giải quyết vấn đề theo cách khác hay không. Hãy cố gắng tự mình tìm lời giải mới, hiệu quả hơn, nguyên bản hơn. Phát minh, phát minh!

Tôi tin chắc rằng điều đó là có thể - và nên làm! - phát triển những đặc điểm tương tự ở bản thân. Sự sáng tạo ban đầu phải trở nên phổ biến. Một cách tiếp cận phê phán sáng tạo cũng giúp ích trong việc giáo dục incidia, điều hoàn toàn cần thiết cho quá trình chuyên môn hóa.

Trong bức thư nổi tiếng gửi tuổi trẻ, xuất bản năm 1935, nhà vật lý vĩ đại I. P. Pavlov đã viết về tính khiêm tốn. Ông viết rất nghiêm khắc, khắt khe, nhấn mạnh vào việc kiên trì tích lũy kiến ​​thức, cho rằng dù người khác đánh giá cao kiến ​​thức của bạn đến đâu thì bạn cũng phải luôn có dũng khí để tự nhủ: “Tôi dốt nát”. Viết một cách gay gắt và gay gắt. Nhân tiện, khi một người còn trẻ, tính cách thiếu khiêm tốn trong kinh doanh, thiếu tự phê bình và tự mãn đôi khi không quá đáng chú ý, nhưng nếu anh ta lớn lên mà tiếp tục như vậy thì tác hại mà anh ta mang lại cho xã hội có thể trở nên rất đáng chú ý. Đặc biệt nếu một người như vậy thấy mình ở vị trí lãnh đạo.

Có một sự thật lâu đời và nổi tiếng - “học trò phải giỏi hơn thầy mình”. Khái niệm “giáo viên” không nên hiểu theo nghĩa đen của từ này. Giáo viên có thể không bận tâm đến việc học sinh chọn ra nhiều sự thật khác nhau trong đầu. Nhưng học sinh phải lấy từ giáo viên tất cả những gì tốt đẹp và có giá trị mà mình có, và gần như hơn thế nữa, tạo ra và phát triển những điều mới mẻ, tiến bộ vốn có trong mình. Người được gọi là thầy thường cảm thấy hài lòng sâu sắc khi học trò của mình vượt qua chính mình. Chỉ trong một vài trường hợp đáng buồn, giáo viên mới đánh học sinh của mình. Và đây thực sự là một ngoại lệ hiếm hoi. Vì vậy, hãy quan sát kỹ giáo viên của bạn. Hãy hài lòng vì bạn sẽ học cách bày tỏ suy nghĩ theo phong cách của họ, và sau đó, có lẽ, bạn sẽ có thể phát triển suy nghĩ của riêng mình, điều này có thể trở nên nguyên bản, dễ hiểu và thú vị hơn. Nếu một giáo viên viết các bài báo khoa học, sách chuyên khảo, sách giáo khoa, hãy đọc chúng, nắm bắt logic lý luận của thầy, học cách viết theo cách thầy, rồi phát triển chữ viết của riêng mình, phong cách trình bày của riêng mình.

Cho dù những lời khuyên này có tuyệt vời đến đâu thì chúng vẫn có thể hữu ích và có thể góp phần vào sự phát triển nghề nghiệp.

Tóm lại, tôi muốn chúc bạn những điều sau: bạn đã bước vào một thời đại mà giá trị của mỗi ngày bạn sống rất lớn đến mức bạn không có quyền cho bản thân và xã hội được nghỉ ngơi mà không làm gì. Hãy suy nghĩ, tìm kiếm, học hỏi, tạo dựng bản thân và thế giới - mỗi ngày!

5

MỰC là gì?

Có lẽ ngày nay mọi người đều biết về tính siêu dẫn. Hiện tượng này bao gồm thực tế là ở nhiệt độ thấp, điện trở của một số kim loại nguyên chất và kim loại trở nên bằng 0 và dòng điện được tạo ra mà không bị tổn thất.

Nhiệt độ tại đó điện trở biến mất rất thấp - chúng gần bằng không độ tuyệt đối (−273°C). Để làm lạnh một chất đến nhiệt độ này, nó được đặt trong một môi trường đặc biệt - heli lỏng. Ở áp suất bình thường, helium trở thành chất lỏng ở nhiệt độ 4,2 K và không đóng băng ở nhiệt độ thấp nhất - xuống đến độ không tuyệt đối.

Làm lạnh đến nhiệt độ gel lỏng khá khó khăn bài toán. Đây là lý do tại sao chất siêu dẫn, chất có triển vọng sử dụng trong công nghệ, vẫn chưa được ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Và, có vẻ như, chẳng hạn, thật hấp dẫn khi truyền năng lượng điện đi những khoảng cách xa thông qua dây siêu dẫn - không bị tổn thất! Tuy nhiên, việc làm mát dây vẫn còn khá tốn kém. Và mặc dù các đường truyền siêu dẫn dài vài km đã được tạo ra, cũng như các động cơ và máy phát điện siêu dẫn, và thậm chí cả tàu cao tốc trên cái gọi là bay từ trường (cũng sử dụng tốc độ siêu nhanh).
tính trôi chảy) - những thiết bị như vậy vẫn chưa được ra mắt.

Trong các phòng thí nghiệm trên khắp thế giới, các nhà vật lý và hóa học đang tìm kiếm các chất siêu dẫn ở nhiệt độ không quá thấp (ví dụ, để có thể sử dụng không khí lỏng tương đối rẻ và dễ tiếp cận để làm mát chúng). Tiến bộ đáng kể đã được thực hiện theo hướng này - ngày càng có nhiều chất siêu dẫn “nhiệt độ cao” được phát hiện hàng năm. Nhưng ngay cả người giữ kỷ lục ngày nay - hợp kim của nubium với germanium Nb₃Ge - chỉ trở thành chất siêu dẫn ở nhiệt độ 22,4 K.

Chưa hết, tính siêu dẫn đã “hoạt động”. Trong một số trường hợp, khả năng siêu dẫn chỉ có ở bàn này, điều đó có nghĩa là bạn phải chịu chi phí làm mát. Vì vậy, nam châm siêu dẫn được sử dụng rộng rãi để tạo ra từ trường mạnh (vài chục tesla); chất siêu dẫn được sử dụng để đo từ trường rất yếu (với độ chính xác 10⁻¹⁸ Tesla). Vôn kế, máy dò và bộ khuếch đại bức xạ điện từ nhạy cảm hoạt động trên cơ sở tính siêu dẫn. Có cả một lĩnh vực điện tử - điện tử lạnh (từ tiếng Hy Lạp “krios” - lạnh), dựa trên việc sử dụng hiện tượng siêu dẫn.

Một số ứng dụng thực tế của chất siêu dẫn sẽ được thảo luận trong bài viết này. Tuy nhiên, câu chuyện được kể từ xa. Trước tiên chúng ta hãy làm quen với một hiện tượng vật lý tuyệt đẹp làm cơ sở cho việc thiết kế nhiều thiết bị siêu dẫn.

Lượng tử hóa từ thông

Như đã biết, trong thế giới vi mô - thế giới của các phân tử, nguyên tử, hạt cơ bản - về cơ bản chỉ có thể áp dụng một số giá trị rời rạc nhất định - như các nhà vật lý nói, các đại lượng

6

lượng tử hóa. (Một ngành khoa học đặc biệt đã được tạo ra để mô tả vũ trụ vi mô - cơ học lượng tử.) Trong các nhóm lớn hạt - vật thể vĩ mô - các hiệu ứng lượng tử thường dễ nhận thấy, vì do chuyển động nhiệt hỗn loạn, các giá trị được lấy trung bình trên một số lượng lớn các giá trị khác nhau của chúng và các bước nhảy lượng tử bị “làm mờ đi”.

Điều gì xảy ra nếu cơ thể được làm lạnh ở nhiệt độ rất thấp? Hóa ra trong trường hợp này, lượng tử hóa cũng có thể tự biểu hiện ở quy mô vĩ mô. Một ví dụ về điều này được đưa ra bởi một hiện tượng đáng chú ý - sự lượng tử hóa từ thông trong chất siêu dẫn.

Ai đã nghiên cứu hiện tượng cảm ứng điện từ đều biết từ thông F là gì:

$$\Phi = BS,$$

Trong đó B là mô hình của vectơ cảm ứng từ, và S là diện tích bề mặt được bao phủ bởi mạch (để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng cảm ứng có hướng vuông góc với bề mặt). Tuy nhiên, chúng tôi đã phát hiện ra rằng từ thông được tạo ra bởi dòng điện siêu dẫn chạy dọc theo vòng chỉ có thể nhận những giá trị rời rạc nhất định. Chúng ta hãy cố gắng hiểu hiện tượng này ít nhất là một cách đơn giản hóa.

Chuyển động của các electron siêu dẫn trong một vòng (Hình 1) tương tự như chuyển động của các electron trong nguyên tử: các electron trong vòng dường như chuyển động dọc theo những quỹ đạo khổng lồ có bán kính R mà không có bất kỳ va chạm nào. Do đó, thật tự nhiên khi cho rằng chuyển động của chúng tuân theo các quy luật lượng tử hóa giống như chuyển động của các electron trong nguyên tử. Theo lý thuyết của Bohr, trong nguyên tử chỉ có một số quỹ đạo nhất định của electron là đứng yên và ổn định. Chúng được chọn bằng cách sử dụng quy tắc lượng tử hóa sau: tích của mô hình động lượng electron mv và bán kính quỹ đạo R (đại lượng mvR được gọi là động lượng góc của electron) chỉ có thể nhận các giá trị rời rạc, nghĩa là

$$mvR = n\hbar.$$

Ở đây n là một số nguyên dương và giá trị $\hbar$, xác định sự thay đổi nhỏ nhất có thể có (lượng tử) của xung lượng góc, là hằng số Planck*). Hóa ra sự lượng tử hóa của mọi đại lượng vật lý được xác định chính xác bởi hằng số phổ quát này. Nó rất nhỏ:

$$\hbar = 1.05 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с},$$

Nói chung, hiệu ứng lượng tử xuất hiện khi giá trị của các đại lượng vật lý rất nhỏ (trong vũ trụ vi mô) hoặc khi có nhiều vi hạt chuyển động theo cùng một cách. Trong trường hợp thứ hai, họ nói về các hiện tượng lượng tử vĩ mô, bao gồm sự lượng tử hóa từ thông trong một vòng có dòng điện siêu dẫn.

Hãy tìm độ lớn của lượng tử từ thông. Từ thông F qua vòng được nối với dòng điện I của vòng tương ứng. Dòng điện I có thể được biểu diễn dưới dạng tốc độ của các electron v và số N của chúng. Thật vậy, trong thời gian t = 2πR/v các electron thực hiện một vòng quay hoàn toàn; do đó, trong thời gian này, tất cả các electron sẽ đi qua bất kỳ tiết diện nào của vòng, mang lại điện tích q = eN (trong đó e là điện tích của một electron). Dòng điện Posny trong vòng

$$I = \frac{q}{t} = \frac{eNv}{2\pi R}.$$

Một mối quan hệ khác kết nối

7

các giá trị $v, N$ và $I$ có thể thu được bằng cách đánh đồng động năng của các electron siêu dẫn với năng lượng của một vòng có dòng điện (xem “Phụ lục” ở trang 12):

$$N \frac{mv^2}{2} = \frac{1}{2} L I^2.$$

Bây giờ biểu thức của từ thông có thể được biểu diễn dưới dạng

$$\Phi = L I = \frac{L I^2}{2} \frac{2}{I} = N \frac{mv^2}{2} \frac{4\pi R}{e N v} = \frac{2\pi}{e} mvR,$$

từ đó suy ra từ thông tỉ lệ với mô men động lượng của electron. Nhưng, theo các quy luật lượng tử hóa của Bohr, xung lượng góc chỉ có thể nhận các giá trị rời rạc, do đó từ thông qua vòng mà dòng điện siêu dẫn chạy qua cũng bị lượng tử hóa:

$$mvR = n \hbar$$

Tất nhiên, lượng tử từ thông, có thể tìm thấy từ công thức trước, là rất lớn ($\sim 10^{-15}$ Wb), nhưng tuy nhiên, các thiết bị hiện đại có thể quan sát được sự lượng tử hóa của từ thông. Một thí nghiệm như vậy được thực hiện bởi nhà khoa học người Mỹ Deaver và Fairbank vào năm 1961, họ chỉ cùng nhau sử dụng các vòng để thu được một ống siêu dẫn qua đó dòng điện siêu dẫn tròn chuyển động. Trong thí nghiệm, người ta phát hiện ra rằng từ thông qua tiết diện của ống thực sự thay đổi đột ngột, nhưng giá trị của lượng tử từ thông hóa ra chỉ bằng một nửa giá trị đã cho ở trên. Lời giải thích cho điều này được đưa ra bởi lý thuyết siêu dẫn hiện đại. Thực tế là ở trạng thái siêu dẫn, các electron kết hợp thành từng cặp và chính sự chuyển động của các cặp có điện tích $2e$ sẽ tạo ra dòng điện siêu dẫn. Do đó, quy luật giá trị $\Phi_0$ của thông lượng lượng tử thu được nếu chúng ta thay điện tích kép của electron vào công thức lượng tử hóa thông lượng:

$$\Phi_0 = \frac{2\pi \hbar}{2e} = 2,07 \cdot 10^{-15} \text{ Bb}.$$

Đây là cách mà deuce được tìm thấy, không chỉ chúng tôi mà còn cả nhà khoa học người Anh London, người đã dự đoán về mặt lý thuyết lượng tử hóa của từ thông vào năm 1950 - rất lâu trước khi bản chất của trạng thái siêu dẫn được hiểu rõ.

Tôi muốn nhấn mạnh rằng đạo hàm lượng tử hóa từ thông được đưa ra ở đây, mặc dù nó phản ánh chính xác bản chất vật lý của hiện tượng này, nhưng lại quá đơn giản. Hơn nữa, điều đáng ngạc nhiên là bằng cách này người ta có thể thu được giá trị đúng của lượng tử từ thông. Trên thực tế, siêu dẫn là một hiện tượng lượng tử phức tạp. Những ai muốn thực sự hiểu nó còn phải đi một chặng đường dài từ vật lý phổ thông đến lý thuyết chất rắn hiện đại - một con đường đòi hỏi nhiều năm làm việc vất vả nhưng thú vị.

hiệu ứng Josephson

Chúng ta hãy xem xét một hiện tượng lượng tử siêu dẫn khác, làm cơ sở cho việc tạo ra một số thiết bị biến đổi độc đáo. Chúng ta đang nói về hiệu ứng Josephson, được phát hiện tương đối gần đây - vào năm 1962, nhưng Josephson, nhà khoa học người Anh, người đã dự đoán về mặt lý thuyết hiệu ứng này, đã được trao giải Nobel.

Hãy tưởng tượng rằng một màng siêu dẫn được lắng đọng trên một tấm thủy tinh (như người ta nói, trên đế) (thông thường nó thu được bằng cách đặt kim loại trong chân không). Sau đó, nó bị oxy hóa, tạo ra trên bề mặt một lớp điện môi (oxit) chỉ dày vài angstrom*). Và một lần nữa họ lại phủ nó bằng một lớp màng siêu dẫn. Kết quả là cái gọi là bánh sandwich (theo nghĩa đen, từ tiếng Anh này dùng để chỉ hai miếng bánh mì với pho mát hoặc thứ gì đó ngon khác ở giữa chúng). Hiệu ứng Josephson được quan sát thấy ở bánh sandwich (để dễ đo, bánh sandwich chính được làm theo hình chữ thập, như trong Hình 2).

*) 1 angstrom = 1Å = 10^{-10} m.

8

Hình 2.1 - màng kim loại; 2 - lớp điện môi; 3 - chất nền.

Trước tiên chúng ta hãy thảo luận về trường hợp màng kim loại ở trạng thái bình thường (không siêu dẫn). Các electron từ một màng kim loại (Hình 3a) có thể di chuyển sang màng khác không? Có vẻ như không - lớp điện môi cản trở chúng. Để rời khỏi kim loại, một electron phải có năng lượng lớn hơn hàm công và ở nhiệt độ thấp thực tế không có electron nào có năng lượng như vậy. Hình 3.6 biểu diễn đồ thị thế năng W của electron theo tọa độ x (trục X vuông góc với mặt phẳng sandwich). Trong kim loại, electron chuyển động tự do và thế năng của nó bằng không. Để đi vào chất điện môi, cần phải thực hiện hàm công W_B, lớn hơn động năng và do đó lớn hơn năng lượng tổng của electron W_9*). Do đó, họ nói rằng các electron trong màng kim loại có chung một rào thế, chiều cao của nó là W_B-W_9.

Nếu các electron tuân theo các định luật của cơ học cổ điển thì chúng sẽ không thể vượt qua được rào cản như vậy. Nhưng các electron là các vi hạt, và trong thế giới vi mô có những định luật đặc biệt cho phép nhiều thứ mà các vật thể lớn không thể tiếp cận được. Ví dụ, một người có năng lượng như vậy không thể leo lên một ngọn đồi, nhưng một electron có thể xuyên qua nó! Giống như anh ta đang đào một đường hầm dưới chân đồi và xuyên thủng, cho dù sức lực của anh ta không đủ để leo lên ngọn đồi. Tất nhiên, tất cả điều này không nên được hiểu theo nghĩa đen. Hiệu ứng đường hầm (như hiện tượng này được gọi) được giải thích bằng tính chất sóng của các vi hạt và bạn chỉ có thể thực sự hiểu được nó bằng cách nghiên cứu cơ học lượng tử. Nhưng sự thật vẫn là: với một sự chắc chắn nào đó, các electron có thể xuyên qua chất điện môi từ màng kim loại này sang màng kim loại khác. Độ tin cậy này càng lớn thì chiều cao W_B-W_9 của thanh bar càng nhỏ và chiều rộng a của nó càng nhỏ.

Vì vậy, một màng điện môi mỏng hóa ra có khả năng thấm qua các electron - cái gọi là dòng điện đường hầm có thể chạy qua nó. Tuy nhiên, tổng dòng điện trong đường hầm bằng 0: có bao nhiêu electron di chuyển từ màng kim loại phía dưới lên màng trên và trung bình có bao nhiêu electron di chuyển, ngược lại, từ màng trên sang màng dưới.

Làm thế nào chúng ta có thể làm cho dòng điện trong đường hầm khác 0? Để làm được điều này, cần phải phá vỡ tính đối xứng, chẳng hạn như nối các màng kim loại với nguồn dòng điện có điện áp U (Hình 4,a). Khi đó các màng sẽ đóng vai trò là các bản tụ điện và trong trường hợp chất điện môi, một điện trường có cường độ E=U/a sẽ xuất hiện. Công để di chuyển một điện tích e một khoảng x dọc theo hướng của trường bằng A=Fx=eEx=eUx/a, và do đó đồ thị thế năng của electron có dạng như trên Hình 4.6.

Có thể thấy, các electron từ màng trên (x>a) vượt qua rào cản

*) Tương tự, để tách các phân tử ra khỏi chất lỏng, như đã biết, cần phải thực hiện công bay hơi.

9

dễ dàng hơn các electron từ màng dưới ($x<0$), phải nhảy lên mức cao hơn. Kết quả là, ngay cả ở điện áp nguồn thấp, dòng điện đường hầm vẫn sẽ phát sinh.

Các tiếp điểm đường hầm làm bằng kim loại thông thường được sử dụng trong một số thiết bị, nhưng ở đất nước này, dòng điện đường hầm sẽ xuất hiện ngay cả ở điện áp nguồn thấp.

Các tiếp điểm đường hầm làm bằng kim loại thông thường được sử dụng trong một số thiết bị, nhưng ở đất nước này, dòng điện đường hầm sẽ xuất hiện ngay cả ở điện áp nguồn thấp.

Như đã đề cập, các electron ở màng trên có năng lượng dư thừa $eU$ so với các electron ở màng dưới. Chúng thu được năng lượng này bằng cách được gia tốc bởi điện trường trong lớp điện môi mà chúng xuyên qua. Khi ở trong màng dưới, chúng phải giải phóng năng lượng dư thừa và chuyển sang trạng thái cân bằng. Nếu màng ở trạng thái bình thường thì điều này sẽ dễ thực hiện - chỉ cần một vài va chạm với mạng tinh thể kim loại là đủ và năng lượng dư thừa của các electron cuối cùng sẽ chuyển sang trạng thái cân bằng.

Hình 4.

bước đi trong sự ấm áp. Nhưng màng ở trạng thái siêu dẫn và các electron không thể truyền năng lượng cho mạng! Vì vậy, tất cả những gì còn lại là các electron phát ra năng lượng này dưới dạng lượng tử bức xạ điện từ có năng lượng $h\omega$. Do đó, một phần của bức xạ $\omega$ liên quan đến điện áp đặt vào $U$ đơn giản bằng mối quan hệ

$$h\omega = 2eU.$$

Bạn nhận thấy rằng điện tích hướng về bên phải - chúng ta phải nhớ rằng đường hầm không phải là các electron riêng lẻ mà là các cặp siêu dẫn.

Đây là một hiệu ứng đáng kinh ngạc do Josephson trình bày: một điện áp không đổi đặt vào điểm nối đường hầm siêu dẫn (còn gọi là nguyên tố Josephson) dẫn đến việc tạo ra bức xạ điện từ. Hiệu ứng này lần đầu tiên được phát hiện bằng thực nghiệm tại Viện Vật lý và Công nghệ Nhiệt độ Thấp Kharkov bởi các nhà khoa học I.M. Dmitrienko, V.M. Svistinov và I.K. Yanson vào năm 1965.

Điều đầu tiên người ta nghĩ đến khi nói về việc sử dụng năng lượng Josephson trong thực tế là việc tạo ra một máy phát bức xạ điện từ. Nhưng trên thực tế, mọi thứ không đơn giản như vậy: rất khó loại bỏ bức xạ khỏi khe hẹp giữa các màng siêu dẫn nơi nó được tạo ra (đó là lý do tại sao việc phát hiện thử nghiệm năng lượng Josephson không phải là một nhiệm vụ dễ dàng), và năng lượng bức xạ rất thấp. Do đó, các nguyên tố Josephson hiện nay được sử dụng chủ yếu làm máy dò bức xạ điện từ, nhưng lại nhạy cảm với ánh sáng ở một số dải tần số.

Ứng dụng này dựa trên hiện tượng cộng hưởng giữa các dao động điện từ bên ngoài (trong sóng đăng ký) và các dao động tự nhiên phát sinh trong phần tử Josephson khi đặt một điện áp không đổi vào nó. Trên thực tế, sự cộng hưởng là nền tảng cho hoạt động của nhiều máy thu: một sóng có thể bị “bắt” khi tần số của nó trùng với tần số.

10

của mạch dao động thu. Thật thuận tiện khi sử dụng phần tử Josephson làm mạch thu: tần số dao động tự nhiên của nó rất dễ điều chỉnh (bằng cách thay đổi điện áp) và xung cộng hưởng, xác định độ nhạy của máy thu, hóa ra rất cao. Dựa trên nguyên tắc này, các máy thu bức xạ điện từ nhạy nhất đã được tạo ra, chúng được sử dụng để khai thác bức xạ của Vũ trụ.

Từ kế lượng tử

Hiệu ứng Josephson, kết hợp với hiện tượng lượng tử hóa từ thông, đã trở thành cơ sở cho việc tạo ra cả một dòng thiết bị xoay chiều siêu nhạy. Chúng được gọi là “thiết bị giao thoa lượng tử siêu dẫn” hay “SQUID” (từ sự kết hợp của các chữ cái đầu tiên của từ tiếng Anh tương ứng Thiết bị giao thoa lượng tử siêu dẫn *). Một trong số đó - từ kế lượng tử (thiết bị đo từ trường yếu) - sẽ được thảo luận trong chương này.

Từ kế lượng tử đơn giản nhất bao gồm một bóng đèn siêu dẫn, mục tiêu của nó bao gồm phần tử Josephson (Hình 5). Như bạn đã biết, để dòng điện xuất hiện trong tiếp điểm đường hầm bình thường, ít nhất phải đặt một điện áp nhỏ vào nó. Nhưng trong đường hầm siêu dẫn, điều này là không cần thiết. Nếu một dòng điện siêu dẫn được tạo ra trong bóng đèn thì nó cũng có thể chạy qua phần tử Josephson: các cặp siêu dẫn sẽ chui qua một lớp điện môi mỏng. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Đứng yên (không đổi theo thời gian), trái ngược với hiệu ứng Đứng yên kèm theo bức xạ (nó đã được thảo luận ở chương trước). Tồn tại,

*) Điều tò mò là nếu trong tiếng Nga đầy đủ, tên được thay thế bằng từ “thiết bị” bằng từ “máy dò” (và điều này chỉ làm rõ tên, nó sẽ cho biết việc sử dụng các thiết bị này làm máy ghi âm), thì tên viết tắt sẽ phát ra giống nhau trong cả tiếng Nga và tiếng Anh.

Hình 5.

tuy nhiên, giá trị tối đa cho phép của dòng điện siêu dẫn đối với tiếp điểm (nó được gọi là dòng điện tới hạn của tiếp điểm $I_k$. Ở cùng một giá trị tới hạn, chất siêu dẫn trong tiếp điểm bị phá hủy và xuất hiện điện áp trên nó (hiệu ứng Josephson trở nên không cố định).

Vì vậy, khi đưa phần tử Josephson vào mạch siêu dẫn, chất siêu dẫn không bị phá hủy hoàn toàn mà xuất hiện một vị trí trong mạch mà chất siêu dẫn bị suy yếu (như người ta nói, sẽ xuất hiện sự ghép nối yếu). Đây chính xác là cơ sở cho việc sử dụng mạch như vậy để đo từ trường chính xác. Chúng ta hãy cố gắng hiểu làm thế nào điều này được thực hiện.

Nếu mạch hoàn toàn siêu dẫn (không có khớp nối yếu) thì từ thông qua diện tích của nó sẽ hoàn toàn không đổi. Thật vậy, theo định luật cảm ứng điện từ, bất kỳ sự thay đổi nào trong từ trường bên ngoài đều dẫn đến xuất hiện suất điện động cảm ứng $\mathcal{E}_i = -\Delta \Phi_{\text{внеш}} / \Delta t$, và do đó làm thay đổi dòng điện trong mạch. Nhưng dòng điện thay đổi lại tạo ra EMF

11

cin $\varepsilon_{is} = -L\Delta I/\Delta t$. Vì điện áp rơi trong mạch siêu dẫn bằng 0 (điện trở bằng 0) nên tổng đại số của các emf này cũng bằng 0:

$$\varepsilon_i + \varepsilon_{is} = 0,$$

hoặc

$$\frac{\Delta \Phi_{\text{внешш}}}{\Delta t} + L \frac{\Delta I}{\Delta t} = 0.$$

Suy ra rằng khi từ thông ngoài thay đổi thì dòng điện siêu dẫn trong mạch cũng thay đổi sao cho độ biến thiên của từ thông do dòng điện tạo ra bù cho sự biến thiên của từ thông ngoài (định luật Lenz). Trong trường hợp này, tổng từ thông qua mạch không đổi: $\Phi = \text{const}$. Không thể thay đổi nó nếu không chuyển mạch về trạng thái bình thường (người ta nói rằng trong mạch siêu dẫn, từ thông bị “đóng băng”).

Điều gì xảy ra nếu mạch siêu dẫn có kết nối yếu? Hóa ra từ thông qua một mạch như vậy có thể thay đổi - lượng tử từ thông thâm nhập vào mạch thông qua một kết nối yếu (như bạn đã biết, từ thông của dòng siêu dẫn bị lượng tử hóa - nó bằng một số nguyên lượng tử từ thông $\Phi_0$).

Chúng ta hãy xem từ thông bên trong một bóng đèn siêu dẫn có khớp nối yếu và cường độ dòng điện trong bóng đèn thay đổi như thế nào khi từ trường bên ngoài thay đổi. Đầu tiên đặt trường ngoài và dòng điện trong mạch bằng 0 (Hình 5,a). Khi đó thông lượng bên trong vòng lặp cũng bằng không. Nếu chúng ta tăng từ trường bên ngoài, một dòng điện siêu dẫn sẽ xuất hiện trong mạch, từ thông của nó sẽ bù chính xác cho từ thông bên ngoài. Điều này sẽ tiếp tục cho đến khi dòng điện trong mạch đạt giá trị tới hạn $I_k$ (Hình 5,b). Chúng ta hãy giả sử chắc chắn rằng tại thời điểm này, trường bên ngoài tạo ra một thông lượng bằng một nửa lượng tử: $\Phi_0/2^*$).

*) Dòng điện tới hạn phụ thuộc vào nhiều yếu tố, đặc biệt là độ dày của lớp điện môi. Bằng cách thay đổi nó, bạn luôn có thể đảm bảo rằng từ thông được tạo ra bởi dòng điện này, và do đó từ thông bên ngoài, bằng $\Phi_0/2$. Điều này đơn giản hóa việc xem xét, nhưng không làm thay đổi bản chất của vấn đề.

Ngay khi dòng điện bằng $I_k$, tính siêu dẫn ở vị trí ghép yếu sẽ bị phá hủy và ở lượng tử đường viền của từ thông $\Phi_0$ (Hình 5, c). Trong trường hợp này, tỷ lệ $\Phi_{\text{внутт}}/\Phi_0$ sẽ tăng lên một (như người ta nói, mạch siêu dẫn sẽ chuyển sang trạng thái lượng tử mới). Điều gì sẽ xảy ra với hiện tại? Độ lớn của nó không đổi nhưng hướng sẽ thay đổi theo hướng ngược lại. Thật vậy, nếu trước khi lượng tử thông lượng $\Phi_0$ đi vào, dòng điện $I_k$ đã che chắn hoàn toàn thông lượng bên ngoài $\Phi_0/2$, thì sau khi đi vào nó sẽ tăng cường thông lượng bên ngoài $\Phi_0/2$ lên giá trị $\Phi_0$. Do đó, tại thời điểm lượng tử thông lượng đi vào thì hướng cũng ngược lại.

Khi trường ngoài tăng thêm, dòng điện trong bóng đèn bắt đầu giảm, tính siêu dẫn trong bóng đèn sẽ được phục hồi và từ thông bên trong vòng sẽ vẫn bằng $\Phi_0$. Dòng điện trong mạch tiến về 0 khi từ thông ngoài cũng bằng $\Phi_0$ (Hình 5, f), và sau đó nó bắt đầu chạy theo hướng ngược lại (sàng lọc lại!). Cuối cùng, với giá trị của từ thông ngoài $3\Phi_0/2$, dòng điện sẽ lại bằng $I_k$, chất siêu dẫn sẽ bị phá hủy, lượng tử từ thông tiếp theo sẽ đi vào, v.v.

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của từ thông $\Phi_{\text{внутт}}$ bên trong vòng và dòng điện $I_k$ trong đó với độ lớn của từ thông $\Phi_{\text{внешш}}$ được thể hiện trên Hình 6 (cả hai từ thông đều thay đổi theo đơn vị tự nhiên - lượng tử từ thông $\Phi_0$). Bản chất từng bước của sự phụ thuộc cho phép bạn “cảm nhận” các lượng tử thông lượng riêng lẻ, mặc dù độ lớn của chúng rất nhỏ (cỡ $10^{-15}$ Wb). Không khó để hiểu tại sao. Từ thông bên trong chất siêu dẫn được điều chỉnh theo đường viền, mặc dù với một lượng nhỏ $\Delta \Phi = \Phi_0$, nhưng đột ngột, tức là trong một khoảng thời gian rất ngắn $\Delta t$. Vì vậy tốc độ biến thiên của từ thông $\Delta \Phi/\Delta t$ với đặc tính từ thông hình skAU như vậy hóa ra là rất lớn. Ví dụ, nó có thể được thay đổi bằng độ lớn của lực điện động cảm ứng được tạo ra trong một cuộn dây xoay chiều đặc biệt của thiết bị. Đây là nguyên lý hoạt động của từ kế lượng tử.

12

Hình 6.

Cấu trúc của từ kế lượng tử thực sự phức tạp hơn nhiều. Do đó, nó thường sử dụng không phải một mà là một số kết nối yếu được kết nối song song - sự giao thoa đặc biệt của dòng điện siêu dẫn dẫn đến tăng độ chính xác của phép đo (đó là lý do tại sao các thiết bị này còn được gọi là thiết bị giao thoa). Phần tử độ nhạy của thiết bị được ghép cảm ứng với cuộn dây của mạch dao động, trong đó các xung từ thông được chuyển đổi thành các xung điện áp, sau đó bị tắt dần. Nhưng nói về tất cả những điều tinh tế này nằm ngoài phạm vi của bài viết này.

Lưu ý rằng từ kế siêu nhạy ngày nay đo từ trường với độ chính xác $10^{-15}$ T đã là sản phẩm công nghiệp được sử dụng rộng rãi trong công nghệ đo lường. Ví dụ như ngày đó không còn xa nữa

Hình 7.

khi đo từ tâm đồ*), được thực hiện bằng SQUID, thực hiện thay đổi định lượng đối với nguồn hiện tại bằng EMF $\mathcal{E}$. Một dòng điện sẽ xuất hiện trong vòng, dòng điện này sẽ luôn tăng lên. Trong trường hợp này, tốc độ thay đổi của dòng điện $\Delta I/\Delta t$ phải sao cho emf tự cảm ứng $\mathcal{E}_{is} = -L\Delta I/\Delta t$ bù cho emf bên ngoài $\mathcal{E}$ (điện trở của chất siêu dẫn và do đó điện áp rơi trên nó bằng 0):

$$\mathcal{E}_{is} = -\mathcal{E}.$$

Khi điện tích $\Delta Q = I\Delta t$ đi qua mạch thì nguồn hoạt động

$$\Delta A = \mathcal{E} \Delta Q = L \frac{\Delta I}{\Delta t} I \Delta t = L I \Delta I.$$

Tích $LI$ là từ thông $\Phi$ chạy qua diện tích của bóng đèn. Để trình bày rõ hơn kết quả thu được, chẳng hạn, hãy biểu đồ sự phụ thuộc của $\Phi$ vào $I$ (Hình 7). Như có thể thấy trên hình, công cơ bản $\Delta A$ bằng diện tích của hình chữ nhật được bảo vệ. Tổng công $A$ khi dòng điện thay đổi từ 0 đến $I_0$ bằng tổng diện tích hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị tương ứng của từ thông, tức là diện tích hình tam giác có cạnh $I_0$ và $LI_0$:

$$A = \frac{1}{2} (LI_0) I_0 = \frac{1}{2} LI_0^2.$$

Công này đúng bằng năng lượng hiện tại trong vòng. Tất nhiên, biểu thức thu được không phụ thuộc vào việc dòng điện là siêu dẫn hay bình thường.

*) Hóa ra khi tim hoạt động, từ trường rất yếu sẽ phát sinh - vào khoảng $10^{-11}$ T. Bản ghi của chúng trong y học được gọi là từ tâm đồ.

13

D. Cohen

Chỉ số hiệp sĩ

Ở đây chúng ta sẽ quan tâm đến các nước đi của quân mã trên bàn cờ, mà ban đầu chúng ta sẽ đề xuất là nước đi vô hạn. Chúng ta hãy biểu thị các ô của bảng số tham số (theo tọa độ của tâm ô - xem Hình 1). Nước đi của quân mã nằm ở gốc tọa độ (0;0) là bước chuyển sang một trong 8 ô có tọa độ (±1; ±2), (±2; ±1). Nếu quân mã ở trong ô (x; y), thì một nước đi sẽ chuyển quân mã đó đến một trong các ô (x±1; y±2), (x±2; y±1).

Chúng ta hãy xác định khoảng cách từ ô P đến ô Q là số lượng nước đi hiệp sĩ tối thiểu và nhỏ cần thiết để di chuyển từ P đến Q. Chúng ta hãy biểu thị số này bằng q (P, Q). Ví dụ,

Tác giả, một nhà toán học người Mỹ, đã viết bài này cho «Kvant» bằng tiếng Anh. Bản dịch do A. Sosinsky biên tập.

Hình 1.

Mer, khoảng cách từ đầu O(0;0) đến ô E(1;0) bằng khoảng cách từ đầu đến ô F(3;6) - cả hai đều bằng 3. Hàm q, được xác định trên một tập hợp các cặp (P, Q) ô, có ba thuộc tính cơ bản về khoảng cách*):

q(P, Q) > 0, với P ≠ Q; q(P, P) = 0;
q(P, Q) = q(Q, P); (II)
q(P, R) ≤ q(P, Q) + q(Q, R). (III)

Hai tính chất đầu tiên rất đơn giản, nhưng tính chất thứ ba – gọi là bất đẳng thức tam giác – xuất phát từ thực tế là người ta có thể tìm được đường đi từ P đến R không đi qua Q và ngắn hơn bất kỳ đường đi nào từ P đến R đi qua Q.

Khoảng cách này—hệ mét của con ngựa—làm nảy sinh một “hình học” rất khó dạy. Trong đó, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm đoạn [AB]** là một tập hợp các ô M sao cho q(A, M) + λ(M, B) = q(A, B), nhưng các đoạn này hóa ra rất xấu (hai đoạn có thể giao nhau trong một số ô). Bạn cũng có thể xác định các vòng tròn có bán kính r, trông đẹp hơn một chút (ít nhất là với r ≥ 5).

Bây giờ, chúng ta hãy lưu ý tính chất ước lượng sau đây của hàm q:

q((x; y), (x’; y’)) =
= q((0; 0), (x’ − x; y’’ − y)). (*)

nó cho phép cùng nhau hàm q từ các cặp ô nghiên cứu hàm từ một ô - khoảng cách từ đầu:

d(P) = q(O, P).

Chúng ta hãy đặt vào mỗi ô P giá trị của hàm d(P). Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đã làm điều này trên một mảnh giấy can. Khi đó tính chất (*) có nghĩa là nếu vẽ giấy can song song và kết hợp O với điểm P ở đầu thì q(P, Q) sẽ được viết trên giấy can phía trên điểm Q.

Hình 2 nêu bật tất cả các giá trị của d(P) nhỏ hơn hoặc bằng 4. Hình này gợi ý như sau:

*) Xem “Hình học 6-8”, đoạn 4 - khoảng. biên tập.
**) Xem đoạn “Hình học 6-8”. 5-6 - khoảng. biên tập.

14

Công thức khoảng cách $d((a; b))$
Do tính chất (1) và (2), việc tính $d((a; b))$ trong trường hợp $0 \leq a \leq b$ là đủ. Ngoài ra, để tránh nhầm lẫn, tồn tại gần gốc tọa độ, chúng ta sẽ giả sử rằng $a+b \geq 6$. Khoảng cách là hai trường hợp tùy thuộc vào việc ô $P(a; b)$ có nằm trong dải ngang của đai thứ $n$ hay không, tức là $2a \leq b$. Đối với $d=d((a; b))$ cố định, điểm $P$ có 4 khả năng khác nhau.

Trường hợp đầu tiên: ô $P(a; b)$ nằm trong dải ngang của đai thứ $n$, tức là $2a \leq b$. Đối với $d=d((a; b))$ cố định, điểm $P$ có thể có 4 điểm khác nhau.

• Chúng tôi đưa ra bằng chứng, hơi khác so với của tác giả (ed.)

Hình 2.
Dưới đây là các thuộc tính của hàm $d$:
$$d((a; b))=d((b; a)),$$
(1)
$$d((a; b))=d((|a| |b|)),$$
(2)
số $d((a; b))$ và $a+b$
có cùng tính chẵn lẻ, (3) rõ ràng là theo định nghĩa.

Chúng ta hãy lưu ý thêm rằng trong Hình 2, bên trong đường màu đỏ có các số 0, 1, 2, 3, 4, khá lệch vị trí, mặc dù nằm đối xứng (do tính chất (1) và (2)). Theo thứ tự giữa các đường màu đỏ và xanh lam chỉ có bốn đường và biểu tượng $\times$ (thực ra là $\times=5$). Ở vành đai tiếp theo như vậy sẽ chỉ có 5 và 6, ở vành đai tiếp theo - 6 và 7, v.v. (Hình 3). Hình 4 chỉ hiển thị quý đầu tiên $(x, y \geq 0)$. Hình này cũng hiển thị phần $n-20$ của dây đai, chỉ chứa các số $n$ và $n+1$.

Nói một cách đại khái, đai thứ $n$ có dạng ranh giới hình vuông (ở cạnh có chiều dài $4n+1$) với các góc ở giữa (các tam giác vuông có góc bằng nhau được cắt bỏ ở cạnh có chiều dài $n-1$). Đai bao gồm các dải ngang và dọc có độ dày 2 và bốn đoạn chéo có dạng bậc thang; một trong số chúng được tô màu trong hình.

Vì vậy, nếu chúng ta bỏ qua sự nhầm lẫn tồn tại gần gốc tọa độ, bức tranh hình học của thước đo hiệp sĩ sẽ trở nên rõ ràng hơn. Tuy nhiên, điều này là chưa đủ đối với chúng tôi: chúng tôi muốn tìm hiểu cách tìm $d((a; b))$ hoàn toàn tương tự - sử dụng các số $a$ và $b$. Tóm lại, chúng ta cần

Hình 3.
Hình 4.

15

ity tùy thuộc vào mức độ thẳng đứng của nó (Hình 5). Ở cấp độ cao nhất, điểm $P$ đạt được với số nguyên tối thiểu là $d$ bước di chuyển, tăng tọa độ thứ hai lên 2; ở cấp độ tiếp theo - toàn bộ $d-1$ bước di chuyển thuộc loại này và một bước di chuyển tăng tọa độ thứ hai lên 1; cấp độ tiếp theo yêu cầu $d-2$ và 2 lần di chuyển thuộc loại này; ở cấp độ thấp hơn - lần lượt là $d-3$ và 3. Trong những trường hợp này, chiều cao của $b$ lần lượt là $2d$, $2(d-1)+1=2d-1$, $2(d-2)+2=2d-2$, $2(d-3)+3=2d-3$. Từ đây, chúng ta có thể biểu thị $d$ theo $b$, nhưng $b$ là một số nguyên và chúng ta không thể viết đáp số nếu không biết tính chẵn lẻ của $b!$ Chúng ta sẽ làm thế nào?

Hóa ra đáp số đúng cho một trong các số $[(b+1)/2]$ hoặc $[(b+1)/2]+1$ (ở đây dấu ngoặc vuông biểu thị phần nguyên), cụ thể là số có số chẵn lẻ trùng với số chẵn lẻ của số $a+b$ (xem thuộc tính (3)). Người đọc có thể dễ dàng kiểm tra điều này bằng Hình 5 và chú thích của nó.

Trường hợp thứ hai: ô $P(a; b)$ nằm trên tiết diện chéo của đai thứ $n$, tức là $2a>b$. Dễ dàng nhận thấy rằng tại bất kỳ điểm nào trên đường chéo của phần tư thứ nhất của đai thứ $n$, người ta có thể đạt mức tối thiểu bằng một chuỗi nước đi hiệp sĩ sao cho trên mỗi nước đi tổng tọa độ tăng đúng 3 (tức là theo nước đi $(a; b) \rightarrow (a+1; b+2)$ và $(a; b) \rightarrow (a+2; b+1)$). Do đó $a+b=3n$ hoặc $a+b=3(n+1)$, do đó $d((a; b)) = [(a+b+1)/3]$ hoặc $d((a; b)) = [(a+b+1)/3]+1$. Số nào trong hai số này có thể được lấy là rõ ràng từ các thông báo chẵn lẻ (xem (3)).

Chúng ta hãy tóm tắt nghiên cứu của chúng ta về hàm $d((a; b))$. Trong điều kiện $0 \leq a \leq b$ và $a+b \geq 6$, số $d((a; b))$ có cùng tính chẵn lẻ với $a+b$, là $[(b+1)/2]$ hoặc $[(b+1)/2]+1$ trong trường hợp $2a \leq b$, $[(a+b+1)/3]$ hoặc $[(a+b+1)/3]+1$ trong trường hợp $2a>b$.

Trên thực tế, các công thức này cho kết quả đúng đáp số và cho $a+b<6$ ở mọi nơi ngoại trừ các ô (0; 1) và (2; 2), trong đó chúng cho kết quả lần lượt là 1 và 2, cùng với 3 và 4 đúng (xem Hình 2).

Số liệu của một con ngựa trên một tấm ván thẳng

Bây giờ chúng ta hãy giới hạn bàn cờ vô hạn của mình: chúng ta sẽ xem xét nước đi của quân mã trên bàn cờ hình chữ nhật $a \times b$ ($a \leq b$). Với $a=1$ thì không có gì phải cân nhắc (“Đồng chí đại kiện tướng, hiệp sĩ không được di chuyển như vậy!”), với $a=2$ mọi thứ đều rất đơn giản. Chúng tôi sẽ để lại những trường hợp có ý nghĩa hơn $a=3$ và $a=4$ cho người đọc và chuyển sang trường hợp $5 \leq a \leq b$. Hóa ra,

Tại $5 \leq a \leq b$ có các nước đi hiệp sĩ có chiều dài $d((a; b))$ bên trong hình chữ nhật từ các cạnh $x=0$, $x=a$, $y=0$, $y=b$ kết nối các điểm (0; 0) và $(a; b)$, và đường đi này là ngắn nhất.

Thật vậy, chúng ta bắt đầu từ một điểm trong vành đai thứ $n$ và tạo một điểm về phía đầu. Sau đó, chúng ta vẫn ở bên trong hình chữ nhật và kết thúc ở đai thứ $(n-1)$. Tiếp tục quá trình này, chúng ta sẽ đến được vành đai thứ tư. Tiếp theo, vẫn còn phải kiểm tra tính hợp lệ của tuyên bố của chúng tôi đối với các ô của ô thứ tư.

16

Thắt lưng. Chúng tôi để việc tìm kiếm này cho người đọc.

Số liệu hiệp sĩ trên một bảng vuông
Bây giờ hãy xem xét một bảng hình vuông $n \times n$, được giới hạn bởi một hình chữ nhật $x=0, x=n-1, y=0, y=n-1$. Đường đẳng cự có đường kính của bảng này là khoảng cách lớn nhất (theo nghĩa của thước đo ngựa) giữa các ô của nó. Để lại trường hợp kích thước nhỏ cho bạn đọc, chúng ta xét trường hợp $n \geq 5$. Từ phần trước dễ dàng nhận thấy đường kính sẽ là khoảng cách từ ô (0; 0) đến một trong các ô $(n-1; n-1)$ hoặc $(n-1; n-2)$. Sử dụng nhận xét này và trước khi thu được công thức khoảng cách, chúng tôi chỉ ra rằng
Đường kính của bàn cờ $n \times n$ bằng số $2n/3$ được làm tròn đến số nguyên gần nhất.

Thật vậy, theo công thức khoảng cách, $d((n-1; n-1))$ bằng $[(2n-1)/3]$ hoặc $[(2n-1)/3] + 1$ (cụ thể là, số nào trong số này là số chẵn); và $d((n-1; n-2))$ bằng $[(2n-2)/3]$ hoặc $[(2n-2)/3] + 1$ (lẻ). Xét ba trường hợp tính theo số dư khi chia số $n$ cho 3.

Trường hợp đầu tiên: $n=3k$. Sau đó
$$[(2n-1)/3] = [(2n-2)/3] = 2k-1,$$
vậy khoảng cách tới $(n-1; n-1)$ là $2k$ và tới $(n-1; n-2)$ là $2k-1$. Đường kính là $2a$, tức là $2n/3$ mà không làm tròn.

Trường hợp thứ hai: $n=3k+1$. Sau đó
$$[(2n-1)/3] = [(2n-2)/3] = 2k,$$
vì vậy khoảng cách đến $(n-1; n-1)$ và $(n-1; n-2)$ lần lượt là $2k$ và $2k+1$. Đường kính bằng $2k+1$, là số được làm tròn $2n/3$.

Trường hợp thứ ba: $n=3k+2$. Sau đó
$$[(2n-1)/3] = 2k+1,$$
vì vậy khoảng cách chúng ta quan tâm lần lượt là $2k+2$ và $2k+1$. Điều này có nghĩa là đường kính bằng $2k+2$, lại là số được làm tròn $2n/3$.

Lưu ý rằng khoảng cách lớn nhất được thực hiện trong trường hợp này bởi các ô không nằm trên đường chéo chính.

Các công thức khác
Hàm $d((a; b))$ đã được nghiên cứu trước đó và người ta đã thu được các biểu thức tương tự khác (phức tạp hơn) cho nó (cho $a+b \geq 8$, $0 \leq a \leq b$). M. Goldberg (Mỹ) tìm thấy
$$d((a; b)) = \begin{cases} b-a-2[(b-2a)/4] \\ \text{при } 2a \leq b, \\ b-a+[(8a-4b+2)/3] - [(4a-2b)/3] \\ \text{при } 2a > b, \end{cases}$$

và D. Cvetkovic và S. Simch (Nam Tư) được tìm thấy
$$d((a; b)) = \begin{cases} a+b-2\left[\frac{b}{2}\right] - \left[\frac{a-[b/2]}{2}\right] \\ \text{при } 2a \leq b, \\ a+b-2\left[\frac{a+b}{3}\right] \end{cases}$$

Có thể chứng minh rằng những công thức này tương đương với công thức của chúng ta, nhưng sẽ thú vị hơn nếu bạn thử đoán xem tác giả đã sử dụng lý do gì để đưa ra chúng.

Để kết luận, chúng tôi cung cấp cho người đọc bài toán sau: tìm diện tích của một hình tròn có bán kính $r$, tức là số ô $(a; b)$ mà $d((a; b)) \leq r$.

Giải đấu mang tên M.V. Lomonosov
Theo dữ liệu cập nhật, chuyến tham quan năm nay (xem «Kvant», 1981, số 8, trang 51) sẽ diễn ra tại Moscow vào ngày 25 tháng 10 lúc 10 giờ trong khuôn viên của các chuyến bay sau: MAI, MATI, MGPI, MIIGAIK, MINHIGP, MISS, MISIS; Mời học sinh lớp 6-9.

17

Henry Cavendish

Năm nay đánh dấu kỷ niệm 250 năm ngày sinh của Henry Cavendish. Cái tên Cavendish trong lịch sử khoa học gắn liền với nhiều khám phá mà nhân loại biết được nhiều năm sau khi chúng được tạo ra. Tính cách tận tâm với mọi thứ tự nhiên trong cuộc sống của người đàn ông này đã thu hút sự chú ý của các nhà vật lý, nhà sử học khoa học và nhà tâm lý học trong nhiều năm.

Henry Cavendish, người thuộc năm nổi tiếng của Công tước Devonshire, sinh ngày 10 tháng 10 năm 1731 tại Niszcz, nơi mà theo lời khuyên của các bác sĩ, mẹ ông đã sống vào thời điểm đó. Nhìn chung sức khỏe của cô không được tốt, và việc sinh con khiến sức khỏe hoàn toàn suy yếu, và Cavendish qua đời ngay sau khi sinh đứa con trai thứ hai, khi Henry khoảng hai tuổi. Năm 11 tuổi, cậu bé được gửi đến một trong những trường tư thục tốt nhất ở London, và năm 1749, cậu vào Đại học Cambridge, nơi cậu rời trường năm 1753 mà không nhận được bằng cấp học thuật. Tôi cho rằng hoàn cảnh này là do sự nhút nhát đau đớn của Cavendish và nỗi sợ hãi trước kỳ thi.

Sau khi rời trường đại học, Henry cùng em trai đi du lịch một thời gian quanh châu Âu và sau đó định cư tại nhà của cha mình ở London. Cha của Cavendish, Ngài Charles, xứng đáng được đề cập đặc biệt. Là một người đàn ông quý tộc, mặc dù không giàu lắm, nhưng ông quan tâm đến những thứ tự nhiên hơn bất cứ thứ gì khác trên thế giới. Ngài Charles đã nhiều năm là thành viên của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn và thậm chí có thời điểm là phó chủ tịch của hiệp hội này. Mối quan tâm khoa học của ông liên quan đến lĩnh vực điện thời thượng lúc bấy giờ. Nhà tự nhiên học nổi tiếng người Mỹ B. Franklin đã viết về cha của Cavendish: “Tôi muốn một nhà khoa học đáng kính như vậy kể cho thế giới biết nhiều hơn về nhiều thí nghiệm mà ông ấy đã thực hiện một cách hết sức cẩn thận”. Có thể cha con nhà Cavendish đã cùng nhau thực hiện một số thí nghiệm.

Vì vậy, niềm yêu thích của Henry đối với khoa học tự nhiên được hình thành dưới ảnh hưởng của người cha bận rộn. Tuy nhiên, đánh giá dựa trên những ghi chép còn sót lại, Henry đã tự mình tiến hành nhiều thí nghiệm quan trọng nhất ở nước ngoài.

Vị trí của Cavendish trong khoa học nửa sau thế kỷ 18 là gì? Vấn đề gì khiến anh ấy quan tâm?

Phạm vi quan tâm khoa học của Cavendish rộng đến mức định nghĩa “tự nhiên tự nhiên” phù hợp nhất với ông. Trong suốt cuộc đời của mình, ông trở nên nổi tiếng với tư cách là một nhà hóa học. Với những nghiên cứu tiên phong về chất khí, Cavendish đôi khi được gọi là “cha đẻ của hóa học khí nén”. Ông là người đầu tiên xác định bản chất của hydro là một loại khí đặc biệt, khẳng định không khí là hỗn hợp của oxy và nitơ, còn nước được hình thành từ không khí và hydro. Mối quan tâm của ông đối với các hiện tượng hóa học và điện đã dẫn đến việc khám phá ra rằng

18

thực tế là khi tia lửa điện tác dụng lên không khí ẩm sẽ tạo thành axit nitric. Khi thực hiện một trong những thí nghiệm điện của mình, Cavendish, cho một tia lửa điện truyền qua hỗn hợp không khí và oxy với sự có mặt của kali, nhận thấy rằng sau khi hình thành axit nitric phản ứng với kali và loại bỏ lượng oxy dư thừa, thu được một lượng cặn không đáng kể (1/120 thể tích ban đầu của khí), không bị ảnh hưởng bởi bất kỳ phương tiện nào. Khám phá này được tìm thấy trong cuộc sống hàng ngày; nó chỉ được nhớ đến vào cuối thế kỷ 19, sau khi phát hiện ra khí nghịch đảo.

Nghiên cứu của Cavendish về hóa học chuyên đề trùng hợp với công trình của nhiều nhà khoa học khác thời bấy giờ: Lavouzier, Watt, Priestley. Tuy nhiên, phương pháp nghiên cứu của Cavendish rất độc đáo: nó được đặc trưng bởi mong muốn được thể hiện rõ ràng về thử nghiệm định lượng chính xác. Ví dụ, Cavendish không chỉ chứng minh sự tồn tại của hydro mà còn thực hiện các tính toán để phát hiện ra rằng loại khí này nhẹ hơn không khí 11 lần*). Sử dụng một thiết bị đặc biệt, eudiometer, các nhà khoa học đã nghiên cứu sự tương ứng về thể tích giữa không khí, hydro và nước được hình thành trong quá trình nổ hỗn hợp.

Có ý kiến ​​​​cho rằng nhà khoa học đã dành cả cuộc đời mình để tiến hành các thí nghiệm mà không hề công bố kết quả của chúng. Đây là một ý tưởng có phần cường điệu. Thật vậy, Cavendish, vì những lý do không rõ ràng lắm, hiếm khi công bố kết quả khoa học của mình. Điều đáng chú ý là các ấn phẩm được phân chia muộn hơn nhiều so với bán buôn và điều này dẫn đến tranh chấp gay gắt về mức độ ưu tiên. Tuy nhiên, người ta có thể đếm được hơn chục công trình của ông về vật lý và hóa học được đăng trên tạp chí Philosophical Transactions do Hiệp hội Hoàng gia London xuất bản. Cavendish là thành viên của hiệp hội từ năm 1760 và đóng vai trò tích cực trong công việc của một số ủy ban của hiệp hội. Ông tham gia các cuộc họp và truyền thống

*)Trên thực tế, hydro nhẹ hơn không khí 14,3 lần.

20

và điểm thứ ba, coi đó là điểm cực trị của độ lệch theo một hướng, sau đó xác định điểm dừng [điểm cân bằng của thanh - S.F.] là điểm trung bình giữa điểm tìm được bằng tính toán và điểm cực trị thứ hai]. Và xa hơn nữa: “Tôi đã xác định hai điểm cực trị của dao động, cũng như thời điểm mà đầu của thanh đi qua hai điểm cho trước nằm giữa các điểm cực trị, cố gắng đảm bảo rằng hai điểm này nằm đối diện với điểm dừng và không quá xa điểm dừng. Sau đó, tôi xác định điểm dừng và vẽ một tỷ lệ, tìm thời điểm mà thanh đi qua nó. Sau vài lần dao động, tôi lặp lại quy trình này và chia khoảng thời gian giữa các thang đo đi qua điểm dừng cho.” số dao động thì tìm được thời gian của một dao động”.

Để xác định mật độ trung bình của Trái đất, Cavendish đã thực hiện 17 loạt phép đo. Mật độ tương đối trung bình được tính toán từ các phép đo này

Trái đất (mật độ trung bình của Trái đất) đến mật độ của nước hóa ra là 5,48.

Các thí nghiệm của nhà khoa học được những người cùng thời đánh giá cao. Vào năm 1820, nhà cơ khí và toán học xuất sắc người Pháp Laplace đã viết: “Sau khi nghiên cứu kỹ lưỡng thiết bị của Cavendish và tất cả các thí nghiệm được thực hiện với độ chính xác và hiểu biết sâu sắc đặc trưng của nhà vật lý xuất sắc này, tôi không thể nhận ra một lời phản đối nào đối với giá trị mà ông đưa ra cho mật độ trung bình của Trái đất, 5,48”.

Ở nước ta, mật độ trung bình của Trái đất được lấy là 5,517 g/cm³. Lưu ý rằng cân Cavendish cỡ lớn hiện đại hóa vẫn được sử dụng cho các phép đo vật lý ngày nay.

Di sản của Cavendish không làm cạn kiệt những thí nghiệm và khám phá được liệt kê. Cavendish thu được kết quả quan trọng trong nghiên cứu của ông về hiện tượng nhiệt. Ông đã biên soạn bảng giá trị nhiệt dung của các chất khác nhau, nghiên cứu quá trình nóng chảy và phát hiện

21

cho thấy sự tồn tại của ẩn nhiệt của phản ứng tổng hợp. Các thí nghiệm của Cavendish được thực hiện để nghiên cứu các hiện tượng điện và từ rất thú vị. Một số trong số chúng chỉ được biết đến sau khi công trình của Cavendish về điện của nhà vật lý xuất sắc người Anh Maxwell được xuất bản. Lịch sử của ấn phẩm này là thú vị. Năm 1861, William Cavendish, Công tước xứ Devonshire, người từng tốt nghiệp trường đại học này và tỏ ra có năng khiếu về toán học, đã được bầu làm Hiệu trưởng của Đại học Cambridge. Năm 1870, ông bày tỏ mong muốn xây dựng một phòng thí nghiệm vật lý tại trường đại học và một quỹ tài trợ cho việc xây dựng đã được thành lập. Năm 1871, Khoa Cavendish được thành lập, theo đề nghị của các nhà vật lý người Anh như Stoks, Rayleigh, W. Thomson, Maxwell đã được mời đến. Ông chấp nhận lời đề nghị này và tích cực bắt tay vào xây dựng phòng thí nghiệm. Ba năm sau, việc xây dựng hoàn thành. Tại lễ khai trương Phòng thí nghiệm Cavendish, nơi đóng vai trò nổi bật trong sự hình thành và phát triển của vật lý hiện đại, Công tước đã tặng Maxwell những bản thảo Cavendish được lưu giữ trong kho lưu trữ của gia đình. Maxwell đồng ý xem xét chúng. Lần đầu tiên làm quen với di sản của Cavendish đã khiến anh ngạc nhiên. Anh ấy đã viết cho một trong những người bạn của mình: “Trong các bản thảo của mình, anh ấy [Cavendish - S.F.] sẽ bộc lộ sự quen thuộc với các định luật nối song song và nối tiếp của các dây dẫn… Anh ấy đã tiến hành nghiên cứu rất tổng quát về lĩnh vực độ dẫn điện của dung dịch muối trong đường ống, có thể được sử dụng để nối dây làm bằng các kim loại khác nhau. Người ta tạo ấn tượng rằng anh ấy thậm chí còn xứng đáng được vinh danh hơn, vì anh ấy đã vượt qua Om rất lâu trước khi các điểm cố định được phát hiện. Các phép đo điện dung của anh ấy sẽ khiến chúng tôi đổ mồ hôi trong phòng thí nghiệm Cavendish trước khi chúng tôi đạt đến điểm mà anh ấy đã bỏ đi…”

Trong những năm cuối đời, Maxwell dành sự quan tâm đặc biệt cho việc chuẩn bị xuất bản các bản thảo mô tả nghiên cứu điện của Cavendish. Tác phẩm của Cavendish được xuất bản năm 1879, vài tháng sau cái chết của Maxwell.

Thế giới khoa học đã biết được điều gì mới về công trình của Cavendish? Một danh sách kết quả đơn giản hơn nói về một polyatom: ông là người đầu tiên xác định rõ ràng khái niệm về dung tích và sử dụng dung tích của một quả bóng có kích thước nhất định làm tham chiếu; nghiên cứu sự phụ thuộc của độ dẫn điện của dung dịch muối vào nồng độ và nhiệt độ dung dịch; 14 năm trước công trình của Coulomb, ông đã thiết lập sự phụ thuộc của lực đẩy và lực hút vào khoảng cách; rất lâu trước Ohm, ông đã dự đoán các quy luật của dòng điện được tạo ra.

Và tất cả những kết quả này vẫn chưa được công bố!

Pochi đã thiết kế một thiết bị đặc biệt cho mỗi thí nghiệm của Cavendish. Đồng thời, ông không chỉ quan tâm đến độ chính xác của phép đo mà còn quan tâm đến tính dễ sử dụng của thiết bị.

Đối với các thí nghiệm nghiên cứu tính chất nhiệt của các chất, ông đã tạo ra một nhiệt kế rất chính xác. Nhìn bề ngoài, thiết bị Cavendish này hầu như không khác gì các nhiệt kế đánh giá (độ chính xác) hiện đại.

22

Trong các tác phẩm cuối cùng của nhà khoa học, một số thí nghiệm của ông đã được thực hiện lại. Hóa ra trong phần lớn các trường hợp, kết quả của Cavendish rất chính xác.

Sự quan tâm đến di sản khoa học của nhà khoa học không hề suy giảm. Năm 1927, theo sáng kiến ​​của Đại học Cambridge, một ấn bản mới về tác phẩm của Cavendish đã được đề xuất, trong đó bao gồm các tác phẩm chưa được xuất bản trước đó. Và một lần nữa giới khoa học lại vui mừng: những thay đổi lâu dài (1782-1809) về đặc điểm của từ trường Trái đất đã đặt tài liệu vô giá về “lịch sử từ tính” của Trái đất vào tay các nhà địa vật lý. Hóa ra Cavendish bày tỏ ý tưởng bảo toàn năng lượng và coi đại lượng tương ứng với thế năng. Và một lần nữa, người ta nhất trí rằng kết quả khoa học của Cavendish vẫn chưa được biết đến trong hơn một trăm năm. Người ta không chỉ phải hối tiếc vì đã lãng quên kết quả mà còn phải tiếc rằng những người cùng thời với ông đã không nhận thức được những vấn đề mà Cavendish quan tâm. Chúng thường tạo thành một chương trình khoa học hoàn chỉnh được phát triển trong thế kỷ 19. Một ví dụ có thể là danh sách các vấn đề trong lĩnh vực từ tính: nghiên cứu nam châm vĩnh cửu và nam châm “biến thiên”; ảnh hưởng của cơ thể đến các đặc tính từ tính của cơ thể; sự phụ thuộc của “sức mạnh” của nam châm vào tiết diện; điều khiển sự uốn cong của kim từ trong từ trường Trái đất; sai sót trong nghiên cứu từ trường Trái Đất do sự uốn cong này gây ra.

Vì vậy, khâm phục và hoang mang là những cảm xúc nảy sinh khi làm quen với công trình khoa học của Henry Cavendish. Và, mặc dù thực tế là nhiều kết quả của ông đã được các nhà khoa học khác, những người được coi là tác giả của những khám phá này, thu được một lần nữa, giá trị của các công trình của Cavendish vẫn còn lâu dài. Và trên hết, đó là chiều sâu khoa học mà Cavendish sử dụng để suy nghĩ qua các thí nghiệm của mình cũng như ở sự cẩn thận tỉ mỉ khi ông thực hiện chúng. Chính những yêu cầu này là nền tảng của vật lý thực nghiệm hiện đại.

Henry Cavendish

Thí nghiệm xác định định luật lực điện

Cách tốt nhất để làm quen với công việc của một nhà khoa học xuất sắc là đọc các tác phẩm của ông. Để kỷ niệm ngày kỷ niệm của Cavendish, chúng tôi đang xuất bản một bản dịch tóm tắt tác phẩm của ông nhằm thiết lập sự phụ thuộc của lực hút và lực đẩy vào khoảng cách. Công việc của Cavendish về các vấn đề điện dường như đã bắt đầu vào năm 1771. Kết quả ông thu được rất đầy đủ và quan trọng nhất là chính xác lời giải cho bài toán. Trong nghiên cứu của mình, nhà khoa học đã xác định Coulomb trong hơn một thập kỷ, người đã công bố kết quả thí nghiệm của mình vào năm 1785. Điều thú vị là Cavendish đã có thể trả lời câu hỏi được đặt ra, mặc dù thực tế là ông có quan niệm sai lầm về bản chất của điện. Ông tin rằng có một chất lỏng điện nhất định, sự dư thừa của chất lỏng này biểu hiện ở hiện tượng nhiễm điện dương của cơ thể và sự thiếu hụt - biểu hiện ở âm tính. Để tạo điều kiện hiểu ý nghĩa vật lý của các thí nghiệm của Cavendish trong bản dịch, các thuật ngữ về thiết bị không quay được thay thế bằng các cách diễn đạt hiện đại tương ứng; Khi cần thiết, ý kiến ​​​​hỗ trợ được cung cấp.

Tác phẩm của Cavendish được giới thiệu để thu hút sự chú ý của độc giả, rõ ràng là được viết trong khoảng thời gian từ 1771 đến 1775. Tuy nhiên, nó chỉ được xuất bản lần đầu tiên (bằng tiếng Anh) vào năm 1879, trong bộ sưu tập các tác phẩm của Cavendish của Maxwell.

Mục đích của thí nghiệm tiếp theo là đáp số cho câu hỏi: khi một quả cầu rỗng được nhiễm điện, liệu một quả cầu nhỏ được đặt vào quả cầu đầu tiên và được nối với nó bằng một dây dẫn nào đó được tích điện? Bằng cách này có thể tìm ra định luật về lực hút và lực đẩy của điện.

Tôi lấy một quả bóng có đường kính 12,1 inch, gắn nó lên một miếng kính cứng chạy qua tâm quả bóng như một cái trục và phủ một lớp goop lên thanh để làm cho nó ít dẫn điện hơn. Sau đó tôi kẹp quả bóng này vào giữa hai bán cầu bằng bìa cứng

Bản dịch và chuẩn bị xuất bản của S. Filonovich.

23

thuốc nổ dài 13,3 inch và dày khoảng 1/20 inch, do đó khó có khả năng ở bất kỳ vị trí nào giữa quả bóng và bề mặt bên trong của bán cầu khoảng cách nhỏ hơn 4/10 inch. Các bán cầu được gấp lại với nhau để tạo thành một nửa hình cầu và các cạnh của chúng càng gần nhau càng tốt. Các vết cắt được thực hiện trên mỗi thanh để tạo lỗ cho thanh thủy tinh nhô ra.

Bằng cách này, tôi có một quả bóng bên trong được bao quanh bởi một quả bóng rỗng. Giữa anh ta không có mối liên hệ nào để dòng điện có thể truyền từ người này sang người khác.

Sau đó, bằng cách sử dụng một sợi dây đi qua một trong các bán cầu và chạm vào quả bóng bên trong, tôi tạo ra một kết nối giữa chúng. Một đoạn sợi tơ được gắn vào đầu dây, tôi có thể kéo dây ra nếu muốn.

Sau đó, tôi vạch ra các bán cầu bằng cách sử dụng một sợi dây nối với lớp lót dương của bình Leyden, sau đó tách nó ra và ngay lập tức rút sợi dây nối các quả bóng bên trong và bên ngoài ra. Dây, được tháo ra bằng sợi tơ, không thể xả bóng hoặc bán cầu. Sau đó, tôi tách các bán cầu ra, cẩn thận không để chúng chạm vào quả bóng bên trong và đặt một vài quả bóng nút chai nhỏ lơ lửng trên những sợi vải lanh mỏng vào quả bóng để xem quả bóng bên trong có bị dính hay không.

Để tự tin hơn vào kết quả thí nghiệm, tôi đã sử dụng thiết bị khác. Về nguyên tắc, nó phức tạp hơn mức cần thiết, bước này quan trọng với tôi đến mức tôi muốn kiểm tra nó thật cẩn thận.

ABCD và AbcD là hai khung gỗ có cùng kích thước và hình dạng, được nối với nhau bằng các vòng tại các điểm A và D sao cho mỗi khung có thể di chuyển quanh trục hoành AD; H là một trong các bán cầu được gắn vào khung ABCD bằng bốn thanh thủy tinh Mm, Nn, Pp và Rr, được bọc bằng súng ngắn; h - một bán cầu khác được gắn theo cách tương tự vào khung AbcD; G là quả cầu bên trong được cố định vào thanh ngang Ss (khung gỗ dùng để giữ thanh Ss và các vòng ở các điểm A và D không được thể hiện trên hình để tránh tình trạng của nó); Tt - bọc bằng stanyl *) (tại điểm x) một thanh thủy tinh chạm vào quả bóng; Quả bóng Cork treo từ nhà ga.

Nhờ tác động của các lò xo khác nhau, một chuyển động của bàn tay đã dẫn đến các hành động tuần tự sau: dây tạo thành các bán cầu được tháo ra, dây nối các bán cầu và quả bóng bên trong được kéo ra, các bán cầu được tách ra và thanh Tt được đưa vào quả bóng bên trong. Ngoài ra, còn có điều kiện là dòng điện nằm trên các bán cầu và dây dẫn chúng được sạc qua phải được loại bỏ ngay sau khi pha loãng các bán cầu; nếu không, tác động của dòng điện này có thể làm cho các quả bóng nút chai bị phân tán, ngay cả khi quả bóng bên trong không bị phá hủy.

*) Staniol - forla thiếc.

Vẽ từ bản thảo của Kavendsh kèm theo sơ đồ thí nghiệm xác định định luật lực hút và lực đẩy.

24

Tôi phủ stanium vào quả cầu bên trong và các bán cầu để chúng dẫn điện tốt.

Trong các thí nghiệm, một chiếc bình Leyden phủ stanium được nối với một sợi dây qua đó các bán cầu được truyền điện; dây này được đặt sao cho không chạm vào bán cầu cho đến khi hộp được sạc đúng cách. Sau đó, dây được đưa vào tiếp xúc với các bán cầu trong hai đến ba giây, tách ra và các bán cầu tách ra, như mô tả ở trên.

Một điện kế được nối với dây dẫn chính qua đó bình Leyden được nạp điện và các bán cầu luôn được tích điện bằng nhau.

Những lý do tại sao tôi sử dụng bình như sau. Nếu không có nó, sẽ khó có thể xác định được mức độ điện hóa của các bán cầu và duy trì dòng điện có cùng cường độ*) trong một hoặc hai giây; Tôi sợ rằng nếu dây nằm trên các bán cầu trong quá trình điện khí hóa bình, thì điện có thể dần dần tự tan chảy dọc theo các thanh thủy tinh giữ quả bóng và các bán cầu, và điều này sẽ gây ra một số sai sót trong kết quả thí nghiệm.

Kết quả của các thí nghiệm mà tôi đã lặp lại nhiều lần đều luôn giống nhau: Tôi không nhận thấy sự phân kỳ của các quả bóng hay bất kỳ dấu hiệu nào của điện.

Rằng có thể tiêu thụ ít điện hơn, tôi đã tiến hành thí nghiệm theo những cách khác. Trước khi các bán cầu được tích điện, tôi đã nhiễm điện dương vào các quả bóng nút chai, khiến chúng dịch chuyển ra xa nhau khoảng một inch. Sau đó, ngay khi bán cầu được tách ra và các staniol tiếp xúc với quả bóng, điện của các quả bóng nút chai được truyền sang quả bóng một cách tự nhiên; tuy nhiên, chúng vẫn tiếp tục phân tán, mặc dù hầu như không đáng chú ý. Sau đó, tôi lặp lại thí nghiệm theo cách gần như tương tự, nhưng trước tiên, tôi cho các quả bóng nhiễm điện âm và ở mức độ tương tự như trong trường hợp đầu tiên. Sau khi tiếp xúc với quả bóng, chúng phân kỳ giống như trường hợp nhiễm điện dương.

Cần lưu ý rằng nếu quả bóng có thêm điện tích dương, thì các quả bóng nút chai sẽ phân kỳ nhiều hơn khi trước đó chúng được nhiễm điện dương so với khi chúng được tích điện âm.

Sử dụng kỹ thuật này, độ nhiễm điện thấp của quả bóng có thể được thay thế. Khi các quả bóng đã nhận đủ điện cho sự phân kỳ của chúng, sự phân kỳ của chúng sẽ tăng thêm do lượng chất lỏng điện *), vài mét, mà các quả bóng sở hữu ban đầu. Rõ ràng là phương pháp tiến hành thí nghiệm này là không chính xác nếu các bán cầu không được nhiễm điện gần như bằng nhau với sự nhiễm điện dương và âm của các quả bóng. Tình trạng này được kiểm tra bằng đồng hồ đo điện.

Để xác định lượng điện trên quả bóng bên trong có thể được phát hiện trong thí nghiệm này, tôi đã loại bỏ các bán cầu cùng với khung của chúng, đồng thời để quả bóng và quả cầu ở đúng vị trí. Sau đó, anh ta lấy một mảnh chồng phủ stanyl, giống như một chiếc lọ Leyden; Tôi biết về mảnh ngăn xếp này rằng nó chứa không quá 1/59 lượng điện tập trung vào lớp lót dương của bình Leyden**), nhờ đó các bán cầu được điện khí hóa.

Tiếp theo đó, tôi đã giảng cho tấm kính này tương tự

*) Điều đó có nghĩa là chúng có điện tích giống nhau.

**) Lưu ý rằng Cavendish, độc lập với các nhà khoa học khác, đã đưa ra khái niệm điện dung. Để làm vật chứa này, anh ấy đã sử dụng một quả bóng có kích thước xác định được; Đơn vị của công suất được Cavendish sử dụng là “inch điện”, nghĩa là công suất, giống như trong hệ thống đơn vị CGSE hiện đại, có thứ nguyên là chiều dài. Trong trường hợp này, Cavendish có nghĩa là một tụ điện được làm từ một mảnh ống khói được phủ bằng stanyl có điện dung bằng 1/59 điện dung của một bình Leyden.

25

mức độ (điều này được thể hiện bằng điện kế) mà bình được sạc trong thí nghiệm đầu tiên, tách nó ra khỏi vật dẫn đầu tiên và truyền điện của nó sang bình Leyden, cho đến thời điểm đó vẫn chưa được ấn định. Như vậy, trong thí nghiệm này, cái bình chỉ nhận được 1/60 lượng chất lỏng mang điện mà nó đã nhận được trong thí nghiệm đầu tiên.

Sau đó, dùng một cái lọ, tôi nhiễm điện vào quả bóng theo cách tương tự như cách tôi đã sạc các bán cầu trước đó, và ngay sau khi tháo dây dẫn kết nối, tôi đưa các quả bóng nút chai lại gần quả bóng. Hóa ra là khi sử dụng những quả bóng nút chai đã được nhiễm điện trước, điện tích của quả bóng được thực hiện rất rõ ràng, vì các quả bóng chuyển động nhiều hơn khi chúng mang điện dương so với khi chúng nhiễm điện âm trước đó. Tuy nhiên, nếu các quả bóng không được tích điện thì điện trên quả bóng không đủ để làm chúng di chuyển.

Rõ ràng là lượng chất lỏng điện truyền vào quả bóng trong thí nghiệm này nhỏ hơn 1/60 lượng chất lỏng được truyền đến các bán cầu trong các thí nghiệm trước đó.

Do đó, hóa ra là nếu một quả cầu có đường kính 12,1 inch được đặt trong một quả cầu rỗng có đường kính 13,3 inch, được nối với nó bằng một dây dẫn nào đó và được nhiễm điện dương, thì lượng chất lỏng điện tích tụ trên quả bóng bên trong trong mọi trường hợp đều nhỏ hơn 1/60 phần chất lỏng nằm ở quả cầu bên ngoài, và không có chi tiết nào của thí nghiệm đưa ra lý do để nghĩ rằng quả bóng bên trong hoàn toàn không bị nhiễm điện.

Theo đó, lực đẩy (và lực hút) phải tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách, và khi quả bóng nhiễm điện dương, chất lỏng điện tập trung hoàn toàn trên bề mặt của nó.

Chúng ta hãy ước tính sự phụ thuộc của lực hút và lực đẩy vào khoảng cách có thể khác bao nhiêu so với tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách, sao cho sự khác biệt này không xuất hiện trong các thí nghiệm. Cho $AT$ đi qua đường kính của hai quả cầu đồng tâm $ABD$ và $abd$ và $Aa$ chia đôi bởi điểm $e$. $Ae$ trong thí nghiệm gần đúng bằng 0,35 inch, $Te$ - 13,1 inch. Nếu lực đẩy điện (và lực hút) tỷ lệ nghịch với khoảng cách với công suất $2+1/50$, thì có thể chứng minh rằng lực mà chất lỏng điện ở $ABD$ đẩy các hạt [tích điện - $C$. F.], nằm ở điểm $e$, hướng về phía tâm, đề cập đến lực mà cùng một lượng chất lỏng truyền vào tâm sẽ đẩy các hạt theo hướng ngược lại, như $1:57$*).

Tuy nhiên, vì nó chỉ bị đẩy một chút bởi bình phương nghịch đảo của khoảng cách, nên chất lỏng trên quả bóng bên trong sẽ đẩy các hạt tại điểm $e$ tác dụng với một lực bằng nhau như thể tất cả chất lỏng đều ở tâm. Do đó, nếu chất lỏng ở quả bóng bên trong bằng 1/57 chất lỏng trên $ABD$ thì hạt sẽ ở trạng thái cân bằng. vì những cái cuối cùng nằm trong khoảng từ $A$ đến $a$, nên có mọi lý do để nghĩ rằng mọi điều đã nói đều áp dụng cho chất lỏng trên bề mặt lọ.

Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng lực hút (và lực đẩy) điện phải tỷ lệ nghịch với khoảng cách đến một nguồn điện nằm trong khoảng từ 2-1/50 đến

26

2+1/50, và không có giả định cơ bản nào rằng luật khác với luật bình phương nghịch đảo.

Ghi chú của người dịch
Năm 1878, theo sáng kiến ​​của Maxwell, thí nghiệm của Cavendish được lặp lại theo dạng sau tại Phòng thí nghiệm Cavendish. Kết quả của thí nghiệm là hiệu chỉnh α trong định luật tương tác $F \sim r^{-(2+\alpha)}$, trong đó $F$ là lực tương tác và $r$ là khoảng cách, không thể vượt quá 1/21600.

Bình luận về tác phẩm
G. Cavendish

Phương pháp được Cavendish sử dụng để xác định sự phụ thuộc của lực tương tác giữa các điện tích vào khoảng cách dựa trên thực tế là nếu điện trường bên trong một quả cầu tích điện đều bằng 0 thì lực tương tác tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các điện tích. Hãy chứng minh điều đó.

Chúng ta hãy xem xét một điểm tùy ý $A$ bên trong một quả cầu tích điện đều $S$ (xem hình). Hãy tạo một hình nón tinh thần có đỉnh tại điểm $A$. Hình nón sẽ cắt ra một vùng nhỏ có diện tích $\Delta S_1$ trên bề mặt hình cầu. Một hình nón khác, đối xứng với hình nón đầu tiên qua điểm $A$, sẽ cắt một mặt phẳng $\Delta S_2$ trên bề mặt của hình cầu. Đặt khoảng cách từ $A$ đến các mặt phẳng tương ứng là $r_1$ và $r_2$. Vì các góc giữa trục của hình nón và pháp tuyến của các mặt phẳng bằng nhau nên

$$\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}.$$

Bây giờ chúng ta giả sử rằng lực tương tác giữa các điện tích là trung tâm và trường định hướng được tạo ra bởi điện tích $q$ tại một điểm nào đó trong không gian tỷ lệ nghịch với lũy thừa thứ $n$ của khoảng cách từ điểm đến điện tích, nghĩa là

$$E = k \frac{q}{r^n},$$ trong đó $k$ = const.

Vì quả cầu được tích điện đồng đều nên điện tích trung tâm trên diện tích $\Delta S$ tỉ lệ với diện tích này. Do đó, tỷ lệ của các mô hình cường độ trường được tạo tại điểm $A$ bởi điện tích, nằm ở các vị trí $\Delta S_1$ và $\Delta S_2$, là bằng nhau

$$\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{\Delta S_1 r_2^n}{\Delta S_2 r_1^n}.$$

Các vectơ $\vec{\Delta E}_1$ và $\vec{\Delta E}_2$ có hướng ngược nhau và có thể triệt tiêu lẫn nhau hoàn toàn hoặc một phần. Để xác định điện áp tại điểm $A$ được tạo ra bởi tất cả các điện tích trên quả cầu, cần phải xem xét tất cả các hướng có thể có của hình nón. Rõ ràng là điện áp thu được chỉ có thể bằng 0 trong điều kiện $\vec{\Delta E}_1 = -\vec{\Delta E}_2$. Điều thứ hai chỉ có thể xảy ra trong trường hợp khi $n=2$, đó là điều cần được chứng minh.

Cần lưu ý rằng ý tưởng về thí nghiệm do Cavendish thực hiện không phải được ông chấp nhận mà bởi một nhà khoa học người Anh khác của thế kỷ 18, Joseph Priestley, tuy nhiên, người đã không tự mình thực hiện thí nghiệm.

Bất chấp nghệ thuật thực nghiệm nhanh chóng của Cavendish, các thí nghiệm của ông vẫn có một nhược điểm đáng kể: từ chúng không thể thu được tương tác từ độ lớn của điện tích hay, theo ngôn ngữ của Cavendish, “từ lượng chất lỏng điện”. Ở dạng pháp lý, định luật tương tác của các điện tích tĩnh được thiết lập vào năm 1785 bởi nhà vật lý người Pháp Charles Augustin Coulomb, người đã sử dụng thang đo tròn và một phương pháp tương tự như phương pháp được Cavendish sử dụng để xác định mật độ trung bình của Trái đất. Do đó, định luật cơ bản của điện được gọi đúng là định luật Coulomb.

S. Filonovich

27

V. Pereyaslavsky

Trò chơi
“Sự định nghĩa”

Hai phiên bản của một trò chơi
Năm 1978, «Kvant», khi nói về Lễ hội các nhà toán học trẻ lần thứ IX ở Batumi (xem số 10), đã mời độc giả của mình đưa ra chiến lược chiến thắng cho trò chơi sau:

Chơi theo hai người. Các em lần lượt xếp các số từ 1 đến 9 vào bảng 3x3 (phải sử dụng từng số). Sau khi bảng được điền, hai tổng được tính: tổng của $S_1$ sản phẩm theo cột và tổng của $S_2$ sản phẩm theo hàng. Nếu $S_1 > S_2$, phần cổ đầu tiên được kéo ra; nếu $S_1 < S_2$, cerrok thứ hai được kéo ra.

Vào năm 1971, trò chơi này, với một hình thức hơi khác, đã trở nên phổ biến trong giới sinh viên Khoa Cơ và Toán của Đại học Tổng hợp Moscow (và họ đã biết về nó từ các sinh viên của Đại học Perm). Trò chơi này có tên là “Định nghĩa” và trông như thế này:

Hai lần lặp. Các em lần lượt xếp các số từ 1 đến 9 vào bảng 3x3 (phải sử dụng từng số). Sau khi bảng được điền, hai tổng được tính: tổng của $S_1$ sản phẩm theo cột và tổng của $S_2$ sản phẩm theo hàng. Nếu $S_1 > S_2$, phần cổ đầu tiên được kéo ra; nếu $S_1 < S_2$, cerrok thứ hai được kéo ra.

Tất nhiên, ở đây chúng tôi phải bắt buộc bạn rằng định thức của bảng $T$ (Hình 1) là số
$$d = x_1 x_5 x_9 + x_2 x_6 x_7 + x_3 x_4 x_8 - x_3 x_5 x_7 - x_1 x_6 x_8 - x_2 x_4 x_9.$$
Chúng tôi mời bạn tự mình xem xét rằng hai trò chơi này về cơ bản là giống nhau. Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét tùy chọn được đề xuất trong «Kvant».

Thông điệp hữu ích
Tất cả các trò chơi có thể được chia thành đơn giản và phức tạp. Trò chơi đơn giản là những trò chơi có

$$T = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{bmatrix}$$

Hình 1.

28

chiến lược chiến thắng đơn giản, chiến lược phức tạp - tất cả phần còn lại. Có vẻ như trò chơi “Định danh” rất khó. Độ phức tạp là điều kiện không thể thiếu cho sự phổ biến của trò chơi. Ví dụ, mọi người đều nhiệt tình chơi cờ và tic-tac-toe trên một tờ giấy ca rô, nhưng chỉ những học sinh nhỏ tuổi hơn mới chơi tic-tac-toe trên bảng 3x3.

Hãy giải bài toán, điều này sẽ giúp chúng ta chơi “Định thức”: chúng ta sẽ tìm các giá trị nhỏ nhất; áp dụng vào chủ đề các thuật ngữ của nó sự bất đẳng thức về trung bình số học và trung bình hình học («Kvant», 1980, số 3, trang 23):

$$\frac{x_1 x_2 x_3 + x_4 x_5 x_6 + x_7 x_8 x_9}{3} \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 \cdot \dots \cdot x_9} = \sqrt[3]{9!} = \sqrt[3]{70 \cdot 72^2} > 71.$$

Do đó $S > 213$ và vì $S$ là số nguyên nên $S \geq 214$. Nhưng $2 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 8 \cdot 9 + 3 \cdot 4 \cdot 6 = 70 + 72 + 72 = 214$; Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất được yêu cầu là 214.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng của chúng ta, hãy sử dụng bổ đề sau (bằng chứng!): nếu các số $a, b, c, d$ là dương, $ab = cd$ và $|a - b| > |c - d|$, thì $a + b > c + d$.

Chúng ta hãy tạo một tổng mới $S'$ như thế này: giữ nguyên số hạng cuối cùng $x_7 x_8 x_9$, tạo số hạng đầu tiên $x'_1 x'_2 x'_3$ từ ba số nhỏ nhất của tập hợp $\{x_1, x_2, \dots, x_6\}$ và số hạng thứ hai $x'_4 x'_5 x'_6$ từ các số còn lại của tập hợp này. Khi đó theo Bổ đề $S \leq S'$, và dấu bằng sẽ chỉ xảy ra trong trường hợp mỗi số $x_1, x_2, x_3$ lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) mỗi số $x_4, x_5, x_6$. Từ đó, chúng ta thu được rằng giá trị của tổng $S$ sẽ nhỏ nhất nếu tất cả các thành phần của số hạng thứ nhất nhỏ hơn tất cả các thành phần của số hạng thứ hai và đến lượt chúng lại nhỏ hơn tất cả các thành phần của số hạng thứ ba. Vì vậy, yêu cầu nhỏ nhất là $1 \cdot 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + 7 \cdot 8 \cdot 9 = 6 + 120 + 504 = 630$.

Tóm lại: tổng $S$ nhận giá trị nhỏ nhất khi các số hạng của nó càng gần nhau càng tốt (và do đó bằng khoảng 71) và giá trị lớn nhất là khi chúng càng khác nhau càng tốt. Do đó, lời khuyên thiết thực dành cho người chơi: hãy cố gắng đảm bảo rằng các điều khoản của đối thủ gần giống nhau (và bằng 71) và các điều khoản của riêng bạn càng khác nhau càng tốt!

Chiến lược “71” cho người chơi đầu tiên

Giả sử sau nước đi đầu tiên của bạn, đối thủ đã viết số của anh ta vào cùng cột hoặc dòng với số của bạn. Sau đó, chúng tôi cung cấp cho bạn chiến lược sau “71”:

Đối với mỗi hàng được điền và mỗi cột được điền của bảng, chúng tôi xác định số

$$m = \begin{cases} \frac{\Pi}{71}, \text{ если } \Pi \geq 72, \\ 71/\Pi, \text{ если } \Pi \leq 71, \end{cases}$$

trong đó $\Pi$ là tích của các số được viết trong một hàng hoặc cột nhất định.

Ở nước đi tiếp theo, người chơi bắt đầu phải hoàn thành một hàng hoặc cột theo quy tắc sau: nếu hoàn thành một hàng thì với một số sẽ cho giá trị tối thiểu $m$ cho hàng này (sản phẩm càng lớn càng tốt đến 71) và nếu - một cột, thì với một số sẽ cho giá trị tối đa $m$ cho cột này (sản phẩm càng khác với 71 càng tốt).

Hãy để chúng tôi giải thích điều này bằng một ví dụ. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đánh số các ô trong bảng (Hình 2) và viết trò chơi dưới dạng một dòng gồm chín số có chỉ số, trong đó chỉ số biểu thị số ô,

Hình 2.

29

trong đó số đã cho được viết ở nước đi tương ứng. Hãy đảm bảo rằng trong trò chơi $3_55_81_24_66_47_72_98_19_3$ người chơi bắt đầu trò chơi đã sử dụng chiến lược “71” (chiến lược không áp đặt chiến lược hạn chế ở nước đi đầu tiên).

Sau hai nước đi đầu tiên (Hình 3, a), người chơi đầu tiên theo chiến thuật phải điền vào ô số 2 một con số cho m lớn nhất có thể. Trong trường hợp này, m tối đa có thể là nước đi 1$_2$, trong đó tích của các số ở cột thứ hai là 15 hoặc nước đi 9$_2$, cho kết quả 135. Vì 71/15 > 135/71, bạn cần đặt 1 vào ô số 2, thế là xong.

Sau khi di chuyển 4$_6$ (Hình 3.6), ở ô số 4, bạn cần đặt một số có giá trị tối thiểu là m, cụ thể là 6$_4$, v.v.

Hai trường hợp đặc biệt

1. Nếu một tserajutsezo có tích $1 \times 2 \times 3$, hoặc $1 \times 2 \times 4$, hoặc $6 \times 8 \times 9$ hoặc $7 \times 8 \times 9$, thì nó sẽ chọn ra bất kể các số còn lại nằm trong bảng như thế nào.

Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh rằng khi bảng có cột số 1, 2, 4 thì người mới bắt đầu sẽ thắng. Giả sử nếu bảng trông giống như Hình 4 thì

$$\frac{x_2x_5x_8+x_3x_6x_9}{2} \geq \sqrt{x_2x_5x_8x_3x_6x_9} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9} > 212.$$

Vì vậy, $S_1 \geq 1 \cdot 2 \cdot 4 + 425 = 433$.

Mặt khác, giá trị của tổng $S_2$ là lớn nhất khi các số $x_2$ và $x_3$ nhỏ hơn $x_5$ và $x_6$, và $x_5$ và $x_6$ nhỏ hơn $x_8$ và $x_9$. Vì vậy, $S_2 \leq 1 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 4 \cdot 8 \cdot 9 = 387$, tức là $S_1 > S_2$, như đã nêu.

2. Ngược lại, khi chơi, có thể sử dụng ý tưởng “zugschang” - việc đối phương không có nước đi hợp lý. Ví dụ: trong tình huống được mô tả trong Hình 5, người bắt đầu, ở bất kỳ nước đi nào của người chơi thứ hai, có thể (và phải) đặt các số 1, 2 vào một cột và 8, 9 vào cột kia. Sau khi tính toán các lựa chọn khác nhau, có thể dễ dàng kiểm tra xem điều này có đảm bảo số tiền thắng mà anh ta đã bắt đầu hay không.

Đang cố gắng phá sản

Thoạt nhìn, “Người quyết định” có vẻ không khó lắm: đối thủ chỉ thực hiện chín nước đi và mỗi nước đi không có quá chín phương án - hãy tính toán tất cả các phương án và chọn phương án đúng. Vấn đề là có quá nhiều đảng phái khác nhau.

Trên thực tế, ở nước đi đầu tiên có 81 lựa chọn (một trong chín số ở một trong chín ô); cho nước đi thứ hai - 64 tùy chọn, v.v. (Hình 6) - tổng cộng $9^2 \cdot 8^2 \cdot 7^2 \cdot \ldots 2^2 \cdot 1^2 = (9!)^2 \approx 1,3 \cdot 10^{11}$ trò chơi khác nhau. Tất nhiên, không thể xác định kết quả của trò chơi bằng cách tìm kiếm như vậy, ngay cả khi có sự trợ giúp của máy tính.

Đúng, tìm kiếm này quá thô và ước tính quá cao: xét cho cùng, trò chơi của chúng ta có tính đối xứng. Ví dụ: tất cả các bước đi đầu tiên trong các ô khác nhau có cùng số lượng đều bằng nhau; do đó, cần phải xem xét không phải 81 mà chỉ có 9 phương án cho nước đi đầu tiên. Tám ô còn lại cho lần di chuyển thứ hai có thể được chia thành ba lớp sao cho các bước di chuyển có cùng số vào các ô cùng lớp sẽ bằng nhau (trong Hình 7, các ô thuộc các lớp khác nhau được sơn bằng các màu khác nhau); do đó, cần phải xem xét không phải 64 mà là 8 \cdot 3 = 24 phương án cho nước đi thứ hai. Vì vậy, chúng tôi đã cố gắng giảm ước tính trên của số lượng trò chơi xuống con số $9 \cdot 24 \cdot 7^2 \cdot 6^2 \cdot \ldots \cdot 2^2 \cdot 1^2 \approx$

30

≈ 5 · 10^9, tuy nhiên, vẫn rất lớn. Chúng ta cần một ý tưởng mới giúp giảm thiểu việc lựa chọn các phương án. Tôi tìm thấy một ý tưởng như vậy.

Làm thế nào một nhà hiền triết có thể giúp đỡ?

Giả sử có một nhà hiền triết xuất hiện và tuyên bố rằng khi bắt đầu trò chơi, anh ta sẽ giành được chiến thắng, và hãy để nhà hiền triết này tử tế đến mức thực hiện các nước đi giống nhau ở các vị trí giống nhau. Bạn cần chơi bao nhiêu trò chơi với nhà hiền triết để kiểm tra xem anh ta thực sự có tiền thắng hay không?

Nhà hiền triết bắt đầu mọi trò chơi theo cùng một cách; chúng ta phải thử chơi với anh ta tất cả 24 lựa chọn cho nước đi thứ hai. Ở mỗi vị trí của nước đi thứ hai, nhà hiền triết rõ ràng thực hiện nước đi thứ ba; chúng tôi xem xét tất cả 36 lựa chọn cho nước đi thứ tư, v.v. (Hình 8). Tổng cộng, bạn cần chơi 24 · 6^2 · 4^2 · 2^2 = 55296 trò chơi để kiểm tra hiền nhân.

Sau khi tiếp xúc với một nhà hiền triết trong một tháng, bạn có thể bị thuyết phục về bản chất đôi bên cùng có lợi của anh ta hoặc chứng minh điều ngược lại. Bạn có thể tạo và gỡ lỗi một chương trình máy tính để kiểm tra hiền nhân, tuy nhiên, việc này sẽ mất cùng tháng, nhưng với cùng một chương trình, giờ đây bạn có thể kiểm tra bất kỳ chiến lược nào để “chiến thắng”.

Vì vậy, có một chương trình kiểm tra, nhưng hiền nhân ở đâu? Tác giả đã phải học cách chơi và sử dụng các thông điệp và chiến lược đã được thể hiện, dần dần điều chỉnh các nước đi không mang lại chiến thắng cho người mới bắt đầu (chúng được phát hiện bằng chương trình kiểm tra), “biến” thành một trò chơi như vậy.

31

hiền nhân là ai. Có thể chứng minh rằng nếu hai nhà thông thái chơi thì người mới bắt đầu sẽ thắng; chính xác hơn, người ta đã chứng minh rằng người mở tỷ số với $7_1$ có cơ hội giành chiến thắng bất kể câu trả lời của đối thủ như thế nào. Một loại “sổ tay” đã được biên soạn, trong đó chỉ định chiến thắng ở nước đi thứ ba và thứ năm cho tất cả các nước đi thứ hai và nước thứ tư của đối phương.

Phần kết luận

Việc kiểm tra chiến lược “71” để “chiến thắng” cho thấy rằng, với nước đi đầu tiên $7_1$, trên tất cả nước đi thứ hai mà chiến lược này hợp lệ, ngoại trừ nước đi thứ ba, nó mang lại nước đi thứ ba mà ở bất kỳ nước đi thứ tư nào, ngoại trừ nước đi thứ chín, chiến lược “71” sẽ dẫn đến chiến thắng. Các trường hợp ngoại lệ được liệt kê trong bảng. Nước đi thắng trong những trường hợp như vậy vẫn tồn tại (xem bảng), nhưng nó khác với khuyến nghị của chiến lược “71”.

tin tức khoa học

Chất siêu dẫn hữu cơ

Như đã biết, hiện tượng siêu dẫn bao gồm sự biến mất hoàn toàn của điện trở ở nhiệt độ dưới một mức tới hạn nhất định $T_k$, được gọi là nhiệt độ chuyển tiếp siêu dẫn. Hầu hết tất cả các chất siêu dẫn hiện có đều là kim loại hoặc hợp kim của chúng với $T_k$ không vượt quá 25K. Nói cách khác, hiện nay chưa có vật liệu nào là chất siêu dẫn ở nhiệt độ trên 25K.

Nhu cầu hoạt động ở nhiệt độ rất thấp hạn chế rất nhiều việc sử dụng chất siêu dẫn. Về vấn đề này, nghiên cứu về khả năng tạo ra chất siêu dẫn có giá trị cao $T_k$ rất được quan tâm từ cả quan điểm thực nghiệm và lý thuyết. Khoảng hai mươi năm trước, các báo cáo đã được đưa ra về khả năng tăng đáng kể $T_k$ đối với một số loại hợp chất hữu cơ trong đó các electron di chuyển dọc theo các ngăn phân tử hữu cơ riêng lẻ và việc chuyển electron sang các ngăn lân cận là rất khó khăn. Tuy nhiên, cho đến nay mọi nỗ lực nhằm thu được chất siêu dẫn có tổ chức đều không thành công và chỉ gần đây, một nhóm nhà nghiên cứu Đan Mạch mới lần đầu tiên thành công trong việc tổng hợp chất siêu dẫn có tổ chức. Hợp chất thu được có tên khá phức tạp - dithragmethyl-tetraselenfort) terraoxylorat và được ký hiệu bằng các chữ cái đầu tiên của nguyên tử và gốc của nó - $(\text{TMTSF})_2\text{ClO}_4$. Quá trình chuyển sang trạng thái siêu dẫn xảy ra ở áp suất và nhiệt độ bình thường $T_k = 1,2 \div 1,4$ K. Nhiệt độ của quá trình chuyển đổi siêu dẫn bị giới hạn bởi sự tổ chức của chất siêu dẫn và có thể thấy là khá thấp. Trong các tổ chức phức hợp, việc thay thế gốc này hoặc gốc khác hoặc đưa các phân tử khác vào chúng dẫn đến việc tạo ra một số lượng lớn các hợp chất mới với nhiều tính chất đa dạng. Chính hoàn cảnh này quyết định tầm quan trọng thực tế của việc thu được chất siêu dẫn của tổ chức. Do đó, có thể hy vọng rằng nghiên cứu có mục tiêu trong lĩnh vực này sẽ dẫn đến việc tổng hợp các chất siêu dẫn có $T_k$ cao. Tầm quan trọng của một khám phá như vậy thật khó để đánh giá quá cao.

A. Buzdi

32

Bài toán

M706 — M710; F718 — F722

M706. Từ tâm của hai đường tròn cho trước vẽ các tiếp tuyến với đường tròn kia. Chứng minh rằng các dây nối giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn (trong Hình 1, các dây này được tô màu đỏ) có cùng độ dài.

A. Savin

M707. Mỗi học sinh trong lớp tham gia không quá hai câu lạc bộ và bất kỳ cặp học sinh nào cũng có một câu lạc bộ để các em học cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 2/3 số học sinh của lớp này tham gia.

A. Sidorenko

M708. Trên các cạnh của một tứ giác lồi có diện tích $S$, các hình vuông được dựng bên ngoài nó, các tâm của chúng đóng vai trò là các đỉnh của một tứ giác mới có diện tích $S_1$. Chứng minh rằng
a) $S_1 \geq 2S$;
b) $S_1 = 2S$ khi và chỉ khi các đường chéo của tứ giác ban đầu có độ dài bằng nhau và vuông góc với nhau.

P. Gusyatnikov

M709. Sàn của căn phòng có hình lục giác đều có cạnh 10, được lát bằng gạch hình thoi có cạnh 1 và góc nhọn 60°. Được phép lấy ra ba ô tạo thành hình lục giác đều có cạnh 1 và thay thế cách sắp xếp của chúng bằng một ô khác (Hình 2). Chứng minh rằng
a) từ bất kỳ sự sắp xếp nào của các hoạt động như vậy có thể thu được bất kỳ hoạt động nào khác;
b) việc này có thể được thực hiện không quá 1000 thao tác;
c) từ cách sắp xếp các khối ảnh trong Hình 3, và không thể có được sự sắp xếp như Hình 3.6 với ít hơn 1000 thao tác.

A. Smirnov

M710. Có một dãy số tự nhiên riêng biệt $a_1, a_2, a_3, \dots$, không có số hạng nào bằng tổng của nhiều số khác, sao cho (với tất cả $n=1,2,\dots$)
a) $a_n \leq 2(\sqrt{3})^n$;
b) $a_n \leq 10(1,5)^n$;

33

d) $a_n \leq 1000n^{7/2}$; e) $a_n \leq 1000n^{3/2}$

S. Konyatsin

F718. Trên bờ sông có vận tốc dòng chảy là $\omega$, tại điểm $A$ có ​​một cậu bé. Anh ta có thể dọc bờ biển với tốc độ $v$ và bơi dọc sông với tốc độ $u$ (so với mặt nước) và $u < \omega$. Xác định khoảng cách $x$ từ điểm $A$ có điểm $C$ của bờ từ đó cậu bé phải bắt đầu bơi để đến được phao $B$ trong thời gian ngắn nhất. Khoảng cách $BD$ từ phao đến bờ là $h$, khoảng cách $AD$ là $l$ (Hình 4).

S. Krotov

F719. Một quả bóng nhỏ nặng có khối lượng $m$, có điện tích $q$, nhận vận tốc ban đầu $v_0$, hướng thẳng đứng lên trên. Quả bóng nằm trong một điện trường đều nằm ngang có hướng $E$. Bỏ qua sức cản của không khí và sự phụ thuộc của gia tốc áp suất tự do $g$ vào độ cao, xác định tốc độ tối thiểu của quả bóng trong quá trình chuyển động của nó.

B. Bukhovtsev

F720. Một chùm tia đồng nhất có khối lượng $M$ có chiều dài $l$ bắt đầu di chuyển xuống một mặt phẳng nghiêng tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời. Phần ban đầu có chiều dài $l$ của mặt phẳng nghiêng được chiếm bởi các con lăn đặt gần nhau dưới dạng ống có khối lượng $m$ và bán kính $r \ll l$ (Hình 5), quay không ma sát trong các ổ trục. Phần còn lại của mặt phẳng nghiêng là phẳng. Tìm sự phụ thuộc của gia tốc của tải vào chuyển động của nó dọc theo mặt phẳng.

A. Stasenko

F721. Một tấm điện môi tích điện đồng đều trên bề mặt và có hình dạng như một tam giác vuông đều được gấp làm đôi. Trong trường hợp này, công $A$ được thực hiện chống lại lực của trường nhà máy điện. Cần phải thực hiện bao nhiêu công để gấp một hình tam giác làm đôi?

O. Savigan

F722. Tụ điện Plock nằm trong từ trường vuông góc với mặt phẳng của các bản (Hình 6). Khoảng cách giữa các bản $d$, vectơ cảm ứng từ $B$. Bên trong tụ điện, gần bản tích điện âm có một nguồn electron chậm phát ra các electron theo các hướng khác nhau. Các electron sẽ tập trung vào bản tích điện dương theo hướng nào giữa các bản? Điều gì quyết định kích thước của “điểm”?

A. Trubachev

34

Lời giải bài toán

M666. Chứng minh rằng bội số chung nhỏ nhất của $a_1 < a_2 < ... < a_n$ là $A$. Khi đó hiển nhiên $\frac{A}{a_1} > \frac{A}{a_2} > ... > \frac{A}{a_n}$ là các số tự nhiên. Do đó $\frac{A}{a_1} \geq n$, do đó $A \geq n a_1$.

Ước tính này là chính xác. Thật vậy, nếu $a_1 = \frac{n!}{n-1}$, $a_2 = \frac{n!}{n-1}$, …, $a_n = n!$, thì $A = n! = n \cdot a_1$.

A. Razborov

M667. Dựng tam giác ABC nếu biết góc nhỏ nhất $\hat{A}$ và các đoạn có độ dài $d = |AB| - |BC|$ và $e = |AC| - |BC|$.

Trên các cạnh của góc $\hat{A}$ này, chúng ta tắt các đoạn AD có độ dài $d$ và AE có độ dài $e$ đã cho. Telery cũng cần tìm điểm B và C trên các cạnh này (phía sau điểm D và E), tức là $|BD| = |BC| = |CE|$.

Để làm điều này, trước tiên chúng ta xây dựng một hình đã sẵn sàng cho tứ giác BCED cần thiết. Để thực hiện điều này (Hình 1), chúng ta hãy vẽ trên đường thẳng AD (trên một tia không chứa A) một đoạn DB1 có độ dài bất kỳ $q$, sau đó chúng ta cắt song song tia [DE] với một vectơ $\vec{q}$ có cùng độ dài $q$, hướng song song với [AE], sau đó trên tia thu được $l$, chúng ta đánh dấu một điểm $C_1$, tại đó $|B_1C_1| = q$. Rõ ràng tứ giác $B_1C_1E_1D$ đồng dạng với tứ giác BCED cần tìm. Bây giờ vẽ một đường thẳng song song với $B_1E_1$ qua điểm E, ta tìm được điểm B; sau đó vẽ một đường thẳng song song với $B_1C_1$ qua điểm B, ta tìm được điểm C. (Dễ dàng nhận thấy mọi công trình luôn được đáp ứng, và theo một cách duy nhất.)

Đây là một lời giải khác - một cái không sử dụng phương pháp tương tự. Nếu $O$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì các tam giác BOD, BOC và COE mang tính xây dựng (Hình 2). Tất cả các góc lệch ở đỉnh O đều bằng $90^\circ + \hat{A}/2$. Do đó $D\hat{OE} = 90^\circ - 3\hat{A}/2$ (đại lượng này dương tại $\hat{A} < 60^\circ$). Telery, ta có thể dựng điểm O là giao điểm của phân giác của góc A và phần hồn của đoạn có hai đầu D, E, kết hợp với một góc nội tiếp có độ lớn $90^\circ - 3\hat{A}/2$ (cung đỏ ở Hình 2). Khi đó vẽ các tia OB và OC theo các góc cần thiết thành các đoạn DO và EO, ta tìm được hai đỉnh của tam giác ABC.

Cuối cùng, bài toán có thể được giải và tính toán: độ dài của đoạn mong muốn $x = |BD| = |BC| = |CE|$ được tìm thấy từ phương trình bậc hai

$$x^2 = (x+d)^2 + (x+e)^2 - 2(x+d)(x+e) \cos \hat{A},$$

sau đó, đoạn được yêu cầu có thể được tạo (dựa trên $d, e$ và $\hat{A}$) bằng la bàn và thước kẻ, kết hợp các phương pháp dựng đã biết bằng cách sử dụng các đoạn có độ dài $p$ và $q$ và góc $\alpha$ của các đoạn có độ dài $p$ cos $\alpha$, $p \pm q$, $\sqrt{pq}$, $\sqrt{p^2 \pm q^2}$. Điều thú vị là nghiệm âm của phương trình này còn có ý nghĩa hình học: nó xác định vị trí của một điểm khác $B_2 \in [DA)$, $C_2 \in [EA)$, mà tại đó $|B_2D| = |B_2C_2| = |C_2E|$.

N. Vasiliev

M668. Trình tự $(x_i)$ được xác định bởi các điều kiện $x_1 = 1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$, $x_{n+1} = x_{n-2} + 2x_{n-1}$. Chứng minh rằng với bất kỳ

Đặt $m$ là số tự nhiên bất kỳ. Thay vì dãy $(x_i)$, hãy xem xét dãy $(\bar{x}_i)$ gồm các số dư khi chia $x_i$ cho $m$.

Từ định nghĩa của dãy $(x_i)$, với mọi số $\bar{x}_i$, $\bar{x}_{i+1}$ và $\bar{x}_{i+2}$ người ta có thể duy nhất

35

số tự nhiên $m$ có hai số hạng liền kề của dãy này, mỗi số hạng chia hết cho $m$.

Thật vậy, vì số lượng số hạng của dãy là vô hạn và số lượng rãnh từ tập hợp số {0, 1, 2, …, $m-1$} không lớn hơn $m^3$ nên nó sẽ tìm thấy hai rãnh khớp $\bar{x}_i, \bar{x}_{i+1}, \bar{x}_{i+2}$ và $\bar{x}_{i+T}, \bar{x}_{i+T+1}, \bar{x}_{i+T+2}$. Nhưng vì các số của bộ ba thứ nhất được xác định duy nhất bởi các số của bộ ba thứ hai, nên nói chung với mọi $k$ các đẳng thức $\bar{x}_{k+T}=\bar{x}_k, \bar{x}_{k+T+1}=\bar{x}_{k+1}, \bar{x}_{k+T+2}=\bar{x}_{k+2}$ ($T$ là chu kì của dãy) sẽ đúng.

Vì $\bar{x}_0=\overline{x}_3-2x_1=0, \bar{x}_{-1}=\overline{x}_2-2x_0=0, \bar{x}_{iT-1}=0$ và $\bar{x}_{iT}=0$ cho bất kỳ $l$ nào. Qua đó chúng ta đã chứng minh được rằng có vô số cặp số hạng liền kề của dãy ($x_i$), mỗi cặp số đó chia hết cho $m$.

Thật thú vị khi lưu ý mối liên hệ giữa chuỗi ($x_j$) và chuỗi Fibonacci ($f_i$): $f_1=1, f_2=2, ..., f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ tại $n \geqslant 1$. Dãy Fibonacci cũng có thể được tiếp tục cao hơn: $f_{n-1}=f_{n+1}-f_n$, do đó $f_0=1, f_{-1}=0$, v.v. Thật dễ dàng để kiểm tra rằng $x_i=f_{i-2}+(-1)^{i-1}$. Do đó, với bất kỳ số tự nhiên $m$ nào trong dãy ($f_i+(-1)^{i-1}$), có vô số cặp số hạng liền kề chia hết cho $m$. Đồng thời, hai số Fibonacci liền kề bất kỳ đều là số nguyên tố cùng nhau*.

G. Kozlov

M669. Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh rằng a) đoạn thẳng nối hai đoạn AB và CD vuông góc với đoạn nối hai đoạn BC và AD; b) Tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, BCD, CDA và DAB là các đỉnh của đường thẳng.

a) Vì $NMP=\frac{1}{4}(BC+CD)=\frac{1}{2}\hat{A}, MNQ=\frac{1}{4}(AB+AD)=\frac{1}{2}\hat{C}$ (Hình 1), $NMP+MNQ=\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{C})=90^\circ$, nội tiếp của tam giác ABC, BCD, CDA và DAB tương ứng sẽ mở ra (Hình 2).

Các tam giác BMN và MO$_1N$ bằng nhau nên $|BN|=|NO_1|$. Tương tự như vậy, $|CN|=|NO_2|$. Nhưng $|BN|=|CN|$; do đó, tam giác $O_1NO_2$ là tam giác đều, trong đó $[NQ]$ là bissertrix. Vì vậy $[NQ] \perp [O_1O_2]$; có nghĩa là $[O_1O_2] \parallel [MP]$.

Hình 1.

Hình 2.

Tương tự, người ta chứng minh được $[O_3O_4] \parallel [MP]$ và $[O_1O_4] \parallel [NQ] \parallel [O_2O_3]$. Vậy tứ giác $O_1O_2O_3O_4$ là hình chữ nhật.

I. Tiếng Đức, K. Malkhasyan

• (Để biết các tính chất thú vị về tính chia hết của các số Fibonacci, xem cuốn sách “Các số Fibonacci” của N. N. Vorobyov (Loạt bài “Bài giảng phổ biến về toán học”, M., “Nauka”, 1978).

36

M670. a) Cho một số điểm, một số cặp điểm được nối bằng đường thẳng (điểm của các cặp điểm đó được gọi là được nối bởi chúng). Số lượng kết nối tại mỗi điểm là số lẻ. Tại thời điểm ban đầu, tất cả các điểm được tô bằng hai màu - đỏ và xanh. Sau đó, cứ sau mỗi phút, các điểm được tô màu lại theo quy tắc sau: mỗi điểm trong đó phần lớn các kết nối có một màu khác với nó sẽ thay đổi màu của nó; nếu không thì màu sắc của nó sẽ được giữ nguyên. Chứng minh rằng sẽ đến một thời điểm mà tại đó một số điểm không đổi màu nhưng có một số điểm sẽ thay đổi theo từng phút. b) Liệu câu phát biểu này có còn đúng nếu không giả định rằng mỗi điểm có số lẻ kết nối?

Hình 1.

Hình 2.

Chúng ta hãy gọi đoạn $X'_i X''_j$ nối các điểm của hệ thống kép là một cạnh đa dạng nếu các đầu $X'_i$ và $X''_j$ của nó có màu khác nhau. Hãy chứng minh rằng nếu tại thời điểm tiếp theo có ít nhất một điểm có cạnh đa dạng, thì số cạnh đa dạng của hệ thống quân sự sẽ có dạng … $P_{t-1}, P_t, P_{t-1}, P_t, \dots$, (Hình 3), và đây chính xác là điều cần được chứng minh trong nhiệm vụ.

Hình 3.

Chúng ta hãy gọi đoạn $X'_i X''_j$ nối các điểm của hệ thống kép là một cạnh đa dạng nếu các đầu $X'_i$ và $X''_j$ của nó có màu khác nhau. Hãy chứng minh rằng nếu tại thời điểm tiếp theo, có ít nhất một điểm có cạnh đa dạng, thì số cạnh đa dạng của hệ sẽ có dạng … $P_{t-1}, P_t, P_{t-1}, P_t, \dots$, (Hình 3), và đây chính xác là điều cần được chứng minh trong nhiệm vụ.

37

F678. Một khẩu pháo bắn từ dưới chỗ nấp nghiêng một góc α so với phương ngang (Hình 1). Súng đặt ở điểm A cách chân hầm trú ẩn (điểm B) một khoảng l. Vận tốc ban đầu của đạn là $|\vec{v}_0|$.
Giả sử quỹ đạo của viên đạn nằm trong mặt phẳng hình vẽ, hãy xác định tầm bay tối đa.

Hình 1.

Trong tất cả các quỹ đạo có thể có của đạn, chúng tôi chọn quỹ đạo chạm vào nơi trú ẩn. Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một viên đạn trong một hệ tọa độ có các trục hướng như trong Hình 2. Trong hệ thống này, hình chiếu “ngang” (dọc theo trục OX) của vận tốc ban đầu của viên đạn bằng $v_{0x} = v_0$ cos ($\varphi - \alpha$) và phép chiếu “thẳng đứng” (dọc theo trục OY) bằng $v_{0y} = v_0 \sin (\varphi - \alpha)$, Ở đâu $\varphi$ - góc tạo bởi vectơ vận tốc ban đầu của viên đạn với đường chân trời.

Điểm C, tại đó quỹ đạo của đạn chạm vào nơi trú ẩn, xác định độ cao tối đa $h'$ của việc nâng đạn lên trên “đường chân trời”, bằng nhau, như có thể thấy trong Hình 2, $l \sin \alpha$. Tại thời điểm này, hình chiếu toàn bộ tốc độ $\vec{v}$ của viên đạn lên trục

Hình 2.

$OY$ bằng 0 và
$$h' = v_{0y}^2 / 2g'$$,
trong đó $g' = g \cos \alpha$ là “gia tốc trọng trường” trong hệ $XOY$ (hình chiếu của vectơ $\vec{g}$ lên “phương thẳng đứng” $OY$). Vì vậy, $v_{0y}^2 = 2g' h' \Rightarrow v_0^2 \sin^2 (\varphi - \alpha) = 2(g \cos \alpha) (l \sin \alpha)$.

Đặc biệt, từ đây, theo điều kiện bài toán $2g l \sin \alpha \cdot \cos \alpha = g l \sin 2\alpha > v_0^2$, thì không có quỹ đạo đạn nào chạm vào nơi trú ẩn và phạm vi bay tối đa $L_{\max}$ sẽ dành cho một viên đạn được phóng theo góc $\varphi = \pi/4$ so với đường chân trời; đồng thời $L_{\max} = v_0^2/g$.

Nếu theo các điều kiện trên đáp ứng được sự tương ứng $v_0^2 \geqslant g l \sin 2\alpha$ thì để quỹ đạo chạm vào nắp, đạn phải được phóng theo một góc
$$\varphi_{\kappa c} = \alpha + \arcsin \frac{\sqrt{g l \sin 2\alpha}}{v_0}$$.

Nếu theo điều kiện trên, bất đẳng thức
$$\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2g l} \leqslant \sin 2\alpha$$,
lần lượt có nghĩa là $\varphi_{\kappa c} \geqslant \pi/4$ (cho tôi xem!), sau đó là góc khởi hành của đạn với tầm bay tối đa $\varphi_{\beta} = \pi/4$ và $L_{\max} = v_0^2/g$. Nếu theo điều kiện trên, bất đẳng thức nghịch đảo
$$\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2g l} > \sin 2\alpha$$,
điều đó có nghĩa là $\varphi_{\kappa c} < \pi/4$, thì

38

$$L_{\max} = \frac{v_0^2}{g} \sin 2\varphi_b = \frac{v_0^2}{g} \sin 2 \left( \alpha + \arcsin \frac{\sqrt{g l} \sin 2\alpha}{v_0} \right).$$

S. Krotov

F679. Một sợi dây zeroch không giãn có mật độ tuyến tính q và chiều dài L được ném qua khối sao cho chiều dài một vùng của các đầu treo bằng $l(l < L/2)$. Khối nằm trên trục ngang là một vòng mỏng có khối lượng m và bán kính r đặt trên các kim đan nhẹ (xem hình). Hệ được giữ ở trạng thái nghỉ rồi thả ra. Tìm lực ép lên trục tại thời điểm đầu tiên. Có rất ít va chạm giữa trục và khối.

Ba lực tác dụng lên hệ khối + dây: phản lực $\vec{R}$ trong trục của khối và lực trọng lượng $m\vec{g}$ và $M\vec{g}$ ($M = \rho L$ là khối lượng của sợi dây). Theo định luật thứ ba của Newton, lực $\vec{N}$ của áp suất lên trục khối có giá trị tuyệt đối bằng $|\vec{R}|$.

Viết phương trình chuyển động của khối tâm của hệ dưới dạng hình chiếu trên trục $OX$ và $OY$ (xem hình):

$$\begin{align*} (M + m)g &= R_x = (M + m)A_x, \\ R_y &= (M + m)A_y \end{align*}$$

($A_x$ và $A_y$ là hình chiếu của gia tốc khối tâm). Vì dây không giãn và không trượt trên vật nên gia tốc của tất cả các điểm của dây và vật tại thời điểm đầu tiên sẽ bằng giá trị tuyệt đối (tốc độ ban đầu của hệ bằng 0 và các điểm của dây nằm trên vòng chưa thu được thành phần gia tốc hướng tâm).

Gia tốc $\vec{A}$ của khối tâm của hệ có liên quan đến gia tốc $\vec{a}_i$ của tất cả các điểm $i$ của nó theo hệ thức

$$M\vec{A} = \sum_i m_i \vec{a}_i,$$

trong đó $M$ là khối lượng của hệ, $m_i$ là khối lượng của điểm $i$ của nó. Chúng ta hãy viết mối quan hệ này cho hệ thống của mình dưới dạng hình chiếu trên trục $OX$ và $OY$.

Trong phép chiếu trên trục $OX$

$$-M_{AC}a + M_{BD}a = (M + m)A_x,$$

vì tổng đóng góp của tất cả các sản phẩm $M_{i(AB)}\vec{a}_i$ (từ các điểm dây nằm trên phần $AB$) và $m_i\vec{a}_i$ (từ các điểm vòng) trong các hình chiếu lên trục $OX$ bằng 0; điều này rõ ràng từ các tin nhắn của Symmetrine. Trong phép chiếu lên trục $OY$, chỉ có tích $M_{i(AB)}\vec{a}_i$ đóng góp. Để tìm hình chiếu lên trục $OY$ của vectơ $\sum_i M_{i(AB)}\vec{a}_i$, chúng ta phải tính tổng các vectơ $M_{i(AB)}\vec{a}_i$, có tính đến việc tại mỗi điểm gia tốc hướng tiếp tuyến với vòng (hãy nhớ rằng vận tốc ban đầu bằng 0). Tổng kết này (tự làm) sẽ dẫn chúng ta đến kết quả sau:

$$\frac{2}{\pi} M_{AB}a = (M + m)A_y.$$

Chúng ta hãy thay thế các biểu thức thu được cho $(M + m)A_x$ và $(M + m)A_y$ thành (*) và tìm $R_x$ và $R_y$:

$$R_x = (M + m) \left( g - \frac{M_{BD} - M_{AC}}{M + m} a \right),$$

$$R_y = \frac{2}{\pi} M_{AB}a.$$

Để xác định gia tốc $a$, chúng ta viết phương trình chuyển động của từng phần riêng lẻ của hệ:

$$M_{BD}g - T_B = M_{BD}a,$$

$$T_A - M_{AC}g = M_{AC}a,$$

$$T_B - T_A = (M_{AB} + m)a,$$

trong đó $\vec{T}_A$ và $\vec{T}_B$ là lực căng của dây tại các điểm $A$ và $B$ (xem hình). (Để thu được phương trình cuối cùng, hãy xem xét chuyển động của từng phần của sợi dây trong tiết diện $AB$ và vòng dây.) Từ các phương trình này, người ta tìm thấy:

$$a = \frac{M_{BD} - M_{AC}}{M + m} g.$$

Như vậy,

$$R_x = (M + m) \left( g - \frac{(M_{BD} - M_{AC})^2}{(M + m)^2} g \right),$$