Kvant 1982, số 2 · Trang

KVANM
2
1982

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Hóa ra, bạn không chỉ có thể nghe thấy âm thanh rung động của tấm kính hoặc tấm kim loại mà còn có thể… nhìn thấy. Điều này lần đầu tiên được chứng minh bởi nhà khoa học người Đức Ernst Chladni vào năm 1787.
Nếu đổ cát mịn lên bề mặt tấm và kích thích dao động của tấm thì cát sẽ được phân bố lại, tập hợp theo từng đường riêng lẻ. Những đường này tạo thành nhiều hình khác nhau, ngày nay được gọi là hình lạnh. Một số trong số chúng được thể hiện trong hình dưới đây.
Nhiều nhà khoa học đã cố gắng phát triển một lý thuyết toán học về dao động của tấm. Trong số đó có Simeon Denis Poisson, người mà anh ấy nói đến trong số tạp chí này.

TRONG VẤN ĐỀ NÀY: TRONG VẤN ĐỀ NÀY:

A. Efros. Lý thuyết thẩm thấu 2 là gì
A. Efros. lý thuyết thẩm thấu là gì
A.Toom. Sau bao lâu thì cây gậy rơi xuống? 10
A.Toom. Cây gậy mất bao lâu để rơi?
V. Geller, Y. Brook. Simeon Denis Poisson 14
V. Geller, Yu. Bruk. Simeon Denis Poisson

Phòng thí nghiệm «Kvant» 21
S. Shishkov. xoáy nước
Kvant’s lab
S. Shishkov. Whirlpools

Vấn đề «Kvant» 25
Bài toán M726 — M730; F738 — F742
Problems M726—M730; P738—P742
Lời giải bài toán M686 — M690; F698 — F702
Solutions M686—M690; P698—P702
S. Krotov. Về định lý duy nhất trong tĩnh điện 32
S. Krotov. On the uniqueness theorem in electrostatics

«Kvant» cho học sinh nhỏ 35
Bài toán
Problems
F. Bartenev, A. Savin. Phương pháp vũ lực 36
F. Barteniev, A. Savin. The resetting method

Hội thảo của ứng viên 39
V. Skorovarov. Dòng điện xoay chiều
College applicant’s section
V. Skorovarov. Alternating current

Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1981 43
Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow
Moscow Institute of Electronic Machine-building
Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin 44
Moscow Lenin Pedagogical Institute
Viện Năng lượng Moscow 45
Moscow Energetics Institute
Viện kim loại màu Krasnoyirsk 46
Krasnoyarsk Kalinin Institute of Non-ferrous Metals

Nghệ thuật lập trình 48
Trường lập trình tương ứng. Bài học 18
Computer programming correspondence school. Lesson 18

Thông tin 55
E. Yunosov. III Chuyến tham quan Moscow của các nhà vật lý trẻ
Information
E. Yunosov. The third Moscow contest for the young physicist

Đánh giá, thư mục 58
V. Gutenmacher. Cẩm nang toán dành cho thí sinh đại học
Book reviews
V. Gutenmakher. A manual for college entrance exams

Đáp số, gợi ý, lời giải 59
Trộn(34, 47, 54)
Miscellaneous (34, 47, 54)

Bìa của chúng tôi 54
Our cover page

Cờ vua trang 55
Máy đoán tỉ số (trang bìa thứ 3)
The chess page
Computer guesses scores (third cover page)

Hình ảnh trên trang đầu tiên của bìa được vẽ bằng máy tính sử dụng “số ngẫu nhiên”. Để biết thêm chi tiết, xem p.54.

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1982

2

A. Efros

lý thuyết thẩm thấu là gì

Hai ông chồng nhà khoa học xé nát lưới màn hình

Không thường xuyên các báo cáo về thí nghiệm xuất hiện trên các tạp chí khoa học hiện đại, đối tượng của nó là một mảnh lưới màn hình thông thường*) được mua với mục đích hơi bất thường ở cửa hàng phần cứng gần nhất. Và mặc dù bài báo của các nhà vật lý người Mỹ Watson và Lees, đăng trên tạp chí Physical Review năm 1974, không phải là công trình đầu tiên trong lĩnh vực lý thuyết thẩm thấu, câu chuyện của chúng ta bắt đầu từ đó.

*) Mục đích trực tiếp của lưới màn hình là bảo vệ các thiết bị vô tuyến khác nhau khỏi nhiễu điện.

Mảnh lưới mà Watson và Lees làm việc có hình vuông và chứa $137 \times 137 = 18769$ nút có khoảng cách $1/4$ inch (6,35 mm) giữa các nút liền kề. Các nhà khoa học hàn các điện cực đồng vào hai cạnh đối diện của hình vuông và nối lưới điện với một mạch điện (Hình 1, a) để thay đổi độ dẫn điện của nó (hãy nhớ rằng độ dẫn điện là nghịch đảo của điện trở). Sau đó, họ bắt đầu cắt các nút từ lưới này (Hình 1, b) và nghiên cứu tính dẫn điện tùy thuộc vào tỷ lệ các nút bị cắt.

Mỗi nút mới bị cắt được chọn ngẫu nhiên trong số các nút chưa bị cắt trước đó. Về nguyên tắc, để làm được điều này, người ta có thể viết tọa độ của từng nút trên một tờ giấy riêng, cho tất cả các mảnh giấy vào một chiếc mũ, trộn đều và lấy ra từng mảnh một. Tuy nhiên, với số lượng lớn các nút, quy trình như vậy (giống như các phương pháp đúc lô cơ học khác) là vô cùng bất tiện, và do đó các nhà khoa học đã sử dụng một phương pháp ngẫu nhiên.

3

một chuỗi tọa độ được biên soạn bởi máy tính.

Rõ ràng là khi số lượng nút cắt tăng lên thì độ dẫn điện của lưới giảm đi. Điều này là lớn, nếu tỷ lệ giữa số nút chưa cắt trên tổng số nút (137²) biểu thị $x$, thì ở một giá trị nhất định $x$, mà chúng ta sẽ gọi thêm là giá trị ngưỡng và biểu thị $x_c$, độ dẫn điện sẽ bằng 0. Điều này xảy ra khi đường dẫn cuối cùng kết nối các điện cực trái và phải bị cắt. Định nghĩa về vết cắt $x_c$ là một trong những thí nghiệm bài toán của Batson và Lees. Họ tìm thấy rằng $x_c = 0,59$.

Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: giá trị $x_c$ là ngẫu nhiên và không tự nguyện từ trải nghiệm này sang trải nghiệm khác hay nó hoàn toàn được xác định?

Có vẻ như bằng cách lặp lại thí nghiệm với một mảnh lưới màn hình khác và sử dụng một chuỗi nút cắt ngẫu nhiên khác, chúng ta sẽ thu được giá trị khác là $x_c$. đáp số này hỗ trợ lẽ thường: vì ở mỗi giai đoạn, toàn bộ cấu hình bị cắt bỏ

$$\bar{x}_c(N) = \frac{x_{c1} + x_{c2} + \ldots + x_{cQ}}{Q} = \frac{\sum_{i=1}^{Q} x_{ci}}{Q}.$$

Để xác định mức trung bình của các giá trị $x_{ci}$ thu được trong các thử nghiệm khác nhau khác với $\bar{x}_c(N)$ bao nhiêu, chúng tôi thực hiện như sau. Chúng ta hãy tìm tổng các biểu thức có dạng $(x_{ci} - \bar{x}_c(N))^2$ (tức là tổng bình phương độ lệch $x_{ci}$ từ $\bar{x}_c(N))$ và chia tổng này cho $Q$. Giá trị

$$\delta(N) = \frac{\sum_{i=1}^{Q} (x_{ci} - \bar{x}_c(N))^2}{Q}$$

biểu thị giá trị trung bình của độ lệch bình phương của $x_{ci}$ từ $\bar{x}_c(N)$ cho trước $N$. Đại lượng này được gọi là độ phân tán. Giá trị $\sqrt{\delta(N)}$ đặc trưng cho sự phân tán của các giá trị $x_{ci}$ thu được trong một loạt thử nghiệm với các lưới chứa các nút $N$. (Lưu ý rằng nếu chúng ta bắt đầu cộng không phải độ lệch bình phương mà là lũy thừa cao, tức là các biểu thức có dạng $x_{ci} - \bar{x}_c(N)$, thì đối với giá trị trung bình của độ lệch, chúng ta sẽ nhận được 0, vì $x_{ci} - \bar{x}_c(N)$ có cả giá trị dương và âm.)

Vì vậy, để đánh giá “mức độ ngẫu nhiên” của giá trị $x_c$, cần theo dõi hành vi của giá trị $\delta(N)$.

Tính toán cho thấy khi số lượng nút lưới tăng lên $N$ thì giá trị $\delta(N)$ tăng mạnh (theo định luật lũy thừa)

5

tổng mô men từ $M = \mu N$ xuất hiện, trong đó $N$ là số lượng nguyên tử trong mẫu và $\mu$ là mô men từ của một nguyên tử. Điều quan trọng là mômen từ trên một đơn vị thể tích không phụ thuộc vào thể tích và bằng $M = \mu/v_0$, trong đó $v_0$ là thể tích trên mỗi nguyên tử. Giá trị $M$ được gọi là từ hóa tự phát (từ “tự phát” có nghĩa là “tự phát”, tức là phát sinh không phải dưới tác động của từ trường bên ngoài mà do chính nó phát sinh).

Chuyển động nhiệt phá hủy trật tự từ tính, và do đó có một nhiệt độ tới hạn, gọi là nhiệt độ Curie, mà trên đó độ từ hóa tự phát bằng không. Ví dụ, đối với sắt, nhiệt độ Curie là $770^\circ C$. Ở nhiệt độ cao hơn, sắt không thể có tính sắt từ.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một chất là dung dịch rắn (hỗn hợp các nguyên tử từ tính và không từ tính (không có mô men từ). Đây là một tinh thể trong các nút chứa các nguyên tử từ tính hoặc không từ tính, và sự sắp xếp của chúng hóa ra không có trật tự mà hoàn toàn ngẫu nhiên. Chúng ta hãy biểu thị $x$ liên quan đến nồng độ (phần) của các nguyên tử từ tính và tìm hiểu xem liệu tất cả các giá trị của $x$ có từ hóa tự phát hay không, tức là chất đó có tính sắt từ.

Chúng ta hãy giả sử rằng sự tương tác giữa các mô men từ của các nguyên tử giảm theo khoảng cách nhanh đến mức chỉ tính đến sự tương tác của các lân cận gần nhau. Điều này có nghĩa là nếu hai nguyên tử từ tính đứng cạnh nhau thì khoảnh khắc của chúng nhất thiết phải song song, nhưng nếu có ít nhất một nguyên tử không từ tính giữa chúng, thì khoảnh khắc có thể được định hướng tùy ý: chúng đã “không biết gì” về nhau.

Hãy để chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa. Chúng ta sẽ gọi hai nguyên tử từ tính được kết nối với nhau nếu chúng đứng cạnh nhau hoặc nếu chúng được kết nối với nhau bằng một chuỗi nguyên tử từ tính nằm cạnh nhau (Hình 2, a). Một tập hợp các nguyên tử có liên quan thường được gọi là lớp

Hình 2. Nguyên tử có từ tính được biểu thị bằng vòng tròn màu đỏ, nguyên tử không có từ tính được biểu thị bằng vòng tròn màu xanh. Các đường đứt nét là ranh giới cụm.

(● từ tiếng Anh “cụm”, có nghĩa là “cụm”, “bàn chải”).

Bây giờ chúng ta giả sử rằng các nguyên tử từ tính rất nhỏ ($x \ll 1$). Đương nhiên, trong trường hợp này chúng chủ yếu nằm một mình. Lớp hai nguyên tử từ tính đã là hiếm, lớp ba nguyên tử lại càng hiếm hơn, v.v.

Nhờ tương tác từ, mômen từ của các liên kết của các nguyên tử này được định hướng theo một hướng. Do đó, mỗi lớp có mômen từ sinh ra tỉ lệ với số lượng nguyên tử trong cụm. Mặt khác, chúng tôi đồng ý rằng các nguyên tử từ tính không ở gần shikhmi sẽ không tương tác với nhau. Do đó, các nguyên tử thuộc các lớp khác nhau không tương tác với nhau. Kết quả là, mômen định hướng của các lớp hóa ra là tùy ý (xem Hình 2, a), sao cho mômen trung bình của tất cả các lớp bằng 0.

Vì vậy, chúng tôi đã phát hiện ra rằng ở nồng độ thấp của các nguyên tử từ tính thì không có hiện tượng từ hóa tự phát.

Bây giờ hãy xem xét trường hợp hầu hết các nguyên tử đều có từ tính. Rõ ràng, một lượng tạp chất nhỏ không loại bỏ được hiện tượng từ hóa tự phát mà chỉ làm giảm nhẹ nó. Hãy cùng thảo luận vấn đề này bằng ngôn ngữ của các lớp học. Đối với $x=1$ tất cả các nguyên tử $N$ thuộc cùng một cụm. Nếu $x$ xuất sắc một chút-

7

Bài toán về độ dẫn điện tử được chúng tôi xây dựng cho lưới phẳng; tuy nhiên, rõ ràng là có thể dễ dàng thiết lập nó thành một khối lập phương, ở hai cạnh đối diện mà các electron được hàn. Trong bài toán về chất sắt từ, lý luận của chúng tôi áp dụng như nhau cho cả lưới điện và khối lập phương. Do đó, từ quan điểm của nồng độ tới hạn $x_c$ bài toán về độ dẫn điện tử của mạng và bài toán về tạp chất sắt từ là như nhau bài toán. Nó được gọi là vấn đề về nút.

Để kết thúc phần này, chúng tôi một lần nữa nhấn mạnh rằng các khái niệm cơ bản của lý thuyết thẩm thấu, chẳng hạn như ngưỡng thẩm thấu, cụm vô hạn, v.v., chỉ có được đặc tính rõ ràng khi được áp dụng cho một hệ thống lớn vô hạn. Trong bất kỳ hệ thống hữu hạn nào, ngưỡng thẩm thấu đều bị “mờ”; Khi lặp lại thí nghiệm, kết quả chỉ được sao chép với độ chính xác nhất định và bản thân định nghĩa về ngưỡng trở nên mơ hồ. Ví dụ: trong một thử nghiệm với lưới dẫn điện, chúng ta có thể gọi ngưỡng thấm là giá trị $x$ tại đó sự thẩm thấu xảy ra từ trên xuống dưới thay vì từ trái sang phải hoặc giá trị tối thiểu $x$ tại đó sự thẩm thấu xảy ra từ cả trên xuống dưới và từ trái sang phải. Trong một hệ thống đủ lớn, sự khác biệt giữa các định nghĩa này sẽ biến mất và ngưỡng thẩm thấu trở thành một giá trị được xác định rõ ràng.

Lưu ý rằng độ nhạy ngày càng tăng đối với quy mô của hệ thống là đặc tính chung của tất cả cái gọi là hiện tượng tới hạn. Do đó, nhiệt độ Curie tại đó tính sắt từ biến mất luôn bị “bôi nhọ” một chút trong hệ thống cuối cùng vì những lý do tương tự như ngưỡng thẩm thấu. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng kích thước thực tế của hệ thống chỉ quan trọng nếu chúng ta đang cố gắng mô phỏng một cách giả tạo một hiện tượng quan trọng (ví dụ: sử dụng lưới màn hình). Một hệ thống vi xử lý thực tế luôn có thể được coi là vô hạn. Rốt cuộc, một khối vật chất chứa khoảng $10^{22}$ nguyên tử!

Lưới khác bài toán

Trong các phần trước, các nút mạng bài toán đã được xem xét. Bây giờ chúng tôi sẽ giải thích kết nối bài toán là gì. Hãy tưởng tượng rằng trong thử nghiệm với lưới màn hình, chúng ta sẽ không tăng gấp ba các nút mà sẽ cắt các dây (kết nối) kết nối các nút này (Hình 4). Hãy để chúng tôi biểu thị bằng $x$ phần dây chưa cắt. Sau đó, một lần nữa chúng ta có thể đặt ra câu hỏi về phần tới hạn $x_c$, tại đó dòng điện trong một lưới điện rất lớn có các điểm tiếp xúc kim loại ở hai bên vượt quá. bài toán này cũng có thể được hình thành bằng ngôn ngữ cụm, coi như các nút được kết nối với nhau nếu chúng được kết nối bằng một chuỗi dây chưa cắt.

nút Bài toán và liên kết bài toán có vẻ rất giống nhau. Tuy nhiên, họ không chỉ trẻ con. Những bài toán này cũng có thể được hình thành cho các mạng phức tạp hơn hình vuông và hình khối. Giả định rằng mỗi nút mạng có thể được kết nối với tất cả các nút lân cận gần nhất của nó. Số lượng lân cận gần nhất phụ thuộc vào loại mạng và do đó ngưỡng thấm thay đổi tùy theo mạng. Nhưng trên bất kỳ mạng nào, ngưỡng thấm của bài toán liên kết không nhiều hơn ngưỡng thấm của các nút bài toán.

Bài toán ràng buộc trên một mạng vuông đơn giản được giải quyết một cách chính xác; ngưỡng thẩm thấu $x_c = 1/2$ (nó nhỏ hơn giá trị ngưỡng $x_c = 0,59$ trong các nút bài toán trên cùng một mạng). Chính xác lời giải cũng tồn tại đối với một số mạng hai chiều (phẳng) khác. Đối với các mạng ba chiều (khối lượng), vẫn chưa tìm thấy một lời giải chính xác nào. Ba như vậy-

8

Hình 5.

chiều bài toán được giải bằng các phương pháp gần đúng (như các phương pháp được mô tả ở phần đầu tiên) và mô phỏng trên máy tính.

Giá trị ngưỡng cho các loại cách tử khác nhau được đưa ra trong bảng. Các giá trị chính xác được gạch chân. Các kết quả còn lại thu được bằng phương pháp gần đúng. Đương nhiên, kết quả gần đúng thu được bằng các phương pháp khác nhau có phần khác nhau. Bảng thể hiện các kết quả phù hợp nhất theo quan điểm của tác giả.

Các ứng dụng khác nhau của lý thuyết thẩm thấu

Lý thuyết thẩm thấu là một môn toán học còn rất trẻ. Ý tưởng chính của nó được hình thành vào năm 1957 trong công trình của các nhà toán học người Anh Broadbent và Hammersley. Trong cùng một công việc, lý thuyết đã được thực hiện và đặt tên. (Trong tiếng Anh nó được gọi là “lý thuyết thẩm thấu”.
Bản dịch chính xác của “thẩm thấu” có nghĩa là “rò rỉ”, “lọc”; Trong văn học Nga, cùng với thuật ngữ “thẩm thấu”, bạn có thể tìm thấy từ “thẩm thấu”.

Mặc dù lý thuyết còn non trẻ nhưng phạm vi ứng dụng của nó rất rộng. Trong bài viết này, chúng tôi chỉ phân tích cái gọi là mạng bài toán, nhưng chúng không làm cạn kiệt toàn bộ trường và đóng một vai trò tương đối nhỏ trong các ứng dụng.

Để hình thành một lý thuyết bài toán khác về dòng chảy, chúng ta hãy nhớ lại truyền thuyết cổ xưa về Con tàu Neva. Truyền thuyết này kể rằng một số người cho rằng đã từng có một trận lũ lụt trên Trái đất. Chỉ một nhóm nhỏ những người đã đóng một con tàu lớn (ark) mới được cứu khỏi nó. Con tàu này dường như đang đi đâu đó trong vùng Caucasus, vì nơi đầu tiên nó cập bến khi nước bắt đầu rút là đỉnh núi Ararat… Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng các du khách quyết định băng qua sườn núi Caucasus từ nam lên bắc bằng đường thủy. Cuộc hành trình này vẫn ở mức độ tối thiểu nào

9

sẽ phát sinh? Nói cách khác, mực nước phải giảm đến mức nào để tuyến đường thủy băng qua dãy Kavkaz từ nam lên bắc biến mất? (Tất nhiên, khi bạn được phép di chuyển giữa các đỉnh nhô ra khỏi mặt nước.)

bài toán này (với điều kiện hệ thống núi có phạm vi đủ lớn theo mọi hướng) cũng là một vấn đề trong lý thuyết thẩm thấu, chỉ được hình thành không phải trên một mạng tinh thể mà trong không gian liên tục. Mực nước mong muốn được gọi là mực nước.

Ví dụ, bằng cách sử dụng khái niệm mức độ thẩm thấu, chúng tôi mô tả quá trình chuyển đổi điện môi-kim loại xảy ra trong chất bán dẫn có tạp chất khi nồng độ electron tăng lên. Thực tế là tạp chất trong chất bán dẫn nằm ở vị trí ngẫu nhiên và có thể tích điện. Kết quả là ở một số khu vực điện tích dương chiếm ưu thế, ở những khu vực khác điện tích âm chiếm ưu thế. Các electron được thêm vào hệ thống được thu thập trong các khu vực có điện tích dương, tạo thành một cái gì đó giống như hồ hoặc giọt ở đó. Những khu vực xuất hiện các giọt electron có độ dẫn điện cao. Tuy nhiên, nếu nồng độ electron trong hệ thống thấp thì những giọt này không được kết nối với nhau. Giữa là vùng có độ dẫn điện rất thấp nên độ dẫn điện của chất bán dẫn là không đáng kể. Tình hình thay đổi đáng kể khi nồng độ electron tăng lên đến mức các giọt electron nằm cạnh nhau hoặc kết nối với nhau hoặc kết nối thông qua các kênh electron hẹp. Ở những nồng độ tới hạn nhất định, có thể đi qua toàn bộ chất bán dẫn, chỉ ngạc nhiên ở khu vực chứa đầy electron. Sau đó độ dẫn điện trở lại mạnh mẽ. Hiện tượng này được gọi là sự chuyển tiếp điện môi-kim loại. Để xác định nồng độ tới hạn cần giải bài toán của lý thuyết dòng chảy, an-

hợp lý bài toán về đường thủy xuyên qua hệ thống núi.

Chúng ta có thể liệt kê các ứng dụng đa dạng nhất của lý thuyết dòng chảy: dòng chất lỏng chảy vào một vật thể xốp (mỗi lỗ rỗng có đường kính riêng và do tính mao dẫn của chất lỏng, nó chỉ đi qua ở một áp suất nhất định; bạn cần tìm áp suất tới hạn mà chất lỏng chảy một khoảng cách rất xa qua hệ thống các lỗ ngẫu nhiên), sự phá hủy đá (do tuổi tác hoặc ứng suất, hình thành các vết nứt vi mô, hợp nhất, tách đá), các mô hình khác nhau của quá trình chuyển đổi điện môi kim loại, sự ràng buộc của tính chất dị thường của nước siêu lạnh, v.v.

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng hình thành điểm chung giữa tất cả những vấn đề này và trên thực tế, đâu là chủ đề của lý thuyết thẩm thấu. Điều này khá khó thực hiện. Tôi có thể nói rằng lý thuyết thẩm thấu đề cập đến khả năng kết nối của một số lượng phần tử rất lớn (vĩ mô), với điều kiện là kết nối của mỗi phần tử với các phần tử lân cận của nó là ngẫu nhiên, nhưng đạt được theo một cách nhất định (ví dụ: bằng cách tung đồng xu). Điều quan trọng là tập hợp các kết nối được phát triển bằng phương pháp này phải cố định và không thể thay đổi trong quá trình lời giải bài toán.

Cũng cần lưu ý rằng lý thuyết thẩm thấu không chỉ đề cập đến việc tìm các giá trị ngưỡng mà còn (ở mức độ lớn hơn nhiều) các quy luật xác định hành vi của các giá trị ngưỡng khác nhau. Nếu các giá trị ngưỡng là cụ thể cho từng bài toán, thì các định luật theo đó các hàm như $P(x)$ trong bài toán về một chất sắt từ ứng dụng hoặc độ dẫn điện trong bài toán về một lưới biến mất hóa ra lại phổ biến cho tất cả các lý thuyết thẩm thấu bài toán. Đây có lẽ là loạt câu hỏi thú vị nhất trong lý thuyết thẩm thấu, nhưng câu chuyện về nó sẽ còn dài và nằm ngoài phạm vi của bài viết này.

10

Sau bao lâu thì cây gậy rơi xuống?

Từ biên tập viên. Khi giải một bài toán vật lý thực, chúng ta thường chọn mô hình lý tưởng hóa của nó, mô hình này cho phép chúng ta áp dụng các phương pháp toán học cho lời giải của nó. Tất nhiên, điều quan trọng là phải chọn đúng thiết bị cho sự lựa chọn này. Những khó khăn không mong muốn có thể nảy sinh trong trường hợp này sẽ được đề cập trong bài viết dưới đây dưới góc nhìn của một nhà toán học.

Hãy làm thí nghiệm vật lý sau. Đặt một cây gậy thẳng đứng trên sàn (bạn có thể dùng bàn chải, cây lăn, thước kẻ, v.v.) và nhẹ nhàng, không cần đẩy, bỏ tay ra rồi thả ra. Cây gậy sẽ rơi. Tất nhiên, nếu thanh dày (ví dụ: một khúc gỗ) và đầu dưới của nó khá chắc chắn thì nó sẽ vẫn đứng vững, nhưng chúng tôi không xem xét trường hợp này. Những chiếc gậy mỏng có đầu dưới nhọn, đặt thẳng đứng trên sàn, luôn rơi nếu không có gì đỡ chúng - đây là một thực tế thực nghiệm.

Bây giờ chúng ta thử so sánh thực tế này với một tính toán lý thuyết.

Khi điều này được thực hiện với lời giải vật lý bài toán, chúng ta hãy lý tưởng hóa đối tượng đang xem xét: cùng với những chiếc gậy, hãy xem xét một thanh không có độ dày, được gắn thẳng đứng trên một bề mặt nằm ngang; thanh nằm trong trường trọng lực và môi trường không cản trở chuyển động; anh ấy sẽ tiếp tục nad trong bao lâu?

Với một số lần xuất hiện, bạn có thể nhận thấy rằng đầu dưới của cây gậy chỉ bất động trong giai đoạn đầu rơi; sau đó anh ta đi ngang qua sàn nhà. Người đó đi theo hướng nào phụ thuộc vào hệ số ma sát của thanh trên sàn*. Để tránh khó khăn này, giả sử rằng đầu dưới của thanh lý tưởng của chúng ta được cố định trong một bản lề; không có đào tạo.

Chúng ta biểu thị bằng $l$ khoảng cách từ tâm khối lượng của thanh đến đầu dưới của nó và bằng $m$ khối lượng của thanh. Khoảng cách là thời điểm mà thanh tạo thành một góc thẳng đứng $\alpha$, $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ (Hình 1). Tại thời điểm này, khối tâm sẽ giảm $l$ (1—cos $\alpha$). Điều này có nghĩa là thế năng giảm $mgl$ (1—cos $\alpha$). Nó chuyển thành động năng, chúng ta sẽ viết dưới dạng $K = I \frac{\omega^2}{2}$, vì nó tỉ lệ với bình phương vận tốc góc $\omega$ (ở đây $I$ là hằng số**), và $\omega$ phụ thuộc vào $\alpha$).

Thật vậy, nếu khối lượng của thanh được coi là tập trung ở khối tâm của nó thì

$$K = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (l \omega)^2 = (ml^2) \frac{\omega^2}{2}.$$ (0)

Nếu thanh được coi là đồng nhất thì

*) Ví dụ, xem bài toán 196, 197 trong bài tập của B.B. Bukhovtsev et al. “Bộ sưu tập bài toán về vật lý cơ bản” (M., “Hayka”, 1974).

**) I gọi là mômen quán tính; định nghĩa của khái niệm này có thể được đọc trong số trước «Kvant» trên trang. 6, nhưng chúng tôi sẽ không cần nó.

11

Hình 1.

$$K = \int_{0}^{2l} \frac{m(v(y))^2}{2l \cdot 2} \, dy = \frac{m}{2l} \int_{0}^{2l} \frac{(\omega y)^2}{2} \, dy = \left( \frac{4}{3} m l^2 \right) \frac{\omega^2}{2}.$$ (00)

Cân bằng thế năng bị mất và động năng thu được, ta có

$$\frac{1}{2} I \omega^2 = m g l (1 - \cos \alpha),$$

Ở đâu

$$\omega = \sqrt{\frac{2}{l} m g l (1 - \cos \alpha)} = 2 \sqrt{\frac{m g l}{l} \sin \frac{\alpha}{2}}$$

Vận tốc góc $\omega$ là tốc độ thay đổi góc $\alpha$, tức là tùy ý $\alpha$ theo thời gian:

$$\omega = \frac{d\alpha}{dt}.$$

Do đó (theo định lý về hàm nghịch đảo tùy ý)

$$\frac{dt}{d\alpha} = \frac{1}{\omega} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{I}{m g l}} \cdot \frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$ (1)

Biểu hiện này có ý nghĩa không? Tích phân của các hàm giới hạn liên tục được dạy ở trường. Ở đây, dưới dấu tích phân có một hàm không xác định tại $\alpha = 0$ và tiến tới vô cùng tại $\alpha \to 0$. Một “đường nho cong” giữa trục $\alpha$, các đường $\alpha = 0$ và $\alpha = \frac{\pi}{2}$ và đồ thị của hàm này

Hình 2.

tsini, vô hạn (Hình 2). Làm thế nào chúng ta có thể nói về diện tích của hàm vô hạn? Hóa ra là có thể, và với một định nghĩa hợp lý, diện tích này đôi khi thậm chí còn hữu hạn. Tích của một hàm không giới hạn thuộc loại như (1) được gọi là không đúng và, theo định nghĩa, được coi là bằng phần mở đầu của một liên liên thông thường, “đúng” với sự thay đổi phù hợp trong ranh giới của nó*). Trong trường hợp này

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}}$$

Tích số bên dưới dấu giới hạn, tương ứng với vùng tô bóng trong Hình 2, có thể được tính toán chính xác, nhưng hiện tại chúng ta thậm chí chưa cần đến nó.

Hãy nhớ lại rằng $\sin \alpha < \alpha$ tại $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Vì thế $\sin \frac{\alpha}{2} < \frac{\alpha}{2}$, từ đâu

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} > 2 \int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = 2 \left( \ln \frac{\pi}{2} - \ln \varepsilon \right).$$

Biểu thức cuối cùng có xu hướng vô cùng là $\varepsilon \to 0$.

Đây rồi! Hóa ra thời gian cây gậy rơi là vô cùng! Nhưng trong một thí nghiệm, cây gậy rơi xuống - điều đó có nghĩa là lý thuyết mâu thuẫn với thực tiễn?

Tất nhiên, tình hình không quá rõ ràng. Nếu lúc đầu thanh thẳng đứng thì nó

*) Ví dụ, hãy xem định nghĩa về tích phân suy rộng trong bài toán 12, đoạn 1 của Chương V trong cuốn sách của B. M. Ivlev et al. “Bộ sưu tập bài toán về đại số và phần đầu của bài phân tích lớp 9 và 10.” (M., “Khai sáng”, 1978).

12

sẽ không giảm chút nào, nghĩa là α sẽ luôn bằng 0. Thực tế, chúng tôi đã bắt đầu tính toán của mình với một số α dương.

Vì trong thực tế cây gậy vẫn rơi nên về lý thuyết phải so sánh với cây gậy rơi xuống. Về mặt vật lý, đương nhiên có thể xét một trong hai trường hợp sau:

1. lúc đầu thanh thẳng đứng và có vận tốc góc nhỏ nhưng khác 0;
2. Lúc đầu thanh đứng yên và lệch khỏi phương thẳng đứng một góc nhỏ nhưng khác 0.

Nhưng trong những trường hợp này, các công thức sẽ phải được viết lại và chúng phức tạp hơn những công thức đã được viết trước đó. Do đó, chúng ta hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất theo quan điểm toán học: thanh rơi theo thời gian (xem 1))

$$T = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{I}{mgl}} \int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$

Ý nghĩa vật lý của trường hợp này là ban đầu thanh bị lệch so với phương thẳng đứng một góc nhỏ ε > 0 và có vận tốc góc ban đầu bằng

$$2 \sqrt{\frac{mgl}{I}} \sin \frac{\varepsilon}{2}.$$

Bây giờ không có nghịch lý nào cả, vì khoảng viết đã có định nghĩa đầy đủ về một giá trị hữu hạn.

Nó thậm chí có thể được tính toán chính xác. Sử dụng công thức tính đạo hàm của một hàm phức, bạn có thể xác minh rằng

$$\left(2 \ln tg \frac{x}{4}\right)' = \frac{1}{\sin \frac{x}{2}},$$

Ở đâu

$$\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = 2 \left(\ln tg \frac{\pi}{8} - \ln tg \frac{\varepsilon}{4}\right).$$

Vậy thời điểm rơi của thanh là

$$T = Q \left(\ln tg \frac{\pi}{8} - \ln tg \frac{\varepsilon}{4}\right),$$

ở đâu $Q = \sqrt{\frac{I}{mgl}}$.

Nếu toàn bộ khối lượng của thanh tập trung ở khối tâm của nó thì (xem (0))

$$I = ml^2 \text{ и } Q = \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Nếu thanh đồng nhất thì (xem (0))

$$I = \frac{4}{3} ml^2 \text{ и } Q = \sqrt{\frac{4}{3} \frac{l}{g}}.$$

Trong cả hai trường hợp, thời gian rơi $T$ không phụ thuộc vào khối lượng $m$ và tỷ lệ thuận với căn bậc hai của $l$. Điều này tương ứng với thực tế quan sát được là gậy dài rơi nhanh hơn gậy ngắn.

Lưu ý rằng các chỉ số nghịch lý thu được lúc đầu sẽ không phải lúc nào cũng được thay thế. Ví dụ: bài toán 195 trong cuốn sách bài toán được đề cập của B.B. Bukhovtsev và cộng sự. được xây dựng như sau: Một quả bóng nặng được gắn trên một thanh nhẹ (Hình 3). Trong trường hợp nào thanh sẽ rơi nhanh hơn: nếu nó được đặt thẳng đứng ở đầu $A$, hay ở đầu $B$? Đứng trên mặt đất, đầu thanh không bị trượt.

Vì lời giải này bài toán công thức tính vận tốc góc được suy ra

$$\omega = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{g}{R}},$$

trong đó $R$ là khoảng cách từ đầu thanh đến tâm khối lượng của quả bóng (công thức này trùng với công thức của chúng ta ở $l = R, I = mR^2$), và xa hơn nữa: “Với một α cho trước, $R$ càng lớn thì nó càng nhỏ. Do đó, thanh sẽ rơi nhanh hơn nếu nó được đặt ở đầu $B$” (tr. 227). Lập luận này không đúng, bởi vì, như chúng ta đã thấy, tích phân của công thức viết ở trên là vô hạn với mọi $R > 0$. Có ý nghĩa gì không khi nói rằng một vô cực lớn hơn các vô cực khác? Điều gì sẽ xảy ra trong một số

Hình 3.

13

Để giải bài toán được trích dẫn, ví dụ, người ta có thể xem xét các thanh ban đầu bị lệch khỏi phương thẳng đứng bởi một góc nhỏ nào đó hoặc có một số vận tốc góc ban đầu nhỏ, hoặc cả hai - như đã làm ở trên.

Nhân tiện, ở một khía cạnh nào đó, chúng tôi cũng đã quyết định bài toán số 56 từ mức xuất sắc bài toán của I. Sh. Slobodetsky và L. G. Aslamazov “Bài toán in Physics” (M., “Nuka”, 1980): Tại sao việc giữ một mảnh vụn trên ngón tay lại dễ dàng hơn nhiều so với một miếng paluta có cùng chiều dài?

Trong lời giải bài toán nêu trong bài toán (tr. 77), mời độc giả xem xét độc lập thời gian rơi phụ thuộc vào độ dài của thanh như thế nào và không đề cập đến những khó khăn mà chúng ta đang cố gắng vượt qua ở đây. Sự gọn gàng của lời giải của bài toán này thực sự đòi hỏi phải xem xét thời gian cây gậy rơi, nhưng để thời gian này là hữu hạn (và chỉ có thể so sánh các giá trị hữu hạn với nhau), cần phải xem xét điều kiện ban đầu, bằng cách nào đó khác với điều kiện cân bằng. Việc xem xét này mang lại một ý nghĩa chặt chẽ cho một phép tính không chính thức như “trọng tâm của cây gậy càng cao thì nó nghiêng càng chậm và bạn càng dễ dàng di chuyển ngón tay của mình theo cùng một hướng”.

Trong quá trình thảo luận về bài toán ban đầu, chúng tôi đã phải từ bỏ mô hình đơn giản nhất của nó (một thanh bản lề lý tưởng đứng thẳng đứng) và xem xét một mô hình phức tạp hơn, vì một thanh lý tưởng thẳng đứng không rơi. Tuy nhiên, mô hình đơn giản nhất là hoàn toàn chính xác nếu bạn đảo ngược thời gian, nói cách khác, nó xử lý không phải một cây gậy rơi xuống mà là một cây gậy giơ lên. Chính xác hơn, hãy xem xét bài toán sau: một đầu của thanh lý tưởng nằm ngang có chiều dài l được cố định trong một bản lề, và đầu kia được truyền một tốc độ hướng lên trên và bằng $\sqrt{8gl/3}$; thanh sẽ tăng lên như thế nào?

đáp số đúng cho tích phân (1): thanh sẽ nâng lên vô hạn, có xu hướng chuyển sang vị trí thẳng đứng nhưng không bao giờ đạt tới vị trí đó. Như vậy, người thôi miên khi chuyển sang tư thế trên trên xà ngang, để không lên đến điểm cân bằng trong thời gian dài vô thời hạn, do chuyển động tối đa, phải tạo cho mình một tốc độ đảm bảo chuyển động xa hơn điểm này và giữ nguyên trong đó do ma sát (dùng tay kẹp xà ngang).

Nhưng đây là điều vẫn chưa rõ ràng về bản gốc bài toán.

Giả sử chúng ta đang thực hiện một số thí nghiệm với cùng một cây gậy. Mỗi lần chúng ta đặt nó trên sàn, dường như chúng ta đặt nó theo chiều dọc và buông ra. Cây gậy rơi xuống và bạn có thể đảm bảo rằng khoảng thời gian rơi không khác nhau nhiều trong mọi trường hợp. Và điều này thật kỳ lạ. Rốt cuộc, mỗi lần thanh thực sự lệch khỏi phương thẳng đứng một góc khác 0 khác và có tốc độ ban đầu khác 0 khác. Điều này có nghĩa là thời gian rơi phải khác nhau. Trong một số trường hợp, có vẻ như góc ban đầu và tốc độ làm việc phải rất nhỏ, sau đó thời gian rơi sẽ rất lớn, nhưng điều này không được quan sát thấy. Có chuyện gì vậy?

Chúng tôi chỉ có thể trả lời câu hỏi này một cách không chính thức. Hãy xem xét công thức (2). Nó chứa một số hạng không đổi $Q \ln tg \frac{\pi}{8}$ và một số hạng biến đổi $Q \ln tg \frac{\varepsilon}{4}$. Đối với $\varepsilon$ nhỏ (cũng là điều chúng ta quan tâm), $tg \frac{\varepsilon}{4}$ gần với $\frac{\varepsilon}{4}$ và số hạng biến gần với

$$-Q \ln \frac{\varepsilon}{4} = Q \ln 4 - Q \ln \varepsilon.$$

Vì vậy, thực tế là số lượng - $\ln \varepsilon$, mặc dù nó có xu hướng tiến đến vô cùng ở $\varepsilon \rightarrow 0$, nhưng rất chậm.

Ví dụ: giảm $\varepsilon$ 10 lần tương ứng với mức tăng - $\ln \varepsilon$ theo giá trị không đổi $\ln 10 \approx 2,3$.

(Cuối cùng xem trang 24)

14

B. Geller, Y. Brook

Simeon
Denis Poisson

Năm 1981 là ngày kỷ niệm ngày sinh của Simeon Denis Poisson, một nhà khoa học xuất sắc người Pháp mà chúng ta có thể coi là một trong những người sáng tạo ra vật lý toán học hiện đại. Cái tên Poisson thỉnh thoảng xuất hiện trong các sách giáo khoa về phân tích toán học và vật lý điện tử, lý thuyết xác suất và âm học, trong các sách về cơ học lượng tử và lý thuyết đàn hồi. Trong lịch sử khoa học, Poisson hiện đứng ngang hàng với những người cùng thời với ông - Laplace, Lagrange, Fourier, Cauchy, Ampere, Gay-Lussac, Fresnel.

Poisson sinh ngày 21 tháng 6 năm 1781. Người ta biết rất ít về cha mẹ của Poisson. Chúng ta biết rằng cha của ông ban đầu là một người lính trong quân đội Hanoverian, nhưng sự nghiệp quân sự của ông không thành công. Vì bị quan lại cằn nhằn, quấy rối, ông đã trốn quân đội và định cư tại thị trấn nhỏ Pithiviers của Pháp. Vào thời điểm con trai ông chào đời, ông đã giữ chức vụ natarius khiêm tốn nhưng được kính trọng.

Cậu bé hoàn toàn bình thường, không có ích lợi gì và không thể hiện bất kỳ hy vọng đặc biệt nào trong thời thơ ấu. Cha mẹ anh thậm chí còn nghi ngờ về khả năng trí tuệ của anh. Tất nhiên, người cha rất muốn con trai mình trở thành một người bản xứ, nhưng hội đồng gia đình quyết định rằng anh ta không thể đảm đương được công việc này và tốt hơn hết anh ta nên làm bác sĩ. Lời giải hội đồng gia đình là một loại luật. Simeon được gửi đến thị trấn Fontainebleau để chú Lanfant đào tạo thành một bác sĩ phẫu thuật tử tế, nhưng theo cách hiểu của họ, việc sửa chữa đơn giản như một bác sĩ phẫu thuật. Tuy nhiên, để làm chủ được nghề này không hề dễ dàng. Ví dụ, để học cách lấy máu (một trong những phương pháp điều trị chính vào thời điểm đó), cần phải thực hành nhiều giờ trong việc xỏ và tước gân lá bắp cải. Poisson sau đó nói với bạn bè rằng ngay cả những tĩnh mạch lớn nhất vẫn tuột khỏi kim tiêm của anh vào giây phút cuối cùng. Gần một năm trôi qua trong những bài tập không thể chịu nổi, người chú hài lòng với cháu trai của mình, nhưng đợt tự tiêm chủng đầu tiên được giao cho ông đã kết thúc bằng cái chết của bệnh nhân. Sự việc này khiến chàng trai trẻ sốc nặng đến mức anh kiên quyết từ chối tiếp tục hành nghề y và trở về với cha mẹ ở Pithiviers.

Trong thời gian Simeon xa nhà, ở đó đã có một số thay đổi. Người cha trở thành “chính khách”, đứng đầu cộng đồng thành phố. Gia đình chuyển sang nhà khác đàng hoàng hơn

16

Poisson 25 tuổi đã thế chỗ. Năm 1812, Poisson được bầu làm viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Paris; từ năm 1820 ông là thành viên của Hội đồng Đại học Paris. Ông được giao nhiệm vụ giám sát việc giảng dạy toán học ở tất cả các trường cao đẳng ở Pháp. Tại École Polytechnique, Poisson được bổ nhiệm làm giám khảo pháo binh và giám khảo ứng viên. Vị trí của giám khảo theo một nghĩa nào đó cao hơn vị trí giáo sư thông thường: anh ta làm bài kiểm tra cuối kỳ, qua đó kiểm tra cả điều kiện kiến ​​​​thức của sinh viên Trường Bách khoa cũng như cách thức và nội dung mà các giáo sư đã dạy họ.

Tất cả các chính phủ hỗn hợp của Pháp trong những năm hỗn loạn đó đều rất quan tâm đến thành tích khoa học của Poisson. Ông đã nhận được danh hiệu nam tước, được trao tặng Huân chương Bắc đẩu Bội tinh (giải thưởng cao nhất ở Pháp) và trở thành linh mục của Pháp. Poisson cũng nhận được sự công nhận ở nước ngoài: ông là thành viên của tất cả các hiệp hội và học viện khoa học ở Châu Âu và Châu Mỹ, bao gồm cả thành viên danh dự của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg (từ năm 1826).

Poisson, theo Arago, “có một lợi thế khác, thường bị bỏ qua ngay cả với những người không có thứ hạng cao trong khoa học: việc thực hiện chính xác nhiệm vụ của mình”. Chẳng hạn, người ta biết rằng kỳ thi cuối kỳ tại Ecole Polytechnique khiến Poisson phải mất bốn tuần mỗi ngày, trong thời gian đó anh phải thi chín giờ một ngày. Arago viết: “Chỉ một lần, vì lịch sự, Poisson từ chối kiểm tra con trai cả của mình, nhưng các học sinh của Trường Bách khoa biết được điều này và gửi cho anh ấy lời chào kèm theo thông báo rằng họ hoàn toàn tin tưởng vào sự công bằng của anh ấy và yêu cầu anh ấy không từ chối kỳ thi.” Poisson yêu thích công việc giảng dạy của mình, bằng chứng là câu nói nổi tiếng của ông: “Cuộc sống trở nên phong phú nhờ hai điều: bận rộn với toán học và dạy môn toán đó”. Các bài giảng của Poisson nổi bật bởi sự rõ ràng và sâu sắc.

Trong những năm cuối đời (Poisson qua đời ở Paris vào mùa xuân năm 1840), ông tự đặt cho mình bài toán viết một khóa học cơ bản về vật lý toán học. Hoàn thành việc này đến cùng bài toán Thật không may, Poisson không có thời gian.

Rất khó để nói về các công trình khoa học của Poisson. Phần Kinh thánh trong công trình của ông (và có tổng cộng khoảng 350 công trình trong số đó) liên quan đến vật lý toán học, vì vậy chúng ta sẽ không thể thảo luận chi tiết ngay cả những kết quả chính của những công trình này. Đồng thời, đơn giản là không thể không nhắc đến, ít nhất là rất ngắn gọn, những tác phẩm nổi tiếng và quan trọng nhất của Poisson. Chúng tôi sẽ làm điều này dưới đây và ngoài ra, hãy xem xét một số câu hỏi, ý nghĩa của chúng có thể được hiểu đầy đủ ở cấp trường.

Một trong những khái niệm chính trong điện tử là khái niệm về thế điện tử. Thế năng phụ thuộc vào độ lớn và vị trí của điện tích trong không gian. Poisson vào năm 1811 đã rút ra một phương trình vi phân liên quan đến thế năng với mật độ phân bố điện tích. Tất nhiên, bài toán đơn giản nhất trong điện tử có thể được giải mà không cần sử dụng các phương trình Poisson. Nhưng đối với bất kỳ phức bài toán nào, khi có nhiều điện tích và chúng được đặt theo cách tùy ý, có thể tính sự phụ thuộc của điện thế vào tọa độ chỉ bằng phương trình này. Phương trình Poisson, cùng với các kết quả của Euler, Gauss, Laplace, Green và Ostrogradsky, hiện là nền tảng của lý thuyết thế hiện đại - một nhánh quan trọng của toán vật lý.

Những kết luận quan trọng của Poisson về cơ học lý thuyết, cơ học liên tục, lý thuyết dẫn nhiệt và lý thuyết đàn hồi. Poisson nghiên cứu các vấn đề liên quan đến sự thay đổi động học ở trạng thái khí, điện khí quyển, sự thay đổi thành phần nằm ngang của từ trường trái đất, bản chất của lực căng bề mặt và sự truyền sóng trong lưu vực sâu. Poisson cũng có tù binh “pháo binh”. Ông đã nghiên cứu chi tiết bài toán về độ lệch của đạn so với mặt phẳng thẳng đứng được vẽ qua hướng của nòng súng. Chúng tôi sẽ xây dựng chúng trong

18

sau đó là tham số $\lambda = \frac{1}{365} \cdot 1982 \approx 5,43$ (số người trong nhóm trong trường hợp này là số lượng bài kiểm tra). Terrier, chính bạn có thể tính xác suất $p(k; \lambda)$ rằng $k$ mọi người sinh vào ngày mà chúng tôi quan tâm. Để làm điều này, chỉ cần thay thế $k=0, 1, 2, 3, \dots$ vào công thức Poisson là đủ.

bài toán thứ ba đề cập đến vật lý. Được biết, quá trình phân rã phóng xạ của radium bao gồm sự biến đổi hạt nhân của nguyên tử radium thành hạt nhân của nguyên tử radium với sự phát xạ của hạt alpha. Sự phân rã của từng hạt nhân Ra xảy ra độc lập với trạng thái của các hạt nhân khác và xác suất của sự phân rã đó trên một đơn vị thời gian là không đổi. Chúng ta hãy biểu thị xác suất này bằng chữ cái $p_0$. Nếu chỉ có $N$ Hạt nhân Ra trong một mẫu thì số hạt alpha trung bình phát ra trong một đơn vị thời gian là $\lambda = Np_0$. Để xác định $\lambda$, có vẻ như chúng ta cần biết hai số - $N$ và $p_0$. Tuy nhiên, trong thí nghiệm cổ điển của Rutherford, Chadwick và Alice, người thí nghiệm hoàn toàn không yêu cầu những con số này. Mục đích của thí nghiệm này là tìm kiếm một mẫu xác định xác suất của một ảnh phóng xạ phát ra một số lượng hạt alpha nhất định trong một đơn vị thời gian.

Các hạt alpha phát ra đi vào quầy. Các quan sát về cường độ trong khoảng thời gian $n=2608$, thời lượng của mỗi khoảng thời gian là 7,5 s. Tôi đặc biệt đếm số khoảng $n_k$, trong đó mỗi khoảng có chính xác $k$ hạt đi vào quầy. Tổng số hạt trong toàn bộ thời gian thí nghiệm bằng $\sum kn_k = 10094$. Nếu bây giờ chúng ta chia số tiền này cho $n$, chúng ta sẽ nhận được số lượng hạt alpha trung bình phát ra trong 7,5 giây. Chúng ta có thể coi đơn vị thời gian quy ước là 7,5 s thì số $\frac{\sum kn_k}{n} = 3,87$ chính là tham số $\lambda$ trong phân bố Poisson. Việc so sánh các số $p(k; \lambda) = p(k; 3,87)$ được tính bằng công thức Poisson với các số $\frac{n_k}{n}$ thu được từ thí nghiệm là điều tự nhiên. Chúng tôi cung cấp ở đây một bảng tương ứng về các phương pháp được hỗ trợ.

Công việc của tôi với chúng tôi. Biểu đồ trong Hình 1 dựa trên bảng này. Chấm đỏ tượng trưng cho số $np(k; 3,87)$, chấm xanh tượng trưng cho $n_k$. Đường cong được vẽ qua các chấm đỏ cho ý tưởng rõ ràng về các đặc điểm của phân bố Poisson. Một tính năng quan trọng của biểu đồ này là sự hiện diện của mức tối đa. Từ bảng và đồ thị có thể thấy rằng phân rã alpha mô tả rất tốt công thức Poisson.

Ngay từ thời thơ ấu, Poisson đã gắn liền với vật lý dao động. Được kết nối, nghe có vẻ đáng ngạc nhiên, theo nghĩa đen của từ này. Thực tế là có vẻ như bảo mẫu Denis của cậu bé Simeon không có gì đặc biệt nổi bật. Để giải quyết vấn đề với những căn phòng nhỏ, cô quấn em bé trong một chiếc khăn tròn và treo em lên một chiếc xà ngang lớn.

Hình 1.

19

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

dầm thép. Vì vậy, đu đưa dưới dạng một loại mặt dây chuyền, cậu bé đã dành nhiều giờ đồng hồ. Khi trưởng thành, Poisson nói đùa rằng chính Chúa đã bảo ông nghiên cứu các lý thuyết về dao động.

Một trong những giải pháp anh đã giải quyết trong lĩnh vực này bài toán liên quan đến việc tính toán tần số rung của các tấm kim loại hoặc thủy tinh nhỏ được cố định cứng nhắc tại một điểm. Ernst Chladni người Đức đã tiếp tục các thí nghiệm với những chiếc đĩa như vậy và thông tin đầu tiên về chúng có từ năm 1787. Năm 1809, Chladni đã trình diễn những thí nghiệm này với các thành viên của Viện Quốc gia Pháp (Viện Hàn lâm Khoa học). Mọi người đều kinh ngạc nhìn họ; Laplace không hiểu ngay ý nghĩa của chúng.

Bản thân các thí nghiệm bao gồm những điều sau đây. Hình 2 cho thấy_

2*

20

và các biến dạng ngang. Trước tiên chúng ta hãy nhớ lại định luật Hooke, nhờ nó mà chúng ta có thể tính toán sự thay đổi độ dài của một mẫu dưới tác dụng của một lực kéo căng hoặc nén nó. Nếu chúng ta biểu thị bằng chữ cái ε sự thay đổi tương đối về chiều dài của thanh và bằng chữ cái σ ứng suất phát sinh trong nó, thì đối với các biến dạng nhỏ σ=Eε. Giá trị của E được gọi là mô hình Nam và được xác định bởi cấu trúc bên trong của vật liệu làm thanh.

Một đặc tính quan trọng khác của tính chất đàn hồi của vật liệu là tỷ lệ Poisson, liên quan đến sự thay đổi tương đối về kích thước ngang và dọc của biến dạng mẫu. Thật dễ dàng để xác minh rằng đồng thời với sự thay đổi kích thước dọc, kích thước ngang cũng thay đổi nếu chúng ta xem xét, ví dụ, sự biến dạng của dây cao su hoặc thậm chí một cục tẩy cứng. Câu hỏi đặt ra là: các biến dạng tương đối theo các hướng khác nhau sẽ khác nhau như thế nào nếu mỗi lực tác dụng lên mẫu? Câu hỏi này đã được Poisson điều tra. Xét một thanh hình trụ có chiều dài l và bán kính r. Chúng ta hãy tưởng tượng rằng một lực kéo tác dụng dọc theo trục của thanh. Trong trường hợp này, ứng suất σ_l và biến dạng tương đối ε_l=Δl/l>0 phát sinh trong đó. Kích thước ngang của thanh cũng thay đổi - bán kính hình trụ giảm Δr. Biến dạng tương đối hướng tâm ε_r=Δr/r có dấu ngược lại với ε_l. Tỷ lệ Poisson là k=|ε_r/ε_l|.

Chúng ta hãy phân tích các giới hạn trong đó k thay đổi. Đầu tiên, giả sử rằng thể tích của vật bị biến dạng không thay đổi và viết biểu thức cho điều này:

π(r+Δr)^2(l+Δl)=πr^2l.

Mở ngoặc và bỏ qua tích các đại lượng nhỏ Δr và Δl, ta thu được

rΔl+2lΔr=0,

hay nói cách khác,

ε_l=Δl/l=-2Δr/r=-2ε_r.

Tỷ lệ Poisson trong trường hợp này là 1/2. Trên thực tế, thể tích của một vật tăng khi bị kéo dãn, và chúng ta phải viết bất đẳng thức

(r+Δr)^2(l+Δl)>r^2l.

Từ bất đẳng thức này suy ra k<1/2. (Bất đẳng thức tương tự cũng đúng đối với các vật không phải hình trụ.) Mặt khác, theo định nghĩa của nó, tỉ số Poisson là một số không âm. Vì thế,

0<k≤1/2.

Một cây bần có tỷ số Poisson gần bằng 0: khi một miếng bần bị kéo căng (hoặc lăn ra), kích thước ngang thay đổi rất ít (tất nhiên trừ khi biến dạng quá lớn!). Đó là lý do tại sao nút chai hình trụ làm bằng gỗ balsa được sử dụng để bịt kín chai. Mặt khác, phích cắm hình trụ được sử dụng cho cùng loại cellulite - Tỷ lệ Poisson cho cao su gần bằng 1/2, có nghĩa là kích thước ngang thay đổi khá đáng kể khi tăng theo chiều dọc. Nếu bạn đẩy nút cao su vào cổ chai, nó có thể bị kẹt. Để khắc phục khó khăn này, nút cao su thường được chế tạo thành hình dạng cuối cùng. Cuối cùng, điều hữu ích cần lưu ý là đối với các vật liệu thường được sử dụng nhất trong công nghệ - kim loại, đá, bê tông - các giá trị tỷ lệ Poisson thường nằm trong khoảng từ 1/4 đến 1/3.

21

S. Shitskov

xoáy nước

Trên các trang «Kvant» chuyển động xoáy đã được nói đến nhiều lần. Chỉ cần kể đến những bài viết như “Vòng xoáy” của P. Wood (1970, số 12), “Cơ sở cơ bản của lý thuyết về xoáy” của H. E. Zhukovsky (1971, số 4), “Các xoáy tạo nên thời tiết” của L. Alekseeva (1977, số 8), “Các mô hình Smertz” của B. Mayer (1979, số 9), “Trên xoáy” nhẫn” S. Shabanova và V. Shubina (1979, số 11). Vòng tròn gắn liền với chuyển động xoáy vô cùng đa dạng và không thể bao quát hết nó trong khuôn khổ một bài viết. Trong các bài viết được liệt kê, người ta đặc biệt chú ý đến đầu vào - lốc xoáy, smerts, vòng xoáy. Hiện nay, chúng ta đang nói về hầu hết các loại chuyển động xoáy trong nước - xoáy nước.

Về Cyclopes và… băng chuyền

Trên các sân chơi dành cho trẻ em, bạn thường có thể nhìn thấy một băng chuyền - một bệ ngang xoay tự do với đường kính bốn mét và lan can hình tam giác. Chơi trên băng chuyền này đòi hỏi một số kỹ năng. Những người tham gia, sử dụng sức mạnh của chính mình, khiến bệ quay nhanh chóng và nhảy lên nó dọc theo các cạnh. Sau đó, theo lệnh, mọi người lao vào giữa sân ga, di chuyển tay dọc theo lan can. Đồng thời, băng chuyền bắt đầu quay ngày càng nhanh hơn và người tham gia được thay thế thực tế không thể theo dõi những người khác nữa - anh ta cần phải có những dịch vụ tuyệt vời để giữ nguyên vị trí của mình.

Sự gia tăng vận tốc góc có thể được giải thích theo nhiều cách khác nhau. Người đọc quen với định luật bảo toàn xung lượng góc sẽ hiểu ngay điều gì đang xảy ra. Bất kỳ ai có khả năng mô tả chuyển động trong một hệ thống báo cáo phi vật chất đều có thể giải thích những gì đang xảy ra bằng ngôn ngữ của lực quán tính. Nhưng một lời giải thích định tính có sẵn cho mọi độc giả. Ở rìa của nền tảng, tốc độ tuyến tính (tiếp tuyến) của các điểm và vị trí của người chơi ở đó lớn hơn. Càng gần tâm thì tốc độ này càng thấp nên khi di chuyển từ mép vào tâm, người tham gia phải giảm tốc độ để không bị ngã. Điều này có thể truy cập được thông qua tương tác với nền tảng. Rõ ràng đây là loại tương tác – đào tạo. Nhưng việc xảy ra sai số do ma sát tác dụng lên bệ sẽ truyền thêm gia tốc cho nó, làm tăng vận tốc tuyến tính của tất cả các điểm của nó - và tốc độ góc quay cũng tăng.

Hóa ra có một số điểm tương đồng giữa trò chơi băng chuyền của trẻ em và các hiện tượng tự nhiên như sự xuất hiện của chu trình khí quyển và sự hình thành phễu trong cống. Vì vậy, bằng cách quan sát chuyển động của nước trong bờ, chúng ta sẽ nói về băng chuyền và rút ra kết luận về hoạt động của các chu trình và xoáy nước trên biển.

Ngắm xoáy nước

Lốc xoáy và xoáy nước luôn thu hút sự chú ý. Vào những năm 30, nhà phổ biến vật lý đáng chú ý Ya. I. Perelman đã làm việc với những người trẻ tuổi với ý tưởng điều tra sự xuất hiện của xoáy nước khi nước chảy ra khỏi bồn tắm và đặc biệt là hướng quay của những xoáy nước này. Các cuộc gọi tự nhiên trẻ, một số lượng lớn các quan sát đã được thực hiện.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng bồn tắm như một “thiết bị thí nghiệm” có một số nhược điểm.

22

Ví dụ như cô ấy “nhỏ” đối xứng, mỗi lần chỉ đạo cô ấy đều mất rất nhiều thời gian. Phễu không hình thành ngay sau khi nước bắt đầu chảy ra và gần như không thể kiểm soát được các điều kiện thí nghiệm. Về vấn đề này, việc lắp đặt hình trụ “cỡ nhỏ” được làm từ vật liệu phế liệu sẽ thuận tiện hơn, chẳng hạn như trong Hình 1. Tàu - lật lọ thủy tinh có nhà cắt; Đáy bình (cổ cũ) được đóng chặt (ví dụ: có nắp polystylene). Ở đáp số một ống thoát nước được lắp vào giữa đáy; Bạn có thể mở và đóng cống bằng lockxima. Ống dẫn vào phải được cố định vào thành trong để nước chảy ra khỏi ống theo chiều ngang chứ không dọc theo bán kính của bình; khi đó, khi điều khiển tàu, nước sẽ quay ngay từ đầu.

Đổ đầy nước vào thiết bị qua ống cấp và mở cống. Sau một thời gian, độ lệch của bề mặt tự do của nước sẽ trở nên đáng chú ý và cuối cùng một cái phễu sẽ xuất hiện.

Hiện tượng này khác với trò chơi của trẻ em trên băng chuyền Lisht ở chỗ vai trò của những người tham gia trò chơi được thực hiện bởi các hạt chất lỏng; chỉ cho chúng đến tâm của sự chênh lệch áp suất giữa ngoại vi (áp suất khí quyển + thủy tĩnh) và phản ứng ở phía dưới (áp suất khí quyển).

Trong một thùng quay đều, mặt tự do của nước cũng uốn cong, nhưng đồng thời tất cả các hạt chất lỏng (và trên bề mặt) đều quay với cùng một vận tốc góc. Và trong cái phễu mà chúng ta vừa quan sát, vận tốc góc quay trở lại khi nó tiến đến tâm quay.

Thật thuận tiện khi kiểm tra một xoáy nước đã được thiết lập; Để có được xoáy nước như vậy, khi cống mở, bạn phải liên tục bù lưu lượng nước bằng cách liên tục bổ sung nước từ ống cấp vào.

Vòng xoáy có thể được quan sát không chỉ khi nước chảy ra mà còn khi bình chứa đầy (với cống đóng lại). Nếu một dòng thoát mỏng hướng vào tâm của chất lỏng đang quay (hãy nhớ gắn ống rót để khi đổ đầy thùng chứa, nước sẽ quay), một xoáy nước sẽ xuất hiện - cái gọi là phễu “thứ cấp”. Hãy suy nghĩ xem các điều kiện trong phễu như vậy khác với các điều kiện trong xoáy nước hình thành trong quá trình thoát nước như thế nào.

Về mức tiêu thụ chất lỏng

Điều chỉnh việc lắp đặt sao cho hình thành xoáy nước ổn định. Đặt một mảnh giấy dày thẳng đứng vào xoáy nước sao cho nó chặn dòng nước quay nhưng không ngăn được nước chảy ra ngoài qua cống. Và bạn sẽ thấy mực nước tăng nhanh 1-2 cm. Điều này là do thực tế là khi có dòng xoáy, tốc độ dòng chảy

23

Chất lỏng giảm đi. Điều này rất dễ dàng để xác minh. Hạ thấp ống cấp để nước chảy thẳng đứng vào thùng chứa. Sau đó, với cùng một áp suất, mực nước sẽ giảm xuống.

Rõ ràng điểm tương tự của hiện tượng này có thể được chứng minh trên xe đẩy của trẻ em: với cùng một nỗ lực, những người tham gia trò chơi sẽ đến trung tâm của bệ quay chậm hơn nhiều so với trên bệ cố định.

Ngoài ra còn có mối quan hệ nghịch đảo giữa xoáy nước và tốc độ dòng chất lỏng - hình dạng bề mặt tự do của chất lỏng trong xoáy nước phụ thuộc vào tốc độ dòng chảy.

Đổ đầy nước vào thùng chứa (đã đóng cống) và ngắt ống cấp nước. Bây giờ hãy mở cống. Khi một cái phễu bắt đầu hình thành, hãy nhấc đầu tự do của ống mà nước đang chảy ra. Trong trường hợp này, dễ dàng nhận thấy rằng độ lệch của bề mặt tự do của chất lỏng tăng khi chiều cao của đầu ống tăng lên.

Bằng cách nâng đầu ống lên, chúng ta giảm độ sụt áp ở đầu ra (Hình 2); liên quan đến điều này, tốc độ dòng nước và mức tiêu thụ của nó giảm. Tại sao phễu lại trơn tru? Để hiểu điều này, chúng ta hãy chuyển sang carzuel. Điều gì sẽ xảy ra nếu những người tham gia trò chơi di chuyển rất chậm về phía tâm của bánh xe đang quay? Rõ ràng là do ma sát, sân ga sẽ dừng lại trước khi có người đến được tâm. Sự trơn nhẵn của phễu xảy ra do sự hiện diện của ba chất này giữa chất lỏng lỏng, đáy và thành bình. Nước rời khỏi bình càng chậm thì ba lực càng có nhiều thời gian để làm phẳng phễu.

Hãy cẩn thận - xoáy nước!

Trên các bãi sông, biển thường có những tấm áp phích giải thích các quy tắc ứng xử khi tắm biển. Trong số đó có những khuyến nghị trong trường hợp bạn bất ngờ thấy mình rơi vào vòng xoáy. Chúng bao gồm những điều sau đây: hít nhiều không khí vào phổi và cố gắng ở trên bề mặt. Giá trị của lời khuyên này không nên được xác định bằng cách bơi vào một vòng xoáy thực sự. Một số

24

Tình hình lại khác với những xoáy nước lớn. Người bơi bây giờ có thể được mô hình hóa bằng các hạt sơn không thể chặn kênh của đường thủy mà bằng cách di chuyển dọc theo bề mặt của nó. Như quỹ đạo của các hạt sơn trong các bức ảnh cho thấy (Hình 3 và 4 được chụp từ những bức ảnh như vậy), việc thoát khỏi một xoáy nước lớn khó hơn bài toán. Tuy nhiên, trong số các biến thể lời giải, bài toán này được mô tả trong câu chuyện nổi tiếng “The Descent to the Maelstrom” của Edgar Poe.
Vì vậy, mặc dù người bơi sẽ không thể tự mình rời khỏi xoáy nước, nhưng nên chứa đựng một sự thật: khi đã ở trong xoáy nước, bạn không nên lãng phí sức lực của mình để cố gắng thoát ra ngoài; Sẽ hữu ích hơn nhiều nếu bạn bình tĩnh, hít không khí vào phổi và hú lên để giúp đỡ! (Không phải là tốt nhất - “đừng xuống nước mà không biết ford”!)

“Râu” của xoáy nước
Một hiện tượng thú vị khác được quan sát thấy ở xoáy nước là “râu”. Thật không may, tác giả đã không thể chụp được một bức ảnh đẹp với bộ ria mép. Nhưng bạn sẽ thấy chúng bị thiếu nếu bạn xử lý xoáy nước trong cống bồn tắm. Họ chắc chắn sẽ thu hút sự chú ý của bạn bằng hành vi cần thiết của họ. Ban đầu, “râu” được coi là một người cai trị đã có uy tín. Khi nước chảy ra, chúng bắt đầu quay, như thể cuộn tròn trên trục vô hình của xoáy nước. Và vào giây phút cuối cùng, bạn sẽ phát hiện ra rằng chuyển động quay của nước hoàn toàn không theo hướng “cuộn ria mép”.
Làm thế nào mà “ria mép” này xuất hiện? Lý do cho hành vi lừa dối của họ là gì?
Có lẽ “râu ria” là sóng hấp dẫn mao dẫn trên bề mặt đường thủy, tương tự như “đàn accordion” trên một cấu trúc có chướng ngại vật (“đàn accordion” này đã được thảo luận trong bài báo “Sóng mao mạch trong máy bay phản lực” của S. Soskin trong số 10 «Kvant» năm 1976). Nếu các quá trình bên ngoài diễn ra trong nước thì trên bề mặt sẽ xuất hiện 1-3 đặc điểm của “râu”.
Hoặc có lẽ xét cho cùng, có sự tương đồng nào đó giữa “râu” của xoáy nước và… cánh tay của các thiên hà xoắn ốc? Suy cho cùng, thiên nhiên đã sinh ra sự thống nhất của các hiện tượng không thể so sánh được về quy mô.
Cho đến nay, câu hỏi về “ria mép” vẫn còn bỏ ngỏ. Có lẽ bạn, người đọc, có thể bày tỏ quan điểm của mình về vấn đề này?

Sẽ mất bao lâu để rơi?

(Kết thúc; xem phần đầu ở trang 10)

Vì vậy, để thời gian rơi tăng lên, chẳng hạn như một giây, thì nó phải giảm đi một số lần nhất định. Nhưng trong thực tế, mỗi dấu hiệu mới về độ chính xác đều gặp rất nhiều khó khăn. Ở nhà, nói chung là đủ để đạt được độ chính xác lớn hơn hai chữ số cho bất kỳ thông số vật lý nào, có thể là góc, tốc độ, v.v. Đó là lý do tại sao thời gian của chúng ta dao động trong giới hạn khá hẹp. Những tình huống tương tự không phải là hiếm trong vật lý lý thuyết; trong những trường hợp như vậy chúng ta nói về sự phân kỳ loarithmic.

Bài tập
Trong tất cả các câu bài toán, một thanh nhẹ có chiều dài l với một quả bóng nhỏ nặng khối lượng m ở đầu được gắn vào nửa khớp.

1. Chứng tỏ thời gian T xác định theo công thức (2) thỏa mãn ước lượng
   $c_1 - c_2 \ln \varepsilon \leq T \leq c_3 - c_4 \ln \varepsilon$,
   trong đó $c_1, c_2, c_3, c_4$ không phụ thuộc vào $\varepsilon$, $c_2 > 0$, $c_4 > 0$.

2. Tại thời điểm ban đầu, thanh thẳng đứng và quả bóng được truyền cho vận tốc ban đầu v theo phương nằm ngang. Suy ra công thức tính thời gian rơi của thanh, chứa tích phân. Đây có phải là tích phân đúng không (nghĩa là hàm khoảng con có bị giới hạn trong khoảng) không? Nó có xu hướng làm gì khi v→0? Ước tính thời gian rơi từ trên xuống dưới bằng cách sử dụng các biểu thức có dạng const - const • ln v, trong đó các dấu const biểu thị các hằng số khác nhau.

3. Lúc đầu thanh đứng yên và tạo một góc β với phương thẳng đứng. Suy ra công thức tính thời gian rơi của thanh, chứa tích phân. Đây có phải là tích phân đúng không? Nó có hữu hạn không? Anh ấy phấn đấu vì điều gì khi là β→0? Ước tính thời gian rơi từ trên xuống dưới bằng cách sử dụng các biểu thức có dạng const - const • ln β.

25

Bài toán

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số báo này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 4 năm 1982 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, “Fizmatlit”, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Sự cố «Kvant» Số 2 - 82” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M726, M727” hoặc “F738”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

M726—M730; F738—F742

M726. Một điểm bên trong 2n-giác đều được nối với các đỉnh. Các hình tam giác 2n thu được được tô xen kẽ ở phần đầu và màu đỏ. Chứng minh rằng tổng diện tích của các tam giác đầu bằng tổng diện tích các tam giác màu đỏ a) với n=4, 6) với n=3, c) với một số tự nhiên tùy ý n.

V. Prasolov

M727. Chứng minh bất đẳng thức
a²+b²+c²+2abc<2,
trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác có chu vi 2.

I. Zharov

M728. Gọi A, B, C là các đỉnh của hình bình hành nối với đỉnh P của nó và Q là đỉnh đối diện với P. Chứng minh rằng a) khoảng cách từ điểm A, B, C đến đường thẳng PQ có thể coi là độ dài cạnh của một tam giác nào đó; 6) diện tích S của tam giác này, thể tích V của hình bình hành và chiều dài d của đường chéo PQ của nó có liên hệ với nhau bởi hệ thức V = 2dS.

I. Sharytsin

M729. Tìm một số tự nhiên có tính chất sau: nếu bạn viết hình vuông và hình lập phương của nó cạnh nhau, sau đó sắp xếp lại các chữ số đã viết theo thứ tự ngược lại, bạn sẽ có sáu số này.

N. Vasiliev

M730*. Trình tự (aₙ) được xác định bởi các điều kiện
a₁=0, a₂n+1=a₂n=n-aₙ.
(Ví dụ: a₁₀=5-a₅=5-a₄=5-(2-a₂)=3+(1-a₁)=4.)
a) Viết 20 số hạng đầu tiên của dãy số và tìm a₁₉₂.
b) Chứng minh rằng mỗi số tự nhiên xuất hiện trong dãy 2 hoặc 4 lần. Số 2ᵉ sẽ xuất hiện bao nhiêu lần (với mỗi k=1, 2, 3,…)?

V). Chứng minh rằng hiệu aₙ−aₙ−1 bằng 1 nếu phân tích số n thành thừa số nguyên tố

26

số 2 được bao gồm trong lũy ​​thừa lẻ và 0 trong trường hợp ngược lại.
d) Chứng minh rằng $a_n = n/3$ với tập vô hạn các giá trị của $n$.
e) Có $n$ sao cho chênh lệch $|a_n - n/3|$ lớn hơn năm 1982 không?
e) Chứng minh rằng $\lim a_n/n = 1/3$.

V. Shevelev

F738. Các hạt di chuyển trong tập tin duy nhất với tốc độ không đổi. Vận tốc hạt tăng đồng đều từ giá trị $v_1$ ở đầu cột đến giá trị $v_2$ ở đuôi cột. Tại một thời điểm nào đó, các hạt chiếm một đoạn có độ dài $l_0$ và đồng thời các hạt $n_0$ có trên một đơn vị chiều dài. Có bao nhiêu hạt sau thời gian $t$ sẽ đến đuôi cột trên một đơn vị chiều dài? ở đầu cột?

I. Vorobiev

F739. Một khối nước $M$ được đổ mỗi giây vào một bình hình trụ có chiều cao $H$ với diện tích đáy $S$ từ một ống nằm ngang. Có một lỗ nhỏ ở đáy tàu. Một miếng bọt biển mỏng nhẹ nằm trên mặt nước trong bình (Hình 1). Từ một thời điểm nhất định, chiều cao của mực nước trong bình không đổi và bằng $h_0$. Xác định tốc độ nước chảy ra khỏi lỗ.

I. Omelyan

F740. Bình chứa hỗn hợp khí - heli và oxy. Ở nhiệt độ $t = -2^\circ$ C và áp suất $p = 0,9$ atm, mật độ của hỗn hợp này là $\rho = 0,44$ kg/m$^3$. Áp suất trong bình sẽ trở thành bao nhiêu nếu một nửa số phân tử oxy bị loại bỏ khỏi nó?

F741. Trong dòng điện xoay chiều có hiệu điện thế 220 V, tần số 50 Hz, hai tụ điện có công suất 1 μF được mắc nối tiếp. Một điện trở có điện trở $R = 100$ kOhm được mắc song song với một trong các tụ điện (Hình 2). Tìm nhiệt năng.

A. Zilberman

F742. Một bình thủy tinh có tiết diện hình chữ nhật được lắp giữa hai thấu kính thu có tiêu cự $F$ vuông góc với trục quang của thấu kính (Hình 3). Một nguồn sáng điểm $S$ nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính $\varLambda_1$. Khi bình rỗng, ảnh nguồn được quan sát trên màn hình $\varDelta$, nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính $\varLambda_2$. Bình chứa đầy một chất lỏng trong suốt, chiết suất của nó thay đổi theo độ cao tuân theo định luật $n(y) = n_0 + \alpha y$. Độ dày của lớp chất lỏng là $L$. Hình ảnh nguồn trên màn hình sẽ dịch chuyển theo chiều dọc bao nhiêu? Sự thay đổi chiết suất theo độ sâu của bình được coi là nhỏ trong đường kính của chùm sáng.

V. Mozhaev

28

P742. A glass receptacle of rectangular section is placed between two convergent lenses of focal distances $F$, perpendicularly to the lenses’ optical axis (see figure Pisc. 3, p. 26). A point light source $S$ is located in the focal plane of the lens $\Lambda_1$. When the receptacle is empty, the image of the source may be observed on the screen $\exists$ located in the focal plane of the lens $\Lambda_2$. The receptacle is filled with a transparent liquid whose refraction index varies with height in accordance to the rule $n(y) = n_0 + ay$. The thickness of the layer of water is $L$. What will the vertical displacement of the image on the screen be? The change of the refraction index within the diameter of the light beam may be assumed negligible.

V. Mojaev

Lời giải bài toán

M686 — M690; F698 — F702

Đáp số: dành cho bất cứ ai.

Giả sử $a$ là một số tự nhiên thỏa mãn $a^4 \leqslant x < (a+1)^4$. Sau đó $a^2 \leqslant \sqrt{x} < (a+1)^2$. Do đó, một mặt, $a \leqslant \sqrt{x} < a+1$, $[\sqrt{x}] = a$. Mặt khác, $a^2 \leqslant [\sqrt{x}] < (a+1)^2$, $a \leqslant \sqrt{x} < a+1$, $[\sqrt{x}] = a$.

G. Galperin

M687. a) Trong paramid chín lõi, tất cả 9 gân bên và tất cả 27 đường chéo cơ sở đều có màu: một số màu đỏ, còn lại màu xanh. Chứng minh rằng có ba đỉnh của một paramid đóng vai trò là các đỉnh của một tam giác có tất cả các cạnh được tô cùng một màu.

b) Tuyên bố tương tự có đúng đối với paramid tiền nấm không?

a) Trong số chín gân bên của paramid, có năm gân được sơn một màu (ví dụ: màu đỏ). Đặt $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ là điểm cuối của các cạnh này, được đánh số liên tiếp. Một trong các cạnh của hình ngũ giác $A_1A_2A_3A_4A_5$ là đường chéo của đáy (gọi là $A_1A_2$ theo định nghĩa). Xét tam giác $A_1A_2A_4$; các cạnh của nó là đường chéo của đáy. Nếu là một liên kết thì mọi thứ đã được chứng minh. Nếu không, thì một trong các cạnh của nó (các đường chéo của đáy) có màu đỏ, và do đó tam giác được tạo thành bởi đường chéo này và các cạnh bên nối các đầu của nó với đỉnh của paramid sẽ là một liên kết đơn.

b) Đáp số: sai. Một ví dụ là nếu bốn cạnh biểu thị trong một hàng có màu đỏ và bốn cạnh còn lại có màu xanh lam, với các đầu của các cạnh màu đỏ được nối bằng các đường chéo màu xanh lam và các đầu của các cạnh màu xanh lam được nối với nhau bằng các đường chéo màu đỏ. (Hãy cho tôi biết cách tô màu các đường chéo còn lại.)

H. Nenov

M688. Cho các số tự nhiên $a_1, a_2, ..., a_n$ giống như $a_k \leqslant k$ ($k=1, 2, ..., n$) và tổng $a_1 + a_2 + ... + a_n$ là số chẵn. Chứng minh rằng một trong các biểu thức $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm ... \pm a_n$ bằng 0.

Hãy chứng minh mệnh đề bằng dấu $n$.

Đối với $n=2$ điều đó là hiển nhiên, vì tập hợp duy nhất có thể là $a_1 = a_2 = 1$.

Hãy chứng minh điều đó cho một tập hợp số nhỏ hơn $n+1$; Hãy chứng minh điều đó với số $n+1$.

Hãy lấy một tập hợp tùy ý $a_1, a_2, ..., a_n, a_{n+1}$ gồm $n+1$ số thỏa mãn điều kiện. Nếu $a_n = a_{n+1}$ thì tổng $a_1 + ... + a_{n-1}$ là số chẵn; Khi tính đến giả định chỉ báo, chúng tôi kết luận rằng một trong các tổng $a_1 \pm a_2 \pm ... \pm a_{n-1} + a_n - a_{n+1}$ bằng 0. Nếu $a_n \neq a_{n+1}$, chúng tôi thay thế bộ này bằng $a_1, a_2, ..., a_n - a_{n+1}$ của $n$ số. Đối với bộ mới, tất cả các điều kiện đều được đáp ứng: số $|a_n - a_{n+1}|$ có cùng tính chẵn lẻ với $a_n + a_{n+1}$ nên tổng của các số $n$ vẫn là số chẵn; từ $a_n \neq a_{n+1}$, $1 \leqslant a_n \leqslant n$ và $1 \leqslant a_{n+1} \leqslant n+1$ theo sau $1 \leqslant |a_n - a_{n+1}| \leqslant n$. Theo giả định về chỉ báo, một trong các tổng $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm ... \pm a_n$ bằng 0. Còn lại-

29

Hạ “mở mô hình”. Trong mọi trường hợp, $|a_n - a_{n+1}| = \pm (a_n - a_{n+1})$ và chúng ta nhận được rằng một trong các biểu thức $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm \dots \pm a_n \pm a_{n+1}$ bằng 0 (trong lời giải, $a_{n+1}$ và $a_n$ của chúng ta luôn có các dấu khác nhau đứng trước).

S. Nenashev

M689. Chứng minh rằng không thể tạo thành một hình chữ nhật từ những viên gạch giống hệt nhau có dạng hình thang đều có cạnh 3 cm, 1 cm và chiều cao 1 cm.

Giả sử rằng hình chữ nhật đã bị loại bỏ khỏi hình thang $n$. Chúng ta hãy đánh dấu các điểm mà các đỉnh của hình thang rơi xuống, bao gồm cả bốn đỉnh của hình chữ nhật.

Mỗi hình thang có hai góc nhọn (mỗi góc 45°) và hai góc tù (mỗi góc 135°), vì vậy tất cả các hình thang $n$ đều có cùng số góc nhọn và góc tù - 2$n$ mỗi góc.

Mặt khác, rõ ràng là tại mỗi điểm đã đánh dấu không có góc nhọn nào kém hơn góc tù (nếu ở đó có một loại góc thì có ít nhất một góc nhọn, còn nếu có hai góc tù thì có hai góc nhọn - xem hình); trong trường hợp này, chỉ các góc nhọn của hình thang mới có thể xuất hiện ở các đỉnh của hình chữ nhật. Vì vậy, có nhiều góc nhọn hơn góc tù (ít nhất là 8).

Mâu thuẫn thu được chứng tỏ không thể dựng được hình chữ nhật từ hình thang.

N. Vasiliev

M690. a) Bên trong một đa giác lồi có diện tích $S_1$ và chu vi $P_1$ có ​​một đa giác lồi có diện tích $S_2$ và chu vi $P_2$. Chứng minh các bất đẳng thức
$$2\frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}.$$
6) Lập và chứng minh mệnh đề tương tự cho đa giác lồi.

Hình 1.

a) Trước tiên chúng ta hãy lưu ý rằng đối với các hình tam giác, một phát biểu mạnh hơn là đúng: $\frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}$. Điều này gần như hiển nhiên, vì $\frac{2S_1}{P_1}$ và $\frac{2S_2}{P_2}$ là bán kính của các đường tròn nội tiếp trong các hình tam giác này.

Để chứng minh mệnh đề tổng quát, chúng ta sẽ sử dụng hai sự kiện mà chúng ta sẽ chứng minh dưới đây:

1. trong bất kỳ đa giác lồi nào có diện tích $S$ và chu vi $P$ người ta có thể đặt một hình tròn có bán kính $R > \frac{S}{P}$;

2. đối với bất kỳ hình tròn nào chứa một đa giác cho trước, $R \leq \frac{2S}{P}$.

Tuyên bố a tiếp theo ngay từ 1) và 2): chúng ta hãy đặt một hình tròn có bán kính $R > \frac{S_2}{P_2}$ trong đa giác bên trong; kể từ $R \leq \frac{2S_1}{P_1}$, chúng tôi đạt được những gì được yêu cầu.

Hãy chứng minh 1). Chúng ta hãy dựng một hình chữ nhật có chiều cao $h = \frac{S}{P}$ trên mỗi cạnh của đa giác (lồi) (Hình 1; $S$ là diện tích, $P$ là chu vi của đa giác). Những đường này chồng lên nhau; họ thậm chí có thể “bò” ra ngoài đa giác. Vì tổng diện tích của các hình chữ nhật là $S$ nên diện tích phần đa giác được chúng bao phủ nhỏ hơn $S$. Do đó, có một điểm không được che chắn nằm ở khoảng cách $R > h$ tính từ mọi phía.

Hãy chứng minh 2). Đặt $O$ là tâm của đường tròn bán kính $R$ chứa trong đa giác (Hình 2). Vì độ dài đường cao của các hình tam giác có đỉnh $O$, đáy của chúng là các cạnh của đa giác, không nhỏ hơn $R$ nên ta thu được

31

tốc độ quay của chất lỏng bắt đầu nổi ra khỏi mao quản? Mật độ chất lỏng q, sức căng bề mặt σ, chất lỏng làm ướt hoàn toàn mao quản; Kích thước của mao quản được thể hiện trong hình.

Gọi ω là vận tốc góc quay giới hạn của mao quản. Chia đoạn uốn ngang tinh thần thành N đoạn có chiều dài nhỏ Δx=l/N (Δx<<l). Hãy xem xét hai phần tử nhỏ có khối lượng nước Δm=πr²ρ·Δx, nằm ở khoảng cách x tính từ giữa khuỷu tay (xem hình). Hãy viết phương trình chuyển động của các phần tử này:

$$\Delta m \cdot \omega^2 \left( \frac{l}{2} - x \right) = \left( p_{i+1} - p_{i-1} \right) \pi r^2,$$

$$\Delta m \cdot \omega^2 \left( \frac{l}{2} + x \right) = \left( p_{q+1} - p_{q-1} \right) \pi r^2,$$

trong đó $p_{i-1}$ ($p_{q-1}$) và $p_{i+1}$ ($p_{q+1}$) là áp lực lên các phần tử bên trái và bên phải tương ứng. Số lượng các cặp như vậy rất lớn N/2. Tổng hợp tất cả các phương trình tương tự, chúng ta nhận được

$$\frac{N}{2} \cdot \Delta m \cdot \omega^2 l = \left( p_B - p_A \right) \pi r^2 \Rightarrow \frac{\varphi \omega^2 l^2}{2} = \frac{4\sigma}{r} - \varphi gh.$$

Từ đây chúng ta tìm được ω:

$$\omega = \sqrt{\frac{8\sigma/r - 2\rho gh}{\rho l^2}}.$$

A. Buzdin

F701.*) Hình 1 cho thấy sự phân bố nhiệt độ nước của một thanh dẫn nhiệt mỏng đồng nhất tại một thời điểm nào đó. Sự phân bố nhiệt độ sẽ thay đổi như thế nào trong tương lai? Phân phối nào sẽ được thiết lập sau một khoảng thời gian vừa đủ?

Quá trình phân phối lại nhiệt độ kết thúc bằng việc cân bằng nhiệt độ dọc theo toàn bộ chiều dài của thanh. Vì thanh dẫn nhiệt nên nội năng không đổi. Dễ hiểu là diện tích dưới đường cong phân bố nhiệt độ ở bất kỳ giai đoạn trung gian nào sẽ không đổi. Do đó, nhiệt độ $t_y$ của thanh, sẽ được thiết lập sau một khoảng thời gian vừa đủ (Hình 2), có thể được xác định từ điều kiện

$$t_y \cdot 90 = 2(200 \cdot 30) + 100 \cdot 30.$$

Hình 1.

Hình 2.

Từ đây là

$$t_y \approx 166,6^\circ C.$$

Khi bắt đầu quá trình cân bằng nhiệt độ, sự thay đổi nhiều nhất sẽ diễn ra ở ranh giới giữa các khu vực có nhiệt độ chênh lệch nhiều nhất. Ở phần giữa của thanh (40  70 cm trong Hình 2), nhiệt độ sẽ tăng lên, đạt gần 166,6°C, và ở các phần bên (10  40 cm và 70 100 cm trong Hình) - khái niệm tiến gần đến nhiệt độ này.

O. Savigan

F702. Hai hệ, một hệ gồm hai khối lượng m giống hệt nhau, được nối với nhau bằng một kẹp có độ cứng k, chuyển động dọc theo một mặt phẳng nằm ngang nhẵn trên

Sau thời gian $t_1 = L/2v_0$ sẽ có va chạm của khối lượng I và I’. Vì va chạm là đàn hồi tuyệt đối nên ngay sau khi va chạm, tốc độ của từng khối lượng này không đổi về giá trị tuyệt đối, nhưng hướng ngược nhau và tốc độ của khối lượng II và II’ không thay đổi (Hình 2). Do đó, ngay sau va chạm trong mỗi hệ

33

các điện tích tương ứng tại một vị trí nhất định trên bề mặt bị đảo ngược. Thật vậy, sự hợp nhất của các tương tác trong cấu hình $P_1$ ($P_2$) là sự hợp nhất của lực đẩy lẫn nhau của các điện tích “ngồi” trên bề mặt. Việc thay đổi dấu của tất cả các điện tích làm cho các phản ứng tổng hợp này không thay đổi, do đó mỗi điện tích bề mặt nguyên tố sẽ ở trạng thái cân bằng; trong trường hợp này, điện trường tại mỗi điểm trong không gian bên ngoài dây dẫn sẽ chỉ đổi chiều theo hướng ngược lại. Do đó, cấu hình $P'_1$ ($P'_2$) cũng sẽ ở trạng thái cân bằng.

Hãy xem xét tình huống này hơn nữa. Điện tích dây dẫn được báo cáo $Q$ sẽ có phân bố $P_1$. Sau khi “đóng băng” phân phối này, chúng tôi đặt một điện tích lên dây dẫn - $Q$ để nó đảm nhận phân phối $P'_2$. Nếu bây giờ tổng điện tích của dây dẫn (bằng 0) đại diện cho chính nó thì theo nguyên lý chồng chất, hệ sẽ ở trạng thái cân bằng và sẽ không có dòng điện tích nào xuất hiện trên bề mặt dây dẫn. Vì vậy, tổng điện tích của dây dẫn bằng không; trong trường hợp này, trên bề mặt dây dẫn cần tìm các vùng tích điện khác nhau: $A_1$, tích điện dương và $B_1$, tích điện âm. Hãy xem xét đường hợp nhất đi ra khỏi vùng $A_1$. Vì dây dẫn ở xa nên đường thoát nước này sẽ kết thúc tại nó hoặc kéo dài đến vô tận. Trong trường hợp đầu tiên, điểm đầu và điểm cuối của đường cống (thuộc dây dẫn) phải có điện thế khác nhau (tại sao?), trường hợp này không thể xảy ra. Trường hợp thứ hai vẫn còn. Tương tự, nếu chúng ta xem xét một trong những đường ống dẫn nước đến dây dẫn trong vùng $B_1$, chúng ta đi đến kết luận rằng nó đến từ vô cực. Chúng tôi tin rằng vô cực có tiềm năng cố định; nhưng khi đó điện thế vùng $A_1$ cao hơn điện thế vô cực và điện thế ở vô cực cao hơn điện thế vùng $B_1$, tức là các vùng khác nhau của dây dẫn có điện thế khác nhau. Nhưng điều này mâu thuẫn với điều kiện cân bằng điện tích trên bề mặt vật dẫn.

Vì vậy, giả định về khả năng có hai phân bố điện tích cân bằng khác nhau là không chính xác. Điện tích trên dây dẫn chỉ có thể được phân bố theo một cách. Nếu trong một bài toán cụ thể, chúng ta đoán được sự phân bổ cân bằng của các điện tích, thì đây sẽ là đáp số.

Chúng ta hãy xem xét lời giải bài toán F700 dựa trên những gì đã được nói. Chúng ta hãy nhớ lại các điều kiện của nó:

$\Phi 700$. Có hai dây dẫn $A$ và $B$ có ​​hình dạng tùy ý. Ban đầu, dây dẫn $A$ có điện tích $Q$ và dây dẫn $B$ không được tích điện. Các dây dẫn được đưa về điện trở (xem hình ok) và điện tích $q$ chảy vào dây dẫn $B$. Dây dẫn tiếp xúc truyền thêm một điện tích $q_x$ và kết quả là một điện tích $q$ xuất hiện trên dây dẫn $A$. Xác định điện tích $q_x$.

Hai dây dẫn chạm nhau $A$ và $B$ tạo thành một dây dẫn đơn độc ($A+B$). Điện tích truyền cho vật dẫn này là $Q$. Chúng ta hãy xem xét một phần tử nhỏ Ds của bề mặt dây dẫn, trên đó, do sự phân bố cân bằng của điện tích $Q$ trên bề mặt dây dẫn ($A+B$),

mật độ điện tích $\sigma$ là mới. Nếu dây dẫn ($A+B$) (không tích điện) được tích điện $Q'$, thì mật độ điện tích ở trạng thái ổn định $\sigma'$ trên $\Delta s$ sẽ thỏa mãn hệ thức sau:

$$\frac{\sigma'}{\sigma} = \frac{Q'}{Q}.$$

Thật vậy, sự hợp nhất, tác động lên phần tử tích điện $\Delta s$ của bề mặt dây dẫn ($A+B$) từ các vùng tích điện khác trên bề mặt, được định nghĩa là tổng lực tương tác của một phần tử bề mặt nhất định với tất cả các phần tử bề mặt khác. Do sự sắp xếp không gian của các dây dẫn không thay đổi (đây là một điểm quan trọng), nên khoảng cách lẫn nhau giữa các điện tích cơ bản (điện tích của các phần tử bề mặt riêng lẻ ($A+B$)) cũng không thay đổi và chỉ có giá trị của các điện tích liên quan đến bề mặt bề mặt là thay đổi. Do đó, mỗi lực tương tác từng cặp của các phần tử điện tích thay đổi cùng một số lần - $(Q'/Q)^2$ lần. Như vậy, mỗi vùng cơ bản của bề mặt sẽ vẫn ở trạng thái cân bằng.

Từ lý luận trên, suy ra rằng, bất kể điện tích nào được truyền bởi dây dẫn tiếp xúc $A$ và $B$ (dây dẫn ($A+B$)), mối quan hệ giữa điện tích $q_A$, phân bố trên dây dẫn $A$, với điện tích $q_B$, phân bố trên dây dẫn $B$, vẫn không thay đổi (tất nhiên, với cùng vị trí tương đối của dây dẫn tiếp xúc).

Ban đầu, khi điện tích $Q$ được phân bố trên dây dẫn ($A+B$),

$$\frac{q_A}{q_B} = \frac{Q - q}{q}.$$

Khi giao tiếp với người soát vé ($A+B$) phải trả thêm phí $q_x$

$$q_x = Q \frac{2q - Q}{Q - q}.$$

34

Bài tập
người theo chủ nghĩa cộng hòa
Thế vận hội

Vào đêm trước môn toán
Thế vận hội sẽ được tổ chức ở hầu hết Cộng hòa Uzbekistan trong kỳ nghỉ xuân, chúng tôi mời độc giả so sánh một số nhiệm vụ được đề xuất tại Thế vận hội Cộng hòa Uzbekistan năm ngoái.

1. Một số ô của tờ giấy ca rô dài vô tận được sơn màu trắng, số còn lại có màu đỏ. Một ô là đặc biệt nếu màu của nó khác với màu của ít nhất một trong các ô xung quanh nó. Chứng minh rằng luôn có ít nhất 9 ô đặc biệt.

2. Chứng minh rằng với mọi số p và q, tổng chiều dài các đoạn của trục $Ox$ chứa bất đẳng thức
   $$|x^2 + px + q| \leq 2$$,
   sẽ không vượt quá 4.

3. Hàm f được xác định ở mọi nơi cho mọi x và y thỏa mãn mối quan hệ $f(xy) = f(x) \cdot f(y) - f(x+y) + 1$ và $f(1) = 2$. Tìm thấy:

a) $f(m)$ với số nguyên m tùy ý;

6. $f\left(\frac{m}{n}\right)$ cho một số hữu tỷ tùy ý $\frac{m}{n}$.

4. Điểm $A, B$ và $C$ được cho trên một đường thẳng và $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Trên các đoạn $AB, BC$ và $AC$, cũng như trên đường kính, các đối tượng nằm trên một phía của đường này được thi công. Đường vuông góc với $(AC)$ vẽ qua điểm $B$, cắt hình bán nguyệt lớn tại điểm $D$.

a) Chứng minh tiếp tuyến chung của hai hình bán nguyệt nhỏ khác $(BD)$ song song với tiếp tuyến của hình bán nguyệt lớn vẽ qua điểm $D$.

6. Chứng minh rằng các điểm $B, D$ và các điểm tiếp tuyến của các hình bán nguyệt nhỏ có tiếp tuyến chung là các đỉnh của hình tròn bên phải.

5*. Giáo viên viết một đa thức bậc 3 lên bảng. Một trong những học sinh đã thêm đa thức tùy ý của mình vào đa thức này hoặc trừ nó - theo ý muốn. Anh ta viết đa thức thu được lên một tờ giấy và chuyển nó cho một học sinh khác. Học sinh đó tiếp tục với một đa thức mới - một lần nữa, theo ý mình - một trong hai phép toán trên (cộng hoặc trừ một phép tính tùy ý) và đưa tờ kết quả cho học sinh tiếp theo, v.v.

Sau một thời gian, một học sinh đã nghĩ ra được đa thức tương tự được giáo viên viết trên bảng đen. Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh sai.

6. Dọc theo những cành cây đó - dọc theo những tia không có kế hoạch có khởi đầu chung $O$ - anh ta sẽ nhận được ba con bọ, $A, B$ và $C$. Tại mỗi thời điểm, khoảng cách từ con bọ đến điểm $\theta$ thỏa mãn hệ thức
   $$\frac{1}{|OB|} - \frac{1}{|OA|} = 1, \quad \frac{1}{|OC|} - \frac{1}{|OB|} = 1.$$
   Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng l sao cho mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $l$ bất cứ lúc nào.

7. Trên hai vòng tròn giấy giống hệt nhau, họa sĩ đã vẽ hai con rồng hoàn toàn giống hệt nhau. Trong một bức vẽ, mắt rồng trùng với tâm của vòng tròn, nhưng ở bức thứ hai thì không. Chứng minh rằng hình tròn thứ hai có thể cắt thành nhiều mảnh để tạo thành hình tròn đó với cùng một con rồng có mắt ở giữa hình tròn.

8. Bên trong góc này có hai điểm $A$ và

B. Vẽ một hình bình hành trong đó hai đỉnh đối diện trùng với $A$ và $B$, hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh của một góc cho trước.

9. Tìm độ dài các cạnh của hình vuông nhỏ nhất trong đó có thể đặt ba hình tròn có bán kính $1, \sqrt{2}, 2$ mà không chồng lên nhau.

10. Chứng minh rằng tập hợp số $1, 2, 3, \dots, 1413, 1414$ có thể chia thành các nhóm sao cho tổng các số trong mỗi nhóm bằng 1981.

11. Dọc theo những con đường song song với tốc độ không đổi $A, B, C$. Tại một thời điểm nào đó, diện tích của tam giác $ABC$ bằng $2\ m^2$ và sau 5 giây nó sẽ bằng $3\ m^2$. Khu vực này sẽ thay đổi như thế nào sau 5 giây nữa?

12. Chứng minh rằng với $n$ số tự nhiên phân biệt $a_1, a_2, \dots, a_n$ tùy ý thì bất đẳng thức
    $$\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} \geq \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{1 + 2 + \dots + n}.$$

13. Chứng minh rằng nếu với mọi $x \in ]-1; 1[$ bất đẳng thức
    $$|a_1 \sin b_1 x + a_2 \sin b_2 x + \dots + a_n \sin b_n x| \leq |\sin x|,$$
    Cái đó
    $$|a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n| \leq 1.$$

14. Có đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(19) = P(81) = 1981$ và $P(1981)$ bằng 19 hoặc 81 không?

15. Chứng minh rằng nếu biểu thức
    $$2\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$$
    mang về mẫu số chung thì tử số của nó sẽ chia hết cho 13.

35

Nhiệm vụ

1. Trong các hình tam giác và hình vuông như hình vẽ, hãy viết hai số tự nhiên đầu tiên, với số lẻ trong hình tam giác và số chẵn trong hình vuông sao cho tất cả 12 câu trả lời “nhiều hơn ít” đều đúng.

2. Có thể tạo một khung hình khối từ mười hai thanh giống hệt nhau có tiết diện hình vuông không?

3. Khi bắn vào một mục tiêu thể thao, tôi đã bắn trúng top 10 nhiều lần, ghi được 8 điểm với số lần giống nhau và bắn trúng top 5 nhiều lần. Tổng cộng anh ấy đã ghi được 99 điểm. Môn thể thao này đã thực hiện bao nhiêu cú đánh?

4. Có một số số khác 0 được viết trên bảng, mỗi số đều bằng các số còn lại. Có bao nhiêu số được viết?

5. Trong số bảy hình lục giác đều, một hình được tô sáu màu (xem hình). Sơn các hình lục giác còn lại cùng màu sao cho trong hình “bông hoa” như trong hình, tất cả các vùng hình tam giác bao quanh các cạnh của hình lục giác đều có màu giống nhau.

6. Bằng cách di chuyển một thước ngang đặt cạnh trên hình trụ, chúng ta sẽ lăn (không trượt) hình trụ trên bàn (xem hình). Tại thời điểm ban đầu, vạch chia 0 của thước nằm trên điểm tiếp xúc giữa hình trụ và bàn. Độ chia 0 của thước sẽ ở đâu sau khi hình trụ lăn được 5 cm?

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi
N. Avilov, S. Dvoryannikov, L. Kuptsov,
A. Savin, A. Khalamizer, A. Shvetsov.

36

F. Bartenev, A. Savin

Phương pháp vũ phu

Họ kể rằng một ngày nọ, cháu trai của Sherlock Holmes là Jack đã đến gặp người chú nổi tiếng của mình với yêu cầu giúp đỡ trong lời giải sau bài toán*): Họ đã mua một số cuốn sách và album giống hệt nhau. Họ trả 10 rúp cho những cuốn sách. 56 kopecks Bạn đã mua bao nhiêu cuốn sách nếu giá một cuốn sách cao hơn giá một album hơn 1 rúp và bạn mua nhiều hơn 6 cuốn so với album?

Đọc xong điều kiện, vị thám tử nổi tiếng đi từ bàn đến cửa sổ, rồi quay lại bàn, đứng gần, đứng trên trần nhà và cuối cùng nói: “Đã mua 8 cuốn”.

“Làm thế nào bạn cài đặt được cái này?” - Jack kêu lên một tiếng

*) Trong công thức này, bài toán thực tế đã được đưa ra trong kỳ thi ứng dụng môn toán tại Khoa Vật lý của Đại học Quốc gia Moscow (1968).

và ông Watson, người đã có mặt.

“Ồ, khá đơn giản! - Sherlock Holmes trả lời, ngồi xuống ghế. - Nhìn dòng chữ “họ mua nhiều hơn 6 cuốn so với album”, tôi nhận ra ngay rằng họ đã mua ít nhất 7 cuốn. Từ thực tế là “giá một cuốn sách cao hơn giá một cuốn album hơn 1 rúp”, tôi kết luận rằng mỗi cuốn sách có giá hơn 1 rúp và vì chúng được trả 10 rúp. 56 kopecks, không quá 10 cuốn được mua. Như vậy, tất cả các số đều lớn hơn hơn 10 và tất cả các số nhỏ hơn 7 đều không còn nghi ngờ gì nữa. Sau khi kiểm tra từng số 7, 8, 9, 10, tôi thấy rằng số tôi đang tìm chỉ có thể là 8: các số còn lại không chia hết cho 1056.”

Phương pháp vũ phu mà Sherlock Holmes sử dụng ở đây rõ ràng là phương pháp lâu đời nhất trong số các phương pháp lời giải bài toán. Trong một thời gian dài nó được xếp vào loại phương pháp “hạng hai”; “quá mức cần thiết” lời giải được coi là xấu xí. Tuy nhiên, trong những năm gần đây, phương pháp Brute Force ngày càng được sử dụng thường xuyên hơn trong các bài toán mà giá trị mong muốn chỉ nhận giá trị nguyên.

37

Việc tìm kiếm được thực hiện bởi máy tính

Có rất nhiều vấn đề bài toán nghiêm trọng mà các nhà toán học không thể giải quyết bằng cách dùng vũ lực. Đúng, trong trường hợp này việc tìm kiếm sẽ được thực hiện bởi một máy tính điện tử và nhà toán học sẽ chỉ hướng dẫn nó cách thực hiện việc tìm kiếm này. Nhà toán học nổi tiếng người Mỹ S. Golomb viết về điều này*): “Không giống như một người, một cỗ máy, giải bài toán, sẽ thực hiện các phép tính đơn điệu, có vẻ rất nhàm chán đối với chúng ta, với tốc độ không thể tưởng tượng được. Nhưng đồng thời, cô ấy sẽ không nhận thấy cách tính toán hoặc cải thiện lời giải, nếu phương pháp này không được lập trình viên đưa ra hướng dẫn chi tiết cho hoạt động của máy tính tính đến trước.”

Tuy nhiên, trong những năm gần đây, tốc độ và dung lượng bộ nhớ của máy tính ngày càng tăng, tính khả dụng cao hơn và chi phí thấp khiến chúng ngày càng được sử dụng nhiều hơn để tìm kiếm lời giải bài toán. Do đó, câu hỏi nổi tiếng “bài toán về bốn màu” (Có thể vẽ bản đồ địa lý bằng bốn màu để các quốc gia cùng màu không có các phần biên giới chung không?) đã được giải quyết - bằng một tìm kiếm rất xảo quyệt - chỉ với sự trợ giúp của máy tính. Gần đây, một trong những bài toán nổi tiếng nhất về đa thức trong cuốn sách của S. Golomb cũng đã được giải bằng phương pháp vũ phu sử dụng máy tính.

Ba lô đóng gói du lịch

Trong số bài toán được giải quyết bằng phương pháp vũ lực có cái gọi là “bài toán khi đóng gói ba lô”: Đặt các đồ vật từ một bộ nhất định vào ba lô sao cho tổng khối lượng của chúng lớn nhất (và tổng khối lượng không vượt quá thể tích của ba lô).

Trong bối cảnh này, bài toán trông giống như một món đồ chơi, nhưng hãy thay thế “riokzak” bằng “rebound in the triome of the Tellhod” và bạn sẽ thấy rằng bài toán này có ý nghĩa dân gian quan trọng.

Ở Urazhda, đối với 5 thành phố, số lượng lựa chọn là 24, đối với 6 thành phố là 120, đối với bảy - 720, đối với mười - 362880. Để tránh tìm kiếm đầy đủ, các nhà toán học đã nghĩ ra nhiều thủ thuật khác nhau**. Việc này không được thực hiện một cách vô ích - lời giải như bài toán là cần thiết để tìm ra con đường tốt nhất cho một chiếc xe tải chở tạp chí và báo đến các ki-ốt, xe buýt, một

*) S. V. Golomb. “Polimino” (M., “Mir”, 1975).

Người bán hàng lưu động lên đường

Một vấn đề nổi tiếng khác được giải quyết bằng cách liệt kê các tùy chọn là “bài toán nhân viên bán hàng du lịch”*): Làm thế nào để nén một số thành phố, giữa hai thành phố đó có một kết nối đường sắt, dành ít thời gian nhất có thể, với thành phố mà con đường bắt đầu và kết thúc?

*) Nhân viên bán hàng lưu động là đại diện lưu động của một công ty thương mại.
*) Xem, ví dụ, «Kvant», 1978, số 6, tr. 11.

38

tuyển dụng dân làng làm việc, v.v.

Bài tập 2. Trong hình vẽ bản đồ khu vực có 5 thành phố: Axe, Ox, Ekh, Ukh và their, đồng thời bảng hiển thị khoảng cách giữa chúng bằng đường sắt. Tìm con đường ngắn nhất cho một nhân viên bán hàng du lịch phải rời thành phố Ukh, đi vòng quanh các thành phố khác và trở về Ukh.

| | Ax | Của họ | Ox | Ồ | Ơ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Ax | 0 | 60 | 40 | 50 | 20 |
| Của họ | 60 | 0 | 30 | 35 | 45 |
| Ox | 40 | 30 | 0 | 55 | 50 |
| Ồ | 50 | 35 | 55 | 0 | 20 |
| Ơ | 20 | 45 | 50 | 20 | 0 |

Hãy giảm tìm kiếm

Đối với lời giải tương tự như bài toán, các phương pháp phức tạp đã được tạo để giảm bớt việc tìm kiếm các tùy chọn. Chúng tạo thành một môn khoa học toán học mới gọi là “lập trình số nguyên”.

Một số ý tưởng về khả năng giảm tìm kiếm có thể được giải quyết như thế này bài toán:

Được biết, $\sqrt[3]{****3}$ là một số tự nhiên. Tìm anh ấy.

Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là sắp xếp các số có năm chữ số kết thúc bằng 3 và xem liệu có chính xác số lập phương nào trong số đó không: 10003, 10013, 10023,… Nhưng khi nào chúng ta sẽ có được 99993, và làm sao chúng ta biết một số đã cho có phải là số lập phương hay không?

Tốt hơn hết là lập phương số và xem số nào trong số chúng sẽ có năm chữ số và kết thúc bằng 3. Chúng ta nhận được $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, $5^3=125$, $6^3=216$, $7^3=343$, $8^3=512$, $9^3=729$, $10^3=1000$.

Điều đó cũng không có tác dụng. Tại sao chúng ta cần khối số nhỏ? Cùng xem số nhỏ nhất $x$ bằng bao nhiêu, lập phương của nó là một số có năm chữ số. Nó không nhỏ hơn $\sqrt[3]{10000}=10\sqrt[3]{10}$, nhưng $\sqrt[3]{10}$ lớn hơn 2, vì $2^3=8$; do đó $x$ lớn hơn 20. Hãy ước tính số ở trên, tức là hãy xem nó không thể vượt quá số nào. Con số này, rất rõ ràng, bằng $\sqrt[3]{10000}=10\sqrt[3]{100}$. Nhưng $\sqrt[3]{100}$ nhỏ hơn 5, vì $5^3=125$. Điều này có nghĩa là bạn cần sắp xếp các số từ 21 đến 49.

Hãy xem liệu số dưới căn tận cùng bằng 3 có giúp chúng ta rút ngắn quá trình tìm kiếm hay không. Hãy cùng nghiên cứu lập phương của 10 số tự nhiên đầu tiên mà chúng ta đã viết ra. Trong số này, chỉ có 7 số tận cùng là 3. Bây giờ nếu bạn suy nghĩ một chút, không khó để nói rằng lập phương của một số tự nhiên sẽ có tận cùng là 3 khi và chỉ nếu nó có tận cùng là 7.

Bây giờ chúng ta chỉ còn ba số để sắp xếp: 27, 37 và 47. $27^3=19683$, $37^3=50653$, $47^3=103823$, nhưng số cuối cùng đã có sáu chữ số nên chỉ còn lại các số 27 và 37.

Bài tập 3.

30 sinh viên (từ viện sư phạm) từ tất cả các khóa thứ năm đã tham gia tổng hợp 40 bài toán (dành cho học sinh). Bất kỳ hai bạn cùng lớp nào đều đưa ra cùng một số bài toán. Bất kỳ sinh viên nào của các khóa học khác nhau đều đưa ra những con số khác nhau bài toán. Có bao nhiêu học sinh nghĩ ra được một bài toán?

4. Số $9^n+1$ có thể kết thúc bằng bao nhiêu số 0?

5. Tiệc tự chọn bán ippiki với giá 5 kopecks, bánh nướng nhỏ với giá 6 kopecks, bánh nướng nhỏ với giá 7 kopecks, bánh ngọt với giá 8 kopecks và vỏ bánh với giá 10 kopecks. Một nhóm người mua 14 loại sản phẩm khác nhau bằng đồng rúp. Nếu lấy một đại diện của mỗi loài đã mua thì tổng giá của chúng sẽ bằng 21 kopecks. Bao nhiêu và những sản phẩm nào đã được mua, nếu biết thêm rằng không có quá sáu sản phẩm được mua và không có sản phẩm nào được mua bằng nhau?

6. Tìm hai số nguyên dương có hiệu bình phương là 455.

7. Trong suốt 5 năm học, học sinh đã thi 31 bài. Trong mỗi năm tiếp theo, anh ấy đã vượt qua nhiều kỳ thi hơn năm trước. Năm thứ năm có nhiều bài kiểm tra ở năm thứ hai hơn năm thứ nhất. Có bao nhiêu kỳ thi vào năm thứ tư?

39

Dòng điện xoay chiều

Dòng điện xoay chiều được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp (nhà máy, xí nghiệp) và trong mạng lưới chiếu sáng chung.

Được biết, định luật Ohm được thỏa mãn đối với dòng điện tích hợp - cường độ dòng điện trong một phần đồng nhất của mạch tỷ lệ thuận với điện áp đặt vào. Trong mạch điện xoay chiều, dòng điện cũng phụ thuộc vào điện áp nguồn, nhưng theo một định luật phức tạp hơn, vì điện áp và dòng điện thay đổi theo thời gian. Định luật thay đổi điện áp có thể phức tạp, nhưng ứng dụng phổ biến và thực tế nhất là những ứng dụng có điện áp thay đổi theo định luật điều hòa. Ví dụ như thế này:

$$u = U_m \cos \omega t,$$

trong đó $U_m$ là biên độ điện áp, $\omega$ là tần số tuần hoàn, $\omega t = \varphi$ là pha dao động. Lưu ý rằng ở nước ta, tần số được áp dụng cho tất cả các lãnh thổ của nước này là $v = \omega/2\pi = 50$ Hz.

Mạch điện xoay chiều bao gồm nguồn dòng điện và các bộ phận khác nhau như đèn lưu trữ, thiết bị điện, tụ điện, cuộn dây, động cơ điện và máy biến áp.

Nhiệm vụ chính của việc nghiên cứu dòng điện xoay chiều là tính toán mạch điện, tức là xác định cường độ dòng điện ở điện áp cho trước của nguồn dòng và các thông số cho trước của các phần tử mạch.

Trong trường hợp tổng quát, dòng điện trong mạch giống như điện áp nguồn, thay đổi theo thời gian tuân theo định luật điều hòa

$$i = I_m \cos(\omega t + \varphi).$$

Biên độ dòng điện $I_m$ và độ lệch pha $\varphi$ giữa dòng điện và điện áp phụ thuộc vào các thông số của mạch đã cho.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét các mạch điện đơn giản nhất, bao gồm một nguồn và một phần tử - điện trở, tụ điện hoặc cuộn dây. Khi nối với nguồn điện trở tác dụng, trong mạch sẽ xuất hiện một dòng điện xoay chiều có biên độ bằng biên độ điện áp chia cho điện trở tác dụng: $I_{RM} = U_m/R$ và pha trùng với pha của điện áp. Trong mạch có tụ điện, dòng điện cùng pha xác định điện áp ở $\pi/2$ và biên độ của dòng điện $I_{CM} = U_m \omega C$, trong đó $C$ là điện dung của tụ điện. Dòng điện xuất hiện trong cuộn dây có độ tự cảm $L$ lệch pha so với điện áp $\pi/2$ và biên độ của nó là $I_{LM} = U_m / (\omega L)$.

Thật thuận tiện để tính toán các mạch điện bằng cách sử dụng sơ đồ vectơ của dòng điện và điện áp. Hãy xây dựng sơ đồ vectơ cho khoảng cách của các trường hợp đơn giản nhất (Hình 1). Hãy bắt đầu với vectơ điện áp đã biết $\vec{U}_m$ và đặt nó theo chiều ngang. Vì dòng điện qua điện trở tác dụng cùng pha với điện áp nên chúng ta sẽ định hướng vectơ dòng điện $\vec{I}_{RM}$ giống như vectơ $\vec{U}_m$. Dòng điện trong mạch với tụ điện xác định điện áp pha trong chu kỳ thứ tư; do đó, vectơ hiện tại $\vec{I}_{CM}$ phải hướng thẳng đứng lên trên. Cuối cùng, dòng điện trong cuộn dây chậm hơn điện áp một khoảng

40

Hình 2.

π/2, do đó vectơ hiện tại $I_{LM}$ phải hướng thẳng đứng xuống dưới.

Lưu ý rằng tất cả các mối quan hệ thu được về biên độ của dòng điện và điện áp cũng có giá trị đối với các giá trị hiệu dụng của chúng. Sơ đồ vectơ cũng có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các giá trị hiệu dụng của dòng điện và điện áp.

Bây giờ chúng ta hãy xem điều này bài toán:

Bài toán 1. Xác định cường độ dòng điện trong mạch như hình 2, a. Xét các thông số của các phần tử mạch điện và điện áp của nguồn điện theo quy định.

Đầu tiên, hãy xem xét một phần của mạch chứa một kết nối song song của một điện trở có điện trở $R_1$ và một tụ điện có điện trở $C$. Hãy xây dựng sơ đồ vectơ cho nó, coi điện áp $U_1$ trong phần này đã biết (Hình 2, b). Ta thấy cường độ dòng điện trong mạch bằng tổng cường độ dòng điện qua điện trở và tụ điện thứ nhất:

$$\overrightarrow{I} = \overrightarrow{I_{R1}} + \overrightarrow{I_C}.$$

Biên độ của dòng điện này bằng

$$I = \sqrt{I_{R1}^2 + I_C^2} = \sqrt{\left(\frac{U_1}{R_1}\right)^2 + \left(U_1 \omega C\right)^2} = U_1 \sqrt{\frac{1}{R_1^2} + (\omega C)^2}.$$

Cùng một dòng điện chạy qua một điện trở có điện trở $R_2$, nên điện áp trên nó bằng nhau

$$U_2 = IR_2.$$

Rõ ràng là tổng vectơ của $U_1$ và $U_2$ bằng điện áp $\overrightarrow{U}$ tại các cực nguồn:

$$\overrightarrow{U}_1 + \overrightarrow{U}_2 = \overrightarrow{U}.$$

Chúng ta chiếu vectơ $\overrightarrow{U}_2$ lên trục tọa độ $X$ và $Y$ rồi tìm

$$U_{2x} = U_1 \frac{R_1}{R_2}, \quad U_{2y} = U_1 R_1 \omega C.$$

Từ đồ thị vector có thể thấy rằng

$$U^2 = \left(U_1 + U_{2x}\right)^2 + U_{2y}^2,$$

hoặc

$$U = U_1 \sqrt{\left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right)^2 + \left(R_1 \omega C\right)^2}.$$

Cuối cùng, từ đẳng thức (1) và (2) chúng ta thu được

$$I = U \sqrt{\frac{1 + \left(R_2 \omega C\right)^2}{\left(R_1 + R_2\right)^2 + \left(R_1 R_2 \omega C\right)^2}}.$$

Năng lượng được giải phóng trong mạch điện có tầm quan trọng thực tế rất lớn. Trong trường hợp dòng điện một chiều, đối với bất kỳ phần nào của mạch điện, công suất được xác định bằng tích của điện áp và dòng điện. Nguồn điện xoay chiều phụ thuộc vào các giá trị hiệu dụng của dòng điện và điện áp, cũng như sự dịch pha giữa dòng điện và điện áp trong phần này:

$$P = UI \cos \varphi,$$

trong đó cos φ là hệ số công suất.

Như bạn đã biết, để có được công suất tối đa từ nguồn DC, bạn cần kết nối một tải có điện trở bằng điện trở trong của nguồn. Nguồn AC cũng có điện trở trong, nó không chỉ hoạt động mà còn có tính cảm ứng. Thật thú vị khi biết loại tải nào cần được kết nối để có được công suất tác dụng tối đa trong mạch điện xoay chiều. Đáp số câu hỏi này được trả lời bởi bài toán sau:

Bài toán 2. Thông số điện áp phải như thế nào để công suất tiêu thụ ở điện áp đó là tối đa? Điện trở hoạt động của nguồn là $R$, độ tự cảm của nó là $L$.

Vì công suất giải phóng ở điện áp phụ thuộc vào độ dịch pha giữa dòng điện và điện áp, nên tự nhiên giả sử rằng một tụ điện nối tiếp với điện trở tác dụng của điện áp được bật lên nhiều hơn (để bù

41

Điều này là do sự dịch pha được tạo ra bởi độ tự cảm của nguồn).

Chúng ta biểu thị bằng $\mathcal{E}$ suất điện động của nguồn, bằng $R_{\mathrm{H}}$ điện trở hiệu dụng và $C$ điện dung của tụ điện. Khi đó dòng điện sẽ chạy trong mạch

$$I = \frac{\mathcal{E}}{\sqrt{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2} + (\omega L-1/\omega C)^{2}}},$$

và công suất tác dụng sẽ được giải phóng khi tải

$$P = U_{\mathrm{H}} I \cos \varphi = I^{2} R_{\mathrm{H}} = \frac{\mathcal{E}^{2} R_{\mathrm{H}}}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2} + (\omega L-1/\omega C)^{2}}.$$

Rõ ràng, với bất kỳ giá trị nào của $R_{\mathrm{H}}$ thì lũy thừa sẽ lớn nhất hoặc ngược lại thì đẳng thức

$$\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0.$$

Điều này có nghĩa là điện dung của tụ điện phải bằng

$$C = \frac{1}{\omega^{2} L}.$$

Trong trường hợp này công suất bằng nhau

$$P = \frac{\mathcal{E}^{2} R_{\mathrm{H}}}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2}}.$$

Để tìm công suất cực đại tùy thuộc vào điện trở $R_{\mathrm{H}}$, chúng ta đánh đồng đạo hàm của $P$ với $R_{\mathrm{H}}$ bằng 0:

$$P'(R_{\mathrm{H}}) = \frac{\mathcal{E}^{2} ((R_{\mathrm{H}}+R)^{2} - 2 R_{\mathrm{H}} (R_{\mathrm{H}}+R))}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{4}} = 0.$$

Từ đây

$$R_{\mathrm{H}} = R, \quad P_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}^{2}}{4 R}.$$

Lưu ý rằng chúng ta thu được các mối quan hệ giống hệt như đối với dòng điện xây dựng.

---

Máy biến áp chiếm một vị trí đặc biệt trong mạch điện xoay chiều. Đây là thiết bị truyền năng lượng điện từ mạch này sang mạch khác, đồng thời chuyển đổi dòng điện và điện áp. Đây là nơi xuất phát cái tên “máy biến áp”, tức là “bộ chuyển đổi”. Nguyên lý hoạt động của máy biến áp dựa trên hiện tượng cảm ứng điện từ nên chỉ có thể hoạt động bằng dòng điện xoay chiều.

Máy biến áp bao gồm một lõi sắt từ khép kín, trên đó có hai cuộn dây đồng (đôi khi nhiều hơn) được quấn. Cuộn dây thường được gọi là cuộn dây máy biến áp. Tuy nhiên, trong số đó, cái chính được nối với nguồn, cái còn lại, cái thứ cấp, được nối với tải. (Tuy nhiên, việc tách các cuộn dây như vậy là có điều kiện, vì tùy thuộc vào chế độ vận hành, kết nối có thể ngược lại.) Các cuộn dây có thể được quấn trên lõi theo hai cách: theo một hướng hoặc theo các hướng khác nhau. Tùy thuộc vào điều này, điện áp trên cuộn dây sẽ thay đổi cùng pha hoặc ngược pha. Để xác định các điều kiện làm việc ở cuối cuộn dây và giả sử rằng tại bất kỳ thời điểm nào điện áp giữa đầu và cuối mỗi cuộn dây có cùng cực tính. Trong tranh ảnh và hình vẽ, phần đầu của cuộn dây thường được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Việc tính toán mạch điện với máy biến áp thực tế là rất khó khăn. Để kiểm soát sự rối loạn, cái gọi là máy biến áp lý tưởng. (Lưu ý rằng kết quả tính toán của máy biến áp lý tưởng và máy biến áp thực tế trùng khớp với nhau.) Đầu tiên, chúng ta giả sử rằng các cuộn dây không có điện trở hoạt động, do đó điện áp phía trước trong chúng bằng 0 và đẳng thức được thỏa mãn

$$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{\mathcal{E}_{1}}{\mathcal{E}_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = K.$$

Ở đây $U_{1}$ và $U_{2}$ là điện áp, $\mathcal{E}_{1}$ và $\mathcal{E}_{2}$ là emf cảm ứng, $n_{1}$ và $n_{2}$ là số vòng dây của cuộn sơ cấp và thứ cấp tương ứng; $K = n_{1}/n_{2}$—hệ số biến đổi. Thứ hai, chúng ta sẽ không tính đến tổn thất năng lượng do sinh nhiệt không chỉ trong cuộn dây mà còn trong lõi của máy biến áp. Điều này có nghĩa là công suất đi vào cuộn sơ cấp bằng công suất để cuộn thứ cấp tiếp xúc với tải, hay nói cách khác, tổng công suất vào và ra bằng 0:

$$U_{1} I_{1} + U_{2} I_{2} = 0,$$

trong đó $I_{1}$ và $I_{2}$ là dòng điện trong cuộn sơ cấp và thứ cấp của cuộn dây tương ứng.

42

Từ hai đẳng thức ta có

$$I_1 n_1 + I_2 n_2 = 0.$$
Tầm quan trọng của công thức đơn giản này cho phép bài toán sau:

Bài toán 3. Một máy biến áp có số vòng dây ở cuộn sơ cấp $n_1$ và ở cuộn thứ cấp $n_2$, được nối với nguồn điện xoay chiều có suất điện động $\mathcal{E}$ và điện trở trong $R_B$. Dây có điện trở $R_H$ được nối như hình 3. Xác định điện áp trên mỗi điện áp.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $U_1$ và $U_2$, $I_1$ và $I_2$ lần lượt là giá trị hiệu dụng của điện áp và dòng điện trong cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp, và bằng $I_0$ giá trị hiệu dụng của dòng điện trong nguồn. Giả sử tại một thời điểm nào đó dòng điện có hướng như trên Hình 3. Khi đó

$$I_0 R_B = \mathcal{E} - U_1, \quad I_2 R_H = U_1 - U_2,$$
$$I_0 = I_1 + I_2, \quad \frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}, \quad I_1 n_1 + I_2 n_2 = 0.$$

Ba đẳng thức đầu tiên không khác với các đẳng thức tương tự đối với mạch điện một chiều và ghi lại, có tính đến quy tắc dấu cho EMF, dòng điện và sụt áp. Ký hiệu điện áp trên các cuộn dây được chọn tùy theo vị trí đầu và cuối cuộn dây. Điều kiện là điện áp được coi là dương nếu khi đi vòng quanh mạch tương ứng, đầu cuối của cuộn dây gặp đầu tiên. Vì vậy, nếu bỏ qua các đường viền của mạch sơ cấp và thứ cấp của một máy biến áp nhất định, chẳng hạn như theo chiều kim đồng hồ, thì điện áp $U_1$ trong phương trình thứ nhất và $U_2$ trong phương trình thứ hai phải được viết bằng dấu “trừ”. Trong phương trình thứ tư, dấu $U_1$ và $U_2$ luôn được coi là dương. Dấu của dòng điện trong cuộn dây theo phương trình thứ năm được chọn như sau: dòng điện được coi là dương nếu nó ở mức

Hình 3.

duỗi thẳng từ đầu cuộn dây đến cuối cuộn dây và được in - trong trường hợp ngược lại.

Bằng cách khoanh tròn tất cả năm phương trình trong hệ và giải nó, chúng ta tìm được dòng điện $I_2$ và do đó tìm được hướng tác dụng lên tải:

$$U_H = I_2 R_H = \mathcal{E} \frac{R_H n_1 (n_1 - n_2)}{(n_1 - n_2)^2 R_B + R_H n_1^2}.$$

Bài tập

1. Xác định cường độ dòng điện trong mạch như hình 4. Xét vị trí nguồn điện và các thông số của các phần tử mạch như đã cho.

Hình 4.

2. Một mạch gồm hai điện trở giống hệt nhau có điện trở $R$, một cuộn cảm $L$ và một tụ điện $C$ được nối, như trong Hình 5, với một máy phát dòng điện hình sin có tần số thay đổi. Tìm sự tương ứng giữa các tham số của các phần tử mạch mà tại đó mục tiêu sẽ hoạt động giống như một điện trở chỉ có điện trở hoạt động ở bất kỳ tần số nào.

Hình 5.

3. Khi truyền năng lượng điện đi một khoảng cách xa, độ tự cảm chủ yếu chịu trách nhiệm cho công suất truyền đi. Giả sử máy phát điện của nhà máy điện tạo ra EMF $\mathcal{E}$, đường dây truyền tải có độ tự cảm $L$ và hướng của hệ thống phải là $U$, hãy xác định công suất tác dụng tối đa có thể truyền đi trong trường hợp này.

Hình 6.

4. Một máy biến áp có số vòng dây ở cuộn sơ cấp $n_1$, ở cuộn thứ cấp $n_2$ và hai điện trở có điện trở $R_1$ và $R_2$ được nối vào nguồn điện xoay chiều có điện áp $U$ như hình 6. Xác định điện áp trên các cuộn dây của máy biến áp và cường độ dòng điện qua các điện trở.

43

Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x^2 = (x-a)y \\ y^2 - xy = 9ax. \end{cases}$$

2. Giải phương trình
   $$(6x-5)|\ln(2x+2,3)| = 8\ln(2x+2,3).$$

3. Giải phương trình
   $$\frac{3\cos 5x-2(\cos 6x+\cos 4x)}{3\sin 5x-2(\sin 6x+\sin 4x)} = \mathrm{tg} 17x.$$

4. Trong hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có cạnh dài $a$, điểm $K$ là trung điểm của cạnh $AB$, điểm $L$ là trung điểm của cạnh $DD_1$. Tìm các cạnh của tam giác $A_1KL$ và xác định xem thể tích của hình lập phương chia cho mặt phẳng đi qua các đỉnh của tam giác này theo tỷ lệ nào.

5. Vẽ trên mặt phẳng một tập hợp các điểm $(x; y)$ có tọa độ thỏa mãn hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} 2y \geq x^2 \\ y \leq -2x^2 + 3x. \end{cases}$$

Chứng minh rằng với mọi điểm như vậy $(x; y)$ thì bất đẳng thức $x^2 + y^2 \leq 2$ đúng.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\lg(x-a) - \lg 2 = 3\lg(x-1).$$

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{2\cos^2 x + 4\sin(x+1)} = \sqrt{4\sin x \cdot \cos 1 - \sin 2x}.$$

3. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm
   $$f(x) = (3x^2 - 7x + 7)e^x$$
   trên đoạn $[0; \frac{2}{3}]$.

4. Trong khối lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ trung điểm của các cạnh $AA_1, A_1B_1, B_1C_1, C_1C, CD, DA$ và $AA_1$ được nối nối tiếp. Chứng minh rằng hàm số thu được là một hình lục giác đều và xác định diện tích của nó dọc theo cạnh của hình lập phương $a$.

5. Với những số nào trong tập hợp $A=\{1, 2, 3\}$ thì bất đẳng thức
   $$2\sin x \cdot \cos y \cdot \sin z - \cos x \cdot \sin y \cdot \cos z \leq a$$
   giữ cho tất cả các giá trị của $x, y, z$?

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Hai vật nặng có cùng khối lượng $M=400$ g được nối với nhau bằng một sợi dây không trọng lượng, ném qua một khối có khối lượng $m=100$ g và ở cùng khoảng cách với khối (Hình 1). Một khối lượng quá tải $m$ được đặt lên một trong các tải. Vành khối sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu $v$ khi khoảng cách giữa các tải trọng là $h=1$ m, nếu mỗi vật nặng có khối lượng $M$ chịu cùng một lực cản trung bình $F_c=0,17$ N? Giả sử khối lượng của khối tập trung ở vành của nó. Các lực cản tác dụng lên khối, ren và quá tải đều được yêu cầu. Không có sự trượt giữa khối và sợi.

2. Một thanh có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ tựa vào một bức tường thẳng đứng bằng một đầu, đầu còn lại được giữ bằng một sợi chỉ, chiều dài của sợi dây này bằng chiều dài của thanh (Hình 2). Sau khi thiết lập trạng thái cân bằng, thanh sẽ nằm ở góc nào $a$ nếu nhiệt độ khí không đổi? Thể tích của mỗi nửa hình trụ là $V=1$ l, tiết diện của hình trụ là $S=100$ cm² và $m=2M$.

3. Hai nửa của hình trụ, được ngăn cách bằng một pít-tông, chứa các khối lượng nitơ bằng nhau $M$ ở cùng nhiệt độ. Khi đó khối lượng nitơ ở một nửa hình trụ tăng $m$. Sau khi thiết lập trạng thái cân bằng, pít-tông sẽ ở khoảng cách nào $d$ tính từ vị trí ban đầu đầu tiên, nếu nhiệt độ khí không đổi? Thể tích của mỗi nửa hình trụ là $V=1$ l, tiết diện của hình trụ là $S=100$ cm² và $m=2M$.

4. Một giọt Jedeva hình cầu có bán kính $R=2$ mm rơi xuống đất với vận tốc không đổi $v$. Nhiệt độ của giọt nước tăng lên bao nhiêu trong thời gian $t=10$ s, nếu toàn bộ chất lỏng thoát ra ở trên khi chuyển động được dùng để làm nóng nó và lực cản của va chạm được mô tả bằng biểu thức $F_c=0,24\pi R^2v^2$ (tính theo đơn vị SI)?

5. Các tụ điện ba điểm có công suất $C_0=1$ µF, mỗi tụ được mắc nối tiếp. Các tụ điện được sạc và ngắt kết nối khỏi nguồn. Điện tích của pin này là $Q_0=10^{-4}$ Cl. Sau đó, không gian giữa các bản của một trong các tụ điện được phân cực hoàn toàn bởi di-

Hình 1. Hình 2.