Kvant 1983, số 6 · Trang

QUANTUM
6
1983
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Năm 1804, nhà khoa học người Pháp Gay-Lussac (bên phải trọng lực) bay lên khinh khí cầu và đạt độ cao 7 km. Nghiên cứu của ông cho thấy thành phần của không khí không thay đổi theo độ cao. Theler biết rằng điều này đúng cho đến độ cao 90 km.
Bạn có thể tìm hiểu về những ý tưởng hiện đại về bầu khí quyển Trái đất từ ​​bài viết của A. V. Byalko, đăng trên tạp chí này.

1

TRONG PHÒNG:

2. A. V. Byalko. Bầu không khí là gì
3. S. G. Gindikin. Về nỗ lực tìm kiếm những con số “tinh vi”
4. A. T. Fomenko. Bề mặt tối thiểu
5. Yu. V. Nesterenko, E. M. Nikitsin. Tiểu luận về phân số tiếp tục
   A. V. Byalko. What is the atmosphere
   S. C. Gindikin. On the usefulness of “truly sophistic” numbers
   A. T. Fomenko. Minimal surfaces
   Yu. V. Nesterenko, E. M. Nikishin. Essay on continued fractions

TIN KHOA HỌC
31. M. D. Frank-Kamenetsky. Chuỗi xoắn DNA trái
Science news
M. D. Frank-Kamenetski. The left DNA spiral

Phòng thí nghiệm «Kvant»
32. A. A. Borovoy. bóng đèn neon
Kvant’s lab
A. A. Borovoy. The neon lamp

vòng tròn toán học
35. S. N. Bespamyatnykh. Tô màu mặt phẳng và định lý Van Waerden về cấp số cộng
Mathematics circle
S. N. Bespamiatnykh. Coloring the plane and van der Waerden’s theorem on progressions

«Kvant» cho học sinh nhỏ
39. Bài toán
40. A. V. Tokarev. Ngôi nhà mà…
Kvant for younger school-children
Problems
A. V. Tokarev. The house built by…

Vấn đề «Kvant»
43. Bài toán M806—M810; F818—F822
46. Lời giải bài toán M791, M792, M794, M795; F803—F807
52. Danh sách độc giả quấy rầy đúng lời giải
Kvant’s problems
Problems M806—M810; P818—P822
Solutions M791, M792, M794, M795; P803—P807
List of readers who have sent correct solutions

Xưởng của người nộp đơn
54. Bài toán họp các kỳ thi toán và vật lý ở nhiều nơi khác nhau vào năm 1982
College applicant’s section
Entrance examination problems in mathematics and physics at various colleges in 1982

Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (9, 53)
Trang cờ vua
Ba tập phim có sự hy sinh của nữ hoàng (trang bìa thứ 3)
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (9, 53)
The chess page
Three episodes with Queen sacrifices (3rd cover page)

Trang đầu tiên của trang bìa có hình một dải xà phòng có bong bóng được ép vào khung đất nung (để biết thêm thông tin, xem bài viết của A. T. Fomenko ở trang 18).

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1983

3

tia xử lý carbon dioxide (carbon dioxide). Carbon của nó đi vào các hợp chất hữu cơ và oxy đi vào khí quyển. Tuy nhiên, có một nguồn oxy khác cho hành tinh của chúng ta. Để hiểu cách thức hoạt động của nó, trước tiên bạn phải trả lời câu hỏi: điều gì giữ nguyên tử của các hành tinh, tại sao khí nguyên tử không bị tách ra ngoài không gian?

Áp suất không khí trên bề mặt Trái đất, như đã biết, là $p_0 = 1,013 \cdot 10^5$ Pa. Điều này có nghĩa là trên mỗi mét vuông bề mặt trái đất, một lực $1,013 \cdot 10^5$ N tác dụng lên phía của nguyên tử. Lực này là do lực hút của Trái Đất và có giá trị bằng trọng lượng của một cột không khí phía trên bề mặt Trái Đất có tiết diện là $1 \text{ m}^2$. Vì chiều cao của Atomferra nhỏ so với bán kính Trái đất nên chúng ta có thể giả sử rằng gia tốc trọng trường bên trong Atomferra là không đổi và bằng $g \approx 9,8 \text{ m/c}^2$. Trọng lượng của một cột không khí trong tầng nguyên tử có diện tích mặt cắt ngang $1 \text{ m}^2$ bằng $p_0 = m_1 g$, trong đó $m_1$ ($\text{kr/m}^2$) là khối lượng của không khí này. Vậy trên toàn bộ bề mặt Trái đất có diện tích $4\pi R^2$ khối không khí bằng $m_1 \cdot 4\pi R^2$, tức là bằng

$$m_A = \frac{p_0}{g} 4\pi R^2 \approx 5,3 \cdot 10^{18} \text{ кг}.$$

Như bạn có thể thấy, khối lượng của nguyên tử xấp xỉ một phần triệu toàn bộ khối lượng Trái đất $m_3 \approx 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$. Thật thú vị khi so sánh khối lượng của Atomferra với khối lượng nước trên hành tinh của chúng ta: nước trên Trái đất $1,4 \cdot 10^{21} \text{ кг}$, nên khối lượng của Atomferra nhỏ hơn 266 lần.

Lực hấp dẫn không chỉ tạo ra áp suất của nguyên tử trên bề mặt. Nó cũng biến sự phân tán của khí nguyên tử ra ngoài không gian. Bạn biết rằng các phân tử khí đang ở trạng thái chuyển động nhiệt kỳ lạ. Tốc độ bình phương trung bình của các phân tử ở nhiệt độ $T$ bằng $v = \sqrt{3RT/\mu}$, trong đó $R$ là hằng số khí phổ quát và $\mu$ là khối lượng mol của khí. Hãy so sánh tốc độ của các phân tử của các loại khí khác nhau ở nhiệt độ, chẳng hạn như $300 \text{ K}$ với tốc độ vũ trụ thứ hai $v_{II} = \sqrt{2gR_3} = 11,2 \text{ km/c}$. Đối với hydro $v_H \approx 1,3 \text{ km/c}$, đối với helium $v_{He} \approx 1 \text{ km/c}$, đối với oxy và nitơ, tốc độ trung bình của các phân tử gần bằng $0,5 \text{ km/c}$. Thoạt nhìn, mọi thứ đều ổn. Vận tốc của khí nhỏ hơn vận tốc thoát thứ hai. Điều này có nghĩa là Trái đất có thể chứa bất kỳ loại khí nào trong nguyên tử của nó. Trên thực tế, các khí Atomferra vẫn thoát ra ngoài không gian rất chậm. Điều này xảy ra bởi vì nhiệt độ ở các lớp nguyên tử cao, như chúng ta sẽ sớm tìm hiểu, cao hơn nhiều so với nhiệt độ ở bề mặt Trái đất, nó đạt tới $1000 \text{ K}$ - tốc độ của các phân tử ở đó cao gấp đôi so với ước tính của chúng tôi. Mặt khác, chúng tôi ước tính tốc độ trung bình của các phân tử. Ở trạng thái cân bằng nhiệt, một vật thể cực lớn chuyển động với tốc độ gần bằng tốc độ trung bình. Tuy nhiên, luôn có một phần nhỏ các phân tử có tốc độ vượt quá đáng kể mức trung bình và đạt giá trị tốc độ vũ trụ thứ hai. Chính những phân tử nhanh này có thể rời khỏi Trái đất.

Ở một nhiệt độ nhất định, các phân tử hydro và heli có vận tốc trung bình nhất. Chúng bay vào vũ trụ dễ dàng hơn các loại khí khác và chúng dễ dàng vươn lên những tầm cao lớn hơn. Có vẻ như lượng khí này trong nguyên tử sẽ tăng lên và giảm đi. Nhưng điều này không xảy ra. Tại sao?

Hóa ra có những quá trình hỗ trợ các loại khí nhẹ này. Helium được hình thành trong lớp vỏ trái đất trong quá trình phân rã của các nguyên tố phóng xạ nặng. Và hydro trong Atomferr được hình thành từ nước. Dưới tác động của bức xạ cực tím từ Mặt trời, các phân tử $H_2O$ ở độ cao lớn hơn 50 km sẽ phân hủy thành hydro và oxy. Do đó, sự bay hơi của hydro vào không gian dẫn đến mất nước trên Trái đất và làm tăng hàm lượng oxy trong nguyên tử.

Mỗi giây có khoảng 1 kg hydro thoát ra khỏi nguyên tử ferra.

5

Cân bằng nhiệt của các hành tinh

Chúng ta đã thấy rằng nó phụ thuộc vào nhiệt độ trong không gian. Nhưng trước hết, nhiệt độ của khí quyển khiến chúng ta, những cư dân trên Trái đất, quan tâm từ quan điểm thực tế - điều kiện sống phụ thuộc rất nhiều vào nó.

Nguồn năng lượng nhiệt chính trên Trái đất là Mặt trời. Nhân loại luôn ý thức được điều này. Ví dụ, đây là cách nhà thơ Nga Aleksandr Sumarokov đã viết vào năm 1760:

Hỡi Mặt trời, bạn là cái bụng và vẻ đẹp của thiên nhiên, Nguồn gốc của sự vĩnh cửu và là hình ảnh của vị thần!
Thông qua bạn, Trái đất sống động, không khí sống động, nước sống động, Linh hồn của thời gian và vật chất!

Chúng ta hãy cố gắng định lượng những sự thật vĩnh cửu này. Mặt trời là một quả cầu có bán kính $R_C = 6,96 \times 10^8$ m, được đốt nóng bằng phản ứng nhiệt hạch; nhiệt độ bề mặt mặt trời $T_C = 5800$ K.

Mọi người đều biết rằng các vật thể nóng phát sáng và phát ra năng lượng. Vào cuối thế kỷ trước, các nhà vật lý người Áo Stefan và Boltzmann đã phát hiện ra định luật bức xạ: dòng năng lượng, tức là năng lượng phát ra trên một đơn vị thời gian trên một đơn vị diện tích bề mặt của vật thể, ở trạng thái cân bằng nhiệt (có nhiệt độ không đổi), tỷ lệ thuận với mức độ màu của nhiệt độ: $\varepsilon = \sigma T^4$, trong đó $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8}$ W/($\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{K}^4$) là hệ số tỷ lệ, được gọi là hằng số Stefan-Boltzmann.

Mặt trời không ở trạng thái cân bằng nhiệt hoàn toàn, nhưng đối với nó định luật Stefan-Boltzmann gần như được thỏa mãn. Theo định luật này, năng lượng do Mặt trời phát ra bằng

$$P_C = 4\pi R_C^2 \sigma T_C^4 \approx 3,8 \cdot 10^{26} \text{ Вт}.$$

Sức mạnh này được tỏa đều ra mọi hướng. Không khó để tính toán bao nhiêu trong số đó sẽ xuất hiện trên Trái đất. Ở khoảng cách $R = 1,5 \times 10^{11}$ m, bằng bán kính quỹ đạo trái đất, một công suất $P_C / 4\pi R^2$ rơi trên mỗi mét vuông bề mặt vuông góc với tia sáng.

Trái đất “che bóng” khu vực $\pi R_C^2$ trên bề mặt như vậy. Do đó, năng lượng nhận được từ Mặt trời tới Trái đất bằng

$$P = P_C \frac{\pi R_C^2}{4\pi R^2} = 1,75 \cdot 10^{17} \text{ Вт}.$$

Sức mạnh này được tiêu dùng ở đâu? Một phần của nó được Trái đất phản chiếu vào không gian. Mọi người đều biết rằng các hành tinh và Mặt trăng có thể nhìn thấy được trên bầu trời đầy sao chính xác là do ánh sáng mặt trời phản chiếu. Tương tự như vậy, khi di chuyển ra ngoài vũ trụ, bạn có thể nhìn thấy ánh sáng được Trái đất phản chiếu. Phần năng lượng ánh sáng phản xạ được gọi là albedo (từ tiếng Latin albus - màu trắng; suất phản chiếu giống như mức độ trắng). Độ chính xác mà ngày nay chúng ta biết về suất phản chiếu của hành tinh chúng ta là thấp. Albedo của Trái đất $A$ được cho là nằm trong khoảng từ 28 đến 36%. Phần năng lượng còn lại $P(1-A)$ đi đâu? Rõ ràng chính xác đây là lý do có một cơ thể trên hành tinh của chúng ta. Tuy nhiên, bức xạ mặt trời liên tục đến Trái đất và nếu không loại bỏ năng lượng, nhiệt độ của hành tinh sẽ không ngừng tăng lên. Do đó, chất dẫn nhiệt tồn tại. Nó được thực hiện bằng quá trình vật lý giống hệt như bức xạ của Mặt trời. Vâng, hãy tưởng tượng, cả Trái đất và các hành tinh khác cũng là nguồn bức xạ. Nhưng quang phổ của bức xạ này nằm trong những đám mây mà mắt thường không nhìn thấy được, trong phạm vi hồng ngoại.

Hãy tính nhiệt độ bức xạ nhiệt cân bằng của Trái đất, giả sử suất phản chiếu của nó là 0,28 (đây là sự thay đổi mới nhất của vệ tinh). Chúng ta cần đánh đồng sức mạnh của bức xạ mặt trời được Trái đất hấp thụ $P(1-A)$ với sức mạnh của bức xạ nhiệt từ Trái đất. Nếu nhiệt độ Trái đất là $T_3$ thì năng lượng phát ra từ bề mặt của nó là $4\pi R_C^2 \sigma T_3^4$. Vì thế,

$$P(1-A) = 4\pi R_C^2 \sigma T_3^4,$$

Ở đâu

$$T_3 = \left( \frac{P(1-A)}{4\pi R_C^2 \sigma} \right)^{1/4} = 258 \text{ K} = -15 \text{ °C}.$$

Không phải là một sương giá xấu! Nhưng chúng tôi

8

Hình 3. Nói lên sự cân bằng trong bầu không khí.
Một phần trăm năng lượng mặt trời cho phép các phân tử ở tầng ngoài và tầng nhiệt điện. Ba phần trăm khác cho phép tạo ra tầng ozone ở tầng bình lưu. Các vùng phía trên của tầng nhiệt điện, chứa hơi nước, bộc lộ phần hồng ngoại của quang phổ mặt trời. Còn lại 92 đơn vị nguồn analog đầu tiên.

Sức mạnh này, hầu hết đã ở trong phạm vi nhìn thấy được, thâm nhập vào các phần tử dày đặc của không khí. Một phần đáng kể của nó - khoảng 45 đơn vị - bị phân tán trong không khí. Các tia mặt trời nhận được - 47 đơn vị quang thông ban đầu còn lại - được truyền trực tiếp tới bề mặt Trái đất. Nó phản ánh lên trên khoảng 7 đơn vị. 40 đơn vị còn lại được đặt trên bề mặt Trái đất, cắt đứt sự tồn tại và đại dương.

đường đi của 100 đơn vị năng lượng mặt trời thông thường rơi xuống Trái đất.

Lưu ý rằng hình vẽ cho thấy dòng năng lượng 145 đơn vị phát ra từ bề mặt trái đất, trong khi dòng năng lượng mặt trời ban đầu chỉ là 100 đơn vị. Do đó, ở một mức độ tùy ý nào đó, điều này phản ánh thực tế rằng nhiệt độ trung bình của bề mặt trái đất là +15 °C, hay 288 K, và thông lượng phát ra từ bề mặt trái đất lớn hơn khoảng 1,45 lần so với 100 đơn vị ban đầu mà Mặt trời cung cấp cho chúng ta. Nhưng chỉ một phần bức xạ này thoát ra ngoài không gian. Phần năng lượng còn lại là 97 đơn vị - không đổi

Năng lượng ánh sáng bị phân tán trong khí quyển (tổng cộng 48 đơn vị) một phần là do nó (10 đơn vị) và phần còn lại được phân bổ giữa bề mặt Trái đất và không gian. Đồng thời, nhiều năng lượng đi vào không gian hơn là rơi xuống bề mặt - tới 30% diện tích bề mặt.

Chúng ta còn lại 65 đơn vị năng lượng, được lắng đọng và chuyển giao cho Tello trong khí quyển và trên bề mặt Trái đất: 3 trong số đó đã bắt đầu hoạt động, 4 đơn vị là hơi nước ở tầng nhiệt quyển phía trên, 10 đơn vị được lắng đọng trong cột chính của khí quyển và cuối cùng, 48 đơn vị được chuyển sang Tello trong đất và nước biển. Tất cả 65 đơn vị năng lượng này cuối cùng đã biến thành Tello và được phát vào không gian không phải ở vùng khả kiến ​​và tia cực tím mà bằng bức xạ Tello.

tuần hoàn giữa bề mặt Trái Đất và tầng nhiệt điện.

Cơ chế làm nóng bề mặt trái đất và các tầng thấp hơn của khí quyển đôi khi được gọi là hiệu ứng nhà kính. Quả thực, các quá trình tương tự đang bao phủ một nhà kính, làm nóng đất và nước. Nhưng nhiệt rất khó thoát ra - màng kính hoặc nhựa của nhà kính không cho không khí hoặc bức xạ hồng ngoại thoát ra ngoài; do đó, quá trình làm mát nhà kính diễn ra chậm.

Độ chính xác mà chúng ta biết ngày nay về dòng nhiệt được mô tả trong Hình 3 là thấp.

9

Tuy nhiên, sự cân bằng nhiệt như vậy là nguyên nhân hợp lý giải thích tại sao nhiệt độ bề mặt trái đất lại cao hơn nhiệt độ cân bằng của bức xạ trái đất.

Như đã đề cập, hiệu ứng nhà kính xảy ra do một lượng nhỏ hơi nước và carbon dioxide trong khí quyển Trái đất không truyền bức xạ hồng ngoại từ bề mặt Trái đất vào không gian. Hàm lượng CO₂ trong khí quyển hiện là 0,0337%. Và chỉ 20 năm trước nó còn dưới 0,0318%. Sự gia tăng này sẽ xảy ra do sự dịch chuyển ngày càng tăng của các loại nhiên liệu hữu cơ: dầu, than, khí đốt. Vậy hiệu ứng nhà kính có tiếp tục gia tăng không? Không phải Trái đất đang bị quá nóng sao?

Tất nhiên, sự suy giảm carbon bổ sung của khí quyển góp phần gây ra biến đổi khí hậu. Tuy nhiên, khí hậu không chỉ phụ thuộc vào nó. Ngoài ra, cần lưu ý rằng lượng CO₂ trong khí quyển tăng tương đối nhanh khi nhiên liệu bị đốt cháy - phần lớn lượng carbon dioxide bổ sung được hòa tan trong đại dương và được thực vật hấp thụ trong quá trình quang hợp. Đại dương chứa lượng carbon dioxide hòa tan gấp 30-100 lần so với khối lượng khí quyển và có khả năng hấp thụ nhiều hơn nữa. Sự gia tăng tỷ lệ carbon dioxide trong khí quyển là do quá trình hòa tan của nó trong đại dương diễn ra chậm so với việc cung cấp CO₂ từ quá trình đốt cháy nhiên liệu hữu cơ. Trong 50-100 năm tới, tài nguyên dầu mỏ sẽ cạn kiệt và nhân loại buộc phải chuyển sang sử dụng năng lượng hạt nhân. Khi đó vấn đề về carbon dioxide trong khí quyển sẽ được giải quyết một cách tự động.

Từ biên tập viên. Tất nhiên, ở một mức độ nhỏ thì không thể nói chi tiết về nhiều hiện tượng vật lý bắt nguồn từ bầu khí quyển Trái đất. Đối với những người quan tâm đến những vấn đề này, chúng tôi khuyên bạn nên đọc cuốn sách “Hành tinh của chúng ta - Trái đất” của A. V. Byalo, được Nhà xuất bản Nuuka xuất bản trong bộ “Thư viện lượng tử”.

Lịch của chúng tôi

Quy tắc Lenz

Năm 1831, nhà khoa học người Anh Faraday đã phát hiện ra hiện tượng cảm ứng điện từ, một hiện tượng minh họa rõ ràng khả năng “biến từ trường thành điện năng”. Trong các thí nghiệm của Faraday, dòng điện cảm ứng xuất hiện khi các dây dẫn chuyển động tương đối với nhau hoặc khi dây dẫn và nam châm chuyển động tương đối. Để xác định hướng của dòng điện, Faraday đã đưa ra hai quy tắc tương ứng: 1) dòng điện gây ra dòng điện ngược chiều trong dây dẫn song song đến gần nó và tạo ra dòng điện cùng hướng trong dây dẫn song song đến gần nó và tạo ra dòng điện cùng hướng trong dây dẫn bị loại bỏ; 2) một nam châm gây ra một dòng điện trong một dây dẫn chuyển động gần nó, tùy thuộc vào hướng mà dây dẫn, trong chuyển động của nó, đi qua các đường sức từ.

Làm quen với các tác phẩm của nhà khoa học người Anh, viện sĩ xuất sắc của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg Emilius Khristanovich Lenz (1804-1865) coi những quy tắc này là không thỏa đáng. Thật vậy, chúng có nội dung hình học thuần túy, chỉ mô tả các trường hợp đặc biệt và không bao quát toàn bộ các hiện tượng của nó.

Thay vào đó, Lenz đề xuất một quy tắc chung mà nhờ đó người ta có thể xác định chiều của dòng điện cảm ứng, bất kể dòng điện được cảm ứng như thế nào - bằng chuyển động của một dây dẫn hoặc một nam châm, hoặc bằng cách đóng hoặc cắt dòng điện trong một dây dẫn liền kề. Đây là quy luật mà Lenz đã đưa ra vào ngày 29 tháng 11 năm 1833, khi ông lần đầu tiên báo cáo khám phá của mình tại một cuộc họp của Học viện St. Petersburg:

“Nếu một dây dẫn kim loại được chuyển động bởi dòng điện hoặc nam châm, thì dòng điện sẽ xuất hiện trong nó theo hướng mà nếu dây dẫn đứng yên thì dòng điện có thể làm nó chuyển động theo hướng ngược lại; người ta cho rằng một dây dẫn đứng yên chỉ có thể chuyển động theo hướng chuyển động hoặc theo hướng ngược lại.” Lenz đã xác nhận một cách đáng tin cậy quy tắc mà ông đề xuất một cách đúng đắn thông qua một loạt các thí nghiệm thuyết phục.

Tất nhiên, công thức này không ngắn gọn như công thức hiện đại tương đương của quy tắc Lenz.

B. E. Yavelov

10

Về lợi ích của các con số
“pontine tinh vi”
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. G. GINDIKIN

Lịch sử hàng thế kỷ về sự phát triển hiểu biết của con người về các con số là một trong những khía cạnh nổi bật nhất trong quá trình phát triển văn hóa nhân loại. Trong nỗ lực mở rộng thế giới của những con số, nhiều động cơ khác nhau đan xen vào nhau một cách khó tách rời.

Phân số xuất hiện từ rất sớm - đã có ở người Ai Cập và người Babylon - rõ ràng có liên quan đến sự chuyển đổi sang phân số đo lường nhỏ hơn. Mối liên hệ của chúng với phép chia các số tự nhiên được hiểu một cách mơ hồ và thứ yếu hơn.

Người Hy Lạp nhận ra các con số thông qua quá trình đo lường hình học: đây là cách họ nhận ra sự tồn tại của các số vô tỷ (do không nhận ra đường chéo của hình vuông và các cạnh của nó) và xây dựng nên lý thuyết về “độ lớn” (như chúng ta nói ngày nay, lý thuyết về số thực dương) - một trong những đỉnh cao của hình học Hy Lạp. Một nét đặc trưng: chỉ các số tự nhiên mới được gọi là “số” và phần mở rộng của chúng được gọi là “cường độ”. Khía cạnh tính toán bị xếp xuống phía dưới và thường không được coi là đáng được các nhà khoa học chú ý. Plato, người nhiệt tình đảm bảo rằng bài toán thực tế không xúc phạm tinh thần thực sự của hình học, đã cười nhạo những người tính toán, “những người đổi một đơn vị lấy một đồng xu nhỏ” (đang tham gia vào phép chia).

Số âm xuất hiện vào thế kỷ thứ 5-6 trong toán học Ấn Độ và Ả Rập, nơi mà khía cạnh tính toán của vấn đề trở nên nổi bật. Và mặc dù khả năng giải thích các số âm, chẳng hạn như một khoản nợ trong các vấn đề về nội dung thương mại, đã được nhận ra từ khá sớm, nhưng thực tế cho đến nay vẫn chưa được thực hiện.

11

Cô ấy nói rằng chúng rất tiện lợi khi sử dụng trong cốc, điều này khiến cho việc giải thích như vậy trở nên khả thi. Để đơn giản hóa rất nhiều, chúng ta có thể nói rằng các máy tính coi số âm là số “ảo”, số không thực, thuận tiện sử dụng trong các phép tính trung gian do phép trừ khi không khả thi trong vùng số dương. Đồng thời, điều quan trọng là phải đảm bảo rằng chúng không vi phạm “quy tắc vệ sinh”: bạn có thể tin tưởng vào kết quả tích cực cuối cùng đáp số. Không có cuộc thảo luận nào về sự bằng nhau của số âm với nghiệm dương: trong trận chung kết đáp số, ngoại trừ những tình huống đơn giản nhất, số âm không xuất hiện. Các phiên bản khác nhau của tên của họ cho thấy một thái độ biểu cảm đối với họ: “sai”, “hư cấu”, “vô lý”, “không thể”, “tối thiểu”.

Tuy nhiên, số hạng sau đó đã phải “nhường chỗ” cho một loại số khác, xuất hiện một cách đáng ngạc nhiên trong toán học châu Âu đồng thời với việc xem xét nghiêm túc đầu tiên về số âm. Nhà sử học-toán học này là sự bắt chước của Gerolamo Cardano (1501-1576), một nhân cách sáng sủa và hay gây tranh cãi với thiên hướng tưởng tượng và thần bí cao độ, vốn đã khiến ông đi sai hướng từ lâu. Tuy nhiên, một người thực tế và thận trọng hơn sẽ khó có thể quyết định vào thời điểm đó về các công trình mà toán học nợ Cardano.

Các kết quả chính của Cardano liên quan đến việc nghiên cứu công thức của phương trình bậc ba lời giải, phương trình lần đầu tiên được Ferro (1465–1526) thu được và Cardano đã học được từ Tartaglia (1500?–1577) (để biết thêm chi tiết, hãy xem cuốn sách “Những câu chuyện về Vật lý và Toán học” của tôi (M., “Nauka”, 1981)).

Hãy nhớ lại rằng phương trình bậc ba tổng quát $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ có thể được rút gọn về dạng bằng cách thay thế $x = y - \frac{a}{3}$

$$x^3 + px + q = 0.$$ (1)

Chúng ta sẽ tìm lời giải của phương trình (1) ở dạng $x = y_1 + y_2$. Sau đó $x^3 = y_1^3 + y_2^3 + 3xy_1y_2$. So sánh với (1), ta thấy rằng nếu $y_1$ và $y_2$ thỏa mãn các đẳng thức $3y_1y_2 = -p$, $y_1^3 + y_2^3 = -q$ thì $x = y_1 + y_2$ là nghiệm của phương trình (1). Những $y_1$, $y_2$ rất dễ tìm: nếu $t_1 = y_1^3$, $t_2 = y_2^3$ thì theo định lý Vieta $t_1$ và $t_2$ là nghiệm của phương trình bậc hai $t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0$,

tức là, $t_{1,2} = -\frac{q}{2} \pm \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$,

Ở đâu

$$x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$$ (2)

công thức (2) hiện được gọi là công thức Cardano.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ rằng Cardano xem xét độ lớn theo số dương. (Ngoài ra, anh ấy không biết các ký hiệu đại số, điều này khiến mọi việc trở nên vô cùng khó khăn, đặc biệt là khi cố gắng xây dựng các quy tắc chung. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không bắt chước loại khó khăn này ở đây.) Posmotu Cardano nghiên cứu các phương trình một cách riêng biệt

$$x^3 + ax = b,$$ (3)

$$x^3 = ax + b,$$ (4)

$$x^3 + b = ax,$$ (5)

trong đó $a$, $b$ là dương. Anh ta không xem xét loại công thức thứ tư có thể có $x^3 + ax + b = 0$, vì một phương trình như vậy, rất indo, không có nghiệm (dương!).

Del Ferro đã đưa ra các quy tắc lời giải (3). Tartaglia đã khám phá lại quy tắc này và đưa ra quy tắc lời giải (4); ông đã xây dựng cả hai quy tắc dưới dạng một bài thơ và được truyền đạt cho Cardano.

Nói qua, lò cho biết lời giải được tìm kiếm ở dạng $x = \sqrt[3]{u} \mp \sqrt[3]{v}$ (trừ (3), cộng với (4)), trong đó, tương ứng, $u \mp v = b$, $uv = \left(\frac{a}{3}\right)^3$ (xem với (2)).

Phương trình (3) luôn có một nghiệm thực duy nhất và nghiệm này luôn dương (ngày nay có thể dễ dàng nhận thấy điều này từ biểu đồ) và

12

có thể dễ dàng tìm thấy theo quy tắc đã chỉ định.

Trong (4) cũng luôn có một nghiệm dương duy nhất $x$ và luôn luôn $x > \sqrt{a}$ (tại sao?).

Nếu $\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} = \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27} \geq 0$ (tương đương với $x \leq \frac{4a}{3}$), thì nghiệm được tìm theo công thức (2).

Trong trường hợp này không có rễ thực sự khác. Nếu $\Delta < 0$ thì trong (2) dưới căn bậc hai có một số phương Đông và công thức không thành công. Trên thực tế, trong trường hợp này (nó được gọi là không thể rút gọn), ngoài một gốc tích cực, nó còn có hai gốc phương Đông (có thể là nhiều). Tartaglia chắc chắn đã biết từ các ví dụ rằng ngay cả với $\Delta < 0$ một nghiệm dương của phương trình (4) có thể tồn tại, và Cardano đã khẳng định rõ ràng sự tồn tại của một nghiệm dương trong trường hợp tổng quát. Trường hợp tối giản của phương trình (4) đã đạt được rất nhiều ý muốn của cả Tartaglia và Cardano, nhưng chưa bao giờ tìm ra cách tìm ra nghiệm!

Đối với phương trình (5), nó dễ dàng rút gọn thành (4): các nghiệm của (5) khác với các nghiệm của (4) về dấu, và do đó, với $\Delta = \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27} > 0$ (5) không có nghiệm dương, và đối với $\Delta < 0$ (trong trường hợp tối giản) có hai nghiệm dương (và một nghiệm hướng một). Nhưng kiểu lập luận này vượt quá khả năng của các nhà toán học thế kỷ 15. Tartaglia viết rằng lời giải (5) giảm xuống lời giải (4), nhưng không đưa ra gợi ý nào về phương pháp giảm.

Cardano đã nghĩ ra một cách để đi từ (5) đến (4) khá gần với việc thay thế $x = -y$. Chúng ta đang tìm nghiệm dương $x$ của phương trình (5). Đặt $y$ là nghiệm dương của phương trình (4); nó luôn tồn tại, và $y \geq \sqrt{a}$ và, trong trường hợp tối giản, $y < \sqrt{\frac{4a}{3}}$. Thêm (4) và (5), chúng ta thu được $x^3 + y^3 = a(x+y)$, từ đó $x^2 - xy + y^2 = a(x+y) \neq 0$ ở vùng dương), $x_{1,2} = \frac{y}{2} \pm a - \frac{3y^2}{4}$. Kết quả là, đối với $y < \sqrt{\frac{4a}{3}}$, tức là trong trường hợp tối giản ($\Delta < 0$), chúng ta biểu thị qua nghiệm dương $y$ của phương trình (4) hai nghiệm dương của phương trình (5) (dương của chúng suy ra từ bất đẳng thức $y > \sqrt{a}$). Cardano lưu ý rằng $y = x_1 + x_2$, nghĩa là, trong trường hợp tối giản, nghiệm dương của phương trình (4) bằng tổng các nghiệm dương của phương trình (5).

Do đó, bằng cách nghiên cứu phương trình (5), Cardano đã cố gắng duy trì trong khuôn khổ nghiệm dương. Nhưng chính nhờ khoảng cách này mà ông hiểu được vai trò của rễ âm. Ông nhận ra rằng phương trình (5) luôn có nghiệm “sai” (âm) - $y$, rằng với $\Delta < 0$ tổng của tất cả các nghiệm của nó, bao gồm cả “false”, bằng 0, để phương trình này hợp lệ với $\Delta = 0$ người ta phải giả sử rằng phương trình (5) có nghiệm dương bội, phương trình (4) trong trường hợp tối giản có hai nghiệm “sai” và tổng tất cả các nghiệm của nó trong trường hợp này cũng bằng 0.

Cardano đã khái quát hóa phát biểu về tổng các nghiệm của một phương trình có ba nghiệm (đếm “sai”) thành các phương trình bậc ba tổng quát: tổng của các nghiệm khác dấu với hệ số tại $x^2$. (Phải nói rằng định lý nổi tiếng của Vieta, liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, đã được đưa ra muộn hơn.) Cardano là người đầu tiên làm việc với các nghiệm âm, và ông không chỉ thu hút sự chú ý đến khả năng xem xét chúng - ông còn cho thấy chúng đi vào lý thuyết của các phương trình đại số một cách hài hòa như thế nào. Với những kết quả này của Cardano, đại số theo nghĩa hiện đại của từ này đã bắt đầu.

Các kết quả của Cardano được thu thập trong cuốn sách “Nghệ thuật vĩ đại hay về các quy tắc của đại số” xuất bản năm 1545. Chương XXXVII của cuốn sách này có tên là “Về quy tắc xem xét những điều chưa biết sai”. Và nếu quy tắc đầu tiên trong chương này liên quan đến căn âm, thì quy tắc thứ hai nói: “Loại sai thứ hai lời giải

13

phương trình là nghiệm của một đại lượng âm. Tôi sẽ cho bạn một ví dụ. Nếu ai đó yêu cầu chia 10 thành hai phần, có độ dài thay đổi sẽ là 30 hoặc 40, thì rõ ràng trường hợp hoặc câu hỏi này là không thể. Nhưng chúng ta sẽ làm thế này: 10 chia đôi, một nửa sẽ là 5; nhân với chính nó, nó sẽ cho 25. Sau đó trừ đi 25 những gì mà biến đó sẽ thu được, chẳng hạn như 40, như tôi đã thông báo cho bạn điều này trong chương về hành động ở cuốn sách thứ 4; thì $m:15$ sẽ vẫn còn; nếu bạn lấy $R$ từ đây cộng với 5 và trừ đi 5, bạn sẽ có các phần biến đổi với nhau sẽ cho kết quả là 40. Do đó, các phần này sẽ là $5p:Rm:15$ và $5m:Rm:15$). Văn bản này không khó để giải mã. Chúng ta đang nói về phương trình $x(10-x)=40$, tức là $x^2-10x+40=0$. Người ta nói rằng gốc của nó sẽ là $5 \pm \sqrt{25-40} = 5 \pm \sqrt{-15}$. Người đọc có thể dễ dàng khôi phục ký hiệu được Cardano sử dụng.

Đây là cách các số phức xuất hiện lần đầu tiên trong toán học, điều mà Cardano gọi là “ngụy biện cầu não”. Cardano hoàn toàn không sử dụng những con số mới và có vẻ hơi nghi ngờ về chúng.

Có một điểm thú vị trong tất cả điều này. Người ta thường cho rằng (ví dụ, N. Bourbaki) rằng Cardano đã phát minh ra số phức trong khi cố gắng giải quyết tính ngẫu nhiên tối giản của phương trình bậc ba. Thực tế là nếu trong công thức (2) cho $\Delta<0$, bạn không ngại lấy căn bậc hai của một số âm, thì trong các phép tính tiếp theo, các phần tối thiểu sẽ bị loại bỏ và kết quả là đáp số chính xác, là một số thực*). Do đó, việc sử dụng số phức không chỉ giúp chứng minh công thức Cardano trong trường hợp tổng quát mà còn chắc chắn phát sinh trong định nghĩa bài toán về nghiệm thực của phương trình bậc ba với hệ số thực. Sẽ rất logic nếu Cardan dạy số phức vì lý do này. Nhưng không có bằng chứng nào cho thấy Cardano vượt xa các phương trình bậc hai khi làm việc với số phức. Kết quả là, các sự kiện lịch sử thường không phát hiện được những mối liên hệ “tự nhiên”!

Mối liên hệ giữa số phức và phương trình bậc ba tối giản đã được phát hiện, nếu không phải bởi Cardano thì cũng rất sớm. Điều này được thực hiện bởi người kế nhiệm trực tiếp của Cardano, kỹ sư đến từ Bologna Raphael Bombelli (c. 1530-1572), tác giả của cuốn Đại số nổi tiếng, xuất bản năm 1572. Trong số nhiều đặc tính, nghiên cứu có hệ thống về số phức (và số âm). Bạn có thể tìm thấy kết quả phù hợp ở Bombelli

$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1},$$

$$\sqrt[3]{52+\sqrt{-2209}}=4+\sqrt{-1}.$$

Điều thú vị là Bombelli đặt một cái tên đặc biệt cho $i$ (“pii de meno”; 1 anh ấy gọi là “pii”). Bombelli tự tin áp dụng số phức vào các phương trình bậc ba tối giản.

Công thức Cardano chứa các biểu thức có dạng $\sqrt[3]{\alpha \pm \sqrt{\beta}}$, trong đó $\beta$ có thể có bất kỳ dấu hiệu nào; Những biểu hiện này là những gì Bombelli khám phá. Đặt $\sqrt[3]{\alpha \pm \sqrt{\beta}}=u \pm \sqrt{v}$ (có nghĩa là từ (2) $x=2u$). Sau đó, $u^3+3uv=a$, $u^2-v=a^3\sqrt{a^2-\beta}$ và, nếu chúng ta đặt $\gamma=a^3\sqrt{a^2-\beta}$, cho $u$, bất kể dấu của $\beta$, phương trình $4u^3=3\gamma u+\alpha$ sẽ xuất hiện. Đặc biệt, trong công thức Cardano cho phương trình (4) chúng ta có $\alpha=\frac{b}{2}$, $\beta=\frac{b}{2})^2-\frac{a}{3})^3$, $\gamma=\frac{a}{3}$.

Bây giờ, một mặt, đã rõ cách căn thực được biểu thị thông qua căn bậc ba của số phức ($x=2u$), nhưng mặt khác, biểu thức của $x$ thông qua các bán kính thực vẫn không hoạt động, vì phương trình lập thể $4u^3=$

14

$$au + \frac{b}{2}, \text{ фактически совпадающие (подстановка } x=2u \text{) с исходным уравнением (4).}$$

Sau đó, Leibniz (1646-1716), người đã nghiên cứu các phương trình bậc ba từ cuốn sách của Bombelli, cuối cùng nhận ra rằng trong trường hợp tối giản thì không thể biểu diễn nghiệm của phương trình theo căn thức trong khi vẫn ở trong miền thực.

Vào đầu thế kỷ 17-17, số phận của những con số mới vẫn chưa được quyết định. François Viète (1540-1603), người thường được gọi là “cha đẻ của đại số” vì ông bắt đầu sử dụng các ký hiệu đại số (ký hiệu chữ cái cho các hệ số của một phương trình, chứ không chỉ cho ẩn số), đã cố gắng thực hiện không chỉ các nghiệm phức tạp mà còn không có các nghiệm âm. Đặc biệt, vì anh ấy xử lý sự tương ứng giữa nghiệm và hệ số (định lý Vieta), điều này không hề dễ dàng đối với anh ấy, nhưng anh ấy đã tìm ra lối thoát. Giả sử, nếu phương trình (5) có hai nghiệm dương $x_1$, $x_2$ và một nghiệm âm $x_3$ thì Vieta, cùng với các đẳng thức $x_1+x_2+x_3=0$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a$, $x_1x_2x_3=-b$ (bây giờ các đẳng thức này được gọi là công thức Vieta), chứng tỏ rằng $x_1^2+x_2^2+x_1x_2=a$, $x_1x_2(x_1+x_2)=b$ (chứng minh it!), không liên quan, không giống như Cardans, cả căn âm thứ ba lẫn căn dương của phương trình phụ (4). Có ý kiến ​​​​(N. Bourbaki) cho rằng việc bảo tồn tương đối của Vieta là do ông là một người ngưỡng mộ người xưa một cách kỳ lạ.

Chúng ta phải nhớ tới Vieta liên quan đến cách giải thích của ông về phương trình bậc ba tối giản. Việt là bậc thầy vĩ đại trong việc thu thập các phép tương ứng đại số với các phương tiện triometric. Khi nghiên cứu hàm lượng giác của nhiều góc, Việt quyết định sử dụng công thức $$\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$$ (6) cho phương trình bậc ba lời giải. Ông so sánh (6) với phương trình (4). Để làm cho sự so sánh này tùy ý hơn, chúng tôi thực hiện thay thế $a=3r^2$, $b=\alpha r^2$ trong (4). Trong ký hiệu này, trường hợp tối giản tương ứng với $r>\frac{a}{2}$, điều này làm cho việc thay thế $a=2r \cdot \cos v (0<v<\frac{\pi}{2})$ trở nên tự nhiên. Nếu chúng ta cũng thay thế cho ẩn số $x=2ry$, thì (4) trở thành phương trình

$$4y^3-3y=\cos v,$$

(nhờ (6), thỏa mãn $y=\cos \frac{v}{3}$, nghĩa là, với (4) chúng ta thu được biểu thức cho nghiệm dương $x_1=2r \cdot \cos \frac{v}{3}$. Rõ ràng là hai nghiệm âm bằng $x_{2,3}=2r \cdot \cos \left(\pm \frac{2\pi}{3}+\frac{v}{3}\right)$ và đối với phương trình (5) các phép tính tương tự là đúng, chỉ $\frac{\pi}{2}<v<\pi$ và $x_1$ là nghiệm âm và $x_2,x_3$ là âm (so sánh các biểu diễn này với nghiệm bằng phương pháp Kardanov chuyển từ nghiệm của phương trình (4) sang nghiệm của phương trình (5)).

Chúng ta hãy bỏ việc bắt chước cổ xưa một thời gian và viết lại công thức Vieta theo ký hiệu (1), (2). Nếu $\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ (trường hợp bất khả quy), thì cụ thể là $p<0$. Poling $r=\sqrt{-p/3}$, $\alpha=\frac{3q}{p}$ (sau đó $2r>a$), $v=\arccos \frac{\alpha}{2r}$, cuối cùng chúng tôi cũng nhận được

$$x=2\sqrt{-p/3}\cos \left(\frac{2\pi k}{3}+\frac{\arccos \frac{3q\sqrt{3}}{2p\sqrt{-p}}}{3}\right)$$

Vieth thực hiện tất cả các phép tính trong trường số thực, nhưng cách biểu diễn nghiệm của anh không chỉ liên quan đến các phép toán đại số mà còn cả các hàm lượng giác. Công thức của ông không mâu thuẫn với thực tế là không có biểu diễn đại số của nghiệm của một phương trình bậc ba tối giản. Công thức của Vieta chắc chắn phù hợp để hỗ trợ tính toán:

16

đồng ý với Girard: vào thời điểm đó “sự hữu ích” của những con số đầy đủ không hề bộc lộ dưới bất kỳ hình thức nào.

Định lý về nghiệm của một phương trình bậc $n$ cũng xuất hiện trên các trang “đại số” của dấu trong “Hình học” của Rene Descartes (1596-1650), xuất bản năm 1637 ở Leiden (cùng nơi với cuốn sách của Girard). Cuốn sách này đặt nền tảng cho hình học giải tích, nhưng văn bản về các phương trình đại số tổng quát cũng rất dễ đọc. Descartes không sử dụng các ký hiệu chữ cái cho các hệ số (như Viète đã làm) và buộc phải lấn sân sang phát biểu bằng các ví dụ; Descartes đã đưa ra ký hiệu $x$ cho ẩn số và từ đó hình thành ký hiệu hiện đại cho lũy thừa $x^3$, $x^4$ (tuy nhiên, cùng nhau $x^2$ vẫn được viết là $xx$). “Vì vậy, hãy biết,” Descartes viết, “rằng trong mỗi phương trình có thể có nhiều nghiệm khác nhau, tức là các giá trị của một đại lượng chưa biết, vì phương trình sau có thứ nguyên.”
Số mũ ở đây được gọi là “thứ nguyên”, bởi vì cách giải thích hình học của độ (vuông, lập phương) vẫn được ưu tiên hàng đầu. Hơn nữa: “Không, đôi khi người ta nghe nói rằng một số gốc rễ này là sai, hoặc ít hơn là không có gì.” Đúng như người ta mong đợi ở người sáng tạo ra hình học giải tích, Descartes tự tin xử lý các số âm. Ông nêu rõ tuyên bố, hiện được gọi là теоремой Безу (người sống muộn hơn nhiều - vào thế kỷ 18), cho cả nghiệm dương và nghiệm âm, điều này giúp ta có thể hiểu được mức độ của phương trình nếu biết được nghiệm. Sau đó, Descartes viết: “Tuy nhiên, cả căn đúng và căn sai không phải lúc nào cũng thực, mà đôi khi chúng chỉ ở mức tối thiểu (“tưởng tượng”; do đó có thuật ngữ “tối thiểu” - S.G.), nghĩa là bạn luôn có thể tưởng tượng ra bao nhiêu căn đúng như tôi đã nói, nhưng đôi khi không có giá trị nào tương ứng với gốc được tưởng tượng. Vì vậy, ví dụ, trong phương trình $x^3 - 6xx + 13x - 10\infty$ (Descartes đã sử dụng dấu $\infty$ cùng nhau rồi

tồn tại =) người ta có thể tưởng tượng ra ba gốc, nhưng trong số đó chỉ có một gốc là thực, đó là 2; đối với hai phần còn lại, chúng có thể được thông báo, giảm bớt hoặc nhân lên theo cách tôi vừa giải thích, nhưng đối với tất cả những điều đó, chúng chỉ ở mức tối thiểu.”

Chúng ta hãy chú ý đến hai sự thật: Descartes không cố chia vế trái của phương trình cho $x$—và đối với nghiệm phức $\alpha$ và do đó, chưa sẵn sàng xem xét các phương trình có hệ số phức (số phức đóng một vai trò hữu ích). Descartes có thể hiểu theo cách số phức có thể dương và âm, tức là ông chưa hiểu rằng số phức có thể được sắp xếp một cách tự nhiên! Sai lầm này của nhà khoa học vĩ đại cho thấy ý tưởng về số phức còn mơ hồ đến mức nào. Chúng tôi đã cung cấp những đoạn trích từ Descartes để chứng minh trong phiên bản tiên tiến nhất những ý tưởng về phương trình đại số và số phức đã được phát triển vào giữa thế kỷ 17.

Và sau đó, trong gần một thế kỷ rưỡi, các nhà khoa học toán học giỏi nhất đã tập trung vào việc tạo ra các phân tích toán học. Đại số, khi đó thực sự trùng khớp với lý thuyết về phương trình đại số, được nghiên cứu rất ít và các kết quả đại số trông có vẻ khiêm tốn so với các thành tựu giải tích. Có thể nói, sự xuất sắc của các nhà toán học chủ yếu nằm ở việc sử dụng đại số gắn với nhu cầu giải tích và hình học giải tích. Hãy cộng thêm rằng việc mở rộng đa thức thành polytel là cần thiết để giải thích các phân số hữu tỷ. Và chúng ta bắt đầu làm quen với số phức. Liên quan đến nhu cầu phân tích, thậm chí logarit của số phức cũng được xem xét.

Năm 1746, D’Alembert công bố chứng minh định lý cơ bản của đại số với một số bài toán nhưng có “lõi thực sự” (Gauss). Với công trình của Lagrange (1736–1813), một kỷ nguyên mới đã bắt đầu trong lý thuyết các phương trình đại số. Trình diễn-

17

Đáng chú ý là cả Lagrange và Euler (1707–1783) đều đặc biệt chú ý đến việc nghiên cứu công thức Cardan trong miền phức. Euler xem xét các hàm cơ bản của một biến phức và phát hiện ra mối liên hệ có trật tự giữa hàm mũ và hàm lượng giác. Đây là một bước cơ bản, vì trước đây số phức chỉ liên quan đến các phương trình đại số.

Trở lại đầu thế kỷ 18, một ví dụ quan trọng đã được phát hiện khi gốc compla không chỉ có thể được giới thiệu cho một bức tranh mà còn gắn liền với một nhiệm vụ thực tế cụ thể. Cotes và Muav đã phát hiện ra mối liên hệ giữa phương trình $x^n-1=0$ và bài toán cổ điển về chia hình tròn thành $n$ phần bằng nhau. Kết nối này rất đơn giản nếu bạn biết cách giải thích hình học của các số biên dịch (các căn bậc $n$ của 1 là các đỉnh của một $n$-giác thông thường).

Gauss (1777–1855) có thể đã biết cách giải thích này khi ông sử dụng mối liên hệ với phương trình $x^{17}-1=0$ để xây dựng một 17-giác đều đặn vào năm 1796. Tuy nhiên, trong ấn phẩm của ông, cũng như trong luận án của ông năm 1798, đã dành cho chứng minh chặt chẽ đầu tiên của định lý cơ bản của đại số (nó có một công thức thuần túy thực: bất kỳ đa thức nào có hệ số thực đều có thể khai triển thành tích của cùng các đa thức của không cao hơn cấp độ thứ hai), anh ấy không muốn sử dụng số tổng hợp. Năm 1811, trong một lá thư gửi Bessel, Gauss viết: “Giống như tất cả các đại lượng thực có thể được biểu diễn bằng một đường thẳng vô hạn, người ta có thể tưởng tượng vùng của tất cả các đại lượng, số thực và nhỏ, bằng một mặt phẳng vô hạn, trong đó mỗi điểm, được xác định bởi trục hoành $a$ và tọa độ $b$ của nó, được biểu diễn cùng lúc bằng độ lớn $a+ib$.” Gauss chỉ công bố kết quả này vào năm 1831. Các kết quả tương tự của những người cùng thời với Gauss ít được biết đến hơn hầu như không được thay thế: J. Arron (1806), K. Wessel (1798, tác phẩm vẫn chưa được biết đến trong suốt một trăm năm). Trong sự sáng tạo của các nhà toán học, việc giải thích hình học của các số phức đã biến một vật thể tưởng tượng thành một vật thể thực (nhân tiện, thuật ngữ “số phức” đã được đề xuất bởi Gauss).

Lịch sử toán học thế kỷ 19 không còn có thể tách rời khỏi số phức. Gauss, Cauchy, Jacobi, Abel, Riemann cho thấy rằng việc chuyển sang phân tích hàm của một biến phức giúp có thể khám phá những sự thật sâu sắc nhất mà không thể nhìn thấy trong miền thực.

Trong hình học, các phần tử “tưởng tượng” xuất hiện muộn hơn một trăm năm so với đại số. Gerard Desargues (1593-1662) phát hiện ra rằng nếu người ta đưa vào các điểm xa vô hạn “tưởng tượng” mà tại đó các đường song song “giao nhau”, thì sự song song thực sự trở thành một trường hợp giao nhau đặc biệt. Ở đây, bức tranh về nhiều mặt gợi nhớ đến tình huống với các số phức, điều này giúp tránh phải xem xét các trường hợp ngoại lệ. Victor Poncelet (1788-1867) gần hai năm sau (đây là ở Saratov, bị giam cầm sau Chiến tranh năm 1812) đã chứng minh rằng tất cả các vòng tròn đều “đi qua” hai điểm phức tạp ở xa nhau. Đây là thời điểm số phức xuất hiện trong hình học. Nhiều người tin rằng chúng mâu thuẫn với trực giác hình học đích thực (nhà hình học nổi tiếng Jacob Steiner (1796-1863) gọi chúng là “những bóng ma”, “vương quốc của bóng tối”). Tuy nhiên, không có sự lựa chọn nào khác - quá nhiều sự kiện hình học (thực tế) đã trở nên rõ ràng theo quan điểm phức tạp.

Triva đã chỉ ra số phức chiếm vị trí vô hạn trong toán học. Có lẽ con số này không nhiều so với mười thế kỷ vốn cho thấy sự vắng mặt của các số âm. Tuy nhiên, trong toán học phổ thông, vị trí của số phức (ngược lại với số âm) vẫn còn mong manh cho đến ngày nay.

18

Thiệt hại tối thiểu

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. T. FOMENKO

Khi nhà vật lý da trắng Joseph Plateau bắt đầu thí nghiệm nghiên cứu cấu hình của màng xà phòng vào thế kỷ 19, ông khó có thể tưởng tượng rằng chúng sẽ đóng vai trò là động lực cho sự xuất hiện của toàn bộ lĩnh vực khoa học đang phát triển nhanh chóng cho đến ngày nay và ngày nay được gọi là “Vấn đề cao nguyên”. Những thí nghiệm mà Plato từng thực hiện đã được chúng ta biết đến từ thời thơ ấu - hiếm ai chưa từng vui vẻ khi thổi bong bóng xà phòng hoặc chế tạo màng xà phòng để thắt chặt mạch dây.

Nếu bạn muốn làm màng xà phòng đẹp tại nhà (như những màng được thảo luận trong bài viết này), đây là một số mẹo thiết thực. Bạn cần: dây mỏng dẻo, xà phòng tuplet, một cốc hoặc bát nước và glycerin (bạn có thể làm mà không cần nó, nhưng dùng nó để tạo màng

ổn định hơn). Tạo những mảnh vụn nhỏ từ bốn miếng xà phòng, hòa tan trong nước ấm và thêm một thìa glycerin (nếu có). Tạo một vòng khép kín bằng tay cầm từ dây, hạ nó vào dung dịch và cẩn thận tháo nó ra; Bằng cách uốn cong đường viền một cách phức tạp, bạn có thể đa dạng hóa hình dạng của phim.

Khi chúng ta lấy mạch dây ra khỏi nước xà phòng, trên đó có một màng xà phòng cầu vồng tuyệt đẹp treo trên đó, được bao bọc bởi mạch điện này. Kích thước của phim có thể khá đáng kể, nhưng tất nhiên, phim càng lớn thì càng dễ bị vỡ dưới tác động của trọng lực. Ngược lại, nếu kích thước của đường viền nhỏ thì trong nhiều câu hỏi liên quan đến nghiên cứu màng xà phòng, trọng lực có thể bị bỏ qua. Chúng tôi sẽ sử dụng tình huống này trong tương lai.

Màng xà phòng được hình thành như thế nào?

Chúng ta hãy xem xét sự thay đổi tính chất của màng chất lỏng bị hư hỏng khi thêm xà phòng vào nó. Hình 1, a thể hiện bề mặt phân cách giữa hai môi trường: nước và không khí. Các mũi tên biểu thị lực hút lẫn nhau tác dụng giữa các phân tử nước phân cực, đặc trưng bởi sự phân bố điện tích không đối xứng. Có thể thấy rõ rằng chính những lực này đã gây ra sự xuất hiện của

19

sức căng bề mặt tại mặt phân cách của hai môi trường. Không giống như các phân tử nước, các phân tử xà phòng được hình thành bởi các chuỗi hydrocarbon dài, mỏng, không phân cực với nhóm oxy phân cực ở một đầu của chuỗi. Khi các phân tử xà phòng được thêm vào nước, chúng sẽ nổi lên bề mặt và lấp đầy nó bằng một lớp đồng nhất, mỗi lớp đều hướng với đầu không phân cực hướng ra ngoài (Hình 1.6). Bằng cách đẩy các phân tử nước bên trong ra xa, các phân tử xà phòng nhờ đó làm giảm sức căng bề mặt. Hóa ra sự tắc nghẽn này giúp màng bề mặt có thêm độ đàn hồi, điều này thể hiện ở thời điểm chúng ta hạ thấp và sau đó tháo mạch dây mỏng ra khỏi nước.

Trong thực tế, khi hệ thống dây điện chạm tới bề mặt (xem Hình 1.6, nơi thể hiện mặt cắt ngang của hệ thống dây điện), bề mặt phồng lên, bao bọc đường viền. Điều này xảy ra do thực tế là gần hệ thống dây điện, số lượng phân tử xà phòng tạm thời giảm (xem Hình 1.6), nghĩa là số lượng của chúng trên một đơn vị diện tích của màng giảm và do đó sức căng bề mặt tăng lên.

Bề mặt tối thiểu - mô hình màng xà phòng

Nguyên lý vật lý làm cơ sở cho sự hình thành màng xà phòng và điều chỉnh hành vi cũng như tính chất của chúng cực kỳ đơn giản: một hệ vật lý chỉ giữ lại một cấu hình nhất định khi nó không thể dễ dàng thay đổi nó sang vị trí có giá trị năng lượng thấp hơn. Năng lượng

Hình 1.

2*

20

bề mặt (màng xà phòng), thường được mô tả dưới dạng sức căng bề mặt của chất lỏng, là do sự hiện diện của lực hút giữa các phân tử riêng lẻ và sự mất cân bằng của các lực này ở ranh giới bề mặt. Sự xuất hiện của các lực không cân bằng kéo theo hiệu ứng thú vị sau: màng chất lỏng biến thành một bề mặt đàn hồi, có xu hướng giảm thiểu diện tích của nó và do đó giảm thiểu năng lượng căng thẳng trên một đơn vị diện tích. Trong trường hợp này, chúng ta bỏ qua trọng lực và áp suất không khí.

Do đó, mô hình toán học của màng xà phòng là một bề mặt nhẵn có diện tích tối thiểu bao bọc một đường viền cho trước: các nhà toán học gọi nó là bề mặt tối thiểu. Lý thuyết toán học cổ điển của các bề mặt này thuộc về cái gọi là phép tính biến phân, một lĩnh vực phân tích phát sinh vào thế kỷ 18. Ngày nay, các phương tiện cấu trúc liên kết và hình học vi phân hiện đại hơn được sử dụng để phát triển lý thuyết này. Tất nhiên, sử dụng toán học “trường học” không thể trình bày được lý thuyết; nhưng kết quả của nó rất dễ hình dung và thậm chí có thể được xác minh bằng thực nghiệm. Tuy nhiên, hình học tuyệt đẹp bài toán đã nảy sinh ở đây trong quá trình thực hiện, có thể được giải bằng toán tiểu học.

Hình 5.

Hình 6.

21

Những đường nét đơn giản nhất

Trước tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp khi đường viền không bị cong quá mạnh - cụ thể là khi nó có thể là một đối một*) được chiếu lên một đường viền lồi nằm trong một mặt phẳng nhất định. Sau đó, theo lý thuyết toán học, có một và chỉ một bề mặt tối thiểu trải dài trên đường viền đã cho. Khi đường viền này phẳng, “định lý tồn tại và duy nhất” có vẻ hiển nhiên: đường viền có thể được bao bọc bởi một phần của mặt phẳng mà nó giới hạn và bất kỳ bề mặt nào khác phụ thuộc vào nó sẽ có diện tích lớn hơn (Hình 2).

Các bộ phim khác nhau trên một mạch

Nếu chúng ta không giới hạn bản thân ở những đường viền đơn giản nhất được mô tả trong phần trước, thì định lý duy nhất không còn đúng: đôi khi hai bề mặt tối thiểu hoàn toàn khác nhau có thể được kéo dài trên cùng một đường viền. Một ví dụ đơn giản được thể hiện trong Hình 3; ví dụ này có thể dễ dàng được tái tạo bằng phim xà phòng. Xin lưu ý rằng đường viền trong Hình 6 không thể được chiếu “tốt” lên bất kỳ mặt phẳng nào: xuất hiện “các điểm kép” (như trong hình) hoặc toàn bộ các đoạn suy biến thành một điểm duy nhất.

Bài toán 1. Nghĩ ra các đường viền khác trải dài trên một số bề mặt tối thiểu. Có thể có nhiều hơn hai bề mặt như vậy không?

Nếu bạn nhầm lẫn quá nhiều về đường viền (ví dụ: bằng cách làm cho nó có nhiều nút thắt), thì không chỉ tính độc đáo của phim có thể bị phá vỡ mà bản thân cấu trúc của nó cũng có thể làm phức tạp nó. Cụ thể là, trong trường hợp tổng quát, “gần như chắc chắn” các điểm đặc biệt (hoặc điểm kỳ dị) xuất hiện—các điểm ở vùng lân cận mà màng không còn có cấu trúc giống như một đĩa (cong) mà có cấu trúc phân nhánh, phức tạp hơn. Điều này dễ thấy nhất nếu bạn sử dụng

*) Tức là không có hai điểm khác nhau của đường viền cùng nằm trên một điểm của mặt phẳng.

Đường viền với các nhánh

Đường viền đơn giản nhất như vậy được thể hiện trong Hình 4. Bề mặt tối thiểu phụ thuộc vào nó có toàn bộ một đoạn gồm các điểm kỳ dị, từ đó bề mặt phân nhánh thành ba tấm phẳng, tạo thành các góc 120° với nhau. Lý do của hiệu ứng này sẽ trở nên rõ ràng hơn với bạn nếu bạn giải được bài toán sau.

Bài toán 2. a) Nối ba điểm bằng các đoạn sao cho tổng độ dài của chúng là nhỏ nhất. Làm tương tự 6) cho các đỉnh của hình vuông, c) cho các đỉnh của một tứ giác tùy ý.

Đáp số đối với điều này bài toán được hiển thị trong Hình 5 và các phần có bề mặt tối thiểu tương tự được hiển thị trong Hình 6. Xin lưu ý rằng trong các câu trả lời, tất cả các góc đều là 120° và sự không nhất quán mới xuất hiện của bề mặt (Hình 6, 6 và 8).

Điều thú vị là những nỗ lực xây dựng một bộ phim tối thiểu trong đó số lượng tấm lớn hơn ba sẽ hội tụ ở bất kỳ khoảng đơn lẻ nào đều thất bại. Điều này được giải thích bởi sự cản trở hình học đơn giản. Giả sử rằng trên một đoạn nào đó có bốn tấm phim ghép lại với nhau. Xét một bề mặt trực giao với điều này

Hình 7.

Hình 8.

22

đoạn chữ ký (Hình 7). Khi đó, điểm đơn nhân bốn (tức là điểm tại đó 4 lá hội tụ) phân hủy thành hợp của hai điểm ba, vì độ dài của đường đứt nét gồm hai đường chéo lớn hơn độ dài của mỗi đường đứt nét trong số hai đường đứt nét còn lại được hiển thị trong Hình 7 (như bạn thấy nếu bạn giải được bài toán 2). Trong Hình 8, quá trình phân hủy này được thể hiện ở vùng lân cận của mặt cắt ngang màng.

Rõ ràng là việc tái cấu trúc bộ phim được mô tả đã làm giảm tổng diện tích của nó so với diện tích của bộ phim gốc. Bề mặt tối thiểu ở trạng thái cân bằng nguồn, cụ thể, công suất nhỏ của màng chỉ làm tăng diện tích của nó, do đó trạng thái cân bằng của mọi lực tác dụng lên mỗi điểm của màng phải bằng 0. Điều này áp dụng cho các điểm đặc biệt. Ở vị trí cân bằng, có đúng ba tấm hội tụ tại mỗi điểm, do đó tổng của ba tác dụng theo hướng của các tấm phải bằng không. Theo đó, các tờ phải hội tụ trên đoạn chữ ký chung của chúng ở góc 120°. Lý do tương tự cho thấy rằng nếu có nhiều hơn bốn tờ hội tụ trên một cạnh chung, thì bề mặt đó, cố gắng chiếm một vị trí có diện tích tối thiểu, sẽ được sắp xếp lại và cạnh chữ ký sẽ chia thành nhiều cạnh ba.

Bài 3. Vẽ đoạn thẳng có độ dài tối thiểu nối các đỉnh của một hình ngũ giác đều. Có bao nhiêu đường nét đứt khác nhau như vậy?

Các màng phân nhánh đẹp khác thu được nếu khung của khối tứ diện hoặc khối lập phương được phủ một lớp màng (Hình 9). Hãy chú ý đến các điểm kỳ dị mà tại đó một số cạnh kỳ dị hội tụ.

Bài toán 4. a) Tìm tất cả các góc giữa các mặt phẳng của bề mặt nhỏ nhất tiếp giáp với các cạnh của một tứ diện đều (Hình 9, a). 6) Tại giá trị nào x thì cạnh của hình vuông trung tâm của bề mặt co lại của hình lập phương sẽ nhỏ nhất (Hình 9, 6)?

Vấn đề 5*. 4 đường thẳng không thể hội tụ tại một điểm duy nhất của một bề mặt tối thiểu, nhưng tại? Còn năm thì sao?

Đường viền mở

Một đặc tính quan trọng của bề mặt là sự tương tác của nó với đường bao biên. Nhiều loại tương tác như vậy được nghiên cứu bằng phương pháp tôpô. Từ các đặc tính vật lý của các bề mặt tối thiểu, chúng ta thấy rằng chúng không được có “lỗ” hoặc lỗ thủng không tương tác với các ranh giới màng. Mặt khác, một “lỗ” như vậy dưới tác dụng của lực bề mặt

24

Dây xích chùng tạo thành một quỹ đạo neotour nối hai điểm treo và được gọi là dây xích. Bằng cách xoay nó quanh một trục nằm ngang, chúng ta sẽ có được một catenon. Để căn chỉnh nó với bề mặt được mô tả ở trên, bạn chỉ cần mở nó ra, hướng ổ cắm lên trên.

Lưu ý rằng hình nón có đỉnh ở gốc sẽ không phải là bề mặt tối thiểu. Hình 10, e cho thấy hình nón bị biến dạng như thế nào, cố gắng chiếm một vị trí có diện tích nhỏ nhất (có ranh giới cố định). Cấu hình tương ứng với vị trí này là catonde. Tình huống này có liên quan đến những hiệu ứng mà chúng ta đã làm quen khi nghiên cứu sự phân rã của các điểm gấp bốn thành tổng các điểm gấp ba. Trên thực tế, Hình 7 có thể được coi là quá trình biến đổi một “hình nón một chiều” được hình thành bởi hai đoạn giao nhau (đường kính của một vòng tròn chấm) thành một đường cong phức tạp hơn với hai điểm kỳ dị ba lần. Về nguyên tắc, một hiện tượng tương tự xảy ra trong trường hợp một hình nón hai chiều thông thường, nhưng chỉ ở đây đỉnh (điểm kỳ dị) của nó phồng lên thành một vòng tròn - cổ của catenon.

Trong cả hai trường hợp, quá trình biến dạng của màng (đường cong một chiều) làm giảm diện tích ban đầu (hoặc chiều dài trong trường hợp một chiều) và buộc các bề mặt (đường cong) phải có vị trí tối ưu, đặc trưng cho diện tích nhỏ nhất (dài).

Bề mặt tối thiểu trong tự nhiên

Hóa ra, các màng tối thiểu phổ biến rộng rãi trong tự nhiên vì chúng là bề mặt tiết kiệm nhất hình thành nên bộ xương của các sinh vật sống neotourian. Ví dụ điển hình nhất là bộ xương của các loài phóng xạ, động vật biển siêu nhỏ với hình dạng đa dạng và kỳ lạ nhất. Rõ ràng, người đầu tiên nhận thấy rằng sức căng bề mặt đóng một vai trò quan trọng trong việc tạo ra hình dạng của những sinh vật này là nhà khoa học người Anh D’Arcy Wentworth Tompson, tác giả cuốn sách “Sự phát triển và hình thức”. Radiolariン bao gồm các cục nguyên sinh chất nhỏ được bao bọc dưới dạng giống như bọt, tương tự như bong bóng xà phòng và màng. Vì những sinh vật này khá phức tạp nên nói chung, các bề mặt tối thiểu của chúng có nhiều điểm phân nhánh và gân phân nhánh, trên đó tập trung phần lớn chất lỏng tạo nên sinh vật. Sự tập trung chất lỏng dọc theo các gân phân nhánh và gần các điểm đặc biệt này được phản ánh trong màng xà phòng thật: chất lỏng chảy tự do từ màng xà phòng cho đến khi

25

gặp một cạnh nơi ba tấm phim hội tụ. Ở đây chất lỏng chảy chậm lại và lắng xuống, tạo thành các phân đoạn nước để lộ các cạnh đặc biệt của bề mặt tối thiểu một cách trực quan. Quá trình tương tự thực sự xảy ra ở những người phóng xạ. Sự tập trung chất lỏng dọc theo các gân phân nhánh làm cho các mảnh nước biển và muối rắn lắng đọng dọc theo các gân này và dần dần hình thành nên bộ xương rắn chắc của động vật. Hình dạng của bộ xương này có thể được hình dung nếu, trong khối bọt xà phòng, người ta chú ý đến các nhánh phân nhánh, tức là các đoạn mà các bong bóng khác nhau tham gia dọc theo đó. Các phân đoạn này được kết nối với nhau (đôi khi theo cách phức tạp) và tạo thành “xương sống chất lỏng” của bọt. Sau khi con vật chết, các mô mềm dần biến mất và chỉ còn lại một bộ xương cứng, được hình thành như mô tả.

Vì vậy, nó không gì khác hơn là một hình ảnh đông lạnh trực quan của một hệ thống gồm các cạnh phân nhánh và các điểm kỳ dị xuất hiện trên một bề mặt tối thiểu phức tạp, cũng bao gồm các khối đóng bị giới hạn bởi hình dạng của bong bóng xà phòng. Ngoài ra, thành tế bào cũng tích tụ muối nước biển, cũng đóng vai trò trong việc hình thành bộ xương vững chắc của radiolaria.

Hình 12 cho thấy hai bộ xương phóng xạ.

Hình 13 cho thấy hai bề mặt tối thiểu có bong bóng xà phòng và được kéo dài trên các đường viền được tạo thành bởi hệ các cạnh của một khối tứ diện đều và một khối lập phương. Sự giống nhau về hình dạng trong Hình 12*) và 13 cho phép. Có thể thấy rõ rằng các bộ xương phóng xạ tái tạo khá chính xác mô hình phân nhánh của các nhánh trên bề mặt tối thiểu.

Vai trò của bề mặt tối thiểu trong hóa học rất quan trọng, trong đó các bề mặt tương tác ở ranh giới của các môi trường khác nhau xác định tính chất và tốc độ của nhiều biến đổi hóa học. Ví dụ về các bề mặt tối thiểu là những màng mà tất cả chúng ta đều biết đến - đây là màng nhĩ của chúng ta; đây là những màng đóng vai trò là ranh giới của các tế bào sống; đây là những màng trong sinh vật sống ngăn cách cơ quan này với cơ quan khác, v.v.

Chủ đề thú vị này thu hút nhiều chuyên ngành về sinh học, hóa học và vật lý. Như chúng ta đã thấy, một số vấn đề toán học thú vị có liên quan đến các bề mặt cực tiểu. Công thức và nghiên cứu chính xác của họ cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về hiện tượng tự nhiên tuyệt vời (mặc dù có vẻ ngoài đơn giản) này.

*) Hình lấy từ sách: Ernst Haeckel, “Báo cáo kết quả khoa học về chuyến hành trình của tàu HMS Challenger trong những năm 1873-1876”.

28

Nhưng điều này hóa ra lại nằm ngoài khả năng của Archimedes và những người cùng thời với ông…
Nói chung, một phương trình có dạng
$$x^2 - Dy^2 = 1,$$
(6)
trong đó $D$ là số tự nhiên không phải là số chính phương $^*$), được gọi là phương trình Pell; Tất nhiên, đây là phương trình Diophantine, tức là một phương trình đại số với các hệ số nguyên, lời giải trong số đó được tìm kiếm trong miền số nguyên.

Làm thế nào để giải phương trình Pell?
Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là tìm kiếm trực tiếp: thay thế các số $x = 1, 2, 3, \dots$ lần lượt vào công thức $y = \sqrt{(x^2 - 1)/D}$ cho đến khi biểu thức căn thức trở thành một hình vuông chính xác. Sự vô ích của phương pháp này được thể hiện qua ví dụ đáng chú ý sau đây. phương trình
$$x^2 - 991y^2 = 1$$
có lời giải trong số nguyên, tuy nhiên trong số lời giải $(x_0, y_0)$ nhỏ nhất (!) $x_0$ của nó bằng nhau
379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.
Hơn nữa, trên máy tính mạnh nhất, nó không được thêm vào bằng vũ lực đơn giản!

Hóa ra các phân số liên tục cung cấp một công cụ rất thuận tiện cho phương trình lời giải Pell. Hãy để chúng tôi mô tả thuật toán (không cần chứng minh) lời giải.

Với mọi số tự nhiên $D$ không phải là bình phương của một số nguyên, phương trình (6) có số vô hạn lời giải trong các số nguyên dương $x, y$. Tất cả chúng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức
$$x + y\sqrt{D} = (x_0 + y_0\sqrt{D})^k,$$
$k = 1, 2, \dots$,
trong đó $x_0, y_0$ là lời giải với giá trị nhỏ nhất $y$. Để tìm lời giải $(x_0, y_0)$ nhỏ nhất, bạn cần phân tích số $\sqrt{D}$ thành phân số nguyên. Nếu như
$$\sqrt{D} = [a_0; a_1, \dots, a_n, 2a_0]$$
và $\frac{p_n}{q_n}$ là một phân số phù hợp của số $\sqrt{D}$ với số $n$ thì
$$p_n^2 - Dq_n^2 = (-1)^{n-1},$$
(7)
và nếu $n$ là số lẻ (độ dài của khoảng thời gian là số chẵn), thì
$$p_n = x_0, q_n = y_0$$
sẽ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

*) Nếu $D = m^2$, $m \in N$, thì phương trình (6) không có số nguyên lời giải - hãy nghĩ xem tại sao.

Nenny Pella. Nếu dấu chấm là số lẻ ($n$ là số chẵn), thì lời giải nhỏ nhất được tìm thấy theo công thức
$$x_0 + y_0\sqrt{D} = (p_n + q_n\sqrt{D})^2.$$
Ví dụ 3. Hãy tính khoảng cách cho phương trình
$$x^2 - 7y^2 = 1.$$
Từ khai triển $\sqrt{7} = [2; 1, 1, 1, 4]$ ta tìm được
$$\frac{p_3}{q_3} = 2 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} = \frac{8}{3}.$$
Vì dòng thời gian là số chẵn nên lời giải nhỏ nhất của phương trình $x_0 = 8, y_0 = 3$ và bất kỳ lời giải nào trong số tự nhiên đều được tính bằng công thức
$$x + y\sqrt{7} = (8 + 3\sqrt{7})^k,$$
$k = 1, 2, \dots$
Với $k = 2$ chúng ta có $x = 127, y = 48$.
Ví dụ 4. Giải phương trình
$$x^2 - 13y^2 = 1.$$
Khai triển $\sqrt{13}$ thành một phân số nguyên, ta được $\sqrt{13} = [3; 1, 1, 1, 1, 6]$
và $\frac{p_4}{q_4} = 3 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} = \frac{18}{5}$.
Độ dài của khoảng thời gian là chẵn nên lời giải nhỏ nhất được tìm thấy theo công thức
$$x_0 + y_0\sqrt{13} = (18 + 5\sqrt{13})^2 = 649 + 180\sqrt{13},$$
nghĩa là, $x_0 = 649, y_0 = 180$. Tổng quát lời giải có dạng
$$x + y\sqrt{13} = (649 + 180\sqrt{13})^k,$$
$k = 1, 2, \dots$
Bài 14. Tìm phương trình lời giải nhỏ nhất
$$x^2 - 61y^2 = 1.$$
Đáp số: $y_0 = 226 153 980$.
Lưu ý rằng tên của nhà toán học người Anh Pell (1610-1685) được gắn nhầm với phương trình (6), nhờ L. Euler. Trước Pell, phương trình này đã được các đồng tác giả của ông là J. Wallis và W. Bronker, cũng như người Pháp P. Fermat, xem xét. Đối với Archimedes bài toán về những con bò đực, nó chỉ được giải quyết vào năm 1880. lời giải () nhỏ nhất chứa 41 chữ số và tổng số con bò đực trong bài toán của Archimedes là theo thứ tự $10^{206 545}!$.)

*) Không, đây không phải là thừa số mà là dấu chấm than.

30

cao hơn

$$\frac{1}{3} \sqrt{D} (\ln D)^{-1},$$

và do đó, phát triển nhanh chóng khi tăng $k$. Các quan sát trên một lượng lớn tài liệu số ủng hộ giả thuyết rằng có vô số số $D$, không chia hết cho bình phương của số nguyên tố, mà độ dài của chu kỳ phân số liên tục $\sqrt{D}$ vượt quá $D^{\frac{1}{2}} - \varepsilon$ đối với bất kỳ số dương cố định nào $\varepsilon$.

Kết quả được sử dụng ở trên cho thấy chu kỳ của phân số liên tục $\sqrt{p}$ đối với các số nguyên tố $p$ có dạng $4k+1$ có ​​độ dài lẻ đã được Legendre chứng minh vào năm 1785. Sau đó, nhà toán học người Đức Dirichlet đã thiết lập một định lý tương tự cho các số $D=p \cdot q$, trong đó $p, q$ là các số nguyên tố với một số điều kiện nhất định. Chỉ gần đây, vào năm 1980, nhà toán học người Mỹ Lagaris đã tìm ra một thuật toán để xác định khả năng giải được theo số của phương trình (9) hoặc, tương đương, độ dài lẻ của một phân số liên tục đối với $\sqrt{D}$, trong khoảng $(\log D)^{5+\varepsilon}$ phép toán.

Phân số tiếp tục cho các số cụ thể

Ở trên chúng ta đã thấy các số vô tỷ bình phương và chỉ chúng mới có thể được khai triển thành các phân số liên tục tuần hoàn. Vì vậy, có một sự rõ ràng nhất định trong cấu trúc của các phân số liên tục của vô tỉ bậc hai. Một cách tự nhiên, người ta sẽ hỏi những lớp số vô tỷ nào khác có khả năng khai triển rõ ràng tương đương thành các phân số liên tục. Đạt yêu cầu đáp số không cho câu hỏi này.

Ví dụ, đối với số $\sqrt[3]{2}$ do схх vẫn chưa biết liệu các phần không đầy đủ $a_0, a_1, a_2, \dots, a_k$, … việc mở rộng thành phân số liên tục sẽ bị hạn chế hay không

$$\sqrt[3]{2} = a_0 + \frac{1}{|a_1|} + \frac{1}{|a_2|} + \dots$$

Vài nghìn số đầu tiên $a_0, a_1, \dots$ được tính toán trên máy tính

Đây là những cái đầu tiên trong số đó:

$$\sqrt[3]{2} = [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, 12, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 14, 3, 12, 1, 15, 3, 1, 4, 534, 1, 1, 5, 1, 1, 121, 1, 2, 2, 4, 10, 3, 2, 2, 41, 1, 1, 1, 3, 7, 2, 2, 9, 4, 1, 3, 7, 6, 1, 1, 2, 9, 2, 3, 3, 1, 1, 69, 1, 12, \dots]$$

Từ sự phân tách này, rõ ràng là chuỗi $a_0, a_1, \dots$ hoạt động như một chuỗi giới hạn và chỉ những “ngoại lệ” (ví dụ: 534, 121) ở một số vị trí nhất định mới vi phạm bức tranh này.

Hơn nữa, cho đến khi cxx không biết một số đại số nào không phải là số vô tỷ bình phương, thì sẽ có đủ thông tin về phân số liên tục của nó.

Điều đặc biệt quan tâm là sự mở rộng phân số liên tục của các hằng số cổ điển tân cổ điển. Số lượng các hằng số mà việc khai triển thành phân số liên tục đã biết là rất nhỏ.

L. Euler đã tìm thấy sự khai triển của số $e$ thành một phân số liên tục

$$e = 2 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|2|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|4|} + \dots,$$

trong đó luật chuyển đổi thương số không đầy đủ $a_0, a_1, \dots$ là:

$$a_0 = 2, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 4, \dots, a_{3m} = a_{3m-2} = 1, a_{3m-1} = 2m, m = 1, 2, \dots$$

Chúng ta hãy nhớ lại điều đó

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 2,718281828459045 \dots$$

Việc rút ra sự tương ứng (10), tuy không khó nhưng không phải là sơ cấp. Lưu ý rằng không ai biết khai triển phân số liên tục “tốt” tương tự cho số π.

Ở đây chúng ta chỉ nói về một phần nhỏ của các bài toán trong đó phân số liên tục xảy ra. Trên thực tế, phạm vi ứng dụng của chúng, đặc biệt khi toán tử được sử dụng để giải tích với các phân số chức năng, là rất rộng. Đây là một lĩnh vực toán học phong phú và phức tạp và còn lâu mới hoàn thiện.

31

Chuỗi xoắn DNA trái

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
M. D. FRANK-KAMENETSKY

Ba mươi năm đã trôi qua kể từ năm 1953, J. Watson và F. Crick đã đề xuất mô hình cấu trúc của phân tử DNA. Và trong suốt thời gian qua, chuỗi xoắn kép DNA đã thu hút sự chú ý lớn từ các nhà vật lý và toán học, nhà hóa học và nhà sinh học, bác sĩ và dược sĩ. Sự quan tâm như vậy là hoàn toàn dễ hiểu - xét cho cùng, một phân tử DNA nửa chiều ở dạng một chuỗi đơn vị đơn phân (nucleotide) nhất định chỉ gồm bốn loại chứa tất cả thông tin di truyền và chứa sơ đồ cấu trúc của toàn bộ sinh vật sống.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng, theo mô hình Watson-Crick, phân tử DNA bao gồm hai chuỗi polymer được xoắn thành một chuỗi xoắn kép, hay đúng hơn là thành một chuỗi xoắn. Đặc điểm là việc xoắn dây xích là quy luật, tức là cũng giống như với vít hoặc vít thông thường.

Trong nhiều năm, các nhà khoa học đã tin chắc rằng đây là cấu trúc duy nhất DNA có thể có cả trong tế bào và trong ống nghiệm ở điều kiện bình thường. Điều này đã được xác nhận bởi nhiều thí nghiệm được thực hiện bằng nhiều phương pháp vật lý khác nhau. Tuy nhiên, vào năm 1979, một nhóm các nhà khoa học Mỹ thuộc Viện Công nghệ Massachusetts đã bất ngờ phát hiện ra một dạng mới của phân tử

ADN. Đây dường như là khám phá quan trọng nhất trong lĩnh vực cấu trúc DNA kể từ công trình của Watson và Crick.

Các nhà khoa học đã làm việc với các phân tử rất ngắn chỉ gồm sáu nucleotide (do đó chúng được gọi là hexanucleotide) thuộc hai loại - cytosine (C) và guanine (G):

Tsgtsgtsg
GCGCGC,

và lần đầu tiên họ đã thu được các tinh thể thực sự từ các phân tử DNA.

Được biết, hiện nay phương pháp chính xác nhất để nghiên cứu cấu trúc bên trong của tinh thể là phân tích CẤU TRÚC THUÊ. Phương pháp này dựa trên hiện tượng nhiễu xạ sóng. Bằng cách phân tích mẫu nhiễu xạ thu được từ một tinh thể, bạn có thể tìm ra mọi thứ về nó - sự sắp xếp của các phân tử trong tinh thể là gì và các nguyên tử được “xếp” như thế nào bên trong các phân tử.

Thật là bất ngờ đối với các nhà khoa học Mỹ khi sau khi nhận được tất cả dữ liệu cần thiết và thực hiện các phép tính rườm rà trên máy tính, cuối cùng họ đã tìm ra cấu trúc của hexanucleotide. Hóa ra cấu trúc đầu tiên được xác định bằng phương pháp phân tích CẤU TRÚC THUÊ rất khác với mô hình Watson-Crick. Và trước hết, chúng ta hướng xoắn dây chuyền thành hình xoắn ốc. Trong hexanucleotide, nó không phải bên phải mà là bên trái! Có những khác biệt khác giữa hình dạng mới này, được gọi là hình chữ Z, và hình dạng cổ điển, hiện được gọi là hình chữ B.

Vậy mô hình Watson-Crick có sai không?! Không, tuyên bố phạm trù như vậy không xuất phát từ khám phá của các nhà khoa học Mỹ. Các nghiên cứu về các phân tử DNA ngắn khác được thực hiện trong những năm gần đây đã chỉ ra rằng dạng Z chỉ có thể chứa các phân tử trong đó mỗi chuỗi bổ sung chỉ chứa các nucleotide thuộc loại C và G. Tất cả các trình tự khác là tùy ý

(Cuối cùng xem trang 38)

33

Máy bơm này cho phép khái niệm áp suất khí trong ống được bơm lên đến vài milimét của cột đường dẫn. Nếu ở áp suất này, một điện áp cỡ 1000 V được đặt vào các điện cực đặt trong chất khí thì sự phóng điện phát sáng sẽ bùng phát trong ống (Hình 2).

Để một dòng điện đáng chú ý chạy trong chất khí, cần phải có đủ số lượng chất mang dòng điện - các ion và electron tự do. Chúng phát sinh như thế nào?

Khi đặt một điện áp vào các điện cực, một số lượng nhỏ các hạt tích điện luôn tồn tại trong chất khí sẽ được gia tốc bởi điện trường và tạo thành các electron và ion mới. Về cơ bản, quá trình này xảy ra theo hai cách: thứ nhất, do tác động của các electron mang năng lượng lên các phân tử khí và sự ion hóa của chúng, và thứ hai, do các ion được gia tốc bắn phá cực âm và đánh bật các electron tự do mới ra khỏi nó.

Ngoài quá trình ion hóa các phân tử khí, còn xảy ra các quá trình khác như sự phóng điện - kích thích của các phân tử trung tính và sự tái hợp của các ion và electron. Chúng làm cho khí phát sáng.

Sự phóng điện phát sáng có thể rất đỏ. Bạn có thể dễ dàng xác minh điều này bằng cách nhìn vào đèn quảng cáo bằng đèn gas. Trong đó, neon cháy với ánh sáng đỏ cam rực rỡ và argon với ánh sáng xanh lam.

Nhưng hãy quay lại với bóng đèn của chúng ta. Hóa ra là nếu bạn bắt đầu đưa điện cực và cực âm lại gần nhau hơn trong ống thì cột phát sáng trước tiên sẽ giảm đi và sau đó hoàn toàn tiếp tục dương. Chính ở dạng “rút gọn” này mà sự phóng điện tồn tại trong bóng đèn.

Để nó phát sáng ở điện áp không cao lắm, các điện cực của bóng đèn được phủ một chế phẩm đặc biệt có chứa muối lithium và bari. Dưới tác động của ion, cực âm như vậy dễ dàng nhường electron và điện áp đánh lửa giảm. Đối với bóng đèn TH-0.2-2 thì điện áp chỉ là 80-90 V. Màu phát sáng của nó có thể là đỏ hoặc đỏ nhạt.

Hình 3.

34

sơ đồ không cho phép chúng ta chứng minh điều này.

Nếu bạn thực hiện thí nghiệm này trong một căn phòng thiếu sáng, sau đó chiếu sáng bóng đèn bằng ánh sáng rực rỡ, chẳng hạn như sử dụng đèn mạnh và thấu kính tập trung chùm sáng vào bóng đèn, thì điện áp đánh lửa sẽ giảm đáng kể. (Bạn sẽ phải quan sát cẩn thận khi bóng đèn nhấp nháy - trong ánh sáng chói, ánh sáng của nó hầu như không đáng chú ý.) Sự giảm điện áp xảy ra do ánh sáng chiếu vào các điện cực được phủ một thành phần kết dính, đánh bật các electron ra khỏi chúng và do đó góp phần bắt đầu phóng điện. Vì vậy, bóng đèn có thể hoạt động như một loại phần tử nhạy cảm với ánh sáng.

Người đọc có cơ hội độc lập nghĩ ra các mạch sử dụng đặc tính này của bóng đèn.

Bóng đèn di cư

Việc điện áp đánh lửa phóng điện trong bóng đèn neon cao hơn điện áp đốt cháy khi vận hành khiến người ta có thể chế tạo một máy tạo dao động đơn giản bằng bóng đèn. Một trong các mạch có thể được hiển thị trong Hình 4. Mạch sử dụng tụ điện có giá trị C = 1 μF, được thiết kế cho điện áp lên đến 300 V; điện trở bằng R₁=1 kOhm và R₂=47 kOhm; diode D có thể thuộc bất kỳ loại nào, miễn là điện áp ngược của nó lớn hơn 350 V (về nguyên tắc, bạn có thể làm việc với bộ chỉnh lưu được đề cập trong thí nghiệm trước).

Máy phát điện hoạt động như sau. Thời điểm nó được bật, tụ điện bắt đầu tích điện qua một điện trở có điện trở R₁. Trong trường hợp này, bóng đèn không sáng (điện trở của nó có thể coi là vô cùng lớn). Theo thời gian, điện áp trên các tấm tụ tăng lên. Khi nó bằng U₃agig, bóng đèn sẽ nhấp nháy, điện trở của nó giảm mạnh và tụ điện bắt đầu tích điện qua bóng đèn và điện trở thứ hai. Trong mạch của chúng tôi, quá trình này xảy ra với tốc độ nhanh hơn quá trình sạc và tiếp tục cho đến khi điện áp trên bóng đèn giảm xuống điện áp phóng điện U₃aschen (≈60 V). Đèn sẽ tắt và chu trình sẽ lặp lại. Nếu chúng ta sử dụng máy hiện sóng thì trên màn hình của nó chúng ta có thể thấy một hình ảnh tương tự như hình 4.

Bằng cách thay đổi các giá trị của điện dung C và điện trở R₁ và R₂, bạn có thể nhận được các khoảng thời gian chớp nhoáng khác nhau và sự phát triển của giá trị chu kỳ dao động T.

Ví dụ, bộ tạo được mô tả (được cải tiến theo nhiều cách khác nhau) có thể được sử dụng để tạo ra một bộ tạo âm thanh. Để thực hiện việc này, bạn cần kết nối điện thoại song song với bóng đèn thông qua một tụ điện khác (ví dụ: TOH-1). Đặc biệt, với một thiết bị như vậy, bạn có thể quan sát và cảm nhận độ nhạy của bóng đèn neon với ánh sáng.

Để kết luận, chúng tôi muốn khuyên độc giả quan tâm đến các thí nghiệm với đèn neon hãy làm quen với cuốn sách “Thiết kế trên đèn neon” của V. F. Shilov. Nó chứa mười kế hoạch dành cho học sinh nghiệp dư trên đài phát thanh hoàn thành.

35

Định lý và tô màu mặt phẳng
Van der Waerden về sự tiến triển
S. N. BESPOMYATNYKH

Trong lưu ý này, chúng tôi sẽ chứng minh tính tổng quát hóa cực độ sau đây của kết quả bài toán M750.

Định lý tô màu. Hãy tô mỗi ô của một tờ giấy ca rô vô hạn bằng một trong N màu. Sau đó, đối với bất kỳ tập hợp ô $a_1, \dots, a_l$ nào cũng có một tập hợp các ô có màu giống hệt nhau $b_1, \dots, b_l$, tương tự như tập hợp ô đầu tiên theo nghĩa (xem Hình 1) $B_i B_j = d A_i A_j$ với tất cả i, j=1, …, l, $e d e A_1, \dots, A_l, B_1, \dots, B_l$ lần lượt là tâm của các ô $a_1, \dots, a_l, b_1, \dots, b_l$ và d là một số tự nhiên nào đó; nói cách khác, các hình được tạo bởi tâm của các ô $b_1, \dots, b_l$ và $a_1, \dots, a_l$ tương ứng với d.

Hình 1.

Hơn nữa, một tập hợp ô như vậy có thể được tìm thấy trong bất kỳ hình vuông $m \times m$ nào, trong đó m là một số đủ lớn tùy thuộc vào số lượng màu N và tập hợp $a_1, \dots, a_l$ đã cho.

(Xin lưu ý: “sự giống nhau của các tập hợp ô” không có nghĩa hoàn toàn giống với khái niệm thông thường về “sự giống nhau của các hình”!).

Lịch sử của định lý này rất thú vị. Năm 1928, một nhà toán học làm việc tại một trung tâm toán học lớn - Göttingen, đã phải đối mặt với câu hỏi sau: liệu có thể nói rằng đối với bất kỳ phép chia nào của tập hợp số tự nhiên thành hai phần (hoặc thành một số hữu hạn các phần), mặc dù ở một trong số chúng sẽ có một cấp số cộng có độ dài cho trước lớn tùy ý? Gần như có vẻ rất tích cực rằng đáp số ở đây là tích cực. Tuy nhiên, không thể chứng minh được điều này, bất chấp sự đơn giản rõ ràng của bài toán, và chẳng bao lâu nó đã trở thành chủ đề được mọi người quan tâm. Người đầu tiên bổ sung mô-đun này là người Hà Lan B. L. Van der Waerden, người sau này trở thành nhà toán học nổi tiếng. Sau vài tuần làm việc, ông đã tìm ra một bằng chứng không đơn giản nhưng hoàn toàn cơ bản, dựa trên việc sử dụng khéo léo quy nạp toán học và “nguyên lý Dirichlet” (ví dụ, xem «Kvant», 1977, số 2, trang 17). Vào những năm 1940, định lý Van der Waerden được mở rộng cho trường hợp n chiều; định lý tô màu là trường hợp có chiều n=2.

Đây là một công thức của định lý Van der Waerden, phần nào khái quát hóa định lý bài toán ban đầu.

Đối với bất kỳ số N và l nào, người ta có thể chỉ định một số m=m (N, l) sao cho nếu một đoạn của chuỗi tự nhiên có độ dài m được phân chia tùy ý thành N lớp thì ít nhất một trong số chúng chứa cấp số cộng có độ dài l.

Chúng ta hãy chỉ ra cách suy ra định lý này từ định lý tô màu. Lấy m số tự nhiên liên tiếp bất kỳ và đánh số các cột của hình vuông $m \times m$ theo chúng; chia những số này thành N lớp là có thể so sánh được

36

tô màu hình vuông bằng $N$ màu, trong đó tất cả các ô của tất cả các cột có số nằm trong cùng một lớp sẽ nhận cùng một màu (Hình 2). Bây giờ đặt $a_1, \dots, a_1$ là một hàng ngang gồm $l$ ô liên tiếp. Sau đó, theo định lý tô màu, đối với $m$ đủ lớn, trong hình vuông của chúng ta có một tập hợp các ô liên kết đơn $b_1, \dots, b_l$, một tập hợp tương tự $a_1, \dots, a_l$, tức là một hàng ngang các ô cách đều nhau. Rõ ràng là số cột chứa các ô $b_1, \dots, b_l$ tạo thành cấp số cần thiết (sự khác biệt $d$ của cấp số này bằng “hệ số tương tự” của các bộ $a_1, \dots, a_l$ và $b_1, \dots, b_l$).

Chuyển sang phần chứng minh định lý tô màu, các điều kiện cần xem xét không phải là các tập ô $a_1, \dots, a_l$ tùy ý mà là các lưới “chuẩn” - chẳng hạn như trong Hình 3. Rõ ràng là điều này sẽ không xây dựng tính tổng quát, bởi vì bất kỳ tập hợp ô nào cũng có thể được hoàn thành thành một “tiêu chuẩn” và nếu câu lệnh

Hình 2.

Hình 3.

Nếu định lý được chứng minh cho tập bổ sung - “tiêu chuẩn” - thì nó cũng sẽ hoàn chỉnh cho tập ban đầu. Tập hợp các ô tương tự như tập hợp “chuẩn”, gọi là hệ số tương tự - hệ số chuỗi; chuỗi hình vuông sẽ được gọi là tập hợp các ô vuông tắc nghẽn bao gồm các ô của bảng vô hạn của chúng ta, các ô phía dưới bên trái tạo thành một chuỗi (rõ ràng, bất kỳ ô tương ứng nào của các ô vuông như vậy cũng tạo thành một chuỗi). Cuối cùng, hai hình vuông có màu đồng nhất được gọi là có màu giống hệt nhau, nghĩa là màu sắc của chúng trùng nhau trong quá trình chuyển song song kết hợp các hình vuông.

Vì vậy, chúng ta phải chứng minh rằng, bất kể các số $N$ và $l$, đối với một $m = m(N, l)$ đủ lớn trong hình vuông $m \times m$, được tô màu tùy ý bằng các màu $N$, sẽ luôn có một chuỗi đơn sắc $b_1, \dots, b_l$ có độ dài $l$.

Việc chứng minh sẽ bằng quy nạp trên $l$.

Rõ ràng, đối với $l=1$, chúng ta có thể lấy $m(N, 1)=1$ và đối với $l=2-m(N, 2)=N+1$ (nguyên lý Dirichlet!). Bây giờ chúng ta giả sử rằng phát biểu của định lý đúng với chuỗi độ dài $l$ với mọi góc lớn hơn $N$, và chúng ta sẽ chứng minh điều đó cho chuỗi độ dài $l+1$.

Đầu tiên chúng ta hãy giải thích ý tưởng của bằng chứng. Giả sử có một chuỗi $l+1$ hình vuông $K_1, K_2, \dots, K_{l+1}$ và trong mỗi hình vuông $K_i$, một chuỗi $l+1$ ô $b_{i,1}, b_{i,2}, \dots, b_{i,l+1}$ được chọn và các chuỗi này nằm ở vị trí bằng nhau trong các ô vuông (xem Hình 4, trong đó $l=4$). Sau đó, từ các ô $b_{i,j}$ có thể tạo thành một chuỗi $l+1$ khác có dạng $b_{1,j}, b_{2,j}, \dots, b_{l+1,j}$ ($j=1, \dots, l+1$) - trong Hình 4, một chuỗi như vậy cho $j=l+1$ được hiển thị bằng màu hồng - và một chuỗi khác $b_{1,1}, b_{2,2}, \dots, b_{l+1,l+1}$ với hệ số lớn hơn một chút - những ô này được khoanh tròn trong hình. Nếu biết rằng các hình vuông $K_{1,b}, \dots, K_{l,b}$ cùng loại và các ô $b_{1,1}, b_{1,2}, \dots, b_{1,l}$ (và cùng với chúng là tất cả các ô $b_{i,j}$, trong đó $i, j \leq l$) có cùng màu, thì trong mỗi chuỗi trong số ba chuỗi: $b_{1,1}, b_{1,2}, \dots, b_{1,l+1}$ (chuỗi trong hình vuông $K_1$), $b_{1,1},$

37

Hình 4.

$b_{2,2}, \dots, b_{l+1,l+1}$ (chuỗi có khung) và $b_{1,l+1}, b_{2,l+1}, \dots, b_{l+1,l+1}$ (“sê-ri màu hồng”) tất cả các ô, có lẽ ngoại trừ ô cuối cùng, đều được liên kết đơn và các ô ngoài cùng là hai trong số các ô $b_{1,1}, b_{1,l+1}$ và $b_{l+1,l+1}$ (chúng được đặt trong hình *)). Do đó, nếu trong số ba ô này, chúng ta tìm thấy hai ô được liên kết đơn, chúng ta sẽ nhận được một chuỗi liên kết đơn có độ dài $l+1$. Điều này chắc chắn sẽ đúng, theo nguyên lý Dirichlet, trong trường hợp có hai màu. Trong trường hợp có $N$ màu, cần phải xem xét không phải thiết kế hai giai đoạn mà là thiết kế $N$ (trong các hình vuông lớn, chọn một loạt các hình vuông nhỏ hơn, trong các hình vuông đó - thậm chí là các hình vuông nhỏ hơn, v.v. $N$ lần cho đến khi bạn nhận được các ô). Trong trường hợp này, kích thước của hình vuông ban đầu sẽ cho phép ở mỗi “giai đoạn” xác định chuỗi hình vuông $l+1$ tiếp theo, trong đó có những hình vuông được liên kết đơn - đây là lúc mà giả định quy nạp sẽ hữu ích.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một chứng minh công thức của định lý tô màu. Chúng ta hãy xác định dãy $(q_r)$, $r=0, 1, \dots, N$, bằng sự tương ứng

$$q_0 = 1, \quad q_{r+1} = 2m(N^{q_r^2}, l) \cdot q_r$$

và gọi $m(N, l+1) = q_N(N^{q_r^2})$ là số màu của hình vuông $q_r \times q_r$ có $N$ màu; sự tồn tại của số $m(N^{q_r^2}, l)$ được đảm bảo bởi giả định quy nạp, $l=1, 2, \dots$).

Hình vuông $q_r \times q_r$ được gọi là hình vuông bởi ranh giới $r$. Chúng ta hãy chứng minh rằng đối với bất kỳ màu nào của hình vuông $K$ cấp $r+1$ với $N$ màu, có thể chọn một loạt các hình vuông $K_1, K_2, \dots, K_{l+1}$ cấp $r$ trong đó tất cả các hình vuông, ngoại trừ một ô, $K_{l+1}$, đều có một màu. Hãy tưởng tượng rằng hình vuông $K$ được chia thành các “ô” lớn, mỗi ô là một hình vuông có hạng $r$; “Màu” của ô như vậy sẽ được coi là bất kỳ cách nào trong số $N' = N^{q_r^2}$ cách tô màu ô đó bằng $N$ màu. Hãy chia hình vuông $K$ thành 4 hình vuông bằng nhau và chọn hình vuông phía dưới bên trái trong số chúng - $Q$ (Hình 4). Nó bao gồm $m' \times m'$ “ô”, trong đó $m' = m(N', l)$ được tô màu bằng $N'$ “màu” và theo định nghĩa của số $m'$ thì có một chuỗi $l$ “ô” có cùng một “màu”, tức là một chuỗi các ô vuông một mảnh $K_1, \dots, K_l$ cấp bậc $r$. Những gì còn lại là phần bù của nó cho một chuỗi $l+1$ hình vuông cạnh hình vuông $K_{l+1}$, có thể không vừa với $Q$, nhưng chắc chắn sẽ vừa với hình vuông $K$.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng chúng ta có thể lấy $q_N$ làm số $m(N, l+1)$. Đặt $K$ là một hình vuông tùy ý ở cạnh $m=q_N$, nghĩa là có hạng $N$, được tô màu $N$. Chúng ta hãy chọn trong đó các ô vuông $K(1), \dots, K(l+1)$ có thứ hạng $N-1$, $l$ đầu tiên trong số đó là liên kết đơn. Gọi $d_1$ là hệ số của chuỗi này. Chúng ta hãy chọn trong hình vuông $K(1)$ một loạt các hình vuông $K(1, 1), K(1, 2), \dots, K(1, l+1)$ có thứ hạng $N-2$, $l$ đầu tiên trong số đó là liên kết đơn. Đặt $d_2$ là hệ số của chuỗi này và đặt $K(i, j)$ là bình phương thu được từ $K(1, j)$ khi được chuyển, kết hợp $K(1)$ và $K(i)$, $i=2, 3, \dots, l+1$, tức là khi được chuyển sang vectơ $d_1A_1A_i$ (nhớ lại rằng $A_1, A_2, \dots$ là tâm của các ô được tập “chuẩn” $a_1, a_2, \dots$). Hãy tiếp tục quá trình này bằng cách chọn trong hình vuông $K(1, 1)$ một chuỗi $K(1, 1, 1), K(1, 1, 2), \dots, K(1, 1, l+1)$ các ô vuông xếp hạng $N-3$ với hệ số $d_3$ và “phân tán” nó giữa các ô vuông của chúng ta $K(i, j)$, v.v. Sau $N$ bước, chúng ta sẽ thu được các ô vuông xếp hạng 0, tức là các ô - $K(i_1, i_2, \dots, i_N)$ ($i_k=1, \dots, l+1$). Mỗi ô vuông này là liên kết cuối cùng trong chuỗi các ô vuông xếp chồng lên nhau có thứ hạng cao hơn: $K(i_1) \supset K(i_1, i_2) \supset \dots \supset K(i_1, i_2, \dots, i_N)$. Xét quy tắc dựng dãy hình vuông từ đây

38

Dễ dàng suy ra các tính chất sau:

1. các hình vuông $K(i_1, i_2, \dots, i_s, i_{s+1}, \dots, i_r)$ và $K(i'_1, i'_2, \dots, i'_s, i_{s+1}, \dots, i_r)$ có chỉ số $s$ đầu tiên không vượt quá $l$ (và các hình còn lại giống nhau) có giá trị đơn; cụ thể là, đã cho các ô $p$ và $q$ ($p, q \geqslant 0, p+q < N$) $b_i = K(1, \dots, 1, i, \dots, i, l+1, \dots, l+1)$ (1)

có cùng màu cho tất cả $i=1, \dots, l$;

2. vectơ nối tâm của các hình vuông $K(i_1, i_2, \dots, i_r)$ và $K(j_1, j_2, \dots, j_r)$ bằng $d_1 A_{i_1} \vec{A}_{j_1} + d_2 A_{i_2} \vec{A}_{j_2} + \dots + d_r A_{i_r} \vec{A}_{j_r}$; cụ thể, đối với các ô $b_i$ và $b_j$ (xem (1)) nó bằng $(d_{p+1} + d_{p+2} + \dots + d_{N-q}) A_i A_j$.

Bây giờ chúng ta không còn xa mục tiêu nữa. Hãy xem xét các ô $N+1$ sau:

$K(l+1, l+1, l+1, \dots, l+1), K(1, l+1, l+1, \dots, l+1), K(1, 1, l+1, \dots, l+1), \dots, K(1, 1, 1, \dots, 1)$. Theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất hai trong số đó là rõ ràng. Để xác định điều này, hãy đặt các ô $b_1 = K(1, 1, 1, l+1, \dots, l+1)$ và $b_{l+1} = K(1, l+1, l+1, l+1, \dots, l+1)$ (xem (1) với $p=1, q=N-3$). Sau đó, từ thuộc tính 1) và 2), theo sau là các ô $b_1, b_2, \dots, b_{l+1}$, trong đó $b_i = K(1, i, i, l+1, \dots, l+1)$, tạo thành chuỗi một liên kết mong muốn (với hệ số $d_2 + d_3$). Định lý tô màu được chứng minh.

Nếu chủ đề này khiến bạn quan tâm, chúng tôi khuyên bạn nên tham khảo cuốn sách của A. Ya. Khinchin “Ba viên ngọc của lý thuyết số”, cung cấp bằng chứng chi tiết về định lý Van Waerden về cấp số nhân.

Bài tập

1. Chứng minh rằng định lý tô màu cho phép giải được mọi mệnh đề bài toán M750.

2. Chứng minh rằng nếu trong định lý Van Waerden thay từ “số học” bằng “hình học” thì nó vẫn đúng. (Nhân tiện, chính Van der Waerden đã chứng minh định lý của mình cụ thể cho cấp số nhân.)

3. Chứng minh rằng với bất kỳ $n$ nào và với bất kỳ phân vùng nào của chuỗi tự nhiên thành các lớp $N$ thì ít nhất một trong số chúng chứa $n$ cấp số cộng có độ dài $n$, cấp số đầu tiên tạo thành một cấp số nhân.

4. Cho một ví dụ về cách chia một chuỗi tự nhiên thành hai tập con, không tập nào chứa:

a) cấp số cộng vô hạn;

b) không phải cấp số cộng vô hạn cũng không phải cấp số nhân vô hạn.

5. Cho một ví dụ về tô màu các ô bằng hai màu, trong đó không có vô số đường thẳng đứng và vô số đường ngang, tại giao điểm của chúng sẽ thu được tâm của các ô liên kết đơn.

6. Chứng minh rằng với bất kỳ cách tô màu ô nào với màu $k$ đều có vô số đường thẳng đứng $\{x_i\}$ và vô số đường ngang $\{y_i\}$ ($i=1, 2, 3, \dots$) sao cho tại giao điểm của các đường $y_i$ và $x_j$, trong đó thu được $i \geqslant j$, tâm của các ô liên kết đơn.

Chuỗi xoắn DNA trái

(Để bắt đầu, xem trang 31)
khả năng tồn tại, như người ta nghĩ trước đây, ở dạng B.

Câu hỏi đặt ra, điều gì sẽ xảy ra nếu trong một phân tử DNA dài (hãy nhớ rằng một phân tử dài thông thường chứa các nucleotide thập phân) có một đoạn có trình tự … CHCH …?

Các thí nghiệm đã chỉ ra rằng khi xác định các điều kiện, vùng như vậy thực sự ở dạng Z, mặc dù xung quanh nó DNA vẫn ở dạng bình thường. Có bằng chứng cho thấy điều này cũng có thể xảy ra bên trong tế bào.

Việc phát hiện ra chuỗi xoắn trái và khả năng tồn tại của nó trong DNA “đang hoạt động” đã thu hút sự quan tâm lớn. Ở nhiều phòng thí nghiệm trên khắp thế giới, việc nghiên cứu một dạng mới hiện nay rất thú vị, các điều kiện để các phần DNA tương ứng được chuyển vào đó. Các nhà khoa học đang cố gắng tìm ra vai trò của dạng Z và cấu trúc chung của DNA làm thay đổi cấu trúc của nó đối với hoạt động của phân tử này trong tế bào.

Không còn nghi ngờ gì nữa, những năm tới sẽ còn có nhiều khám phá thú vị hơn nữa trong lĩnh vực này.

39

Bài tập

1. Tám quân domino nằm trên bàn như trong hình. Tầm quan trọng của phần đóng của quân cờ domino là gì nếu những quân cờ này có thể được sắp xếp theo một “hình vuông ma thuật” $4 \times 4$ (nghĩa là sao cho tổng số cửa sổ trên mỗi quân cờ ở mỗi hàng dọc, trong mỗi hàng ngang và dọc theo mỗi đường chéo là như nhau)? Đạt được vị trí này.

2. Anh em Alyosha và Borya sinh vào tháng Tám. Họ bắt đầu đi học từ năm bảy tuổi. Số lớp mà anh trai Boris hiện đang theo học bằng số tuổi của Alyosha. Alyosha sẽ học lớp mấy khi Boris tốt nghiệp trung học?

3. Một số điểm được đặt trên một đường thẳng. Sau đó, một điểm khác được đặt giữa hai điểm liền kề. Và cứ như vậy nhiều lần. Chứng minh rằng sau mỗi phép tính như vậy tổng số điểm sẽ là số lẻ.

4. Con đường từ nhà đến trường mất Petya 20 phút. Tuy nhiên, trên đường đến trường các em sực nhớ ra mình để quên bút ở nhà. Pet biết rằng nếu tiếp tục đi học với tốc độ như vậy thì cậu sẽ đến trường trước khi chuông reo 8 phút, và nếu cậu về nhà lấy bút thì nếu đi với tốc độ như vậy cậu sẽ đến lớp muộn 10 phút. Anh ấy đã đi bộ được bao xa?

5. Được biết, hướng quay của Trái đất quanh trục của nó trùng với hướng chuyển động của quỹ đạo Trái đất quanh Mặt trời. Độ dài ngày của Trái đất sẽ thay đổi bao nhiêu nếu Trái đất quay quanh trục của nó với cùng vận tốc góc theo hướng ngược lại?

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi
V. D. Vyon, S. V. Dvoryaninov, V. V. Egorov,
A. P. Savin, E. D. Sergenko

40

Ngôi nhà mà…
A. V. TOKAREV

Kiến trúc sư xuất sắc người Ý của thế kỷ 16, Andrea Palladu, tin rằng trong mọi tòa nhà phải tuân thủ ba điều, nếu không có điều đó thì không có giá trị nào xứng đáng được chấp thuận. Đây là sự leo thang (và sự tiện lợi), vẻ đẹp và độ bền. Chúng ta hãy gác lại những thông điệp về sự tiện lợi và vẻ đẹp mà nói về độ bền, hay nói cách khác là về độ tin cậy của tòa nhà.

Chắc hẳn mỗi bạn đều biết rằng việc xây dựng bất kỳ công trình kiến ​​trúc nào đều bắt đầu từ việc đặt nền móng. Một nền tảng tốt, vững chắc là chìa khóa để thành công hơn nữa. Nhưng điều này có nghĩa là gì - một nền tảng vững chắc?

Nhiều câu hỏi cần được giải đáp bởi các chuyên gia. Một trong số đó là cuộc chiến chống giải quyết nền móng. Những khó khăn đặc biệt liên quan đến vấn đề này nảy sinh khi các công trình phát sinh trên vùng đất đóng băng vĩnh cửu. Những ngôi nhà được xây dựng ở đó thường xuất hiện các vết nứt do độ lún không đồng đều của nền móng do sự sụt lún của lớp đất bên dưới.

Có thể tránh được hiện tượng tan băng của đất dưới những ngôi nhà được xây dựng trên vùng đất đóng băng vĩnh cửu hay ít nhất là giảm bớt tình trạng tan băng?

Hãy thử giải bài toán này, chỉ dựa trên kiến ​​thức về các quy luật và mô hình vật lý đơn giản nhất.

Trước hết chúng ta hãy phân tích điều kiện bài toán. Tại sao đất dưới nhà có thể bắt đầu tan băng? Rõ ràng là do nền móng truyền một phần nhiệt cho nó. Vì vậy, tất cả là về nền tảng. Khi đó, việc đầu tiên cần làm là giảm diện tích tiếp xúc giữa móng và mặt đất. Chính vì mục đích này mà các nhiệm vụ bắt đầu được xây dựng trên các kết nối, từ bỏ nền tảng vững chắc thông thường. Nhưng điều này hóa ra là không đủ.

Bạn có thể làm cách nào khác để giảm prioctella xuống đất? Trong trường hợp này, prioctella chỉ được truyền bằng tính dẫn nhiệt; Do đó, vật liệu liên kết để dẫn nhiệt kém nhất có thể. Các mối quan hệ nên được làm từ gì?

Để định lượng độ dẫn nhiệt của các chất khác nhau, một đại lượng vật lý đặc biệt được sử dụng - hệ số dẫn nhiệt. Nó khác nhau đối với mỗi chất. Kim loại có độ dẫn nhiệt cao nhất, chất lỏng có độ dẫn nhiệt không phải VELICA và chất khí thậm chí còn kém hơn. Đối với lý luận của chúng tôi, điều quan trọng là làm thế nào chính xác

41

Hệ số dẫn nhiệt được xác định và nó được đo bằng đơn vị nào. Chúng tôi chỉ quan tâm đến việc so sánh khả năng dẫn nhiệt của các vật liệu khác nhau. Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng sách tham khảo *) và lập một bảng nhỏ về hệ số dẫn nhiệt tương đối, chọn hệ số dẫn nhiệt của nước làm đơn vị:

| Chất | Độ dẫn nhiệt tương đối | Chất | Độ dẫn nhiệt tương đối |
| :— | :— | :— | :— |
| Xăng dầu | 0,2 | Sắt | 122 |
| bông gòn | 0,07 | Dầu hỏa | 0,2 |
| Nước | 1 | Gạch | 1,1 |
| Không khí | 0,04 | Đá | 3,7 |
| Cảm thấy | 0,1 | Nút chai | 0,07 |
| Cây | 0,2—0,6 | Rượu bia | 0,3 |

Chúng ta hãy nhìn kỹ vào bảng này. Trong số các vật liệu rắn, bông gòn và nút chai có tính dẫn nhiệt tốt nhất, tiếp theo là gỗ và gạch. Tuy nhiên, trước hết, kết nối phải mạnh mẽ nên tất cả các vật liệu được liệt kê đều không phù hợp. Điều gì sẽ xảy ra nếu kết nối được làm bằng kim loại, chẳng hạn như sắt và bông gòn, nỉ hoặc một số chất xốp khác chứa nhiều không khí được đặt bên trong nó? Đây là lối thoát!

Vì vậy, mối liên kết phải được làm bằng vật liệu cứng bền và chứa đầy một số loại chất xốp.

Phân tích kết quả thu được, chúng tôi đưa ra lựa chọn: do độ dẫn nhiệt thấp, việc kết nối cấu trúc được chỉ định sẽ thực sự làm giảm dòng nhiệt từ không khí xung quanh đến nhóm (nghĩa là từ trên xuống dưới) trong mùa ấm. Và trong cái lạnh? Sẽ rất tốt nếu đảm bảo rằng vào mùa đông, trong những đợt sương giá nghiêm trọng, dây buộc giúp làm mát nhóm (nghĩa là nó truyền nhiệt lên trên). Điều này sẽ làm tăng sức mạnh của nhóm và giảm mức độ tan băng vào mùa hè.

Chúng ta hãy trình bày rõ ràng hơn những quá trình vật lý nào xảy ra trong đất tươi và trong đất vào mùa hè và mùa đông. Vào mùa ấm, phần trên tươi mát, tiếp xúc với không khí và nóng lên. Dần dần, phần tươi trong lòng đất cũng sẽ nóng lên. Càng ít làm nóng phần dưới của tươi, và do đó, các nhóm liền kề thì càng tốt. Vào mùa đông, phần trên được làm mát mới bằng cách tiếp xúc với không khí lạnh. Phần dưới được làm mát dần dần và các nhóm xung quanh tươi mới. Nhiệt độ mà nhóm được làm mát càng thấp thì càng tốt.

Do đó, kết nối do với các thuộc tính sau:

a) nếu nhiệt độ của phần trên cao hơn nhiệt độ của phần dưới thì cọc sẽ dẫn nhiệt kém;

b) nếu đầu trên mát hơn đầu dưới thì đống sẽ dẫn nhiệt tốt.

Hay nói cách khác:

truyền nhiệt từ trên xuống dưới sẽ kém và từ dưới lên trên - tốt.

Như đã biết, ở chất rắn, sự dẫn nhiệt chỉ xảy ra do tính dẫn nhiệt không phụ thuộc vào hướng. Điều này có nghĩa là một liên kết có các tính chất nêu trên không thể được tạo ra từ chất rắn. Mô hình trước đây của chúng tôi - một kết nối kim loại chứa đầy vật liệu xốp - không phù hợp (“bên trong” xốp sẽ dẫn nhiệt hiệu quả hơn không chỉ vào mùa hè mà còn vào mùa đông, khi các nhóm mong muốn được làm mát tốt).

Nhưng nếu lớp vỏ bền còn mới, chịu được tải nặng, chứa đầy chất lỏng hoặc khí thì sao? Trong trường hợp này, quá trình truyền nhiệt sẽ được thực hiện không chỉ bằng tính dẫn nhiệt mà còn bằng sự đối lưu. Điều này sẽ dẫn đến điều gì?

Vào mùa đông, các lớp chất lỏng hoặc khí phía trên sẽ nguội đi và đặc hơn sẽ chìm xuống. Nơi này sẽ bị chiếm giữ bởi những con voi thấp hơn dày đặc hơn, chúng sẽ nguội đi và chìm xuống, v.v. Kết quả là, những con voi trong lành và các nhóm xung quanh nó sẽ chịu nhiệt độ của không khí xung quanh, tức là chúng sẽ được làm mát do sương giá tự nhiên. Vào mùa hè, các lớp chất lỏng hoặc khí phía trên sẽ bị

42

Tất nhiên, làm nóng bằng không khí xung quanh, nhưng do ít đậm đặc hơn nên chúng sẽ không chìm xuống. Sự truyền nhiệt sẽ chỉ được thực hiện bằng tính dẫn nhiệt và điều này rất nhỏ đối với chất lỏng và chất khí.

Điều này có nghĩa là việc buộc một cấu trúc như vậy vào mùa hè sẽ dẫn nhiệt kém và đất xung quanh nó sẽ ấm lên một chút.

Vì vậy, chúng tôi đi đến kết luận: kết nối làm bằng vật liệu bền phải chứa đầy chất lỏng hoặc khí.

Câu hỏi cuối cùng vẫn còn - chính xác thì tôi nên điền kết nối bằng gì? Vào mùa đông, điều này đều giống nhau, vì trong thời gian lạnh kéo dài, nhiệt độ mặt đất sẽ có thời gian tăng lên bằng nhiệt độ môi trường. Vào mùa hè, điều quan trọng là đất phải ấm lên càng ít càng tốt. Điều này có nghĩa là cần phải chọn một vật thể mà khi nhận vật thể đó sẽ ít nóng lên nhất. Từ công thức

$$Q = cm(t_2 - t_1)$$

chúng tôi thấy rằng sự thay đổi nhiệt độ $(t_2 - t_1)$ không chỉ phụ thuộc vào lượng nhiệt $Q$ nhận được mà còn phụ thuộc vào nhiệt dung từ xa $c$ của cơ thể và khối lượng của nó $m$.

Khối lượng của chất lỏng luôn lớn hơn khối lượng của chất khí có cùng thể tích. Từ những báo cáo này, ưu tiên thuộc về bộ phận thanh khoản. Bây giờ hãy so sánh các nhiệt độ cụ thể, sử dụng sách tham khảo đã được đề cập:

| Chất | Nhiệt dung riêng, kJ/(kg K) |
| :— | :— |
| Xăng dầu | 1,4 |
| Nước | 4,2 |
| Không khí | 1 |
| Glyxerin | 2,4 |
| Dầu hỏa | 2,1 |
| Dầu máy | 1,9 |

Hóa ra nhiệt dung riêng của chất lỏng lớn hơn của chất khí.

Do đó, kết nối phải được đổ đầy chất lỏng. Nhưng cái nào? Nước, mặc dù rẻ nhất và dễ tiếp cận nhất, nhưng lại không phù hợp vì nó đóng băng vào mùa đông. Glycerin và dầu máy đặc lại ở nhiệt độ thấp khiến quá trình đối lưu khó khăn. Những gì còn lại là xăng và dầu hỏa. Cả hai chất lỏng đều đóng băng ở nhiệt độ dưới -50°C, vì vậy mỗi chất lỏng đều có thể “chịu được” những đợt sương giá mùa đông khắc nghiệt. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn chọn dầu hỏa vì nó có nhiệt dung riêng cao hơn và rẻ hơn xăng.

Cuối cùng chúng ta cũng có thể tạo thành trận chung kết đáp số bài toán.

Vì vậy, để giảm số lượng nhà xây trên vùng băng vĩnh cửu, các công trình phải được xây dựng trên nhà sàn; Các dây buộc được làm bằng vật liệu rắn bền, bên trong phải đổ đầy dầu hỏa.

Lưu ý rằng phương pháp gia cố nền móng bị đóng băng (giảm lượng đất cung cấp dưới nền móng) không phải là tưởng tượng mà là thực tế. Nó đã được phát triển chi tiết về mặt lý thuyết và được thử nghiệm trong các điều kiện vận hành tùy ý “vi phạm” quy luật tự nhiên. Hãy nghe điều này được mô tả trong cuốn sách “Những phép lạ không có phép lạ” của A.P. Nechaev:

“… Ấm samovar đã được phục vụ. Hơi nước bốc ra từ dưới nắp. Họ bắt đầu pha trà, và hóa ra nước đã lạnh!”

Chúng tôi chỉ nói thêm rằng sự việc được mô tả xảy ra vào cuối thế kỷ 19, khi các samovar, không giống như các loại điện hiện đại, được đốt bằng than.

43

Bài toán

M806—M810; F818—F822

M806. a) Chứng minh rằng nếu
$$a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0,$$
thì đa thức $a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ có nghiệm nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

6. Chứng minh rằng nếu với một số $p > 0$
   $$\frac{a_1}{p+1} + \frac{a_2}{p+2} + \frac{a_3}{p+3} + \ldots + \frac{a_n}{p+n} = 0,$$
   thì đa thức này cũng có nghiệm nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

A. Gokhbere, M. Ovetsky, học sinh lớp 10, Donetsk

M807. a) Từ một điểm tùy ý $M$ bên trong một tam giác đều, các đường vuông góc $MK_1, MK_2, MK_3$ được thả xuống các cạnh của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng các vectơ $\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3$ bằng $\frac{3}{2} \cdot \vec{MO}$, trong đó $O$ là tâm của tam giác.

6. Từ một điểm tùy ý $M$ các đường vuông góc $MK_1, \ldots, MK_n$ được thả xuống tất cả các cạnh của $n$-giác thông thường (hoặc phần mở rộng của chúng). Chứng minh rằng
   $$\vec{MK}_1 + \ldots + \vec{MK}_n = \frac{n}{2} \vec{MO},$$
   trong đó $O$ là tâm của $n$-giác.

c) Từ một điểm tùy ý $M$ bên trong một tam giác đều, các đường vuông góc $MK_1, MK_2, MK_3, MK_4$ trên mặt của nó bị bỏ rơi. Chứng minh rằng
$$\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3 + \vec{MK}_4 = \frac{4}{3} \vec{MO},$$
trong đó $O$ là tâm của tam giác.

V. V. Prasolov

44

M808. Trên một tờ giấy ca rô vô hạn, hai người chơi chơi trò chơi sau: người đầu tiên sơn một số ô màu đỏ, người thứ hai sơn $k$ (không tô màu) ô màu xanh lam, sau đó lại sơn ô thứ nhất (không tô màu) - màu đỏ, người thứ hai - $k$ ô màu xanh lam, v.v. Người đầu tiên cố gắng đảm bảo rằng có bốn ô màu đỏ nằm ở các đỉnh của hình vuông (với các cạnh song song với các đường lưới). Liệu người thứ hai có thể đặt a) tại $k=1$; 6) * tại $k=2$; c) ** cho bất kỳ $k>1$ nào?

D. G. Azov

M809. Tìm số tiền
$$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{n-1}{n!}$$
(sản phẩm $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$ được ký hiệu là $k!$).

V. V. Proizvolov

M810*. Chứng minh rằng mọi đa giác lồi $M$ đều có thể chứa một tam giác vuông có diện tích ít nhất bằng 1/4 diện tích đa giác $M$.

F. W. Vaintain

F818. Hai thanh cứng có chiều dài $l$, mỗi thanh được gắn bản lề tại điểm $A$ (Hình 1). Thanh $BA$ được cố định chắc chắn tại điểm $B$ và điểm $C$ của thanh $AC$ có thể trượt theo hướng $BC$. Thanh $BA$ bắt đầu quay trong mặt phẳng vẽ quanh điểm $B$ với vận tốc góc không đổi $\omega$. Tốc độ và gia tốc tối đa của điểm $C$ sẽ là bao nhiêu nếu tại thời điểm ban đầu các thanh được kéo dài dọc theo thanh dẫn hướng $BC$ ($B\hat{A}C = \pi$)?

L. G. Markovich

F819. Khi các vật thể nhỏ có khối lượng tỷ lệ 3:4:5 (khối lượng của vật nhẹ nhất là $m$), được giữ ở ba điểm khác nhau trên bề mặt bên trong của phần bán cầu nhẵn có bán kính $R$, phần này được gắn vào bề mặt nằm ngang ở điểm thấp nhất. Đến một lúc nào đó họ buông tay và tưởng tượng về chính mình. Lượng nhiệt tối đa có thể tỏa ra trong hệ thống này là bao nhiêu? Điều này sẽ xảy ra ở vị trí ban đầu nào của vật? Mọi va chạm giữa các vật đều hoàn toàn không đàn hồi.

S. K. Strokov

F820. Quá trình $A—B—C—A$ tạo ra hơn một mol khí đơn nguyên tử lý tưởng (Hình 2). Xác định hiệu suất của chu trình.

A. G. Izertsin, Yu. P. Malyshev, V. R. Saulit

45

F821. Trong mạch như hình 3, máy biến áp là lý tưởng. Các thông số của mạch được thể hiện trong hình. Tìm biên độ dòng điện và độ lệch pha trong mạch sơ cấp.

R. Z. Alexandrov

F822. Chủ nhân của bạn, người tiếp theo hướng dẫn bạn, đeo kính. Bạn có thể xác định được loại khiếm khuyết thị lực nào - cận thị hoặc viễn thị - mà anh ấy mắc phải không? (Đương nhiên, bạn sẽ không hỏi người chủ ví dụ về chiếc kính của anh ấy và sẽ không bắt đầu cuộc trò chuyện về chúng.)

M. V. Semenov

Problems

M806—M810; P818—P822

M806. a) Prove that if

$$a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0,$$

then the polynomial $a_nx^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \ldots + a_2x + a_1$ has a root between 0 and 1;

b) Prove that if, for some $b > 0$,

$$\frac{a_1}{b+1} + \frac{a_2}{b+2} + \frac{a_3}{b+3} + \ldots + \frac{a_n}{b+n} = 0,$$

then this polynomial also has a root between 0 and 1.

A. Gohberg, M. Ovetski, 10th grade students, Donetsk.

M807. a) Perpendiculars $MK_1, MK_2, MK_3$ to the sides of an equilateral triangle are drawn from an arbitrary point $M$ inside it. Prove that the vector sum $\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3}$ equals $(3/2)$. $\overrightarrow{MO}$, where $O$ is the triangle’s centre.

b) Perpendiculars $MK_1, \ldots, MK_n$ to all the $n$ sides of a regular polygon are drawn from an arbitrary point inside it. Prove that

$$\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3} + \overrightarrow{MK_4} = \frac{4}{3} \overrightarrow{MO},$$

where $O$ is the centre of the polygon.

c) Perpendiculars $MK_1, \ldots, MK_4$ to the faces of a regular tetrahedron are drawn from an arbitrary point inside it. Prove that

$$\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3} + \overrightarrow{MK_4} = \frac{4}{3} \overrightarrow{MO},$$

where $O$ is the centre of the tetrahedron.

M808. Two persons play the following game on an infinite plane square lattice: the first player colours one node in red, the second colours $k$ (uncoloured) nodes in blue, then the first colours one more node in red, the second $k$ more in blue, and so on. The first player’s goal is to colour four nodes forming the vertices of a square with sides parallel to the lines of the lattice. Can the second player prevent him from doing this a) when $k=1$; b) when $k=2$; c) for some $k>1$?

D. G. Azov