Về số lượng lớn

40

Về số lượng lớn

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. SAVIN

Một lần, trong một trại tiên phong, tôi có cơ hội tham gia vào một buổi tối đặt câu hỏi và đáp số có tên “Ai là người…?” Có rất nhiều câu hỏi khác nhau: “Ai có cái đuôi dài nhất? Ngôi sao nào gần Trái đất nhất? Nhưng một cô gái đã hỏi:

• Số nào lớn nhất?
  Thay vì đáp số, tôi đề nghị cô ấy chơi trò chơi này.
  “Đây là kẹo,” tôi nói, “ai gọi số cao nhất sẽ nhận được kẹo này.” Hãy cho tôi biết số của bạn!
  “Một trăm nghìn triệu,” cô gái buột miệng.
  “Không có cái tên nào như vậy cả,” tôi trả lời.

“Không, có đấy,” cô gái khẳng định.

• Được rồi tôi ước hai trăm nghìn triệu. Chúng ta chơi lại nhé?
  Những người còn lại gây ồn ào và bắt đầu nói chuyện, ngắt lời nhau.
  “Im lặng,” tôi nói, “chúng ta hãy nói chuyện từng người một, nếu không chúng ta sẽ không hiểu gì cả.” Trong số mười chàng trai giơ tay ngay lập tức, tôi chọn một cậu bé thấp bé đeo kính.
  “Trò chơi không công bằng,” anh ấy nói, “bất kể Masha gọi tên con số nào, bạn sẽ đặt tên thêm một số nữa và tiến lên cao hơn.” Và nói chung, không có cái gì gọi là con số: một con số có thể được thêm vào bất kỳ con số nào.
  Masha, người vẫn đứng gần bàn, hỏi tôi:
  -Các số lớn hơn một triệu gọi là gì?
  Đánh giá qua khuôn mặt của các chàng trai, câu hỏi này khiến nhiều người trong số họ quan tâm. Tôi bắt đầu kể.
  — Trong phần nghìn đầu tiên, như bạn đã biết, mỗi đơn vị cỡ đều có tên: một, mười, một trăm, nghìn. Đơn vị tiếp theo có tên riêng của nó.

41

tion, trải qua ba chữ số, nghĩa là mỗi đơn vị được đặt tên tiếp theo chứa một nghìn đơn vị được đặt tên trước đó:
1.000.000 - triệu,
1 000 000 000 - tỷ hoặc tỷ,
1.000.000.000.000 - nghìn tỷ,
1 000 000 000 000 000 - bốn triệu,
tiếp theo là Quitilluon, Sextillion, Centilluon, Octilluon, Nonilluon, Deucilluon.

Các điểm tham quan hình thành được gọi là không sử dụng. Các nhà thiên văn học, nhà vật lý và các chuyên gia khác làm việc với các số lớn thích viết các số sử dụng lũy ​​thừa của 10. Do đó, nhà vật lý sẽ viết số 460.000.000 là $46 \cdot 10^7$ hoặc thường xuyên hơn là $4,6 \cdot 10^8$. Nếu con số này cần được đọc, thì anh ta sẽ đọc nó là “bốn và sáu chục đến mười trong một phần tám”.

• Nếu không có số 0 ở cuối thì sao? - một cậu bé hỏi tôi.

“Thực tế là,” tôi nói, “rằng trong các phép đo vật lý và các phép đo khác, theo quy luật, chỉ có hai hoặc ba chữ số đầu tiên là đúng.” Để có được số lượng lớn các dấu hiệu chính xác cho mỗi số, ví dụ như khối lượng của một hành tinh hoặc khoảng cách của nó, cần phải có các biện pháp phòng ngừa đặc biệt và các dụng cụ đặc biệt, rất chính xác. Do đó, với số lượng lớn thu được từ một thử nghiệm thông thường, chỉ còn lại hai hoặc ba chữ số đầu tiên và phần còn lại được thay thế bằng số không.

— Con số lớn nhất bạn phải giải quyết trong thực tế là bao nhiêu? - câu hỏi đến từ hàng cuối cùng.

“Bạn thậm chí có thể gọi một con số như vậy,” tôi trả lời, “các nhà vật lý tin rằng trong toàn bộ Vũ trụ, số lượng nguyên tố của các hạt tạo nên nguyên tử và chất có trong đó không quá $10^{88}$.” Do đó, thực tế không có nhu cầu sử dụng số lớn hơn $10^{100}$. Một cái tên đặc biệt đã được phát minh cho con số này - uchelol. Mọi người đều có thể tưởng tượng một thị trấn như vậy. Nhưng dù sao hãy thử xem.

Hãy tưởng tượng một tấm bảng có 400 bóng đèn được xếp thành hình vuông $20 \times 20$. Thật dễ dàng để tưởng tượng; những bảng tương tự được tìm thấy ở các sân bay và nhà ga lớn; ở đó, với sự hỗ trợ của đèn chiếu sáng, các thông báo về việc đến và đi của tàu hoặc máy bay sẽ được hiển thị. Bây giờ chúng ta hãy nghĩ xem có bao nhiêu cách khác nhau để làm sáng bảng điểm $20 \times 20$.

Hãy bắt đầu đếm số trạng thái trên bảng điểm của chúng ta. Để đặt hàng, chúng ta đánh số các bóng đèn từ 1 đến 400. Bóng đèn đầu tiên có thể ở hai trạng thái: tắt và bật. Hai bóng đèn có thể đã ở bốn trạng thái. Nếu chúng ta dùng dấu o để biểu thị bóng đèn đã tắt và dấu + để biểu thị bóng đèn đang sáng thì có thể liệt kê 4 trạng thái sau: 00, +0, 0+, ++0, 00+, +0+, 0++, +++. Lượng trạng thái đáp ứng cho hai đèn đầu tiên khi đèn thứ ba tắt, cộng với lượng trạng thái tương tự khi đèn thứ ba sáng. Dễ dàng nhận thấy rằng khi cộng bốn trạng thái đèn, thỏa mãn và lại bằng $2^4 = 16$, với năm trạng thái đèn sẽ là $2^5 = 32$, với mười – đã là $2^{10} = 1024$, và với 400 đèn – $2^{400}$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng con số này lớn hơn một googol. Lưu ý rằng $2^{10} = 1024 > 10^3$, do đó $2^{400} = 2^{10 \cdot 40} > 10^3 \cdot 40 = 10^{120}$. Vì vậy, với sự trợ giúp của bảng điểm đơn giản, chúng tôi đã có thể vượt qua googol.

Sẽ mất bao lâu để nhận ra tất cả các cơ hội có sẵn? Hãy để bạn

42

Chúng tôi có một lời giải điện tử, có thể thay đổi trạng thái của bảng với tốc độ 100 lần mỗi giây. Vì mỗi giờ có 3600 giây, một ngày có 86.400 giây và một năm có 31.536.000 giây, nên trong một năm, bảng sẽ là 3.153.600.000 milliins hoặc 3,1536 10^9. Chia 10^120 cho số này sẽ được khoảng 3 · 10^110 năm - một con số lớn hơn hàng tỷ lần so với một googol. Đó là tali!

Có lẽ chúng ta đã có một khám phá vĩ đại trong khoa học? Thật không may là không. Từ lâu người ta đã hiểu rằng số lượng trạng thái của một hệ thống lớn hơn nhiều lần số lượng các phần tử của nó. Và rất thường rất khó để chọn ra cái tốt nhất trong số rất nhiều lựa chọn. Ví dụ, đặt nhà máy sản xuất một số loại sản phẩm mới ở đâu? Nên chọn công suất nào cho các nhà máy này? Nếu bạn làm một vài nhà máy lớn thì chi phí sản xuất sẽ thấp, những sản phẩm này sẽ cần thiết hơn nữa. Nếu làm nhiều nhà máy nhỏ thì sẽ phải vận chuyển ít sản phẩm hơn nhưng chi phí sản xuất sản phẩm ở các doanh nghiệp nhỏ lại tăng lên. Để giải quyết bài toán tương tự, có ý nghĩa phổ biến hơn, hàng nghìn máy tính điện tử đang liên tục làm việc, phân loại hàng nghìn lựa chọn mỗi giây.

• Tôi có thể hỏi câu khác được không? – Cậu bé đeo kính giơ tay trước.
• Vâng, làm ơn.
• Nhưng các nhà toán học có lẽ phải làm việc với những con số còn lớn hơn nữa?
• Những người nghĩ rằng tất cả những gì các nhà toán học làm là cộng, nhân và chia các số là rất xa sự thật. Chỉ trong một lĩnh vực - lý thuyết số - các nhà khoa học thường giải quyết các số nguyên cụ thể. Và ở đây số thực có vẻ lớn hơn nhiều so với con số. Ví dụ: việc hoàn thành mất nhiều thời gian - ai có thể kể tên số nguyên tố lớn nhất. Không gian có nghĩa là chỉ có hai ước số khác nhau: chính nó và sự thống nhất. Sau đó, họ bắt đầu chỉ tìm những số nguyên tố giống như:

2^n - 1. Những con số này được gọi là số nguyên tố Mersenne, đặc biệt bởi nhà khoa học người Pháp Marin Mersenne, nhà toán học, âm học, lý thuyết âm nhạc, một trong những người sáng lập Viện Hàn lâm Khoa học Paris. Số Mersenne rất thú vị vì nếu số 2^n - 1 là số nguyên tố thì số 2^n−1 (2^n - 1) bằng tổng của tất cả các ước của nó ngoại trừ chính số đó. Người Hy Lạp cổ gọi những con số như vậy là hoàn hảo. Hãy cho biết ba số hoàn hảo đầu tiên:

6 = 2 · 3 = 2(2^2 — 1) = 1 + 2 + 3,
28 = 2^2 · 7 = 2^2(2^3 — 1) =
= 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 2^4 · 31 = 2^4(2^5 — 1) =
= 1 + 2 + 4 + 8 +

• 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Điều thú vị là số 2^n - 1 sẽ chỉ là số nguyên tố nếu số n là số nguyên tố. Vào cuối thế kỷ này, 12 số nguyên tố Mersenne đã được biết đến: với n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 và 127. Với n=127, số nguyên tố Mersenne là - sau đó tôi lấy một cuốn sổ ra khỏi túi và viết nó lên bảng: 170141183460469231731687303715884105884105727

“Con số này ngày càng nhỏ hơn một googol,” tôi tiếp tục. “Nhưng hiện nay máy tính điện tử đang hoạt động. Họ phát hiện ra rằng số 2^n - 1 sẽ là số nguyên tố với n=521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 44497.

Sau đó, số 2^44497 - 1 đã có hơn 13 nghìn chữ số. Bởi vì Googol “chỉ” có 100 chữ số.

Tiếp theo là những câu hỏi mới: “Máy tính nào đếm mọi người nhanh nhất? Con vật nào chạy nhanh nhất?

Buổi tối của câu hỏi và đáp số tiếp tục…