Kvant 1983, số 8 · Trang

QUANTUM
8
1983

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Thẻ này của ngày
Đại Tây Dương
tổng hợp theo dữ liệu
nhận được bằng cách sử dụng
cảm biến âm thanh
ngày đại dương.
Về các phương thức hoạt động
thám hiểm đại dương
đọc
trong bài viết của Yu. Yu. Zhitkovsky.

1

TRONG PHÒNG:
2 Yu. Yu. Zhitkovsky. Các nhà vật lý nghiên cứu thủy không gian
7 A. I. Anokhin, Z. D. Lomakina. Toán học cho người đi biển
13 AD Chernin. FlareRENTNOVSKY SAO
20 M.G.Krein, A.A.Nudelman. Định lý Borsuk-Ulam
26 A. N. Pegoev. Cái gì đã được sử dụng với bóng đèn?

IN THIS ISSUE:
Yu. Yu. Jitkovski. Physicists study the hydrocosmos
A. I. Anokhin, Z. D. Lomakina. Mathematics for the seaman
A. D. Chernin. Flashing X-ray stars
M. G. Krein, A. A. Nudelman. The Borsuk — Ulam theorem
A. N. Pegoev. What happened to the lightbulb?

tin tức khoa học
I. V. Karpova. Tinh thể tạo ra bất thường

Science news
I. V. Karpova. Unusual crystals-generators

vòng tròn toán học
I. F. Sharytsin. Xung quanh bissertrix

Mathematics circle
I. F. Sharygin. About bissectors

Trường học ở «Kvant»
L. B. Pechersky. Khi |a+b|=
=|a|+|b|?

Kvant’s school
L. B. Pecherski. When does |a+b|=
=|a|+|b|?

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
E. E. Semenov. Chuyến đi của Styopa Moshkin

Kvant for younger school-children
Problems
E. E. Semionov. Stiepa Moshkin travels

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M816 — M820; F828 — F832
Lời giải bài toán M801 — M805; F813 — F817

Kvant’s problems
Problems M816—M820; P828—P832
Solutions M801—M805; P813—P817

Trò chơi và câu đố
V. A. Sapronov. renju

Games and puzzles
V. A. Sapronov. Renju

Đánh giá, thư mục
E. P. Levitan. Mặt trời của chúng ta như thế nào?

Book reviews
E. P. Levitan. What is it like — our Sun?

Thông tin
Đánh giá cân nặng
V. N. Serdeev. Cuộc thi dự án
Trường thể chất buổi tối tại Đại học quốc gia Moscow

Information
All union meeting
V. N. Sergeev. Contest of projects
Moscow state university physics evening school

Đáp số, gợi ý, lời giải
Trộn (25, 37, 45, 56, 60)
Trang cờ vua
Kasparov đóng vai Maraj (trang bìa thứ 3)

Answers, hints, solutions
Miscellaneous (25, 37, 45, 56, 60)
The chess page
Kasparov plays maharajhs (3rd cover page)

Trên trang đầu tiên của bìa có hình ảnh bóng đèn phủ ngoài. Bạn sẽ đọc về thời điểm và lý do tại sao một bóng đèn như vậy có thể cháy trong bài viết của A. N. Pegoev.

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học. «Kvant», 1983

Okein… Đối với Trái đất, đây là 2/3 bề mặt của nó. Okein là vòng xoay của mọi sự sống trên Trái đất, okein là nhà bếp của thời tiết (thật không may, con người chưa phải là đầu bếp trong căn bếp này), okein là con đường đã phục vụ nhân loại hàng nghìn năm và có lẽ sẽ tồn tại rất lâu mà không cần sửa chữa; cuối cùng, okaine là một kho chứa protein tự nhiên và như người ta thường nói, là một “kho vô tận” nguyên liệu khoáng sản. Tôi nghĩ chúng ta nên nói chuyện cẩn thận hơn, vì than ôi, “dự trữ vô tận” của nhiều loài cá đã cạn kiệt.

Vào thế kỷ 20, Hoa Kỳ trở nên quá nhỏ bé đối với con người, biên giới của nó trở nên quá nhỏ đối với con người và con người bắt đầu lao ra khỏi biên giới của mình - vào đại dương, vào không trung, vào không gian.

Một người có thể tìm thấy gì trong đại dương? Các sản phẩm đã được đề cập. Không có ít dầu ở biển, hay đúng hơn là dưới biển, hơn trên đất liền. Bây giờ, kể từ hôm nay, biển sẽ bổ sung thêm khoảng 20% ​​lượng dầu bổ sung của thế giới, và có lẽ đến năm 2000, dầu đại dương sẽ chiếm 50% tổng lượng dầu. Một lượng lớn than sẽ được bổ sung ngày hôm nay từ các mỏ ngoài khơi. Hơn 4% lượng lưu huỳnh bổ sung trên thế giới đến từ các ngành công nghiệp hàng hải. Một phần đáng kể nguồn cung quặng kim loại quý hiếm của thế giới đến từ các vùng biển của Nga. Chỉ cần thêm dầu ô liu, vàng, bạc, kim cương, mangan, ngựa con, niken vào biển… Vậy có chuyện gì vậy? Okein ở gần đây, trong người anh ấy có vô số sự giàu có! Có vẻ như, hãy nắm lấy nó và làm chủ nó!

Tại sao sự phát triển đại dương lại tiến triển chậm như vậy? Tại sao trong nửa đầu thế kỷ 20, sự nổi lên của phần nhìn thấy được của Mặt trăng được chúng ta biết đến nhiều hơn sự nổi lên của đại dương? Tại sao, cuối cùng, ở độ cao hơn 100 km so với Trái đất đã có hơn một trăm người nổi lên, nhưng ở độ sâu của đại dương, ít hơn mười lần, chỉ có hai? Và tại sao con người gọi độ sâu của đại dương là hydrocosmos?

Có hai trở ngại chính cho sự phát triển đại dương. Odanitsa là hiển nhiên - đây là áp suất thủy vũ trụ. Ở độ sâu 10 km, mỗi mét vuông bề mặt bị ép bởi nhiều tấn nước. Ngoài ra, chúng ta không được quên rằng nước biển là một chất lỏng rất mạnh, hòa tan nhanh chóng hầu hết các kim loại.

Nguyên nhân thứ hai cản trở sự phát triển của đại dương là sự suy giảm rất lớn của sóng điện từ trong nước biển mặn có tính dẫn điện cao. Bởi vì điều này, một người ở đại dương thực tế bị tước đi những phương tiện cơ bản để thu thập thông tin mà anh ta quen thuộc.

4

Nautilus của thuyền trưởng Nemo - “Có thể di chuyển được”? Chính xác hơn nó sẽ là “Có thể di chuyển trong cái có thể thay đổi”.

Bức tranh về các lớp nằm ngang song song được chúng ta vẽ rất đẹp thực tế đã bị biến dạng trong không gian bởi sự tồn tại của các sóng sâu, gọi là sóng “bên trong” gây ra bởi sự dao động của các lớp nước có mật độ khác nhau. Dao động thẳng đứng có thể có chu kỳ cỡ một ngày và đạt phạm vi 100 m. Độ dày của nước biển có thể bị ảnh hưởng bởi sóng do động đất dưới nước—sóng thần.

Bức tranh phức tạp của trường âm thanh trong đại dương cũng gắn liền với sự hiện diện của các ranh giới không đồng đều - hư hỏng và đáy, phản xạ và phân tán năng lượng âm thanh rơi vào chúng. Trong trường hợp này, ranh giới trên (nước - không khí) thực tế mờ đục đối với âm thanh và hình dạng của nó thay đổi theo thời gian; giới hạn dưới - đến - không đổi theo thời gian, nhưng một phần thiết thực đối với sóng âm truyền vào đại dương.

Tán xạ sóng âm bằng các lớp liên kết âm thanh.

Việc thu tín hiệu yếu rất phức tạp do có tiếng ồn xung quanh. Nền này bao gồm tiếng ồn do các quá trình động gây ra, chủ yếu là sóng gió, tiếng ồn sinh học (được biết là động vật biển sử dụng rộng rãi sóng âm), nền địa chấn, tiếng ồn của tàu thuyền đi qua, v.v..

Hơn nữa, từ danh sách ngắn gọn về các yếu tố ảnh hưởng đến việc truyền âm thanh trong đại dương, có thể thấy được sự phức tạp của quá trình truyền và nhận tín hiệu âm thanh trong đại dương. Người ta có thể tưởng tượng những khó khăn gặp phải khi nghiên cứu quy luật truyền âm trong đại dương. Nhưng các thí nghiệm được thực hiện ở dải tần số rất rộng và ở khoảng cách từ hàng trăm mét đến hàng nghìn km.

Việc nghiên cứu trường âm thanh trong đại dương chỉ là một phần của những vấn đề mà âm học đại dương nghiên cứu. Có bài toán, thường được gọi là đã xử lý. Bản chất lan truyền, phản xạ và tán xạ của sóng âm cung cấp thông tin về tính chất của môi trường, về các vật thể phản xạ và tán xạ âm thanh. Xác định các đặc điểm của đại dương từ những thông tin đó là mục tiêu cuối cùng của nghiên cứu. Ví dụ: thời gian truyền của xung máy đo tiếng vang xuống đáy và ngược lại cho phép bạn thay đổi độ sâu của đại dương. Các phương pháp nghiên cứu đại dương bằng âm thanh thay thế các phương pháp “tiếp xúc” truyền thống bằng các phương pháp “không tiếp xúc” rõ ràng.

Bây giờ tôi muốn nói chi tiết hơn về một số vấn đề. Tôi đã nói rằng tiếng ồn xung quanh cản trở việc thu các tín hiệu âm thanh hữu ích. Tôi có thể nói thêm rằng tán xạ ngược thường cản trở việc thu tín hiệu, chẳng hạn như tín hiệu liên lạc. Tuy nhiên, mặt khác, tiếng ồn cũng mang thông tin về nguồn của nó, chẳng hạn như về các quá trình động trong đại dương và các tín hiệu tán xạ cung cấp cho chúng ta thông tin về sự phân tán, trong trường hợp của chúng ta - về tin tức về đại dương.

5

trên và dưới, cũng như về các tổ chức hàng hải.

Không thể kể chi tiết về tất cả các nghiên cứu được thực hiện trên đại dương trong khuôn khổ một bài báo. Dưới đây là các nghiên cứu về lời giải và nghiên cứu cấu trúc của nó; nghiên cứu quy luật tích tụ trầm tích và nghiên cứu dòng nhiệt từ đáy; xác định thành phần hóa học của nước biển và nghiên cứu các dòng xoáy trong nước biển, v.v. Vì vậy, tôi sẽ cố gắng chỉ kể chi tiết hơn về các nghiên cứu liên quan đến nghiên cứu khả năng phân tán âm thanh của các tổ chức hàng hải.

Cách đây vài thập kỷ, người ta phát hiện ra rằng ở hầu hết các khu vực của Đại dương Thế giới, ngoại trừ các vùng cực, đều có các cụm tổ chức biển nhỏ được định vị theo chiều dọc. Những tập hợp này thường bao gồm những con cá nhỏ có kích thước vài cm. Chúng tạo thành một hoặc nhiều lớp dày hàng chục mét. Vào ban ngày, các lớp này nằm ở độ sâu 200-1000 m, và vào ban đêm, chúng nổi lên hoặc, như các nhà sinh vật học nói, lắng xuống bề mặt. Các cụm này tiêu tan khỏi chúng nhiều hơn so với độ dày không chứa các tổ chức biển (nghĩa là phần năng lượng âm thanh bị phân tán khi tín hiệu truyền qua một cụm cá lớn hơn nhiều so với trường hợp nước “sạch”). Các cụm như vậy được phát hiện chính xác bằng phương pháp tán xạ âm thanh, được coi là “đáy giả” về mặt sinh thái. Chúng được gọi là lớp chịu âm (viết tắt 3RS). Số lượng các tổ chức và thành phần của chúng rất khác nhau tùy theo khu vực và vì những loài cá nhỏ này đóng vai trò thay thế cho các loài cá thương mại lớn hơn nên thông tin về 3RS cho phép chúng ta đánh giá sự phân bố của cá thương mại. Thông tin này có được bằng cách sử dụng sóng hành động.

Bộ phát âm thanh tạo ra rung động của một bộ phận nhất định. Khi các rung động truyền qua cột nước gặp phải các cụm tổ chức biển, một phần nhỏ năng lượng sẽ bị tiêu tán theo mọi hướng, kể cả hướng ngược lại. Năng lượng phân tán này được thu lại bởi bộ thu âm thanh, nằm cạnh bộ phát. Biết được công suất phát ra và đo cường độ của tín hiệu tán xạ, có thể xác định được phần năng lượng bị tiêu tán trong 3RS. Bằng cách thay đổi tần số dao động của bộ phát, bạn có thể “điều chỉnh” nó theo tần số tự nhiên của bụng cá đang bơi. Trong trường hợp này, phần năng lượng tiêu tán

6

tăng vang dội. Tần số dao động tự nhiên của bàng quang được xác định bởi kích thước của nó, do đó, phụ thuộc vào kích thước của cá.

Do đó, hoạt động “thăm dò” chủ động cung cấp thông tin về vị trí của hệ thống phòng không, độ sâu “sức chứa” của chúng, số lượng cá và kích thước của chúng.

Mới đây, trên tàu nghiên cứu mới “Akademik Mstislav Keldysh”, thuộc sở hữu của Viện Hải dương học được đặt theo tên. P.P. Shirshov của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, một chuyến thám hiểm tới Đại Tây Dương để phát triển các phương pháp tích cực nghiên cứu đại dương đã diễn ra (các sinh viên Khoa Vật lý Hydrocosmosa thuộc Khoa Vật lý Đại cương và Ứng dụng của MIPT cũng tham gia).

Nghiên cứu đã sử dụng tổ hợp thiết bị dưới biển sâu, là một quả cầu nhiệt có đường kính khoảng nửa mét, chứa một máy phát điện mạnh (vài kilowatt) và một bộ truyền động điều khiển máy phát điện theo lệnh từ trên cao. Bên ngoài quả cầu là người nghiên cứu và ứng dụng âm thanh. Bộ này có thể được hạ xuống bằng cáp tới bất kỳ độ sâu nào tính từ bề mặt tới 5000 m. Với sự trợ giúp của nó, người ta có thể tạo ra một “phần” chi tiết của đại dương từ bề mặt đến ban ngày.

Nói chung, người đọc quan tâm đến triển vọng phát triển các phương pháp nghiên cứu đại dương mới. Tương lai mang lại điều gì cho chúng ta?

Sự phát triển của khoa học, như một quy luật, diễn ra một cách nhảy vọt. Trong một khoảng thời gian nào đó, có sự tích lũy tài liệu thực nghiệm, cách giải thích có ý nghĩa về các sự kiện được quan sát. Kết quả của việc này là một bước nhảy vọt về mặt lý thuyết, đưa chúng ta đi theo con đường tiếp cận sự thật một cách đáng chú ý. Đồng thời, rất nhiều điều tưởng chừng như không thể lay chuyển và một số ý tưởng đang được hình dung lại. Sau đó đến giai đoạn tiếp theo của việc tìm kiếm kết quả nghiên cứu. Và vân vân. Theo tôi, đại dương đang hoạt động hiện đang trong giai đoạn tích lũy thực tế-

Đồng chí, tôi nghĩ rằng điều này sẽ còn khá lâu, vì đại dương rộng lớn, thay đổi và đa dạng, biên giới nghiên cứu vẫn còn tương đối hẹp, phần lớn là do cơ sở nghiên cứu chưa đầy đủ. Sẽ có những dụng cụ và thiết bị mới, tiên tiến hơn - sẽ có những kết quả mới. Khám phá đại dương đòi hỏi một quy mô đắt tiền và thường cồng kềnh.

Ngày nay đã có những ý tưởng về cách thu thập thông tin gần như liên tục về các đặc điểm của Đại dương Thế giới trên toàn bộ vùng nước của nó. Phương pháp này đã nhận được nhiều lời khen ngợi là chụp cắt lớp tích cực. Bản chất của nó là như sau. Dọc theo chu vi của khu vực đại dương, những đặc điểm cần phải biết, một số hệ thống đã được lắp đặt chắc chắn. Các hệ thống lần lượt nghiên cứu các xung động hành động và áp dụng chúng. Các tín hiệu nhận được mang thông tin về nhiệt độ, độ mặn và các thông số khác của môi trường mà chúng truyền đi, tức là về khu vực đại dương được hệ thống “vạch ra”. Kết quả là có thể liên tục thu được các đặc điểm của môi trường đại dương. Giá trị của thông tin như vậy là rất rõ ràng.

Trên con đường lời giải đến bài toán này tất nhiên có rất nhiều khó khăn. Đầu tiên, chúng ta cần giải nó về mặt lý thuyết; thứ hai, cần phải lắp đặt vĩnh viễn nhiều hệ thống phát xạ khá mạnh trên khắp Đại dương Thế giới và kiểm soát những thay đổi của chúng. Thứ ba, cần tạo ra một đội máy tính mạnh mẽ có thể xử lý một lượng thông tin khổng lồ trong thời gian tương đối ngắn. Và nhiều, nhiều hơn nữa…

Nhiệm vụ này chắc chắn có quy mô quốc tế và chưa có ở thời điểm hiện tại. Tuy nhiên, tôi không nghi ngờ gì rằng nhân loại sẽ giải quyết được nó.

7

Toán học cho người đi biển

Thuyền trưởng biển
A. I. ANOKHIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
Z. D. LOMAKINA

Ba thảm kịch hàng hải

Đây là một tai nạn vào giữa thế kỷ trước. Ngay sau khi vỏ cây “Ngôi sao”, trên đường từ Ceylon đến châu Âu, đi ngang qua đảo St. Helena, “Trò đùa u ám”, lữ đoàn da đen của tên cướp biển Benito de Soto, người nổi tiếng, đã nhanh chóng tiếp cận nó. Trên tàu Zvezda, nơi ngoài thủy thủ đoàn nhỏ còn có 25 binh sĩ khuyết tật và gần như nhiều phụ nữ và trẻ em, họ không nghĩ đến việc kháng cự mà hy vọng có thể trả hết số hàng hóa trong bộ ba. Tuy nhiên, mọi chuyện đã không đi đến kết luận - những tên cướp biển đổ bộ lên quán bar đã giết hại dã man một số người, bao gồm cả thuyền trưởng, và đẩy những người còn lại vào bộ ba, dùng đinh đóng vào nắp hầm. Sau đó, bọn cướp biển cướp tàu, đánh sập cột buồm, chặt rangut và takelaj rồi bắt đầu uống rượu say sưa, sau đó chúng quay trở lại thuyền của mình. Nhưng trước khi “Trò đùa u ám” ra đi với tất cả các cánh buồm, Benito do Soto tin chắc rằng trong thân tàu “Ngôi sao”, bên dưới dây, có những lỗ được khoan qua đó nước biển chảy vào một số ngăn của hầm hàng. Nhưng kế hoạch nham hiểm của tên cướp biển đã không thể trở thành hiện thực. Tại sao? Chúng ta sẽ nói về điều này sau, khi chúng ta hiểu được lý thuyết một chút.

Ở London, một tấm bảng đồng đã được gắn lên tường của Nhà thờ St. Paul từ cuối thế kỷ này. Dòng chữ khắc trên đó kể về cái chết của chiến hạm “Thuyền trưởng” và có lẽ vô tình bày tỏ sự trách móc đối với những người đã gây ra lỗi lầm đó.

Chiến hạm “Thuyền trưởng” được chế tạo vào năm 1870. Những người được giao phó bí mật của hải quân Anh đều biết rằng tác phẩm màu xanh của người chế tạo chưa được đào tạo: có thể nói, nó đã kết hợp những điều không tương thích - nhiều cơ sở lắp đặt pháo, bao gồm cả tháp xoay khổng lồ, áo giáp bên mạnh mẽ, vũ khí vải gia cố và quy mô thấp

8

mạn khô, được cho là để giảm khả năng bị trúng đạn pháo của đối phương. Có vẻ như tốt hơn là không nên làm vậy! Đúng như vậy, kỹ sư thực nghiệm Reed, được mời đến làm cố vấn, đã thực hiện lại các phép tính toán học cần thiết và tuyên bố rằng chỉ cần tác động nhẹ của gió tăng lên, chiếc thiết giáp hạm có nguy cơ bị lật úp. Tuy nhiên, kết luận này của chuyên gia, được xác nhận bằng các phép tính toán học, đã không được tính đến - các lãnh chúa danh dự của Bộ Hải quân đã khẳng định theo ý mình.

Như người ta nói, lễ hạ thủy chiến hạm diễn ra dưới tiếng đèn quạt. Và sau đó “Thuyền trưởng” cùng với 10 tàu khác đã tham gia cuộc tập trận. Đột nhiên có một tiếng hét. Tất cả các con tàu không đặc biệt cảm nhận được sức mạnh của nó. Tất cả mọi thứ ngoại trừ tàu chiến “Thuyền trưởng” - nó đều bị lật úp. Điều gì đã gây ra thảm họa này?

---

Tháng 4 năm 1912. Công chúng thế giới dường như nín thở - tàu Titanic xuyên Okan của Anh lần đầu tiên vượt Đại Tây Dương. Con tàu lớn nhất và di động nhất thời bấy giờ: chiều dài - 270 mét, lượng giãn nước - 66 nghìn tấn, phòng tập thể dục, bể bơi, nhà tắm, quán bar, nhà hàng. Ngoài ra, một hòn đảo nổi có chiều cao bằng một tòa nhà mười lăm tầng được quảng cáo là có độ tin cậy cao nhất.

Một đêm ra khơi thay thế khác đã đến. Nhiều hành khách đã tìm cách ly tán nhưng không ít trong số đó vẫn tiếp tục đi chơi. Và rõ ràng, không ai trong số họ biết rằng con tàu đã đi vào khu vực có nguy cơ gặp phải tảng băng trôi - những tảng băng khổng lồ, 4/5 trong số đó đang trôi nổi một cách nguy hiểm dưới nước. Ở một mức độ nào đó, thuyền trưởng trở nên giống như các hành khách, bị chủ tàu thúc giục, người yêu cầu họ tuân thủ một lịch trình được thiết kế để lập kỷ lục tốc độ vượt Đại Tây Dương. Đúng vậy, đội trưởng đã bước tới sáu lần. Nhưng có thể thấy một sự so sánh đơn giản về phạm vi…

sức mạnh và tốc độ của con tàu sẽ cho thấy rằng không thể tin cậy được vào chúng. Và quả thực, khi một trong những người đàn ông phía trước nhận thấy một tảng băng trôi và báo cáo về nó thì không còn khả năng né tránh tảng băng trôi nổi nữa. Với phần dưới nước, nó âm thầm cắt lớp lót thân tàu dọc theo chiều dài 90 mét.

Thảm kịch của tàu Titanic, thủy thủ đoàn và hành khách (trong số 2200 người, 1517 người chết) được mô tả trong nhiều nguồn. Vì vậy, chúng tôi sẽ chỉ đề cập đến một vấn đề mà nhân tiện, vấn đề này vẫn chưa được đề cập rộng rãi. Tuy nhiên, mọi thứ đều theo thứ tự…

Nổi và số phận của vỏ cây “Zvezda”

Đặc tính về khả năng nổi của một con tàu, mà mọi học sinh đều biết đến, dựa trên đặc tính về khả năng nổi của con tàu - khả năng nổi với một mớn nước nhất định, mang theo bên ngoài những tải trọng cần thiết để hoạt động bình thường.

Hai loại lực tác dụng lên con tàu trong vùng nước lặng (Hình 1, a): lực hấp dẫn $\vec{P}$, tác dụng tại trọng tâm $G$ của con tàu và hướng thẳng đứng xuống (hướng về tâm Trái đất) và lực áp suất thủy tĩnh $\vec{\gamma}$, tác dụng lên cái gọi là tâm cường độ $C$ và hướng thẳng đứng lên trên. Dưới tác dụng của lực sau, tàu có xu hướng nổi nên gọi là lực đỡ.

Nếu tất cả các tàu đều có lực lượng hỗ trợ lớn thì tàu đương nhiên sẽ chìm. Nhân tiện, Benito de Soto muốn tận dụng lợi thế này bằng cách “tải” nước biển vào quán barque “Zvezda”.

Để đảm bảo khả năng nổi của tàu trong quá trình hoạt động, người hoa tiêu phải sử dụng nhiều khái niệm toán học và kỹ thuật tính toán. Đặc biệt, việc này đòi hỏi phải có bản vẽ tàu và các hệ số, thông số liên quan, xác định điểm cập bến của tàu, phương trình cân bằng của tàu; tính toán toàn bộ tàu và tọa độ trọng tâm, độ dịch chuyển thể tích và tọa độ tâm độ lớn, sự thay đổi chỗ lõm do tiếp nhận hàng hóa; số tấn trên một đơn vị trầm tích được xác định. Và tất cả điều này đòi hỏi rất nhiều

và các phép tính toán học chính xác.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại với những tù nhân “Những ngôi sao” trong bộ ba. Họ đã phá được nắp ổ khóa. Một phần của bộ ba bị ngập trong nước và con tàu càng chìm sâu hơn. Tuy nhiên, Benito de Soto đã tính toán sai lầm - lực giữ hóa ra lại đủ để giữ cho chiếc thuyền nổi. Và mặc dù thuyền trưởng đã chết, người có thể đưa ra những tính toán cần thiết và xác định rằng con tàu không có nguy cơ bị chìm ngay lập tức, một số thuyền viên còn sống sót biết rằng với lượng hàng hóa mà bọn cướp biển để lại trên con tàu bị cướp, chúng vẫn còn sức nổi dự trữ. Điều này đã truyền cảm hứng cho họ trong nỗ lực cứu vỏ cây và tiếp tục cho đến khi họ được tiếp cận bởi các thủy thủ từ một con tàu đi ngang qua, những người vô tình thấy mình ở gần vỏ cây đang di chuyển theo ý muốn của các yếu tố.

Sự ổn định và cái chết của “Thuyền trưởng”

Tính ổn định là khả năng của một con tàu bị đưa ra khỏi vị trí cân bằng do tác động của ngoại lực và quay trở lại trạng thái cân bằng sau khi ngừng tác dụng này.

Mất ổn định là một loại va chạm nhất thời, thường dẫn đến cái chết của không chỉ con tàu mà cả thủy thủ đoàn.

Người bán sẽ phân biệt độ ổn định nổi của tàu. Mối nguy hiểm lớn nhất khi bơi là mất thăng bằng. Độ nghiêng của bình trong mặt phẳng ngang vuông góc với máy làm phẳng được gọi là độ nghiêng, trong khi độ nghiêng trong toàn bộ mặt phẳng được gọi là độ nghiêng.

Hãy để chúng tôi giải thích khái niệm ổn định trong trường hợp cuộn.

Rõ ràng, để tàu nổi được cân bằng thì các lực $\vec{P}$ và $\vec{\gamma}$ (xem Hình 1, a) cần có độ lớn bằng nhau và các điểm tác dụng của chúng nằm trên cùng một phương thẳng đứng.

Khi tàu nghiêng về bất kỳ phía nào dưới tác động của mômen nghiêng $M_k$ (ví dụ: gió tăng đột ngột, như trường hợp chiến hạm “Thuyền trưởng”) ở một góc $\theta$, tâm kích thước của tàu, do sự thay đổi hình dạng của thể tích dưới nước của tàu (Hình 1, b), sẽ di chuyển về phía cuộn từ vị trí $C_0$ sang vị trí $C_0$. Trong các khóa học về lý thuyết kết cấu tàu, người ta đã chứng minh rằng ở các góc nghiêng nhỏ, quỹ đạo của tâm chuyển động có thể được coi là một đường tròn có tâm tại một điểm nhất định $M$ (xem Hình 1, b) và bán kính $r$. Điểm $M$ được gọi là tâm điểm ngang, $r$ là bán kính tâm điểm ngang.

Sau đó, cặp lực $\vec{P}$ và $\vec{\gamma}$ lần lượt tác dụng tại các điểm $G$ và $C_0$, tạo thành cái gọi là mômen phục hồi $M_B$. Trong các khóa học cơ học lý thuyết người ta đã chứng minh rằng mômen phục hồi có thể được xác định bằng công thức

$$M_B = |\vec{P}| \cdot |GK| = |\vec{P}|h \cdot \sin \theta,$$

trong đó $h = r - z_G + z_C$, $z_G$ và $z_C$ lần lượt là tọa độ của trọng tâm và tâm cường độ trong hệ tọa độ đã chọn. Theo biểu thức này, có thể có ba trường hợp cuộn.

1. $^\circ M_B > 0$, tức là trọng tâm nằm bên dưới tâm trung tâm (xem Hình 1, b). Khi đó mômen ổn định tác động theo chiều đưa bình về vị trí thẳng đứng; con tàu ổn định.

10

2°. $M_B=0$, tức là trọng tâm trùng với metanet (Hình 2, a). Khi đó lực hấp dẫn $\vec{P}$ và lực đỡ $\vec{\gamma}$ tác dụng thẳng hàng và không xảy ra mô men phục hồi. Trường hợp này gọi là trường hợp bình ổn định bằng không; tàu thực tế không ổn định.

3°. $M<0$, tức là trọng tâm nằm phía trên methantor (Hình 2, b). Khi đó, mô men phục hồi tác dụng cùng hướng với mô men buộc chặt - theo hướng tăng độ cuộn; con tàu không ổn định.

Khi tàu được neo ở một góc lớn $\theta$, bản chất vật lý không thay đổi, chỉ có công thức tìm vai $GK$ của sự ổn định có dạng phức tạp hơn.

Do đó, độ ổn định của con tàu phải giảm đi theo những quy luật nhất định của thiết kế tàu (chính những tính toán này của kỹ sư Reed đã bị bỏ qua khi họ thêm vào). lời giải chế tạo chiến hạm “Thuyền trưởng”).

Nhưng khi thực hiện những tính toán này, các nhà thiết kế phải tính đến rằng độ ổn định quá mức cũng không thể được coi là một hiện tượng tích cực, vì con tàu có độ ổn định quá cao sẽ bị lắc mạnh, ảnh hưởng tiêu cực đến sức khỏe và hiệu suất của thủy thủ đoàn cũng như hoạt động của các cơ cấu tàu.

Và khi điều khiển một con tàu, mọi thuyền trưởng đều nhớ rằng bất kỳ con tàu nào có độ ổn định hợp lý đều có thể bị mất ổn định bởi những hành động vô lý. Ví dụ: nếu thuyền trưởng của một tàu đánh cá bị LOB mang đi (một trường giàu có như vậy đã bị bắt!), không đảm bảo rằng sản phẩm đánh bắt được xử lý và xếp thành bộ ba kịp thời, thì quá nhiều cá sẽ tích tụ trên ngón tay của anh ta. Kết quả là trọng tâm của con tàu vượt lên trên người ném và sự ổn định của con tàu sẽ bị lung lay.

Khi làm việc trên tàu, cần lưu ý rằng khi tiếp nhận và dỡ hàng, vị trí tương đối của trọng tâm và trọng tâm thay đổi, kéo theo sự thay đổi về độ ổn định. Vì vậy, trong quá trình hoạt động làm hàng trên biển và trong cảng, thuyền trưởng phải theo dõi, điều tiết sự ổn định của tàu. Để làm được điều này, trong quá trình vận hành hàng hóa, độ ổn định được tính toán bằng cách sử dụng các công thức và sơ đồ nhất định, có tính đến mọi thứ và vị trí của kho nhiên liệu, nước uống, nước dằn, nguồn cung cấp thực phẩm và hàng hóa được tiếp nhận hoặc dỡ bỏ trên tàu.

Tính không thể chìm và vụ chìm tàu ​​Titanic

Đương nhiên, mỗi con tàu phải có khả năng chịu nhiệt, tức là có khả năng nổi và không bị lật úp các bộ phận trong khoang khi ngập nước. Nói cách khác, khi một hoặc nhiều khoang bị ngập thì tàu phải nổi và ổn định.

Dịch vụ của tàu Titanic bị hư hại ở thân tàu là gì? Theo một trong những nhân chứng của thảm họa, lúc đầu, gã khổng lồ này xuất hiện trên một ngọn sóng nhẹ, tỏa sáng dưới ánh đèn của các ô cửa sổ và cửa sổ, chỉ hơi nghiêng phần mũi. Sau đó, phần cắt bắt đầu tăng mạnh

11

trở nên. Mũi tàu và bệ chìm xuống nước, còn đuôi tàu nhô lên. Trong vài phút, tàu Titanic gần như đứng thẳng rồi chìm xuống vực sâu.

Đúng vậy, sau khi bị hư hại, hòn đảo nổi chỉ ở trên mặt nước được hai giờ. Và đây là một tai nạn vì trong quá trình thiết kế và đóng tàu Titanic, các yêu cầu cơ bản về khả năng không chìm đã bị vi phạm: các vách ngăn ngang chống thấm ngăn cách phần này với phần khác không được kéo dài lên boong trên, và mặt súng không thấm nước. Về vấn đề này, và lưu ý đến phiên tòa lời giải London diễn ra sau vụ chìm tàu ​​Titanic, học giả Alexei Nikolaevich Krylov đã viết: “Vì vậy, mọi trách nhiệm hoàn toàn đổ lên đầu thuyền trưởng, người cũng đã chết tại chức vụ của ông ấy; chính những sai sót trong thiết kế đã khiến ông ấy chết với thiệt hại tương đối nhỏ, không được đề cập đến dù chỉ một từ trong phán quyết của tòa án.”

Những người sáng lập ngành khoa học không làm nóng là Viện sĩ S. O. Makarov, Viện sĩ A. N. Krylov và Giáo sư I. G. Bubnov. Chính A. N. Krylov, dựa trên ý tưởng của S. O. Makarov, là người đã phát triển khía cạnh lý thuyết của việc không sưởi ấm và tạo ra những chiếc bàn không sưởi ấm. Nhân tiện, vào năm 1905, trong Chiến tranh Nga-Nhật, trong Trận Tsushima, khi ba thiết giáp hạm cùng loại bị giết và nhận thiệt hại không kém

Đại bàng được cứu vì kỹ sư cơ khí của chiến hạm đã áp dụng thực tế nghiên cứu của A. N. Krylov.

Đối với các bảng không thể chìm của Krylov, giúp chiến đấu thành công để giành lấy khả năng sống sót của một con tàu, đến năm 1930, chúng đã được hải quân của hầu hết các nước trên thế giới áp dụng.

An toàn tàu hôm nay

Nhưng có lẽ những thành tựu khoa học công nghệ trong lĩnh vực hàng hải và đóng tàu đã làm giảm đáng kể những lo ngại về khả năng đi biển của con tàu và từ đó làm giảm tầm quan trọng của toán học? Và toán học có cần thiết trong các lĩnh vực quan trọng khác trong công việc của người hoa tiêu không?

Ngày nay yếu tố biển vẫn ghê gớm và quỷ quyệt như xưa. Tất nhiên, những thành tựu của khoa học và công nghệ hiện đại đã làm tăng mức độ an toàn hàng hải, nhưng mặt khác, số lượng, sự đa dạng và độ phức tạp của bài toán giải quyết các vấn đề ngày nay lại tăng mạnh.

Vì vậy, vào đầu năm 1982, con tàu quy mô lớn “Serebryanka” đã dẫn đầu một con thú công nghiệp đi qua môi trường băng giá ở Bắc Cực. Khi xảy ra chuyển động bên ngoài của khối băng, kỹ năng của thuyền trưởng và các thủy thủ do ông chỉ huy đã tránh được hậu quả tai hại, nhưng con tàu vẫn gặp phải hai vấn đề: phòng máy phụ và ba khoang đầu tiên. Các thủy thủ đã cố gắng bịt kín các lỗ hổng. Nhưng trong quá trình đấu tranh cho sự sống sót của con tàu, thuyền trưởng và trợ lý đã phải nhanh chóng thực hiện nhiều phép tính phức tạp và chính xác, chỉ ra chính xác những gì cần phải làm để giảm bớt tình trạng nguy hiểm trong trường hợp các khoang bị hư hỏng bị ngập (tất nhiên, có tính đến việc phân bổ hàng hóa trên tàu).

Đáng tiếc là ở nhiều nước trên thế giới, việc đảm bảo an toàn cho

12

Dov và cuộc đấu tranh sinh tồn của con tàu
không phải lúc nào cũng được thực hiện
thành công. Theo hiệp hội
“Viện bảo lãnh phát hành London”
ters", đoàn kết hơn 100 quốc gia
công ty khovykh, năm 1979
đội tàu buôn thế giới
tổn thất lớn trong quá trình tồn tại
quy định vận chuyển. Và hầu hết mọi thứ
những con tàu bị mất đang được giám hộ
công ty bảo hiểm của các nước tư bản. Hiệp hội Navaan chỉ trích gay gắt chủ tàu
những người “… vi phạm trắng trợn các hướng dẫn và không tuân thủ các tiêu chuẩn an toàn cơ bản, và thực tế không chú ý đến việc đào tạo chuyên môn của thuyền viên.”
Công ty bảo hiểm nổi tiếng “Đăng ký vận chuyển của Loyd” thậm chí còn trước đó đã nhờ các chủ tàu liên hệ với họ với một dấu hiệu tuyệt vọng để thành công trong việc đào tạo lý thuyết và thực hành bằng mọi cách có thể. thuyền viên, đặc biệt là thuyền trưởng. Công ty bảo hiểm nói trên buộc phải quay sang nói thẳng với các thủy thủ: “Học đi!
Hãy không ngừng học hỏi nếu không muốn bị tụt hạng! Một khóa học mang tên Sự thiếu hiểu biết về kỹ thuật sẽ dẫn đến thảm họa!”
Tất nhiên, toán học là nền tảng cơ bản cho việc đào tạo hoa tiêu và thủy thủ nói chung. Điều này đã được thảo luận khi đề cập đến khả năng đi biển của tàu như độ nổi, độ ổn định và khả năng không chìm. Kiến thức về toán học cũng cần thiết để thành thạo thiên văn học hàng hải.
Không có toán học thì không thể thành thạo và vận hành thành công các phương tiện kỹ thuật dẫn đường.
Không có ích gì khi tiếp tục danh sách này nữa.
Viện sĩ hàn lâm A. N. Krylov, một nhà toán học và thợ đóng tàu nói trên, đã nói về chuyên môn của mình rằng đó là “… việc ứng dụng toán học vào các vấn đề khác nhau của hàng hải”. Người thuyền trưởng cũng vậy!

Hình 3.

12

13

Những ngôi sao tia X rực sáng

Tiến sĩ Vật lý và Toán học
A.D.CHERNIN

Năm 1975, một nhóm các nhà thiên văn học Liên Xô báo cáo đã quan sát thấy những đợt bức xạ tia X vũ trụ mạnh và ngắn. Chẳng bao lâu, các nhà khoa học Mỹ đã phát hiện ra những tia bức xạ tia X ở trung tâm của một trong những cụm sao trong Thiên hà của chúng ta. Từ đó bắt đầu lịch sử nghiên cứu các vụ nổ – các ngôi sao tia X phát sáng. Tên của họ xuất phát từ từ tiếng Anh bùng nổ, có nghĩa là vụ nổ, chớp nhoáng. Ngày nay người ta đã biết hơn 30 ngôi sao như vậy; 8 trong số chúng thuộc về các cụm sao.

Thực tế là các ngôi sao có khả năng phát ra không chỉ ánh sáng khả kiến ​​mà còn cả tia X, đã được phát hiện trong 15-20 năm qua, khi các máy viễn vọng tia X đặc biệt xuất hiện, mang trên các ống trụ cao, tên lửa và vệ tinh ngoài bầu khí quyển Trái đất (không cho phép bức xạ tia X của vũ trụ đến được với chúng ta). Các nguồn vũ trụ phát ra tia X trong vùng bước sóng từ $10^{-8}$ đến $10^{-10}$ m. Các lượng tử tương ứng với phạm vi sóng điện từ này có năng lượng từ 0,1 đến 30 keV hoặc từ $10^{-17}$ đến $3 \cdot 10^{-15}$ J.

Vụ nổ là sao neutron

Việc tăng độ sáng của chùm tia*) sẽ diễn ra trong khoảng thời gian từ vài phần giây đến mười giây. Sau đó, trong khoảng thời gian từ vài giây đến vài phút, độ chói giảm dần trở lại mức ban đầu và một tia sáng mới xuất hiện vài giờ hoặc vài ngày sau đó (Hình 1). Một số kẻ phá sản đôi khi “tắt” hàng tuần và nhiều nơi,

*) Khi chúng ta nói về sự gia tăng độ sáng của vụ nổ, chúng tôi muốn nói đến sự gia tăng sức mạnh của bức xạ tia X do vụ nổ phát ra. Và hơn nữa, khi nói về bức xạ tia X mà mắt không nhìn thấy được, chúng ta sẽ sử dụng những thuật ngữ quen thuộc tương tự như đối với ánh sáng khả kiến.

Hình 1. Sự phụ thuộc điển hình của độ sáng của chùm tia vào thời gian.

14

và sau đó chúng “sống lại” lần nữa, lại phát ra tia X-quang. Các vụ nổ bùng nổ hầu như luôn xảy ra trên nền không biến mất, mặc dù hơi thay đổi theo thời gian, độ sáng của tia X.

Vị trí của các vụ nổ trên bầu trời vừa không đồng đều vừa không đồng đều. Hầu hết chúng tập trung theo hướng về phía trung tâm Thiên hà, và số lượng chúng càng lớn thì bạn càng ở gần trung tâm (Hình 2). Tình huống này đóng vai trò như một dấu hiệu rất rõ ràng rằng những kẻ phá hoại thuộc về Thiên hà của chúng ta. Hơn nữa, theo đó, khoảng cách thông thường tới vụ nổ gần với khoảng cách từ chúng ta đến trung tâm Thiên hà - đây là 10 kpc, hay $3 \cdot 10^{20}$ m.

Các tín hiệu mà kính viễn vọng tia X nhận được trong quá trình quan sát các vụ nổ khác nhau có năng lượng khác nhau khoảng mười lần. Các giá trị của mật độ dòng năng lượng, tức là năng lượng tới trên một đơn vị bề mặt trong một đơn vị thời gian, nằm trong khoảng $F = (3 \cdot 10^{-11} \div 3 \cdot 10^{-12}) \text{ Дж}/(\text{м}^2 \cdot \text{с})$.

Nếu khoảng cách đến nguồn là $R = 3 \cdot 10^{20}$ m, chúng ta có thể tìm thấy độ sáng của nó, tức là tổng năng lượng mà nguồn phát ra trên một đơn vị thời gian theo mọi hướng:

$$L = 4\pi R^2 F = (3 \cdot 10^{30} \div 3 \cdot 10^{31}) \text{ Дж}/\text{с}.$$

Năng lượng phát ra từ đèn chớp trong vụ nổ có được bằng cách nhân độ sáng $L$ với thời lượng vụ nổ $\Delta t$: (ở đây đối với thời lượng đèn nháy $\Delta t$ lấy giá trị trung bình là 10 giây).

Sử dụng phương pháp tương tự, chúng ta có thể tìm thấy độ sáng nền, không biến mất của chùm tia. Giá trị của nó gần như giống nhau đối với tất cả các bộ nổ: $L_0 \approx 10^{30} \text{ Дж}/\text{с}.$

Để hiểu bản chất của vụ nổ, điều rất quan trọng là trong quá trình chớp sáng, vụ nổ sẽ phát sáng giống như bề mặt của một vật thể được nung nóng đến nhiệt độ từ 10 đến 30 triệu độ sẽ phát sáng. Điều này được thiết lập bởi loại phổ tia X của vụ nổ, nghĩa là bởi đặc tính của năng lượng phát ra tùy thuộc vào bước sóng $^*$). Năng lượng trung bình $\varepsilon$ của lượng tử phát ra có liên hệ với nhiệt độ $T$ của vật thể bằng một sự tương ứng gần đúng $\varepsilon \approx kT$, trong đó $k = 1,4 \cdot 10^{-23} \text{ Дж}/\text{K}$ là hằng số Boltzmann. Ở nhiệt độ $T = (1 \div 3) 10^7$ K, giá trị thực tế của $\varepsilon \approx (1 \div 4) 10^{-16}$ J nằm trong đặc tính dải năng lượng của tia X.

Theo một trong những định luật nhiệt động lực học - định luật Stefan-Boltzmann, bề mặt của một vật thể được nung nóng đến nhiệt độ $T$ phát ra trên một đơn vị thời gian từ một đơn vị diện tích một lượng năng lượng tỷ lệ với nhiệt độ cơ thể: $W = \sigma T^4$. Hệ số tỷ lệ $\sigma = 5,7 \times 10^{-8} \text{ Дж}/(\text{m}^2 \cdot \text{с} \cdot \text{К})$ được gọi là hằng số Stefan-Boltzmann. Quả bóng sậy $r$ có diện tích bề mặt $4\pi r^2$; bề mặt này nếu được nung nóng đến nhiệt độ $T$ sẽ tạo ra độ sáng

$$L = \sigma T^4 \cdot 4\pi r^2.$$

Sử dụng công thức này và dựa trên dữ liệu nhiệt độ

$^*$) Các phần khác nhau của quang phổ của vật bức xạ có phần năng lượng phát ra khác nhau. Năng lượng tối đa xảy ra trong một khoảng nhất định của độ dài phổ. Nhiệt độ cơ thể càng cao thì sự dịch chuyển cực đại trong vùng bước sóng nhỏ càng xa. Dựa vào bước sóng tại đó xảy ra nhiệt độ phát ra tối đa, người ta có thể đánh giá nhiệt độ cơ thể.

17

nối tiếp nhau mà không có bất kỳ chu kỳ rõ ràng nào, người ta ước tính rằng cơ chế bùng phát không liên quan đến chuyển động quay của chính sao neutron quanh trục của nó, hoặc với chuyển động quỹ đạo định kỳ của nó trong hệ sao đôi. Nếu không thì các vụ nổ sẽ là đồng hồ tốt như sao xung.

Nguyên nhân của vụ nổ là do sự biến đổi của vật chất rơi trên bề mặt sao neutron.

Vật chất của ngôi sao đồng hành bị vụ nổ bắt giữ có thành phần hóa học chung của sao: (70-75)% hydro (theo khối lượng), khoảng (25-30)% gel, khoảng 1% nguyên tố nặng hơn. Khi nó chạm vào bề mặt của một ngôi sao neutron, khí bị nén và nóng lên đến mức có thể xảy ra các phản ứng nhiệt hạch chuyển hydro thành heli - giống như ở độ sâu của Mặt trời và các ngôi sao “bình thường” khác.

Năng lượng giải phóng trong các phản ứng được cộng vào năng lượng truyền tới bề mặt của ngôi sao bồi tụ. Tuy nhiên, sự bổ sung này không lớn lắm. Thật vậy, trong các phép biến đổi hạt nhân - trống rỗng ngay cả trước khi “đốt cháy” hoàn toàn, tức là sự biến đổi hydro thành sắt - không quá 0,01 $c^2$ năng lượng được giải phóng trên một đơn vị khối lượng vật chất. Do đó, năng lượng giải phóng trên một đơn vị thời gian trong quá trình đốt cháy nhiệt hạch của chất bồi tụ không vượt quá 0,01 $c^2 j$. So sánh điều này với ước tính của chúng tôi về động năng của chất bồi tụ, chúng tôi thấy rằng các phản ứng nhiệt hạch tạo ra một xung năng lượng nhỏ hơn khoảng ba mươi lần so với năng lượng bồi tụ.

Những người khác quan trọng hơn ở đây. Là kết quả của phản ứng nhiệt hạch của quá trình đốt cháy hydro, một lớp gel được hình thành trên bề mặt sao neutron. Hóa ra chính trong lớp gel là nơi phát triển các quá trình gây bùng phát bệnh.

Hơn 30 năm trước, L. E. Gurevich và A. I. Lebedinsky, khi phát triển lý thuyết về giai đoạn cuối của quá trình tiến hóa sao, đã phát hiện ra rằng trong những điều kiện nhất định, vụ nổ nhiệt hạch có thể xảy ra trên các ngôi sao. Trong một ngôi sao đã cạn kiệt nhiên liệu hạt nhân ở khu vực trung tâm của nó, hầu hết thường có các lớp gần bề mặt nơi vật chất vẫn còn giàu hydro, gel và các nguyên tố nhẹ khác. Hãy tưởng tượng một tình huống trong đó nhiệt độ ở các lớp trọng lượng này cao nhưng vẫn không đủ để xảy ra phản ứng hạt nhân. Hơn nữa, vì lý do nào đó, nhiệt độ ở một trong các lớp này tăng lên và đột nhiên vượt quá giới hạn tới hạn mà từ đó quá trình đốt cháy hạt nhân có thể xảy ra. Điều gì sẽ xảy ra tiếp theo?

Rõ ràng, nó sẽ học các phản ứng hạt nhân khi giải phóng nhiệt. Nhưng liệu nhiệt độ của lớp có đủ cao không? Nó sẽ đi lên hay đi xuống? Điều này phụ thuộc vào sự tương ứng giữa nhiệt độ tỏa nhiệt trong phản ứng hạt nhân và nhiệt độ tỏa nhiệt từ lớp ra bên ngoài. Nếu nhiệt rời khỏi lớp rất nhanh, gần như ngay lập tức, thì rõ ràng là ngay khi bắt đầu, các phản ứng hạt nhân sẽ ngay lập tức kết thúc, vì nhiệt độ của lớp sẽ ngay lập tức giảm xuống và trở nên tới hạn.

Sẽ có một kết quả khác nếu nhiệt tỏa ra trong các phản ứng hạt nhân không có thời gian thoát ra khỏi lớp nhanh chóng, do đó nhiệt độ của nó tăng thêm. Khi nhiệt độ tăng, các phản ứng hạt nhân diễn ra ngày càng hiệu quả, nhiệt lượng tỏa ra tăng nhanh và kết quả là nhiệt độ của lớp tiếp tục tăng. Nhưng sau đó các phản ứng hạt nhân gần như chậm lại, nguồn cung cấp nhiệt tăng lên, v.v. Chúng ta có thể nói rằng quá trình giải phóng năng lượng hạt nhân trong trường hợp này phát triển trên cơ sở tuyết lở, tự hỗ trợ và tăng tốc. Và đây là một vụ nổ. Trong trường hợp giải phóng năng lượng hạt nhân từ một ngôi sao, quá trình này phát triển do tốc độ phản ứng hạt nhân thay đổi rất nhanh theo nhiệt độ: nhiệt độ càng cao, phản ứng hạt nhân càng hiệu quả thì nhiệt tỏa ra càng nhanh.

Hiện tượng này được ghi nhớ ngay khi vụ nổ được mở ra; các nhà thiên văn học từ các quốc gia khác nhau đã

19

Hình 3. Sơ đồ sao xung tia X (sự bồi tụ trong từ trường, phát xạ các điểm nóng). 1 - đường sức từ; 2 — trục y tế của sao neutron; 3 - trục từ của ngôi sao; 4 - các hạt lơ lửng rơi về phía cực từ; 5—điểm nóng gần cực.

Hình 4. Sơ đồ Barstra (bồi tụ, gia nhiệt và bức xạ từ toàn bộ bề mặt).

à các ngôi sao. Tất cả 124 cụm sao cầu đã biết trong Thiên hà đều chứa hơn 10 triệu ngôi sao, chiếm một phần nghìn tổng số sao trong Thiên hà. Từ đó có thể thấy rằng barstra chắc chắn thích xuất hiện giữa các ngôi sao của cụm sao cầu. Lý do cho sự ưu tiên này vẫn chưa được hiểu. Tại sao một ngôi sao neutron trong một số trường hợp lại biểu hiện dưới dạng barstra, còn trong những trường hợp khác lại là một pulsar?

Hay nói cách khác: tại sao xung không phát xung và xung không bùng lên?

Người ta tin rằng các ẩn tinh tia X cũng là một phần của hệ thống nhị phân thử nghiệm với dòng vật chất và bồi tụ. Có thể từ trường đóng một vai trò quan trọng trong trường hợp này. Từ trường của sao neutron nếu đủ mạnh ($10^{12}$ lần so với từ trường trung bình của Mặt trời, bằng $10^{-4}$ T), có thể làm thay đổi bản chất của sự bồi tụ - vật chất được trường hướng chủ yếu về các cực từ của sao. Do đó, nhiệt độ trở nên không đồng đều: nhiệt độ ở các cực cao hơn đáng kể so với phần còn lại của bề mặt ngôi sao. Các điểm nóng ở hai cực chủ yếu tạo ra bức xạ (hãy nhớ rằng độ sáng phụ thuộc rất nhiều vào nhiệt độ, nó tỷ lệ thuận với bốn độ của nó). Nếu một ngôi sao quay nhanh và trục từ nghiêng với trục quay của nó (Hình 3), thì hiệu ứng ngọn hải đăng sẽ xảy ra: một điểm sáng đôi khi nhìn thấy được, đôi khi không nhìn thấy được và bức xạ xuất hiện không liên tục và dao động.

Từ trường của barster được cho là yếu hơn từ trường của ẩn tinh; nó không ảnh hưởng đến sự bồi tụ, xảy ra ít nhiều đồng đều theo mọi hướng, do đó tất cả các bề mặt của sao neutron đều được nung nóng như nhau và bức xạ như nhau (Hình 4). Khi đó chuyển động quay của ngôi sao, có thể nhanh ở đây, sẽ không xuất hiện trong bức xạ. Nếu vậy, thì rõ ràng tại sao bộ nổ không đập. Nhưng tại sao ẩn tinh không tạo ra tia sáng? Người ta cho rằng từ trường kiểm soát sự bồi tụ có khả năng bằng cách nào đó ngăn chặn sự bùng phát nhiệt trên bề mặt của một ngôi sao neutron.

Những phỏng đoán và giả thuyết này vẫn cần được xác nhận bằng những tính toán lý thuyết và quan sát thiên văn sâu hơn.

20

Thời tiết
được coi là topo

Định lý
Borsuka -
Ulama

hoặc
Đôi điều về thời tiết
về một con ngựa được huấn luyện
và trường hai chiều

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraine
CẦN M. G.,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. NUDELMAN

Thời tiết thất thường và thất thường. Các thông số mô tả nó (ví dụ: áp suất, nhiệt độ, độ ẩm) liên tục thay đổi theo thời gian và khi di chuyển từ vùng này sang vùng khác. Trên bản đồ thời tiết, isobars có thể có hình dạng kỳ lạ nhất (và than ôi, không phải lúc nào cũng có thể dự đoán được). Chưa hết, cho dù bản đồ thời tiết trên toàn cầu có kỳ lạ đến đâu thì vẫn có

Định lý thời tiết. Tại mọi thời điểm trên địa cầu đều có một cặp điểm đối xứng đường kính (“đối cực”), tại đó cả nhiệt độ và áp suất đều như nhau.

Tuyên bố này, dưới dạng “khí tượng học”, thực sự không phản ánh các đặc tính của bầu khí quyển trái đất, mà phản ánh các đặc tính của các hàm được xác định và liên tục trên hình cầu. Nó thuộc về cấu trúc liên kết - một nhánh của toán học, đặc biệt, liên quan đến việc nghiên cứu các tính chất của hàm hoặc tập hợp hàm liên tục trên các tập hợp nhất định.

Một số tính chất của các hàm như vậy được xác định bởi cấu trúc của tập hợp mà chúng liên tục trên đó. Ví dụ, đối với các hàm số được học ở trường, giá trị hình học là hợp lệ.

Định lý về hàm số không. Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a; b] và ở hai đầu của nó mang giá trị trái dấu thì giữa a và b có một điểm x₀ tại đó f(x₀) = 0.

Chúng tôi không cung cấp bằng chứng cho định lý rõ ràng này, vì hóa ra nó không phải là cơ bản.

Để định lý 0 có giá trị, cả tính liên tục của hàm (tại sao?) và tính chất của đoạn, được gọi là tính liên thông, đều cần thiết

21

(không có “khoảng trống” hoặc “khoảng trống” nào trong phân khúc). Do đó, hàm $f(x) = \sqrt{(x^2 - 1)(4 - x^2)} + 2x$ liên tục trên miền định nghĩa $[-2, -1] \cup [1, 2]$, âm trên $[-2, -1]$ và dương trên $[1, 2]$, và nó không biến mất tại bất kỳ điểm nào.

Bài viết này trình bày một số tính chất của các cặp hàm số xác định và liên tục trên mặt cầu. Nhưng chúng ta sẽ dạy từ một trường hợp đơn giản hơn - từ một tính chất bất ngờ của các hàm liên tục trên đường tròn.

Trường hợp vòng tròn: không có ngựa đua

Để ngựa vòng tròn, theo lệnh của người huấn luyện, bắt đầu chạy quanh vòng tròn cho thuê từ điểm $A$ và khi kết thúc lượt, rời khỏi vòng đua tại điểm đó. Hóa ra, cho dù tốc độ của nó thay đổi như thế nào trong giai đoạn thử nghiệm beta, vẫn có thể chỉ ra hai điểm cho thuê đối xứng nhau mà tại đó tốc độ của con ngựa có cùng giá trị.

Tất nhiên, vấn đề ở đây không nằm ở cách bố trí của con ngựa (mà chúng ta sẽ tưởng tượng thêm như một điểm), mà nằm ở tính chất của hàm số liên tục, mà bây giờ chúng ta sẽ hiểu.

Chúng ta sẽ xác định vị trí của con ngựa $J$ trên một vòng tròn có diện tích góc $\Theta$ ($0 \leq \Theta \leq 2\pi$), trong đó bán kính $OJ$ tạo thành với bán kính $OA$ được vẽ tại điểm ban đầu (Hình 1); Chúng tôi biểu thị giá trị tốc độ tương ứng bằng $v(\Theta)$. Giả sử hàm $v$ liên tục trên $[0; 2\pi]$ (chuyển động và dừng đều trơn tru), theo điều kiện $v(0) = 0$, $v(2\pi) = 0$. Điểm $J'$, đối diện theo đường kính với điểm $J$, tại $0 \leq \Theta \leq \pi$ tương ứng với góc $\Theta + \pi$. Cần phải chứng minh sự tồn tại của

Hình 1.

cho ai $\Theta_0 \in [0; \pi]$, cho ai $v(\Theta_0) = v(\Theta)$.

Xét hàm $u(\Theta) = v(\Theta + \pi) - v(\Theta)$. Chúng ta cần tìm $\Theta_0 \in [0, \pi]$ mà $u(\Theta_0) = 0$. Hàm $u$ liên tục trên đoạn $[0; \pi]$ (là hiệu của các hàm liên tục) và ở cuối đoạn này, các giá trị $u(0) = v(\pi) - v(0) = v(\pi)$ và $u(\pi) = v(2\pi) - v(\pi) = -v(\pi)$ của nó có dấu ngược nhau (nếu $v(\pi) \neq 0$ hoặc bằng 0 (nếu $v(\pi) = 0$). Trong trường hợp sau, $\Theta_0 = 0$; nếu $v(\pi) \neq 0$, thì sự tồn tại của $\Theta_0$ suy ra từ định lý 0.

Dễ hiểu là để chứng minh sự không tồn tại tính không âm của hàm số $v(\Theta)$ (khi chạy quanh đấu trường, ngựa có thể di chuyển theo hướng ngược lại tùy lúc) và các điều kiện $v(0) = 0$, $v(2\pi) = 0$ thì chỉ có đẳng thức $v(0) = v(2\pi)$ là cần thiết (ngựa có thể vượt qua điểm $A$ từ gia tốc; điều quan trọng là nó phải quay về điểm này ngay lập tức tốc độ).

Rõ ràng là $v$ có thể được coi là một hàm không phải của số $\Theta$ mà của điểm $J$, do đó định lý đã được chứng minh có thể được phát biểu như sau:

Định lý về con ngựa. Nếu một hàm số nào đó được xác định trên một đường tròn và liên tục trên đó thì có hai điểm đối xứng đường kính trên đường tròn mà tại đó hàm số này có cùng giá trị.

Mathematical formulas for theorems on paths

Hãy dịch định lý thời tiết sang ngôn ngữ toán học. Tại một thời điểm nhất định, mỗi điểm $P$ trên bề mặt trái đất $S$ được gán hai số - áp suất $f(P)$ và nhiệt độ $g(P)$ tại thời điểm này. Do đó, hai hàm được xác định trên hình cầu $S$, được coi là liên tục trên $S$ - với những thay đổi nhỏ về vị trí của điểm $P$ thì giá trị của các hàm này thay đổi rất ít.

Định nghĩa chính xác về tính liên tục của hàm số trên một tập chính xác tùy ý $X$ (căn chỉnh trên một đường thẳng, trong mặt phẳng hoặc trong không gian) có thể được phát biểu như sau:

22

một hàm $\varphi$ được gọi là liên tục tại một điểm $P_0 \in X$ nếu với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, người ta có thể chỉ định một $\delta > 0$ sao cho với mọi điểm $P \in X$ bị loại khỏi $P_0$ một khoảng nhỏ hơn $\delta$, thì bất đẳng thức $|\varphi(P) - \varphi(P_0)| < \varepsilon$ giữ nguyên; một hàm số liên tục trên tập hợp $X$ nếu nó liên tục tại mọi điểm của tập hợp này.

Chúng ta hãy đồng ý rằng đối cực của điểm $P \in S$ được ký hiệu là $P'$ ($P$ và $P'$ là hai đầu có cùng đường kính của hình cầu).

Trừu tượng từ ý nghĩa “khí tượng” của các hàm $f$ và $g$, chúng ta xây dựng định lý ở dạng tổng quát:

Định lý Borsuk-Ulam a*). Nếu hàm $f$ và $g$ được xác định và liên tục trên mặt cầu $S$, thì trên mặt cầu này có các điểm đối xứng đường kính $P_0$ và $P'_0$, tại đó $f(P'_0) = f(P_0)$ và $g(P'_0) = g(P_0)$.

Hãy để chúng tôi giới thiệu hai hàm $F(P) = f(P') - f(P)$ và $G(P) = g(P') - g(P)$. Cả hai đều liên tục trên $S$ và có tính chất phản đối xứng; $F(P') = -F(P)$, $G(P') = -G(P)$, chẳng hạn như $F(P') = f((P')') - f(P') = f(P) - f(P') = -F(P)$. Đối với các điểm $P_0 \in S$, trong đó có $f(P'_0) = f(P_0)$, $g(P'_0) = g(P_0)$ và chỉ dành cho các điểm đó $F(P_0) = 0$ và $G(P_0) = 0$.

Do đó, định lý Borsuk-Ulam suy ra từ định lý sau:

Định lý số 0 chung. Nếu hàm $F$ và $G$ liên tục trên mặt cầu $S$ và có tính chất phản đối xứng, thì trên mặt cầu $S$ có một điểm $P_0$ mà tại đó cả hai hàm đều bằng 0: $F(P_0) = G(P_0) = 0$.

Định lý về số 0 của trường vectơ

Định lý 0 đưa ra các điều kiện đủ để một hàm số liên tục trên một khoảng có số “0” trên khoảng đó. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một định lý cho dấu hiệu về sự tồn tại của một số 0 chung cho hai hàm số liên tục trên đường tròn.

Giả sử mỗi điểm $Q$ của một tập phẳng $K$ nào đó (trong trường hợp của chúng ta đây thường là một đường tròn) được liên kết với một vectơ không ctor $\vec{a}(Q)$ nằm trong cùng một mặt phẳng. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng tập $K$ được cho là trường vectơ hai chiều (Hình 2). Một vectơ trong mặt phẳng được chỉ định bằng hai tọa độ, do đó, việc chỉ định trường vectơ hai chiều tương đương với việc chỉ định hai hàm: $\vec{a}(Q) = (x(Q); y(Q))$.

Trường vectơ được gọi là liên tục tại điểm $Q_0$ nếu cả hai hàm số $x(Q)$, $y(Q)$ đều liên tục tại điểm này; một trường liên tục trên một tập hợp cho trước nếu nó liên tục tại mọi điểm. Trường vectơ được gọi là suy biến trong tập $K$ nếu với một điểm nào đó $Q_0 \in K$ vectơ $\vec{a}(Q_0)$ bằng 0. Chúng ta cần có đủ điều kiện để suy biến liên tục trường vectơ trên đĩa.

Đầu tiên chúng tôi đưa ra cách giải thích vectơ của định lý null. Trên một đường thẳng, vectơ có một tọa độ. Do đó, việc xác định hàm trên một đoạn có thể được sử dụng như xác định trường vectơ một chiều (gồm các vectơ nằm trên cùng một đường thẳng) và định lý null có thể được phát biểu như sau:

Định lý về điểm 0 của trường một chiều. Nếu trường vectơ một chiều liên tục được cho trên một đoạn và ở hai đầu của đoạn đó các vectơ tương ứng có hướng ngược nhau thì trường này suy biến (Hình 3, a).

Đối với trường hai chiều, định lý này được khái quát hóa như sau:

Định lý về điểm 0 của trường hai chiều. Nếu một trường vectơ hai chiều liên tục được cho trên một đường tròn và tại bất kỳ điểm đối xứng đường kính nào của đường tròn của nó thì các vectơ tương ứng có hướng ngược nhau, thì trường này suy biến (Hình 3, b).

Giống như định lý null một chiều, định lý này có thể được chứng minh bằng những phương pháp vượt ra ngoài phạm vi của môn học ở trường. Nhưng trong khi trong định lý về số 0 của trường một chiều, điều này đã được bù một cách trực quan, thì điều này không thể nói về định lý hai chiều. Vì vậy, chúng tôi sẽ trình bày một “lý do hợp lý” mà chúng tôi hy vọng sẽ thuyết phục được người đọc về tính đúng đắn của định lý này.

23

Đặt $O$ là tâm của đường tròn và $K, r$ là bán kính của nó. Đường tròn biên của đường tròn $K$ được định hình bởi $C$ và bởi $C_u$ chúng ta được định hình bởi một đường tròn đồng tâm có bán kính $ar(C = C_1)$. Giả sử $\vec{a}$ là trường vectơ liên tục trên $K$.
Nếu $\vec{a}(Q) \neq 0$ dành cho tất cả $Q \in C_u$ thì khi $Q$ di chuyển dọc theo $C_u$ vectơ $\vec{a}(Q)$ sẽ quay bằng cách nào đó. Chúng ta biểu thị bằng $v(C_u)$ số vòng quay ngược chiều kim đồng hồ được thực hiện bởi vectơ $\vec{a}(Q)$ áp dụng cho một điểm cố định $I$ khi điểm $Q$ chạy qua đường tròn $C_u$ một lần ngược chiều kim đồng hồ $^*$). Số nguyên $v(C_u)$ có thể dương, 0 hoặc âm.
Chúng ta hãy làm rõ rằng nếu trong quá trình di chuyển $Q$ dọc theo một cung nhất định của đường tròn $C_u$, vectơ $\vec{a}(Q)$ thực hiện một số vòng quay ngược chiều kim đồng hồ và cùng số vòng quay theo chiều kim đồng hồ, thì khi đếm $v(C_u)$ các vòng quay này “triệt tiêu lẫn nhau”.
Chúng tôi khuyên người đọc nên tìm $v(C)$ cho các trường được hiển thị trong Hình 4 (trường vận tốc của vòng tròn quay và trường hình thành do truyền song song).

Đặt $\vec{a}(Q), Q \in K$ là trường vectơ thỏa mãn các điều kiện của định lý. Ngược lại, giả sử rằng $\vec{a}(Q) \neq 0$ với mọi $Q \in K$. Sau đó, cụ thể là, $\vec{a}(Q) \neq 0$. Do tính liên tục của trường, vì 0 nên tất cả các vectơ $\vec{a}(Q)$ khác nhau rất ít về hướng so với $\vec{a}(0)$. Điều này có nghĩa là đối với $\varepsilon_0 > 0$ nhỏ, chúng ta có $v(C_{\varepsilon_0}) = 0$ (xem Hình 5 - vì các vectơ trên $C_{\varepsilon_0}$ được định hướng “gần như cùng hướng” với $\vec{a}(0)$, nên vectơ $\vec{a}(Q)$ không tăng hoàn toàn $\varepsilon$ đến giá trị cực trị $\varepsilon = 1$. Vì $\vec{a}(Q) \neq 0$ có ở mọi nơi nên số $v(C_{\varepsilon})$ được xác định cho tất cả các giá trị của $\varepsilon, 0 < \varepsilon \leq 1$, nghĩa là, $v(C_{\varepsilon})$ là hàm của $\varepsilon$ được xác định ở mọi nơi trên $(0, 1]$. Hàm này liên tục (vì trường của chúng ta là liên tục) và chỉ nhận giá trị đích. Nhưng hàm số nguyên chỉ thay đổi.

*) Độc giả đã đọc các bài viết của S.V. Matveev trong «Kvant», 1983, số 4, được khuyên nên so sánh con số này với “bất biến $V$”.

24

để nhảy (với cường độ $\geqslant 1$), nó không liên tục hoặc không đổi. Điều này có nghĩa là trong trường hợp của chúng ta $v(C_\varepsilon) = \text{const}$, do đó $v(C) = v(C_{\varepsilon_0}) = 0$.

Bây giờ chúng ta hãy lấy một điểm $A$ và một điểm đối xứng với nó $A'$ trên đường tròn $C$ (Hình 6). Vì hướng của vectơ $\vec{a}(A)$ và $\vec{a}(A')$ ngược nhau nên khi điểm $Q$ di chuyển dọc theo hình bán nguyệt $AmA'$ từ điểm $A$ đến điểm $A'$, vectơ $\vec{a}(Q)$ thực hiện một số nửa vòng lẻ. Với chuyển động tiếp theo của điểm $Q$ dọc theo hình bán nguyệt $A'nA$ từ $A'$ đến $A$, vectơ $\vec{a}(Q)$ sẽ thực hiện cùng số lần nửa vòng (và hơn nữa là cùng hướng). Do đó, $v(C)$ là một số lẻ, mâu thuẫn với đẳng thức đã được chứng minh $v(C) = 0$ và hoàn thành lý luận của chúng ta.

Chứng minh định lý số 0 chung

Vì vậy, cho hình cầu $S$ có các hàm liên tục $F$ và $G$, có tính chất phản đối xứng $F(A') = -F(A)$, $G(A') = -G(A)$.

Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng đi qua tâm $O$ của hình cầu $S$. Hình tròn thu được trong phần sẽ được ký hiệu là $K$ và chu vi của nó là $C$. Chúng ta hãy giới thiệu trong mặt phẳng cát tuyến một số hệ tọa độ hình chữ nhật có gốc $0$ và mỗi điểm $Q \in K$ gán vectơ $\vec{a}(Q)$ có tọa độ $F(P)$ và $G(P)$, trong đó $P$ là điểm của bán cầu trên được chiếu tới điểm $Q$ (Hình 7). Chúng tôi để người đọc xác minh rằng trường vectơ kết quả là liên tục trên $K$. Do tính chất phản đối xứng trên phạm vi hàm số $F$ và $G$, với mọi $Q \in C$ ta có

$$\vec{a}(Q) = -\vec{a}(Q')$$

Theo định lý trường 0, tồn tại một điểm $Q_0 \in K$ tại đó $\vec{a}(Q_0) = \vec{0}$. Điều này có nghĩa là $F(P_0) = 0$, $G(P_0) = 0$, trong đó $P_0$ là một điểm trên hình cầu chiếu tới điểm $Q_0$. Định lý đã được chứng minh.

Một hậu quả địa lý

Một hệ quả tất yếu rút ra từ định lý Borsuk-Ulam, định lý khiến các nhà địa lý đau đầu. Vị trí của một điểm trên địa cầu thường được biểu thị bằng tọa độ địa lý - vĩ độ $\theta$ và kinh độ $\varphi$. Chúng có thể được coi là hàm của các điểm trên quả cầu trái đất. Trong hệ tọa độ này, các cực chiếm một vị trí đặc biệt: vĩ độ của mỗi cực là $90^\circ$ (bắc hoặc nam) và bất kỳ vĩ độ nào cũng có thể được gán cho nó. Do đó, nếu bạn di chuyển đến cực bắc dọc theo một kinh tuyến và khi bạn đến đó, tiếp tục di chuyển dọc theo bất kỳ kinh tuyến nào khác, thì với chuyển động liên tục này, vĩ độ sẽ thay đổi liên tục và vĩ độ sẽ có một bước nhảy. Nếu chúng ta đồng ý gán dấu “cộng” cho kinh độ Đông và dấu “trừ” cho kinh độ Tây, thì kinh độ sẽ có bước nhảy khi di chuyển từ Tây bán cầu sang Đông bán cầu dọc theo kinh tuyến, tức là đối cực của kinh tuyến Hryvnych. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể đưa tọa độ trên toàn bộ bề mặt của hình cầu sao cho chúng là hàm số liên tục của điểm tương ứng trên hình cầu hay không? Trong trường hợp này, đương nhiên không được có các điểm khác nhau có cùng tham số tọa độ.

25

Theo định lý Borsuk-Ulam, điều này là không thể. Thật vậy, nếu cho tọa độ liên tục x(P) và y(P)(P∈S) trên mặt cầu S, theo định lý này, thậm chí sẽ có các đối cực P₀, P’₀∈S, trong đó x(P)=x(P’₀), y(P₀)=y(P’₀).

Một số khái quát

Nếu bạn phân tích cẩn thận tiến trình chứng minh định lý “con ngựa”, bạn sẽ thấy rằng việc điểm A và A’ đối diện nhau về mặt đường kính không quá quan trọng. Mọi lập luận vẫn đúng, chẳng hạn, khi thay vì tâm O, chúng ta lấy một điểm bên trong tùy ý O₁ của đường tròn và dưới A và L’, chúng ta đặt các đầu của dây cung đi qua O₁. Bạn có thể làm tương tự với định lý trường 0 và định lý Borsuk-Ulam (Hình 8). Điều quan trọng ở đây là với định nghĩa mới về điểm P’ tính chất (P’’)=P được giữ nguyên.

Bất kỳ ánh xạ liên tục P→P’ nào có đặc tính này đều được gọi là liên quan. Nhà toán học Liên Xô A. Fet, bằng cách sử dụng các phương tiện cấu trúc liên kết tinh vi và mạnh mẽ, đã phát hiện ra rằng định lý Borsuk-Ulam (sau đây gọi là phiên bản n chiều của nó) vẫn có hiệu lực nếu một phép biến đổi P→P’ tùy ý được đưa ra trên mặt cầu S. Đây là công thức chính xác của phát biểu này cho không gian ba chiều:

Cho một phép nghịch đảo tùy ý P→P’ trên mặt cầu S. Với mỗi cặp hàm f(P) và g(P) liên tục trên S, tồn tại một điểm P₀∈S sao cho f(P’₀)=f(P₀), g(P’₀)=g(P₀).

Độc giả muốn làm quen hơn với các khái niệm cơ bản của cấu trúc liên kết, chúng tôi khuyên bạn nên đọc cuốn sách nổi tiếng được viết xuất sắc của N. Steenrod và W. Chinn “Những khái niệm đầu tiên về cấu trúc liên kết” (M., Mir, 1967) *. Cuốn sách này chứa đựng một cách chứng minh đầy đủ và chặt chẽ hơn về định lý Borsuk-Ulam, cũng như một số định lý “ngon miệng” khác (ví dụ: “định lý bánh kếp”, “định lý cắt giăm bông”).

*) Xem thêm cuốn sách của V. G. Boltyansky và V. A. Efremovich “Visual Topolgia” (M., Nayka 1982).

Lịch của chúng tôi

Định luật điện phân

Vào đầu năm 1833, Faraday đã báo cáo với Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn về các thí nghiệm của mình, lần đầu tiên chứng minh sự tồn tại chính xác của nhiều loại chất điện khác nhau - “nói chung”, phát sinh do ma sát, zalvanic, nhiệt điện, điện thu được bằng cảm ứng và cái gọi là chất điện động vật (được tìm thấy ở một số loài cá và động vật biển). Bản chất của việc chứng minh một trạng thái là chứng minh tính giống nhau của các “tác dụng”, các lực điện tùy ý của các quá trình khác nhau.

Trong số các tác dụng khác (chẳng hạn như tác động sinh lý hoặc từ tính), Faraday cũng nghiên cứu tác dụng hóa học. Nghiên cứu này đã đưa ông đến kết luận mà sau này được gọi là định luật Faraday đầu tiên về điện phân: tác dụng hóa học của dòng điện tỷ lệ thuận với lượng tuyệt đối đi qua của dòng điện (một cách tự nhiên, công thức của Faraday hơi khác so với công thức hiện đại). Định luật này được xây dựng trên cơ sở một loạt các thí nghiệm được tính toán cẩn thận và được tiến hành một cách thành thạo, trong đó Faraday đã phát hiện ra một định luật khác, ngày nay được gọi là định luật thứ hai của Faraday: đương lượng điện hóa tương ứng với đương lượng hóa học.

Faraday đã viết xong một báo cáo về những thí nghiệm này vào ngày 31 tháng 12 năm 1833 và xuất bản nó vào năm 1834. Đó là lý do tại sao sau này họ viết rằng các định luật Faraday được phát hiện vào năm 1833 và những định luật khác - vào năm 1834.

Việc thiết lập các định luật định lượng chính xác của điện phân vào thời đó không phải là một nhiệm vụ dễ dàng. Faraday đã làm được điều này, trong nhiều trường hợp nhờ việc phát minh ra một thiết bị - vôn kế, lần đầu tiên thiết bị này có thể thay đổi lượng điện.

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng chính trong quá trình mô tả những nghiên cứu này của Faraday, các thuật ngữ cần thiết cho chúng ta hiện nay, chẳng hạn như chất điện phân, điện phân, cực dương, cực âm, cực âm, v.v., cũng đã được đưa vào vật lý.

Ngoài thực tế là các định luật Faraday hình thành nên nền tảng của điện hóa học, chúng còn đóng một vai trò rất quan trọng trong lịch sử phát triển của vật lý: lần đầu tiên, ý tưởng về bản chất rời rạc của năng lượng điện, sự tồn tại của “nguyên tử năng lượng điện” (theo thuật ngữ hiện đại - electron).

26

Cái gì đã được sử dụng với bóng đèn?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. N. PEGOEV

Tất nhiên, việc bóng đèn cháy là chuyện nhỏ. Làm ơn, ngay cả từ “sự kiện” cũng có vẻ không phù hợp ở đây. Tuy nhiên, cuộc trò chuyện về lý do tại sao và làm thế nào dây tóc trong đèn sợi đốt bị phá hủy rất đáng được quan tâm.

Ngành công nghiệp của chúng ta sản xuất hàng tỷ chiếc đèn mỗi năm. Sau khi phục vụ vài trăm hoặc hàng nghìn giờ, chúng đều cháy hết, gây khó chịu nhẹ cho một số người, còn số khác lại ngạc nhiên và tò mò. Đôi khi cảnh tượng một bóng đèn cháy cũng khiến ngay cả một thợ điện giàu kinh nghiệm cũng bối rối.

Nhưng trước khi nói về hiện tượng cháy đèn, hãy nói đôi lời về cấu trúc của chúng. Bộ phận chính của đèn (Hình 1) là thân đèn sợi đốt. Thông thường nó là dây tóc vonfram có dạng xoắn hoặc xoắn kép. Các đầu của sợi được kết nối với các đầu của đầu vào. Phần giữa của đầu vào được cố định trong một tấm kính. Sợi chỉ được hỗ trợ bởi các đầu vào và giá đỡ dây, phần sau được tạo thành một thanh thủy tinh. Thiết kế này sẽ được đặt trong bình thủy tinh. Một cycol được dán vào bình, tại điểm tiếp xúc của các đầu bên ngoài của đầu vào được hàn. Đường kính của chúng nhỏ hơn một chút so với đường kính của phần bên trong ống lót. Bên trong cycol có một vòi - đầu bịt kín của ống thủy tinh để không khí thoát ra khỏi bình. Ở một số loại đèn, bóng đèn được dẫn hướng bằng khí trơ (argon, crypt), đôi khi có thêm halothenes.

Dây tóc là thành phần không đáng tin cậy nhất của đèn. Dòng điện chạy qua dây tóc làm nóng nó lên tới gần 3000 K. Việc tăng điện áp lên 15% điện áp định mức sẽ dẫn đến dây tóc bị phá hủy nhanh chóng. Hơn nữa, việc tăng điện áp lên 1% sẽ làm giảm tuổi thọ sử dụng của nó xuống 15%, mặc dù nó làm tăng hiệu suất ánh sáng thêm 4%.

Như đã đề cập, việc nhìn thấy một bóng đèn cháy tắt có thể gây ngạc nhiên và đôi khi nó cũng có thể là thử thách. Chúng ta hãy xác định một số loại phá hủy đèn dựa trên các dấu hiệu bên ngoài, đặt câu hỏi tương ứng và sau đó trả lời chúng.

Tuổi thọ của hầu hết các loại đèn kết thúc sau khi đốt cháy kéo dài. Vào giây phút cuối cùng, ánh sáng nhấp nháy, màu sắc của nó có thể thay đổi, đôi khi nghe thấy tiếng vo ve lặng lẽ và sợi chỉ bị đứt.

Câu 1: Tại sao sau một màn hình dài lại có một đoạn thread, trong khi phần còn lại của thread vẫn chạy thread, thường ở gần đầu vào.

Trong cuộc sống hàng ngày, có tới 1/4 số đèn sẽ tắt ngay khi bật lên. Ngay sau khi đóng mạch, đèn nhấp nháy sáng rồi tắt. Thông thường, một số phần của luồng bị phá hủy, thường là ở gần đầu vào.

Câu hỏi 2: tại sao xác suất cháy dây tóc lại quay trở lại vào thời điểm bật máy, khi nhiệt độ dây tóc chưa đạt giá trị vận hành?

Đôi khi dây tóc bị cháy khi bật và kèm theo đèn flash trong chu trình. Trong trường hợp này, một trong những đầu vào của bộ phận bị hư hỏng sẽ cháy và kim loại bay hơi đọng lại trên kính của bình. Bình có thể bị ngắt khỏi chu trình và bị treo.

Hình 1. Mặt cắt của đèn sợi đốt.

27

trên đầu vào bị nứt. (Trong trường hợp này, bạn có thể tháo chu trình ra khỏi mâm cặp bằng cách nắm lấy cạnh của chu trình bằng các đầu của dao cắt bên có tay cầm cách điện.) Một bức tranh như vậy không thể làm ngạc nhiên khái niệm này. Thứ nhất, mạch điện tử bị sập ở hai nơi - luồng và đầu vào. Thứ hai, đầu vào đã cháy hết, dòng điện nóng chảy của nó cao hơn đáng kể so với dây tóc (điều này có thể thấy ít nhất từ ​​thực tế là ở chế độ vận hành, cùng một dòng điện làm nóng dây tóc và hầu như không làm nóng đầu vào). Nghịch lý ở đây cũng giống như việc chúng ta kéo một sợi dây yếu và làm đứt nó, nhưng đồng thời sợi dây chắc chắn mà sợi dây buộc vào cũng bị đứt (Hình 2).

Câu 3: Dòng điện chạy qua mạch nào làm hỏng đầu vào?

Trong một số trường hợp (điều này chủ yếu áp dụng cho các loại đèn có công suất lớn), khi bật đèn, một phần đáng kể của dây tóc sẽ duỗi thẳng ra. Những giọt vonfram làm tan chảy bóng đèn (và đôi khi cả bóng thủy tinh), thủy tinh nứt ra và rơi xuống kèm theo tiếng sét. Những giọt vonfram đông lạnh, dấu vết cháy đen của chúng và những mảnh sợi không tan chảy có thể được tìm thấy trên các đồ vật đặt dưới đèn.

Câu hỏi 4: Tại sao khi đèn tắt, dòng điện tăng nhiều đến mức một phần đáng kể dây tóc có thể duỗi thẳng ra?

Những người quan tâm có thể cố gắng tự trả lời những câu hỏi này và chỉ sau đó mới đọc đáp số bên dưới.

---

Đáp số cho câu hỏi 1. Điều tự nhiên là tìm nguyên nhân khiến một phần nhỏ của sợi chỉ bị đứt trong thực tế là sợi chỉ không thể đồng nhất tuyệt đối. Hãy tưởng tượng sợi dây là một chuỗi kết nối của các phần nhỏ, được hiển thị trong sơ đồ dưới dạng các điện trở có điện trở $R_i$ mỗi phần (Hình 3).

Điện trở của một đoạn sợi được xác định bởi chiều dài $l_i$, đường kính $d_i$ và điện trở suất của vật liệu $Q_i:R_i = 4Q_i l_i / (\pi d_i^2)$. Chúng ta hãy chọn độ dài của các phần bằng nhau và giả sử rằng điện trở suất của tất cả các phần là như nhau, khi đó sự khác biệt về điện trở sẽ chỉ liên quan đến sự khác biệt về đường kính của các phần. Đường đi dọc theo sợi chỉ là dòng điện $I$, được xác định bởi hướng $U$ tác dụng lên sợi chỉ và điện trở của sợi chỉ $R$ (tức là tổng điện trở của tất cả các phần): $I = U/R$. Nguồn điện $P_i = I^2 R_i$ được phân bổ tại mỗi địa điểm. Theo chế độ hiện tại, năng lượng này được sử dụng cho ánh sáng và bức xạ nhiệt, cũng như loại bỏ nhiệt qua các khu vực lân cận và đầu vào cũng như qua khí trong bình.

29

Nhiệt độ dây tóc $T_2$ là gần 3000 K, ngay sau khi bật, điện trở của dây tóc thấp hơn khoảng 10 lần so với ở trạng thái nóng. Do đó, tại thời điểm ban đầu, dòng điện chạy qua ren vượt quá giá trị định mức gần 10 lần (Hình 4). Sau đó, khi dây tóc nóng lên, dòng điện giảm.

Bản thân giá trị dòng điện tăng lên không phá hủy dây tóc mà tạo ra các điều kiện tiên quyết cho hiện tượng quá nhiệt tạm thời của các phần riêng lẻ của nó. Thật vậy, một phần yếu của sợi có đường kính giảm, như chúng ta đã phát hiện ra, có lực cản tăng lên và lực được giải phóng trên nó tăng lên. Ở chế độ không ổn định, ngoài việc tỏa nhiệt và bức xạ, năng lượng còn được sử dụng để làm nóng dây tóc. Vì nhiệt của phần yếu giảm so với các phần khác, đồng thời công suất tăng lên nên phần này nóng lên nhanh hơn các phần khác. Điều này, đến lượt nó, dẫn đến sự gia tăng điện trở của phần yếu và tăng thêm tốc độ gia nhiệt. Kết quả là nhiệt độ của nó đạt đến mức vận hành trước khi toàn bộ sợi nóng lên. Tại thời điểm này, dòng điện vẫn vượt quá giá trị định mức nên phần yếu sẽ quá nóng trong một thời gian (xem Hình 4). Điều này có thể đủ để vonfram bay hơi khỏi bề mặt ren và sợi ở nơi này giảm đường kính. Với mỗi lần bật tiếp theo, sự suy yếu của luồng sẽ tiến triển cho đến cuối cùng, ở lần bật tiếp theo, hiện tượng quá nhiệt dẫn đến phá hủy vùng yếu.

Như vậy, sự phụ thuộc của điện trở ren vào nhiệt độ dẫn đến hiện tượng quá nhiệt và phá hủy phần yếu của ren tại thời điểm bật nguồn, khi phần chính của ren chưa nóng lên.

Ví dụ, đèn trong rạp hát, có thể phát sáng êm ái, không bị đe dọa bởi sự phá hủy như vậy. Và đèn nhấp nháy, bật một phần phải có dây tóc đặc biệt đồng đều hoặc hoạt động khi quá nhiệt. Điều tương tự cũng áp dụng, ví dụ, đối với đèn tín hiệu giao thông.

Hình 5. Các giai đoạn liên tiếp của việc phá hủy và chèn chỉ.

Đáp số cho câu hỏi 3. Chúng ta đã tìm ra nguyên nhân dây tóc cháy khi bật đèn. Tại sao đầu vào có thể bị phá hủy? Rõ ràng là dòng điện phá hủy đầu vào không chạy qua dây tóc, vì phần chính của dây tóc (có dòng điện nóng chảy tương đối nhỏ) đã được bảo toàn. Cũng rõ ràng rằng dòng điện này chạy bên trong đèn, vì sự phá hủy đầu vào là sự ràng buộc của dây tóc.

Hóa ra nguyên nhân của mọi chuyện là do sự phóng điện hồ quang giữa các đầu vào bên trong bóng đèn. Khi một phần yếu của dây tóc bị phá hủy, một đám mây hơi vonfram bị ion hóa một phần sẽ xuất hiện trong bình. Đôi khi sự cố xảy ra qua đám mây này và hồ quang điện sáng lên giữa các đầu vào. Dòng điện hồ quang phá hủy ống lót ở phần bị suy yếu, hư hỏng (Hình 5). Dấu vết của hồ quang vẫn còn ở dạng lớp phủ màu xanh lam trên các đầu vào bên trong bóng đèn.

Điều thú vị là chi tiết thiết kế đèn không dễ thấy như sự khác biệt về đường kính của đầu vào của bóng đèn bên trong và bên ngoài lại rất quan trọng. Nếu đường kính của phần đầu vào bị hỏng bằng hoặc lớn hơn đường kính của phần bên trong thì đèn đầu vào có thể bốc hơi. Và điều này dẫn đến sự bùng nổ của bình.

Đáp số cho câu hỏi 4. Đôi khi, sau khi phá hủy một phần yếu của luồng, sự cố sẽ không xảy ra giữa hai đầu vào mà giữa một trong các đầu vào và phần còn lại của luồng. Điều này dẫn đến sự nóng chảy của một phần lớn dây tóc và có khả năng gây nổ bóng đèn (Hình 6). Có thể được không

30

Hình 6. Các giai đoạn liên tiếp của việc tuốt một đoạn chỉ lớn.

khuyên không nên đứng dưới đèn khi đèn đang bật.

---

Chúng ta hãy xem xét hai trường hợp cháy đèn bất thường và thú vị hơn.

Có một lần, lúc vừa tắt đèn, bóng đèn bị vỡ. Hóa ra trong quá trình đốt cháy kéo dài, sợi dây dần dần bị chùng xuống dưới tác dụng của trọng lực và tiến gần đến đáy.

Bây giờ chúng ta hãy nói về trường hợp hai mươi ngọn đèn mắc nối tiếp bị chết đồng thời. Vào thời điểm chưa có vòng hoa cây thông Noel theo lịch trình của Ông già Noel, một chuỗi gồm 20 chiếc đèn tự động công suất thấp, mỗi chiếc có điện áp 12 V, đã được biên soạn. Khi bật với điện áp 220 V, các đèn nhấp nháy và cháy hết (tất cả là hai mươi!), và một đoạn dây tóc ngắn bốc hơi trong mỗi đèn. Điều này thật đáng kinh ngạc như thể, khi kéo căng một sợi dây dệt từ hai mươi mảnh, nó sẽ đứt thành hai mươi chỗ - ngay ngắn giữa các nút thắt (Hình 7, a).

Tại sao tất cả các đèn đều cháy cùng một lúc? Lý do cho điều này là như sau. Việc phá hủy một phần dây tóc yếu ở một trong các đèn dẫn đến đánh lửa hồ quang điện giữa các đầu vào (Hình 7, b). Điện trở của khe hở nhỏ hơn đáng kể so với điện trở của dây tóc ở chế độ hoạt động, do đó điện áp trên các đèn còn lại đã tăng lên. Điều này làm tăng tốc độ chết của đèn tiếp theo: đánh lửa hồ quang trong đó (Hình 7, c). Điện áp trên các đèn tăng cao hơn nữa, và dùi cui hủy diệt được truyền từ đèn này sang đèn khác cho đến khi không còn điểm yếu nào trong mạch điện. Vì vậy, sự cháy của một ngọn đèn yếu đã gây ra sự phá hủy những ngọn đèn khác. Tất nhiên, những trường hợp như vậy rất hiếm, nhưng hoàn toàn có thể xảy ra.

Hình 7. Dây không thể bị đứt ở nhiều nơi cùng một lúc và các đèn mắc nối tiếp có thể bị cháy cùng một lúc.

31

Máy tạo tinh thể bất thường

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
I. V. KARPOVA

Hãy tưởng tượng một mục tiêu điện bao gồm một chip bán dẫn được chuẩn bị đặc biệt, một điện trở và nguồn điện áp DC (chẳng hạn như pin đèn pin) được mắc nối tiếp. Hóa ra trong những điều kiện nhất định, dao động điện có thể xảy ra trong mạch điện như vậy. Điều này lần đầu tiên được dự đoán về mặt lý thuyết và sau đó được xác nhận bằng thực nghiệm.

Các rung động có biên độ vài volt được phát hiện trong thí nghiệm; tần số rung dao động từ $10^2$ đến $10^7$ Hz. Mẫu phát laser là một thanh hình chữ nhật có kích thước mặt từ vài mm đến hàng chục micron, được cắt từ một tinh thể germanium hoặc silicon.

Đặc điểm là các rung động xảy ra trong các điều kiện chung nhất: ở nhiệt độ phòng, không có áp suất bổ sung, không có điện trường hoặc từ trường mạnh. Tất cả các tính năng chỉ liên quan đến thành phần của tinh thể. Những tính năng này là gì?

Người ta biết rằng trong chất bán dẫn, điện tích được truyền bởi hai loại chất mang: electron và lỗ trống, trước hết chúng khác nhau về dấu của điện tích và hướng chuyển động có trật tự trong điện trường. Electron và lỗ trống có thể ở hai trạng thái - tự do và ràng buộc. Sự chuyển từ trạng thái thứ nhất sang trạng thái thứ hai được gọi là sự tái hợp. Trong trường hợp này, sự chuyển tiếp của các hạt mang điện bị bắt bởi cái gọi là bẫy, thường đóng vai trò là các nguyên tử tạp chất hoặc các khuyết tật trong mạng tinh thể của chất bán dẫn. Bẫy thường mang điện nên rõ ràng là các electron và lỗ trống bị bắt bởi cùng một bẫy với xác suất khác nhau. Do đó, thời gian họ tham gia chuyển giao hiện tại (suốt đời) cũng không giống nhau. Vì vậy, nếu các tạp chất thích hợp được đưa vào tinh thể, sao cho thời gian tồn tại của các electron và lỗ trống, cũng như nồng độ của chúng, thỏa mãn một tỷ lệ nhất định, thì việc tạo ra dao động điện có thể xảy ra trong tinh thể. Hãy thử giải thích điều này.

Giả sử rằng ở đâu đó trong chất bán dẫn đã xuất hiện sự dao động (tính không đồng nhất) của mật độ electron. Vì toàn bộ chất bán dẫn trung hòa về điện nên điện tích âm thu được phải được bù bằng điện tích dương của dao động lỗ tương ứng. Hãy để các bẫy được đưa vào tinh thể sao cho hầu hết các lỗ trống dư thừa sẽ bị liên kết và các electron sẽ được tự do.

Nếu đặt một điện trường ngoài có hướng $E_0$ vào mẫu, nó sẽ phân cực sự dao động của lỗ trống và electron, do đó, tổng điện trường bị giảm đi

(xem hình). Chúng ta hãy đo khoảng cách các dòng lỗ tự do chảy vào và ra khỏi vùng dây điện trường. Dòng chảy của lỗ, tức là số lượng lỗ đi qua mỗi giây qua một đơn vị diện tích mặt cắt vuông góc với hướng của lỗ, bằng $q_p=n_pv$, trong đó $n_p$ là nồng độ của lỗ, $c$ là tốc độ của chúng. Trong tinh thể đồng nhất, nồng độ của các lỗ tự do luôn có hướng (tương tự như tốc độ định hướng của các lỗ tự do trong kim loại). Ở sườn bên trái của dây ruộng, lượng lỗ vào lớn hơn lỗ thoát ra nên lỗ sẽ tích tụ ở sườn trái, tức là sẽ mọc trên bẫy. Ở độ dốc bên phải của dây ruộng, số lỗ chảy vào ít hơn lỗ thoát ra, tức là ở đây lỗ sẽ được tạo ra từ bẫy. Như vậy dao động của lỗ sẽ dịch chuyển sang trái.

Khi xác định các điều kiện thì hóa ra (Cuối cùng, xem trang 40)

32

Xung quanh đường phân giác

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
I. F. SHARYGIN

Bài viết này tổng hợp một số sự kiện hình học liên quan trực tiếp hoặc gián tiếp đến đường phân giác của một tam giác. Trong số đó, người đọc sẽ tìm thấy những “bổ đề” đơn giản nhưng thường được sử dụng, những “định lý” chắc chắn và khó hơn và những “bài toán” đơn giản là đẹp đẽ. Nhưng chúng tôi sẽ không phân loại chúng theo bất kỳ cách nào mà chỉ đánh số chúng theo thứ tự xuất hiện trong số liệu thống kê. Những nhận định được đưa ra trong bài viết mà không có bằng chứng sẽ tự động được đưa vào bài tập. Tuy nhiên, chúng tôi đã cố gắng trình bày những bằng chứng có được trong bài viết một cách ngắn gọn nhất có thể để người đọc có chỗ suy nghĩ.

Mọi người nên biết điều này

Trước tiên, chúng ta hãy nhớ lại một số ký hiệu được chấp nhận chung: $ABC$ là một tam giác cho trước, $S_{ABC}$ là diện tích của nó, $|BC|=a$, $|CA|=b$, $|AB|=c$, $2p=a+b+c$, $O$ và $R$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp và bán kính của nó, $I$ và $r$ là tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp. Ngoài ra, tam giác còn có ba đường tròn bên ngoài, mỗi đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và được kéo dài bởi hai cạnh còn lại. Tâm và bán kính của chúng sẽ được ký hiệu lần lượt là $I_a$, $I_b$, $I_c$, $r_a$, $r_b$, $r_c$ ($I_a$ là tâm của đường tròn ngoài tiếp tuyến với cạnh $BC$ và cạnh kéo dài $AB$ và $AC$, $r_a$ - bán kính của nó).

Tất cả các ký hiệu khác sẽ được giải thích tùy theo vị trí.

(1) Để phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $A_1$. Sau đó
$$\frac{|BA_1|}{|A_1C|} = \frac{|BA|}{|AC|} = \frac{c}{b}.$$

(2) Để đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh $A$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $A_2$. Sau đó
$$\frac{|BA_2|}{|A_2C|} = \frac{|BA|}{|AC|} = \frac{c}{b}.$$

(3) $S_{ABC} = pr.$

(4) $S_{ABC} = (p-a)r_a.$

(5) Nếu $M$ là điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp với các cạnh $AB$, thì $|AM| = p-a$. (Tương tự,

Hình 1.

Hình 2.

33

Hình 3, A.

Ngoài ra còn có các đoạn khác trong đó các cạnh của tam giác được chia bởi các điểm tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp.)

(6) Nếu $M$ là điểm tiếp tuyến của đường tròn ngoài với tâm $I_a$ và đường thẳng $AB$, thì $|AM| = p$.

(7) Các đỉnh $B$ và $C$ nằm trên một đường tròn có đường kính $II_a$; tâm $L$ của đường tròn này nằm trên đường tròn ngoại tiếp (Hình 1).

Như vậy, tâm của đường tròn nội tiếp $I$ có tính chất sau: các đường thẳng $AI$, $BI$ và $CI$ (tức là các đường tròn nhị phân) lần lượt đi qua tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BIC$, $CIA$, $AIB$. Định lý ngược lại cũng đúng.

(8) Nếu các đường thẳng $AM$, $BM$ và $CM$ đi qua tâm ngoại tiếp các tam giác $BMC$, $CMA$ và $AMB$ thì $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Thật vậy, đặt $M_a$, $M_b$, $M_c$ là giao điểm của các đường $AM$, $BM$ và $CM$ với các đường tròn tương ứng, khác với $M$ (Hình 2). Khi đó $MM_a$, $MM_b$ và $MM_c$ là đường kính của các hình tròn này, vì vậy $M_aA$, $M_bB$ và $M_cC$ là đường cao của tam giác $M_aM_bM_c$. Từ đây ta có $B\hat{A}M = B\hat{M}_cM = 90^\circ - B\hat{M}_aC = C\hat{M}_bM = C\hat{A}M$, tức là $M$ nằm trên hai đường thẳng của góc $A$ và tương tự, trên đường chéo của các góc $B$ và $C$.

Khoảng cách giữa các tâm của “vòng tròn đáng chú ý”.

(9) $|OI|^2 = R^2 - 2Rr$ (Công thức Euler).

(10) $|OI_a|^2 = R^2 + 2Rr_a$.

(11) $|II_a|^2 = 4R(r_a - r)$.

Để chứng minh hai công thức đầu tiên, hãy nhớ lại rằng nếu $M$ và $N$ là

Hình 3, b.

giao điểm của một đường thẳng tùy ý đi qua một điểm $P$ cho trước với đường tròn bán kính $R$ tâm $O$, rồi $|PM| \cdot |PN| = |R^2 - |OP|^2$. (Điều này xuất phát từ sự giống nhau của các tam giác $PMM'$ và $PNN'$, trong đó $M'$ và $N'$ là giao điểm của đường $OP$ với đường tròn; Hình 3, a và b.) Suy ra rằng $R^2 - |OI|^2 = |IA| \cdot |IL|$, trong đó $L$ là giao điểm của các bissetris của góc $A$ với vòng tròn ngoại tiếp (Hình 4). Nhưng $|IA| = r/\sin(\hat{A}/2)$, và $|IL| = |LB| = 2R \times \sin(\hat{A}/2)$ theo câu (7), do đó $R^2 - |OI|^2 = 2Rr$. Tương tự như vậy, $|OI_a|^2 - R^2 = |I_aL| \cdot |I_aA| = 2R \times \sin(\hat{A}/2) \times r_a/\sin(\hat{A}/2) = 2Rr_a$. Cuối cùng, $|II_a|^2 = (2|IL|) \cdot (|I_aA| - |IA|) = 4R \sin \frac{\hat{A}}{2} \cdot \frac{r_a - r}{\sin \frac{\hat{A}}{2}} = 4R(r_a - r)$.

(12) Các điểm đối xứng với tâm của các đường tròn ngoài so với tâm của đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường tròn bán kính 2R có tâm $I$.

34

Hai tính chất cực trị của tâm đường tròn nội tiếp

Lấy một điểm tùy ý $M$ bên trong tam giác $ABC$. Có khá nhiều bất đẳng thức liên quan đến khoảng cách từ điểm này đến các đỉnh của tam giác. Chúng ta sẽ xem xét hai bất đẳng thức như vậy có liên quan đến chủ đề của bài viết.

(13) Ta ký hiệu $A_1$ giao điểm của đường thẳng $AM$ với đường tròn ngoại tiếp. Sau đó

$$\frac{|BM| \cdot |CM|}{|A_1M|} \geq 2r.$$

(14) $|AM| \sin B\widehat{MC} + |BM| \times \sin C\widehat{MA} + |CM| \sin A\widehat{MB} \leq p$.

Khi biểu thị bằng đường thẳng, bất đẳng thức đạt được nếu $M$ trùng với $I$ - tâm của đường tròn nội tiếp.

Giả sử rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f(M) = \frac{|BM| \cdot |CM|}{|A_1M|}$ ở vế trái của bất đẳng thức (13) đạt được tại một điểm nào đó $M$ bên trong tam giác $ABC$. Chúng tôi sẽ chứng minh điều đó $M = I$. Và vì $f(I) = 2r$ (ví dụ, điều này dẫn đến sự giống nhau của các tam giác vuông $BID$ và $I_aIC$ trong Hình 4*)), nên sẽ tuân theo điều đó nếu $f(M)$ có giá trị nhỏ nhất bên trong tam giác $ABC$, thì $f(M) \geq 2r$. Đề xuất được nhấn mạnh là không tầm thường và rất có ý nghĩa. Chúng ta sẽ thảo luận về nó một lát sau.

Hãy mô tả một đường tròn xung quanh hình tam giác $AMC$ (Hình 5). Tất cả các hình tam giác $CMA_1$, khi di chuyển điểm $M$ dọc theo cung $AC$ của nó, đều giống nhau (tại sao?), do đó, mối quan hệ $|CM| / |A_1M|$ sẽ giống nhau đối với chúng. Do đó, nếu $M$ là điểm nhỏ nhất của $f(M)$ thì đường thẳng $BM$ phải đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$, nếu không chúng ta có thể giảm $|BM|$ trong khi vẫn giữ tỷ lệ $|CM| / |A_1M|$ không đổi. Bây giờ đặt $B_1$ và $C_1$ là giao điểm của các đường $BM$ và $CM$ với đường tròn,

$$\frac{|BM| \cdot |CM|}{|A_1M|} = \frac{|CM| \cdot |AM|}{|B_1M|} = \frac{|AM| \cdot |BM|}{|C_1M|}.$$

Do đó, các đường thẳng $AM$ và $CM$ cũng phải đi qua tâm

35

lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMC và AMB và theo (8) điểm $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hãy quay lại câu hỏi về việc đạt được giá trị tối thiểu của hàm $f(M)$. Phân tích chứng minh rằng hàm số liên tục được xác định trên một đoạn phải lấy giá trị tối đa và tối thiểu tại một số điểm của nó $^*$). Một định lý tương tự cũng đúng với các hàm nhiều biến, ví dụ, đối với các hàm trên mặt phẳng; đặc biệt, hàm số liên tục trên một đa giác luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó. Tuy nhiên, định lý này không được áp dụng trực tiếp cho bài toán của chúng ta - hàm số $f(M)$ không được xác định tại các đỉnh của tam giác ABC. Hơn nữa, thậm chí không thể xác định lại nó tại các điểm $A, B, C$ để nó trở nên liên tục trên toàn bộ tam giác (bao gồm cả các góc, chúng ta có một hình lục giác mà trên đó hàm của chúng ta sẽ liên tục và do đó đạt đến giá trị tối thiểu. Có thể chỉ ra rằng ở gần ranh giới của tam giác $f(M) > 2r$. Do đó, nếu việc cắt các góc đủ nhỏ thì giá trị nhỏ nhất $f(M)$ trên hình lục giác và do đó trên tam giác sẽ đạt được ở $M=I$ và bằng $2r$.

Chứng minh được coi là bất đẳng thức (13) là gián tiếp, trái ngược với cái gọi là chứng minh trực tiếp, khi nó được chứng minh trực tiếp rằng (trong trường hợp của chúng ta) $f(M) \geq f(I)$ cho mọi điểm $M$ bên trong tam giác ABC. Bằng chứng gián tiếp phải được thực hiện một cách thận trọng vì không phải lúc nào cũng đạt được giá trị cao nhất hoặc thấp nhất của hàm số. Bạn không cần phải tìm đâu xa để lấy ví dụ: bản thân hàm $f(M)$ không nhận giá trị lớn nhất; Mời độc giả chứng minh rằng $f(M) < l$, trong đó $l$ là độ dài cạnh dài nhất của tam giác, cho tất cả các điểm $M$ của tam giác ABC (ngoại trừ các đỉnh cuối cùng) và giá trị $f(M)$ có thể gần nhất có thể với $l$.

Hãy chuyển sang chứng minh bất đẳng thức (14). Nó cũng sẽ là gián tiếp: chúng ta sẽ chỉ ra rằng điểm cực đại $M$ của phần nằm của bất đẳng thức này (nếu nó tồn tại!) trùng với $I$.

Chúng ta vẽ một đường tròn quanh tam giác BMC và tiếp tục cắt
đường $AM$ cho đến giao điểm thứ cấp với nó tại điểm $A_2$ (Hình 6). Chúng ta hãy áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác $BMCA_2$ - “tổng các tích các cạnh đối diện của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn bằng tích các đường chéo của nó”: ​​$|BM| \cdot |A_2C| + |CM| \cdot |A_2B| = |BC| \cdot |A_2M|$.

Định lý này có thể được chứng minh bằng cách biểu diễn diện tích của một tứ giác theo hai cách: nếu $KLPQ$ là tứ giác nội tiếp và dây cung $KK'$ song song với đường chéo $LQ$ thì $S_{KLPQ} = S_{K'LPQ}$ (Hình 7); đồng thời $2S_{KLPQ} = |KP| \cdot |LQ| \cdot \sin \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc giữa các đường chéo $KP$ và $LQ$, và $2S_{K'LPQ} = |K'L| \cdot |LP| \sin K'LP + |K'Q| \cdot |QP| \times \sin K'QP = (|KQ| \cdot |LP| + |KL| \cdot |QP|) \times \sin \alpha$ hoặc $K'LP = \alpha$ - xem hình. 7.

Xét rằng độ dài các dây của một đường tròn tỉ lệ với độ dài các góc nằm trên chúng, ta thu được

$$|BM| \sin A_2MC + |CM| \sin A_2MB = |A_2M| \sin BMC,$$

hoặc

$$|BM| \sin AMC + |CM| \sin AMB = |A_2M| \sin BMC.$$

So sánh đẳng thức cuối cùng với bất đẳng thức (14), ta thấy vế trái của bất đẳng thức bằng $|AA_2| \sin BMC$. Điều này có nghĩa là đường thẳng $AM$ phải đi qua tâm của đường tròn mô tả về BMC, vì nếu không, bằng cách di chuyển $M$ dọc theo cung $BC$, chúng ta có thể tăng vế trái của bất đẳng thức (14). Việc suy luận sâu hơn (bao gồm cả việc chứng minh sự tồn tại của điểm cực đại) được thực hiện theo cách tương tự như trong bài toán (13).

Hãy tự chứng minh rằng nếu $M$ trùng với $I$ thì $|AA_2| \sin BMC = p$; Để làm điều này, bạn có thể sử dụng, ví dụ, (6) và (7) đã cho và thực tế là $BIC = 90^\circ + \hat{A}/2$.

Khi trực giác thất bại

Nếu một tam giác có hai phần tử bằng nhau cùng loại (ví dụ: hai góc hoặc hai đường trung tuyến, v.v.), thì việc mong đợi rằng nó sẽ bằng nhau là điều đương nhiên. Trong số bài toán trên

36

Cái gọi là bài kiểm tra bài toán Steiner-Lemus từ lâu đã được coi là một trong những tuyên bố khó chứng minh nhất thuộc loại này.

(15) Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

bài toán này được biết đến rộng rãi*), nhưng biến thể thú vị sau đây về cùng một chủ đề hầu như không được biết đến ngay cả với những người yêu thích hình học.

(16) Tam giác này được biết là tam giác tạo bởi đáy các đường phân giác của nó là tam giác đều. Có thể nói tam giác này là tam giác đều không?

Hóa ra điều này nói chung là không thể nói được! Chính xác hơn, đặt $A_1, B_1, C_1$ là đáy của các đường phân giác của tam giác $ABC$. Nếu $|A_1B_1| = |A_1C_1|$ và tam giác $ABC$ không đều thì góc $A$ cá ngừ và cos $\hat{A}$ nằm trong khoảng $] - \frac{1}{4}; \frac{\sqrt{17}-5}{4}$ [, mà đối với góc $A$ thì chính nó tương ứng với khoảng $102^\circ 40'; 104^\circ 28'$ [(các giá trị gần đúng tính theo độ). Ngược lại, đối với bất kỳ góc $a$ nào từ khoảng này, người ta có thể chỉ định một tam giác không bằng nhau duy nhất (gần giống nhau) $ABC$ với $\hat{a} = a$ mà $|A_1B_1| = |A_1C_1|$. Chi tiết lời giải về bài toán này được đưa ra trong cuốn sách của I. F. Shargin “Bài toán về hình học (phép đo)” (M., Nauka, 1982), tr. 157. Thật không may, tác giả không thể xây dựng một ví dụ cụ thể về một tam giác (nghĩa là chỉ ra chính xác giá trị của tất cả các góc hoặc độ dài các cạnh của nó) với những đặc tính kỳ lạ như vậy. Có lẽ độc giả của tạp chí sẽ thành công?

11 nữa bài toán

(17) Chứng minh rằng đường phân giác của tam giác là đường phân giác của góc giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao vẽ từ cùng một đỉnh.

(18) Gọi $AA'$ là phân giác của tam giác $ABC$. Chứng minh đẳng thức: $|AA'| =$

$$\sqrt{bc - |BA'| \cdot |CA'|} = \frac{2bc \cos(\frac{1}{2})}{b + c}.$$

(19) Chứng minh rằng các đường cao của một tam giác đóng vai trò là đường phân giác của tam giác tạo bởi đáy.

(20) Gọi $M$ và $N$ là hình chiếu của giao điểm các đường cao của tam giác $ABC$ lên các đường phân giác bên trong nó và các góc ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác này. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ chia đôi cạnh $BC$.

(21) Chứng minh rằng tổng diện tích của ba tam giác, mỗi đỉnh là ba điểm tiếp xúc của một trục ngoài của hình tròn với các cạnh hoặc phần kéo dài của cạnh của một tam giác đã cho, bằng hai lần diện tích của tam giác này cộng với diện tích của tam giác với các đỉnh tại các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh của nó.

(22) Gọi $AA', BB', CC'$ lần lượt là các đường phân giác của tam giác $ABC$, $L$ và $K$ là giao điểm của các đường $AA'$ và $B'C', CC'$ và $A'B'$. Chứng minh rằng $BB'$ là phân giác của góc $LBK$.

(23) Gọi $M$ và $N$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác nội tiếp $ABCD$. Chứng minh rằng nếu $BD$ là phân giác của góc $ANC$ thì $AC$ là phân giác của góc $BMD$.

(24) Trong tam giác $ABC$, đường phân giác của góc $B$ cắt đường thẳng đi qua trung điểm $AC$ và trung điểm của đường cao hạ xuống $AC$, tại điểm $M$, $N$ là trung điểm của đường phân giác của góc $B$. Chứng minh rằng phân giác của góc $C$ cũng là phân giác của góc $MCN$.

(25) Vẽ một đường tròn đi qua đáy các đường phân giác của tam giác $ABC$. Hãy xem xét ba dây cung được hình thành bởi giao điểm của các cạnh của tam giác với đường tròn này. Chứng minh rằng độ dài một dây bằng tổng độ dài hai dây còn lại.

(26) Trong tam giác $ABC$ trên các cạnh $AB$ và $BC$, các điểm $K$ và $L$ được lấy sao cho $|AK| = |KL| = |LC|$. Qua giao điểm của đường $AL$ và $CK$ vẽ một đường thẳng cắt đường $B$ và cắt đường $AB$ tại điểm $M$. Chứng minh rằng $|AM| = |BC|$.

(27) Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$. Các cạnh đối diện $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $K$, các cạnh $BC$ và $AD$ cắt nhau tại điểm $L$. Chứng minh rằng các đường phân giác của các góc $BKC$ và $BLA$ vuông góc và cắt nhau trên đường nối trung điểm $AC$ và $BD$.

37

Bốn cách chứng minh định lý chia đôi

Định lý về tính chất đường phân giác của góc trong của một tam giác không được chứng minh trong SGK “Hình học 6-8” mà được đề xuất dưới dạng bài toán (số 914, tr. 232). Định lý này thường được sử dụng, ví dụ, khi chứng minh thực tế là ba đường phân giác của một tam giác cắt nhau tại một điểm. Ở đây chúng tôi đưa ra một số bằng chứng về nó.

Định lý. Đường phân giác BD của góc trong của tam giác ABC chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng tỉ lệ với các cạnh |BC| và |BA| tam giác.

$$\frac{|AC|}{|AD|}; \text{ отсюда последовательно получаем}$$
$$\frac{|AB|+|BC|}{|AB|} = \frac{|AD|+|DC|}{|AD|},$$
$$1 + \frac{|BC|}{|AB|} = 1 + \frac{|DC|}{|AD|},$$
$$\frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AD|},$$
Q.E.D.

Chứng minh thứ hai (dành cho lớp 8).
Chúng tôi có (xem hình 1):

$$\frac{S_{CBD}}{S_{ABD}} =$$
$$= \frac{0,5 \cdot |CB| \cdot |DB| \cdot \sin \frac{\hat{B}}{2}}{0,5 \cdot |AB| \cdot |DB| \cdot \sin \frac{\hat{B}}{2}} =$$
$$= \frac{0,5 \cdot |CD| \cdot h}{0,5 \cdot |AD| \cdot h},$$
trong đó $h$ là độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh B. Do đó
$$\frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AD|}.$$

Chứng minh đầu tiên (dành cho lớp 7).
Chúng ta vẽ qua điểm C (Hình 1) một đường thẳng m song song với (BD). Sau đó
$$m \cap |AB| = D_1 \text{ и } \triangle ABD \sim \triangle AD_1C; \text{ так как } \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \widehat{BCD}_1 = \widehat{CD}_1B, \text{ получаем } |BC| = |BD_1| \text{ и } \frac{|AD_1|}{|AB|} =$$

Bằng chứng thứ ba (lớp 8). Theo định lý sin (xem hình 1)

$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|CD|} = \frac{\sin \hat{C}}{|BD|}$$

Và
$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|AD|} = \frac{\sin \hat{A}}{|BD|},$$

hoặc
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Bằng chứng thứ tư (lớp 7-8). Thực hiện đối xứng trục S của tam giác ABC đối với (BD) (Hình 2), ta thu được
$$S_{(BD)}(A) = A_1, S_{(BD)}(C) = C_1 \text{ и } S_{(BD)} = B.$$

Hình 1.

Hình 2.

Chứng minh đầu tiên (dành cho lớp 7).
Chúng ta vẽ qua điểm C (Hình 1) một đường thẳng m song song với (BD). Sau đó
$$m \cap |AB| = D_1 \text{ и } \triangle ABD \sim \triangle AD_1C; \text{ так как } \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \widehat{BCD}_1 = \widehat{CD}_1B, \text{ получаем } |BC| = |BD_1| \text{ и } \frac{|AD_1|}{|AB|} =$$

Bằng chứng thứ ba (lớp 8). Theo định lý sin (xem hình 1)

$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|CD|} = \frac{\sin \hat{C}}{|BD|}$$

Và
$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|AD|} = \frac{\sin \hat{A}}{|BD|},$$

hoặc
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Sau đó $\triangle CDC_1 \sim \triangle ADA_1$ và $\triangle CC_1B \sim \triangle AA_1B$ (hãy đảm bảo điều này!). Do đó (cho rằng $|AB| = |A_1B|$) $$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CC_1|}{|AA_1|},$$
$$\frac{|CC_1|}{|AA_1|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Kể từ đây,
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

S. R. Sefibekov

Thông báo

Cửa hàng số 8 Moskovgi nhận đặt hàng những cuốn sách sau do Nhà xuất bản Nuuka xuất bản:

“Bài toán trong vật lý” (Ed. O. Ya. Savchenko, 1981, 95 k.),
Kaganov M.I., Tsu-

Kernik V. M. “Bản chất của từ tính” (1982, 30 cuốn sách),
Yavorsky B. M., Pinsky A. A. “Cơ sở vật lý” - T. I “Cơ học. Vật lý phân tử. Điện tử" (tái bản lần thứ 3, sửa đổi, 1981, 1 chà. 20 k.),
T.P

“Rung động và sóng. Vật lý lượng tử” (tái bản lần thứ 3, sửa đổi, 1981, 1 chà. 20 k.).

Đơn đặt hàng sẽ được gửi đến địa chỉ: 103050, Moscow, K-50, st. Medvedeva, 1, cửa hàng số 8 Moskovgi, bộ phận “Đặt sách qua thư”.

38

Khi
$$|a + \theta| = |a| + |\theta|$$?

L. B. PECHERSKY

Như đã biết (“Đại số và nguyên tắc phân tích 9-10”, đoạn 3),
$$|a| - |b| \leqslant |a+b| \leqslant |a| + |b|$$ (1)

Từ ý nghĩa hình học của mô hình, dễ dàng suy ra rằng $|a+b| = |a| + |b|$ nếu và chỉ khi $a$ và $b$ là các số cùng dấu, chính xác hơn (vì không cấm bất kỳ số nào trong số chúng bằng 0) - khi $a \geqslant 0$ và $b \geqslant 0$ hoặc khi $a \leqslant 0$ và $b \leqslant 0$.

Rõ ràng, tiêu chí đẳng thức được xây dựng có thể được viết như sau:
$$|a+b| = |a| + |b| \Leftrightarrow ab \geqslant 0.$$ (2)

Kể từ đây,
$$|a+b| < |a| + |b| \Leftrightarrow ab < 0.$$

Tiêu chí đẳng thức “ở dạng phức” có giá trị với bất kỳ số hạng nào: $|a_1+a_2+\dots+a_n| = |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|$ khi và chỉ khi $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số cùng dấu (chính xác hơn là khi trong số các số $a_1, a_2, \dots, a_n$ không có số nào khác dấu).

Nhân tiện, câu $|a+b+c| = |a| + |b| + |c| \Leftrightarrow abc \geqslant 0$ là không chính xác (tại sao?).

Ví dụ 1. Giải phương trình
$$|\lg(2x-3) + \lg(4-x^2)| = (3) = |\lg(2x-3)| + |\lg(4-x^2)|.$$

Theo tiêu chí (2) thì phương trình này tương đương với phương trình
$$\lg(2x-3) \cdot \lg(4-x^2) \geqslant 0$$,
đến lượt nó, tương đương với hệ thống
$$\begin{cases} \lg(2x-3) \cdot \lg(4-x^2) \geqslant 0 \\ 2x-3 > 0 \\ 4-x^2 > 0 \end{cases}$$

Vì $\frac{3}{2} < x < 2 \Leftrightarrow 0 < 2x-3 < 1$ nên hệ sau tương đương với hệ
$$\begin{cases} \lg(2x-3) < 0 \\ \lg(4-x^2) \leqslant 0 \\ \frac{3}{2} < x < 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ 0 < 4-x^2 \leqslant 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ x^2 \geqslant 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ x \geqslant \sqrt{3} \end{cases}$$

Đáp số. $[\sqrt{3}; 2]$.

Lời giải bất bình đẳng
$$|\lg(2x-3) + \lg(4-x^2)| < |\lg(2x-3)| + |\lg(4-x^2)|$$

có thể thu được bằng cách loại bỏ $\frac{3}{2}; 2$ [lời giải $[\sqrt{3}; 2]$ khỏi miền định nghĩa của nó (3). Đáp số. $\frac{3}{2}; \sqrt{3}$[.

Ví dụ 2. Giải “phương trình có tham số”
$$|a-2\sin x| + 2|\sin x-\cos x| + |2\cos x-1| = a-1.$$

Với $a < 1$ phương trình này rõ ràng không có nghiệm. Bây giờ hãy $a \geqslant 1$. Bởi vì
$$(a-2\sin x) + 2(\sin x-\cos x) + (2\cos x-1) = a-1,$$

Bạn có thể sử dụng tiêu chí đẳng thức cho ba số hạng. Ngoài ra, vì các phương trình $a-1 \geqslant 0$, lời giải tương đương với hệ
$$\begin{cases} a-2\sin x \geqslant 0 \\ \sin x-\cos x \geqslant 0 \\ 2\cos x-1 \geqslant 0 \end{cases}$$

hay “bộ ba bất bình đẳng”
$$\frac{1}{2} \leqslant \cos x \leqslant \sin x \leqslant \frac{a}{2}.$$