Kvant 1983, số 11 · Trang

QUANTUM
11
1983

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

8

Những hình vẽ này mô tả sự lan truyền của một sóng riêng lẻ: sóng “chạy” dọc theo trục x và mỗi đường lượn sóng giống như một bức ảnh trao đổi của nó; Những bức ảnh này được chụp đều đặn. Lưu ý rằng sóng truyền với tốc độ không đổi và hình dạng của nó không thay đổi. Những sóng đơn độc như vậy - chúng được gọi là soliton - có thể phát sinh trong những điều kiện nhất định trong nhiều môi trường khác nhau - trong nước, trong plasma, trong chất bán dẫn và chất siêu dẫn, trong một chuỗi các nguyên tử nối tiếp nhau, v.v. Mặc dù bản chất vật lý của sóng phát sinh trong một hệ cột có thể khác nhau, nhưng các phương trình mô tả sự truyền lan của chúng hóa ra lại giống nhau hoặc thậm chí giống hệt nhau về bề ngoài. Trong số tạp chí này, chúng tôi xuất bản bài báo “Solitons”, nói về lịch sử phát hiện ra soliton, nghiên cứu các tính chất của chúng và ứng dụng thực tế của các tính chất này.

khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

11 1983
Được thành lập vào năm 1970

Nhà xuất bản “Nauka”: Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học

TẠI NHÀ:
2 V. N. Gubankov. soliton
10 RV Galilin. Cách sắp xếp các tinh thể
17 SG Gindikin. Leonard Euler

IN THIS ISSUE:
V. N. Gubankov. Solitons
R. V. Galiulin. How are crystals made
S. G. Gindikin. Leonard Euler

tin tức khoa học
L. G. Aslamazov. Máy tính trên chất siêu dẫn

Science news
L. G. Aslamasov. Computers on superconductors

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
V.S. Danishenko. Mắt điện tử

Kvant for younger school-children
Problems
V. S. Danyushenkov. Electronic eye

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M831—M835; F843—F847
Lời giải bài toán M816, M817, M819, M820; F828—F832

Kvant’s problems
Problems M831—M835; P843—P847
Solutions M816, M817, M819, M820; P828—P832

Thông tin
Viện giáo dục quốc gia Omsk tròn 15 tuổi

Information
15 years of the Omsk school research society

Thế vận hội Olympic
S. V. Reznitsenko, A. M. Slinko.
Olympic Toán có trọng số lần thứ XVII
Yu. A. Samarsky. Olympic Vật lý nặng lần thứ XVII
V. A. Orlov. Tham quan thí nghiệm Olympic Vật lý
Người đoạt giải Olympic hạng nặng lần thứ XVII dành cho học sinh

Olympiads
S. V. Reznichenko, A. M. Slinko. The XVIIth All-Union mathematics olympiad
Yu. A. Somarski. The XVIIth All-Union physics olympiad
V. A. Orlov. Experimental round in the physics olympiad
Prizewinners of the XVIIth All-Union school olympiad

Đáp số, gợi ý, lời giải

Answers, hints, solutions

Trộn (23, 30, 44)
Trang cờ vua
Bunch (trang thứ 3 của bìa)

Miscellaneous (23, 30, 44)
The chess page
Pinning (3 rd cover page)

Trên trang đầu tiên của trang bìa có một tinh thể thạch anh Tây Ban Nha (được tìm thấy ở Hạ lưu sông Tunguska). Đọc về tính đối xứng của tinh thể trong bài viết của R.V. Galilin.

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1983

4

nhỏ không đáng kể, dạng sóng có thể được duy trì vô thời hạn. Tuy nhiên, trong việc thực hiện các điều kiện, tất cả các quy trình đều phức tạp hơn. Thông thường, khi nó di chuyển ra khỏi nguồn kích thích, sóng “lan rộng” (Hình 1a) và cuối cùng phân rã. Khi có ma sát, hiện tượng giảm chấn xảy ra do tổn thất năng lượng không thể tránh khỏi. Tuy nhiên, sự “lan rộng” và suy giảm của sóng cũng được quan sát thấy trong môi trường không có trene. Điều này có thể thực hiện được nếu sóng đã có hình dạng phức tạp tại thời điểm nó xuất hiện và các phần khác nhau của nó chuyển động với tốc độ khác nhau; ví dụ, một phần của sóng vượt qua tâm của nó và phần kia tụt lại phía sau nó (chúng ta lấy phần tương ứng với biên độ làm tâm sóng). Sự truyền sóng như vậy chỉ xảy ra trong môi trường có những tính chất nhất định. Các phương tiện này được gọi là dispersive (từ tiếng Anhdispersive có nghĩa là tán xạ, tán xạ); trong trường hợp này, chúng được gọi là phân tán.*)

Dạng sóng có thể thay đổi trong môi trường không phân tán khi không có ma sát. Điều này xảy ra như thế nào được thể hiện trong Hình 16. Khi bắt đầu chuyển động, biên dạng sóng gần bằng nửa chu kỳ của hình sin. Khi sóng lan truyền, hình dạng thay đổi đáng chú ý: mặt trước dẫn đầu ngày càng lớn hơn và mặt sau trở nên phẳng hơn (mặc dù không có sự lan truyền của sóng!). Sau một thời gian, không còn dấu vết của sóng hình sin. Một sự thay đổi tương tự ở dạng sóng xảy ra trong môi trường gọi là phân tán.

*) Độ khuếch tán là sự phụ thuộc của tốc độ truyền sóng vào bước sóng. Môi trường trong đó sự phụ thuộc này được quan sát được gọi là môi trường phân tán.

được gọi là không có tuyến tùng. Sóng tương ứng hình thành trong môi trường như vậy được gọi là sóng không tuyến tùng.*)

Môi trường và sóng phi tuyến chủ yếu thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu quan tâm đến các vấn đề khác nhau về truyền sóng và tương tác. Trong môi trường phi tuyến xuất hiện nhiều loại biến đổi sóng ở các dải tần số khác nhau. Hiệu ứng phi tuyến tính tồn tại nhờ nhiều thiết bị - máy phát và bộ khuếch đại tín hiệu điện từ, bộ nhân và chia tần số, bộ điều biến, v.v. Hiện tượng sóng phi tuyến tính đóng một vai trò quan trọng, đôi khi đóng một vai trò cụ thể trong chuyển động của tàu thủy, máy bay và tên lửa hữu ích cũng như sự truyền sóng vô tuyến trong bầu khí quyển trái đất.

Sự lan truyền của một sóng đơn có hình dạng không thay đổi trong môi trường không có đặc tính phân tán và không có hình quả tùng là điều tự nhiên. Điều thú vị và đáng ngạc nhiên nhất là một sóng đơn lẻ có thể truyền đi, giữ nguyên tốc độ và hình dạng của nó, trong trường hợp môi trường phi tuyến tính có phân tán! Nó chỉ ra rằng sự hình thành hiệu quả của sự phân tán (lan rộng) có thể bù đắp hoàn toàn cho việc giải phóng tính không thông bằng cách thay đổi hình dạng. Do sự “chồng chất” của hai hiệu ứng này, một sóng truyền trong môi trường có hình dạng giống như hình vẽ.

*) Môi trường phi tuyến tính là môi trường có tính chất phụ thuộc vào trạng thái của môi trường (ví dụ, môi trường thực phẩm điện môi có thể phụ thuộc vào cường độ điện trường trong môi trường).

5

trong Hình 1c. Những sóng như vậy được gọi là soliton.

Vì vậy, soliton là một sóng đơn độc truyền trong môi trường tán sắc phi tuyến với ma sát không đáng kể, giữ nguyên hình dạng hoàn toàn.

Thực tế là các tính chất của một sóng đơn độc phần lớn phụ thuộc vào các tính chất của môi trường trong đó sóng lan truyền đã được thiết lập về mặt lý thuyết vào cuối thế kỷ trước của toán học bởi D. J. Kortever và G. de Vries. Họ đã chỉ ra rằng trong số các phương trình lời giải của chuyển động sóng trong kênh hình chữ nhật với nước, có những phương trình mô tả các sóng đơn độc phân tán phi tuyến, hình dạng của sóng này được duy trì vô thời hạn trong quá trình truyền sóng khi không có ma sát. Đây là những soliton.

Cần nhấn mạnh rằng sóng soliton chỉ là một trong số rất ít lý thuyết sóng lời giải của Kortever-de Vries. Trong số còn lại lời giải chúng ta gặp các loại sóng khác, bao gồm cả sóng tuần hoàn, truyền dọc theo mặt nước theo các hướng khác nhau và với tốc độ khác nhau. Tình huống này hoàn toàn phù hợp với kết quả quan sát thực nghiệm. Ví dụ, khi một con tàu di chuyển với tốc độ khác với giá trị tới hạn, các cấu trúc sóng tuần hoàn được hình thành, các đỉnh của chúng hướng gần như song song hoặc vuông góc với mạn tàu (thường chúng được gọi lần lượt là sóng xiên và sóng ngang).

Nói chung, lời giải ở dạng sóng đơn độc tồn tại trong nhiều hệ thống. Tuy nhiên, các sóng đơn độc mà Kortever và de Vries nghiên cứu có một số tính chất đặc biệt. Những khác biệt này đặc biệt rõ ràng khi hai sóng như vậy tương tác với nhau. Hãy tưởng tượng hai sóng đơn độc có biên độ khác nhau, chuyển động cùng hướng với tốc độ khác nhau (Hình 2, a). Theo lý thuyết Kortever-de Vries, sóng cao truyền đi nhanh hơn. Do đó, sóng trái trong Hình 2 đúng hơn là sóng phải. Sau đó, trong một thời gian, các sóng sẽ chuyển động thống nhất, tương tác với nhau rồi lại tách ra. Vì vậy, một đặc tính đáng chú ý của sóng Cortever-de Vries đơn độc là sau khi tương tác, hình dạng của chúng được bảo toàn hoàn toàn (Hình 2, b) và mỗi sóng tiếp tục chuyển động với tốc độ trước đó. (Sự bảo toàn hình dạng và tốc độ sau sự tương tác của quá trình điện hóa phẳng trong không gian - hành vi này của sóng Kortever-de Vries đơn độc gợi nhớ đến tính chất của một số hạt cơ bản - electron, proton, neutron. Đó là lý do tại sao chúng được đặt tên tương tự như tên của một hạt cơ bản.)

Thuật ngữ “soliton” được đề xuất tương đối gần đây - vào năm 1965. Tuy nhiên, trong thời gian qua, cái tên này đã trở nên vững chắc trong vật lý của các quá trình sóng phi tuyến. Càng ngày, lĩnh vực nghiên cứu soliton càng được xác định là một hướng khoa học độc lập, gọi các điều kiện của nó là “soliton”.

Một ví dụ kinh điển về soliton là các sóng đơn độc trên mặt nước được mô tả trong công trình thí nghiệm đầu tiên của Russell (thậm chí còn có những thay thế về sự bảo toàn hình dạng).

6

các sóng đơn độc mà ông quan sát thấy sau khi chúng tương tác). Nhưng nếu vấn đề chỉ giới hạn ở sự tồn tại của soliton trên mặt nước thì “soliton” khó có thể thu hút sự chú ý của các chuyên gia nghiên cứu quá trình sóng trong các lĩnh vực vật lý khác nhau. Trong khi đó, soliton được tìm thấy trong nhiều môi trường và hệ thống trong đó nói chung có thể tồn tại sóng: trong plasma - một loại khí bị ion hóa có mật độ electron cao, trong chất bán dẫn và chất siêu dẫn, trong chuỗi nguyên tử nối tiếp, v.v. Mặc dù bản chất vật lý của sóng phát sinh trong các hệ thống khác nhau này có thể khác nhau, các phương trình mô tả sự lan truyền của các sóng này hóa ra lại giống nhau hoặc thậm chí giống hệt nhau về bề ngoài. (Tất nhiên, trong mỗi trường hợp cụ thể, các tham số trong các phương trình này đều có ý nghĩa vật lý riêng.)

Một ví dụ điển hình của soliton trong chất rắn là cái gọi là miền điện hình thành trong những điều kiện nhất định trong chất bán dẫn. Chúng được phát hiện vào đầu những năm sáu mươi bởi nhà vật lý người Anh Gann. Sử dụng đặc tính của các mẫu Arsend Gall—một chất bán dẫn có độ dẫn điện tử (tức là loại $n$)—trong điện trường đủ mạnh, Gunn nhận thấy rằng khi hướng trường trong mẫu đạt đến giá trị $E \geq 3 \cdot 10^5$ V/m, các dao động dòng điện định kỳ nghiêm ngặt với biên độ lớn sẽ xuất hiện trong đó; tần số dao động đạt giá trị $\sim 10^9$ Hz$^*$). Các nghiên cứu thực nghiệm sâu hơn đã làm rõ bức tranh về sự xuất hiện của dao động. Hóa ra chúng có liên quan đến sự chuyển động dọc theo mô hình vùng cục bộ của điện trường mạnh; Vùng này được gọi là miền điện $^{**}$.

*) Hiệu ứng này, được gọi là “hiệu ứng Gunn”, được mô tả trong một bài báo của M. E. Levinshtein trên tạp chí “Kvanat” số 10 năm 1982.

**) Một lĩnh vực vật lý là tên gọi của những khu vực giới hạn có tính chất khác biệt rõ rệt với tính chất của môi trường xung quanh.

Nguyên nhân nào dẫn đến sự xuất hiện và chuyển động của các miền điện và tại sao chúng không hình thành trong mọi chất bán dẫn? Loài arsend galla loại $n$ có những đặc tính đặc biệt nào?

Hóa ra, không giống như các chất bán dẫn khác, kho vũ khí dẫn điện của Gall có đặc tính dòng điện-điện áp rất độc đáo. Khi điện trường tăng, dòng điện qua mẫu đầu tiên cũng tăng, đúng như định luật Ohm dự đoán. Tuy nhiên, khi đạt đến cường độ trường ngưỡng nhất định $E$, dòng điện bắt đầu giảm và giảm cho đến khi đạt đến giá trị tối thiểu nhất định được xác định bởi các đặc tính của mẫu; khi điện trường tăng thêm thì dòng điện bắt đầu tăng trở lại (Hình 3, a). Đặc tính dòng điện-điện áp “phi tuyến tính” này là do sự phụ thuộc vào hoạt động của các electron trong mẫu vào cường độ trường trong mẫu. Đường cong mô tả sự phụ thuộc này (Hình 3,b) có cùng dạng $N$ với đặc tính dòng điện-điện áp trong Hình 3,a.

Hãy tưởng tượng rằng mẫu Arsend Gall bao gồm mẫu như trong Hình 3. Điều gì xảy ra nếu điện áp trên mẫu

7

Liệu sẽ có các giá trị $U = E_{пор}$ lớn hơn một chút và sẽ tương ứng với phần đặc tính dòng điện-điện áp nơi dòng điện giảm khi điện áp tăng? Hóa ra chính trong những điều kiện này mà một miền điện xuất hiện trong mẫu. Hãy tìm hiểu xem điều này xảy ra như thế nào.

Chúng ta sẽ giả sử rằng điện trường trong mẫu là đều. Giả sử rằng do sự dao động*) ở một vị trí nào đó của mẫu nên mật độ điện tích tại một thời điểm nào đó hóa ra lớn hơn mật độ điện tích trung bình ở phần còn lại của thể tích. Điện trường tích điện ở nơi này cũng quay trở lại. Tốc độ trôi của các electron nằm trong vùng này của trường mạnh trở nên nhỏ hơn tốc độ trôi của các electron phía sau và phía trước dao động (chúng ta phải nhớ rằng các electron và do đó, dao động chuyển từ κατάka sang cực dương của mẫu). Do đó, các electron nằm dọc theo một trường nhất định sẽ chuyển động ngày càng chậm hơn, số lượng electron sẽ bắt kịp nó ngày càng lớn hơn và số lượng electron ngày càng lớn hơn sẽ bắt đầu đưa điện trường trở lại vùng dao động. (Ở giai đoạn hình thành miền điện này, sự phân tán hiệu quả được biểu hiện rõ ràng: các vùng dao động khác nhau di chuyển với tốc độ khác nhau.) Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi điện trường phía trước và phía sau dao động giảm đến mức tốc độ trôi của các electron trong các vùng này bắt đầu giảm. (Rõ ràng là sự giảm tốc độ khi trường giảm bắt đầu từ thời điểm hướng của trường bên ngoài dao động trở nên nhỏ hơn $E_{пор}$. Kể từ thời điểm này trở đi, độ phân tán hiệu quả)

*) Dao động là độ lệch ngẫu nhiên của bất kỳ đại lượng vật lý nào đặc trưng cho một hệ gồm một số lượng lớn các hạt so với giá trị trung bình của nó. Sự dao động của mật độ điện tích mà chúng ta sẽ nói đến có thể phát sinh do chuyển động nhiệt của các electron.

Khi vận tốc của các electron trong vùng trường mạnh và bên ngoài nó bằng nhau thì miền điện có thể được coi là hình thành. Trong tương lai, nó sẽ di chuyển dọc theo mẫu với tốc độ không đổi.

Do đó, trong ví dụ với Gunn hiệu quả, tất cả các đặc tính vốn có của soliton đều được biểu hiện: sự hiện diện của một cấu trúc ổn định - một sóng đơn độc (miền điện) - xuất hiện trong một mẫu có độ phân tán và khả năng không bị giam cầm mạnh và, trong khi duy trì hình dạng không thay đổi, di chuyển với tốc độ không đổi (Hình 4).

Dễ dàng nhận thấy sự hình thành và chuyển động của các miền như vậy đi kèm với sự dao động của dòng điện. Khi đặt một điện trường $E \geq E_{пор}$ vào mẫu, giá trị κατάστα xuất hiện dưới dạng một miền có hướng trường cao; Do đó, trong phần còn lại của mẫu, trường trở nên nhỏ hơn và dòng điện giảm. Khi miền gần cực dương bị phá hủy, trường trong thể tích mẫu quay trở lại, do đó vận tốc trôi của electron và dòng điện giảm. Tuy nhiên, việc trả trường về giá trị $E_{пор}$ sẽ dẫn đến sự hình thành một miền gần κατάσταс, quá trình chuyển động của nó từ κατά sang cực dương sẽ được lặp lại. Sự lặp lại định kỳ này làm cho một dòng điện dao động trong mẫu, chu kỳ dao động tỉ lệ thuận với chiều dài của mẫu $d$.

Hiệu ứng Gunn hiện được sử dụng tích cực cho các mục đích thực tế - trên cơ sở đó, các mẫu công nghiệp của máy phát bán dẫn cỡ nhỏ của bình điện từ siêu cao tần đã được phát triển và sản xuất. Những máy phát như vậy được sử dụng rộng rãi trong các hệ thống liên lạc vô tuyến, thu và xử lý tín hiệu và radar.

8

tsini, truyền hình, nghiên cứu không gian. Chúng ta có thể nói rằng máy phát điện Hann là một ví dụ về sự phát triển của solitonics ứng dụng.

Hãy nói về một ứng dụng thực tế khác của các tính chất của soliton. Sóng đơn độc, không thay đổi hình dạng khi di chuyển, là vật mang thông tin lý tưởng không thể thay thế trong việc tạo ra các thiết bị logic, các phần tử bộ nhớ cũng như trong việc truyền và xử lý tín hiệu thông tin. Để tạo ra các thiết bị logic dùng để xử lý và điền thông tin, hiện nay họ đang bắt đầu sử dụng soliton từ tính trong các cấu trúc siêu dẫn phức tạp. Hóa ra soliton ở dạng “khối” từ thông có thể di chuyển dọc theo một cấu trúc dày được hình thành bởi các điện cực siêu dẫn và một lớp cách điện có độ dày 20-40 angstrom (1 angstrom = 1Å = 10⁻¹⁰ m). Cụm này có thể được di chuyển dọc theo điểm tiếp xúc của chất siêu dẫn-chất cách điện-siêu dẫn (dọc theo trục X trong Hình 5), truyền một dòng điện qua cấu trúc dày. Khối như vậy được định vị trong không gian (Hình 6) và mang một phần nhỏ nhưng được xác định chặt chẽ của từ thông Φ₀, bằng h/2e = 2,07 × 10⁻¹⁵ Wb (h là hằng số Planck, e là điện tích điện cực). Đại lượng Φ₀ được gọi là từ thông. Bản chất chưa được huấn luyện của cấu trúc siêu dẫn-chất cách điện-siêu dẫn là với độ dày nhỏ của lớp cách điện, do tính chất lượng tử của các electron siêu dẫn nên chúng có thể rò rỉ qua lớp cách điện mà không bị tổn hao, tức là không làm gián đoạn tính siêu dẫn của hệ. Tính siêu dẫn tồn tại ở một tốc độ tới hạn nhất định

Hình 5

Hình 6.

các electron tương ứng với dòng điện tới hạn Iₖ; ở dòng điện lớn hơn Iₖ, tính siêu dẫn bị phá hủy, xuất hiện điện trở và toàn bộ cấu trúc chuyển sang trạng thái bình thường (không siêu dẫn). Sự xuất hiện và chuyển động của một chùm từ thông dưới tác dụng của từ trường bên ngoài đi kèm với sự giảm mạnh Iₖ và sự thay đổi năng lượng của toàn bộ hệ thống. Do đó, dòng lượng tử Φ₀ vốn có trong một thông tin duy nhất: ví dụ, khi không có nó, năng lượng của hệ có thể được gán số “0” và khi có nó - số “1”. Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để duy trì cấu trúc từ tính. Hóa ra điều này có thể được thực hiện nếu một khiếm khuyết cấu trúc được tạo ra một cách nhân tạo trong khu vực của lớp cách điện, chẳng hạn như một kênh kim loại thẳng giữa các tấm siêu dẫn, có kích thước ngang khoảng vài chục angstrom. Tương tác với một kênh như vậy, chùm sẽ “bắt” được nó và vẫn ở trong cấu trúc dày sau khi tắt từ trường. Một phần tử như vậy có thể đóng vai trò như một tế bào để xử lý và điền thông tin với hai trạng thái ổn định: một trạng thái có mặt của một chùm có một lượng tử từ thông Φ₀, trạng thái còn lại không có nó. Một số lượng lớn các phần tử được kết nối phù hợp giúp tạo ra các hệ thống có bộ nhớ lớn và nhiều hoạt động khác nhau để xử lý thông tin đến.

Việc sử dụng soliton trong các cấu trúc siêu dẫn để tạo ra các thiết bị logic nhằm xử lý và điền thông tin có lẽ là một trong những ví dụ nổi bật nhất về việc sử dụng các thiết bị này.

9

sóng đơn độc bất thường cho mục đích thực tế. Một lợi thế quan trọng của máy thêu điện tử siêu dẫn được tạo ra dựa trên những nguyên tắc này là lượng năng lượng tiêu thụ thấp: không tiêu thụ quá $10^{-19}$ J cho mỗi thao tác logic. Phần còn lại này sẽ giúp tránh quá nhiệt cho các phần tử ở trạng thái rắn mà một máy tính như vậy sẽ bao gồm, đặt các phần tử khá gần nhau. Kích thước của các phần tử smic rất nhỏ: diện tích mặt cắt ngang của mỗi phần tử thường bằng một phần trăm hoặc thậm chí một phần nghìn milimet vuông. Vì vậy, một máy tính siêu dẫn phải rất nhỏ gọn, thể tích của nó không vượt quá vài trăm phân khối; nó sẽ có hiệu suất tốt hơn so với các máy tính đã biết. Theo các nhà khoa học, loại máy tính này tạo cơ sở cho cả một thế hệ máy tính siêu nhỏ gọn trong tương lai với bộ nhớ thực tế không giới hạn. Không phải vô cớ mà trong tài liệu khoa học những chiếc máy tính này được gọi là “siêu máy tính”. Tuy nhiên, kích thước nhỏ của “siêu máy tính” mặc dù là một lợi thế chắc chắn nhưng cũng gây ra một số khó khăn nhất định: để sản xuất các bộ phận có kích thước “micron” nhỏ như vậy, cần phải có một loạt các hoạt động công nghệ phức tạp và thiết bị đắt tiền.*

Việc nghiên cứu soliton trong chất bán dẫn và chất siêu dẫn không chỉ được các nhà nghiên cứu chuyên về vật lý, công nghệ chất bán dẫn và nhiệt độ thấp quan tâm. Thực tế là các phương trình toán học mô tả chuyển động của các miền điện và cục từ có dạng giống như phương trình chuyển động của sóng đơn độc trong một số môi trường sinh học, phương trình tương tác của các phần tử hạt và sự lan truyền của xung laser. Lời giải của các phương trình này

*) Vấn đề tạo ra máy tính trên chất siêu dẫn được thảo luận trong ghi chú của L. G. Aslamazov trên tạp chí này (tr. 24). (Ghi chú của biên tập viên)

ở dạng sóng đơn độc - cũng giống hệt hoặc gần nhau, mặc dù, như chúng ta đã nói, trong mỗi tình huống cụ thể, các đại lượng chứa trong chúng có ý nghĩa vật lý khác nhau: trong một điều kiện, những lời giải này mô tả sóng trên mặt nước, trong một điều kiện khác - sóng điện tích trong plasma, ở những điều kiện khác - sóng điện từ truyền dọc theo đường truyền. Sự đa dạng của những hiện tượng này dẫn chúng ta đến ý tưởng về tính cơ bản của khái niệm “soliton”, và việc mô tả chúng bằng các phương trình giống hệt hoặc tương tự dẫn chúng ta đến khả năng mô hình hóa các quá trình, chẳng hạn như trong vật lý của các hạt cơ bản bằng các quá trình sóng xảy ra trong một vật thể rắn. Do đó, bằng cách sử dụng một ví dụ cụ thể về soliton, chúng ta có thể theo dõi sự thống nhất và đa dạng của thế giới tự nhiên mà chúng ta đang nghiên cứu.

Trong suốt một thế kỷ rưỡi, khoa học về soliton đã đi được một chặng đường dài: từ việc quan sát các sóng đơn độc trên mặt nước đến mô tả toán học phức tạp và chặt chẽ bằng cách sử dụng soliton về sự tương tác của các nguyên tố hạt và cuối cùng là sự phát triển của “siêu máy tính” dựa trên chất siêu dẫn. Ở đây, một đặc tính khác của các hiện tượng vật lý cơ bản được thể hiện: nghiên cứu mở và chi tiết, sớm hay muộn, nhất thiết phải được sử dụng tích cực cho các mục đích thực tế.

Và một điều nữa, điều cuối cùng. Trong khoa học về soliton, các phương pháp phân tích toán học trong nhiều thập kỷ đã được chứng minh đầy đủ. Những phương pháp này, tự phân biệt điều chỉnh và điều chỉnh, giúp có thể thu được lời giải rất cần thiết và thanh lịch - một sóng duy nhất có hình dạng không đổi lan truyền trong môi trường phi tuyến phức tạp có độ phân tán. Ân sủng luôn là dấu hiệu đặc trưng của các hiện tượng tự nhiên cơ bản, và ở đây nó được thể hiện đầy đủ. Cùng với mối quan tâm thuần túy về mặt vật lý và nhiều khả năng thực tế, sự tao nhã của soliton tạo thành một trong những điều quan trọng nhất đối với các nhà khoa học của họ, chuyên về các lĩnh vực vật lý khác nhau, chứ không chỉ vật lý.

10

Cách sắp xếp các tinh thể

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
R. V. GALIULIN

Từ thời cổ đại, pha lê đã làm kinh ngạc trí tưởng tượng của con người với sự hoàn hảo về mặt hình học đặc biệt của chúng. Tổ tiên của chúng ta đã nhìn thấy ở họ sự sáng tạo của các thiên thần hoặc các linh hồn dưới lòng đất. Nỗ lực đầu tiên nhằm tìm hiểu một cách khoa học về hình dạng của các tinh thể được coi là tác phẩm “Về những bông tuyết hình lục giác” của Johannes Kepler (1611). Kepler đề xuất rằng hình dạng của bông tuyết (tinh thể băng) là hệ quả của sự sắp xếp đặc biệt của các hạt cấu thành chúng. Ba thế kỷ sau, người ta cuối cùng đã xác định được rằng các đặc điểm cụ thể của tinh thể có liên quan đến sự sắp xếp đặc biệt của các nguyên tử trong không gian, tương tự như các mô hình trong kính vạn hoa. Tất cả các định luật khác nhau của sự sắp xếp như vậy đều được rút ra vào năm 1891 qua thư từ đáng chú ý của chúng tôi, người sáng lập tinh thể học hiện đại, E. S. Fedorov (1853-1919). Các dạng khối đa diện tinh thể đều có thể dễ dàng được xác định trong khuôn khổ các định luật này. Và bản thân những luật này đẹp đến mức chúng không được dùng làm cơ sở để tạo ra các tác phẩm nghệ thuật (xem trình bảo vệ màn hình)*.

Từ quan điểm hình học, vị trí của các nguyên tử trong không gian được biểu thị bằng hệ thống các điểm tương ứng với tâm của chúng. Do đó, bài toán có thể được phát biểu như sau: cần tìm các điều kiện hình học để phân biệt các hệ điểm có “cấu trúc tinh thể” và các điều kiện này phải được chứng minh về mặt vật lý. Có rất nhiều bằng chứng, vì vậy chúng ta muốn nhanh chóng xác định nguyên nhân của sự sắp xếp có trật tự của các nguyên tử trong tinh thể.

Thuộc tính hình học đơn giản nhất của hệ điểm tương ứng với

*) Trên băng đô có hoa văn lấy từ Tạp chí Khoáng vật học Canada số 19 năm 1981.

11

tâm của các nguyên tử trong bất kỳ tập hợp nguyên tử nào (và không chỉ trong tinh thể) là sự rời rạc.

Điều kiện rời rạc. Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của hệ thống lớn hơn một giá trị cố định r nào đó. Giá trị vật lý của tình trạng này là không thể nghi ngờ.

Mong muốn của các nguyên tử được phân bố đều trong không gian có thể được phản ánh bằng hạn chế sau đối với hệ điểm tương ứng:

Điều kiện bảo hiểm. Khoảng cách từ một điểm bất kỳ trong không gian đến điểm của hệ gần nó nhất nhỏ hơn một giá trị cố định R nhất định.

Tên của điều kiện này được giải thích bởi thực tế là nếu một hệ điểm thỏa mãn nó thì các quả bóng có bán kính R với tâm tại các điểm này sẽ bao phủ toàn bộ không gian (chứng minh điều đó!).

Điều kiện rời rạc không cho phép các điểm của hệ thống được định vị quá dày đặc và điều kiện bao phủ giúp chúng không bị quá thưa thớt. Cùng với nhau, hai yêu cầu này đảm bảo sự phân bố gần như đồng đều của các điểm trong không gian. Hệ thống các điểm thỏa mãn đồng thời hai điều kiện này được gọi là hệ thống Delaunay, để tưởng nhớ nhà hình học nổi tiếng B. N. Delaunay (1890-1980), người đầu tiên xác định được các hệ thống này.

Ví dụ đơn giản nhất về hệ thống Delaunay (trên mặt phẳng) là tập hợp các nút của một tờ giấy ca rô vô hạn. Trong tinh thể học, các hệ thống loại này đóng một vai trò rất quan trọng và chúng ta sẽ nói chi tiết về chúng sau. Từ hệ thống này, người ta có thể thu được một hệ thống Delaunay tổng quát hơn nếu mỗi nút được kết nối tùy ý với khoảng cách không vượt quá, chẳng hạn như 1/3 khoảng cách giữa các nút liền kề (Hình 1).

Bài tập 1. Chứng minh hệ điểm nêu trên thực sự thỏa mãn điều kiện rời rạc và bao phủ; tìm giá trị của r và R cho chúng.

Hệ thống Delaunay đóng vai trò là mô hình hình học tổng quát nhất về sự sắp xếp của các nguyên tử trong bất kỳ sự hình thành nguyên tử nào. Vì vậy, bất kỳ lý thuyết nào

12

Hình 2. Các lớp brick: a) phi số liệu, b) số liệu.

trung tâm của các nguyên tử trong các cấu trúc tinh thể và logic. Để làm nổi bật các hệ thống này, chúng ta sẽ sử dụng đặc tính hình học quan trọng nhất của tinh thể - smetria.

smettria là gì? Theo trực giác, mỗi người trong chúng ta đều có khả năng phân biệt đối xứng đo lường và phi hệ đo lường. Các vật thể Smetric luôn có thể được chia thành các phần bằng nhau và thậm chí theo nhiều cách. Nhưng tính chất này không đủ để xác định Smetria. Một lớp mật mã vô hạn, một đoạn của nó được thể hiện trong Hình 2, a, là không phải số liệu, mặc dù nó bao gồm các cấu trúc mật mã bằng nhau. Nhưng lớp khó hiểu của bản vẽ 2.6 là hình học. Trong đó, mỗi con leo được bao quanh bởi tất cả các con leo khác. Sự bằng nhau (hoặc bằng nhau) của hai phần của một hình có nghĩa là chúng có thể được kết hợp lại với nhau bằng cách di chuyển chúng. “Môi trường xung quanh bằng nhau” của chúng có nghĩa là chuyển động này có thể được chọn sao cho toàn bộ hình chuyển động vào trong chính nó. Một chuyển động biến một hình nào đó thành chính nó được gọi là sự biến đổi hình học hoặc sự tự sắp xếp. Vì vậy, một hình là smettryn nếu nó có ít nhất một phép biến đổi của smettria (không giống hệt).

Bài tập 2. a) Tìm tất cả các phép biến đổi hình học của n-giác đều. 6)* Chứng minh rằng khối lập phương có các phép biến đổi 48 chiều (bao gồm cả chuyển vị gương) và tìm chúng.

Tập hợp tất cả các phép biến đổi smettria của một đối tượng nhất định, được xem xét cùng với hoạt động hợp thành của các phép biến đổi này, được gọi là nhóm các biến đổi smettries (hoặc tự thành phần) của đối tượng này. Bạn có thể làm quen với khái niệm toán học quan trọng này, nằm ở điểm giao nhau giữa hình học và đại số, chẳng hạn như trong cuốn sách “Giới thiệu về Lý thuyết nhóm” của P. S. Aleksadrov (M., “Nauka”, 1980).

Vì vậy, hệ thống Delaunay tương ứng với tinh thể phải đối xứng. Những hệ thống như vậy cũng có thể được mô tả dựa trên khái niệm về một môi trường bình đẳng. Để làm điều này, chúng tôi kết nối một điểm A tùy ý của hệ thống Delaunay với tất cả các điểm khác của nó (Hình 3). Tập hợp vô hạn các phân đoạn thu được được gọi là ngôi sao toàn cầu của điểm A trong một hệ thống nhất định. Trong trường hợp tổng quát, các ngôi sao toàn cầu tại các điểm khác nhau trong hệ thống không bằng nhau. Nhưng rõ ràng là nếu hệ thống chứa ít nhất hai điểm có số sao toàn cầu bằng nhau thì hệ thống sẽ đối xứng. Phát biểu ngược lại cũng đúng: mọi hệ thống smetrine Delaunay đều chứa các điểm có số sao toàn cầu bằng nhau. Như vậy, sự bằng nhau của các ngôi sao toàn cầu ở hai điểm của hệ Delaunay là điều kiện cần và đủ cho tính chặt chẽ của hệ này.

Bài tập
3. Chứng minh rằng trong mọi hệ Delaunay đối xứng đều có vô số cặp điểm có các ngôi sao toàn cầu bằng nhau.
4. Xây dựng một hệ thống Delaunay phẳng biến thành chính nó khi quay 90°; ở 60°.
5. Chứng minh rằng nếu phép quay qua một góc a là một phép biến đổi của một hình phẳng nào đó thì phép quay qua các góc

13

na (trong đó n là số nguyên bất kỳ) có cùng tâm cũng là các phép biến đổi đối xứng của nó, và nếu hình này là hệ Delaunay thì tỷ số a/π phải hợp lý.

Nhưng không phải mọi hệ Delaunay đối xứng đều tương ứng với tâm nguyên tử trong cấu trúc tinh thể. Tính đối xứng của tinh thể là cụ thể. Ví dụ, trong số các khối đa diện tinh thể không có khối mười hai mặt và khối đa diện đều, hoặc nói chung các khối đa diện có trục đối xứng bậc 5 (nghĩa là “tự sắp thẳng hàng” khi quay một góc 2π/5 quanh các trục này). Làm thế nào để bắt buộc sự khó tính như vậy của các dạng tinh thể?

Năm 1783, tu viện trưởng người Pháp R. J. Gayun, một nhà khoáng vật học được công nhận, đã đề xuất rằng mọi tinh thể đều bao gồm các hạt song song, bằng nhau nằm dọc theo toàn bộ các mặt (Hình 4). Năm 1824, một sinh viên của Great Gauss, giáo sư vật lý ở Franburg, L. A. Seeber, để giải thích sự giãn nở của tinh thể khi bị nung nóng, đã đề xuất thay thế khối đa diện Gayun bằng trọng tâm của chúng. Những hệ thống điểm như vậy được gọi là “mạng”.

Nghiêm túc hơn, mạng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ nguyên so với hệ tọa độ tùy ý (hình chữ nhật tùy chọn) (Hình 5, a-c). Điểm mạng được gọi là nút. Rõ ràng là hệ tọa độ xác định duy nhất mạng. Nhưng phát biểu ngược lại là không đúng: trong một mạng nhất định, hệ tọa độ xác định nó có thể được chọn theo vô số cách (Hình 5, b). Dễ dàng kiểm tra được các mạng có thỏa mãn điều kiện rời rạc và phủ hay không, tức là chúng là hệ Delaunay. Bây giờ chúng ta chứng minh tính đối xứng của chúng. Sau đây là sự thật.

Bổ đề về mạng tinh thể. Bất kỳ mạng nào cũng biến đổi thành chính nó khi dịch song song thành một vectơ kết nối hai nút bất kỳ của nó, cũng như đối xứng trung tâm so với bất kỳ nút nào.

Để chứng minh khẳng định đầu tiên, chúng ta lưu ý rằng vectơ AB, trong đó A và B là các nút mạng, có tọa độ nguyên (bằng

14

sự đối xứng. Bất kỳ mạng nào cũng được chia theo vô số cách thành các tập hợp vô hạn các lưới phẳng song song và tắc nghẽn (mạng con hai chiều, Hình 5, c). Người ta thường chấp nhận rằng các mặt phẳng của tất cả các mặt tinh thể nhất thiết phải chứa các mắt lưới phẳng của bất kỳ một mạng chung nào. Các mắt lưới mạng phẳng được kết nối bằng các phép biến đổi đối xứng không khác nhau. Do đó, khi tinh thể phát triển, các mặt tương ứng cũng phát triển như nhau. Do đó, tính đối xứng của tinh thể tuân theo tính đối xứng của mạng.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng một tinh thể không thể có trục đối xứng bậc 5. Chúng ta hãy giả sử rằng một tinh thể như vậy tồn tại. Khi đó mạng tương ứng cũng có trục bậc 5 $l$. Chúng ta vẽ một mặt phẳng vuông góc với $l$ đi qua một nút bất kỳ và chọn một nút $A$ trong mặt phẳng này, gần với $l$ (sự tồn tại của một nút như vậy dễ dàng suy ra từ điều kiện rời rạc). Vì mạng biến thành chính nó khi quay qua các góc chia hết cho 2π/5 quanh trục $l$, nên ảnh của điểm $A$ khi quay là các liên kết mạng. Chúng tạo thành một hình ngũ giác đều $ABCDE$ (Hình 6). Nếu mạng bị dịch chuyển bởi vectơ $\overrightarrow{AB}$, thì theo bổ đề mạng, nút $E$ phải đi đến nút $N$ nào đó nằm bên trong hình ngũ giác. Nhưng điều này là không thể, vì điểm $N$ nằm gần trục $l$ hơn $A$.

Bài tập 6. Xây dựng các mạng có các trục đối xứng bậc 2, 3, 4, 6. Chứng minh rằng mạng không thể có trục lớn hơn bậc 6.

Lưu ý rằng trong thế giới thực vật và sinh vật nhỏ (vi rút) thường có những cá thể có trục bậc 5. Theo cách diễn đạt tượng hình của nhà tinh thể học xuất sắc của chúng ta, Viện sĩ N.V. Belov (1891-1982), “trục năm phần ở các sinh vật nhỏ là một loại công cụ trong cuộc đấu tranh sinh tồn, một bảo hiểm chống lại sự hóa đá, chống lại sự kết tinh, bước đầu tiên trong đó sẽ là “đập vỡ” một sinh vật sống bằng mạng tinh thể”.

Nhưng không phải tất cả sự thật đã biết về tinh thể đều phù hợp với khuôn khổ của mô hình mạng tinh thể. Một thực tế như vậy là sự tồn tại của các khối đa diện tinh thể không đối xứng tâm, chẳng hạn như các tinh thể của đá quý Thermaline (Hình 7) (theo bổ đề mạng, tất cả các mạng đều đối xứng tâm). Để giải thích những hiện tượng như vậy, cần phải mở rộng kho vũ khí sắp xếp cho phép của các hạt trong không gian. Nhà tinh thể học nổi tiếng người Đức L. Soncke đã đề xuất vào năm 1879 rằng các hạt trong tinh thể được sắp xếp theo hệ thống đều đặn.

15

Hình 9. Cấu trúc của fluorit, bao gồm hai hệ thống đều đặn khác nhau (chấm xanh - nguyên tử flo, đỏ - canxi).

Hệ thống Delaunay được gọi là chính xác nếu hệ thống được nhìn thấy từ mỗi điểm như nhau, nghĩa là nếu các ngôi sao toàn cầu của tất cả các điểm của hệ thống này bằng nhau (Hình 8, a-c). Nếu người được quan sát ngủ quên tại một điểm nào đó của hệ thống chính xác và lúc đó anh ta được chuyển đến một điểm khác của hệ thống này, anh ta thậm chí sẽ không nhận ra điều đó. Nói cách khác, bất kỳ điểm nào của hệ thống đúng đều có thể được chuyển sang bất kỳ hệ thống chuyển đổi nào khác. Nhóm hệ của các hệ thông thường được gọi là Fedorov hoặc nhóm tinh thể không gian. Có 230 nhóm Fedorov khác nhau (có ít nhóm tinh thể phẳng hơn đáng kể - chỉ 17; mẫu tự căn chỉnh được mô tả trên màn hình giật gân đại diện cho một trong các nhóm này). Họ đặt ra các quy luật sắp xếp các nguyên tử trong cấu trúc tinh thể mà chúng tôi đã đề cập ở đầu bài viết.

Bài tập 7. Có thể nhận thấy độ phẳng của các hình tam giác đều giống hệt nhau, không có khoảng trống hoặc chồng lên nhau. Chứng minh rằng các đỉnh của chúng tạo thành hệ Delaunay đều (phẳng) và mô tả mọi phép biến đổi của hệ đó. Thực hiện tương tự cho hình vuông và hình lục giác đều. Có phải tất cả các hệ thống này đều là mạng tinh thể?

Từ bổ đề mạng suy ra rằng mọi mạng đều là hệ chính quy. Điều ngược lại là không đúng, nhưng có thể chứng minh rằng bất kỳ hệ thống thông thường nào cũng bao gồm các mạng song song và tắc nghẽn (Hình 8c). Bằng chứng cho sự thật không hề đơn giản này đã được E. S. Fedorov nêu ra trong cuốn sách nổi tiếng “Sự khởi đầu của việc nghiên cứu Vật lý”, tác phẩm mà ông bắt đầu thực hiện khi còn là một cậu bé 16 tuổi. Chứng minh này được thực hiện bởi A. Schonfly, nhưng hóa ra nó phức tạp đến mức trong ấn bản đầu tiên của cuốn sách về cấu trúc tinh thể đối xứng năm 1891, ông đã đặt chứng minh này ở cuối để không làm người đọc sợ hãi. B. N. Delaunay, cùng với học trò của mình là M. I. Shtogrin, đã đơn giản hóa cách chứng minh này, nhưng không nhấn mạnh rằng nó có thể được trình bày ở đây.

Khi bắt đầu đóng góp của chúng tôi, người ta đã xác nhận một cách mẫu mực rằng các nguyên tử trong cấu trúc tinh thể tạo thành một hoặc nhiều hệ thông thường với một nhóm Fedorov chung (Hình 9). Nhưng tuyên bố này không tiết lộ lý do đặt hàng mà chỉ nêu lên sự thật về sự tồn tại của nó. Người sáng lập tinh thể học Liên Xô, Viện sĩ A.V. Shubnikov (1887-1970), đã nói về điều này: “Chúng tôi biết rõ một tinh thể có cấu trúc như thế nào, nhưng tại sao nó lại có cấu trúc như vậy thì không ai làm điều này trên máy chủ”.

Hãy tưởng tượng một tinh thể đang phát triển. Đây là một nguyên tử khác được đưa vào cấu trúc của nó. Điều gì làm cho nguyên tử này có được vị trí xác định rõ ràng của nó? Để không vi phạm tính đúng đắn của hệ thống (theo nghĩa của định nghĩa nêu trên), anh ta phải “biết” và “học” vị trí của tất cả các nguyên tử khác, kể cả những nguyên tử ở rất xa. Sẽ là hoàn toàn tự nhiên khi yêu cầu mỗi nguyên tử phải được bao quanh bằng nhau bởi tất cả các nguyên tử bị loại khỏi nó bằng cách sắp xếp so sánh các liên kết hóa học.

17

Leonard Euler

(nhân kỷ niệm 200 năm ngày mất của ông)

Ứng viên
khoa học vật lý và toán học
S. G. GINDIKIN

Di sản vĩ đại

Di sản khoa học của Euler gây ấn tượng ở những khía cạnh hoàn toàn không bị thách thức. Trong suốt cuộc đời của ông, 530 cuốn sách và bài báo của ông đã được xuất bản. Những năm cuối đời, các ấn phẩm học thuật không thể theo kịp dòng chảy sản xuất khoa học của nhà khoa học mù, ông đã tinh nghịch hứa với Bá tước V.N. Orlov rằng tác phẩm của ông sẽ tràn ngập “Bình luận” của Học viện trong 20 năm sau khi ông qua đời. Đánh giá này tỏ ra “lạc quan”: Viện hàn lâm đã xuất bản các tác phẩm của Euler trong 47 năm. Số lượng tác phẩm lên tới 771, nhưng thư mục do Enster biên soạn năm 1910 có 886 đầu sách, chia thành các đề mục: triết học, toán học, cơ học, thiên văn học, vật lý, địa lý, nông nghiệp. Từ năm 1910, Hiệp hội Khoa học Tự nhiên Thụy Sĩ đã xuất bản một bộ sưu tập các tác phẩm của Euler, được phân phối theo hình thức đăng ký quốc tế: theo ước tính sơ bộ, nó sẽ lên tới 75 tập lớn. Đến đầu những năm 80, 72 tập đã được xuất bản. Tám

Kết thúc. Sự khởi đầu là trong số trước.

2 «Kvant» № 11

các tập sách bổ sung sẽ bao gồm các thư từ khoa học của Euler.

Tập sách này không chỉ phản ánh tốc độ làm việc đáng kinh ngạc của Euler mà còn phản ánh thói quen in ấn một cách có hệ thống các văn bản khoa học, bao gồm cả những văn bản được chuẩn bị theo cách tương đối đặc biệt. Một loạt các chủ đề không chỉ phản ánh nhiều mối quan tâm và khả năng nhanh chóng tiếp cận khoa học sâu hơn mà còn phản ánh nhiều trách nhiệm học thuật ở cả St. Petersburg và Berlin. Một số ấn phẩm có tính chất là bản sao ngắn. Euler dễ dàng tham gia vào các mối quan hệ khoa học, đưa ra nhiều cuộc tư vấn khác nhau và sẵn sàng suy nghĩ về các vấn đề ngẫu nhiên, riêng lẻ được báo cáo bởi các phóng viên của ông. Có vẻ như nhà khoa học này đã sống rải rác, luôn thể hiện sự chú ý của mình, nhưng đây chỉ là cái nhìn đầu tiên. Nghe các câu hỏi và bài toán là mảnh đất màu mỡ cho những suy ngẫm có kế hoạch tốt. Euler biết cách ngăn chặn suy nghĩ của mình kịp thời nếu không nhìn thấy cơ hội thực tế để tiến về phía trước. Anh ấy biết cách tổ chức cuộc sống của mình để nhiều người

18

Các vấn đề thời sự bằng số không ảnh hưởng nhiều đến phương hướng công việc chính của ông.

Nghịch lý thay, có thể nói không quá cường điệu rằng Euler hầu như chỉ làm việc trong lĩnh vực toán học trong suốt cuộc đời mình. Trong các lĩnh vực khoa học khác (ví dụ, cơ học hoặc thiên văn học), nó sớm gắn liền với việc sử dụng các phương pháp toán học. Quan điểm triết học của ông, trong bối cảnh toàn bộ cuộc đời ông, là những khám phá tự nhiên phải đạt được thông qua quá trình xử lý lý thuyết (phần lớn là toán học) của một số ít các nguyên tắc chung, chắc chắn. Trong luận văn Thụy Sĩ của mình, Euler 19 tuổi viết: “Tôi không thấy cần thiết phải xác nhận lý thuyết mới này bằng thực nghiệm, bởi vì nó hoàn toàn bắt nguồn từ những nguyên lý cơ học đáng tin cậy và không thể bác bỏ nhất, và do đó, đơn giản là không thể nảy sinh nghi ngờ liệu nó có đúng hay không và liệu nó có chỗ đứng trong thực tế hay không”. Tiếp theo, Euler cố gắng rút ra các định luật Newton từ những nguyên tắc tổng quát hơn, và trong cơ học thiên thể, ông cố gắng không thu được các công thức thực nghiệm từ việc xử lý các kết quả quan sát, mà rút ra kết luận trực tiếp từ định luật vạn vật hấp dẫn. Theo quy định, ông chuyển từ lý thuyết sang thực hành. Mặc dù Euler suốt đời gắn liền với thực nghiệm nhưng đây không phải là điểm mạnh của ông. Viện sĩ S.I. Vavilov đã viết: “… Thiên tài của Euler về cơ bản là một thiên tài toán học… ông ấy hiểu biết rất kém về thí nghiệm (mặc dù ông ấy đã tự mình thử nghiệm) …”; ở chỗ khác: “Thiên tài toán học Euler thiếu trực giác vật lý của Newton và Huygen để đoán lời giải trong trường hợp không có công thức toán học chính xác bài toán hoặc các phương pháp cho nó lời giải.”

Không thể đề cập đến tất cả các khía cạnh trong hoạt động nhiều mặt của Ayer, chúng ta sẽ chỉ đi sâu vào các công trình số học của ông, trong đó những đặc điểm đặc trưng của ngành khoa học bận rộn của ông không được tiết lộ.

Trang trại tập sự

Những ấn phẩm đầu tiên của Euler về số học (lý thuyết số) có từ năm 1732, năm thứ năm ông ở St. Petersburg. Euler có hai tư tưởng vĩ đại về số học: Diophantus người Hy Lạp (thế kỷ thứ 3) và người Pháp P. Fermat (1601-1665). Euler bắt đầu bằng việc đề xuất và đưa ra bằng chứng cho những khẳng định của Fermat. Những cân nhắc của ông có tính hệ thống đến mức dường như đây là những sự chuẩn bị cho cuốn sách giáo khoa đầu tiên về số học cao cấp (không phải do ông viết).

Một bài báo năm 1732 xem xét câu hỏi về tính chia hết của “số Fermat” (nghĩa là các số có dạng $F_n = 2^{2n} + 1$, trong đó $n \in \mathbb{N}$) và “số Mersenne” (nghĩa là các số có dạng $M_p = 2^p - 1$, trong đó $p$ là số nguyên tố). Vô số câu hỏi liên quan đến những con số như vậy mà việc liệt kê trực tiếp không thể tiếp cận được ngay cả đối với một nhà tính toán điêu luyện như Euler.

Euler đã chứng minh rằng ước của các số $F_n$ và $M_p$ chỉ có thể có trọng số. Cái nhìn đặc biệt. Cụ thể, các ước của số $F_n$ có ​​dạng $k \cdot 2^{n+2} + 1$; Nhờ điều này, Euler phát hiện ra rằng $F_5$ chia hết cho $641 = 5 \cdot 2^7 + 1$, bác bỏ khẳng định của Fermat rằng mọi số $F_n$ đều là số nguyên tố. Ước của số $M_p$ phải là cả $2pk - 1$ và $8l \pm 1$. Nhờ điều này, Euler đã chứng minh được tính nguyên tố của số $M_{32} = 2147483647$. Kể từ đó, không có số nguyên tố Fermat nào được phát hiện và các kỷ lục trong thế giới về số nguyên tố Mersenne không ngừng được cải thiện (kỷ lục năm 1983 đạt được là $p = 86243$). Về số Mersenne, Euler cũng lấp đầy khoảng trống mà Euclid để lại. Euclid biết rằng nếu $M_p$ là số nguyên tố thì $M_p \times (M_p + 1)/2$ là số hoàn hảo (nghĩa là một số bằng tổng các ước của chính nó). Euler đã chứng minh rằng mọi số hoàn hảo chẵn đều có thể được biểu diễn dưới dạng này (vẫn chưa biết liệu số hoàn hảo lẻ có tồn tại hay không).

Euler quan tâm đến việc liệu có đa thức $P(n)$ lấy giá trị nguyên tố cho tất cả $n \in \mathbb{N}$ hay không. Anh ấy trở nên tiêu cực

20

nếu biểu diễn của $n$ dưới dạng tổng các bình phương tồn tại và là duy nhất thì $n$ là số nguyên tố. Ông chỉ ra rằng tính chất này đôi khi có thể được sử dụng để chứng minh tính nguyên tố của $n$: ví dụ: số 1.000.009 là hợp số vì cùng với biểu diễn $1000^2+3^2$ còn có biểu diễn $235^2+972^2$.

Euler quan tâm đến tính đơn giản của các số cho phép biểu diễn duy nhất dưới dạng $x^2+2y^2, x^2+3y^2$ và nói chung là $x^2+Dy^2$ (D là một số nguyên cố định). Anh ấy chứng minh tính đơn giản của chúng cho $D \leq 10$, nhưng với $D=11$ anh ấy phát hiện ra một hợp số thừa nhận một cách biểu diễn duy nhất như vậy. Tình huống này khiến Euler tò mò. Nó được gọi là $D$ thuận tiện nếu chỉ các số nguyên tố có thể được biểu diễn dưới dạng $x^2+Dy^2$ một cách duy nhất. Euler nhận được một tiêu chí để kiểm tra sự tiện lợi của các con số, và với sự tò mò, ông đã viết ra các con số thuận tiện lần lượt; sau 10 đến 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24…
Dần dần, những con số tiện lợi ngày càng trở nên ít phổ biến hơn. Trong đợt đầu tiên có 62 chiếc, nhưng Euler vẫn bướng bỉnh tiếp tục tính toán của mình, tự tin hy vọng nhận thấy một mẫu. Anh ta chỉ tìm thấy ba con số thuận tiện hơn: 1320, 1365, 1848, mặc dù không mất kiên nhẫn, anh ta đã xem qua tất cả các số lên tới 10.000 và xa hơn một chút. Euler có mọi lý do để đưa ra giả thuyết rằng tập hợp các số tiện lợi được giới hạn ở 65 số mà ông tìm được. Gauss làm cho nhận xét của Euler chính xác hơn, nhưng không tìm ra những con số thuận tiện mới. Tính hữu hạn của tập hợp số thuận tiện hiện đã được chứng minh, nhưng vẫn chưa biết liệu có số thuận tiện nào lớn hơn 1848 hay không.

Việc tìm kiếm này rất đặc trưng cho phương pháp sáng tạo của Euler, nó tiếp tục công việc tính toán thử nghiệm khổng lồ để kiểm tra các giả thuyết và tăng cường các mô hình mới. Xin thưa rằng trong số các nhà toán học vĩ đại chỉ có Gauss là thành thạo phương pháp quy nạp này.

Với điều này, chúng ta sẽ kết thúc việc xem xét khía cạnh đó của hoạt động số học của Euler, trong đó ông đã nhất quán

Bức phù điêu thạch cao của L. Euler của D. Rachette (1781)

telefarm. Không có bất kỳ khoảng trống nào, ông đã phác thảo các đường nét của số học mới, các vấn đề của nó, cẩn thận tìm ra các phương tiện kỹ thuật của nó, mặc dù ông không thể chứng minh mọi thứ, để lại điều này cho rất nhiều người theo ông vĩ đại là Lagrange, Legendre, Gauss.

Lý thuyết số phân tích

Lý thuyết số nợ Euler một ý tưởng mà đã sớm thay đổi hoàn toàn diện mạo của nó. Chúng ta đang nói về việc sử dụng phân tích toán học trong số học. Thật khó để tưởng tượng một khả năng như vậy. Lúc đầu, cô ấy làm chính Euler ngạc nhiên: “Và mặc dù ở đây chúng ta đang xem xét bản chất của các số nguyên, thứ mà Phép tính Beskono-Malch dường như không thể áp dụng được, tuy nhiên, tôi đã đi đến kết luận của mình nhờ sự trợ giúp của vi phân và các thủ thuật khác”.

Euler với các s khác nhau xét tổng của một chuỗi vô hạn

$$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots + \frac{1}{n^s} + \dots$$

(sau này $\zeta(s)$ được gọi là hàm Riemann zeta - nó đóng một vai trò đặc biệt trong số học). Hãy để Euler chứng minh bằng lý luận đơn giản rằng tổng vô hạn này trùng với tích vô hạn

21

giới thiệu về số nguyên tố

$$\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)^{-1} \left(1 - \frac{1}{3^s}\right)^{-1} \dots \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1} \dots$$

Euler cảm thấy rằng những cân nhắc này chỉ dẫn đến các kết quả số học phía máy chủ, nhưng bản thân ông chỉ có thể trình bày trên con đường này một bằng chứng mới về định lý có từ thời Euclid về sự vô hạn của tập hợp số nguyên tố! Có thể thấy rằng ngọn núi đã sinh ra một con chuột nhưng lại suýt đánh lừa Euler. Điều này trở nên rõ ràng khi, vào cuối thế kỷ này, Dirichlet, bắt đầu chính xác từ chứng minh của người kế nhiệm Euler, đã chứng minh sự vô hạn của số nguyên tố trong chương trình số học $a + dn$ với nguyên tố cùng nhau $a$ và $d$ (một dạng tổng quát hóa của định lý Euclid).

Euler tiết lộ một bí mật khác trong thế giới số nguyên tố. Khả năng phân tích vượt xa khả năng kỹ thuật của anh ấy, cho thấy rằng tổng trên các số nguyên tố $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{p}$ đối với $p$ lớn gần bằng $\ln \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{p-1} + \frac{1}{p}\right)$ và đây là bước đầu tiên để đạt được quy luật phân bố các số nguyên tố trong chuỗi tự nhiên.

Euler cảm thấy rằng hàm $\zeta(s)$ có thể được mở rộng ngay cả với các giá trị của $s$ mà nó không thể được định nghĩa là tổng của một chuỗi. Hơn nữa, nó thay thế mối quan hệ giữa các giá trị của $\zeta$ tại các điểm $s$ và $1-s$ (điều mà sau này được Rome xây dựng dưới dạng phương trình hàm znamenny). Euler khám phá các giá trị của $\zeta(s)$ tại các điểm nguyên. Chúng ta sẽ thảo luận bên dưới về cách anh ấy xử lý các đối số ngẫu nhiên và anh ấy dự định áp dụng tính đối xứng giữa các giá trị của $\zeta$ tại các điểm $s$ và $1-s$ để nghiên cứu $\zeta$ tại các điểm lẻ, nhưng đã thất bại, tiết lộ rằng tại các điểm đặc biệt, $\zeta$ mở rộng bằng 0. Lưu ý rằng người ta chỉ biết đến phép cộng số học của số $\zeta(3)$ trong những năm rất gần đây.

Euler có quyền xuất bản và tin tưởng các tuyên bố chưa được chứng minh đã vượt qua thử nghiệm thử nghiệm phía máy chủ và nhận được xác nhận có thể kiểm chứng.

22

Nyaya. Ông hiểu rằng trong hoàn cảnh đương thời của mình, toán học sẽ thiệt thòi rất nhiều nếu nó tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật đóng góp cho việc xác lập chân lý.

Lý thuyết số cộng

Vấn đề biểu diễn số của các số tự nhiên dưới dạng tổng các số hạng có tính chất nhất định (như Euler đã nói, câu hỏi về “sự phân chia các số”) phải là trọng tâm chú ý của ông. Có lẽ nguồn cảm hứng ban đầu cho nhiệm vụ này nằm trong một bức thư gửi cho Node, người mà họ của anh chẳng có ý nghĩa gì đối với người đương thời của chúng ta. Euler đã áp dụng bộ máy tích vô hạn cho những bài toán này. Dưới đây là một số ví dụ. Euler chứng tỏ rằng

$$\begin{align*} (1+x)(1+x^2)(1+x^3) &\dots = \frac{1}{(1-x)(1-x^3)(1-x^5)}. \end{align*}$$

Lý do là nếu bạn nhân vế trái của dãy với 1−x, 1−x^3, 1−x^5, …, thì tất cả các lũy thừa khác 0 sẽ dần dần biến mất và điều này có nghĩa là đồng nhất thức (lý luận này có thể được thực hiện chặt chẽ bằng cách sử dụng lý thuyết giới hạn). Sau khi mở dấu ngoặc ở phía bên trái, chúng ta nhận được chuỗi 1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…, trong đó aₖ là số biểu thị k dưới dạng tổng của các số hạng tự nhiên khác nhau. Vế phải, sử dụng tổng của cấp số nhân vô hạn, được viết dưới dạng

$$\begin{align*} (1+x+x^2+x^3+...) (1+x^3+x^6+x^9+...) \times (1+x^5+x^{10}+x^{15}+...) \cdot ... \end{align*}$$

từ đó chúng ta lại thu được chuỗi 1+b₁x+b₂x²+b₃x³+…, trong đó bₖ là số biểu thị k dưới dạng tổng các số hạng lẻ, trong đó có thể có các số hạng giống hệt nhau (tại sao?). Euler kết luận rằng số biểu diễn a_k=b_k trùng khớp. Hãy thử chứng minh sự trùng hợp này không được biểu diễn và bạn sẽ thấy rằng nó không thể thấy được nó giống với bài toán này như thế nào.

Lý do sau đây xuất phát từ quan điểm

$$\begin{align*} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) &\dots = \frac{1}{1+x+x^2+x^3+...} \\ = 1+x+x^2+x^3+... \end{align*}$$

(để xác minh tính hợp lý của nó, bạn có thể nhân cả hai vế với 1 − x và quan sát các lũy thừa phi Lu của x luôn biến mất ở cả hai vế như thế nào). Từ đó, ngay lập tức mỗi số được biểu diễn theo một và chỉ một cách dưới dạng tổng các lũy thừa khác nhau của hai (các số biểu diễn như vậy là các hệ số trong chuỗi lũy thừa thu được sau khi biến đổi tích bên trái).

Nhiệm vụ phân chia chúng được thực hiện bằng phép tính số học của Dufant và Fermat, không chỉ về mặt phương pháp mà còn về mặt cài đặt. Họ đã làm quen với khoa học của lĩnh vực mới ARIFmetics - lý thuyết số cộng, vẫn đang phát triển cho đến ngày nay.

Nói ngắn gọn về các tác phẩm khác

Trong toán học, Euler chủ yếu là một nhà phân tích. Một phần quan trọng trong cuộc đời ông được dành cho việc tạo ra một khóa học (dấu hiệu học) có hệ thống về phân tích toán học. Euler là người đầu tiên nghiên cứu khái niệm tổng quát của một hàm được xác định bởi một đường cong tùy ý (đồ thị), và ông kết nối khái niệm tổng quát của hàm với bài toán về số chuỗi. Euler đã làm rất nhiều việc trong việc xem xét các lớp hàm đặc biệt quan trọng đối với các ứng dụng. Đây là hàm Γ nổi tiếng, nhận các giá trị n! tại điểm n của chuỗi tự nhiên, nó song sinh với hàm B (tích phân Euler), hàm trụ và hàm elip. Euler đã tiến hành các xem xét phân tích một cách có hệ thống trong một phức của một lĩnh vực, phát hiện ra mối liên hệ thay thế giữa hàm mũ phức và hàm lượng giác. Việc nghiên cứu hình học của ông rời rạc hơn. Chúng chủ yếu liên quan đến các vấn đề liên quan đến bản đồ học hoặc ứng dụng phân tích trong hình học (bắt đầu bằng hình học vi phân). Nhưng chúng ta cũng có thể nhớ lại ý nghĩa của công thức Euler dành cho khối đa diện: B+Γ=P+2, trong đó B là số đỉnh, Γ là số mặt, P là số cạnh, cũng như bài toán về bảy vị trí Könggerg, trong đó Euler đã cảm nhận chính xác các vấn đề của hình học mới (các nhà tôpô).

23

Trong cơ học, Euler là người đầu tiên chuyển từ ngôn ngữ hình học của Newton sang ngôn ngữ giải tích, ngôn ngữ này cho phép sử dụng các kỹ thuật toán học thuần túy từ lĩnh vực phương trình vi phân. Theo chân Mauperthune, Euler đề xuất công thức chính xác đầu tiên của nguyên lý tác dụng tối thiểu, khiến người ta có thể rút ra các định luật cơ học về lực trung tâm từ giả định rằng một số đại lượng chuyển động phải nhỏ nhất (xem «Kvant», 1975, số 12, trang 34). Ông cũng chuyển từ cơ học về một điểm vật chất sang cơ học về một vật rắn có kích thước hữu hạn.

Nghiên cứu của Euler về thiên văn học là sự tiếp nối các nghiên cứu của ông về cơ học. Lĩnh vực quan tâm của ông là cơ học thiên thể. Anh ấy đã có thể nhận ra khả năng tính toán mạnh mẽ của mình ở đây (như nhà thiên văn học người Pháp Arago đã viết, anh ấy “đã tính toán cách một người thở”). Lý thuyết về Mặt trăng của ông cho phép Mayer biên soạn các bảng về mặt trăng với độ chính xác chưa từng có. Euler đã dành nhiều thời gian để tính toán quỹ đạo hình elip của sao chổi, đặc biệt là sao chổi nổi tiếng Lexaeus (1769).

---

Trong bài đánh giá của mình, chúng tôi không có cơ hội đề cập đến nhiều khía cạnh trong công trình của Euler, chẳng hạn như quang học, khoai tây, đạn đạo và lý thuyết tàu thủy. Chúng tôi cũng bỏ qua di sản sư phạm của ông, đặc biệt là cuốn “Những bức thư gửi công chúa” nổi tiếng của ông - một dạng nỗ lực tạo ra một bộ bách khoa toàn thư về mọi ngành khoa học đương thời với Euler. Các nhà toán học vĩ đại của thế kỷ 19 đã nghiên cứu từ tác phẩm của Euler. “Đọc Euler - đây là người thầy chung của chúng ta,” Lapaz nói. Theo Gauss, “việc nghiên cứu công trình của Euler vẫn là trường phái tốt nhất trong các ngành toán học khác nhau và không gì khác có thể thay thế được nó.” Euler chủ yếu được đánh giá cao bởi những người nghiên cứu các tác phẩm của ông và không đánh giá di sản của ông bằng những “đỉnh cao”, những người đã học hỏi từ ông và sử dụng những ý tưởng chỉ đạo của ông.

Góc sưu tầm

Chỉ có một số tem bưu chính gắn liền với Leonhard Euler. Hình minh họa ở đây mô phỏng lại tất cả các con tem được phát hành trước năm 1983. Con tem đầu tiên được in ở CHDC Đức vào năm 1950 nhân kỷ niệm 200 năm thành lập Viện Hàn lâm Khoa học Berlin. Phần còn lại được phát hành vào năm 1957 tại Liên Xô,

CHDC Đức và Thụy Sĩ nhân kỷ niệm 250 năm ngày sinh của Euler.

V.R.

24

Máy tính trên chất siêu dẫn

Tiến sĩ Vật lý và Toán học
L. G. ASLAMAZOV

Thuật ngữ “thế hệ” đã trở nên vững chắc trong điện toán. Mỗi thế hệ máy tính tiếp theo phải có tốc độ cao hơn (số lượng thao tác trên một đơn vị thời gian), dung lượng bộ nhớ lớn hơn và kích thước nhỏ hơn. Con đường này có giới hạn nào không và máy tính sẽ trở thành gì trong tương lai? Nhiều chuyên gia hàng đầu thế giới hiện nay tin rằng máy tính sẽ trở thành siêu dẫn.

Bây giờ mọi học sinh đều biết siêu dẫn là gì: ở nhiệt độ rất thấp, kim loại và hợp kim không bị xoắn mất điện trở và dòng điện chạy qua các dây dẫn như vậy mà không bị tổn hao. Ý tưởng sử dụng chất siêu dẫn để ghi thông tin vào máy tính đã có lịch sử lâu đời. Vào buổi bình minh của kỷ nguyên công nghệ máy tính, vào những năm 50, các thành phần bộ nhớ siêu dẫn - cryotron - đã được phát triển. Nguyên lý hoạt động của chúng dựa trên thực tế là từ trường phá hủy tính siêu dẫn. Một lượng kín của chất siêu dẫn có thể ở hai trạng thái ổn định: khi có dòng điện siêu dẫn liên tục chạy qua nó và khi từ trường được bật, chất siêu dẫn bị phá hủy và vòng dây chuyển sang trạng thái bình thường. Bằng cách này, bạn có thể “viết” “0” và “1”, tức là tạo thành phần đơn giản nhất của bộ nhớ máy tính.

Ưu điểm chính của cryotron siêu dẫn so với các phần tử bộ nhớ bán dẫn là ở trạng thái siêu dẫn không có sự phân tách cơ thể. Suy cho cùng, trong quá trình hoạt động, máy tính nóng lên và dung lượng bộ nhớ càng lớn thì càng được phân bổ nhiều hơn. Nếu bạn nhớ số lượng lớn nội dung máy tính, bạn sẽ thấy rõ tại sao vấn đề này lại có tầm quan trọng hàng đầu.

Có vẻ như không có lựa chọn nào khác - siêu máy tính phải siêu dẫn. Tuy nhiên, hóa ra thời gian chuyển đổi của cryotron không thể nhỏ hơn $10^{-8}$ s, và đối với máy tính hiện đại, ngay cả hàng tỷ phân số của một giây cũng không phải là một giá trị nhỏ như vậy. Đồng thời, việc chế tạo một máy tính sử dụng cryotron siêu dẫn hóa ra khó hơn nhiều so với sử dụng chất bán dẫn. Và nó sẽ phải được làm lạnh đến nhiệt độ rất thấp - đến nhiệt độ của gel lỏng (chỉ trong những điều kiện như vậy, kim loại mới trở nên siêu dẫn). Vì vậy, cryotron siêu dẫn đã bị bỏ rơi một thời gian và có vẻ như đây là một nhánh cụt trong eulucinimum của máy tính.

Nhưng vào năm 1962, nhà vật lý người Anh Josephson đã phát hiện ra một hiệu ứng đáng chú ý được đặt theo tên ông (ví dụ, bạn có thể đọc về hiệu ứng này trong bài báo “SQUID là gì?” trong «Kvant» Số 10 năm 1981). Và như thường lệ, một hiệu ứng vật lý mới đã mở ra những khả năng kỹ thuật mới. Mặc dù nguyên lý hoạt động của phần tử bộ nhớ về cơ bản vẫn giữ nguyên, nhưng cái gọi là josular đã được phát triển (giá trị tối đa có thể nhỏ hơn hai bậc độ lớn).

Các phần tử bộ nhớ bán dẫn không còn có thể cạnh tranh với những người giữ kỷ lục như vậy nữa. Ưu điểm của cryotron Josephon lớn hơn chi phí làm mát, khó khăn trong thiết kế và nhiều nhược điểm khác của máy tính siêu dẫn. Hiện nay, công việc chuyên sâu đang được tiến hành trên khắp thế giới để tạo ra những chiếc máy tính như vậy. Và mặc dù vẫn còn rất nhiều vấn đề chưa được giải quyết trên con đường này nhưng các nhà khoa học tin rằng ngày chiếc máy tính đầu tiên sử dụng chất siêu dẫn hoạt động không còn xa nữa.

26

Nhiệt độ.
Sự ấm áp.
công suất nhiệt

(Từ lịch sử vật lý)

Nhiệt độ.
Sự ấm áp.
công suất nhiệt

(Từ lịch sử vật lý)

Nhiệt độ.
Sự ấm áp.
công suất nhiệt

Tương tự, có mối liên hệ giữa góc quay và vận tốc góc:

$$\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha\varphi.$$

Nói chung, bất kỳ công thức nào về động học của chuyển động biểu cảm của một vật đều được lấy từ công thức tương ứng của động học của một điểm (hoặc chuyển động tịnh tiến của một vật) bằng cách thay thế đại lượng tuyến tính bằng đại lượng góc tương ứng.

Để kết luận, chúng tôi lưu ý (sách giáo khoa Vật lý 8 không nói về điều này) rằng các đại lượng φ và a cũng được coi là vectơ. (Bạn cần phân biệt phép quay hoặc phép quay theo chiều kim đồng hồ với phép quay hoặc phép quay ngược chiều kim đồng hồ!) Giả sử rằng các vectơ có độ lớn góc hướng dọc theo trục quay của vật thể theo quy tắc vít bên phải: nếu bạn nhẩm vít bên phải giống như cách vật thể quay thì hướng chuyển động tịnh tiến của vít sẽ chỉ ra hướng của vectơ tương ứng (xem hình). Đúng, đối với gia tốc góc, quy luật này có phần bị điều kiện hóa: vectơ gia tốc trùng hướng với hướng chuyển động của cánh quạt nếu vận tốc góc tăng độ lớn, và hướng theo hướng ngược lại nếu vận tốc góc giảm.

Nhiệt độ.
Sự ấm áp.
công suất nhiệt

Nhiệt độ.
Sự ấm áp.
công suất nhiệt

Từ “năng lực” có liên quan gì đến nó? Rốt cuộc, nó thường được sử dụng khi nói về khối lượng của một số loại nước sốt, hay chính xác hơn là về tổng thể của nó.

Thuật ngữ “nhiệt độ” xuất hiện trong vật lý khoảng 200 năm trước, vào nửa sau thế kỷ 18, và nó vẫn tồn tại trong vật lý như một ký ức về những ý tưởng về cơ thể, cái lạnh và nhiệt độ mà ngày nay dường như giống như những trang giấy, khi đó đã tồn tại trong khoa học.

Kể từ thế kỷ 17, đã có một cuộc đấu tranh trong vật lý giữa hai ý tưởng về bản chất của các dấu hiệu. Cuộc đấu tranh này đã trở thành hợp pháp tương đối gần đây - vào giữa thế kỷ; kết quả là một trong những lý thuyết về Tellote đã bị bác bỏ hoàn toàn, và lý thuyết thứ hai chỉ thành công một phần.

Giả thuyết đầu tiên (chính xác hơn là một giả thuyết) cho rằng Tellota là một chất đặc biệt có thể xuyên qua bất kỳ Tello nào. Càng nhiều chất này trong cơ thể, nhiệt độ của nó càng cao. Thực tế thực nghiệm làm cơ sở cho ý tưởng này là khi hai vật được nung nóng khác nhau tiếp xúc với nhau, vật nóng hơn sẽ nguội đi và vật lạnh hơn sẽ nóng lên. Nó thực sự trông như thể không có gì chảy từ một cơ thể dày hơn sang một cơ thể lạnh hơn. Thứ này, một loại chất rắn, được gọi theo cách khác, nhưng thường xuyên nhất - calo. Người ta tin rằng mọi cơ thể đều xuất hiện

27

là hỗn hợp giữa chất của cơ thể với calo và nhiệt độ được thay đổi bởi nhiệt kế, đặc trưng cho nồng độ calo trong cơ thể. Từ “nhiệt độ” trong tiếng Latin có nghĩa là hỗn hợp. Ví dụ, đồng được gọi là nhiệt độ (hỗn hợp) của đồng và thiếc.

Lý thuyết thứ hai (giả thuyết), lần đầu tiên được đề xuất vào đầu thế kỷ 17 bởi nhà khoa học người Anh Francis Bacon, cho rằng nhiệt là sự chuyển động của các hạt nhỏ bên trong cơ thể (phân tử, nguyên tử, hoặc, như người ta nói khi đó, các hạt không nhạy cảm). Giả thuyết này cũng dựa trên những nhà quan sát có kinh nghiệm cho thấy, ví dụ, sự nóng lên có thể do chuyển động gây ra. Lý thuyết này có nhiều người ủng hộ, thậm chí có những người rất quan trọng như Descartes, Boyle, Hooke, Lomonsov.

Cả hai lý thuyết, bất chấp tất cả những khác biệt của chúng, cũng có điểm chung. Cả hai đều đồng ý rằng nhiệt là thứ chứa trong cơ thể. Theo giả thuyết đầu tiên, cơ thể chứa calo, theo giả thuyết thứ hai - các hạt có “lực sống” của chúng (khi đó người ta gọi động năng). Họ cũng đồng ý rằng nhiệt không biến mất và không xuất hiện: nếu trong quá trình tiếp xúc giữa hai vật, một trong hai mất nhiệt thì vật kia nhận nhiệt, do đó cái mất đi sẽ được thay thế bằng vật kia. Tuy nhiên, đại đa số các nhà nghiên cứu cho đến thế kỷ 19 vẫn tuân thủ cái gọi là lý thuyết vật chất về nhiệt, và thế kỷ 18 tất nhiên là thế kỷ chiến thắng của ý tưởng đặc biệt này về nhiệt.

Việc đưa ra khái niệm về độ dẫn nhiệt của bột nhào gắn liền với việc giải quyết bài toán phân bổ nhiệt khi tiếp xúc giữa các vật thể khác nhau.

Dựa trên giả thuyết đầu tiên và thực tế là nhiệt kế cho thấy nồng độ calo trong cơ thể, nhà toán học người Anh Taylor đã chỉ ra rằng, ví dụ, nếu khối lượng $m_1$ của nước bị dịch chuyển ở nhiệt độ $t_1$, khối lượng $m_2$ ở nhiệt độ $t_2$, $m_3$ ở nhiệt độ $t_3$, v.v., thì nhiệt độ của hỗn hợp hóa ra bằng nhau

$$t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2 + m_3 t_3 + \dots + m_n t_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n}.$$ (1)

Nhà vật lý người Đức Fahrenheit, theo gợi ý của bác sĩ và nhà hóa học Inderland Burgrave, đã tiến hành thí nghiệm với hai khối lượng nước và rutui bằng nhau và chỉ ra rằng nhiệt độ của hỗn hợp (nhịp điệu và nước không trộn lẫn với nhau, nhưng khi gặp nhau thì chúng vẫn có thể được đưa về cùng nhiệt độ) không bằng nhiệt độ $t$, tính theo công thức (1), tức là công thức (1) cho hỗn hợp các chất lỏng khác nhau là không đúng. Hóa ra nếu nhiệt độ nước cao hơn nhiệt độ của rutui thì nhiệt độ của hỗn hợp cao hơn tính toán. Điều này dường như đối với các quốc gia, bởi vì nếu một nhiệt kế thực sự hiển thị nồng độ calo trong một cơ thể, thì với khối lượng bằng nhau, bất kỳ vật thể nào cũng nhận được cùng một lượng nhiệt (tellorade) khi bị nung nóng ở cùng một số độ.

Nhà hóa học người Anh Black đã làm sáng tỏ vấn đề này vào giữa thế kỷ 18. Black giải thích, thí nghiệm Fahrenheit-Burgrave cho thấy rằng cần ít nhiệt hơn để làm nóng một khối rutui nhất định so với làm nóng cùng một khối lượng nước ở cùng một số độ. Nói theo cách riêng của Black: “Do đó, thủy ngân có khả năng sinh nhiệt ít hơn (nếu tôi có thể sử dụng cách diễn đạt đó) hơn nước, cần ít nhiệt hơn để tăng nhiệt độ của thủy ngân lên cùng một số độ.”

Đây là cách mà khái niệm “công suất nhiệt” (tellradiocity) lần đầu tiên xuất hiện. Như vậy rõ ràng nhiệt lượng và nhiệt độ không giống nhau. Nhưng điều đã biết trước đây vẫn đúng: lượng nhiệt mà cơ thể này nhận được bị mất đi bởi cơ thể khác. Ở dạng toán học, ý tưởng của Black được thể hiện bằng một đẳng thức mà giờ đây mọi học sinh đều biết:

$$c_1 m_1 (t - t_1) = c_2 m_2 (t_2 - t).$$ (2)

Nó được gọi là phương trình cân bằng nhiệt, thể hiện ý tưởng bảo toàn nhiệt.

Từ phương trình (2) không thể tìm được nhiệt dung riêng $c_1$ và $c_2$ từ

28

sự tách biệt, nhưng chỉ có thể xác định được mối quan hệ của họ:

$$\frac{c_1}{c_2} = \frac{m_2(t_2-t)}{m_1(t-t_1)}$$

Đặc biệt, từ các thí nghiệm, hóa ra nhiệt lượng của nước lớn hơn nhiệt lượng của thủy ngân 20 lần (theo dữ liệu hiện đại - hơn 30 lần). Nói chung, nhiệt dung riêng của nước là nhiệt dung riêng trung bình nhất của chất lỏng và chất rắn.

Một thời gian sau, người ta đề xuất lấy nhiệt dung riêng của nước làm đơn vị (trên cơ sở đó, đơn vị nhiệt đã được đưa vào - calo, đã trở nên lỗi thời), và sau đó người ta có thể đo nhiệt lượng của bất kỳ chất nào.

Cùng khoảng thời gian đó, Black thực hiện một khám phá quan trọng khác, khám phá này đặc biệt cho thấy rõ ràng rằng có sự khác biệt giữa lượng nhiệt và nhiệt độ. Thực tế là nếu nhiệt kế đo nồng độ nhiệt (tellorade), thì việc cung cấp nhiệt cho cơ thể sẽ làm tăng nhiệt độ cơ thể và việc thải nhiệt sẽ khiến nhiệt độ giảm xuống. Trong khi đó, Black phát hiện ra rằng khi một chất rắn (nước đá) tan chảy, nhiệt độ vẫn không thay đổi, bất chấp nguồn nhiệt cung cấp cho nó. Nhiệt độ của nước không thay đổi khi nó cứng lại, mặc dù nhiệt đã được lấy ra khỏi nước. Black gọi nhiệt này, nhiệt lượng mà nhiệt kế “không chú ý đến”, là ẩn nhiệt của phản ứng tổng hợp hoặc hóa rắn (teler gọi đơn giản là nhiệt của phản ứng tổng hợp). Ông cũng chứng minh sự tồn tại của ẩn nhiệt bay hơi.

Những khám phá của Black chắc chắn là quan trọng nhất trong thế kỷ 18 trong lĩnh vực vật lý nhiệt. Số phận của họ thật thú vị và chưa được biết đến. Để tránh chủ nghĩa đại chúng, Black không xuất bản các bài báo về tác phẩm của mình mà chỉ đưa tin về chúng trong các bài giảng và báo cáo. Chỉ sau khi ông qua đời, vào năm 1803, Bài giảng về các nguyên tố hóa học của ông mới được xuất bản, trong đó có phần giới thiệu vật lý giới thiệu các Hiệu ứng nhiệt tổng quát. Nó cũng đặt ra

Kết quả nghiên cứu đáng chú ý của ông đã được công bố.

Điều gì đã giải quyết tranh chấp về bản chất của nhiệt? Giả thuyết nào trong hai giả thuyết đã ăn? Công trình liên quan đến nhiệt dung và các nghiên cứu nhiệt khác của thế kỷ 18 không thể giải quyết được tranh chấp. Cần có các thí nghiệm để chứng minh rằng nhiệt độ cơ thể có thể tăng lên mà không cần cung cấp nhiệt do công cơ học. Cũng cần phải có được thông tin chi tiết hơn về các nguyên tử và phân tử (“các hạt không nhạy cảm”), những thứ “nghi ngờ” có mặt trong nhiệt. Tất cả điều này đã được thực hiện vào thế kỷ 19. Kết quả là, người ta thấy rằng lý thuyết nhiệt lượng không liên quan gì đến thực tế và nhiệt thực sự có liên quan đến chuyển động của một hạt bên trong cơ thể, nhưng không phải theo cách mà người ta tưởng tượng trước đây. Thứ mà nhiệt bên trong của vật thể được “chứa” không phải là nhiệt, mà là nội năng (tức là động năng của chuyển động tịnh tiến ngẫu nhiên của các hạt, xác định nhiệt độ của vật thể, động năng của chuyển động quay và dao động của các hạt, cũng như thế năng tương tác của chúng). Tellota là năng lượng chuyển động ngẫu nhiên của một hạt của cơ thể, được truyền (ví dụ, khi tiếp xúc) sang cơ thể hoặc các cơ thể khác. Đặc biệt, phương trình (2) không biểu thị định luật bảo toàn nhiệt lượng như người ta nghĩ trước đây (không có định luật nào như vậy cả!). Đây đơn giản là một trường hợp đặc biệt của định luật bảo toàn năng lượng cho các quá trình nhiệt (tức là định luật thứ nhất của nhiệt động lực học) $Q = \Delta U + A$. Chúng có hiệu lực khi bản thân hệ hoặc các ngoại lực tác dụng lên hệ không thực hiện công cơ học ($A = 0$) và sự thay đổi nội năng của hệ $\Delta U$ liên quan trực tiếp đến quá trình truyền nhiệt.

29

Các rung động điện.

Mạch dao động

Năm 1853, nhà vật lý nổi tiếng người Anh William Thomson, sau này là Lord Kelvin, đã xuất bản một bài báo có tựa đề “Về dòng điện không ổn định”.
Trong đó, ông đã chỉ ra rằng trong một mạch điện gồm một tụ điện có điện dung $C$ và một cuộn dây có độ tự cảm $L$ (Hình 1), sẽ xảy ra dao động điện từ với chu kỳ $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

Khi nghe đến từ “dao động”, chúng ta tưởng tượng ngay đến hình ảnh một ma trận toán học đang dao động (Hình 2) hoặc một vật nặng gắn vào một vòng tròn (Hình 3). Nhưng những rung động không chỉ thể hiện chuyển động cơ học của một vật thể “ở đây và ở đó”.
Bằng dao động, người ta phải hiểu bất kỳ sự thay đổi tuần hoàn nào của một đại lượng bất kỳ, nghĩa là một sự thay đổi trong đó giá trị của đại lượng này được lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định, gọi là chu kỳ dao động.

Trong quá trình dao động cơ học của một điểm vật chất tuần hoàn, đại lượng thay đổi là tọa độ $x$ của điểm. Trong mạch của chúng tôi, đây là điện tích $q$, được truyền vào tụ điện. Trong chu kỳ dao động, điện tích trên tấm dần dần biến mất, đổi dấu và phục hồi trở lại. Cả điện áp $U = q/C$ giữa các bản tụ và dòng điện $I$ trong mạch đều dao động, vì sự tương ứng có hiệu lực bất cứ lúc nào.

$$U = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$$

Điện áp $E$ của điện trường trong tụ điện (vì $E = U/d$, trong đó $d$ là khoảng cách giữa các bản) và cảm ứng $B$ của từ trường của cuộn dây (vì tỉ lệ với dòng điện) cũng dao động.

Điều này tương tự như cách trong quá trình dao động cơ học, không chỉ tọa độ của một điểm thay đổi theo chu kỳ mà còn cả tốc độ, gia tốc, động năng, v.v. Tất cả những đại lượng này đều trải qua dao động.

Sách giáo khoa “Vật lý 10” nói về sự tương đồng giữa dao động cơ và dao động điện. Sự tương tự này có thể được thực hiện chặt chẽ hơn nếu chúng ta nhận thấy rằng phương trình (1) trùng khớp với phương trình biểu thị định luật thứ hai của Newton đối với một vật dao động dưới tác dụng của các vật khác:

$$F = m \frac{\Delta v}{\Delta t},$$

trong đó $F$ là lực của các phương trình tác dụng lên vật, $m$ là khối lượng, $\Delta v/\Delta t = a$ là gia tốc của vật. Do đó, phương trình (1) có thể được nghiên cứu theo nguyên tắc “các phương trình giống nhau có lời giải giống nhau”.

So sánh các phương trình (1) và (2) cho thấy điện áp $U$ tương ứng với các phương trình lực $F$, dòng điện $I$ trong cuộn dây tương ứng với tốc độ $v$ chuyển động của cơ thể và độ tự cảm của cuộn dây $L$ tương ứng với khối lượng của cơ thể $m$. Cuối cùng, từ thư từ

$$U = \frac{q}{C} \text{ и } F = k\lambda$$

Theo đó, nghịch đảo của điện dung của tụ điện ($1/C$) tương ứng với độ cứng của lò xo $k$. Một bảng tóm tắt tóm tắt sự tương tự này được cung cấp trong Vật lý 10.

Hình 1. Hình 2. Hình 3. Hình 4.

30

Để kết luận, chúng ta hãy xem xét câu hỏi thú vị về dòng điện trong mạch dao động. Mặc dù thực tế là mạch hở (không có dây dẫn giữa các bản của tụ điện), dòng điện vẫn chạy qua một “mạch hở” như vậy. Hơn nữa, nếu điện trở của cuộn dây và dây dẫn bằng 0 (độ siêu dẫn), dòng điện do tụ điện phóng điện sẽ không bao giờ dừng lại.

Thật kỳ lạ, dòng điện trong mạch dao động có thể được coi là đóng. Để hiểu điều này, chúng ta cần quay lại hiện tượng cảm ứng điện từ. Như Maxwell lần đầu tiên chỉ ra, hiện tượng này không phải ở chỗ sự thay đổi trong từ thông tạo ra dòng điện cảm ứng, mà ở chỗ sự thay đổi trong từ trường tạo ra một điện trường có các đường sức khép kín (trường xoáy). Dòng điện cảm ứng là sự chuyển động của các bộ phận tích điện trong trường này. Liên quan đến công thức của hiện tượng cảm ứng điện từ, Maxwell đã nảy ra một ý tưởng tuyệt vời rằng hiện tượng ngược lại cũng tồn tại: một điện trường biến đổi sẽ tạo ra một từ trường.

Trong mạch dao động của chúng ta, khi xảy ra dao động trong đó, có một nơi không có gì ngoài một điện trường thay đổi. Đây là một tụ điện. Điều này có nghĩa là có một từ trường xung quanh tụ điện (Hình 4). Mặt khác, người ta biết rằng có một từ trường bao quanh bất kỳ dòng điện nào. Hóa ra, do đặc tính được bao quanh bởi từ trường nên một điện trường biến đổi (xoay chiều) không khác gì một dòng điện. Kể từ thời Maxwell, tốc độ thay đổi của điện trường xoay chiều do đó được gọi là dòng điện, hay chính xác hơn là dòng điện dịch chuyển.

Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng dòng điện “tổng quát” (còn gọi là dòng điện dẫn) trong phần dẫn điện của mạch dao động, vẫn tiếp tục trong tụ điện với dòng điện không tích điện - dòng điện dịch chuyển.

Lịch của chúng tôi

Về tính đẳng thời của dao động nam châm

Trong những năm tháng suy tàn của mình, Galileo Galilei (1564–1642) đã kể cho cậu học trò trẻ Vincengo Vincini của mình về cuộc đời khoa học của ông đã bắt đầu như thế nào. Tuy nhiên, vào năm 1583, Galileo 19 tuổi, khi đang ở Nhà thờ Pisa, đã chứng kiến ​​cảnh một chiếc thang lớn đung đưa. Đối với ông, dường như chu kỳ dao động của nó không thay đổi theo thời gian. Mặc dù có sự suy giảm, tức là biên độ dao động giảm, nhưng thời gian của mỗi dao động vẫn giữ nguyên. Trở về nhà, anh tiếp tục thí nghiệm với những quả bóng treo trên sợi dây và đi đến kết luận rằng chu kỳ dao động của nam châm thực tế không phụ thuộc vào độ lệch cực đại. Như chúng ta sẽ nói sau, dao động của nam châm là đẳng thời, nghĩa là không đổi theo thời gian. (Sau này Galileo phát hiện ra rằng chu kỳ dao động có liên hệ với căn bậc hai của chiều dài nam châm.) ​​Với khám phá này của chàng trai trẻ Galileo, chuỗi khám phá cơ học vĩ đại của ông bắt đầu.

Trong nhà thờ, như Vincini viết, Galileo đã điều khiển chu kỳ dao động của lystra dựa trên xung của chính mình, thực hiện các thí nghiệm và sử dụng đồng hồ nước.

Đồng hồ cơ vào thời điểm đó còn rất nhiều điều đáng mong đợi. Chúng ta không biết khi nào Galileo quyết định sử dụng dao động nam châm để tạo ra thuyết đẳng thời: dù là vào buổi bình minh của hoạt động khoa học của ông, trong thời kỳ tạo ra cơ học mới, hay vào cuối đời, sau phiên tòa xét xử, ông quay trở lại làm việc về cơ học. Tuy nhiên, không còn nghi ngờ gì nữa, Galileo bắt đầu nghiên cứu chặt chẽ việc thiết kế đồng hồ từ khi ông đã già và quá lười biếng, và do đó không thể biến ý tưởng tuyệt vời của mình thành một cơ chế hoạt động thực sự.

Đồng hồ từ tính đầu tiên được tạo ra bởi Christ IAN Guilens (1629-1695). Trong suốt cuộc đời của mình, Guilens đã làm việc theo điều kiện của họ và nhận được nhiều kết quả đáng chú ý trong quá trình hoạt động này. Đặc biệt, ông làm rõ rằng phát biểu của Galileo về tính đẳng thời của dao động từ chỉ đúng đối với những sai lệch nhỏ của nam châm so với trạng thái cân bằng.

SG

31

Nhiệm vụ

1. Tạp chí «Kvant» gồm 16 tờ đôi ghép vào nhau. Trên tờ giấy đôi nào tổng các số chỉ số trang sẽ lớn nhất?

2. Tìm số có hai chữ số mà tích các chữ số của nó gấp đôi.

3. Giải các câu đố về đường đi “địa lý” (xem hình). Trong mỗi rebus, các chữ cái giống nhau tương ứng với các số giống nhau và các số khác nhau tương ứng với các số khác nhau.

4. Các quân domino được sắp xếp theo mô hình hình tròn, với tổng số điểm ở mỗi hàng dọc và mỗi hàng ngang bằng nhau (xem hình). Các giá trị điểm trên xúc xắc, ngoại trừ giá trị “giả”, được bảo vệ bằng các chữ cái. Giải mã chúng.

5. Hai cha con đang quan sát nhật thực và chủ đề cuộc trò chuyện của họ là Mặt trời và Mặt trăng. Cậu bé hỏi: “Bố ơi, Mặt trời cách xa chúng ta bao nhiêu lần so với Mặt trăng? Theo như con nhớ,” người cha trả lời, “387 lần”. “Sau đó tôi có thể tính được thể tích của Mặt trời lớn hơn thể tích của Mặt trăng bao nhiêu lần.” “Làm ơn, con nói đúng,” người cha trả lời sau khi suy nghĩ. Thể tích của Mặt trời lớn hơn thể tích của Mặt trăng bao nhiêu lần?

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi
MV Varda, A.M. Kozlov, M.A. Mnachakyan, E. Suleymanov (học sinh lớp 10 trường số 10 ở Sheki), A. Kholin (học sinh lớp 7 trường số 1 ở Kokchetav).

32

điện tử
mắt

Ứng viên khoa học sư phạm
V. S. DANYUSHENKOV

Chắc hẳn nhiều bạn trong lớp vật lý đã để ý đến một thiết bị trông giống như một chiếc TV có màn hình tròn nhỏ. Khi nó hoạt động, nhiều đường phát sáng khác nhau sẽ “chạy” trên màn hình của nó. Thiết bị này được gọi là biểu đồ dao động. Nó được sử dụng để ghi lại trên màn hình các quá trình vật lý xảy ra nhanh chóng mà mắt người không thể nhìn thấy được. Do đó, thiết bị mở rộng khả năng nhận thức của chúng ta trong việc tìm hiểu các hiện tượng tự nhiên. Đối với tính năng này, máy hiện sóng thường được gọi là “mắt điện tử”.

Điều chính là ống

Bộ phận chính của máy hiện sóng là một ống tia âm cực (hoặc đơn giản là “điện tử”). Nó là một hình trụ thủy tinh có hình dạng đặc biệt mà gần như toàn bộ không khí đã được bơm ra ngoài. Bên trong hình trụ có một “súng điện tử” để tạo ra chùm tia điện tử và cơ cấu điều khiển chùm tia này (Hình 1). Chúng ta sẽ nói về cách thức hoạt động của ống sau. Đầu tiên, một chút lịch sử.

Nguyên mẫu của ống điện tử hiện đại là ống phóng khí, với sự trợ giúp của ống phóng điện khí, người Anh W. Crookes đã nghiên cứu các quá trình truyền dòng điện qua các loại khí loãng. Ống này là một hộp thủy tinh có các điện cực được đúc bên trong; xi lanh được nối với một máy bơm để bơm không khí ra khỏi nó. Crookes phát hiện ra rằng khi các điện cực được nối với nguồn điện áp, các tia chưa xác định xuất hiện bên trong ống.

25 năm sau, nhà vật lý người Pháp J. Perrin đã chứng minh rằng những tia này là một dòng hạt tích điện âm, nguồn gốc của nó là bề mặt đóng gói của điện cực âm - cực âm. Perrin được đặt ở phía trước

Súng điện tử
Nước mắt huyết tương
Màn hình

Hình 1.

33

cực âm là một hình trụ kim loại rỗng, được nối với nguồn điện (Hình 2). Khi điện áp được đặt vào các điện cực, các cánh của nhựa điện tích điện và phân tán. Khi đưa một thanh thủy tinh tích điện dương vào nước điện, các cánh hoa trở về vị trí ban đầu. Do đó, một điện tích âm tích tụ trên xi lanh trong quá trình vận hành ống. Peren đưa nam châm vào ống sao cho nó đối diện với khoảng trống giữa cực âm và hình trụ rỗng. Đồng thời, muỗng điện không sạc được. Điều này có nghĩa là các hạt tích điện âm, khi không có nam châm chạm vào xi lanh, sẽ bay ra khỏi cực âm. Từ trường làm chệch hướng các hạt này lên thành ống. Trong thí nghiệm này, lần đầu tiên việc điều khiển từ tính đối với dòng hạt tích điện đã được thực hiện.

Bạn có thể thấy tác dụng của từ trường lên dòng điện tử bằng cách giữ một nam châm ở gần TV. Hình ảnh trên màn hình sẽ dịch chuyển lên hoặc xuống tùy thuộc vào dải mà bạn hướng nam châm về phía nào.

Năm 1897, nhà vật lý người Đức K. Braun đã tạo ra một ống tia được điều khiển từ tính có hình dạng

Hình 2.

tương tự như ống điện tử hiện đại.

Cùng năm đó, nhà vật lý người Anh J. J. Thomson, sử dụng ống này, đã chỉ ra rằng các tia phát ra từ cực âm là một dòng electron. Trong thí nghiệm của mình, Thomson đã đi tiên phong trong phương pháp điện điều khiển dòng điện tử. Bằng cách đặt hai bản song song trước cực âm, nối với các cực của pin điện, ông thấy rằng các tia đi vào điện trường giữa các bản đã lệch khỏi đường đi ban đầu.

Bạn có thể thấy điện trường tác dụng lên các hạt tích điện như thế nào bằng cách tiếp tục thí nghiệm này. Lấy hai tấm nhôm hoặc nắp nồi có tay cách nhiệt và gia cố chúng song song với nhau.

Tạo một quả bóng tròn (hoặc ống bọc) từ giũa và gắn một sợi chỉ vào nó. Sau đó lấy một thanh gỗ mun và chà xát nó bằng một mảnh lụa; trong trường hợp này thanh trở nên nhiễm điện âm. Đầu tiên, chỉ cần chạm nhẹ vào cây gậy, hãy sạc quả bóng, sau đó là một trong các tấm. Sau đó chà que bằng một mảnh giấy. Trong trường hợp này, nó được nhiễm điện dương. Sạc gậy bằng tấm thứ hai. Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng cho cuộc thử nghiệm. Hạ quả bóng xuống sợi dây giữa các tấm. Bạn sẽ thấy quả bóng bị lệch về phía tấm tích điện sọc.

Điện trường tác dụng tương tự lên các electron trong ống tia âm cực. Khi di chuyển giữa các tấm điều khiển, toàn bộ dòng electron lệch khỏi đường đi ban đầu

34

về phía tấm nối với cực dương của pin.

Súng điện tử

Chúng ta đã nói rằng nguồn electron trong ống là một điện cực tích điện âm - cực âm. Bất kỳ dây dẫn nào cũng chứa một số lượng lớn các electron chuyển động liên tục. Hầu hết các electron chuyển động với tốc độ gần như giống nhau về giá trị tuyệt đối. Nhưng có những electron có tốc độ lớn hơn nhiều so với tốc độ trung bình. Những electron như vậy, nếu chúng ở gần bề mặt của vật dẫn điện, có thể “thoát” qua bề mặt và “bốc hơi” (tình huống này tương tự như quá trình bay hơi của chất lỏng). Ở nhiệt độ phòng, phần electron này không có tác dụng. Sự bay hơi của các electron khỏi bề mặt vật dẫn nóng rất mạnh.

Cực âm của ống điện tử (một dây dẫn mỏng) được nung nóng đỏ bằng cách cho một dòng điện chạy qua nó và các electron bay hơi khỏi bề mặt cực âm.

Bạn có thể xác minh rằng các electron sẽ bay hơi khi dây dẫn được làm nóng bằng một thí nghiệm đơn giản. Đối với thí nghiệm, bạn cần một đèn sợi đốt, một mảnh giấy bạc và máy ép trái cây điện. Bạn có thể tự mình làm phần điện tử. Để làm điều này, hãy lấy một cái chai và chọn nút chai cho nó (tốt nhất là bằng cao su; bạn có thể làm nút chai từ cục tẩy). Đưa một ngôi sao khá dài qua nút chai; Gắn các cánh hoa bằng giấy lụa vào đầu nhọn của ngôi sao. Đóng chai bằng nút chai để cánh hoa nằm bên trong chai. Máy ép trái cây điện đã sẵn sàng.

Cắt một dải giấy bạc và quấn chặt quanh bóng đèn lưu trữ. Sử dụng một sợi dây mỏng để nối giấy bạc với nước điện.

Bây giờ hãy sạc điện dương cho máy ép trái cây (ví dụ: dùng que thủy tinh cọ xát vào vết nứt) và bật đèn. Bạn sẽ thấy những cánh hoa điện di rơi ra.

Giấy bạc nối với nước điện có điện tích dương. Các electron bay hơi từ dây tóc đèn bị điện tích này thu hút, đọng lại trên bóng đèn và tích điện âm vào bề mặt bên trong của nó. Điện tích âm này trung hòa điện tích dương của giấy bạc và do đó, nước điện.

Làm thế nào để thu thập tất cả các electron “bốc hơi” từ cực âm thành một chùm tia mỏng?

Đối diện với cực âm, một điện cực thứ hai được đặt - cực dương. Theo quy định, nó có hình dạng của một chiếc đĩa. Một điện áp lớn được tạo ra giữa cực âm và điện cực (từ vài trăm đến vài nghìn volt). Điện trường giữa các điện cực định hướng các electron phát ra từ bề mặt cực âm đến điện cực và tăng tốc chúng lên tốc độ rất cao. Và để thu những electron này thành một chùm tia mỏng, họ thực hiện như sau.

Một “chiếc áo” kim loại được đặt trên cực âm - một tấm kính hình trụ có một lỗ nhỏ ở phía dưới. Cô ấy được cho một điện tích âm. Điện tích này loại bỏ các electron thoát ra khỏi bề mặt kim loại về phía trục của kính “áo khoác”, do đó hầu hết các electron bay ra khỏi “áo” qua một lỗ nhỏ. Bằng cách thay đổi điện tích trên “chiếc áo”, bạn có thể điều chỉnh số lượng electron thoát ra khỏi nó. Do đặc tính này, “áo khoác” kim loại được gọi là điện cực điều khiển. Một chùm electron hẹp phát ra từ điện cực điều khiển được hướng tới điện cực và đi qua một lỗ hẹp trên đó.

36

Nhiệm vụ

M831—M835; F843—F847

M831. Đặt $P$ và $Q$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$, và đặt $M$ và $N$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng $MN$ và $PQ$ vuông góc thì $|BC| = |AD|$.

B. B. Prasolov

M832. a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n > 6$ hình vuông có thể cắt thành $n$ hình vuông (trong đó có thể có những hình vuông có cùng kích thước).

6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n > 100$ khối lập phương có thể được cắt thành $n$ khối lập phương.

B. A. Lee

M833*. Dãy số $x_n$ được cho bởi các điều kiện:

$$x_1 = 2; \quad x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \quad (n=1, 2, 3, \dots).$$

Chứng minh rằng a) $x_n \neq 0$ (với mọi $n$);

6. trình tự này là không định kỳ.

V. E. Matizen

M834. Một nhà máy thủy lợi đặt tại điểm $O$ phục vụ một vòng tròn bán kính 100 m với tâm $O$. Với cách lắp đặt như vậy, cần phải tưới hoàn toàn cho một cánh đồng hình vuông có diện tích 1 km×1 km.

a) Quản đốc đảm nhận 64 cài đặt ở các đỉnh của lưới vuông ở cạnh song song với các cạnh của trường (Hình 1). Cạnh $a$ của một lưới hình vuông có thể thay đổi trong giới hạn nào?

6. Học sinh lớp 8 Vitya tuyên bố rằng có thể tưới cho một cánh đồng chỉ bằng 46 cách lắp đặt như vậy. Vitya có đúng không?

H. B. Vasiliev

M835*. $n$ kỳ thủ cờ vua từ quốc gia $A$ và $n$ kỳ thủ cờ vua từ quốc gia $B$ đã đến tham dự giải cờ vua một vòng. Hóa ra, dù người chơi cờ được chia thành từng cặp như thế nào (sao cho sự khác biệt về cờ vua của các quốc gia thi đấu với nhau) thì sẽ có ít nhất một cặp người chơi cờ đã từng gặp nhau trước đó. Chứng minh rằng có thể chọn $a$ người chơi cờ từ quốc gia $A$ và $b$ người chơi cờ từ quốc gia $B$ sao cho mỗi người được chọn $a$

37

những người chơi cờ đã gặp từng người trong số $b$ người chơi cờ đã chọn và $a+b>n$.

L. D. Meniches

F843. Một bánh xe có bán kính $R$, nằm ở độ cao $H$ so với mặt đất, quay với vận tốc góc $\omega$. Một giọt rơi từ bánh xe và rơi xuống đất tại điểm $B$ dưới tâm bánh xe (Hình 2.). Tìm thời điểm giọt nước rơi và điểm $A$ của bánh xe tại đó giọt nước vỡ ra.

A. N. Grigorenko

F844. Một vật có khối lượng $m$ và thể tích $V$ được hạ xuống một bình chứa đầy hỗn hợp chất lỏng, mật độ của nó thay đổi theo độ sâu theo định luật $\rho = \rho_0 + ah$. Cơ thể hoàn toàn chìm trong chất lỏng. Ở độ sâu nào nếu nó có hình khối? quả bóng?

L. G. Markovich

F845. Một viên sỏi nhỏ lọt vào bên trong buồng bánh xe tự động có bán kính $R$. Ở tốc độ tối thiểu nào súng máy sẽ quay viên sỏi cùng với bánh xe nếu hệ số ma sát giữa viên sỏi và máy ảnh là $\mu$?

A. V. Levin

F846. Tại sao nên bật động cơ DC công suất cao thông qua bộ biến trở khởi động?

A. V. Kubyshkin

F847*. Một electron bay vào một chùm thể tích có mũi dương, có tiết diện tròn, tại điểm $A$, tốc độ của tia này song song với trục đối xứng của chùm tia (Hình 3). Mật độ thể tích của các điện tích trong chùm tia bằng $\rho$, chiều dài của chùm tia là $l$ (chiều dài của chùm tia lớn hơn nhiều so với bán kính của nó). Ở giá trị nào của tốc độ electron, nó sẽ bay ra khỏi chùm tia tại điểm $B$? Không tính đến sự va chạm giữa các electron và nome.

O. V. Fatyanov

Problems

M831—M835; P843—P847

M831. Suppose $P$ and $Q$ are the midpoints of sides $AB$ and $CD$ of the quadrilateral $ABCD$, $M$ and $N$ — those of the diagonals $AC$ and $BD$. Prove that if the lines $MN$ and $PQ$ are perpendicular, then $|BC| = |AD|$.

V. V. Prasolov

M832. a) Prove that for any natural $n>6$ a square can be cut up into $n$ smaller squares (among which some may be congruent).

b) Prove that for any natural $n>100$ the cube may be cut up into $n$ smaller cubes.

V. A. Li

39

Lời giải bài toán
M816, M817, M819, M820*); F828—F832

M816. Các số tự nhiên a và b được tạo thành từ nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ số. Chứng minh rằng
a) tổng các chữ số của số 2a và 2b bằng nhau;
b) tổng các chữ số của các số a/2 và b/2 bằng nhau (nếu a và b là số chẵn);
c) tổng các chữ số của số 5a và 5b bằng nhau.

Đầu tiên chúng ta chứng minh một mệnh đề phụ.
Gọi $S(x)$ là tổng các chữ số của số tự nhiên $x$, $N(x)$ số các chữ số của số đó lớn hơn 4. Khi đó
$$S(2x) = 2S(x) - 9N(x).$$

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta thêm số $x$ vào chính nó trong một cột, bắt đầu bằng các chữ số thấp nhất. Việc chuyển từ một sang chữ số thứ $(k+1)$ tiếp theo của tổng xảy ra khi và chỉ khi chữ số thứ $k$ của số $x$ chứa một trong các chữ số 5, 6, 7, 8 hoặc 9 (trong ví dụ ở lề, điều này xảy ra ở thứ 2, 3 và 5 tính từ cuối chữ số), tức là số lần chuyển là $N(x)$. Với mỗi lần chuyển số mười, được bao gồm trong tổng $S(x) + S(x)$, một đơn vị sẽ xuất hiện, được bao gồm trong tổng $S(2x)$, tức là $S(2x)$ so với $2S(x)$ giảm đi 9. Từ đây chúng ta nhận được (*).

Bây giờ thật dễ dàng để chứng minh khẳng định bài toán.
a) Thay thế () với $x$ lần lượt $a$ và $b$ và xét các đẳng thức tiếp theo $S(a) = S(b)$ và $N(a) = N(b)$, ta thu được $S(2a) = S(2b)$.
b) Lưu ý rằng chữ số $i$ của số $x$ lớn hơn 4 khi và chỉ khi chữ số $(i+1)$ của số $2x$ là số lẻ. Do đó, $N(x)$ bằng số chữ số lẻ trong $2x$. Do đó, đối với các số $a$ và $b$, gồm các chữ số giống nhau, $N(a/2) = N(b/2)$ và nhờ vào ()
$$S\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(S(a) + 9N\left(\frac{a}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(S(b) + 9N\left(\frac{b}{2}\right)\right) = S\left(\frac{b}{2}\right).$$
c) Rõ ràng các số 10a và 10b thỏa mãn điều kiện tại điểm 6) nên
$$S(5a) = S\left(\frac{10a}{2}\right) = S\left(\frac{10b}{2}\right) = S(5b).$$
A. D. Lisitsky

M817. Điểm $K$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng sự tương ứng $|AK|^2 = |AB| \cdot |AC|$ - $|KB| \cdot |KC|$ đúng khi và chỉ khi $|AB| = |AC|$ hoặc $BAK = CAK$.

Hình 1.
$$|AK|^2 = q|AB|^2 + p|AC|^2 - |BK| \cdot |KC|$$
ở đâu $p = |BK| : |BC|$, $q = |CK| : |BC|$.

Cái đầu tiên là lời giải (Hình 1). Đặt $p = |BK| : |BC|$, $q = 1 - p = |CK| : |BC|$, sau đó
$$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + p(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = q\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC}.$$
(*)

Trong điều kiện $|AK|^2 = (q\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC})^2 = |AB| \cdot |AC|$ - $|KB| \cdot |KC| = |AB| \cdot |AC| - pq(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})^2$.

Mở rộng dấu ngoặc và tính đến $p + q = 1$, chúng ta nhận được:
$$q|AB|^2 + p|AC|^2 - |AB| \cdot |AC| = 0.$$

Do đó, tỷ lệ độ dài cạnh của tam giác $\lambda = |AB| : |AC|$ thỏa mãn phương trình bậc hai $q\lambda^2 - \lambda + p = 0$, tức là $\lambda = 1$ hoặc $\lambda = p/q$. Trong trường hợp đầu tiên $|AB| = |AC|$, trong trường hợp thứ hai - $|AB| : |AC| = p/q = |BK| : |KC|$, từ đó, theo định lý nổi tiếng***), suy ra rằng $AK$ là bisserris hoặc $BAK = CAK$.

Sử dụng đẳng thức (*), dễ dàng suy ra công thức tổng quát tính độ dài của đoạn $AK$, được gọi là công thức Stewart. Nó được đưa ra trong lề.

*) Bài toán M818 sẽ được giải bằng một trong các số sau «Kvant».
***) Ví dụ, xem S. R. Sefi Bekov “Bốn cách chứng minh định lý Bisseris” («Kvant», 1983, số 8).

40

Thứ hai lời giải. Chúng ta lấy một điểm L trên đoạn BC sao cho $\widehat{CAL} = \widehat{KAB}$ (Hình 2). Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó $|AL| = |AK|$. Từ đây sẽ suy ra rằng hoặc hai điểm L và K trùng nhau, tức là AK là bissertis của góc A, hoặc $\Delta ALK$ là hai cạnh đều và khi đó, theo định lý về góc ngoài của một tam giác

$$\widehat{ABC} = \widehat{AKC} - \widehat{BAK} = \widehat{ALB} - \widehat{LAC} = \widehat{ACB},$$

tức là tam giác ABC đều.

Gọi D là giao điểm của đường thẳng AK và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì $ACB = ADB$ nên tam giác ACL đồng dạng với tam giác ADB nên $|AL| \cdot |AD| = |AB| \cdot |AC|$. Tam giác ACK và BDK cũng đồng dạng ($\widehat{ACB} = \widehat{ADB}, \widehat{AKC} = \widehat{BKD}$), nên $|BK| \cdot |KC| = |AK| \cdot |KD|$. Do đó, đẳng thức cho trong điều kiện tương đương với đẳng thức sau

$$|AK|^2 = |AL| \cdot |AD| - |AK| \cdot |KD|$$

hoặc

$$|AK|(|AK| + |KD|) = |AL| \cdot |AD|.$$

Do đó nó dẫn đến $|AK| = |AL|$.

A. L. Toom, N. B. Vasiliev

M819. Có n thành phố ở Schwambrania, mỗi thành phố được nối với nhau bằng một con đường. (Các con đường chỉ hội tụ trong các thành phố, tất cả các giao lộ đều bị giới hạn ở các góc khác nhau.) Tên phù thủy độc ác có ý định thiết lập giao thông một chiều trên mỗi con đường để một khi bạn rời khỏi bất kỳ thành phố nào, bạn sẽ không thể quay lại thành phố đó được nữa. Chứng minh rằng a) thuật sĩ có thể làm được điều này;
b) trong trường hợp này, sẽ có một thành phố mà từ đó bạn có thể đến tất cả những thành phố khác, và sẽ có một thành phố mà bạn không thể rời đi;
c) có $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ cách để thực hiện ý định của thuật sĩ này.

a) Trình hướng dẫn có thể đánh số tất cả các thành phố của Schwambrania với các số từ 1 đến n và đặt trên mỗi con đường một chuyển động từ thành phố có số thấp hơn đến thành phố có số cao hơn. Bằng cách này, anh ta sẽ đạt được mục tiêu của mình, bởi vì số lượng thành phố gặp phải khi di chuyển dọc theo bất kỳ tuyến đường nào có hạn chế như vậy sẽ luôn được trả về.

b) Bắt đầu từ bất kỳ thành phố nào, chúng ta sẽ đi dọc theo những con đường của Schwambrania, tuân theo các quy tắc của thầy phù thủy này. Chúng ta hãy ngạc nhiên chừng nào điều này còn có thể. Sẽ không tìm thấy thành phố nào trên tuyến đường của chúng tôi và vì số lượng thành phố là hữu hạn nên sớm hay muộn chúng tôi sẽ phải dừng lại. Nhưng điều này có nghĩa là chúng tôi đã đến thành phố Z, nơi chúng tôi không thể rời đi.

Bây giờ chúng ta hãy đảo ngược hướng chuyển động trên mọi con đường. Rõ ràng là, theo quy định mới, chúng ta sẽ không thể đến thăm cùng một thành phố nữa. Do đó, như trên, có một thành phố A mà bạn không thể rời đi theo quy định mới (!). Do đó, ban đầu trên con đường nối A với bất kỳ thành phố B nào khác, giao thông được thiết lập từ A đến B, nghĩa là từ A bạn có thể đến bất kỳ thành phố nào (chỉ đi qua một con đường).

Lưu ý rằng bạn có thể đi từ bất kỳ thành phố nào ngoại trừ Z (ví dụ đến Z) và bạn có thể đi đến bất kỳ thành phố nào ngoại trừ A.

c) Hãy tiến hành quy nạp theo số thành phố n. Với n = 1, câu c) là hiển nhiên. Hãy chứng minh điều đó cho n thành phố, giả sử rằng nó đúng cho n - 1 thành phố. Theo điểm 6), đối với bất kỳ quy tắc giao thông nào đáp ứng các điều kiện của trình hướng dẫn này, có một và chỉ một thành phố Z mà bạn không thể rời khỏi đó. Nó có thể là bất kỳ thành phố n nào.

Trên tất cả các con đường nối về thành phố Z. Do đó, không có con đường nào nối hai thành phố khác không thể đi qua Z nữa và chỉ cần đặt hướng trên các con đường giữa n - 1 thành phố còn lại sao cho không thể đi đến bất kỳ thành phố nào trong số đó khi đi dọc theo các hướng này. Theo giả thuyết quy nạp điều này có thể thực hiện được (n - 1)! cách. Do đó, tổng số cách là n · (n - 1)! = n!.

Một lời giải khác dựa trên thực tế là có một tuyến đường dài nhất (theo số đường)

43

Hơi phía trên bề mặt của raster chỉ chứa các phân tử nước. Hằng số giá trị phổ quát là $R = 8,3$ J/(mol K).

Chúng ta tìm thấy mật độ $\rho_{\pi}$ của hơi nước ở nhiệt độ $T = 293$ K từ phương trình trạng thái khí:

$$\rho_{\pi} = p_{\text{mac}} \frac{\mu}{RT}.$$

Như vậy,

$$h = \frac{0,05c_2RT}{\mu g} (2 \frac{h_0}{h} - 1).$$

Thay thế dữ liệu số đã cho vào điều kiện, ta tìm được

$$h \approx 16,4 \text{ см.}$$

Điều thú vị cần lưu ý là, như sau từ bài toán đã xem xét, nếu dưới mui xe có hai bình giống hệt nhau chứa các dung dịch có nồng độ khác nhau, thì sự bay hơi sẽ xảy ra từ dung dịch có nồng độ thấp hơn. Ngược lại, hơi nước sẽ ngưng tụ thành dung dịch có nồng độ cao hơn. Vì vậy, nồng độ sẽ có xu hướng cân bằng. Hiện tượng vật lý này có liên quan đến việc làm ướt đường, muối, v.v. trong bầu không khí ẩm ướt.

A. I. Buzdin

F831. Một vỏ cầu có thành mỏng dẫn điện, đặt trong điện trường đều. Khi hướng từ trường là $E_0$, lớp vỏ sẽ vỡ. Tại hướng từ trường tối thiểu nào thì một vỏ có bán kính gấp đôi và có cùng độ dày thành sẽ bị vỡ?

◆ Một vỏ dẫn điện đặt trong điện trường sẽ xuất hiện điện tích cảm ứng. Mật độ bề mặt của các điện tích này tỷ lệ thuận với hướng của trường $E$. Khi kích thước của lớp vỏ thay đổi $n$ lần và hướng của trường $k$ lần, các lực tác dụng lên hai nửa quả cầu (trên đó cảm ứng điện tích trái dấu) thay đổi $k^2n^2$ lần.

Vì độ dày thành không đổi nên lực trên một đơn vị chiều dài của vỏ phải như nhau. Nếu trong trường hợp đầu tiên, điểm gián đoạn tỉ lệ với hướng của trường $k$ lần và hướng của trường $n$ lần và hướng của trường $k$ lần thì điểm gián đoạn tỉ lệ, Từ điều kiện $f = (k^2n^2/n)f_0$. Từ điều kiện $f = f_0$ suy ra:

$$\frac{k^2n^2}{n} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Khi bán kính vỏ tăng gấp đôi, độ gián đoạn tỉ lệ với trường

$$E = E_0 / \sqrt{2}.$$

S. K. Strokov

F832*. Một khung siêu dẫn hình vuông không biến dạng ở cạnh a đặt nằm ngang và nằm trong từ trường bậc thấp, cảm ứng của nó thay đổi trong không gian theo định luật

$$B_x = -kx,$$

$$B_y = 0,$$

$$B_z = kz + B_0.$$

Khối lượng khung $m$, độ tự cảm $L$. Tại thời điểm ban đầu, tâm của khung trùng với gốc tọa độ và các cạnh song song với trục $X$ và $Y$. Khung bị xỉn màu. Nó sẽ di chuyển như thế nào và sẽ kết thúc ở đâu sau thời gian $t$?

Từ thông tạo ra diện tích giới hạn bởi mạch siêu dẫn là không đổi. Thật vậy, $\Delta \Phi / \Delta t = \delta_i$, nhưng $\delta_i = iR = 0$ (kể từ $R = 0$), do đó $\Phi = B_0 a^2 + kz^2 + Li$.

Vì tại thời điểm ban đầu $(z = 0, i = 0)$ $\Phi = B_0 a^2$, tại bất kỳ thời điểm nào khác, giá trị của điểm $i$ sẽ được xác định bởi mối quan hệ

$$Li = -kz^2 \Rightarrow i = -\frac{kz^2}{L}.$$

Lực sinh ra từ từ trường tác dụng lên khung có dòng điện $i$ bằng tổng các lực tác dụng lên các cạnh của khung song song với trục $Y$,

đó là

$$F_M = 2a |kx| i = a^2 ki,$$

và được định hướng dọc theo trục $Z$.

Do đó phương trình chuyển động của khung có dạng

$$mz'' = -mg + a^2 ki = -mg - \frac{a^4 k^2}{L} z.$$

Phương trình này tương tự như phương trình dao động của một vật có khối lượng $m$ treo trên một lò xo có độ cứng $K = a^4 k^2/L$:

$$mz'' = -mg - Kz.$$

Từ sự tương tự này, rõ ràng khung sẽ thực hiện các dao động điều hòa dọc theo trục $Z$ xung quanh vị trí cân bằng, được xác định từ điều kiện

$$\frac{a^4 k^2}{L} z_0 = -mg \quad z_0 = -\frac{mg L}{a^4 k^2}.$$

Tần số dao động sẽ bằng

$$\omega = \frac{a^2 k}{\sqrt{L m}}.$$

Tọa độ $z$ của khung sau thời gian $t$ sau khi bắt đầu chuyển động bằng

$$z = \frac{mg L}{a^4 k^2} \left( -1 + \cos \frac{a^2 k}{\sqrt{L m}} t \right).$$

Ô. Yu. Nikshina

Một câu chuyện ngụ ngôn cổ của phương Đông

Cách đây rất lâu ở phương Đông có một ông lão khi chết để lại 19 con lạc đà cho ba người con trai. Ông chia cho con lớn một nửa, con giữa một phần tư, con út một phần năm. Không thể tự mình tìm thấy lời giải (dù sao thì bài toán trong “cả lạc đà” không có lời giải), hai anh em tìm đến hiền nhân.

Hỡi hiền nhân! - người anh nói, - Cha tôi để lại cho chúng tôi 19 con lạc đà và ra lệnh cho chúng tôi chia chúng cho nhau: con lớn nhất - một nửa, con giữa - bốn, con út - một con thứ năm. Nhưng 19 không chia hết cho 2, 4 hay 5. Thưa Tôn giả, xin Ngài giúp đỡ nỗi đau buồn của chúng con, hay chúng con muốn thực hiện ý nguyện của cha chúng con?

“Không có gì đơn giản hơn,” nhà hiền triết trả lời họ.

Hiền nhân đã nghĩ gì? Nếu bạn đoán chưa đúng, hãy xem phần cuối của dụ ngôn ở phần “Đáp số, gợi ý, lời giải”.

A. A. Byalko

46

Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XVII

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. REZNICHENKO,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. M. SLINKO

Từ ngày 13 tháng 4 đến ngày 20 tháng 4, chặng cuối cùng của Kỳ thi Olympic Toán học sinh toàn Liên đoàn lần thứ XVII đã được tổ chức tại Chisinau. Nó có sự tham dự của 146 học sinh (42 học sinh lớp 8, 51 học sinh lớp 9) - người chiến thắng trong Thế vận hội Resursikan, người chiến thắng trong Thế vận hội Olympic ở Moscow và Thành phố Leningrad, và các học sinh đã đạt bằng cấp I và II tại Olympic toàn Liên minh trước đó. Moldova Liên Xô được trao giải này lần thứ hai là điều xứng đáng. Thời gian trôi nhanh. Vừa mới đây, Chisinau đã tổ chức chặng cuối cùng của Olympic Toán học toàn Liên minh lần thứ XVII, và hôm nay, hai trong số những người chiến thắng - S.V. Konyagin và E.I. Khukhro - đến Chisinau với tư cách là thành viên ban giám khảo.

Vào ngày 13 tháng 4, ngày diễn ra cuộc đua, những người tham gia Olympic được xem các tài liệu và phim kể về lịch sử, văn hóa và kinh tế của Moldova. Sau khi đăng ký, mỗi người tham gia sẽ được tặng một tập hồ sơ kỷ niệm có chương trình của chặng cuối của Thế vận hội, thiệp mời tham dự lễ khai mạc, chương trình hòa nhạc đặc biệt, các biển hiệu đáng nhớ và quà lưu niệm của Moldova.

Ngày 14/4, các vận động viên Olympic đã đến đặt hoa tại tượng đài V.I. Lênin và Đài tưởng niệm vinh quang. Và sau đó tại Cung Văn hóa Công đoàn nhà nước đã diễn ra buổi khai trương giao thương. Bộ trưởng Bộ Giáo dục Liên Xô Moldavian D. G. Zidu gửi lời chào mừng đến những người tham gia Thế vận hội Olympic. Thư ký Ủy ban Trung ương Komsomol của Moldova E.M. Beiko, chủ tịch ban giám khảo, học giả, chúc các em có một màn trình diễn thành công, một công việc thú vị, sáng tạo và đấu tranh thuần túy. Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina B.V. Gnedenko và phó. Chủ tịch Ban giám khảo Thành viên tương ứng APN Liên Xô V. D. Belousov. Đơn đăng ký đã được nhất trí chấp nhận lời giải và gửi đến Chủ tịch danh dự Ban giám khảo của Olympic học thuật. A. N. Kolmogorov, nay đã 80 tuổi, được hân hạnh gọi điện thoại.

Những người tham gia đã viết bài tập cho giai đoạn cuối cùng của Olympic vào ngày 15 và 16 tháng 4. Nhiệm vụ của mỗi ngày trong hai ngày bao gồm bốn bài toán, vào lời giải trong đó có năm giờ được phân bổ.

Dưới đây là các điều kiện của tất cả bài toán. Một số bài toán này được bao gồm trong Bài toán Kvant («Kvant» Số 9, 10; số mà bài toán được đặt ở đó được chỉ định sau điều kiện bài toán), độc giả lời giải của họ sẽ có thể tìm thấy trong các số tiếp theo của tạp chí.

Nhiệm vụ

Ngày đầu tiên
lớp 8

1. Trong lưới hiển thị ở Hình 1, mỗi ô có kích thước 1x1. Lưới này có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của các bộ sau: a) tám đường đứt nét, mỗi đường có chiều dài 5; b) gãy gót, mỗi gót có chiều dài 8? (M824).

Hình 1.

2. Ba số nguyên được viết lên bảng. Sau đó, một trong số chúng bị xóa và tổng của hai số còn lại, giảm đi một, được viết lại với nhau. Những hoạt động này được lặp đi lặp lại nhiều lần do thu được

47

Số Chile 17, 1967, 1983. Có thể viết các số ban đầu lên bảng: a) 2, 2, 2; b) 3, 3, 3? (M826).

3. Ba đường tròn tiếp xúc nhau theo cặp ở bên ngoài tại các điểm X, Y, Z. Sau đó, bán kính của các đường tròn này tăng hơn $\frac{2}{\sqrt{3}}$ lần, giữ nguyên tâm. Chứng minh rằng mọi điểm của tam giác XYZ đều được bao phủ bởi ít nhất một trong các đường tròn mở rộng.

4. Cho nhiều số tự nhiên khác nhau nằm giữa các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng mọi tích theo cặp của chúng cũng phân biệt.

lớp 9

1. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} y^2 = x^3 - 3x^2 + 2x \\ x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y \end{cases}$$

2. Số tự nhiên $K$ có $n$ chữ số ở dạng thập phân. Số này được làm tròn đến số mười gần nhất, sau đó chữ số cuối cùng được làm tròn bằng 0 và số hàng chục được tăng thêm một nếu chữ số cuối cùng đó lớn hơn bốn. Số kết quả được làm tròn tương tự đến hàng trăm gần nhất, v.v. Kết quả của lần làm tròn $(n-1)$ cuối cùng, kết quả là $\tilde{K}$. Chứng minh rằng $\tilde{K} < \frac{18}{13} K$.

3. Trong tam giác $ABC$, điểm $D$ là trung điểm của cạnh $AB$, các điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên các đoạn $AC$ và $BC$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $DEF$ không vượt quá tổng diện tích của tam giác $ADE$ và $BDF$.

4. Liệu sẽ có các chuỗi tuần hoàn $(a_n)$ và $(\beta_n)$, lần lượt bao gồm các chữ số cuối cùng của số nguyên $[(\sqrt{10})^n]$ và $[(\sqrt{2})^n]$? (Ở đây $[x]$ là phần nguyên của số $x$).

lớp 10

1. Giá trị $\alpha$ và $\beta$ của hai góc nhọn thỏa mãn đẳng thức $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)$. Chứng minh rằng $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$.

2. Bài tập số 2 lớp 9.

3. Các đỉnh của tứ diện $ABCD$ được chiếu trực giao lên hai mặt phẳng. Điểm $A_1, B_1, C_1, D_1$ và $A_2, B_2, C_2, D_2$ là hình chiếu của các đỉnh tương ứng. Chứng minh rằng một trong các mặt phẳng có thể di chuyển trong không gian sao cho các đường thẳng $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2, D_1D_2$ trở nên song song.

4. Một học sinh đang thực hành lời giải phương trình bậc hai. Sau khi giải phương trình bậc hai tiếp theo và chắc chắn rằng nó có hai nghiệm, anh ta soạn các phương trình sau theo quy tắc: số hạng tự do bằng căn bậc hai, hệ số của biến $x$ bằng căn nhỏ, hệ số $x^2$ bằng một. Chứng minh rằng bài tập này không thể tiếp tục vô thời hạn. Hỏi anh ta có thể giải được nhiều phương trình nhất là bao nhiêu? (M830)

Các chàng trai đã hoàn thành khá thành công các nhiệm vụ được đề ra trong ngày đầu tiên. Những khó khăn lớn nhất, đúng như dự đoán, là do bài toán

8.3, 8.4, 9.4, 10.3 và 10.4. bài toán 8.4 đặc biệt khó khăn; Chỉ có một người tham gia giải được hoàn toàn số tiền của nó và ba người tham gia khác đã giải được nó với những thiếu sót nhỏ. Không ngờ bài toán 9.1 hóa ra lại khó. Tuy nhiên, không có bài toán nào trong bất kỳ lớp nào mà không ai có thể giải được phép tính tổng.

Vào ngày 15 tháng 4, sau khi hoàn thành nhiệm vụ của cuộc thi, các chàng trai đã có một cuộc kiểm tra hấp dẫn về các địa điểm Pushchino ở Moldova.

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Các số tự nhiên $m, n, k$ sao cho số $m^n$ chia hết cho $n^m$ và số $n^k$ chia hết cho $k^n$. Chứng minh rằng số $m^k$ chia hết cho $k^m$.

6. Có hai chữ cái trong ngôn ngữ ngọn lửa Abba. Được biết, không có từ nào của ngôn ngữ này là sự bắt đầu của một từ khác. Liệu từ vựng của ngôn ngữ của ngọn lửa này có thể chứa 3 từ bốn chữ cái, 10 chữ cái thứ năm, 30 từ sáu chữ cái và 5 từ bảy chữ cái không?

7. Có thể sắp xếp các số nguyên trong các ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho trên mỗi đường thẳng các dấu chia trên đó cũng có kích thước bằng nhau không? Diện tích của một hình tứ giác là bao nhiêu nếu diện tích của một hình tam giác là 1 cm²? (M827)

Hình 2.

lớp 9

5. Nhóm cada của trẻ em xếp thành từng cặp phía sau nhau. Hóa ra ở mỗi cột có số lượng bé trai và bé gái bằng nhau, số cặp có bé gái và bé trai bằng số cặp còn lại. Chứng minh rằng số em trong nhóm chia hết cho 8.

6. Độ dài hai cạnh song song của phương trình trực tiếp là 1 cm. Ngoài ra, người ta biết rằng bằng hai đường vuông góc, nó có thể được chia thành bốn đường thẳng, ba trong số đó có mặt phẳng ít nhất là 1 cm² và đường thứ tư - ít nhất là 2 cm². Với độ dài tối thiểu của hai cạnh còn lại của phương trình trực tiếp thì điều này có thể xảy ra?

50

quả bóng có khối lượng $m_2=0,05$ kg. Quả bóng phía dưới được cho tốc độ $v_0$ theo hướng ngang một cách hiệu quả. Tại giá trị nào $v_0$ các quả bóng có thể ở cùng độ cao?

2. Trong một hộp phẳng nằm ngang có kích thước $10 \times 10$ cm, $N=1000$ những quả bóng thép nhỏ nằm lộn xộn. Khối lượng của mỗi quả bóng là $m=0,5$ mg. Hộp bắt đầu chuyển động theo phương ngang với tốc độ không đổi $v_0=10$ m/s. Sau một thời gian, chuyển động của các quả bóng trong hộp trở nên khác đi, tương tự như chuyển động của các phân tử khí. 1) Tìm tốc độ trung bình của quả bóng. 2) Tính lực tác dụng lên thành hộp. Sự va chạm của các quả bóng với tường và với nhau được coi là đàn hồi tuyệt đối.

3. Phương tiện hạ cánh của tàu vũ trụ tiếp cận bề mặt hành tinh theo phương thẳng đứng với tốc độ không đổi, truyền dữ liệu về áp suất nhiễu loạn đến tàu vũ trụ. Biểu đồ về sự phụ thuộc của áp suất (tính theo đơn vị) theo thời gian được hiển thị trong Hình 2. Sau khi rơi xuống bề mặt hành tinh, thiết bị đã thay đổi và truyền lên tàu dữ liệu nhiệt độ: $T=700$ Tới và gia tốc rơi tự do: $g=10$ m/s². Xác định tốc độ đi xuống của xe nếu biết rằng bầu khí quyển của hành tinh này bao gồm carbon dioxide ($\text{CO}_2$).

4. Bản $A$ của tụ điện phẳng đứng yên, bản $B$ được gắn vào tường bằng lò xo và có thể chuyển động, vẫn song song với bản $A$ (Hình 3). Sau phó

Graph

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

50

52

Tham quan thí nghiệm Olympic Vật lý

Ứng viên khoa học sư phạm
V.A.ORLOV

Việc thực hiện các nhiệm vụ thí nghiệm vòng chung kết Olympic Vật lý toàn năng lần thứ XVII dành cho học sinh diễn ra ở 3 trường đại học ở Vilnius: 8 tác phẩm kinh điển giảng dạy tại Viện sư phạm, 9 tác phẩm kinh điển công tác tại Đại học Vilnius. V. Kapsuk, học sinh lớp 10 - Học viện Xây dựng. Các giáo viên từ khoa vật lý của các viện này đã tham gia chuẩn bị bài toán. Đặc biệt lưu ý là các tác giả của nhiệm vụ đề xuất: A. Kiveris, A. Medeišis, A. Brilingas và J. A. Semenov.

Chúng tôi trình bày các điều kiện của tất cả các nhiệm vụ thử nghiệm và các biến thể lời giải của chúng, do các sinh viên Olympidas đề xuất.

lớp 8
Nhiệm vụ 1

1. Khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ chuyển động của một vật trong một ống có nước vào góc nghiêng của ống và vẽ đồ thị sự phụ thuộc này.
2. Tính hệ số ma sát giữa vật và thành ống với nước.
3. Giả sử lực cản khi vật chuyển động trong chất lỏng tỉ lệ thuận với

Hình 1.

Hình 2.

tốc độ: $F_c = \alpha v$, xác định hệ số tỉ lệ $\alpha$.

Thiết bị: ống thủy tinh đựng nước và một vật thể (cho biết thể tích và mật độ của vật), thước kẻ, giá ba chân, đồng hồ bấm giờ, giấy vẽ đồ thị, bảng toán.

Các thí nghiệm cho thấy vật chỉ bắt đầu chuyển động sau khi ống đạt đến độ nghiêng tối thiểu nhất định $\beta_0$. Chúng ta hãy áp dụng cho trường hợp giới hạn này định luật thứ hai của Newton, được viết dưới dạng hình chiếu lên các trục tọa độ (Hình 1):

$$F_A \sin \beta_0 - F_{\tau p} - mg \sin \beta_0 = 0,$$
$$F_A \cos \beta_0 - mg \cos \beta_0 - N = 0.$$

Có tính đến $F_{\tau p} = \mu N$, chúng tôi nhận được

$$(F_A - mg) \sin \beta_0 = \mu (F_A - mg) \cos \beta_0,$$

từ đó ta tìm được hệ số ma sát giữa vật và thành ống với nước:

$$\mu = tg \beta_0.$$

Khi góc nghiêng của ống $\beta$ lớn hơn $\beta_0$ thì vật bắt đầu chuyển động với tốc độ đều. Nhưng vì một lực cản xuất hiện tỷ lệ thuận với tốc độ nên cơ thể nhanh chóng, theo kinh nghiệm, đạt đến tốc độ không đổi. Có thể dễ dàng xác định bằng công thức $v = l/t$, trong đó $l$ là độ dài quãng đường mà vật đi được với tốc độ không đổi, $t$ là thời gian chuyển động. Bằng cách đo tốc độ của vật theo cách này ở các góc nghiêng khác nhau $\beta$, người ta có thể xây dựng được đồ thị thực nghiệm của sự phụ thuộc $v = v(\beta)$. Trong Hình 2, biểu đồ này được hiển thị bằng màu xanh lam.

Những học sinh so sánh đường cong thực nghiệm với đường cong lý thuyết sẽ nhận được điểm cộng. Chúng ta viết định luật II Newton cho trường hợp vật chuyển động theo một góc tùy ý $\beta$ và với một góc $\beta = \pi/2$:

$$(F_A - mg) \sin \beta - \mu (F_A - mg) \cos \beta - \alpha v = 0,$$
$$F_A - mg - \alpha v_{\pi/2} = 0.$$

Từ đây

$$v = v_{\pi/2} (\sin \beta - \mu \cos \beta) = v_{\pi/2} \frac{\sin(\beta - \beta_0)}{\cos \beta_0}.$$

Về mặt đồ họa, sự phụ thuộc này được thể hiện trong Hình 2 bằng một đường màu đen.

Hệ số $\alpha$ dễ dàng xác định trong trường hợp vật theo phương thẳng đứng:

$$\alpha = \frac{V(\rho_0 - \rho) g}{v_{\pi/2}}.$$

trong đó $V$ là thể tích của vật thể, $\rho$ và $\alpha$ là mật độ của nước và vật thể tương ứng.

Do sự bất đối xứng của vật thể và do đó các điều kiện dòng chảy xung quanh nó khác nhau, khi ống bị lật, hệ số $\alpha$ có thể trở nên khác nhau. Những người nghiên cứu điều này và tìm ra hai ý nghĩa của $\alpha$ sẽ nhận được thêm điểm. Đúng, như kinh nghiệm đã chỉ ra, sự khác biệt về giá trị nằm trong sai số đo.

Nhiệm vụ 2

1. Xác định độ cứng của lò xo và hệ số ma sát của tấm kính với tấm kính.
2. Dùng thiết bị “giảm chấn myakkoo” thẳng đứng, xác định tổn thất năng lượng của quả bóng trong lần va chạm đầu tiên giữa quả bóng và lò xo.

53

3. Đối với trường hợp một quả bóng rơi từ điểm trên cùng của ống xuống một lò xo, hãy vẽ đồ thị hình chiếu gia tốc của quả bóng lên trục thẳng đứng như một hàm số của khoảng cách từ điểm trên cùng.

Thiết bị: lò xo ổn định, ống thủy tinh, bi ổn định có khối lượng đã biết, thước kẻ, giấy vẽ đồ thị.

Việc xác định độ cứng của lò xo không khó: $k = mg/\Delta l$, trong đó $\Delta l$ là độ biến dạng của lò xo khi đặt quả bóng lên nó (để ổn định, lò xo được đặt trong một ống thủy tinh thẳng đứng). Để xác định hệ số ma sát trượt của một quả bóng ổn định trên kính bằng công thức $\mu = tg \beta_0$ (trong đó $\beta_0$ là góc nghiêng tối thiểu tại đó bắt đầu trượt), cần phải buộc quả bóng trượt dọc theo kính. Với mục đích này, chẳng hạn, có thể kẹp một quả bóng vào giữa các cuộn dây của lò xo. Một số người lợi dụng việc lò xo ổn định và xác định (theo cách tương tự) hệ số ma sát trượt của lò xo trên kính.

Hầu hết các chú chó con xác định sự mất năng lượng của quả bóng từ biểu thức $\Delta E = mg(h_2 - h_1)$, trong đó $h_2$ và $h_1$ là độ cao cuối cùng và ban đầu của quả bóng phía trên bàn (tức là sau và trước lần va chạm đầu tiên của quả bóng với lò xo). Một số năng lượng được xác định bằng độ dốc tối đa của lò xo.

Khi vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hình chiếu $a_x$ của gia tốc của quả bóng lên trục thẳng đứng từ khoảng cách $x$ của quả bóng đến điểm trên cùng của ống (Hình 3), nhược điểm chính là lời giải bài toán thuần túy về mặt lý thuyết:

$$a_x = g - \frac{k}{m} (x - x_0) = g - \frac{k}{m} \Delta x = g \left(1 - \frac{\Delta x}{\Delta l}\right).$$

Trên thực tế, tất cả các điểm lẽ ra phải được vẽ trên biểu đồ sau khi thay đổi các giá trị tương ứng, có tính đến tỷ lệ đã điều chỉnh.

Thật không may, hầu hết những chú chó con bị giới hạn trong một chu kỳ quả bóng rơi vào lò xo, trong khi quả bóng sau khi tương tác với lò xo, bật ra khỏi lò xo và bay lên một tầm cao mới, lại rơi xuống, thả lò xo xuống, lại nổi lên, v.v. cho đến khi nó dừng lại hoàn toàn. Nó là cần thiết để hiển thị tất cả các điểm này trên biểu đồ.

Đánh giá tổng thể các bài tập lớp 8, cần lưu ý rằng chúng khá thú vị nhưng khối lượng bài tập lớn. Không ai hoàn thành tất cả các nhiệm vụ một cách trọn vẹn. Kết quả tốt nhất (2,1 điểm trên 3) thuộc về D. Kalavinskaya và G. Mechetsos (Vilnius). Những thiếu sót điển hình là: chỉ thực hiện một phép đo, báo cáo thưa thớt, thiếu bảng dữ liệu thực nghiệm và xác định không chính xác (và đôi khi đơn giản là không có) các lỗi đo.

lớp 9

Nhiệm vụ 1

Xác định nhiệt dung riêng của chất lỏng chưa biết.

Thiết bị: bình dẫn nhiệt (bộ điều nhiệt), mao quản có bong bóng ở cuối, điện trở, bình chứa nước và chất lỏng không sao, xi lanh thay đổi, tấm có đầu cuối, giấy vẽ đồ thị, pin của tế bào điện, tụ điện, dây dẫn, tấm.

Khi làm bài này học sinh gặp một số vấn đề sau:

a) Làm thế nào để thay đổi nhiệt độ mà không cần nhiệt kế?

b) Làm thế nào để tính năng lượng của dòng điện mà không cần đồng hồ bấm giờ?

b) Làm thế nào để loại bỏ nhiệt dung chưa biết của bộ điều nhiệt?

d) Làm thế nào để đánh giá sự truyền nhiệt của bình chứa chất lỏng vào không gian xung quanh?

Chỉ bằng cách trả lời chính xác những câu hỏi này, người ta mới có thể chọn được phương pháp tối ưu để thực hiện công việc.

a) Để đo nhiệt độ, bạn cần chế tạo một nhiệt kế khí. Với mục đích này, một mao quản có bong bóng ở cuối được làm nóng bằng tay và phần cuối của mao quản được hạ xuống nước để nước mao quản đi vào. Thể tích không khí trong bong bóng dưới cột nước tỷ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của môi trường chứa mao quản:

$$\frac{V}{V_0} = \frac{T}{T_0} \Rightarrow \Delta T = \frac{\Delta V}{V_0} T_0.$$

Không thể sử dụng công thức nhiệt độ hiện tại xung quanh $W = U^2 t/R$ vì không biết giá trị điện trở.

Hình 4.

54

điện trở $R$ và không có đồng hồ bấm giờ. Với mục đích này, cần phải sạc tụ điện từ điện dung bên ngoài $C$ đến điện áp bên ngoài $U$ và phóng điện vào một điện trở (Hình 4) hạ xuống bộ điều chỉnh nhiệt bằng chất lỏng và quá trình này phải được lặp lại $n$ lần. Khi đó năng lượng của dòng điện

$$W = n \frac{CU^2}{2}.$$

c) Hạ điện trở vào bình điều nhiệt bằng nước, sau đó dùng chất lỏng có nhiệt dung riêng, phóng điện cho tụ điện một số lần nhất định và viết định luật bảo toàn năng lượng cho từng trường hợp:

$$n_1 CU^2/2 = C_T \Delta T_1 + c_B Q_B V_B \Delta T_1,$$
$$n_2 CU^2/2 = C_T \Delta T_2 + c_x Q_x V_x \Delta T_2,$$

trong đó $c_B$, $Q_B$, $V_B$ là nhiệt dung riêng, mật độ và thể tích của nước trong bộ điều nhiệt, $c_x$, $Q_x$, $V_x$ là các thông số tương ứng của chất lỏng lỏng, $C_T$ là nhiệt lượng của bộ điều nhiệt.

Để đơn giản hóa, chúng ta có thể chọn các giá trị $n_1$ và $n_2$ sao cho nhiệt độ thay đổi $\Delta T_1$ và $\Delta T_2$ giống nhau trong các thí nghiệm thông thường ($\Delta T_1 = \Delta T_2 = \Delta T$). Bạn cũng có thể đổ lượng chất lỏng bằng nhau vào bộ điều chỉnh nhiệt ($V_B = V_x = V_\text{ж}$). Sau đó, loại trừ nhiệt lượng của bộ điều nhiệt, đối với nhiệt dung riêng của chất lỏng, chúng ta thu được

$$c_x = c_B \frac{Q_B}{Q_x} - \frac{CU^2/2(n_1 - n_2)}{V_\text{ж} \Delta T_\text{ж}}.$$

Tuy nhiên (do thực tế là không dễ dàng đạt được mức tăng nhiệt độ như nhau), nên đặt cùng một mức năng lượng của dòng điện, tức là cùng số lần chuyển mạch $n$. Trong trường hợp này

$$c_x = c_B \frac{Q_B}{Q_x} + \frac{nCU^2/2}{Q_x V_\text{ж} \Delta T_2} - \frac{nCU^2/2}{Q_B V_\text{ж} \Delta T_1}.$$

Cả hai phương pháp đều được coi là đúng nếu chúng đưa ra ước tính chính xác về nhiệt dung riêng của chất lỏng (rượu).

d) Để ước tính số lần chuyển mạch tối ưu ($n=1$ - rõ ràng là ít, $n>100$ - rõ ràng là nhiều), sẽ rất hữu ích khi ước tính thời gian làm mát đáng chú ý của chất lỏng trong bộ điều nhiệt, tức là cảm biến nhiệt trong không gian xung quanh. Ngoài ra, điều quan trọng là phải ước tính thời gian phóng điện của tụ điện (nghĩa là điện dung của nó và điện trở của điện trở) để xác định tần số chuyển mạch cần thiết của tụ điện.

Khi thực hiện nhiệm vụ này, G. Baranauskaya (Shlya), A. Korol (Novokuznetsk) và S. Orlov (Moscow) cho kết quả tốt hơn.

Đặc điểm của những thiếu sót: bỏ qua công suất nhiệt của bộ điều nhiệt, phóng điện một lần của tụ điện, cũng như chuyển động không đủ của chất lỏng vào bình.

Nhiệm vụ 2

Xác định emf của nguồn hiện tại.

Thiết bị: nguồn hiện tại với EMF bên ngoài, nguồn hiện tại với EMF bên ngoài, đường dây điện áp xoắn ốc, thiết bị nhạy cảm không bức xạ để tạo ra dòng điện, đầu nối dây.

Khó khăn của công việc này nằm ở chỗ không thể có các giá trị tuyệt đối tùy ý.

55

tiếp xúc, ông đảm bảo rằng dòng điện qua điện kế bằng 0 (nghĩa là ông sử dụng điện kế như một “thiết bị rỗng”). Từ đây
$$\mathcal{E} - I(R_1 + r) = 0, \quad \mathcal{E}_x - I(R_2 + r_x) = 0, \Rightarrow \mathcal{E}_x = \frac{R_2 + r_x}{R_1 + r} = \frac{R_2/R_1 + r_x/R_2}{1 + r/R_1}.$$
Đếm $r \ll R_1$ và $r_x \ll R_1$, ta thu được biểu thức tính $\mathcal{E}_x$:
$$\mathcal{E}_x = \mathcal{E} \frac{R_2}{R_1} = \mathcal{E} \frac{l_2}{l_1} = \mathcal{E} \frac{n_2}{n_1},$$
trong đó $n_1$ và $n_2$ là số vòng xoắn ốc trên các đoạn có chiều dài $l_1$ và $l_2$. Tuy nhiên, trong trường hợp này, phương pháp này cho kết quả không chính xác vì điện trở trong của nguồn dòng điện tương đương với điện trở bên ngoài $R_1$.

lớp 10
Nhiệm vụ 1
Xác định suất điện động và điện trở trong của nguồn dòng.
Thiết bị: nguồn dòng điện đang được nghiên cứu, nguồn dòng điện có suất điện động đã biết và điện trở trong đã biết, một dây xoắn ốc bằng nichrome, một thiết bị không bức xạ nhạy hơn để đo dòng điện, dây nối.
Phần đầu của bài tập này không khác gì bài tập thứ hai của lớp 9.
Để đo điện trở trong chưa xác định của nguồn dòng điện $r_x$, điện kế có shunt ($R_1$) và điện trở bổ sung ($R_2$) trước tiên phải được kết nối với nguồn đang nghiên cứu, sau đó với nguồn đã biết:
$$I_3 = \frac{\mathcal{E}_x}{r_x + \frac{R_r R_1}{R_r + R_1} + R_2}, \quad I_4 = \frac{\mathcal{E}_x}{r + \frac{R_r R_1}{R_r + R_1} + R_2}.$$
Từ đây, bỏ qua một cách hợp lý điện trở $R_r R_1/(R_r + R_1)$ (vì nó nhỏ hơn nhiều so với $R_2$), giá trị mong muốn $r_x$ sẽ được tìm thấy.
Một phương pháp xác định đồng thời $r_x$ và $\mathcal{E}_x$ đã được đề xuất bởi A. Gnilovskaya (Leningrad). Kết nối điện kế với một nguồn đã biết bằng một shunt, đầu tiên là điện trở bổ sung, sau đó với điện trở bổ sung $R$, sao cho số chỉ của điện kế trong trường hợp thứ hai nhỏ hơn 2 lần so với trường hợp đầu tiên: $I_2 = I_1/2$, chúng ta thu được $R = r$ (kể từ $R_r \ll R$). Bây giờ, khi biết giá trị của điện trở $R$, hãy kết nối với một shunt và với điện trở bổ sung $R$, cũng như không có nó với một nguồn không xác định:
$$I'_2 = \frac{\mathcal{E}_x}{r_x + R}, \quad I'_1 = \frac{\mathcal{E}_x}{r_x},$$
Ở đâu
$$r_x = \frac{I_2}{I_1 - I_2} R, \quad \mathcal{E}_x = I_1 r_x.$$

Để xác định $\mathcal{E}_x$ cần phải biết giá trị abscilliton của dòng điện $I_1$. Với mục đích này, bạn cần chiếu xạ điện kế, biết rằng khi thiết bị bị lệch hoàn toàn mà không có điện trở bổ sung kết nối với một nguồn đã biết, cường độ dòng điện sẽ bằng $I = \mathcal{E}_x/r$.

Nhiệm vụ 2

1. Xác định mặt phẳng của tấm theo nhiều cách khác nhau.
2. Đánh giá phương pháp giữa các mặt phẳng của tấm (hình nêm của nó) và chỉ ra các quy tắc hoạt động của nêm.
   Thiết bị: phẳng thử, bóng đèn kèm pin, giấy vẽ đồ thị

56

cho, thước đo, mảnh nhựa.

Cách chính xác nhất để xác định chiết suất của tấm đang nghiên cứu hóa ra là phương pháp “trường học”. Tấm này được đặt trên giấy vẽ đồ thị và đường đi của các tia được xác định bằng cách kết hợp các đường lưới song song cách nhau 5 mm. Bằng cách thay thế các phép đo góc bằng các phép đo tuyến tính, có thể đạt được sai số đo không quá 5%.

Một phương pháp khác, dẫn đến sai số lên tới 10%, như sau: hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa chúng là l = 2 cm, được kiểm tra qua tấm sao cho một đường thẳng hàng với đường kia (Hình 7). Bằng cách đo các khoảng cách H, L, l và d, người ta dễ dàng tính được chiết suất mong muốn n = sin α/sin β.

Phương pháp thứ ba, dẫn đến sai số lên tới 10%, bao gồm sự phản xạ ánh sáng sau đây từ hai bề mặt của tấm (Hình 8). Bằng cách đo khoảng cách l, có thể tính được chiết suất của chất tấm. Phương pháp này cũng phù hợp trong trường hợp mặt dưới của tấm bị đen và do đó hai phương pháp đầu tiên không được sử dụng.

Các phương pháp khác cũng được đề xuất, nhưng chúng có độ chính xác đo kém hơn so với các phương pháp được mô tả ở trên.

Phần thứ hai của nhiệm vụ có nhiều khó khăn hơn. Hãy mô tả hai cách để làm điều đó.

Phương pháp đầu tiên, hợp lý nhất được áp dụng bởi A. Alekseev (Leningrad), A. Burshchenko (Novosibirsk) và M. Savrov (Azov), như sau. Bóng đèn đặt gần mắt ở độ cao H tính từ bản đèn. Nếu bạn nhìn vào tấm đĩa theo hướng thẳng đứng, bạn có thể thấy hai hình ảnh của dây tóc bóng đèn. Bằng cách đặt một dải giấy vẽ đồ thị dưới tấm bảng và đánh dấu hai điểm trên đó cách nhau một khoảng x, bạn có thể chọn độ cao H sao cho hai hình ảnh của bóng đèn sẽ ở một khoảng cách nhất định. Bằng cách tính chiết suất của tấm chất n, chúng ta có thể ước tính góc δ giữa các mặt phẳng của tấm và chỉ ra hướng của cạnh nêm (Hình 9):

$$\alpha \approx \frac{x}{H}, \alpha=n\delta \Rightarrow \delta \approx \frac{x}{nH}.$$

Phương pháp thứ hai, được áp dụng bởi B. Bankkov (Aleksin) và M. Dyachkov (khu định cư Chernogolovka, vùng Moscow), dựa trên việc quan sát hình ảnh dây tóc phát sáng của bóng đèn sau khi phản xạ từ mặt trên và mặt dưới. Khi quay tấm này, khoảng cách giữa ảnh của bóng đèn thay đổi từ 0 đến giá trị lớn nhất. Vị trí của tấm ở mức lắng đọng tối đa hoặc tối thiểu giữa các hình ảnh mẫu đã cho phép chúng ta đưa ra kết luận về vị trí của cạnh nêm và nơi nào độ dày của tấm là tối đa và nơi nào là tối thiểu. Sẽ thuận tiện hơn khi tính góc δ khi kết hợp cả hai hình ảnh (Hình 10). Bằng cách đo khoảng cách h, l và L, có thể tính được góc δ mong muốn.

57

Người chiến thắng G. (Sverdlovsk, ssh. Số 9),
Vorozheikin V. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow),
Kokhas K. (Leningrad, s.sh. Số 239),
Orlov D. (Vladimir, ssh. Số 8),
Rodionov A. (Moscow, ssh. Số 444),
Sadztov S. (Rostov-on-Don, tuyến phía bắc số 14),
Sedola S. (Riga, số 1),
Kharitonov R. (Nikolaev, s.sh. Số 38).

bằng tốt nghiệp cấp III
trong 8 lớp nhận được
Atamanchik Yu. (Khu định cư Ust-Yugan, vùng Tyumen),
Badrin E. (Ryazan, ssh. Số 8),
Dvortsova D. (Minsk, ssh. Số 19),
Espilova T. (Rostov-on-Don, tuyến phía bắc số 5),
Thủy quân lục chiến Yu. (Lvov, ssh. Số 11),
Svyagodukh I. (Krasnoarmeysk, vùng Donetsk, s.sh. Số 3),
Troitsky V. (Yuzhno-Sakhalinsk, tuyến phía bắc số 2);

cho lớp 9 -
Vedernikov A. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Viksna J. (Aluksne, s.sh. Số 1),
Garayev M. (Fuzuli, s.sh. Số 2),
Glukhovsky L. (Moscow, ssh. Số 842),
Kangro R. (Tallinn, số 1),
Kovalevsky A. (Kommunarsk, s.sh. Số 7),
Margevelashivil G. (Tbilisi, Trường Vật lý mang tên Komarov),
Misnik S. (Voronezh, số 62),
Nabtsev S. (Alma-Ata, Liên đoàn bóng đá Nga),
Plakunova E. (Gorky, s.sh. Số 40),
Reisons E. (Riga, số 1),
Serchenko A. (Severomorsk, ssh. Số 12),
Kharlan S. (Gomel, ssh. Số 12),
Sa hoàng Yu. (Kharkov, ssh. Số 116),
Chernyshev S. (Alexandrov, s.sh. Số 5);

cho 10 lớp -
Ayisaar T. (Tartu, số 10),
Arabidze V. (Tbilisi, Trường Vật lý Komarov),
Bayborodin O. (Syktyvkar, ssh. Số 1),
Bulavas V. (Panaevzys, làng Balchikonis),
Vasilchenko E. (Aleksin, ssh. Số 3),
Gavrilov S. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Zorko O. (Vitebsk, ssh. Số 31),
Itenberg I. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Knoy K. (Odesca, ssh. Số 100),
Kuznetsov D. (Gorky, s.sh. Số 36),
Margolin G. (Kalinkovich, ssh. Số 1),
Misnik V. (Chisinau, ssh. Số 37),
Sapetsin I. (Penza, s.sh. Số 29),
Stakhovsky V. (làng Kapustin Yar, vùng Astrakhan, tuyến phía bắc số 231),
Sudak A. (Leningrad, s.sh. Số 8),
Tupailo S. (Kyiv, Trường Vật lý tại KSU).

Vật lý
Bằng cấp đầu tiên
trong 8 lớp nhận được
Grigoriev G. (Kyiv, Trường Vật lý số 2 tại KSU);

cho lớp 9 -
Abanov A. (Krasnoyarsk, s.sh. Số 170),
Baranauska G. (Siauliai, s.sh. Số 5),

bằng cấp II
trong 8 lớp nhận được
Ivaenenko T. (Kyiv, ssh. Số 145),
Kaledin D. (Moscow, ssh. Số 728),
Menkov V. (Moncherorsk, s.sh. Số 3),
Telleev A. (Leningrad, ssh. Số 524);

cho lớp 9 -
Brezgunov A. (Novosibirsk, s.sh. Số 25),
Zakrevsky L. (Minsk, số 50),
Korol A. (Novokuznetsk, s.sh. Số 7),
Kurnikov N. (Gatchina, ssh. Số 1),
Parshin N. (Penza, s.sh. Số 6),
Poteryayko I. (Kyiv, Trường Vật lý số 2 tại KSU),
Prikhodko V. (Rostov-on-Don, s.sh. Số 14),
Yarunin N. (Pavlovo, ssh số 1);

cho 10 lớp -
Amishinsky S. (Leningrad, ssh. Số 239),
Birvalks V. (Riga, số 1),
Burchenko A. (Novosibirsk, Trường Vật lý số 165 tại NSU),
Gnilovskoy A. (Leningrad, s.sh. Số 239),
Kulyabin K. (Chelyabinsk, s.sh. Số 127),
Savrov M. (Azov, ssh số 6),
Fatyanov O. (Kursk, s.sh. Số 6).

bằng tốt nghiệp cấp III
trong 8 lớp nhận được
Zelenok A. (Zdolnovov, s.sh. Số 6),
Lindunen I. (Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad);
Loboda A. (Prokopyevsk, ssh. Số 2);

cho lớp 9 -
Vorotneev P. (Leningrad, ssh. Số 239),
Galochki D. (Dnepropetrovsk, s.sh. Số 15),
Kuznitsin K. (Kirov, ssh. Số 16),
Makarov D. (khu định cư Chernogolovka, khu vực Moscow, tuyến phía bắc số 82),
Musayelyan K. (Yerevan, số 55),
Pisarev A. (Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow);

cho 10 lớp -
Aristov D. (Leningrad, Trường Vật lý số 45 tại Đại học bang Leningrad),
Bruenkov E. (Kommunarsk, s.sh. Số 22),
Vinchienko V. (Voroshilovgrad, s.sh. Số 24),
Dolgopolov S. (Perm, ssh. Số 8),
Koba I. (Zaporozhye, s.sh. Số 28),
Kondratyev S. (Kostroma, s.sh. Số 32),
Pivinsky A. (Minsk, ssh. Số 50),
Podoba V. (Kharkov, ssh. Số 9),
Stefanov M. (Moscow, s.sh. Số 1).

61

a $r$ là khoảng cách đến trục (Hình 8). Lực quán tính ly tâm tác dụng lên một nửa thanh bằng

$$F_u6 = \int_0^l \frac{m}{2l} \omega^2 rdr = \frac{m\omega^2 l}{4}.$$

Lực này phải bằng lực căng ở giữa thanh, tức là lực mà nửa còn lại của thanh tác dụng lên nửa này. Như vậy,

$$T_0 = m\omega^2 l/4.$$

Tương tự, đối với lực căng của thanh trong tiết diện ta đặt khoảng cách với trục quay một khoảng $r$ ta thu được

$$T = T_0 - \frac{m\omega^2}{2l} \frac{r^2}{2} = \frac{m\omega^2}{4l} (l^2 - r^2),$$

nghĩa là lực căng ở giữa mức cực đại và khi nó di chuyển ra xa trục quay thì nó giảm theo định luật bình phương.

5. Trong hệ quy chiếu quay (Hình 9), mỗi phần tử của chuỗi có chiều dài $\Delta r = r\Delta \alpha$ ($r = l/2\pi$ là bán kính của chuỗi, $\Delta \alpha$ là kích thước góc của phần tử có chiều dài) chịu tác dụng của một lực quán tính ly tâm $\Delta F_u6 = \Delta m\omega^2 r$, hướng xuyên tâm từ tâm ($\Delta m = m\Delta r/l$). Chúng ta hãy tìm tổng lực quán tính tác dụng lên một nửa sợi xích. Để làm điều này, bạn cần thêm các hình chiếu của lực theo hướng vuông góc với đường kính nối các đầu của nửa chuỗi. Kết quả là chúng tôi nhận được

$$F_u6 = \int_0^\pi \frac{m\omega^2 r}{l} r \sin \alpha \cdot d\alpha = 2mln^2.$$

Lực này được cân bằng bởi tổng của hai lực căng tác dụng lên một nửa sợi xích. Vì vậy lực căng dây xích

$$T = mln^2.$$

6. Dưới tác dụng của lực quán tính ly tâm, lưỡi dao sẽ bắt đầu di chuyển dọc theo rãnh từ trục quay và dưới tác dụng của lực Corilis, nó sẽ rơi theo hướng ngược lại với hướng quay.

7. Một hạt nước có khối lượng $\Delta m$ chịu tác dụng của lực Corilis hướng theo phương ngang về phía Tây

$$F_k = 2\Delta m\omega v \sin \varphi,$$

trong đó $\omega$ là vận tốc góc quay của Trái đất. Đối với một hạt nằm trên mặt nước (Hình 10), lực cân bằng của trọng lực và lực Corilis phải được định hướng bởi sự phân bố lại của mặt nước. Do đó, mặt nước nghiêng về phía chân trời một góc $\alpha$ sao cho

$$tg \alpha = F_k / (\Delta m g) = \frac{2\omega v}{g} \sin \varphi.$$

Theo đó, sự khác biệt về trình độ

$$h = d tg \alpha = 2\omega v d \sin \varphi \approx 10 \text{ см.}$$

Khi một dòng sông chảy dọc theo đường song song, lực Corilis hướng một góc so với đường chân trời. Tuy nhiên, đường vĩ tuyến không trùng với đường xích đạo nên lực Corilis luôn có thành phần nằm ngang và hệ số bảo toàn. Đối với một dòng sông chảy dọc theo màn chắn, lực Corilis hướng thẳng đứng và hai bờ đều bị cuốn trôi. Nhưng nếu dòng sông đi qua đường sinh đạo, thì kênh lời giải sẽ thay đổi - sau khi băng qua đường sinh đạo, cây bạch dương đối diện sẽ trở nên tròn trịa. Georgfs thực sự đã quan sát thấy hiện tượng này.

«Kvant» cho học sinh nhỏ (xem «Kvant» số 10)

1. Không. Bình luận. Lật ngược một trong các ngôi sao, chúng ta có được một hình đối xứng ở giữa (Hình 11).

2. Đầu tiên, lưu ý rằng mỗi quả bóng ở bên trái nặng hơn quả bóng cùng màu ở bên phải đùi (nếu không phải như vậy thì ta sẽ tìm một cặp bi sao cho quả bóng ở bên trái đùi không nặng hơn quả bóng cùng màu ở bên phải đùi; bằng cách hoán đổi chúng, chúng ta sẽ không vi phạm vị trí của cân). Nếu số lượng bi trên mỗi hạt ít nhất là ba thì khi hoán đổi cặp bi có chênh lệch khối lượng nhỏ nhất, chúng ta sẽ không làm thay đổi vị trí của cân. Vì vậy, không có nhiều hơn hai quả bóng trên cốc. Có lẽ, rất indo, chỉ một quả bóng mỗi lần. Nếu mỗi cặp có hai quả bóng thì sự khác biệt về khối lượng của mỗi cặp quả bóng một quả cần phải bằng nhau.

62

3. Xem Hình 12.
4. Lưu ý rằng các đỉnh của hình vuông chỉ chứa các đỉnh của một trong các hình chữ nhật và các điểm khác của hình vuông chỉ có thể chứa các đỉnh của hai hình chữ nhật. Gọi $n$ là số hình chữ nhật mà hình vuông được cắt vào, $m$ là số điểm của hình vuông là đỉnh của đúng hai hình chữ nhật. Hãy đếm số đỉnh của hình chữ nhật. Một mặt nó bằng $4n$, mặt khác - $4+2m$. Do đó $m=2(n-1)$. Điều này có nghĩa là số điểm là đỉnh của $(m+4)$ là số chẵn.
5. Khi bị nung nóng, thanh giãn nở chậm hơn thép nên lực nổi sẽ giảm và quả bóng sẽ rơi xuống.

Trước Thế vận hội học đường
(xem «Kvant» số 10)

1. Trong 365 ngày. Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị bằng $A$ lượng nước trong hồ mà không tính đến mùa xuân, bằng $B$ lượng nước được cung cấp mỗi ngày từ mùa xuân, bằng $C$ khẩu phần ăn hàng ngày của một con voi và bằng $x$ con số loại trừ. Sau đó $A+B=183C$, $A+5B=5 \cdot 37C$, $A+xB=$

$=xC$, từ đâu $B=\frac{1}{2}C$, $A=182\frac{1}{2}C$ và $x=365$.
2. $a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+(a+c)^2+(a+d)^2$.
3. Gợi ý. Chứng minh rằng $(a-b)^2<\times q(1-q)=0$.
4. $a=b=c=d=0$, $a=b=c=d=\sqrt{3}$, $a=b=c=d=-\sqrt{3}$.
5. $x=y=z=1$. Gợi ý. Trừ hai lần thứ hai từ tổng của phương trình thứ nhất và thứ ba.
6. 3. Lời giải. Vì $x^2+3x+10>0$ với mọi $x$, nên bất đẳng thức này có thể được viết lại thành $|x^2+kx+10|\leq x^2+3x+10$. Vì vậy, dành cho tất cả mọi người $x(k-3)x\leq 0$. Do đó $k=3$.
7. $a$ - vô lý. Lời giải. Phương trình này tương đương với hệ
$$\begin{cases} \cos x=1, \\ \sin^2\alpha x=0, \end{cases}$$
có lời giải duy nhất nếu $a$ là vô tỉ.
8. $\{\sqrt[3]{5}\}$. Gợi ý. Nhận thấy rằng $0<x<2$, hãy xem xét trường hợp $[x]=0$ và $[x]=1$.
9. 2. Gợi ý. Sản phẩm này bằng $\frac{2(n+1)}{n+2}$.
10. Gợi ý. Chứng minh rằng đường chéo được chia đôi bởi điểm giao nhau của nó.
11. Gợi ý. Xoay vòng tròn nhỏ hơn xung quanh điểm tiếp tuyến một góc $60^\circ$. Vị trí giao điểm của các đường tròn sẽ là đỉnh thứ hai của tam giác mong muốn. Xoay theo hướng ngược lại sẽ tạo ra lời giải giây.
12. Hai vòng tròn khác được bao bọc bởi hợp âm $AB$. Gợi ý. Góc $y$ (Hình 13) bằng $180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=90^\circ+\frac{1}{2}x$, nghĩa là với hằng số $x$ thì nó không đổi.
13. Gợi ý. Đặt $\vec{m}_A, \vec{m}_B, \vec{m}_C, \vec{m}_D$ là các vectơ có điểm bắt đầu là $A, B, C, D$ và kết thúc tại giao điểm của các đường trung tuyến của các mặt đối diện. Biểu diễn các vectơ này dưới dạng vectơ
$$\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \text{ и докажите, что } \frac{3}{4}\vec{m}_A = \vec{AB}+\frac{3}{4}\vec{m}_B=\vec{BC}+\frac{3}{4}\vec{m}_C=\vec{AD}+\frac{3}{4}\vec{m}_D.$$
14. Gợi ý. Chứng minh rằng ít nhất một trong số đó là số chẵn.
15. Lời giải. $2^9+2^{99}=2^9(1+2^{90})=2^9(1+1024^9)=2^9(1+1024^3)(1-1024^3+1024^6)= 2^9 \cdot 1025 \cdot (1-1024+1024^2)(1-1024^3+1024^6).$
16. Bằng chứng. Số $10^n-1$ chia hết cho 9, nhưng $10^m+1$ không chia hết.
17. Lời giải. Như bạn đã biết, tổng các chữ số của một số khi chia cho 9 đều có số dư bằng chính số đó (chứng minh điều này). Do đó, nếu $x$ là số ngoại lệ thì $2x$ và $x$ có số dư giống nhau khi chia cho 9, tức là $2x-x=x$ chia hết cho 9. Đồng thời, trực tiếp xác minh cả hai giá trị của số chia cho 9 đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
19. 1089. Gợi ý. Số bắt buộc $x$ không quá 1111 (vì $9x$ là số có bốn chữ số), có tỷ lệ lên đến 9 (vì $9x$ có tỷ lệ lên đến 1) và chia hết cho 9 (vì tổng của các chữ số $y$ và $9x$ bằng nhau).