Kvant 1984, số 3 · Trang

ISSN 0130-2221
3
1984

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Đây là những gì hình ảnh trông giống như
điện trường của diolle,
được thực hiện bằng máy tính.
Hệ thống được hiển thị bên phải
đường dây điện và đường dây
tiềm năng như nhau
ở một trong những chiếc máy bay,
đi qua diol.
Ở trung tâm được miêu tả
bề mặt phụ trợ,
được xây dựng theo cách này
ngón tay nào
(tọa độ dọc)
điểm của nó tương ứng
giá trị tiềm năng
tại các điểm
mặt phẳng trên.

Chi tiết hơn một chút
về hình ảnh đồ họa
điện trường
bạn có thể vượt qua
trong phần
“Hỏi, chúng tôi trả lời.”

Gửi nhà vật lý lý thuyết kiệt xuất của Liên Xô, người đoạt giải Lênin và Giải thưởng Nhà nước Liên Xô, Anh hùng Lao động xã hội ba lần, Viện sĩ Ya.B. Zeldovich. Ngày 8 tháng 3 năm 1984 tròn 70 tuổi. Tạp chí “Kvant” chúc mừng Ykov Borisovich nhân ngày kỷ niệm này. Trong số này, chúng tôi cung cấp cho độc giả một bài viết của Ya.B. Zeldovich cống hiến cho vũ trụ học hiện đại.

vũ trụ

Viện sĩ
Y.B.ZELDOVICH

4

cụm thiên hà bao gồm hàng trăm tỷ ngôi sao. Các ngôi sao bao gồm khí nóng được hình thành bởi hạt nhân nguyên tử và electron. Một phần nhỏ khí được tìm thấy trong không gian giữa các ngôi sao. Nếu chúng ta lấy một thể tích đủ lớn trong Vũ trụ và chia tổng lượng vật chất trong đó cho thể tích, chúng ta sẽ có được mật độ trung bình. Mật độ vật chất trung bình trong Vũ trụ là từ $10^{-30}$ đến $10^{-31}$ g/cm$^3$. Phải lấy một khối lượng lớn để tránh vô tình rơi vào vùng có các chất lớn hơn hoặc nhỏ hơn nhiều so với mức trung bình.

Hạt nhân nguyên tử, như chúng ta biết, bao gồm các proton và neutron (lần lượt, proton và neutron bao gồm các quark, nhưng điều này hiện không tồn tại đối với chúng ta). Trung bình, các proton tự do lớn nhất trong Vũ trụ là hạt nhân hydro. Chúng chiếm khoảng 70% tổng số nucleon (proton và neutron). Khoảng 15% proton liên kết với các hạt nhân khác, chủ yếu là hạt nhân helium. Và cuối cùng, ~15% là neutron, cũng liên kết trong hạt nhân. Tất cả helium trong vũ trụ là khoảng 25-28%. Hạt nhân của các nguyên tố nặng chỉ còn lại khoảng 2% số nucleon.

Mật độ electron (số mảnh trong 1 cm$^3$) bằng mật độ proton nên điện tích của chúng cân bằng nhau. Trung bình, Vũ trụ là trung hòa điện. Proton và neutron có khối lượng xấp xỉ nhau $1,67 \cdot 10^{-24}$ g, khối lượng electron nhỏ hơn nhiều, nó bằng $9,1 \times 10^{-28}$ g. Hiện tại rõ ràng là số neutron và proton trung bình (đối với thể tích lớn!) trong 1 cm$^3$ có thể được ước tính bằng cách chia $(10^{-30} \div 10^{-31})$ g/cm$^3$ cho $1,67 \cdot 10^{-24}$ g. Hóa ra trong 1 cm$^3$ trung bình có $6 \cdot (10^{-7} \div 10^{-8})$ nucleon trong Vũ trụ. Nói cách khác, một nucleon (proton hoặc neutron) trung bình có vài mét khối!

Chúng tôi xin nhấn mạnh một lần nữa rằng trong khối lượng lớn mà chúng tôi đã nói đến, chất này được phân bổ cực kỳ không đồng đều. Ví dụ, ở trung tâm Mặt trời của chúng ta, mật độ là khoảng 100 g/cm$^3$, lớn hơn $(10^{32} \div 10^{33})$ lần so với mức trung bình. Ngoài ra còn có các sao dày đặc nằm ngang, mật độ ở vùng trung tâm của sao neutron là ~10$^{14}$ g/cm$^3$. Đồng thời, mật độ vật chất giữa các thiên hà thấp hơn mức trung bình.

3. Vũ trụ chứa đầy màu xanh vô tuyến sơ cấp với bước sóng từ 1 mét đến 1 mm. Bức xạ này còn được gọi là bức xạ tàn tích, vì nó đã được bảo tồn ngay từ những giai đoạn đầu tiên trong quá trình tiến hóa của Vũ trụ. Ohno không liên quan đến bất kỳ nguồn nào, chẳng hạn như các ngôi sao hoặc thiên hà vô tuyến.

Người đọc «Kvant» biết rằng bức xạ có thể được coi là một dòng hạt - lượng tử của trường điện từ, nếu không thì chúng được gọi là photon. Do đó, chúng ta không chỉ có thể nói về thông lượng và mật độ của năng lượng bức xạ mà còn tính được số lượng photon có trong một đơn vị thể tích tại một thời điểm nhất định.

Hóa ra con số này rất lớn - 500 photon trên 1 cm$^3$. Năng lượng trung bình của photon là $1,6 \cdot 10^{-15}$ ergg = $1,6 \cdot 10^{-22}$ J. Tổng năng lượng của tất cả các photon trên một đơn vị thể tích là khoảng $8 \cdot 10^{-13}$ ergg/cm$^3$ = $8 \times 10^{-14}$ J/m$^3$. Để so sánh với mật độ trung bình của vật chất trong Vũ trụ, chúng ta biểu thị năng lượng của photon bằng khối lượng. Hãy sử dụng công thức Einstein $E = mc^2$ cho việc này. Khi đó “mật độ khối lượng photon” tương ứng là $8 \cdot 10^{-13}$ ergg/cm$^3$ : $(3 \cdot 10^{10} \text{ cm/c})^2 \approx 8 \cdot 10^{-34} \text{ г/cm}^3$.

Vì vậy, theo thứ tự độ lớn, “mật độ khối lượng photon” là $10^{-33} \text{ г/cm}^3$).

Một bức tranh thú vị hiện lên: xét về số lượng photon, các thành phố lớn hơn proton, neutron và electron. Nếu chúng ta tính toán đầy đủ mật độ, tức là khối lượng trên một đơn vị thể tích, thì proton và neutron lớn hơn 100 hoặc 1000 lần so với photon (bức xạ).

Tôi muốn so sánh tình huống với những con voi trong rừng, nơi cũng có kiến: số lượng voi ít hơn số lượng kiến, nhưng chúng nặng hơn và tổng khối lượng của các con voi lớn hơn khối lượng của tất cả các con kiến. Tuy nhiên, sự so sánh này là không chính xác. Photon không phải là kiến, chúng không ngồi trong ổ kiến, chúng di chuyển với tốc độ ánh sáng theo mọi hướng và không tạo thành đống hoặc trại - chính xác là vì chúng “ánh sáng”; ủng hộ

*) Nói về khối lượng của một photon ở đây chúng tôi muốn nói đến sự tương ứng giữa khối lượng và năng lượng được xác định theo công thức Einstein; Chúng ta hãy nhớ lại rằng khối lượng nghỉ của photon bằng không. Năng lượng của một photon là $E$, động lượng của nó $p$ và khối lượng cũng như các công thức liên quan: $e = mc^2 = cp$. Trong văn bản, các chữ cái $E$ và $m$ biểu thị tổng năng lượng và khối lượng tương ứng của tất cả các photon trong 1 cm$^3$.

5

tông màu và neutron là “nặng”, do đó, tác động của trọng lực tập hợp chúng thành những đống dày đặc - hành tinh, ngôi sao, thiên hà.

Số lượng photon bị loại bỏ được tính bằng viễn thông vô tuyến. Về mặt kỹ thuật, đây là một bài toán khá khó khăn, vì có rất nhiều photon cục bộ, trên mặt đất và mặt trời trên Trái đất. Vượt qua tất cả những khó khăn này, các nhà thiên văn vô tuyến đã đo được tổng dòng photon trong bức xạ nền vi sóng vũ trụ. Hóa ra nó bằng 1,3 · 10^12 (cm² · s · ster)⁻¹. Từ đây, nồng độ của các photon còn lại trong Vũ trụ được chỉ ra ở trên đã được tính toán.

Có lý do để tin rằng ngoài photon, Vũ trụ còn bị thẩm thấu bởi các hạt khác, đặc biệt là các neutrino và phản neutrino thuộc nhiều loại khác nhau. Nếu khối lượng nghỉ của neutrino bằng 0 thì đóng góp của chúng vào mật độ tổng cộng xấp xỉ bằng đóng góp vào mật độ bức xạ. Tuy nhiên, ngay cả khối lượng nghỉ rất nhỏ của một loại neutrino (nhỏ hơn 25.000 lần khối lượng nghỉ của electron) cũng sẽ làm thay đổi hoàn toàn hiểu biết của chúng ta về mật độ trung bình của vật chất trong Vũ trụ.

Vật lý hiện đại đã sẵn sàng gán một khối lượng nghỉ nhỏ cho neutrino, mặc dù nó không xác định con số. Ngược lại, các nhà thiên văn học lập luận rằng khối lượng của các thiên hà và cụm thiên hà lớn hơn khối lượng tổng vật chất mà chúng chứa. Người ta cho rằng vẫn còn một loại khối lượng “ẩn” nào đó, chỉ được tiết lộ bởi lực hấp dẫn mà nó tạo ra.

4. Vũ trụ không phải lúc nào cũng ở cùng một trạng thái - nó tiến hóa. Điều này có thể được đánh giá bằng cách đo tốc độ chuyển động của các thiên hà. Các quan sát cho thấy ngay cả các thiên hà cũng đang di chuyển ra xa chúng ta với tốc độ $u$ tỷ lệ thuận với khoảng cách $r$ tới chúng. Công thức $\vec{u} = Hr$ thể hiện định luật Hubble có ý nghĩa. Hệ số tỷ lệ $H$ được gọi là hằng số Hubble và xấp xỉ bằng 50 (km/s)/Mpc. Ở đây chúng ta lưu ý rằng tên “hằng số” trong trường hợp này chỉ biểu thị sự độc lập của $H$ với độ lớn và hướng của vectơ $\vec{r}$. Đồng thời, $H$ phụ thuộc vào thời gian.

Để thiết lập định luật này, cần phải học cách xác định tốc độ chuyển động của các thiên hà và khoảng cách mà chúng ở.

Nguyên tắc xác định tốc độ như sau. Sự phát xạ của các thiên hà chứa một quang phổ

ral thuộc về một số nguyên tố hóa học nhất định (ví dụ, hãy nhớ “vạch màu vàng” của natri mà bạn nhìn thấy khi muối ăn NaCl đi vào ngọn lửa của đèn đốt gas). Các định luật vật lý đều giống nhau. Bước sóng của vạch xác định tại thời điểm phát xạ là $\lambda_{изл}$ giống nhau trên Trái đất và ở bất kỳ thiên hà xa xôi nhất nào. Nếu nguồn di chuyển ra xa thì theo hệ số Doppler, vật quan sát đứng yên sẽ nhận được bức xạ trộn về phía đầu đỏ của quang phổ, hay nói cách khác, bước sóng đối với $\lambda_{набл}$ quan sát được sẽ tăng lên. Độ lớn tương đối của độ dịch chuyển trong vũ trụ học được ký hiệu bằng chữ $z$ và được tính bằng công thức

$$z = \frac{\lambda_{набл} - \lambda_{изл}}{\lambda_{изл}}.$$

Đối với trường hợp tốc độ $u$ nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng $c$, $z \approx u/c$. Trong trường hợp khi tốc độ $u$ tiến gần đến $c$, công thức nối $u$ và $z$ trở nên phức tạp hơn nhưng chúng ta không cần đến nó.

Do đó, người ta hiểu rằng bằng cách thay đổi các vạch quang phổ trong quang phổ của các thiên thể và thiên hà, có thể tính được tốc độ loại bỏ của chúng (đây là tên của thành phần tốc độ hướng dọc theo “tia nhìn”))⁺).

Hiệu ứng Doppler không chỉ giúp thay đổi tốc độ của một thiên hà đang di chuyển ra xa chúng ta mà còn “hoạt động” trên những con đường tự động. Thanh tra giao thông được trang bị một thiết bị đặc biệt—một “súng lục”—để đo tốc độ của các phương tiện đang đến gần hoặc lùi lại. Không giống như các vật thể không gian, chúng không tự động phát ra mà chỉ phản xạ xung điện từ do “súng” phát ra. Hãy suy nghĩ xem điều này ảnh hưởng như thế nào đến các giá trị hệ số Doppler?

Làm thế nào chúng ta có thể xác định khoảng cách đến thiên hà? bài toán này là một trong những điều quan trọng nhất và khó khăn nhất trong vũ trụ học.

Họ nói rằng bạn cần phải có “đồng hồ đo tiêu chuẩn” hoặc “cây nến tiêu chuẩn”. Điều này có nghĩa như sau.

Nếu có một vật thể ở xa có kích thước đã biết $d$ (“mét”; tất nhiên là bạn không cần theo dõi nó bằng đơn vị chiều dài SI) và nếu bạn có thể thay đổi góc $\theta$ mà vật thể này có thể nhìn thấy được thì $d = r\theta$ và do đó $r = d/\theta$.

Hãy tưởng tượng một khả năng khác. Chúng ta sẽ giả sử rằng độ sáng của một vật ở xa (“ngọn nến”) đã biết. Để vật này phát ra $L$ đơn vị năng lượng mỗi giây; sau đó chảy

⁺) Về hiệu ứng Doppler, xem bài viết của Y. Smorodinsky và A. Urnov - «Kvant», số 8, 1980, tr. 17-12

6

năng lượng từ một nguồn như vậy tới trên một đơn vị bề mặt của máy thu trên trái đất
$$F = L / (4\pi r^2),$$
từ đâu $r = \sqrt{L / 4\pi F}$.

Các nhà thiên văn học, nghiên cứu và phân loại các vật thể tương đối gần chúng ta, đã tìm thấy trong số chúng những vật thể có độ sáng và kích thước ít nhất đã được biết đến gần đúng. Điều này giúp bạn có thể tìm khoảng cách đến các vật thể tương tự, tìm chúng ở xa hơn.

Bằng cách so sánh khoảng cách với hỗn hợp các vạch quang phổ, các nhà thiên văn học đã thiết lập định luật Hubble và tìm ra hằng số $H$.

Mặt khác, khi đã biết hằng số Hubble $H$, sự thay đổi khoảng cách có thể giảm xuống một tỷ lệ nhất định $u$ (hoặc trộn $z$).

Tất nhiên, chúng ta không có lý do gì để nghĩ rằng mình chiếm giữ một vị trí đặc biệt nào đó trong Vũ trụ. Do đó, điều tự nhiên là một người quan sát ở bất kỳ thiên hà nào khác cũng sẽ nhìn thấy hình ảnh các thiên hà đang chạy trốn khỏi anh ta. Tốc độ tương đối của hai thiên hà bất kỳ tỷ lệ thuận với khoảng cách giữa chúng. Đây chính xác là phát biểu tuân theo định luật Hubble (hãy xem thử!).

5. Vụ nổ lớn. Quá trình các thiên hà di chuyển xa nhau sẽ bao gồm sự gia tăng khoảng cách giữa chúng theo thời gian. Người ta có thể đặt câu hỏi: phong trào này bắt đầu khi nào?

Việc xác định thời điểm tất cả các thiên hà “ở cùng một nơi” (“tại một điểm”) khá đơn giản nếu chúng ta giả sử rằng tốc độ $u$ của mỗi thiên hà di chuyển ra xa chúng ta không đổi theo thời gian. Để làm điều này, chỉ cần chia khoảng cách giữa $r$ cho tốc độ $u$ là đủ. Chúng tôi nhận được:

$$t = \frac{r}{u} = \frac{r}{Hr} = \frac{1}{H} = 20 \text{ млд лет.}$$

Giả định về sự bất biến của $u$ không mâu thuẫn với định luật Hubble: mặc dù khoảng cách $r$ tăng theo thời gian, nhưng $H$, như đã đề cập ở trên, cũng phụ thuộc vào thời gian.

Những tính toán chính xác hơn cho thấy tốc độ mỗi thiên hà di chuyển ra xa cũng giảm dần theo thời gian. Lý do cho điều này là các thiên hà phải gánh chịu lực hấp dẫn tác dụng lên chúng từ các thiên hà khác. Điều này dẫn đến thực tế là trên thực tế tích thời gian kể từ khi bắt đầu giãn nở (tuổi của Vũ trụ) hóa ra gần hơn với $t_0 = \frac{2}{3} \frac{1}{H} \approx 13$ tỷ năm. (Khi tính tuổi, chúng tôi thay thế giá trị trung bình của hằng số Hubble $H$ vào các công thức, giá trị này bằng với giá trị của hằng số này.)

Vì vậy, người ta khẳng định chắc chắn rằng Vụ nổ lớn xảy ra khoảng 13 tỷ năm trước. Hơn nữa, một chuỗi các sự kiện đã được truy tìm, bắt đầu bằng sự giãn nở của vật chất rất đậm đặc. Chất này cũng rất nóng nên người ta thường nói về lý thuyết Vũ trụ “nóng”. Sự giãn nở không chỉ đi kèm với việc giảm mật độ mà còn làm giảm nhiệt độ. Dựa trên các định luật vật lý mà chúng ta đã biết, chúng ta có thể theo dõi những quá trình nào xảy ra trong Vũ trụ bắt đầu từ thời điểm nhiệt độ của vật chất đó vào khoảng $10^{13}$ độ, mật độ $10^{33}$ g/cm$^3$, áp suất $10^{54}$ din/cm$^2 = 10^{53}$ H/m$^2 \approx 10^{48}$ atm. Trong những điều kiện này, vật chất được biểu diễn dưới dạng “sup” của tất cả các loại hạt và phản hạt. Các hạt và phản hạt “nặng” chủ yếu hủy nhau, trong khi lượng tử bức xạ điện từ (photon) và neutrino “tồn tại”. Lượng chất trong “supp” không lớn hơn nhiều so với lượng chất chống chuyển động. Do đó, một số lượng nhỏ (so với photon và neutrino) proton, neutron và electron tồn tại. Các neutron còn sót lại và một số proton kết hợp với nhau tạo thành hạt nhân gel. Mãi về sau (sau 300.000 năm), các proton và hạt nhân của gel kết hợp với các electron và biến thành các nguyên tử trung hòa. Lượng gel hình thành được tính toán phù hợp tốt với kết quả quan sát được. Điều này củng cố niềm tin của chúng ta vào tính đúng đắn của lý thuyết vũ trụ nóng.

Trong khi đó, việc mở rộng chung vẫn tiếp tục. Photon vẫn được phân bố đều trong không gian cho đến ngày nay. Chúng tạo thành bức xạ nền vô tuyến vũ trụ đã được đề cập ở trên - bức xạ nền vi sóng vũ trụ.

Các nguyên tử, khi bị phá vỡ bởi sự giãn nở tổng quát, sẽ tạo thành các “sự ngưng tụ” cục bộ - các ngôi sao, chuẩn tinh, thiên hà, cụm thiên hà. Các nguyên tố nặng được sinh ra muộn hơn - trong quá trình đốt cháy hạt nhân ở các ngôi sao. Khi các ngôi sao phát nổ, chúng bị văng ra ngoài và bắt đầu hành trình bên trong thiên hà, một số rơi vào các ngôi sao thứ hai.

7

Để minh họa định luật Hubble, hình a) cho thấy sự phân bố vận tốc của các thiên hà đầy sức thuyết phục từ quan điểm của một người quan sát ở Thiên hà của chúng ta (0). Hình b) cho thấy sự phân bố vận tốc của cùng các thiên hà, nhưng theo quan điểm của người quan sát, được tìm thấy trong các định luật.

thế hệ (Mặt trời!) và thành các hành tinh (Trái đất!). Tuy nhiên, tổng số nguyên tử của các nguyên tố nặng là nhỏ (xem ở trên).

Đây là lịch sử tiến hóa của Vũ trụ trong một bản phác thảo rất ngắn gọn. Việc tin tưởng rằng bức tranh tiến hóa nói chung là đúng không loại trừ nhu cầu phải thực hiện những công việc khó khăn hơn nữa, trong quá trình đó những sai sót sẽ nảy sinh và được phát hiện.

Ví dụ, cần phải nghiên cứu chi tiết giai đoạn cuối cùng liên quan đến sự hình thành của các thiên thể và thiên hà riêng lẻ cũng như vị trí của chúng trong không gian. Một trong những câu hỏi trọng tâm của vũ trụ học là câu hỏi cấu trúc hiện tại của Vũ trụ là gì và cấu trúc này được hình thành như thế nào. Điều này cũng bao gồm câu hỏi về nguồn gốc của các cụm và siêu đám thiên hà. Đáp số cho những câu hỏi này phụ thuộc vào sự không đồng nhất nhỏ ban đầu của mật độ, sau đó được tăng cường bởi trọng lực.

Sự gia tăng tính không đồng nhất về mật độ thể hiện trong trường hợp chất khí. Trong không gian ba chiều, “đám mây khí” có thể sụp đổ theo ba hướng vuông góc với nhau. Tuy nhiên, việc lăn đồng thời dọc theo hai hoặc ba trục là một hiện tượng không bình thường. Theo quy luật, mỗi “đám mây” sẽ cuộn xuống theo một hướng cụ thể. Quá trình này dẫn đến sự hình thành các lớp mỏng, chúng được gọi là “bánh kếp”. Mật độ vật chất bên trong các lớp này tăng lên khi chúng cuộn xuống. Nếu có những phần khí mới trên “bánh kếp” đã hình thành, chúng sẽ nóng lên và hòa tan theo hướng mặt phẳng của chúng. Ở giai đoạn sau, “bánh xèo” bắt đầu giao nhau. Kết quả là một cấu trúc tế bào phức tạp được hình thành lấp đầy tổ ong. Trong cấu trúc này, các lớp khí cuộn được bao quanh bởi các đám mây nơi thực tế không có khí. Kích thước của các tế bào riêng lẻ lên tới hàng trăm megalarks và “bức tường” của chúng được hình thành bởi các siêu đám dẹt mạnh. Chính trong những chiếc “bánh kếp” mà từng ngôi sao, thiên hà và cụm của chúng bắt nguồn.

Sự hình thành cấu trúc được mô tả bằng phương trình xác định vị trí của một phần của chất tại một thời điểm tùy ý trong thời gian t. Nếu vị trí của phần trong hệ vắng không đồng nhất được xác định bởi vectơ $\vec{X}$ thì phương trình có dạng:

$$\vec{X} = t^{2/3}\vec{x} + t^{4/3}\vec{v}(\vec{x}).$$

Ở đây $\vec{x}$ là vectơ xác định vị trí ban đầu của bộ phận (tại $t=0$). Số hạng đầu tiên ở phía bên phải của phương trình này mô tả sự phân bố tổng thể của Vũ trụ. Hàm $\vec{v}(\vec{x})$ chỉ định sự xuất hiện ban đầu của hạt mà vectơ $\vec{x}$ tương ứng và số hạng thứ hai thường đặc trưng cho sự phát triển của hạt đã phát sinh theo thời gian.

Các vectơ $\vec{x}$ và $\vec{v}(\vec{x})$ sao cho kích thước của cả hai số hạng ở vế phải của phương trình trùng với kích thước của vectơ $\vec{X}$ (rõ ràng là

9

Theo tính toán sơ bộ của tôi, các bạn, những độc giả của tôi, trẻ hơn tôi 4-5 lần. Theo ngôn ngữ của vũ trụ học, bạn đang “ở một giai đoạn tiến hóa khác”. Vậy hãy để tôi cho bạn một lời khuyên.

1. Học cách tạo dáng bài toán. Hãy học điều này luôn luôn và luôn luôn. Hầu như bất kỳ hiện tượng nào trong cuộc sống, trong tự nhiên, trong cuộc sống hàng ngày đều có thể là nguồn gốc của “bài toán”, nguồn phản ánh.

Một giọt nước rơi chờ xe, một cây gậy rơi, tiếng phấn của hai hàng rào, màu màng dầu trên mặt nước…
Kozma Prutkov còn nói: “Khi ném sỏi xuống nước, hãy nhìn vào những vòng tròn mà chúng tạo thành, nếu không việc ném như vậy sẽ chỉ là trò vui trống rỗng”.
Các kỳ thi và cuộc thi nhằm vào lời giải bài toán mà người khác đặt ra trước bạn. Khám phá - lớn hay nhỏ - thường là sản phẩm bài toán.

2. Vật lý không thể tách rời khỏi toán học. Chỉ bằng ngôn ngữ toán học các định luật vật lý mới có thể được xây dựng. Quan điểm của tôi về cách dạy toán cao cấp được nêu trong lời nói đầu của cuốn sách “ TOÁN CAO CẤP CHO NGƯỜI MỚI BẮT ĐẦU”. Gần đây, một cuốn sách của I.M. Yaglom và của tôi đã được xuất bản với tựa đề tương tự, dày hơn, hướng đến giáo viên hơn là học sinh. Những cuốn sách này đưa ra nhiều ví dụ cụ thể về bài toán mà học sinh có thể tiếp cận *).

3. Giáo dục chính mình. Hãy tìm bài toán và giải quyết chúng - một mình hoặc thậm chí tốt hơn là cùng nhau giải quyết. Nếu đối tác của bạn mạnh hơn bạn, anh ấy sẽ dạy bạn rất nhiều điều. Nếu đối tác của bạn yếu hơn thì hãy dẫn dắt, dạy dỗ anh ấy, bạn sẽ đặt ra những câu hỏi hay hơn và sâu sắc hơn.

4. Luân phiên giữa việc tiếp thu kiến ​​thức và áp dụng kiến ​​thức vào lời giải câu hỏi mà bạn quan tâm. Hơn nữa, hãy cố gắng tạo cho việc giảng dạy tính chất của một khám phá, một công trình khoa học. Bạn có thể rời mắt khỏi sách giáo khoa và đọc chi tiết, từng bước, từng trang, từng công thức, hiểu và nắm rõ tài liệu. Nhưng bạn có thể làm khác đi: nhanh chóng nhìn qua mắt bạn, hiểu - ít nhất là rất gần đúng - chúng ta đang nói về điều gì, cái gì bài toán

*) Zeldovich Ya. B. Toán cao cấp dành cho người mới bắt đầu và các ứng dụng của nó vào vật lý, tái bản lần thứ 5. M.: Nauka, 1970; Zeldovich Ya. B., Yaglom I. M. Toán cao cấp dành cho các nhà vật lý và kỹ thuật viên mới vào nghề. M.: Nauka, 1982.

được đặt ra và giải quyết trong chương này. Sau đó tắt sách giáo khoa và cố gắng tự mình nghĩ ra lời giải hoặc xây dựng lại quy trình chứng minh. Sau vài ngày đau khổ, hãy lấy sách ra và xem kỹ xem cách tiếp cận mà bạn tự nhận thấy có đúng hay không, hay nói cách khác là sách giáo khoa khắc phục những khó khăn mà bạn gặp phải nhưng chưa thể giải quyết được như thế nào.

Thời gian dành cho tuyến đường Nhật Bản không bị mất. Nếu bạn tự mình nghĩ ra điều gì đó mà khoa học đã biết, bạn sẽ biết nó rõ hơn so với việc bạn học điều tương tự một cách thụ động. Nhiều năm sẽ trôi qua, bạn sẽ khám phá ra những điều mới mẻ giống như hiện tại bạn đang khám phá những điều đã biết. Nhưng ngay cả khi không tìm thấy đáp số, bạn vẫn hiểu rõ hơn độ khó của câu hỏi và đánh giá cao hơn những gì được viết trong sách giáo khoa.

Một nhà vật lý tương lai (hoặc một nhà khoa học nói chung) không nên giới hạn bản thân trong những năm đi học trong việc học trên lớp, phần mềm tiêu chuẩn và sách giáo khoa ổn định.

Tôi viết về tất cả những điều này, nhớ lại những năm tháng đi học không đơn giản nhưng đầy cảm hứng.

Học cách sáng tạo! Và gửi đến tất cả những ai dấn thân vào con đường khó khăn này, tôi chân thành chúc thành công.

Những gì cần đọc về Vũ trụ và vũ trụ học:

1. Zeldovich Ya. B. Vũ trụ học hiện đại. Thiên nhiên, 1983, số 9.
2. Silk J. Vụ nổ lớn. M.: Mir, 1982.
3. Weinberg S. Ba phút đầu tiên. Một cái nhìn hiện đại về nguồn gốc của vũ trụ. M.: Energondat, 1981.
4. Klimshin I. A. Rochtyavskaya thiên văn học. M.: Nauka, 1983.
5. Gurevich L. E., Chernin A. D. Nguồn gốc của thiên hà và các ngôi sao. M.: Nauka, 1983.
6. Dolgov A.D., Zeldovich Ya.B. Vật chất và phản vật chất trong vũ trụ. Thiên nhiên, 1982, số 8.
7. Từ điển bách khoa của một nhà thiên văn trẻ. M.: Sư phạm, 1980.
8. Vật lý của không gian. Bách khoa toàn thư nhỏ. M.: Sov. bách khoa toàn thư, 1976.
9. Zeldovich Ya. B. Tại sao vũ trụ đang giãn nở. Thiên nhiên, 1984, số 2.

parabol lập phương
Viện sĩ L. S. PONTRYAGIN

Để hiểu bài viết này, bạn cần có khả năng tính đạo hàm của một đa thức và biết định lý rằng nếu một hàm $f(x)$, được xác định trên khoảng $a_1 \leq x \leq a_2$, có đạo hàm dương trên khoảng $a_1 < x < a_2$ và có lẽ có đạo hàm bằng 0 ở cuối khoảng thì nó sẽ trả về trên toàn bộ khoảng $a_1 \leq x \leq a_2^*$).

Vậy với hai điểm $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện

$$a_1 \leq x_1 < x_2 \leq a_2$$

(1)

có sự bất bình đẳng

$$f(x_1) < f(x_2).$$

(2)

Một định lý tương tự được phát biểu như sau:

*) “Đại số và nguyên tắc phân tích 9-10”, đoạn 25.

Điều tương tự cũng áp dụng cho việc giảm hàm trong trường hợp đạo hàm âm.

Ngoài ra, bạn cần biết đạo hàm cấp hai và cấp ba của hàm $f(x)$ là gì. Đạo hàm bậc hai $f''(x)$ là đạo hàm của đạo hàm của hàm $f(x)$, tức là được cho bởi công thức

$$f''(x) = \left(f'(x)\right)'.$$

(3)

Hàm đạo hàm cấp 3 $f'''(x)$ $f(x)$ là đạo hàm của đạo hàm cấp 2, tức là được cho bởi công thức

$$f'''(x) = \left(f''(x)\right)'.$$

(4)

Bài báo tập trung nghiên cứu đồ thị hàm số

$$y = g(x) = x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3.$$

(5)

Đồ thị này được gọi là parabol bậc ba.

Đầu tiên chúng ta xét parabol bậc ba có dạng cụ thể

$$y = f(x) = x^3 - px,$$

(6)

trong đó $p$ là một hằng số. Đồ thị của hàm này (Hình 1) được ký hiệu là $L$.

Trước tiên chúng ta hãy lưu ý những tính chất rất đặc biệt nhưng rất đáng chú ý của parabol bậc ba (6). Một parabol bậc ba đối xứng tâm qua gốc tọa độ. Trên thực tế, nếu điểm $(x, y)$ thuộc một parabol bậc ba thì các đại lượng $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình

11

(6) thì điểm $(-x, -y)$ cũng thỏa mãn phương trình này. Chính xác là chúng ta có
$$(-y) = (-x)^3 - p(-x).$$
(7)
Do đó, cùng với điểm $(x, y)$, điểm $(-x, -y)$, đối xứng với nó so với gốc tọa độ, cũng thuộc đường $L$.
Chúng ta hãy tìm thêm các điểm giao nhau của đường $L$ với trục hoành độ, tức là nghiệm của phương trình
$$x^3 - px = 0.$$ (8)
Phương trình này có ba gốc
$$x = 0, x = \pm \sqrt{p}.$$ (9)
Hai nghiệm cuối cùng tại $p < 0$ là cực tiểu và do đó không có ý nghĩa hình học tổng quát. Đối với $p > 0$, cả ba nghiệm của (9) đều khác nhau và do đó có ba điểm giao nhau của đường $L$ với trục x. Tại $p = 0$, ba nghiệm hợp nhất thành một nghiệm ba $x = 0$.
Hàm đạo hàm (6) được cho bởi công thức
$$f'(x) = 3x^2 - p.$$ (10)
Bằng cách nghiên cứu dấu của hàm này với các giá trị khác nhau của $x$, chúng ta có thể chia đường $L$ thành các phần của hàm tăng và hàm giảm $f(x)$ và tìm ra điểm cực đại và cực tiểu. Đối với cả hai số nguyên chúng ta nên tìm nghiệm của phương trình
$$f'(x) = 3x^2 - p = 0.$$ (11)
Đối với $p$ âm, hàm $f'(x)$ (xem (10)) là dương với mọi giá trị của $x$ và do đó, hàm $f(x)$ tăng trong suốt thay đổi $x$: $-\infty < x < \infty$.
Đối với $p = 0$, hàm $f'(x)$ (xem (10)) dương với tất cả các giá trị của $x \neq 0$. Do đó, nó tăng ở mức $-\infty < x < 0, 0 < x < \infty$. Và vì trong phần đầu tiên, hàm $f(x)$ là âm, trong phần thứ hai nó là dương, nên nó sẽ tăng trong suốt quá trình thay đổi từ $-\infty$ thành $\infty$.
Tại điểm $x = 0$, trong đó $f'(x) = 0$, hàm $f(x)$ cũng tăng. Do đó, đối với $x = 0$, trong đó $f'(x) = 0$, hàm $x^3$ không có giá trị cực đại cũng như giá trị tối thiểu.
Trong trường hợp dương $p$, phương trình (11) có hai nghiệm
$$x_1 = -\sqrt{p/3}, x_2 = \sqrt{p/3}.$$ (12)
Bạn nên kiểm tra xem hàm số $f(x)$ tại các điểm $x_1$ và $x_2$ có ​​cực đại hay cực tiểu. Các điểm giống nhau $x_1$ và $x_2$ chia toàn bộ mức độ thay đổi $x$ thành các phần:

$$-\infty < x \leq x_1, x_1 \leq x \leq x_2, x_2 \leq x < \infty.$$ (13)

Trong phần đầu tiên, hàm $f'(x)$ là dương, ở phần thứ hai nó âm, ở phần thứ ba nó lại dương. Do đó, hàm $f(x)$ tăng ở phần đầu tiên, giảm ở phần thứ hai và tăng ở phần thứ ba.
Từ đây rõ ràng điểm $x_1$ là điểm tối đa và điểm $x_2$ là điểm tối thiểu. Do đó, parabol lập phương (6) có ba dạng khác nhau đáng kể tùy thuộc vào giá trị của $p$: dạng thứ nhất $p < 0$, dạng thứ hai $p = 0$, dạng thứ ba $p > 0$. Trong Hình 1, một parabol bậc ba được mô tả trong cả ba trường hợp.

Xét phương trình
$$x^3 - px = c.$$ (14)
Rõ ràng về mặt hình học là với $p < 0$ phương trình này chỉ có một nghiệm thực. Đối với $p = 0$ phương trình này cũng chỉ có một nghiệm thực, ngoại trừ trường hợp $c = 0$, khi nó có một nghiệm ba $x = 0$. Nếu $p > 0$, phương trình (14) có ba nghiệm tại
$$f(x_2) \leq c \leq f(x_1),$$ (15)
và ở những vị trí cực đoan các giá trị

12

$c$ trên đoạn (15) có một nghiệm đơn và một nghiệm kép. Đoạn thẳng (15) chỉ có một nghiệm thực của phương trình (14).

Parabol lập phương (6) sẽ luôn đi qua gốc tọa độ. Tiếp tuyến của góc nghiêng tại gốc tọa độ được xác định theo công thức

$$f'(0) = -p.$$ (16)

Như vậy, bản thân khối có phương trình

$$y = k(x) = -px.$$ (17)

Khối này chia toàn bộ mặt phẳng thành hai phần: phần trên nằm phía trên nó và phần dưới nằm dưới nó. Một điểm tùy ý $(x^*, y^*)$ của mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng (17), nếu

$$y^* > -px^*.$$ (18)

Điểm $(x^*, y^*)$ nằm dưới đường thẳng (17), nếu

$$y^* < -px^*.$$ (19)

Chúng ta hãy tìm xem nửa không gian đang xét nào chứa điểm $(x, y)$ của parabol bậc ba, tức là điểm thỏa mãn phương trình (6). Để làm rõ vấn đề này, chúng ta phải so sánh các giá trị

$$x^3 - px$$ (20)

từ kích thước

$$-px.$$ (21)

Rõ ràng là ở giá trị $x < 0$ (20) nhỏ hơn giá trị (21) và ở giá trị $x > 0$ (20) lớn hơn giá trị (21). Đối với $x < 0$, điểm $(x, y)$ của parabol lập phương thỏa mãn điều kiện (19), nghĩa là nó nằm dưới tiếp tuyến, và đối với $x > 0$ điểm này thỏa mãn điều kiện (18), tức là nó nằm phía trên tiếp tuyến. Do đó, tại gốc tọa độ, một parabol lập phương đi từ cạnh này sang cạnh kia của nó.

Hiện tượng một đường chuyển tiếp từ cạnh này sang cạnh khác gần điểm tiếp tuyến là điều được nhiều người quan tâm. Sẽ giải quyết hiện tượng này.

Điểm uốn. Cho $L$ là đồ thị của hai nửa không gian nào đó và nằm tại điểm $(x, y)$ của parabol bậc ba, tức là một điểm thỏa mãn phương trình (6). Để làm rõ vấn đề này, chúng ta phải so sánh các giá trị

$$x^3 - px$$ (20)

từ kích thước

$$-px.$$ (21)

Rõ ràng là ở giá trị $x < 0$ (20) nhỏ hơn giá trị (21) và ở giá trị $x > 0$ (20) lớn hơn giá trị (21). Đối với $x < 0$, điểm $(x, y)$ của parabol lập phương thỏa mãn điều kiện (19), nghĩa là nó nằm dưới tiếp tuyến, và đối với $x > 0$ điểm này thỏa mãn điều kiện (18), tức là nó nằm phía trên tiếp tuyến. Do đó, tại gốc tọa độ, parabol lập phương đi từ bên này sang bên kia gần điểm tiếp tuyến. Hóa ra điều kiện cho điểm uốn được thỏa mãn (xem (3))

$$f''(x_0) = 0.$$ (22)

Hãy chứng minh nhận định này. Phương trình bậc ba cho một phương trình khác gần điểm tiếp tuyến có thể được viết dưới dạng

$$y = K(x) = f'(x_0) \cdot x + y_0.$$ (23)

Ở đây $f'(x_0)$ là tiếp tuyến của góc nghiêng của khối absissa, và $y_0$ là một hằng số nào đó, được xác định bởi phương trình

$$f(x_0) - K(x_0) = 0.$$ (24)

Điều kiện này thể hiện thực tế là về mặt lập phương tại điểm $a$ đến đường thẳng $L$ đi qua điểm $a$. Hãy xem xét chức năng

$$h(x) = f(x) - K(x).$$ (25)

Hàm này thỏa mãn hai điều kiện sau

$$h(x_0) = 0, h'(x_0) = 0.$$ (26)

Do đó, đồ thị của hàm

$$y = h(x)$$ (27)

chạm vào trục x tại điểm $x = x_0$.

Nếu $a$ là điểm uốn thì đồ thị của hàm $h(x)$ tại điểm $x_0$ đi từ phía này sang phía kia của trục absis. Trước hết hãy chứng minh rằng $h''(x_0) = 0$. Chúng ta sẽ chứng minh điều đó bằng phản chứng. Thật vậy, chúng ta hãy giả sử rằng $h''(x_0) > 0$. Vì $h'(x_0) = 0$, hàm $h(x)$ có giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_0$ và do đó với tất cả $x$ đủ gần với $x_0$, chúng ta có

$$h(x) \geq h(x_0) = 0.$$

Có thể đồ thị của hàm số $h(x)$ không đi qua điểm $x_0$ từ phía này sang phía kia của trục absis. Hoàn toàn giống nhau

13

trường hợp $h''(x_0) < 0$ đang được phân tích. Khi đó hàm $h(x)$ có cực đại tại điểm $x_0$, và do đó $h(x) \leq h(x_0) = 0$; do đó, ngay cả tại $h''(x_0) < 0$, đồ thị của hàm $h(x)$ không đi từ bên này của trục hoành sang bên kia tại điểm $x_0$.

Vậy còn lại một khả năng: $h''(x_0) = 0$.

Tiếp theo, chúng ta có
$$0 = h''(x_0) = f''(x_0) - K''(x_0) = f''(x_0),$$
(28)

kể từ $K''(x) = 0$. Như vậy, công thức (28) đã được chứng minh.

Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng đẳng thức này là điều kiện đủ để điểm $x_0$ là điểm uốn của đồ thị của hàm $f(x)$.

Yêu cầu người đọc chứng minh điểm $a$ là điểm uốn thực nếu
$$f''(x_0) = 0, f'''(x_0) \neq 0,$$
(29)

nên điều kiện (29) là điều kiện đủ để điểm $a$ là điểm uốn.

Bây giờ chúng ta quay trở lại parabol bậc ba (6). Hãy tính hàm tùy ý thứ hai (6). chúng tôi có
$$f''(x) = (x^3 - px)'' = 6x.$$ (30)

Chúng ta đã xác định được rằng gốc tọa độ là điểm uốn của parabol bậc ba (2). Biểu thức (25) cho hàm tùy ý thứ hai (2) cho thấy gốc tọa độ là điểm uốn duy nhất của parabol bậc ba, vì hàm tùy ý thứ hai (25) chỉ biến mất tại $x = 0$.

Hàm tùy ý thứ ba (6) được xác định theo công thức (xem (4))
$$f'''(x) = 6.$$

Do đó, tại điểm $x = 0$ đối với parabol bậc ba (6), hàm số (29) được thỏa mãn, điều này một phần ngụ ý rằng điểm $x = 0$ là điểm uốn.

---

Bây giờ chúng ta xét parabol bậc ba tổng quát (5). Trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu xem đa thức (5) có bao nhiêu nghiệm thực.

Xét phương trình (14)
$$x^3 - px = c.$$

Như đã đề cập, với $p < 0$ phương trình này chỉ có một nghiệm thực. Đối với $p = 0$ phương trình này cũng chỉ có một nghiệm thực, ngoại trừ trường hợp $c = 0$, khi nó có một nghiệm ba $x = 0$. Nếu $c = 0$, phương trình (14) có ba nghiệm tại
$$f(x_2) \leq c \leq f(x_1)$$
(xem (15)), trong đó
$$f(x_1) = \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}}, \quad f(x_2) = -\frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}},$$
(xem (12)), nên bất đẳng thức (15) có thể viết dưới dạng
$$|c| \leq \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}},$$
(31)

và đối với các giá trị cực trị $c$ từ khoảng (31) có một nghiệm đơn và một nghiệm kép. Bên ngoài đoạn (31), phương trình (14) chỉ có một nghiệm thực.

Đa thức (5) có thể rút gọn về dạng
$$\eta = f(\xi) = \xi^3 - p\xi$$
(32)

thay thế các biến
$$x = \xi + \alpha, \quad y = \eta + \beta.$$ (33)

Sự thay thế như vậy có nghĩa là sự dịch chuyển song song của hệ tọa độ.

Thay (33), ta được
$$\eta = \xi^3 + (3\alpha + a_1)\xi^2 + (3\alpha^2 + 2a_1\alpha + a_2)\xi + (\alpha^3 + a_1\alpha^2 + a_2\alpha + a_3) - \beta.$$ (34)

Để đa thức (5) rút gọn về dạng (32) chỉ cần thỏa mãn điều kiện
$$3\alpha + a_1 = 0, \quad \alpha^3 + a_1\alpha^2 + a_2\alpha + a_3 - \beta = 0.$$ (35)

Từ phương trình đầu tiên của hệ (35) ta có
$$\alpha = -\frac{a_1}{3}.$$ (36)

Thay phương trình này cho $a$ vào phương trình thứ hai của hệ (35), ta thu được
$$\beta = \frac{2a_1^3}{27} - \frac{a_1a_2}{3} + a_3.$$ (37)

Giả sử rằng $\alpha$ và $\beta$ được cho bởi công thức (36) và (37), chúng ta có thể viết lại (34) thành
$$\eta = f(\xi) = \xi^3 - p\xi,$$
(38)

Ở đâu
$$p = \frac{a_1^2}{3} - a_2.$$ (39)

Hình dạng hình học của parabol lập phương (5) trùng với công thức hình học của parabol (38). Cái sau phụ thuộc vào dấu của đại lượng $p$ (39).

---

Bây giờ chúng ta hãy làm rõ câu hỏi đa thức $g(x)$ có bao nhiêu nghiệm (xem (5)).

14

Các đa thức $g(x)$ và $f(\xi)$ liên hệ với nhau bằng quan hệ
$$f(\xi) = g(x) - \beta.$$
Do đó, số nghiệm của đa thức $g(x)$ bằng số nghiệm của đa thức $f(\xi) + \beta$ hoặc bằng chính số nghiệm của phương trình $f(\xi) = -\beta$. Nhưng chúng ta đã biết con số này rồi (xem (14)).
Do đó, với $p < 0$ (xem (38)) đa thức $g(x)$ có một nghiệm thực, đối với $p = 0$ đa thức $g(x)$ cũng có một nghiệm thực, ngoại trừ trường hợp giá trị $\beta$ (xem (37)) bằng 0.
Xét trường hợp $p > 0$. Nếu đại lượng $\beta$ (xem (37)) thỏa mãn điều kiện
$$|\beta| \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} p^{3/2} \tag{40}$$
(xem (31)), thì đa thức $g(x)$ có ba nghiệm thực và ở cuối đoạn (40) hai nghiệm hợp nhất thành một. Thay thế các giá trị $\beta$ và $p$ vào (40) từ các tương ứng (37) và (39) và bình phương các giá trị tương ứng thu được, chúng ta thu được các điều kiện
$$\left( \frac{2a_1^3}{27} - \frac{a_1a_2}{3} + a_3 \right)^2 \leq \frac{4}{27} \left( \frac{a_1^2}{3} - a_2 \right)^3. \tag{41}$$

Điều kiện kết quả là một tiêu chí hoàn chỉnh bắt đầu từ ba nghiệm thực của đa thức $g(x)$, vì khi nó thỏa mãn thì trường hợp $p < 0$ bị loại trừ. Xét cho cùng, bất đẳng thức thứ nhất (41) cho $p < 0$ là âm, trong khi vế trái, là hình vuông, không thể âm.

---

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra cách nghiên cứu đồ thị của đa thức bậc bốn
$$y = h(x) = x^4 + b_1x^3 + b_2x^2 + b_3x + b_4.$$
Để làm rõ hành vi của nó, bạn nên nghiên cứu hành vi của đa thức
$$h'(x) = 4x^3 + 3b_1x^2 + 2b_2x + b_3.$$
Đa thức này đã có bậc 3 và câu hỏi nó có bao nhiêu nghiệm thực đã được giải quyết.
Vì đa thức $h(x)$ tăng vô hạn, luôn dương khi $x \rightarrow +\infty$ và $x \rightarrow -\infty^*$), nên nếu đa thức $h'(x)$ chỉ có một nghiệm thực thì đa thức $h(x)$ chỉ có một cực tiểu. Nếu đa thức $h'(x)$ có ba nghiệm thực khác nhau thì đa thức $h(x)$ có hai cực tiểu và một cực đại. Đồ thị của hàm số $h(x)$ trong hai trường hợp này là dan ở Hình 3, a, b, còn trong trường hợp hai nghiệm thực hợp lại thành một thì đồ thị có dạng như ở Hình 3, c.

---

Để kết luận, tôi sẽ đưa ra công thức Cardan (1501–1576) cho lời giải phương trình bậc ba (14), tức là phương trình
$$x^3 - px = c. \tag{42}$$

Sau khi thu được lời giải, chúng ta có thể thay thế $p$ và $c$ theo công thức (37) và (39). Vì vậy, chúng ta có thể thu được công thức tìm tất cả các nghiệm của đa thức (5).

Đối với phương trình lời giải (42) thay thế tùy ý biến bằng tổng của hai ẩn số mới $u$ và $v$, nghĩa là
$$x = u + v. \tag{43}$$

Chúng tôi sẽ kết nối những ẩn số mới $u$ và $v$ với một số thư từ bổ sung. Thay $x = u + v$ vào phương trình (42), ta thu được
$$u^3 + v^3 + (3uv - p)(u + v) = c. \tag{44}$$

(Cuối cùng xem trang 32)

*) Tức là khi $x$ tăng về mặt tuyệt đối, vẫn dương ($x \rightarrow +\infty$) và vẫn âm ($x \rightarrow -\infty$). (Ghi chú của biên tập viên)

15

Từ thời tiền sử của đài phát thanh
(nhân kỷ niệm 125 năm ngày sinh của A. S. Popov)

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
S. M. RYTOV

Phát minh này nảy sinh như thế nào, tại sao nó lại nảy sinh chính xác vào cuối thế kỷ này, cấu trúc do các nhà phát minh xây dựng đã phát triển thành một tòa nhà cột và tráng lệ như thế nào - tất cả những điều này chỉ trở nên thực sự dễ hiểu nếu chúng ta cho rằng những người tiên phong về vô tuyến có thể xây dựng trên một nền tảng rộng và vững chắc, việc xây dựng đã được hoàn thành vài năm trước khi phát minh ra chính nó.

Viện sĩ L. I. Mandelstam

Đài phát thanh là một trong những yếu tố chính của nền văn minh hiện đại, quyết định diện mạo của nó. Không chỉ trong phạm vi Trái đất mà còn ở phạm vi quốc tế, trong các vấn đề vũ trụ và thậm chí cả vũ trụ học, sóng vô tuyến giờ đây vừa là phương tiện hứa hẹn, vừa là phương tiện tri thức.

Nếu chúng ta so sánh tầm quan trọng hiện đại của đài phát thanh với sự khởi đầu khiêm tốn của nó, có vẻ như toàn bộ con đường phát triển của đài phát thanh - cả về mặt tư tưởng và thực tiễn - đều kết thúc ở thế kỷ của chúng ta. Nhưng đây là một quan niệm sai lầm. Là nhà vật lý vô tuyến và kỹ sư vô tuyến xuất sắc của Liên Xô, Viện sĩ L.I. Mandelstam viết, “việc phát minh ra radio cũng như sự phát triển của nó chỉ có thể thực hiện được nhờ vào cuộc cách mạng về ý tưởng về các hiện tượng điện tử gắn liền với tên tuổi của Faraday, Maxwell và Hertz. Lịch sử phát triển của những ý tưởng này về bản chất là tiền sử của radio.”

Năm 1831, Faraday phát hiện ra hiện tượng cảm ứng điện từ - sự xuất hiện của một điện trường với bất kỳ sự thay đổi nào trong từ trường. Năm 1833, ông phát hiện ra định luật điện phân; năm 1837 - phát hiện ảnh hưởng của môi trường đến điện dung của tụ điện; Kể từ năm 1845, một số khám phá rực rỡ khác đã diễn ra sau đó, bao gồm việc phát hiện ra sự quay của mặt phẳng phân cực ánh sáng trong từ trường, phát hiện ra tính nghịch từ và tính thuận từ. Trong tất cả các công trình thí nghiệm vĩ đại của mình, Faraday đã dựa vào ý tưởng về các đường mạnh, vào ý tưởng về vai trò của môi trường trong các hiện tượng điện từ, vào khái niệm tác dụng tầm ngắn từ điểm này sang điểm khác, trái ngược với các ý tưởng của Newton về tác dụng tầm xa tức thời. Bất chấp sự mơ hồ trong ý tưởng của ông về bản chất của điện từ, bất chấp sự hiểu biết và mô tả về các khái niệm của nó, Faraday vẫn đi theo con đường của riêng mình, và con đường này đã đưa ông đi từ khám phá này đến khám phá khác. Nhưng trong số các dữ liệu tự nhiên có những nhà vật lý xuất sắc như Ampère, Weber, Kirchhoff và W. Thomson. Người duy nhất thấm nhuần sâu sắc những ý tưởng của Faraday và là người đặt ra cho mình bài toán để làm rõ và làm rõ những ý tưởng này,

16

là James Clerk Maxwell. Trong lời nói đầu của “Chuyên luận về Điện và Từ” sau này ông viết: “Chủ yếu với hy vọng biến nó [Faraday - S.R.] thành cơ sở của lý thuyết toán học, tôi đã đảm nhận việc viết chuyên luận này”.

Tuy nhiên, khi theo đuổi mục tiêu này, chính Maxwell đã có một khám phá vĩ đại nhất, mới không chỉ về nội dung mà còn về phương pháp: khám phá này không đến từ thực nghiệm mà đến từ sự khái quát hóa toán học của lý thuyết. Ông dự đoán hiện tượng ngược lại với hiện tượng do Faraday phát hiện - sự xuất hiện của từ trường khi có bất kỳ sự thay đổi nào trong điện trường. Do đó, một tổng hợp vĩ mô mới của điện động lực học đã được tạo ra, được biểu thị bằng toán học bằng phương trình Maxwell, trong vật lý, nó bao trùm một vòng tròn khổng lồ của các hiện tượng điện từ, và về mặt lịch sử có nghĩa là chiến thắng của tương tác tầm ngắn Faraday, sự ra đời của khái niệm trường trong vật lý.

Một kết luận cực kỳ quan trọng nảy sinh từ lý thuyết của Maxwell là: phải có sóng điện từ ngang, tốc độ truyền của sóng này là hữu hạn và được xác định bởi tích của các hằng số điện và từ.

$$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$$

$\varepsilon_0$ và $\mu_0$ đã được thay đổi trước đó và các giá trị của $\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ hóa ra bằng 193.088 dặm/s, tức là rất gần với giá trị của tốc độ ánh sáng 193.118 dặm/s, thu được trong thí nghiệm quang học Fizue. Điều này cho phép Maxwell tự tin đưa ra luận điểm nổi tiếng của mình rằng “ánh sáng không gì khác hơn là những dao động điện từ**).

*) Xem bài “Điện trường và từ trường” mục Trường học tại «Kvant». (Ghi chú của biên tập viên)
**) “…những con số được đặt tên trùng với độ chính xác lên tới 30 dặm/s, và điều đặc biệt đáng ngạc nhiên là những con số này có sai số lớn hơn 6000 dặm/s… Tuy nhiên, khi ông xuất bản “Lý thuyết động lực học của trường điện từ” vào năm 1864… Maxwell biểu thị tốc độ tính bằng km/s, nhưng những con số đó không hề ăn khớp với nhau như lúc đầu. May mắn thay, Maxwell rõ ràng đã nhận ra rằng tốc độ ánh sáng đã thay đổi rất không chính xác, và do đó ông không cho phép mình nản lòng trước sự khác biệt đáng kể về các con số,” nhà vật lý người Anh J. Jeans nói về những định nghĩa đầu tiên về tốc độ ánh sáng từ lý thuyết của Maxwell.

Bức thư của Maxwell gửi Faraday, ngày 19 tháng 10 năm 1861.

Cần lưu ý rằng bản thân Maxwell đã khiêm tốn tin rằng lý thuyết điện từ của ánh sáng là do Faraday đề xuất. Ông viết trực tiếp về điều này vào năm 1864, đề cập đến những suy đoán thuần túy mang tính suy đoán của Faraday trong bài báo năm 1846 của ông “Suy nghĩ về dao động tia”. Tất nhiên, sự khiêm tốn tô điểm cho một con người, nhưng không thể phá hủy sự khác biệt giữa những lời hứa trong lời nói và hệ quả trực tiếp của lý thuyết, một hệ quả hỗ trợ cho các hiện tượng mới. Tuy nhiên, trong số những dự đoán này, có lẽ quan trọng nhất là sóng điện từ. Cả Faraday và thậm chí cả bản thân Maxwell đều không nghĩ đến mối liên hệ trực tiếp giữa quang học và điện từ, mối liên hệ rõ ràng này xuất hiện là kết quả của một lý thuyết được tạo ra ban đầu chỉ dành cho các hiện tượng điện từ. Không có gì ngạc nhiên khi Heinrich Hertz đã nói về lý thuyết của Maxwell, về các phương trình của ông trong báo cáo “Về sự tương ứng giữa ánh sáng và điện” (Heidelberg, 1889):

“Không thể nghiên cứu lý thuyết tuyệt vời này mà không đôi khi mắc sai lầm rằng công thức toán học của giải thưởng là một cuộc sống độc lập và tâm trí của chính nó, rằng họ thông minh hơn chúng ta, thông minh hơn cả người đã phát hiện ra chúng, rằng họ thậm chí còn cho đi nhiều hơn những gì ban đầu được đưa vào chúng.”

Hertz đã nỗ lực rất nhiều để nắm vững dạng toán học của lý thuyết, nhưng thành tựu chính của ông là những thí nghiệm mà ông nghĩ ra và thực hiện, “kinh điển cho đến muôn đời”, như nhà vật lý nổi tiếng người Nga O. D. Khvolson đã nói về chúng.

Nhân dịp kỷ niệm 100 năm ngày sinh của Maxwell (tức là vào năm 1931), J. J. Thomson, bản thân ông là một nhà thực nghiệm tài năng, đã nói về những thí nghiệm này: “Nghiên cứu của Hertz là một trong những thắng lợi đáng chú ý nhất trong toàn bộ lịch sử vật lý về kỹ năng thực nghiệm, sự khéo léo và thận trọng trong kết luận”. Và xa hơn nữa: “Việc phát hiện ra sóng điện không chỉ được giới khoa học quan tâm, mặc dù nó là yếu tố duy nhất góp phần vào việc đó. Giống như phát hiện của Faraday về cảm ứng điện từ, nó có ý nghĩa sâu sắc.”

17

ảnh hưởng đến nền văn minh. Nó phải cung cấp một phương pháp làm việc cho phép chúng ta đưa cư dân trên thế giới đến gần nhau hơn trong khoảng cách có thể nghe thấy, chứa đựng các cơ hội xã hội, giáo dục và chính trị, tầm quan trọng mà chúng ta chỉ mới bắt đầu hiểu được.”

Chính những con sóng này đã sinh ra niềm vui. Suy cho cùng, niềm vui không gì khác hơn là việc sử dụng sóng điện từ để liên lạc, điều này đã nảy sinh trong nhiều người ngay sau thí nghiệm của Hertz. Do đó, điều thú vị là bản thân Hertz nghĩ gì về vấn đề này.

Năm 1889, kỹ sư Huber từ Munich đến gặp Hertz với câu hỏi liệu khám phá về sóng của Hertz có thể được sử dụng cho điện thoại không dây hay không. Năm 1897 (tức là 3 năm sau cái chết của Hertz), Huber đã chuyển tiếp lá thư phản hồi nhận được từ Hertz tới một tạp chí kỹ thuật điện của Đức, nơi nó được gửi đi mà không bình luận gì. Đây là bản dịch của bức thư này.

“Thưa ông! Tôi hài lòng trả lời lá thư đề ngày 1 tháng 12 của ông. Các đường sức từ lan truyền như tia sáng, giống như đường sức điện, chỉ khi dao động của chúng đủ nhanh; trong trường hợp này, cả hai loại đường sức đều không thể tách rời nhau, và các tia hoặc sóng được thảo luận trong nghiên cứu của tôi có thể được gọi một cách công bằng như nhau là cả từ tính và điện. Nhưng các dao động trong máy biến áp hoặc điện thoại không chậm hơn nhiều. Hãy giả sử rằng chúng ta có 1000 dao động trên mỗi thứ hai, dường như đã có số dao động khá cao; điều này sẽ tương ứng với một sóng dài 300 km trong ether; tiêu cự của các gương được sử dụng phải có cùng thứ tự kích thước. Nếu bạn có thể chế tạo các gương sóng có kích thước bằng một lục địa, thì bạn có thể thực hiện hoàn hảo các thí nghiệm mà bạn nghĩ đến.

Với sự tôn trọng hoàn toàn, G. Hertz tận tâm của bạn.”

Chúng tôi cũng sẽ không bình luận về bức thư này. Hơn nữa, một người bình thường khó có thể nhìn về phía trước mười năm và đoán được con đường lời giải kỹ thuật bài toán, trong trường hợp này - điện thoại vô tuyến.

Tất nhiên, những đề xuất sử dụng sóng điện từ để liên lạc chỉ là mong muốn. Nó là cần thiết để chỉ ra làm thế nào để làm điều này.

Đây chính xác là những gì Aleksandr Stepanovich Popov đã làm với phát minh vĩ đại của mình.

Chính xác thì điều gì đã đóng vai trò chính trong phát minh của Popov? Rốt cuộc, có vẻ như tất cả các thành phần trong nhạc cụ của anh ấy đều đã được biết đến.

Người ta biết rằng sự phóng tia lửa điện, có thể là từ bình Leyden, máy điện di, cuộn dây cảm ứng hoặc phóng điện sét, đều biểu thị các dao động điện tắt dần. Vì vậy, người ta đã biết cách tạo ra dao động điện tần số cao.

Sau thí nghiệm của Hertz, người ta biết rằng những dao động như vậy tạo ra sóng điện từ trong không gian xung quanh. Tất nhiên, vấn đề tăng công suất phóng điện không được coi là điều gì đó cơ bản mà được trình bày thuần túy mang tính kỹ thuật.

Vì vậy, nhiệm vụ trọng tâm là tạo ra một máy thu nhạy cảm. Tất nhiên, một tia lửa nhỏ trong máy rung thu mà Hertz sử dụng trong các thí nghiệm của mình không thể dùng làm phương pháp thu thực tế.

Năm năm trước phát minh của Popov, một thiết bị gọi là máy kết hợp đã xuất hiện. Đây là một ống có hai điện cực, giữa đó có các tấm kim loại. Dưới ảnh hưởng của trường chất lượng cao, điện trở của mùn cưa thay đổi từ hàng trăm nghìn đến hàng chục, thậm chí đơn vị ohm. Điều này xảy ra do quá trình “thiêu kết” mùn cưa (do các tia lửa điện cực nhỏ tại các điểm tiếp xúc của chúng) khi có sóng điện từ xuất hiện. Do đó, bộ kết hợp là tín hiệu chất lượng cao lời giải tuyệt vời được đóng bởi toàn bộ pin cục bộ. Rắc rối duy nhất là với mỗi lần so sánh, nó là lời giải: cần phải gặp mùn cưa để bộ kết hợp lại có tác động mạnh và có thể tạo ra một bước nhảy (giảm mạnh) về lực cản ở tín hiệu tiếp theo. Tất nhiên, một thiết bị như vậy không phải là một thiết bị thu sẵn sàng nhận tín hiệu kịp thời.

Bây giờ chúng ta đã tiến gần đến những gì A. S. Popov đã tạo ra mới.

18

“Đã đạt được độ nhạy ổn định thỏa đáng khi sử dụng ống có lá bạch kim và bột sắt *), tôi đặt cho mình một bài toán khác: để đạt được sự kết hợp sao cho kết nối giữa mùn cưa do rung điện gây ra sẽ tự động bị phá hủy ngay lập tức” [tôi nhấn mạnh thêm - S.R.], - Popov viết trong bài báo “Một thiết bị phát hiện rung động điện” trên tạp chí Hiệp hội Vật lý Hóa học Nga số tháng 1 năm 1896. Và ông đã hoàn thành nhiệm vụ này một cách nhanh chóng. Chúng ta có thể nói rằng trong bộ thu của anh ấy, Popov đã thực hiện cơ điện không chỉ khả năng khuếch đại mà còn cả những gì mà ngày nay chúng ta gọi là phản hồi.

Popov gọi máy thu của mình là “máy dò sét”, nhưng trong các thí nghiệm được mô tả trong bài báo, máy thu không chỉ ghi lại các tia sét mà còn ghi lại sự phóng điện của máy điện di, và sự phóng điện trong một máy rung Hertzian lớn, và thậm chí cả chuyển động nhanh của một thanh ebonite tích điện. Bài báo kết thúc bằng cụm từ tương tự mà A.S. Popov đã kết thúc

*) Popov đã dành rất nhiều công sức để tạo ra một bộ kết hợp tốt. [VỚI. R.]

Sơ đồ và mô tả của thiết bị

(từ bài viết của A. S. Popov “Thiết bị phát hiện rung động điện”)

“Sơ đồ đính kèm thể hiện vị trí các bộ phận của thiết bị. Ống mùn cưa được treo nằm ngang giữa hai kẹp M và N trên một lò xo đồng hồ nhẹ được uốn hình zíc zắc ở một bên của một kẹp để có độ đàn hồi cao hơn. Phía trên ống có một chiếc chuông để khi hoạt động có thể dùng búa đập nhẹ vào giữa ống, được bảo vệ khỏi bị vỡ bởi bình cao su. Thuận tiện nhất là gắn ống nghe và chuông trên một tấm thẳng đứng chung. Rơle có thể đặt theo ý muốn.

Thiết bị hoạt động như sau. Dòng điện 4-5 volt của pin liên tục chạy từ cực P đến tấm bạch kim A, sau đó qua bột chứa trong ống sang tấm B khác và qua cuộn dây điện từ quay trở lại pin. Cường độ dòng điện này không đủ để cung cấp năng lượng cho phần ứng nhưng nếu ống AB chịu dao động điện thì điện trở sẽ giảm ngay lập tức và dòng điện sẽ tăng lên đến mức phần ứng sẽ đóng lại. Lúc này, mục tiêu đang tìm kiếm từ pin đến chuông được chuyển đến điểm C. Nó đóng lại và chuông bắt đầu hoạt động, nhưng ngay lập tức sự phối hợp của thiết bị cầm tay lại làm giảm độ dẫn điện của nó và rơle sẽ mở mục tiêu của chuông. Trong thiết bị của tôi, sức cản của mùn cưa sau một báo cáo mạnh mẽ tại Bộ phận Vật lý của Hiệp hội Hóa lý Nga vào ngày 7 tháng 5 năm 1895:

“Tóm lại, tôi có thể bày tỏ hy vọng rằng thiết bị của tôi, với những cải tiến hơn nữa, có thể được áp dụng để truyền tín hiệu qua khoảng cách bằng cách sử dụng các dao động điện nhanh, ngay khi tìm thấy nguồn dao động như vậy có đủ năng lượng.”

Trên thực tế, tiến trình ban đầu là tăng chiều cao của ăng-ten thu sóng. Quá trình này, như chúng ta biết, diễn ra rất nhanh và càng đi xa thì càng nhanh. Ngay từ năm 1897, P.N. Rybkin, nhân viên của Popov, đã đi được quãng đường 5 km bằng hộp số.

Thế kỷ 20 lần lượt mang đến vô số nguyên tắc phát minh và cải tiến mới, dòng chảy của chúng vẫn tiếp tục và phát triển cho đến ngày nay. Điện báo vô tuyến và điện thoại vô tuyến, phát thanh và truyền hình, định vị vô tuyến và dẫn đường vô tuyến, thiên văn vô tuyến và quang phổ vô tuyến, trắc địa vô tuyến và dịch vụ thời gian của các mặt phẳng của hiện tượng vật lý mới, việc phát hiện ra chúng được kích thích bởi nhu cầu thực tế của kỹ thuật vô tuyến. Đài phát thanh ngày nay là vậy.

Rung lắc xảy ra ở khoảng 100.000 ohms và rơle, có điện trở khoảng 250 ohms, làm cong phần ứng ở dòng điện từ 5 đến 10 milliamp (giới hạn quy định), tức là khi điện trở của toàn bộ mạch giảm xuống dưới 1000 ohms.”

20

Màu sắc ánh sáng xung quanh

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. BOROVOY

Màu xanh của bầu trời, những đám mây trắng không ngừng thay đổi hình dạng, màu sắc của bình minh và hoàng hôn luôn gợi lên cảm giác ngưỡng mộ trong lòng người. Họ nuôi dưỡng trí tưởng tượng của các tư thế và nghệ sĩ, và đương nhiên thu hút sự chú ý của các nhà khoa học.

Leonardo da Vinci viết: “Màu xanh trên không được sinh ra từ mật độ rắn của không khí được chiếu sáng, nằm giữa bề mặt trên và trái đất”. Khoảng một trăm năm trước, vào năm 1869, nhà vật lý và nhà phổ biến khoa học nổi tiếng người Anh J. Tyndall lần đầu tiên tiến hành các thí nghiệm trong đó ông quan sát thấy sắc xanh của ánh sáng tán xạ. Tuy nhiên, phải mất thêm một chút nỗ lực và công sức của các nhà khoa học như Rayleigh, Smoluchovsky, Mandelstam, Einstein để cuối cùng giải thích được màu sắc của bầu trời ban ngày và buổi tối bằng ánh sáng khuếch tán.

Chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với hiện tượng này bằng các thí nghiệm mô hình đơn giản, sau đó chúng ta sẽ cố gắng giải thích một cách định tính các kết quả thu được và từ đó chúng ta “xây một cây cầu” theo màu sắc của bầu trời.

I. Đối với các thí nghiệm, bạn cần một chiếc bình có thành thẳng với thành chắc chắn, chẳng hạn như một bể cá. Chiều dài của nó phải ít nhất là 30 cm. Ngoài tàu, bạn sẽ cần một nguồn sáng tạo ra chùm tia phân kỳ yếu. Bạn có thể sử dụng máy chiếu slide, đặt một mảnh giấy đen có đường kính lệch 2-3 mm vào vị trí của slide ở giữa hoặc bạn có thể sử dụng đèn pin điện khá mạnh cho mục đích này.

Các nghi lễ phải được thực hiện trong phòng tối.

Đổ nước vào bình và chiếu một chùm ánh sáng xuyên qua nó dọc theo cạnh dài của bình (như trong hình). Bây giờ hãy nhìn nó từ bên cạnh. Nước càng sạch thì càng ít bong bóng, hạt bụi và các tạp chất lạ khác trong đó thì chùm tia càng ít được chú ý. Nó chỉ chiếu sáng nhẹ con tàu ở ranh giới không khí - thủy tinh và thủy tinh - nước. Tuy nhiên, người ta chỉ phải phá vỡ sự đồng nhất

21

chất lỏng, chẳng hạn, bắt đầu trộn nước hoặc đun nóng nó (hãy tự tìm ra cách thực hiện việc này), và ở những nơi không hoàn hảo, sự tán xạ ánh sáng, độ lệch của nó theo nhiều hướng khác nhau, sẽ trở nên mãnh liệt hơn đáng kể. (Ở đây chúng ta có thể nhớ lại một sự thật nổi tiếng: chúng ta có thể nhìn thấy tia nắng xuyên qua khe hở trên tấm rèm từ bên cạnh bởi các hạt bụi phát sáng trong đó.)

Từ thí nghiệm này, chúng ta có thể kết luận rằng ánh sáng truyền trong chất lỏng đồng nhất không bị tán xạ (hoặc tán xạ rất yếu).

Bây giờ chúng ta sẽ thêm sữa và chất lỏng cỡ vừa phải vào từng giọt nước. Các hạt chất béo chứa eros trong sữa không tan trong nước mà lơ lửng trong đó. Sau khi thêm những giọt đầu tiên, ánh sáng khuếch tán sẽ trở nên rõ ràng hơn nhiều. Xin lưu ý - nó có tông màu hơi xanh. (Đôi khi, hiệu ứng tương tự cũng được quan sát thấy nếu trong sương mù nhẹ, bạn nhìn từ bên cạnh đèn pha của một chiếc ô tô đang chạy qua.)

Bằng cách tăng dần nồng độ sữa, chúng ta sẽ thấy ánh sáng xanh của ánh sáng tán xạ đã trộn ở cuối đường thành màu vàng hoặc thậm chí là đỏ. Ánh sáng đi qua bình cũng sẽ có ánh sáng tương tự.

Khi có nhiều sữa, ánh sáng tán xạ sẽ chuyển sang màu trắng.

Có thể rút ra một số kết luận nữa: vi phạm tính đồng nhất của chất lỏng bằng cách thêm các phần rất nhỏ vào nó dẫn đến sự gia tăng tán xạ, trong khi ánh sáng xanh bị tán xạ mạnh hơn và ánh sáng đỏ bị tán xạ yếu hơn, do đó ánh sáng trắng truyền qua chất lỏng như vậy được “làm giàu” bằng màu đỏ; nếu có nhiều phần và chúng tạo thành toàn bộ cụm thì ánh sáng tán xạ sẽ có màu trắng.

II. Một lời giải thích định tính về bán buôn có thể được hiểu dựa trên các thực tế sau:

a) Bất kỳ điện tích nào chuyển động với tốc độ nhanh hơn (ví dụ như dao động) đều phát ra sóng điện từ. Bức xạ (của hạt dao động) càng mạnh thì gia tốc càng lớn.

b) Sóng điện từ tại mỗi điểm trong môi trường mà nó truyền tới sẽ tạo ra một trường điện từ xen kẽ.

b) Sóng từ các điện tích dao động với một phần cộng lại sao cho tại một điểm chúng có thể khuếch đại và tại các điểm khác triệt tiêu lẫn nhau.

d) Ánh sáng là sóng điện từ. Ánh sáng trắng nhìn thấy được là tập hợp các sóng điện từ trong đó màu tím và xanh lam có bước sóng ngắn hơn ($\lambda = (4 - 5) \cdot 10^{-7} \text{ m}$) và bước sóng dài hơn đối với màu vàng và đỏ ($\lambda = (6 - 7) \cdot 10^{-7} \text{ m}$).

Khi ánh sáng truyền qua một môi trường đồng nhất, trường xen kẽ của nó sẽ kích thích sự dao động của các electron trong nguyên tử và chúng bắt đầu cuốn trôi sóng điện từ của cùng một hạt. Nhưng, như tính toán cho thấy, bức xạ của chúng đẩy nhau theo mọi hướng ngoại trừ hướng truyền ánh sáng. Nếu môi trường đồng nhất một cách lý tưởng thì chúng ta sẽ không nhìn thấy ánh sáng tán xạ nào cả.

Đó là một vấn đề khác khi môi trường nghèo nàn. Sự hiện diện của các khuyết tật tạo ra đủ loại điều kiện cho việc bổ sung các sóng thứ cấp và sự tán xạ ánh sáng theo các hướng khác nhau sẽ xảy ra.

Nếu khuyết tật có kích thước nhỏ (nhỏ hơn nhiều so với bước sóng của ánh sáng tới) thì sự tán xạ ánh sáng được mô tả bằng định luật do nhà vật lý người Anh Rayleigh phát hiện năm 1871: cường độ ánh sáng tán xạ tỉ lệ thuận với lũy thừa bậc 4 của hạt (tỷ lệ nghịch với lũy thừa bậc 4 của sóng). Do đó, ánh sáng xanh bị tán xạ mạnh hơn nhiều so với ánh sáng bao quanh ở dạng khí và màu của ánh sáng truyền qua chất lỏng trở thành màu đỏ. Tipdal được mô tả như sau: “Chúng tôi quan sát thấy màu xanh lam chứa

22

Nó phù hợp với màu của bầu trời trong xanh của nước Ý, nếu không muốn nói là vượt qua nó.”

III. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường gặp trường hợp như vậy khi trong một môi trường đồng nhất (chất lỏng hoặc khí) có các hạt tạo thành rất nhỏ (so với bước sóng của ánh sáng khả kiến). Đó là khói, sương mù hoặc bụi trong không khí, các hạt vật chất rắn nhỏ trong nước, các loại nhũ tương khác nhau, v.v. Tất cả chúng đều có thể gây ra sự tán xạ ánh sáng.

Vậy màu xanh của bầu trời mùa xuân hay màu của hoàng hôn gắn liền với khói bụi trong không khí? Đó là những gì chúng tôi nghĩ lúc đầu. Nhưng điều này đã mâu thuẫn, chẳng hạn, bởi thực tế là ở vùng núi cao, nơi không có bụi và khói, màu sắc của bầu trời có thể sáng hơn ở một thành phố bụi bặm.

Lời giải thích là khác nhau. Do sự chuyển động hỗn loạn của các phân tử không khí, có thể xuất hiện sự thiếu hụt mật độ đáng kể trong đó. Những điểm không hoàn hảo này khiến ánh sáng bị tán xạ và tạo ra màu xanh lam hoặc lục lam trên bầu trời ban ngày. Và các tia nắng mặt trời khi tản ra hoặc khi mặt trời lặn đạt độ dày không khí lớn hơn nhiều so với ban ngày, thu được màu đỏ hoặc vàng.

Tất nhiên, điều này không loại trừ ảnh hưởng của bụi, khói, sương mù đến màu sắc của bầu trời. Về vấn đề này, chúng ta có thể trích dẫn một tình tiết thú vị *), được K. Paustovsky mô tả trong cuốn sách “Bông hồng vàng”:

“Nghệ sĩ người Pháp Monet đến London và vẽ Tu viện Westminster. Monet làm việc trong một ngày sương mù bình thường ở London

*) Độc giả «Kvant» có thể gặp anh trong bài viết “Pháo hoa vật chất của năm mới” của A. Shmelev ở vị trí số 1 năm 1982.

Hỏi - chúng tôi trả lời

Các biên tập viên thân mến!

Tạp chí của bạn thường xuất bản nhiều bức vẽ hậu trường khác nhau thu được bằng máy tính. Sẽ rất hữu ích nếu giới thiệu cho độc giả cách biểu diễn bằng đồ họa của điện trường trong các câu đố chính xác không dùng muối. Suy cho cùng, trong tất cả sách giáo khoa, sách giáo khoa ở các trường đại học, hình vẽ cũng được làm “bằng mắt” chứ không tuân theo các phép tính toán học chặt chẽ.

V. I. Kondratenko, giáo viên vật lý từ Drojubitsa

Các biên tập viên hỏi Yu. V. Kotov, chuyên gia trong lĩnh vực đồ họa máy tính, trả lời bức thư này.

Sự phân bố của điện trường trong không gian (trên mặt phẳng) có thể được hiển thị trực quan với sự trợ giúp của các đường lực và bề mặt đẳng thế (đường).

Trên trang bìa thứ hai, hình ảnh trường lưỡng cực được sao chép, tính toán và xây dựng bằng máy tính và máy vẽ. Do tính đối xứng trục, hình ảnh như vậy giống nhau trong tất cả các mặt phẳng đi qua lưỡng sắc. Để minh họa rõ ràng sự phụ thuộc của điện thế vào tọa độ của một điểm trong mặt phẳng, một biểu thức phụ
(Cuối cùng xem trang 26)

24

Phản đối 2. Nhưng đường phân giác có thể trùng với đường vuông góc giữa.

Đáp số. Đối với sự phản đối này, tôi có hai đáp số. Thứ nhất, trong trường hợp này đường phân giác cũng trùng với đường cao và tam giác lại trở thành tam giác đều. Thứ hai, nếu đường phân giác trùng với đường vuông góc ở giữa thì điểm $N$ có ​​thể được chọn tùy ý trên đường phân giác và thực hiện mọi luận điểm của chứng minh.

Phản đối 3. Điều gì xảy ra nếu đường phân giác cắt đường vuông góc giữa tại đáy $AC$ tức là $N = M$?

Đáp số. Trong trường hợp này, đường phân giác trùng với đường trung tuyến $BM$. Từ đây dễ dàng suy ra rằng tam giác $ABC$ một lần nữa lại là tam giác đều.

Phản đối 4. Chưa xét trường hợp đường phân giác cắt đường trung bình vuông góc bên trong tam giác $ABC$.

Đáp số. Trường hợp này được minh họa trong Hình 2. Lập luận tương tự như những gì chúng ta đã làm khi xem xét Hình 1, chúng ta kết luận rằng $|AN| = |NC|$, $|NP| = |NQ|$ và do đó $\Delta APN = \Delta CQN$. Vì vậy $\angle NAP = \angle NCQ$. Ngoài ra, $\Delta ANC$ là đẳng thế, nên $\angle NAM = \angle NCM$. Cộng các góc bằng nhau, ta được $\angle BAC = \angle BCA$. Do đó, tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Tuy nhiên, có thể tưởng tượng một lập luận phản bác khác: trường hợp được mô tả trong Hình 2 là không thể, vì đường phân giác của một tam giác luôn nằm giữa đường trung tuyến và đường cao của nó.

Vì vậy, tôi đã xoay sở để chống lại bốn sự phản đối. Tôi mời độc giả dừng lại ở điểm này và tìm kiếm sự phản đối quyết định đối với

của “bằng chứng” đã cho. Và nếu cách đó không hiệu quả, hãy xem phần “Đáp số, gợi ý, lời giải”.

---

Chà, bây giờ bạn sẽ rất nghi ngờ về những bức vẽ. Có lẽ một số độc giả thậm chí còn muốn tiếp tục thực hiện tất cả các bằng chứng toán học thành một bằng chứng logic-hình thức hoàn hảo mà không cần dùng đến các biểu diễn trực quan, do đó loại trừ khả năng xảy ra sai sót. Các nhà toán học chuyên nghiệp thường hài lòng rằng chứng minh của họ có thể được viết ra một cách hình thức. Tuy nhiên, theo quy định, họ sử dụng rộng rãi các hình thức trình bày trực quan, bao gồm cả hình vẽ. Điều này được giải thích bởi thực tế là các kết luận chính thức dài hơn nhiều so với bằng chứng thông thường và khó nhận thức và đưa ra hơn nhiều*). Vì vậy, không có ích gì khi bỏ qua các hình vẽ và cách trình bày trực quan khi chứng minh các định lý hình học; bạn chỉ cần học cách sử dụng chúng một cách chính xác. lời giải sau đây bài toán sẽ giúp bạn điều này, hãy đọc thêm sách của Y. S. Dubnov.

Bài tập. Tìm lỗi sai trong các chứng minh sau.

1. Như bạn đã biết, tổng các số nguyên của một tam giác là $180^\circ$. Bằng chứng của thực tế này dựa trên tiên đề về tính song song. Bây giờ chúng ta đưa ra một chứng minh không sử dụng tiên đề song song.

*) Ví dụ: viết bằng một trong các ngôn ngữ hình thức - dàn ý của lý thuyết tập hợp $H$. Wurbakki không hề dễ dàng chút nào. Một “bản ghi đầy đủ” chứa vài chục nghìn ký tự; làm ơn, đối với “các cá nhân”, điều này là quá nhiều” (Manni Yu. I. Provable và Unprovable. M.: Đài phát thanh Liên Xô, 1979).

26

5. Người ta biết rằng chu vi của một hình tròn có bán kính $R$ bằng $2\pi R$. Nhưng chúng ta sẽ “chứng minh” rằng chu vi của một hình tròn gấp đôi đường kính của nó.

Hãy dựng một hình bán nguyệt có đường kính $AB$ (Hình 7). Chúng ta hãy chia đoạn $AB$ làm đôi cho điểm $C$ và dựng hình bán nguyệt trên các đoạn $AC$ và $CB$, đặt chúng ở các phía đối diện của đường thẳng $AB$. Mỗi hình bán nguyệt được tạo có đường kính bằng một nửa đường kính của hình bán nguyệt ban đầu. Do đó, chiều dài của chúng bằng một nửa chiều dài hình bán nguyệt ban đầu. Do đó, độ dài của đường lượn sóng đặt trong hình là số 1 bằng độ dài của hình bán nguyệt này. Bây giờ chúng ta hãy chia mỗi đoạn $AC$ và $CB$ làm đôi và dựng một đường lượn sóng 2. Chiều dài của nó cũng bằng chiều dài của hình bán nguyệt ban đầu. Hãy tiếp tục quá trình này, thu được một đường lượn sóng có cùng độ dài ở mỗi bước. Khoảng cách từ các điểm của đường thẳng này đến đường thẳng $AB$ không vượt quá bán kính của các hình bán nguyệt tạo nên đường thẳng này, tức là nó có xu hướng bằng không. Do đó, chuỗi các đường lượn sóng có xu hướng hướng tới đoạn $AB$. Vì độ dài của chúng là độ dài của một hình bán nguyệt nhất định nên độ dài của đoạn $AB$ cũng sẽ có cùng độ dài. Do đó, chu vi của một hình tròn bằng hai lần đường kính của nó.

6. Hãy chứng minh rằng diện tích hình cầu có bán kính $R$ bằng $\pi^2 R^2$.

Xét một bán cầu có sọc $O$ và chia đường xích đạo của nó thành $n$ phần bằng nhau. Diện tích của bán cầu bằng $n$ lần diện tích của mỗi tam giác cầu nhỏ như trong Hình 8. Hãy xem xét một tam giác như vậy. Đáy của nó là $2\pi R/n$ và chiều cao của nó có xu hướng $\pi R/2$ tại $n \to \infty$. Do đó, diện tích của nó có xu hướng $\pi^2 R^2/2n$. Do đó, diện tích của bán cầu bằng

$$n \cdot \frac{\pi^2 R^2}{2n} = \frac{\pi^2 R^2}{2},$$

và diện tích của hình cầu là $\pi^2 R^2$.

Tài liệu do S. L. Gabachnikov chuẩn bị

Hỏi - chúng tôi trả lời

(Để bắt đầu, xem trang 22)
bề mặt động. Ứng dụng của các điểm của nó tương ứng với các giá trị tiềm năng tại các điểm của phần mặt phẳng của trường. Tại vị trí của các điện tích, bề mặt “kéo dài” lên hoặc xuống và khi di chuyển ra khỏi các điện tích, nó sẽ tiến đến mặt phẳng nằm ngang (“không”).

Tại những điểm khác nhau, bề mặt có độ nghiêng khác nhau so với mặt phẳng nằm ngang. Để làm rõ độ nghiêng, cần dựng mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm giao nhau của bề mặt và xác định góc nghiêng của nó với mặt phẳng ngang. Tiếp tuyến của góc này liên hệ với giá trị của hướng trường tại một điểm cho trước.

Các đường trường nhỏ có thể được vẽ trên phần mặt phẳng phụ của trường. Tại vị trí của các điện tích, bề mặt “kéo dài” lên hoặc xuống và khi di chuyển ra khỏi các điện tích, nó sẽ tiến đến mặt phẳng nằm ngang. Để làm rõ độ nghiêng, cần dựng mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm giao nhau của bề mặt và xác định góc nghiêng của nó với mặt phẳng ngang. Tiếp tuyến của góc này liên hệ với giá trị của hướng trường tại một điểm cho trước.

Với sự trợ giúp của máy tính và máy vẽ, có thể thu được các mẫu trường điện tử tương tự cho một số điểm điện tích được đặt theo những cách khác nhau. Ví dụ, dưới đây cho thấy các đường hợp lưu của một trường được hình thành bởi ba điện tích, nằm trên cùng một đường thẳng. Các điện tích bên ngoài giống nhau và giống hệt nhau, điện tích ở giữa trái dấu và về giá trị tuyệt đối thì bằng tổng của hai điện tích ngoài cùng.

Yu. V. Kotov

27

Vật lý 8, 9, 10

Chú thích sách đã xuất bản “Công, Năng lượng và Lực Archimedean” dành cho tám tác phẩm kinh điển, “Điện và Từ trường” dành cho chín tác phẩm kinh điển, và “Điện tích của Hạt nhân Nguyên tử và Hệ thống các nguyên tố tuần hoàn của Mendeleev” dành cho mười tác phẩm kinh điển.
Các tài liệu được chuẩn bị bởi I.K. Belkin.

Công, năng lượng và lực Archimedean

Như đã biết, công của lực mà một vật thể này tác dụng lên một vật thể khác bằng với sự thay đổi thế năng tương tác của các vật thể này, lấy dấu ngược lại (“Vật lý 8”, §57):

$$A = -\Delta E_p.$$

Ví dụ, nếu một vật có khối lượng $M$ rơi trong chân không từ độ cao $h_1$ đến độ cao $h_2$ ($h_1$ và $h_2$ không có ở một mức 0 được chọn tùy ý, như trong hình), thì lực hấp dẫn sẽ có tác dụng bằng tích của hình chiếu $Mg$ của lực này theo hướng dịch chuyển lên mô hình dịch chuyển $h_1 - h_2$:

$$A = Mg(h_1 - h_2).$$

(1)

Đẳng thức này cũng có thể được viết như sau:

$$A = Mgh_1 - Mgh_2 = -(Mgh_2 - Mgh_1) = -\Delta E_p,$$

nghĩa là, công bằng với độ biến thiên của thế năng mang dấu ngược lại.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng sự rơi của cùng một vật xảy ra trong một chất lỏng nào đó (xem hình). Tất nhiên, sự hiện diện của chất lỏng sẽ không làm thay đổi khối lượng của vật, cũng như gia tốc trọng trường, cũng như lực hấp dẫn tác dụng lên vật. Nhưng khi cơ thể đảm nhận một vị trí mới ở độ cao $h_2$, nó sẽ rò rỉ chất lỏng ở đó, chất lỏng này di chuyển ở phía trên, đến độ cao $h_1$, rồi đến nơi mà cơ thể bỏ trống. Cơ thể và chất lỏng trong thể tích của cơ thể dường như được đặt ở những nơi khác nhau. Đồng thời,

thế năng của vật sẽ giảm một giá trị $\Delta E_p = (Mgh_2 - Mgh_1)$, còn thế năng của chất lỏng sẽ tăng một giá trị $\Delta E_p = (mgh_1 - mgh_2)$, trong đó $m$ là khối lượng của chất lỏng trong một thể tích bằng thể tích của vật. Tổng độ biến thiên của thế năng $\Delta E_p$ sẽ bằng tổng của $\Delta E_p$ và $\Delta E_p$, nên ta có

$$A = -\Delta E_p = -((Mgh_2 - Mgh_1) + (mgh_1 - mgh_2)) = (Mg - mg)(h_1 - h_2).$$

(2)

So sánh đẳng thức (2) và (1), chúng ta thấy rằng trong trường hợp thứ hai, ngoài lực $Mg$ hướng xuống dưới, vật còn chịu tác dụng của lực $-m\vec{g}$ hướng lên trên. Nhưng $mg$ là mô hình của lực hấp dẫn tác dụng lên chất lỏng do vật thể chảy ra ngoài (và bằng trọng lượng của nó). Do đó, lực $-m\vec{g}$ là lực Archimedean. Phát biểu rằng một lực như vậy thay đổi đáng kể về mặt vật lý như định luật Archimedes: một vật ngâm trong chất lỏng chịu tác dụng của lực đẩy từ chất lỏng xung quanh, bằng trọng lượng của chất lỏng trong thể tích mà vật đó chảy ra.

Công thức (2) có thể được viết lại dưới dạng khác. Chúng ta hãy biểu thị thể tích của vật bằng $V$, mật độ của vật bằng $\rho_T$ và mật độ của chất lỏng bằng $\rho_{ж}$. Khi đó khối lượng của vật $M = \rho_{ж}V$, khối lượng của chất lỏng trong thể tích $V$ bằng $m = \rho_{ж}V$ và

$$A = (\rho_{ж}Vg - \rho_{ж}Vg)(h_1 - h_2) = (\rho_{ж} - \rho_{ж})Vg(h_1 - h_2).$$

(3)

Giá trị $\rho_{ж}Vg$ là mô hình của lực Archimedean.

Từ công thức (3), rõ ràng là nếu mật độ $\rho_{ж}$ của vật lớn hơn mật độ $\rho_{ж}$ của chất lỏng, thì lực tác dụng lên vật sẽ hướng xuống dưới và vật chìm xuống. Ngược lại, nếu mật độ của vật nhỏ hơn mật độ của chất lỏng thì lực sinh ra sẽ hướng lên trên.

28

lên và cơ thể nổi lên. Khi trọng lượng của chất lỏng trong thể tích phần chìm của vật lớn hơn trọng lượng của vật thì trạng thái cân bằng sẽ xảy ra. Cuối cùng, nếu mật độ của vật và chất lỏng bằng nhau thì vật ở trạng thái cân bằng, chìm hoàn toàn trong chất lỏng.

Lý do đưa chúng ta đến kết luận về sự tồn tại của lực Archimedes (và định luật Archimedes) có giá trị cho cả chất lỏng và chất khí. Định luật Archimedes làm cơ sở cho lý thuyết điều hướng không chỉ của tàu trên mặt nước mà còn của khí cầu - máy điều hòa khí cầu, khí cầu, v.v., với điểm khác biệt duy nhất là khí cầu không thể ngâm một phần trong khí.

Sách giáo khoa “Vật lý 8” chỉ ra rằng trong cơ học đến, chúng ta xử lý các loại lực hàng đầu - độ đàn hồi, ma sát và trọng lực. Archimedes nên được phân loại là loại lực nào? Hay đây có lẽ là một loại lực lượng đặc biệt thứ tư? Không, về bản chất, lực Archimedean là kết quả của sự tương tác đàn hồi của vật thể và chất lỏng (hoặc khí), nghĩa là nó phải được coi là lực đàn hồi phát sinh do sự lăn của chất lỏng (hoặc khí).

Chúng ta hãy lưu ý để kết luận rằng định luật Archimedes, với tất cả tầm quan trọng lịch sử của nó, không thể được coi là một trong những định luật cơ bản, căn bản của tự nhiên. Trên thực tế, đây là hệ quả tất yếu của một định luật tổng quát hơn - định luật Pascal. Như chúng ta vừa thấy, nó cũng có thể được coi là hệ quả của định luật bảo toàn năng lượng.

Điện trường và từ trường

Xung quanh bất kỳ điện tích $q$ nào đứng yên trong một hệ thống nào đó, về cơ bản có một trường tĩnh điện. Nếu điện tích này là chính xác thì hướng của trường tại bất kỳ điểm nào cách nó một khoảng $r$ được xác định theo công thức:

$$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}.$$

Lực tương tác giữa hai điện tích đứng yên $q$ và $q'$, nằm cách nhau một khoảng $r$, bằng

$$F_{\text{эл}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qq'}{r^2}.$$

Nếu các khoản phí giống nhau ($q=q'$), thì

$$F_{\text{эл}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}.$$

Đây là định luật Coulomb nổi tiếng. Chúng tôi nhấn mạnh rằng định luật này được thiết lập bằng thực nghiệm. Đại lượng $\epsilon_0$ có trong các công thức (1), (2) là hằng số điện bằng $8,85 \cdot 10^{-12} \text{KJ}^2 / (\text{H} \cdot \text{m}^2)$.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về tình huống với một điện tích chuyển động với tốc độ không đổi $\vec{v}$. Chúng tôi đo tốc độ $\vec{v}$ so với hệ thống báo cáo được chọn trước mà chúng tôi tuân theo các điều kiện cố định và biểu thị bằng chữ cái $K$.

Điện tích chuyển động là một dòng điện và xung quanh dòng điện có một từ trường đáng kể. Điều này có nghĩa là sự chuyển động của điện tích dẫn đến sự xuất hiện của từ trường trong hệ báo cáo $K$ mà chúng ta đang xem xét.

Xin lưu ý rằng nếu chúng ta di chuyển trong hệ thống báo cáo $K'$, di chuyển tương đối so với hệ thống $K$ với tốc độ bằng tốc độ của điện tích $\vec{v}$ thì sẽ không có từ trường trong hệ thống này (kim nam châm (la bàn) đặt ở đó sẽ đứng yên).

Tuy nhiên, chúng ta hãy quay lại hệ thống $K$ một lần nữa. Theo kinh nghiệm, chúng ta biết rằng từ trường tác dụng lên dòng điện và do đó tác dụng lên một điện tích chuyển động. Rõ ràng là phải có mối liên hệ chặt chẽ giữa các hiện tượng điện và từ.

Hãy xem xét một ví dụ đơn giản. Để điện tích $q$ di chuyển với tốc độ $\vec{v}$ (trong hệ thống $K$). Khi đó trong không gian xung quanh nó có cả điện trường và từ trường. Giả sử tại một thời điểm mà điện trường và từ trường được tạo ra bởi điện tích $q$, có một điện tích khác $q'$, chuyển động với tốc độ $\vec{v}$. Hiển nhiên nó sẽ chịu tác dụng của lực điện và lực từ. Có thể đưa ra tuyên bố tương tự về khoản phí $q$.

Nếu các điện tích chuyển động với tốc độ không quá cao (“không quá cao”, hãy tìm hiểu bên dưới), thì điện trường của chúng tại mỗi thời điểm thực tế không khác gì trường hợp điện tích đứng yên và lực tương tác điện giữa các điện tích có thể được tính theo định luật Coulomb (2).

29

Chúng tôi sẽ hạn chế hơn nữa trong việc phục vụ các khoản phí di chuyển không nhanh lắm. Trong trường hợp này, bạn có thể so sánh lực từ và lực điện khá đơn giản. Chúng ta sẽ thực hiện điều này đối với hai điện tích, tốc độ của chúng tại một thời điểm nào đó sẽ song song với nhau và vuông góc với đường nối các điện tích này (Hình 1).

Trước hết, chúng ta cần hiểu cảm ứng từ trường $\vec{B}$ được tạo ra bởi một điện tích chuyển động có liên quan như thế nào đến độ lớn của điện tích $q$ này và tốc độ của nó $\vec{v}$. Chúng ta hãy vẽ từ điểm đặt điện tích $q$ đến điểm mà chúng ta muốn tính cảm ứng $\vec{B}$, vectơ bán kính $\vec{r}$. Tổng quát hóa kết quả thực nghiệm cho thấy độ lớn cảm ứng được xác định theo công thức

$$B = kq \frac{v}{r^2} \sin \varphi. \tag{3}$$

Ở đây $r = |\vec{r}|$, $\varphi$ là góc giữa các vectơ $\vec{v}$ và $\vec{r}$, còn $k$ là hằng số được xác định theo kinh nghiệm và bằng $10^{-7} \text{H} \cdot \text{c}^2 / \text{KJ}^2$. Dành cho những người chúng tôi muốn phục vụ $\varphi = 90^\circ$ và

$$B = kv \frac{q}{r^2}. \tag{3'}$$

Hướng của vectơ $\vec{B}$ được xác định theo quy tắc của gimlet (vinat phải): nếu bạn xoay vectơ $\vec{v}$ về phía vectơ $\vec{r}$ trong mặt phẳng mà cả hai đều nằm và sao cho chuyển động quay xảy ra theo hướng góc tối thiểu giữa $\vec{v}$ và $\vec{r}$, thì vectơ $\vec{B}$ được hướng vuông góc với mặt phẳng đã chỉ định và “trông” vị trí mà mũi khoan bắt vít sẽ “trông” (Hình 2).

Công thức (3) và (3’) bao gồm một hệ số có cùng tỷ lệ $q/r^2$, tỷ lệ này cũng có trong biểu thức chiều của điện trường được tạo ra bởi điện tích $q$ tại điểm đặt điện tích $q'$. Nhận xét này cho phép chúng ta thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng $B$ và $E$. Có tính đến (1), chúng tôi có được

$$\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = c^2 \tag{7}$$

Và

$$\frac{F_{\text{магн}}}{F_{\text{эл}}} = \left( \frac{v}{c} \right)^2. \tag{8}$$

Đây là những công thức rất quan trọng. Công thức (7) một lần nữa khẳng định sự tồn tại của mối liên hệ sâu sắc giữa các hiện tượng điện và từ. Từ công thức (8) chúng ta có thể kết luận rằng mối quan hệ

30

Lực từ và lực điện tối thiểu đối với các kẽ hở nhiều pha hóa ra là nhỏ. Ví dụ, tốc độ thường được định hướng của các electron trong kim loại khi dòng điện chạy qua là 10 phần milimét trên giây. Trong những trường hợp như vậy, tương tác từ của các electron nhỏ hơn khoảng $10^{24}$ lần so với tương tác điện của chúng. Có đáng để xem xét sự tương tác từ tính của các điện tích chuyển động không? Hóa ra nó đáng giá và đây là lý do. Trong bất kỳ vật dẫn nào đều có số lượng hạt tích điện của cả hai dấu bằng nhau. Do đó, dây dẫn mang dòng điện thực tế là trung tính. Lực điện trong dây dẫn được tập trung với độ chính xác cao và khi không có chúng, ngay cả lực từ rất nhỏ cũng sẽ tạo ra lực đáng kể. Trong động cơ điện, các electron chuyển động trong cuộn dây của chúng tương tác chính xác với lực từ. Động cơ được dẫn động là nhờ lực từ.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ rằng trong tính toán của mình, chúng ta đã giả định rằng “tốc độ không quá cao”. Terver, chúng ta có thể nói rằng chúng ta muốn nói đến tốc độ nhỏ của các hạt so với tốc độ ánh sáng. Chúng tôi cần điều này để không cần sử dụng các công thức phức tạp (tương đối tính) hơn. Ví dụ, khi tốc độ của các hạt tích điện gần bằng tốc độ ánh sáng thì không thể viết công thức tính chiều của điện trường ở dạng (1) nữa.

Cũng giống như các đại lượng vật lý khác, chẳng hạn như tốc độ và gia tốc của các hạt, lực tác dụng lên chúng, hướng của điện trường và cảm ứng từ trường phụ thuộc vào hệ thống báo cáo mà chúng ta xem xét (đo) chúng. Ví dụ, chúng tôi đã nói ở trên rằng nếu một từ trường tồn tại trong hệ thống $K$, thì điều đó không dẫn đến việc nó sẽ được bảo toàn trong hệ thống $K'$. Hệ $K'$ mà chúng ta đang xem xét đang chuyển động với tốc độ bằng tốc độ $\vec{v}$ của điện tích cản trở chúng ta. Và không có từ trường trong hệ thống $K'$. Trong trường hợp chung, cả vectơ $\vec{E}$ và vectơ $\vec{B}$ đều tương đối, nghĩa là nó phụ thuộc vào hệ thống báo cáo mà người quan sát được đặt trong đó với các công cụ đo lường các đại lượng này.

Điều tồn tại đối với chúng ta là ở tốc độ nhỏ so với tốc độ ánh sáng, điện trường thay đổi rất ít. Đặc trưng số lượng của độ nhỏ này chính xác là hệ thức $(v/c)^2$.

Tuy nhiên, lưu ý rằng công thức (8) hóa ra cũng đúng ở tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng. Do đó, đối với các hạt tương đối chuyển động ở tốc độ chỉ nhỏ hơn tốc độ ánh sáng một chút, độ lớn của lực từ và lực điện có thể không khác nhau nhiều lắm.

Tóm tắt các tính toán của chúng tôi, một lần nữa chúng tôi sẽ chứng minh rằng đối với các kẽ hở nhiều pha, lực từ trở nên đáng kể.

Chúng ta hãy tập trung rất ngắn gọn vào các trường từ và điện (tĩnh điện) riêng biệt khác. Tuy nhiên, một trong những điểm khác biệt đó là đường tác dụng của lực điện (đường lực của trường tĩnh điện) có điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Chúng bắt đầu bằng điện tích dương và kết thúc ở điện tích âm. Công thực hiện khi một điện tích di chuyển giữa hai điểm cố định trong điện trường không phụ thuộc vào hình dạng và độ dài của quỹ đạo, và công thực hiện khi điện tích di chuyển dọc theo một đường kín bằng không. Nhờ đặc tính này của điện trường, mỗi điểm không chỉ được đặc trưng bởi hướng mà còn bởi thế năng.

Đường cảm ứng từ, không giống như đường sức điện, không có điểm bắt đầu và kết thúc. Chúng được đóng lại và che phủ hiện tại. Mỗi điểm của từ trường được đặc trưng bởi độ lớn của cảm ứng từ chứ không phải bởi điện thế.

Lực tác dụng lên điện tích trong điện trường luôn có phương tiếp tuyến với các đường sức. Nếu chúng ta xem xét các phần của dây dẫn mang dòng điện hoặc các hạt tích điện chuyển động trong từ trường, thì các lực tác dụng lên chúng không hướng tiếp tuyến với các đường cảm ứng mà vuông góc với chúng (lực Lorentz, định luật Ampere). Lực trong từ trường có thể không gây ra chuyển động tịnh tiến mà chỉ gây ra chuyển động quay (một khung có dòng điện trong từ trường đều; chuyển động của điện tích trong một vòng tròn trong mặt phẳng vuông góc với từ trường đều).

33

Khi bắt đầu môn hình học tự chọn, Petr Ivanovich vẽ ba vòng tròn lên bảng (Hình 1) và đề xuất giải phương trình bài toán sau:

Ba đường tròn cùng bán kính R cắt nhau tại một điểm chung S và tại các điểm M, N, P. Chứng minh rằng các điểm M, N, P nằm trên đường tròn cùng bán kính R.

Chúng tôi đã suy nghĩ một chút. Không có gì thành công: không rõ làm thế nào để có mặt với bài toán. Sau đó Pyotr Ivanovich đặt một con búp bê matryoshka nhỏ lên bàn và viết lên bảng:

Bài toán 1. Bên trong tam giác ABC có điểm H sao cho HAC=HBC, HBA=HCA, HCB=HAB. Khi đó H là trực kế của tam giác ABC, tức là giao điểm của các đường cao của nó.

Chúng tôi đã chứng minh điều này gần như ngay lập tức. Trong ký hiệu xuất hiện trong hình vẽ trên bảng (Hình 2), rất indo, 2(α+β+γ)=180°, từ đó α+β+γ=90°. Nhưng khi đó góc ngoài AA1B của tam giác ACA1 bằng (α+β)+γ=90°, nghĩa là AA1 là chiều cao. Tương tự như BB1 và ​​CC1, do đó H là một máy đo độ chính xác.

“Đúng vậy,” Pyotr Ivanovich nói, đặt con búp bê làm tổ thứ hai, lớn hơn một chút bên cạnh con búp bê đầu tiên và viết lên bảng:

Bài toán 2. Một điểm đối xứng với dụng cụ chỉnh hình so với cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó.

Theo hình vẽ trên bảng (Hình 3), trong đó D là giao điểm của đường cao AA1 với đường tròn ngoại tiếp, chúng ta nhanh chóng làm quen với đẳng thức HBC=CAD (vì mỗi góc này bằng 90° với góc B1CB) và CAD=CBD (các góc nằm trên một cung chung CD). Do đó HBC=DBC và điểm D đối xứng với H so với CB.

Sau đó, con búp bê làm tổ thứ ba xuất hiện trên bàn của Petra Ivanovich, và trên bảng có dòng chữ này:

Bài toán 3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác bằng bán kính đường tròn đi qua hai đỉnh và trực kế.

Trong hình vẽ trước (xem Hình 3), Petr Ivanovich đã vẽ một đường tròn đi qua các điểm C, H, B và các đoạn CD và DB. Từ chỗ đó, anh ta bắt đầu được cho biết rằng các tam giác CHB và CDB có thể dựng được theo bài toán trước đó, do đó các đường tròn ngoại tiếp của chúng có cùng bán kính. Pyotr Ivanovich giấu con búp bê làm tổ thứ hai trong con búp bê thứ ba.

—Vẫn còn búp bê làm tổ à? - chúng tôi hỏi.

“Có,” Pyotr Ivanovich trả lời, lấy ra con búp bê làm tổ nhỏ nhất, “nhưng bài toán sẽ bằng miệng,” và viết:

Bài toán 4. Các đường tròn khác có bán kính bằng nhau nối hai điểm giao nhau của chúng là đường tròn mang tính xây dựng.

“Tất nhiên, những cái còn lại mang tính xây dựng, bởi vì chúng đối xứng với đường thẳng đi qua các điểm giao nhau,” chúng tôi trả lời (Hình 4).

“Chà, bây giờ bất kỳ ai trong số các bạn trước tiên phải giải bài toán về ba vòng tròn,” Pyotr Ivanovich nói và… gọi tôi lên bảng.

Tôi bắt đầu nói điều gì đó khó hiểu, nhưng sau đó ngẫu nhiên có một cuộc gọi cảm ơn. Sau đó Pyotr Ivanovich lấy ra con búp bê làm tổ thứ năm, lớn nhất, đặt những con búp bê vào nhau một cách đầy ý nghĩa và nói:

• Để lần sau mọi người giải quyết được bài toán. Tôi đã giải quyết nó khá nhanh ở nhà.*) Còn bạn thì sao?

*) Lời giải có thể đọc ở phần “Đáp số, gợi ý, lời giải”.

34

Nhiệm vụ

1. Khi chia số 2 • 3=6 cho 4 thì dư 2, khi chia số 3 • 4=12 cho 5 thì dư 2. Có đúng là phần dư của phép chia, tích của hai số liên tiếp với số liền sau chúng, luôn bằng 2?

2. Hai đứa trẻ đạp xe vào đêm khuya. Một người có xe đạp bánh lớn, người kia có xe đạp nhỏ nhưng họ ăn với tốc độ như nhau. Cái nào trong số chúng có đèn sáng hơn, được cung cấp bởi một máy phát điện trên vành bánh xe?

3. Có số nào có ba chữ số bằng tích các chữ số của nó không?

4. Nửa vòng tròn được xây dựng trên bán kính của một phần tư vòng tròn, cũng như trên đường kính (xem hình). Cái nào có diện tích lớn hơn: toàn bộ phần (màu đỏ) của các nửa hình tròn này hay phần (màu xanh) của một phần tư hình tròn không bị nó che phủ?

5. Số 9, bắt đầu là số có ba chữ số, được chuyển xuống cuối số. Kết quả là số đó ít hơn 216. Số ban đầu là bao nhiêu?

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi:
H. K. Antonovich, S. B. Dvoryaninov,
S. H. OLEXNIK, A. P. Savin, A. G. Samosvat.

35

Đã giải quyết
Eratosthenes

Viện sĩ A. N. KOLMOGOROV

Hình thức sàng tuyệt đẹp này của Eratosthenes*) được mượn từ cuốn sách “Tài liệu toán học” của M. Gardner (Nhà xuất bản “Mir”, 1972). Tất cả các số không bị gạch bỏ (màu đỏ hoặc xanh) đều là số nguyên tố, ngoại trừ số 121. Hãy giải thích tại sao!

Bài toán 1. Để có được danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 1000, bạn cần “loại bỏ” những số chia hết cho 2, 3, 5, 7, 11,…. Bạn có thể dừng lại ở số nguyên tố nào?

đáp số sẽ thay đổi như thế nào trong trường hợp biên soạn bảng số nguyên tố nhỏ hơn 10.000?

Các cặp số nguyên tố “sinh đôi**” được đánh dấu trong bảng bằng dấu chấm than. Có mười người trong số họ trong bảng của chúng tôi.

Biết rằng có vô số số nguyên tố. Nhưng không ai biết liệu có vô số cặp sinh đôi hay hữu hạn.

Bài toán 2. Hai cặp sinh đôi đầu tiên (3, 5) và (5, 7) có phần tử chung (5). “Khoảng cách” giữa cặp sinh đôi thứ hai và thứ ba (11, 13) là

11 — 7 = 4.

Khoảng cách giữa thứ ba và thứ tư (17, 19)

17 — 13 = 4,

giữa thứ tư và thứ năm (29, 31)

29 — 19 = 10.

Chứng minh rằng khoảng cách cho trước giữa các cặp sinh đôi cạnh nhau không nhỏ hơn 4.

*) Xem «Kvant», 1973, số 4, tr. 71.
**) Xem «Kvant», 1973, số 5, tr. 56.

Có bao nhiêu nước trong các bình?

Sáu bình trong suốt đựng nước được xếp thành hai hàng ba bình song song trong mỗi nhà. Trong Hình 1, bạn có thể thấy ba bình biến đổi và trong Hình 2 - quy tắc hai bên. Thông qua cách phát âm của thành bình, mực nước trong mỗi bình nhìn thấy được và trong tất cả các bình đứng phía sau nó sẽ được xem. Xác định lượng nước trong mỗi bình.

37

Nhiệm vụ

M851—M855; F863—F867

M851. Độ dài cạnh hình vuông $ABCD$ bằng 1. Trên các cạnh $AB$ và $AD$ chọn điểm $P$ và $Q$ sao cho chu vi tam giác $APQ$ bằng 2. Chứng minh rằng $PCQ=45^\circ$.

A. B. Khodulyev

M852. Gọi $x, y, z$ là độ dài cạnh của tam giác. Chứng minh rằng các đại lượng
$$\frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x}$$
nhỏ hơn a) 1; 6)* 1/8.

A. V. Ermilov

M853. Hình vuông $ABCD$ quay quanh tâm đứng yên của nó. Tìm tập hợp mô tả trung điểm của đoạn $PQ$, trong đó $P$ là đáy của đường vuông góc hạ từ điểm $D$ đến đường thẳng cố định $l$ và $Q$ là trung điểm của cạnh $AB$.

Y. Tabov (Bulgaria)

M854. Tại điểm đàm phán có các máy đổi tiền xu có mệnh giá 10, 15 và 20 kopecks, hoạt động như trong Hình 1. Petya có 1 rúp. 25 kopecks

Hình 1.

đồng xu bạc và anh ta có tất cả kích cỡ của chúng trong máy đồng. Vasya đếm xem Petya có bao nhiêu đồng xu và nói:

• Và tôi biết phần giữa của đồng xu là gì!
  Tìm hiểu ở trên quá.

B.I. Bắt đầu

M855. Có thể đẩy một khối đất cứng đều có cạnh 1 xuyên qua một vòng có đường kính a) 1; 6) 0,95; c) 0,9; d) 0,85?

V. V. Proizvolov

38

F863. Trong lỗ Konchek có góc đỉnh là 2α, một quả bóng nhảy lên, phản xạ đàn hồi từ thành lỗ. Các điểm va chạm của quả bóng với tường nằm ở cùng độ cao (Hình 2); thời gian từ lúc va chạm đến khi va chạm không đổi và bằng G. Vận tốc góc trung bình của quả bóng quanh trục của lỗ là bao nhiêu nếu tốc độ cực đại của quả bóng v nằm trong khoảng từ $\frac{1}{2}gT$ đến $gT/2$ sin α?

Ồ, vâng. Savchenko

F864. Một cậu bé từ từ leo lên một ngọn đồi đầy tuyết và kéo chiếc xe trượt tuyết phía sau bằng một sợi dây. Sợi dây luôn song song với tiếp tuyến của cầu trượt tại điểm cậu bé đang đứng. Đỉnh đồi nằm ở độ cao H và cách chân đồi một khoảng l (Hình 3). Cậu bé sẽ phải làm bao nhiêu công khi nâng chiếc xe trượt tuyết lên đồi? Khối lượng của xe trượt là m, hệ số ma sát của xe trượt trên tuyết là μ.

A. I. Buzdin

F865. Ước tính kích thước của một nguyên tử thủy ngân nếu bạn biết: σ là hệ số sức căng bề mặt của thủy ngân (tính theo đơn vị $\frac{\text{энергия}}{\text{площадь}}$), q là mật độ của thủy ngân, r là nhiệt dung riêng bay hơi của thủy ngân.

Y. Rodionov, A. Ykovlev

F866. Bể điện được kết nối thông qua một diode lý tưởng với mạng điện áp xoay chiều (Hình 4). Tìm số chỉ của ampe nhiệt (A) nếu biết rằng trong thời gian t=1 giờ m=1,078 g đồng được giải phóng về cực âm. Đương lượng điện hóa của đồng k=0,33·10⁻⁶ kg/Kl.

B. A. Mukushev

F867. Hãy tưởng tượng rằng bạn đang đứng trước một tấm kính lớn trong suốt dày (ví dụ: trước tủ trưng bày bằng kính). Làm thế nào để xác định độ dày của kính nếu không có khả năng tiếp cận các cạnh của nó (giả sử các cạnh của kính được dán vào tường), bạn không thể vào phòng phía sau kính và bạn không thể làm vỡ kính? Bạn có sẵn thước kẻ, hình vuông, giấy, bút chì và máy tính bỏ túi để thực hiện các phép tính.

M. V. Semenov

Problems

M851—M855; P863—P867

M851. The square ABCD is of length 1. Points P and Q are chosen on sides AB and AD respectively so the perimeter of ABC is 2. Prove that $\widehat{PCQ} = 45^\circ$.

A. B. Khodulev

M852. Suppose x, y, z are the lengths of a triangle’s sides. Prove that the number

$$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{x+z} + \frac{z-x}{z+x} \right|$$

is less than a) 1; b) $1/8$.

A. V. Ermilov

40

muyu $O_1L$. Do đó, chúng song song và $O_1\widehat{A}O_2 = A\widehat{O}_1L$; tương tự, $M_1\widehat{AM}_2 = A\widehat{M}_1L$. Do đó, đẳng thức của các góc $O_1\widehat{A}O_2 = M_1\widehat{AM}_2$ tương đương với phát biểu sau:

$$A\widehat{O}_1L = A\widehat{M}_1L;$$

điểm $A, L, O_1, M_1$ nằm trên cùng một đường tròn;

$$O_1\widehat{LA} + A\widehat{M}_1O_1 = 180^\circ;$$

$$O_1\widehat{LS} = A\widehat{M}_1S;$$

hình tam giác $SLO_1$ và $SAM_1$ (có góc chung ở đỉnh $S$) giống nhau;

$$\frac{|SA|}{|SO_1|} = \frac{|SM_1|}{|SL|}.$$

Để chứng minh đẳng thức cuối cùng, chỉ cần lưu ý rằng $|SA| \cdot |SL| = |SP_1|^2 = |SO_1| \cdot |SM_1|$ (đẳng thức thứ nhất ở đây - tính chất của tiếp tuyến và cát tuyến - xuất phát từ sự đồng dạng của các tam giác $P_1LS$ và $AP_1S$, đẳng thức thứ hai - từ sự đồng dạng của các tam giác $O_1P_1S$ và $P_1M_1S$).

A. M. Abramov

M837*. Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương, hai số đó nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng số nguyên lớn nhất không thể biểu diễn dưới dạng

$$xbc + yca + zab$$

(thực phẩm $x, y, z$ là số nguyên không âm), bằng

$$2abc - ab - bc - ca.$$

Thật thuận tiện khi xem xét ngay điều tổng quát hơn bài toán:

gọi $a_1, a_2, \dots, a_n$ là số nguyên tố cùng cực tự nhiên. Chúng ta hãy gọi số tự nhiên $u$ là “đỏ” nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng

$$u = a_1a_2\dots a_n \left( \frac{x_1}{a_1} + \dots + \frac{x_n}{a_n} \right),$$

(1)

thực phẩm $x_1, x_2, \dots, x_n$ — số nguyên không âm, $u$ “xanh” — nếu không. Số lớn nhất là gì?

(Ở chúng tôi bài toán $n = 3$.)

Đây là một trong những lời giải ngắn nhất trong số bài toán này dựa trên hai tuyên bố sau:

1. bất kỳ số nguyên nào $u$ thừa nhận một biểu diễn duy nhất (1), trong đó $x_1, x_2, \dots, x_n$ là số nguyên và $0 \leq x_2 \leq a_2 - 1$, …, $0 \leq x_n \leq a_n - 1$, $x_1$ có thể là bất kỳ (chúng tôi sẽ gọi tiêu chuẩn biểu diễn đó);

2. số nguyên $u$ có màu đỏ khi và chỉ khi biểu diễn tiêu chuẩn của nó là $x_1 \geq 0$.

Từ câu cuối cùng, rõ ràng số lớn nhất $m$ có biểu diễn tiêu chuẩn $c x_1 = -1$, $x_2 = a_2 - 1$, …, $x_n = a_n - 1$, tức là

$$m = a_1a_2\dots a_n \left( n - 1 - \frac{1}{a_1} - \dots - \frac{1}{a_n} \right).$$

Chúng ta hãy chứng minh các phát biểu này bằng quy nạp, bắt đầu từ trường hợp $n = 2$. Trong trường hợp này, 1) trở thành bổ đề rất hữu ích này (bên dưới $a_1 = a, a_2 = b$):

nếu các số tự nhiên $a$ và $b$ là số nguyên tố cùng nhau thì bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng

$$u = bx + ay,$$

(2)

thức ăn $x, y$ - nguyên con, $0 \leq y \leq b - 1$.

Để chứng minh điều đó, chúng ta lưu ý rằng tất cả phần dư của phép chia $b$ của các số $0, a, 2a, \dots, (b - 1)a$ cho $b$ đều khác nhau (nếu không thì hóa ra một số nào đó có dạng $(k - l)a$, trong đó

41

0 ≤ l < k ≤ b - 1, chia hết cho b, điều này là không thể), và do đó, chính xác một trong số chúng, ay, cho cùng số dư như số u, nghĩa là u - ay = bx đối với một số mục đích x và y, 0 ≤ y ≤ b - 1.

Mệnh đề 2) với n = 2 gần như hiển nhiên: nếu số u có màu đỏ, nghĩa là, nó có biểu diễn (2) với x ≥ 0, y ≥ 0, thì trong biểu diễn chuẩn của nó, hệ số cho b sẽ không âm (nếu y = qb + r, trong đó q ≥ 0, 0 ≤ r ≤ b - 1, thì u = bx + ay = b(x + aq) + ar).

Như vậy, trong trường hợp này, số có khả năng trừ nhiều nhất sẽ là m = b · (-1) + a · (b - 1) = ab - a - b.

Bây giờ chúng ta hãy trình bày cách sử dụng bổ đề tương tự để thực hiện phép chuyển từ n = 2 sang n = 3 (do đó bài toán M837 sẽ được giải; trong trường hợp tổng quát, phép chuyển từ n sang n + 1 được thực hiện theo cách tương tự). Chúng ta hãy viết lại cách biểu diễn dạng (1) của số u, như được hiển thị ở lề. Vì c và ab là số nguyên tố lẫn nhau, nên theo bổ đề chúng ta có thể tìm (một cách duy nhất) các số nguyên v và z, 0 ≤ z ≤ c - 1, sao cho u = cv + abz, rồi x và y, 0 ≤ y ≤ b - 1, sao cho v = bx + ay. Điều này chứng tỏ khẳng định 1) với n = 3. Để chứng minh 2) chỉ cần lưu ý rằng màu đỏ u tương ứng với màu đỏ v, và cách biểu diễn chuẩn của u tương ứng với cách biểu diễn chuẩn của v, trong đó x ≥ 0.

Hình vẽ thể hiện các số màu đỏ, xanh cho a = 2, b = 3, c = 5; ở đây m = 29. Có thể thấy chúng nằm đối xứng với điểm m/2; nếu u là số màu đỏ thì m - u có màu xanh. Từ lời giải của chúng tôi, dễ dàng suy ra rằng điều này sẽ xảy ra trong trường hợp tổng quát (với mọi a, b, c): số màu đỏ là tất cả các giá trị có thể có của hàm u(x,y,z) = bcx + cay + abz trên một tập hợp các điểm trong không gian có tọa độ nguyên (x, y, z), trong đó x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ b - 1, 0 ≤ z ≤ c - 1, màu xanh lam - các giá trị của nó trên tập hợp x ∼ -1, 0 ∼ y ∼ b - 1, 0 ∼ z ₫ c - 1. Các tập hợp này đối xứng và hàm u là tuyến tính nên các giá trị của nó trên các tập hợp này nằm đối xứng.

Sẽ rất thú vị khi khám phá bài toán tương tự để biểu diễn các số nguyên ở dạng Ax + By + Cz với bất kỳ hệ số nguyên tố tương đối nào A, B, C.

A. M. Abramov,
N. B. Vasiliev

M838. Tất cả các điểm nằm trên các cạnh của tam giác đều ABC được chia thành hai tập hợp E1 và E2. Có đúng là đối với bất kỳ phân vùng nào như vậy thuộc một trong các tập E1 và E2 đều có ba đỉnh của một tam giác vuông không?

ĐÁP: đúng. Ta sẽ tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Đặt các điểm của tập E1 được bao quanh bằng màu này và các điểm của tập E2 có màu đỏ. Giả sử rằng không có tam giác vuông có các đỉnh đơn và xét một lục giác đều nội tiếp tam giác ABC (xem hình). Mỗi hai đỉnh đối diện của nó phải được tô màu khác nhau - ví dụ: nếu các đỉnh đối diện P và Q có màu xanh lam, thì bất kỳ đỉnh nào trong bốn đỉnh còn lại phải có màu đỏ, vì cùng với P và Q, chúng tạo thành một tam giác vuông; nhưng khi đó ba điểm đỏ bất kỳ tạo thành một tam giác vuông một phần bị cấm.

Rõ ràng là trong trường hợp này nó sẽ tìm thấy hai đỉnh cose của hình lục giác có màu khác nhau. Hai đỉnh này hoặc những đỉnh đối diện với chúng (cũng có màu khác nhau!) nằm trên một trong các cạnh của tam giác. Để định nghĩa, đặt đỉnh K và L màu đỏ nằm trên cạnh AB thì các đỉnh K1 và L1 đối diện với chúng sẽ có màu đỏ và xanh lam (xem hình). Nhưng khi đó, bất kể đỉnh A được sơn màu gì thì một trong các tam giác đối diện AKL1 và ALK1 sẽ có trọng số đơn. Sự mâu thuẫn.

Lý luận này chứng tỏ rằng ngay cả một tập hợp tám điểm—các đỉnh của một hình lục giác và hai đỉnh bất kỳ của một tam giác—không thể là tập hợp con nếu không có các tam giác vuông.

N. B. Vasiliev, V. N. Dubrovsky

M839*. Có thể chọn 1983 số tự nhiên không vượt quá 10^5 sao cho các số được chọn không chứa một bộ ba số nào gồm

42

Thủ tục số học Liaotsikh (nghĩa là không phải một bộ ba $a, b, c$, trong đó $a + c = 2b$)?

Không phải là trung bình số học của hai cái còn lại). Hãy chứng minh rằng từ tập $1, 2, \dots, 5 \cdot 3^k$ ($k \geqslant 0$) chúng ta có thể chọn được một tập con “tốt” $X_k$ gồm $4 \cdot 2^k$ số.

Hình này thể hiện các bước đầu tiên trong quá trình xây dựng quy nạp của tập hợp được yêu cầu: $X_0 = \{1, 2, 4, 5\}$ và $X_{k+1} = X_k \cup Y_k$, trong đó tập hợp $Y_k$ được lấy từ $X_k$ với bộ đào trên $2a_k$, $a_k$ là số lớn nhất trong $X_k$. Do đó, $a_{k+1} = 3a_k$ và $a_k = 5 \cdot 3^k$, tức là $X_k \subset \{1, 2, \dots, 5 \cdot 3^k\}$, ngoài ra, ở mỗi bước, số lượng số trong tập hợp “tốt” của chúng tôi sẽ bị loại bỏ, tức là $X_k$ bao gồm $4 \cdot 2^k$ số. Chúng ta hãy chứng minh bằng quy nạp rằng mọi tập hợp $X_k$ đều “tốt”. Đối với $X_0$ điều này là hiển nhiên. Hãy kiểm tra xem giá trị trung bình số học của hai số từ $X_{k+1}$ có được bao gồm trong $X_{k+1}$ hay không. Vì theo giả thuyết quy nạp của tập hợp $X_k$ và với nó $Y_k$, “tốt”, chúng ta có thể giả sử rằng một trong những số này, $x$, được chứa trong $X_k$, và số kia, $y$, trong $Y_k$. Sau đó $0 < x \leqslant a_k$, $2a_k < y \leqslant 3a_k$, do đó $a_k < (x + y)/2 \leqslant 2a_k$, nhưng các số từ $a_k + 1$ đến $2a_k$ không được đưa vào $X_{k+1}$ theo cách xây dựng.

Vẫn còn phải thay thế rằng tập hợp $X_9$ chứa $4 \cdot 2^9 = 2048 > 1983$ số và tất cả chúng không vượt quá $a_9 = 5 \cdot 3^9 = 98415 < 10^5$.

A. M. Abramov

M840. a) Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là đường kính các cạnh của một tam giác thì bất đẳng thức đúng

$$a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geqslant 0.$$

Tìm hiểu trong trường hợp nào nó trở thành đẳng thức.

b) Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$a^3b + b^3c + c^3a \geqslant a^2bc + b^2ca + c^2ab.$$

Rõ ràng rằng đẳng thức $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2$ có thể xảy ra khi các vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ thẳng hàng, tức là $\frac{a^3b}{c} = \frac{b^3c}{a} = \frac{c^3a}{b}$ hoặc $a = b = c$.

Ngoài ra còn có một bằng chứng ngắn gọn sử dụng các bình phương đầy đủ:

$$a^3b + b^3c + c^3a - a^2bc - b^2ca - c^2ab = (a^3b - 2a^2bc + c^2ab) + (b^3c - 2b^2ca + a^2bc) + (c^3a - 2c^2ab + b^2ca) = ab(a-c)^2 + bc(b-a)^2 + ca(c-b)^2 \geqslant 0.$$

a) Hãy trình bày hai lời giải.

lời giải đầu tiên sử dụng sự thay đổi của các biến $x + y = c$, $y + z = a$, $z + x = b$ ($x, y, z$ là các đoạn mà các cạnh của tam giác được chia cho các điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp). Có thể chứng minh rằng sau khi thay thế này bất đẳng thức ở phần a) được rút gọn về dạng

$$xy^3 + yz^3 + zx^3 \geqslant x^2yz + y^2zx + z^2xy,$$

và bất đẳng thức này, như chúng ta đã chứng minh ở trên, đúng với mọi $x, y, z$ không xác định.

Đồng thời, để không bị nhầm lẫn trong tính toán và không tính được hết các số hạng của khai triển, có thể sử dụng “sự đối xứng” của vế trái của bất đẳng thức ở điểm a) đối với chu kỳ