Kvant 1986, số 5 · Trang

QUANTUM
5
1986
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
Tại sao lại có một ngăn xếp máy tính vi mô?

Năm nay đánh dấu kỷ niệm 30 năm thành lập Hiệp hội Chu kỳ - một trung tâm quốc tế quốc tế tọa lạc tại Dubna 20-rod gần Moscow.

Các nhà khoa học từ Volgaria, Anh, Việt Nam, Đông Đức, Bắc Triều Tiên, Cuba, Mông Cổ, Ba Lan, Romania, Liên Xô và Tiệp Khắc đang tiến hành nghiên cứu tại JIN.

Hình ảnh cho thấy một trong những cơ sở thử nghiệm cơ bản của Viện Xích lô Tham số của các máy gia tốc hạt nặng tốt nhất thế giới.

1

TRONG PHÒNG:

2. K. Yu. Boedanov. Chúng ta thở như thế nào?
3. A. P. Veselov. Về toán học của dao động điều hòa
4. Yu. G. Pavlenko. Nghịch lý vệ tinh
   K. Yu. Bogdanov. How do we breathe?
   A. P. Veselov. On the mathematics of harmonic oscillations
   Yu. G. Pavlenko. The sputnik paradox

vòng tròn toán học
16. V. V. Prasolov. Diện tích sử dụng…
Mathematics circle
V. V. Prasolov. Using area…

Trường học ở «Kvant»
20. Vật lý 8, 9, 10
Kvant’s school
Physics 8, 9, 10

«Kvant» cho học sinh nhỏ
25. Bài toán
26. A. I. Buzdin. Một chút về nhiệt kế và nhiệt kế Ferdinada
Kvant for younger school children
Problems
A. I. Buzdin. A little about thermometers and Ferdinand’s thermoscope

Bài toán Kvant
28. Vấn đề M981—M985; F993—F997
30. Lời giải bài toán M961—M965; F973—F977
Kvant’s problems
Problems M981—M985; P993—P997
Solutions M961—M965; P973—P977

Kính vạn hoa «Kvant»
Kvant’s kaleidoscope

Nghệ thuật lập trình
39. L. F. Sternberg. Tại sao một máy tính vi mô cần một ngăn xếp?
The art of programming
L. F. Shternberg. Why the pocket calculator has a stack

Các phần tử bán dẫn của công nghệ máy tính
44. IX. Trình cộng
Semiconducting elements in computers
IX. Summators

Xưởng của người nộp đơn
46. M. R. Liberzon. Khối phụ trợ
College applicant’s section
M. R. Liberson. Auxiliary cubes

Các lựa chọn thi tuyển sinh
51. College entrance examination problems

Thế vận hội
57. Olympic toàn liên minh đầu tiên
môn toán cho học sinh trung học chuyên nghiệp
Olympiads
First All-Union mathematics olympiad for secondary professional-technical institutions

Đáp số, gợi ý, lời giải
«Kvant» nụ cười (8)
Pha trộn (58)
Trang cờ vua
Bảng cân (trang thứ 3 của bìa)
Answers, hints, solutions
Kvant smiles (8)
Miscellaneous (58)
The chess page
Infinite chessboard (3rd cover page)

Đáp số đối với câu hỏi được đặt ra ở trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ tìm thấy trong bài viết của L. F. Sternberg (xem trang 39).

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1986

3

Chúng ta thở như thế nào?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
K. Y. BOGDANOV

Điện tâm đồ cho bạn biết điều gì? Làm thế nào để dơi bắt muỗi trong bóng tối hoàn toàn? Chim bồ câu tìm đường về nhà bằng cách nào? Đáp số những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác được giải đáp bởi vật lý sinh học - một ngành khoa học nghiên cứu các hiện tượng vật lý trong cơ thể sống, nằm ở điểm giao thoa giữa vật lý và sinh học, sử dụng những thành tựu mới nhất của vật lý trong nghiên cứu sinh học. Hãy thử, trang bị kiến ​​thức vật lý ở trường của chúng ta, để trả lời một câu hỏi có vẻ đơn giản: chúng ta thở như thế nào?*)

Hệ hô hấp của chúng ta

Trong quá trình thở bình thường, cơ thể chúng ta tiêu thụ khoảng 0,5 kg oxy mỗi ngày và thải ra gần như cùng một lượng carbon dioxide. Cả sự xâm nhập của oxy và sự thoát ra của carbon dioxide đều xảy ra qua phổi.

Không gian bên trong của phổi giao tiếp với khí quyển thông qua đường hô hấp. Đường hô hấp bao gồm khoang mũi, nơi không khí thở ra được làm nóng và làm ẩm, hầu họng, thanh quản, khí quản và hai phế quản chính cung cấp không khí cho phổi phải và phổi trái. Mỗi phế quản mở rộng thành các phế quản nhỏ hơn (tiểu phế quản) và kết thúc bằng các túi vi phổi - phế nang, được bao quanh tứ phía bởi một mạng lưới mạch máu. Phế nang, có số lượng khoảng 700 triệu ở người trưởng thành, là những bong bóng chứa đầy không khí được kết nối với nhau (hình 1). Tại bất kỳ thời điểm nào, các mạch máu bao quanh phế nang chứa khoảng 70 ml máu, từ đó

*) Từ biên tập viên và. Số thứ 49 của “Viblotechka «Kvant»” - cuốn sách của K. Yu. Bordanov “Nhà vật lý đến thăm nhà sinh vật học” sẽ sớm được xuất bản. Chúng tôi khuyên những ai yêu thích vật lý và sinh học nên đọc cuốn sách này; cho tất cả những ai thích đặt câu hỏi, quan sát thế giới xung quanh chúng ta.

1*

4

Năm 1929, nhà khoa học Thụy Sĩ Carl von Ningrad phát hiện ra rằng áp lực cần thiết cho sự phát triển của phổi có thể giảm đáng kể bằng cách lấp đầy phổi bằng dung dịch sinh lý. Điều này không liên quan gì đến ý tưởng coi phế nang là những quả bóng đàn hồi rỗng: nếu khi hít vào, chúng ta chỉ phải thắng lực đàn hồi, thì nỗ lực của chúng ta sẽ không phụ thuộc vào việc phổi có chứa đầy dung dịch hay không - xét cho cùng, lực đàn hồi không phụ thuộc vào điều này. Dữ liệu mà Ningrad thu được trở nên rõ ràng hơn khi hóa ra mỗi phế nang được bao phủ từ bên trong bằng một lớp chất lỏng mỏng. Tình huống này ảnh hưởng đáng kể đến tính chất cơ học của phế nang. Đặc biệt, áp lực cần thiết cho sự phát triển của phế nang lớn hơn so với trường hợp một quả bóng mô phổi rỗng. Và đây là lý do tại sao.

Người ta biết rằng bề mặt của chất lỏng hoạt động giống như một màng bị kéo căng - nó có sức căng bề mặt. Để đánh giá vai trò của lực căng bề mặt trong cơ học của phế nang, hãy xem xét một màng chất lỏng có hình cầu (ví dụ đơn giản nhất về màng như vậy là bong bóng xà phòng).*) Do sức căng bề mặt của chất lỏng, áp suất không khí bên trong bong bóng luôn lớn hơn áp suất bên ngoài. Độ lớn của áp suất dư bên trong một quả cầu có bán kính $R$ được xác định bằng tương ứng Laplace $\Delta p=2\sigma/R$, trong đó $\sigma$ là hệ số căng bề mặt của màng. Áp suất dư này càng lớn thì bán kính của quả cầu càng nhỏ. Trong màng bong bóng xà phòng, cả mặt trong và mặt ngoài đều tiếp xúc với một lực tác động $\sigma$ của màng bằng hai lần hệ số căng bề mặt của chất lỏng. Trong phế nang, sự tiếp xúc giữa không khí và chất lỏng chỉ xảy ra ở một bên, từ bên trong.

Hãy ước tính các giá trị của $\Delta p$. Đối với dịch gian bào $\sigma = 5 \cdot 10^{-2}$ N/m; Chúng ta cũng hãy chấp nhận giá trị này đối với chất lỏng lót bề mặt bên trong của phế nang. Qua-

*) Trong loạt bài “Viblotechka «Kvant»” năm 1985 (số 46), Ya. Cuốn sách “Bong bóng” của E. Geguzin đã được xuất bản. Trong đó, người đọc sẽ tìm thấy lời giải thích chi tiết về bề mặt của bong bóng xà phòng trong các điều kiện khác nhau và nói chung là rất nhiều thông tin thú vị về vòng đời của bong bóng. (Ghi chú của biên tập viên)

5

ly có kích thước khác nhau. Trước tiên chúng ta hãy giả sử rằng các khoang khí của phế nang không thông tin với nhau (hình 3, a). Áp suất không khí $p_1$ ở phế nang bên trái lớn hơn áp suất $p_2$ ở phế nang bên phải (vì $R_1 < R_2$). Do đó, ngay khi chúng ta mở “vòi” nối các khoang khí của phế nang, không khí từ phế nang bên trái bắt đầu chảy vào bên phải cho đến khi áp suất ở cả hai phế nang trở nên như nhau (hình 3, b). Như vậy, khi nối các khoang khí của hai phế nang không bằng nhau, phế nang lớn hơn sẽ luôn phồng lên và phế nang nhỏ hơn sẽ xẹp xuống. Rõ ràng, sự tương tác như vậy giữa các phế nang lân cận sẽ dẫn đến sự xẹp của tất cả các phế nang nhỏ của phổi và làm vỡ các phế nang lớn; kết quả là phổi không thể thực hiện được chức năng của nó nữa. Làm thế nào chúng ta vẫn còn thở?

Khi xem xét sự tương tác giữa các phế nang lân cận, chúng tôi đã giả định trước rằng sức căng bề mặt là như nhau đối với các phế nang khác nhau và không phụ thuộc vào trạng thái của chúng - phồng lên hay xẹp xuống. Trong chất lỏng nguyên chất, sức căng bề mặt thực tế không phụ thuộc vào kích thước của bề mặt. Nhưng đối với chất lỏng chứa nhiều tạp chất khác nhau, σ phụ thuộc vào kích thước bề mặt mà chúng tiếp giáp với khí.

Một lần nữa, Thiên nhiên đã chu cấp cho mọi thứ. Chất chứa dưới dạng tạp chất trong chất lỏng làm ướt bề mặt phế nang từ bên trong có giá trị sức căng bề mặt đều đặn đến mức σ là tối thiểu khi bắt đầu hít vào (bề mặt tối thiểu) và tối đa ở cuối (bề mặt tối đa). Do đó, mặc dù thực tế là bán kính của phế nang khi bắt đầu hít vào rất nhỏ nhưng cấu trúc bao gồm rất gần với xà phòng thông thường và khi hòa tan sẽ tạo thành một lớp màng mỏng trên bề mặt nước. Nếu nồng độ của tạp chất cao để màng có thể bao phủ toàn bộ bề mặt nước bằng một lớp liên tục thì σ của chất lỏng đó bằng giá trị được xác định cho một tạp chất nhất định. Khi nồng độ tạp chất không đủ để bao phủ toàn bộ bề mặt bằng một lớp màng thì sức căng bề mặt của chất lỏng sẽ nằm giữa các giá trị tương ứng của σ đối với nước và tạp chất. Trong những trường hợp này, bề mặt chất lỏng dẫn đến giảm nồng độ bề mặt của tạp chất và làm tăng σ, đưa giá trị của nó đến gần σ đối với nước. Khi bề mặt chất lỏng giảm đi thì σ sẽ giảm đi.

Bây giờ chúng ta hãy xem hình 4. Nó cho thấy sự phụ thuộc của sức căng bề mặt vào diện tích bề mặt tiếp xúc của khuôn với không khí. Xin lưu ý: đối với cùng một diện tích bề mặt tiếp xúc, khuôn σ khi “hít vào” luôn lớn hơn khi “thở ra”. Điều này được kết nối với điều này. Tạp chất làm giảm sức căng bề mặt không chỉ nằm trên bề mặt khuôn mà còn ở vật thể của nó.

6

Tôi. Khi diện tích bề mặt tăng lên, nghĩa là nồng độ tạp chất trên bề mặt giảm, một số phân tử tạp chất từ ​​độ sâu của chất lỏng sẽ lao lên bề mặt. Tuy nhiên, trạng thái cân bằng không được thiết lập ngay lập tức. Do đó, ví dụ, khi bắt đầu “hít vào”, bề mặt chất lỏng tăng nhanh bị cản trở bởi sự tăng mạnh của σ, vì sự hòa tan trong thể tích tạp chất không có thời gian để chạm tới bề mặt; trạng thái cân bằng giữa các phân tử tạp chất chỉ xảy ra khi kết thúc quá trình “hít vào”. Tương tự như vậy, chỉ khi kết thúc quá trình “hít vào” σ mới tương ứng với trạng thái cân bằng. Những điều này giải thích sự phụ thuộc của σ vào diện tích bề mặt được thể hiện ở hình 4.

Các chất trong phổi đến từ đâu có tác dụng làm giảm sức căng bề mặt và nhờ đó giúp chúng ta thở dễ dàng hơn? Rõ ràng chúng được tổng hợp bởi các tế bào đặc biệt nằm trong thành phế nang. Sự tổng hợp các chất này, được gọi là chất hoạt động bề mặt, xảy ra trong suốt cuộc đời của một người - từ khi sinh ra cho đến khi chết. Đường cong 2 ở hình 4 tương ứng với dịch phổi có hàm lượng chất hoạt động bề mặt giảm. Có thể thấy, giá trị tối thiểu của σ tăng gần gấp 8 lần so với định mức. Trong những trường hợp hiếm hoi khi trẻ sơ sinh không có tế bào trong phổi sản xuất chất hoạt động bề mặt, trẻ không thể tự mình hít thở lần đầu tiên. Thật không may, nhiều trẻ sơ sinh trên khắp thế giới vẫn chết khi chưa kịp trút hơi thở đầu tiên do thiếu hoặc không có chất hoạt động bề mặt trong phế nang của chúng.

Ngoại lệ đối với quy tắc

Tuy nhiên, nhiều loài động vật thở bằng phổi không hề bị ảnh hưởng bởi thực tế là không có chất hoạt động bề mặt trong phế nang của chúng. Trước hết, điều này áp dụng cho động vật máu lạnh - ếch, thằn lằn, rắn, cá sấu, v.v. Vì những động vật này không cần lãng phí năng lượng để sưởi ấm cơ thể nên nhu cầu oxy của chúng trung bình ít hơn mười lần so với động vật máu nóng. Do đó, bề mặt của phổi, nơi diễn ra quá trình trao đổi khí giữa máu và không khí, ở động vật máu lạnh nhỏ hơn ở động vật máu nóng. Sự giảm tương đối diện tích bề mặt của phổi trên một đơn vị thể tích ở động vật máu lạnh có liên quan đến sự gia tăng đường kính phế nang của chúng khoảng 10 lần so với phế nang của động vật máu nóng. Bán kính tương đối lớn hơn của phế nang giúp chúng dễ dàng phồng lên ngay cả khi không có chất hoạt động bề mặt trên bề mặt bên trong của chúng (xét cho cùng, Δp~1/R).

Nhóm động vật thứ hai mà phổi thiếu chất hoạt động bề mặt là chim. Chim có máu nóng và có lối sống khá sôi động. Mức tiêu hao năng lượng của các loài chim và động vật có vú có cùng trọng lượng gần nhau. Nhu cầu oxy của chim cũng cao. Hơn nữa, phổi của chim có khả năng độc đáo là làm bão hòa oxy trong máu khi bay ở độ cao cao hơn (khoảng 6000 m), nơi nồng độ của nó trong không khí giảm một nửa so với nồng độ ở mực nước biển. Bất kỳ động vật có vú nào (bao gồm cả con người) ở độ cao như vậy đều bắt đầu bị thiếu oxy, hạn chế nghiêm trọng hoạt động ăn kiêng và thậm chí đôi khi rơi vào trạng thái ngất xỉu. Làm thế nào mà phổi của một con chim, vốn không có chất hoạt động bề mặt, có thể thở và làm bão hòa máu bằng oxy? Tại sao điều này không có tác dụng ở động vật có vú?

7

Hãy tham gia vào việc tự phê bình. Phổi có vấn đề gì vậy? Thứ nhất, không phải tất cả không khí nhìn thấy đều tham gia trao đổi khí với vòm: không khí đi vào khí quản và phế quản khi kết thúc thì hít vào sẽ không thể cung cấp oxy cho vòm và lấy carbon dioxide từ đó, vì thực tế không có mạch máu ở những nơi này của phổi. Phần thể tích phổi bị khí quản và phế quản chiếm giữ thường được gọi là “khoảng chết”. Tổng “không gian chết” của phổi con người có thể tích khoảng 150 cm³. Bạn có thể tăng lượng “không gian chết” một cách giả tạo bằng cách ép mình thở qua một ống dài. Bất cứ ai cố gắng làm điều này có lẽ đã nhận thấy rằng cần phải tăng độ sâu của hơi thở (lượng không khí hít vào). Rõ ràng, nếu thể tích của “không gian chết” được tạo ra bằng lượng hít vào tối đa có thể (khoảng 4,5 dm³), thì người đó bắt đầu ngạt thở, vì không khí trong lành sẽ ngừng chảy hoàn toàn vào phế nang. Như vậy, sự tồn tại “khoảng chết” trong hệ hô hấp của động vật có vú là một “sai lầm” của Tạo hóa.

Theo chúng tôi, khi tạo ra phổi của động vật có vú, Thiên nhiên đã mắc phải “sai lầm” thứ hai. Nhược điểm này là do sự chuyển động của không khí trong phổi thay đổi hướng trong quá trình chuyển từ hít vào sang hít vào. Gần một nửa thời gian có một số tính năng an toàn thực tế - trong quá trình hít vào, không khí trong lành không đi vào phế nang.

Nhưng với loài chim, Thiên nhiên lại một lần nữa đạt đến sự hoàn hảo. Ngoài phổi bình thường, chim còn có một hệ thống bổ sung bao gồm một điểm và nhiều cặp túi khí liên kết với phổi (hình 5). Các khoang của những túi này phân nhánh rộng rãi trong cơ thể và kéo dài đến tận xương trẻ sơ sinh, thậm chí đôi khi vào đến các xương nhỏ của các đốt ngón tay. Kết quả là hệ hô hấp của Utica chiếm khoảng 20% ​​thể tích cơ thể (2% - phổi và 18% - túi khí), trong khi ở người - chỉ 5%. Phổi của chim, trái ngược với phổi của động vật có vú, là một ống mỏng nối song song được cải tiến, mở ra cho quá trình hô hấp, được bao quanh bởi các mạch máu. Sự kết nối của các túi với phổi sao cho khi không khí được hít vào qua phổi của chim, dòng khí sẽ cùng hướng với khi nó thở ra. Trong quá trình thở ở chim, chỉ có thể tích không khí trong túi thay đổi, trong khi thể tích của phổi thực tế không đổi. Và nếu có nhu cầu làm phồng phổi thì cũng không cần đến chất hoạt động bề mặt trong phổi chim.

Đó là bao nhiêu điều thú vị có thể được nói trong đáp số về một câu hỏi tưởng chừng đơn giản - chúng ta thở như thế nào.

8

Báo Step là khách của chúng tôi
“Andromeda” FALT MIPT

FALT là Khoa Cơ khí và Công nghệ bay của Viện Vật lý và Công nghệ Moscow. Nó được mô tả chi tiết trong «Kvant» số 5 năm 1975. Và hôm nay chúng tôi cung cấp cho một trang tạp chí của chúng tôi một số riêng của tờ báo sinh viên của khoa này.

Về mục tiêu và thành tích
Thà tìm cả một con sâu trong một quả táo bị cắn còn hơn là tìm một nửa con sâu đó.

Thông báo
Tôi đổi một hòn đá lớn lấy hai hòn đá nhỏ. Sisyphus.

Về điện tử
Nếu bạn muốn bật bóng đèn thì:

1. Cắm phích cắm của bóng đèn vào ổ cắm điện.
2. Nhấn nút chuyển đổi.
3. Hãy chắc chắn rằng đèn sáng.
4. Đợi vài phút, sau đó, sau khi nổi trên ngón tay, hãy chạm vào bóng đèn - nếu bật đúng cách, bóng đèn sẽ nóng.

Khuyên bảo
Bóng đèn điện sẽ không bị cháy nếu dây tóc vonfram được bôi trơn bằng dầu hướng dương.

Cách làm phong vũ biểu
Nguyên vật liệu:

1. Cọc bạch dương 2. Ván ép (12 mm). 3. Dây thừng. 4. Móng tay.

Chế tạo:
theo bản vẽ đính kèm.

Nguyên tắc hành động.

1. Cái đuôi sẽ tồn tại - cơn gió.
2. Đuôi sẽ không tồn tại - không có gió.
3. Đuôi dựng đứng - trước cơn giông bão.
4. Mưa đang nhỏ giọt từ đuôi.
5. Một cái bóng rơi từ đuôi - trời nắng.
6. Không có bóng từ đuôi - trời nhiều mây.
7. Có sương ở đuôi - sương giá.
8. Không nhìn thấy đuôi - sương mù.

Tin tức
Các đường hầm gió cỡ nhỏ cho M=20 hoạt động liên tục với Re lên tới 10⁸ đã được bán tại cửa hàng Detsky Mir của khu thương mại công nghiệp thành phố địa phương. Trò chơi sẽ thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu cấp cao và cấp dưới.
(Lưu ý cho ai chưa biết: M là số Mach, bằng tỉ số giữa tốc độ dòng khí và tốc độ âm thanh trong chất khí này; Re là số Reynolds, xem từ điển bách khoa vật lý.)

9

Về toán học của dao động điều hòa

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. VESELOV

Theo nhà vật lý lý thuyết, dao động và sóng là phương tiện chính để hiểu thế giới thực. Mọi thứ đều có thể dao động - mọi đồ vật, chất khí; ánh sáng, âm thanh, xung thần kinh suy cho cùng đều là các loại rung động.

Viện sĩ S. P. Novikov

Đồng hồ mềm, sóng biển, dao động, sự thay đổi ngày và đêm, sự thay đổi theo mùa trong tự nhiên - mỗi bạn có thể thêm vào danh sách này nhiều ví dụ khác về hiện tượng dao động. Giống như nhiều quá trình tiến hóa *), chúng có thể được mô tả bằng ngôn ngữ toán học của các phương trình vi phân. Môi trường của các phương trình vi phân mô tả dao động của cái này hay cái kia

*)Cm. bài viết của V.I. Arnold ở «Kvant» số 2 năm nay.

Trong một hệ khác, đơn giản nhất (và do đó quan trọng nhất) là phương trình của bộ dao động tuyến tính (từ tiếng Latin oscillatio - dao động) (hoặc bộ dao động điều hòa, hoặc dao động điều hòa, hoặc dao động nhỏ của ma trận):

$$\ddot{x} + \omega^2 x = 0.$$

Ở đây $\ddot{x}$ biểu thị tích thứ hai $\ddot{x} = x''(t)$ theo thời gian $t$ của hàm $x = x(t)$, mô tả độ lệch của hệ so với vị trí cân bằng và $\omega^2$ là một tham số nào đó (tất nhiên là dương).

Ở đây chúng ta sẽ mổ xẻ ở đâu và bằng cách nào thu được phương trình của bộ dao động tuyến tính - mặc dù học sinh lớp 10 đã biết về điều này từ khóa học vật lý (Vật lý 10, đoạn 4) - và sau đó chúng ta sẽ nghiên cứu nó từ quan điểm toán học.

Phương trình dao động tuyến tính xuất hiện ở đâu?

Bất cứ nơi nào phương trình này xuất hiện! Thẩm phán cho chính mình.

1. Các dao động nhỏ của ma trận. Cho một vật có khối lượng nhỏ $m$ được treo trên một sợi dây mỏng không dãn có chiều dài $l$, kích thước của nó (a là

10

phản ứng và lực cản của không khí) có thể bỏ qua. Một hệ thống như vậy được gọi là ma trận toán học. Chúng ta hãy xem xét sự dao động của nó đối với những sai lệch nhỏ của sợi so với phương thẳng đứng, tức là nhỏ α (hình 1). Chúng ta ký hiệu x là độ dài của cung BA: x=lα (α là giá trị của góc BOA tính bằng radian). Sau đó, phân tích trọng lực và P=mg thành hai thành phần T và F (xem hình 1), ta thấy giá trị của F bằng mgsin α và phương trình chuyển động theo định luật Newton cho

$$m l \ddot{\alpha} = - mg \sin \alpha,$$

hoặc

$$\ddot{\alpha} = - \frac{g}{l} \sin \alpha.$$

Chúng ta thu được một phương trình (phi tuyến tính) liên quan đến độ lệch α=α(t). Bây giờ chúng ta lợi dụng độ nhỏ của α, giới hạn lim (sin α/α)=1 và thay sin α ở vế phải bằng α, nghĩa là chúng ta tiến hành tuyến tính hóa. Kết quả là chúng ta thu được một phương trình (tuyến tính) có dạng (*) với ω=\sqrt{g/l}.

2. Cơ thể bên ngoài (hình 2). Khi lệch khỏi vị trí cân bằng một x nhất định, vật chịu, theo định luật Hooke, một lực F = -kx từ phía lò xo, trong đó k là đại lượng gọi là độ cứng của lò xo. Phương trình chuyển động trùng với () tại ω=\sqrt{k/m}. Tất nhiên, ở đây cũng vậy, biểu thức lực (và do đó phương trình ()) sẽ chỉ chính xác đối với những sai lệch không quá lớn so với vị trí cân bằng.

3. Một mạch dao động (hình 3), gồm một tụ điện có điện dung C và độ tự cảm L. Điện tích của tụ q thay đổi khi không có điện trở tác dụng theo định luật L\ddot{q}+\frac{1}{C}q=0 (“Vật lý 10”, đoạn 15), tương ứng với phương trình (*) cho ω=1/\sqrt{LC}.

4. Tàu thông tin liên lạc. Nếu trong một ống có hình chữ U (hình 4), mức chất lỏng (ví dụ: thủy ngân) lệch một lượng nhất định so với vị trí cân bằng, thì chất lỏng bắt đầu luân phiên tăng (và giảm) ở mỗi đoạn thẳng đứng của ống. Nếu độ lệch ban đầu nhỏ (như trường hợp này) thì độ lệch x=x(t) của mực chất lỏng tuân theo phương trình (*).

5. Tỷ trọng kế (hình 5). Nếu thiết bị này, dùng để đo mật độ của chất lỏng, hơi lệch về độ sâu so với vị trí cân bằng, thì do định luật Archimedes, nó bắt đầu dao động lên trên và ra ngoài. Những dao động này cũng được mô tả khá chính xác bằng phương trình (*) (trong mọi trường hợp, cho đến khi quá trình đào tạo bắt đầu diễn ra).

Điều khiển (dành cho những người yêu thích vật lý). Tìm đạo hàm của phương trình (*) cho ví dụ áp chót (4), biểu thị ω dưới dạng các tham số phù hợp.

Tất cả các ví dụ trên có điểm gì chung? Trạng thái của hệ được mô tả bởi một tham số x, tham số này thay đổi xung quanh vị trí cân bằng của nó x=0; trên hệ tác dụng, lực F(x) chỉ phụ thuộc vào tham số x. Bỏ qua thế năng, tham số biến thiên theo định luật II Newton có dạng $\ddot{x}=F(x)$. Trong trường hợp này, F(0)=0, vì x=0 là vị trí cân bằng. Nếu hàm F(x) có

11

CÓ MỘT ĐẠO TỨC KHÔNG 0 TẠI 0: $F'(0) = \lim_{x \to 0} (F(x)/x) = a$, thì đối với $x$ nhỏ chúng ta có thể thay thế vế phải của $(F(x))$ bằng $ax$. Trong trường hợp này, $a$ phải âm, nếu không thì không thể có dao động nào ở gần số 0! Do đó, chúng ta đi đến phương trình tuyến tính (*), trong đó $\omega = \sqrt{-a} = \sqrt{-F'(0)}$.

Tất nhiên, quy trình tuyến tính hóa đã chỉ định sẽ dẫn đến một phương trình vi phân không tương đương, tuy nhiên phương trình này mô tả chính xác bức tranh định tính của chuyển động hướng tới vị trí cân bằng. Điều này bị ràng buộc phổ biến bởi phương trình dao động tuyến tính (*), cũng như tên của nó.

Sự tồn tại và duy nhất lời giải

Có thể dễ dàng kiểm tra rằng phương trình (*) thỏa mãn các hàm $x = \cos \omega t$ và $x = \sin \omega t$, và do đó các tổ hợp tuyến tính của chúng, tức là các biểu thức có dạng

$$x(t) = a \cos \omega t + b \sin \omega t$$

(hãy kiểm tra xem!) *. Hãy chứng minh rằng phương trình này không có lời giải nào khác.

Ta lợi dụng rằng trong quá trình chuyển động các đại lượng sau được bảo toàn

$$E = \frac{1}{2} (\dot{x}^2 + \omega^2 x^2) = \text{const}$$

(định luật bảo toàn năng lượng).

Thật vậy, $\dot{E} = \dot{x} \dot{x} + \omega^2 x \dot{x} = \dot{x} (\dot{x} + \omega^2 \dot{x}) = 0$, ngụ ý rằng $E = \text{const}$.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét tích của phương trình (): $x = x_1(t)$ và dữ liệu ban đầu của nó $a = x_1(0)$ và $\beta = \dot{x}_1(0)$. Chúng ta hãy chọn các hệ số $a$ và $b$ trong biểu thức $x_2 = a \cos \omega t + b \sin \omega t$ sao cho $x_2(0) = a$, $x_2(0) = \beta$. Để làm điều này, chỉ cần đặt $a = a$, $b = \beta/\omega$. Bây giờ chúng ta hãy tạo ra sự khác biệt $x(t) = x_1(t) - x_2(t)$, đây sẽ là giải pháp cho () (đánh dấu vào phần này). Dữ liệu ban đầu của nó sẽ bằng 0: $x(0) = \dot{x}(0) = 0$. Do định luật bảo toàn năng lượng

$$E = \frac{1}{2} (\dot{x}^2 + \omega^2 x^2) = \frac{1}{2} (\dot{x}^2(0) + \omega^2 x^2(0)) = 0,$$

$\dot{x}(t) \equiv x(t) \equiv 0$ đến từ đâu, tức là

$$x_1(t) \equiv x_2(t) \equiv \alpha \cos \omega t + \frac{\beta}{\omega} \sin \omega t.$$

Chúng tôi đã chỉ ra rằng mọi lời giải $x_1(t)$ đều có dạng (**), trong đó $a$ và $b$ được xác định duy nhất bởi dữ liệu ban đầu: Trong quá trình chứng minh, chúng tôi cũng thu được công thức cho lời giải thông qua dữ liệu ban đầu.

Chạy theo vòng tròn trên mặt phẳng pha

Chúng ta hãy chú ý đến những trường hợp đáng ngạc nhiên sau đây. Trong phương trình hoàn hảo (), số $n$ bất ngờ bị ẩn, mặc dù không có đề cập đến bất kỳ vòng tròn nào trong câu lệnh bài toán. Trên thực tế, tất cả các phương trình lời giải () (ngoại trừ $x(t) \equiv 0$) hóa ra là hàm tuần hoàn của thời gian và tích chu kỳ của chúng với $\omega$ bằng $2\pi$. Vì số $n$ đã xuất hiện nên chúng ta hãy thử tìm một hình tròn.

Tìm nó ở đâu? Chúng ta sẽ tìm nó trên mặt phẳng pha, tức là trên mặt phẳng có tọa độ $(u; v)$, trong đó $u = x$, $v = \dot{x}$. Các điểm $(u; v)$ của mặt phẳng này được gọi là điểm pha; chúng mô tả trạng thái của hệ: tọa độ $u = x$ biểu thị độ lệch của hệ so với vị trí cân bằng và tọa độ $v = \dot{x}$ biểu thị tốc độ chuyển động của nó tại một thời điểm nhất định. Theo thời gian, vị trí của điểm pha $(u; v) = (x(t); \dot{x}(t))$ thay đổi và nó mô tả một đường nhất định trên mặt phẳng pha, được gọi là quỹ đạo pha. Cái nào?

12

Người đọc nhanh trí có lẽ đã nghĩ - đó không phải là một vòng tròn sao?

Chúng ta đừng đi trước mọi thứ. Cho đến nay chúng ta chỉ có một hình elip - đường mức năng lượng $E = \text{const}$, tức là đường

$$\omega^2 u^2 + v^2 = 2E$$

(1)

(chúng tôi nhân với hai để không bận tâm đến các phân số không cần thiết), được hiển thị trên hình 6. Do định luật bảo toàn năng lượng, điểm pha $N(t) = (x(t); \dot{x}(t))$, tại thời điểm $t$ có ​​năng lượng $E$, sẽ luôn nằm trên hình elip (1), tức là nó sẽ di chuyển dọc theo hình elip.

Chúng ta hãy dựng một đường tròn trên trục hoành của nó làm đường kính và vẽ một đường thẳng đi qua điểm pha $N(t)$, song song với trục $Ov$, cho đến khi nó cắt đường tròn tại điểm $M(t)$. Khi đó tọa độ dọc theo trục $x$ của điểm $N(t)$ sẽ trùng với tọa độ dọc theo trục $x$ của điểm $M(t)$, tức là sẽ bằng $x(t)$.

Chúng ta hãy biến đổi biểu thức (**) cho $x(t)$, dẫn đến công thức cho một đối số bổ sung:

$$x(t) = a \cos \omega t + b \sin \omega t = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\omega t + \varphi),$$

trong đó $\varphi$ được xác định từ điều kiện

$$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \varphi = \frac{-b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

Bằng cách ký hiệu $A = \sqrt{a^2 + b^2}$, chúng ta có thể thấy rằng $A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + \beta^2/\omega^2} = \frac{1}{\omega} \sqrt{\beta^2 + \omega^2 a^2} = \frac{1}{\omega} \sqrt{\dot{x}^2(0) + \omega^2 x^2(0)} = \sqrt{2E/\omega}$.

Do đó $x(t)$ có thể được viết là

$$x(t) = \frac{2E}{\omega} \cos(\omega t + \varphi).$$

Giá trị $A = \sqrt{2E/\omega}$, đặc trưng cho

dao động điều hòa cực đại được gọi là biên độ, $\omega$ - tần số tuần hoàn, $T = 2\pi/\omega$ - chu kỳ, $\varphi$ - pha.

Bây giờ thật dễ dàng để xác định rằng điểm $M(t)$ sẽ quay đều với vận tốc góc $\omega$ xung quanh một đường tròn có tâm $O$ bán kính $A$. Thật vậy, nếu $\varphi$ biểu thị góc $uOM$ tại thời điểm $t=0$, thì góc $uOM(t)$ bằng $\omega t + \varphi$ do hình chiếu lên trục $Ou$ của điểm $M(t)$ được tính theo công thức (4). Chúng ta đã chứng minh rằng dao động điều hòa là hình chiếu lên một đường thẳng quay đều trong một đường tròn, bán kính của đường đó bằng biên độ dao động và vận tốc góc quay bằng tần số tuần hoàn.

Độ trơn tương đương là dao động điều hòa là một trong các tọa độ của vectơ quay đều (trong trường hợp này là $-\vec{OM}$). Độ dài của vectơ này trùng với biên độ và vị trí ban đầu được xác định theo pha. Biểu diễn rung động này được gọi là sơ đồ vectơ của nó và thường hữu ích. Hãy thử sử dụng nó để giải quyết bài toán sau.

Bài tập 1. Chứng minh rằng tổng của hai dao động điều hòa khác 0 là dao động điều hòa khi và chỉ khi chúng có cùng tần số (hoặc như người ta nói, tọa độ dọc theo trục $x$ của điểm $M(t)$, tức là sẽ bằng $x(t)$).

Bài 2. Chứng minh rằng tổng của ba dao động điều hòa cùng biên độ, tần số có pha $\varphi$, $\varphi + (2\pi/3)$ và $\varphi + (4\pi/3)$ bằng 0.

Trường hợp thứ hai đóng một vai trò quan trọng khi sử dụng dòng điện ba pha, vì chính những dao động như vậy mà máy phát điện xoay chiều ba pha tạo ra. Nhân tiện, trên sơ đồ vectơ, bạn sẽ tìm thấy những lý do chung cho các hướng tiêu chuẩn liên quan

13

Zhenya 220 volt và 127 volt xấp xỉ bằng $\sqrt{3}$.

Bài 3. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0, 2]

$$\cos x + \frac{1}{2} \cos(x+a_1) + \frac{1}{4} \cos(x+a_2) + \dots + \frac{1}{2^n} \cos(x+a_n) = 0$$

($a_1, \dots, a_n$ là các tham số tùy ý)?

Kết quả nghiên cứu của chúng tôi về phương trình (*) là hình 7. Các nhà toán học hình như vậy gọi là chân dung pha hoặc sơ đồ pha của phương trình vi phân. Sơ đồ của chúng tôi cho thấy rằng mỗi điểm pha có hình elip riêng (tương ứng với mức năng lượng của nó), trong khi độ lệch so với vị trí cân bằng $x(t)$ thay đổi định kỳ, cũng như tốc độ $\dot{x}(t)$, đạt giá trị tối đa ở vị trí cân bằng. Chúng ta hãy chú ý đến tính chất đáng chú ý sau đây của một bộ dao động điều hòa: chu kì dao động của nó không phụ thuộc vào biên độ! Thuộc tính này là đặc biệt, có thể thấy trong ví dụ về ma trận toán học mà chúng ta sẽ tiếp tục.

Về toán học của ma trận toán học

Chúng ta hãy tập trung vào lý thuyết ma trận toán học, bây giờ từ bỏ giả định về các dao động nhỏ (nhưng vẫn giả sử rằng không có ma sát). Chúng ta đã biết phương trình chuyển động trong trường hợp này:

$$\ddot{x} + \omega^2 \sin x = 0.$$

Mặc dù dạng phương trình () không khác lắm so với phương trình () của bộ dao động tuyến tính, nhưng nó không còn tuyến tính nữa và việc giải nó không hề dễ dàng chút nào. Hơn nữa, nhìn chung không thể viết nó lời giải bằng cách sử dụng các hàm đã biết ở trường; điều này đòi hỏi các hàm đặc biệt gọi là hàm elip. Tôi nên làm gì?

Bạn có thể hình dung về phương trình lời giải (*) và hoạt động của ma trận toán học bằng cách sử dụng chân dung pha của nó (hình 8), được xây dựng bằng định luật bảo toàn năng lượng. Chúng ta hãy nhìn vào bức chân dung này.

Khi các điểm in đậm trên trục $Ox$ tương ứng với các vị trí cân bằng - ổn định (gốc tọa độ) và không ổn định

Hình 8.

(điểm $A$ ($\pi; 0$)), tức là vị trí thấp nhất và cao nhất của ma trận. Các hình bầu dục mở rộng gần điểm $O$ của trạng thái cân bằng ổn định tương ứng với các chế độ dao động ma trận khác nhau (với các biên độ khác nhau); gần điểm $O$ chúng không khác biệt về mặt thị giác so với các hình elip - quỹ đạo pha của phương trình (*)). Việc đi quanh một hình bầu dục (lớn hay nhỏ) như vậy phản ánh toàn bộ dao động của ma trận, giao điểm của nó với trục $Ox$ là đoạn đi qua vị trí cân bằng nguồn với tốc độ cực đại, giao điểm với trục $Ox$ là độ lệch cực trị của ma trận (tốc độ bằng 0). Các quỹ đạo lượn sóng ở phần dưới và phần trên của hình là biểu thức không đồng đều của ma trận, khi nhận ra lực đẩy thêm của hiện tại, có nghĩa là matnik đạt đến vị trí cân bằng trên với tốc độ khác 0, bỏ qua nó và tiếp tục quay, đạt các giá trị tốc độ cực cao khi đi qua vị trí cân bằng. Các quỹ đạo phân tách chuyển động dao động khỏi chuyển động quay được thể hiện bằng màu đỏ. Các quỹ đạo này tương ứng với chuyển động có mức năng lượng $E_0$ bằng thế năng của ma trận ở vị trí cân bằng trên (không ổn định) $A(\pi; 0)$. Với chuyển động này, ma trận đi qua vị trí cân bằng dưới $B(0; v_0)$ với tốc độ tối đa $v_0 = \sqrt{2E_0/m}$ và giảm dần tốc độ, tiến đến vị trí cân bằng trên; người ta có thể chứng minh rằng nó chỉ đạt tới (với tốc độ không phải bên trái) trong một khoảng thời gian vô hạn.

Phần kết luận

Chúng ta đã tìm hiểu một chút về các tính chất của bộ dao động tuyến tính và phi tuyến. Xin vui lòng, điều tuyệt vời nhất về bộ dao động là các yêu cầu đa logic và phổ quát của nó: thật khó để liệt kê tất cả những hệ thống vật lý đơn giản và đa dạng được mô tả bằng các phương trình () và (***). Bộ dao động là một phần của nhiều hệ thống. Ví dụ,

(Cuối cùng xem trang 43)

Nghịch lý vệ tinh

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
Y. G. PAVLENKO

Khi các vệ tinh nhân tạo của Trái đất di chuyển ở các tầng trên của khí quyển, chúng sẽ chịu tác dụng hãm của không khí. Trước khi phóng vệ tinh, thông tin về mật độ khí quyển ở độ cao lên tới 200 km đã thu được thông qua các chuyến bay của tên lửa địa vật lý. Sau đó, một phân tích về chuyển động của vệ tinh đã giúp làm rõ những dữ liệu này (chúng được hiển thị trong “bảng” trên mức chênh lệch).

Lực cản tác dụng lên vệ tinh ở các tầng trên của khí quyển là do stolnova

với các phân tử không khí. Lực này ngược chiều với tốc độ và có thể được viết là
$$\vec{F}_c = -k\vec{v},$$
trong đó hệ số $k$ là dương và nói chung, bản thân nó phụ thuộc vào tốc độ. Diện tích mặt cắt ngang của cơ thể $S$ và mật độ không khí $\rho$ càng lớn thì nó càng lớn.

Chúng ta hãy so sánh độ lớn gia tốc được truyền tới vệ tinh bởi lực cản và lực hấp dẫn. Giả sử rằng một vệ tinh có khối lượng $m=100$ kg có dạng hình cầu với tiết diện $S=1$ m$^2$ và chuyển động theo quỹ đạo tròn ở độ cao $h=160$ km với tốc độ $v=8$ km/s. Để tính toán gần đúng, chúng ta có thể giả sử rằng $k=S/v$. Trong trường hợp này, giá trị absciliton của gia tốc được xác định bởi lực cản,
$$a_c = \frac{kv}{m} \approx \frac{S_0v^2}{m} \approx 6.4 \cdot 10^{-4} \text{ m/c}^2.$$
Lực hấp dẫn $F = G \frac{Mm}{(R+h)^2}$ tác dụng lên vệ tinh từ Trái đất ($M=5976 \cdot 10^{21}$ kg là khối lượng của Trái đất, $R=6371$ km là bán kính trung bình của nó), truyền cho vệ tinh một gia tốc hướng về tâm Trái đất và bằng
$$a_n = G \frac{M}{(R+h)^2} \approx 9.33 \text{ m/c}^2.$$
Như bạn có thể thấy, gia tốc “hãm” xấp xỉ bằng một phần mười lăm của gia tốc hướng tâm. Chưa hết, ảnh hưởng của khí quyển ở độ cao 160 km hóa ra lại lớn đến mức sau khi hoàn thành một hoặc hai vòng quay, vệ tinh bắt đầu quay nhanh.

Vệ tinh đầu tiên của Liên Xô có hình quả bóng với đường kính 58 cm và khối lượng 83,6 kg. Phương tiện phóng có kích thước lớn hơn đáng kể. Có vẻ như vì tên lửa có lực cản cao (nó có nhiều $S$) nên sau khi đi vào quỹ đạo, nó sẽ tụt lại phía sau vệ tinh. Tuy nhiên, người ta quan sát thấy phương tiện phóng đã đi trước vệ tinh một cách đáng kể. Chúng ta hãy cố gắng hiểu “nghịch lý” này.

Chuyển động của vệ tinh hiện nay được tính toán trên máy tính dựa trên định luật Newton. Đối với lời giải điều này bài toán trong trường hợp lực cản phụ thuộc vào tốc độ của cơ thể, kiến ​​thức toán học ở trường là không đủ. Chúng ta đang phải đối mặt với “nghịch lý” về vệ tinh dựa trên các thông điệp năng lượng. Nếu không có lực cản thì tổng cơ năng của vệ tinh $E$

sẽ không đổi:
$$E = \frac{mv^2}{2} + \left(-G \frac{Mm}{r}\right) = \text{const}$$
(ở đây $\left(-G \frac{Mm}{r}\right)$ là thế năng của vệ tinh đặt tại

16

Diện tích sử dụng…

V.V.PRASOLOV

Cho lời giải toán học khác nhau bài toán, việc xem xét một số phần tử phụ không có trong công thức bài toán thường hữu ích. Chúng ta sẽ phân tích các kỹ thuật cơ bản của lời giải hình học bài toán bằng cách sử dụng diện tích của đa giác ban đầu.

Kỹ thuật 1. Nếu một đa giác được cắt thành nhiều đa giác thì tổng diện tích của chúng bằng diện tích của đa giác ban đầu.

Giải pháp thay thế tốt nhất cho việc sử dụng kỹ thuật này là một trong nhiều cách chứng minh định lý Pythagore.

Ví dụ 1 (định lý Pythagore). Chứng minh rằng tổng bình phương độ dài bằng bình phương độ dài cạnh huyền.

Lời giải. Gọi $a, b$ là độ dài của hình vuông, $c$ độ dài của cạnh huyền. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng tổng diện tích tác dụng lên cạnh $a$ và $b$ bằng diện tích hình vuông ở cạnh $a$ và $b$ (điều này khá rõ ràng), và trong trường hợp thứ hai - trên 4 tam giác vuông có hình vuông $a$ và $b$ và một hình vuông ở cạnh $c$ (điều này đòi hỏi một số biện minh, vì ví dụ thế này: rõ ràng là tất cả các cạnh của tứ giác thu được đều bằng $c$ và các góc rất dễ tính).

Ví dụ 2. Từ điểm $O$ nằm bên trong tam giác đều $ABC$, các đường vuông góc $OA_1, OB_1, OC_1$ lần lượt hạ xuống các cạnh $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng tổng $OA_1 + OB_1 + OC_1$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $O$ và bằng chiều cao của tam giác.

Lời giải. Gọi độ dài cạnh của tam giác $ABC$ là $a$ và độ dài chiều cao $h$. Rõ ràng là $S_{ABC} = S_{BCO} + S_{ACO} + S_{ABO}$, tức là $\frac{1}{2}ah =$

17

$$\frac{1}{2} aOA_1 + \frac{1}{2} aOB_1 + \frac{1}{2} aOC_1.$$
Poztou mu $h = OA_1 + OB_1 + OC_1$.

Ví dụ 3. Một đa giác ngoại tiếp quanh một đường tròn bán kính $r$ được cắt tùy ý thành các hình tam giác. Chứng minh rằng tổng bán kính các đường tròn nội tiếp của các tam giác này lớn hơn $r$.

Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị bán kính của các đường tròn nội tiếp của các hình tam giác thu được bằng $r_1, ..., r_n$, chu vi của chúng bằng $P_1, ..., P_n$ và diện tích của chúng bằng $S_1, ..., S_n$. Chúng ta biểu thị diện tích và chu vi của đa giác ban đầu bằng $S$ và $P$. Vì $P_i < P$,

$$r_1 + ... + r_n = \frac{2S_1}{P_1} + ... + \frac{2S_n}{P_n} > \frac{2S_1}{P} + ... + \frac{2S_n}{P} = r.$$

Kỹ thuật 2. Tỷ lệ độ dài của các đoạn có thể được thay thế bằng tỷ lệ diện tích của các hình tam giác.

Ví dụ 4. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ của tam giác $ABC$ lần lượt lấy điểm $C_1$ và $B_1$. Đặt $O$ là giao điểm của các đoạn $BB_1$ và $CC_1$ (hình 2). Tính $\frac{BO}{B_1O}$ nếu $\frac{BC_1}{AC_1} = \alpha$ và $\frac{CB_1}{AB_1} = \beta$.

Lời giải. Trước khi tiếp tục đến lời giải phần quan trọng này của bài toán được áp dụng, chúng ta hãy lưu ý rằng nó hơi giống một trang. Thật vậy, đối với bất kỳ tam giác $ABC$ nào, người ta có thể lấy điểm $B_1$ và $C_1$ chia các cạnh $AC$ và $AB$ của nó theo tỷ lệ nhất định. Tại sao loại hình tam giác $ABC$ không được chỉ định trong điều kiện mà chỉ có $\frac{BC_1}{AC_1}$ và $\frac{CB_1}{AB_1}$?

Hình 1.

Hình 2.

Hãy chuyển sang lời giải. Rõ ràng là $\frac{BO}{B_1O} = \frac{S_{BOC}}{S_{B1OC}}$. Bây giờ chúng ta hãy tính $\frac{S_{AOC}}{S_{B1OC}}$ và $\frac{S_{BOC}}{S_{AOC}}$. Rõ ràng là $\frac{S_{AOC}}{S_{B1OC}} = \frac{AC}{B_1C} = \frac{AB_1 + B_1C}{B_1C} = 1 + \frac{AB_1}{B_1C}$. Vì các hình tam giác $BOC$ và $AOC$ có chung một cạnh $OC$ nên tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số chiều dài của các đường cao giảm đi $OC$. Tỷ lệ chiều cao lần lượt là $\frac{BC_1}{AC_1}$. Vì vậy $\frac{S_{BOC}}{S_{AOC}} = \frac{BC_1}{AC_1}$. Kết quả là chúng tôi nhận được $\frac{BO}{B_1O} = \frac{S_{BOC}}{S_{B1OC}} = \frac{S_{BOC}}{S_{AOC}} \cdot \frac{S_{AOC}}{S_{B1OC}} = \alpha(1 + \frac{1}{\beta})$.

Ví dụ 5 (Định lý Ceva). Trên các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ của tam giác $ABC$ các điểm $C_1$, $A_1$, $B_1$ lần lượt được lấy. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi $\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1$.

Lời giải. Đầu tiên hãy để các đường $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ giao nhau tại điểm $O$. Như trong bài toán trước, chúng ta nhận được $\frac{CA_1}{A_1B} = \frac{S_{ACO}}{S_{ABO}}$, $\frac{BC_1}{C_1A} = \frac{S_{BCO}}{S_{ACO}}$ và $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{S_{ABO}}{S_{BCO}}$. Nhân các đẳng thức này, chúng ta thu được $\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1$.

Bây giờ giả sử rằng $\frac{AB_1}{B_1C} \times \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1$ và đường đi $O$ là một điểm

18

giao điểm của các đoạn $AA_1$ và $BB_1$. Ta kí hiệu $C'_1$ giao điểm của đường thẳng $OC$ với đoạn $AB$ (hình 3). Khi đó, như chúng ta vừa chứng minh,

$$\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC'_1}{C'_1A} = 1 = \frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A}.$$

Do đó, $$\frac{BC'_1}{C'_1A} = \frac{BC_1}{C_1A}.$$ Cần lưu ý rằng nếu điểm $X$ di chuyển dọc theo đoạn $AB$ (không vượt quá giới hạn của nó), thì các giá trị $\frac{BX}{XA}$ thay đổi đơn điệu và do đó $C'_1 = C_1$, tức là các đường $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ giao nhau tại một điểm.

Định lý thay thế này xứng đáng nhận được một số nhận xét về nó. Những độc giả biết rằng tất cả các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm, cũng như tất cả các đường chéo và tất cả các đường cao, có thể hiểu rằng tất cả những sự kiện này là hệ quả của một định lý tổng quát hơn nào đó. Điều này đúng: chúng là hệ quả của định lý Ceva, có thể thu được từ nó bằng những phép tính khá đơn giản. Cũng dễ dàng chứng minh rằng các đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác với các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh cắt nhau tại một điểm.

Tuy nhiên, có một khó khăn với độ cao: nếu góc $C$ của một tam giác $ABC$ thuộc loại thì chiều cao bị bỏ qua trong $C$ không rơi vào cạnh $AB$ mà nằm trên phần tiếp theo của nó. Hóa ra định lý Ceva có thể được phát biểu lại (và tất nhiên đã được chứng minh) sao cho nó vẫn đúng trong trường hợp các điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ không được lấy ở các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ mà nằm trên các đường $BC$, $CA$, $AB$. Để làm điều này, bạn cần gán dấu ± cho các đoạn, tùy thuộc vào việc các vectơ tương ứng hướng cùng hướng hay khác hướng (trong công thức của định lý Cheva, chỉ có tỷ số về độ dài của các đoạn nằm trên cùng một đường thẳng). Chúng tôi khuyên người đọc nên tự mình nghĩ ra cách diễn đạt mong muốn.

Ví dụ 6. Cho một đa giác lồi $A_1A_2...A_n$. Ở bên $A_1A_2$ lấy điểm $B_1$ và $D_2$, ở bên $A_2A_3$ - lấy điểm $B_2$ và $D_3$, v.v. Do đó, nếu chúng ta dựng các hình bình hành $A_1B_1C_1D_1$, …, $A_nB_nC_nD_n$ thì các đường thẳng $A_1C_1$, …, $A_nC_n$ cắt nhau tại một thời điểm $O$. Chứng minh rằng $A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot ... \cdot A_nB_n = A_1D_1 \cdot A_2D_2 \cdot ... \cdot A_nD_n$.

Lời giải. Vì $A_iB_iC_iD_i$ là hình bình hành và điểm $O$ nằm trên phần kéo dài của đường chéo $A_iC_i$, từ sự bằng nhau của diện tích các tam giác $A_iB_iC_i$ và $A_iC_iD_i$ và các thông điệp tương tự dẫn đến $$\frac{A_iB_i}{A_iD_i} = \frac{h_i}{h_{i-1}},$$ trong đó $h_i$ là khoảng cách từ điểm $O$ đến cạnh $A_iA_{i+1}$. Chúng ta còn lại sự biến thiên của các đẳng thức này cho $i=1$, …, $n$.

Kỹ thuật 3. Các công thức khác nhau về diện tích sẽ cho phép bạn có được các giá trị tương ứng giữa các cạnh, chiều cao, chu vi, v.v.

Ví dụ 7. Độ dài các cạnh của một tam giác tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác này bằng 1/3 một trong các đường cao.

Lời giải. Để độ dài của các cạnh $a$, $b$, $c$ tạo thành một cấp số cộng. Sau đó, chúng ta nhận được đồng hồ đo $p$ bằng $$\frac{3}{2}b.$$ Vì $$\frac{1}{2}h_b \cdot b = S = r \cdot p = \frac{3}{2}r \cdot b,$$ chúng ta nhận được $r = b/3$.

Ví dụ 8. Bên trong tam giác $ABC$ lấy điểm $M$. Chúng ta hãy biểu thị khoảng cách từ điểm $M$ đến các đỉnh $A$, $B$, $C$ bằng $R_a$, $R_b$, $R_c$ và khoảng cách từ điểm $M$ đến cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt là $d_a$, $d_b$, $d_c$.

a) Chứng minh rằng $a \cdot R_a \geq c \cdot d_c + b \cdot d_b$.

b) (Bất đẳng thức Erdős-Mordell.) Chứng minh rằng

$$R_a + R_b + R_c \geq 2(d_a + d_b + d_c).$$

Lời giải. a) Ta thả từ điểm $B$ và $C$ vuông góc $BK$ và $CL$ xuống đường thẳng

19

muyu MA (hình 4). Đặt $a_1=BK$, $a_2=CL$. Rõ ràng là $a_1+a_2 \leq a$. Đó là lý do tại sao
$$\frac{1}{2} a R_a \geq \frac{1}{2} a_1 R_a + \frac{1}{2} a_2 R_a = S_{ABM} + S_{ACM} = \frac{1}{2} b d_b + \frac{1}{2} cd_c.$$
Lưu ý rằng trong chứng minh chúng ta chỉ sử dụng điểm M nằm bên trong góc BAC chứ không phải điểm M nằm bên trong tam giác.
6) Áp dụng bất đẳng thức cho điểm a) cho một điểm đối xứng với M theo phân giác của góc A (điều này phù hợp với nhận xét ở điểm a)), ta thu được bất đẳng thức
$$R_a \geq \frac{c}{a} d_b + \frac{b}{a} d_c.$$
Tương tự như vậy,
$$R_b \geq \frac{c}{b} d_a + \frac{a}{b} d_c$$ và
$$R_c \geq \frac{a}{c} R_b + \frac{b}{c} R_a.$$
Cộng các bất đẳng thức này, ta được
$$R_a + R_b + R_c \geq \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) d_a + \left( \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \right) d_b + \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right) d_c \geq 2(d_a + d_b + d_c),$$
kể từ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$.
Bất đẳng thức Erdős–Mordell có lịch sử khá lâu đời. Năm 1935, nhà toán học nổi tiếng người Hungary P. Erdős cho rằng bất đẳng thức
$$R_a + R_b + R_c \geq 2(d_a + d_b + d_c),$$
tuy nhiên, anh ta không thể chứng minh điều đó. Người đầu tiên chứng minh bất đẳng thức này là L. J. Mordell người Anh vào cùng năm 1935, nhưng chứng minh của ông khá phức tạp, và chỉ có sự thành công của nhiều rút gọn toán học mới chứng minh được bất đẳng thức Erdős-Mordell ở dạng đơn giản như được trình bày ở đây.
Nhận thức 4. Nếu vẽ các cạnh thẳng, song song qua điểm E nằm bên trong hình bình hành ABCD và chia nó thành bốn hình bình hành thì các hình bình hành kề đỉnh B và D có kích thước bằng nhau khi và chỉ khi điểm E nằm trên đường chéo AC.
Chúng tôi mời độc giả chứng minh độc lập tuyên bố đơn giản này.
Ví dụ 9. Qua điểm M nằm trong hình bình hành ABCD kẻ các đường thẳng PR, QS, các cạnh BC, AB song song (các điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA). Chứng minh rằng các đường thẳng BS, PD và MC cắt nhau tại một điểm (hình 5).
Lời giải. Qua giao điểm N của các đường thẳng BS và CM ta vẽ các đường thẳng Q$_1$S$_1$ và P$_1$R$_1$, các đường thẳng QS và PR song song (các điểm P$_1$, Q$_1$, R$_1$, S$_1$ lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA). Chúng ta hãy biểu thị các điểm giao nhau của các đường PR và Q$_1$S$_1$, P$_1$R$_1$ và QS bằng F và G. Vì điểm M nằm trên đường chéo NC của hình bình hành NQ$_1$CR$_1$, S$_{FQ_1QM} = S_{MRR_1G}$, tức là S$_{NQ_1QG} = S_{NFRR_1}$. Điểm N nằm trên đường chéo BS của hình bình hành ABQS nên S$_{AP_1NS_1} = S_{NQ_1QG} = S_{NFRR_1}$. Do đó, điểm N nằm trên đường chéo PD của hình bình hành APRD.

(Cuối cùng xem trang 43)

20

Vật lý 8, 9, 10

Cuốn sách đã xuất bản ghi chú “Về số phận của một số cơ học có thể hiểu được” nhằm mục đích phân bổ khối lượng trên mỗi bình phương tốc độ của một vật thể. Ông gọi đại lượng này là “lực sống” và thiết lập “định luật bảo toàn lực sống”. Cuộc tranh luận về sự phù hợp của khái niệm này hay khái niệm khác tiếp tục kéo dài hơn nửa thế kỷ, cho đến khi các nhà nghiên cứu đi đến kết luận rằng cả “số lượng chuyển động” và “lực sống” đều cần thiết để mô tả đầy đủ các hiện tượng xảy ra trong quá trình tương tác giữa các vật thể.

Về số phận của một số cơ chế dễ hiểu

Ngay từ thời cổ đại, con người đã cố gắng tìm ra những đặc điểm định lượng của chuyển động cơ học của cơ thể. Tuy nhiên, phải hơn một thế kỷ trôi qua trước khi các khái niệm vật lý “tiện lợi” được hình thành.

Do đó, vào thế kỷ 17, khi cơ học cổ điển thực sự được tạo ra, câu hỏi đặc biệt cấp bách được đặt ra là đại lượng nào là thích hợp để sử dụng làm thước đo chuyển động. R. Descartes đã đề xuất “đại lượng chuyển động” như một khái niệm như vậy, theo ngôn ngữ hiện đại, có nghĩa là tích của khối lượng của một vật thể theo mô hình tốc độ của nó, và xây dựng nên “định luật bảo toàn động lượng”.

Việc Descartes không tính đến bản chất vectơ của tốc độ đã dẫn đến một số sai sót. Đặc biệt, khi xem xét bài toán thực tế về việc kiểm soát gia tốc của vật thể, điều này rất quan trọng vào thời điểm đó. Ví dụ, theo Descartes, hóa ra là nếu hai vật va chạm, chuyển động về phía nhau với cùng tốc độ và một vật nặng hơn vật kia một chút, thì sau khi điều khiển chuyển động ban đầu của vật nặng hơn. Trên thực tế, khi điều khiển những quả bóng có khối lượng tương tự nhau, chúng sẽ bay ra các hướng khác nhau.

Lỗi của Descartes sau đó đã được H. Heugens và I. Newton sửa chữa.

G. Leibniz, một nhà phê bình lý thuyết của Descartes, bày tỏ quan điểm rằng

21

Các nhà khoa học cũng tỏ ra tương tự: nhà xuất bản của một tạp chí vật lý hàng đầu của Đức đã từ chối xuất bản cả hai tạp chí này vì coi chúng quá “lý thuyết”.

Thế năng lần đầu tiên xuất hiện trong tác phẩm của Helmholtz dưới cái tên “lực căng”. Tuy nhiên, tác giả đã không đưa ra cách giải thích vật lý rõ ràng cho khái niệm này và do đó đã nổ ra tranh cãi xung quanh nó. Bản chất của vấn đề đã được A. Poincaré trình bày rất rõ ràng: “…để vật chất hóa năng lượng, cần phải định vị nó; liên quan đến động năng, điều này chỉ đơn giản là 〈nó được quy cho vật thể chuyển động〉, nhưng tình huống không giống với thế năng. Định vị thế năng gây ra bởi lực hút của hai thiên thể ở đâu? Ở một trong hai? Ở một trong hai? Tất cả? Trong không gian can thiệp?

Nhiều lời giải vấn đề này. Ví dụ, G. Hertz cho rằng cần phải … từ bỏ hoàn toàn khái niệm “thế năng” và cố gắng quy loại năng lượng này thành động năng của các chuyển động tiềm ẩn của các hạt cơ thể. Tuy nhiên, nỗ lực này đã không thành công. Sau đó người ta phát hiện ra rằng thế năng là thước đo của sự tương tác và không thể giải thích sâu sắc và đầy đủ khái niệm này nếu không liên quan đến khái niệm trường. (Vấn đề này sẽ được thảo luận chi tiết trong ghi chú sau bằng cách sử dụng ví dụ về sự tương tác giữa các vật tích điện trong nhà máy điện. - Ed.)

Do đó, sự phát triển dần dần của các khái niệm cơ học đã đưa các nhà khoa học đến những ý tưởng vượt xa phạm vi của ngành vật lý này. Sự làm giàu lẫn nhau của các lĩnh vực khác nhau của khoa học vật lý là một nét đặc trưng trong lịch sử của nó.

Năng lượng điện trường

Như bạn đã biết (“Vật lý 9”, § 55), để sạc tụ điện, cần phải thực hiện một số công. Công việc này là cần thiết để khắc phục lực hút điện phát sinh trong quá trình phân tách điện tích dương và âm. Do làm việc hoàn hảo nên thế năng của nhà máy điện được tích trữ trong tụ điện

$$W = \frac{1}{2} U Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CU^2,$$

trong đó $U$ là hiệu điện thế giữa các bản, $C$ là điện dung của tụ điện, $Q$ là điện tích trên các bản của nó.

Rõ ràng là để tích điện cho bất kỳ vật thể đơn độc nào, nghĩa là tạo ra trong nó lượng điện tích vượt quá cùng dấu, thì cũng phải thực hiện một lượng công việc nhất định. Trong trường hợp này, nó được thực hiện để chống lại lực đẩy điện tác động giữa các điện tích giống nhau tích tụ trên cơ thể. Hãy tính công việc này.

Hãy xem xét một dây dẫn đơn độc. Giả sử chúng ta đã tập trung được điện tích $q$ vào nó. Điện thế của điện trường do điện tích này tạo ra ở vô cực được coi là bằng 0 và điện thế của chất tự dẫn được ký hiệu là $\varphi(q)$. Bây giờ chúng ta sẽ truyền thêm một điện tích nhỏ $\Delta q$ vào dây dẫn từ vô cực. Để làm được điều này bạn sẽ cần phải làm việc

$$\Delta A = \varphi(q) \Delta q.$$

Rõ ràng là điện thế của điện trường luôn tỷ lệ thuận với độ lớn điện tích do trường này tạo ra. Trong trường hợp này, điện thế của dây dẫn tỉ lệ với điện tích trên nó:

$$\varphi(q) \sim q,$$ hoặc $$\varphi(q) = \frac{1}{C} q.$$

Đại lượng $C$ bao gồm trong hệ số tỷ lệ được gọi là điện dung của một dây dẫn. Nó phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của dây dẫn và hằng số điện môi của môi trường.

Hãy vẽ đồ thị sự phụ thuộc tuyến tính của $\varphi$ vào $q$ (hình 1). Công $\Delta A$ được thực hiện khi điện tích $\Delta q$ được truyền từ vô cực sang vật dẫn được biểu thị trên biểu đồ này bằng một cột phẳng được tô bóng. Tổng công $A$ khi sạc một dây dẫn thành một điện tích $Q$ được xác định bằng tổng diện tích của tất cả các cột tương tự, tức là diện tích của hình bên dưới đồ thị của dây dẫn đơn $\varphi$ từ $q$. Trong trường hợp này là diện tích của hình tam giác. Vì vậy, công việc sạc dây từ xa

22

nika, bằng thế năng tĩnh điện mà nó tích trữ, được xác định theo công thức

$$A = W = \frac{1}{2} \varphi(Q) Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} C(\varphi(Q))^2.$$

Công thức (2) có hình thức giống hệt công thức (1), nhưng các đại lượng trong đó có ý nghĩa hơi khác: $\varphi(Q)$ là tích phân thế năng của đầu dò chứ không phải hiệu điện thế ($U$) giữa các bản của tụ điện, $C$ là điện dung của đầu dò, không phải tụ điện.

Nhưng chính xác thì năng lượng được lưu trữ ở đâu? Có hai đáp số bằng nhau cho câu hỏi này. Đầu tiên dựa trên thực tế là năng lượng dự trữ là năng lượng tương tác của các điện tích nằm trên đầu dò. Theo quan điểm thứ hai, vật mang năng lượng dự trữ là điện trường, do đó năng lượng được phân bố trong không gian xung quanh dây dẫn. Trong trường hợp tụ điện phẳng, điện trường do nó tạo ra đồng đều và tập trung ở khu vực giữa các bản. Khi đó dễ dàng chứng tỏ (Vật lý 9, § 55) rằng mật độ năng lượng - năng lượng trên một đơn vị thể tích - được xác định bởi biểu thức

$$w = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2},$$

trong đó $E$ là điện áp trường, $\varepsilon$ là điện dung của môi trường bên trong tụ điện.

Hóa ra công thức tương tự có thể được sử dụng để tính tổng năng lượng của điện trường trong trường hợp tổng quát khi trường không đồng nhất. Vì vậy, ví dụ, trong không gian xung quanh thân sạc, điện áp điện trường giảm theo khoảng cách từ

Puc. 1.

Puc. 2.

thi thể. Tuy nhiên, ở bất kỳ nơi nào trong không gian, chúng ta luôn có thể chọn một thể tích nhỏ $\Delta V$ sao cho điện áp trường trong đó thực tế không thay đổi. Khi đó, theo công thức (3), ta tính được mật độ năng lượng tương ứng và thấy rằng thể tích đã chọn chứa năng lượng

$$\Delta W = w \Delta V = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta V.$$

Nếu bây giờ chúng ta chia toàn bộ thể tích chứa điện trường thành các thể tích nhỏ, tính năng lượng của từng thể tích theo cách đã chỉ định rồi cộng lại thì chúng ta sẽ được tổng năng lượng của điện trường. Đáng ngạc nhiên là biểu thức đã biết (2) thu được cho tổng năng lượng.

Một ví dụ đẹp cho thấy mật độ của phương pháp tính năng lượng này là bài toán về việc tìm lực đẩy giữa hai nửa của một quả cầu dẫn điện tích điện đặt trong chân không.

Trước hết, chúng ta hãy nhớ rằng trường bên trong một quả cầu dẫn điện, cũng như bên trong bất kỳ vật dẫn nào (“Vật lý 9”, § 44), đều bằng không. Bên ngoài quả cầu, điện áp trường giống như điện tích chính xác bằng điện tích của quả cầu và nằm ở tâm của nó:

$$E(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2},$$

trong đó $Q$ là điện tích của quả cầu, $r$ là khoảng cách từ tâm của nó đến điểm đang xét. $Y$ làm hỏng một quả cầu có bán kính $R$, do đó điện áp trường hóa ra bằng

$$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng cắt quả cầu làm đôi và sử dụng lực đẩy $F$ để tách nửa này khỏi nửa kia ở một khoảng cách nhỏ $\Delta x$. Công việc đã hoàn thành

$$\Delta A = F \Delta x$$

bằng với sự giảm tổng năng lượng của điện trường, như chúng ta biết, được lưu trữ trong toàn bộ không gian xung quanh quả cầu. Hoạt động

23

Rõ ràng, trước khi chúng ta mở rộng tinh thần trong vùng không gian (thể tích $\Delta V$), được bảo vệ bởi màu đỏ ở hình 2, năng lượng đã được lưu trữ

$$\Delta W = w \Delta V = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta V = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 R^4} \Delta V.$$

Sau khi nén, diện tích này đã nằm trong hình cầu và hướng của trường trong đó trở thành bằng 0. Trường thực tế không thâm nhập vào khoảng trống hình thành giữa các bán cầu và phần còn lại của không gian hầu như không thay đổi. Có thể dễ dàng xác minh rằng thể tích của khu vực được bảo vệ trùng với thể tích của khu vực hình thành, điều này dễ dàng được tính toán:

$$\Delta V = \pi R^2 \Delta x.$$

Do đó, theo định luật bảo toàn năng lượng, chúng ta có thể viết $\Delta A = \Delta W$, hoặc

$$F \Delta x = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 R^4} \pi R^2 \Delta x.$$

Do đó lực đẩy giữa hai bán cầu bằng nhau

$$F = \frac{Q^2}{32 \pi \varepsilon_0 R^2}.$$

Vì vậy, chúng ta có thể cho rằng năng lượng của một vật tích điện là năng lượng tương tác giữa các điện tích của nó và chúng ta có thể gán nó cho điện trường do vật tích điện tạo ra trong không gian. Việc lựa chọn quan điểm nào trong số những quan điểm này là vấn đề sở thích của nhà máy điện. Tuy nhiên, khi nghiên cứu các trường biến thiên, cách tiếp cận duy nhất khả thi là cách tiếp cận thứ hai, kết nối năng lượng với điện trường.

Mô hình hạt nhân

Có lần nhà vật lý vĩ đại người Anh E. Rutherford, người sáng lập ngành vật lý hạt nhân, được hỏi rằng những khám phá của ông trong lĩnh vực phóng xạ có thể mang lại lợi ích thực tế gì. Nhà khoa học trả lời rằng hoàn toàn không có. Vào thời điểm đó, thực sự không thể tưởng tượng được cách sử dụng các quá trình và hiện tượng nội hạt nhân. Ngày nay, mọi người đều hiểu được tầm quan trọng của năng lượng hạt nhân trong đời sống con người.

Vai trò quan trọng nhất trong việc phát hiện ra khả năng sử dụng năng lượng nguyên tử là do khả năng phân hạch của một số hạt nhân nặng (“Vật lý 10”, § 110). Năm 1938, người ta phát hiện ra rằng khi hạt nhân uranium bị bắn phá bằng neutron, các mảnh hạt nhân của các nguyên tố nhẹ hơn được hình thành.

Đồng chí Quá trình này luôn đi kèm với việc phát ra một số neutron mới.

Tại sao hạt nhân có thể làm được điều này? Lý thuyết đầu tiên về phân hạch hạt nhân được tạo ra vào năm 1939 bởi các nhà vật lý lý thuyết người Đan Mạch N. Bohr và J. Wheeler người Mỹ và, độc lập với họ, nhà vật lý lý thuyết Liên Xô Ya. I. Frenkel. Tên này là sự giải thích dựa trên mô hình giọt của hạt nhân nguyên tử. Theo mô hình này, hạt nhân, là cấu trúc của các nucleon, hoạt động giống như một giọt chất lỏng tích điện. Chúng ta hãy xem xét vấn đề này chi tiết hơn và trước hết hãy tìm hiểu năng lượng liên kết của hạt nhân phụ thuộc vào cái gì và như thế nào - năng lượng cần tiêu tốn để tách hạt nhân thành các nucleon cấu thành của nó.

Các lực hạt nhân thu hút các nucleon với nhau chỉ biểu hiện ở những khoảng cách rất ngắn (chúng có phạm vi tác dụng hạn chế, vào khoảng $10^{-15}$ m), do đó trên thực tế mỗi nucleon chỉ tương tác với các hạt lân cận của nó chứ không phải với tất cả các nucleon có trong hạt nhân. Tình huống tương tự xảy ra trong một giọt nước thông thường - vì lực hút cơ học tác dụng ở những khoảng cách không vượt quá khoảng cách giữa các phân tử, nên chúng ta phải xét đến sự tương tác của các hạt lân cận. Số lượng lân cận của mỗi nucleon có thể được coi là không đổi. Do đó, nó bao gồm một mô hình lắp đặt thử nghiệm với sự trợ giúp của nó để thực hiện việc phát hiện ra sự phân hạch của hạt nhân nặng: 1 - nguồn neutron; 2 - khối parafin để điều tiết neutron; 3—chuẩn bị vải (dung dịch muối uranium); 4 - mục tiêu kim loại.

24

năng lượng liên kết do lực hạt nhân gây ra hóa ra tỷ lệ thuận với số lượng nucleon trong hạt nhân, tức là số khối $A : E_\alpha \sim A$.

Tuy nhiên, có ít nucleon trên bề mặt của “giọt hạt nhân” ở gần hơn so với bên trong hạt nhân, vì vậy chúng đóng góp vào năng lượng liên kết nhỏ hơn một chút so với mức chúng ta đã gán cho chúng. Điều này có thể được tính đến bằng cách trừ năng lượng bề mặt $E_{\text{пов}}$ khỏi $E_\alpha$, tỷ lệ với số lượng nucleon trên bề mặt hạt nhân, và do đó, diện tích bề mặt của nó: $E_{\text{пов}} \sim S_{\text{пов}} \sim R^2_\alpha \sim A^{2/3}$ (ở đây chúng tôi đã lợi dụng thực tế là, như kinh nghiệm cho thấy, bán kính của hạt nhân tỷ lệ khá chính xác với căn bậc ba của số khối). Như chúng ta thấy, ở đây cũng có sự tương tự hoàn toàn với một giọt chất lỏng nói chung - các phân tử nằm trên bề mặt có xu hướng đi sâu hơn và tạo ra lực căng bề mặt, lực này liên quan đến năng lượng bề mặt của chất lỏng.

Để thu được biểu thức cuối cùng cho năng lượng liên kết của hạt nhân, chúng ta cần tính đến việc một số nucleon (proton) mang điện tích. Điều này có nghĩa là, ngoài lực hút hạt nhân đối với các nước láng giềng gần nhất, chúng còn chịu tác dụng của lực đẩy điện nói chung, lực này tuân theo định luật Coulomb. Lực đẩy lẫn nhau của các proton có xu hướng làm hạt nhân vỡ ra và do đó làm giảm năng lượng liên kết của nó. Không giống như lực hạt nhân, lực Coulomb có cấu trúc tầm xa - mỗi proton tương tác với tất cả proton của hạt nhân này. Năng lượng tương tác của hai proton là $\sim e^2/R_\alpha$. Nếu có $Z$ proton trong hạt nhân thì mỗi proton trong số chúng tương tác với $(Z - 1)$ proton khác và số tương tác.

Đồ thị năng lượng liên kết riêng (mỗi nucleon) so với số khối.

các cặp diễn xuất bằng $1/2 Z$ ($Z - 1$) (đối với $Z$ lớn, chúng ta có thể giả sử rằng con số này tỷ lệ thuận với $Z^2$). Vì vậy, chúng ta thấy rằng năng lượng lực đẩy của proton trong hạt nhân là $E_{\text{эл}} \sim Z^2 \cdot e^2/R_\alpha \sim Z^2 e^2/A^{1/3}$.

Vì vậy, kết quả cuối cùng cho năng lượng liên kết hạt nhân là $E_{\text{cb}} = E_\alpha - E_{\text{пов}} - E_{\text{эл}} = \alpha A - \beta A^{2/3} - \gamma Z^2/A^{1/3}$, trong đó $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ là một số hằng số. Công thức này mô tả rõ đường cong thực nghiệm về sự phụ thuộc của năng lượng liên kết riêng vào số khối (“Vật lý 10”, § 108). Đầu tiên, khi $A$ tăng, năng lượng liên kết tăng. Ở đâu đó ở phần giữa của bảng tuần hoàn, $E_{\text{cb}}$ đạt mức tối đa và sau đó bắt đầu giảm.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét quá trình phân hạch hạt nhân. Để hạt nhân “thả”, sau khi hấp thụ neutron đi vào nó, bắt đầu dao động và đến một lúc nào đó giãn ra. Một giọt hình cầu có tương tác proton tối thiểu ở một thể tích nhất định. Trong một giọt kéo dài, năng lượng bề mặt tăng lên và năng lượng liên kết của hạt nhân tương ứng với khoảng cách trung bình giữa các nucleon và năng lượng lực đẩy điện của chúng giảm, do đó năng lượng liên kết sẽ tăng lên. Nếu sự tương tác của nhà máy điện giành chiến thắng trong cuộc chiến này, lõi sẽ bị xé nát; nếu hời hợt thì phần lõi sẽ trở về trạng thái ban đầu.

Từ biểu thức thu được cho $E_{\text{cb}}$, rõ ràng số phận của hạt nhân phần lớn phụ thuộc vào số lượng proton ($Z$) và tổng số nucleon ($A$). Khi số nguyên tử của một nguyên tố tăng lên, năng lượng lực đẩy tĩnh điện nhanh chóng quay trở lại bề mặt năng lượng nên chỉ những hạt nhân nặng mới có thể phân chia.

Như đã đề cập, trong quá trình phân hạch hạt nhân, luôn phát ra thêm một số neutron, điều này có thể gây ra sự phân hạch của các hạt nhân khác (đối với uranium, thường là 2-3). Những neutron này được đặt tên và cho phép, bằng cách bác bỏ dự đoán của Rutherfort, dự đoán đã được xem xét, thực hiện trên thực tế toàn bộ phản ứng phân hạch hạt nhân, đi kèm với việc giải phóng một lượng năng lượng khổng lồ.

25

Nhiệm vụ

1. Petya có ba cái để lấy. Người thứ nhất hơn anh ba tuổi, người thứ hai kém anh ba tuổi, người thứ ba còn trẻ, người thứ hai là Petya. Nhưng người cha thứ hai lớn tuổi hơn Petya. Cùng nhau họ đã 95 tuổi. Mọi người bao nhiêu tuổi?

2. Giải một câu đố về số
   $$\text{USA} + \text{USSR} = \text{PEACE}.$$
   Cùng một chữ cái tương ứng với cùng một số, các chữ cái khác nhau tương ứng với các số khác nhau.

3. Dòng sông của chúng tôi nhỏ. Thường thì tôi băng qua nó, chỉ lao qua cánh đồng. Phần dưới được LIỆT KÊ và bàn chân của bạn sẽ dài đến mắt cá chân hoặc cao tới mắt cá chân. Một ngày nọ, sau Jedi mạnh mẽ, nước sông dâng cao rất nhiều. Bây giờ, khi qua sông, tôi bị nước ngập tới má. Điều thú vị là cùng lúc đó, đôi chân ngừng kêu trong không trung. Tại sao?

4. Hình ngũ giác được cắt thành 11 phần (xem hình). Sắp xếp các số 1, 2, …, 11 trong các số đó sao cho tổng các số trong mọi tam giác có các đỉnh đều là đỉnh của một hình ngũ giác.

5. Trên bàn có ba que màu đỏ có độ dài khác nhau, tổng chiều dài là 30 cm và năm que màu xanh, tổng chiều dài cũng là 30 cm. Có thể cưa cả hai que để sau đó xếp chúng thành từng cặp và ở mỗi que có chiều dài của các que bằng nhau nhưng màu sắc thì khác nhau?

Những nhiệm vụ này được đề xuất cho chúng tôi bởi V.D. Vyun, học sinh lớp 9. 149 trường học ở Kharkov Boris Kruglnikov, A.P. Savin, V.P. Chuchin, V.V. Proizvolov.

26

Một chút về nhiệt kế và nhiệt kế của Ferdinand

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. BUZDIN

Nóng, ấm, lạnh, sương giá…
Đây là cách chúng ta mô tả trong cuộc sống hàng ngày mức độ tích lũy của các cơ thể khác nhau. Thước đo của sự nóng lên là nhiệt độ: nhiệt độ càng cao thì cơ thể càng nóng.

Chúng ta có thể dễ dàng phân biệt nóng và lạnh bằng cách chạm vào, nhưng khoa học bắt đầu bằng các phép đo định lượng. Ngày nay, ngay cả một học sinh cũng biết rằng để thay đổi nhiệt độ, bạn cần phải dùng nhiệt kế, tức là nhiệt kế. Với việc phát minh ra nhiệt kế, sự phát triển của khoa học về nhiệt đã bắt đầu.

Hầu hết các nhiệt kế đều tận dụng đặc tính của nhiệt để nở ra khi nóng lên (và co lại khi nguội đi). Nhiệt kế đầu tiên do Galileo chế tạo vào năm
vào đầu thế kỷ 17, ông làm việc về nước. Người ta hiểu rằng với sự trợ giúp của nó, có thể thay đổi nhiệt độ không thấp hơn điểm đóng băng của nước và không cao hơn điểm sôi của nó. Theo thời gian, nhiệt kế được sử dụng rộng rãi nhất là nhiệt kế thông thường. Tuy nhiên, trong những đợt sương giá nghiêm trọng, nó ngừng hoạt động - ở nhiệt độ -38,8 ° C, lõi đóng băng. Ở đây nhiệt kế cồn được giải cứu (điểm đóng băng của rượu thấp hơn nhiều so với nhiệt độ của rễ và bằng - 97 ° C), hiện nay cũng được sử dụng rộng rãi.

Công lao phát minh ra nhiệt kế cồn thuộc về Công tước Ferdinan II, người trị vì Florence vào giữa thế kỷ 17. Cùng với công việc nhà nước, Công tước dành nhiều thời gian cho khoa học tự nhiên. Có một thời, ông là học trò của Galileo và có đóng góp đáng kể vào việc phát triển các phương pháp đo nhiệt độ. Trước khi nhiệt kế được sử dụng phổ biến, nhiệt kế đã được sử dụng phổ biến. Thiết bị kiểm soát nhiệt độ này chỉ cho phép bạn đánh giá xem nhiệt độ cao hơn hay thấp hơn một giá trị nhất định. Nhưng không thể đo nhiệt độ bằng nhiệt kế.

27

Ferdinand đã đạt được kỹ năng tuyệt vời trong việc chế tạo các loại nhiệt kế khác nhau. Ferdinand đã gửi một trong những máy đo nhiệt độ của mình từ Đức cho Kircher, người đang tham gia nghiên cứu khoa học bán thời gian. Thiết bị bao gồm một ống thủy tinh mở ở phía trên, gần như chứa đầy nước (xem hình). Trong nước có một số bình nhỏ hình quả lê có cổ kéo xuống. Mỗi bình chứa một bong bóng khí, kích thước của bong bóng này được chọn sao cho ở nhiệt độ nhất định, các bình này nổi trong nước bên trong ống. Ở nhiệt độ cao hơn, không khí trong các thùng chứa nở ra, chiếm chỗ một phần nước; kết quả là lực nổi tăng lên và tàu nổi lên trên mặt nước. Từ mô tả của Ferdinand, có thể đánh giá rằng nhiệt độ mà các bình “treo” bên trong ống là khoảng 15 °C. Khi nhiệt độ không khí xung quanh giảm xuống dưới 15°C, không khí bên trong bình trở nên nhỏ hơn, lượng nước trong bình tăng lên và chúng chìm xuống đáy.

Cùng lúc với thiết bị này và mô tả chi tiết hoạt động của nó, Ferdinand đã gửi cho Kircher một chiếc nhiệt kế khác. Nó rất giống với cái đầu tiên và chỉ khác ở chỗ nó chứa đầy nước và bịt kín. Tuy nhiên, trong thiết bị này thì ngược lại, các bình chìm xuống khi nóng lên và nổi lên khi nguội đi. Ferdinand để Kircher tự mình giải câu đố về chiếc nhiệt kế thứ hai. Chúng tôi không biết liệu Kircher có hoàn thành được nhiệm vụ này hay không. Nhưng chúng tôi hy vọng rằng bạn, người đọc, sẽ làm điều đó mà không gặp nhiều khó khăn. (Và bạn có thể kiểm tra tính chính xác của đáp số bằng cách xem trang 58).

Ferdinand cũng chế tạo nhiệt kế với nhiều chủng loại và kiểu dáng khác nhau. Điều tò mò là ông đã làm rất nhiều việc để “đưa” những khám phá khoa học vào “sản xuất”. Một trong những dự án của Ferdinad là chăn nuôi gà quy mô lớn. Ông đã chế tạo một trong những máy ấp trứng đầu tiên, nơi ông sử dụng nhiệt kế của mình để kiểm soát nhiệt độ trong khi ấp trứng nhân tạo.

Tuy nhiên, ngay cả khi đó, thành tựu khoa học được giới thiệu cũng không phải là một nhiệm vụ dễ dàng: trong số 150 quả trứng, Ferdinand chỉ nhận được ba con gà. Tại sao điều này xảy ra? Có lẽ do người công nhân ở không đủ khoảng cách, không coi trọng việc đo nhiệt kế và tin tưởng hơn vào cảm giác của chính mình, hoặc có lẽ do kiến ​​thức sinh học kém của Ferdinad. Bây giờ chúng ta chỉ có thể đoán tại sao thí nghiệm này lại kết thúc trong thất bại.

Với thành công rực rỡ, Ferdinand đã sử dụng nhiệt kế để quan sát thời tiết, ông đã thực hiện các phép đo khí tượng quan trọng và biên soạn tài liệu từ việc quan sát nhiệt độ trong giếng sâu và ngục tối vào các thời điểm khác nhau trong năm. Hóa ra ở độ sâu, mùa xảy ra muộn hơn một chút so với trên bề mặt - đúng lúc để trái đất có thời gian khô đi hoặc ngược lại, nguội đi.

Chúng tôi sẽ kết thúc phép tính nhỏ của mình về nhiệt kế và nhiệt kế bằng một câu hỏi dành cho người đọc: tại sao nhiệt kế nước lại bất tiện khi đo nhiệt độ gần điểm đóng băng của nước?

28

Nhiệm vụ

M981—M985; F993—F997

M981. Chứng minh rằng số 11…1 (1986 đơn vị) có ít nhất a) 8, 6) 28 ước số khác nhau.

L. D. Kurlyandchik

M982. Trên các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC, dựng các hình vuông ABB₁A₂, BCB₁C₂, CAA₁C₂ ở mặt ngoài. Chứng minh rằng các đường vuông góc với các đoạn A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, được phục hồi tại trung điểm của chúng, cắt nhau tại một điểm.

N. Azamov (học sinh lớp 8)

M983. Trong một giải đấu có 16 tay vợt mỗi người, hai người chơi một trận.

a) Cho một ví dụ về cách phân bố kết quả trò chơi trong đó 10 người tham gia bất kỳ có thể xếp thành vòng tròn sao cho mỗi người thắng người hàng xóm bên trái của mình.

6. Chứng minh rằng nếu điều kiện a) được thỏa mãn thì 11 người tham gia bất kỳ có thể được sắp xếp thành một vòng tròn theo cách này.

K. P. Kokhas

M984. Qua một điểm tùy ý K bình phương ABCD kẻ một đường thẳng cắt các cạnh đối diện AB và CD tại các điểm P và Q. Chứng minh rằng giao điểm của các đường tròn đi qua các điểm K, B, P và K, D, Q khác K, nằm trên đường chéo BD (hình 1).

V. N. Dubrovsky

M985. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau tại điểm Q là góc giữa tia của chúng với đỉnh O, không quá 90°. Có bao nhiêu cách vẽ ba đường thẳng l₁, l₂, l₃ đi qua một điểm O trong không gian sao cho các góc giữa l₂ và l₃, l₃ và l₁, l₁ và l₂ lần lượt ứng với các số α₁, α₂, α₃? (Hai điểm của các đường thẳng l₁, l₂, l₃ và l₁′, l₂′, l₃′ được coi là bằng nhau nếu chúng “đồng dạng”, nghĩa là, nếu có một phép đo đối với mặt phẳng lấy l₁ đến l′′ với mọi i=1, 2, 3.)

Các tập sắp tới: đáp số phụ thuộc vào giá trị của α₁, α₂, α₃; ví dụ: đối với α₁=α₂=α₃=30° thì nó không giống với đối với α₁=α₂=α₃=70°.

A. V. Goncharov

29

F993. Một sợi dây được ném qua một khúc gỗ đứng yên nằm ngang. Để giữ vật nặng $m=6$ kg treo trên sợi dây này, cần kéo đầu thứ hai của sợi dây với lực tối thiểu $F_1=40$ N (hình 2). Phải kéo sợi dây với lực tối thiểu bằng bao nhiêu $F_2$ để tải bắt đầu tăng?

A. I. Buzdin

F994. Vệ tinh khám phá một hành tinh có mật độ $q$, di chuyển theo quỹ đạo tròn với chu kỳ quỹ đạo là $T$ và chụp ảnh bề mặt của nó. Bao nhiêu phần hành tinh sẽ vẫn chưa được khám phá?

V. V. Dorin

F995. Có một chất lỏng có mật độ $q$ trong thủ đô bị phong ấn. Khi mao quản được làm nóng đến giá trị nhỏ $\Delta T$, hóa ra ranh giới $AB$ giữa chất lỏng và hơi của nó (hình 3) không bị sụp đổ. Đồng thời, áp suất hơi tăng $\Delta p$. Mật độ của chất lỏng thay đổi như thế nào?

L. G. Markovich

F996. Trong máy quang phổ khối bay ngang, nguồn phát ra một dòng hạt tích điện ban đầu bay tự do (hình4) và đi qua cảm biến đầu tiên ($\Delta I_1$), nằm ở khoảng cách $L$ tính từ lưới (C). Phía sau lưới, dọc theo pháp tuyến của nó, các hạt chịu tác dụng của một lực điện $F$. Các hạt quay, bay trở lại lưới và bay qua cảm biến thứ hai ($\Delta I_2$), nằm ở cùng khoảng cách $L$ với lưới. Bằng cách thay đổi chế độ hoạt động của nguồn, thay đổi thời gian giữa các cảm biến so sánh và tìm thời gian bay t ngắn nhất. Khối lượng của hạt là bao nhiêu? (Tốc độ ban đầu phụ thuộc vào điện áp của nguồn, nhưng không biết giá trị chính xác của nó.) Làm thế nào bạn có thể tìm thấy khối lượng của các hạt nếu nguồn phát ra đồng thời nhiều loại hạt có khối lượng khác nhau?

I. I. Vorobiev

F997. Được biết, vệt sáng của một thiên thạch rơi xuống trở nên sáng hơn khi nó đến gần Trái đất. Tuy nhiên, ở các tầng trên của khí quyển, nó tồn tại lâu hơn đáng kể so với ở Trái đất. Tại sao?

A. S. Butov

Problems

M981 — M985; P993 — P997

M981. Prove that the number 11…1 (1986 ones) has at least a) 8, b) 28 different divisors.

L. D. Kurlyandchik

M982. The squares $ABB_1A_2$, $BCB_1C_2$, $CAA_1C_2$ are constructed on the exterior of sides $AB$, $BC$, $CA$ of triangle $ABC$. Prove that the perpendiculars at the midpoints of the segments $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ intersect in one point.

N. A. Azamov (8th form pupil)

M983. Sixteen tennis players play in a round robin tournament (each pair playing once). a) Give an example of the results of such a tournament where

31

+∠AEM) = -\frac{1+3}{1-1\cdot3} = 2, do đó, ∠CFN = ∠AME và các tam giác bằng nhau ở hai góc.

Hãy để chúng tôi trình bày thêm một cái nữa, thuần túy hình học lời giải. Rõ ràng là AM:MC=AE:CD=1:3, AB:AC=√2/2, do đó,

AE:AM = (\frac{1}{3}AB) : (\frac{1}{4}AC) = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Tương tự CN : NA = CF : AB = 1 : 2 và

CN:CF = (\frac{1}{3}AC) : (\frac{1}{2}CD) = \frac{2\sqrt{2}}{3},

nghĩa là AE:AM = CN:CF; do đó sự đồng dạng của các hình tam giác.

bài toán này được xây dựng dựa trên sự tương ứng arctg1 + arctg2 + arctg 3 = π/2; nó cũng được sử dụng trong bài toán cho trong hình 2 - hãy cố gắng giải nó thuần túy về mặt hình học!

A. P. Savin, V. N. Dubrovsky

M962. Chứng minh rằng với mọi đa thức P(x) có hệ số nguyên thì không thể tìm được các số nguyên phân biệt x1, x2, …, xn (n ≥ 3) sao cho các đẳng thức P(x1) = x2, P(x2) = x3, …, P(xn-1) = xn, P(xn) = x1 đúng.

◆

Hãy chứng minh rằng nếu các số nguyên x1, …, xn thỏa mãn các đẳng thức từ điều kiện bài toán thì nó sẽ tìm thấy các số nguyên giống nhau trong số chúng.

Chúng tôi sử dụng bổ đề sau: nếu P(x) là đa thức có hệ số nguyên, b và c là các số nguyên phân biệt thì P(b) - P(c) chia hết cho b−c. Trong trường hợp này, bất đẳng thức |b−c| ≤ |P(b)−P(c)|; Đây là hệ quả duy nhất có tác dụng với lời giải bài toán.

Vì P(x1) = x2, P(x2) = x3, theo Bổ đề |x1−x2| ≤ |x2−x3| ≤ |x3−x4| ≤ … ≤ |xnx1| ≤ |x1−x2|, nghĩa là |x1−x2| = |x2−x3| = … = |xn−x1|.

Nếu n ≥ 3 thì trong các số x1, x2, …, xn sẽ tìm được các số bằng nhau: ta có thể giả sử x1 là số nhỏ nhất trong các số này; Sau đó

x2−x1 = |x1−x2| = |xn−x1| = xn−x1,

tức là xn = x2.

Hãy chứng minh điều sau đây. Từ đẳng thức cho trước ở lề, rõ ràng là số b^k−c^k với mọi số nguyên dương k đều chia hết cho b−c. Đặt P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n; thì số P(b)−P(c) = a1(b−c) + a2(b^2−c^2) + … + a(n(b^n)) cũng chia hết cho b−c.

◆

Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh một phát biểu phụ trợ.

Cho các đoạn AB và CD song song, các đoạn AC và BD cắt nhau tại điểm P (hình 1). Khi đó tập hợp các điểm X nằm trong APB và CPD sao cho các tam giác XAC và XBD có kích thước bằng nhau là đường thẳng nối các đoạn AB và CD.

Để chứng minh điều này, ta vẽ điểm X song song với AB và CD; hãy để nó vượt qua (Phần kết xem trang 34)

M963. Ba cặp cạnh đối diện của một hình lục giác song song. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm của chúng cắt nhau tại một điểm.

LĨNH VỰC ĐIỆN

32

1. Cho một ví dụ khi hai vật nhiễm điện khác loại tiến lại gần nhau thì lực hút giữa chúng giảm dần bằng không.

2. Hướng của điện trường tại một điểm cách đều các điện tích tạo thành lưỡng cực điện là bao nhiêu?

3. Chứng minh, không cần tính toán tùy ý, rằng hướng của trường lưỡng cực điện càng nhỏ thì khoảng cách giữa các điện tích tạo thành lưỡng cực càng nhỏ.

4. Một quả bóng tích điện dương sẽ hoạt động như thế nào trong mỗi điện trường được mô tả trong hình?

5. Một dây dẫn tích điện có dạng một tấm được cuộn lại thành một ống cuộn. Hướng của điện trường ở bề mặt vật dẫn có thay đổi không?

6. Điện tích (-q) nằm ở tâm trường của quả cầu kim loại, mang điện tích (+2q). Biểu diễn bằng đường sức của điện trường thu được.

7. Ở khoảng cách r tính từ mặt phẳng dẫn điện có điện tích (+q). Điện tích và mặt phẳng sẽ tác dụng với lực nào?

8. Điện trường biểu thị ở hình có thể tồn tại trong chân không không?

34

AC và BD tại các điểm Y và Z (xem hình 1). Hai tam giác XAY và XCY có chung đáy XY và tổng chiều cao của chúng hạ xuống đáy này bằng khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và CD, do đó

$$S_{XAC} = S_{XAY} + S_{XCY} = \frac{1}{2} XY \cdot h,$$

trong đó chữ S, như thường lệ, biểu thị các khu vực. Hoàn toàn giống nhau

$$S_{XBD} = \frac{1}{2} XZ \cdot h.$$

Do đó, hai tam giác XAC và XBD có kích thước bằng nhau khi và chỉ khi X là trung điểm của đoạn thẳng YZ. Nhưng tập hợp trung điểm của tất cả các đoạn có thể song song với AB, có các đầu nằm trên các đường thẳng AC và BD, rất lớn và có các đường thẳng nối các đoạn AB và CD (và nhân tiện, đi qua P).

Lưu ý rằng $S_{XAC} = S_{XBD}$ và đối với các điểm X nằm trên đường thẳng song song với AB và đi qua P; đối với các điểm không nằm trên hai đường thẳng được chỉ định thì các vùng này khác nhau.

Hãy chuyển sang bằng chứng của tuyên bố bài toán. Gọi $A_1A_2...A_6$ là hình lục giác đã cho, $M_1, M_2, ..., M_6$ là trung điểm của các cạnh của nó, P, Q, R là giao điểm của các đường chéo (chính) $A_1A_4$, $A_2A_5$, $A_3A_6$, O là điểm giao nhau của “đường giữa” $M_1M_4$ và $M_2M_5$ (để biết các ký hiệu, xem hình 2). Bằng khẳng định đã được chứng minh, $S_{OA_1A_4} = S_{OA_2A_5}$ (vì O nằm trên $M_1M_4$) và $S_{OA_2A_5} = S_{OA_3A_6}$ (vì O nằm trên $M_2M_5$), nên $S_{OA_1A_4} = S_{OA_3A_6}$. Hơn nữa, điểm O thuộc hợp các góc $A_1PA_2$ và $A_4PA_5$, đồng thời thuộc hợp các góc $A_2QA_3$ và $A_5QA_6$, giao điểm của hai cặp góc này là tam giác PQR (hình 3), nằm trong một trong các góc $A_3RA_4$ hoặc $A_6RA_1$. Sử dụng lại phát biểu của mình, chúng tôi kết luận rằng “đường giữa” thứ ba $M_3M_6$ cũng đi qua O.

Hãy đề cập thêm ba lời giải trong số bài toán này. Điểm đầu tiên tương tự như những gì chúng tôi đã trình bày và dựa trên thực tế là tập hợp các điểm X của hình thang ABCD có đáy AB và CD, trong đó các tam giác AXD và BXC có chiều dài bằng nhau, là đoạn nối hai đáy (so sánh với mệnh đề phụ đã được chứng minh ở trên). Ngoài ra, chúng ta cần sử dụng thêm một thực tế thú vị: nếu trong hình lục giác $A_1A_2...A_6$ các cạnh đối diện song song thì các hình tam giác $A_1A_3A_5$ và $A_2A_4A_6$ có kích thước bằng nhau. lời giải còn lại dựa trên thiết kế song song được lựa chọn đặc biệt. Cụ thể, như có thể chỉ ra, luôn có một hình chiếu mà tại đó đường chéo của một hình lục giác đã cho trở nên bằng nhau (đủ để đảm bảo rằng hai “đường trung bình” của nó vuông góc với các cạnh mà chúng nối với nhau). Dễ dàng nhận thấy rằng trong trường hợp này, “các đường trung tuyến” sẽ là các đường đôi của một tam giác giới hạn bởi các đường chéo lớn và do đó cắt nhau tại một điểm. Trong trường hợp này, hình lục giác biến thành một hình tròn có tâm ở giao điểm của “các đường ở giữa”. Cuối cùng, phát biểu bài toán có thể được suy ra từ điều kiện tổng quát của giao điểm tại một điểm của ba đường thẳng vẽ từ các đỉnh của một tam giác (trong trường hợp này là tam giác PQR - xem hình 2) - cái gọi là định lý Ceva (ví dụ, xem bài toán 34 trong bài viết của M. V. Balk và V. G. Boltyansky “Trọng tâm của các vật nhẹ lời giải" trong «Kvant» số 4, 1984).

35

M964. Chứng minh rằng trong dãy $(a_n)$ gồm các số tự nhiên khác nhau thỏa mãn điều kiện $a_n < 100n$ có ​​một số có ký hiệu thập phân
a) số 1 xuất hiện;
b) 1986 đơn vị xuất hiện liên tiếp.

M965. Cho sáu số $a_1, a_2, ..., a_6$. Để tính tổng các tích theo cặp $a_1a_2+a_1a_3+...+a_5a_6$ của chúng, bạn cần thực hiện 15 phép nhân và 14 phép cộng. Hãy chỉ ra cách bạn có thể tìm ngay: tổng của các số này, tổng các tích của chúng theo hai, ba, bốn và gót, chỉ thực hiện 15 phép cộng và 14 phép nhân.

a) Đủ để chỉ ra rằng nếu trong ký hiệu thập phân của các số tự nhiên khác nhau $a_1, a_2, ..., a_n$ không xuất hiện chữ số 1 thì số $a_n/n$ có thể lớn tùy ý (cụ thể là $a_n/n > 100$ đối với một số $n$).

Lưu ý rằng trong số $9^k$ số đầu tiên trong chuỗi của chúng ta có một số $a_n$ có ký hiệu bao gồm ít nhất $k+1$ chữ số, tức là $a_n \geq 10^k$. Trên thực tế, số số tự nhiên được viết không quá $k$ chữ số khác 1 là $9^k-1$ (mỗi chữ số $k$ của số đó chứa một trong 9 chữ số 0, 2, 3, …, 9 và số 0 bị loại trừ; chúng tôi muốn nói rằng các số có ít hơn $k$ chữ số được đệm bằng các số 0 đứng đầu đến $k$-chữ số). Vì $n \leq 9^k$, bất đẳng thức $a_n/n \geq (10/9)^k$ có giá trị và vế phải của nó tăng vô hạn khi tăng $k$.

6. Theo cách tương tự như ở điểm a), người ta chứng minh rằng nếu các số trong ký hiệu là $a_1, a_2, ..., a_n$ thì các số $S_n^k$ là tổng các tích của chúng là $k$. Sau đó chúng ta có thể lần lượt tìm được

$$S_2^1 = x_1 + x_2, \quad S_2^2 = x_1x_2,$$

sau đó

$$S_3^1 = S_2^1 + x_3, \quad S_3^2 = S_2^2 + S_1^2 \cdot x_3, \quad S_3^3 = S_2^2x_3,$$

sau đó $S_n^k (1 \leq k \leq 4), \quad S_5^k (1 \leq k \leq 5)$ và cuối cùng là $S_6^k (1 \leq k \leq 5)$, hãy sử dụng các công thức

$$S_n^1 = S_n^{1-1} + x_n, \quad S_n^k = S_n^{k-1} + S_n^{k-1}x_n$$

($1 < k < n$), $S_n^n = S_n^{n-1}x_n$.

Để tính toán tất cả $S_n^k (1 \leq k \leq n)$, sẽ cần $n-1$ phép cộng và $n-1$ phép nhân. Vì vậy, để làm điều này xuống $n=6$, bạn cần $1+2+3+4+5=15$ phép cộng và cùng số lần nhân. Phép nhân cuối cùng $S_6^k = S_5^kx_6$ có thể được lưu bằng cách đếm tích của cả 6 số.

Trình tự các thao tác này được minh họa bằng sơ đồ ở lề (mũi tên màu xanh là phép cộng, mũi tên màu đỏ là phép nhân).

Tóm lại, lời giải này có thể được giải thích như sau. Chúng ta cần tìm các hệ số của đa thức $(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_6)$ cho $x, x^2, ..., x^5$, và lần lượt tìm tích của $x+a_1$ nhân với $x+a_2$, rồi đến $x+a_3$, …, nhân $x+a_6$.

Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng tất cả các tổng của các số $n$ với $k (k=1, 2, ..., n)$ đều có thể tìm thấy trong các phép cộng $1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2$ và cùng một số phép nhân. Sẽ rất thú vị nếu tìm hiểu xem liệu điều này có thể được thực hiện với ít thao tác hơn hay không.

N. V. Vasiliev

36

F973. Vật bắt đầu chuyển động từ điểm A và sau thời gian T đến điểm B a) với tốc độ lớn nhất có thể; b) ở tốc độ tối thiểu có thể; khoảng cách |AB| bằng l. Tính tốc độ của vật trong hai trường hợp này, nếu tốc độ tại điểm A là v₀=0 và gia tốc của vật là -a<a<a₀.

a) Để đến điểm B với tốc độ tối đa, bạn cần di chuyển như sau. Cho đến một thời điểm t₀ bạn cần di chuyển với gia tốc -a₀, sau đó cho đến cuối cùng với gia tốc a₀. Điểm t₀ được tìm thấy từ điều kiện đường đi ngang bằng l:

$$l = -\frac{a_0 t_0^2}{2} - a_0 t_0 (t - t_0) + \frac{a_0 (T - t_0)^2}{2} \Rightarrow t_0^2 - 2 T t_0 + \frac{T^2}{2} = \frac{l}{a_0}, t_0 = T - \sqrt{\frac{T^2}{2} + \frac{l}{a_0}}$$

(dấu trong lời giải của phương trình bậc hai được chọn từ điều kiện t₀<T). Скорость в момент времени t обозначаем через V(t). График функции V(t) показан на рисунке 1 красной линии. Пусть U(t) — скорость при другом режиме движения, удовлетворяющим нашим условиям, таком, что U(T) > V(T). Hãy chứng minh rằng khi đó U(t) ≥ V(t) với mọi t (xem hình 1). Giả sử rằng U(t₁) < V(t₁) với một số t₁ (khả năng này được thể hiện trong hình 1). Nếu t₁ ≥ t₀, thì gia tốc trung bình trên đoạn t₁ ≤ t ≤ T lớn hơn a₀ (đường màu đen tại hình 1 dốc hơn đường màu đỏ) và nếu t₁ ≤ t₀ thì gia tốc trung bình trên đoạn 0 ≤ t ≤ t₁ nhỏ hơn -a₀ Vì vậy, nếu U(T) > V(T), thì U(t) ≥ V(t) với mọi t và. một vật chuyển động với tốc độ U(t) sẽ bao phủ một đoạn lớn hơn l trong thời gian T. Điều này có nghĩa là V(T) là tốc độ tối đa.

$$V(T) = -a_0 t_0 + a_0 (T - t_0) = a_0 (T - 2 t_0) = a_0 \left( -T + 2 \sqrt{\frac{T^2}{2} + \frac{l}{a_0}} \right) = \sqrt{2 a_0^2 T^2 + 4 a_0 l} - a_0 T.$$

6. Tương tự: để đến điểm B với tốc độ tối thiểu, bạn cần di chuyển với gia tốc a₀ cho đến một thời điểm nhất định, sau đó cho đến cuối cùng với gia tốc -a₀. Điểm t₀ được tìm thấy từ điều kiện đường đi ngang bằng l:

$$l = \frac{a_0 t_0^2}{2} + a_0 t_0 (T - t_0) - \frac{a_0 (T - t_0)^2}{2} \Rightarrow t_0 = T - \sqrt{\frac{T^2}{2} - \frac{l}{a_0}}$$

(đồ thị tốc độ v(t) theo thời gian t được thể hiện ở hình 2). Tốc độ tại thời điểm T bằng a₀ t₀ - a₀ (T - t₀) = a₀ (2 t₀ - T) = a₀ \left( T - 2 \sqrt{\frac{T^2}{2} - \frac{l}{a_0}} \right) = a_0 T - \sqrt{2 a_0^2 T^2 - 4 a_0 l}.

Chứng minh tốc độ này là tối thiểu tương tự như chứng minh trước: nếu u(t) là một phương thức chuyển động khác và u(T) < v(T), thì u(t) ≤ v(t) với mọi t.

Hơn nữa, a) có thể t₀ < 0: điều này sẽ xảy ra với l > \frac{a_0 T^2}{2}; thì lời giải biến mất. Thì phần 6 (dưới gốc là biểu thức phủ định) không có lời giải.

D. A. Akopyan